Matematica Financiera II USAC-CUSAM Cesar Lopez

MATEMATICA FINANCIERA II. USAC- CUSAM Extensión Malacatan

EJE No. 1 ANUALIDADES

Concepto de anualidad y aplicaciones principales Anualidad: Se aplica a problemas financieros en los que existen un conjunto de pagos iguales a intervalos de tiempo regulares. Aplicaciones típicas: · Amortización de préstamos en abonos. · Deducción de la tasa de interés en una operación de pagos en abonos · Constitución de fondos de amortización Tipos principales de anualidades Vamos a distinguir dos tipos de anualidades: (a) Anualidades ordinarias o vencidas cuando el pago correspondiente a un intervalo se hace al final del mismo, por ejemplo, al final del mes. (b) Anualidades adelantadas, cuando el pago se hace al inicio del intervalo, por ejemplo al inicio del mes. Ambos tipos de anualidades pueden aplicarse en un contexto de certeza, en cuyo caso se les llama anualidades ciertas o en situaciones caracterizadas por la incertidumbre, en cuyo caso se les conoce como anualidades contingentes. . Para el caso de una anualidad ordinaria de n pagos, el despliegue de los datos en la línea del tiempo es: Pagos de valor R R R R R |________|________|________|__. . .___|________| | 1 2 3 n-1 Inicio

R n fin

y para el caso de una anualidad anticipada de n pagos: Pagos de valor R R R R R R |________|________|________|__. . .___|________| | 1 2 3 n-1 n Inicio fin En estos problemas se supone que el conjunto de pagos es invertido a interés compuesto hasta el fin del plazo de la operación. Esta consideración es fundamental para definir el Valor futuro o monto de una anualidad y el Valor presente de la anualidad.

Anualidades Ordinarias (a) Valor futuro de una anualidad ordinaria Responde a la pregunta: ¿Cual es el monto o valor futuro de una suma de pagos iguales distribuidos de manera uniforme a lo largo del tiempo? (a) El valor futuro de un conjunto de n pagos vencidos de valor R cada uno es:

R[(1 + i ) n − 1] S= i R = valor del pago regular. i = tasa de interés para cada uno de los intervalos de tiempo en que se ha dividido el plazo completo. n = número total de intervalos de la operación. Ejercicios:

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1.

:

Una persona se ha propuesto depositar Q 320 mensualmente durante 2 años (24 meses) en una cuenta bancaria que paga el 18 % anual de interés (1.5 % mensual). ¿Cuál será la cantidad acumulada al final de los dos años considerando que el banco capitaliza mensualmente los intereses?

320[(1 + 0.015) 24 − 1] S= = Q.9,162.73 0.015

(b) Valor presente de la anualidad. Responde a la pregunta: ¿Cuánto vale hoy un conjunto de n pagos iguales a realizar a intervalos regulares en el futuro? La fórmula que responde a la pregunta es:

VP =

R[1 − (1 + i ) − n ] i

Ejercicios: 2. Una empresa tiene en su cartera de activos 10 pagarés de Q 200 cada uno y con vencimientos mensuales consecutivos. El primero de ellos vence dentro de un mes. La empresa necesita liquidez y planea venderlos a un banco, el cual ha aceptado la transacción considerando una tasa de interés de referencia del 24% anual (2% mensual). ¿Que cantidad recibirá la empresa si se realiza la operación? En otras palabras, ¿cuál es el valor presente de estos pagarés? Datos: R = 200, i = 0.02, 200[1 − (1 + 0.02) −10 ] VP = = Q.1,796.52 n = 10

0.02

c. El cálculo del pago regular (RENTA) Responde a la pregunta: ¿Cuántos pagos (o abonos) se deben hacer para alcanzar un determinado valor futuro o valor presente, según sea el caso? Cuando conocemos el valor futuro, la RENTA se calcula:

R=

Si (1 + i ) n − 1

Ejercicios: 3. Una empresa tiene una deuda de Q 100,000 a pagar en un SOLO PAGO dentro de 10 meses y desea pagar en 10 pagos mensuales iguales a fin de mes. ¿Cuál es el valor del pago mensual si la tasa de interés mensual es del 1% (12% anual)? Datos: Valor futuro (S) = 100,0000; 100,000(0.01) i = 0.01, n = 10

