Matemática Financeira Fácil - 14ª Edição

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MATEMÁTICA FINANCEIRA FÁCIL Antônio Arnot Crespo

14a edição Atualizada

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ISBN 9788502125384 CIP - BRASIL. CATALOGAÇÃO NA FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ. C94m 14.ed. Crespo, Antônio Arnot 5

Matemática financeira fácil / Antônio Arnot Crespo. – 14.ed. atual. – São Paulo : Saraiva, 2009. Contém exercícios ISBN 9788502125384 1. Matemática financeira. I. Título. 09-2315. CDD: 650.01513 CDU: 51-07

Copyright © Antônio Arnot Crespo 2009 Editora Saraiva Todos os direitos reservados.

Diretora editorial: Flávia Helena Dante Alves Bravin Gerente editorial: Marcio Coelho Editoras: Rita de Cássia da Silva Juliana Rodrigues de Queiroz Produção editorial: Viviane Rodrigues Nepomuceno Suporte editorial: Rosana Peroni Fazolari Marketing editorial: Nathalia Setrini Aquisições: Gisele Folha Mós Arte, Produção e Capa: Casa de Idéias

Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio 6

ou forma sem a prévia autorização da Editora Saraiva. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei no 9.610/1998 e punido pelo artigo 184 do Código Penal.

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APRESENTAÇÃO

Este livro destina-se aos alunos de cursos técnicos (Contabilidade, Administração, Secretariado etc.) e, também, aos alunos de cursos superiores que necessitem de um estudo introdutório de Matemática Financeira. Procuramos apresentar os tópicos exigidos para os cursos técnicos da rede de ensino particular e oficial de uma maneira acessível ao aluno, dentro de um esquema de ensino objetivo e prático, sem fugir ao necessário rigor matemático. Com o intuito de aperfeiçoar a obra, promovemos uma importante reformulação, que resultou na atualização do texto e dos assuntos. No Capítulo 7, apresentamos uma rápida abordagem sobre a Correção Monetária e os vários Planos Econômicos. O estudo é complementado por grande quantidade de exercícios, onde procuramos trabalhar com situações práticas. Os exercícios, sempre colocados em pontos estratégicos de cada capítulo, estão divididos em três seções: • Exercícios resolvidos — exemplos para a fixação do assunto estudado; • Resolva — exercícios de aprendizagem imediata; • Exercícios — seqüência graduada de exercícios propostos. No final do livro, colocamos um apêndice com complementos de Matemática, onde apresentamos assuntos que constituem os pré-requisitos para o entendimento da Matemática Financeira, que poderão ser usados ou não, dependendo exclusivamente da necessidade do aluno. Há também uma seção com Tábuas Financeiras e de Logaritmos e tabela para contagem de dias. Esperamos oferecer aos prezados colegas e aos caros alunos um instrumento útil para o aprendizado da Matemática Financeira. Aproveitamos para agradecer a todos aqueles que confiaram em nosso trabalho, utilizando este livro, e, em especial, àqueles que, fazendo suas críticas, deram-nos a oportunidade de melhorá-lo. Continuamos a acolher os pareceres e sugestões para o aperfeiçoamento deste trabalho. O autor

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SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 – PROPORÇÕES 1.1 Introdução 1.2 Razões 1.2.1 Razão de dois números 1.2.2 Razão de duas grandezas 1.3 Proporções 1.3.1 Definição 1.3.2 Elementos 1.3.3 Propriedade fundamental 1.3.4 Cálculo de um termo desconhecido 1.3.5 Recíproca da propriedade fundamental 1.3.6 Transformações 1.4 Série de razões iguais 1.4.1 Propriedade fundamental CAPÍTULO 2 – GRANDEZAS PROPORCIONAIS 2.1 Introdução 2.2 Grandezas diretamente proporcionais 2.2.1 Definição 2.2.2 Gráfico 2.2.3 Propriedade característica 2.2.4 Números diretamente proporcionais 2.2.5 Propriedade dos números proporcionais 2.3 Grandezas inversamente proporcionais 2.3.1 Definição 2.3.2 Gráfico 2.3.3 Propriedade característica 2.3.4 Números inversamente proporcionais 2.4 Grandezas proporcionais a várias outras 9

2.4.1 Definição 2.4.2 Propriedade CAPÍTULO 3 – DIVISÃO PROPORCIONAL – REGRA DE SOCIEDADE 3.1 Divisão proporcional 3.1.1 Introdução 3.1.2 Divisão em partes diretamente proporcionais 3.1.3 Divisão em partes inversamente proporcionais 3.1.4 Divisão proporcional composta 3.2 Regra de sociedade CAPÍTULO 4 – REGRA DE TRÊS 4.1 Definição 4.2 Regra de três simples 4.3 Regra de três composta CAPÍTULO 5 – PERCENTAGEM 5.1 Introdução 5.2 Taxa percentual 5.3 Elementos do cálculo percentual 5.4 Problemas de percentagem 5.5 Taxa unitária 5.6 Fórmula para o cálculo percentual CAPÍTULO 6 – OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 6.1 Introdução 6.2 Vendas com lucro 6.2.1 Sobre o preço de custo 6.2.2 Sobre o preço de venda 6.3 Vendas com prejuízo 6.3.1 Sobre o preço de custo 6.3.2 Sobre o preço de venda 6.4 Abatimentos sucessivos 6.4.1 Fórmula do valor líquido

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CAPÍTULO 7 – OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 7.1 Correção monetária 7.1.1 Moeda 7.1.2 Inflação 7.1.3 Correção monetária 7.2 Os vários planos econômicos 7.2.1 O Plano Cruzado 7.2.2 O Plano Cruzado Novo ou Plano Verão 7.2.3 O Plano Collor 7.2.4 O Plano Real 7.3 Câmbio 7.3.1 Taxa de câmbio 7.3.2 Tabela de taxas de câmbio 7.3.3 Conversão de moedas 7.3.4 Operação cambial CAPÍTULO 8 – JURO SIMPLES 8.1 Introdução 8.2 Juro – capital – taxa 8.3 Regimes de capitalização 8.4 Juro simples 8.5 Cálculo do juro simples 8.6 Taxas proporcionais 8.7 Taxas equivalentes 8.8 Juro comercial e juro exato 8.9 Determinação do número exato de dias entre duas datas 8.10 Montante CAPÍTULO 9 – DESCONTO SIMPLES 9.1 Introdução 9.2 Títulos de crédito 9.3 Desconto 9.4 Desconto comercial 9.4.1 Definição 11

9.4.2 Valor do desconto comercial 9.4.3 Valor atual comercial 9.4.4 Taxa de juro efetiva 9.5 Equivalência de capitais 9.6 Desconto racional 9.6.1 Definição 9.6.2 Valor do desconto racional 9.6.3 Valor do desconto racional em função do valor nominal 9.6.4 Valor atual racional CAPÍTULO 10 – JURO COMPOSTO 10.1 Introdução 10.2 Juro composto 10.3 Cálculo do montante 10.4 Determinação do fator de capitalização 10.4.1 Calculadora eletrônica 10.4.2 Tábua financeira 10.4.3 Logaritmos 10.5 Cálculo do capital 10.6 Taxas proporcionais 10.7 Taxas equivalentes 10.8 Cálculo da taxa equivalente 10.9 Montante para períodos não-inteiros 10.10 Taxa nominal 10.11 Taxa efetiva 10.12 Taxa real e taxa aparente CAPÍTULO 11 – DESCONTO COMPOSTO 11.1 Introdução 11.2 Cálculo do valor atual 11.3 Equivalência de capitais diferidos

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CAPÍTULO 12 – CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTAS 12.1 Introdução 12.2 Rendas 12.3 Capitalização composta 12.3.1 Renda imediata 12.3.2 Renda antecipada 12.4 Amortização composta 12.4.1 Renda imediata 12.4.2 Renda antecipada 12.4.3 Renda diferida CAPÍTULO 13 – EMPRÉSTIMOS 13.1 Introdução 13.2 Sistema Francês de Amortização 13.2.1 Determinação do saldo devedor 13.2.2 Sistema Francês com prazo de carência 13.2.3 Sistema Price 13.3 Sistema de Amortização Constante 13.3.1 Determinação do saldo devedor 13.3.2 Sistema de Amortização Constante com prazo de carência 13.4 Sistema de Amortização Misto 13.5 Empréstimo com correção monetária APÊNDICE – COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA 1. Medidas de tempo 1.1 Transformação de complexo em não-complexo 1.2 Transformação de não-complexo em complexo 2. Potenciação 2.1 Definição 2.2 Bases especiais 2.3 Propriedades 2.4 Expoentes especiais 3. Funções 3.1 Função afim 3.2 Função linear 13

3.3 Função recíproca 3.4 Função exponencial 4. Progressões 4.1 Seqüência 4.2 Progressão aritmética 4.3 Progressão geométrica 5. Logaritmos decimais 5.1 Definição 5.2 Conseqüências da definição 5.3 Propriedades operacionais dos logaritmos 5.4 Característica e mantissa TÁBUAS E TABELAS RESPOSTAS

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1 PROPORÇÕES

1.1 Introdução O conceito de proporção tem uma importância muito grande, não apenas em Matemática, como também no cotidiano. Frequentemente empregamos proporções em nosso dia-a-dia, embora sem utilizar símbolos matemáticos. Quando fazemos uma justa crítica de uma estátua, dizendo que “ela tem uma cabeça muito grande”, não estamos nos referindo à medida absoluta da cabeça. Em uma estátua, a cabeça pode ser “muito grande”, mesmo medindo a metade, um quarto ou um décimo da cabeça verdadeira; é “muito grande” proporcionalmente ao conjunto da própria estátua. O estudo de proporções é de inestimável valor para nós, já que todos os temas a serem desenvolvidos neste livro se baseiam nas grandezas proporcionais. 1.2 Razões 1.2.1 Razão de dois números

Razão do número a para o numero b (diferente de zero) é o quociente de a por b.

Indicamos: ou a : b (lemos: a para b) Os números a e b são os termos da razão; a é chamado antecedente e b, conseqüente da razão. Exemplos: 1. A razão de 3 para 12 é:

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2. A razão de 20 para 5 é:

3. A razão entre

4. A razão entre

e 7 é:

Resolva 1. Calcule a razão entre os números: a) 256 e 960 b) 1,25 e 3,75 c) d) e)

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1.2.2 Razão de duas grandezas

Razão de duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda.

Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro. Exemplos: 1. A razão de 2 m para 3 m é:

2. A razão de 30 dm para 6 m é:

Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. Exemplo: Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é:

Podemos dizer, então, que esse automóvel faz em média 80 km em 1 hora ou 80 km/h.

Resolva 1. Calcule a razão entre as seguintes grandezas: a) 27 km e 3l de álcool 17

b) 40 g e 5 cm3 c) 24 kg e 80 kg d) 20 cm e 4 dm e) 20 d e 2 me 15 d 1.3 Proporções 1.3.1 Definição Dados quatro números (15, 3, 20 e 4), como a razão entre os dois primeiros números (15 e 3) é igual à razão entre os dois últimos (20 e 4), isto é:

dizemos que os números 15, 3, 20 e 4, nesta ordem, formam uma proporção, que expressamos mediante a igualdade das duas razões:

Assim:

Dados, em uma certa ordem, quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d).

Simbolicamente, representamos uma proporção por:

e lemos: “a está para b, assim como c está para d”. Essas anotações põem em evidência o fato de que uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Exemplos: 1.

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2. 1.3.2 Elementos Na proporção:

temos:

1.3.3 Propriedade fundamental Sejam a, b, c e d números reais diferentes de zero, tais que:

Multiplicando os dois membros da igualdade por bd (produto dos conseqüentes da proporção), obtemos:

Simplificando, temos:

o que nos permite dizer que:

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

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Exemplo: Dada a proporção:

temos:

Exercício resolvido 1. Verifique se são ou não verdadeiras as seguintes proporções: a) b) Resolução: a) Temos: 6 × 28 = 168 e 7 × 24 = 168 ⇒ 6 × 28 = 7 × 24 Logo, é verdadeira. b) Temos: 2 × 15 = 30 e 3 × 12 = 36 ⇒ 2 × 15 ≠ 3 × 12 Logo, é falsa.

Resolva 1. Aplicando a propriedade fundamental, verifique se são ou não proporções as seguintes expressões: 20

a) b)

c)

d) 1.3.4 Cálculo de um termo desconhecido Aplicando a propriedade fundamental das proporções, é sempre possível determinar o valor de um termo qualquer quando são conhecidos os outros três.

Exercício resolvido 1. Calcule x nas proporções: a)

b) Resolução: a) Temos, aplicando a propriedade fundamental:

Logo: × = 80 b) Temos:

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Logo:

Resolva 1. Calcule x, sabendo que: a)

b)

c) 1.3.5 Recíproca da propriedade fundamental Consideremos quatro números reais quaisquer (a, b, c e d), diferentes de zero, tais que o produto de dois deles seja igual ao produto dos outros dois, isto é: ad = bc Dividindo ambos os membros dessa igualdade pelo produto de um dos fatores do primeiro membro por um dos fatores do segundo (por exemplo, db), temos:

o que nos permite escrever:

que é uma proporção formada pelos números dados. 22

Podemos, então, concluir que:

Dados quatro números reais e diferentes de zero, tais que o produto de dois deles seja igual ao produto dos outros dois, esses números formam uma proporção que tem para extremos os fatores de um dos produtos e para meios os fatores do outro.

Simbolicamente:

NOTA: • Observe que da igualdade ad = bc podemos, por um processo análogo, obter as proporções:

Exercícios resolvidos 1. Escreva os produtos 11 × 30 = 15 × 22 sob a forma de uma proporção. Resolução: Temos, pela recíproca da propriedade fundamental:

2. Comprove se os números 3, 7, 15 e 35, não obrigatoriamente nesta ordem, formam uma proporção e, em caso afirmativo, escreva-a. Resolução: Temos: 23

3 × 35 = 105 e 7 × 15 = 105 ⇒ 3 × 35 = 7 × 15 Logo:

Resolva 1. Escreva sob a forma de uma proporção os produtos: a) 6 × 25 = 5 × 30 b) 2. Comprove se os números a seguir, não obrigatoriamente na ordem dada, formam proporção; em caso afirmativo, escreva-a: a) 8, 4, 4 e 3 b) 2, 3, 4 e 6 c) 1.3.6 Transformações Transformar uma proporção é escrever seus termos em uma ordem diferente da original. As transformações permitidas em uma proporção são aquelas em que dispomos seus termos de modo que a igualdade dos produtos dos extremos e dos meios não sofra alteração. Assim, dada a proporção:

temos: • alternando os extremos:

• alternando os meios: 24

• invertendo os termos:

• transpondo as razões:

NOTA: • É fácil perceber que podemos obter oito proporções, distintas duas a duas.

Resolva 1. Escreva de oito maneiras diferentes a proporção 1.4 Série de razões iguais Considerando as razões:

vemos que todas são iguais a 2. Logo, podemos escrever:

Essa expressão é denominada série de razões iguais ou proporção múltipla. Em símbolos:

25

NOTA: • A proporção é o caso particular em que a série de razões se reduz a duas razões.

1.4.1 Propriedade fundamental Seja a série de razões iguais:

Fazendo a razão comum igual a k, obtemos:

onde: a = bk, c = dk, …, m = nk Somando membro a membro essas igualdades, vem: a + c + … + m = bk + dk + … + nk Pondo k em evidência, temos: a + c + … + m = k (b + d + … + n) onde:

Como:

podemos escrever:

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Assim:

Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente.

Exemplo:

Exercícios resolvidos 1. Calcule x, y e z, sabendo que

x + y + z = 420.

Resolução: Temos, pela propriedade fundamental da série de razões iguais:

Como x + y + z = 420, podemos escrever:

Daí:

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Logo: x = 108, y = 132 e z = 180 2. Determine os antecedentes de uma proporção, sabendo que sua soma é 47 e que os conseqüentes são 2 e 8. Resolução: Temos, chamando de x e y os antecedentes:

Pela propriedade fundamental da série de razões iguais, podemos escrever:

Como x + y = 60, vem:

Daí:

9,4 + 37,6 = 47,0 Logo, os antecedentes são 9,4 e 37,6, respectivamente.

3. Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que a razão entre eles é . Resolução: Temos, chamando de x e y esses números:

Alternando os meios, essa proporção pode ser escrita assim:

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Pela propriedade fundamental da série de razões iguais, podemos escrever:

Como x + y = 60, vem:

Daí:

Logo, os números pedidos são 24 e 36.

Resolva 1. Calcule a, b e c, sabendo que a + b + c = 180

.

2. Determine os conseqüentes de uma proporção, sabendo que sua soma é 60 e que os antecedentes são 108 e 72. 3. Determine dois números, sabendo que a razão entre eles é

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e que sua soma é 30.

Exercícios 1. Determine a razão entre os números: a) 226 e 1.017 b) 1,25 e 0,75 c) d) 2. Calcule a razão entre as seguintes grandezas: a) 80 m e 48 dam b) 150 m2 e 45 ares c) 0,725 m3 e 5.000 l d) 9 d 17 h 20 min e 8 d 12 h 10 min* 3. Verifique se a razão de 6 me 20 d para 3 a 5 me 20 d é igual à razão de 640 l para 2 m3. 4. Verifique se as seguintes expressões formam proporção:

a) b)

c) 5. Escreva os produtos abaixo sob forma de proporção:

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a) b) 6. Verifique se os quatro números formam uma proporção; em caso afirmativo, escreva a proporção correspondente: a) 8, 5, 16 e 10 b) c) 3, 5, 8 e 10 7. Calcule o valor de x na proporção:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

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h)

8. Escreva uma razão igual a

, cujo antecedente seja .

9. Escreva uma razão igual a , cujo consequente seja

10. Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a

.

e cujos consequentes sejam 28 e 36.

11. Calcule x e y, sabendo que: a)

b) c)

12. Calcule dois números, sabendo que sua soma é 169 e que a razão é .

13. Dois números, cuja soma é 28, guardam entre si a relação . Quais são esses números?

14. Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação . Quais são esses números?

15. A idade de um pai está para a de seu filho como 7 está para . Se a soma das idades é 52, qual a idade de cada um?

16. Decomponha o número

em duas partes, tais que a razão entre elas seja .

17. Qual é o número que, aumentado de 2 unidades, está para 5 assim como 28 está para 20?

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18. Qual é o numero que, diminuído de 3 unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6? 19. A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? 20. A importância de R$ 588,00 foi dividida entre três pessoas. Sabendo que a parte da primeira está para a da segunda como 5 para 7, e que a parte da segunda está para a da terceira como 7 para 9, determine as três partes.

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2 GRANDEZAS PROPORCIONAIS

2.1 Introdução A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas relacionadas de tal forma que, quando uma delas varia, como conseqüência varia também a outra. Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetros percorridos. O tempo gasto numa construção depende do número de operários empregados. A relação entre duas grandezas variáveis estabelece a lei de variação dos valores de uma delas em relação à outra. Segundo tal lei, as grandezas relacionadas podem ser direta ou indiretamente proporcionais. 2.2 Grandezas diretamente proporcionais 2.2.1 Definição Uma barra de alumínio de 100 cm3 de volume pesa 270 g; nas mesmas condições, uma barra de 200 cm3 pesará 540 g e uma de 300 cm3, 810 g. Podemos, então, escrever a seguinte tabela:

Examinando a tabela, vemos que a grandeza massa depende da grandeza volume, já que aumentando uma (volume), a outra (massa) também aumenta. Além disso, notamos que:

Chamando de x a grandeza volume e de y a grandeza massa, temos: y x

ou y = 2,7x Dizemos, neste caso, que as seqüências de números** (100, 200, 300, 500) e (270, 540, 810, 34

1.350) são diretamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são diretamente proporcionais e 2,7 é a razão ou coeficiente de proporcionalidade. Assim:

Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais (ou, simplesmente, proporcionais) se os valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo: y = kx, onde k é um número real constante, diferente de zero.

2.2.2 Gráfico Como a função do tipo y = kx é uma função linear,*** o gráfico que representa a proporcionalidade direta de duas grandezas é uma reta passando pela origem. De fato, lembrando que para x = 0 temos y = 0:

2.2.3 Propriedade característica Sendo (x1, y1) e (x2, y2) pares de valores correspondentes de duas grandezas proporcionais, podemos escrever:

Alternando os extremos, obtemos: 35

que nos dá a propriedade característica das grandezas diretamente proporcionais:

Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.

NOTAS: • A proporcionalidade entre duas grandezas, quando não resultante de uma dedução lógica ou de uma definição, só existe dentro de certos limites. Assim, na compra por atacado, por exemplo, o preço por unidade é menor do que nas compras a varejo. • Para caracterizarmos a proporcionalidade de duas grandezas não é suficiente verificar se o aumento de uma delas acarreta o aumento da outra. É necessário que, ao multiplicarmos uma delas por um número real k diferente de zero, a grandeza correspondente também fique multiplicada por k. Por exemplo, o lado de um quadrado e a sua área não são grandezas proporcionais, pois, multiplicando-se o lado por 2, a área fica multiplicada por 4.

2.2.4 Números diretamente proporcionais

As sequências de números reais e não-nulos (a1, a2, …, an) e (b1, b2, … …, bn) são diretamente proporcionais (ou, simplesmente, proporcionais) se, e somente se:

ou, então: a1 = kb1, a2 = kb2, …, an = kbn

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NOTA: • É indiferente dizermos que duas sequências de números A e B são diretamente proporcionais ou que os números das sequências A e B são diretamente proporcionais.

Exercícios resolvidos 1. O comprimento de uma peça de tecido e seu preço são grandezas diretamente proporcionais? Por quê? Resolução: Sim, porque multiplicando-se o comprimento da peça por um número diferente de zero, o preço fica multiplicado por esse número. 2. Verifique se são diretamente proporcionais as sequências de números (6, 9, 12, 15) e (2, 3, 4, 5). Resolução: Temos:

Logo, essas sequências de números são diretamente proporcionais e a razão de proporcionalidade é 3. 3. Os números das sequências (6, 9, 20) e (2, 3, 6) são proporcionais? Resolução: Temos:

Logo, esses números não são proporcionais. 4. Sendo x e y grandezas diretamente proporcionais, calcule os valores de a e b:

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Resolução: Sendo k a razão de proporcionalidade, temos:

Logo:

Assim: a = 27 e b = 13

Resolva 1. O número de dias gastos na construção de um muro é diretamente proporcional ao número de operários empregados nesse serviço? Por quê? 2. Verifique se são ou não proporcionais os números das sequências: a) (40, 38, 35) e (8, 7, 5) b) (5, 6, 7) e (75, 90, 105) 3. Qual é a razão de proporcionalidade entre as sequências de números diretamente proporcionais (5, 8, 11) e (40, 64, 88)? 4. Determine os valores de a e b nas sequências de números proporcionais (6, a, 21) e (2, 5, b).

38

2.2.5 Propriedade dos números proporcionais

Dadas duas sequências de números proporcionais, multiplicando-se todos os elementos de uma das sequências por um número qualquer diferente de zero, a nova sequência continua sendo proporcional à outra.

Consideremos as sequências de números (5, 7, 9) e (15, 21, 27). Temos:

Logo, essas sequências de números são diretamente proporcionais. Multiplicando por 6 os elementos de qualquer uma das sequências (por exemplo, os da primeira), as razões ficam multiplicadas por 6 mas continuam iguais, isto é:

o que nos mostra que as sequências (30, 42, 54) e (15, 21, 27) continuam sendo proporcionais.

Exercício resolvido 1. Quais os menores números inteiros proporcionais aos números Resolução: Vamos multiplicar cada um dos números dados pelo menor múltiplo comum dos denominadores. Como o m.m.c. (3, 4, 6) = 12, temos:

Logo, os números pedidos são 8, 9 e 2.

39

Resolva 1. Dados os números números.

, determine os três menores números inteiros proporcionais a esses

2.3 Grandezas inversamente proporcionais 2.3.1 Definição Uma distância de 1.200 km pode ser percorrida por um avião, a uma velocidade de 100 km/h, em 12 horas; a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; e a uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas. Podemos, então, escrever a tabela:

Vemos que, também aqui, a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que aumentando a velocidade o tempo diminui. Porém, agora temos: 12 × 100 = 6 × 200 = 4 × 300 = 3 × 400 = 1.200 ou:

Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos: yx = 1.200 ou:

Dizemos, então, que as sequências de números (100, 200, 300, 400) e (12, 6, 4, 3) são inversamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são inversamente proporcionais e 1.200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade. 40

Assim:

Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais se os valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo:

onde k é um número real constante, diferente de zero.

2.3.2 Gráfico Sendo a função do tipo uma função recíproca,* o gráfico representativo da proporcionalidade inversa de duas grandezas é um ramo de uma hipérbole:

2.3.3 Propriedade característica Sendo (x1, y1) e (x2, y2) pares de valores correspondentes de duas grandezas inversamente proporcionais, podemos escrever: x1y1 = x2y2 ou:

41

que nos dá a propriedade característica das grandezas inversamente proporcionais:

Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra.

2.3.4 Números inversamente proporcionais

As sequências de números reais e não-nulos (a1, a2, …, an) e (b1, b2, …, bn) são inversamente proporcionais se, e somente se: a1b1 = a2b2 = … = anbn = k’ (constante) ou, então:

NOTA:

• Se , então as sequências (a1, a2, …, an) e são diretamente proporcionais. Logo, se os números da sequência (a1, a2, …, an) são inversamente proporcionais aos da sequência (b1, b2, …, bn), então os primeiros são diretamente proporcionais aos inversos dos números da segunda.

42

Exercícios resolvidos 1. O número de dias gastos na execução de uma obra é direta ou inversamente proporcional ao número de máquinas empregadas na obra? Por quê? Resolução: É inversamente proporcional, porque, ao multiplicarmos o número de máquinas por um número qualquer diferente de zero, o número de dias necessários para a execução da obra fica dividido por esse número. 2. Verifique se são ou não inversamente proporcionais as sequências de números: a) (2, 3, 6, 10) e (45, 30, 15, 9) b) (2, 5, 8) e (40, 30, 20) Resolução: a) Temos: 2 × 45 = 3 × 30 = 6 × 15 = 10 × 9 = 90 Logo, são inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade é 90. b) Temos: 2 × 40 ≠ 5 × 30 Logo, não são inversamente proporcionais. 3. Determine os valores de a e b nas seqüências de números inversamente proporcionais (2, 3, b) e (15, a, 5). Resolução: Temos: k′ = 2 × 15 ⇒ k′ = 30 Daí:

43

Logo: a = 10 e b = 6

Resolva 1. Dê um exemplo de grandezas inversamente proporcionais. 2. Verifique se são ou não inversamente proporcionais as sequências de números: a) (20, 12, 10) e (6, 10, 12) b) (1, 2, 5) e (4, 8, 20) 3. Qual é o fator de proporcionalidade entre as sequências de números inversamente proporcionais (1, 3, 5) e (60, 20, 12)? 4. Sabendo que os números das sequências (1, a, –4) e (4, 2, b) são inversamente proporcionais, determine a e b. 2.4 Grandezas proporcionais a várias outras 2.4.1 Definição Uma grandeza pode ser proporcional a duas ou mais grandezas, isoladamente. Por exemplo, o número de dias necessários para construir um muro depende não apenas do número de operários, mas também do número de horas de trabalho diário dos operários, das dimensões do muro etc.

Dizemos que uma grandeza é proporcional a várias outras se é direta ou inversamente proporcional a cada uma delas quando as demais não variam.

Em particular, uma grandeza x é proporcional a duas outras y e z quando, fixando uma destas últimas, a grandeza x varia proporcionalmente à outra.

44

2.4.2 Propriedade

Se uma grandeza variável é ao mesmo tempo diretamente proporcional a algumas grandezas e inversamente proporcional a outras, então cada valor dessa grandeza é proporcional ao produto dos valores correspondentes das grandezas diretamente proporcionais, multiplicado pelo produto dos inversos dos valores correspondentes das grandezas inversamente proporcionais.

Seja X uma grandeza proporcional às grandezas A e B e, ao mesmo tempo, inversamente proporcional às grandezas C e D. Se x, a, b, c e d são valores correspondentes dessas grandezas, pela definição existe uma constante k, diferente de zero, tal que:

ou:

Então, sendo x1, al, b1, c1, d1 e x2, a2, b2, c2, d2 valores correspondentes das grandezas X, A, B, C e D, temos:

Daí:

ou:

45

Exercícios 1. Uma fração é direta ou inversamente proporcional ao seu numerador? Por quê? 2. Uma fração é direta ou inversamente proporcional ao seu denominador? Por quê? 3. A soma de dois números é diretamente proporcional a cada uma das parcelas? Por quê? 4. A diferença entre dois números é inversamente proporcional ao subtraendo? Por quê? 5. O produto de dois números é direta ou inversamente proporcional a cada um de seus fatores? Por quê? 6. O quociente é direta ou inversamente proporcional ao divisor? Por quê? 7. Diga se são direta ou inversamente proporcionais as seguintes grandezas: a) quantidade de metros de arame e preço b) velocidade e tempo c) tempo e número de operários empregados para um determinado serviço d) salário e número de horas de trabalho e) quantidade de alimento e número de pessoas a serem alimentadas 8. Dê exemplos de: a) grandezas diretamente proporcionais; b) grandezas inversamente proporcionais. 9. Verifique se são ou não proporcionais as seguintes sucessões de números; em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade: a) 120, 180 e 375 48, 72 e 150 b) 0,24; 0,21 e 0,15 46

0,8; 0,7 e 0,05 10. Verifique se são ou não inversamente proporcionais as sucessões de números a seguir; em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade: a) 90, 60 e 45 28, 42 e 56 b) 0,45; 0,12 e 0,035 10,5; 2,8 e 36 11. Determine o fator de proporcionalidade entre as seguintes sucessões de números proporcionais: a) 4, 16 e 20 12, 48 e 60 b)

12. Determine o coeficiente de proporcionalidade entre as seguintes sucessões de números inversamente proporcionais: a) 6, 10 e 5 20, 12 e 24 b) 42, 35 e 32 13. Determine os valores de x, y e z nos seguintes grupos de números diretamente proporcionais: a) x y 0,7 252 b)

14. Determine os valores de m, n e p nos seguintes grupos de números inversamente proporcionais: 47

a) 5 n p 7 m 4 14 8 b) m

n

9

1

15. Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números: a) b) 0,5; 2,37; 0,8 e 3,4 16. Quais os menores números inteiros inversamente proporcionais aos números 3, 4, 5 e 8?

48

3 DIVISÃO PROPORCIONAL – REGRA DE SOCIEDADE

3.1 Divisão proporcional 3.1.1 Introdução Suponhamos que Antônio, José e Pedro tenham se associado para comprar um terreno no valor de R$ 60.000,00. Antônio entrou com R$ 30.000,00, José com R$ 20.000,00 e Pedro com R$ 10.000,00. Algum tempo depois, venderam esse terreno por R$ 90.000,00. Qual é a parte que cabe a cada um deles? Por convenção, a cada real empregado na compra do terreno deve corresponder a mesma quantia resultante da venda, isto é, uma quota. Essa quota é, na verdade, o quociente do preço de venda pelo preço de compra:

Logo, os três sócios devem receber as seguintes quantias: • Antônio:

30.000,00 × 1,5 = R$ 45.000,00

• José:

20.000,00 × 1,5 = R$ 30.000,00

• Pedro: 10.000,00 × 1,5 = R$ 15.000,00 Escrevendo as razões entre as quantias recebidas e empregadas individualmente, obtemos:

A igualdade entre essas razões mostra que as quantias que os sócios receberam na venda são números proporcionais às quantias empregadas na compra do terreno. Assim, concluímos que o produto da venda foi dividido em três partes proporcionais às partes da compra. Podemos, então, afirmar que:

Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados é decompô-lo em 49

parcelas proporcionais a esses números.

