Matemática Financeira Básica

Ismael Teixeira da Silva

MATEMÁTICA FINANCEIRA * PRINCÍPIOS BÁSICOS *

 Ismael Teixeira da Silva

ÍNDICE I.

Razões e proporções 1. Razões ............................................. .................................................................... .............................................. .............................................. ........................................ ................. 3 2. Proporções ........................................... .................................................................. ............................................... ............................................... ................................... ............ 3 2.1. Propriedade fundamental fundamental ............................ ................................................... .............................................. ............................................. ...................... 3 2.2. Terceira Terceira e quarta proporcionai proporcionaiss ............................... ...................................................... .............................................. ................................ ......... 3 2.3. Cálculo Cálculo de um termo termo desconhecido.................... desconhecido........................................... .............................................. ...................................... ............... 3 2.4. Propriedades das proporções proporções .................................. ......................................................... .............................................. ................................. .......... 3 2.5. Proporções múltipl múltiplas as ......................................... ................................................................ .............................................. ...................................... ............... 4 II. Números proporcionais proporcionais e regra de três 1. Grandezas proporcionais proporcionais .................................. ......................................................... .............................................. .............................................. ......................... 5 2. Divisão Divisão proporcional proporcional ............................ ................................................... ............................................... ............................................... .................................. ........... 6 3. Regra de três ................................... .......................................................... .............................................. .............................................. ......................................... .................. 6 3.1. Simples Simples .............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. ............................... ........ 6 3.2. Composta Composta ............................. .................................................... .............................................. .............................................. ............................................. ...................... 6 III. Porcentagem ............................................ .................................................................... ............................................... .............................................. ............................... ........ 8 IV. Juros simples simples .......................... ................................................. .............................................. .............................................. .............................................. .......................... ... 9 V. Desconto simples ................................................... .......................................................................... .............................................. ........................................ ................. 10 5.1. Desconto comercial comercial .... .............................................. ..................................................................... .............................................. .................................... ............. 11 5.2. Taxa de juro juro efetiva . .................................... ........................................................... .............................................. .............................................. .......................... ... 12 5.3. Equivalência Equivalência de capitais capitais ........................................... .................................................................. .............................................. .................................... ............. 12 5.4. Desconto Desconto racional .............................................. ..................................................................... .............................................. ............................................ ..................... 13 VI. Juro composto ........................................................... .................................................................................. .............................................. ..................................... .............. 14 6.1. Taxas equivalentes equivalentes .......................................... ................................................................. .............................................. .............................................. ......................... 15 6.2. Taxas nominais nominais ...................................... ............................................................. .............................................. .............................................. ................................. .......... 15 6.3. Taxa efetiva .............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. ............................. ...... 16 6.4. Taxa Taxa real e taxa aparente .................................. ......................................................... .............................................. ............................................. ...................... 16 VII. Desconto composto ......................................................... ................................................................................ .............................................. ............................... ........ 17 7.1. Equivalência Equivalência de capitais capitais diferidos diferidos ........................................ ............................................................... .............................................. ........................... 17 VIII. Capitalização Capitalização e amortização commposta commposta ............................................................... .............................................................................. ............... 18 1. Rendas ............................................ ................................................................... .............................................. .............................................. ............................................ ..................... 18 2. Capitalização Capitalização composta composta - crediário ........................... .................................................. .............................................. ........................................ ................. 19 2.1. Renda imedi imediata ata ................................................ ....................................................................... .............................................. ....................................... ................ 19 2.2. Renda antecipada .............................................. ..................................................................... .............................................. ..................................... .............. 20 3. Amortização Amortização composta composta - crediário ............................. .................................................... .............................................. ....................................... ................ 21 3.1. Renda imedi imediata ata ................................................ ....................................................................... .............................................. ....................................... ................ 21 3.2. Renda antecipada .............................................. ..................................................................... .............................................. ..................................... .............. 22 3.3. Renda diferida diferida .............................................. ..................................................................... .............................................. ......................................... .................. 22

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2

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I – RAZÕES E PROPORÇÕE P ROPORÇÕESS 1. Razão de dois números a e b, com b ≠ 0, é a o quociente de a por b. Indica-se ou b a : b, e lê-se a para b. O número a é chamado antecedente e o número b é chamado conseqüente.

 Razão

Quando duas razões têm antecedente e conseqüentes trocados, são denominadas  razões inversas . 4 3 Ex.: e . 3 4

1 3 = , 9 é a terceira 3 9 proporcional de 1 e 3. Na proporção

Chama-se quarta proporcional de a, b e c a a c um número d tal que = . b d 1 2 = , 6 é a quarta 3 6 proporcional de 1, 3 e 2, nessa ordem. Exemplo: Na proporção

Cálculo de um termo desconhecido Usando a propriedade fundamental das proporções, podemos calcular um termo desconhecido de uma proporção. Vejamos: Vejamos: Exemplos:

2. Proporções A igualdade entre duas razões é chamada  proporção.

a c = , lemos: a b d está para b assim como c está para d, onde a e d são chamados extremos e b e c são chamados meios. Em uma proporção,

1) Calcular o valor de a sabendo que 2, 3, a e 6 formam, nessa ordem uma proporção. 2 a a=4 ⇒ 3·a=2·6 ⇒ = 3 6 2) Calcular o valor de x em: x+3 x−2

=

2 3

⇒

3x + 9 = 2x – 4

x = – 13

Propriedade fundamental Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 2 6 ⇒ 2 · 12 = 4 · 6 Exemplo: = 4 12 24

3 (x + 3) = 2 (x – 2)

24

Terceira e quarta proporcionais proporcionais Chama-se terceira proporcional de a e b a a b um número c tal que = . b c Exemplo:

Propriedades das proporções 1ª) A soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma (ou a diferença) dos dois últimos últimos termos está para o terceiro termo. ter mo. a b

c a+b ⇒ d a

=

c+d c

2ª) A soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma (ou a diferença) dos dois últimos últimos termos está para o quarto termo. te rmo. a b

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=

=

c a +b ⇒ d b

=

c+d d 3

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3ª) Numa proporção, a soma (ou a diferença) dos antecedentes está para a soma (ou a diferença) dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente. a b

=

c a±c ⇒ d b±d

=

a b

=

c d

A partir da proporção dada, podemos ainda fazer outras transformações, alterando os sinais do numerador ou do denominador, desde que a mudança no sinal de um antecedente acompanhe a mudança do conseqüente correspondent c orrespondente. e. a −c+e a = b − d + f  b

=

c d

=

e f 

Exemplo: 1) Determinar x e y na proporção

x y

=

2 , 5

sabendo que x + y = 28. x+y x

=

2+5 2

→

28 7 ⇒ 7 x = 56 = x 2

Encontrar a, b e c sabendo que e que a + b + c = 29.

