Matematica Financiera

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Programa de Computación, Diseño y Extensión

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© Matemática

Financiera - Grupo IDAT

Edición a cargo del Programa de Computación e Informática. Director Ejecutivo Coordinador Académico

: Sr. Jaime Benavides Flores. : Ing. Eloy Sotelo Cruz.

Elaboración

:

Diseño y Diagramación

: Rogger´s Publicidad E.I.R.L. - J.A.O.

Los derechos de edición, distribución y comercialización de esta obra son de exclusividad del Instituto Superior Tecnológico IDAT

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Presentación

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Nociones generales sobre finanzas ¿Qué son las finanzas? Un directivo financiero inteligente podría contestar: "ganar dinero". Pero esta conceptualización no refleja toda la complejidad de las decisiones financieras. Por ejemplo, nadie, adquiriría una empresa que le produce satisfactorias ganancias, si a su vez no le ofrece liquidez para el pago de sus deudas: o nadie invertiría en un proyecto que le rinde la máxima rentabilidad, si tiene una alta posibilidad de perder. Por ello, las finanzas significan mas que buscar rentabilidad: es un equilibrio de varios factores: la liquidez, el riego y la misma rentabilidad. Liquidez es la capacidad de pago a corto plazo; el riesgo, la posibilidad de perder; y, la rentabilidad, la capacidad de generar beneficios. Esta última incluye aspectos como el costo de oportunidad, el valor del dinero en el tiempo y, las ganancias y pérdidas originadas por la inflación. El costo de oportunidad es el rendimiento que alguien deja de percibir por ocuparse de una actividad y se considera un costo no contable. Si un empresario joven desea no descapitalizar su empresa recién iniciada, no cobrando un sueldo, el mismo constituye un costo de oportunidad, aunque no lo contabilice como gasto. También es un costo de oportunidad lo que deja de percibir este mismo empresario cuándo utiliza en su empresa el préstamo sin intereses de su padre. Nótese que el préstamo pudo invertirse en un rendimiento alternativo financiero como bonos.

CAPíTULO

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El valor del dinero en el tiempo consiste en la apreciación de que un nuevo sol antes es mejor que un nuevo sol después, debido a que el nuevo sol recibido con anterioridad pudo ser invertido en un rendimiento alternativo. Es decir, es mejor 100 ahora que 100 dentro de un mes. Lo que hay detrás del valor del dinero en el tiempo es que todo recurso en el tiempo puede tener un rendimiento, es decir, todo proyecto tiene un costo de oportunidad. Debe anotarse que este costo de oportunidad no se refiere ni a la inflación ni al riesgo. Si se implemento un proyecto en un país seguro y sin inflación, el beneficio mínimo ¿podría ser cero? El alumno podrá dilucidar que éste debe, ser positivo y que todo inversionista desea una ganancia por su capital fuera de la erosión del dinero y el riesgo. Entendido el problema del valor del dinero en el tiempo es posible dar una conclusión acerca de la rentabilidad: toda decisión financiera es una comparación de beneficios y costos expresados en tiempos iguales. Pero ¿cómo homogenizar costos y beneficios que se encuentran en distintos tiempos?, es decir ¿qué es mejor 100 ahora a 120 dentro de un año?. La respuesta supone entender los conceptos de valor futuro y valor actual, los cuales se desarrollarán más adelante en el curso y pueden calcularse a interés simple o compuesto. Las ganancias por inflación se dan cuando los precios de los productos que vendemos se incrementan más que el nivel general de precios y cuando procuramos mantener activos que se revalúan frente a la inflación (por ejemplo activos fijos) con pasivos que no se revalúan (por ejemplo préstamos). Se generan pérdidas por inflación cuando sucede lo contrario. Es importante entender algunos otros aspectos que permiten visualizar mejor las finanzas. Algunos mencionan que las finanzas representan una extensión de la contabilidad; otros que son una extensión de la economía: y, finalmente, algunos sostienen que a través de ellas se practica la elusión tributaria. La contabilidad ofrece un gran aporte a las finanzas en tanto disponibilidad ordenada de información y medio de control de las operaciones de la empresa. Sin embargo, la contabilidad, al menos la tradicional, se refiere al pasado y no incluye aspectos muy importantes como el costo de oportunidad, el valor del dinero en el tiempo y el riesgo. La exclusión del costo de oportunidad ha sido explicada en párrafos anteriores. Veamos los otros dos casos. La contabilidad sólo incluye el valor del dinero en forma parcial porque toma con igual valor ingresos y gastos que se producen en diferentes tiempos: considera con igual valor ventas cobradas al cash con las cobradas al crédito; o, gastos pagados al cash con los pagados a futuro.

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Análogamente, la contabilidad excluye el riesgo porque toma con igual valor utilidades de proyectos con riesgos distintos. Según ello, es posible que un negocio de una cadena de autoservicios (supongamos de relativo poco riesgo) arroje utilidades similares a las de un negocio de explotación petrolera (supongamos de mucho riesgo). El análisis de los estados financieros valoraría estas dos empresas por igual cuando en realidad la cadena de autoservicios sería mejor en la medida que se obtiene la misma rentabilidad con menor riesgo. La economía aporta a las finanzas la perspectiva global del sistema económico y las herramientas para las principales proyecciones de las variables que la afectan. El directivo financiero debe entender las interrelaciones entre los mercados de capitales y las empresas; cómo se interconecta la economía del país con la del resto del mundo: así como entender las proyecciones de la inflación, devaluación, tasa de interés, etc. Sin embargo, esta globalidad pierde de vista los pequeños detalles que también son importantes, como la conciliación de caja, la administración de tesorería, los inventarios, etc. Debido a la gran presión tributaria que sufren las empresas peruanas, muchas directivas financieras se han dedicado a la elusión tributaría. Esta actividad es la opción de una alternativa entre varias con el fin de evitar legalmente pagar impuestos. La planificación financiera aporta a las finanzas la posibilidad de que las empresas no paguen excesivos tributos. Sin embargo, muchos creen que es la actividad principal en las finanzas, lo cual dista mucho de ser cierto.

Nociones generales de finanzas Finanzas Es la disciplina que se ocupa del estudio y forma de obtención de fondos y de su aplicación de éstos, para maximizar la inversión de los accionistas.

Función de la dirección de finanzas Preséntalas siguientes funciones: -

Decisiones de inversión o presupuesto de capital. Se refiere a ¿Cuánto invertir y en qué activos hacerlo?

-

Decisiones de financiamiento. Se refiere a ¿Cómo conseguir los fondos necesarios? A corto plazo: menor de 1 año. A mediano plazo: mayor de l año, y menor o igual que 5 años. A largo plazo: mayor a 5 años.

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-

Decisiones de Operación o Resultados. Se refiere a la obtención de: ¿Beneficios o pérdidas en la empresa?

Importancia de las finanzas Las finanzas son importantes porque a través de ella el directivo financiero logra maximizar el bienestar de los accionistas; para lo cual maximiza el valor de mercado común de la empresa.

Flujo de tesorería entre los mercados de capitales y las operaciones de la empresa

Donde: 1.

Incremento de la tesorería mediante la venta de activos financieros a los inversionistas.

2.

Tesorería invertida en operaciones de la empresa, y utilizada para comprar activos financieros.

3.

Tesorería generada por las operaciones de empresa.

4. a Tesorería reinvertida 4 .b Tesorería restituida a los inversionistas.

El mercado financiero MERCADO FINANCIERO

MERCADO DE DINERO

MERCADO DE CAPITALES

La función financiera en la empresa La función financiera se ocupa de la obtención de los fondos necesarios para la consecución de las metas de la empresa (objetivo "liquidez"), y del destino o empleo más eficiente de esos fondos para maximizar resultados (objetivo "rentabilidad").

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El aspecto financiero (disponibilidad de fondos) y el aspecto económico (obtención de beneficios) son los dos importantes problemas que continuamente debe resolver el ejecutivo financiero en la empresa. Consecuente con el objetivo rentabilidad, la dirección financiera deberé programar la adecuada utilización de los fondos disponibles a efectos de maximizar la tasa de remuneración del activo (rentabilidad global de la empresa) y definir la composición de las fuentes de financiación, optimizando la estructura del capital con el objeto de maximizar la tasa de remuneración del capital propio (tasa de beneficio de los propietarios). Consecuente con el objetivo liquidez, deberá plantear el flujo de fondos teniendo en cuenta los principales ingresos de caja: capital social, endeudamiento, ventas al contado, cobro de créditos concedidos, etc., y los principales egresos de caja: adquisición de bienes, gastos de desenvolvimiento de todo el proceso (sueldos, gasto de producción, gastos de ventas, administración, financieros, etc.). Quien maneja fondos debe decidir qué hacer con ellos; es decir, en qué tipo de activo emplearlos, para lo cual tiene una infinidad de posibilidades: desde dejarlos disponibles en caja o bancos hasta inmovilizarlos en bienes de uso. Si se mantienen los fondos en efectivo se favorecerá la liquidez, pero ello no favorecerá la rentabilidad. Si se invierten los fondos en bienes de uso, puede perjudicarse la liquidez, o por lo menos ello no será fuente inmediata de liquidez. Estas situaciones se presentan en la empresa en todo momento, por lo que la "función financiera" está continuamente ante ese conflicto conocido como la alternativa. LIQUIDEZ Vs. RENTABILIDAD

El sistema financiero de la empresa El diseño del Sistema Financiero de la empresa, se muestra en el gráfico. Se puede observar que a fin de cumplir con sus objetivos (que son los de la empresa), el ejecutivo tiene que planificar sus acciones, que no es otra cosa que integrarlas a la planificación de la empresa. Estos planes, traducidos a nuevos soles, se convierten en el presupuesto empresarial que es el resultado de los Presupuesto de Operación de la empresa en un periodo determinado y su traducción a estados financieros proyectados (Presupuesto Financiero). Se debe controlar periódicamente el presupuesto y su ejecución con el fin de corregir errores y ajustar nuevamente el presupuesto

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Se pone en marcha el presupuesto y, en su ejecución, se realiza la generación (ingresos) y utilización (egresos) de fondos por la empresa. Periódicamente, se recomienda hacer cada mes, el control para verificar si lo que se había planificado se está cumpliendo o se deben corregir errores y ajustar nuevamente los presupuestos. Para el control financiero, el ejecutivo está prevenido de una serie de instrumentos que le van a permitir recomendar los ajustes indicados. La línea punteada nos indica que el control realizado ha dado como respuesta la necesidad de efectuar correcciones y ajustes en los planes, y lógicamente, en los presupuestos, para poder continuar la operación de la empresa para el siguiente período. Como se puede apreciar, el proceso es continuo y el sistema es cerrado y permite los ajustes necesarios.

Gráfico: el sistema financiero de la empresa

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Estructura del sistema financiero nacional

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Estructura del mercado de valores en el Perú (*)

*Según el Decreto Legislativo Nº 861

MECANISMOS, OPERACIONES E INSTRUMENTOS EN EL MERCADO DE VALORES MECANISMOS

OPERACIONES

INSTRUMENTOS

RUEDA

- Al Contado - Al Plazo - De Reporte

- Acciones Comunes - Acciones de Trabajo - Bonos - Certificados de Suscripción Preferente

MESA DE NEGOCIACION

- Al Contado - A Plazo - De Reporte - Doble Contado-Plazo

- Bonos (Públicos y Privados) - Certificados Diversos - Acciones no Inscritas - Letras Hipotecarias - Instrumentos de Corto Plazo (*)

MESA DE PRODUCTOS

- Sport - Futuro

- Certificados de Depósitos de Productos

(*) Aceptaciones bancarias, pagares bancarios, certificados del Banco Central de Reserva del Perú. Letras avaladas, letras simples (aceptadas y giradas)

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Estructura reguladora del sistema financiero nacional

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Herramientas y aplicaciones del análisis financiero empresarial

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Tasas, índices y porcentajes Tanto por Ciento (T) Se llama tanto por ciento al número considerado por cada ciento. Expresa centésimos de una cantidad cualquiera.

T

P u 100 C

Por ejemplo: a.

El a % = a / 100

b.

El 5% = 5/ 100

c.

El 6.5% = 6.5/ 100

d.

El 12 ¼% = 12.25/ 100

Tasa Es el tanto por ciento expresado en tanto por uno.

P

C uT 100

ó

P

Cur

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Por ejemplo: a.

El 12% = 12/ 100 = 0.12 En tasa.

b.

El ¾% = 0.75 /100 = 0.0075 En tasa.

Problemas de aplicación de tanto por ciento La producción de la Corporation IBM USA es de 8 millones de PC’s de Pentium en el año 2005, en el año 2006 fue de 12.5 PC’s. ¿En que tanto por ciento se incremento en producción en el año 2006? Por regla de tres: PC’s 8’ ----------------- 100 % 4.5’ ----------------- X % X = 4.5 * 100 = 56.25 % 8

Un inversionista a invertido $50 000 en la Bolsa de Valores de Lima en cierto tipo de títulos de valores y le queda en efectivo $120 000 ¿Qué tanto por ciento ha invertido de su Capital? Por regla de tres: $170 000 ----------------- 100 % $50 000 ----------------- X % X = 50 000 * 100 = 29.41% 170 000

Porcentaje (P) Se llama porcentaje al resultado del cálculo de un tanto por ciento de una cantidad cualquiera. Por ejemplo: a.

El 4½ % de 5000 = S/. ......................

b.

El 0.78 % de 12500 = S/. .....................

Problemas de aplicación de porcentaje Un agente vendedor de VOLVO gana el 2.5% de comisión sobre sus ventas.¿Cual es la ganancia al vender un camión GX – 2000 en $150 000?

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Por regla de tres: $150 000 ----------------- 100% X ----------------- 2.5% X = 150 000 * 2.5 = $3750 100

En la especialidad de C.I. se cuenta con 3000 alumnos, el 60% son hombres y el resto mujeres ¿Cuál es el numero de mujeres? Por regla de tres: Alumnos 3000 ----------------- 100% X ----------------- 40% X = 3000 * 40 = 1200 mujeres 100

Problemas de aplicación del calculo de la base Roberto Palacios compra una Pentium IBM al contado y obtiene una rebaja de $32.50 ¿Cuál es el precio de venta de la PC si la rebajaron 5%? Por regla de tres: $32.50 ----------------- 5% $X ----------------- 100% X = 32.50 * 100 = $650 5

El Grupo IDAT ha hecho una compra de PC’s Pentium IV IBM, habiendo recibido un lote de 50 unidades. Si todavía le falta entregar al instituto el 70%. ¿A cuantas unidades asciende el pedido? Por regla de tres: PC’s 50 ----------------- 30% X ----------------- 100% X = 50 * 100 = 167 PC’s 30

Tejidos San Cristóbal produce diariamente camisas el 40% Small, el 20% médium, el 10% large y 1800 camisas XL. ¿Cuántas camisas producen en total diariamente?. Y ¿Cuántas camisas de cada talla?

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Por regla de tres: Camisas 1800 X

----------------- 30% ----------------- 100%

X = 1800 * 100 = 6000 Camisas 30 Small Medium Large XL TOTAL

: 0.40*6000 = 2400 : 0.20*6000 = 1200 : 0.10*6000 = 600 1800 : 6000 Camisas

Elementos que intervienen en el tanto por ciento -

Base.- Que es una cantidad cualquiera: C

-

Tasa.- Es el número de centésimos de la base: - T: en forma fraccionaria - r: en forma decimal

-

Porcentaje.- Es el resultado o total de centésimos sobre una cantidad cualquiera: P

J

t

J Gt

Índice

G

0

Qt Q0 G

t 1

Qt 100G u JJJJJ Qt  1

Es un indicador que plantea una comparación, y expresa la variación de una variable hecho o fenómeno, ya sea en el tiempo o en el espacio respecto de un punto o momento de referencia llamado: Base de índice. Los índices se expresan frecuentemente en términos porcentuales, e indican el comportamiento de una variable en forma más apropiada. Índices de Base Fija

J

t

J Gt

0

G t 1

Qt Q0 G

Qt 100G u JJJJJ Qt  1

Qt QBase 0 Índices de Variable Qt J Gt t  1 G 100G u JJJJJ Qt  1 J

t

0

G

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Problemas de aplicación de índices Sobre la base de los datos de la Exportación de Productos Tradicionales en el Perú, para el período Septiembre 2005 al mes de Septiembre 2006, expresados en millones de US dólares. Se pide calcular: a) Índices de base Septiembre 2005 =100, b) Índices de base Febrero 2006 =100, c) Índices de base variable.

Mes

Millones de US $ 

Índice de Base Fija (Sep-05 = 100)

Índice de Base Fija (Feb-06 = 100)

Índice de Base Variable

Sep-05 Oct-05 Nov-05 Dic-05 En-06 Feb-06 Mar-06 Ab-06 May-06 Jun-06 Jul-06 Ago-06 Sep-06

1,127.74 1,070.27 1,122.55 1,566.35 1,050.44 1,101.25 1,321.88 1,419.11 1,494.32 1,609.59 1,871.46 1,494.97 1,760.57

                         

                         

                         

Fuente: BCRP- Boletín Mes de Septiembre 2006

Porcentaje sucesivo Son los porcentajes que se obtiene sucesivamente.; tantos por ciento de aumento o disminución, que se suman o restan respectivamente a una cantidad base. Ejemplo: El precio de costo de una PENTIUM IV IBM es de $ 1000 , y se recarga con el 15% y el 10%, y al venderse dicha PC se le hace una rebaja del 17%. ¿Cuál es el precio de venta de la PC?

Método I Precio de costo Más el 15% Sub total 1 Más el 10% Sub total 2 Menos el 17% Precio de venta

$ 1000.00 150.00 1150.00 115.00 1265.00 215.05 $ 1049.95

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Método II Precio de venta: $ 1000*1.15*1.10*0.83 = $ 1049.95

Porcentajes equivalentes Es el resultado de una política de recargos y rebajas que utiliza una empresa para hacer creer que al comprador se le hace “extraordinarios descuentos”. Consecuentemente “no hay variación”. Ejemplo: Con los datos del ejemplo anterior, halle el porcentaje equivalente correspondiente a los aumentos y descuentos considerados.

TE

100 r T 1 100 r T 2 100 r T 3 .......100 r Tn  100 100 n 1

TE

(115 *110 * 83)  100 100 3 1

4.995%

Porcentaje sobre el precio de costo y Q J de G venta el precio Q t

t

0

0

Qt Se utilizan estos porcentajes en la actividad comercial compra - venta, J Gt t  1 G 100G u JJJJJ para ver cuánto de rebaja puede hacerse sobre el precio de venta para Qt  1 hallar el precio de costo o también ¿cuánto debe aumentarse al precio de costo para hallar el precio de venta de un artículo determinado. Sabemos que:

PV

PC  G

Fórmulas a utilizar:

( PV u 100)

PC

PC

( PV u 100) (100  T )

PV

( PC u 100) (100  T )

(100  T )

G

( PC u T ) (100  T )

PV

G

( PC u 100) (100  T ) ( PV u T ) (100  T )

G

( PC u T ) (100  T )

G

(

(1

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Problemas de aplicación sobre el precio de costo y el precio de venta Un artículo es vendido en $ 3 000 ganando el 10%. Halar el precio de costo. Por regla de tres: $3 000 ----------------- 110% X ----------------- 100% X = 3 000 * 100 = $2,727.27 110

¿En cuánto debe venderse una Pc que tiene un costo de $ 1000, para ganar el 25 del precio de venta? Por regla de tres: $1 000 ----------------- 75% ....... (100% -25%) X ----------------- 100% X = 1 000 * 100 = $1,333.33 75

Precio de lista Es aquel que relaciona el precio de costo de una mercadería con su precio de venta, y fija una ganancia sobre sus inversiones; recarga una utilidad funcional al precio de venta para obtener el precio de lista. Esto permite hacer rebajas y obtener la utilidad fijada de antemano, sin perjuicio para el comerciante. Fórmulas a utilizar:

Pl

PC u

(1  t ) (1  t ' )

PC

Pl u

Donde: Pl : Pc : t : t´ :

precio de lista. precio de compra. tasa de recargo sobre el precio de venta. tasa de rebaja sobre el precio de venta.

(1  t´) (1  t )

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Problemas de aplicación sobre el precio de lista Hallar el precio de compra de un artículo que tiene un precio de lista de $ 1500 y que esta con un recargo del 25% y se vende al público con una rebaja el 15%.

Pc 1500 *

1  0.15 1  0.25

$1,020.00

Hallar el precio de costo de una Pc sabiendo que se vende con una rebaja del 10%, y se obtiene una ganancia neta del 20%., teniendo un precio de lista de $ 2500.

Pc

2500 *

1  0.10 1  0.20

$1,875.00

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Diagramas de tiempo valor y flujo de caja En la evaluación de inversiones, los flujos de efectivo, sean ingresos o egresos, pueden originarse en cualquier instante de un horizonte de tiempo determinado. Sin embargo, para facilitar los cálculos, se considerará que todos los flujos ocurridos en su período de tiempo han sucedido al final de ese período. Estos flujos suelen presentarse en el denominado diagrama de tiempo - valor en la cual quedan registradas los ingresos, egresos, el sentido del tiempo (considerando el presente como el momento O), La tasa de evaluación y la incógnita a resolver. Ejemplo 1: Representar el diagrama de flujo de caja para una empresa que hoy tiene deudas de s/. 8 000 y s/.7 000 vencidas hace 30 y 60 días cada una respectivamente y además debe cancelar un préstamo en 3 cuotas mensuales de s/. 5 000 cada una. Las cuales vencen dentro de 30, 60 y 90 días respectivamente. Solución:

7000

8000

-60

-30

0

5000

5000

30

60

5000 90 días

Por el valor cronológico del dinero a través del tiempo, no pueden efectuarse sumas o restas de flujos de efectivo ubicados en diferentes momentos de un horizonte temporal, ya que cada uno de ellos tiene un

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poder adquisitivo diferente, es decir, representan cantidades nominales, cuya comparación para efectos de cálculo debe efectuarse en una determinada fecha focal (fecha de evaluación). Para trasladar estas cantidades del momento en que se encuentran hasta la fecha focal, es necesario utilizar una tasa apropiada (de interés, de inflación, etc.).

Diagrama de flujo de caja El flujo de caja es el resultado de ingresos y desembolsos de efectivo en un intervalo de tiempo dado, pudiendo ser evaluado en cualquier instante del tiempo en forma neta como la diferencia entre las entradas y los desembolsos: FLUJO DE CAJA NETO- ENTRADAS DE EFECTIVO-DESEMBOLSOS DE EFECTIVO

Si los flujos de caja los representamos en un diagrama de tiempo valor lo convertimos en un diagrama de flujo de caja con las siguientes particularidades: -

Convención de fin de período: como los flujos de caja son el resultado de una corriente de ingresos y pagos de efectivo, para efectos de evaluación se considerará que ellos ocurren al fin de un período de interés.

-

El tiempo o momento 0 corresponde al presente y el momento 1 el final de un período de interés. Se escogerá una unidad de tiempo conveniente:



Mes, trimestre, semestre, año, etc. La tasa de interés debe coincidir con la unidad de tiempo. Un determinado momento futuro se expresará con un número positivo, mientras que un determinado momento pasado se expresará con un número negativo.

-

Son flujos de caja positivos: los ingresos, las utilidades, los beneficios, las rentas percibidas, etc.

-

Son flujos de caja negativos: las inversiones, los desembolsos, los costos, los gastos, las rentas pagadas, etc.

-

Los flujos de caja positivos serán indicados con flechas hacia arriba y a la inversa, los flujos de caja negativos serán indicados con flechas hacia abajo.

-

Los diagramas de flujo de caja en algún punto de evaluación pueden ser presentados en forma bruta (ingresos y egresos) o en forma neta (ingresos- egresos).

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Las representaciones de los flujos de caja pueden ser efectuados desde el punto de vista de la entidad financiadora o del prestatario, de acuerdo a la característica del problema.

Ejemplo 2 Represente en un diagrama de flujo de caja neto la siguiente información : A fines del año 1994 hemos comprado una camioneta en $6 000 la cual ha tenido un costo de mantenimiento anual de $500 durante 3 años y al final de su tercer año de vida efectuamos su venta por $2 000. Solución: Año

Entrada

Desembolsos

Flujo de caja

1994

0

6 000

- 6 000

1995

0

500

-500

1996

0

500

-500

1997

2 000

500

1 500

91

92

93

0

1

2

1500 94 3 días

Ejemplo 3 Dibuje un flujo de caja que muestra ingresos de s/. 1 000, 5 000, y 2 000 en los momentos 0.1 y 5 respectivamente y un egreso de s/. 4 000 en el momento 3. Solución:

1000

5000

0

1

2000 2

3 4000

4

5 años

Flujo de caja convencional Consiste en un desembolso inicial seguido de una serie de ingresos de efectivo. Por ejemplo: una empresa puede invertir hoy s/. 8 000 y pronosticar entradas de efectivo de s/. 4 000 al final de los próximos cuatro trimestres.

4000 0 1 8000

4000

4000

2

3

4000 4 trim

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Flujo de caja no convencional Es cualquier patrón de flujo de caja, en el cual a un desembolso inicial le siguen entradas y desembolsos intermitentes. Ello puede suceder, por ejemplo, en la compra de un activo fijo que requiera un desembolso de efectivo de s/. 10 000 y generar entradas de s/. 15 000 durante dos años: en el tercer año necesita una reparación evaluada en s/. 4000, durante las cuales sigue generando ingresos de s/. 15000 durante el cuarto y quinto año.

15000 15000 0 1 1000

2

15000 15000 3 4000

4

5 años

4

El valor del dinero en el tiempo: el interés simple El valor del dinero en el tiempo El dinero tiene un valor en el tiempo, debido a que el poder de compra o poder adquisitivo de un Nuevo Sol cambia a lo largo del tiempo. El hecho de que el dinero tenga un valor en el tiempo, significa que iguales cantidades de nuevos soles, en distintos puntos en el tiempo tienen diferente valor, siempre y cuando la tasa de interés a la cual se descuenta sea mayor que cero.

Interés Se llama interés a la utilidad o ganancia producida por un préstamo, depósito o inversión; mediante una operación: comercial, bancaria o financiera. La tasa de interés que se paga por una suma de dinero se expresa generalmente como el porcentaje que debe pagarse por su uso durante un periodo de tiempo. Existen dos tipos de interés: el interés simple y el interés compuesto. -

Interés Simple.- Cuando la ganancia obtenida se calcula entre la fecha de inicio de la operación, y la fecha de liquidación fijada al préstamo o inversión toma el nombre de INTERÉS SIMPLE.

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-

Interés Compuesto.- Cuando la ganancia se calcula al final de cada periodo (años, semestres, etc.), y luego se suma al capital para formar uno nuevo y por consiguiente mayor, se seguirá produciendo utilidades en el periodo siguiente, entonces se llama: INTERÉS COMPUESTO.

Interés simple Elementos que intervienen en el cálculo a.

Capital.- Es la cantidad prestada, depositada o invertida: P

b.

Tiempo.- Es el periodo mediante el cual se ha prestado el capital, depositado o que permanece invertido; lo cual representamos por n* Cada una de las subdivisiones del año lo representamos por m. y cada uno de los períodos lo representamos por n.

Periodos

Semestres

Trimestres

Cuatrimestre

Bimestre

Meses

Quincenas

Semanas

Días

m

2

3

4

6

12

24

52

360

c.

Tasa (Tipo de interés o Tanto por ciento).- Es la ganancia establecida por cada 100 soles de capital en la unidad de tiempo; la cual puede ser: anual, semestral, cuatrimestral, trimestral, bimestral, mensual, quincenal, semanal o diaria.



Se representa literalmente por “i” o “T”

Calculo del interés simple I

P.i.n*

Interés simple con variaciones en las tasas de interés Cuando la tasa de interés dada no es anual, para poder emplear la formula basta convertir dicha tasa. Por ejemplo: a.

3% mensual = 36% anual.

b.

4% bimestral = 24% anual.

c.

4.25% semestral = 8.5% anual.

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Monto capital stock final o valor futuro -

Monto (S).- Es la suma del capital o stock inicial (P) mas los intereses.

S -

Capital (P).- Es la suma restada depositada o invertida, Llamada también capital inicial, stock inicial o valor presente.

P -

P(1  i.n* )

>

S 1 / 1  in*

@

Stock Futuro Valor futuro (M).- Es el valor inicial o capital inicial llevado al futuro.

Interés simple

Interés Simple.- La relación fundamental es:

I = (P. i) n

Interés Stock inicial en efectivo Tasa de interés Horizonte temporal

Donde (i ) es UN COCIENTE, para el AÑO, Mes o DÍA, según el caso y expresa en TANTO POR UNO. Así, suponemos que se desea calcular el interés (i) por un capital de S/. 1’000,000 en 2 años a la tasa del 85% anual: Primera forma de cálculo I = 1'000,000 x 0.85 x 2 I = S/. 1'700,000

Segunda forma de cálculo I = 1' 000, 000 x 85 x 2 100 I = S/. 1'700,000

Otro ejemplo (Con meses) Calcular el interés (i) por un capital de S/. 2'000,000 en 5 meses a la tasa del 96% anual: Primera forma de cálculo I = 2'000,000 x 0.08 x 5 I = S/. 800,000

Segunda forma de cálculo I = 2'000,000 x

0.96 x5 12

I = S/. 800,000

Tercera forma de cálculo I = 2'000,000 x

96 x 5 S/. 800,000 1200

31

32

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Ultimo ejemplo (con días) Calcular el interés (i) por un capital de S/. 1'500,000 en 46 días a la tasa del 99% anual.

Primera forma de calculo I=1'500,000 x 0.0025 X 46 i = s/. 172, 500

Segunda forma de cálculo

Tercera forma de cálculo

I = l'500,000 x 0.90 x 46 360

I=l'500,000 x 0.90 x46 36000

I = s/. 172,500

i = s/. 172.500

PREFERIMOS LA PRIMERA FORMA (Tasa en tanto por uno)

No memorice fórmulas para calcular (i), (n) (p) Sí usted sabe despejar, use la formula fundamental I = (P. i. n) y despeje.

Periodo de tiempo comprendido entre dos fechas De acuerdo al sistema legal vigente, si una persona deposita y retira de su cuenta en un banco una determinada cantidad de dinero en el mismo día no habrá ganado interés alguno. Lo contrarío supondría percibir interés por horas, minutos, segundos, etc. situación que puede corresponder al cálculo del interés continuo y no contempla en el sistema financiero. Para percibir interés es necesario que el dinero haya permanecido en la institución financiera como mínimo un día, transcurrido entre dos fechas consecutivas, la primera de las cuales se excluye y la misma se incluye, operación conocida como el “método de los días terminales”. Por ejemplo un depósito efectuado el 3 de abril y retirado si 4 del mismo mes habrá percibido interés correspondiente a un día, contado del 3 al 4. excluido 3/4

incluido 1 dia

4/4

En el cálculo del período de tiempo comprendido entre dos fechas, para excluir el primer día podemos efectuar lo siguiente:

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a.

Depósitos y retiros producidos en el propio mes: restar al día deretiro el día de depósito. Por ejemplo, para un depósito del 3 de abril, retirado al 26 del mismo mes, se contabilizara 23 días (26 - 3 = 23).

b.

Depósitos y retiros producidos en periodos que incluyen más de un mes: restar al numero de días del primer mes de los días transcurridos desde que se efectuó el depósito (incluido día) y adicionar los días de los meses siguientes incluyendo el día de retiro, Por ejemplo para un depósito del 26 de mayo, retirado el 7 de junio, se contabilizarás 12 días (5 de mayo y 7 de junio).

Ejemplo 1 ¿Cuántos días de interés se habrá acumulado entre el 3 de junio y el 18 de septiembre del mismo año, fechas de depósito y cancelación de un importe ahorrado en un banco? Solución: MES

DÍAS

DÍAS TRANSCURRIDOS EN EL MES

Junio Julio Agosto Septiembre

30 30 31 30

27 excluye el 3 de junio (30 - 3 = 27) 31 incluye los 31 días 31 incluye los 31 días 18 incluye el 18 de septiembre ----107 días

Año bancario según BCRP De acuerdo a lo normado por el Banco Central de Reserva del Perú, el año bancario es un período de 360 días. El adjetivo anual y el término año cuando no estén asociados a fechas específicas, harán referencia a un año bancario. En general los siguientes términos harán referencia a los siguientes periodos de tiempo: Termino

Periodo en días

Año

360

Semestre

180

Cuatrimestre

120

Trimestre

90

Bimestre

60

Mes

30

Quincena

15

Día

1

33

34

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Número de unidades de tiempo en un año bancario Unidad

Número

Año

1

Semestre

2

Cuatrimestre

3

Trimestre

4

Bimestre

6

Mes

12

Quincena

24

Día

360

Ejemplo 2 Si la tasa anual de interés simple es del 18% anual. ¿Cuál será la tasa para el periodo comprendido entre el 1 de enero de 1995 y el 1 de enero de 1996? Solución: Entre las fechas referidas han transcurrido 365 días, Por regla de tres simple: 18% ————————————— 360 días x% ————————————— 365 días x = 18.25 %

Ejemplo 3 El interés simple de un capital inicial de S/. 1 000 colocado durante un año a una tasa del 24% anual puede calcularse alternativamente con diferentes tiempos y tasas proporcionales. Solución: Años

I = 1 000 x 0,24 x

1 = 240

Semestres

I = 1 000 x 0,12 x

2 = 240

Cuatrimestres

I = 1 000 x 0,08 x

3 = 240

Trimestres

I = 1 000 x 0,06 x

4 = 240

Bimestres

I = 1 000 x 0,04 x

6 = 240

Meses

1 = 1 000 x 0,02 x

12 = 240

Quincenas

I = 1 000 x 0,01 x

24 = 240

Días

I = 1 000 x 0,0006 x X

360 = 240

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Variaciones en la tasa de interés Cuando en el mercado se producen variaciones de tasas, la fórmula debe modificarse para incluir dichas variaciones durante los periodos de tiempo de vigencia de la tasa. Siendo i1 , i2, i3, i4, .... , im las tasas de interés vigente durante n1, n2, n3, n4, ..... , nm periodos respectivamente, tenemos:

I

Pi1n1  Pi2 n2  Pi3 n3  Pi4 n4  .......................Pim nm

I

P{i1n1  i2 n2  i3 n3  i4 n4  ............................i1n1

I

m

P ¦ ik .nk k 1

La fórmula calcula el interés simple con variaciones de tasa.

Inclusión y exclusión de días cuando se producen variaciones de tasas ¿Cómo debe calcularse el interés cuando se producen variaciones de tasa? Supongamos que el 15 de junio, cuando la tasa de interés simple mensual fue 4%, una persona deposita en su cuenta de ahorros S/.10,000 y los retiró el 16 de junio, fecha en que la tasa subió a 5%. ¿Qué tasa de interés debe aplicarse al depósito? i=4% 0 15/06 P=10,000

i=5% 1 16/06

2 17/06

En el gráfico observamos que del 15 al 16 de junio la persona gano un día de interés a la tasa del 4%. La percepción de la tasa del 5% corresponderá a los depósitos efectuados a partir del día 16 de junio.

35

36

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Ejemplo 1 Calcule el interés simple de un capital de S/.5000 colocado en una institución financiera desde el 3 de marzo al 15 de mayo del mismo año, a una tasa del 2% mensual. Solución: I =? P = 5000 i = 0,02 n = 73 días

I = Pin I = 5000 x 0,02 x 73/30 I = 243.33

Ejemplo 2 ¿Qué capital colocado a una tasa anual del 30% producirá un interés simple de S/.1000 en el periodo comprendido entre el 10 de abril y 30 de junio. Solución: P =? I = 1000 i = 0,30 n = 72 días

P = I/(in) P = 1000 / (0,30 x 72/360) P = 16666,67

Ejemplo 3 ¿Cuál será la tasa mensual de interés simple a cargar en el financiamiento a 45 días, sobre un articulo cuyo precio de contado es de S/. 2000 y al crédito sin cuota inicial será de S/.2300? Solución: I =? I = 300 P = 2000 N = 45 días

i = I/(Pn) i = 300 / (2000 x 45/30) i = 0,10 = 10%

Ejemplo 4 ¿En cuánto tiempo podrá duplicarse un capital a una tasa de interés simple del 5% mensual? Solución: n =? I =1 P= 1 i = 0,05

n = I/(Pi) n = 1/0,05 n = 20

Habiendo ingresado i mensual el resultado hallado para n es mensual.

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Ejemplo 5 Calcular: a.

El interés simple de un depósito de ahorro de s/. 5 000 colocado en el Banco Norte del 6 de julio al 30 de septiembre del mismo año ganando una tasa anual de interés simple del 36%. La tasa anual bajó al 24% a partir del 16 de julio y al 21% a partir del 16 de septiembre.

b.

Con la misma información calcule nuevamente el interés, considerando que el banco abona los intereses en la libreta de ahorros cada fin de mes (capitalización).

Solución: a. Interés simple del 6 de julio al 30 de septiembre. 36% 6/7

10d

24% 16/7

21% 16/9

62d

VARIACIÓN DE TASAS A partir de

I

Días

Acum.

6 Julio

i1

36 %

n1

10

10

16 Julio

i2

24 %

n2

62

72

16 Septiembre

i3

21 %

n3

14

86

30 Septiembre

Cálculo de interés simple del 6 de julio al 30 de septiembre. I =5000[(0,36 x 10/360) + (0,24 x 62/360) + (0,21 x 14/360)] I = 5000 [0,0595] = 297,5

b. Interés simple del 6 de julio al 30 de septiembre1 con abono de interés cada fin de mes. Cuando los intereses simples se abonan mensualmente como lo hacen los bancos para los depósitos de ahorros, éstos se capitalizan y sobre los nuevos capitales se calculan los intereses simples.

14d

30/9 n 86d

38

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Julio Agosto Septiembre

I = 5 000 [0, 36 x 10/360 + 0,24 x 15/360] = 100 I = 5 100 [0,24 x 31/360] = 105.40 I = 5 205,4 [0,24 x 16/360 + 0,21 x 14/360] = 98.04

Interés Total = 100 + 105.40 + 98.04 = 303,44 A partir de / a

i

Días

6 de Julio / 16 de Julio

36 %

10

16 de Julio / 31 de Julio

24 %

15

31 de Julio / 31 de Agosto

24 %

31

31 de Agosto / 16 de Septiembre

24 %

16

16 de Septiembre / 30 de Septiembre

21 %

14 86

30 de Septiembre

El conjunto de estas operaciones a interés simple constituye una de interés compuesto.

