MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA CONCURSOS

2013

Matemática Financeira Para Concursos Professor Igor Melo Teoria + 100 Questões de Concursos Anteriores COMENTADAS

Igor Melo Matemática Financeira para Concursos 13/01/2013

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Sumário

1. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS ........................................................ 3 2. TAXAS DE JUROS: NOMINAL, EFETIVA, EQUIVALENTES, PROPORCIONAIS, REAL E APARENTE ......... 36 3. PLANOS OU SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS ......................... 50 4. CÁLCULO FINANCEIRO: CUSTO REAL EFETIVO DE OPERAÇÕES DE FINANCIAMENTO, EMPRÉSTIMO E INVESTIMENTO .................................................................................................................................... 72 5. FLUXO DE CAIXA: DIAGRAMAS DE FLUXOS DE CAIXA, EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME SIMPLES E EQUIVALÊNCIA COMPOSTA DE CAPITAIS ............................................................................ 78 6. SÉRIES DE PAGAMENTOS (ANUIDADES OU RENDAS CERTAS)......................................................... 103 7. AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO E TAXAS DE RETORNO .................................... 121

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1. Juros simples e compostos: capitalização e descontos Conceito de Juros

No momento em que um capital é emprestado durante algum tempo, a pessoa que emprestou, recebe como pagamento pelo empréstimo, uma quantia que denominamos de juros. Chamamos de Montante o Capital acrescido dos juros:

Obs.: Essa fórmula serve tanto para juros simples quanto composto.

Taxa de Juros

Antes de falarmos sobre juros simples, vamos adiantar um pouco o segundo capítulo da nossa apostila que fala sobre Taxa de Juros. A taxa de juros é a porcentagem que será cobrada num determinado período. A taxa de juros deve, portanto, estar sempre associada a um período de tempo e na maioria das vezes as taxas estarão escritas de formas abreviadas:

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Juros Simples

Juros simples são os juros que sempre são aplicados sobre o CAPITAL INICIAL, isto é, independente de quantos períodos tenham se passado, os juros se calculam sobre o capital aplicado inicialmente. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros.

Onde:

Exemplo: Carlos emprestou R$1.500,00 ao seu irmão Roberto. Querendo ajudar seu irmão e também não querendo ser prejudicado cobrou uma taxa de 2% ao mês a juros simples. Qual a quantia paga a Carlos, sabendo que Roberto pagou em uma só vez após quatro meses? Solução:   

Capital Inicial: R$1.500,00  C = 1500 Taxa de Juros: 2% a.m.  i = 0,02 (Nos cálculos você deve usar a forma decimal da taxa) Número de Períodos: 4  n = 4

Os Juros que serão pagos são:

Ao somarmos os juros ao Capital Inicial temos o montante:

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Roberto pagou o Montante de R$1.620,00.

Obs.: Podemos ainda incluir outra fórmula em Juros Simples:

Onde:

Essa fórmula será demonstrada na questão abaixo.

Exercícios de Concursos Resolvidos

1. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria Interna) Um aplicador realizou um investimento cujo valor de resgate é de R$ 80.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples é de 3,5% ao mês e que faltam 5 meses para o resgate, o valor da aplicação, em reais, foi de a) 68.085,10 b) 66.000,00 c) 65.000,00 d) 64.555,12 e) 63.656,98 Solução: CESGRANRIO quando fala em RESGATE quer dizer MONTANTE    

Montante = R$80.000.00 i = 3,5% = 0,035 n = 5 (5 meses) C = ?(É o que queremos saber, o valor da aplicação é o capital inicial investido)

Sabemos que,

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– Assim, –

(Observe que essa fórmula serve para qualquer cálculo de Juros Simples)

Substituindo os valores dados temos,

Item correto: Item A

2. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás - Técnico de Contabilidade Distribuidora) Um investidor fez uma aplicação a 2% (juros simples) ao mês por um período de 12 meses e obteve um rendimento de R$ 6.000,00. O capital que proporcionou esse resultado, em reais, foi a) 30.000,00 b) 28.500,00 c) 27.250,00 d) 25.000,00 e) 24.100,00 Solução: Quando falamos em REDIMENTO significa JUROS!!! Lembre-se sempre. 

J = R$6.000,00

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  

i = 2% a.m. = 0,02 n =12(12 meses) C = ?(É o que queremos saber, o valor da aplicação é o capital inicial investido)

Substituindo os valores temos,

Resolvendo esta equação simples temos que C = R$25.000,00 Item correto: Item D

3. (CESGRANRIO - 2009 - TermoMacaé - Técnico de Administração) Um investidor realizou uma aplicação de R$ 25.000,00 pelo prazo de 6 meses e, ao final da aplicação, obteve um lucro de R$ 1.500,00. Para que isso ocorresse, a taxa de juros simples mensal usada na aplicação foi a) 1,00% b) 1,25% c) 1,33% d) 1,50% e) 1,66% Solução:    

C = R$25.000,00 i = ?(É o que queremos saber) n =6 J = R$1.500,00

Item correto: Item A

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Taxa de Juros Proporcionais

Mais uma vez vamos adiantar um assunto da segunda aula do curso para que possamos resolver outro tipo de questão também cobrado. Duas taxas são ditas proporcionais quando seus valores são proporcionais aos seus respectivos prazos.

Exemplo: As taxas de 36% ao ano e de 3% ao mês são proporcionais. Isso pode ser comprovado verificando uma regra de três direta:

A igualdade obtida confirma que 36% estão para 12 meses assim como os 3% estão para 1 mês, ou seja, as taxas são proporcionais.

Taxas de Juros Equivalentes

Dizemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a capitais iguais, por prazos iguais, produzem juros também iguais.

Exemplo: 1. A aplicação de uma dada quantia ``C`` por certo tempo ``T`` à taxa de juros simples de 2% a.m. nos daria um total de juros ``J`` igual àquele que

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obteríamos se aplicássemos a mesma quantia ``C``, durante o mesmo tempo ``T``, mas à taxa de juros simples de 6% ao trimestre. Então dizemos que a taxa de juros simples de 2% a.m. é equivalente à taxa de juros simples de 6% a.t. Perceba que 2% a.m. e 6% a.t. são também proporcionais, pois no regime de juros simples, taxas equivalentes serão sempre proporcionais e viceversa. No caso de Juros Simples, achar a taxa equivalente é mais simples que no Regime de Juros Compostos, pois basta achar a taxa proporcional. Mais a frente mostraremos como achar Taxas Equivalentes no regime de Juros Compostos. Obs.: A vantagem de se achar a taxa equivalente é que muitas vezes as questões nos dão prazos em unidades diferentes da que se encontra na taxa. Por exemplo, quando a questão dá que o período de aplicação é de 120 dias e que a taxa é de 9% a.m. Vamos exemplificar com questões.

Exercícios de Concursos Resolvidos

4. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Contábil) Considerando o mês de 30 dias, qual o montante, em reais, correspondente a uma aplicação de R$ 125.000,00 por 225 dias, a uma taxa de juros simples de 4,5 % ao mês? a) 134.375,00 b) 142.187,50 c) 166.815,75 d) 167.187,50 e) 171.876,50 Solução: Há duas formas de se resolver essa questão. Na primeira forma transformaríamos o período de 225 dias em meses, bastando dividir 225 por 30 e obteríamos o novo período de 7,5 meses e a partir deste ponto resolveríamos a questão como estávamos resolvendo as outras, mas utilizaremos nessa questão a segunda forma que é achando a taxa equivalente: 

C = R$125.000,00

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 

n = 225 dias i = 4,5% a.m

Acharemos inicialmente a taxa equivalente (ie) em dias, (%)

prazos (dias)

4,5%

30(1 mês)

ie

1

resolvendo a regra de três temos,

Agora podemos utilizar as já conhecidas fórmulas,

Lembrando que,

Poderíamos também utilizar a outra fórmula:

Item correto: Item D

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5. (CESGRANRIO - 2009 - BNDES - Profissional Básico - Ciências Contábeis) Um investidor aplicou, no Banco Atlântico, R$ 10.000,00, por um período de 17 dias, a uma taxa de juros simples de 1,2% ao mês. No dia do resgate, a rentabilidade obtida pelo investidor, em reais, foi a) 60,00 b) 64,20 c) 65,60 d) 66,00 e) 68,00 Solução:    

C = R$10.000,00 n = 17 (17 dias) i = 1,2% a.m. (temos que transformar essa taxa em dias) J = ? (É justamente a rentabilidade que a questão pede).

Resolvendo a regra de três temos,

Agora podemos utilizar as já conhecidas fórmulas,

Item correto: Item E

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Juros Compostos

Os juros de cada período são calculados sobre o MONTANTE do período anterior, isto é, o CAPITAL INICIAL mais os JUROS ACUMULADOS até então. Exemplo: Vamos acompanhar os montantes, mês a mês, de uma aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% a.m. por um período de 4 meses no regime de juros compostos: Período 1º mês 2º mês 3º mês 4º mês

Juros no fim do período 10% de R$1.000,00 = R$100,00 10% de R$1.100,00 = R$110,00 10% de R$1.210,00 = R$121,00 10% de R$1.331,00 = R$133,10

Montante R$1.100,00 R$1.210,00 R$1.331,00 R$1.464,10

Observe que:  

Os juros e o montante, no fim do 1º mês, são iguais aos que seriam produzidos no regime de juros simples; Cada novo montante é obtido calculando-se um aumento de 10% sobre o montante anterior, o que resulta em aumentos sucessivos a uma taxa fixa de 10%.

Montante no Regime de Juros Compostos

Como vimos acima, no regime de juros compostos, o montante ao fim de um determinado período resulta de um cálculo de aumentos sucessivos. Então, sejam:    

C = Capital Inicial aplicado M = Montante da aplicação ao fim de n períodos i = forma unitária da taxa de juros da aplicação n = número de períodos

Poderemos expressar o montante (M) em função dos outros três elementos do seguinte modo:

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Ou seja,

(fórmula fundamental)

Perceba que nem sempre é fácil calcular a fórmula acima, sobretudo quando n é mais elevado, para calcular esse tipo de problema normalmente a prova possui uma tabela financeira ou alguns resultados já prontos no enunciado da questão. Foi assim que a CESGRANRIO fez na prova de 2008 da CAIXA.

Tabela de juros compostos F = (1 + i)n n/i

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

10%

12%

15%

18%

1

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

1,06

1,07

1,08

1,09

1,1

1,12

1,15

1,18

2

1,02

1,04

1,061 1,082 1,103 1,124 1,145

1,166 1,188

1,21

1,254

1,323

1,392

3

1,03

1,061 1,093 1,125 1,158 1,191 1,225

1,26

1,295 1,331 1,405

1,521

1,643

4

1,041 1,082 1,126

1,36

1,412 1,464 1,574

1,749

1,939

5

1,051 1,104 1,159 1,217 1,276 1,338 1,403

1,469 1,539 1,611 1,762

2,011

2,288

6

1,062 1,126 1,194 1,265

1,419 1,501

1,587 1,677 1,772 1,974

2,313

2,7

7

1,072 1,149

1,316 1,407 1,504 1,606

1,714 1,828 1,949 2,211

2,66

3,185

8 9

1,083 1,172 1,267 1,369 1,477 1,594 1,718

1,851 1,993 2,144 2,476

3,059

3,759

1,094 1,195 1,305 1,423 1,551 1,689 1,838

1,999 2,172 2,358 2,773

3,518

4,435

10

1,105 1,219 1,344

1,629 1,791 1,967

2,159 2,367 2,594 3,106

4,046

5,234

11

1,116 1,243 1,384 1,539

1,71

2,332

2,853 3,479

4,652

6,176

12

1,127 1,268 1,426 1,601 1,796 2,012 2,252

2,518 2,813 3,138 3,896

5,35

7,288

13

1,138 1,294 1,469 1,665 1,886 2,133

2,72

3,066 3,452 4,363

6,153

8,599

14

1,149 1,319 1,513 1,732

2,261 2,579

2,937 3,342 3,797 4,887

7,076

10,147

15

1,161 1,346 1,558 1,801 2,079 2,397 2,759

3,172 3,642 4,177 5,474

8,137

11,974

16

1,173 1,373 1,605 1,873 2,183

3,426

9,358

14,129

17

1,184

18

1,196 1,428 1,702 2,026 2,407 2,854

1,4

1,23

1,17

1,48

1,216 1,262 1,311 1,34

1,98

1,898 2,105

2,54

2,41

2,952

1,653 1,948 2,292 2,693 3,159 3,38

Exemplo:

13

3,7

2,58

3,97

4,595

6,13

4,328 5,054 6,866 10,761 16,672

3,996 4,717

5,56

7,69

12,375 19,673

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Um comerciante consegue um empréstimo de R$60.000,00 que deverão ser pagos, ao fim de um ano, acrescidos de juros compostos de 2% ao mês. Quanto o comerciante deverá pagar ao fim do prazo combinado? Solução: Sendo,   

C = 60.000 i = 2% = 0,02 n = 12

Substituindo estes elementos na fórmula do montante, teremos:

A tabela de juros compostos dada acima mostra que o Fator F = (1 + 0,02) – quando i = 2% e n =12 – equivale a F = 1,268, assim temos: 12

Assim, concluímos que o comerciante pagará a quantia de R$76.080,00.

Exercícios de Concursos Resolvidos

6. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria Interna) Uma loja de eletrodomésticos está realizando uma promoção em que na compra de qualquer artigo até R$ 1.000,00, o pagamento será em uma única prestação, 6 meses depois. Um consumidor adquiriu mercadorias no valor de R$ 800,00, sendo informado de que a prestação a ser paga, dentro de 6 meses, seria de R$ 1.000,00.

A taxa mensal de juros composta cobrada pela loja está situada entre

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a) 6% e 7% b) 5% e 6% c) 4% e 5% d) 3% e 4% e) 2% e 3%

Solução: Temos que,   

C = capital = 800,00 (valor inicial) M = montante = 1.000,00 (valor final) n = período = 6 meses (período para o pagamento)

Utilizando a fórmula de Juros Compostos temos,

Assim,

Perceba que,

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Concluímos então que a taxa mensal de juros composta cobrada pela loja está situada entre 3% e 4%. Item Correto: Item D.

7. (CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Contador Júnior) Um jovem executivo recebeu R$ 10.000,00 de bonificação por um trabalho bem-sucedido. Decidiu aplicar a quantia em um fundo de investimentos, pelo prazo de 4 meses, a uma taxa composta de 3% ao mês. O valor total que o jovem poderá resgatar, em reais, após esse prazo, é de a) 11.260,00 b) 11.552,90 c) 12.152,29 d) 12.525,19 e) 12.952,25 Solução: Temos que,   

C = R$10.000,00 i = 3% a.m. = 0,03 n = 4 meses

Utilizando a fórmula de Juros Compostos temos,

Utilizando a tabela de juros compostos dada acima percebemos que,

Assim,

Item Correto: Item A.

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Capitalização

Capitalização nada mais é do que tudo isto que já vimos até agora. Quando acrescemos os Juros a um Capital inicial estamos capitalizando, o que varia é a forma que este capital aumenta. Então agora veremos de forma mais detalhada os Regimes de Capitalização.