1ª propriedade →

propriedade fundamental fundamental

a+b+c 6 + 20 + 32

=

29 58

=

a 6

=

b 20

=

c 32

a ⇒ 58 a = 174 6

a=3

x=8

a 6

y = 20

x + y = 28 ⇒

Exemplo:

=

b 3 b ⇒ = ⇒ 6b = 60 ⇒ 20 6 20

b = 10

a + b + c = 29 ⇒ c = 29 – 3 – 10 2) A gasolina brasileira é misturada com álcool hidratado na razão de 2:5. Quantos litros de cada combustível existem em 250 litros de gasolina comercial? a g

=

2 a +g ⇒ 5 a

7a = 500 ⇒

=

2 + 5 250 ⇒ 2 a

=

7 2

a = 71,43 l

g = 250 – 71,43 ⇒

= 178,57 l

Proporções múltiplas a c e = = , podemos aplicar as b d f  propriedades já vistas nas igualdades tomadas duas a duas: Supondo

a+c+e a = b + d + f  b

=

c d

=

e f 

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c = 16 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Usando a propriedade fundamental das proporções, decida se os números dados em cada ordem formam ou não uma proporção: b) 2, 3, 4 e 6 c) 10, 2, 18 e 3 d) 0,4; 0,6; 1,2 e 1,8 1 1 1 e) , , 2 e 4 16 2 2) Encontre o valor de x: a)

x 5

b)

40 5 = x +1 3

c)

2−x 4

=

18 45

= −

3x 4

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d)

e)

x+3 3 = x +1 5 2 −x = 3

x−

b c a  = = c)  20 7 3 a − b + c = 80

2 5

3

3) Calcule, em cada proporcional entre: a) 8, 2 e 28 b) 6, 18 e 15 c) 3, 4 e 6 1 5 1 d) , e 3 6 2 e) 6, 3 e 8

item

a

quarta

4) Calcule, em cada item a terceira proporcional entre: a) 4 e 6 b) 3 e 8 c) 2 e 5 1 1 d) e 2 3 e) 5 e 7 5) Numa escola, a razão entre o número de 1 professores e o número de alunos é . 18 a) Justifique Justifique o significado significado dessa proporção. b) Se a escola tem 25 professores, quantos são os alunos?

8) Um comerciante deseja lucrar R$ 2,00 em cada R$ 1,00que paga ao adquirir suas mercadorias. Qual deve ser o preço de venda de um produto que lhe custou R$ 42,00? 9) Determine três números cuja soma é 105, sabendo que o primeiro está para 2 assim como o segundo está para cinco e o dobro do terceiro está para 16.

II – NÚMEROS PROPORCIONAIS - REGRA DE TRÊS 1. Grandezas proporcionais Quando duas grandezas variam sempre segundo uma mesma razão, são denominadas   grandezas diretamente proporcionais, e se variam sempre na razão inversa uma da outra, são denominadas   grandezas inversamente  proporcionais. •

Diretamente proporcionais: velocidade e distância, litros de gasolina e preço; horas de trabalho e produção.

6) Uma planta de uma casa é desenhada na escala 1:50. Qual a área de uma sala que, na planta, tem 4,5 x 5,2 cm?

a c = = ... = k ; onde k é o fator de b d proporcionalidade.

7) Calcule os valores desconhecidos:

•

x + y = 75  a)  x 2 y = 3  x 3  = b)  y 5 y − x = 4 

Inversamente proporcionais: velocidade e tempo de viagem, número de ganhadores da loteria e valor do prêmio; número de trabalhadores e tempo de execução do trabalho.

a · b = c · d = ... = k; onde k é o fator de proporcionalidade. Exemplos: 1) Um viajante percorre a distância de 80 km em 1h30min. Mantendo a mesma velocidade média, quanto percorreria em 2h15min?

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x 2,25

=

80 x = 120 km =⇒ 1,5 x = 180 ⇒ 1,5

2) Três ganhadores da loteria receberam, cada um, R$ 25.000,00. Quanto receberia cada um se houvesse 5 ganhadores? 3 · 25.000 = 5 · x ⇒

x = R$ 15.000,00

É uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas proporcionais, A e B, relacionando dois valores da grandeza A e dois da grandeza B. Essas grandezas formam uma proporção em que se conhecem três dos termos e o quarto é o procurado. Podemos ter dois tipos de regra de três: direta e inversa. Observe os exemplos:

a) Direta

2. Divisão proporcional Dividir um número em partes proporcionais aos números de uma dada sucessão significa encontrar parcelas desse número que formem uma sucessão proporcional àquela e que, somadas, reproduzem esse número.

Cinco metros de certo tecido custam R$ 65,00. Quanto custarão oito metros do mesmo tecido? Quantidade de tecido 5

preço 65,0

8

X

Exemplos: 1) Repartir o número 18 em partes diretamente proporcionais proporcionais a 5 e 4. x 5

=

y x+y ⇒ 4 5+4

x 5

=

2 ⇒

=

18 9

=

2

2) Repartir o número 350 em partes inversamente proporcionais a 2 e 5. 5y x·2=y·5 ⇒ x = 2 x + y = 350

7y = 700 ⇒

65 ⇒ 5 X = 520 X

X = R$ 104,00

Duas torneiras enchem uma caixa d’água em 6 horas. Quantas torneiras do mesmo tipo são necessárias para encher a mesma caixa d’água em 4 horas?

y=8

5y 5y + 2 y + y = 350 ⇒ 2 2

=

b) Inversa

x = 10

y = 18 – 10 ⇒

5 8

=

350

2 X

=

torneiras 2

Tempo 6

X

4

4 ⇒ 4 X = 12 6

X = 3 torneiras

y = 100 3.2. Composta

x = 350 – 100 ⇒

x = 250

3. Regra de três 3.1. Simples

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Uma grandeza que varia em dependência com duas ou mais grandezas é chamada grandeza composta. Na regra de três composta, utilizamos o seguinte seguinte procedimento: • Montamos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza. 6

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• •

Verificamos se a grandeza que contém a incógnita comporta-se com proporcionalidade direta ou inversa em relação a cada uma das outras grandezas. Caso haja dependência inversa, invertemos os elementos da respectiva coluna. Montamos a equação, relacionando a grandeza que contém a incógnita com as demais grandezas utilizando a propriedade

Se uma grandeza C é diretamente   proporcional, separadamente, às   grandezas A (quando B permanece   constante) e B (quando C permanece   constante), então A é diretamente  proporcional ao produto B C.

receberá cada pessoa, se o combinado foi que cada uma receberia uma quantia proporcional ao dinheiro gasto? 4.

João e Carlos associaram-se aplicando capitais idênticos. No final de certo período, a sociedade apresentou prejuízo de R$ 5 000,00. Qual o prejuízo de cada um, se João aplicou seu capital por 3 meses e Carlos por 7 e combinaram que a divisão seria diretamente proporcional ao tempo de cada um?

Exemplo:

5. Certa sociedade constituída por 3 sócios (A, B e C) obteve, em determinado período de tempo, um lucro de R$ 27 000,00. Qual a parte desse lucro que coube a cada sócio, se A entrou com 1/3 do capital, B com 2/5 e C com o restante?

Vinte operários levam 10 dias para levantar um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento. Quantos dias levarão 15 operários para construir um muro de mesma largura mas com comprimento 40 m e 3m de altura?

6. Dois sócios sócios devem repartir re partir entre si o lucro de R$ 64 350,00. Sabendo que o primeiro socio empregou um capital de R$ 26 900,00 e que o lucro do segundo foi de R$ 24 000,00, calcule o lucro do primeiro e o capital do segundo.

operários 20 15

7. Um lojista A fundou sua loja com um capitai de R$ 5 000,00. Cinco meses mais tarde, admitiu um sócio B, que entrou com R$ 10 000,00. Ao final de 20 meses, a empresa apresentou lucro de R$ 15.000,00. Qual a parte do lucro que coube a cada sócio?