3.1.2 Divisão em partes diretamente proporcionais Suponhamos que você queira dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 11. Isso significa dividir o número 180 em três parcelas, tais que a razão da primeira parcela para o número 2 seja igual à razão da segunda parcela para o número 5 e igual à razão da terceira parcela para o número 11. Assim, chamando de x, y e z, respectivamente, cada uma dessas parcelas, devemos verificar que:

Além disso, como x, y e z são as parcelas em que dividimos o número 180, devemos ter: x + y + z = 180 Como (1) é uma série de razões iguais, podemos escrever, pela propriedade (p. 11):

ou:

Como

, temos:

Daí:

Sendo 20 + 50 + 110 = 180, concluímos que as partes procuradas são: 20, 50 e 110. 50

NOTA: • Por convenção, chamamos, simplesmente, de divisão proporcional a divisão diretamente proporcional.

Exercício resolvido 1. Divida o número 70 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 5. Resolução: Indicando as partes por x, y e z, devemos ter:

Como:

vem:

Logo, as partes procuradas são: 14, 21 e 35

51

Resolva 1. Divida o número 2.990 em partes proporcionais a 5, 7 e 11.

Exercício resolvido 1. Divida 184 em partes diretamente proporcionais a , e . Resolução: De acordo com a propriedade dos números proporcionais (p. 19), multiplicando todos os números da sequência , e pelo m.m.c. dos consequentes (12), obtemos uma sequência de números inteiros que mantém a proporcionalidade e facilita os cálculos:

Resulta, então:

Como:

vem:

52

Logo, podemos afirmar que as partes são: 48, 64 e 72

Resolva 1. Divida 183 em partes proporcionais a ,

e

.

2. Dois operários contratam um serviço por R$ 180,00. Como devem repartir essa quantia, se um trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de serviço? 3.1.3 Divisão em partes inversamente proporcionais Suponhamos, agora, que você queira dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6. Isso significa dividir o número 210 proporcionalmente aos inversos dos números 3, 5 e 6, isto é, determinar parcelas x, y e z, tais que:

Como o m.m.c. (3, 5, 6) = 30, temos:

Logo:

Como:

53

vem:

Logo, as partes procuradas são: 100, 60 e 50

Resolva 1. Divida o número 260 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. 2. Um pai deixou R$ 2.870.000,00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa das suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um? 3.1.4 Divisão proporcional composta Neste caso, o problema consiste em dividir um número em partes direta ou inversamente proporcionais a certos números a, b, c e, simultaneamente, em partes direta ou inversamente proporcionais a outros tantos números a’, b’, c’. Tomando por base o que vimos sobre grandezas proporcionais a várias outras, podemos achar o processo de resolução do problema. Consideremos, para efeito de raciocínio, o caso da divisão da grandeza de valor n em partes proporcionais aos números a, b, c e também aos números a’, b’, c’, respectivamente. Sejam x, y, z os valores das partes pedidas. Como x, y, z são proporcionais a a, b, c e também a a’, b’, c’, são grandezas compostas; portanto, são proporcionais, respectivamente, aos produtos aa’, bb’, cc’ (p. 26). Resulta, então, a seguinte estrutura:

54

Exercícios resolvidos 1. Divida 392 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2, 3, 4 e a 3, 5, 7. Resolução: Temos:

Logo, as partes são: 48, 120 e 224

2. Divida 175 em partes diretamente proporcionais a , 3, 4 e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a , 6, 2. Resolução: Temos:

Daí:

Logo, as partes são: 70, 21 e 84

55

Resolva 1. Divida o número 2.190 em três partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e a 6, 7, 8. 2. Divida 6.050 em três partes que sejam, a um tempo, inversamente proporcionais a 3, 5 e 6 e diretamente proporcionais a 4, 6 e 9. 3. Divida 292 em três partes ao mesmo tempo inversamente proporcionais a 3, 5 e 6 e a 4, 6 e 9.

Exercício resolvido 1. Divida 363 em três partes, de modo que a segunda seja o dobro da primeira e a terceira o quádruplo da segunda. Resolução: Considerando a primeira parte proporcional a 1, temos: 1a → 1 2a → 2 × 1 = 2 3a → 4 × 2 = 8 Como o problema resulta em dividir 363 em partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 8, temos:

Logo, as partes são:

56

33, 66 e 264 3.2 Regra de sociedade A regra de sociedade é uma das aplicações da divisão proporcional. Tem por objeto a divisão dos lucros ou dos prejuízos entre as pessoas (sócios) que formam uma sociedade, por ocasião do Balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída de um dos sócios ou da admissão de um novo sócio. Por convenção, o lucro ou o prejuízo é dividido pelos sócios proporcionalmente aos capitais que empregaram, levando-se em conta as condições estipuladas no contrato social. Classicamente, há quatro casos a considerar: 1o) Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo. A fim de obtermos a parte de cada sócio, dividimos o lucro ou o prejuízo pelo número deles. Exemplo: Três sócios obtiveram um lucro de R$ 222.600,00. Sabendo que seus capitais eram iguais, vamos determinar a parte de cada um nos lucros:

Logo, a parte de cada um no lucro é de: R$ 74.200,00 2o) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo. Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuízo em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios. Exemplo: Por ocasião do Balanço anual de uma firma comercial formada por três sócios, verificou-se um prejuízo de R$ 27.000,00. Vamos determinar a parte correspondente a cada sócio, sabendo que seus capitais são de R$ 540.000,00, R$ 450.000,00 e R$ 360.000,00:

Logo, o prejuízo correspondente a cada sócio é, respectivamente, de: R$ 10.800,00, R$ 9.000,00 e R$ 7.200,00 3o) Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais. Teoricamente, o lucro ou o prejuízo correspondente a cada sócio seria determinado dividindo-se o lucro ou o prejuízo da sociedade em partes diretamente proporcionais aos tempos. Porém, na prática este caso não ocorre porque, em uma sociedade, os sócios não podem 57

permanecer por tempos desiguais. No momento em que um antigo sócio se retira ou um novo sócio é admitido, procede-se a uma reforma do contrato social, após o Balanço, calculando-se o Ativo e o Passivo. 4o) Os capitais são desiguais e empregados durante tempos também desiguais. Teoricamente, as partes do lucro ou do prejuízo seriam diretamente proporcionais aos produtos dos capitais pelos respectivos tempos. Também neste caso vale a observação feita para o caso anterior.

NOTA: • Não devemos confundir este caso com aquele em que os sócios integralizam suas quotas de capital em épocas diferentes.

Exercício resolvido 1. Antônio e José organizaram uma firma comercial com um capital social de R$ 2.000.000,00, devendo cada um deles entrar com R$ 1.000.000,00. No ato da organização, 1o de março, Antônio integralizou sua quota e José contribuiu com apenas R$ 700.000,00, responsabilizando-se por integralizar sua quota após 5 meses. Em 31 de dezembro foi procedido o Balanço, tendo sido apurado um lucro de R$ 740.000,00. Qual a parte a ser creditada a cada sócio? Resolução: Antônio, tendo integralizado seu capital de R$ 1.000.000,00 em 1o de março, terá um lucro diretamente proporcional a esse capital durante os 10 meses (1o de março a 31 de dezembro), isto é, diretamente proporcional a 1.000.000,00 × 10 ou 10.000.000,00. José, tendo completado seu capital em 1o de agosto, terá uma parte do seu lucro correspondente a R$ 700.000,00 durante 10 meses (1o de março a 31 de dezembro) e outra relativa aos restantes R$ 300.000,00 durante 5 meses (1o de agosto a 31 de dezembro); a primeira é diretamente proporcional a 700.000,00 × 10 ou 7.000.000,00 e a segunda, a 300.000,00 × 5 ou 1.500.000,00. Assim, seu lucro é diretamente proporcional a 7.000.000,00 + 1.500.000,00 = 8.500.000,00. Temos, então:

58

Logo, a Antônio devem ser creditados R$ 400.000,00 e a José, R$ 340.000,00.

Exercícios 1. Divida o número 870 em partes diretamente proporcionais aos números 7, 10 e 12.

2. Divida 3.751 em partes diretamente proporcionais a ,

e

.

3. Divida o número 325 em partes diretamente proporcionais aos números 0,4; 1,2 e 3,4. 4. Divida o número 870 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 5 e 9.

5. Divida o número 3.161 em partes inversamente proporcionais a ,

e

.

6. Decomponha 760 em partes inversamente proporcionais a 0,4; 3,2 e 6,4. 7. Divida o número 414 em partes diretamente proporcionais a 4, 8 e 10 e a 5, 6 e 7, ao mesmo tempo. 8. Divida o número 1.842 em partes diretamente proporcionais, simultaneamente, aos números 3, 5e9e ,

e

.

9. Divida o número 330 em partes inversamente proporcionais, simultaneamente, aos números 3, 2 e 8 e 2, 4 e 6.

10. Divida o número 1.080 em partes diretamente proporcionais a proporcionais a 5 e 6, ao mesmo tempo.

59

e

e

inversamente

11. Três técnicos receberam ao todo R$ 2.550,00. O primeiro trabalhou 15 dias à razão de 6 horas por dia; o segundo, 25 dias à razão de 4 horas por dia; e o terceiro, 30 dias à razão de 5 horas por dia. Quanto recebeu cada um deles? 12. Uma pessoa, ao morrer, deixou a herança de R$ 21.720.000,00 para ser repartida entre três herdeiros, ao mesmo tempo, em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e ,

e

e

inversamente a

.

13. Para a execução de um serviço, foram empregados 12 homens, 20 mulheres e 30 menores. Sabendo que o pagamento total foi de R$ 16.200,00, que cada mulher recebeu um homem e que cada menor recebeu homem, cada mulher e cada menor?

da quantia de

da quantia de cada mulher, quanto recebeu cada

14. Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 18.000,00, R$ 22.500,00 e R$ 27.000,00 e obtiveram um lucro líquido de R$ 27.000,00. Qual será a parte de cada um? 15. Três sócios realizaram um capital de R$ 240.000,00. Sabendo que, ao fim de um certo período de tempo, tiveram de lucro, respectivamente, R$ 24.000,00, R$ 22.000,00 e R$ 18.000,00, qual era o capital de cada um? 16. Duas pessoas constituíram uma sociedade com os capitais de R$ 90.000,00 e R$ 76.000,00, respectivamente. A primeira recebeu, na divisão do lucro, R$ 1.722,00 a mais que a segunda. Calcule o lucro de cada uma delas. 17. Dois sócios fundaram uma sociedade com um capital de R$ 720.000,00. No momento de liquidar a sociedade, o primeiro recebeu capital mais lucro num total de R$ 207.000,00. Sabendo que o lucro total foi de R$ 108.000,00, qual o capital de cada sócio? 18. Três sócios devem repartir entre si o lucro de R$ 1.012.500,00. O primeiro sócio entrou para a sociedade com o capital de R$ 450.000,00 e o segundo, com R$ 675.000,00. O lucro do terceiro foi de R$ 450.000,00. Com quanto o terceiro sócio entrou para a sociedade e qual foi o lucro dos outros dois? 19. Três sócios organizaram uma sociedade em 1o de janeiro, comprometendo-se, cada um, a empregar um capital de R$ 117.000,00. Nesse dia, o primeiro entrou com R$ 93.600,00, o segundo com a metade e o terceiro integralizou a sua parte. Em 1o de março o primeiro 60

completou seu capital e o segundo só o fez em 1o de maio. No dia 31 de dezembro foi encerrado o Balanço, tendo sido verificado um lucro de R$ 163.800,00. Qual o lucro de cada sócio? 20. Uma empresa, organizada por três sócios em 1o de maio, deu um lucro de R$ 688.000,00, apurado em 31 de dezembro. O capital social de R$ 3.000.000,00 foi dividido em partes iguais. O segundo sócio, tendo entrado com R$ 600.000,00, só integralizou o seu capital em 15 de julho. O terceiro, que havia entrado com a metade, completou a sua parte em 1o de agosto. Quanto recebeu cada sócio?

61

4 REGRA DE TRÊS

4.1 Definição

Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.

Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas. 4.2 Regra de três simples Neste caso, são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o qual corresponde a um dos valores da primeira grandeza. Devemos, então, obter o valor da segunda grandeza que corresponde ao segundo valor da primeira.*

Exercício resolvido 1. Comprei 6 m de tecido por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8 m? Resolução: Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido. Se o comprimento for multiplicado por 2, 3, …, o preço ficará multiplicado por 2, 3, … Podemos, então, concluir que estamos trabalhando com grandezas diretamente proporcionais. Chamando de x o valor que desejamos conhecer (preço de 8 m de tecido), dispomos, em uma primeira linha horizontal, os valores conhecidos das duas grandezas que se correspondem e, em uma segunda linha, o outro valor conhecido da primeira e o x, que representa o valor correspondente da segunda e que se quer conhecer: 62

Comprimento (m)

Preço (R$)

6

15

8

x

Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra o x, com a ponta voltada para ele. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, como no nosso exemplo, colocaremos uma segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Assim:

Armamos a proporção formada pelas razões que construímos, seguindo as setas:

e determinamos o valor de x:

Logo, o preço procurado é: R$ 20,00

NOTAS: • É importante observar que as quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressas na mesma unidade de medida. • Quando as grandezas que figuram no problema são diretamente proporcionais, dizemos que a regra de três é direta.

2. Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra? Resolução: Temos: 63

Operários

Dias

6

10

20

x

Se o número de operários for multiplicado por 2, 3, …, o número de dias ficará dividido por 2, 3, …, respectivamente.* Logo, as grandezas relacionadas são inversamente proporcionais. Assim, a coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna é assinalada com uma segunda seta vertical, de sentido contrário ao da primeira:

Em seguida, invertemos os valores da coluna do número de operários (por ser uma grandeza inversamente proporcional à de número de dias):

Daí:

Logo, serão necessários: 3 dias

NOTAS: • Quando as grandezas que figuram no problema são inversamente proporcionais, dizemos que a regra de três é inversa. • Convém observar que, nos problemas de Matemática, geralmente são consideradas condições iguais. No problema 2, por exemplo, supõe-se que os operários produzam igualmente e que as condições de trabalho também sejam iguais.

64

Resolva 1. Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias? 2. Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 km por dia. Quantos dias seriam empregados para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 km por dia? 3. Se 1 l de álcool pesa 8 g, a quantos litros equivalem 32,4 kg de álcool? 4. Em um navio com uma tripulação de 800 marinheiros há víveres para 45 dias. Quanto tempo durarão os víveres se o navio receber mais 100 marinheiros? 4.3 Regra de três composta Como dissemos antes, na regra de três composta ocorrem três ou mais grandezas relacionadas entre si. Neste caso, de cada grandeza são dados dois valores, com exceção de uma delas, da qual é dado apenas um valor, relacionado com um dos valores de cada uma das outras grandezas.

Exercícios resolvidos 1. Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 min, em que tempo 7 rotativas, iguais às primeiras, imprimirão 350.000 desses exemplares? Resolução: Temos a seguinte disposição prática dos dados:

65

Exemplares

Rotativas

Tempo (min)

87.500

5

56

350.000

7

x

Fixando a segunda grandeza (número de rotativas), vemos que a primeira grandeza (número de exemplares) e a terceira (tempo) são diretamente proporcionais, pois duplicando o número de exemplares, o tempo empregado duplicará. Fixando, agora, a primeira grandeza, vemos que a segunda e a terceira são inversamente proporcionais, pois duplicando o número de rotativas, o tempo necessário se reduzirá à metade. Assim, temos:

Invertendo os valores da segunda grandeza, vem:

o que nos permite escrever, pela propriedade da grandeza proporcional a várias outras (p. 33):

Daí:

isto é: x = 160 min ou x = 2 h 40 min

NOTA: • Na resolução da regra de três composta, após a disposição dos dados, verificação do tipo de proporcionali-dade e inversão dos dados das grandezas inversamente proporcionais: 66

podemos fazer uso da seguinte regra prática: o valor de x é dado pela fração que tem por numerador o produto do valor oposto a x (56) pelos valores que estão na mesma linha de x (350.000 e 5) e por denominador o produto dos valores pertencentes à outra linha e que ainda não foram considerados (87.500 e 7):

Assim:

2. Quinze operários, trabalhando 9 h por dia, construíram 36 m de muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 operários farão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8 h por dia? Resolução: Temos:

Verificamos, com facilidade, que a quarta grandeza (número de dias) é diretamente proporcional à terceira (comprimento) e inversamente proporcional à primeira (número de operários) e à segunda (jornada de trabalho diário). Assim:

Invertendo os valores da primeira e da segunda grandezas, temos:

Calculando o valor de x:

67

Logo, os operários farão o muro em: 25 dias

Resolva 1. Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3 kg de pão. Quantos quilo-gramas de pão serão consumidos em 5 dias, estando 2 pessoas ausentes? 2. Quinze homens, trabalhando 8 h diárias, cavaram um poço de 400 m3 em 10 dias. Quantos homens devem ser acrescentados para que em 15 dias, trabalhando 6 h diárias, cavem os 600 m3 restantes?

Exercício resolvido 1. Se 35 m de um tecido custam R$ 140,00, quanto se pagará por 12 m? 2. Se 20 tratores levaram 6 dias para realizar um trabalho, quantos tratores o fariam em 4 dias? 3. Um trem percorreu 24,5 km em 28 min. Que distância percorreria, com a mesma veloci-dade, em 54 min? 4. Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. Tendo conseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho? 5. Um operário faz, em 12 dias, um trabalho cuja dificuldade é representada por 0,2. Em quantos dias poderia fazer outro trabalho cujo coeficiente de dificuldade fosse 0,25? 6. Trabalhando 6 h por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 8 h por dia?

68

7. Em um acampamento militar com 300 soldados há víveres para 20 dias. Tendo chegado mais 140 soldados, a quanto se deve reduzir a ração diária para que o alimento dure ainda o mesmo tempo? 8. Uma lebre está 80 m à frente de um cão que a persegue. Enquanto a lebre percorre 19 m, o cão percorre 21 m. Quantos metros deverá percorrer o cão para alcançar a lebre? 9. Um automóvel, correndo com a velocidade de 84 km/h, deve percorrer uma certa distância em 9 h. Depois de 3 h de viagem houve um desarranjo no motor e o automóvel teve de parar durante 45 min. Com que velocidade deve continuar a viagem para chegar ao ponto final na hora fixada?

10. Se

de uma obra foram avaliados em R$ 268.400,00, qual é o valor de

da mesma obra?

11. As dificuldades de dois trabalhos estão na razão de 3 para 4. Um operário, que faz 20 m do primeiro trabalho, quantos metros fará do segundo, no mesmo tempo? 12. Duas polias, de 16,8 cm e 11,2 cm de diâmetro, respectivamente, estão ligadas por uma correia de transmissão. Enquanto a maior dá 540 voltas, quantas voltas dá a menor? 13. Para fazer um muro de 52 m de comprimento, 30 operários gastam 15 dias de 8 h. Quantos dias de 9 h gastarão 25 operários para fazer 39 m de um muro igual? 14. Comparando-se os preços pelos quais são vendidas diversas frutas, verificamos que 15 pêras valem 9 maçãs; 25 abacates valem 15 maçãs; e 16 laranjas valem 12 abacates. Quantas laranjas poderão ser trocadas por 9 pêras? 15. Um motoqueiro, numa velocidade de 80 km/h, percorreu certa distância em 6 dias, viajando por dia. “Afrouxando” em a sua velocidade e viajando 6 h por dia, quantos dias levará para percorrer a mesma distância? 16. Certo trabalho é executado por 8 máquinas iguais, que trabalham 6 h diárias, em 15 dias. Quantos dias levariam 10 máquinas do mesmo tipo para executar o triplo do trabalho anterior, trabalhando 5 h diárias, com a velocidade que torna o rendimento maior? 17. Dois cavalos foram pagos em razão direta de suas velocidades e inversa de suas idades. Sabendo que a velocidade do primeiro está para a do segundo como 3 está para 4, que as idades do primeiro e do segundo são, respectivamente, 3 anos e 9 meses e 5 anos e 4 meses, e 69

que pelo primeiro foram pagos R$ 480,00, qual foi o preço do segundo? 18. Na construção de uma estrada trabalharam 20 homens durante 18 dias. Em seguida trabalharam 24 homens durante 10 dias. Em quanto tempo teria ficado pronta se os 24 homens houvessem trabalhado desde o começo?

70

5 PERCENTAGEM

5.1 Introdução Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como estas: “Desconto de até 30% na grande liquidação de verão.” “Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira.” “A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%.” “O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99% em dezembro.” Todas estas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem, que será o objeto de estudo deste capítulo. 5.2 Taxa percentual Suponhamos que um aluno tenha acertado, em um exame, 12 das 15 questões apresentadas. A razão entre o número de questões acertadas e o número total de questões é:

Quando uma razão é apresentada com o conseqüente 100 , ela é chamada razão centesimal. Uma outra forma de representarmos as razões centesimais, muito usada principalmente no universo econômico-financeiro, é substituir o conseqüente 100 pelo símbolo % (que lemos: por cento). Assim:

Esse numeral (80%) é denominado taxa percentual ou centesimal.*

71

Exercício resolvido 1. Escreva a razão em forma de taxa percentual. Resolução: Temos:

Logo, a resposta é: 75%

Resolva 1. Exprima sob a forma de taxa percentual as razões: a) b) c) 5.3 Elementos do cálculo percentual Vimos que:

Neste exemplo, chamando o 12 de percentagem, o 15 de principal e o 80 de taxa, temos: 72

Daí, obtemos as seguintes definições:

Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.

Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa.

Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.

O principal, a percentagem e a taxa são os elementos do cálculo percentual. NOTA: • Na prática, é muito comum: — empregarmos as palavras desconto, comissão, multa, parte, quota, abatimento, prejuízo, lucro etc. em lugar de percentagem; — designarmos a taxa percentual simplesmente por percentagem. Assim, tanto faz dizermos, em uma situação qualquer, que o lucro foi de R$ 80,00 ou de 20%.

5.4 Problemas de percentagem Representando: • o principal por P;* • a percentagem por p; • a taxa por r; temos, genericamente:

73

Dados, então, dois quaisquer dos três elementos, podemos calcular o terceiro fazendo uso da proporção (1).

Exercícios resolvidos 1. Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$ 3.600,00? Resolução: Temos:

Assim:

Logo, a comissão é de: R$ 108,00 2. Em um colégio 26% dos alunos são meninas. Quantos alunos possui o colégio, se elas são em número de 182? Resolução: Temos:

Assim: 74

Logo, o colégio possui: 700 alunos 3. Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a percentagem de lucro? Resolução: Temos:

Assim:

Logo, o lucro foi de: 8%

Resolva 1. Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24,00 foi vendida com 25% de abatimento. De quanto foi o abatimento? 2. Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de comissão. Qual o valor de venda das propriedades? 3. Uma pessoa devia R$ 20.000,00 e pagou R$ 7.400,00. Quantos por cento da dívida foram pagos? 5.5 Taxa unitária Vimos que a taxa percentual se refere a 100, isto é:

75

Porém, na resolução de muitas questões, é mais prático (e, algumas vezes, necessário) tomarmos como valor referencial a unidade, obtendo o que chamamos de taxa unitária (simbolizada por i). Assim:

Temos, então:

Exercícios resolvidos 1. Qual a taxa unitária correspondente a 20%? Resolução: Temos:

Logo: i = 0,2 2. Qual a taxa percentual correspondente a 0,05? Resolução: Temos:

Logo: i = 5% 76

3. Calcule 30% de 15%. Resolução: Temos: 30% = 0,3 e 15% = 0,15 Então: 30% de 15% = 0,3 de 0,15 = 0,3 × 0,15 = 0,045 Como: 0,045 = 4,5% a resposta é: 4,5%

Resolva 1. Qual a taxa unitária correspondente a 3,08? 2. Qual a taxa percentual correspondente a 0,25? 3. Calcule 20% de 12%. 5.6 Fórmula para o cálculo percentual Sendo:

como:

podemos escrever: 77

Exercícios resolvidos 1. Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15% sobre esse valor. Quanto ganhou? Resolução: Temos:

Como:

vem: p = 540,00 × 0,15 = 81,00 Logo, o comerciante ganhou: R$ 81,00 2. Um terreno tem 70% de sua área plantada, que corresponde a 154 ha. Qual a área total do terreno? Resolução: Temos:

78

Como:

vem:

Logo, a área total é de: 220 ha 3. Em uma turma de 60 alunos, foram reprovados 9. Quantos por cento dos alunos foram reprovados? Resolução: Temos:

Como:

vem:

Logo, foram reprovados: 15% dos alunos

79

Resolva 1. Dois representam quantos por cento de 5? 2. Em um colégio compareceram 95% dos alunos, tendo faltado 35 alunos. Determine o número de alunos do colégio. 3. Um operário que devia executar 120 m de uma obra fez, no primeiro dia, 10% de seu trabalho e, no segundo dia, 15% da parte restante. Quantos metros foram feitos?

Exercícios 1. Exprima, sob a forma de taxa percentual, cada uma das seguintes razões: a) b) c) d) e) f) 0,24 g) 0,125 h) 0,012 2. Escreva as taxas percentuais abaixo como razões, sob a forma mais simples possível: 80

a) 80% b) 66% c) 25,2% d) 0,48% e) 18,6% f) g) 0,054% h) 3. Calcule: a) 20% de 300 b) 15% de R$ 160,00 c) 9% de 50 d) 6,5% de 1.200 kg e) 0,4% de 550 f) 4,5% de 750 4. Calcule quantos por cento: a) R$ 121,00 são de R$ 484,00; b) 936 g são de 15.660 g; c) 912,5 g são de 73 kg; d) 45 l são de 180 dm3. 5. Calcule a quantia da qual: a) R$ 42,00 representam 5%; b) R$ 280,00 representam 8%; c) R$ 33,00 representam 5,5%; 81

d) R$ 320,00 representam 1,25%.

6. Meio representa quantos por cento de 7. Qual o número cujos 7% valem 28? 8. Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 70,00 para obter um lucro de 30%? 9. Uma nota promissória, cujo valor era de R$ 5.000,00, foi paga com um desconto de R$ 250,00. Qual a taxa percentual de desconto? 10. Em São Paulo colhem-se 1.268.000 sacas de café. Se 25% desta produção destinam-se ao consumo interno, qual a quantidade de sacas para este consumo? 11. Um jornal recebia por dia R$ 42.000,00 de anúncios. Os preços dos anúncios foram aumentados em 6%. Qual será a nova receita diária do jornal? 12. Em quanto por cento aumentou a população de uma cidade que era de 67.200 habitantes e agora é de 92.400 habitantes? 13. Um terreno foi vendido por R$ 9.600,00, recebendo o intermediário 3% de comissão. Calcule a comissão. 14. Em uma escola, 40% dos alunos são meninas. O total dos alunos é 750. Quantos são os meninos? 15. Em uma cidade, 35% da população é constituída de homens e 40% de mulheres. Qual a população da cidade, se o número de crianças é de 8.000? 16. Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em três prestações de R$ 160,00 e uma de R$ 180,00. Qual o preço da mercadoria? 17. Um vendedor recebe 3% de comissão sobre as vendas que efetua. Qual a quantia a receber pelas vendas de R$ 8.000,00, R$ 3.700,00 e R$ 9.500,00? 18. Em um dos Grandes Prêmios de Fórmula 1 largaram 24 carros e terminaram a competição 10 carros. De quanto por cento foi o número de carros que não terminaram a corrida? 82

19. Um comerciante comprou 120 bonés a R$ 8,00 cada um. Vendeu a metade a R$ 10,00 e o restante a R$ 12,00. De quanto por cento foi o lucro? 20. Um comerciante pagou 20% de uma dívida. Determine a dívida inicial, sabendo que com R$ 43.680,00 ele pagou 35% do restante. 21. Uma pessoa entregou a um banco a quantia de R$ 562,00 para pagamento de uma ordem a ser expedida por telegrama. O custo do telegrama foi de R$ 2,00 e a comissão, de valor da ordem?

. Qual o

22. Têm-se duas misturas de álcool com água; uma contém 24 l de álcool e 120 l de água e a outra, 21 l de álcool e 112 l de água. Qual é a mais forte e em quanto por cento? 23. Uma casa, que está alugada por R$ 9.600,00 ao ano, foi comprada por R$ 98.000,00. O proprietário gastou com ela, durante o ano, R$ 1.180,00 em impostos e reparos. Qual foi a taxa de rendimento do capital empregado? 24. Comprei 6 peças de tecido de 50 m a R$ 9,00 o metro. Quero vendê-las com um lucro de 30%. Vendo a terça parte à razão de R$ 11,00 o metro. Por quanto devo vender o metro do tecido restante? 25. Um comerciante adquiriu 3 sacos de 60 kg de cereal, à razão de R$ 48,00 o saco. Obteve, por ter pago à vista, um desconto de 5% e teve uma despesa de transporte de R$ 5,00. Revendendo o cereal a R$ 1,00 o quilograma, qual será a percentagem de lucro? 26. Em uma partida de futebol, um dos times obteve os seguintes resultados quanto aos chutes a gol: • bolas chutadas fora: 10; • bolas defendidas pelo goleiro adversário: 6; • bolas na trave: 2; • gols: 2. a) Qual a percentagem dos gols em relação às bolas chutadas a gol? b) Qual a percentagem das bolas chutadas fora? c) Qual a percentagem das bolas defendidas pelo goleiro adversário?

83

27. Um relojoeiro adquire um lote de 120 relógios à razão de R$ 80,00 cada um. Vende a R$ 95,00 cada um e o restante a R$ 10.250,00 cada um. De quanto por cento foi o lucro? 28. Uma dona de casa compra um pedaço de carne com osso e paga R$ 3,00. Ao desossá-lo, percebe que os ossos correspondem a 12% do peso total. Sabendo que o preço do quilo dessa carne é de R$ 2,00 e que, durante o cozimento, a carne perde 15% de seu peso, qual o peso do pedaço de carne cozida? 29. Em um concurso prestado por certo número de candidatos houve 18% de aproveitamento, ou seja, 117 aprovados; num outro, a que concorreram 350 candidatos, houve 22% de aproveitamento. Determine quantos candidatos se submeteram ao primeiro concurso e quantos foram reprovados no segundo. 30. Uma pessoa deseja adquirir uma televisão catalogada por R$ 460,00. Se o pagamento for à vista, a loja oferecerá um desconto de 5%. Como a pessoa não pode fazê-lo, paga à vista e o restante em 3 prestações, sofrendo um aumento de 25% sobre a parte relativa às prestações. a) Qual o preço à vista da televisão? b) Qual o valor de cada prestação?