Regimes de Capitalização

O resultado do cálculo dos juros de uma operação financeira dependerá, entre outros fatores, do modo como decidiremos que deve ocorrer a variação destes juros em relação ao prazo da operação. Denomina-se regime de capitalização ao modo escolhido para a variação dos juros em relação ao prazo das operações consideradas. Existem basicamente três regimes de capitalização:   

Capitalização Simples. Capitalização Composta. Capitalização contínua (Não veremos esta, pois não é cobrada em concursos).

Capitalização Simples

Os juros de qualquer período constante são sempre calculados sobre o CAPITAL INICIAL, isto é, o capital que foi aplicado inicialmente. Nada mais é do que os Juros Simples já vistos anteriormente. Ou seja, devemos capitalizar os títulos, conforme a fórmula abaixo: N = A (1 + i.n) Onde: 

N = valor nominal, ou seja, o valor futuro;

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  

A = valor atual; i = taxa; n = número de períodos que foram capitalizados.

Perceba que essa fórmula é a mesma utilizada em juros simples demonstrada na primeira questão deste capítulo:

Onde M é o montante, ou seja, o valor futuro a ser encontrado e C é o capital inicial, ou seja, o valor Atual. Nós apenas mudamos as letras que representam, mas é a mesma fórmula.

Capitalização Composta

Os juros de cada período são calculados sobre o MONTANTE do período anterior, isto é, o CAPITAL INICIAL mais os JUROS ACUMULADOS até então. Nada mais do que os Juros Compostos também já vistos. Ou seja, devemos capitalizar os títulos, conforme a fórmula abaixo:

Onde:    

N = valor nominal, ou seja, o valor futuro; A = valor atual; i = taxa; n = número de períodos que foram capitalizados.

Obs.: Cabe aqui, abrir uma observação importante sobre Capitalização Composta (Juros Compostos). Falaremos sobre a Convenção Linear e Exponencial.

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Convenção Linear e Convenção Exponencial

A convenção linear admite a formação de juros compostos para a parte inteira do prazo e de juros simples para a parte fracionária. Esta convenção é, em essência, uma mistura de regime composto e linear, adotando fórmulas de juros compostos na parte inteira do período e uma formação de juros simples na parte fracionária. A técnica consiste em calcular o montante em duas etapas: 1ª etapa - Calcular o montante composto para o maior número possível de períodos inteiros; 2ª etapa - Acrescentar ao resultado da 1ª etapa os juros simples proporcionais à parte fracionária restante do tempo de aplicação calculada sobre o montante obtido na 1ª etapa do cálculo. Já a convenção exponencial adota o mesmo regime de capitalização para todo o período. Ou seja, utiliza capitalização composta tanto para a parte inteira como para a fracionária. Esta convenção é mais generalizadamente usada na prática, sendo considerada tecnicamente mais correta por empregar somente juros compostos e taxas equivalentes para os períodos não inteiros. (ASSAF NETO, 2001) Obs.: Essas convenções só se aplicam no caso de Juros compostos, pois no caso de Juros Simples quando o número de períodos não é inteiro podemos calcular sem nenhum problema.

Exemplo: 1) (HAZZAN, 2007) Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante três meses e meio, a taxa de 8% a.m. a)

Qual o montante pela convenção exponencial?

b)

Qual o montante pela convenção linear?

Solução:

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a)

b) 1º Passo: Calcular a parte inteira:

2ºPasso: Calcular a parte não inteira:

Exercícios de Concursos Resolvidos

8.(FCC - 2006 - SEFAZ-PB - Auditor Fiscal de Tributos Estaduais - Prova 1) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a a) R$ 22.755,00 b) R$ 23.780,00

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c) R$ 24.805,00 d) R$ 24.932,05 e) R$ 25.500,00

9. (CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Técnico de Administração e Controle Júnior) Um investimento rende juros mensais de taxa 2%, com capitalização mensal. Ao final de 3 meses, o percentual de juros, em relação ao capital inicial, é mais próximo de a) 6,00% b) 6,08% c) 6,12% d) 6,18% e) 6,24%

Solução: Quando a questão fala em capitalização mensal quer dizer que são cobrados juros compostos mensalmente. Sabemos que nos Juros Compostos o Montante é calculado da seguinte forma:

A questão nos deu que i = 2% = 0,02 e n = 3, assim temos:

Temos ainda que,

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– –

Ou seja, Os juros equivalem a aproximadamente 6,12% do Capital Inicial Aplicado. Item Correto: Item C.

Descontos

Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data do seu vencimento. O Documento que atesta a dívida é denominado genericamente por título de crédito. Valor Nominal, ou valor de face, é o valor do título de crédito, ou seja, aquele que está escrito no título e que seria pago na data de vencimento do título. Valor Líquido é o valor pelo qual o título acabou sendo negociado antes de sua data de vencimento. É sempre menor que o valor nominal, pois o título sofreu um desconto.

RESUMINDO: Valor Líquido------------------------- + Desconto --------------------Valor Nominal (Antes do Vencimento)

(Prazo de Antecipação)

(Vencimento)

Desconto Simples

O Desconto Simples é o processo de determinação do valor atual de um título mediante utilização do sistema de juros simples.

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Dentro do Desconto Simples e também do Composto existem dois subtipos. São dois: 1º) Desconto ´´por dentro``, ou desconto racional, é aquele onde a referência para o cálculo porcentual do desconto é o valor líquido.

Desconto por dentro ou racional  100% é o valor líquido ou valor atual (A)

Nesse caso, o nosso esquema será

Valor Líquido----------------------- + Desconto --------------------------Valor Nominal 100%

+ d%

(100 + d)%

Perceba que o d% não é a taxa unitária. Por exemplo, se um título for descontado a juros simples durante 2 meses a uma taxa de 5% a.m. então:

Onde,  

I = taxa porcentual, ou seja, não a taxa unitária (ex.:5% a.m. e não 0,05); n = número de períodos que foram capitalizados.

Lembrando que a taxa unitária é achada da seguinte forma:

Agora, podemos demonstrar a fórmula do desconto racional a juros simples com uma regra de três simples. Lembrando do esquema acima sabemos que 100% está para o valor líquido (A), assim como (100+d)% está para o valor futuro(N): 100%  A

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(100+d)%  N

Onde:     

A é o valor líquido, que também pode ser chamado de valor atual. É o título já com o desconto; N é o valor nominal, que também pode ser chamada de valor futuro. É o valor original do título sem ser descontado; d é a taxa porcentual que será descontada do título. ; i é taxa unitária; n = número de períodos que foram capitalizados.

2º) Desconto ´´por fora``, ou desconto comercial, é aquele onde a referência para o cálculo porcentual do desconto é o valor nominal.

Desconto por fora ou comercial  100% é o valor nominal

Nesse caso, o nosso esquema será

Valor Líquido------------------------ + Desconto -------------------------Valor Nominal (100 – d)%

+ d%

100%

Para resolver um problema de desconto simples, tudo que temos a fazer é:

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1º Identificar qual o tipo do desconto no problema, ou seja, se é comercial ou racional; 2º Procurar preencher o “esquema’’ correspondente de acordo com dados do problema; 3º Calcular o valor de que precisarmos, no esquema, usando regra de três.

Dica para saber quando é por fora ou por dentro: Pense numa garrafa: O que há dentro dela? O líquido! (por dentro: 100% é o líquido) O que há fora dela? O nome! (por fora: 100% é o nominal)

Exemplo: 1. Determinar o valor nominal de um título que, descontado comercialmente, 60 dias (2 meses) antes do vencimento e à taxa de 12% ao mês, resultou em um valor descontado de R$608,00.

Solução: A expressão ´´descontado comercialmente`` indica que o desconto é comercial, ou por fora. Logo, o 100% é o valor nominal, o nosso esquema será Valor Líquido------------------------- + Desconto ------------------------Valor Nominal (100 – 24)%

+ 24% (60 dias = 2 meses)

R$608,00

100% N

Fazendo a regra de três temos,

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100% 76%

N R$608,00

Então o valor nominal foi de R$800,00.

Exercícios de Concursos Resolvidos

10 .(Auditor Fiscal do Tesouro Nacional - 1996) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de R$1.400,00. As condições contratuais preveem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é: a)R$816,55

b) R$900,00 c) R$945,00 d) R$970,00 e) R$995,00

11. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria Interna) Uma empresa obteve um desconto de uma duplicata no valor de R$ 12.000,00 no Banco Novidade S/A, com as seguintes condições:

Considerando-se exclusivamente as informações acima, o valor creditado na conta corrente da empresa, em reais, foi de a) 11.660,00 b) 11.460,00 c) 11.400,00

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d) 11.200,00 e) 11.145,00 Solução: Obs.: Perceba que a questão não informou se o desconto é comercial ou racional. Não houve a necessidade, pois o desconto utilizado pelos bancos é sempre o comercial. Obs.2: Duplicatas são títulos de crédito que uma empresa irá receber um pagamento em uma determinada data (vencimento) de outra empresa ou pessoa física por um serviço prestado ou produto vendido. Muitas vezes as empresas detentoras dessas duplicatas procuram os bancos para que estes adiantem a duplicata em troca de um desconto. Então o valor da duplicata descontada é creditado na conta da empresa antecipadamente.

Valor Líquido------------------------ + Desconto -------------------------Valor Nominal (100 – 5)%

+ 5% (2 meses)

100%

VL

R$12.000,00 100% (100 - 5)%

R$12.000,0 VL

Resolvendo a regra de três obtemos o seguinte:

O valor creditado na conta da empresa é de R$11.400,00.

Item Correto: Item C

12. (CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Técnico de Administração e Controle Júnior) Uma empresa desconta um título de valor nominal R$ 20.000,00 e

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vencimento em 28 de dezembro em um banco que adota o desconto comercial simples de taxa 4,5% ao mês. Se a antecipação ocorre no dia 10 do mesmo mês, o valor creditado na conta da empresa é igual a a) R$ 19.100,00 b) R$ 19.280,00 c) R$ 19.460,00 d) R$ 19.540,00 e) R$ 19.620,00 Solução: Temos que,   

Valor Nominal: R$20.000,00 Tempo de Antecipação: 18 dias (do dia 10 ao dia 28 de dezembro) Taxa: 4,5% ao mês

Acharemos inicialmente a taxa equivalente (ie) em dias, (%)

prazos (dias)

4,5%

30(1 mês)

ie

1

resolvendo a regra de três temos,

Montando a tabela do desconto comercial simples,

Valor Líquido------------------------ + Desconto -------------------------Valor Nominal (100 - 18.0,15)%

+ 18.0,15% (18 dias)

100%

VL

R$20.000,00

100%

R$20.000,0

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(100 – 18.0,15)%

VL

Resolvendo a regra de três obtemos o seguinte: – o valor creditado na conta da empresa é igual a R$19.460,00 Item Correto: Item C

Obs.: Não encontrei questões da CESGRANRIO que envolvesse DESCONTO SIMPLES RACIONAL, então adicionei aqui questões sobre esse tema que poderiam ser muito bem da CESGRANRIO. 13. Um título com valor nominal de R$3.200,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, com um desconto racional simples à taxa de 30%a.m. De quanto foi o valor pago pelo título? a) R$2.000,00 b) R$1.920,00 c) R$1.280,00 d) R$1.200,00 e) R$1.180,00 Solução: Temos,   

Valor Nominal: R$3.200,00 Tempo de Antecipação: 2 meses i = 30% a.m.

Valor Líquido------------------------ + Desconto ------------------------Valor Nominal 100%

+ 60%(2 meses)

VL

(100 + 60)% R$3.200,00

Resolvendo a regra de três temos,

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O valor pago pelo título foi R$2.000,00 Item Correto: ITEM A

14. Qual o prazo de antecipação de um título que, descontado racionalmente, à taxa de juros de 4% a.m., produziu um desconto de R$300,00 se o seu valor nominal era de R$1.800,00? a) 4 meses e 5 dias b) 5 meses c) 5 meses e 10 dias d) 5 meses e 15 dias e) 5 meses e 20 dias Solução: Temos,    

Valor Nominal: R$1.800,00 Desconto Concedido: R$300,00 Valor Líquido: R$1.800,00 – R$300,00 = R$1.500,00 i = 4% a.m.

Valor Líquido------------------------ + Desconto ------------------------Valor Nominal 100% R$1.500,00

+ n . 4%(n meses) R$300,00

Resolvendo a regra de três temos,

O prazo de antecipação do título foi de 5 meses

30

(100 + n.4)% R$1.800,00

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Item Correto: ITEM B

Desconto Composto

O Desconto Composto é o processo de determinação do valor atual de um título mediante utilização do sistema de juros compostos. Ele também se divide em mais dois tipos: O Desconto Racional Composto e o Desconto Comercial Composto.

1º) Desconto Racional Composto

Denomina-se desconto racional composto à taxa i, com n períodos de antecipação, à diferença entre o valor nominal (N) e o valor atual (A) do título:

Sabemos também que

onde D é o desconto concedido.

Exercícios de Concursos Resolvidos

16. (CESGRANRIO - 2008 - BNDES - Técnico de Arquivo) Uma nota promissória cujo valor de face é R$ 12.100,00 foi saldada dois meses antes do seu vencimento. A taxa de desconto racional composto utilizada foi de 10% ao mês. Imediatamente após receber o pagamento, o credor da nota promissória aplicou todo o dinheiro recebido à taxa de juros compostos de 44% ao bimestre com capitalização mensal. Dois meses após a aplicação, o montante obtido pelo credor, em reais, corresponde a a) 13.800,00 b) 13.939,20 c) 14.400,00

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d) 14.407,71 e) 14.884,00 Solução: Temos que,   

N = R$12.100,00 (O valor de Face é o valor Nominal) n = 2 (2 meses) i = 10% a.m.

Utilizando a fórmula de DESCONTO RACIONAL COMPOSTO temos

O valor descontado foi de R$10.000,00. Vamos calcular qual o montante após os dois meses de aplicação, sabendo que:

  

C = A = R$10.000,00 (pois o valor da aplicação inicial é justamento o valor descontado) n = 2 (2 meses) i = 22%a.m. (44% ao bimestre com capitalização mensal – 44% é uma taxa nominal, e 22% é a taxa efetiva correspondente – na aula 2 ensinaremos sobre essas duas taxas. Por enquanto basta que você saiba que 22% a.m. é a taxa efetiva)

Utilizando a fórmula de Capitalização Composta (Juros Compostos):

Logo o valor do Montante obtido foi de R$14.884,00. Item Correto: Item E

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2º) Desconto Comercial Composto Podemos dizer que um título de Valor Nominal N descontado pelo critério do desconto comercial composto, com n períodos antes do seu vencimento e a uma taxa igual a i por período apresentará um valor atual (ou líquido) A igual a:

Exercícios de Concursos Resolvidos 17. (CESGRANRIO - 2008 - ANP - Analista Administrativo - Contabilidade) A Empresa Vista Linda Ltda. descontou no Banco da Praça S/A uma duplicata no valor de R$ 28.800,00 com 120 dias de prazo, a uma taxa de desconto composto de 2,5% ao mês. Com base nos dados acima e considerando o ano comercial, nos cálculos, o valor líquido creditado pelo Banco na conta corrente da empresa, em reais, foi a) 28 888,08. b) 28.808,88. c) 27.062,61. d) 26.062,12. e) 26.026,21. Solução: Temos que  N (valor nominal) = 28.800  i (taxa) = 2,5% ao mês  n (tempo de antecipação) = 120 dias ou 4 meses Como foi descontado em um banco o desconto é comercial e foi dado que os juros são compostos, logo

–

O Valor Líquido é R$26.026,21. ITEM CORRETO: ITEM E.