R=

(1 + 0.01)10 − 1

= Q.9,558.21

La deuda se paga con 10 documentos iguales mensuales de Q 9,558.21 Cuando conocemos el valor presente del problema la fórmula para encontrar el valor del pago es:

R=

VPi 1 − (1 + i ) − n

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Ejercicios: 4. Una persona que tiene disponible la cantidad de Q 125,000 desea depositarlos, para retirar fijo mensual durante los próximos tres años cierta cantidad. El banco paga una tasa de interés mensual del 0.8% (9.6% anual). Suponiendo que se mantuviera constante la tasa de interés, ¿qué cantidad debería retirar todos los meses? Datos: Valor presente = 125,000, número de meses = 36; tasa de interés mensual = 0.8%.

R=

125,000(0.008) = Q.4,009.96 1 − (1 + 0.008) −36

Si retira Q 4,009.96 cada fin de mes la cuenta bancaria se agota en 3 años. d. El número de periodos Responde a la pregunta siguiente: ¿Cuánto tiempo se necesita para alcanzar cierto valor futuro o para agotar cierto valor presente mediante pagos regulares conocidos, dada la tasa de interés? 1. Si tenemos el valor futuro la fórmula es:

n=

Log (1 + i * S / R) Log (1 + i )

5. Un trabajador sabe que en su cuenta de Banrural le depositan Q 1,000 cada dos meses. Este trabajador se pregunta cuantos años tendrán que pasar para que en su cuenta se haya acumulado la cantidad de Q800,000 considerando una tasa de interés anual del 18 % (3 % de interés bimestral). Banrural capitaliza intereses cada dos meses. Datos: R = 1,000; Log (1 + 0.03 * 800,000 / 1000) i = 0.03; n= = 108.89 Log (1 + 0.03) S = 800,000

Se necesitan aproximadamente 109 bimestres, algo más de 18 años. 2. Cuando conocemos el valor presente de la operación, , entonces el número de pagos se calcula de esta manera:

n=

− Log (1 − i * VP / R) Log (1 + i )

6. Una persona deposita hoy en una cuenta bancaria la suma de Q 125,000 con una tasa de interés mensual de 0.75% y piensa retirar de la cuenta Q 4,000 al final de cada mes hasta que la cuenta quede en cero. ¿Durante cuántos meses podrá hacer esos retiros? Datos: − Log (1 − 0.0075 * 125,000 / 4000) R = 4,000; n= = 35.74 i = 0.0075, Log (1 + 0.0075) VP = 125,000; n =? El inversionista podrá hacer 35 retiros completos. e. El cálculo de la tasa de interés. No existe una fórmula que nos permita conocer la tasa de interés en un problema de anualidades, debido a que no es posible su despeje a partir de alguna de las fórmulas generales de anualidades. Para n = 2, la tasa de interés es:

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ANUALIDADES ANTICIPADAS Cuando el pago regular se hace al principio del intervalo, las fórmulas son ligeramente diferentes: El valor futuro de la anualidad anticipada es: Ejercicios:

R[1 − (1 + i ) − n ] (1 + i ) i

S=

7. Hacer el cálculo del ejemplo 1, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio. Datos: R = 320, i = 18 % (1.5% mensual), n = 24 (meses), 320[(1 + 0.015) 24 − 1] S = ¿? S= (1 + 0.015) = Q.9,300.16

0.015

El valor presente de una anualidad anticipada se calcula como:

VP =

R[(1 + i ) n − 1] (1 + i ) i

El cálculo del pago de la anualidad se resuelve como: (a) Cuando conocemos el valor futuro,

R=

Si (1 + i ) (1 + i ) n − 1

(b) Cuando conocemos el valor presente:

R=

VPi (1 + i ) 1 − (1 + i ) −n

ANUALIDADES DIFERIDAS Una anualidad diferida es aquella en que el primer pago se efectúa después de transcurrido cierto número de periodos. Una deuda de Q800.000 se va a cancelar mediante 20 pagos trimestrales de QR cada uno. Si el primer pago se efectúa exactamente al año de haberse prestado el dinero, calcular R con una tasa del 36%

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Se observa que el primer pago está en el periodo 4 que corresponde al final del primer año. La anualidad debe comenzar en el punto 3 y terminar en el punto 23, además, su valor presente deberá trasladarse al punto 0 donde se ha puesto la fecha focal. Para determinar Renta:

