Download Matemática Financeira (UniFCV)...
Matemática Financeira
Professor Me. Matheus Henrique Delmonaco Professora Ma.Carolina Freitas
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2021 2021 by by Editora EduFatecie Copyright do Texto © 2021 20 21 Os Os autores Copyright © Edição 2021 20 21 Editora Editora EduFatecie O conteúdo dos artigos e seus dados em sua forma, correção e confiabilidade são de responsabilidade exclusiva dos autores e não representam necessariamente a posição oficial da Editora EduFatecie. Permitido o download da obra e o compartilhamento desde que sejam atribuídos créditos aos autores, mas sem a
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Internacionais de Catalogação na Publicação - CIP DadosDados Internacionais de Catalogação na Publicação - CIP S586h Silva, Saulo Henrique Justiniano D359m Delmonaco, Delmonaco , Matheus Henrique História moderna / Saulo Henrique Justiniano Silva, Herculanum Ghirello Pires, Matemática financeira / Matheus Henrique Delmonaco, Willian Carlos Fassuci Fassuci Larini. Paranavaí: Carolina Freitas. Paranavaí: EduFatecie, 2021. EduFatecie, 2021. 82 p. : il. Color. 106 p. : il. Color.
ISBN 978-65-87911-49-6 978-65-87911-11-3 ISBN 1. 1. História Moderna – Século XVIII. 2. Iluminismo Matemática financeira. 2. Taxas e juros. –I.Século Freitas, Carolina. XVIII.II.3.Centro Revolução Francesa. UniFatecie. I. Larini, Williian an Carlos Fassuci. II. Faculdade Universitário Núcleo de a de a Tecnologia e Ciências do Norte do Paraná - III. UniFatecie. III. Educação Núcleo de Educação Distância. IV.Título. Distância. IV. Título.
CDD : 23 ed. 513.9
CDD : 23 ed. 909.08 Catalogação publicação: Zineide Pereira dos Santos CRB 9/1577 Catalogação nana publicação: Zineide Pereira dos Santos – CRB–9/1577
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AUTORES
Professor Me. Matheus Henrique Delmonaco Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Ciências Contábeis da Universidade Estadual de Maringá (PCO/UEM) - Linha de pesquisa: contabilidade para usuários externos. Graduado em Ciências Contábeis pela Universidade Estadual de Maringá (UEM). Participou como bolsista em projeto de pesquisa voltado à Iniciação Cientíca para Ensino Médio (PIBIC-EM), na Universidade Estadual de Maringá (UEM). Atualmente atua como Gerente de Operações – EAD do Centro Universitário Cidade Verde – UNIFCV
Professor Ma. Carolina Freitas Mestre em Teoria Econômica pela Universidade Estadual do Oeste do Paraná - UNIOESTE (2019). Especialista em Tecnologias Aplicadas ao Ensino à Distância pelo Centro Universitário Cidade Verde. Graduada em Ciências Econômicas pelo Centro Universitário Cidade Verd Verde e (2016). Atualmente é Tutora Educacional T T-44 -44 do Centro Universitário Cidade Verde (UniFCV). Possui experiência na área de Economia Internacional e Desenvolvimento Econômico, atuando principalmente nos temas: Investimento Estrangeiro Direto e Desigualdade Salarial.
APRESENT APRESENTAÇÃO AÇÃO DO MATERIAL MATERIAL
Seja muito bem-vindo(a)! Prezado(a) aluno(a), se você se interessou pelo assunto desta disciplina, isso já é o início de uma grande jornada que vamos trilhar juntos a partir de agora. Proponho, junto com você, construir nosso conhecimento sobre os conceitos de Matemática Financeira. Além de conhecer seus principais conceitos e denições vamos explorar as mais diversas aplicações que podemos utilizar nos cálculos da matemática nanceira em nosso dia a dia. Na unidade I começaremos a nossa jornada pelos conceitos e denições gerais de matemática nanceira, discorreremos sobre os regimes de capitalização: simples e composto. E abordaremos sobre taxas: nominal, efetiva, proporcional, equivalente e real. r eal. Já na unidade II ampliaremos nossos conhecimentos sobre como analisar as operações que envolvem descontos, entenderemos a equivalência do capital no tempo e estudaremos séries de capitalização e de amortização. Depois, na unidade III vamos tratar especicamente de analisar a relação da moemoeda na inação, observando a taxa e a atratividade, entenderemos as notas promissórias e método hamburguês para a vida econômica, estudaremos os métodos de tomada de decisão e o uxo de caixa. Por m, na unidade IV apresentaremos as formas de aplicação da matemática nanceira, discorreremos sobre os dados do IBGE para o mercado de trabalho tr abalho e abordare abordare-mos os avanços da educação nanceira no Brasil. Aproveito para reforçar o convite convite a você, para junto co conosco nosco percorrer esta jornada de conhecimento e multiplicar os conhecimentos sobre tantos assuntos abordados em nosso material. Esperamos contribuir para seu crescimento pessoal e prossional.
Muito obrigado e bom estudo!
SUMÁRIO
UNIDADE I ........................ ................................... ....................... ........................ ....................... ....................... ........................ .................... ........ 3 Conceitos Gerais, Regimes e Taxas UNIDADE II ....................... .................................. ....................... ........................ ....................... ....................... ........................ .................. ...... 22 Descontos, Capitalização e Amortização UNIDADE III ........................ ................................... ....................... ........................ ....................... ....................... ........................ ................ .... 42 Matemática Financeira e Economia UNIDADE I ........................ ................................... ....................... ........................ ....................... ....................... ........................ .................. ...... 62 Práticas e Matemática Financeira
UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas Professor Me. Matheus Henrique Delmonaco Professora Ma. Carolina Freitas
Plano de Estudo: ● Apresentar conceitos e denições gerais gerais de matemática nanceira ● Discorrer sobre os regimes de capitalização: simples e composto. ● Abordar sobre taxas: nominal, nominal, efetiva, proporcional, equivalente e real.
Objetivos da Aprendizagem: ● Conceitos e denições g gerais erais de ma matemática temática nanc nanceira eira ● Regime de capitalização: simples e composto. ● Taxa: nominal, efetiva, proporcional, equivalente e real.
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INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), na Unidade 1, do livro da disciplina de Matemática Financeira, falaremos sobre conceitos e denições gerais de matemática nanceira, uma vez que o objetivo da Matemática Financeira é estudar as relações entre os valores monetários que são trocados em momentos diferentes, a partir dessa ciência é possível determinar o valor de remunerações como empréstimos, nanciamentos e investimentos, e entender a evolução do dinheiro ao longo do tempo. Discorreremos sobre os regimes de capitalização simples e compostos, pois a partir deles conseguimos identicar como os juros são formados e posteriormente incorporados ao capital no decorrer do tempo. No regime de capitalização simples os juros de cada período serão sempre calculados em função do capital inicial aplicado, assim os juros não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos nos períodos períodos se seguintes. guintes. Já no regime de de capitalização capitalização composta a formaç formação ão do doss juros é diferente daquele descrito para a capitalização simples, onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formado formadoss em períodos a anteriores. nteriores. Por m abordaremos os tipos de taxas mais conhecidas: nominal, efetiva, proporcional, equivalente e real. A taxa de juro é o coeciente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator capital utilizado durante certo período. As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa monetária. E na matemática nanceira, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo.
Bons estudos!
UNIDADE I
Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
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1.
CONCEITOS E DEFINIÇÕ DEFINIÇÕES ES GERAIS SOBRE MATEMÁTICA FINANCEI FINANCEIRA RA
A matemática nanceira juntamente com a análise de investimentos são ferramentas fundamentais para tomada de decisões tanto na gestão nanceira das pessoas quanto das empresas. Segundo Faro (1997) o objetivo da Matemática Financeira é estudar as relações entre os valores monetários que são trocados em tempos distintos, assim a partir dessa ciência é possível determinar precisamente o valor de remunerações como empréstimos, nanciamentos e investimentos, e entender a evolução do dinheiro ao longo do tempo. Hoje em dia notoriamente percebe-se que muitas pessoas não dão a devida importância para a Matemática Financeira, assunto tão presente em nossas vidas, e diante de uma situação como a de comprar à vista ou a prazo, ou até mesmo poupar para comprar um objeto depois, essas pessoas se deparam diante de uma situação aparentemente insolúvel (SOUSA, 2015, p. 14) Segundo Assaf Neto (2012) nas fórmulas de matemática nanceira, o prazo da opeope ração e a taxa de juros devem estar expressos na mesma unidade de tempo. Por exemplo, admita que um investimento esteja oferecendo juros de 10% ao mês e os rendimentos sejam creditados por mês. Neste caso, o prazo a que se refere a taxa é dado em mês e o período de capitalização do investimento também é mensal, assim são coincidentes, atendendo à regra básica. Agora, se uma aplicação for efetuada pelo período de um mês, mas os juros denidos são em taxa anual, não coincidindo os prazos, devendo ocorrer a padronização. Faz-se necessário, para o uso das fórmulas nanceiras, transformar a taxa de juro para o intervalo de tempo denido pelo prazo da operação, ou vice-versa, devendo ser levado em consideração o mais apropriado para os cálculos. Assim, as fórmulas só podem ser utilizadas após a denição do prazo e da taxa de juro na mesma unidade de tempo. UNIDADE I
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2.
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO: SIMPLES E COMPOSTO Segundo Assaf Neto (2012), os regimes de capitalização evidenciam como os juros
são formados e posteriormente incorporados ao capital no decorrer do tempo. De acordo com Souza e Clemente (2008) o procedimento geralmente adotado para o cálculo da remuneração do capital consiste em estabelecer uma taxa por unidade de tempo. A partir disso resultam-se duas maneiras fundamentais para a remuneração do capital: juro simples e juro composto, que são denominados: o regime de capitalização simples e o regime de capitalização composto. Como pode ser visto em Samanez (2010), no regime de capitalização simples os juros incidem apenas sobre o capital, não gerando capitalização de juros, ou seja, não é cobrado juros sobre juros. Isso faz f az com que a evolução da dívida, ou montante, seja linear. Já no regime de capitalização composta, os juros são incorporados ao capital no nal de cada período, o que faz f az com que o montante cresça exponencialmente. E, nesse caso, os juros são capitalizados, ou seja, seja, é cobrado juro sobre juro. A aplicação da primeira primeira ocorre em ap apenas enas um período período,, por exemplo, o juro do cheque especial cobrado em um mês ou o desconto de um cheque pré-datado. Já da segunda, em períodos maiores, como é o caso de nanciamentos imobiliários e empréstimos como os CDCs (Créditos Diretos ao Consumidor).
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2.1 Regime de Capitalização Simples Segundo Puccini (2006) no regime de capitalização simples, os juros de cada período serão sempre calculados em função do capital inicial aplicado, assim os juros não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes (não ocorrendo os juros compostos). Conforme arma Kuhnen (2006) nesse regime os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, não ocorrendo qualquer alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros. Assim, o regime de capitalização simples representa, portanto, uma equação aritmética, sendo que o capital cresce de forma linear, sendo que o pagamento de juros se torna indiferente, uma vez que pagos periodicamente ou no nal do período total, o retorno será o mesmo. De acordo com Francisco (1985) no regime de capitalização simples os juros são considerados todos iguais, uma vez que são calculados sobre o mesmo valor (capital inicial). Veras (1991) por sua vez, entende que o regime de capitalização simples pode ser caracterizado pela soma dos juros ao capital inicial de uma única vez, no nal do prazo contratado, fazendo com que nada impeça que os juros sejam calculados ou até colocados à disposição do investidor, parceladamente no decorrer desse prazo. Os juros simples, para Puccini (2006) devem ser utilizados, somente, para a obtenção dos uxos de caixa das operações nanceiras, quando o problema necessitar utilizar esse regime, pois segundo o autor, o regime de juros simples é totalmente incorreto e que nunca deve ser utilizado como ferramenta de análise de uxo de caixa. Segundo Gimenes (2009), a fórmula de juros simples pode ser deduzida de forma intuitiva, por exemplo: Em um empréstimo de R$ 1.000,00 com prazo para pagamento de seis meses e juros de de 1% ao mês, qual qual o va valor lor dos juros a serem pagos pagos? ? Pelo rracioc aciocínio ínio intuitiv intuitivo, o, os ju juros ros cobrados serão 6% (o número de meses multiplicado pelo juro mensal). T Também ambém utilizando o mesmo raciocínio, percebe-se que é necessário multiplicar o valor emprestado pela porcenporcen tagem calculada para descobrir quanto será cobrado de juros. Com isso, chega-se à fórmula:
J = C.i.n Onde: J = juros cobrados/recebido no nal do empréstimo/investimento; C = Capital, ou seja, o valor emprestado/investido; i = taxa de juros calculado; n = tempo para o pagamento/recebimento do capital mais os juros.
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Como o total a ser pago é a soma dos juros mais o capital, têm-se:
M = C + C.i.n ou
M = C (1 + i.n) Onde: M = Montante, ou seja, o total a ser pago/recebido. C = Capital, ou seja, o valor emprestado/investido; i = taxa de juros; n = tempo para o pagamento/recebimento do capital mais os juros. Como vimos nesse regime, o juro sempre será constante e pago apenas no m de cada operação. Exemplo: A empresa Lactose Ltda fez um investimento de R$ 15.000,00, no qual foi aplicado durante três anos a uma taxa de juros de 10% ao ano, utilizando o regime simples. Qual o valor do montante?