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18. (CESGRANRIO - 2009 - TermoMacaé - Técnico de Contabilidade) A Empresa Deltamática Ltda. descontou no banco um título no valor de R$ 18.000,00, com prazo de vencimento de 3 meses, a uma taxa de desconto composto de 2% ao mês. O valor líquido liberado pelo banco, em reais, foi de a) 16.861,40 b) 16.941,45 c) 16.941,77 d) 17.123,56 e) 17.899,99 Solução: Temos que  N (valor nominal) = 18.000  i (taxa) = 2% ao mês  n (tempo de antecipação) = 3 meses Como foi descontado em um banco o desconto é comercial e foi dado que os juros são compostos, logo

–

O Valor Líquido é R$16.941,45. ITEM CORRETO: ITEM B.

19. (CESGRANRIO - 2008 - Caixa - Escriturário) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D - d, em reais, vale a) 399,00 b) 398,00 c) 397,00 d) 396,00 e) 395,00

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Solução: Temos que,  N = R$24.200,00  n = 2 meses  i = 10% a.m. Vamos achar o valor Líquido e o desconto (d) no caso de desconto racional(ou por dentro):

E o desconto é –

–

Agora vamos achar o valor líquido no Desconto Comercial Composto:

–

E o desconto é – –

A questão pede D – d, logo –

– –

Item Correto: ITEM B.

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2. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente Taxas Efetivas e Taxas Nominais Taxa Efetiva Quando a unidade de tempo indicada pela taxa de juros coincide com a unidade de tempo do período de capitalização dizemos que a taxa é efetiva.

Exemplo: Taxa de 2% ao mês com capitalização mensal

Taxa Nominal É aquela cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo do período de capitalização.

Exemplo: Juros de 72% ao ano, capitalizados mensalmente. Conversão da Taxa Nominal em Taxa Efetiva. A conversão da taxa nominal em taxa efetiva é feita ajustando-se o valor da taxa nominal proporcionalmente ao período de capitalização. Isto pode ser feito com uma regra de três simples e direta. Por exemplo, no caso anterior teríamos: 72% X

 

12 meses 1 mês

Resolvendo teríamos, 12 . x = 1 . 72 x = 72/12 x = 6%a.m(taxa efetiva)

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Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes Taxa de Juros Proporcionais Duas taxas são ditas proporcionais quando seus valores são proporcionais aos seus respectivos prazos. Exemplo: As taxas de 36% ao ano e de 3% ao mês são proporcionais. Isso pode ser comprovado verificando uma regra de três direta:

(%)

prazos (em meses)

36

12

3

1 36%x1 = 3%x12 36% = 36%

A igualdade obtida confirma que 36% estão para 12 meses assim como os 3% estão para 1 mês, ou seja, as taxas são proporcionais.

Taxas de Juros Equivalentes Dizemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a capitais iguais, por prazos iguais, produzem juros também iguais e conseqüentemente o mesmo montante. Exemplo1: 1. A aplicação de uma dada quantia qualquer, por certo período, à taxa de juros simples de 2% ao mês nos daria um total de juros igual àquele que obteríamos se aplicássemos a mesma quantia, durante o mesmo tempo, mas à taxa de juros simples de 6% ao trimestre. Então dizemos que a taxa de juros simples de 2% a.m. é equivalente à taxa de juros simples de 6% a.t.

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Perceba que 2% a.m. e 6% a.t. são também proporcionais, pois no regime de juros simples, taxas equivalentes serão sempre proporcionais e viceversa. No caso de Juros Simples, achar a taxa equivalente é mais simples que no Regime de Juros Compostos, pois basta achar a taxa proporcional. Mais à frente mostraremos como achar Taxas Equivalentes no regime de Juros Compostos. Obs.: A vantagem de se achar a taxa equivalente é que muitas vezes as questões nos dão prazos em unidades diferentes da que se encontra na taxa. Por exemplo, quando a questão dá que o período de aplicação é de 120 dias e que a taxa é de 9% a.m. Exemplo2: Qual a taxa trimestral de juros compostos equivalente à taxa composta de 20% a.m.? Solução: Pretendemos determinar uma taxa trimestral (t) equivalente a uma taxa mensal(m) dada (m = 0.20). Como 1 trimestre equivale a 3 meses, teremos 1 e 3 como expoentes: M = C . (1 + i)n (fórmula fundamental dos juros compostos) Como o Montante das duas taxas tem que ser iguais, podemos dizer que C. (1 + t)1 = C . (1 + m)3 (1 + t)1 = (1 + m)3 (1 + t) = 1,203 = 1,728 t = 1,728 - 1 = 0,728 t = 72,8% a. t.

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Exercícios de Concursos Resolvidos

1. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria Interna) A taxa anual equivalente à taxa composta trimestral de 5% é a) 19,58% b) 19,65% c) 19,95% d) 20,00% e) 21,55% Solução: Sendo:  

a = taxa anual t = taxa trimestral = 5% = 0,05

Para acharmos a taxa anual equivalente a taxa composta trimestral devemos igualar os seguintes termos: (1 + a)1 = (1 + t)4 Colocamos o expoente 4 (quatro) porque em um ano há 4 trimestres. Assim, (1 + a)1 = (1 + 0,05)4 1 + a = 1,054 = 1,2155 a = 1,2155 – 1 = 0,2155 a = 21,55% ITEM CORRETO: ITEM E 2. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria Interna) A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente, monta a

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a) 12,68% b) 12,75% c) 12,78% d) 12,96% e) 13,03% Solução: Quando temos uma taxa nominal de X% ao ano com capitalização mensal, obtemos a taxa efetiva dividindo X% por 12.

iefetiva a.m. = (inominal a.a.) / 12 iefetiva a.m. = 0,12 / 12 iefetiva a.m. = 0,01 ou 1% a.m.

Agora que temos a taxa efetiva mensal, podemos encontrar a taxa efetiva anual equivalente(ia). A taxa anual é a taxa efetiva mensal capitalizada 12 vezes, ou seja, são taxas equivalentes:

(1 + ia) = (1 +im)12 (1 + ia) = (1 + 0,01)12 (1 + ia) = (1,01)12

Ele nos informou que (1,01)11 = 1,1157; sabemos que

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(1,01)12 = (1,01)11. (1,01)1 então: (1 + ia) = (1,01)11 . (1,01)1 (1 + ia) = 1,1157 . 1,01 (1 + ia) = 1,126857 ia = 1,126857 – 1 ia = 0,126857 ou 12,68%

Taxa Over Denominamos taxa over a taxa nominal igual a 30 vezes a taxa efetiva diária de uma operação financeira cuja remuneração ocorra somente para os dias úteis do período da operação, sendo comum indicá-la somente como um percentual.

Exemplo: Uma operação financeira com prazo de 31 dias corridos tem uma taxa over de 15%. Qual é a taxa efetiva desta operação se, neste período, houver apenas 22 dias úteis? Solução: A taxa efetiva diária é: 15% / 30 = 0,5% A taxa efetiva correspondente à taxa over considera apenas os dias úteis. Desta forma, a taxa efetiva da operação será a taxa de 22 dias equivalente à taxa diária encontrada. Chamando de i a taxa efetiva da operação, temos: (1 + i) = (1 + 0,005)22 (1 + i) = 1,11597 i = 0,11597 = 11,597%

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Taxa Real e Taxa aparente Consideremos que um banco tenha oferecido uma determinada aplicação pagando uma taxa efetiva de 10% a.a.. Se no mesmo período for registrada uma inflação da ordem de 6%a.a., então diremos que a taxa de 10%a.a. oferecida pelo banco não foi a taxa real de remuneração do investimento mas uma taxa aparente, pois os preços, no mesmo período, tiveram um aumento de 6%. Se compararmos o que ocorreria com dois investimentos de R$100,00, o primeiro sendo remunerado à taxa de 10% a.a. e o segundo recebendo apenas a correção monetária devida à inflação de 6% a.a., teremos: Montante da aplicação a juros de 10%: M = C . (1 + i)n M = 100 . (1 + 0,10)1 M = 100 . 1,10 = 110,00 Montante da aplicação sujeita apenas à taxa de correção monetária de 6%: M = C . (1 + i)n M = 100 . (1 + 0,06)1 M = 100 . 1,06 = 106,00 Se o investidor recebesse, ao fim do investimento exatamente R$106,00 não teria havido ganho nenhum, pois o único acréscimo recebido teria sido o da correção monetária. Como o investidor recebeu R$110,00, o seu ganho real foi de R$4,00 em relação a R$106,00 que é o valor atualizado dos R$100,00 de um ano atrás. Assim temos:

Obs.: Observe que, ao contrário do que possa parecer a princípio, a taxa aparente iA não é igual à soma da taxa de inflação ii com a taxa iR. Sendo:  iA  iR  ii

taxa aparente taxa real taxa da inflação

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Precisamos então perceber o seguinte fato no exemplo anterior: 

M = C . (1 + iR)n (O ´´C`` neste caso é o valor ajustado com a inflação)



110 = 106 . (1 + iR)n

Generalizando, lembre-se que 110 = C0 . (1 + iA)n e 106 = C0 . (1 + ii)n , sendo ´´C0`` o capital inicial sem o reajuste da inflação. Substituindo teríamos: 110 = 106 . (1 + iR)n C0 . (1 + iA)n = C0 . (1 + ii)n . (1 + iR)n (1 + iA)n = [(1 + ii) . (1 + iR)]n

Cortando o C0 dos dois lados ficamos com

(1 + iA) = (1 + ii) . (1 + iR) 1 + i A = 1 + iR + i i + i R . i i i A = iR + i i + iR . ii

Com essa fórmula podemos achar facilmente a taxa real.

Exercícios de Concursos Resolvidos

3. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria Interna) A Empresa Comercial Parton Ltda., obteve um empréstimo no Banco Novidade S/A com as seguintes condições:

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Considerando-se exclusivamente os dados acima, as taxas efetiva e real da operação para a Comercial Parton, foram, respectivamente, de a) 16,67% e 14,65% b) 16,33% e 13,65% c) 15,35% e 12,15% d) 14,75% e 11,41% e) 14,25% e 11,35% Solução: Nessa questão a CESGRANRIO pede a taxa efetiva, mas não fala se é mensal , trimestral e nenhuma outra. Quando ela não diz, temos que considerar que ela quer a taxa como um todo, ou seja, taxa de juros no período fornecido. Outra observação importante é identificar quem é o montante e o capital inicial envolvido. A CESGRANRIO considera a taxa de abertura de crédito como parte do capital inicial, ou seja, o capital inicial seria: C = R$30.000,00 + R$500,00 C = R$30.500,00 O Montante realmente é o valor pago no final do empréstimo (M = R$35.000,00). Então, colocando de outra maneira temos:   

C = R$30.500,00 M = R$35.000,00 n = 1 trimestre (A questão pede a taxa como um todo, logo n = 1). M = C . (1 + i)n 35000 = 30500 . (1 + iefetiva) (1 + iefetiva) = 35000 / 30500 (1 + iefetiva) = 1,1475 iefetiva = 0,1475 = 14,75%

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Achamos a taxa efetiva solicitada, o que nos remete ao item D, mas iremos também encontrar a taxa real. A taxa efetiva encontrada na verdade é também a taxa aparente, pois houve inflação no período indicado, logo vamos utilizar a seguinte relação para encontrar a taxa real: (1 + iA) = (1 + ii) . (1 + iR) (1 + 0,1475) = (1 + 0,03) . (1 + iR) 1 + iR = 1,1475 / 1,03 iR = 1,1141 – 1 iR = 0,1141 = 11,41% Logo a taxa real é de 11,41%. ITEM CORRETO: ITEM D 4. (CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Auditor Júnior) Uma aplicação financeira é realizada em período com inflação de 2,5%. Se a taxa real foi de 5,6%, a taxa aparente da aplicação no período foi de a) 3,02% b) 3,10% c) 8,10% d) 8,24% e) 8,32% Solução: Temos que  

ii = 2,5% = 0,025 iR = 5,6% = 0,056

Utilizando a seguinte relação: i A = iR + i i + iR . ii iA = 0,056 + 0,025 +0,056 . 0,025 iA = 0,0824 = 8,24% ITEM CORRETO: ITEM D

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5. (CESGRANRIO - 2010 - Banco do Brasil - Escriturário) Um investimento obteve variação nominal de 15,5% ao ano. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi 5%. A taxa de juros real anual para esse investimento foi a) 0,5%. b) 5,0%. c) 5,5%. d) 10,0%. e) 10,5%.

Solução: Obs.: variação nominal é sinônimo de Taxa Efetiva Podemos obter o resultado utilizando a conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação. i A = iR + i i + iR . ii 0,155 = iR + 0,05 + iR . 0,05 0,155 – 0,05 = iR . (1 + 0,05) 0,105 = iR . 1,05 iR = 0,105/1,05 = 0,1 = 10% ITEM CORRETO: ITEM D 6. ( ESPP - 2012 - BANPARÁ - Técnico Bancário) A taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 10% ao ano no período de capitalização semestral é: a) 10% b) 5,125% c) 21% d) 12,5% e) 10,25%

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7. (FMP-RS - 2011 - TCE-RS - Auditor Público Externo - Administração) A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 18% ao semestre capitalizados mensalmente é a) 15,08%. b) 21,49%. c) 25,66%. d) 19,41%. e) 42,58%.

8. (FGV - 2011 - SEFAZ-RJ - Auditor Fiscal da Receita Estadual - prova 1) Em um período de um ano, a taxa aparente de juros foi de 15%, e a taxa de inflação, de 5%. Assim, a taxa real foi de a) 9,52%. b) 8,95%. c) 10,00%. d) 7,50%. e) 20,75%.

9. (FCC - 2011 - TRE-RN - Analista Judiciário - Contabilidade) Um investimento no valor de R$ 200.000,00 é realizado no início de um determinado ano. No final deste ano, o montante referente a este investimento é resgatado totalmente, e o seu valor foi de R$ 238.560,00. Se a taxa de inflação no período deste investimento foi de 12%, então a taxa aparente e a taxa real correspondentes no mesmo período foram iguais a, respectivamente, a) 18,50% e 7,28%. b) 18,50% e 6,50%. c) 19,28% e 7,28%.

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d) 19,28% e 6,78%. e) 19,28% e 6,50%.

10. (CESPE - 2008 - TJ-DF - Analista Judiciário - Área Administrativa) Em um regime de juros simples, taxas proporcionais são taxas equivalentes. Certo

Errado

11. (CESGRANRIO - 2012 - LIQUIGAS - Profissional Júnior - Administração) Taxas equivalentes constituem um conceito que está dire- tamente ligado ao regime de juros

a) compostos b) nominais c) proporcionais d) reais e) simples

12. (CESPE - 2011 - BRB - Escriturário) Acerca de juros e taxas de juros, julgue os itens a seguir. No regime de juros simples, as taxas de 3% ao mês e 36% ao ano, aplicadas sobre o capital de R$ 100,00 e pelo prazo de dois anos, são proporcionais, pois ambas produzem o montante de R$ 172,00. Certo

Errado

13. (IESES - 2012 - CRF-SC - Contador) Assinale a alternativa correta: a) A taxa de juros de 9% ao mês capitalizado mensalmente é exemplo de uma taxa nominal.

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b) Em juros simples as taxas equivalentes e as proporcionais são sempre iguais. c) Uma aplicação em juros compostos sempre gera um montante maior do que em juros simples. d) Uma série de pagamentos periódica apresenta diferentes intervalos de tempo entre as parcelas a serem pagas.

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3. Planos ou Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Amortização de uma dívida é o processo de extinção progressiva da dívida através de prestações que deverão ser pagas periodicamente. As prestações devem ser suficientes para restituir o capital financiado bem como pagar os juros originados pelo financiamento do capital. Os diferentes critérios utilizados para a composição dos valores das parcelas são chamados de sistemas de amortização. Ao estudarmos um sistema de amortização, é útil considerarmos cada prestação como sendo o resultado da soma de duas partes componentes básicas: juro e cota de amortização.

Valor da prestação = (juro) + (cota de amortização)

Sistema Francês ou Price O valor da prestação R é constante e periódico, podendo ser obtido pela fórmula baixo, onde P é o valor financiado (principal):

Sendo:    

R P i n

o valor da prestação o valor financiado taxa utilizada número total de parcelas

O juro pago em uma dada prestação é sempre calculado sobre o saldo devedor do período imediatamente anterior, sendo menor a cada nova prestação.

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Existe tabela PRICE para achar facilmente a fórmula dada indicada pelo símbolo:

Que na fórmula ficaria da seguinte forma:

A tabela é a seguinte:

Exercícios de Concursos Resolvidos

1. (FCC - 2007 - MPU - Analista - Atuarial) Nascimento emprestou junto ao Banco Crescente S.A. a quantia de R$ 50.000,00 para comprar sua primeira casa. O sistema de amortização pactuado no contrato é o Sistema de Amortização Francês (Sistema Price), a uma taxa de juros de 10% a.a., com pagamento em 5 parcelas anuais de (em R$) a) 13.190,00 b) 15.000,00 c) 16.105,10

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d) 16.589,83 e) 16.805,05 Solução: Temos que,   

P = R$50.000,00 n=5 i = 10% a. a.

Utilizando a fórmula do sistema francês(price):

R = 50000 . 0,26380 R = 13.190,00 ITEM CORRETO: ITEM A

2. (FCC - 2010 - Banco do Brasil - Escriturário) Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00 deverá ser pago por meio de 5 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da concessão do empréstimo. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) com uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, encontrandose R$ 17.468,00 para o valor de cada prestação. Imediatamente após o pagamento da primeira prestação, se S representa o percentual do saldo devedor com relação ao valor do empréstimo, então a) 77% < S < 78% b) 78% < S < 79% c) 79% < S < 80% d) 80% < S < 81% e) 81% < S < 82%

Solução:

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Temos que,    

P = R$80.000,00 n=5 i = 3% a.m. R = R$17.468,00

Após 1 mês da concessão do empréstimo o saldo devedor imediatamente antes do pagamento da parcela é de(vamos abreviar Saldo Devedor por SD): SD = 80000 . (1 + i)1 SD = 80000 . 1,03 SD = 82400 Logo, os juros gerados neste mês foram de: J = 82400 – 80000 J = R$2.400,00 Assim, como foi pago neste mês a quantia de R$17.468,00 , sendo que R$2.400,00, que está dentro dessa parcela, corresponde aos juros, sobrando somente A = 17468 – 2400 A = R$15.048,00 Que corresponde ao valor que abaterá da dívida original, gerando um novo saldo devedor: SD1 = P – A SD1 = 80000 – 15048 SD1 = R$64.952,00 Fazendo a divisão de SD1 por P achamos a porcentagem do novo saldo devedor em relação ao valor do empréstimo original: 64952 / 80000 = 0,8119 = 81,19% ITEM CORRETO: ITEM E

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3. (FCC - 2006 - Banco do Brasil - Escriturário - 001 - DF) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ 15 000,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabese que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é a) R$ 273,30 b) R$ 272,70 c) R$ 270,00 d) R$ 266,70 e) R$ 256,60 Solução: Temos que,   

P = R$15.000,00 n = 10 i = 24% a.a. (nominal) = 2% a.m. (efetiva)

Pessoal, o fator de recuperação nada mais é do que o fator da tabela price:

Assim, a questão já deu que,

Então, utilizando a fórmula Price, temos:

R = 15000 . 0,111 R = 1665

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Acabamos de achar o valor o valor das parcelas, agora precisamos achar o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 1ª parcela, para que possamos calcular os juros gerados do 1º ao 2º mês. Lembre-se do seguinte gráfico:

E lembre-se também que Jn representa o juros de cada parcela e que An representa o valor de amortização da dívida, sendo que Jn + An = R J1 = P. i J1 = 15000 . 0,02 J1 = 300 E como Jn + An = R, A1 = R – J1 A1 = 1665 – 300 A1 = 1365 E como o valor amortizado na primeira parcela foi de R$1.365,00, o no Saldo Devedor fica: SD1 = 15000 – 1365 SD1 = 13635 E o juros que esse saldo vai gerar do 1º ao 2º mês é de: J2 = 13635 . 0,02 J2 = 272,70 ITEM CORRETO: ITEM B

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Sistema de amortização Constante (SAC)

A cota de amortização é constante em todas as prestações e o juro pago em cada uma das prestações corresponde ao total do juro sobre o saldo devedor do período anterior. Como o saldo devedor decresce a cada período, o valor do juro vai ficando menor a cada prestação que, assim, apresentará valores decrescentes.

Assim, para se calcular a cota constante basta dividir o P por n.

Para se achar o juros de um certo período basta achar o saldo devedor e calcular o juros imediatos a ele.

Exercícios de Concursos Resolvidos 4. (CESGRANRIO - 2010 - ELETROBRÁS - Administrador) Um empréstimo de R$ 1.000,00, à taxa de 10% a.a., será pago em 5 prestações anuais. O valor da primeira prestação, a pagar pelo Sistema de Amortização Constante, e o saldo devedor, após esse pagamento, serão, em reais, respectivamente de a) 200,00 e 800,00 b) 200,00 e 900,00 c) 300,00 e 700,00 d) 300,00 e 800,00 e) 300,00 e 900,00

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Solução: Temos que,   

P = R$1.000,00 i = 10% a.a. n=5

Vamos então achar a cota constante da parcela:

A = 1000/5 A = 200 Lembrando do seguinte gráfico, vamos achar J1

J1 = P . i J1 = 1000 . 0,1 J1 = 100 Assim, o valor da primeira parcela será: R1 = A + J1 R1 = 200 + 100 R1 = 300 E o novo saldo devedor será SD1 = P – A SD1 = 1000 – 200 SD1 = 800 ITEM CORRETO: ITEM D

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5. (CESGRANRIO - 2010 - Banco do Brasil - Escriturário) Considere um financiamento de R$ 100.000,00, sem entrada, a ser pago em 100 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Sabendo-se que a taxa de juros, no regime de juros compostos, é de 1% ao mês, a prestação inicial, se o prazo de pagamento for duplicado, será reduzida em a) 100% b) 50% c) 25% d) 10% e) 5% Solução:   

P = R$100.000,00 n = 100 i = 1% a.m.

Vamos calcular a prestação inicial baseada nos dados acima,

A = 100000 / 100 A = 1000 Achemos agora o juros da 1ª parcela: J1 = P . i J1 = 100000 . 0,01 = 1000 Logo a prestação inicial será: R1 = J1 + A R1 = 1000 + 1000 R1 = 2000 Agora, vejamos o caso para n = 200 (o dobro):

A = 100000 / 200 A = 500

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E, J1 = P . i J1 = 100000 . 0,01 = 1000 Logo a nova prestação inicial será: R1 = J1 + A R1 = 1000 + 500 R1 = 1500 Ou seja, uma diminuição de 500, que representa 500/2000 = 0,25 = 25% Logo, se dobrarmos o número de parcelas, diminuímos em 25% o valor da prestação inicial.

ITEM CORRETO: ITEM C

6. (CESGRANRIO - 2008 - Caixa - Escriturário) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será a) 50,00 b) 55,00 c) 60,00 d) 65,00 e) 70,00 Solução: Temos que,   

P = 200,00 n=4 i = 10% a.m.

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Assim,

A = 200 / 4 A = 50,00 O saldo da devedor da 3ª parcela já foi amortizado duas vezes, pois já foi pago duas parcelas e como a cada parcela sempre é amortizado o mesmo valor de A temos que o saldo devedor após o pagamento de duas parcelas é: SD3 = 200 – 50 . 2 SD3 = 100 Logo os juros da 3ª parcela é de: J3 = SD3 . J3 = 100 . 0,1 J3 = 10 Assim a 3ª parcela será R3 = A + J3 R3 = 50 + 10 R3 = 60 ITEM CORRETO: ITEM C

Sistema de amortização misto (SAM)

Neste sistema, cada uma das prestações é a média aritmética das prestações correspondentes calculadas pelo Sistema Francês e pelo SAC. O juro pago em cada prestação corresponde ao total de juro sobre o saldo devedor do período anterior. Em consequência, tanto a componente do juro quanto a da cota de amortização de uma da parcela serão também as médias aritméticas dos valores correspondentes pelos sistema Francês e SAC.

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Exemplo: 1. Um empréstimo de R$5.000,00 deverá ser pago em 10 prestações pelo SAM, com juros de 5% a.m. Qual será o valor da 7ª prestação? Solução: 1º) Cálculo da 7ª prestação no Sistema Francês   

P = 5000 i = 5% n = 10

Utilizaremos a tabela price para achar o valor do fator

:

Logo,

R = 5000 . 0,12950 = 647,50 2º) Cálculo da 7ª prestação pelo SAC Cada prestação é composta de uma cota de amortização (que é constante no SAC) mais o juro sobre o saldo devedor do período anterior. Cota de amortização

Valor do juro na 7ª parcela:  Se estamos calculando os juros sobre a 7ª parcela significa que já foi paga até a 6ª parcela, ou seja, como a cota de amortização é constante então foi amortizado da dívida total

6 x A = 6 x 500,00 = 3000,00

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Logo o Saldo Devedor é de 5000 – 3000 = 2000 Assim o juros do Saldo devedor do 6º para o 7º mês foi de J = 2000 x i J = 2000 x 0,05 J = 100,00 Valor da 7ª prestação pelo SAC: R7 = A + J7 R7 = 500 + 100 = 600,00 3º) Cálculo da 7ª prestação pelo SAM É a média aritmética entre as prestações correspondentes pelos sistemas Francês e SAC:

Exercícios de Concursos Resolvidos

7. (CESGRANRIO - 2013 - BNDES - Profissional Básico - Engenharia) Um banco concedeu a uma empresa de pequeno porte um empréstimo no valor de R$ 50.000,00, cujo contrato prevê um pagamento de 5 prestações mensais postecipadas pelo sistema de amortização misto (SAM), à taxa de juros de 4% ao mês. Sabendo-se que pelo sistema francês de amortização (Price) a amortização da 1a parcela será de R$ 9.231,36, o valor da 2a prestação que a empresa deverá pagar, de acordo com o contrato, será, em reais, de a) 11.231,36 b) 11.415,68 c) 11.600,00 d) 11.615,68 e) 12.000,00

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Sistema Americano de Amortização O sistema americano de amortização é aquele no qual o valor das prestações , que são periódicas, corresponde apenas aos juros do período, exceto na última prestação em que o total financiado é acrescido ao pagamento dos juros, amortizando integralmente a dívida. Sinking Fund O tomador do empréstimo pode formar um fundo de reserva (ou sinking fund) reservando, periodicamente, certa quantia, de tal modo que, na data do pagamento da parcela final do empréstimo, esse fundo de reserva tenha acumulado um montante suficiente para amortizar o valor total financiado.

Sistema americano com Sinking Fund a Uma e a Duas Taxas Quando a taxa de juros utilizada na formação do fundo de reserva é igual à taxa do empréstimo, dizemos tratar-se de sistema americano a uma taxa.

Quando a taxa de juros utilizada na formação do fundo de reserva é diferente, dizemos tratar-se de sistema americano a duas taxas. Valor da provisão mensal para formação do Sinking Fund:

Utiliza-se a fórmula acima para se achar o valor que deverá ser provisionado para a formação do Sinking Fund, onde:    

P R n i

Valor total do empréstimo Valor da provisão mensal número de depósitos de provisão taxa de juros utilizada na formação do fundo de reserva

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E o fator

Pode ser calculado utilizando a seguinte tabela:

Exercícios de Concursos Resolvidos

8. (FUNIVERSA - 2010 - SEJUS-DF - Especialista em Assistência Social Ciências Contábeis) Uma dona de casa fez um empréstimo que será pago segundo o sistema americano de amortizações. Sabendo que o valor do empréstimo foi de R$ 28.926,82, e a taxa cobrada pela instituição financeira foi de 3,457% ao mês, o valor do juro mensal a ser pago por essa dona de casa será de, aproximadamente, a) R$ 9.000,00. b) R$ 6.000,00. c) R$ 4.000,00. d) R$ 2.000,00. e) R$ 1.000,00.

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9. Um empréstimo no valor de R$200.000,00 deve ser pago pelo sistema americano em 24 prestações mensais. Considerando uma taxa de juros compostos de 1,2% a.m., o valor da 5ª prestação será igual a: a) R$1.100,00 b) R$1.200,00 c) R$1.400,00 d) R$2.400,00 e) R$4.600,00 Solução: Todas as parcelas do sistema americano são iguais tirando a última, que é amortizado o valor integral. Todas as parcelas correspondem apenas ao valor dos juros gerados no mês. Como em todo mês é pago apenas os juros o valor do Saldo Devedor é sempre o mesmo, ou seja, o valor integral do empréstimo. Assim, n

n

Repetindo, como toda prestação corresponde ao valor dos juros, o valor da 5ª parcela é também R$2.400,00. ITEM CORRETO: ITEM D 10. (CESGRANRIO - 2010 - ENGENHEIRO(A) DE PRODUÇÃO JÚNIOR PETROBRÁS) Para desenvolver uma tecnologia inovadora na produção de biocombustível, determinada companhia obteve empréstimo de R$ 100.000.000,00 junto a uma instituição financeira internacional. Fixou-se que os juros deveriam ser pagos semestralmente, calculados à taxa efetiva de 20% a.a., e o principal da dívida contraída seria quitado em uma única parcela, a ser amortizada integralmente ao final do prazo acordado. Com vistas ao regular e pontual pagamento do empréstimo, a companhia constituiu um fundo de amortização (sinking fund), em que recolheu prestações mensais e iguais. Na presente hipótese, foi utilizado na transação o (A) Sistema Price. (B) Sistema de Amortização Alemão. (C) Sistema de Amortizações Variáveis. (D) Sistema de Amortização Misto. (E) Sistema de Amortização Americano.