R=

VP 1 − (1 + i ) / i * (1 + i ) − k −n

8. Un electrodoméstico tiene un valor de Q. 4,000.00 y puede ser cancelado mediante (6) seis cuotas mensuales iguales, a una tasa de interés del 2.4% efectiva mensual, de tal forma que la primera cuota se cancele al final del cuarto mes. Calcular el valor de cada una de las cuotas. DATOS:

R=

VP = Q. 4,000.00 i = 2.4% = 0.024 nper = 6 k= 3

4000 = Q.777.15 1 − (1 + 0.024) / 0.024 * (1 + 0.024) − 3 −6

Respuesta: El valor de cada una de las cuotas es de Q. 777.15

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Construcción de una tabla de amortización Una tabla de amortización es una descripción detallada de la evolución de la deuda desde el momento inicial del crédito hasta que es pagado por completo. La descripción incluye el pago regular y su descomposición en intereses y amortización del principal. Ejercicios: 9. Se vende una casa en Q 200,000 a pagar la mitad al contado y el resto en cinco abonos anuales vencidos de igual valor. La tasa de interés aplicable es del 8% anual. Usamos la fórmula de anualidades vencidas para obtener el valor de los cinco pagos que se deben realizar para amortizar el préstamo. La fórmula es:

R=

VPi 1 − (1 + i ) − n

Aplicando los valores del problema:

R=

100,000(0.08) = Q.25,045.65 1 − (1 + 0.08) −5

Cinco pagos anuales de Q 25,045.65 liquidan por completo el crédito. Construimos la tabla de amortización. -

Saldo de la deuda inicial: es el valor de la deuda que falta por pagar al inicio del año indicado en la primera columna. Pago anual: es la cantidad de dinero que se abona al final del año correspondiente para liquidar el crédito. Se calculó con la fórmula indicada. Intereses: es igual al Saldo de la deuda inicial x tasa de interés Amortización de Capital: es igual al pago anual menos intereses. Saldo de la deuda final: es igual al saldo de la deuda inicial - amortización de capital. El saldo de la deuda final de un año es igual al saldo de la deuda inicial del año siguiente.

Año

TABLA DE AMORTIZACIONES Amortización Saldo Inicial Pago anual Intereses Saldo Final a capital

1

100,000.00 25,045.65

8,000.00

17,045.65

82,954.35

2

82,954.35

25,045.65

6,636.35

18,409.30

64,545.05

3

64,545.05

25,045.65

5,163.60

19,882.05

44,663.00

4

44,663.00

25,045.65

3,573.04

21,472.61

23,190.39

5

23,190.39

25,045.65

1,855.23

23,190.42

(0.03)

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Reconstrucción de la tabla cuando cambia la tasa de interés Cuando los créditos son a pagar en plazos muy largos, normalmente la tasa es flotante, es decir, se ajusta según alguna tasa de referencia del mercado. ¿Cómo se reconstruye la tabla cuando cambia la tasa de interés? Se sigue el siguiente procedimiento: 1. Se determina el saldo de la deuda a partir del cual se aplica la nueva tasa de interés. 2. Se encuentra el valor del nuevo pago anual considerando el nuevo saldo de la deuda, la nueva tasa de interés y los abonos que faltan por pagar. 3. Con el valor del nuevo pago anual se hace la tabla de amortización para los abonos que restan pagar. Ejercicios: 10. Supongamos que en el ejercicio anterior, después del segundo pago se eleva la tasa de interés del 8 % al 10 %. Viendo la tabla de amortización sabemos que el saldo impago después del segundo pago es de Q. 64,545.05 y faltan tres abonos por pagar. Utilizamos la fórmula anterior y encontramos el valor del nuevo pago:

R=

64,545.05(0.10) = Q.25,954.52 1 − (1 + 0.10) −3

Ahora la tabla de amortización queda como sigue:

Año Saldo Inicial 1 2 3 4 5

100,000.00 82,954.35 64,545.05 45,045.03 23,595.02

TABLA DE AMORTIZACIONES Amortización a Pago anual Intereses capital 25,045.65 25,045.65 25,954.52 25,954.52 25,954.52

8,000.00 6,636.35 6,454.50 4,504.50 2,359.50

Saldo Final

17,045.65 18,409.30 19,500.02 21,450.02 23,595.02

82,954.35 64,545.05 45,045.03 23,595.02 (0.00)

TABLA DE AMORTIZACIONES PARA ANUALIDADES DIFERIDAS EJEMPLO: 11. Un electrodoméstico tiene un valor de Q. 4,000.00 y puede ser cancelado mediante 6 cuotas mensuales iguales, a una tasa de 2.4% efectiva mensual, de tal forma que la primera cuota se cancele al final del cuarto mes. Calcular el valor de cada una de las. Siendo el valor futuro de: Q. 4,294.97

R=

4000 = Q.777.15 1 − (1 + 0.024) / 0.024 * (1 + 0.024) − 3 −6

En la siguiente tabla de amortización para anualidades diferidas observamos que al finalizar el tercer mes, tenemos exactamente la cantidad del Valor futuro Q. 4,294.97.

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TABLA DE AMORTIZACIONES ANUALIDADES DIFERIDAS Amortización a Año Saldo Inicial Pago anual Intereses Saldo Final capital 0 4,000.00 4,000.00 1 4,000.00 96.00 -96.00 4,096.00 2 4,096.00 98.30 -98.30 4,194.30 3 4,194.30 100.66 -100.66 4,294.97 4 4,294.97 103.08 674.07 3,620.90 777.15 5 3,620.90 86.90 690.25 2,930.65 777.15 6 2,930.65 70.34 706.81 2,223.83 777.15 7 2,223.83 53.37 723.78 1,500.06 777.15 8 1,500.06 36.00 741.15 758.91 777.15 9 758.91 18.21 758.94 (0.03) 777.15

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ANEXO: PROCEDIMIENTO PARA CALCULOS DE ANUALIDADES ORDINARIAS-VENCIDAS CON MICROSOFT EXCEL CALCULO DE VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE (ANUALIDADES VENCIDAS): PASOS: 1. Abrir una hoja de Microsoft Excel. 2. Escribir los datos del problema. (para efecto de este ejemplo se toma en consideración los datos del ejercicio No. 1 de este material. 3. Posicionarnos en la celda, donde queremos obtener el resultado.

4. Clic en la opción de fórmulas, luego clic en fórmulas financieras, se despliega un submenú con las diferentes opciones: buscamos VP o VF según sea el caso, para este ejemplo VF

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5. Le damos clic en VF y aparece una carpeta con los argumentos de la función, rellenamos los espacios con los datos respectivos: (es importante mencionar que en la casilla de pago, vamos incluir el valor en (-) negativo para que el resultado sea positivo), teniendo ingresado los datos le damos clic en aceptar y automáticamente tenemos nuestro resultado:

6. Por último, observamos que el resultado se ubica en la parte sombreada donde inicialmente ubicamos nuestro cursor para obtener el resultado:

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PROCEDIMIENTO PARA CÁLCULO DE RENTA (PAGOS) EN MICROSOFT EXCEL PASOS: 1. Abrir una hoja de Microsoft Excel. 2. Escribir los datos del problema. (para efecto de este ejemplo se toma en consideración los datos del ejercicio No. 4 de este material.) 3. Posicionarnos en la celda, donde queremos obtener el resultado (Renta = sombreado)

4. Clic en fórmulas en la barra de herramientas, luego clic en fórmulas financieras, se despliega un submenú con las diferentes opciones: buscamos “PAGO”:

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5. Le damos clic en “PAGO” y aparece una carpeta con los argumentos de la función, rellenamos los espacios con los datos respectivos: (es importante mencionar que en la casilla de VP para este caso ( o VF si conocemos el valor futuro en el problema), la cantidad lo anotamos en valor en (-) negativo para que el resultado sea positivo), teniendo ingresado los datos le damos clic en aceptar y automáticamente tenemos nuestro resultado

6. Por último, observamos que el resultado se ubica en la parte sombreada donde inicialmente ubicamos nuestro cursor para obtener el resultado:

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PROCEDIMIENTO PARA HALLAR EL No. De PERIODOS (nper) EN EXCEL: (anualidades) PASOS: 1. Abrir una hoja de Microsoft Excel. 2. Escribir los datos del problema. (para efecto de este ejemplo se toma en consideración los datos del ejercicio No. 5 de este material.) 3. Posicionarnos en la celda, donde queremos obtener el resultado (n = nperiodos, “sombreado”) 4. Clic en fórmula de la barra de herramientas, y seleccionamos la carpeta de fórmulas financieras:

5. En el submenú seleccionamos “NPER” para obtener el resultado de número de periodos:

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6. Rellenamos los argumentos de la función, a pesar de que conocemos el valor futuro, vamos ingresar datos en VA o valor presente (para este caso es la misma opción) es importante mencionar que nuestro resultado aparecerá en negativo, y en este caso en particular el dato corresponde a 108.89 bimestres debido que estamos trabajando con datos bimensuales) el dato que obtenemos podrá ser: mensual, bimensual, trimestral, semestral o anual según sea el caso del planteamiento del problema:

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PROCEDIMIENTO PARA CALCULOS DE ANUALIDADES ANTICIPADAS CON MICROSOFT EXCEL PASOS: 1. Abrir una hoja de Microsoft Excel. 2. Escribir los datos del problema. 3. Posicionarnos en la celda, donde queremos obtener el resultado (dependiendo el dato que busquemos: “VF” =para valor futuro, “VP”= para valor presente o actual, “PAGO” = para Renta o pagos, “NPER” = para el número de periodos de las anualidades.) 4. Clic en fórmula de la barra de herramientas, y seleccionamos la carpeta de fórmulas financieras: para este ejemplo vamos a buscar el VF:

5. Le damos clic en “VF” y rellenamos los espacios de argumentos de la función. NOTA: es el mismo procedimiento para obtener datos de anualidades ordinarias vencidas, la única diferencia es que vamos anotar en la opción “tipo” el número “1” cuando es anualidad ANTICIPADA y vamos anotar “0” o bien omitimos anotar algún número cuando se trate de anualidades VENCIDAS.

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6. Al tener los datos ingresados correctamente le damos clic en “aceptar” y obtendremos nuestro resultado en la celda sombreada de color amarillo, donde deseamos el dato que buscamos.

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PROCEDIMIENTO PARA CÁLCULO DE ANUALIDAES DIFERIDAS CON MICROSOFT EXCEL PASOS: 1. Abrir una hoja de Microsoft Excel. 2. Escribir los datos del problema. Observamos que se incluye la variable k = periodo de gracia, es el tiempo transcurrido sin efectuar un pago. 3. Nos Posicionamos en la celda, donde queremos obtener el resultado (primero obtenemos el valor FUTURO y posteriormente obtenemos el valor de la “RENTA, PAGO O ANUALIDAD” 4. Clic en fórmula de la barra de herramientas, y seleccionamos la carpeta de fórmulas financieras: para este ejemplo vamos a buscar el VF: con datos del ejercicio No. 11 de este material. Ingresamos los datos en los espacios respectivos de argumentos de Función: (observación: en el número de periodos “nper” vamos a ingresar siempre el dato de k= periodo de gracia, y no el valor de n= como en las otras anualidades, (para este ejemplo en particular es “3”).

5. Le damos clic en “aceptar” y tenemos nuestro primer dato, Valor Futuro (Q. 4,294.97), el cual nos servirá para obtener el valor de Renta.

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6. Nos posicionamos ahora en la celda de R = o sea pagos para encontrar dicho valor, lo cual procedemos a seleccionar fórmulas financieras, en el submenú seleccionamos “PAGO” e ingresamos los datos respectivos, como se muestra a continuación. Hago la observación, para buscar el valor de Renta o Pagos en la casilla nper = aquí si incluimos el valor de n = 6, luego ingresamos el dato de Va = anotamos la cantidad que obtuvimos en el paso anterior (VF = Q. 4294.97) en negativo para obtener el valor de Renta en positivo:

7. Le damos clic en “aceptar” y obtendremos nuestro resultado del PAGO, RENTA O ANUALIDAD que buscábamos.

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Bibliografía: Baca Guillermo, Ingeniería Económica. Fondo Educativo. 2005. Días Alfredo, Matemática Financiera. McGarw Hill. 1999. Orellana Rene, Matemáticas Financieras. Ediciones Superiores de Guatemala. Peter Zima, Matemáticas Financieras. McGraw Hill. 2005. Ramos Eduardo, Matemática Financiera. Universidad del Caribe, Colombia.

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