Matemática Financiera

 

MA-II  -   matemática aplicada II EDUBP EDU BP |  AMT

|segundo cuatrimestre

EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 1

 

í ndi ce

g

presentación 3

g

g

programa 4  contenido módulos   mapa conceptual 6   macroobjetivos 7

g

agenda 7

g

material 8 material básico   material complementario

g

glosario 8

g

módulos * m1 | 14   m2 | 41   m3 | 56 m4 | 67   m5 | 81   * cada módulo contiene: microobjetivos   contenidos   mapa conceptual   material

g

  g

actividades glosario

evaluación 91

impresión total del documento 91 páginas

!

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.2

 

pre s e nt aci ón Matemática Aplicada II Presentación

Esta asignatura esencialmente abarca los temas clásicos del Análisis Matemático en una variable, con la extensión de algunos de estos conceptos a funciones de dos o más variables. Se la considera básica ya que sus contenidos son necesarios para la comprensión de otras asignaturas del plan de estudios, como las Economías y las Estadísticas Aplicadas. El eje fundamental gira en torno al concepto de Función, muy usado en la vida diaria para relacionar dos o más cantidades. Por ejemplo, consideramos que la demanda o la oferta de un determinado bien o producto, dependen en general de su precio, de los precios de los productos sustitutos, de los recursos financieros, de los gustos, costumbres, etc.; el precio de envío de una encomienda está en función del peso de la misma, del destino, etc. Para describir éstas y otras situaciones similares, comenzamos desarrollando ideas básicas de funciones, sus características gráficas y las distintas formas de combinarlas. Continuamos luego con el cálculo de Límites de funciones y el análisis de la Continuidad, conceptos fundamentales para el estudio de Derivadas, teoría que nos permite explicar los cambios instantáneos. Esto es muy importante, ya que en el mundo que nos rodea todo cambia y con las derivadas podemos responder distintas preguntas tales como ¿Cuántos clientes perderé si aumento los precios?, ¿aumentarán o decaerán mis ganancias al bajar el precio? y ¿con qué rapidez? ¿Cuál será el costo de producir un artículo más? También nos brinda herramientas para poder representar con precisión la gráfica de una función o bien para para optimizarla, es decir, decir, para encontrar sus valores máximos y mínimos. Un tema estrechamente vinculado con éste es el de Integrales, ya que lo podemos pensar como el proceso inverso al de derivada. Así, la integral nos permite encontrar la función a partir del conocimiento de los cambios sufridos. También También nos proporciona un método para encontrar áreas entre dos curvas, método que se aplica, por ejemplo, en Economía para calcular el excedente del consumidor y del productor o en Estadística para encontrar la probabilidad. En muchos casos, el modelar una situación considerando que la misma depende de una única variable, da una primera aproximación a la realidad con razonable exactitud. Pero existen otros casos, en los que tal suposición es inadecuada. Por ejemplo, en la teoría económica, la oferta y la demanda de un cierto producto depende con frecuencia no solamente de su precio, sino también de los precios de productos relacionados, del nivel de ingresos, y de otros factores más. Por lo tanto concluimos la materia, realizando una extensión apropiada de los conceptos vistos anteriormente, a funciones de dos o más variables. Finalmente, incorporamos de manera opcional, el uso de un software matemático que es de gran utilidad cuando queremos graficar o realizar cálculos de cierta complejidad. Nuestra objetivo es iniciarlos en su manejo, mostrar cómo se grafica, cómo se encuentra una derivada o una integral. Luego cada uno de

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ustedes, y de acuerdo a su interés, puede investigar para profundizar el manejo del mismo. Lo invito a comenzar con el desarrollo de las actividades propuestas.

program a

Módulo 1: Funciones, límite y continuidad Números reales. Intervalos de la recta real. Punto medio y longitud. Definición de función. Dominio e Imagen. Representación gráfica de funciones. Funciones definidas por parte. Funciones elementales: lineal y cuadrática. Función creciente y decreciente. Aplicaciones: oferta, demanda y punto de equilibrio.  Algebra  Alge bra de funci f uncione ones. s. Compo C omposici sición ón d e funcio fu nciones. nes. Funci Función ón inyec i nyec tiva tiva,, suryec su ryec tiva e inversa. Función exponencial y logaritmo. Ejercicios de aplicación: ingreso, costo, beneficio. Límites laterales. Definición de límite. Algebra de límites. Límites indeterminados. Algunos límites notables. Ejercicios de aplicación. Continuidad y discontinuidad en un punto. C ontinuidad en un intervalo. Resolución de problemas con software específico.

Módulo 2: Derivadas Incrementos absolutos y relativos. Cociente de incrementos: interpretación. Definición de derivada. Interpretación geométrica. Diferencial de una función. Derivada de las funciones: constante, potencial, exponencial y logaritmo.  Algebra  Alge bra de d eri erivada vadas. s. Deriv D eriv ada de una func función ión comp compues uesta: ta: reg regla la d e la l a cadena ca dena.. Derivadas sucesivas. Aplicaciones: Funciones y curvas de ingreso marginal y de costo marginal. Ingreso nacional, consumo y ahorro. Elasticidad de una función. Elasticidad de la demanda. Elasticidad constante de la demanda. Ejercicios de aplicación. Resolución de problemas con software específico.

Módulo 3: Aplicaciones de la Derivada Extremos absolutos y extremos relativos. Definición de máximo y mínimo relativo de funciones de una variable. Valor crítico. Condiciones necesarias para la existencia de extremos relativos. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Condiciones suficientes para la existencia de extremos relativos. Definición de concavidad, convexidad y puntos de inflexión. Condiciones analíticas. Gráficos de funciones.  Aplicaci  Apli caciones ones : Maximi Ma ximizaci zación ón d el ingre i ngreso so total t otal . Minimi Mi nimizaci zación ón d el cost costo o medio. me dio. Maximización de la utilidad total empresarial. Aproximación marginal a la Maximización de las utilidades. Otras aplicaciones. Resolución de problemas con software específico.

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Módulo 4: Integración Definición de integral definida. Interpretación geométrica. Propiedades. Teorema fundamental del cálculo integral. Regla de BARROW. Primitivas. Integral indefinida. Propiedades. Tabla Tabla de integrales inmediatas. Método de integración por descomposición. Método de integración por sustitución de variable. Método de integración partes.  Apli  Aplicaci caciones ones : El ingr ingreso esopor total tota l como co mo inte i ntegra grall de la func ión del ingr ingreso eso mar margina ginal. l. El costo total como integral de la función del costo marginal. Ingreso nacional, consumo y ahorro. Excedente del consumidor. Excedente del productor. Utilidad máxima total. Ejercicios de aplicación. Resolución de problemas con software específico.

Módulo 5: Funciones de dos o más variables Funciones de dos o más variables. Derivadas parciales. Máximos y mínimos relativos en funciones de dos variables. Condición necesaria y condición suficientes para la e xistencia de extremos relativos. Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange.  Aplicaci  Apli caciones ones : Ingres In gres o margin ma rginal. al. Cost Costo o margin ma rginal. al. Dema Demanda nda marg margina inal. l. Elast E lasticiicidades parciales de la demanda. Función utilidad. Función de Cobb-Douglas. Productividad marginal. Elasticidad trabajo y capital de la producción. Optimización de la utilidad.

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m apa conce pt ual

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m acroobj e t i v os

•

• • • •

Reconocer los conceptos de función, derivadas e integrales como ejes temáticos en torno a los cuales se articulan las diversas aplicaciones de la asignatura. Comprender los conceptos adquiridos sobre las funciones de una variable para relacionarlos con los de funciones de dos variables. Identificar las herramientas que ofrece un software matemático a los fines de utilizarlo correctamente en la resolución de problemas.  Analizar  Anal izar crít crítica icament mente e los l os resu r esulta ltados dos que se obtie o btienen nen en la v arie ariedad dad de ejercicios y problemas, respetando el contexto en que se desarrollan. Comprender los conceptos centrales a desarrollar en la materia, a los fines de poder fundamentar desde la teoría las conclusiones a las cuales se arribe.

age nda

Porcentaje estimativo por módulo según la cantidad y complejidad de contenidos y actividades MODULOS

PORCENTAJES ESTIMADOS

25% 20% 20% 20% 15%

1 2 3 4 5 TOTAL

100%

Representación de porcentajes en semanas SEMA SE MANA NAS S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

MODUL MOD ULO OS 1 2

3

4

5

Primer Parcial

Segundo Parcial

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m at e ri al

Material básico: •

HAEUSSLER E., PAUL R. Capítulos 3, 4, 5, 11,Ciencias 12, 14, 15, 16, 17y yde 19. Matemáticas para Administración Administración, , Economía, Sociales la 2008. Vida.  Vida.  México. Ed. Prentice Hall. Decimosegunda edición.

Material complementario: • HOFFMAN L., BRAGLEY G., ROSEN K ., 2006. Cálculo Aplicado para  Administ  Admi nistraci ración, ón, Econo mía y Cienci Ci enci as Socia S ociales. les. México.  México. Ed. MacGraw-Hill, Interamericana Editores. Octava Edición. •

TAN S. T. Capítulos 2, 3, 9, 10, 11 y 12. 1998. Matemáticas para  Administ  Admi nistraci ración ón y Econ Economía omía.. México Mé xico.. Ed . THOMSO TH OMSON. N.

•

BUDNICK F. Capítulos 1, 2, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18. 1990. Matemáticas  Aplicad  Apl icadas as p ara Admi Administ nistrac ración, ión, Econ Economía omía y Cienci Ci encias as Socia S ociales les.. México Mé xico.. Ed. Ed . Mc Graw Hill. Tercera Edición.

•

WEBER J. E. 1991. Matemáticas para Administración y Economía. México. Ed. Harla

gl os ari o Matemática Aplicada II Glosario Algebra de derivadas: Sean f y g funciones derivables:

d  = dx [k. f(x)] k.f ' (x) d  [f(x) ± g(x)] = f '(x) ± g ' ((xx) dx  d  [f(x).g(x)]  = f '(x)g(x) + f (x)g ' (x) dx  d  f(x)  dx  g(x) 

=

f '(x)g(x) - f (x ( x)g ' (x)

[g(x)]

2

Cero o Raíz: el número real α es un cero o una raíz de una función f   sii f (α) = 0.  Geométricamente Geométricamente,, es el corte del gráco de la función con el eje x.

Cociente incremental: es una tasa media (o promedio) de cambio de la función

respecto a la que se opera en la variable independiente, es decir, por unidad de esta última así se tiene:   EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.8

 

Donde ∆ x  representa el cambio en la variable independiente y ∆y  el cambio en la variable dependiente. Concavidad de una curva:

Una curva es cóncava hacia arriba en un intervalo

[a, b ] , si la recta secante que pasa por los puntos

(a, f (a ))  y (b, f (b )) , se encuentra por encima de la gráca de la curva. De igual modo, es cóncava hacia abajo en el intervalo [a, b ] si la recta secante que pasa por los puntos (a, f (a )) y (b, f (b )) , se encuentra por debajo de la gráca de la curva. Derivada de una función: es el límite del cociente incremental cuando cuando el incre-

mento de la variable independiente tiende a cero, si este límite existe. Es decir:

f ( x + ∆x) - f ( x ) ∆ y = lim ∆ x →0 ∆ x ∆x →0 ∆x

 f '( x ) = lliim

 

Derivadas de orden superior: Como la derivada de una función es otra función,

a esta última podemos derivarla nuevamente con lo que obtendríamos una derivada de orden superior de la función original que llamaremos de segundo orden. Si reiteramos el proceso de derivación obtendríam obtendríamos os las derivadas sucesivas de orden tres , cuatro, etc. Derivadas parciales:

El límite del cociente entre un incremento parcial ∆ z  x   (respecto de x) y el incremento ∆ x , cuando este último tiende a cero se llama derivada parcial de la función respecto de la variable x y se denota: ∂z   

= z 

∂ x   x  De igual modo el límite del cociente del incremento parcial

∆ z  y  (respecto de y) y el incremento ∆ y , se denomina derivada parcial de la función respecto de y, y se denota; ∂z 

 

∂y 

=   z y 

Dominio de una función: conjunto de valores que puede tomar la variable inde-

pendiente para los cuáles la regla tiene sentido o para los cuáles la función está denida. Notación: D f  Dominio de una función de dos variables:

Es el conjunto de pares ordenados (x, y), para los cuales la función está denida. Lo denotamos Df  . Extremos absolutos

Son los máximos y mínimos absolutos que tiene una función. EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 9

 

Extremos relativos

Son los máximos y mínimos relativos que tiene una función. Funciones: Función lineal: es de la forma f ( x )   = ax + b  con a ≠ 0  y

  a, b  ∈ R .

Función cuadrática: es de la forma f ( x )  = ax 2

+

con bx + c c   on

a ≠ 0  y a, b, c    ∈R.   x   con Función exponencial: es de la forma f ( x )   = a

a > 0 y a ≠ 1. Función logaritmo: es de la forma f ( x ) = loga x  donde

a > 0 y a ≠ 1. Función creciente:

Sea f una función se dice que la misma es creciente en el intervalo [a, b ]  si para dos puntos cualesquiera del intervalo tal que  x1 < x 2  se cumple que f ( x1 ) < f ( x2 ) . Función decreciente:

Se dice que la función f es decreciente en el intervalo [a, b ]   si para dos puntos cualesquiera  x1 < x 2   del intervalo se cumple f ( x1 ) > f ( x2 ) . Función de dos o más variables  Una función f   de dos variables independient independientes es x e y, es una

regla que asigna a cada par ordenado (x,y) de un conjunto determinado (Dominio de f  ), un único valor f ( x, y ) . Gráco de una función f : es el conjunto formado por todos los pares (x, y) con x ∈ 

  D f e y = f(x). Es decir,  (x ,y )   x ∈ Df  ∧ y = f (x)    . Notación: G f  Hessiano:

Es la función de dos variables H ( x, y ) =

f xx

f xy 

fyx

f yy

= f xx fyy - fxy fyx 

 

 

Imagen de una función : conjunto formado por todos los valores que toma una función f . Notación: I f 

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Innito( ∞ ): símbolo utilizado para indicar un número muy grande.

Interpretación geométrica de la derivada: es la pendiente de la recta tangente

a la curva en el punto considerado, es decir la variación instantánea en ese punto. Límites: Propiedades

Sea k una constante y suponemos que existen los límites de f y g para x que tiende a p:

lim [K.f (x)] = K . lim [f (x)] x →p

x →p

lim [f (x) ± x →p

g (x)] =

lim[ f (x)] ± lim [ g (x) ] x →p

x →p

lim [f (x) . g (x)] = lim [f (x)] . lim [ x →p

x →p

x →p

 

g (x)  ]

lim [f (x)] lim ⎡⎢ f (x) ⎤⎥   = x →p

⎣ g (x) ⎦

Logaritmo, denición:

 

x →p

lim [ g (x)]

 

si

lim [ g (x)] ≠ 0 x →p

x →p

log a [x] = y

sii a y = x ; con a > 0 y a ≠ 1 .

Ln:

designa al logaritmo natural, su base es el número irracional e.

Log:

designa al logaritmo decimal, su base es 10.

Log a: logaritmo de base a. Logaritmo: Propiedades log a [ x .y ] = log a [ x ] + log a [ y ] log a  x y  = y. log a [ x ]   log a [ a ] = 1

log a  x  = log a [ x ] - log a [ y ] y lo g a  a x  = x   ( lo log a x ) a =x

log a [ 1 ] = 0

Matriz Hessiana

Es la matriz que contiene las derivadas segundas de una función de dos  xx xy  variables. Si z = f(x,y) , la matriz Hessiana es  f (x,y) f  (x,y)   fyx (x,y) f yy (x, y)   

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Máximo absoluto

f tiene un máximo absoluto en x=c si se cumple que f (c ) ≥ f ( x ) para todo x en el dominio de la función. Máximo relativo: ≥

ftodo tiene un el máximo relativo si se cumple x en intervalo (a, b) en quex=c contiene el valor que c. f (c )

f ( x ) para

Mínimo absoluto

f tiene un mínimo absoluto en x=c si se cumple que f (c ) ≤ f ( x ) para todo x en el dominio de la función. Mínimo relativo:

f tiene un mínimo relativo en x=c si se cumple que f (c ) ≤ f ( x ) para todo x en el intervalo (a, b) que contiene el valor c. Ordenada al origen: Valor que toma la función f  cuando  cuando x = 0. Geométricam Geométricamente, ente, es el corte de la función con el eje y.

Primitiva de una función:

F es una Primiti Primitiva va de una función f en un conjunto A, si la derivada de F es igual a f para todo x perteneciente a A. En símbolos: F ( x )  es una primitiva de f ( x )  en A si F '( x ) = f ( x ) ∀x  ∈ A  

Propiedades de las integrales denidas: b

1)

b

∫a [f ( x ) ± g ( x )] dx = ∫a f ( x )dx b

±

b

∫a g ( x )dx  

b

2)

∫a

dx   ∫a f ( x ) dx

3)

∫a f ( x ) d x  = 0

4)

∫a f ( x ) dx ≤ ∫a g ( x ) dx   Si en el intervalo [a, b] .se cumple que

k.f ( x ) d dx x = k.

a

b

b

f ( x ) ≤ g ( x ) . b

5)

b

6)

c

b

∫a f ( x ) dx = ∫a f ( x ) dx + ∫c  f ( x ) dx ∫a

f ( x ) dx = -

∀ a 2 .5

si si

 

⎧  x + 1 c ) f(x) = ⎨ ⎩ -x + 2

si si

-4 ≤ x ≤ 0 x >0

⎧ - 2x - 1 d) f(x) = ⎨ ⎩ x+3

si si

-6 ≤ x ≤ 1 1< x < 5

[Rta: b)] CC1

12- Dadas las siguientes siguientes grá gráficas ficas de y = f(x)

y a)

3.5

i) Dé f(1) y f(3)

2

ii) ¿Cuál es el Df ?

 

iii) Dé la imagen de la función f -2

1

x

3

iv) Dé un cero de la función

y

b)

i) Dé f ( 0 )

1,2 1

ii) Dé el dominio ( D f ) y la imagen ( I f ) de f. iii) Dé un cero de f 2

x

y

c)

4

 

i) Dé el dominio de f

3

ii) Dé f(0) , f(2) f(2) , f(4) y f(1 f(10) 0)

1

iii) Dé la imagen imagen de f. 2

4

x

[Rta: c)] CC1

AA1 CC1

 A C

1 1

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.18

 

m1 |actividad 1 | AA 

asistente académico 1

 VISUALIZ  VISU ALIZAR AR DESD D ESDE E LA PLATAFOR PLATAFORMA. MA.

m1 |actividad 1 | CC

clave de corrección 1

 VISUALIZ  VISU ALIZAR AR DESD D ESDE E LA PLATAFOR PLATAFORMA. MA.

m1 | actividad 2 Matemática Aplicada II: módulo 1 Actividad 2: Función lineal

 

Antes de comenzar comenzar,, debe estudiar los con conceptos ceptos teóricos corre correspondientes spondientes a esta a actividad ctividad de los libros citados en la bibliografía. En el Asistente Académico se dan las principales características de las funciones lineales. AA1

1- Dé la e expresión xpresión g general eneral d de e una función llineal. ineal. 2- Bosqueje la gráfica e iindique ndique el dominio d de e las siguie siguientes ntes funcione funciones: s:

⎧ - 100x + 600 ⎪

a) f (x) = ⎨ - 100x + 1100

⎪  - 100x + 1600 ⎩  -1  2x + 1 ⎧  2x ⎩  4

b) f (x (x) = ⎨

si

0 ≤ x 1. 4- ¿Cuáles exponenciales exponenciales s son on creci crecientes entes y cuáles dec decrecientes? recientes? 5- La población proyectada p de una cierta ciudad está dada por p(t) = 150.000 e número de años después de 1998. Pronostique la población en el año 2000.

0.04 t

 donde t  es  es el

6- Un elemento radioactivo decae de modo que después de t  días el número de miligramos - 0.06 t presentes N está dado por N( t ) = 100 e  . ¿Cuántos miligramos están presentes inicialmente? ¿Cuántos al cabo de 100 días? [Rta:] CC1 7- Si la la población disminuye a una tasa r  por   por año, entonces la población P después de t años está t dada por P(t) = P0 (1- r ) donde P0 es la población inicial (es decir cuando t = 0 ). Resuelva usando la fórmula de disminución poblacional los siguientes problemas: a) A causa de una baja económica, la población de cierta área urbana disminuye a razón de 0.01 anual. En el inicio la población era de 100.000 habitantes. ¿Cuál es la población después de tres años? b) En un esfuerzo por disminuir disminuir costos, costos, una compañía reducirá su fuerza de trabajo a razón de 0.02 mensualmente durante un año. Si actualmente emplea 5000 trabajadores, ¿cuántos trabajadores tendrá al cabo del año?. [Rta: a)] CC1

AA1 CC1

 A C

1 1

EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 23

 

m1 |actividad 4 | AA 

asistente académico 1

 VISUALIZ  VISU ALIZAR AR DESD D ESDE E LA PLATAFOR PLATAFORMA. MA.

m1 |actividad 4 | CC

clave de corrección 1

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m1 | actividad 5

Matemática Aplicada II: módulo 1 Actividad 5: Composición de funciones  

Antes de comenzar, debe estudiar los conceptos teóricos correspondientes a es esta ta actividad de los libros citados en la bibliografía.

1- Dada f(x) =

2 − 3x   y g(x) = - 5x

a) Dé ( f ο g) (x) y ( g ο f) (x). Indique dominios. b) Calcule ( f ο g) (0) y ( f ο g) (2/15 ) c) Calcule ( g ο f) (1/3) y ( g ο f) (2/3) [Rta: a) y c)] CC1 f(x) x) = 2- Dadas las funciones f(

2x 2 g(x) = x  + 2,  y g(x) 3x - 2

a) Dé ( f ο g) (x) (x) y ( g ο f) (x). Indique dominios. b) Calcule ( f ο g) (1) y ( f ο g) (1/3) c) Calcule ( g ο f) (0) y ( g ο f) (-1) [Rta: a), b) y c)] CC1  

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.24

 

2

3- Dadas las funciones f(x ) = x  – 2x y g( g(x) x) = 4x – 5, encuentre: a) ( f + g) (x) b) ( f . g ) (x) c)

( f ο g) (x)

d) ( g ο f) (x) ¿Es la composición de dos funciones conmutativa? Justifique Calcule en cada caso, el valor de la función resultante en x = 2 4- Dadas las siguientes funciones compuestas, indique las funciones que intervienen y la operación realizada. 3

2

a) h(x) = ( 2x  – 3x  + 7 ) b) h(x) = c)

5

x2 +x-5 x  – 3

h(x) = ( 3x + e  )

d) h(x) = e) h(x) = 3

 3 4x +2 + 1 4x + 2

+

1 [Rta:c) y e)] CC1

CC1

C

1

m1 |actividad 5 | CC

clave de corrección 1

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EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 25

 

m1 | actividad 6 Matemática Aplicada II: módulo 1 Actividad 6: Función logaritmo

 

Antes de comenzar, d debe ebe estudiar los concept conceptos os teóricos correspondientes correspondientes a esta activ actividad idad de los libros citados en la bibliografía. En el Asistente Académico puede leer las características principales de la función logaritmo. AA1

1- Encuentre el valor de la incógnita que satisface las siguientes igualda igualdades: des: a) e

3x –2

b) e

0.08 t

c) ln (2x) - ln ( x - 10) = 1

 = 10

3

d) ln ( 4x -2)  = 3

 = 2

[Rta: a) y c) ] CC1 2- Trace sobre el mismo sistema de coordenadas las siguientes curv curvas: as: a) y = log 2 x

b) y = log 3 x

c) y = log 4 x

¿Cómo cambia el gráfico al variar la base del logaritmo? 3- ¿La ffunción unción llogaritmo ogaritmo corta al eje x siempre en un mismo punto, independientemente del valor de la base?. En caso afirmativo, indique dicho punto. 4- Trace sobre el mismo sistema de coordenadas las siguientes curv curvas: as: a) y = log1/2 x

b) y = log1/3 x

c) y = log1/4 x

¿Cómo cambia el gráfico al variar la base del logaritmo? x

5- Trace en el m mismo ismo sistem sistema a de coordenadas las curvas y = 3 , y = log3 x . ¿Cuál es la relación entre ambas? 6- Indique el dominio de las siguientes funciones: a) ff((x) = log3 x

b) ff((x)

=

log2 ( − x)

c) ff((x) =

d) ff((x)

=

ln(x + 2)

f)

=

2 + ln (x ( x)

2 ln x

−

e) f( f (x) = log2 ( x − 4)

f (x)

Bosqueje la gráfica en cada caso. [Rta: e) y f) ] CC1 7- Para una compañía el costo C de producir q  unidades de un producto está dado por la función C(q) = 2q ln(q) + 20. Evalúe el costo para q = 6 (Redondee su respuesta a dos de decimales). cimales). 8- La cantidad de tteléfonos eléfonos que un téc técnico nico puede instala instalarr en t  días de trabajo está dada por  – 0.12 t N(t) = 85 ( 1 – e ). ¿Cuántos días de trabajo necesitaría para instalar 60 teléfonos? [Rta: ] CC1

9- En una cierta ciudad el porcentaje d de e niños perdidos que no son encontrados en t  meses 100 después de ser reportados está dado por P( t) =   con 0 ≤ t ≤ 60 . ln ( t + e) a) ¿Qué porcentaje de niños no son encontrado encontrados s después de un año de reportados? b) ¿Luego de cuántos meses se recuperan el 50% de los niños perdidos?

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.26

 

AA1 CC1

 A C

1 1

m1 |actividad 6 | AA 

asistente académico 1

 VISUALIZ  VISU ALIZAR AR DESD D ESDE E LA PLATAFOR PLATAFORMA. MA.

m1 |actividad 6 | CC

clave de corrección 1

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EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 27

 

m1 | actividad 7 Matemática Aplicada II: módulo 1 Actividad 7: Límites y Continuidad

 

Antes de comenzar, d debe ebe estudiar los conceptos conceptos teóricos correspondientes a esta actividad de los libros citados en la bibliografía.

1- Para cada u una na de las siguientes funciones, determ determine ine los límites lat laterales erales cuando x tiende a 2.

 

y = g(x)

y = g(x)

2.5

 

y = g(x)

1

 

2

2

2

y = g(x)

°

4

y = g(x)

2

2

4

y = g(x)

g (2)

2

2

y = g(x) y = g(x)

y = g(x)

2

e  

2

2

2

¿En qué casos podemos decir que existe el lim g(x)?  ¿Cuánto vale? x →2

2- ¿Qué condiciones deben cumplir los límites laterales laterales de una función en un punto, punto, para que la función tenga límite en dicho punto? 3- Calcule los siguientes límites: a)

lim

1   x

b)

lim

x   x-3

d)

x →  0 +

c)

x →  3 +

Existe el lim x →0

lim

x →  0 −

lim

x →  3 −

1 ? y el lim x x →3

1   x x   x-3

x ? Justifique x-3

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.28

 

4- Calcule : a) lim f(x)  

,

x →  1+

lim

x →  1−

f(x)  

b) lim f(x)  ; lim f(x)  ; lim f(x)  ; lim x →  1+

c) lim

x→ −1+

x →  1−

f(x)  ; lim

si

x → −1−

x →2

x →1

f(x)  ; lim

x→   −1

⎧ ex ⎪ f(x) = ⎨ x + 3 ⎪  2 ⎩

f(x) ; lim

x →  1 /  2

f(x) ;

si

⎧⎪ x 2 f(x) = ⎨ ⎪⎩ x

si si

si

f(x) =  ⎨⎧ x ⎩ −2

si 0 ≤ x ≤ 1 si x>1

f(x) ; lim f(x)  ; lim f(x)  ; lim x →  0 +

s  i si si

x→  0 −

x ≥ −1 ≤ x < x <

0 ≤ x ≤1 x >1

f(x) ; lim f(x) x →2

x →0

0 0

−1 [Rta: c) ] CC1

5- Calcule los si siguientes guientes límites, si existe existen: n: a) b)

c)

lim

x → −1

x2 − 1

d) lim

x→ 3

lim (x - 5)(2x + 1)

e) lim

x→ 2

lim

x→ 3

x→ 1

7x 2 + 3x

f) lim

 2x 2 + 5

x→ 1

3

 3 x 2 + 3

3x 2 − 7x + 1 5x  2 + 2 x − 4 2x 2 + 7

6- Si lim f(x) = 2  y lim g (x) = - 1  calcule: x→ a

x→ a

d)

lim

⎡ 4 f(x) - 5 g(x) ⎤ ⎢ f(x) . g(x) ⎥ ⎣ ⎦

  [ f(x) - 2 g(x) ] lim

e)

lim

⎡ ⎢ ⎢⎣

lim x→ a [ f(x) . g(x) ]

f)

x → a lim

a)

  lim

b)

c)

x→ a

[ f(x) + g(x) ]

x→ a

x→   a

x→   a

  [

⎤ ⎥ f(x) + 6 ⎥⎦

3 3

g(x)

+ + 4 f(x) g(x) 2

]

 [Rta: b) y e) ] CC1 7- Calcule a partir del gráfico:

a)

lim f(x)   si su gráfico es

b)

lim f(x)   si su gráfico es

x→   ∞

a

x →a

a

EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 29

 

c)

lim

x→   −∞

f(x)   si su gráfico es

∞ 8- Dé un ejemplo ejemplo gráfico de una función f   definida en [- 2, condiciones: lim

x→ - 2+

[ que verifique las siguientes

f(x) = + ∞  , lim f(x) = 1 , lim   f(x) = - ∞ , lim  f(x) = + ∞ , f (-1) = 0 y f(1) = 3 + − x→ 0

9- Dada la función f (x) =

x→ ∞

x→ 0

x2 − 3 x +1 , ¿hacia qué valor se aproxima f  cuando  cuando x se aproxima a 3, a 2 x −1

0 ya ½ ? [Rta: para x→1/2 ] CC1 10- Si existe el límite de una función en un punto, ¿puede la función no tener imagen en dicho punto? ¿Por qué? 11- ¿Qué formas indeterminadas conoce? 12- Calcule analíticamente los siguientes límites: 2x + 3 b) lim x→ ∞ x - 1

1 a) lim   2 x → ∞  x + 1

⎡ ⎢ 1x→ ∞ ⎣

4 ⎤ ⎥  3  x ⎦

c) lim

e) lim

  x + 5x 2

x→ ∞

g) lim

x→ ∞

x

3

d) lim

x→ ∞

 

f) lim

x →− ∞

x + 5x 3 + 2x 7 x 3 − 5 x 7

 

h) lim

x→ ∞

x3 + x +1

  x2 + x (e x + 1)

x 4 + 3 x 2 2x 4 + 2x + 1 [Rta: a), b), d) y f) ] CC1

⎧ x +1 ⎪ 2 ⎪ x −1 13- Sea f(x) = ⎨ 3 ⎪ x +1 +5 ⎪ e ⎪⎩

si

−1< x < 1

si

x ≥1

si

x ≤ −1

Calcule los siguientes límites: a) lim

f(x)  

b) lim

f(x)

c) lim

f(x)  

d) lim

f(x)

x→ 0

x→   −1

x →  −5

x →  − 4

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.30

 

e) lim

f(x)  

f) lim

x →  − ∞

f(x)

x →  ∞

14- La población N de una ciudad pequeña, en t  años a partir de ahora, se predice que será: 10.000 . Encuentre la población a largo plazo, esto es cuando t  → ∞. N (t) = 20.000 + ( t + 2) 2 [Rta: La población a largo plazo será 20.000]

15- Calcule: a) lim

x2

x→ 2

c) lim

x→ 0

e) lim

x→ - ∞

x2

4x + 4   x-2

−

+

x

2 x 

x+4 x

b) lim

x→ 0

 

2

4x

d) lim

x→ 0

25 − 6x   2x - 3

−

x

3

x2

f) lim

  +

−

3x 2

+

5x

4x + 3

2

x -x

x→ 1

[Rta: b), c) y f) ] CC1 16- A partir del gráfico determine si las siguientes funciones son continuas en todo su dominio o no. Justifique.

a)

b)

c) f (2)

2

d)

e) f (x) = e

g)

h)

3

x

f)

i) f (x) = ln x

f (2)

2

2

1

17- ¿Cuáles son las tres condiciones necesarias para que una función sea continua en un punto? Dé un ejemplo donde falle sólo una de las condiciones condiciones..

EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 31

 

18- ¿Cuándo una función es continua en un intervalo? 19- Dadas las siguientes funciones indique puntos de discontinuidad, si existen. x2 − 4   x+2

a)

f  (x) =

c)

e)

f  (x) =

g)

⎧ 2 ⎪ f  (x) = ⎨ x 2 ⎪ −4 ⎩

−4

b)

f  (x) =

  x2 − 9 f  (x) =   16 - x 2

d)

f  (x) =

25 x 2   24 - 8x

f)

f  (x) = 4  e − x + 3

h)

⎧⎪ x 2 − 5 f  (x) = ⎨ ⎪⎩ - x 2

4

x +2 5 x 2 − 3x + 7 x 3 − 9x

 

 

si  x ≠ 0

 

si  x = 0

si  x > 5 si  x ≤ 5

Dé intervalos de continuidad. [Rta: b), c) y h) ] CC1 2

20- Dada la función f (x) = 2 x

− − 3x 9 x -3

a) ¿Es f  continua en x = 3? Justifique. b) ¿Qué valor debe asign asignarse arse a f (3) pa para ra que la función sea co continua? ntinua?

21- Si una función está definida por partes, mediante funciones polinómicas en distintos intervalos, ¿puede la misma ser discontinua? ¿Dónde se presentan las posibles discontinuidades?

⎧  2 ⎪ 22- Dada la función f(x) = ⎨ x + 4 ⎪  x 2 − 8 ⎩  

si si si

−5 ≤ x < 0 0≤ x < 4 4 ≤ x < 12

a) Grafique la función f b) Dé dominio e imagen c) Calcule f(0), f(5) y f(-1) d) Calcule lim f(x) , lim f(x)   y lim f(x) x → -1

x →0

x →4

e) Dé intervalos de continuidad. f)

Dé puntos de discontinuidad. [Rta: b),c), d), e) y f) ] CC1

CC1

C

1

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.32

 

m1 |actividad 7 | CC

clave de corrección 1

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m1 | actividad 8 Matemática Aplicada II: módulo 1 Actividad 8: Aplicaciones específicas de la carrera

 

Antes de comenzar, d debe ebe estudiar los concept conceptos os teóricos correspondi correspondientes entes a esta activ actividad idad de los libros citados en la bibliografía.

1- La función q = f(p) = 250000 – 25p es la función de demanda que expresa en dólares la cantidad demandada de un producto q en función del precio unitario p. Determine el dominio restringido de la función de demanda y realice un gráfico de la misma. 2- La función CT(x)  = 25 x + 80000 expresa el Costo Total (en pesos) de fabricar x  unidades de un producto. Grafique la función de Costo Total.

3- Suponga que los client clientes es demandarán 40 unid unidades ades de un produc producto to cuando el precio es de $12 por unidad y 25 unidades cuando el precio es $18 cada una. Encuentre la función de demanda, suponiendo que la misma es lineal. [Rta:] CC1 4- Suponga que un fabricant fabricante e de pantalones coloc colocará ará en el mercado 50000 u unidades nidades cuando el precio es de $35 y 35000 cuando el precio es $30. Determine la función de oferta, suponiendo que el precio p y la cantidad q están relacionados linealmente. 5- Cuando el precio de un producto es $20, se deman demandan dan 60000 unidades y cuando el prec precio io es $30, la demanda es de 47500. a) Determine la función de demanda, supo suponiendo niendo que es lineal. b) Determine q qué ué precio originará una demanda de 65000 unidades. c) Dé una int interpretación erpretación clara de la pendiente. 6- Cuando el precio de un ciert cierto o producto es de $6, sse e ofrecen al mercado 28000 unidades, y cuando el precio es $7.5 se ofrecen 37000 unidades. a) Determine la función de oferta, su suponiendo poniendo que es lineal. b) ¿Qué precio hará que lo loss proveedores ofrezcan 45000 unidades? c) Dé una interpretación de la pendiente. 7- Al fabricar un producto, un una a empresa incurre en cost costos os de dos tipos. Tiene cost costos os fijos anuales por $200000 sin importar el número de unidades producidas. Además, cada unidad producida le cuesta $8. Si CT es el Costo Total anual en pesos y x denota el número de unidades producidas durante un año. a) Determine la función CT(x) = f(x) que representa el Costo Total anual. b) Calcule f(0). ¿Qué representa? c) Calcule f(200000). ¿Qué representa? [Rta: a)] CC1 8- Las funcione funciones s de oferta y demanda para cierto producto son, respectivamente: q =

y q = 600 -

200   p – 600 3

100 p donde p representa el precio por unidad en pesos y q el número de unidades. 3

a) Calcule el precio y la cant cantidad idad de equilibrio. b) Grafique la función de oferta y la de dem demanda anda en el mismo sistema de coord coordenadas enadas y compare con los resultados obtenidos en el apartado a). EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 33

 

[Rta:] CC1

9- Una empresa empresa vende un producto a $25 por unidad. Lo Los s costos variables por unidad son de $13 y los costos fijos ascienden a $150000. a) Determine la función de Cos Costo to T Total. otal. b) Determine la función de Ingr Ingreso eso Total. c) ¿Cuántas unidades unidades hay qu que e vender a fin de alcanzar el equilibrio? 10- Un grupo de Ingenieros quiere formar una compañía para producir detectores de humo. Han ideado un diseño y estiman que los costos variables por unidad, incluyendo material, mano de obra y costos de mercadotecnia, son de $22.50 .Los costos f ijos ijos relacionados con la formación, operación y dirección de la compañía y la compra de equipo y maquinaria dan un total de $250000. Estiman que el precio de venta será de $30 por detector. a) Determine la función de Cos Costo to T Total. otal. b) Determine la función de Ingr Ingreso eso Total. c) Grafique ambas ambas funci funciones ones en el mis mismo mo eje de coordenadas coordenadas.. d) Determine el número de detec detectores tores de humo que han de venderse para que la empresa empresa alcance el equilibrio del negocio. e) Compare el resultado ante anterior rior con el gráfi gráfico co reali realizado. zado. f)

Los datos preliminares preliminares de mercadotecnia indican que la empresa venderá aproxim aproximadamente adamente 30000 detectores de humo a lo largo de la vida del proyecto, si les pone un precio de $30 cada uno. Determine las Utilidades esperadas en este nivel de producción.

11- Una función de oferta indica el número de unidades de un artículo que los proveedores están dispuestos a colocar en el mercado en función del precio que los consumidores están dispuestos a 2 pagar. La siguiente es una función función de éste tipo: q = 0.5 p  – 200, donde q es el número de unidades de la oferta (expresada en miles) y p indica el precio de venta. a) ¿Qué cantidad debería ofrecerse si el precio precio de mercado es de $30? ¿Y si es de $50? b) ¿Qué precio haría que el mercado demandara 0 unidades? c) Grafique la función de oferta. [Rta: a) y b)] CC1 12- El Ingreso Total por la venta de un cierto producto producto depende del precio unitario de dicho producto. La 2 función de Ingreso Total es: IT(p) IT(p) = f(p f(p)) = 1500 p – 50 p  , donde IT es el Ingreso Total expresado en pesos y p indica el precio del producto también en pesos. a) ¿Cuál es el Ingreso Total es esperado perado si el precio del pr producto oducto es $10? b) ¿Qué precio precio dará un Ingreso T Total otal de $0? c) Grafique la función de Ingreso Ingreso Total y a partir del gráfico iindique ndique cuál es el Ingreso Total máximo y para que precio lo alcanza. 13- El Costo Total de fabricar x unidades de un producto está dado por CT( CT(x) x) = f(x f(x)) = 50 x  +  + 0.1 x 2  + 150 donde CT es el Costo Total medido en pesos. a) ¿Cuál es el costo de produci producirr 25000 unidades? b) ¿Cuál es el costo de produci producirr 0 unidades? ¿Qué signifi significa ca este resul resultado? tado? c) Grafique la función de Costo Total. 14- La función de demanda para el fabricante de un cierto producto es p =  1200 – 3q, donde p  es el precio por unidad en pesos y q la cantidad demandada por semana.

a) Determine la función de Ingreso Total. b) Grafique la función de Ingreso Total y a p partir artir del gráfico determine cuál es el Ingreso máximo y para qué nivel de producción se alcanza.

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.34

 

CC1

C

1

m1 |actividad 8 | CC

clave de corrección 1

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m1 | actividad 9 Matemática Aplicada II: módulo 1 Actividad 9: Introducción al DERIVE (Optativa)

DERIVE es un software matemático que permite realizar cálculos simbólicos (manipula variables a las que no se le ha asignado un valor en particular) vinculados con ecuaciones, funciones, vectores, matrices, trigonometría, etc, tiene capacidades de calculadora científica, y puede representar funciones gráficas en dos y tres dimensiones en varios sistemas de coordenadas. La potencia de Derive es enorme y no resulta complicado de manejar. Es fácil navegar a través de él y consultar la ayuda online y la tabla de contenidos. El usuario también puede personalizar menús,

barras de herramientas y teclado. Se pueden encontrar en Internet licencias por 30 días (TRIAL o de Prueba) de la versión 6.1 en español, simplemente poniendo DERIVE en GOOGLE. También hay disponibles manuales en castellano. El objetivo principal es que comience con el uso de este software en esta signatura, ya que es una buena herramienta para mejorar la comprensión de los temas desarrollados. Fundamentalmente, puede ser de utilidad en este módulo para realizar gráficos de funciones y calcular límites. Comencemos a trabajar…. Cuando se ingresa al programa se observa la siguiente ventana:

EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 35

 

En la fila superior se observa la barra de menú. Para activar alguna de las opciones, se puede seleccionar el comando deseado para ver la lista de subcomandos que contiene o presionar ALT+(la letra subrayada) en cada comando. Debajo de ésta, están los íconos que representan los comandos de uso más frecuente. Luego se observa una ventana vacía (ventana de Algebra) y la barra donde se introducen las expresiones:

Finalmente, debajo de todo, se encuentra la barra donde están las letras griegas, los símbolos que representan operaciones que se pueden activar seleccionando el botón que se necesita.

Gráficos

Si se selecciona la opción INSERTAR  de la barra de menú, aparece el submenú Gráfica 2D. Al elegirlo, aparece un sistema de ejes coordenados cartesianos ortogonales.

Se pueden abrir tantas ventanas de gráficas en dos dimensiones como se necesite, pero siempre debe existir una ventana de Algebra. Para ver todas las ventanas, se debe seleccionar VENTANA y luego CASCADA. Si quisiera, por ejemplo, graficar la función f(x f(x) = x 2 + 1  debemos seguir los siguientes pasos: Vamos a la ventana de Algebra, elegimos EDICION y luego  EXPRESION y el cursor se sitúa en la barra donde se ingresan las expresiones:

En esta barra escribimos x^2+1 y en la ventana de Algebra aparece la expresión tal como estamos habituados a escribirla x 2

+

1 . Luego pasamos a la ventana de gráfico y seleccionamos

.

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.36

 

De esta manera vemos:

Si selecciona los comandos de la barra de la venta de gráficas de dos dimensiones que se muestra a continuación, puede observar que se pueden realizar   cambios al gráfico obtenido inicialmente. Le sugiero probar las distintas opciones que este software le ofrece.

Límite

Para calcular un límite, debemos escribir en la ventana de Algebra y en la barra de expresiones, la función cuyo límite queremos encontrar. Por ejemplo, si queremos lim x3 - 4 , escribimos: x →2

Presionamos ENTER y la expresión aparece en la ventana de Algebra:

EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 37

 

Luego seleccionamos seleccionamos CALCULO y luego LIMITE

En variable aparece la variable independiente de la función, en punto se escribe el valor hacia el cual tiende x (en nuestro caso 2) y a la derecha se selecciona si se quiere al límite total o los laterales. Presionamos SI y tenemos

Luego SIMPLIFICAR y = para que el resultado aparezca en la ventana de Algebra.

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.38

 

 Ahora usted está en condiciones de practicar lo explicado. Puede realizar los gráficos solicitados en las distintas actividades y controlar los resultados de los l os límites calculados.

Lentamente va a ir entendiendo la organización y estructura estruc tura del software y va a poder utilizarlo para lo que necesite. En los próximos módulos continuamos mostrándole mostrándole otras posibilidades.

m1

glosario

Matemática Aplicada II: módulo 1 Glosario

Cero o Raíz: el número real α es un cero o una raíz de una función f  sii f ( α) = 0. 0 .  Geométricamente, es el corte del del gráfico de la función con el eje  x.

Dominio de una función : conjunto de valores que puede tomar la variable independiente para los cuáles la regla tiene sentido o para los cuáles la función está definida. Notación: Df Funciones:   a, b ∈ R .

Función lineal:  es de la forma  f ( x) = ax + b  con a ≠ 0  y

Función cuadrática: es de la forma  f ( x) = ax a ≠ 0  y a, b, c ∈ R .  

2

+ bx + c

con

x

Función exponencial: es de la forma  f ( x) = a  con a > 0 y a ≠ 1. Función logaritmo: es de la forma  f ( x) = log a x  donde

a > 0 y a ≠ 1.

EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 39

 

 

Gráfico de una función f : es el conjunto formado por todos los pares (x, y) con x ∈ D f e y = f(x f(x). ).

⎧ ⎫ Es decir, ⎨ (x ,y ) ⎬ . Notación: G f    x D y = f ( x ) ∈ ∧ f  ⎩ ⎭ Imagen de una función: conjunto formado formado por todos los valore valores s que toma una función f . Notación: I f 

  Infinito( para indicar un número muy grande. ∞ ) : símbolo utilizado para

Límites: propiedades Sea k una constante y suponemos que existen los límites de f y g para x que tiende a a

lim [K.f (x)] = x →a

lim [f (x) x →a

±

lim [f (x) . x →a

lim [f (x)] x →a

lim [f (x)]

g (x)] =

g (x)] =

 f (x)    = x →a  g (x) 

lim 

K.

±

x →a

lim [ x →a

lim [f (x)] .lim [ x →a

x →a

g (x) ]

 

g (x) ]

 

 

lim [g (x)] ≠

lim [f (x)] x →a

lim [g (x)]

si

x →a

0

x →a

Ln :

designa al logaritmo natural, su base es el número irracional e.

Log :

designa al logaritmo decimal, su base es 10.

Log a: logaritmo de base a. Logaritmo, definición:

log a [ x ] = y

sii a y  = x ; con a > 0 y a

≠ 1 .

Logaritmos : propiedades

log a [ x .y ] = log a [ x ] + log a [ y ] log a  x y  = y. log a [ x ]   log a [ a ] = 1

x log a   = log a [ x ] - log a [ y ] y log a  a x  = x   ( lo log a x ) a =x

log a [ 1 ] = 0 Ordenada al origen : valor que toma la función f cuando x = 0. Geométricamente, es el corte de la función con el eje y . R : conjunto de números reales.

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.40

 

Raíz o Cero: el número real α  es una raíz o un cero de una función f   sii f ( α) = 0. 0 . Geométricamente, es el corte del gráfico de una función con el eje  x.  

m2 m2









microobjetivos

Interpretar el concepto de derivada como variación de funciones.  Aplicar  Apli car corr correct ectamen amente te las regl reglas as d e deriva de rivación ción.. Valorar la importancia del concepto de derivada, como tasa de variación instantánea en problemas prácticos. Utilizar un software matemático para el cálculo de derivadas.

m2

contenidos

Derivadas En el Módulo 1, se introdujo la idea de límite y en la asignatura estudiada en el cuatrimestre anterior se trabajó con la ecuación de la recta. Ambos conceptos son importantes para comprender el tema que desarrollamos en este Módulo, “la derivada” de una función. Este concepto permite encontrar “la tasa de cambio” de una cantidad en función de otra. Por ejemplo, un fabricante no sólo se interesa en los costos totales para cierto nivel de producción, sino también en la razón con que aumentan o disminuyen los mismos, de acuerdo a variaciones en la producción. Esta última función se conoce con el nombre de Costo Marginal. Matemáticamente hablando, la idea de analizar el cambio de una función, se relaciona con el concepto de recta tangente y recta secante a una curva. Por esta razón, comenzamos con actividades que ayuden a comprender dicha relación. Luego, una vez definido y comprendido el concepto de “derivada”, en la actividad 2, vemos las reglas de cálculo que permiten encontrar la derivada de una función dada. Finalmente, aplicamos lo estudiado para resolver situaciones problemáticas relacionadas directamente con la carrera y vemos cómo utilizar el software matemático para calcular derivadas.

EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 41

 

 Ahor a es el mome  Ahora momento nto de c omen omenzar zar a traba t rabajar. jar. Estudie Est udie las def definic inic ione iones s y ejem ejem-plos del libro propuesto para la materia, revise el concepto de e cuación de la recta y realice las actividades que le proponemos. En estas últimas encontrará  Asisten  Asis tentes tes Aca Académi démicos cos y clave cl aves s de corr correcci ección, ón, para una mejo mejorr compre co mprensió nsión n del de l tema.

m2

material

Material básico: • HAEUSSLER E., PAUL R. 2008. Matemáticas para Administración, Econo mía, Cien Ciencias cias Soci Sociales ales y de la Vida. V ida. México.  México. Ed. Prentice Hall. Decimosegunda edición. Material complementario: • HOFFMAN L., BRAGLEY G., ROSEN K ., 2006. Cálculo Aplicado para  México. Ed. MacGraw-Hill,  Administ  Admi nistraci ración, ón, Econo mía y Cienci Ci enci as Socia S ociales. les. México. Interamericana Editores. Octava Edición. •

TAN S. T. Capítulos 2, 3, 9, 10, 11 y 12. 1998. Matemáticas para  Administ  Admi nistraci ración ón y Econ Economía omía.. México Mé xico.. Ed . THOMSO TH OMSON. N.

•

BUDNICK F. Capítulos 1, 2, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18. 1990. Matemáticas  Aplicad  Apl icadas as p ara Admi Administ nistrac ración, ión, Econ Economía omía y Cienci Ci encias as Socia S ociales les.. México Mé xico.. Ed. Ed . Mc Graw Hill. Tercera Edición.

•

WEBER J. E. 1991. Matemáticas para Administración y Economía. México. Ed. Harla.

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.42

 

m2

actividades

m2 | actividad 1

Matemática Aplicada II: módulo 2 Actividad 1: Rectas secante y tangente al gráfico de la función  

Antes de comenzar, debe estudiar los conceptos teóricos correspondientes a esta actividad de los libros citados en la bibliografía.

En el Asistente Académico le ofrecemos un resumen de estos conceptos. AA1 1- Dé la interpretación interpretación geométrica del cociente incremental y de la deriv derivada. ada. 2- Si f es una función lineal de x con pendiente m, m, ¿cuál es su razón de cambio promedio promedio en cualquier intervalo? ¿y la razón de cambio instantáneo en cualquier intervalo? 3- Trace la gráfica de la función y de la recta tangente en el punto p dado. Obtenga la pendiente de la recta secante que pasa por los extremos del intervalo I indicado. a) f (x) = - x2 + 9

p=(2,5)

I  = [2 , 3]

b) f (x) = x  – 2x

p=(0,0)

I  = [ -1/2 , 0]

c) f (x) = x3 

p = ( -2 , -8 )

I  = [ -2 , -1]

2

[Rta: a), b) y c)] CC1 4- Determine por definición, definición, la pendiente de la recta tangente a la la gráfica de la función en el punto indicado: a) f(x) = 2x – 1

(4,7)

b) f(x) = -(1/2)x + 3

( a , f(a) )

2

c) f(x) = 2x  + 8x

(0,0)

d) f(x) = x2 – 5x + 4

( 2 , -2 ) [Rta: b)] CC1

5- Encuentre la ecuación de la la recta tangente a la gráfica de las funciones dadas dadas en el ejercicio anterior. [Rta: b)] CC1 6- ¿Qué diferencia hay entre la tasa de variación variación media y la tasa de variación instantánea? Gráficamente, ¿qué representan? 3

2

7- Determine la razón media de cambio de la función f(x f(x)) = x  + 2x  – 4x en el interval intervalo o [ -1, 2 ]].. [Rta:)] CC1

8- Sea f(x) = -x2 + 5x

a) Determine la razón de cambio promed promedio io de y con respec respecto to a x en el interval intervalo o [1, 2], en el intervalo [ 1.5, 2 ] y en el intervalo [ 1.9, 2]. b) Indique la razón de cambio instantánea en x = 2. c) Compare los resultados ob obtenidos tenidos en a) y b). Elabore una conclusi conclusión. ón. [Rta:)] CC1 2 2 9- Dadas las funciones f( x ) = x   y g( x ) = 5 x . Compare las pendientes de las rectas tangentes

para el mismo valor de xdeelas indique cuál de ellas es mayor. ¿Qué información dan las mismas respecto del crecimiento funciones? Explique claramente.

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10- Señale los valores de x para los que la recta tangente a la gráfica sea posiblemente horizontal, vertical o que no exista. a)

b) y

y

x

c)

x

d) y

y

x

x

11- Sea f una función cuyo dominio es el conjunto de números reales. ¿Cuál es la diferencia entre f(3) y f ’ (3)? ¿Qué informa información ción obtiene de cada uno de e ellos? llos? 12- Un conjunto habitacional tiene un tanque de almacenamiento para guardar el petróleo para la ero calefacción. El tanque se llenó el 1  de enero de este año, pero no se harán más entregas hasta algún día de marzo. Sea t el número de días posteriores al primero de enero y sea y el número de galones de petróleo en el tanque. Los registros actuales del conjunto habitacional muestra que y y t están relacionados aproximadamente aproximadamente por la función y = 30.000 – 400 t. ¿Qué interpretación se puede dar a la ordenada al origen? ¿Y a la pendiente de la recta? 13- Para efectos fiscales, se permite a las empresas considerar que el equipo disminuye su valor (o se deprecia) cada año. El monto de la depreciación se puede deducir del impuesto al ingreso. Suponga que el valor y de una pieza del equipo x años después de comprada está dado por : y = 500.000 – 50.000 x Interprete el valor de la ordenada al origen y la pendiente de la gráfica. 14- Las Utilidades anuales de Lotus Development Corp., durante durante los años 1990 a 1994 se listan en la siguiente tabla. Las pérdidas se indican con signo negativo. Año 1990 1991 1992 1993 1994 Utilidad en millones $23 $32 $80 $55 -$20  Fuente: Datastream: Informes de la empresa/New York Times, 6 de junio de 1995, p. D8. Las cifras aproximadas.

a) ¿Cuál es la razón de cambio cambio promedio del perío período do 1991 a 1994?

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.44

 

b) ¿Durante cuál período de 2 años la razón de cambio promedio de las utilidades fue máxima? Interprete el resultado. c) ¿Durante cuál período de 2 años la razón de cambio promedio de las utilidades fue mínima? Interprete el resultado. 15- Los Ingresos anuales para una empresa de nuestro medio para el período 1991 a 1997 se pueden modelar con la función R( t ) = - 0.13 t 2 + 0.5 0.544 t + 5.22 5.22  para 1 ≤ t ≤ 7 , donde R( t ) son los ingresos en miles de millones de dólares, y t el tiempo en años a partir de enero de 1990. (Así que t = 1 representa 1991). a) Encuentre la razón promedio de cambio de R(t) durante el período 1991 a 1995 e interprete el resultado. b) ¿Cuál es la razón promedio de cambio cambio entre 1993 y 1997? 1997? Interprete el resultado. c) ¿Cuál es la razón promedio de ca cambio mbio en todo el período período? ? Interprete el resultado. d) ¿Cuál es la razón instantánea instantánea de cambio de R(t) en 1991? 1991? Interprete el resultado.

AA1 CC1

 A C

1 1

m2 |actividad 1 | AA 

asistente académico 1

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m2 |actividad 1 | CC

clave de corrección 1

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m2 | actividad 2 Matemática Aplicada II: módulo 2 Actividad 2: Cálculo de derivadas

 

Antes de comenzar, debe estudiar los conce conceptos ptos teóricos corre correspondientes spondientes a esta act actividad ividad de los libros citados en la bibliografía. Se recomienda además, leer el Asistente Académico que contiene un resumen de estos temas. AA1

1- Dé la definición de derivad derivada a en un punto. punto. 2-

Determine el punto de la gráfica de f(x) = 2x2 – 3x + 6 en el que la pendiente de la recta tangente sea igual a –1. [Rta:] CC1

3- Obtenga el (los) punto(s) de la gráfica de f(x f(x)) = x3  – 5x2  en los que la recta tangen tangente te sea horizontal. [Rta:] CC1 4- Obtenga los vvalores alores d de e a  y b  tales que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f (x) = ax2 + bx en (1, 4) se sea a – 5. [Rta:] CC1 5- Si la tangente a una función en un punto es paralela al eje horizontal, ¿ ¿cuánto cuánto valdrá la derivada de la función en dicho punto? ¿Y si es paralela a la recta y = x? 6- Encuentre la derivada de las siguientes funciones us usando ando las regl reglas as correspondientes: correspondientes: a) f(x) = 7

b) f(x) = -6x -1

x

c) f(x) = 8x  + 4 x - e x

e) f(x) = x e  + x g) f(x) =

i)

g(t) =

k) h(s) =

3/2

d) f(x) f(x) = ½ e  + ln (x) – 1 x

 + 2  

3x + 1   2x + 5 ( t

+

s

1

-4/5

3

 - ln (x)) ( x  +

1  ) x

3

e 2) 5 t

+

f) f(x) = ( x

h) f(x) = (x  – 2) (x + 1) (1 – 3x)

ln t ( t 3 - 4t) 7 s4

4

 

 

w3 w +1

3

j) g(w) = 10  +

l) g(w) =

2

2 ew 4-e

+

 w

1

 w

+

0.2

+

3 w 1- w [Rta: e), h), i) y l)] CC1

7- Dada la función función f(x) = 3x  – 4x + 2 . Se pide: a) Encuentre la región en la que f '  es positiva. b) Encuentre la región en la que f '  es negativa. c) Encuentre el punto de f ' es cero. [Rta: b)] CC1

8- ¿Es posible que funciones distintas te tengan ngan la misma derivada? Justifique. ¿Cómo serán sus gráficas? 9- ¿Cuándo se usa la regla de la cadena? Ejemplifique.

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.46

 

10- En E n las siguientes funciones, use la regla de la cadena pa para ra encontrar a) Si f (u) = u 3 + 3u + 1  u

b) Si f (u) =

y

u(x) =

y

u(x) = x 2 + 1

y

u(x) = x 4 + x 2

1 t

y

t(x) = x 2 + 5

+ w-5

y

w(x) = 3 x  2 + x

y

u(x) = e x + x 2

y

u(x) = x 3 + 5x

y

w(x) = ln x + x

3

u +2 1 u + 1 -u3

c) Si f (u) =

 3/2 d) Si f (t) = 2 t  3/ + 4 t3 -

w5 + 1

e) Si f (w) =

w2

f) Si f (u) = ln u + u 2 g) Si f (u) = eu + u5 -

1 u

4 - 3 w 1/ 2 + 1 w

h) Si f (w) =

df  : dx 

x + x

[Rta: c), f) y g)] CC1 11- Derive las siguientes funciones compuestas (Regla de la cadena ). x

2

3

a) f(x) = e

b) f(x) = ln ( x + 1 1))

c) f(x) = ln 3 ( x 2 + 1)  

d) f(x) = ( e  + 1)

x

25

e) f(x) =

x 4 2x - 5  

5 ⎛ w − 1⎞ f) f(w) = ⎜ ⎟ ⎝w + 7⎠

g) f(x) =

x ( x +2) + x  

h) f(x) =

⎛ 2x + 3 ⎞ ⎟⎟ i) f(x) = ln ⎜⎜ ⎝ 1 + x 2  ⎠

j) f(x) =

x 3

x2 + 1

1 + ln 2 x [Rta: c), i) y j)] CC1

12- Una epidemia de cierta enfermedad ataca a un pueblo. Los funcionarios de salud pública estiman que el número de personas enfermas en el tiempo t  (medido en días a partir del inicio de la 2 3 epidemia) es aproximadamente P ( t ) = 60 t  – t , tomando en cuenta que 0 ≤ t ≤ 40. a) ¿A qué razón se propaga la enfermedad cuando t = 10 ? b) ¿Cuándo se propaga a razón de 900 personas por día ? 13- Debido a ciertas condiciones ambientales, una colonia de 100000 bacterias comienza su reproducción luego de dos meses. La función que representa dicha población al variar el tiempo (expresado en meses ) está dada por:

⎧ 10 5 ⎪ f(t ) = ⎨ 5 t -2 ⎩⎪ 10 e

0≤ t ≤ 2 t>2

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Se pide: a) Verifique que que la pob población lación es función co continua ntinua del tiempo. b) Calcule la tasa tasa de variació variación n media de la p población oblación en los intervalos [0 , 2] y [0 , 4]. c) Halle la tasa de vari variación ación iinstantánea nstantánea en t = 4 . Compárela con la última tasa de variación media obtenida. Justifique los resultados obtenidos. 14- La temperatura de un alimento ( en °C ), dentro de un frigorífico, viene dada por la función: ⎛  3 x 2 + x + 4  ⎞ ⎟ f(x) = 6 ⎜ 2 ⎜ x + 4x +1 ⎟  ⎠ ⎝   

donde x mide el tiempo en horas. a) Encuentre la te temperatura mperatura del a alimento limento en el m momento omento de colo colocarlo carlo en el frig frigorífico. orífico. b) La tasa de variación m media edia entre la primera y tercera ho hora. ra. c) La variación instantánea en x = 1 y en x = 3.

15- Realice las derivadas de orden 3 de las siguientes funciones: a) f(x) = -

4   3

2

b) f(x) = x  + 7x

c) f(x) = 2x3 + 6x – 5

d) f(x) = e-2x + x9

e) f(x) = ln (x)

f) f(x) = 2x - e

x

Dé la derivada de orden 20 de las funciones anteriores, sin realizar los cálculos. [Rta: c)] CC1 satisface sface si f (x) = ( 1 - x) e - x + 7 16- Demuestre que la ecuación : e x ⎡⎣ f '' (x) + f '  (x)⎤⎦ = 1   se sati

17- Si una función es derivable en un intervalo es continua en dicho intervalo?Justifique 18- Si una función tiene puntos angulosos, existe la derivada en dichos puntos?Justifique  

AA1 CC1

 A C

1 1

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.48

 

m2 |actividad 2 | AA 

asistente académico 1

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m2 |actividad 2 | CC

clave de corrección 1

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m2 | actividad actividad 3

Matemática Aplicada II: módulo 2 Actividad 3 : Aplicaciones específicas de la carrera

 

Antes de comenzar, debe estudiar los conceptos teóricos correspondient correspondientes es a esta actividad actividad de los libros citados en la bibliografía. Para realizar el primer ejercicio se recomienda leer el Asistente Académico. AA1

1- Dadas las siguientes funciones de Costo Total, encuentre la expresión del Costo Marginal y del Costo Medio o Promedio. a) CT(q) = 3q2 + 5q + 6

d) CT(q) = 2q eq + q e-q

b) CT(q) = 2q + q2 ln q

e) CT(q) = 20q + 2q3 + 4q5

c) CT(q) = 2q2 + 5q + 18

f)

CT(q) =10q – 4q4 + 3q5

¿Qué representa la variable independiente q? Grafique Costo Total y Costo Marginal de los incisos a) y c) en el mismo sistema de coordenadas. [Rta: a) ,b) , c) y f) ] CC1 2- Dadas las siguientes siguientes funciones de Ingreso Total, encuentre las funciones de Ingreso Promedio e Ingreso Marginal. a) IT(q) = 24q – 3q2 b) IT(q) = q ( 500 – 0.005 q ) c) IT(q) = 200 -

1600  - q q+8

d) IT(q) = 100q – 0.01q2 Grafique Ingreso Total e Ingreso Marginal de los incisos a), b) y d). [Rta: a), b), c) ] CC1  

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3- Dada las siguientes funciones funciones de Demanda y de Costo Total, dé la expresión de la función de Ingreso Total y de Beneficio (Ganancia o Utilidad) Total. CT(q) = 200 + 12q + (1/4) q2

a) p = 40 – 0.1q b) p = 500 – 0.25q 2

CT(q) = 1000 + 1500q

c) p = 16900 – q  

CT(q) = 2000 + 15q + 0.4 q2

d) p = 125000 – 0.01q3 

CT(q) = 5q + 0.01q2 [Rta: c) ] CC1

4- Para cada una de las funciones de Beneficio Total calculadas en el ejercicio anterior, encuentre la función Beneficio Marginal. 5- Cuando una compañía produce y vende miles de unidades, de un cierto producto, a la semana su 200 x . El nivel de producción dentro ganacia semanal total es P miles de dólares donde P(x) = 150 + x2 de  t   semanas es x ( t   )) = 4 + 2 t . a) Calcule

dP  (Ganancia marginal) dx

b) Encuentre la razón de cambio de lla a ganancia respecto del tiempo

dP . dt

c) ¿A qué veloci velocidad dad (con re respecto specto al tiempo) están cambiando las ganancias cuando t  =  = 8? [Rta: b) ] CC1 6- Un fabricante de computadoras personales ha estimado que dentro de t  meses venderá x miles 2 de PC de su línea más importante, siendo la relación mensual x ( t ) = 0.05 t  + 2 t + 3. Debido a la economía de escala, la ganancia G  por fabricar y vender x  miles de unidades se estima en G( x ) = 0.001 x 2 + 0.1 x - 0.25   miles de dólares. Calcule la razón a la que estará cambiando la ganancia en t  =  = 5 meses a partir de ese momento.

7- El costo por fabricar x cajas de cereal es C dólares, donde C(x) = 3x 3x + 4 x + 2 2.. Se Se h ha ae est stim imad ado o que la producción semanal, t semanas a partir de ese momento, será de: x ( t ) = 6.000 + 100t  cajas.  cajas. a) Encuentre

dC  ( costo marginal) dx

dC b) Encuentre la razón de cambio del costo con respecto al tiempo dt . c) ¿A qué velocidad ( con respecto al tiempo) están creciendo los costos cuando t   = 1? ¿y cuando t  =  = 2 ?

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.50

 

8- Una compañía que fab fabrica rica equipos multimed multimedia ia para computadora computadoras s personales en un ci cierto erto país, estima que la demanda anual de su producto fluctúa con su precio, según la función q = 180000 – 250p donde q  es el número de unidades demandadas y p  el precio en dólares. El costo total de producir q unidades está dado por la función 2

CT(q) = 350000 + 300q + 0.001q

a) Dé el Costo Costo Fijo. ( q = 0 en C Costo osto Total ). b) Encuentre la función función de Ingre Ingreso so Total como función de la cantidad pro producida ducida q, y también como función del precio p. (Para expresar el Ingre Ingreso so Total en función de lla a cantidad q, se debe despejar en la la función de Demand Demanda a p en términos de q.) c) Dé el Ingreso de la compa compañía ñía cuando el precio del p producto roducto es de 300 dólares. d) Dé el Ingreso cuan cuando do se prod producen ucen 1000 100000 00 equipo equipos s multimedia. e) Cuántas unidades unidades del prod producto ucto se demandará demandarán, n, si el pre precio cio del produc producto to es de 400 dólares. f)

Encuentre la función Beneficio Total.

g) Cuál será la ganancia an anual ual de la compañía si fabri fabrica ca 80000 eq equipos uipos multimedi multimedia. a.

9- Dada la sig siguiente uiente fun función ción de Co Costo sto Tota Totall CT(q) = q2

+

4 q + 3 . Se pide:

a) Representar gráficamente la curva. b) Calcular el Costo Total Medio. c) Encontrar el Costo Total Marginal.

10- Si la función Ingreso Total es: IT(q) = 26 26 q - 2 q2 y la de Co Costo sto To Total tal es: CT CT(q) (q) = q2 + 8 q + 4 a) Encuentre la función Utilid Utilidad ad Total. b) Calcule la utilidad y el Ingreso de vender 2,5 y 10 uni unidades dades respectivamente. respectivamente. c) Si la venta de q unidades o ocasiona casiona un co costo sto de $ 312 calcule el valo valorr de q. Luego encuentre encuentre el Ingreso y la Utilidad q que ue produce s su u venta. d) Encuentre Utilidad marginal, marginal, Ingreso margin marginal al y Costo marginal. e) Dé la función de Costo medio o promedio.

AA1 CC1

 A C

1 1

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m2 |actividad 3 | AA 

asistente académico 1

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m2 |actividad 3 | CC

clave de corrección 1

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m2 | actividad 4

Matemática Aplicada II: módulo 2 Actividad 4: Introducción al DERIVE (Optativa)

Derivada

Para calcular la derivada de una función debemos tener en la ventana de Algebra la expresión de dicha función. Por ejemplo, supongamos que queremos derivar la función f( f(x) x) = lln n (x) (x) + x2 - 3 . Escribimos la expresión de la función en la barra correspondiente, como se muestra a continuación.

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.52

 

Luego, presionamos ENTER y la expresión se observa en la ventana de EDICION:

Para derivarla vamos a CALCULO – DERIVADA y el software nos muestra la pantalla siguiente siguiente::

EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 53

 

Indicamos la variable respecto de la cual derivamos (en nuestro caso x) y el orden de la derivada que nos interesa (primera, segunda, etc.). Presionamos SI y nos muestra:

Luego vamos a SIMPLIFICAR – NORMAL y DERIVE realiza el cálculo que muestra a la derecha en un recuadro celeste:

 Ahora usted está en condiciones de practicar lo explicado. Puede calcular todas las derivadas solicitadas en las actividades y controlar los resultados que usted obtuvo.

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m2

glosario

Algebra de derivadas: Sean f y g funciones derivables y k una constante:

d  [k. f(x)] = k.f ' (x) dx  d  ( x) [f(x) ± g(x)] = f '(x) ± g ' (x dx 

d  [f(x).g(x)]  = f '(x)g(x) + f (x)g ' (x) dx  d  f(x)  dx  g(x) 

=

f '(x)g(x) - f (x ( x)g ' (x)

[g(x)]

2

Derivada de una función: es el límite del cociente incremental incremental cuando el incre-

mento de la variable independiente tiende a cero, si este límite existe. Es decir: ∆

 

∆

f '( x ) = ∆ xlliim y = ∆lilx im f ( x + x) - f (x )   →0 ∆ →0 ∆x   x

Derivadas de orden superior: Como la derivada de una función es otra fun-

ción, a esta última podemos derivarla nuevamente con lo que obtendríamos una derivada de orden superior de la función original que llamaremos de segundo orden. Si reiteramos el proceso de derivación obtendríamos las derivadas sucesivas de orden tres , cuatro, etc. Regla de la Cadena: la derivada de una composición de funciones es igual a:

 (f ou )′ ( x )= f ′ (u( x )). u ′(x ) 

EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 55

 

Tabla de derivadas:

Suponemos que u es una función derivable de x d  (c )  = 0  dx  d   x n    = n. x n-1  dx  d u n    = n u n-1 . du  dx  dx

d 1 du [ ln (u)]  = . dx u dx

 

 

d e u    = e u . du dx   dx

 

d du a u    = a u . ln a . dx   dx d dx

[ log  b (u  )] =

1

  .

du

u . ln (b) dx  

m3 m3











microobjetivos

Distinguir la utilidad de la derivada primera en la determinación de puntos críticos, regiones de crecimiento y decrecimiento y en la identificación de extremos. Reconocer la utilidad de la derivada segunda, a fin de determinar posibles puntos de inflexión y regiones de concavidad. Integrar la información suministrada por la derivada primera y segunda para la representación gráfica de distintas funciones. Modelar situaciones que implican maximizar o minimizar una función de una variable. Identificar cada uno de los conceptos teóricos a fin de fundamentar las conclusiones obtenidas.

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m3

contenidos

Aplicaciones de la Derivada En este Módulo, utilizamos el concepto de “derivada” estudiado anteriormente, para analizar propiedades particulares de las funciones. La información que se obtenga, nos permitirá encontrar con precisión el gráfico de las mismas. También, veremos cómo utilizar “la derivada” para resolver diversos problemas de optimización. Por ejemplo, lograremos calcular el nivel de producción de una fábrica que maximiza sus ganancias, el precio de un cierto producto para maximizar el ingreso de un negocio o determinar la cantidad de artículos en stock que debemos tener para minimizar los costos. Como siempre deberá estudiar el tema del libro propuesto y realizar luego las actividades que le presentamos. En ellas encontrará ejercicios resueltos paso a paso, con explicaciones que le serán de gran ayuda. Se proporciona, además, un cuadro que sintetiza los principales pasos a seguir para obtener el gráfico de funciones. Cuando finalice el estudio de este Módulo, encontrará una Actividad de Integración que le permitirá autoevaluar su aprendizaje hasta el momento.

m3

material

Material básico: • HAEUSSLER E., PAUL R. 2008. Matemáticas para Administración, Econo mía, Cien Ciencias cias Soci Sociales ales y de la Vida. V ida. México.  México. Ed. Prentice Hall. Decimosegunda edición. Material complementario: • HOFFMAN L., BRAGLEY G., ROSEN K ., 2006. Cálculo Aplicado para  Administ  Admi nistraci ración, ón, Econo mía y Cienci Ci enci as Socia S ociales. les. México.  México. Ed. MacGraw-Hill, Interamericana Editores. Octava Edición. •

TAN S. T. Capítulos 2, 3, 9, 10, 11 y 12. 1998. Matemáticas para  Administ  Admi nistraci ración ón y Econ Economía omía.. México Mé xico.. Ed . THOMSO TH OMSON. N.

•

BUDNICK F. Capítulos 1, 2, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18. 1990. Matemáticas  Aplicad  Apl icadas as p ara Admi Administ nistrac ración, ión, Econ Economía omía y Cienci Ci encias as Socia S ociales les.. México Mé xico.. Ed. Ed . Mc Graw Hill. Tercera Edición.

•

WEBER J. E. 1991. Matemáticas para Administración y Economía. México. Ed. Harla.

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m3

actividades

m3 | actividad 1

Matemática Aplicada II: módulo 3 Actividad 1: Funciones crecientes y decrecientes. Puntos críticos. Extremos relativos.

 

Antes de come comenzar, nzar, debe estudiar estudiar los conceptos te teóricos óricos correspondientes a esta actividad de los libros citados en la bibliografía. En el Asistente Académico le resumimos los conceptos principales correspondientes a esta actividad. AA1

1- ¿Cómo calcula los ceros de una fu función? nción? 2- Defina función creciente y decreciente. 3- Si una función es es creciente en una región, ¿qué pue puede de decir respecto a all signo de su d derivada erivada en dicha región? ¿Y si es decreciente? 4- En las curvas del ejercicio nº 7 de de la actividad 1 del módulo módulo 2 detecte puntos de máximos y mínimos relativos y/o absolutos intuitivamente. Determine zonas de crecimiento y de decrecimiento. 5- ¿Cuál es la condición necesaria para para que una función tenga un un extremo relativo en un punto x = x0? 6- Defina punto crítico. 7- Si una función tiene tiene en una región región derivada igual a cero, ¿qué po podemos demos decir respect respecto o de dicha función? 8- Si f es continua ¿puede tener dos máximos y ningún mínimo? 9- Todo punto crítico de una función es un extremo relativo relativo? ?Justifique 10- ¿Todo extremo relativo cumple con la condición de que la derivada primera tiene un cero en dicho punto? 11- ¿Cómo determina los extremos de una función? 12- En los siguientes apartados se da la derivada primera de la función, encuentre los intervalos abiertos en que dicha función crece o decrece, así como también los valores de x de todos los extremos relativos. a)

f ′ (x) = ( 2x   −1)(x + 3)

b)

3 f ′ (x)   = x (x -1)

c)

4 f ′ (x)   = ( x - 2 )(x - 1)

d)

f ′ (x) =

e)

f ′ (x) = -  x e

x ( 2 - x) x 4 +1 - x+2

[Rta: b)] CC1 13- Determine regiones de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones como así también la posición de los máximos y mínimos relativos. No trace la gráfica. a) f(x) = x2 + 2

 2 2

b) f(x) = 4x – x

c) f(x) = ( 2x + 1) ( x + 1)

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.58

 

d) f(x) = x3 ( 4 – 3x)

h) f(x) = x ln (x)

e) f(x) = (x –1)2(x+ 3)

i)

f(x) = x e x

f(x) = x1/3 (x - 4)

 j)

f(x) = (x2 + 1) e

f)

x g) f(x) =

4

-x

2

k) f(x) = x  – 8x  + 16

x 2 +1

[Rta: f) , i) y k)] CC1 14- Dé un ejemplo de una función que sea creciente en todo su dominio y otro de una función que sea decreciente en su dominio. Grafique. 15- Determine los valores de A, B y C de manera que la función f ( x ) = x 3

+

A x2

+

B x + C  tenga

un máximo relativo en x0 = -2 , y un mín mínimo imo relati relativo vo en x1 = 1 1..

AA1

 A

1

C

CC1

1 m3 |actividad 1 | AA 

asistente académico 1

 VISUALIZ  VISU ALIZAR AR DESD D ESDE E LA PLATAFOR PLATAFORMA. MA.

m3 |actividad 1 | CC

clave de corrección 1

 VISUALIZ  VISU ALIZAR AR DESD D ESDE E LA PLATAFOR PLATAFORMA. MA.

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m3 | actividad 2

Matemática Aplicada II: módulo 3 Actividad 2: Concavidad y Puntos de In Inflexión flexión

 

Antes de comenzar comenzar,, debe estudiar los conceptos teóricos correspondientes a es esta ta actividad de los libros citados en la bibliografía. Los principales conceptos de esta actividad se encuentran resumidos en el Asistente Académico. AA1

1- ¿Todo cero de la deriv derivada ada segunda de una función es un punto de iinflexión? nflexión? Justifique. 2- ¿Cómo determina determina los puntos de inflexión de una función? 3- ¿Cómo determina la concavidad de una curv curva? a? ¿Con qué orden de derivada trabaja? 4- En los siguientes siguientes apartados s se e da la función función y su deri derivada vada segunda, determine la concavidad d de e f  y los valores de x en que se presentan puntos de inflexión. a) f(x) = 2x4 – x3 - 7x + 5 b) f(x) = c) f(x) =

 x 5 2 x 4 5 3 - x -x  10 3 3  x 2 2

 x 

+1 −

2

 

f  ′ ′ (x) = 6x(4x – 1) 2

f  ′ ′ (x) = (2x – 1) (x - 2) f  ′ ′ (x) =

6(3x 2 (x

2

−

+

2)

2) 3

5- Determine la la concavi concavidad dad y los valo valores res de x en que se presentan los puntos de inflexión en las funciones dadas en el ejercicio 13 de la actividad anterior. [Rta: f) , i) y k)] CC1

6- Determine el valor de A y B de modo que la función f ( x ) = x3

+

A x2

+

B x + C  tenga un punto

de inflexión en x0 = --3 3.

AA1 CC1

 A C

1 1 m3 |actividad 2 | AA 

asistente académico 1

 VISUALIZ  VIS UALIZAR AR DESD D ESDE E LA L A PLATAFORMA PL ATAFORMA .

m3 |actividad 2 | CC

clave de co rrección 1

 VISUALIZ  VIS UALIZAR AR DESD D ESDE E LA L A PLATAFORMA PL ATAFORMA .

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m3 | actividad 3

Matemática Aplicada II: módulo 3 Actividad 3: Trazado de Curvas

 

Antes de comenzar, debe estudiar los conceptos teóricos correspondientes a esta actividad de los libros citados en la bibliografía. Le ofrecemos la posibilidad posibilidad de consultar una síntesis sobre los conceptos del módulo en el asistente académico. académico. AA1

1- Realice la gráfica de las funciones da dadas das en el pu punto nto 13 de la actividad 1, indican indicando do regiones de crecimiento y de decrecimiento, extremos relativos, concavidad de la curva, puntos de inflexión, si existen e intersecciones con los ejes. [Rta: f) , i) y k)] CC1

AA1 CC1

 A C

1 1 m3 |actividad 3 | AA 

asistente académico 1

 VISUALIZ  VISU ALIZAR AR DESD D ESDE E LA PLATAFOR PLATAFORMA. MA.

m3 |actividad 3 | CC

clave de corrección 1

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m3 | actividad 4

Matemática Aplicada II: módulo 3 Actividad 4: Aplicaciones específicas de la carrera

 

Antes de comenzar, debe estudiar los conceptos teóricos correspondientes a esta actividad de los libros citados en la bibliografía.

1- La función de demanda de un paquete turístico po porr Europa es q = 45.000 – 7.5 p .Determine el precio y la cantidad que maximiza el ingreso. [Rta:] CC1 2- Un estudio realizado por una fábrica de televisores concluye que cuando el precio de los mismos es 300 dólares, la cantidad demandada es de 800 unidades mensuales; y cuando dicho precio disminuye a 200 dólares, la demanda aumenta a 1200 televisores. a) Dé la función de demanda mensual de televisores, sabiendo que ésta es lineal. b) ¿Cuál es la cantidad demanda si el precio es de 350 dólares? c) Dé el ingreso mensual de la fábrica en función de la cantidad demandada. d) Encuentre la cantidad demandada que maximiza el Ingreso Total. ¿Cuál sería el precio de los televisores en éste caso? [Rta:a) y d)] CC1 3- El Costo Total de producir q miles de unidades de un cierto producto es: CT(q) = 2q3 – 23q2 + 90.7 q + 151 a) Encuentre la función de Costo Marginal. b) Dé el valor de q que minimiza el Costo Marginal. [Rta: a) , b)] CC1 4- La demanda de acero está dada por la función p = 256 – 50 q , y el costo total de producir q unidades es C(q) = 182 + 56 q a) Determine el valor de q que maximiza la utilidad. b) Determine el precio y la utilidad total correspondiente a ese nivel de producción. 5- La función de Costo Total mensual de una empresa es CT(q) = 500000 + 80q , y la función de demanda correspondiente es p = 400 – 0.02q. Encuentre la cantidad demandada que maximiza el Beneficio Total. 6- Si el costo semanal en dólares está está expresado por CT(q) = 200 + 4q + 0.02q2  y el ingreso 2 semanal es IT(q) = 100q – 0.01q . a) Dé la función de demanda semanal. b) Determine el nivel de producción que maximiza el Beneficio. [Rta:a)] CC1 7- Dada la función de costo mensual CT(q) = 900 + 0.25q2. a) Encuentre el nivel de producción que maximiza el Costo Promedio. b) Encuentre el nivel de producción para el cuál el Costo P Promedio romedio es igual al Costo Marginal.

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.

62

 

8- Una tienda vende medias a $3.5 cada una. Se sabe que la función de costo total diario, en 3 2 dólares, está dada por CT(q) = 0.0006q  – 0.03q  + 2q + 80. Encuentre la cantidad de medias que maximiza la Ganancia diaria. 9- La Universidad está programando una visita a distintas Universidades de Chile para contactar a sus docentes con otros centros de altos estudios. El precio del viaje por persona es de 500 dólares, si el grupo está conformado por 50 docentes. Por cada persona que supere esta cantidad, el precio que se cobra a todas disminuirá en 5 dólares. a) Determine la función que exprese el precio p  del viaje en término de la cantidad q  de docentes que viajan. b) ¿En el apartado anterior existe alguna restric restricción ción del dominio? c) Encuentre el Ingreso Total de la com compañía pañía contratada en función de q. d) ¿Cuál es el valor de q que maximiza el Ingreso Total? e) ¿Cuál es el valor máximo del Ingreso? f)

¿Cuál es el preci precio o del viaje que maximiz maximiza a el Ingreso?

10- Las autoridades de tránsito han encuestado encuestad o a ciudadanos a fin de determinar el número de personas que utilizarían el sistema de autobuses si la tarifa fija admitiera diferentes importes. Basándose en los resultados de la misma, los analistas han determinado una función aproximada de la demanda, la cual expresa el número diario de pasajeros en función de la tarifa. Dicha función es: q = 10.000 – 125 p , donde q representa el número de pasajeros por día y p la tarifa en centavos. a) Determine la tarifa que se cobraría con objeto de maximizar el ingreso diario. b) ¿Cuál es el ingreso máximo esperado? c) ¿Cuántos pasajeros por día s se e espera que usen el servicio con esta tarifa? d) Grafique las funciones de demanda e ingreso total. -5

11- La función de demanda anual de una empresa de servicios de Internet es p = 60 – 10  q donde p está expresado en dólares y q en horas de uso. La compañía tiene costos fijos anuales de 7 millones de dólares y costos variables de 30 dólares por hora. Encuentre el precio p  y la cantidad q que maximiza las ganancias de la compañía. 12- Una empresa dedicada a la elaboración de un producto lácteo conoce su función de ingreso diario total IT= - 400 q2 + 10.000 q . Determine el número de litros que se deben vender a fin de maximizar el ingreso. Cuál es el ingreso máximo. [Rta:] CC1

13- Dada la función demanda de una empresa, 22 - 0,5 q = p y su función función Costo Costo P Promedio: romedio: Cme =

1 2 q 3

−

8,5 q + 50 +

90 Determine el nivel de producción que: q  

a) Maximiza los ingresos totales. b) Maximiza los costos marginales. c)

Maximiza los beneficios

14- Un oferente en competencia perfecta se enfrenta a un precio de mercado mercado de p = 5. Si Si su función de Costo Total es CT = q3 maximiza el beneficio.

−

4 q2

+

10 q + 20 . Se pide el nivel de producción que

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pag. 63

 

CC1

C

1 m3 |actividad 4 | CC

clave de corrección 1

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m3 | actividad 5

Matemática Aplicada II: módulo 3 Actividad 5: de Integración

1- Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique. i)

Si lim f(x) no existe, entonces f(3) no está definida. x →3

ii) El gráfi gráfico co de una función función cuadrática siempre corta corta el eje x iii) El gráfico de una ffunción unción cuadrática siempre corta el eje y 2- ¿Al gráfico de cuál de las siguientes funciones pertenece el par (1,1)? a) f(x) = ln(x+ 1)

b) f(x) = ex – 1

c) f(x) =

x+4

d) f(x) = 2x2 - 1

3- ¿Cuál de las siguientes funciones tiene como elemento del dominio el 2? a) f(x) =

x + 5   2

b) f(x) =

1   x-2

c) f(x) =

x-3

d) f(x) =

3  x-3

x 2  − 4

4- Los puntos de intersección de la parábola y = x2 –2x + 1 con el eje x son: a) 0 y 1

b) –1 y 2

c) 1

d) - 1

5- El valor de x para el cual la la función y = ln ( 3x+1) corta al eje y es: a) x =1

b) x = 0

c) x = e

d) x = 1/3

6- La función y = 2 3x +4  vale en x = 0 y en x = - 2 respectivamente: a) 16 y 1/4

b) 1 y 1/4

c) 16 y 4

d) ninguna de las anteriores

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pag.64

 

a) b) c) d)

y = 3x - 5 y = 3x + 1 y = 3x - 2 y = 3x - 1

10- La pendiente de la recta secante a una curva en un intervalo representa: a) La razón de cambio instantánea. b) La razón de cambio promedio. c) La derivada en el punto medio del intervalo. d) Ninguna de las anteriores.

11- Dada la función y = 1+ 4x - x2 , los extremos relativ relativos os en el intervalo [ -1, 7] son : a) b) c) d)

x = 2 mínimo relativo No hay extremos en el intervalo x = 2 máximo relativo x = 2 mínimo y en x = 0 es un máximo.

12- Sea la función y = x/( x-3), entonces: a) tiene en x = 3 un máximo relativo b) no tiene extremos c) tiene en x = 3 un pun punto to de inflexión d) tiene en x = 3 un mínimo relativo 13- La derivada de y =

3

e 2x  x − 1  es:

a) 3 2 e2x (-1)x −2    

1 ⎛ e 2x  ⎞⎟ c) ⎜ 3 ⎜⎝  x  ⎠⎟

−2 /  3

⎛ 2e 2x e 2x  ⎞ ⎜ ⎟  − 2 ⎟ ⎜ x x  ⎠ ⎝ 

1 ⎛ 2e 2x e 2x  ⎞⎟ b) ⎜ − 3 ⎜⎝  x x 2  ⎠⎟ 1 ⎛ 2x - 1e2x d) ⎜ 3⎜ x2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−2/3

2/3

14- Sea f una función continua en (-1,3). Si f es creciente en el intervalo (-1, 1), es decreciente en el (1, 3) y tiene derivada segunda negativa en el (-1, 2) y positiva en el ( 2,3) , entonces: a) f presenta un máxim máximo o relativo en x = 1 y un punto de inflexión en x = 2 b) ff presenta presenta un un mínimo punto derelativo inflexión y un máximo x=2 c) enen x =x 1= y1 ningún punto en de inflexión. d) f presenta un punto de inflexión en x = 2 y ningún extremo. 15- La función beneficio alcanza un máximo valor cuando:

a) b) c) d)

El ingreso es igual al costo. El ingreso marginal es igual al costo marginal El ingreso es mayor que el costo La derivada del Costo es mayor a la derivada del ingreso.

16- Los ceros de la derivada segunda de una función son:

a) b) c) d)

Siempre p puntos untos de in inflexión flexión Nunca son puntos de inflexión Siempre extremos relativos Posibles puntos de inflexión CC1

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pag. 65

 

CC1

C

1 m3 |actividad 5 | CC

clave de corrección 1

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m3

glosario

Matemática Aplicada II: módulo 3 Glosario Concavidad de una curva:

Una curva es cóncava hacia arriba en un intervalo [a, b ] , si la recta secante que pasa por los puntos (a, f (a ))   y (b, f (b )) , se encuentra por encima de la gráca de la curva. De igual modo, es cóncava hacia abajo en el intervalo [a, b ] si la recta secante que pasa por los puntos (a, f (a )) y (b, f (b )) , se encuentra por debajo de la gráca de la curva. Extremos absolutos

Son los máximos y mínimos absolutos que tiene una función. Extremos relativos

Son los máximos y mínimos relativos que tiene una función. Función creciente

Sea f una función, se dice que la misma es creciente en el intervalo

[a, b ]  si para dos puntos cualesquiera del intervalo tal que  x1 <

x 2  se

<

cumple que f ( x1 )

f ( x2 ) .

Función decreciente

Se dice que la función f es decreciente en el intervalo [a, b ]  si para dos puntos cualesquiera  x1 < x 2  del intervalo se cumple que f ( x1 ) > f ( x2 ) . Máximo absoluto

f tiene un máximo absoluto en x=c si se cumple que f (c ) ≥ f ( x ) para todo x en el dominio de la función.

Máximo relativo:

f tiene un máximo relativo en x=c si se cumple que f (c ) ≥ f ( x ) para todo x en el intervalo (a, b) que contiene el valor c.

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pag.66

 

Mínimo absoluto

f tiene un mínimo absoluto en x=c si se cumple que f (c ) ≤ f ( x ) para todo x en el dominio de la función. Mínimo relativo:

f tiene un mínimo relativo en x=c si se cumple que f (c ) ≤ f ( x ) para todo x en el intervalo (a, b) que contiene el valor c.

Puntos críticos (singulares):

 x0   ∈ D f    es un valor crítico o singular de la función si f '( x 0 ) = 0   o f '( x 0 ) no existe. El punto correspondiente correspondiente ( x0 , f ( x 0 ))  del gráco de f   se llama punto crítico de f ( x ) . Punto de inexión:

Sea f(x) una función continua en x=c. El punto (c,f(c)) se dice de inexión si es un punto de cambio de concavidad de la curva, esto es pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa.

m4 m4









microobjetivos

Conocer el concepto de integral indefinida y aplicar correctamente sus propiedades en situaciones que así lo requieran. Reconocer el método de integración apropiado en el cálculo de integrales indefinidas. Comprender el concepto de integral definida para transferirlo a situaciones reales. Calcular integrales definidas e indefinidas con el software matemático.

EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 67

 

m4

contenidos

Integración  Ante rior riormen mente te vimo vimos s cómo có mo encon e ncontrar trar la d eriv ada de una func ión dada dada.. En est este e Módulo nos dedicamos a resolver el problema inverso, es decir, conocida conocida la derivada de una función queremos obtener la función original. Este proceso se conoce con el nombre de “integración” o “antiderivada”. En primer lugar, estudiamos el concepto de “integral indefinida”, sus propiedades y métodos para calcularla, como los de Sustitución y Por Partes. Este tema nos permitirá encontrar, por ejemplo, la función de Costo Total de una empresa, conocida la función de Costo Marginal. Luego introducimos la “integral definida”, sus propiedades y su relación con la “integral indefinida”. El valor obtenido de la “integral definida” tiene una interpretación geométrica sencilla. Es el área que queda determinada entre el gráfico de la función y el eje de las abscisas en un intervalo determinado. Tiene además aplicaciones directas en la carrera, como el cálculo del excedente del consumidor y excedente del productor, temas que se tratarán en la actividad 4, conjuntamente con otros problemas de la realidad. Para finalizar este módulo, vemos cómo calcular integrales definidas e indefinidas con el software matemático. Le proponemos comenzar el estudio de Integrales en el libro de la materia y realizar luego las actividades que le presentamos. Además de Asistentes  Acad émic os, en la l a activ a ctiv idad 2, encon e ncontra trará rá ejerc e jerc icio icios s resue re sueltos ltos paso a paso, pa so, con explicaciones que le serán de gran ayuda para adquirir manejo en los métodos de integración.

m4

material

Material básico: • HAEUSSLER E., PAUL R. 2008. Matemáticas para Administración, Econo mía, Cien Ciencias cias Soci Sociales ales y de la Vida. V ida. México.  México. Ed. Prentice Hall. Decimosegunda edición. Material complementario: • HOFFMAN L., BRAGLEY G., ROSEN K ., 2006. Cálculo Aplicado para  Administ  Admi nistraci ración, ón, Econo mía y Cienci Ci enci as Socia S ociales. les. México.  México. Ed. MacGraw-Hill, Interamericana Editores. Octava Edición. •

TAN S. T. Capítulos 2, 3, 9, 10, 11 y 12. 1998. Matemáticas para  Administ  Admi nistraci ración ón y Econ Economía omía.. México Mé xico.. Ed . THOMSO TH OMSON. N.

•

BUDNICK F. Capítulos 1, 2, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18. 1990. Matemáticas  Apl icadas  Aplicad as p ara Admi Administ nistrac ración, ión, Econ Economía omía y Cienci Ci encias as Socia S ociales les.. México Mé xico.. Ed. Ed . Mc Graw Hill. Tercera Edición.

•

WEBER J. E. 1991. Matemáticas para Administración y Economía. México. Ed. Harla.

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.68

 

m4

actividades

m4 | actividad 1

Matemática Aplicada II: módulo 4 Actividad 1: Integral Indefinida

 

Antes de comenzar, debe estudiar los conceptos teóricos correspondientes a esta activi actividad dad de los libros citados en la bibliografía.  Además, en el Asistente Académico se da un resumen de los temas principales correspondientes a esta actividad. AA1

1- Dé el concepto de integral indefinida. 2- Encuentre todas las antiderivadas de las siguientes funciones y verifique su resultado: a) f(x) =  x 3 + 4x

b) f(x) =  x 7/2

c) f(x) =  x -5 + x + 2

d) f(x) = e x

e) f(x) =

1 x

f) f(x) =

3 3

x [Rta: f)] CC1

3- Encuentre todas las ffunciones unciones f (t) con la siguiente propiedad: b) f ‘(t) = t 2 – 5 t + 7

a) f ‘(t) = 0 c) f ‘(t) = t

3/2

d) f ‘(t) = 3 t

 

[Rta: d)] CC1 4- Encuentre todas las ffunciones unciones f(x) con las siguientes propiedades: a) f ‘(x) = x b) f ‘(x) =

f(0)=3 x  + 1  

f(4)=0

1/3

c) f ‘(x) = 8 x  

f(1)=4

d) f ‘(x) = - 6

f ( -2) = -2 [Rta: d)] CC1

5- Encuentre el valor de k  que  que hace verdadera la igualdad:

∫

(1 - 2x)3 dx = k (1 - 2x)4 + c [Rta:] CC1

6- Dé las propiedades de la integral indefinida. 7- Resuelva las siguientes integrales indefinidas: a)

x

∫4

dx

b)

∫e

d)

∫ dx ∫ 4 2 x - x1 / 3 + x 5 dx

2

+ 3 t 2 − 2e t dt

2

∫ e) ∫ 2x ( x + 1) 2 dx

c) ( x + 2) dx

f)

EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 69

 

h)

i) ∫ ( x + 1)2 x 2 dx

k) ∫ x −2 + 3x −3 - x dx

AA1 CC1

 A C

(3 − x ) 2

1 2 g) ∫ 2 + dx x x

 

∫

x

j)

∫ 2 dx

l)

∫

dx

4 x dx x3

1 1 m4 |actividad 1 | AA 

asistente académico 1

 VISUALIZ  VISU ALIZAR AR DESD D ESDE E LA PLATAFOR PLATAFORMA. MA.

m4 |actividad 1 | CC

clave de corrección 1

 VISUALIZ  VISU ALIZAR AR DESD D ESDE E LA PLATAFOR PLATAFORMA. MA.

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.70

 

m4 | actividad 2

Matemática Aplicada II: módulo 4 Actividad 2: Métodos de integración: Sustitución y Partes

 

Antes de comenzar, debe estudiar los conceptos teóricos correspondientes correspondientes a esta actividad de los libros citados en la bibliografía.  Además, en el Asistente Académico se encuentran desarrollados los dos métodos de integración que se estudian en esta actividad y en la Clave de Corrección están explicados con todo detalle la resolución de algunos de los ejercicios propuestos. AA1

1- Encuentre las siguientes integrales usando el método de integración por sustitución:

a)

c)

∫

b)

∫ x 3 + 4 dx

∫

e - x dx

d)

∫

f)

∫

5

h)

∫

ln x dx x

4x - 2

∫ x 2 - x + 7 dx

e)

g)

i)

4x 2

x( x 2 + 5 )10 dx

∫

∫

(ln x) 5 dx x

( x + 5) 4 x

dx

 j)

x2 ex

∫

3 +3

dx

1 x 3 + x + 2 ( x 2 + ) dx 3

1+ x  x

dx [Rta: b), h) y j)] CC1

2- Encuentre las siguientes integrales usando el método de integración por partes:

∫

a) x e x dx

c)

3x

∫ ex

dx

∫

e) x - 5 lnx dx

g)

∫ lnx

4

dx

i)

∫x

e

2x

2

dx

b)

∫ x lnx dx

d)

∫ x ( x + 1)

f)

∫x

h)

∫ ln x dx

 j)

∫ ln

3/2

dx

2 - x dx

x dx

[Rta: b), c) y ff)) ] CC1

EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 71

 

3- Encuentre las siguientes integrales, usando el método adecua adecuado: do:

a)

∫x

c)

∫

e)

∫

g)

∫e

i)

∫

3/2

+ ln(2x) dx

x 2 e x dx

3

5 + 2x dx

- 1 / x

1 x

1 3

2

dx

dx

x ln x

 

b)

∫ xe

x2

− 2x dx

x2

d)

∫

f)

∫ ( 3x + 1 ) e

h)

∫

 j)

∫

x+4

dx

x 4 - x 2

x /2

dx

dx

ln x dx x

[Rta: método de integración: c) por partes , f) por partes, g) por sustitución y j) por sus sustitución] titución]

AA1 CC1

 A C

1 1 m4 |actividad 2 | AA 

asistente académico 1

 VISUALIZ  VISU ALIZAR AR DESD D ESDE E LA PLATAFOR PLATAFORMA. MA.

m4 |actividad 2 | CC

clave de corrección 1

 VISUALIZ  VISU ALIZAR AR DESD D ESDE E LA PLATAFOR PLATAFORMA. MA.

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.72

 

m4 | actividad 3

Matemática Aplicada II: módulo 4 Actividad 3: Integral definida

 

Antes de com comenzar, enzar, debe estudia estudiarr los conceptos tteóricos eóricos correspondientes a esta actividad d de e los libros citados en la bibliografía. El concepto de integral definida y sus principales propiedades se encuentran en el Asistente académico. AA1

1- ¿Cuál es la interpret interpretación ación geom geométrica étrica de la integral definida? 2- Explique la diferencia ent entre re integral indefinida e integral defin definida. ida. 3- ¿Cuándo una función es integrable? 4- Encuentre geomét geométricamente ricamente y an analíticamente alíticamente e ell área de las siguientes funciones funciones en los intervalos intervalos indicados: a) f ( x) = 4 en el intervalo [ 3, 6] b) f ( x) = x en el interval intervalo o [ 0,3] c) f ( x) = 3x en el intervalo [ -2, 2] Que conclusión puede sacar? d) f ( x) = -2x + 3 en el int intervalo ervalo [ -1 -1/2, /2, 3/2] [Rt [Rta: a: c)] CC1 5- Si una integral de definida finida es cero, ¿e ¿esto sto significa necesa necesariamente riamente que no existe área? Justifique con un ejemplo su respuesta. 6- Encuentre el área de la región d determinada eterminada por lla a gráfica de la ffunción unción f  y el eje x en el intervalo [a,b]: a) f (x) =

x en el inte intervalo rvalo [1, 4] 2

b) f (x) = x + x – 5 en el intervalo [ -1, 1] 3

c) f (x) = x   en el intervalo [ -1,1] . ¿Cómo iinterpreta nterpreta el resultado obte obtenido? nido? d) f (x) = e  2x en el intervalo [ 0,1] [Rta:] CC1 7- Realice las siguientes integrales definidas: a)

c)

e)

h)

3

∫-1 3x ln 2

∫ln 1

2

+ x + 1 dx

[(e x ) 2 + e x ]e x dx

3

2 17 2 ∫ 2 [(x − 3) - ( x − 3)]x dx

0

∫ −1

e x + e - 5x e

-x

dx

 

b)

d)

b

∫a

2

∫-1 0

x 3 /  2 +

(x 3 - 2x - 1) 2 (3x 2 − 2)dx

f)

∫-1

i)

∫1 e

1

1 dx x

ln(e x ) dx

- x

dx

Podría resolverla de otro modo?

EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 73

 

[Rta:b), c) y f)] CC1 b

8- Si

∫

f (x) dx = - 6 , ¿es correcto afirmar que f (x)  es negativa para todo valor de x en [a , b]?

a

Justifique.

9- Encuentre el área comprendida entre las funciones f y g si: a) f (x) = x3 

g (x) = x2

b) f (x) = 2x + 1

g (x) = -x2  + 4

c) f (x) =

g (x) = x

x

[Rta:b)] CC1

10- Como consecuencia de un accidente en una central nuclear, las autoridades sanitarias estiman que la tasa de afectados por la radiación variará de acuerdo con la función : f ( t ) = 100.000 e

- 0.2 t

Donde t expresa el tiempo en horas desde el momento de producirse el accidente. Si el número de personas a las que puede afectar la radiación es de 400.000, determine: a) El número de afectados dos horas después del accidente. b) ¿Cuánto tiempo tardarán todos los habitantes en verse afectados por la radiación? 11- De una mina de oro se extrae mineral según la función M’ (t) = 4.5 e 0.02 t expresado en toneladas, siendo t  el número de años. Halle la extracción en los cinco primeros años. ¿Cuál fue la extracción en el quinto año? 12- Un centro de investigación se especializa en el estudio de epidemias. Según sus estimaciones, para un determinado tipo de epidemia que azotó a una región del país, la tasa a que afectó a otras personas se describe mediante la función : r (t) = 100 e

0.4 t

 – 100

donde r(t)  representa la tasa de nuevos infectados, medida en personas por día y t  indica el tiempo transcurrido desde que se desencadenó la epidemia, medido en días. a) ¿Cuántas personas contrajeron la enfermedad durante los primeros diez días? b) ¿Y duran durante te los primeros veinticinco días?

AA1 CC1

 A C

1 1 m4 |actividad 3 | AA 

asistente académico 1

 VISUALIZ  VIS UALIZAR AR DESD D ESDE E LA L A PLATAFORMA PL ATAFORMA .

m4 |actividad 3 | CC

clave de co rrección 1

 VISUALIZ  VIS UALIZAR AR DESD D ESDE E LA L A PLATAFORMA PL ATAFORMA .

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.74

 

m4 | actividad 4

Matemática Aplicada II: módulo 4 Actividad 4: Aplicaciones específicas de la carrera

 

Antes de comenzar, debe estudiar los conceptos teóricos correspondientes correspondient es a esta actividad de los libros citados en la bibliografía. En el Asistente Académico encontrará ejemplos resueltos que le serán de ayuda para resolver los ejercicios de esta actividad. AA1

1- Un fabricante estima que su costo marginal por producir detergente en polvo es 0.2 x + 1 cientos de dólares a un nivel de producción de x toneladas diarias. Los costos fijos son de $200 diarios. Encuentre el costo de producir x toneladas de detergente en polvo diariamente. 2- Una planta que produce llantas para autos, encuentra que su costo marginal es: CMG (q) = 0.04 q + 150 medido en dólares. Si el costo fijo es $500, encontrar el costo total y el costo medio de producir q llantas. [Rta:] CC1 3- Una pequeña tienda conoce que en un nivel de x ventas diarias, su2 ganancia marginal es: GMG (x) = 1.3 + 0.06 x – 0.0018 x También sabe que la tienda pierde $95 diarios cuando no vende. Encuentre las ganancias de operar con un nivel de ventas de x unidades diarias. 4- La función de ingresos ma marginales rginales de un vendedor es IMG(x) = 125 – 2x, siendo x la cantidad de artículos vendidos. a) Dé la función de Ingreso T Total. otal. b) Calcule el ingreso total cuando se han vendido 20 unidades. 5- Una planta que produce llantas para autos, encuentra que su ingreso marginal está dado por la 2 función IMG =  400 – 3 q . Si el ingreso de producir 10 llantas diarias es de $ 5.000, dé la función de ingreso total y medio. 6- Una empresa productora de un determinado bien tiene como función de ingresos marginales IMG(x) =  100 – 0.8 x, y sus costos marginales responden a CMG(x) =  57 + 0.4 x, siendo x  el número de unidades del bien vendidas o producidas. Halle el beneficio obtenido al vender 25 unidades. [Rta:] CC1 7- Las funciones de demanda y de oferta en un merc mercado ado de competencia pura son respectivamente: 2

p = 14 - q  

y

2

p = 2 q  + 2

donde p  representa precio unitario y q  cantidad. Determine el excedente del productor y del consumidor. [Rta:] CC1 8- La cantidad demandada y el precio de equilibrio en un m mercado ercado de competencia perfecta, están determinados por las funciones de demanda y de oferta: p = 16 - q2  y p=4+q Obtenga el correspondiente excedente del consumidor y del productor. 9- Calcule el excedente del consumidor si la función de demanda es p ventas q = 50.

=

25 - 0.1 q  y el nivel de

EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 75

 

AA1 CC1

 A C

1 1 m4 |actividad 4 | AA 

asistente académico 1

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m4 |actividad 4 | CC

clave de corrección 1

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m4 | actividad 5

Matemática Aplicada II: módulo 4 Actividad 5: Introducción al DERIVE (Optativa)

Integrales

Para calcular la Integral Indefinida  de una función debemos tener en la ventana de Algebra la expresión de dicha función. Por ejemplo: supongamos que queremos integrar la función f(x) f(x) = lln n ((x) x) + x2 - 3 . Escribimos la expresión de la función en la barra correspondiente, como se muestra a continuación.

Luego, presionamos ENTER y la expresión se observa en la ventana de EDICION :

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.76

 

Para integrarla vamos a CALCULO – INTEGRALES y el software nos muestra la pantalla siguiente siguiente::

Indicamos la variable respecto de la cual integramos (en nuestro caso x). Luego seleccionamos si queremos Integral Indefinida o definida. También podemos buscar la Primitiva de la función ingresada. Seleccionamos Seleccionamo s Indefinida y presionamos SI y nos muestra:

EDUBP | LICENC LICENCIATURA IATURA en ADMINISTRACIÓN ADMINIST RACIÓN | matemática matemática aplicada II - pag. 77

 

 

Luego vamos a SIMPLIFICAR – NORMAL y DERIVE realiza el cálculo que muestra a la derecha en un recuadro celeste:

Observe que no aparece la constante de integración. Para que DERIVE   sume esta constante, debemos indicarle el nombre de la constante de la siguiente forma:

EDUBP | LICENCIATURA en ADMINISTRACIÓN | matemática aplicada II - pag.78

 

Lo que hicimos fue escribir k donde dice constante, luego vamos a SIMPLIFICAR – NORMAL y nos da como respuesta:

Para el caso de la integral definida, debe aclarar los extremos de integración y realizar luego los mismos pasos que antes.  Ahora usted está en condiciones de practicar lo explicado. Puede calcular todas las integrales solicitadas en las actividades y controlar los resultados que usted obtuvo.

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glosario

m4

Primitiva de una función:

F es una Primiti Primitiva va de una función f en un conjunto A, si la derivada de F es igual a f para todo x perteneciente a A. En símbolos: F ( x )  es una primitiva de f ( x )  en A si F '( x ) = f ( x ) ∀x  ∈ A   1) Propiedades de las integrales defnidas: b

b

∫a [f ( x ) ± g ( x )] dx = ∫a f ( x )dx b

2)

∫a

±

b

∫a g ( x )dx  

b

dx   ∫a f ( x ) dx

k.f ( x ) d dx x = k.

a

3)

∫a f ( x ) d x  = 0 b

b

∫a f ( x ) dx ≤ ∫a g ( x ) dx   Si en el intervalo [a, b] .se cumple que

4) f ( x ) ≤ g ( x ) . b

5)

b

6)

c

b

∫a f ( x ) dx = ∫a f ( x ) dx + ∫c  f ( x ) dx ∫a

f ( x ) dx = -

∀ a