Matematica Formule Utile - Clasele 5-8

i1. \l

EDIUNA tETE0[ PNESS

D i stri l_' ' _ Te /F . : Ema i

rsaN973-833$,8&X . 1. rrpress ro

\x

\.ir ltillliltiililuilillltil

DORUSAVULESCU

roNRo$u

MATEMATICA UTILE FORMULE eleviiclaselor V-Vlll Dentru

MEIEllRI,JII p n Esslill

LucraEa a lbsr rvizad de Minnrerul Edu.adei, cer€rt ii.ltee.ului ti spoiului (t 2501427.01.2003) penlru a fi nilizaln la p€gttirca elevilo. in chsnsi in a1a6clasei

Mel€or Prcs, cdib.n acr€diratnd. C,N.C.S.[S. Cod 145/2011

Ct+ttt:

ntlL Drrid Mqta^u

O 2d13,ncditd 2011To.tc drcpturLlc aupn sunt sc(ar. edftlni METEOR PRESS

r-nail

[email protected])

F mait snozi@deteorpes

tedDiint

o

acsrei editii

ALGEBRA rul{mc. nudc.elor nrturaleN N = 1 0 ,I , 2 , 1 , 4 , 5 , . . ) 5 i N *= {1 , 2 ,3 , 4 , 5 , . . . }. NuneBIena$ralescerupeuah: a numerepaE. caf seinpan exactla 2 $i senoteozt , = 2t ti a numereimpare,4c nu selnpad exactla 2 $ le noEm Op..rlii c! nldere @runle Ad@r@. DacN",, € N rtuncia +, =. € N. Pm.rietdlileadunirii d conubrivibrm: a + b = , + a, (v) d, , € N; a Asociativihtea: (a + ,) + .: = ! + (, + .), (V) a, ,, . € Nl q Nun&ul 0 (4ro) csr. clcn€nl neulruhlt de adunarc: d +0 =0 +d =a , ( V ) a € N . Sctdcr€a.a-, =., dacdti nun^i dnc^a= b +.. i n 'n u l l i r e aD . a c !a , b € N , a l u n c i a 'b=. € N ll!!ris-!.isl!41!idi c C o n u B l i v i u r e ia , = , a . ( V ) a , , € N i q A s o c i a r i v i r r e(au: 6 ) . : ! (r..).(v)2,r,.€Ni c Nunftd I es&elementncutrulaFd€l.nullire: , . l =l a =a , ( V ) a € N : Disliibutilitatea lnnultnii fardd€ adunareSi scrdeE: .,(v)a.t.€N. a ( , ! . ) =, , 1 ,

Teorcna imptrfirii ctrr€stin N Oricde & li dour nunere naturaleD, t, ntnire.leinpn4l 51. 6pectiv. i"En4iot, c! I + O exish ahe douanumerenanrdle c ii n. nunitc .at $i .dsr, astfelinclr D = I t C + R, R < t.

C.iteriidedivizibilitate G un nunar naruralcslc divizibil cu 2, dac! ti nufrai daci ujtina cifri a num&uhi 4te cilia pard:0, 2, 4, 6. 8 c Un nuntr natual esredivizibilcu 5, daca$i nunai dact ultina cif.. anundruluiest€0 sd 5. u. numsrnarunlsre divizibilcu 10.dacdti nunai dact lliima ciftaa numiruluiesterro. c Un numdrmtural6t€ divizibilcu 3 (sau9), deii.uma' dad sunacilElornumrrului6te divizibiltcu3 Ge 9). *Un numar nanral este divizibil cu 4 dacd$ nunai daca nuntrul fomot de ultimeie doud cifte. in ordhea ln cde su.l s(isc, estdivizibil cu4. .Un numrrnatulalest€divizibilcu 25 d.cI ti nunai daca nunirul format de ultinele doue cifft, in ordioearn cde sunrsfise, estcdivizibilcu 25.

Un numtr naturald estedttri.r't cu un nunar nalDralt dacr exiss un numrr mtudl ., aslfelincA\ a = b .. , Scricm a : , si citiF a sedivid€cu, su ,la $i ciim b il dividepe d. Numrrul a se nunre$et&!?1". iar , se nlmc5te

Numereprin.9i nun.re co'r0rce I n numarcffd i e e \ a . l d o rd n i a r i ( p ( l ) ' I u n r r u l i n s u ) i nuniri si divizori improp i) sentmeStentdb pnb, Un nuntr cm e nai mult de doi divi&t se nunc9te nuhdt h.?nn sauNnd. @htpus.Nun€ele 0 $i I nu sunl nici

ln N Proorieftiale.elaticid€divizibililale a a: a pen$t otice a- refaitaledl a= b- ant ^inet ia: , Dacda:b t b l o , - Dacaaibsi b 1c,^ttnci ^ rDc i d : . - tru\itiitaka:. Orie numrr natunl 6te divizlbil cu I i scrien a : l, (V)a€ Ni - z€ro estediyizibilctroricenunr naturalr q scrien 0 :ai Dacdd:, ta . : r, d un c i ( z i. ) : r i ? Dac. a:, alu nci(a ..) lr , ( V) . € Ni ? Dacta ri z i.ud€rsi.sutpnmlnhelealunci d !(, .)