·

10 X

=

dias 10 X

15 ⋅ 25 ⋅ 2 10 ⇒ 20 ⋅ 40 ⋅ 3 X

750 X = 24000 ⇒

comprimento 25 40 =

altura 2 3

750 2400

X = 32 dias

EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO FI XAÇÃO 1. Repartir o número 520 em partes diretamente proporcionais proporcionais a 4 e 1/3. 2. Repartir o número 459 em partes inversamente proporcionais a 3, 4, 10 e 6. 3. Três pessoas, pessoas, A, B e C, compraram juntas um bilhete de rifa que premia o sorteado com 10 000 dólares. Na compra do bilhete, a pessoa A colaborou com 10 dólares, a pessoa B com 15 dólares e a pessoa C com 25 dólares. Caso o bilhete que compraram seja o sorteado, quanto  MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos

8. Um reservatório de 2 520 l de capaci c apacidade dade foi completamente enchido por 3 torneiras, que despejam por minuto 12 l , 8 l e 16 l de água, respectivamente. Determine o volume de água que o reservatório recebeu de cada torneira? 9. Uma torre de 25,05 metros dá uma sombra de 33,40 metros. Qual será, na mesma mesma hora, a sombra de uma pessoa cuja altura é 1 ,80 metro? 10. Um trabalho é feito por 21 teares em certo tempo, trabalhando 5 horas por dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar 15 teares para realizar o mesmo trabalho no mesmo tempo? 7

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11. Um terreno retangular tem 36 m de comprimento e 45 m de largura. Se diminuirmos dimi nuirmos o comprimento comprimento desse terreno terr eno em 6 m, quantos metros devemos aumentar na sua largura para que a área permaneça a mesma? mesma? 12. Dez arados, em 9 dias de 8 horas, preparam um terreno de 40 ares. Em quantos dias de 9 horas, 12 arados idênticos aos primeiros preparam um terreno de 48 ares? 13. Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-la durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas?

III – PORCENTAGEM As expressões com o termo   por cento, são simplesmente uma maneira de se representar as razões centesimais, nas quais o símbolo % substitui o denominador 100. Nesse caso, as razões centesimais recebem uma denominação especial:   taxa de  porcentagem. 14 =14% (Lê-se 14 por cento) 100 Quando o denominador de uma fração não é 100, pode-se encontrar a taxa de porcentagem que representa essa fração como no exemplo a seguir. 2 5

=

0,40 =

40 100

=

40%

3 4

=

0,75 =

75 100

=

75%

  Porcentagem é o resultado que obtemos quando aplicamos a taxa de porcentagem   a um determinado valor, isto é, a   porcentagem é o produto da taxa unitária por esse valor.

p=i·P  MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos

Onde:

p ⇒ porcentagem i ⇒ taxa unitária unitária P = principal principal

Exemplos: 1) Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$ 3.600,00? P = 3.600,00 i = 3% = 0,03 p = i · P ⇒ p = 0,03 · 3.600

p = R$ 108,00 2) Um produto foi adquirido por R$ 50,00 e vendido por R$ 82,00. Qual a porcentagem de lucro? l = 82,00 – 50,00 = 32,00 = p p = i · P ⇒ 32 = i · 50

i = 64 % EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Exprima, sob a forma de taxa porcentual, cada uma das seguintes seguintes razões: 2 35 2 a) b) c) 1 5 72 3 d) 0,26 e) 0,05 e) 0,012 2) Excreva as taxas percentuais abaixo como unitárias: a) 85% b) 3,75% c) 0,2% 3 2 4 d) % e) 1 % f) 2 % 5 3 3 3) a) b) c) d)

Calcule: 25% de 400 12,5% de R$ 120,00 0,38% de R$ 863,87 132% de R$ 56,00

4) a) b) c)

Calcule a quantia na qual: R$ 32,00 representam 5,6% R$ 32,56 representam 0,5% R$ 29,04 representam 1,57%

5) Vendi uma mercadoria recebendo 25 % de entrada e o restante em três prestações de 8

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R$ 1.600,00 e uma de R$ 1.800,00. Qual o preço da mercadoria? 6) Um vendedor recebe 3% de comissão sobre as vendas que efetua. Qual a quantia a receber pelas vendas de R$ 800,00; R$ 238,50 e R$ 973,65? 7) Uma loja oferece 15% de desconto para as mercadorias compradas à vista. Se o preço de uma delas é R$ 145,00, qual deve ser o seu preço para venda nessa condição? condição? 8) Um relojoeiro adquire um lote de 120 relógios à R$ 85,00. Vende 2/3 a R$ 120,00 e o restante a R$ 142,00. De quanto por cento foi o lucro? 9) Uma pessoa deseja adquirir uma televisão catalogada catalogada por R$ 464,00. Se o pagamento for à vista, aloja oferecerá um desconto de 5%. Como a pessoa não pode faze-l fa ze-lo, o, paga 2/5 à vista e o restante em 3 prestações, sofrendo um aumento de 38% sobre a parte relativ re lativaa às prestações. a) Qual o preço à vista da televisão? b) Qual o valor de cada prestação? 10)Um 10) Um comerciante comprou 120 bonés à R$ 8,80 cada. Vendeu a metade a R$ 10,50 e o restante a R$ 12,30. De quanto por cento foi o lucro? 11)Três 11) Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 1.800,00, R$ 2.250,00 e R$ 2.700,00. Após um certo tempo, obtiveram um lucro líquido de R$ 5.400,00. Qual será a parte de cada um? 12)Três 12) Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 2.800,00, R$ 2.500,00 e R$ 2.700,00 na abertura de uma empresa. Após algum tempo, o terceiro sócio resolveu sair da sociedade. O balanço acusou um patrimônio (ativo e passivo) de R$ 12.750,00. Quanto cada um dos dois remanescentes devem pagar ao sócio desistente desistente para pa ra ficarem com partes iguais? iguais?

IV – JUROS SIMPLES  MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos

Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. O Capital é o valor apli ap licado cado através atra vés de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de  juros. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: • 8 % a.a. - (a.a. significa significa ao ano). • 10 % a.t. - (a.t. significa significa ao trimestre) Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, excluído o %: • 0,15 a.m. - (a.m. signi s ignifica fica ao a o mês). • 0,10 a.q. - (a.q. significa significa ao quadrimestre). quadrimestre). O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula fórmula temos:

J=C·i ·t

Onde:

J ⇒ juro (R$) C ⇒ capital (R$) i ⇒ taxa unitária unitária t ⇒ tempo 9

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Exemplo:

6) Qual é o tempo em que um capital de R$

Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 10% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 3 meses. Os juros que pagarei e o total a ser pago serão:

7) Sabendo que o juro de R$ 1.200,00 foi obtido com a aplicação de R$ 1.500,00 à taxa de 8% ao trimestre, calcule calcule o prazo.

Período 0 1º mês 2º mês 3º mês

Capital

Juro

Total 1.000,00 1.000,00 100,00 1.100,00 1.100,00 100,00 1.200,00 1.200,00 100,00 1.300,00 300,00 1.300,00 O valor total a ser pago (R$ 1.300,00) será denominado montante.

