MATEMATICA FINANCIERA UCENM

PRESENTACION Como cualquier actividad científica, las MATEMÁTICAS FINANCIERAS evolucionan, utilizan nuevas formas y, a medida que se amplia el campo de sus aplicaciones, se profundizan los conceptos, alcances y restricciones de sus funciones y teoremas. Por otra parte , las diversas disciplinas que utilizan las matemáticas financieras imponen variaciones en el lenguaje y, de acuerdo con el principio de la universalidad, es necesario que un texto de esta naturaleza utilice un léxico actualizado y apropiado, por tal motivo y respondiendo a la necesidad de que los estudiantes cuenten con un documento de consulta se ha realizado el presente manual con el propósito de reforzar los conocimientos en la materia de Matemáticas Financieras. Los estudiantes actuales se forman en un mundo de los juegos electrónicos, calculadoras, microcomputadoras y computadoras, y es natural dentro de su realidad que exista la tendencia a utilizarlos en sus ámbitos de trabajo. En este curso se estudian los fundamentos teóricos de las matemáticas financieras, la lógica de sus diferentes métodos de trabajo y los recursos para calcular y obtener soluciones para sus problemas. En este orden de ideas, uno de los objetivos propuestos es que el estudiante adquiera destreza en la interpretación y manejo de las definiciones , teoremas y formulas; obtenga la suficiente pericia en el uso de los instrumentos de apoyo para que en sus actividades profesionales pueda, con bases solidadas, afrontar con éxito situaciones nuevas, programar con fundamentos y seguridad sus trabajos. En lo que se refiere a las tablas de factores de interés compuesto y anualidades, no es necesario incluirlas. Los estudiantes mediante calculadoras pueden obtener directamente estos factores o calcularlos con las formulas adecuadas y manejando con destreza su equipo. El presente manual de MATEMATICAS FINANCIERAS muestra además una serie de ejercicios de aplicación que permitirán al estudiante una mejor comprensión y relación con el medio de operación. Es importante que el alumno realice como practica los ejercicios sugeridos como parte de la evaluación que acompaña cada uno de los capítulos; igualmente es aconsejable que el, alumno sea asesorado por el tutor el cual debe guiarlo en la mejor obtención de los resultados. Cada uno de los temas desarrollados contiene objetivos , desarrollo de los contenidos y la parte de la evaluación, facilitando con esto que exista una retroalimentación inmediata que se termina cada uno de los temas. El presente manual representa el contenido del programa de MATEMATICAS FINANCIERAS Impartido en la Universidad Cristiana Nuevo Milenio (UCENM).

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INDICE CONTENIDO

PAGINA

PRESENTACION CAPITULO 1 LOGARITMOS, PROGRESIONES ARITMETICAS Y PROGRESIONES GEOMETRICAS 1. Logaritmos 1.1 Propiedades de los logaritmos en base 10 1.2 Reglas para calcular la característica 2.- Progresión Aritmética 2.1 Interpolación lineal 3. Progresión Geométrica 3.1 Progresiones Geométricas crecientes Y decrecientes

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CAPITULO 2 16 INTERES SIMPLE, INTERES COMPUESTO 1. Interés Simple 1.1 Introducción. 1.2 Definiciones 1.3 Calculo del Interés 1.4 Interpretación del Factor K en la formula 1.5 Relación entre el interés comercial y el interés real. 1.6 Determinación del tiempo 1.7 Tablas para el cálculo del tiempo. 1.8 Fórmulas modificadas para el cálculo del Interés Simple . CAPITULO 3 DESCUENTO BANCARIO, DESCUENTOS Y COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENA Y TASAS ESCALONADAS. 32 1. Descuento Bancario 2. Formula para el calculo del descuento bancario 3. Relación entre el descuento Bancario y el Descuento Racional. 4. Pagos después de la fecha de vencimiento 5. Descuentos comerciales 6. Descuentos por pronto pago 7. Descuentos por pronto pago 8. Descuentos en cadena o en serie

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CAPITULO 4 PAGOS PARCIALES Y VENTAS A PLAZO 1. Pagos Parciales 2. Regla Comercial 3. Regla de saldos insolutos 4. Ventas a Plazos 5. Tasa de Interés en ventas a plazos. CAPITULO 5 INTERES COMPUESTO 1. Definiciones generales 2. Monto o Valor futuro a interés compuesto 3. Comparación entre interés simple e interés compuesto 4. Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalentes. 5. Calculo de la tasa de interés compuesto CAPITULO 6 VALOR ACTUAL O PRESENTE AL, INTERÉS COMPUESTO 1. definición General 2. Calculo de valor actual 3. Descuento a interés compuesto 4. valor presente de una deuda que devenga intereses

CAPITULO 7 ANUALIDADES 1. Introducción 2.Calcificación de las anualidades 3. Valor de las anualidades 4. Valor futuro y valor presente de las anualidades

CAPITULO 8 AMORTIZACION 1. Introducción 2.Sistemas de amortización 3. Calculo de los valores de las amortizaciones 4. Calculo del saldo insoluto

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CAPITULO 9 FONDO DE AMORTIZACION 1. Introducción 2.Calculo de los valores de un fondo de amortización 3. Calculo de lo acumulado en el fondo y del saldo insoluto en cualquier fecha. 4. Calculo del plazo de una deuda 5. Fondos de amortización con aportes variables

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CAPITULO 10 BONOS 101 1. Introducción 2.Definiciones 3.Precio de los bonos en una fecha de pago de interés o cupón . 4. Valor de un bono en libros 5. Precio de los bonos comprados entre fechas de cupón 6. Cotización de los bonos en mercados de valores 7. Rendimiento de las inversiones 8. El interés ordinario y el interés real en la TIR de un bono CAPITULO 11 DESVALORIZACION MONETARIA 117 1. Introducción 2.Índices de precios 3.Incidencia de la desvalorización en el interés sobre préstamos . 4. Rentabilidad de los ahorros en situación de desvalorización Monetaria BIBLIOGRAFIA

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TABLAS

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CAPITULO 1 CONTENIDO LOGARITMOS, PROGRESIONES ARITMETICAS Y PROGRESIONES GEOMETRICAS 1. Logaritmos 1.1 Propiedades Generales de los Logaritmos 1.2 Propiedades de los logaritmos en base 10 1. 3 Reglas para calcular la característica 2.- Progresión Aritmética 2.1 Interpolación lineal 3. Progresión Geométrica 3.1 Progresiones Geométricas crecientes

OBJETIVOS 1. Conocer procedimientos necesarios para la utilización de Logaritmos. 2. Definir la mejor forma de utilización de la interpolación lineal. 3.- Aplicar la progresión geométrica en la solución de casos.

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1.- LOGARITMOS Desde que John Napier y Henri Briggs, en 1616, publicaron las primeras tablas de logaritmos, estas se han venido utilizando para cálculos científicos. A pesar de que en los últimos años las computadoras han sustituido el uso de las tablas de logaritmos y su expresión mecánica ( La regla de calculo) , el conocimientos de las operaciones con logaritmos sigue siendo básico para quienes trataban en el campo del calculo. Las tablas de logaritmos permiten efectuar multiplicaciones, divisiones, potenciaciones y radicaciones con gran rapidez. En la actualidad, estamos en la era de las computadoras y, con su advenimiento, ha caído en desuso la regla del calculo, después de un reinado de tres siglos. Los modelos de calculadoras son muy diversos, incluso las hay con funciones especificas para aplicaciones financieras; los diseños de las calculadoras evolucionan continuamente, por esto resultaría inútil explicar la forma de utilizar alguna de ellas. Solo es preciso decir que se trata de una herramienta indispensable para quien pretenda trabajar en el área de las matemáticas financieras. El primer paso será seleccionar una calculadora adecuada y tener pleno conocimiento sobre su manejo y posibilidades. Al final de este capitulo el alumno encontrará algunos ejemplos simples de como utilizar una calculadora común que tiene memoria y la función Yx

Definición: El exponente Y al que debe elevarse el numero a para obtener un numero x, se llama logaritmo de x en base a. Y = loga X

X>0, a≠1, a>0

Las dos expresiones: Y = loga X

y

X = ay

Son equivalentes. Las propiedades de la función logarítmica se infieren de las propiedades de la función exponencial.

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Propiedades Generales de los Logaritmos 1.- La función logarítmica es 0 para x=1, o sea, Loga 1 = 0 2.- El logaritmo de una cantidad igual a la base es 1, es decir, Loga a = 1 3.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de Factores, o sea,

los

Loga ABC = loga A + loga B + loga C 4.- El logaritmo del cociente de dos cantidades es igual al Logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor, así: loga A/B = loga A - loga B 5. El logaritmo de la potencia de una cantidad es igual al Multiplicado por el logaritmo de la cantidad, o sea, loga An = n loga A Como casos particulares de esta propiedad, se tienen: 6.- El logaritmo de una potencia de la base es igual al exponente, es decir: loga an = n Si en la propiedad 5, n= 1/P, entonces se tiene: loga A1/p = 1 loga A _____ P

7.- El logaritmo de un radical es igual al cociente entre el Logaritmo de la cantidad subradical y el índice, o sea,

p loga

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A

= 1 loga A p

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1.2 Propiedades de los logaritmos en base 10 Las propiedades de los logaritmos en base 10 son un caso particular de las leyes generales y conviene repetirlas para la base 10 en razón de sus aplicaciones. Así Log 10 X se escribe log X, sin indicar la base. 1.- El logaritmo de 10 es igual a la unidad, o sea, log10 =1 2. El logaritmo de una potencia de 10 tiene tantas unidades como ceros posea la potencia, es decir, log100=2

log10.000 = 4

Mantisa Es la parte decimal del logaritmo de un número. El valor de las mantisas se encuentra en las tablas de logaritmos. En los cálculos se utilizan únicamente mantisas positivas. Característica Es la parte entera del logaritmo de un número. 1. 3 Reglas para calcular la característica La característica del logaritmo de un numero tiene tantas unidades como cifras enteras posea el numero, menos 1. Si el numero solo ofrece cifras decimales, la característica de su logaritmo tiene tantas unidades negativas como ceros posea el numero antes de la primera cifra significativa ( contando el cero puesto en la parte entera). Nota: Al operar con calculadora con función Log, se obtiene el valor del logaritmo. La separación en mantisa y característica solotes necesaria si se trabaja con tablas de logaritmos. Los números que tienen las mismas cifras significativas tienen la misma mantisa y difieren solo en la característica. log 234.000 = 5,3692 log 23.400

= 4,3692

log 2.34

= 0,3692

log 0.234

= - 1 + 0,3692 = 1,3692

log 0.0234

= -2 + 0,3692 = 2,3692

log 0.00234 = -3 + 0,3692 = 3,3692 MATEMATICAS FINANCIERAS

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Ejemplo 1: Calcular el valor de X dado por la expresión: X= 4 (1+0.04)30 (1+0.04)30-1 No pueden aplicarse logaritmos directamente por la presencia de la diferencia que aparece en el denominador, se calcula primero la potencia de 1,04: t= (1+0.04)30 = (1.04)30 log t = 30log (1.04) log1.04 = 0.170333 30(0.0170333) = 0.510999 Logt = 0.510999 t = 3.24339 Se remplaza en el valor de X:

X = 4(3,24339) 3,24339 -1 X = 4(3,24339) 2,24339 -1 logX = log4 + log3, 24339 – log2, 24339 log4 = 0,602060 + log3, 24339 = 0,520999 1,113059

- log2, 24339 = 0,350905 0,762154 logX = 0.762154 X = 5,783016

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Ejemplo 2: Calcular el valor de la expresión para i = 0,02 (1 + i) 10 -1 i Paso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Entrada 1,02 Yx 10 = 1 = 0.02 =

Pantalla 1,02 1,02 10 1,2189944 1,2189944 1 0,2189944 0,2189944 0.02 10,94972

Respuesta: 10,94972 Ejemplo 3: Para i=0.03 hallar el valor de la expresión con calculadora: (1 + i)1/12 Paso

Entrada

Pantalla

2

÷

1

3

12

1

4

=

0,083333

5

M

0,083333

6

1,03

1,03

7

Yx

1,03

8

MR

0,083333

9

=

1,0024663

Respuesta: 1,0024663 2.- Progresión Aritmética Es una sucesión finita de números llamados términos, en la que cualquiera de ellos difiere del, anterior en una cantidad fija d, denominada incremento o diferencia, por ejemplo: 6,11,21,26,31. Serie es una suma de infinitos términos ligados por determinada ley de formación. Una serie aritmética es aquella en la que cada término difiere del anterior en una cantidad fija. Si se designa por a el primer termino, por d, la diferencia constante y por n, el número de términos, la progresión generada es así: a, a +d,a +2d,a+3d,………..,a + (n-d)d MATEMATICAS FINANCIERAS

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El ultimo o n-ésimo término acostumbra a designarse por u, y su expresión en función del primer término – el número de términos y la diferencia común – es dada por: u = a + (n – 1)d Suma de los términos de una progresión aritmética Sea la progresión: a,a +d,a + 2d,a +3d,…,a + (n-3)d, a+ (n-2)d,a + (n-1)d Su suma S es: S= a+(a+d) + (a+2d) + (a+3d) +…+[a+(n-3)d] + [a+(n-2)d] +[a+(n-1)d] Al escribir la misma progresión, invertir el orden de los términos y sumar las dos igualdades se demuestra que: S = n[2ª + (n-1)d] 2 Esta formula da el valor de S en función del primer termino, el numero de términos y la diferencia constante. Si la expresión 2a + (n-1)d = a + a + (n-1)d, se remplaza: a +(n-1)d por u (ultimo termino) , se tiene : S = n(a + u ) = n ( a + u ) 2 2 La suma de los términos de una progresión aritmética es igual a n veces la media aritmética de los términos primero y ultimo, siendo n el numero de términos. 2.1 Interpolación lineal Si entre dos números se desea interpolar n términos, de modo que los dos números dados formen una progresión aritmética, se tendrá, al designar con N1 y N2 los dos números dados: Primer termino = N1 Ultimo termino = N2 Numero de términos = n + 2

N2 = N1 + (n+2-1)x, donde x es la diferencia constante; se despeja x x = N2 – N1 n+1 MATEMATICAS FINANCIERAS

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Ejemplo: Interpolar entre 3 y 5, 4 términos, de modo que formen una progresión aritmética.

N1 = 3,N2 =5, n=4 X =5 - 3 5 X= 2 5

La progresión es: 3, 3 2/5, 4 1/5, 4 3/5, 5

3. Progresión Geométrica Es una sucesión finita de números llamados términos, en la que el cociente o razón entre dos términos sucesivos es constante. Si se designa por a el primer término, por r la razón entre un término y el que le antecede y por n el número de términos, la progresión generada es así: a, ar, ar2, ar3, …, ar n-3, ar n-2, ar n-1

El ultimo o n-esimo término acostumbra a designarse por u: U = ar n-1

En una progresión geométrica, la razón se determina mediante la relación:

r = a k +i ak ( k es un número natural que indica el orden de cualquier término).

Suma de los términos de una progresión geométrica Sea la progresión a,ar, ar2, …,arn-3, arn-2 , arn-1

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La suma es: S = a + ar +ar2 + ar3 + … + arn-3 + arn-2 + arn-1 Al multiplicar por r Sr = ar + ar2 + ar3 + ar4 + … + arn-2 + arn-1 + arn

Al restar se obtiene: S = a (rn - 1 ) r-1 que expresa la suma de los términos de una progresión geométrica, en función del primer término a, la razón r y el número de términos. 3.1 Progresiones Geométricas crecientes y decrecientes Si la razón r es positiva menor que 1, la progresión generada es decreciente. Se llama así porque cada termino se da en valor absoluto, menor que el que la antecede. Si r es mayor que 1, los términos de la progresión crecen indefinidamente, generando una progresión creciente. Ejemplo 1: a = 12 r = 1/3 n = 4 12, 4, 4/3, 4/9

Ejemplo 2: a = 3 r =

2

n = 4 3, 6, 12, 24

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Serie Geométrica: La suma de los términos de una geométrica de términos decrecientes tiende a un límite.

sucesión

Formula del límite: Lim S = a ( rn - 1 ) Para 0 < r < 1 n→ ∞ r - 1

Lim S = a ( 0 - 1 ) = a n→ ∞ r - 1 1-r

Ejemplo 3: Sea la serie: S = 50 + 25 + 5 + 1 + 1/5 + …. Lim S = a = 50 = 62,5 n→ ∞ 1 - r 1-1/5

Interpolación parabólica: El problema de interpolar n términos entre dos números dados de modo que con ellos se forme una progresión geométrica, se resuelve utilizando la expresión del ultimo termino. Sea interpolar entre N1 y N2 , n términos, Incluidos N1 y N2 se tienen n+2 términos. Al aplicar u = arn-1 ; para n +2 términos, u = arn+1 Al sustituir N1 = a, N2 =u, se tiene: N2 = N1 rn+1 N+1

R=

N2/N1

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EVALUACION 1.- Defina la función logarítmica

2.- Que se entiende por característica y mantisa, ejemplifique

3.- Investigue

en que consiste el antilogaritmo y su aplicación.

4.- Ejemplifique números y exponga su característica y mantisa

5.- En que consiste la interpolación, y en que casos puede aplicarla

6.- Interpolar dos términos entre 3 y 24 de modo que formen una Progresión geométrica.

7.- Interpolar entre 5 y 7, progresión Aritmética.

4 términos, de modo

que

formen

una

8.- Para i = 007, hallar el valor de la expresión con calculadora. I= 003

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CAPITULO 2 CONTENIDO INTERES SIMPLE, INTERES COMPUESTO 1. Interés Simple 1.1 Introducción. 1.2 Definiciones 1.3 Calculo del Interés 1.4 Interpretación del Factor K en la formula 1.5 Relación entre el interés comercial y el interés real. 1.6 Determinación del tiempo 1.7 Tablas para el cálculo del tiempo. 1.8 Fórmulas modificadas para el cálculo del Interés Simple .

OBJETIVOS 1.- Enseñar al estudiante los factores que entran en juego en el cálculo del interés simple. 2.- suministrar herramientas para que maneje estos factores y los aplique en la solución de problemas frecuentes en el campo financiero. 3.- Calcular intereses por medio de tablas de factores, y mediante aplicación de fórmulas.

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1.1 INTRODUCCION En las actividades financieras se acostumbra pagar un rédito por el uso del dinero prestado. La mayor parte de los ingresos de bancos y compañías inversionistas se deriva de los interés sobre prestamos o del retorno de utilidades por inversiones. En general, todas las operaciones comerciales están relacionadas con los réditos sobre los capitales en juego. Toda persona que obtiene un préstamo queda obligada a pagar un rédito ( renta de capital) o interés, por el uso del dinero tomado en préstamo. En general, el dinero genera dinero, acumulando valores que varían con el tiempo; el análisis de las causas de la acumulación del dinero con el paso del tiempo es el problema fundamental de las finanzas. 1.2 DEFINICIONES Interés, es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado en préstamo. Por un dinero tomado en préstamo es necesario pagar un precio. Este precio se expresa mediante la suma que se debe pagar por cada cantidad de dinero prestada, en una unidad de tiempo convencionalmente estipulada. La expresión de precio es la tasa de la operación comercial. La unidad de tiempo que se acostumbra a utilizarse es el año. La tasa se expresa en tanto por ciento y éste es el tipo de interés de la operación. Cuando se trata de dineros invertidos en un negocio, el inversionista espera recuperar una suma mayor que la invertida; de esta operación, surge el concepto de tasa de retorno. 1.3 CALCULO DEL INTERES El interés o rédito que se paga por una suma de dinero tomada en préstamo, depende de las condiciones contractuales y varia en rabón directa con la cantidad de dinero prestada y con el tiempo de duración del préstamo. Al designar con: C el capital o suma prestada t el tiempo I el interés o rédito Se tiene, de acuerdo con las leyes de variación proporcional, I = Ctk MATEMATICAS FINANCIERAS

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Donde k es una constante, cuyo valor depende únicamente de las condiciones contractuales del préstamo. Si las condiciones son del r% anual (año comercial de 360 días), para un préstamo de 100 unidades de dinero, se tiene entonces: C = 100 unidades t = 360 días (año comercial) I = r unidades (r% = r unidades por cada 100 en 360 días). Mediante la aplicación de la formula 1, se tiene: r = 100(360) k se despeja: k = ____r_____ 100 (360) Al reemplazar en la formula1, se obtiene: I =______Ctr_____ 100 (360)

(2a)

Para el año de 365 días, año real, el mismo desarrollo conduce a: I =______Ctr_____ 100 (365)

(2b)

Para años bisiestos, año real es de 366 días. El interés simple ordinario o comercial es el que se calcula considerando el año de 360 días. El interés simple real exacto es el que se calcula con año calendario de 365 días o de 366 días (si se trata de año bisiesto). Los bancos acostumbran calcular los intereses, tomando como base el año de 360 días; pero para la duración del tiempo de préstamos a corto plazo (plazo menores que un año), cuentan con los días efectivos calendario.

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1.4 INTERPRETACION DEL FACTOR k EN LA FORMULA 1

k =______r___ 100 (360)

=_____r_____ ∙ ___1__ 100 (360) 360

____r___ = i (tanto por uno) 100 Al reemplazar: k= ____i____ 360 El factor k es el tanto por uno en un día, si el tiempo se expresa en días.

1.5 RELACION ENTRE EL INTERES COMERCIAL Y EL INTERES REAL

Interés Ordinario

= I0 = ___Ctr___ 100 (360)

Integres real

= Ir = ___Ctr___ 100 (365)

Al dividir

___Ctr____ 100 (360) ___I0____ = ______________ = __365___ = __73__ Ir Ctr___ 360 72 100 (365) Ir = _72__ I0 = 1 – 1/ 73) I0 73

Ir = I0 - 1/ 73 I0

(3)

El interés real o exacto es igual al interés ordinario o comercial, menos 1/73 del mismo.

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Ejemplo: Calcular el interés ordinario y el interés real de Lps. 10,000 prestados al 14% durante 65 días. C = 10,000 t = 65 días r = 14% I0 = Ctr____ 100 (360) I0 = 10,000(65) (14) _ = Lps. 252.78 100 (360) Interés ordinario

= Lps. 252.78

Para calcular el interés real se aplica la formula 3. Ir = I0 - _ 1_ I0 73

Ir = 252.78 - 1_ . 252.78 = Lps. 249.32 73

El interés real puede calcularse directamente, al aplicar la formula 2b.

Ir =______Ctr_____ 100 (365)

Ir =__10,000 (65) (14) = Lps. 249.32 100 (365)

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1.6 DETERMINACION DEL TIEMPO Con el objeto de facilitar los cálculos, se acostumbra suponer el año de 360 días, dividido en 12 meses de 30 días cada uno.Observese que 360 tiene los siguientes divisores: 2,,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,20,30,36,40,45,60,72,90,120, y 180. Estos divisores permiten un gran número de simplificaciones, muy útiles, cuando se trabaja sin calculadora. Existen varias maneras de medir el tiempo que interviene en el cálculo de los intereses. Días inicial y Terminal para llevar la cuenta de los días, se acostumbra excluir el primer día e incluir el último. Así, para un préstamo contraído el 10 de enero y pagado el 25 del mismo mes, el tiempo comercial transcurrido es de 15 días. En algunos países, se acostumbra contar el primero y el último día; en tal caso, el tiempo comercial seria de 16 días. Fecha de vencimiento. La fijación de la fecha de vencimiento se establece contractualmente. Por ejemplo, un préstamo que se recibe el 10 de marzo a 3 meses deberá pagarse el 10 de junio; pero cuando el mismo préstamo se recibe a 90 días, deberá pagarse el 8 de junio si se acostumbra contabilizar solo el día Terminal. Si la fecha Terminal corresponde a un día festivo, el sistema local indicara si el pago debe recibirse el primer día hábil siguiente, sin contar días adicionales para el cobro de intereses. Para calcular el tiempo transcurrido entre la fecha inicial y la fecha Terminal de periodos superiores a un año comercialmente se acostumbra calcular el tiempo aproximado, computando los años de 360 días y LOS meses de 30 días. Así, para calcular el tiempo transcurrido entre el 3 de abril de 1973 y el 14 de septiembre de 1975, en las operaciones aritméticas con números complejos se utiliza el siguiente método:

1975 años 1973 años = 2 años = 720 días

9 meses 4 meses = 5 meses = 150 días

14 días 3 días = 11 días = 881 días

Para periodos menores de un año, comercialmente se acostumbra contabilizar los días calendario que hay entre dos fechas.

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1.7 TABLAS PARA EL CALCULO DEL TIEMPO En la actualidad las calculadoras financieras tienen programas para el calculo de tiempos y fechas, tanto a corto plazo ( año de 365 días), como a mediano y largo plazo cuando se opera con año de 360 días.

Tabla 1 Numero exacto de días entre dos fechas (año no bisiesto) Desd e el día del mes inicial

Al mismo día del mes Terminal En Fe Ma Abr Ma Ju e b r . y n

Ene

365 31

59

90

120

Feb

334 365 28

59

89

Mar

306 337 365 31

61

Abr

275 306 334 365

May

Ag o

Se p

212

245 276 304 335

365

31

61

92

Jun

214 245 273 304

334

365 30

61

Jul

184 215 243 274

304

31

Ago

153 184 212 243

273

365

31

61

92

Sep

122 153 181 212

242

334

365 30

61

33 4 30 3 27 5 24 4 21 4 18 3 15 3 12 2 91

Oct

92

123 151 182

212

304

61

61

92

120 151

181

365

30

Dic

31

62

90

151

335 36 5 304 33 4 274 30 4

31

Nov

335 36 5 304 33 4 273 30 3 243 27 3 212 24 2 182 21 2

243 27 3 212 24 2 184 21 4 153 18 3 123 15 3 92 12 2 62 92

304

30

151 18 1 120 15 0 92 12 2 61 91

335

36 5

121

Jul

181 153 122

273 243

oct No v

273 245 214 184 153 123

Dic

Nota: No se incluye el día inicial. Los números de las líneas horizontal indican los días transcurridos, entre cierto día del mes inicial y el mismo día del mes Terminal; por ejemplo, desde el 3 de mayo de un año al 3 de octubre del mismo año hay 153 días. Esto es igual al numero anotado en la intersección de la horizontal correspondiente al mes inicial, mayo, con la vertical del mes Terminal, MATEMATICAS FINANCIERAS

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octubre. Si el mes inicial es diferente del día del mes Terminal, para el cálculo, para el cálculo se prestan dos casos: a) el día del mes Terminal es mayor que el día del mes inicial: en este caso, se suma la diferencia de los días al número definidlo por el inicial y el mes Terminal. Ejemplo: Calcular los días transcurridos entre el 3 de septiembre de un año y el 15 de abril del año siguiente. Diferencia entre los números de días = 15 - 3 = 12 Numero correspondiente a la intersección septiembre – abril = 212 212 + 12 = 224

Entre las dos fechas propuestas hay 224 días calendario.

b) El día del mes Terminal es menor que el día del mes inicial, en este caso, la diferencia entre el día Terminal y el inicial es negativa; entonces, se procede a restar la diferencia al número de intersección de los meses.

Ejemplo: Calcular los días transcurridos entre el 18 de marzo y el 10 de noviembre del mismo año. Diferencia entre los números de días = 10 – 18 = -8 Numero correspondiente a la intersección marzo – noviembre = 245 245 - 8 = 237 Entre las fechas propuestas hay 237 días calendario.

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1.8 FORMULAS MODIFICADAS PARA EL CALCULO DEL INTERES Con la finalidad de hacer mas fácil y rápido el calculo de los intereses, se acostumbra transformar la formula 2 en otras equivalentes, las cuales se presentan a continuación:

I =

Ctr____ 100(360)

Agrupando en otra forma los factores, se obtiene: I = C. r___ . ___t___ 100 360

___r__ = i (tanto por uno) 100

__t__ = n (tiempo expresado en años) 360

. Reemplazando

I = Cni

(4)

Las tablas 2 y 3, que se dan a continuación, son resumidas y expresan los decimales equivalentes a las fracciones 1/360 y 1/365, desde uno hasta nueve días TABLA 2 ___t___ 360 Días 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Decimales de año 0,00277778 0,00555556 0,00833333 0,01111111 0,01388889 0,01666667 0,01944444 0,02222222 0,02500000

MATEMATICAS FINANCIERAS

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TABLA 3 __t___ 365

Días 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Decimales de año 0,00273973 0,00547945 0,00821918 0,01095890 0,01369863 0,01643836 0,01917808 0,02191781 0,02465735

Para aplicar la formula 4, el tiempo se expresa en años y la tasa, en tanto por uno. Ejemplo: Calcular el interés que debe pagarse por un préstamo de Lps. 250,000 al 10% en 240 días ( si no se indica lo contrario, se entiende el interés como el comercial u ordinario). Para aplicar la formula 4, primero se convierten los días a decimales de año y para ello se divide entre 240 o 360.

200 días = 0,555556 años 40 días = 0,111111 años 240 días = 0,666667

C = 50,000 n = 0,666667 años i = 0,1 I = Cni I = 250,000 ( 0,666667)(0,1) I = Lps. 16,666.67

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Al introducir los conceptos de factor de interés simple y de numeral, en la formula 2, se obtienen dos importantes formulas desarrolladas a continuación – las cuales ofrecen las mayores ventajas practicas, para el calculo de intereses. I =

Ctr____ 100(360)

I = Ct . =

__r____ 36000

__r____ = f 36000 Reemplazando, se tiene: I = Ctf

(factor de interés simple)

El factor de interés simple es el tanto por uno en un dia.Para uso de este factor, el tiempo debe expresarse en días. El producto Ct, que corresponde al capital por el tiempo, se remplaza por la letra N y recibe el nombre de numeral. Reemplazando en la formula 5 Ct =N Se tiene

I = Nf

(6)

Las tablas que aparecen a continuación tienen los valores de f para los tipos de interés que , con frecuencia, se utilizan. Las empresas financieras preparan sus propias tablas para los tipos de interés con que normalmente trabajan. TABLA 4 Interés Comercial f = ___r___ 36,000 r ¼ ½ 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

f 0,0000069444 0,0000138889 0,0001388889 0,0001666667 0,0001944444 0,0002222222 0,0002500000 0,0002777778 0,0003055556 0,0003333333 0,0003611111 0,0003888889

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TABLA 5 Interés Real f = ___r___ 36,000 r ¼ ½ 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

f 0,0000068493 0,0000136986 0,0001369863 0,0001644444 0,0001917808 0,0002191781 0,0002465753 0,0002739726 0,0003013699 0,0003287671 0,0003561644 0,0003835616

Con las tablas anteriores, puede calcularse el valor de f para otros tipos de interés. Por ejemplo, para 6 1/4 % se tiene: 6 ¼ % =

6%

+

¼ %

= 0,0001666667

+

0,0000069444 Para 6 ¼ % ; f = 0,0001736111 Ejemplo: Calcular el enteres que debe pagarse por un préstamo de Lps. 60,000., durante 120 días al 71/2%. Este problema se resuelve aplicando la formula 5 y mediante te la tabla 4 I = Ctf C = 60,000 t = 120 días f

= 0,0001944444

* 0,00001388889 =

0,0002083333 I = 60,000 (120) (0,000208333) = 1,499,9998 I = 1,500 MATEMATICAS FINANCIERAS

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1.9 MONTO El planteamiento de los problemas económico – financieros se desarrolla en torno a dos conceptos básicos:CAPITALIZACION Y ACTUALIZACION. el concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o en que se convertían los capitales colocados en fechas anteriores. El concepto de actualización se refiere al estudio del valor en la fecha actual o presente de capitales que se recibirán en fecha futura. En otras palabras, capitalizar es trasladar y valorizar capitales del presente al futuro. Actualizar es traer y valorizar capitales del futuro al presente.

El monto es el valor acumuladlo del capital agregados los intereses devengados. En otras palabras, el monto es igual al capital, mas los intereses. Sean: C = capital I = intereses S = monto Por definición:

S = C + I

De la formula 4:

I = Cni

Remplazando:

S = C + Cni

Al factorizar se obtiene:

S = C(1+ni)

Ejemplo: Calcular el monto que debe pagarse por una deuda de Lps. 20,000. el 22 de junio, si el plagaré se firmo el 30 de enero del mismo año no bisiesto, al 8% de interés.

Nota: Conviene que el estudiante resuelva el problema por diferentes métodos., el ejemplo se desarrolla utilizando las tablas ya estudiadas. Calculo del tiempo ( tabla 1) t = 151 - (30-22) = 151 - 8 = 143 días

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Equivalencia a decimales de año (tabla 2) 100 días = 0,277778 40 días = 0,111111 3 días = 0,008333 143 días = 0,3967222 años I S S S S S

= = = = = =

0,08 C(1+ni) 20,000(1+0,397222 ∙ 0,08) 20,000(1+0,03177776) 20,000(1,03177776) 20,635.56

CALCULO DE INTERES POR MEDIO DE TABLAS Una tabla de tablas financieras contiene un conjunto de tablas para el cálculo de diferentes temas financieros. Así, se encuentran tablas para el calculo de interés simple y compuesto y sus diferentes aplicaciones: tablas para el calculo de seguro de vida; tablas para el calculo y rendimiento de bonos y obligaciones, etc. En lo que se refiere al calculo de interés simple existen tablas para su calculo, pero el uso de calculadoras con dichos programas las ha colocado en poca importancia. GRAFICAS O DIAGRAMAS DEL INTERES SIMPLE. En un sistema de coordenadas rectangulares, las geometría analítica muestra que la ecuación Y = aX tiene por grafica una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es a. Y que la ecuación Y =aX + b tiene por grafica una recta de pendiente a que intercepta sobre el eje Y el segmento b. Si en el sistema de coordenadas, sobre el eje Y se mide el valor de los intereses simples y sobre el eje X, el tiempo, se tiene para un capital de una unidad, de acuerdo con la formula 4. I = Cni Para C = 1 I = ni = in La grafica de los valores de I en función del tiempo son rectas que pasan por el origen y tienen por pendiente los valores de i. Grafica de los valores de I = ni ( para el 5%,10% y 20%) MATEMATICAS FINANCIERAS

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EVALUACION 1) Demostrar que el interés simple producido por un capital C, colocado durante n años a la tasa de interés i es igual al interés simple que produciría a la tasa proporcional i/m colocado durante m ∙ n periodos. 2) Calcular la tasa de interés simple equivalente a la tasa del 9% anual. 3) Calcular el interés simple 10,000. en 4 años al 6%.

proporcional

que produce

un capital

mensual

de Lps.

4) Calcular el interés que produce un capital de 10,000. en 3 años al 0.8% mensual. 5) ¿A que tasa de interés el monto de Lps. 20,000. , a interés simple, en 9 meses? . 6) El 10 de enero se firmo un pagare de lps. 6,000. a un 9% de interés. En que fecha los interese serán de Lps. 359.? 7) Un artículo vale Lps. 1,800. de contado. Un comprador conviene pagar Lps 800.00 de cuota inicial y el resto a 60 días, común recargo del 5% sobre el precio de contado. Que tasa de interés simple anual pago?. 8) Que suma debe invertirse al 9% para tener Lps. 2,000 dentro de 8 meses. 9) Puesto que el rendimiento normal del dinero es del 9%. Que oferta es más conveniente por un terreno? 10) Una persona deposita Lps. 100,000. en una cuenta de una corporación financiera que paga 30% de interés anual. Transcurrido un mes retira 20,000., y dos meses después retira Lps. 30,000. a) Elabore el diagrama de caja; b) Hallar el saldo disponible a los 6 meses contados a partir de la fecha del deposito y colocar en el diagrama los valores obtenidos. 11) Determinar la fecha de vencimiento y el monto al vencimiento de cada uno de los siguientes pagarés ( use la tabla ¡ para las fechas)

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Valor nominal 3,000 5,000 2,000 4,000

Fecha inicial 20 de mayo 5 de abril 3 de mayo 28 de noviembre

Plazo 2 meses 60 días 3 meses 120 días

Tasa 7% 8% 6% 8%

12) Calcular el interés simple comercial de: a) b) c) d)

2,500 durante 8 meses al 8% 60,000 durante 63 días al 9% 12,000 durante 3 meses al 8 ½ % 15,000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre del mismo año.

13) Calcular el interés exacto de: a) b) c) d)

2,000 durante 3 años al 0.75% mensual. 4,000 durante 2 años 3 meses al 0.5% mensual 10,000 durante 4 años al 5% semestral. 25,000 durante 1 año 3 meses al 6% semestral.

14) Consultar en su entorno los siguiente: a) Tasa de interés penal por mora en el pago de obligaciones y facturas comerciales en su localidad. b) Tasa de interés que ganan los depósitos en cuentas de ahorro c) Tasa de interés sobre préstamos hipotecarios.

15) Utilice un computador e imprima las tablas de interés , para facilitar el desarrollo de los ejercicios propuestos.

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CAPITULO 3 CONTENIDO DESCUENTO BANCARIO, DESCUENTOS Y COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENA Y TASAS ESCALONADAS. 1. Descuento Bancario 2 Formula para el cálculo del descuento bancario 3. Relación entre el descuento Bancario y el Descuento Racional. 4. Pagos después de la fecha de vencimiento 5. Comisiones 6 Descuentos comerciales 7 Descuentos por pronto pago 8 Descuentos en Cadena o en Serie

OBJETIVOS 1.- Enseñar los conceptos básicos en las operaciones comerciales como intereses, descuentos.

bancarias

y

2.- Reconocer el tipo de descuento y aplicar el método matemáticos para calcular. Utilizar el lenguaje bancario y manejar las expresiones : monto, capital, valor nominal, valor liquido, valor actual y sus símbolos.

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1. Descuento Bancario El descuento bancario es el que se utiliza en todas las operaciones comerciales, y por ello, al hablar de descuento, se entiende que es el descuento bancario, salvo que se exprese como descuento racional, se usan ciertas expresiones léxicas que es necesario conocer: Valor nominal de un pagare. Es el valor que esta inscrito en la obligación, para el comercio se trata del capital. Si el pagare no gana intereses, el valor nominal indica la cantidad que debe pagarse en la fecha de vencimiento señalada. Descontar un pagare. Es la acción de recibir o pagar hoy un dinero, a cambio de una suma mayor comprometida en una fecha futura, bajo las condiciones convenidas en el pagaré. Descuento. Es la deferencia establecida entre el valor nominal y el valor que se recibe, al momento de descontar un pagare. Valor efectivo o luido de un pagare. Es el valor nominal menos el descuento. Es el valor en dinero que se recibe en el momento de descontar la obligación o, en otras palabras, el valor actual p presente con descuento bancario. Tipo o Tasa de descuento. Es el tanto por ciento de descuento, o sea, un porcentaje del valor nominal que deduce el prestamista, al descontar el pagare. Plazo. Es el término que se utiliza para expresar el periodo de duración del préstamo. Los pagares son obligaciones a corto plazo y el descuento bancario simple nunca se efectúa para periodos mayotes de un año.

2

. Formula para el cálculo del descuento bancario

Sean: S = valor del pagare; n= Tiempo expresado en años; d= tanto por ciento(tasa de descuento).

Aplicando la formula 4: I = Cni Luego, al remplazar se tiene:

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D = Snd

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Ejemplo: Un pagare por valor de 68,000. que vence el 18 de septiembre; se descuenta el 20 de junio al 10%. Calcular el valor descontado y el valor liquido del pagare. El tiempo que falta para el vencimiento es de 90 días, n = ¼ año; S = 68,000; d= 0.1 D = Snd = 68,000 (1/4) (0.1) D = 1,700 Valor liquido = S – D = 68,000 – 1700 Valor liquido = 66,300 FORMULA PARA BANCARIO

EL

VALOR

LÍQUIDO

EN

EL

DESCUENTO

El valor liquido C es el valor actual del pagare y, por tanto, igual al valor nominal S, menos el descuento. Designado por VL el valor liquido, y por VN el valor nominal, se tiene:

Se sustituye

VL = VN -D D = (VN)nd VL = VN – (VN)nd VL = (VN)(1 –nd)

Ejemplo: Un pagare por valor de Lps. 22,000 se descuenta a 120 días antes de su vencimiento.Calcular su valor liquido, si el descuento se hace al 9%. VN = 22,000 n = 120/360 = 1/3 año d = 0,09 VL = (VN)(1 –nd) VL = 22,000(1 – 1/3 (0,09) ) VL = 22,000( 1 – 0.03) VL = 22,000( 0,097) VL = 21,340. MATEMATICAS FINANCIERAS

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3.- Relación entre el descuento Bancario y el Descuento Racional. Sea un pagare de valor nominal (VN) y su tasa de interés i. Designando por VL, el valor actual con descuento racional en el tiempo n antes del vencimiento y por VL, el valor liquido con descuento bancario en el mismo tiempo y con la misma tasa para el descuento, se tiene:

VL r = ___VN__ 1 + ni VL b = (VN) (1 –ni)

VL r VLb

= ___VN__ 1 + ni VL r VLb

=

(VN) (1 –ni)

1/ (1 + ni) ( 1 – ni)

= 1 / 1-(ni)2

VLb = VLr [ 1 - (ni)2 ]

Esta ultima expresión indica que en tiempos iguales y a una misma tasa, el valor liquido con descuento racional es siempre mayor que el valor liquido con descuento bancario.

4. Pagos después de la fecha de vencimiento Cuando un pagare no se cancela en la fecha señalada para su vencimiento, comienza a generar intereses llamados interese de mora, los cuales se calculan con base en el valor nominal por el tiempo que se retrasa el pago, a una tasa de interés fijada al firmar el pagare. Los intereses de mora se calculan mediante la aplicación de las formulas ya estudiadas.

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Ejemplo: Calcular el valor liquido de un pagare de Lps. 14,000. cancelado 38 días después de su vencimiento, si los intereses de mora se fijaron en el 12%. C = VN = 14,000 n = 38/360 = 0,105555 años i = 0,12 VL = VN ( 1 + ni) = 14,000 [ 1 + (0,1055555) (0.12) ] VL = 14,000 ( 1+ 0,01266666) = 14,000 (1,01266666) VL = 14,177.33

5.- Comisiones Las comisiones con cantidad4s de dinero que se pagan por la prestación de un servicio. La comisión expresa en tanto por ciento y en su valor no interviene el tiempo. De esta manera, si para la venta de algún bien se conviene con el vendedor una comisión del 5%, esto significa que se le pagara la suma de 5 unidades de dinero por cada 1009 unidades del valor de la renta. Sean C el valor sobre el cual se ha de pagar una comisión. r el % de comisión fijado I = r/100 tanto por uno Comisión = Ci 6.- Descuentos comerciales En el comercio, se acostumbra ofrecer una rebaja sobre el precio de lista por alguna razón; por ejemplo, promociones especiales de venta, compra al por mayor, pronto pago, etc. Los descuentos como las comisiones se expresan en tanto por ciento y en su valor no interviene el tiempo. Sea r% el descuento que por alguna razón se concede sobre factura de valor S . siendo i el tanto por uno, se tiene: Descuento = D = Si

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Valor neto de una factura El valor neto de la factura es igual al valor facturado, menos el descuento. Sean:

S = monto facturado o valor de la factura VN = Valor neto de la factura d = Tanto por ciento de descuento

i = d /100 tanto por uno de descuento. VN = S –D = S – Si VN = S (1 –i) Ejemplo: Calcular el valor neto por pagar para cubrir una factura por valor de 7,000 sobre la que se concede un descuento de 4%. S = 7,000 I = 0,04 VN = S ( 1 –i) = 7,000 ( 1 -0.04 ) = 7,000 ( 0.96) VN = 6,720.

7.- Descuentos por pronto pago El comerciante mayorista acostumbra ofrecer descuentos por pronto pago, que permiten al comprador escoger entre varias alternativas su forma de pago, según el tiempo en que se anticipen el pago sobre el plazo expresado en la lista de precios del mayorista.

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8.- Descuentos en cadena o en serie Con frecuencia ocurre que sobre la misma factura se hacen varios descuentos por diferentes razones independientes entre si. Estos descuentos sucesivos reciben el nombre de descuentos en cadena o en serie. Por tratarse de descuentos independientes, cada uno se efectúa con base en el valor neto de la factura, después de deducir el descuento anterior. Por ejemplo, sobre una factura de Lps. 50,000 se conceden los siguientes descuentos: a) Por compra al por mayor b) Por promoción especial por ventas c) Por despachos sin empaque

8% 5% 6%

Estos descuentos en cadena operan así: Valor neto de la Factura 50,000 46,000 43,700

% Descuento 8 5 6

Valor neto de la Factura 46,000 43,700 41,078

Valor neto a pagar = Lps. 41,078

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EVALUACION 1.- Un inversionista descuenta dos pagares en un banco que cobra el 9% de interés simple por adelantado: uno de valor nominal L. 15,000 A 90 días y el otro de Lps. 10,000 a 60 días; hallar el valor efectivo que recibe. 2.- Un inversionista presta una suma de dinero a un cliente mediante un pagare cuyo valor nominal es de Lps. 60,000 con vencimiento a 150 días, quien descuenta al 12% de interés por adelantado; 40 días después negocia el pagare en un banco que descuenta el 9% de intereses por adelantado; hallar: a) La suma que recibe el cliente b) La suma que en la operación comercial gana el inversionista c) La suma que descuenta el banco.

3.- Un pagare a 120 días por Lps. 30,,,0 a intereses del 10% se negocia en un banco que descuenta intereses del 8% por adelantado; hallar el valor liquido que se recibe del banco. Primero se calcula el monto del pagare a su vencimiento y, luego, se calcula el descuento sobre ese monto.

4.- Hallar el descuento racional de un pagare de Lps. 20,000, al 8 %, con vencimiento a 60 días. Comparar el descuento racional con el descuento bancario a la misma tasa de interés simple.

5.- Determinar la fecha en que se descuenta un pagare de lps. 6,000 con vencimiento el 21 de mayo, si se recibieron Lps. 5,940 con descuento bancario del 9 %.

6.- Sesenta días antes de su vencimiento, un inversionista descuenta en un banco un pagare de Lps. 20,000 a intereses del 10%, el cual se firmo a 90 días. Calcular el valor que recibe el inversionista, si la tasa de descuento es del 9%.

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7.- Una empresa debe a su banco los siguientes pagares descontados , a una tasa del 9% de descuento y al 12% de interés en caso de mora:

a.- 20,000 con vencimiento el 31 de mayo b.- 60,000 con vencimiento el 30 de septiembre c.- 40,000 con vencimiento el 31 de octubre el 10 de septiembre, en mora de pago para el primer pagare, la empresa conviene con el banco sustituir los tres pagares por uno solo, con vencimiento el 31 de diciembre del mismo año. Calcular el valor del nuevo documento. 8.- Un comerciante ofrece mercaderías por el valor de Lps. 160,000 y establece los descuentos en cadena del 8%, 6%, 5%. Por experiencia sabe que el 255% de los compradores harán uso de los tres descuentos; el 35% hará uso del primero y del segundo de los descuentos; el 22% hará uso del primero de los descuentos y el resto de los clientes no utilizara ninguno. Calcular: a.- El descuento equivalente en cadena b.- El descuento único equivalente a la cadena de los dos primeros descuentos. c.- El descuento efectivo con que vendió toda su mercadería d.- La cantidad por la que vendió toda su mercadería. 9.- Un comerciante compra 25,000 metros de tela a Lps. 17.30 el metro. Si en su compra aprovecha la serie de descuentos del 8%, 6%, 15%. Calcular el valor cual debe ofrecer el metro de tela, si desea obtener una utilidad bruta del 25%.

10.- Actividades de consulta: a. Tasa de descuento bancario vigente b. Comisiones y gastos bancarios cobrados en los descuentos. c. Tarifas para el impuesto sobre la resta (escalonadas) d. Lenguaje bancario para el valor de los documentos y su valor descontado.

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CAPITULO 4 CONTENIDO PAGOS PARCIALES Y VENTAS A PLAZO 1. 2. 3. 4. 5.

Pagos Parciales Regla Comercial Regla de saldos insolutos Ventas a Plazos Tasa de Interés en ventas a plazos.

OBJETIVOS 1.- Mostrar los fundamentos matemáticos de pagares con intereses, ventas a plazo y cancelación de deudas mediante pagos parciales. 2.- Poder calcular intereses efectivos en deudas. 3.- Diseñar planes de ventas a plazo.

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1.

Pagos Parciales Para el tratamiento de las obligaciones que permiten pagos parciales o abonos dentro del periodo p lazo de la obligación, en lugar de realizar un solo pago en la fecha de su vencimiento, hay diferentes criterios; a continuación se hará referencia a los dos mas importantes y de mayor aplicación.

2.

Regla Comercial Esta regla indica que, para los pagares que ganan intereses, los valores futuros de la obligación y de los diferentes abonos pueden calcularse, independientemente, en la fecha excede su vencimiento. La cantidad por liquidar en esta fecha es la diferencia entre el valor futuro de la obligación y la suma de los valores futuros de los distintos a abonos. Designando como F el monto de la deuda en la fecha de vencimiento, F1,F2,…Fn, los valores futuros de los distintos abonos en la misma fecha y X la cantidad por liquidar, aplicando la regla comercial, la ecuación de equivalencia es: X = F – ( F1 + F2 + … + Fn ) Ejemplo: Para una obligación de Lps. 10,000 a un año de plazo con intereses del 12%, el deudor hace los siguientes abonos:  5,000 a los 3 meses  4,000 a los 8 meses Calcular aplicando la regla comercial, el saldo por pagar en la fecha de vencimiento. 160 5,000

4,000

450 0 3 8 12 _________________________________________________

10,000

MATEMATICAS FINANCIERAS

1,590

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Designando por F el valor futuro de la deuda, por F 1 y F2 los respectivos valores futuros de los abonos, en la fecha de vencimiento, se tiene: F = P (1 + ni) F = 10,000 n = 1 año I = 0.12

F = 10,000 (1 + 0,12) = 10,000 ( 1,12) F = 11,200 P = 5,000 n = 9 meses = ¾ año

F1 = 5,000 [ 1 + (3/4) ( 0,12) ] F1 = 5,000 ( 1 + 0,09 ) F1 = 5,000 ( 1,09 ) F1 = 5,450 P = 4,000 n = 4 meses = 1/3 año

F2 = 4,000 [ 1 + (1/3) ( 0,12) ] F2 = 4,000 ( 1 + 0,04 ) F2 = 5,000 ( 1,04 ) F2 = 4,160 X = F – ( F1 + F2 ) X= 11,200 – ( 5,450 + 4,160 ) X = 1,590

MATEMATICAS FINANCIERAS

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3.

Regla de saldos insolutos

Esta regla para los pagares que ganan intereses indica: cada vez que se hace un abono debe calcularse el monto dela deuda hasta la fecha del mismo y restar a ese monto el valor del abono; así se obtiene el saldo insoluto en esa fecha. Los pagos parciales deben ser mayores que los intereses de la deuda, hasta la fecha de pago. Ejemplo: aplicando la regla de saldos insolutos, calcular el saldo por pagar en la fecha de vencimiento para la obligación. Valor futuro de la deuda a los 3 meses.

Menos

=

10,000 [1 + (1/4) ( 0,12) ]

=

10,000 ( 1 + 0,03 )

=

10,000 ( 1.03 )

=

10,300

-

5,000

primer abono

=

5,300

Saldo insoluto a los 3 meses

Valor futuro del saldo a los 8 meses

P = 5,300 ; n = 5 meses = 5/12 año ; i = 0.12

F = 5,300 [1 + ( 5/12) ( 0,12) ] = 5,300 ( 1+ 0,05 ) = 5,300 ( 1,05) = 5,565 Menos

- 4,000 segundo abono = 1,565 Saldo insoluto a los 8 meses

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Sobre el saldo insoluto en la fecha del último abono, se calcula el valor futuro en la fecha del vencimiento.

P = 1,565 ; n= 4 meses = 1/3 año ; i = 0.12 F = X = 1565 [1 + ( 1/3) ( 0,12) ] = 1,565 ( 1 + 0,04) = 1,565 ( 1,04) X = 1,627.60

4.- Ventas a Plazos Sobre el precio de contado, el comerciante carga una suma adicional por venta a plazos; parte de esta suma es por concepto de intereses sobre la deuda que contare el comprador y otra parte es para cubrir el mayor costo que significa la venta a polazos, entre estos costos están los gastos de contabilidad, cobranzas, investigación de créditos, gastos legales, deudas incobrables y otros. Para el comprador, el sobreprecio que paga son los intereses de la deuda que contrae por la compra a plazos. Comercialmente se considera el sobreprecio como intereses. Ventas a plazos con cargo de intereses sobre saldos. Esta modalidad es de aplicación poco frecuente y consiste en pagar la deuda por medio de cuotas iguales, a las que se suman los intereses sobre el saldo de la deuda a la tasa convenida.

Ejemplo: Una persona compra artículos electrodomésticos por valor de Lps. 8,000 y conviene pagar Lps. 2,000 al contado y el saldo en 4 cuotas de Lps. 1,500. Mensuales, cada una con el 2% mensual de intereses sobre el saldo. Valor de la compra Menos pago de contado Saldo Primera cuota Mas 2% sobre 6,000

8,000 2,000 6,000 1,500 120 1,620

Saldo MATEMATICAS FINANCIERAS

4,500 45

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Segunda Cuota Mas 2% sobre 4,500

1,500 90 1,590

Saldo Tercera cuota Mas 2% sobre 3,000

3,000 1,500 60 1,560

Saldo Cuarta cuota Mas 2% sobre 1,500 Valor cuarto pago

1,500 1,500 30 1,530

Saldo

0

Ventas a plazos con pagos periódicos iguales En el comercio, la costumbre mas generalizada para las ventas a plazos es la modalidad de pagos periódicos iguales. Para determinar el valor de estos pagos periódicos o cuotas, se procede así: al precio de contado se le hace un cargo adicional por venta a plazos. De este valor se resta la cuota inicial y el saldo se divide por el número de pagos convenidos.

Valor Cuota = ( precio de contado + adición) - cuota inicial Numero de pagos

Ordenando en otra forma el numerador, se tiene: Valor Cuota = ( precio de contado - cuota inicial) + adición Numero de pagos

( Precio de contado - cuota inicial ) = saldo insoluto O sea que, en realidad , la adición se hace al saldo insoluto y el valor de la cuota es:

Valor Cuota = Saldo insoluto + adición Numero de pagos

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5.- Tasa de Interés en ventas a plazos. Para calcular la tasa de interés anual cargada en la transacción, es necesario determinar algunos conceptos y dar algunas definiciones. B = Saldo insoluto = valor de contado – pago inicial I =

Cargo adicional o intereses

n = número de pagos excluyendo el pago inicial R = Valor del pago periódico m = numero de periodo o plazos contenidos en un año i = tasa anual de interés expresada en tanto por ciento n/m = tiempo expresado en años

Por definición, I = Rn - B Tasa de interés según regla comercial. DE acuerdo con la regla comercial para pagos parciales y para el caso de las ventas a plazos, se trata de la fecha de pago para la última cuota de la compra a plazos.

0 1 2 n-1 n _________________________...........__________________ periodos

B

0 1 2 n-1 n _________________________...........__________________ periodos

R

R fecha focal mes 0

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R

R

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Cada periodo de pago es igual a 1/m año; el tanto por uno de interés en cada periodo es igual a 1/m i. El monto del saldo insoluto inicial y la suma de los montos de los pagos parciales, en la fecha focal, deben ser iguales. B ( 1 + n/m i ) = R ( 1 + n – 1 i ) + R ( 1 + n – 2 i ) + R( 1 + 2 I ) m m m *R(1+1 I) +R m

B + B n i = nR + R i [( n-1) + ( n-2 ) + … + 2 + 1 ] m m

La expresión encerrada en el paréntesis es la progresión aritmética formada por los ( n-1) primeros números naturales y su suma es igual a n ( n-1) . Al sustituir, se tiene: 2 B + B n i = Nº + R ( n-1) ni m 2m

B n i = R ( n-1) ni = nR – B = 1 Cargo adicional o intereses 2m

[2nB - R ( n-1) ] I = 2mI

i=

_____2mI______ 2nB –Rn2 + Rn

Sustituyendo Rn = I + B, se tiene

i=

_____2mI______ 2nB –Rn2 + Rn

=

_____2mI______ nB + B –nI +I

O sea i=

_____2mI______ B (n+1) – I (n-1)

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Ejemplo: Un equipo de sonido tiene un precio de contado de Lps. 65,000, se vende a plazos mediante un pago inicial de Lps. 12,000 y el saldo en seis cuotas mensuales de Lps. 10,000 cada uno. Calcular la tasa de interés cargada.

Saldo insoluto

B = 65,000 – 12,000 = 53,000

Cargo por intereses

I = Rn - B = 6 ( 10,000) – 53,000 I = 60,000 – 53,000 I = 7,000

Numero de pagos

n = 6; periodo de pago = 1 mes de donde m=12

Al sustituir, se tiene: __168,000_____

i =______2(12)(7,000)________= 53,000 (6+1) – 7,000(6-1)

371,000 -

35,000 i = 0,50 Tasa = 50%

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EVALUACION 1.- Un inversionista presta Lps. 20,000 a un cliente, a un año de plazo, mediante un pagare que gana el 10% de intereses simples, con el cual el deudor se compromete a cancelar los intereses por trimestre vencido. Hallar la tasa cobrada de interés real. 2.- Un banco descuenta un pagare de Lps. 10,000 a 18 meses de plazo con intereses del 12% anual, pagaderos por semestres anticipados. Hallar la tasa efectiva de descuento bancario cobrado por el banco. 3.- Una persona firma un pagare de Lps. 50,000 a 6 meses de plazo, con intereses del 9%. Antes del vencimiento, efectúa los siguientes abonos: Lps. 10,000 al mes y Lps. 20,000 a los cuatro meses de firmado el documento. Hallar el saldo que debe apagar al vencimiento, aplicando: a) la regla comercial, b) la regla de los saldos insolutos. 4.- Una tienda ofrece cortinas por valor de Lps. 7,800 con una cuota inicial de Lps. 1,000 y el saldo en 18 cuotas quincenales de Lps. 396 cada uno. Calcular la tasa de interés cargada a la venta según la regla comercial. 5.- Un comerciante vende electrodomésticos por valor de Lps. 90,000; para promover sus ventas, ofrece crédito para pagar en 12 cuotas mensuales de Lps. 8,000 cada uno y recibe la primera como cuota inicial. Calcular la tasa de descuento bancario de la transacción. 6.- Actividades de Consulta: a) Consultar en el comercio local el precio de artículos al contado y a plazos, el recargo a plazos y la cuota inicial. b) Consultar en los grandes almacenes que tienen departamento de crédito, los recargos sobre las ventas a plazos y calcular la tasa de interés que en realidad recargan en las mismas. c) Estudiar los gastos que cobran en el comercio para las ventas a plazos (impuestos, comisiones, investigación de créditos, etc.)

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CAPITULO 5 CONTENIDO INTERES COMPUESTO 1. Definiciones generales 2. Monto o Valor futuro a interés compuesto 3. Comparación entre interés simple e interés compuesto 4. Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalentes. 5. Calculo de la tasa de interés compuesto

OBJETIVOS 1. Enseñar al estudiante el manejo de los factores que interviene en los cálculos de interés compuesto. 2. Definir y calcular los factores que interviene en el interés compuesto, calcular montos, tasa nominales, tasa efectivas y tasa equivalentes.

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1. Definiciones generales En una operación financiera a interés compuesto, el capital aumenta en cada final de periodo, por adición a los intereses vencidos a la tasa convenida. Es conveniente la familiarización de algunos términos propios del uso de esta matemática financiera, entre ellos: Periodo de capitalización: Es el intervalo convenido en la obligación, para capitalizar los intereses. Tasa de interés compuesto: Es el interés fijado por periodo de capitalización. Valor futuro de un capital a interés compuesto o monto compuesto: Es el valor de capital, o capital acumulado, después de sucesivas adiciones de los intereses.

2. Monto o Valor futuro a interés compuesto Sea el capital P puesto al interés i por periodo de capitalización (i es el tanto por ciento en el periodo). Calcular el valor futuro F al final de n periodos de capitalización. Ejemplo: Un banco ofrece una tasa del 10% para los depósitos en cuentas de ahorro. Calcular el monto de un depósito de Lps. 1,000 al cabo de 10 años utilizando: a) calculadoras de bolsillo; b) logaritmos. a) a) usando una calculadora científica: Si la calculadora no tiene función productos sucesivos, así:

Xy., podría calcularse

por

1,1(1,1) = 1,21;(1,21) = 1,4641 1,4641(1,4641) = 2,1435888; 2,1435888(1,21) = 2,5937424 = (1,1)10

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Si utilizamos logaritmos: F = 1,000 ( 1 + 0,10) 10 = 1,000 (1,1)10 logF = 10g 1,000 + 10 log1,1 log 1,000 =

3,00000

10 log 1,1 = 0,041393(10) Log F =

= 0,413930 3,413930

F = 2,593.76

3. Comparación entre interés simple e interés compuesto Por su objetividad, la mejor forma de comparar los valores futuros es mediante la elaboración de las graficas correspondientes a una misma tasa, para el interés simple y el compuesto, sea, por ejemplo, la tasa del 20% y un capital de Lps. 1,000. Los montos son F = 1,000 [ 1 + n(0,20) ] para el interés simple y F = 1000 (1 + 0,20)n para el interés compuesto.

Función discreta: 20%

a = valor futuro de

1,000 al interés simple del

b = Valor futuro de 1,000 al interés compuesto del 20% función continua

A = línea recta F = 1,000 [1 + n(0,2)] B = función exponencial F = 1,000(1,2)n

El valor futuro a interés compuesto crece en razón geométrica, y su grafica corresponde a la de una función exponencial. Por su parte, el monto a interés simple crece en progresion aritmética, y su grafica es una línea recta.

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B b 2,000 b

A a

a b a b a a 1,000 0

1

2

3

4

Años

4. Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalentes. La tasa convenida para una operación financiera es su tasa nominal. Tasa efectiva de interés es la que realmente actúa sobre el capital de la operación financiera. La tasa nominal puede ser igual o distinta de la tasa efectiva y esto solo depende de las condiciones convenidas para la operación. Por ejemplo, si se presta un capital al 8% con capitalización trimestral, el 8% es la tasa nominal anual, la tasa efectiva queda expresada por los intereses que corresponden a 100 en un año, en las condiciones del préstamo. Para el monto se tiene entonces: F = P( 1 + i ) n N = 4 ; P = 100 ; 8%/ 4 = 2% de tasa efectiva en el periodo; I = 0,02 F = 100 ( 1 + 0,02 ) 4 = 100 (1,02)4 = 100 ( 1,08243231) F = 108,24321 100 ganan 8,24321 en un año o sea tasa efectiva = 8,24321 MATEMATICAS FINANCIERAS

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Tasa equivalentes . Son aquellas que, en condiciones deferentes, producen la misma tasa efectiva anual.

5. Calculo de la tasa de interés compuesto En la formula del monto a interés compuesto , si se conoce el valor presente P, el valor futuro F y el tiempo n, queda determinado el valor de i.

Ejemplo: Al morir, alguien deja a su hija de 7 años de edad, un legado de 100,000 para que sus intereses compuestos le sean entregados cuando cumpla 18 años. Si ella al cumplir la edad fijada recibe 190,071.20, ¿Qué intereses con capitalización anual gano la herencia?. Cálculo usando logaritmos: 190,071.20 = 100,000 (1 + i ) |11 Log190,071.20 = log100,000 + 11log (1 +i) Log (1 +i) = log190,071.20 – log100,000 11 Log190,071.20 = 5,278916 Log100,000

= 5,000000

Log(1 +i) = 0,27896 + 11 = 0,025356 1 + i = 1,06012 I = 0,06012 Tasa de interés = 6,012%

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Calculo usando radicales: 190,071.20 = 100,000 (1 + i)11 Despejando (1 +i)11 190,071.20 = (1 + i)11 100,000 1,900712 11

= (1 +i) 11

1,900712

=

1,900712 1/11 = ( 1 +i )

11

( 1 + i)11

11/11

1 ,900712 1/11 = 1 +i 1,060122443 =

1 + i

1,060122443 -1 = i 0,060122443 = i Tasa de interés = 6,012%

Calculo mediante calculadora: F = P(F/P,i%,n) P= 100,000; N = 11 F = 190,171.20

190,071 = 100,00 (F/P,i%,11) Respuesta i = 6,012%

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CALCULO DEL TIEMPO En forma análoga, el calculo de i, el tiempo, o sea el valor de n, puede calcularse utilizando la tabla 1, o mediante la aplicación de logaritmos. Ejemplo: ¿ En que tiempo un deposito de 1,000 se convertirá en 1,500 al 6% con capitalización semestral? F = P [ 1 + J ] mn m

; F = P [ F/P, J %, mn ] mn m

F = 1,500 ; P = 1,000; J = 0,06 ; m = 2 1,500 = 1,000 ( 1 + 0,03) 2n ( 1 * 0,03) 2n = 1,500 = 1.5 1,000

Usando la calculadora con función logaritmos: ( 1,03) 2n = 1.5 2n log (1.03) = log (1.5) 2n = log (1,5) = 0,176091 Log (1,03) 0,012837

2n = 13,7172 n = 6,8586 años

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EVALUACION 1.- En un cultivo, el número de bacterias crece proporcionalmente, al número presente en ellas. Si en determinado instante hay 1,000 bacterias y una hora después 2,000; calcular la cantidad 3 horas después. 2.- En que banco es aconsejable para depositar dineros en cuenta corriente: A que ofrece el 7% con capitalización trimestral, o B que ofrece 7 ¼% con capitalización semestral. Considere que la mejor será la que corresponda a la mayor tasa efectiva anual. 3.- Calcular el valor futuro de 6,000 depositados al 9% de interés compuesto capitalizable semestralmente durante 14 años, 6 meses. 4.- Una persona obtiene un préstamo de 30,000 a 5 años, con un interés del 8% capitalizable semestralmente. Calcular el valor futuro que debe pagar en la fecha de vencimiento. 5.- Calcular el valor futuro de 5,000 al 6%, con capitalización mensual en 6 años, 3 meses. 6.- Calcular el valor futuro del problema anterior en 30 años. Solo varia el numero de periodos ; m=12; n=30; mn=360 7.- Calcular la tas a de interés simple equivalente al interés compuesto del 6%, durante 12 años. 8.- En que tiempo se duplica un capital depositado al 7%, con capitalización semestral. 9.- Hallar el valor futuro a interés compuesto de 100, para 10 años: a) Al 5% efectivo anual b) Al 5% capitalizable mensualmente. c) Al 5% capitalizable trimestralmente d) Al 5% capitalizable semestralmente. 10.- Una persona deposita 3,000 el 22 de abril de 2000, en una caja de ahorro que paga el 6%, capitalizable semestralmente el 30 de junio y el 31 de diciembre de cada año.¿ cuanto podrá retirar el 14 de noviembre del 2007? 11.- Actividades de consulta: a) Consultar en un banco local las tasas y los periodos de capitalización para cuentas de ahorros, y analizar las ventajas y desventajas de los sistemas aplicados. b) Consultar las tas de capitalización para depósitos a mediano y largo plazo c) Estudiar las tasas y periodos de capitalización para las reservas de seguros de vida. MATEMATICAS FINANCIERAS

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CAPITULO 6 CONTENIDO VALOR ACTUAL O PRESENTE AL, INTERÉS COMPUESTO 5. definición General 6. Calculo de valor actual 7. Descuento a interés compuesto 8. valor presente de una deuda que devenga intereses

OBJETIVOS 1. Reconocer, definir y calcular valores actuales o presentes, valores futuros o montos de sumas a interés compuesto. 2. plantear y resolver problemas financieros en los que intervienen calculos de valores futuros y de valores presentes o actuales a partir de obligaciones que devengan o no intereses.

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1. Introducción. Una cuestión fundamental en el mundo de los negocios es la determinación del valor de aquellos bienes expresados en dinero que, por alguna condición, se recibirán en fecha futura. Así, por ejemplo: ¿ que vale hoy un legado d 1,000,000 que se recibirá dentro de 10 años? Ó ¿ en cuanto debe venderse hoy un terreno que esta en concesión por 6 años?. El valor actual o presente a interés compuesto de un dinero que se reciba en fecha futura es aquel capital que, a interés compuesto, tendrá en el mismo tiempo un monto equivalente a la suma de dinero que se reciba en la fecha convenida.

2. Calculo de valor actual

0 1 2 n periodo ___________________ .. . _______________

P Valor presente

F valor futuro

Utilizando la formula F= P ( 1+i)n

Para su aplicación la formula se modifica así: P = F ___i_____ (1 + i) n P = F (1+i) -n

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EVALUACION 1. Hallar el Valor actual de: a) 10,000 pagaderos dentro de 10 años al 5%, con acumulación anual. b) 5,000 pagaderos dentro de 6 años al 6%, capitalizable trimestralmente. c) 8,000 pagaderos dentro de 7 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente. d) 4,000 pagaderos dentro de 5 años al 7.4 % , con capitalización anual. 2. Hallar el valor actual de 6,000 pagaderos dentro de 5 años 4 meses, al 6%, capitalizable trimestralmente: a. Según la regla comercial b. Efectuando el cálculo teórico.

3.

Que oferta es más conveniente para la venta de una propiedad, si la tasa de interés es del 10%, con capitalización semestral. a) 60,000 al contado b) 30,000 al contado y 35,000 a 3 años plazo

4. ¿ A que valor e contado equivale la oferta de 120,000 pagaderos dentro de 2 años por un bien raíz, si las inversiones locales producen el 10% capitalizable trimestralmente?.

5. ¿ Que oferta es mas conveniente para la venta de una propiedad a) 90,000 de contado b) 40,000 de contado y el saldo en tres pagares anuales e 20,000 cada uno a i, 2 y 3 años plazo, si el rendimiento del dinero es del 8%, capitalizable semestralmente. 6. Una deuda de 200,000 se cobra judicialmente y se paga 5 años después, si la tasa bancaria para cuentas es del 16% nominal con capitalización trimestral, hallar (a) la suma que basta para consignar en una cuenta de ahorros al iniciarse el juicio para cancelar la deuda en la fecha del fallo; b) la perdida que sufre el acreedor. MATEMATICAS FINANCIERAS

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7. Un deudor debe un pagare por 300,000, 18 meses después de su vencimiento, conviene pagar con su acreedor cancelar con un pago de 450,000. Hallar la tasa nominal con capitalización semestral que corresponde a esta operación comercial.

8. ¿A que tasa efectiva, un pago único de 20,000 hoy sustituye dos pagares de 11,000 cada uno ,con vencimiento a 1 y 2 años. Respectivamente.?Analizar el problema.

9. Una persona debe 100,000 y propone efectuar tres pagos anuales iguales y sucesivos, si el tipo de interés esa del 7% capitalizable anual, hallar el valor de estos pagares.

10. Actividades de consulta: a. Estudiar las tasa de interese local, aplicada para calcular el pago inmediato de deudas a largo y mediano plazo. b. Programar en el computador el cálculo de tasa efectiva dados la tasa nominal y el número de capitalizaciones, o el periodo de capitalizaciones.

c. Programar en el computador el calculo del valor presente de una deuda que gana intereses; este programa presenta variantes que se deben investigar

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CAPITULO 7 CONTENIDO ANUALIDADES 1. Introducción 2. Clasificación de las anualidades 3. Valor de las anualidades 4. Valor futuro y valor presente de las anualidades

OBJETIVOS 1. Definir los diferentes tipos de anualidades 2. Identificar y manejar los distintos factores que intervienen en las anualidades. 3. Calcular montos o valores futuros, valores actuales o presentes, rentas de anualidades, tasa de interés y tiempos o plazos.

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INTRODUCCIÓN En las matemáticas financieras, la expresión anualidad se emplea para indicar el sistema de pago de sumas fijas a intervalos iguales. La palabra anualidad se utiliza por costumbre desde sus orígenes. Así es que se usa en las anualidades contingentes; en las que se interviene la probabilidad anual de vida de las personas. En finanzas, la anualidad no significa pagos anuales sino pagos a intervalos iguales. La expresión anualidad puede cambiarse por la de rentas, series uniformes, pagos periódicos, amortizaciones u otros, según el caso y las costumbres. Definición: Una anualidad es una sucesión de pagos periódicos iguales. Si los pagos son diferentes o alguno de ellos es diferente de los demás, la anualidad toma, según el caso, los nombres de anualidades variables o anualidades impropias.

2.CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES Los factores financieros que intervienen en as anualidades y sus formas de pago determinan tipos de anualidades. A fin de llevar a cabo un estudio organizado es necesario elaborar una clasificación y dar su correspondiente definición. Renta . El Valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta. Periodo de pago. El tiempo fijado entre dos pagos sucesivos es el periodo de pago o periodo de la renta. Tiempo o plazo de una anualidad. El intervalo que transcurre entre el comienzo del primer periodo de pago y el final del último es el tiempo o plazo de la anualidad. Renta anual. La suma de los pagos hechos en un año corresponde a la renta anual Tasa de una anualidad. El tipo de interés fijado es la tasa de anualidad y puede ser nominal o efectivo. Según el tiempo las anualidades se agrupan en dos clases: a) Anualidades Ciertas b) Anualidades eventuales o contingentes. MATEMATICAS FINANCIERAS

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Anualidades ciertas son aquellas cuyas fechas iniciales y Terminal se conocen por estar estipuladas en forma concreta. Anualidades contingentes. Son aquellas en las que el primer pago o el ultimo, es decir, las que la fecha inicial y/o la fecha Terminal dependen del algún suceso previsible, pero cuya fecha de realización no puede fijarse. Anualidades perpetuas o perpetuidades. Estas son una variación de las anualidades ciertas, en las que la duración del pago, es, en teoría, ilimitada. Según la forma como se estipule el pago de la renta o la anualidad, se originan las anualidades ordinarias o vencidas y las anualidades anticipadas. Una anualidad es ordinaria o vencida si el pago de la renta se hace al final del periodo de pago. Es anticipada, si el pago se hace al principio del periodo de pago. Anualidades inmediatas. Estas son aquellas cuyo primer pago efectúa al iniciar o terminar el primer periodo.

se

Anualidades diferidas. Estas son aquellas en las que se estipula que el primer pago debe efectuarse después de transcurrido cierto numero de periodos.

ANUALIDADES CIERTAS Ordinarias o vencidas Inmediatas Diferidas Perpetúas inmediatas Perpetúas diferidas

Anticipadas inmediatas Diferidas Perpetuas inmediatas Perpetuas diferidas

ANUALIDADES EVENTUALES O CONTINGENTES Ordinarias o vencidas Inmediatas Diferidas Perpetúas inmediatas Perpetúas diferidas

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Anticipadas Inmediatas Diferidas Perpetuas inmediatas Perpetuas diferidas

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Cada una de las distintas formas de anualidades presenta variantes en la forma de calcular sus valores , según el numero de pagos en el año y el numero de periodos de capitalización anuales que estipule el tipo de interés. Anualidades simples. Se definen como aquellas cuyo periodo de pago coincide con el periodo de capitalización.

3. VALOR DE LAS ANUALIDADES

El valor de las anualidades calculado a su terminación es el valor futuro de ésta. El valor de la anualidad calculado al comienzo es su valor presente. Estos valores pueden, también calcularse en fechas intermedias; en tal caso, se refieren a valor futuro de la parte vencida o valor presente de las anualidades por vencer. Así, por ejemplo, una renta de 2,000 pagaderos cada final de año durante 6 años, tendrá valor futuro F , al finalizar los 6 años, y tendrá un valor presente P, en su fecha inicial.

P 1 2 3 4 5 6 0________________________________________años

2,000

2,000 2,000

2,000 2,000

Fecha vencida Fecha intermedia

2,000

Parte por vencer

Transcurridos 2 años se tiene una fecha intermedia que espera la parte vencida de la anualidad, de la parte por vencer, tal como se muestra en la grafica.

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Notación algebraica 1- (1 + i ) –n = factor de valor presente Notación estándar

(P/A, i%, n) = factor de valor presente

Los valores del factor de valor presente de las anualidades pueden determinarse mediante calculadora o mediante tablas que tienen tabulados estos valores. Ejemplo: Una persona que viaja fuera de la localidad deja un propiedad en alquiler por 5 años, con la condición de que paguen 9,000 por trimestre. Esta cantidad se consignará en un a cuenta de ahorros que paga el 8% nominal anual. Hallar el valor futuro en los 5 años y el valor presente del contrato de alquiler. F=A

(1 + i )n _-1 i

A = 9,000; j= 0,08; m = 4; i= 0,08/4 0 0,02; n= 4(5) = 20 F= 9,000[F/A,2%,20]; en la tabla V, [F/A,2%,20] = 24,29736980 F = 9,000 ( 24,29736980) = 218,676.33

P = A ( P/A, i%, n) = 9,000(P/A,2%,20); en la tabla VI,(P/A,2%,20)

= 16,35143334 A = 9,000 ( 16,35143334) = 147,162.90

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EVALUACION

1. Una persona deposita 2,000 a final de cada año, durante 15 años, en un a cuenta de ahorros que paga el 8% de intereses. Hallar el valor futuro incluyendo el último pago.

2. Una persona desea comprar una renta de 20,000 pagadera semestralmente, durante los próximos 10 años, hallar el costo de la anualidad a la tasa del 6%.

3. Una compañía vende neveras con un a cuota inicial de 100,000 y 16 cuotas mensuales de 50,000, Si se carga el 15 % con capitalización mensual, hallar el valor de contado.

4. Una persona debe pagar una anualidad de 6,000 trimestral durante 10 años. Si no efectúa los 45 primeros pagos, ¡cuanto debe pagar al vencer la quinta cuota, par poner al día su deuda, si la tasa de la operación es del 10%, con capitalización trimestral?. 5. Resolver el problema 1, mediante la función Yx en la calculadora. 6. Resolver el problema 2, mediante la función Yx en la calculadora.

7. Una persona debe pagar durante 10 años una anualidad de 5,000 semestralmente pactados al 8% nominal. Al efectuar el, noveno pago, desea liquidar el saldo con un pago único. ¡ cuanto debe pagar en la fecha del noveno pago , parta liquidar la deuda?.

8. Al cumplir 10 años un padre decide consignar semestralmente 2,000, en una cuenta de ahorros, que pagar el 9% nominal, si hace estas consignaciones durante 5 años consecutivos, calcular la cantidad que tendrá en su cuenta el hijo al cumpla 21 años.

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9. Calcular el valor futuro y el anualidades ciertas ordinarias.

valor presente

de las siguientes

a) 2,000 semestralmente durante 81/2 años al 8 % capitalizable semestralmente. b) 4,000 anuales durante 6 años, al 7.3%, capitalizable anualmente.

c) 200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización mensual.

10. Actividades de consulta a) Averiguar la tasa de interés local para préstamos bancarios pagaderos por cuotas. b) Consultar la tasa de interés que cobra el comercio en sus ventas a mediano plazo.

c) Consultar la tasa de interés de los títulos emitidos por los bancos y corporaciones financieras para captación de ahorros. d) Consultar la tasa de interés hipotecarios.

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de los préstamos

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CAPITULO 8 CONTENIDO AMORTIZACION 1. Introducción 2. Sistemas de amortización 3. Calculo de los valores de las amortizaciones 4. Calculo del saldo insoluto

OBJETIVOS 1. Aprender los principales sistemas e amortización de deudas y combinarlos para crear nuevos modelos. 2. Reconocer y definir los sistemas de amortización. 3. Analizar y manejar los sistemas que ofrecen las corporaciones financieras.

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INTRODUCCIÓN

En las finanzas, la expresión amortizar se utiliza para denominar un proceso financiero mediante el cual se extingue, gradualmente, una deuda por medio de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes. En la amortización de una deuda, cada pago o cuota que se entrega sirve para pagar los intereses y reducir el importe de la deuda.

Definición Amortizar es el proceso de cancelar una deuda con sus intereses por medio de pagos periódicos.

En cuanto a la amortización de deudas se aplican diversos sistemas, y dentro de cada uno, hay numerosas variantes que hacen prácticamente inagotable este tema. Todos estos modelos son aplicaciones de las anualidades estudiadas en los capítulos anteriores, para las cuales ya se cuenta con la suficiente capacitación, a fin de manejar los diferentes tipos, bien sean pagos constantes o variables.

En este capitulo se abordaran los aspectos generales de los distintos sistemas; su aplicación al campo financiero da origen a planes de amortización que surgen de la creatividad del especialista. El éxito en el desarrollo de un esquema de amortización dependerá exclusivamente del buen criterio del financista para interpretar las condiciones económicas y desarrollo futuro de su comunidad. Incidencia de la desvalorización monetaria en la amortización de deudas. El tema de la desvalorización monetaria se encontrará ampliamente analizado en el capitulo 14. Sin embargo, es conveniente abordar la desvalorización con relación a las deudas amortizables a corto, mediano y largo plazo. Con el fin de evitar que el comercio se distorsione en una situación de desvalorización, los gobiernos se esfuerzan por manejar en forma controlada la desvalorización, en el objeto de que tanto el comercio como las inversiones, planes de vivienda y capacitación de ahorro se desarrollen en forma normal, en un clima de confianza. Con base en las proyecciones de la economía y desarrollo de un país, el gobierno calcula la desvalorización esperada para el año y autoriza el porcentaje de corrección que debe aplicarse a los préstamos y depósitos en cuantas de ahorro en periodos, por lo general, mensuales. Paralela a la corrección entra en juego la tasa de interés sobre el capital. En las ventas a corto plazo, el comercio carga un porcentaje de tal manera que se reintegre su capital corregido más un porcentaje de utilidad; esto genera tasas financieras elevadas. En las ventas a mediano y largo plazo, en algunos países, las MATEMATICAS FINANCIERAS

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obligaciones se pactan en unidades de valor constante. Las tablas que aparecen al final del texto solo sirven para el estudio de los métodos matemáticos planteados en la solución de problemas financieros y para manejar los ejemplos y problemas del texto. En general, el estudiante debe trabajar con calculadora o computador y elaborar las tablas y cuadros que requiera de acuerdo con los métodos estudiados. En las actividades profesionales, el interesado debe tener la suficiente capacidad para crear sistemas de amortización y plantear las formulas y métodos matemáticos que le permitan trabajar con programas computacionales.

Ahora, revísense los conceptos de intereses y aplíquense a una situación de devaluación: supóngase que en cierto lapso la devaluación esperada es del 20% y que la tasa de interés financiero es del 6% Un inversionista considera que debe colocar su capital al 26% y espera la oportunidad de invertir a esta tasa; otro piensa que debe proteger su capital y que $100 de hoy serán $120 dentro de un año de modo que deberá recuperar su capital más el 6% de justo beneficio, o sea, que al final de un año debe recibir $ 120 (1+0,06) = $127,20, lo que corresponde a invertir al 27,2%. El primer financista sólo obtuvo una utilidad del 5% ya que con una inversión de $ 120 ganó $6. Cuando se suman dos tasas de interés, como en el ejemplo anterior, se tiene una tasa combinada, sean r% la tasa de corrección monetaria y t la tasa de interés o rédito del capital en juego. Tomando como periodo un año, se tiene al final de, periodo para el capital inicial de $1, el valor final de $1 + i, donde es la tasa efectiva, entonces:

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A la corrección aplicando a sus ventas a plazo el 30% efectivo anual. Hallar el valor que recibe por una venta de $10,000 a un mes de plazo. Cálculo de la tasa equivalente mensual

Principio básico de las amortizaciones El interés debe cancelarse al final de casa periodo calculado sobre el saldo de los capitales adecuados (véase regla de los saldos insolutos). En las prácticas comerciales suele introducirse modificaciones en los sistemas de amortización de pago de intereses vencidos sobre saldos insolutos; estas modificaciones, que en adelante se denominarán variantes espureas, tienen el objeto disimulado de obtener intereses a tasas mayores que las pactadas en el documento. Dentro de estas variantes espureas, la modalidad más común es cobrar los intereses por adelantado. Demostración Sea una deuda S a la tasa i por periodo con plazo de un periodo. Si los intereses se cobran por adelantado, se tiene:

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Deuda : $ 500.00 ; tasa 8 % efectivo.

Fecha

Comienzo año Final año 1 Final año 2 Final año 3 Final año 4 Final año 5 TOTALES

Pago anual

8% intereses sobre saldos

Amortización

saldo

500,000.00 125,228,23 125,228,23 125,228,23 125,228,23 125,228,21 626,141,13

40,000.00 33,181.74 25,818.02 17,865,21 9,276,16 126,141,13

85,228,23 92,046,49 99,410,21 107,363,02 115,952,05 500,000,00

414,771,77 322,725,28 223,315,07 115,952,05 000,00

Obsérvese que la suma de los pagos anuales es igual a la de los intereses sobre saldos, más la suma de las amortizaciones. Ejemplo: Una deuda de $100,000 debe amortizarse en 2 ½ años, con 4 abonos semestrales de $25,000 por periodos vencido y un abono al final del quinto semestre que extinga totalmente la deuda. Elaborar un cuadro de amortización de la deuda, a la tasa del 10% capitalizable semestralmente sobre saldos insolutos. Si se espera una tasa de devaluación del 2% anual, hallar la tasa real de interés. Deuda: $100,000; tasa: 10% capitalización semestral; cuota = $25,000. Fecha

Inicial Final semestre 1 Final semestre 2 Final semestre 3 Final semestre 4 Final semestres 5

Pago anual

25,000,00 25,000,00 25,000,00 25,000,00 14,487,38

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8% intereses sobre saldos

5,000,00 4,000,00 2,950,00 1,847,50 689,88

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Amortizació n

20,000,00 21,000,00 22,050,00 23,152,50 13,797,50

saldo

10,000,00 80,000,00 59,000,00 36,950,00 13,797,50 000,00

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EVALUACION

1. Una deuda de 100,000 a 5 años de plazo debe pagarse con el siguiente plan de amortización: cuotas semestrales iguales a la tasa del 10% nominal convertible semestralmente, durante el primer año y medio se pagaran solo los interés y, a partir del cuarto semestre, se cancelaran cuotas hasta extinguir la deuda al final de su plazo.

2. Una deuda de 100,000 debe cancelarse con 4 pagos trimestrales vencidos iguales, mas intereses del 8% nominal convertible trimestralmente.

3. Un inversionista presta 1,000,000 que deben cancelarse con cuatro Pagos semestrales vencidos, iguales, mas interés. Puesto que el momento se presenta un ambiente de devaluación, se pacta un interés del 30% para proteger la inversión. Se pide: a) Preparar el cuadro de amortización. b) Si la devaluación en ese momento es del 22%, hallar la tasa de interés real que espera recibir el inversionista.

4. Una deuda de 200,000, a la tasa del 24% nominal, se debe amortizar en 3 años mediante pago cuotas semestrales iguales. Hallar el valor de las cutotas, al efectuar el segundo pago, el deudor hace un abono extraordinario de 60,000; hallar el nuevo valor de las cuotas para cancelar en el plazo previsto el saldo insoluto y preparar el cuadro de amortización de la deuda.

5. Una deuda de 500,000, a la tasa del 18% efectivo, se debe amortizar en 4 años con el siguiente plan: cuotas semestrales iguales más extraordinarias de 50,000 cada final de año. Hallar el valor de los pagos y elaborar el cuadro de amortizaciones.

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6. Un cuarto refrigerante se vende al contado en 640,000, a plazos se ofrece con el siguiente plan: 160,000 de cuota inicial y el saldo incrementado en el 10%, se paga en 12 cuotas mensuales iguales. Hallar el valor de las cuotas y la tasa efectiva de recargo.

7. Una propiedad se vende en 6,000,000, el comprador paga 2,000,000 de contado y se compromete a cancelar el saldo en 8 años, con cuotas anuales iguales al 6% de interés efectivo sobre el saldo. Hallar el valor de las cuotas; y, determinar los derechos del vendedor y del comprador, al pagar la quinta cuota.

8. Una deuda de 20,000, con intereses del 8% capitalizable trimestralmente, debe amortizarse con cuotas de 5,000 por trimestre vencido. Elaborar el cuadro de amortización.

9. Una deuda de 50,000 debe amortizarse con pagos semestrales en 21/2 años a la tasa del 8%, capitalizable semestralmente. Hallar el pago semestral y elaborar el cuadro de amortización.

10. Actividades de Consulta a) Consultar los modelos de amortización y la tasa de interés en préstamos de desarrollo industrial en la localidad. b) Consultar los sistemas de amortización de préstamos nacionales e internacionales. c) Crear modelos de amortización para préstamos a mediano y largo plazo y analizarlos.

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CAPITULO 9 CONTENIDO FONDO DE AMORTIZACION 1. Introducción 2.Calculo de los valores de un fondo de amortización 3. Calculo de lo acumulado en el fondo y del saldo insoluto en cualquier fecha. 4. Calculo del plazo de una deuda 5. Fondos de amortización con aportes variables

OBJETIVOS 1. Aprender las bases teóricas fondos de amortización.

y métodos

matemáticos de los

2. Reconocer y definir los sistemas de amortización-

3. Crear los sistemas de amortización de acuerdo con la capacidad de retorno de las inversiones.

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INTRODUCCIÓN Con el objetivo de pagar una deuda a su vencimiento en fecha futura, comercialmente

se acostumbra

crear

un fondo mediante

reservas que devengan intereses, de tal modo que el monto de estas

acumulaciones

permita

cancelar la obligación, a su

vencimiento.

Es obvio que los anterior se aplica a deudas contraídas a mediano y largo plazo; tal es el caso de las reservas para proveer el pago de las pensiones

de jubilación

y vejez de los trabajadores

de una

compañía, los fondos creados para retirar a su vencimiento una emisión de obligaciones, las reservas para remplazar activos que se demeritan

con el uso, las reservas

para la recuperación

de

inversiones en minas que terminan por agotarse.

Definición: Un fondo de amortización, es una cantidad

que va

acumulándose mediante pagos periódicos los cuales devengan cierto interés, de tal modo que en determinado número de periodos se obtenga un valor prefijado.

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Ejemplo: Una deuda de $300,000 vence dentro de 6 años. Para cancelarla se establece un fondo de amortización que gana el 8% de interés efectivo; hallar el saldo insoluto en los K periodos.

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CALCULO DEL PLAZO DE UNA DEUDA En algunos casos se conoce la suma que periódicamente puede ingresarse en un fondo de amortización, para proveer la cancelación de una deuda, y ocurre que es necesario determinar el vencimiento de la obligación por contraer; o sea, debe establecer el plazo de la deuda. Ejemplo : Un municipio desea mejorar el acueducto de la población y, para ello, necesita $20,000,000 Los estudios económicos indican que, por medio de contribuciones, pueden obtener la cantidad de $150,000 netos semestrales de aportes al fondo de amortización del proyecto. Si para estas inversiones se obtiene el interés del 6% capitalizable semestralmente, hallar el tiempo que debe fijarse para recaudar el valor de una emisión de bonos que cubra el valor de las mejoras del

acueducto.

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Final

Pago anual

Interés 26% sobre fondo

Total agregado al fondo

Total en el fondo

1

84,178,37

0,00

84,178,37

84,178,37

2

184,178,37

21,886,38

206,064,75

290,243,12

3

284,178,37

75,463,21

359,641.58

649,884,70

4

384,178,37

168,970,02

553,148,39

1,203,033,09

5

484,178,31

312,788,60

796,966,91

2,000,000.00

En el último año se disminuyó la cuota en $0,06 por ajuste.

Ejemplo

Un comerciante debe cancelar una deuda de $3,000.000 dentro de cuatro años, para liquidarla decide establecer un fondo en una corporación financiera que le paga el 22% de interés anual. Si los aportes al fondo los incrementa cada año en el 10% sobre el año anterior, hallar el valor de los aportes anuales y elaborar el cuadro del fondo de amortización.

Se elabora el diagrama del flujo de cada:

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Final

Pago anual

1

479,211.18

2

527,132,30

3 4

Interés 26% sobre fondo

Total agregado al fondo

Total en el fondo

479,211.18

479,211,18

105,426,46

632,558,76

1,111,769,94

579,845,53

244,589,39

824,434,92

1,936,204,86

637,839,07

425,965,07

1,063,795,14

3,000,000,00

Ajuste de $0.01 en el último aporte. Ejemplo: Una empresa obtiene un préstamo de $1,000,000 que debe cancelar con corrección monetaria dentro de 3 años; la corrección anual se estima en el 18%. La gerencia decide establecer un fondo con aportes trimestrales iguales incrementados cada año en un 10%. Si la corporación de ahorro que recibe los aportes paga el 22% efectivo anual, elaborar un diagrama del flujo, calcular el valor de los aportes trimestrales y tabular el fondo.

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EVALUACION

1. Las oficinas de una empresa comercial funcionan en un edificio cuyo costo inicial es de 1,500,000 y que deprecian cada año en el 10% de su valor en libros. Hallar el valor en libros, al final del quinto año.

2. Demostrar que, por el método de la suma de enteros ( dígitos) para un activo cuya vida útil es de n años, ¡ cual es el denominador de las fracciones que expresan en cada año la depreciación?.

3. Un equipo industrial tiene un costo de 400,000 y una vida útil de 10 años, con un valor de salvamento de 20% del costo inicial. Hallar la depreciación anual por: a) el método uniforme; b) por el método del fondo de amortización.

4. Un equipo cuyo costo es de 50,000 tienen una vida útil de 7 años al final de los cuales no tiene ningún valor y debe botarse para remplazarlo por otro de igual valor. Hallar la depreciación en el cuarto año: a) por el método de suma de enteros; b) por el método del porcentaje fijo.

5. Una maquina tiene un valor de 60,000 y debe depreciarse hasta 5,000 en 5 años. Hallar el porcentaje fijo de depreciación y hacer el cuadro de depreciación.

6. Un equipo tiene un costo de 60,000, un valor de salvamento de 6,000 y una vida útil de 4 años,.Hallar el cuadro de depreciación si el interés sobre el fondo es del 4% y el interés sobre la inversión es del 8%.

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7. Un campo petrolero podrá rendir una utilidad neta de 5,000,000 anuales durante 10 años. Calcular el valor de las acciones que podrán emitirse, si se ofrece un dividendo del 12% nominal con pagos trimestrales y puede obtenerse un interés del 4% sobre el fondo de recuperación de la inversión.

8. Un equipo tiene un costo de 400,000, un valor de salvamento de 4,000 y una vida útil de 6 años,.Hallar el cuadro de depreciación si el interés sobre el fondo es del 4% y el interés sobre la inversión es del 8%.

9. Una maquina tiene un valor de 100,000 y debe depreciarse hasta 1,000 en 5 años. Hallar el porcentaje de depreciación.

10. Actividades de Consulta. a. Estudiar los métodos de depreciación utilizados por las empresas constructoras de la localidad. b. Consultar los métodos de depreciación aplicados localidad para automotores y equipos estacionarios.

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en la

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CAPITULO 10 CONTENIDO BONOS 1. Introducción 2.Definiciones 3.Precio de los bonos en una fecha de pago de interés o cupón . 4. Valor de un bono en libros 5. Precio de los bonos comprados entre fechas de cupón 6. Cotización de los bonos en mercados de valores 7. Rendimiento de las inversiones 8. El interés ordinario y el interés real en la TIR de un bono

OBJETIVOS 1. Aplicar los conocimientos de matemáticas financieras al campo de las inversiones. 2. Reconocer, definir y clasificar los bonos. 3. Calcular el precio de los bonos y sus cotizaciones

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INTRODUCCIÓN

En el juego de los grandes capitales necesarios para financiar las instalaciones industriales modernas, o las grandes obras productivas que emprendan las corporaciones industriales modernas, o las grandes obras productivas de los gobiernos.

En los últimos años, la banca privada, la banca

nacional y las

corporaciones financieras han creado y puesto en circulación varias clases de obligaciones comerciales , como cedulas y certificados a termino fijo.

Por otra

parte

con el objeto de incentivar las exportaciones

tradicionales, algunos

no

bonos que tienden a aumentar la utilidad

percibida por los exportadores.

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EVALUACION 1. Un bono de 50,000 al 8% convertible semestralmente, es redimible a la par el 1º. De enero del 2007. Es adquirido por un inversionista el 20 de mayo del 2000, con la intención de obtener una TIR del 8%. Hallar el pecio de compra.

2. Un bono de 1,000 al 6%, convertible, es redimible al 105% de su valor nominal, opcionalmente, en abril 10. de 2012, con vencimiento en abril 1º. Del año 2022.Hallar el valor en abril 1º. De 2005, para que la TIR sea del 8%.

3. Un bono de 1,000 al 6% convertible semestralmente, es redimible a la par el 1º. De enero del 2016. Es adquirido por un inversionista el 20 de mayo del 2007, con la intención de obtener una TIR del 8%. Hallar el pecio de compra.

4. UN inversionista compra en fecha de cupón 5 bonos de 1,000 al 5% convertibles semestralmente, redimibles al 104; paga por cada bono 960.30 para obtener una tasa interna de retorno del 8%. Hacer el cuadro de valores para los dos primeros años.

5. Un bono de 5,000 al 9% convertible mensualmente, es redimible a la par el 15. De enero del 2014. Es adquirido por un inversionista el 15 de mayo del 2007, con la intención de obtener una TIR del 11%. Hallar el precio de compra.

6. Cuanto se puede pagar el 15. de agosto de 2007 por un bono de 4,000 al 4.5% nominal convertible semestralmente, redimible con premio del 8% el 15 de julio del 2010, para obtener un rendimiento del 14% efectivo anual.

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7. Un bono de 8,000 al 3.5% convertible semestralmente, es redimible a la par el 14. De enero del 2011. Es adquirido por un inversionista el 10 de mayo del 2007, con la intención de obtener una TIR del 11%. Hallar el pecio de compra.

8. UN inversionista compra en fecha de cupón 10 bonos de 1,000 al 9% convertibles semestralmente, redimibles al 110; paga por cada bono 800 para obtener una tasa interna de retorno del 14.5%. Hacer el cuadro de valores para los dos primeros años.

9. Cuanto se puede pagar el 23. de abril de 2007 por un bono de 6,000 al 7.35% nominal convertible semestralmente, redimible con premio del 16% el 15 de julio del 2008, para obtener un rendimiento del 14% efectivo anual.

10. Actividades de Consulta a) Estudiar las condiciones de los últimos empréstitos internos con emisión de bonos colocados en la localidad y la rentabilidad.

b) Estudiar las condiciones de las emisiones de bonos y obligaciones similares de entidades privadas de la localidad.

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CAPITULO 11 CONTENIDO DESVALORIZACION MONETARIA 1. Introducción 2.Índices de precios 3.Incidencia de la desvalorización en los intereses sobre préstamos . 4. Rentabilidad de los ahorros en situación de desvalorización Monetaria

OBJETIVOS 1. Manejar las variaciones del poder adquisitivo del dinero proporcionando un marco de realidad a las aplicaciones de las matemáticas financieras.

2. Aprender a adaptar los análisis y modelos matemáticos a los cambios impuestos por las variaciones de la situación económica.

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INTRODUCCIÓN El dinero de cada país, por causas que no corresponde analizar en este material, sufre deterioro en su poder adquisitivo por efecto de las devaluaciones e inflaciones. La expresión devaluación monetaria se utiliza hará indicar la disminución de si valor, con relación al oro y(o las reservas monetarias. Por otra parte, el alza de precios disminuye el poder adquisitivo del dinero, es decir reduce el valor. Al deffenom meno economico que corresponde a un aumento general de los recios se denomina inflación. Las reducciones del valor del dinero disminuyen la capacidad de compra de las personas que tienen ingresos fijos, bien se trate de sueldos, jubilaciones , pensiones o rentas provenientes de contratos a termino fijo. En épocas de inflación, los ingresos fijos suelen reducirse en su poder adquisitivo de forma tal, que terminan por ser insuficientes para mantener los costos de vida. Por otra parte, la disminución de valor del dinero actúa en perjuicio de los acreedores, favoreciendo a los deudores, ya que estos últimos al cancelar la deuda devuelven solo una parte del poder adquisitivo que se les presto. En el caso de la inflación galopante o hiperinflaciones, el patrimonio de los acreedores si afecta gravemente y puede incluso desaparecer en corto tiempo. Si un empresario no maneja con acierto los factores de desvalorización los cuales deben modificar los modelos matemáticos financieros se vera en serias dificultades cuando tenga que reponer sus activos; de otra parte, los prestamistas se enfrentaran a la disminución del valor real de sus capitales o a que un exagerado encarecimiento del dinero que prestan, vuelva impagable las deudas.

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EVALUACION 1. En un año cuyo índice de precios es de 130, un inversionista deposita 10,000 en una cuenta de ahorros que abono el 8%, capitalizable anualmente, si al final del sexto año el índice de precios es de 220, Hallar el valor futuro expresado en moneda del año inicial. 2. Calcular el interés que es necesario cobrar por un préstamo de 10,000 en un año para que el valor monetario constante devengue 1 el 18% de interés, si se prevé que, es ese año, el índice de precios aumentara en un 20%. 3. Hallar el interés que debe cobrarse por un préstamo de una unidad monetaria para que produzca en un año el 16% de interés real, si el mismo periodo el índice de precios aumenta en un s6%. 4. En un año cuyo índice de precios es de 110, un inversionista deposita 50,000 en una cuenta de ahorros que abono el 7.3%, capitalizable anualmente, si al final del primer año el índice de precios es de 125, Hallar el valor futuro expresado en moneda del año inicial. 5. En un año cuyo índice de precios es de 100, un inversionista deposita 1,000 en una cuenta de ahorros que abono el 3.28%, capitalizable mensualmente, si al final del segundo año el índice de precios es de 120, Hallar el valor futuro expresado en moneda del año inicial. 6. Actividades de Consulta. a) Estudiar los índices de precios de los tres últimos años, y calcular la tasa única de crecimiento anual. b) Consultar las variaciones de la tasa bancaria de la localidad y su relación con los índices de precios.

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BIBLIOGRAFIA

 Matemáticas Financieras Cuarta Edición.

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Lincoyan Portus-

 Matematica Financieras - Shaum - 3ª. Edición

 Ingenieraza Económica – Blklank – Tarquin - 4ª. Edición.  Análisis Economico Edición.

en Ingeniería – Newman 5ª.

 Preparación y Evaluación de Proyectos- Sapag – 3ª. Edición.

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TABLAS

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