Matemática Financiera 2010 Edit

Matemática Financiera

2

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

3

Índice Presentación

5

Red de contenidos

6

Sesiones de aprendizaje SEMANA 1

SEMANA 2

SEMANA 3

SEMANA 4

SEMANA 5

SEMANA 6 SEMANA 7 SEMANA 8

: Introducción al curso Razones y proporciones, cálculo porcentual, progresiones aritméticas y geométricas. El valor del dinero en el tiempo El dinero en el tiempo, definición de interés, definición de monto definición de valor actual, diagrama tiempo valor, simbología financiera, ecuaciones de valor. Aplicaciones. : Interés Simple Régimen de interés simple, interés, monto, valor actual. Aplicaciones. Ecuaciones de valor utilizando interés simple : Aplicaciones de Interés simple Interés Compuesto Concepto de interés compuesto, diferencia entre interés simple y compuesto, monto y valor actual, aplicaciones. : Interés Compuesto Clasificación de tasas de interés, tasas equivalentes. Aplicaciones Interés Compuesto Ecuaciones de valor utilizando interés compuesto Aplicaciones de Interés compuesto Descuento bancario y racional Documentos de crédito, descuento, tipos de descuento. Aplicaciones : Aplicaciones de descuento Taller de recapitulación : Examen Parcial

: Rentas Identificación, clasificación de rentas: rentas vencidas y adelantadas. Renta temporales inmediatas vencidas y adelantadas. Valor presente y futuro. Aplicaciones de rentas temporales SEMANA 9 : Rentas Ecuaciones de valor con rentas temporales. Aplicaciones Renta temporales diferidas: Vencidas y adelantadas. Valor presente y futuro. Aplicaciones SEMANA 10 : Rentas Rentas perpetuas: inmediatas y diferidas. Adelantadas y vencidas. Aplicaciones de rentas en general SEMANA 11 Rentas Taller de recapitulación. La inflación Definición, efectos de la inflación en el análisis financiero, tasa de inflación, tasa de interés real. Aplicaciones.

CIBERTEC

7

23

39

53

67

79

87

101

111

121

CARRRERAS PROFESIONALES

4

SEMANA 12 : Devaluación Efectos de la devaluación en el análisis financiero La devaluación, Tasa de devaluación, Relación entre las tasas de interés bajo diferentes sistemas monetarios. Aplicaciones de la devaluación Evaluación del crédito Análisis de crédito en moneda nacional y extranjera. Aplicaciones SEMANA 13 : Amortización Definición, cuadro de amortización. Aplicaciones e interpretación. Métodos de amortización: Pago constante (francés).Amortización constante (alemán). SEMANA 14 : Amortización Métodos de amortización: Interés constante (americano), fondo de amortización. Método flat – Tasas equivalentes. Aplicaciones. SEMANA 15 : Depreciación de activos fijos Definición, Elementos que intervienen, Métodos de depreciación, Repercusión tributaria de la depreciación. Aplicaciones. Taller de recapitulación SEMANA 16 : Evaluación de proyectos. Definición de proyecto de inversión, Esquema de un proyecto de inversión, Componentes de un proyecto de inversión. Criterios para evaluar un proyecto: VAN, B/C, TIR. Aplicaciones.

131

139

149

161

169

SEMANA 17 : Examen Final

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

5

Presentación Este manual presenta conceptos financieros básicos que, acompañados por el respectivo sustento matemático, permitirán a los alumnos del curso familiarizarse con las actividades financieras del mercado, interpretar información financiera, realizar cálculos financieros e incluso estarán en la capacidad de tomar la mejor decisión financiera. En primer lugar, se busca rescatar en los alumnos los conocimientos matemáticos previos necesarios para construir la lógica matemática en que se respalda la teoría de finanzas. En segundo lugar, se le brinda al alumno el enfoque financiero del dinero, que por lo general, es distinto al que está acostumbrado. Luego se desarrollan, las principales operaciones y referencias financieras con sus respectivos instrumentos analíticos matemáticos. Finalmente, se hace una breve introducción a la evaluación de proyectos, que permitirá al estudiante comprender la lógica de dicha evaluación, que estará basada en los conocimientos adquiridos a lo largo del curso. Cada tema está acompañado por un conjunto de casos prácticos que permitirán reforzar el contenido teórico y relacionarlo con su significado matemático.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

6

Red de contenidos

Interés simple

Interés compuesto Descuento

Rentas

Inflación

Devaluación

Evaluación de crédito

Amortización

Depreciación

Evaluación de proyectos

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

7

SEMANA

1 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO TEMAS • •

Razones y proporciones, Porcentajes, Progresiones aritméticas y geométricas Conceptos financieros

OBJETIVOS ESPECÍFICOS • • •

Recordar los conceptos previos necesarios para el aprendizaje de los temas a tratar en el curso. Conocer la terminología utilizada en el campo financiero. Identificar la importancia del valor del dinero en el tiempo y su relación con el quehacer diario.

CONTENIDOS • • • • • •

Razones y proporciones, porcentajes, progresiones aritméticas y geométricas El dinero en el tiempo Concepto de interés, monto y valor actual. Diagrama tiempo valor Simbología financiera Ecuaciones de valor

ACTIVIDADES • Recuerdan y realizan ejercicios de razones y proporciones, porcentajes y progresiones. •

CIBERTEC

Reconocen las diferentes definiciones que se utilizan en toda operación financiera

CARRRERAS PROFESIONALES

8

INTRODUCCIÓN 1.

RAZONES Y PROPORCIONES Razón: La razón entre dos números “a” y “ b” es la división indicada “a/b” y que se lee “a es a b”. Proporción geométrica: Es la igualdad de dos razones. Por ejemplo, si decimos que en el aula hay 3 hombres por cada 2 mujeres, esto lo podríamos expresar:

H 3 = M 2 Donde H: Cantidad de hombres, y M: Cantidad de mujeres. Esto se puede leer: “_________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ ________________

Propiedad:

a) En cualquier proporción

b) En cualquier proporción

a c = se cumple: b d

a c = se cumple: b d

1.1 Aplicaciones: 1. El dinero ganado es al dinero invertido, como 1 es a 3. Hallar el dinero ganado y el total acumulado si se invirtió 6000 soles.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

9

2. Tres personas han invertido su dinero en cantidades proporcionales a 2, 5 y 7. Si después de un año las utilidades obtenidas ascienden a 28000 soles; determinar cuánto le toca a cada una.

3. Dos números están en la relación de 3 a 7. Si le quitamos 100 al mayor y se lo aumentamos al menor, ambas cantidades serían iguales. Encontrar la diferencia entre ambos números.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

10

2. PORCENTAJES El porcentaje o tanto por ciento de un número es una o varias partes iguales en que se puede dividir dicho número, es decir, uno o varios centésimos de dicho número. Por ejemplo, el 20% de un número representa veinte partes del número que ha sido dividido en cien partes iguales. El “a” por ciento de un número se representa “a%”, sin embargo, para fines prácticos su representación operativa será: a/100; por ejemplo el 45% se escribirá en forma operativa como 45/100 = 0,45. De la misma forma podemos escribir en forma operativa:

25% = 50% =

22,5% = 0,5% =

5% = 122% =

El 40% de 200 se calculará multiplicando el número por el porcentaje en forma operativa: 0,40x200 = 80; de la misma manera podemos calcular: El 35% de 60 = El 125% de 80 = El 5,5% de 120 = En el caso que se necesite calcular el valor total en que se convierte una cantidad luego de sufrir un incremento o una disminución porcentual en su valor, procedemos de la siguiente manera: Incremento: Se multiplica la cantidad original por: Disminución: Se multiplica la cantidad original por: Calculemos los valores finales en que se convierten las siguientes cantidades: -

300 se incrementa en 45%:

-

450 se incrementa en 30%:

-

250 disminuye en 35%:

-

1500 disminuye en 10%:

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

11

2.1 Aplicaciones 1.

Una persona invierte 4000 soles y sabe que luego de 6 meses recibirá una ganancia equivalente al 40% de la cantidad invertida. Determinar la ganancia obtenida y a partir de ella estimar cuál fue la ganancia promedio por mes.

2.

Una persona abre una cuenta de ahorros en el banco XYZ. Mensualmente le han llegado reportes donde le indican cuánto ha sido el incremento de su dinero. Así el primer mes aumentó en 5%, el segundo y tercer mes el 8% y del cuarto al sexto mes su dinero creció en un 10%. Si inicialmente abrió la cuenta con 1000 soles. ¿Cuánto habrá acumulado al cabo de 6 meses?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

12

3.

A partir del ejercicio anterior podría deducir una fórmula que le permita calcular el incremento total de dinero cuando hay incrementos parciales (sucesivos).

4.

Al cobrar su sueldo, un empleado sufre los siguientes descuentos: - 10% por impuesto a la renta - 9% por AFP - 1% por solidaridad con los afectados por las lluvias en la sierra. Si recibió 1235 soles. ¿Cuál es su sueldo bruto?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

3.

13

PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS 3.1 Progresión aritmética (P.A.): Es una sucesión de números, en la cual cada uno de ellos se obtiene sumando al anterior un valor constante llamado “razón” Por ejemplo:

2, 9, 16, 23, 30, 37, 43 es una progresión aritmética

Si definimos:

a1: Primer término de la P.A. an: Término enésimo de la P.A. r: Razón de la P.A. Sn: Suma de los primeros “n” términos de una P.A.

Podemos hallar el término que ocupa la posición “n”:

a n = a1 + (n − 1)r También podemos calcular la suma de los “n” primeros términos de una P.A.

 a + an   2a + (n − 1)r  Sn =  1 n =  1 n 2    2 

3.2 Progresión geométrica (P.G.): Es una sucesión de números, en la cual cada uno de ellos se obtiene multiplicando al anterior un valor constante llamado “razón” Por ejemplo:

2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458 es una progresión geométrica

Si definimos:

t1: Primer término de la P.G. tn: Término enésimo de la P.G. q: Razón de la P.G. Sn: Suma de los primeros “n” términos de una P.G.

Podemos hallar el término que ocupa la posición “n”:

t n = t1.q n −1 También podemos calcular la suma de los “n” primeros términos de una P.G.

 qn −1  S n = t1   q −1   

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

14

3.3 Aplicaciones 1. En una progresión aritmética de razón 6, el 9º término es 50; calcular el primer término y la suma de los 10 primeros.

2. En una progresión geométrica cuyo primer término es 2 y la razón 2; calcular la suma de los 10 primeros términos.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

15

3. Al abrirse las inscripciones de una prestigiosa universidad, se observa que en el transcurso de los 8 días que duró la inscripción el comportamiento fue el siguiente: 8 se inscribieron el primer día, 24, el segundo; 72, el tercero y así sucesivamente. ¿Cuál fue el total de inscritos?

4. El Sr. Pérez contrajo una deuda por la compra de un auto con una tienda donde se venden autos, comprometiéndose a pagar el valor total de un auto en 45 meses, aportando 170 dólares el primer mes; 172, el segundo mes; 174, el tercer mes y así sucesivamente; ¿cuál es el valor total del auto?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

16

5. La empresa LIBROTEC S.A. arroja pérdidas desde hace dos años, se ha descubierto que cada mes las pérdidas aumentan S/. 1300 más que el mes anterior. Si en el último mes la pérdida fue de S/. 30 700, ¿cuánto fue lo que perdió el tercer mes luego de iniciado el decaimiento?

6. El estado de cuenta del Sr. Ríos que le envía el banco ABC se muestra a continuación: Mes 0 1 2 3 4 5 Ahorros 1300 1365 1433.25 1504.91 1580.16 1659.17 Determinar: 6.1 ¿Cuánto ha ganado entre los meses 3 y 4? ¿Y qué porcentaje representa? 6.2 ¿Cuánto ha ganado entre los meses 5 y 6? 6.3 ¿Cuál será el estado de cuenta luego de un año?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

17

Autoevaluación 1.

Si el 60% de los alumnos de un curso salieron desaprobados en el examen y 374 alumnos lo aprobaron, ¿cuántos rindieron el examen?

2.

En un casino, un señor pierde el 10% de su dinero jugando poker, luego pierde 10% del resto en la ruleta, quedando finalmente con 17820 soles. Hallar cuánto dinero tenía al principio.

3.

Si un objeto es vendido por S/. 308, se pierde el 12% sobre el costo del mismo. ¿Por cuánto tendría que venderse para ganar el 20%?

4.

Un objeto valía S/. 240, y se vende rebajándolo un 5%. El que lo compró lo vendió nuevamente descontando también un 5% sobre lo que a él le costó. ¿Qué cantidad se ha rebajado en total y qué tanto por ciento sobre el valor original (inicial) representan ambos descuentos?

5. Juana compra un bolso y se hacen dos descuentos sucesivos del 20% y del 50% del precio de venta ahorrándose así S/. 14.30. ¿Cuál era el precio de venta inicial del bolso? 6.

Dos números están en la relación de 2/5, pero agregando 175 al primero y 115 al segundo, los dos son iguales. Hallar la suma de los números. b 3 = y b es 12. Calcular 3a + 2b. a 5

7.

Si

8.

La relación entre las edades de dos hermanos es de 3 a 5. Hallar la suma de las edades, si su diferencia es 30.

9. 10.

Hallar el décimo quinto término en la progresión aritmética 9, 6, 3 ... Indicar el primer término de una progresión geométrica de 5 términos de razón 2; si la suma de todos sus términos es 248.

11. En cierta oportunidad Marisa criaba conejos. Inicialmente se compró 3; al mes se duplicó esta cifra y así cada siguiente mes se duplicaba la cantidad. ¿Después de cuántos meses tiene 192 conejos? 12.

Una deuda debe ser pagada en cuotas mensuales, con un incremento de S/. 7 por cada cuota en dos años y medio. Si al cabo de 1 año y 4 meses, luego de pagar puntualmente la cuota respectiva, el deudor fallece; ¿cuál es la cantidad que quedó sin cancelar, sabiendo que la primera cuota pagada fue de S/. 10?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

18

Para recordar


En toda operación matemática el porcentaje debe utilizarse en su forma operativa.




Una ganancia negativa implica pérdida.




Un descuento no debe ser mayor que el 100%




La diferencia entre dos elementos consecutivos de una progresión aritmética es constante e igual a la razón.




El cociente entre dos elementos consecutivos de una progresión geométrica es constante e igual a la razón.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

19

ELVALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Fundamentos Generales 1.

Capital (C).- Para efectos del curso vamos a definir capital como una cantidad de dinero destinada a ser invertida, es decir, a producir más dinero.

2.

Interés (I).- Todas las operaciones financieras descansan en la costumbre de pagar una comisión, crédito o interés por el uso del dinero prestado (invertido). Esto se debe a que el dinero, como cualquier otro bien, tiene un valor intrínseco, es decir, un valor por si mismo. Por ejemplo, una persona puede tener una casa y la puede cambiar por dinero en efectivo. Si una persona no es dueña de una casa y necesita utilizar una, deberá alquilarla, es decir, deberá pagar por ello. En resumen, se define INTERÉS como el pago que se hace al propietario de un capital por el uso de su dinero. Cuando nosotros ahorramos en el banco, de hecho le estamos prestando dinero para que éste lo use y, por lo tanto, el banco debe pagar cierto interés al propietario del dinero. Cuando nosotros necesitamos dinero y lo pedimos prestado, debemos pagarle un crédito a la persona o entidad que nos presta el dinero. El interés ganado al invertir un capital es un porcentaje de dicho capital que está íntimamente ligado al periodo de tiempo que el dinero está invertido. A este porcentaje se le denomina tasa de interés ( i ) y tiene unidades de tiempo. Por ejemplo, podemos ahorrar a una tasa del 5% mensual; esto significa que nuestro capital se incrementará en el 5% de su valor por cada mes que esté depositado. Generalmente, cuando se trata de un capital invertido en un negocio, el interés que el inversionista quiere ganar se denomina tasa de retorno. Las personas que reciben un capital en préstamo se denominan prestatario o deudor y el que cede el capital prestamista o acreedor.

3.

Monto o Valor Futuro (M).- El monto es la cantidad de dinero generada luego de que al capital inicial se le añaden los intereses ganados durante el tiempo que fue prestado o invertido.

M=C+I donde:

M = Monto C = Capital I = Interés

También podemos definir al monto como el valor futuro que va a adquirir el capital inicial luego de un tiempo determinado. Esto último nos lleva a la conclusión de que el dinero cambia de valor con el tiempo.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

20

4.

Valor Actual (A).- Es el valor que tiene HOY una cantidad o capital que se va concretar en una fecha futura. Por ejemplo, para saber el valor que tendrá hoy una letra de cambio que se cobrará recién dentro de 5 meses, debemos calcular su valor actual según una tasa determinada previamente. 5. Capitalización y actual1zacion.- El planteamiento de los problemas económicos financieros se desarrollan en torno a estos dos conceptos. El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor de un capital en fecha futura que se obtendrá calculando el monto que produce dicho capital. El concepto de actualización se refiere al estudio del valor en la fecha actual de capitales que se recibirán en el futuro. En otras palabras, capitalizar es trasladar y valorizar capitales del presente al futuro y actualizar es traer y valorizar capitales del futuro al presente.

Pasado 6.

Presente

Futuro

Diagramas Tiempo - Valor.- Son gráficos que representan los ingresos y/o egresos y la fecha en que éstos se producen. Los ingresos son representados mediante flechas verticales dirigidas hacia arriba y los egresos (pagos a realizar) mediante flechas verticales dirigidas hacia abajo. Por ejemplo: 100

200 3m

6m

300 12m

9m 150

250

14m 200

La interpretación del siguiente diagrama sería: Hoy (0) se reciben 100 soles, dentro de 3 meses se debe pagar 150 soles, dentro de 6 meses se pagará 250 soles, a los 9 meses se recibirá 200 soles, al año se cancelará 200 soles y en 14 meses se recibirá 300 soles.

7.

Ecuaciones de Valor.- Son expresiones algebraicas en donde se igualan los valores en un punto (fecha) en el tiempo de dos flujos o conjuntos de pagos que son equivalentes. La fecha que se toma como referencia para hacer dicha equivalencia se denomina fecha focal (ff), y la tasa de interés que se utiliza para hacer la equivalencia generalmente se le denomina tasa de rendimiento. Son de suma utilidad si es que queremos determinar las cantidades que debemos pagar en fechas previamente establecidas a raíz de un préstamo o si se quiere refinanciar una deuda (un pago o un conjunto de pagos), etc. Por ejemplo: si un préstamo de valor P se quiere cancelar mediante dos cuotas bimestrales iguales tendríamos que utilizar una ecuación de valor para determinar el valor de estos pagos.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

21

Autoevaluación 1.

Si tenemos tres bancos como alternativas para colocar nuestros ahorros, debemos escoger aquél que nos ofrezca la _________________ tasa de interés.

2.

Si tenemos tres bancos como alternativas para pedir un préstamo, debemos escoger aquél que nos ofrezca la _________________ tasa de interés.

3.

Si Ud. debe cancelar dentro de dos meses 100 dólares y dentro de 4 meses 300 dólares, ¿Podría afirmar que el total de su deuda asciende a 400 dólares? ¿Por qué? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

4.

Representar mediante diagramas de tiempo - valor las obligaciones descritas en la pregunta anterior.

5.

Si queremos averiguar lo que un banco nos va pagar por mantener nuestro capital un periodo de tiempo, debemos calcular el ______________

6.

Si queremos calcular en cuánto se incrementará nuestro capital por mantenerlo durante un periodo de tiempo en un banco, debemos calcular el __________________

7

Si por un préstamo que nos hicieron hace 6 meses vamos a pagar 850 soles, ¿Cómo calculamos el valor del préstamo? ______________________________________________________________

8.

Ud. ha comprado una computadora al crédito comprometiéndose a pagar 18 cuotas mensuales de $50. Si luego de 12 meses desea cancelar el saldo pendiente al contado, ¿qué tiene que utilizar para calcular dicho saldo? ______________________________________________________________

9.

