MATEMATICA FINANCIERA

Universidad Nacional

Federico Villarreal

GUÍA ACADÉMICA MATEMATICA FINANCIERA ECONOMIA II CICLO MANUEL J. ESQUIVEL TORRES

Euded Escuela Universitaria

Educación a distancia

INDICE  PRESENTACION ................................................................................................................................................................... 4  INTRODUCCION A LA ASIGNATURA ............................................................................................................................... 5  ORIENTACIONES GENERALES DE ESTUDIO ............................................................................................................... 6  TUTORIAS .............................................................................................................................................................................. 7  CRONOGRAMA ..................................................................................................................................................................... 7  EVALUACION ......................................................................................................................................................................... 8  MEDIOS Y RECURSOS DIDACTICOS .............................................................................................................................. 8  OBJETIVOS GENERALES ................................................................................................................................................... 9  UNIDAD I:NOCIONES BASICAS ....................................................................................................................................... 10  TEMA 1: LEYES DE EXPONENTES ................................................................................................................................ 10  TEMA 2: LOGARITMOS ..................................................................................................................................................... 12  2.1. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS ............................................................................................................ 12  2.2. APLICACIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA .............................................................................................. 14  TEMA 3: PORCENTAJE ..................................................................................................................................................... 14  3.1. ALGUNOS EJEMPLOS DETALLADOS ............................................................................................................... 15  3.2 CÁLCULO DEL PRECIO ANTERIOR A PARTIR DEL PRECIO ACTUAL ....................................................... 16  TEMA 4: USO DE LA CALCULADORA CIENTÍFICA ..................................................................................................... 17  4.1. ENCENDIDO Y APAGADO.................................................................................................................................... 17  4.2. LEYENDAS DE TECLAS ....................................................................................................................................... 17  4.3. CONFIGURACIÓN DE LA CALCULADORA ....................................................................................................... 17  4.4. INGRESO DE EXPRESIONES Y VALORES ...................................................................................................... 18  4.5. CALCULOS BASICOS ............................................................................................................................................ 18  TEMA 5: EL DINERO........................................................................................................................................................... 19  5.1. DEFINICION: ............................................................................................................................................................ 19  5.2. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO ............................................................................................................... 19  5.3. PAGOS ...................................................................................................................................................................... 20  TALLER Nº 1 ......................................................................................................................................................................... 21  UNIDAD II: INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO MONTO Y TASAS DE INTERES................................. 23  TEMA 6: INTERÉS SIMPLE ............................................................................................................................................... 23  6.1   DEFINICION: ........................................................................................................................................................... 23  6.2. INTERÉS SIMPLE EXACTO E INTERÉS SIMPLE ORDINARIO ..................................................................... 27  6.3. MONTO SIMPLE ..................................................................................................................................................... 28  6.4. VALOR ACTUAL A INTERÉS SIMPLE ................................................................................................................ 29  TEMA 7: INTERÉS COMPUESTO: ................................................................................................................................... 29  7.1. DEFINICION: ............................................................................................................................................................ 29  7.2. ¿QUÉ ES LA CAPITALIZACIÓN? ......................................................................................................................... 30  7.3. INTERESES SIMPLE Vs. INTERES COMPUESTO. ......................................................................................... 32  TEMA 8: TASAS DE INTERÉS .......................................................................................................................................... 34  8.1. TASA DE INTERÉS NOMINAL ............................................................................................................................. 35  8.2 TASA DE INTERÉS EFECTIVA ............................................................................................................................. 36  8.3. TASAS EQUIVALENTES PARTIENDO DE UNA TASA EFECTIVA DADA ................................................... 37 

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TALLER Nº2 .......................................................................................................................................................................... 38  UNIDAD III: DESCUENTO SIMPLE Y DESCUENTO COMPUESTO .......................................................................... 39  TEMA9: DESCUENTO SIMPLE. ....................................................................................................................................... 39  9.1. DESCUENTO COMERCIAL DE UN PAGARÉ ................................................................................................... 40  9.2. VALOR COMERCIAL DE UN PAGARÉ ............................................................................................................... 41  9.3. PLAZO Y TASA DE INTERÉS EN UN DOCUMENTO ...................................................................................... 41  9.4. DESCUENTO INTERBANCARIO ......................................................................................................................... 42  9.5. DESCUENTOS SUCESIVOS, EN SERIE O EN CADENA ............................................................................... 43  TALLER Nº3 .......................................................................................................................................................................... 44  TEMA10: DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO ...................................................................................................... 44  ACTIVIDADES: ..................................................................................................................................................................... 45  TALLER Nº 4:........................................................................................................................................................................ 47  TEMA11: CÁLCULO DEL VALOR NOMINAL O VALOR DE VENCIMIENTO ............................................................ 48  TALLER Nº 5: ...................................................................................................................................................................... 49  UNIDAD IV: ANUALIDADES Y SEGUROS DE VIDA ..................................................................................................... 50  TEMA12: ANUALIDADES O TEORIA DE LA RENTA .................................................................................................... 50  12.1. DEFINICION .......................................................................................................................................................... 50  12.2. CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES O RENTAS. ................................................................................. 52  12.3. VALOR DE LA ANUALIDADES O RENTAS ..................................................................................................... 53  12.4. FACTORES FINANCIEROS ................................................................................................................................ 56  12.5. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ...................................................................................................... 57  TALLER Nº 6:........................................................................................................................................................................ 58  TEMA13: ANUALIDADES ANTICIPADAS ........................................................................................................................ 59  TALLER Nº 7:........................................................................................................................................................................ 61  TEMA14: ANUALIDADES VENCIDAS .............................................................................................................................. 62  TALLER Nº 8:........................................................................................................................................................................ 64  TEMA15: ANUALIDADES DIFERIDAS ............................................................................................................................. 64  TALLER Nº 9:........................................................................................................................................................................ 66  TEMA16: RENTAS PERPETÚAS ...................................................................................................................................... 66  16.1 DEFINICION: .......................................................................................................................................................... 66  ACTIVIDADES ...................................................................................................................................................................... 66  TEMA 17: AMORTIZACIÓN ............................................................................................................................................... 69  13.1. DEFINICION .......................................................................................................................................................... 69  13.2. CALCULO DE LA CUOTA CONSTANTE .......................................................................................................... 70  TEMA18 SEGUROS DE VIDA ........................................................................................................................................... 72  14.1. DEFINICIÓN: ......................................................................................................................................................... 72  14.2. TABLA DE MORTALIDAD ................................................................................................................................... 72  14.3 OPERACIONES DEMOGRAFICO - FINANCIERA ........................................................................................... 73  14.4. PRIMA DE UN SEGURO TEMPORAL .............................................................................................................. 77  TALLER Nº 11: ..................................................................................................................................................................... 79  SOLUCIONARIO .................................................................................................................................................................. 80  GLOSARIO ............................................................................................................................................................................ 92  ANEXO .................................................................................................................................................................................. 94 

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PRESENTACION

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INTRODUCCION A LA ASIGNATURA

Matemática Financiera es materia del segundo ciclo que corresponde a la carrera de Ciencias Económicas, La matemática financiera es parte de la matemáticas aplicadas que es considerada la matemática del dinero. Estudia aspectos financieros de la economía moderna. Esta guía ha sido elaborada a fin de que sirva como material de consulta para los estudiantes de educación a distancia, siendo que en el contexto de la profesión y de la vida cotidiana se nos presenta problemas, encontrándonos con disyuntivas; para ello necesitamos capacidades financieras que nos permitan tomar decisiones a fin de optimizar los recursos financieros. Los problemas de esta naturaleza se complementan con una herramienta necesaria que nos permite solucionar los distintos temas financieros de las compañías, gobierno, etc. entre las causas que posibilitan el cierre de los negocios al corto tiempo de haber iniciado sus operaciones se debe a las decisiones financieras tomadas. El desarrollo de la asignatura nos permite establecer su importancia y utilidad, para ello recurrimos a las diversas noticias nacionales e internacionales de revistas especializadas de economía o negocios; mencionando diversas datas que nos dan la relevancia de tales problemas como comisiones de fondos de pensiones, inversiones y rentabilidades, seguros de vida, rentas vitalicias, créditos hipotecarios, entre otros; Para ello se utilizan necesariamente esta herramienta matemática como parte de un conjunto de acciones de política empresarial e institucional. El estudio del curso tiene como propósito que el participante alcance los conocimientos necesarios que permitan tener el nivel de análisis, criterio razonable tendiente a solucionar los diversos problemas de la sociedad. El interés por la materia; le va permitir al participante obtener el éxito personal y profesional con la visión del conocimiento global en el mundo de los negocios. El desarrollo de los capítulos comprende temas de: Nociones fundamentales, tasa de interés simple, compuesto, cálculo del monto, Formulas, Descuento, anualidades. Econ. Manuel J. Esquivel Torres

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ORIENTACIONES GENERALES DE ESTUDIO

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TUTORIAS Las tutorías se desarrollan mediante la programación de un calendario de tutorías en la modalidad presencial – virtual.

CRONOGRAMA Se debe mostrar el cronograma de la signatura indicando su inicio y final, de cada unidad, fecha de entrega de trabajos, fecha de los foros, fecha de tutorías presenciales. CRONOGRAMA Tutorías presenciales

Cantidad de horas académicas Tutorías presenciales y virtuales

UNIDAD I UNIDAD II

UNIDAD III UNIDAD IV

Horas presenciales

Horas virtuales

Horas videoconferencia

Semana 1

2

2.5

3

Semana 2

2

2.5

3

Semana 3

2

2.5

3

Semana 4

2

2.5

3

EVALUACIÓN PARCIAL VIRTUALES UNIDADES I-II Semana 5 2 2.5

3

Semana 6

2

2.5

3

Semana 7

2

2.5

3

Semana 8

2

2.5

3

TOTAL

EVALUACIÓN FINAL UNIDADES III –IV 16 20 60 horas académicas

24

CRONOGRAMA DE ENTREGA DE TRABAJOS Fecha de tutorías presenciales

Fecha de foros

Presentación trabajo monográfico

Semana 1 UNIDAD I

Semana 2 Semana 3

UNIDAD II

Semana 4 Semana 5

UNIDAD III

Semana 6

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Semana 7 UNIDAD IV

Semana 8

EVALUACION El promedio final de la asignatura en la modalidad Presencial - Virtual se obtiene aplicando los siguientes pasos porcentuales:  Evaluación de trabajos académicos (TA): (40%)  Evaluación interacción virtual (IV): (20%)  Evaluación Final (EF): (40%)

PF = TA (0,4) + IV (0,2) + EF (0,4)     El estudiante que abandona la asignatura tendrá promedio 00 (cero) en el acta final, debiendo registrar nuevamente su matrícula. El examen parcial será virtual y se realizara en la 4ª semana del módulo. El examen final será presencial y se realizara en la 8ª semana del módulo. También se presentara un trabajo monográfico la última semana de clase.

MEDIOS Y RECURSOS DIDACTICOS

DIAZ MATA, ALFREDO; AGUILERA VÍCTOR MANUEL, 1998, MATEMATICA FINANCIERA, MEXICO, EDITORIAL MC GRAW HILL, ABRAHAM HERNANDEZ HERNANDEZ, MATEMATICAS FINANCIERAS TEORIA Y PRACTICA. 5TA EDICION

1.

Textos complementarios 2.

Plataforma virtual

CESAR ACHING GUSMAN, 1998. MATEMATICAS FINANCIERAS PARA LA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES http://proyectoempresarial.files.wordpress.com/2009/09/matematicasfinanc ierasparatomadedeci.pdf JOSÉ LUIS VILLALOBOS, 2007 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 3RA. http://www.slideshare.net/kmerejo/matematicas-financieras-3ra-edicionjose-luis-villalobos#

3.

CARLOS ALIAGA VALDEZ, 2010, MANUAL DE MATEMATICA FINANCIERA: TEXTO, PROBLEMAS Y CASOS.



(MATEMÁTICAS FINANCIERAS [(ECONOMÍA) (I BIMESTRE)http://www.youtube.com/watch?v=1n2dNr9T1cs (I BIMESTRE)http://www.youtube.com/watch?v=-E1r8gHlK0I



(MATEMÁTICAS FINANCIERAS [(ECONOMÍA) (II BIMESTRE)http://www.youtube.com/watch?v=_gXslhNPLnI (II BIMESTRE)http://www.youtube.com/watch?v=tZVNLP52yjs

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OBJETIVOS GENERALES 

 



Capacitar al estudiante en el dominio de las técnicas financieras para la toma de decisiones. Desarrollar habilidades para reconocer los parámetros y principios fundamentales en que se basan la matemática financiera, en especial el valor del dinero en el tiempo. Capacitar al estudiante para que se encuentre en condiciones de resolver con buen criterio, las operaciones financieras que se presentan en la actividad bancaria, comercial o industrial. Capacitar al estudiante para que calcule los intereses y otros cálculos financieros que utilizará en su carrera profesional.

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UNIDAD I

NOCIONES BÁSICAS   Objetivos específicos.  Analizar y practicar las bases fundamentales de la matemática, que sirven de base en la práctica del curso.  Formalizar y expresar con propiedad los conceptos básicos del dinero.  Identificar y explicar los conceptos básicos de los logaritmos.  Distinguir a través de casos, las diferentes situaciones que se pueden presentar en la utilización de los porcentajes.  Uso de la calculadora científica. Contenido temático: 1. Leyes de exponentes 2. Logaritmos 3. Porcentaje 4. Uso de la calculadora 5. El dinero 6. Pagos

TEMA 1: LEYES DE EXPONENTES Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64 

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En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

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Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas: El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir

Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz nésima:

Ley

Ejemplo

x1 = x

61 = 6

x0 = 1

70 = 1

x-1 = 1/x

4-1 = ¼

xmxn = xm+n

x2x3 = x2+3 = x5

(xm)n = xmn

(x2)3 = x2×3 = x6

(xy)n = xnyn

(xy)3 = x3y3

x-n = 1/xn

x-3 = 1/x3

x

x

√

Leyes algebraicas Leyes conmutativas: Leyes asociativas: Ley distributiva:

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a+b = b+a a×b = b×a (a + b) + c = a + (b + c) (a × b) × c = a × (b × c) (a + b) × c = a × c + b × c

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TEMA 2: LOGARITMOS El logaritmo es la potencia a la que deben ser elevada una base para que produzca determinado número (el logaritmo es un exponente). Es decir, el logaritmo es un número en potencia a la que hay que elevar 10 para reproducir ese número como en la siguiente tabla. 105 = 100000 por consiguiente, el logaritmo de 100000 es 5 104 = 10000 10000 es 4 103 = 1000 1000 es 3 102 = 100 100 es 2 101 = 10 10 es 1 100 = 1 1 es 0 En la práctica se emplea la abreviatura log en lugar de la frase “logaritmo de”. Así se Tiene: log 100000 = 5; log de 10000 = 4… etc.

2.1. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 1. Dos números distintos tienen logaritmos distintos. Si Si P es diferente de Q entonces logaritmo en base a de P es diferente a logaritmo en base a de Q. 2. El logaritmo de la base es 1

, pues 3. El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base

, pues 4. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

5. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador

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6. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia

7. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice

8. Cambio de base: El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base

Ejemplos: Se lee logaritmo en base

de P

Ejemplos

(Logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3) pues 3 es el exponente al que hay que elevar 2 para que nos de 8

…….

(Logaritmo en base 10 de 0.0001 es igual a -4) pues -4 es el exponente al que hay que elevar 10 para que nos de 0.0001

………

Cuando no ponemos la base del logaritmo se entiende que es 10, o sea que se trata de logaritmo decimal. a)

(Propiedad 6) à

b)

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(Propiedad 6) à

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c) (Propiedad 6) à

d)

(Por la propiedad 7)

2.2. APLICACIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA Si un capital de 3500 soles ha dado como resultado $180 de interés bajo una tasa nominal semestral de 4% capitalizable quincenalmente ¿Cuál será el número de meses de la operación? C 1 1 1 1

1 nlog 1

)



Solución I = 180 x 2.80 = 504 

.

. (6x 30 días)/15  =12 

 

Pero en meses dividimos entre 2 ya que en el mes hay 2 quincenas  40.43/2 = 20.22 

TEMA 3: PORCENTAJE Un porcentaje también se puede escribir como un decimal o una fracción

La mitad se puede escribir...

Como porcentaje: Como decimal: Como fracción:

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50% 0,5 1

/2

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3.1. ALGUNOS EJEMPLOS DETALLADOS Calcula 25% de 80 25% =

25 100

25 100



ASI QUE EL 25% DE 80 ES 20

Un pantalón tiene una rebaja de 25%. El precio normal es $120. Calcula el nuevo precio

Calcula 25% de $120

25% = 25/100

(25/100) × $120 = $30 25% de $120 es $30

Así que la reducción es $30 Quita la reducción del precio original

$120 - $30 = $90

El precio del pantalón en rebajas es $90 Ejemplo 1 El X% de A es (X/100)A o (XA)/100 Ejemplo (A) a) El 30% de 700 es 210 porque (30/100)700 = 210 b) 500 es el 125% de 400 porque (125/100)400 = 500 c) El X % de 7,350 es igual a 1,874.25 significa que X = 25.5 Porque (X/100)7,350 = 1,874.25 Y esto implica que X = 1,874.25 (100)/7,350 o X = 25.5% Ejemplo (B) Juan Gómez pagó $427.50 por un par de zapatos ¿Cuál era el precio si los compró con el 25% de descuento? Solución Juan pagó el 75% del precio original P y por eso debe cumplirse que: (75/100)P = 427.50

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Dónde: P = 427.50 (100)/75 o P = $570.00 Ejemplo (C) Los intereses, I, que durante un año devenga un capital C que se invierte al 8.5% de interés anual están determinados por I = Ci Solución En este caso la tasa de interés es i = 8.5/100 o i = 0 0.085. Por lo tanto, un capital de $15,000 genera I = 15,000(0.085) o I = $1,275.00 por concepto de intereses

Ejemplo (D) ¿Qué le conviene más a un empleado que recibe un aumento salarial? ¿Primero un 20% y poco después un 7% adicional, o recibir un 28% en total? Solución Suponiendo que su salario original es S, después del primer incremento, éste será: S1 = S + (0.20)S S1 = (1 + 0.20)S S1 = (1.20)S Después del segundo incremento, su salario será un 7% mayor: S2 = S1 + (0.07)S1 S2 = (1.07)S1 S2 = (1.07) (1.20) S porque S1 = (1.20)S S2 = (1.284) S ya que (1.07) (1.20) = 1.284 Es decir, S2 = (1 + 0.284)S Este resultado representa un incremento total del 28.4%, cifra que es un poco mayor que el 28% de la segunda opción.

3.2 CÁLCULO DEL PRECIO ANTERIOR A PARTIR DEL PRECIO ACTUAL El precio de un refrigerador es de $7,650, ¿cuánto costaba hace un año si aumentó un l2.5%? Si el precio anterior es X, entonces el aumento es un 12.5% de X y el precio actual es: X + (0.125)X = 7,650 (1 + 0.125)X = 7,650 (1.l25)X = 7,650 de donde X = 7,650/1.125

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porque

ax+bx=(a+b)x o X = $6,80

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TEMA 4: USO DE LA CALCULADORA CIENTÍFICA

4.1. ENCENDIDO Y APAGADO

4.2. LEYENDAS DE TECLAS

4.3. CONFIGURACIÓN DE LA CALCULADORA

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4.4. INGRESO DE EXPRESIONES Y VALORES

4.5. CALCULOS BASICOS

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TEMA 5: EL DINERO 5.1. DEFINICION: Dinero es un medio de cambio y medida de valor en el pago de bienes y/o servicios, o como descargo de deudas y obligaciones. Por su aspecto externo puede ser moneda cuando es de metal, o billete cuando es de papel. Tiene 3 funciones básicas en el sistema económico: 

Medio de pago La función más importante del dinero es servir de medio de cambio en las transacciones. Para que su uso sea eficaz, debe cumplir una serie de características: 1. Aceptado comúnmente y generador de confianza 2. Fácilmente transportable 3. Divisible 4. No perecedero, inalterable en el tiempo 5. Difícil de falsificar



Unidad de valor De la misma manera que la longitud se mide en metros, el valor de los bienes y servicios se mide en dinero. Es lo que llamamos precios, que representan el valor de cambio del bien o servicio.



Depósito de valor El dinero permite su acumulación para realizar pagos futuros. La parte de dinero que no se gasta hoy, sino que se guarda para gastarlo en el futuro, se denomina ahorro.

5.2. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO –

–

–

Supongamos que estamos en un mundo donde no existe inflación y se nos plantea la posibilidad de elegir $ 100 hoy o $ 100 mañana ¿Qué preferimos? La respuesta $ 100 hoy, ya que existe un interés que puede ser ganado sobre esos $ 100, es decir depositar eso en el un banco y al cabo de un año recibir los 100 más un interés.

Supongamos la tasa es del 10%. Dos alternativas: • Guardar los 100 en una caja fuerte al cabo de 1 año tengo los mismos 100. • Pero Depositar los 100 en un banco al cabo de un año tengo 110.

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1. Valor Futuro: Es el valor alcanzado por un capital o principal al final del período analizado. 2. Interés: Es el rendimiento o costo de un capital colocado o prestado a un tiempo determinado. –

– – –

Si definimos: • r = tasa de interés • P = Monto invertido Invierto Po hoy Al cabo de un año obtengo: • P1 = Po + r * Po Qué pasa si esto lo queremos invertir a más de un período? Pn = Po * (1 + n * r)

n= 5 años

Supongamos que Po = $100 y r = 10%

Pn = 100*(1+5*0.10) Pn = 150

5.3.

PAGOS

Por lo general las cuotas que se pagan para cancelar una deuda están conformadas de dos componentes básicos: Intereses y amortización del capital; a estos dos componentes se les llama servicio de la deuda.

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Meses

Amortización

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

Intereses

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 10000

Servicio de la deuda

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 550

Deuda pendiente

1100 1090 1080 1070 1060 1050 1040 1030 1020 1010 10550

10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0

TALLER Nº 1 Taller aplicativo nociones básicas

Objetivo: Verificar la comprensión de los alumnos y que tengan una práctica intensiva de problemas optimizando sus tiempos que se entregarán por escrito o vía virtual para su correspondiente desarrollo. Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 1) Obtenga el 15.38% de 429.5: a) 66.0571 b) 27.9258 c) 6,605.71 d) 0.000358091 e) Otra 2) Es el 200.3% del 4.53% de 15,208: a) 137,991.16 b) 1,379.9116 c) 13’799,115.67 d) 1,379.9116 e) Otra 3) El precio actual de un televisor es de $5,521.50. ¿Cuál fue un precio anterior si aumentó un 2.25%? a) $5,400 b) 5,645.73 c) 4,525.82 d) 4,507.35 e) Otra 4) En los problemas, evalúe las expresiones utilizando calculadora.

     

√35.3 (5.23)4 (85.2)2/5 (2.03)−2 √50.83 log5 (42.3)

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    

ln(28.3)1/2 log8 (50.382) (27.95)5/3 ln(10.93)3 12 (50.893

 

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5) La solución de (1.53)x = 9 es ______________________________________ 6) La solución de la ecuación (1 + x/12)5 = 3 es __________________________ 7) ¿En qué porcentaje se redujo la cartera vencida si actualmente es de $138 millones y antes era de $150 millones? 8) ¿A qué interés compuesto debe depositarse un capital de 6000 euros si en tres años se ha convertido en 6749,20 euros?

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UNIDAD II INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO MONTO Y TASAS DE INTERES Objetivos específicos.    

Formalizar y expresar con propiedad los conceptos teóricos del interés en el tiempo. Que aprendan a calcular correctamente los intereses. Verificar la comprensión acerca de los elementos del interés compuesto. Distinguir a través de casos las diferentes situaciones que se pueden presentar.

Contenido temático: 1. Cálculo del interés simple. 2. Cálculo del interés compuesto 3. Tasas de interés

TEMA: 6 INTERÉS SIMPLE 6.1 DEFINICION: El concepto de interés tiene que ver con el precio del dinero. Si alguien pide un préstamo debe pagar un cierto interés por ese dinero. Y si alguien deposita dinero en un banco, el banco debe pagar un cierto interés por ese dinero. A continuación veremos cómo opera el cálculo de intereses. REVISEMOS EL SIGUIENTE GRÁFICO:

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Componentes del préstamo o depósito a interés En un negocio de préstamo o depósito a interés aparecen:     

El capital, que es el monto de dinero inicial, prestado o depositado. La tasa, que es la cantidad de dinero que se paga o se cobra por cada 100 en concepto de interés; también llamada tanto por ciento. El tiempo, durante el cual el dinero se encuentra prestado o depositado y genera intereses. El interés, que es la cantidad de dinero cobrado o pagado por el uso del capital durante todo el tiempo. El interés, como precio por el uso del dinero, se puede presentar como interés simple o como interés compuesto

A continuación veremos cómo opera el cálculo de intereses. REVISEMOS EL SIGUIENTE GRÁFICO:

 El interés simple se calcula y se paga sobre un capital inicial que permanece invariable. El interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Dicho interés no se reinvierte y cada vez se calcula sobre la misma base.  En relación a un préstamo o un depósito mantenido durante un plazo a una misma tasa de interés simple, los cálculos de cualquier de esos elementos se realizan mediante una regla de 3 simples. Es decir, si conocemos tres de estos cuatro elementos podemos calcular el cuarto: El interés (I) que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial (C), al tiempo (t), y a la tasa de interés (i):

I = C x i x n  

MATEMATICA FINANCIERA   

…….. (1)  Página 24 

 esto se presenta bajo la fórmula:

I = Interés   C = Capital

i = Tasa de interés n =Período

 donde i está expresado en tanto por uno y t está expresado en años, meses o días.

 Tanto por uno es lo mismo que.  Entonces, la fórmula para el cálculo del interés simple queda:

Si la tasa anual se aplica por años.

Si la tasa anual se aplica por meses

Si la tasa anual se aplica por días  Recordemos que cuando se habla de una tasa de 6 por ciento (o cualquier porcentaje), sin más datos, se subentiende que es anual.  Ahora, si la tasa o porcentaje se expresa por mes o por días, t debe expresarse en la misma unidad de tiempo

Ejemplo 1 Si depositas en una cuenta de ahorro $100.000 al 6% anual y mantienes este ahorro durante 5 años... ¿Cuánto interés recibirás al final del quinto año, si el interés a recibir es de tipo “SIMPLE”?

Seleccionamos la fórmula:

I=Cxixn

Reemplazando los valores en la fórmula: I = 100.000 x 0.06 x 5

Efectuando los cálculos se obtiene:

MATEMATICA FINANCIERA   

I = $ 30.000

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Es necesario precisar que la tasa de interés (i) se expresa en porcentaje (%) y para usarla en una fórmula, es necesario expresarla en decimales. Por Ejemplo: 6% = 0,06 (6 Dividido por 100)

Ejemplo 2 ¿Cuál sería el interés de un capital de S/. 10000.00 puesto a interés simple por un año, si la tasa de interés es de 6 %? Solución: P = 10000 n = 1 año i = 0.06 I=? I = (10000) (1) (0.06) = 600 Respuesta: Es decir, el interés de 10000.00 puesto a interés simple al cabo de un año al 6 % es de 600.00 soles. Ejemplo 3 Supongamos que desconocemos la tasa de interés. Un capital de S/. 10000.00 generó un interés de S/. 700.00 en un año, ¿cuál fue la tasa de interés? Solución: i = I/Pn i = 700 / (10000) (1) i = 700 / 10000 = 0.07 i=7% Respuesta: Un capital de S/. 10000.00 a un año plazo, generó unos intereses de S/.700.00 con una tasa de interés del 7%. Ejemplo 4 ¿Cuál será el interés generado por una inversión de US$ 15,000 durante 3 años a una tasa de interés del 12%? Solución: I=? C = US$ 15,000 n = 3 años i = 12% I = 15,000 * 0.12 * 3 MATEMATICA FINANCIERA   

------ >

I = US$ 5,400 Página 26 

El interés de 15000.00 puesto a interés simple al cabo de 3 años al 12% es de $ 5400.00 Ejemplo 5 ¿Qué interés dará un capital de US$ 50,000 colocado al 5% mensual durante 2 años? Solución: I=? C = US$ 50,000 i = 5% n = 2 años = 24 meses I = 50,000 * 0.05 * 24 ----- >

I = US$ 60,000

El interés de 50,000 puesto a interés simple al cabo de 2 años al 12% mensual es de $ 60.00

6.2. INTERÉS SIMPLE EXACTO E INTERÉS SIMPLE ORDINARIO Cuando hablamos del interés simple exacto estamos suponiendo que un día es 1/365 de año o en el caso de los años bisiestos un día es 1/366 de año. Pero cuando hablamos del interés simple ordinario o del interés simple comercial, suponemos que un día es 1/360 de año. Ejemplo 6 ¿Cuál sería el interés simple exacto y el ordinario de S/. 10000.00 por un día, si la tasa de interés es del 6 % efectivo anual? Solución Interés simple exacto I = (10000) (1/365) (0.06) I = 600/365 I = 1.64 Interés simple ordinario I = (10000) (1/360) (0.06) I = 600/360 I = 1.66 Es decir, existe una diferencia de 2 céntimos a favor del interés simple ordinario Ejemplo 7 ¿Cuál sería el interés simple exacto y el interés simple ordinario de un capital de S/. 15000.00 a 60 días plazo si la tasa de interés es del 7 % efectivo anual? Interés simple exacto I = (15000) (60/365) (0.07) I = (1050) (12/73) I = 12600/73 MATEMATICA FINANCIERA   

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I = 172.60 Interés simple ordinario I = (15000) (60/360) (0.07) I = 175 Es decir, existe una diferencia de S/. 2.4 soles a favor del interés simple ordinario.

Leyes  La tasa de interés “Siempre” ingresa a las fórmulas expresadas en tanto por uno, es decir, divididas entre 100.  Cuando no se indica nada acerca de la tasa de interés se asume que esta expresada en términos “Anuales”.  La tasa de interés (i) y el tiempo (t) “Siempre” deben estar expresados en la misma unidad de medida, y se puede transformar a cualquiera de ellos o a ambos.

6.3. MONTO SIMPLE El monto de un capital puesto a interés simple es nada más la suma del capital Ordinario y los intereses, es decir: Monto = capital más intereses S=P+I ……… (2) S = P + Pni

S = P (1 + in) ……… (3) Ejemplo 8 ¿Cuánto retiraré al cabo de 5 años 4 meses y 28 días si deposité US$10,000 a una tasa del 20% trimestral?

Solución: n = 5 * 360 = 1800+ 4 * 30 = 120 28 1948 días

S= P (1 + i*n) S= 10,000 (1 + 0.20 * 1948) 90 S= 10,000 (1 + 0.0022222 * 1948) S= 10,000 * 5.328888888…

P = 10,000 i = 0.20 90

S = $ 53,288.89

Respuesta: El monto al cabo de 5 años 4 meses y 28 días al 20% trimestral de interés de S/. 10,000.00 es de $ 53,288.89

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6.4. VALOR ACTUAL A INTERÉS SIMPLE Definición de valor actual: “El valor actual de una suma que vence en el futuro, es aquel capital que a tipo de interés dado en un período de tiempo también dado ascenderá a la suma debida”. En la fórmula (03) habíamos visto que el monto de un capital puesto a interés simple es: S = P (1 + ni) Despejando P, tenemos: P = S / (1 + ni) → (4) Es la fórmula para el valor actual a interés simple. Ejemplo 9: Supongamos que dentro de 6 meses debemos recibir la cantidad de S/. 10000.00, la tasa de interés es del 5 % efectivo anual. ¿Cuál será su valor actual, es decir, su equivalente ahora?

Solución: S = 10000 n = 0.5 i = 0.05 Sustituyendo en la fórmula 4, tenemos: P = 10000/(1 + (0.05) (0.05)) P = 10000/1.025 P = 9756.10 Respuesta: El equivalente en el mes cero es de S/. 9756.10. A este resultado también se le denomina descuento racional o matemático que es muy diferente al descuento bancario simple.

TEMA 7: INTERÉS COMPUESTO: 7.1. DEFINICION: Proceso por el cual el interés generado por un capital en cada periodo definido de tiempo, se capitaliza. El interés simple es necesario de conocer, pero en la práctica se emplea muy poco. La gran mayoría de los cálculos financieros se basan en lo que se denomina INTERÉS COMPUESTO. Si en cada intervalo de tiempo convenido en una obligación se agregan los intereses al capital, formando un monto sobre el cual se calculan los intereses en el siguiente intervalo o período de tiempo y así sucesivamente, se dice que los intereses se capitalizan y que la operación financiera es a interés compuesto.

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7.2. ¿QUÉ ES LA CAPITALIZACIÓN? Cuando el interés producido por un capital durante una unidad fija de tiempo se suma al capital anterior, forma un nuevo capital. Si este nuevo saldo se vuelve a invertir, por un periodo similar a la unidad fija de tiempo, generará un nuevo interés, que sumaremos al capital anterior. La repetición de este proceso se denomina CAPITALIZACION ó acumulación.

El dinero crece a cada frecuencia producto de la capitalización

Lo más importante que debes recordar es que para efectuar el cálculo de cada período, el nuevo capital es = al anterior más el interés ganado en el período.

Revisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para interés compuesto:

MATEMATICA FINANCIERA   

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Recuerda que el exponente de (1+i) es igual al número de períodos.

Un concepto importante que debes recordar se refiere a la CAPITALIZACIÓN de los intereses, es decir, cada cuánto tiempo el interés ganado se agrega al Capital anterior a efectos de calcular nuevos intereses. En general la CAPITALIZACIÓN se efectúa a Intervalos regulares: • • • • • •

Diario Mensual Trimestral Cuatrimestral Semestral Anual

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Para hallar Monto

para hallar valor actual

n

M = S = P(1+i)

P

para hallar el tiempo

S log   P n log 1  i ,

S

1  i 



, n



MONTO COMPUESTOS Nomenclatura: 1. S = Monto, Stock Final, Valor Futuro 2. P = Capital, Stock Inicial, Valor Presente, Valor Actual 3. n = # total de períodos, Tiempo 4. i = Tasa de Interés por período

7.3. INTERESES SIMPLE Vs. INTERES COMPUESTO. Hallar el Monto del Capital 3000 luego de 4 años en un Banco que pago el 10% anual si el interés es: Simple

Período Simple

Capital inicial

0.10 Interés

Capital Final

1

3,000

300

3,300

2

3,300

300

3,600

3

3,600

300

3,900

4

3,900

300

4,200

Capital inicial 3,000 3,300 3,630 3,993

0.10 Interés 300 300 300 399.3

Capital Final 3,300 3,600 3,900 4,392.3

M=C+I M = 3,000 + 1,200 = 4,200 M = C (1 +i x t) M = C (3,000 + (1 + 0.1 x 4) = 4,200

Compuesto Compuesto Período 1 2 3 4

S = P (1 + i)

n 3

S = 3,000 (1 + 0.1) = 3,993

MATEMATICA FINANCIERA   

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4

S = 3,000 (1 + 0.1) = 4,392. Ejemplos de capitalizaciones: 1) 2) 3) 4) 5)

24% Anual Capitalizable Anualmente: 24% Anual Capitalizable Semestralmente: 24% Anual Capitalizable Trimestralmente: 24% Anual Capitalizable Bimestralmente: 24% Anual Capitalizable mensualmente:

24/100 0.24/2 0.24/4 0.24/6 0.24/12

= 0.24 = 0.12 = 0.06 = 0.04 = 0.02

Ejemplos: 1. Hallar el Monto que se obtiene con un capital de 74,000 colocado al 42% anual Capitalizable Mensualmente durante un año 3 meses. n

S=x n = 15 P = 74,000 I = 0.42 = 0.035 12

S = P (1+i)

S = 74,000 (1.035) S = 123.976

15

2. Cuál es el Capital que colocado al 42% anual capitalizable mensualmente nos da un monto de 123976 S = 123,976

P = 123,976 15

P=x

(1.035)

P

S

1  i 

, n

I = 0.42 = 0.035 12 n = 15

P = 74,000

3. En qué tiempo un capital de 74,000 colocado al 42% anual capitalizable Mensualmente nos da un monto de 123,976. S = 123,976 P = 74,000 I = 0.42 = 0.035 12 n=x

MATEMATICA FINANCIERA   

n=

S log  P n log 1  i ,

Log 123,976 74,000 Log (1.035)





n = 15 meses

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TEMA 8: TASAS DE INTERÉS

•

•

Tasa Activa La tasa activa es la tasa cobrada por los bancos al conceder préstamos a sus clientes. Esta tasa se determina en el momento de contratación dependiendo de varios factores: características del préstamo, garantía, plazo, etc…; Tasa Pasiva La tasa pasiva es la tasa a la que se remuneran a los depositantes de fondos por prestar su dinero a los bancos y al igual que en la tasa activa depende de varios factores: tipo de depósito, monto, plazo, etc…;

•

Tasa de interés discreta: Como su nombre lo indica, es la tasa de interés que se aplica cuando el tiempo o período de capitalización es una variable discreta; es decir, cuando el período se mide en intervalos fijos de tiempo tales como años, semestres, trimestres, meses, días u otros como lo hemos venido haciendo hasta ahora.

•

Tasa de interés continuo: Se define una tasa de interés continua i % como aquella cuyo período de capitalización es lo más pequeño posible. Supongamos que invertimos hoy una cantidad $ 1, a una tasa de interés continuo del i % capitalizable continuamente durante n años, determinemos el monto $ S al final de ese tiempo.

•

Tasa de interés vencida: Una tasa de interés se llama vencida si la liquidación se hace al final del período, cuando hablamos de la siguiente forma: 3 % efectivo anual o 3 % capitalizable mensualmente se sobreentiende que es una tasa vencida.

•

Tasa de interés anticipada: Se dice que una tasa es anticipada cuando su liquidación se hace al principio del período, así por ejemplo, son tasas anticipadas cuando se especifica 3 % efectivo anticipado o 3 % capitalizable mensualmente anticipado. Supongamos por ejemplo que una institución bancaria nos hace un préstamo por el valor nominal de $ 20 000.00 a un año plazo, la tasa de interés es del 10 % anticipada. El banco nos entrega P = 20000 – (20 000) (0.1) = 18 000.00.

TASA NOMINAL, TASAS EFECTIVAS Y TASAS EQUIVALENTES Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure la operación, que se denomina tasa nominal de interés. Sin embargo si el interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. Cuando esto sucede, se puede determinar una tasa efectiva anual. Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto. MATEMATICA FINANCIERA   

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8.1. TASA DE INTERÉS NOMINAL Se dice que una tasa es nominal cuando: a. Se aplica directamente la operación de interés simple. b. Es susceptible de proporcionalizarse (dividirse o multiplicarse) j/m veces en el año, para ser expresada en otra unidad de tiempo equivalente, en el interés simple; o como unidad de medida para ser capitalizada n veces en operaciones a interés compuesto. Donde m es el número de capitalizaciones en el año de la tasa nominal

• •

La proporcionalidad de la tasa nominal La proporcionalidad de la tasa nominal anual j puede efectuarse directamente a través de una regla de tres simples considerando el año bancario de 360 días. Por ejemplo ¿Cuál será la proporcionalidad diaria y mensual correspondiente a una tasa nominal anual del 24%? La tasa diaria será 0,066% = (24/360)

Ejercicios (tasa proporcional) a) Trimestral, a partir de una tasa nominal anual del 24% b) Trimestral, a partir de una tasa nominal semestral del 12% c) mensual, a partir de una tasa nominal trimestral del 12% d) De 18 días, a partir de una tasa nominal anual del 18% e) De 88 días, a partir de una tasa nominal trimestral del 6% f)

anual, a partir de una tasa nominal mensual del 2%

Solución a) (0,24/360)90

= 0,06

= 6%

b) (0,12/180)90

= 0,06

= 6%

c) (0,12/90)30

= 0,04

= 4%

d) (0,18/360)18

= 0,009

= 0.9%

e) (0,06/90)88

= 0,0586 = 5.87%

f)

= 0,24

(0,02/30)360

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= 24%

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8.2 TASA DE INTERÉS EFECTIVA Tasa de interés efectiva es el verdadero rendimiento que produce un capital inicial en una operación financiera y, para un plazo mayor a un periodo de capitalización, puede obtenerse a partir de una tasa nominal anual j capitalizable m veces en el año con la siguiente formula:

/ La relación j/m (que es la tasa efectiva del periodo de tiempo) y n deben estar referidas al mismo periodo de tiempo: Por lo tanto, el plazo de i está dado por n. si m y n se refieren solo al periodo, entonces la tasa nominal y la tasa efectiva producen el mismo rendimiento Por ejemplo: El monto simple de un capital de S/. 1000 colocado a una tasa nominal anual del 24% y el monto compuesto del mismo capital a una tasa efectiva anual del 24% arrojan un monto de S/.1240 Monto simple

S = 1000(1+0.24x1)

Monto compuesto S = 1000 1

0.24

= 1240 = 1240

La tasa efectiva i y la tasa nominal j para diferentes unidades de tiempo pueden abreviarse de la siguiente manera

Ejemplo: Calcule la TES para un depósito de ahorro que gana una TNA del 24% abonándose mensualmente los intereses en la libreta de ahorros. Solución: TES = ? m = 12 (nº de meses TNA) J = 0.24 n = 6 (nº de meses TES) 



TES

.

.



TES = 12.62%

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Ejemplo: El 20 de enero la empresa Solid compro un paquete de acciones invirtiendo S/. 9000 el cual vendió el 28 del mismo mes, por un importe neto de S/. 9455 ¿Cuál fue el TEM de rentabilidad obtenida en esa operación? Solución: Tasa de rentabilidad obtenida durante 8 días: 9450/900-1 = 0.05 La TEM se calcula del siguiente modo: / TEM = , = 0,20077 = 20,08% La rentabilidad obtenida en 8 días ha sido del 5 % y asumiendo la reinversión a la misma tasa de los 3.75 periodos de 8 días (30/8) que tiene el mes la rentabilidad acumulada del mes será del 20.08%

8.3. TASAS EQUIVALENTES PARTIENDO DE UNA TASA EFECTIVA DADA La tasa equivalente o efectiva periódica i’ se obtiene de la relación de equivalencia de la formula



Y puede ser calculada cuando se tiene como dato la tasa efectiva



Si designamos a j/m = i como tasa equivalente entonces podemos despejar la incógnita i’

′ /

′ • • • • •

i’ = tasa equivalente o efectiva periódica a calcular i = tasa efectiva del horizonte temporal proporcionada como dato f = número de días del periodo de tiempo de la tasa equivalente que se desea calcular H = número de días correspondiente al periodo de tiempo de la tasa efectiva i proporcionada como dato. A una TEA le corresponde un H de 360; a una TEM le corresponde un H de 30. Como n = H/f entonces la formula queda expresada /

′

Ejemplo: Calcule la TEA equivalente a una TNA del 12% capitalizable trimestralmente Solución: TEA =? J = 12% H = 360

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/

TEA .

TEA TEA



/

,

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f = 90 (3 meses)

TEA

,

%

Ejemplo: ¿A que TEQ debe colocarse un capital para obtener al fin de un trimestre igual monto que si se hubiese colocado a una TEM del 4%? / Solución: ′ i’ =TEQ?  n= 6 i = 0,04 n=3

′ ′ ′

. /

.

. .

TALLER Nº2

%

Interés simple e interés compuesto monto y tasas de interés 1. Si P = US$ 100,000.00 n = 5 meses. TN = 8% trimestral Capitalización mensual ¿Hallar S? 2. Si usted tiene $ 2.000.000 y lo invierte al 38.4% anual simple. ¿Cuánto se obtendrá por interés al cabo de un año y medio? 3. ¿Cuánto se debe depositar hoy a una tasa del 4.8% bimestral simple para poder retirar en 2 años la suma de $5.000000. 4. ¿Qué tiempo se requiere para que $1.500.000 invertido al 3% mensual simple se convierta en $2.193.000? 5. ¿Qué tiempo se requiere para que un capital se duplique, si este se invierte al 27.5% anual simple? 6. Se tiene una inversión inicial de $500.000 y se quiere hallar el valor futuro para el tiempo y tasa de interés dados a continuación: a) Dentro de 6 meses: b) Dentro de un año y medio: c) Dentro de 1 año: d) Dentro de tres meses: e) Dentro de 3 años:

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3% mensual 5% bimestral 8% trimestral 0.07562% diario 34% anual.

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UNIDAD III DESCUENTO SIMPLE Y DESCUENTO COMPUESTO Objetivos específicos:  Aprender la definición de descuento como base teórica  Conocer las formas de descuento mediante problemas  Diferenciar entre descuento comercial e interbancario  El alumno puede Identificar Valor actual, valor nominal mediante Ejercicios. Contenido:     

Descuento simple. Definición Valor actual, Pagos parciales, Descuentos en cadena o en serie, Descuento a interés compuesto. Valor actual. Valor nominal Ecuaciones de valores equivalente Ejercicios y Problemas.

TEMA9: DESCUENTO SIMPLE. Cuando se consigue un préstamo por un capital C, el deudor se compromete a pagarlo mediante la firma de un pagaré, cuyo valor nominal generalmente es mayor que C, puesto que incluye los intereses. Es práctica común que el acreedor, es decir, el propietario del documento, lo negocie antes de la fecha de vencimiento, ofreciéndolo a un tercero —a una empresa de factoraje por ejemplo—, a un precio menor que el estipulado en el propio documento, con un descuento que puede evaluarse de dos formas: a) Descuento real. b) Descuento comercial. El primero se calcula utilizando la fórmula del interés simple M = C(l + in), donde M es el valor nominal. Este descuento se explica en el primer ejemplo. Ejemplo 1 ¿Cuál es el descuento real de un documento con valor nominal de $25,300, 72 días antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 11.4% simple anual? En la fórmula del interés simple, se sustituyen: M por 25,300, El valor nominal del documento n por 72 días, El plazo o tiempo que falta para el vencimiento

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i por d = 0.114, La tasa de interés, es decir, de descuento Entonces,

25,300 = C[1 + (0.114/360)72] M = C(1 + in) 25,300 = C(1.0228)

de donde

C = 25,300/1.0228 o C = 24,736.02

El descuento real es, entonces, D = M − C, es decir, D = 25,300 − 24,736.02

o

D = $563.98

A diferencia del anterior, el descuento comercial, llamado así por su semejanza con la rebaja que los comerciantes hacen a sus artículos cuando los venden, quitando algunos pesos al precio de lista, se calcula restando al valor nominal un descuento. La adquisición de CETES es un claro ejemplo de inversiones que se manejan con descuento comercial, el cual, en general, se obtiene multiplicando el valor nominal del documento por el plazo y por la tasa de descuento, es decir, D = Mnd Donde d es la tasa de descuento simple anual, n es el plazo en años, D es el descuento comercial y M es el valor nominal del documento correspondiente.

9.1. DESCUENTO COMERCIAL DE UN PAGARÉ El descuento comercial de un documento con valor nominal de $6,500, tres meses antes de Vencer, es decir, n = 3/12, puesto que éste es el plazo en años, con un tipo de descuento del 11.2% simple anual, es: D = 6,500(3/12)(0.112) o D = Mnd D = $182 Si al valor nominal del pagaré se le resta este descuento, entonces se obtendrá su valor comercial o valor descontado P, que en este caso será: P = 6,500 − 182 o P = $6,318 Fórmula general El resultado anterior se expresa generalmente como P = M − Mnd ya que D = Mnd Donde, al factorizar M, se obtiene la fórmula del siguiente teorema. TEOREMA El valor comercial P de un documento con valor nominal M, n años antes de su vencimiento es: P = M(1 − nd) Donde d es la tasa de descuento simple anual.

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9.2. VALOR COMERCIAL DE UN PAGARÉ ¿Cuál es el valor comercial del 12 de mayo de un documento que ampara un préstamo de $26,500, recibido el 25 de enero pasado con intereses del 12% simple anual y cuyo vencimiento es el 30 de julio? Suponga que la tasa de descuento simple anual es del 12.5%. En la figura se muestra un diagrama temporal, donde aparecen las fechas, las cantidades de dinero y los plazos. FIGURA

Primero es necesario hallar el valor futuro de los $26,500 del préstamo, mediante la fórmula del interés simple: M = 26,500[1 + (186/360)(0.12)] M = C(1 + ni) M = 26,500(1.062) o M = $28,143 Con este valor futuro, el plazo n = 79/360 años y la tasa de descuento d = 0.125, se obtiene el valor descontado. P = 28,143[1 − (79/360)(0.125)] P = 28,143(0.972569445)

o

P = $27,371.02

9.3. PLAZO Y TASA DE INTERÉS EN UN DOCUMENTO ¿Qué día se negocia en $32,406 el siguiente documento con descuento del 10.02% simple anual? Suponiendo que ampara un crédito en mercancía por $32,000, ¿cuál fue la tasa de interés simple anual? Bueno por $33,050.00 Por este pagaré me obligo a pagar incondicionalmente a la orden de CH Impresiones en México D.F. el día 17 de febrero de 2005 la cantidad de $33,050.00 (treinta y tres mil cincuenta pesos 00/100 m.n.), valor recibido a mi entera satisfacción. Lugar y fecha: Naucalpan, Estado de México, a 5 de octubre de 2004 Nombre: Antonio Gutiérrez Domicilio: Calle 4 # 27, Col. Alce Blanco

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Solución: a) El valor nominal es de $33,050, el valor en que se comercializa es de $32,406, la tasa de descuento es d = 0.1002, por lo tanto, 32,406 = 33,050[1 − n(0.1002)] P = M (1 − nd) de donde 32,406/33,050 − 1 = −n(0.1002) n(0.1002) = 0.019485628 n = 0.019485628/0.1002 n = 0.194467343 años, porque la tasa es anual, esto es, 0.194467343 (360) = 70.00824359 días Significa que 70 días antes del 17 de febrero, es decir, el 9 de diciembre de 2004, el documento se comercializa en $32,406. b) El plazo entre el 17 de febrero y el 5 de octubre anterior es de 135 días, el capital es el valor de la mercancía $32,000, el monto es M = 33,050 y la tasa de interés i se obtiene despejándola de la siguiente ecuación: 33,050 = 32,000[1 + i(135)] M = C(1 + in) 33,050/32,000 − 1 = i(135) 0.0328125 = i(135) o i = 0.000243056 diaria, porque el plazo está en días. Para la tasa anual se multiplica por 360: 0.000243056 (360) = 0.0875, es decir, 8.75%

9.4. DESCUENTO INTERBANCARIO El Banco del Sur descuenta al señor Gómez el 15% de interés simple anual de un documento con valor nominal de $30,000 que vence 45 días después. El mismo día, el banco descuenta el pagaré en el Banco Nacional con el 13.5% anual. ¿Cuál fue la utilidad para el Banco del Sur? Solución: El plazo es n = 45/360 años, el monto (valor nominal) es M = 30,000, la tasa de descuento es d = 0.15; entonces, el capital que el señor Gómez recibe por el documento es P = 30,000[1 − (45/360)(0.15)] P = 30,000(0.98125) o P = $29,437.50 Ahora bien, el capital que el Banco del Sur recibe del Nacional, dado que la tasa de descuento es d = 0.135, es P = 30,000[1 − (45/360)(0.135)] P = 30,000(0.983125) P = $29,493.75

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La diferencia entre los dos resultados es la utilidad para el Banco del Sur: U = 29,493.75 − 29,437.50 U = $56.25 Note que esto es igual a la utilidad de los $30,000 al 1.5% en 45 días. U = 30,000(0.015)(45/360) U = $56.25 El 1.5% es la diferencia entre los porcentajes

9.5. DESCUENTOS SUCESIVOS, EN SERIE O EN CADENA O ESLABONADOS Estos tienen que cumplir las siguientes propiedades:  1era: No se puede sumar dado que su deducción o aplicación es uno por uno a saldos, absolutos. Luego para aplicar los descuentos en sí, se les deduce uno por uno.  2da: Los descuentos sucesivos pueden deducirse en el orden de su enunciado o cambiar este orden sin que ello afecte para nada el valor líquido a pagar.  3era: Los descuentos sucesivos o en serie o en cadena o eslabonados se pueden, convertir a una tasa única equivalente (T.U.E.) aplicando la fórmula empírica que dice lo siguiente: TUE = 1 - [(1 – d1) (1 – d2)… (1 – dn)] En donde d1, d2… dn son los valores de las tasas de descuento sucesivas indicadas. Problema: La empresa avícola Santa Nérida S.A. ofrece descuentos del 20 % + 8 % + 2.5 % a sus compradores mayoristas de huevos, por compras mayores de S/ 50000.00. Si la tienda Comercial S.A. hace una compra de huevos por valor bruto de S/.75 000.00. ¿Cuánto pagará por su compra finalmente si se favorece con los descuentos antes referidos? Respuesta: Valor Original de la compra: S/. 75 000.00 Menos el 1er descuento del 20 %: S/. 15 000.00 Saldo insoluto después de deducir 1er dcto. S/. 60 000.00 Menos el 2do descuento del 12 %: S/. 7 200.00 Saldo insoluto después de deducir el 2do dcto: S/. 52 800.00 Menos el 3er descuento del 8 %: S/. 4 224.00 Menos el 4to descuento del 2.5 % S/. 1 214.40 Por ser el último descuento por deducir Se le llama saldo a pagar o valor líquido S/. 47 361.60 Resultado que también se podría obtener si aplicamos la TUE; es decir, si convertimos Las 4 tasas de descuento en una única equivalente aplicando la fórmula a la siguiente información: MATEMATICA FINANCIERA   

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Si d1 = 20 % o 0.2; d2 = 12 % o 0.12; d3 = 8 % o 0.08 y d4 = 2.5 % o TUE = 1 - [(1 – 0.2) (1 – 0.12) (1 – 0.08) (1 – 0.025)] = 0.368512

0.025

Luego si el valor bruto de la compra es de S/. 75 000.00 y a esta le descontamos el 36.8512 % de descuento único tendré un valor líquido a pagar por la compra de: 75 000.00 – (0.368512 X 75 000.00) = 75 000.00 – 27 638.40 = S/. 47 361.60.

TALLER Nº3 Actividad aplicativa: Descuento simple o bancario o financiero Objetivo: verificar la comprensión acerca de los elementos del descuento bancario o financiero. Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas:

1. ¿Si la Empresa Avícola Santa Ángela ofrece descuentos del 20% + 12% + 8% + 2,5% a sus compradores mayoristas de huevos, por compras mayores de S/. 50 000,00. Si la Tienda Comercial Central hace una compra de S/. 75 000,00. ¿Cuánto pagará por su compra finalmente si se favorece con los descuentos antes referidos? 2. Una letra de cambio de valor de vencimiento $22,500 va a ser vendida el día de hoy en el Banco Interamericano de Finanzas, cuando faltaban 60 días para el vencimiento si el banco aplica una tasa de descuento del 25%. ¿Cuál será la retención o descuento practicado por el banco al documento, y cuál será el valor líquido abonado por dicho instrumento? 3. Una obligación financiera paga a su vencimiento $360,000 va a ser vendida el día de hoy al Scotianbank, cuando faltan 540 días para el vencimiento si el banco aplica una tasa de descuento del 14,5%. ¿Cuál será la retención o descuento practicado por el banco al documento, y cuál será el valor líquido abonado por dicho instrumento? 4. Determinar el valor de vencimiento de una letra de cambio si con ella se consigue un financiamiento de $2’250 500,00 documento que va a ser emitido el día de hoy siendo su vencimiento programado a 5 años si el banco aplica una tasa de descuento del 7,5%.

TEMA 10: DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO 10.1. DEFINICION: El descuento bancario es una operación que consiste en la aplicación reiterada o repetitiva del descuento simple al valor nominal o valor del vencimiento o valor futuro del instrumento o documento que se descuenta por unidades temporales o períodos de tiempo preestablecidos, obteniendo sucesivamente también valores líquidos durante el plazo u horizonte temporal de la operación. MATEMATICA FINANCIERA   

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Consideremos el siguiente cuestionamiento. ¿En cuánto tiempo se acumulan $120,000, si ahora se invierten $107,800 al 15% nominal mensual? Con la fórmula del interés compuesto se obtiene el plazo:

120,000 = 107,800(1 + 0.15/12)x 120,000/107,800 = (1.0125)x

o

M = C(1 + i/p)np (1.0125)x = 1.113172542

de donde x = Ln(1.11317254)/Ln(1.0125) o

x = 8.630622812

Este resultado de 8 meses y casi 19 días es teórico, porque en la práctica, en la vida real, los intereses de cualquier periodo se hacen efectivos hasta que éste termina, y si por alguna razón el inversionista necesita su dinero antes de que concluya el periodo, y dependiendo de las condiciones contractuales, puede ser que tenga que esperarse hasta la fecha de vencimiento, para que le den su inversión sin contar los intereses de la fracción del periodo o, en el mejor de los casos, que le entreguen la parte proporcional de tales intereses. Por ejemplo, el monto acumulado durante los 8 meses en las condiciones supuestas es M = 107,800(1 + 0.15/12)8 o M = $119,063.60 y la diferencia con los pretendidos $120,000 sería la parte proporcional que corresponde a los cerca de 19 días después del octavo mes. Esta diferencia es 120,000 – 119,063.60 = $963.40 Pero también es una práctica común la que algunos llaman regla comercial, la cual consiste en calcular el monto que se acumula durante los periodos de capitalización completos, utilizando la fórmula del interés compuesto, para luego sumarlo con los intereses acumulados durante el periodo incompleto, pero considerando interés simple. Antes de comenzar con los ejemplos, cabe señalar que se procede de manera semejante cuando se trata de evaluar el capital al iniciar el plazo.

ACTIVIDADES: Utilizando la regla comercial, determinar cuánto se acumula al 23 de octubre, si el 10 de marzo del año anterior se depositan $85,000 en una cuenta que bonifica el 17.7% de interés anual capitalizable por cuatrimestres. Solución Del 10 de marzo al 10 de julio del año siguiente se comprenden 4 cuatrimestres, y de esta fecha al 23 de octubre se tienen 105 días naturales. El monto acumulado durante el primer lapso, puesto que C = 85,000, el capital inicial MATEMATICA FINANCIERA   

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i = 0.177, la tasa capitalizable por cuatrimestres p = 3, los tres cuatrimestres que tiene el año np = 4, el número de cuatrimestres completos, es M1 = 85,000(1 + 0.177/3)4 M1 = 85,000(1.257719633) o M1 = $106,906.17

M = C(1 + i/p)np

El valor futuro de este monto 105 días después, es decir, el 23 de octubre, considerando interés simple es M = 106,906.17[1 + 105(0.177/360)] M = 106,906.17(1.051625) M = $112,425.20

M = C(1 + ni)

Solo para efectos de comparación, note usted que el monto que se acumula con interés compuesto desde el 10 de marzo, fecha de la inversión, hasta el 23 de octubre del año siguiente, con un plazo fraccionario y considerando que un cuatrimestre tiene 121 días, es np = 4 + 105/121

o np = 4.867768595 cuatrimestres es

M = 85,000(1.059)4.867768595 M = 85,000(1.321867037) o M = $112,358.7 Problema: ¿Por qué cantidad se concedió un crédito en mercancía si se ampara con un documento con valor nominal de $50,200, que incluye intereses del 16.8% nominal trimestral y vence en 35 semanas? Utilizar la regla comercial. Solución: En 35 semanas quedan comprendidos 2 trimestres de 13 semanas cada uno y 9 semanas adicionales para un periodo incompleto. El valor presente de los $50,200, 2 trimestres antes es C = 50,200(1 + 0.168/4)–2 C1 = 50,200(0.921010459) o

C = M(1 + i/p)–2

C1 = $46,234.72504

y 9 semanas antes, con interés simple, esto nos da C = 46,234.72504 [1 + (9/52) (0.168)]–1 C = 46,234.72504 (0.971744656) C = 44,928.34696 o

C = M (1 + ni)–1

C = $44,928.35 redondeando

Problema: ¿Cuánto dinero puede retirar Laura el 23 de diciembre, si el 8 de enero anterior depositó $68,500 en un banco que bonifica el 9.6% anual capitalizable por bimestres? Utilizar la regla comercial y comparar resultados considerando interés compuesto para el plazo completo.

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Solución a) Con la ayuda de un diagrama de tiempo, se aprecia que desde el 8 de enero al 8 de noviembre se cumplen 5 bimestres, y desde esta fecha hasta el 23 de diciembre se tienen 45 días. Los valores que se tienen para reemplazar en la fórmula del interés compuesto son C = 68,500, el capital que se invierte p = 6, la frecuencia de conversión, 6 bimestres cada año np = 5, el plazo en bimestres, los que son completos i = 0.096, la tasa de interés nominal bimestral Entonces M = 68,500(1 + 0.096/6)5 M = 68,500(1.082601289) o M = $74,158.1883

M = C(1 + i/p)np

y para el periodo incompleto se tiene C = 74,158.1883, el capital n = 45, el plazo en días i = 0.096/360 o i = 0.000266667, la tasa de interés simple por día El monto al 23 de diciembre es, entonces, M = 74,158.1883[1 + 45(0.000266667)]

M = C(1 + ni)

M = 74,158.1883(1.012) o M = $75,048.09 b) Considerando que en un bimestre caben 60 días, el plazo para el monto compuesto en bimestres es 5 + 45/60 = 5.75 y el monto es, en este caso, M = 68,500(1 + 0.096/6)5.75 M = 68,500(1.095566693) o M = $75,046.32 Esto significa que lo más que Laura podría retirar el 23 de diciembre es este monto

TALLER Nº 4: Taller aplicativo: Descuento compuesto Objetivo: Verificar la comprensión acerca de los elementos del descuento compuesto. Se propone a los alumnos la práctica intensiva en sus casas de problemas que se entregarán por escrito para su correspondiente desarrollo. Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 1) ¿El 31 de agosto de 2000, el Banco Santander aceptó descontar una letra de cambio de su cliente la empresa Transportes Altursa S.A. de valor de vencimiento S/.8 800,00 que vence en 120 días. ¿Cuál fue el valor líquido que recibió la empresa en dicha fecha si la tasa nominal del descuento aplicada fue del 42%, con periodo bancario de descuento de 30 días?

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2) ¿Un pagaré de valor nominal $13 750,00 es descontado por un banco 4 meses antes de su vencimiento aplicando una tasa de interés adelantado del 21% con capitalización mensual ¿Cuánto deberá pagarse para cancelarlo 3 meses antes de su vencimiento? 3) Determine el descuento compuesto bancario de una letra de cambio de valor de vencimiento S/. 25 000.00 si vence en 60 días, si es descontada a la tasa del 48% nominal anual con periodo de descuento mensual. 4) La empresa constructora Graña y Montero S.A. requiere para la ejecución de un proyecto a 120 días de capital de S/.250 000,00, por ello utiliza su línea de crédito de descuento de pagarés. Determine el valor nominal o de vencimiento del instrumento a descontar a ese plazo, si la tasa de descuento que se aplica a la operación es del 54% con periodo de descuento bancario quincenal? 5) ¿Determine el descuento compuesto bancario de una letra de cambio de valor de vencimiento S/. 25 000.00 si vence en 60 días, si es descontada a la tasa del 48% nominal anual con periodo de descuento mensual.

TEMA 11: CÁLCULO DEL VALOR NOMINAL O VALOR DE VENCIMIENTO O VALOR FUTURO DE UN DOCUMENTO A DESCONTAR Hay casos en los cuales sabemos el importe o cantidad de dinero que necesitamos y que conseguimos por vía del descuento compuesto bancario de documentos y nuestra pregunta es: ¿cuál sería el importe del documento a suscribir en dicho caso si este es descontado? En ese caso y a partir de la ecuación: S = P (1 – d)n Ejemplo: La empresa constructora Arana y Monte blanco S.A requiere para la ejecución de un proyecto a 120 días de capital de $ 250 000.00, por ello utiliza su línea de crédito de descuento de pagarés. Determine el valor nominal o de vencimiento del instrumento a descontar a ese plazo, si la tasa de descuento que se aplica a la operación es del 54 % con período de descuento bancario quincenal. Respuesta: P = $ 250 000.00; n = 8;

d = 0.54/24 = 0.0225;

S=?

S = 250 000.00 (1 – 0.0225)-8 = $ 299 920.3126 S = $ 299 920.31

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Ejemplo: La empresa El gallo Ronco S.A.C requiere de $ 250 000.00 para la ejecución de un proyecto de inversión a ejecutarse en los próximos tres años. Si el dinero es 43 conseguido descontando un pagaré a la tasa del 18 %, ¿cuál será el importe del documento a emitirse por concepto de dicho crédito? Respuesta: Factores: P = $ 250 000.00; d = 0.18; t = 3 años; fc o m = 1; n = 3 S=? S = 250 000.00 (1 – 0.18)-3 = $ 453 417.68 El valor de vencimiento del documento – pagaré – a emitirse por dicho crédito es de: $ 453 417.68

TALLER Nº 5: Taller aplicativo: Cálculo del valor nominal o valor de vencimiento o valor futuro de un documento a descontar Objetivo: Verificar la comprensión acerca de los elementos del valor nominal

Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 1) El 7 de marzo la empresa AILLIN, correntista del BBVA, acepto un pagare de S/. 9000 con vencimiento a 90 días ¿Cuál fue el valor líquido que AILLIN recibió en esa fecha si la tasa nominal anual de descuento fue de 48%, con periodos de descuento bancario cada 38 días

1) Un pagare con valor nominal de S/.50000 se descuenta bancariamente 6 meses antes de su vencimiento aplicando una tasa adelantada del 18% anual con capitalización mensual ¿Qué importe debe pagarse para cancelarlo 2 meses antes de su vencimiento?

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UNIDAD IV ANUALIDADES Y SEGUROS DE VIDA Objetivos específicos.  Calcular el valor futuro y el valor actual de cualquier conjunto de flujos de efectivo en las anualidades.  Comprender cómo están inversamente relacionadas el valor actual y la tasa de interés, cuándo una aumenta y la otra disminuye.  Uso y aplicación de los factores financieros. Contenido temático:        

Definiciones y clasificación de las anualidades Anualidades vencidas Monto de una anualidad anticipada Valor presente de las anualidades ordinarias Rentas equivalentes Anualidad diferida rentas perpetuas Algunos problemas de aplicación

TEMA 12: ANUALIDADES O TEORIA DE LA RENTA 12.1. DEFINICION La palabra anualidad se utiliza por costumbre que tiene su origen en los pagos que se hacían anualmente. En el mundo de las finanzas la palabra anualidad no significa pagos anuales sino pagos a intervalos iguales. En particular en la matemática financiera se utiliza esta palabra con un concepto más amplio, para referirse al sistema de pagos de cantidades fijas a periodos de tiempo iguales, que no solamente pueden ser anuales, sino de cualquier otra magnitud. Son ejemplos de anualidades: los sueldos, los pagos que hacemos por servicios públicos, los programas de créditos pagaderos a plazos, las pensiones universitarias, las pensiones de jubilación etc. Definición.- Una anualidad es una serie o sucesión de pagos, depósitos o retiros periódicos de cantidades iguales con interés compuesto. Definición de factores vinculados con las Anualidades o Rentas. Tiempo o Plazo de la Anualidad o Renta.- Es el tiempo que transcurre entre las fechas de inicio o comienzo del periodo y vencimiento o término del último Intervalo o Periodo de Pago o Periodo de Renta.- Es el tiempo medido o fijado entre dos pagos sucesivos de la anualidad o renta.

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Pago Periódico de la Anualidad o Renta.- Es el importe o valor de cada uno de los pagos, depósitos o retiros que se hacen. Renta Anual.- Resulta de la suma de todos los pagos hechos durante un año. Tasa Interés de la Anualidad o Renta.- Es la tasa pactada o acordada por las partes que regirá para la anualidad o renta. Puede ser nominal o efectiva. Una persona adquiere un equipo DVD mediante un contrato de compra-venta a plazos en una tienda de electrodomésticos, a un plazo de 2 años por el que pagará $36,00 mensuales, cuotas que han sido financiadas a la tasa del 36% efectivo anual. Los factores de la Anualidad o Renta son: Tiempo o plazo de la anualidad: 2 años Intervalo de Pago: Es de un mes o Mensual Pago Periódico: $36,00 Renta Anual: $432,00 La tasa de interés efectiva anual es del 36% de la que se deduce la TEM i = (1+0,36) Conceptos básicos que no debes olvidar: Anualidad es una sucesión de pagos generalmente iguales que se realizan a intervalos de tiempo iguales y con interés compuesto. Renta de la anualidad es el pago periódico y se expresa con R. Intervalo de pago es el tiempo que hay entre dos pagos sucesivos, y el plazo de la anualidad es el tiempo entre las fechas inicial del primer periodo y terminal del último. El valor equivalente a las rentas al inicio del plazo se conoce como capital o valor presente C. Su valor al final del plazo es el valor futuro o monto de la anualidad, que se expresa con M.

Elementos de una anualidad Si el propietario de un departamento suscribe un contrato de arrendamiento por un año, para rentarlo en $6,500 por mes, entonces: El plazo es de un año, la renta es R = $6,500 y el intervalo de pago es un mes. Además, si el inquilino decide pagar por adelantado en la firma del contrato el equivalente a las 12 mensualidades, entonces el propietario, a causa de los intereses que devenga el dinero anticipado, recibirá un capital menor a los $78,000 que obtendría durante el año. Este capital es el valor presente o valor actual de la anualidad. Si al contrario, al recibir cada pago mensual, el propietario lo deposita en un banco que reditúa un interés compuesto, entonces el dinero que al final del año tendrá en la institución bancaria será mayor a los $78,000 y eso será el monto o valor futuro de la anualidad. Clasificación de las anualidades Genéricamente la frecuencia de pagos coincide con la frecuencia de capitalización de intereses, pero es posible que no coincida. Quizá también la renta se haga al inicio de cada periodo o al final; o que la primera se realice en el primer periodo o algunos periodos después.

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Dependiendo de éstas y otras variantes, las anualidades se clasifican de la siguiente manera:

12.2. CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES O RENTAS.

Criterio

Tiempo (fecha de inicio y fin)

Tipo

CIERTAS

CONTINGENTES

GENERALES INTERES SIMPLES

VENCIDAS PAGOS ANTICIPADAS

INMEDIATAS INICIACION

DIFERIDAS

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Descripción Anualidades ciertas. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejemplo: al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el último pago. Anualidad contingente. La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas no se fijan de antemano. Ejemplo: Una renta vitalicia que se obliga a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cónyuge, que no se sabe exactamente cuándo. Anualidad general. Son aquellas que el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización. Ejemplo: el pago de una renta semestral con intereses al 30% anual capitalizable trimestralmente. Anualidad simple. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Ejemplo: el pago de una renta mensual con intereses al 18% capitalizable mensualmente. Anualidad vencida. Las anualidades vencidas u ordinarias son aquellas en que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. Anticipadas. Los pagos se efectúan al principio de cada periodo. realización de los cobros o pagos tiene lugar en al periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato. Ejemplo: se compra un artículo a crédito hoy, que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirida la mercancía (puede ser así, anticipada o vencida). Diferidas. La realización de los cobros o pagos se hace tiempo después de la formalización del trato (se pospone). Ejemplo: Se adquiere hoy un artículo a crédito para pagar con abonos mensuales; el primer pago habrá de hacerse 6 meses después de adquirida la mercancía.

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12.3. VALOR DE LA ANUALIDADES O RENTAS El valor de una anualidad o renta puede ser calculado al final o vencimiento de su plazo, a dicho cálculo se le denomina monto o valor futuro y en este caso lo pagos periódicos se capitalizan y el valor de una anualidad o renta calculado al inicio o principio de su plazo se llama valor presente o valor actual siendo en este caso que los pagos periódicos son descontados. También el valor de una anualidad o renta puede ser calculado en posiciones intermedias de su tiempo o plazo que da lugar al cálculo del monto o valor futuro parcial, cuando se refiere al cálculo de la parte vencida de la anualidad y valor presente o actual parcial, cuando dicho cálculo se refiere a la parte de los pagos que faltan por vencer de la anualidad o renta. Cálculo del Monto o Valor Futuro de las Anualidades Simples Ciertas Ordinarias e Inmediata El monto o valor futuro de una anualidad de este tipo es el capital acumulado correspondiente todos los pagos periódicos y todos los intereses generados por éstos, al término del plazo o mejor dicho, es la suma de todos los montos compuestos determinados por los pagos periódicos hechos a la anualidad o renta. En la práctica es el caso que más se presenta en lo que se refiere al cálculo del valor de las anualidades. A partir de una ecuación de equivalencia financiera y tomando como fecha de referencia la fecha de vencimiento del plazo, el monto o valor futuro F de esta anualidad la obtenemos de la siguiente manera: Momento Actual Vencimiento del Plazo 0

0 R1 R2 R3 ,,,,,,,,,,, Rn-2 Rn-1

Rn → VF’n = VR(1 + i) 1

------------ → VF’n-1 = VR(1 + i)

2

-------------------------- → VF’n-2 =VR(1 + i) ……………………………..

n-3

------------------------------------ →VF’ 3 = VR(1 + i) ------------------------------------------------------ → VF’2 = VR(1 + i)

n-2

------------------------------------------------------------------- → VF’1 = VR(1 + i)

n-1

→VF = ? Utilizando un procedimiento que nos presenta de manera inversa el orden de los pagos periódicos realizados observamos en el gráfico que cada pago periódico de la anualidad esta impuesto a interés compuesto por n números de periodos diferentes. El primero R1 estará durante n -1 periodos, el segundo R2

Durante n – 2, el tercero R3 durante n – 3, el antepenúltimo durante 2 periodos, el penúltimo durante 1 período y el último pago por coincidir con la fecha de vencimiento del plazo no devenga interés por lo que teóricamente le hemos puesto al FSC exponente 0.

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Luego el monto o valor futuro de la anualidad o renta simple cierta ordinaria e inmediata será igual a la suma de los montos compuestos parciales o valores futuros parciales a interés compuesto generados por cada pago computados al vencimiento del plazo. VFn = R(1 + i)

n-1

+ R(1 + i)

n-2

+ R(1 + i)

n-3

2

1

+..........+ R(1 + i) + R(1 + i) + R(1 + i)

0

Si invertimos el orden de la progresión anterior nos queda: 1

2

n -3

VFn = R + R(1 + i) + R(1 + i) +...................+ R(1 + i)

+ R(1 + i)

n -2

+ R(1 + i)

n -1

En conclusión tenemos que el monto o valor futuro de la anualidad VFn es igual a la suma de los términos de una progresión geométrica cuyo primer término a1 es R, su razón r es (1 + i), la que obtenemos aplicando la ecuación de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica (Sn ). n

Sn = a1 (r – 1) r-1r≠1 Luego basados en esa fórmula y adecuando a la nomenclatura o términos de las anualidades tenemos que: (1  i ) n  1 VFn = R i (1  i ) Finalmente nos queda la siguiente ecuación: (1  i ) n 1 VFn = R i





El término encerrado entre corchetes se le llama Factor de Capitalización de la Serie (FCS) o también Factor de Capitalización de la Renta Unitaria o también Factor del Valor Futuro de la Anualidad o Renta, el mismo que se lee: “El Factor de Capitalización de una Serie a una tasa i efectiva por periodo y por un número n de periodos de capitalización transforma una serie uniforme de pagos periódicos en un valor futuro VFn”. Ejemplo de aplicación: Una persona deposita en una cuenta de ahorros $7,500 dólares anuales durante 6 años. ¿Cuánto habrá acumulado en la cuenta si percibió una tasa efectiva anual del 9%? Para R = $ 7 500 i = 0,09 y n = 6

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Para desarrollarlo utilizaremos un diagrama de flujo y tendremos: 7 500 7 500 7 500 7 500 7 500 7 500 R1 R 2 R3 R4 R5 R6 0

--------→VF6 = 7 500,00(1 + 0,09) = 7 500,00 1

---------------→VF5 = 7 500,00(1 + 0,09) = 8 175,00 2

-----------------------→VF4 = 7 500,00(1 + 0,09) = 8 910,75 3

---------------------------------→ VF3 = 7 500,00(1 + 0,09) = 9 712,72 4

---------------------------------------→VF2 = 7 500,00(1 + 0,09) = 10 586,86 5

----------------------------------------------→VF1 =7 500,00(1 + 0,09) = 11 539,68 Si sumamos los montos compuestos calculados VF1+VF2+VF3+VF4+VF5+VF6 obtenemos el Valor Futuro o Monto de la Anualidad VF = $56 425,01 Observamos que cada uno de los pagos periódicos ha sido multiplicado por su FSC, obteniendo montos compuestos parciales a partir de cada pago periódico. En la práctica este método de cálculo empleado se llama método largo para el cálculo del monto o valor futuro de una anualidad o renta, que es un método demostrativo de su concepto. Utilizable cuando el número de pagos de la anualidad es relativamente corto, y poco útil por lo largo y tedioso que sería aplicarlo a un número de pagos periódicos bastante grande. En reemplazo de esta forma de determinación utilizamos la ecuación directa de estimación. Aplicando la ecuación del Valor Futuro o Monto de la Anualidad o Renta y obtenemos: (1  0,09) 6  1 VF6 = 7 500,00 = 7 500,00 x 7,523334565 = $ 56 425,01 0,09 Un trabajador de la empresa X, ha aportado a la AFP Nueva Vida, S/. 450,00 mensuales durante 20 años. ¿Cuánto tendrá acumulado a la fecha si en ese lapso la tasa de interés pagada era del 14,4% capitalizable mensualmente? Rpta. R= S/.450,00 j = 14,4% i = 14,4%/12 = 1,2% t = 20 años n = 20x12 = 240 Aplicando la fórmula: (1  0,012)  1 VF = 450 = 450 x 1 375,957165 = S/. 619 180,72 240 0,012 240

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12.4. FACTORES FINANCIEROS



-> factor simple de capitalización FSC



-> factor simple de actualización FSA



-> factor de capitalización de la serie FCS

 







-> factor de depósito de fondo de amortización FDFA

-> factor de recuperación del capital FRC

-> factor de actualización de la serie FAS

APLICADO S, C, R a) S = C.FSCi,n

 VALOR FUTURO EN FUNCION DE UN VALOR PRESENTE

b) C = S.FSAi,n

 VALOR PRESENTE EN FUNCION DE UN VALOR FUTURO

c) C = R.FASi,n

 VALOR PRESENTEEN FUNCION DE UNA RENTA FUTURA

d) R = C.FRCi,n

 RENTA FUTURA EN FUNCION VALOR FUTURO

e) S = R.FCSi,n

 VALOR FUTURO EN FUNCION A UNA RENTA

f) R = S.FDFAi,n

 RENTA EN FUNCION A UN VALOR FUTURO

Cálculo de monto posterior al término de una anualidad o renta Hay casos en los cuales el monto acumulado por una anualidad, continúa invertido generando intereses en ese caso dicho interés se calcula en términos de interés compuesto. Ejemplo.- Una persona deposita $250,00 al final de cada quincena durante 6 años en una cuenta que paga una tasa del 14.4% capitalizable mensualmente. Si no realiza más depósitos determine el valor acumulado en la cuenta, 18 meses después de haber efectuado el último depósito.

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Rpta. Fatores: R =$250,00 j = 14,4% i = 14,4%/24= 0,6% t = 6 años n = 6 x 24= 144 Luego VF144 = 250,00

(1  0,006)144  1 = $56 938,12 0,006

Este monto determinado se convertirá en el principal que capitalizará intereses durante 18 meses más a partir de los siguientes factores: VP = $56 938,12 i = 0,006 t = 18 meses n = 18/12 x 24 = 36 36

VF = 56 938,12 (1 + 0,006) = $70 620,44

12.5. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD O RENTA SIMPLE CIERTA ORDINARIA O VENCIDA E INMEDIATA. El valor presente de una anualidad es aquel capital denotado por VP que con sus intereses compuestos en el tiempo o plazo de la anualidad proporcionará un valor futuro equivalente al de la anualidad. VP = R n

1  (1  i )  n i

En donde: VP = Es el valor presente de una anualidad de n pagos n

R = Es el importe del pago periódico de la anualidad

1  (1  i )  n = Factor de Actualización de la serie de pagos FAS ya desarrollado. i

 

Ejercicios de aplicación 1. Una persona alquila una propiedad por 5 años por la que le pagarán una renta mensual de $ 4 500,00. Si conviene con su inquilino que le abone el importe de dicho contrato el día de hoy, ofreciéndole una compensación a la tasa del 24% de interés capitalizable mensualmente. Determine el valor presente del contrato. Rpta. Factores R= $4 500,00 j =24% p = Mensual, fc = 12; i = 24%/12 = 2% t = 5 años n = 5 x 12 = 60 Aplicando la fórmula del valor presente tenemos: VP = 4 500,00 x 60

1  (1  0,02) 60 = 4 500,00 x 34,76088668 =$156 423,99 0,02

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2. Un automóvil se vende con una cuota inicial de $7 500,00 y 48 cuotas mensuales de $777,00. Si el crédito automotriz cobra un interés del 17,4% con capitalización mensual, hallar el valor al contado del vehículo. Rpta. Factores: R = $777,00 j = 17,4% p = mensual c

f = 12 c

i = 17,4/12 = 1,45%

t = 48 meses n = 48/12 x 12 = 48 Cuota Inicial = $7 500,00 Valor al Contado = Cuota Inicial + Valor presente de la cuotas Entonces tengo que hallar el valor presente de las 48 cuotas y sumarlas a la cuota inicial para determinarlo: VP = 777 x 48

1  (1  0,0145) 48 = 777 x 34,40871624 = $26 735,57 0,0145

Luego el Precio al Contado del vehículo será: V.C. = 7 500,00 + 26 735,57 = $34 235,57  

TALLER Nº 6: Taller aplicativo: valor presente de una anualidad Objetivo: Verificar la comprensión acerca del valor presente de una anualidad

Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 1. Actualmente la empresa SARA SA decide cancelar las 4 últimas cuotas fijas insolutas de un préstamo contraído con una entidad financiera ascendente cada una a S/. 500, las mismas que vencerá dentro de 30; 60 y 120 días respectivamente ¿Qué importe deberá cancela si TEM es del 5%? 2. En el proceso de adquisición de una maquinaria se ha recibido las siguientes propuestas: a) al contado por S/.10000 y b) al crédito con una cuota inicial de S/.2000 y 6 cuotas mensuales de S/.1500 ¿Que opción escogería usted si el costo del dinero es del 5% efectivo mensual? 3. Una deuda de S/.4000 que vence dentro de 45 días se propone cancelarla hoy efectuando un pago de S/.3800 ¿es conveniente para el acreedor esta propuesta si su costo de oportunidad es del 5% efectivo mensual? .

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TEMA 13: ANUALIDADES ANTICIPADAS Anualidades Anticipadas o Pre pagables, son aquellas en las que el pago periódico se efectúa al principio del periodo de pago. Ejemplo los contratos de alquiler de inmobiliario, en los que se establece que la merced conductiva del inmueble o renta mensual o mensualidad se abonará a principio de cada mes. - Según la fecha de ejecución del primer pago de la renta o anualidad se clasifican en: Anualidades Inmediatas y Anualidades Diferidas Anualidades inmediatas, son aquellas cuyo primer pago se realiza en el primer periodo de pago, no interesando si es al principio o término del intervalo de pago. Anualidades Diferidas, son aquellas cuyo primer pago periódico se efectúa algunos periodos después de que se suscribe el plazo de la anualidad o renta. Ejemplo: los contratos de ventas a plazo de Sagafalabella con pagos diferidos que permite a sus clientes diferir los pagos desde uno hasta seis meses – claro que tiene un alto costo financiero, otro ejemplo lo constituyen aquellas agencias de viaje como Hada Tours y Nuevo Mundo que se promocionan sus ventas con el slogan viaje ahora y pague después, en las que la oferta permite al beneficiario pagar su crédito viajero 90 días o tres meses después de haber viajado.

Las anualidades vencidas son aquellas que sus pagos iguales ocurren al finalizar cada periodo, un diagrama de flujo de cada de dichas anualidades se muestra a continuación:

La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con el valor del pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es: Para anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas: La ecuación que en lugar del Monto relaciona el capital (C) o valor presente, con el pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es:



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Las anualidades anticipadas ocurren al inicio de cada periodo de tiempo, el diagrama de flujo de cada de estas anualidades es el siguiente:

Donde R representa cada pago y los números en el eje horizontal son los periodos de tiempo transcurridos. La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con el valor del pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es: Para anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas:

Esta ecuación equivale a la usada para anualidades vencidas, solo que periodo (1+i) ya que el monto total se capitaliza un periodo más.  En el caso del capital la ecuación queda:







Ejemplo 1. Un trabajador deposita $250 en una cuenta de ahorros al inicio de cada mes; si dicha cuenta paga 1.3% de interés mensual capitalizable al mes ¿Cuánto habrá ahorrado al cabo de un año? Solución: se realiza el diagrama de flujo de caja para visualizar los pagos: R = $250

Entonces los datos son: R = $250; n = 12, i = 1.3% mensual capitalizable al mes Cuando se cumplan los 12 periodos mensuales se cumple el año; por lo cual la sustitución de la ecuación queda de la siguiente forma:





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.



.



.

M= $3, 265.99 Ejemplo 2. Determine el valor del monto al cual equivalen 6 pagos anticipados semestrales de $14,500 si el interés es del 19% anual capitalizable semestralmente. Solución: Los datos son: M=? n=6 R = $14,500 i = 19% anual capitalizable al semestre





 . ,

.



.

M = $120,968.40 TALLER Nº 7: Taller aplicativo: anualidades anticipadas Objetivo: Verificar la comprensión acerca de los elementos del valor nominal

Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 1. El primer día de cada mes una empresa coloca en el banco el 20% de sus excedentes de caja que ascienden a S/.500. si por dichos depósitos percibe una TEM del 3% ¿Cuánto habrá acumulado al termino del 6to mes? 2. Un local comercial se alquiló por 4 meses con pagos anticipados de 500 si la TNA fue de 36% y la capitalización mensual ¿Cuál ha sido el valor de contrato de arriendo? 3. ¿Cuál será la imposición (renta anualidad, cuota) mensual contante a paga de un préstamo bancario de S/.10000 reembolsable con 4 cuotas anticipadas aplicando una TE de 3%? calcule además el préstamo neto

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TEMA14: ANUALIDADES VENCIDAS Las anualidades vencidas son aquellas que sus pagos iguales ocurren al finalizar cada periodo, un diagrama de flujo de cada de dichas anualidades se muestra a continuación:

La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con el valor del pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es: Para anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas:



 La ecuación que en lugar del Monto relaciona el capital (C) o valor presente, con el pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es:

Ejemplo 1. Un trabajador deposita $250 en una cuenta de ahorros al FINAL de cada mes; si dicha cuenta paga 1.3% de interés mensual capitalizable al mes ¿Cuánto habrá ahorrado al cabo de un año? Solución: se realiza el diagrama de flujo de caja para visualizar los pagos: R = $250

Entonces los datos son: R = $250; n = 12, i = 1.3% mensual capitalizable al mes

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Cuando se cumplan los 12 periodos mensuales se cumple el año; por lo cual la sustitución de la ecuación queda de la siguiente forma:

  .



.

$ ,

.

Ejemplo 2. Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar un servicio privado de vigilancia en $2,750 de renta vencida. Como desearía liberarse del compromiso mensual, decide proponer una renta anual anticipada. Si los intereses son del 15.6% anuales convertibles mensualmente ¿Cuánto debería ser la renta anual que debería pagar al inicio de cada año? Solución: C=? R=$2,750 i = 15.6% anual capitalizable al mes n = 12 meses

.

.

$

,

.



Ejemplo 4. Un trabajador debe pagar $90,000 dentro de 2 años, para lo cual desea hacer 12 depósitos bimestrales en una cuenta de inversión que rinde 4.2% bimestral ¿Cuál debe ser el valor de los depósitos si el primer pago se hace dentro de un bimestre? Solución: n = 12 i = 0.042 bimestral M = $90,000 R=?



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:



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. .



R = $5.921.31 TALLER Nº 8: Taller aplicativo: anualidades vencidas Objetivo: Verificar la comprensión acerca de los elementos de anualidades vencidas

Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 1. ¿Cuál será el valor nominal de un pagare que será descontado faltando 38 dias para su vencimiento? Al pagare se le aplicara un TNM del 3% con capitalización diaria y se requiere disponer un importe neto de S/.1000 1. ¿una persona necesita ahorrar para navidad porque desea regalarle a su mama un televisor LCD cuyo precio es de S/.1500 para ello va a colocar en una entidad financiera que le permita dicho ahorro bajo una TNA de12% con capitalización mensual ¿Cuál será el valor de la cuota mensual si la fecha de hoy es 05/10/10 hasta 25/12/10?

TEMA15: ANUALIDADES DIFERIDAS Las anualidades diferidas son aquellas en los que el inicio de los pagos periódicos se pospone para un tiempo posterior a la formalización de la operación. No se requieren fórmulas nuevas a las ya vistas, solo hacerlos ajustes correspondientes a los plazos específicos de cada ejemplo o problema. Ejemplo 1. Una tienda departamental con su lema “compre ahora y pague después” está vendiendo un escritorio por el cual se deben realizar 12 pagos mensuales de $180 a partir del 1ro de enero del 2010 bajo una tasa del 36% anual capitalizable al mes. Si el escritorio se compra el 1ro de noviembre de 2009 determine el valor presente o de contado del artículo. Solución: El diagrama de flujo de caja puede quedar de la siguiente forma. R = $ 180 i = 36% anual capitalizable mensualmente n = 12 pagos mensuales

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Una estrategia para calcular el valor del artículo para el 1ro de noviembre de 2009 es determinar el valor presente de dichos pagos periódicos, si se considera que son vencidos (es decir que inician un mes después) habremos calculado el valor presente para el 1ro de diciembre de 2009. Entonces el valor presente de los pagos mensuales vencidos se calcula con la ecuación: .

.

$ ,

.

Ahora para calcular el valor presente al 1ro de noviembre de 2009 se requiere calcularlo como si el valor de $1,791.72 fuera un monto o valor futuro y el capital buscado se encuentre un periodo mensual anterior. En un diagrama de flujo de caja lo anterior se expresa de la siguiente manera:

Para calcular el valor presente al 1ro de noviembre de 2009 se usa la fórmula de interés compuesto y se despeja “C” posteriormente se sustituyen los datos de la siguiente forma:





. .

$ ,

.



RESPUESTA: El valor del artículo al 1ro de noviembre de 2009 es de $1,739.53 bajo una tasa de interés del 36% anual capitalizable al mes con 12 pagos mensuales que inician el 1ro de enero de 20

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TALLER Nº 9: Taller aplicativo: anualidades diferidas Objetivo: Verificar la comprensión acerca de los elementos del valor nominal

Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 1. Calcular el valor actual de una renta semestral de $6,000 durante 7 años si el primer pago semestral se realiza dentro de 3 años y el interés es de 17% semestral capitalizable al semestre. 2. El 12 de enero un deudor acuerda pagar una deuda mediante 8 pagos mensuales de $3,500 haciendo el primero de ellos el 12 de julio del mismo año; si después de realizar el 5to pago no realiza los dos pagos siguientes; determine cuál es el valor del 8vo pago que debe realizar para cubrir completamente su deuda si el interés se calcula como 21.6% con capitalización mensual.

TEMA 16: RENTAS PERPETÚAS 16.1 DEFINICION: Una perpetuidad es, una anualidad donde la renta se mantiene fija, o variable, pero por tiempo ilimitado, y esto crea la necesidad de que el capital que la produce nunca se agote, a diferencia de las otras anualidades donde el capital al final del plazo queda siempre en ceros. La renta periódica, por lo tanto, deberá ser menor o igual a los intereses que genera el capital correspondiente; y por esto nunca debe estar por arriba del resultado que se obtiene al multiplicar el capital C por i, la tasa de interés por periodo. Como esta tasa puede variar, la renta también, pero para efectos prácticos, desde el punto de vista operativo, se considera fija durante por lo menos un periodo anual. Puede probarse, además, que si la renta es menor que los intereses del periodo, los resultados varían muy poco y por eso no se considera el caso. También es cierto que en este tipo de anualidades, no se da tiempo a que los intereses se capitalicen, y por eso es indiferente que la tasa de intereses sea simple o compuesta, aunque para facilitar las operaciones se considera simple tomando en cuenta, claro, que la frecuencia de conversión o de capitalización de intereses coincide con la frecuencia de pagos.

ACTIVIDADES Ejemplo 1 Inversión para una beca trimestral Con el producto de sus ventas, la Lotería Nacional instituye una beca trimestral de $20,500. ¿De cuánto debe ser el capital a invertir a la tasa de interés del 12% compuesto por trimestres? La renta por trimestre es igual a los intereses del periodo trimestral que están determinados por:

I = Cin

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Donde I = 20,500, la renta trimestral n = 3/12, un trimestre, el plazo en años i = 0.12, la tasa de interés nominal trimestral C, el capital a invertir, la incógnita Por lo tanto, 20,500 = C(0.12)(3/12)

I = Cin

De donde C = 20,500/0.03

o

C = $683,333.33

Note usted que de emplearse la fórmula del interés compuesto el monto deberá ser M = C + 20,500 y, por lo tanto, C + 20,500 = C(1 + 0.12/4) C + 20,500 = C(1.03) 20,500 = 1.03C − C 20,500 = (1.03 − 1)C De donde C = 20,500/0.03 o

M = C(1 + i/p)np,

np = 1

C = 683,333.33

RENTA MENSUAL PERPETUA ¿Cuánto pueden retirar cada mes y por tiempo ilimitado la señora viuda de González y sus herederos, si les son depositados $970,000 en un banco que paga una tasa de interés del 18.72% anual compuesto por meses? En la fórmula I = Cin se sustituyen: C por 970,000, n por 1/12, el plazo en años, e i por 0.1872, la tasa de interés anual, por lo que la renta mensual es I = 970,000(0.1872)(1/12)

I = Cin

I = $15,132.00 CAPITAL NECESARIO PARA UNA RENTA PERPETÚA ¿Cuál es el capital que debe depositarse en un banco que bonifica el 10.02% nominal mensual, para disponer de $15,000 mensuales por tiempo ilimitado? En este caso, los valores para reemplazar en la fórmula

I = Cin son:

I = 15,000, la renta mensual I=R i = 0.1002, la tasa anual capitalizable por meses n = 1/12, el plazo en años, entonces, 15,000 = C(0.1002)(1/12) De donde C = 15,000/0.00835 o C = $1’796,407.19

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Ejemplo: Una inversión de millón y medio de pesos produce los suficientes intereses para disponer de $38,000 cada bimestre y por tiempo ilimitado. ¿Cuál es la tasa de interés por periodo? Ahora la incógnita es i, la tasa de interés bimestral: 38,000 = 1’500,000(i)(1/6)

I = C(i)n

De donde i = (38,000/1’500,000)6

o

i = 0.152

o

15.2% anual,

Porque el plazo, 1/6, está en años, la bimestral es 0.152/6 = 0.025333333 o 2.5333% bimestral.

TALLER Nº10: Taller aplicativo: rentas perpetuas Objetivo: Verificar la comprensión acerca de los elementos de renta perpetua

Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 1. Una institución filantrópica instituye una beca semestral de $20,000. ¿Con cuánto lo hace si el interés es del 13.20% capitalizable por semestres? 2. Cinco años antes de su matrimonio, una persona recibe una herencia que le permite contar con $25,000 en su boda y con $5,200 al final de cada mes desde esa fecha y por tiempo indefinido. 3. ¿Qué capital le fue heredado considerando que el dinero reditúa el 17.52% de interés anual compuesto por meses? 4. ¿Cuál es la tasa efectiva de interés si una inversión de $325,000 produce una renta quincenal de $2,250? 5. Un famoso filántropo regala $750,000 a una institución de beneficencia, y se deposita en una cuenta bancaria que paga una tasa de interés del 11.76% anual compuesto por bimestres. 6. ¿Cuánto podrá retirar la institución cada bimestre desde el inicio del décimo bimestre y por tiempo ilimitado? 7. ¿A qué tasa de interés efectiva debe invertir 2 millones de pesos la Lotería Nacional para ofrecer 8 becas mensuales de $6,500 cada una?

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TEMA 17: AMORTIZACIÓN 13.1. DEFINICION La palabra amortizar tiene dos conceptos uno financiero y otro contable. El concepto financiero, parte de la palabra amortizar ( derivada de la expresión a l’mort de origen francés que significa a la muerte) se usa para llamar así al proceso financiero por el cual se reduce progresivamente (llegándose a cancelar) el volumen de una deuda y sus intereses, por intermedio de pagos iguales o diferentes a intervalos de tiempo iguales o distintos que pueden iniciarse al recibir el crédito(anticipados), al vencimiento de cada periodo de pago (vencidos)o después de cierto plazo pactado (diferidos). Contablemente, se entiende como el proceso que consiste en disminuir el valor de un activo, cargando este importe a gastos. La amortización es una de las más grandes aplicaciones de las anualidades en las operaciones financieras de retorno o devolución de un crédito. Existen diferentes sistemas de amortización y en ellos a su vez existen muchas variantes que dependen de la cuantía y de la frecuencia de los pagos, en todo, caso el interés simple o compuesto devengado se determina en base al saldo pendiente de pago en el momento de hacerse la amortización. La Amortización a interés simple la vimos en el capítulo Nº2, ahora sólo trataremos aquellas amortizaciones que devengan interés compuesto. Es importante denotar que los pagos periódicos de una amortización se fraccionan en dos partes una para cubrir los intereses y el saldo o diferencia para amortizar el principal de la deuda o capital vivo de la misma. Sistemas o Clases de Amortización En base a la relación existente entre la amortización y los intereses de los pagos periódicos se tiene los siguientes sistemas o clases de amortización Amortización Gradual. Es un sistema por cuotas de valor constante, con intereses sobre saldos. En este sistema los pagos son iguales y se hacen a periodos de tiempo iguales. A medida que la deuda se va amortizando la cuota capital se incrementa geométricamente con una razón (1 + i) cuyo importe es similar al decremento de la cuota interés. Conocido como Sistema Francés de amortización es el de uso más generalizado y de mayor aplicación en el campo financiero. Amortización Constante. Este sistema mantiene un valor igual para la amortización – cuota capital– para cada periodo, por lo que el pago periódico se hace variable decreciente, al ser menor la cuota interés. Conocido como Sistema Alemán de Amortización. En aplicación de este sistema es fácil calcular el saldo pendiente de pago en cualquier momento, particularmente útil cuando se hace refinanciamiento o se desea cancelar la deuda mediante un pago único antes del vencimiento del plazo. Amortización por cuotas incrementadas. Este sistema consiste en incrementar cada cierto tiempo el pago periódico. En la práctica es una aplicación de las anualidades variables, presentándose sistemas de amortización con variación uniforme o con gradiente aritmético, el sistema en el que los pagos periódicos crecen geométricamente o con gradiente geométrico y el sistema en el que las cuotas se incrementan usando un índice o indicador de referencia calculado por una entidad pública de reconocido prestigio tal es el caso del índice inflacionario o el índice de

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precios al consumidor o algún otro que nos obligue a aumentar el valor de las cuotas de una manera variable. Amortización por cuotas decrecientes. En este caso los modelos matemáticos son similares a los del sistema anterior, con la diferencia de que los factores de variación son negativos. Cálculo del Valor de las amortizaciones Se presentan dos casos importantes: - Determinar el importe de los pagos periódicos; - Hallar el número de pagos necesarios para amortizar una deuda. Cuadros de Amortización Se denomina así a la ordenación en columnas de cada uno de los elementos notables del desarrollo de un préstamo: Número de Períodos; Servicio de la deuda o pago periódico de la amortización; Cuotas interés; Cuotas capital; Deuda extinguida después de cada período y Saldos sucesivos. Por ejemplo del Caso de Amortización Gradual: Construir un cuadro de amortización para un préstamo de $1’500 000,00 pagadero en 5 años a la tasa del 7% efectivo anual. 13.2. CALCULO DE LA CUOTA CONSTANTE CUANDO EXISTEN VARIACIONES DE TASA Cuando un préstamo ha sido desembolsado en una sola armada o en partes y además se dan variaciones de tasas antes del vencimiento dé cada cuota, se sugiere calcularlas cuotas a su vencimiento. Ejemplo Un préstamo de S./ 10,000.00 ha sido otorgado para ser reembolsado en 4 cuotas fijas trimestrales vencidas aplicando una TET del 5%. Al vencimiento de la primera cuota se han producido las sgts variaciones de las tasas trimestrales: 5% durante 40 días, 4% durante los 20 días sgts y 3% hasta el vencimiento de la primera cuota. Prepare: a) La tabla referencial de reembolso b) La tabla de rembolso al vencimiento de la primera cuota

Solución a) Tabla referencial de reembolso

R = C.FRCi,n R = 10000

.



. .

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 RENTA FUTURA EN FUNCION VALOR FUTURO

= S/. 2820.12

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N°C

Cuota Interés

Interés

Amortización

0 ------------------ ---------------- ---------------1 2820.12 5 000.00 2320.12 2 2820.12 383.99 2436.12 3 2820.12 262.19 2557.93 4 2820.12 134.29 2685.83 total 11280.47 1280.47 10000.00

Saldos

10000.00 7679.88 5243.76 2685.83 0.00 -----------

b) Tabla de reembolso al vencimiento de la primera cuota S1 = 10000(1.0540/90 )( 1.0420/90)( 1.0330/90) S1 = 10410.74 I1 = 10410.74 – 10000 I1 = 410.74

Ra = S1

. FRC0.03;4 -> Factor simple de actualización FSA



-> Factor de recuperación del capital FRC

Ra = 10410.74 x 1.03-1 x FRC0.03;4 Ra = 2719.20 Tabla de reembolso al vencimiento de Ra N°C

Cuota Interés

Interés

Amortización

0 ------------------ ---------------- ---------------1 2719.20 410.74 2308.45 2 2719.20 230.75 2488.45 3 2719.20 156.09 2563.10 4 2719.20 79.20 2640.00 total 10876.78 876.78 10000.00

MATEMATICA FINANCIERA   

Saldos

10000.00 7691.55 5203.10 2640.00 0.00 ---------------

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TEMA 14: SEGUROS DE VIDA 14.1. DEFINICIÓN: El seguro es el documento, instrumento o contrato en virtud del cual una persona o sociedad (el asegurador) asume un riesgo que debe recaer sobre otra persona (asegurado) a cambio de una cantidad de dinero llamada prima. En el caso del seguro de vida este contrato permite que una persona de ingresos moderados pueda proporcionar a su familia una cierta cantidad de dinero en el momento de su muerte. Las primas brutas de los seguros cubren tanto las muertes acaecidas como los gastos de las compañías aseguradoras, es decir una prima bruta estará constituida de la prima neta más los recargos que varían de compañía a compañía. En nuestro tratamiento sólo determinaremos las primas netas para pólizas de: seguro temporal, de vida entera, de vida con pagos limitados y total. La prima de un seguro temporal se basa en los beneficios relativos a los fallecimientos esperados en un período limitado que puede ser de 5 o 10 años. La prima de esta póliza aumenta a medida que aumenta la edad del asegurado; por ello el seguro temporal resulta caro a edades que se aproximan a la edad promedio de vida del poblador de un determinado país. Una póliza a prima constante o media tiene un costo inicial mayor que un seguro temporal pero la prima no aumenta, constituyéndose ese exceso en una reserva que compensa las indemnizaciones ocasionadas por las muertes que ocurran con posterioridad. El tipo más simple de póliza a prima constante es el de vida entera, conocido como seguro de vida ordinario, cuyo costo de póliza se determina por la edad del asegurado en el momento de su contratación, conservándose por el resto de su vida la misma prima. El caso del seguro de vida con pagos limitados indica el hecho de efectuar efectivamente pagos durante un cierto número de años, al término de los cuales la póliza se considera totalmente pagada para toda la vida del asegurado, por ello es que el importe de las primas es superior con relación al seguro de vida entera, porque la reserva necesaria debe constituirse en un tiempo menor. Los seguros dotales proporcionan protección por un número determinado de años, (llamados periodos de dotación) al término de los cuales la cobertura termina y si vive el asegurado se le hace entrega del valor nominal de la póliza, por ello estas pólizas resultan muy caras para periodos de dotación cortos ya que la compañía aseguradora deberá determinar una prima suficiente para hacer frente a la certeza de que habrá de abonar bien al asegurado o a sus beneficiarios, una cierta cantidad al concluir el periodo de dotación.

14.2. TABLA DE MORTALIDAD Una tabla de mortalidad es el instrumento básico para el trabajo del Actuario de Seguros de Vida, en ella las compañías de seguros han anotado la estadística de la marcha a través de la vida de un determinado número de personas tomadas como base, registrando el número de personas vivas y fallecidas a cada edad de vida. Los continuos avances de la Medicina Humana y la Biología, que conllevan a aumentar más rápidamente la esperanza de vida ha determinado que las tablas de

MATEMATICA FINANCIERA   

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mortalidad queden anticuadas al cabo de cierto tiempo, debiéndose sustituir por otras más recientes. Para efectos de estandarizar el material de trabajo de nuestros estudios utilizaremos la “1958 Commissioners Standard Ordinary Mortality Table” conocida como la “1958 CSO Table”, la misma que se convirtió en la tabla modelo para muchos estados de EE.UU. desde el 1ro. De Enero de 1966.

14.3 OPERACIONES DEMOGRAFICO - FINANCIERA CAPITAL DIFERIDO Toma el nombre de cantidad de dinero que se pagaría al cabo de n años a una persona de edad actual x, a condición de que esté. Entonces con vida. Se trata de un capital (por ejemplo k) cuyo pago es un elemento es un elemento aleatorio, porque está condicionado a que la persona de edad x cumpla x+n años parar recibirlo; por tanto el precio justo de esta eventualidad, que viene a ser un seguro caso de vida, está dado por la esperanza matemática o deposito que el individuo en gestión debe efectuar hoy para recibirlo solo si se encuentra con vida a la edad x+n. X +n  X  U 

K 

La prima única U está dada por el valor descontado Kvn por la probabilidad de supervivencia:

1

.

Tratándose de un capital unitario se indica por n

x

. 1

Que toma el nombre de factor de actualización demográfico financiera, que naturalmente es menor que el factor de actualización financiera Ejemplo: Si una persona de 35 años desea recibir 100.000 al cumplir los 50 años de edad ¿Cuánto debe depositar hoy al 8% de interés anual?

U

. 1

0,08

0,93476 0,315224 10

29.468

Ojo: Diferencia de años es 15 Los datos como también son sacados de la tabla de mortalidad de 1958. Es necesario advertir que la tasa de interés influye en el valor actual (o prima) de cualquier tipo de seguro, pues a mayor tasa la prima será menor y viceversa independientemente de la propia tabla de mortalidad (TM)

MATEMATICA FINANCIERA   

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Símbolo de conmutación: Un valor actual es mejor cuando el capital futuro pierde más interés en el proceso de actualización. Introducimos el símbolo:

Que podría denominarse solo teórica y curiosamente número de sobrevivientes descontados a una tasa de interés anual por un tiempo equivalente a su edad.

n

x



.



.



Por ejemplo Si se toma el mismo caso anterior señalado tendríamos: 15

35

. 10 =

50

.

. 10

.

35

10

29.468

Para el caso de factor de capitalización financiero se tendría

I

n x

Símbolo de conmutación Nx = D x  D x 1  D98 .....................  C w

Ejemplo: Si una persona de 40 años de edad está obligada a pagar 1000 cada comienzo de año durante toda su vida, ¿Qué cantidad única pagaría hoy a la tasa del 8% anual? ( En lo sucesivo n se mencionara la tasa de interés porque las tablas están ya determinadas con una determinada i anual)

3

. 10 40 40

MATEMATICA FINANCIERA   

3 5.004.788,9 . 10 425.388,3

11765.22

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Valor actual de renta de vida entera diferida a pago anticipado X  

X + m  1          1              1               1              1            1 

A la edad de x+m, la prima única o valor es:

Si actualizamos este valor por m años con el factor m x se obtendrá el valor buscado, que es lo mismo que seguir el procedimiento de actualizar cada cuota y sumar luego todos los valores actuales individuales (por ejemplo, la segunda cuota tendrá un x valor de m+1 x ).

mj

x=

. m+1

.

x



Valor actual de renta de vida entera diferida a pago anticipado mj

x=

. m+1

.

x

1



X + m 

X  

                             1               1              1            1  Ejemplo: ¿Qué prima única debe depositar hoy una persona de 36 años si desea recibir, mientras viva una renta anual de 200 comenzando la primera a la edad de 50 años? 36 

  50                            200                            200                       200

U

50 36

.200

674

El pago parece ser bajo pero en el caso que, si fallese antes de los 50 años, no ha percibido nada y la prima es una entrega a fondo perdido.

MATEMATICA FINANCIERA   

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14.4. PRIMA DE UNA PÓLIZA DE VIDA ENTERA CON LAS FUNCIONES DE CONMUTACIÓN Suponiendo que una compañía de seguros emite pólizas de una unidad monetaria a lx personas vivas a los x años de edad. Al término del primer año, la compañía deberá abonar dx unidades monetarias a los beneficiarios de los fallecidos, al concluir el 2do. Año, deberá cancelar dx+1 unidades monetarias y así continuar hasta llegar a los d99 unidades monetarias. Cada una de las lx personas deberá pagar una prima neta única de Ax unidades monetarias por su póliza. Luego el producto del número de vivos a los x años de edad por la cantidad de la prima neta única a pagar a cada uno de ellos deberá ser igual al valor actual de todos los pagos futuros a los beneficiarios de los fallecidos, siendo su fórmula de valor desarrollada: 2

lxAx = vdx +v dx + a + .........+v

99 – x

d98 + v

100 – x

d99 n

Despejando Ax y multiplicando el numerador y denominador por v , tenemos: Ax =

v x1d x  v x2 d xa  .....................  v 99 d 98  v100 d 99 vn1x

Símbolo de conmutación: Introduciendo las funciones de conmutación el resultado anterior se simplifica Ax =

C x  C x  1  .......... .......... .  C 98  C 99 Dx Ax =

Mx Dx

Mx = C x  C x 1  C x  2 .....................  C w Ejemplo: ¿Qué prima única pagara hoy una persona de 32 años por capital de 1.000.000 para cada muerte?

=

32

. 10

32

66.545,3 804.241,2

x 10

= 82743

Lo mismo pero ahora para una persona de 20 años Ax =

MATEMATICA FINANCIERA   

M 20 96.525,5 = = D20 2.073.607,0

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14.4. PRIMA DE UN SEGURO TEMPORAL Por definición anterior la prima de un seguro temporal aumenta con la edad del asegurado, el mismo que se produce cada 5, 10 o 20 años, el mismo que se describe como temporal de 5 años, temporal de 10 años y así sucesivamente. La fórmula que 1

nos permite determinar la prima neta única, Ax n para una póliza temporal de n años de una unidad monetaria, a favor de individuos de edad x. Las muertes y las primas para el periodo que va desde la edad x hasta la x+ n Beneficio por fallecimiento $1.00 al beneficiario de cada asegurado que fallece dx

dx +1

d x +n –2

dx+n –1

]------------]-----------]--------.................---]--------------] Primas x x + 1 x + 2 x + n –1 x + n Edad de los asegurados 1

lx Ax

n

Si llevamos todos los datos a la edad x y planteamos una fórmula tendremos 2

1

n-1

lx Ax n = vdx + v dx+1 + ..............+ v

n

dx+n-2 + v dx+n-1

n

Multiplicando por v e introduciendo las funciones de conmutación tendremos

1

Cx+ Cx+1 + ................+ Cx+n –2 + Cx+n –1

Ax n = -----------------------------------------------------Dx Como Mx = Cx+ Cx+1 + ................+ Cx+n –1 + Cx+n ..........+ C99 Y M x+n = Cx+n ..........+ C99 Podemos expresar el numerador como Mx – M x+n y nos queda: PRIMA ÚNICA PARA UN  SEGURO TEMPORAL  UNITARIO 

X  

X + 1 

MATEMATICA FINANCIERA   

Mx – M x + n 

Ax =---------------Dx

X + 2 

X + 3 

X + n 

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Ejemplo: La prima única para un seguro temporal representa la cantidad que aumentada de sus intereses, es necesaria y suficiente para pagar el capital unitario y en caso de muerte si esta se presenta durante el periodo temporal de n años. Para este efecto pongamos: X = 35, n = 5, i = 0.08

35

=

40

61.748,5 54.663,2 633.993.1

35

= 0,011175673

En aplicación de a ley de los grandes números y repitiendo consideraciones antes expuestas, supongamos que esta prima es pagada por todos los 35 =9.377.807 Persona, recaudándose un total de 104.758,61. Capitalizado por un año al 8% da 113.139,30. Al final del año se paga 1$ por cada uno de los 35 = 23.528 casos de muerte ocurridos en el año, con lo que el fondo se reduce a 89.611.30. PRIMA ÚNICA PARA UN SEGURO TEMPORAL DIFERIDO Hallando la prima única la edad (x+m) y luego actualizando por m años, se tiene la prima única a la dad x:

X  

X + m + n 

X + m 

Mx +m – Nx+ m +n m

Mx – M x +n

Ax n --------------------- x ------------------ = Dx +m

MATEMATICA FINANCIERA   

Dx

Mx +m – Nx+ m +n -------------------Dx

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TALLER Nº 11: Taller aplicativo: seguros de vida Objetivo: Verificar la comprensión acerca del valor presenta los seguros de vida

Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 1. Si una persona de 35 años de edad está obligada a pagar 10000 cada comienzo de año durante toda su vida, ¿Qué cantidad única pagaría hoy a la tasa del 8% anual? ( En lo sucesivo n se mencionara la tasa de interés porque las tablas están ya determinadas con una determinada i anual)

2. ¿Qué prima única pagara hoy una persona de 50 años por capital de 1.000.000 para cada muerte?

MATEMATICA FINANCIERA   

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SOLUCIONARIO TALLER 1:

Nociones básicas

Obtenga el 15.38% de 429.5:

a) 66.0571

 429.5 x15.38/100 = 66.0571

1. Es el 200.3% del 4.53% de 15,208: b) 1,379.9116  (200.3/100) x (4.53/100) x15,208 2. El precio actual de un televisor es de $5,521.50. ¿Cuál fue un precio anterior si aumentó un 2.25%? Si el precio anterior es X, entonces el aumento es un 2.25% de X y el precio actual es: X + (0.225)X = 5,521.50 (1 + 0.225)X = 5,521.50 porque (1.225)X = 7,650 de donde X = 5,521.50/1.225

ax+bx=(a+b)x ò X = 4,507.35

d) 4,507.35 3. En los problemas, evalúe las expresiones utilizando calculadora.

     

√35.3 (5.23)4 (85.2)2/5 (2.03)−2 √50.83 log5 (42.3)

= 2.44 =748.18 =5.92 = o.24 =1.39 = 2.33

4. La solución de (1.53)x = 9 es

    

ln(28.3)1/2 log8 (50.382) (27.95)5/3 ln(10.93)3 12 (50.893

=1.83 =1.88 =257.41 =13.67 =1581534.24

  log1.53 9 = x

=> 5.16668

(Logaritmo en base 1.53 de 9 es igual a x), pues x es el exponente al que hay que elevar 1.53 para que nos de 9 5. ¿En qué porcentaje se redujo la cartera vencida si actualmente es de $138 millones y antes era de $150 millones? Porcentaje de reducción en cartera vencida La cartera vencida se redujo en 12 millones de pesos y el porcentaje de reducción es X tal que: (X/100)150 = 12 de donde X = 12(100)/150 = 8 o X = 8% Solución alterna Otra manera de obtener este resultado es comparando las dos cantidades, es decir, dividiendo la última entre la primera y multiplicando el resultado por 100: (138,000/150,000)(100) = 92 Esto se interpreta diciendo que la última cantidad es igual al 92% de la original y por eso se redujo un 8%, número que resulta de restar el 92 del 100%. MATEMATICA FINANCIERA   

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6. ¿A qué interés compuesto debe depositarse un capital de 6000 euros si en tres años se ha convertido en 6749,20 euros? 6 749,20 = 6 000(1 + r ) 3 ⇔ (1 + r )3 = 1,1248 Tomando logaritmos: 3log (1 + r ) = log 1,1248⇒ log (1 + r) =0,017 ⇒ ⇒ 1 + r = 100,017 ⇒ r = 0,0399 El interés compuesto es del 4% anual.

TALLER 2: Interés simple e interés compuesto monto y tasas de interés 1. Si P = US$ 100,000.00 n = 5 meses. TN = 8% trimestral Capitalización mensual ¿Hallar S? Solución

i' 

0.08  0.026666... 3

S = 100,000 (1+0.026666...)5 S = US$ 114,063.66

2. Si usted tiene $ 2.000.000 y lo invierte al 38.4% anual simple. ¿Cuánto se obtendrá por interés al cabo de un año y medio? Solución P = 2.000.000: I = 38.4% anual I = 38.4/12 = 3.2% mensual 18 meses, entonces: n = 1.5 años n = Si I = P.i.n = I = 2.000.000 (0.032) (18) I = 1.152.000 I = UP x ip x N Hemos determinado la tasa de interés mensual y el valor de n lo convertimos en meses. Podríamos haber dejado la tasa de interés anual y el valor de n en años, así: I = P.i.n I = 2.000.000 (0.384) (1.5) I = $1.152.000

3. ¿Cuánto se debe depositar hoy a una tasa del 4.8% bimestral simple para poder retirar en 2 años la suma de $5.000000. p=? I = 4.8% bimestral n = 2 años n =  12 bimestres F = $ 5.000.000  

Si F = p (1 + in) P = $3.172.589

5.000.000 = p / (1 +0.048 x 12)

P =F/(1+i.n)

MATEMATICA FINANCIERA   

p = 5.000.000/1.576

P = $3.172.589

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  4. ¿Qué tiempo se requiere para que $1.500.000 invertidos al 3% mensual simple se convierta en $2.193.000? n = ? p = 1.500.000; Si F = p (1+ in ) .

F = 2.193.000

= 1+0.033n 1+0.033n = 1.462 - 1

. . .

i = 3.3% mensual

2.193.000 = 1.500.000 ( 1+0.033n ) 0.033n = 0.462

n = 14 meses 

5. ¿Qué tiempo se requiere para que un capital se duplique, si este se invierte al 27.5% anual simple? n=? p=? i = 27.5% anual F = 2p Si

F = 2p = ( 1+in)

2p = p (1+ 0.275n) 

1 = 0.275n

2 = 1+ 0.275n

n = n =

= 1 + 0.275 n

.

n = 64 años n =3.64 años

La respuesta anterior está dada en años y la podemos convertir en años, meses y días, así: 3.64 años 3 años + 0.64 años ¿0.64 años equivalen a cuantos meses? Para hacer esto debemos tener en cuenta lo siguiente: si una cantidad inicial se multiplica por 1 esta no se altera puesto que el ultimo número 1 es el módulo del producto. Si tenemos a a* 1 = a Ahora si tenemos 0.64 años, podríamos multiplicar por 1 así: 0.64 x = = 7.68 meses ñ O sea que 0.64 años 7.68 meses, entonces: 7.68 meses 7 meses + 0.68 meses Ahora para pasar 0.68 meses a días hacemos lo siguiente: 0.68 meses x 3.64 años



= 20.4 días =

20 días en conclusión

3 años. 7 meses y 20 días

6. Se tiene una inversión inicial de $500.000 y se quiere hallar el valor futuro para el tiempo y tasa de interés dados a continuación: a) Dentro de 6 meses: b) Dentro de un año y medio: c) Dentro de 1 año: d) Dentro de tres meses: e) Dentro de 3 años:

3% mensual 5% bimestral 8% trimestral 0.07562% diario 34% anual.

Solución Para resolver nuestro ejercicio utilizamos la siguiente expresión F = P (1 + i) n Donde el valor de p para cada caso es de $ 500.000. Lo que se debe tener en cuenta es que el valor de n debe ser consistente con el valor de í.

MATEMATICA FINANCIERA   

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  Caso: A P = 500.000. í = 3% mensual n = 6 meses F =500.000 (1+ 0.03)6      F = 500.000 (1.194052)      El ejercicio propone 6 meses                                                                 F = $ 597.026,14 Caso: B P = 500.000. í = 5% bimestral n = 1.5 años n = 9 bimestre   F = 500.000 . (1+0.05)9           F = 500.000 (1.05)9  F = $ 775.664 F = 500.000 (1.551328 ) Caso: C P = 500.000. í = 8% trimestral n = 1 año n = 4 semestres F = 500.000 (1+ 0.08)4  F = $ 680.244 Caso: D 0.07562 . P = 50.000. í = 0.07562% diario í= n = 3 meses  n = 90 días F = 500.000 (1+0.0007562)90  F = 500.000 (1.0703999) = 500.000 (1.0007562)90 F= $ 535.200 Caso: E P = 500.000 í = 34% anual n = 3 años n=3 F= 500.000 (1 + 0.34)3 F= 1´203.052

= 0.0007562

TALLER 3: Descuento simple o bancario o financiero 5. Si la Empresa Avícola Santa Ángela ofrece descuentos del 20% + 12% + 8% + 2,5% a sus compradores mayoristas de huevos, por compras mayores de S/. 50 000,00. Si la Tienda Comercial Central hace una compra de S/. 75 000,00. ¿Cuánto pagará por su compra finalmente si se favorece con los descuentos antes referidos? Solución Valor Original de la compra: Menos el 1er. Descuento del 20% Saldo después de deducir 1er. Dcto Menos el 2do. Descuento del 12% Saldo después de deducir el 2do. Dcto. Menos el 3er. Descuento del 8% Saldo después de deducir el 3er. Dcto. Menos el 4to. Descuento del 2,5% Por ser el último descuento por deducir se le llama Saldo a pagar o valor líquido

S/. 75 000,00 15 000,00 60 000,00 7 200,00 52 800,00 4 224,00 48 576,00 1 214,40 S/. 47 361,60

Resultado que también se podría obtener si aplicamos la TUE, es decir si convertimos las 4 tasas de descuento en una tasa única equivalente aplicando la fórmula a la siguiente información:

MATEMATICA FINANCIERA   

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  Si d1= 20% o 0,2; d2= 12% o 0,12; d3= 8% o 0,08 y d4= 0,025 TUE = 1 - [ (1- 0,2)(1-0,12)(1-0,08)(1-0,025)] = 0,368512 Luego si el valor bruto de la compra es de S/.75 000,00 y a este le deducimos el 36,8512% de descuento único tendré un valor líquido a pagar por la compra de : 75 000 – (0,368512 x 75 000) = 75 000 – 27 638,40 = S/.47 361,60 6. Factores: D = ? VF = $22 500

d = 25% o 0,25

t = 60 días

Aplicando la fórmula del Descuento tenemos: D = 22 500 x 0,25 x 60/360 = $937,50 Para determinar el valor líquido aplicamos: P = 22 500 – 937,5 = $21 562,50 También si queremos obtener directamente el valor líquido sin pasar por el cálculo previo del Descuento aplicamos la ecuación respectiva y tenemos: P = 22,500 [1 – (0,25) (60/360)] = $21 562,50 7. Factores: D = ? VF = $27 850

d = 14,5% o 0,25

t = 540 días

Aplicando la fórmula del Descuento tenemos: D = 360 000 x 0,145 x 540/360 = $78 300,00 Para determinar el valor líquido aplicamos: P = 360 000 – 78 300 = $281 700,00 También si queremos obtener directamente el valor líquido sin pasar por el cálculo previo del Descuento aplicamos la ecuación respectiva y tenemos: P = 360 000 [1 – (0,145) (540/360)] = $281 700,00

8. De Factores: S= ? P = $2’250 500,00 d = 7,5% o 0,075 t = 5, años Para determinar el valor futuro aplicamos su fórmula de determinación: P S= 1  (d . t ) 2 '250 500 = S/. 1’406 562, 50 P= 1  (0,075)(5) TALLER 4: Descuento compuesto Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas:

6) . Factores: VF = S/.8 800,00

n=4

d = 0,42/12 = 0,035

P= ?

4

VP = 8 800,00 (1 – 0,035) = S/.7 631,184006 VP = S/.7 631,18 7) Rpta. Factores: VP = ? VF= $13 750,00 n = 3 d = 0,21/12 = 0,0175 3

VP = 13 750 (1 – 0,0175) = $13 040,68412 VP = $13 040,68 MATEMATICA FINANCIERA   

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8) Rpta. Factores: VF = $25 000,00 n = 2 d = 0,48/12 = 0,04 D = ? 2

D = 25 000,00 [ 1 – ( 1 – 0,04 ) ] D = S/.1 960,00 9) Cálculo del Valor Nominal o Valor de Vencimiento o Valor Futuro de un documento a descontar. Hay casos en los cuales sabemos el importe o cantidad de dinero que necesitamos y que conseguimos por vía del descuento compuesto bancario de documentos y nuestra pregunta es ¿Cuál sería el importe de documento a suscribir en dicho caso si este es descontado? En ese caso y a partir de la ecuación del valor líquido VP despejo el factor valor de vencimiento VF y nos queda: VF = VP (1 – d ) Rpta. VP = S/.250 000,00

n=8

-n

d = 0,54/24 = 0,0225

F=?

-8

VF = 250 000 (1 – 0,0225 ) = S/. 299 920,3126 VF = S/. 299 920,31

TALLER 5: Taller aplicativo: Cálculo del valor nominal o valor de vencimiento o valor futuro de un documento a descontar Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 2) El 7 de marzo la empresa AILLIN, correntista del BBVA, acepto un pagare de S/. 9000 con vencimiento a 90 días ¿Cuál fue el valor líquido que AILLIN recibió en esa fecha si la tasa nominal anual de descuento fue de 48%, con periodos de descuento bancario cada 38 días Solución: P=? S = 9000 n=3 d = 0.48/12

P= 1 P = 9000 1

0.04

P= 7962.62

3) Un pagare con valor nominal de S/.50000 se descuenta bancariamente 6 meses antes de su vencimiento aplicando una tasa adelantada del 18% anual con capitalización mensual ¿Qué importe debe pagarse para cancelarlo 2 meses antes de su vencimiento? Solución

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Solución: P=? S = 5000 n=2 d = 0.18/12

P= 1 P = 5000 1

0.015

P= 4851.13

TALLER 6: Taller aplicativo: valor presente de una anualidad Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 4. Actualmente la empresa SARA SA decide cancelar las 4 últimas cuotas fijas insolutas de un préstamo contraído con una entidad financiera ascendente cada una a S/. 500 ; las mismas que vencerá dentro de 30; 60 y 120 días respectivamente ¿Qué importe deberá cancela si TEM es del 5%? Solución

  P =? 

n= 4 meses 

i = 5%

R = 500                         500                             500                            500  P = R x FAS0.05;4 1 1 0.05 0.05 1 0.05 P = 500 X 3.5459504 = 1772.98

5. En el proceso de adquisición de una maquinaria se ha recibido las siguientes propuestas: a) al contado por S/.10000 y b) al crédito con una cuota inicial de S/.2000 y 6 cuotas mensuales de S/.1500 ¿Que opción escogería usted si el costo del dinero es del 5% efectivo mensual? P = 2000 + 1500 FAS0.05;6 P = 2000 + 7613.54 P = 9613.54 Escogería la opción b 6. Una deuda de S/.4000 que vence dentro de 45 días se propone cancelarla hoy efectuando un pago de S/.3800 ¿es conveniente para el acreedor esta propuesta si su costo de oportunidad es del 5% efectivo mensual? . MATEMATICA FINANCIERA   

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SOLUCION P=? S = 4000 n = 45/30 d = 0.0016

P = 4000 1.05 / P = 4000 0.9294286413 P= 3717.71

Si el costo de oportunidad es 5% mensual, entonces la propuesta de la cancelación de la deuda hoy, con un pago de S/.3800 es conveniente, ya que su valor presente a una TEM del 5% es solo S/.3717.71 y el deudor propone cancelarla con S/.3800

TALLER 7: Taller aplicativo: anualidades anticipadas Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 4. El primer día de cada mes una empresa coloca en el banco el 20% de sus excedentes de caja que ascienden a S/.500. si por dichos depósitos percibe una TEM del 3% ¿Cuánto habrá acumulado al termino del 6to mes? Monto de una anualidad anticipada S= Ra(1+i) x FCSi,n 1

500 1

0.03

1

1

1

1

0.03 0.03

S = 3331.23 5. Un local comercial se alquiló por 4 meses con pagos anticipados de 500 si la TNA fue de 36% y la capitalización mensual ¿Cuál ha sido el valor de contrato de arriendo? Valor presente de una anualidad anticipada (proceso de actualización) S= Ra(1+i) x FASi,n 1

500 1 C =1914.31 I = S –C  I = 200 – 1914.31 I = 85.69

MATEMATICA FINANCIERA   

0.36 12

1

1 1

1

0.36 12

0.36 1 12

1 0.36 12

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6. ¿Cuál será la imposición (renta anualidad, cuota) mensual contante a paga de un préstamo bancario de S/.10000 reembolsable con 4 cuotas anticipadas aplicando una TE de 3%? calcule además el préstamo neto Renta en función a un valor presente x FRCi,n

Ra =

1

1

10000 1

1

1 0.03

0.03 1 0.03 1 1 0.03

Ra = 2611.91 PRESTAMO BRUTO: 10000.00 PRIMERA CUOTA (INICIAL): 2611.91 PRESTAMO NETO: 7388.09

TALLER 8: Taller aplicativo: anualidades vencidas Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 2. ¿Cuál será el valor nominal de un pagare que será descontado faltando 38 dias para su vencimiento? Al pagare se le aplicara un TNM del 3% con capitalización diaria y se requiere disponer un importe neto de S/.1000 SOLUCION S= ? P = 1000 n = 38 i = 0.03/30

S = PXFSC0.001;38 P = 1000 1.38711151 P= 1038.71

3. ¿una persona necesita ahorrar para navidad porque desea regalarle a su mama un televisor LCD cuyo precio es de S/.1500 para ello va a colocar en una entidad financiera que le permita dicho ahorro bajo una TNA de12% con capitalización mensual ¿Cuál será el valor de la cuota mensual si la fecha de hoy es 05/10/10 hasta 25/12/10? SOLUCION R=? n= 81 días S = 1500 TNA= 12% Cap.= mensual

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1

1

0,12 12

1500 1

0,12 12

 

/. 550.86   1

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TALLER 9 Taller aplicativo: anualidades diferidas Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 3. Calcular el valor actual de una renta semestral de $6,000 durante 7 años si el primer

pago semestral se realiza dentro de 3 años y el interés es de 17% semestral capitalizable al semestre. 4.

Solución: los datos del problema son los siguientes: R = $6,000 pagos semestrales n = 14 periodos semestrales (7 años) i = 17% semestral capitalizable al semestre Si consideramos los pagos como anticipados podemos calcular el valor presente de los pagos como primer paso.

Posteriormente pasar esa cantidad que esta 3 años en el futuro a valor presente: M=C(1+i)n = $36,709.67 (1+0.17)-6 = $14,310.85 Nótese que en el problema estamos obligados a usar dos veces la letra “C” como capital para dos valores diferentes; es por eso que algunos autores para evitar confusión proponen el siguiente procedimiento:

RESPUESTA: $14,310.85 es el valor presente de una renta semestral de $6,000 durante 7 años, si el primer pago inicia en 3 años bajo una tasa del 17% semestral capitalizable al semestre.

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  5. El 12 de enero un deudor acuerda pagar una deuda mediante 8 pagos mensuales de

$3,500 haciendo el primero de ellos el 12 de julio del mismo año; si después de realizar el 5to pago no realiza los dos pagos siguientes; determine cuál es el valor del 8vo pago que debe realizar para cubrir completamente su deuda si el interés se calcula como 21.6% con capitalización mensual Solución: conviene hacer un diagrama de flujo de caja para este problema: Se había pactado (cifras en miles de pesos para ahorrar espacio):

Pero lo que realmente ocurrió fue:

Opción 1: Pasar los pagos faltantes al futuro:

Opción 2. Calcular la diferencia que le falta pagar al 12 de febrero: Se calcula con la ecuación de monto para anualidades vencidas, nótese que en anualidades vencidas el último pago coincide con el valor del monto.

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Sustituyendo los valores tenemos:

M $29,828.95-$19,138.82=$10,690.13 RESPUESTA: $10,690.13 es el valor que debe pagar el 12/feb para compensar los 3 últimos pagos que aún no realiza.

TALLER Nº 11:

Taller aplicativo: seguros de vida 1. Si una persona de 35 años de edad está obligada a pagar 10000 cada comienzo de año durante toda su vida, ¿Qué cantidad única pagaría hoy a la tasa del 8% anual? (En lo sucesivo n se mencionara la tasa de interés porque las tablas están ya determinadas con una determinada i anual)

35 35

4 61.748,5 . 10 633.993,1

3

. 10

91.39616886

2. ¿Qué prima única pagara hoy una persona de 50 años por capital de 1.000.000 para cada muerte?

=

50 50

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. 10

40.595,1 186.823,1

= 217291.65

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GLOSARIO ACAPARAMIENTO: Acción de retener mercaderías o dilatar su venta con el objeto de especular con el alza de precio de las mismas. ACCIÓN: Cada una de las partes en que se divide el capital de una empresa (particularmente en las S.A.), existiendo distintas categorías: de fundador, ordinarias, preferenciales, etc. Algunas sociedades cotizan en bolsa sus acciones. ACTUALIZACIÓN: Equivalencia entre un valor futuro y su correspondiente al período actual. Técnica de base matemática consistente en la determinación del valor presente de un valor o un flujo de valores correspondientes a un período o períodos posteriores (futuros), a partir de la aplicación de una tasa de interés de referencia. ACUMULACIÓN (del capital): Proceso consistente en el incremento de la dotación de bienes de capital de la economía en el transcurso del tiempo; más genéricamente, incremento de la dotación del stock de riqueza de la economía. AHORRO: Abstención de consumos presentes a los efectos de su disposición en el futuro; parte de los ingresos no consumida: S = (Y – C) Señala Keynes al respecto: “Que yo sepa, todo el mundo está de acuerdo en que ahorro es el excedente del ingreso sobre lo que se gasta en consumo; y no cabe duda que sería inconveniente y desorientador no darle esta acepción”. 1 AMORTIZACIÓN: 1. Devolución total o parcial de un préstamo; 2. Registración contable de la depreciación de un bien. ANÁLISIS DINÁMICO: Metodología que establece relaciones entre variables correspondientes a distintos períodos de tiempo, por ejemplo cuando se afirma que la Inversión correspondiente al período presente está relacionada con la variación del producto del período anterior: In = In f (Y (n-1) – Y (n-2)) ANALISIS ESTÁTICO: Relaciona variables correspondientes al mismo período, por ejemplo cuando decimos que el Consumo es función del ingreso del período actual. APALANCAR / APALANCAMIENTO:  Acción  y  efecto  de  la  toma  de  préstamos  para  la  realización de inversiones financieras, con el propósito de incrementar la rentabilidad (y con el  consiguiente incremento del riesgo); un ejemplo clásico es la toma de préstamos para la compra  de acciones.  APRECIACIÓN:  Incremento  del  precio  de  la  moneda  local  en  el  mercado  de  cambios;  incremento  de  precio  de  la  moneda  local  con  respecto  a  las  restantes  monedas  (Antón.:  “Depreciación”2).  BANCOS COMERCIALES: Entidades –privadas o no- que participan en la actividad financiera, principalmente vinculando ahorristas con inversores, obteniendo una ganancia de esta intermediación. Las entidades bancarias deben mantener una ecuación de equilibrio entre la rentabilidad, la solvencia y la liquidez, llamada ecuación bancaria; por ello, una fracción de los depósitos recibidos debe mantenerse bajo la forma de reservas, constituyendo los encajes fijados por la autoridad monetaria.

MATEMATICA FINANCIERA   

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Con el transcurso del tiempo, los bancos han ampliado su actividad: constituyen en la actualidad parte de su oferta de servicios la emisión de tarjetas de débito y crédito, el alquiler de cajas de seguridad, la participación en el comercio exterior a través de diversos instrumentos, etc. Como resultado de la intervención de los bancos comerciales, se produce una expansión de los medios de pago de la economía, proceso que se conoce con el nombre de multiplicador bancario. DINERO: Activo financiero de máxima liquidez, es decir, de disposición inmediata y aceptación  generalizada  para  la  realización  de  las  transacciones.  Se  suele  definir  al  dinero  a  partir  de  sus  funciones, las cuales son:   a)  Medio  de  cambio  y  pago  para  la  realización  de  las  transacciones;  b)  Unidad  de  cuenta  o  medida del valor; c) Depósito de valor (instrumento para el ahorro).    ENCAJE BANCARIO:  Coeficiente  técnico  fijados  por  la  autoridad  monetaria  (el  Banco  Central)  para  establecer  el  límite  de  préstamos  de  las  entidades  comerciales  respecto  de  los  fondos  recibidos  en  calidad  de  depósitos.  Regulando  este  coeficiente  se  puede  expandir  o  contraer el volumen de medios de pago del sistema.    GANANCIA: Leit motiv de la economía de mercado y la existencia de la empresa. La búsqueda de la ganancia separa las organizaciones económicas de las otras. En principio, la ganancia es la diferencia entre los ingresos y los gastos de la organización. INTERÉS: Costo del dinero; precio que debe pagarse como retribución de un préstamo monetario. INVERSIÓN: Gasto de las empresas para mantener e incrementar su capacidad productiva; la inversión es el componente más volátil de la demanda agregada. Las cuentas nacionales reflejan tres tipos de inversión: ♣ Maquinarias e instalaciones ♣ Materias primas y productos terminados y en proceso de fabricación ♣ Viviendas En términos generales, los factores determinantes de la función inversión son: la tasa de interés (r) y las expectativas empresariales (e): I = I (r,e); La función de inversión tiene pendiente negativa, dado que la baja en la tasa de interés del mercado implica una disminución en los costos de financiamiento volviendo rentables más proyectos. Bajo la denominación de “expectativas empresariales” se incluye: posibilidades del emprendimiento, evaluación sobre la situación del contexto macro de la economía, factores institucionales, etc. LIQUIDEZ: Cualidad de un activo de transformarse en moneda corriente: el dinero es el activo  líquido  por  excelencia.  Formas  de  menor  liquidez  las  constituyen  los  depósitos  en  cajas  de  ahorro, plazos fijos, letras de tesorería, empréstitos, etc.        REGRESAR AL INDICE

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ANEXO

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TABLA DE MORTALIDAD 1958

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Página 95 

 

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Página 96 

 

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Página 97 

 

MATEMATICA FINANCIERA   

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