Matemática Financeira

 

UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Prof. Ortega E-mail: [email protected]  APRESENTAÇÃO DO DOCENTE 1

 

O Professor Ortega é bacharel em Administração de Empresas pela Faculdade Campos Salles, pós-graduado em Administração Contábil e Financeira pela Fundação Armando Álvares Penteado – FAAP, MBA em Gestão Empresarial pela Fundação Getulio Vargas –  FGV e Mestrando em Administração com linha de pesquisa em finanças, pela Universidade de São Caetano do Sul – USCS. Profissionalmente atuou por mais de 20 anos em empresas de médio e grande porte na gestão ges tão fin financ anceir eira. a. Atu Atualm alment entee dedi dedicaca-se se à docente docente da gra gradua duação ção e pós pós-gr -gradua aduação ção da Universidade Nove de Julho.

 “Só sei que nada sei”  Sócrates  “Faze o que tu queres, há de ser o todo da Lei.”  Aleister Crowley

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 2

 

INTRODUÇÃO A matemática financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em função do tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vários detalhes quanto à forma de estudo do valor do dinheiro no tempo. Vejamos alguns conceitos para melhor  compreendermos o objetivo da matemática financeira.   ⇒ Risco: quando estamos concedendo crédito, estamos mesmo é analisando o risco contido nas operações de crédito. Os conceitos de matemática financeira serão importantes para medir o risco envolvido em várias operações de créditos. ⇒    Prejuízo Prejuízo

(ou despes despesa): a): Em qua qualqu lquer er oper operação ação financ financeir eira, a, nor normal malment mente, e, ocorre ocorre o  pagamento de juros, taxas, impostos, etc., caracterizando-se para alguns como prejuízo e  para outros como pagamento de despesas financeiras. A matemática financeira irá mostrar  quanto se pagou de despesa ou medir o tamanho do prejuízo em uma operação financeira. ⇒

Lucro (ou receita): Da mesma forma que alguém ou uma instituição paga juros e

caracteriza-o como prejuízo ou despesa, quem recebe pode classificar estes juros como lucr lucroo ou re rece ceit itaa ou si simp mple lesm smen ente te com comoo a re remu muner neraç ação ão do ca capi pita tall empr empres esta tado. do. A matemática financeira nos ajuda a calcular este juro ou receita, bem como a remuneração do capital emprestado.

REGRA DE TRÊS Chamamos de regra de três simples os problemas nos quais figuram uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.   •

 A regra de três simples trabalha com apenas duas grandezas. 

Exemplos: 1) Comprei 6 m de tecidos por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m? Resolução: (grandezas diretamente proporcionais)  Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido. Chamamos de x o valor que desejamos conhecer. Então dispomos em duas colunas: Comprimento(m) Preço(R$) 6 15 8 x Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra x, com a ponta voltad vol tadaa par paraa ele ele.. Se as grandez grandezas as forem forem direta diretament mentee pro propor porcio cionai nais, s, como como no nos nosso so 3

 

exemplo, colocaremos uma segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Assim: 6 8

15 x

Armamos à proporção formada pelas razões que construímos, seguindo as setas: 6 = 15 8 x e determinamos o valor de x:  

x = 8 . 15 6

  x = 120 6

[

  x = 20

[

 Logo, o preço procurado é: R$ 20,00   2) Se seis operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra? 

Resolução: (grandezas inversamente proporcionais) Então dispomos em duas colunas: Operários Dias 6 10 x 20 A coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna é assinalada com uma segunda seta vertical, de sentido contrário. Assim: 6 10 20 x Em seguida, invertemos os valores da coluna do numero de operários (  por por ser uma  grandeza inversamente proporcional à de número de dias): 20 10 x 6 Daí: 20 = 10 6 x e determinamos o valor de x: 4

 

x = 6 . 10 20

   

  x = 60 20

[

 x= 3

[

 Logo, serão necessários: 3 dias.

PERCENTAGEM (%) Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões exp ressões como as relacionadas abaixo: “Desconto de até 30% na grande liquidação de verão.” “Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira.” “A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%.” “O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99% em maio.” Todas essas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem. Percentagem é o valor que representa representa a quantidade quantidade tomada de outra outra,, propor proporcional cionalmente mente a uma taxa. Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100. Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem.   No No enta entant nto, o, o pr prin inci cipa pal, l, a pe perc rcen enta tage gem m e a taxa taxa são são elem elemen ento toss do cálculo percentual. Representando: O principal por P; A porcentagem por p; A taxa por i;  p

Temos, genericamente:

i =

 P 

100

Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00? 3) Resolução:  Neste caso teremos que: p

10

800

100

100p = 800 . 10 100p = 8000 p = 8000/100 p = 80  Logo, a comissão é de R$ 80,00

5

 

OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS São problemas de percentagem ligados às operações de compra e venda de mercadorias (lucro ou prejuízo sobre os preços de custo e de venda de mercadorias).  Vendas com LUCRO A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este lucro pode ser sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. •

Sobre o Preço de Custo: PV = (1 + i)PC

Onde: PV é o Preço de Venda i é a taxa PC é o Preço de Custo

4) Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00. Resolução: PV = (1 + 0,08) . 500 PV = (1,08) . 500   PV = R$ 540,00 [

•

Sobre o Preço de Venda:

 

 PV   PV 

 PC   PC  =

1

−

i

umpreço? objeto por R$ 60,00 e deseja-se ganhar 25% sobre o  preço de venda. 5) Comprou-se Qual deve ser este DEMONSTRANDO: Resolução: (PV – i) x PV = PC (1 – 0,25)PV = 60 PV = 60 . 0,75PV = 60 1- 0,25 PV = 60/0,75   PV = R$ 80,00 PV = 60   PV = R$ 80,00  0,75 [

Vendas com PREJUÍZO ao custo que ocorre como preço o lucro, mercadoria pode ser vendida com  prejuízoAnalogamente sobre o preço de ou sobre de uma venda. 6

 

•

Sobre o Preço de Custo: PV = (1 - i)PC

objeto foi vendido 40% sobre o preço de custo. Sabendo que 6) Um esse objeto custou R$ 30,00,com qualum foiprejuízo o preço de venda?

Resolução: PV = (1 - 0,4) . 30 PV = (0,6) . 30 [   PV = R$ 18,00 •

Sobre o Preço de Venda:

 

 PV   PV 

=

 PC   PC  1+i

7) Uma casa que custava R$ 96.000,00 foi vendida com prejuízo de 20% sobre o  preço de venda. Calcule o preço de venda. DEMONSTRANDO: Resolução: (PV + i) x PV = PC PV = 96.0000 . (1 + 0,2)PV = 96000 1+ 0,20 1,2PV = 96000 PV = 96000/1,2 PV = 96.0000   PV = R$ 80.000,00    PV = R$ 80.000,00 1,2 [

 Abatimentos Sucessivos   Nes Neste te item item,, vamos vamos apr apren ender der a calc calcul ular ar os ab abat atim iment entos os su suce cess ssiv ivos os so sobr bree uma uma importância resultante de um negócio efetuado. Sendo que o Valor Líquido (VL) é dado  por: VL = P(1 – i 1)(1- i2)(1 – i3) .... (1 – in) Onde  i1, i2, i3, ...., in são as taxas sucessivas  NOTA: Para aumentos sucessivos, temos: M = P(1 + i1)(1 + i2)(1 + i3) .... (1 + in)

8) Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatur faturaa é de R$ 48.000,00, qua quall o valor líquido líquido da mesma? Resolução: 7

 

VL = P(1 – i 1)(1- i2)(1 – i3) VL = 48.000(1 – 0,01)(1 - 0,04)(1 – 0,05) VL = 48.000(0,90)( 0,96)(0,95) VL = 48.000(0,802800)   VL = R$ 39.398,40 [

Supomos que eum objeto de Qual R$ 800,00 incide 4% e 3% respectivamente a iimpostos mpostos 9) federal, estadual municipal. o preço fi final nal 6%, do objeto?

Resolução: M = P(1 + i 1)(1 + i2)(1 + i3) M = 800(1 + 0,06)(1 + 0,04)(1 + 0,03) M = 800(1,06)(1,04)(1,03) M = 800(1,135472)   M = R$ 908,38 [

EXERCICIOS REGRA DE TRÊS 1) Ao comprar 2 kg de pães paguei R$ 12,50. Quanto pagaria se tivesse comprado 6 kg?  R. R$ 2) Comprei 5 m de corda por R$ 4,00. Quanto pagarei por 14 m? R. R$ 3) Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. trabalho. Quanto receberá por 35 dias? R. R$

4) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? R. voltas 5) Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? R. horas 6) Com 12 ope operár rários ios pode podemos mos con constr struir uir um muro em 4 dia dias. s. Quant Quantos os dias leva levarão rão 8 operários para fazer o mesmo muro? R. dias 7) Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. Tendo conseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho? R. dias

8) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? R. kg 9) Trinta Trinta oper operári ários os const constroe roem m uma casa em 120 dia dias. s. Em qua quanto ntoss dias 40 operári operários os construiriam essa casa? R. dias 10) Um ônibus, a uma velocidade medi de 60km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? R. horas 8

 

11) Trabalhando 5 horas por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 6 horas por dia? R. dias 12) Cinco máquinas impressoras, trabalhando simultaneamente executam um determinado serviço três em máquinas 5 horas. Em quanto tempo mesmo executado se forem utilizadas apenas impressoras? R. o horas ou serviço horas eseria minutos

PORCENTAGEM 13) Calcule as porcentagens: a) 8% de R$ 700,00  b) 5% de R$ 4.000,00 c) 12% de R$ 5.000,00 d) 1,2% de R$ 40,00

R p= R. p = R. p = R. p =

14) Qual a taxa percentual que: a) 125 representa de 250?  b) 112 representa de 320? c) 28 representa de 80? d) 352 representa de 1800?

R. i = R. i = R. i = R. i =

% % % %

15) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4.200,00, já incluídos R$ 120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente ás taxas de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu,  pois, pagar o pacote de viagem á vista. Então é CORRETO afirmar que Francisco pagou  por esse pacote de viagem: a) R$ 3.672,00 3.900,00

b) R$ 3.780,00

c) R$ 3.792,00

d)

R$

16) De 4000 funcionários, 120 faltaram ao serviço. Qual a taxa percentual dos funcionários ausentes? R. i = % 17) Para a venda de uma geladeira, o cartaz anuncia: R$ 367,20 x 4 ou R$ 1.080,00 à vista

9

 

Pergunta-se: Quem comprar a prazo, pagará a mais quantos por cento? R. %

18) Represe Represente nte a tax taxaa de porcen porcentag tagem em do ing ingred redien iente te sabão do desinf desinfeta etante nte PINH PINHO O R. % CHEIRO:

DESINFETANTE PINHO CHEIRO Água 47g Álcool 12g Sabão 7g Óleo pinho 34g TOTAL 100g

19) Numa pesquisa sobre a preferência de cores, foram entrevistadas 50 pessoas e o resultado obtido foi o seguinte: PREFERENCIA NÚMERO DE PESSOAS Azul 11 Branco Preto Verde Amarelo Vermelho

9 1 10 14 5

Pergunta-se: Qual a taxa percentual de cada cor pesquisada ? R.

%;

%;

%; %;

%;

%;

%.

20) De 800 estudantes, 40 faltaram na escola num dia normal de aula. Qual a taxa  percentual dos estudantes ausentes? R. i = %

OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 21) Uma pessoa aplicou R$ 13.000,00 e teve um rendimento de 18% sobre o valor  aplicado. Qual foi o valor de seu rendimento? R. R$ 22)Por quanto deverei vender um objeto que me custou R$ 7,20 para lucrar 30% ? R. R$ 23) Uma caneta que custava R$ 0,60 sofreu um desconto de 5%. Quanto você pagará por  essa caneta? R. R$ 24) Ao ser paga com atraso, uma prestação de R$ 1.300,00 sofreu um acréscimo de 4%. Qual o novo valor dessa prestação? R. R$

10

 

25) Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 9.500,00. Querendo obter um lucro de 12%, qual o preço que deverá vender a mesma? R. R$ 26) Sobre um ordenado de R$ 380,00 são descontados 8% para o INSS. De quanto é o total de descontos? R. R$ 27) Um objeto que custou R$ 558,00 foi vendido com um prejuízo de 12% sobre o preço de venda. Qual o valor apurado na venda? R. R$ 28) Vendi um objeto por R$ 276,00 e ganhei na venda 15% sobre o preço de custo. Quanto custou o objeto? R. R$ 29) Comprei uma mercadoria por R$ 480,00. Sendo minha intenção vende-la com um lucro de 20% sobre o preço de venda, qual deve ser este último? R. R$ 30) Um terreno foi comprado por R$ 5.000,00 e vendido por R$ 6.500,00. De quanto por  cento foi o lucro sobre o preço de compra? R. % 31) Quanto custou um objeto vendido por R$ 248,00 com um prejuízo de 20% sobre o  preço de custo? R. R$ 32) Um terreno foi vendido por R$ 50.600,00, dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. Quanto havia custado? R. R$ 33) Um objeto comprado por R$ 80,00 foi vendido por R$ 104,00. Qual a taxa pela qual se calculou o lucro sobre o preço de custo? R. %  34) Uma mercadoria foi vendida, com prejuízo de 10%, pelo preço de R$ 36,00. Quanto havia custado? R. R$ 35) Uma agência vendeu um carro por R$ 8.500,00. Sabendo que na verdade teve um  prejuízo de 15% sobre o preço de venda, quanto custou esse carro? R. R$ 36) Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 40,00 para ganhar 15% sobre o  preço de custo? R. R$ 37) Uma fatura de R$ 8.000,00 sofre dois abatimentos sucessivos de 10% e 8%. Qual o valor líquido a pagar? R. VL =R$ 38) Uma fatura de R$ 5.000,00, por motivo de atraso em seu pagamento, sofre aumentos sucessivos de 10% e 15%. Qual o valor final dessa fatura? R. M = R$ 39) Sobre uma fatura de R$ 150.000,00 foram feitos descontos sucessivos de 8%, 5% e 2%. Qual o valor líquido da fatura? R. VL = R$ 11

 

40) Calcule o prejuízo de um comerciante que vendeu certas mercadorias por R$ 26.410,00,  perdendo, nessa transação, a quantia equivalente a 5% sobre o preço de custo. R. R$ 41) Sobre um objeto de R$ 12.000,00 incidi imposto federal de 8% e um estadual de 3%. Qual o preço final desse objeto? R. VL = R$ 42) Baseado no exercício anterior, se os impostos fossem respectivamente de 9% e 3,5%. Qual seria o preço final desse objeto? R. VL = R$ 43) Uma empresa oferece sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 8,5% e 2,5%. Sabendo-se que o valor da fatura é de R$ 50.000,00, qual o valor líquido da mesma? R. VL = R$

44) Determine o preço final de um artigo de R$ 3.500,00 incidindo impostos de 8,5% e 5%. R. VL = R$

45) Uma nota promissória de R$ 3800,00, por motivo de atraso em seu pagamento sofreu aumentos sucessivos de 4% e 6%. Determine o valor a ser pago por essa nota promissória. R. M = R$ 4189,12

JUROS (J) É a remuneração remuneração obtida a part partir ir do capital de terceiros terceiros.. Esta remuner remuneração ação pode ocorrer a partir de dois pontos de vista:

de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo,  prejuízo, etc. - de quem recebe:  podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho, etc.

-

Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja este capital  próprio ou de terceiros. Capital (C) ou Valor Presente (PV) ou Principal (P) É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação financeira. Podemos entender como data focal zero a data de inicio da operação financeira ou simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado como base para cálculo dos juros. Taxa (i) É o coeficiente obtido da relação dos juros ( J) com o capital (C), que pode ser  representado repres entado em forma perc percentual entual ou unitár unitária. ia. Os conceito conceitoss e tipos de taxas são bastante variados, como por exemplo: - taxa ddee in inflação; 12

 

-

taxa real de juros os;; taxa acumulada; taxa uunnitária; taxa ppeercentual; taxa over;

-

taxxaa eno quiv ui vnal, alel,nentr te;tree out taxa ta nomi mina en outra ras. s.