Los numerales Variaciones en el principal (numerales) Cuando el saldo de una cuenta corriente, de ahorro, etc., cambia constantemente debido a los movimientos que se generan en torno a ella (cargos y abonos), el cálculo del interés simple se efectúa usando numerales, Numeral es el producto de cada nuevo saldo de una cuenta y el número 36 días de permanencia de ese saldo sin movimiento. A una fecha determinada (fin de mes, trimestre, etc.) se obtiene el interés simple multiplicando la sumatoria de los numerales por la tasa diaria de interés. La siguiente ecuación muestra el movimiento de una cuenta de ahorros durante un período de tiempo:

I = P 1 in 1 + P 2 in 2 + P 3 in 3 + …….

+

P m in m

(1)

Cada sumando de la expresión anterior representa una operación de interés simple, donde:

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39

P 1 , P 2 , P 3 , …… son saldos del capital original. n 1 , n 2 , n 3 , ……. son saldos días de permanencia de los saldos P 1 , P 2 , P 3 … De ( 1 ) : I = i [ P 1 n 1 + P 2 n 2 + P 3 n 3 + P 4 n 4 + ……. P m in m Cada sumando de la expresión entre corchetes es un numeral.

I

m

i ¦ pk .nk k 1

La fórmula calcula el interés simple aplicando numerales. Ejemplo Una persona abre una libreta de ahorros el 1 de junio con S/. 1 100 y efectúa a partir de esa fecha durante todo el mes de junio las operaciones detalladas en el cuadro siguiente. ¿Qué interés habrá acumulado al 01de julio, si la tasa mensual de interés simple fue del 4%? Depósitos

Retiros

1 junio 1,100 6 junio +200 10 junio +100 23 junio +60 26 junio +480 28 junio +100 Al 01 de Julio

4 junio 18 junio 27 junio -

150 300 630

Solución:

(1 100 – 150) ( 950 + 200) (1 150 – 100) (1 250 – 300) ( 950 – 60) (1 010 – 480) (1 490 – 630) ( 860 – 100)

P 1 = 1100 n 1 =3 (4 – 1) P 2 = 950 n 2 =2 (6 – 4) P 3 = 1150 n 3 =4 (10 – 6) P 4 = 1250 n 4 =8 (18 – 10) P 5 = 950 n 5 =5 (23 – 18) P 6 = 1010 n 6 =3 (26 – 23) P 7 = 1490 n 7 =1 (27 – 26) P 8 = 860 n 8 =3 (28 – 27) P 9 = 960 n 9 =3 (01/07 – 25/06

I = 0.04/30[(1100 x 3) + (950 x 2) + (1150 x 4) + (1200 x 8) + (950 x 5) + (1010 x 3) + (1490 x 1) + (860 x 5) + (960 x 3)] I = 0,04/30 [32,810] I = 0,001333333 x 32810 I = 43.75

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Cálculo del interés simple a través de numerales Movimiento Día

D/R

Importe

HABER

Saldo acreedor (Pm)

Días (nm)

0,0 150,0 0,0 0,0 300,0 0,0 0,0 630,0 0,0

1 100,0 0,0 200,0 100,0 0,0 60,0 480,0 0,0 100,0

1 100,0 950,0 1 150,0 1 250,0 950,0 1 010,0 1 490,0 860,0 960,0

3 2 4 8 5 3 1 1 3

3 300 1 900 4 600 10 000 4 750 3 030 1 490 860 2880

30

32 810

(Cargar / Retiro)

01.06 04.06 06.06 10.06 18.06 23.06 26.06 27.06 28.06

D R D D R D D R D

01.07

Totales

1 100,0 150,0 200,0 100,0 300,0 60,0 480,0 630,0 100,0

Multiplicador fijo 10,04/30 x 32810 = 43.75 ( I

01.07

1

D = Deposito,

43,75

∑ P .n

DEBE

(Deposito / Abonar)

k

= i ∑ PK ik )

0,0

R = Retiro;

k

Numerales acreedores

43.75

1003.75 S=P+I S=960+3.75 S=1 003.75

I = Interés

Procedimiento bancario de cálculo de interés simple a través de numerales 1.

Registramos los depósitos y retiros de ahorros, abonando o cargando respectivamente en la columna Movimiento y establécenos los saldos acreedores de acuerdo a las fechas en que se hayan efectuado estos movimientos.

2.

Registramos los días de permanencia de la cuenta con ultimo movimiento. Por ejemplo, el saldo inicial acreedor de S/.l 100 ha permanecido tres días con dicho importe, desde el 1 al 3 de junio inclusive, ya que a partir del día 4 la cuenta registra un nuevo saldo acreedor de S/.950.

3.

Calculamos los numerales: multiplicando los saldos acreedores Pk por los días nk que la cuenta ha permanecido con ese saldo, y obtenemos la sumatoria de las operaciones acumuladas durante el mes; incluyendo el último día del mes, esta cantidad así obtenida de S/.32 810 viene a representar los numerales que servirán para el cálculo del interés.

4.

Hallando el interés del mes, multiplicando la tasa diaria por los numerales acreedores:

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41

Interés = (0,04 / 30) (32 810) = 43.75



El importe de S/.43.75 es el interés ganado por el ahorrista durante el mes de junio y está disponible a partir del primer día útil del mes siguiente.

Cuando la institución financiera abona los intereses del mes en la libreta de ahorros como el desarrollado en el presente ejemplo, se está produciendo el proceso de capitalización, combinándose el interés simple con el interés compuesto.

Numerales con variaciones de tasas Cuando existen variaciones de tasas, el calculo del interés simple a través de numerales debe efectuarse por tramos durante los periodos de tiempo que la tasa tuvo vigencia. Se muestra su aplicación a través del siguiente ejemplo. Ejemplo El 1 de septiembre cuando la tasa mensual era de 3%, una persona abrió una libreta as ahorros con un importe de S/. 2 000 y a partir de esta fecha efectuó los siguientes depósitos: S/.500, 300 y 400 el 6, 9 y 20 de septiembre; asimismo retiró : S/.600 y 200 el 6 y 25 del mismo mes. Si la tasa bajó al 2% a partir del 16 de septiembre y la entidad financiera abona los intereses simples en la cuenta de ahorros el primer día del mes siguiente, ¿Cuál es el importe disponible del cliente el 1 de octubre? Solución: Cálculo de interés simple con variación de tasas a través de numerales. Movimiento

Día

D R I

Importe

01.09 06.09 06.09 09.09 16.09 20.09 25.09

D D R D C D R

2 000 500 600 300 0 400 200

01.10

Totales

01.10

I

55.24

Debe

Haber

0 0 600 0 0 0 0 200

2 000 500 0 300 0 400 0

(Pk) Saldo acreedor (Haber – Debe)

Días (nk)

Numerales Acreedores (Pk - nk)

Tasa Diaria (ik)

Interés

2 000 2 500 1 900 2 200 2 200 2 600 2 400

5 0 3 7 4 5 6

10 000 0 -5 700 15 400 8 800 13 000 14 400

0,00100 0,00100 0,00100 0,00100 0,00066 0,00066 0,00066

10,00 0,00 5,70 15,40 5,87 8,67 9,60

30 0.0

55,24

2 455,24

D = depósito; R = retiro; I = interés; C = cambio de tasa

55.26

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Lista de fórmulas a interés simple I

Pin *

………………………………………………….

(1) Interés Simple

P

I in *

………………………………………………….

(2) Capital inicial

i

I Pn *

………………………………………………….

(3) Tasa de Interés

n

I Pi

………………………………………………….

(4) Tiempo

I

P ¦ ik * n * k

k 1

………………………………………….

(5) Interés simple con Variaciones de tasas

I P (i1* n1* i 2 * n 2 * .........  ik * nk *) S P 1 ………………………………………………….

(6) Monto

S

(7) Monto

i n*

P (1  in*)

S / P 1 n*

………………………………………………….

S / P 1 …………………………………………………. i

S

P (1  i1n *1  i 2n * 2  i3n * 3  .........  iknk *) …………….

P

S 1  i1* n1* i 2 * n 2 * i3 * n3 * ....ik * nk ) *

P

S [1 /(1  in*)] …………………………………………….

(8) Tasa de interés

(9) Tiempo (10) Monto con variaciones de tasas (11) Valor Presente con variación de tasas (12) Capital Inicial

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Problemas de interés simple I.

Interés simple 1. Hallar el interés simple de S/.5.000 colocados durante 7 días al 38% anual. 2. ¿De qué interés simple podrá disponer el 20 de Junio, si el 17 de Mayo se invirtió S/. 6,000 a una tasa anual del 24%? 3. Cuál es el interés simple de S/.4.000 en 9 meses al 40% anual? 4. ¿Cuánto habrá ganado un capital de S/.l 1.000 en 1 año, 2 meses y 26 días al 24%. anual de interés simple? 5. Calcular el interés simple de S/.2.000 al 2.5% mensual desde el 12 de Marzo al 15 de Junio del mismo año. Principal 6. ¿Qué capital colocado el 30% anual ha producido S/.400 de interés simple al termino de 18 semanas? 7. ¿Cuál será el capital que habrá producido un interés simple de S/.900 en tres trimestres al 27% anual? 8. Si deseo ganar un interés simple de S/.4.000 en el periodo comprendido entre el 5 de Julio al 31 de Agosto, ¿qué capital debo colocar en un banco que paga una tasa mensual del 5%? Tasa 9. ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual aplicada para que un capital de S/. 9,000 colocado a 3 años y 6 meses haya ganado S/. 7,000? 10. Un capital de S/. 3,000 ha producido un interés de S/. 70 durante 38 días, calcule la tasa anual de interés simple. Tiempo 11. ¿En qué tiempo podré triplicar un capital a una tasa mensual de interés simple del 6%? 12. ¿En qué tiempo podrá quintuplicarse un capital colocado a interés simple percibiendo una tasa trimestral del 20%? 13. Durante qué tiempo habrá estado impuesto un capital de S/. 20,000 al 30% anual, si el interés simple producido es de S/.500.

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14. Un capital de S/. 12,000 ha producido S/. 541,68 de interés simple al 12,5%. Determinar el tiempo de la operación. 15. Por cuánto tiempo ha estado impuesto un capital de S/10 000 para que a la tasa del 2% de interés simple mensual haya producido un interés de S/. 2000? Interés simple con variaciones de tasas 16. ¿Que interés simple habrá ganado una inversión de S/ 6,000 colocada del 16 de abril al 30 de agosto del mismo año a una tasa mensual del 5%, la misma que vario el 19 de Mayo al 3.5% y posteriormente al 3% el 19 de agosto? ¿Cuál es la tasa acumulada? ¿Cuánto es el interés total en dicha operación? 17. Se ha suscrito un contrato de crédito por S/ 12,000 para pagarlo dentro de 12 meses con interés simple, a una tasa del 36% anual y sujeta a las variaciones del mercado. Si al vencimiento de dicho contrato las tasas mensuales fueron 36.5% durante 2 meses, 34% durante 3 meses, 37% durante 4 meses y 38.5% durante 3 meses ¿qué interés deberá cancelar al vencimiento del contrato? ¿Cuál es la tasa acumulada? 18. Una deuda de S/. 14,000 contraída el 15 de Julio para ser cancelada el 15 de Agosto, y pactada originalmente a una tasa anual de interés del 25%, sufre las siguientes variaciones a partir de las siguientes fechas: día 24 de Julio 3% mensual, día 26 de Julio 8% trimestral, día 5 de Agosto 6% semanal. ¿Qué interés se pagará al vencimiento? Numerales 19. Una cuenta de ahorros abierta el 5 de Mayo con un depósito inicial de S/. 600 tuvo en ese mes el siguiente movimiento: Día 8, depósito dé S/. 200; día 18, retiro de S/. 500: día 24, depósito de S/. 600; día 24, retiro S/. 300. ¿Qué interés simple se acumula en 30 de Mayo percibiendo una tasa anual del 26%? 20. El 3 de Julio se abre una nueva cuenta de ahorros con S/. 3,000 y se efectúa depósito de S/. 600 y S/. 400 los días 9 y 17, y un retiro de S/.300 el día 27 de Julio. La tasa anual pactada fue de 30%, la cual bajo al 28% a partir del 17 de Julio. ¿Cuál fue el interés simple acumulado y cuál es el saldo disponible al 2 de Agosto? 21. Una cuenta de ahorros abierta el 3 de Marzo con S/. 1,500 ha tenido los siguientes movimientos:

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03.03 depósito 05.03 depósito 09.03 depósito 25.03 retiró 29.03 depósito 06.04 depósito 12.04 depósito 15.04 retiro 19.04 retiro 27.04 depósito 29.04 retiro



1500 230 428 100 347 861 345 500 300 128 400

03.05 06.05 11.05 17.05 20.05 02.06 04.06 08.06 14.06 18.06 24.06

retiro retiro depósito depósito retiro depósito depósito depósito retiro retiro retiro

400 100 615 385 500 140 123 614 200 50 200

Si la entidad financiera abona los interés simples en la cuenta de ahorros el primer día del mes siguiente, y la cuenta es cancelada el 1 de Julio. Calcule el importe disponible para el cliente de esa techa: a. Utilizando una tasa anual del 49%. b. Utilizando una tasa anual del 49%, la cual varió al 43% anual a partir del 17 de Abril y al 37% anual a partir del 1 de Junio.

Monto 22. Habiendo colocado en una cuenta de ahorros S/. 4,000 a una tasa anual de interés simple del 26%. cuánto se habrá acumulado: a. Al cabo de 47 días. b. Al cabo de 47 días abonado los interés al principal cada 30 días? 23. Un señor debía S/. 2,000 Conviniéndole retrasar la deuda por 16 días, acepto pagar un interés simple del 2% diario. ¿Qué monto debería cancelar transcurrido dicho plazo? 24. ¿Cuál es el monto simple que ha producido un capital de S/. 6,000 del 7 de Mayo al 27 de Julio del mismo año a una tasa mensual del 3%? 25. El 26 de Julio, el saldo de una cuenta de ahorros fue de S/. 6,000. Calcule su monto al 29 de Octubre aplicando una tasa mensual de interés simple del 4%, considerando que la entidad financiera abona los intereses en la cuenta cada fin de mes. Monto con variaciones de tasas 26. Una inversión de S/. 10,000 colocada a interés simple durante 6 meses rindió una tasa mensual del 4% anual y el último mes rindió una tasa del 13%. ¿Cuál fue monto acumulado?

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27. Calcule el monto simple de un depósito de ahorro dé S/. 6,000 colocado el 10 de septiembre y cancelado el 2 de octubre. Las tasas anuales han sido: 32% a partir del 2 de septiembre, 30% a partir del 17 de septiembre y 27% a partir del 2 de octubre. 28. Un articulo cuyo precio de contado es S/. 3,000 se vende con una cuota inicial de S/. 900 y, sobre el saldo cancelare dentro de 90 días, se cobran las siguientes tasas: 25% anual durante 7 días, 2% diario durante 14 días, 15% semestral durante 16 días, 10% trimestral durante 26.

¿Que monto simple deberá cancelarse al vencimiento del plazo?

Tasas de interés 29. Una máquina tiene un precio al contado de S/. 6,000. La Empresa Ricky S.A. pacta con su proveedor adquirir la máquina pagando una cuota inicial de S/. 3.000 y el saldo dentro de 46 días devengando una tasa de interés simple del 4% mensual sobre el precio de contado. ¿Cuál rué la tasa mensual de interés simple que pagó Ricky S. A.? 30. Un paquete accionario es adquirido el 28 de Junio en S/. 25,000 y vendido el 29 de Julio, recibiéndose en esta fecha un importe neto de S/. 27,000. Calcule la tasa mensual de interés simple de la operación. 31. Un artefacto electrodoméstico tiene un precio al contado de S/. 4,000. pero puede adquirirse al crédito con una cuota inicial de S/. 2,000 y aceptando una letra de S/. 3,200 a 60 días. ¿Cuál es la tasa anual de interés simple cargada en este financiamiento? 32. ¿A qué tasa mensual un capital de S/. 12 000 se habrá convertido en un monto de S/. 14.000 si dicho capital original fue colocado a interés simple durante 4 meses? 33. Un articulo cuyo precio al contado es de S/.150 es vendido con "Tarjeta de Crédito" para pagar S/. 157,30 dentro de 44 días. ¿Qué tasa mensual de interés simple se cargó al crédito? 34. ¿A qué tasa mensual se invirtió un capital de S/.3 000 a interés simple de 22 de Mayo cuyo monto al 19 de Julio fue S/.3 500? Tiempo 35. Un capital de S/. 6,000 se ha incrementado en un 16% por razón de interés simple al 26% anual, hallar el tiempo de la operación.

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36. ¿En cuántos días la inversión de S/. 8,000 se convertirá en un monto simple de S/. 8, 933,34 percibiendo una tasa de rentabilidad anual de 26%? 37. En cuantos días se triplicarán un capital colocándolo a una tasa de interés simple anual de 24% 38. La Empresa Inka recibió en S/. 6,000 al 27 de Julio por el descuento de un pagaré con valor nominal de S/.6 500, cuya tasa anual de interés simple fue del 24%. ¿Cuál fue la fecha de vencimiento? Valor presente 39. ¿Qué importe debe ser invertido a una tasa de interés simple del 26% anual para capitalizar S/. 6,000 dentro de 46 días? 40. Un departamento ubicado en la Av.Sucre de Pueblo Libre es ofertado para su venta planteándose la siguiente alternativas: a. $ 17 500 al contado. b. $ 10 000 al contado y el saldo a 60 días con una letra de $ 7700. c. $9 000 al contado y el saldo con dos letras, una de $ 6 000 a 30 días, y otra de $ 4 000 a 60 días. d. $ 7 000 al contado y el saldo con tres letras de $ 5 000 con vencimiento a 30, 60 y 90 días respectivamente.

Si un cliente dispone del efectivo para efectuar la compra al contado y por su capital puede percibir una tasa anual de interés simple de 26%, ¿Cuál es la oferta más conveniente?

41. La suma de un capital y sus intereses simples generados desde el 29 de Julio al 30 de Diciembre de un mismo año, a una tasa del 3% mensual, es de S/. 25 000. Determine el capital original. 42. ¿Que capital fue colocado una tasa de interés del 30% anual el mismo que al cabo de 39 días se convirtió en S/.6.000? 43. Se ha colocado un capital a una tasa de interés simple del 5% trimestral, habiéndose convertido en cuatro meses en S/.3.500. ¿Cual fue el importe de ese capital? 44. Encuentre el capital invertido a una tasa del 5% trimestral durante 88 días ha producido un monto simple de S/.600 45. Cierto capital y sus intereses hacen un total de S/.3.000. Si la tasa aplicada ha sido del 5% cuatrimestral, habiendo estado el capital durante 7 meses, ¿Cuál ha sido el interés simple y el capital que lo producido?

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46. Calcule el valor presente, al interés simple de una letra cuyo valor nominal es S/. 12.000, la misma que se vence dentro de 90 días.

Utilice una tasa anual de 48%.

47. Cuanto debe invertirse hoy, ha interés simple, para acumular S/.30.000 dentro de 120 días en una institución de crédito que paga una tasa de 35% anual.

Valor presente de un pagare incluyendo gastos 48. Calcular el valor presente de un pagare con un valor nominal de S/. 12,000 descornando racionalmente a interés simple faltando 45 días para su vencimiento. La empresa financiera cobra una tasa anual del 38% y además carga S/.15 de gastos, S/.10 de portes y efectúa una retención del 6% sobre el préstamo neto. Efectúe la liquidación.

Ecuaciones de valor equivalente a interés simple 49. El día de hoy una empresa tiene una deuda de S/, 10,000, la misma que vencerá dentro de 40 días y otra deuda de S/. 15,000 con vencimiento dentro de 59 días. Propone a su acreedor cancelarlas con 2 pagos iguales dentro de 50 y 80 días respectivamente. ¿Cuál será el importe de cada pago si el acreedor requiere una tasa anual de interés simple del 26% y la evaluación debe efectuarse tomando una fecha focal el día 80? 50. Desarrolle el problema numero 49 tomando como fecha focal el día 50. 51. El 26 de Mayo la empresa TODORICO solicita un préstamo de S/. 6.000 para cancelarlo dentro de 90 días ha una tasa de interés simple anual del 27%. El 16 de Junio amortizo S/. 3,000 y el 11 de Julio amortizo S/. 2,500. ¿Cuál es la fecha de vencimiento y que importe debe cancelar al vencimiento del plazo? Problemas combinados 52. Calcule el interés incluido en un monto de S/. 5,000 obtenido de un capital colocado ha una tasa anual del 28% de interés simple durante 90 días. 53. Dos capitales iguales son colocados: el primero en el banco del norte a una tasa del 26% anual durante 85 días, el segundo en el banco del sur durante 60 días y una tasa del 30% anual por ambas operaciones se recibió un interés simple de S/. 600. ¿Cuál fue el importe de cada capital?

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El descuento Una operación de descuento consiste en obtener el pago anticipado de Títulos-Valores: letra de cambio, pagaré, u otros documentos, mediante la cesión o endoso del derecho del poseedor a otra persona, generalmente una institución de crédito, la cual paga el importe del documento deduciendo los intereses anticipadamente, por el tiempo que falta para el vencimiento de la obligación. El descuento constituye la diferencia entre el monto de una deuda a su vencimiento y el importe recibido en el presente. Es necesario distinguir los diferentes conceptos del término descuento aplicados en el sistema financiero y en las actividades comerciales y mercantiles. Clases de descuento Racional

Bancario

Simple Compuesto Simple Compuesto

Comercial Unitario Sucesivo

Simbología -

D = Descuento.

-

P = Valor presente/actual, valor líquido/o efectivo del documento. Es el valor que se cobra al ser descontado el documento.

-

S = Valor nominal del documento, valor futuro/valor de la obligación.

CAPíTULO

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-

n = Períodos de tiempo que faltan para el vencimiento del títulovalor.(*)

-

i = Tasa de interés por período de tiempo aplicable sobre P. d = Tasa de descuento por período de tiempo aplicable sobre S.

Las operaciones financieras de descuento consisten en anticipar el pago de títulos - valores, generalmente letras de cambio y pagarés, deduciendo anticipadamente los intereses por el tiempo que falta hasta el vencimiento de la obligación. Cuando el descuento se efectúa sobre el valor actual del documento o importe efectivamente recibido por el descontante, se denomina racional, en este caso se da la igualdad entre interés y descuento pudiéndose aplicar las fórmulas del interés simple o compuesto según las tasas sean simples o efectivas. Cuando el descuento se calcula sobre el valor nominal del título-valor, el cual constituye su valor futuro, se denomina bancario: este cálculo origina un importe líquido menor a su valor actual. La tasa d aplicada al valor nominal del documento es conocida como tasa adelantada. El descuento comercial es la rebaja concedida sobre el precio de lista de un producto y puede ser unitario o sucesivo. En este último caso, los descuentos son concedidos en cada oportunidad sobre los saldos obtenidos previamente.

Documentos de crédito Los principales documentos de crédito son: 1.

El RECIBO, constancia escrita que se otorga cuando nos entregan algún objeto o dinero. Pueden ser: Directos o indirectos y comerciales o de arrendamiento.

2.

EL PAGARE, constituye una promesa de pago en una fecha determinada. En el intervienen el deudor y el acreedor.



Pueden ser comerciales o bancarios; además de nominales, a la orden o al portador.

3.

LA LETRA DE CAMBIO, título valor por el cual el girador obliga al girado o aceptante al pago de un dinero a favor de un beneficiario a una fecha determinada.



Los plazos de pago pueden ser: a la vista, a días vista, a días fecha, a días fija.

(*) Plazo de Descuento (n).- Se cuenta desde la fecha de descuento (f/d) hasta la fecha de vencimiento (f/v).

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4.

EL CRÉDITO DOCUMENTARIO, instrumento que asegura el pago y/o financiación de operaciones comerciales (importaciones y exportaciones).

5 LA CARTA FIANZA, es la garantía escrita por el cual una persona se compromete a responder por las obligaciones de otra. En una operación de descuento racional, el importe a recibir por el descontante es igual al valor presente del titulo valor calculo con una tasa i. El valor líquido coincide con el presente.

Descuento racional simple Es una operación de descuento racional simple, el valor presente del título - valor, se calcula a interés simple.

D=S-P Pero por:

ª S º «¬1  in »¼

P

Reemplazando en la ecuación original:

S 1  in

D

S

D

1 º ª S «1  » ¬ 1  in ¼

El término entre corchetes de (*) es igual a:

1  in 1  1  in 1  in

in 1  in

La ecuación (*) también puede expresarse:

D

Sin 1  in

El descuento en esta ecuación puede interpretarse como el interés aplicando a un valor futuro (Sin), traído a valor presente al dividirlo por 1 + in

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Equivalente del descuento racional simple y el interés simple

I D D D

Pin 1 º ª S «1  comoS P (1  in ) »  1 n ¬ ¼ 1 º ª p (1  in ) «1  ¬ 1  in »¼ ª in º P (1  in ) « ¬1  in »¼

D = Pin D=I El descuento racional simple efectuado sobre un valor futuro produce el mismo resultado que el interés aplicado sobre su valor presente. Ejemplo: Una letra de S/ 3 800 con vencimiento el 26 de febrero es descontada el 18 de enero a una tasa de interés simple anual del 24%.Calcule el importe del descuento racional. Solución:

D

D =? S= 3 800 i = 0.24/360 n=39

D =? S= 3 800 i = 0.24/360 n=39

1 º ª S «1  ¬ 1  in »¼

D

D

ª º « » 1 ª º 3800 «1  » « » 1 0.24 « 1 D 3800 x39«1»  » 0.24 360 ¬ «¼ 1  x39 » 360 ¬ ¼

96.30

D

96.30

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Descuento bancario El descuento bancario constituye el interés calculado sobre el valor nominal o valor futuro (S) de un título - valor, importe a deducir del monto del documento para encontrar su valor líquido, el cual va a representar el verdadero importe financiado. La tasa de interés aplicada es conocida como tasa adelantada o tasa de descuento "d", la cual se diferencia de la tasa vencida "i" en que ésta se aplica sobre P, y aquélla sobre S. lo que origina un importe liquido menor al valor presente del documento.

Descuento bancario simple El descuento bancario simple es el producto del valor nominal del documento, la tasa de descuento y el número de períodos que faltan para el vencimiento de la operación.

S

D d

P

n

Por definición:

D = Sdn De la fórmula (*) obtenemos:

S

D dn

d

D Sn

n

D sd

Ejemplo 1 Calcule el descuento bancario simple al 3 de marzo, sobre un documento con valor nominal de S/. 5 000 y fecha de vencimiento el 15 de abril. La tasa de descuento mensual es del 5% Solución: D S D N

=? = 5 000 = 0,05/30 = 43

D D D

= Sdn = 5 000 x 0.05 x 43/30 = 358.33

Ejemplo 2 Determine el valor nominal de un pagare cuyo importe del descuento bancario ha sido S/.500. La operación se ha efectuado con una tasa mensual de descuento simple del 5% en un período de 45 días

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Solución: S D d n

=? = 5 00 = 0,05/30 = 45

S = D/dn S = 5 00/( 0.05 x 45/30) S = 6 666,66

Ejemplo 3 Calcule la tasa de descuento bancario simple aplicada a un pagaré de valor nominal S/. 6 666,66 y cuyo descuento ha sido S/. 500 en un período de 45 días. d S D n

= = = =

? 6 666,66 500 45 / 30

d d d

= D/Sn = 500/(6 666.66 x 45/30) = 0,005

Ejemplo 4 ¿A cuántos días se ha efectuado el descuento bancario de un pagaré con valor nominal de S/. 4 000, utilizando una tasa de descuento simple mensual del 4%. si se recibió un importe líquido de S/. 3 500? n S d D

= = = =

? días 4 000 0.04 / 30 500

n n n n

= D/Sd = 500/(4 000 x 0.04/300) = 93.75 = 94 días aproximadamente

Cálculo del valor liquido P = S - D como D = Sdn P = S – Sdn P = S (1 – d.n)

El valor líquido de un documento descontado bancariamente es el importe que recibe el descontante por el documento. En una operación de descuento bancario, el valor líquido es menor a su respectivo valor presente, porque ha sido obtenido aplicando una tasa de descuento sobre el monto o valor nominal del documento, el cual necesariamente es mayor al importe realmente recibido por el descontante. Ejemplo ¿Cuál será el valor líquido a obtener por el descuento bancario de una letra con valor nominal de S/.2 000?. La letra se descontó 38 días antes de su vencimiento con una tasa de descuento simple mensual del 5%.

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Solución: p S d n

= = = =

P P P P

? 2 000 0,05/30 38

= = = =

S (1 - dn) 2 000(1 - 0,05 x 38/30) 2 000 x 0,9366666667 1 873,33

Cálculo del valor nominal Despejamos S de (*)

S

ª 1 º P« » ¬1  dn ¼

Ejemplo ¿Por qué monto deberá girarse una letra originada por una venta de un artículo al crédito cuyo precio de contado es SA 1 500? La financiación es de 60 días y sin cuota inicial. La letra se someterá al descuento bancario simple a una tasa de descuento mensual del 4% Solución: S P n d

= = = =

? 1 500 2 meses 0,04

S = P [1 / (1 - dn)] S = 1 500 [ 1 / ( 1 - 0,04 x 2)] S = 1 630,43

Descuento comercial El descuento comercial es la rebaja concedida sobre el precio de lista de un artículo. Se llama descuento unitario cuando se practica sólo una vez y descuento sucesivo cuando existe más de un descuento sobre el mismo artículo.

Simbología Dc D PL PV

= Descuento Comercial = Tasa de descuento expresada en tanto por uno. = Precio de lista = Precio de venta (rebajado)

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Descuento comercial unitario Es el resultado de aplicar por una sola vez una determinada tasa sobre el precio de venta de un determinado artículo. Por ejemplo, el descuento de un artículo cuyo precio de ventas es S/.1 000 al que se le aplica una tasa del 10% será de S/.100 y el precio rebajado será S/.900. Designado los importes por las siglas anotadas anteriormente, tenemos el siguiente cuadro: (i) PL

(2) d

(3) = (1)x(2) Dc

(4) = (1)-(3) PV

1 000

0,1

100

900

PL

d

PV(d)

PL-PL(d) = PL(1-d)

De donde se infiere la siguiente fórmula de descuento comercial: Y el precio rebajado:

Dc = PL (d) PV = PL (1-d)

Descuento comercial sucesivo Cuando se aplican diferentes tasa de descuentos, e! primero sobre e! precio original de venta y los siguientes sobre los precios ya rebajados, entonces se tienen descuentos sucesivos. El desarrollo de los descuentos sucesivos puede explicarse con el siguiente ejemplo. Suponga que un artículo tiene un precio de venta de S/. 1 000 a los que se aplican sucesivamente descuentos del 10% y 5% entonces los cálculos serán: (1)

(2)

(4) ü)-(3) PV,

(5)

d,

(3) (l)x(2) Dc1

PL

d2

(6) (4) x (5) Dc2

(7) (4) - (6) PV2

1000

0,1

100

900

0,05

45

855

PL

d,

PL(d, )

PL-PL(d,) = PL (1 -d, )

2

PL(1 -d, )d,

PV,-Dc2 = PL(1 -d, )(1 -d, )

d

El descuento comercial sucesivo total es igual a la diferencia del precio de venta original y el último precio rebajado: De = PL - PVn De = PL - PL(1 –d1)(1 –d2)……(1-dn)

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Factorizando tenemos:

De = PL[1-(1-d,)(1-d2)....(1-dn)] El término entre corchetes representa la tasa de descuento acumulada. Equivalente donde: (1 - de) = (1 –d1)(1 – d2)…….(1 - dn) de = [1 – (1 – d1)(1 - dn)]

Precio de venta (último precio rebajado) El último precio rebajado después de haber otorgado un conjunto de descuentos sucesivos se obtiene con la siguiente fórmula: PVN=PL [(1 – d1) (1 – d2)…. (1 – dn) Ejemplo 1 Por campaña de quincena, una tienda de autoservicios ofrece el descuento del 20% + 15% en todos los artículos para automóviles. Si un cliente compra una batería cuyo precio de lista es S/. 120 Calcule: a.

El descuento total.

b.

La tasa de descuento acumulada.

c.

El precio rebajado a pagar, (precio de venta).

d.

Efectué la liquidación de la facturación.

Solución: a.

Descuento total



De = 120 [ 1 - (1 - 0,2) (1 - 0,15)] = 38,40

b.

Tasa de descuento acumulada



d = [ 1 - (1 - 0,2) (1 - 0,15)] = 0.32 = 32%

c.

Precio rebajado (precio de venta)



PV = 120 [(1 - 0,2) (1 - 0,15)] = 81,60

d.

Facturación:

Precio de venia Descuento 20% Subtotal Descuento 15% Total

120,00 -24,00 96,00 -14,40 81.60

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Ejemplo 2 Un equipo electrodoméstico comercializado por SIGA S.A. tiene un precio de S/.2 500. En la fecha que el cliente X acude para su compra encuentra que el equipo se ha incrementado en 25%, pero sobre este precio se otorga una rebaja en 10%. a.

¿El conjunto de precios aumentó o disminuyó y en que porcentaje total?

b.

Efectué la liquidación con los incrementos y rebajas.

Solución: a.

Tasa de descuento o (aumento) acumulada,



d = [1 -(1 +0.25)(1 -0.1)] = -0,125 = 12.5% de aumento.



El precio tiene un aumento neto del 12.5%.

b.

Importe de la facturación



(2 500) 1,125 = 2 812,50

c.

Facturación:

Precio original Aumento 25% Subtotal Descuento 10%

2 500,00 625,00 3 125,00 -312,50

Total

2812,50

Ejercicios de aplicación 1.

Calcule el descuento bancario simple al 3 de mayo, sobre un documento con valor nominal de SA 8 00 y fecha de vencimiento el 15 de abril. La tasa de descuento mensual es del 4,5%.

2

Determine el valor nominal de un pagaré cuyo importe del descuento bancario ha sido SI. 1200.



La operación se ha efectuado con una tasa mensual de descuento simple del 4.5% en un periodo de 60 días.

3. Calcule la tasa de descuento bancario simple aplicada a un pagaré de valor nominal SI. 12 556.25 y cuyo descuento ha sido SA 1 200 en un periodo de 45 días. 4.

¿A cuántos días se ha efectuado el descuento bancario de un pagaré con valor nominal de SA 6 000, utilizando una tasa de descuento simple mensual del 5%, si se recibió un importe liquido de SA 4 800?

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Cálculo de Valor Líquido.- El valor líquido de un título-valor bancariamente es el importe que recibe el descontante por el documento. En una operación de descuento bancario, el valor líquido es menor a su respectivo valor presente, porque ha sido obtenido aplicando una tasa anticipada sobre el monto o valor nominal del documento, el cual necesariamente es mayor al importe realmente recibido por el descontante.

1.

¿Cuál será el valor líquido a obtener por el descuento bancario de una letra con valor nominal de SA 12 000? La letra se descontó 60 días antes de su vencimiento con una tasa de descuento simple mensual del 4%.

Cálculo de Valor Nominal 1 • ¿Porqué monto deberá girarse una letra originada por una venta de un artículo al crédito cuyo precio de contado es SA 15 O 800? La financiación es a 45 di as y sin cuota inicial. La letra se someterá al descuento bancario simple a una tasa de descuento mensual del 4.5%. Mas ejercicios de aplicación 1.

Por aniversario, la compañía Supermercados está concediendo descuentos del 20% + 10%, sobre los precios de venta de sus productos. Si la familia Martínez efectúa una compra de S/. 520: a. ¿Cuál será el descuento total? b. ¿Cuál es la tasa de descuento acumulada?

2.

Cuál será la tasa de descuento comercial total, si una tienda concede sobre el precio de venta de su mercadería una rebaja del l0% + 8% + 5%?

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Fórmulas de descuento simple D P

S

1 º __________________ (1) Descuento racional simple ª S «1  ¬ 1  i »¼ _________________ (2) Valor Presente de un título ª S º «1  in * » ¼ ¬

P[(1  i ) n  1]  G ______________ (3) Valor futuro con retención y portes

P

S G ___________________ (4) Descuento bancario simple >(1  i) * i'@

D

S .d .n * ______________________ (5) Valor futuro a partir del descuento

S

d

D _________________________ (6) Tasa de descuento a partir del descuento d .n D _______________________ (7) Tasa de descuento a partir del descuento S n

n

D _________________________ (8) Cálculo del tiempo S .d

P

S ( I  d .n*) ___________________ (9) Cálculo del valor líquido

S

ª 1 º P« __________________ (10) Cálculo del valor nominal ¬1  d .n * »¼

Dc

PI * (d ) ____________________ (11) Cálculo del descuento comercial unitario

PR

PI ' (1  d ) __________________ (12) Cálculo del precio rebajado

Dcn PV[1  (1  d1)(1  d 2)....(1  dn)]_ (13) Descuento comercial sucesivo Pr n

PV [(1  d1)(1  d 2)...(1  dn)] __ (14) Cálculo del último precio rebajado

6

Calculo racional o matemático a interés compuesto Definición La operación a interés compuesto es aquella en que los intereses simples se capitalizan, se incorporan al capital al fin de cada periodo de tiempo más o menos largo (en un mes), para que a su vez produzca intereses. Es esa operación concertada entre las partes que intervienen en el préstamo o crédito.

Stock Es una cantidad de dinero de un momento dado de tiempo.

Stock inicial Llamado también capital, valor presente. Es la cantidad prestada, depositada o invertida. Por ejemplo: Un depósito de S/. 10,000 en el Banco de Crédito hoy, durante 2 años en su cuenta de ahorro: P

Stock final Llamado también valor futuro, monto o valor nominal. Es igual al capital más los intereses.

CAPíTULO

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Por ejemplo: Después de 2 años Ud. retira su dinero del Banco de Crédito, y como le ha estado abonando intereses periódicamente, Ud. cobrará una cantidad mayor: S o P.

Flujo Es una sucesión de cantidades de dinero a través del tiempo. Estas cantidades pueden ser uniformes o no; en ambos casos son un flujo de efectivo. Cuando la serie es uniforme a intervalos regulares se le denomina: Flujo constante de efectivo.

0

100 1

100 2

100 3

100 4

100 5 meses

Tasa de interés por período Llamada también: tasto por ciento (T) o tanto por uno (i). Es la ganancia obtenida por cada S/. 100 de capital en la umdad de tiempo (diaria, semanal, quincenal, mensual, etc...).

Tiempo Llamada también horizonte temporal, tiempo, plazo, número total de períodos. Es el periodo durarse el cual se ha prestado, depositado o invertido el capital. Lo cual representamos con n, que es igual a (n/m).