Resolução: Ao utilizar o regime de capitalização simples, o juro é constante e será adicionado ao m de cada ano. Exemplo de cálculo dos juros ao ano:
J = R$ R$ 15.000 x x 1 15.000 x 0,1 0,1 x J = R$ R$ 1.500 Caso queira saber o valor total de juros, devemos utilizar o valor do período total, no caso do nosso exemplo, o período foi de 3 anos:
J = R$ R$ 15.000 x x 3 15.000 x 0,1 0,1 x J=R$ J=R $ 4.500 O valor nal do capital adicionado aos juros pode ser calculado da seguinte maneira:
M = C (1 + i.n) M = R$ 15.000 (1 + 0,1 x 3) M = R$ 19.500 Ano 0 1 2
Saldo anterior
Juros simples
Cálculo dos juros
R$ 15.000 R$ 15.000
10% 10%
R$ 1.500 R$ 1.500
Montante R$ 15.000 R$ 16.500 R$ 18.000
3
R$ 15.000
10%
R$ 1.500
R$ 19.500
Algumas observações observações podem ser apresentadas referentes ao regime de capitalização simples:
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● os juros por incidir exclusivame exclusivamente nte sobre o ccapital apital inicial de R$15.000,00, apresentam valores idênticos ao nal de cada ano (10% x R$ 15.000,00 = R$1.500,00); ● Assim, o crescimento dos juros no tempo é linear (no exem exemplo, plo, cresce R$1.500,00 por ano), revelando um comportamento igual a uma progressão aritmética. Os juros totais da operação atingem, atingem, nos 3 anos, R$ 4.500,00; ● se os juros simples, ainda, n não ão forem pagos ao nal de cada ano, a remu remu-neração do capital emprestado/investido somente se opera pelo seu valor inicial(R$15.000,00), não ocorrendo remuneração sobre os juros que se formam no período; ● como os juros variam linearmente no tempo, a apuração do valor total no prazo contratado é processada simplesmente pela multiplicação do número de anos pela taxa anual, isto é: 3 anos x 10% ao ano = 30% para 3 anos.
2.2 Regime de Capitalização Composto No regime de capitalização composto os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes, assim os juros são capitalizados e dessa maneira rendem mais juros, o tão famoso termo “juros sobre juros”. Essa é a modamodalidade de remuneração mais empregada pelas instituições nanceiras. (PAIVA, (PAIVA, 2009). A esse processo dá-se o nome de capitalização de juros, e o período considerado é denominado período de capitalização (PUCCINI, 2006). Segundo Lemes Júnior, Rigo e Cherobim (2005) se faz necessário conhecer o período de capitalização dos juros para entender quando os juros serão incorp incorporado oradoss ao principal, principal, p para ara também também rende renderem rem no perío período do se seguinte guinte.. De acordo com Assaf Neto (2012, p.3) o regime de capitalização composta: “incorpora ao capital não somente os juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior. É um comportamento equivalente a uma progressão geométrica (PG) no qual os juros incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período correspondente (e não unicamente sobre o capital inicial).”
Para Veras (1991) no regime de capitalização composta o foco é na contratação do período de capitalização, pois se o prazo total em que é feito o investimento tiver vários desses períodos, no nal de cada período os juros serão capitalizados e o montante assim constituído passará a render juros durante o período seguinte. Assim, depois de cada período de capitalização, os juros são somados à dívida anterior, e passam a render juros no período seguinte, como se em cada período fosse renovado o empréstimo, mas no valor do principal mais os juros relativos ao período anterior.
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De acordo com Assaf Neto (2012) no processo de capitalização composta a formação dos juros é diferente daquele descrito para a capitalização simples, onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores. Assim, tecnicamente, tecnicamente, o regime de juros compostos é superior ao de juros simples, uma vez que no regime de capitalização composto, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre juros periodicamente. Para melhor desenvolver desenvolver este conc conceito eito e denir suas fór mulas de cálculo, admita ilustrativamente uma aplicação de R$15.000,00 a taxa composta de 10% ao ano, durante 3 (três) anos. Identicando-se por PV - valor presente (Capital) e FV o valor futuro (montante), têm-se os seguintes resultados ao nal de cada período:
FV = PV ( 1+i)n Onde: FV = Valor Futuro/Montante, ou seja, o total a ser pago/recebido. PV = Valor Presente/Capital, ou seja, o valor emprestado/investido; i = taxa de juros; n = tempo para o pagamento/recebimento do capital mais os juros. Substituindo os valores apresentados no exemplo temos:
FV = 15.000 (1+0,10)3 FV = 19.965 Podemos fazer o cálculo por cada período, somando o valor do juros ao capital, e realizando o cálculo novamente. Ano 0 1 2 3
Saldo anterior
Juros simples
Cálculo dos juros
R$ 15.000 R$ 16.500 R$ 18.150
10% 10% 10%
R$ 1.500 R$ 1.650 R$ 1.815
Montante R$ 15.000 R$ 16.500 R$ 18.150 R$ 19.965
Para obter o valor do monetário dos juros (J), utiliza-se a diferença entre o montante (FV) e o capital (PV), podendo-se obter o seu resultado também pela seguinte expressão:
J =FV - PV J =19.965 – 15.000
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REFLITA No regime de capitalização simples, taxa proporcional, linear ou nominal e taxas equivalentes são a mesma coisa, de modo que é indiferente a classicação das duas taxas de juros como proporcional ou equivalente. equivalente.
Fonte: Elaborado pelos autores (2021).
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3.
TAXA: PROPORCI PROPORCIONAL, ONAL, NOMINAL, EFETIVA, EQUIVALENTE E REAL
3.1 Taxa proporciona proporcionall ou nominal (linear) (linear ) Segundo Assaf Neto (2012) no regime de juros simples, diante de sua própria natureza linear, utiliza-se a denominada taxa proporcional de juros, também conhecida como taxa linear. Esta taxa proporcional é obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização). A taxa nominal (linear) de juros refere-se a quando a taxa informada não coincide com a capitalização dos juros. De acordo com Puccini e Puccini (2006) a taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa taxa nominal vem sempre com a unidade anual, e os períodos de capitalização aparecem em dias, meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, semestres ou anos. São exemplos de taxas nominais: 13% ao ano, capitalizados mensalmente;
13% = 1,0833% ao mês 12
14% ao ano, capitalizados bimestralmente;
14% = 2,3333% por 2,3333% por bimestre 6
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15% ao ano, capitalizados trimestralmente;
por trimestre 15% = 3,75% 3,75% por 4 18% ao ano, capitalizados semestralmente.
por semestre 18% = 9% 9% por
2 Essa taxa é comumente utilizada em negócios nanceiros, porém, como não reprerepre-
senta a taxa efetiva, seu uso não é indicado em juros compostos. A taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva subentendida, que é a taxa de juros a ser empregado em cada período de capitalização. Essa taxa é calculada de forma proporcional ao regime de juros simples. As taxas efetivas, que estão implícitas nas taxas anuais nominais, são alcançadas em função do número de momentos da capitalização da taxa anual, conforme o número de períodos de capitalização do ano, ou seja: quando capitalizado diariamente, divide-se a taxa por 360, considerando-se que o ano comercial tem 30 dias; quando capitalizado mensalmente, divide-se a taxa por 12, pois o ano tem 12 meses; quando capitalizado tritri mestralmente, divide-se a taxa por 4, pois o ano tem 4 trimestres, tr imestres, e assim sucessivamente. A taxa nominal de juros é aquela adotada normalmente nas operações correntes de mercado, incluindo os efeitos inacionários previstos para o prazo da operação. ConstiConstitui-se, em outras palavras, numa taxa prexada de juros, que incorpora as expectativas da inação. É importante separar claramente a taxa nominal de juros, que mede o resultado de uma operação em valor corrente, da taxa nominal (linear) estudada nos dois primeiros capítulos, que indica a descapitalização do juro de forma proporcional (juros simples). Conforme Assaf Neto (2012) essa transformação é realizada pela denominada taxa proporcional de juros, também denominada de taxa linear. A taxa proporcional pode ser obtida a partir da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização). Pode-se vericar que as taxas nominais (lineares) não serão utilizadas nos cálculos nanceiros do regime composto, e sim as taxas efetivas correspondentes. Segundo Assaf Neto (2012) a aplicação de taxas proporcionais é muito difundida, principalmente em operações de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de mora, descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos sobre saldo devedor de conta corrente bancária.
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Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros. Por exemplo, em juros simples, um capital de R$ 100.000,00, se aplicado a 1% ao mês ou 6% ao semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros. J (1% a.m.) = R$ 100.000,00 x 0,01 x 12 = R$ 12.000,00 J (6% a.s.) = R$ 100.000,00 x 0,6 x 2 = R$ 12.000,00
3.2 Taxa equivalen equivalente te Na equivalência de taxas, é preciso considerar os diferentes regimes de capita lização simples e compostos, visto que, nas mesmas condições, eles reproduzem juros diferentes. De acordo com Assaf Neto (2012) as taxas de juros simples se dizem equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros. No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas equivalentes são consideradas iguais, sendo indiferente a classicação de duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes. Por exemplo, em juros simples, um capital de R$ 100.000,00, se aplicado a 1% ao mês ou 6% ao semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros. J (1% a.m.) = R$ 100.000,00 x 0,01 x 12 = R$ 12.000,00 J (6% a.s.) = R$ 100.000,00 x 0,6 x 2 = R$ 12.000,00 Os conceitos de equivalência e proporcionalidade das taxas no regime de capitalização simples e composta são os mesmos. No entanto, enquanto nos juros simples o cálculo das taxas equivalentes e proporcionais é o mesmo, em juros compostos, eles se diferem, pois as taxas proporcionais não são equivalentes, uma vez que fazem os mesmos capitais, em tempos iguais, produzirem montantes diferentes. Exemplo: Maria, Karol e Fabiane tinham cada um R$ 10.000,00 para aplicar a juros compos compos-tos. Maria aplicou a 12% a.a., Karol aplicou a 6% a.s. e Fabiane aplicou a 1 % a.m. Quais os montantes de cada um depois de decorrido um ano? Calcule o montante de cada um conforme as armações, primeiro transformando as taxas percentuais e decimais e, depois, o tempo de 1 ano, conforme a capitalização.
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Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
Maria: PV = 10.000 i = 12% a.a ÷ 100 = 0,12 n = 1 ano
FV = PV (1 (1 + i) n FV = 10.000 = 10.000 (1 + 0,12)1 FV = 11.200,00 = 11.200,00 Karol: PV = 10.000 i = 6% a.s. ÷ 100 = 0,0,6 n = 1 ano = 2 semestres
FV = PV (1 (1 + i)n FV = 10.000(1 + 0,06)2 FV = 11.236 Fabiane: PV = 10.000 i = 1% a.m. ÷ 100 = 0,01 n = 1 ano = 12 meses n
FV = PV (1 (1 + i) FV = 10.000 (1 + 0,01)12 FV = 11.268,25 Os montantes de Maria, Karol e Fabiane são, respectivamente, R$ 11.200,00, R$ 11.236,00 e R$ 11.268,25. Vericou-se que as taxas são proporcionais e os capitais são iguais e aplicados em prazos iguais, gerando montantes diferentes, observando que, quanto maior o número de capitalizações, maior o montante. Logo, o cálculo das taxas equivalentes, no regime de juros compostos, não se resume resume a uma simples proporção proporção,, como no juro simples. Para o cálculo da taxa, i, em juros compostos, pode-se utilizar a seguinte fórmula:
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Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
onde: FV = valor nal ou montante; PV = valor principal ou capital; n = número de períodos (tempo). Para Veras (2005), deve haver a seguinte relação entre duas taxas para que sejam equivalentes no regime de juros compostos:
(1+i1)n1 =(1+i2)n2 Generalizando essa fórmula, pode-se utilizar para o cálculo da taxa equivalente as seguintes fórmulas. Pode ser utilizada quando se tem o tempo de capitalização menor e se deseja encontrar a maior capitalização:
ieq = (i+1)n -1 E, quando se tem o tempo de capitalização maior e se deseja encontrar a menor, utiliza-se:
ieq= n √1+ √1+ii-1 3.3 Taxa Efetiva Os conceitos de taxa nominal e efetiva do juro simples são semelhantes aos dos juros compostos, visto que, no juro composto, a taxa nominal e a taxa efetiva também são diferentes. Em juros compostos, é comum a taxa vir com períodos de capitalização e de tempo diferentes, por exemplo: uma taxa de 33% ao ano, com capitalização bimestral; ou uma taxa de 20% ao semestre com capitalização mensal, e assim sucessivamente. Para Verass (2005), essa forma de expressar a taxa, largamente utilizada no mercado nanceiro, Vera também é responsável por divergências entre a taxa nominal e a taxa efetiva. Assim, quanquando o período mencionado na taxa não corresponde ao período de capitalização, prevalece este último, devendo-se tomar a taxa proporcional correspondente como taxa efetiva e considerar a taxa dada como nominal. A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n, sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Ou seja, taxa efetiva é o
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UNIDADE I
Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização. É obtida pela seguinte expressão:
if = (1+ i )n -1 Quando se diz, por outro lado, que uma taxa de juros é nominal, geralmente é ad mitido que o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao principal) não é o mesmo daquele denido para a taxa de juros. Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizada mensalmente. Os prazos não são coincidentes. O prazo de capitalização é de um mês e o prazo a que se refere a taxa de jujuros é igual a um ano (12 meses). Assim, 36% ao ano representa uma taxa nominal de juros, expressa para um período inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de capitalização. Quando se trata de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorre por juros proporcionais simples. Assim, no exemplo, a taxa por período de capitalização é de 36%/12 = 3% ao mês (taxa proporcional ou linear). Ao se capitalizar esta taxa nominal, apura-se uma taxa efetiva de juros superior àquela declarada para a operação. Baseando-se nos dados do exemplo ilustrativo acima, tem-se: Taxa nominal da operação para o período 36% ao ano; Taxa proporcional simples (taxa denida para o período de capitalização) = 3% ao mês; Taxa efetiva de juros:
if = (1+ 0,36 )12 - 1 12 if = 42,57% Observe que a taxa nominal não revela a efetiva taxa de juros de uma operação. Ao dizer que os juros anuais são de 3 36%, 6%, mas capitalizados mensalmente, apura-se que a taxa efetiva de juros atinge 42,57% ao ano.
3.4 Taxa Real Para Puccini e Puccini (2006), a taxa nominal e a taxa real estão diretamente ligadas ao fenômeno da inação, dessa maneira, costuma-se denominar taxa real a taxa de juros obtida após se eliminar o efeito da inação, e taxa nominal a taxa de juros que inclui a inação. De acordo com Assaf Neto (2012) importante separar claramente a taxa nominal de juros, que mede o resultado de uma operação em valor corrente, da taxa nominal (linear)
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UNIDADE I
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Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
estudada nos dois primeiros capítulos, que indica a descapitalização do juro de forma proporcional (juros simples). Assim, a taxa nominal, também chamada de aparente, é sempre maior que a taxa real. De maneira geral, a fórmula de apuração da taxa real é:
ir = 1+in -1
1+ii
onde: ir = taxa real; in = taxa nominal; ii = taxa de inação.
