Matematica Financiera Teoria y Aplicación

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CAPÍTULO 1 FUNDAMENTACIÓN BÁSICA PARA LA MATEMÁTICA FINANCIERA

JUSTIFICACIÓN En la actualidad el mundo de los negocios, ya sean personales o empresariales, se mueve con la aplicación

de la matemática financiera. El dominio de este conocimiento le

permitirá actuar eficiente y eficazmente en el manejo del efectivo y de los pasivos de su empresa o entidad para la cual labora y cooperar como persona en el desarrollo social y económico de su entorno inmediato, ciudad y región. Como estudiante, ahora que tomaste la decisión de iniciar el estudio de la matemática financiera, empezaremos por conocer las herramientas que le facilitarán el trabajo en la solución de los problemas a los cuales debe dar respuesta en la vida como asistente financiero o como empresario. En el estudio de este mundo interesante y útil de la matemática financiera, también recordaremos los conceptos de aritmética y álgebra para que pueda comprender rápidamente el proceso de desarrollo de las ecuaciones que nos permitan llegar a los resultados esperados.

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I OBJETIVO GENERAL Apropiarme y dominar los conceptos de fundamentación de la matemática financiera y de las herramientas que me posibilitarán un desempeño eficiente y eficaz en la búsqueda de alternativas de soluciones como respuesta a problemas financieros. Fundamentar los estudiantes que ingresan al curso de matemática financiera, para hacer la materia de fácil comprensión.

MIS OBJETIVOS  Dominar el manejo de la calculadora financiera como herramienta indispensable en la solución de problemas financieros.  Desarrollar competencias en el manejo del Excel para dar solución a problemas financieros y reconocer su importancia en el desarrollo empresarial.  Desplegar habilidades para el uso eficaz de las tablas financieras.  Revisar y dominar los fundamentos matemáticos necesarios para el aprendizaje de la matemática financiera.

CONDUCTA DE ENTRADA  ¿Conozco el manejo de una calculadora Financiera?  ¿He utilizado el Excel como herramienta financiera?  ¿Qué es un logaritmo?  ¿Para qué se utiliza el logaritmo?  ¿Qué aplicación tiene el logaritmo en la matemática financiera?  ¿Qué es una ecuación de primer grado?  ¿Cómo se despeja la incógnita en una ecuación?  ¿Tengo un orden para la solución de ejercicios en las matemáticas?  ¿Conozco cómo se determina el precio de venta de un producto?  ¿Cómo se realizan los descuentos?

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1.1 USO DE LA CALCULADORA La calculadora es junto al computador, herramienta fundamental tanto en las actividades académicas como laborales, dado que permite el desarrollo de ejercicios complejos de forma rápida y exacta. La calculadora financiera es muy utilizada en el medio empresarial y el mundo bancario y bursátil, para este texto se utilizó la Hewlett - Packard 19B II, y la Casio FC 200. En este capítulo no se busca mostrar el manual de las calculadoras sino explicar los puntos básicos para el uso de éstas en los temas fundamentales de la matemática financiera. Se recomienda en el momento de comprar su calculadora, estudiar detenidamente su manual. Antes de explicar los aspectos más importantes en el uso de la calculadora, es significativo que el estudiante entienda que esta herramienta no reemplaza el proceso de entendimiento para resolver los diferentes cuestionamientos financieros y mucho menos la interpretación de los resultados. En este primer capítulo se hace una explicación general sobre el uso de la calculadora y en los siguientes capítulos se presenta la aplicación de ésta en cada uno de los temas tratados.

HEWLETT -PACKARD 19 B II MODO PARA INICIAR LAS OPERACIONES. El modo en el que debe estar la calculadora para el inicio de operaciones, es el algebraico, el procedimiento para llegar allí es el siguiente: Encienda la calculadora ON Digite la tecla naranja Pulse la tecla DISP Aparece en el menú varias opciones entre ellas digite

OTROS

En el siguiente menú digite ALG Digite EXIT Se encuentra listo para iniciar a efectuar las operaciones.

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MENÚ PRINCIPAL Para el inicio de las operaciones, la calculadora deberá estar en el menú principal (MAIN). Para llegar al menú principal se pulsa la tecla EXIT, las veces que se requieran. O digitando la tecla naranja y EXIT, o sea con MAIN, para hacerlo directamente.

ORDEN DE LAS OPERACIONES. Al efectuar las operaciones se requiere claridad en cuanto al orden establecido, con el propósito de asegurar la calidad del resultado.  Las operaciones que se realizan en primera instancia son las que están ubicadas dentro de un paréntesis.  El segundo paso es el de las multiplicaciones y divisiones.  El tercero y último son las sumas y restas.

OPERACIONES BÁSICAS Es importante señalar las operaciones fundamentales que se realizan en los problemas de matemática financiera, ellos son: Potencias, raíces, porcentajes y memorias.

POTENCIAS Y RAÍCES. Para elevar a una potencia se maneja la tecla [^], la cual se encuentra como segunda función de la tecla [x]. La tecla de cambio está ubicada en el teclado de la pantalla en la segunda fila, su color es el naranja. En el manual está señalada con el número cinco (5).Para digitar la potencia se presiona la tecla de cambio y luego la tecla x, la cual tiene como función secundaria en potencia.

EJEMPLO 1.1: Se desea lograr el resultado de 3 5, se procede de la siguiente manera: 3  Tecla de Cambio  ^x 5 = 243 Para el cálculo de raíces se utilizan las teclas [^] y [1/x] (segunda función de la tecla [ ]). Por ejemplo, para obtener el resultado de la raíz cuadrada de 16, se sigue la siguiente secuencia de tecleo: 16 Tecla de cambio  ^x  Tecla de cambio

1/𝑥 ÷

2=4 6

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Determine el resultado de 43  Calcule la raíz cúbica de 125  ¿Cuál es el resultado de 54 ?  Obtenga la raíz quinta de 4.000

PORCENTAJES La tecla % se requiere para obtener el porcentaje de un valor dado, para esto solo se digita la tecla precedida por el correspondiente valor.

EJEMPLO 1.2: Se quiere conocer el valor de la cuota inicial de un electrodoméstico cuyo valor total es de $1.500.000=, se entrega financiado, la cuota inicial es del 30% del valor total. 1.500.000 * 30 % = 450.000

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Determine el valor de

la cuota inicial de un vehículo, cuyo precio es de

$40.000.000 y para financiarlo se requiere pagar el 20% de cuota inicial.  ¿Cuánto debe pagar inicialmente en la universidad si para financiar el semestre debe abonar el 30%, el valor del semestre es de $600.000

CAMBIO DE SIGNO La tecla [+/-] es para el cambio de signo, se emplea para cambiar el signo del número exhibido en pantalla; también admite introducir números negativos directamente.

LOGARITMOS Para calcular el logaritmo de un número se requiere entrar al menú MATH, el cual se encuentra ubicado como función secundaria de %. Una vez en el menú MATH, se observan los siguientes elementos:

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RDN PI LOGS TRIG CONV PROB Para efectuar una operación con cualquiera de estos elementos se digitan las teclas que están debajo de cada uno de ellos. Para el caso del logaritmo se digita la tecla que está debajo de LOGS, observándose el menú de las funciones exponenciales y logarítmicas. Los elementos que se utilizan son tres: LOG: Logaritmo en base diez (10) 10 ^x: Antilogaritmo LN: Logaritmo Natural.

EJEMPLO 1.3: Calcular el Log de 2. Tecla de cambio  %  LOGS  2  LOG = 0,30103 El Log de 2 es 0,30103

EJEMPLO 1.4: Calcular el antilogaritmo de 0,69897 Tecla de cambio  %  LOGS  0,69897 10 x = 5 El antilogaritmo de 0,69897 es 5 NOTA: Para el LN es el mismo procedimiento sólo se modifica el elemento.

ANTILOGARITMO Para el cálculo del antilogaritmo, se utiliza la tecla marcada como 10^x, y antilogaritmo natural ex.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Obtenga el Log de 25  Calcule el LN de 30  Determine el antilogaritmo de 0,698970004.  Establezca el antilogaritmo natural de 0,69314718.

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MEMORIA Todas las calculadoras

tienen por lo menos un registro de memoria, el utilizar las

memorias permite minimizar la probabilidad de error y la optimización del tiempo. Esta calculadora posee 10 memorias disponibles, numeradas del 0 al 9, las cuales pueden ser utilizadas para acumular números. Para guardar el número que se muestra en pantalla en una memoria, se oprime la tecla [STO] seguida de un número entre 0 y 9; para rescatar un número almacenado en una memoria, se oprime la tecla [RCL] seguida del dígito en donde se encuentre el número que deseamos recobrar. El número se muestra en la pantalla y continúa almacenado en la memoria. Por lo general, resulta innecesario borrar las memorias ya que un número nuevo reemplaza al número almacenado anteriormente. Sin embargo, se puede borrar una memoria almacenando en ella un 0; para borrar todas las memorias simultáneamente, se teclea [STO] [DEL].

MENÚ FINANCIERO Para la solución de ejercicios ya aplicados a la matemática financiera con la calculadora HP, se sigue el siguiente procedimiento:

1. Ubíquese en el menú MAIN (principal). Allí se muestra un tablero de opciones primarias. Los elementos de este menú son: FIN: Menú Financiero COM: Menú Comercial SUMA: Menú Estadístico CALEN: Reloj, Calendario y Cálculos con fechas. RESOL: Programación de la calculadora TEXTO: Agenda

2. Digite la tecla que se encuentra debajo del elemento FIN. El menú FIN (Finanzas) es el más utilizado dentro del campo financiero, bancario y bursátil. Este menú contiene los siguientes submenús: VDT: Valor del Dinero en el Tiempo CONVI: Conversión de Tasas de Interés. 9

F. CAJ: Manejo de fluidos de efectivo BONO: Cálculos con Bonos DEPRC: Cálculos de Depreciación

3. Presione la tecla que se encuentra debajo del elemento VDT. El menú VDT se utiliza para llevar a cabo cálculos de interés compuesto y de anualidades. El menú se divide en dos partes: primario y secundario. El menú primario contiene 6 elementos, que son los siguientes: N: Allí se almacena o calcula el número total de períodos de capitalización (o de pagos, en una anualidad). N puede expresarse en cualquier período de tiempo. %IA: Almacena o calcula la tasa de interés anual, en porcentaje. V. A: Determina el capital o valor presente. PAGO: Calcula la cantidad de cada pago periódico (anualidad). V. F.: Se estima el valor futuro OTRO: Pasa al submenú secundario, que se utiliza para modificar las condiciones de pago y para presentar el menú de amortización. Allí se muestra los siguientes elementos: P/AÑO: Almacena el número de períodos de capitalización por año, importante la relación con la tasa de interés. INIC: Determina el modo inicial, el cual se utiliza cuando la anualidad es anticipada. FINAL: Fija el modo final, el cual se utiliza cuando la anualidad es vencida. AMRT: Muestra el menú para la amortización de una deuda a interés compuesto. Para regresar al menú primario se oprime la tecla [EXIT]. Al utilizar el menú VDT es necesario que las cantidades monetarias sean ingresadas con el signo adecuado, + (más) o - (menos), de acuerdo con la siguiente convención de signos: dinero recibido se ingresa o se presenta en pantalla como un valor positivo, mientras que el dinero cancelado se ingresa o se presenta en pantalla como un valor negativo. Si los valores no se ingresan de manera adecuada atendiendo a su signo, la calculadora podría mostrar el mensaje: “no hay solución”.

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CASIO FC 200 MODO PARA INICIAR LAS OPERACIONES Esta calculadora es un poco más sencilla que la HP, pero para nuestro texto es de gran utilidad, además de ser más económica y estar al alcance de la mayoría de estudiantes. Las operaciones se inician cuando el interruptor que se encuentra a la izquierda se deslice hacia arriba y quede en ON. Como la idea del texto no es reemplazar el manual de la calculadora sino destacar algunos comandos, vamos a señalar algunas teclas claves para el estudiante de la matemática financiera.

SELECCIÓN DE FUNCIONES TECLA DE CAMBIO SHIFT Esta tecla se digita para activar las funciones de color naranja ubicadas arriba de la tecla. Al digitarla aparece en la pantalla la letra S. INGRESO DE CARACTERES ALFABÉTICOS ALPHA Para ingresar los caracteres de color rojo o las memorias se digita la tecla ALPHA.

MENÚ FINANCIERO Para efectuar las operaciones financieras se digita la tecla MODE y el número 4. Al realizar los diferentes cálculos se deben borrar las memorias financieras, se digita SHIFT AC EXE AC. Cuando se encuentra en el menú financiero en la pantalla se muestra FIN.

SELECCIÓN DEL TIPO DE INTERÉS Para indicar el tipo de interés que se va a trabajar, se digita la tecla MODE y el número cero (0), y la calculadora va cambiando el modo. Para trabajar con el interés compuesto debe aparecer en la pantalla la letra C.

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FUNCIONES Las funciones son las siguientes: PRN

INT

COMP n

CFj

Nj

NPV

IRR

i%

PV

PMT

FV

Su forma de trabajar se explica en las páginas 121 a 123 del manual de su calculadora.

MEMORIA El manejo de las memorias es fundamental para ganar tiempo en las operaciones y minimizar el riesgo de equivocarse. La calculadora Fc 200 cuenta con veintiséis memorias y están identificadas con las letras de A a Z de color rojo. Es importante conocer el procedimiento de almacenamiento en la memoria, como la forma de conocer la información guardada.

ALMACENAMIENTO Para guardar información en la memoria la FC 200 cuenta con un gran número de celdas, se identifican porque se les asignó las letras del alfabeto. Para guardar en la memoria se digita STO ALPHA la letra de la casilla que se selecciona (Ejemplo A) y EXE. El procedimiento para guardar en la memoria el valor $1000 en la casilla A es el siguiente: 1000 - STO - ALPHA- A - EXE. CONSULTA Para consultar la memoria y recuperar la información guardada se digita RCL después ALPHA y la letra donde se guardó la información. Si se procede a recuperar la información guardada anteriormente el proceso es: RCL - ALPHA - A - EXE. Para un mejor estudio vaya a la página 133 y 134 del manual de su calculadora, donde además aprenderá a efectuar operaciones con los resultados guardados en las memorias.

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ENCENDIDO DE LA CALCULADORA Pulse ON/OFF.  Si ha utilizado la tecla ON/OFF para apagar la calculadora, ésta volverá al modo de calculadora estándar mostrando un valor de cero. Se mantendrán todos los valores y parámetros de las hojas de trabajo, formatos de número, unidades de ángulo, fechas, separadores y métodos de cálculo anteriores.  Si la calculadora se ha apagado por la acción de Automatic Power Down™ (APD TM), al encenderla estará exactamente igual que cuando la dejó, sin que se hayan perdido ninguno de los parámetros de visualización, memoria almacenada o cualquier operación en curso o condición de error sin resolver.

SELECCIÓN DE FUNCIONES SECUNDARIAS La función principal de una tecla es la que aparece sobre la propia tecla. Por ejemplo, la función principal de la tecla ON/OFF es apagar y encender la calculadora. La mayoría de las teclas incluyen una función secundaria impresa por encima de la tecla. Para seleccionar una función secundaria pulse 2nd y la tecla correspondiente. (Cuando se pulsa 2nd, el indicador 2nd aparece en la esquina superior izquierda de la pantalla). Por ejemplo, al pulsar 2nd [OUIT] se sale de la hoja de trabajo seleccionada y la calculadora regresa al modo estándar. Nota: Para cancelar la acción después de pulsar 2nd, pulse 2nd de nuevo.

USO DE HOJAS DE TRABAJO: HERRAMIENTAS PARA SOLUCIONES FINANCIERAS La calculadora contiene hojas de trabajo que llevan integradas las fórmulas con las que podrá resolver problemas concretos. Solo tendrá que aplicar los parámetros o asignar los valores conocidos a las

variables de la hoja de trabajo, y calcular luego el valor

desconocido. El cambio de los valores permite formular preguntas hipotéticas de tipo qué

ocurre si y comparar los resultados. Excepto para las variables de TVM, a las que se accede en el modo de calculadora estándar, es necesario solicitar todas las demás variables. Por ejemplo, para asignar valores a las variables de amortización deberá pulsar primero 2nd [AMORT] para acceder a la hoja de trabajo Amortización.

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Cada hoja de trabajo es independiente de las demás: las operaciones realizadas en una hoja de trabajo no afectan a las variables de las otras. Al salir de una hoja de trabajo o apagar la calculadora, ésta retiene todos los datos de la hoja de trabajo.

REINICIO DE LA CALCULADORA Cuando se reinicia la calculadora:  Se borran la pantalla, las 10 memorias, los cálculos no finalizados y todos los datos de las hojas de trabajo.  Se recuperan los valores de configuración predeterminados.  Se recupera el funcionamiento del modo de calculadora estándar.

La calculadora dispone de métodos alternativos que permiten borrar datos selectiva mente, por lo que el reinicio de la misma deberá utilizarse con cuidado para evitar la pérdida accidental de datos. (Consulte «Borrado de entradas y memorias de la calculadora» en la página 8.)Por ejemplo, puede reiniciar la calculadora después de utilizarla por primera vez, al iniciar un nuevo cálculo o cuando surja algún problema de funcionamiento y no consiga resolverlo con ninguna de las otras posibles soluciones. (Consulte «Si surge alguna dificultad» en la página 111.)

Pulsación de 2nd [RESET] ENTER 1. Pulse 2nd [RESET). Aparecen los indicadores R5T ? Y ENTER. Nota: Para cancelar el reinicio, pulse 2nd [QUIT). Aparece el valor 0.00. 2. Pulse ENTER. Aparecen R5T y 0.00, lo que confirma que se ha reiniciado la calculadora. Nota: Si se produce una condición de error, pulse CE/C para borrar la pantalla antes de intentar reiniciar la calculadora.

1.2. GENERALIDADES DEL EXCEL En la medida que se aumentan los negocios en el mundo, se han requerido instrumentos mucho más rápidos que permitan la toma de decisiones en períodos breves, y mecanismos que permita realizar comparaciones y elegir la mejor alternativa, sin tener que utilizar constantemente la calculadora para revisar las operaciones efectuadas y el papel para apuntar los resultados. 14

De allí partió la idea de crear un programa que permitiese anotar datos como en las hojas de papel, en celdas o memorias y luego poder efectuar operaciones con ellos. De esta forma las hojas de cálculo se han convertido en el instrumento perfecto para el desarrollo financiero de las empresas, dado que su avance es tal que se permite hacer simulaciones que son fundamentales en la solución de problemas. Para el desarrollo del texto se va a utilizar el EXCEL, hoja de cálculo por excelencia en estos momentos.

CARACTERÍSTICAS La estructura principal que utiliza este tipo de software para almacenar y organizar la información es un área de trabajo en forma de matriz, estructurada por un determinado número de filas y columnas, denominadas hoja de cálculo. Los comandos principales que constituyen el menú principal son: INICIO, INSERTAR, DISEÑO DE PAGINA, FÓRMULAS, DATOS, REVISAR Y VISTA. Para el caso de la matemática financiera es una herramienta fundamental, dada su aplicación para el administrador financiero. Las funciones que más se utilizan se encuentran en el comando FÓRMULA.

Una vez se ingresa a la opción de funciones, la hoja electrónica te muestra las diversas alternativas que se tienen para trabajar, en el desarrollo de este texto se utilizarán fundamentalmente tres: FINANCIERAS, LÓGICAS MATEMÁTICAS Y TRIGONOMÉTRICAS. 15

FUNCIONES FINANCIERAS En este comando se encuentran las diferentes funciones utilizadas en las finanzas, dado que allí ya están programados y organizados los procedimientos matemáticos. Las operaciones de más uso son las siguientes: INT. EFECTIVO: Calcula la tasa efectiva a partir de la nominal. NOMINAL: Devuelve la tasa de interés anual nominal si se conoce la tasa efectiva. NPER: Permite conocer el número de períodos que se requieren para pagar la totalidad de una obligación, cuando las cuotas son pagos iguales. PAGO: Esta función permite calcular el valor de una anualidad cuando se conoce el valor presente o el valor futuro. TASA: Con este comando se calcula el interés a partir del valor de las cuotas y el valor futuro o presente. TIR: Se halla la tasa de rentabilidad del flujo de caja de un proyecto. VA: Conocemos el valor presente de unos pagos futuros. VF: Determina el valor futuro a partir del valor presente o las anualidades. VNA: Calcula el valor presente de un flujo de caja donde se tienen ingresos y egresos.

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FUNCIONES MATEMÁTICAS Y TRIGONOMÉTRICAS De igual forma en el menú funciones también se encuentran las matemáticas y trigonométricas, donde se desarrollan temas como los logaritmos, y las lógicas que se utilizan en el tema de amortizaciones y organización de los flujos de caja. Las funciones que se muestran son las que se requieren: LN: Calcula el logaritmo natural de un número. LOG: Devuelve el logaritmo de un número en la base que se le indique. LOG10: Determina el logaritmo en base diez de un número. POTENCIA: Permite obtener el resultado de elevar un número a una potencia. PRODUCTO: Multiplica una serie de números. RAÍZ: Se obtiene la raíz cuadrada de un número. SUMA: Suma una serie de números ubicados en un rango. SUMAR.SI: Sólo suma los números que cumplen determinada condición.

MENÚ DE FUNCIONES LÓGICAS SI: Se asigna un valor si cumple determinado criterio, sino se le asigna otro valor, se utiliza en las condiciones de pago para las tablas de amortización. Es importante en el manejo del Excel, enlazar todas las variables, porque es allí donde se encuentra la ventaja de la hoja electrónica, dado que ante la modificación de cualquiera de ellas, inmediatamente afecta el resultado sin volver a realizar las operaciones.

1.3 LAS TABLAS FINANCIERAS Buscando optimizar el tiempo en el desarrollo de los ejercicios, se editaron tablas que contienen el valor de un factor, que no es más que el resultado de las diferentes fórmulas como VP, VF y ANUALIDADES, para diferentes períodos y tasas de interés. Cada hoja muestra el resultado para determinada tasa de interés y seis columnas, cada columna es el resultado de la deducción de una incógnita conociendo las demás variables. La hoja está organizada de la siguiente forma:

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TASA 3% N

PAGOS UNICOS

ANUALIDADES A/P

GRADIENTES

F/P

P/F

A/F

F/A

P/A

P/G

A/G

1

1.0300

0.9709

1.0000

1.0000 1.0300

.09709

2

1.0609

0.9426

0.49261

2.0300 0.52261

1.9135 0,9426 0,4926

F/P: Con el valor presente calcular el valor futuro. P/F: Con el valor futuro calcular el valor presente. A/F: Con el valor futuro calcular el valor de la anualidad. F/A: Con una anualidad calcular el valor futuro. A/P: Con un valor presente calcular el valor de la anualidad. P/A: Con el valor de la anualidad calcular el valor presente. P/G: Cálculo del valor presente con el factor de un gradiente aritmético. A/G: Cálculo de la anualidad con el factor de un gradiente aritmético.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Determine el factor para determinar el valor presente con un futuro para N = 5 y una tasa de interés del 3%.  ¿Cuál es el factor para calcular una anualidad si se tiene un valor presente, con N = 6 y una tasa del 2%?

1.4 FUNDAMENTACIÓN DE MATEMÁTICA BÁSICA Para comprender la matemática financiera, el estudiante requiere recordar los conocimientos básicos de las matemáticas básicas, este repaso va a permitir el fortalecimiento de los conceptos para facilitar el desarrollo de la materia. Los temas que se estudiarán son los siguientes:  Logaritmos  Sucesiones y Progresiones.  Ecuaciones. 18

 Radicación  Exponenciación  Pasos para solución de problemas en las matemáticas.

LOGARITMOS Atención: ¿para qué sirven los logaritmos?. Son una herramienta muy útil que permite abreviar diversas operaciones aritméticas. En un principio fueron utilizados para la realización de cálculos aritméticos complejos principalmente en astronomía. Aun cuando hoy existen las calculadoras y los computadores, los cuales facilitan los cálculos, los logaritmos tienen amplia aplicación en muchas áreas de la ciencia, la tecnología, las finanzas, y otras.

DEFINICIÓN: El logaritmo de un número es el exponente al cual se debe elevar un número llamado BASE para obtener el número requerido.

ab = c

Base = a Exponente = b Número = c

EJEMPLO 1.5: Log 10 100 = 2 10? = 100 ¿A cuánto se debe potenciar 10 para que sea igual a 100? La respuesta es 2. Luego, 102 = 100 Loga b = c ¿A cuánto debo potenciar a “a” para que sea igual a “b”? ac = b Se debe potenciar C. 19

Si lo comprende, puede continuar.

Propiedades de los Logaritmos Como el logaritmo es un exponente tiene las mismas propiedades de los exponentes. 1. El logaritmo de los números negativos y de cero no existe en el conjunto de los números reales, es decir: Loga N no existe para todo N menor o igual a cero 2. El logaritmo de uno, es igual a cero, es decir Loga 1 = 0 Se sabe que todo número elevado a la potencia cero es igual a uno en el conjunto de los números reales. 3. El logaritmo del número a en la base a es igual a 1, es decir: Loga a = 1 porque a1 = a 4. El logaritmo del producto de dos números positivos es igual a la suma de los logaritmos de dichos números, es decir Loga AB = loga A + loga B Log (6) (5)= Log 6 + Log 5 5. El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador, es decir Loga A/B = Loga A - Loga B Log 6/5= Log 6 - Log 5 6. El logaritmo de un número positivo elevado a un exponente es igual al exponente multiplicado por el logaritmo del número, es decir: Loga An = n loga A

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Calcular el Log de 45.  Determinar el Log de 4/3.  Estimar el Log 4*6.

BASES DE LOS LOGARITMOS El logaritmo de un número depende de la base que se utilice. Cualquier número positivo diferente de 1 puede ser usado como base de un sistema de logaritmos, luego el número de 20

sistemas de logaritmos es infinito. Sin embargo, los sistemas de logaritmos más utilizados son el sistema de logaritmos decimales que emplea el número 10 como base y el sistema de logaritmos naturales llamado también neperianos.

Sistema de logaritmos decimales Este sistema es también llamado sistema de logaritmos comunes. El logaritmo decimal de un número positivo A, se escribe como log10 A. Al trabajar con logaritmos decimales es costumbre omitir el subíndice 10. De esta forma, log10 A es igual a log A.

Sistema de logaritmos naturales También llamado sistema de logaritmos neperianos. Emplea como base un número irracional representado por la letra “e” cuyo valor aproximado es 2.718281828459.... Se denomina “logaritmo de A en base “e” o “logaritmo natural o neperiano de A”, se acostumbra escribir ln A en lugar de loge A. Al igual que para el cálculo del logaritmo decimal, el logaritmo natural se puede obtener mediante el uso de tablas o de calculadora. Se teclea el número y en seguida se oprime la tecla ln o se digita la tecla ln y en seguida se escribe el número, según el tipo de calculadora que se tenga.

APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS EN LA MATEMÁTICA FINANCIERA. Una de las aplicaciones más importantes de los logaritmos en las finanzas es la solución de ecuaciones en que la incógnita aparece como un exponente. Este caso se presenta en el cálculo del tiempo (n).

EJEMPLO 1.6: Se realiza una inversión de $100 a una tasa del 6% bimestral, ¿en cuánto tiempo se tendrá un valor de $150? Utilizando la fórmula de valor presente, para obtener un valor futuro, tendríamos: 100*(1.06)N = 150 simplificando tenemos que (1.06)N = 1.5 Se saca el logaritmo a ambos lados de la ecuación y se simplifica: Log (1.06)N = log 1.5 N * log (1.06) = log 1.5

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𝑁 =

𝑙𝑜𝑔 1,5 𝑙𝑜𝑔 1,06

N = 6,96

Respuesta: Para alcanzar la inversión del valor de $150 debemos dejar los recursos 6.96 bimestres. NOTA: Esta aplicación se entenderá mejor cuando el estudiante conozca la fórmula de valor presente y valor futuro.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  ¿Cuánto tiempo se requiere para tener el doble del capital actual si mensualmente tiene una rentabilidad del 5%?.  Determine el número de meses que se requiere esperar para alcanzar $ 1.000.000 si hoy se tienen $800.000 y mensualmente tiene una rentabilidad del 2%.

USO DE LA CALCULADORA HP Para el ejemplo que se está trabajando; el logaritmo de 1.5, se digita el número y seguidamente la tecla ubicada debajo del elemento LOG así: 1.5 LOG = 0.176091259 Al digitar la tecla EXIT retorna al menú MATH, y al digitar nuevamente EXIT, se retorna al menú principal MAIN. Si para el ejemplo se requiere el Logaritmo Natural, el elemento marcado será LN, del menú MATH. Para el ejercicio se digita el 1.5 y a continuación se digita la tecla que se encuentra debajo del elemento LN.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Calcular el Ln de 65.  Determinar el Log de 4.  Estimar el Log 8*6.

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CÁLCULO DEL LOG EN EXCEL Se va a calcular el Log de 1.5  Se ingresa por funciones (fx)  La categoría de la función es matemáticas y trigonométricas  Se busca el nombre de la función, para el ejercicio se tomó el LOG 10  Una vez definida la función se señala el valor que se va a calcular. NOTA: Si el cálculo fuese el Logaritmo Natural se seleccionaría LN.

SUCESIONES Y PROGRESIONES SUCESIONES Una sucesión es una lista ordenada de números. Ejemplo: 2, 5, 8, 11, 14 o 3, 6, 12, 24, 48 En la primera parte del ejemplo, el primer término es 2, el segundo 5, el tercero 8 .... Cada término se obtiene sumando 3 al término anterior. En la segunda parte del ejemplo, el primer término es 3, el segundo 6, el tercero 12, ... Cada término se obtiene duplicando el anterior.

PROGRESIONES DEFINICIÓN: Una progresión es una sucesión de números relacionados de tal forma que cada número es igual al anterior sumado o multiplicado por un valor constante. Existen dos clases de progresiones; aritméticas y geométricas.

PROGRESIÓN ARITMÉTICA Se define como progresión aritmética a la sucesión cuya diferencia entre cualquier término y el anterior es la misma a lo largo de toda la sucesión. Esta diferencia se denomina diferencia común (DC). La expresión queda así: A+(A+DC) + (A+2DC) + (A+3DC) + (A+4DC) +.................+ (A+(N-1) DC).

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Dónde: A: Primer término. DC: Diferencia común. N: Número de términos. UT: Último término. La fórmula para calcular el último término es la siguiente: UT= A + (N-1)*DC El valor de la sumatoria de la serie se determina mediante la siguiente fórmula: Sumatoria Serie (SS) =

𝑁∗(𝐴+𝑈𝑇) 2

EJEMPLO 1.7: EJEMPLO DE APLICACIÓN: Se tiene la siguiente serie: 2, 5, 8, 11, 14, 17,20......... El total de términos es de 20. Calcular el UT y la Sumatoria de la serie. A: 2 DC: 3 N: 20 UT = 2+ (20 - 1) * 3 UT = 59 Sumatoria Serie (SS) =

20∗(2+59) 2

Sumatoria Serie = 610.

NOTA: Si se desea conocer un determinado término de la serie, por ejemplo el término 15 del ejercicio anterior, en la fórmula del UT, se reemplaza el UT, por el quince (15). 24

Aplicación en las finanzas:

EJEMPLO 1.8: Se efectúa un crédito de $100 con un interés del 2% mensual. El cliente está de acuerdo en pagar $10 a capital cada mes, más el interés. Al finalizar el primer mes paga $10 más $2 de interés. El total del pago es de $12 y se adeuda $90 al banco. Para el segundo mes se paga $10 de capital más los intereses sobre $90, es decir; $1,80 por lo tanto, el segundo pago sería de $11,80. Para el tercer mes sería $10 de capital y $1,60 de interés Para el cuarto mes sería $10 de capital y $1,40 de interés Para el quinto mes sería $10 de capital y $1,20 de interés Los pagos sucesivos serían: 12, 11.80, 11.60, 11.40, 11.20,.....10.20. La diferencia común es 0.20 (20 centavos)

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Calcular el último término de la siguiente serie:

4, 9, 14,19.....................N

La serie tiene 15 términos.  Determinar la Sumatoria de la siguiente serie: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35.

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO

Una progresión es geométrica (PG) cuando en una sucesión de términos, cada término es igual al anterior multiplicado por una constante denominada RAZÓN. Ejemplo: 2, 6, 18, 54, 162

2, 2x31, 2x32, 2x33, 2 x34

La RAZÓN es 3. Si A es el primer término y r es la razón, los términos sucesivos de la progresión geométrica (PG) son: 25

A, Ar, Ar2, Ar3 En esta PG se observa que la potencia de r en cualquier término es menor en uno al número de términos (N). Esto permite concluir que el último término o término n-ésimo se obtiene de la siguiente forma: UT = a*rn-1 Para calcular la sumatoria de la serie, se aplica la siguiente fórmula: Sumatoria Serie (SS) =

r∗UT – A r−1

EJEMPLO 1.9: Se tiene la siguiente serie: 2, 4, 8, 16, 32, si la serie tiene 10 términos, calcule el último término, y la sumatoria de la serie. A = 2, r = 2, N = 10, UT= UT = 2* 29 UT = 1024 El último término de la serie es 1024. La sumatoria de la serie se calcula así: Sumatoria serie (SS) =

(2∗1.024)−2) 2−1

SS = 2.046 La sumatoria de la serie es de 2.046.

EJEMPLO 1.10: APLICADO A LAS FINANZAS: Se depositan $100 en una entidad financiera que paga 1% mensual. ¿Cuánto dinero se tendrá al finalizar un año? Los intereses se capitalizan cada mes. Al finalizar el primer mes se tendría 26

100 + 100(0.01) = 101 El valor de la inversión para el segundo mes sería: 101 + 1% de 101 

101 (1.01) 

esto es equivalente a 100(1.01)2

De igual forma el valor de la inversión para el tercer mes sería: 100(1.01)3 La sucesión sería 100, 100(1.01)1, 100(1.01)2, 100(1.01)3... Demostrando la aplicabilidad de la progresión geométrica para el cálculo de resultados donde se trabaja con el interés compuesto.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Determine el décimo término de la siguiente progresión: 2, 6, 18, 54,......................  Calcule la sumatoria de la siguiente serie, la cual está compuesta por 8 términos: 4, 8, 16, 32,............

ECUACIONES Una ecuación es una igualdad en la que existen una o varias cantidades desconocidas denominadas incógnitas, y sólo es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

GRADOS DE UNA ECUACIÓN El grado de una ecuación está determinado por el mayor exponente de la incógnita en la ecuación. En una ecuación de primer grado el mayor exponente de X es 1. Ejemplo: 2X+8= 20 En una ecuación de segundo grado el mayor exponente de X es 2. Ejemplo: X2- + X + 15=0 En la matemática financiera, el uso de las ecuaciones se limita a ecuaciones de primer grado con una incógnita, cuando se hace referencia a una incógnita se precisa que sólo se desconoce una variable.

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El éxito de un estudiante de matemática financiera radica en el buen planteamiento de la ecuación, y éste se da cuando existe claridad en la ubicación de la incógnita.

EJEMPLO 1.11: Determinar el precio de contado de un artículo que se financió de la siguiente forma cuota inicial, 30% del valor de contado y $500.000 a 30 días (1 mes), con un interés del 2% mensual. La ecuación se plantea para el momento 0, porque es allí donde se quiere conocer el valor de contado. Valor de Contado = X X = 0,3X+500.000/(1,02)

ANÁLISIS El precio de contado es igual al 30% de ese valor, más los 500.000, pero trayéndolos al momento cero, o sea, trayéndolos a valor presente.

SOLUCIÓN:

X-0,3X= 500.000 / 1.02 0,7X = 490.196,07 X = 490.196,07 /0,7 X = 700.280,11 RTA: El valor de contado del artículo es de $700.280,11

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

 Determine el valor de X de la siguiente ecuación: 10x – 5 = 4x + 20  Despeje el valor de X:

6𝑥 2

+

8𝑥 = 120 4

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RADICACIÓN La raíz de un valor x, es aquel número que elevado a una potencia da como resultado el valor inicial. Ejemplo: La raíz de 16(dieciséis), su raíz cuadrada es 4(cuatro), porque al elevar 4 al cuadrado, se obtiene la cifra inicial de 16. El concepto de radicación se aplica en la matemática financiera para el despeje de la tasa de interés cuando se conoce los valores presente y futuro y el número de períodos.

EJERCICIO DE APLICACIÓN: La operación que regularmente se utiliza es la de supresión del índice y del exponente.

EJEMPLO 1.12: (1+ i )3 -1=0, 08 (1+ i )3 = 1+0, 08 ((1 + i) 3) 1/3 = (1,08)1/3 (1+ i) = 1,025985 i = 1, 025985-1 i =0,02598 RTA: El valor de i = 2,5985%. Para despejar i se elevan las dos partes en (1/3) o expresado de otra forma se saca raíz cúbica a ambos lados, con el propósito de eliminar el exponente 3, porque cuando el exponente del radicando es igual al índice de la raíz, los dos valores se eliminan.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Determinar el valor del interés despejando la siguiente ecuación: (1+ i)4 -1 = 16%  Calcular la tasa de interés de: (1+ i)3 -1= 10%

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EXPONENCIACIÓN Un exponente se puede definir como el producto de un número real que se multiplica por sí mismo un determinado número de veces.

EJEMPLO 1.13 X * X = X2 X * X * X = X3 La X se denomina base y el número al cual se encuentra elevado se denomina exponente. El exponente indica el número de veces que la base se toma como factor. Leyes Exponenciales: PRODUCTO DE DOS EXPONENTES CON LA MISMA BASE: El producto de dos exponentes con la misma base es equivalente a elevar la base a la suma de los exponentes.

EJEMPLO 1.14: 54 * 52 = 54+2 COCIENTE DE DOS EXPONENTES CON LA MISMA BASE El cociente de dos exponentes con la misma base es similar a elevar la base por la diferencia del exponente del numerador menos el denominador.

EJEMPLO 1.15: 54 / 52 = 54 - 2

EXPONENTE DE UN EXPONENTE Al elevar un exponente a otro exponente, se eleva la base al producto de sus exponentes.

EJEMPLO 1.16: (54)2 = 54 * 2 EL EXPONENTE CERO Cualquier base cuyo exponente sea igual a CERO, su resultado es 1.

30

EJEMPLO 1.17: 50 = 1 EXPONENTE NEGATIVO Cuando la base tiene un exponente negativo éste es igual a 1 sobre esta misma base con exponente positivo.

EJEMPLO 1.18 5-4 = 1 / 54

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Determine el resultado del producto de las siguientes potencias: X3 * X4  Calcule el resultado de la siguiente expresión: (52)3 + 44  Determinar el resultante de: (6 * 5)2

LOS DIEZ PASOS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA MATEMÁTICA FINANCIERA La razón de existir este texto es la búsqueda de la forma para que el estudiante le encuentre gusto a las matemáticas, en especial a la financiera, es tratar de sugerir unos pasos estándar que se apliquen en la solución de cualquier problema matemático. Los diez pasos que, con mucho respeto, le sugiero a un estudiante interesado en resolver todo ejercicio que se le presente son los siguientes:

1. Piense que la matemática es muy fácil, es lógica, y exacta, que tú eres bueno para las matemáticas. 2. Lea cuidadosamente el problema sin dejar escapar detalle alguno. 3. Trate de aplicarlo a la cotidianidad de su vida, si la realidad te presenta esta situación. ¿Cuál sería la forma de darle solución? 4. Tenga claridad en la pregunta del ejercicio. 5. Plantee el camino para encontrar la respuesta, aquí se utiliza el diagrama del flujo de caja. 6. El diagrama del flujo de caja le orienta cuando ingresa dinero y en qué momento efectúa erogaciones, de igual manera el período en el cual está ubicada la incógnita. 31

7. Plantee la ecuación que le va a permitir efectuar las operaciones requeridas en el desarrollo del ejercicio. 8. Evalúe las operaciones efectuadas, quizás se haya equivocado en alguna, o digitó mal la calculadora o el computador. 9. Revise si la repuesta está dentro de la lógica. 10. Interprete el resultado para saber dar respuesta a la pregunta.

1.5 FUNDAMENTACIÓN COMERCIAL PORCENTAJE Como porcentaje se define la proporcionalidad que se establece con relación a cada cien unidades. Se describe con el signo %. Si se expresa el 20%, esto quiere decir veinte unidades por cada 100, se representa de otras formas como: 20/100, 0.20.

EJEMPLO 1.19: La tasa de interés mensual es el 3%. Esto significa que mensualmente por cada $100 que a usted le presten, debe pagar $3.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Determine el interés por un crédito de $1.000.000, si la tasa cobrada es 2% mensual.  Para financiar un electrodoméstico se requiere pagar el 20% de cuota inicial, cual será la cantidad de dinero a desembolsar, si el artículo tiene un valor de $6.000.000=.

DESCUENTO COMERCIAL El descuento comercial se define como una rebaja sobre el precio de lista de un artículo o mercancía y se expresa como un por ciento del precio fijado. Los descuentos en el comercio se dan por las siguientes razones:  POR VOLUMEN 32

 PAGO DE CONTADO, O ANTES DEL VENCIMIENTO.

EJEMPLO 1.20: Un almacén mayorista, vende mercancía a la empresa ABC por un valor de $10.000.000, dado su volumen de compra, le concede un descuento del 10%, y si la empresa ABC paga de contado le da un descuento del 5%. Si ABC, pagó de contado determine el valor de la factura. VALOR INICIAL DE LA FACTURA $10.000.000 Descuento por volumen (10%) Valor descuento 10.000.000 x 10%= 1.000.000

VALOR FACTURA $9.000.000 Descuento pago de contado (5%) Valor descuento 9.000.000 x 5% = 450.000

VALOR FINAL DE LA FACTURA $8.550.000 Aquí se observa que al efectuarse dos o más descuentos comerciales, éstos deben ser sucesivos.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

Determine el pago final de una factura, la cual tiene un valor de $30.000.000, por volumen tiene un descuento del 15%, y por pago de contado de un 4%.

DETERMINACIÓN DEL PRECIO DE VENTA Para determinar el precio de venta de un artículo, se debe conocer el costo y el margen de utilidad. La fórmula es la siguiente: PRECIO DE VENTA = COSTO DE VENTA + UTILIDAD BRUTA

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La utilidad bruta se determina como el margen de utilidad multiplicado por el precio de venta.

EJEMPLO 1.21: EJERCICIO DE APLICACIÓN Cuál es el precio de venta de un artículo cuyo costo es de $5.000.000= y el margen de utilidad que se espera obtener es del 30%.

Se reemplaza en la fórmula: PV = 5.000.000 + 0, 3 * PV 0, 7 PV =5.000.000 PV = 5.000.000 / 0,7 PV =7.142.857 El precio al que se espera vender el artículo es de $7.142.857.

EJERCICIO DE PRÁCTICA  Usted inicia un negocio de ventas de empanadas, el costo unitario es de $400, si se espera alcanzar un margen de utilidad del 50% determine el precio de venta de cada empanada.  Si el costo de fabricar una carrocería es de $12.000.000, y el margen de utilidad esperado es el 15%, determine el precio de venta de cada carrocería.

AUTOEVALUACIÓN a. Cómo debo operar la calculadora financiera para obtener el 37.8% de 4’850.000. b. Comente cuál es el proceso para trabajar las funciones financieras en Excel. c. ¿Entiendo la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica? d. En una ecuación de primer grado cuál es el mayor exponente de X. e. En una operación matemática de exponenciales, cuál es el procedimiento para realizar la siguiente operación: (65)4. 34

f.

¿Cómo se determina el descuento comercial? ¿Tienen las grandes empresas ventajas sobre las pequeñas, allí?

g. ¿Conociendo el margen de utilidad es suficiente para determinar el precio de venta de un artículo?

GLOSARIO AHORRO: Parte del ingreso que una persona o ente jurídico no gasta en consumo, sino lo pospone para algún momento futuro.

COMERCIALIZACIÓN: Proceso mediante el cual los productos se trasladan de los productores a los consumidores.

COMERCIO EXTERIOR: Intercambio de productos y servicios entre países. DESCUENTO: Disminución del valor nominal de un título valor por pago anticipado. ECUACIÓN: Es una igualdad de valores, que relacionan dos o más variables, y que permite conocer los valores numéricos asignados a las letras.

FACTURA COMERCIAL: Documento en el que se fija el valor de la mercancía vendida. FINANZAS: Rama de la administración de empresas que se preocupa por el flujo de fondos que requiere la empresa para su funcionamiento y la generación de utilidades.

ÍNDICE: Indicador que tiene por objeto medir las variaciones de un fenómeno económico. INGRESO: Remuneración percibida por un trabajador por los servicios prestados durante un período de tiempo.

INSOLVENCIA: Incapacidad para pagar las deudas en la fecha fijada. INSTITUCIÓN FINANCIERA: Empresa cuya actividad es la intermediación financiera. INSTRUMENTO FINANCIERO: Documento que representa una deuda. INVERSIÓN: Asignación de recursos económicos en determinado negocio cuyo propósito es el de obtener ganancias en un período de tiempo.

INVERSIONISTA: Persona que emplea sus recursos económicos para adquirir activos productivos o títulos valores en el mercado financiero y bursátil.

MARGEN DE INTERMEDIACIÓN FINANCIERA: Es la diferencia entre las tasas de interés de colocación y de captación.

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MARGEN DE UTILIDAD: Es el margen que desea obtener quien vende un producto, el cual se determina restando al precio de venta el costo medio, y su resultado se divide por el precio.

PRECIO: Cantidad de dinero que se paga por la adquisición de una mercancía o servicio. PRÉSTAMO: Contrato mediante el cual una persona denominada prestamista entrega un bien que le pertenece a otra persona llamada prestatario, con el propósito que éste lo disfrute, pague un interés y se comprometa a devolverlo en un determinado período de tiempo.

FÓRMULAS F/P: Con el valor presente calcular el valor futuro. P/F: Con el valor futuro calcular el valor presente. A/F: Con el valor futuro calcular el valor de la anualidad. F/A: Con una anualidad calcular el valor futuro. A/P: Con el valor presente calcular el valor de la anualidad. P/A: Con el valor de la anualidad calcular el valor presente. P/G: Cálculo del valor presente con el gradiente aritmético. A/G: Cálculo de la anualidad con el gradiente aritmético. Factores para aplicar con las tablas financieras. UT= A + (N-1)*DC Cálculo del último término en una progresión aritmética. Sumatoria Serie (SS) =

𝑁∗(𝐴+𝑈𝑇) 2

Cálculo del valor de la sumatoria de la serie de una progresión aritmética, donde: A: Primer término. DC: Diferencia común. N: Número de términos. UT: Último término.

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UT = a*rn-1 Cálculo del último término en una progresión geométrica. Sumatoria Serie (SS) =

r∗UT – A r−1

Cálculo del valor de la sumatoria de la serie de una progresión geométrica. PRECIO DE VENTA = COSTO DE VENTA + UTILIDAD BRUTA Determinación del precio de venta

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CAPÍTULO 2

INTERÉS

JUSTIFICACIÓN El concepto interés es la base donde se fundamenta la matemática financiera, cuantifica el valor del dinero en el tiempo. En otras palabras, es la forma como el inversionista conoce el valor que debe pagar como usuario del dinero, o la compensación que se da a la persona que deja utilizarlo en el presente en aras de que otro lo haga. En este capítulo se conocerán las diferentes formas como las entidades financieras cobran y pagan por captar el dinero de los ahorradores y a su vez como lo prestan a los inversionistas. Así mismo, el estudiante o la persona común y corriente aprenderá a calcular el verdadera rentabilidad o costo de su dinero, para que de esta forma tenga argumentos en el proceso de seleccionar alternativas de inversión.

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MIS OBJETIVOS Como estudiante debo:  Comprender y manejar, como parte de mi profesión, el concepto valor del dinero en el tiempo.  Entender y manejar con habilidad las tasas de interés.  Diferenciar interés simple e interés compuesto y saber con claridad cuándo es preciso utilizarlos.  Distinguir tasa nominal y tasa efectiva, con la finalidad de realizar bien los cálculos financieros que estén bajo mi responsabilidad.  Aprender a calcular una tasa efectiva, partiendo de una nominal.  Comprender la importancia de calcular tasas nominales, a partir de efectivas.

CONDUCTA DE ENTRADA Amigo estudiante la evaluación de entrada le permitirá saber si cuenta con los conocimientos y conceptos necesarios para continuar su estudio en finanzas. Así conocerá sus deficiencias y podrá superarlas antes de empezar a estudiar esta nueva unidad. Responda estas preguntas y reflexione sobre sus respuestas y sobre sus fortalezas y debilidades en este tema. Haga más fuertes sus conocimientos y supere sus deficiencias de una vez, y el manejo financiero será parte de su éxito.

1. ¿Podría describir la diferencia existente entre el uso de la calculadora financiera, el Excel y las tablas financieras? ¡Inténtelo! 2. ¿Puede representar el proceso de llegar al menú financiero de la calculadora Hewlett Packard? ¡Por favor hágalo! 3. ¿Cuál sería el proceso utilizado en Excel para trabajar las funciones financieras? 4. ¿Puede hablar sobre el uso de los logaritmos en la matemática financiera? ¿Tienen alguna importancia? ¿Cómo se usan? 5. ¿Cuándo una empresa ofrece descuentos por diferentes conceptos, para liquidar el valor del descuento, se utiliza la misma base?

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2.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Al ingresar ya en el campo financiero, el concepto más importante que debe tener claro el estudiante tanto como el profesional en finanzas es la incidencia del tiempo en el valor del dinero. No es lo mismo disponer de un millón de pesos hoy que dentro de un año, ya que, si cuento con el dinero hoy, lo puede usar en el momento, y aprovechar una oportunidad de negocio, en segunda instancia, porque éste va perdiendo valor como consecuencia de la inflación, y en tercera instancia, porque al prestar el dinero se está asumiendo el riesgo de que no sea devuelto en la fecha fijada, o nunca regrese. Por lo tanto, un millón de pesos en el momento actual será equivalente a un millón de pesos más una cifra adicional dentro de un año. Esta cantidad adicional es la que compensa la pérdida de valor que sufre el dinero durante ese período, un ingreso por asumir el riesgo de prestarlo y la utilidad de quien pospone su uso para cederle su derecho a otro. Hay dos conceptos básicos:  Ante dos capitales de igual cuantía en momentos diferentes, se preferirá aquél que sea más cercano al día de hoy.  Ante dos capitales de distinta cuantía en momentos diferentes, se prefiere el de mayor valor pero comparado en un mismo momento. Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay que hallar el equivalente de los mismos en igual momento, y para ello se utilizan las fórmulas de matemática financiera.

EJEMPLO 2.1: ¿Cuál opción es preferible: disponer de cuatro millones de pesos dentro de un año o de ocho millones dentro de cuatro años? Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes de ambos importes en un mismo instante. Así, por ejemplo, si aplicando las fórmulas de matemática financiera con determinada tasa de interés (25% anual), resulta que el primer valor equivale a 3,2 millones hoy y el segundo equivale a 3,216 millones, veremos que es preferible elegir la segunda opción. Se han calculado los valores equivalentes en el momento actual, pero se podría haber elegido cualquier otro instante (dentro de 1 año, dentro de 4 años, otro.), y el resultado habría sido el mismo.

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Las fórmulas que permiten calcular el equivalente de un capital en un momento posterior, se llaman leyes de capitalización. Estas leyes financieras, permiten sumar o restar capitales en distintos momentos.

EJEMPLO 2.2: Si se va pagar 1 millón de pesos dentro de 6 meses y 2 millones dentro de 9 meses, no se pueden sumar directamente, sino que se deben hallar sus equivalentes en un mismo instante (el momento actual, dentro de 6 meses, 9 meses...) Y entonces, si se podrá efectuar la suma.

2.2 LA TASA DE INTERÉS La tasa de interés, entendida como el costo del dinero en el tiempo, también se puede definir como el ingreso que debe recibir su dueño por no hacer uso de él hoy, o el precio que debe pagar alguien por tener acceso al dinero hoy. Es quizás la variable que más incide en la toma de decisiones cuando se trata del manejo de las finanzas. Cuando usted acude a una entidad financiera debe tener en cuenta diferentes aspectos para saber en definitiva cuál es el costo del crédito que va a solicitar o cuánto es lo que en realidad va a ganar por dejar su dinero allí. Para tener claridad sobre estas situaciones, se van a recordar conceptos como:  Interés Simple.  Interés Compuesto.  Tasa de Interés Nominal.  Tasa de Interés Efectiva.

EL INTERÉS SIMPLE: Es una fórmula financiera que permite calcular el equivalente de un capital en un tiempo futuro cuando no se capitalizan los intereses, es una ley que se utiliza exclusivamente en el corto plazo (períodos menores de 1 año). La fórmula que sirve para determinar los intereses que genera un capital (valor presente) es la siguiente: I=P*i *n 41

“I” Son los intereses que se generan. “P” Es el capital inicial (en el momento n = 0), es decir, el valor presente. “i” Es la tasa de Interés que se aplica. “n” Es el tiempo que dura la inversión.

CARACTERÍSTICAS:  El capital inicial permanece constante durante el período de la operación financiera, puesto que los intereses no se capitalizan.  El valor de los intereses es igual en todos los períodos.  No capitaliza sobre los intereses no pagados, la base de liquidación sigue siendo el capital inicial. (Ver tabla pág.50)

EJEMPLO 2.3: Determinar los intereses que generan cinco millones de pesos a una tasa del 15% anual en un plazo de un año, y el valor a pagar una vez finalizado el período. I = 5’000.000 * 0,15 * 1 I = 750.000 pesos El valor de los intereses es de $750.000. Una vez que se ha calculado el importe de los intereses se determina el valor futuro. V. F = P + I V. F = P + (P * i * n) V. F = P * (1 + (i * n)) V. F

 (Sustituyendo “I” por su equivalente)  (Sacando factor común “P”)

“Es el capital final con un interés simple”.

Para el ejemplo se tendría: V.F = 5’000.000x (1+(0,15x1)) V.F = 5’750.000= Nota: Es importante tener en cuenta que: el interés y el plazo deben referirse a la misma medida de tiempo (si el interés es anual, el plazo debe ir en años, si el interés es mensual, el plazo irá en meses.) 42

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora, intentemos desarrollar el siguiente ejercicio, para estar seguros de la comprensión del tema: Si a usted le prestan $1.000.000= por 6 meses, a un interés simple del 2% mensual. ¿Cuánto dinero deberá desembolsar al finalizar el período?. ¿Puede dar respuesta al siguiente ejercicio? desarrollémoslo: ¿Cuál es el valor mensual que usted debe cancelar si le otorgan un préstamo de $500.000= por un trimestre, si el interés es simple, con una tasa del 3% mensual?

INTERÉS COMPUESTO: El interés compuesto es aquel que permite calcular el equivalente de un capital en un futuro pero a diferencia del interés simple, los intereses pasan a ser parte del capital. La diferencia entre el interés simple y el interés compuesto, radica en que en el interés simple sólo genera interés el capital inicial, mientras que en el compuesto, se considera que los intereses que va generando el capital inicial, van formando nuevo capital. La fórmula de capitalización compuesta que permite calcular los intereses es la siguiente: I = P * ((1 + i)n - 1) “I” Son los intereses que se generan “P” es el capital inicial (en el momento n = 0) “i” es la tasa de interés del período de capitalización. “n” es el tiempo que dura la inversión

EJEMPLO 2.4: Continuando con el ejemplo 2.3, el valor de los intereses con interés compuesto sería el siguiente: I = 5.000.000 * ((1+0, 0125)12 -1) I = 803.772,58 El total del interés es de $803.772,58 El valor futuro que tendría el inversionista sería de $5.803.772,58.

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NOTA: Obsérvese que el interés que se aplicó fue el mensual, porque el período de capitalización es el mes. LIQUIDACIÓN COMPARATIVA EN EXCEL DEL INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO.

En el cuadro siguiente se va a mostrar el ejercicio realizado con las fórmulas, pero mediante la liquidación periódica en la hoja electrónica. El supuesto del ejercicio es que los créditos se realizan con la condición de que todo se paga al finalizar el año.

En este cuadro es importante observar cómo en el interés compuesto periódicamente aumenta el valor de los intereses, mientras que en el simple permanece constante. De igual forma el capital adeudado es igual, mientras que en el compuesto va aumentando a medida que se capitalizan los intereses. El resultado obtenido es equivalente a lo mostrado mediante las fórmulas, donde se muestra que el interés compuesto es el de mayor costo.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora intentemos desarrollar los mismos ejercicios elaborados con el interés simple, pero aplicando el interés compuesto, para comprender de mejor manera las diferencias.

Si a usted le prestan $1.000.000= por 6 meses, a un interés compuesto del 2% mensual. ¿Cuánto dinero deberá pagar al finalizar el período? 44

Intentemos, nuevamente con el segundo ejercicio: Cuál es el valor mensual de interés que usted causa mensualmente, si le otorgan un préstamo de $500.000= por un trimestre, el interés a cobrar es el compuesto, con una tasa del 3% mensual y el compromiso es de pagar la totalidad de dinero al finalizar el período?

2.3 TASA DE INTERÉS NOMINAL (IN): Es la que se declara en las operaciones financieras, equivale a la tasa de interés del período (Ip) por el número de períodos. Siempre al enunciarla se le adiciona el período de capitalización. Nominal; significa aparente, es decir, no real, por lo tanto se debe convertir a efectiva. ¿Qué es el período de capitalización? El período de capitalización, corresponde al tiempo en el cual se considera la ganancia de interés del capital.

CLASIFICACIÓN DE LA TASA NOMINAL La tasa de interés nominal se clasifica en vencida y anticipada. Vencida: Cuando el interés se cobra o paga al vencerse cada uno de los períodos de capitalización. Anticipada: Cuando el interés se cobra o paga al iniciarse cada uno de los períodos de capitalización.

EJEMPLOS DE TASA NOMINALE: Vencida 24% anual mes vencido. Tasa Nominal: 24% Período de la tasa nominal: año. Período de capitalización: mes vencido. Anticipada 30% anual trimestre anticipado. 45

Tasa Nominal: 30%. Período de la tasa nominal: Año Período de capitalización: Trimestre anticipado Nota: Se sabe que es una tasa nominal porque cuando hace referencia al tiempo, va acompañado del período de capitalización, para el ejemplo era mes vencido y trimestre anticipado.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Para una mejor comprensión los invito a indicar cuál es la tasa nominal, el período de la tasa nominal y el período de capitalización. 30% anual trimestre vencido 12% semestral mes anticipado

2.4 TASA DE INTERÉS EFECTIVA: Es aquella que indica cuál es el verdadero costo de un crédito o la verdadera rentabilidad de una inversión. Como la tasa nominal está expresada en vencida y anticipada; las siguientes son las fórmulas para hacer el cálculo del interés efectivo.

Fórmulas: Interés Vencido: Ie = (1+ ip)n -1 Interés Anticipado: Ie = (1 - ip)-n -1 Antes de explicar el procedimiento de cómo se determina el interés efectivo, es importante recordar cómo se determina el interés del período de capitalización (ip). PROCESO PARA CALCULAR EL ip.  Se toma la tasa nominal  Se determina n. número de veces que está el período de capitalización en el período del interés nominal.  Se divide el interés nominal en el valor de n, y es el ip

46

Cuando se dice ip se hace referencia al interés del período de capitalización.

𝑖𝑝 =

𝐼𝑛 𝑛

Cálculo de la tasa de interés de los períodos de capitalización. INTERÉS

TIPO

Ip

32%

Anual mes vencido

Nominal

2,66% mensual

16%

Semestral trimestre vencido

Nominal

8% trimestral

24%

Anual

Efectivo

24% anual

4%

Bimestral

Efectivo

4% bimestral

18%

Semestral mes vencido

Nominal

3% mensual

15%

Semestral bimestre vencido

Nominal

5% bimestral

24%

Anual bimestre anticipado

Nominal

4% bimes.anticipado

Nota: La tasa efectiva no hace referencia al período de capitalización. Ejemplo: 18% anual.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Para una mejor comprensión los invito a indicar de la tasa nominal, el interés del período de capitalización. 36% Anual trimestre vencido. 15% Semestral mes vencido. 9% Trimestral mes vencido.

Cálculo del Interés Efectivo a partir de una tasa de Interés Nominal Vencida. EJEMPLO 2.5: 24% anual mes vencido Determine el interés efectivo del semestre.

PASOS: Se determina el período de capitalización (MES)

47

Se establece el período de la tasa nominal (AÑO) Se calcula el número de veces (n) que está el período de capitalización en el período de la tasa nominal. (12) Se divide la tasa nominal en n y se calcula el ip ip = 24%/12 ip =2% El interés del mes es del 2%. Se señala el período de cálculo del interés efectivo (n), número de veces que está el período de capitalización en el período de cálculo del interés efectivo (6). n = 6 Porque en un semestre hay 6 meses. Se aplica la fórmula. Interés Efectivo Semestral Ie = (1+0,24%/12)6 - 1 Ie = (1,02)6 - 1 Ie = 0.12616 Ie = 12.616 % Semestral Ahora determine el interés efectivo del trimestre. Interés efectivo trimestral ip = 24%/12 = 2% mensual n= 3 En un trimestre hay 3 meses. Ie = (1 + 0,02)3 - 1 Ie = 6.1208 % Trimestral

EJEMPLO 2.6: Con una tasa nominal del 18% semestral mes vencido, calcular: 

Tasa Efectiva Semestre

ip = 18%/6 = 3% mensual n = 3 En un semestre hay 6 meses. Ie = (1 + 0,03)6 - 1 48

Ie = 19.40 % semestral



Tasa Efectiva Trimestral

ip = 18%/6 = 3% mensual n = 3 En un trimestre hay 3 meses. Ie = (1 + 0,03)3 - 1 Ie = 9.27% trimestral



Tasa Efectiva Bimestral

ip = 18%/6 = 3% mensual n = 3 En un bimestre hay 2 meses. Ie = (1 + 0,03)2 - 1 Ie = 6.09% bimestral

EJEMPLO 2.7: Con una tasa del 36% anual bimestre vencido, calcular: 

Tasa efectiva semestral

El período de capitalización es el BIMESTRE ip = 36%/6 = 6% Bimestral n = 3 En un semestre hay 3 bimestres. Ie = (1 +0,06)3 - 1 Ie = 19.1% semestral



Tasa efectiva bimestral

ip = 36%/6 = 6% bimestral n = 1 En un bimestre hay 1 bimestre. Ie = (1 + 0,06)1 - 1 Ie = 6% bimestral



Tasa efectiva anual

ip = 36%/6 = 6% bimestral 49

n = 6 En un año hay 6 bimestres. Ie = (1 + 0,06)6 -1 Ie = 41.8 % anual

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Evaluémonos antes de seguir con el siguiente tema, calcular las tasas efectivas anuales y semestrales de las tasas nominales que se muestran a continuación: 

36% anual bimestre vencido.



15% semestral trimestre vencido.



9% trimestral mes vencido.

Cálculo del Interés Efectivo a partir de una tasa de Interés Nominal Anticipado. Existe interés anticipado cuando se paga el interés del primer período de capitalización una vez que se efectúa el préstamo. Por ejemplo si se efectúa un préstamo de $1.000.000= al 24% anual mes anticipado, en el momento que le hacen el desembolso el usuario del crédito debe pagar de interés el 2%, es decir $20.000=, y así sucesivamente el interés se va pagando al principio del mes. Fórmula: Ie = (1 - ip)-n -1 Su cálculo es de la misma forma que el interés vencido, sólo se diferencia en la fórmula.

EJEMPLO 2.8: Con una tasa nominal del 24% anual mes anticipado, determine el interés efectivo del año. ip = 24%/12 = 2% mes anticipado n = 12 En un año hay 12 meses. Ie = (1 - 0.02)-12 - 1 Ie = 0.2743 Ie = 27.43% anual El interés efectivo del año es el 27,43% anual.

EJEMPLO 2.9: Conociendo la tasa nominal del 16% semestral bimestre anticipado, establezca el interés efectivo semestral. 50

Ip = 16%/3 = 5,3% bimestre anticipado. n = 3 En un semestre hay 3 bimestres. Ie = (1 - 0.053)-3 - 1 Ie = 1.1774 - 1 Ie = 0.1774 Ie = 17.74% semestral El interés efectivo del semestre es del 17,74%.

EJEMPLO 2.10: Conociendo la tasa nominal del 16% semestral trimestre anticipado establezca el interés efectivo anual. ip = 16%/2 = 8% trimestre anticipado. n = 4 En un año hay 4 trimestres. Ia = (1 - 0.08)-4 -1 Ia = 0.3958 Ia = 39.58% anual El interés efectivo del año es del 39,58%.

EJEMPLO 2.11: Conociendo la tasa nominal del 4% bimestre anticipado, establezca el interés efectivo del bimestre. ip = 4%/1 = 4% bimestre anticipado. n = 1 En un bimestre hay 1 bimestre. Ib = (1 - 0.04)-1 - 1 Ib = 0.0416 Ib = 4.16 bimestral efectivo El interés efectivo del bimestre es del 4,16%.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Al haber realizado varios ejercicios vamos a verificar que ya se ha adquirido agilidad en el desarrollo de éstos. 51

Calcular el interés efectivo semestral y anual de las siguientes tasas nominales: 

36% anual semestre anticipado



4% bimestral mes anticipado.



18% semestral trimestre anticipado.



9% trimestral mes anticipado.

2.5 TASAS EQUIVALENTES. Se denomina equivalente al término que significa igual, es decir su resultado es el mismo, para el caso de las tasas, es que a pesar de que se enuncien dos tasas de forma diferente el costo efectivo es igual.

Cálculo del Interés Nominal Vencido partiendo de una Tasa Efectiva. A pesar que el procedimiento es en sentido inverso al cálculo de la tasa efectiva a partir de la nominal, el punto clave también es la determinación del ip.

Con esta fórmula se determina el interés del período de capitalización.

ip = (1 + Ie)(1/n) - 1 EJEMPLO 2.12: Conociendo que la tasa efectiva es el 19.4% semestral. Se va a calcular la tasa semestral mes vencido.

Pasos:  Se determina el período de capitalización de la tasa nominal (MES).  Establece el número de veces que está el período de capitalización en el período del interés efectivo. (6).  Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip.

imes = (1 + Isemestre)(1/6) - 1

52

i mes = (1 + 0,194)(1/6) - 1 i mes = 0,03

 Una vez calculado el ip se multiplica por el número de veces que está el período de capitalización en el período de la tasa de interés nominal (n) 3% = mensual n = 6 En un semestre hay 6 meses. 3% x 6 = 18% semestral mes vencido

EJEMPLOS 2.13: Conociendo la tasa efectiva del 41.8519% anual, establezca la tasa nominal anual bimestre vencido.

PASOS:  Se determina el período de capitalización (BIMESTRE).  Establece el número de veces que está el período de capitalización en el período del interés efectivo. (6). En el año hay seis bimestres.  Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip

ibimestre = (1 + Iaño)(1/6) - 1 i bimestre = (1 + 0, 418519)(1/6) - 1 i bimestre = 0, 06 6% = bimestral n = 6, En un año hay 6 bimestres. Tasa Nominal = 6% x 6 = 36% anual bimestre vencido

EJEMPLOS 2.14: Con un interés efectivo del 41.1581% anual, determine la nominal semestral trimestre vencido. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Trimestre vencido 53

n = En el año hay 4 trimestres  Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip

itrimestre = (1 + Iaño)(1/4) - 1 i trimestre = (1 + 0, 411581)(1/4) - 1 i trimestre = 0, 09 9% = trimestral n = 2, En un semestre hay 2 trimestres. Tasa Nominal = 9% x 2 = 18% semestral trimestre vencido

EJEMPLO 2.15: Con un interés efectivo del 34.4888% anual, determine la tasa nominal anual mes vencido. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Mes vencido n = En el año hay 12 meses.  Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip

imes = (1 + Iaño)(1/12) - 1 i mes = (1 + 0,344888)(1/12) - 1 i mes = 0,025 2.5% = mensual n = 12, En un año hay 12 meses. 2.5% x 12 = 30% anual mes vencido

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora partiendo de las tasas efectivas, calculemos tasas nominales cuando el interés es vencido.  36% anual, calcular nominal semestral mes vencido.  15% Semestral, calcular nominal semestral bimestre vencido.  9% trimestral, calcular nominal anual mes vencido. 54

Calcular el Interés Efectivo de un período a partir de otro Interés Efectivo. Para este tipo de cálculo se emplean las dos fórmulas enunciadas anteriormente, lo importante es tener claridad si el período de la tasa que se va a calcular es mayor o menor al período de la tasa dada.  3. a. Cálculo del interés efectivo de un período mayor, con el interés efectivo de un período menor. Fórmula aplicada:

Ie = (1 + ip)n - 1

NOTA: El ip, se asemeja a la tasa del interés efectivo del período menor, el Ie se interpreta como el interés efectivo del período mayor, y el n, corresponde al número de veces que está el período menor en el período mayor.

EJEMPLO 2.16: Si el interés del semestre es 19.4052%, establezca el interés efectivo anual. Ie (año) = (1 + isem)2 - 1 Ie (año)= (1 +0,194052) 2 -1 Ie (año)=1,42576 - 1 Ie (año)=0,42576 El interés efectivo anual corresponde al 42,576%. Cálculo del Interés Efectivo de un período menor, conociendo el Interés Efectivo de un período mayor. Fórmula aplicada:

ip = (1 + Ie)1/n

Si el interés del semestre es 19.4052%, establezca el interés efectivo del bimestre. (1/3) ibim = (1+0, 194052)

-1

ibim = (1, 060899) - 1 ibim =0, 060899 El interés del bimestre es del 6,089 %.

55

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora vamos a tener presente el procedimiento para calcular la equivalencia entre tasas efectivas.  36% anual, calcular el interés semestral.  9% trimestral, calcular el interés semestral.  4% bimestral, calcular el interés mensual.  18% semestral, calcular el interés mensual. Cálculo del Interés Anticipado para un período a partir del Interés Efectivo de ese mismo período. La fórmula para efectuar este cálculo es:

𝐼𝑎 =

𝐼𝑒 (1 + 𝐼𝑒)

Ia = Interés anticipado.

EJEMPLO 2.17: Si un prestamista que ofrece dinero al 3% mensual, pero desea que se le paguen los intereses anticipadamente, sosteniendo que no hay aumento de tasa, cuál sería la tasa equivalente. Ia mes = 0,03 / (1 + 0,03) Ia mes= 2,9126 %. Cálculo del Interés Efectivo para un período partiendo del Interés Nominal anticipado de ese mismo período.

𝐼𝑒 =

𝐼𝑎 (1 − 𝐼𝑎)

Esta fórmula se sustenta con el ejercicio anterior pero partiendo del interés del 2,9126% mes anticipado. Ie mes = 0,029126 / (1 – 0.029126) Ie mes = 3%

56

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Repasemos este concepto con un ejercicio.  Determine la tasa anticipada del mes si se va a pagar una efectiva del mes del 4%.  Calcular el interés efectivo del bimestre, si se tiene un interés del 3% bimestral anticipado. Calcular el Interés Nominal Anticipado a partir de una Tasa Efectiva. De igual manera al vencido, el punto clave es la determinación del ip, la fórmula es la siguiente:

ip = 1 - (1 + Ie)-(1/n) Con esta fórmula se determina el interés del período de capitalización.

PASOS:  Se determina el período de capitalización (MES).  Establece el número de veces que está el período de capitalización en el período del interés efectivo. (6).  Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip  Una vez calculado el ip se multiplica por el número de veces que está el período de capitalización en el período de la tasa de interés nominal (n), que determina la tasa nominal.

EJEMPLO 2.18: Con la tasa efectiva del 20,052% anual, establezca la tasa nominal anual bimestre anticipado. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Bimestre anticipado n = En el año hay 6 bimestres

ip = 1 - (1 + 0,20052)-(1/6) 3% = Bimestral anticipado n = 6, En un año hay 6 bimestres. 57

Tasa nominal = 3% x 6 = 18% anual bimestre anticipado.

EJEMPLO 2.19: Con la tasa efectiva del 27,4345212% anual, establezca la tasa nominal anual mes anticipado. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Mes anticipado n = En el año hay 12 meses

ip = 1 - (1 + 0,27435212)-(1/12) 2% = mensual anticipado n =12, En un año hay 6 bimestres. Tasa nominal = 2% x 12 = 24% anual mes anticipado

EJEMPLO 2.20: Con la tasa efectiva del 4,6384526% trimestral, establezca la tasa nominal anual mes anticipado. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: mes anticipado n = En el trimestre hay 3 meses

ip = 1 - (1 + 0,046384526)-(1/3) 1,5% = mensual anticipado n =12, En un año hay 12 meses. Tasa nominal = 1,5% x 12 = 18% anual mes anticipado.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Para revisar este tema, realizo los siguientes ejercicios:  Si se cobra por un préstamo una tasa efectiva del 42% Anual, se quiere conocer su expresión nominal anual capitalizada trimestralmente de forma anticipada.  Al tener una tasa efectiva del 8% trimestral, calcular su equivalencia con una tasa nominal semestral mes anticipado.

58

Calcular el Interés Nominal Vencido partiendo de un Interés Nominal Anticipado.

EJEMPLO 2.21: Si se tiene una tasa del 24% anual trimestre anticipado, determine la equivalencia en nominal anual mes vencido. Para desarrollar este ejercicio existen varias formas, con el propósito de facilitar el aprendizaje, se utilizará el siguiente procedimiento:  Se determina la tasa efectiva del año.  Se calcula el interés del período de capitalización de la tasa nominal a encontrar.  Se halla la nueva tasa nominal

Desarrollo del ejercicio: 1. Tasa efectiva del año: Ie año = (1 - 0.06)-4 - 1 Ie año = 28.082% 2. Interés del periodo Como el período de capitalización de la tasa nominal a calcular es el mes vencido se determina el interés del mes. I mes = (1+0,280821431)(1/12) I mes = 0,020839 3. Cálculo de la tasa nominal. I Año mes vencido = 0,020839*12 I Año mes vencido = 25% nominal anual mes vencido. Calcular el Interés Nominal Anticipado a partir de un Interés Nominal Vencido. Los pasos que se deben seguir para efectuar este cálculo son iguales al procedimiento anterior.

EJEMPLO 2.22: Si se tiene una tasa del 24% anual mes vencido, determine la equivalencia en nominal anual semestre anticipado.

59

1. Paso Ie año = (1 + 0.02)12 - 1 Ie año = 26,824% 2. Paso Como el período de capitalización de la tasa nominal a calcular es el semestre anticipado se determina el interés del semestre anticipado, con la fórmula antes expuesta.

ip = 1 - (1 + Ie)-(1/n) i semestre: 1- (1+0, 2682)-(1/2) i semestre: 11, 2% 3. Paso Cálculo de la tasa nominal. Interés nominal anual semestre anticipado 11,2%*2= 22,4% anual semestre anticipado.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Con los siguientes ejercicios se hace un repaso completo del tema de conversión de tasas:  Si se tiene un crédito con una tasa del 18% anual mes anticipado, y se quiere pagar anual trimestre vencido, determine su equivalencia.  Efectúe la conversión de una tasa del 24% semestral mes vencido a una tasa nominal anual semestre anticipado.

USO DE LAS CALCULADORAS H.P. 19BII Mediante el siguiente procedimiento el estudiante puede hacer los cálculos en la conversión de tasas. FIN Financiero VDT

CONVI F.CAJA BONO

DEPR

EFECT CONT %NOM %EFE

P

60

CASIO FC 200 El proceso de conversión de tasas equivalentes se realiza digitando en el teclado las funciones APR, que indica NOMINAL y EFF, EFECTIVA. Para trabajar la segunda función se digita SHIFT.

TASA NOMINAL A EFECTIVA. INTERÉS VENCIDO EJEMPLO 2.23: Volviendo al ejercicio inicial, se va a calcular el interés efectivo del año, si la tasa nominal es del 24% anual mes vencido. Como ya se enunció los fundamentos teóricos en el capítulo uno y el diagrama anterior, el procedimiento es el siguiente:

H.P. 19 B II FIN CONVI EFECT CLEAR DATA INPUT 24 %NOM 12 P %EFE

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 12 SHIFT EFF 24 EXE

TEXAS BA II ICONV NOM 24 ENTER ↓↓ 12 ENTER ↓↓ CPT 2ND

La respuesta que se obtiene es 26,8241% anual.

TASA EFECTIVA A NOMINAL EJEMPLO 2.24: Con la tasa efectiva del 41.8519% anual, establezca la tasa nominal anual bimestre vencido.

61

H.P. 19 B II FIN CONVI EFECT CLEAR DATA INPUT 41.8519 %EFE 6P %NOM

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 6 SHIFT APR 41.8519 EXE

2ND

TEXAS BA II ICONV

↓ ↓ 41.8519 ENTER ↓ 6 ENTER ↓ CPT

El resultado obtenido es el 36% anual al cual se le debe adicionar el período de capitalización, para el ejercicio es bimestre vencido. La respuesta es 36% anual bimestre vencido.

INTERÉS ANTICIPADO La única diferencia radica en que al incluir el período se registra con el signo negativo.

EJEMPLO 2.25: Con una tasa nominal del 24% anual mes anticipado, determine el interés efectivo del año. H.P. 19 B II FIN CONVI EFECT CLEAR DATA INPUT 24 %NOM 12+/- P %EFE

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC (-)12 SHIFT EFF 24 EXE

La respuesta que se obtiene es 27,43452% anual

NOTA: La hoja de cálculo de la calculadora Texas BA II, solo trabaja de vencido a vencido y de año a año, por lo tanto para trabajar con tasas anticipadas este sería el procedimiento. IP=J/N IP= (0.24/12)*100 IP=2% MA IPV= (IPA/(1-IP))/100 IPV=(0.02/1-0.02)*100 62

IPV= 2.04% MES VENCIDO PROCEDIMIENTO CON LA CALCULADORA 2ND 2 NOM: 2.04*12 ENTER C/Y : 12 ENTER EFE CPT

EJEMPLO 2.26: Con la tasa efectiva del 20,05205% anual, establezca la tasa nominal anual bimestre anticipado. H.P. 19 B II FIN CONVI EFECT CLEAR DATA INPUT 20,05205 %EFE 6+/- P %NOM

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC (-)6 SHIFT APR 20,05205 EXE

El resultado obtenido es el 18% anual bimestre anticipado. PROCEDIMIENTO TEXAS BA II 2ND 2 EFE: 20.05205 ENTER C/Y 6 ENTER NOM CPT EL RESULTDO (18.5567) SE DIVIDE EN 6 Y este valor se remplaza en la fórmula para convertirlo anticipado. IPA=IPV/(1-IPV)*100 El resultado se multiplica por 6 que es la capitalización.

63

CÁLCULO EN EXCEL INTERÉS VENCIDO DE INTERÉS NOMINAL A EFECTIVO

El procedimiento es el siguiente:  Fórmulas  Insertar Función  Categoría - Financieras  Int. Efectivo En este cuadro se digita en el primer renglón el valor de la tasa nominal y en el segundo el número de períodos de la tasa nominal.

EJEMPLO 2.27: Cálculo de una tasa nominal a una efectiva, se realizará el mismo ejercicio anterior, es decir con el 24% anual mes vencido, se va a calcular el interés efectivo del año.

64

El interés efectivo es del 26,824% anual.

EJEMPLO 2.28: Calcular el interés nominal, a partir del 41,8519% efectiva a nominal anual bimestre vencido. DE INTERÉS EFECTIVO A NOMINAL VENCIDO El procedimiento es el siguiente:  Fórmulas  Insertar Función  Financieras  Tasa Nominal En este cuadro se digita en el primer renglón el valor de la tasa efectiva y en el segundo el número de períodos de la tasa nominal. El ejercicio es el mismo que se efectuó con la calculadora

65

El resultado obtenido es el 36% anual Bimestre vencido.

INTERÉS ANTICIPADO DE INTERÉS NOMINAL A EFECTIVO

En Excel no existe una función directa que efectúe esta conversión, sin embargo se puede realizar mediante la función de V.F. El procedimiento es el que se muestra a continuación: 66

 FÓRMULAS  INSERATAR FUNCIÓN  FINANCIERAS  VF En el primer renglón se incluye la tasa de interés, es importante hacer énfasis en que la tasa que se incluye es la del período de capitalización con signo negativo. En el segundo renglón se digita el número de períodos con signo negativo. En Pago se digita cero. En Va se digita -1. Para este caso en TIPO se omite Una vez incluida la fórmula se debe restar por 1.

EJEMPLO 2.29: Calcular la tasa efectiva anual si se tiene el 24% anual mes anticipado.

67

DE EFECTIVO A NOMINAL ANTICIPADO

Para calcular la tasa nominal anticipada mediante el uso del EXCEL, nos permite calcular inicialmente la tasa PERIÓDICA, después simplemente se multiplica la tasa periódica por el número de períodos que tiene la tasa nominal.

68

EJEMPLO 2.30: Teniendo una tasa efectiva del 27,75% anual calcular la nominal anual bimestre anticipada.

El resultado obtenido es el 4%, dado que se debe multiplicar por -1, ya con este resultado se multiplica por 6 y se obtiene 24% anual bimestre anticipado.

69

2.6 TASAS COMBINADAS La tasa combinada es una tasa efectiva equivalente al producto de la combinación de dos tasas nominales o efectivas. En este capítulo se explicarán cuando se utiliza el DTF y la UVR.

INTERÉS EFECTIVO CON EL D.T.F El D.T.F (Depósito a Término Fijo), es un indicador que permite conocer el interés promedio ponderado de captación de los intermediarios financieros, basados en los C.D.T a 90 días. El Banco de la Republica lo expresa en trimestre anticipado. Para aplicar los dos conceptos explicados anteriormente, haciendo referencia al interés vencido y anticipado, los siguientes ejemplos se harán con cada uno de los tipos de interés. NOTA: Es importante conocer la forma como cada banco expresa el DTF y los puntos que se le adicionan, si como interés efectivo o como nominal.

EJEMPLO 2.31:  Con interés nominal vencido. Determine el costo efectivo de un crédito si se financia al D.T.F + 5% anual mes vencido. El D.T.F es del 8% anual.  1er. PASO Se calcula la tasa nominal anual del D.T.F expresada en el período de capitalización del interés que se le agrega al D.T.F. i. Mes = (1,08)1/12 -1 i. Mes = 0,6434% Tasa nominal = Interés período capitalización* número de períodos de capitalización del período de la tasa nominal. Interés anual mes vencido = 0,6434 % * 12 7,720836% anual mes vencido.  2do. PASO Se procede a calcular la tasa nominal del crédito. Como el D.T.F ya está expresado en el mismo período de tiempo, ahora se procede a sumar. 70

Costo del crédito = 7,720836% anual mes vencido + 5% anual mes vencido. Costo del crédito = 12,720836% anual mes vencido.

 3 PASO Se determina la tasa efectiva del año. Como el período de capitalización es mensual, se determina el interés del mes. i mes = 12,720836 / 12 i mes = 1,06%. Conocido el interés del mes se procede a calcular el interés efectivo del año. Interés efectivo del año = (1+0,0106)12 -1 Interés efectivo del año = 12,4893 % anual.

EJEMPLO 2.32:  Con interés nominal anticipado. Determine el costo efectivo de un crédito si se financia al D.T.F + 5% anual trimestre anticipado. El D.T.F es del 8% anual.

 1.PASO Se calcula la tasa nominal anual del D.T.F expresada en el período de capitalización del interés que se le agrega al D.T.F. Es importante recordar la fórmula del cálculo del interés efectivo, cuando la tasa nominal es anticipada. Ie = (1 - ip)-n -1 0,08 = (1-imes)-12-1 1,08 = (1-imes)-12 (1,08)(-1/12) = [(1-imes)-12](-1/12) (1,08)(-1/12) = (1-imes) 0,993607102 = 1- i mes i mes = 1- 0,993607102 i mes = 0,6392898% 71

Tasa nominal = Interés período capitalización* número de períodos de capitalización del período de la tasa nominal. Interés anual mes anticipado = 0,6392898% x 12  7,6714776% anual mes anticipado.

 2. PASO Se procede a calcular la tasa nominal del crédito. Como el D.T.F ya está expresado en el mismo período de tiempo, ahora se procede a sumar. Costo del crédito = 7,6714776% anual mes anticipado + 5% anual mes anticipado. Costo del crédito = 12,6714776% anual mes anticipado.

 3. PASO Se determina la tasa efectiva del año. Como el período de capitalización es mensual, se determina el interés del mes. i mes = 12,6714776 / 12 i mes = 1,055956468%. Conocido el interés del mes se procede a calcular el interés efectivo del año. Interés efectivo del año=(1-0,01055956468)-12 Interés efectivo del año = 13,585827 % anual.

NOTA: Se confirma que la tasa efectiva es mayor cuando se tiene una nominal anticipada, respecto de una vencida.

EJEMPLO 2.33: Cuando la DTF está expresada en nominal trimestre anticipado. Calcule la tasa efectiva anual que le renta a un ahorrador si la entidad financiera le ofrece el DTF T.A más 6 puntos. La DTF es el 8% trimestre anticipado.

72

PROCEDIMIENTO Como la DTF es una tasa nominal entonces se suman los puntos DTF + 6 puntos Þ 8% + 6% 14% anual trimestre anticipado. Se calcula el interés periódico: 14% / 4 = 3,5% trimestre anticipado. La tasa efectiva anual sería: (1 – 0,035)-4 - 1 TASA EFECTIVA ANUAL: 15,31% anual.

Interés Efectivo Cuando Se Combina la Tasa con la Uvr. Algunas entidades financieras, reconocen el interés tomando como referencia la UVR y adicionando algunos puntos.

EJEMPLO 2.34: Calcule la tasa de interés que cobra una entidad financiera, si está fijada a la unidad de valor real más el 6,5%. La UVR está fijada en el 12% efectivo anual.

PROCEDIMIENTO Como las tasas de interés se fijan como efectivas, simplemente se realiza el siguiente proceso: Interés efectivo año: (1+ 0,12) x (1+0,065) Interés efectivo año: 19,28%

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Para finalizar este capítulo revisemos con unos ejercicios el tema de las tasas efectivas cuando se expresa con el DTF, y en UVR.  Determine el interés efectivo anual si se cobra una tasa del DTF más el 6% anual mes vencido. El valor de la tasa del DTF es el 12% anual.  Cuál es el costo de un crédito si la entidad financiera fija una tasa del DTF más 4% anual mes anticipado. La tasa del DTF es del 10% anual. 73

 Determine el costo de un crédito que está fijado de la siguiente manera: UVR más el 3% anual. La UVR es del 18% efectivo anual.

2.7 CÁLCULO DEL TIEMPO PARA ALCANZAR UNA TASA EFECTIVA Al conocerse el interés periódico y se desea alcanzar una tasa efectiva, se requiere esperar un determinado tiempo, las siguientes son las fórmulas para despejar el valor de n. Es importante recordar que las fórmulas son diferentes cuando la tasa es vencida o anticipada. Tasa nominal vencida:

n=

log(1+𝐼𝑒) log(1+𝑖𝑝)

Tasa nominal anticipada:

n=

−log(1+𝐼𝑒) log(1−𝑖𝑝)

EJEMPLO 2.35: Si usted desea alcanzar una tasa efectiva del 40%, cuanto tiempo debe ahorrar si mensualmente le liquidan los intereses al 2,5%.

log(1+0,4)

n = log(1+0,025) n = 13,62 meses

EJEMPLO 2.36: Si usted como ahorrador desea alcanzar una tasa efectiva del 50%, cuánto tiempo debe ahorrar si le liquidan los intereses al 15% anual mes anticipado.  Se determina el interés periódico, que para este ejercicio es el mes anticipado. Imes anticipado =0,15 / 12 = 0,0125

− log(1+0,5)

n = log(1−0,0125) = 32,23 meses. 74

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora practiquemos cómo se determina el tiempo de espera para alcanzar determinada tasa efectiva.  Si al prestar un dinero me pagan al 1,2% mes vencido, cuánto tiempo debo esperar para alcanzar una tasa efectiva del 60%.  Si la tasa de liquidación es el 1% mes anticipado, cuánto es el tiempo de espera, para obtener un rendimiento efectivo del 40%.

2.8 RENTABILIDAD NETA Es el resultado de deducir de la renta efectiva, la tasa impositiva. Fórmula: RN: Ie x (1 - ti) ti: tasa impositiva

EJEMPLO 2.37: Si a usted como ahorrador, una entidad financiera le reconoce por un CDT el 8% anual y le descuenta sobre los rendimientos el 7%, determine cuál es su rentabilidad neta. RN: 0, 08 x (1 - 0, 07) RN: 7, 44% anual.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora usted calcule la rentabilidad neta de dos inversionistas:  Pedro abrió una cuenta de ahorros, la cual le da un rendimiento del 9% anual y le descuentan como impuesto el 7% sobre sus rendimientos, contémosle a Pedro, el resultado obtenido.  Jesús en esta misma entidad financiera compró un CDT, por el cual recibía un rendimiento anual del 8%, y también le descuentan el 7% de sus rendimientos como impuestos, cuéntele cuál es la rentabilidad neta de dicho título.

75

2.9 RENTABILIDAD REAL Es la capacidad de compra que obtiene el inversionista después de descontar la inflación de la rentabilidad neta. Fórmula:

RR =

𝑅𝑁−𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1+𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

EJEMPLO 2.38: Si usted quiere conocer cuál fue la rentabilidad real del CDT del ejemplo anterior, debe conocer la inflación de dicho período, después de consultar conoció que la inflación fue del 6% anual, ahora se procederá a conocer su rentabilidad real.

RR =

0,0744 −0,06 1+0,06

RR = 0,01358 es decir el 1,358% anual fue el rendimiento real de su CDT.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Con base en los ejercicios anteriores explique a los inversionistas la rentabilidad real obtenida en la entidad financiera, dado que la inflación fue del 5% anual.

EJERCICIOS: Estos ejercicios nos permitirán desarrollar la habilidad necesaria en este tema. Recuerde la experiencia y la habilidad que desarrollemos a través del estudio de estas matemáticas, contribuirán al éxito de mis desempeños como profesional en el manejo de las finanzas. ¿Se ha preguntado qué tan hábil es frente a la solución de problemas? ¡Hágalo ahora y póngase a prueba! Desarrollemos estos ejercicios cuidadosamente y practiquemos nuestros conocimientos con dedicación y esmero. Si tiene complicaciones, no se preocupe aquí está su libro, el colaborará en sus respuestas.

1. Calcular el interés efectivo anual de las siguientes tasas nominales: a. 18% anual mes vencido. 76

b. 18% anual mes anticipado. c. 24% anual semestre vencido. d. 24% anual semestre anticipado. R: a. 19,56%, b.19, 88%, c. 25,44% d. 29,13%

2. Calcular el interés efectivo del semestre de las siguientes tasas nominales: a. 15% Anual trimestre vencido b. 15% Anual trimestre anticipado. c. 12% Anual bimestre vencido. d. 12% Anual bimestre anticipado. R: a. 7,64%, b.7, 94%, c. 6,12% d. 6,24%

3. Con una tasa efectiva del 25% anual, calcular la tasa nominal de: a. Anual mes vencido. b. Anual mes anticipado. c. Semestral mes vencido. d. Semestral mes anticipado. R: a. 22,52%, b. 22,1%, c. 11,26% d. 11,05%

4. Con una tasa nominal del 18% anual trimestre vencido, calcular la tasa nominal de: a. Anual bimestre vencido b. Anual bimestre anticipado. c. Anual semestre vencido. d. Anual semestre anticipado. R: a. 17,86 % ABV, b. 17,35% ABA, c. 18,4% d. 16,85%

5. Con una tasa nominal del 12% semestral mes anticipado, calcular la tasa nominal de: a. Anual mes anticipado. b. Anual mes vencido. c. Trimestral mes anticipado. d. Trimestral mes vencido. 77

e. Anual trimestre anticipado. R: a. 24 % AMA, b. 24,48% AMV, c. 6% TMA d. 6,12% TMV e. 23,52% ATA

6. Con una tasa efectiva del 20% anual, determine la tasa efectiva del: a. Semestre b. Trimestre c. Bimestre. d. Mes R: a. 9,54%, b. 4,66%, c. 3,08% d. 1,53%

7. Con una tasa efectiva del 4% bimestral, establezca la tasa efectiva del: a. Semestre b. Año. c. Mes d. Trimestre R: a. 12,49%, b. 26,53%, c. 1,98% d. 6,06%

8. Calcular la tasa efectiva anual de un crédito cuya condición de financiación es el D.T.F más 6% A.T.V. El D.T.F es igual al 8% anual. R: 14,49% anual

9. Calcular la tasa efectiva anual de un crédito cuya condición de financiación es el D.T.F más 6% A. B. A. El D.T.F es igual al 11% anual R: 18,02% anual

10. Determine la tasa mensual de un crédito cuyo costo está fijado por la UVR más 6%. La UVR es del 15% anual. R: 1,66% mensual

78

11. Si usted paga un interés del 18% semestral, determine la tasa de: 1. año 2. mes 3. bimestre 4. Trimestre. R: 1.39, 24% 2. 2,79% 3. 5,67% 4. 8,62%

12. Con un interés del 3% mensual calcular: 1. Nominal anual mes vencido 2. Nominal anual mes anticipado 3. Nominal semestral bimestre vencido 4. Nominal trimestral mes anticipado. R: 1. 36% anual mes vencido 2. 34,95% anual mes anticipado. 3. 18,27% semestral bimestre vencido 4. 8,73% trimestral mes anticipado.

13. ¿Cuánto tiempo debe esperar un prestamista para alcanzar una tasa efectiva del 42%, si presta dinero a? 1. 2,5% mes vencido 2. 2.2 % mes anticipado 3. 3% mes vencido 4. 2,8% mes anticipado. R: 1. 14,2 meses 2. 15,76 meses 3. 11,86 meses 4. 12,34 meses

14. Determine la rentabilidad neta de cada inversionista, si sus rendimientos anuales y la tasa impositiva son los siguientes: 1. 18% anual y el 7% de impuesto 2. 35% anual y el 15% de impuesto 3. 25% anual y el 12% de impuesto. 4. 36% anual y el 10% de impuesto. R: 1. 16,74% anual 2. 29,75% anual 3. 22% anual 4. 32,4% anual

79

15. ¿Cuál es la rentabilidad real de los anteriores inversionistas si la tasa de inflación anual es del 8%? R: 1. 8,09% anual 2. 20,13% anual 3. 12,96% anual 4. 22,59% anual

AUTOEVALUACIÓN  ¿Que entiendo por tasa de interés?  ¿Las tasas de interés inciden en el rendimiento de mis negocios?  ¿Qué diferencia en pago de intereses habría si me prestan $100.000= al 3% mensual entre interés simple e interés compuesto?  ¿Cuál es la diferencia entre una tasa nominal y una efectiva?  ¿Cuándo la tasa nominal y la tasa efectiva son iguales?  ¿Por qué se dice que una tasa del 2% mes anticipado es más costosa que el 2% mes vencido?  ¿Qué son tasas equivalentes?  ¿Por qué algunas entidades financieras fijan el interés con base en el DTF?  ¿Por qué la inflación incide en la rentabilidad real de un inversionista?

GLOSARIO ANATOCISMO: Capitalización de intereses que a su vez son generadores de intereses. CAPITALIZAR: Cuando los intereses pasan a hacer parte del capital, y sobre éstos se cobra intereses. CDT: Certificado de Depósito a Término, título valor cuyo vencimiento es superior a 30 días. DEVALUACIÓN: Pérdida de valor del dinero de un país frente a una moneda extranjera. DTF: El D.T.F (Depósito a Término Fijo), es un indicador que permite conocer el interés promedio ponderado de captación de los intermediarios financieros, basados en los C.D.T a 90 días. FIDUCIA: Procedimiento mediante el cual, una persona transfiere sus bienes a otra para que ésta los administre. INFLACIÓN: Aumento sostenido del nivel general de precios, tiene como consecuencia la pérdida del poder adquisitivo del dinero. 80

INTERÉS: Precio que se paga a un tercero por hacer uso de su dinero. INTERÉS VARIABLE: Interés fijado de acuerdo con un tipo de referencia, por ejemplo, con la tasa de inflación. INTERÉS DE MORA: Intereses que se cobran adicionalmente a los fijados inicialmente para compensar el no cumplimiento de los pagos en forma oportuna. INTERMEDIARIO FINANCIERO: Ente jurídico que su objeto es el de captar recursos financieros de los ahorradores para prestarlos a los inversionistas. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Es el período que enuncia la tasa nominal en el que se liquidan los intereses, y éstos pasan a hacer parte del capital. LIQUIDACIÓN DE INTERESES: Momento en el cual se debe pagar el valor de los intereses, su valor se obtiene al multiplicar el capital por la tasa de interés del período de capitalización. SPREAD: Puntos adicionales cobrados por las entidades financieras sobre las tasas principales. Si la tasa principal se da como trimestre anticipado, el Spread se expresa como trimestre anticipado, pero si la principal viene como efectiva el Spread también se utilizará como efectivo. TASA ACTIVA: Se denomina así a la tasa de colocación. TASA ANTICIPADA: Hace referencia cuando el interés se cobra al inicio del período de capitalización. TASA COMBINADA: Se define así al documento o título valor que tiene dos parámetros para conocer el interés efectivo, ejemplo, la UVR más 2 puntos o la DTF más 6 puntos. TASA DE CAPTACIÓN: Es el interés que las entidades financieras pagan al ahorrador o inversionista. TASA DE COLOCACIÓN: Tasa a la cual las entidades financieras prestan el dinero a sus clientes. TASA NOMINAL: Tasa que se da para un período pero dentro de él existen períodos inferiores de capitalización. TASA EFECTIVA: Es la tasa que se cobra para un determinado período, regularmente es el año. TASA EQUIVALENTE: Son aquellas tasas que se encuentran expresadas bajo condiciones diferentes, pero desde el punto de vista financiero, tienen el mismo efecto. 81

TASA PASIVA: Tasa de interés que se reconoce por la captación de recursos en una cuenta de ahorros o en un CDT. TCC: Tasa promedio ponderada de captación de recursos obtenidos por las corporaciones financieras de CDT a 90 días, nominalmente se expresa en término de trimestre anticipado.

FÓRMULAS: Cálculo de una tasa efectiva cuando se tiene una nominal vencida

Ie = (1+ ip)n -1 Cálculo de una tasa efectiva cuando se tiene una nominal anticipada

Ie = (1 - ip)-n -1 Cálculo del interés periódico vencido a partir de una efectiva.

ip = (1 + Ie)(1/n)-1 Cálculo del interés periódico a partir de una tasa nominal.

Ip = In / n Cálculo del interés anticipado a partir de una tasa efectiva para el mismo período.

Ia = Ie / (1 + Ie) Cálculo del interés efectivo a partir de una tasa nominal anticipada para el mismo período.

Ie = Ia / (1 – Ia) Cálculo del interés periódico anticipado a partir de una efectiva.

ip = 1 - (1 + Ie)-(1/n) Cálculo del tiempo para alcanzar una tasa efectiva a partir de una nominal vencida.

82

n=

log(1+𝐼𝑒) log(1+𝑖𝑝)

Cálculo del tiempo para alcanzar una tasa efectiva a partir de una nominal anticipada.

n=

−log(1+𝐼𝑒 ) log(1−𝑖𝑝)

Cálculo de la rentabilidad neta al tener en cuenta la tasa de impuesto.

RN: Ie x (1 - ti) Cálculo de la rentabilidad real.

RR =

𝑅𝑁−𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1+𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

83

CAPÍTULO 3 FLUJO DE CAJA, VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO

JUSTIFICACIÓN Una vez comprendido el concepto de interés, es preciso descubrir cómo se integra en las transacciones financieras. Los inversionistas y empresarios deben saber muy bien la importancia de la liquidez en los negocios y el manejo del flujo (las entradas y salidas) del dinero, tal conocimiento les posibilita mantener la estabilidad económica de la empresa. Así mismo, los inversionistas y empresarios deben poseer habilidades matemáticas y desarrollar fuertes competencias para la identificación de situaciones o momentos económicos difíciles, y para diseñar estrategias que eviten o minimicen la probabilidad de una situación de iliquidez que pueda afectar el buen funcionamiento de la empresa. Es importante reconocer que el flujo de caja permite prever y visualizar el comportamiento financiero de los negocios y su control posibilita la toma de decisiones para dinamizar o regular su comportamiento, y mantener la estabilidad financiera empresarial.

MI OBJETIVO GENERAL Como estudiante aprenderé a utilizar los flujos de caja y desarrollaré competencias para calcular el valor presente, el valor futuro, la tasa de interés y el número de períodos, en una transacción financiera que involucre estos conceptos.

84

MIS OBJETIVOS ESPECÍFICOS En el estudio de esta unidad debo desarrollar competencias para:  Entender la importancia y manejar con habilidad el flujo de caja.  Diagramar un flujo de caja que permita identificar los problemas encontrados.  Comprender y aplicar con habilidad los conceptos de valor presente y futuro.  El uso adecuado de las fórmulas para despejar el valor presente, el valor futuro, el número de períodos y la tasa de interés, en la solución de los ejercicios propuestos.  Resolver hábilmente las ecuaciones para despejar las incógnitas que se presentan en el campo de los negocios; con base en el desarrollo de ejercicios modelos.

CONDUCTA DE ENTRADA Identifiquemos nuestras deficiencias y superémoslas con un pequeño repaso antes de empezar a estudiar el nuevo capítulo. Responda estas preguntas y reflexionemos sobre lo aprendido Fortalezca sus conocimientos y supere sus deficiencias ahora. Así disfrutará del dominio del conocimiento en este campo. 1. ¿Cuál es tu opinión? ¿Por qué el préstamo del dinero debe generar un ingreso? 2. Con un ejemplo explique la diferencia entre interés simple y compuesto 3. ¿Cuál interés es más costoso el anticipado o el vencido? ¿Por qué? Sustente su posición con un ejemplo. 4. ¿Podrías aclarar por qué se dice que la tasa nominal no muestra el verdadero interés que se paga por el préstamo de un dinero? 5. ¿Cuál de las siguientes tasas es mayor:  24% anual mes vencido  24% anual trimestre vencido?

¿Por qué?

85

3.1. FLUJO DE CAJA Se denomina flujo de caja, a las operaciones financieras, ingresos y pagos de dinero que realiza un inversionista a lo largo del tiempo. En términos sencillos, es el comportamiento que tiene una transacción financiera en el tiempo que dura, por ejemplo, un crédito. Con el objeto de visualizar dichas operaciones, los ingresos y egresos de dinero se representan en una recta denominada línea de tiempo.

LÍNEA DE TIEMPO: Corresponde a una recta dividida en intervalos, que representan el tiempo que dura la transacción financiera y los períodos en que se efectúan los pagos, allí se ubican barras verticales que indican los ingresos y las salidas de dinero.

CARACTERÍSTICAS:  Cuando se inicia la línea del tiempo se denota como período cero.  Las flechas verticales hacia abajo indican salida de efectivo de caja o de la billetera de la persona, o una no entrada de dinero, por ejemplo, cuando se vende a crédito un activo.  Las flechas verticales hacia arriba indican entrada de efectivo a caja o a la billetera de la persona, o en un no desembolso de dinero, por ejemplo, cuando se compra a crédito un activo. Este diagrama es una representación gráfica que permite visualizar el problema y plantear su solución; es fundamental para interpretar la información dada y definir claramente la incógnita. De igual manera es importante saber de quién es el flujo de caja que se gráfica, porque lo que es una entrada de dinero para el inversionista, es una salida para con quien hizo la transacción.

EJEMPLO 3.1:

2'000.000 (ingresos)

0 Tiempo

1

2

3

4

5

6

1'000.000 (egresos) 86

En el período 1 salió de caja $1’000.000; en el período 2 ingresaron a caja $2’000.000.

EJEMPLO 3.2: Usted, hoy deposita en una entidad financiera $500.000 y en seis meses retira 550.000, construya el flujo de caja suyo, como ahorrador. FLUJO DE CAJA DEL AHORRADOR

550.000

0

1

2

3

4

5

6

500.000

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Como el ahorrador saca $500.000 de su billetera para consignarlos en la entidad financiera, para el ahorrador en un egreso. A los seis meses retira de la entidad financiera los $550.000, que entran a su billetera, para el ahorrador es un ingreso.

EJEMPLO 3.3: Con el mismo ejercicio anterior grafique el flujo de caja para la entidad financiera. FLUJO DE CAJA DE LA ENTIDAD FINANCIERA

500.000

0

1

2

3

4

5

6 550.000

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Como el ahorrador saca $500.000 de su billetera y los consigna en la entidad financiera, para ésta es un ingreso porque entra a su caja. A los seis meses la entidad financiera saca de su caja los $550.000, por ende, es un egreso.

87

3.2 VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO VALOR PRESENTE (VP): Indica una cantidad de dinero que se invierte o se recibe en préstamo en el momento actual, equivale a otra cantidad futura ubicada en un período posterior. Fórmula:

𝑉𝑃 =

𝑉𝐹 (1+𝐼)𝑛

VP: Valor o cantidad de dinero en un tiempo presente o cero VF: Valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro i : Tasa de interés o tasa de retorno del período. n : Número de períodos de interés.

EJEMPLO 3.4: Usted debe cancelar dentro de dos años la suma de $3.000.000=, si el interés cobrado es del 2% mensual, determine el valor inicial del crédito.

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se sabe que en dos años se debe pagar $3.000.000, y que la tasa de interés de financiación fue del 2% mes, por lo tanto, se tiene que determinar cuál fue el valor prestado inicialmente.

PREGUNTA Se debe determinar el VP UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA

88

La incógnita está ubicada en el período cero (0).

ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VF = 3.000.000 i = 2% mes n = 24 meses

REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VP = 3.000.000 / (1 + 0.02)24 VP = 1.865.164,46

RESPUESTA El valor inicial del crédito fue de $1.865.164,46=

APLICACIÓN MEDIANTE LAS TABLAS FINANCIERAS Cálculo del valor presente cuando se tiene un valor futuro. La expresión que se encuentra entre corchetes corresponde al factor de valor presente de pago único denominado también factor (P/F, i%, n). Este factor determina el valor presente P de una cantidad futura dada F, a una tasa de interés i después de n períodos de tiempo. Al final se presenta la tabla financiera mediante la cual se puede calcular este factor. Para el ejemplo se busca en la tabla donde la tasa es el 2%, en la columna (P/F), y en la fila donde n es 24, allí se encuentra el factor 0,621721. Al multiplicar este factor por los $3.000.000= el resultado es de $1.865.163.

APLICACIÓN MEDIANTE CALCULADORA

HEWLECT PACKARD Mediante el siguiente procedimiento el estudiante puede hacer el cálculo del valor presente (VP). 89

INDICADOR FIN Financiero VDT

CONVI F. CAJA BONO DEPR Valor dinero en el tiempo

N %IA

VA PAGO

VF OTRO

Menú Ingreso de Datos

CASIO FC 200 Los siguientes son los comandos principales de esta calculadora, para ingresar los datos no se requiere un orden específico, para el cálculo de la variable desconocida, se digita la tecla COMP y la incógnita. COMP n

i%

PV

PMT

FV

El procedimiento y orden es el siguiente: H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 3000000 +/- VF 2% IA 24 N VA

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 24 n 2% i -3000000 FV COMP PV EXE

TEXAS BA II 3000000 +/- FV 2 I/Y 24 N CPT PV

El resultado es de $1.865.164,46

APLICACIÓN EN EXCEL  El cálculo mediante la hoja electrónica se realiza mediante dos formas: a. Cuando se tiene un solo dato para llevarlo a valor presente. b. Cuando se trae a valor presente más de un dato a. Para un solo dato.  FÓRMULAS  INSERTAR FUNCIÓN 90

 FINANCIERA  VA(Devuelve el valor presente de una inversión)

EJEMPLO 3.5: Cuánto debe pagar una persona hoy si quiere adelantar el pago de una deuda de $500.000= que se vence dentro de 2 meses y la cual tiene un costo de financiación del 2% mensual. PROCEDIMIENTO  FÓRMULAS  INSERTAR FUNCIÓN  FINANCIERA  VA(Devuelve el Valor presente de una inversión) Tasa 2% Nper 2 Pago Vf

500.000

Tipo

NOTA: En la casilla Tipo; Si el interés es vencido se deja en blanco, si fuese anticipado se señalaría 1. 91

Resultado: $480.584,39 Al efectuarse el pago hoy deberá cancelar $480.584,39 b. Cuando se trae a valor presente más de un dato, o se tienen valores positivos y negativos.  FÓRMULAS  INSERTAR FUNCIÓN  FINANCIERA  VNA(Devuelve el valor presente de una inversión, a partir de una tasa de descuento y una serie de pagos futuros)

EJEMPLO 3.6: Qué pago único hoy es equivalente a efectuar los siguientes pagos; $500.000 en 1 mes, 400.000= en 3 meses, y $1.000.000= en 5 meses, si la tasa de interés que se cobra es del 2,5% mes. PROCEDIMIENTO  FÓRMULAS  INSERTAR FUNCIÓN  FINANCIERAS  VA(Devuelve el valor presente de una inversión) Tasa

2,5%

92

Valor 1 500000 Valor 2 0 Valor 3 400000 Valor 4

0

Valor 5

1000.000

Nota: si no se quiere escribir dato por dato, se puede en la casilla correspondiente al valor 1, cubrir todo el rango, teniendo en cuenta que en los períodos que no efectúa pagos, se escribe cero.

93

Resultado: $1.743.099 Si se desea efectuar el pago de la deuda hoy, deberá cancelar $1.743.098,43.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Los invito a realizar los siguientes ejercicios para el cálculo del valor presente de las diferentes formas expuestas anteriormente.  Determine el valor con el que su padre le abrió una cuenta de ahorros hace seis meses, si hace tres meses retiró $200.000 y hoy $350.000, si todavía tiene un saldo de $150.000, la entidad financiera le abona un interés del 15% anual.  Cuál sería el valor de compra de contado de un computador si de cuota inicial se pagó $300.000 y al mes se abonó $500.000, a los dos meses $700.000 quedando una deuda en ese momento de $1.000.000, si el interés de financiación es el 2,2% mensual.

VALOR FUTURO (VF): Muestra el valor que va a obtener una inversión actual en un período futuro, con un determinado rendimiento. Fórmula: VF = VP * (1 + i)n VP: Valor presente de una inversión. i : Tasa de interés del período. 94

n: Número de períodos.

EJEMPLO 3.7: Un inversionista deposita hoy la suma de $ 500.000 en una entidad financiera que paga un interés en los CDT del 24% anual con capitalización mensual. Hallar la cantidad total acumulada dentro de 5 años en la cuenta.

VF=? i = 2% mes n = 60 $500.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere saber cuánto puede retirar en cinco (5) años, si la entidad financiera le reconoce un interés mensual del 2%.

PREGUNTA Se debe determinar el VF

UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el mes sesenta (60).

ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP: 500.000 i : 2% mes n: 60 meses.

REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VF = VP * (1 + i )n VF = 500000 * (1 + 0.02)60 VF = 1.640.515,39 95

RESPUESTA La persona que deposita hoy $500.000 en una entidad financiera que paga el 2% mensual de interés, dentro de 5 años tendrá la suma de $1.640.515,39.

APLICACIÓN MEDIANTE LAS TABLAS De la fórmula

𝑉𝐹

VP = (1+𝑖)𝑛

→

𝐹

P =(1+𝑖)𝑛

se deduce que F= P (1 + 𝑖)𝑛

El factor (1+ i)n se denomina factor de cantidad compuesta de pago único. Se hace referencia a éste como el factor (F/P, i%, n). Este factor de conversión es el que, cuando se multiplica por P, se obtiene la cantidad futura F de una inversión inicial P, a la tasa de interés i, después de n períodos de tiempo. Se procede a buscar en las tablas donde la tasa es el 2%, la columna F/P, y n es igual a 60. El factor de conversión es 3,281031. El resultado se obtiene de multiplicar: $500.000 x 3,281031, cuyo valor es: $1.640.515,5.

APLICACIÓN MEDIANTE LA CALCULADORA El procedimiento y orden es el siguiente:

H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 500000 +/- VA 2% IA 60 N VF

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 60 n 2% i -500000 PV COMP FV EXE

TEXAS BA II 500000 +/- PV 2 I/Y 60 N CPT FV

Para obtener el mismo resultado de $1.640.515,39.

APLICACIÓN EN EXCEL El cálculo mediante la hoja electrónica es el siguiente:  FÓRMULAS 96

 INSERTAR FUNCIÓN  FINANCIERAS  VF(Devuelve el valor futuro de una inversión) Tasa 2% Nper 60 Pago Vp

500000

Tipo

97

R: $1.640.515,39 Al observar el resultado, lo muestra negativo, porque el valor presente se digitó positivo. NOTA: Cuando se tienen varios datos, por Excel los llevas a valor presente y después con el procedimiento enunciado anteriormente, se lleva a valor futuro.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Después de haber estudiado el tema, vamos a evaluar los conocimientos adquiridos.  Cuánto deberá pagar el usuario de un crédito hoy, si desea cancelar el saldo de una deuda, cuyo desembolso fue hace dieciocho meses por un valor de $5.000.000, a los seis meses abonó $2.000.000, y a los quince meses $2.000.000, el interés de financiación es del 2,3% mensual.  Se están recogiendo fondos para una obra social, calcule los recursos disponibles a la fecha, si se han consignado y retirado las siguientes sumas: Hace diez meses, se recaudó $2.200.000,

hace tres se recibió una donación por

$1.500.000, y hoy $3.200.000, el mes pasado se requirió gastar $400.000. Los dineros se consignaron en una cuenta de ahorros que rentan el 1,2% mes.

98

3.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS. Este tema es de gran importancia porque en muchas ocasiones un inversionista después de haber efectuado algún negocio, conociendo los ingresos y pagos efectuados, quiere conocer cuál fue su rentabilidad, y ésta se conoce despejando i. Para determinar la tasa de interés, se debe recordar lo escrito en la aplicación de la radicación, donde se saca raíz a ambos lados para despejar el valor de i. La fórmula queda así: 1

i

( ) = (𝑣.ƒ) 𝑛 𝑣.𝑝

1

EJEMPLO 3.8: Calcular la tasa interés ganada por un inversionista, que consignó en una entidad financiera $800.000= y al cabo de 6 meses su saldo es de $1.000.000=

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere conocer la tasa de interés mensual que le reconoció la entidad financiera.

PREGUNTA Se debe determinar i.

UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita no está ubicada en un período determinado, sino durante todo el tiempo que duró el dinero en la entidad financiera.

ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP: 800.000. VF: 1.000.000 i: 99

n : 6 meses.

PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula REEMPLAZO EN LA FÓRMULA 1

i

( ) = (𝑣.ƒ) 𝑛 𝑣.𝑝

i

( ) = (1.000.000) 6 800.000

1 1

1

i= 3,789% mes. RESPUESTA El interés mensual que reconoció la entidad financiera al inversionista fue del 3,789%.

APLICACIÓN MEDIANTE LA CALCULADORA El procedimiento y orden a seguir es el siguiente: H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 800000 +/- VA 6N %IA

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 6n -800000 PV 1000000 FV COMP i% EXE

TEXAS BA II 800000 +/- PV 1000000 FV 6N CPT I/Y

La rentabilidad obtenida es del 3,789% mensual.

APLICACIÓN

EN EXCEL

El cálculo mediante la hoja electrónica es el siguiente:  FÓRMULAS  INSERTAR FUNCIÓN  FINANCIERAS  TASA (Devuelve la tasa de un crédito o la rentabilidad de una inversión)

100

Es importante resaltar que en este caso no existen anualidades en la casilla de pago se debe escribir CERO. Igualmente se puede observar que el valor presente se digitó negativo, esto es porque se toma los $800.000= como una salida de dinero.

Se puede observar que el resultado obtenido es el 3,789% mensual.

101

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Al igual que las prácticas anteriores utilicemos las diferentes herramientas para el desarrollo de los siguientes ejercicios:  Determine la rentabilidad mensual alcanzada por un inversionista que hace seis meses compró un paquete de acciones es $10.000.000, y hoy las vendió en $12.660.000, recibiendo adicionalmente $250.000 como dividendos.  Usted requirió de un crédito de $15.000.000, cuál es su costo si le debe devolver al prestamista $17.000.000 en tres meses.

3.4. CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS Cuando se habla de determinar n, se hace referencia al cálculo del número de períodos. Para este caso se requiere el uso del logaritmo. Si se despeja n de la fórmula, ésta quedaría así:

n=

𝐿𝑛 [

𝑉𝐹 ] 𝑉𝑃

𝐿𝑛(1+𝑖)

NOTA: Para la fórmula se utilizó el logaritmo natural, es indiferente si se aplica el logaritmo en base cero.

EJEMPLO 3.9. Cuánto tiempo debe esperar una persona que desea obtener $ 1.000.000 (valor futuro), si hoy cuenta con $500.000, y la entidad financiera reconoce un interés del 2% mensual.

1.000.000 2% Mensual n=? $500.000,=

Solución:

102

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere conocer el tiempo que debe esperar para tener en su cuenta de ahorros la suma de $1.000.000. PREGUNTA Se debe determinar n. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada al finalizar el flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP: 500.000. VF: 1.000.000 i : 2% mes n:

REEMPLAZO EN LA FÓRMULA

n= n=

𝐿𝑛 [

𝑉𝐹 ] 𝑉𝑃

𝐿𝑛(1+𝑖) 𝐿𝑛 [

1.000.000 ] 500.000

𝐿𝑛(1+0,02) 0,69314718

n= 0,019802627 n = 35 meses. RESPUESTA Se requiere de 35 meses para que al invertir $500.000=, al 2% mensual se retire $1.000.000=

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA El procedimiento y orden a seguir es el siguiente:

103

H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 500000 +/- VA 1000000 VF 2% IA N

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 2% i -500000 PV 1000000 FV COMP n EXE

TEXAS BA II 500000 +/- PV 1000000 FV 2 I/Y CPT N

El resultado obtenido es 35 meses.

APLICACIÓN EN EXCEL Ahora se va a realizar el mismo ejercicio en Excel, con la función NPER. El cálculo mediante la hoja electrónica es el siguiente:  FÓRMULAS  INSERTAR FUNCIÓN  FINANCIERAS  NPER

104

El inversionista debe esperar 35 meses.

EJEMPLOS VARIOS DE PRÁCTICA EJEMPLO 3.10. Dentro de cuánto tiempo se tendrá en una cuenta de ahorros un saldo de $2.000.000= sabiendo que hoy se hace un depósito de $ 1.000.000 y luego retiros así: $ 300.000 en el mes 7 $ 200.000 en el mes 11. Tasa de interés 2% mensual. FLUJO DE CAJA $2.000.000,= $300.000,=

0

1

2

3

4

5

6

$200.000,=

7

8

9

10

11

12 n=?

$1.000.000,=

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere conocer el tiempo que debe esperar para tener en su cuenta de ahorros la suma de $2.000.000, a pesar de que ha tenido que efectuar retiros de su cuenta de ahorro.

105

PREGUNTA Se debe determinar n. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada al finalizar el flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP0: 1.000.000. RETIRO7 : 300.000 RETIRO11 : 200.000 VF: 2.000.000 i : 2% mes n: PROCEDIMIENTO Para determinar n, se debe definir dónde va a quedar el valor presente como punto de referencia. En este caso se estableció el mes cero. El tiempo se trabaja en meses. PASOS  Se calcula el valor presente de los retiros en el período cero. VP = 400.000/ (1.02)7+ 200.000/(1.02)11 VP= 348.224, 07+160.852, 6 VP= 509.076,67  Este valor se resta al consignado en el período cero, o sea a $1.000.000=  El valor presente para calcular n, sería: $1.000.000-509.076,67.  Valor presente = 490.923,32  Reemplazo en la fórmula

n=

𝐿𝑛 [

2.000.000 ] 490.923,32

𝐿𝑛(1+0,02) 1,404614511

n= 0,019802627 = 70,93 meses

106

RESPUESTA Se tendrá en la cuenta los $2.000.000= pasados 70,93 meses a partir de la consignación inicial de $1.000.000=

EJEMPLO 3.11. Se prestan hoy $4.000.000 los cuales se van a cancelar en tres pagos a 6, 10, 15 meses; cada uno de los pagos, equivale al 75% del pago anterior. Hallar los pagos. i = 2% mensual $4.000.000,=

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

9

10

11

12

0,75 x

13

14

15

0,75(0,75 x)

Solución:

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere conocer el valor de las cuotas de amortización del crédito. PREGUNTA Se debe determinar el valor de X. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el período seis (6). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = 4.000.000 i = 2% mes n = El período está determinado por cada uno de los meses en que se efectúa la amortización, de acuerdo al valor de la amortización quedaría así: X = 6 mes 0,75 X = 10 mes 0,75 (0,75X) = 15 mes X =? 107

PROCEDIMIENTO Se plantea la ecuación; el monto del préstamo es igual a los pagos traídos a valor presente en el momento cero descontados por el interés del 2% mensual. Es importante que se tenga claro que la única incógnita es X, todo se relaciona con el resultado de X.

4.000.000 = X + 0.75 X + 0.5625 X (1.02)6

(1.02)10

(1.02)15

4.000.000 = 0.887971382X + 0.615261224X + 0.417945785X 4.000.000 = 1.921178391X

4.000.000

=X

1.921178391 X = 2.082.055,48

1er pago

0,75 * (2.082.055,48) = 1.561.541,6 2do pago 0,75 * (1.561.541,6) = 1.171.156,2 3er pago

RESPUESTA El préstamo de $4.000.000, se va a pagar de la siguiente forma: 2.082.055,48 en el mes seis (6), 1.561.541,6 en el mes diez (10) y 1.171.156,2 en el mes quince (15).

EJEMPLO 3.12. Un inversionista abre hoy una cuenta de ahorros con $ 2.000.000; dentro de 6 meses deposita su prima de navidad cuya cuantía es de $1.000.000= y en el mes 18 retira $1.500.000=. Hallar el valor del saldo al finalizar el mes 24, si se paga un interés del 2% mensual durante el primer año y el 2,5% mensual en el segundo año. 1.500.000

0 2.000.000

6 1.000.000 2%

12

18

21

24

2,5%

108

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere conocer el saldo en su cuenta de ahorros al finalizar el año dos, después de hacer una serie de consignaciones y retiros, se debe tener en cuenta que la entidad financiera cobró dos tasas de interés diferentes. PREGUNTA Se debe determinar el VF. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el mes veinticuatro (24). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP0(consignación) = 2.000.000 VP6(consignación) = 1.000.000 VP18(Retiro) = 1.000.000 i = 2% mes VF24 =?

PROCEDIMIENTO: Aspectos para tener en cuenta:  Cambio en la tasa de interés en el mes doce, cuando en la línea de tiempo existen dos o más tasas, siempre se tiene que llegar al período donde hay cambio de tasa, una vez se tenga un valor, se calcula el valor futuro o presente, con la tasa correspondiente al otro período. PASOS  Se llevan los abonos al mes doce, porque allí hay cambio de tasa.  Una vez se tiene el total acumulado en el mes doce, se lleva al mes 24.  El retiro del mes 18 se lleva al mes 24.  El saldo se determina restando el retiro a las consignaciones en el mes 24.

REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VF = VP * (1 + i)n

109

VALOR FUTURO DE LAS CONSIGNACIONES VF12 = 2.000.000 * (1 + 0.02) 12 + 1.000.000 * (1+0.02)6= 3.662.646 VF24 = 3.662.646 * (1 + 0.025)12 = 4.925.851,68

VALOR FUTURO DE LOS RETIROS VF24 = 1.500.000 * (1 + 0.025)6 = 1.739.540,12

SALDO V.F 24 Consignaciones- V.F 24 Retiros 4.925.851,68 - 1.739.540,12 3.186.311,56 RESPUESTA En el mes 24 hay disponibles para retirar $3.186.311,56

EJEMPLO 3.13 Se compra un computador y se propone pagarlo de la siguiente forma: $ 600.000= De cuota inicial, $ 800.000= en el mes 6 y $1.000.000= en el mes 12. Hallar el valor de contado sabiendo que la financiación contempla una tasa del 2.5% mes, para los 1 os 6 meses y del 3% mes de ahí en adelante. Solución: x 2,5 mes 0 600.000

3% mes 6 800.000

12 1.000.000

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el vendedor del computador quiere conocer el precio de venta del equipo, dado que está conociendo el valor y fecha de los pagos que propone el comprador, así como el interés de financiación.

110

PREGUNTA Se debe determinar el VP. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el momento cero (0). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP0(cuota inicial) = 600.000 VF6(primer cuota) = 800.000 VP12(segunda cuota) = 1.000.000 i(0-6) = 2,5% mes i(6-12) = 3% mes N(800.000) = 6 N(1.000.000) = 12 VPTOTAL =?

PROCEDIMIENTO:  En el período de análisis se encuentran dos tasas de interés. PASOS:  El abono de $800.000= se lleva al período cero con la tasa de descuento del 2,5%.  El abono de $1.000.000= se lleva al período seis con la tasa del 3% y luego al momento cero con la tasa del 2,5%.  Estos dos resultados se suman al valor de la cuota inicial y se determina el importe de contado del computador.

Planteamiento de la ecuación: La ecuación quedaría planteada de la siguiente forma:

𝑥=

600.000 + 800.000 1.000.000 ( ) + (1 + 0,02)6 (1 + 0,02)6 ∗ (1 + 0,03)6

La X es el valor de contado del computador.

111

La ecuación se explica de la siguiente forma: El precio de contado es igual a la cuota inicial más las dos cuotas financiadas, traídas a valor presente, en el período cero. VP0 =

800.000

= 710.377,10

(1 + 0.02)6 VP0 =

1.000.000

(

(1+0,02)6 ∗(1+0,03)6

) = 743.662

VP0 = 600.000 + 710.377,1+ 743.662 VP0 = 2.054.039

RESPUESTA El precio de contado del computador es de $2.054.039=

EJEMPLO 3.14 Sus padres le depositan $ 1.000.000 en una cuenta de ahorros, que paga un interés del 1,5% mensual, al año le consignan $500.000=.

En tres años retira la cuarta parte del

saldo en el momento, dos años más tarde le realizan un depósito igual a la mitad del saldo existente y dos años después usted retira todo el dinero. Hallar los valores depositados y retirados cada vez. 1/4 Saldo x 0 12

24

$1.000.000

36

48

60

72

84

1/2 Saldo

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio usted debe hacer un seguimiento al saldo del dinero para determinar el valor de las consignaciones y retiros. PREGUNTA Se debe estimar VF en cada momento que preguntan el saldo, para calcular el monto a retirar o consignar. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA 112

La incógnita está ubicada en el mes treinta y seis, sesenta y ochenta y cuatro. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP0(consignación inicial) = 1.000.000 VP12(segunda consignación) = 500.000 i = 1,5% mes VF36 = ? VF60 =? VF84 =?

PROCEDIMIENTO Para hacer el planteamiento de la ecuación, se requiere de un proceso que toma muchos números, hecho que permite confundirse, para un mejor entendimiento, se explicarán los pasos:  Mire dónde está la incógnita, está en el mes 84, en este momento usted está en cero, o sea debe calcular un valor futuro.  Lleva las dos primeras consignaciones al mes 36 y las suma.  Al resultado le calcula la cuarta parte y se la resta.  La cuarta parte es la primera respuesta, es el primer retiro.  El saldo que queda está ubicado en el mes 36, se lleva a un futuro al mes 60.  Allí el saldo existente se le debe calcular la mitad, es la primera consignación.  El valor de la consignación se le suma al saldo y este total se lleva al mes 84, para calcular el último retiro. PASOS:  (1000.000 x (1.015) 36+500.000x(1,015)24) = $ 2.423.890,94 valor futuro en el mes 36 de las consignaciones.  ¼ x 2.423.890,94= 605.972,73 el valor del primer retiro.  Queda un saldo en el mes 36 de $1.817.918,21.  Este saldo se lleva al mes 60: $1.817.918,21x (1,015)24= 2.598.719,19  A $ 2.598.719,19 se le calcula la mitad (1/2), dando un valor de $1.299.359,6. Este es el valor de la consignación.  Para determinar el nuevo saldo en el mes 60, sumo las dos cifras $ 2.598.719,19 y $1.299.359,6 dando un total de $3.898.078,8.  Se lleva el último saldo al mes 84; 3.898.078,8 x (1.015)24=5.572.314,6 113

El último valor a retirar es de $5.572.314,6. RESPUESTA El proceso de retiros y consignaciones que se debían calcular fue el siguiente: En el mes treinta y seis se retira: $605.972,73 En el mes sesenta se consigna: $1.299.359,6 Y, en el mes ochenta y cuatro se retira $5.572.314,6

EJERCICIOS 1. Determine el importe de contado de un electrodoméstico cuyo sistema de financiación es el siguiente: Cuota inicial: 30% del precio de contado, el saldo en 3 cuotas; la primera en el mes 3 con un valor de $600.000=, la segunda en el mes 5 por $800.000= y la última en el mes 6 por $1.000.000=. El interés de financiación es el 24% anual. R: El importe de contado del electrodoméstico es de $3.140.039,69 2. Cuánto tendrá usted ahorrado al finalizar el año, si se compromete a efectuar las siguientes consignaciones, hoy $500.000=, $2.000.000= en el mes 6, y $600.000= en el mes 10. La entidad financiera paga un interés del 6% trimestral. R: Al finalizar el año Usted tiene ahorrado $3.502.204,66 3. Si su padre le consigna en su cuenta de ahorros, hoy la suma de $400.000= y en 6 meses averigua el saldo, y tiene en su cuenta $437.377,3= cuál es la tasa de rentabilidad que paga la entidad financiera. R: La entidad financiera paga una rentabilidad del 1,5% mes. 4. Cuánto tiempo debe esperar usted para contar con $2.000.000=, si deposita en una entidad financiera $1.200.000=, y esta reconoce un interés de 4% bimestral. R: Para contar con $2.000.000 debe esperar 13 bimestres. 5. Pedro consignó en su cuenta de ahorros hoy, $1.000.000=, en el mes 3, consigna $400.000=, cuánto debe consignar en el mes 9, si aspira a que en el mes doce pueda retirar del banco, la suma de $3.000.000=, si la entidad paga un interés del 12% semestral. R: Pedro para poder retirar en el mes doce $3.000.000, debe consignar en el mes nueve $1.201.436,96

114

6. Al comprar una motocicleta por $6.000.000= usted debe determinar el valor de la cuota inicial, si le aceptan pagar el saldo en 3 cuotas; la primera en el mes 1 por $2.000.000=, en el mes 2; $1.000.000= y en el mes 3; $1.500.000=, si el interés de financiación es del 9% trimestral. R: Debe pagar de cuota inicial $1.736.320,27 por la compra a crédito de la motocicleta. 7. Cuál es el saldo que tiene en su cuenta de ahorro si hace 6 meses consignó $500.000=, durante los 4 primeros meses el interés ganado fue del 3% bimestral, a partir de allí, la tasa varió al 22% anual trimestre vencido. R: El saldo en la cuenta después de seis meses es de $549.725,76 8. Determine el valor consignado por Jaime hace 6 meses, si este dinero le alcanzó para retirar $2.400.000= hace 3 meses y hoy retiró el saldo por $3.100.000=; la rentabilidad del ahorrador es del 22% anual bimestre vencido. R: Jaime consignó hace seis meses $5.056.359,87 9. En cuánto le colaborará su Papá para completar el monto de la matrícula universitaria, si debe cancelar el valor del semestre dentro de 3 meses por $1.500.000=, usted ahorró hace dos meses $400.000= y hoy puede asignar para este mismo propósito $600.000=, la rentabilidad de su dinero es del 6% trimestral. R: Su padre debe colaborarle con $423.205,23 el día de la matrícula. 10. Usted planea ir de vacaciones al final de año (Diciembre), para lo cual presupuesta un valor de $12.000.000=, consigna hoy (Período cero) ese valor, en el mes 8, se le presenta un imprevisto para lo cual debe retirar $3.000.000=, cuánto será el faltante en el momento de tomar las vacaciones, si la rentabilidad es el 11% semestral. R: El faltante para cancelar los $12.000.000 en el mes de diciembre es de $430.952 11. Alfredo proyecta comprar un vehículo cuyo importe es de $30.000.000=, para su adquisición él cuenta hoy con $10.000.000= y un título valor por $15.000.000= el cual puede hacer efectivo dentro de 3 meses, determine si Alfredo puede adquirir este vehículo si el precio se lo sostienen por un tiempo de 9 meses y la rentabilidad de su dinero es del 3.5% bimestral. R: Su dinero no le alcanza para comprar el vehículo dado que sólo dispone de $28.305.087,6 12. Un ahorrador consigna $500.000=, durante los primeros seis meses, su rentabilidad es del 8% trimestral, si en el mes 18, cuenta con $700.000=, determine el interés en este último período. 115

R: La rentabilidad en el último año fue del 20,02% 13. Pedro consigna hoy $300.000=, su propósito es completar el valor de $1.200.000= dentro de 15 meses, en el mes 6 ahorra $400.000=, determine la consignación que realizó en el mes 10 para cumplir su meta, si las tasas de interés fueron del 15% semestral, en los primeros 6 meses, 3% bimestral, hasta el mes 12, y el 30% anual mes vencido a partir de allí. R: Pedro debe consignar en el mes diez $291.492,89. 14. Calcular el precio de contado de un TV, cuya cuota inicial es de $300.000=, un cuota en el mes 3 por $500.000=, y el saldo en el mes 6 por un valor al 30% del valor de contado. El interés de financiación fue del 15% semestral bimestre vencido. R: El precio de contado del televisor es de $1.032.213,86 15. Determine cuál de las siguientes deudas presenta un mayor valor en el momento cero:  Tres pagos iguales de $500.000= en los meses 3,6 y 9, con una tasa de interés del 9% trimestral.  Dos pagos, el primero por $1.000.000= en el mes 4 y $500.000= en el mes 8, la tasa es del 18% semestral. R: La segunda deuda es mayor, dado que su valor a precios de hoy es de $1.296.511,21 16. Usted tiene una deuda, y como respaldo firmó dos pagarés el primero por $2.000.000 con vencimiento en tres meses, y un segundo por $5.000.000, con vencimiento en un año, va a sustituir estos compromisos por un solo pago en el mes nueve (9), determine el valor por el cual firma el pagaré, si la tasa de interés es del 8% trimestral. R: El valor que usted debe pagar en el mes nueve es de $6.962.429,63 17. Si usted consigna en dos cuentas de ahorro diferentes, $1.000.000 en cada una, determine el valor del saldo después de un año en cada una de ellas, si en la entidad financiera A gana un interés del 5% bimestral y en la entidad financiera B el interés es del 8,5% trimestral. R: En A tiene un valor de $1.340.095,64 y en B $1.385.858,7 18. Usted tiene un saldo en la cuenta de $3.000.000, su hermano le había consignado hace un año $1.000.000, hace seis meses le había efectuado otra consignación; determine el valor de ésta, si el interés de la entidad financiera es el 1% mensual. R: Su hermano le consignó hace seis meses $1.764.615,55

116

19. Con el mismo ejercicio anterior, determine el valor de la consignación en el mes seis, pero usted retiró en el mes diez, $500.000. R: Al haber retirado $500.000 en el mes diez y contar con un saldo de $3.000.000 al final del año es porque su hermano le consignó en el mes seis $2.245.105,72. 20. Con base en el ejercicio dieciocho estime el valor consignado en el mes seis pero la tasa que reconoce la entidad financiera fue del 1% mensual para el primer semestre y del 1,2% durante el segundo semestre. R: Al tener una rentabilidad del 1,2% durante el segundo semestre su hermano le consignó $1.731.269,2 21. Determine el valor de apertura de una cuenta de ahorros que a los quince meses presenta un saldo de $4.000.000, y tuvo el siguiente movimiento: Consignaciones de $500.000 y $2.000.000= en los meses tres y diez respectivamente, y retiros por $1.000.000 y $3.000.000, en los meses nueve y doce. El interés de la entidad financiera es del 9% semestral. R: El valor de apertura de la cuenta fue de $4.417.182,18. 22. Si la entidad financiera del ejercicio anterior hubiese reconocido un interés del 9% semestral para el primer semestre y el 1,7% mensual de ahí en adelante, determine el valor de apertura de la cuenta. R: Al modificarse la tasa de interés el valor de apertura de la cuenta fue de $4.318.742,66 23. Pedro abrió una cuenta de ahorros hace tres meses con $1.000.000, si hace un mes debió retirar $100.000, y hoy debe retirar $300.000, cuánto tiempo debe esperar para volver a tener el millón de pesos si la entidad financiera le reconoce un interés del 1,2% mes. R: Para volver a tener el millón de pesos debe esperar 38 meses a partir de hoy. 24. Con base en el ejercicio anterior despeje n, pero Pedro recibe dentro un mes $150.000, que los depositará en la cuenta de ahorros. R: Recibiendo los $150.000 dentro de un mes, para volver a tener el millón de pesos debe esperar 20,45 meses a partir de hoy. 25. Usted propone sustituir tres obligaciones de $1.000.000 para hoy, $2.000.000 para dentro de tres meses y $1.500.000 para dentro de seis meses, por un solo pago dentro de un año. Su acreedor le acepta la propuesta con la siguiente condición: Las tres obligaciones

117

iniciales tenían un interés del 1,5% mensual, el interés de la refinanciación es del 2% mensual. Como usted acepta el nuevo interés determine el valor del pago único. R: El pago que debe realizar dentro de un año es de $5.433.715,1 26. Al ofrecer su automóvil se reciben varias ofertas de las cuales usted va a optar por la mejor: Pedro le ofrece $25.000.000 de contado, Enrique le da tres cheques por $9.000.000 cada uno, el primer cheque lo cobra en el momento y los otros a 30 y 60 días, Su jefe le ofrece $5.000.000 en el momento y un cheque por $23.000.000 a 90 días, si su tasa de oportunidad es del 9% trimestral,¿Cuál opción escoge? R: Le vende el carro a Enrique. Su equivalencia en valor presente ($26.242.651,5) 27. Determine el saldo en la cuenta si la abrió hace diez meses con $1.000.000, durante el primer trimestre el banco reconoció como interés el 3% trimestral y a partir de ese momento su tasa fue del 3,1% trimestral. R: La cuenta tiene un saldo después de 10 meses de $1.106.048,34 28. Usted compra un lote de terreno en $10.000.000 con el propósito de construir su vivienda, pasado un año usted no consiguió el dinero de la construcción por lo tanto toma la decisión de venderlo en $12.000.000, si en sus actividades comerciales normalmente se gana el 3% mensual, ¿hizo un buen o mal negocio? R: La rentabilidad en este negocio sólo fue del 1,53% mes, o sea que no hizo un buen negocio respecto de los que usualmente realiza. 29. Un inversionista en finca raíz, compra un apartamento en $60.000.000, lo vende en $65.000.000 a los 3 meses, con este dinero compra una casa y al mes la vende en $72.000.000. ¿Cuál es la tasa mensual de rentabilidad de esta persona? R: La rentabilidad mensual del inversionista es del 4,66%. 30. Un comerciante cuenta con $50.000.000, compra un vehículo y a los dos meses lo vende en $56.000.000, con este dinero adquiere un apartamento con el cual tuvo inconvenientes en su venta y a los seis meses de haberlo comprado sólo lo pudo vender en $55.000.000, cuál fue su rendimiento mensual? R: La rentabilidad durante los 8 meses fue del 1,198 % mes. 31. Abro una cuenta con 100 pesos al finalizar en el mes 6 consigno 80 pesos, en el mes 9 retiro 60 pesos. Determine en qué momento dispongo de 3 veces el valor de la 118

consignación inicial si hasta el mes 10 es del 2% mensual y de ahí en adelante es de 3% mensual. R: 17,68 32. Se abre una cuenta con 300 pesos, en el mes 6 retiro la mitad, en el mes 9 retiro 50 pesos, hasta el mes 10 la tasa del interés es el 2% mensual, si en el mes 30 vuelvo a disponer del capital inicial cuál fue la tasa de rentabilidad en el mes 10 al 30. R: 3,44%

AUTOEVALUACIÓN  ¿Por qué se dice que el diagrama del flujo de caja representa el planteamiento del problema?  ¿Es importante la dirección de las flechas?  Teniendo dos valores futuros iguales, cuál de estos tiene un menor valor presente, el primero cuya tasa de descuento es el 2% mes o un segundo con una tasa del 3% mes. ¿Por qué?  ¿En qué difiere un valor presente de un valor futuro?  Al traer a valor presente un determinado valor futuro, si se requiere calcular un menor valor presente, se debe aumentar o disminuir la tasa de descuento, ¿Por qué?  Explique la manera como se determina el tiempo requerido para alcanzar un valor futuro conociendo el valor presente y la tasa de interés.  Cuál es el proceso para calcular el rendimiento de una inversión, conociendo el valor de compra, venta y el tiempo que tuvo el activo.

GLOSARIO DESCUENTO: Procedimiento de calcular el valor presente de uno o más pagos futuros, aplicando determinada tasa de interés. DEUDA: Es una obligación, normalmente de tipo económico de una persona natural o jurídica con otra. DINERO: Instrumento de cambio, de aceptación generalizada. FLUJO DE CAJA: Procedimiento que muestran los ingresos y egresos de efectivo en un período de tiempo.

119

INVERSIÓN: Es el esfuerzo de posponer el consumo para un período futuro con el propósito de recibir un mayor valor. PERÍODO: Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro. PRECIO DE COMPRA: Es la cantidad de dinero que se paga por la adquisición de un bien. PUNTO DE EQUILIBRIO: Cuando los ingresos son iguales a los egresos. SUSTITUIR: Reemplazar TASA DE DESCUENTO: Tasa de interés mediante la cual se determina el valor presente de una cifra futura. TASA DE OPORTUNIDAD: Es la tasa de rentabilidad que un inversionista sacrifica con el objetivo de realizar un proyecto. VALOR ACTUAL: Valor de un bien en el momento, en los flujos de caja normalmente se denomina valor inicial o valor presente. VALOR FINAL: También se denomina valor futuro, en algunas ocasiones resultantes de un acumulado o suma en una fecha posterior.

FÓRMULAS: Cálculo del valor futuro cuando se tiene un valor presente.

VF = VP * (1+ i)n Cálculo del valor presente cuando se tiene un valor futuro.

𝑉𝑃 =

𝑉𝐹 (1 + 𝑖)𝑛

Cálculo de la tasa de interés cuando se tiene un valor presente y un valor futuro.

𝑖 = (

𝑣. ƒ ) 𝑣. 𝑝

1 (𝑛)

Cálculo del tiempo cuando se tiene un valor presente y un valor futuro.

𝑛 =

𝑉𝐹 𝐿𝑛 (𝑉𝑃 )

𝐿𝑛 (1 + 𝑖)

NOTA: Es indiferente el tipo de logaritmo, puede ser el logaritmo natural o el base cero. 120

CAPÍTULO 4 ANUALIDADES JUSTIFICACIÓN En el desarrollo de la vida, las personas requieren con cierta frecuencia utilizar créditos o financiamiento en la compra de bienes para el hogar, o en la actividad productiva o comercial que desarrollan como medio económico de subsistencia o para el financiamiento de un servicio que le posibilitará su existencia o una mejor calidad de vida ya sea un viaje, una cirugía o la matrícula de estudios. Por los motivos expuestos es preciso que estudiemos este capítulo donde podremos entender el procedimiento utilizado en las entidades financieras para determinar el valor de las cuotas de los pagos que se deberán hacer para cancelar un préstamo que nos ha sido otorgado para satisfacer nuestras necesidades, cuando no contamos con los recursos suficientes para adquirir los bienes o servicios de contado. Estos pagos de las cuotas del préstamo tienen la característica de ser iguales para todos los períodos de tiempo ya sean meses o años.

MI OBJETIVO GENERAL Debo comprender los procedimientos utilizados por las entidades financieras para calcular o encontrar el valor equivalente en una serie uniforme periódica a un valor presente o futuro.

MIS OBJETIVOS ESPECÍFICOS Debo desarrollar fuertes competencias para:  Apropiarme con claridad la noción de anualidad  Adquirir el dominio sobre los conceptos de clasificación de las anualidades.  Comprender el cálculo de las anualidades con un valor presente o un valor futuro; de manera que me permita demostrarlo y aplicarlo o en otros casos revisarlo e interpretarlo. 121

 Determinar el valor presente y futuro a partir de la anualidad.  Conocer el tiempo que se demora en gastar una persona unos recursos (ahorros), proyectando gastos fijos periódicos.  Saber el tiempo que requiere un ahorrador para alcanzar determinada suma de dinero en un tiempo futuro.  Calcular con precisión el interés que gana un ahorrador o que se cobra en una financiación.  Comprender el concepto de anualidad diferida y perpetua.  Desarrollar destreza y habilidad en el uso de las fórmulas, tablas financieras, calculadoras Hewlett Packard, Casio Fc 200 y la hoja electrónica EXCEL para los cálculos del valor equivalente en una serie uniforme periódica a un valor presente o futuro.

CONDUCTA DE ENTRADA Antes de iniciar mi proceso de aprendizaje debo conocer como están mis conocimientos y qué me obligo a reforzar para abordar este nuevo e importante tema de las finanzas. Identificar mis deficiencias me dará la oportunidad de superarlas con un pequeño repaso. Responderé estas preguntas y reflexionaré sobre lo aprendido. Si fortalezco mis conocimientos y elimino mis deficiencias, podré disfrutar del dominio de la teoría en este campo. 1. Puedo diagramar un flujo de caja y señale la ubicación del VP y el VF, mostrando como un ingreso el VP y como egreso el VF. 2. Que variable es la que pudo haber afectado el ahorro de una misma cantidad de dinero en dos entidades diferentes, pero que en la entidad A alcanzó un mayor valor que B, si el tiempo fue el mismo. 3. En qué entidad

alcanzará un mayor valor sus ahorros, la que paga el 2% mes

anticipado o el 2% mes vencido ¿por qué? 4. En cuánto tiempo se triplica una cantidad de dinero si la entidad financiera reconoce el 30% anual. 5. Cuál será el interés pagado a un inversionista si en dos años duplicó el valor invertido inicialmente.

122

4.1 SERIES UNIFORMES O ANUALIDADES Anualidad: Se entiende por anualidad a un método utilizado por las personas ya sea para ahorrar o retirar una cantidad igual de dinero durante un determinado tiempo. En el flujo de caja se muestra como una serie de entradas o salidas de dinero iguales y periódicos. El concepto anualidad indica que los pagos son periódicos y no cada año. Los períodos pueden ser diarios, quincenales, mensuales, bimestrales, trimestrales, semestrales, entre otros.

CARACTERÍSTICAS: Para que una serie de pagos se considere anualidad cumple con las siguientes condiciones:  Los pagos son iguales.  El período de los pagos son iguales.  El número de pagos es igual al número de períodos.  En el período se cobra igual tasa de interés.

CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES. La anualidad se divide en vencida, anticipada, diferida y perpetua de acuerdo en el momento en que se efectúe el pago.  Anualidades Vencidas: Las anualidades vencidas son aquellas en las que el pago se hace al final del período. Ejemplo: Salario de un trabajador.  Anualidades Anticipadas: Se dice que hay anualidad anticipada cuando se efectúan los pagos al principio del período, el ejemplo típico es el pago de arrendamiento.  Anualidad Diferida: Se denomina así, aquella anualidad en la que el primer pago se efectúa algunos períodos después de haber concretado o proyectado iniciar la transacción financiera.  Anualidad Perpetua: Se denomina anualidad perpetua, al flujo de caja que por la característica del proyecto no existe un último pago.

123

4.2. ANUALIDADES VENCIDAS: VALOR PRESENTE Se denomina valor presente de una anualidad, a la sumatoria de los valores que la conforman, traídos a un período antes del primer ingreso o pago. En los casos de la vida real ejemplos de valor presente de una anualidad, es el monto solicitado o entregado de un crédito, o el precio de contado de un bien.

VP 1 2

3

4

5

6

0

A FÓRMULA: La fórmula para calcular el valor presente es la siguiente:

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑉𝑃 = [ ] 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 VP: En las anualidades el VP puede ser el precio de un bien que se va a financiar, se puede definir como la cantidad de dinero que se va a diferir en pagos iguales, su ubicación es un período antes de la primera cuota. i: Es la tasa de interés de financiación, debe ser congruente con el período de las anualidades, por ejemplo, si los períodos son bimestrales, la tasa de interés debe ser bimestral. n: Es el número de cuotas que conforman la serie. A: Es el valor de cada cuota.

EJEMPLO 4.1: Cuál es el precio de contado de un electrodoméstico si financiado a 6 meses en cuotas iguales, con un interés del 2%, se paga $250.000= por cuota.

VP

6

$250.000= 124

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el precio de compra del electrodoméstico si se tuviesen los recursos para pagarlo de contado, dado que se conoce el número y valor de las cuotas, así como la tasa de financiación. PREGUNTA Se va a calcular un VP UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A= 250.000 n= 6 i=2% VP =?

PROCEDIMIENTO En este ejercicio, simplemente se reemplaza en la fórmula y se despeja el valor presente. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA Se aplica la fórmula, y se reemplaza cada una de las variables:

(1+0,02)6−1

𝑉𝑃 = 250.000 [0,02(1+0,02)6] = 1.400.357,7 RESPUESTA El precio de contado del electrodoméstico es de $1.400.357,7.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Determine el valor del crédito que le pueden aprobar si usted le comentó al asesor comercial que su capacidad de pago es de $350.000 mensuales, teniendo en cuenta que la tasa de interés es del 2,4% mes y el plazo es de dieciocho meses.  De cuánto debe ser el precio de un T.V. que usted compra si el plazo de financiación es de 12 meses y su capacidad de pago es de $200.000 de cuota inicial

125

y mensual de $60.000. El proveedor cobra una tasa de financiación del 2,5% mensual.

CÁLCULO DE LA ANUALIDAD CON EL VALOR PRESENTE El cálculo de la anualidad cuando se tiene un valor presente es de gran utilidad en el campo financiero, dado que se utiliza en determinar las cuotas de financiación de créditos ya sea de dinero, de vivienda o de electrodomésticos principalmente, también es muy utilizado por los fondos de pensiones porque de acuerdo al valor aportado durante la vida laboral, la persona podrá gozar de cierto nivel de jubilación mensual.

FÓRMULA:

𝐴 =

𝑉𝑃 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 [ ] 𝑖 ∗ (1 + 𝑖)𝑛

EJEMPLO 4.2: Calcule el valor de las cuotas si se financia un electrodoméstico a seis meses, su precio de contado es de $1.000.000, y de cuota inicial se paga el 20%. El interés es del 2 % mensual.

1.000.000

1 200.000

2

3

4

5

6

A=Incógnita

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor a pagar por cada una de las seis cuotas para cancelar el electrodoméstico, cuyo precio de contado es de $1.000.000= y se paga de cuota inicial $200.000, con un interés del 2% mensual.

126

PREGUNTA Se va a calcular A UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en los períodos uno al seis. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP= 1.000.000 C.I = 200.000 n= 6 i= 2 % A =? PROCEDIMIENTO En este ejercicio, se descuenta al valor de contado, la cuota inicial y se reemplaza en la fórmula para calcular A. PASOS:  Para determinar la cuantía de las cuotas se calcula el saldo a financiar.  Al valor del electrodoméstico se le resta el pago de la cuota inicial. Al $1.000.000= se le resta los $200.000=  Una vez se tiene el VP se procede a reemplazar en la fórmula. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA

𝐴 =

800.000 (1 + 0,02)6 − 1 [ ] 0,02 ∗ (1 + 0,02)6

𝐴= (

800.000 ) 5,60143

A = $ 142.820,64 El valor de la cuota es de $142.820,64

127

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Cuál es el valor que usted debe pagar mensualmente si le aprueban un crédito por $600.000 para cubrir en cinco meses, el costo del semestre en la universidad, la tasa de interés es del 2% mes.  Usted compra a crédito una motocicleta cuyo precio de contado es de $5.000.000, las condiciones en la financiación fueron: el 20% como cuota inicial, plazo 24 meses y va a efectuar un abono extraordinario en el mes doce por $1.000.000. Determine el valor de cada cuota si el interés de financiación es del 2,5% mes.

FORMA DE CÁLCULO MEDIANTE EL USO DE LAS TABLAS. Reemplazando las dos fórmulas anteriores, cuando se hace uso de las tablas, se deben buscar los factores, que permitan calcular el VP cuando se tienen las anualidades o las anualidades cuando se conoce el VP. Los factores y su uso para encontrar el VP y la A. Las denominaciones establecidas para estos dos factores son (P/A, i%, n), que haciendo una mejor explicación, se dice que teniendo una anualidad se va a calcular un VP. Y (A/P, i%, n) que se ilustra indicando que se va a calcular la A, teniendo un valor presente. Al final del libro se presentan estas tablas.

EJEMPLOS: Se efectuarán los mismos ejemplos realizados con las fórmulas: Para el primer ejemplo, se busca el factor que se encuentra en la tabla donde el interés es del 2 %, se busca la columna, P/A, y la fila donde esta N = 6 El factor es 5,601431. VP = 250.000* 5,601431. VP = $1.400.357,7 Para el segundo ejemplo, el factor se encuentra en la misma tabla donde el interés es del 2%, se busca en la columna A/P, y en la fila donde N = 6 El factor es 0,178526 A = 800.000*0,178526 A = $142.820,8 128

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA H.P.19 BII Para resolver problemas de anualidades vencidas utilizando la calculadora HP, se deben seguir los siguientes pasos: Si está situado en el menú principal (MAIN), presione FIN y después VDT. El menú VDT (Valor del Dinero en el Tiempo) se utiliza para resolver problemas de interés compuesto y anualidades. En el menú primario aparece el elemento PAGO. Este almacena o calcula la anualidad o pago periódico. En el menú secundario se muestra el elemento FINAL, el cual se utiliza para el cálculo de anualidades vencidas u ordinarias. Recuerde que al utilizar el menú VDT es necesario que las cantidades monetarias sean ingresadas con el signo adecuado, + (más) o - (menos), de acuerdo con la siguiente convención de signos: dinero recibido se ingresa o se presenta en pantalla como un valor positivo, mientras que el dinero pagado se ingresa o se presenta en pantalla como un valor negativo.

CASIO FC 200 Para efectuar cálculos con anualidades en la Casio Fc 200 se requiere de la tecla PMT. Es importante conocer si se está trabajando con anualidades vencidas o anticipadas, cuando se conoce que son anticipadas, se utiliza el menú BGN el cual se activa como segunda función de MODE, para lo cual se digita SHIFT MODE. Los pasos para desarrollar los ejemplos 4.1 y 4.2 son los siguientes: CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE H.P. 19 B II

CASIO FC 200

TEXAS BA II

FIN

MODE 4

6N

VDT

SHIFT AC EXE AC

2 I/Y

CLEAR DATA

-250000 PMT

250000 +/- PMT

250000 +/- PAGO

2 i%

CPT PV

2% IA

6n

6N

COMP PV EXE

VA

El valor del electrodoméstico es de $1.400.357,72 129

CÁLCULO DE LA ANUALIDAD Para calcular el valor de la cuota del ejercicio modelo, solamente se le va a modificar el interés. H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 800000 +/- VA 2% IA 6N PAGO

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC -800000 PMT 2 i% 6n COMP PMT EXE

TEXAS BA II 6N 800000 +/- PV 2 I/Y CPT PMT

El Valor de la cuota es de $142.820,64

APLICACIÓN EN EXCEL. Para el desarrollo del ejercicio con Excel se le modificó la tasa al 2,5% Mes. VALOR PRESENTE Los pasos en la hoja de cálculo son:  FÓRMULAS  INSERTAR FUNCIÓN  FINANCIERAS  VA(Devuelve el valor presente de una inversión) Tasa 2,5% Nper 6 Pago 250.000 Vf Tipo

130

Resultado: $1.377.031,34 El precio de contado del electrodoméstico es de $1.377.031,34

CÁLCULO DE LA ANUALIDAD Los pasos a seguir en la hoja de cálculo es el siguiente:  FÓRMULAS 131

 INSERTAR FUNCIÓN  FINANCIERAS  PAGO Una vez en la función Pago se digita: Tasa de interés, número de Períodos y el valor actual (presente).

132

El valor de la cuota con un interés del 2,5% mensual es de $145.239,97

VALOR FUTURO El valor futuro de una anualidad es la sumatoria de la serie de pagos o retiros uniformes, llevados a una fecha posterior o a la fecha del último pago o retiro. Al igual que en el caso anterior es utilizado por los fondos de pensiones para determinar el nivel de ahorro durante la vida laboral.

VF 0

1

2

3

4

5

6

FÓRMULA:

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑉𝐹 = 𝐴 [ ] 𝑖 VF: Es la sumatoria de los pagos que conforman la serie llevados al momento del último pago. A: Es el valor de cada cuota i: La tasa de interés de la serie, recordemos que se debe expresar de acuerdo al período. n: Número de cuotas que conforman la serie.

EJEMPLO 4.3: Durante 6 meses se hacen depósitos por mes vencido de $ 120.000 cada uno, en una institución de ahorro que paga un interés del 3,0% mensual. Calcular la suma total acumulada al final del período. FLUJO DE CAJA

V.F

0

1

2

3

4

5

6

$120.000= 133

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el total ahorrado en los seis meses con los intereses que ganaba este dinero. PREGUNTA Se va a calcular un VF UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el mes seis (6). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN n (meses) = 6 A = 120.000 i mes = 3% VF =? PROCEDIMIENTO En este ejercicio, simplemente se reemplaza en la fórmula y se despeja el valor futuro. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA

(1 + 0,03)6 − 1 ] 𝑉𝐹 = 120.000 [ 0,03 VF = $776.209,18 RESPUESTA El valor acumulado al final del 6 mes es de $776.209,18 CÁLCULO CON LAS TABLAS FINANCIERAS Al igual que los casos anteriores, el factor se busca en la terminología (F/A, i, N), teniendo el monto de la anualidad se va a calcular el valor futuro. Ejemplo: Para dar respuesta al ejemplo modelo, se busca en la tabla donde el interés es del 3%, en la columna de F/A, y en el renglón donde N= 6. El factor es 6,468410. Se multiplica $ 120.000* 6,468410= $776.209,2 134

APLICACIÓN CON

LA CALCULADORA

Para la aplicación en la calculadora y en Excel se realiza el mismo ejercicio pero con la tasa del 2,5%. El procedimiento es muy similar solamente cambia en el último factor.

H.P. 19 B II

CASIO FC 200

TEXAS BA II

FIN

MODE 4

6N

VDT

SHIFT AC EXE AC

120000 +/- PMT

CLEAR DATA

-120000 PMT

2,5 I/Y

120000 +/- PAGO

2,5 i%

CPT FV

2,5% IA

6n

6N

COMP FV EXE

VF

El valor obtenido es de $766.528,4 es importante recordar que la tasa de interés es diferente.

APLICACIÓN EN EXCEL. Aquí se aplica el mismo procedimiento anterior pero se modifica la última función, siendo para este caso, VF.

135

La respuesta es la misma que se obtuvo con la calculadora financiera, $766.528,4 es el saldo acumulado al final del sexto mes.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Cuál es el saldo que usted tiene en una cuenta de ahorros después de seis meses, si consigna periódicamente el 20% de su salario, su salario es de $1.000.000 y la entidad financiera reconoce una tasa de interés del 2% mes.  Determine el saldo de una cuenta de ahorro si usted durante los seis meses que estuvo laborando ahorró $600.000 mensuales, y a partir de allí han transcurrido seis meses en los que retira mensualmente $400.000. El interés que reconoce la institución financiera es del 1,1% mes.

CÁLCULO DE LA ANUALIDAD CON EL VALOR FUTURO Conociendo el valor futuro y queriendo determinar el monto del pago, se modifica la incógnita, se busca la anualidad. Se aplica cuando teniendo un saldo se quiere determinar el valor ahorrado periódicamente, o cuando se proyecta tener una suma en determinado tiempo cuál debe ser el ahorro periódico. FÓRMULA: 136

𝐴 =

𝑉𝐹 ∗ 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1

EJEMPLO 4.4: Su hermano ahorró una determinada cantidad igual de dinero mensualmente durante 4 meses en una entidad financiera que reconocía el 1% mensual, si al finalizar el 4 mes su saldo es de $900.000= cuánto es el valor de lo consignado en cada período. FLUJO DE CAJA

900.000 0

1

2

3

4

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio, se busca determinar el valor consignado en cada período porque se conoce el total ahorrado en los cuatro meses. PREGUNTA La anualidad. UBICACIÓN INCÓGNITA Las consignaciones se hicieron en los períodos uno al cuatro. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN: VF = $900.000 i (MES) = 1% n=4 A =? PROCEDIMIENTO El único procedimiento es reemplazar en la fórmula

𝐴 =

900.000∗0,01 (1+0,001)4

− 1 =>$221.652, 98

RESPUESTA: Su hermano ha consignado mensualmente $221.652,98 137

APLICACIÓN CON LAS TABLAS FINANCIERAS Como la incógnita es A, entonces para buscar el factor se debe buscar la siguiente nomenclatura (A/F, i %, N). Conociendo el valor futuro se requiere calcular A. Se busca en la tabla donde el interés es del 1%, la columna donde se encuentra (A/F), la fila correspondiente a N = 4, obteniéndose 0,246281. Para obtener el resultado se procede a multiplicar el valor futuro por el factor. A = 900.000 * 0,246281 => $221.652,9 Se obtuvo el mismo resultado de $221.652,9.

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA Recordemos que el ejercicio modelo se modifica en la tasa de interés para comparar sólo dos formas y mirar cómo se modifica la respuesta al cambiar la tasa. El proceso es el siguiente:

H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 900000 VF 1,5% IA 4N PAGO

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 900000 FV 1,5 i% 4n COMP PMT EXE

TEXAS BA II 900000 +/- FV 1,5 I/Y 4N CPT PMT

El valor consignado mensualmente es de $220.000=

APLICACIÓN EN EXCEL Se utiliza la función PAGO.

138

Al ser la tasa del 1,5% mensual, su hermano ha consignado periódicamente $220.000=

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Si su padre requiere para pagar el semestre $700.000, Cuánto debe ahorrar mensualmente si dentro de seis meses debe efectuar dicho pago. La entidad financiera le paga un interés del 15% anual mes vencido.

139

 Un empleado cobra sus comisiones de venta semestralmente, si al finalizar el primer semestre recibió $2.000.000 determine el valor de las comisiones mensuales si la empresa reconoce un interés del 15% semestral.

CÁLCULO DEL SALDO La anualidad ha sido el procedimiento de financiación con un alto índice de utilización, de ahí la necesidad de conocer en un momento dado el valor del saldo de la deuda. Para calcular el saldo, sólo se procede a calcular el VP de las cuotas que faltan por cancelar, descontadas por la misma tasa de interés.

EJEMPLO 4.5: Su mejor amiga adquirió una motocicleta cuyo precio de contado hace un año era de $5.000.000, se la financiaron de la siguiente forma: 20% de cuota inicial y el saldo a 36 cuotas, con un interés del 2,5% mensual. Ella quiere que usted le ayude a calcular el valor de la deuda después de un año de pago cumplido. FLUJO DE CAJA

5.000.000

12

24

36

1.000.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio, se busca determinar el valor del saldo después de haber pagado doce cuotas del monto del crédito, pero antes se debe calcular la cuantía de las cuotas. PREGUNTA Se busca determinar la anualidad y el saldo faltando dos años para finalizar el pago del crédito. UBICACIÓN INCÓGNITA Inicialmente es el valor de la cuota y después en el período doce. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN: VP = $4.000.000 i (MES) = 2,5% 140

n = 36 A =? SALDO12=? PROCEDIMIENTO  El procedimiento inicial es reemplazar en la fórmula para calcular la anualidad cuando se conoce el valor presente. Se reemplaza en la fórmula:

𝐴=

4.000.000 (1 + 0,025)36 − 1 [ ] 0,025 ∗ (1 + 0,025)36

A = $169.806,3 La cuota mensual que está pagando su amiga es de $169.806,3  Conociendo el monto de la cuota se procede a calcular el valor presente, teniendo en cuenta que faltan por cancelar veinticuatro cuotas. Se reemplaza en la fórmula del cálculo del VP cuando se conoce la anualidad. VP=169.806,3 [

(1+0,025)24 −1 ] 0,025(1+0,025)24

VP = $3.036.983,27 El valor de la deuda faltando dos años para terminar de pagar el crédito

es de

$3.036.983,27.

CÁLCULO DEL NÚMERO DE CUOTAS Cuando se va a estimar el número de cuotas se hace referencia al número de consignaciones iguales realizadas para alcanzar determinado saldo, o el número de cuotas en que se financia determinado crédito.

CON UN VALOR PRESENTE La fórmula para el cálculo de n, sería la siguiente:

141

1 𝑣𝑝 ∗ 𝑖 ] 1− 𝑎 𝐿𝑂𝐺 (1 + 𝑖)

𝐿𝑂𝐺 [ 𝑛=

Es indiferente el tipo de logaritmo a utilizar, lo importante es emplear el mismo logaritmo en el numerador como en el denominador.

EJEMPLO 4.6: Determine el número de cuotas en que se financió un televisor cuyo valor de contado es de $2.500.000= y no exigen cuota inicial, el monto de la cuota mensual es de $250.000 y el interés de financiación es del 3% mensual.

FLUJO DE CAJA

$2.500.000 0

1

2

3

n

250.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se conoce el valor de contado del electrodoméstico y la cuantía de las cuotas mensuales, se requiere saber el tiempo de financiación. PREGUNTA La incógnita es n UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada al final del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = 2.500.000 A = 250.000

142

i = 3%

n=? PROCEDIMIENTO Para estos ejercicios el único procedimiento es reemplazar en la fórmula. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA

𝐿𝑂𝐺 [ 𝑛=

1 ] 2.500.000 ∗ 0,03 1− 250.000 𝐿𝑂𝐺 (1 + 0,03)

𝑛=

𝐿𝑂𝐺 1,428571429 𝐿𝑂𝐺 1,03

𝑛=

0,15490196 0,012837224

N = 12 RESPUESTA El período de financiación del televisor es de 12 meses. NOTA: No se va a explicar con las tablas, dado que no es muy práctico, porque se debe dar el factor para buscar n.

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA El proceso es el siguiente:

H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 2500000 VA 3% IA 250000 +/- PAGO N

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 2500000 PV 3 i% -250000 PMT COMP n

TEXAS BA II 2500000 PV 250000 +/- PMT 3 I/Y CPT N

La respuesta es al igual que en la fórmula 12 meses.

143

APLICACIÓN EN EXCEL Como la función a determinar es n, en Excel se conoce como NPER, es importante que cualquiera de las variables ya sea el valor presente o la cuota debe digitarse con signo negativo, para el ejemplo se señalará la cuota.

Se asignan los diferentes valores, para cada una de las variables, Tasa, Pago, Va, se deja en blanco la de valor futuro.

144

El tiempo de financiación es de 12 meses. CON UN VALOR FUTURO Al igual que para el valor presente, se despeja el valor de n, con la fórmula de valor futuro y anualidad.

Con fórmula:

𝑛=

𝑉𝐹 ∗ 𝑖 + 1] 𝐴 𝐿𝑂𝐺 (1 + 𝑖)

𝐿𝑂𝐺 [

EJEMPLO 4.7: Si usted desea comprar una motocicleta cuyo valor durante este año es de $6.000.000=, y mensualmente puede ahorrar $600.000, para este propósito en cuánto tiempo puede adquirirla, si el interés es del 2% mensual. FLUJO DE CAJA

6.000.000 0

1

2

3

4

n

600.000 145

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular en cuanto tiempo la persona puede reunir los recursos necesarios para adquirir la motocicleta. PREGUNTA La incógnita es n UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada al final del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN: VF = 6.000.000 A = 600.000 i(mes) = 2% n(mes) = ?

REEMPLAZO EN LA FÓRMULA

6.000.000 ∗ 0,02 𝐿𝑂𝐺 ( + 1) 600.000 𝑛= 𝐿𝑂𝐺 (1 + 0,02)

𝑛=

𝐿𝑂𝐺 1,2 𝐿𝑂𝐺 1,02

𝑛=

0,079181246 0,00860017176

n = 9,2 meses

RESPUESTA Se demoraría en tener el dinero requerido para comprar la motocicleta 9,2 meses.

146

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 6000000 VF 2% IA 600000 +/- PAGO N

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 6000000 FV 3 i% -600000 PMT COMP n

TEXAS BA II 6000000 FV 600000 +/- PMT 2 I/Y CPT N

La incógnita sigue siendo N, pero ahora el valor dado es la cuota y el valor futuro.

El número de períodos esperado es 9,2 meses.

APLICACIÓN EN EXCEL Al igual que en el ejercicio anterior, la función que permite conocer el número de períodos en la hoja electrónica es NPER, pero aquí se le asigna la cifra al valor futuro y no al valor actual.

Al valor actual se le digita cero, y la cuota se digita con valor negativo.

147

El resultado obtenido es: para comprar la motocicleta debe esperar 9,2 meses.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Su proyecto para este año es comprar un computador portátil cuyo valor es de $3.500.000, y se lo sostienen hasta el 31 de diciembre.  Usted cuenta al iniciar el año con $1.000.000, y puede ahorrar $200.000 cada mes, si el dinero le renta el 1,2% mes, ¿Usted puede comprar el computador este año?  Una entidad de servicio público financia una factura debido a que el suscriptor ante el alto consumo registrado en un período y su situación de iliquidez requiere de financiación. Dado que el valor del recibo es de $5.000.000, en cuánto tiempo le deben diferir la deuda si la capacidad de pago máxima es de $500.000 mensuales y como cuota inicial puede pagar $1.000.000, la tasa de financiación es del 30% anual mes vencido.

CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Para evaluar las opciones de financiación el factor determinante es la tasa de interés de las diferentes opciones, en esta parte se aprenderá a conocer la tasa de interés cuando se conocen el monto de las cuotas, el período de financiación y el valor presente o futuro.

148

CUANDO SE TIENE UN VALOR PRESENTE Para estimar la tasa de interés mediante la fórmula no existe una forma directa, dado que es complejo despejar la variable i, por lo tanto se acude al método de interpolación, el cual se explicará con el ejemplo modelo:

EJEMPLO 4.8: Se financia un computador, cuyo valor de contado es de $2.000.000= en 6 cuotas mensuales de $355.850, calcular el interés de financiación. Las variables serían las siguientes: FLUJO DE CAJA

$2.000.000= 0

1

2

3

4

5

6

355.850 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el interés de financiación, dado que se conoce el valor de contado del computador, el número de cuotas financiadas y su cuantía. PREGUNTA La incógnita es i. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser el interés la incógnita está en el total del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = $2.000.000 A = $ 355.850 n(mes) = 6 i(mes) = ? REEMPLAZO EN LA FÓRMULA: La fórmula quedaría así: 149

(1 + 𝑖)6 − 1 2.000.000 = 355.850 ∗ ( ) 𝑖(1 + 𝑖)6

PROCEDIMIENTO:  Se empiezan a probar diversas tasas hasta encontrar que el resultado de la fórmula con el valor asignado a i, multiplicado con $355.850 dé los $2.000.000=  Cómo encontrar la tasa que permita el resultado exacto requiere de bastante tiempo, entonces se busca una tasa que estando cerca, su resultado este por encima de los $2.000.000= y otra que igualmente estando cerca su resultado este por debajo de los $2.000.000=, para que mediante la interpolación se encuentre el valor exacto.  Se va a iniciar la prueba con el 2%.  El resultado es de $1.993.269,18  Como el resultado obtenido es inferior a $2.000.000=, se debe bajar la tasa de interés para que suba, dado que a menor tasa de descuento el valor presente es mayor.  Se va a experimentar con el 1,8%  El resultado obtenido es $2.006.792,86  Se procede a interpolar, se plantea de la siguiente forma: 2%



1.993.269,18

X%



2.000.000

1,8%



2.006.792,86

Con el 2%, se obtiene un valor presente menor a $2.000.000, y con el 1,8% un valor superior, esto quiere decir que la tasa esperada está entre el 1,8% y el 2% mensual. La forma más fácil de recordar siempre el método de interpolación es relacionar los rangos de ambos lados, tanto los del interés como el valor absoluto:

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠

(𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠) = (𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠) Aquí no se trabaja con porcentaje sino con decimales:

(

0,02 − 0,018 1.993.269,18 − 2.006.792,86 )= ( ) 0,02 − 𝑋 1.993.269,18 − 2.000.000

150

(

0,002

0,02−𝑋

0,002 0,02−𝑋

− 13.523,68

)= (

= 2

− 6.730,82

)

Pasa el denominador (0,02-X) a multiplicar a 2

Queda así: 0,002 = 2*(0,02- X) Pasa el dos como denominador de 0,002. = 0.02 - X

0,001 = 0,02 -X

Se pasa X a sumar X + 0,001= 0,02 Se despeja X X = 0,02-0,001 X = 0,019 RESPUESTA La tasa de financiación del computador es del 1,9% mensual.

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA. Para realizar el cálculo con la calculadora financiera el proceso es muchísimo más ágil, sólo se le incluyen las variables de la siguiente forma: H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 2000000 VP 355850 +/- PAGO 6N % IA

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 6000000 PV -355850 PMT 6n COMP i% EXE

TEXAS BA II 2000000 PV 355850 +/- PMT 6N CPT I/Y

El resultado obtenido debe ser el 1,9% mensual.

APLICACIÓN EN EXCEL La incógnita es el interés, en Excel se trabaja con la función TASA. Una vez en la función tasa se procede a incluir el número de períodos, el pago y el valor actual, uno de estos dos últimas cifras debe ir con signo negativo.

151

Se confirma el resultado dado del 1,9% mes. CUANDO SE TIENE UN VALOR FUTURO. Para calcular el interés cuando se conoce el monto de las cuotas y el valor futuro, se utiliza un procedimiento similar, simplemente se cambia la fórmula.

(1+𝑖 )𝑛 −1

𝑉𝐹 = 𝐴 [

𝑖

] 152

EJEMPLO 4.9: Si deposito $321.046 mensualmente, y a los seis meses puedo retirar de la cuenta $2.000.000, cuál es el valor de la tasa de interés que me reconoce la entidad financiera. FLUJO DE CAJA

2.000.000 0

1

2

3

4

5

6

321.046 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el interés de financiación, dado que se conoce el valor ahorrado, el número de consignaciones y su cuantía. PREGUNTA La incógnita es i. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser el interés la incógnita, está en el total del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VF = 2.000.000 A = 321.046 n=6 i=?

SE REEMPLAZA EN LA FÓRMULA:

(1 + 𝑖 )6 − 1 ] 2.000.000 = 321.046 ∗ [ 𝑖 PROCEDIMIENTO:  Se empieza a probar diversas tasas para buscar que el resultado de la fórmula con el valor asignado a i, multiplicado con $321.046 de los $2.000.000=

153

 Como encontrar la tasa que permita el resultado exacto requiere de bastante tiempo, entonces se busca una tasa que su resultado esté por encima de los $2.000.000= y otra que igualmente su resultado esté por debajo de los $2.000.000=, para que mediante la interpolación se encuentre el valor exacto.  Se va a iniciar la prueba con el 2%.  El resultado es de $2.025.197.  Como el resultado obtenido es superior a $2.000.000=, se debe bajar la tasa de interés para que disminuya, dado que a menor tasa de descuento el valor futuro es inferior.  Se va a experimentar con el 1 %  El resultado obtenido es $1.975.079,8  Se procede a interpolar, se plantea de la siguiente forma: 2%



2.025.197

X%



2.000.000

1%



1.975.079,8

Con el 2%, se obtiene un valor futuro mayor a $2.000.000, y con el 1 % un monto inferior, esto quiere decir que la tasa esperada está entre el 1 % y el 2% mensual. Recordando el método de interpolación, relacionando los rangos de ambos lados, tanto los del interés como el valor absoluto:

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠

(𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠) = (𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠) Aquí no se trabaja con porcentaje sino con decimales:

(

0,02−0,01 ) 0,02−𝑋

2.025.197−1.975.079,8

= ( 2.025.197−2.000.000 )

0,01 50.117,2 = 0,02 − 𝑋 25.197

0,01 0,02−𝑋

= 1,989

Pasa el denominador (0,02-X) a multiplicar a 1,989

Quedando así: 0,01 = 1,989*(0,02- X) Pasa el 1,989 como denominador

154

0,01 1,989

= 0.02 - X

0,005 = 0,02 -X

Se pasa X a sumar X + 0,005= 0,02 Se despeja X  X = 0,02-0,005 X = 0,015 La tasa de interés que paga la entidad financiera es del 1,5% mensual.

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA. Para realizar el cálculo con la calculadora financiera el proceso se le incluyen las variables de la siguiente forma:

H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 2000000 VF 321046 +/- PAGO 6N % IA

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 2000000 PV -321046 PMT 6n COMP i% EXE

TEXAS BA II 2000000 PV 321046 +/- PMT 6N CPT I/Y

El resultado obtenido debe ser el 1,5% mensual

APLICACIÓN EN EXCEL La función que se va a utilizar es la función TASA.

155

El interés de financiación es del 1,5% mensual.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

 La matrícula en la universidad tiene un valor de $1.000.000, y se la financian en seis cuotas, determine el interés cobrado si cada cuota equivale a $184.597,5.  Usted piensa salir de vacaciones al finalizar el año, este viaje tiene un costo de $10.000.000, determine la rentabilidad de su ahorro si puede lograr el propósito consignando $673.194 mensualmente, durante todo el período. 156

4.3. ANUALIDADES ANTICIPADAS VALOR PRESENTE La fórmula para calcular el valor presente de una anualidad anticipada es igual a la vencida pero multiplicándola por (1+ i). En el gráfico del flujo de caja la diferencia radica en el momento del pago.

VP 0

1

2

3

4

5

6

A La fórmula quedaría de la siguiente forma:

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑃 = 𝐴(1 + 𝑖) [ 𝑖(1 + 𝑖)𝑛

EJEMPLO 4.10: Determine el valor de un fondo cuyo propósito es el de pagar el arriendo mensual de un local por 4 meses, cuyo costo mensual es de $200.000, las cuotas son anticipadas y el interés es del 2% mensual. FLUJO DE CAJA

VP 0

1

2

3

4

200.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el valor que se debe disponer para cubrir los cuatro meses de arriendo. PREGUNTA

157

La incógnita es el VP UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Está ubicada en el período cero (0). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 200.000 n=4 i=2% VP = PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA:

(1+0,02)4−1

𝑃 = 200.000(1 + 0,02) [0,02(1+0,02)4] P = 776.776,65 RESPUESTA Para cubrir el canon de arrendamiento en los 4 meses, el fondo debe tener $776.776,65

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA H.P.19 B II Para el cálculo del valor presente el proceso es similar, sólo se agrega después del comando CLEAR DATA, el comando 1 PGOS/AÑO: MODO INIC.

CASIO FC 200 Recordemos que para las anualidades anticipadas, se debe digitar el comando BGN la cual aparece como segunda función del comando MODE. En la pantalla debe aparecer la palabra BGN.

El resultado obtenido es el mismo expuesto anteriormente $776.776,65

158

APLICACIÓN EN EXCEL El comando para utilizar es el mismo VA, por esto sólo se mostrará el segundo cuadro donde se le asigna 1 a la función tipo.

Se confirma el valor del fondo de $776.777

CÁLCULO DE LA ANUALIDAD CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE. Para calcular la cuantía de la cuota, se despeja en la fórmula indicada para el cálculo del valor presente, el valor de A.

𝑨=

𝑽𝑷 (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 (𝟏 + 𝒊) [ ] 𝒊(𝟏 + 𝒊)𝒏

EJEMPLO 4.11: Se compra un electrodoméstico, cuyo precio es de $600.000, se financia en 6 cuotas mensuales a una tasa del 2,5% mensual, las cuotas son anticipadas, determine el valor de las cuotas.

159

$600.000 0

1

2

3

4

5

6

A=? ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el valor de las cuotas, dado que se conoce el precio de contado del electrodoméstico, el tiempo de financiación y la tasa de interés. PREGUNTA La incógnita es A UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Está ubicada en el período de la transacción. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = 600.000 n=6 i = 2,5% A= ? PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula REEMPLAZO EN LA FÓRMULA:

A=

600.000 (1 + 0,025)6 − 1 (1 + 0,025) [ ] 0,025(1 + 0,025)6

RESPUESTA: El valor de cada una de las cuotas para adquirir el electrodoméstico es de $106.273.

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA El procedimiento es el siguiente:

160

H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC 600000 VA 2,5%IA 6N PAGO

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN 600000 PV 2,5i% 6n COMP PV EXE

TEXAS BA II 600000 +/- PV 6N 2,5 I/Y CPT PMT 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT PMT

El resultado es de $106.273.

APLICACIÓN EN EXCEL Aquí se trabaja con la función pago, la única diferencia cuando la anualidad es vencida, está en la función tipo, por esto sólo se presenta el segundo cuadro.

El resultado obtenido al igual que con los otros métodos el valor es de $106.273

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Se toma en arriendo un local comercial, dado la imposibilidad de conseguir codeudores se tomó la decisión de cancelar un semestre por anticipado, determine el canon del arriendo mensual si el valor del pago por el semestre fue de $6.000.000, la tasa de interés del 2% mes.  Usted arrienda un apartamento y estos ingresos los dedica para la financiación del estudio de su hijo, si el apartamento lleva arrendado 18 meses, durante el primer 161

año el canon de arrendamiento era de $350.000 y a partir del año aumentó en el 6%, cuánto tiene ahorrado a la fecha, si la entidad financiera reconoce el 2,2% mes.

VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA. El valor futuro de una anualidad anticipada difiere con el de la vencida, porque esté en el flujo de caja ya no está sobre la última anualidad sino un período después, e igualmente en la fórmula se le adiciona a la fórmula de anualidad vencida la multiplicación por (1+ i).

0

1

2

3

En este flujo de caja el valor de n es 3, pero el valor futuro de esta anualidad está en el período 3, a pesar de que el último pago se ubica en el período 2, por ser anualidad anticipada. FÓRMULA

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 ] (𝟏 + 𝒊) 𝑭 = 𝑨[ 𝒊 EJEMPLO 4.12 : Usted arrienda su apartamento en $400.000 mensuales, y consigna su ingreso en una cuenta de ahorros en una entidad financiera que le paga un interés del 1,5% mensual, si su propósito es ahorrar para disfrutar de unas vacaciones dentro de 6 meses, ¿De cuánto dinero puede disponer?

0

1

2

3

4

5

6

400.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el monto ahorrado en el mes seis (6), dado que se conoce el valor consignado mensualmente y el número de cuotas. PREGUNTA La incógnita es VF. 162

UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser el VF la incógnita está en el mes seis (6). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se le asignan los valores a las variables: A = 400.000 n=6 i = 1,5% VF =? PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula de VF. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA

(1 + 0,015)6 − 1 ] ∗ (1 + 0,015) F = 400.000 ∗ [ 0,015 VF = 2.529.197,67 RESPUESTA Para disfrutar de sus vacaciones usted puede disponer de $2.529.197,67

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA El procedimiento es el siguiente: H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC 400000 +/- PAGO 1,5%IA 4N VF

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN -400000 PMT 1,5i% 4n COMP PV EXE

TEXAS BA II 400000 +/- PMT 6N 1,5 I/Y CPT FV 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT FV

El resultado es de $2.529.197,67

APLICACIÓN EN EXCEL La función que se utiliza es la de VF 163

Se confirma el resultado de $2.529.197,67

CÁLCULO DE LA ANUALIDAD CUANDO SE CONOCE EL VALOR FUTURO Para el cálculo de la anualidad sólo se realiza el despeje de la fórmula y el procedimiento es el siguiente:

𝑨=

𝑽𝑭 (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 (𝟏 + 𝒊) [ ] 𝒊

EJEMPLO 4.13: Se arrendó un apartamento por un año, el dueño del apartamento ahorraba mensualmente el valor del arriendo, si al finalizar el año disponía de $8.000.000, determine la cuantía que recibía mensualmente por el arriendo si el interés era del 9% trimestral mes vencido. 8.000.000 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A

164

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el valor consignado mensualmente para que en el mes doce (12), se tengan $8.000.000. PREGUNTA La incógnita es A. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita es el valor de cada una de las consignaciones. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se le asignan los valores a las variables: A =? n = 12 i = 3% VF = 8.000.000 PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula de cálculo de la anualidad anticipada si se conoce el valor futuro. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA

A=

8.000.000 (1 + 0,03)12 − 1 (1 + 0,03) [ ] 0,03

A = 547.278 RESPUESTA El valor del arriendo mensual es de $547.278.

CÁLCULO DEL SALDO El cálculo del saldo no es más que determinar el valor presente de las cuotas que faltan por pagar.

165

DETERMINACIÓN DEL VALOR DE n Cuando se va a estimar el número de cuotas, al igual que con las vencidas, se hace referencia al número de consignaciones iguales realizadas para alcanzar determinado saldo, o el número de cuotas en que se financia el crédito. TENIENDO UN VALOR PRESENTE La fórmula para el cálculo de n, sería la siguiente: Se despeja el valor de n, basados en la fórmula de cálculo de valor presente cuando la anualidad es anticipada.

𝟏 ] 𝒑∗𝒊 𝟏− 𝒂(𝟏 + 𝒊) 𝒍𝒐𝒈(𝟏 + 𝒊)

𝒍𝒐𝒈 [ 𝒏=

EJEMPLO 4.14: Un crédito de $3.000.000 se financia con cuotas anticipadas de $401.498, si el interés es del 2%, cuál es el número de cuotas que se deben cancelar.

$3.000.000 0

1

2

3

4

N

401.498 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el número de cuotas del crédito, dado que se conoce el monto del préstamo, el valor de cada cuota y la tasa de interés. PREGUNTA La incógnita es n UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Está ubicada en el final del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = 3.000.000

166

A = 401.498 i = 2% n=? PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula

𝑙𝑜𝑔 [ 𝑛= 𝑛=

1 ] 3.000.000 ∗ 0,02 1− 401.498(1 + 0,02) 𝑙𝑜𝑔(1 + 0,02)

𝐿𝑂𝐺 1.171660087 𝐿𝑂𝐺 1.02

RESPUESTA El crédito se financió a 8 meses.

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA El procedimiento es el siguiente: H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC 3000000 VA 2%IA 401498 +/-PAGO N

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN -3000000 PV 2i% -401498 PMT COMP n EXE

TEXAS BA II 3000000 PV 401498 +/- PMT 2 I/Y CPT N 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT N

El resultado obtenido es de 8 cuotas.

APLICACIÓN EN EXCEL La función utilizada es NPER, la diferencia fundamental está en el submenú tipo, se le asigna el valor de 1, por ser anualidades anticipadas.

167

El tiempo de financiación es de 8 meses.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Un inversionista del sector inmobiliario dedica el 30% de sus ingresos para la construcción de un nuevo edificio, cuánto tiempo requiere para la terminación de este si el proyecto tiene un valor de $300.000.000 y a su vez el recibe mensualmente $80.000.000. La rentabilidad de su dinero es del 30% anual.  Un padre de familia decide enviar a estudiar a su hijo a otra ciudad, dada su imposibilidad de viajar permanentemente toma la decisión de abonar anticipadamente la pensión a la institución, si su pago fue de $2.000.000, para cuánto tiempo le alcanza, si la matrícula tiene un valor de $400.000 y la mensualidad de $300.000, el interés es del 9% trimestral.

TENIENDO UN VALOR FUTURO CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS La fórmula para despejar el valor de n es la siguiente: 𝑉𝐹 ∗ 𝑖 +1] 𝐴(1 + 𝑖) 𝐿𝑂𝐺 (1 + 𝑖)

𝐿𝑂𝐺 [ 𝑛=

168

EJEMPLO 4.15: Cuantas consignaciones mensuales anticipadas de $250.000= debo efectuar a partir de hoy para poder reunir $5.000.000, si la entidad financiera me reconoce un interés mensual del 1,5%

0

1

2

3

4

n

250.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el número de cuotas del crédito, dado que se conoce el valor que se quiere ahorrar, la cuantía de cada consignación y la tasa de interés que reconoce la entidad financiera. PREGUNTA La incógnita es n UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Está ubicada en el final del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 250.000 VF = 5.000.000 i = 1,5% n =? PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula 𝐿𝑂𝐺 [ 𝑛= 𝑛=

5.000.000 ∗ 0,015 +1] 250.000(1 + 0,015) 𝐿𝑂𝐺 (1 + 0,015)

0,11245971 ==> 17,39 0,006466

n = 17,39 consignaciones. RESPUESTA 169

Debería efectuar 17,39 consignaciones de $250.000, para poder reunir los $5.000.000=.

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA El procedimiento es el siguiente:

H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC 5000000 VF 1,5%IA 250000 +/-PAGO N

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN -5000000 FV 1,5i% -250000 PMT COMP n EXE

TEXAS BA II 250000 +/- PAGO 5000000 FV 1,5 I/Y CPT N 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT N

APLICACIÓN EN EXCEL En Excel se aplica la función NPER.

El número de consignaciones que debo realizar es de 17,39

170

CÁLCULO DE LA TASA DE INTERES Para determinar la tasa de interés se utiliza el procedimiento de prueba y error, y luego la interpolación. Con el siguiente ejemplo se explica la manera:

EJEMPLO 4.16: Determinar el interés de financiación de un crédito de $5.000.000 a 8 meses con cuotas mensuales anticipadas de $664.690.

$5.000.000 0 1 2

3

4

5

6

7

8

664.690 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el interés de financiación, dado que se conoce el monto del crédito, el número de cuotas a pagar y su valor. PREGUNTA La incógnita es i. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser el interés la incógnita está en el total del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = 5.000.000 A = 664.690 n=8 i =? Se reemplaza en la fórmula:

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑉𝑃 = 𝐴(1 + 𝑖) [ 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 171

5.000.000 = 664.690(1 + 𝑖) [

(1+𝑖)8 −1 𝑖(1+𝑖)8

]

PROCEDIMIENTO:  Se empiezan a probar diversas tasas buscando que el resultado de la fórmula con el valor asignado a i, multiplicado con $664.690 de los $5.000.000=  Como encontrar la tasa que permita el resultado exacto requiere de bastante tiempo, entonces se busca una tasa que estando cerca, su resultado esté por encima de los $5.000.000= y otra que también cerca, por debajo de los $5.000.000=, para que mediante la interpolación se encuentre el valor exacto.  Se va a iniciar la prueba con el 2%.  El resultado es de $4.966.557,74  Como el resultado obtenido es inferior a $5.000.000=, se debe bajar la tasa de interés para que suba, dado que a menor tasa de descuento el valor presente es mayor.  Se va a experimentar con el 1,5%  El resultado obtenido es $5.050.456,83  Se procede a interpolar, se plantea de la siguiente forma: 2%



4.966.557,74

X%



5.000.000

1,5%



5.050.456,83

Con el 2%, se obtiene un valor presente menor a $5.000.000, y con el 1,5% una cifra superior, esto quiere decir que la tasa esperada está entre el 1,5% y el 2% mensual. La forma más fácil de recordar siempre el método de interpolación es relacionar los rangos de ambos lados, tanto los del interés como el valor absoluto: [

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑑𝑒𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠 ]=[ ] 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟𝑑𝑒𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠 [

0,02 − 0,015 4.966.557,74 − 5.050.456,83 ]=[ ] 0,02 − 𝑋 4.966.557,74 − 5.000.000 [

0,05 0,02−𝑋

0,005 −83.899,09 ]=[ ] 0,02 − 𝑋 −33.443,09

= 2,5 Pasa el denominador (0,02-X) a multiplicar a 2,5

Quedando así: 0,005 = 2,508*(0,02- X) 172

Pasa el 2,5 como denominador de 0,005. 0,05 2,508

= 0.02 - X

0,002 = 0,02 -X

Se pasa X a sumar X + 0,001993= 0,02 Se despeja X X = 0,02-0,001993 X = 0,01798 La tasa de financiación del computador es del 1,798% mensual.

APLICACIÓN CON

LA CALCULADORA FINANCIERA

El procedimiento es el siguiente: H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC 5000000 VA 8N 664690 +/-PAGO %IA

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN 5000000 FV 8n -664690 PMT COMP i% EXE

TEXAS BA II 5000000 PV 664690 +/- PMT 8N CPT I/Y 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT I/Y

La tasa de financiación es 1,798% mes.

APLICACIÓN EN EXCEL.

173

La tasa de interés es de 1,7989% mes

EJEMPLO 4.17: Determine la tasa de interés mensual que paga una entidad financiera si al consignar mensualmente el canon del arriendo de su apartamento de $502.268=, si al finalizar el 6 mes, el saldo es de $3.300.000.

0

1

2

3

4

5

6

502.268 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el interés de financiación, dado que se conoce el saldo de lo ahorrado crédito, el número de cuotas consignadas y su valor. PREGUNTA La incógnita es i. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser el interés la incógnita está en el total del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN 174

VF = 3.300.000 A = 502.268 n=6 i= REEMPLAZO EN LA FÓRMULA:

(1 + 𝑖 )𝑛 − 1 [ ] (1 + 𝑖) 𝑉𝑃 = 𝐴 𝑖 (1 + 𝑖 )6 − 1 ] (1 + 𝑖) 3.300.000 = 502.268 [ 𝑖 PROCEDIMIENTO:  Se empieza a probar diversas tasas para buscar que el resultado de la fórmula con el valor asignado a i, multiplicado con $502.268 dé los $3.300.000=  Como encontrar la tasa que permita el resultado exacto requiere de bastante tiempo, entonces se busca una tasa que esté cerca, por encima de los $3.300.000= y otra que igualmente esté cerca por debajo de los $3.300.000=, para que mediante la interpolación se encuentre el valor exacto.  Se va a iniciar la prueba con el 2%.  El resultado es de $3.231.734,64.  Como el resultado obtenido es inferior a $3.300.000=, se debe subir la tasa de interés para que suba el valor futuro, dado que a mayor tasa de descuento el valor futuro es superior.  Se va a experimentar con el 2.5 %  El resultado obtenido es $3.288.564,64  Como el resultado sigue siendo inferior a 3.300.000, se explora con el 3%.  El resultado obtenido es de $3.346.341,55  Se procede a interpolar, se plantea de la siguiente forma: 2,5%



3.288.564,64

X%



3.300.000

3%



3.346.341,55

Con el 2,5%, se obtiene un valor futuro menor a $3.300.000, y con el 3 % un valor superior, esto quiere decir que la tasa esperada está entre el 2,5 % y el 3% mensual.

175

Con el método de interpolación, se relacionan los rangos de ambos lados, tanto los del interés como el valor absoluto: [

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑑𝑒𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠 ]=[ ] 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟𝑑𝑒𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠

Aquí no se trabaja con porcentaje sino con decimales: [

0,025 − 0,03 3.288.564,64 − 3.346.341,55 ]=[ ] 0,025 − 𝑋 3.288.564,64 − 3.300.000 −0,005 −57.776,91 = 0,025 − 𝑋 −11.435,36

0,005 0,025−𝑋

= 5,052478453 Pasa el denominador (0,025-X) a multiplicar a 5,052478453

Quedan así: -0,005 = 5,052478453 *(0,025- X) Pasa el 5,052478453 como denominador de -0,005. −0,005 5,052478453

= 0.025 - X

-0,00098961332 = 0,025 -X Se pasa X a sumar X - 0,00098961332 = 0,025 Se despeja X  X = 0,025+0,00098961332 X = 0,025986 La tasa de interés que paga la entidad financiera es del 2,5986% mensual.

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA. El procedimiento es el siguiente: H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC 3300000 VA 6N 502268 +/-PAGO %IA

CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN 3300000 PV 6n -502268 PMT COMP i% EXE

TEXAS BA II 3300000 FV 502268 +/- PMT 6N CPT I/Y 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT I/Y

La tasa de financiación es 2,59% mes. 176

APLICACIÓN

EN EXCEL.

Se calcula con la función TASA

El resultado se aproxima a 2,6% mensual, la tasa de interés reconocida por la entidad financiera.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Determine la tasa de interés que gana una institución educativa durante todo el período académico en una entidad financiera, si consigna sus excedentes mensuales de las pensiones por un valor de $5.000.000 mensuales y al final de año cuenta en su saldo con $72.000.000.  Usted como rector de un colegio organiza un portafolio de inversión con el propósito de comprar un vehículo para el transporte escolar con el dinero que ahorra mensualmente por este mismo concepto. Si durante diez meses, periódicamente aumentó su inversión en $5.500.000 y logró su propósito a pesar de que el costo del vehículo fue de $60.000.000, determine el rendimiento de su dinero.

177

4.4 ANUALIDAD DIFERIDA: VALOR PRESENTE Como se había enunciado en la definición, la anualidad diferida tiene como característica que la serie uniforme comienza unos períodos después de concretarse la transacción, por lo tanto, para el cálculo del valor presente, se aplica inicialmente la fórmula del valor presente de una anualidad y luego se lleva al momento de la transacción con la fórmula de valor futuro a presente. GRÁFICO:

VP 0

1

2

3

4

5

6

A EJEMPLO 4.18: Determine el precio de contado de una lavadora que se financia en seis cuotas de $300.000 mensuales, pero el vendedor acepta que la primera cuota se pague en el tercer mes, el interés de financiación es del 2% mensual.

FLUJO DE CAJA:

VP 0

1

2

3

4

5

6

7

8

A ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el importe de contado de la lavadora, con el sistema de financiación y el momento del pago de la primera cuota. PREGUNTA La incógnita es el VP UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Está ubicada en el período cero (0). 178

ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 300.000 n anualidad = 6 . Este el número de cuotas en que se financió la lavadora. n

v.p=

2. Este es el número de meses transcurridos entre el momento que se realiza la

transacción y el inicio del pago de la primera cuota. i=2% VP = REEMPLAZO EN LA FÓRMULA:

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑉𝑃 = 𝐴 [ 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 (1 + 0,02)6 − 1 𝑉𝑃2 = 300.000 [ ] 0,02(1 + 0,02)6 VP2 = 1.680.429,26  VP0 =

Con el valor presente en el período 2 se pasa al período cero (0).

1.680.429,26 (1,02)2

VP0 = 1.615.176,15 RESPUESTA El valor de contado de la lavadora es de $1.615.176,15.

VALOR FUTURO: Para el cálculo del valor futuro, se aplica la fórmula normal de una anualidad para calcular el valor futuro.

EJEMPLO 4.19: Determine la cuantía ahorrada por un trabajador que logró un contrato de prestación de servicios durante 8 meses, dado sus deudas sólo comenzó a consignar en la cuenta a partir del mes cuatro la suma de $600.000. El interés que gana periódicamente es del 1,2% mensual. FLUJO DE CAJA: 179

VP 0

1

2

3

4

5

6

7

VF 8

600.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el valor ahorrado en el mes ocho, conociendo la cuantía consignada mensualmente. PREGUNTA La incógnita es el VF UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Está ubicada en el período ocho (8). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 600.000 n anualidad = 5 . Este el número de cuotas que consigna. i = 1,2 % VF = PROCEDIMIENTO 

Se calcula el valor futuro en el período ocho

REEMPLAZO EN LA FÓRMULA: 𝑉𝐹 = 𝐴 [

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑖

VF8 = 600.000

VF8 = 3.072.869,2 [

(1+0,012)5−1 0,012

]

RESPUESTA: El trabajador con esta orden de prestación de servicio durante ocho meses pudo ahorrar para el tiempo que va a estar desempleado $3.072.869,2

180

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Una vivienda de interés social tiene un costo de $20.000.000, determine el valor de las cuotas de financiación para un crédito a 36 meses si el comprador de lo único que dispone en el momento es de $1.200.000 de ahorro programado y del subsidio que da el gobierno por un valor de $7.000.000, el beneficiario solicita que se le empiecen a cobrar las cuotas a

partir del mes cuatro. El interés de financiación

es del 2% mes.  Usted va a realizar un curso de inglés cuyo precio es de $3.000.000, paga como cuota inicial el 30%, y solicita que el saldo se lo difieran en nueve cuotas pero la primera a partir del mes tres, como interés de financiación le cobran el 2,2% mes. Determine el valor de cada cuota.

4.5. ANUALIDAD PERPETUA Se llama perpetua a una anualidad cuyo pago se inicia en una fecha fija y continúa para siempre, es decir, no existe un pago último. En la práctica las situaciones que se ajustan a anualidades perpetuas, se ajustan a obras de infraestructura, tales como carreteras, puentes, entre otras. Al considerar el caso de una anualidad perpetua cuyos pagos tienen un valor $A y una tasa de interés i % por período. Para este tipo de anualidad no existe el valor futuro y solo existe el valor presente. Su representación gráfica es como sigue:

P 0

1

2

N

3

A

Para el estudio de la anualidad perpetua también debe clasificarse en vencida y anticipada.

ANUALIDAD PERPETUA VENCIDA VALOR PRESENTE Para calcular el valor presente de una anualidad perpetua vencida, se determina mediante la siguiente fórmula:

181

𝑃=

𝐴 𝑖

EJEMPLO 4.20: Para el mantenimiento de una carretera se requiere de 100.000.000 anuales, de cuánto debe ser el valor de un fondo para cubrir el mantenimiento si el interés que reconoce la entidad financiera es del 20% anual.

FLUJO DE CAJA

VP 0

1

2

3

N

4

100.000.000

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conociendo los recursos que periódicamente se requieren indefinidamente, se busca el valor del fondo que gane los intereses suficientes para que éste se sostenga. PREGUNTA La incógnita es el VP. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el período cero (0). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 100.000.000 i (año) = 20% VP = PROCEDIMIENTO: Se reemplaza en la fórmula VP =

100.000.000 500.000.000 0,2

RESPUESTA

182

El fondo debe abrirse con $500.000.000, para que al desembolsar $100.000.000 anuales tenga vida a perpetuidad.

ANUALIDAD Para el cálculo de la anualidad, se despeja de la fórmula enunciada anteriormente. A = VP * i

EJEMPLO 4.21: Usted le regaló a su padre $100.000.000= para que se jubile, sin tener que trabajar más, de cuánto puede disponer su padre mensualmente para mantener sus recursos si la entidad financiera le reconoce el 1,2% mensual.

100.000.000 0

1

2

3

N

4

A

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conociendo el valor inicial del fondo, se busca el valor que se debe gastar mensualmente para que el fondo se mantenga. PREGUNTA La incógnita es A. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en todo el flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = 100.000.000 i (mes) = 1,2% A= PROCEDIMIENTO: Se reemplaza en la fórmula REEMPLAZO EN LA FÓRMULA 183

A = 100.000.000 * 0,012 A = 1.200.000 RESPUESTA Su padre puede gastar $1.200.000= mensuales para no afectar el fondo.

ANUALIDAD PERPETUA ANTICIPADA VALOR PRESENTE Cuando la anualidad perpetua es anticipada, a la fórmula de vencida se le suma una anualidad, quedando de la siguiente forma:

𝑃 = 𝐴 +

𝐴 𝑖

EJEMPLO 4.22: Un inmueble requiere para su mantenimiento $400.000 mensuales, cuánto deberá tener un fondo para cubrir este gasto si se deben hacer los trabajos al iniciar el mes, el interés es del 1,5% mensual.

0

1

2

3

N

4

400.000

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conociendo el valor del gasto mensual, se busca el valor del fondo que gane los intereses suficientes para que se sostenga. PREGUNTA La incógnita es el VP. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el período cero (0). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 400.000 i (mes) = 1,5% VP = REEMPLAZO EN LA FÓRMULA: 184

P = 400.000 +

400.000 0,015

P = 27.066.666,67 El pago que me debe realizar el día de hoy por arrendar el inmueble a perpetuidad debe ser de $27.066.666,67. ANUALIDAD Para determinar el valor de la anualidad, se despeja A, de la siguiente forma:

𝐴=

𝑃 1 [1 + ] 𝑖

EJEMPLO 4.23: Determine el valor que mensualmente debe recibir un asilo a partir de este momento, dado que ha recibido una donación de $50.000.000, y la condición con la fiduciaria es que este fondo debe permanecer a perpetuidad, el interés reconocido es del 1,2% mensual.

0

1

2

3

4

N

5

A

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conociendo la cifra inicial de la donación al asilo, se busca el valor que debe recibirse mensualmente para que el fondo se mantenga a perpetuidad. PREGUNTA La incógnita es A. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en todo el flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = 50.000.000

185

i (mes) = 1,2% A =?

REEMPLAZO EN LA FÓRMULA

𝐴=

50.000.000 1 [1 + ] 0,012

A = 592.885,37 Al asilo la fiduciaria le debe entregar mensualmente $592.885,37.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Un magnate antes de morir quiere dejar unos recursos para una fundación que se encarga de desarrollar programas para los niños afectados por la violencia en el mundo, si el donante desea que mensualmente esta institución reciba $100.000.000 a perpetuidad cual debe ser el valor a donar si el rendimiento de los dineros es del 1,1% mes.  Los cultivadores en una región agrícola se comprometen con el estado a costear el mantenimiento de una represa que les permita irrigar sus cultivos, si este les aporta el 50% del valor de la construcción. Los beneficiados del proyecto son 50 cultivadores y cada uno de ellos se comprometió a aportar por una vez a este fondo $3.000.000, para que con sus rendimientos se efectúe el mantenimiento. Determine el valor anual que se tendría si la rentabilidad que ganan estos dineros es del 18% anual.

4.6. FLUJO DE CAJA CON VARIAS TASAS DE INTERÉS En diversas situaciones, durante el tiempo que se realiza una transacción financiera, las variables económicas se van modificando, entre estas, la tasa de interés. En esta parte del capítulo, vamos a aprender a calcular el valor presente o futuro o las anualidades, cuando varían las tasas de interés en el flujo de caja. Como un principio para facilitar la comprensión en los ejercicios, es fundamental que el estudiante tenga claro donde termina una tasa de interés y a partir de que momento se

186

inicia la otra, en este punto donde se modifica, necesariamente tiene que calcularse ya sea un valor presente o futuro.

EJEMPLO 4.24: Un reloj tiene un precio de $ 1.500.000 y el distribuidor lo vende financiado con el siguiente plan: cuota inicial del 30% del valor de contado y el saldo a 12 cuotas mensuales iguales. Si la tasa de interés es del 2,5% mensual, durante los seis primeros meses y del 2% mensual de allí en adelante. Hallar el valor de las cuotas.

1.500.000 2,5% 0

1

2

3

2% 4

450.000

5

6

7

8

9

10

11

12

A

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Con el precio de contado que se debe pagar por los equipos, el valor de la cuota inicial, el número de cuotas a financiar y las tasas de interés del período, se busca la cuantía de la cuota. PREGUNTA La incógnita es A. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser A la incógnita, esta está ubicada en cada uno de los períodos. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se le da valor a las variables. VP = 1.500.000 CI = 450.000 I mes (0-6) = 2,5% I mes (6-12) = 2 % n ( meses) = 12

187

La incógnita es A, para definir cuál fórmula utilizar, se analiza qué datos se tienen, en este caso, se tiene valor presente, entonces se va a calcular A, con la fórmula de valor presente y anualidad.

PROCEDIMIENTO: PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN Precio del reloj = Cuota inicial + valor presente de las doce cuotas. NOTA: Como existen dos tasas de interés, para llevar a valor presente, se debe realizar lo siguiente:

PASOS:  Las cuotas del rango de los períodos 0-6, se llevan a cero con el interés del 2,5%  Las cuotas del rango de los meses 6-12, se llevan primero a valor presente al mes 6 con la tasa del 2%, luego se lleva a cero con la tasa del 2,5%, se toma el resultado como un futuro y se lleva a un presente.

(1 + 0,02)6 − 1 (1 −1 0,02(1 + 0,02)6 1.500.000 = 450.000 + 𝐴 [ ]+𝐴 6 0,025(1 − 0,025) (1 + 0,025)6 [ ] + 0,025)6

 Se resuelven las fórmulas, queda así: 1.500.000 = 450.000 + A * 5,508125361+ A * 4,830096302  Se va a despejar la fórmula 1.500.000-450.000 = A * 10,33822166 𝐴=

1.050.000 10,33822166

A = 101.564,85 RESPUESTA El valor pagado mensualmente es de $101.564,85

188

EJERCICIOS DE PRÁCTICA:

 Su hijo le solicita que le colabore en su propósito de reunir fondos para comprar un computador, en el momento El cuenta con $400.000, y usted se compromete a regalarle $100.000 mensuales por un año, determine la cantidad de que dispone el joven al final del año si durante los seis primeros meses de su ahorro su dinero rentaba al 1% mensual y los siguientes seis al 1,2% mes.  La universidad está promocionando una especialización en el área administrativa, el valor de la matrícula es de $4.000.000 y el plazo para registrarse es de seis meses, usted empezó a ahorrar $200.000 mensuales en una entidad financiera que le reconoce el 15% anual y su padre le deposita $2 por cada peso que usted ahorre en otro banco que paga un interés del 12% anual ¿Podrá usted completar el valor de la matrícula?

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO EJEMPLO 4.25: Una empresa debe comprar nuevos equipos

para modernizar su maquinaria y las

condiciones son: Cuota inicial del 40% del precio de contado y el resto en seis pagos trimestrales de $5.000.000= cada uno. Determinar el precio de contado si se sabe que en la financiación se pactó un interés del 3% mensual.

X 0

3

6

0.40 X

9

12

15

18

5.000.000

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conociendo el valor trimestral que se debe pagar por los equipos, y el porcentaje de cuota inicial, se busca el precio de contado. PREGUNTA

189

La incógnita es VP. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el período cero (0).

ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Como los períodos son trimestrales y el interés es mensual éste se debe pasar a trimestral. Interés trimestre = (1,03)3 - 1  9,2727 trimestral. Entonces: A = 5.000.000 i (Trim) = 9,2727 %. n (Trim) = 6 VP = X

PROCEDIMIENTO 

PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN

Como la incógnita está en el VP, este es el punto de referencia, entonces la ecuación se plantearía de la siguiente manera. El precio de contado = cuota inicial + anualidades traídas a valor presente.

𝑋 = 0,4𝑋 + 𝐴 [

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑖(1 + 𝑖)𝑛

𝑋 = 0,4𝑋 + 5.000.000 [

(1 + 0,092727)6 − 1 ] 0,092727(1 + 0,092727)6

 El valor de X (valor de contado) es igual a la cuota inicial (40% del valor de contado) más el valor financiado (6 cuotas de $10.000.000=) traído a valor presente al mes cero. Resolviendo la segunda parte de la ecuación se tiene:  El valor presente en el período cero de la financiación es de $22.248.395,42, quedando la ecuación así: X = 0,4X + 22.248.395,42  para calcular el valor de contado se despeja el valor de X 190

X - 0,4X = 22.248.395,42 0,6X = 22.248.395,42 𝑋=

22.248.395,42 0,6

 Se hace la operación, resultado $37.080.659 RESPUESTA El importe de contado de los nuevos equipos es de $37.080.659

EJEMPLO 4.26: Usted ahorra mensualmente $ 50.000 durante el primer semestre, en una entidad que paga un interés del 24% anual capitalizado mensualmente; a partir del segundo semestre empieza a retirar $ 30.000 por mes vencido. Hallar el saldo en la cuenta de ahorros al finalizar el año. Saldo 30.000 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

50.000

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conociendo el monto ahorrado mensualmente en los seis primeros meses, el valor de los retiros mensuales en los seis meses siguientes, la tasa de interés del período, se busca la cuantía del saldo al finalizar el año. PREGUNTA La incógnita es VF. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser VF la incógnita, está ubicada en el mes doce (12). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Dado que la tasa está dada como anual nominal mes vencida, se pasa a mensual, el procedimiento es dividir el 24% entre 12 meses, dando como resultado el 2%. 24/12 = 2% mensual Se asignan valores a las variables: 191

i (mes) = 2% n (meses) = 12 A ingresos (0-6) = 50.000 A egresos (6-12) = 30.000 V.F = PROCEDIMIENTO Como la pregunta es el saldo en el mes doce, la incógnita es un valor futuro, esto indica que se utilizara la fórmula de anualidades y valor futuro. PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN SALDOMES 12 = CONSIGNADOLLEVADO AL MES DOCE - RETIRADOLLEVADO AL MES DOCE SALDOMES 12 = 50.000

[

(1+0,02)6 −1 0,02

]

*(1,02)6 – 30.000 [

(1+0,02)6 −1 0,02

]

PASOS  Se lleva el valor de las consignaciones al mes seis. VF6 = 50.000

[

(1+0,02)6 −1 0,02

]

 315.406

 El saldo de las consignaciones en el mes seis es de 315.406, entonces se lleva al mes doce, con la fórmula de VF y VP. VF12 = 315.406* (1.02)6  355.198,38  El valor de lo consignado en el mes doce es de $355.198,38, ahora se lleva al mes doce el valor de los retiros. VF12 = 30.000

[

(1+0,02)6 −1 0,02

]  189.243,63

 El monto de los retiros en el mes doce es de $189.243,63, para conocer el saldo solo se requiere restar al valor de lo consignado, los retiros. SALDO = 355.198,38 - 189.243,63 SALDO = 165. 954, 75 RESPUESTA

192

Al finalizar el año, usted puede disponer en la cuenta de ahorros de $165.954,75

EJEMPLO 4.27: Un automóvil tiene un precio de contado de $30.000.000 puede adquirirse con una cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto financiado en 8 cuotas trimestrales iguales, pero la primera cuota la paga en el mes seis, si la tasa de interés que se cobra por la financiación es de 30 % anual. Hallar el monto de las cuotas.

30.000.000 0

1

Trimestres

2

3

9.000.000

4

5

6

7

8

9

A

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conocido el precio del automóvil, el valor de la cuota inicial, el número de pagos trimestrales, y la tasa de interés del período, se busca el valor de las cuotas. PREGUNTA La incógnita es A. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser A la incógnita, está ubicada en cada uno de los trimestres. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Al analizar el ejercicio se observa que los períodos son trimestrales, por lo tanto el interés debe ser trimestral, como la tasa dada es una efectiva anual, hay que calcular la efectiva trimestral. IETRIMESTRE = (1+0,3)1/4 - 1 IETRIMESTRE = 6,779% Se asignan los valores a las variables. VP = 30.000.000 CI = 9.000.000 ITRIMESTRE = 6,779% n=8 193

A= Como la incógnita es A, y se tiene como valor presente el importe del automóvil, se utiliza la fórmula de anualidad y valor presente, teniendo en cuenta que el valor presente de una anualidad está ubicado un período antes de la primera anualidad, el valor presente de las cuotas, se debe llevar al período cero.

PROCEDIMIENTO PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN Valor del automóvil = cuota inicial + cuotas llevadas al período cero.

30.000.000 = 9.000.000 + A [

(1+0,06779)8 −1 0,006779 (1+0,06779)8 (1+0,06779)8

]

PASOS  Se determina el saldo que se va a financiar, el cual es de $21.000.000  Se lleva al primer trimestre, dado que la primera cuota se paga en el 2 trimestre. V/R FINANCIAR = 21.000.000 * (1,06779)  Una vez se establece el valor financiado, o sea 22.423.590 se procede a calcular el valor de la cuota. 22.423.590 = A (

(1,06779)8

0,06779(1,06779)8

)

22.423.590 = A * 6,022778377 A = 3.723.130,52 RESPUESTA  El valor de cada cuota es de $3.723.130, 52

EJEMPLO 4.28: Un electrodoméstico tiene un precio de contado de $ 1.200.000 y puede adquirirse financiado con el siguiente plan: Cuota inicial: $ 350.000; doce cuotas mensuales iguales; y 2 abonos extraordinarios de $200.000 en los meses tres y seis. Hallar el valor de las cuotas, si el interés de financiación es el 2.2% mensual.

194

$1.200.000 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

350.000 A 200.000

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conocido el precio del electrodoméstico, el valor de la cuota inicial, el monto de los abonos extraordinarios, la tasa de interés del período, y el número de cuotas, se busca la cuantía de las doce cuotas ordinarias. PREGUNTA La incógnita es A. Valor de cada una de las cuotas ordinarias. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser A la incógnita, está ubicada en cada uno de los doce meses. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se asignan los valores a las variables: VP = 1.200.000 CI = 350.000 ABONOS EXTRAORDINARIOS MES3 = 200.000 MES5 = 200.000 I mes = 2.2% A=

PROCEDIMIENTO La incógnita es A, como punto de referencia está el valor de contado del electrodoméstico, al que se le tiene que descontar el pago de la cuota inicial y los abonos extraordinarios llevados al período cero. Los abonos extraordinarios se pueden llevar a VP en el momento cero como anualidad; dado que estos abonos se hacen en dos trimestres, se calcula la tasa de interés trimestral. I trimestre = (1,022)3 -1  6,7462 %

195

PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN Valor del electrodoméstico = Cuota inicial + VP0 de los abonos extraordinarios + VP0 de las doce cuotas. 1.200.000 = 350000 + 200.000 + A

(

(1+0,06746)2 −1

0,06746(1,06746)

) ( 2 +𝐴

(1+0,022)12

0,022(1,022)12

)

PASOS  Se resta la cuota inicial al precio del electrodoméstico, para saber el monto inicial a financiar, dando como resultado 850.000  Para determinar el valor de la cuota, a los 850.000, se le debe restar los abonos extraordinarios en el momento cero. VP abonos ext = 200.000 (

(1+0,06746)2 −1 0,06746(1,06746)2

)

VP abonos ext = 362.879,38 El valor presente de los abonos extraordinarios es de $362.879,38  El valor presente de los abonos extraordinarios se le descuenta a los 850.000, para definir el saldo a financiar. VALOR A FINANCIAR = 850.000 - 362.879,38 VALOR A FINANCIAR = 487.120,61  Conocido el valor a financiar, ahora se determina la cuantía de la anualidad. 487.120,61 = A

(1+0,022)12−1

( 0,022(1,022)12 )

487.120,61 = A x 10,4466 A = 46.629,56 RESPUESTA El valor a pagar mensualmente en la financiación del electrodoméstico es de $46.629,56.

EJEMPLO 4.29 Usted consigue un contrato de un año y se propone ahorrar mensualmente $600.000 al mes, en una cuenta de ahorros que paga un interés del 1,8% mensual, si usted demora 6 196

meses en volver a conseguir trabajo, ¿cuánto puede ser su gasto mensual, para que le alcance lo ahorrado?

A 0

6

12 13

14

15

16

17

18

600.000

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conocido el valor del ahorro mensual, el tiempo que efectuó las consignaciones y la tasa de interés del período, se busca el valor que puede gastar la persona cada mes para cubrir los seis meses sin recibir ingresos. PREGUNTA La incógnita es A. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Para este ejercicio la incógnita A, está ubicada en cada uno de los meses del trece al dieciocho. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se asigna valor a las variables: AAHORRO = 600.000 I MES = 1,8% AGASTO = La incógnita está en el gasto mensual que debe realizar en los seis meses, para poderlos cubrir con lo ahorrado durante el año. Se debe llevar al mes 12 lo ahorrado, y allí se toma este valor como un presente, para calcular la cuantía de las cuotas. PROCEDIMIENTO PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN VF12 de los 600.000 ahorrados mensualmente = VP12 de los gastos durante los 6 meses (1+0,018)2 −1

600.000 (

0,018

)=𝐴 (

(1+0,018)6 −1

0,018(1+0,018)6

)

PASOS  Se lleva a valor futuro en 12 las cuotas ahorradas

197

(1+0,018)12 −1

VF12 = 600.000 (

0,018

)

VF12 = 7.957.351  El total ahorrado es de $7.957.351, disponibles para gastarlos en los seis meses que no tiene acceso al mercado laboral. Ahora se procede a calcular el valor del gasto mensual.

(

7.957.351 = A

(1+0,018)6 −1

0,018(1+0,018)6

)

7.957.351 = A* 5,639434775 A = 1.411.019,24 RESPUESTA Usted durante los seis meses que no tiene trabajo puede gastar $1.411.019,24 mensualmente.

EJEMPLO 4.30: Ante el vencimiento de una obligación dentro de 30 días de $20.000.000= y la incapacidad para pagarlos, Se solicita refinanciar el crédito que además tiene otro cumplimiento en el mes seis por 15.000.000. Este crédito tenía un interés del 34,49% anual, se propone refinanciarlo en 12 cuotas mensuales iguales, el banco le aprueba pero el interés varía al 2,8% mensual, determine el valor de las cuotas. VENCIMIENTO ACTUAL i=34,49% Anual 0

1

2

3

4

6

5

$15.000.000

$20.000.000

PROPUESTA DE REFINANCIACIÓN

i=2,8% mes 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A

198

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conociendo el valor y el momento de los pagos del compromiso inicial, se debe totalizar la deuda, para calcular la cuantía de las cuotas de la refinanciación. PREGUNTA La incógnita es A. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Para este ejercicio la incógnita A, está ubicada en cada uno de los meses en el flujo de caja de la refinanciación. PROCEDIMIENTO  Para determinar la cuantía de las nuevas cuotas, el primer paso es calcular el valor presente de la deuda actual, es decir, traer a valor presente los cumplimientos del mes uno y seis. VALOR DEUDA = VALOR PRESENTE DE LOS CUMPLIMIENTOS  Como la tasa está efectiva anual, se pasa a mensual imes = (1+0,3449)1/12 -1 imes = 2,5%  Ahora se procede a calcular el VP para conocer el total de la deuda. 𝑉𝑃 = (

20.000.000 15.000.000 )+( ) (1,025) (1,025)6

VP = 32.446.648,11  Conociendo el monto de la deuda, se procede a calcular el valor de las cuotas, es importante recordar que la tasa de interés es mayor. 32.446.648,11 = A

(

1,028)12 −1

0,028(1,028)12

)

32.446.648,11= A * 10,07389772 A = 3.220.863,36 RESPUESTA  El valor de cada cuota que debe pagar por la refinanciación es de $3.220.863,36

199

EJEMPLO 4.31: Su hijo comenzará estudios universitarios dentro de tres años, para esa fecha usted aspira a tener ahorrados 12.000.000=; con este propósito se quiere averiguar cuánto deberá ahorrar mensualmente durante los tres años en una cooperativa que paga un interés del 1.5% mensual durante el primer año, 1,8% mensual en el segundo y 2% mensual en el tercer año. 12.000.000 12

1,5%

24

1,8%

36

2%

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conociendo la cifra a la que se quiere llegar dentro de tres años, y las tasas que paga en cada uno de los años, se calcula el valor de las cuotas mensuales. PREGUNTA La incógnita es A. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Para este ejercicio la incógnita A, está ubicada en cada uno de los meses del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se asigna valor a las variables VF = 12.000.000 i1 AÑO = 1,5% mes i2 AÑO = 1,8% mes i3 AÑO = 2% mes n total = 36 PROCEDIMIENTO Como el interrogante está en el valor de las cuotas, pero el punto de referencia es el saldo al finalizar el tercer año, se utiliza la fórmula de VF y anualidades. Como varían las tasas de interés, en el momento que cambian se toma como un puerto donde debes llegar para tomar el otro camino, o sea que para este caso se calcula el valor futuro de la anualidad del período donde está la primer tasa, a partir de allí se toma como un presente se lleva al mes 24 con la tasa del 1,8%, y de allí al mes 36 con la tasa del 2%.

200

PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN Valor Futuro del Ahorro mensual = Saldo disponible en el mes 36 𝐴(

(1 + 0,015)12 − 1 (1 + 0,018)12 − 1 ) (1 + 0,018)12 (1 + 0,02)12 + 𝐴 ( ) (1 + 0,02)12 0,015 0,018 + 𝐴(

(1 + 0,02)12 − 1 ) = 12.000.000 0,02

PASOS  El primer paso es calcular el factor que permite llevar al mes 12, la primera anualidad. (1+0,015)12−1

𝐴(

0,015

) (1 + 0,018)12 (1 + 0,02)12 +

 El primer factor es 20,48770599, o sea que el valor de las cuotas del primer año se deben multiplicar por esta cifra para llegar al mes 36. Se busca el factor para las cuotas correspondientes al segundo año.

𝐴(

(1+0,018)12−1 0,018

) (1 + 0,02)12

 El segundo factor es 16,81974196, el monto de las cuotas del segundo año, se multiplica por el factor obtenido para saber su valor futuro en el mes 36. Se determina el factor para las cuotas del tercer año. (1+0,02)12 −1

𝐴(

0,02

)

 El factor es 13,41208973, con el cual se lleva a futuro en el período 36, las cuotas del tercer año. Se suman los tres factores, para determinar el valor de A A* 20,48770599 + A* 16,81974196 + A * 13,41208973 = 12.000.000 A * 50,71953768 = 12.000.000 A = 236.595,21 RESPUESTA Para que usted pueda reunir los $12.000.000=

debe consignar mensualmente

$236.595,21.

201

EJEMPLO 4.32: Pedro Pérez compra un microbús, es financiado de la siguiente forma: Cuota inicial 30% del valor de contado, el saldo a sesenta meses con cuotas mensuales iguales y un interés del 2.5% mensual. Después de 30 meses de estar pagando las cuotas, decide pagar el saldo de la deuda que era de $ 30.000.000 (a esa fecha). Determine el precio de contado del microbús. i=2,5%

X 10 0,30X

20

30 $30.000.000

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Este ejercicio busca determinar el precio del microbús, conociendo el porcentaje de cuota inicial y el valor presente de treinta cuotas iguales de financiación, con el interés del 2,5% mes. PREGUNTA Este ejercicio presenta dos incógnitas, la del pago mensual A, y el VP de todo el flujo. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Para este ejercicio la incógnita A, está ubicada en cada uno de los meses del flujo de caja, y el VP en el momento cero. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se asigna valores a las variables: i mes = 2,5% N financiación = 60 X = Valor microbús A = Valor cuotas PROCEDIMIENTO Este ejercicio es bien interesante porque tenemos dos incógnitas para calcular el importe del microbús, Su valor en sí (X), y el valor de las cuotas (A). Pero se tiene la información necesaria para calcular en primera instancia el valor de las cuotas y después el importe del vehículo. 202

PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN Precio del vehículo = Cuota inicial + 30 cuotas canceladas llevadas a valor presente + 30.000.000 llevados a valor presente en el período cero. (1 + 0,025)30 − 1 30.000.000 𝑋 = 0,3𝑋 + 𝐴 [ ]+ 30 0,025(1 + 0,025) (1,025)30

PASOS  Antes de reemplazar en la ecuación, se debe calcular el valor de A. Este se puede estimar, dado que se sabe que faltaban 30 cuotas y que el valor presente es de 30.000.000, entonces se procede a despejar A.

(1 + 0,025)30 − 1 ] 30.000.000 = 𝐴 [ 0,025(1 + 0,025)30 30.000.000 = A * 20,93029259 A = 1.433.329,22  La cuantía de las cuotas es de 1.433.329,22, esta cifra permite calcular el valor presente de las cuotas pagadas hasta el momento, si se verifica que se está en la mitad del período de financiación, entonces el valor presente de la cuotas pagadas en el momento cero, es equivalente a 30.000.000, por lo tanto no hay necesidad de efectuar la operación, si no fuese así, simplemente se calcula el valor presente de las cuotas pagadas con la cuota, de $1.433.329,22  Se reemplaza en la ecuación X = 0,3X+ 30.000.000 +

30.000.000 (1,025)30

X - 0,3X = 44.302.280,56 X = 63.288.972,22 RESPUESTA El valor del microbús es de $63.288.972,22.

203

EJEMPLO 4.33: Usted planea realizar unas vacaciones en el exterior, va a ahorrar durante dos años. Mensualmente apropia $ 200.000; cada semestre de sus primas efectúa un ahorro adicional de $ 500.000. Determinar el valor disponible en el momento que desea tomar las vacaciones, si el interés que renta su dinero es del 1,5% mensual. FLUJO DE CAJA

0

6

12

18

24

200.000 500.000

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Este ejercicio busca determinar el valor ahorrado durante dos años, habiendo efectuado consignaciones periódicas mensuales y extraordinarias semestrales, y conociendo la tasa de interés. PREGUNTA La incógnita es el VF. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA El VF se debe calcular en el mes veinticuatro (24). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se asigna valor a las variables: A mes = 200.000 A semestre = 500.000 n mes = 24 n semestre = 4 i mes = 1,5% i semestre = 9,3443% VF =

204

COMENTARIO El valor a calcular es el total ahorrado dentro de 2 años, por lo tanto la incógnita es el VF, existen dos anualidades, la mensual de $200.000 y la semestral de $500.000, por esto se calculó el interés del semestre. PROCEDIMIENTO PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN

𝑉𝐹 = 200.000 [

(1 + 0,015)24 − 1 (1 + 0,093443)4 − 1 ] + 500.000 [ ] 0,015 0,093443

PASOS  Se calcula el valor futuro de las anualidades VF = 5.726.704,16 + 2.298.201  Se suman las dos cantidades y se determina el total ahorrado. VF = 8.024.905,19 RESPUESTA El total ahorrado es de $8.024.905,19.

4.7 EJERCICIOS Estos ejercicios permitirán desarrollar las competencias necesarias para mi desempeño eficiente y eficaz.

RECUERDE: La experiencia y la habilidad que desarrolle a través del estudio de las matemáticas financieras, contribuirán al éxito de mis desempeños como profesional en el manejo de las finanzas. ¿Se ha preguntado qué tan hábil es frente a la solución de problemas? Hágalo ahora y póngase aprueba, ¡desarrolle estos ejercicios cuidadosamente! Si tiene complicaciones, no se preocupe, aquí está su texto, él colaborará en sus respuestas. 1. Determine el precio de contado de una motocicleta que se financia de la siguiente forma:

205

Cuota inicial 30% del valor de contado, el saldo en12 cuotas mensuales de $400.000= cada una, el interés de financiación 20% anual. R: La motocicleta tiene un precio de contado de $6.168.636,25 2. Cuánto tendrá un ahorrador dentro de un año, si hoy consigna en una entidad financiera $500.000=, y mensualmente deposita $200.000=, el interés es del 3% bimestral. R: El ahorrador tendrá dentro de un año $3.203.651,93 3. Determine el valor de la consignación inicial de un ahorrador, si durante los primeros seis meses depositó en su cuenta de ahorros $300.000= mensuales y en los seis meses siguientes retiró $400.000= y su saldo en el mes doce es de $2.000.000=. La rentabilidad es del 24% anual bimestre vencido. R: La consignación inicial que hizo el ahorrador fue de $1.892.266,654. 4. Pedro deposita cierta cantidad de dinero, con el objeto de que estos recursos le puedan alcanzar para la vejez de su padre, las expectativas de vida del Padre de Pedro son 12 años, y sus gastos mensuales son de $600.000=, el interés de la entidad financiera son del 30% anual, determine la cantidad depositada inicialmente. R: Pedro debe depositar $25.978.786,86 para que su padre tenga durante doce años ingresos por $600.000. 5. Juan compró un taxi, mensualmente el carro le producía $900.000, y los gastos de mantenimiento y combustible son de $500.000=, determine la cantidad de dinero que dispone Juan al finalizar el semestre, si vende el carro en $27.000.000= y el interés es del 4% bimestral. R: Juan dispone de $29.522.007,94 después de vender el taxi. 6. Usted trabaja en una empresa durante 3 años, mensualmente ahorra el 10% de su sueldo, el primer año recibe mensualmente $800.000= y anualmente aumentó en el 12%.Cuánto tendrá ahorrado al finalizar el período si la rentabilidad de su ahorro es el 9% trimestral. R: Al finalizar los tres años usted tiene ahorrado $5.454.826,859 7. Un empleado consigna mensualmente el 20% de sus ingresos, siendo estos de $1.000.000=, labora durante un año y al momento de liquidar el contrato recibe una bonificación de $700.000=, durante cuánto tiempo le alcanzarán los ahorros si sus gastos mensuales son de $400.000=, el interés es 18% semestral mes vencido. R: Le alcanza al empleado a cubrir sus gastos por 10,43 meses

206

8. Si usted es un comerciante en finca raíz y compró un apartamento en $60.000.000=, y se demoró en venderlo 6 meses, los costos de servicios y administración son de $300.000=, lo vendió en 62.000.000=, perdió o ganó en el negocio y cuánto si el interés es del 1,8% mensual. R: En este negocio perdió $6.661.663,99, dado que para alcanzar la rentabilidad del 1,8% mensual debía haber vendido en $68.661.663,99. 9. Al cotizar las vacaciones de fin de año, estas tienen un valor de $6.000.000=, si ahorro mensualmente $400.000= y en el mes 6 y 12 ahorro adicionalmente $500.000= ¿Puedo disfrutar de ellas? ¿Cuánto sería el excedente para gastos varios, si el dinero me renta el 1,5% mes? R: Si puede disfrutar de sus vacaciones y tiene un excedente para gastos varios de $263.206,2. 10. Se va a sustituir una deuda cuyo convenio fue el siguiente: $500.000= dentro de 2 meses, $1.000.000= en el mes 6 y $1.500.000= en el mes 9, por 12 cuotas iguales a partir del próximo mes, el interés es del 18% semestral, defina el valor de las cuotas. R: El valor de cada cuota es de $247.212 11. Se compró un apartamento, la cuota inicial fue el 40% del valor de contado, el saldo se financió a 60 meses, si el valor de la cuota es de $480.000 mensuales, y el interés de financiación es del 1.8% mensual, determine el valor del apartamento. R: El valor del apartamento es de $29.205.643,3 12. Determine el valor de un crédito de fomento, cuyas condiciones fueron las siguientes: Período de gracia 6 meses (sin pago de intereses) plazo 36 meses, interés 1,5% mensual, Valor de la cuota trimestral $750.000=. R: El valor del crédito fue de $5.914.793,98 13. Calcular el valor de la cuota trimestral para un crédito de $12.000.000=a 60 meses si el interés de financiación es del 20% anual para los primeros 2 años, y el 12% semestral de ahí en adelante. R: $965.500,27 14. Si me financian un televisor cuyo valor de contado es de $2.000.000= a 24 meses, con cuotas de $109.000= mensuales, debo conocer el interés de financiación. R: 2,27% mensual es el interés de financiación del televisor. 15. Se compró un reloj que tiene un precio de contado de $1.200.000= y puede adquirirse financiado con el siguiente plan: Cuota inicial 30%, doce cuotas mensuales iguales, la primer cuota debe pagarse dentro de tres meses, y un último pago dentro de 18 meses 207

de $300.000=. Determine el valor de las cuotas si el interés es del 3,5% mensual en el primer año, y el 42% anual mes vencido en el siguiente período. R: El valor de cada cuota es de $75.215,46 16. Usted firmó dos pagarés, uno por $3.000.000= para dentro de seis meses y otro por $2.000.000= para dentro de un año, el interés de cada pagaré es del 28% anual. El banco le da la alternativa de pagar esta deuda en 24 cuotas mensuales, para el primer año la tasa es del 2,5% mensual y para el segundo es del 36% anual mes vencido. ¿Cuál es el valor de las cuotas? R: El valor de las cuotas es de $238.638,71 17. Una deuda de $10.000.000= de hoy debe financiarse a tres años con cuotas mensuales iguales y un interés del 24% anual capitalizado trimestralmente, durante el primer año, y del 36% anual mes vencido, durante los dos años siguientes. La primer cuota la paga en el mes seis. (29 cuotas) R: $518.233,9 18. Que cantidades iguales en los años uno, dos y tres, son equivalentes a una serie de pagos uniformes de $450.000= mensuales durante 24 meses, si el primero se realiza en el mes tres, el interés es del 9% semestral mes vencido. R: Los pagos que se deben realizar anualmente son de $4.125.011,68 19. Determine el valor ahorrado al finalizar un año, si consignaba $300.000 que recibía del arriendo de un apartamento, y pagó de impuesto al finalizar el mes de junio $400.000, el interés es del 1.3% mensual. R: El valor ahorrado al finalizar el año es de $3.436.655,39 20. Usted ahorra mensualmente $350.000, si al final del año, el saldo en su cuenta es de $4.000.000, usted efectúo un retiro o una consignación adicional en el mes de junio, dado que la entidad financiera reconoce un interés del 1.2% mes. R: Efectuó un retiro en el mes de Junio por $488.593,2 21. Si un padre de familia que lleva su hijo a otra ciudad para que realice sus estudios universitarios y decide pagar anticipadamente el canon del arriendo del semestre, determine el monto del pago si el alquiler de la habitación es de $250.000, y el mes se paga anticipadamente. La tasa de descuento es del 18% semestral. R: El padre de familia cancela anticipadamente $1.401.594,12 por los seis meses de arriendo.

208

22. Si usted gana 700.000 mensuales y espera tener un saldo ahorrado durante el año de $1.000.000, determine el porcentaje de sus ingresos que deberá consignar en la entidad financiera mensualmente, si el interés que gana es el 1.5% mes. R: Deberá ahorrar el 10,954% de sus ingresos 23. Un ahorrador tiene como disciplina

consignar mensualmente $200.000 y

trimestralmente hace depósitos adicionales iguales, si al finalizar el año el saldo es de $5.000.000, determine el valor ahorrado trimestralmente, si se le reconoce un interés del 8% trimestral. R: El ahorrador efectúa depósitos trimestrales de $493.877,63 24. Su hermano piensa comprar un electrodoméstico cuyo valor de contado es de $6.000.000, hoy tiene disponible $2.000.000, en seis meses y un año puede hacer abonos extraordinarios de $900.000, si el ingreso mensual de el es de $1.200.000 y sólo puede disponer del 20% de sus ingresos para abonar a la deuda, podrá adquirir el bien si el tiempo máximo de financiación son 12 meses y el interés es del 2,5% mensual. R: No podría adquirir el electrodoméstico. 25. Con el ejercicio anterior si no puede adquirir el bien con esas condiciones, cuánto tiempo requeriría para poder cumplir con la totalidad del pago. R: Su hermano tendría que hacer un pequeño esfuerzo adicional porque con este plan requeriría 12,53 meses para pagar la totalidad de la deuda. 26. Usted ahorra mensualmente el 30% de sus ingresos, si sus ingresos mensuales son de $3.200.000, y usted tiene esta disciplina desde hace quince meses, cuánto dinero le hace falta para comprar el carro de sus sueños si este tiene un precio de $35.000.000. Su dinero renta una tasa del 15% anual. R: En este momento sólo tiene $15.642.971,91 esto quiere decir que su faltante es de $19.357.028.09 27. Con base en el ejercicio anterior, podrá comprarlo dentro de un año si el precio del carro se incrementa un 5% y su sueldo en un 10%?. R: No alcanza a comprarlo dado que sus ahorros llegan a $35.196.686,8 pero el carro ya tiene un valor de $36.750.000. 28. Su padre compra con su tarjeta de Crédito los regalos de navidad por una cuantía de $2.000.000 y autoriza que le descuenten en 12 cuotas, la tasa de interés de financiación es del 2,5% mes, cuando le llega el recibo de descuentos y observa que este fue de $300.000 en el mes, le solicita a usted que vaya a reclamar a la entidad financiera y allí 209

le informan que el mismo dia de las compras de navidad, usaron la tarjeta para otro servicio, determine el valor del servicio. R: El servicio que se pagó con la tarjeta tuvo un valor de $1.077.329,37 29. Usted ingresó al sistema de ventas piramidales y mensualmente le ingresan $200.000, de igual forma semestralmente recibe una bonificación de $300.000, cual será el valor ahorrado en tres años, si la rentabilidad de su dinero fue del 15%, 18% y 16% anual respectivamente para cada año. R: En tres años usted a ahorrado $11.283.516 30. Determine el dinero disponible al finalizar un año si usted invirtió sus recursos en dos fondos de inversión, en el primero consignó $3.000.000 al iniciar el período y la misma suma en los meses tres, seis y nueve. En un segundo fondo invierte mensualmente a partir del primer mes $500.000. ¿Cuál será el monto total de los recursos disponibles si los fondos han tenido una rentabilidad del 1,1% y 1,25% mes respectivamente. R: En el primer fondo tiene disponible $12.936.994,36 mientras que en el segundo cuenta con $6.430.180,7, es decir en total usted ha ahorrado $19.367.175 31. Un comprador de lotería se ha ganado el premio mayor por un valor de $200.000.000, determine el dinero que le queda disponible, si toma la decisión de pagar dos créditos que estaba pagando. En el primer crédito le faltaban 6 cuotas de $2.000.000 cada una, en el segundo el saldo era de 15 cuotas de $1.500.000 cada una, los intereses que debía pagar eran del 2,2% y 2,3% respectivamente. R: El pago de los créditos le equivale a $29.975.902,71, es decir que le queda disponible $170.024.097,3 32. Sus padres se fueron para el exterior y dejaron un administrador para que arrendara tres apartamentos, el valor de los arriendos debía consignarlos en una cuenta de ahorros una vez descontado $100.000 mensuales por la administración, el saldo al finalizar un año en la cuenta es de $15.500.000, determine el canon mensual en que estaban arrendados los apartamentos si la entidad financiera renta un interés del 15% anual. (Recordemos que en los arriendos el pago es anticipado). R: El valor que se recibe por el arriendo de los tres apartamentos es de $1.296.524,23 33. La fundación del grupo económico más grande de Colombia, realiza un aporte cuyo beneficiario recibirá a perpetuidad $300.000 mensuales, determine el valor de la donación si el dinero renta un interés del 12% anual mes vencido. 210

R: La donación fue de $30.000.000 34. La fundación de investigación de la vacuna contra el SIDA ha recibido tres donaciones de diferentes artistas como apoyo para alcanzar la cura contra esta enfermedad, si el aporte fue de $500.000.000 para que su duración sea a perpetuidad, con cuántos recursos cuenta mensualmente si rentan anualmente el 18% R: La fundación dispone mensualmente para sus gastos con esta donación de $6.944.215,17 35. Si la fundación le solicita a la entidad financiera el pago anticipado. ¿Cual sería su valor? R: El valor del que dispondría mensualmente es de $6.849.092 36. Un electrodoméstico tiene un importe de contado de $5.000.000, paga el 20% de cuota inicial, el saldo en doce cuotas, las seis primeras tienen un valor de $500.000, determine el valor de las siguientes seis cuotas iguales con las que termina de cancelar el bien, si el interés es del 9% trimestral mes vencido. R: Las últimas seis cuotas tienen un valor de $284.650. 37. Se compra una motocicleta en $ 10.000.000 se financia a 36 meses con una tasa de 2 % mensual. Determine el valor de la cuota Si trascurrido un año requiere refinanciar la deuda y esta es aprobada con la siguiente condición: solo puede cancelar periódicamente el 60% de la cuota que pagaba pero el interés de financiación sube al 2.2. Determine en cuanto tiempo pago la motocicleta. R: el valor de la cuota es $ 392.328,526 y duraría 54 meses en pagar la motocicleta.

AUTOEVALUACIÓN Reflexione sobre lo aprendido y compare con los conocimientos expuestos en este capítulo, confrontándolos con sus respuestas en la solución de los ejercicios realizados. A partir de esta reflexión observe sus progresos y planee cómo superar sus debilidades.  El concepto de anualidad significa que los pagos o ingresos se efectúan anualmente, si, no y ¿por qué?  Si los períodos de las anualidades son trimestrales en qué período se debe expresar la tasa de interés.  ¿Cuándo se determina el valor presente de una anualidad su cálculo se realiza en el momento del primer pago? 211

 En que momento se halla el valor futuro de una anualidad ¿este se calcula un período antes de la última anualidad?  ¿Cuál es la diferencia entre la anualidad diferida y la perpetua?  Para estimar los recursos para financiar el mantenimiento de una vía que tipo de anualidad se utiliza.

GLOSARIO ANUALIDAD: Conjunto de ingresos o pagos que se realizan en intervalos iguales de tiempo. ANUALIDAD ANTICIPADA: Cuando los pagos se realizan al principio de cada período. ANUALIDAD DIFERIDA: Cuando el primer pago se efectúa después de transcurrido determinado número de períodos. ANUALIDAD VENCIDA: Cuando los pagos o ingresos se suceden al final de cada período. ANUALIDAD INFINITA: Cuando los pagos uniformes tienen una duración indefinida. CUOTA INICIAL: Es el pago que se realiza en el momento de la compra de un activo cuando éste se adquiere financiado. CRÉDITO: Obtención de recursos o bienes sin desembolsar inmediatamente la totalidad de su valor, con el compromiso de restituirlo en un futuro pagando una compensación (interés) por el uso del dinero. DEVENGAR: Derecho que se adquiere que permite obtener una retribución por un servicio o el haber otorgado un crédito. PERÍODO DE GRACIA: Cuando la amortización de una deuda no se inicia desde el primer período. PERÍODO DE GRACIA CON CUOTA REDUCIDA: Período en el cual sólo se pagan intereses y no se amortiza capital. PERÍODO DE GRACIA MUERTO: Período donde hay ningún pago de intereses, pero éstos se capitalizan. RIESGO DE TASA DE INTERÉS: Es la posibilidad de que los cambios en la tasa de interés afecten su estabilidad financiera.

212

FÓRMULAS: Cálculo del valor presente conociendo la anualidad vencida.

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑉𝑃 = [ 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 Cálculo de la anualidad vencida conociendo el valor presente.

𝐴 =

𝑉𝑃 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 [ ] 𝑖 ∗ (1 + 𝑖)𝑛

Cálculo del valor futuro cuando se tiene una anualidad vencida.

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑉𝐹 = 𝐴 [ 𝑖 Cálculo de la anualidad vencida cuando se tiene un valor futuro.

𝐴 =

𝑉𝐹 ∗ 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1

Determina el número de períodos cuando se conoce un valor presente y la anualidad vencida.

1 𝑣𝑝 ∗ 𝑖 ] 1− 𝑎 𝐿𝑂𝐺 (1 + 𝑖)

𝐿𝑂𝐺 [ 𝑛=

Determina el número de períodos cuando se conoce un valor futuro y la anualidad vencida.

𝑉𝐹 ∗ 𝑖 𝐿𝑂𝐺 [ 𝐴 + 1] 𝑛= 𝐿𝑂𝐺 (1 + 𝑖) Cálculo del valor presente cuando la anualidad es anticipada.

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑃 = 𝐴(1 + 𝑖) [ 𝑖(1 + 𝑖)𝑛

Cálculo del valor presente cuando la anualidad es perpetua. 213

𝑃=

𝐴 𝑖

Cálculo del valor presente cuando la anualidad es perpetua y anticipada.

𝑃 =𝐴+

𝐴 𝑖

214

CAPÍTULO 5 GRADIENTES JUSTIFICACIÓN Al observar la realidad que vivimos día a día, los créditos personales para la adquisición de bienes y servicios con fines que van desde la simple subsistencia de las personas hasta la compra de materias primas para la producción de bienes y servicios como actividad económica de los individuos y de las empresas, son fundamentales para el crecimiento de un país. Esta situación de la dinámica económica nos ha permitido considerar el pago de la deuda mediante cuotas iguales. Después de aprender y experimentar con el método para calcular el pago de los créditos mediante cuotas iguales, es muy importante explorar un nuevo sistema mediante el cual el valor de las cuotas va aumentando o disminuyendo por un valor o porcentaje uniforme. Este procedimiento matemático busca facilitar el pago del crédito por parte de los usuarios. Considerando como supuesto que los ingresos van aumentando por lo menos en el índice inflacionario, se ha considerado tener en cuenta este indicador en las transacciones financieras, aplicándolo especialmente en la financiación de vivienda.

MI OBJETIVO GENERAL Dominar la aplicación de los métodos y

factores que inciden en los sistemas de

financiación por cuotas que varían uniformemente.

215

MIS OBJETIVOS ESPECÍFICOS Con el estudio y aprendizaje de los gradientes debo desarrollar competencias que posibiliten mi desempeño futuro en el campo financiero, para:  Determinar el valor presente y futuro de una serie que crece o decrece uniformemente.  Dominar el cálculo del valor o porcentaje que varía periódicamente la cuota de pago de un préstamo.  Establecer el valor de la primera cuota en una serie variable uniforme.

CONDUCTA DE ENTRADA Recordemos, la evaluación de entrada le permitirá autoevaluar los conocimientos y conceptos que ya posees para continuar su estudio en finanzas. Al identificar sus deficiencias podrá superarlas para poder iniciar el estudio de esta unidad. La inteligencia se mide por la capacidad para resolver problemas. Entre más ejercicios resuelvas más desarrollará su inteligencia. Probemos nuestra propia capacidad, y comprobemos de paso nuestra potencialidad para apropiar conocimientos, y desarrollemos competencias para resolver problemas y tomar decisiones en el campo de las finanzas. Resolvamos estos problemas y reflexionemos sobre los procedimientos y respuestas. Después desarrollemos un plan de acción para mejorar el aprendizaje de las finanzas. 1. Diagramar un flujo de caja y señalar la ubicación del valor presente, la anualidad y el valor futuro, mostrar: el valor presente como un ingreso y la anualidad y el valor futuro como egresos. 2. Definir en qué transacciones financieras se aplican las anualidades y cuáles son sus características. 3. Presentar las diferencias entre la ubicación del cálculo del valor presente y futuro de una anualidad respecto de la serie uniforme. 4. Calcular el valor de la cuota de pago de un crédito de $1.000.000, para un plazo de financiación de seis meses y con un interés del 2,5% mes. 5. Describir la diferencia existente entre una anualidad diferida y una perpetua.

¿QUÉ TAL LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN? 216

Ahora que se siente seguro podemos iniciar este nuevo e interesante tema.

5.1 GRADIENTES Se denomina gradiente a una sucesión de valores, que crecen o decrecen de manera uniforme, ya sea en un valor absoluto o en un porcentaje. ¿PARA QUÉ SIRVEN LOS GRADIENTES? Los gradientes son modelos matemáticos que

se utilizan para liquidar créditos de

amortización que permita al prestatario iniciar con cuotas bajas y que vayan creciendo de acuerdo con el aumento de los ingresos. De igual forma se utilizan para calcular en un período determinado los gastos de operación de una empresa o el mantenimiento de su maquinaria, los cuales varían periódicamente en cantidades o porcentajes iguales. TIPOS DE GRADIENTES Existen dos tipos de gradientes: EL GRADIENTE ARITMÉTICO y el GRADIENTE GEOMÉTRICO.

5.2 GRADIENTE ARITMÉTICO: En este tipo de gradiente, Los valores aumentan o disminuyen una cantidad igual de manera uniforme, ya sea un ingreso o un desembolso. CONFORMACIÓN DEL GRADIENTE Para que un flujo de caja se pueda definir como un gradiente, y se pueda calcular su valor presente o futuro, debe presentar las siguientes condiciones:  Los pagos o ingresos deben realizarse con la misma periodicidad.  El aumento o disminución es constante y su valor se denomina G.  El primer dato de la serie se denomina cantidad base y se representa con la letra A.  Por la tendencia en la variación, el gradiente se clasifica en ascendente y descendente.

5.3 GRADIENTE ARITMÉTICO ASCENDENTE Se denomina así porque periódicamente los ingresos o egresos aumentan.

217

VALOR PRESENTE Como valor presente se puede definir, la equivalencia de la sumatoria de una serie que aumenta uniformemente en un valor determinado y descontado con una tasa de interés hasta el momento actual. La fórmula para calcular el valor presente de un gradiente es la siguiente: VP=A+

Definición de variables: VP = Valor Presente A = Cantidad Base n = Número de períodos i = Tasa de interés del Período g = Valor constante de aumento o disminución del flujo de caja.

EJEMPLO 5.1: Determine el valor presente de un flujo de caja que en el primer período consigna $200, y que mensualmente aumenta sus ahorros en $100 durante tres meses más, el interés es del 1,96% mensual.

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor presente equivalente, dado que se conoce el número y valor de las cuotas, así como la tasa de financiación. PREGUNTA Se va a calcular un VP UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Los datos son los siguientes: A = $200

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g = 100 n =4 meses i = 1,96% mensual. PROCEDIMIENTO En este ejercicio sólo se procede a reemplazar en la fórmula. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VP = 200 VP = 762.2855395 + 562.467477551020 VP = 1324.753017 RESPUESTA: El valor presente equivalente al ahorro realizado en 4 meses es de $1324.75

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO INFINITO El gradiente aritmético infinito tiene sentido cuando se calcula el VP, su principal aplicación está en el mercado bursátil, para determinar el costo de capital de una inversión en acciones. La fórmula para calcular el valor presente de un gradiente aritmético infinito es la siguiente: VP =

EJEMPLO 5.2: Determine el valor que se debe invertir en un proyecto que se propone generar ingresos en el primer año $1.000.000 y aumentarlos anualmente en $100.000, la tasa de rendimiento es del 15% anual. ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor presente de una serie infinita. PREGUNTA Se va a calcular un VP UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN

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Los datos son los siguientes: A = $1.000.000 g = 100.000 i = 15% anual. PROCEDIMIENTO En este ejercicio sólo se procede a reemplazar en la fórmula. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VP = VP = 11.111.111,11 El valor que se debe invertir en el proyecto es de $11.111.111,11 FORMA DE CÁLCULO MEDIANTE EL USO DE LAS TABLAS. Para explicar el uso de las tablas en el cálculo del valor presente de un gradiente, es preciso entender como está estructurado un gradiente aritmético. La forma de un gradiente aritmético está dada por las dos partes siguientes:  Cantidad base, se configura como una anualidad y está determinada por el valor que da inicio a la serie y termina cuando se llega a la n donde finaliza.  Cantidad Gradiente: Es la cantidad que va aumentando o disminuyendo en la serie uniforme.

La variación es la cantidad Gradiente. NOTA: Las tablas tienen la limitante de que el valor del interés debe estar contemplado en la tabla de factores.

EJEMPLO 5.3: Se va a calcular el valor presente de los anteriores gradientes con un interés del 2% mes. GRADIENTE ASCENDENTE PREGUNTA Se va a calcular un VP UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN 220

Los datos son los siguientes: A = $200 g = 100 i = 2% mes. n=4 PROCEDIMIENTO En este ejercicio se procede a reemplazar en la fórmula, pero haciendo uso de las tablas. V. P = 200 (P/A, 2%,4)+100(P/G, 2%,4) V. P = 200* 3,8077 + 100* 5,6173 V. P = 1323,27 GRADIENTE DESCENDENTE PREGUNTA Se va a calcular un VP UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Los datos son los siguientes: A = $500 g = 100 i = 2% mes. n=4 PROCEDIMIENTO En este ejercicio se procede a reemplazar en la fórmula, pero haciendo uso de las tablas. V. P = 500 (P/A, 2%, 4) - 100(P/G, 2%, 4) V. P = 500* 3, 8077 - 100* 5, 6173 V. P = 1342, 12

221

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA H.P Las calculadoras no traen la función que desarrolle un ejercicio de gradiente de forma directa, para hacerlo la H.P. permite que se construya la fórmula, los pasos que se deben seguir son los siguientes: Si está situado en el menú principal (MAIN), presione RESOL, una vez allí se construye la fórmula y se le da un nombre seguido por dos puntos, digita INPUT para que se ubique en la memoria del RESOL.

CONSTRUCCIÓN DE LA FÓRMULA Para ingresar la fórmula la calculadora muestra en la pantalla el mensaje VERIFICANDO FÓRMULA.... indica el trabajo que realiza. Si la FÓRMULA presenta algún error y no se puede interpretar muestra la frase FÓRMULA INCORRECTA, y el cursor se ubica donde factiblemente está el error. La fórmula del gradiente aritmético ascendente se construye en la calculadora de la siguiente manera: GRARITAS: PGA : A x ((1+ i)^n - 1)/(i x (1 + i)^n)+ (G/i) x (((1+i)^n-1)/(i x (1+i)^n)n/(1+i)^n) Se Digita INPUT En el menú quedan las siguientes opciones: CALC EDTAR

ELIM

CALC Con la opción CALC se muestran las opciones de las variables para asignar valores, para esta fórmula quedaría así: PGA

A

I

N

G

Se digita primero el valor de cada variable y después la letra correspondiente. EDTAR Esta opción se utiliza para cuando se va a realizar alguna modificación a la fórmula, cuando se corrige una fórmula regularmente se debe insertar algún signo o letra, para crear el espacio se utiliza la tecla INS.

222

ELIM Se utiliza para la eliminación de la fórmula. APLICACIÓN AL GRADIENTE ASCENDENTE DEL EJEMPLO 5.2  RESOL  Se ubica GRARITAS  CALC  500 A  2% I  4N  100 G  PGA La Pantalla muestra PGA = 1342,12

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA TEXAS INSTRUMENTS BA II PLUS PROFESSIONAL Al igual que la HP la BA II no trae la función que desarrolle un ejercicio de gradiente de forma directa, para hacerlo seleccionamos la hoja de trabajo Flujo de caja con la opción CF, la pantalla nos muestra CFo=, como vamos a hallar el valor presente este espacio queda vacio y continuamos el proceso de la siguiente manera: Pulse

500 ENTER

Como este valor es para un solo periodo F01 queda como el

predeterminado 1, pulse de nuevo

400 ENTER

300 ENTER

200 ENTER.

Para acceder a la variable de la tasa de interés pulse NPV e ingrese el valor del interés que para el caso es 2 ENTER

APLICACIÓN

CPT. La pantalla muestra 1342.13.

EN EXCEL

El Excel no tiene dentro de sus funciones un formato directo para el cálculo del gradiente aritmético, por esto se hace el cálculo de cada uno de los factores, como lo muestra la siguiente figura:

NOTA: Es importante dejar el valor de cada variable en una casilla única, para evitar que quede como texto y que sea susceptible de ser modificada. De igual manera se debe tener cuidado en la organización de los paréntesis.

223

Este mismo procedimiento se utiliza para el cálculo del VP de un gradiente aritmético descendente o el VF. En el Capítulo siete aprenderemos la ventaja de trabajar con el EXCEL, haciendo uso de las herramientas TABLA y BUSCAR OBJETIVO.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Veamos si el tema quedó entendido:  Cuál es el valor de contado de un vehículo que lo compró financiado a 36 meses, pagó de cuota inicial $5.000.000, por la primer cuota debe consignar $200.000 y a partir de allí cada cuota debe aumentar $40.000, la tasa de interés es del 30% anual.  Se aportó recursos a un fondo por $60.000.000, su propósito es asistir a un orfanato por tiempo indefinido, cada año la asistencia debe aumentar en $300.000, determine el valor para el primer año, si la tasa de interés de rentabilidad del fondo es del 20% anual.

VALOR FUTURO El valor futuro es la sumatoria de una serie que uniformemente va aumentado una determinada cantidad, en una fecha posterior. La fórmula para calcular el valor futuro de un gradiente aritmético ascendente es: F=A

+

EJEMPLO 5.2: Cuánto se tendrá disponible para ir a vacaciones al finalizar el mes seis si se inicia ahorrar este mes $100.000, y se aumenta $50.000 mensuales. El interés es del 1,5% mensual. NOTA: Se trabajará en miles (000).

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor futuro, proveniente de una serie de consignaciones en forma de gradiente aritmético. PREGUNTA Se va a calcular un VF UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA

224

La incógnita se encuentra ubicada en el período seis (6). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 100 g = 50 n =6 meses i = 1,5 % mes PROCEDIMIENTO En este ejercicio sólo se requiere reemplazar en la fórmula de VF cuando se tiene un gradiente aritmético: REEMPLAZO EN LA FÓRMULA F=100+ F = 100 x 6,229550929 + 3333,33 x 0,229550929 F = 622,9550929 + 765,1697633 F = 1.388,124 Respuesta: Recordemos que se trabaja en miles. Se tiene ahorrado al finalizar el mes seis (6), $1.388.124.

DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL GRADIENTE EN UN PERÍODO n. Determinar los valores en un gradiente aritmético es muy fácil, pero en aras de aprovechar el tiempo, cuando se tienen períodos largos, se debe utilizar una fórmula para mayor rapidez. Por ejemplo, si en el primer caso no se habla de 4 períodos, sino se quiere conocer el valor del egreso en el mes quince, se hace un poco largo realizarlo uno por uno, por esto el cálculo se realizaría de la siguiente forma: FÓRMULA Valor(n)= A + g x (n-1)

EJEMPLO 5.5: Si el caso del ejemplo 5.2 es un ahorro permanente, determine el valor que consigna en el mes quince (15). 225

Valor (15)=200+100 * (15-1) Valor (15)=1.600

5.4 GRADIENTE ARITMÉTICO DESCENDENTE Se denomina así porque periódicamente los ingresos o egresos disminuyen.

VALOR PRESENTE Cuando el gradiente aritmético es descendente, la fórmula se modifica en su parte central donde en vez de sumar su segunda parte, pasa a restar. VP = A-

EJEMPLO 5.6: Cuánto dinero debo tener hoy para pagar una deuda cuya forma de pago es la siguiente: 4 cuotas mensuales, la primera de $500.000 y disminuye cada mes en $50.000, si el interés es del 2% mensual. Se trabaja en miles (000).

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor presente, que es la cuantía equivalente a los futuros compromisos de pago, en forma de gradiente aritmético descendente. PREGUNTA Se va a calcular un VP. UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 500 g = 50 n =4 meses i = 2 % mes PROCEDIMIENTO 226

Se reemplaza en la fórmula de cálculo de VP cuando el flujo de caja conforma un gradiente aritmético descendente. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VP = 500 -

VP = 500 x 3,807728699 - 2500 x 0,112346994 VP = 1903,86435 - 280,867485 VP = 1622,996 Respuesta: Como se trabajó en miles, El dinero requerido para pagar la deuda es de $1.622.996

VALOR FUTURO Consiste en calcular la cuantía equivalente de una serie de pagos periódicos que disminuyen en una cantidad constante, en una fecha posterior. La fórmula para calcular el valor futuro del gradiente descendente es la siguiente: VF = A -

EJEMPLO 5.7: Determine el total gastado al final de 6 meses en el mantenimiento de una vía si el primer mes requirió $5.000.000=, mensualmente se le invertía $500.000 menos. El interés es del 3% mes. GRÁFICO: Miles (000) de $

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor presente, que es el monto equivalente a los futuros pagos, los cuales tienen forma de gradiente aritmético descendente. PREGUNTA Se va a calcular un VP. UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0). 227

ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 5.000 g = 500 n =6 meses i = 3 % mes PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula de VP, cuando se tiene un gradiente aritmético descendente. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VF = 5.000 -

VF = 5.000 x 6,468409884 - 16.666,66 x 0,468409884 VF = 32.342,049 - 7.806,8314 VF = 24.535,218 Respuesta: El dinero gastado en el mantenimiento de la vía alcanza al final del mes seis a $24.535.218.

DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL GRADIENTE EN UN PERÍODO n. Para la determinación del valor en un gradiente aritmético descendente para un determinado período la FÓRMULA es la siguiente: Valor(n)= A - g x (n-1)

EJEMPLO 5.8: Si se tiene un flujo de caja cuyo primer dato es $5.000 y disminuye periódicamente $50, determine el valor del período 24. Valor(24)= 5.000 - 50 x (24-1) Valor(24)= 3.850 El valor en el período 24 es de $3.850.

EJEMPLO 5.7:

228

Usted ahorrará $ 10.000 mensuales durante doce meses, pero mensualmente aumenta en $2000=, en una corporación que le paga el 18% semestral mes vencido. Su primer ahorro lo hará dentro de tres meses. ¿Cuánto tendrá ahorrado después de efectuar su última consignación? 18/6 = 3% mensual FLUJO DE CAJA (miles (000))

ANÁLISIS DEL EJERCICIO El planteamiento que realiza quien debe calcular el total ahorrado dentro de catorce meses, es que debe calcular un valor Futuro. Además se debe tener en cuenta que comienza a efectuar las consignaciones en el mes 3. Pregunta: Valor ahorrado Ubicación Incógnita: Mes catorce (14). Organización de la Información: A = 10.000 g = 2.000 n =14 meses i = 3 % mes VF = ? PROCEDIMIENTO:  Con la fórmula de VF de un gradiente aritmético ascendente, se calcula el total ahorrado. Se reemplaza en la fórmula: VF = 10.000 +

VF = 10.000 x 14,192 + 66.666,66 x 2,192 VF = 141.920 + 146.133,32 VF = 288.053,32

229

Respuesta: El saldo que tiene el ahorrador en el mes 14 es de $288.053,32

EJEMPLO 5.10: Usted hace el siguiente ahorro: dentro de dos meses consigna $4.000 y aumenta en $4.000 cada mes hasta el mes seis; a partir de allí consigna la misma suma hasta el mes diez, de ahí en adelante disminuye $4.000 hasta el mes catorce. Calcular el valor presente hoy, y el valor que tiene ahorrado al mes quince. La tasa de interés es de 19.4% semestral. i = 19.4% semestral i mes = (1 + 0.194)1/6 - 1 = 3 % i = 3% mensual FLUJO DE CAJA

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se tienen 3 tipos de flujos de caja, gradiente aritmético ascendente, anualidades y gradiente aritmético descendente. La tasa de interés dada fue una efectiva semestral, y los períodos son mensuales. Pregunta: Equivalencia del valor ahorrado en el momento cero y en el período quince. Ubicación Incógnita: Mes cero (0) y mes quince (15). Organización de la Información: Gradiente aritmético ascendente. A = 4.000 g = 4.000 n =4 meses i = 3 % mes VP =?

Anualidad. A = 20.000 n =5 meses 230

i = 3 % mes VP =? Gradiente aritmético descendente. A = 16.000 g = 4.000 n =4 meses i = 3 % mes VP =?

PROCEDIMIENTO:  El flujo de caja para efectos del desarrollo del ejercicio se puede dividir en tres partes: El gradiente aritmético ascendente, la anualidad y el gradiente aritmético descendente.  Con la fórmula de VP de un gradiente aritmético ascendente, se calcula la equivalencia del monto ahorrado del gradiente aritmético ascendente. Como el primer pago lo efectuó en el mes 2, el valor presente se calcula en el mes uno (1), por lo tanto se debe llevar a cero (0), con la fórmula de futuro a presente.  La anualidad se lleva a VP al mes cinco (5), con la fórmula de VP de una anualidad y de allí se lleva a cero (0), con la fórmula de futuro a presente.  El gradiente aritmético descendente se lleva a VP al mes diez (10), con la fórmula de VP, de allí se lleva a cero (0) con la fórmula de futuro a presente.  Se suman los tres VP obtenidos, y se determina el VP total.  Para calcular el monto ahorrado en el mes quince, se lleva el VP total al mes quince (15). Se reemplaza en la fórmula: 1. GRADIENTE ARITMÉTICO ASCENDENTE Se determina el valor presente en el período uno (1). V P1 = 4.000 +

VP1 = 4.000 x 3,717098403 + 133.333, 33 x 0,163150211 VP1 = 14.868,39 + 21.753,36 231

VP1 = 36.621,75 Como está en el período uno (1), ahora se lleva al período cero (0). VP0 = VP0 = 35.555 El valor presente en el momento cero del gradiente aritmético ascendente es $35.555. 2. ANUALIDAD Se calcula el VP en el período cinco. V P5 = 20.000

VP5 = 91.594,14 Ahora se debe llevar a cero (0). VP0 =

VP0 = 79.009,9 El valor en el período cero de las anualidades es de $79.009,9 GRADIENTE ARITMÉTICO DESCENDENTE Se lleva a valor presente en el período diez (10). VP10 = 16.000 -

VP10 =16.000 x 3,717098403 - 133.333,33 x 0,163150211 VP10 = 59.473,57 - 21.753,36 VP10 = 37.720,21 El valor presente en el período diez (10) es de $37.720,21, ahora se debe llevar a cero (0). VP0 = VP0 = 28.067,38 El valor en el período cero es de $28.067,38. CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE DE LO AHORRADO EN EL PERÍODO CERO. 232

Para dar respuesta al primer interrogante, el monto equivalente de lo ahorrado en el período cero (0), se suman los tres valores presentes calculados anteriormente. VPTOTAL = 35.555 + 79.009,9 + 28.067,38 VPTOTAL = 142.632,28 Respuesta: El equivalente al valor ahorrado en el período cero (0), es de $142.632,28

SALDO DE LO AHORRADO EN EL MES QUINCE Para determinar la cifra ahorrada en el mes quince, simplemente se llevan los 142.632,28 a un futuro en el período quince (15). VF15 = 142.632,28 x (1,03)15 VF15 = 222.216,44 Respuesta: El saldo en la cuenta de ahorros en el mes quince es de $222.216,44.

EJEMPLO 5.11: ¿Cuál fue la cuantía de apertura de una cuenta, la cual se realizó al finalizar el primer mes si al terminar el semestre se tiene un saldo en la cuenta de ahorro de $10.000.000, y periódicamente aumentaba los depósitos en $200.000=. El interés es del 2,5% mes. FLUJO DE CAJA

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el valor de la primera consignación. Mediante el despeje de A en la fórmula de gradiente aritmético ascendente. Pregunta: Valor consignado en el primer mes, es decir el valor de A. Ubicación incógnita: Mes uno (1). Organización de la información: A= g = 200.000 n =6 meses i = 2,5 % mes VF = 10.000.000 233

PROCEDIMIENTO:  En este ejercicio se reemplaza en la fórmula de VF para un gradiente aritmético ascendente y se despeja A. Se reemplaza en la fórmula: 10.000.000 = A + 10.000.000 = A x 6,387736728 + 8.000.000 x 0,387736728 10.000.000 = 6,387736728 A + 3.101.893,82 =A A = 1.079.898,32 Respuesta: El valor de la primera consignación fue de $469.636,43.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA:  Usted espera reunir $10.000.000 para el próximo año (dentro de 12 meses), con el propósito de regalarle un viaje a sus padres en su aniversario de bodas, en el momento cuenta con $2.000.000, y espera disponer de $500.000 en el primer mes y aumentar esta cifra en $200.000 cada mes, si estos recursos rentan al 3% mensual, determine cuánto dinero le hizo falta en la fecha prevista o por el contrario cuánto es el valor adicional.  Su padre le pide que le calcule la cuantía con el que debe abrir una cuenta de ahorros con la cual usted debe asumir los gastos durante el semestre de universidad, El le fija el gasto del primer mes en $300.000 y se asume que éstos le aumentan en $30.000 mes, la entidad donde deja el dinero le reconoce un interés del 14% anual, ¿cuál es el dato a entregarle?, tenga cuidado porque Él no le volverá a consignar ningún valor.

5.5 CÁLCULO DEL SALDO DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO El cálculo del saldo se utiliza para conocer el monto de la deuda después de haber efectuado determinada cantidad de pagos, el procedimiento es muy sencillo, simplemente traer a valor presente las cuotas por pagar. El método es idéntico para el gradiente aritmético ascendente como para el descendente, tenga en cuenta la FÓRMULA respectiva. 234

EJEMPLO 5.12: Con el ejercicio anterior, determine el saldo una vez se ha pagado la primer cuota. 4 cuotas mensuales, la primera de $500.000 y disminuye cada mes en $50.000, si el interés es del 2% mensual. Se trabaja en miles (000).

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor presente, de las tres cuotas que quedan por pagar. PREGUNTA Se va a calcular un VP. UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período uno (1). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN El valor de A es la cifra del siguiente pago que se debía realizar si se cumple con el flujo de caja proyectado inicialmente. A = 450 g = 50 n =3 meses i = 2 % mes PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula de cálculo de VP cuando el flujo de caja conforma un gradiente aritmético descendente. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VP = 450 VP = 450 * 2,883883273 - 2500 * 0,056916269 VP = 1297,747473 - 142,2906725 VP = 1155,456

235

Respuesta: Como se trabajó en miles, El saldo de la deuda una vez pagada la primera cuota es de $1.155.456

5.6. GRADIENTE GEOMÉTRICO Se considera gradiente geométrico a una serie de ingresos o pagos periódicos en la cual cada uno es igual al del período inmediatamente anterior incrementado en un mismo porcentaje. La variación porcentual de cada pago puede aumentar o disminuir, dando origen al gradiente geométrico ascendente o descendente.

5.7 GRADIENTE GEOMÉTRICO ASCENDENTE Como se enunció anteriormente el gradiente es ascendente cuando en una serie de pagos o ingresos éstos van aumentando en un mismo porcentaje. En el siguiente flujo se muestra un gradiente cuyo primer pago es de $100, y aumenta el 2% mensual, hasta el mes cinco.

FLUJO DE CAJA

Los valores serían los siguientes:

VALOR PRESENTE La fórmula para determinar el valor presente del gradiente geométrico ascendente es la siguiente: VP = Definición de Variables: VP = Valor Presente A = Cantidad Base n = Número de períodos

236

i = Tasa de interés del Período j = Porcentaje de aumento o disminución del gradiente.

EJEMPLO 5.13: Determine el valor presente del flujo de caja cuyo primer pago es $100 y aumenta el 2% mes hasta el período cinco (5), si el interés es del 3% mensual. ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el valor presente de una serie de pagos que periódicamente aumentan un porcentaje. Pregunta: Valor presente. Ubicación Incógnita: Mes cero (0). Organización de la Información: A = 100 j = 2% n =5 meses i = 3 % mes PROCEDIMIENTO Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VP cuando se tiene un gradiente geométrico ascendente. Se Reemplaza en la fórmula: VP = VP = 10.000 x 0,0476102

VP = 476,1 RESPUESTA El valor presente es de $476,1.

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA H.P CONSTRUCCIÓN DE LA FÓRMULA 237

La fórmula del gradiente geométrico ascendente se construye en la calculadora de la siguiente manera: GRAGEAS: PGGA : A /(i - j) x (1-((1+i)/(1+j))^n) Se Digita INPUT En el menú quedan las siguientes opciones: CALC

EDTAR

ELIM

APLICACIÓN AL EJEMPLO 5.10  RESOL  Se ubica GRAGEAS  CALC  100 A  3% I  2% J  5N  PGGA La Pantalla muestra PGA = $476,1

APLICACIÓN CON LA CALCULADORA BA II PLUS PROFESSIONAL Tomando como base que los pagos aumentan en un 2% mensual, el valor de los desembolsos seria:

•

100

•

102

•

104,04

•

106,1208

•

108,243216

CONTRUCCION DE LA FORMULA CF 100 ENTER 102 ENTER 104,04 ENTER 238

106,1208 ENTER 108,243216 ENTER NPV 3 ENTER

CPT

La pantalla muestra NPV= 476,10

APLICACIÓN EN EXCEL Al igual como se había explicado para el gradiente aritmético, Excel no presenta una función directa, por lo tanto se construye la fórmula. Para este caso se subdividió en dos elementos con el propósito de que se disminuya la probabilidad de equivocarse, quien tiene facilidad la puede calcular completa.

El resultado obtenido comprueba el realizado manualmente.

VALOR PRESENTE CUANDO I = J Cuando en un gradiente geométrico ascendente la tasa de interés es igual al porcentaje de aumento del gradiente, la fórmula es la siguiente: VP =

EJEMPLO 5.14 Cuál fue la cantidad de dinero que le consignó su padre si usted pudo efectuar retiros durante 6 meses, el comportamiento de los retiros fue el siguiente: $100.000 el primer mes y a partir de allí aumentaron mensualmente en el 2%. La tasa de interés de la entidad financiera es del 2% mensual.

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el valor presente de una serie de pagos que periódicamente aumentan un porcentaje del 2%. Pregunta: Valor Presente. Ubicación Incógnita: Mes cero (0). Organización de la Información: A = 100.000 239

j = 2% n =6 meses i = 2 % mes PROCEDIMIENTO Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VP cuando se tiene un gradiente geométrico ascendente, pero que la tasa de interés es el mismo valor que aumentaron los retiros. Se reemplaza en la fórmula: VP = VP = 588.235,29 RESPUESTA Su padre le consignó para los gastos del semestre $588.235,29

VALOR FUTURO Para calcular el valor futuro de un gradiente ascendente se utiliza la siguiente fórmula: VF =

EJEMPLO 5.15: Determinar la cantidad ahorrada por un grupo de estudiantes que desean realizar una excursión al finalizar el mes seis, si en el primer mes ahorran $100.000 y va aumentando mensualmente sus ahorros en un 6%, el interés es del 2% mes.

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el valor Futuro de una serie de consignaciones que periódicamente aumentan un porcentaje del 6%. Pregunta: Valor Futuro. Ubicación Incógnita: Mes seis (6). Organización de la Información: A = 100.000 j = 6% 240

n =6 meses i = 2 % mes PROCEDIMIENTO Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VF cuando se tiene un gradiente geométrico ascendente. Se reemplaza en la fórmula: VF = VF = 730.891,73 RESPUESTA Los estudiantes tienen disponible para la excursión $730.891,73.

VALOR FUTURO CUANDO I = J Cuando i = j, la fórmula para calcular el valor futuro del gradiente ascendente es: VF = n A ( 1+ i )n-1

EJEMPLO 5.16: Determine el valor Futuro del siguiente flujo de caja, cuando el interés es del 2% mes.

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el valor futuro de una serie de pagos que periódicamente aumentan un porcentaje del 2%. Pregunta: Valor Futuro. Ubicación Incógnita: Mes seis (6). Organización de la Información: A = 100 j = 2% n =6 meses i = 2 % mes PROCEDIMIENTO

241

Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VF cuando se tiene un gradiente geométrico ascendente, pero que la tasa de interés es el mismo valor que aumentaron las consignaciones. Se reemplaza en la fórmula: VF = 5 x 100 ( 1 + 0,02 )5-1 VF = 541,21 RESPUESTA El valor futuro es de $541,21.

DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL GRADIENTE EN UN PERÍODO n. Para la estimación del valor de un pago en un determinado período en un gradiente geométrico ascendente se requiere de la FÓRMULA siguiente: FÓRMULA Valor(n)= A x ( 1 + j )n-1

EJEMPLO 5.17: Para un gradiente cuyo primer pago es de $100, y aumenta mensualmente el 3%, determine el valor del pago en el mes diecinueve (19). Organización de la Información: A = 100 j = 3% n =19 meses Reemplazo en la fórmula: Valor(19)= 100 x ( 1 + 0,03 ) 19-1 Valor(19)= 170,24

RESPUESTA El valor del pago en el mes 19 es de $170,24

242

5.8 GRADIENTE GEOMÉTRICO DESCENDENTE Se presenta el gradiente geométrico cuando en una serie de ingresos o pagos periódicos, cada valor disminuye en un mismo porcentaje respecto del inmediatamente anterior. DIAGRAMA DEL FLUJO DE CAJA

VALOR PRESENTE La fórmula de valor presente es la siguiente: VP =

EJEMPLO 5.18: Determine el valor presente de un flujo de caja cuyo primer pago es de $100 y va disminuyendo cada pago en el 5% mes, hasta el mes cinco, la tasa de interés es del 2% mes.

Los valores de cada pago serían los siguientes:

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el valor presente de una serie de pagos que periódicamente disminuyen un porcentaje del 5%. Pregunta: Valor presente. Ubicación Incógnita: Mes cero (0). Organización de la información: A = 100.000 j = 5% n =5 meses i = 2 % mes PROCEDIMIENTO

243

Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VP cuando se tiene un gradiente geométrico descendente. Se reemplaza en la fórmula: VP = VP = 1.428,57 x 0,143972635 VP = 205,67 El valor presente es de $205,67.

VALOR PRESENTE CUANDO I = J Para este tipo de gradiente no existe fórmula especial cuando i = j

VALOR FUTURO La fórmula para determinar el valor futuro es la siguiente: VF =

EJEMPLO 5.19: Hallar el saldo en una cuenta de ahorros en el mes cinco (5), si en el primer mes se consigna $100.000 y mensualmente disminuye el valor consignado en un 4%. La tasa de interés que paga la entidad financiera es del 1% mes. Organización de la Información: A = 100.000 j = 4% n =5 meses i = 1 % mes

FLUJO DE CAJA En Miles (000)

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el valor futuro de una serie de consignaciones que periódicamente disminuyen un porcentaje del 1%. 244

Pregunta: Valor Futuro. Ubicación Incógnita: Mes cero (0). Organización de la información: A = 100.000 j = 5% n =5 meses i = 2 % mes PROCEDIMIENTO Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VF cuando se tiene un gradiente geométrico descendente. Se reemplaza en la fórmula: VF = VF = 471,274 Respuesta El dinero ahorrado en el mes cinco (5), alcanza un valor de $471.274

VALOR FUTURO CUANDO I = J Cuando i = j, la fórmula para calcular el valor futuro del gradiente descendente es igual a cuando las tasas son diferentes.

DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL GRADIENTE EN UN PERÍODO n Para hallar el valor de un pago en un determinado período de un gradiente geométrico descendente se requiere de la fórmula siguiente: Valor(n)= A x ( 1 - j )n-1

EJEMPLO 5.20: Para un gradiente cuyo primer pago es de $100, y disminuye mensualmente el 3%, determine el valor del pago en el mes quince (15). Organización de la Información: A = 100

245

j = 3% n =15 meses Reemplazo en la fórmula: Valor (15)= 100 x (1 - 0,03)15-1 Valor (15)= 65,28 El valor del pago en el mes 15 es de $65,28

5.9 CÁLCULO DEL SALDO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO El procedimiento para calcular el saldo en un flujo de caja cuyo comportamiento se configura con el gradiente geométrico es exactamente igual al del gradiente aritmético, sólo se debe tener cuidado en aplicar la fórmula correcta. Es decir que el saldo de un gradiente geométrico, no es más que estimar el VP de las cuotas que faltan por cancelar.

EJEMPLO 5.21 Su hermano obtuvo un crédito por $3.000.000, si se comprometió a pagarlo en seis meses y aumentar su abono periódico en el 5% determine el valor del primer pago, y el saldo después de haber abonado dos cuotas. La tasa de interés de la entidad financiera es del 2% mensual. FLUJO DE CAJA

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el primer pago de una serie de pagos que periódicamente aumentan un porcentaje del 5%, y posteriormente se estima el saldo una vez haya abonado dos cuotas. Pregunta: Valor de A, y el saldo en el mes dos Ubicación Incógnita: El valor de la primera cuota en el mes uno (1), y el saldo una vez pagada la segunda cuota. Organización de la Información: VP = 3.000.000

246

A= j = 5% n =6 meses i = 2 % mes PROCEDIMIENTO  Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VP cuando se tiene un gradiente geométrico ascendente. Se reemplaza en la fórmula: 3.000.000 = A = 473.767,55 El primer pago es de $473.767,55.  Se determina el valor del pago que debía hacerse en el mes tres. Cuota del mes tres = 473.767,55 * (1,05) 2 Cuota del mes tres = $522.328,72  Ahora se estima el saldo, calculando el VP, reemplazando en la fórmula del gradiente geométrico. VP = VP = $2.140.706 El saldo de la deuda una vez pagada la segunda cuota es de $2.140.706.

5.10 GRADIENTE ESCALONADO: Se denomina gradiente escalonado a una serie de ingresos o pagos que permanecen constantes durante un período de tiempo (normalmente un año), y aumenta para el siguiente período en un valor o en un porcentaje. El gradiente escalonado se subdivide en:  Gradiente Lineal Escalonado Cuando los pagos aumentan una cantidad fija en cada período.  Gradiente Geométrico Escalonado Cuando los pagos aumentan una tasa fija en cada período. En este texto se va a explicar el de más uso, el gradiente geométrico escalonado. 247

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ESCALONADO: Este tipo de gradiente es de los más utilizados en la financiación de vivienda, para determinar el valor de las cuotas mensuales. Se caracteriza por tener dos períodos en la conformación de la fórmula. Un Período mayor (tiempo que comercialmente es un año) y un período menor que usualmente es el mes. El diagrama en el flujo de caja es el siguiente:

FÓRMULA: VP = A

VP = Valor presente A = Valor de la cuota durante el primer período. i= tasa de interés del período menor Ie= Tasa de interés efectiva equivalente a la tasa periódica. n= número de períodos (regularmente meses) dentro del período mayor (año). N= número de períodos del período mayor. j=Porcentaje de aumento para el siguiente período

EJEMPLO 5.22: Usted y su esposa planean comprar vivienda, les gusta un apartamento cuyo costo es de $120.000.000, y disponen de $30.000.000 como cuota inicial, el sistema de financiación es el gradiente geométrico escalonado, y anualmente la cuota aumentará en un 10%, el plazo es de 15 años y el interés, 1,8% mes. Usted debe calcularles el valor de la cuota para el primer año.

FLUJO DE CAJA: i=1,8% mes.

ANÁLISIS DEL EJERCICIO 248

En este ejercicio se busca conocer el valor de la cuota a pagar durante el primer año, por el crédito de $90.000.000= a quince años, y con una tasa de interés del 1,8% mes. Pregunta: Valor de la cuota en el primer año. Ubicación Incógnita: La anualidad del primer año. (12 cuotas del primer año). Organización de la Información: VP = 90.000.000 A= j = 10% n =12 meses N = 15 años. i = 1,8 % PROCEDIMIENTO  Para determinar el valor de A, se reemplaza en la fórmula de VP de un gradiente geométrico escalonado. Reemplazo en la fórmula: 90.000.000 = A

90.000.000 = A * 13,26225175*5,99493164 1.131.985,87 = A

DETERMINACIÓN DEL SALDO EN UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ESCALONADO: Para conocer el saldo de la deuda en un momento determinado, cuando se financia por el sistema de gradiente geométrico escalonado el procedimiento a seguir es el siguiente:  Se toma el valor de la cuota (Subcuota) del primer período  Conociendo la cantidad que aumenta anualmente se determina el valor de la cuota al iniciar el período donde está ubicado el momento en el cual se desea conocer el saldo.  Del plazo del período mayor, se ubica el número del período (Subperíodo) en el cual se desea conocer el saldo.  Se determina el saldo al iniciar el período del momento a encontrar.

249

 Se calcula el valor futuro de los pagos realizados durante el período de la fecha del saldo, o el valor presente de las cuotas que faltarían por pagar al iniciar el período donde está ubicada la incognita.  Se descuenta el valor de los pagos realizados durante el último período, al saldo del inicio de período.

EJEMPLO 5.23: Sus padres al recibir una herencia toman la decisión de cancelar la totalidad de la deuda del apartamento para el cual

le habían financiado $90.000.000, por el sistema de

gradiente geométrico escalonado. En estos momentos se encuentran en la cuota veintiséis, y usted debe determinar el monto a pagar.

FLUJO DE CAJA: i=1,8% mes.

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca conocer el valor del saldo por el crédito de $90.000.000= a quince años, una vez cancelada la cuota veintiséis (26). Pregunta: Valor del saldo en el mes veintiséis (26). Ubicación Incógnita: Tercer Período, Mes veintiséis. Organización de la Información: VP = 90.000.000 A = 1.131.985,87 j = 10% n =12 meses N = 3 años. i = 1,8 % PROCEDIMIENTO  La cuota durante el primer período es 1.131.985,87  La cuota para el tercer período es de $1.369.702,9

250

 Para determinar el valor de saldo al cancelar la cuota 24, se reemplaza en la fórmula de VP de un gradiente geométrico escalonado, tomando como A, $1.369.702,9 Reemplazo en la fórmula: Saldo al finalizar el Segundo año: 1.369.702,9 * Saldo al finalizar el segundo año = 1.369.702,9 * 13,26225175*5,66948245 Saldo al finalizar el segundo año es de $102.988.102,9  Una vez determinado el saldo en el mes 24 se proyecta al mes 26, con la fórmula de valor futuro. 102.988.102,9 * (1,018)2 = 106.729.042,7  Se calcula en el mes 26 el valor de los pagos realizados en este período, con la fórmula de VF cuando se tiene una anualidad. Valor Pago realizado en el tercer período en el mes veintiséis (26): 1.369.702,9*

$2.764.060,452  Se descuenta el valor proyectado del saldo al mes 26, el valor proyectado al mes 26 de los pagos realizados en el tercer período. Saldo en el mes 26= 106.729.042,7 - 2.764.060,52 Saldo en el mes 26 = 103.964.982,2 RESPUESTA: Como sus padres desean pagar la totalidad de la deuda en el mes veintiséis, la suma a cancelar es de $103.964.982,2 NOTA: El saldo de la deuda aumentó, porque solo los intereses de la deuda de $90.000.000, son de $1.620.000 mes, y las cuotas pagadas mensualmente presentan un valor inferior. APLICACIÓN Y COMPROBACIÓN CON EL EXCEL MEDIANTE UNA TABLA DE AMORTIZACIÓN. Ahora se muestra la Tabla de amortización del crédito, el sentido de su elaboración es comprobar que el saldo en el mes 26 es igual al mostrado por la fórmula.

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Ahora se muestra la Tabla de amortización del crédito, el sentido de su elaboración es comprobar que el saldo en el mes 26 es igual al mostrado por la fórmula.

TABLA DE AMORTIZACIÓN

VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ESCALONADO: El valor futuro de un gradiente geométrico escalonado es el resultante de ahorrar o pagar un valor uniforme durante un determinado período y luego incrementado en un porcentaje para el período siguiente. El diagrama en el flujo de caja es el siguiente:

FÓRMULA: VF = A VF = Valor futuro. A = Valor de la cuota durante el primer período. i= tasa de interés del período menor Ie= Tasa de interés efectiva equivalente a la tasa periódica. n= número de períodos (regularmente meses) dentro del período mayor (año). N= número de períodos del período mayor. j=Porcentaje de aumento para el siguiente período

EJEMPLO 5.25: Los trabajadores de una empresa proyectan hacer un viaje al extranjero en dos años, para esto mensualmente cada uno deposita en el fondo de empleados $500.000, si para el año siguiente se incrementa el aporte en el 10%, de cuánto dispondrá cada funcionario para su viaje, si el fondo les reconoce un interés del 1% mensual. El diagrama en el flujo de caja es el siguiente:

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ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca conocer el monto disponible por cada empleado para el viaje al finalizar el segundo año, conocido el valor aportado mensualmente durante el primer año, el porcentaje de aumento en la cuota para el segundo, y la tasa de interés que reconoce el fondo. Pregunta: Valor Ahorrado al finalizar el segundo año. Ubicación Incógnita: El VF en el mes veinticuatro (24). Organización de la Información: VF = A = 500.000 j = 10% n =12 meses N = 2 años. i = 1,0 % PROCEDIMIENTO  Para determinar el valor futuro, se reemplaza en la fórmula de VF de un gradiente geométrico escalonado. Reemplazo en la fórmula: VF = 500.000 * VF = $14.120.857,58

RESPUESTA: Cada funcionario tendría disponible para viajar al final de los dos años $14.120.857,58.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA  Un padre de familia crea un fondo para pagar la universidad de su hijo, en estos momentos el joven apenas va ingresar a sexto, Los ingresos del padre son de $2.000.000 mensuales, de los cuales el 20% los asigna a este propósito, si él estima que su salario aumentará el 6% anual y el dinero ahorrado renta a una tasa del

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15% anual, cuál será el valor del fondo cuando el estudiante termine su bachillerato.  Cuál debe ser el pago que debe hacerse en el primer año si se proyecta pagar en 3 años una máquina cuyo precio de compra fue de $6.000.000, y anualmente se aumenta la cuota en el 12%. Interés de financiación, 20% anual.

5.11 EJEMPLOS VARIOS DE PROFUNDIZACIÓN EJEMPLO 5.25: Determinar el valor de contado de una motocicleta que se financió de la siguiente forma: 1.500.000 de cuota inicial, seis cuotas mensuales a partir del primer mes, así: 500.000 la primera y aumentando periódicamente el 3%, y un último pago en el mes nueve (9) por $1.000.000= Interés, 1,8% mes. Diagrama del Flujo de Caja:

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca conocer el precio de la motocicleta, mediante el cálculo del valor presente. Pregunta: Valor de contado de la motocicleta. Ubicación Incógnita: Mes cero (0). Organización de la Información: Cuota Inicial: 1.500.000 Gradiente Geométrico ascendente. A = 500.000 j = 3% i = 1, 8% n =6 meses Valor futuro en el mes nueve (9) = 1.000.000 PROCEDIMIENTO: 254

El precio de contado de la motocicleta, es la sumatoria del monto de la cuota inicial, el valor presente en cero (0) de las cuotas que conforman un gradiente geométrico, y el valor presente en cero (0) del pago en el mes nueve. PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN VP0 = 1.500.000 ++ VP0 = 1.500.000 + 3.035.177, 32 + 766.416,73 VP0 = 5.301.594,05 Respuesta: El precio de contado de la motocicleta es de $5.301.594,05

EJEMPLO 5.26: Determine el saldo que habrá en una cuenta de ahorros al finalizar el año, si se deposita $200.000 el primer mes, aumentando $50.000 mensuales hasta el mes seis, a partir de allí retira $250.000 y los retiros van disminuyendo el 3% mensual hasta el mes doce. El interés es del 2% mensual.

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el saldo disponible en el mes doce, después de haber efectuado seis depósitos y seis retiros. Se debe llevar los depósitos y retiros a valor futuro. Los depósitos fueron realizados bajo la forma de un gradiente aritmético ascendente y los retiros de la forma gradiente geométrico descendente. Pregunta: Saldo disponible. Ubicación Incógnita: Mes doce (12). Organización de la Información: Gradiente Aritmético ascendente. A = 200.000 g = 50.000 n =6 meses i=2% Gradiente Geométrico descendente. A = 250.000 255

j = 3%. n =6 meses i=2%

PROCEDIMIENTO:  Se debe llevar lo ahorrado y retirado al mes doce.  El flujo del ahorro tiene la forma de gradiente aritmético ascendente, se utiliza la fórmula de VF, para llevarlo al mes seis, de allí se toma como un presente y se lleva a futuro al mes doce (12).  El flujo de los retiros tiene la forma de gradiente geométrico descendente, con la fórmula de VF se lleva al mes doce.  Una vez se tiene lo ahorrado y retirado en el mes doce (12), se saca la diferencia, y se determina el valor del saldo. PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN Saldo12 = Ahorrado12 -Retirado12 VALOR DE LO AHORRADO EN EL MES DOCE Con la fórmula de valor futuro se lleva al mes seis. VF6 = 200.000 +

VF6 = 200.000 x 6,308120963 + 2.500.000 x 0,308120963 VF6 = 1.261.624,19 + 770.302,4 VF6 = 2.031.926,59 Teniendo el valor en el mes seis (6), se lleva al mes doce VF12 = 2.031.926,59 x (1+0,02)6 VF12 = 2.288.279,37 El valor de lo ahorrado en el mes doce sería de $2.288.279,37

VALOR DE LO RETIRADO EN EL MES DOCE.

256

Para estimar el valor de los retiros en el mes doce se determina el VF del gradiente geométrico descendente. VF12 = VF12 = -25.000.000 x -0, 067889877 VF12 = 1.697.246,93 El valor de lo retirado en el mes doce equivale a $1.697.246,93

SALDO DISPONIBLE Para determinar el saldo disponible en el mes doce se resta al total ahorrado lo retirado en el mes doce. SALDO12 = 2.288.279,37 -1.697.246,93 SALDO12 = 591.032,44 Respuesta: El saldo disponible para retirar al finalizar el año es de $591.032,44

EJEMPLO 5.27: Usted se compromete a pagar una deuda de $9.000.000= en diez cuotas mensuales, si la primera cuota la paga al finalizar el primer mes y su valor es de $500.000, en qué tasa debe aumentar los pagos mensuales para cancelar el crédito, si la tasa de interés es del 2% mensual.

FLUJO DE CAJA:

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca conocer el porcentaje de aumento mensual en las cuotas para pagar el crédito de $9.000.000= en diez meses, si el primer pago fue de $500.000=.Se debe utilizar la fórmula de VP de un gradiente geométrico ascendente despejando el valor de j. Pregunta: Porcentaje de aumento de la cuota. Ubicación Incógnita: No tiene ubicación en un período dado por ser una tasa.

Organización de la Información: 257

VP = 9.000.000 A = 500.000 j= n =10 meses i=2% PROCEDIMIENTO  Para determinar el valor de j, se reemplaza en la fórmula de VP de un gradiente geométrico ascendente.  Para esta ecuación no se puede realizar el despeje de j directamente, entonces se debe acudir al método de interpolación.  Se busca una tasa (j) que su resultado sea mayor a 9.000.000 y a otra tasa que sea menor.  Una vez conocidas las tasas, se procede a calcular la j que hace que el flujo de caja sea igual a 9.000.000. Reemplazo en la fórmula: 9.000.000 = Se inicia probando con una j del 15%. Con un j = 15% resulta un VP de $8.918.332,34 Como el resultado es inferior a $9.000.000 pero estando muy cerca se prueba con el 16% Con un j = 16% el VP es $9.353.261,66 Se procede a la interpolación: 8.918.332,3415% 9.000.000 j 9.353.261,6616%

= = 0,187772118 * -0,01 = 0,15 - j j - 0,00187721189 = 0,15 j = 0,151877721 258

Respuesta: el aumento mensual en el valor de las cuotas debe ser del 15,187%.

EJEMPLO 5.28: Usted abre una cuenta de ahorros con $500.000, en el mes 3 consigna $100.000 y a partir de allí aumenta en $20.000 las consignaciones hasta el mes seis cuando éstas disminuyen mensualmente el 3% hasta el mes nueve. Determine el valor de una serie de retiros mensuales iguales durante los meses diez, once, doce y trece si al finalizar el mes quince sólo se disponía de $600.000, el interés es del 30% anual. Nota: Para facilitar las operaciones se trabajará en miles de $.

ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca saber el valor de los retiros en los meses diez, once, doce y trece, después de efectuar una serie de consignaciones y de conocer el valor disponible en el mes quince. Para calcular la Anualidad se debe determinar un valor presente o futuro de la serie, el cual es el resultante de la suma de las consignaciones menos el saldo disponible, para el ejercicio se llevará todo al mes nueve. Aquí se aplican los conceptos de valor futuro, gradiente aritmético, gradiente geométrico y anualidades. Pregunta: Valor de los retiros. Ubicación Incógnita: los meses diez al trece. Organización de la información: Consignación inicial: $500 Gradiente Aritmético: Tipo: Ascendente A: $100 g:$20 V.F6: Gradiente Geométrico: Tipo: Descendente

259

j:3% A: El valor de A, se debe estimar basado en la consignación del período seis, el cual es de $160, dado que conocemos el gradiente aritmético, su cálculo se da dividiendo $160 entre 1.03, el cual da como resultado $155,3. V.F9: i: Como es una tasa efectiva del 30% anual, se calcula la tasa mensual, da como resultado el 2,21% mes.

PROCEDIMIENTO  El resultante de la suma de las consignaciones menos el saldo disponible para determinar el valor de A, se va a calcular en el mes nueve.  Se lleva al mes nueve la cuantía de apertura de la cuenta. VF9: 500 x (1,0221)9 : 608,73 Los $500 de apertura de la cuenta equivalen a $608,73 en el mes nueve  Se calcula el valor futuro del gradiente aritmético, y se lleva al mes nueve. F = 100 + x x (1,0221)3 F = (413,46 + 121,77) x 1,06779 F = 571,5 Las consignaciones de los meses tres al seis equivalen en el mes nueve a $571,5  Se calcula el valor futuro del gradiente geométrico. VF = VF = 462,3 Las consignaciones de los meses siete al nueve equivalen a $462,3 en el mes nueve.  Se suma el equivalente al valor consignado en el mes nueve. El resultado es: 608,73+571,5+462,3 = 1642,53  Se procede al cálculo del equivalente al saldo disponible en el mes nueve. VP9: = 526,23 El equivalente al saldo disponible es de $526,23 en el mes nueve.

260

 Para calcular el valor de A se determina un VP en el mes nueve, restando del total de las consignaciones el monto del saldo disponible. Cantidad para calcular los retiros de los meses diez al trece: 1642,53-526,23=1.116,3  Se determina A, con la fórmula de la anualidad conociendo el valor presente. A == 294,6 RESPUESTA: El valor de cada retiro en los meses diez al trece es de $294.600, recordemos que se trabajó en miles.

EJERCICIOS La experiencia y la habilidad adquirida a través de la solución de problemas, nos permitirá desarrollar las competencias necesarias para respaldar nuestro desempeño laboral futuro en el campo de las finanzas. Resolvamos estos problemas cuidadosamente y utilicemos nuestros conocimientos adecuadamente. Si se presentan dificultades podemos recurrir al tema en el libro donde encontraremos las aclaraciones. Éxitos! 1. ¿Cuál será el valor de los ahorros en el mes 12 de un estudiante que consigna en una cooperativa $100.000= en el mes 1, si aumenta el valor de la consignación en $20.000= mensuales, y el interés es del 1.5% mensual? R: El estudiante al finalizar el mes doce tiene en ahorros $2.692.403 2. Un Segundo estudiante tiene el mismo propósito que el anterior pero su plan es el siguiente, $100.000= el primer mes y aumenta en el 3% mensual, ¿cuál es el valor ahorrado?¿su saldo es mayor que el del estudiante anterior? R: Este estudiante alcanza un nivel de ahorro inferior al primero, puesto que sólo alcanza a reunir $1.283.256,48. 3. Determine el saldo para el mes 18 en una cuenta de ahorros, si usted consigna $500.000 hoy, y aumenta mensualmente sus ahorros en el 3%, hasta el mes 10, a partir de allí retira mensualmente $400.000= hasta el mes 15. el interés es del 12% semestral mes vencido. R: El saldo en la cuenta de ahorros en el mes dieciocho es de $5.533.754,86 4. Un ahorrador efectuó una serie de consignaciones en el primer semestre del año, así: $500.000= en el primer mes se incrementó mensualmente este valor en $100.000=, 261

hasta el mes seis, a partir del mes siete retira 200.000, aumentó los egresos en un 5% mes, hasta el mes 12, si en ese momento en la cuenta todavía hay un saldo de $5.000.000=, ¿Cuál fue el valor de apertura de la cuenta en el momento cero, si el interés es del 30% anual? R: El valor de apertura de la cuenta fue de $812.787,5 5. Un dueño de Taxi, quiere determinar cuál es el valor de su ahorro en 3 años, si proyecta realizar 500 carreras mensuales con un promedio de $3.000= por carrera, los gastos de mantenimiento del vehículo y los personales alcanzan $1.000.000=.en el primer mes, y aumentan mensualmente en el 1%. Los ingresos duran constantes durante el primer año, momento en el cual aumenta en el 10% y así permanece para el segundo año, para el tercero sus ingresos aumentan en el 12% hasta finalizar el período. La tasa de interés es del 2,5% bimestral. R: El dueño del taxi al finalizar el tercer año, tiene ahorrado $21.087.879,5 6. Cuantifique el valor de los ingresos de una empresa al terminar el año, si durante los 6 primeros meses su producción fue de 1000 unidades y su precio para el primer mes fue de $1000/unidad, aumentando mensualmente $10, en el segundo semestre la producción disminuyó a 900 unidades por mes pero los precios tuvieron el mismo comportamiento. El interés es del 8% trimestral. R: El valor de los ingresos de la empresa durante el primer año fue de $13.899.007,68. 7. Determine el saldo en una cuenta de ahorro al finalizar el año si en el mes de enero deposita $500.000 y aumenta mensualmente sus depósitos en un 5% hasta el mes de junio, a partir del mes de Julio retira $500.000, disminuye mensualmente sus retiros en $30.000. El interés que paga la entidad financiera es el 24% anual Semestre Vencido. R: El saldo de la cuenta al finalizar el año es de $1.226.904,8 8. Si al finalizar el semestre de Universidad un estudiante tiene en su cuenta de ahorro, $1.500.000, determine el valor consignado en el primer mes, si mensualmente aumentaba su depósito en $50.000= y la entidad financiera reconoce un interés del 1,2% mes. R: El valor consignado para el primer mes es de $119.343,8 9. Si va a financiar un computador, cuyo importe de contado es de $5.000.000, y paga de cuota inicial $1.000.000=, y el saldo lo paga en 9 cuotas mensuales, determine el valor de la primera cuota si el proveedor le acepta que mensualmente la cuota le aumente en el 5%. El interés de financiación es del 2,5% mes. 262

R: El valor de la primera cuota es de $412.894,7 10. Pedro necesita reunir $3.000.000 para dentro de 6 meses pagar la matrícula de la universidad, su padre le regala el día de hoy $500.000, con este dinero abre una cuenta de ahorros, si al finalizar el mes deposita $300.000, en qué porcentaje debe aumentar sus depósitos mensuales para reunir la cifra requerida si la entidad bancaria le reconoce el 1% mensual. R: Pedro debe aumentar sus depósitos en el 11,7% mensualmente. 11. Si usted desea cancelar la totalidad de una deuda hoy, determine el valor a desembolsar, si los compromisos son los siguientes: hoy $500.000, seis cuotas mensuales iguales de $300.000=, y a partir de allí las cuotas disminuyen 2% mensual hasta el mes doce (12). Interés 30% anual. R: Para cancelar la totalidad de la deuda hoy, el valor a desembolsar es de $3.534.647,9 12. Juan debe efectuar un pago de $11.000.000= al finalizar el año, si al inicio del año tiene en su cuenta de ahorros $600.000, y tiene ingresos mensuales en el año de $2.000.000= y gastos de $1.000.000= el primer mes, si éstos aumentan $50.000 en el mes, determine si pudo ahorrar la suma requerida, o por el contrario le hizo falta dinero, si es así cuánto. El interés es del 8% trimestral. R: Juan puede efectuar el pago dado que el valor ahorrado para final de año fue de $11.085.683,7 13. La industria XYZ compra 10 toneladas mensuales de insumos importados, el precio de la tonelada es US $300, Determine hoy el valor de los egresos por las importaciones del semestre en pesos si la tasa de cambio es de $2.700 por Dólar y la devaluación esta proyectada al 3% mensual, la industria tiene un interés del 2% mensual . R: El valor de los egresos por las importaciones al finalizar el semestre es de $54.990.800,5 14. Una empresa quiere determinar el valor presente de su nómina para el cuatrienio, el costo de ésta para el primer año es de $60.000.000 y aumenta anualmente en el 10%, adicionalmente en el año dos (2) y cuatro (4), contrata personal temporal por $10.000.000 cada año. El interés es del 1,5% mensual. R: El valor presente de la nómina para el cuatrienio es de $286.976.882. 15. Pedro quiere saber qué saldo tendrá al finalizar el mes de diciembre, si realiza las siguientes transacciones, consigna al finalizar el mes de enero $800.000 y aumenta sus depósitos en un 2%, hasta finalizar el mes de Junio, en Septiembre consigna

263

$1.000.000, y a partir de octubre retira $900.000 mensuales. El interés es del 15% semestral. R: Pedro tendrá al finalizar el mes de diciembre ahorrado un valor de $4.456.308 16. Determine la cuantía que le consignaron hace un año, si usted al realizar las siguientes transacciones, hoy tiene un saldo en la cuenta de $10.000.000=.En el primer mes consignó $2.000.000=, disminuyendo el valor consignado en el 3% mensual hasta el mes seis. Durante el segundo semestre retiró mensualmente $900.000 y adicionalmente en el mes nueve retiró $2.000.000=. El interés es del 4% bimestral. R: El valor que le consignaron en la cuenta hace un año fue de $3.643.702,6 17. Un empresario proyecta sus utilidades para los próximos tres años, supone que mensualmente en el primer año serán de $600.000, para el segundo año mensualmente se aumentarán en el 3% y para el tercer año por causas de la apertura económica, disminuirán mensualmente en $30.000. Determine el valor presente del flujo de caja si el interés es del 8% trimestral. R: El valor equivalente de las utilidades para los próximos tres años en el momento cero es de $15.235.768,4 18. El empresario del ejercicio anterior, se fijó que una vez transcurridos los tres años, el 50% de las utilidades obtenidas en este tiempo era para comprar nueva maquinaria, Determine la suma disponible para cumplir este propósito. R: El dinero destinado para la compra de la maquinaria una vez transcurridos los seis años es de $19.183.128,35. 19. Un padre de familia tiene presupuestado para los gastos estudiantiles de su hijo al final del año en $12.000.000= si para el primer mes le envía $700.000, en que porcentaje le debe aumentar su envío mensual para que este dinero le pueda cubrir el período. El interés es del 15% semestral mes vencido. R: El padre de familia debe aumentar el valor de las consignaciones en un 4,07% mensualmente. 20. Usted desea reunir $15.000.000 para dentro de quince (15) meses poder ir de vacaciones a disfrutar de las bellezas del territorio colombiano, si hoy tiene $1.000.000= y al finalizar el mes consigna $300.000, en cuánto debe aumentar los depósitos mensualmente para alcanzar la cifra esperada, y poder cumplir su sueño. El interés, 30% anual mes vencido. R: Usted debe aumentar mensualmente las consignaciones en $132.500.

264

21. Resolver el problema anterior pero en los meses seis (6) y doce (12) consigna adicionalmente $500.000 en cada período. R: Con las consignaciones adicionales, usted debe aumentar el ahorro en $117.465. 22. Una niña al cumplir sus 15 años recibe de regalo $2.000.000, valor con el cual abre un CDT que le renta el 18% anual, como ella aspira a tener $25.000.000 dentro de tres años para efectuar un viaje al exterior abre una cuenta de ahorro al finalizar el mes con $100.000 y a partir de esa fecha aumenta sus depósitos mensuales en el valor necesario para lograr la meta prevista, el interés que le reconocen en la cuenta de ahorros es del 14% anual. Determine el valor mensual de aumento. R: La niña debe aumentar las consignaciones mensualmente en $22.131. 23. Determine el tiempo de financiación de un crédito de $2.000.000= en cuotas mensuales que aumenten en el 4% cada mes, la primera cuota es de $200.000 y el interés de financiación es del 30% anual. R: El tiempo de financiación es de 9,48 meses 24. Cuánto es el valor de contado de un T.V si el proveedor lo entregó financiado a dos años, con las siguientes condiciones: cuota inicial 20% del valor de contado, el primer mes 100.000 aumentando mensualmente $40.000. La tasa de financiación para el primer año es del 2,5% mensual y para el segundo año el 3% mensual. R: El T.V tiene un valor de contado de $11.223.672,3 25. Resolver el problema anterior pero el aumento en las cuotas mensuales es del 5% y no de $40.000. R: El valor del televisor es de $3.842.948. 26. Un trabajador ahorra 1 mes de sueldo al año durante quince años, determine el valor ahorrado en este período si el primer año ganaba $400.000 y el incremento salarial durante los primeros 5 años fue del 15% y a partir de allí el 12%. La tasa de interés de la entidad financiera es del 1% mensual. R: El valor ahorrado durante quince años es de $17.148.324,7. 27. Un grupo de amigos se reúnen para formar una empresa y se propusieron no distribuir utilidades antes de los 3 años, al cumplirse el tiempo, y si el comportamiento financiero fue el siguiente, determine el valor que cada uno recibirá: Ingresos para el primer año $5.000.000 mensuales y $3.800.000 como egresos mensuales, la tasa de crecimiento anual de los ingresos para el segundo y tercer año fue del 15% y 20% respectivamente, mientras que para los egresos fue del 10% y 9% respectivamente. 265

El interés del dinero se fijó en el 24% anual mes vencido. R: Al finalizar el tercer año el valor equivalente a las utilidades de la empresa corresponden a $84.027.604,7. Esto quiere decir que a cada socio le distribuyen $28.009.201,6. 28. Una pareja de novios, se proponen tener su apartamento antes de contraer matrimonio, El apartamento tiene actualmente un costo de $50.000.000 y su importe aumentará en el 10% para el próximo año. Se proyecta consignar mensualmente los siguientes valores, inician con $1.800.000 mensuales en el primer año, para el segundo año aumentan el valor en el 10%, si adicionalmente realizan un portafolio de inversión con dichos recursos y éstos le generan un rendimiento del 40% anual, ¿la pareja podrá comprar el apartamento y por ende tomar la decisión de casarse? R: Al finalizar el año dos la pareja ha ahorrado $ 63.299.695,5, como el apartamento para el segundo año tiene un precio de $55.000.000, esto quiere decir que pueden comprar el apartamento y toman la decisión de casarse. 29. La pareja del ejercicio anterior al final de mucho esfuerzo logró comprar el apartamento y para su mayor comodidad compraron un automóvil, el que sacaron a crédito, el valor del vehículo fue de $36.000.000, abonaron de cuota inicial el 10% de su valor y el saldo a 60 meses, el sistema de financiación seleccionado fue el gradiente geométrico escalonado, aumentando las cuotas anualmente en el 12%, Usted debe determinar el valor de las cuotas para el primer año, si el interés fue del 30% anual. R: El valor de las cuotas mensuales durante el primer año es de $817.950,7 30. Sus padres todavía están preocupados por las cuotas mensuales que amortizan mensualmente al banco que les financió la vivienda, el costo de ésta fue de $25.000.000, hace doce años, usted como buen hijo les va a pagar el saldo de la deuda, determine el valor de su regalo, si el plazo del crédito era de quince años, con la tasa de financiación del 1,5% mes y las cuotas aumentaban el 12% anual. R: El saldo de la deuda es de $27.751.434. 31. Usted tenía planeado realizar una especialización la cual comienza en quince meses y tiene un valor de $7.000.000, en el momento cuenta con $1.000.000, y mensualmente pensabas ahorrar $300.000, en qué porcentaje debe aumentar mensualmente sus aportes para alcanzar dicho propósito si el dinero le renta el 15% anual. R: Debe aumentar el ahorro mensualmente en el 2,49%.

266

32. A usted le tocó asumir la deuda de un compañero de estudio al cual le había hecho el favor de ser su codeudor, si la deuda inicial era de $3.000.000, y le han descontado de su salario 6 cuotas, la primera fue de $400.000, y a partir de allí el valor descontado ha aumentado en el 5%, determine cuánto le falta por descontar o si por el contrario ya canceló la totalidad. El interés era del 24% anual. R: En el momento le falta por cancelar $501.102,29 33. Determine el valor de un bien que se compró financiado con las siguientes condiciones: el 10 % del valor de contado como cuota inicial, 10 pagos mensuales, el primero a partir del mes 3 por un valor de $1.000.000 disminuyendo $20.000 cada mes. En los trimestres 3, 6, 9 y 12 se realizan pagos extraordinarios por $400.000 cada mes. Interés 1,5% mes. R: 10.667.437,67 34. A partir del mes 15 hasta el 24 vamos a

gastar $400.000 mensuales. Hoy tengo un

ahorro de $500.000 si mensualmente realizo consignaciones la primera por $100.000, en cuanto debe aumentar si estas se realizan hasta el mes 12. Interés 18% semestral. R: -2.958,439303. 35. Necesitamos reunir $10.000.000 dentro de 15 meses; hoy dispongo de $500.000, en el mes 1 consigno $ 100.000 que aumenta $20.000 mes hasta el mes 5. A partir de allí consigna igual valor hasta el mes 9. Al siguiente mes disminuye sus consignaciones en $5.000 hasta el mes 12. Si con este dinero no alcanza a cumplir la meta el se comprometería a hacer 5 abonos trimestrales iguales (3, 6, 9, 12, 15) determine su valor si el interés es 1,5% mes R: Los abonos trimestrales serian de $1.310.465,23 cada uno

VERIFICACIÓN DE LA AUTOEVALUACIÓN Compare el conocimiento aprendido con lo expuesto en este módulo y confróntelo con las aplicaciones que desarrolló en la solución de los problemas, y observe sus progresos y sus debilidades. A partir de su observación realice un plan de estudio para superar sus debilidades.

AUTOEVALUACIÓN  ¿Qué es un gradiente? 267

 ¿Qué diferencia existe entre un gradiente aritmético y un gradiente geométrico?  ¿Qué relación tienen los gradientes con el concepto de series y progresiones, vistos en el capítulo uno?  En los gradientes en que se diferencia el ascendente del descendente.  Que aplicación tienen los gradientes en el manejo financiero.  En el gradiente geométrico ¿cómo se define la i y la j?  En el procedimiento de CÁLCULO del VP o VF, ¿qué diferencia existe entre las anualidades y los gradientes?  ¿Qué utilidad tiene el gradiente geométrico escalonado?

GLOSARIO ESCALONAMIENTO: Flujo de caja con pagos iguales durante cierto tiempo, momento en el cual se incrementan y vuelven a quedar constantes durante un período igual al anterior. FONDO DE AMORTIZACIÓN: Fondo de ahorros que se crea con el objetivo de cumplir con una obligación financiera en el futuro. GRADIENTE: Serie de ingresos o pagos que varían con base en una ley de formación, la cual puede ser de comportamiento aritmético o geométrico. MERCADO PRIMARIO: Colocación de títulos que salen por primera vez al mercado. MERCADO SECUNDARIO: Compra y venta de títulos ya emitidos. SUBCUOTA: En un gradiente escalonado se denomina así a las cuotas SUBPERÍODO: Tiempo que transcurre entre las subcuotas en un gradiente escalonado. SUBTASA: Tasa de interés entre los subperíodos en un gradiente escalonado.

FÓRMULAS:

Cálculo del valor Presente de un gradiente aritmético ascendente. Valor(n)= A + g x (n-1) Determinación del valor del gradiente en un período n, en un gradiente aritmético ascendente. 268

Cálculo del valor presente de un gradiente aritmético descendente.

Cálculo del valor futuro de un gradiente aritmético ascendente.

Cálculo del valor futuro de un gradiente aritmético descendente. Valor(n)= A - g x (n-1) Determinación del valor del gradiente en un período n, en un gradiente aritmético descendente.

Cálculo del VP de un gradiente geométrico ascendente.

Cálculo del VP de un gradiente geométrico ascendente, cuando i = j

Cálculo del VF de un gradiente geométrico ascendente. VF = n A ( 1+ i )n-1 Cálculo del VF de un gradiente geométrico ascendente, cuando i = j Valor(n)= A x ( 1 + j )n-1 Determinación del valor del gradiente en un período n, en un gradiente geométrico ascendente.

Cálculo del VP de un gradiente geométrico descendente.

Cálculo del VF de un gradiente geométrico descendente. Valor(n)= A x ( 1 - j )n-1 Determinación del valor del gradiente en un período n, en un gradiente geométrico descendente.

Cálculo del valor presente para un gradiente geométrico escalonado.

269

Cálculo del valor futuro para un gradiente geométrico escalonado.

CAPÍTULO 6 AMORTIZACIÓN, SISTEMA UVR Y LEASING JUSTIFICACIÓN El objetivo fundamental del sector financiero es la intermediación de recursos económicos o monetarios entre las personas que están en capacidad de ahorrar una parte de sus ingresos o empresas que disponen de excedentes operacionales y quienes requieren de estos recursos para consumo o para invertirlos en una actividad en el sector productivo. El profesional de las ciencias administrativas y contables debe desarrollar competencias para cuantificar los ingresos de un inversionista, su rentabilidad y para diseñar la amortización más favorable de un crédito, acorde con las necesidades de financiación y capacidad de pago de la persona o entidad que lo requiere. Es importante tener en cuenta además de las tablas de amortización, las comisiones bancarias y los seguros.

OBJETIVO GENERAL Desarrollar competencias para liquidar y amortizar un crédito comercial de UVR y para asesorar o tomar decisiones sobre la conveniencia o no del sistema de financiación mediante el leasing.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

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Adquirir y dominar los conocimientos sobre amortización, sistema UVR y leasing y desarrollar competencias que posibiliten mi desempeño futuro en el campo financiero, para:  Determinar el valor de los intereses y amortización a capital, para los diferentes sistemas de financiación.  Calcular el valor de las cuotas cuando se compromete el deudor a realizar abonos extraordinarios.  Conocer los diferentes sistemas de financiación de vivienda.  Elaborar tablas de amortización.  Graficar el comportamiento de la cuota y el saldo en los diferentes sistemas de crédito de vivienda.

CONDUCTA DE ENTRADA La conducta de entrada me permite autoevaluar los conocimientos y conceptos que me apropié en los capítulos que antecedieron, identifica mis deficiencias para poder superarlas y así abordar el estudio de esta nueva unidad. Sólo es útil el conocimiento que nos hace mejores. Sócrates. Voy a resolver estas preguntas y problemas y después reflexionaré sobre los procedimientos y respuestas. Con los resultados de esta autoevaluación realizaré un plan de estudio para superar mis deficiencias y mejorar mi dominio de las finanzas. 1. Diferencie un gradiente aritmético de un gradiente geométrico 2. Calcular el valor de la primera cuota si se va a pagar un crédito de $3.000.000 en veinticuatro meses, si aumenta las cuotas $100.000 mensuales, el interés es del 9% trimestral. 3. Realizar el mismo ejercicio pero al 1% mensualmente. 4. Explique el funcionamiento de un sistema de financiación por medio del gradiente geométrico escalonado.

6.1. AMORTIZACIÓN DEFINICIÓN Es el proceso mediante el cual se salda o cancela una deuda y sus intereses, con una serie de pagos parciales en determinados períodos de tiempo.

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TABLA DE AMORTIZACIÓN La tabla de amortización es un formato mediante el cual se muestra el proceso de cancelación del crédito, ésta debe contemplar cuantía de la cuota, fechas de vencimiento, valor de los intereses, amortización a capital y saldo.

6.2 SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE CRÉDITOS Un sistema de amortización de crédito se puede definir como las condiciones que debe seguir el deudor en la cancelación de una obligación. Los aspectos básicos que se requieren en la liquidación de un crédito son los siguientes: VALOR DEL CRÉDITO, PLAZO, TASA Y FORMA DE PAGO. Cuando se hace referencia a la forma de pago, debe determinarse si las cuotas son iguales, crecientes o decrecientes, y si existen períodos de gracia.

PRINCIPALES SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE CRÉDITOS Los sistemas más utilizados tanto en el mercado bursátil, como en el área comercial, y en los sectores cooperativo y financiero son los siguientes:

 PAGO ÚNICO  CUOTA FIJA  CUOTA FIJA CON ABONOS EXTRAORDINARIOS  CON PERÍODO DE GRACIA  CON CUOTA FIJA AMORTIZANDO CAPITAL.

DE PAGO ÚNICO Es un sistema donde el deudor se compromete a pagar intereses periódicos y el capital al final del tiempo fijado. Es muy utilizado en la emisión de bonos, donde el emisor se compromete a pagar un cupón (interés) periódicamente y el capital es amortizado en el momento del vencimiento del título valor.

EJEMPLO 6.1:

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Una compañía, emite bonos por $600.000 c/u, con vencimiento a un año, y paga intereses bimestrales a una tasa del 4%. Efectuar la tabla de amortización de esta financiación para un inversionista que compra un bono.

PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS:  La cifra de $24.000, pagada bimestralmente es el resultante de multiplicar el valor de cada bono por la tasa de interés bimestral.  Los intereses son fijos durante todos los períodos.  El saldo no tiene ninguna variación hasta el momento de vencimiento del bono.

DE CUOTA FIJA Para este tipo de crédito se aplica el concepto de anualidad visto anteriormente. Aquí se calcula el valor de la cuota, la cual contempla intereses y amortización a capital. Se utiliza en el sector cooperativo, financiero, para los créditos de libre inversión, de consumo, o en el sector comercial. En este tipo de liquidación el plazo varía de acuerdo al propósito del crédito, Por ejemplo, para educación algunas entidades sólo prestan por 6 meses, otras líneas son a 12, 24 y hasta 36 meses.

EJEMPLO 6.2: Liquidar un crédito de vehículo cuyo importe es de $20.000.000= , el plazo es de 36 meses, y el interés es del 2% mensual. En Excel, se utiliza la función PAGO para determinar el valor de la cuota. Para calcular la amortización a capital, se resta del monto de la cuota, los intereses del período.

La cuantía que debe pagar el comprador del vehículo durante 36 meses es de $784.657,05. PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS  El valor de la cuota se determina mediante la fórmula de anualidad  La tabla tiene cuatro columnas, PERÍODO, INTERÉS, AMORTIZACIÓN Y SALDO.  En el período cero (0), el saldo es el monto total del crédito.

273

 La columna de interés se determina multiplicando el saldo del período anterior por la tasa de interés.  El monto que se amortiza es el resultante de restar al valor de la cuota los intereses causados para ese período.  El saldo se actualiza restando al saldo anterior el valor a amortizar en el período presente.

CUOTA FIJA CON ABONOS EXTRAORDINARIOS. Este sistema al igual que el anterior, las cuotas periódicas son uniformes, la diferencia radica en que al realizarse abonos extraordinarios, éstos se traen a valor presente, y restan al valor del crédito para efectos de la liquidación de la cuota. El propósito fundamental del deudor al requerir este sistema de liquidación es disminuir el valor de la cuota, comprometer recursos que no le llegan periódicamente, pero que en un momento determinado puede contar con ellos.

EJEMPLO 6.3: Para una mejor explicación se utilizará el mismo ejercicio anterior, con la diferencia que el deudor se compromete con la entidad financiera a amortizar cuotas extraordinarias en el mes 12 y 24 por un valor de $3.000.000= cada una.

PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS  Se calcula el valor presente de los $3.000.000= que se abonan en el mes 12 y 24.  La cifra obtenida de $4.230.643,99. se le resta a los $20.000.000=, valor del crédito.  El resultado de la resta es el que se utiliza para liquidar el valor de la cuota.  Una vez conocido el monto de la cuota se realiza la tabla de amortización, teniendo presente adicionar la columna de los abonos extraordinarios. El resultado final es que valor de la cuota se disminuyó a $618.676,82. Situación que en un momento dado permita que el interesado pueda acceder al crédito y por ende al vehículo.

CON PERÍODO DE GRACIA

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Es importante que se tenga claro que el período de gracia hace referencia al tiempo en que no se amortiza la deuda, sólo se paga intereses. Para liquidar el monto de la cuota, el total del crédito se toma como un valor presente, un período antes de empezar a amortizar la deuda.

EJEMPLO 6.4 Se realiza un crédito para financiar la cosecha a un agricultor, por un valor de $10.000.000=, el plazo es de 24 meses, con un período de gracia de 6 meses, el interés es del 1.9% mensual.

PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS:  Durante los primeros 6 meses, sólo se liquidan los intereses de $10.000.000=,  A partir del mes 7 se paga la cuota que se liquidó, teniendo como plazo 18 meses, dado que 6 fueron de gracia.  Se elabora la tabla de amortización con cuatro columnas, PERÍODO, INTERÉS, AMORTIZACIÓN Y SALDO.  El valor de la cuota de $661.170,74 se empieza a pagar a partir del mes séptimo.  La amortización es el resultante de restar el valor de la cuota a los intereses.

AMORTIZACIÓN FIJA A CAPITAL Este tipo de liquidación es utilizado usualmente en los créditos de vivienda en pesos, la cuota total es variable y disminuye periódicamente. El valor de amortización de capital, se calcula dividiendo la cuantía del crédito en el plazo.

EJEMPLO 6.5 Para efectos de comparación se utilizará el mismo ejemplo del caso anterior.

La amortización fija a capital es de $416.666,67. PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS:  El valor que amortiza capital se determina dividiendo el monto del crédito en el números de cuotas a pagar.  Se elabora la Tabla de amortización. 275

 Se construyen las cuatro columnas, PERÍODO, INTERÉS, AMORTI-ZACIÓN

Y

SALDO.  El interés se calcula multiplicando el saldo del período anterior por la tasa.  El valor de la cuota es el resultante de sumar a la amortización de capital y los intereses.

CRÉDITO CON EL SISTEMA U.V.R. El sistema colombiano de ahorro y vivienda si bien es cierto opera dentro del marco de la libertad de empresa, el gobierno fija unos parámetros en determinados sectores fundamentales para el logro de las metas en su política económica y social. La vivienda es un punto fundamental en los programas de cualquier gobierno, en Colombia hubo necesidad de modificar el anterior sistema UPAC, precisamente por llegar a una situación de encarecimiento de la vivienda por el aumento en las cuotas y la poca capacidad de pago por parte de los deudores. Esta problemática afectó tanto al sector financiero, al gremio de la construcción y a la población en general que tuvieron que observar como perdían sus viviendas por una mala planeación del sistema y de las políticas gubernamentales, como del sector financiero. Antes de explicar los sistemas de amortización se realizará una breve explicación sobre el funcionamiento de la UVR, como instrumento para la financiación de vivienda en Colombia.

¿Qué es la UVR? La unidad de valor real, es la unidad de cuenta que se utiliza en los créditos para la financiación de vivienda, por disposición de la Ley 546 de 1999, su valor en pesos se fija con base en la inflación, a la variación del índice de precios al consumidor, IPC, certificado por el DANE. ¿Quién determina el valor de la UVR? En virtud de la autonomía dada por la constitución política al Banco de la República, es la junta directiva de éste la competente para determinar el valor en pesos de la UVR. ¿Cómo se determina el valor de la UVR? La UVR se fija diariamente durante el período de cálculo, de acuerdo con la siguiente metodología:

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Períodos de cálculo: es el comprendido entre el día 16 de un mes inclusive, hasta el día 15 del mes siguiente inclusive.  Es el número de días (calendario) comprendidos entre el inicio de un período de cálculo hasta el día de cálculo de la UVR. De esta forma, t presenta valores entre 1 y 31 según el número de días (calendario) del período de cálculo respectivo.  Es el valor en pesos de la UVR del día t del período de cálculo.  Es el valor en pesos de la UVR el día 15 de cada mes.  Es la variación mensual del índice de precios al consumidor certificada por el DANE durante el mes calendario inmediatamente anterior al mes del inicio del período de cálculo.  Es el número de días calendario del respectivo período de cálculo. De la aplicación de la fórmula anterior resultan los valores en pesos para la unidad de valor real, UVR que son publicados mes a mes por el Banco de la República. ¿Qué es la corrección monetaria? El término genérico hace referencia al proceso de ajustar o actualizar una obligación dineraria con el índice de inflación. ¿Por qué los créditos de vivienda utilizan la UVR? Por expresa disposición de la ley de vivienda los créditos de vivienda deben ser denominados en esta unidad, para evitar que su saldo crezca por encima de la inflación; no obstante lo anterior, la ley también permite que los créditos de vivienda sean denominados en pesos siempre que se cumplan ciertas condiciones. ¿Cuándo y cómo se determina la equivalencia en las UVR del dinero dado en préstamo? Al momento del desembolso del dinero objeto del crédito de vivienda se determina su equivalencia en UVR, es decir se establece a cuántas unidades UVR equivalen los pesos otorgados en préstamo según la cotización del día. Ejemplo: Crédito aprobado: $ 100.000.000 Fecha de desembolso: Julio 9/2004 Valor de la UVR al 9 de Julio de 2004: $ 144,3246 277

Cantidad de unidades UVR al día 9 de Julio de 2004: 692.882,57 UVR. Este resultado se obtiene de dividir $ 100.000.000 entre 144,3246. ¿Por qué un crédito en UVR cuando el sistema es de cuota baja, aumenta inicialmente su valor en pesos? Porque el valor de la UVR en pesos refleja el crecimiento de la inflación y por lo tanto, en esa misma proporción se reajusta las cuotas mensuales en pesos y el saldo del crédito también aumenta. En un momento determinado, aproximadamente en el año 7, el saldo en pesos comienza a disminuir, porque la disminución del saldo en UVR, es mayor que el ajuste de la inflación. ¿En qué se diferencia la UVR de la UPAC? Con el tiempo las normas que establecieron la metodología para la determinación de los valores en moneda legal de la UPAC permitieron que ésta reflejase los movimientos de la tasa de interés en la economía, mientras que la Ley 546 de 1999 establece claramente que la UVR se debe actualizar teniendo en cuenta única y exclusivamente la inflación, la cual se mide de acuerdo con la variación del índice de precios al consumidor, IPC. ¿Quién y cómo se establece el índice de precios al consumidor, IPC? El IPC (Índice de precios al consumidor) es calculado mensualmente por el DANE y se basa en la variación que sufren los precios de la “canasta familiar” compuesta por una serie de productos y servicios considerados como de primera necesidad para la población, ellos son: alimentos, vivienda, vestuario, salud, educación, cultura, recreación, transporte, y otros.

*Fuente: Página súper bancaria.

6.3 SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE CRÉDITO DE VIVIENDA EN UVR Existen cinco tipo de liquidaciones aprobados por la superintendencia bancaria, de estos tres se liquidan en UVR y dos en Pesos. Es importante tener en cuenta que existen dos aspectos muy importantes en este tipo de liquidación: La tasa de interés y la tasa de inflación.

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Con la tasa de interés se liquidan los intereses del saldo del crédito en UVR, y la inflación se utiliza para proyectar el valor de la UVR. Los sistemas son los siguientes: CUOTA BAJA CUOTA MEDIA CUOTA CÍCLICA POR PERÍODOS ANUALES AMORTIZACIÓN CONSTANTE A CAPITAL EN PESOS. CUOTA CONSTANTE EN PESOS. NOTA: Los siguientes ejemplos, explicarán los tres primeros sistemas dado que los dos últimos se explicaron anteriormente.

CUOTA BAJA Este tipo de liquidación determina una cuota fija en UVR, se calcula como una anualidad, teniendo como referencia el saldo inicial en UVR, y la tasa mensual de interés. PASOS  Se determina la información básica: Valor crédito Plazo (meses) Inflación proyectada Tasa de interés mes Valor de la UVR  Se calcula el valor del crédito en UVR  Con base en el valor del crédito en UVR, se liquida la anualidad, siendo n, los ciento ochenta meses, y el interés mensual.  El resultado obtenido, es el valor a pagar en UVR en el mes, durante los ciento ochenta meses. La cuota es fija en UVR.  Se organiza la tabla de amortización, con las siguiente información: El período Valor mensual de la UVR Saldo del crédito en UVR Valor de los intereses en UVR

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Valor de la amortización en UVR Valor de la cuota en pesos ($). Valor del saldo del crédito en pesos ($).  Se ordena la columna de períodos, comenzando por cero (0), momento de desembolso hasta el mes 180, si son quince años.  Se proyecta el valor de la UVR para cada mes en el total de tiempo del crédito, con base en la inflación estimada.  Se organiza la columna del saldo del crédito en UVR, con el valor inicial del crédito en el período cero. (0).A partir del mes uno se determina así: Al saldo anterior se le resta la amortización.  En la siguiente columna se liquida los intereses en UVR, el valor de la deuda por la tasa de interés mensual. Es importante recalcar que esta tasa no tiene en cuenta la inflación.  En la columna del valor de la amortización en UVR, es donde se resta al total de la cuota en UVR el valor de los intereses en UVR.  Con el monto de la cuota en UVR, se calcula en pesos ($), multiplicando el valor fijo de la cuota mensual en UVR, por el equivalente mensual de la UVR.  La última columna es la del saldo en $, ahí se observa el comportamiento periódico de la deuda. Resulta de multiplicar el saldo en UVR, por el valor de la UVR.

EJEMPLO 6.6 El siguiente ejemplo, muestra la liquidación de un crédito con cuota baja, sus condiciones son: VALOR: $70.000.000= PLAZO (meses): 180 TEA: 13.91% INFLACIÓN ANUAL 6%

CARACTERÍSTICAS DEL COMPORTAMIENTO DE LA CUOTA BAJA Y DEL SALDO Se va a explicar el comportamiento de la cuota en UVR y en pesos de la cuota baja, y del saldo en pesos. CUOTA EN UVR

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El valor de la cuota es constante en UVR, se caracteriza por ser una cuota de intereses decrecientes y abono a capital creciente. CUOTA EN PESOS El comportamiento de la cuota en pesos es creciente, no teniendo en cuenta el seguro su aumento está dado de acuerdo a la inflación. Separando el interés de la amortización, la tendencia de la amortización es ascendente mientras que los intereses es descendente.

SALDO EN PESOS El saldo aumenta hasta el mes setenta y dos, a partir de allí comienza a disminuir.

CUOTA MEDIA En este tipo de liquidación, el deudor se compromete a efectuar amortizaciones en UVR mensualmente en valores iguales durante el plazo del crédito. La cuota de amortización en UVR, se determina al dividir el valor del crédito en UVR entre el tiempo del crédito, para el caso del ejercicio se divide 488.657,56 en 180 meses. El interés se calcula multiplicando la tasa por el saldo, y para conocer el valor total de la cuota se suma la amortización al capital y el interés. El siguiente ejemplo se realiza con los mismos datos utilizados para el tipo de liquidación en cuota baja. PASOS  Se determina la información básica: Valor crédito Plazo (meses) Inflación proyectada Tasa de interés mes Valor de la UVR  Se calcula el valor del crédito en UVR 281

 Con base en el valor del crédito en UVR, se liquida la cuota de amortización mensual en UVR, dividiendo el valor del crédito en UVR sobre el tiempo del crédito en meses.  El valor obtenido, es el monto que amortiza mensualmente al saldo de la deuda en UVR.  El pago total de la cuota es el resultado de sumar el valor que amortiza capital y los intereses mensuales en UVR.  Se organiza la Tabla de amortización, con las siguiente información: El período Valor de la UVR Saldo del crédito en UVR El valor de los intereses en UVR Total valor de la cuota en UVR Valor de la cuota en pesos ($). Monto del saldo del crédito en pesos ($).  Se ordena la columna del períodos, comenzando por cero (0), momento de desembolso, hasta el mes 180, si son quince años.  Se proyecta el valor de la UVR para cada mes en el total de tiempo del crédito, con base en la inflación estimada.  Se organiza la columna del saldo del crédito en UVR, estando el total del crédito en el período cero. (0).A partir del mes uno se determina así: Al saldo anterior se le resta el valor fijo de amortización mensual.  En la siguiente columna se liquida los intereses en UVR, el valor de la deuda por la tasa de interés mensual. Es importante recalcar que esta tasa no tiene en cuenta la inflación.  En la columna del valor de la cuota en UVR, es donde se suma al monto fijo de la cuota de amortización de capital en UVR el valor de los intereses en UVR.  Teniendo El valor de la cuota en UVR, se calcula en pesos ($), multiplicando el monto fijo de la cuota mensual en UVR, por el valor mensual de la UVR.  La última columna es la del saldo en $, ahí se observa el comportamiento periódico de la deuda. Resulta de multiplicar el saldo en UVR, por el valor de la UVR.

EJEMPLO 6.7

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CARACTERÍSTICAS DEL COMPORTAMIENTO DE LA CUOTA MEDIA Y DEL SALDO Al igual que en la cuota baja, se va a explicar el comportamiento de la cuota en UVR y en pesos de la cuota media, y del saldo en pesos. CUOTA EN UVR Su tendencia es decreciente. CUOTA EN PESOS El comportamiento de la cuota en pesos es creciente, hasta el mes sesenta y siete, momento en el que empieza a disminuir. Separando el interés de la amortización, la tendencia de la amortización es ascendente mientras que los intereses es descendente. SALDO EN PESOS

El saldo aumenta hasta el mes setenta y dos, a partir de allí comienza a disminuir.

CUOTA CÍCLICA POR PERÍODOS ANUALES Este es un método combinado, donde se liquida una cuota anual fija en UVR, que se distribuye en cuotas mensuales en UVR, pero éstas disminuyen mensualmente de acuerdo al índice de inflación durante el año, momento en el cual se aumenta nuevamente de tal forma que la primera cuota de cada año en UVR es igual a la primera cuota del año anterior.

PASOS  Se determina la información básica: Valor crédito Plazo Inflación proyectada Tasa de interés Valor de la UVR  Se calcula el valor del crédito en UVR

283

 Con base en el valor del crédito en UVR, se liquida la anualidad, siendo n, los quince años, y el interés (13,91%), la tasa efectiva Anual.  El valor obtenido, es el valor a pagar en UVR en el año, durante los quince años.  Una vez se obtiene el valor a pagar en UVR al año, se procede a calcular el valor de las cuotas mensuales en UVR para cada uno de los meses del año.  Se determina la primera cuota mensual, recordar que para este sistema se aplica el gradiente geométrico descendente, la tasa de disminución es la inflación mensual.  Se recuerda la fórmula de valor futuro de un gradiente geométrico descendente.  El VF es el valor de la anualidad calculado anteriormente, o el valor a pagar cada año en UVR.  VF =  Una vez calculado A, primera cuota de cada año en UVR, durante los quince años.  El valor de A mensualmente se va disminuyendo por el valor de la inflación del mes hasta terminar el año.  Una vez terminado el año, se inicia nuevamente el proceso.  Se organiza la tabla de amortización, con las siguiente información: El período Valor de la UVR Saldo del crédito en UVR El valor de los intereses en UVR Valor de la cuota en UVR Valor de la cuota en pesos ($). Valor del saldo del crédito en pesos ($).  Se ordena la columna del período, comenzando por cero (0), momento de desembolso, hasta el mes 180, si son quince años.  Se proyecta el valor de la UVR para cada mes en el total de tiempo del crédito, con base en la inflación estimada.  Se organiza la columna del saldo del crédito en UVR, con el total del crédito en el períodos cero. (0). A partir del mes uno se determina así: Al saldo anterior le suma los intereses y le resta la amortización.  En la siguiente columna se liquida los intereses en UVR, el valor de la deuda por la tasa de interés mensual. Es importante recalcar que esta tasa no tiene en cuenta la inflación.

284

 En la columna del valor de la cuota en UVR, es donde se organizan los resultados del gradiente geométrico descendente. En el período 1 se ubica el valor de A y a partir de allí disminuye el valor de la inflación mensual, hasta el mes doce (12).  Una vez ordenado el primer año, los demás se repiten, de ahí el nombre de cíclico  Teniendo el valor de la cuota en UVR, se calcula en pesos ($).  La última columna es la del saldo en $, ahí se observa el comportamiento periódico de la deuda.

EJEMPLO 6.8

CARACTERÍSTICAS DEL COMPORTAMIENTO DE LA CUOTA DEL SISTEMA VARIACIÓN CÍCLICA ANUAL Y DEL SALDO.

CUOTA EN UVR Como se explicó anteriormente, la tendencia descendente de cada año se repite, por ser las cuotas anuales de UVR constantes. CUOTA EN PESOS La cuota aunque trata de ser ligeramente estable durante el año, anualmente aumenta de acuerdo a la inflación, pero mensualmente dentro cada año la tendencia es levemente descendente.

SALDO El saldo aumenta en los primeros años de vigencia del crédito hasta el mes setenta y tres (73), momento en el cual empieza a disminuir.

6.4. LEASING DEFINICIÓN El leasing se puede definir como una transacción financiera en la cual una persona le alquila a otra un bien para que lo utilice libremente por un período de tiempo determinado. Para ello se firma un contrato a través del cual se adquiere el derecho a utilizar el bien a título de arrendamiento, por la cual, se conviene un canon (bien por pago anticipado o por pago vencido, mensual o trimestral). 285

Finalmente, la transacción incluye que de antemano se fije o no la opción de compra, que normalmente se sitúa entre el uno y el diez por ciento del valor de adquisición del equipo. CLASIFICACIÓN DEL LEASING Las exigencias del mercado han hecho que las entidades financieras desarrollen diferentes variantes de leasing, pero podemos destacar tres clasificaciones, el leasing operativo, financiero y el lease back. LEASING OPERATIVO: Se denomina así al leasing que no tiene opción de compra. LEASING FINANCIERO: Este sistema si da la opción de compra. LEASE BACK: Sistema mediante el cual el dueño de un activo que requiere recursos le traspasa la propiedad de un activo a la compañía de leasing, la que a su vez se lo alquila por un tiempo, al final el activo regresa a su dueño inicial.

PROCESO Y FINANCIACIÓN MEDIANTE EL LEASING COMERCIAL  Usted define la maquinaria que requiere para el desarrollo de su negocio y el proveedor.  La empresa de LEASING adquiere del proveedor escogido por usted, los equipos que su empresa necesita.  La firma se los entrega en arriendo durante un plazo convenido, tiempo durante el cual usted pagará un canon de arriendo en forma periódica.  Al finalizar el plazo le permitirá adquirir el bien por un porcentaje de su valor inicial (opción de compra), previamente establecida en el contrato de arriendo

EJEMPLO 6.9 Efectuar la Tabla de amortización para el arrendamiento de un vehículo avaluado en $50.000.000, se fijó como valor residual el 20% del valor de contado, se determinó un plazo de 120 meses y una tasa efectiva del 20,5%

PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS: Para el cálculo del valor de la cuota que el tomador del leasing debe pagar se requiere seguir el siguiente procedimiento:  Se liquida la cuota como una anualidad, tomando como valor presente el precio del activo descontado por el valor residual. Este resultado se denomina cuota sin los intereses del valor residual. El resultado para el ejemplo fue de $741,301.78. 286

 Se liquida los intereses del valor residual. Para el

caso, el resultado es de

$156,613.37.  La cuota a pagar mensualmente es el resultante de la suma de la cuota después de descontarse el valor residual y los intereses de éste.  El valor resultante es $897,915.15.  Se elabora la Tabla de amortización, organizando cuatro columnas; PERÍODO, INTERÉS, AMORTIZACIÓN Y SALDO. La amortización se presenta si el arrendatario toma la opción de comprar el activo pagando el valor residual.  Para adquirir el bien se debe pagar el valor residual, es decir los $10,000,000.

VENTAJAS DEL LEASING  Los arrendatarios, sin importar el monto del patrimonio bruto, que durante los años 2004 y 2005, adquieran activos que generen de renta a través del Leasing Financiero, pueden registrar como gasto deducible la totalidad del canon de arrendamiento causado.  No se requiere registrar el activo, ni el pasivo en la contabilidad; cuando los contratos cumplan con los plazos mínimos establecidos: -

Vehículos de uso productivo y equipos de cómputo: 24 meses.

-

Maquinaria, equipos, muebles y enseres: 36 meses.

-

Inmuebles: 60 meses.

 Algunas importaciones de maquinaria industrial y equipos no producidos en el país están excluidos de IVA y Aranceles.  Las empresas mantienen su nivel de endeudamiento, para efectos de capacidad de crédito.  Es de gran importancia para las empresas con problemas de liquidez y para aquellas que requieren tecnología de punta.

6.5 LEASING HABITACIONAL Es un contrato mediante el cual se adquiere la posesión de un inmueble con destino a vivienda, a cambio del pago de un canon mensual con opción de comprarlo o devolverlo una vez termine el plazo convenido. Al vencimiento del contrato el inmueble se devuelve a su propietario o se transfiere, si se decide ejercer la opción de compra pactada y paga el valor restante.

287

Este sistema tiene como ventaja que el tomador del leasing vivirá en calidad de arrendatario, al tiempo que abona una parte del precio de la misma con el pago de un canon mensual, sin necesidad de cancelar la cuota inicial, por el contrario se cancela un valor al final, cuando se ejerza la opción de compra. Existen dos modalidades de financiación; la cuota baja y media. CUOTA BAJA Se va a efectuar la Tabla de amortización del sistema de adquisición de vivienda mediante el leasing habitacional, para el ejemplo que se ha trabajado inicialmente.

PASOS  Se determina la información básica: Valor crédito en pesos y en UVR % del valor residual Valor residual en pesos y en UVR Plazo Inflación proyectada Tasa de interés Valor de la UVR

 Se calcula el valor de la cuota en UVR. Con base en el valor del crédito en UVR, se liquida la anualidad, siendo n, ciento ochenta meses, y el interés (0,949%), la tasa mensual.

 Se organiza la tabla de amortización, con las siguiente información: El período Valor de la UVR Saldo del crédito en UVR El valor de los intereses en UVR El valor que amortiza en UVR Valor de los intereses en pesos ($). 288

Valor de la cuota en pesos ($). Valor del saldo del crédito en pesos ($), si toma la opción de compra.  Se ordena la columna del período, comenzando por cero (0), momento de desembolso, hasta el mes 180, si son quince años.  Se proyecta el valor de la UVR para cada mes en el total de tiempo del crédito, con base en la inflación estimada.  Se organiza la columna del saldo del crédito en UVR, estando el total del crédito en el período cero. (0).A partir del mes uno se determina así: Al saldo anterior le resta la amortización.  En la siguiente columna se liquida los intereses en UVR, el valor de la deuda por la tasa de interés mensual. Es importante recalcar que esta tasa no tiene en cuenta la inflación.  El valor de amortización se da descontando al monto de la cuota, los intereses.  El interés del valor residual en pesos se determina, multiplicando el valor residual en UVR, por la tasa de interés mensual, por el valor de la UVR.  El valor de la cuota en pesos, es calculada multiplicando el monto de la cuota en UVR multiplicada por la UVR más el valor de los intereses del valor residual.  El saldo en pesos esta dado por el saldo en UVR multiplicado por la UVR del período.

VALOR FINAL RESIDUAL EN $ 16,768,964.4

Características del Comportamiento de la Cuota del Sistema de Leasing dn Cuota Baja y del Saldo. CUOTA EN PESOS Va aumentando por el índice de Inflación.

EL SALDO El saldo tiene un comportamiento ascendente hasta el mes sesenta y seis donde comienza a disminuir, es importante recalcar que al finalizar el plazo del leasing, si se desea adquirir el bien se debe pagar el valor residual.

CUOTA MEDIA

289

Una vez estudiada la Tabla de amortización por el sistema de cuota baja, se va a realizar el mismo ejercicio para la cuota media. PASOS  Se determina la información básica: Valor crédito en pesos y en UVR % del valor residual Valor residual en pesos y en UVR Plazo Inflación proyectada Tasa de interés Valor de la UVR  Con base en el valor del crédito en UVR, se liquida la cuota de amortización mensual en UVR, dividiendo el valor del crédito en UVR sobre el tiempo del crédito en meses.  El monto obtenido, es el valor que amortiza mensualmente al saldo a la deuda en UVR.  El valor total de la cuota es el resultado de sumar el valor que amortiza capital y los intereses mensuales en UVR.  Se organiza la Tabla de amortización, con las siguiente información: El período Valor de la UVR Saldo del crédito en UVR El valor de los intereses en UVR El valor de la cuota en UVR Valor de los intereses del valor residual en pesos ($). Valor de la cuota en pesos ($). Valor del saldo del crédito en pesos ($), si toma la opción de compra.  Se ordena la columna del período, comenzar por cero (0), momento de desembolso, hasta el mes 180, si son quince años.  Se proyecta el valor de la UVR para cada mes en el total de tiempo del crédito, con base en la inflación estimada. 290

 Se organiza la columna del saldo del crédito en UVR, con el total del crédito en el período cero. (0). A partir del mes uno se determina así: Al saldo anterior se le resta el valor fijo de amortización mensual.  En la siguiente columna se liquida los intereses en UVR, el valor de la deuda por la tasa de interés mensual. Es importante recalcar que esta tasa no tiene en cuenta la inflación.  En la columna del valor de la cuota en UVR, es donde se suma al valor fijo de la cuota de amortización de capital en UVR el valor de los intereses en UVR.  El interés del valor residual en pesos se determina, multiplicando el valor residual en UVR, por la tasa de interés mensual, por el valor de la UVR correspondiente al periodo.  Con el dato de la cuota en UVR, se calcula en pesos ($), multiplicando el valor fijo de la cuota mensual en UVR, por el valor mensual de la UVR.  La última columna es la del saldo en $, ahí se observa el comportamiento periódico de la deuda. Resulta de multiplicar el saldo en UVR, por el valor de la UVR.

VALOR FINAL RESIDUAL 16,768,964 EN $

CARACTERÍSTICAS DEL COMPORTAMIENTO DE LA CUOTA

DEL SISTEMA DE LEASING EN CUOTA

MEDIA Y DEL SALDO. CUOTA EN PESOS Va aumentando hasta el mes cien (100) y a partir de allí comienza a disminuir.

EL SALDO

El saldo tiene un comportamiento descendente, es importante recalcar que al finalizar el plazo del leasing, si se desea adquirir el bien se debe pagar el valor residual, para este ejercicio sería $ 16, 768,964, resultante de multiplicar el valor residual en UVR, por la UVR del último mes.

VENTAJAS DEL LEASING HABITACIONAL  El Leasing habitacional está diseñado para las familias que no tienen los recursos suficientes para una cuota inicial, amortizando gradualmente su vivienda mientras paga un canon de arrendamiento, en cuyo caso la opción de adquisición no podrá 291

ser superior al 30 por ciento del valor comercial del bien en pesos o en unidad de valor real (UVR).  Los usuarios del leasing pueden deducir la parte correspondiente a los intereses y/o corrección monetaria o costo financiero que haya pagado durante el respectivo año.  Las personas asalariadas pueden optar por disminuir la base mensual de retención en la fuente por concepto de pago de intereses y corrección monetaria

6.6. AMORTIZACIÓN DE UN CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA En el momento de pensar en la opción de financiarse en moneda extranjera, se debe conocer varios factores que van a incidir en la ventaja o desventaja de haber tomado esta opción, ellos son: Tasa de interés del banco en el exterior Tasa de devaluación TASA DE INTERÉS EN MONEDA EXTRANJERA Las tasas sobre la cual se fijan los créditos en moneda extranjera son: La PRIME RATE y la LIBOR PRIME RATE Está fijada como el costo que cobra la banca en los EE.UU, a las empresas de este país. Los intereses de los créditos se fijan con algunos puntos sobre la Prime. Estos puntos se denominan SPREAD. El SPREAD varía de acuerdo como esté calificado el riesgo que para la banca represente el país del usuario del crédito. LIBOR Sigla de la London Inter Bank Offer Rate. Es la tasa promedio ofrecida en el mercado interbancario de Londres. TASA DE DEVALUACIÓN Por devaluación se puede definir como la evolución de la tasa de cambio o paridad cambiaria de la moneda local frente a unas monedas fuertes. El comportamiento de la devaluación hace que el costo del crédito se haga barato o por el contrario bastante oneroso. TASA EFECTIVA DEL CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA

292

La tasa efectiva de un crédito en moneda extranjera es la resultante de multiplicar la tasa de interés cobrada por el Banco extranjero con la tasa de devaluación.

EJEMPLO 6.10 Determinar el costo de un crédito en moneda extranjera, si la tasa de interés es la Prime más dos puntos y la devaluación proyectada es del 10% anual.

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Para calcular el costo del crédito se debe conocer la tasa Prime. Se consultó y la tasa Prime está en el 6% anual. Es decir, la tasa que cobra el banco extranjero es el 8% anual. Como la tasa de devaluación esperada es del 10%, el interés efectivo sería el siguiente. I efectivo = (1,08 x 1,1) - 1 I efectivo = 0,188 RESPUESTA El interés efectivo del crédito en moneda extranjera es del 18,8% anual.

EJEMPLO 6.11: Se requiere $500.000.000, para financiar un estudio de factibilidad para la construcción de una hidroeléctrica, se quiere analizar el costo de dicho financiamiento y como sería la tabla de amortización. El banco extranjero cobra la tasa Prime más dos puntos y el pago en cuotas trimestrales iguales. El plazo del crédito son tres años. Como períodos de gracia un año, y el abono a capital se realiza en ocho cuotas iguales. ANÁLISIS DEL EJERCICIO Para efectuar la Tabla de amortización de un crédito en moneda extranjera se debe conocer la tasa de cambio, y la devaluación esperada, porque

en el momento del

desembolso y de los pagos, la empresa beneficiaria requiere pesos para el caso colombiano para reunir los dólares u otra moneda para efectuar los abonos o pagos de las cuotas.

PROCEDIMIENTO 293

PASOS:  Al conocer la tasa de cambio se calcula la necesidad de recursos en dólares.  Conociendo la devaluación esperada, y que los pagos son trimestrales se calcula la tasa de devaluación trimestral.  Se hace lo mismo con la tasa de interés.  Se organiza la Tabla de amortización. Las columnas son las siguientes: PERÍODOS, TASA DE CAMBIO, INTERÉS US$, AMORTIZACIÓN US$, TOTAL PAGO EN $, SALDO EN US $.  La tasa de cambio se proyecta multiplicando la tasa de cambio del trimestre anterior por la devaluación proyectada del trimestre.  El interés es el resultante de multiplicar el saldo anterior por la tasa del crédito.  La amortización que se inicia a pagar a partir del segundo año, resulta de dividir el total del crédito en ocho cuotas.  El total de pago en pesos es el resultado de multiplicar la tasa de cambio con la suma entre los intereses y la amortización en dólares.  El saldo empieza a disminuir a partir del segundo año, al saldo anterior se le resta el valor a amortizar en dólares. EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN La realización de estos ejercicios permitirá desarrollar las competencias necesarias para respaldar nuestro desempeño laboral en el campo de las finanzas, así como adquirir la experiencia y habilidad necesaria para identificar y formular problemas, proponer soluciones alternativas y asesorar o tomar decisiones. Analicemos cuidadosamente estos problemas y de nuestros conocimientos con el uso adecuado démosle una solución adecuada y eficaz. Si tenemos complicaciones para resolver alguno de ellos, podemos recurrir al tema de este capítulo del libro donde encontramos los conocimientos, métodos y procedimientos adecuados para dar las soluciones requeridas.

¡Adelante y muchos éxitos! 1. Liquidar un crédito de $10.000.000 a 36 meses con un interés del 2,2% mensual por el sistema de:  PAGO ÚNICO  CUOTA FIJA.

294

 CUOTA FIJA CON AMORTIZACIÓN DE CAPITAL 2. El mismo ejercicio anterior, con el sistema de cuota fija pero con abonos extraordinarios de $1.000.000 en el mes seis, doce, dieciocho, veinticuatro y treinta. 3. El ejercicio número uno con un período de gracia de seis meses. 4. Liquidar un crédito de vivienda de $200.000.000, con una tasa de interés efectiva anual del 20% y una inflación proyectada del 6% anual. Suponga que el valor de la UVR inicial es de 150,3148, el cliente quiere analizar los siguientes sistemas de financiación: CUOTA BAJA CUOTA MEDIA CUOTA CÍCLICA POR PERÍODOS ANUALES 5. Analice el ejercicio anterior pero con el leasing habitacional, se estudiará los sistemas de cuota baja y media. El valor residual es del 10%. 6. Realice la Tabla de amortización si deseo adquirir un camión por el sistema de leasing, el valor del vehículo es de $220.000.000 y el valor residual es del 20%, la tasa de interés del 25% anual. El plazo es de 24 meses. 7. Determine el costo de un crédito de $800.000.000 en US $, la tasa del banco extranjero es el Prime más tres puntos. Las condiciones son las siguientes: Plazo: 10 semestres Período de gracia: un año. Abono a capital: 8 cuotas semestrales iguales. La tasa de cambio es de $2.600, y se espera una devaluación anual del 10%. La tasa Prime es del 5,8% anual.

GLOSARIO

AMORTIZACIÓN: Pago de un crédito mediante el abono de cuotas en un período predefinido. BONO: Título crediticio emitido por un gobierno o una empresa mediante el cual el emisor se compromete a pagar unos intereses (cupón) en unas fechas fijadas y a reembolsarlo en el momento de su vencimiento. 295

COSTO DE CAPITAL: Tasa de interés que paga un empresario para financiarse. COTIZACIÓN: Expresión de uso bursátil para señalar el valor de las acciones. DEVALUACIÓN: Pérdida de valor de la moneda nacional frente a la de otro país. FECHA DE EMISIÓN: Fecha a partir del cual se crean los títulos y se colocan en el mercado. FONDOS DE INVERSIÓN: Ente financiero que recibe dinero de pequeños inversionistas para invertirlos en un mercado más grande y brindarles una mejor rentabilidad y menor riesgo a sus inversores. RIESGO DE LA TASA DE CAMBIO: Posibilidad de pérdida por variación inesperada en las tasas de cambio. TABLA DE AMORTIZACIÓN: Tabla en la que se describe la forma de cancelación de un crédito, descomponiendo la suma que paga por intereses y la que se abona a capital. TASA DE DEVALUACIÓN: Indicador de la pérdida de valor de una moneda frente a una extranjera. TASA LIBOR: Tasa promedio ofrecida en el mercado interbancario de Londres. TASA PRIME RATE: Tasa de interés para créditos corporativos calculado por el Banco de la reserva federal en los Estados Unidos.

296

CAPÍTULO 7 EVALUACIÓN DE INVERSIONES JUSTIFICACIÓN Cuando el estudiante cuestiona sobre el uso de estos conocimientos en su vida práctica, el docente le explica su aplicabilidad en casi todas las decisiones que se toman en el actuar cotidiano. Sin embargo, para abordar este tema será imprescindible conceptualizar los términos “Evaluación económica” e “Inversión” Ricardo Fernández autor del Dictionary of Modern Bussines de Limusa en 1992, define Evaluar: Determinar el valor de una cosa. Acto de investigar el valor relativo de algunos servicios, organizaciones o mercancías. El Diccionario Económico Financiero de Puntos Suspensivos Editores Consultores define Evaluación Económica: Metodología que permite establecer el valor económico de una empresa, de un factor productivo o de un proyecto de inversión. (...) Permite calcular los beneficios y los costos de una inversión, determinándose así su rentabilidad. El Diccionario de Términos Financieros del autor Rafael Barandiarán de Editorial Trillas, 1990; define Evaluación de Proyectos: Técnica moderna que permite verificar excedente y ex - post la bondad de las inversiones financieras;... Ahora conceptualicemos “inversión”; La Federación Latinoamericana de Bancos en su publicación Introducción a la Terminología Financiera del autor Robert Marcuse define la Inversión: Colocación de dinero con el propósito de obtener del mismo un rendimiento satisfactorio o una ganancia de capital. Invertir presupone la compra de algo con la intención de guardarlo sólo mientras resulta beneficioso, o para venderlo en una fecha posterior para hacer una ganancia.. El Diccionario Económico Financiero de Puntos Suspensivos Editores Consultores la define:

297

Es la aplicación de recursos económicos al objetivo de obtener ganancias en un determinado período. De la observación de este tema podemos concluir que el propósito de este capítulo es el de compartir las técnicas utilizadas para evaluar y seleccionar la mejor alternativa de inversión.

OBJETIVO GENERAL Dominar el conocimiento y uso de las técnicas para evaluar y seleccionar alternativas de inversión que posibiliten mi desempeño futuro como asesor en el campo financiero.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS La comprensión y aprehensión de los conocimientos sobre la evaluación y selección de alternativas de inversión me permitirán el desarrollo de habilidades y destrezas en la evaluación de inversiones posibilitándome ser más competitivo y eficaz en mis asesorías y decisiones financieras:

 Manejo adecuado del concepto de tasa de oportunidad.  Cálculo del valor presente neto en un flujo de caja.  Determinar la tasa interna de retorno.  Dominar el método del costo anual uniforme equivalente.  Comprender acertadamente el análisis de sensibilidad y sus ventajas en la toma de decisiones

EVALUACIÓN DE ENTRADA Es importante tener en cuenta que la evaluación de entrada permite apreciar los conocimientos y conceptos aprendidos y los que ya poseo, para continuar mi estudio de finanzas. Esta autoevaluación o reflexión deja identificar mis deficiencias para poder superarlas, e invita a iniciar el estudio de esta unidad. “Cuando la lucha de un hombre comienza dentro de sí, ese hombre vale algo.” Robert Browning 298

1. Exponga detalladamente algunos métodos de sistemas de financiación comercial. 2. Explique las ventajas de cada uno de ellos. 3. ¿Por qué en el sistema de la UVR, el saldo de la deuda inicialmente aumenta y después comienza a disminuir? 4. ¿Qué ventajas tiene el uso del leasing? 5. ¿Por qué alguien que desee adquirir vivienda utilizaría el sistema de leasing habitacional y no los otros sistemas de financiación?

7.1. TASA DE OPORTUNIDAD La tasa de oportunidad es la mínima que el inversionista desea ganar en el proyecto a invertir, con base en ella se toma la decisión de asignar determinada cantidad de dinero. Entre mayor sea la tasa que el inversionista desea ganar, el precio por el bien comprado es menor.

EJEMPLO 7.1 Si un inversionista A desea comprar un título cuyo valor nominal es de $1.000.000= y su vencimiento es dentro de un año, ¿cuál debe ser el precio de compra si desea una rentabilidad del 22% anual? TASA DE OPORTUNIDAD PARA A: 22% Anual.

VALOR INVERTIDO POR A = = 819.672,13 Para que el inversionista A, tenga una rentabilidad del 22%, compraría el título en $819.672,13.  Si existe un inversionista B, pero desea una rentabilidad del 25% anual, ¿cuál sería el valor a pagar por este mismo título?

TASA DE OPORTUNIDAD PARA B: 25% anual. VALOR INVERTIDO POR B = = $800.000

299

Para que el inversionista A, tenga una rentabilidad del 25%, compraría el título en $800.000= El inversionista B pagaría menos por el título dado que su tasa de descuento es mayor.

7.2.VALOR PRESENTE NETO Es el resultado de calcular la diferencia del valor presente de los ingresos y egresos del flujo de caja del proyecto que se va a evaluar, en el período cero. La cifra estimada mide el proyecto en pesos de hoy, frente a la tasa de oportunidad del inversionista. DECISIÓN DE INVERSIÓN:  Si el resultado es positivo o sea mayor que CERO, indica que el proyecto es viable, puesto que su rentabilidad es superior a la tasa de oportunidad del inversionista.  Si es negativo, o sea, menor que CERO, indica que el proyecto es inviable, puesto que el inversionista prefiere invertir en los negocios que le garantizan la actual tasa de oportunidad.  Si el resultante es CERO, quiere decir que es indiferente invertir en este proyecto, o en los que se encuentra invirtiendo en el momento.

EJEMPLO 7.2: Se compra un taxi en $30.000.000, el cual se espera que mensualmente deje libre de gastos $1.000.000= a los tres meses lo vende en $31.000.000=; Si la tasa de oportunidad del inversionista es el 3% mensual, ¿qué tan buen negocio se realiza?

VPN = -30.000.000 + + + VPN = -30.000.000 + 970.873,78 + 942.595,9 + 29.284.533,1 VPN = -30.000.000 + 31.198.002,78 VPN = 1.198.002,78

Se realiza un buen negocio porque el VPN es mayor que CERO o sea, el inversionista tiene una rentabilidad superior al 3%.

300

EJEMPLO 7.3 Un estudiante compra una motocicleta

en $5.000.000= para realizar mensajería, si

mensualmente le queda libre de gastos $100.000= y a los seis meses la vende en el mismo valor que la compró, determine si fue un buen negocio, la tasa de oportunidad es del 2,5% mensual.

Se va a utilizar la fórmula de anualidades. VPN = -5.000.000 + 100.000 x + VPN = -5.000.000 + 550.812,53 + 4.311.484,33 VPN = -137.703,13 RESPUESTA: No fue un buen negocio para el estudiante, dado que su valor presente neto es inferior a cero, esto quiere decir que la rentabilidad del proyecto fue inferior al 2,5% mes.

CÁLCULO DEL VPN CON LA CALCULADORA FINANCIERA HP Para desarrollar el anterior ejercicio con la calculadora, el procedimiento es el siguiente:  FIN  F: CAJA  CLEAR DATA, SI  5.000.000 +/- INPUT  100.000 INPUT  5 INPUT  5.100.000 INPUT INPUT  CALC 2,5 % I  VAN VAN = -137.703,13

CÁLCULO DEL VPN EN EXCEL Como se ha enunciado anteriormente se entra por el menú de funciones financieras, y se busca VNA.

301

Es importante observar el rango que se toma para determinar el VPN. El valor del período cero (0) no hace parte de este rango.

El resultado obtenido es el VP del flujo de caja del período uno (1) al seis (6), para determinar el VPN, se le debe sumar al resultado obtenido el valor de la inversión, que en el cuadro se observa en la casilla B5.

En este cuadro se observa el VPN de -$137.703,13, resultante de sumar la inversión inicial D5 y el valor presente del flujo de los períodos 1 al 6 (D15).

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

 Un grupo de estudiantes conforman una sociedad y crean un negocio de servicio de Internet, su inversión fue de $15.000.000, y sus ingresos y gastos mensuales fueron de 4.000.000 y $2.500.000 respectivamente durante el primer año, para el segundo año sus ingresos aumentaron el 15% y sus gastos el 12%, al finalizar el segundo año venden el negocio en $25.000.000, determine si les fue bien en el proyecto dado que los socios esperaban una rentabilidad del 3,5% mes.

 Su mejor amigo le consulta sobre la viabilidad del negocio de fotocopias que tiene en la universidad, para prestar un buen servicio invirtió en equipos $12.000.000, mensualmente le ingresa por fotocopias $5.000.000 y de gastos $2.000.000, trimestralmente el mantenimiento de las máquinas tiene un costo de $300.000, la vida útil sin ocasionar mayores molestias es de tres años, momento en el cual hace reposición de equipos y le reciben sus anteriores máquinas por el 30% del valor de compra. Si la tasa de rentabilidad esperada es del 3,8% mes, asesore a su amigo sobre el negocio.

7.3. TASA INTERNA DE RETORNO - TIR Es la tasa de interés que hace que el valor presente de los ingresos sea igual al valor presente de los egresos, es decir, que el VPN sea igual a CERO (0). O, es la tasa de interés que devengan los dineros que permanecen invertidos en un proyecto.

302

El cálculo de la tasa interna de retorno, para efectuarlo manualmente es un poco dispendioso dado que se utiliza el método de prueba y error, buscando que las tasas estimadas totalicen los valores del flujo de caja por encima y por debajo de la inversión. Una vez se tienen los valores aproximados mediante el método de interpolación se calcula el resultado definitivo.

DECISIÓN DE INVERSIÓN:  Si la TIR es mayor que la tasa de oportunidad del inversionista, se acepta el proyecto.  Si la TIR es menor que la tasa de oportunidad del inversionista, se rechaza el proyecto.  Si la TIR es igual a la tasa de oportunidad, es indiferente la inversión en el proyecto.

EJEMPLO 7.4: Se invierte en un negocio $5.000.000=, presenta unos ingresos netos de la siguiente manera: Año 1

2.000.000

2

2.200.000

3

3.000.000

4

3.100.000

5

3.200.000

El interrogante es la tasa interna de rentabilidad de la Inversión.

VALOR DE LA INVERSIÓN 5.000.000

303

FLUJO DE CAJA 2.000.000/(1+i) 1+2.200.000/(1+i)2+3.000.000/(1+i)3+3.100.000/(1+i) 4+3.200.000/( 1+i)5

MÉTODO DE PRUEBA Y ERROR Para mayor facilidad se va a trabajar en miles de $. Se inicia con una tasa del 40% 5.000=2.000/(1,4)1+2.200/(1,4)2+3.000/(1,4)3+3.100/(1,4)4+3.200/(1,4)5 5.000= 5.046,26 Como el resultado obtenido es mayor que 5.000, se debe buscar una tasa superior al 40%, para que el valor presente del flujo de caja sea inferior a 5.000. Como el resultado anterior dio una cifra cercana el aumento en la tasa debe ser pequeño, se estimará el 42%. 5.000=2.000/(1,42)1+2.200/(1,42)2+3.000/(1,42)3+3.100/(1,42)4+3.200/(1,42)5 5.000= 4.764,761

INTERPOLACIÓN 5.046,26 40% 5.000

X

4.764,761 42%

PROCEDIMIENTO: Para no olvidar la forma de interpolar, lo importante es aplicar la relación existente entre los valores y los porcentajes, de la siguiente forma: = =

= 304

0,164334509 x -2 = 40-x -0,328669018= 40-x x = 40 + 0,328669018 x = 40,328 % Anual La tasa interna de retorno del proyecto es del 40,328% anual.

CÁLCULO DE LA TASA INTERNA DE RETORNO CON LA

CALCULADORA H.P

Para calcular la TIR con la calculadora financiera se sigue el siguiente procedimiento:  FIN  F: CAJA  CLEAR DATA, SI  5.000.000 +/- INPUT  2.000.000 INPUT INPUT  2.200.000 INPUT INPUT  3.000.000 INPUT INPUT  3.100.000 INPUT INPUT  3.200.000 INPUT INPUT  CALC  % TIR %TIR = 40,49604 Este es el resultado mostrado por la calculadora.

CÁLCULO DE LA TASA INTERNA DE RETORNO EN EXCEL Para el cálculo de la TIR en la hoja electrónica el procedimiento a seguir es muy similar a lo expuesto anteriormente, por las funciones financieras, se va a realizar el mismo ejercicio que se efectuó manualmente.

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En este cuadro se señaló el rango donde se encuentran los valores y en estimar se le da cualquier cifra para que comience a buscar el resultado. El resultado fue una TIR del 40,49% anual, resultado más exacto que el estimado con interpolación.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

 Calcule la TIR de los ejercicios de práctica del tema de VPN.

7.4. COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE

Es un método útil para evaluar proyectos que fundamentalmente constituyen fuente de egresos, con él se toman decisiones pues se selecciona la alternativa que representa un menor costo para la empresa.

PROCEDIMIENTO El procedimiento es llevar a anualidad los valores presente y futuro del flujo de caja. Las fórmulas a utilizar serían las siguientes: A = V. P x

A = V. F x

EJEMPLO 7.5 Un municipio desea evaluar la compra de una máquina para mantenimiento de sus vías, se le presentan dos alternativas: La alternativa A es comprar un equipo cuyo valor es de $50.000.000, presenta una vida útil de 6 años, el mantenimiento anual tiene un costo de $3.000.000=, y el valor de salvamento es de $8.000.000=.

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La alternativa B es un equipo de $40.000.000, con vida útil de 6 años. El costo de mantenimiento anual es de $4.000.000, y el valor de salvamento es de $5.000.000=, la tasa de oportunidad es del 25% Anual.

Alternativa A =50.000.000 + 3.000.000 - 8.000.000 x

Alternativa A = 16.940.974,93 + 3.000.000 - 710.555,98 CAUE para la alternativa A es 19.230.418,94 Alternativa B =40.000.000

+ 4.000.000 - 5.000.000 x

Alternativa B = 13.552.779,95 + 4.000.000 - 444.097,49 CAUE para la alternativa B es 17.108.682,46 La alternativa seleccionada debe ser la B, dado que el CAUE es menor.

VIDA ÚTIL DIFERENTE Si los proyectos fuesen de diferente vida útil, por ejemplo, si la alternativa A fuese a 4 años y la B a 6 años, el planteamiento sería el siguiente: Se determina el mínimo común múltiplo, para el ejercicio sería doce (12), La operación matemática es: Alternativa A=50.000.000

+ 3.000.000 - 8.000.000 x Alternativa A = 13.422.378,85 + 3.000.000 - 147.580,61 CAUE para la alternativa A es 16.274.798,24 Alternativa B =40.000.000 307

+ 4.000.000 - 5.000.000 x

Alternativa B = 10.737.903,08 + 4.000.000 - 92.237,88 CAUE para la alternativa B es 14.645.665,2 La alternativa seleccionada debe ser la B, dado que el CAUE es menor.

7.5. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Cuando se evalúa un proyecto de inversión se obtiene un resultado, donde, de acuerdo a lo alcanzado se da viabilidad o no a la ejecución del plan. Ningún evaluador puede afirmar que X o Y proyecto es factible, sin antes agregar la siguiente frase: Si se cumplen los parámetros establecidos en el flujo de caja para la evaluación, el proyecto es o no factible. La herramienta que presenta el Excel, precisamente permite calcular los resultados obtenidos si se varían dos factores utilizados en la evaluación.

EJEMPLO 7.6: Se va a determinar la rentabilidad de un proyecto de una empresa de confección de camisas, el precio de las camisas es de $40.000= y aumenta el precio 5% anual, el costo variable de cada camisa es $20.000 y los costos fijos $5.000.000= mensuales, se espera vender 4.000 camisas el primer año y aumentar las ventas en 10% anual. La inversión requerida para el proyecto es de $60.000.000 y la vida útil de la maquinaria es de 5 años, momento en el que su valor de salvamento es de $15.000.000=.

Este proyecto no es factible con los parámetros que inicialmente se trabajaron, dado que la TIR es sólo del 14%, y el VPN se estimó con una tasa de oportunidad del 20%, presenta un resultado negativo.

MODIFICACIÓN DE SUPUESTOS Se va a revisar el estudio, modificando el C.V.U inicial, y el volumen de ventas con que arranca el proyecto. 308

Los C.V.U iniciales para analizar serían: $15.000, $16.000, $17.000, $18.000, $19.000 y $20.000. El volumen de ventas iniciales 5.500, 5.600, 5700, 5800, 5900 y 6000 unidades anuales. PROCEDIMIENTO Se construye la Tabla donde se va a efectuar la sensibilidad, como el parámetro de evaluación es la TIR, este resultado se lleva a la casilla donde se fija la fila y la columna de las variables a modificar (A29), con el más (+), luego se sombrea la Tabla, como se señala en el siguiente cuadro y se ingresa por DATOS, ANÀLISIS Y SI, TABLA DE DATOS se señalan las casillas donde están ubicadas las variables a cambiar. En el caso del volumen inicial de camisas, la casilla B4, y el C.V.U inicial la casilla B7.

En este cuadro se observa los diferentes resultados de la TIR, si varía el supuesto volumen inicial de camisas y costo variable unitario inicial. Ejemplo: Si el costo variable unitario inicial es de $18.000= y las ventas para el primer año son de 5.500 unidades, sin modificarse los demás supuestos la TIR sería el 29% anual.

7.6. CÁLCULO DEL VALOR DE UNA VARIABLE PARA UN RESULTADO DETERMINADO Al realizar operaciones con ecuaciones se vuelve un poco más complejo determinar el valor de una de variable específica para que se obtenga un resultado determinado. Excel presenta esta herramienta excelente para quien trabaja la matemática financiera la cual se denomina BUSCAR OBJETIVO.

USOS: Cálculo de todas las incógnitas que se trabajaron en el libro: VP, VF, Períodos, tasas de interés, anualidades, y gradientes, cuando en un ejercicio se presentan algunas de estas formas de flujos de efectivo.

EJEMPLO 7.7: 309

Determine el valor de la consignación hecho a un estudiante por su Padre quien vive en otra ciudad para que pague sus estudios si este requiere de 1.000.000 para la matrícula y 250.000 mensuales para sus gastos de vivienda y alimentación. El interés es del 1,1% mes. NOTA: Para explicar la herramienta BUSCAR OBJETIVO, después de obtener el resultado, nos vamos a preguntar cuánto debía gastar mensualmente el estudiante si el padre de familia sólo tiene $2.000.000=

ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor de la consignación, conociendo el valor de la matrícula, el gasto mensual, el número de meses y la tasa de interés. PREGUNTA Se va a calcular un VP UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0).

ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 250.000 n= 6 i = 1,1 % mes VP. Matrícula = 1.000.000 VP. Consignación =

ECUACIÓN: V/R CONSIGNACIÓN: Valor matrícula + Valor presente de los gastos mensuales.

Se procede a dar respuesta al segundo interrogante, cuanto debe gastar mensualmente si el padre de familia sólo dispone de $2.000.000= Se procede a aplicar la función BUSCAR OBJETIVO de la siguiente manera: De la siguiente manera: DATOS, ANÁLISIS Y SI, BUSCAR OBJETIVO

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PROCEDIMIENTO:  Se define la celda B7 porque es la limitante, dado que el padre de familia sólo cuenta con $2.000.000.  Con el valor $2.000.000=  Para cambiar la celda B4.

El estudiante sólo puede gastar $173.141,8. Las modificaciones se podían haber realizado con el valor de la matrícula o con los períodos y tasas de interés.

EJERCICIOS Estos ejercicios me permitirán desarrollar la habilidad u destreza necesaria en la evaluación de inversiones desde diferentes aspectos o puntos de vista. La experiencia y la habilidad que desarrolle a través de la solución de estos ejercicios y del estudio de la matemática financiera, contribuirán al éxito de mis desempeños en el manejo financiero. 1. Determine la rentabilidad de un inversionista que compró un bono en $500.000 y recibió intereses mensuales por $10.000 durante 6 meses momento en el cual lo vende a un precio de $490.000. R: La rentabilidad alcanzada por el inversionista es del 1,68% mensual. 2. ¿Qué rentabilidad hubiese tenido el inversionista anterior si logra vender el bono en $510.000? R: La rentabilidad alcanzada por el inversionista si vende el bono en $510.000 es del 2,31% mensual. 3. Determine la rentabilidad de un proyecto, que tiene una vida útil de diez años, La inversión inicial es de $50.000.000=, el primer año el proyecto genera $1.000.000, a partir del segundo año hasta el quinto periodo su rentabilidad anual es de $6.000.000, y entre los años seis y 10 genera $12.000.000 anuales, al finalizar el proyecto vende la maquinaria en $30.000.000. R: El proyecto presenta una rentabilidad del 12,46% anual. 4. Determine el VPN del ejercicio anterior si la tasa de oportunidad del inversionista es del 20% anual y dé un concepto sobre la factibilidad del proyecto. R: Con una tasa de oportunidad del 20% anual el proyecto muestra un valor presente de -16.955.506,9, hecho que para el inversionista no sería factible realizarlo. 311

5. ¿Qué cambios se produce en la tasa de rentabilidad si se produjo un error en la estimación del ingreso de tres millones de pesos para los primeros 5 años y la cifra real es de $4.000.000, para el primer año y de $9.000.000 para los años dos al cinco? R: La tasa de rentabilidad pasaría a ser del 16,27% anual. 6. ¿El proyecto pasaría a ser factible para el inversionista? R: No, dado que la tasa de oportunidad del inversionista es del 20% anual. 7. Se organiza una empresa cuya inversión inicial fue de $30.000.000, durante el primer año no generó ingresos, por el contrario, se le invirtió $5.000.000, a partir del segundo año hasta el quinto año generó $10.000.000 anuales y a partir del sexto año disminuye sus ingresos a $6.000.000 anuales, el empresario la vende al finalizar el año 10 en $80.000.000, determine su rentabilidad. R: El proyecto presenta una tasa de rentabilidad del 24,18% anual 8. Si el empresario tenía una tasa de oportunidad del 28% anual, cual fue su VPN. R: El VPN es de -5.200.961 dado que la tasa de rentabilidad es inferior a la tasa de oportunidad. 9. Si el empresario hubiese vendido la empresa en $100.000.000, ¿cuál hubiese sido su rentabilidad? ¿Ésta es superior a su tasa de oportunidad? R: Si el empresario vende la empresa en $100.000.000 tampoco alcanza su tasa de oportunidad, dado que la rentabilidad del proyecto llegaría al 25,57% anual. 10. ¿En cuánto debiese haber vendido la empresa para haber alcanzado exactamente su tasa de oportunidad? R: El empresario deberá vender la empresa en $141.402.114. Para alcanzar su tasa de oportunidad. 11. Un inversionista compró un paquete de acciones de la empresa XYZ y cada acción tenía un valor de $20.000, le entregaron dividendos así: el primer semestre $150 por acción y en el segundo semestre $180 por acción, el paquete de acciones fue vendido una vez recibidos los dividendos del segundo semestre y cada acción la vendió en $25.200= determine la rentabilidad del inversionista. R: La rentabilidad del inversionista fue del 13,03% semestral. 12. Si la tasa de oportunidad del inversionista es del 30% anual, determine si realizó un buen negocio con esta acción. R: No fue un buen negocio para el inversionista porque con una rentabilidad del 13,03% semestral la rentabilidad anual equivalente es del 27,7%.

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13. ¿Cuál hubiese sido la rentabilidad del inversionista si el precio de la acción hubiese caído a $19.900? R: La rentabilidad para el inversionista hubiese sido sólo del 0,58% semestral. 14. Determine la mejor alternativa de una empresa para mejorar su producción, si las dos máquinas para adquirir van a tener el mismo nivel de producción. La primera alternativa es comprar una máquina A cuyo costo es de $50.000.000 y los gastos de mantenimiento son de $100.000 mensuales, su vida útil es de 4 años y tiene un valor de salvamento de $10.000.000. La máquina B tiene un precio de $30.000.000, sus costos de mantenimiento es de $200.000 mensuales, su vida útil también es de 4 años y su valor de salvamento es de $8.000.000. Determine la mejor alternativa por el método del CAUE si el empresario tiene una tasa de oportunidad del 2,5% mes. R: La mejor alternativa es la B dado que A presenta un CAUE de $2.010.359 mientras que B 1.368.227. 15. ¿En cuánto compró un inversionista un bono si recibió intereses trimestrales por 90.000 durante el año y lo vendió en $1.050.000 y obtuvo una rentabilidad del 42% anual? R: El inversionista compró el bono en $1.029.976,6. 16. Determine el valor en que un inversionista debe comprar un bono cuyo valor es de $1.000.000 y reconoce un interés del 20% anual, el bono se redime en cinco años, y El espera ganar un interés del 24% anual. R: El inversionista debe comprar el bono en $890.184,6. 17. Una papelería debe definir entre dos alternativas de fotocopiadoras, ambas tienen igual velocidad, la primera tiene un valor de $8.000.000 y un costo anual de mantenimiento de $1.000.000, tiene una vida útil optima de 2 años, momento en el que se vende en $3.000.000. La segunda opción tiene un precio de $12.000.000, el costo de mantenimiento anual es de $600.000 y su vida útil óptima es de tres años, su precio de venta en ese momento es de $4.000.000. Utilice el método del CAUE para definir la mejor alternativa, la tasa de oportunidad es del 2% mensual. R: Se decide por la opción A dado que ésta presenta un CAUE de $2.922.049 mientras que la opción B presenta un CAUE de $3.404.799. 313

18. Una entidad financiera le efectúa un préstamo de $500.000 a seis meses, cobra interés mensual vencido del 2%. Y usted se compromete a amortizar el capital en el momento del vencimiento. Si en el momento de desembolsarle su dinero le descuenta $20.000, por papelería, determine el verdadero costo del crédito. R: El costo verdadero del crédito es del 2,73% mensual. 19. Usted compra un apartamento en $60.000.000, durante el primer mes pagó 150.000 por costos de servicio y administración, dado que estuvo vacío, lo arrendó en $400.000 en los siguientes once meses, para el segundo año el canon de arrendamiento se aumentó en el 6%, si al finalizar el segundo año de arrendado lo vende en $70.000.000, determine la rentabilidad del negocio. El arriendo se paga mes anticipado. R: La rentabilidad es del 1,25%. 20. Si el inversionista hubiese abierto un CDT que le reconocía el 15% anual, en vez de la compra del apartamento, ¿hubiese hecho un mejor negocio? R: El CDT solo le reconoce el 1,17% mensual, mientras que el apartamento le renta el 1,25% mes. 21. Determine la rentabilidad del inversionista del ejercicio 17, si en los meses seis y dieciocho de haber comprado el apartamento pagó impuestos por $200.000 por el primer año y $250.000 para el segundo año. R: La rentabilidad se disminuye al 1,22%. 22. Usted es un prestamista, dispone de $10.000.000, tiene dos alternativas para prestar su dinero, el cliente A le reconoce el 30% anual y le entrega la totalidad del dinero al finalizar el período. El cliente B le amortiza $3.500.000 trimestrales en el año.¿ Cual es su mejor opción? R: Indudablemente la opción B, la cual renta a una tasa del 14,96% trimestral. 23. Determine la rentabilidad de un proyecto para dictar charlas de capacitación a trabajadores de las empresas de la ciudad durante un año. Para esto se tomó arrendado un salón por todo el año cuyo valor se pagó anticipadamente para ser de uso exclusivo, su valor fue de $10.000.000=, El valor de cada día de capacitación para 25 personas es de $1.050.000=. El portafolio consiste en 8 horas de conferencia, 2 refrigerios, almuerzo y material de consulta. A los conferencistas se les debe pagar a $50.000 hora, y el costo del almuerzo y refrigerios es de $10.000 por persona, el del material de consulta $2.500 carpeta. Determine la rentabilidad del proyecto si el costo fijo salarial es de $3.000.000 mensuales, y se espera dictar 12 jornadas al mes. 314

R: La rentabilidad del proyecto es del 3,75%. Mes. 24. Determine el valor presente neto si la tasa de oportunidad es del 3% mensual R: El valor presente de la inversión es de $451.704, indicando que renta a una tasa superior que la tasa de oportunidad. 25. Realice el análisis de sensibilidad si varía los precios de las conferencias con valores de $1.000.000, $1.050.000, $1.080.000, $1.100.000, $1.120.000, $1.150.000 y $1.200.000 y el número de jornadas al mes: 8, 10,12, 14 y 16. El indicador de factibilidad será la TIR.

26. Efectúe el análisis de sensibilidad del ejercicio anterior si se modifican los precios de las conferencias y el costo de hora del conferencista entre $40.000, $45.000, $50.000, $55.000 y $60.000 por hora.

GLOSARIO FLUJO DE CAJA LIBRE DEL INVERSIONISTA: Flujo de caja donde sólo se tiene en cuenta el capital aportado por el inversionista. PRECIO DE REGISTRO: Es el valor que tiene un documento según el sistema de información de la Bolsa de Valores. TIR: Tasa a la cual el VPN es igual a cero. TRM: Tasa representativa del mercado, se obtiene del promedio de la tasa de compra y venta de divisas del sistema financiero, sin incluir las transacciones por ventanilla. VALOR NOMINAL: Es el valor que se encuentra impreso en el título valor. VALOR DE MADURACIÓN: Valor al vencimiento de los activos financieros. VALOR DE CESIÓN: Valor que el propietario de un título entrega a la Bolsa de Valores para su transacción. VALOR DE SALVAMENTO: Valor en que puede ser vendido un activo, cuando ya ha cumplido su tiempo normal de uso. VIDA ÚTIL: Tiempo que transcurre entre el momento que se empieza a utilizar un activo hasta cuando llega su valor residual.

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BIBLIOGRAFÍA

ÁLVAREZ Alberto A. Matemáticas Financieras, Mc Graw Hill, 2000. BACA Currea Guillermo. Matemática Financiera, Fondo Educativo Panamericano, 2002. BLANK y Tarquín. Ingeniería Económica, Mc Graw Hill, Quinta Edición, 2003 GARCÍA Jaime A. Matemáticas Financieras. Tercera Edición, 1997 GUTIÉRREZ Marulanda Luis Fernando, Finanzas Prácticas para Países en Desarrollo, Norma, 1994 JARAMILLO Vallejo Felipe, Matemáticas Financieras Básicas Aplicadas , Alfaomega. Primera edición, 2004. MEZA Orozco Jhonny de Jesús, Matemáticas Financieras Aplicadas, Ecoe Ediciones.

Segunda edición, 2003. Vidaurri Aguirre Héctor M, Matemáticas Financieras, Thomson Learnig. Segunda edición.

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