11. Uma dívida de R$80.000,00 foi totalmente paga em 60 prestações mensais pelo sistema americano com juros de 0,8% a.m.. O total dos juros pagos nesta operação foi de:

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a) R$3.840,00 b) R$4.380,00 c) R$8.340,00 d) R$38.400,00 e) R$43.800,00 Solução: Todas as parcelas do sistema americano são iguais tirando a última, que é amortizado o valor integral. Todas as parcelas correspondem apenas ao valor dos juros gerados no mês. Como em todo mês é pago apenas os juros o valor do Saldo Devedor é sempre o mesmo, ou seja, o valor integral do empréstimo. Assim, n

n

Como toda prestação corresponde ao valor dos juros, foi pago 60 vezes esse valor:

Logo o total dos juros pagos nesta operação foi de R$38.400,00. ITEM CORRETO: ITEM D

12. O tomador de um empréstimo no valor de R$250.000,00 deverá pagá-lo em 24 prestações mensais pelo sistema americano, pagando juros de 1% ao mês. Para provisionar o pagamento da última prestação, ele resolve formar um sinking fund numa instituição financeira que também pagará juros de 1% ao mês. Nessas condições o valor da provisão mensal para a formação do sinking fund deverá ser de (Dado que ): a) R$ 10.343,74 b) R$ 9.268,37 c) R$ 8.475,32 d) R$ 7.976,68 e) R$ 6.654,45 Solução: Temos que,   

P = 250.000 n = 24 i = 1%a.m.

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Utilizando a fórmula do sinking fund:

Logo o valor que deverá ser provisionado é de R$9.268,37. ITEM CORRETO: ITEM B

13. (CESGRANRIO - 2013 - BNDES - Profissional Básico - Ciências Contábeis) Um cliente solicitará um empréstimo bancário e, para tirar suas dúvidas, antes de ir ao banco, contratou um consultor particular. Ele informou ao consultor que gostaria de que o empréstimo fosse nas seguintes condições: na prestação calculada, já estivesse incluída parte da amortização da dívida e que, no final da operação, tivesse pagado a menor quantidade de juros possível. Ele não tem restrições quanto ao valor das prestações. Baseando-se nas informações do seu cliente, qual sistema de amortização o consultor deve indicar? a) Americano b) Alemão c) Francês (PRICE) d) SAC (Amortização Constante) e) SAM (Amortização Misto)

14. (CESPE - 2012 - TCE-ES - Auditor de Controle Externo - Conhecimentos Básicos - Todos os Cargos) Considere que, pelo sistema de amortização constante, a primeira parcela de quitação do empréstimo seja superior a R$ 90.000,00 e, pelo sistema Price, igual a R$ 83.000,00. Então, pelo sistema misto, a primeira parcela de quitação do empréstimo será inferior a R$ 82.000,00. Certo

Errado

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15. (CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Contador Júnior - Auditoria Interna)

a) misto b) constante c) radial d) alemão e) francês

16. ( CESPE - 2009 - CEHAP-PB - Contador) Assinale a opção correta acerca de sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos e suas peculiaridades. a) Ao se adotar o sistema de amortização francês, o valor dos juros pagos é constante em cada parcela, já que os mesmos incidem sobre o valor obtido pela divisão entre o saldo devedor e o prazo contratado. Assim, as amortizações são crescentes ao longo do período de pagamento. b) No sistema de amortização constante, o valor da parcela é constante e o valor dos juros diminui a cada prestação. Desse modo, a quota mensal de amortização da dívida principal aumenta ao longo do tempo. c) No sistema de amortização americano, o valor do empréstimo ou financiamento é quitado de uma só vez, no final do período, juntamente com o valor dos juros incorridos ao longo do período da operação. d) No sistema de amortização misto, o valor da prestação é obtido por meio da média aritmética entre o valor da prestação obtido por meio da tabela Price e da tabela do sistema de amortização constante.

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17. ( CESGRANRIO - 2012 - Caixa - Engenheiro Civil) O máximo da remuneração mensal que um indivíduo pode comprometer para pagamento das prestações de empréstimos é de R$ 2.000,00 e, em função da idade, tabelas atuariais limitam o prazo do empréstimo em 100 meses. Considerando taxa de juros de 1% ao mês, qual é o valor da amortização para o maior empréstimo que ele pode tomar pelo Sistema de Amortização Constante (SAC)? a) R$ 1.000,00 b) R$ 1.300,00 c) R$ 1.500,00 d) R$ 1.700,00 e) R$ 2.000,00 18. (CESGRANRIO - 2008 - BNDES - Profissional Básico - Especialidade Economia) Uma pessoa tem uma dívida no início do mês de R$ 120,00 e vai saldá-la integralmente, com pagamentos no início dos três meses seguintes, usando o Sistema de Amortização Constante (SAC). Os juros compostos são de 1% a. m.. Quais são os valores, em reais, dos três pagamentos? a) 40,80 - 40,80 - 40,80 b) 41,00 - 42,00 - 43,00 c) 41,20 - 40,80 - 40,40 d) 41,20 - 41,20 - 41,20 e) 43,00 - 42,00 - 41,00 19.( CESGRANRIO - 2012 - Caixa - Técnico Bancário) Um imóvel de 100 mil reais é financiado em 360 prestações mensais, a uma taxa de juros de 1% ao mês, pelo Sistema de Amortização Francês (Tabela Price), gerando uma prestação de R$ 1.028,61. Reduzindo-se o prazo do financiamento para 240 prestações, o valor de cada prestação é, em reais, aproximadamente, Dado: (1,01) -120 = 0,3 a) 1.099,00 b) 1.371,00 c) 1.428,00 d) 1.714,00 e) 2.127,00

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20. (CESPE - 2010 - TRE-BA - Analista Judiciário - Contabilidade) Considere que um bem imóvel no valor de R$ 82.000,00 deva ser financiado em 8 prestações mensais, com entrada de 20% do valor do imóvel. Considere, ainda, que a financeira utilize o sistema de amortizações constantes, com taxa de juros compostos de 8,4% ao mês. Nessa situação, desprezando os centavos e a cobrança de seguro, é correto afirmar que o valor dos juros pagos na quinta prestação será de R$ 3.444,00. Certo

Errado

21. (CESPE - 2010 - Caixa - Arquiteto) Se uma dívida no valor de R$ 10.000,00 for paga, com juros de 5% ao mês, em 4 prestações mensais e consecutivas, pelo sistema de amortização constante (SAC), a soma das prestações pagas será igual a a) R$ 11.150,00. b) R$ 11.250,00. c) R$ 11.350,00. d) R$ 11.450,00. e) R$ 11.550,00.

22. (CESPE - 2010 - Caixa - Técnico Bancário - Administrativo) Considerando que uma dívida no valor de R$ 12.000,00, contraída pelo sistema de amortização constante (SAC), tenha sido paga em 6 prestações mensais e que o valor dos juros pagos na 5ª prestação tenha sido igual a R$ 80,00, assinale a opção correta. a) A taxa de juros cobrada nessa transação foi de 2% ao mês. b) Todas as prestações foram de mesmo valor. c) Após a 5ª amortização, o valor da dívida era de R$ 4.000,00. d) O valor dos juros pagos na 3ª prestação foi de R$ 200,00. e) A soma das 3ª e 6ª prestações foi igual a R$ 4.000,00.

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23. (CESPE - 2010 - Caixa - Técnico Bancário) Uma dívida no valor de R$ 10.000,00, contraída pelo sistema francês de amortização (tabela Price), com juros de 1,29% ao mês, será paga em 4 prestações mensais. Nesse caso, considerando-se 0,95 como valor aproximado de 1,0129 -4, cada prestação será igual a a) R$ 2.620,00. b) R$ 2.610,00. c) R$ 2.600,00. d) R$ 2.590,00. e) R$ 2.580,00. 24. (CESPE - 2010 - Caixa - Técnico Bancário) Um computador é vendido em 8 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 350,00. Os juros cobrados no financiamento desse computador correspondem a juros compostos mensais de 7% sobre o preço à vista. Nesse caso, considerando-se 0,582 como valor aproximado para , se a primeira prestação for paga um mês após a compra, o preço à vista do computador será igual a a) R$ 2.050,00. b) R$ 2.060,00. c) R$ 2.070,00. d) R$ 2.080,00. e) R$ 2.090,00.

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4. Cálculo financeiro: custo efetivo de operações financiamento, empréstimo investimento

real de e

O Custo Real Efetivo de uma operação nada mais é do que a taxa real já explicada anteriormente, com apenas uma diferença. O custo real efetivo é a taxa da operação no período completo, ou seja, é a taxa real como se a operação tivesse apenas um período. Por exemplo, uma operação que dura 12 meses à taxa de 2% ao trimestre, capitalizados trimestralmente, possui quantos períodos? Bem, a cada três meses eu capitalizo uma vez, logo cada período dura três meses, pois é o tempo necessário para capitalizar. Assim em 12 meses vou possuir 4 períodos, pois esta operação será capitalizada 4 vezes nos 12 meses. Como o Custo Real Efetivo é o mesmo que taxa real, com a única diferença que é em relação à operação inteira, devemos achar a taxa equivalente da taxa real como se toda operação fosse capitalizada em apenas um período. No exemplo anterior teríamos que transformar a taxa de 2% a.t em uma taxa equivalente que possuísse o período 12 meses, para que houvesse apenas um período.

Exemplo 1: Suponha um empréstimo concedido em 18 meses a uma taxa real de 3% a.m. Qual o custo real efetivo desta operação? Solução: - Para achar o custo real efetivo basta achar a taxa equivalente da taxa real fornecida correspondente a apenas um período: Sendo  

icre iR

custo real efetivo taxa real

Temos que, (1 + icre)1 = (1 + iR)18

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(1 + icre)1 = (1 + 0,03)18 1 + icre = 1,7024 icre = 0,7024 = 70,24% Logo o Custo Real Efetivo do empréstimo foi de 70,24%.

Obs.: Custo Real Efetivo é diferente de Custo Efetivo. Custo Efetivo é a taxa aparente equivalente a operação inteira, ou seja, apenas um período. Também chamamos Custo Efetivo de Custo Total Efetivo. O Custo Real efetivo é a taxa equivalente da operação inteira em relação à taxa real.

Exemplo 2: Consideremos um imóvel que custa R$100.000,00 à vista. Carlos não tinha o valor integral para pagar à vista, então financiou pagando 12 parcelas mensais de R$9.456,00, sendo a 1ª prestação paga após um mês. Considerando ainda que neste período de 12 meses incidisse uma inflação acumulada(iia) de 10%, qual foi o custo real efetivo do financiamento? Solução: Note que o sistema adotado neste empréstimo é o sistema price, pois todas as parcelas são iguais a R$9.456,00. Sabendo disto, vamos utilizar a fórmula deste sistema para achar a taxa utilizada na operação: Temos que,   

R = R$9.456,00 P = R$100.000,00 n = 12

Logo,

Agora utilizaremos a tabela Price para achar a taxa utilizada: Use a tabela para achar a taxa “ i ’’:

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i = 2% Essa taxa representa a taxa aparente(iA) mensal, pois em nenhum momento consideramos a inflação adotada, assim acharemos agora o Custo Efetivo. Como o Custo Efetivo(ice) é equivalente a taxa aparente para apenas um período temos: (1 + ice)1 = (1 + iA)12 1 + ice = (1+0,02)12 1 + ice = 1,2682 ice = 0,2682 = 26,82% Agora que achamos o Custo Efetivo e também temos a inflação acumulada de todo o período da operação, podemos utilizar a mesma relação entre a taxa real e aparente para achar o Custo Real Efetivo. A relação entre taxa real e taxa aparente é a seguinte: (1 + iA) = (1 + ii) . (1 + iR) E readaptando a relação para custo efetivo e custo real efetivo, (sendo iia a inflação acumulada) teríamos o seguinte: (1 + ice) = (1 + iia) . (1 + icre) (1 + 0,2682) = (1 + 0,10) . (1 + icre) Rearranjando temos, (1 + icre) .1,1 = 1,2682 (1 + icre) = 1,1529

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icre = 0,1529 = 15,29% Logo o CUSTO REAL EFETIVO da operação foi de 15,29%. Veremos agora como isso é visto em concursos:

Exercícios de Concursos Resolvidos

1. (CESPE - 2010 - BRB - Escriturário) Se o custo real efetivo de uma operação financeira for de 15% e se a taxa de inflação acumulada no período for de 8%, então, nesse caso, o custo total efetivo dessa operação financeira será inferior a 24%. ( )Certo

( )Errado

Solução: A questão nos deu que:  

icre = 15% iia = 8%

Basta usar a relação para encontrar o valor do Custo Efetivo: (1 + ice) = (1 + iia) . (1 + icre) (1 + ice) = (1 + 0,08) . (1 + 0,15) (1 + ice) = 1,242 ice = 0,242 = 24,2% Logo o Custo Efetivo é superior a 24% e não inferior. ITEM CORRETO : ERRADO

2. (FCC - 2006 - Banco do Brasil - Escriturário - 001 - DF) Um financiamento foi contratado, em uma determinada data, consistindo de pagamentos a uma taxa de juros positiva e ainda corrigidos pela taxa de inflação desde a data da realização do compromisso. O custo efetivo desta operação foi de 44% e o custo real efetivo de 12,5%. Tem-se, então, que a taxa de inflação acumulada no período foi de a) 16% b) 20%

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c) 24% d) 28% e) 30%

Solução: A questão nos deu que:  

ice = 44% icre= 12,5%

Basta usar a relação para encontrar o valor da inflação acumulada: (1 + ice) = (1 + iia) . (1 + icre) 1 + 0,44 = (1 + iia) . (1 + 0,125) 1,44 = 1,125 . (1 + iia) 1 + iia = 1,28 iia = 0,28 = 28% Logo a inflação acumulada foi de 28%. ITEM CORRETO: ITEM D

3. (FCC - 2006 - Banco do Brasil - Escriturário - 003 - SP) Um empréstimo foi liquidado através de pagamentos de prestações, a uma taxa de juros positiva, corrigidas pela taxa de inflação desde a data da realização do referido empréstimo. Verificou-se que o custo efetivo da operação foi de 44% e a taxa de inflação acumulada no período foi de 25%. O custo real efetivo referente a este empréstimo foi de a) 14,4% b) 15,2% c) 18,4% d) 19% e) 20%

Solução: A questão nos deu que:  

ice = 44% iia = 25%

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Basta usar a relação para encontrar o valor da inflação acumulada: (1 + ice) = (1 + iia) . (1 + icre) 1 + 0,44 = (1 + 0,25) . (1 + icre) 1,44 = 1,25 . (1 + icre) 1,152 = 1 + icre icre = 0,152 = 15,2% Logo o Custo Real Efetivo foi de 15,2%. ITEM CORRETO: ITEM B

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5. Fluxo de Caixa: Diagramas de Fluxos de Caixa, Equivalência de Capitais no Regime Simples e Equivalência Composta de Capitais Fluxos de Caixa

Fluxos de caixa são os pagamentos e/ou recebimentos envolvidos em certa transação financeira e considerados ao longo de determinado intervalo de tempo.

Exemplo:

Em uma conta corrente bancária, a sucessão de débitos e créditos ocorridos em determinado mês é uma seqüência de fluxos de caixas.

Diagramas de Fluxos de Caixa

Os fluxos de caixa são representados por diagramas. Os diagramas podem representar qualquer situação prática onde ocorram entradas e saídas de dinheiro. Assim, desenhar um diagrama de fluxos de caixa é o primeiro passo que devemos dar para resolver um problema financeiro.

Exemplo:

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No diagrama de fluxos de caixa representado anteriormente foram usadas algumas convenções que iremos usar como padrões:     

O eixo horizontal representa o intervalo de tempo envolvido na situação sob análise e é sempre dividido em períodos de tempo iguais. As flechas para cima representam fluxos de caixa positivos, isto é, dinheiro recebido, resgatado, dinheiro entrando. As flechas para baixo representam fluxos de caixa negativos,ou seja, dinheiro pago, investido , dinheiro saindo, fluindo para fora. Onde não existem flechas desenhadas, não há ocorrência de fluxos de caixa. Sempre que dois ou mais fluxos de caixa ocorrerem ao mesmo tempo, ou seja, no mesmo ponto do diagrama, será considerado o seu valor líquido(soma ou diferença deles).

Exemplo:

Representamos abaixo o diagrama de fluxos de caixa de uma pessoa que investiu R$600,00 numa modalidade de aplicação que pagava juros capitalizados mensalmente, obtendo, após 6 meses, um montante de R$750,00.

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME SIMPLES

Considere o problema da substituição de um ou mais compromissos financeiros por outros, com datas diferentes de vencimento, sem prejuízo para qualquer das partes interessadas (credor e devedor). Este problema pode ser resolvido pela equivalência de capitais.

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Dados dois conjuntos de capitais, cada um deles com sua data de vencimento, dizemos que eles são equivalentes, a uma mesma taxa de juros e para uma mesma data (data focal), se as somas dos valores atuais de cada um dos conjuntos, nesta data, forem iguais. Vamos exemplificar para ficar mais claro.

Exemplo:

Dois títulos cujos valores nominais são de R$15.000,00 e R$18.000,00, com vencimentos para 2 e 6 meses, respectivamente, deverão ser substituídos por um único título, vencível em 4 meses. Se a taxa de desconto comercial simples é de 3% ao mês, qual é o valor nominal do novo título?(obs.: usar a data focal zero)

Solução: Primeiro, devemos encontrar os valores dos dois títulos dados na data focal indicada (zero). 1º título: Achar o valor atual (A1)

Valor Líquido------------------------- + Desconto ------------------------Valor Nominal (100 – 6)%

+ 6% (2 meses)

A1

100% R$15.000,00

80

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Lembre-se que 100% está sobre o valor nominal pois é um desconto comercial simples! Se fosse desconto racional simples o 100% seria o valor líquido. Isto foi visto no capítulo 1.

Fazendo a regra de três temos,

100% 94%

R$15.000,00 A1

2º título: Achar o valor atual (A2)

Valor Líquido------------------------- + Desconto ------------------------Valor Nominal (100 – 18)%

+ 18% (6 meses)

A2

100% R$18.000,00

Fazendo a regra de três temos, 100% 82%

R$18.000,00 A2

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Novo título: O valor atual será A1 + A2 = 14.100 + 14.760 = 28.860

Valor Líquido------------------------- + Desconto ------------------------Valor Nominal (100 – 12)%

+ 12% (4 meses)

R$28.860,00

100% N

Fazendo a regra de três temos,

100% 88%

R$28.860,00 N

Logo, o valor nominal do novo título é R$32.795,45.

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Obs.: No Regime Simples, a mudança de uma data focal por outra pode alterar os resultados do problema. Exemplo: Considerando a mesma situação do exemplo anterior, determinar o valor nominal do novo título usando a data focal 4. Solução: Primeiro, devemos encontrar os valores dos dois títulos dados na data focal indicada (zero). 1º título: Terá seu vencimento adiado de 2 meses para 4 meses (N1)

Valor Líquido------------------------- + Desconto ------------------------Valor Nominal (100 – 6)%

+ 6% (2 meses)

100%

15000

N1

Fazendo a regra de três temos, 100% 94%

N1 R$15.000,00

2º título: Terá seu vencimento antecipado de 6 meses para 4 meses (A1):

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Valor Líquido------------------------- + Desconto ------------------------Valor Nominal (100 – 6)%

+ 6% (2 meses)

100%

A1

R$18.000,00

Fazendo a regra de três temos,

100% 94%

R$18.000,00 A1

Novo título: Como a questão pede o valor do novo título na data focal 4 e os valores já estão na data focal 4 então o valor do novo título será: N1 + A1 = 15.957,45+16.920,00 = 32.877,45

Logo, o valor nominal do novo título é R$32.877,45. Obs.: Perceba que este valor é diferente do obtido no exemplo anterior.

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Exercícios de Concursos Resolvidos 1.(Auditor Fiscal - ESAF - 1993) Determinar a taxa de juros mensal para que sejam equivalentes, hoje, os capitais de R$1.000,00 vencível em dois meses e R$1.500,00 vencível em três meses, considerando-se o desconto simples comercial. a) 15%

b)20%

c) 25%

d)30%

e)33,33%

Solução: Vamos montar o fluxo de caixa:

Como a questão deixou claro que é o desconto comercial simples vamos agora montar a tabela da regra de três com o 100% sob o valor nominal: 1º título: Valor Líquido------------------------- + Desconto ------------------------Valor Nominal (100 – 2I)%

2I

100%

X

R$1.000,00

Fazendo a regra de três temos, 100 - 2I X

100 1000

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Guardemos essa primeira equação encontrada. Vamos agora trazer para a data atual o segundo título, fazendo que o valor dele também seja "X", pois a questão pede que na data atual os dois sejam equivalentes.

2º título: Valor Líquido------------------------- + Desconto ------------------------Valor Nominal (100 – 3I)%

3I

100%

X

R$1.500,00

Fazendo a regra de três temos, 100 - 3I X

100 1500

Agora vamos igualar as duas equações encontradas:

RESPOSTA: ITEM B

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2 .(Auditor Fiscal do Tesouro Nacional - 1996) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de R$1.400,00. As condições contratuais preveem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é: a)R$816,55

b) R$900,00 c) R$945,00 d) R$970,00 e) R$995,00

Solução: Vamos desenhar o fluxo de caixa:

O que devemos fazer é transportar as duas parcelas para a data zero, pois as duas parcelas somadas nesta data serão o valor total financiado. Perceba também que a questão não disse se devemos usar o desconto comercial ou o racional. Neste caso iremos fazer o racional (ou por dentro).

1ª parcela: Valor Líquido------------------------- + Desconto ------------------------Valor Nominal 100 %

4 × 10%

K1

140% R$980,00

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Fazendo a regra de três temos, 100 K1

140 980

K1 = 700 2ª parcela: Valor Líquido------------------------- + Desconto ------------------------Valor Nominal 100 %

11 × 10%

210%

K2

R$420,00

Fazendo a regra de três temos, 100 K2

210 420

K2 = 200

Como X é igual a soma das parcelas na data zero temos que: X = R1 + R2 = 700 + 200 X = 900 ITEM CORRETO: B

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3 .(Auditor Fiscal do Tesouro Nacional - 1996) Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este financiamento foi contratado, há 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. A instituição financiadora não cobra custas nem taxas para fazer estas alterações. A taxa de juros não sofrerá alterações. Condições pactuadas inicialmente: pagamento de duas prestações iguais e sucessivas de R$11.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias. Condições desejadas: pagamento em três prestações iguais: a primeira ao final do 10º mês; a segunda ao final do 30º mês; a terceira ao final do 70º mês. Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor unitário de cada uma das novas prestações é: a) R$8.200,00 b)R$9.333,33 c)R$10.752,31 d)R$11.200,00 e)R$12.933,60

4. (FCC - 2011 - TRT - 4ª REGIÃO (RS) - Analista Judiciário - Área Judiciária) Uma pessoa fez duas aplicações em um regime de capitalização a juros simples: em uma delas, aplicou de um capital de X reais à taxa mensal de 2% e, após 5 meses, aplicou o restante à taxa mensal de 1,5%. Se, decorridos 15 meses da primeira aplicação, os montantes de ambas totalizavam R$ 21 780,00, o valor de X era a) R$ 20 000,00. b) R$ 18 000,00. c) R$ 17 500,00. d) R$ 16 500,00. e) R$ 16 000,00.

5. ( FCC - 2010 - AL-SP - Agente Técnico Legislativo Especializado Tecnologia da Informação) Uma compra de R$ 164,00 será paga em duas parcelas, sendo a primeira à vista e a segunda um mês após a compra. A loja cobra um acréscimo de 5% por mês sobre o saldo devedor. Nessas condições, para que as duas parcelas sejam iguais, o valor de cada uma deverá ser a) R$ 82,00 b) R$ 84,00 c) R$ 84,05 d) R$ 85,05 e) R$ 86,10

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6. (Apostila Matemática Financeira Professor Edgar Abreu - questão 29 pág. 107) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. O primeiro capital ficou aplicado durante o prazo de uma ano e o segundo, durante 8 meses. A soma dos dois capitais e a soma dos correspondentes juros são iguais a R$27.000,00 e R$5.280,00, respectivamente. O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual a a) R$ 5.000,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.000,00 d) R$ 2.500,00 e) R$ 2.000,00 7. ( FGV - 2011 - SEFAZ-RJ - Auditor Fiscal da Receita Estadual - prova 1)

A tabela acima indica dois fluxos de caixa. Sabendo-se que a taxa é de 10% ao ano, juros simples, o valor de X que torna os dois fluxos de caixa equivalentes é a) 67.500. b) 81.250. c) 88.500. d) 76.575. e) 78.500.

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8. (FCC - 2008 - DPE-SP - Oficial de Defensoria Pública) Um computador é vendido à vista por R$ 1.500,00, ou em 12 parcelas iguais de R$ 140,00. A taxa de juro simples mensal embutida no valor de cada prestação da compra a prazo é de a) 12% b) 11% c) 10% d) 9% e) 8%

EQUIVALÊNCIA COMPOSTA DE CAPITAIS

Na equivalência composta de capitais utilizamos da mesma forma o fluxo de caixa para transportar valores a outras datas, mas com a diferença que vamos usar juros compostos ao invés de juros simples.

Capitais Equivalentes Da mesma forma que no juros simples, dados dois conjuntos de capitais, com datas diferentes, são ditos equivalentes quando, transportados para uma mesma data e a uma mesma taxa de juros, produzirem, nesta data, valores iguais. A data para a qual os capitais são transportados é denominado data focal. Vamos exemplificar para melhor entender.

Exemplo:

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Certo título tem valor nominal de R$10.000,00 e vencimento dentro de quatro meses. Qual o valor pelo qual ele deverá ser resgatado hoje, se a taxa de juros considerada é de 1% a.m.?

Solução: Inicialmente, construímos o diagrama de fluxos de caixa correspondente:

Como a data focal é anterior à data do título, devemos fazer uma descapitalização:

Isto significa que os R$10.000,00 com vencimentos dentro de 4 meses são equivalentes aos R$9.609,80 com vencimento imediato. Portanto, o título deverá ser resgatado por R$9.609,80

Fluxos de Caixa Equivalentes

Dois fluxos de caixa são ditos equivalentes quando, ao transportarmos para uma mesma data e à mesma taxa de juros as entradas e saídas de cada

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um deles, as somas dos valores presentes encontrados for a mesma nos dois fluxos.

Exemplo: Uma dívida deve ser resgatada em 4 meses por R$ 2.431,02. Entretanto, o devedor sugere a quitação da mesma em dois pagamentos, sendo o primeiro deles, daqui a três meses, de R$ 1.157,63 e o segundo, três meses depois, de R$ 1.340,10. Mostre que o plano de pagamento proposto pelo devedor é equivalente ao original se considerarmos uma taxa de juros compostos de 5% a.m..

Solução: Vamos transportar para a data focal zero cada um dos valores a serem pagos:

1º Fluxo (do plano original):

Como desejamos "voltar no tempo" por 4 meses o valor dado, faremos uma descapitalização:

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2º Fluxo (do plano sugerido pelo devedor):

Transportando os valores dos dois pagamentos para a data focal zero, teremos:

A + B = 2.000,00

Como a soma dos capitais do segundo fluxo na data focal zero é igual ao capital do primeiro, na mesma data, podemos dizer que os dois financiamentos são equivalentes.

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Atenção: No regime de juros compostos a escolha da data focal não altera a equivalência. Podemos, assim, optar pela da mais conveniente para os cálculos de cada problema.

Exemplo: Na situação proposta no exemplo anterior, verificar que os dois planos são equivalentes utilizando a data focal 6.

Solução:

Vamos transportar para a data focal 6 todos os valores a serem pagos em cada um dos dois fluxos e compará-los: 1º Fluxo:

2º Fluxo:

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Para que os dois fluxos sejam equivalentes na data 6 é preciso que a soma dos capitais do primeiro fluxo na data 6 seja igual à soma dos capitais do segundo fluxo nesta data: Considerando que A seja o valor modificado do fluxo 1e que B seja o valor modificado do fluxo 2, temos:

(Equação de equivalência)

Calculando os valores A e B, teremos:

Substituindo os valores encontrados para A e B na equação de equivalência, podemos observar que eles a satisfazem:

Portanto, podemos concluir que os dois fluxos de caixa são equivalentes para a data 6.

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Exercícios de Concursos Resolvidos

1. (CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Administrador Júnior) Um produto com preço à vista de R$ 442,00 é vendido em duas prestações iguais, em 30 e 90 dias. Se a taxa de juros composta cobrada pelo vendedor é de 10% a.m., determine o valor, em reais, de cada prestação (considere o ano comercial). a) 222,20 b) 242,22 c) 266,20 d) 288,20 e) 300,20 Solução:

O que temos que fazer é transportar as duas parcelas ‘’D’’ para a data 0 (data inicial), somá-las e igualar ao valor que seria pago à vista integralmente. Para você antecipar para a data 0 as parcelas basta dividir cada parcela por

Sendo,  

i - a taxa utilizada; n - a quantidade de períodos a ser adiantada.

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Logo,

2. Uma loja oferece um aparelho celular por R$ 1.344,00 à vista. Esse aparelho pode ser comprado a prazo, com juros de 10% ao mês, em dois pagamentos mensais iguais: um, no ato da compra, e outro, um mês após a compra. O valor de cada um dos pagamentos mensais é, em reais, de (A) 704,00 (B) 705,60 (C) 719,00 (D) 739,20 (E) 806,40 Solução: Nesta questão vamos fazer de duas formas diferentes para que fique bem fixado o conceito dela:

1ª Forma: Esta é a forma mais simples e lógica. Perceba que ele ficou devendo R$1.344,00, pois era o valor do aparelho, mas ele irá pagar mais, já que decidiu parcelar em duas parcelas iguais que chamaremos de R. A primeira parcela ele irá pagar no ato da compra e a segunda daqui um mês, o que significa que ele não irá pagar juros em cima da primeira parcela.

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Quando pagar a primeira parcela ficará devendo (1.344,00 – R). Logo a segunda e última parcela será correspondente a esse restante da dívida mais 10%, logo, utilizando a fórmula de juros compostos, temos:

Onde,    

M é o montante que neste caso é a segunda parcela; C é o capital que sofreu juros; i é a taxa unitária dos juros, que neste caso será 0,1(que representa 10%); n é quantidade meses que o juros incidiu, que neste caso foi 1.

2ª Forma: Vamos pensar em um fluxo de caixa:

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Agora, basta transportar o "segundo R" para a data focal 0, somar ao "primeiro R"e igualar ao valor do aparelho: Chamaremos o novo valor de "X":

Agora basta somar X com R e igualar ao valor do aparelho:

Substituindo o X temos:

Logo o valor das parcelas são de R$ 704,00. Resposta: ITEM A

3.(CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Técnico de Administração e Controle Júnior) O fluxo de caixa a seguir corresponde a um projeto de investimento com taxa interna de retorno de 10% ao ano.

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O valor de X é, em reais, mais próximo de

a) 13.270

b) 13.579

c) 13.831

d) 14.125

e) 14.418

4. (Auditor Fiscal do Tesouro Nacional - 1996) Uma empresa obteve um financiamento de R$ 10.000,00 à taxa de 120% ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou R$ 6.000,00 ao final do primeiro mês e R$ 3.000,00 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é a) R$ 3.250,00 b) R$3.100,00 c) R$ 3.050,00 d) R$ 2.975,00 e) R$ 2.750,00

5. (Auditor Fiscal do Tesouro Nacional - 1991) A uma taxa de 25% ao período, uma quantia de R$ 100,00 no fim do período t, mais uma quantia de R$ 200,00, no fim do período t+1, a uma quantia de a) R$ 406,25 b) R$ 352,50 c) R$ 325,00 d) R$ 300,00 e) R$ 285,00

6. ( CESPE - 2010 - BRB - Escriturário) Julgue os itens a seguir, acerca de custo efetivo, taxas de retorno e rendas. Considere que uma empresa tenha feito um investimento de R$ 20.000,00, para obter fluxos futuros de R$ 12.000,00 e R$ 11.000,00, respectivamente, ao final de cada um dos dois próximos anos. Nesse caso, se a taxa de juros de mercado for inferior a 9% ao ano, o investimento será rentável. Certo

Errado

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7. (CESPE - 2010 - Caixa - Técnico Bancário - Administrativo) Antônio fez os dois investimentos seguintes, em que ambos pagam juros compostos de 3% ao mês. I Três depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 2.000,00; o primeiro foi feito no dia 1.º/3/2009. II Dois depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 3.000,00; o primeiro foi feito no dia 1.º/3/2009. Considerando que sejam, respectivamente, os montantes das aplicações I e II na data do terceiro depósito correspondente ao investimento I, assinale a opção correta. a) b) c) d) e)

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6. Séries de Pagamentos (Anuidades ou Rendas Certas) As rendas certas também são chamadas de anuidades, são séries de pagamentos ou recebimentos que objetivam a liquidação de uma dívida ou a constituição de uma capital ao final das parcelas. No cotidiano, chamamos essas parcelas de prestações.

Classificação das Anuidades

As anuidades diferem entre si quanto ao início do primeiro pagamento ou recebimento,à periodicidade, à duração e aos valores das séries. Dessa forma, podemos classificar:1-

1. Quanto ao início do primeiro pagamento ou recebimento, elas podem ser: 

postecipadas(vencidos) - os fluxos de pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer ao final do primeiro período;



antecipadas - os fluxos começam no início do primeiro período; e



diferidas - há prazo de carência antes do início do fluxo de pagamentos ou recebimentos.No nosso dia-a-dia há vários exemplos de anuidades postecipadas e antecipadas.Quando compramos um bem financiado “sem entrada” ocorre uma série postecipada.

No nosso dia-a-dia há vários exemplos de anuidades postecipadas e antecipadas.Quando compramos um bem financiado “sem entrada” ocorre uma série postecipada. Mas se a compra é “com entrada”, então se trata de uma série antecipada. Os diagramas de fluxo de caixa a seguir representam graficamente as duas possibilidades.

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Os empreendedores muitas vezes vão se deparar com anuidades diferidas. São os casos dos financiamentos de agentes de desenvolvimento, como o BNDES e a FINEP, por exemplo. Muitos projetos exigem um tempo para maturar, isto é, leva algum tempo para surgiremos retornos. Durante esse tempo de maturação, o agente financeiro oferece um prazo de carência, possibilitando que o pagamento do principal só comece após o projeto apresentar os primeiros retornos.O exemplo a seguir ilustra uma série de pagamentos diferida:

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2. Quanto à periodicidade elas podem ser:  

periódicas – quando os intervalos de tempo entre os pagamentos ou os recebimentos são constantes (mensal, anual, diário etc.); aperiódicas – se os fluxos de caixa não obedecem a um intervalo de tempo pré-determinado.

3. Quanto à duração, encontramos anuidades:  

finitas – quando o prazo total do fluxo de pagamentos ou recebimentos é previamente conhecido; perpétuas – se o prazo for indeterminado (ou infinito). Tal tipo é utilizado no cálculo de formação de fundos de pensão e na avaliação do preço das ações das empresas.

4. Quanto aos valores, teremos anuidades:  

constantes – se os pagamentos ou recebimentos são iguais em todos os períodos; variáveis – quando os pagamentos ou recebimentos mudam de valor nos diferentes períodos. Quando compramos um imóvel financiado,normalmente são solicitadas parcelas intermediárias, fazendo com que o fluxo de pagamentos seja variável.

Obs.: As Rendas Certas se referem às rendas que são temporárias, constantes e periódicas e nosso estudo de cálculos, se limitará às rendas certas, pois as outros não são cobradas em concursos em termos de cálculos.

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Cálculos de Rendas Certas

Iremos utilizar as seguintes variáveis:     

VF: valor futuro; VP: valor presente; i: taxa de juros; N: número de períodos PMT ou R: valor das parcelas (TERMOS da série de pagamentos)

Séries Antecipadas e Postecipadas Em fluxos de caixa as séries podem ser representadas da seguinte forma:

Obs.: Para usar as fórmulas, a taxa de juros (i) e o prazo (n) deverão estar SEMPRE na mesma unidade de tempo das parcelas (PMT).

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Então, para resolver exercícios siga os seguintes passos: 1º PASSO: definir se é um problema envolvendo VP ou VF; 2º PASSO: verificar se é termo antecipado ou vencido; 3º PASSO: desenhar o fluxo de caixa; 4º PASSO: escolher qual fórmula utilizar 5º PASSO: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo PMT

EXEMPLOS:

1. Qual será o montante ao final de 5 anos, que um investidor terá poupado, se começar hoje a depositar R$ 200,00 por mês, sendo a taxa de juros de 1% ao mês? dados:

e

Solução:

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Perceba que é uma questão que envolve VF, pois é um investimento e como ele começa hoje é uma série antecipada.

Iremos utilizar a seguinte fórmula:

Substituindo teremos:

2. Uma televisão que à vista custa R$1.800,00, será parcelada 24 prestações mensais, sendo o primeiro pagamento para o próximo mês. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, qual o valor das parcelas? Dados:

e

Solução:

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

Questão envolvendo VP e série postecipada.

Utilizaremos a seguinte fórmula:

Substituindo temos,

Exercícios de Concursos Resolvidos

1. (FCC - 2009 - SEFAZ-SP - Agente Fiscal de Rendas - Prova 1) Uma programação de investimento consiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguais efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos montantes no ato do resgate foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valor de cada depósito é igual a

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a) R$ 10.000,00 b) R$ 10.500,00 c) R$ 11.000,00 d) R$ 11.500,00 e) R$ 12.000,00

2. (FCC - 2010 - DNOCS - Administrador)Um investidor deposita R$ 12.000,00 no início de cada ano em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, tem-se que a soma dos montantes referentes aos depósitos realizados é igual a a) R$ 52.800,00. b) R$ 54.246,00. c) R$ 55.692,00. d) R$ 61.261,20. e) R$ 63.888,00.

3. (AOCP - 2012 - BRDE - Assistente Administrativo) Um funcionário de um banco deseja saber o valor atual de uma série de 12 prestações mensais, iguais e consecutivas, de R$ 150,00, capitalizadas a uma taxa de 5% ao mês. Utilizou a fórmula do valor presente e efetuou os cálculos corretamente, utilizando a aproximação (1 ,05) 12 = 1,80. Assinale a alternativa que apresenta o valor atual, da série em questão, mais próximo do encontrado por esse funcionário. a) R$ 1 315,50 b) R$ 1 333,50 c) R$ 1 365,50 d) R$ 1 383,50 e) R$ 1 395,50

4. (FMP-RS - 2011 - TCE-MT - Auditor Público Externo - Prova matutina) Instruções ao candidato: A solução das questões poderão ser apoiadas pelo uso das tabelas a seguir onde se encontram resultados de cálculos de fórmulas da Matemática Financeira, em especial referente a juros compostos para pagamento único e

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para séries de pagamentos iguais. O candidato deverá escolher a alternativa mais próxima do resultado obtido. Quando for necessário converter unidades de tempo, deve-se considerar que um ano tem 12 meses ou 360 dias, e um mês tem 30 dias.

Uma loja financia a compra de um eletrodoméstico no valor à vista de R$ 1.300,00, em três prestações mensais iguais, sem entrada, isto é, a primeira

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das prestações com vencimento um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada é de 5% ao mês o valor da prestação é a) R$ 454,63. b) R$ 477,36. c) R$ 498,33. d) R$ 501,63. e) R$ 3.540,16.

5. (ESAF - 2010 - CVM - Analista de Mercado de Capitais - prova 1) Pretendese trocar uma série de oito pagamentos mensais iguais de R$ 1.000,00, vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês, por outra série equivalente de doze pagamentos iguais, vencendo o primeiro pagamento também ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do pagamento da segunda série considerando a taxa de juros compostos de 2% ao mês. a) R$ 750,00 b) R$ 693,00 c) R$ 647,00 d) R$ 783,00 e) R$ 716,00

6. (CESPE - 2009 - TCE-AC - Analista de Controle Externo - Ciências Contábeis) Uma pessoa comprou um veículo pagando uma entrada, no ato da compra, de R$ 3.500,00, e mais 24 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 750,00. A primeira prestação foi paga um mês após a compra e o vendedor cobrou 2,5% de juros compostos ao mês. Considerando 0,55 como valor aproximado para 1,025-24, é correto afirmar que o preço à vista, em reais, do veículo foi a) inferior a 16.800. b) superior a 16.800 e inferior a 17.300. c) superior a 17.300 e inferior a 17.800. d) superior a 17.800 e inferior a 18.300. e) superior a 18.300.

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7. (ESAF - 2005 - Receita Federal - Auditor Fiscal da Receita Federal - Área Tecnologia da Informação - Prova 1) (Se necessário utilize as tabelas)

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Uma casa pode ser fi nanciada em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 150.000,00 e uma parcela de R$ 200.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe mudar o esquema de pagamentos para seis parcelas iguais, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e as demais vencíveis a cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada é de 6 % ao trimestre, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a: a) R$ 66.131,00 b) R$ 64.708,00 c) R$ 62.927,00 d) R$ 70.240,00 e) R$ 70.140,00

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Rendas Perpétuas Rendas Perpétuas são aquelas que nunca tem fim, ou seja, que o valor das parcelas representa apenas os juros de cada período, para exemplificar e ficar mais fácil o entendimento vamos ver a questão abaixo:

Exercícios de Concursos Resolvidos 1.(FGV - 2010 - SEAD-AP - Auditor da Receita do Estado - Prova 1) Antônio possui um investimento que dá uma renda líquida de 0,6% ao mês (no sistema de juros compostos) e deseja dar à sua filha uma renda mensal perpétua de R$ 450,00. A quantia que Antônio deve investir para que sua filha tenha essa renda é de: a) R$ 45.000,00 b) R$ 27.000,00 c) R$ 54.000,00 d) R$ 72.000,00 e) R$ 75.000,00 Solução: A renda que a filha de Antônio receberá será os juros que o investimento gera a cada mês, logo 0,6% do Total Investido, que chamaremos de M, é igual a R$450,00:

ITEM CORRETO: TEM E

Séries de Pagamento Diferidas(com carência)

As séries de pagamento diferidas são aquelas que a primeira parcela só ocorre após a passagem de alguns meses, ou seja, existe um prazo de carência para o início dos pagamentos. A carência é um prazo entre a assinatura do contrato e o pagamento da primeira parcela.

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Para de resolver problemas com séries diferidas usamos as mesmas fórmulas de séries antecipadas e postecipadas, basta dividir o problema em duas partes: a parte que o fluxo de caixa se comporta como uma série antecipada ou postecipada e a parte que se transporta um valor de fluxo de caixa normal. Exemplificando fica bem mais simples de entender: Exemplos: 1. Uma pessoa compra um produto em onde parcelas de R$ 100,00. Sabendo que o primeiro pagamento só se dará após 3 meses (carência), qual o preço à vista do produto? (considere uma taxa de juros de 1% a.m.) Solução: Vamos desenhar o fluxo de caixa:

Perceba no fluxo acima o período de carência. Vamos criar um novo valor presente VP* para que a série de comporte como se fosse antecipada:

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Vamos agora transportar o valor VP* para a data zero:

Achamos o VP. Vamos agora criar um novo valor presente VP* para que a série de comporte como se fosse postecipada.

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Mais uma vez achamos o VP. Perceba que o VP achado utilizando a série postecipada é o mesmo valor da VP utilizando série antecipada. Vamos ver como isso cai em concurso.

Exercícios de Concursos Resolvidos

1. (CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Técnico de Administração e Controle Júnior) Use a tabela, se necessário, para resolver a questão.

O fluxo de caixa líquido esperado de um investimento é o seguinte, em milhares de reais:

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Seu valor presente líquido (VPL) na data zero, à taxa de 10% ao ano é, em milhares de reais, mais próximo de a) 2.246 b) 2.418 c) 2.785 d) 3.215 e) 3.471

2. (FCC - 2006 - SEFAZ-PB - Auditor Fiscal de Tributos Estaduais - Prova 1 Uma loja oferece a um cliente 2 opções referentes à compra de determinada marca de televisor: I. À vista, no valor de R$ 4.000,00, sem desconto. II. R$ 500,00 de entrada mais 9 prestações mensais, iguais e consecutivas à taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira 2 meses após a data da compra. O valor de cada prestação em (II) que torna os pagamentos das duas opções equivalentes, segundo o critério do desconto racional composto à taxa de juros compostos de 2% ao mês, é a) R$ 499,80 b) R$ 490,00 c) R$ 489,60 d) R$ 480,00 e) R$ 428,40

3. (CESPE - 2010 - Caixa - Arquiteto) Um servidor se aposentará daqui a 200 meses e pretende aplicar, durante esse período, uma mesma quantia mensal em uma instituição financeira que paga juros compostos mensais de 0,8%. Ele pretende obter, ao final desses 200 meses, um montante que lhe permita fazer retiradas mensais de R$ 784,00 durante os 25 anos seguintes à sua aposentadoria. Nessa situação, considerando 4,92 e 0,09 como valores

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aproximados para 1,008200 e 1,008-300, respectivamente, a quantia a ser aplicada mensalmente pelo servidor durante os 200 meses deverá ser igual a a) R$ 212,00. b) R$ 202,00. c) R$ 192,00. d) R$ 182,00. e) R$ 172,00.

4. (CESPE - 2010 - Caixa - Técnico Bancário) Um computador é vendido em 8 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 350,00. Os juros cobrados no financiamento desse computador correspondem a juros compostos mensais de 7% sobre o preço à vista. Nesse caso, considerando-se 0,582 como valor aproximado para , se a primeira prestação for paga um mês após a compra, o preço à vista do computador será igual a a) R$ 2.050,00. b) R$ 2.060,00. c) R$ 2.070,00. d) R$ 2.080,00. e) R$ 2.090,00.

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7. Avaliação de Alternativas Investimento e Taxas de Retorno

de

Avaliação de Alternativas de Investimento

Para avaliar entre duas ou mais alternativas de investimentos qual é a melhor, utilizamos o método da comparação dos valores atuais. Esse método consiste em transportar para a DATA ZERO todas as entradas e saídas de capital a uma mesma taxa. O valor encontrado é chamado de Valor Presente Líquido(VPL) também chamado de Valor Atual líquido(VAL) e para encontrá-lo devemos descapitalizar os valores a serem transportados pela quantidade de períodos necessários para que as entradas e saídas de capital fiquem na data atual(DATA ZERO). Logo podemos escrever a VPL da seguinte forma:

VPL = VALOR ATUAL DAS RECEITAS – VALOR ATUAL DAS DESPESAS

Ou seja,

Tal que,

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Exemplo: Consideramos que o investidor aplicou um valor a taxa de 1%a.m tal que após quatro meses o valor a ser obtido será de R$10.000,00. Qual o valor inicialmente aplicado?

Solução: Inicialmente iremos construir o diagrama de fluxos de caixa para melhor compreender a questão:

Como a data focal (DATA ZERO) é anterior, vamos fazer a descapitalização de quatro meses para encontrar o valor líquido do fluxo acima:

Logo o valor aplicado (valor presente líquido) foi de R$9.609,80. Veremos agora como isso é cobrado em concursos.

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Exercícios de Concursos Resolvidos 1. (CESGRANRIO - 2009 - BNDES - Profissional Básico - Administração) Considere dois projetos mutuamente exclusivos: começar de imediato a construção já aprovada de uma estrada, ou começar um ano depois, quando o número de veículos demandantes dessa estrada for maior. Começar imediatamente tem um Valor Presente Líquido de R$1.000,00; começar depois leva a um Valor Futuro Líquido, daqui a um ano, de R$1.200,00. A taxa de desconto relevante no ano é de 10%. O valor máximo que o investidor pagaria agora, pela opção de começar em um ano, seria, em reais, aproximadamente, a) 170,00. b) 130,00. c) 90,00. d) 50,00. e) 10,00. Solução: Existem dois investimentos em questão: 1º) Começar imediatamente a construção: Custo 2º) Começar daqui um ano a construção: Custo

R$1.000,00 R$1.200,00

Logo, devemos achar o VPL de cada investimento para que possamos avaliar qual o investimento mais em conta e qual a diferença entre eles. - No primeiro investimento já nos foi dado o VPL (chamaremos o VPL do primeiro investimento de VPL1) já que a obra começa imediatamente: VPL1 = R$1.000,00 - No segundo investimento o valor fornecido foi o custo daqui um ano, logo precisamos transportar o valor de R$1.200,00 para a data atual e achar o VPL do segundo investimento (VPL2):

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Temos que a taxa de desconto relevante no ano é de 10%, essa é a taxa que iremos utilizar para transportar o valor.

Assim, percebemos que o VPL do segundo investimento é R$90,91 mais caro que o do primeiro: VPL2 – VPL1 = 1.090,91 – 1.000,00 = 90,91 Ou seja, se o investidor optar em começar o projeto daqui um ano ele irá pagar aproximadamente o valor de Noventa Reais(R$90,00). ITEM CORRETO: ITEM C

2. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria Interna) Uma indústria está analisando a conveniência de adquirir uma caminhonete no valor de R$ 120.000,00. A utilização do veículo deverá trazer receitas líquidas, nos próximos 4 anos, de R$ 30.000,00, R$ 25.000,00, R$ 30.000,00, e R$ 30.000,00. No final do quarto ano, espera-se vender a caminhonete por R$ 15.000,00. A taxa de retorno esperada pela empresa é de 10% ao ano, e a empresa só deverá adquirir a caminhonete se tal aquisição propiciar ganho financeiro. Considerando-se exclusivamente as informações acima, qual é, em reais, o Valor Presente Líquido dessa operação e, conseqüentemente, a recomendação da compra, ou não, da caminhonete pela empresa?

a) 5.909 – a empresa deve comprar a caminhonete.

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b) 4.199 – a empresa deve comprar a caminhonete. c) 2.460 – a empresa deve comprar a caminhonete. d) (29.038) – a empresa não deve comprar a caminhonete. e) (18.793) – a empresa não deve comprar a caminhonete. Solução: Vamos encontrar a VPL do investimento:

Como sabemos que:

Logo,

Explico que os valores de 30.000, 25.000 e 45.000 são divisíveis por 5.000 e sabendo disto podemos utilizar os dados fornecidos:

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Ou podemos colocar entre parênteses que também significa contabilmente o saldo negativo:

Logo a empresa não deve comprar a camionete, pois terá prejuízo. ITEM CORRETO: ITEM E.

Taxas Interna de Retorno A taxa interna de retorno, é uma taxa que iguala o valor atual de todas as entradas com o valor atual de todas as saídas, ou seja, é a taxa que faz o VPL ser nulo:

Os fluxos de caixa podem admitir várias, uma única, ou nenhuma taxa interna de retorno.

Exemplo:

Considere um fluxo composto por uma entrada de R$1.000,00 no fim do primeiro mês, uma saída de R$2.300,00 no fim do segundo mês e uma entrada de R$1.320,00 no fim do terceiro mês. O fluxo ficaria da seguinte forma:

Para achar a taxa de retorno vamos igualar a VPL a zero:

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1000.(1 + 2i + i2) + 1320 – 2300.(1 + i) = 0 Rearranjando, temos a seguinte equação de 2º grau: 100i2 – 30i + 2 = 0 Que nos fornecerá as seguintes soluções:

Ou

Exercícios de Concursos Resolvidos

3. (CESGRANRIO - 2008 - Caixa - Escriturário) A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de certo projeto.

A taxa interna de retorno anual é igual a a) 10% b) 12% c) 15% d) 18% e) 20% Solução: Vamos montar um fluxo de caixa de acordo com a tabela fornecida:

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Agora vamos fazer o VPL = 0

35 + 35i + 22 - 50(1 + 2i +i2) = 0 - 50i2 – 65i + 7 = 0 Resolvendo a equação do 2º Grau temos que

Ou

A taxa interna de retorno tem de ser sempre positiva por isso a resposta é 10%. ITEM CORRETO: ITEM A

4. (CESGRANRIO - 2008 - TJ-RO - Analista Judiciário - Administração) Uma empresa está analisando a possibilidade de realizar um determinado investimento no montante de R$ 1.200.000,00. Os benefícios de caixa, em reais, trazidos por este investimento são: 1o ano: 250.000,00; 2o ano: 500.000,00; 3o ano: 650.000,00;

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4o ano: 300.000,00. Sabendo-se que a expectativa da empresa é de um retorno mínimo de 15% ao ano, e que a Taxa Interna de Retorno é de 14,78% ao ano, o Valor Presente Líquido (VPL) desse investimento, em reais, será a) 3.333,33 b) 1.125,53 c) zero. d) (2.456,79) e) (5.625,35) Solução: Não confunda retorno mínimo com taxa interna de retorno. Lembre-se que a Taxa interna de retorno é a taxa que faz a VPL = 0, mas não é essa taxa que iremos considerar para o cálculo da VPL, iremos utilizar a taxa mínima de retorno que é a taxa de desconto utilizada pela empresa, pois esta é que é a expectativa da empresa:

Logo a VPL será:

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Taxa Mínima de Atratividade (TMA)

É uma taxa de juros que representa o mínimo que um investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento, ou seja, se o investimento tiver uma taxa de retorno maior do a TMA (taxa mínima de retorno), não vale a pena investir.

Índice de Lucratividade (IL)

Para se comparar dois investimentos se usa o índice de lucratividade, que é dada pela seguinte fórmula:

Vamos ver como isso cai em concurso:

Exercícios de Concursos Resolvidos 1.(FCC - 2009 - TJ-SE - Analista Judiciário - Contabilidade) Sejam os fluxos de caixa abaixo referentes aos projetos P e Q, mutuamente excludentes, a uma taxa de atratividade de 10% ao ano (capitalização anual).

Se o índice de lucratividade do projeto P é igual ao índice de lucratividade do projeto Q , o valor de Y é igual a a) R$ 38.743,00

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b) R$ 38.731,50 c) R$ 38.720,00 d) R$ 36.300,00 e) R$ 33.000,00

2. (FCC - 2010 - SEFIN-RO - Auditor Fiscal de Tributos Estaduais) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de atratividade de 20% ao ano, o índice de lucratividade do projeto apresenta um valor de 1,176.

O valor de X é igual a a) R$ 17.280,00 b) R$ 15.000,00 c) R$ 14.400,00 d) R$ 13.200,00 e) R$ 12.000,00

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3. (CESPE - 2009 - ANTAQ - Analista Administrativo - Ciências Contábeis) Acerca de aspectos que se seguem.

financeiros

dos

investimentos,

julgue

os

itens

Se dois projetos são mutuamente excludentes e o projeto A apresenta fluxo de investimento igual a R$ 1.500.000,00, custo de capital de 10% e fluxo de caixa esperado de R$ 2.500.000,00, ele será preferível ao projeto B, se este apresentar fluxo de investimento de R$ 2.000.000,00, custo de capital de 15% e fluxo de caixa esperado igual a R$ 3.200.000,00. Certo

Errado

4. (CESPE - 2010 - Caixa - Técnico Bancário - Administrativo) Uma instituição financeira capta investimentos oferecendo a taxa interna de retorno de 5% ao mês. Se, ao investir determinada quantia, um investidor fez duas retiradas, uma no valor de R$ 10.500,00 um mês após a data do depósito, e outra, no valor restante de R$ 11.025,00, dois meses após o depósito, então o valor investido foi igual a a) R$ 18.000,00. b) R$ 18.500,00. c) R$ 19.000,00. d) R$ 19.500,00. e) R$ 20.000,00.

5. (CESPE - 2010 - Caixa - Técnico Bancário) Na negociação de uma dívida no valor de R$ 10.000,00, o credor ofereceu as seguintes opções para o devedor. I.

Pagar toda a dívida, no ato da negociação, com desconto de 1,8% sobre o valor da dívida.

II.

Pagar em 2 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem desconto, com a primeira prestação vencendo depois de 2 meses da negociação.

III.

Pagar em 3 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem desconto, com a primeira prestação vencendo um mês após a negociação.

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IV.

Pagar em 4 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem desconto, com a primeira prestação vencendo no ato da negociação.

Considerando

0,99,

0,98

e

0,97

como

valores

aproximados

para , respectivamente, e supondo que o devedor poderá aplicar, no ato da negociação e a juros compostos de 1% ao mês, quantias necessárias ao pagamento da dívida, assinale a opção correta. a) Para o devedor, a opção III é financeiramente mais vantajosa que a II. b) Para ter quantias suficientes para pagar as prestações ao escolher a opção III, o devedor deverá aplicar, no ato da negociação, R$ 9.750,00. c) Se escolher a opção I, o devedor desembolsará R$ 9.800,00 no ato da negociação. d) A opção mais vantajosa financeiramente para o devedor é a I. e) A opção menos vantajosa financeiramente para o devedor é a IV.

PAYBACK

Payback Simples

O Payback é o método para se calcular o prazo de retorno do investimento, ou seja, o tempo necessário para que o valor investido retorne integralmente. O Payback simples não leva em conta a ação do tempo, ou seja, não é necessário retornar para a data zero os valores. Vamos exemplificar:

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Exemplo Investimento T1

T2

T3

T4

-25.000,00

+6.300,00

+6.300,00

+6.300,00

+6.300,00

-25.000,00

-18.700,00

-12.400,00

-6.100,00

+200

3,97 =

+1

+1

+1

+0,97

6.100,00 / 6.300,00 = 0,97 Payback Simples = 3,97

Perceba que nesse exemplo ele investiu R$25.000,00 e só conseguiu recuperar no período T4, embora ele tenha lucrado mais do que necessário para recuperar integralmente o investimento. O cálculo do Payback simples é feito se somando 1 a cada perído integralmente utilizado mais a fração que ele utilizou do último período que não foi utilizado integralmente.

Exercícios de Concursos Resolvidos 1. (FCC - 2011 - TRE-AP - Analista Judiciário - Contabilidade) Uma empresa pretende investir R$ 500.000,00 para a expansão de suas atividades. As estimativas de fluxos de caixa esperados pelo investimento nos próximos 5 anos são, em R$:

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Com base nas informações acima, e desconsiderando o valor do dinheiro no tempo, o payback esperado do investimento, em anos, é a) 5,0. b) 4,6. c) 4,3. d) 4,1. e) 4,0.

Payback Descontado

A única diferença entre o Payback Simples e o Descontado é que no descontado se leva em consideração a ação do tempo sendo necessário trazer para a data zero todos os valores.

Exemplo Usaremos o exemplo do payback simples com uma taxa de 10%. Investimento

T1

T2

T3

T4

T5

T6

-25.000,00 Valor descontado

5727,27

5206,61

4733,28

4302,98

3911,80

3556,19

-25.000,00

-19.272,73

-14.066,11

-9.332,83

-5.029,85

-1.118,05

+2.438,14

5,31 =

+1

+1

+1

+1

+1

+0,31

1.118,05 / 3.556,19 = 0,31 Payback Descontado = 5,31

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Exercícios de Concursos Resolvidos 1. (FCC - 2010 - SEFAZ-SP - Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas - Prova 1) A tabela abaixo registra o fluxo de caixa anual de um projeto de investimento com duração de 4 anos. A terceira coluna fornece os respectivos valores atuais (na data 0) em função da taxa mínima requerida de 10% ao ano.

Utilizando interpolação linear, obtém-se que, pelo método do Payback descontado, o tempo necessário para recuperar o investimento é a) 2,2 anos. b) 2,4 anos. c) 2,6 anos. d) 2,8 anos. e) 3,2 anos.

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Bibliografia utilizada:      

Apostila Vestcon Preparatória para AFRF do Professor Júlio Lociks; Apostila de Matemática Financeira do professor Edgar Abreu Matemática Financeira para Administração do prof. Eduardo Picanço da Universidade Federal Fluminense Vídeo-aula do prof Elisson de Andrade sobre Série de Pagamentos: http://www.youtube.com/watch?v=1-TJxYaB5gg Aulas de Payback do professor Daniel Moura da faculdade UFCG http://www.slideshare.net/danieljp/aula-payback-simples-e-descontado http://profinanceira.com.br/biblioteca/pbd.aspx

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