Prazo ou Tempo ou Períodos (n) É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita  para produzir um montante (M). Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos um exemplo: -  período inteiro:1 inteiro:1 dia; 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial (360 dias), etc. -  período fracionário:3,5 fracionário:3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc. Podemoss também considerar como um período Podemo período inteiro inteiro os períod períodos os do tipo: um período de 15 dias, um período de sendo 30 dias, etc., ou a forma de entendimento dos períodos vai depender de como estão tratados nosseja, problemas.

Montante (M) ou Valor Futuro (FV) ou Soma ( S) É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeira após um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) com os  juros (J). Assim temos:

M=C +J

Par Partind tindoo da fór órm mul ulaa aci acima ma,, tem emos os que: que:

J=M–C

e

C=M-J

Exemplo 01: Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo, qual foi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78 ?

Solução pela HP-12C

Solução algébrica: J = 78,25 M=C+J M= + M = R$

C= 1.568,78

M=?

1568,78

+

78,25

R$

13

ENTER 

 

Exemplo 02: Qual o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um capital de R$ 1.250,18 e que gerou um montante de R$ 1.380,75 ?

Solução algébrica: C = 1250,18 J=M-C J= –  J = R$

M= 1380,75

J= ?

Solução pela HP-12C ENTER  1380,75 1250,18 R$

Exemplo 03:

Qual o valor valor do iinvesti nvestimento mento qu quee gerou um res resgate gate de R$ R$ 1500,00 1500,00,, sabendo-se sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 378,25 ?

Solução pela HP-12C Solução algébrica: M= 1500,00 J=378,25 C=M-J C= –  C = R$

C= ?

1500

ENTER 

378,25

R$

Regimes de Capitalização São os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes utilizados em Mate Ma temá máti tica ca Fi Finan nance ceir iraa sã sãoo SIMP SIMPLE LESS e CO COMP MPOS OSTO TOSS ou lin linea earr e ex expon ponen encia cial  l , respectivamente.

Exemplo 04: Seja um capital de R$ 1000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valor val or acu acumul mulado ado no final final de cada per períod íodoo pelos pelos regim regimes es de cap capita itali lizaçã zaçãoo simple simpless e composta ?

Solução algébrica: 01  Regime de Capitalização Simples

n

Capital aplicado (R$)

Juros de cada período 14

Valor acumulado montante

ou

 

1 2 3

1000,00 1000,00 1000,00

1000 . 10% = 100 1000 . 10% = 100 1000 . 10% = 11000

1000 + 100 = 1100 1100 + 100 = 1200 1200 + 100 = R$ 1300,00

Solução algébrica: 02 n 1 2 3

Capital ap Regime licado deJCapitalização uros de cada pComposta eríodo Valor acumulado ou (R$) montante 1000,00 1000 . 10% = 100 1000 + 100 = 1100 1100,00 1100 . 10% = 110 1100 + 110 = 1210 1210,00 1210 . 10% = 11221 1210 + 121 = R$ 1331,00

JUROS SIMPLES Podemos entender juros simples como sendo o sistema de capitalização linear. O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial, ou seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros. Sendo assim, teremos a fórmula dos juros simples: J= PV . i . n Colocando o PV em evidência, teremos: PV = J i.n Colocando o n em evidência, teremos: n =PVJ .i Colocando o i em evidência, teremos:   i= J PV.n

ou

i = FV - 1 PV

Exemplo 05: Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao mês.   15

 

Solução algébrica:

Solução pela HP-12C

J = 1250 . 0,055 . 5 J = R$

1250,00

ENTER 

0,055

X

5 R$

X

Exemplo 06:

Qual foi o capital que gerou rendimento de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 2,5% ao mês ? Solução pela HP-12C Solução algébrica: ENTER  J= 342,96 342,96 PV = 342,96 ENTER  0,025 . 11 0,025 PV = 342,96 0,275 = R$

X

11

÷

R$ Exemplo 07: Pedro pagou ao  Banco ECCOS S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobre uma prestação de R$ 537,17. Qual o foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco ?   Solução pela HP-12C Solução algébrica: 2,14 ENTER  i = 2,14 537,17 . 1 i = 2,14 = 0,003984.... ENTER  537,17 537,17 X ÷ 1 i = 0,003984 . 100 i = 0,3984% ao dia X X 100 30 imensal = 0,3984 . 30 % ao mês imensal = %

Exemplo 08: Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou rendimentos de R$ 226,45 com uma taxa de 1,5% ao mês ? Solução algébrica: 16

 

n = ? PV = R$ 967,74 n = 226,45 = 226,45 967,74 . 0,015

n=

meses ou

meses e

i = 1,5% ao mês 14,52

dias

 

J= R$ 226,45 Solução pela HP-12C 226,45

ENTER 

967,74

ENTER 

0,015

OBSERVAÇÃO:

X

÷

meses

- A parte inteira 15 representa os 15 meses. -A parte decimal do número 15,6, ou seja, 0,6, representa os 18 dias. Neste caso, para calcularmos os dias, basta multiplicar a parte decimal por 30 ( 0,6 . 30 = 18).

Exemplo 09: André emprestou R$ 15,00 de Almir. Após 6 meses Almir resolveu cobrar sua dívida. André efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Almir. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operação? Qual foi a taxa mensal de juros? Solução algébrica: PV = 15,00 FV = 23,75 i(ac) = 23,75 - 1 . 100  N = 6 meses 15 i(ac) = ? imensal = ? i(ac) = { 1,5833 – 1 } . 100

Solução pela HP-12C 15 23,75

ENTER  ∆

%

  a. s.

i(ac) = 0,5833 . 100 i(ac) = % a. p. ou ao semestre imensal = /

6

÷

imensal =

 

% ao mês

% ao mês

Montante (M) ou Valor Futuro (FV) Antes de apresentar a fórmula do montante ou valor futuro, devemos lembrar dos conceitos inicias, onde tenhamos que: FV = PV + J e J = PV . i . n Assim teremos: FV = PV ( 1 + i . n)

Exemplo 10: 17

 

Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 84.975,59 aplicados em um CDB pósfixado de 90 dias, a uma taxa de 1,45% ao mês?

Solução algébrica: n = 90 dias ou (3meses) PV = R$ 84.975,59

i = 1,45% ao mês

0,0145 . 3) FV = 84.975,59(1 + 0,0435) FV = 84.975,59(1,0435) FV = R$

FV= ?

Solução pela HP-12C 84975,59 ENTER  1,45

% X

3

+

R$ Capital (C) ou Valor Presente (PV) A Fórmula Capital ou Valor Presente pode ser deduzida a partir da fórmula do Montante ou Valor do Futuro (FV). Assim teremos: FV = PV(1 + i . n) Colocando PV em evidência: PV =

FV (1 + i . n)

Exemplo 11: Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um  período de 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês. Solução pela HP-12C ENTER  84248

Solução algébrica: PV = PV =

84.248,00 (1 + 0,0177 . 3) 84.248,00 (1 + 0,0531 )

1

= 84.248,00 1,0531

PV = R$

EXERCÍCIOS 18

ENTER 

0,0177

ENTER 

3 R$

Xx

+

÷

 

1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5 % ao mês ? R. J = R$ 2) Um capital capital de R$ 12.250,25, apl aplicado icado durante durante 9 meses, re rende nde juros de R$ 2.756,31. 2.756,31. Determine a taxa correspondente. R. i = % 3) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.147,25. Pergunta-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? R. ianual = % 4) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00 à taxa de 5% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. R. n = % a. trim. 5) Qual o capital que aplicado, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 360 dias?  R. PV = R$

6) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 2500,00 a 7% a.a. durante 3 anos ?  R. J = R$ 7) Determinar o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 2,5% ao mês. R. FV = R$

8) Um financiamento de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 141 dias. Calcular a taxa mensal de juros. R. i = a m. 9) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 1.200,00 em 180 dias. Qual é a taxa simples anual ganha? R. i = % aa 10) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 370,00, sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 148,50 ? R. PV = R$ 11) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso so sobr bree um umaa pr pres esta taçã çãoo de R$ 732, 732,10. 10. Qual Qual fo foii a taxa taxa mens mensal al de ju juro ross ap apli lica cada da pela pela financeira? R. i =

% am.

12) Qual o capital que aplicado à taxa simples de 20% ao mês em 3 meses monta R$ 8.000,00 ? R. PV = R$

Mais ............ Exercícios Determine 1) 5,5% ao mês. o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 19

 

2) Um capital de R$ R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante 3 anos, à taxa de 12% a.a. Determine o juro obtido 3) Um Capital de R$ R$ 7.000,00 é aplicado à juros simples, durante 1 ano e meio, à taxa de 8% a.s. Obtenha os Juros e o Montante. 4) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for  de 2% a.m.?

5) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$150.000,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 4% ao mês? 6) Qual o capital emprestado, que em 18 meses, produziu os juros de R$108.000,00, à taxa de juros simples de 4% ao mês? 7) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$280.000,00, durante 15 meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês? 8) Qual o capital investido, para que possa resgatar R$23.600,00, no prazo de 6 meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês? 9) Que tempo de aplicação foi necessário, para que R$20.000,00, se transforme à taxa de 3% ao mês, em R$23.600,00?

Cálculo dos juros simples para períodos não inteiros – Taxas equivalentes Em algumas situações, o período de aplicação ou empréstimo não coincide com o  período da taxa de juros. Nesses casos é necessário se trabalhar com a taxa equivalente . 20

 

Taxas Equivalentes são aquelas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo  período de tempo, produzem o mesmo juro ou rendimento. Exemplo 12: Um banco oferece uma taxa de 28% ao ano pelo regime de juros simples. simples. Quanto ganharia de   rendimento um investidor que aplicasse R$ 15.000,00 durante 92 dias ? Solução algébrica: PV = 15.000,00 Opção1: transformando a taxa i = 28% ao ano J = 15000 . 0,28 . 92 n = 92 dias Solução pela HP – 12C 360 J=? J = 15000 . 0,000778 . 92 ENTER  15000 J = R$ 1.073,33 Opção2: transformando o prazo X 0,28 J = 15000 . 0,28 . 92 360 X 92 J = 15000 . 0,28 . 0,255556

J =Opção3: R$ 1.073,33 transformando o produto J = 15000 . 0,28 . 92 = 386.400,00 360 360 J = R$

360

÷

R$

Juros Exato e Comercial Quando falamos em  juro exato, exato, estamos na verdade, nos referindo aos dias do calendário, ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Como,  por exemplo: Janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias). Desta forma, um ano pode ter 365 ou 366 dias.  No caso do juro do juro comercial devemos comercial devemos considerar sempre um Mês de 30 dias, e, sendo assim, um ano comercial vai ter sempre 360 dias.

Exemplo 13: Uma prestação prestação no valor de R$ 14.500, 14.500,00 00 venceu em 01/02/ 01/02/03 03 sendo quitada em 15/03/ 15/03/03, 03, com a taxa de 48% ao ano. Pede-se: a) Determinar Determinar os juros exato b) Determinar os juros comercial

Solução algébrica: PV = R$ 14.500 i = 48% ao ano 21

 

a) Jexato =

14500 . 0,48 . 42 = R$ 365

 b) Jcomercial = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 360

Solução pela HP-12C ENTER  14500 X+

0,48

X

42

÷

365

R$ 14500

ENTER 

0,48

Xx

42

X

360

÷

R$ E X E R C Í C I O S - JUROS PERIODO NÃO INTEIRO/TAXA EQUIVALENTE e JUROS EXATO E COMERCIAL Considerar o ano comercial (360 dias) 1) Calcular o rendimento de R$ 12.000,00 aplicados durante 8 meses e 3 dias à taxa de  juros simples de 40% ao ano. Efetuar os cálculos considerando o ano comercial (360 dias) e o ano exato (365 dias). R. Jcom = R$ e Jex = R$ 2) Uma prestação no valor de R$ 6.332,00 venceu em 01/04/00 sendo quitada em 17/05 do mesmo ano com a taxa de 25% ao ano. Determine os juros exato e comercial. R. Jex = R$

e Jcom = R$

3) Calcule as taxas equivalentes a 40% ao ano para: a) 7 dias; R. % R. dias;R. b) c) 29 1 mês;

% %

22

 

d) e) f) g)

32 dias; R. % 1 trimestre; R. % 45 dias; R. % 1 semestre; R. %

Calcular valor do dossR.juros dee uma apli aplicação cação de R$ 21.150 21.150,00, ,00, feita feita de 3,64% ao mês, mês, 4) Calcul  pelo prazoardeo 32 dias. J = R$d

5) Calcular o rendimento de R$ 23.000,00 aplicados por 14 dias à taxa simples de 2,5% ao mês. R. J = R$

6) Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05% ao mês. R. i22dias =

%

7) Calcule a taxa mensal proporcional a: a) 9% ao trimestre ano.

b)24% ao semestre

R.

b)

a)

% ao mês;

% ao mês;

c) 0,04% ao dia c)

% ao mês ês;;

d)

d)30% ao % ao mês

8) Um capital de R$2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido. R$ 9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$18.500, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano. R. R$

DESCONTOS

23

 

É a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas   promi promissó ssóri rias as etc., pode leva levanta ntarr fundos fundos em um banco desconta descontando ndo o título título antes do vencimento. O Banco naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal. Po Pode demo moss cl clas assi sifi fica carr os ti tipo poss de desc descon onto toss com comoo Simp Simple less (m (mét étodo odo linea linear) r) e Composto( método exponencial).

Desconto Racional Simples ou “ por dentro” O valor do desconto é a diferença diferença entre o valor futuro ((VN) valor nominal ou de resgate) e o valor atual ((VL) valor líquido liberado na data do desconto) calculado a juros simples. Vamos aplicar as seguintes fórmulas: Para calcular o desconto racional simples: DRS = VN – VL   O desconto racional simples (DRS) pode também ser encontrado diretamente pela seguinte fórmula: DRS = VN . id . nd ( 1 + id . nd ) Para calcular o valor líquido: VL = VN - DRS

.

  O Valor Líquido (VL) também pode ser encontrado pela seguinte fór fórmula: mula:   VL =

VN . ( 1 + id . nd )

Exemplo 01: Um títu título lo de va valo lorr no nomi mina nall de R$ 25 25.0 .000 00,0 ,000 é de desc scon onta tado do 2 mese mesess an ante tess do seu seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto rracional acional  simples e o valor líquido? Solução pela HP-12C 25000 ENTER 

SoluçãoVN algébrica: Dados: = R$ 25.000,00; nd = 2 meses; 24

0,025 X 2 X 1 ENTER  0,025 ENTER  2 X + ÷ CHS 25000,00 +

R$  

id = 2,5% ao mês; mês; DRS = ? DRS = 25000,00 . 0,025 . 2 ( 1 + 0,025 . 2 ) DRS = 1250 1,05 DRS = R$ VL = VN - DRS VL = 25000 – 1190,48 VL = R$

Desconto Bancário ou Comercial Comercial ou “ por fora fora ” O valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco pelo prazo a decorrer até o vencimento do título. Vamos expressar esta esta situação através da seguinte fórmula:  

DBS = VN . id . nd

e

VL = VN – DBS

OBS.: CASO A DÍVIDA SEJA PRORROGADA: VL = VN + DBS Exemplo 02: Um títu título lo de va valo lorr no nomi mina nall de R$ 25 25.0 .000 00,0 ,000 é de desc scon onta tado do 2 mese mesess an ante tess do seu seu venci ven cime ment nto, o, à taxa de jur juros os simpl simples es de 2,5% ao mês mês.. Qu Qual al o de desc scont ontoo co come merc rcia iall (bancário) e o valor líquido? Solução pela HP-12C Solução algébrica: 25000 ENTER  Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 2 meses; 0,025 X 2 X i = 2,5% ao m mês; ês; DBS = ? CHS DBS = 25000,00 . 0,025 . 2 25000 + DBS = R$ R$ VL = 25000 – 1250,00 VL = R$

Exemplo 03: 25

 

Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título de despesas administrativas e que o IOF (Imposto Sobre Operações Financeiras) é 0,0041% ao dia sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa seria tomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor  opção?   Solução algébrica: Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 2 meses; id = 2,5% ao mês; iadm= 1%; iIOF = 0,0041%; i = 2,8% ao mês(empréstimo) VL = ? DBS = ? DIOF = ? Dadm = ? ONDE: D = despesas DIOF = despesas com IOF Dadm = despesas administrativas VL = VN – DBS – DIOF - Dadm DBS = VN . Id . nd DBS ==25000 R$ 1250,00 . 2 R$= 250,00 Dadm 25000. .0,025 0,01 = DIOF = 25000 . 0,000041 . 60 = R$ 61,50 VL = 25000 – 1250 – 250 – 61,50 VL= R$ Se considerarmos que o PPV V seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, então teremos que a taxa desta operação será: i = FV - PV PV . nd i = 25000 – 23.438,50 = 1561,50 = % ao mês 23.438,50 . 2 46.967,00 A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês, neste caso, será melhor opção.