Em contexto inacionário, ainda, devem ser identicadas na taxa nominal (prexa(prexada) uma parte devida à inação, e outra denida como legítima, real, que reete “realmente” os juros que foram pagos ou recebidos. O objetivo do cálculo da taxa real (r) é o de expurgar a indexação da taxa total de juros (nominal), de maneira a expressar o juro real. Exemplo: A gerente nanceira da PetroBarramas PetroBarramas S/A realizou um empréstimo com uma taxa nominal de 16% ao ano, no ano sabe-se que a inação foi de 4,85%, e gostaria de saber o valor da taxa anual do rendimento real desse empréstimo:
i r = 1 + i n 1 +ii
-1
ir = 1+0,0485 1+0,16 -1 ir = 0,1063 x 100 100 ir = 10,63% a.a.
A taxa real também pode ser negativa, desde que a inação supere a variação nominal dos juros.
UNIDADE I
Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
SAIBA MAIS Nas nanças comumente é utilizado simbologia dos períodos das taxas, facilitando asas sim o entendimento. a.d.: ao dia a.m.: ao mês a.b.: ao bimestre a.t.: ao trimestre a.q.: ao quadrimestre a.s.: ao semestre a.a.: ao ano Dessa maneira, quando um contrato de empréstimo ou investimento conter juros a 5% a.m., você saberá que são 5% de juros ao mês. Fonte: Elaborado pelos autores (2021)
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) aluno(a), na Unidade 1, do livro da disciplina de Matemática Financeira, vimos os conceitos básico e denições gerais de matemática nanceira, uma vez que o objetivo da Matemática Financeira é estudar as relações entre os valores monetários que são trocados em momentos diferentes, a partir dessa ciência é possível determinar o valor de remunerações como empréstimos, nanciamentos e investimentos, e entender a evoluevolução do dinheiro ao longo do tempo. Discorremos sobre os regimes de capitalização simples e compostos, pois a partir deles conseguimos identicar como os juros são formados e posteriormente incorporados ao capital no decorrer do tempo. No regime de capitalização simples os juros de cada período serão sempre calculados em função do capital inicial aplicado, assim os juros não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Já no regime de capitalização composta a formação dos juros é diferente daquele descrito para a capitalização simples, onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores. Por m abordaaborda mos sobre os tipos de taxas mais conhecidas: nominal, efetiva, proporcional, equivalente e real. A taxa de juro é o coeciente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator capital utilizado durante certo período. As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa t axa monetária.
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Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
MATERIAL MA TERIAL COMPLEM COMPLEMENT ENTAR AR
LIVRO Título: Manual de Contabilidade Societária Autor: Moisés Melo; Sergio Barbosa. Editora: Freitas Bastos Editora.
FILME/VÍDEO Título: Enron — Os mais espertos da sala Ano: 2006. Sinopse: O lme traz a história da Enron, uma empresa norte-anorte-a mericana que cou famosa devido aos escândalos envolvendo as suas nanças. O lme tem a capacidade de contribuir com a sua aprendizagem em Contabilidade Societária ao ilustrar os efeitos da evidenciação de indicadores (ou números) incorretos.
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UNIDADE II Descontos, Capitalização e Amortização Professor Me. Matheus Henrique Professora Ma. Carolina Freitas
Plano de Estudo: ● Analisar as operações que que envolvem descontos descontos ● Entender a equivalência do capital no tempo ● Estudar séries de capitalização e de amortização amortização
Objetivos da Aprendizagem: ● Operações que envolvem descontos ● Equivalência do capital no tempo ● Séries de capitalização e de amortização
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INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), na Unidade 2, do livro da disciplina de Matemática Financeira, falaremos sobre operações que envolvem descontos. O desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado em certos períodos antes de seu vencimento. As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de jjuros uros compostos. Posteriormente estudaremos a equivalência do capital no tempo, a equivalência de capitais são utilizados para a substituição de um título por outro título com vencimento diferente. Faz-se necessário determinar o valor de um título quando este necessita ser antecipado ou adiado, pode-se ainda, substituí-lo por outro título, cujo valor represente o equivalente ao valor original, considerando uma dada taxa. Assim, a equivalência de capitais serve para ajustes e renegociações necessárias, podendo ser realizada por pessoas físicas ou jurídicas. Por m, entenderemos as séries de capitalizações, na qual são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e nanciamentos de longo prazo, envolvendo pagamentos periódicos do principal e encargos nanceiros. Veremos Veremos sobre o Sistema de Amortização Francês (SAF) no qual os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, devedor, são decrescentes, e as parcelas de amortização assumem valores crescentes, o Sistema de Amortização Constante (SAC) que tem como característica a constância da dass amortizações do principal, assim as amortizações amortizações sempre sserão erão iguais em todo o prazo da operação, e o Sistema de Amortização Americano (SAA) na qual estipula que a devolução do capital emprestado é efetuada ao nal do período contratado da operação de uma só vez.
Bons estudos!
UNIDADE II Descontos, Capitalizações e
1.
OPERAÇÕES QUE ENVOLVEM DESCONTOS Quando uma dívida em uma loja ou instituições nanceiras é paga antecipadamen antecipadamen--
te, normalmente o devedor espera receber um desconto. Da mesma maneira, quando um empréstimo é realizado, sabe-se o valor a ser pago no futuro, bem como o valor recebido, também se sabe que a quantia emprestada é menor que aquela que será paga, uma vez que o valor futuro é descontado por uma taxa de juros. Por isso, se faz necessário aprender como calcular os descontos presentes nas transações nanceiras. Segundo Assaf Neto (2012) o valor nominal pode ser entendido como o valor de resgate, sendo assim, o valor denido para um título em sua data de vencimento, dessa ma ma-neira representa o próprio montante da operação. A operação operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Assim, Assim, o desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado em n períodos antes de seu vencimento. O valor descontado de um título nada mais é que o valor atual na data do desconto, podendo ser determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja:
V r =V n - Dr Onde:
V r : Valor descontado racional (ou valor atual) V n : Valor Valor nominal (ou valor de resgate, ou montante) Dr : Desconto racional
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UNIDADE II Descontos, Capitalizações e
Para Assaf Neto (2012) as operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros compostos. O uso do desconto simples é amam plamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para as operações de longo prazo. No regime de capitalização simples e no composto podem ser identicados dois tipos de desconto: o desconto racional, conhecido como desconto “por dentro” e o desconto bancário/comercial, também conhecido como desconto “por fora”. ● Desconto comercial: comercial: é calculado sobre sobre o valor nom nominal inal do título. ● Desconto racional: racional: é calculado sobre sobre o valor atual do título.
1.1 Desconto racional O desconto racional representa exatamente as relações de juros simples descritas na unidade 1. É importante registrar que o juro incide sobre o capital (valor atual) do título, ou seja, sobre o capital liberado da operação. A taxa de juro (desconto) cobrada representa, dessa maneira, o custo efetivo de todo o período do desconto. Pela própria denição de desconto e introduzindo-se o conceito de valor descontadescontado no lugar de capital no cálculo do desconto, tem-se:
D = V r × i × n
(1) Desconto racional simples
D =V r × [1 - (1 - i)n ] (2) Desconto racional composto O desconto racional tem pouca utilização no cálculo dos produtos do mercado nannanceiro. De acordo com Assaf Neto e Lima (2017), esse desconto representa rigorosamente o conceito de juros, sendo mensurado racionalmente com base no capital efetivamente empenhado em uma operação. O valor do desconto racional pode ser obtido a partir de determinado valor nominal (Vn), a uma taxa simples de juros (i) e a determinado prazo de antecipação (n).
D=
D=
Vn × i × n (1) Desconto racional simples (1 + i × n)
[
V n ×
1
1 (2) Desconto racional composto (1+i )n
]
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UNIDADE II Descontos, Capitalizações e
Já o valor descontado racional pode ser obtido pela seguinte expressão de cálculo:
V r =
V n 1 + i × n
V r =
(1) Desconto racional simples
V n n
(1 + i )
(2) Desconto racional composto
Podemos observar que o desconto racional representa exatamente as relações de juros simples descr descritas itas no capít capítulo ulo inicia inicial.l. É importa importante nte regis registrar trar que o juro incid incide e sobre o capital (valor atual) do título, ou seja, sobre o capital liberado da operação. A taxa de juro (desconto) cobrada representa, dessa maneira, o custo efetivo de todo o período do desconto.
1.2 Desconto comercial (bancário) Devido às instabilidades no mercado, que afetam diretamente o uxo de caixa, é comum que as empresas recorram às instituições nanceiras em busca de ajuda. O sistema bancário oferta diversos produtos bancários, dos quais as pessoas/empresas se beneciam com a captação de recursos. Segundo Ass Assaf af Neto e Lima (2017), a modalidade de desconto por fora é bastante utilizada no mercado nanceiro em operações de crédito bancário e comercial em curto prazo. Esse tipo de desconto, por incidir sobre o valor nominal do título, tem um maior volume de encargos nanceiros efetivos na operação. O desconto bancário é conhecido também como desconto comercial ou por fora. Segundo Assaf Neto (2012) simplicadamente, o desconto bancário, por incidir sobre o valor nominal do título, traz maior volume de encargos nanceiros efetivos nas operações. Enquanto o desconto “por dentro”, calcula os encargos sobre o capital efetivamente liberado na operação, ou seja, sobre o valor presente, o desconto “por fora” busca apurar os juros sobre o montante, indicando custos adicionais ao tomador de recursos. Nesse regime de desconto é determinado pelo produto do valor nominal do título (V n), da taxa de desconto periódica “por fora” contratada na operação ( i ) e do prazo de antecipação denido para o desconto (n). Isto é:
D = V × i × n b
(1) Desconto comercial simples
n
Db = V n × [1-(1- i )n]
(2) Desconto comercial composto
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UNIDADE II Descontos, Capitalizações e
O valor descontado “por fora” V f , aplicando-se a denição, é obtido:
V f = V n (1- i × n)
(1) Desconto comercial simples
V f = V n × (1 - i )n
(2) Desconto comercial composto
Usualmente, ao comparar investimentos distintos ou empréstimos distintos, a taxa de juros é utilizada como parâmetro. Ao fazer uma aplicação, procura-se a taxa mais alta de rentabilidade. Ao fazer um empréstimo, busca-se a taxa mais baixa. Porém, algumas informações são dadas em termos de taxa de desconto, enquanto outras são dispostas em taxas de juros. Quando se está interessado em comprar um bem para pagar a prazo, pode-se ter os dois tipos de informação. Exemplo: Maria deseja comprar uma televisão que custa R$ 1.000,00 a serem pagos daqui a um mês. A loja oferece um desconto a ela de 5% para pagamento à vista. Ela sabe que pode realizar um empréstimo no Banco X a uma taxa t axa de juros de 6% ao mês. Sabendo que Maria não tem os recursos nanceiros necessários agora, mas terá recursos após um mês para pagar pela televisão, qual é a sua melhor opção? Primeiro, se faz necessário entender que a taxa oferecida pela loja é um desconto comercial, enquanto a taxa oferecida pelo Banco X é de juros efetivo, similar a taxa de desconto comercial. Sendo assim a taxa de juros cobrada pelo Banco X. Além disso, a taxa de juros cobrada pelo banco pode ser vista como uma taxa de desconto, pois o valor que Maria receberá é o valor a ser pago pelo empréstimo na data futura, descontado pela taxa de juros cobrada pelo banco. Assim, se faz necessário converter uma das duas taxas, na qual dessa maneira o desconto nanceiro é mais razoável, uma vez que a taxa de desconto nanceiro é justajusta mente a taxa de juros da operação, para isso adota-se a taxa de desconto nanceiro como base para os cálculos. A loja dá um desconto comercial de 5%, assim o valor do desconto oferecido pela loja é de:
Db=V n × i × i × n Db = 1.000,00 1.000,00 × 0,05 0,05 ×1 Db = R$ R$ 50,00
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UNIDADE II Descontos, Capitalizações e
Logo, o valor que Maria pagará pela televisão é de:
Vr = Vn - D Vr = 1.000,00 - 50,00 Vr = R$ 950,00 Agora que se sabe o valor da televisão realizando-se uma compra à vista, assim como o valor a prazo, é possível encontrar a taxa de desconto nanceiro cobrada pela loja.
FV = PV (1+i )n i = (FV / PV )
1 n
i = (1.000 / 950) (1.000 /
-1 1 1
-1
i = 5,26% Analisando o desconto nanceiro em ambos os casos, o desconto dado pela loja é de 5,26%. Caso Maria opte por realizar o empréstimo, ela teria que pagar uma taxa de juros de 6% ao mês, enquanto seu desconto nanceiro nanceiro na loja é de apenas 5,26%. Assim, conclui-se que é mais interessante comprar a prazo na loja. Quanto Maria terá de desembolsar daqui a um mês? Uma vez que, Maria necessita de R$ 950,00 para comprar a televisão. Se ela pedir essa quantia ao banco, daqui a um mês Maria deverá pagar:
FV = PV ( 1+i 1+i )n FV = 950,00 950,00 (1+0,06)1 FV = 1.007,00 A quantia a ser paga no banco daqui a um mês é maior do que a quan quantia tia a ser paga na loja. Assim, sabe-se que a melhor opção para Maria é comprar a prazo na loja. Nota-se que em vários momentos do dia a dia, podemos encontrar as taxas dispostas de diferentes maneiras: como taxa de juros, taxa de desconto comercial e bancária. A taxa comercial, apesar de ser bastante utilizada no comércio e pelo público em geral, não é adequada para estabelecer comparações entre valores.
UNIDADE II Descontos, Capitalizações e
2.