84

6 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 6.1 Introdução O que vamos estudar neste capítulo são problemas de percentagem ligados às operações de compra e venda de mercadorias, isto é, vamos aprender a fazer cálculos de lucro ou prejuízo sobre os preços de custo e de venda de mercadorias. 6.2 Vendas com lucro A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este lucro pode ser sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. NOTA: • Preço de custo de uma mercadoria compreende o preço de aquisição, acrescido das despesas diretas sobre a compra e sobre a venda e, ainda, das despesas de administração e funcionamento da empresa.

6.2.1 Sobre o preço de custo Consideremos o seguinte problema: Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00. Sabemos que: preço de venda = preço de custo + lucro Como o lucro é de 8% sobre o preço de custo, isto é: lucro = 0,08 do preço de custo, temos: preço de venda = preço de custo + 0,08 × preço de custo = = (1 + 0,08) × preço de custo = 85

= 1,08 × 500,00 = 540,00 Logo, o preço de venda é de: R$ 540,00 Fórmula: Chamando de:

vem: V= C + L Como: L= i × C temos: V= C + i × C Logo:

que nos dá o preço de venda, conhecidos o custo e a taxa de lucro sobre o custo.

Resolva 1. Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00. Desejando ganhar 20% sobre o preço de custo, qual deve ser o preço de venda?

86

6.2.2 Sobre o preço de venda Comprou-se um objeto por R$ 60,00 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual deve ser este preço? Sabemos que: preço de venda – lucro = preço de compra Como o lucro é de 25% sobre o preço de venda, isto é: lucro = 0,25 do preço de venda, temos: preço de venda – 0,25 × preço de venda = preço de custo ou: (1 – 0,25) × preço de venda = preço de custo ou, ainda:

Logo, o preço de venda deve ser de: R$ 80,00 Fórmula: Temos: V– L= C Como: L= i × V vem: V – i × V = C ⇒ (1 – i)V = C Logo:

87

que nos dá o preço de venda, conhecidos o preço de custo e a taxa de lucro sobre o preço de venda.

Resolva 1. Um comerciante comprou um objeto por R$ 48,00. Desejando ganhar 20% sobre o preço de venda, qual deve ser este último? 6.3 Vendas com prejuízo Analogamente ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria pode ser vendida com prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. 6.3.1 Sobre o preço de custo Considere o seguinte problema: Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que esse objeto custou R$ 30,00, qual foi o preço de venda? Sabemos que: preço de venda = preço de custo – prejuízo Como o prejuízo é de 40% sobre o preço de custo, isto é: prejuízo = 0,4 do preço de custo, temos: preço de venda = preço de custo – 0,4 × preço de custo = = (1 – 0,4) × preço de custo = = 0,6 × preço de custo = 0,6 × 30 = = 18 Logo, o preço de venda foi de: R$ 18,00 88

Fórmula: Chamando de P o prejuízo, vem: V= C – P Como: P=i ×C temos: V = C – iC Logo:

que nos dá o preço de venda, conhecidos o custo e a taxa do prejuízo sobre o custo.

Resolva 1. Uma pessoa adquiriu um relógio por R$ 125,00 e só conseguiu vendê-lo com um prejuízo de 8% sobre o custo. Por quanto ela vendeu o relógio? 6.3.2 Sobre o preço de venda Uma casa que custa R$ 96.000,00 foi vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda. Sabemos que: preço de venda + prejuízo = preço de custo Como o prejuízo é de 20% sobre o preço de venda, isto é: prejuízo = 0,2 do preço de venda, temos: preço de venda + 0,2 × preço de venda = preço de custo 89

ou: (1 + 0,2) × preço de venda = preço de custo ou, ainda:

Logo, o preço de venda será de: R$ 80.000,00 Fórmula: Como: V+ P= C e P= i × V temos: V + iV = C ⇒ (1 + i)V = C Logo:

que nos dá o preço de venda, conhecidos o preço de custo e a taxa do prejuízo sobre o preço de venda.

Resolva 1. Um objeto que custou R$ 558,00 foi vendido com um prejuízo de 12% sobre o preço de venda. Qual o valor apurado na venda?

90

Exercícios resolvidos 1. Vendi um objeto por R$ 276,00 e ganhei, na venda, 15% sobre o preço de custo.* Quanto custou o objeto? Resolução: Temos:

Como: V = C(1 + i) ou C(1 + i) = V vem:

Logo, o objeto custou: R$ 240,00 2. Comprei uma mercadoria por R$ 480,00. Sendo minha intenção vendê-la com um lucro de 20% sobre o preço de venda, qual deve ser este último? Resolução: Temos:

Como:

vem:

91

Logo, o preço de venda deve ser de: R$ 600,00 3. Um terreno foi comprado por R$ 5.000,00 e vendido por R$ 6.500,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de compra? Resolução: Temos:

Lembrando que: V = C(1 + i) ou C(1 + i) = V vem:

Logo, o lucro sobre o custo foi de: 30% 4. Quanto custou um objeto vendido por R$ 248,00 com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo? Resolução: Temos:

Como: V = C(1 – i) ou C(1 – i) = V vem: 92

Logo, o objeto custou: R$ 310,00 5. Um terreno foi vendido por R$ 50.600,00, dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. Quanto havia custado o terreno? Resolução: Temos:

Lembrando que:

vem:

Logo, o terreno havia custado: R$ 54.648,00

Resolva 1. Um comerciante comprou determinada mercadoria por R$ 650,00. Por quanto deverá revendêla para obter um lucro de 30%? 2. Um aparelho de som foi vendido por R$ 360,00. Qual o lucro obtido, sabendo que este foi calculado na base de 25%? 3. Um objeto comprado por R$ 80,00 foi revendido por R$ 104,00. Qual a taxa pela qual se calculou o lucro sobre o preço de custo? 93

4. Um objeto foi vendido, com prejuízo de 10%, pelo preço de R$ 36,00. Quanto havia custado? 5. Uma agência vendeu um carro por R$ 8.500,00. Sabendo que na venda houve um prejuízo de 15% sobre o preço de venda, quanto custou esse carro? 6.4 Abatimentos sucessivos Neste item, vamos aprender a calcular os abatimentos sucessivos sobre uma importância resultante de um negócio efetuado. Consideremos o seguinte problema: Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura,* os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48.000,00, qual o valor líquido desta? Basta, evidentemente, calcularmos os líquidos parciais correspondentes aos abatimentos oferecidos, respeitando a ordem das taxas, até obtermos o líquido final. Assim, chamando o valor líquido de L, temos:

Como: p1 = P × i1 ⇒ p1 = 48.000,00 × 0,1 = 4.800 ⇒ L1 = 48.000,00 − 4.800 = 43.200,00 p2 = L1 × i2 ⇒ p2 = 43.200,00 × 0,04 = 1.728 ⇒ L2 = 43.200,00 − 1.728 = 41.472,00 p3 = L2 × i3 ⇒ p3 = 41.472,00 × 0,05 = 2.073,60 ⇒ L3 = 41.472,00 − 2.073,60 = 39.398,40 o valor líquido da fatura é de: R$ 39.398,00 6.4.1 Fórmula do valor líquido Examinando a solução do problema anterior, vemos que: p2 = L1 × i2 e L2 = L1 − p2 ⇒ L2 = L1 − L1 × i2 ⇒ ⇒ L2 = L1(1 − i2) Tendo em vista que os valores obtidos para L não dependem dos particulares valores utilizados, podemos escrever: Lk = Lk − 1(1 − ik) Atribuindo a k os valores 1, 2, 3, …, n, obtemos as igualdades:

94

Multiplicando essas n igualdades, membro a membro, e simplificando, vem: Ln = L0(1 − i1) (1 − i2) (1 − i3) … (1 − in) Fazendo: L0 = P e Ln = L obtemos:

onde i1, i2, i3, …, i n são as taxas sucessivas. NOTA: • Para aumentos sucessivos, temos: M = P(1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) … (1 + in)

Exercícios resolvidos 1. Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48.000,00, qual o valor líquido desta? Resolução:

95

Temos:

Assim: L = 48.000,00 (1 − 0,1) (1 − 0,04) (1 − 0,05) = = 48.000,00 × 0,9 × 0,96 × 0,95 = 39.398,40 o valor líquido da fatura é de: R$ 39.398,00 2. Sobre um artigo de R$ 2.500,00 incide um imposto federal de 10% e um estadual de 4%. Qual o preço final desse artigo? Resolução: Temos:

Assim: M = 2.500,00 (1 + 0,1) (1 + 0,04) = 2.500,00 × 1,1 × 1,04 = 2.860,00 Logo, o preço final é de: R$ 2.860,00

Resolva 1. Uma fatura de R$ 8.000,00 sofre dois abatimentos sucessivos, de 10% e 8%. Qual o valor líquido a pagar? 2. Uma fatura de R$ 5.000,00, por motivo de atraso em seu pagamento, sofre aumentos sucessivos de 10% e 15%. Qual o valor final dessa fatura? 96

Exercícios 1. Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 40,00 para ganhar 15% sobre o custo? 2. Vendendo por R$ 56,00 um objeto que custou R$ 50,00, qual será a percentagem de lucro? 3. Um objeto foi revendido por R$ 701,00, dando um prejuízo de 20% sobre o custo. Quanto havia custado? 4. Quanto por cento sobre o custo se perdeu ao se vender por R$ 238,00 um objeto que custou R$ 280,00? 5. Uma casa foi vendida por R$ 53.700,00, dando um lucro de 35% sobre o custo. Quanto havia custado? 6. Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 450,00, tendo uma perda de 15% sobre o preço de compra. 7. Calcule o preço de venda de um objeto comprado por R$ 84,00, para ganhar 30% sobre o preço de venda. 8. Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 540,00, tendo perdido 20% do preço de venda. 9. Vendendo um imóvel por R$ 120.000,00, tive um prejuízo de 18% sobre o preço de venda. Por quanto comprei? 10. Vendi um objeto por R$ 280,00, com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual o preço de compra? 11. Quanto por cento ganhei sobre o preço de venda de um objeto que me custou R$ 360,00 e foi vendido por R$ 450,00? 12. De quanto por cento foi meu prejuízo sobre a venda de um objeto que me custou R$ 280,00 e foi vendido por R$ 250,00? 97

13. Vendi um objeto por R$ 120,00. Se tivesse vendido por mais R$ 20,00, meu lucro seria de 50% do preço da nova venda. Qual foi o meu lucro? 14. Calcule o prejuízo de um comerciante que vendeu certas mercadorias por R$ 26.410,00, perdendo, nessa transação, a quantia equivalente a 5% sobre o preço de custo. 15. Se eu tivesse mais 50% da quantia que tenho poderia pagar uma dívida de R$ 5.000,00 e ainda ficaria com R$ 700,00. Quanto tenho? 16. Certa mercadoria foi vendida por R$ 3.232,00, com o prejuízo de 8,7% sobre o preço de compra. Por quanto deveria ser vendida para dar lucro de 12% sobre o seu preço de custo? 17. Em um exercício de tiro ao alvo um soldado fez 40% a mais do que outro. Se os dois juntos fizeram 720 pontos, quanto fez cada soldado? 18. Calcule o líquido de uma duplicata no valor de R$ 8.600,00 que sofreu a redução de 15% sobre esse valor total e, em seguida, outro abatimento de 8% sobre o líquido da primeira redução. 19. Comprei 2.000 kg de feijão, a R$ 1,00 o quilo; vendi 600 kg com um lucro de 25% sobre o preço de compra e o resto com 12% de lucro sobre o preço de venda da primeira parte. Calcule o lucro total. 20. Sobre o preço de compra de uma mercadoria incide uma despesa de 15%. Por quanto devemos vender essa mercadoria, comprada por R$ 540,00, para que tenhamos um lucro de 25% sobre o preço de compra, repassando a despesa para o comprador? 21. Uma pessoa comprou um automóvel de R$ 15.800,00 (preço de tabela) com desconto de 2,5%. No dia seguinte, vendeu o automóvel pelo valor de 2% acima do preço de tabela. Qual foi a taxa percentual de lucro total dessa pessoa? 22. O que significa a expressão “4% dos 5% de uma grandeza”? 23. Um comerciante comprou 450 unidades de um certo eletrodoméstico, ao custo de R$ 420,00 a unidade. Vendeu 340 unidades com 30% de lucro. Depois, vendeu o restante com certo prejuízo. Sabendo que a venda de todo o estoque, nas condições acima, deixou R$ 38.660,00 de lucro líquido, calcule o preço pelo qual foi vendida, em cada caso, a unidade do eletrodoméstico.

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24. Um objeto foi vendido com 25% de lucro e outro com 30%. Por quanto foi vendido cada um, se os dois custavam R$ 2.142,00? 25. Um comerciante comprou várias peças de tecido por R$ 38.200,00 e uma certa quantidade de arroz por R$ 29.000,00. Vendeu o tecido com 8% de prejuízo e o arroz com 12% de lucro. Ao todo, ganhou ou perdeu? Quantos por cento? 26. Um comerciante pagou 30% de uma dívida; do restante, pagou 20% e com R$ 28.000,00 liquidou a dívida. Determine o valor da dívida. 27. Um objeto foi vendido com 15% de prejuízo e outro com 35% de lucro. Por quanto foi vendido cada um, se os dois foram vendidos por R$ 748,00? 28. Certa mercadoria foi vendida por R$ 7.475,00, com o lucro de 15%; em seguida, foi revendida por R$ 8.447,00. De quanto por cento foi o lucro final sobre o valor inicial dessa mercadoria? 29. Uma pessoa empregou seu capital, sucessivamente, em quatro empresas. Na primeira apurou 100% e em cada uma das outras perdeu 15%. Quanto ganhou sobre o capital primitivo? 30. Sobre uma fatura de R$ 150.000,00 foram feitos descontos sucessivos de 8%, 5% e 2%. Qual é o valor líquido da fatura?

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7 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS

7.1 Correção monetária 7.1.1 Moeda No início da atividade comercial havia apenas a troca de mercadorias. Assim, um indivíduo A, produtor da mercadoria a e necessitado da mercadoria b, procurava o indivíduo B que a produzia. Se houvesse concordância na troca, tudo bem; porém, as coisas se complicavam quando não havia concordância na troca, pois A teria de procurar um outro indivíduo produtor de b que estivesse disposto a trocá-la por a. Com o desenvolvimento do comércio entre os indivíduos houve, então, a necessidade de uma terceira mercadoria, de aceitação geral e, principalmente, de fácil transporte e de valor constante para todos os produtores. Essa mercadoria passou a ser o padrão de trocas e de comparação de valores dos demais produtos. Esse padrão tornou-se, assim, a moeda da comunidade. Surgiu, então, o problema: qual a melhor mercadoria a ser tomada como moeda? Chegou-se à conclusão de que a melhor moeda seria o metal: de fácil transporte, grande durabilidade e que permitia a obtenção de “pedaços” para pagamentos menores. Com o passar do tempo, a moeda foi sofrendo um processo contínuo de desvalorização: passou de moeda mercadoria para moeda metálica e, finalmente, para um valor simbólico, tornando-se apenas um pedaço de papel (moeda-papel: emissão com lastro metálico; papel-moeda: emissão sem lastro metálico; moeda escritural ou moeda bancária: cheque). 7.1.2 Inflação Chamamos de valor da moeda (ou poder aquisitivo da moeda) aquele representado pela quantidade de bens ou serviços que podem ser adquiridos com uma unidade monetária. Dizemos que uma moeda é estável quando mantém, no decorrer do tempo, sempre o mesmo poder aquisitivo. A depreciação do valor da moeda (ou a redução do seu poder aquisitivo) é identificada como inflação. Observemos, porém, que o aumento dos preços de alguns bens e serviços, resultante, por exemplo, de uma escassez típica das entressafras, não é o bastante para caracterizar um processo inflacionário. Este só fica caracterizado se todos os bens e serviços acusam uma tendência de alta generalizada e contínua. Assim, podemos caracterizar a inflação como uma contínua, persistente e generalizada 100

expansão dos preços. Quanto à intensidade do processo inflacionário, podemos distinguir uma gama muito grande, limitada por uma inflação rastejante e uma inflação galopante ou hiperinflação. A inflação rastejante é caracterizada por uma leve e quase imperceptível expansão geral dos preços, como aquela que se verifica, atualmente, na maioria dos países desenvolvidos. Já a inflação galopante ou hiperinflação é caracterizada por uma violenta e in-controlável expansão do nível geral dos preços. Na Alemanha, entre 1914 e 1923, foi registrada a maior inflação do mundo: os preços cresceram 1 trilhão de vezes. Entre esses níveis extremos, há certos processos inflacionários que podemos dizer praticamente crônicos, embora permaneçam sob controle e reprimidos. No Brasil, por exemplo, desde a Segunda Guerra Mundial temos assistido a processos inflacionários de intensidade variada, mas que jamais fugiram ao controle das autoridades financeiras. 7.1.3 Correção monetária No ano de 1964, a correção monetária foi instituída no Brasil como método para amenizar os efeitos da inflação. Paralelamente, foram criadas as Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional, com o intuito de restabelecer a confiança nos títulos da dívida pública. O Governo, com a finalidade de uniformizar a correção monetária, passou a utilizar duas unidades financeiras: as Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional (ORTNs) e a Unidade Padrão de Capital (UPC). Cada ORTN tinha seu valor corrigido mensalmente, de acordo com o índice de inflação no período; e cada UPC, com correção trimestral, passaria a ter o valor da ORTN do mês inicial do trimestre (janeiro, abril, julho, outubro). A ORTN era, em geral, utilizada como unidade-padrão para os financiamentos industriais, e a UPC, para os financiamentos habitacionais por meio do extinto Banco Nacional de Habitação (BNH). 7.2 Os vários planos econômicos 7.2.1 O Plano Cruzado Pelo Decreto-lei no 2.283, de 28/02/86, consolidado pelo Decreto-lei no 2.284, de 10/03/86, a unidade do sistema monetário brasileiro passou a se chamar cruzado (Cz$); nessa transformação, o cruzeiro correspondia a um milésimo do cruzado. As Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional foram substituídas por Obrigações do Tesouro Nacional (OTNs), sem correção. 7.2.2 O Plano Cruzado Novo ou Plano Verão O Decreto-lei no 7.730, de 31/01/89, substituiu o cruzado pelo cruzado novo (NCz$); o cruzado passou a corresponder a um milésimo do cruzado novo. As Obrigações do Tesouro Nacional foram substituídas pelo Bônus do Tesouro Nacional (BTN).

101

7.2.3 O Plano Collor A Lei no 8.024, de 12/04/90, instituiu o cruzeiro (Cr$) como moeda nacional, sendo um cruzeiro correspondente a um cruzado novo. O BTN foi mantido. 7.2.4 O Plano Real Em 1o de agosto de 1993, foi criada uma nova moeda, o cruzeiro real (CR$), para substituir o cruzeiro. Um cruzeiro real correspondia a mil cruzeiros: CR$ 1,00 = Cr$ 1.000,00. Essa moeda teve apenas 11 meses de vida (a vida mais curta de todas as moedas). Em 28 de fevereiro de 1994, por meio de Medida Provisória, foi criada a URV (Unidade Real de Valor). A MP foi reeditada duas vezes, sendo aprovada somente em março. Virou lei sob o no 8.880, publicada no Diário Oficial da União de 28 de maio de 1994. Os valores diários da URV foram corrigidos tendo como base os índices: IGP-M (Fundação Getúlio Vargas), IPC (da Fipe) e IPVA Especial (de responsabilidade do IBGE). A partir de 1o de julho de l994, a URV deixou de existir com esta denominação, passando a se chamar real (R$). A transformação de cruzeiros reais para a nova moeda é dada por: CR$ 2.750,00 = 1 URV = R$ 1,00. 7.3 Câmbio 7.3.1 Taxa de câmbio Quando importamos algo dos Estados Unidos, da Alemanha ou da Inglaterra, efetuamos o pagamento em dólares, marcos ou libras, respectivamente. Esse procedimento dá origem ao câmbio, que é a operação de troca de moedas de diferentes países. É evidente que, para ser possível a realização dessa troca, é necessário estabelecermos uma relação de equivalência entre as várias moedas. Essa relação de equivalência, que em última análise é o preço da moeda estrangeira em termos de moeda nacional, é o que denominamos taxa de câmbio. Assim, se um dólar custasse R$ 1,50, por exemplo, a taxa de câmbio do dólar seria de R$ 1,50, ou seja: US$ 1,00 = R$ 1,50 As taxas de câmbio são agrupadas em tabelas de cotações, que contêm dois valores para a moeda estrangeira: um de compra (preço que o agente cambial pagará na compra da moeda) e outro de venda (preço que o agente cambial cobrará na venda da moeda). A diferença entre esses valores é o lucro do agente cambial. 102

7.3.2 Tabela de taxas de câmbio Apresentamos, a seguir, uma tabela de cotações do câmbio:

As taxas desta tabela de cotações se referem a taxas à vista. Para uma mesma moeda estrangeira podemos ter diferentes taxas, como no caso de operações a prazo, com papelmoeda, letras de câmbio etc. 7.3.3 Conversão de moedas Uma vez fixada a taxa de câmbio, o problema de conversão se reduz a um problema de regra de três simples e direta.

Exercício resolvidos 1. Tenho 250 dólares americanos para dispor. Quantos reais irei apurar, recorrendo ao câmbio oficial? Resolução: De acordo com a tabela de cotações da página anterior, o valor de compra do dólar americano é de R$ 0,9325. Logo: 0,9325 × 250,00 = 233,125 isto é: R$ 233,13

103

2. Quantos dólares americanos poderei adquirir com 500.000 reais, recorrendo ao câmbio oficial? Resolução: De acordo com a tabela de cotações (p. 74), o valor de venda do dólar americano é de R$ 0,9365. Logo:

isto é: US$ 533.902,83 NOTA: • Vendemos pelo preço de compra e compramos pelo preço de venda da tabela de cotações.

3. Com 2.000 dólares americanos um turista conseguiu comprar 1.969 reais. Qual foi a taxa de câmbio? Resolução: Temos:

Logo, a taxa de câmbio foi de: R$ 0,9845

Resolva 1. Converta 12,50* libras esterlinas em moeda nacional, pelo câmbio oficial.

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2. Um industrial necessita comprar letras de câmbio no valor de 1.500 libras esterlinas. Qual a quantia que ele terá de desembolsar? 3. Calcule o câmbio sobre Paris se se compram 15.000 francos por 2.790 reais. 7.3.4 Operação cambial A acepção mais comum da palavra câmbio é a que se refere à transferência de somas de dinheiro sem a necessidade de efetivamente transportarmos moedas. Essas transferências se fazem por intermédio de bancos do mesmo país e de países distintos. Quando o câmbio se faz entre bancos do mesmo país, é chamado interior; quando se realiza entre bancos de países distintos, exterior. No câmbio exterior, podemos ter o câmbio direto e o indireto. Assim, supondo que um importador brasileiro deva pagar uma dívida a um exportador francês, ele pode proceder de duas maneiras distintas: • fazendo uma remessa de francos para um banco francês (letra de câmbio), por intermédio de um banco brasileiro, no valor da dívida; • fazendo, previamente, uma remessa no valor da dívida a um banco italiano, por exemplo, quando então fará uma letra de câmbio em liras para que o banco italiano, por sua vez, remeta à França a soma em francos. No primeiro caso, intervêm apenas dois bancos e o câmbio é direto; no segundo, há um banco intermediário e o câmbio é indireto. Devemos escolher o câmbio que mais nos convenha para o pagamento. O procedimento empregado para determinar qual é o câmbio mais conveniente é denominado arbitragem. NOTA: • É comum dizer que o importador (ou devedor) efetua uma remessa e o exportador (ou credor), um saque.

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Exercício resolvido 1. Um industrial brasileiro acaba de receber um aviso de um banco do direito de saque no valor de 10.000 marcos alemães e um segundo aviso da necessidade de uma remessa de dólares para uma firma americana. O industrial vai ao banco, realiza uma operação de câmbio e cobre o saque do exportador americano, utilizando seus marcos. Qual o valor de seu débito, em dólares, para com o exportador americano, sabendo que o saque feito pela firma americana é igual ao depósito feito pelo banco alemão? Resolução: Consultando a tabela de cotações (p. 74), temos: 10.000 × 0,567965 = 5.679,65 Daí: R$ 5.679,65 Como:

o débito é de: US$ 6.064,76*

Resolva 1. Tenho em um banco um crédito de 3.600 dólares e desejo fazer uma remessa para Londres a fim de cobrir um saque de um exportador inglês. Sem considerar as despesas decorrentes da operação, de quantas libras esterlinas foi o valor do saque, admitindo-se que o saque feito pelo exportador inglês seja igual ao depósito feito pelo banco americano?

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Exercício 1. Segundo as cotações da tabela da p. 74, transforme em reais: a) 730 francos suíços; b) 528 dólares americanos; c) 1.248 francos franceses; d) 180 marcos alemães. 2. Segundo as cotações da tabela da p. 74, transforme 280.000 reais em: a) francos franceses; b) libras esterlinas; c) ienes japoneses; d) francos suíços. 3. Segundo as cotações da tabela da p. 74, faça as seguintes transformações: a) 15 libras esterlinas em dólares americanos; b) 105 dólares americanos em francos franceses; c) 4.642 francos suíços em libras esterlinas. 4. Um comerciante compra mercadorias no valor de 1.225 dólares e obtém um desconto de 25%. Expresse em libras esterlinas o que deve abonar. 5. Um agente de câmbio apresentou a seus credores o seguinte balancete: Ativo: 12.000 francos franceses; 1.500 ienes; 250 dólares americanos; Passivo: 300 libras; 15.000 francos suíços. O agente está ou não com saldo devedor? Qual o saldo em reais? 6. Uma pessoa recebe uma herança de 56.000 dólares; em seguida, paga uma dívida de 230.000 francos franceses. Quanto lhe restou em reais?

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7. Um comerciante brasileiro compra, na França, sedas no valor de 280.000 francos; e, na Inglaterra, uísques no valor de 3.600 libras. A quantos reais equivale sua compra? 8. Um comerciante francês compra, de um brasileiro, couro no valor de R$ 10.000,00 e, por sua vez, remete champanhe no valor de 70.000 francos. Qual dos dois comerciantes fica em dívida e em quanto?

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8 JURO SIMPLES

8.1 Introdução Ouvimos constantemente frases como estas: “Vou depositar meu dinheiro em uma caderneta de poupança, pois ele renderá juros.” “Vou emprestar meu dinheiro, pois ele renderá juros.” O estudo que vamos iniciar agora — Matemática Financeira —, com todas as suas fórmulas e fatores, é feito em função do crescimento de uma certa quantia em dinheiro aplicada com o tempo, isto é, dos juros. 8.2 Juro – capital – taxa Se A empresta a B a importância de R$ 100,00 pelo prazo de um ano, é comum que, ao final desse prazo, B devolva a A a importância de R$ 100,00 acrescida, digamos, de R$ 36,00 como uma compensação financeira denominada juro. Designando por capital a quantia emprestada, temos: R$ 100,00 são o capital* R$ 36,00 são o juro Assim, podemos dizer que:

Juro é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital.

Como determinar, na prática, o valor do juro a ser cobrado ou recebido? A resposta é simples: por meio de uma taxa percentual, referida a um intervalo de tempo, denominada taxa de juro. No nosso exemplo, podemos dizer que a taxa de juro considerada foi de:

Lembrando que: 36% = 0,36* 109

podemos dizer que a taxa de juro também pode ser representada por duas formas equivalentes: 36% ao ano e 0,36 ao ano Como no estudo de percentagem, a primeira representação recebe o nome de forma percentual e a segunda, de forma unitária. Sempre que falamos em juro relativo a um capital, estamos nos referindo à remuneração desse capital durante um intervalo de tempo que denominamos período financeiro ou período de capitalização. 8.3 Regimes de capitalização Entendemos por regime de capitalização o processo de formação do juro. Há dois regimes de capitalização: a juro simples e a juro composto. No regime de capitalização a juro composto, o juro formado no fim de cada período é incorporado ao capital que tínhamos no início desse período, e, assim, esse montante passa a render juro no período seguinte; dizemos, então, que os juros são capitalizados. Já no regime de capitalização a juro simples, por convenção, apenas o capital inicial rende juro, isto é, o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa não é incorporado ao capital para, também, render juro no período seguinte; dizemos, neste caso, que os juros não são capitalizados. 8.4 Juro simples

Juro simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.

8.5 Cálculo do juro simples Por definição, o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade. Portanto, sendo: • C o capital inicial ou principal; • j o juro simples; • n o tempo de aplicação; • i a taxa de juro unitária, podemos escrever:* j = (Cn)i 110

ou:

que é a fórmula de cálculo do juro simples. É importante observar que essa fórmula só pode ser aplicada se o prazo de aplicação n é expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i considerada.

Exercícios resolvidos 1. Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago? Resolução: Temos:

Como: j=C×i×n temos: j = 1.200,00 × 0,3 × 2 ⇒ j = 720,00 Logo, o juro a ser pago é de: R$ 720,00 2. Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber? Resolução: Temos: 111

Como: j = 3.000,00 × 0,012 × 3 ⇒ j = 108,00, o juro a receber é de: R$ 108,00

Resolva 1. Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200,00, à taxa de 5% ao trimestre, durante 3 trimestres. 2. Um capital de R$ 56.800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses. Calcule o juro produzido. 8.6 Taxas proporcionais

Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.

Dadas duas taxas (percentuais ou unitárias) i e i’, relativas, respectivamente, aos tempos n e n’, referidos à mesma unidade, temos:

NOTA: • As taxas i e i’ devem ser ambas percentuais ou ambas unitárias. 112

Assim, as taxas de 18% ao ano e 1,5% ao mês, por exemplo, são proporcionais, pois:

Vamos, então, determinar uma fórmula que nos permita obter, rapidamente, uma taxa proporcional a outra taxa dada. Sendo i a taxa de juro relativa a um período e ik a taxa proporcional que queremos determinar, relativa à fração

do período, temos, pela relação (1):

isto é:

NOTA: • Observe que i é sempre a taxa relativa ao maior período.

Exercícios resolvidos 1. Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano. Resolução: Lembrando que 1 a = 12 me, temos:

isto é: 113

2,5% a.m. 2. Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia. Resolução: Lembrando que 1 me = 30 d, temos:

isto é: 2,4% a.m. 3. Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre. Resolução: Lembrando que 1 a = 4 t, temos:

isto é: 32% a.a.

Resolva 1. Calcule a taxa mensal proporcional a: a) 9% a.t. b) 24% a.s. c) 0,04% a.d. 2. Calcule a taxa anual proporcional a: a) 1,5% a.m. b) 8% a.t. 114

c) 21% a.s. d) 0,05% a.d. 8.7 Taxas equivalentes

Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro.

Vamos calcular o juro produzido pelo capital de R$ 2.000,00: • à taxa de 4% ao mês, durante 6 meses; • à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres. No primeiro caso, temos:

Logo: j = 2.000,00 × 0,04 × 6 ⇒ j = 480,00, isto é, o juro produzido é de: R$ 480,00 No segundo caso, temos:

Daí: j = 2.000,00 × 0,12 × 2 ⇒ j = 480,00, isto é, o juro produzido é de: R$ 480,00 115

Como os juros produzidos são iguais, podemos dizer que 4% a.m. e 12% a.t. são taxas equivalentes. NOTA: • Dadas as taxas de juros i, relativa a 1 período, e ik , relativa a período, temos: ji = C × i × 1 e jik = C × ik × k

Supondo que i e ik são taxas equivalentes, vem: ji = jik ⇒ Ci = Cikk ⇒ i = ikk, isto é:

o que nos diz que as taxas i e ik são proporcionais.

Assim, podemos concluir que:

Em regime de juro simples, duas taxas proporcionais são equivalentes.

116

Exercícios resolvidos 1. Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido. Resolução: Temos:

Como o tempo é dado em meses e a taxa é dada ao ano, antes de aplicarmos a fórmula devemos determinar a taxa mensal proporcional à dada:

Logo: j = 2.400,00 × 0,25 × 10 ⇒ j = 500,00, isto é, o juro é de: R$ 500,00 2. Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18.500,00, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano. Resolução: Como o tempo foi dado sob a forma de numeral complexo, a primeira coisa a ser feita é a obtenção do número de dias correspondentes, lembrando que: 1 a = 360 d

e

1 me = 30 d

Assim: 2 a 4 me 10 d = (2 × 360 + 4 × 30 + 10) d = 850 d* Temos, então:

117

Daí: j = 18.500,00 × 0,001 × 850 ⇒ j = 15.725,00, isto é, o juro é de: R$ 15.725,00

Resolva 1. Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 32.500,00, à taxa de 18% ao ano, durante 3 meses. 2. Calcule o juro de um capital de R$ 5.000,00, em regime de juro simples, durante 2 anos e 4 meses, à taxa de 24% ao ano. 8.8 Juro comercial e juro exato A técnica que estamos empregando no cálculo do juro simples (1 ano = 360 dias) nos dá o que denominamos juro simples comercial. Entretanto, podemos obter o juro fazendo uso do número exato de dias do ano (365 d, ou 366 d, se o ano for bissexto). Neste caso, o resultado é denominado juro simples exato. Além disso, temos que levar em consideração o modo de obtenção do número de dias. Admitindo que cada mês tenha 30 dias, obtemos o tempo aproximado; fazendo a contagem no calendário, obtemos o tempo exato (no Brasil contamos apenas uma das datas extremas). Assim, tanto no juro simples exato como no juro simples comercial o tempo pode ser exato ou aproximado. NOTA: • A técnica mais comumente usada é a do cálculo do juro simples comercial para o número exato de dias; é a que proporciona o juro máximo em qualquer transação.

118

8.9 Determinação do número exato de dias entre duas datas Podemos obter o número exato de dias entre duas datas de três maneiras diferentes: 1a) Pela contagem direta dos dias em um calendário, lembrando que apenas um dos dias extremos deve ser incluído. 2a) Considerando o número exato de dias de cada mês, lembrando que janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias; abril, junho, setembro e novembro têm 30 dias; fevereiro tem 28 dias (29 dias nos anos bissextos*). Podemos, por exemplo, determinar o número exato de dias de 11 de março a 18 de maio do mesmo ano do seguinte modo: 11 de março a 11 de abril:

31 dias

11 de abril a 11 de maio:

30 dias

11 de maio a 18 de maio:

18 – 11 = 7 dias

11 de março a 18 de maio:

31 + 30 + 7 = 68 dias

Logo:

3a) Pelo uso da Tabela para Contagem de Dias (p. 229). No caso do exemplo anterior, procuramos na coluna relativa a dias o dia 18 e na linha relativa a meses o mês de maio, e anotamos o número que se acha na intersecção (linha do dia 18 com coluna do mês de maio): 138. Em seguida, fazemos o mesmo para a data de 11 de março e encontramos 70. O número exato de dias é dado por: 138 – 70 = 68 dias Vamos, também, determinar o número exato de dias de 20 de outubro a 15 de março do ano seguinte. Inicialmente, calculamos o número de dias entre 20 de outubro e 31 de dezembro: 365 – 293 = 72 Em seguida, somamos 72 com os 74 dias que vão de 1o de janeiro até 15 de março: 72 + 74 = 146 dias NOTA: • Se o ano é bissexto, somamos 1 ao número de dias: 146 + 1 = 147 dias

119

Exercício resolvido 1. Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago? Resolução: Inicialmente, temos de determinar o número de dias. Consultando a Tabela para Contagem de Dias (p. 229), vemos que: à data 25/11 correspondem 329 dias; à data 20/07 correspondem 201 dias. Logo, o número de dias procurado é: 329 – 201 = 128 dias Assim:

Daí: j = 8.500,00 × 0,00125 × 128 ⇒ j = 1.360,00, isto é, o juro a ser pago é de: R$ 1.360,00

Resolva 1. Um capital de R$ 9.840,00 foi aplicado à taxa de 3% ao mês, no período compreendido entre 15/04 e 23/07 do mesmo ano. Qual o juro recebido? 120

Exercícios resolvidos 1. Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês, para obtermos R$ 441,00 de juro? Resolução: Temos:

Como: j =C×i ×n⇒C×i ×n=j vem:

Logo, o valor do principal é de: R$ 9.800,00 2. Qual o valor do principal que, aplicado durante 1 ano e 6 meses, à taxa de 1,2% ao mês, rendeu R$ 19.008,00? Resolução: Temos:

Como:

121

C×i ×n=j vem:

Logo, a quantia a ser aplicada é de: R$ 88.000,00 3. A que taxa foi empregado o capital de R$ 12.000,00, que, no prazo de 2 anos, rendeu R$ 8.400,00 de juro? Resolução: Temos:

Como: j =C×i ×n⇒C×i ×n=j vem:

Logo, a taxa é de: 0,35 a.a. ou 35% a.a. NOTA: • A taxa resultante será sempre referida à mesma unidade do intervalo de tempo dado.

4. Uma aplicação de R$ 8.000,00, pelo prazo de 6 meses, obteve um rendimento de R$ 1.680,00. 122

Qual a taxa anual correspondente? Resolução: Temos:

Logo:

isto é: i = 0,035 a.m. ou 3,5% a.m. Como, porém, o problema pede a taxa anual, temos: i = (3,5 × 12)% a.a. ⇒ i = 42% a.a. Logo, a taxa é de: 42% a.a. NOTA: • Às vezes é mais conveniente transformarmos a unidade do intervalo de tempo para a mesma unidade da taxa. É o que faremos no exercício seguinte.

5. A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ 66.000,00 para que, em 3 meses e 10 dias, renda um juro de R$ 11.000,00? Resolução: Temos:

123

Logo:

isto é, a taxa é de: 0,05 a.m. ou 5% a.m. 6. Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$ 12.800,00 que, à taxa de 1% ao mês, rendeu R$ 896,00. Resolução: Temos:

Como: C×i ×n=j vem:

isto é, o período financeiro é de: 7 meses NOTA:

124

• O tempo resultante será sempre referido na mesma unidade da taxa.

7. Durante quanto tempo devemos aplicar R$ 4.800,00, à taxa de 36% ao ano, para obtermos R$ 2.376,00 de juro? Resolução: Temos:

Logo: 4.800 × 0,36 × n = 2.376 ⇒

isto é, o tempo de aplicação é de: 1,375 a ou 1 a 4 me 15 d* 8. Um capital de R$ 10.500,00 rendeu R$ 1.225,00 de juro. Sabendo que a taxa de juro contratada foi de 42% ao ano e que a aplicação foi feita no dia 20/01/88, qual a data do vencimento? Resolução: Temos:

Logo:

isto é: n = 0,278 a ou n = 100 d Para determinarmos a data do vencimento, recorremos à Tabela para Contagem de Dias (p. 125

229). À data de aplicação (20/01) corresponde o fator 20. Somando esse fator ao número de dias obtido no problema (100), temos: 20 + 100 = 120 d A Tabela, em seu corpo, nos diz que ao fator 120 corresponde a data 30/04, mas, como 1988 é um ano bissexto, diminuímos um dia, o que nos dá a data do vencimento: 29 de abril de 1988

Resolva 1. Qual o capital a ser aplicado no período de 05/06 a 30/11 do mesmo ano, à taxa de 36% ao ano, para render um juro de R$ 5.696,00? 2. A que taxa mensal foi aplicado um capital de R$ 6.000,00, que, durante 6 meses e 20 dias, rendeu R$ 1.320,00 de juro? 3. Durante quanto tempo foram aplicados R$ 19.680,00, que, à taxa de 33,6% ao ano, renderam R$ 9.368,00 de juro? 4. Um capital inicial de R$ 16.000,00, à taxa de 36% ao ano, rendeu R$ 2.192,00 de juro. Sabendo que a aplicação foi feita no dia 15/05/88, qual foi a data de vencimento do contrato?

Exercícios resolvidos 1. Um investidor aplica do seu capital a 5% ao mês e o restante a 54% ao ano. Decorridos 3 anos e 4 meses, recebe um total de R$ 522.000,00 de juro. Calcule o seu capital inicial. Resolução: Temos:

126

Logo:

Como: j1 + j2 = 522.000,00 vem:

isto é, o capital inicial era de: R$ 270.000,00 2. Uma pessoa aplica R$ 4.800,00 a 24% ao ano. Após algum tempo, a taxa é aumentada para 3% ao mês. Determine o prazo em que vigorou a taxa de 3% ao mês, sabendo que em 8 meses os juros totalizaram R$ 912,00. Resolução: Temos:

Logo:

127

j1 = 4.800 × 0,03 × n = 144 n j2 = 4.800 × 0,02 × (8 – n) = 96 (8 – n) Como: j1 + j2 = 912 vem:

isto é, o prazo foi de: 3 meses 8.10 Montante Já vimos que o montante (ou valor nominal) é igual à soma do capital inicial (ou valor atual) com o juro relativo ao período de aplicação, isto é: montante = capital inicial + juro ou valor nominal = valor atual + juro Assim, designando o montante por M, temos:

Lembrando que: j=C×i×n a fórmula (3) pode ser escrita assim:

128

M=C+C×i×n ou, colocando C em evidência:

Exercícios resolvidos 1. Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês? Resolução: Temos:

Lembrando que: M = C(1 + in) vem: M = 28.000,00 (1 + 0,03 × 15) = 28.000,00 × 1,45 = 40.600,00, isto é: M = R$ 40.600,00 NOTA: • A solução deste problema também pode ser obtida do seguinte modo: j = 28.000,00 × 0,03 × 15 = 12.600,00 Como: 129

M=C+j vem: M = 28.000,00 + 12.600,00 = 40.600,00, isto é: M = R$ 40.600,00

2. Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 14.800,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juro simples? Resolução: Temos:

Substituindo esses valores na fórmula (4), obtemos: 14.800,00 = C(1 + 18 × 0,04) ou: C(1 + 18 × 0,04) = 14.800,00 Daí:

isto é: C = R$ 8.605,00 3. Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao credor, após 10 meses, a quantia de R$ 116.640,00. Determine a taxa de juro anual cobrada. Resolução: Temos: 130

Substituindo esses valores em (4), obtemos: 116.640 = 86.400 (1 + 10i) ou: 86.400 (1 + 10i) = 116.640 Daí:

isto é: i = 0,035 a.m. Porém, o que se pede é a taxa anual. Então: i = (0,035 × 12) a.a. ⇒ i = 0,42 a.a. ou 42% a.a. Assim, a taxa é de: 42% a.a. NOTA: • Podemos, ainda, obter esse resultado do seguinte modo: j=M–C Logo: j = 116.640 – 86.400 ⇒ j = 30.240 Lembrando que:

131

temos:

Daí: i = 0,035 a.m. ⇒ i = 0,42 a.a., isto é: 42% a.a.

4. Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 8.000,00, à taxa de juro de 16% ao ano, para obtermos um montante de R$ 8.320,00? Resolução: Temos:

Substituindo em (4), temos: 8.320 = 8.000 (1 + 0,16 × n) ou: 8.000 (1 + 0,16 × n) = 8.320 Daí:

isto é: n = 0,25 a ou:

132

n = 3 meses NOTA: • Outra maneira de se resolver o problema é: j = 8.320 – 8.000 ⇒ j = 320 Lembrando que:

vem:

isto é: n = 0,25 a ou n = 3 meses

5. Uma concessionária vende um automóvel por R$ 15.000,00 à vista. A prazo, vende por R$ 16.540,00, sendo R$ 4.000,00 de entrada e o restante após 4 meses. Qual é a taxa de juro mensal cobrada? Resolução: Se o cliente resolver comprar a prazo, receberá financiamento para apenas R$ 11.000,00 (15.000 – 4.000). O fato se passa, então, como se o cliente tivesse recebido R$ 11.000,00 emprestados com o compromisso de devolver R$ 12.540,00 (16.540 – 4.000) após o prazo de 4 meses. Temos, então:

Como: M = C(1 + in) vem: 133

12.540 = 11.000 (1 + 4i) ou:

isto é: i = 0,035 a.m. Logo, a taxa de juro cobrada é de: 3,5% ao mês

Resolva 1. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos. 2. Uma pessoa aplicou R$ 90.000,00 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ 180.000,00. Qual foi a taxa anual? 3. Um capital foi aplicado à taxa de 45% ao ano em 12/02/90. Em 03/05/90 foi efetuado o resgate no valor de R$ 107.800,00. Qual o valor do capital inicial? 4. Um investidor aplicou R$ 200.000,00 no dia 06/01/90, à taxa de 27% ao ano. Em que data esse capital elevar-se-á a R$ 219.500,00?

Exercícios 1. Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? 134

2. Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano. 3. Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500,00 a ser resgatado por R$ 2.700,00 no final de 2 anos? 4. A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses? 5. Um capital de R$ 30.000,00, aplicado durante 10 meses, rende juro de R$ 6.000,00. Determine a taxa correspondente. 6. Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o juro de R$ 7.830,00. Qual foi esse capital? 7. Uma aplicação de R$ 400.000,00 em letras de câmbio,* pelo prazo de 180 dias, obteve o rendimento de R$ 60.000,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? 8. Qual é o tempo em que um capital de R$ 96.480,00, a 25% ao ano, rende R$ 79.395,00 de juro? 9. Sabendo que o juro de R$ 120.000,00 foi obtido com a aplicação de R$ 150.000,00 à taxa de 8% ao trimestre, calcule o prazo. 10. Um capital emprestado a ao mês rendeu, em 1 ano, 1 mês e 10 dias, o juro de R$ 19.584,00. Qual foi esse capital? 11. Qual o capital que, à taxa de 2,5% ao mês, rende juro de R$ 126.000,00 em 3 anos? 12. Uma pessoa sacou R$ 21.000,00 de um banco sob a condição de liquidar o débito ao fim de 3 meses e pagar ao todo R$ 22.575,00. A que taxa de juro obteve aquele capital? 13. Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano para que o juro obtido seja igual a

do capital?

14. Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano? 15. Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado esse capital? 16. É mais vantajoso empregar R$ 5.260,00 a 24% ao ano ou R$ 3.510,00 a 22% ao ano e o restante a 28% ao ano? 135

17. Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2% ao mês, durante 2 anos. 18. Empregam-se de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendose, assim, um ganho anual de R$ 8.640,00. Qual é o valor desse capital? 19. Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 200.000,00, a 2,5% ao mês, renda um montante de R$ 240.000,00? 20. Em que prazo uma aplicação de R$ 26.250,00 pode gerar um montante de R$ 44.089,00, considerando-se uma taxa de 30% ao ano? 21. A que taxa anual deve ser aplicado o capital de R$ 48.500,00 para que acumule em 1 ano e 2 meses um montante de R$ 65.475,00? 22. Determine a aplicação inicial que, à taxa de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2 meses e 20 dias um montante de R$ 586.432,00. 23. Duas pessoas têm juntas R$ 261.640,00 e empregam o que têm à taxa de 40% ao ano. Após 2 anos, a primeira recebe R$ 69.738,00 de juro a mais que a segunda. Qual o capital de cada uma? 24. O montante de uma aplicação por 4 meses é de R$ 42.336,00; por 9 meses, à mesma taxa, é de R$ 46.256,00. Calcule a taxa comum e a aplicação inicial. 25. Determine o montante que certo capital, aplicado durante 20 trimestres, à taxa de 3% ao mês, rende R$ 62.640,00 de juro. 26. O capital de R$ 7.812,00 foi dividido em duas partes. A primeira, colocada a 4% ao mês, rendeu durante 5 meses o mesmo juro que a segunda durante 8 meses a 2% ao mês. Calcule o valor de cada parte. 27. Um negociante obteve R$ 441.000,00 de empréstimo, à taxa de 21% ao ano. Alguns meses depois, tendo encontrado quem lhe oferecesse a mesma importância a 18% ao ano, assumiu o compromisso com essa pessoa e, na mesma data, liquidou a dívida com a primeira. Um ano depois de realizado o primeiro empréstimo, saldou o débito e verificou que pagou ao todo R$ 82.688,00 de juro. Calcule o prazo do primeiro empréstimo.

136

9 DESCONTO SIMPLES

9.1 Introdução Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto. O desconto é uma das aplicações mais comuns da regra de juro. 9.2 Títulos de crédito Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio. a) A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e uma instituição financeira. b) A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato. c) A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira. 9.3 Desconto Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer: • que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Neste caso, ele se beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento; • que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito. 137

Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades. Esse benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto. As operações anteriormente citadas são denominadas operações de desconto, e o ato de efetuálas é chamado descontar um título. Além disso: • dia de vencimento é o dia fixado no título para o pagamento (ou recebimento) da aplicação; • valor nominal* é o valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento); • valor atual** é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento; • tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou, então, incluindo o último e não o primeiro. Assim:

Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou o valor atual. No primeiro caso, é denominado desconto comercial; no segundo, desconto racional. 9.4 Desconto comercial 9.4.1 Definição Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples, produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente, e à taxa fixada. 9.4.2 Valor do desconto comercial Chamando de:

138

temos, pela definição:

que é o valor do desconto comercial. 9.4.3 Valor atual comercial O valor atual comercial ou valor descontado comercial é dado por: A= N– d Substituindo d pelo seu valor obtido em (1), vem: A= N– N× i × n Daí:

que é o valor atual comercial. NOTA: • O desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois para prazos longos o valor do desconto pode até ultrapassar o valor nominal do título.

Exercício resolvidos 1. Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a) o valor do desconto comercial; b) o valor atual comercial. Resolução: 139

Temos:

a) Sabemos que: d=N×i×n Logo: d = 6.000,00 × 0,0007 × 45 ⇒ d = 189,00, isto é, o desconto comercial é de: R$ 189,00 b) Como: A= N– d vem: A = 6.000,00 – 189,00 ⇒ A = 5.811,00, isto é, o valor atual comercial é de: R$ 5.811,00 NOTA: • Obteríamos o mesmo resultado lembrando que: A = N (1 – i × n) e d = N – A Daí: A = 6.000,00 (1 – 0,0007 × 45) = 5.811,00 e d = 6.000,00 – 5.811,00 = 189,00

2. Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês. Resolução: Temos: 140

Como: A = N (1 – i × n) ou N (1 – i × n) = A vem: 6.900 (1 – 0,04 × n) = 6.072 ⇒

⇒ −0,04 × n = − 1 + 0,88 − ⇒ −0,04 × n = −0,12 ⇒

isto é, a antecipação foi de: 3 meses NOTA: • O problema também poderia ser resolvido empregando a fórmula do desconto (d = N × i × n), lembrando que: d = N − A ⇒ d = 6.900 − 6.072 ⇒ d = 828 Logo: 828 = 6.900 × 0,04 × n ⇒ 276 × n = 828 ⇒

Resolva 1. Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$ 2.000,00, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial? 141

2. Um título, no valor nominal de R$ 8.400,00, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/07. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual é o valor comercial descontado? 3. Um título de R$ 4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate. 9.4.4 Taxa de juro efetiva A taxa de juro, que no período n torna o capital A igual ao montante N, é a taxa que realmente está sendo cobrada na operação de desconto. Essa taxa é denominada taxa de juro efetiva. Assim, simbolizando a taxa efetiva por if, temos: C(1 + if × n) = M (valor do montante) Como: C = Ae M= N temos: A(1 + if × n) = N Daí:

Lembrando que: N– A= d vem:

142

Exercício resolvido 1. Um título de R$ 6.000,00 foi descontado à taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial foi de R$ 189,00, calcule a taxa de juro efetiva. Resolução: Temos:

Como: A = N – d ⇒ A = 6.000 – 189 ⇒ A = 5.811 vem:

isto é: if = 0,000723 a.d. ou: if = 0,0217 a.m. ou if = 2,17% a.m. NOTA: • Assim, para que haja igualdade entre o capital empregado e o valor atual do título, é necessário que a taxa de juro seja maior que a taxa de desconto, cuja relação nos é dada pela fórmula (3).

143

Resolva 1. Uma duplicata de R$ 23.000,00 foi resgatada 112 dias antes de seu vencimento por R$ 21.068,00. Determine a taxa de desconto e a taxa efetiva. 9.5 Equivalência de capitais Às vezes temos necessidade de substituir um título (ou mais) por outro (ou outros) com vencimento diferente ou, ainda, de saber se duas formas de pagamento são equivalentes. Esses problemas estão ligados, de modo geral, à equivalência de capitais diferidos.*

Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais.

A solução deste tipo de problema consiste em estabelecer uma data — data de comparação — e comparar os valores atuais dos títulos em questão, nessa data. Se resultar uma igualdade, podemos concluir que esses capitais diferidos são equivalentes. No regime de juro simples, essa data de comparação deve ser a data zero, isto é, a data em que a dívida foi contraída; isto porque, neste regime, não podemos fracionar o prazo de aplicação, já que o juro é admitido como formado no fim do período de aplicação.

Exercícios resolvidos 1. Quero substituir um título de R$ 5.000,00, vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5% ao mês, qual o valor nominal comercial do novo título? Resolução: Temos:

144

Para que exista equivalência, devemos ter: A = A′ Como: A = N(1 − i × n) ⇒ A = N(1 − 0,035 × 5) ⇒ A = 0,825N A′ = N′(1 − i′ × n′) ⇒ A’ = 5.000,00 (1 − 0,035 × 3) = 5.000,00 × 0,895 ⇒ ⇒ A′ = 4.475,00 vem:

Logo, o valor do novo título é de: R$ 5.424,00 2. Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de R$ 3.000,00 e o outro de R$ 3.600,00, vencíveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um único título vencível em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3% ao mês, qual será o valor do novo título? Resolução: Temos:

Para que exista a equivalência pretendida, devemos ter: A = A1 + A2 Como A = N(1 − i × n), vem: A = N(1 − 0,03 × 4) ⇒ A = 0,88N A1 = 3.000,00 (1 − 0,03 × 2) ⇒ A1 = 2.820,00 A2 = 3.600,00 (1 − 0,03 × 6) ⇒ A2 = 2.952,00 145

Daí:

Logo, o valor do novo título será de: R$ 6.559,00 3. Queremos substituir dois títulos, um de R$ 5.000,00 para 90 dias e outro de R$ 12.000,00 para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencíveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3% ao mês. Resolução: Temos:

Para que exista a equivalência, devemos ter: A1 + A2 + A3 = A′1 + A′ 2 Como A = N(1 − i × n), vem: A1 = N(1 − 0,03 × 1) ⇒ A1 = 0,97N A2 = N(1 − 0,03 × 2) ⇒ A2 = 0,94N A3 = N(1 − 0,03 × 3) ⇒ A3 = 0,91N A′1 = 5.000,00 (1 − 0,03 × 3) ⇒ A′1 = 4.550,00 A′2 = 12.000,00 (1 − 0,03 × 2) ⇒ A′2 = 11.280,00 Daí: 0,97N + 0,94N + 0,91N = 4.550,00 + 11.280,00 ⇒

Logo, o valor nominal de cada um dos novos títulos será de: 146

R$ 5.613,00

Resolva 1. Um título de valor nominal igual a R$ 6.300,00 para 90 dias deverá ser substituído por outro para 150 dias. Calcule o valor nominal do novo título, à taxa de 2,5% ao mês. 2. Um industrial deve pagar dois títulos: um de R$ 14.400,00 para 2 meses e outro de R$ 19.200,00 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-los por um novo título para 4 meses. Qual o valor nominal do novo título, sendo a taxa igual a 3,8% ao mês? 3. Substitua três títulos, um de R$ 4.000,00 para 30 dias, outro de R$ 10.000,00 para 60 dias e outro de R$ 16.000,00 para 90 dias, por dois outros títulos de iguais valores nominais, vencíveis em 90 e 120 dias, respectivamente. Qual o valor nominal comum dos novos títulos, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3,5% ao mês? 9.6 Desconto racional 9.6.1 Definição Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente. NOTA: • Na prática, somente o desconto comercial é utilizado; porém, é necessário fazermos um rápido estudo do desconto racional porque, como veremos no Capítulo 11, o desconto composto está ligado a esse conceito.

9.6.2 Valor do desconto racional Chamando:

147

temos, pela definição:

9.6.3 Valor do desconto racional em função do valor nominal Como:

substituindo (5) em (4), temos: dr = (N − dr) i × n = dr = N × i × n − dr × i × n ⇒ ⇒ dr + dr × i × n = N × i × n ⇒ dr (1 + i × n) = N × i × n Daí:

que é o valor do desconto racional em função do valor nominal do título. 9.6.4 Valor atual racional O valor atual ou descontado racional é dado por: Ar = N − d r Substituindo dr pelo seu valor, obtido em (6), vem:

Daí:

148

NOTA: • Lembrando que d = N × i × n e substituindo em (6), vem: que o desconto racional é menor que o desconto comercial.

, o que nos permite concluir

Exercício resolvido 1. Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a) o valor do desconto racional; b) o valor atual racional. Resolução: Temos:

a) Como:

vem:

isto é: dr= R$ 183,00 b) Como: A r = N − dr 149

vem: Ar = 6.000,00 − 183,00, isto é: A r= R$ 5.817,00 NOTA: • Comparando o valor do desconto racional (R$ 183,00) com o valor do desconto comercial obtido no exercício da p. 112 (R$ 189,00), comprovamos a afirmação de que o desconto racional é menor do que o comercial.

Resolva 1. Determine o valor do desconto e o valor atual racionais de um título de R$ 50.000,00, disponível dentro de 40 dias, à taxa de 3% ao mês.

Exercício 1. Determine o desconto* de uma promissória de R$ 3.000,00, à taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias antes do vencimento. 2. Uma duplicata foi descontada pelo valor de R$ 234.375,00 cinqüenta dias antes de seu vencimento, à taxa de 45% ao ano. Qual o seu valor nominal? 3. Ao pagar um título de R$ 3.600,00 com antecipação de 90 dias, recebo um desconto de R$ 486,00. Qual é a taxa de desconto? 4. O valor atual de um título de R$ 4.800,00 é R$ 4.380,00. Sabendo que a taxa bancária de 150

desconto é de 3,5% ao mês, qual o tempo de antecipação? 5. Uma duplicata de R$ 69.000,00 foi resgatada antes do seu vencimento por R$ 58.909,00. Sabendo que a taxa de desconto foi de

ao mês, qual o tempo de antecipação?

6. Uma empresa possui um título cujo valor nominal é de R$ 7.000,00, com vencimento daqui a 150 dias. Quantos dias antes do vencimento deve descontá-lo, à taxa comercial de 36% ao ano, para que possa adquirir mercadorias no valor de R$ 6.790,00? 7. Um comerciante vai a um banco e desconta uma nota promissória para 90 dias, à taxa de 3% ao mês, mais 1,5% de comissão. Sabendo que o líquido creditado para o comerciante foi de R$ 17.900,00, qual o valor da promissória? 8. Um título de R$ 27.000,00 foi descontado faltando 60 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto foi de R$ 1.800,00, calcule a taxa de desconto e a taxa de juro efetiva. 9. Calcule o valor nominal de um título com vencimento para 60 dias, sabendo que a diferença entre os seus descontos comercial e racional, à taxa de 3% ao mês, é de R$ 408,00. 10. Um comerciante desconta em um banco uma nota promissória para 90 dias, à taxa de 3% ao mês, mais 1% de taxa administrativa. Sabendo que o líquido creditado para o comerciante foi de R$ 10.800,00, qual o valor da nota promissória? 11. Qual é a taxa de juro equivalente à taxa de desconto de 3% ao mês durante 2 meses? (Sugestão: N = M = 1 e A = C.) 12. Um banco deseja ganhar 48% ao ano de juro simples no desconto de títulos. Que taxa de desconto deveria usar, se o prazo do desconto é de 120 dias? 13. Calcule o tempo de antecipação de uma nota promissória, sabendo que o seu valor nominal é cinco vezes o do desconto, a 30% ao ano. 14. Sou portador de duas notas promissórias, uma de R$ 8.000,00, vencível em 150 dias, e outra de R$ 4.000,00, vencível em 120 dias. Pretendendo descontá-las dentro de 90 dias, qual o valor a ser recebido, à taxa de desconto de 3,5% ao mês? 15. Um título no valor nominal de R$ 7.000,00, pagável em 50 dias, vai ser substituído por outro com vencimento para 120 dias. Sabendo que o credor pode resgatar o título à taxa de 36% ao ano, determine o valor nominal do novo título. 16. Um comerciante descontou dois títulos em um banco: um de R$ 12.000,00, para 120 dias, e outro de R$ 10.000,00, para 150 dias. Desejando substituí-los por um título único, com 151

vencimento para 90 dias, calcule o valor nominal deste último, supondo que a taxa de desconto de 42% ao ano permaneça inalterada. 17. Um microempresário tem três títulos, de R$ 2.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 8.00,000, descontados em um banco e com vencimentos para 90, 150 e 180 dias, respectivamente. Desejando substituí-los por dois outros de valores nominais iguais para 60 e 120 dias, calcule o valor nominal comum, supondo que a taxa de desconto seja de 3,2% ao mês para as transações desse tipo. 18. Tenho três títulos, cujos valores são R$ 15.000,00, R$ 20.000,00 e R$ 25.000,00, com vencimentos, respectivamente, para 60, 90 e 120 dias, que foram substituídos por dois outros de R$ 33.110,00 cada um, vencíveis em 150 e 210 dias. Calcule a taxa de desconto, sabendo que é a mesma para qualquer transação. 19. Sendo de 3% ao mês a taxa de desconto, dentro de quantos dias deverá vencer um título de R$ 2.000,00 a fim de que seja equivalente a um outro de R$ 1.600,00 vencível em 60 dias? 20. Um comerciante contraiu uma dívida de R$ 37.300,00 para ser paga com dois títulos de mesmo valor, vencíveis dentro de 60 e 90 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa de desconto é de 2,7% ao mês, calcule qual deverá ser o valor nominal de cada título.