Operações com um conjunto de títulos Estudaremos nos próximos itens as situações em que haja mais de um título ou  borderô de títulos ou duplicatas.

Exemplo 04: Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa ? Duplicata Valor(R$) Prazo(vencimento) A 2.500,00 25 dias B 3.500,00 57 dias C 6.500,00 72 dias  Neste exemplo, vamos aplicar inicialmente a metodologia de cálculo para um único título. Solução algébrica: 26

 

a)Duplicata A: DBS = 2500 . 0,03 . 25 = R$ 30  b)Duplicata B: DBS = 3500 . 0,03 . 57 = R$ c)Duplicata C: 30 DBS = 6500 . 0, 0,03 03 . 72 = R$ 30 Valor líquido líquido = 12500 - 62,50 – 199,50 – 468,00 = R$

EXERCÍCIOS 1) Qua Quall o valo valorr do desc descon onto to com comer erci cial al si simp mple less de um títu título lo de R$ 3.0 3.000 00,00 ,00,, co com m vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês ? R. DBS = R$ 2) Qual a taxa mensal simples de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor  nominal é de R$ 1000,00 e cuj cujoo valor líquido é de R$ 880,00 ? R. i = % 3) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o borderô a seguir: a) 6.00 6.0000 15 di dias as   b) b) 3.50 3.5000 25 di dias as c) 2.50 2.5000 45 di dias as R. VL = R$

4) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada  por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. R. VL = R$

5) Achar o valor líquido do borderô de cobrança a baixo, á taxa de desconto bancário bancário é de 2% ao mês. R. VL = R$ Duplicatas Valor (R$) Prazo (vencimento) X 800,00 13 dias Y 1350,00 29 dias Z 2430,00 53 dias 6) Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60% ao mês. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$ 7) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um DRS à taxa de 10% ao mês. De quanto foi o valor   pago pelo título? R. VL = R$ 27

 

8) Um título com valor nominal de R$ 7.420,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% ao mês. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$ 9) Uma pessoa pretende saldar saldar uma dívida cujo o valor nominal é de R$ 2.040,00, 4 meses antes deusada seu vencimento. o ao valor que deverá pelo título, se a taxa racional simples no mercado éQual de 5% mês? R. VL = pagar R$

10) João deve a um banco R$ 190.000,00 190.000,00 de um tít título, ulo, que vencem daqui a 30 dias. dias. Por  não dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal atual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 72% ao ano, o valor do novo título será de: R. VL = R$ 11) Em uma operação de resgate de um título, a vencer em 4 meses, a taxa anual empregada dever ser de 18% ao ano. Se o desconto comercial simples é de R$ 180,00, qual o valor nominal do título? R. VN = R$ 12) O DCS de um título 4 meses antes do seu vencimento é de R$ 800,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor nominal. R. VN = R$ 13) Você possui uma duplicata cujo o valor de face é de R$ 150,00. essa duplicata foi descontada 3 meses antes do vencimento, obtendo um DBS de R$ 9,50. Qual à taxa de desconto? R. id = %

14) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9800,00, que sofreu um DCS de R$ 448,50, à taxa de 18% ao ano. R. nd = dias

 

JUROS COMPOSTOS 28

 

Podemos entender os juros compostos como sendo o que popularmente chamamos de juros de juros sobre juros. O regime de juros de  juros compostos é o mais comum no sistema financeiro financeiro e, portanto, portanto, o mais útil para par a cálculos por decálculo problem problemas as do dia-a-dia. Mat Matemati ematicament camente, e, o cálculo cálculo a juros compostos é conhecido exponencial de juros.

FÓRMULAS: Para calcular o Montante: FV = PV( 1 + i )n Para calcular o Capital: PV =

FV ( 1 + i )n

  Para calcular a Taxa:

FV i=

QQ/QT

-1

. 100

PV

Onde: QQ = Quanto eu Quero ( o prazo da taxa a ser calculada) QT = Quanto eu Tenho ( o prazo da operação que foi informado) Para calcular o prazo :   n =

LN (FV/ PV) LN(1 + i)

Onde: LN = Logaritmo neperiano Para calcular os juros : 29

 

J = PV[(1 + i )n – 1]

Exemplo 01: Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses.

Solução algébrica: FV = 5000(1 + 0,04)5 FV = 5000(1,04)5 FV = 5000(1,2166529)  FV = R$

Solução pela HP-12C CHS

5000 4

PV

i

5

n FVV

R$

Exemplo 02: Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% ao ano, monta R$ 14.000 ?  

Solução algébrica: PV = FV = 14000 n (1+ i) (1,15)n PV = 14 1400 0000 = R$ 2,31306 

Solução pela HP-12C CHS FV 14000 i 15 n 6 PVV R$

Exemplo 03: 30

 

A loja “Leve Tudo” financia a venda de uma máquina no valor de R$ 10.210,72, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 276 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja ? Dados: i=? Solução pela HP-12C PV CHS PV FV = = R$ R$ 10.210,72 14.520,68 10210,72 n = 276 dias Solução algébrica: 14520,68 FVV i=

14.520,68 10.210,72

30/276

- 1 . 100

ENTER 

276

i = {(1,422101...)0,108696... – 1} . 100  i = {0,039018...} . 100  i= % ao mês

n

÷

30 i

% ao mês

Exemplo 04: Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês ? Dados: n=? i = 3% ao mês PV = R$ 24.278,43 FV = R$ 41.524,33 Solução algébrica: LN 41.524,33 24278,43 n=  

LN ( 1 + 0,03)

n = LN(1,710338) LN(1,03) n = 0,536691... 0,029559...   n= ... meses

Solução1 pela HP-12C 6 f  ENTER  41524,33 g 24278,43 1,03

÷

Solução 2 pela HP-12C

LN

g

LN

41524,33

CHS

24278,43

PV

1,03

i

n

÷

meses .. meses

Exemplo 05: 31

FV

 

Calcular os juros de uma aplicação de capital de R$ 1000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa de 10% ao mês. Dados: Solução pela HP-12C PV = R$ 1.000,00? PV CHS i = 10% ao mês 1000 nJ == ?5 meses i 10 Solução algébrica: n 5 J= 1000[(1 + 0,10)5 – 1]   FV 1.610,51 J= 1000[(1,10)5 – 1] J= 1000[1,61051 – 1] RCL PV + R$ J= 1000[0,61051 ] J= R$

Cálculo dos Juros Compostos para Períodos não Inteiros As operações de do juros compostos para períodos não inteiros podem ser facilitadas se adotarmos a convenção prazo para dias, vejamos a seguir: 1 ano exato = 365 ou 366 dias; 1 ano = 360 dias; 1 semestre = 180 dias; 1 trimestre = 90 dias; 1 mês comercial = 30 dias; 1 mês exato = 29 ou 31 dias; 1 quinzena = 15 dias. Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazo n = Q (Quero) , sempre considerando o prazo em dias. T (Tenho) Sendo assim, teremos a seguinte fórmula do Valor Futuro(FV): FV = PV (1 + i ) Q/T  

Exemplo 06: 32

 

Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos.  Dados: PV = R$ 13.500,00 OBS.: neste caso a taxa está ao ano e o prazo está em dias. i =25% ao ano As perguntas: nFV= =92?dias Qual é o prazo que eu Quero? ual é o razo ue eu Tenho ?

Solução algébrica: FV = 13500(1 + 0,25)92/360 FV = 13500(1,25)0,255556 FV = 13500(1,058683) FV = R$

Solução pela HP-12C ENTER 

13500 1

ENTER ENTER 

92 x  y

X

0,25

+

360

÷

R$

EXERCÍCIOS 1) Calcular o valor futuro ou montante de uma aplicação financeira de R$ 15.000,00, admitindo-se uma taxa de 2,5% ao mês para um período de 17 meses. R. FV = R$ 2) Calcular o capital aplicado pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês, cujo valor resgatado foi de R$ 98.562,25. R.PV = 3) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 26.564,85 produziu um montante de R$ 45.562,45 com uma taxa de 0,98% ao mês ? R. n = aprox. 56 4) Qual adetaxa mensal de jurosum necessária umam.capital R$ 2.500,00 produzir um montante R$ 4.489,64 durante ano? R. ipara = % 5) Determinar os juros obtidos através de uma aplicação de R$ 580,22 com uma taxa de 4,5% durante 7 meses. R. J = R$ 6) A que taxa de juros um capital de R$ 13.200,00 pode transformar-se em R$ 35.112,26, considerando um período de aplicação de 7 meses ? R. i = %am 7) Dete Determ rmin inar ar o valo valorr de um in inve vest stim iment entoo que fo foii re real aliz izad adoo pe pelo lo re regi gime me de ju juro ross compostos, compos tos, com uma taxa de 2,8% ao mês, produzindo produzindo um monta montante nte de R$ 2.500,00 ao final de 25 meses. R. PV = R$

33

 

8) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros efetivos de 2% a.m. ? R. J = R$

9) Determinar o montante de uma aplicação de R$ 10.600,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para um período de 119 dias pelo regime de juros compostos. R. FV = R$ 10) Determinar o capital que, aplicado por 7 meses a juros efetivos de 4% ao mês, rende R$ 10.000,00. R. PV = R$ 11) Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um único  pagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% ao ano? R. n =

anos

12) Tenho R$ 10.000,00 e aplico em uma caderneta de poupança 23% do valor, a uma taxa de 2,5% ao mês a juros compostos durante 4 bimestres. Qual o valor do resgate no final do  período? R. FV = R$

13) André pretende aplicar R$ 30.000,00. Ele fez uma análise em três bancos diferentes. Veja a tabela abaixo com as condições oferecidas por cada banco.

BANCO Taxa prazo

X 2% ao mês 2 bi bimestre

Y 2% ao trim 2 trimestre

Z 2,5% ao mês 3,5 meses

a) Calcu Calcule le o monta montante nte refere referente nte as condiçõe condiçõess of ofereci erecidas das ppor or cada banco R. FVx = R$

;

FVy = R$

e FVz = R$

 b)  b) Qu Qual al é a me melh lhor or opçã opção? o?

Desconto Racional Composto O desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), (FV) ou (VN). Utilizaremos todas as metodologias anteriores para os cálculos do desconto composto.   DRC = VN – VL VL =

VN .……  nd (1 + id)

34

 

Exemplo 01: Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5000,00 considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes do seu vencimento. Dados: VN = 5000; id = 3,5% ao mês; n = 3 meses; DRC ?; Solução algébrica: VL = 5000 .……  3 (1 + 0,035) VL = 5000 = 5000__ = R$ 4509,71 .…= … 3 (1,035) 1,10872 DRC = 5000 – 4509,71 = R$

VL = ?

Solução pela HP-12C 5000 FV 3,5 i 3 n PV 4509,71 5000 + R$

Desconto Bancário ou Comercial ( para descontos compostos) Considere um título de Valor Nominal (VN), com vencimento em um período (n), e um Valor Líquido (VL), que produz um Valor Futuro (FV) igual a VN, quando aplicado  por (n) períodos a uma taxa composta de descontos (id) por período. Vamos verificar: DBC = VN – VL Onde: DBC = Desconto Bancário Composto VL = VN (1 + id) -nd

Exemplo 02: Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, 60 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de aco acordo rdo com o concei conceito to de desconto desconto composto. composto. Calcular Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto bancário concedido.  Solução algébrica: Solução pela HP-12C Dados: VN VN = R$ 25.000,00; nd = 60dias (2 meses); id = 2,5% ao mês; VL = ? DBC = ? 25000 CHS PV VL = 25000(1+ 0,025)-2 2,5 i VL = 25000(1,025)-2 -2 n VL = 25000 . 0,9518144 FV 23795,35 VL = R$ 23795,35 25000 DBC = 25000 – 23795,35 = R$ R$

35

 

EXERCÍCIOS 1) Um título no valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a taxa mensal de desconto racional composto era 10%, de quanto era o valor líquido líquido dest destee título? R. VL = R$ 2) Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 3.000,00 considerando uma taxa de juros compostos de 1,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do seu vencimento. R. DRC = R$ 3) Uma duplicata de R$ 17.000,00, 90 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 1,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o Valor Líquido creditado na conta e o valor do Desconto Bancário concedido. R. VL = R$

e DBC = R$

4) Determine o valor do DRC de um título de valor nominal de R$ 6.200,00, descontado 5 meses antes do vencimento, sendo à taxa de 3% ao mês. R. DRC = R$ 5) Calcule o DRC obtido em um título de valor nominal R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes do vencimento, sendo à taxa de desconto de 30% ao ano. R. DRC =

6) Um título no valor valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 90 dias ant antes es do vencimento à uma taxa de 1,5% ao mês. Qual o valor líquido e o DBC? R. VL = R$ e DBC = R$ 7) Uma nota promissória de R$ 5.000,00 foi descontada comercialmente 60 dias antes do vencimento à taxa de juros de 3% ao mês. Calcular o valor líquido recebido e o DBC. R. VL = R$

e

DBC = R$

36

 

OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS Conforme o  Banco Central do Brasil S. A. Conforme A. , as taxas de juros de cada instituição financeira representam médias geométricas ponderadas pelas concessões observadas nos últimos cinco dias úteis, período esse apresentado no ranking de cada modalidade de operação de crédito. A taxa de juros total representa o custo da operação para o cliente, sendo obtida pela soma da taxa média e dos encargos fiscais e operacionais.