EQUIVALÊNCIA DO CAPITAL NO TEMPO De acordo com Almeida (2016), a equivalência de capitais é utilizada para a
substituição de um título por outro título com vencimento diferente. Dessa maneira, se faz necessário determinar o valor de um título quando este necessita ser antecipado ou adiado, pode-se ainda, substituí-lo por outro título, cujo valor represente o equivalente ao valor original, considerando uma dada taxa. Segundo Veiga (2014) a data considerada como base para comparação de valores que se referem a diferentes datas é conhecida como data de referência. A equivalência de de capitais serve para ajustes e renegociações necessárias, podendo ser realizada por pessoas físicas ou jurídicas. Para Dal Zot e Castro (2015, p. 77), as situações mais frequentes são: Renegociação de prazos ou condições de pagamento de uma dívida: um devedor pode solicitar o adiamento do vencimento de uma dívida, se tiver diculdade em pagar naquela data ou, ao contrário, pagar antecipadamente reduzindo juros caso tiver excesso de caixa no referido vencimento; Negocia Negocia-ção ou troca de uxo de caixa: para um banco, tanto os excessos de caixa como as faltas são diculdades a serem evitadas; no primeiro caso, a exisexistência de caixa signica dinheiro a ser remunerado remuner ado a aplicadores sem receita correspondente, e no segundo caso, o banco deve recorrer a empréstimos para honrar os compromissos.
Na equivalência de capitais, deve-se considerar os tipos de regime de capitalização na qual estudamos na Unidade 1, e que podem ser de juros simples ou compostos, bem como é importante saber se o critério do desconto estabelecido é comercial ou racional.
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UNIDADE II Descontos, Capitalizações e
2.1 Equivalência de capitais – juros simples No sistema de capitalização simples, dois ou mais capitais são equivalentes se os seus valores calculados nesta data, com essa taxa, forem iguais. A equação 1 a seguir apresenta o cálculo de equivalência de capitais com desconto racional simples na data 0, com taxa i:
FV 1 (1 - in1 ) = FV 2 (1- in 2 ) Se, nessa mesma data e com essa mesma taxa, os capitais são equivalentes com juros simples ou desconto racional racional simples, o cálc cálculo ulo deve ser feito de acordo com a equação 2 a seguir:
FV 1 FV 2 = (1+ in1) (1+ in2 )
Lembre-se de que o desconto racional simples é calculado sobre o valor futuro ( FV) ao passo que o desconto comercial simples é calculado sobre o valor presente ( PV ). ). A Equação 3, a seguir, seguir, apresenta a equivalência ccalculada alculada com desconto desconto simples:
PV 1
(1 - in1)
=
PV 2
(1 - in2 )
E a Equação 4 apresenta a equivalência calculada com juros simples:
PV 1 (1+in1 ) = PV 2 (1+in 2 ) ) 2.2 Equivalência de capitais – juros compostos Como disposto anteriormente, a grande maioria das operações nanceiras são realizadas a partir do critério de capitalização composta. Na equivalência de capitais a juros compostos, diferente da equivalência de capitais com juros simples, pode ser denida para qualquer data focal. No regime de capitalização composto, podem-se ter capitais equivalentes com desconto comercial ou capitais equivalentes com desconto racional composto conforme a sistemática de cálculo utilizada na equivalência (VERAS, 2005). Observe, na Equação 5, o cálculo para a equivalência com desconto comercial composto:
FV 1 (1 - i)ⁿ 1 = FV 2 (1 - i)ⁿ 2
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UNIDADE II Descontos, Capitalizações e
ou ainda:
FV 1 FV 2 = (1+ i )n1 (1+ i )n2
Aos capitais equivalentes com desconto comercial comercial composto, a aplica-se plica-se a equa equação: ção:
PV (1-i)-n = PV (1-i)-n 1
1
2
2
Aos capitais equivalentes equivalentes com desconto racion racional al composto, aplica-se a equação: equação:
PV 1 (1+ i)n1 = PV 2 (1+ i)n2
REFLITA O valor do dinheiro no tempo sofre algumas inuências, isso ocorre especialmente com os efeitos que a inação tem sobre o dinheiro. Dessa maneira, quando a inação está em um nível elevado, é possível vericar de forma clara os seus efeitos, já que as pripri meiras variações ocorrem sobre os preços dos produtos mais utilizados. Fonte: Elaborado pelos autores (2021).
UNIDADE II Descontos, Capitalizações e
3.
SÉRIES DE CAPIT CAPITALIZAÇÃO ALIZAÇÃO E DE AMORTIZAÇÃO Segundo Assaf Neto (2012) as séries de amortização são desenvolvidas basibasi -
camente para operações de empréstimos e nanciamentos de longo prazo, envolvendo pagamentos periódicos do principal e encargos nanceiros. As pessoas físicas optam por um nanciamento de longo prazo normalmente por falta de recursos para comprar bens com valores elevados. Da mesma maneira, pessoas jurídicas, optam também por esse tipo de endividamento para adquirir bens na falta de recursos imediatos, uma vez que A empresa não querem comprometer o seu capital de giro; Muitas vezes, o capital de terceiros é mais barato, já que tem taxas de juros baixas; e a dedutibilidade scal da despesa de juros para apurar o lucro tributável. Segundo Ross et al., (2015) às grandes e pequenas empresas têm algo em comum que é a necessidade
de obter capital de longo prazo. Como os empréstimos são frequentes nas vidas tanto das pessoas físicas quanto das pessoas jurídicas, é importante saber como calculá-los. A série de amortização amortização é uma ferrame ferramenta nta por onde uma uma dívida é p paga aga em parcelas que não possuem necessariamente o mesmo valor. Assim, cada parcela é composta pelos juros e pela amortização. Se faz necessário, para saúde nanceira das companhias, co co-nhecer o quanto ela está pagando de juros a cada período de tempo. Uma parte do que ela paga consiste em juros, enquanto a outra trata-se da amortização. Ao amortizar uma dívida, existem diversas maneiras, porém devendo seguir as condições de cada operação, na qual estão estabelecidas em contrato rmado entre o cre cre--
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UNIDADE II Descontos, Capitalizações e
dor e o devedor. Uma característica fundamental das séries de amortização é a utilização exclusiva do critério de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo devedor apurado em período imediatamente anterior. (ASSAF NETO, 2012). Dessa maneira, caso a cada parcela sejam pagos somente os juros, o valor da dívida permanecerá sempre o mesmo. Se o valor pago for menor do que os juros incorridos no período, o saldo devedor aumentará. Existe ainda a possibilidade de se pagar mais do que os juros incorridos no período, nesse caso, o valor pago a mais é chamado de amortização, o que impliimplica na diminuição do saldo devedor. devedor. A gu gura ra 1 a seguir apresenta um diagrama de uxo de caixa: caixa: FIGURA 1 – FLUXO DE CAIXA
Fonte: Elaborado pelos autores (2021).
Como vimos na Unidade 3 no uxo de caixa, o tomador de recursos recebe um valor que é justamente o valor presente da dívida. Depois ele paga regularmente um valor referente às prestações. Normalmente as prestações são constantes, isto é, porém, as prestações podem ter valores diferentes de acordo com as necessidades do tomador de recursos. É válido ressaltar que nem sempre a quitação de uma dívida tem um diagrama de uxo de caixa como o apresentado anteriormente. Ela pode ser quitada somente por meio das prestações, sem que tenha um valor futuro a ser quitado no nal. Além disso, pode ocorrer em que em algumas dívidas as prestações não são constantes, tendo um valor diferente em cada parcela. Existem várias formas de amortização que ocorrem no mercado, as mais comuns são: ● Sistema de Amortização Francês (SAF) ● Sistema de Amortização Constante (SAC) ● Sistema de Amortização Americano (SAA)
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UNIDADE II Descontos, Capitalizações e
3.1 Sistema de Amortização Francês (SAF) Segundo Assaf Assaf Neto (2012) o Sistema de Amortização Francês (SAF) ou Prestação Constante (SPC) é amplamente adotado no mercado nanceiro do Brasil. O Sistema de Amortização Francês (SAF) recebe esse nome porque foi bastante utilizado na França, no século XIX, difundindo-se a partir daí. Esse sistema também recebe o nome de Tabela Price, devido ao economista inglês Richard Price. Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas de amortização assumem valores crescentes. Em outras palavras, os juros decrescem e as amortizações crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação. Nesse sistema de amortização as prestações pagas têm sempre o mesmo valor, valor, sem que haja o pagamento de um valor nal. Portanto, a dívida é totalmente paga mediante n prestações, todas de mesmo valor. FIGURA 2: SAF
Fonte: Elaborado pelos autores (2021).
A Tabela Tabela Price é uma tabela com fatores que podem ser usados para encontrar o valor das parcelas. Basta multiplicar o valor presente da dívida pelo fator correspondente para encontrar o valor das parcelas. Nela há vários prazos diferentes, assim como diversas taxas de juros. Por meio da Tabela Price, diversos valores podem ser encontrados. Com o intuito de melhor desenvolver a compreensão do sistema de prestação constante, considere o exemplo ilustrativo geral proposto anteriormente. O quadro a seguir, identica a planilha nanceira deste sistema, a qual é mais bem elaborada, partindo da últiúltima coluna para a primeira. Isto é, calculam-se inicialmente as prestações e, posteriormente, para cada período, os juros e, por diferença, as parcelas de amortização e o respectivo saldo devedor. Exemplo: Maria está precisando de capital para aumentar o estoque de sua loja para as vendas de nal de ano. Para isso, ela fará um empréstimo de R$ 50.000,00 a ser pago em seis vezes pelo SAF. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 1% ao
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UNIDADE II Descontos, Capitalizações e
mês, qual será o valor das parcelas, os juros incorridos, o saldo devedor e a amortização? Informe o valor de cada um deles a cada mês. O primeiro passo para resolver essa questão é saber que o valor da prestação deve ser sempre o mesmo, portanto ele deverá ser calculado primeiramente.
PV=PMT × FPV (i,n i,n)) onde: PV = = valor presente PMT = = valor da prestação periódica, igual e sucessiva
= fator de valor presente, sendo: FPV =
FPV = 1-( 1+i 1+i )n i PV = = R$ 50.000,00 n=6 i = 1% ou 0,01
Substituindo os valores do exemplo ilustrativo na equação, tem-se:
50.000= PMT × 1- (1+0,01)-6
0,01 50.000 = PMT ×5,795 ×5,795
PMT = 50.000/5,795 PMT = R$ 8.627,42 Agora podemos podemos calcu calcular lar os juros de cada parce parcela la e o valor valor da amorti amortização zação da d dívida: ívida: No mês 1, os juros são de: Juros = SD . i Juros = 50.000 . 0,01 Juros = 500,00 A amortização (pagamento do saldo saldo devedor) do mês 1 foi de: Amortização = Prestação – Juros Juros Amortização = R$ 8.627,42 –R$ –R$ 500,00 Amortização = R$ 8.127,42
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UNIDADE II Descontos, Capitalizações e
Portanto, deve ser calculado primeiramente o valor da prestação, que é sempre o mesmo. Depois disso, são calculados os juros e depois a amortização. Finalmente, é realizado o cálculo do saldo devedor nesse instante de tempo. Agora, para cada um dos próximos instantes de tempo, serão calculados os juros e a amortização. O resultado é mostrado na tabela a seguir: TABELA 1: TABELA PRICE (MARIA)
TEMPO 0 1 2 3 4 5 6 TOTAL
SALDO D DE EVEDOR R$ 50.000,00 R$ 41.872,58 R$ 33.663,89 R$ 25.373,10 R$ 16.999,42 R$ 8.542,00 R$ 0,00
JUROS R$ 500,00 R$ 418,73 R$ 336,64 R$ 253,73 R$ 169,99 R$ 85,42 R$ 1.764,51
AMORTIZAÇÃO R$ 8.127,42 R$ 8.208,69 R$ 8.290,78 R$ 8.373,69 R$ 8.457,43 R$ 8.542,00 R$ 50.000,00
PRESTAÇÃO R$ 8.627,42 R$ 8.627,42 R$ 8.627,42 R$ 8.627,42 R$ 8.627,42 R$ 8.627,42 R$ 51.764,52
Fonte: Elaborado pelos autores (2021)
Assim, sabemos que Maria iria pagar o valor nal de R$ 51.764,52. Os valores acima foram calculados no Excel, por isso podem sofrer um pequeno problema de arredondamento. É possível observar, por meio da tabela, que o valor da prestação é sempre o mesmo. Esse é o fundamento do Sistema de Amortização Francês. Além disso, os juros são cada vez menores porque o saldo devedor é cada vez menor. Como os juros incidem sempre sobre o saldo devedor, esse é o comportamento natural dos juros nesse sistema de amortização. Verica-se também que a amortização é cada vez maior, ou seja, a cada período de tempo paga-se uma parcela cada vez maior da dívida. É importante observar que a prestação é sempre a soma dos juros com a amortização. Como a prestação é constante, se o valor dos juros diminuir, o valor da amortização deve subir, e é exatamente isso que ocorre.
3.2 Sistema de Amortização Constante (SAC) De acordo com Almeida (2016), o sistema de amortização constante constante é conhecido como método hamburguês e possui vasta utilização em nanciamentos imobiliários como por exemplo o SFH (Sistema Financeiro de Habitação). De acordo Assaf Neto (2012) o Sistema de Amortização Constante - SAC, como o próprio nome desse sistema indica, a característica é a constância das amortizações do principal, assim as amortizações sempre serão iguais em todo o prazo da operação. Como
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UNIDADE II Descontos, Capitalizações e
a soma de todas as amortizações é igual ao valor presente e o valor da amortização é sempre o mesmo, o valor de cada amortização é dado pela divisão do valor presente da dívida pelo número de parcelas. Assim:
Amortização = PV/n O valor de cada prestação é sempre a soma dos juros mais a amortização (Presta (Presta-ção = Juros + Amortização). Desse modo, quando se trabalha com o sistema de amortização constante, os cálculos são da amortização. Segundo Assaf Neto (2012) nesse sistema, a cada período de tempo, a amortização é sempre a mesma, assim, se parte da dívida é constantemente amortizada, o saldo devedor e os juros sempre diminuirão, pois os juros incidem sobre o saldo devedor. devedor. Dessa maneira, como a prestação é a soma da amortização com os juros, ela também diminuirá com o passar do tempo, já que a amortização é conscons tante e os juros diminuem. Conforme Rezende (2003), no SAC observa-se que os juros de cada período são pagos junto com as prestações, e, portanto, não são incorporados ao saldo devedor, devedor, nesse caso não se aplica a conguração dos “juros sobre juros”. Utilizaremos o mesmo exemplo da Maria. Assim o primeiro passo é calcular a amortização:
Amortização = PV/n Amortização = R$ 50.000 / 6 Amortização = R$ 8.333,33 Depois disso, o saldo devedor, os juros e a prestação serão calculados mensalmente. A redução do saldo devedor é dada pela amortização, que, para esse sistema, é conhecido desde o princípio. Os juros podem ser calculados por meio do saldo devedor anterior. Finalmente, conhecendo-se a amortização e os juros, a prestação é calculada. Todo esse processo é repetido para cada período de tempo. TEMPO 0 1 2 3 4 5 6 TOTAL
SALDO DEVEDOR R$ 50.000,00 R$ 41.666,67 R$ 33.333,33 R$ 25.000,00 R$ 16.666,67 R$ 8.333,33 R$ 0,00
JUROS R$ 500,00 R$ 416,67 R$ 333,33 R$ 250,00 R$ 166,67 R$ 83,33 R$ 1.750,00
AMORTIZAÇÃO R$ 8.333,33 R$ 8.333,33 R$ 8.333,33 R$ 8.333,33 R$ 8.333,33 R$ 8.333,33 R$ 50.000,00
PRESTAÇÃO R$ 8.833,33 R$ 8.750,00 R$ 8.666,67 R$ 8.583,33 R$ 8.500,00 R$ 8.416,67 R$ 51.750,00
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Nesse sistema, o valor das parcelas diminui com o passar do tempo. Assim, sabemos que Maria iria pagar o valor nal de R$ 51.750,00, pagando menos que no Sistema de Amortização Francês. A gura 3 ilustra o diagrama de uxo de caixa do Sistema de Amortização Cons Cons-tante. É importante observar que as prestações diminuem com o passar do tempo. FIGURA 3: SAC
Fonte: Elaborado pelos autores (2021).