Cel mi llrm dilimr conun (..n.nll..) Spuem despe u nunar naluralI ca eite c.m n.d c. al u.or nunere naluiale, daca 6to divi4r @nun (divide fiecde drn nurerele rcsp*tivo !i ori@ al1 divizor mmun / rl acelor nun€re esr€divizor pentu 4 notin d = (a. b) sN (a. b) ' d. C.n.m.d.c. al unor nunere esle cel mai mrc di.lE elenenteleinten€cli€inullimilor divizoilor numcrclor.Acesla se a1l5 folosind m€todadsompunerii nundelor h prodn. d. f&lori tdmi ti limutind facloriipini comuniI. pnterile@le ndi nici la careli gsen ln descompuneri

e

r. do = 1 , ( V ) a e N *

c

2 tl

a

3 dD u t = t r n - r , ( V ) n ,n € N. a € N*, n > ":

.-

1 tvu) =r,''.

-

6 (a: r)'=a' : d', (v),rcN, a.r€N* Inplrfir$ a :, =., d ac t o = r ' .

.!'t = a"t+,\, (v)_,n€N.

d€N*:

rvr,rr€N. , €N1

900 22.5. 9 .l 3 J

t50q 2r jr l5 I

j :

"..-

9c/i)=2..3".* 1500=2 J t

a" =z-rfJ =:oo

)j

.Jr \unl numE p me p,ine),

Cel mt Fic nuldplu .ollu G.nnnc.) spunm ca un nlmtr naluEl nenulu esiEc.n m n c. d unor nJmcr naruml.,.lact 6re muhiplucomunal &elor num.re )i orice aI multith conun nennl d al felor rumE eslenulriplu al lui ,r ti iolrn La,rl = r. C.n.n.m.c.al undnun@ ene cel nai mic elenent.m!l ai inreBecliei nultnilor nubtlilor Glor nnn@. Aesla se ani tolonnddescohpuner.a nun.rlor In podu' de faclor p',mr ll innullindladoni prini conuniti nemuii, scritio singuridat4 la pulorilocele mai nwi la ce li grsim ln dG@mpunerile

Dxenplu:Sasoafle[420,49s]. 42012 5 49513 225=2\ 3 5 1 4212 1651 3 1 6 5 = 3 25 l r 31 5 ? n 2t 13 5s l 5 ll ll 7l1 I ll 31 5. 7. Il = 13860 I!20,4951=22. (o,bJ Io,bl=o h

I,0, 1,2.1.....,,...

Nuhtrul divibrilor nrturdi ri nnui n!mrr natural

(900,1 5m)=213 5 2= 300 Nurerc prim inrr€ ele: Doua nunse 5edu,s. priu s iirje eie (sa| tuA dactel nai nde divi@rcomunal lor 61e 1.

Mulline, nuncrtlor intreei z= | .., n,.,.-3,-2,z+ = z\ l0j.

e s r ed a t d ef o r n u r a , =( o r + D . ( a ?+l ) . . . . . ( d p+ l ) . E x ( m p l u :\ u m a r u l , =2 '

,: i,rrl

Obscrval'r:Numdrdld \r&rilorhlre'

- rr'

I' I

I ) =2 4

arrumdruluirnueg \u0i nunercp.mer

€sretr

( o : +l ) - . . . ( o p +l ) . - 2 . i o r +l )

Opus!l utruintrmnrintr€g Opuul unuj nuner inres a senoteazn- a. Sciem a > 0, p€nlo a ardlact nundrul htreg a eslepozniv. Scried a < 0. penh a arfta c, nunrnl lntteea esteoegativ. ModtrluIunui num!.tutr.g D.liniti.. Disrula de la oiginc p6.a la ponctul e reprezinE numnrul a. p. rxa .uneelor, se ntnelre nodulul s^n wLarea aAdlt a numtrulur a si senoteazdI a

aaf" a*a

r =0 l a l ={0 . d a c r "o l - " . a *a , . 0

eu

_ d l =l _ - _ : _ | ' o a c a'>u

-

b . Nq.bez: la b1=1a1. lal- -dl, wvezl l.l Lrld, ( z > 0) . lr > aei0 . , >0 =- ] =- 0 -

f A lrx€l-:.Lu

\

. d 4 d , >0 .