Taxas Equivalentes a Juros Compostos Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um mesmo capital, por um período de tempo equivalente e gerem o mesmo rendimento. ieq = ( 1 + ic)Q/T - 1. 100 Onde: ieq = taxa equivalente ic = taxa conhecida QQ = Quanto eu Quero QT = Quanto eu Tenho

Exemplo 01: Calcular a equivalência entre as taxas: Taxa Conhecida a) 79,5856% ao ano b  ) 28,59% ao trimestre

Taxa equivalente para: 1 mês 1 semestre

cd)) 20,,55%aoadoim a ês e) 25% (ano comercial) Solução algébrica: a) ieq = { ( 1 + ic)QQ/QT - 1 } . 100 ieq = { ( 1 + 0,7958)30/360 - 1 } . 100 ieq = { ( 1 + 0,7958)0,083333 - 1 } . 100 ieq = { 1,049997 - 1 } . 100 ieq = { 0,049997 } . 100 ieq = % ao mês

110a5nodias 1 ano exato ( base 365 dias)

Solução pela HP-12C - a) 1,7958 ENTER  30

ENTER 

1

-

100

360 Xx

% ao mês

37

÷

Yx

 

Solução algébrica c) ieq = { ( 1 + 0,025)105/30 - 1 } . 100 ieq = { ( 1, 025)3,5 - 1 } . 100 ieq = { 1,090269 - 1 } . 100 ieq = { 0,090269 } . 100 ieq = %ao período

Solução algébrica: b) ieq = { ( 1 + 0,2859)180/90 - 1 } . 100 ieq = { ( 1 + 0,2859)2 - 1 } . 100 ieq = { 1,653539 - 1 } . 100 Solução ieq = { algébrica: 0,653539 } . 100 i = % ao seme semest stre re Solução algébrica d) ieq = { ( 1 + 0,005)360/1 - 1 } . 100 ieq = { ( 1,005)360 - 1 } . 100 ieq = { 6,022575 - 1 } . 100 ieq = { 5,022575 } . 100 ieq = % ao ano

Solução algébrica e) ieq = { ( 1 + 0,25)365/360 - 1 } . 100 ieq = { ( 1, 25)1,013889 - 1 } . 100 ieq = { 1,253880 - 1 } . 100 ieq = { 0,253880 } . 100 ieq = % ao período

Taxa Real, Taxa Aparente e Taxa de Inflação Denomin Denom inam amos os ta taxa xa apa apare rent ntee (i (i)) aquel aquelaa qu quee vi vigo gora ra na nass opera operaçõe çõess cor corre rent ntes es (financeiras e comerciais). Quando não há inflação (I), a taxa aparente (i) é igual à taxa real (R); porém, quando há inflação (I), a taxa aparente ap arente (i) é formada por dois componentes: - Um co corre rrespo sponde ndente nte ao ““jur juroo real real”” e outr outroo corr corresp esponde ondente nte a infl inflação ação.. Sendo: C: capital inicial Daí, R: taxa real de juros I: taxa de inflação (1 + i) = (1 + R) . (1 + I) i: taxa aparente

  Exemplo 01: Qual a taxa aparente, correspondente a um ganho real de 9% ao ano se a taxa de inflação do  período for 11,9% ? Resolução: Resolução pela HP 12C: i = ? R = 9%ao ano I = 11,9% 1,09 ENTER  1,119 X (1 + i) = (1 + R) . (1 + I) 1 (1 + i) = (1 + 0,09) . (1 + 0,119) 100 X (1 + i) = (1,09) . (1,119) (1 + i) = 1,22 i = 1,22 - 1 i = 0,22 . 100 → i = % ao ano Exemplo 02: Quall a tax Qua taxaa real, corr corresp esponde ondente nte a uma tax taxaa aparen aparente te de 22% ao ano se a inflaç inflação ão do  período for 11,9% ? 38

 

Resolução: i = 22% ao ano R = ? I = 11,9%

Resolução pela HP 12C: 1,22 CHS FV 1,119 PV

(1 + i) = (1 + R) . (1 + I) (1 + 0,22) = (1 + R) . (1+ 0,119)

(1,22) (1++ R) n   1i 1,22 == (1 R) . (1,119) 1,119 1,09 = (1 + R) 1,09 – 1 = R  0,09 = R  R = 0,09 . 100 → R = % ao ano Exemplo 03: Qual a taxa de inflação, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se o rendimento real for no período 9% ? Resolução: I = ? R = 9%ao ano i = 22% ao ano (1 + i) = (1 + R) . (1 + I) (1 + 0,22) = (1 + 0,09) . (1+ I) (1,22) = (1,09) . (1 + I) 1,22 = (1 + I) 1,09 1,119 = (1 + I) 1,119 – 1 = I 0,119 = I I = 0,119 . 100 → I =

Resolução pela HP 12C: 1,22 CHS FV 1,09 PV 1 n  i % ao ano

Taxa Nominal de juros Freqüentemente, os juros são capitalizados mais de uma vez no período a que se refere a taxa de juros.  A  taxa nominal é aquela cujo o período de capitalização não coincide com aquela a que ela se refere.

Veja as suas características a seguir: -

Apl Aplica ica-se -se direta diretamen mente te eem m opera operaçõe çõess de juros juros ssimp imples les.. É susc suscetí etível vel de ser pr propo oporci rcional onaliza izada da (dividi (dividida da ou multipl multiplica icada) da) “n” vez vezes es em seu  período referencial de modo que possa ser expressa em outra unidade de tempo (caso dos juros simples) ou como unidade de medida para ser capitalizada em operações de juros compostos. Exemplos de taxas nominais: -

18% 18% aaoo aano no ca capi pita tali lizad zadaa m men ensa salm lmen ente te;;

--

5% ao ao semest mês mêsestre cap capit aliza zada dalizada di diar aria iame ment nte; e;mente 8% sem reitali capita cap italiz ada men mensal salmen te e etc. etc..... 39

 

Se a taxa de juros for nomin nominal al ao ano, capitaliza capitalizada da semestra semestralment lmentee (capitali (capitalizada zada duas vezes por ano), o montante ao fim de um ano será: FV = PV 1 + ij

2.1

2 Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada mensalmente (capitalizada 12 vezes por ano), o valor do montante ao final do terceiro ano será: FV = PV 1 + ij 12

12.3

Em geral, podemos expressar do seguinte modo o montante de um capital aplicado pelo prazo “m” a uma taxa nominal “ij” com juros capitalizados “n” vezes durante o período referencial da taxa nominal:   FV = PV 1 + ij n.m n Para o cálculo do capital: PV =

FV 1 + ij n

n.m

-1

Onde: ij = taxa de juros nominal n = número de vezes em que os juros são capitalizados no período a que se refere a taxa nominal; m = prazo da aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal; PV = capital da aplicação; FV = montante

Exemplo 04: Calcular o montante de um investimento de R$ 1200,00 aplicado por 3 anos a juros nominal de 16% ao ano, capitalizados mensalmente.

Solução algébrica: Dados: PV = 1200 FV = 1200 1 + 0,16

m = 3 anos

ij = 16%ao ano

12.3

12 40

n = 12

FV = ?

 

Solução pela HP-12C 16 ENTER  ÷ i 12 36 n 1200 CHS PV FV

FV = 1200 (1 + 0,01333)36   FV = 1200(1,01333)36 FV = 1200 . 1,61076 FV = R$

Exemplo 05: Qual o valor de resgate para um capital de R$ 200,00 aplicado por 27 dias a 9% ao mês capitalizados diariamente.

Solução algébrica: Dados: PV = 200 200 m = 27di diaas (perí eríodo odo não inteiro) =? FV = 200 1 + 0,09 30

30 . (27/30)

ij = 9%ao mês

n = 30di diaas

FV

Solução pela HP-12C 9 ENTER   30 ÷ i 27 n 200 CHS PV FV

FV = 200(1,00300)27 FV = 200 . 1,08424 FV = R$

 

EXERCICIOS 1) Determinar a taxa: a) anual equivalente a 2% ao mês R. %  b) mensal equivalente a 60,103% ao ano R. % c) anual equivalente a 0,1612% ao dia R. % d) trimestral trimestral equivalente a 39, 46 % a 1 semestre R.

%

2) Calcule a taxa aparente anual que deva cobrar uma financeira para que ganhe 8% ao ano de juros reais quando a inflação for de 5% ao ano. R. i = %aa 3) A taxa de juros para aplicações aplicações de curtos e médios prazos, em um banco é 40% ao ano. Que remuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 38% ao ano? R. R = %aa taxacaso de ainfla inflação anual seja devedeocorrer ocor rerao para aplicador aplicador%aa ganhe ganhe 12% ao ano de 4) Que  juros reais, taxação aparente 25% anoque ? R.Ium = 41

 

5) Por um cap capita itall aplica aplicado do de R$ 6000 6000,00 ,00,, aplica aplicado do por dois dois anos anos,, o invest investido idor  r  recebeu R$ 5. 179,35 de juros. Qual a taxa aparente ganha se a inf inflação lação for de 30% ao ano e o juro real for de 5% ao ano ? R. i = %aa um dinheiro ao ano. Se a inflação foi de 1% no período, qual a 6) Emprestamos taxa real da operação? R. R = a 4,36% %aa

7) Um gerente empresta um dinheiro à taxa de 8%. A inflação do mês foi de 0,80%. Quanto foi a taxa real? R. R = % 8) Calcular o montante resultante de um investimento de R$ 1300,00 aplicado por 3 anos a  juros nominais de 16% ao ano, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 9) Qual o valor de resgate para um capital de R$ 300,00 aplicado pelos seguintes prazos e taxas ? a) 6 me meses ses a 28% ao aano no ca capit pitali alizad zados os m mens ensalm alment entee R. FV = R$  b) 8 mes meses es a 18% 18% ao ssemest emestre re capitaliz capitalizados ados me mensalm nsalmente ente R. FV = R$ c) 27 mes meses es a 12 % ao ttrime rimestre stre capita capitalizado lizado mensalm mensalmente ente R. FV = R$ d) 7 mes meses es a 28% 28% ao aano no capitaliz capitalizado ado tr trimest imestralme ralmente nte R. FV = R$ 10) Uma aplicação de R$ 1000,00 foi efetuada em 17/03/1995 para resgate em 24/06/1998. Para uma taxa de juros nominal de 12% ao mês com capitalização diária, calcular o valor  do resgate ((considerando considerando ano civil). R. FV = R$ 11) Em quantos meses um capital de R$ 5.000,00 aplicado a juros nominal de 120% ao ano capitalizado mensalmente, produz um montante de R$ 11.789,75? R. m = ano ou 9 meses 12) Um capital de R$ 15000,00 é aplicado por 180 dias à taxa nominal de 24% ao trimestre capitalizada mensalmente. Calcular o valor do resgate. R. FV = R$

SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em intervalos iguais. Para classificar estes conceitos, vamos interpretar as palavras. • • •

– número de coisas ou eventos, semelhantes ou relacionados, dispostos ou ocorrendo em sucessão espacial ou temporal. Uniformes – que tem uma só forma; igual, idêntico; muito semelhantes.  Pagamentos – cumprimento efetivo da obrigação exigível. Séries

42

 

Classificação das séries de pagamentos a) Quanto ao tempo Temporária - quando tem um número limitado de pagamentos;

• •

 Infinita – quando tem um número infinito de pagamentos.

 b) Quanto à constância ou periodicidade •  Periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos iguais; •   Não periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo variáveis. c) Quanto ao valor dos pagamentos •  Fixos ou Uniformes – quando todos os pagamentos são iguais; • Variáveis – quando os valores dos pagamentos variam. d) Quanto ao vencimento do primeiro pagamento • •

  Imedia Imediata ta –  quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro  período da série;  Diferida –  quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período da série, ou seja, ocorrerá em períodos seguintes.

e) Quanto ao momento dos pagamentos •  Antecipadas – quando o primeiro pagamento ocorre no momento “0”(zero) da série de pagamentos; •  Postecipadas – quando os pagamentos ocorrem no final dos períodos.

Série Uniforme de Pagamento POSTECIPADA São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema é também chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada(0 entrada(0 + n). Sendo Sen do inform informados ados uma tax taxa( a(i), um prazo(n) e o valor de um pagamento ou  prestação (PMT) será possível calcular o valor presente( PV) de uma série de pagamentos  postecipada através da seguinte fórmula: (1 + i)n - 1 PV = PMT (1 + i)n . i

43

 

EXEMPLO 01: Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$ 1500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% ao mês a taxa de juros negociada na operação. =? Dados: PV algébrica: Resolução

n = 6 meses

i = 3,5% ao mês

PMT = R$ 1500,00

(1 + i)n - 1 PV = PMT (1 + i)n . i (1 + 0,035)6 - 1 PV = 1500 (1 + 0,035)6 . 0,035

PV = 1500

(1,035)6 - 1 (1,035)6 . 0,035

1,229255 - 1 PV = 1500 1,229255 . 0,035 0,229255 PV = 1500 0,043024 PV = 1500[5,328553]

Resolução pela HP-12C f REG 1500 CHS PMT 6 n 3,5 i PV

PV = R$

Dado o Valor Presente(PV), Achar a Prestação (PMT) Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor presente( PV) de uma série de  pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguinte fórmula: 44

 

(1 + i)n . i PMT = PV n

(1 + i) - 1

EXEMPLO 02: Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o co comp mpra rado dorr reso resolv lver er fi fina nanc ncia iarr em ci cinc ncoo pr pres esta taçõ ções es mens mensai aiss ig igua uais is e sem sem en entr trad ada, a, considerando que a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês? Dados: PV = 500 n = 5 meses i = 5% ao mês PMT = ? Resolução algébrica: PMT = 500

(1 + 0,05)5 . 0,05

Resolução pela f REGHP-12C 500 CHS PV 5 n 5 i PMT

(1 + 0,05)5 - 1 (1,05)5 . 0,05 PMT = 500 (1,05)5 - 1 1,276282 . 0,05 PMT = 500 1,276282 - 1 0,063814 PMT = 500 0,276282 PMT = 500[0,230975]

PMT = R$ Dado o Valor Futuro(FV), Achar a Prestação (PMT)

45

 

Sendo informados informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor futuro(FV) de uma série de  pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguinte fórmula:

PMT = FV

i (1 + i)n - 1

EXEMPLO 03: Determinar Deter minar o valor dos depósitos depósitos mensais que, quando aplicad aplicadoo a uma taxa de 4% ao mês durante 7 meses, produz um montante de R$ 5000,00, pelo regime de juros compostos. Dados: FV = 5000 n = 7 meses i = 4% ao mês PMT = ? Resolução algébrica: Resolução pela HP-12C f REG 0,04 5000 FV PMT = 5000 74 (1 + 0,04)7 - 1 in PMT 0,04 PMT = 5000 (1,04)7 - 1 0,04 PMT = 5000 1,315932 - 1 0,04 PMT = 5000 0,315932 PMT = 5000[0,126610]

PMT = R$ Dado o Valor Presente(PV), Calcular o Prazo (n) Se Send ndoo info inform rmad ados os um umaa ta taxa( xa(i), o valo valorr pr pres esen ente te((PV) e um paga gam ment ntoo ou  prestação(PMT) em uma série uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular  o número de pagamentos ou prazo(n), através da seguinte fórmula: 46

 

PV

.i

LN 1 PMT n=LN(1+ i)

EXEMPLO 04: Um produto é comercializado à vista por R$ 1750,00. Uma outra alternativa seria financiar  este produto a uma taxa de 3% ao mês. Gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando que o comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestações deste financiamento. Dados: PV = 1750 n=? i = 3% ao mês PMT = 175,81 Resolução algébrica: Resolução pela HP-12C f REG 1750 PV 1750 3 i LN 1 . 0,03 175,81 CHS PMT 175,81 n   n=LN(1+ 0,03)

LN [1 – (9,953928) . 0,03 ] n=LN(1,03)   LN [1 – (0,298618) ] n=LN(1,03)   LN[0,701382 ] n=-

LN(1,03) 47

 

  -0,354702 n=0,02956

  n=-

- 12

⇒ 

n=

meses

 

Dado o Valor Futuro(FV), Calcular o Prazo (n) Sendo informados uma taxa(i), um valor futuro(FV) e a prestação(PMT) em uma série uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o número de pagamentos ou prazo(n), através da seguinte fórmula:   FV . i LN

PMT +1

n=LN(1 + i)

EXEMPLO 05: Um poupador deposita R$ 150,00 por mês em uma caderneta de poupança; após um determinado tempo observou-se que o saldo da conta era de R$ 30.032,62. Considerando uma taxa média de poupança de 0,08% ao mês, determine a quantidade de depósito efetuado por este poupador. Dados: FV = 30.032,62 i = 0,08% ao mês PMT = 150,00 n=? Resolução pela HP-12C f REG 30032,62 CHS FV 150 PMT 0,08 i n meses  

Resolução   algébrica: 30032,62 . 0,0008 LN +1 150   n=LN(1+ 0,0008)

24,026096 LN

150

+1 48

 

  n=LN(1,0008)   LN[ 0,160174 + 1] n=-

LN(1,0008) LN[ 1,160174 ]

n=LN(1,0008) 0,148570 n=-

⇒

n = 185,712500

⇒ 

n=

meses

  0,000800   Dada a prestação (PMT), calcular o Valor Futuro (FV) Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor do pagamento ou prestação (PMT) de uma série uniforme de pagamentos postecipados, será possível calcular o valor  futuro (FV), através da seguinte fórmula:   FV = PMT

(1 + i )n - 1 i

EXEMPLO 06: Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de  poupança; considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o valor acumulado após este período? Dados: PMT = 100,00 n = 30 anos ou 360 meses

i =0,8% ao mês

FV = ?