152

10 JURO COMPOSTO

10.1 Introdução Estudamos, no Capítulo 8, o regime de capitalização simples, no qual o juro produzido por um capital é sempre o mesmo, qualquer que seja o período financeiro, pois ele é sempre calculado sobre o capital inicial, não importando o montante correspondente ao período anterior. Assim, um capital de R$ 100,00, aplicado a 2% ao mês, tem a seguinte evolução no regime de juro simples: Ano

Juro

Montante

0

—

100,00

1

100 × 0,02 × 1 = 2

102,00

2

100 × 0,02 × 1 = 2

104,00

3

100 × 0,02 × 1 = 2

106,00

O regime de capitalização que vamos estudar neste capítulo é o mais comumente usado. Nele, o juro a partir do segundo período é calculado sobre o montante do período anterior. Daí afirmamos que neste regime “o juro rende juros”. 10.2 Juro composto Juro composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. Assim, no regime de juro composto, o juro produzido no fim de cada período é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render juro no período seguinte. 153

10.3 Cálculo do montante Tomando o exemplo anterior, de acordo com a definição, temos: Ano

Juro

Montante

0

—

100,00

1

100,00 × 0,02 × 1 = 2,00

102,00

2

102,00 × 0,02 × 1 = 2,04

104,04

3

104,04 × 0,02 × 1 = 2,08

106,12

Isso nos permite concluir que o montante no regime de juro composto é maior que no regime de juro simples (a partir do segundo período). Consideremos, agora, um capital inicial C, aplicado em regime de juro composto à taxa i. Temos: Período

Juro

Montante

1o

j1 = C × i

M1 = C + j1 = C + Ci ⇒ M1 = C(1 + i)

2o

j2 = M1 × i

M2 = M1 + j2 = M1 + M1 × i = M1(1 + i) = = C(1 + i)(1 + i) ⇒ M2 = C(1 + i)2

j3 = M2 × i

M3 = M2 + j3 = M2 + M2 × i = M2(1 + i) = = C(1 + i)(1 + i)2 ⇒ M3 = C(1 + i)3

3o

o que nos permite escrever, para o enésimo período:

Esta é a fórmula do montante em regime de juro composto, também chamada fórmula fundamental do juro composto, para um número inteiro de períodos. O fator (1 + i) n é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital. 154

NOTA: • Ainda aqui, como em juro simples, a unidade para a resolução de um problema é determinada pelo período financeiro a que se refere.

Exercício resolvido 1. Calcule o montante produzido por R$ 2.000,00, aplicados em regime de juro composto a 5% ao mês, durante 2 meses. Resolução: Temos:

Substituindo esses valores em (1), vem: M2 = 2.000,00 (1 + 0,05)2 Logo: M2 = 2.000,00 × 1,052 = 2.000,00 × 1,1025 ⇒ ⇒ M2 = 2.205,00, isto é, o montante é de: R$ 2.205,00 10.4 Determinação do fator de capitalização A única dificuldade que existe no cálculo do montante em regime de juro composto é a determinação do valor do fator de capitalização (1 + i)n. Se dispomos de uma calculadora científica que apresente a tecla xy , o cálculo é facílimo. Caso contrário, devemos fazer uso da Tábua Financeira (p. 236) ou dos logaritmos (p. 231). 10.4.1 Calculadora eletrônica

155

Fazemos uso da tecla xy . Exemplos: Suponhamos problemas que envolvam: 1o) taxa de 20% ao ano e um período de 5 anos. Temos:

Queremos determinar (1 + 0,2)5 = 1,25. Introduzimos na calculadora o valor x (x = 1 + i), pressionamos a tecla de elevação à potência xy , introduzimos o valor y (y = n) e finalmente pressionamos a tecla = . Assim: 1,2 xy 5 = → 2,48832 Logo: (1 + 0,2)5 = 2,48832 2o) taxa de 3% ao mês e um período de 1 ano e 4 meses. Temos:

Queremos determinar (1 + 0,03)16. Assim: 1,03 xy 16 = → 1,604706 = 1,60471 Logo: (1 + 0,03)16 = 1,60471 3o) taxa de 9% ao trimestre e um período de 15 meses. Temos:

Queremos determinar (1 + 0,09)5. Assim: 1,09 xy 5 = → 1,538623 = 1,53862 Logo: (1 + 0,09)5 = 1,53862 156

10.4.2 Tábua financeira No final desta obra, apresentamos uma Tábua Financeira (p. 236) que nos dá os valores de (1 + i)n para vários valores de i e de n. Para localizarmos nessa Tábua determinado valor de (1 + i)n, procuramos o quadro da taxa percentual correspondente a i (que, por questão didática, designaremos por tabela) e na primeira coluna dessa tabela o valor de n. O valor de (1 + i)n é aquele que figura na intersecção da segunda coluna com a linha do número de períodos (n). Nessa Tábua, o número de períodos é dado na unidade de tempo da taxa; assim, se a taxa é anual, n é o número de anos; se mensal, n é o número de meses etc. Exemplos: Consideremos os mesmos dados do item anterior: 1o) Temos:

Queremos determinar o valor de (1 + 0,2)5. Localizamos, inicialmente, a tabela correspondente a i = 20%. Na primeira coluna procuramos o valor 5 de n. O valor de (1 + 0,2)5 é aquele que se encontra na intersecção da quinta linha com a segunda coluna: 2,48832. Logo: (1 + 0,2)5 = 2,48832 2o) Temos:

Logo, pela tabela correspondente a 3%, vem: (1 + 0,03)16 = 1,60471 3o) Temos:

Logo, pela tabela correspondente a 9%, vem: (1 + 0,09)5 = 1,53862

157

10.4.3 Logaritmos No final desta obra, apresentamos um estudo elementar de Logaritmos Decimais (p. 217) e uma Tábua de Logaritmos (p. 231) com seis decimais, que serão suficientes para o seu emprego em matemática financeira. Exemplo: Para uma taxa de 20% ao ano e um período de 5 anos, temos:

Queremos determinar o valor de (1 + 0,2)5: (1 + 0,2)5 = 1,25 Aplicando os logaritmos, vem: log 1,25 = 5 × log 1,2 = 5 × 0,079181 = 0,395905 Logo: 1,25 = antilog 0,395905 Como esse valor não se encontra na Tábua, fazemos:

Assim:

Temos, então: 248,8317 Como a característica do logaritmo é 0, devemos ter uma casa na parte inteira: antilog 0,395905 = 2,488317, isto é: 1,25 = 2,48832

158

Exercícios resolvidos 1. Uma pessoa toma R$ 3.000,00 emprestados, a juro de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? Resolução: Temos:

Como: Mn = C(1 + i)n vem: M10 = 3.000,00 (1 + 0,03)10 Consultando a Tábua Financeira, obtemos: (1 + 0,03)10 = 1,34392 Logo: M10 = 3.000,00 × 1,34392 ⇒ M10 = 4.031,76, isto é, a quantia a ser devolvida é de: R$ 4.032,00 2. Calcule o montante de R$ 20.000,00 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses. Resolução: Temos:

Logo: 159

M35 = 20.000,00 (1 + 0,035)35 Calculadora: (1 + 0,035)35 = 1,03535 = 3,33359 Daí: M35 = 20.000,00 × 3,33359 ⇒ M35 = 66.671,8, isto é, o montante é de: R$ 66.672,00 Tábua Financeira: Como n = 35 ultrapassa os limites da Tábua, para calcularmos (1 + i)n lançamos mão da propriedade multiplicativa de potências de mesma base: am × an = am + n* Assim, fazendo: 35 = 30 + 5 podemos escrever: (1 + 0,035)35 = (1 + 0,035)30 × (1 + 0,035)5 = 2,80679 × 1,18769 = = 3,33360 Logo: M35 = 20.000,00 × 3,33360 ⇒ M35 = 66.672,00, isto é, o montante é de: R$ 66.672,00 3. Calcule o montante de R$ 5.000,00, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses. Resolução: Temos: 160

Logo: M4 = 5.000,00 (1 + 0,0225)4 Calculadora: (1 + 0,0225)4 = 1,02254 = 1,09308 Daí: M4 = 5.000,00 × 1,09308 ⇒ M4 = 5.465,40, isto é, o montante é de: R$ 5.465,00 Tábua Financeira: Neste caso, a taxa 2,25% não figura na Tábua; para calcularmos (1 + 0,0225)4 podemos fazer uso da interpolação linear*. Como 2,25% está compreendido entre 2% e 2,5%, tomamos na Tábua (n = 4) os valores correspondentes: (1 + 0,020)4 = 1,08243 (1 + 0,025)4 = 1,10381 Assim, vemos que para a diferença 2,5% – 2% = 0,5% corresponde a diferença 1,10381 – 1,08243 = 0,02138. Logo, à diferença 2,25% – 2,0% = 0,25% corresponderá a diferença x:

Daí: (1 + 0,0225)4 = 1,08243 + 0,01069 = 1,09312 Finalmente: M4 = 5.000,00 × 1,09312 ⇒ M4 = 5.465,60, isto é, o montante é de: 161

R$ 5.466,00

Resolva 1. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. 2. Calcule o montante do capital de R$ 75.000,00, colocado a juros compostos à taxa de mês, no fim de 6 meses.

ao

3. Qual o montante produzido por R$ 12.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses? 10.5 Cálculo do capital A fórmula do montante em regime de juro composto: Mn = C(1 + i)n pode ser escrita assim: C(1 + i)n = Mn Daí:

Como

, podemos escrever:*

que nos dá o valor do capital inicial ou principal. O fator (1 + i) –n é denominado fator de descapitalização. NOTA: • Ainda aqui, a dificuldade está em se calcular (1 + i)–n, que pode ser determinado por meio de 162

uma calculadora científica* ou fazendo-se uso da Tábua Financeira (terceira coluna).

Exercício resolvido 1. Calcule o capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante de R$ 4.058,00. Resolução: Temos:

Substituindo esses valores em (2), vem: C = 4.058,00 (1 + 0,03)–5 Calculadora: (1 + 0,03)–5 = 0,86261 Tábua Financeira: (1 + 0,03)–5 = 0,86261

(i = 3%

e

Então: C = 4.058,00 × 0,86261 ⇒ C = 3.500,40, isto é, o capital inicial é de: R$ 3.500,00

163

n = 5;

3a coluna)

a

Resolva 1. Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% ao mês, durante 4 meses, rendeu um montante de R$ 79.475,00, calcule esse capital.

Exercícios resolvidos 1. Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Resolução: Temos:

Substituindo esses valores na fórmula fundamental (1), vem: 4.049 = 3.200 (1 + i)6 ⇒ ⇒ 3.200 (1 + i)6 = 4.049 ⇒

Calculadora: (1 + i)6 = 1,26531 ⇒ 1 + i = (1,26531)1/6 = 1,265310,167 = 1,040 Daí: i = 1,040 – 1 ⇒ i = 0,040, 164

isto é, a taxa é de: 0,04 a.m. ou 4% a.m. Tábua Financeira: Devemos pesquisar nas tabelas, na segunda coluna, a linha n = 6, até encontrarmos o valor 1,26532. E realmente vamos encontrálo na tabela correspondente à taxa de 4%. Logo: i = 4% a.m. 2. Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto. Resolução: Temos:

Substituindo esses valores na fórmula fundamental, vem: 22.125 = 11.000 (1 + 0,15)n ou:

Tábua Financeira: Pesquisando na tabela correspondente à taxa de 15%, na segunda coluna, verificamos que para n = 5 temos (1 + i)n = 2,01136. Logo: n = 5, isto é, o prazo é de: 5 semestres ou 2 anos e 6 meses Calculadora: Somos forçados a fazer uso das propriedades dos logaritmos* e da tecla log: log 1,15n = log 2,01136 ⇒ 165

⇒ n × log 1,15 = log 2,01136 ⇒

Usando, agora, a calculadora, obtemos: log 1,15 = 0,06070 e log 2,01136 = 0,30349 Daí:

isto é, o prazo é de: 5 semestres ou 2 anos e 6 meses

Resolva 1. Uma pessoa recebe uma proposta de investir, hoje, uma quantia de R$ 12.000,00 para receber R$ 16.127,00 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto? 2. O capital de R$ 8.700,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se no fim de certo tempo a R$ 11.456,00. Calcule esse tempo. 10.6 Taxas proporcionais Vimos, ao estudar juro simples (p. 102), que duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. Sendo, então, ia uma taxa anual e is, it, ib, im e id taxas, respectivamente, semestral, trimestral, bimestral, mensal e diária, temos:

Assim, para um período

do ano, a taxa proporcional será

166

, isto é:

10.7 Taxas equivalentes Taxas equivalentes são aquelas que, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante num mesmo tempo. Consideremos o seguinte problema: Calcule o montante, em regime de juro composto, relativo a um capital de R$ 1.000,00, empregado: 1o) durante 1 ano, à taxa de 24% ao ano; 2o) durante 12 meses, à taxa de 2% ao mês. 1o) Temos:

Logo: M1 = 1.000,00 (1 + 0,24)1 = 1.000,00 × 1,24 ⇒ M1 = 1.240,00, isto é: M1 = R$ 1.240,00 2o) Temos:

Logo: M12 = 1.000,00 (1 + 0,02)12 = 1.000,00 × 1,26824 ⇒ M = 1.268,24, isto é: M12 = R$ 1.268,00

167

Como M12 π M1 e as taxas empregadas (2% a.m. e 24% a.a.) são proporcionais, podemos concluir que:

Em juros compostos, as taxas proporcionais não são equivalentes.

10.8 Cálculo da taxa equivalente Pelo conceito de taxas equivalentes, podemos afirmar que o montante produzido pelo capital C, à taxa anual ia, durante 1 ano, tem que ser igual ao montante produzido pelo mesmo capital C, durante 12 meses, à taxa mensal im, equivalente à taxa anual ia. Temos, então:

Logo: (1 + im)12 = 1 + ia Para outras frações de ano, temos: (1 + id)360 = (1 + im)12 = (1 + it)4 = (1 + is)2 = 1 + ia

Exercícios resolvidos 1. Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano? Resolução: Temos: ia = 30% a.a. = 0,3 a.a. Como: (1 + it)4 = 1 + ia vem:

168

(1 + it)4 = 1 + 0,3 ⇒ 1 + it = 1,31/4 ⇒ ⇒ it = 1,30,25 – 1 = 1,06778 – 1 ⇒ ⇒ it = 0,06778, isto é: it = 0,0678 a.t. ou 6,78% a.t. 2. Qual é a taxa anual equivalente a 2% ao mês? Resolução: Temos: im = 2% a.m. = 0,02 a.m. Como: 1 + ia = (1 + im)12 vem: 1 + ia = (1 + 0,02)12 ⇒ 1 + ia = 1,0212 ⇒ ⇒ ia = 1,26824 – 1 = 0,26824, isto é: ia = 0,2682 a.a. ou 26,82% a.a.

Resolva 1. Determine a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia. 2. Determine a taxa semestral equivalente a 45% ao ano.

169

10.9 Montante para períodos não-inteiros Pode ocorrer de o número de períodos financeiros não ser um número inteiro. Neste caso, a fórmula fundamental não tem sentido, pois, ao determiná-la, supusemos que os juros fossem formados apenas no fim de cada período de capitalização. Desse modo, a obtenção do montante para períodos não-inteiros só pode ser feita mediante convenções adicionais. É comum serem adotadas duas convenções: a convenção linear e a convenção exponencial. Na convenção linear os juros do período não-inteiro são calculados por interpolação linear. Na convenção exponencial os juros do período não-inteiro são calculados utilizando-se a taxa equivalente. Utilizaremos a convenção exponencial por ser mais lógica. Suponhamos um capital C, aplicado em regime de juro composto à taxa i, durante o período , sendo p < q. Pela convenção exponencial, o capital C renderá juros compostos à taxa i durante os primeiros n períodos. A seguir, seu montante Mn passará a render juros compostos à taxa iq (equivalente à taxa i e relativa à fração do período) durante os p períodos iguais a . Por dedução, chegamos, então, à fórmula:

que nos dá o montante para períodos não-inteiros.

Exercício resolvido 1. Qual será o montante de R$ 3.000,00, a juros compostos de 47% ao ano, em 4 anos e 3 meses? Resolução: Temos:

170

Logo:

isto é, o montante será de: R$ 15.425,00

Resolva 1. Empreguei um capital de R$ 25.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 35% ao ano, durante 2 anos e 6 meses. Quanto recebi? 10.10 Taxa nominal Vimos que o juro só é formado no final de cada período. Entretanto, são frequentes, na prática, enunciados do tipo: • juros de 48% ao ano capitalizados semestralmente; • juros de 36% ao ano capitalizados mensalmente. Tais enunciados caracterizam o que se convencionou chamar de taxas nominais. Assim: Taxa nominal é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se refere. A taxa nominal é, em geral, uma taxa anual. Para resolvermos problemas que trazem em seu enunciado uma taxa nominal, determinamos, por convenção, que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal.

171

Exercício resolvido 1. Qual o montante de um capital de R$ 5.000,00, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano capitalizados trimestralmente? Resolução: Temos:

Pela convenção adotada, temos:

n=2a=2×4t=8t M8 = C(1 + i4)n Logo: M8 = 5.000,00 (1 + 0,06)8 = 5.000,00 × 1,59385 ⇒ M8 = 7.969,25 isto é, o montante é de: R$ 7.969,00 10.11 Taxa efetiva É evidente que, ao adotarmos a convenção, a taxa anual paga não é a oferecida e, sim, maior. Essa é a taxa efetiva. Quando oferecemos 6% ao ano e capitalizamos semestralmente a 3%, a taxa de 6% é, como vimos, a taxa nominal. A taxa efetiva é a taxa anual equivalente a 3% semestrais. Logo, sendo if a taxa efetiva, temos: 1 + if = (1 + 0,03)2 ⇒ if = 1,06090 – 1 ⇒ if = 0,06090, isto é, a taxa efetiva é de:

172

0,0609 a.a. ou 6,09% a.a. Assim, sendo:

como if é equivalente a ik, temos: 1 + if = (1 + ik)k Mas:

Logo:

Exercício resolvido 1. Uma taxa nominal de 18% ao ano é capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva. Resolução: Temos:

Logo: 1 + if = (1 + 0,09)2 ⇒ if = 1,18810 – 1 ⇒ if = 0,18810, isto é, a taxa efetiva é de: 173

0,1881 a.a. ou 18,81% a.a.

Resolva 1. Um banco emprestou a importância de R$ 35.000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalização trimestral, qual a taxa efetiva anual e qual o montante a ser devolvido ao final dos 2 anos? 10.12 Taxa real e taxa aparente Denominamos taxa aparente aquela que vigora nas operações correntes. Quando não há inflação, a taxa aparente é igual à taxa real; porém, quando há inflação, a taxa aparente é formada por dois componentes: um correspondente à inflação e outro correspondente ao juro real. Sendo:

podem acontecer os seguintes casos: • Com uma inflação igual a zero e uma taxa de juros r, o capital inicial se transformará, ao final de um período, em: C(1 + r) • Com uma taxa de inflação I, o capital inicial, ao final de um período, equivalerá a: C(1 + I) • Com uma taxa de juros r e uma taxa de inflação I, simultaneamente, o capital inicial equivalerá a: C(1 + r) (1 + I)

(4)

• Com uma taxa aparente i, o capital inicial se transformará, ao final de um período, em: C(1 + i) 174

(5)

• Como (4) e (5) são expressões equivalentes, já que ambas traduzem o valor efetivamente recebido, temos: C(1 + i) = C(1 + r) (1 + I) Daí: 1 + i = (1 + r) (1 + I)

Exercícios resolvidos 1. Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,8% a.m. e a uma inflação de 20% no período? Resolução: Temos:

Logo: 1 + i = (1 + 0,008) (1 + 0,2) = = 1,008 × 1,2 = 1,2096 Daí: i = 0,2096, isto é, a taxa aparente deve ser de: 20,96% 2. Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a resgata na época B. O juro aparente recebido foi de 25%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação, nesse período, foi de 15%. Resolução: Temos:

175

Logo:

Daí: r = 0,087, isto é, a taxa real foi de: 8,7%

Resolva 1. Um empréstimo foi feito a uma taxa de 32% ao ano. Sabendo que a inflação nesse ano foi de 21%, calcule a taxa real anual. 2. Uma financeira cobra uma taxa aparente de 22% ao ano, com a intenção de ter um retorno real correspondente a uma taxa de 9% ao ano. Qual é a taxa de inflação?

Exercícios 1. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses. 2. Determine o juro de uma aplicação de R$ 20.000,00, a 4,5% ao mês, capitalizado mensalmente durante 8 meses. 3. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800,00, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês? 4. Calcule o montante de R$ 8.500,00, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses. 5. Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses 176

rendeu um montante de R$ 19.752,00. 6. Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000,00 produzirá um montante de R$ 146.853,00, à taxa de 3% ao mês? 7. Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$ 3.774,00 de juro. Determine a taxa de aplicação. 8. O capital de R$ 12.000,00, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante 8 meses, elevou-se no final desse prazo a R$ 15.559,00. Calcule a taxa de juro. 9. A que taxa bimestral devo aplicar o meu capital, de modo a obter um total de juro igual a 50% do capital aplicado no fim de 8 meses? 10. Determine as taxas mensal, trimestral, semestral e anual equivalentes à taxa de: a) 30% a.a.; c) 8% a.t.; b) 20% a.s.; d) 3% a.m. 11. O capital de R$ 9.200,00 foi colocado em regime de capitalização composta durante 1 ano e 9 meses, à taxa de 36% ao ano. Qual o montante? 12. Quanto devo aplicar em regime de juro composto, à taxa de 30% ao ano, para obter em 1 ano e 3 meses a importância de R$ 6.941,00? 13. A que taxa mensal foi empregada, a juros compostos, a importância de R$ 82.000,00 para acumular em 5 meses e 21 dias o montante de R$ 97.048,00? 14. A caderneta de poupança paga juro de 6% ao ano capitalizado trimestralmente. Qual a taxa efetiva de juro? 15. Uma instituição financeira paga juro de 21% ao ano capitalizado mensalmente. Qual a sua taxa efetiva? 16. O capital de R$ 18.000,00 foi colocado por 2 anos a 20% ao ano, capitalizados trimestralmente. Qual o montante? 17. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 12.000,00, à taxa de juro de 22% ao ano, capitalizado semestralmente, durante 21 meses. 18. Durante quanto tempo R$ 25.000,00 produzem R$ 14.846,00 de juro, a 24% ao ano, capitalizado trimestralmente? 177

19. Um investidor aplica R$ 25.000,00, em uma época A, para receber, em uma época B, a importância de R$ 34.000,00. Calcule: a) a taxa aparente dessa aplicação; b) a taxa de inflação no período da aplicação, sabendo que a taxa real de juro dessa aplicação, nesse período, foi de 20%.

178

11 DESCONTO COMPOSTO

11.1 Introdução O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto simples: é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes de seu vencimento. Empregamos o desconto composto para operações a longo prazo, já que a aplicação do desconto simples comercial, nesses casos, pode levar-nos a resultados sem nexo. (Ver nota, p. 105). Analogamente ao caso do desconto simples, temos dois tipos de desconto composto: o racional e o comercial. O desconto comercial praticamente não é empregado entre nós; assim, ficaremos restritos ao estudo do desconto composto racional. 11.2 Cálculo do valor atual Valor atual, em regime de juro composto de um capital N disponível no fim de n períodos, à taxa i relativa a esse período, é o capital A que, colocado a juros compostos à taxa i, produz no fim dos n períodos o montante N. Assim, em virtude dessa definição, temos: A (1 + i)n = N Logo:

Daí:

NOTA: 179

• (1 + i)–n é, como já vimos, o fator de descapitalização.

Exercícios resolvidos 1. Determine o valor atual de um título de R$ 800,00, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto (composto) de 2% ao mês: Resolução: Temos:

Logo: A = 800,00 (1 + 0,02)–4 = 800,00 × 0,92385 ⇒ A = 739,08 isto é, o valor atual do título é de: R$ 739,00 2. Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 1.120,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, capitalizados semestralmente. Resolução: Temos:

Logo: A = 1.120,00 (1 + 0,18)–5 = 1.120,00 × 0,43711 ⇒ A = 489,56, isto é, o valor atual é de: R$ 490,00

180

3. Qual o desconto composto que um título de R$ 5.000,00 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? Resolução: Temos:

Como: d=N–A calculamos, inicialmente, o valor de A, isto é: A = 5.000,00 (1 + 0,025)–3 = 5.000,00 × 0,92860 ⇒ A = 4.643,00 Daí: d = 5.000,00 – 4.643,00 ⇒ d = 357,00 isto é, o desconto é de: R$ 357,00 4. Um título com valor nominal de R$ 1.500,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto concedido? Resolução: Temos:

Logo: A = 1.500,00 (1 + 0,025)–3 = 1.500,00 × 0,92860 ⇒ A = 1.392,90 Daí: d = 1.500,00 – 1.392,90 ⇒ d = 107,10, isto é, o desconto concedido foi de: 181

R$ 107,00 5. Em uma operação de desconto composto, o portador do título recebeu R$ 36.954,00 como valor de resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de R$ 3.046,00, qual foi a taxa de juro mensal adotada? Resolução: Temos:

Logo:

isto é, a taxa foi de: 2% a.m.

Resolva 1. Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de R$ 7.000,00, faltando ainda 3 meses para o seu vencimento. Calcule seu valor atual, sabendo que a taxa de desconto é de 3,5% ao mês. 2. Calcule o valor atual de um título de R$ 40.000,00, resgatado 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 24% ao ano. 3. O valor nominal de um título é de R$ 200.000,00. Seu portador deseja descontálo 1 ano e 3 meses antes de seu vencimento. Calcule o valor de resgate sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente. 4. Determine o valor do desconto composto de um título de valor nominal de R$ 6.200,00, descontado 5 meses antes de seu vencimento à taxa de 3% ao mês. 5. Calcule o desconto obtido em um título de valor nominal de R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto, em regime de juro composto, de 30% ao ano, capitalizados bimestralmente.

182

6. A que taxa foi descontada uma dívida de R$ 5.000,00 que, paga 5 bimestres antes do vencimento, se reduziu a R$ 3.736,00? 7. Por um título de R$ 2.300,00 paguei R$ 2.044,00 com um desconto de 3% ao mês. Para quanto tempo antecipei o pagamento? 11.3 Equivalência de capitais diferidos No estudo de desconto em regime de juro simples (p. 111), vimos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais. Vimos, ainda, que em regime de capitalização simples essa data de comparação deve coincidir com a data zero. Em regime de capitalização composta, a data de comparação pode ser qualquer uma, porque os juros compostos são equivalentes aos descontos compostos.

Exercícios resolvidos 1. Um título no valor nominal de R$ 7.000,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado é de 3% ao mês, qual o valor nominal do novo título? Resolução: Temos:

Para que exista a equivalência, devemos ter: A = A’ ⇒ N(1 + i)–n = N’(1 + i’)–n’ Logo: N(1 + 0,03)–3 = 7.000,00 (1 + 0,03)–5 Daí:

isto é, o valor nominal do novo título é de: 183

R$ 6.598,00 NOTA: • Na resolução desse problema usamos a data zero como data de comparação. Porém, como dissemos antes, essa data poderá ser qualquer uma. Apenas para comprovarmos, tomemos como data de comparação a data 4. Temos: N = 7.000,00 (1 + 0,03)–2 = 7.000,00 × 0,94260 = 6.598,00 Agora, tomando a data 6, temos:

2. Um comerciante, devedor de um título de R$ 40.000,00 para 3 anos, deseja resgatar essa dívida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de 1 ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo que a taxa é de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos. Resolução: Temos:

Para haver equivalência, devemos ter: A1 + A2 = A’ Logo: N(1 + 0,4)–1 + N(1 + 0,4)–2 = 40.000,00 (1 + 0,4)–3 Daí:

isto é, o valor dos pagamentos é de: R$ 11.905,00

184

Resolva 1. Duas promissórias, uma de R$ 4.000,00, vencível em 120 dias, e a outra de R$ 9.000,00, vencível em 180 dias, deverão ser resgatadas por um só pagamento, dentro de 90 dias. Qual o valor desse resgate, no regime de juro composto, à taxa de 3% ao mês?

Exercícios 1. Calcule o valor atual, à taxa de 2,5% ao mês, do capital de R$ 6.000,00 disponível no fim de 4 meses. 2. Qual o valor atual de um título de R$ 15.000,00, resgatado a 6 meses de seu vencimento, sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 6% ao bimestre? 3. Um título de valor nominal de R$ 2.000,00 sofreu um desconto real de 40% ao ano, capitalizados semestralmente, 2 anos antes do vencimento. Qual o seu valor atual? 4. Um título de R$ 75.000,00 foi resgatado, com um desconto composto de 3,5% ao mês, por R$ 67.646,00. Calcule o tempo de antecipação do resgate. 5. Uma letra de câmbio paga 5 meses antes de seu vencimento, com um desconto composto de 4% ao mês, ficou reduzida a R$ 24.658,00. Calcule o valor da letra. 6. Um título de valor nominal de R$ 30.000,00 foi resgatado 1 ano e 6 meses antes do vencimento por R$ 23.037,00. Qual foi a taxa trimestral de desconto? 7. Um título pagável em 1 ano e 6 meses sofre um desconto real de R$ 21.065,00. Calcule o valor nominal do título, sabendo que a taxa empregada nessa transação é de 40% ao ano, capitalizados semestralmente. 8. Uma firma toma emprestada de um banco a importância de R$ 20.000,00 no prazo de 10 meses, à taxa de 3,5% ao mês, em regime de juro composto. Quanto essa firma deveria pagar ao banco, se desejasse antecipar 4 meses o pagamento, sabendo que a taxa de desconto composto é de 3% ao mês?

185

9. Um industrial toma um empréstimo de R$ 500.000,00 por 4 anos, com juro de 40% ao ano, capitalizados trimestralmente. Passado algum tempo, o industrial propõe saldar a dívida em 3 pagamentos iguais, realizáveis no fim do 2°, 3° e 4° anos, respectivamente. Calcule o valor desses pagamentos, sabendo que a taxa de desconto empregada na transação é de 36% ao ano com capitalizações semestrais. 10. Uma firma toma emprestada por 3 anos, a juro de 24% ao ano capitalizados bimestralmente, a importância de R$ 300.000,00. Decorrido 1 ano, a firma faz um acordo pagando R$ 100.000,00 no ato e assinando uma promissória com vencimento para 1 ano após a data do acordo. Calcule o valor nominal do novo título, sabendo que o desconto concedido é de 24% ao ano, capitalizados anualmente.

186

12 CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTAS

12.1 Introdução Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar todos os meses uma certa quantia em uma caderneta de poupança; quando queremos comprar um bem qualquer, podemos fazê-lo em prestações, a serem pagas mensalmente. Podemos, portanto, constituir um capital ou resgatar uma dívida depositando ou pagando certa quantia, em épocas distintas. No primeiro caso temos uma capitalização e no segundo, uma amortização. Estudaremos, neste capítulo, como calcular os juros, as parcelas e os montantes (ou valores atuais) envolvidos nas operações de capitalização e de amortização. 12.2 Rendas A sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas diferentes, destinados a formar um capital ou pagar uma dívida é denominada renda. Os termos da sucessão de depósitos ou de prestações são denominados termos da renda e o intervalo de tempo que decorre entre os vencimentos de dois termos consecutivos é chamado período da renda. Exemplo: No caso da compra de uma TV em cores em 7 prestações mensais de R$ 41,00, cada uma das prestações é um termo da renda e o período é mensal. As rendas podem ser de dois tipos: certas ou aleatórias. a) Rendas certas ou anuidades: ocorrem quando o número de termos, seus vencimentos e seus respectivos valores podem ser prefixados. Exemplo: Compra de bens a prazo. b) Rendas aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos elementos não pode ser previamente determinado. Exemplo: pagamento de um seguro de vida (o número de termos é indeterminado). 187

Quando o período da renda é sempre o mesmo, dizemos que ela é periódica; caso contrário, é não-periódica. Nas rendas periódicas, se o período é o mês, o trimestre ou o ano, temos, respectivamente, renda mensal, trimestral ou anual, e assim por diante. Se todos os termos da renda são iguais, ela é denominada constante; caso contrário, é variável. Quanto à data do vencimento do primeiro termo, uma renda certa pode ser imediata, antecipada ou diferida. a) Imediata: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do primeiro período a contar da data zero, isto é, da data da assinatura do contrato.

Assim, o vencimento do último termo (Tn) ocorre no fim do período n. Exemplo: Compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação um mês após a assinatura do contrato. b) Antecipada: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero.

O vencimento do último termo ocorre no início do período n. Exemplo: Depósito mensal de uma mesma quantia em caderneta de poupança, durante um prazo determinado. c) Diferida: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um determinado número de períodos, a contar da data zero.

O vencimento do último termo ocorre no fim de m + n períodos. Exemplo: Compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação no fim de um determinado número de meses. NOTAS: • Sempre que o tipo de renda não for especificado, deveremos supor que se trata de renda imediata, por ser o tipo mais comum. • Neste texto, por seu caráter elementar, abordaremos apenas as rendas certas constantes e periódicas.

12.3 Capitalização composta 188

Neste item vamos estudar a determinação do montante constituído por depósitos periódicos de quantias constantes sobre as quais incide a mesma taxa. 12.3.1 Renda imediata Consideremos o seguinte problema: Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. Temos:

O gráfico abaixo esquematiza a situação:

Assim, cada depósito (C = 100,00) representa o capital inicial, aplicado a 2% ao mês e por prazos que vão de 1 a 5 meses. O que se pede no problema é a determinação do montante desses depósitos na data final. Sendo: Mn = C(1 + i)n a fórmula que nos dá o montante e, como o último depósito não terá rendimento, por ser aplicado exatamente no dia em que se pede o montante, resulta:

Como, por definição, o valor do montante de uma renda montantes de seus termos, podemos escrever:

189

é igual à soma dos valores dos

Daí:

isto é, o montante da renda é de: R$ 520,00 Pelo exemplo dado, podemos comprovar o esforço computacional despendido para obtermos o montante de uma renda. Vamos, então, obter uma fórmula que minimize esse esforço. Sendo:

usando um raciocínio análogo ao do exemplo dado, temos:

Logo: ou: A expressão que se encontra dentro dos colchetes é a soma dos termos de uma PG, na qual:

Lembrando que:

podemos escrever:

190

Daí:

Temos, então:

O fator Assim:

é um fator de capitalização, indicado por

.

Esta fórmula nos dá o montante de uma renda imediata. NOTA: • A Tábua Financeira (p. 236) apresenta os valores de

na quinta coluna.

Exercícios resolvidos 1. Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. Resolução: Temos:

Substituindo esses valores em (1), vem:

191

Como: obtemos: isto é, o montante é de: R$ 520,00 2. Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de R$ 800,00, a 0,5% ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano? Resolução: Temos:

Substituindo esses valores em (1), vem:

Como:

Obtemos:

isto é, terei um montante de: R$ 9.868,00

Resolva 1. Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de 1,5% ao mês, quanto possuirá em

anos?

192

Exercício resolvido 1 Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ 400.000,00? Resolução: Temos:

Substituindo em (1), vem: Como: temos:

isto é, a importância a ser depositada é de: R$ 30.347,00

Resolva 1. Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 200.000,00, à taxa de 25% ao ano.

193

Exercícios resolvidos 1. A que taxa uma pessoa, realizando depósitos mensais imediatos no valor de R$ 8.093,00, forma um capital de R$ 135.000,00 ao fazer o décimo quinto depósito? Resolução: Temos:

Substituindo esses valores em (1), vem:

Percorrendo as tabelas da Tábua Financeira, para n = 15, encontramos, para i = 1,5%: Como esse valor está bem próximo de 16,68108, podemos concluir que a taxa é de: 1,5% ao mês 2. Quantas prestações mensais imediatas de R$ 500,00 devem ser colocadas, à taxa de 2% ao mês, a fim de se constituir o montante de R$ 6.706,00? Resolução: Temos:

Substituindo esses valores em (1), vem:

194

Examinando a Tábua Financeira, na tabela correspondente a 2%, encontramos: 13,41209 → n = 12 Podemos, então, afirmar que há necessidade de: 12 prestações mensais

Resolva 1. Desejamos fazer aplicações mensais imediatas de R$ 12.000,00, de modo que na data do décimo depósito constituamos o montante de R$ 125.547,00. A que taxa devemos aplicar aquelas importâncias? 2. Quantas mensalidades de R$ 2.000,00 serão necessárias para, a 0,5% ao mês, constituirmos um capital de R$ 16.283,00? 12.3.2 Renda antecipada Seja:

Como vimos, na renda antecipada depositamos, no início do período, n parcelas iguais a T, a uma taxa unitária i, referida à mesma unidade do período constante. Como, neste caso, o depósito é feito no início do período, ao final deste período ele já estará dando origem a um montante. Então, usando um raciocínio análogo ao empregado na dedução da fórmula da renda imediata, temos:

195

Representando o montante de uma renda antecipada por

podemos escrever:

Somando T a ambos os membros, vem:

Examinando o segundo membro dessa igualdade, vemos que ele nada mais é do que o montante de uma renda imediata de n + 1 termos, isto é:

Daí:

ou:

Esta fórmula nos dá o montante de uma renda antecipada.

Exercícios resolvidos 1. Uma pessoa deposita em uma financeira, no início de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juro de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. Resolução: Temos:

Substituindo esses valores em (2), vem:

196

Como: temos:

isto é, o montante da renda é de: R$ 531,00 2. Qual o montante de uma renda antecipada de 10 termos mensais de R$ 500,00, à taxa de 1,5% ao mês? Resolução: Temos:

Substituindo esses valores em (2), vem:

Como: s

obtemos:

isto é, o montante da renda é de: R$ 5.432,00

Resolva 1. Calcule o montante de uma renda trimestral antecipada de 8 termos iguais a R$ 7.000,00, sendo de 2,5% ao trimestre a taxa de juro composto. 197

Exercícios resolvidos 1. Quanto se deve depositar no início de cada semestre, numa instituição financeira que paga 18% ao ano, para constituir o montante de R$ 50.000,00 no fim de 3 anos, sendo os juros capitalizados semestralmente? Resolução: Temos:

Substituindo em (2) esses valores, vem:

Como: temos:

isto é, o depósito semestral deve ser de: R$ 6.097,00 2. Uma pessoa realizou 10 depósitos bimestrais antecipados de R$ 10.000,00 e obteve o montante de R$ 128.412,00. Qual foi a taxa de juro? Resolução: Temos:

Substituindo esses valores em (2), vem:

198

Examinando as tabelas da Tábua Financeira relativas a n = 11 encontramos: 13,84118 → i = 4,5% Assim, podemos concluir que a taxa de juro é de: 4,5% ao bimestre 3. Quantos depósitos mensais antecipados de R$ 15.614,00 serão necessários para constituir o montante de R$ 200.000,00, à taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente? Resolução: Temos:

Como se trata de capitalização mensal devemos, inicialmente, calcular a taxa proporcional mensal:

Substituindo esses valores em (2), vem:

Examinando a Tábua Financeira, na tabela relativa a 1% encontramos: n’ = 13 → 13,80933 Como esse valor é próximo de 13,80902, podemos concluir que: n + 1 = 13 ⇒ n = 12, isto é, são necessários: 12 depósitos mensais

199

Resolva 1. Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa instituição financeira, à taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizados bimestralmente, de modo que com 8 depósitos antecipados constitua o capital de R$ 150.000,00. Calcule a importância. 2. Calcule o número de termos de uma renda anual antecipada de R$ 20.000,00 de termo, cujo montante, à taxa de 10% ao ano, é de R$ 169.743,00. 3. A que taxa se deve depositar em uma instituição financeira, no início de cada trimestre, a importância de R$ 16.756,00, para no fim de 4 anos possuir o montante de R$ 500.000,00? 12.4 Amortização composta Vamos, agora, aprender a calcular o valor de uma dívida (ou de um empréstimo, ou o valor à vista de uma mercadoria) que será paga em prestações periódicas de quantias constantes, sobre as quais incide a mesma taxa. 12.4.1 Renda imediata Consideremos o seguinte problema: Que dívida pode ser amortizada por 5 prestações mensais de R$ 100,00, sendo de 2% ao mês a taxa de juro? Temos:

O gráfico abaixo esquematiza a situação:

Assim, cada prestação (T = 100,00) representa o valor futuro individual de um valor atual que não conhecemos, aplicado a 2% ao mês e por prazos que vão de 1 a 5 meses. O que se pede no problema é a determinação do valor dessas prestações na data zero (data da assinatura do contrato). A fórmula que nos dá o valor atual é:

200

An = N(1 + i)–n

Temos, então:

Como, por definição, o valor atual de uma renda termos, podemos escrever:

*é

igual à soma dos valores atuais de seus

Daí:

isto é, a dívida é de: R$ 471,00 Pelas mesmas razões expostas quando da determinação do montante de uma renda, vamos obter uma fórmula para o cálculo do valor atual da renda. Sendo:

temos:

201

Logo:

Colocando T em evidência, obtemos:

ou:

A expressão que se encontra dentro dos colchetes é a soma dos termos de uma PG, na qual:

Logo:

Multiplicando ambos os termos da fração resultante por (1 + i)n, vem:

Daí:

202

Temos, então:

O fator Assim, temos:

é denominado fator de amortização e indicado por

.

que é a fórmula do valor atual de uma renda imediata. NOTA: • A Tábua Financeira (p. 236) apresenta os valores de na terceira coluna.

Exercícios resolvidos 1. Qual o valor atual de uma renda anual imediata de 12 termos iguais a R$ 15.000,00 cada um, à taxa de 6% ao ano? Resolução: Temos:

A Tábua nos dá: Logo, substituindo em (3), vem:

isto é, uma dívida de: 203

R$ 125.758,00 2. Que dívida pode ser amortizada por 15 prestações mensais de R$ 8.000,00 cada uma, sendo de 2% ao mês a taxa de juro? Resolução: Temos:

A Tábua Financeira nos dá: Logo, substituindo em (3), vem:

isto é, o valor atual é de: R$ 102.794,00 3. Determine o valor da prestação mensal para amortizar, com 10 prestações, um empréstimo de R$ 15.000,00 a juros de 2,5% ao mês. Resolução: Temos:

Substituindo esses valores em (3), vem:

Como: vem:

isto é, o valor da prestação mensal é de: R$ 1.714,00 204

4. O valor atual de uma renda anual e imediata de termo de R$ 9.000,00, à taxa de 6% ao ano, é de R$ 66.241,00. Calcule seu número de termos. Resolução: Temos:

Substituindo esses valores em (3), vem:

Logo: Examinando a Tábua Financeira, na tabela relativa a 6% encontramos na décima linha o valor 7,36009. Concluímos, então, que: n = 10 anos 5. Uma motocicleta custa, à vista, R$ 3.422,00. Compro-a a prazo dando 20% de entrada e pagando o restante em 12 prestações mensais de R$ 275,00. Calcule a taxa efetiva do financiamento. Resolução: Temos:

Substituindo esses valores em (3), vem:

Examinando a Tábua Financeira para n = 12, encontramos, para i = 3%, esse valor está próximo de 9,95636, podemos concluir que: i = 3% a.m.

205

Como

Resolva 1. Calcule o valor de uma motocicleta comprada a prazo, com uma entrada de R$ 1.200,00 e o restante à taxa efetiva de 4% ao mês. O prazo do financiamento é de 12 meses e o valor da prestação, de R$ 192,00. 2. O preço de um carro é de R$ 17.700,00. Um comprador dá 40% de entrada e o restante é financiado à taxa de 5% ao mês em 10 meses. Calcule o valor da prestação mensal. 3. A que taxa foi contraída a dívida de R$ 67.952,00, se ela deve ser paga em 20 prestações mensais de R$ 5.000,00? 4. Quantas prestações mensais de R$ 900,00 serão necessárias para, a 3,5% ao mês, se pagar uma dívida de R$ 12.791,00? 12.4.2 Renda antecipada No caso de renda antecipada, como a primeira prestação é paga na assinatura do contrato (data zero), seu valor atual é T. Assim:

Indicando o valor atual de uma renda antecipada por

,* temos:

Subtraindo T de ambos os membros, vem: Examinando o segundo membro dessa igualdade, vemos que ele nada mais é que o valor de uma renda imediata de n − 1 termos. Logo:

ou: 206

Daí:

Esta fórmula nos dá o valor atual de uma renda antecipada de n termos.

Exercícios resolvidos 1. Calcule o valor atual de uma anuidade ante-cipada de 12 termos mensais de R$ 250,00, à taxa de 3% ao mês. Resolução: Temos:

Substituindo esses valores em (4), vem:

Como: vem:

isto é, o valor da prestação é de: R$ 2.563,00 2. Qual o valor de uma prestação mensal antecipada para amortizar, com 6 pagamentos, uma compra de R$ 6.500,00, com juro de 2,5% ao mês? Resolução: 207

Temos:

A fórmula (4) nos dá:

Sendo: vem:

isto é, o valor da prestação é de: R$ 1.151,00 3. Quantas prestações bimestrais antecipadas de R$ 23.000,00 são necessárias para pagar uma dívida de R$ 202.080,00, à taxa de 3% ao bimestre? Resolução: Temos:

Logo:

Como esse valor é sensivelmente igual ao de

, podemos concluir que:

n – 1 = 9 ⇒ n = 10, isto é, são necessárias:

208

10 prestações 4. José contraiu uma dívida de R$ 95.660,00, que deverá ser paga em 10 prestações mensais antecipadas de R$ 10.000,00. Qual a taxa de juro? Resolução: Temos:

Logo:

Como esse valor está bem próximo de

, podemos concluir que:

i = 0,01 a.m. ou 1% a.m.

Resolva 1. Calcule o valor atual de uma renda mensal antecipada de 15 termos iguais a R$ 200,00 cada um, à taxa de 2,5 % ao mês. 2. Que dívida pode ser amortizada por 12 prestações bimestrais antecipadas de R$ 1.000,00 cada uma, sendo de 5% ao bimestre a taxa de juro? 3. Determine o valor da prestação mensal para amortizar, com 6 prestações antecipadas, um empréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 3% ao mês. 4. Quantas prestações anuais antecipadas de R$ 48.831,00 serão necessárias para pagar uma dívida de R$ 165.000,00 com uma taxa de juro de 40% ao ano? 5. Um comerciante põe em oferta um eletrodoméstico com preço à vista de R$ 449,00, ou em 16 prestações mensais iguais e antecipadas de R$ 48,00. Qual a taxa efetiva cobrada pelo comerciante?

209

12.4.3 Renda diferida Como já vimos, as rendas diferidas são aquelas em que o primeiro termo é exigível a partir de um certo período de carência. Assim, uma renda imediata com n termos e que apresente um diferimento (período de carência) igual a m tem a seguinte representação esquemática:

Para efeito de raciocínio, vamos considerar pagamentos imediatos hipotéticos desde a época 1 até a época m. Assim, a renda em questão passa a ser formada de (m + n) termos:

O valor atual, na época zero, é:

Se desse valor subtrairmos o valor atual da renda hipotética, que é, evidentemente: ficaremos com o valor atual da renda diferida. Indicando o valor atual de uma renda diferida com um período de carência igual a m pelo símbolo m/An,* podemos escrever:

Colocando T em evidência no segundo membro, vem:

que é a fórmula que nos dá o valor atual de uma renda diferida.

Exercícios resolvidos 1. Qual o valor atual de uma renda de 15 termos mensais de R$ 700,00, com 3 meses de carência, à taxa de 1,5% ao mês? Resolução: 210

Temos:

Substituindo esses valores em (5), vem:

A Tábua Financeira nos fornece: Daí:

Logo:

isto é, o valor atual é de: R$ 8.932,00 2. Calcule o valor atual de uma dívida que pode ser amortizada com 10 prestações mensais de R$ 500,00, sendo de 2% a taxa de juro e devendo a primeira prestação ser paga 3 meses depois de realizado o empréstimo.* Resolução: Temos:

Substituindo esses valores em (5), vem: A Tábua Financeira nos dá: a12 0 02 Daí:

211

Logo: isto é, a dívida é de: R$ 4.317,00 3. Uma dívida de R$ 20.000,00 deve ser amortizada com 4 pagamentos bimestrais consecutivos, sendo de 4% ao bimestre a taxa de juro. Calcule essa prestação, sabendo que o pagamento da primeira delas deve ser efetuado 3 bimestres após a realização do empréstimo. Resolução: Temos:

Substituindo esses valores em (5), vem:

Como: temos: Logo:

isto é, a prestação é de: R$ 5.959,00

Resolva 1. Calcule a dívida assumida por uma pessoa que pagou 10 prestações mensais de R$ 500,00, a juros de 3% ao mês, com uma carência de 6 meses. 212

2. Que dívida pode ser amortizada com 8 prestações bimestrais de R$ 1.000,00, sendo de 7% ao bimestre a taxa de juro e devendo ser paga a primeira prestação 3 bimestres depois de realizado o empréstimo? 3. Uma dívida de R$ 20.000,00 foi amortizada com 6 prestações mensais. Qual o valor dessas prestações, sendo a taxa de juro igual a 1,5% ao mês e tendo havido carência de 2 meses?

Exercícios 1. Uma pessoa deposita R$ 200,00 no fim de cada mês. Sabendo que a taxa de juro é de 2% ao mês, quanto possuirá em 2 anos? 2. Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$ 35.457,00 no final dos 36 meses, sabendo que a aplicação proporciona um rendimento de 1,5% ao mês? 3. Uma pessoa deposita R$ 5.000,00 em uma instituição financeira no início de cada trimestre. Sabendo que a taxa de juro é de 6% ao trimestre, qual o montante no fim de

ano?

4. Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, à taxa de 2,5% ao mês, para que se tenha R$ 60.000,00 no final do vigésimo mês, dentro dos conceitos de renda imediata e antecipada? 5. Uma pessoa deposita anualmente a quantia de R$ 10.000,00 em uma empresa financeira que paga juro de 18% ao ano. Os depósitos são realizados no final de cada ano civil, tendo sido o primeiro depósito realizado em 31/12/91. Qual será o montante desse investidor em 31/12/95, imediatamente antes da efetivação do depósito dessa data?* 6. Quanto terei no final de 20 meses se aplicar R$ 500,00 por mês, durante os 15 primeiros meses, a uma taxa de 1% ao mês, de acordo com os conceitos de renda imediata e de renda antecipada? 7. Determine o número de aplicações bimestrais e iguais a R$ 900,00 necessárias para se ter um montante de R$ 11.863,00, considerando-se uma taxa de 6% ao bimestre e uma renda imediata. 8. Uma aplicação mensal de R$ 400,00 gera, no final do décimo oitavo mês, um montante de R$ 213

8.565,00. Calcule a taxa mensal. 9. Uma pessoa deseja comprar uma televisão por R$ 445,00 à vista daqui a 10 meses. Adimitindo que ela poupe uma certa quantia mensal, que será aplicada a 2% ao mês, determine o valor da poupança mensal. 10. Uma pessoa deposita no fim de cada mês, durante 6 meses, a importância de R$ 800,00. Sabendo que a taxa que remunera esses depósitos é de 2% ao mês, determine o montante no final do sexto mês: a) logo após o sexto depósito; b) imediatamente antes do sexto depósito. 11. Pretendo depositar R$ 1.000,00 mensalmente, a partir de hoje, à taxa de 1,5% ao mês. Em quanto tempo conseguirei um montante de R$ 18.201,00? 12. Quanto devo depositar, no início de cada bimestre, a 18% ao ano, com capitalização bimestral, durante 2 anos, para que no fim de 3 anos possa retirar o montante de R$ 2.000,00? 13. Qual o valor que, financiado à taxa de 2,5% ao mês, pode ser amortizado em 12 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 350,00 cada uma? 14. Uma loja vende um eletrodoméstico em 8 prestações mensais de R$ 28,00 ou em 12 prestações mensais de R$ 21,00. Em ambos os casos o cliente não dará nenhuma entrada. Sabendo que a taxa de juro da loja é de 3% ao mês, diga qual é o aumento verificado na segunda alternativa. 15. Calcule a que taxa mensal foi firmada uma operação de empréstimo de R$ 8.000,00, para ser liquidado em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 607,00 cada uma. 16. Calcule o número de prestações trimestrais de R$ 5.800,00 cada, capaz de liquidar um financiamento de R$ 37.222,00, à taxa de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente. 17. Uma loja vende uma mercadoria a R$ 800,00. No crediário é exigida uma entrada de 30% do valor da mercadoria e são cobrados juros de 4% ao mês. Qual será o valor das prestações se um comprador optar por 6 prestações mensais? 18. Qual o valor das 8 prestações mensais na compra a prazo de um objeto cujo valor à vista é de R$ 180,00, sabendo que o juro cobrado foi de 3% ao mês e as prestações são antecipadas?

214

19. Comprei uma mercadoria por R$ 2.000,00 de entrada mais 12 prestações mensais de R$ 339,00. Que taxa de juro paguei neste financiamento, sabendo que o preço à vista da mercadoria é de R$ 5.000,00? 20. Uma máquina foi comprada por R$ 2.500,00 de entrada e 15 prestações mensais de R$ 300,00, diferidas de um semestre. Sendo o juro de 2,5% ao mês, qual o preço à vista da máquina? 21. Quantos pagamentos bimestrais antecipados de R$ 4.084,00 são necessários para amortizar uma dívida de R$ 15.000,00 com juro de 36% ao ano, capitalizados bimestralmente? 22. Qual o valor da prestação mensal referente a um financiamento de R$ 120.000,00 a ser liquidado em 18 meses, à taxa de 3% ao mês, sendo que a primeira prestação vence a 90 dias da data do contrato? 23. Um empréstimo de R$ 15.000,00 deve ser liquidado em 10 prestações iguais. Sabendo que a primeira prestação vence no final do terceiro mês e que a taxa de juro cobrada pela instituição financeira é de 4% ao mês, determine o valor da prestação. 24. Uma imobiliária vende um terreno por R$ 20.000,00 à vista. Como alternativas a seus clientes, oferece dois planos de financiamento: Plano A: entrada de R$ 6.000,00 mais 4 prestações trimestrais de R$ 4.420,00; Plano B: entrada de R$ 3.000,00 mais 8 prestações trimestrais de R$ 2.800,00. Determine a melhor opção de compra para um interessado que aplica seu dinheiro a 10% ao trimestre. 25. O proprietário de uma loja deseja estabelecer coeficientes de financiamento por unidade de capital emprestado (o coeficiente que, multiplicado pelo valor financiado, dá o valor da prestação mensal). Sabendo que a taxa de juro da loja é de 4,5% ao mês, determine os coeficientes unitários para os prazos de: a) 4 meses; c) 10 meses; b) 8 meses; d) 12 meses. Sugestão: N = a × An (a é o coeficiente procurado).

215

13 EMPRÉSTIMOS

13.1 Introdução Um empréstimo ou financiamento pode ser feito a curto, médio ou longo prazo. Dizemos que um empréstimo é a curto ou médio prazo quando o prazo total não ultrapassa 1 ano ou 3 anos, respectivamente. Nesses tipos de financiamento é usual a cobrança de juro simples, e há três modalidades quanto à forma de o devedor ou mutuário resgatar sua dívida: • pagando os juros e o principal no vencimento; • pagando os juros antecipadamente, na data em que contrai a dívida, e restituindo o principal no vencimento. Em geral, essa é a modalidade usada pelos bancos; • pagando os juros e o principal por meio de prestações. É a melhor modalidade, porém pouco usada. NOTA: • A técnica usada nos cálculos relativos aos financiamentos a curto ou médio prazo é idêntica à dos descontos, razão pela qual não será aqui desenvolvida.

Nos financiamentos a longo prazo o devedor ou mutuário tem também três modalidades para resgatar sua dívida: • pagando no vencimento o capital e os juros; • pagando periodicamente os juros e no vencimento, o capital; • pagando periodicamente os juros e uma quota de amortização do capital. Das três modalidades, a mais interessante para o mutuário é a terceira. Cada uma dessas modalidades de pagamento de um empréstimo constitui um sistema. Nos sistemas de amortização de empréstimos a longo prazo, regra geral, os juros são sempre cobrados sobre o saldo devedor, o que significa considerar apenas o regime de juro composto. Desse modo, o não-pagamento de uma prestação, isto é, o não-pagamento do juro em um dado período redunda em um saldo devedor maior, já que está sendo calculado juro sobre juro.

216

Vamos, então, estudar os mais usuais sistemas de amortização entre nós. 13.2 Sistema Francês de Amortização Pelo Sistema Francês de Amortização (SFA) o mutuário se compromete a amortizar o empréstimo com prestações constantes, periódicas e imediatas. Como essas prestações são constantes, à medida que vão sendo pagas, a dívida diminui e os juros tornam-se menores, enquanto as quotas de amortização tornam-se automaticamente maiores. Temos, então, o seguinte esquema:

Pelo exposto, é fácil inferirmos que a dívida contraída no financiamento (D0) corresponde ao valor atual de uma renda imediata (An). Assim, lembrando que o valor atual de uma renda imediata de n termos iguais a T, a uma taxa i, é dado por:

temos:

Logo, o valor das prestações será dado por:

Exercício resolvido 1. Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo Sistema 217

Francês de Amortização em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Calcule o valor da prestação e monte a planilha* de amortização. Resolução: Temos:

Cálculo da prestação: Substituindo esses valores na fórmula

isto é, o valor da prestação é de: R$ 35.026,52 Montagem da planilha de amortização: Período 1: A primeira prestação de R$ 35.026,52 é constituída, como vimos, de uma parcela correspondente ao juro de 15% sobre o valor do empréstimo e uma segunda parcela correspondente à quota de amortização. Chamando, então, de j1 o juro contido nessa primeira prestação, temos: j1 = 15% de 100.000,00 = 0,15 × 100.000,00 ⇒ ⇒ j1 = 15.000,00 A primeira cota de amortização, indicada por A1, será a diferença entre o valor da prestação e o juro, isto é: A1 = 35.026,52 – 15.000,00 ⇒ A1 = 20.026,52 O saldo devedor do período 1 (D1) será: D1 = 100.000,00 – 20.026,52 ⇒ D1 = 79.973,48 Período 2: Após o pagamento da primeira cota, o saldo devedor passa a ser de R$ 79.973,48; logo, o juro correspondente será: j2 = 0,15 × 79.973,48 = 11.996,02 ⇒ ⇒ j2 = 11.996,02 A segunda cota será, evidentemente, a diferença entre a prestação constante e o juro do período 2. Assim: A2 = 35.026,52 – 11.996,02 ⇒ A2 = 23.030,50 218

Daí: D2 = 79.973,48 – 23.030,50 ⇒ D2 = 56.942,98 Período 3: Seguindo o mesmo procedimento, obtemos: j3 = 0,15 × 56.942,98 = 8.541,45 ⇒ j3 = 8.541,45 A3 = 35.026,52 – 8.541,45 ⇒ A3 = 26.485,07 D3 = 56.942,98 – 26.485,07 ⇒ D3 = 30.457,91 Período 4: Temos: j4 = 0,15 × 30.457,91 ⇒ j4 = 4.568,69 A4 = 35.026,52 – 4.568,69 ⇒ A4 = 30.457,83 D4 = 30.457,91 – 30.457,83 ⇒ D4 = 0,08 NOTA: • A diferença de R$ 0,08 entre o saldo devedor e a quarta cota de amortização é resultante das aproximações praticadas. Para obtermos saldo devedor nulo, fazemos um pequeno acerto na última prestação: T = 35.026,52 + 0,08 ⇒ T = 35.026,60 Daí: A4 = 35.026,60 – 4.568,69 ⇒ A4 = 30.457,91 D4 = 30.457,91 – 30.457,91 ⇒ D4 = 0 Assim, temos a seguinte planilha de amortização:

219

A soma do total dos juros com o total das amortizações deverá ser igual à soma das prestações. Assim: 40.106,16 + 100.000,00 = 140.106,16

Tendo em vista que as conclusões obtidas na elaboração da planilha não dependem dos valores utilizados, podemos escrever: a) valor da prestação:

b) valor do juro de cada período:

c) valor da amortização relativa a cada período:

d) saldo devedor de cada período:

onde 0 ≤ k ≤ n.

Resolva 1. Um banco empresta a uma empresa R$ 180.000,00 pelo prazo de 5 anos, à taxa de 8% ao ano. 220

Sabendo que será adotado o Sistema Francês de Amortização, construa a planilha de amortização. 13.2.1 Determinação do saldo devedor Comumente interessa-nos saber a situação do cronograma em uma determinada época k (0 ≤ k ≤ n). Existindo a planilha relativa ao financiamento em questão, não há dificuldade alguma; mas, caso contrário, na maioria das vezes a confecção da planilha torna-se extremamente trabalhosa. Podemos, então, obter uma fórmula que nos permita determinar o saldo devedor. A fim de facilitar nosso raciocínio, consideremos o esquema relativo a uma dívida D0, financiada em n prestações T, a uma taxa i:

O saldo devedor no período k será igual ao valor atual nesse período, à taxa i, da anuidade formada pelas n – k prestações a serem pagas. Assim, como:

vem:

Logo, o saldo devedor após o pagamento da (k – i) -ésima prestação (Dk – 1) será dado por:

Exercício resolvido 221

1. Uma dívida de R$ 50.000,00 vai ser amortizada, por meio do Sistema Francês de Amortização, em 8 prestações anuais à taxa de juro de 20% ao ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a terceira prestação. Resolução: Temos:

Primeiramente, devemos calcular T. Lembrando que

, vem:

Daí:

isto é, o saldo devedor é de: R$ 38.969,05

Resolva 1. Um banco empresta R$ 200.000,00 para serem pagos pelo Sistema Francês de Amortização em 20 prestações anuais à taxa de 25% ao ano. Calcule o saldo devedor após o pagamento da décima segunda prestação. 13.2.2 Sistema Francês com prazo de carência Um financiamento pode ser oferecido ao mutuário com um prazo de carência. Quando isso acontece, devemos considerar dois casos: • Durante a carência o mutuário paga apenas os juros da dívida, não havendo, portanto, amortização desta. • Durante a carência o mutuário não paga os juros da dívida; estes serão capitalizados e incorporados à dívida, para serem amortizados nas prestações futuras.

222

Exercício resolvido 1. Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo Sistema Francês de Amortização em 4 prestações anuais, com 3 anos de carência, à taxa de 15% ao ano. Confeccione a planilha de amortização da dívida. Resolução: Temos:

1o caso: Durante o período de carência os juros são calculados sobre o saldo devedor. Não havendo amortização, esse valor é constante nesse período. Temos, então: j1 = j2 = 0,15 × 100.000,00 ⇒ j1 = j2 = 15.000,00 o que nos permite confeccionar a seguinte planilha parcial:

Findo o prazo de carência, passamos a fazer uso de um procedimento idêntico ao do empréstimo sem carência. Como os dados deste problema são os mesmos do item anterior, não há necessidade de efetuarmos os cálculos. Assim, temos a seguinte planilha de amortização:

223

2o caso: Neste caso, como a amortização só deve começar no fim do terceiro ano de carência, devemos inicialmente capitalizar o saldo devedor, à taxa de 15% ao ano, durante os dois primeiros anos de carência. Assim, lembrando que: M = C(1 + i)n podemos escrever: Dk = D0(1 + i)k Daí: D1 = 100.000,00 (1 + 0,15) = 100.000,00 × 1,15 ⇒ D1 = 115.000,00 D2 = 100.000,00 (1 + 0,15)2 = 100.000,00 × 1,3225 ⇒ D2 = 132,250,00 Calculamos, agora, o valor das prestações sobre o saldo devedor:

Determinamos, em seguida, os outros elementos da planilha: j3 = 0,15 × 132.290,00 ⇒ j3 = 19.837,57 A3 = 46.322,57 – 19.837,50 ⇒ A3 = 26.485,07 D3 = 132.250,00 – 26.485,07 ⇒ D3 = 105.764,93 j4 = 0,15 × 105.764,93 ⇒ j4 = 15.864,74 224

A4 = 46.322,57 – 15.864,74 ⇒ A4 = 30.457,83 D4 = 105.764,93 – 30.457,83 ⇒ D4 = 75.307,10 j5 = 0,15 × 75.307,10 = 11.296,07 ⇒ j5 = 11.296,07 A5 = 46.322,57 – 11.296,07 ⇒ A5 = 35.026,50 D5 = 75.307,10 – 35.026,50 ⇒ D5 = 40.280,60 j6 = 0,15 × 40.280,60 = 6.042,09 ⇒ j6 = 6.042,09 A6 = 46.322,57 – 6.042,09 ⇒ A6 = 40.280,48 D6 = 40.280,60 – 40.280,48 ⇒ D6 = 0,12 Com isso, obtemos a seguinte planilha de amortização:

Resolva 1. Elabore uma planilha de amortização, com base no Sistema Francês de Amortização, correspondente a um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de 30% ao ano a ser liquidado em 6 prestações anuais, havendo carência de 3 anos com o pagamento dos juros devidos. 2. Elabore uma planilha de amortização, com base no Sistema Francês de Amortização, correspondente a um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de 30% ao ano, a ser liquidado em 6 225

prestações anuais, havendo carência de 3 anos com capitalização dos juros no saldo devedor. 13.2.3 Sistema Price Este sistema constitui um caso particular do Sistema Francês de Amortização e apresenta as seguintes características: • a taxa é dada em termos anuais; • as prestações são mensais; • no cálculo é utilizada a taxa proporcional. NOTA: • Tabela Price é uma tábua cujos valores já são calculados levando em conta a taxa de juro proporcional.

Exercício resolvido 1. Uma financeira emprestou R$ 100.000,00, sem prazo de carência. Sabendo que a taxa de juro cobrada é de 18% ao ano (Tabela Price) e que a amortização deve ser feita em 6 meses, calcule o valor da prestação. Resolução: Temos:

Daí:

isto é, o empréstimo será liquidado com prestações de: R$ 17.552,51

226

Resolva 1. Uma financeira emprestou R$ 80.000,00, sem prazo de carência. Sendo a taxa de juro cobrada igual a 12% ao ano (Tabela Price) e devendo a liquidação ser feita em 8 meses, construa a planilha. 13.3 Sistema de Amortização Constante O Sistema de Amortização Constante (SAC), também chamado Sistema Hamburguês, foi introduzido entre nós a partir de 1971, pelo Sistema Financeiro da Habitação. Neste sistema, assim como no anterior, o mutuário paga a dívida em prestações periódicas e imediatas, que englobam juros e amortizações. A diferença é que, neste sistema, a amortização é constante em todos os períodos. Como os juros são cobrados sobre o saldo devedor e a amortização é constante, as prestações são decrescentes. O esquema correspondente é:

Pelo exposto, temos:

Exercício resolvido

227

1. Uma financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo Sistema de Amortização Constante em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Monte a planilha de amortização. Resolução: Temos:

Vamos, inicialmente, calcular o valor da amortização constante:

Período 1: j1 = i × D0 ⇒ j1 = 0,15 × 100.000,00 ⇒ j1 = 15.000,00 T1 = A + j1 ⇒ T1 = 25.000,00 + 15.000,00 ⇒ T1 = 40.000,00 D1 = D0 – A ⇒ D1 = 100.000,00 – 25.000,00 ⇒ D1 = 75.000,00 Período 2: j2 = 0,15 × 75.000,00 ⇒ j2 = 11.250,00 T2 = 25.000,00 + 11.250,00 ⇒ T2 = 36.250,00 D2 = 75.000,00 – 25.000,00 ⇒ D2 = 50.000,00 Período 3: j3 = 0,15 × 50.000,00 ⇒ j3 = 7.500,00 T3 = 25.000,00 + 7.500,00 ⇒ T3 = 32.500,00 D3 = 50.000,00 – 25.000,00 ⇒ D3 = 25.000,00 Período 4: j4 = 0,15 × 25.000,00 ⇒ j4 = 3.750,00 T4 = 25.000,00 + 3.750,00 ⇒ T4 = 28.750,00 228

D4 = 25.000,00 – 25.000,00 ⇒ D4 = 0,00 Logo:

Então: 100.000,00 + 37.500,00 = 137.500,00 Tendo em vista que as conclusões obtidas na elaboração da planilha não dependem dos valores utilizados, podemos escrever: a) valor da amortização:

b) valor do juro de cada período:

c) valor da prestação para cada período:

d) saldo devedor de cada período:

onde 0 ≤ k ≤ n.

229

Resolva 1. Um empréstimo de R$ 200.000,00 será saldado em 8 prestações semestrais pelo Sistema de Amortização Constante, tendo sido contratada a taxa de juro de 10% ao semestre. Confeccione a planilha de amortização. 13.3.1 Determinação do saldo devedor Vimos, no item anterior, que: Dk = Dk – 1 – A Logo, para: k = 1 ⇒ D1 = D0 – A k = 2 ⇒ D2 = D1 – A = D0 – A – A ⇒ D2 = D0 – 2A k = 3 ⇒ D3 = D2 – A = D0 – 2A – A ⇒ D3 = D0 – 3A Podemos, então, concluir que:

Dk = D0 – k × A

Exercício resolvido 1. Uma dívida de R$ 600.000,00 será amortizada, por meio do Sistema de Amortização Constante, em 12 prestações anuais, à taxa de 20% ao ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a oitava prestação. Resolução: Temos:

230

Como: Dk = D0 – k × A vamos começar por calcular A

Logo: D8 = D0 – 8A ⇒ D8 = 600.000,00 – 8 × 50.000,00 = 600.000,00 – 400.000,00 = 200.000,00 ⇒ D8 = 200.000,00, isto é, o saldo devedor é de: R$ 200.000,00

Resolva 1. Um empréstimo de R$ 150.000,00 pelo Sistema de Amortização Constante está sendo pago em 10 anos, à base de 18% ao ano de juro. Calcule o saldo devedor após o pagamento da sétima prestação. 13.3.2 Sistema de Amortização Constante com prazo de carência Como o procedimento é genericamente o mesmo do Sistema Francês com prazo de carência, vamos nos abster de considerações pormenorizadas.

Exercício resolvido 1. Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 a ser pago pelo Sistema de Amortização Constante em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano e com um prazo de 231

carência de 3 anos. Prepare a planilha de amortização. Resolução: Temos:

Carência com pagamento de juros: Temos: j1 = j2 = 0,15 × 100.000,00 ⇒ j1 = j2 = 15.000,00 Como os dados do problema são os mesmos daquele da amortização sem prazo de carência, basta copiar os elementos da planilha correspondente:

Carência com capitalização de juros: Período 1: j1 = 0,15 × 100.000,00 ⇒ j1 = 15.000,00 D1 = 100.000,00 + 15.000,00 ⇒ D1 = 115.000,00 Período 2: j2 = 0,15 × 115.000,00 ⇒ j2 = 17.250,00 D2 = 115.000,00 + 17.250,00 ⇒ D2 = 132.250,00 Período 3: As parcelas de amortização serão iguais a:

232

j3 = 0,15 × 132.250,00 ⇒ j3 = 19.837,50 T3 = 33.062,50 + 19.837,50 ⇒ T3 = 52.900,00 D3 = 132.250,00 – 33.062,50 ⇒ D3 = 99.187,50 Período 4: j4 = 0,15 × 99.187,50 ⇒ j4 = 14.878,13 T4 = 33.062,50 + 14.878,13 ⇒ T4 = 47.940,63 D4 = 99.187,50 – 33.062,50 ⇒ D4 = 66.125,00 Período 5: j5 = 0,15 × 66.125,00 ⇒ j5 = 9.918,75 T5 = 33.062,50 + 9.918,75 ⇒ T5 = 42.981,25 D5 = 66.125,00 – 33.062,50 ⇒ D5 = 33.062,50 Período 6: j6 = 0,15 × 33.062,50 ⇒ j6 = 4.959,38 T6 = 33.062,50 + 4.959,38 ⇒ T6 = 38.021,88 D6 = 33.062,50 – 33.062,50 ⇒ D6 = 0 Logo:

233

Resolva 1. Um empréstimo de R$ 120.000,00 deve ser amortizado em 5 semestres. Sabendo que a taxa de juro é de 8% ao semestre e que há uma carência de 4 semestres, confeccione as planilhas de amortização para os casos de pagamento de juros e de capitalização de juros. 13.4 Sistema de Amortização Misto Nos contratos firmados segundo as normas do Sistema Financeiro da Habitação procurou-se conciliar as vantagens e desvantagens dos Sistemas Francês e de Amortização Constante, introduzindo-se um terceiro sistema — Sistema de Amortização Misto (SAM) —, que é a média aritmética dos dois primeiros.

Exercício resolvido 1. Uma financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 a ser pago pelo Sistema de Amortização Misto em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Monte a planilha de amortização. Resolução: Tomando os dados das planilhas das páginas 177 (SF) e 186 (SAC), calculamos as médias aritméticas correspondentes aos valores de cada linha das respectivas colunas. Assim:

234

Resolva 1. Construa a planilha de amortização de um financiamento de R$ 200.000,00, feito pelo Sistema de Amortização Misto, com juro de 10% ao ano e prazo de 5 anos. 13.5 Empréstimo com correção monetária

Exercício resolvido 1. Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo Sistema Francês de Amortização em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Monte a planilha de amortização, admitindo que o financiamento terá correção monetária anual, sendo as taxas de inflação verificadas nesses períodos, respectivamente, de 20%, 40%, 50% e 30%. Resolução: Temos:

Chamando as taxas de inflação de I, vem: I1 = 20% = 0,2, I2 = 40% = 0,4, I3 = 50% = 0,5 e I4 = 30% = 0,3 Para facilitar a obtenção da planilha, vamos acrescentar mais duas colunas: dívida corrigida e amortização acumulada. Assim:

Cálculo da dívida corrigida: C0 = 100.000,00 235

C1 = 100.000,00 × 1,2 = 120.000,00 C2 = 120.000,00 × 1,4 = 168.000,00 C3 = 168.000,00 × 1,5 = 252.000,00 C4 = 252.000,00 × 1,3 = 327.600,00 Cálculo das prestações: Como , vem: T1 = 120.000,00 : 2,85498 = 42.031,82 T2 = 168.000,00 : 2,85498 = 58.844,55 T3 = 252.000,00 : 2,85498 = 88.266,82 T4 = 327.600,00 : 2,85498 = 114.746,86 Montagem da planilha: Período 1: O juro é calculado sobre a dívida corrigida: j1 = 0,15 × 120.000,00 = 18.000,00 A1 = 42.031,82 – 18.000,00 = 24,031,82 A amortização acumulada no período 1 é igual à amortização (A1). Logo: Q1 = A1 = 24.031,82 O saldo devedor é a diferença entre a dívida corrigida e a amortização acumulada: D1 = 120.000,00 – 24.031,82 = 95.968,18 Período 2: O juro é calculado sobre o saldo devedor corrigido: j2 = 0,15 × (95.968,18 × 1,4) = 20.153,32 A2 = 58.844,55 – 20.153,32 = 38.691,23 Do período 2 em diante, a amortização acumulada é igual à anterior corrigida, mais a quota de amortização correspondente. Assim: Q2 = (24.031,82 × 1,4) + 38.691,23 = 72.335,78 D2 = 168.000,00 – 72.335,78 = 95.664,22 Período 3: j3 = 0,15 × (95.664,22 × 1,5) = 21.524,45 A3 = 88.266,82 – 21.524,45 = 66.742,37

236

Q3 = 72.335,78 × 1,5 + 66.742,37 = 175.246,04 D3 = 252.000,00 – 175.246,04 = 76.753,96 Período 4: j4 = 0,15 × (76.753,96 × 1,3) = 14.967,02 A4 = 114.746,86 – 14.967,02 = 99.779,84 Q4 = 175.245,99 × 1,3 + 99.779,84 = 327.599,62 D4 = 327.600,00 – 327.599,62 = 0,38 Temos, então:

Resolva 1. Um banco empresta a uma empresa R$ 180.000,00 pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1% ao mês. Sendo o capital corrigido mensalmente às taxas de 8%, 10% e 12%, respectivamente, construa a planilha correspondente, pelo Sistema Francês de Amortização.

Exercícios 1. Construa a planilha referente a um empréstimo pelo SF de R$ 85.000,00, à taxa de 1,5% ao mês, para ser liquidado em 10 prestações mensais.

237

2. Um empréstimo pelo SF de R$ 20.000,00 é concedido para ser pago em 20 prestações trimestrais. Sabendo que a taxa de juro é de 40% ao ano, calcule o saldo devedor após o pagamento da décima prestação. 3. Um apartamento é comprado por R$ 150.000,00, sendo R$ 30.000,00 de entrada e o restante a ser pago pelo SF em 12 prestações mensais, à taxa de 2% ao mês, com 4 meses de carência. Construa a planilha para: a) pagamento dos juros devidos; b) capitalização dos juros no saldo devedor. 4. Um financiamento de R$ 400.000,00 é feito à taxa de 18% ao ano (Tabela Price) para liquidação em 6 meses. Elabore o plano. 5. Elabore um plano de pagamento, com base no SAC, correspondente a um empréstimo de R$ 300.000,00, à taxa de 1% ao mês, a ser liquidado em 10 prestações mensais. 6. Em janeiro de 1994* uma pessoa adquiriu uma casa financiada por uma instituição financeira em 120 prestações mensais pelo SAC. Sabendo que o valor financiado foi de R$ 84.000,00, que a taxa de juro contratual foi de 18% ao ano e que a primeira prestação foi paga no mês de fevereiro desse mesmo ano, calcule: a) o valor das amortizações pagas até dezembro de 1994 (inclusive); b) o valor da prestação a vencer em dezembro de 2008; c) o total de juros pagos durante o ano de 1995 (para efeito de declaração do IR); d) o saldo após o pagamento da décima quinta prestação. 7. Um empréstimo de R$ 120.000,00 é feito pelo SAC, à taxa de 2% ao mês, devendo ser devolvido em 8 prestações mensais. Sabendo que houve um prazo de carência de 3 meses, elabore o plano de pagamento: a) com pagamento dos juros; b) com capitalização dos juros. 8. Elabore a planilha relativa a um empréstimo de R$ 350.000,00 pelo SAM, que deve ser pago em 5 parcelas trimestrais, com juro de 4,5% ao trimestre.

238

APÊNDICE – COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

1. Medidas de tempo As medidas de tempo podem dar origem a numerais complexos ou não-decimais.* Exemplo: 2 a 5 me 20 d. Vamos rever as técnicas de transformação de numerais complexos resultantes de medidas de tempo em numerais não-complexos e vice-versa. Lembremos, então, que: 1 ano = 12 meses = 360 dias 1 ano = 1 mês = 30 dias

NOTA: • Ano comercial = 360 d; ano civil = 365 d; ano bissexto = 366 d.

1.1 Transformação de complexo em não-complexo Exemplos: 1. Transforme 2 a 5 me 15 d em dias. Temos: 2 a 5 me 15 d = (2 × 360) d + (5 × 30) d + 15 d = 720 d + + 150 d + 15 d = 885 d Logo: 2 a 5 me 15 d = 885 d 2. Transforme 1 a 7 me 20 d em meses. Temos:

239

Logo:

3. Transforme 3 a 10 me 10 d em anos. Temos:

1.2 Transformação de não-complexo em complexo Exemplos: 1. Transforme 885 dias em complexo. Temos:

Logo: 885 d = 2 a 5 me 15 d NOTA: • Nunca devemos fazer a simplificação do dividendo e do divisor.

240

2. Transforme

me em complexo.

Temos:

Logo:

3. Transforme

a em complexo.

Temos:

Logo:

4. Transforme 3,475 a em complexo. Temos: 3,475 a = 3 a + 0,475 a 241

0,475 a = (0,475 × 12) me = 5,7 me = 5 me + 0,7 me 0,7 me = (0,7 × 30) d = 21 d Logo: 3,475 a = 3 a 5 me 21 d

Resolva 1. Transforme: a) 4 me 12 d b) 1 a 3 me 8 d c) 2 a 25 d I: em dias; II: em fração do mês; III: em fração do ano. 2. Transforme em complexo: a) 628 d b) 115 me c) 1,65 a 2. Potenciação 2.1 Definição

A potência enésima de um número a, indicada por a n, sendo n um número inteiro maior que 1, é o produto de n fatores iguais a a.

Assim, a × a × a × … × a = an, onde a é a base e n o expoente da potência. Exemplo: 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

242

3 é a base, 4 é o expoente e 81 é a potência. 2.2 Bases especiais • Base unitária: 1n = 1 (∀n ∈

*e

Exemplo: 14 = 1 • Base nula: 0n = 0 (∀n ∈

n > 1)

*e

n > 1)*

Exemplo: 05 = 0 • Base negativa: — expoente par ⇒ potência positiva Exemplo: (–2)4 = 16 — expoente ímpar ⇒ potência negativa Exemplo: (–2)3 = –8 2.3 Propriedades • am × an = am + n Exemplo: 25 × 22 = 25 + 2 = 27 • am : an = am – n Exemplo: 26 : 22 = 26 – 2 = 24 • (am)n = am × n Exemplo: (23)2 = 23 × 2 = 26 NOTAS: 2

2

• (23)2 ≠ 23 , pois (23)2 = 26 e 23 = 29. • (2x)2 ≠ 2x2, pois (2x)2 = 22× x2= 4x2. • • (a ± b)m ≠ am ± bm.

2.4 Expoentes especiais • Expoente unitário: a1 = a (∀a) 243

Exemplo: 21 = 2 • Expoente nulo: a0 = 1 (a ≠ 0) Exemplo: 50 = 1 • Expoente negativo: Exemplos: • Expoente racional: Exemplo:

Resolva 1. Calcule: a) 24 b) (–2)4 c) 25 d) (–2)5 e) 06 f) 05 g) (−3)2 h) −32 i) –(–3)2 j) (–2)0 I) –20 m) 2–1 n) (–4)–1 o) p) (–0,5)–2 244

q) –(–2)5 r) (–2)–4 s) t) u) 2. Obtenha x na equação: a) 2x = 16 Temos: 2x = 24 ⇒ x = 4. b) 3x = 243 c) d) e) x2 = 9 Temos: x2 = 32 ⇒ x = 3. f) x3 = 8 g) (2x)3 = 216 h) i) x23 = 16 3. Funções 3.1 Função afim Denominamos função afim toda função f de

em

Exemplos: f(x) = 2x + 5; f(x) = –x + 4; f(x) = 3x. NOTAS: • O domínio de uma função afim é

(D =

).

245

definida por:

• O conjunto imagem é

(Im =

).

Gráfico: Seja a função f(x) = 2x + 3. Temos:

O gráfico da função afim é uma reta. 3.2 Função linear Função linear é a função afim com b = 0, isto é:

Exemplo: O gráfico de uma função linear é uma reta passando pela origem. 3.3 Função recíproca 246

Denominamos função recíproca toda função f de

NOTAS: • A função recíproca não é definida para x = 0. • O domínio da função recíproca é • O conjunto imagem é

(Im =

* (D =

*).

).

Gráfico:

247

* em

definida por:

248

O gráfico da função recíproca é uma hipérbole equilátera. 3.4 Função exponencial Denominamos função exponencial toda função f de

Exemplos: Gráfico: •a>1 Seja a função f(x) = 2x. Temos:

249

em

* +

definida por:

•0 0 ⇒ PA crescente (an > a1). • r < 0 ⇒ PA decrescente (an < a1). • r = 0 ⇒ PA constante (an = a1). Exemplos: • (2, 5, 8, 11, 14, …) é crescente, pois r = 3 > 0. • (15, 13, 11, 9, 7, 5) é decrescente, pois r = –2 < 0. • (2, 2, 2, 2, 2) é constante, pois r = 0.

4.2.2 Propriedade Como consequência da definição:

Em uma PA, qualquer termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado à razão.

Podemos verificar tal propriedade na PA (2, 5, 8, 11, 14), onde r = 3. Temos: 253

5 = 2 + 3,

8 = 5 + 3,

11 = 8 + 3,

14 = 11 + 3

4.2.3 Fórmula do termo geral Seja a PA (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …), na qual: a1 = 5 e r = 2 Pela propriedade, podemos escrever: 7=5+2 9 = 7 + 2 ⇒ 9 = (5 + 2) + 2 ⇒ 9 = 5 + 2 × 2 11 = 9 + 2 ⇒ 11 = (5 + 2 × 2) + 2 ⇒ 11 = 5 + 3 × 2 13 = 11 + 2 ⇒ 13 = (5 + 3 × 2) + 2 ⇒ 13 = 5 + 4 × 2 15 = 13 + 2 ⇒ 15 = (5 + 4 × 2) + 2 ⇒ 15 = 5 + 5 × 2 17 = 15 + 2 ⇒ 17 = (5 + 5 × 2) + 2 ⇒ 17 = 5 + 6 × 2 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… Essas igualdades sugerem a seguinte generalização:

que é a fórmula do termo geral (an), na qual:

NOTA: • Se a PA é finita, an é o último termo e n é o número total de termos.

Exercícios resolvidos 254

1. Dadas as progressões: a) (1, 6, 11, 16, 21, 26) b) c) (8, 6, 4, 2, 0, –2, –4) calcule as razões. Resolução: Temos: a) 11 – 6 = 5 ⇒ r = 5 b) c) –4 – (–2) = –4 + 2 = –2 ⇒ r = –2 2. Classifique as progressões anteriores em crescentes e decrescentes. Resolução: a) r = 5 > 0 ⇒ PA crescente b) c) r = –2 < 0 ⇒ PA decrescente 3. Verifique se as sequências são ou não progressões aritméticas: a) (15, 10, 5, 0, –5) b) (4, 8, 12, 18, 22) Resolução: Temos: a) 10 – 15 = 5 – 10 = 0 – 5 = –5 – 0 = –5 ⇒ é PA b) 8 – 4 = 12 – 8 ≠ 18 – 12 ⇒ não é PA 4. Dada a PA (–5, –1, 3, 7, …), calcule o 12o termo. Resolução: Temos:

Lembrando que an = a1 + (n – 1)r, vem: 255

a12 = –5 + (12 – 1) × 4 = –5 + 11 × 4 = –5 + 44 ⇒ ⇒ a12 = 39 5. Qual o 1o termo da PA cuja razão é 6 e cujo 20o termo é 121? Resolução: Temos:

Logo, substituindo esses valores em an = a1 + (n – 1)r, vem: 121 = a1 + (20 – 1)6 ⇒ a1 + 114 = 121 ⇒ ⇒ a1 = 121 – 114 ⇒ a1 = 7 6. Quantos termos tem a PA de razão 21 e cujos termos extremos são 74 e 200? Resolução: Temos:

Logo, substituindo esses valores na fórmula do termo geral, vem: 200 = 74 + (n – 1)21 ⇒ 74 + (n – 1)21 = 200 ⇒ ⇒ (n – 1)21 = 200 – 74 ⇒ (n – 1)21 = 126 ⇒

Resolva 1. Quais das sequências seguintes constituem uma PA? a) (17, 14, 11, 8, 5, 2) b) (–10, –8, –6, –4, …) c) (8, 16, 32, 64, …) 2. Determine a razão de cada PA seguinte: a) (4, 7, 10, 13, 16, 19) b) (20, 15, 10, 5, …) 256

3. Calcule o 25o termo de uma PA na qual a1 = –25 e r = 3. 4. Calcule o 1o e o 12o termos de uma PA na qual a razão é –4 e o 18o termo é –28. 5. Sabendo que an = –250, calcule sua posição na PA (–2, –6, –10, …). 6. Calcule a razão da PA na qual a1 = –7 e a10 = 11. 4.2.4 Propriedades 1a) Dados três termos consecutivos de uma PA, o do meio é média aritmética dos outros dois. Exemplo:

2a) A soma dos termos extremos de uma PA finita é igual à soma de dois termos eqüidistantes dos extremos (e é, ainda, igual ao dobro do termo médio, se houver). Exemplos:

4.2.5 Soma dos termos de uma PA finita Seja a PA: (a1, a2, a3, …, an–2, an–1, an), que também pode ser escrita assim: (a1, a1 + r, a1 + 2r, …, an – 2r, an – r, an) Consideremos, agora, a soma desses termos, primeiramente em sua ordem natural e, em seguida, em sua ordem inversa:

Somando membro a membro essas igualdades, obtemos: 257

ou: 2 Sn = n(a1 + an) Daí:

que é a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.

Exercícios resolvidos 1. Calcule a soma dos termos da PA (4, 9, 14, …, 59). Resolução: Temos:

Para resolvermos o problema, vamos antes calcular n. Lembrando que an = a1 + (n – 1)r, vem:

Logo:

2. Qual é a soma dos 80 primeiros números inteiros positivos? Resolução: 258

Temos:

Logo:

Resolva 1. Calcule a soma dos 15 primeiros termos da PA (–7, –3, 1, 5, …). 2. Calcule a soma dos 25 primeiros números naturais ímpares. 3. Calcule a soma de todos os múltiplos de 6 compreendidos entre 70 e 170. 4. Sabendo que a soma dos 24 termos de uma PA é 3.612 e que seu 1o termo é igual a 1, determine sua razão. 4.3 Progressão geométrica 4.3.1 Definição

Uma sequência, finita ou infinita, de números reais é uma progressão geométrica (PG) se, e somente se, o quociente da divisão de cada termo, a partir do segundo, pelo termo imediatamente anterior é constante.

Essa constante é chamada razão da PG e indicada por q. Assim, a sequência (a1, a2, a3, …, an–1, an, …) é uma PG se, e somente se:

259

Exemplo: Na sequência (3, 6, 12, 24, 48), temos: 6 : 3 = 12 : 6 = 24 : 12 = 48 : 24 = 2 Logo, essa sequência é uma PG, na qual: a1 = 3, a5 = 48, n = 5 e q = 2 NOTAS: • a1 > 0 e q > 1 ⇒ PG crescente. • a1 < 0 e 0 < q < 1 ⇒ PG crescente. • a1 > 0 e 0 < q < 1 ⇒ PG decrescente. • a1 < 0 e q > 1 ⇒ PG decrescente. • q = 1 ⇒ PG constante. • q < 0 ⇒ PG alternante ou oscilante. Exemplos: (5, 10, 20, 40 80) é crescente, pois a1 = 5 e q = 2. (–125, –25, –5, –1, …) é crescente, pois (64, 32, 16, 8, 4, …) é decrescente, pois (–3, –6, –12, –24) é decrescente, pois a1 = –3 e q = 2. (5, 5, 5, 5, 5, 5) é constante, pois q = 1. (1, –3, 9, –27, 81, …) é alternante ou oscilante, pois q = –3. 4.3.2 Propriedade Como consequência da definição:

Em uma PG, qualquer termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado pela razão.

Podemos verificar tal afirmação na PG (3, 6, 12, 24, 48), na qual q = 2:

260

6 = 3 × 2, 12 = 6 × 2, 24 = 12 × 2, 48 = 24 × 2 4.3.3 Fórmula do termo geral Seja a PG (3, 6, 12, 24, 48, 96), na qual: a1 = 3 e q = 2 Pela propriedade, podemos escrever: 6=3×2 12 = 6 × 2 ⇒ 12 = (3 × 2) × 2 ⇒ 12 = 3 × 22 24 = 12 × 2 ⇒ 24 = (3 × 22) × 2 ⇒ 24 = 3 × 23 48 = 24 × 2 ⇒ 48 = (3 × 23) × 2 ⇒ 48 = 3 × 24 96 = 48 × 2 ⇒ 96 = (3 × 24) × 2 ⇒ 96 = 3 × 25 Essas igualdades sugerem a seguinte generalização:

que é a fórmula do termo geral.

NOTA: • Sendo a PG finita, an é o último termo e n é o número total de termos. Neste caso, a fórmula anterior dá o último termo.

Exercícios resolvidos 1. Dadas as progressões geométricas: a) b) 261

calcule as razões. Resolução: Temos: a)

b) 2. Verifique se as seguintes sequências são ou não progressões geométricas: a) (–1, –3, –9, –27, –81) b) (5, 10, 20, 40, 60, 80) Resolução: Temos: a) (–3) : (–1) = (–9) : (–3) = (–27) : (–9) = (–81) : (–27) = 3 ⇒ é PG b) 10 : 5 = 20 : 10 = 40 : 20 ≠ 60 : 40 ⇒ não é PG 3. Sabendo que o 1o termo de uma PG é 7, que a razão é igual a 3 e que o número de termos é 8, calcule o 8o termo. Resolução: Temos:

Como an = a1 × qn – 1, vem: a8 = 7 × 38 – 1 = 7 × 37 = 7 × 2.187 ⇒ ⇒ a8 = 15.309 4. Sabendo que em uma PG a1 = 2, a2 = 4 e an = 512, calcule o número de termos. Resolução: Temos:

262

Como:

vem:

Sendo 256 = 28, vem: 2n – 1 = 28 ⇒ n – 1 = 8 ⇒ n = 8 + 1 ⇒ n = 9

Resolva 1. Determine o 5o termo da PG (3, 6, 12, …). 2. Dada a PG em que

, calcule o 1o termo e o termo de ordem 6.

3. Calcule a razão da PG na qual a1 = 486 e 4. Em uma PG temos a1 = 3, an = 6.561 e q = 3. Calcule o número de termos. 4.3.4 Soma dos termos de uma PG finita Seja a PG: (a1, a2, a3, …, an–1, an) Representando por Sn a soma de seus termos, vem: Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 1 + an ou:

Multiplicando ambos os membros por q, obtemos:

263

Subtraindo membro a membro (1) de (2), resulta: qSn – Sn = anq – a1 Isso ocorre porque os segundos membros têm os termos exatamente iguais no interior das respectivas chaves, e, em conseqüência, ao ser efetuada a subtração, eles se anulam, restando apenas anq de (2) e a1 de (1). Colocando em evidência Sn no primeiro membro, temos: Sn(q – 1) = an q – a1 e, finalmente:

que é a fórmula que nos dá a soma dos termos de uma PG finita, quando são conhecidos a1, an e q.

Exercícios resolvidos 1. Qual a soma dos 6 primeiros termos da PG (4, 12, …)? Resolução: Temos:

Vamos inicialmente calcular a6 = a1 × q6 – 1: a6 = 4 × 35 ⇒ a6 = 4 × 243 ⇒ a6 = 972 Lembrando que: 264

vem:

2. Determine o 6o termo de uma PG na qual a1 = 16, q = 4 e S6 = 21.840. Resolução: Temos:

Substituindo esses valores na fórmula da soma, vem:

Resolva 1. Determine a soma dos termos de uma PG de razão igual a 3, 1o termo igual a 2 e último termo igual a 1.458. 2. Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (2, 22, 23, …). 3. Calcule a soma dos 4 primeiros termos de uma PG na qual 4. Calcule a soma dos 9 primeiros termos da PG (3, 6, 12, 24, …). 5. Logaritmos decimais 5.1 Definição

265

Denominamos logaritmo decimal o expoente ao qual devemos elevar a base 10 a fim de obtermos um número dado.

Exemplo:

Dizemos, então, que 2 é o logaritmo decimal de 100. Genericamente, se: 10x = a x é o logaritmo do número a na base 10 ou x é o logaritmo decimal de a. Indicando o logaritmo decimal por log, temos:

NOTA: • Como a base (10) é um número positivo diferente de 1, qualquer que seja o expoente x o número a será sempre um número positivo (a > 0); assim, podemos concluir que só há logaritmos de números positivos.

Exemplos: • 102 = 100 ⇔ log 100 = 2 • 103 = 1.000 ⇔ log 1.000 = 3 • • log 10.000 = 4 ⇔ 104 = 10.000 5.2 Consequências da definição • 100 = 1 ⇔ log 1 = 0 (o logaritmo de 1 é 0) 266

• 101 = 10 ⇔ log 10 = 1 (o logaritmo de 10 é 1) • log 10x = x • a = b ⇔ log a = log b • a > b ⇔ log a > log b • a < b ⇔ log a < log b • a > 1 ⇔ log a > 0 • 0 < a < 1 ⇔ log a < 0 5.3 Propriedades operacionais dos logaritmos 5.3.1 Logaritmo de um produto Seja determinar log (a ×b). Fazendo: log a = m e log b = n, temos, pela definição de logaritmo: 10m = a e 10n = b Multiplicando membro a membro essas igualdades, obtemos: 10m × 10n = ab Logo: 10m + n = ab Isso nos indica que m + n é o logaritmo decimal do produto ab, isto é: log ab = m + n ou:

Assim:

267

O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos de seus fatores.

Exemplo: log (100 × 1.000) = log 100 + log 1.000 = 2 + 3 = 5 Podemos, sem dificuldade, generalizar a regra anterior para o caso de um produto de mais de dois fatores. Assim, no caso de três fatores, temos: log abc = log (ab)c = log (ab) + log c = log a + log b + log c 5.3.2 Logaritmo de um quociente Seja determinar Fazendo:

.

log a = m

e

log b = n

10m = a

e

10n = b

temos:

Logo:

isto é:

Isso nos indica que m – n é o logaritmo decimal do quociente . Portanto:

Assim: 268

O logaritmo de um quociente é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.

Exemplo:

5.3.3 Logaritmo de uma potência Seja determinar log ak . Fazendo: log a = m temos: 10m = a Elevando ambos os membros dessa igualdade à potência k, obtemos: (10m)k = ak Daí: 10mk = ak Isso nos indica que o logaritmo decimal de a k é k × m, isto é: log ak = k × m ou: log ak = k log a Assim:

O logaritmo de uma potência é o produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

269

Exemplo: log 1.0002 = 2 log 1.000 = 2 × 3 = 6 5.3.4 Logaritmo de uma raiz Seja determinar Como:

.

temos:

ou seja:

Assim:

O logaritmo de uma raiz de radicando positivo é igual ao logaritmo do radicando dividido pelo índice do radical.

Exemplo:

Exercícios resolvidos

270

1. Dada a expressão Resolução: Temos:

, desenvolva log A pelas propriedades operatórias.

2. Qual é a expressão C cujo logaritmo é log 2 + log π + log r? Resolução: Temos: log C = log 2 + log π + log r = log (2πr) ⇒ C = 2πr

Resolva 1. Dada a expressão M = C(1 + i)n, desenvolva log M pelas propriedades operatórias. 2. Determine o valor da expressão (1 – 0,9)6, empregando as propriedades operatórias e a definição de logaritmo decimal. 3. Qual é a expressão A cujo logaritmo é 2 log a + 3 log b – 5 log c? 5.4 Característica e mantissa* Até agora, tratamos de logaritmos de números que são potências inteiras de 10. No entanto, qual será o logaritmo de um número que não é potência inteira de 10? Dado um número a > 0, existem duas potências consecutivas de 10, 10c e 10c+ 1, c inteiro, tais que: 10c ≤ a < 10c + 1 Daí: c ≤ log a < c + 1 Isso nos diz que log a tem a forma: c + 0,m, 271

isto é: log a = c + 0,m, onde c é um número inteiro e 0,m representa uma parcela não-negativa menor que 1. O número c é chamado característica do logaritmo e o número 0,m, mantissa do logaritmo. NOTA: • Se o número a é uma potência inteira de 10, seu logaritmo é, como vimos, um número inteiro. Nesse caso, dizemos que a característica é esse número inteiro e a mantissa é zero. Exemplo: log 100 = log 102 = 2 (a característica é 2 e a mantissa é 0)

5.4.1 Determinação da característica •Para um número maior que 1:

A característica é igual ao número de algarismos da parte inteira, menos um.

Exemplos: log 007 = 0,… log 015 = 1,… log 418 = 2,… • Para um número positivo menor que 1:

A característica é igual ao número de zeros que antecedem o primeiro algarismo significativo, precedido do sinal menos.

Exemplos: log 0,18 = –1,… log 0,045 = –2,… log 0,005 = –3,… 272

5.4.2 Propriedade da mantissa O logaritmo de 18 é, na realidade, um número irracional que, escrito com aproximação de 6 casas decimais, vale 1,255273, isto é: log 18 = 1,255273 ou:

Multiplicando-se ou dividindo-se um número por uma potência inteira de 10, seu logaritmo decimal conserva a mantissa, só alterando a característica.

Exemplo: log 18 = 1,255273 log 1,8 = 0,255273 log 180 = 2,255273 5.4.3 Determinação da mantissa A mantissa pode ser determinada por meio de um recurso matemático denominado interpolação geométrica, que é trabalhoso e dispensável, devido à existência de tábuas já prontas, conhecidas como Tábuas de Logaritmos (p. 231). Com a tábua de logaritmos podemos resolver dois problemas fundamentais: 1 o)

Dado um número positivo, determinar o seu logaritmo. Exemplos: 1. Determine log 52. Temos c = 1. Procurando na tábua, encontramos: 52 → 716003 Logo: log 52 = 1 + 0,716003 ⇒ log 52 = 1,716003 2. Determine log 6,42. 273

Temos c = 0. Procurando na tábua, encontramos: 642 → 806858 Logo: log 6,42 = 0 + 0,806858 ⇒ log 6,42 = 0,806858 3. Determine log 0,03. Temos c = –2. Procurando na tábua, encontramos: 3 → 477121 Logo: log 0,03 = –2 + 0,477121 ⇒ log 0,03 = –1,522879, que é um logaritmo negativo. NOTA: • Quando a característica é negativa, costumamos escrever o logaritmo na chamada forma mista (logaritmo preparado). Assim, temos: log 0,03 = –2 + 0,477121 =

,

onode a característica é negativa, porém a mantissa é positiva. O sinal menos sobre a característica serve, portanto, para indicar que apenas ela é negativa. Dado o logaritmo negativo, para obtermos o logaritmo preparado, adicionamos –1 à parte inteira e +1 à parte decimal, o que não altera o número. Assim: log a = –1,428315 = (–1 – 1) + (1 – 0,428315) =

.

4. Determine log 2.464. Esse número não se encontra na tábua. Entretanto, pela propriedade da mantissa, c = 3 e a mantissa é a mesma do número 246,4. Como 246,6 é um número compreendido entre 246 e 247, com o recurso da interpolação linear (simples regra de três) podemos determinar com uma aproximação razoável a mantissa de log 2.464:

274

número mantissa

diferença = 1

diferença = 0,001762

Se o número aumenta de 1, a mantissa aumenta de 0,001762; se o número aumentar de 0,4, a mantissa aumentará de x:

A mantissa pedida é, então: 0,390935 + 0,000705 = 0,391640 Daí: log 2.464 = 3,391640

Resolva 1. Determine: a. log 121 b. log 42,5 c) log 0,000528 d) log 1,23 e) log 69.000 f) log 7.892 g) log 4,603 h) log 0,6528 2o) Dado um logaritmo, determinar o número correspondente (antilogaritmo ou logaritmando). 275

Exemplos: 1. Determine o antilogaritmo de 2,298853. Examinando a tábua, encontramos a mantissa 0,298853, à qual corresponde o número 199. Sendo a característica igual a 2, o número pedido terá 3 algarismos na parte inteira. Logo: antilog 2,298853 = 199 2. Determine antilog 1,793092. Temos: 0,793092 → 621 Como a característica é igual a 1, vem: antilog 1,793092 = 62,1 3. Determine antilog Temos:

.

0,447158 → 280 Como c = –2, vem: antilog

= 0,028

4. Determine antilog 3,696500. Examinando a tábua, não encontramos a mantissa 0,696500. Temos, então, que determinar o antilogaritmo por interpolação linear. Assim, temos: dif. 0,000873

dif. = 1

Como: 0,696500 – 0,696356 = 0,000144 temos:

Daí:

276

497 + 0,165 = 497,165 Sendo: c = 3, vem: antilog 3,696500 = 4.971,65 NOTA: • O número de casas decimais vai depender da aproximação desejada.

Resolva 1. Determine: a) antilog 0,501059 b) antilog c) antilog 3,663701 d) antilog 1,832821

Exercício resolvido 1. Calcule, empregando os logaritmos, o valor de A, sendo Resolução: Temos: log A = log 4,63 + log 20,3 – 2 log 0,16 = = 0,655581 + 1,307496 – 2 × = = 0,655581 + 1,307496 – 2(–0,795880) = = 0,655581 + 1,307496 + 1,591760 ⇒ 277

.

⇒ log A = 3,564837

Daí:

A = antilog 3,564837

dif. = 0,001182

dif. = 1

Como: 0,564837 – 0,564666 = 0,000171 vem:

Logo: 367 + 0,1446 = 367,1446, isto é: A = 3.671,446

Resolva 1. Calcule, empregando os logaritmos, o valor de (1 + 0,05)7. 2. Calcule, empregando os logaritmos, o valor de C, sabendo que: C = 405,75(1+0,03)−2

278

TÁBUAS E TABELAS

TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS

279

TÁBUA DE LOGARITMOS

280

281

282

283

284

TÁBUA FINANCEIRA

285

286

287

288

289

290

291

292

293

294

295

296

297

298

299

300

301

302

303

304

305

306

307

308

309

310

311

312

313

314

315

316

317

318

319

320

RESPOSTAS

CAPÍTULO 1 – PROPORÇÕES RESOLVA (p. 2) 1. a. b. c. 15 d. e. RESOLVA (p. 3) 1. a. 9 km/l b. 8 g/cm3 c. d. e. RESOLVA (p. 6) 1. a. sim b. não c. não d. sim

321

RESOLVA (p. 7) 1. a. × = 0,75 b. c. RESOLVA (p. 9) 1. a.

b. 2. a. não b.

c. RESOLVA (p. 14) 1. a = 100, b = 60 e c = 20 2. 36 e 24 3. 5 e 25 EXERCÍCIOS (p. 14) 1. a. b. c. d. 2. a. 322

b. c. d. 3. não 4. a. sim b. sim c. não 5.

a.

b. 6. a.

b. c. não 7. a. b. 4 c. d. 2,5 e. f. g. 2 f.

8. 323

9. 10. 11. a. x = 55 e y = 132 b. c. x = 136 e y = 51 12. 52 e 117 13. 12 e 16 14. 32 e 20 15. 42 a e 10 a 16. 17. 5 18. 23 19. 184, 115 e 256 20. R$ 140, R$ 196 e R$ 252 CAPÍTULO 2 – GRANDEZAS PROPORCIONAIS RESOLVA (p. 21) 1. Não, porque multiplicando o número de operários por um número real diferente de zero, o número de dias gastos fica dividido por esse número. 2. a. não b. sim 3. k =8 4. a = 15 e b = 7 RESOLVA (p. 22) 1. 6, 15 e 21

324

RESOLVA (p. 25) 2. a. sim b. não 3. k’ = 60 4. a = 2 e b = –1 EXERCÍCIOS (p. 27) 1. diretamente 2. inversamente 3. não 4. não 5. diretamente 6. inversamente 7. a. direta b. inversa c. inversa d. direta e. direta 9. a. b. não 10. a. sim; k’ = 2.520 b. não 11. a. k = 1 b. 12. a. k’ = 120 b. k’ = 28 13. 325

a. x = 0,7 e y = 1,75 b. 14. a. m = 11,2, n = 14 e p = 4 b. 15. a. 45, 80, 150, 192 b. 50, 237, 80, 340 16. 40, 30, 24, 15 CAPÍTULO 3 – DIVISÃO PROPORCIONAL – REGRA DE SOCIEDADE RESOLVA (p. 32) 1. 650, 910 e 1.430 RESOLVA (p. 33) 1. 84, 63 e 36 2. R$ 84 e R$ 96 RESOLVA (p. 34) 1. 120, 80 e 60 2. R$ 1.470.000, R$ 980.000 e R$ 420.000 RESOLVA (p. 36) 1. 360, 630 e 1.200 2. 2.000, 1.800 e 2.250 3. 180, 72 e 40 EXERCÍCIOS (p. 39) 1. 210, 300 e 360 2. 1.694, 605 e 1.452 3. 26, 78 e 221 4. 450, 270 e 150 5. 1.218, 1.015 e 928 6. 640, 80 e 40 326

7. 60, 144 e 210 8. 432, 600 e 810 9. 176, 132 e 22 10. 480 e 600 11. R$ 679,00, R$ 750,00 e R$ 1.125,00 12. R$ 6.480.000,00, R$ 12.000.000,00 e R$ 3.240.000,00 13. R$ 360,00, R$ 270,00 e R$ 216,00 14. R$ 7.200,00, R$ 9.000,00 e R$ 10.800,00 15. R$ 90.000,00, R$ 82.500,00 e R$ 67.500,00 16. R$ 11.070,00 e R$ 9.348,00 17. R$ 180.000,00 e R$ 540.000,00 18. R$ 900.000,00, R$ 225.000,00 e R$ 337.500,00 19. R$ 56.550,00, R$ 48.750,00 e R$ 58.500,00 20. R$ 256.000,00, R$ 224.000,00 e R$ 208.000,00 CAPÍTULO 4 – REGRA DE TRÊS RESOLVA (p. 43) 1. R$ 1.463,00 2. 9 d 3. 40,5 l 4. 40 d RESOLVA (p. 45) 1. 5 kg 2. 5 homens EXERCÍCIOS (p. 46) 1. R$ 40,00 2. 30 tratores 3. 47,25 km 4. 40 d 5. 15 d 6. 18 d 327

7. 8. 840 m 9. 96 km/h 10. R$ 152.500,00 11. 15 m 12. 810 voltas 13. 12 d 14. 12 laranjas 15. 5 d 16. 38 d 2 h 17. R$ 450,00 18. 25 d

.

CAPÍTULO 5 – PERCENTAGEM RESOLVA (p. 49) 1. a. 8% b. 47,5% c. 25% RESOLVA (p. 52) 1. R$ 6,00 2. R$ 56.000,00 3. 37% RESOLVA (p. 53) 1. 0,0308 2. 25% 3. 2,4% RESOLVA (p. 55) 1. 40% 2. 700 alunos 328

3. 28,2 m EXERCÍCIOS (p. 55) 1. a. 40% b. 5% c. 250% d. 325% e. 46,25% f. 24% g. 12,5% h. 1,2% 2. a. b. c. d. e. f. g. h. 3. a. 60 b. R$ 24,00 c. 4,5 d. 78 kg e. 2,2 f. 33,75 4. a. 25% b. 6% c. 1,25% d. 25% 329

5. a. R$ 840,00 b. R$ 3.500,00 c. R$ 600,00 d. R$ 25.600,00 6. 80% 7. 400 8. R$ 91,00 9. 5% 10. 317.000 sacas 11. R$ 44.520,00 12. 37,5% 13. R$ 288,00 14. 450 meninos 15. 32.000 hab. 16. R$ 880,00 17. R$ 636,00 18. 58,33% 19. 37,5% 20. R$ 156.000,00 21. R$ 559,00 22. a primeira; 1,25% 23. 8,59% 24. R$ 12,00 25. 26,9% 26. a. 10% b. 50% c. 30% 27. 21,2% 28. 1,122 kg 29. 650 e 273 30. a. R$ 437,00 330

b. R$ 115,00 CAPÍTULO 6 – OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS RESOLVA (p. 60) 1. R$ 576,00 RESOLVA (p. 61) 1. R$ 60,00 RESOLVA (p. 62) 1. R$ 115,00 RESOLVA (p. 63) 1. R$ 4.981,21 RESOLVA (p. 65) 1. R$ 845,00 2. R$ 72,00 3. 30% 4. R$ 40,00 5. R$ 9.775,00 RESOLVA (p. 68) 1. R$ 6.624,00 2. R$ 6.325,00 EXERCÍCIOS (p. 68) 1. R$ 46,00 2. 12% 3. R$ 876,25 4. 15% 5. R$ 41.250,26 6. R$ 382,00 7. R$ 120,00 331

8. R$ 450,00 9. R$ 141.600,00 10. R$ 224,00 11. 20% 12. 12% 13. R$ 50,00 14. R$ 1.390,00 15. R$ 3.800,00 16. R$ 3.964,80 17. 420 e 300 18. R$ 6.725,00 19. R$ 710,00 20. R$ 776,25 21. 4,62% 22. 0,2% da grandeza 23. R$ 340,00 a R$ 546,00 a unidade e 110,00 a R$ 382,00 24. R$ 1.050,00 e R$ 1.092,00 25. ganhou 0,63% 26. R$ 50.000,00 27. R$ 289,00 e R$ 459,00 28. 29,95% 29. 22,825% 30. R$ 128.478,00 CAPÍTULO 7 – OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS RESOLVA (p. 76) 1. R$ 17,02 2. R$ 2.262,23 3. 0,186 RESOLVA (p. 77) 1. 2.225,89 £

332

EXERCÍCIOS (p. 78) 1. a. R$ 491,78 b. R$ 492,36 c. R$ 206,50 d. R$ 102,23 2. a. R$ 1.531.251,20 F b. 185.656,82 £ c. 28.481.334,55 Y d. 376.104,47 Sw. Fr. 3. a. US$ 21,86 b. 535,46 F c. 2.073,52 £ 4. 189,36 £ 5. R$ 932,24 (C) 6. R$ 10.163,00 7. R$ 56.629,33 8. O comerciante brasileiro, em 15.312,46 F CAPÍTULO 8 – JURO SIMPLES RESOLVA (p. 82) 1. R$ 1.380 2. R$ 1.065 RESOLVA (p. 84) 1. a. 3% a.m. b. 4% a.m. c. 1,2% a.m. 2. a. 18% a.a. b. 32% a.a. c. 42% a.a. 333

d. 18% a.a. RESOLVA (p. 87) 1. R$ 1.462,50 2. R$ 2.800,00 RESOLVA (p. 90) 1. R$ 974,16 RESOLVA (p. 93) 1. R$ 32.000,00 2. 3,3% 3. 1 a 5 me 4. 29/09/88 RESOLVA (p. 99) 1. R$ 8.000,00 2. 20% 3. R$ 98.000,00 4. 16/05/90 EXERCÍCIOS (p. 99) 1. R$ 1.728,00 2. R$ 4.380,00 3. 40% a.a. 4. 0,75% a.m. 5. 2% a.m. 6. R$ 27.000,00 7. 30% a.a. 8. 3 a 3 me 15 d 9. 2 a 6 me 10. R$ 91.800,00 11. R$ 140.000,00 12. 30% a.a.

334

13. 2 anos 14. 10 anos 15. 12,5% a.a. 16. indiferente 17. R$ 7.400,00 18. R$ 32.400,00 19. 8 me 20. 1 a 9 me 21. 30% 22. R$ 313.600,00 23. R$ 174.406,25 e R$ 81.233,75 24. 2% a.m. e R$ 39.200,00 25. R$ 97.440,00 26. R$ 3.472,00 e R$ 4.340,00 27. 3 me CAPÍTULO 9 – DESCONTO SIMPLES RESOLVA (p. 106) 1. R$ 100,00 2. R$ 7.266,00 3. 2 me 15 d RESOLVA (p. 108) 1. 2,25% a.m. e 2,46% a.m. RESOLVA (p. 111) 1. R$ 6.660,00 2. R$ 35.750,94 3. R$ 15.658,12 RESOLVA (p. 114) 1. R$ 1.923,08 e R$ 48.076,92

335

EXERCÍCIOS (p. 114) 1. R$ 250,00 2. R$ 250.000,00 3. 54% a.a. 4. 75 d 5. 135 d 6. 120 d 7. R$ 20.000,00 8. 40% a.a. e 42,86% a.a. 9. R$ 120.133,33 10. R$ 12.000,00 11. 3,19% a.m. 12. 41,38% a.a. 13. 8 me 14. R$ 11.300,00 15. R$ 7.556,80 16. R$ 20.748,68 17. R$ 9.221,24 18. 3% a.m. 19. 248 d 20. R$ 20.000,00 CAPÍTULO 10 – JURO COMPOSTO RESOLVA (p. 125) 1. R$ 9.237,22 2. R$ 88.257,75 3. R$ 26.496,48 RESOLVA (p. 127) 1. R$ 72.000,62 RESOLVA (p. 128) 1. 3% a.m. 336

2. 8 me RESOLVA (p. 131) 1. 6,18% a.m. 2. 20,42% a.a. RESOLVA (p. 132) 1. R$ 52.938,55 RESOLVA (p. 135) 1. 41,16% a.a. e R$ 69.739,60 RESOLVA (p. 137) 1. 9,09% 2. 11,9% EXERCÍCIOS (p. 138) 1. R$ 12.100,72 2. R$ 28.442,00 3. R$ 47.894,05 4. R$ 22.823,01 5. R$ 14.999,89 6. 13 me 7. 2,5% a.m. 8. 39,6% a.a. 9. 10,67% a.b. 10. a. 2,21% a.m., 6,78% a.t., 14,02% a.s., 30% a.a. b. 3,08% a.m., 9,54% a.t., 20% a.s., 44% a.a. c. 2,6% a.m., 8% a.t., 16,64% a.s., 36,05% a.a. d. 3% a.m., 9,27% a.t., 19,41% a.s., 42,58% a.a. 11. R$ 15.757,30 12. R$ 5.000,25 13. 3% a.m. 14. 6,14% a.a. 337

15. 23,14% a.a. 16. R$ 26.594,28 17. R$ 17.291,68 18. 2 anos 19. a. 36% b. 13,33% CAPÍTULO 11 – DESCONTO COMPOSTO RESOLVA (p. 143) 1. R$ 6.313,58 2. R$ 29.138,00 3. R$ 142.598,00 4. R$ 852,00 5. R$ 674,00 6. 6% a.b. 7. 4 me RESOLVA (p. 146) 1. R$ 12.119,68 EXERCÍCIOS (p. 146) 1. R$ 5.436,00 2. R$ 12.594,30 3. R$ 964,50 4. 3 me 5. R$ 30.000,23 6. 4,5% a.t. 7. R$ 50.000,00 8. R$ 25.065,90 9. R$ 23.065,90 10. R$ 530.453,03

338

CAPÍTULO 12 – CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTAS RESOLVA (p. 153) 1. R$ 25.526,28 RESOLVA (p. 154) 1. R$ 17.763,89 RESOLVA (p. 155) 1. 1% a.m. 2. 8 mensalidades RESOLVA (p. 157) 1. R$ 362.681,64 RESOLVA (p. 159) 1. R$ 17.524,76 2. 6 termos 3. 7% a.t. RESOLVA (p. 164) 1. R$ 3.002,00 2. R$ 1.375,34 3. 4% a.m. 4. 20 prestações RESOLVA (p. 167) 1. R$ 2.538,14 2. R$ 9.306,41 3. R$ 1.433,82 4. 10 anos 5. 6,5% a.m. RESOLVA (p. 170) 1. R$ 3.571,96 339

2. R$ 5.215,56 3. R$ 3.616,60 EXERCÍCIOS (p. 171) 1. R$ 6.084,37 2. R$ 750,00 3. R$ 36.969,20 4. R$ 2.348,88 e R$ 2.291,54 5. R$ 61.542,10 6. R$ 8.458,95 e R$ 8.543,54 7. 10 aplicações 8. 2% a.m. 9. R$ 40,64 10. a. R$ 5.046,50 b. R$ 4.246,50 11. 16 me 12. R$ 114,58 13. R$ 3.590,22 14. R$ 12,00 15. 3,5% a.m. 16. 10 prestações 17. R$ 106,83 18. R$ 24,90 19. 5% a.m. 20. R$ 5.702,93 21. 4 pagamentos 22. R$ 9.256,40 23. R$ 2.000,27 24. compra à vista 25. a. 0,27874 b. 0,15161 c. 0,12633 340

d. 0,10967 CAPÍTULO 13 – EMPRÉSTIMOS RESOLVA (p. 178) 1.

RESOLVA (p. 180) 1. R$ 168.386,98 RESOLVA (p. 183) 1.

2.

341

RESOLVA (p. 184) 1.

RESOLVA (p. 187) 1.

342

RESOLVA (p. 189) 1. R$ 45.000,00 RESOLVA (p. 191) 1. a. Com pagamento de juros

b. Com capitalização de juros

343

RESOLVA (p. 192) 1.

RESOLVA (p. 195) 1.

EXERCÍCIOS (p. 195) 1.

344

2. R$ 14.434,82 3. a. Com pagamento de juros

b. Com capitalização de juros

345

4.

5.

346

6. a. R$ 7.700,00 b. R$ 1.351,00 c. R$ 8.694,00 d. R$ 73.500,00 7. a. Com pagamento de juros

347

b. Com capitalização de juros

8.

348

APÊNDICE – COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA RESOLVA (p. 200)

1. 2. a. 1 a 8 me 28 d b. 9 a 7 me c. 1 a 7 me 24 d RESOLVA (p. 202) 1. a. 16 b. 16 c. 32 d. –32 e. 0 f. 0 g. 9 h. –9 i. –9 j. 1 l. –1 m. n. o. p. 4 q. 32 r. s. –8 t. 4 u. 1 349

2. b. x = 5 c. x = –4 d. x = –3 f. x = 2 g. x = 3 h. x = 81 i. x = 64 RESOLVA (p. 210) 1. a. sim b. sim c. não 2. a. 3 b. –5 3. a25 = 47 4. a1 = 40 e a14 = –4 5. 63o termo 6. r = 2 RESOLVA (p. 212) 1. S15 = 315 2. S25 = 625 3. Sn = 2.040 4. r = 13 RESOLVA (p. 215) 1. a5 = 48 2. 3. 4. n = 8 350

RESOLVA (p. 217) 1. Sn = 2.186 2. Sn = 2.046 3. 4. Sn = 1.533 RESOLVA (p. 222) 1. log M = log C + n log (1 + i) 2. −6 3. RESOLVA (p. 226) 1. a. 2,082785 b. 1,628389 c. d. 0,089905 e. 4,838849 f. 3,897187 g. 0,663041 h. 1,814780 RESOLVA (p. 227) 1. a. 3,17 b. 0,0074 c. 4.610 d. 68,049 RESOLVA (p. 228) 1. 1,40709 2. 382,46

351

* Ver Apêndice, p. 197.

352

* O valor 2,7 corresponde à massa específica do alumínio, expressa em g/cm3. ** Seqüência: ver Apêndice, p. 206. *** Função linear: ver Apêndice, p. 203. * Função recíproca: ver Apêndice, p. 203.

353

* Por serem conhecidos, ordinariamente, três elementos é que designamos pelo nome de regra de três. * Isso acontecerá dentro de certos limites; a partir de um certo número de homens (númerolimite) a lei não se aplica mais, pois o seu aumento não mais vai influir no trabalho, podendo até prejudicá-lo.

354

* Há autores que preferem a designação taxa de percentagem. * Alguns autores empregam, ainda, a letra C para o principal, quando este representa dinheiro.

355

* Quando não está expresso se o lucro ou o prejuízo são sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda, fica implícito que são sobre o preço de custo. * Fatura é a relação que acompanha a remessa de mercadorias expedidas, ou que se remete mensalmente ao comprador, com a designação de quantidades, marcas, pesos, preços e importâncias.

356

* A Inglaterra, a partir de 1972, adotou definitivamente a divisão decimal para a sua moeda. * A grafia americana é: US$ 6,064.76.

357

* Também denominado principal. * Ver Percentagem, p. 48. * Ver Grandezas proporcionais, p. 26. ** a.a. é a abreviatura de ao ano, assim como a.m. é a de ao mês etc. * Ver Apêndice: Medidas de Tempo, p. 197. * Um ano é bissexto quando o seu número é divisível por 4. Por exemplo: 1948, 1956, 1972, 1988, 1992 etc. Os anos cujos números terminam em 00 só são bissextos de 4 em 4 séculos. O ano 2000 foi bissexto. * Fizemos a transformação em meses porque o problema pede a taxa mensal. * Ver Apêndice, p. 197. * Ver Desconto Simples, p. 102.

358

* Também chamado valor futuro ou valor de face ou valor de resgate. ** Também chamado valor descontado. * Capitais diferidos são aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes. Por exemplo, títulos de crédito com vencimentos diferentes. * Neste texto, sempre que o “desconto” não for explicitado, você deve subentender “desconto comercial”.

359

* Ver Potenciação, p. 200. * Sempre que possível, devemos evitar esse recurso, pois os valores que figuram na Tábua são exponenciais e os calculados pela interpolação são lineares, o que provoca, às vezes, erros grosseiros. * Ver Apêndice, p. 197. * Neste caso, x = (1 + i) e y = −n. * Ver Apêndice, p. 217.

360

* Lê-se: Sn, cantoneira i ou, simplesmente, s, n, i. * Lê-se: Sn barra, cantoneira i ou, simplesmente, S barra, n, i. * Lê-se: An cantoneira i ou, simplesmente, a, n, i. * Lê-se: An traço, cantoneira i ou, simplesmente, a, traço, n, i. * Lê-se: m, barra, An ou, simplesmente, m, a, n. * Pela definição dada (p. 168), o fato de o primeiro pagamento ser efetuado 3 meses depois de realizado o empréstimo quer dizer que o diferimento é igual a 2, isto é, m = 2. * Considere o real como moeda corrente.

361

* Planilha é um quadro onde montamos o cronograma dos valores de recebimentos e de pagamentos. * No período de janeiro a junho de 1994, a moeda circulante no país não era o real. Por questões didáticas, deixamos de considerar esse detalhe.

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* Numerais complexos são aqueles que usamos na representação de números do sistema de numeração sexagesimal. * ∀: qualquer que seja; ∈: pertence. * y = f(x). * Se a seqüência é finita, an é o último termo. * ⇔: símbolo que indica uma equivalência lógica, isto é, uma implicação em ambos os sentidos (lê-se: equivale a ou, ainda, se e somente se). * Esse item da matéria não será necessário se os alunos puderem utilizar uma calculadora eletrônica.

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