)

1 ,.f _ . adil.a *e ,.0 ,

"=;

\

Numtrd -q

s runEre soluliea ecualioidateii sercm

,l " lI ; l "Ecuari.deeradulll cu onecunosculd Protozilia d2 +rJ+. =0, ab,..r€R, o + O sc nunc$e r. ecualied€gradulalll ler co necunoscuta Ebele @olvlrii ecuateid€erldul ll cu o necunoscutd

o- ..' 0, .. * o.o=,r ,.l- - . 1]. /j \

21*[1.*).a"a".0 ta

)

shtemedc donn€cualiic, doul n€ummt€ Doni ecuatii de gradul I cu doua necunosculeform€ud un sinn.le eeatii 4eetudut I u doudmen6ek: y s +h ! - c

2. DerA< 0. ndicalulnum senstiecuaianu aresoluFtoale. D&r

^

> o ecuaria m solunrle r , =:jjla

Reblrar€. prinnelodaspbadtutiei l r +2 v =1 5 h =1 5 2 r

r =\ 5 - 2 r

] r, . -, r-] r, rs -: -i s r^ * ] a ' 6 " ' . u js

5 /r ir - lt / , . fr" l 5 * i lr-1,=rrle s-l " = z '1,=z

e]

),

[t-l i

77

numtruln&e=y=62

-l y =u

: -5= t(r 7rJ

ReblvaH prin retodr rcduc€rii .(1) )3, + 2f -12 s ) 6' 4r - 24 l2i+ 3r= lll(3 ) 1 6r + 9y = 39 / + 5) = 15e, = 15: 5 + y = 3 3 r+ 2 3 = 12e 3r= 1 2-6 € 3r : 6 er : 6: 3 3r : 2 s = (2, 3)1. Rczolvarcaproblcmclorcu rjtrtorul €cu,liilor saur sjsrem.lordeecMlii . ln €zlvaea unei poblcmc cu aiulorulmualiilor sau a srstemelorvom parcurgeumrlordo ct pe: l) Alcgcru nccuh6cDti(necrnoscutloi)i 2) so8Ea ccualici(@urliilor)poblemeii 3) Re@lvarea ocualkiGbtenului)i a) hterpeurc! solufei ecualieiGn@hului). Exemplo:Suna d dou, numeree$e 82. Sr se aile nunerele. itiind caunuldin eleinuececu2 lripluleluilalt. 2 ) N u manlnm =-t+ 2i=l+(3 a+ 2) = 82i 3 ) r+ 3j+ 2 = 8 2€ 4,= 8 2 2 e4 r = 803r = 80i4ir = 20. 4) Nuoarulnic = 20; .umrrulmae6re 3 20+ 2 = 62. l) Numt ul n'c=rr nmriuldd.:)i 2 ) r +, = 82 ti y=3 r+2 : l. r":-81 -r )1f \ . , -82 € ^e ( ^ | l\ I Lu l.r' lr'2

4) Nunrtrulmic-r=20:

f 4, . 82 2 l, = ) A €l l' .^1, - 2lr 62

Fie,4 si a dounnulimi novido.Un ptuceder (o Eguld) prin un \in8u cat fie(rru' elemenldrn nuldmeaA ri corespunde elomentdin mullinoa a s€ oumeite/4rcl4. Sdie'. J : A J a $, citin .,tun.1ia t dennitl pemultm€aA cu v.lon in nulfine. a' Mullrmea,{ ,e numettemullrmeade defin{re a f ncl'ei 'au domeniu de defif,ilio, id mul$frea a se nune5i€ mullinea de lalon saudoneniu de vabn sancodomdru. cr.ficul utrcitunc(ii li.iare Mulfimea nnuror peNhilor de numqe de roma (I' t(r)) cu G,4 t J('€ a s nune*e snfiNl tuncliei J ti e noteaz Gri d€ci: a' = l(r,t(1)) E/, t(rEBl. Re?Erendnd C€omelric, inlr-u, sish de axe, puncrclc detcrmin{e de pe.ahile d€ numercdio G, von spunecd d ticul repezentaer g@mctrict a sraficllui, id pentu sinnlinc,rca a4li4lqii spuneto cd an Epraenlat Ctaficll tuncliei. se aE Eperdh! srafic ftncria f. Penlruo tuncl'et: R+ Rde rmr JG) =d + r, plncrere craficului sunr coliri@, pentru ac*su cqJsqE! sd spunm ca Graficul unei functii f , R + R. ftt) = ar + , 2 . a