M = C + J ⇒ M = C · (1 + i · t) Utilizando as fórmulas acima temos: J = C · i · t ⇒ J = 1000 · 0,1 · 3

J = R$ 300,00 M = C + J ⇒ M = 1.000,00 + 300,00

M = R$ 1.300,00 EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO FI XAÇÃO 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 2) Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. 3) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? 4) Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? 5) Uma aplicação de R$ 40.000,00 em letras de câmbio, pelo prazo de 180 dias, obteve o rendimento de R$ 6.000,00. Qual a taxa anual correspondente a essa apli a plicação? cação?  MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos

964.800,00 a 25% ao ano, rende R$ 793.950,00 de  juro?

8) Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano? 9) Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado esse capital? 10) Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2% ao mês, durante 2 anos. 11) A que taxa anual deve ser aplicado aplicado o capital de R; 485.000 para que acumule acumule em 1 ano e 2 meses um montante de R$ 6.547,50? 12) Determine a aplicação inicial que, à taxa de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2 meses e 20 dias um montante de R$ 5.864,32. 13) Duas pessoas têm juntas R$ 2.616,40 e empregam o que têm à taxa de 40% ao ano. Após 2 anos, a primeira recebe R$ 697,38 de juro a mais que a segunda. Qual o capital de cada uma?

V – DESCONTO SIMPLES Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. Todo título de crédito tem uma data de vencimento, porém, o devedor pode resgata-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado  desconto. Essa operação é uma das mais comuns aplicações da regra de juro. Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota promissória, promissória, a duplicata duplicata e a letra de câmbio.

10

 Ismael Teixeira da Silva 





A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e uma instituição financeira. A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato. A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.

Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer:  que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Neste caso, ele se beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento; vencimento;  que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada f ixada no título de crédito. Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades. Esse benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de  desconto. Além disso:  dia de vencimento é o dia fixado no título para o pagamento ou recebimento da aplicação;  valor nominal (N) é o valor indicado no título (importância á ser paga no dia do vencimento);  valor atual (A) é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento;  tempo ou prazo (t) é o número de dias compreendido entre o dia em que se  MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos

negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou, então. incluindo, o último e não o primeiro. Assim:  Desconto é a quantia a ser abatida, isto é,   a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou o valor atual. No primeiro caso, é denominado desconto comercial  (ou por fora). No segundo,   desconto racional  (ou por dentro).

5.1. Desconto comercial Chamamos de desconto comercial,   bancário ou por fora o equivalente ao   juro simples produzido pelo valor   nominal do título no período de tempo  correspondente  correspondente e à taxa fixada.

Valor do desconto comercial:

dC = N · i · t onde: d ⇒ valor do desconto comercial (R$) N ⇒ valor nominal do título (R$) i ⇒ taxa de desconto (unitária) t ⇒ tempo de antecipação antecipação Como o valor atual (A) é a diferença entre o valor nominal e o desconto, temos:

AC = N – dC ⇒ AC = N · (1 – i · t) Nota: O desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois para prazos longos o valor do desconto pode até ultrapassar o valor nominal do título. Exemplos: 11

 Ismael Teixeira da Silva

1) Uma promissória no valor de R$ 1.450,00 vai ser resgatada 45 dias antes do seu vencimento. Sendo a taxa de juros empregada igual a 3% am, calcule: a) o valor do desconto comercial; b) o valor atual do título. N = 1.450,00 T = 45 d = 1,5 m i = 3% am = 0,03 am d=N·i·t d = 1450 · 0,03 · 1,5 ⇒

Exemplo: Uma promissória no valor de R$ 1.450,00 vai ser resgatada 45 dias antes do seu vencimento a uma taxa de 3% am. Sabendo que o desconto dado foi de R$ 65,25, calcule a taxa de juro efetiva. N = 1.450,00 d = 65,25 t = 1,5 m i = 3% am = 0,03 am

d = R$ 65,25

A = N – d = 1450,00 – 65,25

A = R$ 1.384,75

A = 1.384,75 d 65,25 = i= A ⋅ t 1384,75 ⋅ 1,5 i = 0,0314 ⇒ iE = 3,14 %

2) Uma duplicata de R$ 3.400,00 foi descontada 2 meses antes de seu vencimento por R$ 2.890,00. Sabendo que a taxa envolvida na transação foi de 36 % aa, qual foi o tempo de antecipação? N = 3.400,00 t=2m A = 2.890,00 36 i = = 3 % am = 0,03 am 12 A = N (1 – i · t) 2890 = 3400 (1 – 0,03 · t) 0,85 = 1 – 0,03 · t t = 5 meses 0,03 · t = 0,15 ⇒

5.2. Taxa de juro efetiva A taxa de juro que no período t torna o capital A igual ao montante N é a taxa que realmente está sendo cobrada na operação de desconto. Essa taxa é denominada   taxa de  juro efetiva, que iremos representar por i E. C = (1 + i · t), mas, C = A e M = N N A (1 + i · t) = N ⇒ 1 + i · t = A i·t=

N – 1 , daí: A

iE =

d A⋅t

 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos

5.3. Equivalência de capitais Às vezes temos necessidade de substituir um título (ou mais) por outro (ou, outros) com vencimento diferente ou. ainda, de saber se duas formas de pagamento são equivalentes. Esses problemas estão afetos, de modo geral, à equivalência de capitais diferidos – capitais cujos vencimentos têm datas diferentes. Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais. A solução deste tipo de problema consiste em estabelecer uma data - data de comparação - e comparar os valores atuais dos dos títulos títul os em questão, nessa data. Se resultar uma igualdade, podemos concluir que esses capitais diferidos são equivalentes. No regime de juro simples, essa data de comparação deve ser a  data zero, isto é, a data em que a dívida foi contraída; isto porque, neste regi r egime, me, não podemos fracionar o prazo de aplicação, já que o juro é admitido como sendo formado no fim do período de aplicação. Assim, ao substituirmos títulos, sea para adiar ou para antecipar, devemos recuar à data zero e depois disso recalcular

12

 Ismael Teixeira da Silva

para a data prevista para o pagamento do novo título.

0

1

2

3

meses

Exemplo: Quero substituir um título de R$ 5.000,00, vencível em 2 meses por outros dois de valores iguais com vencimentos para daqui a 45 dias e 90 dias. Sendo a taxa de 2,4 % am, qual o valor nominal de cada um dos novos títulos? N = 5.000,00 t=2m i = 2,4 % am = 0,024 am am t’ = 45 d = 1,5 m t” = 90 d = 3 m N’= N” A = Σ A’ N (1 – i · t) = N’ (1 – i · t’) + N” (1 – i · t”) 5000 (1 – 0,024 · 2) = N’ (1 – 0,024 · 1,5) + N’(1 – 0,024 · 3) 47600 = 0,964 N’ + 0,977 N’ 47600 ⇒ N’ = N” = R$24.523,44 N’ = 1,941 Σ

d ⇒ valor do desconto comercial (R$) N ⇒ valor nominal do título (R$) i ⇒ taxa de desconto (unitária) t ⇒ tempo de antecipação antecipação Como o valor atual (A) é a diferença entre o valor nominal e o desconto, temos: AR = N – d R ⇒

dR

=

N⋅i ⋅t 1+i ⋅t

Substituindo as duas expressões acima, temos:

AR

=

N 1+ i ⋅t

Exemplo: Uma promissória no valor de R$ 1.450,00 vai ser resgatada 45 dias antes a ntes do seu vencimento. Sendo a taxa de juros empregada igual a 3% am, calcule: a) o valor do desconto racional; b) o valor atual do título. N = 1.450,00 T = 45 d = 1,5 m i = 3% am = 0,03 am N ⋅ i ⋅ t 1450 ⋅ 0,03 ⋅ 1,5 = 1+ i ⋅ t 1 + 0,03 ⋅ 1,5 65,25 ⇒ d = R$ 62,44 d= 1,045 d=

5.4. Desconto racional Chamamos Chamamos de desconto racional ou por  dentro o equivalente ao juro produzido  pelo valor atual at ual do título numa taxa fixada e durante o tempo t empo correspondente. correspondente.

Nota: Na prática, somente o desconto comercial é utilizado; porém, é necessário fazermos um rápido estudo do desconto racional porque, como veremos adiante, o desconto composto está ligado a esse conceito. Valor do desconto racional:

dR = A · i · t

A = N – d = 1450,00 – 62,44

A = R$ 1.387,56 Nota: Sempre que o tipo de desconto não for explicitado, adotaremos o desconto comercial. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) 0 valor atual de um título de R$ 4.800,00 é R$ 4.380,00. Sabendo que a taxa bancária de desconto é de 3,5% ao mês, qual o tempo de anteci a ntecipação? pação?

onde:  MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos

13

 Ismael Teixeira da Silva

2) Uma empresa possui um titulo cujo valor nominal é de R$ 70.000,00, com vencimento daqui a 150 dias. Quantos dias antes do vencimento deve descontá-lo à taxa comercial de 36 % aa, para que possa adquirir mercadorias no valor de R$ 67.900,00? 3) Um comerciante vai a um banco e desconta uma nota promissória para 90 dias, à taxa de 3 % ao mês, mais 1,5% de comissão. Sabendo que o líquido creditado para o comerciante foi de R$ 17.900,00, qual o valor da promissória? 4) Um título de R$ 2.700,00 foi descontado faltando 60 dias para o vencimento do mesmo. Sabendo que o desconto foi de R$ 180,00, calcule a taxa de desconto e a taxa de juro efetiva. 5) Sou portador de duas notas promissórias, uma de R$ 80.000,00 vencível em 150 dias, e outra de R$ 40.000,00 vencível em 120 dias. Pretendendo descontá-las dentro de 90 dias, qual o valor a ser recebido, à taxa de desconto desconto de 3,5% ao mês? 6) Um título no valor nominal de R$ 70.000,00 pagável em 50 dias vai ser substituído substituído por outro com vencimento para par a 120 dias. Sabendo que o credor pode resgatar o título à taxa de 36% ao ano, determine o valor nominal do novo título. 7) Um comerciante descontou dois títulos em um banco: um de R$ 1.200,00 para 120 dias, e outro de R$ 1.000,00 para 150 dias. Desejando substitui-los por um título único com vencimento para 90 dias, calcule o valor nominal deste último, supondo que a taxa de desconto de 42% ao ano permaneça inalterada. inalterada. 8) Um microempresário tem três títulos, de R$ 2.000,00, R$ 1.200,00 e R$ 2.800,00, descontados em um banco e com vencimentos para 90, 150 e 180 dias, respectivamente. Desejando substitui-los por dois outros de valores nominais iguais para 60 e 120 dias, calcule calcule o valor nomi no minal nal comum, supondo que a taxa de desconto  MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos

seja de 3,2% ao mês para as transações desse tipo. 9) Determine o desconto racional de uma promissória promissória de R$ 3.200,00, à taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias antes do vencimento. 10) Uma duplicata foi descontada pelo valor de R$ 2.343,75 cinqüenta dias antes de seu vencimento, à taxa racional de 45% ao ano. Qual o seu valor nominal? 11) Ao pagar um título de R$ 3.600,00 com antecipação de 90 dias, recebe um desconto racional de R$ 486,00. Qual é a taxa de desconto? desconto?

VI – JURO COMPOSTO O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-adia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos  juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento momento em que os juros são incorporados ao principal. Vejamos um exemplo: um capital de R$ 100,00, aplicado a 2 % am, durante três meses, tem a seguinte evolução: Mês 0 1 2 3

Juro 2,00 2,04 2,08

Montante 100,00 102,00 104,04 106,12

Assim:  Juro composto composto é aquele que em cada  período financeiro, a partir do segundo, é  calculado sobre o montante relativo do  período anterior.

M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

M = C (1 + i) t Como o juro é a diferença entre o montante e o capital temos: 14

 Ismael Teixeira da Silva t

J = M – C ⇒ J = C [(1 + i) – 1] Exemplo: 1) Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. C = R$6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 t

M = C· (1 + i) M = 6000·(1+0,035)12 = 6000 ·(1,035)12

M = R$9.054,00 2) Um capital de R$ 2.000,00, aplicado em regime regime de juro compos co mposto to a 5 % am, produz um montante de R$ 2.205,00. Quanto tempo durou a aplicação? C = 2.000,00 i = 5 % am = 0,05 am M = 2.205,00 M = C (1 + i) t 2205 = 2000 (1 + 0,05)t 1,1025 = 1,05 t ⇒ aplicando logaritmo temos, log 1,1025 = log 1,05 t log 1,1025 = t · log 1,05 0,0424 ⇒ t= 0,0212

t = 2 meses

6.1. Taxas equivalentes Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.  Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual ia.  O montante M ao final do período de 1 ano será igual igual a M = P(1 P (1 + i a).  Consideremos agora, o mesmo capital C aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im.  O montante M’ ao final do período de 12 meses será será igual a M’ = P(1 P (1 + i m)12.  MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos

Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’. Portanto, C (1 + ia) = C (1 + im)12 Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12 Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.

1 + i = (1 + i’) k onde k é o período relativo. Exemplos: 1) Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre? Em um ano temos dois semestres, então k = 2: 1 + ia = (1 + is)2 1 + ia = 1,082 ia = 0,1664

ia = 16,64% a.a 2) Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? 1 + ia = (1 + im)12 1 + ia = (1,005)12 ia = 0,0617

ia = = 6,17% a.a 6.2. Taxas nominais Normalmente o juro só é formado no final de cada período. Entretanto, são freqüentes, na prática, prática, enunciados enunciados do tipo:  Juros de 25 % aa capitalizados trimestralmente.  Juros de 174,5 % aa capitalizados mensalmente. Tais enunciados caracterizam o que se convencionou chamar  taxas nominais . Taxa nominal é aquela cujo período de  capitalização não coincide com aquele a que ela se refere.

Para resolvermos problemas que trazem em seu enunciado uma taxa nominal, adotamos, por convenção, que a taxa por 15

 Ismael Teixeira da Silva

período de capitalização seja proporcional à taxa nominal. Exemplo: Qual o montante de um capital de R$ 2.500,00, no fim de 2 anos, com juros de 18 % aa capitalizados trimestralmente? C = 2.500,00 t=2a=8t i = 18 % aa = 4,5 % at = 0,045 at M = C (1 + i) t M = 2500 (1 + 0,045) 8

M = R$ 3.555,25 6.3. Taxa efetiva É evidente que, ao adotarmos a convenção, a taxa anual paga não é a oferecida e, sim, maior. Essa é a  taxa efetiva. Quando oferecemos 10 % ao ano e capitalizamos bimestralmente a 2 % é, como vimos, vim os, a taxa t axa nominal. A taxa efetiva é a taxa anual equivalente a 2 % bimestrais. Logo, 1 + iE = (1 + 0,02)6 1 + iE = 1,126 ⇒

iE = 12,6 % aa

6.4. Taxa real e taxa aparente é aquela que vigora nas operações correntes. Quando não há inflação, a taxa aparente é igual à taxa real; porém, quando há inflação, a taxa aparente é formada por dois componentes: um correspondente à inflação inflação e outro correspondente ao juro real. Sendo: iR ⇒ taxa real iA ⇒ taxa aparente iI ⇒ taxa de inflação temos,

Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,5 % am e a uma inflação de 5 % no período? iR = 0,5% am = 0,005 am iI = 5 % am = 0,05 am 1 + iA = (1 + iR) · (1 + iI) 1 + iA = (1 + 0,005) · (1 + 0,05) 1 + iA = 1,05525 ⇒

iA = 5,525 % am

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. 2) Calcule o montante do capital de R$ 75.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 2,75 % ao mês, no fim de 6 meses. 3) Qual o montante produzido por R$ 12.000,00 em regime de juro composto, à taxa de 2% am durante 40 meses? 4) Determine a taxa mensal equivalente a 0,2 % ao dia. 5) Determine a taxa anual correspondente a 7,45 % am. 6) Uma taxa nominal de 18 % aa é capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva.

Taxa aparente

1 + i A = (1 + iR) · (1 + iI) Exemplo:

 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos

7) Um banco emprestou a importância de R$ 35.000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco cobra a taxa de 36 % aa, com capitalização trimestral, qual a taxa efetiva anual e qual o montante a ser pago ao final de 2 anos? 8) Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 1,5 % am e a uma inflação de 8 % no mesmo período? 9) Uma financeira cobra uma taxa aparente de 22% aa, com a intenção de ter um retorno real correspondente a uma taxa de 9% aa. Qual é a taxa de inflação? inflação? 16

 Ismael Teixeira da Silva

10) A que taxa bimestral devo aplicar o meu capital, de modo a obter um total de juro igual a 50% do capital aplicado no fim de 8 meses? 11) O capital de R$ 9.200,00 foi colocado em regime de capitalização composta durante 1 ano e 9 meses, à taxa de 36% ao ano. Qual o montante? 12) A caderneta de poupança paga juro de 6% ao ano capitalizado trimestralmente. Qual a taxa efetiva de juro? 13) Durante quanto tempo R$ 2.500,00 produzem R$ 1.484,60 de juro, a 24% ao ano, capitalizado trimestralmente?

Como o desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, temos:

d = N – A ⇒ d = A [1 – (1 + i) t] Exemplo: 1) Determine Determine o valor atual de um título de R$ 8.000,00, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto (composto) de 2 % am. N = 8.000,00 t=4m i = 2% am 8000 (1 + 0,02) 4

8000 1,0824

14) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 12.000,00, à taxa de juro de 22% ao ano, capitalizado semestralmente, durante 21 meses.

A=

VII – DESCONTO COMPOSTO

7.1. Equivalência de capitais diferidos diferidos

O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto simples:é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes de seu vencimento. Empregamos o desconto composto para operações a longo prazo, já que a aplicação do desconto simples comercial, para esses casos, pode levar-nos a resultados sem nexo. Analogamente ao caso do desconto simples, temos dois tipos de desconto composto: o racional e o comercial, mas ficaremos restritos ao estudo do desconto composto comercial.

Quando do estudo de desconto em regime de juro simples, vimos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais. Vimos, ainda, que em regime de capitalização capitalização simples essa data de comparação deve coincidir com a data zero. Em regime de capitalização composta, a data de comparação pode ser qualquer, porque os juros compostos são equivalentes aos descontos compostos.

Valor atual, em regime de juro composto,  de um capital N disponível no fim de t  períodos, à taxa i produz no fim dos t  períodos o montante N.

Assim, temos:

A=

N (1 + i ) t

 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos

=

A = R$ 7.390,76

Σ

A = Σ A’

Exemplo: Um comerciante, devedor de um título de R$ 40.000,00 para 3 anos, deseja resgatar essa dívida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de 1 ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo que a taxa é de 40 % aa, calcule o valor desses pagamentos. N = 40.000,00 t=3a 17

 Ismael Teixeira da Silva

i = 40 % aa = 0,4 aa N’ = N” t’ = 1 a t” = 2 a A = A’ + A” N N' N' ' = + t t' (1 + i) (1 + i) (1 + i) t '' 40000 N' N' = + (1 + 0,4 ) 3 (1 + 0,4 )1 (1 + 0,4) 2 N' N' 1,88 N'+ N' + = 14.577,26 = 1,04 1,96 1,96 2,88 N’= 28.571,43

N’= R$ 9.904,76 EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO FI XAÇÃO 1) Calcule o valor atual, à taxa de 2,5% ao mês, do capital de R$ 6.000,00 disponível no fim de 4 meses. 2) Qual o valor atual de um título de R$ 1.500,00 resgatado a 6 meses de seu vencimento, sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 6% ao bimestre? 3) 3. Um título de valor nominal de R$ 2.000,00 sofreu um desconto real de 40% ao ano, capitalizados semestralmente, 2 anos antes do vencimento. Qual o seu valor atual? 4) Um título de R$ 7.500,00 foi resgatado, com um desconto composto de 3,5% ao mês, por R$ 6.764,60. Calcule o tempo de antecipação do resgate. 5) Uma letra paga 5 meses antes de seu vencimento, com um desconto composto de 4% ao mês ficou reduzida a R$ 2.465,70. Calcule Calcule o valor da letra. 6) Um título de valor nominal de R$ 3.000,00 foi resgatado 1 ano e 6 meses antes por R$ 2.303,70. Qual foi a taxa trimestral de desconto? 7) Sou portador de duas notas promissórias, uma de R$ 8.000,00 vencível em 90 dias, e  MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos

outra de R$ 4.000,00 vencível em 75 dias. Pretendendo descontá-las dentro de 105 dias, qual o valor a ser recebido, à taxa de desconto de 2,5% ao mês? 8) Um título no valor nominal de R$ 12.500,00 pagável em 40 dias vai ser substituído substituído por outro com vencimento para 80 dias. Sabendo que o credor pode resgatar o título à taxa de 72% ao ano, determine o valor nominal do novo título. 9) Um comerciante descontou dois títulos em um banco: um de R$ 1.200,00 para 150 dias, e outro de R$ 1.000,00 para 120 dias. Desejando substitui-los por um título único com vencimento para 90 dias, calcule o valor nominal deste último, supondo que a taxa de desconto de 42% ao ano permaneça inalterada. inalterada. 10) Tem-se dois títulos, um de R$ 235,60 para 30 dias e outro de R$ 321,50 para 60 dias. Deseja-se substituí-los por dois outros de mesmo valor nominal, um para 45 dias e outro para 90 dias. Se a taxa utilizada na transação é de 143,7 % aa capitalizados mensalmente, qual o valor de cada um dos novos títulos?

VIII

– CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO AMORTIZAÇÃO COMPOSTA

Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar todos os meses uma certa quantia em uma caderneta de poupança; quando queremos comprar um bem qualquer, podemos fazê-lo em prestações, a serem pagas mensalmente. Podemos, portanto, constituir um capital ou resgatar uma dívida depositando ou pagando certa quantia, em épocas distintas. No primeiro caso, temos uma  capitalização e no segundo uma  amortização.

1. Rendas  A sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas diferentes, destinados a  formar um capital ou pagar uma dívida é  denominada renda.

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Os termos da sucessão de depósitos ou de prestações são denominados   termos da  renda e o intervalo de tempo entre os vencimentos de dois termos sucessivos é chamado período da renda . As rendas podem ser de dois tipos: certas ou aleatórias. a. Rendas certas ou anuidades: ocorrem quando o número de termos, seus vencimentos e seus respectivos valores podem ser prefixados. Exemplo: Compra de bens a prazo. b. Rendas aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos elementos não pode ser previamente determinado. Exemplo: pagamento de um seguro de vida (o número de termos é indeterminado). Quando o período da renda é sempre o mesmo, ela é  periódica; caso contrário, é  não periódica.

Se todos os termos da renda são iguais, ela é constante. Caso contrário, ela é variável . Quanto à data do vencimento do primeiro primeiro termo, uma renda pode ser: imediata,  antecipada ou diferida.

a. Imediata: O vencimento do primeiro se dá no término do primeiro período a contar da data zero. Exemplo: compra de um bem a prazo, com prestações mensais sem entrada, com a primeira prestação para daqui a um mês. b. Antecipada: Ocorre quando o vencimento do primeiro termo (T1) se dá na data zero e o vencimento do último termo (Tn)se dá no início do n-ésimo período. Exemplo: depósito mensal de uma mesma quantia em caderneta de poupança, durante um prazo determin det erminado. ado. c. Diferida: Ocorre quando o vencim venc imento ento do primeiro termo se dá no fim de um determinado número de períodos, a contar da data zero. O vencimento do último termo ocorre no fim de m + n períodos. Exemplo: compra de um bem a prestação sem entrada com a primeira prestação para daqui a m meses. Exemplo: compra de um bem a prazo, com prestações

mensais sem entrada, com a primeira prestação para daqui da qui a três meses.

Nota: Sempre que um tipo de renda não for especificado, deveremos supor que se trata de renda imediata. 2. Capitalização composta – crediários Neste item vamos estudar a determinação do montante constituído por sitos periódicos de quantias constantes sobre a qual incide incide a mesma taxa.

2.1. Renda imediata Consideremos o seguinte problema: Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 20% ao mês, capitalizados mensalmente. Temos: C = R$ 100,00 i = 2% am = 0,02 am n=5m Abaixo, um esquema gráfico da situação: 0

1

2

3

4

5

100

100

100

100

100

Assim, cada depósito (C = R$100,00) representa o capital inicial, aplicado a 2 % am e por prazos que vão de 1 a 5 meses. O que pede no problema é a determinação do montante desses depósitos na data final. M = C (1 + i)n M1 = 100 (1 + 0,02) 4 =108,24 M2 = 100 (1 + 0,02) 3 =106,12 M3 = 100 (1 + 0,02) 2 =104,04 M4 = 100 (1 + 0,02) 1 =102,00 M5 = 100 (não terá rendimento) MT = R$ 520,04. Pelo exemplo dado, notamos o grande esforço para obtermos os resultados desse tipo de transação. Assim, podemos construir uma tabela com os valores dados pela fórmula

Sn i = T · sn i  MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos

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 Ismael Teixeira da Silva

Na expressão acima, Sn i é lido como Sn cantoneira i, em que n é o número de períodos e i a taxa ta xa empregada. empregada. Podemos calcular o valor de s n i pela fórmula abaixo, mas devido a sua complexidade, uma vez que necessitaremos efetuar vários cálculos em cada problema, a tabela com os valores já prontos estão colocadas no anexo ao final da apostila.

sn i =

(1 + i ) t

−

1

i

Exemplo: Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de R$ 800,00, a 0,5 % am. Quanto terei tere i no fim de de 1 ano? T = R$ 800,00 n=5m i = 2 % am = 0,02 am s12 0,05 = 12,3356 S12 0,05 = 800 · 12,3356

S12 0,05 = R$ 9.868,48

5) Quantas prestações mensais imediatas de R$ 500,00 devem ser colocados a fim de se constituir constituir o montante de R$ 6.706,00?

2.2. Renda antecipada Seja: • T o valor dos depósitos periódicos • n o número de períodos • i a taxa de juro Como vimos, na renda antecipada depositamos, no início do período, n parcelas iguais a T, a uma taxa unitária i, referida à mesma mesma unidade un idade do período constante. Como, neste caso, o depósito é feito fe ito no início do período, ao final deste período o depósito já estará dando origem a um montante. Então, usando um raciocínio análogo ao empregado na dedução da fórmula da renda imediata, imediata, temos: 0

1

2

n–2

n–1

n

T

T

T

T

T

T

S n i = T · (s n+1 i – 1)  

 

EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO FI XAÇÃO 1) Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de 1.5%. ao mês. quanto possuirá em 2 anos e 6 meses? 2) Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano à taxa de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ 40.000,00? 3) Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 20.000,00, à taxa de 25% ao ano. 4) A que taxa uma pessoa, realizando depósitos mensais imediatos de R$ 8.093,00 forma um capital de R$ 135.000 ao fazer o décimo quinto depósito? depósito?

Ou: S =

 (1 + i )n T i 

+

1

−

1

−



1 

Exemplo: Uma pessoa deposita em uma financeira no início de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juro de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. T = R$ 100,00 i = 2 % am = 0,02 am n=5m S n i = T · (sn+1 i – 1) S 5 0,02 = 100 · (s6 0,02 – 1) S 5 0,02 = 100 · (6,3081 – 1) S 5 0,02 = 100 · 5,3081

S = R$ 530,81 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

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 Ismael Teixeira da Silva

1) Qual o montante de uma renda antecipada de 10 termos mensais de R$ 500,00, à taxa de 1,5% ao mês? 2) Calcule o montante de uma renda trimestral antecipada 8 de 2,5% ao trimestre trimestre a taxa de juro composto. composto. 3)

Quanto se deve depositar no início de cada semestre, numa instituição financeira que paga 18 % ao ano, para constituir o montante de R$ 50.000,00 no fim de 3 anos, sendo os juros capitalizados semestralmente?

4) Quantos depósitos mensais antecipados de R$ 1.561,40 serão necessários para constituir o montante de R$ 2.000,00, à taxa de 12 % ao ano capitalizados mensalmente? 5) Calcule o número de termos de uma renda anual antecipada de R$ 200,00 de termo, cujo montante, à taxa de 10 % aa, é de R$ 1.697,43. 6) A que taxa se deve depositar em uma instituição financeira, no início de cada trimestre, a importância de R$ 167,56, para no fim de 4 anos possuir o montante de R$ 5.000,00?

3. Amortização composta Vamos, agora, aprender a calcular o valor de uma dívida (ou de um empréstimo, ou valor à vista de uma mercadoria) que será paga em prestações periódicas de quantias constantes, sobre as quais incide a mesma taxa.

3.1. Renda imediata Consideremos o seguinte problema: Que dívida pode ser amortizada pro 5 prestações mensais de R$ 100,00, sedo de 2% ao mês a taxa de juro? T = R$ 100,00 n=5m i = 2 % am = 0,02 am O gráfico abaixo esquematiza esquematiza a situação:  MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos

0

1

2

3

100

100

100

4 100

5 100

Assim, cada prestação T = R$ 100,00 representa um valor futuro individual de um valor atual que não conhecemos, aplicados a 2% am por prazos entre 1 e 5 meses. O que pede no problema é o valor dessas prestações na data zero, ou seja, o valor atual de cada uma delas. Como já vimos:

A = N (1 + i)-n

Logo: A1 = 100 (1 + 0,02) -1 = 98,04 A2 = 100 (1 + 0,02) -2 = 96,12 A3 = 100 (1 + 0,02) -3 = 94,23 A4 = 100 (1 + 0,02) -4 = 92,38 A5 = 100 (1 + 0,02) -5 = 90,57 A soma dos descontos será: R$ 28,66 Então: AT = 500,00 – 28,66

AT = R$ 471,34 Para simplificarmos os cálculos podemos fazer:

An i = T · a n i Exemplo: Qual o valor atual de uma renda anual imediata de 12 termos iguais a R$ 1.500,00 cada um, à taxa de 6 % aa. T = R$ 1.500,00 n = 12 m i = 6 % aa = 0,06 aa An  i = T · a n i A12 0,06 = 1500 · 8,3838

A12 0,06 = R$ 12.575,70 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Que dívida pode ser amortizada por 15 prestações mensais de R$ 800,00 cada uma, sendo de 2% ao mês a taxa de juro. 21

 Ismael Teixeira da Silva

2) Determine o valor da prestação mensal para amortizar, com 10 prestações, um empréstimo empréstimo de R$ 15.000,00 a juros de 2,5 % am. 3) Uma motocicleta custa, à vista, R$ 3.440,00. Comprando-a a prazo com 20% de entrada e pagando o restante em 12 prestações mensais de 276,75, qual a taxa efetiva do financiamento? financiamento? 4) Um automóvel custa, à vista, R$ 32.500,00. Comprado a prazo, com uma entrada de R$ 12.000,00 e o restante em 12 prestações iguais, qual o valor de cada prestação sendo a taxa de juro de 2,5 % am? 5) Um apartamento foi comprado por R$ 52.700,00 para ser pago com 20 % de entrada e o restante em 50 meses com uma taxa de juros de 0,5 % de juro ao mês. Qual o valor de cada prestação?

3.2. Renda antecipada No caso da renda antecipada, como a primeira prestação é paga na assinatura do contrato, seu valor atual é T. Assim: 0

1

2

n–2

T

T

T

T

n–1 T

n T

Indicando o valor atual de uma renda antecipada por A n i , temos:

A n i = T · (a n-1 i + 1) Exemplo: Calcule o valor de uma prestação mensal antecipada para amortizar, com 6 pagamentos, uma compra de R$ 650,00, com juro de R$ 3,5 % am?

650,00 = T · (4,6458 + 1) 650 ⇒ T = R$ 115,13 T= 5,6458

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Quantas prestações bimestrais antecipadas de R$ 23.000,00 são necessárias para pagar uma dívida de R$ 202.080,00, à taxa de 3% ao a o bimestre? bimestre? 2) Um comerciante contraiu uma dívida de R$ 9.566,00, que deverá ser paga em 10 prestações mensais antecipadas de R$ 10.000,00. Qual a taxa de juro? 3) Determine o valor da prestação mensal para amortizar uma dívida de R$ 16.500,00 com uma taxa de 40 % aa capitalizada mensalmente. 4) Um comerciante põe em oferta um eletrodoméstico com preço à vista de R$ 489,00, ou em 6 parcelas mensais iguais antecipadas à taxa de 4,5 % am. Qual o valor de cada parcela? 5) Qual o valor do juro embutido em um crediário feito para aquisição de um bem que à vista custa R$ 171,40 e à prazo foi comprado por 5 prestações antecipadas iguais de R$ 35,14?

3.3. Renda diferida Como já vimos, as   rendas diferidas são aquelas em que o primeiro termo é exigível a partir de um certo   período de  carência . Assim, chamando o valor atual de uma renda diferida de m/An , uma renda imediata com n termos e que apresente um diferimento igual a m termos pode ser calculada por:

m An

=

T ⋅ (a m

n i −

+ ¬

am i ) ¬

A 6 0,025 = 650,00 n=6m i = 3,5 % am = 0,035

Exemplo:

A 6 0,025 = T · (a 5 0,025 + 1)

Uma dívida de R$ 200,00 pode ser amorti a mortizada zada com 4 pagamentos mensais consecutivos, à

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 Ismael Teixeira da Silva

uma taxa de 2 % am. Calcule o valor da prestação sabendo que a primeira delas é para três meses após a contração da dívida. 2/A4 0,02 = 200,00 m=3–1=2m n=4m i = 2 % am = 0,02 am m/An i = T · (a m+n i – a m i) 200 = T ( a 6 0,04 – a2 0,04) 200 = T (5,2421 – 1,8861) 200 ⇒ T = R$ 59,59 T= 3,3560

EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO FI XAÇÃO

somatematica.com.br/emedi somatematica.com.br/emedio/finan.php o/finan.php>. >. Acesso em 3 de agosto de 2010. ANDRADE, C. H. P. Curso Básico de   Matemática Financeira. Disponível em http://www.scribd.com http://www.scribd.com/doc/272396/Curso-de/doc/272396/Curso-deMatematica-Financeira. Acesso em 3 de agosto de 2010. CRESPO, A. A.   Matemática Comercial e Financeira Fácil. São Paulo, Editora Saraiva, 1995. 10ª Ed. 240p. GIOVANNI, J. R., PARENTE, E. A.   Aprendendo Matemática 6. São Paulo, FTD, 1993. 264p.

1) Calcule a dívida assumida por uma pessoa que pagou 10 prestações mensais de R$ 500,00, a juros de 3 % am, com uma carência de 6 meses. 2) Uma dívida de R$ 20.000,00 foi amortizada com 6 prestações mensais. Qual o valor dessas prestações, sendo a taxa de juro igual a 1,5 % am e tendo havido uma carência de 2 meses? 3) Um aparelho de TV que custa à vista R$ 450,00 foi comprado em 6 prestações com a primeira para 3 meses. Se o juro cobrado foi de 7,5 % am, qual o valor de cada prestação? 4) Uma dívida de R$ 5.216,00 foi amortizada com 8 prestações bimestrais. Sendo a taxa de juros de 7 % ao bimestre, e devendo ser paga a primeira prestação 3 bimestres depois de realizado o empréstimo, qual o valor de cada prestação? 5) Qual o valor da prestação mensal referente a um financiamento de R$ 12.000,00, a ser liquidado em 18 meses, à taxa de 3 % am, sendo que a primeira prestação vence a 90 dias da data do contrato.

REFERÊNCIAS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ______. Matemática Financeira – Conceitos básicos. Disponível em: