Matematica Financiera Libro

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ Vicerrectorado de Investigación

MATEMÁTICA FINANCIERA TINS Básicos ADMINISTRACIÓN, CONTABILIDAD

TEXTOS DE INSTRUCCIÓN (TINS) / UTP

Lima - Perú

1

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

© MATEMÁTICA FINANCIERA Desarrollo y Edición:

Vicerrectorado de Investigación

Elaboración del TINS:

Dr. Juan José Sáez Vega

Diseño y Diagramación:

Julia Saldaña Balandra

Soporte académico:

Instituto de Investigación

Producción:

Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.

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MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

“El presente material de lectura contiene una compilación de artículos, de breves extractos de obras matemáticas publicadas lícitamente, acompañadas de resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de orientación del aprendizaje para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución. Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.

3

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MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

PRESENTACIÓN  La Matemática Financiera como segmento de la matemática, aplicada a temas correspondientes al campo de la economía y las finanzas es de gran importancia en la formación profesional académica de ingenieros. Consiste de un conjunto de conocimientos matemáticos orientado a la modelación de fórmulas matemáticas para calcular el valor del dinero en un tiempo diferente al tiempo de aplicación del dinero. Los modelos implicados están basados en la teoría matemática de: los exponentes y sus leyes, los logaritmos, las progresiones aritméticas y geométricas. Aplicando los modelos referidos se analizan temas de naturaleza económica y financiera relativos a: ¾ ¾ ¾ ¾

Actualización de flujos de beneficios y costos en intervalos de tiempo Descuento de flujos de compromiso económico-financiero por pago adelantado Costos constantes Indicadores económicos-financieros

Gracias al paciente trabajo del profesor Juan José Sáez Vega, ha sido posible compendiar el presente texto de instrucción, en relación al syllabus de la asignatura de Matemática Financiera para las carreras de Administración y Contabilidad. El acucioso trabajo de recopilación de diferentes trabajos de Matemática Financiera, correspondientes a una variedad de fuentes bibliográficas, ha permitido condensar la siguiente estructura: ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

Proporciones geométricas Problemas Proporcionales Tanto por ciento Regla de Interés Regla de descuento simple Progresiones aritméticas Expresiones Exponenciales Logaritmos Interés compuesto Descuento compuesto

5

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¾ ¾ ¾ ¾ ¾

Progresiones geométricas Anualidades de amortización Operaciones con bolsa Rentas vitalicias y perpetuas Responsabilidad civil

Al cerrar estas líneas se hace presente el reconocimiento institucional al profesor Juan José Sáez Vega y también el agradecimiento institucional a los profesores que han contribuido con sus apreciaciones al trabajo de recopilación.

Vicerrectorado de Investigación

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ÍNDICE  Pág. I.

Proporciones geométricas

9

II.

Problemas Proporcionales

17

III.

Tanto por ciento

21

IV.

Regla de Interés

27

V.

Regla de descuento simple

33

VI.

Progresiones aritméticas

41

VII.

Expresiones Exponenciales

53

VIII.

Logaritmos

57

IX.

Interés compuesto

61

X.

Descuento compuesto

69

XI.

Progresiones geométricas

79

XII.

Anualidades de amortización

87

XIII.

Operaciones con bolsa

105

XIV.

Rentas vitalicias y perpetuas

117

XV.

Responsabilidad civil

131

7

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DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA  SESIÓN N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

TEMA Unidad I: Razones Geométricas - Propiedades de las Razones Geométricas – Proporción Geométrica - Definición Representación - Elementos - Propiedades problemas y ejercicios. Unidad II: Regla de Interés Simple - definición - elementos obtención de fórmulas – aplicaciones. Unidad III: Regla de descuento simple - definición – Elementos – Obtención de formulas – Ejercicios. Unidad IV: Anualidades de capitalización y amortización elementos - tiempo en años, meses y días. Unidad V: Exponenciales y Logaritmos - definiciones – Propiedades. Unidad V: Logaritmos - definición - logaritmos vulgares y naturales Ecuaciones Logarítmicas Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas EXAMEN PARCIAL Unidad VI: Interés compuesto - obtención de fórmulas. Interés compuesto a tasa real y nominal. Unidad VI: Descuento compuesto - Obtención de fórmulas Interés compuesto a tasa real y nominal. Unidad VII: Anualidades de Capitalización y anualidades de amortización a interés compuesto - a tasa real. Unidad VII: Anualidades de Capitalización y anualidades de amortización a interés compuesto - a tasa nominal. Amortizaciones a plazo diferido Amortizaciones a plazo adelantado Unidad IX: Tipos de cambio - su importancia en la economía. Unidad IX: Tipos de cambio - su importancia en la economía.Bolsa y seguros- Código civil. EXAMEN FINAL EXAMEN SUSTITUTORIO

8

SEMANA 1 2 3 4 5y6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

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CAPÍTULO I

PROPORCIONES GEOMÉTRICAS 

Es la relación entre dos razones geométricas iguales (tienen el mismo cociente). 1.1

Primera propiedad (fundamental).- El producto de los extremos es igual al producto de los medios. a : b = c : d a x d = b x c Ejemplos: 1.

7 14 = ; 7 x 10 = 5 x 14 5 10 70 ≡ 70

1 3 7 2 3 = 9 , 3 1 3 13 3 3 4 12 4 2

2.

21 = 9 39 12

7 39 13 21 273 273 x = x ; ≡ 3 12 4 9 36 36 1.2

Segunda Propiedad.- En toda proporción geométrica: un extremo es igual al producto de los medios dividido entre el otro extremo. Un medio es igual al producto de los extremos, dividido entre el otro medio. b x c a x d a c = ; a = ; b = b d d c

Ejemplos:

9

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1)

11 x 21 x 21 = ; x = ; x =7 11 33 33

2)

2 5 = x 9 3 7 7 4 12 6

3) 4)

1.3

32 93 32 x 5 12 x 5 ; x = ; = 31 31 93 4 4 12

x =6

6 15

16 x 35 16 80 = ; x = ; x =7 35 80 x 4 x 0.374 4 x = ; x = ; x = 0.136 11 0.374 11

5)

13 x 64 8 64 = ; x = ; x = 104 x 13 8

6)

0.11 x 8.8 x 8. 8 = ; x = ; x =8 0.11 1.21 1.21

Tercera Propiedad.- La media proporcional geométrica (medios iguales) es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

a b = b d

;

b =

a x d

a c = b a

;

a =

b x c

Ejercicios: 1)

16 x = ; x = x 25

2)

0.81 x = ; x = x 1.44

16 x 25

x = 20

0.81 x 1.44 ; x = 1.08

10

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1.4

Cuarta propiedad.- Toda proporción geométrica se puede representar de ocho formas distintas y subsiste la primera propiedad.

1)

a c = b d

cambio extremos. 3)

Cambios medios 2)

a b = c a

a b = c d

cambio medios. 4)

Cambios medios y extremos

d c

=

b a

Cambio razones c a 5) = d b Cambio extremos en 5 b a = d c Cambio medios en 5

6)

c d = a b Cambio medios y extremos en 5 7)

8)

b = a

d c

Es necesario recordar esta propiedad. Se utiliza frecuentemente. Represente de ochos formas distintas las proporciones: 1) 1.5

7 84 = 11 132

;

2)

m o = n p

Quinta propiedad.- En toda proporción geométrica la suma o diferencia de antecedente y consecuente de la primera razón es a su consecuente; como; la suma o diferencia de antecedente y consecuente de la segunda razón es a su consecuente.

11

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a c = b d

a + b b

;

=

a − b b

=

c + d d c − d d

Ejemplos: 8 x = y 13

1)

x + y = 210

8 + 13 x+y = 13 y

210 21 ; = 13 y

;

x + y = 210

y = 130

reemplazando y por su equivalente.

X + 120 = 210 ; x = 210 - 120 x = 80

x 13 = y 7

2)

x − y = 120

x−y 13 − 7 = y 7

210 6 = y 7

;

;

y =

120 x 7 6

y = 140 x - 140 = 120 ; x = 120 - 140 x = 260 1.6

Sexta propiedad.- En toda serie de razones geométricas, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes; como, cada antecedente es a su respectivo consecuente. a c = b d

=

e f

=

g h

=

a + c + e + g a = b + d + f + h b

a + c + e + g b + d + f + h a + c + e + g c = b + d + f + h d

;

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a + c + e + g e = b + d + f + h f

1)

x = 9

y 13

=

z 15

y x z = = 9 13 15

x = 15 9

;

=

a + c + e + g g = b + d + f + h h

x + y + z = 555

x + y + z 555 = = 15 9 + 13 + 15 37

→ x = 15 x 9

→ x = 135

y = 15 13

→ y = 13 x 13

→ y = 195

z = 15 15

→ z = 15 x 15

→ z = 225

Utilizando las propiedades anteriormente estudiadas, resolver los ejercicios: Hallar “x” en las proporciones: 1)

8 16 = x 4

2)

0.04 24 = x 0. 4

3)

14.25 x = 14 0.002

4)

0.04 0.06 = 0.05 x

5)

6)

1 3 = x 1 2 6 5

7)

1 12 = 1 3 6

8)

2 1 5 8 3 = 4 5 x 5

13

0.45 = 1 2

2 6 x

10 x

2 9

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9)

10)

11)

12)

3.45 x = 1 4.36 8

x 6 = 1 2 5

15)

16 x = x 25

16)

0.49 x = x 25

17)

5 x = 1 0.04 2

18)

1 3 = 4.25 2 x 5

19)

14)

x 9 16

2.25 x = x 1.69 Escribir

de

ocho

maneras distintas

1 4 = x 1 1 5 3 6 7

x m = y n

8

13)

1 4 = x

20)

1 0.03 = 6 2 x 9

Si,

x z = ; x + y = 10 y y

Hallar “x” e “y” 21)

Si:

7 a = 5 b

22)

Si:

a m = ; a + m = 45; b + n = 40; m = 5 cuánto vale n b n

23)

x m = ; x − m = 20; y − n = 15; n = 6 y n

; a – b = 30; a ?

Hallar m

14

b?

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24)

a c = ; a + b = 40; a – b = 30; c + d = 50 b d Cuál es el valor c – d

25)

x m = y n

; x – m = 10; y + n = 30; y - n = 20

Hallar; x + m = ¿ 26)

a b = ; b + a = 15; hallar a? 6 5

27)

m n ; m + n = 18; hallar n = ? = 4 5

28)

a 6 = ; a – b = 15; hallar a 12 5

29)

a 6 = ; a – b = 12; hallar a + b b 5

30)

Dos números están en la relación 5 es a 2. La suma es 49. Hallar los números.

31)

Dos números tienen como razón 8 es a 3; y su diferencia es 55. Hallar los números.

32)

Si:

a b c ; a + b + c = 36 = = 2 3 4

Hallar a; b y c 33)

5 4 6 = = ; c + d + e = 120 c d e Hallar c; d; e = ?

15

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34)

1 2 3 4 = = = m n x y

; m + n + x + y = 14

Hallar m; n; x ; y 35)

Tres números tienen la relación: 2; 7 y 5; la suma es 24. Hallar los tres.

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CAPÍTULO II

PROBLEMAS PROPORCIONALES  Los problemas proporcionales son aquellos que utilizan las propiedades de las proporciones. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Reparto proporcional: directo e inverso; Tanto por ciento Tanto por uno Interés simple. Descuento comercial simple. Anualidades de capitalización y amortización a interés simple.

REPARTO PROPORCIONAL Reparto proporcionar directo

Ejemplos: 1)

Una compañía tiene tres trabajadores de: 18 años, 24 años y 32 años de servicios. Los tres tienen un fondo de compensación por S/. 244,200. Cuánto recibe cada uno? x + y + z y x z 244,200 = = = = 18 24 32 74 74

= 3300

x = 3300 → x = 59,400 18 y = 3300 → y = 79,200 24 z = 3300 → z = 105,600 32

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2)

Una compañía emite 170 acciones y adquiridas en la relación: 3, 5 y 9. Cuánto cobrará cada empresario. x + y + z y x z 170 = = = = = 10 3 5 9 17 17

x = 10 → x = 30 3 y = 10 → y = 50 5

z = 10 → z = 90 9 Para desarrollar: 1)

Tres obreros trabajan: 15 días, 22 días y 43 días. De un fondo de S/. 34,400; cuánto cobrará cada uno.

2)

De un fondo de S/. 2,680 cuánto cobrará cada trabajador. El primero trabajó 15 días a razón de 7 horas diarias, el segundo 23 días de 9 horas diarias; y el tercero 28 días a 8 horas diarias.

Reparto proporcional inverso

a)

Se hallan los inversos de los datos a repartir;

b)

Se halla el común denominador, convirtiéndose en números racionales homogéneos;

c)

Se realiza el reparto proporcional con relación a los numeradores.

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EJERCICIOS

1)

Un padre de familia deja una herencia de S/. 439,292 para ser repartidos en proporción inversa a las edades de sus hijos: de 8 años; 15 años y 24 años. y 1 x z = = 8 Æ 1 1 1 8 8 15 24 15 Æ

1 15

y x z = = 15 8 5 20 120 120

24 Æ

1 24

y x z = = 15 8 5

=

439242 28

1)

x = 15689 15

Æ

x = S/. 235 335

2)

y = 15689 8

Æ

y = S/. 125 512

3)

z = 15689 5

Æ

z = S/. 78 445

= 15689

Respuesta.- El de 8 años recibe S/. 235,335; el de 15 años S/.125,512 y el de 24 años S/. 78,445 (observe que, el de menor edad recibe más)

2)

Un padre de familia deja una herencia de S/. 4’806,320; para ser repartidos en proporción inversa a las edades de sus hijos de: 3 años, 4 meses; 13 años, 4 meses y 21 años, 8 meses.

3)

Una compañía aseguradora emite bonos en la relación de 8; 12 y 20. Cuántos bonos compra cada empresario; si el número total de bonos es de 2280.

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4)

4 obreros tienen el mismo jornal trabajando: 12 días; 15 días; 25 días y 30 días respectivamente. El fondo para la cancelación de dichos obreros es S/. 2,501. Cuánto recibe cada uno.

5)

3 obreros trabajan: el primero 28 días 6 horas diarias; el segundo 35 días 7 horas diarias; y el tercero 40 días 8 horas diarias. Cuánto le toca a cada uno de un fondo total de S/. 4,104.80.

6)

En una reunión infantil; uno de los niños tiene 4 años de edad; otro 6 años y un tercero 8 años. Se desean repartir 325 caramelos en proporción inversa a las edades. Cuántos caramelos le toca a cada uno?

7)

Tres capitalistas aportan: 25; 30 y 40 acciones; por un total de S/. 338,200. ¿Cuánto aportó cada uno?

8)

Tres capitalistas han invertido S/. 350,000; S/. 400,000 y S/.650,000 aumentan su capital en S/. 38’625,440. Cuánto aportará cada uno en relación directa a su capital.

9)

Dos personas se asocian aportando: 40 acciones de 5,000; y el otro, 55 acciones de 3,500 si tienen.

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CAPÍTULO III

TANTO POR CIENTO (%)  Es un problema proporcional considerado por cada cien unidades. Si para cien es un tanto por ciento (%) para n será x 100 % n% ; x= = n x 100 Ejemplos: 1.

Hallar el 15% de 32 32 x 15 100 15 ; x = = 32 x 100 x = 4.8

2.

Hallar

1 % de 96 8

1 1 96 x 100 8 = 8 ; x = 96 x 100 x = 0.12 EJERCICIOS

1.

Hallar el 18% de 72.

2.

Hallar el 35% de 180.

3.

Hallar el 5.34% de 23

4.

5 Hallar el 6 % de 49. 7

5.

Hallar el

6.

Hallar el 2/9% de 720.

1 % de 1320. 4

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7.

Hallar el 38% de 15640.

8.

Hallar el

3 % de 15640. 4

9.

Hallar el

3 % de 7250. 5

10.

Hallar el

2 % de 9650. 5

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1.

Un comerciante vende un televisor; cuyo costo es S/. 840 y tiene una ganancia del 8%. Cuál es su ganancia.? 840 x 8 100 8 ; x = = 840 x 100 x = S/. 67.20

2.

Un agente vende una refrigeradora en S/. 1550. El 20% al contado y el resto en 8 cuotas mensuales. Hallar la cuota inicial y la mensualidad. 1550 x 20 100 20 ; x = = 1550 x 100

Cuota inicial S/. 310 1550 – 310 = S/. 1,240 1,240 : 8 = S/. 155 cuotas mensuales. 3.

Una compañía produce 25% de bebidas tipo néctar; 35% agua mineral y 15% de bebidas aromáticas. Además 1800 son conservas envasadas. Qué cantidad produce en cada caso. 100 – (25 + 35 + 15) = 25% 1800 x

=

1800 x 00 25 ; x = 100 25

x = 7200 el total

22

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Néctar

25 x 7200 100 7200 ; x = = 25 x 100

x = 1800 35 x 7200 100 7200 ; x = = 35 x 100

x = 2520 15 x 7200 100 7200 ; x = = 15 x 100

x = 1080 4.

El precio de un televisor es S/. 6,400. Sin embargo para su venta se deben incrementar el 4%; luego el 5%; además el 10% por diferentes conceptos. Cuál será el precio de venta. 6400 x

6400 x 4 100 ; x = ; x = S / .256 4 100

=

6400 + 256 = S/. 6656

6656 x

6656 x 5 100 ; x = ; x = S / .332.8 5 100

=

6656 + 332.8 = S/. 6988.8 6988.8 x

=

6988.8 x 10 100 ; x = ; x = S / .698.88 10 100

Precio de venta 6988.8 + 698.88 = S/. 7687.68

5.

Hecho el descuento del 12% se canceló por una mercadería S/.12500. Cuál fue el costo inicial.

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100 88 (100 − 12) = x 1250

x=

100 x 1250 88

x = S/. 1420.45

6.

Hecho el incremento del 15% se canceló por una mercadería S/. 27,450. Hallar el costo inicial. 100 115 = (100 + 15) x 27450 x =

100 x 27450 115

x = S / .23,869.56

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.

Se compra una mercadería con S/. 18,600; faltan de cancelar el 45%. Hallar el costo de la mercadería.

2.

Una compañía vende 126 sacos a razón de S/. 117 el saco. Si se realiza una rebaja del 18%. Cuál será la suma a pagar.

3.

Un automóvil tiene un costo de S/. 24,000. Se cancela el 28% como cuota inicial y el resto en 18 cuotas. Hallar el depósito y el costo de cada cuota.

4.

Un obrero desea construir una pared de 420 metros cuadrados de área en 5 días el primer día el 25% del total, el segundo día el 5%; el tercer día el 20% del resto; el cuarto día el 25% del resto y el último día el total. Qué área levantó cada día.

5.

Una persona gana S/. 3,000. El 20% gasta en alquiler de vivienda. El 60% del resto en alimentación y el 30% de lo que le sobra en gastos diversos, cuánto ahorra?

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6.

Un vendedor ganando el 8% de comisión, vende un objeto en S/.1200, otro en 1,600 ganando el 12%; un tercero en S/. 2400 ganando un 15%. Cuál fue mi ganancia.

7.

Tres personas se asocian para emprender un negocio. El primero impone 1 1 del capital; el segundo del capital y un tercero S/.240,000. Cuánto 5 3 depósito el primero y el segundo.

8.

En una empresa el 60% son varones y el resto damas. Los obreros ganan S/. 300 semanal y las damas un 30% menos. Cuál es la planilla semanal si el número total es de 1500 trabajadores.

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CAPÍTULO IV

REGLA DE INTERÉS  Es un problema proporcional que estudia la ganancia o la pérdida de los capitales invertidos, prestados o depositados. CLASES Se conocen dos tipos de interés: 1.

INTERÉS SIMPLE Cuando la ganancia o la pérdida del capital, es fijo e invariable durante el tiempo que permanecen: invertidos, prestados o depositados. Es conveniente recordar algunas palabras que se utilizan en la matemática financiera. Dinero.- Son monedas o billetes que se aceptan como medio de pago, por tener un respaldo legal. Capital (c).- Es la suma de dinero, que se presta, invierte o deposita, en las entidades correspondientes o personas jurídicas. Interés (I).- En el beneficio, utilidad o ganancia al capital. Capitalización.- Es la capacidad de agregar intereses al capital. Financiación.- Dinero necesario para efectivizar una empresa. Ahorros.- Actividad que se utiliza para guardar dinero orientado a un financiamiento; inversión o capitalización. Tanto por ciento (%).- Es el interés por cada cien soles. Llevar el sistema anual. Tiempo (t).- Son los años, meses, días u horas que los capitales permanecen, invertidos, prestados o depositados.

El interés simple es muy importante por ser utilizados por el 80% económicamente activa especialmente en la pequeña empresa.

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Divisa .- Moneda del curso legal en los países extranjeros, como consecuencia de transacciones comerciales. Se utiliza para pagar importaciones, teniendo especial atención del Banco Central de Reserva. Rentabilidad .- Es la capacidad para producir beneficios: periódicas o temporales, fijas o variables. Superávit .- Cuando los ingresos son superiores a los gastos. Déficit .- Opuesta al superávit. Financiación .- Capital necesario para una actividad empresarial. Endeudamiento .- Capital captado desarrollar una actividad financiera.

de

recursos

ajenos

para

PROCESO

Todo capital (c) invertido tiene un interés (I). Cien soles tiene un interés (%) en determinado tiempo (t). C I = 100 %t Utilizando las propiedades cualquier incógnita.

de

las

proporciones;

hallaremos

Esta fórmula está calculada en años. Se recomienda presentar en años el tiempo. Utilice una simple proporción geométrica, según el caso. Ej. Llevar 3 años, 4 meses, 18 días a años. 1 mes x

tiene 30 días. tendrá 18 días.

1 x 18 18 1 30 = ; x = 0.6 meses ; x = ; x = x 30 18 30

4 meses + 0.6 meses = 4.6 meses.

28

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

1 año tiene 12 meses x tendrá 4.6 1 x 4 .6 x = ; 12 t = 3 + 0.383

x = 0.383

;

x = 3.383 años

Nota: Aproximar el tiempo hasta milésimos en todos los casos.

PROBLEMAS

1.

Hallar el interés producido con un capital de S/. 36,600; durante 4 años, 7 meses, 15 días, al 9% anual de intereses simples. c = t = %= I =

2.

S/. 36,600 4 años, 7 meses, 15 días. 9 anual ? C I = 100 %t

; I =

c%t 100

Qué capital habrá producido un interés de S/. 7,630; durante 2 años, 5 meses, 12 días; al 12% anual de intereses simples. c= ? I =7630 t = 2 a 5 m, 12 d = % = 12 anual

3.

Un capital de S/. 84,650 produjo un interés de S/. 16,560 al 14% anual de intereses simples. Hallar el tiempo. c = S/. 84,650 I = S/. 16,560 % = 14 anual t= ?

29

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

4.

Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples de un capital de S/. 215,640; durante 3 años, 2 meses, 12 días; que produjo un interés de S/. 18,524. %=? C = S/. 215,640 t = 3 a 2 m, 12 d I = S/. 18,524

MONTO (M)

Se denomina así a la suma del capital más el interés: M = C+I Recordemos

C I = 100 %

Cambiemos medios:

C 100 = I %t

Utilicemos la propiedad de las proporciones: C + I 100 + % t = I %t

Reemplacemos:

M I

=

100 + % t %t

Utilizando las propiedades cualquiera de las incógnitas. 1.

de

las

proporciones

despejamos

Un ahorrista retiró 127,500 luego de 2 años, 7 meses, 12 días, depositados al 12% anual de intereses simples. Hallar el capital y los intereses del ahorrista. M = 127,500 % = 12 anual t = 2 a 7 m, 12 d = 2 C=? I=?

30

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1.

Qué capital habrá producido un interés de S/. 16,710 durante 3 años, 5 meses, 18 días, al 9% de intereses simples.

2.

Un capital de S/. 323,610 qué interés ganará; durante 3 años, 18 días, al 14% anual de intereses simples.

3.

Un capital de S/. 416,130 ganó un interés de S/. 53,160; al 12% anual de intereses simples. Hallar el tiempo.

4.

Un capital de S/. 112,500; ganó un interés de S/.12,690; durante 1 año, 8 meses, 12 días. Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples. Luego de 5 años, 3 meses, 18 días; un capitalista retiró S/. 2’689,200; al 18% anual de intereses simples. Hallar el capital y los intereses del capitalista.

5.

6.

Con un interés de 0.9% mensual cuánto ganará un capital de S/.531,630; durante 2 años, 18 días.

7.

Un capitalista

1 de su capital impreso al 12% anual de intereses 4

3 al 15% anual de intereses simples; y el resto al 20% 8 anual de intereses simples. Luego de 3 años, 24 días, retira S/.720,680. Hallar los intereses y el capital.

simples. Los

8.

9.

1 de su capital al 1.2% mensual de intereses 6 1 simples; 0.03% diario de intereses simples de su capital; y el resto 3 al 15% anual de intereses simples. Luego de 5 años, 15 días, retira S/. 3’645,720. Hallar el capital y los intereses del ahorrista. Un capitalista impuso

Se toma S/. 48,000 como hipoteca al 12/ anual de intereses simples. Hallar los intereses mensuales.

10. Hallar el interés producido por S/. 110,000 al ¾% mensual de intereses simples durante 4 meses, 5 días.

31

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

11. Hallar la renta diaria de S/. 360,000 al 1/90% diario. 12. El 29 de abril se toma una hipoteca por S/. 900,000 al 5 ½ anual de intereses simples y se devuelve el 20 de julio del mismo año. Hallar los intereses. 13. Se pagó S/. 600 por un préstamo al 1/3 % mensual de intereses simples; durante 90 días. Hallar el capital. 14. Por qué capital se canceló un interés de S/. 14,500; durante 3 meses, 8 días al 2/5% mensual. 15. Hallar el monto producido que a un interés de S/. 17,640 durante 7 meses, 12 días, al 2/7% mensual de intereses simples. 16. Se tiene que pagar S/. 700 cada 3 meses por un préstamo de S/.40,000. Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples. 17. Qué tiempo estuvo impuesto S/. 46,720 al 12% anual de intereses simples y produjo S/. 1,340. 18. Una persona solicitó un préstamo de S/. 36,840 y canceló S/.2,560 de intereses al 8% anual de intereses simples. Otra tomó como préstamo S/.65,721, cancelando S/. 5,680 de intereses al 8% anual de intereses simples. Quién tardó más tiempo.

32

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

CAPÍTULO V

REGLA DE DESCUENTO SIMPLE  Estudia a la letra de cambios. LETRA DE CAMBIOS Es un documento legal respaldado por la ley que legaliza el crédito. ELEMENTOS 1. Valor Nominal (Vn) es la suma de dinero que se encuentra consignado en la letra (capital prestado más intereses). 2. Valor Actual (Va) es la suma de dinero que se cancela al retirar la letra. 3. Descuento (D) es el interés del valor nominal. 4. Tanto por ciento (%) es el descuento por cada cien soles. 5. Tiempo (t) son los años, meses o días que faltan para el vencimiento de la letra desde el momento de cancelación. PROCESO

Todo valor nominal tiene un descuento si se cancela antes de vencimiento. Cien soles tiene un descuento de un tanto por ciento en determinado tiempo. Vn 100

=

D %T

= (en años)

Utilizando las propiedades de las proporciones, se despeja cualquier incógnita. Para el valor actual se tiene: Va = Vn – D

Vn D = 100 %t

proporción hallada

33

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

Vn 100 = D %t

(en años)

Vn − D 100 − % t = D %t

propiedad conocida

Reemplazando: 100 − %t Va (en años) = D %t

Por lo general los descuentos se realizan en días; se recomienda observar la fecha que consigna la letra y la fecha de vencimiento (se trabaja con 365 días que tiene el año).

REQUISITOS DE UNA LETRA DE CAMBIO 1. Los firmantes deben presentar un documento de identidad (mayores de edad) realizar la firma sin coacción. 2. Indicar: lugar, día, mes y año en que se expide la letra. 3. El tiempo en la que se cancelará la letra. 4. Indicar plenamente los nombres y razón social del aceptante y el girador. 5. Por ejemplo una letra girada el 26 de mayo a treinta días vence el 25 de junio y girada a un mes vence el 26 de junio. 6. Una letra no pagada es remitida a Notario Público para el respectivo protesto (certificado al no haber sido cancelado). Luego acudir al Poder Judicial para proceder a su cancelación con los derechos y obligaciones legales, como: cancelación al Notario y al abogado defensor. Endoso, es cuando una letra traspasa la propiedad de una letra a otra persona. Se denomina endoso por realizar indicaciones al dorso de la letra como son: nombres, DNI, razón social de la otra persona. Pagarés, son promesas escritas para cancelar el costo de un préstamo ni fecha determinada. Todo pagaré indica:

1. 2. 3. 4.

Nombre específico del pagaré. La fecha de expedición; y fecha de pago. El valor nominal. Nombre y apellidos del otorgante.

34

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

5. 6. 7. 8.

Nombre y apellidos del tenedor. Origen del valor que representa. Firma del que controla al pagar. Los intereses del pagaré es sobre el valor nominal.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1.

Una letra fue firmada a 180 días el 3 de enero del 2005; por S/.63,680; al 12% anual de intereses simples. Se canceló el 20 de marzo del mismo año. Hallar el descuento. Del 3 de enero al 20 de marzo se tiene 7 días.

t=

180 – 76 = 104 días; t =

104 = 0,285 365

Vn = S/. 63,680

% = 12

2.

Vn D = 100 %t

D =

Vn % t 63680 x 12 x 0.285 ; D = 100 100

D=

S/. 2177.86

Va =

S/. 63680 – 2177.86

Va =

S/. 61,502.14

Una letra fue cancelada 73 días de su vencimiento con S/. 103,748; firmada al 11% anual de intereses simples. Hallar el monto de la letra y el descuento. 100 − % t Va = D %t D=

Va % t 100 − % t

35

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

D=

103748 x 11 x 0.2 100 − 11 x 0.2

D=

228245.6 97.8

(365 : 73)

D = S / . 2,333.80

V n = S/. 106,081.80 3.

Una letra se canceló con un descuento de S/. 5,670; 75 días antes de su vencimiento; firmado al 13% anual de intereses simples. Hallar el Valor Actual y Nominal de la letra. Vn 100 D D = ; Vn = 100 % t %t

Vn =

5670 x 100 13 x 0.205

Vn = S/. 212,757.97 4.

; Va = S/. 207,087.97

Una letra vencía el 13 de Julio del 2005 y se canceló con 316,425; hecho el descuento de S/. 2896 y firmado al 14% anual de intereses simples. Qué día se canceló la letra? 100 − % t Va = D %t

Va = S/. 316,425 D = 2896 % = 14

Va % t = 100 D – D%t

t=?

Va % t + D % t = 100 D t (Va % + D %) = 100 D

36

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

100 D Va % − D %

t=

289600 316425 x 14

t=

289600 316425 x 14 + 2896 x 14

t=

289600 4429950 + 40544

t = 0.06478031287 x 365 t = 24 días Se canceló el 20 de junio del 2005. 5.

Hallar el tanto por ciento de una letra pagada 42 días antes de vencimiento con S/. 226,386; hecho el descuento de S/. 7967. Vn = 234083

Vn D = 100 %t

t = 42 días = 0.115

;

% =

769700 234083 x 0.115

% =

769700 21919.55

% =

100 D Vn t

% = 35 anual de intereses simples.

37

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

PROBLEMAS

1.

Una letra se firmó por S/. 316,827 al 14% anual de intereses simples el 7 de mayo del 2005; a 120 días; cancelándose con un descuento de S/. 6,725. Qué día se canceló la letra.

2.

Una letra fue cancelada con un descuento de S/. 13,446; al 12% anual de intereses simples y el monto de la letra fue S/. 235,697 y vencía el 12 de junio del 2005, ¿qué día se canceló la letra y qué día vencía la letra? Una letra se canceló el 4 de junio del 2005 y vencía el 13 de agosto del mismo año. El monto de la letra fue 193615; siendo su descuento S/.2067. Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples.

3.

4.

Una letra se pagó el 12 de mayo del 2005 y vencía el 13 de agosto del mismo año, con un descuento de S/.2308; firmándose al 12% anual de intereses simples. Hallar el monto de la letra.

5.

Una letra se pagó con S/. 217,319 el 6 de julio del 2005 y vencía la letra el 13 de noviembre del mismo año, firmándose al 8% anual de intereses simples. Hallar el monto de la letra.

6.

Una compañía firmó tres letras el mismo día por S/. 472,520; los 2 1 de la letra al 12%; al 13% y el resto al 11% anual de intereses 5 5 simples. Las letras vencían el 13 de setiembre del 2005. El primero fue cancelado el 06 de junio del mismo año; el segundo el 20 de junio y el tercero el 03 de agosto. Hallar los descuentos totales.

7.

Una letra vencía el 12 de agosto del 2005 y fue cancelado con un descuento de S/. 12,724 y se canceló con S/. 316,827; firmada al 13% anual de intereses simples. Qué día se canceló la letra

8.

Hallar el monto por lo que se firmó una letra que vencía el 8 de del agosto del 2005; firmada al 9% anual de intereses simples y cancelada el 15 de julio del mismo año con un descuento de S/.4,980.

38

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

9.

Cuál fue el monto de una letra que vencía el 14 de diciembre del 2005; descontada al 16% anual de intereses simples; y pagada el 8 de noviembre del mismo año con un descuento de S/. 1,190.

10.

Una letra vencía el 14 de octubre del 2005, cancelándose el 4 de setiembre del mismo año con S/. 59,800; firmada al 9% anual de intereses simples.

11.

Una letra fue girada a 90 días el 2 de marzo del 2005 y se cancela el 12 de abril del mismo año con S/. 44,600; al 8% anual de intereses simples. Hallar el monto de la letra.

12.

el 10 de noviembre del 2004 se gira una letra, a 90 días, se cancela el 3 de diciembre, al 11% anual de intereses simples; se pagó con S/. 59,700. Hallar el monto de la letra.

13.

Una letra se canceló el 8 de julio del 2005, con S/. 115,790, que vencía el 13 de setiembre del mismo año con un descuento de S/. 5,680. Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples. Una letra se firma por S/. 4,000 a 120 días y se recibe S/. 3,808; al 12% anual de intereses simples si el vencimiento de la letra fue el 3 de noviembre del 2005. Qué día se pagó por la letra.

14.

15.

Qué tiempo faltaba para el vencimiento de una letra por S/. 11,400; que se negoció al 12% anual de intereses simples con un descuento de S/.1,008?

39

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

40

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

CAPÍTULO VI

PROGRESIONES ARITMÉTICAS 

Son un conjunto de números ordenados que se obtienen sumando un número constante que se denomina razón aritmética. Notación.- Toda progresión aritmética se representa:

÷ a, a 2 , a 3 ........ an Elementos: a1 :

primer elemento

an :

último elemento

r

razón

:

n :

número de elementos

S :

suma de elementos

Ej. r = 4 ÷ 3.7.11.15.19.23.23 ..... Propiedad fundamental.- En toda progresión aritmética, la suma de elementos equidistantes son iguales.

r = 5; ÷ 3 . 8 . 13 . 18 . 23 . 28 . 33

36 36 36

41

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

Hallar la suma de elementos:

Sea la progresión aritmética. ÷ a 1 , a 2 , a 3 ...................... a n-2 . a n-1 . an La suma será: S=

a 1 + a 2 + a3 +..................... + a n-2 + a n-1 + a n

S =

a n + a n-1 + a n-2 + ...................... + a3 + a 2 + a 1 (conmutando)

2S =

(a1 + a n ) + (a 2 + a n-1 ) + ……………………….. + (an + a1 )

2S =

(a1 + a n ) n con la propiedad fundamental

S =

(a1 + a n ) n 2

ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN

Son depósitos fijos e invariables que se depositan para formar un capital. Elementos: a)

Anualidad (a).- Es la suma de dinero que se deposita cierto tiempo para formar un capital.

b)

Capital total (S).- Es la suma de todas las anualidades y sus intereses.

c)

Tiempo (t). - Son los años, meses y días que se utilizan para formar el capital.

d)

Tanto por uno (i). - Es el interés por cada nuevo sol.

42

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

Anualidad

Tiempo

Tanto por uno

Intereses

Total

a

1

i

I 1 = ai

S 1 = a + ai

a

2

i

I 2 = 2ai

S 2 = a + 2ai

a

3

i

I 3 = 3ai

S 3 = a + 3ai

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

a

t

i

I n = ait

S n = a + ait

S = at +

(ai + ait ) t 2

S=

2at + ait (1 + t ) 2

S=

at [2 + i (t + 1)] 2

(en años)

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1.

Con un depósito anual de S/. 3648 qué capital se formará en 3 años, 4 meses, 15 días, al 12% anual de intereses simples. S=? a = S/. 3648 t = 3 a 4m, 15 ds = 3.375 años % = 12 anual i = 12: 100 = 0.12 S=

3648 x 3.375[2 + 0.12 (3.375 + 1) 2

S = S/. 15,543.9 2.

Con qué depósito anual se habrá formado un capital de S/. 27,568; durante 4 años 27 días, al 8% anual de intereses simples.

43

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

a=? S = S/. 27,568 t = 4a, 27 d = 4.075 años i = 0.18 anual

27568 =

a (4.075 ) [2 + 0.18 (4.07571)] 2

55136 = a (11.8725125) a = S/. 4,644 3.

Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples; por las que, un depósito anual de S/. 5,796 se convirtió en S/. 38,698 durante 3 años, 5 meses, 24 días. %= ? a = S/. 5,796 S = S/. 38,698 t = 3 a 5 m, 24 d. = 3.483

38698 =

5796 (3.483) [2 + i (4.483)] 2

77396 - 2 = 4.483 I 20187.468 3.834 – 2 = 4.483 i i = 0.41 41% anual de interés simple.

44

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

4.

Un depósito anual de S/. 4,596 se formó un capital de S/. 42,328; firmado al 12% anual de intereses simples. Hallar el tiempo. S = 42,328 4596 t [2 + 0.12 (t + 1)] 2

a = 4,596

42324 =

% = 12 Æ i = 0.12

84 648 = t [2 + 0.12 t + 0.12] 4 596

t=? 18.418 = 2.12 t + 0.12 t 2 a = 0.12 ; b = + 2.12 ; c = -18.418

X=

X=

X=

− 2.12 ±

4.4944 − 4 (0.12) (−18.418) 2 (0.12)

− 2.12 ±

4.4944 + 8.84064 2 (0.12)

− 2.12 ± 3.652 0.24

X 1 = 6.383 años.

CUANDO LOS DEPÓSITOS NO SON ANUALES (m)

La fórmula queda:

S=

amt [2 + i (mt + 1)] 2

45

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

donde se representa el número de depósitos. mensual

:

m=12

bimestral

:

m=16

trimestral

:

m=4 (un año tiene 4 trimestres)

1.

Qué suma de dinero se retirará con un depósito bimestral de S/.1,315; durante 3 años, 2 meses, 12 días, al 12% anual. S=? m = 6 meses a = S/. 1815 t = 3 a, 2m , 15 d = 3.208

S=

6 x 1815 x 3.208 [2 + 0.12 (6 x 3.208 + 1)] 2

S=

34935 . 12 x 4.42976 2

S = S/. 77,377.10 EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1.

Cuál será el capital formado con un depósito anual de S/.31,624; durante 3 años, 7 meses, 6 días; al 8% anual de intereses simples.

2.

Qué capital se habrá formado con un depósito trimestral de 4,215; durante 3 años, 9 meses; al 11% anual de intereses simples.

3.

Con qué depósito anual, se habrá formado un capital de S/. 397,124; durante 3 años, 18 días, al 13% anual de intereses simples.

4.

Con qué depósito mensual se habrá formado un capital de S/.816,324 durante 4 años, 5 meses; firmado al 14% anual de intereses simples.

46

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

5.

Cuál fue el tiempo con las que se formó un capital total de S/.2’646,328; con un depósito anual de S/. 315,826; firmado al 15% anual de intereses simples.

6.

Cuál fue el tiempo, en las que, con un depósito bimestral de S/.63,417 se formó un capital de S/. 1’623,314 firmado al 8% anual de intereses simples.

7.

Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples; con las que se formó un capital de S/. 915,639; mediante un depósito anual de S/.169,315 durante 5 años, 18 días.

8.

Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples; por lasque se formó un capital de S/. 916,314; con un depósito semestral de S/.112,318; durante 3 años, 3 meses.

ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN

Son depósitos fijos e invariables que se utilizan para cancelar un préstamo o un bien recibido. ELEMENTOS Anualidad (aa ).- Son los depósitos fijos e invariables que se utilizan para cancelar un préstamo o un bien recibido. Capital o monto recibido (CR).- Es el capital o bien recibido con todos sus intereses. Tiempo (t).- Son los años, meses y días utilizados para cancelar el capital o el bien recibido. Tanto por uno (i).- Es el interés porcada nuevo sol.

47

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

Secuencia de cancelación (m).- Cuando los depósitos se realizan no anualmente.

Anualidad

Tanto por uno

Tiempo

Intereses en favor del deudor

aa

i

t–1

ai (t – 1)

aa

I

t-2

ai (t – 2)

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

ac

0

0

a c (t)

0

0

S = a c (t) +

1.

0

[aci (t − 1) + 0 ] t 2

S=

2a c t + a c t (t − 1) 2

S=

a c t [ 2 + i (t − 1)] 2

Hallar el monto de un préstamo que se amortizó con un depósito anual de S/. 7656; durante 3 años, 7 meses, 15 días; firmado al 12% anual de intereses simples. a a = S/. 7656 S=?

S=

7656 (3.625) [2 + 0.12 (2.625)] 2

t = 3a, 7m, 15 ds = 3.625 % = 12

S = S/. 32,124.10

i = 0.12

48

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

2.

Con qué depósito anual se habrá cancelado un préstamo de S/.725,618 durante 4 años, 21 días, firmado al 11% anual de intereses simples. S = S/. 725,618 t = 4.058 años

S=

a c t [2 + i (t − 1)] 2

i = 0.11 aa = ?

725618 =

a c (4.058) [2 + 0.11 (3.058) 2

ac = 3.

1451236 9.481

Hallar el tiempo en la que se canceló un préstamo de S/.836,318; con un depósito anual de 108,714; firmado al 8% anual de intereses simples. t=? S = S/. 836,318 a = S/. 108,714 % = 8; i = 0.08

836,318 =

108714 t [2 + 0.08 (t − 1) ] 2

15.386 = 2t + 0.08t2 – 0.08t 0.08t 2 + 1.92 t – 15.386 = 0

t=

t=

− 1.92 ±

3.6864 + 4.9232 0.16

− 1.92 ± 2.9342 0.16

49

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

t=

1.0142 0.16

t = 6.33875 t = 6 años, 4 meses, 2 días 4.

Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples, por las que se canceló un préstamo de S/. 742,516 con un depósito anual de 109,516 durante 5 años, 9 meses, 18 días. %=? S = S/. 742516

S=

a c t [2 + i (t − 1) ] 2

a = S/. 109,516 t = 5 años, 9 meses, 18 días = 5.8 años

742516 =

109516 (5.8) [2 + i (4.8)] 2

2.338 = 2 + i (4.8) 0.338 = 4.8i i=

0.338 4.8

i = 0.07 x 100 % = 7 anual de intereses simples. Aclaración.- Si los depósitos no son anuales; se utiliza la variable m

mensual

:

m = 12

semestral

:

m=6

50

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

trimestral

:

m=4

bimestral

:

m=6

semanal

:

m = 52

diario

:

365

y la fórmula será:

S=

a c m t [2 + i (mt − 1)] 2

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1.

Con un depósito anual de S/. 237,896; qué préstamo se habrá cancelado, durante 4 años, 3 meses, firmado al 12% anual de intereses compuestos.

2.

Con qué depósito anual se habrá cancelado un préstamo de S/.416,315 durante 3 años, 24 días, firmado al 11% anual de intereses compuestos.

3.

En qué tiempo se habría cancelado un préstamo de S/. 216,328 con un depósito anual de S/. 76,560; firmado al 10% anual de intereses simples.

4.

Con un depósito anual de 79,567 se canceló un préstamo de 318,724 durante 3 años, 1 mes, 12 días. Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples.

5.

Con un depósito trimestral de S/.43,678 se canceló un préstamo de S/.596,758; durante 3 años, 18 días. Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples.

6.

Con qué depósito bimestral se habrá cancelado un préstamo de S/. 926,315; durante 2 años, 3 meses firmado al 8% anual de intereses simples.

51

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7.

Con un depósito semestral de S/.24,578 se canceló un préstamo de S/. 24,578 se canceló un préstamo de S/. 975,427; firmado al 11% anual de intereses simples. Hallar el tiempo.

8.

Hallar el tanto por ciento anual de interés simples; por las que se canceló un préstamo de S/. 875,614 con un depósito semestral de S/.86,528; durante 2 años, 7 meses, 15 días.

52

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CAPÍTULO VII

EXPRESIONES EXPONENCIALES 

Potencia de un número.- Es la operación que consiste en hallar un número, multiplicado por sí mismo, tantas veces por sí mismo como indica otro número llamado exponente.

an

=

a x a x a x a ......................... n veces

5

=

3 x 3 x 3 x 3 x 3 ……………… = 243

3

5 veces PROPIEDADES FUNDAMENTALES

1.

Todo número con exponente cero es igual a la unidad. a0 = 1 (a + bx) 0 = 1 an b0 cm = an c m

2.

Todo número con exponente uno (1) es igual al mismo número. a1 = a Nota: Si a una expresión o un número no se le indica exponente: es una.

3.

Todo número con exponente negativo es igual al inverso del número con exponente positivo. a -1 =

1 a

53

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

1 =a a −1 1

b ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = a ⎝b⎠ a 2x a3

a 2x-3 =

4.

Para multiplicar expresiones de la misma base, se suman los exponentes: a2 x a5 = a7 (a2x + 3 ) (a 3x 5 ) = a 5x + 8

5.

Para dividir expresiones de la misma base, se restan los exponentes: a 5 : a 2 = a 5-2 = a3 (a3x – 4 ) : (a x – 2 ) = a2x – 2 (ax – 6 ) : (a 2x – 8 ) = a 2 – x

6.

Para elevar a una potencia expresiones exponenciales, se multiplican el exponente por la potencia. (a2 ) 3 = a 6 (a2x-3 ) 5 = a 10x – 15 (ax-5 ) 3x = a 3x2 – 15x

7.

Para hallar la raíz de una expresión exponencial; se divide el exponente de la expresión entre el índice de la raíz a4 = a2 x

a 3x = a 3

3x

a 9x

2

− 6x

= a 3x−2

54

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

8.

Para ingresar una expresión en un radical, se multiplica, el exponente por el índice. a2

9.

2 =

a 2x

5 =

a 3x

ax

2a 4

5a 4 x =

2

a7x

En toda igualdad, si las bases son iguales; los exponentes son iguales. Si los exponentes son iguales, las bases son iguales.

DESARROLLO DE ECUACIONES EXPONENCIALES

1.

(ax ) x = (a 37 ) 3

11.

100 x 10 x =

2.

(ax ) x = (a 32 ) 2

12.

2 x+1 + 4x = 80

3.

(ax ) 3 = (a x ) x

13.

2 x + 4 x = 272

4.

(ax ) 7 = (a x ) x

14.

2 x+3 + 4x+1 = 320

5.

a x = (a b-x ) x

15.

3 x+2 + 9x+1 = 810

6.

(7

16.

2 x+3 – 1152 = -2x

7.

(106-x ) 5-x = 100

17.

4 x+1 + 43-x = 257

4 -x 5 – x

)

=1

x

1000 5

8.

x

a = ax

18.

16 x = 100 x 4 x-1

9.

x

a4 = ax

19.

2 2+x + 22-x = 17

10.

3x

a 27 = a x

20.

3 2x+3 – 32x+1 = 32x+2

55

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

21.

3 x + 3 x-1 + 3 x-2 + 3x-3 + 3 x-4 = 121

22.

3 x - 3 x − 2 = 216

23.

3 x +1 + 3 4 x − 1 = 10 3x + 3

24.

(

3

2x

3

)

x

=

2

4

56

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CAPÍTULO VIII

LOGARITMOS 

DEFINICIÓN

Se denomina, logaritmo de un número al EXPONENTE a la que se debe elevar a un número llamado base, para encontrar el número dado (la base debe ser positiva y diferente del número uno). a n = c; log c = n TIPOS DE LOGARITMOS

Los tipos de logaritmos, dependen de la base. En consecuencia, existen infinidad de tipos de logaritmos. Sin embargo, dos matemáticos calcularon sus logaritmos. 1.

Logaritmos naturales o Neperianos cuya base es el número e 1 1 1 e = 1+ + + .............. = 2.71828183 n! 1! 2!

2.

Logaritmos vulgares o de Briggs, cuya base es el número diez y = 10x Æ log y = x ; se conoce que diez es la base 10 representándose: x = log y Consecuentemente: y = ex Æ Ln e y = x

57

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

Representándose

x = Lny

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1.

En todo sistema logarítmico de la base es uno (1) y el logaritmo de la unidad es cero (0).

2.

Los logaritmos de los números mayores que la unidad son positivos, y al crecer indefinidamente el número, crece indefinidamente el logaritmo.

3.

Los logaritmos de los números menores que la unidad son negativos; el número al aproximarse a cero (0) se aproxima el logaritmo a menos infinito (-∞).

4.

Los números negativos carecen de logaritmo real. Tienen logaritmo imaginario.

5.

El logaritmo de un producto es igual: a la suma de sus logaritmos log (a x b) = log a + log b Ln (a x b) = Lna + Lnb

6.

El logaritmo de un cociente es igual: al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor ⎛a⎞ Log ⎜ ⎟ = log a − log b ⎝b⎠ ⎛a⎞ Ln ⎜ ⎟ = Ln a − Ln b ⎝b⎠

7.

El logaritmo de una potencia, es igual: a la logaritmo de la base Log a x = x log a Ln ax = x Ln a

58

potencia por el

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8.

El logaritmo de una raíz es igual: al logaritmo de la expresión subradial, dividido entre el índice de la raíz.

Log Ln

n

n

a =

a =

log a n

Ln a n

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

1.

logx = log24 – log 8

2.

3 2log x = log192 + log 4

3.

logx = 3log18 – 4log12

4.

5 logx = log288 + 3log

5.

x2 + y2 = 425

11. logx – log5 = log10 logx3 + logy2 = log32 12. 53x-2y = 3125 116x-7y = 14641 3 13. logx + logy = 2 1 logx – logy = 2 x y 14. 3 x 4 = 3981312

x 2

logx + logy = 2 6.

x4 + y4 = 641

2y x 5x = 400000

2logx + 2logy = 2 7.

15.

logx + logy = 3 5x2 – 3y2 = 11300

8.

log x - log

5 = 0.5

3logx + 2logy = 1.505150 9.

2logy – logx = 0,124939 log3 + 2logx + logy = 1,732393

10. x + y = 65 logx + logy = 3

59

x+ y =2 (x + y) x 3x = 279936 x

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60

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CAPÍTULO IX

INTERÉS COMPUESTO  Estudia la ganancia o la pérdida de los capitales prestados o depositados de tal modo que los intereses se capitalizan y ganan o pierden nuevos intereses. ELEMENTOS 1.

CAPITAL INICIAL (C) es la suma de dinero que se deposita para formar un capital.

2.

CAPITAL TOTAL (S) es igual al capital inicial, más sus intereses.

3.

TIEMPO (t) son los años, meses o días que permanecen los capitales: invertidos, prestados o depositados.

4.

TANTO POR UNO (i).- Es el interés por cada nuevo sol.

5.

TANTO POR CIENTO (%).- Es el interés por cada cien soles.

DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA 1. Recordemos el interés simple: C %t C I ; I = = 100 %t 100 I=Cit Capital

Tiempo

C C (1+i) C (1+i)2 . . .

1 1 1

Tanto por uno i

i i

Interés

Total

I1 = Ci I2 = C (1+i) i I3 = C (1+i)2 i

C + Ci C(1+i) i + C (1+I) i C(1+i)2 + C (1+I)3

S = C (1 + i)t Todos los ejercicios se desarrollan por logaritmos.

61

en años

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EJERCICIOS RESUELTOS

1.

Con un depósito inicial de S/. 407,624 qué capital se habrá formado durante 4 años, 7 meses, 6 días; firmados al 12% anual de intereses compuestos: S=? C = S/. 407,624 S = C (1 + i)t t = 4 a 7 meses, 6 días = 4.6 % = 12; i = 0.12 Los S = log407624 + 4.6 log 1.12 Log 407624 = 5.610259746 4.6 log 1.12 = 0.2264029043 5.8366626503 S = S/. 686534.95

2.

Con qué depósito inicial, se habrá formado una capital de S/. 836,548; durante 3 años, 27 días, firmado al 14% anual de intereses compuestos. C=? S = 836548 S = C (1 + i)t t = 3 años, 27 días = 3.074 % = 14 anual; i = 0.14 836548 = C (1.14)3.074 log836548 = log C + 3.074 log 1.14 log 836548 = 5.922490865 1.14 log 3.074 = 0.174925513 5.747515352 C = S/. 559,133.29

3.

Con qué tanto por ciento se habrá convertido un capital S/.346,596 en S/.506,493; durante 4 años, 9 meses. %=? C = S/. 346,596 S = S/. 506,493 t = 4 años, 9 meses = 4.75 log 506493 = log346596 + 4.75 log (1+i) log 506493 = 5.704573448 –

62

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log 346596 = 5.539823506 0.164749942: 4.75 log (1+I) = 0.034668419832 1 + i = 1.0831 i = 0.0831 8.31% anual de intereses compuestos. 4.

Hallar el tiempo en la que, un depósito inicial de S/.439,568, se convirtió en S/. 712,154; firmado al 14% anual de intereses compuestos. t =? C = S/. 439,568 S = C (1 + i)t S = S/. 712,154 % = 14; i = 0.14 712,154 = 439,568 (1.14)t log712154 = log439568 + t log 1.14 log712154 = 5.852573918 – log439568 = 5.643026069 0.209547849 log 1.14 = 0.056904851 t = 3.682 t = 3 años, 8 meses, 6 días

CAPITALIZACIÓN NO ANUAL (m) Se multiplica el tiempo de debido sistema de capitalización y se divide entre el mismo, el tanto por ciento anual. Mensual = 12 veces al año. Bimestral = 6 veces al año. Trimestral = 4 veces al año. Semestral = 2 veces al año. 1 ⎞ mt ⎛ S = C ⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝

63

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EJERCICIOS RESUELTOS

1)

Con un depósito inicial de S/. 639,513; en cuánto se convertirá; durante 4 años, 6 meses, 15 días; capitalizándose mensualmente al 8% anual de intereses compuestos. C= S/. 639,513 S= ? t= 4 años, 6 meses = 4.5 %= 8 anual; i = 0.08 m= 12 veces 1 ⎞ mt ⎛ S= C ⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝ S= 639513 (1.006666667) 12 x 4.5 LogS = log639513 + 54log 1.006666667 Log639513 = 5.805849377 + 54log 1.00666666 = 0.155827173 5.961676550 S = S/. 915,558.37

2)

Hallar el depósito inicial por las que, se formó un capital de S/.747,596; durante 3 años, 2 meses, 18 días; firmado al 12% anual de intereses compuestos; capitalizándose semestralmente 1 ⎞ mt ⎛ S = C ⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝ S = S/. 747,596 t = 3 años, 2 meses, 18 días = 3.217 años i 0.12 % = 12; = = 0.06 m 2 mt = 3.217 x 2 = 6.434 log747596 = logC + 6.434log 1.06 log747596 = 5.873666969 – 6.436log 1.06 = 0.162868548 5.710798421 C = S/. 513,805.11

64

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

3)

En qué tiempo un capital inicial de S/. 416,715; se convirtió en S/. 698,560 capitalizándose trimestralmente, al 15% anual de intereses compuestos. S = S/. 698,560 1 ⎞ mt ⎛ C = S/. 416,715 S = C ⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝ m = 4 veces 0.15 % = 15 Æ m = 4 log698560 = log416715 + 4t log(1.0375) log698560 = 5.844203714 log416715 = 5.619839134 0.224364580 t = 0.224364580 . 0.063952422 t = 3.508 t = 3 años, 6 meses, 3 días

4)

Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos de un capital de 325,937; que se convirtió en S/. 572,624 en 3 años 15; capitalizándose semestralmente. % = ? 1 ⎞ mt ⎛ C = S/. 325,937 S = C ⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝ S = S/. 572,624 t = 3 años, 15 días = 3.042 m = semestralmente: 2 veces 1 ⎞ mt i i ⎛ = S = C ⎜1 + ⎟ m⎠ m 2 ⎝ i ⎞ 2 x 3.042 ⎛ 572 624 = 325 937 ⎜1 + ⎟ 2⎠ ⎝ i⎞ ⎛ log572624 = log325937 + 6.083log ⎜1 + ⎟ 2⎠ ⎝

65

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

5.757869546 - 5.513133664

i⎞ ⎛ = log ⎜1 + ⎟ 2⎠ ⎝

6.083 i⎞ ⎛ 0.04023276048 = log ⎜1 + ⎟ 2⎠ ⎝ 1 1.097066012 = 1 + 2 0.097066012 x 2 = i i = 0.1941 Æ 19.41% EJERCICIOS PARA DESARROLLAR

1. 2. 3.

4.

5.

6.

7.

8.

Con qué depósito inicial se formó un capital de S/. 915,624; durante 3 años, 4 meses, 15 días; al 14% anual de intereses compuestos. Con un depósito inicial de S/. 596,315; qué capital se formará durante 4 años, 3 meses; firmado al 12% anual de intereses compuestos. Con un depósito inicial de S/. 426,539 se formó un capital de S/.714,216 firmado al 13% anual de intereses compuestos. Hallar el tiempo. Con un depósito inicial de S/. 538,916 se formó un capital de S/.796,741 firmado al 6% anual de intereses compuestos. Hallar el tiempo. Con un depósito inicial de S/.639,586 se formó un capital de S/.815,742; durante 2 años, 4 meses, 18 días. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos. Un capital inicial de S/. 236,899; en cuánto se convertirá; durante 4 años, 1 mes, 18 días; firmado al 12% anual de intereses compuestos; capitalizándose mensualmente. Cuál fue el capital inicial para retirar S/. 939,512; luego de 3 años, 24 días; capitalizándose bimestralmente al 13% anual de intereses compuestos. Un capital inicial de S/. 594,615 se convirtió en S/. 916,943; capitalizándose semestralmente; firmado al 8% anual de intereses compuestos. Hallar el tiempo.

66

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

Un capital inicial de S/. 624,398 se convirtió en S/.879,618 durante 3 años, 4 meses, 12 días; capitalizándose bimestralmente. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos. Con qué depósito inicial, se formó un capital de S/. 975,314; durante 2 años, 7 meses, 24 días, capitalizándose mensualmente al 12% anual de intereses compuestos. Con un depósito inicial de S/. 794,563 se formó un capital de S/.996,618; capitalizándose semestralmente y firmado al 15% anual de intereses compuestos. Hallar el tiempo. Un capital inicial de S/. 534,217 se convirtió en S/. 934,715; capitalizándose trimestralmente durante 3 años, 9 meses, 27 días. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos. Cuál fue el monto retirado, luego de 3 años, 4 meses, 27 días; capitalizándose mensualmente; al 8% anual de intereses compuestos y, con un capital inicial de S/. 389,568. Con qué depósito inicial, luego de 4 años, 3 meses, 18 días; se retiró un monto de S/. 917,724; al 9% anual de intereses compuestos, capitalizándose bimestralmente. Cuál fue el tanto por ciento anual de intereses compuestos; para que, un depósito inicial de S/. 517,324; se convierta en S/. 935,314 durante 4 años, 3 meses, 12 días, capitalizándose trimestralmente. Durante 3 años, 6 meses, 3 días un capital inicial de S/. 416,715; se convirtió S/. 698,560; firmado al 15% anual de intereses compuestos. Hallar el período de capitalización. Hallar el período de capitalización por la que, un capital inicial de S/.513,805; se convierta en S/. 747,596; durante 3 años, 2 meses, 18 días; al 12% anual de intereses compuestos. Un depósito inicial de S/.: 628,578 se convirtió en S/. 975,814; luego de 3 años, 6 meses, 21 días, capitalizando semestralmente. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos. Un capital inicial de S/. 316,824 aumentó en un 50% durante 4 años, 3 meses, 24 días; capitalizándose mensualmente. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos.

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20. Un depósito inicial de S/. 416,318 se incrementó en un 40% luego de 3 años, 27 días; capitalizándose mensualmente.- Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos.

68

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

CAPÍTULO X

DESCUENTO COMPUESTO  Se denomina así, cuando el valor actual se convierte en valor nominal, cada cierto tiempo de descuento. ELEMENTOS 1. VALOR NOMINAL (Vn).- Es la suma de dinero que fija la letra; como consecuencia del dinero prestado o el valor recibido. 2. DESCUENTO (D).- Es el interés del valor nominal en el tiempo que fija la letra y el día de cancelación. 3. VALOR ACTUAL (Va).- Es la suma de dinero que se cancela al retirar la letra. En algunos casos se realiza la cancelación secuencialmente (diario, quincenal, mensual, trimestral, semestral, etc). 4. TIEMPO (t).- Se utiliza desde el día de cancelación hasta el vencimiento de la letra. 5. TANTO POR CIENTO (%).- Es el interés por cada cien soles. % 6. TANTO POR UNO (i).- Es el interés por cada nuevo sol. i = 100 DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA

Recuerde:

Vn – Va = D Vn D = 100 %t

;

D=

Vn % t 100

D = Vn i t

69

; i =

% 100

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

Valor Nominal

Vn Vn (1 - i) Vn (1 - i) 2

Tanto por uno i

i i

Vr = Vn (1 - i) t

Tiempo

1 1 1

Descuento

D1 = Vni D2 = Vn (1-I)i D3 = Vn (1-I)2 i

Valor Actual

Vn – Vni Vn(1-i) – Vn(1-i) i Vn(1-i) 2 – Vn(1-i) 2 i

descuento anual

Todos los ejercicios se realizan con logaritmos.

PROBLEMAS Y EJERCICIOS 1. Una letra fue firmada por S/. 126,572; al 16% anual de intereses compuestos; y fue cancelada 48 días antes de su vencimiento. Cuánto se canceló por la letra. Vn = S/. 126,572 i = 0.16 Va = Vn (1-i) t t = 48 días = 0.133 Va = ? Va = 126572 (0.84) 0.133

Log Va = Log126572 + 0.133 log 0.84 Log Va = 5.102337643 - 0.01007085495 Log Va = 5.092266788 Va = S/. 123670.69 2.

Por qué suma de dinero se firmó una letra, que fue cancelada con S/.253,796 65 días antes de su vencimiento y firmado al 15% anual de intereses compuestos. Vn = ? Va = S/. 253796 Va = Vn [1 – i]t t = 65 = 0.181 i = 0.15 253796 = Vn (1 – 0.15)0.181

70

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

3.

log 253796 = logVn + 0.181 log0.85 5.404484773 – 0.181 log 0.85 = LogVn 5.404484773 + 0.01277517445 = LogVn Log Vn = 5.417259947 Vn = S/. 261,372.53 Una letra se firmó por S/. 387,915 y se canceló con 379,108; firmado al 16% anual de intereses compuestos. ¿Cuántos días antes de su vencimiento fue cancelado? Vn = S/. 387,915 Va = S/. 379,108 Va = Vn (1- i) t i = 0.16 t=? log379108 = log387915 + t log 0.84 t = 5.578762949 - 5.588736573 -0.07572071394 t= - 0.009973624 - 0.07572071394 t = 0.132 x 365 t = 48 días antes de su vencimiento.

4.

Una letra fue firmada por S/. 383,724 y cancelada en S/. 315,247, 8 días antes de su vencimiento. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos. Vn = S/. 383,724 Va = Vn (1 – i) t Va = S/. 315,247 t = 58 días; t = 0.159 %=? log 315247 = log 383724 + 0.157 log (1-i) 5.498650962 - 5.584018963 0.157

= log (1 – I)

71

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- 0.085368001 = log (1 – i) 0.157 - 0.5437452293 = log (1 – i) 0.2859267387 = 1 – i + 0.7140732613 = t i 71.4 % 5.

Una letra fue firmada el 13 de febrero del 2005; a 120 días; y fue cancelada el 23 de mayo del mismo año con S/. 316,826; firmada al 14% anual de intereses compuestos. Por cuánto se firmó la letra. Va = S/. 316,826 Vn = ? % = 14; i = 0.14 t = 21 Æ t = 0.05753424658 Vn = Vn (1 – i) t Log316826 = logVn + 0.058 log 0.86 5.500820814 + 0.003799089828 = logVn 5.504619904 = logVn Vn = S/. 319,609.67

6.

Febrero 15 Marzo Abril Mayo

31 30 23 99 120 99 21

Una letra fue firmada el 13 de marzo del 2005 y se canceló el 17 de julio del mismo año con S/. 416,724; el descuento fue de S/. 85,698; firmado al 15% anual de intereses compuestos. Cuándo vencía la letra y cuál fue el plazo de cancelación. Va = S/. 416,724 Vn = S/. 502,422 % = 15; i = 0.15 t= ? log416724 = log502422 + t log 0.85 5.619848513 - 5.701068648 = t -0.07058107429

72

Va = Vn (1 – i) t Marzo Abril Mayo Junio Julio

18 30 31 30 17 126

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- 0.081220135 = t - 0.07058107429

Julio Agosto 30 Setiembre Octubre 31 Noviembre Diciembre Enero

t = 1.15 x 365 t = 420 días + 126 días t = 546 días de plazo vencía el 15 de enero del 2007.

14 30 30 31 31 197

CUANDO EL DESCUENTO NO ES ANUAL (m) Mensual m = 12 Bimestral m=6 Trimestral m=4 Semestral m=2 1 ⎞ mt ⎛ Va = Vn ⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝

CUANDO EL DESCUENTO NO ES ANUAL

1.

Una letra fue firmada por S/. 274,865 al 12% anual de intereses compuestos, descontándose mensualmente; y, pagada 56 días antes de su vencimiento. Con cuánto se pagó la letra. Va = ? 1 ⎞ mt ⎛ Vn = S/. 274,865 Va = Vn ⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝ % = 12 ; i = 0.12 m = 12 t = 56 días = 0.153 0.12 ⎞12 x 0.153 ⎛ log Va = log274865 + log ⎜1 − ⎟ 12 ⎠ ⎝ Log Va = 5.439119442 + log (1 – 0.1) 1.836 Log Va = 5.439119442 – 0.008013782719 Va = S/. 269,839.58

73

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2.

Por qué suma de dinero se firmó una letra, cancelada con S/. 397,542; 2 meses, 5 días antes de su vencimiento y firmada al 14% anual de intereses compuestos, descontada bimestralmente. Vn = ? 1 ⎞ mt ⎛ Va = S/. 397,542 Va = Vn ⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝ t = 2m – 5 ds = 65 días = 0.178 % = 14 ; i = 0.14 m=6 0.14 ⎞ 6 x 0.178 ⎛ 3975 42 = Vn ⎜1 − ⎟ 6 ⎠ ⎝ log397542 = LogVn + 1.068 log 0.97667 5.599383048 = logVn – 0.01094929848 log Vn = 5.610332317 Vn = S/. 407,692.12

3.

Una letra firmada por S/. 563,798 descontada bimestralmente se canceló con S/. 512,897; firmada al 14% anual de intereses compuestos. Si se canceló el 12 de julio del 2005. Qué día vencía la letra? Vn = 563798 1 ⎞ mt ⎛ Va = 512,898 Va = Vn ⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝ % = 14; i = 0.14 t=? m=6 Log512898 = Log563798 + 6t log 0.976666 5.710031006 = 5.751123531 - 0.0615218061 t t= - 0.041092525 - 0.615218061 t = 0.668 x 365 t = 244 días antes de vencimiento vencía el 13 de mayo del 2006.

74

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4.

Una letra firmada por S/. 538,963; se canceló con 498,563 el 13 de junio del 2005 y vencía el 17 de octubre del mismo año; descontándose trimestralmente. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos. Vn = S/. 538,963 Va = S/. 498,563 1 ⎞ mt ⎛ m=4 Va = Vn ⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝ t = 126 días = 0.345 %=? 1 ⎞ mt ⎛ log 498563 = log538963 + 1.38 log ⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝ 1 ⎞ mt ⎛ 5.697720045 – 5.731558952 = log Vn ⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝ 1.38 i⎞ ⎛ -0.0245209471 = log ⎜1 − ⎟ 4⎠ ⎝ 0.9451 = 1 -

i 4

i = 1 – 0.9451 4 i = 0.0549 4 i = 0.2196 21.96%

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Una letra se firmó por S/. 427,816 al 15% anual de intereses compuestos y se canceló 68 días antes de su vencimiento. Hallar el costo que se pagó. 2. Una letra se canceló con 715,823 82 días antes de su vencimiento, firmado al 12% anual de intereses compuestos. Hallar el monto de la letra. 3. En una letra de cambio se consignó S/. 793,417; firmando al 14% anual de intereses compuestos y se pagó con S/. 764,929. Hallar el día de vencimiento, si se canceló el 13 de julio del 2005. 4. Una letra vencía el 7 de setiembre del 2005 y se canceló el 12 de junio del mismo año, con S/. 674,715. Si el monto de la letra fue S/. 715,628. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos. 5. Una letra fue descontada mensualmente y se pagó con S/.618,965; 58 días antes de su vencimiento, firmado al 15% anual de intereses compuestos. Cuál fue el monto de la letra. 6. Una letra fue firmada por S/. 936,715 para ser descontada bimestralmente y fue pagada 68 días antes de su vencimiento al 16% anual de intereses compuestos. Hallar con qué suma de dinero se canceló la letra. 7. Cuánto tiempo antes de su vencimiento se canceló una letra por S/.975,824; con S/. 926,348; firmada al 15% anual de intereses compuestos; descontada trimestralmente. 8. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos, por las que, una letra firmada por S/. 697,829 se canceló con S/.635,978; 62 días antes de su vencimiento y descontada semestralmente. 9. El 23 de abril del 2005 se firmó una letra a 180 días, por S/.629,315 y se canceló con S/. 607,827; descontada mensualmente y firmada al 14% anual de intereses compuestos. Hallar qué día se pagó la letra. 10. El 15 de julio del 2005 se canceló una letra firmada por S/.607,915 y la letra vencía el 14 de noviembre del mismo año; descontándose bimestralmente al 16% anual de intereses compuestos. Hallar el valor actual de la letra.

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MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

Una letra vencía el 7 de diciembre del 2005 y fue cancelada con S/.915,715; habiéndose firmado por 928,835 al 16% anual de intereses compuestos, descontándose trimestralmente. Qué día se canceló la letra. El 15 de agosto del 2005 se canceló una letra con S/. 938,575; firmado al 14% anual de intereses compuestos y descontada semestralmente; si el descuento fue de S/. 3,569. Qué día vencía la letra. Una letra vencía el 15 de agosto del 2005; y se canceló con S/.745,396 hecho el descuento de S/.3,646; descontada trimestralmente y firmada al 12% anual de intereses compuestos. Qué día se canceló la letra. Una letra se firmó por S/. 974,869 el 13 de julio del 2005 y vencía el 3 de noviembre del mismo año; firmada al 12% anual de intereses compuestos. Se fue descontada trimestralmente; cuál fue el descuento de la letra. Una letra tuvo un descuento de S/. 5,680; cancelada 65 días antes de su vencimiento y descontada semestralmente; firmada al 15% anual de intereses compuestos. Hallar el monto de la letra. El 16 de mayo del 2005 se firmó una letra por S/. 986,715; descontándose mensualmente; teniendo un descuento de S/. 36,290 y firmado al 14% anual de intereses compuestos. Si la letra tenía 240 días de plazo para cancelar. Qué día fue pagada? Al 12% anual de intereses compuestos se firmó una letra el 13 de abril del 2005; descontándose bimestralmente y tuvo un descuento de S/.3,845 de un monto por S/. 987,825. Si la letra tenía un plazo de 250 días para ser cancelada. Qué día se pagó y cuándo vencía?. Hecho el descuento de S/. 1,865 se canceló una letra con S/.497,785; 65 días antes de su vencimiento. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos. Una letra fue firmada el 13 de mayo del 2005; a 240 días por S/.839,680; se canceló con un descuento de S/.1,380; firmada al 12% anual de intereses compuestos y descontado bimestralmente. Qué día se canceló la letra?

77

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

20.

Una letra se firmó por S/. 825,416 y fue cancelada el 14 de junio del 2005; con un descuento de S/. 3,568 descontada mensualmente y firmada al 14% anual de intereses compuestos. En qué fecha vencía la letra?.

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CAPÍTULO XI

PROGRESIONES ARITMÉTICAS  Son conjuntos de números ordenados que se obtienen multiplicando un número constante llamado razón geométrica. NOTACIÓN.- Toda progresión geométrica se representa:

÷ : a 1 : a 2 : a3 : ..................... a n Elementos: a1 an q n S

: : : : :

Primer término. último término. razón. número de elementos. suma de elementos.

SUMA DE ELEMENTOS

Sea la progresión geométrica. ÷÷ a1 : a2 : a3 : : : : : : : : : : : an La suma será: 1) S = a 1 + a 2 + a3 + ………………….. a4 multiplicando por la razón. a) Sq = a 1 q + a 2 q + a 3 q + :::::::::::::::: + a n q - S = - a 1 - a2 - a 3 …………………. - an ___________________________________________ Sq – S = -a1 + an q S (q – 1) = a n q - a 1 S = an q – a1 q–1

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ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES Son depósitos de dinero e invariables que se utilizan para formar un capital, o cancelar un préstamo o un valor recibido; a intereses compuestos.

Cuando se forma un capital, se denomina: Anualidades de capitalización . Cuando se cancela un capital prestado o se cancela un bien recibido, se denomina: Anualidades de amortización. ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN

Son depósitos fijos e invariables de dinero que se utilizan para formar un capital, a intereses compuestos. Elementos: 1.

Anualidad (a) es el depósito fijo e invariable que se utiliza para formar un capital.

2.

Capital Total (S) es la suma de dinero que corresponde a todas las anualidades más sus intereses compuestos.

3.

Tiempo son los años, meses o días que se utilizan para formar el capital.

4.

Tanto por uno (i) es el interés por cada nuevo sol.

DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA Anualidad

Tiempo

a1 a2 a3 . . a

t t-1 t-2 . . 1

Tanto por uno i

i i . . i

80

Capital con intereses

S 1 = a 1 (1 + i) t S 2 = a 2 (1 + i) t-1 S 3 = a 3 (1 + i) t-1 . . S n = a (1 + i)

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

S = anq – a1 q–1

S =

suma de elementos de una progresión geométrica

a (1 + i ) t (1 + i ) − a (1 + i ) 1+ i −1

; S =

mt ⎤ i ⎞ ⎡⎛ i ⎞ ⎛ am ⎜1 + ⎟ ⎢⎜1 + ⎟ − 1⎥ m ⎠ ⎢⎣⎝ m⎠ ⎝ ⎥⎦ S = i

a (1 + i )(1 + i ) t − 1 en años i

en: meses, bimestres, trimestres, etc.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1.

Con un depósito anual de S/. 172,569 qué Capital se habrá formado, durante 4 años, 3 meses, 18 días, firmado al 12% anual de intereses compuestos. a = S/. 172,569 t = 4 a 3 m 18 ds. = 4.3 años S = a (1+i) [ (1+i) t – 1 ] i = 0.12 i S= ? S = 172569 (1.12) [ (1.12) 4.3 – 1] 0.12 S = 172569 (1.12) (0.628) 0.12 logS = log 172569 + log 1.12 + log 0.628 – log 0.12 log 172569 = 5.236962782 log 1.12 = 0.04921802267 log 0.628 = - 0.2020403563 log 0.12 = +0.920818754 log S = 6.004959202 S = S/. 1’011,484.43

81

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

2.

Hallar el depósito anual con la que se formó un capital de S/.978,624 durante 3 años 24 días; firmado al 15% anual de intereses compuestos a=? 15% anual de intereses compuestos. a=? S = S/. 978,624 S = a (1+i) [ (1 + i)t – 1] t = 3 a 24 ds; t = 3.066 i i = 0.15 log978624 = log a + log 1.15 + log 0.535 – log 0.15 5.990615862 – 0.06069784035 + 0.271646218 - 0.8239087409 = log4 a = S/. 238,591.79

3.

Con un depósito anual de S/. 196,578 se formó un capital de 875,698 durante 3 años, 2 meses , 24 días. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos. a = S/. 196,578 S = S/. 875,698 3 + 3i + i 2 t = 3 a 2m 24 ds. 1+i t = 3.233 3 + 3i + i 2 %=? 3i + 3i 2 + i 3 3 + 6i + 4i 2 + i 3 875698 = 196578 (1+i) [ (1+i)3 – 1] i 875698 = 196578

(1 + i) [ 1+ 3i + 3i 2 + i 3 – 1] i

4.46 = (1 + i) (3i + 3i 2 + i 3 ) −6 ±

i

36 − 4(4) (1 − 1.46)

i 4.46 = (1 + i) (3 + 3i + i 2 ) 2 4.46 = 3 + 6i + 4i 2 + i 3 i 3 + 4i 2 + 6i – 1.46 = 0 Rta. 22.05%

82

8 i = -6 ± 7.7 8 i = 0.22 Æ 22%

=

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4.

Con un depósito anual de S/.215,678 se formó un capital de S/.915,638; firmado al 12% anual de intereses compuestos. Hallar el tiempo. S = S/. 915,638 a = S/. 215,678 % = 12; i = 0.12 t=?

915,638 = 215,678 (1.12) [ (1.12) t – 1] 0.12 log 915638 = log215678 + log 1.12 + log [1.12 t - 1] – log 0.12

5.961723808 – 5.333805848 – 0.04921802267 + 0.920818754 + log [1.12t – 1] log [1.12 t – 1] = 1.5 1.12 t – 1 = 1 .12 t = 2.5 5.

t = log2.5 ; t = 0.3979400087 log1.2 0.07918124605 t = 5.027 Æ t = 5 años, 10 días

Con un depósito mensual de S/.15,680; qué capital se habrá formado durante 4 años, 6 meses; al 14% anual de intereses compuestos. ⎤ ⎡ ⎛ m + i ⎞ mt a (m + i) ⎢ ⎜ ⎟ − 1⎥ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ m ⎠ S= i S = 15680 (12.14) [ 1.01254 – 1 ] 0.14 log S = log15680 + log 12.14 + log 0.90435 – log 0.14 log S = 4.195346058 + 1.084218687 – 0.04366345708 + 0.8538719643 log S = 6.089773252

S = S/. 1’229,626.61

83

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

6.

7.

Con qué depósito bimestral se formó un capital de S/. 913,564 durante 4 años, 3 meses, 12 días, firmado al 14% anual de intereses compuestos. 913564 = a (6.14) [ (0.706) 25.7 – 1] 0.14 log 913564 – log 6.14 – log 0.809005 + log 0.14 = log a 5.960738977 – 0.7881683711 + 0.09204879 – 0.8538719643= loga a = S/. 26,150.16 Durante qué tiempo un capital de S/.938,642; se formó con un depósito trimestral de S/.43,560; firmado al 12% anual de intereses compuestos. 938,642 =

43560 (4.12) 0.12 log938642 + log 0.12 – log 43560 - log 4.12 = log [1.03 4t – 1] - 0.202303858 = log [1.03 4t – 1] 0.628 = 1.03 4t – 1 log 1.628 = 4t log 1.03 t=

8.

t = 4 años, 1 mes 14 días

0.2116544006 = 4.122 0.05134889882

Con un depósito mensual de S/. 48,596; se formó un capital de S/.516,398 durante 3 años, 8 meses, 15 días. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos, 3 ⎤ ⎡⎛ 1⎞ (2 + i ) ⎢⎜1 + ⎟ − 1⎥ 2⎠ ⎥⎦ ⎣⎢⎝ 10.626 = i

t = 7.417

⎡ 8 + 12i + 6i 2 + i 3 − 8 ⎤ (2 + i) ⎢ ⎥ 8 ⎣ ⎦ 10.626 = i 85.008 = (2 + i) (12 + 6i + i 2 )

12 + 6i + i 2 2+ i

85.008 = i 3 + 8i 2 + 24i + 24

84

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

24 + 12i + 2i 2 12i + 6i 2 + i 3 24 + 24i + 8i 2 + i 3 3 7.4

=

164 x

i 3 + 8i 2 + 24i – 61.008 = 0 i=

-24 ± 50.28 16 i = 1.6426 164%

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1.

2.

Hallar el capital que se ha formado con un depósito anual de S/.183,612; durante: 4 años, 1 mes, 6 días; firmado al 14% anual de intereses compuestos. Con qué depósito anual se formó un capital de S/. 2’649,815; durante 5 años, 6 meses, 12 días, al 11% anual de intereses compuestos.

3.

Cuál fue el tiempo necesario para formar un capital de S/.915,745; con un depósito anual de S/. 196,745; al 15% anual de intereses compuestos.

4.

Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos; por las que un depósito anual de S/. 217,319; formó un capital de S/. 915,319 durante 3 años, 2 meses, 15 días.

5.

Con un depósito mensual de S/. 36,729 qué capital se había formado; durante 3 años, 9 meses; al 11% anual de intereses compuestos.

6.

Con qué depósito bimestral, se formó un capital de S/.915,217 durante 3 años, 9 meses; al 12% anual de intereses compuestos.

7.

Con un depósito trimestral de S/: 96,508 se formó un capital de S/.1’315,207 al 14% anual de intereses compuestos. Hallar el tiempo.

8.

Con un depósito semestral de S/. 96,540 se formó un capital de S/:987,518 durante 3 años, 7 meses, 12 días. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos.

9.

Con un depósito mensual de S/. 7,856 qué capital se habrá formado durante 3 años, 18 días; al 7.4% semestral de intereses compuestos.

85

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

10.

Con qué depósito bimestral se habría formado un capital de S/:915,836 durante 4 años, 9 meses; al 0.75% mensual de intereses compuestos.

11.

En qué tiempo se habrá formado un capital de S/. 981,615; con un depósito quincenal de S/. 2,697; al 2.7% bimestral de intereses compuestos.

12.

Hallar el tanto por ciento quincenal de intereses compuestos; para formar un capital de S/. 1’398,408; con un depósito mensual de 18,397: durante 3 años, 18 días.

13.

Qué capital se habrá formado, con un depósito quincenal de S/.1,748 durante 3 años, 4 meses, 9 días; al 1.6% mensual de intereses compuestos.

14.

Con qué depósito trimestral se formó un capital de S/. 2’468,985 durante 4 años, 7 meses, 15 días; firmado al 2.3% trimestral de intereses compuestos. Hallar el tanto por ciento bimestral de intereses compuestos; por las que, un depósito trimestral de S/. 28,645 formó un capital de S/.813,585; durante 3 años, 6 meses.

15.

16.

En cuánto tiempo un depósito semestral de S/.54,615; formó un capital de S/: 624,506, firmado al 0.85% mensual de intereses compuestos.

17.

Un depósito trimestral de S/: 15,876; formó un capital de S/. 358,715 al 1.05 por ciento bimestral de intereses compuestos. Hallar el tiempo.

18.

Hallar el capital formado por un depósito mensual de S/. 7,685; durante 4 años, 21 días; firmado al 4.7% semestral de intereses compuestos.

19.

Con qué depósito trimestral se habrá formado un capital de S/.816,507 durante 3 años, 18 días; al 4.05% semestral de intereses compuestos.

20.

Hallar el tiempo necesario para formar un capital de S/: 979,307; con un depósito bimestral de S/. 69,587; firmado al 0.75% mensual de intereses compuestos.

86

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

CAPÍTULO XII

ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN  Son depósitos fijos e invariables que se utilizan para cancelar un capital o un bien recibido. ELEMENTOS 1.

Anualidad (a).- Es la suma de dinero fijo e invariable que se utiliza para cancelar el capital o bien recibido.

2.

Capital inicial (C).- Es la suma de dinero o bien recibido, sin intereses.

3.

Capital total (s).- Es la suma de dinero con sus intereses compuestos a cancelarse mediante anualidades.

4.

Tanto por uno (i). - Es el interés por cada nuevo sol.

5.

Tanto por ciento (%).- Es el interés por cada cien soles.

6.

Tiempo (t). - Son los días, meses o años; necesarios para cancelar el capital.

t-1

Tanto por uno i

S 1 = a (1 + i) t-1

a

t–2

i

S 2 = a (1 + i) t-2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

_

_

Anualidad

Tiempo

a

S = anq - a q–1

87

Capital con intereses

Sn = a

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

S = a (1+i) t-1 (1 + i) – a (1 + i) – 1

S=

a [ (1+i) t – 1] i en años

Para hallar el capital inicial S = c (1 + i) t

C = a[ (1 + i)t – 1 ] i (1+i) t en años

Cuando los depósitos no son anuales mt ⎡⎛ ⎤ i ⎞ am ⎢⎜1 + ⎟ − 1⎥ m⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ S = i

;

C =

mt ⎡⎛ ⎤ i ⎞ am ⎢⎜1 + ⎟ − 1⎥ m⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦

i ⎞ ⎛ i ⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝

(m)

mt

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1.

Qué capital prestado se habrá cancelado con un depósito anual de S/.138,564; durante 3 años, 4 meses, 6 días; con el 14% anual de intereses compuestos. S=? a = S/. 138,564 S = a [ (1 + i) t – 1 ] t = 3 a 4 m, 6 ds. i t = 3.14 % = 14; i = 0.14 S = 138564 [ (1 + 0.14) 3.14 – 1] 0.14 log S = log 138564 + log 0.508972181 – log 0.14 log S = 5.702237785 S = S/. 503,776.36

2.

Con qué depósito anual se canceló un préstamo de S/.975,818; durante 4 años, 18 días, al 12% anual de intereses compuestos.

88

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

a=? S = 975818 t = 4 a 18 ds. = 4.05

S=

a [ (1 + i) t – 1 ] i

% = 12 i = 0.12 log975818 = log a + log [1.12 4.05 – 1] – log 0.12 log a = log975818 + log 0.582460913 + 0.920818754 log a = 5.989368825 - 0.2347332134 – 0.920818754 log = 4.833816858 a = S/. 68,205 3.

En qué tiempo fue cancelado un préstamo de S/. 584,673; con un depósito anual de S/. 79,645; al 14% anual de intereses compuestos. t=? S = S/. 584,673 S = a [ (1 + i) t – 1 ] a = S/. 79,645 i % = 14; i = 0.14 log 584673 = log 79645 + log [1.14 t – 1] – log 0.14 5.766913039 – 4.901158517 – 0.8538719643 = log [1.14 t – 1] 0.0118825577 = log [1.14t – 1] 1.027738339 = 1.14 t - 1 2.027738339 = 1.14 t t =

t =

log 2.027738339 log 1.14

0.3070119126 0.0560485134

t = 5.478 t = 5 años, 5 meses, 22 días.

89

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

4.

Cuál fue el tanto por ciento anual de intereses compuestos por las que se canceló un préstamo de S/. 715,648 con un depósito anual de S/.93,516 en 4 años, 9 meses, 27 días. %=? S = S/. 715,648 a = S/. 93,516 t = 4 años, 9 meses, 27 días t = 4.825 715648 = 93516

a [ (1 + i) t – 1 ] i

(1 + i) 3 - 1 i

1 + 3i + 3i 2 + i 3 - 1 i

7.653 =

7.653 =

S=

i (3 + 3i + i 2 ) i

i 2 + 3i + 3 – 7.653 = 0 i 2 + 3i + – 4.653 = 0

i =

i =

i =

−3 ±

9 − 4 (−4.653) 2

−3 ±

9.612 2

- 3 ± 3.100322564 2 3

i =

0.100322564 2

4.825

90

5.02 x

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

i = 0.05016

i r = 8.07%

Rta: 5.02% anual de intereses compuestos en 3 años. Hallar el capital inicial sin intereses

C=

5.

a [ (1 + i) t - 1] i (1+i) t

Con un depósito anual de S/. 46,578 qué capital inicial se habrá cancelado durante 3 años, 8 meses, 12 días, firmado al 14% anual de intereses compuestos. a = S/. 46,578 C=? C = a [ (1 + i) t – 1] t = 3 a 8 m, 12 ds; t = 3.7 i (1 + i) t % = 14 i = 0.14 C = 46578 [ (1.14) 3.7 - 1 0.14 (1.14) 3.7 log C = log 46578 + log 0.623857628 – log 0.14 - 1.623857629 log C = 4.668180837 – 0.2049145097 + 0.8538719643 - 0.21054795 log C = 5.106590342 C = S/. 127,817.51

6.

Con qué depósito anual se canceló el precio de una vivienda, cuyo costo sin interés fue de S/. 87,615; durante 4 años, 9 meses al 15% anual de intereses compuestos. 87615 = a [1.15 4.75 – 1] 0.15 (1.15) 4.75 log 87615 = log a + log 0.942292985 – log 0.15 – log 1.942292985 4.942578465 + 0.02581404202 - 0.8239087409 + 0.2883147416

91

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

= log a = 4.432798508 a = S/. 27,089.35 7.

En qué tiempo un capital inicial sin intereses por S/.86,519; se canceló con un depósito anual por S/. 27,615; firmado al 16% anual de intereses compuestos. 86519 = 27615 [ (1 + 0.16) t – 1] 0.16 (1 + 0.16) t log 86519 = 4.441145048 - 0.7958800173 ⎡1.16 t − 1⎤ -0.2999135743 = log ⎢ ⎥ t ⎣ 1.16 ⎦ ⎡1.16 t − 1⎤ 0.5013 = ⎢ ⎥ t ⎣ 1.16 ⎦ -0.5013 x 1.16 t + 1.16 t = +1 1.16 t (1 – 0.5013) = 1 0.4987 x 1.16 t = 1 log 0.4987 + t log 1.16 = log 1 t = -log 0.4987 log 1.16

t = 0.3021606318 0.0644798923 t = 4.686 t = 4 años, 8 meses, 7 días. 8.

Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos, por las que, un préstamo inicial sin intereses por S/. 216,349 se canceló con un depósito anual de S/. 73,628; durante 4 años, 2 meses, 6 días. (t = 4.073) 216349 = 73628 [ (1 + i) – 1 ] i (1 + i)

92

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

2.938 i (1 + 3i + 3i 2 + i 3 ) = 1 + 3i + 3i 2 + i 3 – 1 2.938 (1 + 3i + 3i 2 + i 3 ) = 3 + 3i + i 2 2.938 + 8.814 i + 8.814 i2 + 2.938i 3 – 3 – 3i – i 2 = 0 2.938i 3 + 7.814i 2 + 5.814i – 0.062 = 0 i 3 + 2.66i 2 + 1.98i – 0.02 = 0

i =

i=

− 1.98 ±

3.9204 + 0.2128 5.32

− 1.98 ± 2.03 5.32

3 4.073

i = 0.009967 i = 0.01

x = 1.38%

Cuando los depósitos no son anuales (m)

Mensual Semestral Bimestral Trimestral

m m m m

= = = =

12 2 6 44

mt ⎡⎛ ⎤ i ⎞ a ⎢⎜1 + ⎟ − 1⎥ m⎠ ⎥⎦ ⎣⎢⎝ S= i m

⎡⎛ m + i ⎞ mt ⎤ am ⎢⎜ ⎟ − 1⎥ ⎥⎦ ⎣⎢⎝ m ⎠ S= i

93

1 x

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

9.

Qué capital con intereses se habrá cancelado con un depósito mensual de S/.3,564; durante 4 años, 27 días firmado al 12% anual de intereses compuestos. ⎡⎛ 12.12 ⎞ 48.9 ⎤ − 1⎥ 3564 x 12 ⎢⎜ ⎟ ⎥⎦ ⎣⎢⎝ 12 ⎠ S = 0.12

Log S = log 3564 + log 12 + log 0.626728884 – log 0.12 Log S = 5.349017406 S = S/. 223,366.17 10.

Hallar el depósito bimestral, con la que se canceló S/.497,568, con intereses, durante 3 años, 4 meses, 15 días firmado al 16% anual de intereses compuestos. ⎡⎛ 6.16 ⎞ 20.25 ⎤ − 1⎥ 6a ⎢⎜ ⎟ ⎣⎢⎝ 6 ⎠ ⎦⎥ 497,568 = 0.16 Log 497568 + log 0.16 = log 6 + log a + log 0.704

4.275248515 = log a 11.

a = S/. 18,847.27 Con un depósito trimestral de S/. 24,579; se canceló un préstamo total de S/. 539,786; firmado al 14% anual de intereses compuestos. Hallar el tiempo: 539,786 = 24579 x 4 [1.0354t - 1] 0.14 Log 539,786 + log 0.14 – log 24579 – log 4 = log (1.035 4t – 1) -0.1142745488 = log (1.035 4t – 1) 0.769 = 1.0354t - 1 1.769 = 1.0354t

94

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

t =

log 1.769 . 4 log 1.035

t = 0.2477278329 0.05976139917 t = 4.145 t = 4 años, 1 mes, 22 días. 12.

Con un depósito trimestral de S/. 24,579 se canceló un préstamo sin intereses por S/. 539,786; firmado al 15% anual de i.e. Hallar el tiempo de intereses compuestos.

C =

⎡ ⎛ i + m ⎞ mt ⎤ am ⎢ ⎜ ⎟ − 1⎥ ⎢⎣ ⎝ m ⎠ ⎥⎦

539786 =

⎛i + m⎞ i⎜ ⎟ ⎝ m ⎠

mt

24579 x 4 [ (1.035) 4t – 1] 0.15 (1.035) 4t

log 539786 + log 0.15 – log 24579 – log 4 ⎡1.035 4t − 1⎤ = log ⎢ ⎥ 4t ⎣ 1.035 ⎦ ⎡1.035 4t − 1⎤ - 0.08431132544 = log ⎢ ⎥ 4t ⎣ 1.035 ⎦ 47 0.8235475405406 = 1.035 – 1

0.824 (1.035 4t ) = 1.035 4t – 1 0.176 (1.035 4t ) = 1 log 0.176 + log 1.035 4t = log1 log 0.176 + 4t log 1.035 = log 1 - 0.754 + 4t (0.0149) = 0

95

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

t=

0.754 . 0.0596

t = 12.651 t = 12 años, 7 meses, 24 días. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PARA RESOLVER

1.

Cuál fue el capital total con intereses cancelados con un depósito anual de S/. 65,725; durante 4 años, 5 meses, 12 días; firmado al 16% anual de intereses compuestos.

2.

Con qué depósito anual, se canceló un préstamo con intereses por S/. 649,315 durante 4 años, 15 días; firmado al 18% anual de intereses compuestos.

3.

Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos en la cancelación de un préstamo por S/. 628,530 con un depósito anual de S/. 104,315 durante 4 años, 3 meses.

4.

En qué tiempo un capital total de S/. 564,398 había sido con un depósito anual de S/. 75,349; firmado al 12% anual de intereses compuestos.

5.

Con un depósito anual de S/. 46,318 qué préstamo total (con intereses) había sido cancelado en 5 años, 1 mes, 12 días, al 15% anual de intereses compuestos.

6.

Hallar el depósito bimestral con la que se canceló un préstamo de S/. 726,827 durante 4 años, 9 meses, 27 días; firmado al 12% anual de intereses compuestos.

7.

Con un depósito trimestral de S/. 42,725 se canceló un préstamo con intereses por S/. 975,629; firmado al 14% anual de intereses compuestos. Hallar el tiempo.

8.

Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos por las que se canceló un préstamo con intereses por: S/. 842,324 con un depósito semestral por S/. 75,248 durante 4 años, 3 meses, 9 días.

96

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

9.

Hallar el capital inicial (sin intereses) de un préstamo que se canceló con un depósito de S/. 46,724 anuales durante 4 años, 6 meses, 12 días, firmado al 12% anual de intereses compuestos.

10.

Hallar el depósito anual, que se utilizó para cancelar un préstamo sin intereses por S/. 434,715 durante 3 años, 7 meses, 18 días; firmado al 11% anual de intereses compuestos.

11.

En qué tiempo se canceló un préstamo sin intereses por S/. 434,565; con un depósito anual de S/. 86,534; al 12% anual de intereses compuestos.

12.

Con qué tanto por ciento anual de intereses compuestos se canceló un préstamo sin intereses por S/. 549,348; con un depósito anual de 86,528 durante 3 años.

13.

Qué capital inicial (c) se habrá cancelado con un depósito mensual de S/. 18,642; durante 3 años, 4 meses, 6 días; firmado al 13% anual de intereses compuestos.

14.

Hallar el tiempo en las que se canceló un préstamo sin intereses (c) por S/. 617,819 con un depósito semestral de 78,948; firmado al 13% anual de intereses compuestos.

15.

Hallar el depósito trimestral de cancelación para hacer efectivo un préstamo inicial (c) sin intereses por S/. 816,328; durante 3 años, 2 meses, 6 días; firmado al 14% anual de intereses compuestos.

16.

Cuál fue el tanto por ciento anual de intereses compuestos, por las que se canceló un préstamo de S/. 914,718 con un depósito trimestral de S/. 78,157: durante 3 años.

17.

Un capital de S/. 984,546 se canceló con un depósito semestral de S/. 95,380 durante 4 años, 3 meses, 6 días. Hallar el tanto por ciento mensual de intereses compuestos.

18.

Hallar el tiempo por las que, un préstamo total de S/. 1’684,976; se canceló con un depósito mensual de S/. 108,564; firmado al 3.42% trimestral de intereses compuestos.

97

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

19.

Hallar el depósito semestral con las que se canceló un préstamo con intereses por S/. 1’348,516 durante 4 años, 12 días, firmado al 15% anual de intereses compuestos.

20.

Con un depósito de S/. 93,689 se canceló un préstamo con intereses por S/. 1’789,320; durante 5 años, 3 meses, 18 días. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos.

AMORTIZACIONES A PLAZOS DIFERIDOS (d)

Son cuando, no se pueden cancelar una o más cuotas en la fecha correspondiente. 1.

Para amortizaciones que se realizan en fechas posteriores a las vencidas entonces tenemos: S=

a (1 + i) t – 1 i

se cancelarán los plazos diferidos (d) S (1 + i) d =

[a (1 + i) t – 1] i

despejando se tiene S = a [ (1 + i) t - 1 ] i (1 + i) d

anual

Para el Capital inicial, sin intereses C =

a [ (1+i) t – 1] i (1+i) t (1+i) d

anual

98

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

2.

Hallar el capital total de un préstamo, cancelada con un depósito anual de S/. 108,560 durante 4 años, 3 meses, 21 días; al 16% anual de intereses compuestos; con dos plazos diferidos. S=? a = 108,500 S = a [ (1+i) t – 1 ] t = 4 a 3m, 21 días = 4.308 i (1+i)2 i = 0.16 d=2 S = 108500 [ (1.16)4.308 – 1 ] (normal) 0.16 log S = log 108,500 + log 0.895 – log 0.16 log S = 5.783132791 S = S/. 606,920.48 Capital normal. S = 108,500 [ (1.16) 4.308 – 1 ] 0.16 (1.16) 2 log S = 108,500 x 0.895 0.16 x 1.3456 log S = 5.654216812 S = 451,041.82 a plazo diferido.

3.

Hallar la anualidad necesaria para cancelar un préstamo con interese S/. 747,315 (S) durante 5 años, 3 meses; firmado al 12% anual de intereses compuestos con 3 plazos diferidos. S = a [ (1+i) t – 1 ] i (1 + i) d t = 5.25 747,315 =

a [ (1.12) 5.25 – 1 ] 0.12 (1.12) 3

99

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

log 743715 + log 0.12 + log 1.12 - log 0.813 = log a log a = 5.091812423 a = S/. 123,541.37 4.

Hallar el capital (c) cancelado con un depósito anual de S/. 86,568; durante 5 años, 2 meses, 12 días, firmado al 13% anual de intereses compuestos; con 2 depósitos diferidos. C = a [ (1+i) t – 1 ] i (1+i) t (1+i) d C = 86568 [1.13 5.2 – 1] 0.13 (1.13)5.2 (1.13) 2 log C = log 86568 + log 0.888 – log 0.13 - log 1.888 – log

1.2769 log C = 5.389668121 C = S/. 245,290.77 PROBLEMAS Y EJERCICIOS

1.

Qué préstamo con intereses se habrá cancelado con un depósito de S/.148,696; durante 6 años, 18 días, firmado al 13% anual de intereses compuestos, y 2 depósitos diferidos.

2.

Con qué depósito anual se habrá cancelado un préstamo de S/.548,963 durante 3 años, 8 meses, 12 días; firmado al 14% anual de intereses compuestos y 2 plazos diferidos.

3.

Qué capital inicial (c) sin intereses; se canceló con un depósito anual de S/. 83,647; durante 3 años, 4 meses, 21 días; firmado al 12% anual de intereses compuestos y 1 plazo diferido.

4.

Con qué depósito anual, se cancelará un préstamo de S/.639,896; durante 4 años, 5 meses, 9 días; firmado al 14% anual de intereses compuestos y 1 plazo diferido.

100

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

5.

Con qué depósito bimestral se cancelará un préstamo de S/.917,348 hará un préstamo de S/.917,348 durante 3 años, 9 meses; al 15% anual de intereses compuestos y 4 depósitos diferidos.

6.

Cuál fue el préstamo inicial sin intereses (c) cancelada con depósitos mensuales de S/.7,548 durante 4 años, 18 días; firmado al 14% anual de intereses compuestos y 5 plazos diferidos.

AMORTIZACIONES A PLAZOS ADELANTOS(S) Se tiene la fórmula de la amortización:

a [ (1 + i) t − 1] S= i Si los plazos son adelantos será: S (1 + i) a

a [ (1 + i) t − 1 ] i

=

despejando: Capital total con intereses:

S=

Capital total sin intereses:

C=

a (1 + i) a [ (1 + i) t − 1 ] i

a (1 + i) a [ (1 + i) t − 1 ] i (1 + i) t

PROBLEMAS Y EJERCICIOS

1.

Qué préstamo total con intereses se habrá cancelado con un depósito anual de S/. 76,260 durante 3 años, 9 meses, 12 días; firmado al 11% anual de intereses compuestos y 2 plazos adelantados.

S=

a (1 + i) a [ (1 + i) t − 1 ] i

101

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

76260 x 1.112 [ 1.113.783 − 1] 0.11 Log S = log76260 + log 1.2321 + log 0.484 – log 011 Log S = 5.616360185 S = 413,390.21 S=

2.

Con qué depósito anual se habrá cancelado un préstamo de S/.836,963 durante 4 años, 3 meses, 18 días; firmado al 13% anual de intereses compuestos; con 2 cuotas adelantadas.

S=

a (1 + i) a [ (1 + i) t − 1 ] i

Log 836963 = log a + log 1.2769 Log 0.691 - log 0.13 Log a = 5.922706259–0.106156887+0.1605219526–0.8860566477 Æ a = S/. 123,314.65 Log a = 5.091014677 3.

Con un depósito anual de S/. 32,564 se canceló un préstamo total de S/. 315,429; firmados al 12% anual de intereses compuestos y 3 cuotas adelantadas. Hallar el tiempo.

S=

a (1 + i) a [ (1 + i) t − 1 ] i

315429 =

32564 (1.12) 3 [ 1.12 t − 1] 0.12

Log315429 + Log 0.12 = Log 32564 + Log 1.405 + Log [1.12t – 1] 5.498901619 – 0.920818754 = 4.512737746 + 0.1476763242 + log [1.12 t – 1] – 0.0823312052 = Log [1.12t – 1] 0.8273109924 = 1.12t –1

102

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD

1.8273109924 = 1.12t

t=

log 1.8273109924 log 1.12

t=

0.2618124667 0.04921802267

t = 5.319443011 t = 5 años, 3 meses, 25 días. 4.

Con un depósito anual de S/. 87,574 qué préstamo se cancelará, durante 4 años, 3 meses, 18 días, firmados al 12% anual de intereses compuestos; con 2 cuotas adelantadas.

5.

Con un depósito trimestral de S/. 43,720; qué préstamo se cancelará, durante 2 años, 6 meses, 12 días; firmados al 11% anual de intereses compuestos; con 3 cuotas adelantadas.

6.

Con qué depósito bimestral se cancelará un préstamo de S/.536,815 durante 4 años, 12 días, firmados al 14% anual de intereses compuestos y 4 cuotas adelantadas.

7.

En qué tiempo se cancelará un préstamo de S/. 714,965 con un depósito bimestral de S/. 43,796; firmado al 13% anual de intereses compuestos y 2 cuotas adelantadas.

8.

Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos, que se utilizaron para cancelar un préstamo de S/. 547,963; con depósitos trimestrales de S/. 65,672; durante 2 años, 3 meses, 12 días y 3 plazos diferidos.

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CAPÍTULO XIV

OPERACIONES DE BOLSA  CONCEPTO DE BOLSA Se designa como bolsa el lugar donde los capitalistas, intermediarios y comerciantes se reúnen para tratar sus negocios, consiguientemente las personas que asisten con el propósito de participar en estas reuniones.

El economista PIROU, define: “El local donde los profesionales se reúnen periódicamente para vender o comprar ciertos valores o mercancías. Es un mercado donde se confrontan ofertas y demandas. En bolsa no se puede negociar más de las cosas fingibles, es decir que la transacción se hace no sobre un objeto que tenga una individualidad sino, sobre un tipo.

a)

b)

Las bolsas se diferencian, por varias causas: Bolsas de mercado.- Son aquellas en las que se realizan operaciones referentes o productos agrícolas y materias primas. Por su difusión pueden ser: Centrales, donde se negocian la mayor parte de productos locales. En las bolsas locales, se limitan a productos locales, las bolsas de valor. Bolsas de valor.- Se refiere a que las operaciones efectuadas conciernen a valores mobiliarios como las rentas, obligaciones, etc.

LAS OPERACIONES DE BOLSA

Son ventas y compras efectuadas con la intervención de profesionales, siguiendo ciertas formalidades que orienta la bolsa en valores tomadas en género y no en especie. El papel económico de la bolsa se aprecia en diferentes formas: unos distinguen el aspecto de juego que encierran las operaciones a plazos y son las que se atacan con fuerza. Otros insisten en las utilidades al contado, corrigiendo las irregularidades que se pueden presentar.

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Las operaciones de oferta y demanda son muy respetados en la bolsa, más que, en cualquier sitio. En los mercados de bolsa se presentan cuatro rasgos: La intercambiabilidad de mercancía y valores; • • La concentración de ofertas y demandas; • La publicidad; • La intercomunicación entre diferentes mercados nacionales e internacionales. Las bolsas de valor tienen como papel establecer una especie de índice sobre el dinero que disponen los capitalistas y los especuladores. Se convierten en la gran reserva colectora de capitales de ahorro a favor del Estado. Tienen importancia en el valor monetario, pueden restringir (HICKS) y pueden incrementar (Keynes). Jorge Llobera en su libro Banca y Bolsa dice que la misión social de la Bolsa es fijar y dar a conocer el justo precio de las cosas objeto de un contrato en un momento y lugar dado, consistiendo su particularidad en ser un mercado hipersensible y de efecto reflejo. Las operaciones de Bolsa deben ser reflejo de la realidad económica, siendo la cotización el justo precio. La Bolsa debe efectuar y actuar como una absoluta y decidida imparcialidad no pudiendo el agente operar por cuenta propia. Según el Código de Comercio las materias, objeto de contratación en Bolsa son los siguientes: Los valores y efecto públicos. • • Los valores industriales y mercantiles emitidos por particulares o por sociedades o empresas legalmente constituidas. Las letras de cambio, pagarés, y otros valores mercantiles. • • La venta de metales preciosos.

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• • •

Las mercaderías de todas clases y resguardos de depósito. Los seguros de efectos comerciales contra riesgos terrestres o marítimos. Los fletes y transportes.

Cualesquiera otras operaciones análogas a las expresadas en los números anteriores con tal de que sean lícitas conforme a las leyes. Las características del sistema bursátil estatal son: Bolsa establecida por el Estado. • • Mediador nombrado por el Estado con carácter de funcionario público. Privilegio de intervención a favor del mediador oficial en las • operaciones en valores cotizados oficialmente. Unidad de contratación y liquidación. • • Las operaciones no intervenidas para mediador no son operaciones de Bolsa. Desconocimiento de la existencia del mercado libre. • LOS CORREDORES DE BOLSA Estos intervienen en todas las operaciones y contratos de Bolsa a excepción de los que tengan por objeto la negociación y transferencia de valores y efectos públicos cotizados. Por otra parte también pueden realizar operaciones de bolsa los corredores intérpretes, marítimos (de buques) siempre que su intervención se refiera a contratos de fletamientos, préstamos a la gruesa, liquidación de averías, etc. BOLSA DE COMERCIO Etimológicamente procede del latín bursa y del griego byrsa. Se emplea la palabra bolsa en 4 sentidos: para expresar el edificio o lugar, el conjunto de operaciones de un día determinado, el estado de las operaciones bursátiles y la institución de la Bolsa.

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Clases.- Las Bolsas de Comercio pueden ser oficiales y libres según estén establecidas o autorizadas por el gobierno o establecida por sociedades particulares. BOLSA NEGRA Una situación de mercado negro es anormal en cuanto que supone en principio un encarecimiento del mercado con un consiguiente control sobre la oferta o la demanda por parte de las autoridades y una actividad al margen de la legalidad para escapar a tal control y obtener beneficios extraordinarios.

En la Bolsa de un país insuficientemente desarrollado pueden darse dos opiniones: una partidaria de su implantación en cualquier etapa con objeto de instar a la creación de compañías y al interés del público por sus inversiones. VALORES DEL ESTADO Cuando el Estado por medio de la Bolsa coloca en el mercado una cierta cantidad de valores puede ésta perjudicar a las emisiones de valores de las empresas privadas, dificultándolas en su provecho. BOLSA DE VALORES Es el edificio donde se reúnen periódicamente los agentes de cambio y Bolsa con el fin de llevar a cabo las operaciones bursátiles que les son encomendadas.

Las compras y ventas de valores son realizados por los agentes que operan desde el parquet a ellos reservado. Los agentes están por lo general auxiliados por sus empleados o apoderados, si bien éstos no tienen acceso al parquet. El acceso a las bolsas de valores es libre para el público, el cual puede ordenar compras y ventas durante el curso de la contratación.

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CLASES DE OPERACIONES DE BOLSA En la Bolsa se enfrentan compradores y vendedores con la finalidad de efectuar transacciones en valor mobiliarios de forma principal. En principio se ofrecen títulos – valores y se demanda dinero. Una forma especial de pago es la que deriva de la utilización del crédito. 1.

Operaciones en firme Son aquellas en que tanto comprador como vendedor se obligan a liquidar en tiempo y forma determinados, mediante entrega de los correspondientes títulos y su contrapartida monetaria.

El crédito puede utilizarse por: Sólo el comprador: es general la utilización del crédito a favor a) de la persona que adquiere un bien duradero, con la garantía de ese mismo bien. Esta práctica ha hecho posible expansionar enormemente el consumo en países de alto nivel de vida. b) Al comprador y vendedor simultáneamente: no se conduce crédito, sólo aplazamiento simultáneo en las respectivas liquidaciones, sus efectos son similares a los del crédito, puesto que permite presentarse y operar en el mercado sin tener que dar dinero o tener papel dentro de ciertos límites. 2.

Operaciones liquidación especial Estas operaciones se liquidan no en forma normal, sino con una particularidad que pueda afectar: A la fecha en la que ha de liquidarse la operación dentro de un a) plazo dado. b) Si se pacta la libertad de cumplir o no el contrato de compra venta o cumplirlo en formas diversas se tiene un grupo de operaciones de diversa índole. Si no se liquida la operación entregando los respectivos totales c) se tiene un exponen especulativo elevado al máximo.

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3.

Operaciones de contado Consisten en el cambio inmediato de un valor metálico o título representativo de su precio o cotización.

De los conceptos legales de las operaciones al contado que se han expuesto se pueden deducir las principales características que la definen: Son operaciones puras, puesto que deberán consumarse en el a) mismo día de su celebración o a lo más en el término fatal con que nacen. b) Son operaciones exigibles y de ejecución inmediata. CLASIFICACIÓN DE LAS BOLSAS EN GENERAL (ÓRDENES) Las más corrientes son: A.

Por el modo de recepción: pueden ser.a) Verbales son órdenes normales entre agentes y clientes, operando en el propio recinto de la Bolsa. Telefónicas - es una sub-especie de orden verbal, puede dar b) lugar a errores, el problema se complica si no es el propio interesado quien da la orden, sino una tercera persona. Por escrito –puede ser por medio de la carta- es un c) procedimiento idóneo y tiene la ventaja de que sirve en todo momento como medio de prueba. Por medio del telegrama tiene la ventaja de la rapidez pero se mira con prevención la correspondencia telegráfica debido a sui falta de autenticidad.

B.

Por el modo o forma de ejecución: pueden ser.Por lo mejor o al mejor cambio – el verdadero sentido de a) estas órdenes es que se hagan al precio normal del mercado, al buen juicio del agente. Con límite.- significa que el cambio fijado es máximo para b) comprar y mínimo si se trata de una venta. Con estas órdenes el cliente trata de comprar o vender sólo si el mercado llega a los precios considerados por él convenientes.

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c)

d)

e)

f)

C.

A cambio aproximado o alrededor.- la orden de este tipo tiende a dar mayor flexibilidad al agente, al disponer a operar. A cambio convenido.- este tipo de cambio es el que se origina en operaciones de cierta envergadura que por su propia importancia se salen del tráfico normal de las bolsas. Ordenes legadas.- consiste en dos operaciones de naturaleza inversa y se consideran ligadas entre sí, es decir, se vende si previamente se compró. O la inversa se compra si previamente se vendió. Las operaciones son solidarios. Ordenes Stop.- éstas órdenes se utilizan para limitar los riesgos de una compra o venta de carácter especulativo, es en efecto una orden límite.

Por el tiempo de vigencia de la orden.- las órdenes de compra o venta en el mercado de contado pueden ser valederas por una sesión determinada, para varios y de no señalarse cualquiera de los anteriores plazos, hasta el fin del mes en curso.

LA ESPECULACIÓN EN LA BOLSA

Especulación significa –contemplación, meditación, inteligencia, labor intelectual o estudio teórico de una cosa cualquiera, comercialmente significa en el cálculo de ganancia fundada en la diferencia de precio entre el momento de la compra y de la venta. Es conexa al comercio. La especulación en las Bolsas de valores es un fenómeno de profunda significación y raigambre en la vida económica. Keynes se ocupa del fenómeno de especulación en una forma amplia. En un mercado organizado: dice las expectativas juegan un importante papel como impulsadores de la actividad económica.

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Cuando los rendimientos previstos se miran favorablemente, los precios de los valores tienden a ser altos y cuando los precios previstos se miran desfavorablemente, los precios de los valores tienden a bajar. APLICACIÓN DE TÍTULOS

Se conoce en la técnica bursátil con el nombre de aplicación, el contrato de bolsa que realiza un agente en el que concurren dos órdenes inversas de operar, una de compra y otra de venta, y da cumplimiento a ambas sin necesidad de recurrir a otro agente. Esta forma de operar mediante concentración en una sola persona de dos voluntades distintas, es lo que constituye en términos genéricos el autocontrato que cuando es referido al caso de la comisión, aparece como una institución especial denominada auto-entrada, éstos requieren la concurrencia de estos tres requisitos: • • •

Existencia de dos patrimonios diferentes. Un comisionista con poder de disposición sobre ambos patrimonios Que utilizando este poder de disposición, los ponga efectivamente en relación contractual.

SUBASTAS BURSÁTILES

La venta de valores en pública subasta, es un procedimiento para conseguir el precio justo en la venta de nuevas emisiones, gracias al concurso público de sus compradores con ventajas para los pequeños capitalistas, que por el procedimiento usual están sujetos a prorrateos, mientras que los acaudalados consiguen sus propósitos pidiendo mayores cantidades que las deseadas. Pueden solicitar estas operaciones el estado los organismos autónomos, las entidades oficiales, las corporaciones, las sociedades y cualesquiera otras personas capaz para contratar, podrán utilizar los servicios de las juntas sindicales para realizar la colocación de sus emisiones y la cesión de las letras y pagarés. Estas operaciones la han de efectuar a través de la junta

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sindical, y ni ésta ni el colegio de agentes de cambio y Bolsa podrá garantizar la colocación o venta de los títulos ni la cesión de las letras o pagarés. VENTA DE TÍTULOS O VALORES POR ORDEN JUDICIAL Y EN EJECUCIÓN DE GARANTÍAS

En aquellas de venta de valores, de títulos se efectúan con intervención de un agente de Bolsa, se ajustarán a las normas siguientes: a)

b)

Si se trata de títulos – valores admitidos a cotización oficial la venta se efectuará necesariamente al cambio que figure cotizado oficialmente el día en que se realizan. Si se trata de valores no admitidos a cotización oficial, la venta se efectuará en el local de la Bolsa y el agente encargado de la misma cuidará de publicar el anuncio correspondiente en el boletín de cotización oficial, con 15 días al menos de antelación a la fecha en que deben efectuarse, reiterándole el día anterior, para conocimiento general.

OPERACIONES A PLAZO

El plazo es considerado por muchos como el alma y quinta esencia de un mercado activo, hasta tal punto que la supresión de la de esta clase de operaciones pueda limitar grandemente el desarrollo de aquel mercado financiero. El mercado de contado implica una limitación, es necesario disponer de efectivo para la compra o de papel para la venta. CLASES DE OPERACIONES A PLAZO a)

En firme.- son aquellas en que comprador y vendedor quedan definitivamente obligados y por lo tanto el plazo fijado para su vencimiento y las condiciones del contrato, son inalterables, liquidándose la operación en la fecha convenida.

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Operaciones en firme son desde luego las del contado y las del plazo que define como tales el reglamento. Como variedad principal de éstas operaciones aparece la doble. b)

Condicionales. - son aquellas en que una de las partes se reserva el derecho de modificar algunas de sus condiciones, mediante el pago de una compensación de acuerdo con su naturaleza. Puede ser: Con opción.- en que el comprador o vendedor, mediante • diferencia de cambio cotizado para el mismo valor a plazo en firme, adquiere el derecho de exigir la entrega o la recepción de una cantidad de valores de la misma clase, igual o múltiple de número a los que son objeto de la operación inicial. Con prima. - el tomador de la prima puede abandonar el • contrato en cualquiera de las secciones de Bolsas mediante el abono del importe de la misma. Los especuladores en Bolsa tienden a limitar el riesgo de la pérdida que es proporcional a las oscilaciones de los precios. A voluntad. - son aquellas en que el comprador o vendedor • quedan definitivamente obligados, reconociéndose el derecho de liquidar en cualquier día de los que mediante hasta el plazo convenido, pero debiendo anticipar con 24 horas de anticipación.

LA DOBLE

Las operaciones de la doble consisten en la compra al contado o a plazos de valores al portador y en la reventa simultánea a plazo y a precio determinado de la misma persona, de títulos de la misma especie. Estas operaciones podrán renovarse por uno o por varios plazos sucesivos, pero sin perder su característica y con expedición de nuevas pólizas; y abonos de corretaje y se podrán realizar solamente sobre valores de cotización calificada que determine el Ministro de Hacienda, cuya realización se dará a conocer al público por anuncio en los locales de la Bolsa. De aquí se deducen las siguientes notas del contrato de la Doble que son:

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• •

•

•

•

Se trata de un contrato único, las dos operaciones de compra y venta constituyen un todo orgánico. Se trata de un negocio realizado bajo la forma de una compraventa recíproca. La reventa ha de ser hecha a la misma persona que vendió primeramente. El objeto del contrato son normalmente cosas fungibles: títulos al portador no individualizados, que se determinan por características genéricas. El comprador-vendedor a plazo recibirá póliza del agente mediador, que le facultará para la reivindicación de los títulos y para los ejercicios correspondientes para los derechos políticos. Se trata de un contrato real.

El contrato de Doble no es ni una compra-venta ni un préstamo aunque se aproxima más a éste. LA COBERTURA Y LIQUIDACIÓN EN LAS OPERACIONES A PLAZO

En el momento de concluir un negocio a plazo es evidente que el agente intermediario no recibe de los contratantes ni dinero ni papel, puesto que ésta es principalmente la característica del plazo, en su aspecto más general. El régimen de cobertura tanto del agente como la de la junta sindical es la siguiente: a)

Cobertura del agente.- el agente en las operaciones a plazo antes de iniciarlas podrá elegir y exigir la entrega de las coberturas que estime necesarios y en todo caso exigirá como mínimo las reglamentarias y en su momento la del efectivo correspondiente para el pago de las diferencias que puedan producirse por liquidaciones previsionales.

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b)

Cobertura ante la junta sindical. - se dividen en dos partes: 1. Cobertura Inicial.- la realización de cualquier operación a plazo, requerirá la necesaria previsión de fondos o coberturas de acuerdo con el régimen que se haya establecido por la junta sindical de cada Bolsa, y sólo serán aptos para la constitución de coberturas la deuda del Estado o del tesoro y los títulos admitidos a cotización oficial que determine la junta sindical. 2. Liquidaciones provisionales.- cotización oficial- con muchas bolsas, los precios que van alcanzando los valores, son todos ellos de igual significado. La cotización oficial es un cambio de cierre que determina la junta sindical en el acto de cotización, atendiendo el cambio según el curso que va tomando, en la respectiva sesión de la Bolsa. Se establecen las respectivas liquidaciones provisionales para las operaciones a plazo en firme, se practicará siempre que haya una oscilación en alza o en baja del 2% en valores públicos y del 5% en valores privados.

La junta sindical redactará el acta de cotización adoptando para ello la forma que considere más adecuada para fijar el curso de los cambios siguiendo el orden en que se ha producido durante la contratación en la sesión de la Bolsa. LA CONTRATACIÓN EN LAS BOLSAS DE VALORES La contratación en general.

La autoridad que regula su funcionamiento es generalmente una comisión o comité formado por los propios agentes de la respectiva bolsa. El Ministerio de Hacienda a propuesta del consejo superior de Bolsas y previo informe de las juntas sindicales fijará por orden Ministerial los días y horas en que deberá celebrarse sesión de Bolsa.

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CAPÍTULO XV

RENTAS VITALICIAS Y PERPETUAS  I.

DEFINICIONES Renta Vitalicia.- Consiste en una serie de pagos anuales iguales, los cuales están fijados por la vida del individuo que ha de recibirlos. En otras palabras, el pago de la anualidad1 depende de la vida del beneficiario, el cual recibe el nombre de rentista. La muerte de este hace cesar los pagos de la anualidad. Renta Perpetua.- Estas anualidades consisten en una serie de pagos que han de efectuarse indefinidamente.

Puesto que los pagos de una renta perpetua han de continuar para siempre, es decir, no han de cesar nunca, es imposible calcular el monto de la misma. II.

CLASES DE RENTA Clasificación de las Rentas Vitalicias.- Se clasifican de la siguiente manera: 1. Rentas Vitalicias Ordinarias.- Son aquellas rentas que suelen pagarse al final de cada período o de cada año. Fórmula: Nx + 1 ax = -----------Dx

1

La palabra “anualidad” se usa para indicar el pago de una suma fija a intervalos regulares de tiempo, incluso para períodos inferiores a un año. Son ejemplos de anualidad los salarios, los sueldos, los cupones de obligaciones, los pagos a plazos, las pensiones, las rentas producidas por los fondos en fideicomiso, etc.

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2. Rentas Vitalicias ordinarias diferidas.- Aquí el primer pago, en lugar de hacerse un año después de pagar la prima única, se aplaza un cierto número de años, y se paga un año después de haber expirado el período de aplazamiento. A partir de entonces se hacen los pagos anuales de la misma manera que una renta vitalicia ordinaria. Símbolo: n

ax

Fórmula:

n

Nx + n + 1 a x = ---------------Dx

3. Rentas Vitalicias Inmediatas.- Se llaman así cuando los pagos se hacen al comienzo de cada año o de cada período, y, se representa por el símbolo a x Fórmula: Nx a x = ---------Dx

4. Rentas Vitalicias Inmediatas diferidas.- Cuando el pago se hace un (1) año antes que la renta vitalicia inmediata. Símbolo n - 1 a x = n . a x Fórmula:

n

ax

Nx + n = ----------Dx

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Fórmula para calcular el valor actual de una renta vitalicia inmediata de l, diferida n años y a pagar después a una persona cuya edad actual es x. 5. Rentas Vitalicias Temporales.- Es una renta vitalicia cuyo primer pago tiene lugar dentro de un año (como en el caso de una renta vitalicia ordinaria), pero que continúa pagándose únicamente durante n años, si el rentista vive esos años, y cesa después. Sin embargo, no es una renta vitalicia ordinaria, ya que la muerte del rentista automáticamente hace que terminen los pagos de la renta. Símbolo a

xn Fórmula:

a xn

Nx + 1 - Nx + n + 1 = -----------------------------Dx

6. Rentas Temporales Inmediatas.- El valor actual de una renta temporal inmediata es igual a la diferencia entre el valor actual de una renta vitalicia inmediata completa y una renta vitalicia inmediata diferida n años. Esto es:

Símbolo a

=a xn

- n x

119

a x

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Fórmula:

a

Na - Nx + n = ----------------Dx

xn

Fórmula para calcular el valor actual de una renta vitalicia temporal inmediata pagadera durante n años a una persona de edad x. 7. Rentas Vitalicias Temporales Ordinarias Diferidas.- Una renta que habrá de diferirse en n años y que después recibirá durante n años, si el rentista sobrevive ese tiempo, recibe el nombre de renta vitalicia temporal ordinaria diferida. Su valor es igual al de una renta vitalicia diferida n años, menos el de una renta vitalicia diferida m + n años. m a .x

Símbolo n Fórmula:

n

Nx + n + 1 – Nx + n + m + 1 m .x = ------------------------------------Dx a

Fórmula para calcular el valor actual de una renta vitalicia ordinaria a pagar después de transcurridos n años, durante m años, a una persona cuya edad actual es x.

8. Rentas Vitalicias Inmediatas Diferidas.- Temporales, si los pagos de la renta tienen que hacerse al comienzo de cada año, el contrato se convierte en una renta vitalicia temporal inmediata diferida, cuyo valor actual, es igual al valor actual de una renta

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vitalicia diferida n años menos el valor actual de una renta vitalicia diferida m n años, esto es: n

ma x

=

n

a

x

-

n + ma x

Fórmula:

Nx + n – nx + n + m n m .x = ------------------------------Dx a

Clasificación de las rentas perpetuas Se clasifican de la siguiente manera: 1. Rentas Perpetuas Anticipadas.- Es necesario tener presente que, si la tasa efectiva de interés es i por año, una anualidad anticipada de 1 al comienzo de cada año es equivalente a una anualidad ordinaria o vencida de 1 a i al final de cada año.

Fórmula:

a

1 i = -------i

1 = ------d

en donde d es el tipo de descuento equivalente al tipo de interés i. 2. Rentas Perpetuas Ordinarias Diferidas.- El valor actual de una renta perpetua ordinaria diferida y años es igual al valor actuadle una renta perpetua no diferida disminuida en el valor actual de una anualidad a pagar durante y años.

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Fórmula:

1 k

1 = ----------------- x a

1 x ∞ j (m)

j⎞ ⎛ y ad ∞ j (m) ⎜1 + ⎟ my m⎠ ⎝

Fórmula general para el valor actual de una renta perpetua ordinaria diferida de l, aplazada y años, y pagadera cada k años al tipo nominal j, capitalizable m veces por años. 3. Rentas Perpetuas Anticipadas Diferidas.- Para obtener el valor actual de una renta perpetua anticipada diferida, hállese simplemente la renta perpetua ordinaria diferida equivalente y hállese después el valor actual de esa renta perpetua ordinaria diferida.

Fórmula para el valor actual de una Renta Perpetua de la Unidad Monetaria por año. Ai = 1 1 A= i

Valor actual de una renta perpetua de 1 año por año

Símbolo: a ∞ i

entonces: a ∞

i =

1 i

Fórmula que sirve para calcular el valor actual de una renta perpetua ordinaria de 1 por año, pagadera al final de cada año, a la tasa i, capitalizando anualmente.

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Valor actual de una Renta Perpetua de R Se indicará por la letra A. Si la renta perpetua consiste en pagos anuales de no l sino de R cada año, el valor actual de esa renta perpetua puede obtenerse fácilmente multiplicando por R el valor de una renta perpetua de 1. Entonces tendremos: A=Rxa∞ i Valor actual de las rentas perpetuas a pagar más de una vez por año La fórmula general para el valor actual de la renta perpetua de l por año, pagadera p veces por año, a la tasa de interés j, capitalizable m veces por año, es: (p) = a∞

j(m)

j --------------------⎤ ⎡⎛ j⎞ m P ⎢⎜1 + − 1⎥ ⎟ m⎠ p ⎦ ⎣⎝

Para las fórmulas escritas anteriormente debemos de designar los elementos siguientes: a x : Valor actual de una renta vitalicia de 1 sol por año, pagadera a una persona cuya edad es x. A x : Valor actual de una renta vitalicia de R soles por año, pagadera a una persona de x años. N x : Es la suma de los valores actuales pagados en los años sucesivos a todas las personas sobrevivientes desde x años hasta el límite considerado en la tabla. D x : Es el número de personas que viven en el momento, es decir que tienen la edad X. R : Renta vitalicia percibida anualmente mayor de 1 años.

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x :

Número de años de edad de una persona.

n : Número de años en los cuales se difiere el pago de la anualidad o también número de años durante los cuales se efectúan los pagos. III.

APLICACIONES Aplicaciones de las Rentas Vitalicias

En la liquidación de herencias se presenta a menudo situaciones en la que es necesario hallar el valor actual de una renta vitalicia. Este y otros muchos más casos necesitan del cálculo de las rentas vitalicias. Además no se usan este tipo de rentas en los seguros de vida de enfermedad, por accidente, etc. cuyos cálculos están basados en los años que pueda vivir una persona que tiene una determinada edad y que se encuentra registrado en las Tablas de Mortalidad, o en las tablas que registren el número de accidentes sufridos en un año tomando como base un número de personas y de donde se extrae la posibilidad de sufrir un accidente, etc. También son aplicables en las pensiones y en una infinidad de casos más.

Aplicaciones de las Rentas Perpetuas

Son numerosas las rentas que, salvo accidentes o acontecimientos imprevisto, prosigan durante muchas generaciones. Los ingresos procedentes de acciones preferentes se continúan recibiendo indefinidamente, mientras la compañía pueda pagar los dividendos. También las sumas que periódicamente necesitan las grandes compañías navieras para reemplazar sus busques parecen ir adquiriendo el carácter de anualidad perpetua. En algunos países como Inglaterra y Francia, las sociedades anónimas emiten

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obligaciones perpetuas. El interés sobre esta clase de obligaciones debe seguirse pagando indefinidamente pero no hay que devolver el principal. Los ejemplos más notables de éstos son los “consols” ingleses y las “rentas” francesas. En casos como los que se acaba de citar, y en muchos otros, el ingreso o el desembolso según tomemos el punto de vista del acreedor o del deudor, constituyen una renta perpetua. PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1) Si una persona de 35 años de edad, recibe una renta vitalicia de 6000 soles durante 20 años ¿cuál es el valor actual de dicha renta vitalicia? Nx + 1 – Nx + n + 1 A x = ------------------------Dx

N35 + 1 – N35 + 20 + 1 = R. ----------------------------- = D 35

N36 - N 56 R = -------------D 35 432,326.5 - 115,142.4 A x = 6,000 x -----------------------------------24,544.7 A x = S/. 77,536.20

2) Cuál es el valor actuadle una renta vitalicia de 2,500 soles a pagar a Lander Pinglo cuya edad actual es de 35 años.

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Procedimiento:

Nx + 1 A x = ------------ = Dx

N 36 333258 ------ = ----------D 35 21828

A = 15.267454

2500 a x = 15.267454 x 2500

2500 a x = 38,168.635 Respuesta: El valor actual de la Renta Vitalicia es S/. 38,168.6.

3) Qué prima tendrá que pagar el Sr. Fernández de 25 años de edad para obtener una renta vitalicia de 1,500 soles diferida 15 años de modo que reciba el primer pago de la Renta al cumplir los 42 años. Procedimiento:

Nx + n + 1 A x = ---------------- = Dx

N25 + 15 + 1 N 41 324,440 ---------------- = ------ = -----------D 25 D 25 37673.6

A x = 8.6118661

Costo de la R.V. dif. Por S/. 1

Para hallar la renta por S/. 1,500 A x = 8.611861 x 1500 = 12,917.79 Rpta.: S/. 12,917.79.

4.

Si una persona recibe 75,000 soles de renta perpetua, pagadera a fin de año. ¿Cuál es el valor actual de ese legado, suponiendo que el precio del dinero sea 4%?

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Procedimiento:

A = Rx

1 i

A = 75,000 x

1 0.04

A = 1’875,000 Rpta. Es de 1’875,000 soles.

5.

Si una persona recibe al final de cada mes 4200 soles por concepto de arriendo, con una tasa de interés anual de 5% ¿Cuáles el valor de la capitalización? R = 4,200 x 12 = 50,400 P = 12 i = 0.05 A=? 1

A = 50,400 x 12

A = 50,400 x

[ (1 + 0.05)

1 / 12

]

=1

1 12 x 0.0040814

A = 50,400 x 20.41783 A = 1’029,058.6

IV.

TABLAS QUE SE EMPLEAN Tablas de Mortalidad

Una tabla de mortalidad se basa en datos de nacimientos y muertes y en las edades al morir. Las utilidades de estos datos depende de

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que las estadísticas sean exactas, representativas, comparables y adecuadas. Cuando la información concerniente a esas estadísticas de vida se pone en forma tabular se obtiene lo que se llama una tabla de mortalidad y de ella deducirse, por medio de la teoría de probabilidades, la probabilidad de vida o muerte de una persona. La tabla de mortalidad más antigua de lo que se hayan encontrado datos es la compilada por Ulpiano, preferido pretoriano de Roma, en el año 364 a.J.C. se hizo con el fin de hallar los valores adecuados de anualidades sobre vidas. La primera tabla de mortalidad calculada sobre una base científica y matemática fue la publicada por el astrónomo Halley en 1693. Hoy la tabla más usada en los Estados Unidos es la “American Experience Table of Mortality”, publicada en 1868 por Sheppard Homans. Descripción de la “American Experience Table”

Lo que en realidad hacen las tablas de mortalidad basadas en la experiencia norteamericana es seguir paso a paso las vidas de 100,000 personas desde la edad de 10 años hasta que ha muerto la última de ellas. Cada año muere un cierto número de esas 100,000 personas, variando el número de un año al otro, y la “materia prima” de la tabla consiste en: a) el número de personas observadas, esto es 100,000; y b) el número de ellas que muere cada año hasta que, finalmente, ha fallecido la última. Aún cuando la “American Experience Table” se usa todavía bastante en los Estados Unidos, no se ajusta tanto a la realidad como hace setenta años. Desde entonces la gente ha aprendido la importancia del saneamiento de las poblaciones y las casas, la embriaguez se ha hecho menos común, la medicina ha adelantado mucho, el trabajo diario se ha hecho menos fatigoso y a consecuencia de esos otros cambios se ha alargado la vida humana. Parece probable que la ciencia pueda conseguir alargar más la vida humana en el futuro. Pero, aunque anticuada e inexacta en lo que respecta a la probable duración de la vida humana hoy día, las

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compañías de seguros continúan usando la “American Experiencie Table”. Tablas de Mortalidad y Conmutaciones al 4%

(Healthy male lives: Hombres sanos).- Tabla de las 20 compañías inglesas, publicada en 1869 y ajustada con la fórmula GomerzMakeham en 1887. Los valores de conmutación tomados, han sido los correspondientes al 4%, por ser ésta la tasa admitida, en la actualidad, por la Superintendencia de Seguros. Todos los valores de estas tablas correspondientes a las edades de 0 a 9 años, se han incluido en cuerpo tipográfico más pequeño, a fin de recordar que dichos valores no se hallan en el mismo pierde rigor que el resto de los valores de la tabla, pues es sabido que la H M año 1869 no los incluía, debido al reducido número de observaciones, y que corresponden a valores hallados por extrapolación, con posterioridad.

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CAPÍTULO XVI

LA RESPONSABILIDAD CIVIL 

Definir a la responsabilidad civil no ha sido ni es uno de los temas favoritos en la doctrina. Algunos autores han tratado de soslayar este aspecto, que consideramos importante, dedicándose de plano al estudio de las diversas teorías sobre la responsabilidad civil, sus funciones, sus elementos; haciendo énfasis en las nuevas tendencias y en el derecho comparado sobre la materia; y en el mejor de los casos han tocado el tema de manera muy escueta. Lo expresado en el párrafo anterior se pone de manifiesto en la siguiente afirmación: “Si existe un tema que se sienta uno tentado a abordarlo sin definirlo, es desde luego el de la responsabilidad civil”. Nosotros trataremos de resistir esa tentación e intentaremos definir a la responsabilidad civil, partiendo de lo ya expresado por algunos autores. Jorge Mosset Iturraspe afirma que “la responsabilidad civil no es otra cosa que el deber de indemnizar los daños causados culposamente a otro”. Jacques Henriot, citado por Moset, nos brinda un concepto mucho más amplio indicando que la responsabilidad “no es sino el deber de reparar un daño originado en la violación de un derecho ajeno”. Geneieve Viney, también citado por Mosset expone que “la expresión responsabilidad civil designa en el lenguaje jurídico actual, el conjunto de reglas que obligan al autor de un daño causado a otro a reparar el perjuicio, ofreciendo a la víctima una compensación. RESPONSABILIDAD CIVIL CONTRACTUAL Y EXTRACONTRACTUAL

Al abordar este tema podemos identificar hasta cuatro posiciones distintas: la tesis dualista, la tesis monista, la tesis de la unicidad y la tesis de la unificación. No es objeto de este trabajo profundizar el tema, sin embargo es necesario analizarlo e incluso adoptar una posición, toda vez que nuestro campo de estudio es solamente la responsabilidad civil extracontractual.

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La Tesis Dualista

Esta sostiene que la responsabilidad contractual es absolutamente distinta de la responsabilidad extracontractual. Esta posición extremista ha sido defendida por la doctrina clásica francesa, tal como lo ha manifestado Luis De Gasperi y Augusto Morello: “La división de la responsabilidad civil en contractual y extracontractual es una consecuencia de la doctrina clásica francesa”; siendo sus principales defensores los juristas Zachariae, Larombiere, Aubry y Rau. El fundamento esencial de esta teoría es su concepción de una dualidad de culpas, es decir, que para sus defensores, existe una culpa contractual y una culpa extracontractual, ambas totalmente distintas, “la culpa contractual supone una obligación concreta, preexistente, formada por la convención de las partes y que resulta violada por una de ellas; la culpa extracontractual es independiente de una obligación preexistente y consiste en la violación no de una obligación concreta, sino de un deber genérico de no dañar. La Tesis Monista Denominada también teoría de la unidad, sostiene que no existe diferencia esencial alguna entre la responsabilidad contractual y la responsabilidad extracontractual, como tampoco existe dos tipos de culpa.

La teoría de la unidad, en contra de la tesis dualista, propugna la unidad de la responsabilidad civil partiendo de la unidad de la culpa y definiéndola como “la violación de una obligación preexistente, sea ésta una obligación convencional, sea una obligación legal”. La Tesis de la Unicidad Se sitúa en una posición intermedia entre la dualista y la monista, y postula una concepción unitaria de responsabilidad civil pero un doble régimen de responsabilidad.

Los defensores de esta teoría basan su posición en dos fundamentos distintos; de allí que nacen, dentro de la unicidad, dos corrientes de pensamientos también distintos. Una defendida por el argentino Llambías quien encuentra el fundamento de la unicidad de la responsabilidad civil en la unidad de culpa, porque “la culpa es una noción unívoca que el

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derecho trata diversamente a través de dos diferentes regímenes de responsabilidad, según que esa culpa sea considerada en la inejecución de los contratos o en la comisión de hechos ilícitos” por lo tanto, “hay una sola culpa y un doble régimen de responsabilidad culposa” En cuanto al plazo prescriptorio La prescripción “es una de las instituciones jurídicas más necesarias para el orden social” y se sustenta en el principio de seguridad jurídica; por ello “si el titular de un derecho durante considerable tiempo transcurrido no hace efectiva su pretensión ejercitando la acción correspondiente para que el órgano jurisdiccional lo declare y lo haga efectivo, la ley no debe ya franquearle la posibilidad de su ejercicio”. La responsabilidad civil contractual y extra contractual no escapa a este principio, pues la acción que busca se declare y haga efectiva la reparación de un daño causado, en ambos casos, prescribe por el transcurso del tiempo. ART. II.- EJERCICIO ABUSIVO DEL DERECHO La ley no ampara el ejercicio ni la omisión abusivos de un derecho. Al demandar indemnización u otra pretensión, el interesado puede solicitar las medidas cautelares apropiadas para evitar o suprimir provisionalmente el abuso. ART. III.- APLICACIÓN DE LA LEY EN EL TIEMPO La ley se aplica a las consecuencias de las relaciones y situaciones jurídicas existentes. No tiene fuerza ni efectos retroactivos, salvo las excepciones previstas en la Constitución Política del Perú. PRINCIPIO DE LA PERSONA ART. 1.- SUJETO DE DERECHO La persona humana es sujeto de derecho desde su nacimiento. La vida humana comienza con la concepción; el concebido es sujeto de derecho para todo cuanto le favorece. La atribución de derechos patrimoniales está condicionada a que nazca vivo. ART. 3.- CAPACIDAD DE GOCE Toda persona tiene el goce de los derechos civiles, salvo las excepciones expresamente establecidas por ley.

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ART. 5.- DERECHOS DE LA PERSONA HUMANA El derecho a la vida, a la integridad física, a la libertad, al honor y demás inherentes a la persona humana son irrenunciables y no pueden ser objeto de cesión. Su ejercicio no puede sufrir limitación voluntaria, salvo lo dispuesto en el Art. 6°. ART. 12.- INEXIGIBILIDAD DE CONTRATOS PELIGROSOS PARA LA PERSONA No son exigibles los contratos que tengan por objeto la realización de actos excepcionalmente peligrosos para la vida o la integridad física de una persona, salvo que correspondan a su actividad habitual y se adopten las medidas de previsión y seguridad adecuadas a las circunstancias. ART. 12.- CONFIDENCIALIDAD DE LA CORRESPONDENCIA Y DEMÁS COMUNICACIONES La correspondencia epistolar, las comunicaciones de cualquier genero o las grabaciones de la voz, cuando tengan carácter confidencial o se refieran a la intimidad de la vida personan y familiar, no pueden ser interceptadas o divulgadas o divulgadas sin el asentimiento del autor y, en su caso, del destinatario. la publicación de las memorias personales o familiares, en iguales circunstancias, requiere la autorización del autor.

Muerto el autor o el destinatario, según los casos, corresponde a los herederos el derecho de otorgar el respectivo asentimiento. Si no hubieses acuerdo entre los herederos, disidirá el Juez ART. 17.- DEFENSA DE LOS DERECHOS DE LA PERSONA La violación de cualquiera de los derechos de la persona a que se refiere este titulo confiere al agraviado o a sus herederos acción para exigir la cesación de los actos lesivos. ART. 25.- PRUEBA DEL NOMBRE la prueba referente al nombre resulta de su respectiva inscripción en los registros del estado civil".

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ART. 26.- DEFENSA DEL DERECHO AL NOMBRE "Toda persona tienen derecho a exigir que se le designe un nombre. Cuando se vulnere este derecho puede pedirse la cesación del hecho voluntario y la indemnización que corresponda" ART. 27.- NULIDAD DE CONVENIOS SOBRE EL NOMBRE Es nulo el convenio relativo al nombre de una persona natural, salvo para fines publicitarios de interés social y los que establece la ley". ART. 28.- INDEMNIZACIÓN POR USURPACIÓN DE NOMBRE Nadie puede usar nombre que no le corresponde. El que es perjudicado por la usurpación de su nombre tiene acción para hacerla cesar y obtener la indemnización que corresponda ART. 33.- DOMICILIO El domicilio es constituye por la residencia habitual de la persona en un lugar. ART. 40.- OPOSICIÓN AL CAMBIO DE DOMICILIO El cambio de domicilio no puede oponerse a los acreedores, si no ha sido puesto en su conocimiento mediante comunicación indubitable. ART. 41.- PERSONAS SIN RESIDENCIAL HABITUAL A la persona que no tiene residencia habitual se le considera domiciliada en el lugar donde se encuentre. ART. 42.- PLENA CAPACIDAD DE EJERCICIO Tienen plena capacidad de ejercicio de sus derechos civiles las personas que hayan cumplido dieciocho años de edad, salvo lo dispuesto en los artículos 43° y 44°. ART. 43.- INCAPACIDAD ABSOLUTA

Son absolutamente incapaces: 1. Los menores de dieciséis años, salvo para aquellos actos determinados por la ley. 2. Los que por cualquier causa se encuentren privados de discernimiento.

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3. Los sordomudos, los ciego sordos y los ciego mudos, que no pueden expresar su voluntad de manera indubitable. ART. 44.- INCAPACIDAD RELATIVA

Son relativamente incapaces: 1. Los mayores de dieciséis y menores de dieciocho años de edad. 2. Los retardados mentales. 3. Los que adolecen de deterioro mental que les impide expresar su libre voluntad. 4. Los pródigos. 5. Los que incurren en mala gestión. 6. Los ebrios habituales. 7. Los Toxicómanos. 8. Los que sufren pena que lleva anexa la interdicción civil. ART. 45.- REPRESENTANTE LEGAL DE INCAPACES

Los representantes legales de los incapaces ejercen los derechos civiles de éstos, según las normas referentes a la patria potestad, tutela y cúratela. DECLARACIÓN DE AUSENCIA ART. 49.- DECLARACIÓN JUDICIAL DE AUSENCIA

Transcurridos dos años desde que se tuvo la última noticia del desaparecido, cualquiera que tenga legítimo interés o el Ministerio Público pueden solicitar la declaración judicial de ausencia.

RECONOCIMIENTO DE EXISTENCIA ART. 67.- RECONOCIMIENTO DE EXISTENCIA La existencia de persona cuya muerte hubiera sido judicialmente declarada, puede ser reconocida a solicitud de ella, de cualquier interesado, o del Ministerio.

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ART. 76.- NORMAS QUE RIGEN LA PERSONA JURÍDICA La existencia, capacidad, régimen, derechos, obligaciones y fines de la persona jurídica, se determinan por las disposiciones del presente Código o de las leyes respectivas.

La persona jurídica de derecho público interno se rige por la ley de su creación. ART. 77.- INICIO DE LA PERSONA JURÍDICA La existencia de la persona jurídica de derecho privado comienza el día de su inscripción en el registro respectivo, salvo disposición distinta de la ley.

La eficacia de los actos celebrados en nombre de la persona jurídica antes de su inscripción queda subordinada a este requisito y a su ratificación dentro de los tres meses siguientes de haber sido inscrita. Si la persona jurídica no se constituye o no se ratifican los actos realizados en nombre de ella, quienes los hubieran celebrado son ilimitada y solidariamente responsables frente a terceros. ART. 78.- DIFERENCIA ENTRE PERSONA JURÍDICA Y SUS MIEMBROS La persona jurídica tiene existencia distinta de sus miembros y ninguno de éstos ni todos ellos tienen derecho al patrimonio de ella ni están obligados a satisfacer sus deudas. ART. 79.- REPRESENTANTE DE LA PERSONA JURÍDICA MIEMBRO DE OTRA La persona jurídica miembro de otra debe indicar quién la representa ante ésta. ART. 80.- NOCIÓN La asociación es una organización estable de personas naturales o jurídicas, o de ambas, que a través de una actividad común persigue un fin no lucrativo.

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ART. 82.- CONTENIDO DEL ESTATUTO El estatuto de la asociación debe expresar: 1. La denominación, duración y domicilio. 2. Los fines. 3. Los bienes que integran el patrimonio social. 4. La constitución y funcionamiento de la asamblea general de asociados, consejo directivo y demás órganos de la asociación. 5. Las condiciones para la admisión, renuncia y exclusión de sus miembros. 6. Los derechos y deberes de los asociados. 7. Los requisitos para su modificación. 8. Las normas para la disolución y liquidación de la asociación y las relativas al destino final de sus bienes. 9. Los demás pactos y condiciones que se establezcan. ART. 140.- NOCIÓN DE ACTO JURÍDICO: ELEMENTOS ESENCIALES El acto jurídico es la manifestación de voluntad destinada a crear, regular, modificar o extinguir relaciones jurídicas. Para su validez se requiere:

1.2.3.4.-

Agente capaz. Objeto física y jurídicamente posible. Fin lícito. Observancia de la forma prescrita bajo sanción de nulidad.

ART. 141.- MANIFESTACIÓN DE VOLUNTAD La manifestación de voluntad puede ser expresa o tácita. Es expresa cuando se realiza en forma oral o escrita, a través de cualquier medio directo, manual, mecánico, electrónico u otro análogo. Es tácita cuando la voluntad se infiere indubitablemente de una actitud o de circunstancias de comportamiento que revelan su existencia.

No puede considerarse que existe manifestación tácita cuando la ley exige declaración expresa o cuando el agente formula reserva o declaración en contrario.

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ART. 141.A.- FORMALIDAD En los casos en que la ley establezca que la manifestación de voluntad deba hacerse a través de alguna formalidad expresa o requiera de firma, ésta podrá ser generada o comunicada a través de medios electrónicos, ópticos o cualquier otro análogo.

Tratándose de instrumentos públicos, la autoridad competente deberá dejar constancia del medio empleado y conservar una versión íntegra para su ulterior consulta.(*) REPRESENTACIÓN ART. 145.- ORIGEN DE LA REPRESENTACIÓN El acto jurídico puede ser realizado mediante representante, salvo disposición contraria de la ley. La facultad de representación la otorga el interesado o la confiere la ley. ART. 146.- REPRESENTACIÓN CONYUGAL Se permite la representación entre cónyuges. ART. 148.RESPONSABILIDAD SOLIDARIA DE LOS REPRESENTANTES Sin son dos o más los representantes, éstos quedan obligados solidariamente frente al representado, siempre que el poder se haya otorgado por acto único y para un objeto de interés común. ART. 163.- ANULABILIDAD DEL ACTO JURÍDICO POR VICIOS DE LA VOLUNTAD El acto jurídico es anulable si la voluntad del representante hubiere sido viciada. Pero cuando el contenido del acto jurídico fuese total o parcialmente determinado, de modo previo, por el representado, el acto es anulable solamente si la voluntad de éste fuere viciada respecto de dicho contenido. ART. 168.- INTERPRETACIÓN OBJETIVA El acto jurídico debe ser interpretado de acuerdo con lo que se haya expresado en él y según el principio de la buena fe.

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ART. 169.- INTERPRETACIÓN SISTEMÁTICA Las cláusulas de los actos jurídicos se interpretan las unas por medio de las otras, atribuyéndose a las dudosas el sentido que resulte del conjunto de todas. ART. 170.- INTERPRETACIÓN INTEGRAL Las expresiones que tengan varios sentidos deben entenderse en el más adecuado a la naturaleza y al objeto del acto. ART, 172.- NULIDAD DEL ACTO JURÍDICO SUJETO A VOLUNTAD DEL DEUDOR Es nulo el acto jurídico cuyos efectos están subordinados a condición suspensiva que dependa de la exclusiva voluntad del deudor. ART. 175.- CONDICIÓN NEGATIVA Si la condición es que no se realice cierto acontecimiento dentro de un plazo, se entenderá cumplida desde que vence el plazo, o desde que llega a ser cierto que el acontecimiento no puede realizarse. ART. 176.- CUMPLIMIENTO E INCUMPLIMIENTO DE LA CONDICIÓN POR MALA FE Si se impidiese de mala fe el cumplimiento de la condición por la parte en cuyo detrimento habría de realizarse, se considerará cumplida.

Al contrario, se considerará no cumplida, si se ha llevado a efecto de mala fe por la parte a quien aproveche tal cumplimiento. ART. 177.- IRRETROACTIVIDAD DE LA CONDICIÓN La condición no opera retroactivamente, salvo pacto en contrario. ART. 180.- DERECHO DE REPETICIÓN POR PAGO ANTICIPADO El deudor que pagó antes del vencimiento del plazo suspensivo no puede repetir lo pagado. Pero, si pagó por ignorancia del plazo, tiene derecho a la repetición.

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ART. 182.- PLAZO JUDICIAL PARA CUMPLIMIENTO DEL ACTO JURÍDICO Si el acto no señala plazo, pero de su naturaleza y circunstancias se dedujere que ha querido concederse al deudor, el juez fija su duración.

También fija el juez la duración del plazo cuya determinación haya quedado a voluntad del deudor o un tercero y éstos no lo señalaren. La demanda se tramita como proceso sumarísimo. ART. 183.- REGLAS PARA CÓMPUTO DEL PLAZO El plazo se computa de acuerdo al calendario gregoriano, conforme a las siguientes reglas: El plazo señalado por días se computa por días naturales, salvo 1. que la ley o el acto jurídico establezcan que se haga por días hábiles. El plazo señalado por meses se cumple en el mes del 2. vencimiento y en el día de éste correspondiente a la fecha del mes inicial. Si en el mes de vencimiento falta tal día, el plazo se cumple el último día de dicho mes. El plazo señalado por años se rige por las reglas que establece el 3. inciso 2. El plazo excluye el día inicial e incluye el día del vencimiento. 4. El plazo cuyo último día sea inhábil, vence el primer día hábil 5. siguiente. ART. 184.- REGLAS EXTENSIVAS AL PLAZO LEGAL O CONVENCIONAL Las reglas del artículo 183 son aplicables a todos los plazos legales o convencionales, salvo disposición o acuerdo diferente. ART. 185.- EXIGIBILIDAD DEL CUMPLIMIENTO DEL CARGO El cumplimiento del cargo puede ser exigido por el imponente o por el beneficiario. Cuando el cumplimiento del cargo sea de interés social, su ejecución puede ser exigida por la entidad a la que concierna.

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ART. 186.FIJACIÓN JUDICIAL DEL PLAZO PARA CUMPLIMIENTO DEL CARGO Si no hubiese plazo para la ejecución del cargo, éste debe cumplirse en el que el juez señale.

La demanda se tramita como proceso sumarísimo. ART. 187.- INEXIGIBILIDAD DEL CARGO El gravado con el cargo no está obligado a cumplirlo en la medida en que exceda el valor de la liberalidad. ART. 188.- TRANSMISIBILIDAD DEL CARGO La obligación de cumplir los cargos impuestos para la adquisición de un derecho pasa a los herederos del que fue gravado con ellos, a no ser que sólo pudiesen ser cumplidos por él, como inherentes a su persona.

En este caso, si el gravado muere sin cumplir los cargos, la adquisición del derecho queda sin efecto, volviendo los bienes al imponente de los cargos o a sus herederos. ART. 189.- IMPOSIBILIDAD E ILICITUD DEL CARGO Si el hecho que constituye el cargo es ilícito o imposible, o llega a serlo, el acto jurídico subsiste sin cargo alguno. ART. 201.- REQUISITOS DE ERROR El error es causa de anulación del acto jurídico cuando sea esencial y conocible por la otra parte. ART. 204.- RECTIFICACIÓN DEL ACTO JURÍDICO POR ERROR DE CÁLCULO El error de cálculo no da lugar a la anulación del acto sino solamente a rectificación, salvo que consistiendo en un error sobre la cantidad haya sido determinante de la voluntad.

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ART. 205.- ANULACIÓN DEL ACTO JURÍDICO POR ERROR EN EL MOTIVO El error en el motivo sólo vicia el acto cuando expresamente se manifiesta como su razón determinante y es aceptado por la otra parte. ART. 206.- IMPROCEDENCIA DE LA ANULABILIDAD POR ERROR RECTIFICADO La parte que incurre en error no puede pedir la anulación del acto si, antes de haber sufrido un perjuicio, la otra ofreciere cumplir conforme al contenido y a las modalidades del acto que aquélla quiso concluir. ART. 207.- IMPROCEDENCIA DE INDEMNIZACIÓN POR ERROR La anulación del acto por error no da lugar a indemnización entre las partes. ART. 209.- CASOS EN QUE EL ERROR EN LA DECLARACIÓN NO VICIA EL ACTO JURÍDICO El error en la declaración sobre la identidad o la denominación de la persona, del objeto o de la naturaleza del acto, no vicia el acto jurídico, cuando por su texto o las circunstancias se puede identificar a la persona, al objeto o al acto designado. ART. 210.- ANULACIÓN POR DOLO El dolo es causa de anulación del acto jurídico cuando el engaño usado por una de las partes haya sido tal que sin él la otra parte no hubiera celebrado el acto.

Cuando el engaño sea empleado por un tercero, el acto es anulable si fue conocido por la parte que obtuvo beneficio de él. ART. 214.- ANULACIÓN POR VIOLENCIA O INTIMIDACIÓN La violencia o la intimidación son causas de anulación del acto jurídico, aunque hayan sido empleadas por un tercero que no intervenga en él.

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ART. 215.- INTIMIDACIÓN Hay intimidación cuando se inspira al agente el fundado temor de sufrir un mal inminente y grave en su persona, su cónyuge, o sus parientes dentro del cuarto grado de consanguinidad o segundo de afinidad o en los bienes de unos u otros.

Tratándose de otras personas o bienes, corresponderá al juez decidir sobre la anulación, según las circunstancias. ART. 216.- CRITERIOS PARA CALIFICAR LA VIOLENCIA O INTIMIDACIÓN Para calificar la violencia o la intimidación debe atenderse a la edad, al sexo, a la condición de la persona y a las demás circunstancias que pueden influir sobre su gravedad. ART. 217.- SUPUESTOS DE NO INTIMIDACIÓN La amenaza del ejercicio regular de un derecho y el simple temor reverencial no anulan el acto. ART. 218.- NULIDAD DE LA RENUNCIA DE LA ACCIÓN POR VICIOS DE LA VOLUNTAD Es nula la renuncia anticipada a la acción que se funde en error, dolo, violencia o intimidación. NULIDAD DEL ACTO JURÍDICO ART. 219.- CAUSALES DE NULIDAD El acto jurídico es nulo: 1. Cuando falta la manifestación de voluntad del agente. 2. Cuando se haya practicado por persona absolutamente incapaz, salvo lo dispuesto en el artículo 1358. 3. Cuando su objeto es física o jurídicamente imposible o cuando sea indeterminable. 4. Cuando su fin sea ilícito. 5. Cuando adolezca de simulación absoluta.

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6. Cuando no revista la forma prescrita bajo sanción de nulidad. 7. Cuando la ley lo declara nulo. 8. En el caso del artículo V del Título Preliminar, salvo que la ley establezca sanción diversa. ART. 221.- CAUSALES DE ANULABILIDAD El acto jurídico es anulable: 1. Por incapacidad relativa del agente. 2. Por vicio resultante de error, dolo, violencia o intimidación. 3. Por simulación, cuando el acto real que lo contiene perjudica el derecho de tercero. 4. Cuando la ley lo declara anulable. ART. 222.- EFECTOS DE LA NULIDAD POR SENTENCIA El acto jurídico anulable es nulo desde su celebración, por efecto de la sentencia que lo declare.

Esta nulidad se pronunciará a petición de parte y no puede ser alegada por otras personas que aquellas en cuyo beneficio la establece la ley. ART. 225.- ACTO Y DOCUMENTO No debe confundirse el acto con el documento que sirve para probarlo. Puede subsistir el acto aunque el documento se declare nulo. ART. 226.- INCAPACIDAD EN BENEFICIO PROPIO La incapacidad de una de las partes no puede ser invocada por la otra en su propio beneficio, salvo cuando es indivisible el objeto del derecho de la obligación común. ART. 227.- ANULABILIDAD POR INCAPACIDAD RELATIVA Las obligaciones contraídas por los mayores de dieciséis años y menores de dieciocho son anulables, cuando resultan de actos practicados sin la autorización necesaria.

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ART. 228.- REPETICIÓN DEL PAGO AL INCAPAZ Nadie puede repetir lo que pagó a un incapaz en virtud de una obligación anulada, sino en la parte que se hubiere convertido en su provecho. ART. 229.- MALA FE DEL INCAPAZ Si el incapaz ha procedido de mala fe ocultando su incapacidad para inducir a la celebración del acto, ni él, ni sus herederos o cesionarios, pueden alegar la nulidad. CONFIRMACIÓN DEL ACTO JURÍDICO ART. 230.- CONFIRMACIÓN EXPLÍCITA Salvo el derecho de tercero, el acto anulable puede ser confirmado por la parte a quien corresponda la acción de anulación mediante instrumento que contenga la mención del acto que se quiere confirmar, la causal de anulabilidad y la manifestación expresa de confirmarlo. ART. 231.- CONFIRMACIÓN POR EJECUCIÓN TOTAL O PARCIAL El acto queda también confirmado si la parte a quien correspondía la acción de anulación, conociendo la causal, lo hubiese ejecutado en forma total o parcial, o si existen hechos que inequívocamente pongan de manifiesto la intención de renunciar a la acción de anulabilidad. ART. 232.- FORMALIDAD DE LA CONFIRMACIÓN La forma del instrumento de confirmación debe tener iguales solemnidades a las establecidas para la validez del acto que se confirma.

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