Debido a un préstamo, tiene que pagar, durante los próximos 12 meses, cuotas mensuales de 300 soles. Si Ud. desea refinanciar su deuda de tal forma que realice 24 pagos mensuales iguales, ¿qué tiene que utilizar para calcular el valor de dichas cuotas? ______________________________________________________________

10.

¿Es suficiente que una entidad financiera ofrezca el mayor interés por sus ahorros para que Ud. decida confiarlos a dicha entidad? En caso que su respuesta sea negativa, ¿qué otros factores se deben considerar? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

22

Para recordar


La tasa de interés tiene unidades de tiempo




El monto es el valor de un capital en el futuro




El valor actual o presente es el valor HOY de un capital futuro.




Dos conjunto de pagos equivalentes tienen el mismo valor en un misma fecha, denominada fecha focal.




Para resolver problemas de refinanciamiento, préstamos, etc; debemos utilizar las llamadas ecuaciones de valor.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

23

SEMANA

2 INTERÉS SIMPLE TEMAS


Interés simple

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •

Identificar las distintas operaciones bajo el régimen de interés simple.

•

Determinar conjuntos de pagos equivalentes bajo el régimen de interés simple

CONTENIDOS •

Definición

•

Calculo de interés

•

Calculo de monto

•

Calculo de valor actual

•

Ecuaciones de valor bajo el régimen de interés simple

ACTIVIDADES •

Realizan cálculo de interés simple.

• Determinan un conjunto de pagos equivalentes bajo el régimen de interés simple.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

24

INTERÉS SIMPLE 1 Definición.- Se denomina interés simple cuando el capital que genere los intereses permanece constante todo el tiempo de inversión. Esto quiere decir, que los intereses que se van generando durante dicho período de tiempo no van a formar parte del capital inicial para el cálculo de los intereses que se generarán en el tiempo restante. Por ejemplo: si una persona tiene un capital de 1000 soles y lo coloca en una cuenta de ahorros que gana el 10% mensual, entonces, luego de un mes habrá ganado 1000*0.10 =100 soles, habiendo acumulado S/. 1100. Si no realiza ningún retiro y lo acumulado permanece durante un mes más, en el cálculo del interés generado durante este último mes, no se considera el interés ganado y el cálculo se realiza sobre la base del capital inicial, por lo que el interés ganado durante este último mes es también 100 soles. En un régimen de interés simple, el interés generado durante un mismo periodo de tiempo permanece constante. 2 Cálculo del interés El interés ganado depende de la tasa de interés, del capital invertido y del tiempo que éste último permanece invertido. Si denotamos: I : Interés ganado C : Capital invertido i : Tasa de interés n : Tiempo que permanece invertido el capital entonces el interés ganado se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

I = C. i. n 2.1 Aplicaciones 1. Calcular el interés que gana un capital de 300 soles si permanece durante un año y medio en un banco que paga el 12% mensual.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

25

2. Determinar la ganancia que se obtiene al invertir un capital de 8000 soles durante 7 meses si la tasa de interés es del 8% anual.

3. Después de 10 meses, el interés producido por un capital de 280 soles, es 14 soles. Determinar la tasa de interés que afecta al capital.

3 Cálculo del monto Si denotamos: M: Monto; entonces el valor del monto se puede calcular mediante las fórmulas:

M =C+I

M = C (1 + i.n) 3.1 Aplicaciones

1. Si colocan S/. 3 000 al 8% de interés simple anual, ¿cuánto se habrá acumulado después de 6 años?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

26

2.

Si prestaste S/.2 625 al 4,5% de interés simple anual, y te devuelven S/.3097,50, ¿cuántos años estuvo prestado ese capital?

3.

Luego de 28 meses se retira del banco S/.21000. Determinar el capital inicialmente depositado si dicho banco pagó una tasa del 6% de interés anual.

4.

Hallar el interés simple de S/. 4 000 colocados durante 6 días al 36% anual.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

27

4 Cálculo del valor actual Si denotamos:

A

: Valor Actual

F

: Valor que adquiere un capital en el futuro

entonces el valor actual se puede calcular:

A=

F 1 + i.n

4.1 Aplicaciones 1. ¿Qué capital fue colocado al 5% de interés simple que, al cabo de 3 años, se convirtió en 23000?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

28

Actividades 1. Un joven ha ahorrado S/. 15 000 que colocó a interés simple anual, una parte al 3,5% y lo restante al 4,75%. Sabiendo que el interés total es de 629 anuales, ¿cuál era cada una de las partes del capital?

2. Un comerciante solicitó un préstamo al banco por S/. 200 000. El banco acepta y le informa que tendrá que cancelar al vencimiento el importe de S/. 208 449, 33. Si la tasa efectiva anual pactada fue del 18%, el comerciante desea saber en cuántos días tendrá que cancelar la cuenta.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

29

3. Determine qué opción es más aconsejable para invertir US$ 5 000 únicamente por tres meses, si el tipo de cambio a la fecha es de s/. 3,33 por un dólar y a los 3 meses se estima que sea de S/. 4,1 por un dólar: A : En una institución A que paga 7% del interés simple anual en dólares. B : En una institución B que paga 35% de interés simple anual en nuevos soles.

4. Un capital se depositó hace tres años al 11.8%. Al cabo de un año la tasa subió al 30.5% y durante el último año alcanzó el 51%. Si el monto actual es de S/. 1 112 441,50. Determinar el capital depositado hace tres años.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

30

5. Hoy deposito S/.5 000; después de 3 años coloco S/.10.000; 2 años más tarde S/.15.000 ¿Con cuánto contaré al cabo de 10 años si se considera un interés del 7.5% trimestral?

6. Una persona deposita S/.450 000 en una cuenta de una institución financiera que paga interés simple anual, transcurridos un mes retira S/.120 000 y dos meses después retira S/.200 000. Hallar el saldo disponible a los seis meses contados desde la fecha de depósito y coloque en el diagrama los valores que obtenga. Suponga una tasa de 15%.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

31

7. Se tienen dos alternativas de inversión: en la primera se ofrece pagar el 4.5% bimensual durante 6 meses, el 26% anual durante los siguientes 3 meses y el 15% semestral durante los siguientes tres meses. En la segunda alternativa, se ofrece pagar el 16% trimestral durante los primeros 8 meses y el 30% anual durante los últimos 4 meses. ¿Cuál es la mejor alternativa?. Justifique cuantitativamente su respuesta.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

32

Autoevaluación 1. Calcular el interés y el monto que produce un capital de S/.15 000 en 7 meses a la tasa de interés simple del 7% trimestral. 2.

La empresa AMN compró en el banco un certificado a plazo fijo, con vencimiento a dos años, ganando una tasa anual del 16%. ¿Cuál fue el monto inicial de la operación, si se sabe que vencido el plazo la empresa recibió 8063,70 soles?

3.

Los 4/5 de un capital se depositan al 51% y el resto al 50.5%. Al finalizar el tercer año, se depositan 1 millón más, colocándose todo el capital y los intereses a la lasa del 55% anual. Si al quinto año el monto es de S/. 28’633 500; ¿Cuál fue el capital inicial?

4. Una persona tenía colocado un capital al 13.25%, si lo hubiera retirado para colocarlo en otra cuenta al 15.75%, cada trimestre habría ganado S/. 468.75 más. Calcular el capital y los intereses trimestrales para cada caso. 5. Un capital se divide en tres partes que se colocan en cuentas al 5%, 4% y 3% respectivamente. Después de un año se retira el monto total de S/. 15 962,40. Calcular estos capitales si la primera parte es los 3/5 de la segunda y la tercera parte la suma de los anteriores. 6. Juan recibe S/. 50 000 como herencia. De dicha cantidad colocó una parte al 210% y el resto al 310%. Si ambas estuvieron colocadas durante dos años pero la última le produce S/. 97 400 más que la primera; ¿Qué cantidad tenía colocada a cada tasa y qué interés le produjo cada una de ellas? 7. A los quince días de haberse depositado un capital, la tasa subió de 50.5% al 55% anual. Si han transcurrido 10 meses después de esta alza el total acumulado hasta este momento es de S/.1’331 437,50. ¿Cuál fue el capital inicial? 8. Una persona deposita 1200 soles en una cuenta que gana el 10% semestral. Luego de 8 meses deposita 2000 soles. Determine lo que tendrá acumulado luego de 2 años. 9. ¿En qué tiempo podré triplicar un capital a una tasa mensual de interés simple del 5%? 10. Un artículo cuyo precio al contado es de S/. 120 es vendido con “tarjeta de crédito” para pagar S/. 127, 20 dentro de 45 días. ¿Qué tasa mensual de interés simple se cargó al crédito?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

33

Para recordar


Para utilizar las fórmulas, la tasa de interés debe coincidir con las unidades de tiempo que va a estar depositado el capital.




Para el uso de las fórmulas, la tasa de interés se debe utilizar en su forma operativa.




Financieramente, el año tiene 360 días y el mes 30 días.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

34

ECUACIONES DE VALOR BAJO EL RÉGIMEN DE INTERÉS SIMPLE ACTIVIDADES 1.

Una persona debe $ 1 500 con vencimiento en dos meses, $ 2000 con vencimiento en 5 meses y $ 3 000 con vencimiento en 8 meses. Se desea saldar las deudas mediante dos pagos iguales, uno convencimiento en 6 meses y otro con vencimiento en 10 meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo un interés del 8% tomando como fecha focal la fecha final de 10 meses.

2.

Una persona debe $ 20 000 con vencimiento a tres meses y $ 16 000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año respectivamente. Determinar el valor de las nuevas obligaciones si la tasa de rendimiento es del 8%.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

3.

35

Se pide un préstamo de 5000 soles para pagarlo mediante dos cuotas: la primera de las cuales se cancelará dentro de 3 meses y la segunda dentro de 9 meses. Si la segunda cuota es la mitad de la primera cuota, ¿cuál es el valor de dichas cuotas si se cobra una tasa del 5% trimestral?

4. Siendo el rendimiento anual del dinero del 9%, ¿qué oferta es más conveniente para la venta de un terreno? A: $60 000 al contado B: $20 000 al contado y dos cuotas: una de $10 000 a pagar dentro de 90 días y otra de $32000 a 180 días.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

36

5. Una persona tiene las siguientes obligaciones: pagar hoy 2000 soles, 5000 soles dentro de 4 meses y 6000 soles dentro de un año. Dicha persona desea refinanciar su deuda y para ello propone pagar hoy 7000 soles y el saldo dentro de seis meses. ¿Cuánto deberá abonar para cancelar su deuda si se cobra un interés del 0,5% mensual?

6. Una empresa debe cancelar con dos cuotas la compra de un equipo. El primer pago se efectuará al final del tercer mes por un importe de 8 000 y el segundo al final del mes 10 por 10000; pero propone la siguiente alternativa: pagar hoy 5000 y 135000 posteriormente. Determinar en qué tiempo se propone realizar el último pago considerando que los intereses simples son del orden de 15% anual.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

37

7. Una persona tiene las siguientes cuentas: Debe pagar hoy una letra de 450 soles, dentro de dos meses cobrará 500 soles, tres meses después de dicha cobranza recibirá 250 soles. Dentro de 8 meses deberá pagar 800 soles. ¿Cuál es el valor de las cuentas con respecto al día de hoy? Considere una tasa de interés del 15% anual.

8. El Sr. X contrajo las siguientes obligaciones: I. Hace tres meses contrajo un préstamo por 500 soles comprometiéndose a cancelar su deuda mediante dos pagos iguales a los seis y doce meses después al 12%. II. Hoy consigue prestado 800 soles para pagarlo dentro de 10 meses con una tasa de interés del 6% semestral. Hacer el diagrama tiempo valor de las deudas contraídas por Sr. X.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

38

Autoevaluación 1. Se pide un préstamo de 3000 soles para pagarlo mediante dos cuotas anuales iguales bajo una tasa del 10% anual. Hallar el valor de las cuotas. 2. Una persona tiene las siguientes obligaciones: pagar hoy 2000 soles, 5000 soles dentro de 4 meses y 6000 soles dentro de un año. Dicha persona desea refinanciar su deuda y para ello propone pagar hoy 7000 soles y el saldo dentro de seis meses. ¿Cuánto deberá abonar para cancelar su deuda si se cobra un interés del 0,5% mensual? 3. Luis Acevedo tiene las siguientes obligaciones: S/. 100,000 dentro de 30 días; S/. 200,000 dentro de 3 meses y S/. 500 000 a pagarse dentro de 6 meses. Sin embargo, él pacta con su acreedor para cancelar su deuda con tres pagos iguales que realizaran al final del tercer, sexto y noveno. Hallar el importe de los pagos, si el acreedor espera un rendimiento del 65%. 4. Se tienen dos deudas, una de S/. 45 000 a pagar dentro de una año y otra de S/. 85 000 a pagar dentro de cuatro años. Se deben cancelar estas deudas con un pago inicial de S/. 10 000 ahora mismo y otro pago “x” al final del primer año. ¿De cuánto será el pago “x” si se considera una tasa del 5% de interés simple trimestral? 5. Una persona tiene las siguientes obligaciones: debe pagar hoy una letra de 450 soles, dentro de dos meses pagará 500 soles, tres meses después de dicha cobranza deberá cancelar un pagaré por 750 soles. Le plantea a su acreedor pagarle 300 soles hoy, 400 dentro de 3 meses y el saldo dentro de 6 meses. Considerando una tasa de interés del 15% anual, ¿cuál deberá ser el pago correspondiente al sexto mes? 6. Usted recibió prestado hace 4 meses la cantidad de 2000 soles. Se comprometió a cancelar dicho préstamo mediante 3 pagos trimestrales iguales a una tasa de interés del 12% anual. Determinar: a) El valor de los pagos trimestrales. b) Si hoy se decide cancelar la totalidad de la deuda pendiente mediante un solo pago a efectuarse hoy, ¿cuál es su valor?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

39

Para recordar


Las ecuaciones de valor son útiles para encontrar conjuntos de pagos equivalentes. Podremos determinar todo el conjunto de pagos, un pago individual, la fecha en que se tendría que realizar un pago determinado o la tasa de interés que nos están cobrando.




Sólo en interés simple las tasas de interés son directamente proporcionales al tiempo; es decir una tasa del 12% anual equivale al 1% mensual, 2% bimensual, 3% trimestral, 6% semestral, etc.




La tasa de interés para calcular los valores actuales y/o los montos es la misma tanto para el conjunto original de pagos como para la nueva forma de pago equivalente.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

40

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

41

SEMANA

3 INTERÉS SIMPLE - INTERÉS COMPUESTO TEMAS



Interés simple Interés compuesto

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •

Manejar correctamente las definiciones de monto, interés y valor actual bajo el régimen de interés simple y utilizar correctamente las fórmulas correspondientes en la resolución de casos.

•

Manejar el concepto de interés compuesto y su importancia en relación al valor del dinero en el tiempo.

CONTENIDOS



Casos que se resuelven bajo el régimen de interés simple. Interés compuesto: monto, valor actual, interés

ACTIVIDADES
Desarrollan problemas de monto, interés, valor actual y ecuaciones de valor bajo el régimen de interés simple.
Desarrollan problemas de operaciones financieras bajo el régimen de interés compuesto

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

42

APLICACIONES 1.

Un capital se divide en dos: el 75% se deposita al 50.5% y el resto al 51%. Después de dos años se retiran S/. 12’200 000 y se deposita el resto del dinero al 55% anual. Si al cuarto año el monto asciende a S/. 42’000 000. Determinar el capital inicial.

2.

Un individuo deposita hoy 25000 soles y lo mantiene durante 3 años. Cumplido dicho plazo retira el monto acumulado y lo deposita en una cuenta que gana el 25% anual durante 5 años. Después gasta la mitad de los intereses ganados y lo que queda lo deposite al 6% trimestral durante 2 años. Si al final del plazo retira todo para cancelar una deuda de 95850 soles, ¿cuál es la tasa de interés que ganó durante los tres primeros años?

3.

Javier compra un televisor cuyo precio al contado es S/. 950. Él paga una cuota inicial de S/. 300 y el saldo lo cancelará dentro de un año pagando intereses del 9% mensual. Si pasado tres meses, Javier decide cancelar lo que adeuda, cuánto debería pagar.; Considerar una tasa de rendimiento del 10% mensual.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

43

4.

Una persona coloca un capital de $ 2 000 a un tasa del 6% durante 6 años y va retirando, a partir de finalizado el tercer año, los 2/3 de los intereses ganados anualmente. Calcular el monto que retirará al final del sexto año.

5.

J.J. Pérez firmó documentos por $ 4 000 con intereses al 6% por un año, con vencimiento dentro de 4 meses; por $ 10 000 con intereses al 5.5% por 3 años, con vencimiento dentro de 10 meses y $ 5 000 con intereses al 4% por 2 años, con vencimiento dentro de 8 meses. El Sr. Pérez desea saldar su cuenta realizando dos pagos iguales, uno de inmediato y otro dentro de un año. Determine el importe de cada pago si se espera un rendimiento del 5% en la operación

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

44

6.

Ray Chevez abre una libreta de ahorros hoy con 5000 soles y durante los próximos meses retira y deposita dinero, tal como se indica en la tabla adjunta. ¿Qué interés habrá acumulado al 30 de noviembre si gana una tasa del 0,5% mensual?

Fecha 30 de abril 30 de mayo 30 de junio 30 de julio 30 de agosto 30 de septiembre 30 de octubre

CARRERAS PROFESIONALES

Operación Deposita 5 000 soles Retira 1 000 soles Retira 1 200 soles Deposita 2 300 soles Retira 1 000 soles Retira 2 000 soles Deposita 2 000 soles

Saldo

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

45

Autoevaluación 1.

Un empresario debe pagar S/. 5 000 dentro de diez años. Si desea cancelar el total de esta deuda al final del quinto año, ¿cuánto tenia que pagar suponiendo que el costo del dinero es del 30% de interés simple anual?, tomando como fecha focal el día de hoy.

2. Dos capitales iguales son colocados: el primero en el Banco del Norte a una tasa del 24% anual durante 85 días; el segundo en el Banco del Sur durante 60 días a una tasa del 28% anual. Por ambas operaciones se recibió un interés simple de S/. 500 ¿cuál fue el importe de cada capital? 3.

Se otorga un préstamo por 6 500 dólares a una tasa del 7% semestral. Los pagos a realizar serán: el primero al final del primer año por un valor de 1 500 dólares; el segundo de 2500 dólares al final del año 2; el tercer pago de 1 500 dólares al final del tercer año y el saldo al final del cuarto año. Determine cuál deberá ser el valor de éste último pago.

4. Una empresa tiene una deuda de 8000 soles con vencimiento dentro de 36 días y otro compromiso de 12000 soles con vencimiento dentro de 58 días. La empresa propone a su acreedor cancelarlas con dos pagos iguales a los 45 y 90 días. ¿Cuál será el importe de cada pago si el acreedor le cobra una tasa de 24% anual. 5. Puesto que el rendimiento del dinero es del 9%, ¿qué oferta es más conveniente por un terreno? A: $ 80 000 de contado B: $ 40 000 de cuota inicial y el saldo en dos pagarés, uno de $ 11 000 a 90 días, y el otro de $ 32 000 a 180 días. 6.

Hace algún tiempo se colocó un capital al 55%, que se convirtió en S/. 1050 000,00. Si se hubiese colocado al 50.5% y por un año menos, el interés sería S/. 252 500. Determinar el capital inicial y el tiempo transcurrido.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

46

INTERÉS COMPUESTO Definición: Se dice que un capital está en el régimen de interés compuesto, cuando los intereses que genere el capital inicial pasan a formar parte de un nuevo capital, generando un nuevo interés. A dicho periodo de tiempo se le denomina periodo de capitalización y puede ser un mes, un año, un día, etc. Por ejemplo, supongamos que tenemos un capital de 100 soles que va ganar el 10% mensual capitalizable semestralmente. Esto significa que cada semestre se reintegrará al capital inicial (o anterior) el interés ganado durante dicho periodo de tiempo; así el monto acumulado luego de seis meses será el capital inicial para el siguiente semestre y esto se hará sucesivamente durante el tiempo en que el capital esté afecto al interés.

