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CAPÍTULO I: FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEIS REAIS

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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CAPÍTULO I: FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEIS REAIS É justo que eu pergunte; é mesmo prudente aborrecer a mim mesmo e aborrecer os estudantes?

Mefistófeles

ao

Fausto

(retirado do Fausto de Goethe)

1.1 Função Linear Definição: Uma aplicação do tipo y  ax  b , com a  * e b   chama-se função do 1º grau ou função linear. Exemplos: a) y  x  2 b) y  4x  2 c) y  5 x

Exercícios Resolvidos: 1. Determine o valor d m para que as funções abaixo sejam lineares: a) y  m 2  1 x b) y  m  2x  m  3

Resolução: Da definição da função linear teremos: a) m 2  1  0  m 2  1  m  1 b) m  2  0  m  2 1.1.1 Gráfico da Função Linear O gráfico da função linear é uma linha recta no plano cartesiano. Para construir o gráfico da função y  ax  b , consideramos em primeiro lugar o gráfico mãe y  x e depois aplicamos os coeficientes a e b (significado dos coeficientes a e b). Exercícios Resolvidos: Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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2. Construir o gráfico da função y  x 4 3 2 1 -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

3. Construir o gráfico da função y  2x . 1º Passo: Gráfico de y  x 2º Passo: Aplicar o coeficiente 2 à função y  x (multiplicar as ordenadas pelo coeficiente 2). 4 3 2 1 -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

4. Construir o gráfico da função y  2 x  1 1º Passo: Como já construímos o gráfico de y  2x , partiremos deste. 2º Passo: Transladar o gráfico de y  2x em 1 unidade para baixo. 4 3 2 1 -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

Analisando os gráficos pode-se notar que: quando o coeficiente angular é positivo (a>0) a função é crescente e se o coeficiente angular for negativo (a0, a função quadrática tem um mínimo igual a 

 . 4a

   O contradomínio da função é então  ; .  4a 

2º CASO: a  0  b  b   a  0 e  x  aos dois membros,   0 logo a x    0 , adicionando  4a 2a  2a    2

2

teremos:  b     ou seja y   a x     4a 2a  4a 4a  2

Quando a 1, a função logarítmica é crescente (x1 > x2 loga x1 > loga x2). d) Quando 0 < a x2 loga x1 < loga x2).

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1.6 Função Modular Chamamos de função modular a função f x   x definida por:  x, se x  0 f ( x)    x, se x  0

Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças.

1.6.1 Determinação do domínio Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares:

Exemplos: 14. Determinar o domínio da função:

f x  

1 x 3

Resolução: Sabemos que

1 só é possível em  se x  3  0 . x 3

Então:

x 3  0 

x  3  x  3  x  3 .

Resposta:

D   x   : x  3  x  3

15. Determinar o domínio da função:

f x   2  x  1 Resolução: Sabemos que

2  x  1 só é possível em  se 2  x  1  0 .

Então,

2  x  1  0   x  1  2  x  1  2   2  x  1  2   2  1  x  2  1   1  x  3

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Resposta:

D  x   :  1  x  3.

1.6.2 Gráfico de Função Modular Para se construir o gráfico de função modular f x   x , temos os seguintes casos: 1º Caso: se x  0 , f x   x , a representação gráfica é uma semi – recta de origem 0 e de equação y  x . 2º Caso: se x  0 , f x   x , a representação gráfica é uma semi – recta de origem 0 e de equação y   x . Exemplos: 16. Representar graficamente as seguintes funções: a)

f x   x

b) f x  x  2 Resolução: a) O gráfico da função f x   x , é:

y 4

3

2

1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

5

-1

-2

-3

-4

b) O gráfico da função f x  x  2 , é:

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y 4

3

2

1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

5

-1

-2

-3

-4

1.7 Função Trigonométrica Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenómenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo rectângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário.

Na análise matemática, estas funções recebem definições ainda mais gerais, na forma de séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos complexos.

Actualmente, existem seis funções trigonométricas básicas em uso, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão conforme tabela abaixo.

As inversas destas funções são chamadas de função de arco ou funções trigonométricas inversas. A nomenclatura é feita através do prefixo "arco-", ou seja, arco seno, arco coseno, etc. Matematicamente, são designadas por "arcfunção", i.e., arcsen, arccos, etc.; ou adicionando-se o expoente −1 ao nome, como em

e

. O resultado da função

inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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Exemplo: 17. arcsen 1 

 2

pois sen

 2

1.

1.7.1 Definição do triângulo rectângulo A fim de definir as funções trigonométricas de um ângulo agudo não nulo considera-se um triângulo rectângulo que possui um ângulo igual a

,

.

Triângulo rectângulo indicando a hipotenusa e os catetos.

Deve-se observar que as funções ficam assim bem definidas, ou seja, a relação entre os lados do triângulo não depende da escolha particular do triângulo, mas apenas dos ângulos do triângulo. Isto é uma consequência do teorema de Tales. 1.7.2 Definição no ciclo trigonométrico

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A definição das funções trigonométricas pode ser generalizada para um ângulo

real

qualquer através do ciclo trigonométrico. O ciclo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Como cada ponto

pertencente ao ciclo está a uma distância 1 da origem, o teorema de

Pitágoras afirma que:

E, ainda, para cada ângulo segmento

faz um ângulo

existe um único ponto P pertencente ao círculo, tal que o com o eixo x.

Neste caso, o seno é definido como a projecção do segmento seno é definido como a projecção do segmento

sobre o eixo y. O co-

com o eixo x. Isto é:

As outras funções podem ser definidas conforme as relações a seguir:

Deve-se observar que esta definição, quando restrita aos ângulos agudos, concorda com a definição no triângulo rectângulo.

1.7.3 Relação fundamental Observa-se directamente de (1) e (2) a relação fundamental entre o co-seno e o seno de um ângulo

:

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1.7.4 Ângulos notáveis

Podemos calcular as funções trigonométricas para os ângulos de 30 e 60 graus através de um triângulo equilátero partido ao meio por sua altura.

As funções trigonométricas para o ângulo de 45 graus podem ser calculadas com o auxílio de um triângulo rectângulo isósceles de catetos 1, cuja hipotenusa vale (pelo teorema de Pitágoras)

.

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1.7.5 Funções elementares 1.7.5.1 Função seno

Exemplo: 18. Gráfico de f x   sen x

f x   sen x , associa a cada número real x o número y  sen x Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: D = R Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: Im   1, 1 . Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2π. Esse intervalo é denominado senóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano. Período: É sempre o comprimento da senóide. No caso da função f x   sen x , a senóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a 2π, portanto o período é 2π. Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto – extremidade do arco: 

f x   sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva).



f x   sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa).

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1.7.5.2 Função Cosseno

Gráfico de f x   cos x

f x   cos x , associa a cada número real x o número f x   cos x . Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: D = R Conjunto Imagem: Como cosseno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: Im   1, 1 Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2π. Esse intervalo é denominado cossenóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano. Período: É sempre o comprimento da cossenóide. No caso da função f x   cos x , a cosenóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a 2π, portanto o período é 2π. Sinal da Função: Como o cosseno x é a abcissa do ponto-extremidade do arco: 

f x   cos x é positiva no 1° e 4° quadrante (abcissa positiva).



f x   cos x é negativa no 2° e 3° quadrante (abcissa negativa).

1.7.5.3 Função tangente

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Gráfico de f x   tg x Domínio: A função da tangente apresenta uma peculiaridade. Ela não existe quando o valor de f x   cos x  0 (não existe divisão por zero), portanto o domínio são todos os números reais, excepto os que zeram o coseno. Conjunto Imagem: Im   ,   Gráfico: Tangentóide. Período:  . Sinal da Função: Como tangente x é a ordenada do ponto T intersecção da recta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto extremidade do arco, com o eixo das tangentes então: 

f x   tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abcissa positiva).



f x   tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abcissa negativa).

1.8 Percentagens A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, significando "por cento", "a cada centena") é uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fracção cujo denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um número por 100 (cem). 1.8.1 Significado de Percentagem Dizer que algo (chamaremos de blusas) é "70%" de uma loja (lê-se: "as blusas são setenta por cento de uma loja"), significa dizer que blusas é equivalente a 70 elementos em um conjunto universo de 100 elementos (representando lojas, que pode ter qualquer valor), ou seja, que a razão é a divisão:

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70  0,7 . 100

Ou seja, a 0,7ª parte de 1, onde esse 1 representando o valor inteiro da fracção, no caso, "loja". Em determinados casos, o valor máximo de uma percentagem é obrigatoriamente de 100%, tal qual ocorre na humidade relativa do ar. Em outros, contudo, o valor pode ultrapassar essa marca, como quando se refere a uma fracção maior que o valor (500% de x é igual a 5 vezes x).

1.8.2 Símbolo de Percentagem Muitos acreditam que o símbolo "%" teria evoluído a partir da expressão matemática x . 100

Porém, alguns documentos altamente antigos sugerem que o % evoluiu a partir da escrita da expressão latina "per centum", sendo conhecido em seu formato actual desde meados do século XVII. Apesar do nome latino, a criação do conceito de representar valores em relação a uma centena é atribuída aos gregos. 1.8.3 Ponto Percentual Ponto percentual é o nome da unidade na qual pode ser expressa o valor absoluto da diferença entre quaisquer pares de porcentagens.

Exemplo: 19. Se uma determinada taxa de juros cair de 24% ao ano para 12% ao ano, pode-se dizer que houve redução de 50% {[(valor inicial)-(valor final)]/(valor inicial)}, mas não que houve redução de 12%. Dizer que houve uma redução de 12% implica que o valor final seja de 12% menor que o valor inicial, no nosso exemplo, a taxa final seria 21,12% ao invés de 12%.

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O Ponto Percentual é uma unidade que pode expressar essa diferença, voltando ao nosso exemplo, é correcto dizer que houve redução de 12 pontos percentuais na tal taxa de juros.

Exercícios Resolvidos: 20. Quanto é 15% de 80? Resolução: Multiplique 15 por 80 e divida por 100: 15 . 80  12 . 100

Se você achar mais fácil, você pode simplesmente multiplicar 15% na sua forma decimal, que é 0,15 por 80: 0,15 . 80  12 .

15% de 80 é igual a 12.

21. Expresse a razão de 19 para 25 como uma porcentagem. Resolução: A razão de 19 para 25 pode ser expressa nestas duas formas:  19   25 19 : 12

Ao realizarmos a divisão de 19 por 25 iremos obter o valor da razão: 19  0,76 25

Tal como procedemos no caso das razões centesimais, devemos multiplicar este valor decimal por cem e acrescentar o símbolo "%" para termos a representação da porcentagem, na verdade o multiplicamos por 100%: 0,76 . 100%  76%

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Assim 19 : 25 na forma de porcentagem é igual a 76%.

22. 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha? Resolução: Sabemos que 30% da população da cidade mora na ilha e o restante 100 % - 30%, ou seja, 70% mora no continente. Como 70% corresponde a 337.799 habitantes, podemos montar uma regra de três para calcularmos quantos habitantes correspondem aos 30% que moram na ilha: 337.799 está para 70, assim como x está para 30: Podemos resolver este exercício de uma outra forma. Se multiplicarmos 337.799 por 100 e dividirmos este produto por 70, iremos encontrar o número total de habitantes da cidade: 337799 . 100  482570 70

Ao calcular 30% de 482.570 iremos encontrar o número de habitantes da ilha: 482570 . 30% 

482570 . 30 100

 144771

Portanto a população da cidade que mora na área insular é de 144.771 habitantes.

23. Se 4% de um número é igual a 15, quanto é 20% deste número? Resolução: Se dividirmos 15 por 0,04, que é equivalente a 4% na sua forma decimal, iremos obter o número que 4% dele é igual a 15:

15  375 0,04 Para calcularmos 20% de 375 basta multiplicá-lo por 0,20: 375 . 20%  375 .

20 100

 75

Em uma única conta faríamos: Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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15 . 0,20  15 . 5  75 0,04 Note que concluímos multiplicando 15 por 5, o que fica bastante claro se pensarmos que 20% também é cinco vezes 4%. 20% do referido número é igual a 75.

24. Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da minha? Resolução: Sem utilizarmos uma regra de três, basta que se divida o valor do qual se procura a porcentagem (12), pelo valor que representa os 100% (20) e que se multiplique o valor obtido por 100%: 12 . 100%  60% 20

Portanto a idade de meu irmão é 60% da minha idade.

25. Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge até 200 km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da velocidade máxima do meu carro? Resolução: Basta que se dividamos o valor do qual se procura a porcentagem (200), pelo valor que representa os 100% (160) e que se multiplique o valor obtido por 100%: 200 . 100%  125% 160

Portanto a velocidade máxima do carro do meu pai é 125% da velocidade máxima do meu carro. O percentual encontrado (125%) é maior que 100% porque o carro de meu pai é 25% mais veloz que o meu.

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26. Na festa de aniversário da Kayllan Cândido derrubei uma mesa onde estavam 40 garrafas de refrigerante. Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas garrafas sobraram e quantas eu quebrei? Resolução: 15% de 40 é 6. Chegamos a este valor pela conta abaixo: 40 . 0,15  6

A diferença entre 40 e 6 é de 34, conforme calculado a seguir: 40  6  34

Portanto: Das 40 garrafas que estavam na mesa, eu quebrei 34 e sobraram apenas 6.

27. O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores na empresa McCândido,Lda em Tete seria de apenas 6%, mas devido à intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido? Resolução: Estamos falando de acréscimo de percentagem de percentagem, já que os 6% originais foram aumentados em 120%. Vejamos como vai ficar a resolução: Ou seja, o aumento conseguido foi de 13,2%, mas podemos pensar na resolução do problema de uma outra forma:

O aumento conseguido originalmente era de 6%, este percentual equivale a 100% do aumento conseguido, mas como conseguiu-se mais 120% de aumento, então o passamos a ter 220% ( 100% + 120%) de aumento sobre os 6%, logo o problema consiste em se calcular 220% de 6%:

Portanto: O percentual de reajuste conseguido pela categoria foi 13,2%.

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1.9 Regime de Capitalização 1.9.1 Conceitos básicos A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa. 1.9.2 Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Actual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

1.9.3 Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma actividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. Juros Simples: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. Juros Compostos: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir de saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja, o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

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1.9.3.1 Quando usamos juros simples e juros compostos? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

1.9.4 Taxa de juros A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8% a. a. - (a.a. significa ao ano). 10% a. t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a. m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a. q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

1.9.5 Juros Simples O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J  P.i n

Onde: J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = números de períodos

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Exemplo: 28. Temos uma dívida de 1.000,00 Mts que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: J  1000 . 0,08 . 2  160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros Montante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Número de períodos)

M  P . 1  i . n

Exemplo: 29. Calcule o montante resultante da aplicação de 70.000,00 Mts à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. Resolução:

M  P . 1  i . n   10,5   145  M  70000 . 1   .   M  72 960,42 Mts   100   360 

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias. Exercícios Resolvidos sobre juros simples: 30. Calcular os juros simples de 1200,00 Mts a 13% a.t. por 4 meses e 15 dias. Resolução: Temos: J  P.i.n

A taxa de 13% a.t. equivale a

0,13  0,02167 6

Logo, Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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4 meses e 15 dias  0,02167 . 9  0,195 J  P . i . n  J  1200 . 0,95  J  234 .

31. Calcular os juros simples produzidos por 40000,00 mts , aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Resolução: Temos: J  P.i.n

A taxa de 36% a.a. equivale a

0,36  0,001 a. d . 360 dias

Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular directamente: J  P . i . n  J  40000 . 0,001 . 125  5000,00 mts

32. Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende 3500,00 mts de juros em 75 dias? Resolução: Temos imediatamente:  1,2   75  J  P . i . n ou seja: 3500  P .  .   100   30 

Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500  P . 0,012 . 2,5  3500  P . 0,030 ; Daí, vem:

P

3500 0,030

 P  116 666,67 mts

33. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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Resolução: Objectivo: M  2 . P Dados:

Fórmula:

150 i  1,5 100

Desenvolvimento:

2 P  P . 1  1,5n   2  1  1,5n  2  n  anos  8meses 3

M  P . 1  i . n

1.9.6 Juros Compostos O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos: Primeiro Mês: M  P . 1  i  Segundo

Mês:

o

principal

é

igual

ao

montante

do

mês

anterior:

principal

é

igual

ao

montante

do

mês

anterior:

M  P . 1  i  . 1  i  Terceiro

Mês:

o

M  P . 1  i  . 1  i  .1  i  Simplificando, obtemos a fórmula: M  P . 1  i 

n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J M P

Exemplo: Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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31. Calcule o montante de um capital de 6000,00 mts , aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. (use lg 1,035  0,0149 e lg 1,509  0,1788 ) Resolução: P  6000,00 mts t  1 ano  12 meses i  3,5 % a. m.  0,035 M ?

Usando a fórmula: M  P . 1  i  , n

obtemos: M  P . 1  i 

n

 M  6000 . 1,035

2

Fazendo x  1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos: lg x  lg 1,03512  lg x  12. lg 1,035  lg x  0,1788  x  1,509

Então M  P . 1  i 

n

 M  6000 . 1,509 

M  9054 .

Portanto o montante é 9 054,00 mts .

1.9.7 Relação entre juros e progressões No regime de juros simples:

M n   P  n . r. P No regime de juros compostos: M n   P . n . r. P 

n

Portanto: Num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética. Num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica. Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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1.10 Exercícios Propostos: 1. Determinar a para que as funções abaixo sejam do 1º grau: b) y  a 2  16x  a  3

1  2a  a) y    x  3  3 

2. Determinar o ponto de intersecção do gráfico das funções abaixo com o eixo x: a) y  2 x  8

b) y  3x  1

c) y 

2 x 3

3. Esboçar os gráficos das seguintes funções: a) y  3x  1

b) y 

2 x4 3

c) y  2 x  6

4. Escreve a função do 1º grau nos seguintes casos: a) Passa pelos pontos (0;-1) e (1;0). b) Tem coeficiente angular igual a -1 e passa pelo ponto (3;0). c) É linear e passa pelo ponto (3;1). 5. Numa certa cidade a taxa de energia eléctrica é calculada nas seguintes bases: 

Taxa mínima (fixa) de 1280 unidade monetária.



Quilowatts – horas (Kwh) de 51,05 unidade monetária.

a) Quanto será pago se o consumo for de 89 Kwh. b) Quanto Kwh terá consumido um cliente se pagar 7.661,25 unidades monetárias. 6. Representar graficamente, a função definida em  , por y  x 2  4 x  3 e do gráfico concluir as propriedades da função.

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7. Escrever a função quadrática cujo gráfico é a parábola que passa no ponto 3, 0 e tem vértice no ponto 3, 0 . 8. Considere a função real, de variável real, definida por f x    x 2  4 x  5 . a) Determine as coordenadas do vértice da parábola. b) Calcule os seus zeros. c) Qual o sentido da concavidade da parábola? Justifique. 9. Determinar o valor de k de modo que as funções que seguem sejam quadráticas: a) y  k 2  16x 2  8 x  6 2 2    b) f x    k   x 2  2 x   3k 2  k  5  3 5   

c)

2  f x   7 x 2  2 x   2k 2  8k   4 

10. Construir o gráfico das seguintes funções: a)

f x   2 x

b) f x   2 x  3 c)

1 f x     4

x

x

1 d) hx      2 8 e) g x   log 2x f) g x   log x1 4

11. Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de ter escorrido toda a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos por cento do peso, por ter levado gelo a preço de frango?

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12. Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de papel, passou a possuir apenas 30 metros. Como o preço do rolo não sofreu alteração, tal artimanha provocou de fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do papel?

13. Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se 2.204,00 mts pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por 1.972,00 mts. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido? 14. A senhora Kayllan Cândido, pediu por emprestado a Senhora Elmara Zalimba a quantia de 2.000,00 mts a juros simples, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 3% por mês. Quanto deverá a senhora Kayllan de juro a senhora Elmara?

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CAPÍTULO II: SUCESSÃO NUMÉRICA

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CAPÍTULO II: SUCESSÃO NUMÉRICA … a Matemática não é tanto uma disciplina como um modo de estudar qualquer disciplina, não é mais uma ciência como um modo de vida. G. Temple (1981)

2.1 Noção de Sucessão Numérica 2.1.1 Conceito de Sucessão Definição 1: Chama – se Sucessão a toda aplicação de domínio IN .

g : IN  Q f : IN  Z Assim, as aplicações e 4  n são exemplos de sucessões. n  2n  6 n  n2 O conjunto de chegada da primeira é Z e, por isso, se diz que f é uma sucessão com valores em Z ou uma sucessão de números inteiros e g é uma sucessão de números racionais. Do mesmo modo uma sucessão cujo conjunto de chegada seja  diz – se sucessão de números reais. Definição 2: Sucessão de números reais é toda a aplicação de IN em  e representa – se pelos seguintes símbolos: a n n  I , a n   IN f  . 

2.1.2 Termos de uma sucessão de números reais As imagens, ou transformados dos números naturais dizem-se termos de sucessão. A imagem de 1 será 1º termo e representar-se-á por a1 ou por f 1 . A imagem de 2 será o 2º termo e representar-se-á por a2 ou por f 2 . ............................................................................................................................. A imagem de n será o enésimo termo e representar-se-á por a n ou por f n  .

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2.1.3 Termo geral ou gerador de uma sucessão de números reais Por vezes, o processo de obter os transformados dos números naturais, numa dada sucessão de números naturais, consiste em substituir numa expressão analítica em n, n pelo número natural cuja imagem se procura. Quando isto acontece, esta expressão analítica toma o nome de termo geral da sucessão.

Exemplos de Sucessões: 1.

an n  IN : a1  3; an

 n  3; se n  2

1 2.  n  I n

3.

n 2 se n  4 a n1 se n  4

an n  IN : an  

4. 2, 3, 4, 2, 3, 4, 2, 3, 4, ...,2, 3, 4, ...

2.1.4 Conjunto dos termos duma sucessão Ao conjunto constituídos pelos números reais que são valores distintos dos termos duma sucessão chama-se conjunto dos termos dessa sucessão. Assim: O conjunto dos termos de sucessão 1, 2, 3,1, 2, 3,1, 2, 3, , ...,1, 2, 3, ... é o conjunto

1, 2, 3 . Em geral o conjunto dos termos de sucessão a n n  I representa-se por a n  .

Exemplos: 5. Considere a sucessão a n n  IN em que o termo geral é a n 

n . 3n  1

a) Determine os três primeiros termos da sucessão.

b) Determine o 6º termo.

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Resolução: a) a1 

1 1  ; 3 1 2

b) a 6 

6 6  18  1 17

a2 

2 2  ; 6 1 5

a3 

3 3  . 9 1 8

n 2 se n  3 6. Considere a sucessão a n n  N com an   an1  2 se n  3 a) Escreva os 5 primeiros termos. b) Calcule a9  a8 . Resolução: a) a1  1 ; a 2  2 2  4 ; a3  a 2  2  6 ; a 4  a3  2  8 ; a5  a 4  2  8  2  10 . b) a9  a8  2  a8  2 .

7. Determine o termo de ordem p da sucessão cujo termo geral é

1 n2 . n 1

Resolução:

1 p2 ap  p 1





8. Considere a sucessão n 2 1 nN . Determine os valores de n para os quais os termos desta sucessão são superiores a 626. Escreva os dois primeiros termos que são superiores a 626. Resolução: Para que seja n 2  1  626  n 2  625  n  25

Os dois primeiros termos serão: a 26  26 2  1  677

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;

a 27  27 2  1  730

.

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2.2 Sucessões Monótonas Definições: Uma sucessão a n n   diz-se crescente se, e só se, a n   a n 1 , n  N . Uma sucessão

a n n  

diz-se crescente em sentido lato, se e só se

an   an1 , n  N . Uma sucessão a n n   diz-se decrescente se, e só se, a n   a n 1 , n  N . Uma sucessão

a n n  

diz-se decrescente em sentido lato, se e só se

an   an1 , n  N . Sucessões Monótonas: As sucessões monótonas são aquelas que são crescente e as que são decrescentes, em sentido estrito ou lato. Nota: Quando se diz que uma sucessão é crescente, pode-se dizer que ela é crescente em sentido estrito. Analogamente, em lugar de se dizer que uma sucessão é decrescente pode dizerse que é estritamente decrescente.

Pode acontecer que uma sucessão monótona só o seja a partir duma certa ordem. Quando isto acontece diz-se quase monótona. 2.3 Sucessões Limitadas 2.3.1 Definição: A sucessão an n N diz-se limitada se, e só se, existirem dois números reais, M e M ' , tais que, n  N , M  a n  M ' . Isto é: an n N diz-se limitada M , M '   : n  N , M  a n  M '

Teorema: É condição necessária e suficiente para que uma sucessão seja limitada que exista um número real positivo L tal que, qualquer seja o número natural n, an  L .

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2.3.2 Interpretação Geométrica de Sucessão Limitada Marcando um referencial cartesiano ortogonal os pontos n, a n  a sucessão será limitada se, e só se, esses pontos ficarem compreendidos entre duas rectas paralelas ao eixo OX.

2.3.3 Sucessão Limitada inferiormente Quando, dada uma sucessão, existe um número real L, menor do que todos os termos da sucessão diz-se que esta sucessão é limitada inferiormente.

Quando, dada uma sucessão, existe um número real, M, maior do que todos os termos da sucessão, diz-se que esta sucessão é limitada superiormente.

Uma sucessão pode ser limitada inferiormente sem o ser superiormente, assim como pode ser limitada superiormente sem o ser inferiormente.

Nota: Quando um número real é menor ou igual a todos os termos duma sucessão chama-se minorante. Se um número L é minorante, todos os números menores de que L são minorantes. Se um número real é maior ou igual a todos os termos duma sucessão, chama-se majorante. Se um número M é majorante, todos os números maiores do que M são majorante. Exemplo: 9. Considere a sucessão de termo geral a n 

1 . n 1

a) Averigúe se esta sucessão é monótona. b) Averigúe se a sucessão é limitada. Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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Resolução: a) Consideremos o termo a n  . Para isso, bastará, em a n 

1 e, a partir dele, formemos o termo seguinte a n 1 n 1 1 , substituir n por n+1. n 1

Teremos:

a n1 

1 1  a n1  n  1  1 n2

Comparemos an 

1 1 e a n 1  . n 1 n2

Qualquer que seja o número natural n é a n  a n 1 , visto que, de duas fracções, com numeradores iguais, é maior a que tiver menor denominador. Portanto, a sucessão dada é monótona decrescente.

b) Como os valores de n são 1, 2, 3, ..., n, ... a fracção disso, e pela mesma razão,

1 é sempre positiva. Além n 1

1 é sempre menor do 1. Isto é, existem dois n 1

números, 0 e 1, entre os quais estão todos os valores de

1 . Portanto, a n 1

sucessão dada é limitada. 2.4 Formas de definir uma Sucessão 2.4.1 Pelo Método Geral Uma sucessão de números reais fica definida se for dado o seu termo geral, visto que o domínio é N e o conjunto de chegada é  . Exemplos: 10. Dado o termo geral u n 

n 1 de uma sucessão de números reais, calcular: 2n  3

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a) O 4º e o 7º termo b) u n  2  u n 1

Resolução: a) Para obter o 4º termo, substitui – se, no termo geral, n por 4 . Assim, tem – se: un 

n 1 4 1 5  u4   u4   u4  1 . 2n  3 2. 4  3 5

Do mesmo modo, obtemos o 7º termo, substituindo no termo geral, n por 7 . Assim, tem – se: un 

n 1 7 1 8  u7   u7  . 2n  3 2 .7  3 11

b) De forma análoga, para calcular u n  2 e u n 1 , substitui – se n por n  2 e n  1 , respectivamente:

u n2 

n  2 1 n3 n3  u n2   u n2  2n  2  3 2n  4  3 2n  1

E

u n1 

n 11 n2 n2  u n1   u n1  2n  1  3 2n  2  3 2n  1

Então:

u n 2  u n1 

n  3 n  2 2n 2  6n  n  3  2n 2  4n  n  2 5    2 2 2n  1 2n  1 4n  1 4n  1

11. Definida a sucessão a n  pelo seu termo geral a n  a)

2n  1 , mostre que: n3

29 é termo da sucessão e calcule a sua ordem. 18

b) 1,6 não é termo da sucessão. c) É verdade a proposição

1  a n  2, n  N . 4

Resolução:

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a) A ordem será a solução, em N , da equação (se existir): 2n  1 29  n  3 18

 36n  18  29n  87  36n  29n  87  18  7 n  105  n  15

Então: 29 é o 15º termo da sucessão. 18

b) Procedendo do mesmo modo: 2n  1 16   20n  10  16n  48  20n  16n  48  10  4n  58  n  14,5 n  3 10 Como a equação é impossível em N 14,5  N  , conclui – se que 1,6 não é termo

da sucessão.

c) Substituindo, vem

1  an  2 4



1 2n  1  2 4 n3

 2n  1 2   n3    2n  1  1   n3 4

Como n é o número natural, n  3 é sempre positivo e podemos desembaraçar de denominadores: 2 n  1  2 n  6 0n  7    8n  4  n  3 7 n  7

Como esta condição é universal em N , então a proposição dada é verdadeira.

2.4.2 Por um Processo de Recorrência Se os termos da sucessão se podem calcular a partir de termos anteriores conhecidos, diz – se que a sucessão está definida por recorrência.

Exemplos: 12. Numa sucessão a n  tem – se:

a1  3 Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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Qualquer termo diferente do primeiro obtém – se do anterior somando – lhe 4 unidades. Então, como a n1  a n  4 , vem:

a2  a1  4  3  4  7 a3  a 2  4  7  4  11 a 4  a3  4  11  4  15 

13. Na sucessão bn  tem – se:

b1  5 bn 1  bn . 4, n  N

Cada termo, com a excepção do primeiro é o quádruplo do anterior. A sucessão é: 5; 20; 80; 320; 

14. Está definida por recorrência a sucessão v n  em que:

v1  1 ; v2  2 ; vn 2  vn1  vn , n  N .

A sucessão é: 1; 2; 3; 5; 8; 13;

2.5

Sucessões Monótonas

2.5.1 Sucessões Crescentes Como já se viu anteriormente, uma função f diz – se crescente sse x1  x 2  f x1   f x 2 , x1 , x 2  D f

No caso das sucessões, o domínio é N e, portanto, a condição n  1  n é universal em N . Então, para que a sucessão u n  seja crescente, basta que: Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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u n 1  u n , n  N

ou u n 1  u n  0, n  N

isto é, cada termo é menor do que o seguinte. Então, u1  u 2  u 3  u 4    u n  u n 1  

Uma sucessão v n  diz – se crescente em sentido lato sse vn1  vn , n  N

ou seja vn1  vn  0, n  N

o que quer dizer que, v1  v2  v3  v4    vn  vn 1  

Exemplos: 15. A sucessão dos números pares ( 2, 4, 6, 8, , 2n,  ), é crescente.

Com efeito: u n1  u n  2 n  1  2n  2n  2  2n  2 .

Logo, u n 1  u n  0, n  N

e a sucessão u n  é crescente.

16. Estudo da sucessão de termo geral v n 

n 1 quanto ao crescimento. n2

Resolução: O cálculo dos primeiros termos; 2 3 4 5 , , , , 3 4 5 6

para indicar que a sucessão é crescente não basta, é necessário provar que é verdadeira a proposição Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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vn1  vn , n  N ,

ou vn1  vn  0, n  N ,

Proposição cujo valor lógico é fácil de determinar v n 1  v n

 n  1  1 n  1 n  2 n  1 n 2  2n  2n  4  n 2  3n  n  3 1       0 n  1  2 n  2 n  3 n  2 n  3n  2 n  3n  2

Podemos então, concluir que vn1  vn  0, n  N

Pois o denominador da fracção é sempre positivo visto n ser natural. A sucessão v n  é crescente.

2.5.2 Sucessões Decrescentes A sucessão u n  é decrescente sse: u n 1  u n , n  N

ou u n 1  u n  0, n  N

isto é, cada termo é menor do que o seguinte. Então, u1  u 2  u 3  u 4    u n  u n1  

Uma sucessão v n  diz – se decrescente em sentido lato sse vn1  vn , n  N

ou seja vn1  vn  0, n  N

o que quer dizer que, v1  v2  v3  v4    vn  vn 1  

Exemplos: 17. A sucessão 1,

1 1 1 , ,  , ,  , é uma sucessão decrescente. 2 3 n

Com efeito: Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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1 1 n  n 1 1     0, n  N n  1 n n n  1 n n  1

18. Provar que a sucessão a n  , tal que an   1  2n , é decrescente em sentido lato. n

Resolução: Não basta calcular os primeiros termos  3,  3,  7,  7,  11,  11,  ,

Temos de provar que é verdadeira a proposição a n 1  a n  0, n  N .

Ora,



an1  an   1

n1





 2 n  1   1  2n   1 n

n1

 2n  2   1  2n   1 n

n1

  1  2  2. 1

n1

n

2

Então,  0 se n e impar a n 1  a n    4 se n e par

A sucessão é decrescente em sentido lato.

2.5.3 Sucessões Monótonas Toda sucessão crescente ou decrescente em sentido lato ou estrito é uma sucessão monótona. Um exemplo da sucessão não monótona é sucessão de termo geral un   1 onde os n

primeiros termos são:  1, 1,  1, 1,  . Não é crescente nem decrescente.

2.6

Progressão Aritmética

2.6.1 Definições Consideremos definida por recorrência a sucessão u n  .

u1  4  u n1  u n  3

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Página 60

4, 7, 10, 13, 

Como u n 1  u n  3 , a diferença entre cada termo e o anterior é constante e igual a 3 . A esta sucessão chama – se progressão aritmética de razão 3 .

Definição: Progressão aritmética é toda a sucessão em que é constante a diferença entre cada termo e o anterior, isto é,

u n  é uma progressão aritmética

 u n1  u n  r const ., n  N

A constante r dá – se o nome de razão da progressão. Toda progressão aritmética u n  de razão r é uma sucessão monótona: Crescente se r  0 ; Decrescente se r  0 ; Constante se r  0 .

Exemplos: 19. A sucessão dos números naturais 1, 2, 3, , n,  , é uma progressão aritmética de razão 1 (crescente). 20. A sucessão  2,  5,  8, , 1  3n,  , é uma progressão aritmética de razão  3 (decrescente).

2.6.2 Termo Geral de uma Progressão Aritmética Seja u n  uma progressão aritmética de razão r , u1 , u 2 , u3 , , u n , 

Por definição

u 2  u1  r  u 2  u1  r O 2º termo obtém – se do primeiro, somando – lhe uma vez a razão. Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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u3  u 2  r

 u3  u 2  r

E substituindo u 2  u3  u1  2r

O 3º termo obtém – se do primeiro, somando – lhe duas vezes a razão. u 4  u 3  r  u 4  u3  r  u 4  u1  3r

O 4º termo obtém – se do primeiro, somando – lhe três vezes a razão. Somos então levados a concluir que o termo de ordem n se obtém do primeiro, somando – lhe n  1 vezes a razão u n  u1  n  1 . r

Portanto, qualquer progressão aritmética está bem definida se se conhecem o primeiro termo e a razão.

Exemplos: 21. Numa progressão aritmética está de razão  7 o primeiro termo é 18 . Calcular o 6º e o 20º termo. Resolução: O termo geral da progressão é u n  18  n  1 .  7   u n  18  7n  7  u n  25  7n .

Então, u 6  25  7.6  25  42  17

e u 20  25  7.20  25  140  115

22. Numa progressão aritmética a diferença entre o terceiro e o primeiro termo é igual a  4 . Sabendo que o 2º termo é igual a 5 , escrever uma expressão do termo geral.

Resolução: Sabe – se que

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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u 3  u1  4 ,

e como u 3  u1  2r

vem

u1  2r  u1  4  2r  4  r  2 . E como r  2 , vem

u1  2  5  u1  7 . Utilizando a fórmula do termo geral, temos u n  7  n  1 .  2   7  2n  2  9  2n

que a expressão do termo geral da sucessão.

2.6.3 Soma de n Termos Consecutivos de uma Progressão Aritmética Consideremos os sete primeiros termos da progressão aritmética de termo geral u n  3  5n

8, 13, 18, 23, 28, 33, 38

Calculemos: A soma dos extremos: u1  u 7  8  38  46

A soma dos pares de termos equidistantes dos extremos: u 2  u 6  13  33  46 u 3  u5  18  28  46

O dobro do termo médio

2u 4  2.33  46 Verificamos que: i.

A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos;

ii.

O dobro do termo médio é igual à soma dos extremos.

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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Estes factos são verdadeiros em qualquer progressão aritmética, como vamos provar. Consideremos os n primeiros termos de uma progressão aritmética de razão r e sejam u p e u s dois termos equidistantes dos extremos:

u1, u 2 , u3 , , u p , , u s , , u n1 , u n     p 1 termos

p 1 termos

Como u p  u1   p  1.r

e u n  u s   p  1.r ,

então, u n  u p  u s  u1  u s  u p  u1  u n

A partir desta propriedade vamos obter a fórmula que permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética. Com efeito:

S n  u1  u 2  u 3    u n  2  u n 1  u n  S n  u n  u n 1  u n  2    u 3  u 2  u1 ______________________________________________ 2S n  u1  u n   u 2  u n 1     u n 1  u 2   u n  u1    n

parcelas

Como cada uma destas parcelas é igual à soma dos extremos, temos: 2S n  u1  u n .n ,

ou seja,

Sn 

u1  u n .n 2

ou ainda, Sn 

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

n 2u1  n  1.r  . 2

Página 64

Exemplos: 23. Calcular a soma dos 20 primeiros números pares. Resolução: A sucessão dos números pares é uma progressão aritmética de razão 2 e em que o primeiro termo é 2 . Então: u n  2  n  1.2  u n  2n u 20  40

S 20 

u1  u 20 2  40 .20  S 20  .20  420 2 2

24. Defina uma progressão aritmética a n  por a1  50 e r   4 , calcular a soma dos 40 termos consecutivos da progressão a partir do 150 (inclusive). Resolução: Como, suprimindo os primeiros termos de uma progressão aritmética se obtém uma sucessão que ainda é uma progressão aritmética, o problema reduz – se ao anterior, considerando – se como primeiro termo o 15º, o termo u 54 passa a ser o termo de ordem 40 na nova sucessão

a15  a1  14r   a15  50  56  6

 a54  50  53. 4  162

Então,

S 40 

a15  u54 .40 2

Ou seja, S 40 

 6  162 .40  3360 2

25. Calcular o valor de x na equação 1  3  5    x  100 , sabendo que o 1º membro é uma progressão aritmética.

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 65

Resolução: a1  1; r  2; a n  x; S n  100 Sn 

n 2a1  n  1 r   100  n 2.1  n  12  200  2n 2  n1  10  n2  10 , 2 2

Escolhemos o n  10 , visto que  10  IN . Como an  x ,

Então, de a n  a1  n  1r

Tem – se

x  a1  n  1r  x  1  9.2  x  19 . 2.7

Progressão Geométrica (PG)

2.7.1 Definições Consideremos, definida por recorrência, a sucessão u n  : u1  3  u n1  2.u n , n  IN

Será: 3, 6, 12, 24, 48, 

Note que o quociente entre cada termo e o anterior é constante e igual a 2 . A esta sucessão chama – se progressão geométrica de razão 2 . Definição: Progressão Geométrica é toda a sucessão em que é constante o quociente entre cada termo e o anterior, isto é,

u n  é progressão geométrica

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,



u n 1  r const ., n  IN un

Página 66

A constante r dá – se o nome de razão da progressão. Cada termo da progressão obtém – se do anterior, multiplicando – o pela razão. Da definição resulta que uma progressão geométrica u n  em que a1  0 e r  1 é monótona crescente ou decrescente, conforme a1  0 ou a1  0 ;

r  1 é monótona constante (todos os termos são iguais ao primeiro);

0  r  1 é monótona decrescente ou crescente, conforme a1  0 ou a1  0 ; r  0 é uma sucessão com todos os termos nulos a partir do primeiro;

r  0 é não monótona (os termos são alternadamente positivos e negativos).

Se a1  0 todos os termos da progressão são zero.

Exemplo: 26. Provar que a sucessão de termo geral a n  3.6 n  2 é uma progressão geométrica. Classifique – a quanto à monotonia. Resolução a n 1  3.6 n 1 2  a n 1  3.6 n 1 .

Então, a n 1 3.6 n 1   6 n 1n  2   6 n 1 n  2  6 . n2 an 3.6

Portanto,

a n 1  6 cons tan te , n  IN , an o que mostra que a n  é uma progressão geométrica. Como a razão é maior que 1 e o primeiro termo 1 1 a1  3.61 2  3.  6 2

então, a sucessão é monótona crescente.

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Página 67

2.7.2 Termo Geral de uma Progressão Geométrica Consideremos uma progressão geométrica u n  em que u1  0 e r  0 . Da definição resulta

u2  r  u 2  u1 .r u1 u3  r  u 3  u 2 .r  u1 .r 2 u2 u4  r  u 4  u 3 .r  u1 .r 3 u3 o que nos leva a concluir que u n  u1 .r n 1

Pode então, afirmar – se que uma progressão geométrica fica bem definida se se conhecem o primeiro termo e a razão.

Exemplos: 27. Determine o 5º termo da Progressão geométrica 3, 9, 27, . Resolução: u1  3; r  3 u 5  u1 .r 4  u 5  3.3 4  u 5  243

28. Numa progressão geométrica de razão 3 , o primeiro termo é

1 . Calcular o 7º 27

termo. Resolução: O termo geral da progressão é un 

1 n 1 .3 , 27

ou seja, u n  3 3.3 n 1  3 n  4 .

Donde, Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 68

u 7  37  4  33  27 .

29. Encontre a razão da progressão geométrica em que u1  12 e u 2  384 . Resolução:

u 2 384   32 . u1 12

r

2.7.3 Soma dos n primeiros Termos de uma Progressão Geométrica Consideremos os n primeiros termos de uma progressão geométrica u n  de razão r  0 e r  1 em que u1  0 :

u1 , u 2 , u3 , , u n .

Vamos procurar uma fórmula que permita calcular a soma S n de todos esses temos: S n  u1  u 2  u 3    u n .

Atendendo a que u 2  u1 .r , u 3  u1 .r 2 , u 4  u1 .r 3 , , u n  u1 .r n 1 ,

pode escrever – se



S n  u 2  u1 1  r  r 2  r 3    r n 1



e



r.S n  u1 r  r 2  r 3    r n



Subtraindo membro a membro as duas expressões, teremos:

  1  r .S  u 1  r 

S n  r.S n  u1 1  r n n

n

S n  u1

1

1 rn 1 r

Exemplo: 30. Calcular a soma das primeiras dez potências de base dois e expoente natural, 2  2 2  2 3    210 .

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 69

Resolução: A sucessão das potências de base dois e expoente natural é uma progressão geométrica de razão 2 e em que o primeiro termo é 2 . r  2 e u1  2 .

Então, S10  u1 .

2.8

1  r 10 1  210 1  210  S10  2.  S10  2.  S10  2. 210  1  S10  2.1024  1  S10  2046 1 r 1 2 1





Limites de Sucessões

2.8.1 Definição A sucessão u n  tem por limite a  IR sse para todo o número positivo  existe uma ordem a partir da qual todos os termos da sucessão são valores aproximados de a a menos de  . Para significar que u n  , tem por limite a escreve – se lim u n  a ou u n  a

E lê – se “o limite de u n  é a ” ou “ u n  tende para a ” ou “ u n  converge para a ” ou “

u n  vai ao encontro de a ”. Simbolicamente:

lim u n  a    0 p  IN : n  p  u n  a   n

As sucessões que têm por limite um número real dizem – se convergente e as que não são convergentes dizem – se divergentes

Exemplo: 31. Dada a sucessão de termo geral u n  lim u n 

4n  1 . Provar a partir da definição que 3n  1

4 . 3

Resolução:

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 70

lim u n 

4 4    0 p  IN : n  p  u n   3 3

Seja  um número positivo qualquer un 

4 4n  1 4 12n  3  12n  4 1 1            3 3n  1 3 9n  3 9n  3 9n  3

Como 9n  3  0 , então,  1  9n  3  9n  3  1  n  

3  1 1  3 n . 9 9

Assim, podemos escrever n

1  3 4n  4    9 3n  1 3

e, consequentemente, sendo p um número natural maior ou igual a

1  3 , é 9

verdadeira a proposição   0 p  IN : n  p  u n 

4  . 3

2.8.2 Propriedades dos limites i)

Limite de uma soma: Se a n  e bn  são duas sucessões convergente, então a sucessão a n  bn  é também convergente e lim an  bn   lim an  lim bn . n

ii)

n

n

Limite de uma diferença: Se a n  e bn  são duas sucessões convergente, então a sucessão a n  bn  é também convergente e lim an  bn   lim an  lim bn . n

iii)

n

n

Limite de um produto: Se a n  e bn  são duas sucessões convergente, então lim an .bn   lim an . lim bn . n

iv)

n

n

Limite de um quociente: Se a n  e bn  são duas sucessões convergente, tais que lim an  a e lim bn  b , então n

n 

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 71

an a a n lim  n  , b  0 . n  b lim bn b n

lim

n 

Limite de uma potência: Se a n  é uma sucessão convergente e p um número

v)

p

natural, an é uma sucessão convergente, sendo





lim a n  lim a n . p

n 

vi)

p

n 

Limite de uma raiz: Sendo p um número natural e convergente de termos não negativos, então

p

a n 

uma sucessão

an é convergente, e

lim p a n   p lim a n  . n   n  

O efeito destas propriedades pode – se concluir o seguinte: a .   , a  0 a  0, a    a  , a  0 0

  , a   a

a    , a  

 p  , p

p0

  , a  0

2.8.3 Indeterminações – Cálculo de Limites No acto do cálculo de limites é frequente encontrarmos expressões da forma  0 ; 0 . ;   ; ; 1  0

que se chamam indeterminações. Para estes casos aplicaremos um processo chamado levantamento de indeterminações baseado nas propriedades envolvendo sucessões convergente assim como sucessões divergentes.

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 72

i)

Indeterminações do tipo

 : 

Exemplos: Calcule os seguintes limites:

2n 2  n  7 n  5n 2  3n  8

32. lim

Resolução: Como 1 7  2n 2  n  7  2n 2 1   2  2n 2n

 , 

então,





 

1 7   lim 2n 2  n  7  lim 2n 2 . lim 1   2    . 1   . n  n  n   2n 2n 

E do mesmo modo, 3 8   5n 2  3n  8  5n 2 1   2 ,  5n 5n 

então,





 

3 8   lim 5n 2  3n  8  lim 5n 2 . lim 1   2    . 1   . n  n  n   5n 5n 

Estamos em presença de uma indeterminação do tipo

 . Não é possível utilizar o 

teorema do limite do quociente, mas é possível calcular o limite mediante uma pequena transformação. Assim, teremos;

1 7  1 7    2 n 2 1   2 2 1   2 2n  n  7  2n 2n   lim  2n 2n   lim 2  lim n  5n  3n  8 n  3 8  n   3 8   5n 2 1   2 5 1   2  5n 5n   5n 5n  2

Agora, o denominador já tem limite diferente de zero e o numerador tem limite.

Então, Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 73

1 7  1 7    2 n 2 1   2 lim 2 . lim 1   2 n   n    2n 2n   lim  2n 2n   3 . 1  0  0  3 .  3 8  n  3 8  5 . 1  0  0 5   5n 2 1   2 lim 5 . lim 1   2 n  n   5n 5n   5n 5n  Calcular este limite é o que se chama levantar a indeterminação.

4n 3  3n 2  5n  2 33. lim n 3n 2  n  5 Resolução:

4n 3  3n 2  5n  2   . Indeterminação. n   3n 2  n  5

lim

As indeterminações deste tipo pode – se levantar por outro processo: divide – se o numerador e o denominador pela mesma potência de n . Assim, por exemplo, dividido por n 2 . 4n 3 3n 2 5n 2 5 2  2  2  2 4n  3   2 3 2 2 4n  3n  5n  2 n n    3  0  0      n n n  lim lim  lim n 2 2 n  n  n  1 5 300 3 3n  n  5 3n n 5 3  2  2  2 2 n n n n n

34. lim

n 

4n 2  1 n3

Resolução: É também uma indeterminação do tipo

 . Para levantar a indeterminação vamos 

dividir previamente o numerador e o denominador por n .

4n  1 n  lim n  n3 n 2

lim

n 

4n 2  1  lim n  n3

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

1   1 n2  4  2  4 2 1 n   n 4 2 n 40 n n n  lim  lim   2. n  n  3 3 3 1 0 1 1 1 n n n

Página 74

Indeterminações do tipo 0 . 

ii)

Este caso reduz – se ao anterior. Com efeito, se u n  0 e v n   , u n . v n 

como

v 1 . vn  n e 1 1 un un

 1   , ficaríamos reduzidos a uma indeterminação do tipo .  un

Exemplos: Calcule:  3  35. lim  2 . 2n  3 n  n  1  

Resolução: Como lim

n 

3 3  0 n 1   2

e lim 2n  3   n

Estamos perante de uma indeterminação do tipo 0 .  . Efectuando inicialmente a multiplicação, passa – se para uma indeterminação do tipo

 . Com efeito, 

6n  9     3  lim  2 . 2n  3  lim 2  n  n  1   n n  1   

6 9  n2   2  6n  9  3  n n   00  0 lim  2 . 2n  3  lim 2  lim . n  n  1 n  n  1 n  1  1 0   2  n 1  2   n 

  1n  36. lim  . 3n  2 n   n 

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 75

Resolução: É também uma indeterminação do tipo 0 .  que se reduz a uma indeterminação d tipo  . 

Na verdade, n n   1n    1 . 3n  2 .  1  lim  . 3n  2  lim   n  n  n   n  n n n    1n    1 . 3n  2 .  1 2  1  n  1n . 3 . lim  . 3n  2  lim  lim  1 . 3    lim n  n   n   n   n n   n  





Esta sucessão não tem limite.

iii)

Indeterminações do tipo

0 0

Este tipo de indeterminação também se reduz a indeterminação do tipo

 . Com efeito, 

1 u v 1 1 se u n  0 e v n  0 e n  n , atendendo que  e   , teríamos uma 1 vn un vn un indeterminação do tipo

 . 

Exemplos: 37. Sendo dado u n 

u 5 3 e vn  2 , calcule o lim n . n   2n  1 vn n 1

Resolução:

un 0 somos conduzidos a uma indeterminação do tipo , visto n  v 0 n

Para calcularmos o lim que u n 

5 3 e vn  2 são infinitésimos por serem inversos de infinitamente 2n  1 n 1

grandes. Então, Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 76

5 1  lim 5 . lim  5.0  0 n  2n  1 n  n  2n  1

lim u n  lim n 

e 3 1  lim 3 . lim 2  3.0  0 n  n  1 n  n  n  1

lim v n  lim n 

2

Para levantar a indeterminação efectuam – se inicialmente as operações. Assim, teremos,

5  5 n2  1 5n 2  5      lim lim 2n  1  lim  .  n  n  2n  1 3 3  n 6n  3     n2 1 e, dividindo os dois termos por n , teremos,

5 lim  5n  5    n  5n  5 n  n lim  lim    . n  6n  3 n  3 3  6 lim  6   n  n n  2

5n 

5 38. lim n  n n  2 1  2n 2

Resolução: Como

2 5  0 , trata – se de indeterminação do tipo, trata – se de uma 0 e 1  2n n n 2

indeterminação do tipo indeterminação do tipo

 

0 . Se efectuarmos as operações, reduzimo – lá a 0

. Isto é,

5 5 1  2n 5  10n   lim n  n  lim 2 .  lim 2   n  n  n  n n  2n  2 n 2 2   1  2n 2

Dividindo ambos os termos por n 2 teremos,

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 77

5 10n 5 10 lim  5  10     2  2 2 n  n 2 5  10n n  00  n n n n lim 2  lim  lim    0. n  2n  2n n  2n 2 2 2 20 2n n   2 lim  2    2 n  n n n2 n 

Indeterminações do tipo   

iv)

Vejamos o exemplo típico.

39. lim

n

n

2

 2n  n



Resolução:

n 2  2n   e n   , então estamos perante uma indeterminação do tipo

Como

   . Antes vamos transformar a expressão noutra equivalente, multiplicando e

dividindo por

n



 2n  n , isto é,

2

lim

n 

n

2



 2n  n  lim

n

2

 2n  n

n 

 n

2

 2n  n

n 2  2n  n



No numerador temos uma diferença de quadrados e, portanto, vem

lim

n 

n

2



 2n  n  lim

Como 2n   e

n

n

2

 2n  n

n 

2

 n

2

 2n  n

n 2  2n  n

  lim n n 

2

 2n  n 2

n 2  2n  n

 lim

n 

2n n 2  2n  n



   2n  n   , passamos a ter uma indeterminação do tipo   .  

Levantamos a indeterminação utilizando as transformações já conhecidas nas indeterminações deste tipo.

 lim

n 

2n  2 n 2 1    n  n

 lim

n 

2n n 1

2 n n

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

 lim

n 

2n   2 n  1   1 n  

 lim

n 

2 1

2 1 n



2 1 0 1



2 1 2

Página 78

2.8.4 Teorema do Limite da Média Aritmética Se u n  é uma sucessão tal que u n  a , com a  , a   ou a   , então

u1  u 2  u3    u n  a. n Corolário: Sendo u n  uma sucessão. Se u n1  u n   a então,

un  a. n

Exemplo: 40. lim

ln n  0. n

2.8.5 Teorema do Limite da Média Geométrica Se u n  é uma sucessão de número reais não negativos e u n  a , com a   ou a   , então n

u1 u 2 u3 u n  a .

Corolário: Sendo u n  uma sucessão. Se

u n 1  a então, un

n

un  a .

Exemplo: 41. lim n a  1 .

2.8.6 Classificação das sucessões quanto a existência e natureza do Limite Todas sucessões que têm por limite um número real dizem – se convergente e as que não são convergentes dizem – se divergentes. As que não são convergentes podem ser propriamente divergente, isto é, quando a n  ; a n   ou oscilantes a n   ou

an   1 por exemplo. n

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Página 79

2.8.7 Valor Presente e valor futuro O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transacções financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Observe o gráfico abaixo:

Chamamos de: VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas. VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO Na fórmula M  P.1  i  , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = n

present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value). Então essa fórmula pode ser escrita como FV  PV 1  i  . Isolando PV na fórmula n

temos: PV 

FV

1  i n

Exemplo: 42. Quanto terá a empresa McGany, daqui a 12 meses se aplicar 1.500,00 usd a 2% ao mês? Resolução: FV  PV 1  i 

n

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

FV  1500. 1  0,02   1902,36 usd . 12

Página 80

2.9

Exercícios Propostos

Sucessões Numéricas 1. Determine o segundo, oitavo, decimo sexto e vigéssimo quinto termo da sucessão dada pelo termo geral: a) a n 

3 n . n

b) bn 

n2 . 2n  1

2. A sucessão a n  está definida pelo seu termo geral a n 

4 2n  1  . Averigue se a 3 3n

sucessão é crescente.

3. Considere a sucessão de termo geral a n 

5  2n . Mostre que a sucessão é 5n

monótona crescente. 4. Dados a5  27 e r  2 , calcule o primeiro termo.

5. Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, calcule a posição ocupada pelo elemento -13. 6. O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Calcule o vigésimo termo. 7. Calcule o número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o primeiro termo é 4 e o último termo é 58. 8. Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7 , calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA. 9. Dada uma sucessão de termo geral definida por a n 

5n  1 , calcule a soma dos 2

10 primeiros termos. Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 81

10. Quantos termos devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23? 11. Interpolando 10 meios aritméticos entre 5 e 38, determine a razão da PA.

12. Calcule

o

único

valor

de

x

que

verifica

a

equação

x  2  x  5  x  8    x  47  424 . 13. O Banco Internacional de Moçambique financiou um lançamento imobiliário nas seguintes condições: em Janeiro, aprovou crédito para 236 pessoas, em Fevereiro para 211 , em Março para 186 e assim por diante. Quantas pessoas tiveram seu crédito aprovado em Junho.

14. O Instituto Superior Politecnico de Tete, através da Divisão de Economia e Gestão (DEG) matriculou para o curso de Licenciatura em Contabilidade, no novo ingresso, em 2013, 40 estudantes, em 2014, 50 estudantes e em 2015, 60 estudantes. Determine a razão da sucessão de novos estudantes do DEG no curso de Licenciatura em Contabilidade.

15. Numa cerimónia de formatura no ISPT, os formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar um triângulo, com 1 formando na primeira fila, 3 na segunda, 5 na terceira e assim sucessivamente constituindo uma PA. Determine o número de formandos presentes na cerimónia. 16. Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. Calcule o número de metros que ele correu no último dia.

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Página 82

17. Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo igual a 4 e a razão igual a 3. Determine o 13º termo dessa PG. 18. Numa PG a1  a 2  3 e a 4  a5  24 , a razão da PG. 19. Considerando os dados do número anterior, determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG. 20. A Ashley Cândido e Kayllan Cândido registraram os gastos mensais com supermercado RECHEIO durante o ano 2013. Os valores foram os seguintes: Janeiro, 298.00, Fevereiro, 447.00, Março, 670.50, Abril, 1005.75 e Maio 1508.625. Calcule o gasto anual da Ashley Cândido e Kayllan Cândido, considerando que em todos os meses o índice inflacionário foi constante.

21. Na empresa Ashley Cândido, o aumento salarial é feito da seguinte maneira: no fim do primero ano de trabalho aumenta – se 400 meticais, no fim do segundo ano, 600, no fim do terceiro ano, 900, assim sucessivamente segundo uma PG. a) Determine a razão da progressão. b) Determine o aumento salarial no fim do décimo ano. c) Determine o termo geral da sucessão. 22. Sabendo que a sequência 4 x, 2 x  1, x  1 é uma PG, determine: a) O valor de x . b) A razão da PG.

Limite de uma Sucessão 23. Calcule os seguintes limites: a) lim

n 

n 3  7 n  11 5n 3  2 n  7

.

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Página 83

b) lim

n 

c) lim

n 

6 n 4  n 2  5n n 3  3n  15

.

9n 2  2  n . 3n  8

 3 3  .  n  2  . d) lim  2 n  2n  1 5  

e) lim

n

n

2



 2n  n .

1   f) lim 1  2  n   n  1

3 n 2 3

.

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Página 84

CAPÍTULO III: LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÃO

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 85

CAPÍTULO III: LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÃO … a Matemática é alimentada por sonhadores do mesmo modo que ela os alimenta. D‘Arcy W. Thompson (1940)

3.1 Noção de função (domínio e contradomínio) Dados dois conjuntos quaisquer A e B , chama – se aplicação (função) de A em B a toda a correspondência que a cada elemento de A associa um e só um elemento de B .

Se designarmos a aplicação por f

e por x e y , respectivamente, as variáveis

representativas dos elementos de A e de B , escreve – se: f : AB x  y  f x 

3.1.1 Domínio de Existência O conjunto de valores de x , para os quais dada função é determinada, chama – se campo de existência ou campo de definição ou domínio de existência desta função.

Exemplo: 1. Determinar o campo de existência da função y 

1 x2 1

.

Resolução: A função será definida, se x 2  1  0 , isto é, se x  1 . Desta forma, o campo de existência da função é o conjunto de dois intervalos:    x  1 e 1  x   . 3.1.2 Contradomínio Numa aplicação f de A em B há sempre a considerar três conjuntos: i)

Domínio da função: o conjunto A e representa – se Df .

ii)

Conjunto de chegada: o conjunto B .

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Página 86

iii)

Contra domínio da função: o conjunto das imagens que se representa por D ' f ou Im f .

Sendo C um subconjunto de D , ao conjunto das imagens de C dá – se o nome de transformado de C e representa – se por f C  . Pode assim definir – se contradomínio de uma função como transformado do domínio da função: f Df   D ' f .

3.2 Funções Algébricas Nas funções algébricas o argumento x e a função y estão relacionadas entre si por uma equação algébrica da forma

k

a x i 1

n

i

y m  0 , por exemplo; xy 3  7 xy  x 3  1  0 . Se é

possível resolver tal equação algebricamente em relação a y , então temos um seguintes tipos mais simples de funções algébricas: i)

A função inteira (polinomial): com a variável x apenas se efectuam as adições, subtracções e multiplicações: y  a 0 x n  a1 x n 1    a n .

Exemplos: 2. Funções algébricas polinomiais a)

y  a (função constante);

b) y  ax  b (função linear); c)

ii)

y  ax 2  bx  c (função quadrática)

A função fraccionária (racional): com a variável x se efectuam as adições, subtracções, multiplicações e divisões. Uma função fraccionária pode ser sempre representada na forma de relação de duas funções inteiras: y

a0 x n  a1 x n 1    a n . b0 x m  b1 x m 1    bn

Exemplos: 3. Funções algébricas racionais Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 87

a) y 

ax  b . cx  d

b) y 

3x  2 x2

iii)

A função irracional: além das operações de adição, subtracção, multiplicação e divisão, efectua – se a extracção da raiz. Exemplos:

4. Funções algébricas irracionais a)

y

x4;

b) y  5 x  2 ; c) y  x .

3.3 Funções Transcendentes Funções transcendentes são aquelas nas quais o argumento e a função não podem ser relacionadas por uma dependência algébrica do tipo

k

a x i 1

i

n

y m  0 . As funções

transcendentes mais simples são: i)

As funções exponenciais: são aquelas em que a variável x ou sua função algébrica estão no expoente da potência. Exemplos:

5. Funções transcendentes (funções exponenciais) a) y  e x b) y  a x c) y  23x

2

5 x

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Página 88

ii)

As funções logarítmicas: são aquelas em que a variável x ou a sua função algébrica estão sob o símbolo do logaritmo. Exemplos:

6. Funções transcendentes (funções logarítmicas) a) y  ln x b) y  lg x c) y  log 25 x iii)

2

3 x



As funções trigonométricas: são aquelas em que a variável x ou sua função algébrica estão no símbolo de sen , cos , tg , cot g , sec , e cos ec .

Exemplos: 7. Funções transcendentes (funções trigonométricas) a) y  sen x ; b) y  cos 2 x  3 c) y  tg

iv)

x

As funções trigonométricas inversas: são aquelas em que a variável x ou sua função algébrica estão no símbolo de arcsen , arccos, etc. Exemplos:

8. Funções transcendentes (funções trigonométricas inversas) a) y  arcsen x b) y  arccos 1  x

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Página 89

3.4. Limites de uma Função 3.4.1 Limite de uma função num ponto; Seja f uma função real de variável real, e a um ponto de acumulação do seu domínio. Diz – se que f  x  tende para b quando x tende para a e escreve – se: lim f x   b x a

sse a toda a sucessão de valores de x do domínio de f tendente para a (sendo esses valores de a ) corresponde uma sucessão de valores de f  x  tendente para b . Isto é, lim f x   b  xn , xn  a  xn  D f /a, n  N   f xn   b x a

Exemplos: 9. Mostrar a partir da definição que lim

x2

3x 6  . x 1 5 2

Resolução: Seja  x n  uma qualquer sucessão de valores de x convergente para 2 por valores diferentes de 2 x1 , x 2 , , x n ,   2

a que corresponde a sucessão de valores da função

3x 3x1 3x , 2 2 , , 2 n ,  2 x1  1 x 2  1 xn  1 Ora, lim

3xn xn  1 2



3 lim x n

lim

xn   1 2

Como x n  2 , então: lim

3xn xn  1 2



3 lim x n

lim

xn   1 2



3.2 6  . 2 2 1 5

10. Considerada a função real, de variável real, definida por

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 90

2 x  3 se x  1 y 2  x  1 se x  1 Investigue se existe lim y . x  1

Resolução: Sendo  x n  uma sucessão tendente para  1 , pode acontecer que: Todos os termos de  x n  sejam maiores do que  1 ; então, os correspondentes valores da função são dados pela expressão 2 x  3 , isto é, yxn   2 xn  3

e como lim x n  1,

yxn   1

Todos os termos de  x n  sejam menores do que  1 , os correspondentes valores de y dados pela expressão x 2  1 , isto é,

y  xn    x n   1 2

e como xn  1,

yxn   2

o que nos permite desde já afirmar que não é verdade que para todas as sucessões de D y / 1 convergentes para  1 , as correspondentes sucessões de valores da função tendem para o mesmo limite. Podemos então concluir que não existe lim y . x 1

3.4.2 Limites Laterais Seja f uma função real de variável real, e a um ponto de acumulação do seu domínio. Definição 1: diz – se que b é o limite de f  x  à esquerda de a e escreve – se lim f x   b x a

ou f a    b , sse a toda a sucessão de valores de x tendente para a (sendo todos esses valores maiores do que a ) corresponde uma sucessão de valores de y tendente para b .

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Página 91

Definição 2: diz – se que b é o limite de f  x  à direita de a e escreve – se lim f x   b ou x a

 

f a   b , sse a toda a sucessão de valores de x tendente para a (sendo todos esses

valores menores do que a ) corresponde uma sucessão de valores de y tendente para b . Se existirem os limites laterais de uma função num ponto, o limite da função nesse ponto existe se e só se os limites laterais forem iguais. lim f x   b  x a

lim f x   b 

x a 

lim f x   b

x a 

Exemplo:  2 x 2  5; x  2  11. Calcula lim f x  se f x   0; x0 x2  x  5; x2 

Resolução: Para calcularmos o lim f x  , primeiro devemos calcular os limites laterais (à esquerda e x2

à direita): lim f x   lim x  5  2  5  3 (limite lateral à esquerda)

x 2

x 2

lim f x   lim  2 x 2  5  2.2 2  5  8  5  3 (limite lateral à direita)

x 2 

x 2

Como os limites laterais existem e são iguais, isto é, lim f x   lim f x   3 , então x 2

x 2

existe lim f x  e o valor deste limite é igual ao valor comum dos limites laterais. Logo x2

lim f x   3 . x 2

12. Achar os limites laterais à direita e à esquerda da função f  x   arctg

1 quando x

x  0.

Resolução: Temos: Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 92

1   lim f x   lim  arctg   . (limite lateral à direita) x 0  x 2

x 0 

e 1   lim f x   lim  arctg    (limite lateral à esquerda) x 0 x 0  x 2

Como os limites laterais são diferentes, então o limite da função f  x   arctg

1 , quando x

x  0 não existe.

3.4.3 Propriedades dos Limites i.

Limite de uma Constante: O limite de uma constante é a própria constante.

 f x  c,

ii.

x  D f



 lim f x   c x a

Limite de uma Soma: Se f  x  e g x  tendem para limites finitos quando x tende para a , então. lim  f x   g x   lim f x   lim g x  x a

iii.

x a

x a

Limite de um produto: Se lim f x   b e lim g x   c , então: x a

x a

lim  f x  g x   b . c x a

iv.

Limite de um quociente: Se lim f x   b e lim g x   c , em que b, c   e c  0 então: x a

x a

lim

x a

v.

f x  b  g x  c

Limite de uma raiz: Se lim f x   b e p  N , então: x a

lim

xa

p

f x   b p

Admitindo, no caso de p ser par, que f  x   0, x  D f . Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 93

vi.

Limite de uma Potência: Se lim f x   b e p  N , então: x a





lim  f x   lim f x   b p . p

x a

p

x a

Exemplos: 13. Utilizar as propriedades dos limites no cálculo de:





a) lim 4 x 2  3x  1 x 1

Resolução: Para resolver este limite vamos aplicar a propriedade da soma:

lim 4 x 2  3x  1  lim 4 x 2  lim 3x  lim 1  4 lim x 2  3 lim x  lim 1  4.1  3.1  1  8 . x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

x2  3 b) lim x 0 x  1 Resolução: Para resolver este limite vamos aplicar a propriedade do quociente e depois as propriedades da soma e da diferença:





x 2  3 lim x 2  lim 3 0  3 x 2  3 lim x 0 x 0 lim   x0   3 . x 0 x  1 lim x  1 lim x  lim 1 0  1 x 0

x 0

x 0

c) lim 3 x  1 x 3

Resolução: Para este exercício, usamos a propriedade da raiz: lim 3 x  1  3 lim  x  1  3 lim x  lim 1  3 3  1  3 4 x 3

x 3

x 3

x 3

3.4.4 Indeterminações Nos casos em que, por aplicação directa das propriedades sobre limites, somos conduzidos aos símbolos:

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 94

  ; 0 . ;

0  e , 0 

a que se chama símbolos de indeterminação, temos de seguir outro caminho para procurar, se existir o limite, isto é, “levantar a indeterminação”.

0 Indeterminação do tipo   0

i)

0 Aplicando directamente a propriedade do limite do quociente, somos conduzidos a   0

, o que mostra que ambos os termos da fracção. Então o numerador e o denominador são divisíveis pelo número na qual a variável tende.

Normalmente, consegue – se levantar a indeterminação simplificando a fracção ou achando o conjugado quer do numerador ou denominador ou ambos.

E em caso de envolver radicais de índice diferente somos obrigado a recorrer na troca de variável de modo a obtermos o mesmo índice nos radicais. Exemplos: 14. Calcula os seguintes limites: a) lim

x 1

x 3  3x 2  4 x  2 x 2  3x  2

Resolução: Vamos verificar se existe uma indeterminação ou é um limite direito mediante a aplicação direita da propriedade do quociente:

lim

x 1

x 3  3x 2  4 x  2 13  3.12  4.1  2 0   0 x 2  3x  2 12  3.1  2

0 Tem indeterminação do tipo   . Levantamos a indeterminação factorizando o 0

numerador e denominador pela regra de Ruffini: Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 95





 x  1 x 2  2 x  2 x 3  3x 2  4 x  2 x 2  2 x  2 12  2.1  2 1 lim  lim  lim    1 2 x 1 x  1 x  1 x  1 x  2 x2 1 2 1 x  3x  2

b) lim

x 9

x 3 x9

Resolução: 0 Aplicando a propriedade sobre limite obtemos a indeterminação do tipo   , isto é, 0 lim

x 9

x 3 9 3 0   x9 99 0

Vamos levantar a indeterminação mediante ao uso do par conjugado do numerador, isto é, multiplicar ambos os termos da fracção por



 x  3  lim  x   3  lim x  9  lim  x  3 x  9  x  3 x  9  x  3 2

x 3 x 3 lim  lim x 9 x  9 x 9  x  9

c) lim

x  64 3

x  3 . Assim, tem – se:

2

x 9

x 9

x 9

1 x 3



1 9 3

x 8 x 4

Resolução: Aplicando directamente a propriedade sobre os limites obtemos a indeterminação do 0 tipo   , isto é, 0 lim

x 64 3

x 8 x 4



64  8 3

64  4



88 0  44 0

Como o limite envolve radicais de índices diferentes, vamos levantar a indeterminação calculando o m.m.c dos índices de modo a eliminar os radicais no numerador e denominador. Supondo que: x  y6 ,

e, se x  64 

y 6  64  y  6 64

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,



y  2. Página 96



1 6

Então: lim

x 8

x 64 3

 lim

x 4

ii)

y 2 3

y6  8 y6  4

 lim

y 2





 y  2 y 2  2 y  4  lim y 2  2 y  4  2 2  2.2  4  12  3 y3  8  lim y 2 y2 22 4 y 2  4 y 2  y  2  y  2

  Indeterminação do tipo    

Para este tipo de indeterminação, aconselha – se que se evidencie no numerador tanto como no denominador o coeficiente de maior grau e de seguida a respectiva simplificação de modo que permita levantar a indeterminação.

Podemos destacar três casos para limite com indeterminação deste tipo: Limite em que o grau do numerador é igual ao grau do denominador: o limite é igual ao quociente dos coeficientes dos termos do maior grau. Por exemplo: ax 2  bx  c ax 2 a  lim  ; x   dx 2  ex  f x   dx 2 d lim

Limite em que o grau do numerador é maior do que o grau do denominador: o limite é ax 4  bx  c   ; x   dx 2  ex  f

sempre igual ao infinito. Por exemplo: lim

Limite em que o grau do numerador é menor do que o grau do denominador: o limite é ax 4  bx  c  0. sempre igual a zero. Por exemplo: lim x   dx 5  ex 3  f

Exemplos: 15. Calcule os seguintes limites:

3x 4  2 x  2 x  x 4  3x 3  3

a) lim

Resolução: Aplicando directamente a propriedade sobre o limite, obtemos a indeterminação do   tipo   , isto é,   Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 97

3x 4  2 x  2 3. 4  2  2   4  x  x 4  3x 3  3   3 3  3 

lim

Vamos levantar a indeterminação, colocando em evidencia o coeficiente de maior grau no numerador e assim como no denominador:

2 2   2 2 x4 3  3  4  3 3  4 3x  2 x  2 x x  x x  3 0  0  3; lim 4  lim   lim x  x  3 x 3  3 x  x   3 3 1 0  0  3 3 1  3 x 4 1   3  x x  x x  4

Ou, verificando que o grau do numerador é igual ao grau do denominador, resolvemos o limite em função do quociente do coeficiente dos termos do maior grau:

3x 4  2 x  2 3x 4 3  lim   3 4 3 4 x  x  3x  3 x  x 1

lim

x2  x 1 x  4 x 5  x 2

b) lim

Resolução: Aplicando directamente a propriedade sobre o limite, obtemos a indeterminação do   tipo   , isto é,  

x2  x 1 2   1    x  4 x 5  x 2 4 5   2 

lim

Vamos levantar a indeterminação, colocando em evidência o coeficiente de maior grau no numerador e assim como no denominador:

 1 1  1 1 x 2 1   2  1  2 x  x 1 x x   lim x x  1 0  0   ; lim  lim  5 2 x  4 x  x x  x  1  1  1  0   x5  4  3  x3  4  3  x  x    2

Ou, verificando que o grau do numerador é menor do que grau do denominador, resolvemos o limite em função do quociente do coeficiente dos termos do maior grau:

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 98

x2  x 1 x2 1 1  lim  lim 3   0 5 2 5 x  4 x  x x  4 x x  x 

lim

5x 3  3 x  4 x  3

c) lim

Resolução: Aplicando directamente a propriedade sobre o limite, obtemos a indeterminação do   tipo   , isto é,  

5 x 3  3 5 3  3    x  4 x  3 4  3 

lim

Vamos levantar a indeterminação, colocando em evidência o coeficiente de maior grau no numerador e assim como no denominador:

 x3 5  5x  3 lim  lim  x  4 x  3 x   x 4   3

3 3  x2 5  3  3  x  x   lim   ; x  3 3   4   x x 

Ou, como o grau do numerador é menor do que grau do denominador, resolvemos o limite em função do quociente do coeficiente dos termos do maior grau:

5x 3  3 5x 3 5x 2  lim  lim  x  4 x  3 x  4 x x  4

lim

iii)

Indeterminação do tipo 0 * 

Este tipo de indeterminação, leva – nos a dois casos: Se lim f x   0 e lim g x    , então lim  f x  . g x   lim x a

x a

x a

x a

f x  . Assim, nos 1 g x 

1 0 conduz a uma indeterminação do tipo   , visto que lim 0. x  a g x  0

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 99

E se lim f x    e lim g x   0 , então lim  f x  . g x   lim x a

x a

x a

x a

f x  . Assim, nos 1 g x 

  conduz a uma indeterminação do tipo   .  

Exemplos:

 x 2  4 3x  1  16. Calcular lim  . x 2 x  22   x Resolução: Como

lim

x 2

x2  4 3x  1  0 e lim  , x 2  x  2 2 x

ao calcular – se o limite, aplicando directamente as propriedades, somos conduzidos a uma indeterminação do tipo 0.  . Mas se efectuarmos a multiplicação indicada, teremos:





 x 2  4 3x  1  x 2  4 3x  1 lim  .  lim x 2 x  22  x2 x x  22  x Como agora o numerador e o denominador tendem simultaneamente para zero, 0 estamos perante a uma indeterminação do tipo   e, então, vem sucessivamente: 0





 x 2  4 3x  1  x  2 x  2 3x  1  lim x  2 3x  1  4.7   x 2  4 3x  1 lim  .  lim  lim  2 2 x 2 x 2 x 2 x  x  2 x  2 x  x  2 2.0  x  2   x 2 x  x  2   x

iv)

Indeterminação do tipo   

Para este tipo de indeterminação, deparamo – nos com duas situações: Quando a expressão algébrica da função é uma função polinomial; Quando a expressão algébrica da função é expressão irracional.

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 100

Exemplos: 17. Calcular os seguintes limites:



a) lim 5 x 4  4 x 2  8 x 



Resolução: Aplicando directamente as propriedades sobre os limites, somos conduzidos a uma indeterminação do tipo    , isto é,

lim 5 x 4  4 x 2  8  5. 4  4. 2  8     x 

Como a expressão algébrica da função é uma função polinomial, então, vamos levantar a indeterminação colocando em evidência a mais alta potência de x :   4 8 lim 5 x 4  4 x 2  8  lim  x 4 1  2  4 x  x  x x  



b) lim

x 





x  x 1

 4     1  0  0   . 



Resolução: Aplicando directamente as propriedades sobre os limites, somos conduzidos a uma indeterminação do tipo    , isto é, lim

x 





x  x 1     1    

Vamos agora levantar a indeterminação, com ajuda da multiplicação e divisão da expressão pelo conjugado desta.

lim

x 



 lim

x 

x

 x  1  lim

x  x 1 x  x 1

x  x 1

x 

x  x 1

x  x 1

x 

 lim



1 x  x 1



  lim  x    2

x 

1    1

x 1



2

x  x 1

 lim

x 

x  x  1 x  x 1



 0.

3.4.5 Limite notável (Trigonométrico, exponencial e Logarítmico) 3.4.5.1 Limite notável Trigonométrico Chama – se limite notável trigonométrico ao limite do tipo lim

x 0

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

sen x  1. x Página 101

Exemplos: 18. Mostrar que lim

x 0

tg x 1 x

Resolução: Aplicando directamente as propriedades sobre os limites, somos conduzidos a uma 0 indeterminação do tipo   , isto é, 0 lim

x 0

tg x tg 0 0   x 0 0

Vamos levantar a indeterminação, recorrendo a relação tg x 

sen x . Assim teremos: cos x

sen x tg x cos x sen x sen x 1 1 lim  lim  lim  lim .  1.  1.1  1 x 0 x x 0 x 0 x cos x x 0 x x cos x cos 0

19. Mostrar que lim

ak

sen k  a  1 k a

Resolução: Aplicando as propriedades sobre os limites, somos conduzidos a uma indeterminação 0 do tipo   , isto é, 0 lim

ak

sen k  a  sen k  k  sen 0 0    k a k k 0 0

Para mostrarmos a igualdade, temos que levantar a indeterminação, começando por supor que: x  k a

Como a  k  x  0 . Deste modo, tem – se: lim

ak

sen k  a  sen x  lim 1 x 0 k a x

Assim, mostramos que

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 102

lim

ak

sen k  a   1. k a

3.4.5.2 Limite Notável Exponencial Chama – se limite notável exponencial ao limite do tipo:

lim 1  x  x  e 1

x 0

ex 1 1 x 0 x

lim

 

O limite notável lim 1  x  x sugere – nos a mais um tipo de indeterminação 1 . Para 1

x 0

levantar este tipo de indeterminação, usa – se geralmente o seguinte teorema:

Teorema:

f x 

“Sejam

lim  f x 

g x

x a

g x 

e

lim  f  x 1 g  x 

 e x a

duas funções tais que

lim f x   1

e

x a

lim g x    , então x a

”.

Exemplos: 20. Calcular os seguintes limites:

3 x a) lim   x   x 

2x

Resolução:

3 x lim   x   x 

2x

3   lim   1 x  x  

2x

3     1  

2.

 1

 

Verifica – se que este limite tem indeterminação do tipo 1 . Vamos levantar a indeterminação, supondo que: t

3 x



x

3 , como x    t  0 t

Deste modo, temos:

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 103

3  lim   1 x  x  

b) lim

x 0

2x

6

6 1    lim t  1 t  lim t  1t   e 6 . t 0 t 0  

ex 1 x

Resolução: Aplicando as propriedades sobre os limites, somos conduzidos a indeterminação do 0 tipo   , isto é, 0

lim

x 0

e x  1 e0  1 0   x 0 0

Vamos levantar a indeterminação, supondo que: e x  1  u  e x  1  u  x  ln 1  u  e se x  0  u  0 ,

Assim temos:

ln 1  u  ex 1 u  lim  lim  lim  x 0 u 0 ln 1  u  x u  u 0 

1

 11  1 .

c) lim cos 2 x  x 2 1

x 0

Resolução: Aplicando directamente as propriedades sobre os limites, somos conduzidos a uma

 

indeterminação do tipo 1 . Vamos levantar a indeterminação: lim cos  2 x 1

lim cos 2 x  x 2  e x 0 1

x 0

1 x

2

lim

 e x 0

cos 2 x  sen 2 x  1 xlim  e 0 x2



 1 cos2 x  sen 2 x x

2



lim

 e x 0

 2 sen 2 x x

2

e

 2 lim

x 0

sen 2 x x2

 e 2 

3.4.5.3 Limite notável logarítmico Chama – se limite notável logarítmico ao limite do tipo: lim

x 0

ln 1  x  1 x

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 104

1 e2

lim

x 1

ln x 1 x 1

Exemplos: 21. Calcule os seguintes limites: a) lim

x 0

ln 1  x  2x

2

Resolução: Aplicando as propriedades sobre os limites, somos conduzidos a indeterminação do 0 tipo   , isto é, 0

ln 1  x  ln 1  0 ln 1 0 lim    x 0 2x 2.0 0 0 2

Vamos levantar a indeterminação: ln 1  x  ln 1  x  2 ln 1  x  lim  lim  lim  1. x 0 x  0 x  0 2x 2x x 2

b) lim

x  4

ln 5  x  4 x

Resolução: Aplicando as propriedades sobre os limites, somos conduzidos a indeterminação do 0 tipo   , isto é, 0

ln 5  x  ln 5  4 ln 1 0 lim    x 4 4 x 44 0 0 2

Vamos levantar a indeterminação supondo que: x  4  t  x  t  4 , e se x  4  t  4  4  t  0 :

Assim temos: lim

x  4

ln 5  x  ln 1  t  ln 5  t  4   lim  lim  1. t 0 t 0 4 x t t

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 105

3.5. Continuidade de Funções 3.5.1 Continuidade de Função num Ponto Definição 1: Seja f uma função real de variável real e a um ponto de acumulação do domínio de f e pertencente a D f . Diz – se que a função f é contínua no ponto a se e só se existir o limite de f quando x tende para a e o valor desse limite coincide com o valor da função no ponto a . Ou seja, existe lim f x  xa f  x  é contínua em a   . f  x   f a  lim xa

Definição 2: Seja f uma função real de variável real e a um ponto de acumulação do domínio de f e pertencente a D f .

Diz – se que a função f é descontínua no ponto a se não é contínua, isto é, não existe o limite da função f quando x tende para a ou esse limite é diferente do valor da função para x  a . Ou seja,

f  x  é descontínua em a 

não existe lim f x  ou lim f x   f a  . x a

x a

Exemplos: 22. Vamos

averiguar

se

função

f

é

contínua

no

ponto

x  1,

sendo

 x  1 se x  1 f x    2 . se x  1 x Resolução: existe lim f x    x 1 x  1 A função f será contínua no ponto , sse  . lim f x   f 1   x1

Procuremos lim f x  . Como à direita e à esquerda de 1 a função está definida por x 1

expressões designatórias diferentes, vamos determinar os limites laterais: Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 106

lim f x   lim x  1  2 (limite à direita)

x 1

x 1

lim f x   lim x 2  1 (limite à esquerda)

x 1

x 1

Como os limites laterais são diferentes, então não existe o lim f x  . Deste modo, a x 1

função f  x  não é contínua no ponto x  1 .

 x 2  1 se x  2  23. Seja g a função definida por g  x   1 se x  2 . Averiguar se g é  x  5 se x  2 

contínua no ponto x  2 . Resolução: existe lim g x    x  2 A função g será contínua no ponto x  2 , sse  .     lim g x  g  2   x2

Procuremos lim g x  . Como à direita e à esquerda de  2 a função está definida por x 2

expressões designatórias diferentes, vamos determinar os limites laterais:

lim g x   lim  x 2  1  3 (limite à direita)

x 2 

x 2

lim g x   lim  x  5  3 (limite à esquerda)

x 2

x 2

Como os limites laterais são iguais, isto é, lim  g x   lim  g x   3 , então o lim g x   3 . x 2

x 2

x 2

Agora vamos calcular g  2 :

g  2  1 Então, lim g x   g  2 e a função g x  não é contínua no ponto x  2 . x 2

 x 3  5x  2 se x  0  h   24. A função está definida em , por h x   . Estudar a se x  0 x  2 sua continuidade no ponto x  0 . Resolução:

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Página 107

A função h é contínua no ponto x  0 se existir lim h x  e lim h x   h 0 . Procuremos x 0

x 0

lim hx  . Como à direita e à esquerda de 0 a função está definida por expressões x 0

designatórias diferentes, vamos determinar os limites laterais:

lim hx   lim x 3  5 x  2  2 (limite à direita)

x 0 

x 0

lim hx   lim x  2  2 (limite à esquerda)

x 0

x 0

Como os limites laterais são iguais, isto é, lim hx   lim hx   0 , então o lim hx   2 . x 0

x 0

x 0

Agora vamos calcular h0 : h0  0 3  5.0  2  2

Logo, como lim hx   h0  2 , a função hx  é contínua no ponto x  0 . x 0

3.5.2 Continuidade à direita e continuidade à esquerda num ponto de domínio Definição 3: Sendo a  D f , a ponto de acumulação de D f , diz – se que a função f é contínua à direita de a sse lim f x   f a  .

x a 

Definição 4: Sendo a  D f , a ponto de acumulação de D f , diz – se que a função f é contínua à esquerda de a sse lim f x   f a  .

x a 

Exemplos:  x  1 se x  2 25. Seja f a função definida em  , por f  x    . se x  2 x

Resolução: Esta função não é contínua no ponto x  2 , pois não existe lim f x  , visto que: x 2

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 108

lim f x   3 e lim f x   2

x 2 

x 2

No entanto, o valor da função para x  2 é igual à direita de 2 : lim f x   f 2  3 .

x 2 

Diz – se por isso que a função é contínua à direita de 2 .

x 2 26. Seja f a função definida em  , por f x    x  1

se x  0 . se x  0

Resolução: Esta função é descontínua no ponto x  0 , pois não existe lim f x  , visto que: x 0

lim f x   0 e lim f x   1

x 0 

x 0

No entanto, o valor da função para x  0 é igual ao valor do limite à esquerda de zero: lim f x   f 0  1

x 0

Diz – se por isso que a função é contínua à esquerda de 0 .

3.5.3 Propriedades das Funções Contínuas i)

Sendo f e g funções contínuas num ponto a pertencente a D f  D g e ponto de acumulação de D f  D g , então:

f  g;

f  g;

f . g;

f g

g a   0,

são funções contínuas no ponto a . ii)

Se p  N e f é uma função contínua no ponto a , também são contínuas em

a as funções f

p

e

p

f (excepto se p for par e f for negativo em qualquer ponto

de domínio).

3.5.4 Continuidade num intervalo Uma função f diz – se contínua num intervalo a, b , (subconjunto do seu domínio) sse for contínua em todos os pontos desse intervalo. Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 109

Uma função f diz – se contínua num intervalo a, b, sse for contínua em

a, b, à direita de a

e à esquerda de b .

Uma função diz – se contínua sse for contínua em todos os pontos do seu domínio. 3.5.5 Classificação dos pontos de descontinuidades A função f  x  é descontínua no ponto a se a condição lim f x   f a  não é x a

satisfeita. Para violar esta condição existem as seguintes possibilidades: i)

 lim f x  , mas lim f x   f a  . (descontinuidade eliminável)

ii)

O lim f x  não existe, mas a função f  x  tem limites laterais finitos no ponto

x a

xa

x a

a , o quer dizer que os limites laterais são diferentes. (descontinuidade de 1ª espécie ou salto de 1ª espécie) iii)

Pelo menos um dos limites laterais são infinitos. (descontinuidade de 2ª espécie ou salto de 2ª espécie)

Exemplo: 27. Estudar

a

continuidade

da

função

f

no

ponto

x  1,

sendo

 x  1 se x  1 f x    2 . Se for descontínua, classifica – a. se x  1 x Resolução: existe lim f x    x 1 A função f será contínua no ponto x  1 , sse  . lim f x   f 1   x1

Procuremos lim f x  . Como à direita e à esquerda de 1 a função está definida por x 1

expressões designatórias diferentes, vamos determinar os limites laterais: lim f x   lim x  1  2 (limite à direita)

x 1

x 1

lim f x   lim x 2  1 (limite à esquerda)

x 1

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

x 1

Página 110

Como os limites laterais são diferentes, então não existe o lim f x  . x 1

Deste modo, a função f  x  é descontínua no ponto x  1 . A função tem um salto da 1ª espécie.

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 111

3.6 Exercícios Propostos 1. Aplicando todo conhecimento de cálculo acerca de limite de função resolva: 2 x3 x 7 x 2 49

a) lim

1 x  1 x x

b) lim

x 0

c) lim

3

h 0

d) lim

x 0

x cos x  senx x3

x 2  2x  6  x 2  2x  6 x 2  4x  3

e) lim

x 3

a) lim

x0

xh 3 x x  0 h

sen 3 x x

sen 5 x x 0 sen 2 x

b) lim

3

x 1

x 1 4

x 1

c) lim

d) lim

n 

n2  n n n

e) lim x 1  2 x x 0

f) lim x ln 1  x   ln x x 

n n 1 g) lim n  1 2 n 9

1  2x  3

h) lim

x 2

x4

3

i) lim

x 0

8  3x  x 2  2 x  x2

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 112

2. Calcule, caso exista, o limite de f  x  quando x tende para 2 , sendo: 5  2 x 2 ;  f x   0;  x  1; 

x2 x2. x2

1  x 2 ; 3. Dado a função g x    3x;

x2 , calcular, se existir: x2

a) lim g x  x 3

b) lim g x  x 1, 9

c) lim g x  x 2

d) lim g x  x 2

4. Ache os pontos de descontinuidade e caracterize - os: a)

f x  

b) f  x  

x

1  x 2

.

1 x . 1  x3

5. Diga se é contínua no seu domínio a função:  x se x  2 f ( x)   3 se x  2 , justifique.

6. Considere a função f , assim definida:  x  1 se f ( x)    x  1 se

x0 x0

, mostre que é descontínua no ponto zero.

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Página 113

CAPÍTULO IV: CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 114

CAPÍTULO IV: CÁLCULO DIFERENCIAL EM R Pensar do cálculo diferencial meramente como uma técnica mais avançada é perder o seu real conteúdo. Nisso, a Matemática torna – se um modo dinâmico de pensamento e isto é, um maior passo mental na ascendência do homem. J. Bronowski.

4.1 Conceito de derivada Chama – se derivada y , 

y dy da função y  f x  no ponto x , o limite da razão , x dx

quando x tende a zero, isto é, y f  x  x   f  x   lim , x  0 x x  0 x

y ,  lim

se este limite existe. Nota: y  f x  x   f x  é o acréscimo da função y e x  x1  x é acréscimo do argumento x .

Exemplo: 1. Achar a derivada da função aplicando a definição: a)

f  x   2x 2

Resolução: Vamos aplicar a fórmula y ,  lim

x  0

y f  x  x   f  x   lim , mas antes temos que  x  0 x x

determinar: f x  x  . Para se determinar f x  x  , devemos trocar a variável x por x  x na função f  x   2x 2 . Assim sendo, teremos: f x  x   2  x  x  e, 2

y f  x  x   f x  2 x  x   2 x 2  0   lim  lim   x 0 x x 0 x 0 x x 0 2

y ,  lim

Vamos levantar a indeterminação: 2x  x   2 x 2 2 x 2  4 xx  2x   2 x 2 4 xx  2x  lim  lim  x 0  x  0  x  x x x x 2

2

y ,  lim

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Página 115

x4 x  2x   lim 4 x  2x   4 x . x  0 x  0 x

 lim

Logo; f , x   4 x .

b) f x   x Resolução: Aplicando a fórmula

x  0

f x  x  (veja

determinar:

f x  x 

y ,  lim

a

y f  x  x   f  x   lim  x  0 x x

, mas antes temos que

resolução

anterior).

do

exemplo

Assim

sendo:

x  x e, y f  x  x   f x  x  x  x  0   lim  lim   x 0 x x 0 x 0 x x 0

y ,  lim

Agora vamos achar o conjugado do numerador e seguidamente levantaremos a indeterminação:

  lim

x  x  x x

x 0

 lim

x 0

x







x  x  x

x  x  x

x x  x  x





 lim

x 0

  lim  x 0



x  x

x

1 x  x  x





   x 2

2

x  x  x



1 x x





 lim

x 0

1 2 x

x



x  x  x x  x  x



.

Logo,

f , x   c)

1 2 x

f x   x 2  2 x

Resolução: Aplicaremos

a

fórmula

y f  x  x   f  x   lim , x  0 x x  0 x

y ,  lim

mas

antes

devemos

determinar: f x  x  . Para se determinar f x  x  , devemos trocar a variável x por x  x na função f x   x 2  2 x . Assim sendo, teremos: f x  x   x  x   2x  x  2

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 116

e,



 



 x  x   2  x  x   x 2  2 x  0  y f x  x   f x  y  lim  lim  lim   x 0 x x 0 x 0 x x 0 ,

2

Vamos levantar a indeterminação:

x  x

2

y ,  lim

x 0

 



 2 x  x   x 2  2 x x 2  2 xx  x   2 x  2x  x 2  2 x  lim  x 0 x x 2

x 2 x  x  2 2 xx  x   2x  lim  lim 2 x  x  2  2 x  2 . x 0 x 0 x 0 x x 2

 lim

Logo, f , x   2 x  2

4.2 Derivadas Laterais Consideram – se derivadas laterais as derivadas da esquerda e da direita da função f  x  no ponto x as expressões: f   x   lim  ,

x 0

y f  x  x   f x   lim   x  0 x x

e

f   x   lim  ,

x 0

y f  x  x   f  x   lim   x  0 x x

E para que exista a derivada da função f  x  é necessário e suficiente, que as derivadas laterais sejam iguais, isto é, f   x   f   x  . ,

,

Exemplo:

 x 2  2; x  1 2. Calcular caso exista a derivada de f  x  no ponto x  1 se  . ; x 1 x Resolução Para calcularmos a derivada de f  x  , primeiro devemos determinar as derivadas laterais e para tal aplicaremos as seguintes fórmulas: f   x   lim  ,

x 0

y f  x  x   f x   lim   x  0 x x

e

f   x   lim  ,

x 0

y f  x  x   f  x   lim   x  0 x x

Comecemos por calcular a derivada da esquerda (a escolha é aleatória em relação a primeira derivada a ser calculada entre esquerda e da direita): Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 117



,

x 0

Vamos levantar a indeterminação:

 x  x

2

y ,  lim  x 0

 



y f  x  x   f  x   x  x   2   x 2  2  0   lim   lim    x 0 x x0 x x 0

f   x   lim 

 



2





 2   x2  2  x 2  2 xx  x   2  x 2  2  lim   x 0 x x 2

x  2 x  x   x 2  2 xx  x   2  x 2  2  2 xx  x   lim   lim   lim   lim   2 x  x   2 x x 0 x 0 x 0 x 0 x x x 2

2

Como pede – se para que se calcule a derivada no ponto x  1 , vamos substituir a variável x por 1 , isto é, f   x   f ' 1 . Assim teremos: f  x   f  1  2.1  2 . '

'

'

' Logo, a derivada da esquerda da função f x    x 2  2 no ponto x  1 é f  1  2

Agora vamos determinar a derivada da direita: f  x   lim  ,

x 0

x  x   x   0  y f x  x   f x   lim   lim   0  x 0 x x0 x x

Vamos levantar a indeterminação: y ,  lim  x 0

x  x   x  x

lim 

x  0

x  x  x x  lim  1 x 0 x x

Como pede – se para que se calcule a derivada no ponto x  1 , e a derivada encontrada é uma constante então: f  x   f  1  1 . '

'

' Logo, a derivada da direita da função f x   x no ponto x  1 é f  1  1

Conclusão: como as derivadas laterais são diferentes, isto é, f   x   f   x  , então não '

'

existe a derivada de f  x  no ponto x  1 .

4.3 Derivada Infinita y f  x  x   f  x   lim   , diz – se que x  0 x x  0 x

Se em um ponto determinado temo, que lim

a função contínua f  x  tem derivada infinita no ponto x .

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 118

Exemplo: 3. Achar f ' 0 para a função f x   3 x . Resolução Vamos aplicar a fórmula f ' x   lim

x 0

y f  x  x   f  x   lim :  x  0 x x

3 y f  x  x   f  x  x  x  3 x  0   lim  lim   x 0 x x 0 x 0 x x 0

f '  x   lim

Vamos levantar a indeterminação, conjugando o numerador:



3

f x   lim ,

x 0

 lim

x 0





x 0

 lim



 

2 3 x  x  3 x  3 x  x   3 x  x 3 x  3 x 2  3 x  x  3 x    lim x 0 2 2 x 3 x  x   3 x  x 3 x  3 x 2  x 3 x  x   3 x  x   

x  x  x x 3 x  x    2

3 x  x 2  



3



3

x  x

1 x  x

 

 x  3

  3



3

x2  

x  x   3

2

 lim

x

x 0



3

x  x

 x  3

3

x2  

3

3

3

x2  



.

1



x 3 x  x    2

     x  

3

3 x

2

Substituindo zero na derivada encontrada teríamos f ' 0 

1 3

3 0

 .

4.4 Interpretação Geométrica da Derivada Se a função f  x  tem derivada no ponto xo igual a f ,  x0  , então o gráfico desta função tem no ponto M x0 ; f x0  uma tangente, sendo o seu coeficiente angular igual a f ,  x0  . Isto

é,

a

equação

da

tangente

ao

gráfico

de

f x 

no

ponto

Mé

y x   f ,  x0 x  x0   f x0  . A equação da normal, isto é, a recta que passa pelo ponto

tangencial M x0 ; f x0  e perpendicular à tangente é yx   

1  x  x0   f  x0  . f x0  ,

Sejam x t  , y t  as coordenadas dum ponto N , no plano, no momento t e sejam i e j 

dois vectores unitários perpendiculares. O vector r  ON podemos escrever

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 119

r t   xt  i  yt  y e a sua derivada r , t   x , t  i  y , t  y .

Esta derivada r , t  expressa o vector velocidade instantânea do ponto N no momento t e está orientado segundo a tangente à trajectória. Exemplos: 4. Pelos pontos A2 ; 4 e B 2  x ; 4  y  da curva y  x 2 passa a secante AB . Ache o valor do coeficiente angular desta secante se x  1 . Qual é o valor do coeficiente angular da tangente à esta curva no ponto A ? Resolução. O ponto A tem as coordenadas x A  2 , y A  4 e o ponto B tem as coordenadas

xB  2  x , y B  4  y . O coeficiente angular da secante AB é: k1 

y B  y A 4  y  4 y   x B  x A 2  x  2 x

2 Se x  2 e x  1 , então y  2  1  2 2  5 , portanto, k1 

5  5 . O coeficiente angular 1

da tangente à curva y  x 2 , no ponto A2 ; 4 , é igual à y , 2  . Calculando a derivada de y  x 2 , quando x  2 , temos k 2  y , 2  4 .

5. A lei de movimento dum ponto no eixo OX dá-se pela fórmula xt   10 t  5t 2 ; onde t é o tempo (em segundos) e x é a distância (em metros). Ache a velocidade média do movimento, no intervalo de tempo 20  t  20  t , e calcule essa velocidade se t  1 , t 0  20 . Resolução. A velocidade média é igual ao quociente do espaço percorrido sobre o tempo que o ponto levou a percorrer esse espaço. Assim,

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 120

xt  t   xt 0  10 t 0  t   5 t 0  t   10t 0  5t 0 vm t 0   0   10  10t 0  5t . t t 2

A

velocidade

média,

no

intervalo

de

2

tempo

20  t  20  t ,

t  1

é:

10  10 . 20  5 . 1  215 m/ s .

6. Que ângulo forma com o eixo das abcissas a tangente à curva yx   x  x 2 no ponto com abcissa x  1 ? Resolução. O coeficiente angular da tangente ao gráfico da função yx   x  x 2 , no ponto com abcissa x  1 , é igual à y , 1 . Assim, k t  tg   1  2 x x 1  1   

3 . 4

4.3 Regras de Derivação de Funções Para se achar a derivada de uma função podemos recorrer também ao uso de regras de derivação que são apresentados a seguir: Sendo c uma constante e u   x  , v   x  funções que possuem derivadas, então teremos: a) Derivada de uma constante: c   0 ,

b) Derivada de uma soma: u  v   u '  v ' '

c) Derivada de uma diferença: u  v   u '  v ' '

d) Derivada do produto de uma constante e uma função: cu   cu ' '

e) Derivada de um produto: u.v   u ' v  u.v ' '

 u  u v  u.v f) Derivada de um quociente:    v2 v '

'

,

v  0

 

,

g) Derivada de uma função potencial: x n  n.x n1 . h) Derivadas de funções trigonométricas: Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 121

i.

sen x ,

 cos x

ii.

cos x ,

  sen x

iii.

tg x , 

iv.

ctg x ,  

1 cos2 x 1 sen 2 x

i) Derivadas de funções trigonométricas inversas: i.

arc sen x , 

ii.

arc cos x ,  

iii.

arc tg x ,

iv.

arc ctg x ,



1 1 x2

1 1 x2

x  1

x  1

1 1 x2



1 1 x2

j) Derivada de funções exponenciais: i. ii.

a   a e   e x ,

x ,

x

ln a

a  0

x

k) Derivada de funções logarítmicas: i.

ln x ,



1 x

ii.

log 



log ea 1  x ln a x

x , a

x  0

x  0,

a  0

Exemplo: 7. Aplicando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções: a) y  x 2  2 Resolução Para a derivar esta função devemos aplicar a regra de derivação para a soma de funções: Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 122





 

,

,

y ,  x 2  2  y ,  x 2  2,  y ,  2 x . b) y  2 x 3  5 x 2  x Resolução Aplicamos a regra de derivação para o caso da soma e diferença de funções:





   

y ,  2x 3  5x 2  x  y ,  2 x 3  5x 2  x  y ,  6 x 2  10 x  1 ,

,

,

,

c) y  x 3 . sen x Resolução Aplicamos a regra de derivação para o caso quando temos produto de duas funções, onde vamos considerar u x   x 3 e v x   x 3 . Assim teremos:





 

y ,  x 3 sen x  y ,  x 3 sen x  x 3 sen x  y ,  3x 2 . sen x  x 3 cos x .

d) f x  

,

,

,

ax 4  b ab

Resolução a  b é constante. Sendo assim, podemos retira - lá

Sabe – se que o denominador

debaixo do sinal da derivada e a função automaticamente deixa de ser derivada de um quociente, mas sim derivada do produto de uma constante e uma função. Aplicando a regra de derivação do produto de uma constante e uma função, tem – se: ,

 ax 4  b    f , x   f x     ab  ,

e) y 

1 ab

ax

4



 b  f , x   ,

1 ab

4ax   f x  3

,

4a 3 ab

2x  2 5x  1

Resolução Aplicamos inicialmente a regra de derivação de um quociente e de seguida, a regra de uma soma e de uma diferença:

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 123

2 x  2 5x  1  2 x  2. 5x  1  y ,  25x  1  52 x  2   2x  2  , y,    y  5x  12 5x  12  5x  1  ,

 y, 

f)

,

10 x  2  10 x  10

5x  1

2

f x  

 y,  

,

12

5x  12

.

ax  ln x 2x

Resolução Inicialmente aplicamos a regra de derivação duma soma e de seguida a regra do quociente:  ax f x     ln  2x ,

 f

,

x   2 x a

x

 

,   ax  a x .2 x  a x 2 x  1 , x   f , x      ln x   f , x     x 2 x 2   2x  ,

,

,

ln a  2a x 1  x 4x 2

4.4 Derivadas de Função Composta A regra de derivação de uma função de função ou de uma função composta que também é conhecida por “regra de cadeia” consiste em: Se uma função y  f u  e u  g x  , isto é, y  f g x  , onde as funções y e u dy dy du  . . dx du dx

possuem derivadas, então, y x  yu u x ou ,

,

,

A regra de derivação de função composta é aplicada à qualquer número finito de funções que podem ser derivadas.

Exemplos:





8. Achar a derivada da função f x   x 3  2 . 7

Resolução Supondo que u  x 3  2 , teremos uma função composta do tipo f  x   u 7 . Aplicando a regra de derivação de função composta temos: Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 124

 



 x

f , x  u 7  7u 6 . u ,  7 x 3  2 ,

6

3



,



   6

 2  7. x 3  2 . 3x 2

9. Achar a derivada da função f  y   2a  3by  . 2

Resolução A variável independente é y . Denotemos 2a  3by  u . Então f  y   u 2 e: f ,  y   2u.u ,  22a  3by  . 2a  3by   22a  3by .3b  6b 2a  3by   12ab  18b 2 y ,

10. Calcule a derivada da função f x   cos3 x . Resolução Vamos supor que cos x  t , então f x   t 3 . Aplicando a regra de derivação de funções compostas, teremos: f , x   3t 2 .t ,  3 cos x cos x   3 cos x . sen x . ,

4.5 Derivada Logarítmica Chama – se derivada logarítmica da função y  f x  a derivada do logaritmo desta função, isto é,

ln y , 

y, f , x   . y f x 

A logarítmação prévia da função facilita, em alguns casos, o cálculo de suas derivadas.

Exemplos: 11. Achar a derivada da função exponencial composta y  u v , onde u   x  e

v   x  são diferenciáveis. Resolução Primeiro vamos logaritmizar a função exponencial composta y  u v ambos membros: ln y  v ln u

De seguida vamos derivar ambos os membros da igualdade ln y  v ln u em relação a x :

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 125

ln y ,  v ln u ,  1

y

1 , 1 v   y  v , ln u  v u ,  y ,  y  v , ln u  u ,   y u u  

y ,  v , ln u  v ln u   ,

v    y ,  u v  v , ln u  u ,  . u  

12. Achar y , , se y  3 x 2

1 x sen 3 x cos 2 x . 2 1 x

Resolução Logaritmizemos a função y  3 x 2

1 x sen 3 x cos 2 x ambos membros: 2 1 x

 23 1  x 3 2 1 x 3 2  ln y  ln  x sen x cos x   ln y  ln  x sen 3 x cos2 2 2 1  x 1  x   

 x   

Aplicando as propriedades dos logaritmos, teremos: ln y 





2 ln x  ln 1  x   ln 1  x 2  3 ln sen x  2 ln cos x 3

Derivamos ambos membros da igualdade em relação x :









,

ln y    2 ln x  ln 1  x  ln 1  x 2  3 ln sen x  2 ln cos x  3  ,



1 , 2 1 1  x ,  1 2 1  x 2 ,  3 sen x ,  2 cos x ,  y   y 3x 1  x sen x cos x 1 x

3 cos x 2 sen x 1 , 2 1 2x 1 2x  2  y       y,  y     3 cot g x  2 tg x   2 2 y 3x 1  x 1  x sen x cos x  3x 1  x 1  x  1 x 1 2x  2   y,  3 x2 sen 3 x cos2 x     3 cot g x  2 tg x . 2 2 1 x  3x 1  x 1  x  

13. Achar y , , se y  sen x  . x

Resolução Vamos logaritmizar ambos os membros da função y  sen x  : x

ln y  ln sen x   ln y  x ln sen x x

Derivamos ambos os membros da igualdade em relação x : Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 126

ln y ,  x ln sen x ,  1 y ,  x , ln sen x   x ln sen x ,  1 y ,  ln sen x   x

1 sen x ,  sen x

y y x cos x 1 1  y ,  ln sen x    y ,  ln sen x   x cot g x  y ,  y ln sen x  x cot g x   y sen x y  y ,  sen x  ln sen x  x cot g x  . x

4.6 Derivadas de funções que não são dadas explicitamente 4.6.1 Derivada de função inversa Se a derivada da função y  f x  é diferente de zero, isto é, y ' x  0 , então a derivada da função inversa x  f

1

 y  será dada por: x' y 

dx 1 1  ou . ' dy dy yx dx

Exemplos ' 2 14. Achar a derivada x y se: y  3x  x .

Resolução: Vamos determinar a derivada da função para verificarmos se ela é diferente de zero.





 

y ' x  3x  x 2  3x   x 2  3  2 x , '

'

'

como a derivada é diferente de zero, então a derivada da função inversa é: x' y 

1 1 .  x' y  ' 3  2x yx

15. Achar a derivada x ' y se y  x 

1 sen x . 2

Resolução: Determinamos a derivada da função para verificarmos se ela é diferente de zero.

2  cos x 1 1   1  ' , y ' x   x  sen x   x    sen x   1  cos x  2 2 2   2  '

'

como a derivada é diferente de zero, então a derivada da função inversa é:

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Página 127

1 1 2  x' y   . ' 2  cos x 2  cos x yx 2

x' y 

16. Achar a derivada x

'

y

x 2

se y  0,1 x  e .

Resolução: Vamos determinar a derivada da função para verificarmos se ela é diferente de zero. '

'

' x x x    2x  x 1  ' 2 2 y x   0,1 x  e   0,1 x    e   0,1  e .    0,1  e 2 , 2 2     '

como a derivada é diferente de zero, então a derivada da função inversa é:

x' y 

1  x' y  ' yx

1 x

1 0,1  e 2 2

.

4.6.2 Derivada de funções dadas em forma paramétrica Se a dependência entre a função y e o argumento x é dada através do parâmetro t ,  x   t  yt , então, y ' x  '  xt  y   t  '

dy dy dt  ou . dx dx dt

Exemplos: 17. Calcular a derivada y ' 

dy para as funções y , dadas em forma paramétrica: dx

 x  2t  1 a)  3 y  t Resolução: Vamos encontrar

dy dx e : dt dt dy  3t 2 dt

e

dx 2 dt

Então:

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Página 128

dy dy dt 3t 2   . dx dx 2 dt 1  x  t  1  b)  2  y   t    t  1 Resolução: Encontramos ' dy 2t  t  t   t   t  1  t   t  1  2  2    2    2  2 3 dt  t  1  t  1  t  1   t  1   t  1   t  1  t  1

e dx 1 .  dt t  12

De seguida:

2t 2 3 2t t  1 dy 2t  t  1    . 3 1 dx t 1   t  1  t  12

 x  a cos 2 t c)  a, b   y  b sen 2 t

Resolução: Encontramos dy '  2b sen t sen t   2b sen t cos t dt

e dx '  2a cos t cos t   2a cos t sen t . dt

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Página 129

De seguida: 2b sen t cos t dy b   . dx  2a cos t sen t a

4.6.3 Derivada da função implícita Se a dependência entre x e a função diferenciável y é dada de forma implícita

F x, y   0 , para encontrar – se a derivada y ' x  y ' , nos casos mais simples, é suficiente: i)

Calcular a derivada quanto a x do primeiro membro da equação F x, y   0 , considerando y função de x ;

ii)

Igualar esta derivada a zero, isto é, supor que

iii)

Resolver a equação obtida em relação a y ' .

d F  x, y   0 ; e dx

Exemplos: 18. Achar a derivada y ' x , se x 3  y 3  3axy  0 . Resolução: Vamos determinar a derivada do primeiro membro da igualdade x 3  y 3  3axy  0 e igualando – a zero, teremos:

x

3



'





 y 3  3axy  0  3x 2  3 y 2 y '  3a y  xy '  0

Resolvendo a equação em relação a y ' , teremos:









3x 2  3 y 2 y '  3a y  xy '  0  3 y 2 y '  3axy '  3ay  3x 2  y ' 3 y 2  3ax  3ay  3x 2 

3ay  3 x 2 ay  x 2 ' y  2 y  2 . 3 y  3ax y  ax '

19. Achar a derivada y ' 

dy se 2 x  5 y  10  0 . dx

Resolução:

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Página 130

Vamos determinar a derivada do primeiro membro da igualdade 2 x  5 y  10  0 e igualando – a zero, teremos:

2 x  5 y  10'  0  2  5 y '  0 Resolvendo a equação em relação a y ' , teremos: '

2  5 y '  0   5 y '  2  y ' 

20. Achar a derivada y ' 

dy se x 3  y 3  a 3 , dx

2 5

a   .

Resolução: Vamos determinar a derivada do primeiro membro da igualdade x 3  y 3  a 3 e igualando – a zero, teremos:

x

3



'

 y 3  a 3  0  3x 2  3 y 2 y '  0

Resolvendo a equação em relação a y ' , teremos: '

3 x 2  3 y 2 y '  0  3 y '  3 x 2  y '  

x2 . y2

4.7 Derivadas de Ordens Superiores 4.7.1 Definição de Derivadas de Ordens Superiores Derivada de segunda ordem ou segunda derivada da função y  f x  chama – se a

 

'

derivada da sua derivada, isto é, y ' .

A segunda derivada ou derivada de segunda ordem designa – se por:

y ''

ou

d2y dx 2

ou

f '' x 

Em geral, a derivada de enésima ordem da função y  f x  é a derivada da derivada de ordem n  1 . A derivada de enésima ordem designa – se por:

y

n 

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ou

dny dx n

ou

f n x 

Página 131

Exemplos: 21. Achar a derivada de segunda ordem da função: y  3x 3  x 2  6 . Resolução Para calcular a segunda derivada, primeiro devemos achar a derivada de primeira ordem e de seguida calculamos a segunda derivada:





,

y '  3x 3  x 2  6  y '  9 x 2  2 x (primeira derivada) Assim,





,

y ''  9x 2  2x  y ''  18x  2 (derivada de segunda ordem) 22. Achar a derivada da terceira ordem da função f x   ln x  1  sen x . Resolução: Os procedimentos de resolução são análogos aos do exemplo anterior: f '  x   ln  x  1  sen x   f '  x   '

1 1 ' .  x  1  cos x  f '  x    cos x . x 1 x 1

(primeira

derivada)

Calculamos a segunda derivada: '

1  1  f x    .  cos x   f '' x     sen x . x  12  x 1  ''

Assim, temos a derivada de terceira ordem:

 1 f x      sen 2  x  1 '''

 2 x  1 2 x   f ''' x    cos x  f ''' x    cos x . 4 x  1 x  13  '

23. Achar a derivada de segunda ordem da função y  ln 1  x  . Resolução: Calculamos a primeira derivada: y '  ln 1  x   y '  '

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1 1 ' . 1  x   y '   1 x 1 x

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Assim, teremos a segunda derivada: '

1  1  y   .  y ''   1  x 2  1 x  ''

4.7.2 Fórmula de Leibniz Se as funções u  f x  e v  g x  têm derivadas até enésima ordem inclusive, para calcular a derivada enésima do produto destas funções, pode – se empregar, então, a fórmula de Leibniz:

uv n

n n  1 n  2  ,, u v    u.v n . (Fórmula de Leibniz) 1. 2

 u n  v  n.u n 1v , 

4.7.3 Derivadas de ordens Superiores de Funções dadas em Forma Paramétrica  x   t  Se  , então, suas derivadas  y   t 

dy '' d2y y x  , y xx  2 , dx dx '

podem ser calculadas, sucessivamente, pelas fórmulas:

   y 

y 't y x  ' , y '' xx  y ' x xt '

'

'

x

'

x '

xt

t

y   ''

,

y

'' '

xxx

'

xx

t

'

xt

, etc.

Exemplo:  x  a cos t 24. Achar y '' , se   y  b sen t.

Resolução: Primeiro calculamos a primeira derivada: '  b sen t  t yx  a cos t ' t '



b. cos t b   ctg t.  a sen t a

Assim sendo, teremos a segunda derivada: '

y '' x

 b  b 1   ctg t  t  . a   a sen 2 t   b .  '  a sen t a 2 sen 3t a cos t  t

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Página 133

 x  ln t 25. Achar y '' , se  3 y  t . Resolução: Primeiro calculamos a primeira derivada:

yx  '

t 

3 '

t

ln t ' t



3 t2  3 t 3. 1 t



9t 2  9t 3 . 1 t

Assim sendo, teremos a segunda derivada:

3t  

3 '

y

''

x

t

ln t ' t

4.8 Diferenciais de primeira ordem e de ordens superiores 4.8.1 Diferencial de primeira Ordem Chama – se diferencial (de primeira ordem) da função y  f x  em ponto x à parte principal de seu acréscimo y  f x  x   f x  , quando x  0 , linear quanto ao acréscimo x  dx da variável independente x . A diferencial de uma função é igual ao produto de

sua derivada pela diferencial de variável independente: dy  y ' dx

Daí y' 

dy dx

A função que tem diferencial denomina – se função diferencial. Exemplo: 26. Achar o acréscimo e a diferencial da função y  3x 2  x . Resolução: Primeiro vamos achar o acréscimo da função aplicando a seguinte fórmula

y  f x  x   f x  :

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Página 134





y  3x  x   x  x   3x 2  x  y  3 x 2  2 xx  x   x  x  3x 2  x  2

2

 y  3x 2  6 xx  3x   x  x  3x 2  x  y  6 xx  3x   x  2

2

y  6 x  1x  3x  . 2

Então a diferencial da função será:

dy  6 x  1x  6 x  1dx Ou podemos achar a primeira derivada da função e aplicarmos directamente a fórmula dy  y ' dx .

Assim tem – se:





'

y '  3x 2  x  y '  6 x  1;

dy  6 x  1 dx

27. Calcular y e dy da função y  3x 2  x para x  1 e x  0,01. Resolução: Partindo do exemplo anterior tem – se: Acréscimo da função: y  6 x  1x  3x   5.0,01  3.0,01  0,0503 . 2

2

E a diferencial da função: dy  6 x  1x  5.0,01  0,05 .

4.8.2 Propriedades fundamentais das diferenciais i.

dc  0, onde c é uma constante.

ii.

dx  x , onde x é variável independente.

iii.

d cu   c du .

iv.

d u  v   du  dv .

v.

d uv   u dv  v du .

vi.

 u  v du  u dv d  v2 v

vii.

d f u   f ' u  du .

v  0 .

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Página 135

4.8.3 Aplicação da diferencial para cálculos aproximados Se o acréscimo x , do argumento x , é pequeno por sua grandeza absoluta, então, a diferencial dy

da função

y  f x  e o acréscimo y da função são iguais,

aproximadamente, entre si, y  dy , isto é, f x  x   f x   f ' x x

Donde: f x  x   f x   f ' x  x .

Exemplo: 28. Em quanto aumentará, aproximadamente, o lado do quadrado, se sua área aumenta de 9 m 2 a 9,1 m 2 . Resolução: Se x é a área do quadrado e y , seu lado, então: y

x.

Pelas condições dadas: x  9; x  0,1

Calculamos, aproximadamente, o acréscimo y do lado do quadrado:

y  dy  y ' x 

1 2 x

. x , como x  9; x  0,1 , então y  dy 

1 2 9

.0,1  0,017

4.8.4 Diferenciais de ordens Superiores Chama – se diferencial de segunda ordem quando o acréscimo fixo da variável independente x  dx , a diferencial da diferencial de primeira ordem: d 2 y  d dy  . De forma análoga determinam – se as diferenciais de terceira e ordens sucessivas. Se y  f x  e x é variável independente, então: d 2 y  y '' dx  , d 3 y  y ''' dx  2

3

 d n y  y n  dx  . n

Se y  f u  , donde u   x  , então:

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d 2 y  y '' du   y ' d 2 u, d 3 y  y ''' du   3 y '' du . d 2 u  y ' d 3u, etc. 2

3

4.9 Funções Marginais 4.9.1 Custo Marginal O custo marginal é um dos conceitos chave de toda a economia. O custo marginal abreviada por (CMa) representa o custo adicional, ou suplementar, que ocorre aquando da produção adicional de uma unidade de produto.

Exemplo: 29. Considere que a empresa McGany,Lda está a fabricar 1000 discos compactos, com um custo total de 10.000,00 Mts . Se o custo total para produzir 1001 discos for de 10.006,00 Mts , então o custo marginal de produção do 1001o disco é de 6,00 Mts .

Por vezes, o custo marginal de produção de uma unidade adicional é muito pequeno.

Exemplo: 30. Para uma companhia de aviação LAM que tenha lugares vagos, o custo adicional de mais um passageiro é apenas o sumo/refresco e uma sanduíche; não é necessário capital (um avião) nem trabalho (pilotos e assistentes) adicionais. Noutros casos, o custo marginal de uma outra unidade de produto pode ser bastante grande.

Exemplo: 31. Considere uma companhia de electricidade. Em circunstâncias normais, pode gerar energia suficiente fazendo funcionar apenas as suas centrais mais eficientes, com menores custos. Mas num dia de verão, quando muita gente liga o ar condicionado, a procura de electricidade é elevada e a companhia vê – se forçada a pôr em funcionamento os seus velhos geradores ineficientes e de custos

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elevados. Esta energia eléctrica adicional tem um custo marginal elevado para a companhia.

4.9.2 Receita Marginal A receita marginal (RMa) é a variação da receita que deriva da venda de uma unidade adicional. A RMa pode ser positiva ou negativa.

Para calcular a receita marginal subtrai – se a receita total das produções consecutivas. Quando subtraímos a receita total, que se obtém pela venda de q unidades da receita total que obtém pela venda de q  1 unidades, a diferença é a receita adicional ou a receita marginal.

4.9.3 Lucros Os contabilistas definem os lucros como a diferença entre as receitas totais e os custos totais. Para calcular os lucros partimos das receitas totais das vendas. Subtrai – se todas as despesas (salários, ordenados, rendas, custos das matérias primas, juros, impostos sobre as vendas e outras despesas). O que sobra é um resíduo designado por “lucro”. 4.9.4 Custo Médio ou Custo Unitário Tal como o custo marginal, o custo médio (CMe) é um conceito amplamente utilizado nas empresas. Ao compararem o custo médio com o preço, ou receita média, as empresas podem determinar se estão, ou não a gerar lucro. O custo médio é o custo total dividido pelo número total de unidades produzidas.

Custo Medio 

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custo total CT   CMe producao q

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4.9.5 Propensão Marginal para consumo e para poupança 4.9.5.1 Propensão Marginal para o consumo A propensão marginal para o consumo (PMC) é o montante adicional de consumo quando as pessoas recebem uma unidade monetária adicional de rendimento.

O termo “marginal” é usado em economia para significar “adicional” ou “suplementar”. Por exemplo, “custo marginal’ significa o custo adicional de produção de uma unidade suplementar de produto. A “propensão para o consumo” designa o nível desejado de consumo. Propensão Marginal para o Consumo, portanto, é o consumo adicional ou suplementar que resulta de uma unidade monetária adicional de rendimento.

4.9.5.2 Propensão Marginal para a Poupança Juntamente com a propensão marginal para o consumo existe o seu reverso, a propensão marginal para a poupança, ou PMP. A propensão marginal para a poupança define – se como a parcela de uma unidade monetária adicional de rendimento disponível que se destina à poupança adicional.

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Página 139

4.10. Exercícios Propostos 1. Achar o acréscimo da função

y  x 2 , correspondente à transposição do

argumento: a) De x  1 a

x1  2

b) De x  1 a

x1  1,1

2. Achar a derivada das funções abaixo aplicando a definição: a) y  2 x 2  2 x b) y 

x2

c) y  x 2  x  2 d) y  x 3 e) y  x

3. Calcular f , (2) se f ( x)  2 x 2 e f , (8) se f ( x)  3 x , aplicando a definição.

4. Achar as derivadas das seguintes funções: a) y  4 x 7  4 x 4  9 x  3 b) f t   at m  bt m n c) y  x 7 .e x d) f  x   e) y 

2 1  2x  1 x

f) g x   g) y 

a  bx c  dx

ax 2  b a2  b2

1 z 1 z

h) y  x 5  4 x  2 x  3 Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 140

i)

y  x 2 .3 x 2

j)

y  5senx  3 cos x

k) y  tgx  ctgx l)

y  x 3 . ln x 

x3 3

5. Achar as derivadas das seguintes funções: a) y  (3x  5 x 3 ) 5 b) y  (4 x 3  x 2  4) 5 c)

f x   2 p

d) y  (

x2 6 ) 3x  1

e) y  ln x  1  ln f)





x 1

y  x 2 .10 2 x

g) y  lg senx h) y  (3  2 x 2 ) 4

6. Achar a derivada x , y , se a) y  2 x  ln x b) y 

 x

c) y  

 ln 2

5x a

3

a  

d) y  tg x e) y  f)

tg x cot g x

y  cos2 x.senx 3

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Página 141

7. Achar a derivada y , 

dy para as funções dadas em forma paramétrica: dx

1  x  t  1  a)  2  y   t    t  1 

x  t 2  1  b)  t 1 y  2 t 1   x  e c)   y  e 2t t

 x  4t 2  2t d)   y  t 2  x  t e)   y  3 t

8. Achar a derivada y , 

dy das seguintes funções implícitas y: dx

a) 8 x 2  7 xy 2  7 y  0 b)

x2 y2  1 a2 b2

c) y  0,3.sen y  x d) y 3 

x y x y

e) 6 x  7 y 2  7  0 f)

y 2  x  ln

y , quando x  1 e x

y  1.

9. Achar as derivadas de segunda ordem das seguintes funções do número 3.

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Página 142

10. Demonstrar que a função

y

x 2  2x  2 , satisfaz a equação diferencial 2

1  y , 2  2 yy ,, .

11. Achar

d2y das seguintes funções do número 6. dx 2

12. Achar as diferenciais das seguintes funções, dadas de forma implícita: a) ( x  y ) 2 .(2 x  y ) 3  1 b) y  e



x y

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Página 143

CAPÍTULO V: CÁLCULO INTEGRAL

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 144

CAPÍTULO V: CÁLCULO INTEGRAL 5.1 Primitiva e Integral Indefinido Uma função F  x  é chamada uma primitiva da função f  x  em um intervalo I , se para todo x  I , tem-se: F ' x   f x  .

Exemplo: 1. A

função

F ' x  

F x  

x5 5

é

uma

primitiva

da

função

f x   x 4 ,

pois

5x 4  x 4  f x , x   . 5

2. As funções T x  

x5 x5  2 também são primitivas da função  9 , H x   5 5

f  x   x 4 , pois T ' x   H ' x   f x  .

Sejam F1 x  e F2 x  duas primitivas de f  x  , isto é, F '1 x   f x , F ' 2 x   f x  , então,

F1 x   F2 x   C , onde C é uma constante qualquer. Ao conjunto de todas as primitivas da função f  x  em E chamaremos Integral Indefinido da função f  x  . A denotação usada é

 f x dx  F x  C , onde C é uma constante qualquer.

Enumeremos algumas propriedades do integral indefinido: a) Se F ' x   f x  , então

 f x dx  F x  C

b)

 f x dx    f x dx , 

c)

  f x  g xdx   f xdx   g xdx

é uma constante   0

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Página 145

d) Se

 f x dx  F x  C e u   x é diferenciável, então  f u du  F u   C

Vejamos agora o integral de algumas funções com que nos deparamos constantemente: i)

x n1  x dx  n  1  C,

ii)



iii)

x

2

iv)

x

2

v)

a

2

vi)



vii)



viii)

ax  a dx  ln a  C,

ix)

e

x)

 sen x dx   cos x  C

xi)

 cos x dx  sen x  C

xii)

 cos x  tg x  C

xiii)

 sen

xiv)

 cos x  ln tg  2  4   C  ln tg x  sec x  C

xv)

 sen x  ln tg  2   C  ln cos ec x  ctg x  C

n  1

n

dx  ln  x   C x

x0

dx 1 x 1 x  arctg  C   arcctg  C 2 a a a a a

dx 1 xa  ln  C, 2 2a x  a a

a0

dx 1 ax  ln  C, 2 2a a  x x

a0

dx

 ln x  x 2  a  C ,

x a 2

dx a x 2

2

 arcsen

x

x x  C   arccos  C , a  0 a a

a  0,

x

a0

a 1

dx  e x  C

dx

2

dx 2

x

 ctg x  C

dx

x

dx

 x



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Página 146

Exercícios Resolvidos: Para resolver estes exercícios, aplicaremos directamente as regras de integração de integração: 1.



2

2.

 8x

4



x3 x 2 2 x  x  6 dx   2 x dx   x dx   6 dx  2 x dx   x dx  6 dx  2.   6x  C 3 2 2

2



 5 x 2 dx   8x 4 dx   5 x 2 dx  8 x 4 dx  5  x 2 dx  8.

x5 x3  5.  C 5 3

3

3.



4.

 x  1x

2 px dx  



2

1 2

2 x 2 px x2 x3 2 p x dx  2 p  x dx  2 p  C  2 2p C  C 3 3 3 2







 1 dx   x 3  x 2  x  1 dx   x 3 dx   x 2 dx   x dx   dx 

x4 x3 x2    xC 4 3 2



1

5.

  cos x  x  dx   cos x dx   x dx  sen x  ln x   C

6.

x

1

dx 1 x  arctg C 7 7 7

2

5.1.1 Integração Mediante a Introdução sob sinal de diferencial A regra d) amplia consideravelmente a tabela dos integrais imediatos. Precisamente graças a esta regra a tabela de integrais é válida, independentemente de que a variável de integração seja uma variável independente ou uma função diferenciável.

Exercícios Resolvidos: 7.

8.

 

dx x3 x dx 1 x4





d  x  3 x3

x  3 2    x  3 d x  3  1



   

1 d x2 2  1 x2

2



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1 2

1 2

C  2 x3 C

1 ln x  1  x 4  C 2 Página 147

a

d a  x   a ln a  x  C ax

9.

 a  x dx  a 

10.

 2 x  1 dx   1  2 x  1 dx   dx   2 x  1   dx  

11.

 x  1

2x  3

x dx

2









2

2dx

d 2 x  1  x  ln 2 x  1  C 2x  1

x  1  1 dx  x  1 dx  dx  dx  d x  1   x  12  x  12  x  1  x  12 x  12

dx 1 2    x  1 d  x  1  ln x  1  C x 1 x 1

5.1.2 Método de substituição 5.1.2.1 Substituição ou troca de variável no Integral Indefinido Seja x   t  uma função definida e diferenciável em Et  R1 e seja E x  R 1 o seu contradomínio. Seja y  f x  uma função definida em E x e que possui, neste intervalo, primitiva F(x). Então, em E x , a função F  t  é primitiva de f  t  ' t  , isto é,

 F  t  t  dt  F  t   C '

Exercícios Resolvidos: i)

Achar

dx

 xa

Resolução: Vamos fazer a substituição u  x  a , então du  d x  a   dx . Assim sendo, temos: dx

 xa   ii)

Ache

dx



3  2x

du  ln u  C  ln x  a  C . u

.

Resolução: 1 Façamos a substituição t  3  2 x . Então dt  d 3  2 x   2dx  dx   dt . Deste modo, 2

termos:



dx 3  2x

 

1 dt 1 dt     t  C   3  2x  C 2 t 2 t

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 148

iii)

Ache

x

x  1 dx .

Resolução: Vamos substituir t  x  1 , onde x  t 2  1 e dx  2t , então:









2 4 2  x x  1 dx   t  1 t.2t dt  2 t  t dt 

iv)

Ache



x 1 x2

5 3 2 5 2 3 2 2 t  t  C  x  1 2   x  1 2  C . 5 3 5 3

dx .

Resolução: 1 Facilmente constata – se que  d 1  x 2   xdx , portanto, vamos fazer a substituição 2 1 u  1  x 2  du  2 xdx   du  xdx . 2

Assim,

v)



x 1 x

2

Ache

dx  

e

x

1 du   u  C   1 x2  C .  2 u

dx .  e x

Resolução: Temos e x  e  x  e  x e 2 x  1 . Assim,

dx dx ex    e x  e  x  e  x e 2 x  1  e 2 x  1 dx .





Façamos agora a substituição t  e x , onde dt  e x dx , então:

ex dt x  e 2 x  1 dx   t 2  1  arctg t  C  arctg e  C

vi)

Ache  tg x dx .

Resolução:

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 149

Por definição tg x 

sen x . Fazendo a substituição t  cos x , vemos que dt  sen x dx . cos x

Deste modo:  tg x dx  

vii)

Ache



sen x 1 dx    dt   ln t  C   ln cos x  C . cos x t

sen x  cos x 3

sen x  cos x

dx .

Resolução: Façamos a substituição u  sen x  cos x . Então, du  cos x  sen x dx e deste modo temos:



sen x  cos x 3

sen x  cos x

viii)

dx   3

Ache

 sen

5

1 u

du 

33 2 3 3 2 u  C  3 sen x  cos x   C  3 1  sen 2 x  C 2 2 2

x. cos x dx .

Resolução: Facilmente se vê se fizermos t  sen x , então dt  cos x dx . Sendo assim, tem – se:

t6 1 6  sen x. cos x dx   t dt  6  C  6 sen x  C 5

5

5.1.2.2 Substituições Trigonométricas Para além da troca de variáveis na integral indefinida, recorremos também ao método de substituição trigonométrica que consiste em usa – ló em caso da integral envolver radicais. Se não vejamos: i)

Se a integral contém o radical

a 2  x 2 , geralmente se faz x  a sen t , dai

a 2  x 2  a cos t . ii)

Se a integral contém o radical

x 2  a 2 , geralmente se faz x  a sec t , dai

x 2  a 2  tg t .

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 150

iii)

Se a integral contém o radical

x 2  a 2 , geralmente se faz x  a tg t , dai

x 2  a 2  a sec t .

Exemplo: Achar



x 1 dx . x2

Resolução: Fazemos x  tg t . Portanto, dx 



dt . Assim sendo, temos cos 2 t

tg 2 t  1 dt sec t. cos2 t dt x 1 dt sen 2 t  cos2 t dx      tg 2t cos2 t  sen 2t cos2 t  sen 2t. cos t  sen 2t. cos t dt  x2

1  tg 2 t dt cos t 1 2   dt  ln tg t  sec t   C  ln tg t  1  tg t  C  cos t  sen 2 t sen t tg t

 ln x  x 2  1 

x2 1 C x

5.1.3 Integração por partes Para o cálculo de integral aplicando o método de integração por parte recorremos a seguinte fórmula: se u   x  e v   x  são funções diferenciáveis continuamente, então:

 u dv  uv   v du Este método consiste em escolher uma função por exemplo u   x  (que tenha relação com a derivada ou integral da função v   x  ) e integrar multiplicando com a função

v   x  e subtraindo pelo integral da função u   x  já integrada multiplicado pela derivada da função v   x  .

Exemplo: a) Ache  ln x dx . Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 151

Resolução: Seja u  ln x e v  1 . Aplicando a fórmula de integração por partes, isto é,

 u dv  uv   v du , temos,  ln x dx  x. ln x   xln x  dx  x. ln x   x. x dx  x. ln x   dx  x. ln x  x  C 1

,

b) Ache

 x.e

x

dx .

Resolução: Façamos u  x , e  x dx  dv , isto é, v  e  x . Assim,

 x.e c) Ache

x





dx   x.de  x   x.e  x   e  x dx   x.e  x   e  x dx   xe  x  e  x  C .

 x cos x dx .

Resolução: Seja u  x e v  cos x . Então,

 x cos x dx  xsen x   x sen x dx  xsen x  cos x  C . ,

As vezes para reduzir a integral dada uma imediata, é preciso empregar várias vezes a fórmula de integração por partes. Em alguns casos, valendo – se da integração por partes se obtém uma equação da qual se determina a integral procurada.

d) Achar  e x cos x dx . Resolução: Temos:  e x cos x dx   e x d sen x   e x sen x   e x sen x dx  e x sen x   e x d cos x    e x sen x  e x cos x   e x cos x dx

Portanto,

x x x x x  e cos x dx  e sen x  e cos x   e cos x dx   e cos x dx 

ex sen x  cos x   C 2

.

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 152

5.1.4 Integrais Elementares que contém o Trinómio ao Quadrado Existe 4 tipos de integrais que contém o trinómio ao quadrado. i)

Integrais do tipo

 ax

mx  n dx  bx  c

2

Para calcularmos integrais deste tipo temos que reduzir o trinómio ao quadrado à 2 forma canónica ax 2  bx  c  ax  k   l , onde k e l são constantes.

A este tipo de integrais, podemos nos deparar por duas situações diferentes, uma em que m  0 e outra m  0 . Se m  0 , o trinómio ao quadrado será reduzido à forma canónica e desta forma obteremos as integrais da tabela III ou IV ou V (ver as regras das integrais, na pág. 41) Exercícios Resolvidos: Achar as integrais que se seguem: a)

x

2

dx  2x  5

Resolução: Para resolver esta integral, primeiro vamos transformar o trinómio ao quadrado na forma canónica: x 2  2 x  5  x 2  2 x  12  12  5  x  1  12  5  x  1  4 . 2

A integral passa a ser

x

2

dx dx .   2x  5 x  12  4

Deste modo, a integral foi reduzido à forma

x  1,

2

x

2

dx 1 x  arctg  C , visto que a 2 a a a

 1.

Assim temos:

x

2

x  1  C dx dx d x  1 1    arctg 2 2 2 2  2x  5 x  1  4 x  1  2 2

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 153

b)

x

2

dx  x 1

Resolução: Antes, transformemos o trinómio ao quadrado na forma canónica: 2

2

2

2

2

1 1 1 5 1 1   x  x 1  x  x       1   x      1   x    . 2  2 2 4  2  2   2

2

A integral passa a ser

x

2

dx dx .  2  x 1 1 5  x    2 4 

Agora vejamos que a integral foi reduzido à forma

x

2

dx 1 xa  ln  C , visto que 2 2a xa a

,

1  a  x    1. 2  Sendo assim tem – se:

1 1   d x   x   dx dx 1 2 2    x 2  x  1    1  2 5    1  2 5  5 ln  1  2. x   x    x    2 2 2 4 2 4    1  x   1 2  ln  5 1  x   2 

c)

 3x

2

5 2 C  5 2

5 1 5 x 1 2 2  C  1 ln 2 x  1  5  C . C  ln 5 5 1 5 5 2x  1  5 x 2 2

dx  x 1

Resolução: Vamos reduzir o trinómio ao quadrado na forma canónica (sabe – se que para reduzir a canónica temos que verificar se o coeficiente do maior grau é igual a 1):

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 154

2 2   1 1       2 x  1 2  1 2 1 x  3   3  1  2 x 1 2 2 3x  x  1  3 x     3 x       3 x           3 3 3 2 2 3 3 6 6 3         .         2 2 2   1   1  1 1 11   3 x         3 x     6 6 3  6 36   

A integral será:

forma

 3x

2



 3x

2

dx dx . Ora vejamos, a integral foi reduzido à  2  x 1  1 11  3 x     6 36   ,

dx 1 x 1   arctg  C , visto que a  x    1 . Sendo assim tem – se: 2 2 a a x a 6 

dx dx  2  x 1  1 11  3 x     6 36  

1 1   d x   x  1 1 1 6 6     . arctg  C  2 3  11 1 11 3 11 x    6 6 6 36 

 6x  1    2 6    C  2 arctg 6 x  1  C .  arctg  11  11 11 11    6  Se m  0 , do denominador separa – se a derivada 2ax  b do trinómio de segundo grau:

 ax

mx  n dx    bx  c

2

m 2ax  b    n  mb  m mb  dx 2a 2a    dx  ln ax 2 bx  c   n  ,  2 2 2a 2a  ax  bx  c ax  bx  c 

e, desta forma chegamos à integral em que m  0 . Exercícios Resolvidos: Achar as integrais que se seguem: a)

x

2

3x  2 dx  4x  5

Resolução:

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 155

Para resolvermos este exercício, temos que derivar o denominador e emprega - se a fórmula:

3 2 x  4    2  12  3x  2 2 2  dx . 2  x 2  4 x  5 dx   x  4x  5 De seguida, separa – se a fracção e aplica – se a propriedade da soma de integrais:

x 

2

3 2

3x  2 dx    4x  5

x

2

 3 3 2 x  4    2  12   2 x  4  2 2  dx    22  x 2  4x  5  x  4x  5  

12     2    2   dx  2 x  4x  5   

2x  4 dx dx  4  2 ,  4x  5 x  4x  5

nota – se que a primeira integral se reduz ao integral da forma



1

 x dx  ln x  C , visto



,

que x 2  4 x  5  2 x  4 . E em relação a segunda integral, verifica – se que ela se reduz à forma do integral em que m  0 (veja os passos nos exercícios resolvidos anteriormente para m  0 ). Assim sendo, temos:

b)





2x  4 dx 3 d x 2  4x  5 dx dx  4   x 2  4x  5  x 2  4 x  5 2  x 2  4 x  5  4   x  2 2  1 



3 2



3 d x 2  4x  5 d x  2 3  4  ln x 2  4 x  5  4 arctg x  2   C . 2 2  2 x  4x  5 x  2  1 2

x

2





x 1 dx  x 1

Resolução: Deriva – se o denominador e emprega – se a fórmula:

1 2 x  1    1  x 1 2  2  x 2  x  1 dx   x 2  x  1 dx . De seguida, separa – se a fracção e aplica – se a propriedade da soma de integrais:

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 156

1 1 1  2 x  1    1   2 x  1   x 1 2 2  2 2 dx  dx     x2  x 1  x2  x 1  x 2  x  1 x 2  x  1 dx      

1 2

x

2x  1 1 dx dx   2 , 2 x  x 1  x 1

2

é de notar que a primeira integral reduziu – se ao integral da forma



1

 x dx  ln x  C ,



,

visto que x 2  x  1  2 x  1 . E para a segunda integral, reduz – se à forma do integral em que m  0 (veja os passos nos exercícios resolvidos anteriormente para m  0 ). Assim sendo, temos:



1 2





2x  1 1 dx 1 d x2  x 1 1 dx dx    x2  x 1 2  x2  x 1 2  x2  x 1  2   1 2 5  x    2 4 

1  d x   1 d x  x 1 1 1 1 2x  1  5 2    2    ln x 2  x  1  ln C . 2 2 x  x 1 2  2 5 2x  1  5 1 5 2 x    2 4 



ii)

2



Integrais do tipo



mx  n ax  bx  c 2

dx

Os métodos de resolução são análogos aos do integral do tipo

 ax

mx  n dx .  bx  c

2

Definitivamente a integral se reduz à VI integral imediata, se a  0 e à VII se a  0 (veja a pág. 41, as propriedades de integrais).

Exercícios Resolvidos Achar as integrais: a)



dx 2  3x  2 x 2

Resolução:

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 157

Para a sua resolução aplicaremos os mesmos métodos usados nas integrais do tipo

 ax

mx  n dx . Em relação à este exercício, nota – se que o valor de m  0 . Assim,  bx  c

2

vamos reduzir primeiro à forma canónica e posteriormente aplicaremos as propriedades de integração.

dx



2  3x  2 x

2





b)



x3 x 2  2x  2

dx  3x  21   x2  2  

dx



  3x 2  1   x 2  2  

3  d x   4 

1

 2

25  3 x  16  4

2

1



2

arcsen



1

 2

dx 25  3 x   16  4

2



4x  3 C. 5

dx

Resolução: Para resolver este exercício aplica – se os mesmos métodos usados nas integrais do tipo

 ax

mx  n dx . No caso deste exercício, verifica – se que o valor de m  0 . Deste modo,  bx  c

2

acharemos

a

derivada

do

denominador,

reduziremos

à

forma

canónica

e

posteriormente aplicaremos as propriedades de integração.

 

x3 x 2  2x  2

dx  

1 2 x  2   3  2  2 2  x 2  2x  2

 1   2 2 x  2  2 dx      dx  2 x 2  2x  2   x  2x  2  





1 2x  2 1 1 d x 2  2x  2 dx dx  2 dx   2     2 2 x 2  2x  2 x 2  2x  2 x 2  2x  2 x 2  2x  2





1 d x 2  2x  2    2 2 x 2  2x  2

d x  1

x  1

2

1

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,





 x 2  2 x  2  2 ln x  1  x 2  2 x  2  C .

Página 158

iii)

Integral do tipo

 mx  n 

dx ax 2  bx  c

A este tipo de integral, aconselha – se que se faça a substituição da fracção linear 1  u . Feita a substituição a integral se reduzem a integral do tipo mx  n



mx  n ax 2  bx  c

dx .

Exercícios Resolvidos: Achar as seguintes integrais: a)

dx

 x  1

x2  x

Resolução: Na resolução deste exercício, comecemos por fazer a suposição que vamos

isolar

a

variável

através

x

de

1  u , depois x 1

operações

algébricas:

1 1 1  u  x  1   x   1 . Tendo isolado o x , determinemos a derivada de x em x 1 u u

relação a u : dx  

du . u2

Assim a integral passa a ser:

 x  1

dx x 2  2x





du u2 2

1 1  2   1   2 u u  u

 

1 u

du du du 2 2 u u u2      1 2 2 1 1 1 1 u2  1  2 1 u u u2 u2 u u u2

du du u2 ,     1 1 u2 1 u2 u u é notável que este último passo mostra que a integral reduziu – se ao integral do tipo

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 159



mx  n ax 2  bx  c

dx ,

com o valor de m  0 e podemos recorrer a seguinte propriedade



dx a x 2

2

 arcsen

x x  C   arccos  C . a a

Deste modo temos:

 

du 1 u2

 arcsen u  C .

Agora vamos devolver a função em ordem a variável x :  

b)

 1   arcsen u  C  arcsen  C.  x 1 1 u2 du

dx

 x  1

x2 1

Resolução: Supomos que

1  u e isolamos a variável x através de operações algébricas: x 1

1 1 1  u  x  1   x   1 . Tendo isolado o x , determinemos a derivada de x em x 1 u u

relação a u : dx  

dx

 x  1

x2 1



du . Assim a integral passa a ser: u2



du u2 2

1 1    1  1 u u 

 

1 u

du u2   1 2 1  11 2 u u u

du du 2 u u2    1 2 1 1  2u  2u 2  2 u2 u u u2

du du u2 , é de notar que a integral reduziu – se ao integral     1 1  2u  2u 2 1  2u  2u 2 u u do tipo



mx  n ax  bx  c 2

dx , com o valor de m  0 .

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 160

Vamos reduzir à forma canónica a expressão 1  2u  2u 2 e podemos recorrer as propriedades de integral para calcularmos. Deste modo temos:

 

du 1  2u  2u 2

du

 



1

 2

1  du   2 

2 2  1 1  1 1 2 u     u    2 4 2 4    Agora vamos devolver a função em ordem a variável x :



iv)

1 2

ln u 

Integral do tipo





1 2

ln u 

1 1  u2  u   C  2 2



1 x  2 x2 1 1 1 1  u2  u   C   ln C. 2 2 x 1 2



ax 2 bx  c dx

Ao integral deste tipo, aconselha – se que se reduza o trinómio ao quadrado à forma canónica. Reduzido à forma canónica, encontraremos duas integrais principais: a)



a 2  x 2 dx 

b)



x 2  A dx 

x a2 x a2  x2  arcsen  C . 2 2 a

x 2

x2  A 

A ln x  x 2  A  C . 2

Exercício Resolvidos: Achar as integrais: a)



x 2  2 x  5 dx

Resolução: Para resolver este exercício, primeiro reduzimos o trinómio ao quadrado à forma canónica, isto é: x 2  2 x  5  x 2  2 x  12  12  5  x  1  12  5  x  1  4 . 2

2

Deste modo a integral passa a ser



x 2  2 x  5 dx  

x  12  4 dx .

Nota – se que a integral reduziu – se à forma Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 161



x 2  A dx 

x 2

x2  A 

A , ln x  x 2  A  C , visto que  x  1  1 . 2

Assim, temos:



x  12  4 dx   x  12  4 d x  1  x  1 x  12  4  2 ln

x 2  2 x  5 dx  

b)



2

x 1

x  12  4  C .

2  x  x 2 dx .

Resolução: Reduz – se o trinómio do segundo grau à forma canónica, isto é: 2 2 2 2  2   1 9 9  1 1 1 2  x  x   x  x  2    x  x        2    x        x   . 2 4  4  2 2 2   



2



2

Deste modo a integral passa a ser



2  x  x dx   2

2

9  1   x   dx . Nota – se que a 4  2

integral reduziu – se à forma



,

x a2 x 1  a  x dx  a2  x2  arcsen  C , visto que  x    1 . 2 2 a 2  2

2

Assim, temos:



2  x  x 2 dx  

2

2

9  1 9  1  1   x   dx     x   d x    4  2 4  2  2

x 2

1 2

9 1 2 x 9  1 2 C    x    4 arcsen 3 4  2 2 2

2x  1 9  1 9 2x  1    x    arcsen C . 4 4  2 8 3 2

4.1.5 Integrais de Funções Racionais As funções racionais sempre se integram, isto é, se reduzem a funções elementares.

Regras Gerais i) A função racional inteira (o polinómio) se integra directamente: Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 162

 a x

n

0

ii)



 a1 x n1    an1 x  an dx 

a0 n1 a1 n a x  x    n1 x 2  an x  C n 1 n 2

A função racional fraccionária

Qx 

 Px  dx , [onde Qx  e Px são polinómios de

grau m e n , respectivamente] se transforma algebricamente em um tipo adequado para a integração da seguinte maneira: a) Efectua – se as simplificações necessárias para os polinómios Q  x  e Px  não tenham factores comuns; b) Se m  n , então dividindo Q  x  por Px  , separa – se a parte inteira da fracção, que integra – se como um polinómio, ficando por integrar o resto, que é uma própria na qual m  n ; c) O denominador Px  decompõe – se em factores lineares e quadráticos:



 



P x   a0 x    x     x 2  px  q . x 2  p , x  q , , onde k

l

r

s

p2 q  0, 4

p ,, 2  q ,  0 ; 4 d) Tira – se para fora do sinal da integral o coeficiente a0 do denominador; e) Transforma – se a fracção própria obtida, cujo denominador está decomposto em factores simples, numa soma de fracções “simples” que se integram facilmente. Podem se apresentar quatro casos: Todas as raízes do denominador são reais e simples:

Px   x   x   x    A decomposição tem a forma: A

P x  A B L , onde    Q x  x   x   x

Q  Q  Q  , B , , …, L  , (os números A, B, …, L também , P   P   P  

podem ser obtidos pelo método dos coeficientes indeterminados. A integração se efectua segundo a fórmula

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

A

 x 

dx  A ln  x    , etc.

Página 163

Exercícios Resolvidos: Achar as seguintes integrais:

2x  3

 x  2x  5 dx

a)

Resolução: Vamos decompor o integrando em fracções simples e igualarmos o denominador, isto é,

A x  5  B x  2  A  B  x  5 A  2 B  2x  3 A B     x  2x  5 x  2 x  5 x  2x  5 x  2x  5 Temos duas fracções com mesmo denominador e como elas são iguais, significa que os numeradores são iguais. Assim, temos a igualdade:

2 x  3   A  B  x  5 A  2B  Dois polinómios são iguais se os coeficientes ligados às partes literais do mesmo grau coincidem. Portanto, A  B  2, 5 A  2B  3  A  B  1

Voltando a nossa integral, podemos escrevê – lo na forma:

2x  3

A

B

dx

dx

 x  2x  5 dx   x  2 dx   x  5 dx   x  2   x  5 Cada uma das integrais à direita calcula – se directamente usando a fórmula de integração mediata do tipo



dx  ln x  C , visto que as derivadas do denominador é x

igual a unidade.

Deste modo temos:

2x  3

A

B

dx

dx

 x  2x  5 dx   x  2 dx   x  5 dx   x  2   x  5  

d  x  2 d x  5   x2 x5

 ln x  2  ln x  5  C .

b)

x

3

2x  3 dx  x 2  2x

Resolução: Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 164

Vamos determinar as raízes e decompor o integrando em fracções simples, isto é,

2x  3 2x  3 A B C     2 x  x  2 x xx  1x  2 x x  1 x  2 3

Podemos resolver também este exercício a partir do método dos coeficientes indeterminados, isto é:

A

Q0  2 x  3  3  2   , , 2 P 0  3x  2 x  2  x 0

B

Q1  2 x  3  5  2   , , P 1  3x  2 x  2  x 1 3

Q 2  2 x  3  1  2   , 6 P  2  3x  2 x  2  x  2

C

Voltando a nossa integral, podemos escrevê – lo na forma

x

3

2x  3 A B dx dx   dx     2 x x 1 x2   x  2x

5 1 3  3 dx  6 dx  2 dx    x x 1 x2



Cada uma das integrais à direita calcula – se directamente usando a fórmula de integração mediata do tipo



dx  ln x  C , visto que as derivadas do denominador é x

igual a unidade.

Deste modo temos: 

3 dx 5 dx 1 dx 3 dx 5 d x  1 1 d  x  2 3 5 1             ln x  ln x  1  ln  x  2  C  2 x 3 x 1 6 x  2 2 x 3 x 1 6 x2 2 3 6

Todas as raízes do denominador são reais e entre elas há múltiplas P x    x     x     l

m

A decomposição tem a forma:

Al Bm A1 A2 B B2 P x      1    l l 2 Q x  x    x    x    x   x    x   m , As constantes A1 , A2 , , Al , B1 , B2 , , Bm ,  se calculam pelo método Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 165

dos coeficientes indeterminados. A integração se efectua segundo as

A  x   dx  A ln x     C

fórmulas

Ak

 x   

k

e

1

1

dx  

Ak

k  1x   k 1

k  1 .

Exercícios Resolvidos: Achar as integrais:

x

a)

3

x dx .  3x  2

Resolução: Vamos decompor o integrando em fracções simples e, comecemos por factorizar o denominador. Facilmente se constata que x  1 anula o denominador. Aplicando a regra Ruffini (é um matemático italiano), sobre a divisão de um polinómio por binómio do tipo x   , temos: x 3  3x  2  x  1 x  2 2

Assim,

A1 A2 A1 x  1x  2  A2 x  2  Bx  1 x x B      x 3  3x  2 x  12 x  2 x  1 x  12 x  2 x  12 x  2

2

Temos uma igualdade de duas fracções com o mesmo denominador, significa que os numeradores também são iguais. Portanto, x  A1 x  1x  2  A2 x  2  Bx  1

2

Vamos achar os coeficientes A1 , A2 , e B da seguinte maneira: colocamos o valor x  1 na nossa igualdade e temos: 1  3 A2  A2 

1 3

Colocamos o valor x  2 na nossa igualdade e temos:  2  9B  B   Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

2 , 9 Página 166

finalmente, colocamos, por exemplo, x  0 na nossa igualdade temos: 0  2 A1  2 A2  B   2 A1 

4 2  0  A1  9 9

Voltando ao nosso integral temos

x

3



x 2 dx 1 dx 2 dx 2 1 2 dx        ln x  1   ln x  2  C  2 9 x  1 3 x  1 9 x2 9 3x  1 9  3x  2

1 2 x 1  ln C. 3x  1 9 x  2

x3  1 dx . b)  3 x x  1

Resolução: Vamos decompor o integrando em fracções simples: B3 B B2 x3  1 A   1   3 3 x x  1  x  1 x  13 x x  1

Pelo método dos coeficientes indeterminados dá as seguintes equações:

 A  B1  1  B1  2  3 A  2 B  B  0 B  1   1 2  2  3 A  B1  B2  B3  0  B3  2  A  1  A  1

Voltando ao nosso integral, temos:

x3  1

 xx  1

3

A B  1 B3  B2 2 1 2  dx     1   dx       dx  2 3 2 x  1  x  13   x x  1 x  1  x x  1 x  1

  ln x  2 ln x  1 

x  1  x  C . 1 1   C  ln 2 x  1 x  1 x x  12

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

2

Página 167

5.2 Integral Definida 5.2.1 Integral Definida como limite da Soma 5.2.1.1 Soma Integral Seja f  x  uma função definida no segmento a  x  b e a  x0  x1    x n  b , uma n 1

divisão arbitrária deste segmento em n partes. A soma da forma S n   f  i  xi , onde i 0

xi   i  xi 1 ; xi  xi 1  xi ; i  0, 1, 2,, n  1 , recebe o nome de soma integral da função

f  x  em

a, b.

S m representa geometricamente a soma algébrica das áreas dos

rectângulos correspondentes. 5.2.1.2 Integral Definida O limite da soma S n , quando o número de partes n de divisões tende ao infinito e a maior das diferenças xi tende a zero, se chama integral definida da função f  x  entre os limites x  a e x  b , isto é, n 1

lim

max xi 0

b

 f   x   f x dx i 0

i

i

(i)

a

Se a função f  x  é contínua em a, b, também será integrável em a, b, isto é, o limite (i) existe, independentemente do método que se use para dividir o segmento de integração a, b em segmentos parciais e da escolha dos pontos  i dentro destes segmentos. A integral (i), definida geometricamente, é a soma algébrica de áreas de figuras que formam o trapézio mistilíneo aA bB , no qual as áreas das partes, situadas sobre o eixo OX , são tomadas com sinal positivo, enquanto que as áreas das partes que se encontram abaixo do eixo OX são tomadas com sinal negativo.

A definição de soma integral e de integral definida transferem – se, naturalmente, no caso de segmento a, b, quando a  b .

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 168

Exemplo: 1. Formar a soma integral S n para a função f x   1  x no segmento 1, 10 , dividindo este intervalo em n partes iguais e escolhendo os pontos  i de forma que coincidam com os extremos esquerdos dos segmentos parciais xi , xi 1  . A que é igual o lim S n ? n 

Resolução: Temos: xi 

9i 10  1 9  e  i  xi  x0  i xi  1  . n n n

Daí: f  i   1  1 

9i 9i  2 . n n

Portanto: n 1 n 1 9 i  9 18 81 81 n n  1 81  1   S n   f  i  xi    2    n  2 0  1    n  1  18  2  18  1    nn n 2 2  n n n i 0 i 0 



117 81  , 2 2n

Como S n 

117 81  117 81  117  , então lim S n  lim  .   n  n  2 2n 2n  2  2

2. Achar a área do triângulo mistilíneo, limitado pelo arco da parábola y  x 2 , pelo eixo OX e pela vertical x  a,

a  0 .

Resolução: Dividimos a base a em n partes iguais x 

a . Escolhendo o valor da função no inicio n

de cada segmento, teremos: 2

y1  0;

a y2    ; n

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

  a 2  y 3   2   ;  ;   n  

2

a  y n  n  1  . n 

Página 169

A área dos rectângulos inscritos é calculada, multiplicando cada y k pela base x 

a . n

Somando, obtemos a área da figura escalonada 2

Sn 





a a 2 2 2   1  2  3    n  1 . n n

Utilizando a fórmula da soma dos quadrados dos números inteiros n

k

2

k 1

Sn 



n n  12n  1 , achamos 6

a 3 n  1 n 2n  1 ; donde, passando ao limite, obtemos: 6n 3

a 3 n  1 n 2n  1 a 3 .  n  3 6n 3

S  lim S n  lim n 

5.2.2 Cálculo de Integrais definidas através de Indefinidas 5.2.2.1 Integral Definida com o Limite Superior Variável x

Se a função f  x  é contínua no segmento a, b, a função F x    f t  dt é uma função a

primitiva de f  x  , isto é, F ' x   f x  , quando a  x  b .

5.2.2.2 Fórmula de Newton – Leibniz Se F ' x   f x  , temos: b

 f x dx  F x

b a

 F b   F a  .

a

A função primitiva

F  x  é calculada, achando – se a integral indefinida

 f x dx  F x  C . Exemplo: Achar as seguintes integrais:

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 170

3

 x dx

1.

3

0

Resolução: Vamos achar a primitiva de f  x   x 3 . 3  x dx 

x4 C. 4

Assim, 3

x4 x dx  0 4

3



3

0

3 4 0 4 81 81   0  4 4 4 4

3

2.

x

4

dx

1

Resolução: A primitiva de f  x   x 4 é F x  

x5 . Assim, 5

3

x5 x dx   5 1

3

4

3

3.

dx

 1 x

2

1

35  1 244 .    5 5 5 5

.

1

3

Resolução: A primitiva de f  x  

1 é F x   arctg x . 1 x2

Deste modo: 3

dx

 1 x

2

 arctg x

1

3 1

 arctg

3  arctg

3

1 3



 3



 6



 6

.

3

2

4.

 0

x 2 , 0  x  1 f x  dx , onde f x    . 2  x , 1  x  2 

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 171

Resolução:

f  x  tem comportamento quadrático em

Como podemos ver, a função

0, 1

e

comportamento linear em 1, 2 . No cálculo do integral usaremos a propriedade de aditividade que, para este caso, é: 2

 0

1

2

x3 f x  dx   x dx   2  x  dx  3 0 1

1

2

0

2

 x2  5   2 x    . 2 1 6 

5.2.3 Integrais Impróprias Existem dois tipos de integrais impróprias: i)

Integrais com limites infinitos: o campo de definição da função integranda é o semi – eixo fechado a,  ou  , b, ou todo o eixo numérico  ,   .

ii)

Integrais de funções descontínuas: a função dada é contínua em todo intervalo de a até b , com a excepção de um número finito de pontos isolados, chamados singulares.

Pode – se encontrar casos mais complexos, como são as combinações de ambos os tipos. 5.2.3.1 Integrais com Limites Infinitos Definição: seja o campo de definição da função o semi – eixo fechado a,  . Por definição: 

 a

f x  dx  lim

B 

B

 f x dx a

se este limite existe, a integral existe ou converge e chama – se integral imprópria. Se este B

limite não existe, a integral também não existe ou diverge. Se lim

B 

 f x dx   , escreve – a



se

 f x  dx , esta integral é divergente. Analogamente se definem as integrais para a



função dada no semi – eixo  , b ou em todo eixo numérico  ,   :

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 172

b



f x  dx  lim

A



b



f x  dx





e

f x  dx  lim

 f x  dx

A  B  A



A

B

Exemplos: Investigar a convergência das seguintes integrais: 

1.

 1

dx x

Resolução: 

Por definição:



2.

B

dx dx  lim ln B   . A integral é divergente. 1 x  Blim   x B 1

dx

1 x

2



Resolução: 

Por definição:

dx dx     lim arctg B  arctg A        . A integral 2 1  x 2  Alim    1  x A  2  2 B   A B   B

é convergente. 5.2.3.2 Integrais de Funções Descontínuas Definição: seja o campo de definição da função um intervalo semi – aberto a, b  ou em todo intervalo fechado a, b sendo o limite no ponto b : lim f x    . Neste e no outro x b

caso, por definição, teremos: b

 a

f x  dx  lim

 0

b 

 f x  dx a

Se este limite existe, a integral existe ou converge e denomina – se integral imprópria. Se o b 

limite não existe, a integral não existe ou diverge. No caso em que lim

 0

 f x  dx   , a

b

denota – se por

 f x dx   ; esta integral é divergente. a

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 173

b



A integral

f x  dx  lim

b 

sempre existe se a função f  x  é contínua em partes

 f x dx

 

a

a

e limitada no domínio a, b  . A partir daqui supõe – se que a função f  x  não está limitada, isto é, lim f x    . Analogamente define – se a integral imprópria para uma x b

função dada num intervalo aberto a esquerda a, b , ou no intervalo a, b, mas sendo lim f x    x a

b



f x  dx  lim

 0

a

b

 f x  dx

a

Finalmente, se a função está dada em todo o intervalo a, b, com excepção de um interior c a  c  b , isto é, nos dois intervalos semi – abertos a, c  e c, b, ou está definida no ponto c , mas lim f x    , então a integral imprópria define – se assim: x c

b

c 

b

a

a

c 

f x  dx  lim  f x  dx  f x dx  lim  0   0 Os números  e  tendem a zero independentemente um do outro. Exemplo: Calcular as seguintes integrais impróprias b

1.



dx x

0

Resolução: O ponto de descontinuidade é x  0 . b

 0

8

2.



1

dx x

b

dx



x

dx  lim   0





 lim 2 b  2   2 b . A integral converge.  0

dx 3

x

Resolução:

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 174

A função tem um ponto de descontinuidade quando x  0 .

8



dx

1

3

x



 lim

 0



dx

1

3

x

8

 lim  3  0

dx



X

2 2    3  3   lim 3  4   3   9 . A integral é convergente.   1   0 2   2  0 2     

 lim

5.2.4 Troca de Variável na Integral Definida Se a função f  x  é contínua no segmento a  x  b e x   t  é uma função contínua junto com sua derivada  ' t  , no segmento   t   , onde a     e b     , e a função f  t  é definida e contínua no segmento   t   , teremos: 

b

 f x dx   f  t  t dt '

a

Exemplo: a

Achar

x

2

a 2  x 2 dx

a  0 .

0

Resolução: Para acharmos a integral vamos aplicar a substituição trigonométrica e a sua respectiva derivada: x  a sen t ; dx  a cos t dt . Partindo da substituição trigonométrica, vamos isolar a variável t: t  arcsen

x . De a

seguida, podemos trocar os limites de integração por:   arcsen 0  0 ,   arcsen 1 

 2

.

Assim, teremos:

a

x







2

2

4 2

a 2  x 2 dx   a 2 sen 2 t a 2  a 2 sen 2 t a cos t dt  a 4  sen 2 t cos 2 t dt 

2

0

0

0



a4  8

a4   1  cos 4 t dt  0 8 2

a 4

 sen

2

2t dt 

0



4  1  2 a t  sen 4 t  .   16  4 0

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 175

5.2.5 Integração Por Partes Se as funções u x  e v x  tem derivadas contínuas no segmento a, b , teremos:

b

b

' '  u x dx v x dx  u xv x a   v xu x dx b

a

a

5.2.6 Teorema de Valor Médio 5.2.6.1 Apreciação das Integrais Se f x   F x  para a  x  b , então,

b

 a

b

f x  dx   F x  dx . a

Se f  x  e  x  são contínuas para a  x  b , além disso,  x   0 , então: b

b

b

a

a

a

m   x  dx  f x  x  dx  M   x  dx onde m é o valor mínimo absoluto e M é o valor máximo absoluto da função f  x  no segmento a, b .

b

Em particular, se  x   1 temos m b  a    f x  dx  M b  a  . a

Exemplo: 

Apreciar a integral I 

2



1

0

1 sen 2 x dx . 2

Resolução: Como 0  sen 2 x  1, temos:

 2

I

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

 2

3 , isto é, 1,57  I  1,91 . 2

Página 176

5.2.6.2 Valor Médio da Função

1 O número   ba

b

 f x dx

chama – se valor médio da função f  x  no segmento

a

a  x  b.

Exemplo: 1. Achar os valores médios para: a)

f x   x 2 , x  0, 2

Resolução: Por definição: 2

1 1 x3    x 2 dx  2 0 2 3

2

 0

4 . 3

b) f x   x , x  0, 100 Resolução: Por definição temos: 1  100

c)

100

 0

100

1 2x x x dx  100 3

 0

20 . 3

f x   10  2 sen x  3 cos x, x  0, 2  Resolução:

Por definição temos:

1  2

2

 10  2 sen x  3 cos x dx  2 10 x  2 cos x  3 sen x 1

2 0

 10 .

0

2. Ache o valor médio da velocidade dum corpo em queda livre, cuja velocidade inicial é v0 . Resolução: Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 177

A velocidade dum corpo em queda livre é dada pela fórmula: vt   v0  gt .

Suponhamos que T é o tempo que o corpo demora a cair.

Então:

1 1 1 1 1 1  1  1 v   v0  gt  dt   v0T  gT 2   v0  gT   v0  v0  gT   v0  v1  T0 T 2 2 2 2  2  2 T

onde v1  v0  gT é a velocidade final do corpo, isto é, a velocidade do corpo quando choca com a terra.

5.2.7 Aplicação das Integrais Definidas (Áreas de Figuras Planas) 5.2.7.1 A área em Coordenadas Cartesianas Se

uma

curva

contínua

é

dada

em

coordenadas

cartesianas

pela

equação

y  f x ,  f x   0 , a área do trapézio mistilíneo, limitado por esta curva, por duas verticais nos pontos x  a e x  b e pelo segmento do eixo das abcissas a  x  b é determinada pela fórmula: b

S   f x  dx a

Exemplos: 1. Calcular a área da figura limitada pela parábola y  4 x  x 2 e o eixo OX . Resolução: A parábola y  4 x  x 2 tem concavidade virada para baixo e os seus zeros da função são x  0 e x  4 . Então ao calcularmos a área, teremos: 4



S   4x  x 0

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

2



4

 x3  32 dx   2 x 2    3 0 3 

Página 178

2. Calcular a área da figura limitada pela parábola y 

x2 , pelas rectas x  1 e x  3 2

e pelo eixo das abcissas. Resolução: A área procurada será expressa pela integral: 3

x2 x3 S dx  2 6 1

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

3

 1

13 . 3

Página 179

5.2.8 Exercícios Propostos Integral Indefinida 1. Achar as seguintes integrais, utilizando as regras principais e as fórmulas de integração: a)

 5a

b)

 (ax

c)

 xx  ax  b dx

d)



2abx dx

e)



x3

f)

 nx  n

g)

 xsen (1 x

h)

 cos

i)

x

j)

2

x 6 dx 2

 bx) 2 dx

dx

x2  4 1 n

dx

x



2

x

2

2

)dx

dx

x2

dx  10

m

 xn



2

x

dx

2. Achar as seguintes integrais:

( x 2  1)( x 2  2)

a)



b)

 (a  bx

c)

 tg

d)

 2 x  1 dx

3

2

x2

dx ,

) dx ,

3 2

xdx ,

2x  3

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 180

x3

e)



f)

 sen

g)

 xsen (1 x

h)

 cos

x2  4 2

xdx

x 2

dx

x2

2

)dx

dx

3. Achar as seguintes, utilizando as substituições mais adequadas:

dx

a)

x

b)

 x (2 x

c)



d)



x2  2  5) 8 dx

2

x x 1

dx

cos x 1  sen 2 x

dx

4. Utilizando as substituições adequadas, ache as integrais:

x2  a2 dx x

a)



b)

 x(2x  5)

c)

 x(5x

2

10

dx

 3) 7 dx

5. Achar as seguintes integrais, utilizando a fórmula de integração por partes: a)

 xsenxdx

b)

x

c)

e

d)

3

2

ln xdx

x

senxdx

x

cos xdx

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 181

6. Achar as integrais: dx  x 1

a)

 3x

2

b)

x

3x  2 dx  4x  5

c)



d)



e)

 ( x  1)

f)



x 2  4 x  3 dx

g)



4  x  x 2 dx

2

3x  6 x 2  4x  5

dx

dx x  x2 dx x2  2

7. Aplicando os conhecimentos acerca das integrais, achar as integrais: dx ,  2x  5

a)

x

b)

 3x

c)



d)



e)

 ( x  1)

f)



x 2  2 x  5 dx

g)



x  x 2 dx

2

3x  2 dx 2  x 1

3x  6 x 2  4x  5

dx

dx 5x 2  2x  1 dx x2  2

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 182

Integral Definida 8. Calcular as seguintes integrais: 1

a)

x

2

dx

1

2

b)

 (x

 2 x  3) dx

2

1

1

c)

( 0

z3 ) dz z6 1

3

d)

 0

dx 25  3x

1

e)

x

2

0

f)

2 2

dy



1 y2

0

e2

g)

dx  4x  5

dx

 x ln x e

3, 5

h)

 2

du 5  4u  u 2

 4

i)

 cos

2

y dy

0

1

j)

ez 0 e 2 z  1 dz 6

k)



y  2 dy

2

9. Calcular as seguintes integrais: 1

a)

x

2

dx

2

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 183

2

b)

 (x

 2 x  3)dx

2

1

8

c)

(

2 x  3 x ) dx

0

4

d)



1 y y2

1

1

e)

x

2

0

1

f)

 e

 1

x dx  3x  2

y 2 dy y6  4

0

g)

sen (ln x) dx x

3, 5

h)

 2

dy

dx 5  4x  x 2

 4

i)

 cos

2

x dx

0

1

j)

ex 0 1  e 2 x dx 6

k)



x  2 dx

2

10. Calcular as seguintes integrais impróprias: 2

a)

dx x 1

 1

b)

dz

 z 0



c)

dx

 x 1

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 184

3

d)

dx

 x  1

2

0

e)

1 2

dx

 x ln x 0

f)

1 2

dx

 x ln 0

2

x

11. Calcular as seguintes integrais, empregando a fórmula de integração por partes:  2

a)

 x cos x dx 0

e

b)

 ln x dx 1



c)

e

x

senx dx

0



d)

 xe

x

dx

0

12. Calcular a área da figura limitada pela parábola y  4 x  x 2 e pelo eixo das abcissas.

13. Calcular a área da figura limitada pela curva y 3  x , pela recta y  1 e pela vertical x  8 .

14. Calcular a área do segmento da parábola y  x 2 , que corta a recta y  3  2 x .

15. Achar a área da figura limitada pela parábola y  2 x  x 2 e pela recta y   x .

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

Página 185

CAPÍTULO VI: SÉRIES NUMÉRICAS

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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CAPÍTULO VI: SÉRIES NUMÉRICAS 6.1 Noção de Convergência de uma Série Numérica Definição 1: Seja dada uma sucessão numérica infinita u1 , u 2 , u 3 ,, u n , . A expressão 

designatória formal u1  u 2  u3    u n   ou o que é mesma coisa,  u n diz – se série n 1

Numérica, onde u1 , u 2 , u 3 ,, u n , são termos da série e u n é o termo geral (ou n-ésimo termo). Definição 2: À soma S n  u1  u 2  u 3    u n dos n primeiros termos da série u1  u 2  u3    u n  

chama

u n1  u n 2  u n3    u n k  

–

cujos

se

n-ésima

termos

são

soma todos

parcial os

e

a

série

termos

da

série

u1  u 2  u3    u n   , a partir da (n+1) - ésimo termo, escritos na mesma ordem,

chama – se n-ésimo resto da série u1  u 2  u3    u n   ou resto de ordem n.

Definição 3: A série u1  u 2  u3    u n   , diz – se Convergente se a sucessão das suas somas parciais S n  é convergente. No caso contrário a série diz – se divergente. Se a série converge então ao limite s  lim s n chama – se soma da série. Neste caso escreve – se n 

s  u1  u 2  u3    u n  ... 

ou seja, s   u n . n 1



De acordo com a designação s  u1  u 2  u3    u n  ... ou s   u n , a expressão n 1

designatória u1  u 2  u3    u n   no caso da série convergente designa sempre a sua soma.

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Se lim sn   , lim sn   , lim sn   , então escreve – se respectivamente n



u n 1

n

n

  ,



u n 1

n

n



u n 1

n

 ,

  .

Portanto, a cada série corresponde uma sucessão numérica das suas somas parciais, sendo a convergência desta equivalente à convergência da respectiva série.

Reciprocamente, a cada sucessão pode – se fazer corresponder uma série da qual ela seja a sucessão das suas somas parciais. Com efeito, seja dada a sucessão v n  . Pondo u1  v1 , u 2  v2  v1 ,, u n  vn  vn1 , consideremos a série u1  u 2  u3    u n   .

Então, S n  u1  u 2  u 3    u n  v1  v2  v1   v3  v2     vn  vn1   vn .

Assim, o estudo da convergência duma série (sucessão) sempre pode ser reduzido ao estudo da convergência de uma sucessão (série). 6.2 Critérios de Convergências 6.2.1 Teoremas i)

Se a série obtida suprimindo em u1  u 2  u3    u n   um número finito dos seus termos converge, a série

u1  u 2  u3    u n  

converge

igualmente. Reciprocamente, se a série u1  u 2  u3    u n   converge a série obtida suprimindo vários termos converge igualmente. Por outras palavras, não se afecta o carácter de convergência duma série suprimindo um número finito de termos. ii)

Se a série u1  u 2  u3    u n   converge e a sua soma é s, então a série c u1  c u 2  c u 3    c u n   também converge e a sua soma cs, sendo c

constante arbitrária. Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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iii)

Se as séries



 u n  u1  u 2  u3    u n   e n 1

são

convergentes



 u n 1

n 1

tem

por

somas

v n 1

s1

n

e

 v1  v 2  v3    v n  

s2 ,

n

 vn   u1  v1   u 2  v2   u 3  v3     u n  vn   

n

 vn   u1  v1   u 2  v2   u 3  v3     u n  vn   



 u

e



então

as

séries

e convergem

igualmente e têm por somas s1  s 2 e s1  s 2 respectivamente. Diz – se que as séries 

 u n 1

n

 vn   u1  v1   u 2  v2   u 3  v3     u n  vn   

n

 vn   u1  v1   u 2  v2   u 3  v3     u n  vn   

e 

 u n 1

foram obtidas somando e subtraindo termo a termo as séries 

 u n  u1  u 2  u3    u n   e n 1

As séries



 u n 1

e



 u n 1

n

n



v n 1

n

 v1  v 2  v3    v n   .

 vn   u1  v1   u 2  v2   u 3  v3     u n  vn   

 vn   u1  v1   u 2  v2   u 3  v3     u n  vn    chamam – se

respectivamente a soma e diferença das séries 

u n 1

n

 u1  u 2  u 3    u n  

n

 v1  v 2  v3    v n   .

e 

v n 1

iv)

Se uma série u1  u 2  u3    u n   converge o seu termo geral u n tende para zero ao tender n para infinito. (Condição Necessária de Convergência de uma Série)

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Corolário Se o termo geral u n duma série u1  u 2  u3    u n   não tende para zero quando n   , então a série diverge. Para que uma série u1  u 2  u3    u n   convirja é necessário e suficiente

v)





que   0N  N   : n  N p     sn p  sn   

Definição 4: Uma série numérica do tipo  u n  u1  u 2  u 3    u n  , n 1

un  0 e



v n 1

n

 v1  v 2  v3    v n   , v n  0 , diz – se série numérica de

sinal contrário. Nota: 

u n 1

n

Sem

violar

a

generalidade

podemos

considerar

só

a

série

 u1  u 2  u 3    u n  , u n  0 de termos positivos sendo

 v1  v2    vn    v1  v2    vn   . Consideremos a seguir as condições suficientes de convergência das séries de termos positivos. vi)

(Critério de D’Alambert). Se uma série de termos positivos u n  0 a relação

u n 1 u tiver um limite finito p quando n   : lim n 1  p , então: n  u un n a) A série converge quando p  1 , b) A série diverge quando p  1 , c) Nada se pode concluir quando p  1 . No caso de este limite não existir ou se p  1 a série pode tanto convergir como divergir. Para determinar a natureza de uma tal série, recorrer – se – à a um outro critério. No entanto se p  1 e se existir um número N tal que o quociente

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u n 1 seja un

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maior que a unidade n  N , então a série diverge, pois não está satisfeita a condição necessária

vii)

(Critério do Radical de Cauchy). Sendo dada a série



u n 1

n

e u n  0 , se se tiver

lim n u n  p , então n 

a) A série converge quando p  1 , b) A série diverge quando p  1 , c) Nada se pode concluir quando p  1 .

viii)

(Critério 

u n 1

n

do

Integral

de

Cauchy).

Seja

dada

a

série

, u n  0, u1  u 2  u 3    u n   e seja f (x) uma função contínua não

crescente tal que f 1  u1 , f 2  u 2 , , f n   u n ,  Pode – se então afirmar que a série



u n 1

n

, u n  0, u1  u 2  u 3    u n   e o integral



 f x dx convergem ou divergem simultaneamente. 1

Definição 5: Se u n  vn n  1, 2, 3, , u n  0 , então a série v1  v 2  v3    v n   diz – se majorante para a série u1  u 2  u 3    u n   ix)

(Primeiro Critério de Comparação). Seja dada a série



u n 1

majorante



 vn ; então, da convergência de série majorante n 1

convergência de série



u n 1

n

, u n  0 e a sua 

v n 1

, u n  0 , e da divergência da série

segue – se divergência da série majorante



v n 1

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n

n

segue – se

n



u n 1

n

, un  0

. Página 191

x)

(Segundo Critério de Comparação). Se u n  0 e v n  0 e existe o limite

un  a, 0  a   , então as séries n  v n

lim



 un e n 1



v n 1

n

convergem ou divergem

simultaneamente. xi)

(Critério de Raabe). Seja dada a série



u n 1

n

, u n  0 , então se existir o limite

 u  lim n n  1  p , n  u n1  a) A série converge quando p  1, b) A série diverge quando p  1 , c) Nada se pode concluir quando p  1 . Este critério é mais forte do que o critério de D’Alambert, pois permite estudar a convergência da série nos casos em que o critério de D’Alambert não é concludente. 6.3 Critérios de Convergência das Séries de Termos Positivos e Negativos Se a série a1  a2  a3  ...  an  ..., formada pelos valores absolutos dos termos da série



u n 1

n

é convergente, a série



u n 1

n

também é convergente e recebe o nome de

absolutamente convergente. Se, ao contrário, a série



u n 1

n

é convergente, enquanto que

a série a1  a2  a3  ...  an  ... chama – se, então, condicionalmente convergente.

Para averiguar se a série



u n 1

n

é absolutamente convergente, podem empregar – se para

a série a1  a2  a3  ...  an  ... os já conhecidos critérios de convergência das séries de termos positivos. Em particular, a série



u n 1

n

será absolutamente convergente, se

a n 1  1 ou lim n a n  1 . n  n  a n

lim

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Página 192

No caso geral da divergência da série a1  a2  a3  ...  an  ... não segue a divergência da série



u n 1

n

a n 1  1 ou lim n a n  1 , então será divergente não só a n  n  a n

. Porém, se o lim

série a1  a2  a3  ...  an  ..., mas também a série



u n 1

n

.

Critério de Leibniz. Se para uma série alternada b1  b2  b3  b4  

bn  0 ,

são

válidas as condições: i)

b1  b2  b3  b4 

ii)

lim bn  0 n 

bn  0

a série b1  b2  b3  b4  

é convergente. Para o resto da série R n , neste caso,

será válida a apreciação Rn  bn1 .

Exemplo 1: n n 1  2  3  4  n  Analisar a convergência da série 1           ...   1 2    ...  3 5  7  2n  1  2

3

4

n

Resolução. Compomos a série de valores absolutos dos termos da série dada: 2

3

4

 2  3  4  n  1           ...     ... ,  3 5  7  2n  1  Como n

n 1 1  n  lim   lim  ,   lim n  n   n   1 2 2n  1  2n  1  2 n n

a série dada é absolutamente convergente.

Exemplo 2:

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A série 1 

1 1 n 1 1      1 .   é convergente, já que são válidas as condições do 2 3 n

critério de Leibniz. Porém, converge não absolutamente (condicionalmente), já que a série 1

1 1 1       é divergente (série harmónica). 2 3 n

6.4 Séries de Potências ou Série Inteira 6.4.1 Definição: Chama – se série inteira ou séries de Potências a série funcional da forma

 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ...,

onde

 0 , a1 , a 2 ,... , a n , ... são

constantes

chamadas

coeficiente da série.

6.4.2 Campo de Convergência. O conjunto dos valores do argumento x , para os quais a série de funções f1 x   f 2 x   ...  f n x   ... é convergente, chama – se campo de convergência desta série.

A função S x   lim S n x  , onde S n x   f1 x   f 2 x     f n x  e x pertence ao campo n

de convergência, recebe o nome de soma da série e Rn x   S x   S n x  o de resto da série.

Nos casos mais simples, para determinar o campo de convergência da série f1 x   f 2 x   ...  f n x   ... basta aplicar a esta série os conhecidos critérios de

convergência, considerando x fixo. Exemplo: Determinar o campo de convergência da série

x  1    x  1   x  1 x  1   2 1.2 2.2 3.2 3 n.2 n 2

3

n

Resolução: Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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Chamando de u n o termo geral da série, teremos: lim

n 

u n 1 un

x 1

 lim

n 

2

n 1

n 1

.2 n.n

n  1 x  1

n



x 1

,

2

Segundo o critério de D′Alembert pode – se afirmar que a série é convergente se x 1 2

 1 , isto é, se  3  x  1 . A série é divergente, se

x 1 2

 1 , isto é, se    x  3

ou 1  x   . Quando x  1 , obtém – se a série harmónica 1 

1 1    , que de acordo 2 3

com o critério de Leibniz é convergente. Isto quer dizer que a série converge quando  3  x  1.

6.5 Série de Taylor 6.5.1 Desenvolvimento de uma Função em Séries de Potências Se uma função f  x  admite um desenvolvimento em série de potência de x  a num entorno de x  a  R do ponto a , esta série chama – se Série de Taylor, e terá a seguinte forma: f  x   f a   f ' a  x  a  

n  f '' a  x  a 2    f a  x  a n   2! n!

Quando a  0 a série de Taylor também recebe o nome de Série de Maclaurin. A igualdade

f  x   f a   f ' a  x  a  

n  f '' a  x  a 2    f a  x  a n   é justa, se 2! n!

para x  a  R o termo complementar da fórmula de Taylor n   f k  a  x  a k   0 , quando n   . Rn x   f x    f a    k! k 1  

Para avaliar o termo complementar da série pode – se empregar a fórmula

Rn x  

x  an1 n  1!

f n1 a   n x  a  , onde 0   n  1 . (forma de Lagrange).

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6.5.2 Métodos Usados Para Desenvolver em Série de Potências Usando os desenvolvimentos fundamentais: x x2 x3 xn     1! 2! 3! n!

   x    ,

i)

ex  1

ii)

x x3 x5 x 2 n 1 n sen x        1  2n  1! 1! 3! 5!

iii)

cos x  1 

iv)

1  x m

2n x2 x4 n x      1  2n ! 2! 4!

 1

   x    ,

   x   ,

m m  1x 5 2 m mm  1 m  n  1 n x x  x  1! 2! n!

 1  x  1 ,

O desenvolvimento desta série se comporta da seguinte maneira: se m  0 , converge absolutamente em ambos os extremos; se  1  m  0 , diverge quando x  1 e converge condicionalmente quando x  1 ; se m  1 , diverge em ambos os extremos. n x2 x3 n 1 x ln 1  x   x       1  2 3 n

v)

 1  x  1 ,

Pode – se em muitos casos, obter – se facilmente o desenvolvimento de uma função dada a série de potências, sem que haja necessidade de investigar o resto da série. As vezes ao fazer o desenvolvimento, é necessário utilizar a derivação ou integração termo a termo. Quando se trata de desenvolver em série de potências de funções racionais, recomenda – se desenvolver tais funções em fracções simples.

Exemplo: Desenvolver em série de potências de x a função f x  

1 . 1  x 1  2 x 

Resolução: Desenvolvendo a função em fracção simples, teremos: f x   Como

1 1 .  1  x  1  2 x

  1 1 2 n  1 x  x2     xn e  1  2 x  2 x       1 2 n x n , 1 x 1  2x n 0 n 0

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Definitivamente teremos: 



n 0

n 0







f x    x n  2   1 2 n x n  1   1 2 n1 x n . n

n 0

n

As progressões geométricas  1  1 x  x2     xn 1 x n 0

 1 2 n  1  2 x  2 x       1 2 n x n , 1  2x n 0

e

são convergentes respectivamente quando x  1 e x  



n 0

n 0





1 , portanto, a fórmula 2



f x    x n  2   1 2 n x n  1   1 2 n1 x n

é válida quando x 

n

n 0

n

1 1 1 , isto é, quando   x  . 2 2 2

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6.6 Exercícios Propostos 1. A partir da definição estudar a convergência da série:

1 1 1   ...   ... 3n  23n  1 1.4 4.7 2. Verificar a condição necessária da convergência para as seguintes séries: a)



3n  3

 2n  4 n 1

b)



n5 2 4

n n 1

3. Aplicando o critério Integral de Cauchy, estudar a convergência da série: 1

1 1 1   ...   ... 2 3 n

4. Aplicando o critério de D´Alembert, estudar a convergência das séries: a)

2n  1 2n n 1 

 

3n b)  n n 1 2 2 n  1

c)



n 1

d)

n!

5

n



n

n4 n 1

5. Estudar a convergência das seguintes séries, aplicando o critério do Radical de Cauchy:

 n 1  a)    n 1  2n  1  



 1 b)  1   n n 1  c)

n2

 n 1   2   n 1  n  1  

3n

n

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

 1 d)  1   n n 1 

 n2

6. Aplicando o critério de comparação, estudar a convergência das séries: a)



 n 1

b)

1 n



1

 3 3n  1 n 1

n

7. Desenvolver as funções: i) y  e x e ii) y  senx em séries de Maklaurim.

8. Desenvolver a função y  cos x em séries de Taylor na vizinhança do ponto x

 4

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BIBLIOGRAFIA

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Página 200

BIBLIOGRAFIA 1. Alves, E., ALVES M., Elementos de Análise Matemática. Parte I, Imprensa Universitária, Maputo, 2000. 2. ALVES, E., ALVES M., Elementos de Análise Matemática. Parte II, Maputo, 2004. 3. BEIRÃO, J. C.; MORGADINHO, S.; Introdução à Análise Matemática, texto editores, Lda., 1ª ed, Maputo, 2006. 4. BEIRÃO, J. C.; ALEXANDROV, R.; Problemas de Análise Matemática II – Séries, 1ª ed., Universidade Eduardo Mondlane, 1982.

5. BRONSTEIN, I.; SEMENDIAEV K.; Manual de Matemática para Engenheiros e estudantes, 2ª edição, Editora Mir Moscovo, 1984.

6. CHIANG, A. C., Matemática para Economistas, Editora McGraw-Hill, São Paulo, 1982. 7. DEMIDOVITCH, B. e outros; Problemas e Exercícios de Análise Matemática, 3ª edição, editora Mir Moscovo, 1977. 8. NEVES, M. A. F, VIEIRA, M. T. C., ALVES, A. G.; Matemática, 11º ano, porto editora. 9. PISKUNOV, N., Calculo Diferencial e Integral, 18ª edição, volume I, Livraria Lopez da Silva - Editora, 2000. (Traduzido em Português por António Eduardo Teixeira e Maria José Teixeira).

Mendes Cardoso Cândido, Matemática I,

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