Las tasas de interés En el mercado financiero, como en los otros mercados que componen el sistema económico (mercados de bienes, de divisas y de trábalo), existe un precio que regula las cantidades demandadas y ofrecidas: el tipo de interés, que es reajustado por ¡a autoridad monetaria peruana: si Banco Centra! de Reserva. Una vez, definida de esta manera, la tasa de interés deberá variar de acuerdo a la relativa abundancia o escasez de dinero en determinado período: mientras más escaso sea el dinero (situación de liquidez), la tasa de interés tenderá a ser alta y viceversa. Sin embargo, es poco probable que en la vida real la tasa de interés varíe libremente. Así, en casi todas las economías del mundo, aún en las más liberales como en la de Estados Unidos, el organismo emisor se encarga de fijar el interés activo (aquél que cobran las instituciones financieras por los préstamos) y pasivo (el que paga N estas instituciones

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a sus depositantes), constituyéndose de esta manera el tipo de interés en uno de los instrumentos de política económica más importante en manos del Estado. Teóricamente, pues, un buen manejo de las políticas de tasas de interés debería lograr el equilibrio de ahorro (cantidad de dinero disponible en manos del sistema financiero y consecuentemente, oferta de dinero) inversión (cantidades de dinero que solicitan los agentes económicos para la marcha productiva). Si nos remontamos en el tiempo, veremos que el interés no fue siempre reconocido como un hecho legal. Es más, durante la Edad Media el cobro de intereses por un préstamo era considerado pecaminoso e inmoral por la filosofe dominante. Posteriormente, y a medida que el dinero era acumulado en manos de tos usureros y prestamistas, principalmente Hebreos, Italianos e Ingleses, los mismos que financiaban muchas actividades comerciales e industriales, la filosofía tuvo que dar paso a los hechos y aceptar como lícito el cobro de un precio por el uso del dinero. Es pues un hecho que conforme la acumulación de capitales ha ido aumentando en las economías la importancia de las tasas de interés es cada vez mayor; prueba de ello son las formulaciones keynesianas, neoliberales y neoliberales acerca de la relación entre sector financiero y el sector real Un sector financiero muy desarrollado es síntoma de una economía muy desarrollada. De acuerdo al período de capitalización y a la institución que se trate, la tasa aumenta, de manera que la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal No obstante, ¡a misma tasa efectiva no es muy relevante en las decisiones de ahorro, si se que no se la confronta con la tasa inflacionaria. Evidentemente es mejor gastar no y el dinero y no ahorrarlo, porque después de un año nuestro dinero habrá perdido su capacidad adquisitiva real, aun cuando ha ido ganando intereses. Para lograr aumentar el ahorro es necesario entonces tener tasas de interés reales positivas, lo que se logra mediante tasas efectivas superiores a la inflación. Las activas, las que se colocan por encima de aquéllas en el porcentaje que gana el banco, al sumarle los porcentajes por derecho de crédito, comisiones y otros gastos financieros. A despecho de las teorías neoliberales, una alta tasa activa de interés tiende a desalentar la inversión, porque en la actualidad son muy pocas las actividades productivas que rinden buenas ganancias.

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Rendimiento vs. Riesgo “A mayor tasa de rendimiento, mayor riesgo” Tasa de Rendimiento (%)

Riesgo (R) AHORRO COMÚN

AHORRO EN CERTIFICADOS BANCARIOS

- En Bancos - En Financieras

INVERSIÓN En su propio negocio En otras empresas (Compra de acciones)

La tasa nominal y la tasa proporcional o periódica Se dice que una tasa es nominal cuando:

i p = J/m Donde:

ip = tasa proporcional o periódica.



j = tasa nominal.



m = # de períodos en el año.

a.

Se aplica directamente a operaciones de interés simple.

b.

Es susceptible de proporcionalizarse (dividirse o multiplicarse) j/m veces en un año, para se expresada en otra unidad de tiempo equivalente, en el interés simple; o como unidad de medida para ser capitalizada n veces en operaciones a interés compuesto. Donde ni es el número de capitalizaciones en el año.

La proporcionalidad de la tasa nominal anual puede efectuarse directamente a través de una regía de tres simple considerando el año bancario de 360 días. Por ejemplo ¿cuál será la tasa proporcional diaria y mensual correspondiente a una tasa nominal anual del 24%? La tasa diaria será 0,066% = (24/360) y la tasa mensual será 2% = 30(24/360).

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Ejemplo: Calcular la tasa proporcional o periódica: a.

Trimestral, a partir de una tasa nominal anual del 24%

b.

Trimestral, a partir de una tasa nominal semestral del 12%

c.

Mensual, a partir de una tasa nominal anual del 12%

d.

De 18 días, a partir de una tasa nominal anual del 18%

e.

De 88 días, a partir de una tasa nominal trimestral del 6%

f.

Anual, a partir de una tasa nominal mensual del 2%

g.

De 46 días, a partir de una tasa nominal bimestral del 6%

h.

De 128 días, a partir de una tasa nominal mensual del 2%

Solución: a.

(0,24/360)90 = 0,06 = 6,0%

b.

(0,12/180)90 = 0,06 = 6,00%

c.

(0,12/90)30 = 0,04 = 4,00%

d.

(0,18/360)18 = 0,009 = 0,90%

e.

(0,06/90)=0,0586=5,8%

f.

(0,02/30)=0,24=24%

g.

(0,06/60)=0,046=24%

h.

(0,02/30)=0,0856=8,53%

Las tasas de interés efectivas En los últimos años se ha generalizado el uso de ésta expresión, con mayor incidencia en los tiempos de la hiperinflación y con singular preocupación por parte de los abogados, quienes debían emplearla en las cobranzas judiciales y que, lejos de conocer los secretos de estos cálculos, a duras penas comprendían el marco conceptual que los mismos encerraban. Un interés efectivo es aquella tasa que, al margen de la modalidad de cómputo, permite que la cantidad inicial se convierta al cabo de un tiempo fijo en un monto final igual a la primera más dicho interés. Así, si habíamos de 50% cíe interés anual efectivo, habremos querido decir que 100 soles, en el plazo de un año, deben convertirse en 150 soles, no importa cuál es el interés nominal, ni si éste se computa mensualmente, diariamente o semestralmente.

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Igualmente, un interés mensual efectivo de 3% implica que los 100 soles deben convertirse en 103 juegos de un mes. Esto sería relativamente sencillo si los plazos se cumplieran en términos ¿qué ocurre si un depósito se pacta a un interés del 30% anual efectivo y se retira a los seis meses? S lid. Responde que hay que dividir la tasa convenida entre dos y que procede pagar 15% está profundamente equivocado. La tasa correcta es 14.02% al semestre, que equivale a 30% al año. Verifíquelo. Si Ud. paga 15% semestral se depósito de 100 de convertiré en 115 soles a los 6 meses; y, reinvertido a ¡a misma tasa, tendremos 115(1 +0.15} = S ? 132.25 en un año. En cambio a la tasa de 14.02 (redondeada), los mismos 114.02 en seis meses y a 114.02 (1 +0.1402) = 130 a fin de año. Lo que sucede es que las tasas, como se ve, no se suman ni restan: se multiplican y dividen, empleando un Instrumento matemático que son los números índices, utilizan como la unidad. De ahí el número 1 que aparece en las fórmulas procedentes. Puede Ud. hablar de tasas efectivas anuales, semestrales, diaria o con la periodicidad que venga en gana, que sepa compararlas. 3 querernos saber cuál es lo tosa anual efectiva que equivale a 3% mensual efectivo, tendremos que partir del 1 y acumular 12 veces el 3%. La fórmula matemática seria 1 .03 elevado a la duodécima potencia, igual a 1 .4258, es decir 42.58%. Inversamente, sí nos preguntamos la tasa mensual efectiva que corresponde a un 80% efectiva anual, deberemos extraer la raíz duodécima de 1.80, que es 1.0502, o sea 5.02%. En otras palabras, la tasa efectiva tiene la virtud de ser precisa, a diferencia de las tasas nominales que pueden ser engañosas. Podríamos continuar los ejercicios, pero para tratarse dé una definición ya fue suficiente, ¡Ah!: no intente calcular raíces duodécimas si no cuenta por lo menos con una calculadora de bolsillo que contenga potencias y raíces. La tasa efectiva es el verdadero rendimiento que produce un capital inicial en una operación financiera y para un plazo mayor a un período de capitalización, puede obtenerse a partir de una tasa nominal anual capitalizable m veces en el año con la siguiente fórmula:

i

j· § ¨1  ¸ nq  1 m¹ ©

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En la fórmula anterior, la relación j/m (que es la tasa efectiva del período) y n* deben estar referidas al mismo período de tiempo; por lo tanto, el plazo as i está dado por a*. Si ni v n* se refieren sólo a un período, entonces la tasa nominal y la tasa efectiva producen el mismo rendimiento. La tasa efectiva i y la tasa nominal j, para diferentes unidades de tiempo Unidades de Tiempo

I

J

Anual Semestral Cuatrimestral Trimestral Bimestral Mensual Quincenal Diaria

TEA TES TEC TET TEB TEM TEO TED

TNA TNS TNC TNT TNB TNM TNQ TND

Ejemplo de aplicación 1.

Calcule la TES para un depósito de ahorro que gana una TNA del 28% abonándose rama los intereses en la libreta de ahorros.



TES = ?



n = 6



j = 0,28



TES = (1 + j/mf-1



TES = (1 + 0.28/6 f-l = 0.146634963



TES = 14.6634963%

2.

Calcule la TEA equivalente a una TNA del 24% capitalizable trimestralmente



TEA ?



j =2%



h = 360

f=90



TES = (1 + j)mf-1



TES = (1 + 0.24/4)360/90



TES = 14.663496 – 1



TES=26.247696%

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Tasas equivalentes Dos o mas tasas efectivas correspondientes a diferentes unidades de tiempo son equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo horizonte temporal. Por ejemplo, las siguientes tasas: TEM - 2.210445059% y TET = 6.778997237 % son equivalentes, porque ambas producen una TEA del 30%. Una tasa de interés i es equivalente a otra i si sus respectivas capitalizaciones realizadas durante un mismo horizonte temporal H producen el mismo resultado.

Tasa equivalente partiendo de una tasa efectiva dada La tasa equivalente o electiva periódica i' se obtiene de la relación de equivalencia de la fórmula anterior y puede ser calculada cuando se tiene come dato la tasa efectiva i.

(1+j/m)"- 1 =. i



(1 +j/m)f

= 1+i

Si designamos a j/m - i' como la tasa equivalente, podemos despejar la incógnita i'

(1 + i)n = (1 + i)



I= (1 + i) 1/n - 1 En este caso:

-

i ' = Tasa equivalente o efectiva periódica a calcular.

-

i = Tasa efectiva del horizonte temporal proporcionada como dato.

-

f = Número de días del periodo de tiempo correspondiente a la tasa equivalente que se de n calcular.

-

H = Número de días correspondientes al periodo de tiempo de la tasa efectiva i proporcionada como dalo. A una TEA le corresponde un H de 360; a ana TEM le corresponde un H de 30, etc.

Similar procedimiento se sigue con una TES, TET etc. Como n = H/' £ entonces la fórmula anterior queda expresada:

I= (1 + i) 1/h – 1

En la ecuación- anterior, f se expresa en el periodo de tiempo correspondiente a la incógnita (tasa equivalente),' y H se expresa en el período de tiempo de la tasa efectiva proporcionada como ciato. Ambas variables deben referirse a una misma unidad de tiempo (días, meses,

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trimestres, etc). Gráficamente puede observarse que f depende de i' y H depende de i.

I=(1+ i) 1/h – 1

Ejercicios de aplicación 1.

¿A qué TEO debe colocarse un capital para obtener al fin de un trimestre igual monto que si se hubiese colocado a una TEM del 5% ?



Solución:



Í = TEQ?

(1+i)6 =(1+0.05)3



f=6

1+i=(1+0.05)3/6



l+i'=(l+0.05)3/í

s i'= .-024695076 - 1



i =005 i'= 2.469507659%



H=3

2.

Calcule ¡a TEM a parar de una TEA. do! 28%.



Solución:



i'=TEM?

f=30



TEA = 0.28



TEM = (1 + TEA)™-! TEM = (H-0.28)3M1.045  1@ 3,000 >0.045@ 136

Ejemplo 2 Para ganar un interés compuesto de S/. 500 en un plazo de 18 días. ¿Cuánto debe colocarse en una institución de crédito que para una tasa efectiva anual del 20% ? Solución:

P =?

|



I=500

|



i=0.2

|



n=18/360

|

>

@

P I / 1 i 1 P 500/ 1,218/ 360 1 500/>1.0091571@ n

>

P 54,598.53

@

§I · ln¨  1¸ ©P ¹ ln1  i

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Ejemplo 3 Calcule la tasa efectúa mensual cargada en la compra de un artefacto cuyo precio de contado es de S/.1000 pero financiado sin cuota inicial y con la letra a 45 días su importe es de S/.1250.

P =?

|



I=500

|



i=0.2

|



n=18/360

|

1/ n

i

§I · ¨©  1¸¹ P

i

250 /1000  1 45 / 30  1

i

16.04%

1 0.1604

Ejemplo 4 El cargo por intereses de un sobregiro bancario de S/.25,000, ha sido de S/.865. Si el banco cobra una tasa efectiva mensual de 4%, ¿Cuánto tiempo estuvo sobregirada la cuenta?

n=?

|



P =25,000

|



I=865

|



i=0.04

|

n

n

· §I ln¨  1¸ ©P ¹ ln(1  i )

ln 865 / 25,000  1 0.8672682327 meses ln 1.04

n 26dias

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Lista de Fórmulas F

P1  i

F

P1 i / m

P

F 1  i n

P

F 1 i / m m.n

i

F / P 1n  1

n

--------------------------------------------------------------- Monto n

-------------------------------------------------------------- Monto

------------------------------------------------------------------- Capital

-------------------------------------------------------------- Capital ------------------------------------------------------------- Tasa

n

ln 5 / p ln

I

P[(1  i ) n  1]

P

1 (1  i ) n  1

----------------------------- Numero de Periodo de Capitalización

i [1 / P  1

1/ n

------------------------------------------------------------- Interés ------------------------------------------------------------- Capital

1

--------------------------------------------------------- Tasa

n

ln(1 / P  1) ln

Ik

Pi1  i

S

P{(1  i1 ) n1 (1  i z ) n 2 (1  ik ) nk }

------------------ Monto con variación de Tasas

P

S {(1  i1 ) (1  i z ) n 2 (1  ik ) nk }

----------- Valor Presente con variación de Tasas

n 1

n1

----------------------------------- Nro de Periodo de Capitalización ---------------------------- Intereses de Devengado en el periodo K

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8

Clasificación de las series o flujos de efectivo Clasificación de los flujos de efectivos constantes (R) I.

Temporales o plazos. 1. Vencidas.

0

R R R R R

R ………………… R

1 2

6

3

4

5

n

P

R * FASni

A P * FRCni

F

R * FCSni

R

S * FDFAni

2. Anticipados.

R

R R

R R

R R ....……………… R

0

1

3

5

P

2

4

R(1  i ) FAS I

6

n

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3. Diferidos.

0

1

2

3

R

R R ....……………… R

4

5

6

Donde : n = n + m

P

R * FASnI * FSAmI

n n

S

R * FCS nI

4. Diferidos anticipados vencidos.

R R 0

R R ....……. R

1 2 3 4 5 6 Donde : n = n + m

P

R * FASnI * FSAmI

n-i n n=n-m

S

R * FCS nI

Capitalización de una serie o flujo uniforme -

FORMULA N° 3.- El factor de Capitalización de la Serie (FCS): Se usa para transformar una serie uniforme (R) en un stock final(S).

-

Enunciando: Al final de cada uno de (n) períodos se deposita una cierta cantidad (R) en una Entidad Financiera que paga la tasa (i) por periodo. Hallar el monto al final del período n.

-

Datos: - Depósito

:R

- Tasa

:i

- Tiempo

:n

-

Incógnito: Monto: S

-

Análisis: Para este problema se aplicará en forma sucesiva la primera fórmula, para la cual es necesario hallar los montos parciales de cada "R" desde el momento de su depósito hasta el final del período n.



Observe en la gráfica que la última R se deposita al final del período n por lo que no gana intereses. Sin embargo su monto se puede representar por: R . (1 + i) °.

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Por otro lado, la primera R depositada a fin del primer periodo se convierte al final del período (n) en R(1 + i)n-1. El exponente es (n - 1) por que la primera R se capitaliza, en realidad desde el principio del 2do período.

-

Grafica: R R R

R R R

0

1 2 3

n R(1 + i)0 R(1 + i)1 R(1 + i)2 R(1 + i)n-1 sumar

El monto total (S) es la suma de los valores a fin de (n). S = R(1 + i)0 + R(1 + i)1 + R(1 + i)2 + S = R[ (1) + (1 + i)1 + (1 + i)2 +

…

…

+ R(1 + i)n-1

+ (1 + i)n-1 ] ------------------------------------- (1)

Obsérvese que una vez que todas las R están en un mismo momento futuro es cuando se procede a sumarlas. Esta sucesión de términos del corchete es una progresión geométrica creciente de razón r = (1 + i) Recordando que la formula para encontrar la suma de términos dispuestos en progresión geométrica creciente es la siguiente:

Suma

ar n  a -------------------------------- (2) r 1

Donde: - a = Primer término : 1 - r = Razón

:(1+i)

- n = Numero de términos. Reemplazando en (2)

Suma

(1)(1  i ) n  1 (1  i )  1

(1  i ) n  1 i

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Se denota:

FSC

i n

(1  i ) n  1 i

Factor de Capitalización de la Serie

Finalmente en (1):

S

R.FCS ni

Transformación de una serie a flujo uniforme (R) en un stock final (S)

Demostración de la suma de terminos en progresión geométrica Ampliando lo referente a la progresión geométrica creciente en cuanto a la obtención de la formula se suma, se tiene: Sea la P.G : a, ar, ar2, ar3, ar4, ….. arn-1 Cada término se encuentra multiplicando al termino anterior por la razon (r). La suma es: S = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ... + arn-1 ----------------- (A)

Multiplicando por “r” ambos miembros de (A) rS = ar + ar2 + ar3 + ar5 + … + arn-1 + arn ------------------------------ (B)

Restando, (B) – (A) se simplifica y se obtiene: rS – S = arn

-

a

Despejando (S) sumatoria de los elementos:

Suma

ar n  a r 1

Que es la fórmula para sumar términos en progresión geométrica creciente. Se puede verificar la formula FCS ni multiplicando por (1 + i) ambos miembros de la expresión (1) y luego restar miembro a miembro de la expresión (1). Finalmente despejar (S).

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El fondo de amortización o sinking fund -

FÓRMULA N° 4.- El factor de depósito al fondo de amortización (FDFA).- Se usa para transformar un stock final (S) en un flujo o serie uniforme (R). Resulta al despejar R en la formula N° 3, así:



De la relación:



S

R.FCS ni

R

S.

(1)

También:

R

1 FCS ni

ª º 1 S .« » n ¬ (1  i )  1¼

Donde:

FDFAni

ª º 1 « (1  i ) n  1» ¬ ¼

Observaciones Un fondo de amortización es la cantidad que se va acumulando al realizar depósitos ó pagos periódicos iguales ó desiguales y que ganan intereses. Se usa generalmente con el fin de pagar una deuda a su vencimiento ó para hacer frente algún compromiso futuro. Por ejemplo, se crea fondo de amortización para cancelar una hipoteca, proveer dinero para pensión de vejez o para reemplazar un activo desgastado por el uso. Sus características son: 1.

El importe de los depósitos sirve para pago del capital.

2.

La deuda permanece constante hasta que se completa el fondo.

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Actualización de series uniformes temporales y series perpetuas Amortización -

FORMULA Nº 5.- El factor de actualización de la Serie (FAS)



Se usa para transformar un flujo constante o serie uniforme (R) en un Stock inicial (P)

-

Enunciado: Al final de cada uno de los (n) periodos se recibe una cantidad R. Hallar su valor en el momento actual (P) a una tasa (i) de interés por período.

-

Datos:

-

- Pagos

:R

- Tasa

:i

- Tiempo

:n

- Incógnita: Valor presente

:P

Análisis: Obtendremos la formula para actualizar una serie uniforme trayendo al presente cada R en forma individual y luego sumar.

CAPíTULO

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Gráfico:

0

R

R

R

R R R

1

2

3

n

R(1 + i )-1 R(1 + i )-2 R(1 + i )-3

R(1 + i )-n

SUMAR

Observe que todo es cuestión de traer al presente el valor de cada R desde el fin de cada periodo. Una vez que todos los valores de “R” están a valor presente se procede a sumarlos. Entonces: P

ª 1 1 1 1 1 º R«    ...   -------------- (1) 2 3 n 1 (1  i ) (1  i ) (1  i ) n »¼ ¬ (1  i ) (1  i )

Esta sucesión de términos algebraicos constituyen una progresión geométrica decreciente donde: La razón es:

r

1 (1  i )

El primer termino es:

a

1 (1  i )

El número de términos es: n = n Por lo tanto, aplicando, la fórmula de suma de términos de una progresión geométrica decreciente.

Suma

a  ar r 1 r

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Obtenemos:

Suma

1 1 1  * (1  i ) (1  i ) (1  i ) n 1 1 (1  i )

ª (1  i ) n  1º « n » ¬ i (1  i ) ¼

FAS ni

Se denota:

(1  i ) n  1 i (1  i ) n

Factor de actualización de la serie

R.FAS ni

P

Finalmente en (1):

Transformación de un flujo constante o serie uniforme (R) en un stock inicial (P) 1

El alumno puede verificar la obtención del multiplicando por (1  i) ambos miembros de la expresión (1) y luego restar miembro a miembro con la misma expresión (1). Finalmente despejar (P).

La recuperación de un capital -

FORMULA Nº 6.- El factor de recuperación de Capital (FRC).- Se usa para transformar un stock inicial (P) en un flujo constante o serie uniforme (R).



Resulta de despejar R en la formula N.5, así:

R.( FAS ni )

De la relación: P

Donde:

Aquí :

1 FAS ni

R

P.

R

i (1  i ) n P. (1  i )  1

FRCni

------------------------------- (1)

ª i (1  i ) n º « » n ¬ (1  i )  1¼

Factor de recuperación de capital

Finalmente en (1)

R

P.FRCni

Transformación de un stock (P) inicial en un flujo constante o serie uniforme (r)

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Calculo del periodo (n) de un flujo constante de efectivo (r) A partir de las fórmulas:

S

R.( FCSni )

o

R

S .( FDFAni )

P

R.( FASni )

o

R

P.( FRCni )

Podemos calcular n, empleando el método de o despejándola directamente de cualquiera de las fórmulas señaladas anteriormente. 1.

Cálculo de n en función del FCS o FDFA.



Ya que el FCS y FDFA son recíprocos, el despeje de n a partir de sus fórmulas nos dará el mismo resultado.

S

R[(1  i ) n  1] i

Si

R(1  i ) n  R

R(1  i ) n Si  R ln R  n ln(1  i ) ln(Si  R) n ln(1  i ) ln(Si  R)  ln R

n 2.

§ S .i · ln¨  1¸ © R ¹ ln(1  i )

(*)

Calculo de n en función del FRC o FAS. Ya que el FRC y el FAS son recíprocos, el despeje de n a partir de sus fórmulas nos dará el mismo resultado:

R

ª i (1  i ) n º P« » n ¬ (1  i )  1¼

R

ª º i P« n » ¬1  (1  i ) ¼

R[1  (1  i )  n ] Pi  (1  i ) n (1  i )

n

( Pi / R )  1 1  ( Pi / R )

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Ejemplo: 1.

¿Cuántos depósitos de fin de mes de S/.500 serán necesarios ahorrar, para acumular un monto de S/.5,474.86 en un banco que paga una TNA del 24% con capitalización mensual?

Solución: Planteando la ecuación de equivalencia S R.FCS o R S .FDFA y despejando “n” en cualquiera de ellas llegamos a la fórmula (*) que se resuelve del siguiente modo.

§ Si · ln¨  1¸ ©R ¹ ln(1  i )



n=?

|



i=0,24 / 12 = 0.02

|



R=500

|



S=5,474.86

|

2.

¿Con cuantas cuotas constantes trimestrales vencidas de S/.500 se podra amortizar un préstamo de S/. 5,000 por el cual se paga un TET del 6.1208%?

n

n

ª 5,474.86 x0.02 º ln «  1» 800 ¬ ¼ 10 ln(1  0.02)

Solución: Planteando la ecuación de equivalencia P R.FAS o R P.FRC y despejando “n” en cualquiera de ellas llegamos a la formula (**) que se resuelve del siguiente modo.

n=?

|



i=0.061208

|



R=500

|



S=5,000

|

n

n

§ Pi ·  ln¨1  ¸ R¹ © ln(1  i )

ª 5,000 X 0.061208 º  ln «1  »¼ 500 ¬ 15.93990757 ln(1  0.061208)

Ya que no es aplicable pactar crédito a 15.94 trimestres la presente operación puede pactarse con 15 cuotas: 14 de S/.500 y la ultima de un importe mayor; o con 16 cuotas: 15 de S/.500 y la ultima de un importe menor. Adoptando esta última decisión la equivalencia financiera puede plantearse del siguiente modo. 5,000

0.061208 0.061208  X .FSA16 500.FAS15

5,000 4818.02  0.3865376086 X 181.98 0.3865376086 X X

470.79

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El diagrama de tiempo – valor del flujo de efectivo impropia o variable es el siguiente:

0

P=5000 1 TRIM 2 TRIM R=500 R=500

i=0.061208 15 TRIM n=16 TRIM R=500 X=470.79

Cálculo de la tasa de interés (i) implícita en un flujo constante de efectivo (r) Cuando en un flujo constante de efectivo se conocen P,R,S y n, exceptuando la tasa efectiva periódica, entonces esta es posible hallarla planteando la ecuación de equivalencia y buscando el valor de la tasa aplicando aproximaciones sucesivas y la interpolación lineal. Ejemplo: Un artefacto electrodoméstico tiene un precio de contado de $ 1,500 y al crédito se ofrece con una cuota inicial de $ 300 y 12 cuotas uniformes de $ 130 c/u pagaderas cada fin de mes ¿Cuál es la TEM cargada en el financiamiento? Solución:

i=?

|



P=1,200

|



n=12

|



R=100

|

P

R.( FAS ni )

ª (1  i*)12  1º 1,200 130 « 12 » ¬ i * (1  i*) ¼

Por el método del “tanteo”, aproximaciones sucesivas o de la pruebaerror; así como por la interpolación lineal.

i

VALOR

4%

1,220.0596

i*

1,200.0000

5%

1,152.2227

0.05  i * 0.05  0.04

1,152.2227  1,200.0000 1,152.2227  1,220.0596

! i* 0.0429 ? i * (%) 4.29%

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Problemas propuestos Interés compuesto I.

Monto

1.

Calcular el monto a pagar dentro de 6 meses por un préstamo bancario de S/. 60 000 que devenga una tasa nominal del 37% con capitalización mensual.

2.

Calcular el importe capitalizado de un depósito a plazo de S/.21 000 colocado durante 7 meses a una tasa nominal de 37% capitalizable diariamente.

3.

Qué monto debe dejarse en letras con vencimiento dentro de 39 días, si después de descontarlas se requiere disponer de un importe neto de S/. 25 000, sabiendo que el banco cobra una tasa efectiva mensual del 4%.

4.

En el último semestre, la gasolina ha venido incrementándose en 3% cada 19 días en promedio. De mantenerse esta tendencia. ¿Cuánto costará un galón de gasolina dentro de un año, si el precio es hoy S/. 4.50?

5.

Una persona abre una cuenta bancaria el 15 de mayo con S/. 2 000 percibiendo una tasa nominal mensual del 5% con capitalización diaria. El 3 de junio retira S/. 500, el 16 de junio retira S/. 300 y el 4 de julio deposita S/. 200. ¿Qué monto acumuló desde la fecha de su depósito inicial hasta el 25 de julio, fecha en que canceló la cuenta?

6.

Una empresa abre una cuenta corriente bancaria por la cual gana una tasa de interés efectiva mensual del 3% sobre sus saldos acreedores y paga una tasa nominal mensual del 3% con capitalización diaria sobre sus saldos deudores (sobregiros bancarios). Calcule el monto de la cuenta al 31 de agosto, cuyo movimiento fue el siguiente: Fecha Depósito Retiro

04-08 06-08 1000000 5000 2000

09-08 3000

12-08

13-08 30000

15-08 9000

31-08 15000

37000

Monto con Variaciones de Tasas 7.

Se ha suscrito un contrato de crédito por S/.90 000 para cancelarlo dentro de 120 días, a la tasa efectiva mensual de mercado. Al vencimiento del plazo, la tasa efectiva mensual ha sufrido las siguientes variaciones: 6% durante 48 días, 5.5% durante 9 días y 5% durante 63 días ¿Cuál es el monto a cancelar al vencimiento del crédito?

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8.

El 7 de julio, la empresa Agroexport S.A. compró en el Banco Platina un certificado de depósito a plazo (CDP) a 95 días por un importe de S/. 22 000, ganando una tasa nominal anual del 25% con capitalización diaria; si el 2 de agosto la tasa bajó al 19% nominal anual (con la misma capitalización), ¿cuál fue el monto que recibió Agroexport al vencimiento del plazo del CDP?

II.

Capital inicial. Valor presente

9.

Aplicando una tasa efectiva del 5% mensual, calcule el valor presente de un capital final de S/. 3 000 que genera una tasa de interés nominal anual del 25% capitalizable mensualmente, durante un trimestre.

10. Hace 5 meses se colocó en un banco un capital al 4% efectivo mensual, lo que permitió acumular un monto de S/. 3 000. ¿Cuál fue el importe del capital original? 11. ¿Cuánto debo invertir hoy para acumular S/. 22 000 dentro de 120 días en una institución de crédito que paga una tasa nominal anual del 25% con capitalización diaria? 12. ¿Cual sería el precio de contacto de un articulo ofertado al crédito con una cuota inicial de S/. 3 000 y 5 cuotas de S/.600 cada una pagadera cada fin de mes? Se requiere ganar una tasa efectiva mensual del 4%. 13. En el proceso de adquisición de una máquina se tienen las siguientes alternativas: a. Inicial de S/. 3 000 y 3 cuotas mensuales de S/ 3 000 b. Inicial de S/. 2 520 y 4 cuotas mensuales del mismo importe de la cuota inicial. ¿Cuál es la mejor oferta considerando un costo de oportunidad del 4% efectivo mensual? Valor Presente con Variaciones de Tasas 14. El 25 de octubre se efectuó un depósito en un banco percibiendo una tasa efectiva mensual del 5%, la cual varió el 17 de noviembre al 5.2% y al 5.5% al 12 de diciembre. El día de hoy, 26 de diciembre, el saldo de la cuenta es de S/. 7 500. ¿Qué importe se depositó originalmente? ¿Cuál fue la tasa acumulada? 15. Calcular el valor presente de un monto de S/. 16 000 que se percibirá dentro 32 días, si la vigencia de la tasa efectiva mensual será 12 días al 3% y 20 días al 2.5%. 16. Los flujos de caja y las inflaciones mensuales proyectadas por la empresa Agroexport S.A. se muestran en el cuadro adjunto. Calcule el valor presente de dichos flujos.

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Flujo de caja Inflación

0

Mes 1

Mes 2

Mes 3

Mes 4

2000

2000

2200

2400

2500

2.00%

1.80% 1.60%

1.60%

1.65%

III. Tasas de interés 17. Después de 4 meses de haber colocado un capital de S/. 4 000 se obtuvo un monto de S/. 4 500. ¿A qué tasa de interés efectivo mensual se colocó el capital? 18. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva mensual de un bono comprado en S/. 3 000 y vendido al cabo de 95 días en S/. 3 415 20. 19. ¿A que tasa efectiva mensual una inversión de S/. 12 000 se convirtió en un monto de S/. 13 150 22 si fue colocada durante 68 días? 20. La población de una ciudad se triplica cada 26 años. Asumiendo un crecimiento exponencial ¿Qué tasa de crecimiento promedio anual tiene? 21. La empresa Jacobs tiene en un banco una deuda de S/. 11 000 que vence dentro de 50 días, por la cual paga una tasa efectiva mensual del 4%. Además tiene otra deuda de S/. 16 000, por la cual paga una tasa efectiva mensual del 5%, la que vence dentro de 64 días. Jacobs propone pagar ambas deudas con el descuento de un pagaré con valor nominal de S/. 27 034, el mismo que vencerá dentro de 90 días. ¿Qué tasa efectiva mensual está cargando el banco Jacobs? IV. Tiempo 22. Después de colocar un capital de S/. 2 000 a una tasa de interés efectivo del 5% mensual se ha obtenido un monto de S/. 2 500. ¿A qué tiempo se colocó el capital? 23. En cuántos días podré: a) triplicar y b) cuadruplicar un capital a tasa efectiva anual del 55%? 24. ¿Cuánto tiempo a partir del segundo depósito, será necesario que un depósito de S/. 2 000 efectuando hoy y un depósito de S/. 2 500 que efectuará dentro de 5 meses en un barco, ganando una tasa efectiva mensual del 5%,se convierten en S/. 6 000? V.

Interés

25. Calcule el interés que ha producido un capital de S/. 8 000 a una tasa efectiva mensual del 2% por el periodo comprendido entre el 4 de mayo y el 7 de julio del mismo año.

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26. Calcular el interés bimestral que habrá ganado un depósito de ahorros de S/.6 000 colocado a una tasa nominal anual del 25% con capitalización trimestral. Capital Inicial 27. Si deseo ganar un interés de S/. 2 000 al término de 3 meses. ¿Qué capital debo colocar en un banco que paga una tasa efectiva mensual del 2.5%? 28. La rentabilidad en 24 días de un paquete accionario adquirido en Bolsa fue de S/.600; dicho paquete accionario acumuló en 30 días una tasa de rentabilidad de! 4%. ¿Cuál fue su precio de adquisición? Tasa de Interés 29. ¿Qué tasa efectiva mensual debe aplicarse a un capital de S/ 6 000 para que produzca una ganancia de S/.900 durante 5 meses? 30. El 19 as febrero la compañía Mary's compró en Bolsa un paquete accionario en S/. 95 000, el cual vendió el 27 de marzo obteniendo una rentabilidad neta de S/.7 500. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva mensual que obtuvo Mary's en esa operación. Tiempo 31. ¿Cuántos días serán necesarios para que un capital de S/.11 000 produzca un interés de S/.2 000 a una tasa anual del 25% con capitalización mensual? 32. ¿En cuántos trimestres un capital de S/.6 000 habrá ganado un interés de S/.406 05 colocado a una tasa nominal del 23% con capitalización mensual?

Ecuaciones de valor equivalente 33. La empresa exportadora Tejidos de Alpaca S.A. ha conseguido la refinación de sus deudas vencidas y por vencer (según diagrama adjunto), pagando una tasa efectiva del 5% mensual. Calcule el importe a cancelar en el mes 3 que sustituya el total de sus obligaciones. 600 0

800 1400 1

2

X 3

800 750 600 4

5

6 Meses

34. Sustituir dos deudas de S/. 21 000 y S/.31 000 con vencimiento dentro de 3 y 5 respectivamente por un único pago con vencimiento a 4 meses, asumiendo una tasa anual del 60% con capitalización mensual.

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35. El 19 de mayo, el Gerente Financiero de la Empresa Sur S.A. estaba revisando los compromisos de pago de la cuenta Caja - Banco para el mes de junio, y encontró la siguiente información de vencimientos pendientes con el Banco Indufin: día 21, S/.3 500 (pagare); día 22, S/.2 800 (letras); día 25, S/.7 300 (préstamo) y día 28 S/.4 500 (importaciones). Según información obtenida del flujo de caja, durante el mes de junio, el saldo proyectado será negativo, por lo que solicita al banco diferimiento de los pagos que vencen en junio, para el 17 de julio, aceptando pagar una tasa efectiva mensual del 6%. ¿Cuál es el importe que deberá cancelar Sur S.A. en esa fecha? 36. Prepare una alternativa de venta al crédito para una máquina cuyo precio al contado es S/. 11 000 bajo las siguientes condiciones: cuota inicial equivalente al 26% del precio de contado y 6 cuotas uniformes con vencimiento cada 30 días. La tasa efectiva mensual es del 6% sobre el saldo deudor. 37. ¿Cuál es la tasa efectiva mensual que está cargando el Banco Mercante por el funcionamiento de un préstamo de S/.21 000, el cual debe cancelarse con cuotas de S/.6 580 50 cada fin de mes durante cuatro meses? 38. En el proceso de adquisición de una maquinaria se han recibido las siguientes propuestas: - Al contado por S/. 11 000 - Al crédito con una cuota inicial de S/.5 000 y 6 cuotas mensuales de S/.2 200

¿Qué opción aceptará usted el costo del dinero es del 5% efectivo mensual y no tiene restricciones de capital? Fundamente su respuesta.

Capitalización de una serie temporal y fondo de amortización Factor de Capitalización de la Serie 1.

Juan Carlos desea saber a cuánto ascenderá el monto de sus anualidades durante 6 años, siendo cada anualidad de $ 200 anual, si se invierte a una tasa de interés del 15% anual.

2.

¿En cuánto se convertirá al cabo de 5 años un ahorro trimestral de S/. 300.00, en un banco que paga el 15% anual capitalizable trimestralmente?

3.

Una persona deposita en una cuenta de ahorro al final de cada trimestre $ 100. ¿Qué monto acumulará durante 2 años si la tasa de interés es del 18% capitalizable trimestralmente?

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4.

¿Qué monto puede acumularse durante 2 años depositando S/. 350 cada fin de mes, si la tasa de interés es del 24% capitalizable mensualmente?

5.

¿Cuál será el monto en una cuenta de ahorros si a fin de mes y durante 10 meses consecutivos se depósito S/. 1000 en un banco que paga una TEA del 15%?

Fondo de depósito al Fondo de Amortización 1.

¿Que suma debe depositar Daniel Santos en el Banco de Crédito cada año, si dentro de 5 años desea hacer un viaje a New York, para lo cual necesitará $ 3500, para pasaje y bolsa de viaje, si el banco abona un interés del 6% anual?

2.

Se desea capitalizar $ 4500 durante 3 años. ¿Cuánto se tendrá que depositar mensualmente (a período vencido), en un banco que paga el 6% anual, capitalizable mensualmente?

3.

Calcule el importe de una renta constante que colocada al final de cada trimestre durante 5 años permita constituir un monto de $ 5000. La TNA aplicable es del 24% con capitalización mensual.

4.

La empresa Solgas S.A.A. planea adquirir dentro de 9 meses un equipo de computación interconectado para toda su empresa a un costo de $ 5000. Para tal fin, la gerencia financiera de Solgas, puede colocar sus excedentes mensuales de caja (estimados en $ 2000) en una institución financiera que paga una TEM del 3%. ¿Qué importe constante de fin de mes deberá ahorrar para acumular los $ 5000, al fina del 9no mes?