1. Monto (M).- El monto acumulado por un capital C se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

M = C (1 + i ) n Donde:

M C i n

: Monto : Capital : Tasa de interés : número de periodos de capitalización (tiempo)

1.1 Aplicaciones: 1. Calcular el valor acumulado de $ 500 al 2% mensual durante dos años y medio.

2. Calcular el tiempo en que un capital se duplica al interés compuesto del 4% anual.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

47

3. Una persona depositó 3 000 soles en un Banco. Luego de 10 meses retiró todo lo ahorrado por un valor de 3 850 soles. Determinar la tasa de interés que pagó el banco.

2. Interés (I)

I = M−C 2.2 Aplicaciones: 1. Hallar el interés ganado por un capital de 80 000 soles en un plazo de tres años afectado por una tasa del 20% anual.

2. Un capital de 2 000 soles generó una ganancia de 180 soles en 18 meses. Determinar la tasa de interés a la que estuvo impuesto dicho capital.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

48

3. Valor Actual (A).- Si F es el valor del dinero en el futuro, entonces el valor actual estará dado por:

A=

F (1 + i ) n

3.1 Aplicaciones: 1. Dentro de 15 meses Juan Travel ha decidido realizar un viaje para lo cual necesita 5 400 soles. ¿Cuánto deberá depositar hoy en un banco que paga el 12% anual para cumplir con su objetivo?

2. Un capital colocado al 6% se convertirá en S/. 50,000 después de 10 años. Otro capital colocado a la misma tasa y en 8 años se convertirá en el doble del monto anterior. ¿Cuáles son esos capitales?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

49

3. Si depositando hoy 5000 soles se recibe dentro de 160 días 5 950 soles, ¿Qué tasa de interés anual se está ganando?

APLICACIONES 1. Un capital colocado al 4.5% de interés compuesto anual se ha incrementado en un 80%. ¿Cuál fue el tiempo de la operación?

2. Una empresa depositó en un banco 1000 dólares a una tasa de interés anual de 25%. Después de 14 meses decide adquirir una máquina valorizada en 2,456.8 dólares. Diga ¿cuánto dinero adicional requerirá para comprar la máquina indicada?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

50

3. Usted deposita hoy 5400 soles en una entidad que paga el 10% mensual. Luego de 45 días la tasa aumenta a 40% trimestral. Finalmente 6 meses después de dicho aumento, la tasa disminuye al 60% anual. Determinar la cantidad que habrá acumulado después de 9 meses de realizado el depósito y el total de intereses ganados.

4. Se colocan dos capitales durante 40 meses y los montos son iguales. Si el primer capital es menor en S/. 25,000 y las tasas son del 6% y 4% respectivamente. Calcular los capitales.

5. Una persona necesita disponer de 2 500 soles dentro de 18 meses. Para ello, hoy deposita una determinada cantidad en una entidad financiera que paga el 5% trimestral. Diez meses después de haber realizado dicho depósito la tasa de interés disminuye al 1% mensual. ¿Cuál deberá ser el depósito adicional a realizar en dicha fecha (10 meses) para poder acumular a los 18 meses la cantidad deseada inicialmente?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

51

6. Un padre de familia depositó S/. 180000 en un banco para que sus tres hijos reciban sumas iguales a medida que vayan cumpliendo los 21 años. Si las edades actuales son 7, 9 y 11 años y la tase efectiva anual es del 5%. Calcular los capitales colocados en la cuenta de cada hijo.

7. Un empresario debe disponer de un capital para invertir. El objetivo del empresario es acumular $ 50 000 luego de 3 años. Actualmente tiene ahorrados $ 23000 en una entidad que paga el 10% mensual. El empresario sabe que quince meses más tarde recibirá $ 8000 que puede utilizar para invertir. ¿A qué tasa deberá colocar este dinero para poder lograr el objetivo trazado?

8. Usted planea acumular, luego de dos años, 3500 soles en una entidad bancaria. Inicialmente y durante 9 meses dicha entidad le pagará un interés del 10% trimestral. Luego, en los 10 meses siguientes dicha entidad planea pagar el 1,8% mensual y finalmente 25% anual durante el resto del tiempo. Además deberá prever que a los 6 meses deberá retirar 100 soles. ¿Qué cantidad deberá depositar?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

52

Autoevaluación 1. Jonás deposita hoy un capital 5000 soles en una cuenta que gana el x% anual para poder retirar, luego de 3 años, 5950 soles. ¿Qué tasa de interés debe ganar el dicho capital? 2. Se deposita hoy 5000 soles en una cuenta que gana el 35% anual. ¿Después de cuánto tiempo se podrá retirar 5950 soles? 3.

Pedro debe cancelar 40 000 al cabo de 7 meses . Cuánto es el valor de la deuda por la cual paga dicho importe si los intereses cargados son del 10% semestral.

4. Una persona obtiene un préstamo de $ 3 000 a 5 años con interés compuesto del 8% semestral. Calcular el monto que debe pagar en la fecha de vencimiento. 5.

Dos capitales cuya suma es de S/. 50,000 fueron colocados al interés compuesto del 1.5% trimestral durante 5 años y los intereses compuestos ganados han sido en la proporción de 3 a 5. ¿Cuáles fueron las colocaciones y cuáles los intereses ganados de cada una?

6. ¿Qué proporción de interés sobre el capital se ha ganado sabiendo que la tasa del 5% mensual en 15 meses ha permitido incrementar dicho capital hasta S/. 25,000? 7. Una persona necesita tener dentro de 3 años 45000 soles. Para ello deposita hoy una cantidad al 9% mensual. Si pasados 18 meses, la tasa de interés disminuye al 6% mensual. ¿Cuánto deberá depositar en dicha fecha para que logre el objetivo inicialmente planeado? 8. El 10 de enero se firmó un pagaré de $ 6000 a un 9% de interés. ¿En qué fecha los intereses serán de $ 359? 9. Una persona deposita hoy un capital y luego de 2 años depositará otro mayor que el primero en 5000 soles. Hallar el valor de estos capitales si se requiere tener acumulado al cabo de 3 años 25000 soles. Tasa de interés: 20% semestral.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

53

Para recordar •

El tiempo que el capital está depositado y la tasa de interés deben tener las mismas unidades.

•

En interés compuesto la equivalencia de distintas tasas no es directamente proporcional como en interés simple.

•

Si se debe hallar el tiempo al que estuvo sometido un capital, dicho tiempo tendrá las mismas unidades (de tiempo) que la tasa de interés con la que se hizo el cálculo.

•

Si se debe hallar la tasa de interés aplicada a un capital, dicha tasa tendrá las mismas unidades que el tiempo al que estuvo sometido.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

54

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

55

SEMANA

4 TASAS DE INTERÉS COMPUESTO TEMAS



Interés Compuesto – Clasificación de tasas de interés Ecuaciones de valor bajo el régimen de interés compuesto

OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Identificar las distintas clases de tasa de interés usadas en el ámbito financiero


Utilizar ecuaciones de valor bajo el régimen de interés compuesto.

CONTENIDOS • • • •

Tasas de interés Clasificación de las tasas de interés Tasas equivalentes Ecuaciones de valor bajo el régimen de interés compuesto

ACTIVIDADES •

Realizan operaciones financieras aplicando las distintas formas de interés.

• Resuelven problemas de ecuaciones de valor bajo el régimen de interés compuesto.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

56

CLASIFICACIÓN DE LAS TASAS DE INTERÉS 1. Tasa nominal (j).- Es aquella que tiene características nominativas, es decir, sólo es una tasa de referencia para un periodo determinado que generalmente es anual. Esta tasa tendrá que ser fraccionada en períodos que coincidan con el periodo de capitalización Por ejemplo, si nos referimos a una tasa del 6% capitalizable trimestralmente, se entiende que ésta tasa es nominal ( porque indican la capitalización) y que tendrá que ser fraccionada 4 veces, es decir, se capitalizará a razón de 1.5% cada tres meses. 2. Tasa efectiva (i).- Es la tasa de interés obtenida al final de un periodo de tiempo como resultado de capitalizaciones sucesivas. Es aquella tasa que mide el verdadero incremento de nuestro capital en un periodo determinado.

ñ

j  i = 1 +  − 1  m

donde: i j m ñ

: Tasa efectiva : Tasa nominal : Número de capitalizaciones según el periodo de la tase nominal : Número de capitalizaciones según el periodo de la tasa efectiva

Por ejemplo, si queremos calcular la tasa efectiva semestral que produce una tasa de interés del 24% anual capitalizable mensualmente tendríamos:

6

 0.24  i = 1 + − 1 = 0.1262 12   Aplicación: Con la tasa de interés anual de 130% capitalizable semestralmente determinar: a) La tasa de interés efectiva anual b) La tasa de interés efectiva mensual c) La tasa de interés efectiva trimestral

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

57

3. EQUIVALENCIA ENTRE TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS: A diferencia de lo que ocurre en el régimen de interés simple, la relación entre tasas de interés efectivas es exponencial, como lo podemos demostrar de la siguiente manera. Supongamos que tenemos una tasa efectiva anual ia, con dicha tasa de interés 1 calculamos el monto producido por el capital “C” en un año: M = C (1 + ia) . Una tasa equivalente efectiva mensual “im” deberá producir el mismo monto para el 12 capital “C”. Así tendríamos que el monto sería igual: M = C (1 + im) . Como dichos montos deberían ser iguales se deberá cumplir: C (1 + ia)

1

= C (1 + im)12

Al ser los capitales iguales se pueden eliminar, quedando finalmente: 1

(1 + ia)

=

(1 + im)

12

En forma práctica podríamos decir que la tasa equivalente menor sumada a la unidad se eleva a la potencia correspondiente al número de veces que está contenida en la tasa equivalente mayor. Así podríamos deducir algunas fórmulas para tasas equivalentes:

(l + im ) 6 = (l + i s ) (l + it ) 4 = (l + ia ) Aplicación. 3.1 Convertir la tasa efectiva anual (TEA) del 12%, en tasas efectivas equivalentes de periodo a) Mensual b) Trimestral c) Semestral

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

58

3.2 Convertir la tasa efectiva mensual del 1,99,%, en tasas efectivas equivalentes de periodo a) anual b) semestral c) diario

APLICACIONES 1. ¿A qué tasa de interés nominal anual capitalizable mensualmente un capital de 200 soles se convierte en 310 soles en 2 años?

2. Usted necesita conseguir 5000 dólares y para ello le presentan tres opciones: Financiera ABC: cobra el 16% capitalizable mensualmente Financiera MNP: cobra el 4% trimestral Cooperativa RST: cobra el 17,5% anual ¿Cuál alternativa le conviene elegir? Trabaje con 4 decimales.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

59

3. Se tiene la siguiente alternativa de inversión: primero se ofrece pagar el 4.5% bimensual durante 6 meses, el 28% anual durante los siguientes 3 meses y el 16% semestral durante los siguientes tres meses. Hallar la tasa de interés efectiva anual equivalente.

4. Convertir el 2,5% efectiva mensual a tasa efectiva: diaria, trimestral, semestral y anual.

5. El Sr. Pérez ha decidido comprar un automóvil. El precio del mismo es de 24 990 dólares. Hoy posee 14000 dólares, los cuales deposita en un banco a una tasa de interés del 8% anual capitalizable mensualmente. Tres años después recibe un premio de 4000 dólares. El día que recibe el premio ¿tendrá el dinero suficiente para pagar el automóvil? Si no lo tiene indique cuánto le falta.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

60

6. En la pregunta anterior suponga que depositó los 14000 dólares en el mismo banco a la misma tasa de interés. Diga ¿en cuántos meses tendrá el dinero suficiente para pagar el automóvil al contado?

7. ¿Si se contrae una deuda que, junto con sus intereses, al 34% anual capitalizable trimestralmente al final del cuarto año representara $500 000. Determine la cantidad que se deberá pagar si la deuda se cancela al cabo de 18 meses.

8. Un usuario de servicios bancarios obtiene la siguiente información para los depósitos en los tres bancos más importantes:  Banco A, 12, 255 nominal, abonando intereses trimestralmente.  Banco B, 12% nominal, abonando intereses semestralmente.  Banco C, 12.5% nominal, abonando intereses anualmente. ¿Cuál de las tres opciones es más interesante?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

61

Autoevaluación 1. Encuentre en cada uno de los casos el interés efectivo anual: a) 18,75 anual capitalizable mensualmente b) 16,98% anual capitalizable trimestralmente c) 17,23% anual capitalizable semestralmente d) 20,00% anual capitalizable anualmente 2. Con la tasa de 130% de interés anual capitalizable semestralmente determine lo siguiente: a) La tasa de interés efectiva anual b) La tasa de interés efectiva mensual c) La tasa de interés efectiva trimestral 3. Determine una tasa (nominal) capitalizable semestralmente equivalente al 24% capitalizable trimestralmente. 4. Convertir 10% efectivo semestral a tasa efectiva: diaria, mensual, trimestral, anual. 5. Calcular el monto que se ha de obtener colocando 250 al 7% anual con capitalización trimestralmente por 10 años. 6. Qué cantidad habrá acumulado dentro de 16 años un ahorrador que hace las siguientes inversiones: $1000 ahora, $ 4000 dentro de 3 años, $ 7000 dentro de 9 años, $ 1500 dentro de 11 años y $ 6000 dentro de 13 años, si la tasa de interés es (a) 6% capitalizable anualmente y (b) 6% capitalizable mensualmente. 7. ¿A qué tasa nominal anual capitalizable trimestralmente, el capital de S/. 3 000 será S/. 9000 en 3 años? 8. Un inversionista tiene tres posibilidades de invertir su dinero por un año al interés de : A: 28,5% capitalizable mensualmente B: 32,0% simple C: 30,0% capitalizable semestralmente. ¿Cuál de las tres opciones debe escoger? 9. La señora M.F deposita $ 100000 en una cuenta de ahorros que paga un interés del 28% capitalizable trimestralmente; dentro de 3 años retira la tercera parte del total cumulado en su cuenta, dos años más tarde hace un depósito igual a la mitad del saldo existente en ese momento y dos años después retira la totalidad del dinero existente en esa fecha. Hallar el valor de ese último retiro 10. ¿Qué capital se colocará al 9% con capitalización trimestral para obtener la suma de 22800 al termino de 9 años? 11. Al día de hoy sus ahorros suman 3000 dólares. A partir de hoy y durante 2 años, hará depósitos mensuales de 100 dólares (en la misma cuenta de ahorros). Dentro de un año planea hacer un depósito de 800 dólares (en la misma cuenta de ahorros). Si en la entidad financiera donde tiene sus ahorros pagan el 10% anual, ¿Cuánto tendrá en total al cabo de dos años? CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

62

Para recordar •

Si en la definición de una tasa de interés se indica el periodo de capitalización asumiremos que dicha tasa es nominal.

•

Para poder utilizar las fórmulas de monto y valor actual en interés compuesto se debe trabajar con tasas efectivas.

•

La equivalencia entre tasas nominales es similar a la existente entra las tasas de interés simple.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

63

ECUACIONES DE VALOR BAJO EL RÉGIMEN DE INTERÉS COMPUESTO. 1. Una persona debe pagar las siguientes obligaciones: hoy 1000 soles, dentro de 3 meses 800 soles y dentro de 6 meses 1200 soles. Le plantea a su acreedor cancelar 800 hoy y el saldo mediante 3 cuotas iguales a pagar dentro de 6, 12 y 18 meses. Si el acreedor le cobra una tasa del 18% capitalizable mensualmente, ¿Cuál es el valor de las cuotas?

2. Cierto tipo de maquinaria cuesta al contado 18500 dólares. Se vende al crédito pagando el 20% de cuota inicial y el saldo mediante tres cuotas proporcionales a 2, 3 y 5 pagaderas dentro de 6, 12 y 15 meses respectivamente. Si se cobra una tasa del 21% semestral, ¿Cuál es el valor de dichas cuotas?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

64

3. Una empresa obtiene un préstamo de S/. 30000 por un plazo de 7 meses y a una tasa de X% capitalizable mensualmente para los 3 primeros meses y 24% capitalizable mensualmente para los siguientes 4 meses. Si dicho préstamo fue cancelado con un pago único de S/. 36,527.67 al final del plazo mencionado, determine: a) El valor de X b) La tasa promedio mensual que se pagó. c) El interés ganado desde el mes 2 hasta el mes 4 inclusive.

4. Una persona tiene deudas contraídas por 2000, 3500 y 4500 soles con vencimiento a los 3, 6 y 12 meses respectivamente. Decide realizar un refinanciamiento al 5% mensual de tal manera que realice un único pago de 9000 soles. ¿Cuándo deberá realizar dicho pago?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

65

5. Debiendo cancelar hoy 15 000 se propone hacerlo mediante dos pagos iguales de 10 000 cada uno, los mismos que vencerán dentro de 5 y 10 años respectivamente. Halle la tasa de interés anual capitalizable anualmente.

6. Se adquiere una máquina financiada y se pacta cubrir en tres pagos de $ 60 000; $ 80 000 y $ 100 000 en los meses 8, 10 y 12 respectivamente. Hallar el valor al contado sabiendo que la financiación contempla una TEM del 2,5% para los 6 primeros meses y una TET del 9% de allí en adelante.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

66

7. Una persona tiene el siguiente conjunto de obligaciones:

800

450

350

0

3m

6m

200

8m

500

12 m

a) Hallar el valor de los compromisos tomando como referencia el cuarto mes, a una tasa del 5% mensual. b) Si luego de 5 meses se quiere financiar, al 10%, la deuda pendiente pagando 500 en ese momento y el saldo después de 6 meses, ¿Cuál será el valor de este último pago?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

67

Autoevaluación 1. Un préstamo de 2 500 soles se cancelará mediante dos cuotas iguales pagaderas dentro de 3 y 7 meses. Hallar el valor de dichas cuotas si se cobra una tasa del 1.5% mensual. 2. Una deuda de 100 000 debe pagarse, incluido los intereses del 9% capitalizable bimestralmente, la primera de 30 000 a los 2 años; la segunda de 50 000 tres años más tarde. ¿Cuál es el plazo de vencimiento de la última de 60 000? 3. Un artículo cuesta al contado 850 dólares. Se vende al crédito pagando el 20% de cuota inicial y el saldo mediante dos cuotas proporcionales a 5 y 8 pagaderas dentro de 6 y 12 meses respectivamente. Si se cobra una tasa del 16% anual, ¿cuál es el valor de dichas cuotas? 4. Una persona debe pagar las siguientes obligaciones: hoy 5000 soles, dentro de 6 meses 1500 soles y dentro de 10 meses 1200 soles. Le plantea a su acreedor cancelar su deuda mediante 3 cuotas iguales semestrales. Si el acreedor le cobra una tasa del 14% capitalizable trimestralmente, ¿cuál es el valor de las cuotas? 5. Corretajes SRL, para la venta de un inmueble propone lo siguientes: al contado $ 30000 mas tres pagarés, uno de $ 10000 a un año, otro de $ 20000 a dos años y el tercero por $ 40000 a tres años. Un comprador propone la alternativa de pagar $ 40000 al contado y dos pagarés del mismo valor, uno a dos años y el otro a cuatro años; ¿cuál es el valor de los pagarés si la tasa de interés el 18% anual con capitalización trimestral? 6. Hoy, deposito 5.000; después de 3 años coloco 10.000; 2 años más tarde 15.000, ¿con cuanto contaré al cabo de 10 años si se considera un interés del 7.5% capitalizable 3 veces al año?

7. Una persona pide $ 3.000 prestados y acuerda pagarlos en 4 pagos. El segundo pago será mayor que el primero por $200; el tercero será mayor que el segundo por $200 y el cuarto será mayor que el tercero también por $200. Si la tasa de interés compuesta es de 10%, ¿cuál es el valor del primer pago?

8. Un préstamo de $ 1000 se está pagando con anualidades de $80 a una tasa de interés del 12% capitalizable mensualmente. Si después de 7 pagos se acuerda que el resto de la deuda se cubrirá con dos pagos iguales únicos al final de los años 9 y 11 ¿A cuánto ascenderán estos pagos de forma que salden totalmente la deuda? ¿cuántos fueron el número de pagos iniciales?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

68

Para recordar •

Las ecuaciones de valor son útiles para encontrar conjuntos de pagos equivalentes. Podremos determinar todo el conjunto de pagos, un pago individual, la fecha en que se tendría que realizar un pago determinado o la tasa de interés que nos están cobrando.