Como no sistema de amortização constante o valor das parcelas é decrescente, ele deve ser escolhido caso a empresa tenha um uxo de caixa maior no período 1 e vá diminuindo à medida que se aproxima do período n.
3.3 Sistema de Amortização Americano O Sistema de Amortização Americano (SAA) tem esse nome por ser bastante comum nos Estados Unidos. No Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula-se que a devolução do capital emprestado é efetuada ao nal do período contratado da operação de uma só vez. Assim, não se prevê, de acordo com esta característica básica do SAA, amortizações intermediárias durante o período de empréstimo. Os juros costumam ser pagos periodicamente (ASSAF NETO, 2012). A gura 4 representa o uxo de caixa sob conguração do SAA. Cada uma das prestações é exatamente igual aos juros, dessa forma o valor futuro é igual ao valor presente: FIGURA 4: SAA
Fonte: Elaborado pelos autores (2021).
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UNIDADE II Descontos, Capitalizações e
Novamente, retomamos o exemplo da loja da Maria para vericar como cariam as suas prestações no Sistema de Amortização Americano. TEMPO 0 1 2 3
SALDO DEVEDOR R$ 50.000,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00
JUROS R$ 500,00 R$ 500,00 R$ 500,00
AMORTIZAÇÃO R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
PRESTAÇÃO R$ 500,00 R$ 500,00 R$ 500,00
4 5 6 TOTAL
R$ 50.000,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00
R$ 500,00 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ 3.000,00
R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00
R$ 500,00 R$ 500,00 R$ 50.500,00 R$ 53.000,00
O primeiro passo é calcular a amortização, na qual sempre será R$ 0,00, exceto no último período, em que é igual ao valor original da dívida. O saldo devedor é sempre igual ao valor original da dívida, exceto no último mês, quando a dívida é quitada. Como o saldo devedor é constante, os juros também serão. A última coluna a ser preenchida deve ser a das prestações. Todos os meses são pagos apenas os juros, exceto no último, quando também é amortizada a dívida integralmente. Nesse sistema de amortização são pagos simplesmente os juros, de modo a manter o valor da dívida sempre inalterado. No nal da operação, entretanto, o valor deve ser pago integralmente. Esse sistema de amortização não parece ser muito interessante para Maria, pois ela pagará um valor superior do que os outros sistemas de amortização. No Sistema de Amortização Americano, o valor das parcelas é muito baixo, pois somente os juros são pagos. Contudo, a amortização deve ser paga integralmente, de uma só vez, ao nal da operação.
SAIBA MAIS Você sabia que existe diferença entre as taxas médias utilizadas por bancos comerciais e empresas de fomento (factoring) na negociação de recebíveis das empresas no cenário brasileiro? Saiba mais lendo o artigo: Antecipação de recebíveis nos bancos versus factorings: uma análise das diferenças entre as taxas cobradas e suas possíveis causas. Link: https://revista.crcsc.org.br/index.php https://revista.crcsc.org.br/index.php/CRCSC/article/view/2554 /CRCSC/article/view/2554
Fonte: Machado e Ribeiro (2018)
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) aluno(a), na Unidade 2, do livro da disciplina de Matemática Financeira, estudamos as operações que envolvem descontos. Vimos que o desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado em certos períodos antes de seu vencimento. As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros compostos. Analisamos os tipos de equivalências de capital no tempo, a equivalência de capitais são utilizados para a substituição de um título por outro título com vencimento diferente. Faz-se necessário determinar o valor de um título quando este necessita ser antecipado ou adiado, pode-se ainda, substituí-lo por outro título, cujo valor represente o equivalente ao valor original, considerando uma dada taxa. Assim, a equivalência de capitais serve para ajustes e renegociações necessárias, podendo ser realizada por pessoas físicas ou jurídicas. Por m, entendemos que as séries de capitalização, na qual são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e nanciamentos de longo prazo, envolvem pagamentos periódicos do principal e encargos nanceiros. Vimos sobre o Sistema de Amortização Francês (SAF) no qual os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas de amortização assumem valores crescentes, o Sistema de Amortização Constante (SAC) que tem como como característica a constância das amortizações do princip principal, al, assim as amortizações sempre serão iguais em todo o prazo da operação, e o Sistema de Amortização Americano (SAA) na qual estipula que a devolução do capital emprestado é efetuada ao nal do período contratado da operação de uma só vez.
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MA MATERIAL TERIAL COMPLEM COMPLEMENT ENTAR AR
LIVRO Título: Perícia Contábil; Autor: Martinho Maurício Gomes de Ornelas; Editora: Atlas; Sinopse: o autor sistematiza aspectos relevantes sobre a perícia contábil, abordando Prova Pericial, Perícia Contábil, Exercício Prossional da Função Pericial Contábil, A Perícia no Código do Processo Civil, Técnicas do Trabalho Pericial Judicial, Quesitos, Laudo Pericial Contábil, Remuneração do Trabalho Pericial e Perspectivas da Perícia Contábil.
FILME/VÍDEO Título: Trabalho Interno Ano: 2010 Sinopse: Em 2008, uma crise econômica de proporções globais fez com que milhões de pessoas perdessem suas casas e empregos. Ao todo, foram gastos mais de US$ 20 trilhões para combater a situação. Através de uma extensa pesquisa e entrevistas com pessoas ligadas ao mundo nanceiro, políticos e jornalistas, é des des-vendado o relacionamento corrosivo que envolveu representantes da política, da justiça e do mundo acadêmico.
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UNIDADE III Matemática Financeira e Economia Professor Me. Matheus Henrique Delmonaco Professora Ma. Carolina Freitas
Plano de Estudo: ● Analisar a relação relação da moeda na inação; ● Entender as notas promiss promissórias órias e método método hamburguês hamburguês;; ● Estudar os métodos de tomada de decisão;
Objetivos da Aprendizagem: ● Taxa e atrati atratividade; vidade; ● Vida econômica; ● Fluxo de caixa; ● Métodos para tom tomada ada de decisão;
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INTRODUÇÃO
Olá, Estudante! Nesta unidade vamos nos aprofundar ainda mais na matemática nanceira e nos âmbitos que o mesmo envolve a economia. No primeiro momento vamos compreender os conceitos que envolvem os índices de preços e taxa de inação, seguido da sua aplicabilidade. Fundamental para os aspectos da inação, vamos entender também o comportacomporta mento da moeda, consequentemente, também o comportamento da inação em exponencial. Assim,, vamo Assim vamoss ent entender ender como a moe moeda da te tende nde a se co comporta mportarr em u um m mome momento nto de inaç inação. ão. Além disso, vamos aprender sobre desconto de duplicatas, notas promissórias e como calcular o método hamburguês. Esses três tópicos você irá aprender e compreender como interpretá-lo através de exemplos que podem ser expostos no seu dia a dia. Outro aspecto importante para a matemática nanceira é o uxo de caixa, ou seja, os pagamentos que ocorrem por determinado período, vamos aprender que existem diferentes tipos de ocorrência de pagamento, como também, a importância da taxa de juros, valor futuro e valor presente para os pagamentos em um uxo de caixa. Já pegou seu lápis?! Dando continuidade aos cálculos que envolvem o uxo de caixa, por último (mas não menos importante), vamos compreender os métodos para a tomada de decisão, nele vamos compreender o coeciente de nanciamento para uxo de caixa. Espero que você aproveite a leitura e conhecimento dessa unidade assim como as demais da nossa disciplina de Matemática Financeira.
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Matemática Financeira e Economia
1.
TAXA E ATRATIVI ATRATIVIDADE DADE 1.1 Índices de preços e taxa de inação Podemos dizer que existe uma importância mundial em entender as mudanças de
preços de mercadorias que ocorrem por um período de tempo, assim, surgiu o índice de preços. Esse, é o resultado de estudos aprofundados na estatística para medir a variação do nível geral de preços em uma escala mundial, em que são vericadas em um conjunto de bens em uma determinada quantidade (ASSAF NETO, 2003). A economia Brasileira apresenta muitos índices de preços, cada um possui uma metodologia diferente, seja na origem da amostra, dos critérios estabelecidos ou da elaelaboração para chegar aos resultados. r esultados. V Vamos amos compreender o conceito de alguns índices de preços no Quadro abaixo: QUADRO 1 – ÍNDICES DE PREÇOS E CONCEITOS CON CEITOS
Índice Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA)
Conceito Mensura a mudança de preços da cesta de consumo de famílias habitantes em regiões urbanas de abrangência do SNIPC. Compreende a amostra em famílias de rendimento entre 01 a 40 salários mínimos, em indeterminadas fontes de rendimentos.
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Índice Nacional de Preços ao consumidor (INPC) Índice de Preços ao Consumidor – FIPE (IPC)
Mensura a variação dos preços através da cesta de consumo em habitantes de extensões urbanas de abrangência do SNIPC. A amostra das famílias inclui rendimentos de 01 a 5 salários mínimos. Mensura na cidade de São Paulo o nível de uma cesta de bens e serviços das famílias do município com rendimento entre 01 a 10 salários mínimos. Mensura o ritmo da evolução de preços conforme a inação nacional. Possui três versões: IGP-10, IGP de Mercado (IGP-M) e o de Disponibilidade Interna (IGP-DI), a diferença desses está no período de desenvolvimento das informações para o cálculo do índice.
Índice Geral de Preços (IGP)
Fonte: Elaborado pelos autores. Ipeadata (2021).
Vamos aprender a interpretar a inação através de um índice de preços? Abaixo podemos ver uma hipótese do ano X do mês de janeiro a junho, dos valores do IGP-DI.
QUADRO 2 – ÍNDICE DE PREÇOS ENTRE E NTRE JANEIRO E JUNHO J UNHO DO ANO X, EM VALORES DO IGP-DI
Janeiro/X Fevereiro/X Março/X Abril/X Maio/X Junho/X R$625,00 R$647,55 R$710,20 R$782,44 R$762,28 R$794,02 Fonte: Elaborado pelos autores (2021).
Para calcularmos a inação do período de janeiro a junho, temos que aplicá-la a seguinte expressão:
I=
P n -1 P n-t
Em que: I = Taxa de inação obtida através do índice de preços; P= Índice de Preços utilizado para o cálculo da inação; n e n-t = período determinado da inação e período base considerado;
Ao adicionarmos os valores dados no Quadro 2 na expressão acima, temos o seguinte resultado:
I ( jan;junho jan;junho)) = 794,02 -1 = 1,2704-1=27,04% 625,00
Podemos interpretar o resultado em que o preço neste período se desenvolveu 1,2704 vezes, mostrando um crescimento de 27,04%.
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Ao analisarmos a deação deação ou ina inação ção de um período determinado determinado da moeda estu estu-dada pode ser interpretado como uma comparação da evolução dos valores monetários e o desempenho do preço da cesta de produtos no índice escolhido (SAMANEZ, 2006). 1.2 A moeda na inação Quando estudamos a moeda em conjuntura de inação em dois ou mais períodos podemos encontrar o problema da diferença do nível do poder aquisitivo da moeda. Vamos a um exemplo? Flávio comprou um carro no valor de R$35.000,00 no ano de 2014, mas decidiu vender o mesmo no ano de 2018 por R$38.000,00. Neste período em que a inação foi de 15%. A princípio você pode pensar que Flávio pode obter um lucro de R$3.000,00 (R$38.000,00 – R$35.000,00), mas não, o valor obtido pela venda será apenas o valor nominal, dado a evolução de preços. Para que Flávio não tenha prejuízo na venda do seu carro, o mesmo deve vender por um preço 15% maior que seu valor de compra em 2014. Ou seja, o valor deve ser de R$35.000,00 * (1 + 0,15) = R$ 40.250,00. A partir do valor de R$40.250,00 que Flávio terá o devido lucro na venda do automóvel. Mas como podemos conhecer a evolução real dos preços diante de uma inainação? A evolução real dos preços se dá através das indexações (inacionamento) ou das desindexações (deacionamento) dos valores nominais. Em resumo, o inacionamento é a correção dos valores nominais em uma determinada data com a moeda escolhida representando o seu valor de poder de compra em um período posterior. Diferentemente, a desindexação transforma os valores nominais da moeda escolhida do mesmo poder de compra em um período anterior. Dessa forma, vamos aprender a calcular o ganho nominal da compra e venda do carro do Flávio.
