Matematica II U5 Ejercicios Resueltos Derivadas 2
October 12, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Guía de ejercicios Derivadas 2 (Con solución)
Asignatura Matemática II Unidad 5 5 Introducción al cálculo
2
Guía de ejercicios Derivadas 2 A continuación se presentan algunos ejercicios de derivadas der ivadas con sus respectivas soluciones, ello para afianzar sus conocimientos con respecto a este tema.
Imprima la guía de ejercicios y practique cuantas veces lo considere necesario.
Ejercicios:
Derive usando la definición 1) Sea
y
x
2
Encontrar:
a) Derivada por pasos b) Analice que sucede para x=3 c) Ecuación de la tangente en P(3,9) d) Ecuación de la recta tangente en P(-4,16)
Solución: a) a) Aplicando Aplicando procedimiento de la derivada por pasos: 2
2
2
f ( x h) f ( x) x 2 xh h x 2 2 xh h f ( x h) f ( x) 2 x h lim lim li lim m h 0 h h h0 lim lim 2 x h 2 x h 0
Escuela de Comercio de Santiago
3
b) La ecuación de la recta, es la derivada representada por :
d Luego
en x=3 Para
dx
f (3)
6
d dx
f ( x )
2x
representa la pendiente de la recta tangente
f ( x ) x 2
c) La ecuación de la recta tangente en P(3,9) se obtiene considerando la pendiente m=6 y la ecuación de la recta dados estos dos elementos:
y
y1
y
9
y
6 x
m( x
6( x
x1 )
3)
9
d) Para obtener la ecuación de la recta tangente en P(-4,16) P(- 4,16) se evalúa la derivada(m) en x=-4
d dx
f ( 4)
8
Luego
y
16 8( x 4) y
8 x 16
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4
dy 2) Encuentre
P (5,
dx
para f ( x )
x , x 0 y determine la cotangente en
5) .
Solución:
f ( x h ) x h
x h x x h x x h x lim lim lim lim h 0 h 0 h h x h x
lim lim h 0
lim lim h 0
x h x h
x h x 1
x h x
h 0
h
x h x
1
2 x
d Evaluando la derivada derivada
lim lim
h
x
dx
y
1
2 x
en P (5,
5 ) con x=5
0,22 x 4,5
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5
3) Calcule la ecuación de la tangente en P (5 , y ) para la función
y
2
5 x 12x
17
Solución: 2
f ( x h) 5( x h) 12( x h) 17 2 10 xh 5( h) 12 h f ( x h) f ( x )
10 xh 5h 2
12h
h h lim lim (10 x 5h 12) 10 x 12
10 x 5h 12
h 0
dy
dx
10 x 12
d Evaluando la derivada para
dx
(10 x 12 ) 62 m
En x=5 evaluamos la función función
y
55
2
168 8 12 5 17 16
La ecuación de la recta tangente en x=5 es es
y
62 x
42
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6
4) Sea
3
y
12 x
2 . Calcule la ecuación de la
curva tangente en la abscisa;
e
.
Solución:
f x h 12( x h )
3
12( x 3
36 x 2 h 36 x ( h ) 2
2
3 x 2 h 3 x ( h ) 2
f ( x h ) f ( x )
( h ) 3 ) 2 (12 x 3
36 x h 36 x ( h )
h lim (36 x 2 h 0
2)
12(h ) 2 2
2
12( h )
2
h 36 xh 12h 2 ) 36 x 2
Evaluando la curva en
Por lo tanto la ecuación pedida es: es :
36 xh 12h 2
dy dx
, o sea en P (0,2), se obtiene la pendiente y
Evaluando la curva en
36 x 2
2 y
0( x
0)
2
12( 2) 3 2 94 , o sea en se obtiene
la pendiente , por lo tanto la ecuación pedida es :
y
94 144( x 2) y
144 x 194
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7
Derive usando las propiedad propiedades es
Solución: por Solución: por definición, la derivada de la constante es cero.
2.
3.
4.
√
5.
√
6.
√
√
7.
Solución:
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8
8.
Solución: Derivada de la división
9.
Solución: Derivada de la división
10.
Solución: se aplica regla de la cadena
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9
Encuentre los puntos críticos de la función dada, indicando si se trata de un máximo, mínimo o punto de inflexión y realice el bosquejo de su gráfica.
1)
Solución: a) Obtenemos la primera derivada y calculamos sus raíces:
Derivada
Raíces:
b) Se obtiene la segunda derivada y calculamos los signos que toman en ella, de los valores obtenidos en las raíces. Recuerde: f’’(x) > 0 es un mínimo; si tiene f’’(x) < 0 es un máximo y si f’’(x) = 0 es un punto de inflexión.
Se toma la derivada anterior y se vuelve a derivar:
es un máximo relativo.
es un mínimo relativo.
c) Obtenemos los puntos donde se encuentran los extremos relativos, evaluando los valores obtenidos en (a) en la función original.
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10
Por lo tanto: el tanto: el punto (-1, 4) es un máximo máximo relativo; (1,0) es un m mínimo ínimo relativo y su gráfica es:
2)
Solución: a) Obtenemos la primera derivada y calculamos sus raíces:
Derivada
Raíces:
(entrega un solo punto)
b) Se obtiene la segunda derivada y calculamos los signos que toman en ella, de los valores obtenidos en las raíces.
Se toma la derivada anterior y se vuelve a derivar:
es un punto de inflexión. Como no hay mayor aporte,
revisamos que sucede en la cercanía del punto.
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11
(,0)
(0 , )
Nº sencillo x
-1
1
f ‘’ (x) = -6x
6
-6
Signo
+
-
Arriba
Abajo
Sección
Concavidad hacia
c) Obtenemos los puntos donde se encuentran los extremos relativos, evaluando los valores obtenidos en (a) en la función original.
Por lo tanto: el tanto: el punto (0, 0) es un punto de inflexión, por la izquierda concavidad hacia arriba y por la derecha concavidad hacia abajo.
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