•

Sólo en interés simple las tasas de interés son directamente proporcionales al tiempo; es decir una tasa del 12% anual equivale al 1% mensual, 2% bimensual, 3% trimestral, 6% semestral, etc.

•

La tasa de interés para calcular los valores actuales y/o los montos es la misma tanto para el conjunto original de pagos como para la nueva forma de pago equivalente.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

69

SEMANA

5 INTERÉS COMPUESTO - DESCUENTO TEMAS



Aplicaciones Operación financiera de Descuento

OBJETIVOS ESPECÍFICOS


Manejar correctamente las definiciones de Monto, Interés y valor actual bajo el régimen de interés compuesto y utilizar correctamente las fórmulas correspondientes en la resolución de casos.




Manejar el concepto de descuento bancario y descuento racional.

CONTENIDOS • Monto, interés, valor actual y ecuaciones de valor bajo el régimen de interés compuesto. •

Documentos de crédito

•

Descuento Bancario y Racional.

•

Interés adelantado y vencido

ACTIVIDADES •

Desarrollan problemas de interés compuesto.

•

Realizan operaciones de descuento bancario y descuento racional.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

70

1. APLICACIONES DE INTERÉS COMPUESTO 1. Se coloca desde hoy un capital ganando el 9% de interés mensual, después de 8 meses se retira la mitad de los intereses ganados hasta entonces, a los 4 meses más tarde el banco modifica la tasa de interés incrementándola en una proporción del 10% lo cual anima al ahorrista a depositar otro capital más grande que el primero en 180%; en estas condiciones el ahorrista retira todo lo acumulado equivalente a 500000 soles en un plazo total de dos años. Calcule los capitales.

2. Dos capitales de S/. 10000 y S/. 5000 fueron colocados a la lasa común del 3% compuesto anual y la suma de los dos valores adquiridos es de S/. 22,469.72. Si el segundo capital se mantuvo el doble de tiempo que el primero. Hallar dichos plazos.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

71

3. Un capital inicial de 34 500 se ha convertido en 68 000 al termino de 10 años a un interés con capitalización semestral. Determine la tasa de interés anual nominal y efectiva anual.

4. Si un documento es emitido en el Mercado Primario por $ 46,948.50 para ser redimidos en 90 días en la suma de $ 50 000. Hallar la rentabilidad trimestral y la rentabilidad efectiva mensual.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

72

5. En el proceso de adquisición de una maquinaria se han recibido las siguientes propuestas: a) al contado por $ 10.000, b) al crédito con una cuota inicial de $ 4000 y seis cuotas mensuales de $100 c/u ¿Qué opinión aceptaría usted si el costo del dinero es del 4% mensual capitalizable diariamente?

6. Un empresario debe disponer de un capital para invertir. El objetivo del empresario es acumular $ 50 000 luego de 3 años. Actualmente tiene ahorrados $ 23000 en una entidad que paga el 10% mensual. El empresario sabe que quince meses más tarde recibirá $ 8000 que puede utilizar para invertir. ¿A qué tasa deberá colocar este dinero para poder lograr el objetivo trazado?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

73

Autoevaluación 1. Un capital de 5 000 fue depositado hace un año en una entidad financiera que pagaba el 13% capitalizable trimestralmente. Actualmente, la entidad paga únicamente el 9% capitalizable mensualmente. ¿Cuánto se habrá acumulado luego de tres años? 2. Se coloca un capital al 18% anual capitalizable trimestral. ¿Cuándo el interés generado será igual al capital inicial? 3. Usted ha pedido un préstamo de 2000 soles por el que le cobrarán el 12% capitalizable mensualmente. Usted se compromete a pagarlo mediante 3 cuotas trimestrales iguales. a) ¿Cuál es el valor de cada cuota trimestral? b) Justo antes de cancelar la sexta cuota, le plantea al acreedor cancelar en ese instante 500 soles y el saldo mediante un único pago seis meses después. Si el acreedor acepta a partir de una tasa del 2% mensual, ¿cuál será el valor del último pago que cancela la deuda? 4. Determine el monto de 18 000 colocado durante 31 meses al 7% anual de interés anual capitalizable trimestralmente. 5. Hoy deposito 5 000; después de 3 años coloco 10 000; 2 años más tarde 15 000 ¿Con cuánto contaré al cabo de 10 años si se considera un interés de 7,5% capitalizable 3 veces al año? 6. Usted planea acumular, luego de dos años, 3500 soles en una entidad bancaria. Inicialmente y durante 9 meses dicha entidad le pagará un interés del 10% trimestral. Luego, en los 10 meses siguientes planea pagar el 1.8% mensual y finalmente 25% durante el resto del tiempo. Además deberá prever que a los 6 meses deberá retirar 100 soles. ¿Qué cantidad deberá depositar?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

74

DOCUMENTOS DE CRÉDITO - DESCUENTO 1. Documentos de crédito.- Es un documento que representa una “promesa” de pago a futuro, tiene valor legal. Presenta dos características importantes: un Valor Nominal (Vn) que representa el valor del pago que se efectuará a favor del poseedor de este documento en una fecha denominada Fecha de Vencimiento (fv). El valor nominal puede o no incluir los intereses generados en la operación financiera. Los documentos de crédito más conocidos son las letras de cambio y los pagarés. Las letras de cambio son documentos de pago que generalmente se adoptan al pactar un crédito comercial. La persona que compra artículos a crédito o va cancelar una deuda mediante varios pagos firma las letras que tendrá que hacerlas efectivas en la fecha de vencimiento respectiva. Los pagarés son documentos que generalmente se usan para recibir un financiamiento inmediato, firmándose el pagaré para cancelarlo en la fecha de vencimiento respectiva. Adicionalmente, estos documentos se pueden “negociar”, es decir, se puede cobrar una cantidad de dinero antes de la fecha de vencimiento del documento. Obviamente se recibirá una cantidad menor al valor nominal del documento. A esta operación se le denomina descuento.

2 Descuento.- Es la diferencia entre el valor nominal y el valor que se recibe, en el momento de descontar el documento de crédito. Existen dos tipos de descuento: 2.1 Descuento Bancario: Es calculado a partir de una tasa de descuento aplicada al valor nominal del documento y es directamente proporcional al tiempo que falta para el vencimiento del mismo. Así tenemos: n Dc = Vn*[1 – (1 - d.) ]

Donde:

Dc: Descuento Comercial Vn: Valor Nominal d: Tasa efectiva de descuento n: Tiempo que falta para el vencimiento del documento.

El valor que se recibirá (Vr) será: Vr = Vn -Dc Reemplazando el valor de Dc obtendremos finalmente: Vr = Vn*(1 - d.)

CARRERAS PROFESIONALES

n

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

75

Aplicación: 1. Dos letras de 6000 soles cada uno con vencimientos a 30 y 60 días son descontadas al 10% y 12% respectivamente. Si el descuento es bancario hallar el valor neto a recibir.

2.2 Descuento Racional: Para calcular este tipo de descuento se asume que el valor actual de un documento de crédito produce un interés desde el día de su descuento hasta el día de su vencimiento. El valor recibido sería:

Vr =

Vn (1 + i ) n

Y el descuento sería: Dr = Vn – Vr Aplicación 1. Dos letras de 6000 soles cada uno con vencimientos a 30 y 60 días son descontadas al 10% y 12% respectivamente. Si el descuento es bancario hallar el valor neto a recibir.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

76

3. Interés vencido e interés adelantado Cuando se solicita un financiamiento inmediato hay dos modalidades para cancelar dicho financiamiento: interés vencido y adelantado. Bajo el régimen de interés vencido ( i ), usted cancela el préstamo más los intereses en la fecha pactada. En cambio, bajo el régimen de interés adelantado ( d ) en el momento que recibe el préstamo se le descuentan los intereses, recibiendo menos que lo solicitado inicialmente. En la fecha de cancelación se abona la cantidad solicitada inicialmente. Ejemplo: Supongamos que hoy necesita 1000 soles. Si la tasa de interés que le cobran es del 10% anual y el plazo para pagar es de un año, tendríamos los siguientes diagramas tiempo – valor para cada caso: Cálculo del interés: (0,10)(1 000) = 100 soles

Interés Vencido:

1000 1100 Interés Adelantado:

900 1000 En el caso de interés adelantado, la tasa efectiva ya no es 10%, ¿Cuál es la verdadera tasa de interés?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

77

Se puede calcular cuál es la tasa de interés equivalente ( i ) cuando los intereses se pagan por adelantado, usando la siguiente fórmula.

i=

d 1− d

APLICACIONES 1. Calcular los valores líquidos con descuento racional y con descuento bancario de un pagaré por valor de $ 14000. Descontado 180 días antes de su vencimiento a una tasa del 8%.

2. Una persona tiene en su poder tres letras de 5000 soles con vencimiento (a partir de hoy) dentro de 6, 12 y 18 meses. Dentro de dos meses planea descontar todas las letras a una tasa de descuento del 12% anual con el objetivo de comprar un artículo cuyo costo en ese momento se estima que será de 3000 soles. ¿Podrá comprarlo? Justifique adecuadamente su respuesta.

3. El Sr. Juárez posee un pagaré que debe cancelarse dentro de dos meses y que tiene un valor nominal de $5 000. Determinar cuánto recibirá el Sr. Juárez si descuenta el pagaré hoy a una tasa de interés del 5%.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

78

4. Usted tiene en su poder una letra de 4500 de valor nominal con fecha de vencimiento dentro de 4 meses. Si se desea descontar la letra en una entidad que cobra una tasa de descuento del 4% mensual, ¿Cuándo debería descontarse dicha letra para recibir 3960 soles?

5.

Una persona posee tres letras con valores nominales de 1000, 2500 y 3000 soles y vencimientos dentro de 2, 5 y 9 meses respectivamente. Le plantean dos alternativas: A: Descontar hoy todas las letras a una tasa de descuento del 25% anual y lo obtenido invertirlo en una entidad que paga 30% semestral. B: Al vencimiento de la primera letra cobrar dicha letra y descontar las demás al 10% semestral. ¿Cuál alternativa es más conveniente si el análisis se hace en la fecha de vencimiento de la primera letra?

6. José Q. posee una letra cuyo valor nominal es de S/. 25 670. La letra se emitió a 180días. Tras un mes J. Q la descuenta en un Banco que aplica la tasa anticipada (tasa de descuento) del 60% nominal anual. Diga cuánto recibió J.Q.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

79

Autoevaluación 1. Una letra de 10000 se descuenta al 14% anual faltando 32 días para su vencimiento. Hallar el descuento y el importe neto a recibir. 2. Una letra presentada al descuento sufrió una disminución del 5% de su valor nominal faltando 60 días para su vencimiento. ¿Cuál fue la tasa aplicada? 3. El poseedor de una letra que vence dentro de 7 meses por un valor nominal de 35000 soles ha decidido negociarlo con un banco a una tasa de descuento del 25%. Calcule el descuento que se aplica al documento y el monto que recibe hoy. 4. Se recibió un préstamo de 12 000 soles con intereses vencidos al 8% anual con vencimiento dentro de 8 meses. Determine: a) ¿Cuánto recibió en el momento de efectivizar el préstamo? b) ¿Cuánto paga en la fecha de vencimiento? c) ¿Cuál es la tasa efectiva que le cobran? 5. Se recibió un préstamo de 8 000 soles con intereses adelantados al 6% anual con vencimiento dentro de 10 meses. Determine: a) ¿Cuánto recibió en el momento de efectivizar el préstamo? b) ¿Cuánto paga en la fecha de vencimiento? c) ¿Cuál es la tasa efectiva que le cobran? 6. Un pagaré es descontado en el banco el día 20 de abril, reduciéndose su valor nominal en un 2%. Si la tasa aplicada es del 9%. Hallar la fecha de su vencimiento.

7. Una persona recibe el 90% del valor nominal de una letra que ha descontado al 14%. Calcular en cuánto tiempo debía vencer dicho documento, cuando se le aplica descuento bancario y racional (por separado).

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

80

Para recordar •

El descuento bancario se utiliza cuando se aplica una tasa de descuento, en cambio, el descuento racional se emplea cuando se aplica una tasa de interés.

•

Cuando se adquiere un compromiso bajo el régimen de interés adelantado, la tasa de descuento no es la verdadera tasa efectiva cobrada. Hay que calcular la tasa de interés efectiva equivalente para saber exactamente cuál es el costo de la operación.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

81

SEMANA

6 TALLER DE RECAPITULACIÓN TEMAS


Interés Compuesto




Descuento Bancario y Racional.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •

Manejar los conceptos de interés compuesto y descuento en la realización de operaciones financieras.

CONTENIDOS •

Interés Compuesto.

•

Descuento Bancario y Racional.

ACTIVIDADES •

CIBERTEC

Desarrollan problemas de interés compuesto y descuento.

CARRRERAS PROFESIONALES

82

APLICACIONES DE DESCUENTO 1. Un documento de 1500 soles se descuenta a una tasa de interés del 13% mensual el 4 de mayo, recibiéndose 140 soles menos de lo estipulado por el valor nominal. Hallar la fecha de vencimiento.

2. La empresa KORMIN S.A con la finalidad de realizar un pago, descontó el día 09.03.03 una letra de valor nominal S/. 36000. Si la tasa de descuento que se utilizó fue 28.5% anual y el descuento fue S/. 1,710 determine la fecha de vencimiento de esta letra.

3. Un inversionista desea ganar el 12% anual de interés sobre su capital. Qué tasa de descuento bancario debe utilizar, si el período de descuento es (a) 30 días, (b) 60 días y (c) 120 días.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

83

4. Un confeccionista de camisas compra tela por valor de S/ 7,000 y dado que no cuenta con la liquidez necesaria, solicita a su proveedor un crédito por 45 días a través de una letra, en cuyo valor nominal se incluyan intereses en el régimen de interés compuesto a una tasa de 6% mensual. Luego de 21 días el proveedor descuenta dicha letra utilizando en la operación una tasa del 4.5% mensual de descuento compuesto, determine la cantidad líquida recibida por el proveedor, así como la tasa mensual.

5. Una persona recibe 5000 soles de un banco al descontar una letra 4 meses antes de su vencimiento a una tasa del 20% mensual. Llegada la fecha de vencimiento, el deudor sólo cancela el 40% del valor de la deuda y el saldo lo financia mediante dos letras de igual valor nominal y con vencimiento dentro de 3 y 6 meses. Faltando 20 días para el vencimiento de la primera letra, el banco descuenta las letras en el BCR a una tasa del 20% mensual, ¿Cuánto recibe finalmente el banco?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

84

Autoevaluación 1. El Sr. Rodríguez posee un pagaré cuyo valor nominal es de 100000 soles y tiene un rendimiento del 50% que vence dentro de 5 meses. Hallar el valor al que venderá dicho documento si aplica una tasa de descuento del 50% 2.

Calcular el valor efectivo que se recibe al descontar un pagaré de $5000, 120 días antes de su vencimiento, si el banco cobra además $5 por gastos bancarios y el 2 por mil por concepto de impuestos tributarios sobre el pagaré. La tasa de descuento es del 9%.

3. Juan Ríos tiene una letra en cartera por S/ 2895 aceptada (suscrita) el 15 de junio a 180 días de plazo; Ríos, el 15 de septiembre descontará su letra en una institución financiera que aplicara una tasa ( nominal) adelantada del 18% anual de descuento simple, calcule: a) La fecha de vencimiento b) El valor líquido o efectivo que recibirá Ríos 4. Una empresa debe a su banco los siguientes pagarés descontados, con la tase del 9% de descuento y el 12% de intereses en caso de mora a) $ 20,000 con vencimiento el 31 de agosto. b) $ 60,000 con vencimiento el 30 de setiembre. c) $ 40,000 con vencimiento el 31 de octubre. 5.

El 10 de setiembre, estando en mora de pago el primer pagaré, la empresa conviene con el banco sustituir los tres pagarés por uno solo, con vencimiento el 31 de diciembre del mismo año. Calcular el valor de este nuevo pagaré.

6. Si el importe del descuento es de 500 al 12% anual. ¿Cuánto tiempo faltaba para su vencimiento si su valor nominal es de 22 500. 7.

Un pagaré a 10 meses por $ 3 000 , al 6% simple es suscrito el día de hoy. Determinar su valor dentro de 4 meses, suponiendo un rendimiento de 5% simple.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

85

1. TALLER DE RECAPITULACIÓN 1. Una persona tiene en su poder 3 letras de valor nominal a 500, 700 y 1000 soles con vencimiento dentro de 4, 6 y 9 meses respectivamente. Si descuenta dichas letras (a una tasa de descuento del 12%) faltando 15 días para el vencimiento de la primera letra, ¿cuánto recibirá?

2. Existen cuatro alternativas para pedir un financiamiento: A: 15% anual capitalizable mensualmente B: 7,5% semestral capitalizable diariamente C. 1,5% efectivo mensual D: 14% anual con pago de intereses adelantados ¿Cuál de las alternativas es más conveniente?

3. Una persona adquirió los siguientes compromisos:

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

86

I. II. III.

Hace dos meses prestó 10000 soles al 1.5% quincenal para pagarlo después de 8 meses. Hace tres meses pidió prestado 8000 soles firmando una letra de 11500 soles cuyo vencimiento será dentro de 9 meses. Hoy recibe un préstamo de 12000 soles para pagarlo mediante tres cuotas iguales dentro de 6, 9 y 12 meses al 3% mensual. a) Hacer un diagrama tiempo valor que muestre los pagos pendientes a partir de hoy. b) Pasados 5 meses, decide refinanciar su deuda realizando tres pagos proporcionales a 1, 2 y 3 con vencimiento a los 3, 6 y 9 meses respectivamente. Si el costo de oportunidad es 18% semestral, ¿Cuál es el valor de los pagos?

4. Usted realiza hoy un depósito de 2000 soles en una cuenta que paga el 4,5% trimestral. Luego de 6 meses la tasa sube a 2.5% mensual lo que hace que usted haga un depósito de 2500 soles. Ocho meses después de este último depósito, la tasa se convierte en 10% capitalizable mensualmente. Hallar la cantidad que se podría retirar luego de dos años y medio.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

87

5. Usted desea invertir dinero al 8% simple anual de tal manera que dentro de seis años pueda retirar una suma total F. El consultor de inversiones y el banco han desarrollado los dos siguientes planes para Ud.: a) Deposita $ 351,80 ahora y $ 351,80 tres años después. b) Depositar $ 136,32 anualmente empezando del próximo año y terminando en el 6° año Dibuje los diagramas de flujo de caja. Encuentre F

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

88

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

89

SEMANA

8 RENTAS TEMAS • •

Definición de rentas. Clasificación Rentas Temporales

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •

Identificar los distintos tipos de rentas

•

Aplicar los conceptos de rentas temporales

CONTENIDOS •

Definición. Representación. Clasificación

•

Rentas Temporales Inmediatas Adelantadas y Vencida

ACTIVIDADES •

Identifican las diferentes formas de rentas.

•

Utilizan adecuadamente los conceptos de monto, valor actual e interés para rentas temporales inmediatas

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

90

RENTAS O ANUALIDADES 1. DEFINICIÓN: Se denomina renta a una sucesión de pagos (cobros periódicos anuales, semestrales, trimestrales, mensuales, etc.) que pueden ser por cantidades generalmente constantes y que se cobran o pagan al inicio o al final de cada periodo. Cada pago o depósito estará sujeto a un interés compuesto por el tiempo que comprende la renta.. La nomenclatura que se utilizará será la siguiente: R ¡ n

: Renta o pago : Tasa de interés : Número de cuotas o periodos

En general las rentas pueden ser vencidas o adelantadas. Una renta vencida está constituida de un conjunto de pagos iguales que se efectivizan al final de cada periodo o intervalo de pago. Una renta adelantada está conformada por un conjunto de pagos iguales que se efectivizan al inicio del periodo o intervalo de pago. 2. Representación: Renta vencida de 6 cuotas iguales:

0

1

2

3

4

3

4

5

6

Renta adelantada de 6 cuotas iguales

0 3.

1

2

5

Clasificación:

Temporales

Perpetuas

Inmediatas

Diferidas

Inmediatas

Diferidas

Vencidas Adelantadas

Vencidas Adelantadas

Vencidas Adelantadas

Vencidas Adelantadas

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

91

4. Identificación: 1. Para cancelar un artículo usted debe pagar 100 soles mensuales cada fin de mes, durante 6 meses.

2. Usted alquila un departamento durante un año por el que tendrá que pagar $ 250 al mes.

3. Usted adquirió un televisor comprometiéndose a pagar $70 de cuota inicial y seis pagos mensuales de $70.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

92

4. Usted adquirió un televisor cuyo precio al contado es de 350$ el 10% de cuota inicial y seis cuotas mensuales de $70.

5. Un préstamo de 2 500 soles se cancelará durante dos años mediante cuotas mensuales iguales de 180 soles, la primera de las cuales se pagará dentro de 6 meses.

6. Desde hoy y a perpetuidad recibirá 100 dólares cada tres meses.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

93

7. Una entidad tiene los siguientes compromisos: Hoy deberá pagar 300 soles y cada 3 meses durante 1 año tendrá que cancelar la misma cantidad. Dentro de 6 meses deberá abonar la primera cuota mensual, de un total de 12 cuotas, de 200 soles. Finalmente dentro de 2 años deberá cancelar 2000 soles.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

94

Autoevaluación En los siguientes casos, identificar el tipo de renta: 1. 2. 3. 4.

5.

Desde hoy y durante 3 años se depositará, cada 4 meses, 300 soles. Para cancelar un préstamo se deberá pagar cada tres meses 500 soles durante un año y medio. Dentro de 5 meses se hará el primer depósito mensual de 400 soles. En total se harán 24 depósitos. A partir del próximo año, una fundación otorgará anualmente $ 10000 a aquellas personas o instituciones que contribuyan con el avance de la informática. Una deuda se cancelará mediante pagos bimestrales de 500 soles y pagos semestrales de 300 soles. El primer pago bimestral se efectuará dentro de dos meses y el primer pago semestral dentro de 8 meses.

Para recordar •

Son requisitos indispensables para que un conjunto de pagos sea considerado como renta que las cantidades sean iguales y que el intervalo de tiempo entre dichas cantidades sea el mismo.

•

Es importante para cualquier tipo de renta que la tasa de interés coincida con el periodo de la renta

•

Una renta diferida puede interpretarse indistintamente como vencida o adelantada.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

95

RENTAS TEMPORALES INMEDIATAS 1. Definición: Son aquellas que tienen una vigencia establecida, por lo que consta de un número determinado de cuotas. Los pagos se realizan dentro del plazo del primer periodo luego de efectuado el trato. Pueden ser: 1.1. Vencidas: Los pagos se efectúan al final de cada periodo

El monto se calcula al final del último periodo y utilizando la siguiente fórmula:

 (1 + i ) n − 1  M RTIV = R  i   El valor actual se calcula hoy utilizando la siguiente fórmula:

1 − (1 + i ) − n   ARTIV = R  i  

1.2. Adelantadas o Anticipadas: Los pagos se realizan al inicio de cada periodo. El monto se calcula al final del último periodo y utilizando la siguiente fórmula:

 (1 + i ) n − 1 M RTIA = R(1 + i )   i  

El valor actual se calcula hoy utilizando la siguiente fórmula:

1 − (1 + i ) − n  ARTIA = R(1 + i )   i  

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

96

APLICACIONES 1.

Hallar el monto que se obtendrá al realizar depósitos anuales de S/. 50000 al 55% con capitalización semestral, durante 7 años.

2.

¿Qué depósitos debo realizar cada fin de año en un banco que paga 51% con capitalización trimestral, si a los 10 años quiero tener la cantidad de S/. 54’131,056?.

3.

¿Cuántos depósitos anuales, a partir de hoy, debe hacer el Sr. Pardo en un banco que paga el 55% con capitalización trimestral, si los depósitos son de S/. 200,000 y quiere llegar a tener S/.2’033, 951?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

97

4.

Un local comercial es alquilado por cuatro meses con pagos anticipados de $500 ¿Cuál es el valor del contrato de arriendo (hoy) aplicando una tasa del 13% mensual?

5.

Una máquina cuesta al contado $ 6000.000 para promover las ventas se ofrece que puede ser vendida en 24 cuotas mensuales iguales, efectuándose la primera el día de la venta. Si se carga un interés del 3% efectivo mensual. Calcular el valor de cada pago.

6. El Sr. Jaime Delgado compró una casa por S/. 300.000. Si pago S/. 50,000 y firmó 24 letras para pagar a fin de cada mes al 55% con capitalización semestral. ¿A cuánto asciende cada letra?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

98

7.

El banco de trabajo ofrece por cada S/. 1,000 de préstamo solicitado cobrar 12 mensualidades de S/. 126.85. Se pide calcular la tasa efectiva mensual y anual.

8. Una máquina produce 2 000 unidades mensuales las cuales deben venderse a $80 cada uno. El estado actual de la máquina es regular y si no se repara podría servir durante 6 meses más, pero si hoy le hacemos una reparación total a un costo de $800 000 se garantizaría que la máquina podría servir durante un año contado a partir de la reparación. Suponga una tasa del 4% efectivo mensual. ¿Sería aconsejable repararla? .

9.

Un ahorrista se propone formar un capital de 10 millones en 4 años, para lo cual deposita hoy S/. 500,000 y luego mensualmente una cantidad fija que ganará el 8% mensual. A los dos años se produce un reajuste en la tasa de interés tomando un valor de 60.10%. Calcular la mensualidad de ahorro a partir del momento de reajuste de la tasa. Calcular el total de intereses ganados en la operación

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

99

10. Para cancelar una deuda de $80 000 al 24% capitalizable mensualmente, se hacen pagos mensuales de $3 000 cada uno. a) ¿Cuántos depósitos de $3 000 deben hacerse? b) ¿Qué pago adicional hecho conjuntamente con el último pago de $3000 cancelará la deuda? c) ¿Qué pago adicional hecho un mes después del último pago de $3000 cancelará la deuda?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

100

Autoevaluación 1. Hallar el monto y el valor presente de 20 pagos de $2.00 c/u. suponiendo una tasa del 18%. 2. ¿Cuántos depósitos de fin de mes de S/.500.00, serán necesarios ahorrar para acumular un monto de S/.5 474.86 en un banco que paga 24% capitalizable mensualmente?. 3. Un padre de familia decide realizar depósitos de $300 cada 6 meses para que se le entregue a su hijo el monto existente cuando cumpla 18 años. El primer depósito lo realiza precisamente el momento en que el hijo cumple 9 años, el último cuando éste cumpla 18 años. Para una tasa 24% convertible quincenalmente calcular la cantidad que recibirá el hijo cuando cumpla los 18 años. 4. ¿En cuanto tiempo podrá acumularse un monto de $2 000 efectuando depósitos de $150 cada fin de quincena, en una institución que paga 24% capitalizable quincenalmente? 5. Una persona compra un automóvil en $6 000. Si le exigen una cuota inicial del 40% y el resto lo cancela en 36 cuotas mensuales. ¿A cuánto ascenderá la cuota, suponiendo intereses del 3.5% efectivo mensual? 6. Una persona deposita al inicio de cada mes la suma de $1 000 en fondo que paga el 27% capitalizable mensualmente. ¿Cuánto habrá acumulado al final de 5 años?. 7. Cuando un niño cumple 10 años, su padre deposita cada seis meses S/.20000 en una cuenta de ahorros en un banco que paga el 9% convertible semestralmente durante cinco años consecutivos. Calcular la cantidad que tendría disponible el cumplir 21 años. 8. Determinar cuánto se debe poner al final de cada año en un fondo para la sustitución, dentro de 8 años, de la maquinaria de una fábrica de ladrillos, cuyo costo actual es de $ 300000, si este fondo gana 55% con capitalización semestral. 9. Una deuda de $800 000 va a ser cancelada en pagos trimestrales de $78 000 durante tanto tiempo como fuere necesario. Suponiendo una tasa del 30% capitalizable trimestralmente. a) ¿Cuántos pagos de $78.00 deben hacerse? b) ¿Con qué pago final hecho 03 meses después del último pago de $78 000 cancelará la deuda?. 10. Para la adquisición de un departamento en CASA CLUB SAN ISIDRO de tres dormitorios y un área de 121.93 metros cuadrados (incluido un estacionamiento) hay dos posibilidades. Una de pagar el contado $ 104,800 o de pagar un cuota inicial de $31.440 y 144 mensualidades de $1100 Determine el costo efectivo mensual del financiamiento.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

101

Para recordar •

Para utilizar las fórmulas es necesario que la tasa de interés tenga las mismas unidades que el periodo de la renta

•

El valor actual de toda renta se calcula al inicio del primer periodo.

•

El monto de toda renta se calcula al final del último periodo.

•

Si dentro de un conjunto de pagos hay algunos que no forman parte de la renta, hay que llevarlos a la fecha focal, ya sea capitalizándolos o actualizándolos, utilizando las fórmulas correspondientes para interés compuesto.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

102

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

103

SEMANA

9 RENTAS TEMAS • •

Ecuaciones de valor con rentas temporales inmediatas Rentas diferidas

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •

Aplicar los conceptos de rentas temporales inmediatas.

•

Aplicar los conceptos de rentas diferidas adelantadas y vencidas

CONTENIDOS • Ecuaciones de valor con rentas temporales inmediatas • Rentas temporales diferidas: Adelantadas y vencidas. Monto y Valor actual

ACTIVIDADES •

Desarrollan problemas financieros de Rentas temporales inmediatas.

•

Identifican el tipo de rentas diferidas en la operación financiera.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

104

APLICACIONES INMEDIATAS 1.

DE

RENTAS

TEMPORALES

Se compra un terreno a plazos cuyo precio al contado es de $ 120000. Se entregó el 25% como inicial y por el saldo se acordó en pagar 20 cuotas trimestrales incluida del 8% capitalizable trimestralmente. Al cabo de 3 años, se dispone de dinero en efectivo y se desea cancelar toda la deuda pendiente. Calcular el pago al contado

2. Una persona desea tener S/. 100,000 dentro de 8 años, para esto realiza depósitos iguales cada fin de año en un banco que ofrece el 6% anual para los primeros 4 años y 4% anual para los últimos 4 años. Calcular el valor de los depósitos.

3.

Una deuda de S/. 1,000 se cancelará mediante 12 pagos mensuales iguales y 2 cuotas adicionales el sexto y décimo mes iguales a S/ 200 c/u. La tasa de interés es del 6% mensual. a) Calcular el valor de las cuotas mensuales. b) Si a partir del sétimo mes la tasa cambio al 8% mensual, calcular el valor de las cuotas restantes.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

105

4. Un préstamo de 10 millones será amortizado con mensualidades iguales durante 4 años, al 4% mensual. El caso es que durante el segundo año no se pagó ninguna cuota, Determine el valor de los pagos mensuales que deberán realizarse durante los últimos dos años, para cancelar la deuda.

5. Una persona necesita acumular S/. 12,000 dentro de 4 años. Para ello empieza a ahorrar una cantidad mensual constante cada fin de mes. Pasados dos años, debido a dificultades económicas, deja de ahorrar durante un año. ¿Cuál deberá ser el valor de la mensualidad durante el último año para que se pueda lograr la meta trazada?

6. Una persona compra a plazos una casa cuyo valor de contado es de $60000 pagando el 25% como cuota inicial, el saldo en cuotas mensuales durante 15 años que incluyen el 12% de interés nominal (capitalización diaria) a) Calcular el valor de cada cuota R si en el momento de la compra sólo paga la cuota inicial. b) ¿Cuál es valor de R si con la cuota inicial se paga la primera mensualidad? c) Después de haber realizado 120 pagos, decide cancelar el saldo al mes siguiente, ¿cuánto debe pagar? d) Después de los 120 pagos, ¿cuál es el valor acumulado?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

106

7. Un fondo para empleados presta a un socio la suma de dos millones para ser pagado en 3 años, mediante cuotas mensuales uniformes, con intereses sobre saldos al 24% capitalizable mensualmente. Si en el momento de pagar la sexta cuota, decide pagar en forma anticipada las cuotas 7, 8 y 9; ¿Cuál debe ser el valor a cancelar al vencimiento de la sexta cuota?

8. Una persona necesita acumular, al final de 5 años, 15,000 soles. Para ello realiza depósitos mensuales en una entidad bancaria que paga el 10% capitalizable diariamente. Después de 3 años retira la mitad de lo acumulado. ¿Cuánto deberá ser el ahorro mensual durante los 24 meses restantes para lograr acumular los 15,000 soles?.

9. Usted ha pedido un préstamo de 2000 soles por el que le cobrarán el 12% capitalizable mensualmente. Usted se compromete a pagarlo mediante 9 cuotas trimestrales iguales. a) ¿Cuál es el valor de cada cuota trimestral? b) Justo antes de cancelar la sexta cuota, le plantea al acreedor cancelar en ese instante 500 soles y el saldo mediante un único pago seis meses después. Si el acreedor acepta a partir de una tasa del 2% mensual, ¿Cuál será el valor del último pago que cancela la deuda?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

107

Autoevaluación 1. Una persona adquiere un crédito a ser cancelado en 20 pagos iguales trimestrales de S/.250.00 cada uno, que incluyen intereses del 36% capitalizable trimestralmente. El cliente habiendo cumplido puntualmente sus pagos, al vencimiento de la duodécima cuota decide cancelarla conjuntamente con el saldo adeudado. ¿Cuál es el importe total a cancelar en esa fecha? 2. Una finca que al contado cuesta $ 500000 se cancela con un pago del 20% al contado y el resto en cuotas mensuales durante 10 años con un interés del 12% con capitalización mensual. Después del sexto año se conviene pagar el saldo pendiente al contado. ¿A cuánto asciende dicho saldo? 3. Un préstamo de $80000 se amortiza en tres años con cuotas mensuales constantes al 10.8% con capitalización trimestral, aparte de dos cuotas extraordinarias al final del primer y segundo año equivalentes respectivamente a 3 y 5 veces la mensualidad. Calcular el valor de los pagos. 4. Una máquina llegará al final de su vida útil dentro de 2 años, para esa época una nueva máquina que se adquiera costará $900 000 y se estima que la máquina vieja podrá ser recibida en la suma de $200 000. ¿Qué depósito trimestral debe hacer en una cuenta que paga el 30% capitalizable mensualmente con el objeto de poder hacer la compra en el momento oportuno si el primer depósito lo hago al final de 6 meses?. 5. Una casa cuyo valor al contado es de 120,000 dólares se financia pagando el 20% de cuota inicial y el saldo mediante cuotas mensuales iguales durante 15 años. Si se cobra una tasa de interés del 18% anual: a. Determine el valor de las cuotas mensuales. b. Si conjuntamente con la cuota número 120 se quiere cancelar el saldo, ¿Cuánto deberá desembolsar? 6. Una empresa tiene pendiente de pago los siguientes compromisos: - Una letra de 2500 soles de valor nominal con vencimiento dentro de 4 meses. - Tres letras de 3000 soles cada una con vencimiento trimestral. La primera letra vence dentro de 2 meses. - Un pagaré por 4000 soles que se deberá pagar dentro de 10 meses. Hoy se conviene con el acreedor cancelar la totalidad de la deuda mediante pagos mensuales iguales durante 3 años. Si la tasa de rendimiento es del 14% capitalizable mensualmente, calcular el valor de los pagos.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

108

RENTAS TEMPORALES DIFERIDAS 1. Definición: Cuando se deja pasar un número determinado de periodos (m) antes que se efectúe el primer pago. Pueden ser: 1.1.Vencidas: Los pagos se efectúan al final de cada periodo. El monto se calcula de la misma manera que para una renta temporal inmediata vencida:

M RTDV = M RTIV El valor actual se calcula mediante la siguiente fórmula:

ARTDV =

1 − (1 + i ) − n    i (1 + i ) m   R

donde “m” es el número de periodos que está diferida la renta. 1.2.Adelantadas o anticipadas: Los pagos se realizan al inicio de cada periodo. El monto se calcula de la misma manera que para una renta temporal inmediata adelantada:

M RTDA = M RTIA El valor actual se calcula mediante la siguiente fórmula:

ARTDA =

1 − (1 + i ) − n    i (1 + i ) m −1   R

APLICACIONES 1.

Determine la cantidad de dinero que debe depositar ahora una persona para poder retirar $3 600 anuales durante 10 años, empezando dentro de 20 años, si la tasa de interés es 14% anual.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

109

2.

Una mina es adquirida sabiendo que rendirá anualmente $500000 pero recién dentro de 4 años. También se sabe que la mina se agotará después de 15 años de explotación. Para una tasa del 8%, ¿a cuánto se deberá vender hoy la mina para ganar el 15% sobre su valor real?

3.

Un préstamo de S/. 5000 se va a cancelar de la siguiente manera: 10 cuotas trimestrales iguales y 12 cuotas mensuales iguales, de tal manera que la primera cuota mensual se pagará 6 meses después de cancelar le última cuota trimestral. La cuota mensual tiene el triple de valor de la cuota trimestral y la tasa de interés que se pagará es del 2.5% mensual. Determinar: a) El valor de las cuotas trimestrales y mensuales b) Calcular el total de intereses pagados c) El monto a pagar, si se quiere cancelar el saldo de la deuda conjuntamente con la última cuota trimestral. ¿Cuánto se deberá desembolsar?

4.

Cuando su hijo cumple 12 años, un padre hace un depósito de $X en un Banco con el objeto de asegurar sus estudios universitarios; los cuales iniciará cuando cumpla 20 años. Suponiendo que para esa época, el valor de la matrícula anual en la universidad será de $30 000 y que permanecerá constante durante los seis años que duran los estudios universitarios. ¿Cuál debe ser el valor de $X?. Suponga una tasa del 30%.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

110

5.

Una deuda será cancelada de la siguiente manera: con 5 000 después de tres años y luego con 24 pagos trimestrales de 1 000 cada uno a partir de 4 años más tarde. Si estos pagos incluyen el 6% capitalizable trimestralmente. ¿Cuál fue el importe de la deuda?

6.

Se compra una casa cuyo valor al contado es de $ 100 000, pagándose como cuota inicial $40000 y el saldo mediante cuotas mensuales iguales durante 10 años, la primera de las cuales se pagará dentro de 9 meses. La tasa de interés es 2% mensual. a) Determinar el valor de las cuotas mensuales b) Si decide cancelar el saldo pendiente conjuntamente con la cuota número 70, ¿cuánto deberá desembolsar?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

111

Autoevaluación 1. Hallar el valor de un terreno si se ha pagado la tercera parte en efectivo y el resto con entregas anuales de 6 000 durante 30 años, habiendo comenzado a pagar dichas entregas 5 años después de recibir el predio, considerar una tasa 4.5%. 2. Una pareja adquirió una póliza de seguro y piensa utilizarla para financiar la universidad de su hijo. Si la póliza va a proporcionar $10 0000 dentro de doce años, ¿cuánto puede retirarse cada año durante cinco años, si el niño empieza la universidad dentro de quince años? Supóngase que i = 16% anual. 3. Un préstamo de S/.30000 se cancelará al 5% mensual mediante 16 cuotas trimestrales y 24 cuotas mensuales, equivalentes a la cuarta parte de las cuotas trimestrales, que se empezarán a pagar inmediatamente después de las cuotas trimestrales. Calcular: a) El valor de las cuotas trimestrales y mensuales b) El total de intereses pagados 4.

Usted compra al crédito un terreno, pagando 10000 dólares de cuota inicial y el saldo lo cancelará mediante 24 cuotas mensuales de 150 dólares cada una, la primera de las cuales la pagará dentro de 8 meses. Si le cobran una tasa de interés del 3% mensual, ¿cuál es el precio al contado del terreno?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

112

Para recordar •

Para que una renta sea diferida, basta que el periodo de la renta sea diferente al lapso de tiempo que hay entre el momento que se hace el trato y el primer pago.

