MATEMÁTICA FINANCIERA

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I :

MATEMATIGA FINANGIERA -lnteres, Tasas y EquivalenciasAplicaciones en Microsoft@ Office Excel 2407 y Calculadora Financiera Hewlett-Packard@, Modelos 17 Bll y 19 B ll

Juan Manuel Ramirez Mora, Profesor auxiliar UPTC Edgar Enrique Martinez Cdrdenas, Profesor asociado ESAP

EDITORIAL

TRILLAS DECOLOMBIALTDA.

r : i : ; , ; i

:

Ramirez Mora,Juan Manuel MatemdLtica financiera :inter6s, tasas y equivalencias /Juan Manuel Ramirez Mora, Edgar Enrique Mart{nez Cdrdenas. -- Bogotd : Editorial Trillas, 20 10.

266 p. : il. ;21 crn. lncluye Bibliografia. rsBN 978-958-8686-00-4

l. Matemdticas financieras - Enseiianza 2.Tasas de inter6s - problemas, ejercicios, etc. l. Martinez cdrdenas, Edgar Enrigue ll.Tir. 3. Matemiticas financieras 51 1.8 cd

2l

ed.

etZA+AAl CEP-Banco de la Reptblica-Biblioteca Luis Angel Arango

MATEMATICA FINANCIERA -lnter6s, Tasas y Equivalencias-.

O o

Juan Manuel Ramirez Mora, [email protected] Edgar Enrique Martinez Cardenas, [email protected]

copyright

20 10. Derechos reservados.

EDITORIALTRILLAS DE coLoMBlA

Se reimprimen 600 ejemplares de !a primera edicion. Revisi6n de Estilo:

6scar Orlando

Reina Vera

Magister en Educaci6n Queda prohibida la reproduccion parcial o total de esre libro. por medio de cualquier proceso, comprendidos la reprografia y el traamiento informirico, sin la autorizaci6n escrita de los auaores, quienes lienen registrados sus respectivos derechos Microsoft@ office Excel 2007 es marca registrada de Microsoft Corporation Hewlett-Packard@ es marca registrada de Hewlett-packar-d Company

EDITORIAL TRILLAS DE COLOMBIA LTDA,

EDITORIAL

Carrera l5 No 334-35

TRILLAS

PBX; (571) 2857187. Fax:(571) 295 8905 www.trillascolombia.com

DE COLOMBIALTDA,

e-moil: [email protected] Bogotd D.C. Colombia.

-

ISBN: 978-958-8686-00-4 Deposito legal lmpreso por GrdLficas de la Sabana Ltda. lmpreso en Colombia . Printed in Colombio

El libro cientifico es un organismo que se basa en un delicado equilibrio. Los elevados costos iniciales (las horas de trabaio que requiere el autor, los redactores, los correctores, los ilustradores) s6lo se recuperan si las ventas alcanzan determinado nimero de ejemplares. La fotocopia, en un primer momentoJ reduce las ventas y por este motivo contribuye al aumento del precio. En un segundo momento' elimina de rah la posibilidad econ6mica de producir nuevos libros sobre todo cientificos.

De conformidad con Ia Ley colombiana,

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fotocopia de un libro (o parte de 6sre) protegido

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fotocopia no s6lo es ilicita, sino que amenaza la supervivencia de un modo de transmitir la ciencia.

La

Quien fotocopia un libro' quierr pone a disposicion los medios para fotocopiar, quien de cualquier modo fomenta esta prictica, no s6lo se alza contra !a Ley, sino que particularmente se encuentra en la situacion de quien recoge una flor de una especie protegida, y tal vez se dispone a recoger la riltima flor de esa especre.

Co*rENrDo

*

cRplrulo ut'to 1.

coNcEpros gAsrcos oe uRrrruAlcA

1.1

Lg matemdtica financiera y el concepto de

FINANcIERA............

interds

.......".,.. 13

..........,........14

1.1.1

1.1.2 1.1.3

equivalentes ........,................. 16 lmportancia de la matem6tica financiera............,..,., ..........,......17 lmportancia del uso de la calculadora .....,......... ....... , . .... 1g Las formulas algebraicas alservicio de la matemdtica financiera .............,.... .,... .........1g Diagramas de flujo de caja ,..., .1g Cifras o cantidades

1,2.

t.J. .4.

1

1.5. '1

6.

1.7 '1

.

8.

10

C6lcuio del tiempo de una inversion en dfas (fraccion de

abreviado ..,.,......

'1.9.1.

Tiempo aproximado o mdtodo

1.9.2.

Tiempo exacto o real

1

ano)

........,......,.,.., 23 . . ...".....23

..........25

.10.

1.11

.

1.12

Relacion entre elperiodo y la tasa de

inter6s financiera

......32

Forma de plantear y solucionar una operacion

........32

1.13.

x.14.

CAPiTULO DOS

Cdlculo del valor final C6lculo

(F)

del valor presente (P) ..............

..

. .. .

37

ry

MATEMATICA FiNANCIERA -interds, Tasas y Equivalenoias

2.5.

Cdlculo del tiempo (N) ........,.,.,..

2.6.

C6lculo de la tasa de inter6s

2.7.

Equivalencia o conversidn de tasas de inter6s simple

2.8.

Clases de inter6s simple

2.8.1.

lnter6s simple ordinario

2.82.

lnter6s simple exacto

2.9,

Relacron entre el inter6s simple ordinario (lo)y el inter6s simple exacto

210

Ecuaciones de valor en operaciones de interds simple ......,...

211,

Descuento simple

2,12,

Descuento bancario

(i)

,

(le)

Descuento racional o matemdtico 2.14,

Relacion entre el descuento bancario y el descuento racional o matemdtico

215,

Descuento en cadena o serie

2.16.

2.16.2.

Regla de los saldos insolutos o regla americana

CAPITULO TRES 3.

INTERES COMPUESTO

J, t.

3.2.

Cdlculo del inter6s (l) .......,.........

33

Cdlculo del valor final (F)

34.

Cdlculo

35.

Cdiculo del tiempo (N) ..,...,........

36.

Cdlculo de la tasa de inter6s

37

La tasa nominal y la efectiva aplicadas en operaciones inter6s compuesto

3.7 I

La tasa efectiva

3.7 2

La tasa nominal

3.8.

Elementos que integran la tasa de inter6s en operaciones de inter6s compuesto

3.9.

Formas de expresar las tasas de inter6s efectiva y nominal

3.9,1.

Tasas efectivas .,.,............

3.9.2.

Tasas n0mina1es ...,............

3 10.

Equivalencia o conversidn de tasas en intertis compuesto

3.11.

Formas de realizar la equivalencia de tasas en inter6s compuesto

3.12.

Equivalencias de tasas a partir de planteamientos matem6ticos ..........

3^12.1

Procedimiento 1: con base en preguntas

3.12.2.

Procedimiento 2: grdfica de equivalencia de tasas

3.12.3.

Procedimiento 3: tradicional, desde el punto de vista matem6tico

3.12.4.

Procedimiento 4: diagrama de conversi6n de tasas de inter6s

4

del valor presente (P) ..,.,.......

(i)

,

..

,

.

.

Juan Manuel Ramirez Mora - Edgar Enrique Martinez Cdrdenas

3.12.5. 3.12.6. 3.12.7.

3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17.

equivalentes............ Procedimiento 6:grdfica de conversion de tasas de inter6s Procedimiento 7: diagrama de conversi6n de tasas de inter6s Ejercicios de equivalencias de tasas de inter6s Casos especiales de conversi6n de tasas de inter6s Relacion entre la tasa nominaly la tasa efectiva Conclusiones de la conversi6n de tasas de inter6s compuesto Ecuaciones de valor en operaciones de inter6s compuesto Procedimiento 5: transformacion de tasas

,.,..,.,....,. .. ..

tr

,.,,,.,..,..,,..,.... ... 94

......,..,....... . 95 ....,....,...,.....,.,. 96 ..........,.. 110 ...,....,.......,,, 113 .................,,

1'16

........................ 118

CAPTTULO CUATRO 4.

EQUIVAI.ENCIAS DE TASAS, A TRAVES DEL USO DEL EXCEL (MlcRosoFT@ oFFrcE EXCEL

2007)...........

...................... 129

4.4.

Excel Las fungiones del Excel Errores en la formulacion .............. Funciones financieras del Excel

4.5.

Procedimiento para utilizar las funciones financieras del

4.6.

Equivalencias de tasas de inter6s a trav6s del uso de las funciones financieras del Excel .........,....... 137

4.6.1.

Tasa nominalvencida tasa

4.1

4.2,

4.J.

4.6.2. 4.6,3. 4.6,4.

Elementos del

. , .. ... 130 ..... 130

......................132

....132

Excel

nominalvencida Tasa periodica vencida - tasa nominal vencida Tasa nominalvencida tasa periodica vencida Tasa peri6dica vencida tasa periodica vencida

................... 135

...,. 139

.....................141 .......................144 ....................147

4.7. 4.8.

CAPITULO QUINTO 5.

EQUIVALENCIAS DE TASAS A TRAVES DEL USO DE LA CALCULADOM FINANCIERA HEWLETT PACKARD Hp-, MODELOS 17 Blt 19 Bil ......... 151

y

...........,,..

5.1, 5.2.

5.2.1.

52.2. 52.3. 5.2.4.

52.5. 5.2.6. 5.2.7. 5.2.8.

Equivalencias de tasas de inter6s a trav6s del uso de la calculadora financiera Hewlett Packard -HP-, modelos 17 Blly '19

Bll Tasa nominal vencida - tasa efectiva anual vencida Tasa nominalvencida - tasa nominalvencida Tasa nominal vencida - tasa periddica vencida Tasa nominal vencida - tasa nominal anticipada Tasa nominal vencida - tasa peri6dica anticipada Tasa nominal anticipada - tasa efectiva anual vencida Tasa nominal anticipada - tasa nominal vencida Tasa nominal anticipada - tasa periodica vencida

...............,...., 154 ..,...,. .,... 155

,.,.................... 155 ....................., 156 ...,... ,.. ,. ,,... 156 .,..,........... . 156 ..,,. , . 156 ...,,.,...,. . ,.. 157 ............... . . 15=

MATEMATICA FINANCIE,RA -Inter6s, Tasas y Equivalencias

5.2.9.

Tasa nominal anticipada - tasa nominal anticipada

5.2.10. 5.2.11. 5,2.12. 5.2.13. 5.2.14. 5.2.15. 5.2.16.

Tasa nominal anticipada - tasa periodica anticipada

5.2.17

.

5.2.18. 5.2.19. 5.2,20.

Tasa periodica vencida - tasa efectiva anual vencida Tasa periodica vencida - tasa nominal vencida Tasa periodica vencida - tasa periodica vencida Tasa periodica vencida - tasa nominal anticipada Tasa periodica vencida - tasa periodica anticipada Tasa periodica anticipada - tasa efectiva anuai vencida Tasa periodica anticipada - tasa nominal vencida Tasa periodica anticipada - tasa periodica vencida Tasa periodica anticipada - tasa nominal anticipada Tasa periodica anticipada - tasa peri6dica anticipada

CAPITULO SEIS SERIES UNIFORMES

6. 6.1

.

Concepto

6.2.

Clasificacion

6.3.

Las formulas de anualidades .,.,.,,.....,....

6.4.

Elementos de las formulas de anualidades.............

6.5.

Condiciones para manejar las formulas de las anualidades ......,.,...

6.6.

Alcance de las formulas de las anualidades dentro de un flujo de caja

6.6.1

Formula de valor presente de una anualidad vencida

o.o.l.

Formula de valor final de una anualidad vencida

6.6.3.

Formula de valor presente de una anualidad anticipada

6.6.4.

Formula de valor final de una anualidad anticipada

6.6.5.

Formula de valor presente de una anualidad perpetua vencida

6.6.6.

Formula de valor presente de una anualidad perpetua anticipada

6,6.7.

Conclusiones finales de la formulacion de las anualidades.....,.,,.,.....

67.

Formulas para solucionar un flujo de caja con estructura de anualidad diferida

6.7.1.

Cdlculo del valor presente

6.7 .1.1.

Formula de valor presente de una anualidad vencida

6.7.1.2.

Formula de valor presente de una anualidad anticipada

6.7 .1.3

Fdrmula de valor final de una anualidad vencida

6.7.1 4.

F6rmula de valor final de una anualidad anticipada

o.t.l.

Cdlculo del valor final ..............

6.7.2.1.

F6rmula de valor futuro de una anualidad vencida

67.2.2.

F6rmuladevalorfinaldeunaanualidadanticipada

6.7.2.3.

Formula de valor presente de una anualidad vencida

6.7.2,4.

Formula de valor presente de una anualidad anticipada

6

Juan Manuel Ramirez Mora - Edgar Er.rrique Martinez Cdrderias

'7't

6,8.

Ejercicios de anualidades vencidas

6.9.

Ejercicios de anualidades anticipadas "...'........'.".

6.10

Ejercicios de anualidades perpetuas vencidas'...'.

183

6.11.

Ejercicios de anualidades perpetuas anticipadas .'...

184

612.

Ejercicios de anualidades diferidas

6.13.

Ejercicios resueltos

0. t+.

Cuestionario

6,15

Problemas

"t77

186 189

192 192

CAPiTULO SIETE

ffi

INTERES COMPUESTO ATRAVES DEL USO DEL EXCEL (MrcRosoFT@ oFFICE EXCEL 2007)...........

195 196

Cdlculo del valor final (F) C6lculo

del valor presente (P)

'."'

197

'..'

199

rrvr I ryv (N) deltiemPo vvr C6lculo vqlvvlv \r !/

Cdlculo de la tasa de inter6s (i)

201

..

202

Ejercicios de anualidades vencidas

210

Ejercicios de anualidades anticipadas ..,.'. .....". "..

218

Cuestionario

219

Problemas ...

CAPITULO OCHO STO, ATRAVES DEL USO DE LA CALCULADORA

L

FINANCIERAHEWLETT PACKARD, MODELOS 17 8.1, 8.2.

Pasos para utilizar el menf valor del dinero en el

8.3.

C6lculo del valor final

8.4.

C6lculo

"""'222 '

8.5. 8.6.

C6lculo de la tasa de interds

8.8.

"""""""""""221

tiempo

(F)

del valor presente (P) '...'. C6lculo deltiemPo (N) .... ,...

8.7.

Bll Y 19 ts||""".".

,.."

""""""'223 """"""224 ........224

.." ...' Ejercicios de anualidades vencidas Ejercicios de anualidades anticipadas.,'...'.'.......... (i)

""""'225 " ' "" ' """"225 ""' """""228

8.9,

8.10.

CAPITULO NUEVE

L 9

233

SERIES VARIABLES '1.

234

Concepto

92.

Clasificacion

9.2.1.

Gradiente aritm6tico o lineal

9 2.2

Gradiente geom6trico o exponencial

lJ+ 1J4 ..

"........... " ".

1i,

MATEMATICA FINANCIERA -Interds, Tasas y Equivalencias

gradientes.............. .............235 Elementos de las formulas de los gradientes .....235 Condiciones para manejar las formulas de los gradientes.....,..,..... .......,..... 236 Alcance de las formulas de los gradientes dentro de un flujo de caja ........236 9.6.1. Formula de vaior presente de un gradiente aritrntitico creciente vencido ..., 236 9.6.2, Formula de valor final de un gradiente aritm6tico creciente vencido ...........237 9.6.3. Formula de valor presente de un gradiente aritm6tico decreciente vencido .....................237 .,.,...237 9.6.4. Formula de valor final de un gradiente aritmdtico decreciente vencido 9,6.5. Fdrmula de valor presente de un gradiente aritm6tico creciente anticipado , ..,... ... .,,.,...238 .... 238 9.6.6. Formula de valor final de un gradiente aritmdtico creciente anticipado 9.6.7. Formula de valor presente de un gradiente aritm6tico decreciente anticipado.... ....,........ 238 9.6,8. Formula de valor final de un gradiente aritm6tico decreciente anticipado ........................238 .,, ..................239 9.6.9. F6rmula de valor presente de un gradiente geom6trico creciente vencido gradiente geom6trico 9.6.'10. Formula de valor final de un creciente vencido .........239 ..........,.,.....239 9.6.11. Formula de valor presente de un gradiente geom6trico decreciente vencido 9.6.12. Formula de valor final de un gradiente geom6trico decreciente vencido .....240 9.6.'13. Formula de valor presente de un gradiente geom6trico creciente anticrpado ..,...............240 9.6.14. Formula de valor final de un gradiente geom6trico creciente anticipado .....240 9.6.15. Formula de valor presente de un gradiente geom6trico decreciente anticipado ..............241 9.6.16. Formula de valor final de un gradiente geom6trico decreciente anticipado ...,,.,...............241 9.6.17. Conclusiones finales de la formulacion de los gradientes...,.,....,........ .........241 9.7. Ejercicios de gradientes aritm6ticos ...................241 9.8. Ejercicios de gradientes geometricos ... . . . .......243

9.3. 9.4. 9.5. 9.6.

Las formulas de los

CAP1TULO DIEZ

10.

cRITER|OS DE

10.2.

Valor presente neto

10.2.2. 10.2.3.

10.3. '10.3.1.

10.4.

8

|NVERS|0N.................. (VPN)

......,...... 250

.....,............ Criterios de decision delVPN

Tasa interna de oportunidad

............. 250

........251

(TlR).....,....... Criterios de decision de la TIR

Tasa interna de retorno

Relacion de los criterios de decision del VPN y la

.........249

................. 256

.......256

TIR

...........261

PnnsENrACroN

Los profesores Juan Manuel Ramfrez Mora y Edgar Enrique Martinez Cdrdenas entregan a los estudiosos de las materias financieras, y a la comunidad en general, esta importante obra titulada: "Mstemdtica Financiera -Interds, Tusas y Eqaivulenci&s- ". Es el fnfto de muchos afros de experiencia docente y profesional de los autores que, ahora, en buen momento, encuentra un dmbito mucho mds amplio de dfusi1n a travds de la publicaci1n de este excelente libro. Se trata de un trabajo que -a pesar de lo especializado de la materia- se presenta de una manera muy clara, didrictica, y con facilidades de relacionar su utilizaci1n con instrumentos prdcticos tales como el Microsoft@ Affice Excel y la calculadorafinanciera Hetvlett Packar*.

El mttndo de las.finanzas estd viviendo una inmensa revoluci1n en todo el mundo. Cada vez hay mas instrumentos financieros nuevos, cada vez el ciudadano comiln y cowiente se encuenty'a en el campo de su trabajo o de sus opciones de inversi6n con decisiones que debe tomar en el mercado financiero, cuya buena comprensi1n requieren el manejo de los conceptos bdsicos que se presentan en el libro de los profesores Ratmfrez y Martfnez. A ellos, pues, miJblicitaci1n por este esfuerzo laudable; y a los lectores y estudiosos que van a sacar provecho innegable de las lecturas y consuhas de este trabajo mis mejores augurios.

Juan Cumilo Restrepo Salazar Ex Ministro de Hacienda v Crddito Publico Bogotd, .febrero de 2 009.

IortooDUCCIoN

Despuds de varios afros de experiencia profesional y*academica de los autores en el area.financiera, ademas de los vacfos encontrados en l,os textos que han

servido de orientacion al proceso de ensefictnza aprendizaje de la matewiitica financiera, nos dimas a la tat ea de diseffar diagramar y contextualizat: ter5rica y practicamente, una obra que con la nxoyor claridad pedagrigica permitiera a quienes cursan esta asigncttr,u"a en cualquiera de /os programas proJbsionales que se ofrecen en el pais, o simplemente a quienes se interesan en esta tematica, desarrollar las competencias que estos saberes aportan para la gesti1n de pro.yectos 1, organizaciones, apoyados en los mdtodos manuales tradicionales, en la hoja de cdlculo y en la calculadoraJinanciera Son muy variados los contenidos y .formas de abordaie metodolagico que se enc:uentran en obras ya existentes en el mercctdo sobre matemdtica financier"ct. Por ello, la originalidad del texto que u,steC ha adquirido radica en integrar la diversidad de contenidos, a partir de los conceptos basicos y elementales hastct llegar n la aplicacion de los mismos en situaciones concretus camo la evaluaci6n financiera de prayectos. La obra se encuentra distt ibuidct en diez capftulos. En el primero, sobre conceptos btisicos de matem.itica.financiera, el lector encontrard el desarrollo de doce temas necesarios en la comprension y generacion de bases para solucionar cualquier operacion en matewatica.financiera. En el segundo capftulo, interis simple, se presentan los elementos bdsicos que intervienen en la aplicaci1n de este concepto. (Jno de los aportes que se extr)onen en este cap[twlo, es el tenta de la conversion de tasas bajo el concepto de interes simple. En el tercero, interds cornpuesto, se encontrara en farma diddclicct y prdctica el desorrollo tle problemas de interds, valor presente, valor,/uturo, periodo y tasa, aplicando el concepto de interds compuesto. Adicionalmente, se presentan siete procedirnierttos manuales para realizar la conversi1n de tasas de interes, uno de lcs ctta/es. es desarrollado por los antores, cabe destacar que en los *ltimos cinco ati.)s sit aplicacion en los cursos de Malematica Financie.ra ha permilido tnttt ntef ttt

comprensi)n del tema.

MATEMATICA FINANCIERA -lnterds, Tasas y Equivalencias-

los cap[tulos cuarto y quinto, muestran la manera de realizar las equivalencias de tasas en interds compuesto, a traves del uso de la funcion financiera del Microso.fts Olfice Excel 2007 y la Juncion de conversion de la calculadora de financiera Hewlett Packard, modelos t7 BII y 19 BII. En el sexto se presenta y octaro forma antplia el tema de las series uniformes. Los cap[tulos septimo abordan las operaciones bdsicas de interes compuesto, a travds del uso de la ftrncionfinanciera del Microsoft@ Alfice Excel 2007 y lafuncir5nvalor del dinero e1 el tiempo de la calculadorafinanciera Hewlett Packard, modelos 17 BII y 19 BIL EI noveno capltulo presenta el tema de los gradientes o series variables. Fittalmente, el ddcimo capitulo explora los dos tndices.financieros mds utilizados por las analistas a la hora de evaluar el compoftente Jinanciero de un proyecto' conlo son el valor presente neto y la tasa interna de retorno. El tema se desarcolla a travds del uso de los planteamientos algebraicos y la funci6n.financiera del Microsoft@ Olfice Excel 2007 La presentacion de estos contenidos es el resultado de la investigacion adelantada

de trabaio interdisciplinarict de la Escuela de Administracirjn Publica -ESAP- y la {Jniversidad Peclag1gica y Tec:nol6gica de Colombia -(IPTC-en la linea de

por los autores en el grupa Sinergia Organizacional, equipo gestion financiera.

Confiamos en que a travds de estas paginas no solamente se aprendan nttevos conceptos financieros, sino esencialmente, se propicie una re.flexi1n y un compromiso sobre la irnportancia de la matematica financiera en la gestion de los negocios y de las organizaciones; ademas, por supuesto, de la gesti6n de las propias finenzas personales. Dedicamos este esfuerzo n todos aquellos que se constituyen en nueslro soporte vital, a quienes d,espertaron la inqttietud de aswmir este reto' asf como a los esturliantes de las diJbrentes instituciones universitarias del pais y del exterior, con quienes hem.os podido reflexionar alrededor de estos temas.

tl

Juan Manuel Ramirez Mora

- Edgar Enrique Martinez

C6rdenas

Cepirulo

CONCEPTOS BASICOS DE MATEMATICA FINANCIERA OBJETIVOS DEL CAPITULO General ldentificar la fundamentacion teorica necesaria para abordar el conocimiento de la Matemdtica Financiera.

Especificos

L

ldentificar el concepto de valor del dinero en

el

tiempo -VDT-.

2. Explorar el concepto de inter6s y su importancia en el contexto econ6mico. 3. Determinar la relacion entre las finanzas y la matemdtica 4. Abordar el concepto de cifras equivalentes 5. Demostrar la importancia de la matem6tica financiera como herramienta de apoyo para tomar decisiones financieras.

6. ldentificar 7

.

la relaci6n existente entre el periodo y la tasa de inter6s

Analizar la importancia del concepto de flujo de caja y de fecha focal.

8.

ldentificar las diferentes formas para calcular el nilmero exacto de dias trascurridos entre una fecha y otra.

L

Aplicar una metodologia que permita plantear y solucionar una operaci6n financiera. bajo el concepto de valor del dinero en el tiempo.

L

MATEMATICA FINANCIERA -Interds, Tasas y Equivalencias-

1. CONCEPTOS

BASICOS DE MATEMATICA

estudian

FINANCIERA

,t.1. LA MATEMATICA

FINANCIERA

Y

EL

CONCEPTO DE INTERES El estudio de la Matemdtica Financiera -MF-, desde sus

inicios, fundamenta su desarrollo en la matemdtica; de hecho, su solucion se basa en convenciones algebraicas

que se derivan de un planteamiento. En tal virtud, el estudio de esta asignatura genera cierto temor en estudiantes de pregrado y posgrado, en programas como administracion, econom[a, contaduria p[blica e ingenier[a.

La MF es un 6rea de las finanzas encargada de estudiar el valor cronologico del dinero (valor del dinero en el tiempo -VDT-). En otras palabras, se preocupa por conocer el valor econ6mico de los flujos de caja en un determinado punto del tiempo, ya que como es sabido, el dinero tiene la facilidad de generar m6s dinero o mds riqueza con el paso del tiempo, porque 6ste no es gratuito.

el profesor Guti6rrez (1998:53) afirma que 'El capita[ siendo un recursa escaso, tiene, como todo factor de produccion, un valor o un costo. El concepto de valor o costo es relativo y representa simplemente una medida destinada a evaluar la

Al respecto,

prioridad de un recurso dentro del esfuerza econdmico". Esta mayor riqueza estd influenciada por

factores de car6cter economico y financiero, tales como la inflacion, el riesgo, la oportunidad y la liquidez en la econom[a, entre otros. Algunos de estos elementos se pueden definir asi:

1.1.1. LA INFLACION "

Se trata del crecimiento generalizado y continuo de

precios de los bienes y servicios de una economia, elfenomeno contrario, es decir la caida generalizada los

y

continua de los mismos precios, se denomina

deflacion. Por lo extenso y generaldel concepto, tambi1n resulta

y cada pais dispone de indicadores cercanos a esta medicion: entre ellos el deflactor dificil de medir,

implicito de cuentas nacionales, et Indice de Precios al Productor y el mds conocido y utilizado, el indice de Precios al Consumidor. Este iltimo, aunque se constituye en el mds canocido

y el mds utilizado, contiene

limitaciones para la

reCicion del concepto, esencialmente derivadas del

t-

campo de aplicacion del indicador, pues s6lo se los

gastos de consumo final de los hogares"l.

En Colombia, el c6lculo de la inflacion lo realiza el DANE -Departamento Administrativo Nacional de Estadistica-, a partir del IPC -[ndice de Precios al Consumidor-. "Para canstrLtir el lndice de Precios al Consumidor se requiere disponer, primero, de una amplia gama de

informaci1n que permita hacer las definiciones pertinentes para el ejercicio, entre las cuales se encuentran: una Qncuesta de ingresos y gastos familiares, de la cual se obtiene la canasta para seguimienta de precios del fndice (o canasta faniliar) y un sistema de ponderaciones para promediar las variaciones individuales de los precios de cada articulo constitutivo de esa canasta.

De igual manera se necesita determinar los hdbitos de lugar de compra que tienen los hogares del pafs, para poder seleccionar los establecimientos donde se levantardn los precios de los bienes y servicios de la canasta para seguimiento de precios. Y por lltimo una encuesta de marcas y calidades, para establecer las especificaciones o caracterfsticas de los articulos que hacen parte de la canasta

y hacer seguimiento al

mismo artfculo en la misma fuente,

y obtener

variaciones puras de precios por artfculo y por fuente donde se cotizan.

A partir de esas variaciones individuales de cada articulo en todas las fuentes donde se cotiza, se obtiene un promedio ponderado para actualizar elnivel bdsico de la estructura, llamado gastos bdsicos. Cada nivel superior al Easto bdsico se obtiene por promedios ponderados de los componentes, es decir clases de gasto como agregacion de gastos bdsicos, subgrupos como agregaci1n de clases, grupos de subgrupos, y finalmente eltotal por agregacion de grupos. Esto para cada ciudad que hace parte del marco geogrdfico de la investigaci1n y para el agregado de ciudades, o

nacional, se inicia el ejercicio a partir de los gastos bdsicos locales como base de cdlculo de los gastos bdsicos nacionales, despuds el proceso es tambi1n el de agregacion de componentes hasta llegar al total nacional. En ambos casos trabajando siempre con los nimeros fndice de cada categorfa"2. lTomado de la p6gina Web del DANE, www.dane.gov.co ('17 de mayo de 2008) 2

Tomado de la p6gina Web del DANE, www.dane.gov.co (17 de mayo de

2008)

Juan Manuel Ramirez Mora

1.1.2.

-

EL RIESGO

Uno de los conceptos b6sicos de las finanzas tiene que ver con la relacion riesgo rentabilidad. Por ello, se puede afirrnar que a mayor riesgo involucrado en ia operaci6n financiera, mayor ser6 la Tasa M[nima

E,dgar Ennqr.re l\4artinez Cirdenas

carro, la compra de ropa, el comer en el mejor restaurante de la ciudad, etc.).

OPORTU\IDA,D

Requerida de Retornor (TMRR) que solicite el inversionista. Es decir, existe una intima relacion entre la tasa de inter6s y el riesgo percibido:

EI concepto de oportunrdad planteado, permite que

A mayor riesgo, mayor rentabilidad A menor riesgo, menor rentabilidad

alguien disfrute de los recursos economicos dispuestos por el inversionista Es decir, se mide el impacto que genera la decision de ceder el principal (P)

Se puede definir el riesgo como ". . la parte inevitable de cualquier procesl que implique tomar decisiones

y para el caso especifico de las finanzas se asocia con p1rdidas potenciales que se pueden presentar

Asi, Ias iasas de inter6s es el resultado de

la

interaccion de los conceptos de inflacion, riesgo y oportunidad:

en un portafolio de inversiones en una cartera debidamente conformada y se asocian con la probabilidad de una perdida en el futuro" (Rosillo y fVlartlnez, 2404.20).

Los riesgos se pueden clasificar en: Riesgo de Mercado

r

o

.

o o

.

o o o o

Riesgo de Liquidez Riesgo l-egal Riesgo Operativo Riesgo de lnflacion Riesgo de lntereses Riesgo de Cambio Riesgo Economico Riesgo de Solvencia Riesgo Pais (Rosillo y Martinez, 2A04:21-23).

i=[(t+,,)(t+;,)...(r+;,,)]-t

j

=(.1,+ jr...+

j,)

A trav6s de las anteriores formulaciones matem6ticas

se realiza la combinaci6n de tasas de inter6s,

o

aplicacion simultanea de varias tasas con el fin de

encontrar la tasa real aplicada en la operacion financiera.

Una de las maneras m5s adecuadas para minimizar

A partir de las mencionadas variables economicas

la incertidumbre ocasionada por el riesgo, consiste en diversificar el portafolio de inversiones.

financieras se puede construir el concepto de rnter6s, entendido como ", ..el costo de capital y este costo varia de acuerdo con la importancia deldinero, como recurso productivo, en cada situacion. Toca con las preferencias de los individuos, pues, para que alguien dd dinero en

1.2.3" LA OPORTUNIDAD Se concibe como la posibilidad que tiene el inversionista de invertt "...en alguna actividad, haciendo que no solamente se proteja de la inflacian,

y

prestamo, se requiere que la satisfaccion que la persona experimente al recibir la suma prestada, nds los intereses

Estas inversiones se pueden hacer en dos sentidos.

correspondientes, supere la satisfaccion que la rn,tsma persona tendria de consumir su dinero ahora msno, Tambidn tiene que ver con el riesgo. pues ei dueic de los fondos aspirard a un rdditd, mayar entre nenores

Por un lado, aquella que genera una rentabilidad

sean la posibilidades de recuperar lo in,tertidc

economica (invertir en tltulos valores, prestar dinero a un amigo, etc.); y por el otro, invertir en actividades de bienestar (un viaje a Europa, la compra de un

1998:53).

sino tambi)n que generen una utilidad adicional" (Garc[a, 1999: 92).

'.

(Gu:r6n'ez.

15

MATEMATICA FINANCIERA -lnterds, Tasas ;- Equir alencias-

Con base en lo expuesto, el lnter6s se puede definir como la utilidad 0 connpensaci6n recibida o pagada

Por ejemplo, $1.000 de hoy son equivalentes dentro de un afro a $1,'100, siempre y cuando la tasa de

por el disfrute o uso del dinero entregado en un

interds que se cobre sea del 10%, es decir que la tasa

rnomento del tiempo. Es importante resaltar que existe

de interes pernrite que dos cantidades ubicadas en diferente parte del tiempc sean economicamente

una relacion directa con el concepto de inversion inicial, tasa de inter6s y tiempo que dure la operacion financiera, ya que esta integracion permite consolidar la ganancia o inter6s en terminos monetarios.

iguales.

1.3.W

I=Pin Asl mismo, en la medida en que el capital entregado por un inversionista sea mayor y que el tiernpo que dure ia operaci6n financiera tambi6n lo sea, 6ste pedird

Iifrar flquival*nirr

una mayor tasa de interds que compense su expectativa y su riesgo. "Quiere decir, por lo tanto, que la que un inversionista exige cono cantidad diferencial por el hecho de no disponer del dinero ahora cambio de hacerlo dentro de un periodo

tes4$glB3t+ttre

V&*te?

7

determinado, se llama interds, cuya magnitud varia de acuerdo con sus expectativas y el riesgo que dt

i),

titrex tquival**I*s

considera estd asumiendo al comprometer sus fondos. Expresado coma un porcentaje, este interes tambi1n suele llamarse Tasa Minima requerida de retorno o Tasa mfntma Requerida de Rendiniento (TMRR) ' (Garcia, 1999: 93).

Por lo expuesto, se puede afirmar que, "e/ pilncifio de equivalencia establece que: una o varias sumas

de dinero pueden transformase

El inter6s aplicado en una operacion financiera se puede presentar bajo el concepto de capitalizaci6n de inter6s. En este caso, estariamos hablando de lnter6s Compuesto, o bajo el concepto de inter6s

en

otras u otras

equivalentes, ubicadas en disttntos puntos deltiempo,

sienpre y cuando la tasa de rnteres establecida satisfaga al inversionista". (Ruiz, 1 985: 37).

Sobre el mismo concepto el profesor lgnacio Velez Pareja afirma que: ". ..dos sumas son equivalentes,

simple, el cual no permite la capitalizacion de intereses,

aunque no iguales, cuando a la persona le es indiferente recibir una suma de dinero hoy (P)y recibir otra diferente (F) mayor al cabo de un (1) periodo". (V6lez, 2AA6.42). Finalmente, se puede concluir que la tasa de inter6s

Se puede conclutr, entonces, que la tasa de inter6s al

y la duracidn de

expresa los factores economicos y financieros

relacionarse con el principal

anteriormente mencionados, y en buena medida este elemento define la cantidad de inter6s a ganar o cobrar en una operaci6n financiera.

operaci6n financiera. permite establecer una cantidad economica que se denomina inter6s.

la

CIFRAS O CANTIDADES EQUIVALENTES

Dicho inter6s es la cantidad economica que le permite un individuo recibir una suma de dinero el dia de hoy o recibirla en un tiempo posterior.

Con la Matem6tica Financiera se busca, entonces, encontrar que dos cifras diferentes, ubicadas en

que dos cantidades sean equivalentes entre si, a pesar

1,2.

a

distintos puntos del tiempo, tengan el mismo efecto economico (poder adquisitivo o de compra); es decir,

io que se busca es desarrollar el concepto

de encontrarse ubicadas en diferentes puntos del tiempo,

de

equivalencia de los valores, gracias a una iasa de inter6s que Io permite.

t6

Por ende, que el inter6s es el concepto que permite

'

Es o rrismo que decir rendimiento o jnterds

Juan Manuei Ramirez Mora

- Edgar Enriclue Martinez

Cdrdenas

PFRIODOS (n)

CANTIDADES EQUIVALENTES

1.3.

FINANCIERA

Seg0n Vidaurri (2001: XIX) para"...tomar una decision financiera adecuada, es necesario tomar en cuenta el valor del dinera en el tiempo, por tal motivo, el estudio

El manejo de la herramienta de la MF, permite medir el impacto de las decisiones que tomar6n a diario los

de las matemdtica financiera nos capacita para

IMPORTANCIA DE LA MATEMATICA

miembros de la organizacion en relacion con la situacion financiera (inversion, financiamiento,

elaborar modelos matemdticos que nos permitan resolver de una manera mds racional los problemas financieros que se nos presenten en la vida diaria'.

dividendos, operacidn).

Las decisiones financieras se pueden presentar tanto

El profesor Oscar Leon Garcia afirma que " El dominio

en las empresas privadas y publicas, como tambi6n en las familias; siguiendo la clasificacion presentada

de las matemdticas financieras permite a quien las utiliza realizar infinidad de andlisis de tipo financiera, entre los cuales podemos mencionar los siguientes:

.

Determinar el verdadero costo de una alternativa de financiaci1n, o la verdadera rentabilidad de una inversion

. . . . . . .

Disefiar una polltica de descuentos Establecer planes de financiamiento a los clientes cuando se vende a crddito Seleccionar el mejor plan para amortizar deudas, segin los criterios de liquidez y rentabilidad que tenga la empresa Calcular el costo de capital Escoger las alternativas de inversion a corto o largo plazo que sean mas favorables Seleccionar entre alternativas de costos

Evaluar un proyecto de inversion (Garcia, '1999: e2),

por los profesores Bodie Zvi y Merton Robert (1999:47) en su texto Finanzas, se puede encontrar que las

decisiones financieras que afrontan las familias son cuatro:

. . . .

Decisiones de consumo y ahorro Decisiones de inversion Decisiones de financiamiento Decisiones de administracion del riesgo

Mientras que las decisiones financieras que deben

tomar las empresas hacen alusion a tres tipos fundamentales:

. . .

Decisiones relativas al presupuesto de capital Decisiones de financiamiento Decisiones relativas al capital de trabajo

A ia hora de entrar a abordar los problemas de MF es importante reconocer y seguir la l6gica en que 6stos

se basan; es decir, no usar las formulas

oa

MATEMATICA FINANCIERA -Interds, Tasas y Equivalencias-

calculadora para su solucion como una receta de cocina. Entender la l6gica del valor del dinero le permite no s6lo desarrollar ejercicios de cardcter simple, sino dar solucion a los derivados de las relaciones complejas en el mundo de los negocios, y en el propio 6mbito personal.

1.4.

IMPORTANCIA

DEL USO DE

LA

CALCULADORA Una gran cantidad de errores que comete el alumno de la asignatura de matemdtica financiera se presenta

al incorporar operaciones aritm6ticas de manera incorrecta en la calculadora; situacion ironica, si se piensa por un momento que este instrumento fue desarrollado por la humanidad para agilizar los c6lculos numericos y entregar con ellos gran precision. Esta situacion se da por el desconocimiento, por parte

del usuario, de la manera en que las calculadoras llevan a cabo tales operaciones.

La invencion "...de la calculadora se ha convertido, junto con la computadora, en una herramienta bdsica de las actividades laborales, acaddmicas y de la vida cotidiana. El uso normal de una calculadora es como una itil herramienta empleada para la resoluci6n de

tediosos cdlculos aritmdticos; puede utilizarse para comprender mejor ciertos conceptos matemdticos y

para desarrollar cierta habilidad matemdtica. Sin embargo, la calculadora no podrd ser utilizada como un sustituto del razonamiento ni para interpretar resultados; estas actividades contin(tan siendo exclusivas del ser hLtmano" (Vidaurri, 2001: 1).

"En la actualidad, estamos en la era de las calculadoras y, con su advenimiento, ha caido en desuso la regla de cdlculo, despuds de un reinado de tres siglos. Los modelos de calculadoras son muy

diversos, incluso las hay con funciones especificas para aplicaciones financieras; los disenos de las calculadoras evolucionan continuamente, por esto resultaria initil explicar la forma de explicar la forma de utilizar alguna de ellas. 56lo es preciso decir que se trata de una herramienta indispensable para quien

pretenda trabajar en el 6rea de las matemdticas financieras. El primer paso serA seleccionar una calculadora adecuada y tener pleno conocimiento sobre su manejo y posibilidades'i (Portus, 1998: 7).

Las calculadoras han evolucionado de acuerdo con las exigencias del usuario y en la actualidad es posible encontrar en el mercado cuatro tiposs:

ls

. . . .

La calculadora b6sica o estAndar

La calculadora cientlfica La calculadora graficadora La calculadora financiera

Gracias al desarrollo obtenido en las calculadoras, la matemdtica financiera se ha beneficiado en la medida en que ha permitido agilizar los cdlculos con el fin de

tomar decisiones mds rdpidas

y

acertadas; adicionalmente, el uso de las tablas de inter6s ha entrada en desuso6. *

1.5. LAS FORMULAS ALGEBMICAS AL SERVICIO DE LA MATEMATICA FINANCIERA

Al inicio las operaciones financieras que trataban el tema de la matemdtica financiera se realizaban mediante c6lculos dispendiosos al tener que realizar las operaciones de forma consecutiva con el fin de hallar el valor equivalente, ya que no existfa una mec6nica (formuias) que permitieran simplificar las operaciones. Por esta taz6n, "...hace muchos afios,

acaddmicos estudiosos de

las

Matemdticas Financieras (MF), disenaron una serie de formulas denominadas formulas de matemdticas financieras cuyo propdsito es permitir el cdlculo de valores equivalentes en diferentes momentos deltiempo, por lo que tambi6n se /es denomina f6rmulas de equivalencia (Garcia, 1999: 95).

Estas formulas permiten calcular, entonces, valores equivalentes ubicados en diferentes partes del tiempo, tanto para operaciones de inter6s simple como de inter6s compuesto. Gracias a estas formulas y antes

de aparecer las calculadoras sofisticadas y los sistemas computacionales, se logro construir las tablas de inter6s o tablas de factores que se utilizaban para la soluci6n de los problemas.

"Una f6rmula es una representaci1n simb6lica de ciertos hechos. Puede usarse cualquier simbolo con tal que conozcamos los datos que representa. Se ha establecido la costumbre de usar las letras de los alfabetos griego y romano, con preferencia a otros signos. Las formulas perrniten a menudo resolver con

facilidad un problema diffcil, cuya solucion por 5

Se recomienda al estudiante leer el manual de su calculadora para

comprender Ia manera de introducir operaciones matem6ticas en ella. 6

Si desea profundizar sobre el tema de las calculadoras puede hacerlo en

el libro l\4atem6ticas Financieras de H6ctor M. Vidaurri Aguirre, segunda edici6n. Editorial Thomson Learning. Mexico, 200 1 , Pdginas 1-22.

Juan Manuel Ramirez Mora

- Edgar Enrique l\{artinez

C

j:,t::t.,.

procedimientos puramente aritmdticos seria lenta y fastidiosa. Ademds, cuando las relaciones numdricas

acuerdo con el caso de andiisis la iasa de interes se puede expresar como lTasa lrter"a de

pueden expresarse en una formula, se facilita muchisimo el procesa de hallar una cantidad

Oportunidad), TMRR (Tasa m'r n-a 'eaier ca de Retorno), Costo de Capital (KCt Tasa li':e'^a ce

desconocida. ...una formula podrfa considerarse coma una guia que permite hallar el camina a travds de un laberinto." (Moore, 1963: 5-6).

Retorno (TlR), entre otros.

Es importante destacar que la notacion de cada t6rmino expresado en las formulas puede variar segun la literatura que el usuario llegue a abordar, por ello,

es muy comun encontrar que algunos elementos expresados en las formulas de matem6tlcas financieras se pueden identificar como: (l): Definido como la cantidad que se cobra por el uso del dinero. Renta que se paga por el uso de unos recursos, Dinero que se paga por el uso del lnterrSs

dinero ajeno, Es el rendimiento que se obtiene

al

invertir en forma productiva el dinero. En t6rminos mds concretos, es una relaci6n directa entre el capital invertido, la tasa de interris y el tiempo de la operacion.

Valor presente (VP): Es el capital inicial invertido en el momento cero; tambi6n puede denominarse de

varias maneras como: Principal (F), Valor de transaccion (VT), Valor liquido (VL), Capital inicial (C), lnversion inicial (lNV.), Valor presente (P), entre otros. Valor futuro (VF): Representa el vaior acumulado o incrementado por efecto del inter6s. Otras denominaciones para este concepto son: Capital final (S), Monto (M), Final (F), Valor acumulado, Valor final, cantidad acumulada, vaior futuro

(F), entre otros.

Cuota uniforrna (R): Es el canon o arriendo periodico; tambi6n es denominado cuota uniforme o anualidad Se puede expresar tambi6n mediante la letra A que representa la inicial de la palabra anualidad.

Cuota variable (R): Es el canon o arriendo periodico que crece o decrece en t6rminos aritm6ticosT (lineales)

o

geom6tricoss (exponenciales); tambi6n es

denominado cuota variable o gradiente.

Nfrnero de periodos (n): Es el tiempo expresado en periodos de la operacion financiera; puede expresarse

tambi6n como Tiempo de la transaccion (t), plazo, tiempo que dura el pr6stamo. Cuando se trabaja con las formulas de anuaiidades o gradientes significa nImero de pagos periodicos. Tasa de inter6s (i): corresponde a la rentabilidad generada o cobrada en la operaci6n financiera. De

Ti0

1.6. DIAGRAMAS DE FLUJO DE

CAJAg

Para poder visualizar las operaciones flnancteras es necesario construir una gr6fica que permlta lblcar

en el tiempo los valores o flujos de caja (ingresos c egresos), ya que, como recordard el lector al hablar de matemdtica financiera se alude al valor del dinero en el tiempo. Esta circunstancia impllca comprendei la ubicacidn de los flujos en el tiempo, con el fin de construir de rnanera adecuada la ecuacion que permita dar solucion al caso planteado en el problema.

Es decir, en gran nnedida el 6xito que se obtenga al comprender y realizar un problema de matemdtica financiera es atribuible a una correcta construccion de la griifica" Por esa razon, "lo que se pretende es trasladar la inforrnacion del problema, sLts datos, a un diagrama que nos permite visualizar y controlar la solueion que le estamls danda" (Cardona, 1986:20). En otras palabras, "eldiagrama consiste en una llnea

horizontal divldida en secciones iguales que representan los periodos entre los cuales se aplica la

tasa de interes" (Ruiz, 1985: 34). Al respecto, el profesor iose ObeC Ramirez la define como "un fragnenta de recta harlzcntal que muestra el ttempo o plazo n que dura la transaccron. Esta linea se divide

en el nAmero de subunidades de tiempo denomrnadas

periadas" (Ramirez, 2000:1 8), Para poder ubicar los flulos en la recia dei tiempo es

necesaric identificar cuales son lcs tngi'esos y los egresos. Los primeros se represental con f echas hacia arrihra; los segundos, con flechas hacra aba1o. Ademds, es importante colocar sobre ei diagrama los flujos en forma cronol6gica y secuencial Las secciones o escalas utilizadas en ia construccron

de ia grafica pueden ser dias, meses. b mesires trimestres, cuatrimestres, semesti'es anos etc., o 7

Se refiere al crecimiento o decrec mienic de la clrcia srcurelte en un mismo

valor monetario. B Se refiere al crecimiento

o

decrecimiento oe la cuota siguiente en un

mismo valor porcentuai. s

Tambi6n se puede denominar: diagramas de tempo. lineas de tiernpo, escala de tiempo. flujo de caja, elc.

MATEMATICA

Fl\-\\CIER\

-lnleres. Ta.es

cualquier unidad de tiempo que resulte conveniente para resolver los problemas.

r

Equiralencias-

C rti{J t)ira eI BJ!rr6 6*nadero (Prertaririrta}

$ 10,s00.000

n-1,

n-X

n,Afros

i"10%

P

=

!

1!.os3.{E0

Se puede apreciar claramente que el ingreso inicial del deudor, es un egreso para el prestamista; mientras

Fs $ 10.000

que el egreso flnal del deudor. es un ingreso para el prestamista.

En una operaci6n financiera, por m6s compleja que

6sta sea, siempre intervienen dos

Finalmente, es importante mencionar que existe

(deudor) y otro quien los entrega (prestamista). Por

esta razdn, es importante identificar a qui6n se le

diversas formas de representar Ia grdfica cuando 6sta es infinita o cuando el numero de periodos es muy amplio. En tal caso, se procede de diferentes maneras.

debe realizar el flujo de caja.

Lo fnico que se mantiene estdndar es la forma de

Veamos el siguiente ejemplo: Ei senor Juan Manuel Ramlrez Mora solicita un cr6dito

ubicar los flujos. Ahora bien, los ingresos son flechas ubicadas en la parte superior de la recta, mientras que los egresos en la parte inferior de la misma.

al Banco Ganadero por valor de $10.000.000.

Algunos ejemplos de esia representaci6n son:

agentes que economicos: uno recibe recursos econ6micos

La entidad financiera otorga el cr6dito, y concede un piazo

de un ano para su cancelaci6n. Determine el valor futuro que debe cancelar el sefror Ramirez. Tenga presente que el banco cobra una tasa de inter6s del

F. *z*"w.w

100/o.

_io5

':!GRf

En esta operacion financiera, la grafica se debe realizar hacia el deudor. Veamos:

b-a

r6&Et**

(r:ifiea para luan Manuel Rdrnirei Mora {Derrdor} P

P: :10.ffi.040

h.z

=

5 1.t*rl.S00

ta $9*"W.W

tp&p"r]**r,

W*t*%

{&v"tt**

F=?

Ahora, comparemos la grdfica del deudor con la del prestamista:

20

p

= 51 {$fi.*&:}

Juan Manuel Ramirez Mora - Edgar Enrique lVlartinez Cdrdenas

tr -

El "porcentaje, llamado tambi1n tanto por ctenic

f ri.vlrv-vt]t tft Nttt N*t t

proviene de la palabra latina per centum, que stgnfica por ciento. El cdlculo del porcentaje es una de las

,?ig&*,r..9{3\

operaciones mds utilizadas en el campo comercial y financiero, ya que se emplea para indicar aumentos, disminuciones, utilidades, tasas de inter1s, tasas de

descuento, etcdtera.

{3;&{t1}1

pz gt.Wt.W:, { * 9W,W}"W

El tdrmino "por ciento" significa "cent6sima"; es decir, el por ciento de un n(tmero N es una fraccion con numerador N y denominador 100. El simbolo de por ciento es %14. Asi, por ejemplo: no/ t+ /0

4

t*&&&e,a$

significa

ianoo =

0,14

=

0,026

=

3,48

2,16/100 348% significa 348/100

2,16% 8-*

significa

lnversamente, cualquier nimero puede ser escrito en p=

t

forma de porcentaje; simplemente, se multiplica por 100 y se agrega el sfmbolo %. Por ejemplo:

r.$0o.,]@

F

= 910.*0{1"*ffi

0,1814

=

1,175

=

= (1,175)(100)% =

(0,1814)(100)%

18,14% 117,5%

lQud significa, entonces, la expresion 6% de 78? Como 60/o significa 6 centdsimas, 6sta expresion significa: hallar 6 cent1simas de 78. Por tanto, 6% de 78 es simplemente la multiplicaci1n de 78 por 0,06; esto es:

Wv$q5

P

"

6% de 76 = (6/10Q(78) =

$ X.8ffi.W0

4,6t

El nimero 4,68 recibe el nombre de producto. 6% es el porcentaje o tanto por ciento y 78 se llama base"

1,7. EL PORCENTAJE

lVidaurri, 2001: 103-1 04).

El porcentaje es la forma de expresar la tasa de inter6s

cobrada en una operacion financiera. Esta forma tambi6n es denominada valor porcentual o relativo.

Es importante aclarar que la expresi6n relativa

o

porcentual de la tasa de inter6s no puede ser utilizado de manera directa en las ecuaciones. Por ello, se debe expresar la tasa de inter6s en forma decimal o en valores absolutos, lo cual se obtiene al dividir el valor porcentual entre 100. Es decir: Valor

I 'r''-41lil;Ir***'',. 3o,l* L----'-|"-oJo !*"41dd" f*& "*****il' 1,.' *J "-*; ".:,;-':"."

1.8. LOS PERIODOS

Cuando realizamos una transaccron podemos observar que elttempo transcurre, entre el momento en que se inicia hasta cuando frnaliza; solo quizds

"

podemos exceptuar cuando lo realizamos de contado (o en la misma fecha)

El tiempo que transcurre lo podemas medir en diferentes unidades: dias, semanas, meses, trimestres, semestres o afios, siendo estos los mds

El simbolo % surgio como una corrupcion de la ab:eviatura de Ia palabra ciento (cio.). El primero en usar el simbolo fue Delaporte que en 1685 lo emple6 en su obra Guia del Conerciante. iVidaurr . 2001: 103) 10

21

MATEI\.1ATlC-\

Fl\-\\C1ER1 -l:r,.-ics., :.:.;''

Equrralencias

frecuentes. Ahora entraremos a considerar en forma gendilca el tienpo y decimos que transcurre en periodos, entendi1ndolo como el nimero de veces que la unidad de tiempa se repite (o estd contenida). Asl, si realizamos una negociacion desde el 1o de enero hasta el 30 de septiembre, eltiempo comprendrdo lo podemos expresar en diferentes periados, dependiendo de la unidad de tiempo deseada. Veamss: Si la unidad es dfas,

tenemos

Si la unidad es semanas, Si la unidad es meses,

n = 274

tenemos

tenemas

n = 36 n=

I

I

"5 Cuatrimestres

tenemos n = 3 Si la unidad es semestres, tenemos n = 1,5

Si la unidad es trimestres,

Si la unidad es afias,

tenemos

n = 0,75

Veamos en el anterior cuadro que el nimero de periodos (llamado n) puede tomar valares enteros, fraccionarios y menores y mayares que la unidad.

2Cuiil valor se debe utilizar? Depende de cada situacion. (Cardona, 1 986,1

8-1 9)

Por esta razon, se debe siempre conocer la cantidad de periodos contenidos en otra unidad:

T i

.

6

"--: _. l3rmestres

4 Quincenas ;

L::::;,:';;;:*;iXLJil

I

0,66 TrimestrEs I

3

Cuatrimestres

i

0,3333 Sernestres

22

Juan Manuel Ramirez Mora

- Edgar Enrique Martinez

Es importante aclarar que un bimestre es una unidad

Cdrdenas

Soluci6n:

de tiempo que contempla dos meses; esto es, sucede

o dura cada dos meses. Tambi6n es conocido como bimestral, Es importante diferenciar estos dos t6rminos del concepto bimensual; este 0ltimo significa que se hace u ocurre dos veces al mes. Asl, bimestral no es sin6nimo de bimensual.ll

1.9,

CALCULO DEL TIEMPO

DE

UNA

TNVERSToN EN DIAS (FRACCToN DE ANO)1'

DIAS POR

DIAS

INTERVALO

ACUMUI,ADOS

TIEMPO Del 20 de ago$o ai 20 de septiembre

30

30

30

60

JU

90

Del 20 de noviembre al 20 de diciembre

30

120

)el 20 de diciernbre al 31 de diciembre

tI

131

Del 20 de septiembre Del 20 de octubre

al

al 20de octubre 20 de noviembre

Es comun que el tiempo de una operaci6n financiera

transcurra entre dfas (fraccion de ano). En tal caso, se tendria que calcular el tiempo en nImero de dias entre dos fechas, Por esta raz6n, resulta importante

O tambien se puede de la siguiente manera:

explicar las formas como se puede obtener dicho

FECFIA$

ANOS

MESES

DiAS

31 de diciembre

2005

12

31

20 de agosto

2005

8

20

OANOS

4 MFSES

11 DIAS

cdlculo:

o e

Tiempo Aproximado o M6todo Abreviado

Tiempo Exacto o Real

1.9.1.

TIEMPO APROXIMADO

O

TOTAL

120 DIAS

ME:TODO

ABREVIADO

DIAS

Cada ano se estima en 360 dias.

Cada mes se estima en 30 dias.

C6lculo utilizado para simplificar las operaciones

La operacion que se hace es una diferencia entre fechas,

financieras y comerciales. Seg[rn este, cada mes del ano conternpla 30 dias, el afro tiene '12 meses o en su

defecto 360 dias. As[, se facilitan los cdlculos, pues permite un gran numero de simplificacionesl3 sin la utilizaci6n de la calculadora o el computador. Es decir:

lnterpretaci6n Los dias transcurridos de forma aproximada entre el 20 de agosto de 2005 y el 31 de diciembre son'13'1 dfas.

MES

Enero Febrero

Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Ejemplo 2

DiAS 30 30 30 30

Determine los dlas aproximados que han transcuri'ido desde el 20 de junio de 2004 al 3'1 de octubre de 2007.

30 11

30 30

Una revista bimensual sale veinticuatro veces al ano, mientras que una binestral sale seis veces al afio. La confusi1n cuando se da. puede ser grave. lmaginese usted una cldusula contractual en que los ftrnantes se conprometan a cobrar y pagar un mill1n de d6lares en forma bimensua,

30 30 30

cuando lo que se pretendia era que lo hicieran en forma bimestral. El se conviene en cuatro mtllanes.

30

nii,'i'

\c'-.

Escriio por Fernando Avila. Digalo sin errores. Bogot6, Ec1 tor a 2002. Tomado el 1 7 de mayo de 2008 en http://ftp.eia.edu.coiSli cs',l -

30

1

Calcule los dias transcurridos entre

Bimensual y bimestral son palabras con significado completamente disttnto.

Bimensual es lo que sucede u ocurre dos veces al nes y bitnestral, io aue sucede u ocurre cada dos meses.

Fl

Ejemplo

,11

.',

12 Es posible que se presenten diferencias entre el inter6s ca .- .. - .--deudor y por el acreedor, por efecto de la irregularidades Ce :a .' que los meses de 6ste, no contienen el mismo numero ae : a. '=:-= dias, marzo 31 dias, abril 30 dias, etc,),

:.' -

el

20 de agosto

de 2005 hasta el 31 de diciembre del mismo afro. Utilice el m6todo abreviado.

=

:

uidos/lecturas/esquina/2_Bimensual. pdf

l3360tienelossiguieniesdivisores:2,3,4,5.6 30,36,40, 45,60,72,90, 120, 180 y

360.

8.9':' !': -: --

-.

-i --

i:\ 3ltrlcias-

Soluci6n

junio de 2004 al 20 de junio de 2007

Del 20 de

Del 20 de tunio de 2007 al 20 de

i

iulio de 2007

Del 20 de

julio de 2007 al 20 de ago$o de 2007

Del 20 de

ago$o de 2007 al 20 de septiembre de 2001 de 2007 al 20 de octubte de 200i

tCada ano se estima en 36C c as

Del 20 octubre de 2007 at 31 de octubre de 2007

lCrd, tn.u lLa

O tambi6n se puede de la siguiente manera:

l

FECHAS

nrrtos

MESES

DIAS

31 de octubre

2007

l0

31

20 de junio

2004

6

20

3 ANOS

4 MESES

11 DIAS

120 D|AS

11DIAS

TOTAT

tffil

se estima en 30 dias'

ofiacdn qutse

hace es una diferencia entre fechas'

Al intentar realizar la diferencia entre las dos fechas del ejercicio, se encuentra que, tanto en la columna

que cle meses, como de d[as, el minuendo es menor por ello, se debe disminuir en un afro

el sustraendo;

la columna afros, con

elfin de sumarle su equivalencia

en meses en la siguiente columna, asi:

Cada ano se estima en 360 dias. Cada mes se estima en 30 dias. La operamn que se hacg es una diferencia 9

lnterpretaci6n Los dias transcurridos de forma aproximada entre el 20 de junio de 2004 al 31 de octubre de 2007 son 1.211.

Cada ano se estima en 360 dias' Cada mes se estima en 30 dias. La operadm qtie se hace es una diferencia entre fechas'

Ejemplo 3 Calcule los dias transcurridos en forma aproximada junio de desde el 30 de septiembre de 2004 al5 de 2007.

De igual manera, en la columna meses se deberdr disminuir en un mes, y sumar su equivalencia en dlas en la siguiente columna:

Soluci6n ANOS

MESES

DiAS

5 de junio

2006

17

35

30 de septiembre

ZUU'+

0

30

2 ANOS

8 MESES

5 DIAS

1l! ulA)

240 DIAS

5 DIAS

FEEHAS 2006 Dd 30 de septle.bre de 2004 al 30 de septiembre de Del 30 de septiembre de 2006 al 30 de octubre de ?005

oelJ0 de o*ubre de 2005 al 30 de noviembre de 2006

Gl30

de noviembre de 2006 al 30 de diciembre de 2006

TOTAL

Dei 30 de diciembre de 2006 al 30 de enero de 2007 Del 30 de enero de 2007 al 30 de febrero de 2007 Del 30 de febrero de 2007 al 30 de marzo de 2007 Del 30 de mazo de 2007 al 30 de abril de

200i

Del 30 de abrjl de 2007 al 30 de mayo de 2007 Det 30 de mayo de 2007 al 5 de

ll t-

j;nio de 2007

Cada ano se esi rna

er :60

cias

Cada mes se estrma er 3i iias. La opetacb,

Gs,

-------_-

hace es una dlferencia

ery*!!a!'

Juan Manuel Ramirez Mora

- Edgar Enrique Martinez

lnterpretaci6n

Ciirdenas

4, Tablas de d[as: en el texto se presenran C:s

Los dias transcurridos de forma aproximada entre e 30 de septiembre de 20A4 y el 5 de junio de 2005 son 965.

tablas para su cdlculo.

Con los dos primeros medios, se puede llegar

a

estimar tiempo real, incluido el dia de mds cuando es

un afro bisiesto. Entre tanto, con los dos rlltimos se

Ejennpio 4 En forma aproximada, calcule los dias transcurridos, en nueve (9) meses.

Nue',,e rneses

: 9 meses x 30 dias

Nueve meses

:270

cae en el error de no considerar el dia de m6s cuando es un afro bisiestols.

En el presente texto se explicard el tema a partir de dos tablas de dias:

dias

'

lnterpretacion Los dias transcurridos de forma aproximada en nueve (9) meses, son 270,

Ejernplo 5 Calcule los dlas transcurridos en forma aproximada

Tabla

de dias

n0mero uno

Tabla de dias nrimero dos

de dias n0mero uno: es presentada y utilizada por el Profesor Guillermo Baca Currea en sus textos lngenieria Econ6mica y las Matemdticas Financieras y los Sistemas:

Tabla

desde el 2 de enero al 2 de noviembre del mismo ano.

Soluci6n Entre el 2 de enero y el 2 de noviembre del mismo aflo transcurren 10 meses:

Diez meses: 10 meses x 30 dias Nueve meses

: 300 dias

lnterpretaci6n Los dfas transcurridos, de forma aproximada, desde el 2 de enero al 2 de noviembre del mismo afro, son 300 1,9,2. TIEMPO EXACTO O REAL A trav6s de esta forma, se obtiene de rnanera real el dato correspondiente a los dlas transcurridos entre dos fechas distintas, ya que se consideran los rneses no s6lo de 30 (como lo hace el aproximado), sino tambi6n meses de 31, 28 o 29 diasla, seg0n el intervalo de tiempo analizado (meses).

Para la estimaci6n del tiempo exacto en dias, se pueden utilizar diferentes medios: '1. Excel.

2. Calculadoras financieras: Hewlett Packard (referencias 198ll, 178ll), Cassio, entre otras marcas y referencias. 3. Un almanaque o calendario: si se cuenta la salida, no se cuenta la llegada, o caso contrariol5.

la Un afro tiene: Enero 31 dias, Febrero 28

dias (29 dias con afro bisiesto), Marzo 31 dias, Abril 30 dias, lVlayo 31 dias, Junio 30 dias, Julio 31 dias, Agosto 31 dias, Septiembre 30 dias, Octubre 31 dias, Noviembre 30 dias, Diciembre 31 dias. r5

Si se obtiene un pr6stamo de $ 100 hoy y se devuelve manana, el inversionrsta solo ha utilizado los recursos por espacio de un dia y no por espaclode dos dias. En su ibro l,4anual de l\,4atem6ticas Financieras, escrito por Justin H. Moore en 1963. se dice textualmenle, ...En justrcra. deberia pagar interbs s6lo por un dia. En reahdad. esa es la costumbre entre los banqueros y hanbres de negocios de los Estados Unidos e lnglaterra. En estos dos paises, para determinar la duracion del perlodo de un prestano, se excluye el primer dia y se incluye el iltino. En la antigua Roma se incluian el primero y el iltino dia, esto es, los dias terminales, costunbre que sigue usAndose tadavia en Francia. Holanda y algunos otros paises.

Asi, para un prdstamo hecho el 6 de enero

y que vence el 29 del misno

mes, se cargaria interes por 23 dias en Estados Unidos, pero en Francia se

cargaria por 24 dias. Fijacidn de la fecha del vencimiento:La fecha en que vence un prestano se fija basdndose en la forna en que est6 redactada la obtigacion. Por ejenplo, si en una transaccion de fecha de 5 de septiembre un deudor

se compromete a devolver el prdstamo a los cuatro neses, habrd que entregar el dinero el 5 de enero. Por otro lado, si otro prestano contratado el 5 de septienbre ha de durar por acuerdo nutuo 2A dias, la devolucion habrd de hacerse el 3 de enero. En este segundo ejenplo se cuanta el nunero exacto de dias, porque el tienpo se ha expresado en dias;'(pAgina 11). 1

El pro{esor Lincoy6n Portus Govinden, en su texto de Matem6ticas Financieras (cuarta edici6n de '1998), con relaci6n al tema afirma: "Sl /a fecha terninal corresponde a un dia festivo, el sistena loca! indicard si ei pago debe recibirse el priner dia hdbil siguiente, sin contar dias adicionales para el cobro de rntereses." (.pAgina 20). 16 Este texto solo considerard anos de 365 dias, con el fin de utllizar las tablas de dias, que no consideran como ya se dijo el dia de m6s cuancc :s ano bisiesto. El lector debe recordar que cada cuatro anos se pfess':: bisiesio. Ejemplo: ano 1996, ano 2000, ain2004. ano 2008. etc

\ -I:::::.. I

MATE]\4ATICA FI\-{\CIER

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30

31

31

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21?

243

304

365

JI

59

151

*

Para ano bisiesto. se adicrona un dia mds a panir dei 1 de marzo FUENTE: Baca Currea, Guillerrno i2AC2aj lngeneria Economica Pdgina 375.

En ia tabla anterior no se incluye el dia inicial; para su utilizacion, siga las reglas:

valores obtenidos en la interseccion, ubicando como minuendo el mayor valor (que corresponde a la segunda cifra).

a) Para obtener el n0mero exacto de dias en un mismo afio, se debe ubicar el dia de la primera

b)

fecha en la columna DlA. Posterrormente. se ubica el mes de esta fecha en la columna MES que corresponda, a trav6s de la identificacion del punto

Para calcular el numero exacto de dias trascurridos entre varios afros17, se debe ubicar el dia de la

primera fecha en la columna DlA. Posteriormente,

de interseccion entre el DIA y el MES. lgual procedimiento se realiza con la segunda fecha, Finalmente se efectfa la diferencia entre los dos 26

17

Tenga en cuenta que si en el penodo a calcular se presentan anos corn-

pletos,6sios se asumen de 365 dias. sin efectuar calculo alguno, ya que 6ste se realiza cuando existen fraccrones al inicio v/o al final de un periodo.

Juan Manucl Ramirez Mora - Edga; Enrique Martinez C6rdenas

se ubica el mes de esta fecha en la columna

ilH,::::]il'J1,?:,i?^'J?

MES

i,'r[:i:U.:iJ[i:

Ejemplo 10 22 de junio de 2004 ar 30 de mayo de 2cc5

el valor correspondiente a la intersecci6n del dia 3'1 de diciembre del afro correspondiente (365) y

lt::::,

se realiza la diferencia entre este valor y el obtenido de la primera interseccion. As[, se establece el

173

192

DIFERSNCIA

30 DI,MAYODE,2005,'

tornado como referencia. Finalmente, se busca en

Aorelfru

la tabla la interseccidn que corresponda a la segLrnda fecha, para sumar este nIrnero de d[as Ejemplo

Encontrar el ntmero exacto de dias para los siguientes casos, con base en la tabla anterior:

365

l:Z'VIE:tt);Nl0}?:::.2fr;&.&.:,:

ntmero de dlas trascurridos en el primer ano

al calculado para el primer afro.

CIFfiA 9E I-ATASLA

l,.:,..,:ftGl{AS.:

31:DE. Dlel f,M gRE ZA04:

15S2:

taz

,'

11

20 de agosto de 2004 al 20 de enero de 2008. EiFfiA]OE LA.ThBTA

FECHAS

Ejemplo 6

'20 DE A6OSTO :fil,:lffifl

20 de enero de 2005 al 25 de septiembre de 2005.

O,FERTIIICIA

ANO 2005

gtRA,DF,:LA.TAB[A:,;

fECl{AS, 25 0E

SfPIIf

2O',DE r N

MB,R€,0,8,,?005.-

tt0.Df"' Nb\,:,

,DlFERENCtAl9,ri,:;.

782

::,t

133,0iA5 :365

AfrO 2006

',,,?6s

,A&0.2007,1

':::.365:.:'

:nl,:2018 .:.ADK,[6N,

.,,',',L-4ig.niagr,,'.'

::

28

. ?0',0€,Et'dEfi 0

',,,2*,''.

Ejemplo 7

.;:',t24dfrIAit"''

Tabla de dlas n[mero dos: Es presentada por el

28 de junio

de

2005 al 12 de septiembre de 2005. :'C+FRA0E.'U'TABIA'

FEGTAS;

12 Dr SEPT|,ilVIBRE Et 2005

z5s

28 DE jUlN10':?0P5

'119

DlFtREllClA

?rBiAs

Ejernpio

, 365'r'

31 DE DlClEl\48flE:,,2004

Profesor Moore, en su obra Manual de Matem6ticas Financieras (1963), y la denomina numero exacto de dias en la duracion de un prListamo.

I

8 de enero de 2004 al 15 octubre de 2004, FECllAl

,rrr

CIFRA DEr:tArTABIA

15 DE OCTU:BRE :frE: lQW,,,

288

8]OE ENEfiODT 2004,

I

DIfEfiEIICIA

ispic piAs 18

Recuerde que se debe tomar como minuendo la mayor cifra encoftra:a en la tabla; para este caso, 268 -20 = 248 dias.

Ejemplo 9 18 de febrero

de

]e La tabla de dias no considera en su c6lculo aflos bisiestos

2004 al 10 rnayo de 2004.

IFECHA$',:"

10 DE,'MAYO ilE 2004 18 DE F,EB]RERO]2004

FIFERFNCIA

Clf{A'DE:{A,TABLA i.30 48 812s D[45

coml io =.

aflo 2004. Por esta razon los dias obtenidos con el uso de a tab a y no 281, como es la realidad.

,'

=

-:,

: :r : : ::- :'

.!:i:

20

La tabla de dias no considera en su c6lculo aflos bisrestos ano 2004. Poresta raz6n, los Cias obtenidos con el uso de'a :a: no 82, como es la realidad.

'

=-r

Valor registrado en la tabla en la rntersecc on DIA

-'.'::

.

,,Desde,

,,

Ene,

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243 274

304 335

JO3

tcJ 184 214

FUENTE: Moore Justin H. (1963) Manual de lVatemlrticas Financieras Pdgina 15.

c) Cuando el numero del dia del mes inicial es mayor que eldel dia del mes terminal, hitllese el nlmero

En la anterior tabla no se incluye el dla inicial. De acuerdo con Moore (1963:15-16), para emplear la tabla anterior se deben seguir las siguientes reglas:

a) Para obtener

de la tabla que corresponde al n(tmero de dias comprendidos entre las mismas fechas de los dos

meses, como en el casa (a), y r1stesele la diferencia entre el numero deldia del mes inicialy

el n0mero exacta de dfas

comprendidos entre cualquier fecha de un mes y la misma de cualquier otro mes, hdllese el nlmero de la tabla situando en la columna encabezada

el del mes terminal. d) Siempre que en la duracion de un pr1stama estd

por el mes terminal y en la lfnea hoilzontd

incluido el 29 de febrero de un afio bisiesto, proc1dase para hallar el nlmero exacta de dias en la forma que se ha descrito en los tres pArrafos que anteceden y anddase I al resultado.

correspondiente al nombre del mes inicial.

b)

Cuando el nlmero del dla del mes terminal es mayor que el numero del dfa del mes inicial, hdllese en la tabla el nimero que corresponde al numero de dias conprendidos entre las msmas fechas de los dos meses, como en el caso (a). y simesele la diferencia entre el numero del dia del mes terminal

Encontrar el niimero exacto de dias para los siguientes casos22, segrin la anterior tabla.

y el del mes intcial.

Los ejemplos presentados son los mismos desarrollados con la Tabla de Dias N0mero Uno (ejemplos 6, 7, B, 9, 10, 11).

22

Ejemplo 12 20 de enero de 2005 al 25 de septiembre de 2005

.NUMERO DE ,:. l

DIA

ME$

...

LATABLA

TERMIiIAL{BMN

243

25

:.'::'',,,',

nnME€ liltclAt', .,:;,,;,;;.:

;

\ai"'"'

gg Sfggrl'

i'.

248

.,::5..:..

Nfmero de la tabla + (DlriT 248

23

28

NUMERO,EXASTO

0MT.,:DMI

(f)g/,ll;,,,,:.: .:. ,

-

Df,4l1 = 51r1rur.o exacto de dias, 243

*

5=

Juan Manuel Ramirez Mora

- Edgar Enrique Martinez

C6rdenas

Ejemplo 13 28 de junio

de 2005 al12de septiembre

de 2005

NUMER0,DE,

iN]U.!ilERO EXACTO

:,$g

""tL'tfufr\a,''':,

pigg

'i1,,',.,,''1,,

92

:',.,',V;6

1'2,.'.:,'.'

Ejemplo 14 8 de enero

de

2004 al 15 octubre de 2004

itSli::

',",L5,:,:'

4' I

a.,,,:3,,1:,,,,:

i;,;:.:,:.;'/.$.$4.:,:

Ejemplo 15

18 de febrero de 2004 al 10 mayo de 2004

Y;jw "1

i.lt:::a:t.t:::.:L$tl

:|;"ft$'

,t:$$;.,;,iy'.,;.1

::::::1,:':tt1',::i::',;;::$l;;,1:;;';,1;l;,,1.

Ejemplo 16 22 de junio de 2004 al 30 de mayo de 2005 .,.,,,',.,

DIAIME$',,,,,,:

. ,.l

f,ER$liltAt{D*1?} '..2,2::";:)t;

::i:l::' : :.:;t::,1;t.;:

::.f|:'..:,,::a,tl' ::::

lal:

:::,:;!::,::..:,::i:,i:,'8,42::,:::.,i::::'::

Ejemplo 17 20 de agosto de 2004 al 20 de enero de 2008

:',,.,:;:;1;1:.1{f,$::;1;1,:,1:.::;,

,l.r:'.DlArffiESr,

r:Ul#:ililpsr::

,i,en*tWAf

,.,''lfilidlA

,:,,,,:':,,{SMTI,"';,'

,:.'.t,'.1$ffi$::,tt:::::

'20

;;'.,u$Ii:f'r*t:,: :l:li

2.Q.::;::;t;;,,:.

2a

El ai'o 2004 fue bisiesto, es decir que febrero tenia 29 dias,

25

Nlmerode la tabla + (DMT-DMl) = N0meroexactode dias, 89.1-8r=

26

Mds 3 afros comprendidos entre el 20 de enero de 2005 a 20 de enero de

81

2008, que equivalen a 1,095 dias (365 dias x 3 anos).

29

1.10.

FECHA FOCAL

Conio ya se menciono, la Matemdtica Financiera

Al ubicarse el igual en la ecuacron se est6 afirmando dos cosas mpctar,es,

e

permite medir el impacto de las decisiones financieras que las familias u organizaciones toman a diario.

(punto de andlisis;.

Este an6lisis se obtiene al llevar cada uno de los flujos

c

de caja a un mismo punto del tiempo. Lo que se busca

es que cada cantidad econ6mica (lngreso y Egreso) quede expresada en un mismo poder adquisitivo.

(simple o compuesto)vigente en la operacion, los flujos a un mismo punto de an6lisis. Este punto de encuentro

Que todos los flujos economicamente se encuentran en el poder adquisitivo de la moneda, en el punto establecido como fecha focai.

Por esa razon, eljuego operacional de la MF es rnuy

simple; consiste en movilizar, por medio del interes

Que no existen mds flujos que transporiar o mover al punto estableodo como fecha focal

Veamos otros ejemplos de fecha focal: t

1 '

t.7t3j

se denomina fecha focal.

La fecha focal se representa grdficamente por una lfnea de trazos y por las letras ff y es la fecha en que

"

debe hacerse la igualdad entre ingresos y egresos. La ubicacion de la fecha focal no altera la respuesta final2T , por tal motivo la ubicacion de la fecha se deja a libre eleccion de la persona que va a resolver el problema. En inter1s simple, la posici1n de la fecha focal si causa variacion en la respuesta final y por esta raz6n normalmente es el acreedor quien decide donde ubicarla.' (Baca, 2002a'.31).

tr* tt t*. f&*tu",

De la anterior grdfica, se puede concluir que tanto los

ingresos corno

los

egresos son cornparados en el

punto seis (6),

lngresos

Egresos

Significa el punto de aniiljsis de las cantidadcs ecorromicas. Significa ubicaciorr dc la lecha local ir,,,9,,,y!.fr

!;:!:}.v.e],ps*r..glte,z,-+e 27

30

Siempre y cuando se est6n analizando operaciones de inieres compuesto

Juan Manuel Rarlirez Mora

- Edgar

De las dos grdficas anteriores, se puede concluir que las cantidades que se encuentren inicialmente en el

punto establecido como fecha focal, no requieren moverse, por encontrarse en el punto de comparacion fecha focal).

Enriqr-re N{artinez C'a:der:s

En talvirtud, a los valores {fluios ce cala Jt cados a la izquierda de la fecha focal estabie3 'ja se es debe aplicar o incorporar inter6s: a los ia c'3s -! .alt) a la derecha de la fecha focal establec ca. se ;e S ci!3 quitar inter6s; y los valores ubicados en e rec"a i:oa no llevan ninguna clase de inter6s. Despuds de 'ea zar estos ajustes a las cantidades economicas se trcuicg

a sumar. La tasa de inter6s utilizada para transportar ianto lcs ingresos, como los egresos al punto de la fecha focai se denomina tasa de rendimiento o tasa de refinanciaci6n. Es impo(ante resaltar que el concepto de fecha focal est6 lntimamente ligado al de ecuaciones de valor. La ecuaci6n de valor es un procedimiento matem6tico

y Es importante analizar que toda cantidad ubicada a la

zquierda de la fecha focal establecida, se debe oonsiderar como un valor presente, el cual debe ser a su equivalente en t6rminos futuros (fecha

'levado {^ ^^ t\). rvdt

AsI mismo, toda cantidad ubicada a la derecha de la iecha focal establecida, se debe considerar como un ','alor futuro, el cual debe ser llevado a su equivalente

en t6rminos presentes (fecha focal)28.

'.ft

a lavez financiero, que permite transportar, por

medio de una ecuacion (construida bajo la logica financiera y matemdtica), los diferentes flujos de una operacion financiera a un punto de la recta, con el fin

de realizar una igualdad entre las cantidades analizadas. De esta manera, se permite comparar las cifras; dicho punto se denomina fecha focal o fecha

de valuaci6n (fl).

El profesor Vidaurri (2001:168) afirma que "La ecuacion de valor se basa en el hecho de que el dinero tiene un valor que depende deltiempo. Elvalor futuro de una cantidad inverttda o prestada es mayor que su valor presente debido a los intereses que gana. lnversamente, el valor actual de una cantidad de

3..3:{ffi

W*es,*

dinero es menor que su valor futuro debido al descuento racional que sufre. Por tal motivo, dos o mds cantidades de dinero no se pueden sumar mientras no se hallan trasladado todas a una fecha de comparacian (fecha focal)." Finalmente, se puede concluir que el juego de la

ttl

matemdtica financrera consiste en movilizar los flujos de caja de izquierda a derecha con el fin de establecerlos en el mismo punto de andlisis, conocido

's

'& "a vY ."i"t *_-**)i ,&

como fecha focal, Para mover las cantidades en la recta se utiliza el concepto de inter6s simple o el de inter6s compuesto.

e

rt

:x :

.,1.--,.-..----,.,.-..-,-.,3-. -.*;*"*j

al,

r

r-srqn{

.s :, r[!i-is:: .- -::. :- ..''- - .. ..-.: ,. : :-:

:: La aplicacion de las formulas depende de la ubicacon ce relacion con la fecha focai, Si los valores. ben sean esten antes de la fecha focai,6stos se deben ller''ei a decir, aplrcarie el factor de inter6s. Pero, si as caniia;:s =:'..- -. despu6s de la fecha focal, 6stos se deben t.asladar :..- z ''-'- - . presente; es decir, quitarle el facto:'d-" tnter:s a ': ca-.

'?8

MATEMATICA FINANCIERA -lnteris. T:sr.

1.11.

r iqi::r:L:ncias-

RELACION ENTRE EL PERIODO Y LA 5.1 lnter6s

TASA DE INTERES

Simole.

i

La relacion que se da entre el periodo y la tasa de inter6s es importante; precisamente, esto se debe a que la tasa este expresada en unidades de liquidacion del interds y el periodo est6 dado en unidades de tiempo. Por lo anterior, a la hora de incorporar la tasa de inter6s lc primero que se debe hacer es coincidir el periodo de aplicaci6n de la tasa de inter6s y el plazo de liquidacion de la operacion financiera, as[:

y el nfmero de periodos en las formulas de MF,

. . . .

36%y5aflos, 3o/o mensual y 60 meses, 9o/o

trimestral y 20 trimestres,

18o/o

semestral y 10 semestres, etc.

El mantener siempre esta relacion permite obtener el mismo valor equivalente. Esta relaci6n, en el caso de ia tasa de inter6s, se logra

mediante el procedimiento de equivalencia o conversi6n de tasas de inter6s, concepto aplicado tanto para operaciones de interos simple, como para inter6s compuesto. Este serd explicado de manera amplia en el capltulo correspondiente a cada clase

de inter6s.

i;"R;;;;;c"**.,6' I

l^-,'ffiffi;;;d,t*l

liiaffi,ffi-"a& r--"1

at ,1. .. i,,.

- --......

-..--,::-.--'----,.-

'10,

Desanollar los

:it '- I -,,ijlitttaL*

1.12.

FORMA DE PLANTEAR Y SOLUCIONAR UNA OPERACION FINANCIERA

Antes de iniciar la soluci6n de cualquier ejercicio financiero en MF, se deben seguir los siguientes pasos:

Los anteriores once (11) pasos permiten desarrollar eficazmente un probiema de Matem6tica Financiera. Precisamente, uno de los objetivos del presente texto

es mostrar de manera amplia el punto ocho (8),

iT1dffiffi;dl

hrwWM

denominado Conversi6n de Tasas de lnter6s.

2. Extraer los datos o

3.1 Los ingresos en la parte 3. Elaborar la gr6fica de

3.2 Los egresos en la parte

)/

Juan Manuel Ramirez Mora - Edgar Enrique Martinez C6rdenas

1.13. CUESTTONARIO

1. 1Qu6 es la Matemdtica Financiera -MF-? 2. iPor qu6 es importante la Matemdtica Financiera? 3. Defina el t6rmino valor del dinero en el tiempo -VDT-.

4. ;Qu6 es inter6s? 5. ;Es posible sumar cantidades monetarias ubicadas en diferente parte del tiempo? iPor qu6? 6. iQu6 factores de cardcter economico y financiero afectan el inter6s? 7. 6Qu6 es inflaci6n? 8. aQu6 es el indice de Precios al Consumidor -lPC-? L En Colombia, aqu6 entidad gubernamental est6 encargada de calcular la inflacion? 10. iQue es riesgo? 11. Presente las clases de

12.

riesgo,

Explique la siguiente afirmacion "a mayor riesgo, mayor rentabilidad'.

13. En finanzas, 4a qu6 hace referencia el concepto oportunidad?

14.

Explique la relacion que se presenta entre inter6s y tasa de inter6s.

15. ;CuAles clases de inter6s existen? 16. iQue es una cifra equivalente? 17. 6Que es una formula? 18. Defina valor futuro. 19. Defina valor presente.

20.

Defina tasa de inter6s.

21.

Defina cuota uniforme o anualidad.

22.

Defina cuota variable.

23. Defina periodo. 24.

6Qu6 es un diagrama de flujo de caja?

25.

aCu6l es la importancia del diagrama del flujo de caja en el planteamiento de un problema?

26, iComo se debe incorporar la tasa de inter6s en las formulas de matemdticas 27. aQue se entiende por tiempo aproximado?

financieras?

28. aQue se entiende por tipo exacto? 29, iQu6 significan las expresiones bimestral y bimensual? 30.

Defina fecha focal y sustente su importancia en la solucion de un ejercicio.

-a1. Explique si la fecha focal puede estar ubicada en cualquier punto de la operaci6n financiera cuando se trabaja bajo el concepto de inter6s compuesto.

32. Explique si la fecha focal puede estar ubicada en cualquier punto de la operacidn financiera cuando se trabaja bajo el concepto de inter6s simple.

MATEMATICA FINANCIERA -Interes. Tasas 1 Equiraiencias-

33. ;Cu5l es la relaci6n existente entre periodo y tasa de inter6s? 34. Presente la secuencia apropiada en el planteamiento y soluci6n de una

operacion financiera.

1.14, PROBLEMAS

1.

Caicule de manera aproximada los dfas transcurridos entre:

a. El 20 de enero de 2007 al 31 de diciembre de 2008. (Respuesta: 701 dias) b. El 15 de marzo de 1980 ai 21 de enero de 2000. (Respuesta: 7140 dlas)

c. El22 de junio de 1977 al22 de junio de 2008. (Respuesta: 11.100 dias) d. El 30 de octubre de 1989 al12de diciembre de 1994. (Respuesta: 1.842 dfas) e. El 10 de abril de 2000 al 15 de noviembre de 2005, (Respuesta: 2.015 dias)

2.

Calcule de manera exacta los dias transcunidos entre:

a.El2A deenerode200Tal 31 dediciembrede2003, (Respuesta: Tl0diassinincluirafrosbisiestosy 711 dias incluyendo afios bisiestos) b. El 15 de marzo de 1980 al21 de enero de 2000. (Respuesla:7.24V dias sin incluir afios bisiestos y 7.251 dias incluyendo anos bisiestos)

c. El22 de junio de 1977 al22 de junio de 2008. (Respuesta: 11.315 dias sin incluir afios bisiestos y 11.323 dlas incluyendo afros bisiestos) d. El 30 de octubre de '1989 al12de diciembre de 1994. (Respuesta: 1.868 dias sin incluirafios bisiestos y 1.869 dias incluyendo afios bisiestos) e. Fl '10 de abril de 2000 al '15 de noviembre de 2005 (Respuesta: 2.044 dias sin incluir afros bisiestos y 2,045 dias incluyendo afros bisiestos)

3.

4.

El senor Ramirez Mora solicita un pr6stamo al banco ABC por valor de $25,000,000. El banco le concede un plazo de'10 anos para su cancelacion, al cabo de los cuales debe pagar la suma de $50.000.000 por concepto de inter6s y capital. Realice el diagrama de flujo de caja de la operacion financiera para el senor Ramirez Mora y el banco ABC. Realice las siguientes equivalencias de tiempo

a. En dos afros, icudntos meses hay? (Respuesta: 24 meses) b. En sesenta meses, lcudntos bimestres hay? (Respuesta: 30 bimestres)

c. En un semestre, 6cudntos trimestres hay? (Respuesta: 2 trimestres) d, En veinte trimestres, lcudntos semestres hay? (Respuesta: 10 semestres) e. En un ano, 4cudntos bimestres hay? (Respuesta: 6 bimestres)

34

Juan Manuel Ramirez Mora - Edgar Enrique Martinez Cdrdenas

CeprruLoz

INTERES SIMPLE

OBJETIVOS DEL CAPITULO General ldentificar los elementos teoricos y prdcticos que permitan comprender el concepto de inter6s simple.

Especlficos

1. Definir

el concepto de inter6s simple.

2.

ldentificar la formulaci6n matem6tica aplicable en el concepto de inter6s simple.

3.

Calcular bajo el criterio de inter6s simple: inter6s, valor presente, valor futuro, tasas de inter6s y tiempo.

4.

Describir la manera de realizar la conversi6n de tasas de inter6s simple.

5.

ldentificar las clases de inter6s simple.

6,

ldentificar operaciones de descuento bancario, racional y en cadena.

7.

Describir la metodologiapararealizar pagos parciales, teniendo en cuenta la regla comercial y la americana. li

MATEMATICA FINANCIERA -Inter6s, Tasas y Equivalencias-

2.

fueron pagados no acumularon ningin tipo de interds adicional". (Garcla, 1999: 93).

INTERES SIMPLE

2.1.

DEFTNTCToN

El inter6s simple se puede definir como aquel interds que no permite la capitalizacion (reinversion) de los intereses. Algunas caracteristicas de 6ste son:

r r

La tasa de interds se aplica solo al capital invertido.

Los intereses permanecen c0nstantes para todos

El primer concepto que se debe manejar en el tema de la MF es el relacionado con el inter6s simple y como ya se defini6, 6ste es una funcion directa entre el capital invertido, la tasa de inter6s y el tiempo. De este postulado, se puede extraer la primera f6rmula b6sica que permite construir los dem6s planteamientos algebraicos,

los periodos de liquidaci6n, porque se liquida sobre

la misma base o capital invertido.

o EI capital invertido no sufre modificacion

I= Pin=Donde

r1

durante

la operacion financiera.

r r

El capital se paga

al

L_l final de la operacion. FORMULABASICADE

Los intereses se pueden retirar en el momento que se causen2e o se pueden pagar al final de la

operacion, junto con el capital inicial, sin el reconocimiento de un rendimiento sobre los intereses no retirados3o.

Para que se mantengan estas caracteristicas es importante recordar que en la medida que se cambie

la tasa de inter6s que se cobra dentro del procedimiento financiero, estas caracteristicas pueden variar.

Otra definici6n que permite comprender el concepto de inter6s simple es la que hace el profesor Garcia en su texto de Administracion Financiera al afirmar que "cuando sobre un prdstamo el interds que se reconoce es igual a la tasa que se cobra por periodo multiplicada por el nimero de periodos, se dice que se estd cobrando interds simple" (Garcia, 1999:93). Este tipo de inter6s,

al

no considerar la capitalizacion

de los intereses para conformar un nuevo valor presente sobre el cual se entre a liquidar el nuevo inter6s del periodo, presenta su desventaja desde el punto de vista financiero al perder el poder adquisitivo del capital invertido y ganado (inter6s del periodo) con

P=L ln

.I tr=Pn n=-I

Pi

2.2.

CALCULO DEL TNTERES (r)

Ejemplo

1

Laura Sofia recibe un pr6stamo por la suma de $50.000, los cuales deben ser pagados al cabo de cinco anos; se cobra una tasa de inter6s del 10% por

su utilizacion. ;Cudnto es el inter6s simple que estd pagando Laura Sofia por el pr6stamo al cabo de los 5 anos?

Antes de iniciar la soluci6n de cualquier ejercicio de inter6s simple31, es importante recordar los planteamientos expuestos en el capltulo anterior en el literal denominado Forma de Plantear y Solucionar

una Operaci6n Financiera. Soluci6n P = $ 50.000

i=10% n=5afros

l=?

el tiernpo, dando lugar a su no utilizacion de manera permanente. "Por ejemplo, si una empresa toma un prdstamo de

$500.000 por

3

meses al 2,5% mensual bajo la modalidad simple, al final tendrd que pagar el capital mas unos intereses acumulados de $37.500 que se obtienen asi: $500.000 x 2,5% x 3. Quiere decir esto que los intereses que se causaron cada mes y que no 36

2e

En este caso, se aprecia mds una operacidn de inter6s compuesto al poder disponer de los intereses para invertirlos en otra operacion financiera que permita generar rentabilidad o por el contrario lograr satisfacci6n al gastar dichos recursos. 30 31

Es decir que la retribuci6n financiera generada no se revierte.

Criterios que tambi6n se deben seguir en la soluci6n de operaciones que trabajen inter6s compuesto.

Juan Manuel Rarnirez Mora

- Edgar Enrique Martinez

2.3. CALCULO

G:ailr;r pari? laurd !$i;d

Pz$ffi.tffi

C6rdenas

DEL VALOR FINAL (F)

Otra f6rmula bdsica en el manejo del inter6s simpie hace relacion con el concepto de valor final o monto. Para nadie es un secreto que el valor que puede llegar *2d:7"1* lz,rrt:AN

a retirar un inversionista despu6s de invertir

sus por el recursos por un tiempo determinado, este dado capital invertido (P), mds lo devengado por concepto de intereses (l); por esta razon, la formula quedaria

de la siguiente manera:

{&&t**

F=P+I I=F-P

F=P+I=+Donde'.

I:Pin 1:50.000x0,10x5

1:

$25.000

lnter6s Peri6dico (l)

0-1

P

Pi

1-2 2-3

(P+Pi)

Pi

1p1p11+1pi)= (p+2pi)

(P+2Pi)

Pi

{P+2Pi)+{Pi)= (P+3Pi)

(n)

Lo que significa que cada periodo (cada ano) se cau-

sa o genera un inter6s simple de $5.000:

Valor Final

Valor Presente (P)

Periodo

(F=P+l) {P+Pi)

{P+Pin)=P{1+in}

n

I=Pin 1=50.000x0,10x1

1:

De la anterior expresion algebraica se puede concluir que:

$5.000

* r Atir.a pa,* a L;az*r a

F=P+Pin

9x€t a

p=*%.M Y factorizando, se tiene: 4

s 9&4

&,.tztzx|

P=*F

-

(I+ in)

F=PQ +tn)+ Donde:

F _I s600e YYY-*4 *t d? t',t '4,tt. tA tt

,t? *t

tZ1 4.tt at

n= 1'tt

1r* t!

LJ

a

FORMULABASICAD{

.lnterpretaci6n -aura Soffa debe cancelar, en 5 afros, un inter6s de S25 000 por la utilizaci6n de $50.000. El monto total a :ancelar al cabo de 5 anos es $75.000. Se puede apreciar, que el inter6s causado en cada -no de los periodos es igual, esto sucede por la no :apitalizacion de intereses. Al final del quinto ano se :ebe cancelar el concepto de los intereses causados ano a ano, es decir $25.000.

-t--

F -t P n

La expresi6n (1+ in) se denomina factor de inter6s, y es elque permite que dos cifras ubicadas en diferentes partes del tiempo sean equivalentes entre si; por esa

razon, es lo mismo, teniendo en cuenta este factor recibir $P hoy o $F dentro de n periodos. Este factor de inter6s s6lo permite movilizar una sola cantidad economica sobre la recta, Por esa razon en

,1

,

MATEMATICA FINANCIERA -Tnterds. Tasas

r

Equiralencias

la medida en que se tengan cinco flujos por fuera de punto de encuentro (Fecha Focal), se debe aplicar igual numero de factores de interes que permitan movilizar dichas cantidades al sitio de andlisis.

semestral.

Ejemplo 2

El procedimiento para poder convertir tasas de inter6s,

El senor Ramirez pidio prestado al Banco Agrario la suma de $2.500.000 para ser pagados en un plazo

de 6 meses. Si la tasa de inter6s cobrada en la operaci6n es del 2% mensual simple, ;qu6 cantidad

La tasa srmple mensual se multiplica por seis (6), porque es el n0mero de periodos mensuales que tiene

un semestre, ahora la nueva tasa es 12% simple

se explicare en este capitulo en el literal denominado

Equivalencia

o Conversi6n de Tasas de lnter6s

Simple.

F

-

P (l+in)

deber6 pagar el senor Ram[rez al final de la operaci6n para cancelar la obligacion?

F:

Soluci6n

F :2.500.00 (1,12)

P = $2 500.000

r:2.800.00

n = 6 meses (equivalente a 0,5 afros o 1 semestre o 2 trimestres o 3 bimestres, etc.)

i = 2% Mensual F

=?

F'

-

2.500.00 (1+0,02

x l)

2.500.00 (1+0,12)

Donde se puede establecer adem6s, que el lnter6s pagado al final de la operacion surge de la expresion presentada anteriormente:

I:F-P Crdti(a, tlsr* el 5*fic,r franlrrer {&eudwJ

P: t J.54'$.0{}0

1: 1:

I *ffixirwv?erp,*rast*al

2.800.00 - 2.500.00 300.00

*r6i{wx pam el \a,*r*r tuwir ez

l*crsfu}

p, *Z"W.W 6

'*"? *twMtl

wre&v&Lffit*tw&Lg?815

t-**:W.W P"6

F:

P (l+in)

F :2500.00 (1+0,02 x 6) .F

:

tw**';***

CI|RAS g VAiefif

i

f$r"llVs"tf

2.500.00 (1+0,12)

F :2.500.00 (1,12)

F:

Se convierte la tasa mensual a una semestral simple, lo que significa que el tiempo debe convertirse en su equivalente en semestres:

_38

r'*z,w,w

2.800.00

Otra Forma de Soluci6n

i

l,f[3

: 0,02 x 6 meses :0,12 ,

Se puede concluir que $2.500.000 de hoy, son equivalentes a $2.800.000 seis meses despu6s, gracias a la tasa de inter6s del 20/o simple mensual (equivalente al 12% simple semestral). La siguiente tabla permite observar el comportamiento

12oA simple semestral

del cr6dito periodo tras periodo:

Juan Manuel Ramirez 1\4ora

Plao

,,,T!q,{i.1

lt

trtter€$r:i'i%l

0

2l',

lntei*itau*drl '

*e11tiil;1,:'i'lti

't:

lnks

AcumuladoFPin

- Edgar Enrique Martinez

C6rdenas

*r!*t&* par* *{ **&*r *&artinat {Ahorrador}

VdsFinal dela

F

DedaF+fl+inl 2,500,000

t,$00,000

?

1

20h

2,500,000

50,000

50,000

2

2Yo

2,500,000

50,000

'100,000

?,600,000

3

2Yo

2,500,000

50,000

150,000

2,$50,000

l4

2q/o

2,500,000

50,000

200,000

2.700,000

5

2lo

2,500,000

50,000

250.000

2,750,000

0

2Yo

2,500,000

50,000

300,000

1,800,000

2.550,000

Una vez graficados los datos presentados, se puede observar que 6stos presentan un crecimiento lineal o aritm6tico que se explica al no realizar reinversi6n del inter6s generado periodo tras periodo: ftepresentaci*!r 6rafic;l rlel Intetps Slmple

q iw\

*

'

5

50.ffi.|80

3.2% &sts*l Sitzt7tr*.

t74*p"***1

st

Se convierte la tasa simple anual a una tasa mensual

simple, lo que significa que el tiempo debe ser incorporado en unidades de meses: i=

0,32 212 meses = 0,0266666

,

2,66656 % simple tnensual

Ahora se procede a despejar de la formula bdsica o general de inter6s simple la variable P, e incorporar los datos:

r = p(t+in) F

D_

Q+ nt) 50.000.000 P- (r+o.ozeeee6x60)

._ ' - (t* 160)

50.000.000

p-

2.4.

50.000.000

(z.oo) CALCULO DEL VALOR PRESENTE (P)

P =19.230.169.2308

Ejemplo 3 El seflor Martlnez desea determinar cudl debe ser el

valor a consignar hoy en el Banco Santander, para poder disponer de la suma de $50.000.000 al cabo de 60 meses, teniendo presente que la institucion financiera reconoce a sus ahorradores un inter6s del 320/o

anual simple.

il

P_

F

Q+in)

n_ s0.000.000

'I

t

Como ya se ha comentado, es posible trabajar con una tasa anual y el tiempo expresarlo en t6rminos de periodos anuales. As[, el nuevo desarrollo seria:

(t+0,:zxs)

Soluci6n F = $ 50.000.000 n = 60 meses (equivalente a 5 aRos o '10 semestres o 20 trimestres o 30 bimestres, etc.)

i = 32% Anual simple

P=?

P_

50.000.000

P-

50.000.000

(t +

t,oo)

(z,so) P :19.230.169.2308

MATE,MATICA FINANCIERA -lnter6s, Tasas y Equivalencias-

Como puede apreciar el lector, los dos resultados obtenidos son iguales porque se hizo coincidir el periodo.de aplicacion del inter6s con la unidad de tiempo utilizada en la operacion.

F = P(r+in) L]

i- = (1+i,,) P

L-t=rn

lnterpretaci6n

P

El senor Martinez debe depositar el dfa de hoy la suma de $19.230.769,2308 para que el banco le entregue al cabo de 5 anos (60 meses) la suma de

F-t

D n= t

$50.000.0000.

2,5, CALCULO DEL

74.500.000 Ir 25.000.000

n=

TTEMPO (N)

0,03

2.98*l

Ejemplo 4

tt

-

;Cu6nto tiempo se requiere dejar invertida la suma

n

=

de $25.000.000 para poder retirar la suma de $74.500.000 en una entidad financiera que reconoce

i

o,o3

n=

1"98

o,o3 66

el 3% de inter6s simple bimestral? Entregue el resultado en meses, bimestres, semestres y anos.

El resultado obtenido corresponde a 66 bimestres, ya que la tasa de inter6s utilizada en la ecuaci6n es

Soluci6n

bimestral. Para poder obtener el tiempo en otros periodos, se puede calcular de dos maneras. La primera de ellas consiste en incorporar la tasa en la

F = $ 74.500.000 P = $ 25.000.000

j

=

formula general de inter6s simple en la misma periodicidad en que se requiera expresar el tiempo, es decir realizar equivalencia de tasas de inter6s; la segunda implica realizar una simple relacion matemdtica. Veamos este fltimo caso:

3% de inter6s simple bimestral

n = ? meses, bimestres, semestres, afros

Tiempo en meses

Gr*fita para el lrnrersicfiisla

F=*v

.w.M

i*7% $irn#l*&iwt*l**al

66

tw&gLs{t5

x2:132

Es decir, en 66 bimestres se tienen 132 meses. n"i *-3

*-?

r-l

Tiempo en semestres

*

M**e* g.&*Lfi&9

P.yzg,w'w

Un bimestre posee dos meses. Entonces,

Un semestre posee seis meses. Entonces,

&iqrwxlr*s

**w*etree. &&tts

_ 1) 6 -"

132

Despejando de la f6rmula general de inter6s simple

Asi, en 132 meses se tiene 22 semestres y en 66

se obtiene:

bimestres se tiene '132 meses.

10

Juan Manuel Ramirez Mora

- IJdgar Enrique Martinez

De lo anterior, tambi6n se puede concluir que en 22 semestres se tiene 66 bimestres. Tiempo en anos Un ano posee dos semestres. Entonces,

Cdrdenas

Como en cualquier ejercicio de Matem6tica Financiera, existen varias formas de abordar su solucion, acudiendo a diferentes planteamientos (ecuaciones). Por esta tazon, se presentan varias formas de soluclon: Forma de Soluci6n Uno

1) -t:il

Se toma la formula b6sica de inier6s simple y se procede a despejar la inc6gnita i% e incorporar las

Es decir, en 22 semestres se tiene

variables:

11 aflos.

lnterpretaci6n

F = P(t+in) E'

I

EI inversionista requiere dejar invertido $25.000.000 durante 66 bimestres (equivalente a 132 meses o equivalente a 22 semestres o equivalente a 11 afros) en la institucion financiera para poder retirar la suma

F= F P

(t+ in)

-l=in

-F:

de $74.500.000

i-

P

-l n

2.6. CALCULO DE LA TASA DE TNTERES (i) 2.000.000

Ejemplo 5 l=

iCu6l es la rentabilidad simple mensual y trimestral que puede obtener la Senora P6rez, al invertir el dia de hoy en una Corporacion Financiera la suma de poder retirar al cabo de 3 aflos $1.500.000

1.s00.000

-t

36

.

1,3333

.

0,3333

-

I

36

y

$2.000.000?

36

i = 0,009259 i - 0,009259x100

Soluci6n F = $ 2.000.000

i = 0,9259260% Simple Mensual

P = $ 1.500.000 n = 3 afros (equivalente a 36 meses o 12 trimestres o

La rentabilidad obtenida es del 0,9259260/o simple

6 semestres, etc.)

mensual. Para poder obtener la trimestral se procede

i= ? % de inter6s simple mensualy simple trimestral

asi:

,,,

0,925926 x 3 meses32 = 2,777780/o simple trimestral, tx &6it a gw a

*x

**&xc a F *v *z

r **A"W,W i

*V

%,

**r*pl*Maxxuet

Forma de Soluci6n Dos Cohsiste en incorporar en la ecuacion despejada de

i * 7 s& %implqe {rixzmtr a*

en

periodos trimestrales con el fin de obtener de una vez la tasa simple trimestral:

i% el tiempo

&,tu*

P. *s."w.w

32Que corresponde a los meses que posee un trimestre

MATEMATICA FINANCTERA -Inter6s, Tasas y Equivalencias-

,E' j_ P

El resultado anterior de 11,'1111% simple Anual se logro, ya que en la ecuacion se incorpor6 el tiempo en periodos anuales; de este resultado se puede

-l n

2.000.000 ; = isoo.ooo t2

.

1,3333

-

obtener tanto la rentabilidad simple mensual, como la

-l

trimestral, o cualquiera otra: simple anual

11,1111o/o

1

/

12 meses33 = 0,9259260/o

simple mensual.

12

i _0,3333 I2 i = 0,009259 i = 0,027718x100

11,1111o/o

simple anual

/ 4 trimestres3a =2,777770/o

simple trimestral.

i = 2,ll77\oh Simple Trimestral Lo que indica que cada vez que se requiera una rentabilidad expresada en otra periodicidad de liquidacion de intereses, se puede modificar la unidad o periodos de tiempo utilizados en la ecuacion.

Forma de Soluci6n Tres

Como puede apregiar el lector, son los mismos resultados obtenidos inicialmente con otros procedimientos.

lnterpretaci6n La rentabilidad pagada por la Corporaci6n Financiera

a la sefrora P6rez es del 0,925926% simple mensual o su equivalente en 2,777774/o simple trimestral, por dejar invertido durante tres afros la suma de $1.500.0000.

Se parte de la ecuaci6n.

2.7. EQUIVALENCINs

En t6rminos generales, la conversi6n o equivalencia de tasas en inter6s simple se puede definir como el

I=F-P /

CONVERSION DE TASAS

DE INTERES SIMPLE

F=P+I 1 = 2.000.000

O

-

1.500.000

= 500.000

proceso mediante el cual la tasa de inter6s en condiciones diferentes entre si, producen el mismo valor final,

ha encontrado el lnter6s que paga la corporaci6n financiera; en efecto, aparece un nuevo elemento que estaba oculto en la ecuacion. Por ello se puede despejar de la ecuaci6n de inter6s, la Hasta el momento se

variable i%:

I=Pin

.I 500.000 1.500.000 x 3

.

500.000

4.500.000

i = 0,111111 i =0,111111x100 i =ll,lllll% Anual +l

la base de tasas de inter6s simples36; es por ello, que

el proceso de conversi6n de tasas en esta clase de inter6s es muy sencillo, porque se puede dividir y multiplicar la tasa dependiendo la equivalencia requerida.

Por ejemplo, encontrar a partir de la tasa del 30%

Pn

. t-

Las formulas de inter6s simple estdn elaboradas sobre

simple anual, sus equivalentes en tdrminos mensual, bimestral, trimestral y semestral son: 33

Que corresponde a los meses que posee un aflo.

'Que corresponde a 35

los trimestres que posee un ano.

Las tasas no son equivalentes porque sean del mismo valor, sino porque

producen el mismo inter6s. 36

La tasa de inter6s simple se define como ".., la tasa de inter1s que, al final de cada periodo, se aplica (tnicanente sobre el capital inicial. Esto inplica que el capital permanece constante durante el tienpo de la operaci1n financiera as! cono los intereses devengados al final de cada periodo (Garcia, 1995:78). Es decir, la tasa que se aplica al capital inicial y no a los intereses generados.

Juan Manuel Ramirez Mora - Edgar E,nrique Martinez Cardenas

ru Basados en este esquema, es posible realizar cualquier equivalencia de tasas bajo el concepto de rter6s simple. Si observamos:

'i.

La tasa del 30% simple anual es equivalente al

L

en 2;

10. La tasa del 2,5% simple mensual es equivalente

al 5% simple bimestral con el solo hecho de

2,5% simple mensualcon el solo hecho de dividirla por 12',

2.

La tasa del2,50/o simple mensual es equivalente al 30% simple anual con ei solo hecho de multiplicarla por 12',

3.

La tasa del 30% simple anual es equivalente al

multiplicarla por 2; 11. La tasa del 7,5% simpie trimestral es equivalente al 5% simple bimestral con el solo hecho de dividirla en 1,5;

12. La tasa del 5% simple bimestral es equivalente al

7,5% simple trimestral con el solo hecho de

5% simple bimestral con el solo hecho de dividirla en 6;

4.

La tasa del 5% simple bimestral es equivalente al

30% simple anual con el solo hecho

de

muitiplicarla por 6;

5.

La tasa dei 30% simple anual es equivalente al

multiplicarla por 1,5;

13. La tasa del '15% simple semestral es equivalente a|7,5% simple trimestral con el solo hecho de dividirla en 2; 14. La tasa del 7,5% simple trimestral es equivalente

al 15% sirnple semestral con ei solo hecho

7,5% simple trimestral con el solo hecho de

7

.

La tasa del 7,5% simple trimestral es equivalente al 30% simple anual con el solo hecho de multiplicarla por 4;

La tasa del 30% simple anual es equivalente al

15% simple semestral con el solo hecho de dividirla en 2; i ? _1

l

8.

de

multiplicarla por 2;

dividirla en 4;

6.

La tasa del 5% simple bimestral es equivalente al 2,5% simple mensual con el solo hecho de dividirla

15. La tasa del 15% simple semestral es equivalente al 2,5o/o simple mensual con el solo hecho dividirla en 6;

::

16. La tasa del 2,5% simple mensual es eq,r:','a e^:: al 15% simple semestral con el soio lec': multiplicada por 6.

:.

es:ue*a.e'e

La tasa del 15% semestral es equivalente al 30%

De lo anterior, se pude concluir que el

simpie anual con el solo hecho de multiplicarla

poder realizar la equivalencia de tasas

por 2;

ES:

:e ^:i'::

MATEMATICA FINANCIER.A -Interds, Tasas y Equivalencias-

Ejemplo 6

Al relacionar el periodo de aplicacion de la tasa de inter6s y el plazo de liquidacion de la operaci6n

Supongamos que el senor Edgar Martinez, solicita

financiera se obtiene:

un pr6stam0 al banco ABC por la suma de

$

'10.000.000, a un plazo de 2 afros, y se cobra una tasa del 32% simple anual. Determine el valor que

deber6 cancelar al linalizar la operacion financiera, suponiendo que la entidad cobra un inter6s simple

PrRr000$

ll%.$imph

1$l$,li1!}pte

l$'-{u$iimte'

il0rl[,$rup|J

Atttlal'"

$afie$firl

:itiirmtrd"

, il*il$al'

Anss

4$emeslrus

I Tdmeshe$

I

12

Bimesfes

24 llllescs

en sus operaciones de cr6dito. Utilice para su solucion el concepto de equivalencias de tasas de inte16s.

Soluci6n

Aplicando las anteriores relaciones de periodo y tasa de inter6s en la f6rmula de inter6s simple, se puede obtener la misma respuesta:

P = $ 10.000.000

F

i

F' = 1 0.000.000(1 + 0,16x4)= 16.400.000

=

320/o

simple anual

n=2ahos

F = 10.000.000(t + 0,08x8)= 16.400.000 F = 10.000.000(1+ 0,0533333x 12)=16.400.000 F = 10.000.000(t + 0,026666x24)= 16.400.000

F=? 6ralir.l para el 5*ior f dAar Mddincr {D*udcr

p'' gL*.W.W

= i0.000.000(i + 0,32x2)= 16-400.000

i = {JY*

}

limple Anual

Se puede concluir que

el resultado obtenido es el

mismo porque:

1.

2.

Las tasas de inter6s utilizadas son equivalentes entre s[. Se hizo coincidir el periodo de aplicaci6n de la iasa de inter6s y el plazo de liquidaci6n de la operaci6n financiera

r'*7 Las equivalencias de la tasa de inter6s del32o/o Simple

Anual son las siguientes:

-+-1

lnterpretaci6n El senor Edgar Martlnez, al cabo de 2 afros, tendrd que devolver al banco ABC la suma de $16.400.000

m/cte . con el fin de cancelar un pr6stamo de $10 000 000.

Juan Manuel Ramirez Mora

2.8.

Eclgar Enrique Martinez Citrdenas

lnter6s Ordinario

CI.ASES DE INTERES SIMPLE

l-ando se trabaja el concepto de inter6s simple,

:iden

-

se

::3€nden de la forma como se asume el nilmero de

:

par a el lnversion

*r'&*ka

r:tl

llegar a distinguir dos clases de inter6s, que !

.

?5 % Simpie

Alruri

35 que posee un ano:

2"8.1.

INTERES SIMPLE ORDINARIO

l":nsidera que un afro tiene una base de 360 dias

.aG el cdlculo de su inter6s. Tambi6n es denominado .:eres simple comercial, bancario e interds base 360. .i.rlicando este inter6s en las operaciones financieras, e, acreedor o prestamista saldria beneficiado al ganar

p,

5 La:{*.{M)

-rr mayor inter6s.

Io = !i'

360

2.8.2.

Primero, se procede a estimar el inter6s ordinar'c

Io: Pin

INTERES SIMPLE EXACTO

Considera

1o=7.500.000x0.25x '

que un ano tiene una base de 365 dias o

90 360

366 si es bisiesto para el cdlculo de su inter6s. Tambi6n

Io = 7 .500.000 x 0,25 x 0.2,i

es conocido como inter6s simple racional, real, ','erdadero, exacto e inter6s base 365. En 6ste, el deudor saldria beneficiado al paEar menos intereses

tro

en relaci6n con el simple ordinario.

Iu:

Pin

= 468.750

Debe apreciarse que al dividir 90 dias / 360 Cias ,a unidad de tiempo que se obtiene es anos. Por es: razon,latasa se incorpor6 en t6rminos anuales. Ahc'a. se calcula el monto ordinario.

365 Monto Ordinario

Ejemplo 7

&r6ti*a para

Una persona invierte $7.500.000 en una Cooperativa Financiera que reconoce el25% simple anual durante

*tr lr;v*r*ia*1s?a

F=5?

90 dias.

2-ffi%9\**le A*ual

Calcular el lnter6s y el monto simple ordinario. Calcular el lnter6s y el monto simple exacto.

Soluci6n P = $ 7.500.000

i

= 25% simple anual

p. *v.vw.w

n = 90 dlas lnter6s y Monto ordinario l )

)

=

lnter6s y Monto exacto = ?

?

F

=

P(l+ in)

F = 7.5oo.ooo[r * o.]5!

L

,.

90 360

,.1

45

Monto Exacto

F = 7.500.000[ + o,zs(o,zs)] F:7.500.000[+0,625] F = 7.500.000[t,oozs] F =7.968.750

cr;fira

para el lnve.sicrri*ts

r-*7 i = 25

ii

Simp!€ A*ual

Otra forma para su c6lculo es considerar el tiempo en dias y la tasa en periodicidad diaria (es decir 0,25

/ 360).

F = P(I+ in) F = 7.500.000[ + 0,000 69ax90] F=7.500.000[t+o,ozs] F = 7.500.000[,oozs] F :7 .968.750

P.

5 7 sffi.$tr)

Se procede de la siguiente manera para calcular

el

monto exacto:

F

lnter6s Exacto 6r*fica r

pa.ra

P(I+in)

F=7.5oo

ei lnvereiani*ta

: l5 % Srmpte

=

oo4t..,r{#)1

F = 7.500.000[t + o,zs(o,z F=7.500.000[t+o,ezs]

An$al

le=$?

4657

5)]

]7 = 7.500.000[t,oot a++]

F = 7 .962.328,76715 utat

Con base en el valor futuro, se puede calcular el lnter6s Exacto, a trav6s de la diferencia entre el valor final obtenido y el valor presente:

F=

Ie=F-P

l7.s**.w

Ie -7.962.328,76715 Ie = 462.328,76715

-

7.500.000

El interes exacto se puede obtener as[:

lnterpretacion Ie = Pin te = 7.5oo.ot-rox o.2s

x

9o 165

Ie = 7 .5A0.000x 0,25 x0,24651

5

Ie = 462.328.167124 Observe que al dividir 90 dias / 365 dias, la unidad de tiempo que se obtiene es aRos. Por esa razon, la tasa se incorporo en t6rminos anuales, Ahora, se calcula el monto exacto.

46

Al inversionista le va mucho mejor si deja los recursos invertidos en una entidad que reconozca pagarle un inter6s ordinario, ya que recibe $6.42'1 ,232850 de mas, frente a una inversion liquidada a inter6s exacto. Para el cdlculo del lnter6s Simple Ordinario y Exacto, es comiln que el tiempo de una operacion financiera transcurra enire dfas (fracci6n de ano), Se tendrla, entonces, que calcular el tiempo en n0mero de dlas entre dos fechas. Esta tarea se puede hacer de dos maneras (TiempoAproximado y Tiempo Exacto), como

se explico en el Capltulo Uno, literal 1.9.

Juan Manuel Ramirez Mora - Edgar Enrique Martinez Ciirdenas

{rqrn rumft"

HMlr

i:*a de calcular los dias entre una fecha y

ir =-cc el concepto de inter6s simple, permite

i:" --a rueva clasificacion:

I

TIEMPO EXACTO

,_N

'o -

I

TIEMPO APROXIMADO

'u

+

-

R TNTER(S BANCARIo

360

I'=J360

INT€R€S

coMERclAL

TNTER€S

VERDADERo, nEAL,

-l6t)

R rrutrnfs sttuptr ExAcro o

36s

rrurrREs BAsE 365

+ ,

e

- 365 'u -N

lIEMPO APROXIMADO

RACIONAI, EXACTO

T rNTERfs

36s

rEoRKo o

MATEMATIco

N: Tiempo entre dos fechas R : # de dias reales

entre dos fechas

T : # de dias aproximados entre dos fechas

Ejemplo 8

tltfiner:,' lrdfica, se concluye que:

r@

ffi'

ffi, nurre. : nple bancario es aquel inter6s que ffiMmm

,M

:

::^1po en dias reales sobre la base de

nm ^:ple comercial es aquel inter6s que n :+-co en dlas aproximados (meses de

lrilrmJ.:s -r

tr.ffi i:::e ltfil'mrrt

-

:

:-

-:

e real es aquel inter6s que trabaja t:3s reales sobre la base de 365 dias.

h

a :e-30 en dias aproximados (meses

s::";

uumr

:r-

mmm L

ru.

de

la base de 365 dias.

Drofesor Ramirez (2000:42)"...en se acoge al m1todo de cdlculo del 360 dfas en la unidad de tiempo)

f,";a'l-:-i

ilflrr---:

I jr'2et1 de dfas de la inversion pLtes,

mm

:tJE :ste

dffim,

5tr-

mlm

Js,p-:--

ts rlfillrlrF

:

interes simple del320/0, desde el 20 de agosto de 2005 hasta el 3'1 de diciembre del mismo ano?

Soluci6n

]a base de 360 dias.

x s -ole teorico es aquel inter6s que mmuE

;Cu6l es el inter6s simple comercialy el inter6s simple teorico que se puede obtener al invertir $3.000.000 en una entidad financiera que reconoce una tasa de

mdtodo genera mayor inter6s

:-:s activas (5 dias de intereses r ::- :al raz6n, debe ser fiarma para

P = $ 3.000.000

i

= 32ok simple anual

n = 20/08/05 a|3111210537

l=? Antes de iniciar los cdlculos, es importante llegar a estimar los dias de forma aproximada: Del 20 de agosto al 20 de septiembre, 30 dias; al 20 de octubre, 60 dias; al 20 de noviembre, 90 dias; al

20 de diciembre, 124 dias; y al 31 de diciembre, 13'ldias (ver ejemplo 1, Capltulo Uno),

u0mmm

r7

Las fechas estSn dadas en Dia - l\,4es - Ano

MATEX,{ATICA FINANCIERA -Interds, Tasas y Equiralencias-

D|AS

pofi

Ir

0hs

TITMPO INTERVAI.O Del 20 de agosto al 20 de septiembre

30

30

al 20 de octubre

30

60

al 20de noviembre

30

90

Del 20 de noviembre al 20 de diciembre

30

120

Del 20 de diciembre al31de diciembre

11

Del 20 de septiembre Del 20 de octubre

= Pin

ACUMUIADOS

11

1, = 3.ooo.ooox

0.32'rgl '

1r = 3.000.000x

0,32 x 0,358904

[365

Ir

J

= 344.547,945204

131

lnterpretaci6n lnter6s Comercial 6rif

El inter6s simple comercial es de $349.333.3333, mientras que el inter6s simple teorico es de $344.547,9452. Ehtonces, el inversionista recibiria menos pesos por su inversi6n si decide dejar sus

lnvenioristJ

ica par a el

i = i2tB Simple Anual lxL*r**{*mz*w:ia$

*I?

recursos en una institucion que reconozca un interds teorico.

Ejemplo 9 Calcular el monto simple comercial y teorico de $2 000.000 desde el 20 de junio de 2004 al 31 de octubre de 2007 , teniendo en cuenta que los recursos rentan el 30% anual simple. = $ i.sffi.ms

Soluci6n P = $ 2.000.000

Ic = Pin

n = 2010612004

I,

= 3.ooo.oooxo.32xf!f') \'360 / 3.000.000 x x0,363 0,32 889 =

i

Ic Ic = 349.333,3333

3111012007

= 30% simple Anual

F=? Al iEual que en el ejercicio anterior, se debe estimar

los

dfas que contiene la operacion de forma

aproximada entre el 20 de junio de 2004 al 31 de octubre de 2007 (ver ejemplo 2, Capitulo Uno):

lnter6s Tedrico o Matemdtico {zr*ti*x pxra

-

*N Twwxrxlaxzlstx j

i - 3r

96

$impie

&n**l trzt*s&*Y*&r;\e*

-9? Del 20 de De1

48

0rA5 poR

DiAS

NTMVflO

ACUMUIADOS

IttMp0 junio de 2004 al 20 dejunio de 2007

20 de juniode 2007 al 20 dejulio de 2007

1080

1080

30

1110

30

1140

30

1170

Del 20 de septiembre de 2007 al 20 de octubre de 2007

30

1200

Del 20 octubre de 2007 al 31 de octubre de 2007

11

1211

Del 20 de

iulio

Del 20 de

agostode 2007 al 20 de septi€mbre de 2007

de 2007 al 20 de agosto de 1007

Juan \Ianuel Ramirez

\lora - Edear Enrique \{aninez

hrubl

Cdrdenas

lnterpretaci6n

Gr*fn psa

El inversionista puede retirar si invierte sus recursos

el lnve*ionigte

M**t*{*ywrx1*|*&Z

en una entidad que reconoce un interds simple comercial por la suma de $4.018.333,333; mientras que si lo realiza en inter6s simple te6rico, obtendr6 $3.990.684,931 50.

Ejernplo 10 Calcular el monto simple bancario y real de $ 50.000 desde el 30 de junio de 2005 hasta el 28 de noviembre

del mismo ano al '10% sirnple anual.

Soluci6n P = $ 50.000

.F= ,31-in)

i

n = 30/06/20A5a|2811112005 que corresponde a 151

F=r.n)0.00r[r.r,m(#) :ooo.ooo

F='

E

dias38

F=?

+ oJ0(3,3 63 8s9 )]

&-fi.000[ + 1,009167] Monto Simple Bancario

,F = L r-r,O.000[Z,OOO t OZ] ,,F

=

I

= 1A% simple anual

i-r18.333,3333 Grafica para el lnvertionist*

nrco

t&*t*Eawd***7

o MatemAtico L,L*%*isnp|*&mw

ffiw

Pr a *l

t*zt w

rt*lY**i

*uo.*

t&ww

u

P'*9"w F = P(l+in)

L

F = so.ooolr * o.toflsl F = Pll+in)

F = 50.000F

.5=rooooor[,.r.r{#) F = 1.000.000[t + o,:o(1,: 1 7808)]

.| = 1.000.

i

00 Oft + 0,99

r.rajl

+ o,to(0,+19++)]

f

= 50.000[ +0,041944]

r

= 50.000[,04r944f

F=

*a2f

i

52.097,2222

= 1.000.00aft,sss2+zf

F = i.990.684,93150

3s

Para determinar su c6lculo se recomienda leer el Capitulo Uno. l;iera

'.:

MATEMATICA FINANCIE.RA -Interds. Tasas 1 Equiralencias-

Monto Simple Exacto, Racional, Real, *r|{a*

Verdadero

***%9irx?2e

einQea) einQss)

Ie Io

p*.ra el twer6r*{ttr/re

MontoRpal *

Al despejar se obtiene:

-$)

&xxzatr

Cancelando Pin en el numerador como en el denominador, se obtiene:

Ie 360 Io 365 P.

$

Ie=

5{.oel

F = P(l+ in)

13

.

t;;to

Entonces:

F = so.ooolr+ o.lof ]t] )l [ 36s .l.l t' = 50.000F + o,t o(0,+ t :ooo)] F=50.000[+0,041370]

|.

,q =

360

72

Ie

o

:

0,9863011o

El inter6s simple ordinario es mayor en 1 ,0139 de

inter6s simple exactoao

50.000[,04n]01

Pin

F = 52.068,4931

!! tre

lnterpretaci6n

360

pin

i6s

El monto exacto que recibe el inversionista al cabo de 151 dias de inversi6n es de $52,068,4931; mientras

Al despejar se obtiene:

que el monto bancario es de $52.097,2222.

Io Ie

2.9.

-_

rinQ60)

RELACION ENTRE EL INTERES SIMPLE oRDTNAR|O (tO) y EL TNTERES StMpLE EXACTO

(tE) 3e

k=!4 36s h=!"! 360

Otra forma de calcular esta relacion es:

le -

i)

lo

73

La expresion puede descomponerse en dos parles:

_ 73_

I

le-_10__lo

73

Cuando se analizan las dos clases de inter6s,

1

Ie=Io--Io

puede extraer dos conclusiones imporlantes:

o

El inter6s simple exacto es menor en 0,9803 de interes simple ordinario3e

73

t1

a0

Otra forma de calcular esta relacidn esl

t1 lo:-ls

l2

, 1?=-

Pin 36s

,

l0=-

Pin 360

La expresidn puede descomponerse en dos partes:

6=2p*J-p 72 72 1

Io-le+!Io 72

50

ir;i \Ianuel

Ramirez \{ora - Edgar Enrique I{artinez Cdrdenas

Ie: Ie: Ie:

Sancelando Pin en el numerador como en el lenominador, se obtiene:

Io 365 73 Ie 360 72

0,9863011o

0,986301 x 468.750 462.328,767123

El inter6s simple ordinario es mayor en 1,0139 de inter6s simple exacto

lo =365 r"

Io: 1o : Io:

360

l-lonces:

Ie :

1,0138891o

1,0138891e

1,013889 x 462.328,7 61 124 468.749,87

::'a

Resultados iguaies a los Obtenidos anteriormente en

::

el ejemplo 7.

comprobar esta relacion entre el inter6s simple iario y el inter6s simple exacto, se puede tomar

i:s 'esultados obtenidos en el ejemplo Z:

Io

Ie: :

:

Es importante mencionar que la relacion existente entre ei interes ordinario y el exacto, solo se puede realizar efectuando la siguiente correspondencia:

468.750

,/ '/

462.328,767124

-:eres simple exacto es menor en 0,9863 de inter6s

;r3ie

ordinario

inter6s Bancario lnteres Real

INTERfS SIMPIE ORDINARIO O INTERfS BASE 360

INTERES SIMPLE EXACTO O INTERES BASE 365

R : # de dias reales

-

-

lnteres Real

lnter6s Bancario

+t,=*

tNrEREs BANcARIo

.)'"

INTERES VfRDAD(RO, REAt,

=

*

RACiONAI. EXACTO

entre dos fechas

lnteres Comercial lnter6s Teorico

INTERES SIMPIE ORDINARIO O INTERES BASE 360

-

-

lnter6s Teorico

lnter6s Comercial

i"-"*TL:l++ =#

tnrrnEs srrinpu rxAcro o

Sl,=a

INTERES BASE 355

INTERES COMERCIAI.

rNrERgsrEdRlco MAT€MATICO

l6.s

T : # de dias aproximados entre dos fechas

Tomando las cifras del ejemplo 8 se tiene:

Ic:349.333,333

Ir:

344.547 ,9452

o

MATEMATICA FINANCIERA -lntereis.

SegIn lo plantea el profesor Herndndez (2002:103),

lnter6s Te6rico

Ir: Ir : Ir:

En algunas ocasiones, generalmente por situaciones ecanamtcas. es conveniente para el deudor cambiar el ccnjunto de obligaciones por otro coniunto", que le sea equivalente, pero con otras cantidades y fechas

"

0,9863011c 0,986301

*

(349.333,3333)

de vencimiento,

344.547 ,9452

M6s adelante, el mismo autor sostien e que" para poder

lnter6s Comercial

: 1c' : 1c

y Equivalencias'

1'asas

realizar lo anterior es necesario que tanto el deudor como el aoreedor ileguen a un acuerdo baio las nuevas condiciones en que se eiectia la nueva transaccion, sobre todo con respecto a la tasa de rnter6s, a la que se le llama tasa de rendimiento, y a la fecha en que

1,01388912

1,013889

* {344'547 ,9452)

Ic:349.333,3333

se llevard a cabo."

Resultados iguales a los obtenidos en el ejemplo 8.

Desde el punto de vista financiero, es necesario elaborar ecuaciones de valor para establecer, por 2.10. ECUACIONES DE VALOR EN OPERACIONES

DE INTERES SIMPLE Como se menci0n6 en el capltulo Uno, literal 1.'10, la ecuaci6n de valor es un procedimiento matem6tico

pero

a

la vez financiero que permite transportar los

diferentes flujos de un operacion financiera a un punto de la recta, con el fin de realizar una igualdad entre

las cantidades analizadas.

Este punto en la recta se denomina fecha focal,

el

cual se identifica en la gr6fica por medio de una llnea de trazos de forma vertical.

medio de ellas, cu6l de las alternativas tomadas en la igualdad es m6s conveniente, tanto para el deudor como para el acreedor, con el fin de obtener el rnismo efecto economico en la operaci6n financiera. La aplicacion de las f6rmulas, depende de la ubicacion de los valores en relacion con la fecha focal. Si los

valores, bien sean ingresos o egresos, est*n antes de la fecha focai, 6stos se deben llevar a su valor futuro; esto es, aplicarle el factor de inter6s. Pero si las cantidades estdn ubicadas despu6s de la fecha focal, 6stos se deben trasladar con la formula de valor presente, lo cual consiste en quitarle elfactor de inter6s a la cantidad.

En las operaciones de inter6s simple, la fecha focal debe estar establecida en la operacion, porque el

Representacion Grdfica de la Fecha Focal

resultado obtenido puede variar dependiendo el punto donde se establezca dicha igualdad.

i

'

10%

anual

$1.000,.|ffi

$ 1"roo

ffit#

*":::",:"r":l"rion Gr6fica de la Fecha Focal $ 1.100

rNGREsos

I

ecnesos

La ecuacion de valor de la grdfica anterior es la siguiente:

Como se puede apreciar en la gr6fica, la fecha focal representa la igualdad en la ecuacion. 52

t-

800 - I 100 =800(t-0.tu, l)-' (t -0.tor3) -0.i0,1) (l +0.10{4)-"""'

000(l+0.10r2)' r'vvv\rrv'iv^-'r

1

{r

Juan Manuei Ramirez Mora - Edgar Enrique Martinez Cdrdenas

3),

€s uar

tie ES

ler

r

f

consecuencia, una ecuacion de valor puede :'esentar una combinacion de f6rmulas tanto de valor :'esente como de valor final.

on, lt )a

lue

Tomando los datos del ejemplo anterior (ejemplo 11) establezca como fecha focal el noveno mes.

Se recomienda leer el Capitulo Uno, literal '1,10, ::iominado Fecha Focal, con el fin de tener una

:.streza en el manejo de esta herramienta. Ejemplo

las

Ejemplo 12

&tl*&r.a pxta

*l *eu&*t f*thaF*cal

1

-'3t&

ti*tpln

.{F

I

n*rt*ussn

&1.ffi;.W

*

11

persona debe cancelar $1.000.000 en 3 meses y S2 000.000 en 8 meses. Por dificultades de car6cter ::cn6mico, ofrece cancelar su obligacidn pagando

--a

S430.000 el dia de hoy y el saldo en 9 meses. 6Cudl :ebe ser el valor del pago para que las deudas queden 1il0

lor r le

anceladas? Suponga un rendimiento del 3% simple -ensual, y como fecha focal el quinto mes.

dor m0

*rl)**a

para el

**a**r

Deuda = Pago

| -3%'elmpl* ft1*watal

1.000,000(1 + 0,03x 6)+ 2.000.000( + 0,03x

1.180.000 + 2.060,000 = 635,000 +

ion los

3.240.000-635.000=.[

rtes

2.605.000=1

t)=

S00.000(1 + 0,03x

9)+

X

rlor

lsi

lnterpretaci6n

^l^ ^ t|d

alor

Fecha Faral

fF

$ X

rroc.

l,-'."ia

-- Pago

- .,r1.000(t+0.0.']x2)+

-r,,1.000 + 1.834.86 2,35532

:

:4.862.38532

Art0s

-

'

-:,9.862.33532 = 9

--:.9

575.000 =

=

515.000+

#

-{ ut

{

meses, siempre y cuando la fecha focal est6 establecida en el noveno mes,

Como puede apreciar el lector, el hecho de escoger una u otra fecha focal con el fin de llevar los valores a

6sta, hace que la cantidad obtenida sea diferente:

X

,{

r)

4 Ejemplo 12d Fecha Focalg d Ejemplo 11

1,12

362,38532x1,12 =

- -':!.145,87156 =

. I3)=500.000(1+0.01x5)+ (t - o,o: r +)

2'000000 (l + 0.03 x

Teniendo en cuenta la ubicaci6n de la fecha focal (noveno mes), se puede concluir que es lo mismo pagar $1.000.0000 en 3 meses y $ 2.000.000 en 8 meses, que pagar hoy $500.000 y $2.605.000 en 9

Fecha FocalS

x= $ 2.598.245,87'156 X= $ 2.605.000

lnterpretaci6n

-:riendo en cuenta la ubicacion de la fecha focal, se :'-ede concluir que es lo mismo pagar $1.000.0000

:r 3 meses y $2.000.000 sla

en 8 meses, que pagar hoy y $d0.000 $2.598.245,87156 en I meses, siempre y :Lando la fecha focal est6 establecida en el quinto

*€s.

ilt

Ejemplo 13 El sefror Ramirez compra una casa a cr6dito por valor de $120.000.000 y ofrece hacer tres pagos iguales para su cancelacion uno en 3 meses, otro en 6 meses y otro en 8 meses. Suponiendo que la tasa de financiacion es del2% simple mensual. 6cu6l

MATEMATICA FINANCIERA -Interds, Tasas y Equivalencias-

debe ser el valor de los pagos? Establezca para ello,

Deuda = Pagos

una fecha focal en el octavo mes,

, 120.000.000=' .+, .+, ( +o.o2x3) (l+o,o2x6) (t+o,ozxs)

tk&li*a *

I*

1?X"**4.&W

&*itw &zruk*z

pxr x *N 71h

,

sx

t

39.200.000 =

,x -+ (r.r.x2) ,+ ,X = (r.06) (t.t 6)

x0,1+ i,04 + 1)

139.200.000 =

x(1,t4)

,

x(t,o6l' + x

(1,12\' + x (r,16\'

120.000.000 = x(o,q+3390)+ x(o,aezs 57)+ x(0,862069)

F*taX "F{

8)= x(t + o,ozx s)+ x(1+ 0,02x2)+

x(r,r)+ x(r,o+)+

_

l2o.ooo.ooo

x

x

x

+zzg 6 + 0,892857 + 0,862069)

1

20.000. 000 =

r

20.000.000 = x (2.6sl-]22)

120.000.000

139.200.000 =

139.200.000

,X ,*l , =:4-+ (l.06) (r.r2) (r.r6)

:

Deuda = Pagos

1

l2o.ooo.ooo

120.000.000 =

bix

.t

120.000.000(1+ 0,02x

X

X

X ,+, X l2o,ooo.ooo +, (+0.06) (l+0.12) (+0,16)

xiwptr* x*nx**4

.{ettw

X

Q,eszzzz)

(0,9

=x

44.472.077,s027 =

X

Ejemplo 15 Una persona tiene dos deudas con un acreedor. La primera deuda, por $20.000 con intereses del 2% simple mensual, se contrato hace 2 meses y vence en 6 meses; la segunda, por $ 50.000 con intereses del 9% simple trimestral, se adquiri6 hace 3 meses y vence en 9 meses.

,

3,14

X = 44331210,1911

lnterpretaci6n El valor de cada uno de los tres pagos que debe hacerel sefror Ramirez es de $44.331.210,1911, con el fin de cancelar la deuda de $120.000,0000,

Ante la dificultad de cancelar las deudas en las fechas establecidas, propone cancelar $30.000 en 4 meses y el saldo en 10 meses. El acreedor acepta la oferta, pero cobra una tasa de refinanciaci6n de la obligacion del 48% simple anual. Establezca el valor que debe cancelar el deudor en el

d6cimo mes con el fin de pagar la obligacion. Para

Ejemplo 14

ello, utilice como fecha focal eldia de hoy (punto cero).

Tomando los datos del ejemplo 13, establezca como fecha focal el dia de hoy (mes cero).

Antes de iniciar con la ecuaci6n de valor, debe

€rdliea para i

establecer el valor final de los compromisos o deudas, con el fin de determinar los valores a refinanciar. t"rl*iea pata el Wa**r

*l \*it*r *"a**rez

= 7&

*itnple nr**xual w:rgt&rw

F3-&2*,W t'7k *ttW&e&*M

FEtfiA f Ocat ..1-t.

54

.ir:r \1r:'.::.

Ra:11irez \{Lrra

- Ei-sai Enrique \f :irtnez C:rdena.

lnterpretaci6n

F, = P,(1+;n)

Es lo mismo pagar $23.200 en 6 meses y $68,000 en

{ =2o.ooo(t+o,oz"a)

5l

9 meses, que pagar $30,000 en 4 meses

Ft = 23.2A0

y

$59.986,651835 en 10 meses, teniendo como fecha focal el dia de hoy (punto cero).

F. = Pr(t+i") Fr =5o.ooo(t+o,ol*+) tr: = 68'000

2.11. DESCUENTO SIMPLE Las operaciones de descuento buscan negociar titulos

valores antes del vencimiento de 6stos. Para esto la '

,r.

4{r1 5fg:pls

parte que lo vende recibe un valor menor al estipulado

ledrA al Lleud*r

b:$tlf/:

Ooe)

f1 -

en el documento. Estas transacciones buscan

l?'|t|ttlfli

sE1r161

entregar liquidez al poseedor de un tltulo cuando la fecha de maduraci6n det'titulo no estd proxima, Esta prdctica comercial la realizan empresas dedicadas al factoring (compra de cartera).

I rl.?Sl

Sobre eltema, el ProfesorAlfonso Morales, en su libro Matemdtica Financiera, sostiene: El descuento simple es el mismo interds stmple pero cobrado por anticipado.

"

La lYo rce

Los problemas de descuento simple se refieren a la determinacion del valor de ciertos papeles comerciales

'UJ

sy iecuerde que la tasa de inter6s simple periodica y el 'las ses

.:mero de periodos de la operacion financiera deben :rincidir en las mismas unidades de tiempo para su ^corporacion en la ecuaci6n de valor,

rta,

ion - " !- _D^^^ ,l.tttu -t UXU

x

13.200.6L0!0_30.000

ebe

ias,

68.000 10.000

-'*'[',]l -'-"[;J] -'-'{ i)] ['-'-"[l:l I [

|ro).

[-o +4"(o,s)] [r+0,+ax(o,rs) [t+0,+tx(0,::::) [+0,+ax(o,a:::) :l:00 68.000 30.000 - x 1

42f

=

i1

-[3o1

[*

o.I o]

1r

-l* s.al

] 100 68.000- 30.000 .r '[u] [::.'] tr.:ol [.ro] .

i

L 1,4

58.10g,617419 -25.862,068966 =

{ 1.4

a].847.60S454={ 1,1

11.847,608454x1,4 = 59.986,651835

=.[

Si el tenedor de uno de estos papeles lo vende, quien lo compra no le da el valor nominal sino un valor, menor, llamado ACTUAL )y que se calcula a una tasa de inter1s simple convenida entre las partes. Observe que el valor actual en descuento simple, equivale al capital o valor presente en interds simple. De manera similar la tasa de descuento (d) en descuento simple, equivale a la tasa de inter6s (i) en

(

el interds simple". (lt/orales, 1988: 104).

709,6774 + 50.000 = 25.862,068 See+

'

En estos papeles figura el valor que se recibe el dfa del vencimiento, denominado VALOR NOAIINAL (...) El valor nominal, en descuento equivale al monto o valor futuro en inter4s simple.

200

:r

nel tala

como letras, pagar6s, etc., en una fecha anterior a la de su vencimiento.

2.12.

DESCUENTOBANCARIO41

Este tipo de descuento consiste en cobrar de manera anticipada los intereses, calculados sobre el valor flnal que entrega el titulo; tambi6n es conocido como

descuenio comercial. X a1

Tambi6n conocido como regla comercial, la m6s usada. Calci.l a

descuento sobre el valor nominal del documento.

I

MATEMATICA FINANCIERA -lnterds. Tasas y Equivalencias-

La f6rmula b6sica de este tipo de descuento bancario

eS: D:

A partir de la ecuacion VL = S - D, se puede obtener:

S dn

Vl:S-Sdn.

Donde:

Vl:S(t-dn)

D= Descuento bancario o valcr descontado del titulo S= Valor nominal del titulo o valor que se recibe a la maduraci6n del mismo

Despejando, se puede obtener:

5'-

d= Tasa de inter6s anticipada o tasa de descuento n= Tiempo que falta para la maduraci6n del documento

Como se puede apreciar, dicho planteamiento algebraico posee similitud con el analizado en el

VI

(t-

dn)

vl

-t

-^_

fI

--

6

S=Vl(1 -dn)' vJ

d: s

^l

-d

-r

-n

Ejemplo 16

interes simple, segrin se advirti6:

t:

Pin

Algunos despejes que se pueden extraer de la formula general de descuento bancario son:

D s: dn

n:DSd

d-DSn

Encuentre el valor nominal que estipula un titulo valor, si va a ser descontado de manera bancaria 20 dias antes de su vencimiento, a una tasa de descuento anual simple del 30%, y por el cual se recibe un valor

liquido de $2.000.000.

Soluci6n Vl = $ 2.000.000

A partir de la formula de descuento bancario, se puede

extraer una serie de elementos adicionales que permiten desarrollar a0n m6s el concepto:

VI:S-D

d = 30% nominal

anual periodo anticipado

n = 20 dlas

S=?

l

&*W%,

Donde:

\fw**r *4*rs$nx*

*

?

VL= valor liquido, valor efectivo o valor de transacci6n, que corresponde al valor que serd entregado al ceder el tftulo valor en una operacion de descuento. Despejando se obtiene:

D:S-VI S:VI+D

t*l*&Z"W"W

"Si un documento se descuenta comercialmente, el vendedor paga intereses por una cantidad de dinero mayor que la recibida, es decir, paga intereses por el valor nominal, pero recibe el valor actual; por esta razon, tambiAn suelen denominarse a este documento ABUSIVO O BANCARIO"(Morales, '1988: 105). "El descuento bancario es el que se utiliza en todas operaciones comerciales y, por ello, al hablar de descuento, se entiende que es el descuento bancario,

las

salvo que se exprese como descuento racional o de otra forma convencional'i(Portus, 1 998.46).

56

s- (T-VI

dn)

Reemplazando, se obtiene:

s-

2.000.000

[,-0,,0.[*t))

Juan Manuel Rarnirez Mora - Edgar Enrique Martinez Ciirdenas

.t- (t

s- (

Forma 2

2.000.000

Vl

- o,:ox (o,ossss))

t,

- o.or 6666)

= 2.033.898,30509

lnterpretaci6n

Ei valor nominal del tltulo que queda en poder del ianco es de $2.033.898,30509, ya que lo descuenta 'je manera anticipada a una tasa del 30%, y entrega .;n valor liquido a su portador original de $2.000.000. 0 )r

360 /J

Vl:93.750

lnterpretaci6n

S

l\

.))

vt =t00.000(o,o:zs)

t

,S

S(1- dn)

z/ = roo.oo o(t-o.zs"f l9

2.000.(:)00

2.000.000 "\^-_(r.oa:::::) u-

:

El valor liquido que se recibe en esta operacion de descuento bancario es $e $93.750, de un titulo que posee un valor nominal de $100.000. Ejernplo 18 Determine el valor descontado y la tasa de descuento de una letra de $10.000.000, que vence dentro de 60

Ejemplo 17

iCu6l es el valor que se recibe por una letra de S100.000, 90 dias antes de su vencimiento si se

d[as, si el banco entrega como valor liquido a su portador la suma de $9.500.000.

cescuenta al25o/o?

Soluci6n

Soluci6n

S = $ '100.000

S = $ 10.000.000

:

= 25% nominal anual periodo anticipado

r

= 90 dias ,it ir -, i

n = 60 dias

-

D=? 5

&

*

Vl = $ 9.500.000

V%

*

d =? $ 1*$.{Hi*

* *& I*.W"W

% *xz6xr** x*wxp&*

orr-?-\\ I V3

5& ffi

*&? WL* %,&"*W"W

Forma

1

D:

Forma

Sdn

D = 100.000x0.25t

D

-

90

Cdlculo de la Tasa de Descuento

360

D: Sdn ,D

100.000x0,25x0,25

D :6.250

Vl=S-D

Vl :100.000 Vl =93.750

1

Sn

" 6.250

500.000

d: t

o.ooo.oooxf

go

')

[3601

&& Wxx*c

M{fEMATICA FINANCiERA -Interds,

10.000.000x 0,16666

que iCu6l es el valor actual de una letra de $200'000 de 27o/o el cobra si se 72 d[as, vence dentro de

s00.000

d-

y Equivalencias-

Ejemplo 19

500.000

d-

Tasas

descuento bancario? Calcule la tasa real cobrada en esta operacion.

t.666.666,666

d = 0,30 =30o/o

Soluci6n CAlculo del Descuento

S = $ 200.000

Vl

D=S-Vl

=$?

n = 72 dias

D = 10.000.000 -9.500.000

d = 27% simple bancaiio

D = 500.000

%,*W&W"W

Forma 2 C6lculo de la Tasa de Descuento

S(I-

Vl =

VI S

d=

dn)

-l **

-n 9.s00.000

,

Vl=S-D

360

.

0.95-l

Vl=S-Sdn Vl = S(l- dn)

-0J66666

,

-

ximplxfuwuaqxtiw

Vi-?

10.000.000 60 ---l

d =-

K7%

(

0.050

(

vt = 2oo.oooll _ o.27xl

-0,166666 d =03A =30Yo

72

r*

\\ ,J ,J

- o,zl x (o,z)) vl :2a0.000(t - o,os+)

vt = 200.000(

C6lculo de la Tasa de Descuento

vl =200.000(o,o+o) Vl =189.200

D=Sdn D = lo.ooo.ooo" 0,30>

EAV

H

tr

Del punto 1 al punto 2

.J

Ejemplo 6

tn

Hallar la tasa de inter6s efectivo anual a partir del 30% anual con capitalizaciones mensuales.

i

Soluci6n

JrW

ttn, :

m

0,30

iuW

El primer punto para poder realizar cualquier i

equivalencia es identificar los tres elementos de la tasa de salida y de llegada 30 %

NMV

rr+

?

7o EAV

ot'v

;FMl.

t

I2

: 01025 I

(t+;)'= (t+;) Q+irrn)'= (t *iurr)' ( + o,o9)o

?%EMV

= (1+ iu*r\"

+4

+12

(t+o.oo!', =(+ ir*r\'z

1

+1

(t+o,oop =l+ir*, (1,09)o't"'3

,:_ j_'.;'_ I =( *iorr), i m)

irr,

ft*o"oo)' =(t+iurr\" =

Q*i,*,ffi

-I=inuv

.J

Mdr:9142 = iuuv

= 2.9142%

m Efectiva Mensual Vencida

;-

, ETV

Fnoedimiento 2

I

E*[e &

fur.

#mua CM@ llil@Me

lErm

ffiEr'lE&

% NTV

tr

oA Mensual Vencida

Dada la tasa de inter6s Nominal Trimestre Vencido, encontrar la Efectiva Trimestral Vencida

S*s?5.'-''' _r=ir*

&G**

=2,91420

Procedimiento 3

ffi*u.oq$ =r+iu*, hil51-+2

iEMr.

I,029142-l = iu*, 0,029142 = iru,

,r-T)*=( *i,,,)" r+) ft*c,.ol;#

-l:

ETV

EMV

tr

tr

arv

J *r,

m

_0,36 4

iuru :0109 iuW

- 9o/o Trimestral

Vencida

MATEMATICA FINANCIERA

Dada la tasa de inter6s Efectiva Trimestral Vencida, encontrar la Efectiva Mensual Vencido .n

i--(t

irr,.)i

-l

Del punto

i rr, =(r + o,ol)l; -

1

% NSV

ESV

tr

tr

al punto 2

r

r

m

:(r,ol)i * r

rvt. = (1,09)o ""t * irtn, =1,029142-I i

,

1

iur, = 0,029142 irrn = 2,9142oA MensualVencida Ejemplo

Procedimiento 2

+i),-l

; = (t +

ir,rrr.

-Interds" Tasas y Equivalencias-

'|,\,/

*-Jrrn

i"""

=W )

rr,

= 0r2

i

m

i ts, = 20o/o Periodica Semestral Vencido

I

Dado el 40% anual con liquidacion semestral, hallar una tasa periodica semestral que sea equivalente

Soluci6n

40%NSV Procedimiento

E+

Procedirniento 3 Dada la tasa de Inter6s Nominal Semestral Vencida. encontrar la Efectiva Semestral Vencida

,J ,=;

?%ESV

1

( r \+'' :(r*i,,, I r+:r:r m) \

I

Es el mismo utilizado en el procedimiento 2. )-,,

Ejemplo 9

iCuAl es la tasa EAV (efectivo anual vencida) equivalente al 5% bimestral?

['.Tl':(,*i,,, \ ) /

),

/

(t +

o,z).' = (1 + iurn )"t :

.,2

(t+o.z) , =(l+tr,, )-: (t + o,z)-'

=l+

iE,y

(t,z)-'-1=iu-r,. 1) .)- -1. -; ,FqJ

a)-i i

nsr,

. F,SI'

= 20o/o Efectiva Semestral Vencida

Soluci6n 5%

EBV

Procedimiento

-r+

? Yo EAV

1

(1+iuur)*" =(l

*iurr)'

(t + o,o5).6 = 1t + i ur,.)t'

(l + o,os).u

: (1 + i,r,).'

o,os)f

= (r + ;u," );1

(r +

(t*o,os)f =t+i,,,, [,os).u -l = in* 1,340096 -t : irg 0,340096 = ir.,tv

i,,,,:34,0096Yo Anual QR

Juan Manuel Ramirez Mora - Edgar Enrique Martinez Ciirdenas

Frocedimiento 2

)e

% EBV

EAV

tr

tr

1,013159-l=iun, 0,013 159 = ir-y ia,t* =1,3I59o/o Efectiva Mensual Vencida Procedimiento 2

punto 2 al punto 3

(t+;)'=(t+;)' (l+iuu,,)' = 0 tiuor)' (1

:s

+ o,o5)o

:

(t+ iro,,)'

el mismo utilizado en el procedimiento

'1.

tda

ie,tv

=(1+iurr)'-l

r,o, = (t + o,os)6

=(t,os)o

(1+ o,o4)* = (1* iu-n

-

'1,

Dada la tasa de inter6s Efectiva Trimestral Vencida,

t

encontrar la tasa Efectiva Mensual Vencido.

-i ;=(t+ i)i

ittr,,:0,340096 itty :34,0A960 AnualVencido

ietry

Eiemplo 10

lado el 4%ETV, calcular una iasa mensualefectiva sea equivalente

-t

-t it.r,, =(f *o.o+),-, -f =(t+rur,,)i

iur, = (1+ o,o4)o''3333r3 irv, = 1,013159-1

1

iumr.:0,013159 inn, :1,3159oA Peri6dico Mensual

$oluci6n

Frocedimiento

)"

Procedirniento 3

iron =l'340096 -1

4oloETV

iorr)" = (i +iu*)'

Es el mismo utilizado en el procedimiento

=(t+;)'-t

l

:-e

tr

(1+

ie,u,

iEo,,

tr (t+;)" =(t+;)'

lada la tasa de inter6s Efectiva Bimestral Vencida, :-contrar la tasa Efectiva Anual Vencida

i

EMV

Del punto 2 al punto 3

Frocedimiento 3

t^ ld

% ETV

r+

?%EMV Ejemplo

1

11

Calcular la tasa peri6dica semestral equivalente ai

orr).' = (l * iur,r)*' (l + o,o4).t = (l+ irr,r)"'' (1

+

i

-4

(t +o.o+)r,

:(t

l-'

+i,-,,,

+4

(1+O,O+p':1+iun (1"04)

o'rj.3rr

-l =iu*

),,

25olo anual.

Soluci6n

25%EAV

!r+

?%ESV

MATEMATICA FINANCIERA -Inter6s, Tasas y Equivalencias-

Procedimiento

Ejemplo 12

1

Dado el 4% trimestral calcular la tasa peri6dica

(r+iuor)" = (1 *iurr\' (t + o,zs)' = (1+ i,",, )' (t + o,zs)' = (1+ ir", )'

trimestral anticipada equivalente'

Soluci6n

4%ETV

(r+o,zs)ii = (1+ i.",,fi +l (t+o.zs)-, =l*i1,,

Procedimiento

(.zs)o'5-l=i^r, 1,118034 -1=io* = n,8A3 4aA Efectiva

i

S

- iurr|

(l+iurr)"

= (t

(t+o;o+)o

=(l-iur \^

o,o+)o = (l-irr \o .+4

.

emestral

?%ETA

1

(t +

0,118034 =ies,

->

(t + o.o+)-* = (l

"s,,'

-

,-4 i

,ro )i o

(t,o+)'=l-iuru =l-iuro 0.961538-l=-ins

Procedimiento 2

0,961538 ESV

% EAV

tr

tr

- 0.038462 = -iuro Signo negativo a lado y lado de la ecuaci6n se cancela

Del punto 2 al punto 3

asf

(t+i) = (t+;) Q+irorl" (t +

1.

= (t *iurrl'

0,038462 1.

Procedimiento 3 Dada la tasa de inte16s Efectiva Anual Vencida, encontrar la Efectiva Semestral Vencida

trl I

ssr =

I rsv

=

[(i-,

:

+

1) -

[(0.r, * r)i -

L'

1.]

:

-t,,.o (-1)

irra

Se Traslada el componente de la derecha de la ecuacion a la parte izquierda de la misma, y el componente de la izquierda se desplaza hacia la derecha:

-0,038462

:

-irre

in; = 3,8462% Trimestral AnticiPada

r-l

I

iuy = [6rr)''' - t] iuv = 1,118034 - 1

iry = 0,118034 iuy = I1,8034o/o Semestral

100

Se multiplica por (-1) a lado y lado de la ecuacion:

(-1)-038462

o,zs)' = (1+ i"rn )'

Es el mismo utilizado en el procedimiento

:

Procedimiento 2 % ETV

tr

ETA

tr

Juan Manuel Ramirez Mora

)e

- Edgar Enrique Martinez

punto 3 al punto 5

CSrdenas

Ejemplo 13

i

Hallar la tasa de inter6s capitalizable por cuatrimestres vencidos a partir del 10% periodiffi

1,.' tTl

cuatrimestral

_-iu, ' 7+iu*

Soluci6n

o'04

- = + 0,04

+

10%ECV83

1

Procedimiento

- = o'04

?%NCV84

1

i.04

, , =0,038462

Jn., ,)-'=l' t*- m./) \

(l+ir,

,-, = 3.8462oh Efectiva Trimestral Anticipada

'

(

\

k

a tasa de inter6s Efectiva Trimestre Vencida, ffmrfar la tasa Efectiva Anual Vencida

(t

+;)"

\.

(t.to).'

l

1,1

)

=l+lY .L

-t -

3

\l

T

-t

i:.,,.=(t+o,o+)o -,., = 1,169859

.r f

.

-t

i=,.,,-=(t,o+)o

t*:it3)

l^., (t,to); \.,._/=11+l

i.rr =(l+iurn)"-l

",

t

(t+o.to)-'=l

ommedimiento 3

i,r., :

"'

^,, '"" 1.10=1+ -a

J

I

l.l0-1 =*Jn" 'a

= 0'169859

J

.,,-= 16,9859o/o Efectivo Anual

0,10:

€ tasa de inter6s Efectiva Anual Vencida, r la iasa Efectiva TrimestralAnticipada

J

,,,

0,10 x 3 = J

,-=c

*r,

0,30 = J *ry

€ l3f lac: &

J ucr.,

= 30% Anual Cuatrimestre Vencido

Procedimiento 2 10 % ECV

NCV

tr

tr

)

0.1 69 69851 859 -+

r)

t.25

0.85 48 4804 04)"'

l

t.96 15. r 538] r8l

5J6 2 510 io,E fecti

Trimestral Anticipada

83

Tasa efectiva cuatrimestral vencida.

8a

Tasa nominal cuatrimestral vencida.

MATEMATICA FINANCIERA -Interds. Tasas

Del punto 3 al punto 4

J =ixn

:

isc, xH

J

*c,

J

ivc, = 0,10 x 3

J

)

J."_.,

:0,30

J

:309'o Nonimal Semestre Anticipado

rro

Procedimiento 2 15 % ESA

NSA

tr

tr

,r', = 0,30

J o,cr =

Fq::

30% Nominal Cuatrimestre Vencido

Del punto 5 al punto 6

Procedimiento 3

Dada la tasa Efectiva Cuatrimestre Vencida, encontrar la Tasa Nominal Cuatrimestre Vencida

J =ixn JNc, =iurnxn Es el mismo utilizado en el procedimiento 2.

Ejemplo 14

Procedimiento 3

que tasa anual liquidable semestralmente por anticipado es equivalente el 15% ESA?

Dada la tasa Efectiva Semestral Anticipada,

iA

encontrar la Tasa Nominal Semestral Anticipada.

Soluci6n

.Ia=i

15%ESA Procedimiento

+

xn

?%NSA

1

Q-iu,ot,=[t-+l

Es el mismo utilizado en el procedimiento 2

Ejemplo 15

(r-o,rs)'=[r-

+J'

(-o,rsii=[r-+i

Hallar una tasa periodica trimestral anticipada equivalente al 280/o anual paEadero por trimestre anticipado.

Soluci6n

(o,as)'=t-tt;" 0.g5-l--/-"., '2 -0.15

--

2

-0,I5x2 -J - 0,30 - -J *"u

t02

NTA

Procedirniento

rrr+

? oloETA

1

(t-b'l '=(' -iu,o)-'

/*, =

28 %

\

m)

rs^

['-9#]--:(, \. 4)

-i,,,)-o

Juan Manuel Ramirez Mora

- Edgar Enrique Martinez

Procedirniento

* o,oz)-i = (t- i,,o)J (0,93).' :7 - irro

C6rdenas

1

(r

I-irro

0,93 = 0,93

-

- i ur,r)' = (t + i,,nn)*' (t - o,o:s) '' = (1 * ioor,)*" (ll

*1=

0,07 =

-ir,

(o,los)# -

(o,los) 1 :l+iono,

-iert

= 0,07

i

ur.',

i

ur^ = 7o/o E1-ectiva Trimestral Anticipada

(o,los) '

:t+in,n

1,036269

-l

=

innn,

=ir,,, irr, :3,62690 Efectiva Mensual Vencida 0.036269

Frocedimiento 2 28 %

ft * i nn,,)i\,i

NTA

ETA

->

tr

tr

Procedimiento 2 3,5 %

)el punto 7 al punto B

EMA

r+

EMV

tr

i;:Lm Jnro

,

Del punto

I

al punto 2

m

.

0,28

'iT1

i:

4

i

'rt :0,07

i

.r,, = 7o/oEfectla Trimestral Anticipada

7-i" i

Ittrt

Frocedimiento 3

l,:-Lcipada

-

, '.-;-Jo

lstre

inr,

0,035 |

.

'E'tv

,ada

-...

7-ir,o

.

lada la tasa de inter6s Nominal Trimestral r^ticipada, encontrar la Efectiva Trimestral

i:

io

-

0,035

0,035 0,965

irr, =0,036269 rr, = 3,62690A Mensual \'enclCi

=fu m

Procedimiento 3

el mismo utilizado en el procedimiento 2.

Dada la tasa de inter6s Efectiva Mens-a

encontrar la Tasa Efectiva Anual

$mplo :-:ontrar

ffi

16

irrn:(t-i,)'--

la tasa efectiva mensual equivalente a una

del 3,5%% EMA.

O tambi6n,

Soluci6n

3,5%EMA

?%EMV

->

\/err

i^-::,:.::.:

r:

MATEMATICA FINANCIERA -Interds, Tasas y Equivalencias-

fr\1"

r*l '" ll-l L ( 1-i, )) frrl' i,,,,=ll*l 'o* ll-r i.,,=l

-2 /

uo, =lr + (o,o:ozol)]''

iu,tv:ft,ozazeoltt izo, =1,533459

*l

\

-t

Dada la tasa de inter6s Efectiva Anual Vencida,

, =l(,un,* ryl - rl t. L_l

l

1.091089

ni" -7 = qJ

.r I

+ t);

-t

*'n 4

0,364358 = J urr J urv = 36,4358yo Nominal Trimestre Vencido

32 %

zun =|(r,s::+sl)o,os:::::

NSA+

l_l

l

tt

L]

irry =ftpzazao _tl

*J

Procedimiento 2

itv, =[lo,rrrorn * r;" - rl -

ESA -1

t

r+

r]

i_ um

zu, = 3,6269Yo MensualVencida

I

.Ia

,

m

.

,ESA

_ 0,32 _ 2

Dado el 32%capilalizable semestre anticipado, hallar

una tasa anual pagadero trimestralmente que sea

iuro = 0116

equivalente.

i

zs,t

=

16%o

Efectiva Semestral Anticipada

Soluci6n

Procedimiento

r04

rr>

?%NW

[t-l*) \ m,

^

It-9i2'] \ 2/

'

=(r*/",, l. m

.1'

)

=( ,*r"'.u )'o

l,

4

)

I

Del punto

l=

1

ETV

(ESA--J^ru

Ejemplo 17

32%NSA

ESV

tr tr

L1j

Del punto 7 al punto

inu, =lo,ozazeol i

- 1*Jr"

I

0,091089x4= J*ry

encontrar la Efectiva Mensual Vencida

i

1.091089 '4

0.0g 1 0gg =

L''',

,.]

: l *J "'

-l

in,tv = 53,3459Yo Efectiva Anual

r

l+"':' 4)

(o.s+),4 '''

'4

iro, = 0,533459

iru, =l(i rn,

=l

(o.a+) o

L lt_i,* )) . l-.t+t-( o.o-ls \l'' !..,,:t ll -l tr-o.o35rl L i

'l ' r+J"' ':f\ 4)

(t-0,r6)

io

r-i, I

I

rsv

I

asr

al punto

as.q

|-irro

_

0,16

1-

0,16

2

NTV

tr

Juan Manuel Ramirez N4ora

- Edgar Enrique Martinez

Dada la tasa de inter6s Efectiva Anual Vencida, enCIontrar la Nominal Trimestre Vencida

I;,r,, :01190476

i.-.r =

19,041 6o/aElectiva Semestral Vencida

trI ,,, L]

J :10

)el punto 2 al punto 3 -il

=(1+i), .

,

-l

+ irrr), -1

=

,-,

= (t + o19o47 6)i

._

= (1,190+la)os

,,-

= 1,091 089

(1

-

*t

-l

- | ln

,r, =l Q u,, * t1',, - t)*

J

:[to,o ,,, ,LI

L_l '

i234 +r

1,,

- r-l+

,t, =l{t"otrrt+)0 " - tk J ,,, = [r.oo roso - l]+ J ,r, : [o,oo t o8g]4

.t

1

J n-ry = 0,364358

= 0,091089 9,1 089o/o

+ t),,,

J .11

_-

=

Cliirdenas

Efectiv aTrimestral Vencida

J Nrr,

:36,4358oh Nominal Trimestre Vencida

Observando las tasas de inter6s obtenidas en este rg]lJL:

)e

ejemplo, se puede concluir que todas las tasas

sunto 3 al punto 4

obtenidas son equivalentes entre si: ,. =: ll.tiNdtF.trqle

1: t

leriir:; d: i; 7se. p.r;64,.u

.4.1 E -'. j dts . :'-.1 i

rtt.r'j/..: .,':':.?,,..: 'a.1,.tir..lta'.it

:' ' * ' ' Art:rr hlz*at

tuF0tr !t3!

t.

3

1if:"1 i '---

NE.'E! F9F'-i*

,: '- oLEiF!.

1i

.. . -:.'_

! : r:T.

rDilFl!.tr(

i

t:i

.kt

t :.:.:, t

aa

\r\ ;: :1. rjt.t t t | ; t

ij

t\.:i

7: eltr,t F3. tt?a t\br* zrjA, E qi,,. r. t a t +ir | -:.--._.-........ . ... . .. .'... .,. , ...".._.-.-...-.-:-*.. )

t

t.\ri.

7 :

',,1t)

rit*1'

a

- FJI:r E:1ii!lue \1,irtrn.-z C:irdenas

.luan Manuel Rantircz ]r4ora

- -:

:;

-:

aparece una ventana denominacja Argumentos =-ncion:

Para poder obtener la tasa nominal vencida, se debio

Incorporar en la celda C8 como dato de entrada el nurnero de capitalizaciones de la nueva noininal. Para

r1:,:rtlr

d* fririi{6*

semestral"

-*-eoaiaal rrie.-ais

i.

"

1A

=

Paso 9: Luego, se deja el curso en la celda C11, con el fin de establecer la tasa nominal vencida requerida:

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el ejemplo el valor es 2, porque la capitalizacion es

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Faso 10: Posteriormente, se hace click en el icono de i.luitnic

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Financieras. Alli se despliega el nombre de las funciones; luego, se hace click en TASA.NOMINAL:

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Paso 8: Luego se hace click en el boton Aceptar y se obtiene la tasa efectiva anual:

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TASA FER,OOEq VEn CiDA A TASA f{OMN!'\:AL VETtCIDA

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MATEMATICA FINANCIERA -Interis. Tasa.

GrSficamente, el procedimiento que se acaba de obtener es el sigurenre

Ahora, aparece una ventana denominada Argumentos

de Funcion:

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4.6.3.

Paso 11: Se procede a llenar los cuadros con la informaci6n de la tasa efectiva anual vencida *C'10y nilmero de capitalizaciones de la nueva tasa nominai -C8-.

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TASA NOMINAL VENCIDA

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TASA

PERIODICA VENCIDA

Ejemplo 3 Encontrar la

tasa Bimestral (Efectiva Bimestral

Vencida) equivalente al40% S.V. (Nominal Semestre Vencida)

Paso 1: Construccion de la estructura"

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Paso 12: Luego se hace click en el boton Aceptar y se obiiene la tasa nominal vencida (para el caso del ejemplo la tasa es nominal semestral vencida):

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Paso 2: lncorporar los datos de entrada:

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Juan Manuel Ramirez Mora

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- Edgar Enrique Martinez

Se procede a obtener los datos de salida; =-, se deja el cursor en la celda C8, con el re obtener la tasa efectiva anual vencida

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Ahora, aparece una ventana denominadaArgumentos de Funcion:

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Paso 6: Se procede a llenar los cuadros con ia

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informaci6n de los Datos de Entrada. tasa nominal vencida -C4- y numero de capitalizaciones de la tasa

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Paso 5: Posteriormente, se hace click en el icono de

Paso 7: Luego se hace click en el bot6n Aceptar y se obtiene la tasa efectiva anual:

Financieras. Allf se despliega el nombre de las funciones; luego, se hace click en INT.EFECTIVO: f J.

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Para pocier obtener ia tasa nomtnal vencida, se debio

incorporar en la celda CO como dato de entrada el numero de capitalizaciones de la nueva nominal. Para

I -+-<

MATEN4ATICA FINANCIERA -lntcrds, Tasas

es

el ejemplo, el valor es 6, porque la capitalizacion

bimestral.

Paso 8: A continuaci6n, se deja el cursor en la C9, con el fin de establecer la tasa nomrnai

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il

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Ahora, aparece una ventana denominadaArgumentos de Funcion: ,6{itr

vencida .

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Paso 10: Se procede a ilenar los cuadros con la informacion de la tasa efectiva anual vencida -C8- y

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?i!n Eer_ana eri i,.ecCe.t:

Paso 9: Posteriormente, se hace click en el icono de Financieras. Allf se despliega el nombre de las funciones; luego se hace click en TASA.I{OMINAL: atr?t/r',.-..: ' qi:

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a:a Perlddisa Venclcl:

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Paso 11: Luego se hace click en el boton Aceptar y se obtiene la tasa nominal vencida (para el caso del ejemplo, la tasa es nominal bimestre vencida):

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FritlljE: iEr:rr,r:r6n E.frriant.jc

tt\i;t:tit),:t;t)

t

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:r:t:,il'i:r:tia:;,

i,:7S!!1*t5

litErs nwh;Jaual

f ;1.rr,

Juan Manuel Ramirez Mora - Edgar Enrique Martinez Ciirdenas

Paso 12: Como el lector recorda16, las funciones financieras solo arrojan tasas nominales vencidas, situacion que obliga a calcular en la celda C10 la tasa periodica vencida mediante la fdrmula =Cg / p6. 'a f-'rt. 1' -,'

1

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Paso 2: lncorporar los datos de entrada:

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I;5? a!|{rif

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1l

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)l

I

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1.,

:' 1' t.

al V€rair'lE

l,l'de legi:ril::ricne: de

t'.::':.t:"t.

4tr, O{'.r'

tusrada

Oatsde

1:.:.,:;:,at'B|*Aiti::&':Al6itt*itt't:;1t.a..::t:.::a,:::,':t:',1:1'.:

I

Tssa *anrirral

de l.a Sueua I'iominal

.1

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Grdficamente, el procedimiento que se acaba de obtener es el siguiente: I i I

40%Nominal

44.000n

Semestre

Anual

I

Lfectira Vencida

--' "

Vencido

) Diviok

oor 6

i I

* v

Esta situacion obliga a calcular en la celda C6 la tasa nominal vencida mediante la formula =C4*C5.

l...:-9!:i"d:-.-.--l

',,

rol

Paso 3: Como el lector recordar6, las funciones financieras solo utilizan tasas nominales vencidas.

1-" , J7.o09" Nonrinal :. ' Bimestre

6,27% Efectiva

Rimeqtrat Vencida

4.6.4. TASA PERIODICA VENCIDA _

I

I ,

TASA

PERIoDICA VENCIDA Ejemplo 4 1,

Dado el 2% Efectivo Mensual Vencido, encontrar la tasa equivalente a una Efectiva Trimestral Vencida.

I

Paso 1: Construcci6n de la estructura:

7

asa

,t

LV

FERIOOICA

r*.

5

*" L

{. E

V'NCIDA

'ASA

dE neriddos !'de

' :1

dE

&rlddir; V*nrid: ?eriridc: de la T:se Perlad1c,r

,i" de

{ u{

tlapilalizariane: de la ?;sa i*oni'::i d,i!{dr:ldL u.le5 ue",r i{Je!i; rJ:

:,t.:,".:;:::.t t;t ;a : t,l::": l:::. :t t...

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as* i{er:liru Anrsl rJrrrids

A TASA

PERIODICA

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A TASA pERt6DtcA

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t*gg psnt6gt{A vEllct0A

1=

A;iieva

batos&ga&d*

tuf,si-a'

- --

Paso 4: $e procede a obtener los datos de salida; para tal fin, se deja el cursor en ia celda C10, con el proposito de obtener la tasa efectiva anual vencida.

141

MATEMATIC,A FINANCIIERA -lnterds, Tasas v F)quivalencias-

Ahora. aparece una ventana denominada Argumentos -'

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...............

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Paso 5: Ahora. se procede a incorporar la funcion; para tal fin. se hace click en F6rrnulas (barra de

:i,!:w*, Tas-rBm;sai

Yt..

{

J.t

j

Paso 7: Se procede a llenar los cuadros con la informacion de los Datos de Entrada: tasa nominal vencida -C6- y nImero de capitalizaciones de la tasa nominal conocida -C7-.

herramientas):

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1

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11.

11

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fi6fi per_d!i+

Paso 6: Posteriormente, se hace click en el icono de

Financiera. Alli se despliega el nombre de las funciones; luego, se hace click en INT.EFECTIVO: Paso 8: Luego se hace click en el boton Aceptar y se obtiene la tasa efectiva anual:

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\

lill

nii:: r:

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Afttd

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Feri6d!ra ?ercida

I :l i-"

Juan Manuel Ramirez lvlora

-

Para poder obtener la tasa nominal vencida, se debio incorporar en la celda CB como dato de entrada el numero de capitalizaciones de la nueva nominal. Para

Edgal Enrique Martinez Cdrdenas

Ahora, aparece una ventana denominada Argumentos

de Funcion:

el ejemplo, el valor es 4, porque la capitalizacion es irimestral.

Paso 9: A continuacion, se deja el curso en la celda C11, con el fin de establecer la tasa nominal vencida requerida:

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ruvelve a

e*

Frsjbda d* h

I

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l

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rr*ri! tndBlniNr'

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ll

\,tt1a ,*t -

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ll

4rrda :slrre

iirrri:

*it

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iBsn da

iiied$ eie.?te

=

V::=ilJ;*lJ

funrl'ir

.'L

Paso 11: Se procede a llenar los cuadros con la informacion de la tasa efectiva anual vencida -C10y n0mero de capitalizaciones de la nueva iasa nominal -C8-. tasE Per;Sdica Verl.;d; h" de Per,cdos de :; -3ia :e .od

2' 1:

aE

la:i t{06ini' Ver.;di ?,6"

de aas;tallzaclE,nes

di

1; Ta5e

l'{oalnai

l!'de fep:taJi?a.i"np< d. ;J l'aileva l';oFjral Fatos de 9alide

:5,8:1

as€ Etertivs Anr€, Ven.;d; 3sa i'ioBina! Ven.ide

*mier,affa

L

lasa Ferltdice VerciCa

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El

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Fed{Ctt cm!€ELE

:

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1F,i to-tr i3

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1:

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Paso 10: Posteriormente, se hace click en elicono de Financieras. Allise despliega el nombre de las funcio' nes; luego, se hace click en TASA.NOMINAL f:t* ] ::,.:l

F{ aiis'

;

t it)rt'iaaa:':.1":r"''i1'::1 - itt"tit:':11:'...ti .' za.NBt ., 17. ? rtut* lrzt\lat l:itzie4e*aairie .iirm!1i!: lett:

At\aa sr'ltryElqgg1 1:...- .-... ,." .... ....

i

'4..r"

Paso 12: Luego se hace click en el boton Aceptar y se obtiene la tasa nominal vencida (para el caso dei ejemplo la tasa es nominal trimestre vencida):

':.'''

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-

-

**nb.a5 X!dii..:- dt :::: tt\t tlt\- 1rtal:t':

PREalt r::':r_rEtrTl

,

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t t: iI'A & TASA PgRIfiBICA VEhICIDA

PEA

IF!EG|JI.AR.i

Ppttlo ilR,IElEjl!iln:

1:

FRtilC,,'tHt;flitfrlc

2)

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1: t),

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BEIlD]C PEF,,JSRI6UGA,I FEIJiIC.P!R

gElitTD

,

7: g:

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Anual ljencida

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24,Jt

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HJ!.

111)

MATEMATICA FINANCIERA -lnter€s. Tasas

Paso 13: Como el lector recordare, las funciones financieras solo arrojan tasas nominales vencidas, Esta situacion obliga a calcular en la celda C12 la tasa periodica vencida, mediante la formula =C11 / C8.

y-

Equivalencias

;Las f unciones f inancieras del Excel permiten trabajar con iasas de inter6s que poseen condicion anticrpada? Explique. l/- 6Cudles son las funciones del Excel que permiten realizar la conversi6n o equivalencia de tasas de

11.

inte16s?

4,8, PROBLEMAS t.12

1,

.j:. =rlil a-

Dado el 30% nominal trimestral, calcular una tasa nom nal me nsual eq uivale nte ( Respuesta 2 9,27984/o i

Tqsg pg*t6ntcg vEFJctDA

: t

tds

I

ia:a Per:odi.3 i:.i.a; ::: I'i" cie ?€r:.1::- := l-:

A

TAsA PERTcDI'.4 !=t{alDA

2.

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cE:a -35: licml.3l i" de,:a:ir'a!!z::l:_e; i'd€ a3.li: ::.. ..ae iE l3 i!.eva N6.n:iai g** de Salida

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1\, 1'' i|,i'.

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1:

1I

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28,21"t

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!:ia:c-1 ::; r!..';:i: iar. Per;f,ii.: V€ r:ldr

Grdficamente, el procedimiento que se acaba de obtener es el siguiente: Funciores Financieras del Excel

;il;;il Nominal \en;iJo fesvencido

24%

Ve.

--,- .,., :a,*;N;.;,*, r----.,,. i";;,;:;;;l;;;;;i lrlmesire lritncstre \cncida ""'"'-",/

! :

;.,,,:..'..'. i-;;il;.;;;;;;;i 1

Arual I AnuaiVetclda a ''--'"y '\ 't.Vencidal

i | ,

Dado el 36% NT, hallar una tasa trimestral vencida (Respuesta 9% ETV),

Dado el 3% E[/, hallar una tasa nominal mensual equivalente (Respuesta 3601" NMV).

6,1.1%

-.''".....tt.:;"

lr*"

Dado el 3% EBV (efectivo bimestral vencido), calcular una tasa efectiva mensual que sea equivalente (Respuesta 1,4889% EMV),

749

ri

i...1

NMV),

;

tr

Hallar una tasa nominal convertlble semestralmente equivalente al l2% CM (Respuesta 12,3040% NSV).

6.

Encontrar una tasa TV equivalente al 24% SV (Respuesta 23,3202% NTV).

7.

Calcular una tasa nominal semestral equivalente al

24%TV (Respuesta 24,72"/o llSV). I

I

B.

i

Dado el 25% nominal capitalizable anualmente, enconirar la tasa convertible bimestralmente (Respuesta 22,7345% NBV).

o 2%

Elcctivo

]

6,1 2'llo

Elcctila

Trimestral

Vencida

I

Hallar una tasa efectiva anual que sea equivalente al 32o/o (Respuesta 32% EAV).

10, Dada una tasa del2,5% bimestral vencida, calcular una tasa efectiva anual que sea equivalente

Vcncida

(Respuesta 15,9663% 4.7. CUESTt0NARtO

1.

2.

11.

;Qu6 es una funcion en Excel? ;Cu6l es la caracteristica principal de una funcion

Excel?

4. ;Qu6 es sintaxis? 5. iQu6 es un argumento? 6. lC6mo se pueden incorporar las funciones

nominal semestral vencida (Respuesta 32,25

13, Encontrar

la tasa convertible anualmente al 12kTY (Respuesta 12,5509%

NAV).

en

la

7. 1,Qu6 errores se pueden comeier al realizar la FORMULACION en la hoja de cdlculo?

6Cudi es la finalidad de las funciones financieras que posee el Excel?

9. 1Qu6 operaciones financieras se pueden resolver a travtis de ias funciones del Excel?

10. Describa la manera para utilizar las funciones financieras que posee el Excel. r50

o/o

EAV).

equivalente

hoja de cdlculo?

8.

Encontrar la tasa efectiva anual equivalente al 5% periodica trimestral (Respuesta 21,5506% EAV).

12. Hallar una tasa efectiva anual equivalente al 30%

en Excel?

3. lMencione las partes que integran una funcion en

EAV),

14

;Cudl es la iasa bimestral equivalente a una tasa del2ok trimestral? (Respuesta 1,3289% EBV).

tc. lCudl es la tasa efectiva semestral equivalente a

una tasa del 3% efectiva mensual? (Respuesta 19,4052% ESV).

16. Hallar la tasa nominal trimestre vencida equivalente al 20% nominal semestre vencida (Respuesta 19,5235% NTV).

17. Encontrar la tasa efectiva semestral vencida equivalente al 28% nominal trimestral (Respuesta 14,49% ESV).

Juan Manuel Ramirez Mora

- Edgar Enrique Martinez

Cdrdenas

Cnpirulo

EQUIVALENCIAS DE TASAS A TRAVES DEL USO DE LA CALCULADORA FINANCIERA HEWLETT PACKARD -HP-, MODELOS 17 BII Y 19 BII OBJETIVOS DEL CAPITULO General Establecer las equivalencias de tasas a trav6s del uso de la calculadora linanciera Hewlett modelos 17 Bll y 19 Bll.

paddr

Especificos

1. Presentar

la importancia de realizar cdlculos a trav6s del uso de la calculadora

financbr

2.

ldentificar algunas calculadoras financieras (marcas y modelos) que existen en el

3.

Describir los menus que posee la calculadora financiera Hewlett Packard modelo Bil.

iZBl-;

5

*.[,,

,rt',

MATEMA'l'ICA FINANCIE.RA -lnterds. Tasas y Equivalencias-

5.

EQUIVALENCIASDETASASATRAVESDEL

USO DE LA CALCULADOBA FINANCIERA HEWLETT PACKARD 19 Bil

1.1.

-HP.,

MODELOS 17

BII

Y

calculadora financiera), el lectar debe identificar la fundamentacidn teorica propia. del tema dei vaior del dinero en el tiernpo.

Con el proposito 'Je conocer ias facilidades y limitaciones que ofreee la calculadora finaneiera, se recomienda la iectura del nnanual dei usuario.

PRESENTACION

"La calculadora financiera debe considerarse como un

manejo, mes que un proceso mecanico, es un procesa racional en el sentido de que la clave estd en plantear

La calculadora financiera Hewlett Packard -i-iFModelo 17 Bll y 19 Bll est;i disefrada por medio de rnenris principaies (menu MAIN) que aparecen en la

adecuadamente el problema que se quiere resolver, para luego plasmarlo en forma de instruccicnes en la

.

mero instrumento para facilitar los cdlculos pues

sLt

mdquina" (Garcia, 1999 : 98),

pantalla:

Calculadora Financiera Hewlett Packard *HPModelo 17 Bll

Existen varias marcas y modelos de calculadoras que

estdn disefradas con la logica financiera y por consiguiente permiten solucionar ejercicios de 6ste

Pantalla

l-rir

I I cou ll suMAl tcArryl IREsqll

ttttt

tipo. Algunas de 6stas son:

l-lI-l MODELO

MARCA

l-l

t-lL

R6tulos de MenU

]lf--:]r

recra de

Meni

.

Calculadora Financiera Hewlett Packard -HPModelo 19 Bll

Hewtett Packard

HP 1OB

Hewlett Packard

HP 12C

Hewlett Packard

HP 12C Ptatinum

Hewlett Packard Hewlett Packard

HP,I78 HP 198

Hewlett Packard

HP 17bll+

Casio

FC

Casio

FC 200

Cada men0 principal, se activa por medio de las

Casio

FC 1.000

Casio

FC

primeras seis teclas (teclas menu), ubicadas debajo de la pantalla de la calculadora de forma horizontal.

Casio

FC 2OO V

Pantalla

II

R6tulos de Menf

tI

f:|-]l

lf:ll

ll

li

recradeMenr

1OO

1OO

V

A continuaci6n, se presenta la descripci6n de cada menu:

En el presente capftulo, se trabaja con la calculadora financiera Hewlett Packard -HP-, modelos 17 Bll y 19 Bll, con el fin de realizar la conversion de tasas, a trav6s del concepto de inter6s compuesto.

Antes de incorporar los datos en la calculadora financiera, con elfin de realizar la conversion de tasas,

es importante identificar los tres elementos

o

1,

FIN (Finanzas): 6ste menu sirve para calcular el valor del dinero en el iiempo, conversion de tasas, flujos de caja, bonos y depreciacion. Cuando se oprime

FIFI l, se presenta el siguiente menf

.

Calculadora Financiera Hewlett Packard -HPModelo 17 Blly Modelo 19 Bll

caracteristicas (Tipo, Unidad y Condicion), Recordard el lector, que esta misma adverlencia se ha expuesto en el procedimiento manual (algebraico) y en el uso

de la herramienta del Excel. Lo anterior significa, que antes de iniciar la aventura

por el prdctico mundo de la tecnologia (Excel y

t52

la

:

Pantalla

@@@@@ n n f] f: f:n

R6tulos de Men(

irecra

de Menri

- Edqi:i Enrique Martinez

Juan l\4anuel Ramirez Mora

2.

COM {Comercio General): este menu permit

:

oalcular porcentajes comerciales, cambio de moner.-r conversion de uniciades. Cuairdo se oprime

y

CflM

l,

4. CALEN (Control del Tiempo):

permite trabajar con reloj, calendario, alarmas y aritmetica con fechas. Cuando se

se presenta el siguiente menu:

menu:

*

.

Caleuiadora Flnaneiera l-lewlett Packard -HP-

fVlcdel$ 17 tsi!

C6rdenas

oprime q4!:ry.1, se presenta el siguiente

Calculadora Financiera Hewlett Packard -HPModelo 17 Elly Modelo'!9 Bll

Pantalla

****

il*f r:flrtt-_l13* n ealculadora ffiod*lo'l$

Tecla de

Pantalla

@w@@

R6tulos de Men{

R6tulos de

* * t t"

Meni

|-j tf t_f tf [f n

Financiera Hewlett Packard -HP-

ffill

i+k [(1-k)L ,P

=[-q+ [(r

Al observar la anterior grdfica, se puede concluir que:

lrr* it => i = k

i)_J

La grdfica que representa el alcance de la formula es.

Cuando se aplica la formula de valor presente de un gradiente geom6trico decreciente vencido, dicho valor se obtiene un periodo antes de su primer pago (base)

que se est6 tomando en consideracion, entendido

como periodo antes, el mismo intervalo que se mantiene entre pago y pago (perfodo de pago).

9.6.12. FORMULA DE VALOR FINAL DE UN GRADIENTE GEOMETRICO DECRECIENTE VENCIDO

El-il-l'

vr

=

-!-[ir \i+k)L\

- (t -k

+ i),, /

),,

II

La grdfica que representa el alcance de la f6rmula es: F

Al observar la anterior grdfica, se puede concluir que: Cuando se aplica la formula de valor presente de un gradiente geom6trico creciente anticipado, dicho valor se obtiene en el punto donde se encuentra el primer pago (base) que se est6 tomando en consideracion.

9.6.14. FORMULA DE VALOR FINAL DE UN

GRADIETITE GEOMETRICO CRECIENTE ANTICIPADO

rir

-rf

d1

*

i-rl

x{r-ri'

,St *)'

vr

fnr,rl =1+-[r+i)'-(r+*)" /( [t/ - )

rn =lnn(t + i)" il

li(r *

i)= i+ k

]

+ i) => i = k

La grdfica que representa el alcance de la formula es:

Al observar la anterior grdfica, se puede concluir que:

Cuando se aplica la formula de valor final de un gradiente geom6trico decreciente vencido, dicho valor se obtiene en el punto donde se encuentra el fltimo pago variable (que cumple con la ley de formacion) que se est6 tomando en consideracion.

240

Juan Manuel Ramirez Mora

- Edgal

E,nrique Martinez Crirdenas

Al observar la anterior grefica, se puede concluir que:

Cuando se aplica la formula de valor final de un gradiente geom6trico creciente anticipado, dicho valor

se obtiene un periodo despu6s de realizar el fltimo pago variable (que cumple con la ley de formacion) que se est6 tomando en consideracion, entendido como perfodo desputis, el mismo intervalo que se

.5 ,(1-.hl'

mantiene entre pago y pago (periodo de pago).

9.6.15. FORMULA DE VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMETRICO DECRECIENTE ANTICIPADO

(

vp

,-tl

f

=)_4_l r _fr:1)'

l(i+t)l Il+i/ 'L t

I

trr

))ll'

*,i

La grdfica que representa el alcance de la formula es:

Pericdos

,({1

- /i

i

Al observar la anterior grdfica, se puede concluir que: Cuando se aplica la formula de valor final de un gradiente geom6trico decreciente antieipado, dieho valor se obtiene un periodo despu6s de realizar el irltimo pago

variable (que cumple con ia ley de tormacidn) que se estd tomando en consideracion, entendido como periodo

despues, el mismo intervalo que se mantiene entre pago y pago (periodo de pago).

9,6.17" CONCLUSIONES FINALES

DE LA

FORMULAEI6ru OT LOS GRADIENTES

Para poder obtener las formulas que representan un gradiente anticipado, se debe tomar la f6rmula del gradiente vencido y multiplicarla por un factor Oe (t + i ) Cuando se este buscando una determinada variable (VP, VF, R, G, k, n, i), se debe establecer adecuadamente la ecuaci6n para proceder al despeje,

Las formulas de gradienies solo permiten llevar a un determinado punto del tiempo la serie de pagos variables que cumple con la ley de formaci6n,

Al observar la anterior gr6fica, se puede concluir que: Cuando se aplica la formula de valor presente de un gradiente geom6trico decreciente anticipado, dicho

valor se obtiene en el punto donde se encuentra el

primer pago (base) que se est6 tomando en consideracion.

9.7, EJERCICIOS DE GRADIENTES ARFMETICOS Ejennplo

1

Encuentre el valor presente y el valor final del siEuiente

flujo de caja:

9.6.16. FORMULA DE VALOR FINAL DE UN GRADIENTE GEOMETRICO DECRECIENTE ANTICIPADO

vF

=l.!^kr [(1+rrl

+

it' - (r -r)"]}(r+;)

La grafica que representa el alcance de la formula es:

G:

$ ?00"0il0

$ ?.€e*_ss0

241

MATEMATICA FINANCiERA -Interds, Tasas y Equivaiencias-

Valor Presente

Valor Final

l-9[

'r=n[1:!]'r f ijil 7p =

1

s'e

r-'r."'

i

s''i,lq1q,ry.l 0.02

L

*

rr = nll-i,'-'-l-of rr+ir" -r-,-l i iL i

-,tr+ir,]

i

l

:oo

ooo

r

I

o.oz

tr/P

= 5.601.430,89070 + 2.736.025,9758

tr/P

= 8.337,456,86650

- r r'

o'o:

r

I o.oz I

-

u,,

*

o

.,r,'] l

J

l

-

+0.03)" - I _.-l -Ulnoo;,' 0.03 0.03 l. ] L o.o3 .l

,,F = r.000.000[rl

+0.03r"

l1

VF = 6.468.409,88433 * 1.56 1.366,28

11

VF = 4.907.043,60323

Ejemplo 3 Valor Final

Encuenire el valor presente y el valor final del siguiente r

c

+'r" -

vF

= Rlq!-- l*

/F

= 1.000.000[rt+o.ozr'-t

frr

I i I iL i

]*

r

flujo de caja:

-,1 I

zoo.ooof

L 0.02 I

rr+o.o:l'- I _ul

L 0.02

0.02

l

i:

341n Frgdv

VF = 6.308,120,963 + 3.08 1,209,63

l/F = 9.389.330.59304

Ejemplo 2 Encuentre el valor presente y el valor f inal del siguiente flujo de caja: Valor Presente

ur-lol'-rr -ir

.l-cIr-rr-ir'

It i lil

-,tr*it.]l(r*it

i

ll

tn t rt+o'02r'-6(i+0.02) ,.-L*['-rt0''u.l* f 0.021 0.02 0.02 t I I

ll,,*0.r, Jl

VP =710,88327

Valor Final

n, s 1"fl&*.*ilCI

G= $ 1flfl.**8

uo = {'oo[

uo=-r\L-' o[].ll*i, // no=,.otlo

"l_gl r-rr+rr"_r,,

t'|\t"-, t'

l-;[-' 0.03

,'P = 4.t09.571,76464

,

l

o.o2

I

]l'

^ro^ [tr+u0211-ulf( o.o2l o.o2 jl'

*o.o,l

Ejemplo 4

]

'.]-]ooql l-tl+0'0lt

I

o.or

IrP = 5.417 .191,4438-L307 .619,67923

)41

,

VF =800,510029

ooof'-!'90''

L

l+

(r+qq2]"-rl+

I t

Valor Presente

gf rr-ir' -r_,,llt,_,,

tl i lif

={rl,'+ir'-i

"

-orr+o.o:i "l L o.ol l

Encuentre el valor presente y valor final del siguiente

flujo de caja:

Juan Manuel Ramirez Mora

- Edgar Enrique Martinez

,,p _

Cdrdenas

.ooo.ooo

_r [, _ tfag-lq ]^l (0.02-0.10)L I r+o.oz /

|

VP = L163.693.37262

Valor Final

r p'=-R -ftr+i;" -(t+/t yl= \t-R) I

G:S5

$50

i**

r = I 0i0'9qt Ju+0.02)" rot"lI \' ""'/ (0.02-o.ro;" "-' -(r*o

vF =8.061.482.2s925 Valor Presente

Ejemplo

nr={of ' -.'*"'l-el'-"+1L-,,11*it

i

It

'"-{"[t

li[

"]l'

i

5

Encuentre el valor presente y elvalor final del siguiente

l}tr, rt

flujo de caja:

s#t] *ttt*t-*+003) ]]t'.''';

VP = 211.64294

Valor Final

'' : {^[el5r] _ e[er+_ _ "]]o.,, ,. : {,,[cur_:] *t**=_u]]t. :252.712745 r

*o,o.r

I/F-

9.8.

EJERCICIOS

DE

Valor Presente

GRADIENTES

GEOMETRICOS

rP=.R" -=i (1+i)

Ejemplo 5

VP_

1.000.000 * 6 (t + o,ou )

VP = 5.882.352"94118

Encuentre el valor presente y el valor final del siguiente flujo de caja:

Valor Final

,,F=Rn(l+l),-t>i=k vF =r.000.000 * o(t + 0,02)u-'

i:

l''F = 6.624.484,81920 ?6,4?4't79.4fi%

Asuai

Ejemplo 7 Encuentre el valor presente y elvalor final del siguiente

flujo de caja: $'!"1d&.*s& s f-310,eeri

F:?

Valor Presente

R t,n_ rr t* k = y,- [, Ir+k)'l ,:,r k)l '-lt ) )=> '.,

$ 1,*0$.efl.t}

243

MATEMATICA FINANCIERA -lnterds, Tasas y Equivalencias-

,o={ -^^ I [(0.02

9:^ -

[ * o.oz 0.lo)' r

1"

-

(r + o.r o y. ]]1r + o.oz,t ')

VF =822.8819044

Valor Presente

vP =

-!-[,-ii1]'l (i+t)[ \.t+i/ I

jee4go

Ejemplo 9 Encuenire el valor presente y el valor final del siguiente

flujo de caja:

r 7p=(0.04+0.0s)L [,_1f_SU)".T

Ir+0.0+J l

;

VP = 4.656.068,90101 Valor Final

R kl+i)" vF=(i+t)L' '/ -h-*l"f '' "' r

7p = -L900

(0.04 +

!00

ftr+o.o+;. -(r-0.0s)"] 0.0s)'

VF =5.891.412,53194 Valor Presente

Ejemplo 8

vP=l ,R'-lrr*ii.' =i:k

Encuentre el valor presente y el valor final del siguiente flujo de caja:

[(t

,,

=l

i)-]'

lgl

[(t VP

+

+

u-.](,

0.t0)]'

* 0.,0,

= 6A0

Valor Final

rr

=lnnQ + i)''lr + i) > i = k

vp =loo* o(t + o,10)6-'{t + o,to) VF =1.062,9366 Ejemplo 10

YAbLPrpEelle

,, =[;,,[,-lBl"-lfr,. i)= i * k \ t+i / [(i

n"=

-ft)L

]J

o,1 i^^y^ ,^,[,-it Il:lg r+0.02/l"]f1,.o

l(o.oz-0"r0)L

Encuentre el valor presente y el valor final del siguiente flujo de caja:

.]J'

i:

34,351S5S3r% f,tMA

VP =730,69672

t $ 45,1s€ s 46"'rX8

Valor Final

t,t--

244

R

rl .kr*i)'-(t+/')"Jl(l +i)=i+k [(i -k)''

={

Juan Manuel Ramirez Mora

- Edgar Enrique Martinez Ciirdenas

Valor Presente

,"

rp ={ , R ,[,-lL-1(,+/,)L'-l

"

/.

r-,-r

\'l

i

=

{,

*,|-alur]

,

i .lj".t'

-

{',{t$#t]

-

-

ig[-#r -

;#l'

u;#r"

-

orr

-

o ou

rJin

-sr, - o,ozr,l}r,

_, r

-,r

ItP = 6.832,7 8811628 + 4.940,2688437 5

,"

=

{r,-5[')[ - l=*=l', [

(0.03 + o.0z

t' I + 0.03

I lr, + o,o3) .]J

VP =11.773.05696

'

VP =265,86458

Forma 2: fecha focal en el punto 0 P=?

Valor Final

j

,, ={#rftr*i)' -(t- k)'}rr *ir

s0 [(t,-o'o:)" n -(l -o'oz)'ji(t +o'o:)

rr ={ ,

l(o.o:+0.02)"

s 1.1{F

VF =3I7,456213

$1.ut0

|

$1.40s

9.9. EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo

*

=

{,

11

Encuentre elvalor presente delsiguiente flujo de caja:

I I

J

$r.300

$r.100

*'frqyt], mlqft

-{,oo[r-l#tJ

o:i;'lg.'

- st', o ozr,]}r,

-o( -o oz;.1]r

-,i

-,,.

VP = 5.526,9 47 848 + 6.246J 09 1 I 1 64

P-?

VP =11.773,0569599

Forma 3: fecha focal en el punto 6 P

t

-?

LSCB

Forma 1: fecha focal en el punto 0

/p(l+0.02I

.{'

= 1 660[

rl*o.ozt'- t.l-q[(l+0.02)5 -l

I

o.o2

"'[lwcr]-#f

rrQlzercz+z)

I

o.o2

[ o.o2-5.l"J

-, ,nn,, '-ur,-oo,r]]

= 6.224,24096 + 7 .034,13334813

w (;zarcz+z)=

I 3.25 8,3 743 o8

I

VP =11,113.0569599

245

MATEMATICA FINANCIERA -lnterds, Tasas y Equivalencias-

Ejemplo 12

Forma 2: fecha focal en el punto 6

Encuentre el valor final del siguiente flujo de

,/F(l+r,.r,l)' 'I\''w'wJ'

-{, 0*[

o:'" tl nnnfrt+o -, -'w""L o.o-r -

l

i-{|1!'03)'

Lt

]0,q -,t,-.,..,rl'Il(r+0.0r) o.or .lI- (].o3 Ir-'r-o'o:r' [ o.()3 l]

vr (o,tlt tt+zs)=6.468,40988433

+ 5.361,85680694

VF =14.125,9571113

Forma 1: fecha focalen el punto'12

Forma 3: fecha focal en el punto 0

no=' ooo[qffi!l{l*o,or),

*{,

t

ono[rt

*o.o.rr'

-r-l_

L 0"03 .l

roo 0.03

+o.o:r' - I _r-ll [rr

L 0.03

lj

n'(r

+

o,o:)''

=r

oooft-ttrP.o:1" 1

-'i,,',,1ry#rl

VF = I .l 23,61961'728 + 6.402.331 434 VF =14.125.957ll13

ru.(o,zot:zltt)

#lt#t-so.,o,o:r,]f

+0 03),

= 5.417 ,19144387 + 4.490,4i066240

VF =14.125.9571112

9.10. CUESTIONARIO

1, 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

cQu6 es un gradiente? Presente ejemplos donde se evidencie el concepto de gradiente

iQu6 es una ley de formacion? iComo se pueden clasificar los gradientes? aQu6 es un gradiente lineal? 1,Qu6 es un gradiente geom6trico?

;Para qu6 sirven las formulas de los gradientes? ldentifique los elementos de las formulas de los gradientes 6Cudles son las condiciones necesarias para utilizar las formulas de los gradientes?

10. Cuando se aplica la formula de valor presente de un gradiente aritm6tico creciente vencido, ;donde se obtiene dicho valor? 11

.

246

Cuando se aplica la formula de valor futuro de un gradiente aritm6tico creciente vencido, ldonde se obtiene dicho valor?

Juan Manuei Ramirez Mora

12'

- Edgar

E,nrique Martinez Cirdenas

Cuando se aplica la formula de valor presente de un gradiente aritmcitico decreciente vencido, ldonde se obtiene dicho valor?

13. Cuando se aplica la formula de valor futuro de un gradiente aritmritico decreciente vencido, l,donde

se

14. Cuando se apiica la f6rmula de valor presente de un gradiente aritm6tico creciente anticipado, adonde

se

obtiene dicho valor?

obtiene dicho valor?

15" Cuando se aplica la formula de valor futuro de un gradiente aritmdtico creciente anticipado, 4donde se obtiene dicho valor?

16'

Cuando se aplica la fdrmula de valor presente de un gradiente aritm6tico decreciente anticipado, ldonde se obtiene dicho valor?

17. Cuando se aplica la fdrmula de valor futuro de un gradiente aritm6tico decreciente anticipado, ldonde se obtiene dicho valor?

18. Cuando se aplica la formula de valor presente de un gradiente geometrico creciente vencido, adonde se obtiene dicho valor?

19. Cuando se aplica la formula de valor futuro de un gradiente geomdtrico creciente vencido, ;donde

se

obtiene dicho valor?

20.

Cuando se aplica la formula de valor presente de un gradiente geom6trico decreciente vencido, ;donde se

obtiene dicho valor?

2"1. Cuando se aplica la formula de valor futuro de un gradiente geom6trico decreciente vencido, ldonde se obtiene dicho valor?

22'

Cuando se aplica la fdrmula de valor presente de un gradiente geom6trico creciente anticipado, ;donde se

obtiene dicho valor?

23. Cuando se aplica la forrnula de valor futuro de un gradiente geometrico creciente anticipado, ;donde obtiene dicho valor?

se

24.

Cuando se aplica la formula de valor presente de un gradiente geometrico decreciente anticipado, ldonde se obtiene dicho valor?

25.

Cuando se aplica la formula de valor futuro de un gradiente geom6trico decreciente anticipado, ld6nde se obtiene dicho valor?

26' ;Es

posible solucionar gradientes lineales vencidos con las formulas de gradientes lineales antrcipados y

viceversa? Explique. 27

'

iEs posible solucionar gradientes geom6tricos vencidos con las formulas de gradientes geom6tricos anticipados y viceversa? Explique.

28. ;En

qu6 t6rminos se debe incorporar la tasa de inter6s a las formulas de los gradientes?

. PROBLEMAS

9.11

Encuentre el valor presente del siguiente flujo de

2. Encuentre el valor futuro del siguiente flujo de

caja (Respuesta: $ 9.907,60).

caja (Respuesta: $14.931,0828863),

1. P=?

* 1.lSB $

1.

xr,n $

L30{

f t_+,

MATEMATICA FINANCIERA -Interds, Tasas y Equivalencias-

3,

Encuentre el valor presente del siguiente flujo de

caja (Respuesta: $ 12.568,3538833)

7.

Encuentre el valor presente del siguiente flujo (Respuesta: $ 940,66845125) caja de

P=?

5 105

I

!10.?5 6 115.?625 s 1?1.5ffi

t

$

1?1.67A2 3 134,0036

I 14t.7lm

4.

Encuenlre el valor futuro del siguiente flujo de

eaja (Respuesta: $ 15.939,7116836)

B.

Encuentre el valor futuro del siguiente flujo de

caja (Respuesta: $ 1.689,305388)

$ 1.1eS

5.

Encuentre el valor presente del siguiente flujo de

caja (Respuesta: $ 11.395,5078204)

9.

Encuentre el valor presente del siguiente flujo

de caja (Respuesta: $ 1.123,43382939)

,8510 5 177.1561

$ rg4.81r

7

10.

Encuentre el valor futuro del siguiente flujo de caja (Respuesta: $ 2.017,5257 4938)

6.

Encuentre el valor futuro del siguiente flujo de

caja (Respuesta: $ 16.247,2693361)

5 121,00 $ 133,1000 $ '146"4100

$ 1.100 $ 1.240

248

$ r61.0510 $ 177."1561 $ 19{.8?17

Juan Manuel Ramirez Mora

- Edgar Enrique Martinez

Crirdenas

Cnpirulo 10

CRITERIOS DE INVERSION OBJETIVOS DEL CAPTULO General Evaluar economicamenie los proyectos de inversion y elegir la mejor decision por medio de los indices de evaluacion financiera, como el valor presente neto y la tasa interna de retorno.

Especificos

1.

Explicar el concepto de valor presente neto -VPN, tasa interna de oportunidad -TlO- y tasa interna de retorno -TlR-.

2.

Presentar los criterios de decision utilizados en la metodologia del valor presente neto y la tasa interna de retorno.

249

MATEMATICA FINANCIERA -lnter6s, Tasas y Equivalencias-

10. CRITERIOS DE INVERSION

proyecto. Al usar eIVPN recordemos que los ingresos

10.1. PRESENTACIoN Cuando se formula un proyecto de inversion, resulta

clave recurrir a una serie de etapas, con el fin de obtener informacion que permita la construccion del flujo de caja del proyecto (ingresos y egresos). Las etapas mds utilizadas son:

.

o

. .

o

Estudio de mercado

se toman con signo positivo y en la linea deltiempo estardn ubicados en la parte superior y los egresos se tonardn con signo negativo y estardn ubicados de la llnea de tiempo hacia abajd'(Baca, 2002a:193). Es decir, el VPN permite traer al punto cero los ingresos futuros y restarle los egresos futuros llevados tambi6n a valor presente: VPN= VP de los ingresos

Estudio tecnico

-

VP de los egresos

En el flujo de caja de un proyecto de inversion, se puede encontrar diferentes presentaciones de los ingresos y egresos:

Estudio organizacional Estudio juridico Estudio financiero

I

Despu6s de la fase de formulacion, se requiere evaluar si el proyecto de inversion es viable desde el punto de

lndependientes: que se deben manejar con la formula bdsica de inter6s compuesto.

$eries

vista financiero, social y ambiental.

Unif

ormes: que se deben

manejar

preferiblemente con las formulas de anualidades,

Precisamente, la matemdtica financiera proporciona herramientas que permiten realizar la evaluacion financiera y determinar si un proyecto es viable o no.

Series Variables: que se deben

Dentro de los indices m6s utilizados para realizar la evaluacion financiera se encuentran:

Por esta tazon, es importante realizar la lectura y andlisis del capitulo tres, seis y nueve.

. .

manejar

preferiblemenie con las formulas de los gradientes.

Valor Presente Neto (VPN) o Valor Actual Neto (vAr{)

10.2"2. TASA INTERNA DE OPORTUNIDAD

Tasa lnterna de Retorno (TlR)

La tasa de inter6s utilizada para descontar los flujos de caja se denomina tasa interna de oportunidad (Tl0).

o Costo Anual Uniforme Equivalente o Relacion Beneficio Costo (B/C)

(CAUE)

Tl0 tambi6n es conocida con el nombre de tasa de descuento y tasa minima requerida de retorno La

El objetivo de este capitulo, consiste en presentar los

(TMRR).

dos primeros m6todos (VPN y TIR), ya que estdn

"La tasa de interds de oportunidad (que se representa

considerados como los mds completos para evaluar proyectos de inversion.

por TIO) es la tasa de interds mds alta que

un

inversionista sacrifica con el objeto de realizar un prayecto" (Baca, 2002a: 1 93).

10.2, VALoR PRESENTE NETo (VPN)

"La tasa de interds de oportunidad varfa de un

10.2.1" DEFTNtCtON

inversionista a otro (lo cual hace que un proyecto pueda ser viable para un inversionista pero para otra no)y para el mismo inversionista varia con eltiempo debido al entarno economico que lo este afectando" (Baca, 2002b:238).

"El valor presente neto es una cantidad en pesas actuales equivalentes a todos los ingresos y egresos presentes y futuros del proyecto a una tasa de interes de oportunidad"(Ruiz, 1998: 372).

"El valor presente neto, VPN, es el mds utilizado porque pone en pesos de hoy tanto los ingresosfuturos

como los egresos futuros, lo cual facilita la decisian desde el punto de vista financiero, de realizar o no un

2s0

Por esta (azon, se puede afirmar que n0 existe proyecto malo, sino un mal inversionista, dependiendo de la TlO. Entre mds alta sea la rentabilidad esperada por el inversionista, existe mayor probabilidad de que el proyecto analizado sea rechazado.

I

.luan h4arruel Ramirez Mora

- Edgar

La TIO utilizada en la metodologia delVPN debe ser

una tasa de inter6s qtJe inc0rpore las mismas condiciones (riego, durabiiidad, expectativa u oportunidad, entre otrasi, dei proyecto que se pretende analizar.

Por ejernplo, si a un inversionista Z le ofrecen la posibilidad de invertir en el proyecto ABC, lo primero que 6l debe tener ciaro, es cuel es la Tl0 que utilizard para descontar el flujo de caja, con el fin de calcular el VPN. Esta informacion la obtiene de ias posibilidades de inversion en proyectos con las mismas condiciones al proyecto ABC.

E,nrique Martinez Circlenas

rentabilidad igual a la minima esperada, es decir ni genera nidestruye valo( (Garc(a, 1999: 559).

Se puede concluir que si el VPN = 0, es porque el proyecto genera una rentabilidad igual que la TIO del inversionista.

Si el VPN < 0, se debe rechazar el proyecto, porque en pesos de hoy el inversionista no obtendria su tasa de oportunidad (TlO), Por esta razon, si el inversionista

decide invertir estarfa destruyendo valor. "Conviene aclarar que cuanda se obtiene un valor delVPN menor que cera, esta no indica ninguna perdida economica,

Si las posibilidades de inversion del inversionista Z

simplemente, elinversionista ademds de recuperar su inversion no obtiene el rendimiento deseado" (Meza,

estdn dadas por:

2008: 497)"

Un CDT que reconoce el 30% EAV Una cartera colectiva que administra una fiduciaria que

Se puede concluir que si ei VPN < 0, es porque el proyecto Eenera una rentabilidad menor que la TIO

reconoce el 28% EAV

del inversionista.

Una cuenta de ahorros que reconoce el 20% EAV

Ejemplo

Una cuenta corriente que reconoce el 10% EAV

Un proyecto requiere una inversion inicial de $10.000.000 y se espera que genere al cabo de cinco aRos $37.129.300. Determine, por medio del VPN. si el proyecto es viable para el inversionista A, que posee una TIO del25% EAV; para el inversionista B, que posee un TIO del30% EAV; y para el inversionista C, que posee una Tl0 del 35% EAV.

Un TES que reconoce el 23% EAV

Se puede concluir que el inversionista Z deberd escoger como TIO la mdxima tasa que dejarfa de percibir dentro de sus posibles inversiones para poder realizar el proyecto ABC, la cual estaria dada por el

1

30% EAV, que corresponde al CDT. 5:7,1?'1,30'l

10.2.3" CRITERIOS DE DECISION DEL VPN Los criterios utilizados en la metodologia delVPN son: Si el VPN > 0, se debe aceptar el proyecto, porque en

pesos de hoy el inversionista obtendria su tasa de oportunidad (Tl0) y una ganancia en pesos superior a la esperada. "Si el VPN es positivo es porque el proyecto genera una rentabilidad superior a la minima esperada, es decir, a su costo de capital" (Garcfa,

1999:559),

$ lrl

lnversisnista A

Se puede concluir que si el VPN > 0, es porque el proyecto genera una rentabilidad mayor que la TIO

1

del inversionista.

vpN =-10.000.000 + 37.129.300(1 + 0,25)-5

Si el VPN = 0, es indiferente aeeptar o no el proyecto,

porque en pesos de hoy el inversionista obtendria solamente su tasa de oportunidad (Tl0). "Si el VPN es igual a cerl es porque el prayeeto genera una

0.000.000 =

VPN =

-

1

37

.r29.300(1 + 0,25fs

0.000.000 + 12.166.529,0240

VPN =2.166.529,0240

251

MATEMATICA FINANCIERA -Interds, Tasas y Equivalencias-

El inversionista A debe invertir en el proyeclo, porque obtiene una rentabilidad superior al 25% EAV.

Paso 2: Se procede a obtener el dato de salida. Para tal fin, se deja el cursor en la celda H4, con el proposito de obtener elvalor presente neto para el inversionista A.

lnversionista B 0.000.000 =

1

37 .129.300(1

vpN = -10.000.00

+ 0,30)-5

a + 37 .129.300(t +

0,30)-'

VPN = -1 0.000.000 + I 0.000.000 VPN =0

t*6ats9

Al inversionista B le serd indiferente, porque obtiene una rentabilidad igual a la esperada (Tl0 del 30%

6RE505

l

EAV).

i I

lnversionista

Paso 3:Ahora se procede a incorporar la funci6n, para Formulas (barra de tal fin se hace click

C

en

10.000.000 = 37.t29.300(1 +

herramientas):

0,35)'

vpN = -10.000.000 +37.129.300(1+ 0,35)' VPll = -1 0.000.000 + 8.280.335,21996

r-

-,.r1

;l

I

*."1

,)

VPN = -1.719.664.78004

.l :I

I

El inversionista C debe rechazar el proyecto, porque obtiene una rentabilidad inferior a la esperada (TlO

.\ I

rl

del 35% EAV).

Paso 4: Posteriormente, se hace click en el icono de

La solucion a trav6s del uso del Excel:

Financieras. Alli, se despliega el nombre de las funciones; iuego, se hace click en VNA:

lnversionista A Paso 1: Construccion de la estructura e incorporar los datos de entrada.

,,:,.7,1g

.i: ,

'-

1&:4:':i:', t;ta l"

'''

isitu

t':":'

tii*ir ft?;t1r4

tl -;For :t}{.'t,-r..&.-i:#

: " ':t':-i i'' tilr;li;

>trt

===:

i.. -.. ,.* d) = = *l- t - .n fit €r pi: i "7 y 'tg"',; '.4:. i= = 'uI .,4i t ttivnr4'' : '!:rr,. . f,*4 - ,: . .. h 1 r?e'iEt1c '| ' i;.:,.iat:::-E .,,..:..t::.: .: :''r,:'.'. ,

fil*tar., a

::

r":l*--

252

a2

. Prr,iir 1 :

'4rd

..

tl

.t?al tDla DLa

'i

Juan Manuel Ramirez Mora

- Edgar Enrique Martinez

Ahora aparece una ventana denominada Argumentos de Funci6n:

C6rdenas

"Obseruacion: eIVNA no incluye elvalor inicial por tal

motivo tendremos que agregarlo posteriormente" (Baca, 2002b: 343),

Paso 7: Se hace click en la barra de formulas, ubicando el cursor al final de los argumentos:

37.12S-ffiS

Paso 5: Se procede a llenar los cuadros con la informacion de los Datos de Entrada: tasa -H3- y

valorl -E5:E9-. Paso 8: Ahora se escribe + y se hace click en E4 (que

conesponde al valor inicial).

t7.129,Wtr

Paso 6: Luego se hace click en el boton Aceptar: Paso 9: Finalmente, se oprime la tecla ENTER y se obtiene el valor presente neto para el inversionista A: .rd."?":,:t- tr": i "ar -/ hd 'n,,. :

FrRis}t

IH6RESOS

.6qEffi

, b.b

nr,'.,.,'"

' =-,, j

s. oietu

tm-r6*t

lt.m@,0c t1offiml[ l 3

4 5

57119

3tr&

t].12{S.tr

253

MATEMATICA FINANCIERA -lnterds, Tasas y Equivalencias-

El inversionista A debe invertir en el proyecto, porque

19 Bll; para tal fin, es necesario incorporar los valores

obtiene una rentabilidad superior al 25o/" EAV.

del proyecio en el menu flujo de

Como el procedimiento anterior es el mismo para los inversionistas B y C, se decide presentar el pantallazo

Ejemplo 2

del iltimo paso (9) para el cdlculo del valor presente del inversionistaByC:

En un proyecto se realiza una inversion inicial de $100.000.000 y se obtiene ingresos anuales de

lnversionista B

$15.000.000 durante diez anos. Determine, por medio del VPN, si el proyecto es viable para el inversionista ,A, que posee una TIO del 10% EAV.

caja

t,,q*.!:1.

vF!'t=? $ 15.000.0ilfl

$

t**.fl8*.**ff

15.ooo.ooot,-q#*]

Al inversionista B le serd indiferente, porque obtiene una rentabilidad igual a la esperada (TlO del 30%

1oo ooo ooo =

EAV).

vpN =-r00.000.000+ r5.000.000[r

lnversionista C

VPN =

-tr +o'rot.,

L o.lo i

I

-l

00.000.000 + 92. 168.506,5855

VPN = -1.831.493,41450

El inversionista debe rechazar el proyecto, porque obtiene una rentabilidad inferior a la esperada (Tl0 del 10% EAV). *gv*ta

La solucion a trav6s del uso del Excel:

Paso 1: Construccion de la estructura e incorporar los datos de entrada :": : : - )IeL

",lsii...,.

:wi,.1:

:l:, ;-:

:.:1i::::,,

:i.

r-

A*

.-'1

t ,a*

it

ttt

lr?64A.pa4d.

,i,.xtt'.t

?ibt

El inversionista C debe rechazar el proyecto, porque obtiene una rentabilidad inferior a la esperada (TlO del 35% EAV), Como se puede apreciar, los valores de VlN, obtenidos con el uso del Excel, son los mismos del procedimiento matemdtico. Tambi6n es posible encontrar el valor presente neto

del inversionista, a trav6s del uso de la calculadora financiera Hewlett Packard -HP-, modelos 17 Bll y 254

1a,w$a& t5

tww.@

[email protected],m

t5.m.M,@

?.1tttt

.!t z

i!

_

l

Juan Manuel Ramirez Mora

- Edgar Enrique Martinez

Paso 2: Se procede a obtener el dato de salida, para talfin se deja el cursor en la celda H4, con el proposito

C6rdenas

Ahora aparece una ventana denominada Argumentos

de Funcion:

de obtener el valor presente neto para el inversionista,

c 5@N,S

MrcS 5.SSe

1s]Mff 15-m,m-ae

g-m,@oo

1rM-6&&

Paso 5: Se procede a llenar los cuadros con la informacion de los Datos de Entrada: tasa -H3- y Paso 3:Ahora se procede a incorporar la funcion, para Formulas (barra de herramientas):

tal fin se hace click

en

valorl -E5:E14-,

Paso 4: Posteriormente, se hace click en el icono de

Financieras. All[, se despliega el nombre de las funciones; luego, se hace click en VNA:

Paso 6: Luego se hace click en el boton Aceptar:

':M..r.::.'.!'::.itir:rla.n:,::rj

iSMMtr

n

xlw&g

t5.ffi.ffi.ffi lqmws

$.m&&

4

r!Mffi&

$mffi.6 15fNS,ffi

5

r5.mJm,fr

15.m.W,N

tqs&,s

6

l5mi00,s

!

ltffise

15ffi&S l5ffise,tr

q

l5MNS

i5l){M.00

ln

15NffiN

255

MATEMATICA FINANCIERA -Interds, Tasas y Equivalencias-

Paso 7: Se hace click en la barra de formulas, ubicando el cursor al final de los argumentos:

El inversionista debe rechazar el proyecto, porque obtiene una rentabilidad inferior a la esperada (Tl0 del 10% EAV). Como se puede apreciar los valores de VIN obienidos con el uso del Excel son los mismos del procedimiento matemdtico.

10.2.4. UTILIZACIdN DEL VPN aa

15

66

Wa{.ft .ffim& t:"&atrqs

15

t5

!i:soa tr! J: :l

'EIVAN puede utilizarse en proyectos individuales en cuyo caso solo interesa canocer el signo que toma el VAN o tambiAn para decidir entre varias alternativas en cuyo caso na solo interesa el slgno sino tambien et valor que toma.

Cuando se utiliza para dectdir entre alternativas Paso 8: Ahora se escribe + y se hace click en E4 (que corresponde al valor inicial).

deberiin compararse utilizando tiempos iguales, esto significa que si las vidas Atiles de cada alternativa son diferentes para igualar los tiempos serd necesario tomar un horizonte de planeacion igual al minimo

comin multiplo de las vidas utiles de las alternativas que se van a comparar" (Baca,2002b: 330),

10.3. TASA INTERNA DE RETORNO e

&

F3TCmir.l

llmm$r$tr

:- 6t tit c:

La tasa interna de retorno (TlR) es la tasa de inter6s que permite igualar a cero los ingresos futuros y los

:i cc:]1.s

egresos futuros traidos a valor presente. Es decir, la TIR se obtiene cuando el VPN es igual a cero.

15S36,& i;trt}:s

LaTIR mide la rentabilidad que genera un determinado proyecto y es independiente de la TIO: Paso 9: Finalmente, se oprime la tecla ENTER y se obtiene el valor presente neto para el inversionista A:

TlR

+

flO

C) Mide la rentabilidad esperada del inversionista

Mide la rentabilidad del proyecto

El procedimiento manual (algebraico) para calcular la

TIR es el de la interpolacion. 10.3.1. CRITERIOS DE DECISIoN DE LA TIR Los criterios de utilizados en la metodologia TIR son: SBES: (le-N.M,( 15

CaCffi L\ 15-N.@,S

a

1t-M.@,@ a

15

ffi

t-\ !{

Si la TIR > Tl0, se debe aceptar, porque el proyecto genera una rentabilidad superior a la esperada por el inversionista.

Si la TIR = TlO, es indiferente, porque el proyecto genera una rentabilidad igual a la esperada por el inversionista.

Juan Manuel Ramirez Mora

-

E,dgar Enrique Martinez C6rdenas

Si la TIR < Tl0, se debe rechazar, porque el proyecto genera una rentabilidad inferior a la esperada por el

157o Anual

inversionista.

VPN(ts%) = -10.000.0 00 +37 .129.300(t + 0,l s)-5 VPN (1 SYo) = 8.459.824,1 57 9 I

Ejemplo 3

20% Anual

Un proyecto requiere una inversion inicial de $ 10.000.000 y se espera que genere al cabo de cinco anos $ 37.129.300. Determine, por medio de la TlR, si el proyecto es viable para el inversionista A, que posee una TIO del 25o/o EAY; para el inversionista B, que posee un TIO del30% EAV; y para el inversionista C, que posee una TIO del 35% EAV.

l/P N (20%) =

-

1

0.000.0 00 + 31 .129.3 00(i +

0,20){

VPN (20%) = 4.921 .432,93467

25% Anual

vpN (2s%) = - 1 0.000.0i00 + zt .tzg .300(1 + 0,2s 15 f/PN (25%) = 2.1, 66.529,0240

$ 37"1?*,3S{

30% Anual VP I,{

(30%) = 1 0.000.00 0 +

37

.129.300(t +

0.3

0)

5

vPN(30%) = 0 Se puede concluir que la tasa de inter6s que iguala los ingresos y los egresos en el punto cero es la tasa del 30% EAV, la cual representa la TIR del proyecto analizado; por tal razon, no es necesario realizar la interpolacion. Ahora, se procede a realizar el andlisis de la decision para cada inversionista, teniendo en cuenta los

Construir la ecuacion, teniendo en cuenta la fecha focal

10.000.000 = 3l .129.3Q0(1 + ;u,,.

criterios de la TIR:

)'

lnversionista A

el Para este ejercicio, la ecuaci6n se iguala a cero.

1

0.000.000

-

31

(257o), se debe aceptar, porque proyecto genera una rentabilidad superior a la

La TIR (30%) >

lgualar la ecuacion

Tl0

esperada por el inversionista.

lnversionista B

.l2g .300(1 + i u,,, )-' = 0

lncoroorar aleatoriamente un mismo valor a la incognita

La TIR (30%) = Tl0 (30%), es indiferente, porque el proyecto genera una rentabilidad igual a la esperada por el inversionista,

5% Anual

lnversionista C

VPN(5%) = -10.000.0 00 +37 .129.300(1 + 0,05)

5

VPI{(5%) = 19.901 .778,0927

La TIR (30%)< TIO (35%), se debe rechazar, porque el proyecto no genera la rentabilidad esperada por el

inversionista 10% Anual La solucion a trav6s del uso del Excel: r/PN

(1

0%) = - I 0.000.0 00 +

VPN (10%) = 13

.0 5 4.37

37 .129.300(1 + 0,1 0 )-s

4,0803

Paso 1: Construcci6n de la estructura e incorporacion de los datos de entrada. 257

MATEMATICA FINANCIERA -Inter6s, Tasas y Equivalencias-

Paso 4: Posteriormente, se hace click en el icono de

Financieras. Alli, se despliega el nombre de las funciones; luego, se hace click en TIR:

*irlr

^ji

la

{*Br

diJli r*l - -

{

R!ilorofENGr

L |

tre ltroM.ffi,mll ---l l T6:|-"

: [ -lr,,.,, :

Fcrsllr: I }si*!

FsHsToPERlg[EsuriR:

I

I: .

*eeii{.d. p;giai

twx

:-ia

[

il

e ...a

Paso 2: Se procede a obtener el dato de salida; para tal fin, se deja el cursor en la celda H5, con el proposito

de obtener la lasa interna de retorno que genera el proyecto.

I

Tjs- ;\T

I

liSr,sor{sll

l:, :,:.:..Ii .

I

":l

xt

]..;" ..al-

.,

Nc,FiR

nRl.J

:i t,,l :'

t?

l.

!'F

:E

i re l.

:rr

!F.Pl!!

:

I

\rr

I

Ahora, aparece una ventana denominada Argurnentos

de Funcion:

gIffi FEfi}6}O

Vailm ttrE505

lNc8E5S5

ic 0!r lc+ i$

IN€, {

EstN

lGgE

10ts0.ocB,-00

i

it

t 5

oe'eel/e

la lnJa

de

rhN!

de una

v6*qE5

eErdiiF

Fn.n

€a Bir

de

!$ss ri eftltrs,

slnnmafilstei*emildeji*Res1a@lrsnrne'sFalat

i

3?

li? 3mS

17.t:9J8S,ff

I Re*lhdo :t

Paso 3: Ahora, se procede a incorporar la funcion, para tal fin se hace click en Formulas (barra de herramientas):

'

ini{ir hx+i*

:.

de:B

fimllB =

f*gs-l@l

A!!da $lrfe nte. tun$in

Paso 5: Se procede a llenar los cuadros con la informaci6n del Dato de Entrada: valores -E4:E9-.

L :. . ' -"1'i:,:iL- -

Siefud*|l$it$1t'

ii,rnirrl* ['*m

i 0e}!elt€ € kla

Eet:s-$i' $ lr

S-Xri| U' 'A14fi" p. .**,,n,oulrr: -F h:r*ir l;afr $ nnwl*rar" $j1rerir;1url' S. $ihii$ex $:Jr:*eh**

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Ce

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=t,l inlsirh !i*i !G s$E

de

y*trec Ei

Efedlo

U*ffi5 rr lBffabitgre{*srj€ ntdd* qls.sris!tr lss simsFi.ihs r.s f d-red 'l6a :a lak-krft Je re-rT.

1'19"

258

inbnE

ii

r

*.

8*nthr$ :Aridii*ril dr. '3isir &{Liridi,.,

[iJij"',

L*a:

{..d,rFi-r

Juan Manuel Ramirez Mora

- Edgar Enrique Marlinez Cdrdenas

Paso 6: Luego se hace click en el boton Aceptar y se obtiene la tasa interna de retorno del proyecto:

lgualar la ecuacion Para este ejercicio, la ecuacion se iguala a cero.

-

roo ooo ooo+ r 5 ooo

rm[L-!;f]

=

t

lncoroorar aleatoriamente un mismo valor a la incognita Piow{o

t

1i.89

LS

{[email protected]

1% anual

1-0 + o,oi)-10

l 3

VPN (1%) =

-

I

00.000.000 + 1 5.000.000

0,01

3t.129,36.&

vPN (t%) = 42.069,57 6,9605

Como se puede apreciar, es la misma tasa obtenida con el procedimiento matemetico. Tambi6n es posible encontrar la tasa interna de retorno

de un proyecto, a traves del uso de la calculadora financiera Hewlett Packard -HP-, modelos 17 Bll y

2o/o

?ltUdl

VPN (2%) =

-

VPN (2%) =

3

I

l-(t+0,02)-ro

00.000.000 + 1 5.000.000

4.7 38.7

7

0,02

5,093 6

3% anual

19 Bll; para tal fin, es necesario incorporar los valores

del proyecto en el menu flujo de caja i r-esr

l.

Ejemplo 4 En un proyecto se realiza una inversion inicial de $100.000"000 y se obtiene ingresos anuales de $15.000.000 durante diez afros. Determine, por medio de la TlR, si el proyecto es viable para el inversionista A, que posee una TIO del 10% EAV.

VPI{ (3%) =

-

vPN(3%) =

21

4o/o

I

00.000.000 + 1 5.000.000

-

(1+ 0.03

t

0.03

.953.042,5516

afiUAl

1- (1+ 0.0-1t

VPI{ (4%) = -1 00.000.000 + 1 5.000.000 VPN (4%)

5olo

$ 15.8$S.*f8

1

0.01

= 21.663.43 6,6903

?nU?l

vpN (s%)=

-t

00.000.000 + r s.ooo.ooo[

t

-

(1+ 0,05)-

il

l

0,05

VPN (5%) = I 5.826.023,931 8

6% anual

vpN\6vo)= -r00.000.000 + r5.000.000[t-ttt VP N (6%) = 10.401 .305,7 7 12

I

q'ou"

o.oo

1

]

$ 1S*.**8.0SS

Construir la ecuacion, teniendo en cuenta la fecha focal

roo ooo ooo = r5 ooo

ttt[t-U;}l-]

7o/o XrtUdl

VPN (7%) = -1 00.000.000 + 1 5.000.000 VP

Il/ (7

%) = 5.3

53.7

1- (1+ 0,07)-'o 0,07

23,11399

259

MATEMATICA FINANCIERA -lnrerds, Tasas y Equivalencias-

li*X:0,148465*-l 8-X:*0,i48465 *x * *0,149465-B * x * *9,t49465

8% anual vpN (B%)=

-t

00.000.000 + I s.ooo.ooof

I

- i1+ 0,081

10

0,08

v P N (So/a) = 65 I .220,984 I 2

I

i*r)* 9% anual

_y

:

*8.14846sF

l)

X:8,148465% EAV.

vpN(eo,ot= -I00.000 000 + VPN\9vo1= -3.715.I

I5.000.0m1t+f*1 L

34,48261

Se puede concluir que la tasa de inter6s que iguala los ingresos y los egresos en el punto cero es la tasa del 8,1484%EAV, Ia cual representa la TIR del proyecto

Hasta el momento no se ha encontrado, por medio del m6todo de fallo error, la tasa de inter6s que permita

igualar la inversion y los ingresos al valor cero. Por esta razon, se procede a realizar la interpolacion,

analizado. Ahora, se procede arealizarel andlisis de la decision, teniendo en cuenta los criterios de la TIR: La TIR (8,14o/ol <

Tl0 (10%), se debe rechazar, porque

el proyecto no genera la rentabilidad esperada por el

Realizar la interpolacion

inversionista

f

*: a.r

3+

iltJ* *EX.:Sti

l3f 7Ii t*:$ *i: [i1s

:? !5:

:i: i. in

Paso 1: Construcci6n de la estructura e incorporacion de los datos de entrada.

-l

l'

i;':,

li

i:r.1il:: !:Ti; 3*i It::

I r.-!.vJ*J

La solucion a travtis del uso del Excel:

1S,{*1 ;

,':o !f 8.. l{ 'J

:

";-:

-3i:t

_&

ll-r

1 1.1r1

13'i

*i::$

Se puede concluir, que los valores positivo y negativo m6s cercanos a cero, corresponden a los obtenidos con la tasa de inter6s del 8% anual y g% anual.

r--.- -*

8%

)

651.420,9341

----*---*---} o

x% 9o/o

r----_-)

-3.235.134,4826

Paso 2: Se procede a obtener el dato de salida; para talfin, se deja elcursor en la celda H5, con el proposito de obtener la tasa interna de retorno que genera el proyecto.

lncorporando las variables en la formula:

a*X c*0 a-b 8-,\. 8-9

8*X _

*l

B_X

c

*d 651.220"984t2*0

65 1 .220,98 412

(*3.73 5. i 34,4926)

65L220,99412 4.386"355,46673

0,148465 *1 =

260

-

liil:g:c9*t-o-

*--"-"' ;,:;;].;-c-1 - -

il:!3:!3al__;

--...$:e{9$9,!9

Juan Manuel Ramirez Mora

- Edgar Enrique Martinez

Paso 3: Ahora se procede a incorporar la funcion, para Formulas (barra de herramientas):

tal fin se hace click

en

Paso 4: Posteriormente, se hace click en el icono de

Financieras. Alli, se despliega el nombre de las funciones, luego, se hace click en TIR:

C6rdenas

Paso 5: Luego se hace click en el bot6n Aceptar y se obtiene la tasa interna de retorno del proyecto:

c

7

!ffis,ga 15l'i}{)@,S 15S@W ffiffis 15SS.g 1t.wM"g lg$fs$

3

ts-lM&s

] 3

5

I

:P-i

P:l

Como se puede apreciar, es la misma tasa obtenida con el procedimiento matemdtico.

{.o,,

13'li

j3:i J5l

:gi

10.4, RELACIoN

DE LOS CRITERIOS

DE

DECISI6N DEL VPN Y LA TIR Los criterios de decisi6n utilizados en la metodologfa del VPN y la TIR permiten concluir que:

Ahora aparece una ventana denominada Argumentos de Funcion:

SielVPN > 0

il ta TIR > TIO C El proyecto se debe

ACEPTAR

Si el VPN = 0

t

la TIR = TIO C El proyecto es

INDIFERENTE Si eIVPN < 0

t

la TIR < TIO

C El proyecto se debe

RECHAZAH

Paso 5: Se procede a llenar los cuadros con la informacion del Dato de Entrada: valores -E4:E14-

261

MATEMATICA FINANCIERA -lnter6s, Tasas y Equivalencias-

1.2. CUESTIONARIO

1.

;Qu6 es el valor presente neto?

2. eQu6 es la tasa interna de oportunidad? 3,

;Cudles son los criterios de decision del valor presente neto?

4. aPara qu6 se utiliza el valor presente neto? 5. ;Qu6 es la tasa interna de retorno? 6.

;Cuiiles son los criterios de decision de la tasa interna de retorno?

7. lCudl es el procedimiento 8.

para hacer la interpolacion?

Describa el procedimiento para calcular el valor presente neto y la tasa interna de retorno a trav6s del uso del Excel

1.3. PROBLEMAS

1.

En un proyecio se realiza una inversi6n inicial de $ 2.500.000 y se obtienen ingresos mensuales de $ 300.000 durante un afro. Determine, por medio de la VPN y la TlR, si el proyecto es viable para el inversionista A, que posee una TIO del 5% EMV; para el inversionista B, que posee un Tl0 del 6% EMV; y para el inversionista C, que posee una TIO delTo/u EMV. (Respuesta: la TIR del proyecto es 6,117o EMV, El inversionista A debe

aceptar el proyecto, porque obtiene un VPN $ 158.975,4909; El inversionista B debe aceptar el proyecto, porque obtiene un VPN $15.153,1821; El inversionista C debe rechazar el proyecto, porque obtiene un VPN $ -117.194,111).

2. Un proyecto requiere una inversion inicial de $8.500.000 y se espera que genere al cabo de diez afros $50.000,000. Determine la TIR del proyecto (Respuesta: la TIR del proyecto es 19,386% EAV).

26z

Juan Manuel Ramfrez Mora

-

Edgar Enrique Martinez C6rdenas

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Se termind de imprimir este libro en septiembre de 2010 con un tiraje de 600 ejemplares Bogotd D.C, - Colombia

266

ISBN 1?B-158-AtAt-00-

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