Resolução pela HP-12C f REG 100 CHS PMT 0,8 i 360 n FV

Resolução algébrica: FV = 100 (1 + 0,008)360 - 1 0,008 FV =100 (1,008)360 - 1 0,008 FV = 100 17,61 17,611306 1306 - 1 0,008 49

 

FV = 100

16,611306 0,008

⇒

FV = 100 (2076,4132)

⇒ 

FV = R$

EXERCÍCIOS investimento mensal de R$ 1000,00, durante 5 meses, 1) Determinar o valor futuro de um investimento à taxa de 5% ao mês. R. FV = R$

2) Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$ 10.000,00, no final de cada um dos próximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento é remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. R. PV = R$ 3) Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva efeti va de 2,5% ao mês, sabe sabendo-se ndo-se que o valor valor presen presente te é de R$ 1000,00 e que o prazo é de 4 meses.  R. PMT = R$

4) Um automóvel custa à vista o valor de R$ 14.480,00, e pode ser financiado em 48  parcelas mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações. R. PMT = R$ 5) No exercício anterior, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao mês para recalcular o valor da prestação. R. PMT = R$ 6) Uma pessoa deposita em uma financeira, no final de cada mês, durante 5 meses, a quantia de $ 100.000,00. Calcule o Montante da renda, sabendo que a financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 7) Qual o período financeiro necessário, para se aplicar $ 500,00 anualmente e se resgatar o mont mo ntan ante te da re rend ndaa de $12. $12. 09 099, 9,00 00,, se a fi fina nanc ncia iado dora ra me of ofer erec ecer er 25 25% % ao an anoo de rendimento? R. n =

aprox.

anos

8) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processando nenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês sobre o saldo credor. R. PMT = R$ 9) Um bem cujo preço à vista é de $ 4.000 será pago em oito prestações mensais iguais  pagas ao fim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% ao mês, calcular o valor das prestações. R. PMT = R$ 10) A juros nominais de 36% ao ano capitalizado mensalmente, determinar o tempo necessário para liquidar um financiamento de $ 842,36 por meio de prestações mensais   postecipadas de $ 120.R. R. n = aproxima. meses

50

 

11) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 2 anos, a quantia de R$ 200,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês. R. FV = R$ 12) Qu Quant antoo devo devo ap apli lica carr mens mensal alme ment nte, e, dura durant ntee 3 an anos os,, pa para ra que possa possa resg resgat atar ar R$ 35.457,00 no final dos 36 meses, sabendo que a aplicação proporciona um rendimento de 1,5% ao mês? R. PMT = R$

13) Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de R$ 800, 00, a 0,5% ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano? R. FV = R$ 14) Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de 1,5% ao mês, quanto possuirá em 2

1 2

anos? R. FV = R$

15) Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, à taxa de 2,5% ao mês, para que se tenh tenhaa R$ 60.0 60.000, 00,00 00 no fin final al do vi vigé gési simo mo mês, dentr dentroo do concei conceito to de renda renda  postecipada ? R. PMT = R$

16) Determine o número de aplicações bimestrais e iguais a R$ 900,00, necessárias para se ter um montante de R$ 11.863,00, considerando-se uma taxa de 6% ao bimestre. R. n = prestações  

17) O vendedor da loja oferece um sistema de som em oito parcelas mensais, iguais e seguidas seguid as de R$ 1.000,0 1.000,00. 0. sabendo-s sabendo-see que a primeira prestação prestação vencer venceráá um mês depois da compra. Calcule o valor do capital desse financiamento considerando a taxa de 3,5% ao mês. R. PV = R$ 18) O financiamento de R$ 8.000,00 será devolvido em parcelas mensais, iguais seguidas de R$ 1.800,00, vencendo a primeira primeira parcela um mês depois do recebi recebimento mento do dinheir dinheiro. o. Cons Co nsid ider eran ando do a ta taxa xa de ju juro ro de 4% ao mês, mês, calc calcul ulee o nú núme mero ro de capi capita tais is de dess ssee financiamento. R. n = ou prestações  

19) O financiamento será devolvido em 12 prestações mensais iguais e seguido de R$ 550,00, sendo o pagamento da primeira prestação realizado no final do primeiro mês depois do recebimento do dinheiro. Calcule o valor do financiamento considerando a taxa de juro de 2,85% ao mês. R. PV = R$  

20) Calcule o valor financiado sabendo que o devedor pagará dez parcelas m mensais ensais de R$ 1.200,00 num plano de amortização postecipado com taxa de juro de 3,65% ao mês. R. PV = R$

51

 

.

Série Uniforme de Pagamento ANTECIPADA As séries de pagamentos antecipados são aqueles em que oéprimeiro  pagamento ocorreuniformes na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento também chamado de sistema de pagamento com entrada (1 + n).

Dada à prestação (PMT), calcular o valor presente (PV) Sendo informados a taxa (i), um prazo (n) e valor da prestação (PMT) será  possível calcular o valor presente (PV) de uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula: (1 + i)n –1 PV = PMT (1 + i )n-1  . i

EXEMPLO 01: Uma mercadoria é comercializada em 4 (quatro) pagamentos de R$ 185,00; sabendo-se que a taxa de financiamento é de 5% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada, determine o preço à vista desta mercadoria. Resolução algébrica: Dados: n = 4 PMT = R$185,00 i=5%am PV= ? (1 + 0,05)4 –1

OBS. : PARA SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA, ANTES DE FAZE FA ZER R A RE RESO SOLU LUÇÃO ÇÃO PE PELA LA HP122-C C PRESSIONAR AS TECLAS: G BEG

PV = 185 (1 + 0,05 )4-1 . 0,05 (1 ,05)4 –1 PV = 185 (1,05 )3 . 0,05

Resolução pela HP-12C f REG g BEG 185 CHS PMT 5 i 4 n PV

1,215506 –1 PV = 185 1,157625 . 0,05 0,215506 PV = 185

0,057881 52

 

PV = 185[ 3,723248 ] PV = R$

Dado o valor presente (PV), calcular a prestação (PMT) Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) será possível calcular o valor dos pagamentos ou recebimentos (PMT) de uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula: (1 + i)n-1 . i PMT = PV (1 + i )n - 1

EXEMPLO 02: Um automóvel que custava à vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais; sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da  prestação mensal deste financiamento. Resolução algébrica: Dados: n = 36meses PMT =? i = 1,99%am PV= R$ 17.800,00 (1 + 0,0199)36-1 . 0,0199

Resolução pela HP-12C f REG g BEG 17800 CHS PV 1,99 i 36 n P MT

PMT = 17800 (1 + 0,0199 )36 - 1 35

PMT = 17800

(1,993039) . 0,0199 (1,0199 )36 - 1 0,039661

PMT = 17800 2,032700 - 1 0,039661 PMT = 17800 1,032700 PMT = 17800[ 0,038405 ] 53

 

PMT = R$ Dado o valor presente(PV), calcular o prazo(n) Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o valor prese presente nte (PV) será  possível calcular o prazo (n) em uma séri sériee de pagamento antecipada antecipada através através da segui seguinte nte fórmula: PV . i n=-

ln 1 PMT. (1 + i)

  ln(1 + i)

EXEMPLO 03: Um produto custa à vista R$ 1500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de R$ 170,72, sendo que a primeira será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de  juros contratada foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento? Resolução algébrica: Dados: n = ?

PMT =R$ 170,72

i = 3%am

PV= R$ 1.500,00

1500 . 0,03 n=-

ln 1 170,72 . (1 + 0,03)

  ln(1 +0,03) 45 ln 1 170,72 . (1,03)

n= 

ln(1,03) 45 ln 1 n=-

175,84

 

0,029559 54

Resolução pela HP-12C

f REG g BEG 1500 PV 3 i 170,72 CHS PMT n meses  

 

  n=-

ln [1 [1 - 0,255972 ] 0,029559

  ln [ 0,744028 ] n=0,029559 - 0,295596 n= -

 

0,029559

n = - { - 10,000275 }

n=

meses

Dada à prestação (PMT), calcular o valor futuro (FV) Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o prazo (n), será possível possível calcular o valor futuro (FV) em uma uma série unif uniforme orme de pagamento antecipada através da seguinte fórmula: (1 + i)n - 1

. (1+ i )

FV = PMT i

EXEMPLO 04: Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ 37.500,00, e acredita que, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no Banco Popular S/A, com depósitos mensais de R$ 500,00, ele terá o valor de que precisa. Considerando que a   poupança paga, em média, uma taxa de 0,8% ao mês, pergunta-se: o poupador vai conseguir o valor que precisa? Resoluçãoacumular algébrica: 55

 

Dados: n = 5 anos(60meses)

PMT =R$ 500,00?

(1 + 0,008)60 - 1 FV =

500

0,008

. (1 + 0,008)

(1,008)60 - 1 FV =

. (1,008)

500

i = 0,8%am

FV= ?

Resolução pela HP-12C f REG g BEG 500 CHS PMT 0,8 i 60 n FV

0,008 1,612991 - 1 FV =

. (1,008)

500 0,008 0,612991

FV =

. ( 1,008)

500 0,008

FV = 500[ 76,623867 ] . (1,008) FV = 38.311,93 . (1,008)  FV = R$ (ainda sobrará dinheiro)

Dado o valor futuro (FV), calcular a prestação (PMT) Sendo informados uma taxa (i), o valor futuro (FV) e o prazo (n), será possível calcular valor dafórmula: prestação (PMT) em uma série série uni uniforme forme de pagamento pagamento antecipada antecipada através dao seguinte FV . i PMT = [(1 + i)n – 1] . ( 1 + i)

EXEMPLO 05: Considere o poupador do exemplo anterior, que se depositar R$ 500,00 na data de hoje,  para resgatar no final de 5 anos a importância de R$ 37.500,00, deverá resgatar um pouco mais. Considerand Considerandoo a mesma taxa, ou seja, 0,8% ao mês, de quanto deverá ser o valor de cada depósito para que o poupador consiga acumular exatamente o valor de R$ 37.500,00? Resolução algébrica: 56

 

Dados: n = 5 anos (60 meses meses)) 37.500,00  

PMT= ?

37.500,00 . 0,008

PMT =

i = 0,8%

FV = R$

fResolução REGpela HP-12C g BEG 37500 CHS FV 0,8 i 60 n PMT

[(1 + 0,008)60 – 1] . ( 1 + 0,008) 300 PMT = [(1,008)60 – 1] . (1,008) 300 PMT = [1,612991 – 1] . (1,008) 300 PMT =

[0,612991] . (1,008) 300 → PMT = R$

PMT = 0,617895

E X E RC I C IO S 1) Uma pessoa deposita em uma financeira no início de cada mês, durante 5 meses,a quantia de R$ 100.000,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga  juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 2) Qual o montante da renda, para aplicações mensais mensais de R$ 120,00 cada, a taxa de juros compostos de 3% ao mês, durante o período financeiro de 6 meses, sendo que o primeiro depósito foi exigido no ato da abertura do contrato? R. FV = R$ 3) Um terreno é vendido em 4 prestações mensais iguais de R$ 150.000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa do financiame financiamento nto for 14% ao mês, qual o preço à vista? R. PV= R$

4) Uma geladeira é vendida em 5 prestações mensais de R$ 8000,00 cada uma, sendo a  primeira dada como entrada. Qual o preço à vista, se a taxa de juros do financiamento for  de 9% ao mês? R. PV = R$

57

 

5) Um automóvel usado é vendido à vista por R$ 300.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12 prestações mensais iguais(antes de serem corrigidas monetariamente), sendo a  primeira no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é 2% ao mês, obter o valor de cada prestação antes de serem corrigidos. R. PMT = R$ Umas, mercadoria R$ 106.589,53 a vista, podendo vendida Qual em 6será prestações 6) mensais, mensai à taxa de 5%custa ao mês, sendo sendo a primeira primeir a paga no ato ser da compra. ser á o valor  de cada prestação? R. PMT = R$

7) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em prestações mensaiss de R$ 20.000,00, à taxa de 5% ao mês mensai mês,, sendo a primei primeira ra paga no ato da compra. compra. Quantas prestações deverão ser pagas? R. n = meses 8) Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de R$ 1.895.395,00  pagando prestações mensais antecipadas de R$ 500.000,00 a juros efetivos de 10% ao mês? R. n =

meses

9) Quanto deverá ser depositado no início de cada período para obter um montante de R$ 305.200,00 no final de 30 períodos a uma taxa de 5% ao mês? R. PMT = R$ 10) Calcule Calcule o mon montan tante te de uma renda trim trimest estral ral ante antecip cipada ada de 8 termo termoss iguai iguaiss a R$ 7.000,00, sendo de 2,5% ao trimestre a taxa de juros compostos. R. FV = R$

11) Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa instituição financeira, à taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizados bimestralmente, de modo que com 8 depósitos depósi tos anteci antecipados pados consti constitua tua o montante montante de R$ 150.000,00. 150.000,00. Calcule a importância. importância. R. PMT = R$

12) Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $ 307. A juros efetivos de 10% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada. Qual deveria ser seu valor à vista? R. PV = $

13) Um computador custa à vista $2500, 00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de $168, 30, sendo que a 1 a será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de  juros contratado foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento? R. n =

meses

14) A compra de um conjunto de móveis será paga em 8 prestações de R$ 1.000,00, sendo a primeira primeira no ato da compra. Calcule o valor dessa compra conside considerando rando a taxa de juro de 3,5% ao mês. R. PV = R$ 15) O financiamento de R$ 8.000,00 será devolvido em parcelas mensais, iguais e seguido de, no máximo, R$ 1.800,00, vencendo a primeira parcela no ato do recebimento do dinheiro. Considerando a taxa de juro de 4% ao mês, calcule o número de capitais desse financiamento. 58

 

R. n =

ou

meses

16) São financiados R$ 1.000,00 com a taxa de juro de 2,3% ao mês. Calcule o valor das quatro prestações mensais, iguais e seguidas, sabendo que a primeira prestação vencerá no ato de assinar o contrato. R. PMT = R$ 17) Calcule o montante de uma renda bimestral antecipada de 4 termos iguais a R$ 6.500,00, sendo de 1,5% ao bimestre. R. FV = R$ 18) A compra de roupas no valor de R$ 1.725,00 será financiada em seis prestações mensais iguais e antecipadas. Calcule o valor das prestações considerando a taxa de financiamento de 3% ao mês. R. PMT = R$

19) Calcule o valor do financiado em 12 parcelas antecipadas mensais, seguidas e iguais a R$ 256,00, considerando a taxa de juro de 3,35% ao mês. R. PV = R$

 

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTO Estudaremo Estudar emoss as met metodol odologi ogias as de sistem sistemas as de amorti amortizaçã zaçãoo de emp emprés résti timos mos e financiamentos, e ainda, a metodologia para calcular as prestações não uniformes, ou seja, as prestações que mudam a cada período do empréstimo ou financiamento. •

Empréstimo: recurso financeiro que, em tese, não necessita ser justificado quanto à sua finalidade, como por exemplo: cheque especial e CDC (Crédito Direto ao Consumidor), entre outros.

•

Financiamento: recurso financeiro que tem a necessidade de ser justificado quanto à sua finalidade, por exemplo: compra de automóvel, imóvel e

crediário, entre outros.  No financiamento, existe sempre a aquisição de um bem ou serviço atrelado à liberação dos recursos financeiros financiados, enquanto no empréstimo exige-se apenas uma garantia de devolução dos recursos financeiros emprestados. Considere as seguintes nomenclaturas que usaremos para desenvolver as tabelas ou  planilhas de amortização. •

Saldo Devedor : é o valor nominal do empréstimo ou financiamento, ou simplesme simp lesmente nte Valor Presente Presente (PV) na data foca focall 0 (zero), que é diminuído diminuído da parcela de amortização a cada período (n).

•

Amortização: parcela que é deduzida do saldo devedor a cada pagamento.

59

 

•

Juros compensatórios: é o valor calculado a partir do saldo devedor e  posteriormente somado à parcela de amortização.

•

Prestação: é o pagamento efetuado a cada período (n), composto da parcela de amortização amortização mais juros compensatóri compensatórios. os.

Sistema Francês de Amortização (SFA)   Nes Neste te si sist stem ema, a, o fi finan nanci ciame ament ntoo (PV) (PV) é pa pago go em pr pres esta taçõ ções es (P (PMT MT)) ig iguai uais, s, constituídas de duas parcelas de amortização e juros compensatórios (J), que variam inversamente, ou seja, enquanto as parcelas de amortização diminuem ao longo do tempo, os juros aumentam. Este Este si sist stem emaa é con consi side dera rado do o si sist stem emaa de am amor orti tizaç zação ão mais mais ut util iliz izad adoo pe pela lass instituições financeiras e pelo comércio em geral, conhecido também com Sistema Price e tem como principais características: •

a prestação é constante durante todo o período do financiamento;

• •

asão parcela de amortização a cada período (n), ou seja, os pagamentos periódicos, constantesaumenta e sucessivos; os juros compensatórios diminuem a cada período (n).

OBS.: Seu cálculo, pela HP12C é feito na mesma forma da série de pagamentos uniformes  postecipados. Exemplo 01: Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5   paga pagame ment ntos os me mens nsai ais, s, se sem m praz prazoo de ca carê rênc ncia ia,, cal calcu cula lado do pe pelo lo Si Sist stem emaa Fr Fran ancê cêss de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. Resolução algébrica Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses

i = 10% ao mês

a) cálculo do valor da prestação do financiamento (1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1

(1 + 0,1)5 . 0,1 PMT =10.000

(1 + 0,1)5 - 1 60

PMT = ?

 

(1,1)5 . 0,1 PMT =10000 (1,1)5 - 1 1,610510 . 0,1 PMT =10000 1,610510 - 1 0,1610551 PMT =10000 0,610510 PMT = 10000[0,263797]

PMT = R$ b) Cálculo dos juros (J) J = PV . i . n Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 Juros para o 2o período: J2 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20 Juros para o 3o período: J3 = 6.560,26 . 0,1 . 1 = R$ 656,03 Juros para o 4o período: J4 = 4.578,32 . 0,1 . 1 = R$ 457,83 Juros para o 5o período: J5 = 2.398,18 . 0,1 . 1 = R$ 239,82

c) cálculo da parcela de amortização (PAn) PAn = PMT - J Parcela de amortização para o 1o período: PA = Parcela de amortização para o 2o período: PA = Parcela de amortização para o 3o período: PA = Parcela de amortização para o 4o período: PA = Parcela de amortização para o 5o período: PA =

d) cálculo do saldo devedor (SD) SDn = SD(anterior) - PAn 61

2.637,97 2.637,97 2.637,97 2.637,97 2.637,97

- 1.000,00 = R$ 1.637,97 - 836,20 = R$ 1.801,77 - 656,03 = R$ 1.981,94 - 457,83 = R$ 2.180,14 - 239,82 = R$ 2.398,15

 

SD1 = 10.000,00 SD2 = 8.362,03 SD3 = 6.560,26 SD4 = 4.578,32 SD5 = 2.398,18

N 0 1 2 3 4 5

-

1.637,97 1.801,77 1.981,84 2.180,14 2.398,15

= = = = =

R$ 8.362,03 R$ 6.560,26 R$ 4.578,32 R$ 2.398,18 R$ 0,03

Assim teremos nossa planilha de financiamento Saldo De Devedor ((SSDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 10.000,00 8.362,03 6.560,26 4.578,32 2.398,18 0,03

0,00 1.637,97 1.801,77 1.981,94 2.180,14 2.398,15

0,00 1.000,00 836,20 656,03 457,83 239,82

0,00 2.637,97 2.637,97 2.637,97 2.637,97 2.637,97

 

∑

OBS.:A diferença de 0,03 é devido ao arredondamento. arredondamento. Resolução pela HP-12C f [REG] 10000 CHS

PV

10 i

5 n

PMT

2637,97

1 f

[AMORT] 1000,00 X

Y 1637,97 RCL PV – 8362,03

1 f

[AMORT]

836,20 X

Y 1801,77 RCL PV – 6560,26

1 f

[AMORT]

656,03 X

Y 1981,94 RCL PV – 4578,32

1 f

[AMORT]

457,83 X

Y 2180,14 RCL PV – 2398,18

1 f

[AMORT]

239,82 X

Y 2398,15 RCL PV

– 0,03

Sistema Francês (carência + juros compensatórios)  Neste caso, não haverá a parcela de amortização durante o período da carência, apenas o pagamento dos juros compensatórios.

Exemplo 2: 62

 

Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5   paga pagame ment ntos os me mens nsai ais, s, co com m 2 me mese sess de ca carê rênc ncia ia,, ca calc lcul ulad adoo pe pelo lo Si Sist stem emaa Fr Fran ancê cêss de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébrica meses eses i = 10% ao mês PMT = ? Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 mesesc = 2 m a) cálculo cálculo do valor da pre prestação stação do ffinanci inanciamento amento

(1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1

PMT =10.000

(1 + 0,1)5 . 0,1 (1 + 0,1)5 - 1 (1,1)5 . 0,1

PMT =10000 (1,1)5 - 1

1,610510 . 0,1 PMT =10000

1,610510 - 1 0,1610551

PMT =10000 0,610510 PMT = 10000[0,263797]

PMT = R$ b) Cálculo dos juros compensatórios J = PV . i . n 63

 

Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 Juros para o 2o período: J2 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior. Juros para o 3oo período: J3 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 Juros para o 4 período: J4 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20 Juros para o 5o período: J5 = 6.560,26 . 0,1 . 1 = R$ 656,03 Juros para o 6o período: J6 = 4.578,32 . 0,1 . 1 = R$ 457,83 Juros para o 7o período: J7 = 2.398,18 . 0,1 . 1 = R$ 239,82

c) cálculo da parcela de amortização (PAn) PAn = PMT - J Parcela de amortização para o 1o período: PA = Parcela de amortização para o 2o período: PA = Parcela de amortização para o 3o período: PA = Parcela de amortização para o 4o período: PA = Parcela de amortização para o 5o período: PA = Parcela de amortização para o 6o período: PA = Parcela de amortização para o 7o período: PA =

0,00 0,00 2.637,97 2.637,97 2.637,97 2.637,97 2.637,97

0,00 = R$ 0,00 0,00 = R$ 0,00 - 1.000,00 = R$ 1.637,97 - 836,20 = R$ 1.801,77 - 656,03 = R$ 1.981,94 - 457,83 = R$ 2.180,14 - 239,82 = R$ 2.398,15

d) cálculo do saldo devedor (SD) SDn = SD(anterior) - PAn SD1 = 10.000,00 SD2 = 10.000,00 SD3 = 10.000,00 SD4 = 8.362,03 SD5 = 6.560,26 SD6 = 4.578,32 SD7 = 2.398,18

N 0 1

-

0,00 0,00 1.637,97 1.801,77 1.981,84 2.180,14 2.398,15

= = = = = = =

R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 8.362,03 R$ 6.560,26 R$ 4.578,32 R$ 2.398,18 R$ 0,03

Assim teremos nossa planilha de financiamento Saldo Devedor (SDn) Amortização (P (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 10.000,00 10.000,00

0,00 0,00 64

0,00 1.000,00

0,00 1.000,00

 

2 3 4 5 6 7

10.000,00 8.362,03 6.560,26 4.578,32 2.398,18 0,03

 

∑

0,00 1.637,97 1.801,77 1.981,94 2.180,14 2.398,15

1.000,00 1.000,00 836,20 656,03 457,83 239,82

1.000,00 2.637,97 2.637,97 2.637,97 2.637,97 2.637,97

Resolução pela HP-12C f [REG] 10000 ENTER 10000 CHS X  Y 10 10000 CHS

% 1000 PV 10 i % 1000 PV 10 i

5 n

PMT

2637,97

5 n

PMT

2637,97

1 f

[AMORT] 1000,00 X

Y 1637,97

RCL PV – 8362,03

1 f 1 f

[AMORT] [AMORT]

836,20 X 656,03 X

Y 1801,77 Y 1981,94

RCL PV – 6560,26 RCL PV – 4578,32

1 f

[AMORT]

457,83 X

Y 2180,14

RCL PV – 2398,18

1 f

[AMORT]

239,82 X

Y 2398,15 RCL PV

– 0,03

Sistema Francês (carência + saldo devedor corrigido)  Neste caso, não se paga juros compensatórios, na verdade os juros serão acrescidos ao saldo devedor com base no regime de capitalização composta, e na seqüência, calcula-se a prestação com base no conceito de uma série uniforme de pagamento postecipada.   Exemplo 3: Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5  pagamentos mensais, com 2 meses de carência; porém, não haverá o respectivo pagamento de juros durante o período da carência, devendo, portanto, ser incorporado ao saldo devedor, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a  planilha de financiamento.

Resolução algébrica a) atualização do saldo devedor durante o período de carência período 1: SD = 10000 . 1,1 = R$ 11.000,00 Período 2: 65

 

SD = 11.000 . 1,1 = R$ 12.100,00

Dados: PV = R$ 12.100,00 n = 5 mesesc = 2 meses b) cálcul cálculoo do vvalo alorr da pprest restaçã açãoo

(1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1

(1 + 0,1)5 . 0,1 PMT =12.100 (1 + 0,1)5 - 1 (1,1)5 . 0,1 PMT =12100 (1,1)5 - 1 1,610510 . 0,1 PMT =12100

1,610510 - 1 0,1610551

PMT =12100 0,610510 PMT = 12100[0,263797]

PMT = R$ c) Cálculo dos juros compensatórios J = PV . i . n 66

i = 10% ao mês

PMT = ?

 

Juros para o 1o período: J1 = 0,00 Juros para o 2o período: J2 = 0,00 Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior. Juros para o 3oo período: J3 = 12.100,00 . 0,1 . 1 Juros para o 4 período: J4 = 10.118,05 . 0,1 . 1 Juros para o 5o período: J5 = 7.937,91 . 0,1 . 1 Juros para o 6o período: J6 = 5.539,75 . 0,1 . 1 Juros para o 7o período: J7 = 2.901,77 . 0,1 . 1

= R$ 1.210,00 = R$ 1.011,81 = R$ 793,79 = R$ 553,98 = R$ 290,18

d) cálculo da parcela de amortização (PAn) PAn = PMT - J Parcela de amortização para o 1o período: PA = Parcela de amortização para o 2o período: PA = Parcela de amortização para o 3o período: PA = Parcela de amortização para o 4o período: PA = Parcela de amortização para o 5o período: PA = Parcela de amortização para o 6o período: PA = Parcela de amortização para o 7o período: PA =

0,00 0,00 3.191,95 3.191,95 3.191,95 3.191,95 3.191,95

0,00 = R$ 0,00 0,00 = R$ 0,00 - 1.210,00 = R$ 1.981,95 - 1.011,81 = R$ 2.180,14 - 793,79 = R$ 2.398,16 - 553,98 = R$ 2.637,97 - 290,18 = R$ 2.901,77

e) cálculo do saldo devedor (SD) SDn = SD(anterior) - PAn

1 SD SD2 = = 11.000,00 12.100,00 SD3 = 12.100,00 SD4 = 10.118,05 SD5 = 7.937,91 SD6 = 5.539,75 SD7 = 2.901,78

n 0 1 2

--

0,00 0,00 1.981,95 2.180,14 2.398,16 2.637,97 2.901,77

= = = = = = =

R$ 11.000,00 12.100,00 R$ 10.118.05 R$ 7.937,91 R$ 5.539,75 R$ 2.901,78 R$ 0,01

Assim teremos nossa planilha de financiamento Saldo Devedor (SDn) Amortiz tização ção (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 10.000,00 11.000,00 12.100,00

0,00 0,00 0,00 67

0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00

 

3 4 5 6 7

10.118,05 7.937,91 5.539,75 2.901,78 0,01 ∑

1.981,95 2.180,14 2.398,16 2.637,97 2.901,77

1.210,00 1.011,81 793,79 553,98 290,18

3.191,95 3.191,95 3.191,95 3.191,95 3.191,95

  Resolução pela HP-12C

f [REG] 10000 ENTER  1,1 X 1,1 X 12100 CHS PV 10 i 5 n

PMT

3.191,95

1 f

[AMORT] 1210,00 X

Y 1981,94 RCL PV – 10.118,05

1 f

[AMORT] 1011,80 X

Y 2180,14 RCL PV – 7937,90

1 f 1 f

[AMORT] [AMORT]

793,79 X 553,97 X

Y 2398.15 RCL PV – 5539,74 Y 2637,97 RCL PV – 2901,77

1 f

[AMORT]

290,17 X

Y 2901,77 RCL PV

– 0,00

Sistema Price de Amortização ou (Tabela Price) O Sistema Price de Amortização, ou simplesmente Tabela Price, é uma derivação do Sistema Francês de Amortização, diferenciando-se apenas nos seguintes pontos: a) A taxa é aaprese presentada ntada em termos termos nominais nominais e no normal rmalmente mente é apresen apresentada tada ao ano. ano.  b)  b) O per perío íodo do do fi fina nanci nciam ament entoo norm normal alme mente nte é me menor nor do qu quee o temp tempoo da taxa, taxa, quase sempre é dado ao mês. c) Para ttransf ransformar ormar as ttaxas, axas, usa-se usa-se o cr critéri itérioo de proporc proporcional ionalidade. idade.

Exemplo 4: Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 12% ao ano, para ser pago em 7  pagamentos mensais sem prazo de carência, calculado pelo Si Sistema stema Price de Amortização. Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. Resolução algébrica Dados: PV = R R$$ 110.0 0.000 00,00 ,00 n = 7 mes meses es i = 12% 12% ao ao aano no (1 (12/ 2/12 12 = 1% 1% ao ao m mês ês)) a) cálcul cálculoo do val valor or da pres prestaçã taçãoo 68

PM PMT T =?

 

(1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1

(1 + 0,01)7 . 0,01 PMT =10.000 (1 + 0,01)7 - 1 (1,01)7 . 0,01 PMT =10000 (1,01)7 - 1 1,072135 . 0,01 PMT =10000 1,072135 - 1 0,010721 PMT =10000 0,072135 PMT = 10000[0,148628]

PMT = R$ 1.486,28 b) Cálculo dos juros J = PV . i . n Juros para o 1o período: J1 = 10.000 . 0,01 = 100,00

c) cálculo da parcela de amortização (PAn) PAn = PMT - J Parcela de amortização para o 1o período: PA = 1.486,28 - 100,00 = R$ 1.386,28 69

 

d) cálculo do saldo devedor (SD) SDn = SD(anterior) - PAn 1.386,28 = R$ 8.613,72

SD1 = 10.000,00 -

N

Assim teremos nossa planilha de financiamento Saldo Devedor (SDn) Amortização (P (PA An) Juros (J) Prestação (PMT)

0 1 2 3 4 5 6

10.000,00 8.613,72 7.213,58 5.799,44 4.371,15 2.928,58 1.471,59

7

0,0∑3

0,00 1.386,28 1.400,14 1.414,14 1.428,29 1.442,57 1.456,99

0,00 100,00 86,14 72,14 57,99 43,71 29,29

0,00 1.486,28 1.486,28 1.486,28 1.486,28 1.486,28 1.486,28

1.471,56

14,72

1.486,28

 

Resolução pela HP-12C f [REG] 10000 CHS PV

1 i

7 n

PMT

1.486,28

1 f   1 f

[AMORT] 100,00 X

Y 1386,28 RCL PV – 8.613,72

[AMORT]

86,14 X

Y 1400,14 RCL PV – 7213,58

1 f

[AMORT]

72,14 X

Y 1414,14 RCL PV – 5799,44

1 f

[AMORT]

57,99 X

Y 1428,29 RCL PV – 4371,15

1 f

[AMORT]

43,71 X

Y 1442,57 RCL PV – 2928,58

1 f

[AMORT]

29,29 X

Y 1456,99 RCL PV – 1471,59

1 f

[AMORT]

14,72 X

Y 1471,56 RCL PV

70

– 0,03

 

EXERCÍCIOS

( SFA- Tabela Price)

1) Um empréstimo de $ 200.000 será pago pela Tabela Price em quatro prestações mensais  postecipadas. A juros efetivos de 10% ao mês. Construir a planilha de amortização. n

Saldo Devedor (SDn)

0 1

   

23 4

   -------------------------

Amortização ((P PAn)

Juros (J)

Prestação (PMT)

Σ

2) Para o exercício anterior, considerando agora um período de carência de 2 meses em que serão pagos unicamente os juros devidos, construir a planilha de amortização. n Saldo Devedor (SDn) Amortização (P (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 0 1 2 3 4 5 6

        ---------------------------Σ

3) Para o exercício 01, considerando agora um período de carência de 2 meses em que os   juros juros são cap capita italiz lizados ados e inc incorp orpora orados dos ao capi capital tal (princ (principa ipal) l),, con constr struir uir a planil planilha ha de amortização. n Saldo Devedor (SDn) Amortização (P (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 0 1 2 3

        71

 

4 5 6

---------------------------Σ

4) Um empréstimo de $ 200.000 será pago em três prestações mensais iguais consecutivas. Considerando uma taxa de juros nominal de 180% ao ano com capitalização mensal, construir a tabela de amortização. n Saldo Devedor (SDn) Amortização ((P PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 0 1 2 3

      ------------------------Σ

5) Montar a planilha de amortização de um empréstimo com as seguintes características: valor do empréstimo de $ 1.000.000; reembolso pela Tabela Price em cinco pagamentos trimestrais com carência de dois trimestres; juros nominais de 28% ao ano capitalizado trimestralmente; e os juros serão capitalizados e incorporados ao capital durante o período de carência. n

Saldo Devedor (SDn)

0 1 2 3 4

       

56 7

Amortização (P (PAn)

---------------------------Σ

72

Juros (J)

Prestação (PMT)

 

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) É um si sist stem emaa ond ondee a pr prin inci cipa pall cara caract cter erís ísti tica ca é a da Amor Amorti tiza zaçã çãoo Con Const stan ante te.. Conhecido como Método Hamburguês, sendo utilizado em financiamentos de DFH e Financiamentos de empresas por parte de entidades governamentais, a amortização é igual ao valor do empréstimo dividido pelo número de prestações. - As pre presta staçõe çõess são uniform uniformeme emente nte decre decresce scente ntes, s, diminuin diminuindo do sempre sempre de um determinado fator que é constante. - O valor dos juros é decrescente . - Os pagamentos são periódicos e sucessivos.  

Exemplo Um banco01: empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5   pagame pagamento ntoss men mensai sais, s, sem pra prazo zo de car carênc ência, ia, calcul calculado ado pel peloo Sistem Sistemaa de Amo Amorti rtizaçã zaçãoo Constante (SAC). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. Resolução algébrica Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses i = 10% ao mês PMT = ? a) cálculo da parcela de amortização(PAn) PAn =

PV ou SD n

PAn = 10.000 = R$ 2.000,00 5 dos juros (J) b) Cálculo J = PV . i . n Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 Juros para o 2o período: J2 = 8.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 800,00 Juros para o 3o período: J3 = 6.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 600,00 Juros para o 4o período: J4 = 4.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 400,00 Juros para o 5o período: J5 = 2.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 200,00

c) cálculo do saldo devedor (SD) SDn = SD(anterior) - PAn SD1 = 10.000,00 - 2.000,00 = R$ 8.000,00 73

 

SD2 = SD3 = SD4 = SD5 =

8.000,00 6.000,00 4.000,00 2.000,00

-

2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00

= = = =

R$ 6.000,00 R$ 4.000,00 R$ 2.000,00 R$ 0,00

d) cálculo da parcela de amortização (PAn)

PMTn = PA + Jn PMT1 = 2.000,00 + 1.000,00 = R$ 3.000,00 PMT2 = 2.000,00 + 800,00 = R$ 2.800,00 PMT3 = 2.000,00 + PMT4 = 2.000,00 + PMT5 = 2.000,00 +

n 0 1 2 3 4 5

600,00 = R$ 2.600,00 400,00 = R$ 2.400,00 200,00 = R$ 2.200,00

Assim teremos nossa planilha de financiamento Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 10.000,00 8.000,00 6.000,00 4.000,00 2.000,00 0,00 ∑

0,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00

0,00 1.000,00 800,00 600,00 400,00 200,00

0,00 3.000,00 2.800,00 2.600,00 2.400,00 2.200,00

  E X E R C I C I O S ( SAC)

1) Empre Emprestei stei de uma finan financiador ciadoraa “X”, o valor de $ 32.000, para ser amortizad amortizadoo em 10 meses, à taxa de juros 1,25% ao mês. Quanto pagarei ao mês? n

Saldo Devedor (SDn)

Amortização (PAn)

0 1 2 3 4 56 74

Juros (J)

Prestação (PMT)

 

7 8 9 10  

Σ

2) Uma composição de dívida de $ 8.000.000, a ser paga em quatro prestações anuais, com taxaa de juro tax juross de 36% ao ano. Par Paraa elaborar elaborar a planil planilha ha de pagamen pagamentos tos sugerim sugerimos os os seguintes procedimentos: a) calc calcul ular ar a aamo mort rtiz izaç ação; ão;  b) cal calcul cular ar a par parcel celaa de jur juros; os; c) cal calcul cular ar o val valor or das das ppres restaç tações ões;; d) apu apurar rar o sa saldo ldo deved devedor or ddoo perío período. do. n

Saldo Devedor (SDn)

Amortização (PAn)

Juros (J)

Prestação (PMT)

0 12 3 4   Σ 3) Uma operação no valor de R$ 70.000,00 foi contratada para ser paga em 4 prestações anuais, com taxa de juros de 17% ao ano. Então como ficará a planilha de pagamento? n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 0 1 2 34  

Σ

4) Emprestei de uma financiadora o valor de $ 25.000 à taxa de juros de 2% ao ano para ser  amortizada em 10 meses pelo SAC. Qual o valor da 3a prestação? n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 0 1 2 3  

Σ

75

 

5) Um cliente propôs pagar o saldo devedor de um empréstimo de R$ 120.000,00 em 4  parcelas, mas sugeriu que as prestações fossem decrescentes. Assim o ideal seria pelo SAC. Qual o valor da amortização?

EXERCICIOS

SUPLEMENTARES

PORCENTAGEM E RACIOCÍNIO LÓGICO 1) Se a empresa “W4W” vende três produtos: K, T e R. Supondo que ao longo de 4 meses os produtos apresentam o ítem de custo de acordo com a distribuição a seguir: Produto Custo ( R$) K 20.000,00 T 80.000,00 R 70.000,00 Pergunta-se: De quantos por cento foi foi a mais o custo do produto T em relação relação ao produto R ? a) (R. 21,C) 69 %  b) 21,56% c) 14,28% d) 16,09% e) 12,05%

2) Dada a distribuição de freqüência referente as taxa e aos valores valores dos produtos: 10|-------30 30|------50 50|------70 70|-------90

4% 2,5% 1,5% 2,5%

Supondo que em suas vendas a prazo, era cobrado de seus clientes uma taxa mensal conforme o valor da mercadoria vendida. De acordo com a distribuição acima, qual a taxa média percentual que a “W4W” está cobrando ? (R. E)  a) 3,02% aaoo m mêês  b)) 2,  b 2,92 92% % aaoo m mês ês c) 2,33 2,33% % ao mês ês.. d) 1,77 1,77% % ao mês e) 2,63% aaoo m mêês

3) Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual o valor da sua comissão numa venda de R$ 3.600,00? (R. R$ 108)

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4)   No No depar departa tame ment ntoo de cont contab abil ilid idade ade de uma uma empr empres esaa 26 26% % do doss fu funci ncioná onári rios os são são mulheres. Quantos funcionários possui a empresa, se elas são em número de 182? (R. 700) 5) Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a percentagem de lucro? (R. 8%) 6) Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24 foi vendida com 25% de abatimento. De quanto foi o abatimento? (R. R$ 6,00) 7) Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de comissão. Qual o valor de venda das propriedades? (R. R$ 56.000) 8) Uma pessoa devia R$ 20.000,00 e pagou R$ 7.400,00. Quantos por cento da dívida foram pagos? (R. R$ 37%) 9) Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com lucro de 15% sobre esse valor. Quanto ganhou? (R. R$ 81,00) 10) Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 70,00 para obter um lucro de 30% ? (R. R$ 91,00) 11) Em São Paulo colhem-se 1.268.000,00 sacas de café. Se 25% desta produção destinam-se ao consumo interno, qual a quantidade de sacas para este consumo? (R. 317.000sacas) 12) Em quanto por cento aumentou a população de uma cidade que era de 67.200 habitantes e agora é de 92.400 habitantes? (R. R$ 37,5%) Umpelas vendedor recebe de comissão sobre ase R$ vendas que efetua. a quantia a 13) receber vendas de R$3% 8.000,00, R$ 3.700,00 9.500,00? (R. R$Qual 636,00) 14) Em uma partida de futebol, um dos times obteve os seguintes resultados quanto aos chutes a gol: bolas chutadas fora:10; bolas defe efendi diddas ppeelo ggooleiro adv adveersário:6; bolas na trave:2; gols:2.

a) Qual a percentagem dos gols em relação às bolas chutadas a gol? (R. 10%) b) Qual a percentagem das bolas chutadas fora?(R. 50%) c) Qual a percentagem das bolas defendidas pelo goleiro adversário?(R. 30%)

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JURO SIMPLES 1) Qual o capital capital aplicado por uma emp empresa resa que produz produziu iu R$ 300,00 a 20%a .t. durante durante 9 meses a juro simples? (R. PV =R$ 500,00)   2) Calcular os juros simples produzidos por uma aplicação feita por uma empresa de R$ 36.000,00 à taxa de 15% aa . , durante 3 anos. (R. J = R$ 16200,00) 3) Determine o tempo em que uma empresa aplicando o capital R$ 12.000,00 rendeu de  juros R$ 240,00 à taxa de 0,2% a m. (R. n = 10 meses) 4) TomouTomou-se se empres emprestada tada a import importância ância de R$ 1.200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano.Qual será o valor do juro a ser pago pelo regime de capitalização simples? (R. R$ 720,00) 5) Aplic Aplicou-se ou-se a impo importânci rtânciaa de R$ 3.000,00 pelo prazo de 3 meses, meses, à taxa de 1,2% ao mês pelo sistema de capitalização simples. Qual o valor do juro a receber? (R. R$ 108,00) 6) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200,00 à taxa de 5% ao trimestre, durante 3 trimestre pelo regime de capitalização simples. (R. R$ 1.380,00) 7) Um capital de R$ 56.800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses. Calcule o juro produzido pelo regime de capitalização simples. (R. R$ 1.065,00) 8) Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido. (R. R$ 500,00) juro correspondente capital R$ 18.500,00 aplicado simples. durante 2 (R. anos,R$4 9) Calcule meses e 10o dias, à taxa de 36% aaoumano pelo de regime de capitalização 15.725,00)

10) Calcule o juro simples resultante de uma aplicação de R$ 32.500,00 à taxa de 18% ao ano, durante 3 meses. (R. R$ 1.462,50) 11) Calcule o juro de um capital de R$ 5.000,00 em regime de juro simples, durante 2 anos e 4 meses, à taxa de 24% ao ano. (R. R$ 2.800,00) 12) Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago pelo regime de  juro simples? (R. R$ 1.360,00)

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13) Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês, para obtermos R$ 441,00 de juro? (R. R$ 9.800,00) 14) Qual o valor principal que, aplicado a juro simples durante 1 ano e 6 meses, à taxa de 1,2% ao mês, rendeu R$ 19.008,00? (R. R$ 88.000,00) 15)A que taxa foi empregado a juro simples o capital de R$ 12.000,00 que, no prazo de 2 anos, rendeu R$ 8.400,00 de juro? (R. 35% aa) 16) Uma aplicação de R$ 8.000,00 pelo prazo de 6 meses, obteve um rendimento de R$ 1.680,00. Qual a taxa anual correspondente? (R. 42% aa) 17) Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$ 12.800,00 que, à taxa de 1% ao mês, rendeu R$ 896,00 ao ser aplicado pelo regime de juro simples. (R. 7meses) 18) Durante quanto tempo devemos aplicar R$ 4.800,00 à taxa de 36% ao ano, para obtermos R$ 2.376,00 de juro através da capitalização simples? (R. 1,375anos ou 1 ano 4 meses e 15 dias) 19) Um capital de R$ 10.500,0 10.500,000 rendeu R$ 1.225,0 1.225,000 de juro. Sabendo Sabendo que a taxa de juro simples contratada foi de 42% ao ano e que a aplicação foi feita no dia 20/01/88 qual o tempo de vencimento? (R. 0,278ano ou 100dias) 20) Qual o capital a ser aplicado no período de 05/06 a 30/11 do mesmo ano, à taxa de 36% ao ano, para render um juro de R$ 5.696,00 pelo regime simples de capitalização? (R. R$ 32.000,00) 21) A que taxa de juro simples simples foi aplicado aplicado um capital capital de R$ 6.000,00 que, dura durante nte 6 meses, rendeu R$ 1.320,00 de juro? (R. 3,66%ao mês) 22) Durante quanto tempo foram aplicados R$ 19.680,00 que à taxa de 33,6% ao ano, renderam R$ 9.368,00 de juro? (R. 1ano e 5 meses)

23) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos. (R. R$ 8.000,00) 24) Uma pessoa aplicou R$ 90.000,00 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ 180.000,00. Qual foi a taxa anual cobrada pelo regime de capitalização simples? (R. 20%)

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25) Um capital foi aplicado a juro simples à uma taxa de 45% ao ano. Efetuou-se o resgate no valor de R$ 107.800,00 após 3 anos. Qual o valor do capital inicial? (R. R$ 45.872,34) 26) Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 200.000, 00 a 2,5% ao mês, renda um montante de R$ 240.000,00 pelo regime de juro simples? (R. 8 meses) 27) Por quanto quanto tempo deve ser apl aplicado icado o capita capitall de R$ 8.000,00 à taxa de juro simples simples de 16% ao ano, para obtermos um montante de R$ 8.320,00 ? (R. 0,25ano ou 3 meses) 28) Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao credor, após 10 meses a quantia de R$ 116.640,00. Determine a taxa de juro simples anual. (R. 42%aa) 29) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 a juro simples durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês ? (R. R$ 40.600,00) Qualaplicado é o tempo em que um capital R$ 96.480,00 a 25% ao ano, rende R$ 79.395,00 30)juro, de a juro simples? (R. 3,3deano)

TAXA EQUIVALENTE A JURO SIMPLES 1) Calcular a taxa anual equivalente a: a) 6% ao mês; R. 72%  b) 10% ao bimestre. R. 60% 2) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a: a) 60% ao ano; R. 30% b) 9% ao trimestre. R. 18% JURO EXATO e COMERCIAL 1) Uma divida no valor de R$ 15.000,00 foi quitada 74 dias antes do vencimento, com a a taxa de 36% ao ano. Determine;  

a) O juro exato; R. R$ 1.094,79 b) O juro bancário. R. R$ 1.110,00

2) Calcular os juros de R$ 18.000,00 aplicados durante 5 meses ( de 30 dias) e 14 dias a taxa de juros simples de 32% ao ano. Efetuar Efetuar os cálculos cálculos para os anos comerc comercial ial e exato. R. Jcom = R$ 2.624,00 e Jex = R$ 2.588,05 DESCONTO SIMPLES

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1) Seja um título título de valor nomi nominal nal de $ 4.000,00 vencí vencível vel em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% ao ano à taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular: a) O Desconto Racional Simples; R. $ 380,10 b) O Valor descontado desta operação. R. $ 3.619,90 2) Calcular o valor atual de um conjunto de duplicatas descontadas num banco a 1,3% ao mês, conforme o borderô a seguir:

R. DBSc = $ 23,40 9.101,85

DUPLICATAS

VALOR($)

C E B TOTAL........ ............ ...

4.500,00 2.800,00 1.900,00 9.200, 0,000

DBSe = $ 32,76

PRAZO (VENCIMENTO) 12 dias 27 dias 51 dias ..... ............ ............. ............ ....

DBSb = $ 41,99

VA = $

3) Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% ao ano a taxa de desconto adotada, pede-se calcular o desconto comercial e o valor llíquido íquido desta operação. R. DBS = $ 420,00 e VL = $ 3.580,00 4) Um título no valor nominal de R$ 4.500,00 é descontado 90 dias antes de seu vencimento, à taxa de juros simples de 3,4% ao mês. Qual é o desconto racional? racional? (R. e) a) R$ 500,79  b) R$ 200,43 c) R$509,00 d) R$308,00 e) R$ 416,51 5) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 23.000,00, com vencimento para 120 dias, à taxa de 2,4%a m?(R. a) a) R$ 2.208,00  b) R$ 2.356,00 c) R$ 5.167,00 d) R$ 3.000,00 e) R$ 1.500,00 6) Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a) o valor do desconto comercial simples; (R. R$ 189,00)

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b) o valor atual (líquido) . (R. R$ 5.811,00) 7) Determine o valor do desconto racional simples e o valor atual de um título de R$ 50.000, disponível dentro de 40 dias, à taxa de 3% ao mês. (R. R$ 1.923,08 e 48.076,92) 8)Determine o desconto racional simples de uma promissória de R$ 3.000, à taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias antes do vencimento. (R. R$ 230,77) JURO COMPOSTO 1) Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar  hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? (R. $ 22.463,70) 2) Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% ao mês? (R. $ 15.801, 70) Uma aplicação de montante $ 22.000,00 em certa data produz, à taxaCalcular composta de juros 3) de 2,4% ao mês, um deefetuada $ 26.596,40 em certa data futura. o prazo da operação. (R. 8 meses)

4) Deter Determinar minar o juro pago de um empréstimo empréstimo de $ 88.000, 88.000,00 00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês. (R. $ 21.664,02) 5) Calcule o montante de R$ 20.000 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses. (R. R$ 66.671,80) 6) Calcule o montante de R$ 5.000, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses. (R. R$ 5.465,41) 7) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. (R. R$ 9.237,23) 8) Calcule o montante do capital de R$ 75.000, colocado a juros compostos à taxa de 2 3 4

% ao mês, no fim de 6 meses. (R. R$ 82.008,22)

9) Qual o montante produzido por R$ 12.000, em regime de juros compostos, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses? (R. R$ 26.496,47) 10) Calcule o capital inicial aplicado a juros compostos que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante de R$ 4.058,00. (R. R$ 3.500,46)

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11) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% ao mês, durante 4 meses, rendeu um montante de R$ 79.475, calcule esse capital . (R. R$ 72.000,42) 12) Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200, sem entrada,  para pagamento em uma única prestação de R$ 4.049 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja pelo regime de juro composto? (R. 4%) 13) Calcule o montante produzido por R$ 2.000, aplicados em regime de juro composto a 5% ao mês, durante 2 meses. (R. R$ 2.205) 14) Uma pessoa toma R$ 3.000 emprestado, a juro de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? (R. R$ 4.031,74) 15) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000 pode ser quitado em um único  pagamento  pagame nto de R$ 22.125, sabendo que a taxa contrat contratada ada é de 15% ao semestre em regime de juro composto. (R. 5 semestre ou 2 anos e 6 meses) 16) Uma pessoa recebe uma proposta de investir, hoje uma quantia de R$ 12.000 para receberr R$ 16.127 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabili recebe rentabilidade dade mensal do investiment investimentoo  proposto no regime de juro composto? (R. 3% ) 17) O capital de R$ 8.700, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se no fim de certo tempo a R$ 11.456. Calcule esse tempo. (R. 8meses) 18) Qual será o montante de R$ 3.000, a juros compostos de 47% ao ano, em 4 anos e 3 meses? (R. R$ 15.424,81) 19) Empreguei um capital de R$ 25.000, em regime de juros compostos, à taxa de 35% ao ano, durante 2 anos e 6 meses. Quanto recebi? (R. R$ 52.938,84) 20) Qual o montante de um capital de R$ 5.000, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano capitalizados trimestralmente pelo regime de capitalização composta? (R. R$ 7.969,24) 21) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000, à taxa de 3% ao mês, num prazo de 14 meses pelo regime de juro composto. (R. R$ 12.101,71) 22) Determine o juro de uma aplicação de R$ 20.000, a 4,5% ao mês, capitalizado mensalmente durante 8 meses a juro composto. (R. R$ 8.442,01) 23) Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês? (R. R$ 7.894,02) 24) Calcule o montante de R$ 8.500, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses. (R. R$ 22.823,04)

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25) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses somou-se um montante de R$ 19.752. (R. R$ 15.000) 26) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 146.853, à taxa de 3% ao mês a juros compostos? (R. R$ 13meses) 27) Um capital de R$ 20.000 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$ 3.774 de juro. Determine a taxa de aplicação. (R. 2,5%ao mês) 28)O capital de R$ 12.000, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante 8 meses, elevou-se no final desse prazo a R$ 15.559. Calcule a taxa de juro. (R.39,6% aa) 29) O capital capital de R$ 18. 18.000 000 foi apl aplica icado do a jur juros os com compost postos os por 2 anos a 20% ao ano, capitalizados trimestralmente. Qual o montante? (R. R$ 26.594,19) 30) Durante quanto tempo R$ 25.000 produzem R$ 14.846 de juro, a 24% ao ano, capitalizado trimestralmente a juros compostos? (R. 2,16anos) DESCONTO COMPOSTO 1) Um título de valor nominal de $ 35.000,00 é negociado mediante uma operação de desconto bancário composto 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Pede-se: a) O valor atual; R. $ 30.243,31 b) O desconto. R. $ 4.765,68 2) Determinar o valor atual atual e desconto racional com composto posto de um título título de valor nominal $ 3.500,00 adotando uma taxa de juros de composto de 2,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do seu vencimento.R. VL = $ 3.133,97 e DRC = $ 366,03 3) Determine o valor atual de um título de R$ 800, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto racional composto de 2% ao mês. (R. R$ 739,07) 4) Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 1.120, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, capitalizado semestralmente pelo regime de desconto bancário composto. (R. R$ 489,56) 5) Qual o desconto bancário composto que um título de R$ 5.000 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? (R. R$ 357,00) 6) Um título de valor nominal de R$ 1.500 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto comercial composto concedido? (R. R$ 107,10)

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7) Em uma operação de desconto comercial composto, o portador do título recebeu R$ 36.954 36.9 54 como valo valorr líqui líquido. do. Sabendo Sabendo que a ant anteci ecipaç pação ão foi de 4 meses e a taxa de juro juro mensal de 2%. Qual o valor nominal? (R. R$ 40.000,21) 8) Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de 7.000, faltando ainda 3 meses para o seu vencimento. Calcule o valor atual, sabendo que a taxa de desconto bancário composto é de 3,5% ao mês. (R. R$ 6.313,59) 9) Calcule o valor atual de um título de R$ 40.000, resgatado 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de desconto comercial composto de 24% ao ano. (R. R$ 29.137,83) TAXA EQUIVALENTE A JURO COMPOSTO – T TAXAS: AXAS: REAL, APARENTE E DE INFLAÇÃO 1) Quais as taxas de juro composto composto mensal e trimes trimestral tral equivalentes a 25% ao ano? (R. 1,87%am e 5,73% at) 2) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 9% ao ano de juros reais, caso a taxa aparente seja de 18% ao ano? (R. I = 8,25% aa) 3) Qual a taxa real de um empréstimo contratado a uma taxa aparente de 12%, considerando uma inflação para o mesmo período de 8% ? (R. R = 3,70%) 4) Qual a taxa aparente ganha se a Infla Inflação ção for de 18% ao ano e o juro real for de 3,5% ao ano? (R. i = 22,13%) 

SÉRIES UNIFORME DE PAGAMENTOS : POSTECIPADA e ANTECIPADA 1) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. (R. FV = R$ 520,40) 2) Com o objet objetivo ivo de formar formar um montante montante para compra de equipa equipamento mentos, s, no final de cada mês uma empresa aplica $ 2.000,00. Quanto a empresa terá acumulado no final de sua sexta aplicação anual, sabendo-se que a taxa de juro é de 12% ao ano? (R. FV = $ 16.230,37)   3) Uma empresa necessita contratar um empréstimo de liquidez para equilibrar seu caixa de curto prazo. Após analisar seu fluxo de caixa, verificou que sua capacidade de pagamento é de seis parcelas mensais postecipadas de $ 3.000,00. Sabendo-se que a taxa de juro para

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essa modalidade de empréstimo é de 2,59% ao mês, determinar a valor do capital que a empresa pode tomar emprestado. (R. PV = $ 16.474,75)

4) Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme um montante de R$ 400.000,00? (R. PMT = R$ 30.347,18) 5) Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 200.000,00 à taxa de 25% ao ano. (R. PMT = R$ 17.763,89) 6) Quanta Quantass prestaçõe prestaçõess mensais de R$ 500,00 devem ser colocadas, colocadas, à taxa de 2% ao mês, a fim de se construir o montante de R$ 6.706,00? (R. n = 12 prestações mensais)   7) Qual é o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação é de $ 200, 00, sem entrada se a taxa é de 2,5% am. em 18 meses. (R. PV= $ 2.870,67) 8) Calcular a prestação referente a uma mercadoria, cujo preço a vista é de $ 10.000,00 caso ocorra a seguinte seguinte hipó hipótese tese sobr sobree a taxa e respecti respectivo vo prazo: taxa de juros 2,5% ao mês e  prazo de 12 meses postecipado? (R. PMT = $ 974,87) 9) Em quantas prestações mensais de $ 1.004,62 sem entrada será pago um título de um clube de campo, se seu valor a vista for de $ 10.000,00 e a taxa contratada for de 3% am? (R. n = 12 meses) 10) Uma empresa negociou uma dívida de $ 10.000,00 junto a um banco, solicitando  pagá-la em parcelas mensais postecipadas de $ 1.800,00. Sabendo-se que a taxa de juro   para para es essa sa moda modali lida dade de de empr emprés ésti timo mo é de 2,24% 2,24% ao mês, mês, qu quant antas as parce parcela lass serã serãoo necessárias para quitar o débito? (R. n = 6)  11) No início de cada mês uma empresa aplica $ 2.000,00 de sua sobra de caixa. Calcular  o valor futuro formado ao final da sua sexta e última aplicação, sabendo que a taxa de juro é de 1,5% ao mês. (R. FV = $ 12.645,98)

12) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se  processando nenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês sobre o saldo credor. (R. PMT = $ 367,67) 13) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de $ 1.200,00 e vai devolvê-la em 15  prestações mensais iguais, a primeira a vencer um mês após a data do empréstimo. Se os   juros são compostos, à taxa de 10% ao mês, determinar o valor de cada uma das  prestações. (R. PMT = $ 157,76)

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14) Um equipamento custa a vista $ 12.766,56, uma empresa que adquirir a prazo, com   prestação mensal de $ 1.000,00, sendo que a primeira será pago no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juro cobrada será de 2% ao mês, qual a quantidade de parcelas? (R. n = 14,54 aprox. 15) 15) Um banco está negociando uma cessão de crédito, composta de cinco recebimentos mensais de $ 3.000,00 com o primeiro vencendo na data da operação. Calcular o capital que o banco deve pagar ao cedente, sabendo-se que a taxa de juro é de 1,4% ao mês. (R. PV = $ 14.591,47) 16) Se um poupador aplicar aplicar R$ 250,00 mensai mensaiss a partir de hoje duran durante te 3 anos, a uma taxa de 1,2% ao mês, quanto terá acumulado no final do prazo determinado? (R. FV = R$ 11.308,66) 17) O preço a vist vistaa de um equipame equipamento nto é de $ 16.000, 16.000,00, 00, pode ser pago em seis parcelas mensais iguais, com a primeira vencendo na data da assinatura do contrato. Se a taxa de  juro é de 2,5% ao mês, qual o valor das parcelas? (R. PMT = $ 2.833,95) SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: SFA/PRICE e SAC 1) Montar a planilha de amortização pelo SFA, de uma dívida de $ 1.200,00 a ser paga em 4 parcelas mensais consecutivas, à taxa de 3% ao mês com 2 meses de carência. N 0 1 2 3 4 5 6

SD

PAN 1200,00 1200,00 1200,00

JUROS ------------

--------36,00 36,00

PMT -------36,00 36,00

TOTAL

2) Uma financeira empresta o valor de $15.000,00, com taxa de 16% ao ano, para ser   pago em 5 pagamentos mensais sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de Amortização. Elabore a planilha de financiamento. N 0 1 2 3

SD

PAN 15.000,00

45 TOTAL

JUROS - -- --

-- -- --

PMT - --- -

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3) Um banco empresta empresta a uma empres empresaa R$ 180.000,00 180.000,00 pelo prazo de 5 anos, à taxa de 8% ao ano. Sabendo que será adotado o SFA, construa a planilha de amortização. N 0 1 2 3 4 5

SD 180.000,00

PAN

JUROS -- ---

-- -- -

PMT --- --

TOTAL 4) Uma financeira emprestou R$ 80.000,00, sem prazo de carência. Sendo a taxa de juro cobrada de 12% ao ano devendo devendo a liquidaçã liquidaçãoo ser feita em 8 anos, const construa rua a planilha planilha de amortização pelo SFA. N SD PAN JUROS PMT 0 80.000,00 -- ---- -- --- -1 2 3 4 5 6 7 8 TOTAL 5) Uma financeira faz um empréstimo de R$ 1000.000,00, para ser pago pelo SAC em 4  prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Monte a planilha de amortização. N 0 1 2 3 4

SD 100.000,00

PAN

JUROS -- ---

-- -- -

PMT --- --

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TOTAL 6) Um empréstimo de R$ 200.000,00 será saldado em 8 prestações semestrais pelo SAC, tendo sido contratada a taxa de juro de 10% ao semestre. Confeccione a planilha de amortização. N 0 1 2 3 4 5 6 7 8

SD 200.000,00

PAN

JUROS -- ---

-- -- -

PMT --- --

TOTAL

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSAF, Neto Alexandre – Matemática Financeira e suas Aplicações – 5a ed. – São Paulo: Atlas, 2000. ATHIAS, Washington Franco, José Maria Gomes – Matemática Financeira – 3a ed. – São Paulo: Atlas,2002. BRANCO, Anísio Costa Castelo –  Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico,  HP12C, Microsoft Excel – São Paulo: Pioneira Thomson Learning.

CRESPO, Antonio Arnot – Matemática Comercial e Financeira fácil – 13ª edição – São Paulo: Saraiva, 2002. FARO, Clovis de – Matemática Financeira – São Paulo : Atlas, 1982. HAZZAN, Samuel Samuel , José Nicolau Nicolau Pompeo– Matemática Financeira – 4 a ed. – São Paulo: Atual, 1993. SAMA SA MANE NEZ, Z, Car Carlo loss Patr Patríc ício io –  Ma Mate temá mátic tica a Fina Financ nceir eira: a: Aplic Aplicaç ações ões à Anál Análise ise de a  Investimentos – 3 ed. – São Paulo : Prentice Hall, 2002. SILVA, Daniel Jorge e Valter dos Santos Fernandes –  Matemática para o Ensino Médio São

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