•

En las rentas diferidas, para el cálculo del valor actual, se puede utilizar indistintamente cualquiera de las fórmulas correspondientes a rentas vencidas o adelantadas, teniendo el debido cuidado al establecer el número de periodos que está diferida la renta.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

113

SEMANA

10 RENTAS TEMAS: • Rentas perpetuas • Aplicaciones de Rentas

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •

Aplicar los conceptos de rentas perpetuas: inmediatas y diferidas.

CONTENIDOS •

Rentas perpetuas: inmediatas y diferidas. Vencidas y adelantadas

•

Aplicaciones para cualquier tipo de rentas

ACTIVIDADES •

Identifican el tipo de rentas perpetua en la operación financiera.

•

Identifican el tipo de renta que se utiliza en una determinada operación financiera

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

114

RENTAS PERPETUAS 1 Definición: Son aquellas que no tienen fin, constan de un número infinito de cuotas. Pueden ser: inmediatas o diferidas. 2 Clasificación 2.1. Inmediatas: Los pagos se realizan dentro del plazo del primer periodo luego de efectuado el trato. A su vez estas se clasifican en: a) Vencidas: Los pagos se efectúan al final de cada periodo. El valor actual se calcula mediante la siguiente fórmula:

ARPIV =

R i

b) Adelantadas o anticipadas: Los pagos se realizan al inicio de cada periodo. El valor actual se calcula mediante la siguiente fórmula:

ARPIA =

R (1 + i ) i

2.2. Diferidas: Cuando se dejan pasar un número determinado de periodos (m) antes que se efectúe el primer pago. Pueden ser: a) Vencidas: Los pagos se efectúan al final de cada periodo. El valor actual se calcula:

ARPDV =

R i.(1 + i ) m

b) Adelantadas o anticipadas: Los pagos se realizan al inicio de cada periodo. El valor actual se obtiene mediante la siguiente fórmula:

ARPDA =

CARRERAS PROFESIONALES

R i.(1 + i ) m −1

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

115

APLICACIONES 1.

Determine hoy el valor de un conjunto de depósitos perpetuos, donde mensualmente se deposita 100 soles a una tasa es del 5%.

2.

Suponiendo una tasa del 36% capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el valor presente de: a) $200 000 al final de cada mes en forma indefinida. b) $200 000 al principio de cada mes indefinidamente?.

3.

Una persona decide que el 40% de su fortuna se entregue a sus herederos y el resto pase a formar parte de una fundación que premiará anualmente, dentro de 10 años con S/. 600000 a aquellas personas que hayan contribuido con el avance de la informática. Considere una tasa del 5%. ¿Cuánto recibirán sus herederos? ¿Cuál será el valor de la fortuna?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

116

4.

Un egresado de Cibertec empieza a trabajar y ahorra trimestralmente $ 2000 durante 12 años, retirando luego durante 10 años una renta mensual a) ¿De cuánto sería el retiro mensual si el banco PTT paga 60% anual capitalizable mensualmente? b) ¿Cuánto podrá retirar por mes si la renta es perpetua?

5.

El valor actual de una renta perpetua diferida es 500000 y el valor de cada término R=50000, la tasa de interés es de 8%. ¿Cuántos periodos ha sido diferida la renta?

6.

Un inversionista deposita hoy $100 000 y $300 000 en 3 años. Al final del año 5, comienza a hacer depósitos anuales de $50 000, durante 6 años. ¿Cuánto dinero podrá retirar anualmente en forma indefinida, comenzando al final del año 14? Suponga una tasa del 20% efectivo.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

117

7. Una persona planea vivir de sus rentas dentro de 15 años. Para no tener sobresaltos estima que con 2 500 dólares mensuales estará tranquilo. Para ello planea ahorrar cada tres meses una misma cantidad en una entidad que paga el 12% anual. Si este ahorro lo planea efectuar durante 10 años, ¿Cuánto deberá ser su valor?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

118

Autoevaluación 1. Con la tasa del 25% efectivo anual. ¿Cuál debe ser el valor presente de una anualidad infinita de $600 000 al final de cada 4 años? 2. Resuelva el problema anterior modificando los pagos anticipados. 3. Reemplazar pagos de $200 000 hechos cada 2 años por pagos equivalentes cada 5 años suponiendo una tasa del 30% efectivo anual. 4. Con la tasa del 20% efectivo anual. ¿Qué es más conveniente para una universidad, recibir una renta perpetua de $800 000 cada 5 años, comenzando el primer pago en el cuarto año o recibir $200 000 anuales de renta perpetua comenzando el primero dentro de un año?. 5. Durante 10.5 años se ha depositado 400 mensuales al 5% capitalizable trimestralmente. ¿Qué monto se dispondrá después de 4 años y 6 meses más tarde del último depósito? 6. Una persona entregará su fortuna a una fundación que está a cargo de la conservación de los animales en extinción, para premiar con $ 200 000 anualmente a aquellas personas que contribuyen a la reproducción y la mejora genética de estos animales a partir de los cinco años después de su muerte. ¿Cuál es el valor del legado si es entregado inmediatamente después de su muerte?

Para recordar •

En el caso de rentas perpetuas el monto no se puede calcular debido a que hay infinitas cuotas. Se considera que es infinito.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

119

APLICACIONES DE RENTAS 1.

Una persona desea hacer regalos en las fiestas y para ello recurre a la promoción CRÉDITO FÁCIL que le permitirá hacer compras por un valor de $ X. Empezará a pagar el préstamo tres meses después de haberlo pedido mediante 18 cuotas mensuales iguales a $160 que incluyen el 8% de interés semestral. Calcular: 1.1 El valor de X 1.2 El total de intereses que pagará 1.3 Si luego de haber realizado el décimo segundo pago desea cancelar el saldo. ¿Cuánto deberá desembolsar?

2.

Una deuda de 100 000 soles se paga con 10 cuotas anuales al 5% de interés anual, las 5 primeras cuotas son iguales a 10 000 soles cada una. Calcule el importe de cada cuota correspondiente al periodo restante.

3.

Una persona desea ahorrar $ 580 mensuales durante 12 meses, el banco paga una TEM de 0.4%. Al finalizar los 12 meses empleará el monto como cuota inicial para comprar una máquina. El saldo lo pagará con 12 cuotas mensuales de $ 1,000 cada una. Si la tasa de interés es 1% TEM, diga ¿cuál es el precio al contado de la máquina?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

120

4.

Una empresa necesita comprar hoy una máquina, el modelo A cuesta $300000, el modelo B $500 000, el modelo C $700 000 y el modelo D $900 000. Si la empresa puede hacer 36 pagos mensuales de un máximo $30000 durante 3 años, pero comenzando el primer pago al final de 6 meses. ¿Cuál será el modelo más costoso que podrá comprar? Suponga una tasa del 30% capitalizable mensualmente.

5.

Un grupo de benefactoras decide dotar de equipos de laboratorio a un hospital; se estima que el costo de los equipos al día primero de Julio de 1990, será $4 millones y que necesitará de $300 000 trimestralmente, como costo de funcionamiento en forma indefinida a partir del día primero de Abril de 1991; fecha en la cual entrará en funcionamiento. ¿Cuál debe ser el valor de la donación que se haga el día primero de enero de 1990 si el dinero es invertido inmediatamente en una financiera que garantiza un rendimiento del 24% capitalizable trimestralmente?

6.

Un filántropo ha creado una institución de caridad y desea asegurar su funcionamiento a perpetuidad. Se estima que esta institución necesita para su funcionamiento $100 000, al final de cada mes, durante el primer año; $200 000 al final de cada mes durante el segundo año y $300 000 al final de cada mes en forma indefinida. Suponiendo una tasa del 30% capitalizable mensualmente. Hallar el valor de la donación.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

121

7. Si desea acumular un fondo de S/. 400 000 para su jubilación y usted ha empezado a trabajar cumplidos los 24 años y espera jubilarse a los 70 años de edad aportando mensualmente una cantidad X a dicho fondo, a una tasa de interés del 4% anual con capitalización mensual, cuánto tendrá que aportar mensualmente en su fondo.

8.

CIBERTEC

Una empresa tiene dos posibilidades para financiar una máquina. Una de ellas consiste en pagar $15,000 de inicial y una sola cuota de $ 60,000 a los 12 meses. La otra forma consiste en pagar $ 5000 de inicial y 15 cuotas vencidas de $3000 cada una. Diga cual de las maneras de financiamiento es mas rentable para la empresa si se paga una TEM de 5%.

CARRRERAS PROFESIONALES

122

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

123

SEMANA

11 RENTAS – INFLACIÓN TEMAS • •

Taller de recapitulación Inflación

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •

Identificar la renta adecuada y utilizar las fórmulas apropiadas según sea el caso.

•

Tomar decisiones financieras cuando la economía está afectada por la inflación

CONTENIDOS • Rentas temporales, inmediatas y diferidas, vencidas y adelantadas, Valor actual y monto • Rentas perpetuas, inmediatas y diferidas, vencidas y adelantadas, Valor actual • Definición de Inflación • Tasa de inflación acumulada • Tasa de interés real

ACTIVIDADES • Analizan y resuelven problemas utilizando los conceptos y asociadas a los distintos tipos de rentas.

fórmulas

• Identifican el factor inflacionario en la realización de operaciones financieras.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

124

RENTAS – TALLER DE RECAPITULACIÓN 1.

¿Qué es más conveniente, al 79.586% anual, recibir, a partir de hoy, 200 soles mensuales durante 25 años o 150 soles mensuales indefinidamente? Justifique convenientemente su respuesta.

2.

Un plan de ahorros consta de 42 depósitos mensuales:  S/. 750 mensuales durante 18 meses  S/. 1500 mensuales durante los siguientes 24 meses Si la tasa de interés es de 13.5% efectivo anual: a. ¿Cuál es el monto acumulado al final de los 42 meses? b. ¿Cuál es el monto luego de 60 meses de iniciado este plan de ahorros?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

125

3.

Una persona planea retirarse a vivir de sus rentas dentro de 20 años. Para ello deposita a partir de hoy y durante X años, 200 soles mensuales en un banco que paga el 5% mensual. 3.1 Si X = 20, ¿Cuál será su renta mensual? 3.2 Si X = 15, ¿Cuál será su renta mensual?

4.

Una persona realizará 10 depósitos bimestrales iguales vencidos de S/. 1,000 cada uno en una institución financiera que paga una tasa de 18% anual con capitalización trimestral, calcule: 4.1 El monto al final del plazo. 4.2 Si el primer depósito lo realizará dentro de tres meses ¿Cuál será el monto que obtendrá al completar las 10 rentas?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

126

5. Una persona compra un artefacto mediante un crédito de consumo a 24 meses, con pagos mensuales de S/. 81.70 cada uno. La tasa de interés es de 35.5% anual, con capitalización mensual, calcule: 5.1 El valor del artefacto al contado. 5.2 ¿Cuánto deberá abonar si quiere cancelar su deuda inmediatamente después de realizar el duodécimo pago?

6. Una deuda es cancelada mediante 12 pagos mensuales de 450 soles y 6 pagos trimestrales de 1000 soles de tal manera que, el primer pago trimestral se efectuará tres meses después de efectuado el último pago mensual. Si la tasa de interés es del 10% trimestral, hallar el valor de la deuda.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

127

INFLACIÓN 1.

Definición.- La inflación se define como el aumento continuado y sostenido, en el nivel general de los precios de los bienes y servicios de una economía. Sin embargo, en el sentido estricto de su significado, el alza de los precios es una consecuencia de la inflación y no la inflación misma. La inflación es el aumento del circulante (cantidad de dinero que maneje el país) sin un crecimiento correspondiente en la producción de bienes y servicios; es el resultado del desequilibrio entre lo que una sociedad produce y lo que ella exige. La inflación se mide por porcentajes que indican el incremento experimentado en los precios y se denota por la letra griega π . La tasa de inflación ( π ) se comporta de manera similar a la tasa efectiva del interés compuesto y afecta directamente a los precios, en forma similar el efecto que tiene una tasa de interés sobre un capital: Se cumple:

P f = Pi (1 + π ) n Donde:

Pf : Precio al final del periodo Pi : Precio al inicio del periodo π : Tasa de inflación n : Tiempo

Aplicación: 1. Estimar el precio de un bien luego de 8 meses, si actualmente su valor es de 321 soles y la tasa anual de inflación se estima en 14% anual.

2. Actualmente el bien X tiene un valor de 78 soles. En los últimos 6 meses la inflación mensual ha sido del orden del 1,3% mensual y se prevé que en los siguientes 6 meses la inflación esté en el orden del 5% trimestral. Hallar el precio del bien X hace 6 meses y dentro de los próximos 6 meses.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

128

2 Tasa de inflación acumulada Es usual que la tasa de inflación no sea constante a través del tiempo y además dada su importancia como un indicador económico, muchas veces es necesario calcular la tasa de inflación acumulada:

π acum = (1 + π1 ) n1 (1 + π 2 ) n2 − 1 Donde π 1 y π 2, son las tasas de inflación para dos períodos de tiempo consecutivos, n1 y n2 son los períodos de tiempo donde han estado vigentes dichas tasas de inflación. Aplicación 1. Hallar la tasa de inflación acumulada a lo largo de un año si se sabe que fue 2,5% mensual durante los 3 primeros meses, 5% mensual durante los 4 siguientes meses y 0,7% mensual durante el resto del año.

2. En el caso anterior, determinar la tasa de inflación promedio mensual durante dicho año.

3. Hallar la tasa de inflación acumulada a lo largo de un año si se sabe que fue 2,5% trimestral durante los 2 primeros meses, 5% semestral durante los 4 siguientes meses y 7% anual durante el resto del año.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

129

3 Tasa de interés real.- La única forma de medir el verdadero rendimiento del dinero en una economía inflacionaria es a través de la tasa de interés real. Cuando hablamos de rendimiento real de dinero en una operación de ahorros, por ejemplo, significa poder obtener, después de un determinado periodo, una cantidad de dinero mayor que la cantidad inicial, pero en términos reales que refleje mayor poder adquisitivo del dinero. En otras palabras, si con el dinero que deposité al inicio del periodo podría comprar una mesa, al final del periodo podré comprar la misma mesa más alguna silla.

La tasa de interés real se denota tr y se calcula:

tr =

i − π 1 +π

Si tr > 0 entonces el poder adquisitivo aumenta, si tr < 0 el poder adquisitivo disminuye y si tr = 0 el poder adquisitivo no aumenta ni disminuye.

APLICACIONES 1. Durante 5 meses la tasa de inflación mensual fue en promedio 2.5%, en los cuatro meses siguientes la tasa disminuyó a 2% mensual y durante los 3 meses siguientes la tasa de inflación mensual fue del 1.8%. Determinar la tasa de inflación acumulada y la tasa mensual promedio de inflación para dicho año.

2. Un artículo cuesta hoy 225 soles. Estimar el precio de dicho artículo dentro de 8 meses si la tasa de inflación trimestral es de 3.5%.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

130

3. Un artículo cuesta hoy 125 soles. Estimar el precio de dicho artículo dentro de un año si la tasa de inflación mensual durante los primeros cuatro meses es de 3.5%; en los 6 meses siguientes la tasa de inflación trimestral se estima en 9% y, finalmente la tasa de inflación diaria durante los últimos 3 meses se estima en 0.005%.

4.

Usted tiene la posibilidad de invertir en un negocio que le asegura una rentabilidad del 12% anual. ¿Aceptará participar de dicha inversión si usted considera fundamental lo que suceda con el poder adquisitivo de su dinero? Considere una inflación mensual del 0.9%.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

131

Autoevaluación 1.

Durante seis meses la tasa de inflación bimestral fue en promedio 2.5%, en los seis meses siguientes la tasa aumentó a 3% mensual y durante el tiempo restante la tasa de inflación mensual fue del 1.8%. Determinar la tasa de inflación acumulada luego de 18 meses y la tasa mensual promedio de inflación para dicho periodo de tiempo.

2.

Un artículo cuesta hoy 225 soles. Estimar el precio de dicho artículo dentro de 11 meses si la tasa de inflación anual se estima en 12.5%.

3.

Un artículo cuesta hoy 205 soles. Estimar el precio de dicho artículo dentro de dos años, si la tasa de inflación mensual durante los primeros seis meses está estimada en 3.5%; en los 10 meses siguientes, la tasa de inflación semestral se estima en 13% y, finalmente, la tasa de inflación trimestral durante el resto de tiempo se estima en 4.5%.

4.

Hoy se estima que en los ocho meses siguientes la tasa de inflación trimestral será del 2.2%; en los 6 meses siguientes la tasa sería del 2% mensual y durante los siguientes 10 meses sería del 2.8% mensual. a) Determine la tasa de inflación acumulada y la tasa de inflación promedio para dicho periodo de tiempo. b) Estime también el precio de un artículo dentro de un año y medio sabiendo que hoy cuesta 235 soles. c) ¿Qué ha pasado con el poder adquisitivo después de los dos años? Justifique adecuadamente su respuesta.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

132

Para recordar •

La tasa de inflación se comporta de la misma forma que una tasa efectiva de interés compuesto. En base a esto, para obtener tasas de inflación equivalentes se procede de manera similar.

•

Haciendo un paralelo con interés compuesto, el precio inicial de un producto equivale al capital, la tasa de inflación equivale a la tasa efectiva de interés y el precio final equivale al monto.

•

La tasa de interés real es importante para tomar decisiones acerca de alternativas de inversión en economías inflacionarias. Sólo se deberá invertir si dicha tasas es mayor que cero.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

133

SEMANA

12 LA DEVALUACIÓN TEMAS • •

Efectos de la devaluación en el análisis financiero Análisis de créditos

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •

Tomar decisiones financieras cuando se maneja diversos sistemas monetarios.

CONTENIDOS • Devaluación. Definición. Tasa de devaluación acumulada. • Tasa de Interés en moneda nacional equivalente s una tasa de interés en moneda extranjera.

ACTIVIDADES •

Desarrollan y analizan los efectos de la devaluación.

•

Analizan la mejor opción de financiamiento en distintos sistemas monetarios.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

134

DEVALUACIÓN 1.

DEFINICIÓN: Cuando el precio de una moneda extranjera se incrementa respecto a la moneda nacional, afirmamos que se ha dado una devaluación en el tipo de cambio respectivo. Este cambio generalmente es manejado en términos porcentuales (e) y su comportamiento es similar a la de una tasa efectiva de interés compuesto. A esta tasa se le denomine tasa de devaluación. El tipo de cambio es una medida del valor de una moneda extranjera en términos de una moneda nacional. Por ejemplo, en la actualidad (febrero 2007) por un dólar estamos pagando 3,24 soles. La tasa de devaluación nos permite estimar el valor del tipo de cambio luego de un periodo de tiempo en el que se hubo devaluación, de la siguiente manera:

Tc f = Tci (1 + e) n Donde: Tcf: Tipo de cambio al final del periodo Tci: Tipo de cambio al inicio del periodo e: Tasa de devaluación n: tiempo 2.

Tasa de Devaluación Acumulada Es usual que la tasa de devaluación no sea constante a través del tiempo y además, dada su importancia, al igual que la tasa de inflación, como indicador económico muchas veces es necesario calcular le tasa de devaluación acumulada:

eacum =(1 + e1 ) n1 (1 + e2 ) n 2 − 1 Donde e1 y e2 son las tasas de devaluación para dos periodos de tiempo consecutivos, n1 y n2 son los periodos de tiempo donde han estado vigentes dichas tasas de devaluación. 3.

Tasa de Interés en M.N. equivalente a una Tasa de Interés en M.E. Si:

i MN: Tasa de interés en moneda nacional i ME: Tasa de interés en monede extranjera

La equivalencia entre las tasas de interés ambas monedas se halla de la siguiente forma:

i MN = (1 + i ME ) (1 + e) − 1

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

135

APLICACIONES 1.

Durante 5 meses la tasa de devaluación mensual fue en promedio 2.5%, en los seis meses siguientes la tasa disminuyó al 1.8% mensual y durante los 3 meses siguientes la tasa de devaluación mensual fue del 2.1%. Determinar la tasa de devaluación acumulada y la tasa mensual promedio de devaluación para dicho año.