Ganho Nominal = 38.000,00 -1 = 8,57% 35.000,00
Podemos dizer então que o carro vendido por Flávio, foi vendido por 1,857 vezes o seu valor de compra. Além disso, precisamos conhecer também o resultado real da opeoperação, em que são expressos os valores monetários da moeda no poder de compra de
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determinado período. Para indexar os valores da venda em um dado momento, temos a seguinte equação:
Preço de venda na data da venda -1 = Preço de compra corrigido para a data da venda Ao adicionarmos os valores valores da venda do carro de Flávio, Flávio, temos:
R$ 38.000,00 % R$ 35.000,00 x 35.000,00 x 1,15 1,15 -1= - 5,59 5,59%
Esse valor representa uma evolução real negativa de 5,59%, esse valor é obtido precisamente da condução dos juros compostos. Dessa forma, podemos armar que é equivocada a ideia de subtrair a taxa nominal encontrada de 8,57% ao percentual especíco da inação de 15%. Agora que aprendemos a indexar os valores, vamos aprender a desindexar os valores, através da seguinte equação:
Preço de venda deflacionado deflacion ado para a data da compra Preço de compra na data da compra
-1=
Seguindo o exemplo de Flávio, temos:
R$ 38.000,00 / 1,15 -1 = -5,59% R$ 35.000,00 O resultado do efeito da inação i nação será o mesmo, ou seja, um prejuízo real de 5,59%. 1.3 Taxa de inação e o seu comportamento comport amento exponencia exponenciall Segundo Assaf Neto (2003), a inação tem um comportamento que ocorre de manei manei--
ra exponencial, em que há um aumento de preço sobre o valor já incorporado nos acréscimos apurados em períodos anteriores. Armando então, que a formação da taxa de inação se aproxima de uma progressão geométrica, em que são vericados juros sobre juros. Vamos a um exemplo? Podemos observar a taxa de inação de quatro períodos mensais: 2,1%, 1,8%, 2,6% e 2,2% e também temos um ativo de R$5.000,00. Ao corrigirmos os valores pelas inações dadas na economia, teremos os seguintes valores:
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1º mês: R$5.000,00 x 1,021 = R$5.105,00 2º mês: R$5.105,00 x 1,018 = R$5.196,89 3º mês: R$5.196,89 x 1,026 = R$5.332,00 4º mês: R$5.332,00 x 1,022 = R$5.449,31 Podemos dizer que o incremento do valor do ativo no quadrimestre foi de 8,98% (R$5.449,31/ R$5.000,00 – 1), isto corresponde a capitalização composta das taxas menmen sais expostas. Inação do quadrimestre: [(1,021)*(1,018)*(1,026)*(1,022)] – 1 = 8,98% Assim, podemos encontrar encontrar a taxa equivalente mens mensal al de inação do período, em:
Observamos que, a inação possui os mesmos conceitos e expressão de cálculos como os apresentados na Unidade 1, em Regimes de capitalização: compostas.
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2.
VIDA ECONÔMICA 2.1 Descontos de duplicatas Como aprendemos na nossa Unidade 2, as operações de descontos racionais
e descontos bancários são importantes para o conhecimento da matemática nanceira. Quando um banco comercial realiza uma operação de desconto, os encargos nanceiros normalmente são cobrados o valor do resgate (valor nominal do título) e descontos no momento da liberação dos recursos (pagos à vista), entre esses estão: ● Taxa de desconto – nominal ● Retrata a relação relação entre os juros e o valor do título (nominal). Essa taxa é de de-nida, usualmente, em bases mensais e utilizada de forma linear nas operações de desconto. ● Imposto sobre Operações Financeiras (IOF) ● Um imposto Federal, cobrado no ato da liberação dos recursos e calculado de forma linear sobre o valor nominal do título. ● Taxa Administrativa ● Muitas vezes são cobradas com o intuito de cobrir despesas de abertura, concessão e controle de crédito por parte de instituições nanceiras. O seu cálculo acontece, normalmente, de uma única vez sobre o valor do título e é descontada na liberação dos recursos.
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Segundo Assaf Neto (2003, p. 77), “os encargos nanceiros do desconto bancário são referenciados, para o cálculo de seus valores monetários, pelo critério de juros simples. Evidentemente, para uma apuração rigorosa da taxa de juros efetiva destas operações é adotado o regime composto” Conforme aprendemos na Unidade 2 a calcular a taxa implícita (por “dentro”) de juros no desconto bancário, ao adaptar adaptar a expressão com a inclusão do IOF temos a expressão do cálculo do custo efetivo para o período da operação.
i = d + IOF 1 - d + IOF Em que d e IOF são as taxas que retratam o período do desconto. Isto posto, vamos a um exemplo? A taxa de desconto desconto bancário nominal atingiu 4 4,1% ,1% ao mês, 0,0072% ao dia o IOF e um prazo de desconto de 90 dias. Calcule o custo efetivo para todo o período da operação:
i =
(0,041 x 3)+(0,00072 x 90) 1 - [(0,041 x 3)+(0,00072 x 90)]
= 23,12% a.b
Para transformarmos o valor encontrado em uma taxa efetiva mensal:
2.2 Notas Promissórias A importância das notas promissórias está em uma empresa que precisa captar recursos no mercado com o intuito de nanciar suas necessidades de capital de giro, por isso são emitidos títulos de curto prazo para acorrer às empresas. Além disso, é uma das formas convencionais de empréstimos bancários, possuem usualmente uma redução nas taxas de juros através do término t érmino da intermediação nanceira bancária. Normalmente, os custos de emissão desses títulos são formados por juros pagos aos aplicadores, comissões e outras despesas, por exemplo: publicações taxas de registro da Comissão de Valores Mobiliários (CVM). Assaf Neto (2003) ressalta que as notas promissórias são negociadas com desconto, sendo o valor nominal pago por conjunta do resgate. Esses títulos podem ser obtidos no mercado ou através de meio de fundos de investimentos. Agora que conhecemos o que são as notas promissórias, vamos compreendê-lo através de um exemplo?
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A empresa de Ágata emitiu R$2,5 milhões em notas promissórias por 240 dias (8 meses). A remuneração dada aos aplicadores é uma taxa de desconto de 1,35% ao mês (em 8 meses será de 10,4%). A empresa possui também outras despesas equivalentes a 0,45% do valor da emissão. Qual será o valor líquido recebido pela empresa de Ágata? E o custo efetivo mensal da operação? Separando as informações, temos: Valor nominal: R$2.500.000 Desconto: R$2,500.000 * 10,4% = (R$26.000,00) Outras despesas: R$2,500.000 * 0,45% = (R$1 (R$11.250,00) 1.250,00) Logo, o valor líquido recebido será o valor nominal deduzido o desconto e outras despesas, apresentando o valor de R$2.462.750 Para calcularmos o custo efeito, adicionamos os valores na seguinte fórmula abaixo:
Substituindo valores temos:
2.3 Método Hamburguês Para calcularmos os juros através do método hamburguês precisamos de informainforma ções importantes como a taxa de juros proporcional (por dia), saldo devedor e o número total de dias que o saldo permanece inalterado. Vamos observar através da expressão abaixo:
Em que i representa representa as taxas de juros proporcionais diárias; SD o saldo devedor e D o número de dias em que o saldo permanece o mesmo. Vamos exemplicar para um determinado montante de juros conforme as informações da Tabela Tabela abaixo:
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TABELA 1 - CÁLCULO PARA REALIZAÇÃO DO MÉTODO HAMBURGUÊS HAMBU RGUÊS
Data 04-01 04-01 31-01 31-01
Saldo Devedor (SD) (R$1.500,00) R$1.500,00 (R$ (R $ 20 20.0 .000 00,0 ,00) 0) R$21 R$21.5 .500 00,0 ,00 0 (R$ 3 32 20,00) R$ 2 21 1.850,00 Total Mês 1
Histórico Débito/Crédito TAC Saque Juros
01-02 Saque (R$ 6 62 24,00) 08-02 Depósito R$ 600,00 22-02 Saque (R$ 2 21 10,00) 28-08 To Total Mês 2 Total Bimestre
R$ 2 22 2.474,00 R$ 21.874,00 R$ 2 21 1.664,00
Número de dias 27 27
Número de dias X SD R$ 580.500,00 R$ 580.500,00
7 14 6 21
R$ 157.318,00 R$ 306.236,00 R$ 129.984,00 R$ 593.538,00 R$ 1.174.038,00
Fonte: Elaborado pelos autores (2021).
Vamos calcular com base na Tabela acima? No primeiro mês, onde os juros nominais são de 1,46% e o saldo devedor é de R$580.500. Assim, Assim, calculamos os juros da seguinte maneira:
Juros = 0,0146 *580.500,00 = R$ 282,51 30 No segundo mês (fevereiro), obtemos o seguinte valor:
Juros = 0,0146 *593.538,00 = R$ 288,86 30 Já o valor dos dois meses acumulados:
Juros = 0,0146 *580.500,00 = R$ 282,51 282,51 30 Podemos concluir então que, o valor dos juros do bimestre foi de R$ 571,37.
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3.
FLUXO DE CAIXA Conforme Assaf Neto (2003), o uxo de caixa tem como função uma série de papa-
gamentos ou de recebimentos pelo decorrer de um determinado período. Você, estudante, já deve ter se deparado com operações nanceiras que apresentam um uxo de caixa, como por exemplo nanciamentos ou empréstimos dos mais diferentes tempos, mas que possuem uma continuação de desembolsos. Além Além disso, os uxos de caixa podem ser da da-dos de diferentes formas, seja por seus períodos de ocorrência (postecipados, antecipados ou diferidos), periodicidade, duração ou valores (constante e variável), como é possível observar no Quadro abaixo: QUADRO 2 – CLASSIFICAÇÃO DOS FLUXOS DE CAIXA
Período de Ocorrência Periodicidade Duração Valores
Postecipados Antecipados Diferidos Periódicos Não Periódicos Limitados Indeterminados Indenidos Constantes Variáveis
Fonte: Elaborado pelos autores. Assaf-Neto (2013)
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UNIDADE III
Matemática Financeira e Economia
Isto posto, os uxos de caixa possuem termos simbolizados pelo PMT (pagamen(pagamen tos) e as demais simbologias como PV (valor presente), FV (valor futuro), n (período) e i (taxa de juros). Vamos compreender o valor presente e o valor futuro? f uturo? FIGURA 1 – FLUXO DE D E CAIXA: VALORES PRESENTES, VALORES FUTUROS E PAGAMENTOS
Fonte: Veras (2012).
Também podemos compreender a gura acima através das seguintes fórmulas:
PV = PV 1+PV 2+...+PV n FV = FV 1+FV 2+...+FV n Acionando o PV e PMT em uma representação gráca gráca do uxo de caixa tem temos: os: FIGURA 2 – REPRESENTAÇÃO DO PV EM FLUXO DE CAIXA
Fonte: Veras (2012).
Assim, podemos calcular calcular o PV pela expressão:
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Matemática Financeira e Economia
Vamos a um exemplo? Evandro comprou uma geladeira em 5 pagamentos iguais e consecutivos de R$ 500,00. Em uma taxa de juros de 1,2% a.m. Calcule o preço do valor presente. ● Primeiro passo: vamos separar os valores expostos na questão PMT= R$ 500,00 i = 1,2% n=5 PV= ? ● Segundo passo: adicione os valores a fórmula e realize o cálculo.
Ou seja, concluímos que o valor presente da geladeira de Evandro será R$ 2.412,46. Agora, vamos aprender aprender a calcular o FV! Acionando o FV e PM PMT T em uma represe represenntação gráca do uxo de caixa temos: FIGURA 3 – REPRESENTAÇÃO DO FV EM FLUXO DE CAIXA
Fonte: Veras (2012).
Ao adicionarmos na expressão, expressão, podemos descrever descrever FV e PMT como como::
Vamos praticar? Maria Helena deseja saber o valor poupado durante 13 meses caso realize uma sequência de 13 depósitos no valor de R$620,00 cada. Sendo que a caderneta de poupança possui uma remuneração a taxa de juros de 0,80% a.m. Qual será o valor futuro poupado por Maria Helena?
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Matemática Financeira e Economia
● Primeiro passo: vamos separar os valores expostos na questão PMT= R$ 620,00 i = 0,80% n = 13 FV= ? ● Segundo passo: adicione os valores a fórmula e realize o cálculo.
FV = 620,00 * (1+0,0080)13 -1 = R$ 8.458,46 0,0080
Podemos concluir que Maria Helena terá poupado em 13 meses o valor de R$ 8.458,46.
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Matemática Financeira e Economia
4.
MÉTODOS PARA TOMADA DE DECISÃO 4.1 Coefciente de fnanciamento para uxo de caixa Como compreendemos anteriormente o uxo de caixa, neste tópico vamos desen desen--
volver a nossa linha de raciocínio para o coeciente que é desenvolvido através do modelo padrão dos uxos de caixa. Para entender melhor, vamos exemplicar: Suponha que uma instituição nanceira publique que seu coeciente para nanciamento a ser liquidado em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas atinge atualmente 0,224154. Camila resolveu realizar um nanciamento no valor de R$12.650,00 em um pagamento de 5 prestações mensais. Isto posto, nos leva ao questionamento, qual será o valor da parcela de Camila? Para chegarmos ao valor da parcela de Camila, temos a seguinte fórmula:
PMT = PV * Coeficient Coeficientee de financiamento Ao adicionarmos os valores valores temos:
PMT = 12.650,00 * 0,224154 = R$ 2.835,55 Isto indica que o valor da prestação para cada unidade da moeda de valor gera 5 prestações de R$ 0,224154. Isto posto, o nanciamento de Camila de R$12.650,00 dene
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as prestações de R$ 2.835,55 mensais, sucessivas e iguais. Mas, como podemos fazer para calcular o coeciente de nanciamento? Podemos obter o valor do coeciente através da seguinte expressão:
Vamos exemplicar? Temos uma dívida a ser paga em 5 prestações mensais, susucessivas e iguais e uma taxa de juros de 2,7%. Qual 2,7%. Qual será o coeciente de nanciamento? Ao adicionarmos os valores valores na fórmula, temos:
Assim, podemos concluir que cada unidade de capital nanciada possui um pagapagamento de 5 prestações mensais de R$ 0,216488. Ao tomar um valor de nanciamento de R$1.500,00, tem-se um valor mensal de 5 prestações de R$324,73 cada. Conforme Assaf Neto (2003), outras despesas fora a taxa de juros podem ser inseridas na operação, como por exemplo o IOF, taxa de abertura de crédito e encargos do valor residual de um contrato de arrendamento mercantil.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro estudante, nesta unidade tivemos a oportunidade de compreender os índices existentes para a correção de preços e taxa de inação, além disso pudemos compreender o que é indexação e desindexação no contexto econômico. Outro fator primordial para a nossa unidade foi a compreensão da moeda e seu papel para a inação e o comportamento da inação em exponencial. Sobre os descontos de duplicatas e notas promissórias pudemos aprender como realizar seus cálculos, e também o método hamburguês. Como condição, pudemos realizar o passo a passo de cálculos por fórmulas e tabelas, revelando a importância da vida econômica. Apresentaram-se também os uxos de caixa, ou seja, como são realizados os pagamentos diante de um valor futuro ou de um valor presente, com taxas de juros e um período determinado de pagamento. No uxo de caixa também aprendemos que existem diferentes características para a ocorrência do mesmo. E, por último, aprendemos através do uxo de caixa também métodos para tomadas de decisão. Espero que tenha aproveitado essa unidade III com muito aprendizado.
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Matemática Financeira e Economia
LEITURA COMPLEMENTAR Matemática Financeira – André Wakamatsu Wakamatsu
Descrição: Matemática nanceira”, não é diferente. isso Nele, tópicos como juros compostos, avaliação de investimentos e sistemas de amortização – que, dependendo da abordagem, podem parecer complicados – são apresentados de um ponto de vista inusitado que, ao mostrar como as coisas funcionam na prática, possibilita ao leitor um processo intensivo (e real) de aprendizagem.
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MA MATERIAL TERIAL COMPLEM COMPLEMENT ENTAR AR
LIVRO Título: Matemática Financeira e suas aplicações Autor: Alexandre Assaf Neto. Editora: Editora Atlas. Sinopse: Este livro foi escrito com o intuito de cobrir não somente os fundamentos teóricos da Matemática Financeira, como também de desenvolver suas principais aplicações práticas. As extensas aplicações da matéria são processadas de forma a adaptar o coconhecimento teórico a uma situação prática, não havendo preocupações maiores com relação aos detalhes normativos da operação, bastante mutáveis em nossa economia. Cada capítulo é ilustrado com farta quantidade de exercícios resolvidos, ilustrações e exemplos, integrante da aprendizagem. Aosolução, nal de cada considerados capítulo, são parte propostos diversos exercícios para sendo bastante recomendável que os estudantes tentem resolvê-los. Toda relação de exercícios propostos vem acompanhada de suas respectivas respostas para melhor orientar o estudo.
FILME/VÍDEO Título: PI Ano: 1998. Sinopse: Em Manhattan vive Max, um jovem gênio que evita contato com outras pessoas e sofre de terríveis dores de cabeça. Quando ele descobre o número completo de pi, compreende todos os segredos da existência de vida na T Terra erra e, com isso, desperta o interesse de representantes da bolsa de mercado.
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UNIDADE IV Práticas Pr áticas e Matemática Financeira Professor Me. Matheus Henrique Delmonaco. Professor Ma. Carolina Freitas
Plano de Estudo: ● Apresentar formas de aplicação da matemática nanceira; ● Discorrer sobre sobre os dados do IBGE para o mercado de traba trabalho; lho; ● Abordar os avanços da educação nanceira no B Brasil; rasil;
Objetivos da Aprendizagem: ● Aplicabilidade da matemática matemática na nanceira; nceira; ● Organização nanceira e endividamento; endividamento; ● Dados IBGE em relação ao trabalho; ● Educação nanceira: dados e avanços;
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INTRODUÇÃO
Olá, aluno(a)! Animado a nossa última unidade da disciplina de matemática nanceira? Esta unidade irá abordar diversos aspectos econômicos práticos, desde a visão da empresa como também a do empregado, além disso, vamos analisar a importância do conhecimento nanceiro para o nosso dia a dia e como essa pode ser aplicada desde a uma grande parte da população. Na primeira parte, vamos estudar as estratégias existentes, seja elas pela ótica da venda ou da compra. E a importância das diferenças de cálculo quando uma compra e venda ocorrem a vista ou as duas ocorrem a prazo. Assim, vamos compreender melhor como é dado o valor do presente líquido e qual das opções de compra e venda são preferíveis. Logo em seguida, vamos estudar as organizações nanceiras e endividamento, para isso, vamos analisar brevemente as analises de investimentos através dos métodos TIR e VPL, que são fundamentais para a ocorrência de um empréstimo, nanciamento e outros. Questionamentos como “Quando será viável uma empresa investir?” são normais e devem ser explicados através dos seguintes métodos. Dando continuidade aos nossos estudos, vamos abordar os dados do IBGE em relação ao mercado de trabalho, como são coletados esses dados? Quais pesquisas foram e são realizadas para compreender o mercado de trabalho? Qual a importância diante da sociedade? Esses fatores são fundamentais para que os agentes econômicos possam obter uma estabilidade nanceira e econômica. Por último, vamos compreender a importância da educação nanceira diante dos aspectos econômicos e como essa chega para a sociedade compreender conceitos econômicos e nanceiros como taxa de juros, amortização, poupança e outros, seja esse para o público adulto como também para o público jovem.
Bons estudos!
UNIDADE IV Práticas e Matemática Financeira
1.
APLICABILIDADE APLICABI LIDADE DA MATEMÁTICA FINANCEI FINANCEIRA RA Neste tópico vamos aprender como o uso da matemática no meio nanceiro pode
ser aplicado em estratégias comerciais de compra e venda e também a analisar planos nanceiros. Uma empresa em um meio econômico de funcionamento precisa ter conheciconheci mento de alguns aspectos, por exemplo a taxa efetiva de juros (inserida nas operações a prazo) e o confronto com o desconto dado em operações à vista. Segundo Assaf Assaf Neto (2003), as operações comerciais possuem os seguintes objetivos: ● Determina a efetiva redução de preços de bens e serviços, devido às condições de pagamento concedidas para estipulada taxa de inação; ● Estabelece o percentual de desconto nas operações a vista (correspondente a concessão do prazo respectivo); ● Estipula o nível da inação, inação, em que levam os planos de vvenda enda bem vistos economicamente; Isto posto, vamos estudar algumas dessas estratégias comerciais?
1.1 Estratégias de vendas É importante analisar mais de uma alternativa de venda exposta em moeda conscons tante (poder de compra de uma data xa corrente). Para analisarmos os custos da venda a prazo, vamos lembrar como estudado na Unidade 3, a importância da unidade monetária
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UNIDADE IV Práticas e Matemática Financeira
diante da inação leva a importância do estudo de como a moeda é apresentada por difediferentes valores no tempo. Sigamos com um exemplo, a empresa GABRIEL vendeu em um dia R$60.000,00 em recebimento de 50 dias, como já aprendemos, a moeda varia conforme o tempo devido a inação e também pela taxa de juros no nanciamento dessa compra. Ou seja, receber o valor da venda hoje e daqui 50 dias terá impacto diferente economicamente. Em uma inação de 3,75% no período, o PV do valor da venda atingira 96,38% do seu valor daqui 50 dias. Por olharmos pelo lado de que pode ser indiferente receber na data corrente o valor de R$ 57.831,32 ou R$60.000,00 daqui 50 dias, é considerável conceder um desconto no pagamento à vista de 3,61%.
Além disso, podemos adicionar adicionar também os juros reais do do nanciamento, que mos mos-tram as perdas de uma venda realizada a prazo. Se adicionarmos ao nosso exemplo uma taxa de desconto bancário de 2% para todo o período, o custo da venda a prazo será de:
R$ 60.000,00 x 2% = R$1.200,00 Podemos compreender então que o valor recebido de R$ 60.000,00 nos 50 dias será equivalente ao valor de R$ 58.800,00. Podemos perceber a importância assim da avaliação dos resultados que uma venda a prazo pode gerar aplicado ao valor presente.
1.2 Estratégia de Compras Vamos olhar a visão das estratégias de compras? Neste caso vamos estudar dois tipos de estruturas: compra e venda à vista, e compra e venda à vista. As estratégias de compras possuem importância pois, juntamente com a inação, i nação, é importante preocupar-se com as expectativas que acontecem na obtenção de ganhos especulativos nos estoques. Ao nosso exemplo de compra e venda a vista, Maria vendeu um patinete por R$ 1.940,00, porém o custo da compra tem o valor de R$1,100,00 e a compra e venda do patinete ocorrem a vista. Porém, os impostos da venda totalizam em 15% sob o valor calculado da negocianegociação e serão pagos após 30 dias da venda. Podemos armar que o valor da mercadoria será
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UNIDADE IV Práticas e Matemática Financeira
considerado a partir do momento que transformado em dinheiro, ou seja, os impostos são desembolsados logo após o mês de venda. Caso a compra tenha ocorrido no período 0 e a venda no mês 4, ou seja, uma venda do patinete para recebimento em 120 dias, em um curso de 4% ao mês, podemos dizer que temos:
Porém, vamos lembrar de que a mercadoria possui impostos na venda de 15%, pagos logo após os 30 dias da venda, assim podemos atualizar o valor:
Logo, podemos compreender o valor presente como: Receita de Venda Custo de Compra Impostos Valor Presente
R$ 1.658,32 - R$ 1.100,00 - R$ 248,75 R$ 309,57
Observamos acima, o valor presente de Maria será de R$ 309,57. Agora vamos obse observar rvar uma estratégia estratégia de compra compra e vend venda a a prazo prazo? ? Segui Seguindo ndo o exem exem-plo de Maria, a mesma está analisando a venda de um lote de patinetes por R$ 25.000,00, com uma expectativa que esse lote demora certa de 1 mês para a venda, sendo que o prazo de recebimento de vendas a crédito é de 90 dias. Henrique, o fornecedor fornecedor,, xou o valor de R$ 11.500,00 para o pagamento com prazo de 60 dias, podendo oferecer um desconto de 15% caso ocorra a vista. Além disso, Maria possui um custo nanceiro mensal de 2%. Primeiro vamos calcular o valor presente caso o pagamento do pagamento do fornecedor ocorra à vista. Vamos calcular o valor do pagamento da compra com o desconto de 15%
R$ 11.500,00 - 15% = R$ 11.482,75 Adicionando o valor ao cálculo cálculo do valor presente, temos: temos:
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UNIDADE IV Práticas e Matemática Financeira
PV = R$ 25.000,00 - R$ 11.482,75 x (1,02)1+3 11.482,75 x PV = R$ 25.000,00 - R$ 11.482,75 x (1,02) 4 PV = R$ 25.000,00 - R$ 12.429,30 PV = R$ 12.570,70 Além disso, precisamos calcular o valor presente caso a compra dos patinetes ocorra e o pagamento seja realizado em 60 dias.
PV = 25.000,00 - 11.500,00 x (1,02)1+3-2 PV = 25.000,00 - 11.500,00 x (1,02)2 PV = 25.000,00 - 11.964,60 PV = 13.035,40 Agora que realizamos os cálculos das estratégias de compra, podemos observar qual será a melhor escolha para Maria adquirir os patinetes, essa é a compra e venda a prazo, pois é esta que oferece o melhor resultado do valor presente.
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UNIDADE IV Práticas e Matemática Financeira
2.
ORGANIZAÇÃO FINANCEIRA E ENDIVIDAMENTO Neste tópico vamos compreender sobre a análise de investimentos, para isso temos
que lembrar que toda operação nanceira é representada por uxos de caixa, dados o valor de pagamentos, taxa de juros, valores presentes e entradas e saídas de caixa (ASSAF NETO, 2003). Para compreender uma organização nanceira e endividamento, vamos compreender ideias como taxa interna de retorno e valor presente líquido, temos em justi justi-cativa o estudo desses para análise das operações nanceiras e projetos de investimentos.
2.1 Taxa Interna de Retorno (TIR) A taxa interna de retorno normalmente ocorre ocorre no início da operação, em qu que e é pre pre-disposto uma data base para comparar os uxos de caixa. Assim, é possível compreender que a TIR é similar a uma taxa de juros que se aproxima por um período do valor presente dos recebimentos com o valor dos pagamentos. Compreendemos que o uxo de caixa é dado por uma data base inicial, esse pode ser o valor do investimento, nanciamento ou empréstimo, e também como estudamos na nossa Unidade 3, o uxo de caixa está inteiramente i nteiramente ligado ao valor das prestações, em que a TIR é descrita pela seguinte expressão: expressão:
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UNIDADE IV Práticas e Matemática Financeira
Podemos compreender compreender que: é o valor do uxo de caixa do m momento omento inicial, seja vinculado do empréstimo, investimento ou nanciamento; representa os uxo uxoss previstos de entrada ou de saídas de caixa, em um período período de tempo; e é a taxa de desconto ou tax taxa a interna de retorno, que reconhece determinado período a entrada com a saída prevista de caixa. Você agora pode fazer o questionamento “para que a TIR serve”? Ele conceitua o valor do dinheiro conforme o tempo t empo e expressa essa em rentabilidade para a empresa, seja em uma aplicação, custos, empréstimos ou nanciamento. Para compreendermos melhor, melhor, vamos a um exemplo!
Maria realizou um empréstimo em sua empresa de patinetes no valor de R$ 20.000,00, que será liquidado em 6 pagamentos mensais e sucessivos de R$3.621,00 cada. Você pode optar por resolver manualmente através da fórmula como abaixo:
Ou chegar ao resultado da TIR por Excel, como a Figura abaixo: FIGURA 1 – EXEMPLO DE EMPRÉSTIMO E FLUXO DE CAIXA (TIR)
Fonte: Elaborado pelos autores (2021).
Para calcularmos a TIR na planilha de Excel, é importante ressaltar que: o investiinvesti mento deve estar sempre negativado, anal de contas é um empréstimo e você vai pagá-lo.
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UNIDADE IV Práticas e Matemática Financeira
Também, vale ressaltar que a organização na hora de separar dados é fundamental para uma melhor compreensão da questão. Pelos dois métodos, podemos chegar então ao valor da TIR de 2,42%
2.2 Va Valor lor Presente Líquido (VPL) Para dar continuidade a compreensão da organização nanceira, vamos estudar nesse tópico o VPL, esse é composto pela diferença do valor presente antecipado em caixa e o valor presente do uxo de caixa inicial que podem estar atrelados ao investimento, empréstimo ou nanciamento. O VPL pode ser compreendido através da da seguinte expressão:
Sendo o FC 0 é o valor do uxo de caixa do momento inicial e FC j os uxos previstos de entrada ou de saídas de caixa, em um período de tempo t empo estabelecido; Ao fazermos uma análise comparativa entre o VPL e o método ensinado anterior mente (TIR), o VPL tem por denição a antecipação da taxa de desconto a ser aplicada na atualização dos uxos de caixa. Uma das características que diferem a TIR do VPL é de que o valor presente líquido não mostra a taxa de rentabilidade da operação nanceira. Segundo Assaf-Neto Assaf-Neto (2003), o VPL tem como intenção mostrar o resultado econômico nanceiro expresso em unidades monetárias, pois no método é descontado todos os uxos de entradas e saídas de caixa por uma taxa de desconto mínima aceitável. Vamos compreender melhor através de uma atividade? Maria, possui uma empresa de venda de patinetes, cujo pretende investir R$ 20.000,00, na qual espera obter benefícios anuais de caixa de R$ 9.000,00 no primeiro ano, R$ 8.400,00 no segundo ano e R$ 10.200,00 no terceiro ano. A empresa de Maria possui 6% ao ano de taxa de desconto aplicada nos uxos de caixa de investimento. Qual será o VPL? Primeiro passo, valor adicionar os valores na fórmula:
VPL= R$ 4.530,65 É possível observar através deste exemplo que mesmo com o valor de 6% de desconto ao ano, o valor presente líquido possui expressivo valor exibindo então uma rentabilidade anual superior a 6% ao optar pelo investimento. Podemos concluir então que o investimento é atraente e mostra viabilidade econômica.
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UNIDADE IV Práticas e Matemática Financeira
3.
DADOS IBGE EM RELAÇÃO AO TRABALHO Agora que pudemos compreender um pouco sobre a viabilidade nanceira das
empresas, podemos olhar também para o lado do trabalhador assalariado. Dessa forma, esse tópico irá abordar como o IBGE coleta dados em relação ao trabalhador e como esses podem ser extraídos para abordagens cientícas. Ao entrarmos no site do IBGE: https://www.ibge.gov.br/ podemos https://www.ibge.gov.br/ podemos nos deparar com diversas escolhas, entre elas está “Estatísticas” e “Trabalho”. Conforme o IBGE (2021) o trabalho remunerado. Compreende as informações sobre força de trabalho e mercado de trabalho, abrangendo informações sobre população na força de trabalho, ocupação, desocupação, posição na ocupação, horas trabalhadas; características do empreendimento ou negócio (atividade econômica, tamanho do empreendimento, existência de estabelecimento para funcionar); saúde e segurança no trabalho (acidentes e enfermidades ocupacionais); trabalho decente; e grupos vulneráveis, entre outros aspectos. (IBGE, 2021).
Além disso, é possível encontrar o conceito de outras formas de trabalho emprega emprega-das aos métodos de estudo do IBGE: Compreende as informações sobre as outras formas de trabalho (trabalho para o próprio consumo, trabalho voluntário, afazeres domésticos e cuidados de pessoas moradoras do próprio domicílio ou familiares residentes em outros domicílios). (IBGE, 2021).
É possível encontrar os dados do IBGE em diversas coletas como por exemplo a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD), a PNAD por exemplo possui uma exploração de dados estatísticos anual até o ano de 2015, cujo foi substituída pela PNAD
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UNIDADE IV Práticas e Matemática Financeira
contínua. Nesse momento, pode-se entender que a PNAD foi melhorada, mas devido a mudança de periodicidade da coleta de dados cou impossibilitada a continuação de muimuitos estudos cientícos. Por exemplo, a PNAD anual obteve perguntas possíveis de extrair informações referente a migração e impacto salarial ou escolar que esse uxo migratório causa em uma economia, mas desde o seu m em 2015 não é possível obter esses dados através da PNAD contínua. Isto posto, outros métodos de coleta de dados por parte do IBGE para compreender a relação do trabalhador, como a Pesquisa Mensal de Emprego (PME), ( PME), essa, foi encerrada no ano de 2016 e substituída pela então PNAD Contínua. Agora, podemos levar o questionamento, questionamento, o que a PNAD contínua divulgada? divulgada? Qual a sua periodicidade? No site do IBGE também é possível coletar suas informações em “Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua - PNAD Contínua”. A PNAD contínua dispõe de duas formas de informação: mensal e trimestral e tem por denição: Visa acompanhar as utuações trimestrais e a evolução, no curto, médio e longo prazos, da força de trabalho, e outras informações necessárias para o estudo do desenvolvimento socioeconômico do País. Para atender a tais objetivos, a pesquisa foi eplanejada para produzir trimestrais sobre a força de trabalho indicadores anuais sobreindicadores temas suplementares permanentes (como trabalho e outras formas de trabalho, cuidados de pessoas e afazeres domésticos, tecnologia da informação e da comunicação etc.), investigados em um trimestre especíco ou aplicados em uma parte da amostra a cada trimestre e acumulados para gerar resultados anuais, sendo produzidos, também, com periodicidade variável, indicadores sobre outros temas suplementares. Tem Tem como unidade de investigação o domicílio. (IBGE, 2021).
Podemos obter a coleta de informações importantes ao trabalhador brasileiro através do relatório trimestral da PNAD continua, como por exemplo: idade, nível de instrução, sexo e sua taxa de ocupação. Assim, obtemos dados estatísticos importantes para a economia brasileira como: No 4º trimestre de 2020, 56,8% da população em e m idade de trabalhar estava na força de trabalho (taxa de participação). Deste contingente, 86,1% se encontravam ocupados e 13,9% desocupados. Esta última estimativa, denominada taxa de desocupação, mostrou patamares diferenciados entre as regiões. A taxa de desocupação será mais detalhada em um capítulo especíco desse relatório intitulado “taxa de desocupação”. (IBGE, 2020).
Ao se questionar questionar qual a importância de dados dados estatísticos obtidos pelo IBGE e sua relação do trabalho para a matemática nanceira, temos que lembrar que até o momento estudamos diversas formas de calcular taxas de juros, operações de desconto, amortização, taxa de atratividade, uxo de caixa e outros. Mas, todos esses métodos apreendidos até o momento envolvem agentes econômicos que precisam de unidades monetárias e conhecimento para que ocorra um desenvolvimento maior, por isso temos uma nita relevância dos estudos que envolvem o meio econômico nanceiro para um bem-estar da sociedade.
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UNIDADE IV Práticas e Matemática Financeira
4.
EDUCAÇÃO FINANCEI FINANCEIRA: RA: DADOS E AVANÇOS Agora você pode se questionar questionar,, como podemos fazer com que a sociedade com-
preenda melhor a relação de juros, amortização, nanciamento, empréstimos e dívidas em geral? De maneira simples, a resposta é a educação nanceira! É fundamental lembrarmos que uma vida nanceira saudável pode gerar bons frutos não somente ao próprio indivíduo quanto a sociedade em geral, levando ao desenvolvimento econômico social no país. Pensando nisso, o Governo Federal criou a Estratégia Nacional de Educação Financeira (ENEF): é uma mobilização em torno da promoção de ações de educação nanceira, securitária, previdenciária e scal no Brasil. O objetivo da ENEF, criada através do Decreto Federal 7.397/2010, e renovada pelo Decreto Federal nº 10.393, de 9 de junho de 2020, é contribuir para o fortalecimento da cidadania ao fornecer e apoiar ações que ajudem a população a tomar decisões nanceiras mais autônomas e conscientes. A nova ENEF reúne representantes de 8 órgãos e entidades governamentais, que juntos integram o Fórum Brasileiro de Educação Financeira – FBEF. (Estratégia Nacional de Educação Financeira, 2021).
Ao aces acessarmo sarmoss ao site vidaedinhe vidaedinheiro.go iro.govv.br é poss possível ível obse observarmo rvarmoss uma série de recursos para que a educação nanceira chegue às crianças e também aos adultos. Nas escolas (ensino fundamental e médio), os livros são informativos e possuem conteúdos imim portantes como por exemplo: consumo, poupança, orçamento, planejamento, espaço público e privado, tributos, juros compostos. Além disso, esses conteúdos podem ser exibidos por reportagens, entrevistas, crônicas, colunas, conto, fórum, experimente e busca avançada.
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UNIDADE IV Práticas e Matemática Financeira
Além disso, para a p população opulação adulta, adulta, esse leva a info informação rmação e formação nan nanceira ceira para que assim a população tenha compreensão das características de serviços nanceiros para uma tomada de decisão consciente. Além do material didático disponível disponível para estudantes e o público público adulto, é possível encontrar no plano a disponibilidade de vídeos explicativos e informativos, artigos cientícos e também o jogo disponível para smartphones “tá osso” (você pode baixá-lo através da Play Store – Android - ou da sua Apple Store – Apple).
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UNIDADE IV Práticas e Matemática Financeira
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a), aluno(a), chegamos ao m do nosso ciclo de estudo da disciplina de mama temática nanceira. Em conjunto das demais unidades, a unidade IV buscou mostrar como muitas vezes o ensino matemático através da aplicabilidade, de como uma organização se organiza e a importância do conhecimento para uma sociedade econômica seja ela na relação de trabalho ou a aplicabilidade desde o ensino fundamental ao ensino de adultos. No primeiro tópico, buscamos compreender as estratégias existentes, sejam essas de venda ou de compra, e como essas ocorrem quando uma compra ocorre a vista e venda a vista e compra a prazo com venda a prazo. Como esses agentes são tratados para um valor presente líquido e qual desses será preferível. Dando continuidade ao pensamento do valor presente, pudemos estudar dois importantes conceitos, a TIR e o VPL, que são fundamentais para uma análise de investimento de uma empresa. Ou seja, quando será viável uma empresa investir ou não? Através desses mecanismos pudemos compreender melhor como uma organização nanceira se dá. Além disso, nos dois últimos tópicos de ensino pudemos e entender ntender como muitas ve ve-zes são empregados os dados do IBGE aos estudos em referência ao mercado de trabalho. Como que na contemporaneidade é empregado essa coleta de dados e como no passado ocorreu também. Para nalizarmos, aprendemos que a educação nanceira precisa chegar de mamaneira acessível a todos os brasileiros, seja no ensino médio, fundamental ou para adultos e como essas estão empregadas. Pois o conhecimento nanceiro de cada indivíduo pode levar a uma sociedade em desenvolvimento econômico.
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UNIDADE IV Práticas e Matemática Financeira
LEITURA COMPLEMENTAR Economia do Trabalho – George Borjas
Descrição: Economia do Trabalho é um livro que aborda teorias tradicionais e modernas da área. Nesta 5ª edição, além dos recursos e conceitos que zeram das primeiras quatro edições um sucesso, analisa acontecimentos recentes, mantendo-se como o mais conciso livro de referência do mercado.
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UNIDADE IV Práticas e Matemática Financeira
MA MATERIAL TERIAL COMPLEM COMPLEMENT ENTAR AR
LIVRO Título: Matemática Financeira Autor: Carlos Patricio Samanez Editora: Editora Pearson r econhecida estrutura didática, traz Sinopse: além de manter sua reconhecida atualizações importantes, como os referentes aos títulos públicos federais, e pequenas mudanças pensadas para auxiliar ainda mais no entendimento teórico do estudante. E essas novidades não são as únicas: o conteúdo foi totalmente revisado com ênfase na vericação de todos os exercícios resolvidos e propostos, a m de torná-los ainda mais didáticos, e os seguintes tópicos foram inseridos: • Metodologia de cálculo da taxa over em conformidade com as circulares do Bacen. • Conceitos de taxa básica nanceinanceira, taxa referencial, taxa de juros de longo prazo e taxa Cetip. • Metodologias e práticas usadas pela Caixa Econômica Federal no cálculo das essas prestações. • Novas técnicas de capital. Todas características tornam da estaorçamentação obra ideal para estudantes de graduação em economia, administração e ciências contábeis, bem como para alunos de pós-graduação e MBA, prossionais e pessoas que se interessam pelo tema.
FILME/VÍDEO Título: O jogo da imitação Ano: 2014 Outro gênio da matemática foi Alan Turing, cuja históSinopse: ria de incríveis descobertas rendeu os lmes Breaking the Code (1996) e O Jogo da Imitação, de 2015. Ambos são centrados na vida de Alan, e daquela que é considerada sua maior descoberta, a decifração dos códigos da Máquina Enigma, utilizada pelos nazistas para enviar mensagens durante a Segunda Guerra. No lme de 2015, Benedict Cumberbatch dá vida a Turing, que também cou conhecido pelo seu trabalho envolvendo criptoanálicriptoanálise. Como muitos gênios, ele tinha uma personalidade nem sempre fácil de lidar, além de ter sido violentamente discriminado por ser homossexual.
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CONCLUSÃO O GERAL GER AL CONCLUSÃ
Prezado(a) aluno(a), Neste material, buscamos trazer para você os principais conceitos a respeito da Matemática Financeira. Para tanto abordamos as denições teóricas e, neste aspecto acre acre-ditamos que tenha cado claro para você o quanto é importante a utilização da matemática nanceira em nosso dia a dia, independentemente de sua condição, seja essa, pessoa física ou jurídica. Na unidade I começamos a nossa jornada pelos conceitos e denições gerais de matemática nanceira, discorremos sobre os regimes de capitalização: simples e composto. E abordamos sobre as taxas: nominal, efetiva, proporcional, equivalente e real. Já na unidade II ampliamos nossos conhecimentos sobre como analisar as operações que envolvem descontos, entendemos a equivalência do capital no tempo e estudamos as séries de capitalização e de amortização. Depois, na unidade III observamos a relação da moeda na inação, vericando a taxa e a atratividade, entendemos as notas promissórias e método hamburguês para a vida econômica, estudamos os métodos de tomada de decisão e o uxo de caixa. Por m, na unidade IV apresentamos as formas de aplicação da matemática nannanceira, discorremos sobre os dados do IBGE para o mercado de trabalho e abordamos os avanços da educação nanceira no Brasil. A partir de agora acreditamos que você já está preparado para seguir em frente desenvolvendo ainda mais suas habilidades para utilizar a matemática nanceira em seu dia a dia e realizar bons negócios.
Até uma próxima oportunidade. Muito Obrigado!
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