5.

Se planea reemplazar una máquina dentro de 6 meses, cuyo precio se estima que en dicha fecha será de $ 6000. ¿Qué importe constante de fin de mes deberá depositarse durante ese plazo en un banco que paga una TEM del 5%, a fin de comprar dicha máquina con los ahorros capitalizados?

Fondo de depósito al Fondo de Amortización 1.

¿En cuánto tiempo podrá acumularse un monto de S/. 4000 efectuando depósitos de S/. 500 cada fin de quincena, en un banco que paga una TNA del 24% anual con capitalización, mensual?

2.

¿Por cuántos meses una persona debe depositar S/. 300 cada fin de mes en un banco para acumular un monto de S/. 7500 en la fecha del último depósito, si percibe una TEM del 4%?

3.

Una persona depositó en su cuenta de capitalización de una AFP, $ 150 cada fin de mes durante 15 años. Al finalizar este plazo, la AFP le informó que su fondo acumulado era de $ 8000. ¿Cuál fue el rendimiento efectivo anual de sus depósitos?

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CAPíTULO

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Circuito matemático – financiero

CAPíTULO

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Factores múltiples Aplicación de los factores múltiples Cualquier problema de equivalencia financiera se resuelve planteando una ecuación de valor equivalente aplicando factores financieros únicos o combinándolos para homogenizar los valores en el presente, futuro o en cualquier momento específico denominado “fecha focal”. Esto lo usaremos básicamente para evaluar proyectos de inversión, en la cual combinaremos adecuadamente los factores financieros.

Ejemplo de aplicación 1. En base al flujo de caja de la empresa “El Diamante”, en miles de dólares, se pide hallar el VAN (fecha focal el día 0), para lo cual considere un COK del 16% efectivo anual.

0 1000

1 500

2 600

800

800

800

1200

1000

800

600

4

5

6

7

8

9

10 Bimestres

3 700

Solución: Primeramente se tiene que transformar el COK del 16% a una TEB. Los valores pueden ser: P, F R o G. TEB = 1.16^ (60/360)-1 = 0.025045157 = i VAN = -1000 - (500+ 100FGUi 3 ) FAS i 3 +800FAS i 3 * FSA i 3 +(1200 – A i

i

200FGU 4 )*FAS 4 *FSA B

D

i

C

C

E

6

F

i

FGU 3 = 0.98351057..... A FGUi 4 = 1.46908453..... B FAS i 3 = 2.85577400..... C FAS i 4 = 3.76156502 ..... D FSA i 3 = 0.92847669 ..... E FSA i 6 = 0.86206897...... F VAN = -1000 - (500+ 100FGUi 3 )FAS i 3 +800FAS i 3 * FSA i 3 +(1200 – A i

i

200FGU 4 )*FAS 4 *FSA

i

6

C

= $ 2,350.9660

C

E

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Tasa de interés : n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FSCi 1.02504516 1.05071757 1.07703296 1.10400742 1.13165746 1.16000000 1.18905238 1.21883238 1.24935823 1.28064861

FSAi 0.97556678 0.95173054 0.92847669 0.90579101 0.88365962 0.86206897 0.84100584 0.82045736 0.80041094 0.78085432

n

FDFAi 1.00000000 0.49381615 0.32512261 0.24080164 0.19022969 0.15653223 0.13247734 0.11444904 0.10043846 0.08924027

n

n

0.02504516

en tasa

FCSi 1.00000000 2.02504516 3.07576273 4.15279569 5.25680311 6.38846057 7.54846057 8.73751295 9.95634533 11.20570356

FASin 0.97556678 1.92729731 2.85577400 3.76156502 4.64522464 5.50729361 6.34829945 7.16875681 7.96916775 8.75002207

n

FRCin 1.02504516 0.51886131 0.35016776 0.26584679 0.21527484 0.18157739 0.15752250 0.13949420 0.12548362 0.11428543

EN EXCEL:

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

B Bimestre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TEB = VAN =

C BNt -1000 -500 -600 -700 800 800 800 1200 1000 800 600 0.025045 $2,350.97

=POTENCIA(1.16,60/360)-1 =$C$6+VNA($C$17,$C$7:$C$16)

2. En base al flujo de caja de la empresa “Sol Gas”, en miles de dólares, se pide hallar el VAN (fecha focal el día 0), para lo cual considere un COK del 24%.

0 8000

1 1000

2 1200

3 1400

2000

2500

3000

3500

800

4

5

6

7

8

800

800

9 10 Trimestres

Solución: Primeramente se tiene que transformar el COK del 24% a una TET. Los valores pueden ser: P, F R o G.

FGUin 0.00000000 0.49381615 0.98351057 1.46908453 1.95053978 2.42787860 2.90110375 3.37021851 3.83522663 4.29613240

107

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TET = 1.24^ (90/360)-1 = 0.055250146 = i VAN = -8000 - (1000+ 200FGUi 3 )FAS i 3 +(2000 +500FGUi 4 )*FAS i 4 *FSA i 3 A +800FAS

i

3*

FSA

C

i

7

=

C

B

D

E

$ -1637. 9518

F

FGUi 3 = 0.96416537..... A FGUi 4 = 1.43283272..... B FAS i 3 = 2.69667730 FAS

i

4

..... C

= 3.50312892..... D

FSA i 3 = 0.85100819 ..... E FSA i 7 = 0.68629693...... F

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FSCi 1.05525015 1.11355287 1.17507683 1.24000000 1.30851018 1.38080555 1.45709526 1.53759999 1.62255261 1.71219888 n

Tasa de interés : FSAin 0.94764261 0.89802651 0.85100819 0.80645162 0.76422791 0.72421493 0.68629693 0.65036421 0.61631283 0.58404430

FDFAi 1.00000000 0.48655878 0.31557657 0.23020895 0.17908695 0.14508755 0.12087228 0.10277185 0.08874775 0.07757685 n

0.055250146 FCSin 1.00000000 2.05525015 3.16880302 4.34387985 5.58387984 6.89239002 8.27319557 9.73029084 11.26789083 12.89044344

en tasa FASin 0.94764261 1.84566912 2.69667730 3.50312892 4.26735683 4.99157176 5.67786869 6.32823290 6.94454573 7.52859003

FRCin 1.05525015 0.54180892 0.37082672 0.28545909 0.23433709 0.20033770 0.17612242 0.15802200 0.14399790 0.13282700

FGUin 0.00000000 0.48655878 0.96416537 1.43283272 1.89257887 2.34342700 2.78540531 3.21854701 3.64289022 4.05847792

12

Sistema de repago de deuda Toda deuda contraída se paga en el tiempo convenido entre el prestamista o institución financiera intermediaria y el solicitante del préstamo. Para lo cual se acuerda el Préstamo, la tasa de interés, el período de tiempo, si es a período anticipado o vencido, y las garantías. Toda deuda esta compuesta por la amortización y los intereses, que conforman el flujo de pagos periódico, que tiene que pagar el deudor, pero para el caso de tarjetas de créditos, se le adiciona al flujo de pago periódico (mensual, bimestral, trimestral, etc..) los portes, las comisiones adicionales, etc... Veremos los métodos de pagos más usuales el método americano, el alemán, el francés y del de cuotas crecientes. Cada uno de ellos tiene características propias, las cual mencionaremos: 1.

Método Americano.- Este método usan las empresas privadas o el estado cuando emiten bonos, para financiar algún proyecto de mediano o largo plazo. Se caracteriza por que en cada período se paga solamente los intereses, y en el último período se amortiza el total de la deuda.

2.

Método Alemán.- Llamado también “al rebatir”, debido a que, a medida que vamos amortizando la deuda, el flujo de pago disminuye. Este método se caracteriza porque la amortización es constante.

CAPíTULO

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3.

Método Francés.- Llamado también de “cuotas periódicas constantes”. Se caracteriza porque el flujo de pago es constante. Es el que usan los bancos para prestamos a personas o empresas, en la cual loas pagos van a ser iguales.

4.

Método Creciente.- Este método se caracteriza porque la amortización es creciente. Algunos bancos usan este método para apoyar a los clientes (personas o empresas) que inician un negocio.

Método francés En el diagrama, supongamos que S/.1000 en un préstamo a recuperar en un plazo de 4 trimestres a la taza de interés de 15% trimestral.

R R R R |----------|----------|----------|-----------| 0 1 2 3 4 P=1000 RECUPERO EN UNA SOLA CUOTA

S P(FSC ) S P(1  i ) 4 S 1000(1  0.15) 4 S 1000(1.749) S 1.749 Este pago único contiene interés (I):

I I I

SP 1.749  1000 749

RECUPERO EN 4 CUOTAS FIJAS VENCIDAS Usamos el FRC: Método FRANCES

R

P (FRC )

R

P

i (1  i ) n (1  i ) n  1

0.15(1  0.15) 4 (1  0.15) 4  1 R 1000(0.3500265364)

R 100

R

350.27

Este flujo de pagos vencidos también contiene intereses: (Llene UD. el Formulario)

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(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

TRIM n

SALDO

INTERÉS (2)*0.15

AMORTIZACIÓN (5) - (3)

CUOTAS FIJAS

1

1000.00

350.27

2

350.27

3

350.27

4

350.27 1000.00

Conclusión: un Préstamo se puede recuperar con un STOCK FINAL o mediante un FLUJO de pago en cuotas Fijas

Capitalización del flujo (R) Es una entidad financiera: “Plata que se cobra en plata que se representa. Ahí esta capitalización” Uso del FCS

S S S

S S

R(FCS ) (1  1) 4  1 i (1  0.15) 4  1 350.27 0.15 350.27(4.99337466) 1749 R

HACIENDO EL CIRCUITO

S =1749 R R R R S=R (FCS) |-----------|----------|----------|-----------| S=R (FCS) 0 1 2 3 4 P=1000 R=P (FRC) R=300.27

Hacia al futuro….

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OS/.erve, que tiene dos caminos para llegar a S=1749. 1r°. De inmediato con el FSC. 2d°. Previamente con el FRC y luego con el FCS.

Préstamo a recuperar en cuotas periódicas Ejemplo: Un préstamo de banco de S/. 600 se recupera en cuatro pagos parciales a la tasa del 45% anual. Presentar el método Alemán y Método Americano de recuperación de préstamos. Diseñamos un formato de trabajo llamado: CUADRO DE INTERÉS Y AMORTIZACIONES (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

PERIODO n

SALDO DEUDA Al inicio de “n”

INTERÉS Saldo x

AMORTIZACIÓN

CUOTA

1

1000.00

2 3 4

Esta son las 5 columnas fundamentales de un cuadro de Intereses y amortizaciones o cuadro de servicio de la deuda y merece explicación la columna amortización Amortizar.- Es extinguir gradualmente la deuda. La suma de la columna amortización debe ser igual al préstamo otorgado. No importa que sean desiguales las cantidades parciales con tal que sumen el préstamo otorgado. Hay un caso particular entre las cantidades parciales son iguales este el es el Método Alemán.

El método alemán Lo haremos en dos pasos para visualizar el proceso: Primer Paso.- Observemos el llenado: CUADRO DE INTERÉS Y AMORTIZACIÓN (1) PERIODO n 1 2 3 4

(2) SALDO DEUDA Al inicio de “n” 600

(3) INTERÉS Saldo x 0.1125

(4) AMORTIZACIÓN p/n 150 150 150 150

(5) CUOTA (3) + (4)

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Las amortizaciones son iguales y se obtienen sencillamente dividiendo el préstamo (P) entre el numero de periodo (n). Cada amortización al final de un periodo, reduce el saldo deudor al inicio del periodo siguiente. El interés de cada periodo es el producto: saldo x 0.1125 Observación.- Respecto a las amortizaciones p/n =600/4, se puede escribir 600 x (1/4)=600 x (25%), hagan ésto porque los bancos suelen hablar así: “…y que amortización de 25% del préstamo cada 90 días…” Segundo Paso.- Llenar le cuadro como indica el encabezamiento. CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIÓN (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

PERIODO n 1 2 3 4

SALDO DEUDA Al inicio de “n” 600 450 300 150

INTERÉS Saldo x 0.1125 67.50 50.63 33.73 16.88

AMORTIZACIÓN p/n 150 150 150 150

CUOTA (3) + (4) 217.50 200.63 183.75 166.88

Diagrama: 217.50 200.63 183.75 166.88 |--------------|--------------|-------------|--------------| 0 1 2 3 4 Trimestral P=600

i=11.25% Trimestral

¿Qué hemos hecho? Hemos transformado un Stock Inicial en Flujo. Recuerde Siempre los conceptos de Stock y Flujos Este es el Cuadro de Intereses y amortizaciones más elemental que hay en Finanzas. Cada cuota contiene intereses y amortizaciones y, con la ultima cuota se termina de pagar le deuda.

El método americano Se caracteriza por que el deudor paga solamente intereses en cada periodo, devolviendo íntegramente el préstamo conjuntamente con el último interés Veamos:

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CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIÓN (1) PERIODO n 1

(2) SALDO DEUDA Al inicio de “n” 600

(3) INTERÉS Saldo x 0.1125 67.50

(4) AMORTIZACIÓN p/n -

(5) CUOTA (3) + (4) 67.50

2

600

67.50

-

67.50

3

600

67.50

-

67.50

4

600

67.50

600

667.50

Fíjese que como no se amortiza nada, el saldo deudor tampoco disminuye y sigue siendo 600 hasta el inicio de cuarto trimestres Diagrama: 600.00 67.50 67. 50 67.50 67. 50 |--------------|--------------|-------------|--------------| 0 1 2 3 4 Trimestral P=600

i=11.25% trimestral

¿Qué hemos hecho? Hemos transferido un Stock Inicial en Flujo. Recuerde siempre los conceptos de STOCK y FLUJO. El método americano de devoluciones de préstamos por los negociantes por cuanto tienen todo capital en uso hasta el final del plazo. Pero si la entidad financiera no desea correr riesgo de pago, entonces aplica el método alemán y se va recuperando su capital en partes y no el total al final.

Ejercicio de aplicación En base a los datos que a continuación se mencionan. Se pide elaborar los métodos del pago del servicio de la deuda: Americano, Alemán, Francés y el Creciente. Datos Préstamo

:

S/.

30,000

Tasa de interés :

15.000000% efectiva anual

TET =

0.035558 efectiva trimestral

Períodos

:

4 trimestres 1. Método Americano

N°

Deuda

Amortización

Interés

0

30,000

-

-

-

1

30,000

0

1066.74229

1066.74229

2

30,000

0

1066.74229

1066.74229

3

30,000

0

1066.74229

1066.74229

4

0

30,000

1066.74229

31066.74229

2. Método Alemán

Flujo de Pagos

1. Método Americano N°

Deuda

Amortización

Interés

Flujo de Pagos

0

30,000

-

-

-

1

30,000

0

1066.74229

1066.74229

2

30,000

0

1066.74229

1066.74229

3

30,000

0

1066.74229

4

0

30,000

1066.74229

1066.74229 Programa de Computación, Diseño y Extensión 31066.74229

N°

Deuda

Amortización

Interés

Flujo de Pagos

30,000

-

-

-

1

22,500

7500

1066.74229

8566.74229

2

15,000

7500

800.056718

8300.056718

3

7,500

7500

533.371145

8033.371145

4

0

7500

266.685573

7766.685573

Flujo de Pagos

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2. Método Alemán

3. Método Francés N°

Deuda

Amortización

Interés

0

30000.0000

-

-

-

1

22888.3847

7111.6153

1066.7423

8178.3576

2

15523.8941

7364.4906

813.8669

8178.3576

3

7897.5364

7626.3577

551.9998

8178.3576

4

0.0000

7897.5364

280.8212

8178.3576

A trimestral =

S/. 8,178.36

= PAGO(tasa,nper,Va)

4. Método Creciente N°

Deuda

Amortización

Interés

0

30000.0000

-

-

Flujo de Pagos -

1

28000.0000

2000.0000

1066.7423

3066.7423

2

24000.0000

4000.0000

995.6261

4995.6261

3

18000.0000

6000.0000

853.3938

6853.3938

4

10000.0000

8000.0000

640.0454

8640.0454

... OjO A1 =

S/. 2,000.00 ...

(1/10)*20000

A2 =

S/. 4,000.00 ...

(2/10)*20000

A3 =

S/. 6,000.00 ...

(3/10)*20000

A4 =

S/. 8,000.00 ...

(4/10)*20000

Ejercicio para usted Un préstamo de S/. 900 se devolverá en tres cuotas mensuales a la tasa de 42% anual. Elabore el cuadro alemán y americano. Cuadro de intereses y amortizaciones: Método Alemán. (1) PERIODO n

(2) SALDO DEUDA al inicio de “n”

(3) INTERÉS Saldo x

(4) AMORTIZACIÓN

(5) CUOTA (Rpta) 331.50 321.00 310.50

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Cuadro de intereses y amortizaciones: Método Americano (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

PERIODO n

SALDO DEUDA al inicio de “n”

INTERÉS Saldo x

AMORTIZACIÓN

CUOTA (Rpta) 31.50 31.00 931.50

Corrección de los intereses por variación de las tasas En una economía inflacionaria la tasa de intereses cambian en función de la tasa de inflación. A continuación vamos a mostrar la técnica de corrección de un capital pendiente de cobro cuando cambia la tasa de intereses cualquier día.

Enunciado Sea un capital de S/..100 que gana una tasa de intereses del 4% en 30 días. Por tanto, la cobranza será de 104 dentro de un mes. DIAGRAMA S=104 |-----------------------------------------------------------| 0 i=4% mensual 1 MES P=100

Arbitrariamente elegimos un periodo de un mes. Suponga que ese capital P=100 es un préstamo. Tenga muy presente que el rendimiento del dinero 4% mensual. Es una tasa efectiva. Si faltando 14 días para el vencimiento, sube la tasa de interés al 6% mensual. ¿Cuánto (S´) debería cobrar el acreedor? DIAGRAMA

14 días S´=? |-------------------------| S=104 |----------------------------------------------------| 0 i=4% mensual 30 días

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Los bancos suelen pactar con el cliente mantener fija la tasa de interés en plazos de 30, 60, 90 días, esto es, en el corto plazo, por los créditos que otorgan. Pero, al margen de ello, y para ser preciso en cuanto al valor de mercado del dinero en el tiempo, la corrección matemática debe hacerse. Y hay dos métodos. Primer método: Partiendo del Stock Inicial. P=100 Como la tasa de interés puede cambiar cualquier día, entonces necesitamos una tasa diaria, pero, equivalente por cuanto el rendimiento de un capital se mide en términos efectivos. En la forma conocida: Para el 4% mensual Para el 6% mensual

1  i (1  i´)n 1  0.04 (1  i´)30 3

1  0.08 (1  i´)

i´=0.0013082 i´=0.0019442

Ahora, como durante 16 días ha estado vigente la tasa 4% y en los restantes días 14 días entra la nueva tasa, capitalizamos: S´ [100FSC160.0013082 ]FSC140.0019442 S´ [100(1.0013082)16 ](1.0019442)14 S´ 104.93 // ES EL VALOR CORREGIDO

Segundo método: Partiendo del Stock Final. S=104 Se actualiza 14 días a la tasa anterior para quitarle, por esos días, los intereses al 4% mensual que ya no van a funcionar y, luego se capitalizamos esos mismos 14 días pero a la nueva tasa del 6% mensual. S´ [104 FSA140.0013082 ]FSC140.0019442 1 S´ [104 ](1.0019442)14 14 (1.0013082) S´ 104.93 //. SALE LO MISMO

Este 2° método es preferido por las entidades financieras y comerciales cuando tiene que hacer estas correcciones por cuanto les importa es lo que le falta cobrar. Ya no interesa cuanto se dio de crédito ni las cuotas ya cobradas. Sin embargo, el 1er. Método es utilizado por la entidades financieras en la corrección de los intereses de los ahorristas cuando cambia la tasa ofrecida.

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Otra presentación del segundo método El factor de corrección (FC)

1

La ecuación: S´ [104 ](11.0019442)14 14 La ecuación: S ´ [ 104 ](1.0019442)14 (1.0013082) 14

(1.0013082)

1

Se puede escribir: S´ 104 *1(1  0.06)14 / 30 14 / 30 Se puede escribir: (1S´ 0104 * (1  0.06)14 / 30 .04) 14 / 30

(1  0.04)

1  0.06 14 S´ 104(30 )1  0.06 14 S´1 104 (30 ) 0.04 1  0.04 Entonces: Entonces:

S´ 104(1.0089282) S´ 104(1.0089282)

Donde:

El paréntesis es EL FACTOR DE CORRECCIÓN El paréntesis es EL FACTOR DE CORRECCIÓN S´ 104.93 //. S´ 104.93 //.

Donde:

El Factor de Corrección El Factor de Corrección

(m

1  inueva 1 )innueva n 1 (imvieja1  i ) vieja

Es muy útil para reparar tablas de factores de corrección para que el operador se limite a multiplicar. Observe la fracción subradical: En el numerador va la tasa NUEVA y en el denominador la tasa VIEJA. Sacamos RAÍZ m=30 porque estamos trabajando con la tasa MENSUAL (si trabajamos con tasa trimestral, sacaríamos raíz m=90). OJO: El exponente n=14 es el NUMERO DE DÍAS desde que cambio la tasa hasta el vencimiento del papel (letra, pagare, cuota). Pueda parecerle difícil de recordar que tasa va arriba y que tasa va abajo, sobre todo cuando la tasa cambia varias veces antes del vencimiento. Le daré un Regla que NO SE OLVIDE NUNCA. Piense así: “Arriba LA NUEVA, abajo LA VIEJA”

Aplicaciones en los ahorros Una persona abrió una libreta de ahorros con la suma de S/.. 100,000 el día 9 de enero de 1992 (año bisiesto: 366 días). El banco capitaliza los intereses mensualmente.

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A la Fecha 9 de enero 18 de marzo 24 de junio 12 de septiembre



Tasa de interés 30% 36% 33% 39%

Tasa mensual 2.5% 3.0% 2.75% 3.25%



Tasa diaria 0.08234% 0.09858% 0.09047% 0.10667%

Recuerde: La tasa mensual es efectiva por cuanto eso es lo “exactamente” paga cada mes. Por ello la tasa diaria calculada es equivalente. Se pide, calcular el monto a cobrar el día 20 de diciembre. El numero de días.- Transcribimos lo que dice el profesor “… el interés es un pago que se hace por el uso del dinero. Para que el deudor pueda usar el préstamo es preciso que transcurra el tiempo. Si se hace hoy un préstamo y se devuelve mañana, en realidad el deudor no ha usado los fondos durante dos días, sino durante un día. En realidad esa es le costumbre entre los banqueros y hombres de negocios de los Estados Unidos e Inglaterra. En estos dos países, para determinar la duración del periodo de un préstamo, se “excluye” el “primer” día y se “incluye” el “ultimo”.

Así el Stock Final (S) o Monto a cobrar el 20 de diciembre:

100,000 * FSC980.0009858 * FSC800.0009047 * FSC990.0010667 Usando una calculadora que potencie:

Rp. S=139,269.73 //.

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Caso de Aplicación: Se tiene un préstamo de S/. 80,000 otorgados el 15 de Noviembre del 2005, a la TEA del 20%, a devolver en cuatro cuotas trimestrales constantes. Se pide calcular racionalmente: a.

El importe de las cuotas constantes trimestrales de pago (A)

b.

Desde el 25 de febrero del 2006 disminuye la tasa al 18% efectivo anual. Recalcule las cuotas trimestrales constantes del pago de la deuda, por la disminución de la tasa de interés. Datos: P=

S/. 80,000.00

TEA = 20% n= 4 trimestres A trimestral = ? Solución a) Armada constante trimestral = ? TET =

0.0466351394 A trimestral =

$22,384.87

b) Calendario de pago trimestral:

15-Nov

13-Feb

14-May

12-Ago

10-Nov

0

90

180

270

360 días 258

25/02/06 Número de días desagiados:

78

168

Nro. de Pagos 1ro 2do 3ro 4to

Factor de Corrección 1.0000000000 0.9964147841 0.9922939658 0.9881901897

Pagos Trimestrales S/. 22,384.87 S/. 22,304.61 S/. 22,212.37 S/. 22,120.51

Pago anterior Trimestral S/. 22,384.87 S/. 22,384.87 S/. 22,384.87 S/. 22,384.87

13

Capitalización continua de series discretas y series continuas La capitalización continua de series discretas y series continuas, se utiliza en la ingeniería económica. Esto se usaba en el Perú por las instituciones financieras intermediarias en épocas cuando la inflación anual eran de dos, tres o cuatro dígitos, y un banco quería pagar a sus clientes un interés mayor que el de otro banco. Actualmente no se esta usando este tipo de intereses, ya que para eso se utiliza los neperianos e = 2.718281828.

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Serie discreta con capitalización continua Hablamos de una serie discreta cuando el pago del flujo constante de efectivo va desde el período mas pequeño que es el diario, hasta el mas grande que es el anual, y de capitalización continua porque en el calculo se utilizan los nepererianos (e = 2.718281828).

Ejercicios de aplicación 1.

Juan Carlos deposita en un Banco S/. 2,500 a una tasa de interés del 10% capitalizable continuamente, si retira su dinero después de 5 años ¿cuánto retirará Juan Carlos?

Datos: P = S/. 2500 j =10%=0.1 anual n = 5 años F=? Solución: F= P * FSC n j F=2500 * e0.1*5 F= S/. 4121.80 2.

¿A cuánto equivale hoy un monto de S/. 8,000, que ha sido depositado en el Banco de Crédito hace 3 años si la tasa de interés es del 12% capitalizable continuamente?

Datos: P=? j =12%=0.12 anual n = 5 años F = S/.8000 Solución: P= F * FSA n j P= 8000 / e0.12*5 F= S/. 4,390.49

j =12%=0.12 anual n = 5 años F = S/.8000 Solución:

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P= F * FSA n j P= 8000 / e0.12*5 F= S/. 4,390.49 3.

¿Cuál es el valor presente de una serie uniforme de $ 400 anuales durante 10 años, si la tasa de interés es del 7% capitalizable continuamente?

Datos: P =? i =7%=0.07 anual n =10 años R= $ 400 anuales Solución: P= R * FAS n i P= 400 * (1- e(-0.0.7*10)) / (e(0.07) –1) P= $ 2,777.15 4.

¿Cuál será el pago requerido trimestralmente para cancelar un préstamo de $ 2,500 durante 3 años, si la tasa de interés es del 8% capitalizable continuamente?

Datos: P = $ 2500 j= 8%=0.08 anual = 0.02 trimestrales n = 3 años =12 trimestres A

trim

=?

Solución: R= P * FRC n j A trim = 2500 * (e(0.02) –1)/ (1- e(0.0.2*12)) A trim = $ 236.69

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5.

¿Cuál es el valor presente de los siguientes flujos constantes de efectivo? a. $4,400 anuales durante 30 años a una tasa de interés del 6% capitalizable continuamente?

Datos: P =? j = 6%=0.06 anual n =30 años R = $ 4,400 anual Solución: P= R * FAS n j P = 4400 ( 1 –e(-0.06*30))/ e0.06-1 P = $59,393.43 b. $24 mensuales durante 5 años a una tasa de interés del 12% capitalizable continuamente?

Datos: P =? j =12%=0.01 mensual n = 5 años = 60 meses R = $ 24 mensuales Solución: P = R * FAS n j P = 24 ( 1 –e(-0.01*60))/ e0.01-1 P = $1,077.45

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6.

¿Cuál es el valor acumulado por cada una de las siguientes rentas? a. $700 mensuales durante 5 años a una tasa de interés del 6% capitalizable continuamente?

Datos: F=? j = 6%=0.06 mensual n = 5 años =60 meses R = $700 mensuales Solución: F= R* FCS n j F 700 ( 1 –e(-0.06*60))/ e0.06-1 F = $8,57.88 b. $500 trimestrales durante 39 años a una tasa de interés del 8% capitalizable continuamente?

Datos: F=? j = 8%= 0.02 trimestrales n =39 años = 56 trimestrales R = $ 5,00 trimestrales Solución: F = R * FCS n j F = 500 ( 1 –e(-0.02*56))/ e0.02-1 F = $ 535,765.93

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7.

Encontrar la serie de pagos uniformes anuales que serían equivalentes a la siguiente serie creciente, si la tasa de interés es del 9% capitalizable continuamente?

En nuevos soles 200

300

400

500

600

1

2

3

4

5

0

700 6 años

Solución: R = (V i +

FGU n j )

R = (200+100 FGU 6 0.09)

FGU 6 0.09= (1/e0.09 –1) - (6/e(0.09*6)-1) FGU 6 0.09 = 2.23….

R = S/. 423.88

Serie continua capitalización continua Hablamos de una serie continua cuando el pago del flujo constante de efectivo es cada instante, esto se usa en la ingeniería económica, y se considera capitalización continua cuando en el calculo se utilizan los nepererianos (e = 2.718281828). 1.

¿Cuál es el valor presente de los siguientes flujos continuos de fondos? a. $3,500 anuales durante 8 años a una tasa de interés del 6% capitalizable continuamente?

Datos: P =? j = 6%=0.06 anual n =8 años R = $3,500 Solución: P = R * FAS n j P = 3500 * (e0.06 * 8 -1/ (0.06 e(0.0.6*8))

n =8 años R = $3,500 Solución:

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P = R * FAS n j P = 3500 * (e0.06 * 8 -1/ (0.06 e(0.0.6*8)) P= $ 22,237.64 b. $700 mensualmente durante 10 años a una tasa de interés del 9% capitalizable continuamente?

Datos: P=? j = 9% anual = 0.0075 meses n =10 años =120 meses R = $700 mensual Solución: P = R * FAS n j P =700* (e0.0075* 120 -1/ (0.0075 e(0.0075*120)) P = $ 55,386.83 2.

¿Cuál es el valor acumulado por cada una de los siguientes flujos continuos de fondos? a. $5,000 anuales durante 6 años a una tasa de interés del 12% capitalizable continuamente?

Datos: F= ? R = $ 5,000 anual j = 12%= 0.12 n =6 años Solución: F = R * FCS n j F = 5000 (e(0.12*6) -1)/ 0.12 F = $ 43,934.72

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b. $1,500 mensualmente durante 12.5 años a una tasa de interés del 6% capitalizable continuamente?

Datos: F= ? R = $ 1,500 mensuales j =6% anual = 0.06 anual = 0.005 mensual n =12.5 años = 150 meses Solución: F = R * FCS n j F = 1500 (e(0.05*150) -1)/ 0.005 F = $ 335,100.01

14

Tasas usadas en el sistema financiero nacional Tasa vencida La tasa vencida i es el porcentaje a ser aplicado a un capital inicial, el cual se hace efectivo al vencimiento del plazo de la operación pactada (cálculo racional). Todas las fórmulas matemático- financieras, se basan en tasas vencidas.

Tasa adelantada La tasa adelantada d, nos permite conocer el precio que habrá de pagarse por la percepción de una deuda antes de su vencimiento. La tasa adelantada determina en cuánto disminuye el valor nominal de un título valor, tomando en consideración el tiempo por transcurrir entre la fecha que se anticipa el pago y la fecha de su vencimiento. Matemáticamente es aquella que multiplicada por el capital final S, lo disminuye, para encontrar el capital inicial P.

Tasa adelantada equivalente a una tasa vencida Si la tasa adelantada “d” se aplica sobre S y la tasa vencida “i” se aplica sobre P, entonces ¿qué tasa adelantada debe aplicarse a una

CAPíTULO

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determinada operación para obtener un rendimiento equivalente a una tasa vencida dada?. Aplicando las fórmulas de actualización de un valor futuro (usando para el cálculo i) y, la del cálculo del valor presente a partir de un valor futuro (usando la tasa de descuento d), para 1 período de tiempo, podemos obtener una tasa “d” equivalente a “i“ previamente conocida:

P = S(1+i)-1 P = S(1-d) Relacionando los factores (1+i)-1 y (1-d) encontraremos la equivalencia de “d”.

(1-d) =

1 (1+i)

1 = (1-d) (1+i) 1 = 1+ i – d – di d + di = i d =

i (1 + i)

Ejemplo 1 En una operación de descuento bancario a 90 días se requiere ganar una tasa trimestral del 4.5% ¿qué tasa adelanta equivalente debe aplicarse para los 90 días? Solución:

d = ?

d = ?

i = 0,045i = 0,045

d

=

0,045 d = = 0,045 0,043060096 = 0,043060096 = 4,31% =

4,31%

1+ 0,045 1+ 0,045 Ejemplo 2 ¿Qué tasa anual adelantada es equivalente a una TEA del 12% Solución:

d =? d =? i = 0,12 i = 0,12

d = d0,12 = 0,12 = 0,1071428571 = 0,1071428571 = 10,71% = 10,71% 1 + 0.12 1 + 0.12

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Tasa vencida (i) equivalente a una tasa adelantada (d) d =

i (1+i)

i = d + di i - di = d i(1-d) = d i

=

d (1 – d)

Ejemplo 3 Una tasa adelantada del 12%, ¿a qué tasa efectiva de interés es equivalente? Solución:

i =?

i =?

d = 0,12 d = 0,12

i = 0,12 i = 0,12 = 0,1363636364 = 0,1363636364 = 13,64% = 13,64% 1 – 0,12 1 – 0,12

Ejemplo 4 Calcule la TET equivalente a una tasa adelantada del 36% capitalizable mensualmente. Solución:

i = ?i = ? d = 0, d= 36/12 0, 36/12 n = 3n = 3

-n -n 1 + 1i += (1-d) i = (1-d) -n i = (1-d) i = (1-d) -1-n -1 -3 i = (1 i =– (1 0,03) – 0,03) -1-3 =-10,095682682 = 0,095682682

i = 9,57% i = 9,57%

Factores de descuento Los factores de descuento son tasa adelantadas porque se aplican sobre los valores nominales de títulos - valores. En nuestro sistema financiero estos factores se obtienen a partir de una tasa efectiva vencida

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dada. Los bancos suelen preparar “factores de descuento” para todos los días del año, de tal forma que los descuentos se obtienen multiplicando el valor nominal del documento por el factor correspondiente al período del descuento (días que faltan para su vencimiento) Si partimos, por ejemplo de una TEM dada, podemos preparar factores de descuento para cualquier período de tiempo. Reemplazando en (55) i por una TEM tenemos:

d =

i

=

(1 + i)

(1 + TEM)n* -1 (1 + TEM)n*

Ejemplo 5 Calcule el factor de descuento y el descuento racional a efectuar a una letra de S/.10,000 cuyo vencimiento será dentro de 39 días. Aplique una TEM del 5%. Solución:

d

39

= ?

TEM = 0,05? n* = 39/30

d = (1 +0.05)39/30 -1

= 0,06145756971

(1 + 0,05)39/30 D = S [factor de descuento] D = 10,000[0,06145756971] D = S/. 614,58

Idéntico resultado se obtiene con la fórmula del descuento racional compuesto donde se aplica una TEM del 5%:

D = S[1 – (1+ i )-n] D = 10,000[1 – (1 + 0,05)-39/30] = S/. 614.58 Ejemplo 6 A partir de una TEM del 4% prepare los factores vencidos “i” y factores de descuento “d” para los 10 primeros días del año. Solución: Los factores acumulados vencidos (tasas equivalentes) han sido calculados:

1er día

1,041/30 -1 = 0,001308212

2do día

1,042/30 -1 = 0,002618136

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Los factores de descuentos acumulados han sido calculados:

1,041/30 -1

1er día

= 0,001306503

1/30

1.04

1,042/30 -1

2do día

= 0,002611299

1.042/30 Tabla de Factores de Descuento a una TEM del 4% Día

“i”

“d”

1

0.001308

0.001306

2

0.002618

0.002611

3 4 5 6 7 8 9 10

Ejemplo 7 Calcule el descuento racional a practicar a una letra de S/. 12,000 faltando 49 días para su vencimiento y cobrando una TEM del 4%. Solución:

D = 12,000 x 0,062051 = S/. 744.62

Tasa de interés convencional compensatorio Ic es una tasa de interés compensatoria cuando constituye la contraprestación por el uso del dinero o de cualquier otro bien. En operaciones bancarias, la tasa de interés convencional compensatoria está representada por la tasa activa para las colocaciones y la tasa pasiva para las captaciones, que cobran o pagan respectivamente las instituciones del sistema financiero, en el proceso de intermediación del crédito.

Tasa de interés moratorio Una tasa de interés moratorio Im constituye la indemnización por incumplimiento del deudor en el reembolso del capital y del interés compensatorio en las fechas convenidas. El interés moratorio se calculará solamente sobre el monto de la deuda correspondiente a capital,

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adicionalmente a la tasa de interés convencional compensatoria o a la tasa de interés legal, cuando se haya pactado. El deudor incurre en mora a partir del día siguiente de la fecha de vencimiento de una cuota si ésta no fuese cancelada. La tasa de interés moratoria es fijada por el BCRP en términos efectivos mensuales y está normada por los siguientes artículos del Código Civil. Art. 1242: El interés es compensatorio cuando constituye la contraprestación por el uso del dinero o de cualquier otro bien. Es moratorio cuando tiene por finalidad indemnizar la mora en el pago. Art. 1243: La tasa máxima del interés convencional compensatorio o moratorio, es fijada por el Banco Central de Reserva del Perú. Cualquier exceso sobre la tasa máxima da lugar a la devolución o a la imputación al capital, a voluntad del deudor.

Tasa de interés total en mora (itm) Una deuda en mora, de acuerdo a ley, está afecta a una tasa efectiva de interés compensatoria y paralelamente a una tasa efectiva de interés moratoria. El cálculo del interés total de una deuda en mora se obtiene con la siguiente fórmula:

ITM =

P[(1 + i c )n* -1] + P[(1 + i m )n* -1]

ITM =

P[(1 + i c )n* + (1+ i m )n* -2]

Ejemplo 8 El 21 de enero la empresa Lima Tours descontó un pagaré de S/. 50,000 con vencimiento dentro de 30 días a una TEM del 4%. Si el documento se cancela el 26 de febrero, ¿cuál es el importe de la deuda, considerando que la tasa de mora es el 15% de la tasa compensatoria? Efectúe la liquidación al 26 de febrero considerando gastos de portes de S/. 5,00. Solución:

I

=?

P

= S/. 50,000

Ic

= 0.04

Im = 0.006 n*

= 6/30

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Ic = 50000[1.046/30-1] = 393.75 Im = 50000[1.0066/30-1] = 59.86 Liquidación al 26 de febrero Documento vencido Interés compensatorio Interés de mora Portes

S/.50,000.00

Deuda total

S/.50,458.61

393.75 59.86 5.00

Ejemplo 9 Calcule el interés total en mora generado por una deuda de S/. 1,000 vencida hace 18 días. La TEM compensatoria es 5% y la TEM moratoria es 0,75% Solución: ITM

= ?

ITM

= P[(1 +ic)n* + (1 + im)n*-2]

ic

= 0,05 mensual

ITM

= 1,000 [(1,0518/30 + 1,007518/30 ) –2]

im

= 0,0075 mensual

ITM

= 1,000[0,03420007]

n

= 18/30

ITM

= S/. 34.20

TAMN, TAMEX, TIPMN, TIPMEX A partir del 11 de marzo de 1991 el BCRP utiliza la siguiente terminología para las operaciones activas y pasivas que efectúan las entidades del sistema financiero nacional: -

TAMN: tasa activa en moneda nacional.

-

TAMEX: tasa activa en moneda extranjera.

-

TIPMN: tasa de interés pasiva en moneda nacional.

-

TIPMEX: tasa de interés pasiva en moneda extranjera.

Las tasas activas se expresan en términos efectivos y las tasas pasivas en términos nominales con una frecuencia de capitalización determinada, de acuerdo con el tipo de operación realizada. Los ahorros capitalizan mensualmente y los depósitos a plazo capitalizan diariamente. Para poder ver las tasas mencionadas vea la dirección de la Superintendencia de Banca y Seguros.

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Tasa efectiva en soles de depósitos en moneda extranjera (dólares) La rentabilidad o pérdida (rentabilidad negativa), originados por los depósitos de moneda extranjera en el sistema financiero, específicamente el dólar norteamericano, está en función de la tasa de interés que se perciba por la colocación de los dólares y la devaluación o revaluación del sol con relación a esa moneda. La rentabilidad total implica el siguiente circuito: -

Capital inicial en moneda nacional

-

Conversión de la moneda nacional en moneda extranjera a través de su compra al tipo de cambio de venta de los bancos.

-

Depósito del capital inicial en moneda extranjera en una entidad financiera, ganando una tasa de interés.

-

Percepción de los intereses en moneda extranjera.

-

Retiro de la institución financiera del monto en moneda extranjera y su conversión a moneda nacional, venciéndola al tipo de compra de los bancos.

-

Comparación del capital inicial y final en moneda nacional durante el período que ha durado la transacción, para obtener el interés y la tasa de interés percibidos.

El cálculo de la tasa efectiva en moneda nacional de un depósito en moneda extranjera, incluye la tasa efectiva ganada en moneda extranjera y la tasa de devaluación de la moneda nacional (la evaluación es una tasa efectiva), y se efectúa con la siguiente fórmula: TE TE

= (1 + i = [(1 + i

ME )

(1 + tasa dev n*

ME )

MN )

– 1 , o también:

( TC n /TC o )] – 1

Si el tipo de cambio disminuye en la fecha de venta de la moneda extranjera, con relación a la cotización en que se compró dicha moneda, las transacciones pueden originar pérdida en moneda nacional. Ejemplo 10 El 3 de enero la empresa El Grande S.A.C. invirtió S/. 15,000 comprando dólares americanos a un tipo de cambio de S/. 3.40 importe que depositó en el Banco de Crédito ganando una TEA del 7%. El 22 de enero cuando el tipo de cambio era de S/.3.50 canceló su cuenta, ¿cuál fue la rentabilidad: a) del período, b) la rentabilidad proyectada del mes? c) compruebe la rentabilidad obtenida.

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Solución: a.

Rentabilidad del período (19 días). [(1 + 0,07)19/360][3.50/3.40] – 1 = 0,033094234 = 3.31%

b.

Rentabilidad mensual. (1 + 0,033094234)30/19 -1 = 0,052752345 = 5.28%

c.

Comprobación de la rentabilidad. Fecha 03-01 03-01 22-01 22-01 22-01

Operación Importe inicial MN Importe inicial ME 15,000/3.40 Interés ME 4411.76[1.0719/360-1] Importe final ME Importe final MN 4427.54*3.50

S/. 15,000.00

4,411.76 15 .78 15,496.39

Tasa efectiva en MN de 19 días

$

4,427.54

3.31%

Ejemplo 11 El 22 de enero una persona invirtió S/. 80,000 comprando dólares americanos a un tipo de cambio de S/. 3.43. El importe fue depositado en el Nuevo Banco ganando una TEA del 7%. El 23 de febrero, por necesidades de liquidez debe cancelar su cuenta y vender su moneda extranjera al tipo de cambio de S/. 3.40 vigente en esa fecha. ¿Cuál fue la rentabilidad: a) del período?, b) la rentabilidad proyectada del mes? c) compruebe la rentabilidad obtenida. Solución: a.

Rentabilidad del período (32) días. = [(1 + 0,07)32/360] [3.40/3.43] –1 = - 0.002766892 = -0.28%

b.

Rentabilidad mensual. = (1 – 0.002766892)30/32 -1 = -0.002594186 = -0.26%

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c.

Comprobación de la rentabilidad. Fecha 22-01 22-01 23-02 23-02 23-02

Operación Importe inicial MN Importe inicial ME 80000/3.43 Interés ME 23323.62[1.0732/360-1] Importe final ME Importe final MN 23464.31* 3.40

S/.

$

80,000.00

23,323.62 140.69 23,464.31

79,778.65 Tasa efectiva en MN de 32 días

-0.28%

Ejemplo 12 Calcule la TEA en soles, de un Certificado Bancario de Moneda Extranjera (CBME) que paga una TNA del 8% con capitalización mensual suponiendo una devaluación promedio mensual del 2%. Solución: TEA = [(1 + 0,08/12) (1 + 0,02)]12 -1 = 0,373505238 = 37,35%

Tasa discreta y continua La tasa discreta supone períodos de capitalización cada cierto período de tiempo, tal como ocurre en el sistema financiero, donde el período más pequeño de capitalización es un día, aplicable a los depósitos a plazo, mientras la tasa continua supone una capitalización instantánea. Los procesos de capitalización continúan o instantánea, utilizados en ingeniería económica, no son aplicables en el campo financiero. De todos modos las diferencias entre una capitalización diaria con una horaria, o instantánea es casi imperceptible.

Tasas explicitas e implícitas La tasa explícita es una tasa anunciada en las operaciones mercantiles y financieras. La tasa implícita o tasa de retorno no figura expresamente en la operación financiera o mercantil, pero está oculta en el costo total cuando se compran un precio de contado con un precio de crédito generalmente más elevado. De acuerdo al tipo de información disponible la tasa implícita se calcula con las diversas fórmulas de tasas de interés, o con el principio de equivalencia financiera.

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Ejemplo 18 Calcular la tasa implícita mensual de un artículo cuyo precio de contado contra entrega es de S/. 1500 y su precio de contado comercial al 45 días es de S/. 1613,90. Solución: (30/45)

i = 1 613,90

- 1

* 100 = 5%

1500

Tasa de interés legal De acuerdo al art. 1244 del Código Civil, la tasa de interés legal es fijada por el BCRP. Cuando deba pagarse interés, sin haberse fijado la tasa, el deudor debe abonar el interés legal. A partir del 16 de septiembre de 1992 la tasa de interés legal efectiva para las diferentes operaciones son las siguientes:

Moneda Nacional a.

Operaciones no sujetas al sistema de reajuste de deudas: 1 vez la TIPMN. La TIPMN es la tasa promedio ponderado de las tasas pagadas sobre los depósitos en moneda nacional, incluidos aquellos a la vista, por los bancos y financieras.

b.

Operaciones sujetas al sistema de reajuste de deudas: la tasa efectiva será calculada de forma tal que el costo efectivo de estas operaciones, incluido el reajuste, sea equivalente a la tasa señalada en el punto I a).

c.

Depósitos en consignación en el Banco de la Nación: 1 vez la TIPMN. La tasa de interés legal en moneda nacional está expresada en términos efectivos mensuales y será publicada diariamente por la SBS en el diario oficial el Peruano.

Moneda Extranjera a.

Dólares de los Estados Unidos de América: 1 vez la TIPMEX. La TIPMEX es la tasa promedio ponderado de las tasas pagadas sobre los depósitos en moneda extranjera, incluidos aquellos a la vista, por los bancos y financieras. Para el cálculo del interés legas de las monedas extranjeras distintas al dólar de los Estados Unidos de América se hará la conversión a esa moneda y se aplicará 1 vez la TIPMEX.

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b.

Depósitos en consignación en el Banco de la Nación: 1 vez la TIPMEX. La tasa de interés legal en moneda extranjera está expresada en términos efectivos anuales y será publicada diariamente por la SBS en el diario oficial El Peruano.

Para el cálculo de los intereses legales se aplicarán los factores acumulados correspondientes al período computable, establecido por la SBS.

Tasas usadas en el sistema financiero internacional 1.

PRIME RATE.- Es la tasa de interés preferencial que se cobra a los mejores clientes en las operaciones de crédito en los mercados financieros de los Estados Unidos.

2.

LIBOR (London Intebank Offering Rate).- Es la tasa de interés preferencial que se cobra en las operaciones de crédito interbancario en el mercado de Londres.

3.

TIBOR (Tokio Interbank Offering Rate).- Es la tasa de interés preferencial que se cobra a los mejores clientes en las operaciones de crédito en los mercados financieros de Japón.

Para ver los datos de estas tasas de interés internacionales, vea en internet estas tasas actualizadas a la fecha de estudio., ya que estas cambian periódicamente.

15

Análisis de las variables económicas Índice de precios al consumidor (IPC) EL IPC es un indicador económico que muestra la variación en los precios de un conjunto de bienes y servicios (Canasta Familiar) que consume habitualmente un grupo representativo de familias de diversos extractos socio - económicos.

Datos básicos para la obtención del IPC a.

La composición de la Canasta Familiar.

b.

Los precios promedio de cada bien o servicio del año base, el cual conviene sea el más cercano posible a la oportunidad en que se efectuó la Encuesta de Hogares.

c.

Los precios promedios captados mensualmente de todos los bienes y servicios que conforman la canasta.

Canasta familiar Es el conjunto de bienes y servicios representativos del gasto de consumo de los diferentes extractos socio - económicos de la población.

CAPíTULO

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Estratificación de la canasta familiar La estratificación nos permite una mejor representatividad de la muestra, en el caso del IPC, nos asegura una buena representatividad de los precios de los bienes "servicios que consumen los tres extractos de la población de acuerdo a sus ingresos: familias de bajos ingresos, de ingresos medianos y relativamente altos ingresos; medianos y relativamente altos ingresos; para Lima estos representan el 49%, el 35% y el 16% respectivamente".

Gasto de consumo de los hogares Para efectos del IPC, los Gastos de Consumo de los Hogares, son aquellos destinados a la adquisición de bienes y servicios para satisfacer las necesidades de las familias, se excluyen los gastos destinados a la formación bruta de capital.

Estructura de la canasta familiar La información obtenida a través de la Encuesta de Hogares, se clasifica en 8 Grandes Grupos, 32 Grupos, 53 Subgrupos, 169 Rubros y 527 Variedades.

Cálculo del IPC El INEI utiliza la fórmula de Laspeyres para el cálculo del IPC; la fórmula clásica de representarla es:

It

¦P Q ¦P Q n

o

o

o

x100

Donde:

PO QO Pn

:

Precio promedio del período base (o)

:

Cantidad promedio del período base

:

Precio promedio del período de estudio (n)

La inflación y su medida La inflación La inflación se define como el aumento continuado y sostenido en el nivel general de los precios de los bienes y servicios de una economía. Sin embargo, en sentido estricto el alza de los precios es la consecuencia de la inflación y no la inflación misma.

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La inflación es el aumento del circulante (cantidad de dinero que, maneja el país) sin un crecimiento correspondiente de bienes y servicios. Es el resultado del desequilibrio entre lo que una sociedad produce y lo que ella exige. Los precios en inflación no varían simultáneamente en una misma dirección o proporción. Si esto sucediera, la inflación no perjudicaría a nadie y no habría interesados en mantener la inflación. La inflación es un estado de guerra económica en el cual tos precios aumentan en forma desigual y cada grupo pretende favorecerse a costa de los grupos restantes sin conseguir una ventaja permanente como resultado de las variaciones en los precios relativos y en los gastos totales. La inflación produce cambios definidos y característicos tanto en la producción total como la distribución de la renta.

Grados de inflación Se presentan diversos grados de inflación: a.

La inflación ligera: cuya tasa fluctúa del 1 al 9%

b.

La inflación ordinaria o inflación de doble dígito que se caracteriza porque los precios se elevan constantemente, pero sin llegar a los límites de una inflación incontrolada.

c.

La hiperinflación o inflación galopante es aquella en que el poder adquisitivo del dinero se deteriora enormemente y el alza de precios se vuelve incontenible. Se cita como ejemplo típico el caso de Alemania a fines de 1923 cuando una caja de fósforos costaba un mil millones de marcos.

Teorías explicativas de la inflación La inflación admite importantes variaciones y cada una de ellas exige su propio diagnóstico y tratamiento. Si deseamos entrar al análisis de las causas de la inflación según la mayoría de los autores debemos hacer una distinción de los distintos tipos de inflación. Normalmente se mencionan: la inflación de demanda, la inflación de costos, la inflación estructural y la inflación importada. En ninguno de los casos se pretende un desarrollo teórico de estos temas, sino una breve descripción general o referencial de los mismos. Asimismo, veremos cómo en el contexto latinoamericano este fenómeno tiene sus propias características.

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Inflación de demanda Se origina cuando la demanda global de la economía excede a la capacidad de oferta del sistema productivo, trabajando a plena capacidad. Las razones del exceso de demanda pueden ser: a.

Un cambio de hábito de la población, lo cual se traduce en la disminución del nivel de ahorro acostumbrado.

b.

Inversiones excesivas para el aparato productivo

c.

Un déficit presupuestal financiado con emisión monetaria inorgánica o sin respaldo.

La característica fundamental de la inflación de demanda es el auge inflacionista que implica la superabundancia del poder de compra con respecto a la oferta global y plena utilización de la capacidad productiva. En otras palabras, no pueden existir inflación de demanda con capacidad de planta ociosa. El aumento de precios se asocia generalmente a un aumento de la ocupación. Cuando la inflación es ligera, las ruedas de la industria se engrasan bien y la producción total aumenta, la inversión particular es más activa y hay numerosos empleos. La inflación de demanda origina una redistribución de ingresos a favor de las empresas que trabajan en el mercado interno en perjuicio de tos asalariados, lo cual queda neutralizado en parte por el auge de la economía. Los remedios para la inflación de demanda son, convencionalmente dos: recortar la demanda global de la economía y/o incrementar la oferta del aparato productivo.

Inflación de costos Según ésta teoría, la causa de la inflación es el aumento de precios de los bienes y servicios que se fijan al margen de los mecanismos del mercado. Generalmente se da por aumentos monopólicos u oligopolios de algunas empresas, fundamentalmente de las que producen bienes cuya demanda es inelástica a los cambios de precios. Factor inflacionario importante son las alzas salariales que superan el eventual incremento de la productividad de las empresas y originan una elevación del nivel general de los precios. La inflación de costos se da principalmente en los países industrializados tal como Inglaterra. En definitiva, bajo éste tipo de inflación no hay exceso de demanda, ésta es igual o más baja que la capacidad productiva de la economía y en la mayoría de los casos va asociada con una recesión.

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La distribución de ingresos se da momentáneamente a favor del sector cuya decisión determinó el alza de precios.

Inflación estructural La inflación resulta de características propias a las estructuras de la economía en desarrollo. Antes que la demanda global supere a la oferta real de la economía se producen cuellos de botella en el sistema productivo o estrangulamiento en el abastecimiento de ciertos bienes. Es similar a la inflación de demanda, la gran diferencia radica en que se origina por el exceso de demanda sobre la oferta restringida a un solo bien o producto específico. La distribución del ingreso se da a favor del sector o grupo que posee el bien escaso o creador del estrangulamiento dentro de la economía, cuyos integrantes manipulan sus respectivos precios y cantidades, que están determinados de ésta forma, únicamente por el lado de la oferta. Si aplicamos indistintamente los remedios para una inflación de demanda introduciremos recesión al sistema, sin percatamos que el estrangulamiento es un rubro critico de la economía para el cual no se dio tratamiento alguno. Este fenómeno se denomina "stangfiación", situación económica en el cual coexisten la recesión productiva y el alza acumulativa de los precios. Las soluciones ortodoxas que identifican la inflación como un exceso de la demanda no permiten visualizar el cuello de botella sobre el cual actúan. Las políticas monetarias restrictivas obedecen a una intención clara de contrarrestar la demanda y por ende disminuir la inflación, la cual a su vez propicia una mayor recesión y especulación. Seguramente por ésta razón es que están surgiendo nuevas corrientes de pensamiento que sugieren que la solución para conseguir controlar la inflación se busque a través de la oferta en vez de la demanda. Es decir, de la producción en vez del consumo.

Inflación importada Es el aumento en el nivel general de los precios que tiene su origen en el intercambio de operaciones del país con el exterior. A su vez, ésta puede ser de dos tipos: 1.

Inflación importada de demanda.- Es la inflación producida por un saldo positivo en la balanza de pagos, que se traduce en un exceso de la oferta de divisas sobre el mercado de cambios. El Banco

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Central, con el objeto de mantener inalterado el tipo de cambio (impedir una reevaluación de la moneda nacional ), debe adquirir dicho exceso de oferta, introduciendo una mayor liquidez en el mercado interno. 2.

Inflación Importada de costos.- Es aquella inflación originada por el aumento de los precios de los bienes y servicios importados, lo cual origina una elevación de los costos de producción al interior del país.

Cálculo de la tasa de inflación Variaciones temporales (variaciones de inflación) El cálculo de la variación de la inflación se puede establecer desde varios puntos de vista, según el periodo que se intenta analizar: variación mensual, variación acumulada, y ritmo inflacionario (llamada también tasa media mensual de crecimiento de los precios o ritmo promedio mensual). -

VARIACIÓN MENSUAL.- El objetivo de éste cálculo es determinar el porcentaje de incremento o decremento de precios registrado entre un mes cualquiera y el inmediato anterior. Formula básica.



Donde: - rQ = Inflación Mensual. - IPCn = índice de Precios al Consumidor del mes "n". - n

= Mes de referencia.

- n -1 = Mes inmediato anterior al mes de referencia. Ejemplo: Hallar la variación porcentual mensual de la inflación del mes de Diciembre de 1989, si se sabe que IPC Dic’89 = 277.12 y IPC Nov’89 = 207.17. IPC Nov’89 Set.

QDic '89

-

VARIAC.(%) Dic '89

Oct.

IPC

Dic’89

Nov. Dic.

ª 277.12 º «¬ 207.12  1»¼ x100 33.8%

VARIACIÓN ACUMULADA.- El análisis de la inflación implica lograr conocer su evolución en periodos mayores de un mes, con el propósito de estudiar el grado de avance o acumulación de dicho fenómeno a lo largo del año.

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a. En Base a Números índices.

º ª IPCn Q ACUM (%) «  1» x100 ¬ IPCm1 ¼ Donde:

Q ACUM = inflación Acumulada IPC n = IPC del último mes IPCm1 = IPC del mes anterior, al inicio del tramo de estudio

b. En Base a Variaciones Mensuales.

1  Q ACUM

(1  Q1 )(1  Q2 )(1  Q3 )..........(1  Qn )

1  Q ACUM

S 1  Q j n

j 1

ªn º Q ACUM (%) « S 1  Q j  1» x100 ¬j 1 ¼

Ejemplo 1: Calcular la inflación acumulada entre Enero y Marzo del ‘90, si se sabe que IPC mar’90 = 622.90, IPC dic'89 = 277.12 e IPC Ene‘90 = 359.71 Solución: 1989 Nov

1990

Dic

Ene.

m-1

m

Feb. Mar. n

ª 622.90 º Q ACUM E  M '90 (%) VARIAC.(%) Acum.Mar.90 / Ene.90 «  1 x100 124.8% ¬ 277.12 »¼

Ritmo inflacionario Tasa media mensual de crecimiento de los precios o ritmo promedio mensual.- El ritmo inflacionario se define como la tasa de crecimiento del nivel general de precios de los bienes y servicios en un período dado. La magnitud del período relativo puede ser de 12 meses, los primeros meses de lo que va del año, o los últimos 3 meses del año, todo depende del criterio de análisis de quién realiza el cálculo. Si necesitamos identificar el ritmo inflacionario mensual del primer trimestre de 1990, debemos tener en consideración que solo se trata de hallar el promedio geométrico en éste caso las tasas inflacionarias de Enero, Febrero y Marzo.

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a.

En Base A Números Índices: IPCn 1 IPCm1

Q ACUM

ª «n «¬

Qi (%)

1  Q ACUM

IPCn IPCm1

1  Qi n

§ IPCn · º ¨¨ ¸¸  1» x100 © IPCm1 ¹ »¼

Donde: Qi n IPC n IPC m-1

b.

= Ritmo inflacionario o tasa media mensual = Numero de periodos = IPC del ultimo mes = IPC del mes anterior al inicio del tramo de estudio

En base a Variaciones Mensuales: Sabemos:

1  Q ACUM 1  Q1 1  Q2 .................1  Qn Si: Q1

Q2

Q3

..................Qi

1  QACUM 1  Qi n Luego:

1  Qi n 1  Q1 1  Q2 ....................1  Qn

Qi (%)

> 1  Q 1  Q  ........  1  Q  1  Q 1@x100 1

2

j

n

Donde: Qi = N = Qj =

Ritmo Inflacionario Número de Periodos Inflación periódica

Ejemplo: Determinar el ritmo inflacionario del primer trimestre de 1990. Si se sabe que: a.

El IPC de Marzo del '90 fue 622.90, el IPC de Enero del '90 fue 359.71 y el IPC de Diciembre del '89 fue 277.12

b.

Si la inflación de Enero del '90 fue del 29.8%, la inflación de Febrero del 90 fue 30.5% y la inflación de Marzo del '90 fue 32.6%

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Solución: a. Qi (%)

ª 622.90 º  1» x100 30.9% «3 ¬ 277.12 ¼

b. Qi (%)

> 1  0.298  1  0.305 1  0.326  1@x100 3

30.9%

Tasa de interés real o constante Las tasas de interés, estudiadas hasta ahora, han obviado el efecto de la inflación, considerando el valor nominal de nuestra moneda sin tener en cuenta la pérdida del poder adquisitivo por el incremento generalizado de los precios de los bienes y servicios. La tasa real pretende medir en qué grado la inflación distorsiona los costos o rentabilidades nominales, quitando a la tasa efectiva el efecto de la inflación. La tasa real r es una tasa de interés a la cual se le ha deducido el efecto de la inflación. Si conocemos la tasa de interés i y la tasa de inflación f, podemos calcular la tasa real, corrigiendo la tasa de interés deflactándola de la inflación del siguiente modo: 1+r= 1+i 1+ (1 + r)(1 + ) = (1 + i) 1+

+r+r =1+i r+r

=i–

r(1 + ) = 1 – r = (i – ) (1 + ) La fórmula es equivalente a:

r = (1 + i ) - 1 (1 + )

{1 + i) 4- lo que el banco oferta como pago de tasa de interés

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1 +1i) i ,/ to que el Banco (1  ir ) (1 ——— 1  Q= (1 + i«) realmente paga como (1 + Q) tasa de interés 1 i 1 Q iQ o ir 1 1 Q 1 Q

Donde:

f i = Tasa de interés Efectiva (cuando interviene la Q, ésta se convierte en nominal} Q = Tasa de Inflación periódica (del mismo período que i) i a = Tasa de Interés Real o Constante

La Q puede ser una variable de dos tipos:

Q

Ex - Post (a posteriori)

Después que sucedió / costo real

Ex - Ante (a priori)

Estimada / toma de decisiones

Ejemplo 13 Calcule la tasa real bimestral aplicable a un depósito de ahorro de S/. 2,000 colocado el 1 de abril a una TEM del 1,5% si las inflaciones fueron del 2% y 3% para cada uno de los dos meses respectivamente. Solución: -

Cálculo de la tasa de interés bimestral. i 60 días = 1,0152 – 1 = 0,030225

-

Cálculo de la inflación bimestral. 60 días

-

= (1,02)(1,03) –1 = 0,0506

Cálculo de la tasa real bimestral. r = 0,030225 - 0,0506 = - 0,019393679 = -1,94% 1,0506

El ejemplo expuesto podrá interpretarse como si el 1 de abril decidimos anular una decisión de inversión en un activo determinado, cuyo costo fue de S/. 2,000 (al que coincidentemente le ha afectado el índice inflacionario calculado por el INEI), por el de ahorrar dicha suma en un banco cuya tasa nominal pasiva del 18% es capitalizada mensualmente. Así el 1 de junio, fecha del retiro del principal más los intereses generados, se habrá producido lo siguiente:

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Operación

01-04

Precio del activo Depósito

2000 2000

Incremento 101.20

Interés

01-06

60.45

S/.21,01.20 S/. 20,60.45

Pérdida de poder adquisitivo al 01-06: -40.75/2101.20

- 40.75

Bajo las condiciones expuestas si el 1 de junio quisiéramos adquirir el activo cuya compra postergamos el 1 de abril, costará S/. 2 101,20 (precio original incrementado en 5,06% por inflación), entonces el depósito inicial ya capitalizado de S/. 2 060,45 representaría sólo el 98,06% del valor actual del activo, con lo cual se habría perdido 1,94% en términos de poder adquisitivo. En general, tradicionalmente, en nuestro país las tasas pasivas en términos reales han sido, ya que la inflación generalmente ha superado a la tasa de retribución al ahorrista, en cualquier modalidad; situación que induce a la protección de la pérdida de poder adquisitivo a través de otros mecanismos como son: la dolarización, especulación, banca paralela, Mesa de Negociación, etc. Ejemplo 14 Calcule el costo real de un préstamo pactado a una tasa efectiva anual del 20%, considerando una inflación para el mismo período del 18%. Solución:

=? = 0,2 = 0,18

r

=?

i

= 0,2

f

= 0,18

r = (i -

r = (i -

) = (0,2 - 0,18) = 0,016949152 = 1,69%

(1 + ) 1,18 ) = (0,2 - 0,18) = 0,016949152 = 1,69%

(1 + )

1,18

Ejemplo: Un pagaré con vencimiento dentro de 45 días fue descontado a una TEM del 4%. Si la inflación del primer mes fue del 3,5% y la del segundo mes fue del 4%, ¿cuál fue la tasa real pagada por dicho crédito? Solución: -

Cálculo de la tasa de interés efectiva de 45 días: i = 1,0445/30 – 1 = 0,060596059

-

Cálculo de la inflación de 45 días: = (1,035)(1,0415/30) - 1 = 0,05549704

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-

Cálculo de la tasa real bimestral: r = (i - )

= (0,060596059 - 055497039) = 0,004830918 = 0,48%

(1+ )

(1,055497039)

Ejemplo: ¿Qué tasa de inflación mensual debe producirse para conseguir una tasa real mensual del 2%, en un depósito de ahorro que para una TNA del 36% con capitalización mensual? Solución: Reemplazando tenemos: r = (i – )

= (i - r)

(1 + )

(1+ r)

= 0,98% = (0,03 - 0,02) = 0,009803921 (1 + 0,02)

Tasa de interés ajustada por inflación o tasa de interés corriente Usaremos una de la siguientes fórmulas para el calculo de la tasa de interés ajustada por la inflación. i=r+r +

ó

i = (1 + r) (1 + )

¿Qué tasa de interés ajustada por inflación (tasa inflada) debemos aplicar hoy a una operación, si no queremos perder poder adquisitivo por efectos de una determinada inflación proyectada, desde el momento en que una persona efectúa una financiamiento, hasta el vencimiento del plazo pactado? Debemos darle a r un valor positivo.

(1 + ¡ r)

lo que el ahorrista o Inversionista Demanda ganar realmente

(1+i r )(1+Q) = (1+i Q ) (1 + i Q ) = (1 + i R ) (1 + Q)

(1 + ¡ r)

lo que el ahorrista o Matemática Financiera Inversionista Programa de Computación, Diseño y Extensión Demanda ganar realmente

(1+i r )(1+Q) = (1+i Q ) (1 + i Q ) = (1 + i R ) (1 + Q)

I Q = (1 + I R ) (1 + Q) -1 IQ = IR + Q + IR . Q R

Donde:

Tasa de interés ajustada por inflación Tasa de interés Real o Constante Tasa de inflación periódica (del mismo período que i

R)

Ejemplo Si dispongo de S/. 3 000 y quiero ganar realmente 5% mensual ¿a qué tasa ajustada por inflación debería colocar ese capital proyectado una inflación del 4%? Compruebe la operación. Solución: i =? r = 0,05

i = r+r

= 0,04

+

i = 0,05 + (0,05) (0,04) + 0,04 i = 0,092

Comprobación: Monto corriente :

S/. 3 000 x 1,092 = S/. 3,276.00

Monto real

:

S/. 3 276/1,04

Tasa real

:

S/. 3,150 / S/. 3,000 – 1 = 0,05 = 5%,

= S/. 3,150.00

El inversionista ha recibido a fin de mes 3 276 que deflactado por la inflación es igual a 3276/1,04 = 3150 el cual representa el 5% de rentabilidad real.

Tasa efectiva en moneda nacional de depósitos en extranjera La rentabilidad o pérdida (rentabilidad negativa), originados por los depósitos de moneda extranjera en el sistema financiero, específicamente el dólar norteamericano, está en función de la tasa de Interés que se perciba por la colocación de los dólares y la devaluación o revaluación del Nuevo Sol en relación a esa moneda.

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La rentabilidad total implica el siguiente circuito: -

Capital inicial en moneda nacional.

-

Conversación de la moneda nacional en moneda extranjera a través de su compra al tipo de cambio de venta de los bancos.

-

Depósito del capital inicial en moneda extranjera en una entidad financiera, ganando una tasa de interés.

-

Percepción de los intereses en moneda extranjera.

-

Retiro de la institución financiera del monto en moneda extranjera y su conversación a moneda nacional, vendiéndola al tipo de cambio de compra de los bancos.

-

Comparación del capital inicial y final en moneda nacional durante el período que ha durado la transacción, para obtener el interés y la tasa de interés percibidos.

El cálculo de la tasa de interés efectiva en moneda nacional de un depósito en moneda extranjera, incluye la tasa de interés efectiva ganada en moneda extranjera y la tasa de devaluación de la moneda nacional (la devaluación es una tasa efectiva), y se efectúa con la siguiente fórmula: S/

$

j) (1 + dev) (I + S/ j) =(I(1++ $j)j)=(1(1++dev)

Pero:

ª TC n º ª TC n º dev » « 1 »  1 dev Pero: « ¬ TC o ¼ ¬ TC o ¼

Donde: Donde: s/ $j Dev TC n TC o

s/ Tasa de Interésen efectiva enNacional(MN), Moneda Nacional(MN), de un = Tasa de=Interés efectiva Moneda de un depósito enExtranjera. Moneda Extranjera. depósito en Moneda $j Tasa de Interésen efectiva enExtranjera Moneda Extranjera (ME). = Tasa de=Interés efectiva Moneda (ME). Dev = Tipo de devaluación de la moneda Nacional. = Tipo de devaluación de la moneda Nacional. TC n de=cambio Tipo definal cambio de undado. periodo dado. = Tipo de unfinal periodo TC = Tipo de cambio Inicial de un periodo dado. o de cambio Inicial de un periodo dado. = Tipo

En general:

(1  i MN )

(1  i ME )(1  dev MN )

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Cálculo bancario y comercial La Matemática Financiera, es álgebra aplicada a los negocios y la economía. Esta herramienta la prepara El Matemático quien en base a un razonamiento lógico, desarrolla un conjunto de fórmulas útiles en el campo financiero. Por ello se habla de: CÁLCULO RACIONAL O MATEMÁTICO Pero, ocurre que los dos personajes que en la vida de los negocios y la economía, nos dan préstamos y créditos, son: el Banquero y el Comerciante. Estos personajes distorsionan el herramental preparado por el Matemático. El Banquero, con el llamado “Interés Adelantado” El Comerciante, con el llamado “Interés Horizontal” Por eso, en la práctica se oye hablar de CALCULO BANCARIO y de CALCULO COMERCIAL, que se diferencian del CALCULO RACIONAL, en la tasa de interés. Con calculo Bancario y Calculo Comercial, manejando las llamadas tasas nominales anuales, la tasa verdadera es mayor que la tasa anunciada. Con cálculo racional la tasa verdadera es igual a la tasa anunciada.

CAPíTULO

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Con respecto al CÁLCULO BANCARIO: NO EXISTE EL INTERÉS ADELANTADO Lo que existe es una mayor tasa de ganancia, encubierta bajo la expresión de cobrarse los intereses “por adelantado” Tan es así, por ejemplo, en las inversiones en proyectos, jamás escuchara decir a un analista: “Tengo un proyecto con una tasa interna de rendimiento adelantado del ____% anual” Con respecto al CÁLCULO COMERCIAL No le reconocen las amortizaciones y los intereses son constantes, horizontales En ninguna entidad financiera, ni comercial en ninguna parte del mundo esta en la obligación de rebelarle al cliente su verdadera tasa de ganancia que, al mismo tiempo, es la tasa de costo del cliente Los ejecutivos de los bancos y comercios no tienen tiempo para explicarle a cada cliente el costo del capital que esta llevando en uso. De modo que para saber la verdad hay que saber: MATEMÁTICAS FINANCIERA en versión: Calculo Racional o Matemático.

MATEMATICAS FINANCIERA

CALCULO RELACIONAL

CALCULO BANCARIO

CALCULO COMERCIAL

CON TASA NOMINAL ANUAL

CON TASA NOMINAL ANUAL

CON TASA NOMINAL ANUAL

CON TASA EFECTIVA ANUAL

CON TASA EFECTIVA NUAL

CON TASA EFETIVA ANUAL

Análisis de préstamos y créditos Con Tasa Nominal Anual Veamos lo que hacen todos los Bancos de todo el Mundo Suponga que usted empresario, va a su banco y solicita un préstamo de S/. 2400 por el plazo de 1 mes. En el banco le dicen que cobran 93% nominal anual.

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Lo primero que hace el banco es calcular el Interés. Para eso, necesita una tasa mensual, por cuanto el plazo es un mes. ¿Se tiene ya una tasa mensual? ¡No! Lo que tenemos es una tasa anual. ¿Y, esa tasa anual, ¿Qué es, nominal o efectiva? Es, nominal Ah!! Entonces, solo divida: imensual Entonces calcula su Interés: I

93% x30dias 360

P.i Ÿ I

93% 12

7.75%

2400 X 0.0775 186

Hasta aquí, no hay nada nuevo. Pero, que tal si escribimos: 0.0775

186 2400

ni

186 pp

Presentada así la relación, ¿acaso no sabemos que, si disminuye P, entonces aumenta i? Cuanto menos plata se le de al empresario, el banco aumenta su tasa de ganancia. Que tal si el banco, le da solamente 1000 de los 2400 solicitados. Su tasa aumentaría a [186 : 1000 x 100] = 18.6% Que es mayor que, 7.775% Pero…, aquí viene el pero ¿Cómo sustentarle al empresario tremenda deducción de 1400? El banco no podría hacerlo ni lo hace. Serie un TREMENDO ABUSO (Los españoles hablan de Cálculo Bancario o Abusivo) Ah!!..., pero el banco, de todas maneras quiere sacarle al cliente una tasa mayor, aunque sea un poquito mas. Entonces hace esto: i

186 2400  186

186 2214

0.08401084 8.40%

Le da al empresario solamente $ 2214 y, cuando este reclame, ¿de donde resulta la deducción $ 186? Le dicen es el Interés: I=2400 x 0.0775 = 186 Solo que el banco, se le cobra por adelantado…., Y AHÍ QUEDA. El Valor Nominal del Pagare (*) es $ 2400

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El interés adelantado I=186

S=2400

0

j=93% anual

j

P = 2400 I = -186 P neto = 2214

i

1 mes

93% anual j 93% 7.75% mensual m 12

Verificación de la tasa: ¿Se cumplirá la tasa anunciada?

186 2214

i

0.08401084 8.40% ! 7.75%

Vea que NO se cumple la tasa de interés anunciada 7.75% Podríamos decir que:

8.40% es Tasa Verdadera y



7.75% es Tasa Mentirosa

Pero, como la palabra “mentirosa” suena muy fuerte y puede herir la susceptibilidad del banquero; entonces los matemáticos suavizan la situación y dicen: Tasa Nominal. Y, a la tasa “verdadera” se le dice: Tasa efectiva. Es aquí, donde surge “la confusión” cuando nos iniciamos en operaciones bancarias. ¡Como que Nominal!......, dirá usted, ¿No nos dijo antes que es tasa EFECTIVA periódica? ¿Cómo dice mos….!!

J/m

ahora que ahora es Nominal? ¡¡En que queda-

La respuesta es: “La tasa de interés, que es efectiva por definición, deja de serlo, por imposición”. El Banquero, no le hace caso al Matemático. Diagrama según el Matemático

Diagrama según el Banquero

S 0 P I = P.i S=P+I

i

n días

S=P 0

i

I = P.i P´ = P – I P´ = Préstamo Neto

n días

Diagrama según el Matemático

Diagrama según el Banquero

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S 0 P

i

S=P de Computación, Diseño y Extensión Programa

n días

0

I = P.i S=P+I

i

n días

I = P.i P´ = P – I P´ = Préstamo Neto S = P = Préstamo Solicitado Observe que en la banca, el Valor Nominal del Pagare es el mismo importe que el Préstamo solicitado.

El Matemático dice: Déle al cliente lo que ha pedido:

P = 2400

Agregue el interés:

I = 186

Y el Valor Nominal del Pagare debe ser:

S = 2400 + 186 =2586

De este modo, se cumple la tasa anunciada:

i

186 2400

0.0775 7.75%

Relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva dado el interés adelantado Razone así: ¿Cómo salio 0.08401084? ===> Salio así: 0.08401084 =

186 2400  186

Se puede escribir:

0.08401084 =

2400 x0.0775 2400  2400 x0.0775

Se simplifica 2400, y queda:

0.08401084 =

0.0775 1  0.0775

Ahora denotamos: 0.0775 será Tasa Nominal y la denotaremos como: inom 0.084 será Tasa Efectiva y la denotaremos como: ief Así derivamos la siguiente formula: Que los bancos utilizan para saber anteladamente la tasa de interés efectiva que ganaran en una operación a distintos plazos sin necesidad de saber cuánto dinero pedirá un cliente porque, como ha visto, se anula la variable capital.

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inom 1  inom

ief Prestamos

iv

Descuento

iad 1  iad

i

d 1 d

A la tasa nominal, cuando le aplican a los Préstamos, también la llaman Tasa Adelantada: iad A la tasa nominal, cuando le aplican a los Descuentos de Letras, también la llaman Tasa de Descuento: d

inom ief

iad iv

d i

Aplicación A la Tasa Nominal Anual del 93%, calcular la tasa efectiva periódica y las tasas efectivas anuales. Tasas Efectivas Periódicas y Anuales dado el Interés Adelantado Tasa Nominal

Tasa Efec. Pediod. i ief = nom 1 − inom

Tasa Efectiva Periódica

Tasa Efectiva Anual: i i(%)

Tasa Anual j

Periodo (días)

Rotación m

0.93

30 ds

12

0.0775

0.0775 1 − 0.0775

0.93

43 ds

8.372093023

0.11108333

0.11108333 1 − 0.011108333

0.93

90 ds

0.2325

i=188.20%

0.93

120 ds

0.31

i=204.41%

j m

ief

0.08401084

Tasa Efectiva Anual: i

1 + i = (1 + ief ) n

1 + i = (1 + 0.08401084)12

0.124964844 1 + i = (1 + 0.124964844)8.372093023

i=16327% i=168.00%

En los bancos preparan estas tablas desde 1 día hasta 360 días. Para saber anteladamente la tasa efectiva (verdadera) de ganancia en operaciones para distintos plazos dentro del año.

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Observación importantisima: Para calcular la Tasa Efectiva Anual tiene que poner en ( i´ ) la Tasa Verdadera o tasa efectiva. Nunca, la Tasa Nominal o Tasa Mentirosa. Y eso, lo sabe muy bien el banquero. Por eso, antes dijimos, la Tasa Periódica tiene que se Efectiva, para que la Tasa Anual, también sea Efectiva. ¡Así nomás es! Tenga presente este diagrama

inom 1  inom

ief

iv

iad 1  iad

i

d 1 d

iad

iv 1  iv

d

i 1 i

Y recuerde esto: A la tasa nominal, cuando le aplican a los Préstamos, también le llaman Tasa Adelantada: iad A la tasa nominal, cuando le aplican a los Descuentos de Letras, también la llaman Tasa de Descuento: d

i nom i ef

i ad iv

d i

i equiv .

161

162

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En la banca ¿Cómo elevar más la tasa de ganancia?

La comisión de Retención Aparte del interés adelantado. Es la congelación temporal de una parte de la suma abonada en la Cuenta Corriente del Cliente. Usualmente es un porcentaje del préstamo solicitado, otras veces es un porcentaje de lo abonado en Cta.Cte. Ej.: 5%, 10%, 20% Esa plata no se queda con el banco, esa plata es del cliente, solo que no puede utilizarlo HOY, sino después del plazo, cuando quiera. Es como decir: ¡Señor cliente!..., “Usted me a pedido $ 1000, yo banco le abono 950 porque me cobro los intereses de 50 “por adelantado”. Ah…, pero además no podrá usted utilizar HOY los 950 pues un importe del 10% del préstamo solicitado, o sea,$ 100 son suyos, solo que no podrá utilizarlo hasta después del plazo. Su disponibilidad inmediata será entonces $ 850”

La comisión Flat Aparte del interés adelantado, esta si es una ganancia sencillamente adicional del banco, es un porcentaje sobre el préstamo solicitado. Ej.: 2%, 4% Ampliando el ejemplo Préstamo solicitado:

P = 2400Tasa Nominal Anual:

Con Comisión de Retención Ej. 10% del préstamo solicitado

Valor Nominal del Pagare S = 2400

|-----------------|

0 i=7.75% P= 2400 I= -186 R= -240 ----------------Pdisp = 1974 ief

1mes

186 2400  186  240

Con Comisión de Flat

Ej. 3% del préstamo solicitado Valor Nominal del Pagare S = 2400

|-----------------|

0 i=7.75% P= 2400 I= -186 R= - 72 ----------------Pdisp = 2142 9.422% mensual

Verificación solo a nivel de tasas

93%Plazo: 1 Mes

ief

1mes

186  72 12.0448% mensual 2400  1800  72

Verificación solo a nivel de tasa

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ief

0.0775 1  0.0775  0.10

9.422% mensual

ief

0.0775  0.03 12.0448% mensual 1  0.0775  0.03

Resumiendo Fórmulas La Tasa Efectiva Anual (i) a partir de una Tasa Nominal Anual (j)

1 i

(1  i´)n

Donde: i es tasa efectiva para n periodos. i´ es tasa periódica y efectiva

Calculo Racional A interés vencido

j es tanto por uno m es # de periodos en el año Para un periodo de x días : m=360/x

Calculo Bancario A interés adelantado

j/m 1 j / m

i´

Con comisión de retención (r)

i´=j/m

i´

j/m 1 j / m  r

Con comisión flan (cf)

i´

j / m  cf 1  j / m  cf

Observación a la retención: Muy Importante El calculo de la tasa efectiva también puede verse del siguiente modo. Tomemos el ejemplo desarrollado: Diagrama: S = 2400 R = -240 [Devolución] S´ = 2160 [Pago Neto] |------------------------------------------------| 0 1 mes P = 1974

Lo que paga el cliente al final es 2400 – 240 = 2160 esto es verdad por tanto, la tasa efectiva es:

ief

§ 2160 ·  1¸ x100 0.09422 9.422% ¨ © 1974 ¹

Que se puede ver así:

ief

GananciadelBanco DesembolsoEfectivo

163

164

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Que se puede ver así:

(2400  240)  1974 1974

ief

186 1974

9.422%

Queda verificado.

Mas sobre la comisión de Retención y la comisión FLAT Hay Bancos que fijan una Tasa de Ganancia Anual. Aplican, Interés Adelantado, pero además, Retenciones o Comisiones Flat. Entonces, le dan a elegir al cliente, entre un Porcentaje de Retención o un Porcentaje de Comisión Flat. Total, al banco le da lo mismo, siempre obtendrá la tasa efectiva anual prevista. Ejemplo: Un banco maneja una tasa del 93% nominal anual y aplica interés adelantado por el plazo de un mes. Si desea elevar su tasa de ganancia hasta 300% efectiva anual. ¿Cuál es el Porcentaje de Retención (R) o la Comisión Flat (CF) indiferentes para que obtener 300% efectiva anual? Solución: Significa que el cualquier caso, debe obtenerse la misma tasa efectiva mensual:

i (1  3.00)1 / 12  1 0.122462048 CON RETENCION: ief

0.0775 1  0.0775  R

0.122462048

CON COMISION FLAT: ief

0.0775  CF 1  0.0775  CF

0.122462048

De aquí, despejando R:

De aquí, despejamos CF:

0.0775 0.9225  R

0.0775  CF 0.9225  CF

0.122462048

R = 0.289650875

0.122462048

CF = 0.031601281

Verificación: Suponga que un cliente del banco solicita un préstamo de $10 000 por 30 días y el banco aplica la tasa del 93% nominal anual.

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El banco le dice: ¿Qué prefiere? ¿Una retención R=28.9650875%? o ¿Una comisión flan CF=3.1601281%? Con Retención: R=28.9650875% del préstamo solicitado

Con Comisión Flat: CF=3.1601281% del Préstamo solicitado

S=10000 |----------------------------------| 0 i=7.75% 1 mes P = 10000 I = - 775 R = - 2893.51

S=2400 |----------------------------------| 0 i=7.75% 1 mes P = 10000 I = - 775 C = - 316.01

ief

775 0.122462072 10000  775  2896.51

ief

(1.122462072)12  1 3.00 300% anual ief

ief

QUEDA VERIFICADO

775  316.01 0.122461693 10000  775  316.01

(1.122462072)12  1 3.00 300% anual

QUEDA VERIFICADO

El préstamo bruto NO EXISTE EL INTERÉS ADELANTADO y bajo esa expresión, “se esconde” una mayor tasa de ganancia. Como ha visto, por el interés adelantado, el cliente recibe menos dinero que el solicitado. Eso tiende a modificarlo, puesto que su Flujo de Caja le revela que necesita $ 2400 y solo recibe $ 2214. En cambio el Banquero, elevó su tasa de ganancia. Esto hace que los empresarios tiendan a solicitar más plata que la necesaria por cuanto los bancos dan menos. Sin embargo, los mismos bancos podrían razonar así: ¿A que cantidad (X), hay que restarle el interés por adelantado (Iad), para que el cliente reciba lo que pidió?

X  I ad

2400

X  X (0.0775) 2400 X (1  0.0775) 2400 X X

1 1  0.0775 2400(1.08401084) 2400

Observe la parte decimal: Es la tasa efectiva mensual

X

2601.63

Monto Bruto……………………………… 2601.63

165

X X

166

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1 1  0.0775 2400(1.08401084) 2400

Observe la parte decimal: Es la tasa efectiva mensual

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X

2601.63

Monto Bruto……………………………… 2601.63 Menos: Interés = 2601.63 x 0.0775…….201.63 ABONO NETO EN CTA.CTE

2400.00

VERIFICACION DE LA TASA EFECTIVA

i

201.63 2400.00

0.084 8.40% El Banco sube su tasa

Vea que el cliente recibe lo que pidió ¿Dónde esta el interés adelantado? No Existe.

Fórmula para preparar tablas de factores de préstamo bruto (X) Cuando la tasa es nominal anual (J) 1

FACTOR

1  i AdelantadaPeriodica

Donde: i AdelantadaPeriodica

j m

Ejercicio (A): ¿A que cantidad (X) hay que restarle el interés adelantado para que el cliente reciba un préstamo de 10 000 por un mes, si la tasa es 45% nominal anual? X  I ad X – X(

X

10000

10000 ) = 10 000

1 10000 x1.038961 1

LIQUIDACIÓN Monto Bruto: ……………. $ 10 389.61 Menos: Interes: ………… $ ________ Abono Neto: ……………. $ 10 000.00 LA TASA EFECTIVA MENSUAL

ief



3.8961% mensual

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Ejercicio: (B) Una empresa solicita un préstamo de 45,000 dólares por 45 días y el banco maneja una tasa del 12% nominal anual. Calcule: 1.

El Préstamo Bruto.

2.

El interés “adelantado”.

3.

La tasa efectiva anual.

Rptas:

P = 45,685.2

I = 685.28

i = 12.85%

Análisis de descuento de letras: con tasa nominal anual En el Comercio, los creditos se formalizan con papeles o documentos o instrumentos llamados: Letras Comerciales. En la Banca, los préstamos se formalizan con papeles o documentos o instrumentos llamados: Pagares. El Descuento Bancario surge cuando un empresario, que dispone de Letras, necesita dinero HOY y no desea esperar los vencimientos para cobrar lo que le deben. Entonces recurre a un banco, para que le adelante dinero con cargo a las cobranzas de sus Letras. Relación entre el Interés y Descuento: El Matemático vs. El Banquero Descuento (D)

Interés (I) S

|-----------------------------------| 0 (i) 1 periodo P

El interés La tasa de interés (i) se aplica a un Stock Inicial (P) El Interés I = P . i

(1)

El Valor Nominal S = P + I

1(a)

Reemplazando (1) en 1(a) se obtiene: El Valor Liquido P

S

1 1 i

1(b)

Que es la forma racional de descontar Letras. Con 1 (b).

167

168

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El descuento NOTA Los PRESTAMOS BANCARIOS de corto plazo deberian manejarse con las relaciones (1) y 1(a). Eso dice el Matemático, pero el Banquero aplica su famoso interés adelantado.

NOTA

La tasa de descuento (d) surge para aplicarla a un Stock Final (S) D=S.d El Descuento

(2)

El Valor Líquido P=S-D

2(a)

Es el caso del Descuento de Letras 1(SAAS) Reemplace (2) en 2(a): P = S(1 – d) El Valor Liquido

2(b)

Que es la forma bancaria de descontar Letras: pero, se debería calcular: d Hay 2 maneras de calcular (P): Con 1(b) o con 2(b).

Los DESCUENTOS DE LETRAS de corto plazo deberían manejarse con la relación 1(b). Eso dice el Matemático, pero el Banquero utiliza las relaciones (2) y 2(a).

El valor de (P) debe ser el mismo calculando con 1(b) o con 2(b). Una sola es la verdad. Pero, generalmente el Banquero, no calcula la tasa de descuento (d). Así eleva su tasa de ganancia.

Veamos como Calcular (d) Si elige calcular (P) con la relación 2(b), entonces PREVIAMENTE hay que calcular (d), por cuanto la tasa de interés (i) se aplica a un STOCK INICIAL (P) y no a un STOCK FINAL (S). Se debe cumplir la igualdad:

1 1 d 1 i Pues el valor de (P) debe ser el mismo. La VERDAD tiene que ser una sola con 1(b) o 2(b). De donde resulta que:

d

i 1 i

Que debe calcularse previamente para “descontar” Letras. Observación: La expresión (d) que acabamos de deducir forma parte de la secuencia ya expuesta:

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inom 1  inom

ief

iv

iad 1  iad

iad

iv 1  iv

i

d 1 d

d

i 1 i

Por simple despeje

Recuerde que: A la tasa nominal inom cuando le aplican a los Préstamos, también la llaman Tasa Adelantada: iad A la tasa nominal inom cuando le aplican a los Descuentos de Letras, también la llaman Tasa de Descuento: d

i nom i ef

i ad iv

d i

i equiv

Un absurdo del descuento bancario simple ¿Por qué se recurre al Descuento Bancario Compuesto? ¿Por qué, Compuesto y No Simple? Porque el Descuento Bancario Simple nos conduce a RESULTADOS ABSURDOS. ¡Fijese! Si usted tiene una Letra por S/. 5 000 000 pero vence en 2 años. Va a un Banco a “descontarla” cuando la tasa de interés es 60% nominal anual. 1° El Banco calcularía “El Descuento”

D = S .d ==> D = 5000000 (0.60 x 2) = 5000000 x 1.2 = 6000000

2° El Valor Liquido seria NEGATIVO

P = S –D ==> P = 5000000 – 6000000 = -1000000

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¿NO ES ABSURDO, QUE EL BANCO SE QUEDE CON SU LETRA Y ENCIMA USTED TENGA QUE PAGAR S/. 1 000 000 para que “lo dejen salir” del banco? El Descuento Bancario Simple solo funciona a tasas muy bajas de interés y en cortos plazos. En estos casos, el paréntesis de la formula P = S (1 –d) no resulta negativo puesto que d < 1 ¡AHORA, AGUDICE SU CAPACIDAD DE RACIOCINIO! A tasas muy altas en la economía, para evitar d>1 se fracciona la tasa a periodos generalmente mensuales. Así, en la mayor parte de los casos, no ocurre que: d > 1 y el paréntesis se eleva a la “n” porque los bancos “capitalizan” o hacen SUMAS ECONÓMICAS, a su modo. DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PARA CALCULAR CUOTAS FIJAS: A Descuento Bancario Compuesto

R

P

d 1  (1  d ) n

DIAGRAMA TÍPICO: FLUJO ANTICIPADO: Ejemplo de 6 periodos.

Deuda al banco

R R R R R R R |------|------|------|------|------|------| P d

P, es la deuda pendiente en un momento dado y ya hay que iniciar el pago de una R, como se ve en el Diagrama. El problema es determinar (R). Para ello razonamos así: El Flujo de Pagos actualizado a la manera de los bancos, debe estar en ecuación con la deuda pendiente. R  R(1  d )1  R(1  d ) 2  R (1  d ) 3  R(1  d ) 4  R(1  d ) 5

P

Sacando R en factor común:

P

R[1  (1  d )  (1  d ) 2  (1  d ) 3  (1  d ) 4  (1  d ) 5 ]

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El corchete es una Progresión Geométrica: P

R

1(1  d ) 6  1 (1  d )  1

P

R

1  (1  d ) 6 d

==> R

P

d 1  (1  d ) 6

GENERALIZANDO: Por inducción matemática, para “n” periodos: EJEMPLO: Para 3 periodos:

R

P

d 1  (1  d ) n

R

2601.63

0.0775 1  (1  0.0775) 3

R 2601.63x0.36055442 R $938.03 DIAGRAMA: Cuota Interés Amortización

R 938.03

R 938.03

201.63 |--------------------|--------------------|--------------------| 0 1 2 3 P=2601.63 P´=2400.00 2601.63

R 938.03

LAS AMORTIZACIONES: Otra complicación bancaria An

R  P(d ) (1  d ) n

Donde es costumbre en la Banca e Instituciones Financieras NO CALCULAR la Tasa de descuento (d). Después de haber calculado las Cuotas Fijas (R), con la Formula expuesta, proceden a: 1° Calcular las Amortizaciones. 2° Calcular los Intereses, por diferencia, con la Cuota Fija (R). CALCULO DE LAS AMORTIZACIONES:

A1

938.03  2601.63(0.0775) (1  0.0775)1

736.40 (1  0.0775)1

798.27

A2

938.03  2601.63(0.0775) (1  0.0775) 2

736.40 (1  0.0775) 2

865.33

A3

938.03  2601.63(0.0775) (1  0.0775) 3

736.40 (1  0.0775) 3

938.03

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OBSERVACIÓN: El numerador es una constante = 736.40. Solo varía el denominador en el exponente. NADA MÁS. DIAGRAMA: Cuota Interés Amortización

R 938.03 938.03 938.03 201.63 139.76 72.70 798.27 865.33 938.03 |------------------------|------------------------|------------------------| 0 1 2 3 P = 2601.63 P´ = 2400.00 2601.63 1803.36 938.03

Hay que calcular: -

Primero: Las Amortizaciones (A)

-

Segundo: Los Intereses, por diferencia con la Cuota Fija (R). Eso dijimos. Aunque también, puede verificar los intereses así: - (2601.63 – 798.27) 0.0775 = 139.76 - (1803.36 – 865.33) 0.0775 = 72.70 - (938.03 – 938.03) 0.0775 = 0.0

Análisis de créditos comerciales: con tasa nominal anual El Interés Horizontal: Tasa Flat o Directa (La tasa de interés siempre se aplica al crédito otorgado) El Comerciante tiene una manera muy particular de calcular las cuotas fijas por un crédito que otorga y las cuotas generalmente son mensuales. Ejemplo: Sea un crédito de 2400 a devolver en 3 meses a la tasa del 93% nominal anual

La fórmula del comerciante CUOTA MENSUAL =

C

CREDITO  INTERESES N q DeMeses

P  P .i . n n

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CUOTA MENSUAL =

CREDITO  INTERESES N q DeMeses

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P  P .i . n n

C

2400  2400(0.0775)(3) = $ 986 3

C

El costo de un crédito comercial En el Comercio hay 2 PRECIO DE CONTADO: El llamado “de LISTA” y el CASH (este ultimo es el verdadero precio de contado) Ejemplo: Un comerciante vende un artefacto electrodoméstico cuyo precio de contado dice que es $ 1500. Lo entrega con una Cuota Inicial de $ 300 y el Saldo $ 1200 en 24 Cuotas de $ 74 indicando que contiene una tasa de interés del 2% mensual. Dicho comerciante calcula la cuota fija así: C

1200  1200 x0.02 x 24 24

74

Calcule la tasa efectiva mensual. DIAGRAMA:

R = 74 |------------------------------------------------| 0 i =? 24 P = 1200

ANÁLISIS: Para calcular la tasa efectiva se aplica el Calculo Racional. En este caso se aplicara el FAS. OPERACIONES: P

R.FASni

i 1200 74.FAS 24

SOLUCIÓN: i = 0.03407 mensual (i=49.49% efectiva anual) OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE: En el Comercio se estila manejar DOS PRECIOS DE CONTADO: El de LISTA y el CASH. En Precio Cash, es el VERDADERO Precio de Contado, pues es lo que usted pagaría en el momento.

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Suponga que el Precio CASH es $ 1300. Por tanto, el VERDADERO CRÉDITO es: 1300 – 300 = 1000 Ahora, con este conocimiento, calcule la tasa efectiva mensual. DIAGRAMA:

R = 74 |-------------------------------------------------------| 0 i =? 24 P = 1000

1000 74.FAS 24I

SOLUCIÓN; i = 0.05215 = 5.215% mensual (i=84.05% efectiva anual) TABLA RESUMEN DE FÓRMULAS

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Ejercicio resumen Manejo de la Tasa de interés EFECTIVA anual con Cálculo Racional, Bancario y Comercial CALCULO RACIONAL

CALCULO BANCARIO Formula

Formula

(1  i´)n

1 i i´



360

1 i



nDias

iad 1

Tasa (i´) Equivalente Periódica

40%

Plazo o period o 57

40%

90

40%

117

0.08775730 5

Tasa (i) Efectiva Anual

(*) Iguale.

d

í´ 1  i´

Para no superar la tasa efectiva anual (i) Tasa periódica adelantada (i ad ) o de descuento (d)

CALCULO COMERCIAL Formula (*)

r [( FRCni´ )n  1]

1 n

Para no superar la tasa efectiva anual (i) Tasa directa o flan (r)

Plazo Meses (a) 9

P.FRC ni

0.080677284

0.01615525 8

15 18

P  P(r ) n y despeje (r) n

Nota importante: Cuando en una economía se manejan tasas efectivas anuales, he notado a través de mis clases que los participantes después de haber calculado la tasa periódica equivalente se pregunta: ¿Y cuanto es la tasa nominal anual? Yo les digo: No sirve para nada, calcular tasa nominales anuales a partir de la tasa equivalente periódica (i´). ¡Véalo! Tasa Efectiva Anual 15%

Mensual

15%

Bimensual

15%

Trimestral

Periodo

Tasa Periódica Equivalente i 1.1715%

Tasa Nominal Anual j 1.1715 x 12 =14.058 _____ x 6 = 14.140%

3.5558

1.558 x 4 = 14.223%

Nótese que, dependiendo del periodo de la tasa e interés equivalente, surgen distintas tasas nominales anuales.

175

176

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Pero, lo único que necesitamos es la tasa periódica (i) para calcular el interés:

I = P.

i

En el caso del periodo mensual. Ya tenemos la tasa mensual (1.1715%). Para que multiplicar por 12 y calcular la Tasa NOMINAL anual 14.058% si después tenemos que dividir entre 12, para calcular un Interés Mensual. Además, la tasa nominal anual 14.058% solo sirve para regresar al valor de la tasa mensual. No sirve para calcular una tasa trimestral, pues esta tiene su propia tasa nominal anual que es 14.223% (Ver Cuadro) Recomendación: Usted, ANALISTA FINANCIERO, quédese con las tasas equivalentes periódicas. FINANCIAMIENTO A MEDIANO Y LARGO PLAZO DESCUENTO COMPUESTO RACIONAL O MATEMATICO Como : D => D

DESCUENTO COMPUESTO BANCARIO

I

D

P[(1  i ' ) n  1]

También : D

Descuento “Dk” para un periodo “K” Cualquiera :

S[1  (1  i ' )  n ]

Dk

Descuento “D k ” para un periodo “k” Cualquiera :

Dk

S .1(1  i )

STOCK FINAL : S STOCK INICIAL : P

S[1  (1  d )n]

VALOR NOMINAL :

S

k

P(1  i )

S .d (1  d ) k 1 P(1  d )  n

VALOR LIQUIDO :

S

n

P(1  d ) n

S (1  i ) n

Relación entre la tasa de interés y tasa de descuento d

i 1  i

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CALCULO RACIONAL O MATEMATICO

R

P( FRCni )

R

ª i (1  i ) n º P« » n ¬ (1  i )  1¼

R

ª « i P« «1  1 «¬ (1  i ) n

LAS CUOTAS FIJAS (R) CALCULO BANCARIO

ª º d P« n » ¬1  (1  d ) ¼

R

Donde : P = Préstamo solicitado s = # de cuotas de pago (R)

º » » » »¼

e: n=# periodos

CALCULO COMERCIAL

R

CREDITO  INTERES n

R

P  P.r.n n

=>

R

P

1  r.n n

Dond

CALCULO RACIONAL O MATEMATICO La amortización utilizada es de acuerdo al tipo de repago de deuda utilizado (método francés, alemán, americano)

LA AMORTIZACION (A) CALCULO BANCARIO

CALCULO COMERCIAL

Amortización bancaria para cuotas fijas (R)

A

( R  I ) FSAni

=> A

ª 1 º ( R  Pd ) « n » ¬ (1  d ) ¼

A

A

RPd (1  d ) n

CREDITO n

Nota : También se puede utilizar el “Método Alemán” (amortizaciones fijas) para cuotas variables

Descuento racional compuesto En una operación de descuento racional compuesto, el valor presente del titulo valor se calcula a interés compuesto. Pero entonces

D

S .P

P

S (1  i )  n

D

S  S (1  i ) n

D

S[1  (1  i )  n ]

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Equivalencia del descuento racional compuesto y el interés compuesto.

I

P[(1  I ) n  1]

D

S [1  (1  i )  n ] como S

D

P (1  i ) n

D

P[(1  i ) n  1]

D

P (1  i ) n

[1  (1  i )  n ]

I

Ejemplo 1 Calcule el descuento racional compuesto a practicarse a un pagare con valor nominal de S/. 10 000 y vencimiento a 60 días. Utilice una tasa efectiva mensual del 4%. Solución:

D S[1  (1  i )  n D 10000[1  (1  0,04) 2 ] D 754,44

D=? S = 10 000 i = 0,04 n = 2 meses

Ejemplo 2 La empresa COMSA, comercializadora de útiles de escritorio, ha efectuado compras de mercaderías por un importe total de S/. 40 500 incluido el 18% de impuesto general a las ventas (IGV). ¿Qué importe de la factura puede utilizar para el crédito fiscal? Compruebe su respuesta. Solución:

D D D

D=? S = 40 500 i = 0,18 n=1

S[1  (1  i )  n ] 40500[1  (1,18) 1 ] 6177,97

Comprobación Valor venta

34 322,03

IGV 18%

6 177,97

Precio de venta

40 500,00

Ejemplo 3 ¿Por qué monto deberá aceptarse un pagare con vencimiento a 60 días, para descontarlo racionalmente hoy. Si requiere disponer un importe de S/.10 000 utilice una tasa efectiva mensual del 4% y compruebe la respuesta.

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Solución:

S

P(1  i ) n

n=2

S

10000(1  0.04) 2

i = 0,04

D

S [1  (1  i ) n ]

S=?

P = 10000

a. Valor nominal

10816

D 10816[1  (1  0,04) 2 ] 816

b. Descuento

Comprobación Valor nominal

10 816

Descuento

(816)

Importe disponible

10 000

Ejemplo 4 Calcule el importe disponible a obtenerse hoy por el descuento racional de un pagare con valor nominal de S/.8 000 y vencimiento dentro de 38 días. El banco cobra una tasa efectiva mensual de 5%, S/. 10 por gastos, S/. 5 de portes y efectúa además una retención del 10% sobre el valor presente del documento. Efectué la liquidación. Solución: P= ? S = 8000 N = 38/30 i = 0,05 i = 0,1 G = 15

S

P[(1  i ) n  i ' ]  G

P

8000  15 1,05 38 / 30  0,1

P

6861,44

Liquidación Valor nominal del pagare Descuento 6861,44[1,05 38 / 30  1] Gastos Portes Retención 6 861,44 x 0,1

Importe disponible

Importe 437,42 10,00 5,00 686,14

8 000,000

(1 138,56)

6 861,44

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Descuento bancario compuesto El descuento bancario compuesto consiste en una serie de cálculos de descuentos simples donde, en primer termino, se aplica el descuento por un periodo sobre el valor nominal de la deuda a su vencimiento, encontrando su valor líquido al final del primer periodo (evaluado de derecha a izquierda), o al comienzo del segundo periodo. A este valor obtenido se aplica el descuento por segunda vez encontrando su valor líquido pagadero dentro de dos periodos y así sucesivamente para todos los periodos de horizonte temporal, comprendido, comprendido entre la fecha que se hace efectivo el abono del importe líquido del documento y la fecha del vencimiento de la deuda.

Calculo del valor liquido S Pn

d

P2

d

P1

P1

P2

Pn

d

S (1  d )

S (1  d ) 2

S (1  d ) n S (1  d )

P1

S  Sd

P2

P1  P1 d

P1 (1  d )

S (1  d )(1  d )

S (1  d ) 2

P3

P2  P2 d

P2 (1  d )

S (1  d ) 2 (1  d )

S (1  d ) 3

Pn

Pn 1  Pn 1 d

Pn1 (1  d )

P

S (1  d ) n 1 (1  d )

S (1  d ) n

S (1  d ) n

Ejemplo 1 El 7 de marzo la empresa Entursa, correntista del Banco Americano, acepto un pagare de S/. 9 000 con vencimiento a 90 días. ¿Cuál fue el valor liquido que Entursa recibió en esa fecha si la tasa nominal anual de descuento fue 48%, con periodo de descuento bancario cada 30 días?

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Solución:

P P P

P=? S = 9 000 n=3 d = 0,48/12

S (1  d ) n 9000(1  0,04) 2 7962,62

Ejemplo 2 En el ejemplo anterior, considere que la compañía Entursa esta preparando un informe de las cargas financieras originadas en sus diversos prestamos vigentes, por lo que requiere conocer el importe de los descuentos mensuales generados en torno a su pagare descontando el 7 de marzo. Calcule dichos importes. Solución: 7/3

D=331,78

90 días 7 962,62

Fecha

6/4

D=345,60

60 8 294,40

6/5

30 8 640

Valor Liquido

Días

P = S (1 − d )

0 30 60 90

5/6

0 9 000

Descuento Mensual

n

D = S .d

Donde: n=0,1.2. y 3 05-06 06-05 06-04 07-03

D=360

9 000,000 8 640,000 8 294,40 7 962,62

Descuento acumulado 0,00 360,00 705,60 1 037,38

360,00 345,60 331,78

Ejemplo 3 Un pagare con valor nominal de S/.5 000 se descuenta bancariamente 6 meses antes de su vencimiento aplicando una tasa adelantada del 18% anual con capitalización mensual. ¿Qué importe debe pagarse para cancelarlo 2 meses antes de su vencidito? Solución: 5000 6

5

P=? S = 5 000 n=2 d = 0,18

4

3

2

P P P

1

S (1  d ) n 5000(1  0,015) 2 4851,13

0

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Calculo del valor nominal Despejando S:

S

P(1  d )  n

Ejemplo 4 La empresa Tensor requiere disponer un valor líquido de S/.5 000. Para tal efecto utiliza su línea de descuento de pagares. ¿ Cual debe ser el valor nominal del documento con vencimiento a 60 días y a una tasa nominal anual del 48% con periodo de descuento bancario mensual? Solución:

S S S

S=? P = 5 000 n=2 d = 0.48/12

P(1  d )  n 5000(1  0,04) 2 5425,35

Calculo del descuento bancario compuesto D D

S  P como P S  S (1  d ) n D

S (1  d ) n

S[1  (1  d ) n ]

Ejemplo 5 Halle el descuento bancario compuesto de una letra cuyo valor nominal es S/. 7000 y vence dentro de 45 días. La tasa nominal anual es 36% con periodo de descuento mensual. Solución: D =? S = 7 000 n = 1,5 d = 0,36/12

D D D

S[1  (1  d ) n ] 7000[1  (1  0,03)1.5 ] 312,63

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Ejemplo de operaciones financieras a mediano y largo plazo Hasta julio 1985 Tasa de interés NOMINAL anual J =93% MONEDA NACIONAL: SOLES. Sea un préstamo de 10 000 a devolver en 4 cuotas FIJAS trimestrales, con interés adelantado.

0 P = 10,000 IAD = 2,325



R

R

R

R

1

2

3

4

iTRIM iTRIM

j / m 93% / 4 23.25% 0.2325

PB=7,675 es tasa proporcional trimestral.

1° El interés “adelantado” por el 1er.Trim.

Se asumía: tasa “adelantada” = 0.2325

I AD

10000 x 0.2325

2325

2° Cálculo de las cuotas fijas: Se asumía tasa de descuento d=0.2325 Se usaba Descuento Compuesto Bancario.

R

ª º d P« k » ¬1  (1  d ) ¼

ª º 0.2325 R 10000 « 4 » ¬1  (1  0.2325) ¼ R=10000 x 0.356042061 R=3560.42



Ahora viene: LA TASA EFECTIVA TRIMESTRAL



Para saber la verdad: Se usa Cálculo Racional

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Diagrama: 3560.42 3560.42 3560.42 3560.42 0

1

2

3



P = 7675 Liquido o efectivo.



Use el método general: EL FAS.



Por actualización racional.

P 7675

4

RxFASnr

i º 1ª 3560.42 «1  » i ¬ (1  i ) 4 ¼



Donde: i = 0.302931596 trimestral



Luego, la tasa efectiva anual es: i = 188.20%



Las tasas nominales anuales producen una elevación de la tasa efectiva anual de ganancia por el interés “adelantado”.



NOTA: Con descuento compuesto Bancario hay que calcular el préstamo bruto (x) para abonar 10000 x = 10000 (1/(1-0.2325))

Metodología actual Tasa de interés EFECTIVA anual i=19% (LIBRE) MONEDA EXTRANJERA: DÓLARES. Sea un préstamo de 10000 a devolver en 4 cuotas FIJAS trimestrales, con interés adelantado.

0

R

R

R

R

1

2

3

4

P = 10000.00I = 425.56

PN

iTRIM iTRIM

(1.19) D 4 1 0.044447802

9574.44 es tasa equivalente trimestral.

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1° Calculo de la tasa “adelantado” trimestral.

d

0.044447802 1  0.044447802

0.042556269

2° El interés “adelantado” por el 1er trimestre.

i AD i AD

10000 x 0.042556269 425.56

3° Cálculo de las cuotas Fijas misma formula.

ª º 0.042556269 R 10000 « 4 » ¬1  (1  0.042556269) ¼ R = 10000 x 0.266536635 R = 2665.37



Ahora viene: LA TASA EFECTIVA TRIMESTRAL.



Para saber la verdad: Se usa Cálculo Racional.

Diagrama: 2665.37 2665.37 2665.37 2665.37



P = 9574.44 liquido o efectivo use el método general: El FAS.



Por actualización racional.

P 9574.44

RxFASnr

1ª 1 º 2665.37 «i  » i ¬ (1  i ) 4 ¼



Donde: i = 0.044447802 trimestral



Se cumple la tasa efectiva anual: i = 19.00%



Las tasas efectivas anuales, constituyen la ganancia límite, así usted calcule y aplique una tasa “adelantada”.



NOTA: Con descuento compuesto Racional no hay que calcular préstamo bruto. Solo de 10000 y aplique el FRC.

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El mercado de valores ¿Cómo surge el negocio de la bolsa? Surge de la necesidad de financiamiento que permanentemente tiene toda empresa para ejecutar sus operaciones o inversiones. El Financiamiento llega a la empresa de 2 formas: 1° Sistema Financiero Indirecto: Los Bancos como intermediarios. AHORRISTAS



=========>

BANCO

=========> INVERSIONISTAS

Es indirecto, por cuanto “no se conocen” los ahorristas con los inversionistas.

2° Sistema Financiero Directo: AHORRISTAS

=================> INVERSIONISTAS



Es directo, por cuanto “si se conocen” los ahorristas con los inversionistas.



Se trata de captar pequeños capitales que sumados hacen un gran capital para financiar sus operaciones o inversiones. Esta idea surge, ante la limitación de un solo banco para financiar un gran proyecto.

CAPíTULO

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MERCADO DE VALORES

MERCADO DE DINERO (corto plazo)

MERCADO DE CAPITALES (largo plazo)

Letras, Pagares, Papeles Comerciales Diagrama típico S |----------------------------------| 0 i n días P NOTACIONES: P = Valor Presente, Precio. S = Valor Nominal. I = Intereses. D = Dividendos. V = Valor de redención.

Bonos Diagrama típico I I I I I I |-----|-----|-----|-----|-----|-----| 0 1 2 3 4 ……. N años

Acciones D 1 D 2 D 3 D 4 …….. D °° |-----|-----|-----|-----|-----|-----| 0 1 2 3 4……. °° P (i) I = Tasa de interés o rendimiento. N = Horizonte temporal, Plazo.

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El mercado de valores El Código de Comercio de 1902 constituye el primer antecedente normativo nacional destinado a la regulación del mercado de valores. Si bien es cierto que dicho cuerpo legal no se ocupaba del mercado de valores en general, sí regulaba uno de sus instrumentos más importantes: las Bolsas de Valores de Comercio. No obstante, debe reconocerse que esta materia había sido objeto de regulación mediante la aprobación deL Reglamento de la Bolsa de Valores de Lima, el 29 de Agosto de 1898, institución que operaba desde su creación, el 21 de Diciembre de 1860. Posteriormente, en 1970, se produjo, la reforma que permitiría una mayor especialización de la legislación del Mercado de Valores, independizándose del Código de Comercio. En efecto, mediante Decreto Ley 18302, de fecha 2 de Junio de 1970, se estableció un régimen legal específico aplicable al mercado de valores, el cual fue reglamentado mediante Decreto Supremo 187 - 70 del 9 de Agosto de 1970. Posteriormente, mediante Decreto Ley 18353 de fecha 9 de Agosto de 1970 se reestructuró la Bolsa de Valores de Lima, derogándose la sección sexta del Código Comercio. Con anterioridad, el Decreto Ley 17020 de fecha 28 de Mayo de 1968, había creado la Comisión Nacional de Valores, la que se denominó a partir de la vigencia Del Decreto Ley 19648, Comisión Nacional Supervisora de Empresas y Valores (CONASEV). En lo que atañe al mercado bursátil, mediante Decreto Legislativo 211, del 12 de junio de 1981 se modificó el régimen legal de las Bolsas de Valores, derogándose la normas que al respecto contenían los Decretos Leyes 18302 y 18353. Por su parte, el Decreto Legislativo 198, Ley Orgánica de Conasev, marcó una nueva pauta para su estructuración especializada. La referida norma fue reglamentada mediante Decreto Supremo 0295 - 81 - EFC. En la actualidad, el mercado de valores se rige por el Decreto Legislativo 861 (Ley de Mercado de Valores) persigue modernizar al Mercado de Valores, a través de diversas instituciones.

Concepto El mercado de valores, como parte conformante del mercado de capitales, sirve al proceso de formación de capitales, necesario para el desarrollo del sector productivo, mediante la emisión de valores emitidos por personas jurídicas públicas y privadas, con el fin de captar el ahorro de los inversionistas y público en general.

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Clasificaciones del mercado de valores Atendiendo a la naturaleza de la colocación de los valores, el mercado se puede clasificar en: a.

Mercado Primario.

b.

Mercado Secundario. Esta clasificación es detallada más adelante.

Desde el punto de vista de su organización, el mercado de valores puede dividirse en: a.

Mercado Bursátil



Es la expresión organizada del mercado de valores, que se lleva a cabo a través de una institución denominada Bolsa de Valores. Este mercado está caracterizado por la negociación de los Valores Mobiliarios (Títulos Valores) previamente inscritos en Bolsa. Los valores negociables en el mercado bursátil están conformados sobre todo por Acciones de Capital y Acciones de Trabajo. Así mismo, se negocian Certificados de Suscripción Preferente y algunos Bonos y Obligaciones.

b.

Mercado extrabursátil



Es el segmento del mercado de valores en el que se negocian valores fuera del mercado bursátil; vale decir, es el mercado constituido por las operaciones realizadas fuera de Bolsa. Sobresalen en éste mercado la negociación de Pagarés, Letras de Cambio y Pagarés Bancarios.

Características El mercado de valores se caracteriza por los siguientes aspectos: a.

Forma parte del mercado de capitales, constituyéndose así en uno de los medios de captación de capitales para el desarrollo del sector productivo de un país.

b.

Es un mercado donde se negocian exclusivamente Valores Mobiliarios, entendiéndose por tales aquellos valores que pueden ser representativos del Capital Social de una Sociedad en cuyo caso se denominan Acciones, o representativos de créditos en cuyo caso son denominados Obligaciones o Bonos.

c.

Otorga liquidez a cada valor para su conversión en efectivo en cualquier instante.

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d.

Se caracteriza también por estar regulado y permanentemente supervisado por un organismo estatal a fin de garantizar el interés de los inversionistas y público en general así como la transparencia del mercado.

Registro publico de valores e intermediarios Concepto El Registro Público de Valores e Intermediarios; es creado con el objeto de que la información contenida en él sea difundida al público en general e inversionistas en particular, a fin de contribuir a una adecuada torna de decisiones en materia financiera, así como a la transparencia del mercado de valores. Mediante el registro se trata de centralizar la información para hacerla disponible en forma homogénea y oportuna a los usuarios. El Registro Público de Valores e Intermediarios, está a cargo de la Comisión Nacional Supervisora de Empresas y Valores. Están obligadas a inscribirse en el Registro Público, todas aquellas personas jurídicas que requieran emitir un valor mediante oferta pública; cotizar sus valores en Bolsa, así como las sociedades que se constituyan como Agentes de Intermediación. Igualmente, aquellas que administran Fondos Mutuos de Inversión en Valores, empresas administradoras de Fondos Colectivos, Sociedades Anónimas Abiertas y Sociedades Auditoras que emitan dictamen de empresas supervisadas por Conasev. Secciones del Registro Público de Valores e Intermediarios Actualmente, el Registro Público de Valores e Intermediarios, consta de las siguientes secciones: a.

De Valores Mobiliarios



a.1 De Oferta Primaria Es aquella sección en la que se inscriben todos aquellos valores provenientes de nuevas emisiones de acciones (para la constitución de empresas o incremento de su capital social vía oferta publica) o Bonos. a.2 De oferta Pública Secundaria Son los títulos o valores que ya se encuentran en circulación y son ofertados en las Bolsas de Valores.

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b.

De Agentes de Intermediación



Son personas jurídicas constituidas como Sociedades Anónimas y cuyo objeto principal es la intermediación en valores. Los agentes de intermediación pueden ser de dos clases: las Sociedades Agentes de Bolsa y las Sociedades Intermediarias de Valores; existiendo un registro respectivo para cada uno de ellos.

c.

De Fondos Mutuos de Inversión en Valores



Es el patrimonio integrado por aportes de personas naturales y jurídicas con el objeto de invertirlo en valores de oferta pública,

d.

De Empresas Administradoras de Fondos Mutuos de Inversión en Valores



Las sociedades administradoras de Fondos Mutuos de Inversión en valores, se constituyen con el exclusivo objeto de administrar uno o más fondos autorizados por la Conasev.

e.

De Empresas Clasificadoras de Riesgo



Son sociedades que tienen por objeto exclusivo calificar y clasificar valores de acuerdo a la evaluación de las condiciones del título y del emisor, estableciendo categorías diferentes de riesgo, de modo que pueda estimarse el grado de riesgo que entraña la inversión en un determinado valor.

f.

De Empresa Administradoras de Fondos Colectivos



Son sociedades anónimas que tienen por objeto la administración de fondos conformados por aportes regulares de diferentes personas para adquirir mediante acción conjunta determinados bienes o servicios.

g.

De Sociedades Anónimos Abiertas



Son aquellas que realizan oferta pública de sus acciones; o cuyo capital social se encuentre en poder de más de 25 accionistas; que posean en conjunto más del 30 por ciento, sin que individualmente ninguno posea más del 5 por ciento.

h.

De Sociedades Auditores



Toda la información auditada que, por disposición legal o administrativa, deban presentar a Conasev las empresas sometidas a su supervisión, será dictaminada por Sociedades Auditoras debidamente inscritas en éste registro. Las Sociedades Auditoras pueden adoptar cualquier forma societaria admitida en la Ley General de Sociedades.

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Características del Registro a.

Público



El registro es público porqué está garantizado el acceso de cualquier persona a la información registrada, sea ésta de carácter financiero respecto de alguna empresa, acerca de hechos de importancia o, en general información relativa a un valor, sociedad o acto inscrito.

b.

Centralizado



El registro es centralizado porque toda la información y documentación se encuentra centralizada en la oficina de Registro Público de Valores e Intermediarios, a cargo de la CONASEP.

Oferta publica de valores La oferta pública de valores es la invitación adecuadamente difundida (mediante la utilización de cualquier medio de publicidad, difusión o correspondencia) dirigida al público en general o a determinados sectores de éste, con el objeto de realizar cualquier acto jurídico destinado a la colocación de nuevos valores mobiliarios en el público o a negociar los que estén en circulación.

Naturaleza Jurídica La oferta pública de valores es una declaración unilateral de voluntad, que puede ser de carácter receptivo o no, mediante la cual se propone la creación de una relación jurídica entre un emisor y el suscriptor de un valor determinado.

Clases de oferta pública La oferta público de valores puede ser primaria o secundaria. a.

Oferta pública primaria



Se considera oferta pública primaria a la invitación que tiene por objeto la colocación de valores de nueva emisión en el mercado de valor. Esta clase de oferta pública es de suma importancia, pues es un medio de captación de nuevos capitales que, ya sea en forma asociativa o crediticia, constituyen recursos necesarios para el desarrollo del sector productivo de un país.

b

Oferta pública secundaria



La oferta pública secundaria es la invitación que tiene por objeto la transferencia de valores, sea en el mercado bursátil o extrabursátil, que han sido previamente objeto de colocación en primera emisión.

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Mercado Primario de Valores El mercado primario de valores es el segmento del mercado donde se realiza la primera colocación de valores recién emitidos, produciéndose así la suscripción inicial de los mismos. También es llamado Mercado de Emisiones y constituye el medio más importante de captación de recursos financieros dentro del mercado de valores Mercado Secundario de Valores El mercado secundario de valores viene a ser un mercado de transacciones de valores ya emitidos, y que son negociados luego de su primera colocación. Es el segmento del mercado de valores que ser caracteriza por ser un mercado de liquidez, esto es un mercado de donde se realizan las sucesivas transferencias de los títulos y donde cada adquiriente de los mismos tiene la posibilidad de realizarlos en cualquier instante. En este mercado, el precio de los valores mobiliarios se forma por el libre juego de la oferta y la demanda; a diferencia del mercado primario donde el precio está determinado por el valor nominal del título, dado que se trata de valores de primera emisión. Finalmente, debemos decir que es a éste mercado donde se dirige la oferta pública de valores.

Valores Mobiliarios La relación entre títulos valor y valor mobiliario es una relación de género a especie, valores mobiliarios son una especie de los títulos, Valores, y, por tanto, documentos que tiene incorporados derechos patrimoniales y que están destinados a la circulación. Confieren a sus titulares derechos crediticios, domínales o patrimoniales o de participación en el capital, el patrimonio o las utilidades del emisor.

Acciones Las acciones son valores mobiliarios representativos del capital social de una sociedad que confieren diversos derechos a su titular. Son títulos esencialmente transmisibles y negociables, constituyen la expresión cabal de los derechos particípatenos, entendiéndose por éstos el poder jurídico para intervenir en el patrimonio de otro sujeto. A las acciones también se les llama valores de renta variable, porque su rentabilidad está determinada por el resultado del ejercicio de la actividad económica de la sociedad emisora.

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Bonos Los bonos son valores mobiliarios representativos de un crédito contra la empresa emisora, cuyo plazo de redención debe ser mayor de un año. Son títulos de renta fija porque reditúan intereses sujetos a una tasa fija, cuyo importe está determinado desde la emisión del título, no dependiendo, pues, su rentabilidad del resultado del ejercicio económico de la empresa emisora.

Mecanismos centralizados de negociación Son aquellos mercados secundarios que reúnen o interconectan simultáneamente a varios compradores y vendedores con el objeto de negociar valores. El mecanismo centralizado de negociación más representativo es la rueda de bolsa, la cual consiste en una reunión diaria con el objeto de negociar valores mobiliarios previamente inscritos en la Bolsa.

Bolsas de valores Concepto Las Bolsas son asociaciones civiles de servicio público de especiales características, que tienen por finalidad facilitar la negociación de valores mobiliarios, debidamente registrados, proveyendo a sus miembros, y por cuenta de ellos al público en general, de los servicios, sistemas y mecanismos adecuados para intermediar valores mediante oferta pública en forma competitiva, ordenada, continua y transparente.

Naturaleza Jurídica La Ley de Mercado de Valores define a las Bolsas como asociaciones civiles de servicio público, poseyendo especiales características. Esta definición establece una naturaleza jurídica sui generis de las Bolsas de Valores, toda vez que, por definición, una asociación civil es una organización estable de personas naturales o jurídicas o de ambas, que, asociadas persiguen fines comunes para sus miembros (Artículo 80° del Código Civil); pero que, en absoluto, persiguen fines de servicio público. De otro lado, como asociación civil es una persona jurídica de derecho privado, sin fines de lucro. Esto quiere decir que la Bolsa, como asociación civil, no puede procurar más beneficios que no sea una mejora en los servicios inherentes a su carácter de institución de servicio público.

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Como asociación civil, la Bolsa debe tener un sustrato personal, es decir, un número de asociados que la ley establece que no puede ser inferior a 20 personas. En la Ley de Mercado de Valores, se establece que, los asociados a una Bolsa sólo pueden ser las Sociedades Agentes de Bolsa, quienes adquieren tal condición mediante la adquisición de certificados de participación. El patrimonio mínimo exigido a las Bolsas de Valores es de un millón de nuevos soles, representados en certificados de participación.

Estructura Orgánica La Bolsa se compone de los siguientes órganos: a.

Asamblea General (Junta de Asociadas)



En concordancia a su naturaleza jurídica de asociación civil, el máximo órgano de gobierno de una Bolsa es la asamblea general, teniendo como función primordial la elección de los miembros del consejo directivo.

b.

El Consejo Directivo



Se integra por no menos de cinco ni más de siete miembros y son elegidos por la asamblea general. b.1 Requisitos para ser elegido miembros del consejo directivo: - Hallarse en pleno ejercicio de los derechos civiles. - Gozar de solvencia moral y económica. - Poseer conocimientos en materias económicas, financieras y mercantiles, particularmente en los aspectos relacionados con el mercado de valores, en grado compatible con las funciones a desempeñar. b.2 Impedimentos para ser miembro del consejo directivo: Los impedimentos por las leyes que les son respectivas. - Los asesores, funcionarios y demás trabajadores de otra Bolsa, o quienes hubiesen tenido esa condición en los seis meses previos, así como sus cónyuges o parientes. - Los funcionarios públicos de cualquier nivel, concepto que excluye a quienes se desempeñen en las empresas estatales. - Quienes en cualquier tiempo hayan sido condenados por la comisión de un delito doloso.

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- Quienes hayan sido declarados en quiebra, aunque se hubiere sobreseído el procedimiento. - Quienes hayan sido destituidos como directores de la Bolsa que se trate o de otra. Los directores, asesores, funcionarios y demás trabajadores de CONASEV, así como sus cónyuges o parientes. - Los asesores, funcionarios y demás trabajadores de la propia Bolsa, así como sus cónyuges y demás parientes. c.

La Gerencia



La gerencia es un órgano ejecutivo que se conforma de acuerdo con las normas estatutarias. La Ley del Mercado de Valores sólo refiere al respecto que el gerente general debe reunir los mismos requisitos exigidos a los miembros del consejo directivo y al que le son aplicables los mismos impedimentos, excepto al referido a la condición de director, asesor, trabajador o funcionario de CONASEV, así como sus cónyuges o parientes. ESTRUCTURA ORGÁNICA DE LA BOLSA DE VALORES DE LIMA (BVL)

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Instituciones de compensación y liquidación de valores Son personas jurídicas constituidas bajo la forma de sociedades anónimas, que tiene por objeto el registro, custodia, compensación, liquidación y transferencia de valores que reciban de las Bolsas, sociedades agentes, etc.

Naturaleza Jurídica Las instituciones de Compensación y Liquidación de Valores en el Perú, en virtud a la ley del Mercado de Valores, deben constituirse como sociedades anónimas cuyas características son las siguientes: a.

Su capital social mínimo es de 200 mil nuevos soles (s/. 200,000.00), el cual debe estar íntegramente suscrito y totalmente pagado antes de dar inicio a las actividades.

b.

Sólo puede ser socios las Sociedades Agentes de Bolsa y las Empresas Bancarias y Financieras.

c.

Ningún socio puede ser propietario de más de una acción.

d.

El número de socios no puede ser inferior a 10.

e.

Los estatutos sociales y su modificación, así como la inscripción y transmisión de las acciones, deben ser aprobados previamente por la Conasev.

f.

La organización y el funcionamiento de las instituciones de compensación y liquidación de valores son autorizados por la Conasev.

Funciones Las instituciones de compensación y liquidación de valores tienen principalmente dos funciones: a.

La custodia física y depósito de los valores mobiliarios.

b.

Efectuar la transferencia, compensación y liquidación de los valores que se derivan de la negociación.

Valores Negociables En la Bolsa puede negociarse diferentes tipos de valores, tanto de rendimiento variable - como acciones - y también de rendimiento fijo como bonos, pagares, etc. La diferencia entre unos y otros es que mientras en los primeros la utilidad a obtenerse varía en el tiempo de acuerdo a la oferta y la demanda en los segundos ésta se establece previamente, como una tasa fija.

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En el mercado bursátil nacional prima la negociación de acciones, y la rentabilidad que puede obtenerse con estos valores esta en función de tres factores: incremento en el precio para vender más caro respecto al precio que se compro; que la empresa reparta dividendos o que la empresa capitalice y, por tanto, reparta más acciones - acciones liberadas- que luego pueden también venderse en le Bolsa.

El Cautiverio Bursátil Debemos señalar que desde 1968, se consagro en rueda de bolsa, y con intervención de agentes, los valores inscritos en los registros de dicha institución. Esta regla se mantuvo expresamente en el D.L.18302, que constituye la base de al profunda reforma iniciada en 1970. Establecían dichos dispositivos que en casos especiales, en los que por razones de forma, modalidad u otras circunstancias no fuese posible efectuar la negociación en Rueda, podía solicitarse a la CONASEV la autorización para ejecutar la transferencia respectiva fuera de Bolsa. El Art 9 del D.L 211 establecía que la CONASEV tenia la atribución de establecer excepciones tanto genéricas cuanto especificas. Estas excepciones genéricas fueron establecidas para casos como el de anticipo de legitima, transmisión sucesoria, división y partición de la masa hereditaria. Esta norma cumplió un papel importante en su momento, dado que el mercado de Valores era todavía insipiente, habiendo sido necesario impulsar su desarrollo como con normas como lo anotada, que tenia por objeto crear en la Bolsa condiciones favorables para su mejor desenvolvimiento y evitar toda posibilidad de suscitar dudas entorno a los precios de los valores. En efecto, la Bolsa es hoy una institución bastante consolidada como mercado secundario y, consecuentemente, la derogación de la norma bajo comentario no ofrece riesgo alguno para ella. Por el contrario, se trata, de una flexibilización hoy justificada plenamente y que responde a la doctrina y a las prácticas bursátiles mas modernas.

Mecanismos centralizados de negociación Son aquellos mercados secundarios que reúnen o interconectan simultáneamente a varios compradores y vendedores con el objeto de negociar valores, estos valores pueden ser acciones, bonos, letras hipotecarias, programas de emisión de instrumentos de corto plazo, etc emitidos por la empresa peruana que se comercien en mecanismos centralizados de negociación. Son actualmente administrados por la Bolsa de Valores de Lima; se pueden distinguir los siguientes mecanismos centralizados de negociación:

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Rueda de Bolsa Se llama Rueda de Bolsa a la reunión que tiene lugar en el ambiente designado por la Bolsa, con el propósito exclusivo de que los representantes de las sociedades agentes realicen las operaciones de compra o venta con valores inscritos en la Bolsa. La negociación en las Bolsas de Valores está conformada por propuestas cuyas modalidades contempladas son las siguientes: -

Propuesta Abierta: Aquí la cantidad de valores a negociarse por esta vía no puede ser inferior al mínimo requerido para establecer cotización de cierre. Este mínimo es establecido a través de la Bolsa a través de sus Circulares; por ejemplo, paquetes de acciones. Esta propuesta debe permanecer registrada durante el transcurso de la Rueda de Bolsa, pero puede ser retirada antes. Se hace indicando si es de compra o venta, asimismo, se señala únicamente la denominación del valor y el precio unitario que se propone.

-

Propuesta Firme: Mantiene su vigencia por un plazo determinado por la Bolsa de Valores. Por tanto, al no haber opción de retiro, el ofertante debe estar listo a cumplirla. Estas propuestas tienen prioridad sobre las demás. Se aplican cuando están cerca de ciertos límites denominados márgenes del mercado y en el orden en que fueron comunicadas. Se efectúa por escrito en el transcurso de la Rueda de Bolsa, debiéndose ubicarse si es de compra o de venta, y la cantidad, valor o precio unitario de los valores.

-

Propuesta Cruzada: Es aquella por lo que un mismo agente manifiesta una orden de venta de valores coincidente de manera exacta con otra de compra. Ahora con el ELEX (Sistema de Negociación Electrónica de la Bolsa) estas propuestas tienen la posibilidad de ser atacadas durante un lapso de tiempo realizando nuevas propuestas que mejoran precio. Se indica la denominación del valor y el precio unitario.



Una vez que se canalizan las propuestas, las operaciones pueden finalmente ejecutarse y ser clasificadas en distintas modalidades de operaciones no necesariamente excluyentes entre sí: - Operación Realizada: Resulta de la aceptación de cualquiera de las propuestas antes mencionadas. En todos los casos deben estar dentro de los márgenes del Mercado. - Operación al Contado: Es aquella que resulta de la aceptación de una propuesta pactada para ser liquidada dentro de las 24 ó 48 horas vigentes a la rueda en la que fue realizada.

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- Operación Cruzada: Resulta de la aplicación de la propuesta cruzada luego de ser anunciada. Si dentro del plazo fijado por la propuesta cruzada, otro intermediario ofreciera un mejor precio de compra o de venta, el proponente está obligado a aceptar dicha propuesta, salvo que la mejore inmediatamente. Después de vencido en plazo, la SAB se adjudica la operación; en este sentido, la sociedad agente tiene a ambos inversionistas (el que compra y el que vende). - Operación a plazo fijo: Resulta de la aceptación de una propuesta que establece fecha futura y cierta para su liquidación, y esto debe constar en las pólizas que se extienden. La liquidación se hace el día 15 o el último del mes. El cumplimiento podrá ser establecido para la próxima fecha de liquidación. - Operación de Reporte: Resulta de la aceptación de una propuesta que comprende una compra o venta de valores al contado, con el propósito de una simultánea operación inversa de venta o compra de la misma cantidad o especie de valores a plazo fijo y a un precio determinado. Ejemplo: Benjamín es propietario de la empresa Super S.A. y desea vender un paquete de acciones a Víctor, poseedor de excedentes de recursos deseoso de obtener renta fija o determinable en un corto plazo. La intención de Benjamín es no dejar de manera definitiva la propiedad de sus acciones, en tal sentido se compromete a comprar las acciones a Víctor a quien le vendió en un primer momento. Ambas operaciones se instrumentan en un único documento. Las pólizas que se extienden deben señalar que se trata de una operación de reporte y deben incluir claramente las obligaciones que asumen los contratantes. El agente (en el momento inicial o el de contado) comprador se denomina “reportante” y el vendedor “reportado”. El plazo de cumplimiento no puede exceder de 180 días. - Operaciones al Cierre: Se realizan al precio de la última cotización válida del día, desde el periodo de tiempo determinado, donde se permiten variaciones de cotización. -

La Subasta: La subasta de valores sólo se realizará cuando medie mandato judicial o por incumplimiento en la liquidación de operaciones de reporte realizadas en Rueda de Bolsa, que haya tenido como garantía esos valores.



Su realización será anunciada a los agentes y al público con anticipación no menor de 48 horas y mayor de 72 horas.

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Es pertinente anotar que la Rueda sólo funciona determinado número de horas, como notamos a continuación:



El horario de negociación en la Rueda de Bolsa es todos los días, excepto sábados, domingos y feriados, y opera en el siguiente horario: de 9:30 a 13:30, se desarrolla el movimiento en Rueda de Bolsa con cotizaciones variables. De 13:30 a 14:00 no hay variación de precios. Son operaciones de cierre.

Sistema de Negociación Electrónica de la Bolsa -ELEX- Electronic Exchange Es un sistema que permite la negociación electrónica de las operaciones realizadas en la Bolsa de Valores de Lima. A través de este sistema los intermediarios pueden realizar sus transacciones diariamente desde los terminales (computadoras) ubicados en sus oficinas. También pueden hacer uso de ELEX aquellas personas que desean realizar consultas sobre cotizaciones, operaciones realizadas, índices, entre otras (v.gr. Administradoras de Pensiones, Bancos de Inversión, Financieras, Superintendencias, etc.) Los intermediarios realizan sus operaciones, utilizando los siguientes módulos: -

Módulos de acciones.

-

Módulos de bonos y letras hipotecarias.

-

Módulos de instrumentos de corto plazo.

-

Módulo de colocación primaria.

Siendo este sistema de fácil manejo, los intermediarios pueden realizar sus propuestas utilizando sólo el mouse o el trackball. Asimismo, pueden configurar el sistema, de acuerdo a sus requerimientos o necesidades de negociaciones (o consultas). La actualización del sistema se realiza automáticamente y las operaciones de hacen en tiempo real. Entre otras ventajas podemos mencionar el rápido ingreso de propuestas de compra o venta, selección de valores que se desea negociar, cancelación y modificación de propuestas, el conocimiento de índices bursátiles en forma continua, etc.

Los Márgenes del Mercado Para que no se produzca variaciones en los precios en forma sorpresiva o desmedida al alza o a la baja se ha regulado sus fluctuaciones dentro de lo que se llama márgenes de mercado.

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Según las disposiciones reglamentarias las respuestas de compra o venta dentro de la Rueda de Bolsa no pueden superar el 1% de diferencia con relación a la cotización existente o propuesta anterior. En una misma Rueda de Bolsa, la variación de la cotización (precio) no podrá superar al 10% de la cotización de cierre de la rueda anterior, o de la propuesta que queda expuesta ese día, en este último caso, siempre que ésta mejore la cotización.

NEGOCIACIÓN DE INSTRUMENTOS FINANCIEROS EN EL MERCADO DE VALORES

De manera excepcional, el director de la Rueda, por razones de mercado, puede disponer que el referido margen de mercado alcance hasta el 20% en la sesión de un determinado día.

203

COMPRA Y VENTA DE ACCIONES EN RUEDA DE BOLSA

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Rueda de bolsa Compra de acciones 23/9/94 -

Inversión

: S/. 100 000

-

Cotización

:

2.45

-

Acción de Trabajo :

BLACK



Formula:

QAC

Invers. Cotiz.

Donde: QAC : Cantidad de acciones compradas. Cotiz : Cotización.

QAC

100000 2.45

QAC

40816,3 acciones

Venta de acciones 24/10/94 -

Inversión

: S/. 100 000

-

Cotización

:

3.65

-

Acción de Trabajo :

BLACK



Formula:

QAVxCotizac. Donde: QAV : Cantidad de acciones vendidas. Cotizac : Cotización. Efectivo = 40,816 x 3.65 Efectivo = 148 978 Nuevos Soles

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Ambas operaciones se encuentra sujetas a una comisión que el Agente de intermediación deberá cobrar al comitente sobre el valor efectivo de la operación, que posteriormente tendrá que repartirla entre la Bolsa, CONASEP, y el propio Agente de Intermediación, por lo tanto: Inversión

S/.

100,000 +

Comisión Prom. 1,18%

S/.

1,180

Inversión Neta

S/.

---------101,180

RENDIMIENTO:

146,743 101,180

Inversión

S/.

148,978 –

Comisión Prom. 1,18 %

S/.

1,758

Retorno de la Inversió

S/.

---------146,743

45,03%

MESA DE NEGOCIACIÓN Monto Nominal

S/.

235,000

Plazo

30 días

Precio Pactado

95.00

Monto Efectivo

S/.

223,250

La operación se encuentra sujeta a una comisión, que el Agente de intermediación deberá cobrar al corriente sobre el valor efectivo de la operación, que posteriormente tendrá que repartirla entre la Bolsa, Conasev y el propio Agente de Intermediación, por lo tanto: Para el Tomador

Para el Colocador

Monto Efectivo S/. 223,250 – o Inversión

Monto nominal

S/.

Comisión Prom. S/. 893 0.40% ----------Monto Neto S/. 222,357

Comisión Prom. 0.40%

S/.

893

Monto Neto

S/.

---------224,143

RENDIMIENTO NETO PARA EL COLOCADOR

: 235000

224143

4,84%

223,250 -

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OPERACIONES DE REPORTE EN RUEDA DE BOLSA DATOS DE LA OPERACIÓN FECHA VALOR Nª DE ACCIONES VALOR NOMINAL PRECIO CONTADO PRECIO PLAZO COMISIONES MONTO EFECTIVO

OP.CONTADO 16 DE JUNIO ALFA 1,000,000 S/.1.00 100.00% ------------0.80% S/. 1,000,000

I. LIQUIDACION DE LA OPERACIÓN AL CONTADO REPORTADO (VENDEDOR) MONTO EFECTIVO 1,000,000 (-) COMISION 8,000 -------------MONTO RECIBIDO S/. 992,000

REPORTE (COMPRADOR) MONTO EFECTIVO 1,000,000 (+)COMISION 8,000 -----------MONTO PAGADO S/. 1,008,000

II. MARGEN DE GARANTIA REPORTADO IMPORTE DE LA OP. A PLAZO IMPORTE DE LA OP. AL CONT. MARGEN DE GARANTIA

1,060,000 1,000,000 -------------60,000 (I)

III. LIQUIDACION DE LA OPERACIÓN A PLAZO FECHA VALOR Nª DE ACCIONES VALOR NOMIAL PRECIO AL CONTADO PRECIO PLAZO COMISIONES MONTO EFECTIVO REPORTADO MONTO EFECTIVO (+) COMISION MONTO A PAGAR

S/.

S/.

(1) Se asume que los márgenes Son depositados en valores

OP. PLAZO 16 DE JUNIO ALFA 1,000,000 S/. 1.00 ---- . ---106.00% 0.50% 1,000,000

REPORTANTE 1,060,000 MONTO EFECTIVO 1,060,000 5,300 (-) COMISION 5,300 -------------------------1,065,300 MONTO A COBRAR S/.1,054,700

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Indicadores bursátiles Indicadores por Valor Dentro de los principales indicadores bursátiles podemos mencionar:

Las Cotizaciones en Bolsa: definición y tipos de cotización Las cotizaciones muestran la valorización en entidades monetarias(soles) de cada una de las acciones inscritas en bolsa, función de las transacciones ocurridas. Las operaciones de compra o venta de valores en la rueda de bolsa se realizan a un precio, que constituye lo que se le llama Cotización del valor, la cual sirve de precio base para las posteriores propuestas de compra o venta de dicho valor; respetando para estos efectos los márgenes de mercado. Para que una transacción "Marque precio" o fije cotización, es necesario que la operación se lleve a cabo por un numero de acciones no menor de aquel que establece la propia bolsa para fijar cotización, o tratándose de bonos u otras obligaciones, por un valor nominal no menor al fijado por dicha institución con el mismo fin. Con respecto a los precios de valores que se alcanzan durante una sesión de rueda de bolsa, se distingue: a.

Cotización Media.- Es el precio promedio de los precios en que se ha fluctuado un valor durante la rueda. Este promedio se obtiene ponderado los volúmenes transados en cada operación.

b.

Cotización Máxima.- Es el precio máximo alcanzado por un valor durante la rueda.

c.

Cotización Mínima.- Es el precio mínimo registrado por un valor mediante la rueda.

d.

Cotización de Cierre.- Es el precio de un valor alcanzado en la última operación realizada en rueda. Esta cotización es importante, pues por el tiempo que mantiene su negociación, sirve como precio base de operaciones posteriores.

Valor Contable Indica que porcentaje del patrimonio pertenece a cada accionista por unidad de acción. En cálculo se considera la siguiente fórmula:

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Valor contable =

Patrimonio neto N° de acciones (comunes y de trabajo)

Donde: N° de acciones = comunes

N° de acciones = trabajo

Capital social Valor Nominal de la acción común

Participación patrimonial del trabajo Valor Nominal de la acción del trabajo

Para fines bursátiles, el valor contable se calcula basándose en el número de acciones de capital y del trabajo efectivamente en circulación. El indicador se expresa en porcentaje del valor nominal de la acción. Valor contable =

Patrimonio * 100 Capital Social + Patrimonio del Trabajo en Circulación

El Índice de Lucratividad El índice de lucratividad es otro de los importantes indicadores que se publican en el Boletín Diario de la Bolsa de Valores de Lima y tiene por objeto mostrar el rendimiento de una acción en un tiempo dado, mediante la comparación de la inversión en una fecha determinada, con la inversión realizada al inicio del periodo. El índice de lucratividad considera los dividendos en efectivo (que se consideran reinvertidos) y en acciones liberadas a que ha dado derecho el título, así como la ganancia o pérdida de capital que se hubiera producido por la diferencia entre el precio de venta del título y su precio de compra. Si se adquiere una acción el 15 de julio, fecha en que su índice de lucratividad es de 165 puntos y se vende el 22 de septiembre en que su índice de lucratividad es de 220 puntos, la lucratividad obtenida es de 33.3%, resultado de la siguiente operación: ((220-165)/165)*100

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Para el cálculo del índice de lucratividad se utiliza la siguiente fórmula matemática: Ilai = (Pai Da / Pao ) * (1+A) * (1+(Da/(Pex-Da)) * 100 Donde: Ilai

= Índice de lucratividad de la acción “a” el día “i”.

Pai

= Cotización de cierre de la acción “a” el día “i”.

A

= Acciones liberadas entregadas expresadas en decimales.

Pao

= Cotización de cierre de la acción “a” en la fecha base.

Pex-Da = Cotización ex-dividendo de la acción “a”.

Frecuencia de negociación La frecuencia de negociación refleja el número de sesiones en las cuales se negocia el valor. El resultado será entonces, el porcentaje del número de ruedas en que se negoció el valor respecto de. Se calcula midiendo el número de acciones objeto de compra - venta durante el año en comparación al monto total de las acciones en circulación. En ciertas circunstancias no todas las acciones emitidas por una empresa están en circulación, en razón que cierto grupo de propietarios no las ofrecen en venta. Frecuencia de = Negociación

N° de días con operación registrada N° del días del periodo

Indice Precio Lucro Price Earning ratio (PER) El índice precio/lucro o índice precio/utilidades, denominado en inglés “price earning ratio”, el cual tiene por objeto mostrar la relación entre el precio de la acción y las utilidades por acción que genera la empresa emisora en un periodo dado. Dicha relación da como resultado una cifra que equivale teóricamente al número de años que el inversionista tardaría en recuperar su inversión, vale decir el precio pagado por la acción adquirida, mediante las utilidades distribuidas por la emisora. El índice precio/lucro se calcula conforme a la siguiente fórmula:

Índice precio/lucro = C/(U/A)

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Donde: C = Cotización de cierre de la acción. U = Utilidad del ejercicio. A = Cantidad de acciones de capital y del trabajo en circulación.

Debe aclararse que para el cálculo de este índice, la utilidad anual de la empresa se proyecta al futuro sobre determinadas bases. Es necesario precisar, por otro lado, que cuando la empresa registra pérdidas, el índice precio/lucro resulta negativo, y cuanto menor sea el valor absoluto del índice negativo, mayor será el riesgo de la inversión. Obviamente, el índice precio/lucro no permanece estático en el tiempo. A medida que el precio del título se incrementa, el índice también aumenta y viceversa.

Capitalización Bursátil La capitalización bursátil de una empresa nos da una idea del valor total de esta en el mercado, y se obtiene de multiplicar el precio de mercado de esa acción por el número de acciones que existen en circulación.

Capitalización Bursátil = Precio de mercado * número de acciones

La capitalización bursátil del mercado es la suma de las capitalizaciones bursátiles de todas las empresas cuyas acciones están inscritas en bolsa.

Otros indicadores bursátiles Existen otros indicadores o ratios, que son también instrumentos de análisis bursátil; resumen gran cantidad de información y comparan el desempeño de empresas similares en distintos momentos. Algunos de los más importantes son descritos a continuación: Valor de Mercado Este valor está determinado por la oferta y demanda, generando básicamente a expectativas de los inversionistas sobre el comportamiento de la empresa, así como del entorno macroeconómico dentro del cual se desenvuelve. Aquí se analizan variables como inflación, devaluación, política monetaria, fiscal, etc. Por ejemplo al 30 de diciembre de 2005, la cotización porcentual de una acción del Nuevo Banco fue 150% con un valor nominal de S/. 1.00. Entonces, el valor de mercado de ese titulo fue igual a S/. 1.50.

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Valor de mercado =

Valor * Cotización 100

Precio Ex - Derecho También se le denomina Corrector de Precio o Precio Ex - Dividendo, y es la fórmula que permite ajustar los precios luego de haberse producido un reparto de dividendos en efectivo(egreso de fondos de la empresa) o de acciones liberadas(entrega de más acciones a los accionistas en proporción a la tenencia de estás). En el caso de acciones liberadas: Valor de mercado =

Cotización 1+ % acciones liberadas (corrector de precio)

En el caso de entrega de dividendos en efectivo: Precio Ex – Derecho = Cotización - Dividendo por acción

Cuando se ha entregado acciones liberadas, así como dividendo en efectivo:

Precio Ex – Derecho =

Cotización - % Dividendo en Efectivo F)

+

% Acciones Liberadas

Float Representa el número de acciones disponible para ser transadas en el mercado bursátil. Es decir, el número de acciones en circulación de una firma, menos el número de acciones en poder de los titulares que mantienen su participación accionaria para un largo plazo(grupos de control mayoritario). Cabe indicar que la frecuencia de negociación, el coeficiente de rotación y el float suelen utilizarse para medir la liquidez de un determinado valor. Adicionalmente se usa como indicador el grado de concentración de la tenencia de las acciones de una empresa, en el sentido que cuanto más dispersa esta propiedad, se presume mayor liquidez de la acción al haber más inversionistas tenedores.

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Indicadores de mercado Uso de índices y promedios como indicadores de mercado El uso de índices y promedios como indicadores de mercado busca responder en forma simple a la pregunta ¿Cómo se está comportando el mercado?. Si supiéramos escoger un pequeño reporte de acciones, bonos, etc. (que cotizan en bolsa), percibiremos lo que esta sucediendo, toda vez que estos índices nos reflejan el movimiento de mercado de valores. Como es casi imposible tomar como base de datos los valores que cotizan en el mercado, se seleccionan una cartera de valores, generalmente los que tienen mayor representatividad. En este sentido, los índices y promedios se valen de fórmulas para expresar, en un solo número, el cambio promedio del precio cotización de una multiplicidad de valores que integran el mercado. Los índices y promedios mejoran el uso de inversión para aquellos que participan en le mercado(inversionistas), así como también a los seguidores de este (market watcher) porque se pueden hacer seguimientos diarios y continuos de mercado, y además nos damos cuenta de cómo determinados hechos económicos y políticos influyen positivamente o negativamente en las empresas y en la bolsa. Los promedios e índices se han utilizado desde 1984. El índice más usado es el DJIA - Dow Jones Industrial Average -. Le siguen en importancia el Standard & Poor Indexes, que tiene como periodo base 1941-1943, incluyendo 500 acciones en 4 grupos principales y 95 subgrupos. En el caso peruano, la bolsa de valores de lima tiene varios indicadores, entre los que destacan: -

El Índice General de Cotizaciones y los Índices Sectoriales (IGBVL).- Muestra la valorización del total global y sectorial de acciones cotizadas en bolsa, en función de una cartera compuesta por los valores más representativos (Cartera amplia).

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Cartera del Índice General BVL (vigente a partir del 3 de julio de 2006)   N° Nombre de Valor

Nemónico

Peso (%)

1 Volcan "B"

VOLCABC1

10.0486%

2 Cerro Verde

CVERDEC1

7.1933%

3 Atacocha Inv.

ATACOI1

6.2562%

4 Minsur Inv.

MINSURI1

4.8589%

5 Milpo

MILPOC1

4.7374%

6 Relapasa

RELAPAC1

4.7119%

7 Southern

PCU

4.3119%

8 Graña y Montero

GRAMONC1

3.8631%

9 Credicorp

BAP

3.7385%

  10 Peru Copper

CUP

3.6184%

BUENAVC1

3.5991%

BVN

3.5438%

MOROCOI1

3.1969%

AUSTRAC1

2.8351%

CORAREI1

2.5585%

CONTINC1

2.3056%

17 El Brocal

BROCALC1

2.2676%

  18 Casagrande

CASAGRC1

2.1807%

MINCORI1

2.1018%

TEF

2.0299%

LUSURC1

1.8127%

LACIMAI1

1.7887%

23 Alicorp

ALICORC1

1.7280%

  24 Scotiabank

SCOTIAC1

1.7154%

TELEFBC1

1.6652%

CORJRLI1

1.5977%

CPACASC1

1.5648%

  28 EDEGEL

EDEGELC1

1.5602%

29 Cartavio

CARTAVC1

1.3629%

CREDITC1

1.3550%

LUISAI1

1.3314%

GLORIAI1

1.2850%

ENERSUC1

1.2755%

       

11 Buenaventura   12 ADR Buenaventura 13 Morococha Inv.   14 Austral Group 15 Corp. Aceros Areq Inv.   16 Bco. Continental

19 Minera Corona Inv.   20 ADR Telefónica S.A. 21 Luz del Sur   22 La Cima Inv.

25 Telefónica "B"   26 Corp JR Lindley Inv 27 Cementos Pacasmayo

  30 Bco. de Crédito 31 Sta Luisa Inv.   32 Gloria Inv. 33 Enersur

                                 

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El Índice Selectivo de Cotizaciones (ISBVL).- Considera a los quince acciones más importantes. La cartera de instrumentos se selecciona basándose en la información estadística de un periodo de tiempo, tomando en cuenta: números operaciones, monto efectivo negociado, frecuencia de negociación, volatilidad, etc. Cabe señalar que la cartera de índices se revisa periódicamente con la finalidad de mantenerla actualizada.

-

Cartera del Indice Selectivo BVL (vigente a partir del 3 de julio de 2006)

               

N°

Nombre de Valor

Nemónico

Peso (%)

1

Volcan "B"

VOLCABC1

14.5481%

2

Cerro Verde

CVERDEC1

10.4142%

3

Atacocha Inv.

ATACOI1

9.0575%

4

Minsur Inv.

MINSURI1

7.0346%

5

Milpo

MILPOC1

6.8587%

6

Relapasa

RELAPAC1

6.8217%

7

Southern

PCU

6.2426%

8

Graña y Montero

GRAMONC1

5.5929%

9

Credicorp

BAP

5.4124%

10

Peru Copper

CUP

5.2387%

11

Buenaventura

BUENAVC1

5.2107%

12

ADR Buenaventura

BVN

5.1307%

13

Morococha Inv.

MOROCOI1

4.6284%

14

Austral Group

AUSTRAC1

4.1046%

15

Corp. Aceros Areq Inv.

CORAREI1

3.7041%

               

-

Índices Selectivo Perú-15.- El nuevo Índice Selectivo Perú-15, difundido en el 2003, mide el comportamiento de las acciones más negociadas de empresas locales, al considerar únicamente compañías que registren la mayor parte de sus actividades en el Perú. Por lo tanto, este nuevo indicador tendrá una mayor correlación con el desenvolvimiento de la economía peruana, al estar excluidos valores extranjeros (que no registran sus principales actividades en el país) de su cartera.



Aparte de esta diferencia, el ISP-15 tiene una metodología similar a la del IGBVL e ISBVL, con una actualización de carteras semestral. Dado que el ISBVL estuvo conformado por acciones locales desde el 30/12/1991 hasta el 31/7/00, el nuevo ISP-15 tiene el mismo origen y serie histórica que el ISBVL durante ese período y es desde el 1/8/00 en que el ISP-15 tiene sus propias carteras y números índices.

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Cartera del Indice Selectivo Perú-15 (vigente a partir del 3 de julio de 2006)

  N° Nombre de Valor

Nemónico

Peso (%)

VOLCABC1

14.9833%

CVERDEC1

10.7257%

ATACOI1

9.3285%

MINSURI1

7.2451%

MILPOC1

7.0639%

RELAPAC1

7.0258%

GRAMONC1

5.7602%

BAP

5.5743%

CUP

5.3954%

BUENAVC1

5.3666%

BVN

5.2841%

  12 Morococha Inv.

MOROCOI1

4.7669%

13 Austral Group

AUSTRAC1

4.2274%

CORAREI1

3.8149%

CONTINC1

3.4379%

1 Volcan "B"

  2 Cerro Verde 3 Atacocha Inv.

  4 Minsur Inv. 5 Milpo

  6 Relapasa 7 Graña y Montero

  8 Credicorp 9 Peru Copper

  10 Buenaventura 11 ADR Buenaventura

  14 Corp. Aceros Areq Inv. 15 Bco. Continental

               

-

Índices Sectoriales.- La cartera de los Índices Sectoriales se determinan en forma independiente a la del Índice General tomando como base los puntajes estimados para la determinación de la cartera del Índice General.



Los índices sectoriales están clasificados en: Agropecuario, Bancos y Financieras, Diversas, Industriales, Inversiones, Mineras y Servicios. La Base de estos índices 30.10.98=100. Carteras de los Índices Sectoriales (vigente a partir del 10 de noviembre de 2006) SECTOR AGROPECUARIO

  N° Nombre de Valor 1 Casagrande

  2 Cartavio 3 Andahuasi

Nemónico

Peso (%)

 

CASAGRC1

41.9204%

CARTAVC1

26.1999%  

ANDAHUC1

12.1006%

  4 San Jacinto

SNJACIC1

6.2176%  

5 Laredo

LAREDOC1

5.3062%

TUMANC1

4.6653%  

POMALCC1

3.5900%

  6 Tuman 7 Agro Ind Pomalca

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SECTOR BANCOS Y FINANCIERAS

  N° Nombre de Valor 1 Bco Continental

  2 Scotiabank 3 Bco de Crédito

  4 INTERBANK

Nemónico

Peso (%)

 

CONTINC1

36.5694%

SCOTIAC1

27.2075%  

CREDITC1

21.4908%

INTERBC1

14.7322%  

SECTOR DIVERSAS

  N° Nombre de Valor 1 Graña y Montero

  2 Credicorp 3 Ferreyros

  4 BVL "B" 5 Telefónica Móviles

Nemónico

Peso (%)

 

GRAMONC1

38.4566%

BAP

37.2155%  

FERREYC1

12.4013%

BVLBC1 TMOVILC1

5.8005%  

18

Matemática financiera aplicada a los instrumentos de inversión / financiación en el mercado de valores El mercado de dinero: instrumentos de corto plazo Letras -

Letras aceptadas.- Se entiende por “Letra Aceptada” aquella en mérito a la calidad del aceptante, bajo las condición de que será este quien procederá al pago de la misma a su vencimiento, razón por la cual el inversionista que la adquiere se dirige al lugar de pago que figura en la letra o efectúa ducho cobro a través de su intermediario o financiero, según se convenga.

-

Letras giradas.- Se entiende por “Letra Girada” aquella que se negocia en mérito a la calidad del girador-tomador, quien vende la letra en la mesa, bajo la condición de que será quien se obligue al pago de la misma a su vencimiento, al margen de la gestión de cobranza que luego el efectué ante el respectivo aceptante.

CAPíTULO

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Estas letras deben ser giradas y tomadas por la misma empresa y aceptadas por otra empresa. -

Letras avaladas.- Son letras de cambio, giradas y aceptadas por empresas, a las que una entidad bancaria, financiera u otras sometidas al control de la superintendencia de la Banca y Seguros, o empresas con valores inscritos en Bolsa, le otorga su aval constando ello en el respectivo titulo valor. De esta manera, el avalista se convierte en obligado al pago de dicho titulo.



En la mesa de negociación, se negocia estas letras de acuerdo a la calidad del avalista.

-

Letras afianzadas.- Son letras de cambio giradas y captadas por empresas, las mismas que para negociarse en mesa cuentan con el respaldo de una carta fianza solidaria, incondicional, irrevocable y de realización inmediata, emitida por un Banco o Financiera a favor de la Bolsa de Valores de Lima, que cubre el importe de la obligación al vencimiento con un exceso adicional convenido por las partes según sea en moneda nacional o moneda extranjera. Esta Carta Fianza es entregada a la Bolsa al momento de liquidar la operación, permaneciendo en custodia hasta su vencimiento.

-

Letras garantizadas.- Son aquellas giradas y aceptadas por empresas que para negociarse cuentan con garantías adicionales especificas. Dichas garantías son calificadas por el comprador y guardan diversas formalidades según características de las mismas (prendas, garantías con valores, etc). En este caso la bolsa no custodia tales garantías.

Pagares -

Pagares bancarios.- Son títulos que pueden ser emitidos por los bancos y financieras, con le propósito de captar recursos de corto plazo del publico de los montos permitidos por la Superintendencia de Banca y Seguros, Estos instrumentos no pueden ser adquiridos por otras instituciones de intermediación financiera (no se considera empresas de seguros). Así mismo, los emisores de Pagares Bancarios están prohibidos de conceder colocaciones con garantía de aquellos de emisión propia.

-

Pagares de empresas.- Son títulos emitidos por empresas diversas de conformidad con la Ley de Títulos Valores. El obligado del pago es el emisor del Pagare; y es vendido a través de la Mesa de Negociación por el tenedor a favor del cual fue emitido.

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Ecuación de valuación: cálculo de precios y rendimientos Diagrama Típico Un Stock Inicial (P) vs. un Stock Final (S) S |--------------------------------------------------| P (i) n

Casos: Letras, pagares, ecuación de valuación.

P

P

S

1 (1  i ) n

S * FSAni

El Valor Presente (P) se interpreta como PRECIO.

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(*) SE NEGOCIAN A DESCUENTO

FLUJO OPERATIVO DE UNA ACEPTACIÓN BANCARIA

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FLUJO OPERATIVO DE UNA LETRA DE EMPRESA

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FLUJO OPERATIVO DE UNA LETRA AVALADA

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FLUJO OPERATIVO DE UNA LETRA AFIANZADA

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Mercado de capitales: instrumentos de largo plazo Bonos ¿Qué son los bonos? Son valores mobiliarios que representan una obligación de pago por el emisor y reditúan tasa de rentabilidad segura. Su vigencia debe ser mayor a un año. La emisión de los bonos es un mecanismo de endeudamiento para la entidad emisora y una modalidad para captar el ahorro del público en el mercado de valores. ¿Quiénes pueden emitirlos? Las personas jurídica de derecho privado, incluso sociedades distintas a las anónimas. También los bancos, financieras y los patrimonios fideicometidos regulados por la Ley del Mercado de Valores. También pueden ser emitidos por el Gobierno Central y el Banco Central de Reserva. Las emisiones se sujetan a las normas vigentes. Bonos de arrendamiento financiero (BAF) Son emitidos por empresas bancarias o empresas especializadas en operaciones de arrendamiento financiero (‘leading’). Estos bonos pueden tener un rendimiento fijo o variable, incluyendo el derecho a participar en los resultados que obtiene anualmente la entidad emisora. Para su emisión se requiere de la autorizaron de la CONASEP y aun plazo no menor de tres años. Bonos subordinados Son emitidos por bancos y no tiene garantías específicas, ni procede su pago antes del vencimiento ni su rescate por sorteo. El pago del principal e intereses esta sujeto a que previamente se haya aplicado íntegramente al patrimonio contable del emisor, mediando orden de la Superintendencia de Banca y seguros, la que se dispondrá la emisión de nuevas acciones del banco a favor de los titulares de estos bonos, por el importe neto capitalizable o valor residual luego de cubrir perdidas acumuladas. Bonos de titulización Son obligaciones emitidas por el patrimonio autónomo denominado patrimonio fideicomiso, integrados por los activos transferidos por una persona o empresa que le sirven de respaldo. A diferencia de los bonos corporativos, estos bonos están respaldados por activos que se separan del patrimonio de origen (persona que transfirió sus activos a este patrimonio autónomo).

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Bonos cupón cero No dan derecho al cobro de intereses (cupón) hasta su vencimiento, momento en el cual tiene lugar la amortización del principal mas los intereses diferidos acumulados. El emisor puede así financiar a largo plazo un proyecto sin tener que destinar al pago periódico de intereses. Bonos Brady Son instrumentos creados en los ochenta a iniciativa de Nicholas Brady, ex secretario del tesoro de los EE.UU., para facilitar la reestructuración de la deuda bancaria de los países en desarrollo. Pueden estar parcialmente garantizados por los bonos del Tesoro de ese país. Diagrama Típico: Un stock Inicial (P) vs. Un Flujo V I I I I I I I (interes) |------|------|------|------|------|------|------| 0 1 2 3 4 ....…………n

Ecuación de Valuación:

p

P

(1  i ) n  1 1 I V n i (1  i ) (1  i) n

I * FAS

i n

 V * FSA

i n

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Un caso estudio real Bonos del estado: interés capitalizable 1.

A cuanto COTIZAR:



Diagrama: de acuerdo a lo indicado en le bono adjunto por S/.1, 000 se tiene: S = S/.2,853 ___________________________ 0

1

2 años

Análisis: Si el bonista original (trabajador) conserva su bono cobrará S/.2,853 después de 2 años. Ganando una Tasa Trimestral del 14% (56%: 4) La tasa efectiva anual es 6% aproximadamente, pero si lo ofrece en venta, el eventual comprador no estará conforme con una ganancia del 69%. Querrá más, por la inflación. Esta persona puede desear un 14% anual según su EXPECTATIVA INFLACIONARIA (dentro de un año) Esto significa que VALUARA el bono el 140% anual y su valor presente será su precio ofrecido. S= S/.2,853 ___________________________ 0

i = 14%

2 años

Operaciones: P = S. FSA1.40 2 P = 2,853

“Invertir HOY es comprar ingresos FUTUROS”. 1 (1 + 1.4)2

P = S/. 495

Inversión del Comprador. Precio cotizado con descuento.

Respuesta: Si el bono tiene un valor nominal de S/.1,000 el precio cotizado representa el 49.5%. LA COTIZACIÓN DE LOS BONOS SE EXPRESA EN PORCENTAJE.

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Acciones ¿Qué son las acciones? La acción es una parte alícuota del capital de una sociedad que reciben personas naturales o jurídicas, lo cual les atribuye la calidad de accionista o socio. La acción es indivisible. Si varias personas son titulares de una acción, todas ellas deben nombrar a una sola para que las represente y ejerza los derechos que confiere esta. Los titulares también son solidariamente responsables por las obligaciones derivadas a ese titulo. La acción debe ser nominativa; es decir, tiene que emitirse y registrarse a nombre de un titular determinado. Es un valor de renta variable, pues depende de la existencia de las utilidades netas del emisor. Se le califica como un bien mueble y se representa por un certificado. ¿Qué derechos confieren? Las acciones pueden conferir a su titular derechos políticos o económicos. Existen ciertos derechos que son reconocidos por ley a todo accionista y que, por ende, no pueden ser recortados o suprimidos. Son derechos económicos de la acción: hacer participe al accionista de los dividendos cuando la sociedad emisora distribuya sus utilidades y del patrimonio neto resultante de su liquidación, o ejercer el derecho de suscripción preferente en casos de aumento de capital. Son derecho políticos aquellos que le permiten al accionista participar y votar en las decisiones fundamentales de las juntas de accionistas y el derecho de reparación. ¿Qué clases de acciones hay? Existen las acciones comunes y preferenciales. Su carácter depende de los mayores o menores derechos políticos y económicos que otorga cada clase, como la mayor o menor injerencia en la gestión de la sociedad, incluso sin tener derecho de voto. Todas las acciones de una misma clase deben gozar de los mismos derechos. Las acciones de diferente clase pueden crease en el pacto social o por acuerdo de la junta general de accionistas (JGA). Para modificar los derechos u obligaciones de una o varias series se requiere un acuerdo expreso de la JGA, que cumpla con los requisitos exigidos para la modificación del estatuto, y la previa aprobación de la junta especial de los titulares de la clase afectada. ¿A que denominamos acciones de inversión? Las acciones de inversión son títulos creados por la ley especial que confieren derechos de participar en las utilidades y en el producto de la liquidación de la sociedad a los trabajadores que laboran en empresas

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industriales, pesqueras y otros sectores económicos específicos. Se representa por certificados y su monto esta contabilizado en la cuenta de acciones de inversión en los libros de la empresa emisora. En el caso de un aumento de capital por nuevos aportes, sus titulares tienen derecho a suscribir preferencialmente nuevas acciones de dicho tipo para mantener su proporción respecto a la cuenta del capital social. Actualmente, las acciones de inversión no tienen ninguna restricción para ser transferidas. De hecho, muchos trabajadores beneficiarios de ellas las han transferido terceros. Varias empresas las tienen listas en bolsa y su cotización (precio) esta influida por la rentabilidad de la sociedad emisora, pues carecen de derechos de voto o control y no participan en las decisiones de la JGA.

Los otros tipos de acciones ¿A que se denomina acciones en cartera? Las acciones en cartera son títulos que se mantienen en poder de la sociedad emisora sin colocarse, sea porque el pacto social o un acuerdo de aumento de capital así lo dispone porque la sociedad adquiere sus propias acciones a titulo oneroso a gratuito. No puede formar parte de la cuenta capital del balance. Su valor no puede exceder el 20% del total de acciones emitidas por la sociedad. Sus derechos económicos y políticos quedan suspendidos mientras se mantengan en cartera, es decir libre de pago y no se computa para establecer quórum ni vocaciones en junta. La sociedad emisora que las adquiere no puede legalmente mandarla por más de dos años y por un monto que supere el 10% del capital suscrito. De lo contrario, debe reducir su capital para amortizarlas o bien recolocarlas entre los accionistas y terceros ¿Qué son acciones liberadas? Son acciones que se entregan a los accionistas cuando la junta general de accionistas acuerda o delega en el directorio su facultad de capitalizar las utilizadas o reservas libres de la sociedad. ¿Qué son las acciones sin derecho a voto? Son acciones que están privadas del derecho político mas importante, el voto en juntas, pero que simultáneamente poseen ciertas ventajas, como el derecho a un dividendos preferencial, a que informe semestralmente de la gestión de la sociedad y a que se pueda impugnar los acuerdos que vulneren los derechos conferidos por la ley o el estatuto a sus titulares.

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¿Qué son primas de capital? La prima de capital es el pago adicional que debe realizar un accionista al suscribir acciones por encima de su valor nominal. El valor nominal de una acción esta fijado por el estatuto de una sociedad y resulta de la división del monto del capital social entre el monto total de acciones emitidas. La prima es el sobreprecio del valor de colocaciones de una acción que es determinado por el estatuto o por la junta que aprueba el aumenta de capital. La prima atiende generalmente al valor real mayor que posee patrimonialmente la sociedad, por encima del capital social. Tiene mayor aplicación en el proceso de oferta públicas de adquisición (OPA), como forma de tribuir a los accionista de una sociedad cuyo control se desea adquirir. El mecanismo de (OPA) propicia que esta prima por control se haga excesiva a todos los accionistas – mayoritario y minoritario – por igual. ¿Cuánto puede adquirir la sociedad sus propias acciones? La Ley General de Sociedades autoriza a una sociedad emisora de adquirir sus propias acciones cumpliendo determinados requisitos con el cargo al capital, previo acuerdo de reducción; con el cargo a utilidades o reservas libre para amortizarlas sin reducir el capital; con el cargo a utilidades o reservas libres para amortizarlas sin reducir el capital a cambio de títulos de participación; con cargo a utilidades o reservas libres sin necesidad de amortización; y con cargo a utilidades o reservas libres para mantenerlas en cartera. Diagrama Típico D 1 D 2 D 3 D 4 ………………… D °° (dividendos) |------|------|------|------|------|------|------| 0 1 2 3 4 ………………… °°

En el caso de las Acciones que pagan un Flujo de Dividendos (D) a través del tiempo y, como en éste caso NO hay obligaciones de devolver el capital, se usa horizonte infinito. Ecuación de Valuación (de Myron Gordon) La Matemática Financiera se auxilia de la Estadística.

P

D1 ig

(g = Tasa de crecimiento de los dividendos)

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Modelo de dividendos de Gordon y Shapiro El valor presente del mercado de un valor es la suma de la corriente de dividendos esperados del valor. P = (1+b) r A / K - r b. -

A es el total de activos de la empresa.

-

1 - b es la tasa de distribución.

-

r es la tasa que anticipa la empresa de crecimiento.

-

b es la tasa que anticipa la empresa de retención corriente.

-

K es la tasa de descuento del mercado.

P = D / K - g de donde D es el dividendo por acción y G la tasa de crecimiento en los dividendos. Ejemplo: El señor Lukas va a determinar el precio de las acciones del LUFY LTDA., asesorado por una firma de finanzas llega a las siguientes conclusiones: Dividendos $2, Tasa de descuento de mercado 20%, crecimiento de dividendos 15%: P = 2 / (0.2 -0.15) = $40 El señor Lukas concluye que puede ofrecer $40 por acción en 100 acciones de LUFY LTDA. Pero la afirma de finanzas le indica que las acciones están actualmente a $50, por lo tanto debe revisar sus cálculos o abandonar las acciones por sobre valuación.

Modelo de valuación de utilidades El valor de mercado de un valor lo determina el valor presente de todas las utilidades futuras. Pt = Et - It / (1+K) t -

Pt es el precio de mercado de la acción en el período T.

-

Et son las ganancias por acción ene l período T.

-

It es la inversión por acción en el período T.

-

K es la tasa de descuento del mercado.

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Ejemplo: Una empresa espera anualmente utilidades de $8, de los cuales espera retener $5 anuales para reinvertida, la tasa de descuento subjetiva que el inversionista atribuye a la compañía es del 12% P = (8 -5) / (1+0.12)t = 3 / 0.12 = $25 "a perpetuidad"

Ejemplo: El señor Lukas desea invertir en LUFY LTDA., si su rango de precios por acción es entre $16 a $20. La inversión sería por dos años. Hace dos años las utilidades de dicha empresa fueron $6 y las utilidades de reinversión $4. El año pasado fueron $7 y $5 se reinvirtieron. El señor Lukas espera que la compañía continuará con un pago de dividendos de $2 y espera una tasa de rendimiento sobre inversión del 11%. Por tanto esta dispuesto a comprar 100 acciones de LUFY LTDA. Y a conservaras durante 2 años siempre y cuando gane un mínimo del 11%. P = E 1 -I 1 + E 2 -I 2 + P 2 P = E 1 -I 1 + E 2 -I 2 + P 2 (1+k)

(1+k)2 (1+k)2

P = (8-6) / 1.11 + (9-7)/(1.11)2 + 18 / (1.11)2 = 1.80+ 1.62 +14.61 = $ 18.03 P = (8-6) / 1.11 + (9-7)/(1.11)2 + 18 / (1.11)2 = 1.80+ 1.62 +14.61 = $ 18.03

El valor de mercado de las acciones es $17.25 y Lukas decide invertir en las $100 acciones.

Nuevos Instrumentos y Mecanismos de Mercado ADR El Ameritan Depositary Receipts (ADR) es un certificado negociable que representa las acciones emitidas por una compañía no estadounidense, que se vende en el mercado americano. Se trata de un documento de participación del capital de una empresa, que brinda a sus tenedores los derechos y obligaciones inherentes al título original que representa. Este certificado es emitido por un banco de los Estados Unidos de Norteamérica que actúa como depositario y es quién aparece, ante el emisor, como titular de las acciones subyacentes a los ADR’S. El ADR puede equivaler a una fracción o múltiplo de la acción que representa. En el Perú tenemos algunos ADR´s, por ejemplo de las empresas BUENAVENTURA y CREDICORP. También hay ADR´s de empresas de países sudamericanos que cotizan sus acciones en el mercado Americano.

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GDR Es un programa estructurado como una Regla 144A en los Estados Unidos y una oferta pública fuera de los Estados Unidos. Se negocian en múltiples mercados, principalmente en la Bolsa de Luxemburgo o en el SEAQ (Stock Exchange Automated Quotation System) basado en Londres. Los GRDs son elegibles para liquidarse en DTC, Euroclear o Cedel

Titularización Es la operación financiera que hace posible transferir activos mediante la construcción de un patrimonio separado o autónomo, el mismo que sirve de base para emitir valores que representen derecho de participación, crediticios o mixtos vinculados a dicho patrimonio, los activos usualmente titulizables son cuentas por cobrar operaciones de leasing etc.

Derivados financieros Definición Los derivados financieros como su nombre indica son productos que derivan de otros productos financieros. En definitiva los derivados no son más que hipotéticas operaciones que se liquidan por diferencias entre el precio de mercado del subyacente y el precio pactado.

Finalidad de los derivados Se trata de productos destinados a cubrir los posibles riesgos que aparecen en cualquier operación financiera, estabilizando y por tanto concretando el coste financiero real de la operación. Por supuesto y puesto que se trata de productos con un efecto palanca muy elevado, pequeñas inversiones pueden generar substanciosos beneficios y a la inversa en su gran mayoría son operaciones de especulación pura.

Tipos de productos derivados El futuro no es más que una promesa, un compromiso entre dos partes por el cual en una fecha futura una de las partes se compromete a comprar algo y al otra a vender algo, aunque en el momento de cerrar el compromiso no se realiza ninguna transacción. Dentro de estos tipos de productos tenemos: las opciones, los futuros financieros, los swaps, etc.

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Las opciones La Opción es un derecho a comprar o vender algo en el futuro a un precio pactado, a diferencia de los futuros en las opciones se requiere el desembolso de una prima en el momento de cerrar la operación. Las opciones además podrán ser opciones de compra, CALL o de venta PUT.

Futuros financieros Definición Se trata de una apuesta a futuro sobre el precio de un activo subyacente. Así pues adquirimos un compromiso de comprar o vender algo a un determinado precio. Su principal característica a diferencia de las opciones es que el beneficio o pérdida no está limitado.

Tipos Los futuros los podemos agrupara en función de los distintos activos subyacentes. -

Divisas, compromisos de comprar o vender una determinada divisa a un determinado tipo de cambio.

-

Tipos de interés, compromiso de tomar o dar prestado a un determinado tipo de interés.

Swaps de divisas El sistema clásico, hoy en desuso, el banco presta la divisa que va a vender a su cliente y deposita en la cuenta de este la divisa adquirida, de forma que el préstamo y el depósito tengan el mismo vencimiento. El costo para el cliente de la divisa adquirida a plazo viene determinado por los intereses de ambas divisas, la vendida y la comprada, según la sencilla fórmula de divisas a plazo.

Fondos mutuos Los fondos mutuos reúnen dinero proveniente del público para invertirlo en valores, entregando a cambio certificados de participación. De esta manera se diluye el costo de una administración profesional (analistas de inversión) y se diversifica el riesgo (invirtiendo en la mayor cantidad de valores). Los fondos mutuos pueden ajustarse a diversos perfiles de inversión: por tipo de valor (acciones, obligaciones, combinación de ambos), por moneda, orientado a sectores productivos, por el plazos de

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vencimiento de los valores, etc. Los inversores no deben perder de vista que la inversión en cuotas de un fondo mutuo no equivale a un depósito de ahorro. Es decir, la adquisición de estas cuotas no genera intereses sino rendimientos, los cuales se obtienen como resultado de la ganancia o pérdida de las inversiones realizadas con los recursos del fondo.

Fondo de inversión Es un patrimonio integrado por aportes de personas naturales y jurídicas para su inversión en los valores y demás activos señalados en el marco legal (LMV, reglamento de fondos y reglamentos internos), son también conocidos como fondos de capital cerrados, debido a que su número de cuotas es fijo y no son susceptibles de rescate, reembolso o de incremento en su valor por nuevas aportaciones. No obstante, la asamblea general de partícipes podrá excepcionalmente acordar que se efectúen nuevas aportaciones o se aumente el número de cuotas.

Clasificadoras de riesgo Las empresas clasificadoras de riesgo son empresas especializadas que emiten opinión sobre la capacidad de un emisor para cumplir con las obligaciones asumidas al emitir por oferta pública, bonos e instrumentos de corto plazo, de acuerdo a las condiciones establecidas (tasa de interés, plazo, etc.). De esta manera, los inversores pueden conocer y comparar el riesgo de estos valores, sobre la base de una opinión especializada. Cuanto mejor sea la clasificación de riesgo mayor será la posibilidad de que la empresa cumpla con las obligaciones de pago asumida, sin embargo, el dictamen de clasificación no constituye una recomendación para comprar, vender o mantener un valor clasificado, es tan sólo una opinión respecto a la calidad del valor. Según la legislación vigente en el Perú, los emisores de bonos y otras obligaciones deben contar con la opinión de al menos dos empresas clasificadoras de riesgo. Las clasificadoras de riesgo que a la fecha operan en el Perú son Apoyo & Asociados Internacionales S.A. Clasificadora de Riesgo, Clasificadora de Riesgo Pacific Credit Rating SAC, Class & Asociados S.A. Clasificadora de Riesgo, Equilibrium Clasificadora de Riesgo S.A.

Riesgo económico ECONOMIC RISK. Contingencia de una empresa dada por la variabilidad del índice de recuperación de la inversión..

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Riesgo financiero FINANCIAL RISK. Contingencia de una empresa dada por la falta de liquidez, que reduce la rotación de operaciones por la falta de capital de trabajo..

Bolsa de productos La Bolsa de Productos es una asociación civil sin fines de lucro, cuya finalidad es proveer a sus miembros de la infraestructura y servicios adecuados para la realización de transacciones de productos, títulos representativos y contratos sobre productos. Esta bolsa posibilita la concurrencia de ofertantes y demandantes, un mayor grado de estandarización mediante la negociación de productos bajo normas de calidad. También proporciona información relevante para el mercado y otorga la posibilidad de financiamiento mediante las operaciones de reporte. Por otro lado, da a los partícipes de este mercado la seguridad de cumplimiento de lo pactado en la negociación, mediante su sistema de garantías y la solución rápida de conflictos a través de conciliación o arbitraje.

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Matemática Financiera Índice General

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Presentación

3

Capítulo 01 Nociones generales sobre finanzas 5 ¿Qué son las finanzas? 5 Nociones generales de finanzas 7 Finanzas 7 Función de la dirección de finanzas 7 El mercado financiero 8 La función financiera en la empresa 8 Importancia de las finanzas 8 Flujo de tesorería entre los mercados de capitales y las operaciones de la empresa 8 El sistema financiero de la empresa 9 Gráfico: el sistema financiero de la empresa 10 Estructura del sistema financiero nacional 11 Estructura del mercado de valores en el Perú (*) 13 Estructura reguladora del sistema financiero nacional 14 Herramientas y aplicaciones del análisis financiero empresarial 15 Capítulo 02 Tasas, índices y porcentajes Tanto por Ciento (T) Tasa Problemas de aplicación de tanto por ciento Porcentaje (P) Problemas de aplicación de porcentaje Problemas de aplicación del calculo de la base Elementos que intervienen en el tanto por ciento Índice Problemas de aplicación de índices Porcentaje sucesivo Método I Método II Porcentajes equivalentes Porcentaje sobre el precio de costo y el precio de venta Problemas de aplicación sobre el precio de costo y el precio de venta Precio de lista Problemas de aplicación sobre el precio de lista

17 17 17 18 18 18 19 20 20 21 21 21 22 22 22 23 23 24

Capítulo 03 Diagramas de tiempo - valor y flujo de caja Diagrama de flujo de caja Flujo de caja convencional Flujo de caja no convencional

25 26 27 28

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Capítulo 04 El valor del dinero en el tiempo: el interés simple El valor del dinero en el tiempo Interés Calculo del interés simple Interés simple con variaciones en las tasas de interés Interés simple Monto capital stock final o valor futuro Interés simple Periodo de tiempo comprendido entre dos fechas Año bancario según BCRP Número de unidades de tiempo en un año bancario Variaciones en la tasa de interés Inclusión y exclusión de días cuando se producen variaciones de tasas Los numerales Variaciones en el principal (numerales) Procedimiento bancario de cálculo de interés simple a través de numerales Numerales con variaciones de tasas Lista de fórmulas a interés simple Problemas de interés simple

29 29 29 30 30 30 31 31 32 33 34 35 35 38 38 40 41 42 43

Capítulo 05 El descuento Simbología Documentos de crédito Descuento racional simple Descuento bancario Descuento bancario simple Cálculo del valor liquido Cálculo del valor nominal Descuento comercial Simbología Descuento comercial unitario Descuento comercial sucesivo Precio de venta (último precio rebajado) Ejercicios de aplicación Fórmulas de descuento simple

49 49 50 51 53 53 54 55 55 55 56 56 57 58 60

Capítulo 06 Calculo racional o matemático a interés compuesto Definición Stock Stock inicial Stock final Tasa de interés por período Tiempo Las tasas de interés Flujo Rendimiento vs. Riesgo La tasa nominal y la tasa proporcional o periódica Las tasas de interés efectivas Ejemplo de aplicación Tasas equivalentes Tasa equivalente partiendo de una tasa efectiva dada Ejercicios de aplicación Tasa nominal equivalente a una tasa efectiva dada Ejercicios de aplicación

61 61 61 61 61 62 62 62 62 64 64 65 67 68 68 69 70 71

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Factores que afectan a una tasa de interés efectiva Tasa nominal y capitalización Comisiones Comisión adicional a la tasa Comisión flat Devaluación o riesgo cambiario Retención

72 72 73 73 73 74 75

Capítulo 07 El valor presente o stock inicial y el valor final o stock final La capitalización La actualización Calculó de la tasa de interés (i) implícita en un stock final Calculo del número de periodos (n) de capitalización para un stock final Interés devengado en cualquier período capital1zable Ecuaciones de valor equivalente a interés compuesto Calculo del interés compuesto El interés compuesto Lista de Fórmulas

77 77 78 78 79 80 80 80 81 83

Capítulo 08 Clasificación de las series o flujos de efectivo Clasificación de los flujos de efectivos constantes (R) Capitalización de una serie o flujo uniforme Demostración de la suma de terminos en progresión geométrica El fondo de amortización o sinking fund Observaciones

85 85 86 88 89 89

Capítulo 09 Actualización de series uniformes temporales y series perpetuas Amortización La recuperación de un capital Calculo del periodo (n) de un flujo constante de efectivo (r) Cálculo de la tasa de interés (i) implícita en un flujo constante de efectivo (r) Problemas propuestos

91 91 93 94 96 97

Capítulo 10 Capítulo 11 Circuito matemático – financiero Factores múltiples Aplicación de los factores múltiples Ejemplo de aplicación

105 106 106 106

Capítulo 12 Sistema de repago de deuda Método francés Capitalización del flujo (R) Préstamo a recuperar en cuotas periódicas El método alemán El método americano Ejercicio de aplicación Ejercicio para usted Corrección de los intereses por variación de las tasas Enunciado Aplicaciones en los ahorros Caso de Aplicación:

109 110 111 112 112 113 114 115 116 116 118 120

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Capítulo 13 Capitalización continua de series discretas y series continuas Serie discreta con capitalización continua Ejercicios de aplicación Serie continua capitalización continua

121 122 122 126

Capítulo 14 Tasas usadas en el sistema financiero nacional Tasa vencida Tasa adelantada Tasa adelantada equivalente a una tasa vencida Tasa vencida (i) equivalente a una tasa adelantada (d) Factores de descuento Tasa de interés convencional compensatorio Tasa de interés moratorio Tasa de interés total en mora (itm) TAMN, TAMEX, TIPMN, TIPMEX Tasa efectiva en soles de depósitos en moneda extranjera (dólares) Tasa discreta y continua Tasas explicitas e implícitas Tasa de interés legal Moneda Nacional Moneda Extranjera Tasas usadas en el sistema financiero internacional

129 129 129 129 131 131 133 133 134 135 136 138 138 139 139 139 140

Capítulo 15 Análisis de las variables económicas Índice de precios al consumidor (IPC) Datos básicos para la obtención del IPC Canasta familiar Estratificación de la canasta familiar Gasto de consumo de los hogares Estructura de la canasta familiar Cálculo del IPC La inflación y su medida La inflación Grados de inflación Teorías explicativas de la inflación Inflación de demanda Inflación de costos Inflación estructural Inflación importada Cálculo de la tasa de inflación Variaciones temporales (variaciones de inflación) Ritmo inflacionario Tasa de interés real o constante Tasa de interés ajustada por inflación o tasa de interés corriente Tasa efectiva en moneda nacional de depósitos en extranjera

141 141 141 141 142 142 142 142 142 142 143 143 144 144 145 145 146 146 147 149 152 153

Capítulo 16 Cálculo bancario y comercial Análisis de préstamos y créditos Con Tasa Nominal Anual El interés adelantado Relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva dado el interés adelantado En la banca La comisión de Retención

155 156 156 158 159 162 162

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La comisión Flat Mas sobre la comisión de Retención y la comisión FLAT El préstamo bruto Fórmula para preparar tablas de factores de préstamo bruto (X) Cuando la tasa es nominal anual (J) Análisis de descuento de letras: con tasa nominal anual El interés El descuento Veamos como Calcular (d) Un absurdo del descuento bancario simple LAS AMORTIZACIONES: Otra complicación bancaria Análisis de créditos comerciales: con tasa nominal anual La fórmula del comerciante El costo de un crédito comercial Relación entre la tasa de interés y tasa de descuento Descuento racional compuesto Descuento bancario compuesto Calculo del valor liquido Calculo del valor nominal Calculo del descuento bancario compuesto Ejemplo de operaciones financieras a mediano y largo plazo Hasta julio 1985 Metodología actual

162 164 165 166 166 167 167 168 168 169 171 172 172 173 176 177 180 180 182 182 183 183 184

Capítulo 17 El mercado de valores ¿Cómo surge el negocio de la bolsa? Letras, Pagares, Papeles Comerciales Bonos El mercado de valores Concepto Clasificaciones del mercado de valores Características Registro publico de valores e intermediarios Concepto Características del Registro Oferta publica de valores Naturaleza Jurídica Clases de oferta pública Mercado Primario de Valores Valores Mobiliarios Acciones Bonos Mecanismos centralizados de negociación Bolsas de valores Concepto Naturaleza Jurídica Estructura Orgánica Instituciones de compensación y liquidación de valores Naturaleza Jurídica Funciones Valores Negociables El Cautiverio Bursátil Mecanismos centralizados de negociación Rueda de Bolsa Sistema de Negociación Electrónica de la Bolsa -ELEX- Electronic Exchange Los Márgenes del Mercado

187 187 188 188 189 189 190 190 191 191 193 193 193 193 194 194 194 195 195 195 195 195 196 198 198 198 198 199 199 200 202 202

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Rueda de bolsa Compra de acciones 23/9/94 Venta de acciones 24/10/94 Indicadores bursátiles Indicadores por Valor Las Cotizaciones en Bolsa: definición y tipos de cotización Valor Contable El Índice de Lucratividad Frecuencia de negociación Indice Precio Lucro Price Earning ratio (PER) Capitalización Bursátil Otros indicadores bursátiles Precio Ex - Derecho Float Indicadores de mercado Uso de índices y promedios como indicadores de mercado

206 206 206 209 209 209 209 210 211 211 212 212 213 213 214 214

Capítulo 18 Matemática financiera aplicada a los instrumentos de inversión / financiación en el mercado de valores 219 El mercado de dinero: instrumentos de corto plazo 219 Letras 219 Pagares 220 Ecuación de valuación: cálculo de precios y rendimientos 221 Mercado de capitales: instrumentos de largo plazo 226 Bonos 226 Un caso estudio real 228 Bonos del estado: interés capitalizable 228 Acciones 229 Los otros tipos de acciones 230 Modelo de dividendos de Gordon y Shapiro 232 Modelo de valuación de utilidades 232 Nuevos Instrumentos y Mecanismos de Mercado 233 ADR 233 GDR 234 Titularización 234 Derivados financieros 234 Definición 234 Finalidad de los derivados 234 Tipos de productos derivados 234 Las opciones 235 Futuros financieros 235 Definición 235 Tipos 235 Swaps de divisas 235 Fondos mutuos 235 Fondo de inversión 236 Clasificadoras de riesgo 236 Riesgo económico 236 Riesgo financiero 237 Bolsa de productos 237 Índice General

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