2.

El tipo de cambio actual es 3.44 soles por dólar. Estimar el tipo de cambio dentro de 10 meses si la tasa de devaluación trimestral es de 1.5%.

3.

Un artículo cuesta hoy 1725 dólares. Usted recibe hoy 4000 soles cambiándolo todo a dólares y colocándolo en una cuenta que gana el 6 %. ¿Después de cuánto tiempo podrán adquirir el artículo?

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

136

4.

Una empresa necesita financiarse un préstamo de 100 000 soles y para ello tiene dos alternativas ALTERNATIVA # 1: en soles al 5% mensual. ALTERNATIVA # 2: en dólares al 1% mensual. a) ¿Para qué tasa de devaluación es más conveniente la alternativa 2? b) Si la devaluación mensual es del 1.8%. ¿Qué alternativa elegiría? c) Para la mejor alternativa elegida en b) ¿Cuánto se debería pagar mensualmente para cancelar un préstamo en 5 años?

5.

En una cuenta en soles, se tiene ahorrado 3 000 y en una cuenta en dólares tiene $ 4 000. Dichas cuentas pagan un interés del 9% anual en soles y el 3% semestral en dólares. Un artículo indexado cuesta hoy 22 000 soles. ¿Se podrá adquirir el artículo luego de tres años? Si no es así, ¿cuál deberá ser el ahorro mensual en dólares para poder adquirirlo?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

137

Autoevaluación 1. Durante 3 meses la tasa de devaluación trimestral fue en promedio 2.5%, en los tres meses siguientes la tasa disminuyó al 0.8% mensual y durante los 6 meses siguientes la tasa de devaluación mensual fue del 2.1%. Determinar la tasa de devaluación acumulada y la tasa mensual promedio de devaluación para dicho año. 2. El tipo de cambio actual es 3.44 soles por dólar. Estimar el tipo de cambio dentro de 20 meses si la tasa de devaluación semestral es de 1.5%. 3. Usted tiene 4500 dólares en un banco que paga el 7.5% anual. Luego de 15 meses la tasa aumentó a 10% anual. Determine cuánto tendrá en soles al cabo de 2 años si la tasa de devaluación mensual es de 1%. 4. ¿Dónde le conviene ahorrar: en soles en una entidad que paga el 8% anual; o en dólares en una financiera que reditúa el 6% anual? Considere una tasa de devaluación trimestral del 1.6%.

Para recordar •

La tasa de devaluación se comporta de la misma forma que una tasa efectiva de interés compuesto. En base a esto, para obtener tasas de devaluación equivalentes se procede de manera similar.

•

Haciendo un paralelo con interés compuesto, el tipo de cambio inicial de un producto equivale al capital, la tasa de devaluación equivale a la tasa efectiva de interés y el tipo de cambio final equivale al monto.

•

Para comparar tanto alternativas de inversión como de préstamo que se presentan en distinta moneda, hay que hallar las tasas de interés a moneda nacional (M: N.).

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

138

APLICACIONES 1. Usted necesita financiar 25000 soles y para ello cuenta con tres alternativas de crédito: I: Préstamo en soles: 24% anual Monto máximo: 10 000 soles II.

Préstamo en dólares: 14.5% anual Monto máximo: 5 000 dólares

III.

Préstamo en Libras: 12% anual Monto máximo: 2 500 libras.

Se sabe que la devaluación del sol respecto al dólar es del 0.5% mensual y que la devaluación del dólar respecto a la libra es del 1.2% anual. Actualmente un dólar equivale a 3,50 soles y una libra equivale a 2 dólares. Elabore el programa de financiamiento.

2. Usted cuenta con un capital para invertir y desea determinar cuál de las siguientes alternativas le es más conveniente (inflación mensual 0.6% y devaluación semestral del 2.1%): A: Depositarlo en un banco que paga el 15% anual B: Comprar dólares y depositarlos en una cuenta que paga el 10% anual C: Comprar artículos indexados para posteriormente venderlos D: Invertir 20,000 soles en un negocio que le reportará utilidades mensuales de 1550 durante 15 meses

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

139

3. Una persona desea invertir en un pequeño proyecto que producirá ingresos anuales equivalentes a 10000 y 20000 el primer y segundo año de operaciones respectivamente. Si se quiere obtener una tasa de rendimiento real de 5% anual y se estima que la inflación anual para los dos próximos años será de 70% y 60%. ¿Cuánto debería pagar como máximo?

4. Usted tiene dos cuentas de ahorros: una en soles donde tiene acumulado (hoy) S/. 5000 y otra en dólares donde tiene $ 12500. Dentro de 6 años, usted tiene planeado comprar un auto que en dicha fecha costará $ 35,000. Si las tasas efectivas anuales en soles y en dólares son del 25% y 9% respectivamente, con lo que tiene ahorrado, ¿podrá comprar el auto?. Si no lo puede hacer, ¿cuánto debería ser el depósito mensual que deberá hacer en dólares para poder adquirirlo? Nota: Considere que la tasa de inflación anual es del 10%, la tasa de devaluación anual es del 5% y que el tipo de cambio (hoy) es de 3.60 soles por dólar

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

140

Autoevaluación 1.

Una persona ganó en la lotería 75 000 dólares y lo depositó en una cuenta que paga el 11% anual. Las tasas mensuales de inflación son de 3.0, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 y 3.6%, las tasas de devaluación mensual son de 2.5% para cada mes, el tipo de cambio inicial es de 3.4 soles por dólar. Para el final del semestre, calcular lo siguiente: a) La tasa real de interés semestral b) Si a los 6 meses quisiera comprar una casa valorizada en ese momento en 150000 soles ¿podrá hacerlo? ¿cuánto le falta?.

2.

Con una tasa de devaluación de 5% mensual (6 meses) y luego de 6% mensual (6 meses), una persona que ahora compra $5000 pagando 2.10 por dólar, al cambiarlos por soles al final del año tendrá....

3.

Un ex alumno de Cibertec desea implementar un Service de procesamiento de datos, para lo cual requiere contar con S/. 10 000 pudiendo recurrir a las siguientes fuentes de financiamiento: 1.- Línea de crédito en dólares: - Interés - Monto máximo del préstamo

12% anual 5,000 dólares

2.- Línea de crédito en Marcos Alemanes - Interés - Monto máximo del préstamo

6% anual 2,000 dólares

3.- Línea de crédito en Soles – I - Interés - Monto máximo del préstamo

2% anual Sin límite

4.- Línea de crédito en Soles - II - Interés - Monto máximo del préstamo

7.5% anual Sin límite

Datos adicionales: i) ii)

Actualmente los tipos de cambio son: S/. 3,15 por $ y 2DM por $. Se estima una devaluación del 10% del sol respecto al dólar y de 4% anual del dólar respecto al marco. iii) Se estima una inflación interna de 13% anual. Se pide: a) b) c)

Determine los costos efectivos anuales de cada línea de financiamiento. Calcule las tasas reales en cada caso. Elabore el programa de financiamiento.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

141

SEMANA

13 AMORTIZACIÓN DE DEUDAS TEMAS



Análisis de créditos Amortización de deudas: Métodos de amortización

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •

Conocer la base teórica de la amortización de deudas

•

Interpretar los cuadros de amortización

•

Construir los respectivos cuadros de amortización según el método empleado

CONTENIDOS


Pago o renta, componentes: interés y amortización




Cuadros de amortización




Sistema de amortización constante o Sistema Alemán




Sistema de pagos uniformes o Sistema Francés

ACTIVIDADES •

Conocen cómo está constituido el pago que se realiza para la amortización de una deuda.

•

Construyen los cuadros de amortización

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

142

ANALISIS DE CREDITOS – AMORTIZACIÓN 1. Definición. Es el proceso de extinción de una deuda. Cuando amortizamos una deuda, por lo general, estamos devolviendo la cantidad de dinero que hemos recibido en préstamo. Los desembolsos destinados a cancelar la deuda se conocen como Pagos o Servicios de Deuda (Rk). Una parte de estos pagos corresponde a la amortización en si y la otra parte corresponde a los intereses que se cobran sobre el saldo de la deuda. Se cumple la siguiente relación:

RK = C k + I k donde:

Rk: Pago o servicio de deuda del k-ésímo periodo Ck: Amortización del k-ésimo periodo Ik: Interés del k-ésimo periodo

En relación a la selección de créditos, si seleccionamos aquellos con costo más bajo (la menor suma de intereses) podemos incurrir en error, porque cabe recordar que el dinero varía con el tiempo y los intereses están determinados en diferentes períodos de tiempo.

2.

Cuadros de Amortización Un cuadro de amortización nos permite visualizar cómo se va amortizando el préstamo solicitado pago por pago. Nos permite establecer el pago, el interés y la amortización que se paga periodo por periodo. Además podremos visualizar lo que falta pagar y estimar cuánto ya se ha pagado. Ejemplo: Un préstamo de 15 000 dólares se cancelará mediante 36 cuotas mensuales iguales a una tasa del 9% anual.. Para elaborar el cuadro de amortización correspondiente debemos calcular primero la tasa efectiva mensual y a partir de ella el pago mensual constante. Cálculo de la tasa efectiva mensual: im = 12 1 + 0.09 − 1 = 0.00721

Cálculo del pago mensual:

De donde obtenemos:

CARRERAS PROFESIONALES

1 − (1.00721) − 36  A = 15000 = R   0.00721  

R = 474.55 dólares

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

143

El cuadro de amortización correspondiente es: Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

Pago (Rk)

Amortización C(k)

Interés (Ik)

474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55 474,55

366,44 369,08 371,74 374,42 377,12 379,84 382,57 385,33 388,11 390,91 393,72 396,56 399,42 402,30 405,20 408,12 411,06 414,02 417,01 420,01 423,04 426,09 429,16 432,25 435,37 438,51 441,67 444,85 448,06 451,28 454,54 457,81 461,11 464,44 467,78 471,07 Total:

108,11 105,47 102,81 100,13 97,43 94,71 91,98 89,22 86,44 83,64 80,83 77,99 75,13 72,25 69,35 66,43 63,49 60,53 57,54 54,54 51,51 48,46 45,39 42,30 39,18 36,04 32,88 29,70 26,49 23,27 20,01 16,74 13,44 10,11 6,77 3,40 2083,71

Saldo 15000 14633,56 14264,48 13892,74 13518,32 13141,20 12761,36 12378,79 11993,45 11605,34 11214,44 10820,71 10424,15 10024,73 9622,43 9217,24 8809,12 8398,06 7984,04 7567,03 7147,02 6723,98 6297,89 5868,73 5436,48 5001,11 4562,61 4120,94 3676,09 3228,04 2776,75 2322,21 1864,40 1403,29 938,85 471,07 0,00

Del cuadro podemos deducir lo siguiente (por ejemplo): 1) El pago correspondiente al décimo mes es igual a ___________________________ 2) El interés correspondiente al quinto mes es ____________________________ 3) Con el vigésimo pago la deuda disminuyó en _______________________________ 4) Después de haber realizado 24 pagos la deuda es __________________________ 5) Después de haber realizado 24 pagos se ha cancelado _______________ del préstamo original.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

144

6) El total de intereses pagados es ___________________________ 7) Si quisiéramos cancelar la deuda inmediatamente después de haber realizado el décimo quinto pago, ¿Cuánto deberíamos pagar? _____________________________ Aplicación: Completar el siguiente cuadro de amortización: Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Pago (Rk)

Amortización C(k)

Interés (Ik)

609,82 609,82 609,82 609,82 609,82 609,82 609,82 609,82 609,82 609,82 609,82 609,82 609,82 609,82 609,82 609,82 609,82 609,82

509,82 514,92

100,00 94,90 89,75 84,55 79,30 73,99

525,27 530,52 535,83 541,18 546,60 552,06 557,58 563,16 568,79 574,48 580,22 586,02 591,89 597,80 603,79 Total:

63,22 57,76 52,24 46,66 41,03 35,34 29,60 23,80 17,93 12,02 6,04 976,77

Saldo 10000 9490,18 8975,26 8455,19 7929,93 7399,41 6863,58 6322,40 5775,80 5223,74 4103,00 3534,21 2959,73 2379,51 1793,48 1201,60 603,79 0,00

Determinar: a) ¿A cuánto asciende el préstamo? b) ¿Cuál es la tasa de interés cobrada? c) ¿En cuánto disminuyó la deuda después de realizar el duodécimo pago? d) ¿Qué cantidad correspondió al interés cuando se realizó el noveno pago? e) ¿Cuánto se debe después de pagar durante un año? f) ¿Cuánto ha disminuido la deuda luego de un año? Aplicación: Utilizando la teoría de rentas, resuelva el siguiente caso: Un préstamo de 10 000 soles se paga mediante cuotas mensuales iguales al 1% mensual durante 18 meses. Calcule: a) El pago mensual y el total de intereses pagados b) El saldo de la deuda después de haber realizado 12 pagos c) La cantidad de deuda pagada luego de doce pagos

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

145

Autoevaluación Dado el siguiente cuadro de amortización: Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Pago (Rk)

Amortización C(k)

Interés (Ik)

458,4 458,4 458,4 458,4 458,4 458,4 458,4 458,4 458,4 458,4 458,4 458,4

383,40 389,15 394,99 400,91 406,93 413,03 419,23 425,51 431,90 438,38 444,95 451,63

75,00 69,25 63,41 57,49 51,47 45,37 39,17 32,89 26,50 20,02 13,45 6,77

Saldo 5000 4616,60 4227,45 3832,46 3431,55 3024,62 2611,59 2192,36 1766,85 1334,95 896,58 451,63 0,00

Determinar: 1. ¿A cuánto asciende el préstamo? ______________________________ 2. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada? _____________________________________ 1) El pago correspondiente al décimo mes es igual a ___________________________ 2) El interés correspondiente al quinto mes es ____________________________ 3) Con el octavo pago la deuda disminuyó en ________________________________ 4) Después de haber realizado 6 pagos la deuda es ___________________________ 5) Después de haber realizado 8 pagos se ha cancelado _______________ del préstamo original. 6) El total de intereses pagados es ___________________________ 7) Si quisiéramos cancelar la deuda inmediatamente después de haber realizado el séptimo pago, ¿Cuánto deberíamos pagar? __________________________________

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

146

MÉTODOS DE AMORTIZACIÓN 1. Sistema de amortización constante o sistema alemán En este sistema las cuotas de capital o amortizaciones (Ck) son constantes.

Ck =

donde :

P n

P : Valor del préstamo n : Número de cuotas

Procedimiento: 10 Se calcula Ck 20 Se calcula el interés a pagar por el primer periodo: I = (préstamo).i; donde “i” es la tasa de interés cobrada. En general, el interés se halla multiplicando el saldo de la deuda por la tasa de interés. 30 Se calcula Rk = Ck + Ik 40 Se determina el saldo de la deuda (saldo anterior menos amortización del período) 50 Se repite el procedimiento Ejemplo:

Préstamo: 9000 soles Plazo: 8 meses Tasa: 2% mensual

Cálculo de la Amortización:

PERIODO 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Rk

Ck

Ik

Saldo

2.2 Sistema de pagos uniformes o sistema francés Este sistema se respalda en la teoría de rentas, ya que el pago o servicio de deuda se calcula basándose en este principio.

Rk =

CARRERAS PROFESIONALES

P.i 1 − (1 + i ) − n

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

147

Procedimiento: 10 Se calcula Rk 20 Se calcula el interés a pagar por el primer periodo : I = (préstamo).i; donde “i” es la tasa de interés cobrada. En general, el interés se halla multiplicando el saldo de la deuda por la tasa de interés. 0 3 Se calcula Ck = Rk – Ik 40 Se determina el saldo de la deuda (saldo anterior menos amortización del periodo) 50 Se repite el procedimiento. NOTA : Si queremos calcular el valor de la amortización en el k-ésimo periodo, utilizamos la siguiente fórmula:

C k = C1 (1 + i) k −1 Ejemplo :

Préstamo: Plazo : Tasa :

9000 soles 8 meses 2% mensual

Cálculo del pago mensual:

PERIODO 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Rk

Ck

Ik

Saldo

APLICACIONES 1.

CIBERTEC

Se pide un préstamo de 15000 soles para cancelarlo en 10 cuotas mensuales al 2.5% mensual. Hacer el cuadro de amortización correspondiente si durante los primeros cinco meses utiliza el método de amortización constante y en los últimos cinco meses se utiliza el método de pagos constantes.

CARRRERAS PROFESIONALES

148

2.

Se pacta un préstamo de 20000 soles al 47.64% anual para pagarlo mediante cuotas constantes durante 36 meses. Calcular el saldo de la deuda inmediatamente después de haber pagado la cuota 27.

3.

Resolver el problema anterior suponiendo que las amortizaciones son constantes.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

149

Autoevaluación 1. Se pide un préstamo de 25000 para cancelarlo en 8 cuotas mensuales al 36% anual. Hacer el cuadro de amortización correspondiente si se utiliza el sistema de: a) Amortización constante b)Pagos constantes 2. Se pidió un préstamo de 5000 soles para pagarlo durante 5 años mediante cuotas bimestrales constantes. Hallar el saldo de la deuda después de haber pagado la cuota 40 si se utilizó el método de pagos constantes. Hacer lo mismo si se utilizó el método de amortizaciones constantes.

3. Se pacta un préstamo de 5000 soles al 21% anual para pagarlo mediante cuotas constantes durante 24 meses. Calcular el saldo de la deuda inmediatamente después de haber pagado la cuota 18.

4. Se pacta un préstamo de 5000 soles al 21% anual para pagarlo utilizando el método alemán durante 24 meses. Calcular el saldo de la deuda inmediatamente después de haber pagado la cuota 18.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

150

Para recordar Podemos observar que para una misma tasa de interés y la misma cantidad de cuotas, el método de amortización alemán genera menor interés total que el método francés.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

151

SEMANA

14 AMORTIZACIÓN DE DEUDAS TEMAS




Métodos de amortización Crédito Flat. Tasas efectivas equivalentes.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •

Evaluar y elegir convenientemente desde el punto de vista financiero, la mejor modalidad de crédito entre un conjunto de ofertas.

•

Identificar el efecto de un crédito flat y sus condiciones de aplicación.

•

Reforzar los conceptos y el uso adecuado de fórmulas en problemas que impliquen la amortización de una deuda.

CONTENIDOS





Método americano – Fondo de amortización Cuadros de amortización parciales Crédito Flat – Tasas efectivas equivalentes. Teoría de rentas relacionada con amortización de deudas

ACTIVIDADES
Construyen los cuadros de amortización.
Desarrollan problemas, y efectúan correctamente los cálculos correspondientes .

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

152

Método americano – fondo de amortización Mediante este método solamente se pagan intereses durante todos los periodos, salvo en el último, donde además se cancela la deuda. Debido a esto, por lo general, se crea un fondo de amortización cuyo objetivo es generar el valor del préstamo una vez terminado el plazo de cancelación de la deuda. Para calcular el valor del aporte periódico para dicho fondo (F) se utiliza la siguiente fórmula:

F=

donde:

P: f: n: F:

P. f (1 + f ) n − 1 Préstamo Tasa de interés que gana el fondo número de periodos Fondo de amortización.

Ejemplo: Una deuda de 10000 dólares se cancelará pagando el 3% de interés mensual utilizando el método americano en un plazo de 12 meses. Para cancelar dicho préstamo se creará un fondo en una entidad que paga el 1.2% mensual. Calcular los desembolsos a realizar.

1.2Sistema comercial o del crédito flat En este sistema los cálculos financieros se realizan utilizando el régimen de interés simple, lo cual aparentemente brinda al deudor una mejor transparencia en la operación, así como la sensación de un crédito más barato, lo cual no es cierto, ya que para el cálculo de intereses no se está considerando la amortización de la deuda que se va realizando en cada pago (intereses al rebatir). Para calcular la Cuota mensual flat se utiliza la siguiente fórmula: R = Donde:

CARRERAS PROFESIONALES

P (1 + i.n) n

P: Precio del artículo o préstamo i: tasa de interés flat n: número de cuotas

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

153

Ejemplo: Un artículo cuesta al contado 1000 soles. Se puede adquirir dicho articulo al crédito flat mediante 10 cuotas mensuales y al 2.5% mensual. Calcular el valor de la cuota.

APLICACIONES: 1. Un préstamo de 5000 soles por el que se paga 120% anual mediante 48 cuotas mensuales tiene la alternativa de ser amortizado siguiendo el sistema americano para el cual se puede formar un fondo de amortización en una inversión que paga el 100% capitalizable mensualmente. Los depósitos al fondo de amortización se hacen mensualmente; igualmente los pagos de intereses por concepto de deuda. Calcular los desembolsos.

2. Una deuda de 5 000 soles se paga utilizando el método americano en 8 cuotas anuales. Haga el cuadro de amortización correspondiente si se cobra una tasa del 9% anual.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

154

3. Una deuda de $100 000 con intereses del 8% se debe amortizar con pagos anuales de $2 000. Construya un cuadro de amortización hasta la extinción de la deuda.

4. Una nevera se vende en $75 000; si la compra es al contado, se descuenta el 15% y si la venta es a plazos, se vende con una cuota inicial de $15 000 y el saldo en 8 cuotas iguales. Halle la tasa efectiva cargada.

5. Un artículo cuyo precio es 300 soles se compra mediante un crédito flat del 1% mensual. Si se van a pagar 12 cuotas. Hallar la tasa de interés efectiva equivalente que se está cobrando.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

155

6. Elaborar la tabla de amortización para amortizar la suma de $200 000 mediante pagos trimestrales iguales durante año y medio, suponiendo una tasa del 32% capitalizable trimestralmente. Teniendo en cuenta que hay dos periodos muertos y dos periodos diferidos

7. Elaborar la tabla que muestra la amortización de 700 000 en pagos semestrales con las siguientes condiciones: • El primer año no se paga nada (plazo muerto) • El segundo año se otorga como plazo de gracia • En los siguientes dos años se efectúan pagos semestrales iguales • Tasa de interés: 30% capitalizable semestralmente

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

156

Autoevaluación 1. Una propiedad se vende en $200000 que se pagan con $50000 de contado y el saldo en cuotas semestrales de $10000 y con un interés del 8% efectivo. Hallar el número de pagos necesarios para cancelar el saldo y hacer el cuadro de amortización para los dos primeros pagos y para el último que extingue la deuda. 2. Un artículo se vende a plazos con una cuota inicial del 30% de su precio: el saldo se incrementa en el 15% para ser pagado en 10 cuotas mensuales iguales. Halle la tasa efectiva cargada. 3. Elaborar la tabla de amortización para amortizar la suma de $200 000 mediante pagos semestrales iguales durante cuatro años, suponiendo una tasa del 32% capitalizable trimestralmente. Teniendo en cuenta que el primer semestre no se paga nada. (Periodo muerto) 4. Un artículo cuyo precio es 800 soles se compra mediante un crédito flat del 0.9% mensual a un plazo de 18 meses. Hallar el valor de cada cuota y la tasa de interés efectiva equivalente que se está cobrando.

Para recordar


En este sistema los cálculos financieros se realizan utilizando el régimen de interés simple, lo cual aparentemente brinda al deudor una mejor transparencia en la operación, así como la sensación de un crédito más barato, lo cual no es cierto, ya que para el cálculo de intereses no se está considerando la amortización de la deuda que se va realizando en cada pago (intereses al rebatir).

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

157

APLICACIONES 1. Un industrial que necesita un préstamo de $200 000 puede obtenerlo de la Cooperativa Industrial, con el 8% de interés para amortizarlo anualmente en 5 años o en la caja Industrial que presta dinero al 7.5% anual a 5 años con pago anual de intereses. En este último caso, el industrial deberá establecer un fondo de amortización depositando anualmente en una cuenta de ahorros que paga el 6% de intereses. ¿Cuánto puede ahorrar anualmente utilizando el plan más económico?.

2. Una deuda de $10 000 con interés del 12% convertible mensualmente, se paga con cuotas mensuales de $250. Encontrar el número de pagos de $250 y hacer el cuadro de amortización, para los dos primeros pagos y el último que extingue la deuda.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

158

3. Se ha contraído una deuda de S/.21’ 000 000 al 58.5% capitalizable mensualmente, que debe ser amortizada en los tres próximos años, mediante pagos mensuales, siguiendo el sistema francés. Hallar: a) b) c) d) e) f) g)

El servicio de la deuda El importe total de intereses una vez amortizada toda la deuda Deuda extinguida al finalizar el primer año Importe total de intereses al finalizar el primer año Deuda extinguida al finalizar el segundo año Importe total de intereses durante el segundo año Deuda residual después de haber cancelado el servicio número 28.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

4.

159

Una deuda de $10 000 con interés del 12% convertible mensualmente, se paga con cuotas mensuales de $250. Encontrar el número de pagos de $250 y hacer el cuadro de amortización, para los dos primeros pagos y el último que extingue la deuda.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

160

Autoevaluación 1.

Un préstamo de S/.20’ 000 000 se desea amortizar a la tasa de 3% mensual con un servicio de S/.1’ 025 385. ¿Cuántos meses se demorará para cancelar el préstamo, si los pagos se hacen según el sistema francés?.

2.

Una propiedad cuyo valor es $500 000 se vende con una cuota inicial de $150 000 y el saldo en cuotas mensuales iguales a 15 años, con un interés del 6% capitalizable mensualmente. Hallar el valor de las cuotas mensuales y el saldo de la deuda al finalizar el cuarto año. Hacer el cuadro de amortización correspondiente a los periodos 100, 101, 102 y 103.

3.

Hacer el cuadro de amortización correspondiente a las cuotas 120, 121, 122 y 123 utilizando los datos del problema anterior pero considerando amortización constante.

4.

5.

Un automóvil se vende al contado en $650 000. A plazos, se vende con una cuota inicial de $150 mil y el saldo incrementado en el 15% se cancela dividiendo el mismo en 12 cuotas mensuales iguales. Halle la tasa efectiva cargada. Una deuda de $2 000 con interés del 3% mensual, se paga con cuotas mensuales de $100. Encontrar el número de pagos de $100 y hacer el cuadro de amortización, para los dos primeros pagos y el último que extingue la deuda.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

161

SEMANA

15 DEPRECIACIÓN DE ACTIVOS FIJOS TEMAS •

Depreciación de activos

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •

Manejar las distintas modalidades de depreciación de activos fijos.

CONTENIDOS • • •

Métodos de depreciación constante o método lineal Métodos de depreciación de la suma de dígitos. Taller de Recapitulación

ACTIVIDADES •

Manejan las distintas modalidades de depreciación de activos fijos.

•

Aplican y toman decisiones en base a los conceptos aprendidos de inflación, devaluación, amortización de deudas y depreciación de activos.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

162

DEPRECIACIÓN DE ACTIVOS 1. Definición.- Es la pérdida de valor, no recuperada con el mantenimiento, que sufren los activos y se debe a diferentes factores que causan finalmente su inutilidad obligando al reemplazo del activo, mediante un costo denominado Costo de Reemplazo. Durante la vida útil del activo debe separarse periódicamente cierta suma, creando con ella un fondo que recibe el nombre de Fondo de Reserva para depreciación y que debe ser igual al costo de reemplazo al término de la vida útil del activo. Se denomina Vida Útil (n) a la duración probable del activo y se determina con base a la experiencia por lo que generalmente la proporcionan los fabricantes de los activos. Cuando el activo ha dejado de ser útil conserve algún valor conocido como Valor de Rescate, Valor Residual o de Salvamento (VR)

2. Métodos de depreciación 2.1 Depreciación constante o método lineal.- Es el método más simple y el más utilizado, considera que el activo se deprecie en forma constante durante toda su vida útil.

VA − VR Dk = n donde:

VA : Valor del activo VR : Valor residual n : Vida útil

Ejemplo: Utilizando el método de depreciación lineal, realice un cuadro de depreciación de un activo cuyo valor es de 20000 soles, tiene una vida útil de 5 años y un valor residual del 10%.

PERIODO 0 1 2 3 4 5

Dk

Dk

Valor en Libros

2.2 Método de la suma de dígitos.- Este método nos permite depreciar los activos en forma creciente o decreciente. La depreciación de cada periodo se calcula:

D k = f k .(VA − VR )

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

163

donde si la depreciación es decreciente : f k =

n − k +1 d

si la depreciación es creciente : f k = en ambos casos “d” se calcula: d =

k d

n (n + 1) 2

Ejemplo: Utilizando el método de suma de dígitos decreciente haga un cuadro de depreciación de un activo cuyo valor es de 20000 Soles, tiene una vida útil de 5 años y un valor residual del 10%. Periodo 0 1 2 3 4 5

Fk

Dk

Dk acumulada

Valor en Libros

Ejemplo: Utilizando el método de suma de dígitos creciente, haga un cuadro de depreciación de un activo cuyo valor es de 20000 soles, tiene une vida útil de 5 años y un valor residual del 10%. Periodo 0 1 2 3 4 5

Fk

Dk

Dk acumulada

Valor en Libros

APLICACIONES 1.

CIBERTEC

Un activo de 18000 soles tiene una vida útil de 10 años al cabo de los cuales tendrá un valor de 2000 soles. Hacer el cuadro de depreciación de dicho activo si durante los primeros 4 años se utilizó el método de suma de dígitos decreciente y en los últimos 6 años se utilizó el método de depreciación lineal.

CARRRERAS PROFESIONALES

164

2.

3.

Un agricultor compró un tractor en 21 mil y a los 7 años lo vende en 7 mil. 2.1 ¿Cuál es el cargo anual por depreciación?. Por el Método de la Línea Recta.. 2.2 Si desea depositar una cantidad constante cada fin de mes de modo que al final de la vida útil del tractor, el agricultor pueda adquirir otro similar? Asuma que el precio del tractor no varía y que sus ahorros ganarán el 1,5% mensual

Un activo de 18000 soles tiene una vida útil de 10 años al cabo de los cuales tendrá un valor de 2000 soles. Hacer el cuadro de depreciación de dicho activo si durante los primeros 4 años se utilizó el método de suma de dígitos decreciente y en los últimos 6 años se utilizó el método de depreciación lineal.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

165

Autoevaluación 1. El valor de un activo es de 36000 soles y se sabe que se deprecie totalmente durante toda su vida útil de 7 años. Construir los cuadros de depreciación correspondientes utilizando los métodos revisados en clase. 2. Una guillotina eléctrica tiene un costo de 25.6 millones y una vida útil esperada de 8 años. Encuentre la depreciación anual por el Método de la Línea Recta considerando que su valor de rescate será 4 millones. 3 Una pieza de refacción de una impresora cuesta $875 y tiene una vida útil de 3 años al final de los cuales se tiene que hacer un gasto de $85 para su remoción. Obtenga la depreciación anual por el Método de suma de dígitos decreciente y creciente. ¿Cuál será el valor de la pieza al final del segundo año?.

4. ¿Cuál será el valor de salvamento al final de 5 años de un automóvil que costó 37 mil y se deprecia 2.8 mil al año?. Por el Método de la Línea Recta. 5. Encontrar la depreciación anual de un edificio cuya construcción ha costado 84 millones (incluido el valor del terreno por 20 millones) si se supone que tendrá una vida en servicio de 34 años y que al final será necesario invertir 4 millones para su demolición y limpieza del terreno donde se ubica. Elabore el cuadro de depreciación en sus primeros 5 años y calcular el valor en libros al final del año 23 por el Método de Línea Recta. 6. Resuelva el problema anterior considerando: Caso 1: Que al final de los 34 años de vida útil se vende en 7.2 millones; Caso 2: que la vida útil es de 60 años.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

166

Para recordar. •

Los terrenos no se deprecian.

•

En algunos casos es más conveniente escoger un método de depreciación que haga que los activos pierdan gran parte de su valor al principio de su vida útil, debido a la relación de la depreciación con los impuestos

•

Los métodos de depreciación son una herramienta para determinar el valor de los activos conforme pasa el tiempo.

TALLER DE RECAPITULACIÓN CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

1.

2.

167

Se le presentan tres alternativas de inversión: en la primera usted calcula que la tasa de interés real anual será del – 1.8%; en la segunda la tasa de interés real anual del – 2%; y en la tercera, le aseguran que ganará el 10% efectivo anual. ¿Qué alternativa deberá elegir? Justifique adecuadamente su respuesta. (Inflación mensual: 0.9%; Devaluación mensual: 0.5%; Tipo de cambio: 3.20 soles/dólar)

Hacer el cuadro de depreciación correspondiente a un activo cuyo valor es de 5000 soles y que al final de su vida útil de 4 años tendrá un valor despreciable. La depreciación anual del activo deberá aumentar cada año. Interprete el resultado correspondiente al segundo año.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

168

3.

Se compra una casa cuyo valor al contado es de $ 500 000, pagándose como cuota inicial el 40% y el saldo mediante 120 cuotas mensuales, la primera de las cuales se pagará dentro de 9 meses. La tasa de interés es 2% mensual. 3.1 Determinar el valor de las cuotas mensuales. 3.2 Si decide cancelar el saldo pendiente conjuntamente con la cuota número 70, ¿Cuánto deberá desembolsar?

4.

En una cuenta en soles, se tiene ahorrado 3 000 y en una cuenta en dólares tiene $ 4 000. Dichas cuentas pagan un interés del 9% anual en soles y el 3% semestral en dólares. Un artículo indexado cuesta hoy 22 000 soles. ¿Se podrá adquirir el artículo luego de tres años? Si no es así, ¿Cuál deberá ser el ahorro mensual en dólares para poder adquirirlo?

5. Un comerciante puede obtener un préstamo de $ 400.000 a 7 años con el interés del 8% amortizando la deuda anualmente. Un segundo prestamista le

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

169

ofrece el dinero a 7 años con el 7.5% de interés, pagando los intereses anualmente. Si para el segundo caso establece un fondo de amortización de la deuda. Hallar el interés anual que debe abonar el fondo para que en ambos casos el costo anual sea el mismo.

6.

CIBERTEC

Un industrial que necesita un préstamo de $ 200.000 puede obtenerlo de la Cooperativa Industrial, con el 8% de interés para amortizarlo anualmente en 5 años o en la caja industrial que presta dinero al 7.5% anual a 5 años con pago anual de intereses. En este último caso el industrial deberá establecer un fondo de amortización depositando anualmente en una cuenta de ahorros que paga el 6% de intereses. ¿Cuánto puede ahorrar anualmente utilizando el plan más económico?

CARRRERAS PROFESIONALES

170

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

171

SEMANA

16 EVALUACIÓN DE PROYECTOS TEMAS •

Evaluación de proyectos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •

Identificar los elementos que intervienen en la evaluación de proyectos de inversión.

CONTENIDOS •

Criterios de evaluación de proyectos

ACTIVIDADES •

CIBERTEC

Evaluará de manera conveniente un proyecto y decidirá si debe invertir en él.

CARRRERAS PROFESIONALES

172

EVALUACIÓN DE PROYECTOS Un proyecto de inversión es una alternativa, además de las otras ofertas de inversión en el sistema financiero, para la toma de decisiones acerca de donde invertir nuestro dinero. En este caso, el inversionista determina la tasa de interés que desea ganar y si el proyecto satisface esta expectativa entonces es conveniente que invierta en él. El inversionista también se plantea un plazo (horizonte de proyección) dentro del cual el proyecto ya debería estar remunerándolo. La tasa de interés que el inversionista desea ganar se le conoce como Tasa Mínima Atractiva de Retorno (TMAR o COK en inglés) o costo de oportunidad. Cuando se evalúa financieramente un proyecto el propósito es determinar en qué medida el proyecto remunerará al capital propio considerando las posibles obligaciones a cumplir, como por ejemplo, las obligaciones por financiamiento. El principio fundamental de la evaluación de proyectos se basa en la comparación del valor actual de las utilidades estimadas con la inversión (valor actual de la inversión). 1.1 CRITERIOS DE EVALUACION 1.1.1. Valor Actual Neto (VAN).- Compara directamente el valor actual de las utilidades con el valor de la inversión. En el caso de dos alternativas de inversión, se debe elegir aquella cuyo VAN es mayor. Un proyecto será rentable si su VAN es mayor que cero. 1.1.2. Tasa Interna de Retorno (TIR).- La TIR es una medida de rentabilidad del proyecto a lo largo de toda su vida y se expresa como un porcentaje. La TlR es aquella tasa en la cual el VAN es cero, es la tasa que hace que el valor actual de las utilidades sea igual al valor actual de la inversión. Al obtener la TIR, ésta debe ser comparada con la TMAR del inversionista. Sólo si la TIR es mayor que el costo de oportunidad del inversionista (TMAR), la alternativa resulta rentable, en caso contrario se descarta el proyecto. 1.1.3. Beneficio - Costo (B/C).- Es la razón geométrica entre el valor actual de las utilidades con el valor actual de la inversión. En este caso, el proyecto será rentable si el cociente B/C es mayor que 1. 1.2 APLICACIONES 1.

Un negocio, donde se invirtió 35000 soles generará utilidades anuales de 50000 soles. Si el inversionista desea ganar el 25%. ¿Conviene el negocio?

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

173

2. Determinar para el proyecto de la pregunta anterior para qué tasas es rentable.

3. Como alternativa al proyecto de la pregunta uno, se presenta otro proyecto que tendrá utilidades anuales de 30000, 40000, 50000, 80000 y 100000 soles. Si la inversión en este caso es de 50000 soles, ¿Cuál de los dos proyectos conviene?

4.

El valor actual de las utilidades del proyecto A es 30000 soles. El B/C del proyecto B es 1,2. Determinar cuál proyecto es más rentable si: 4.1 Si la inversión en cada proyecto es la misma e igual a 25000 soles. 4.2 Si la inversión en el proyecto A es 22000 soles y en el proyecto B la inversión es 30000 soles.

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

174

Autoevaluación El proyecto A, donde se invirtió 45 000 soles generará utilidades anuales de 80 000 soles. El proyecto B tendrá utilidades anuales de 35 000, 60 000, 80 000, 100 000 y 120 000 soles. Si la inversión en este caso es de 90 000 soles. Se sabe que el inversionista desea ganar el 35%. ¿Cuál de los dos proyectos conviene? Calcule además para cada uno de ellos el TIR.

Para recordar •

Para evaluar un proyecto es más conveniente usar el VAN

•

Si queremos comparar dos proyectos con distinta inversión es mejor utilizar Beneficio – Costo.

•

El TIR nos proporciona la tasa máxima para la cual un proyecto es rentable.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA FINANCIERA

175

APLICACIONES 1. Se desea invertir en un proyecto que producirá ingresos anuales equivalentes a S/.10000 y S/. 20000 el primer y segundo año respectivamente. Si se quiere obtener una tasa real de rendimiento del 5% anual y se estima que la inflación anual para los dos próximos años será del 70% y 80%. Evalúe el proyecto.

2. La TIR del proyecto A es 28% y la del proyecto B es 35%, ¿qué proyecto es más rentable?

3. Usted tiene dos alternativas A y B donde invertir su dinero. En la primera, la inversión es de $60000 y en la segunda es de 80000. Luego de la evaluación respectiva, se le informa que el VAN del proyecto A es $25000 y que la relación B/C del proyecto B es 1.3. ¿Por cuál alternativa se inclinaría? Justifique adecuadamente su respuesta

CIBERTEC

CARRRERAS PROFESIONALES

176

4. Usted tiene dos alternativas A y B donde invertir su dinero. En ambas la inversión es de $70000. Luego de la evaluación respectiva, se le informa que el VAN del proyecto A es $25000 y que el valor actual de las utilidades para el proyecto B es 96000. ¿Por cuál alternativa se inclinaría? Justifique adecuadamente su respuesta.

5. Las utilidades netas de un proyecto son del orden de 50 000 dólares. Si para desarrollar el proyecto se necesita una inversión de 80 000 dólares, ¿Cuál es la máxima tasa de interés que un inversionista puede tener como expectativa para que dicho proyecto le sea rentable? Considere un horizonte de 3 años.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC