Matemática - Exercícios Resolvidos - Geometria Áreas I

 

Geometria Plana: Exercícios de áreas de regiões poligonais

Notações: R[x]=raiz quadrada de x>0, cm²= cm²=centímetro centímetro quadrado. 1. Por dois modos distintos, mostrar como pode ser decomposta cada uma das regiões poligonais em triângulos.

2. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos? Resposta: A2 = (2b)(2h) = 4bh = 4A1 3. A razão entre as medidas dos lados de dois quadrados é 1:3. Qual é a razão entre as áreas desses dois quadrados? Resposta: a razão é 1:9 4. É possível obter a área de um paralelogramo, se conhecemos apenas as medidas de seus lados?

Solução Não, pois a área de um paralelogramo depende de sua altura, que por sua vez depende do ângulo entre seus lados como está ilustrado na figura.

5. É possível obter a área de um losango cujo lado mede 10 cm? Resposta: Não, pois os lados de dois losangos podem ser diferentes. 6. Qual é a área de um losango que possui diagonais medindo 10 cm e 16 cm? Resposta: A = 80 cm²

 

7. Calcular a área de cada c ada quadrilátero indicado abaixo: a. b. c. d.

Quadrado com lado m medindo edindo 5/3 cm. Quadrado com perímetro 12cm. Retângulo com compri comprimento mento 3cm e per perímetro ímetro 10cm. Quadrado com perímetro 12R[3]cm.

Respostas: (a) 25/9 cm² c m² (b) 9 cm² (c) 6 cm² (d) 27 cm² c m² 8. Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida do outro lado para que a área deste retângulo seja equivalente à área do retângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm? Resposta: lado = 10,8 cm 9. Seéum retângulo possui comprimento igual ao quíntuplo área igual a 80 cm², quaiso são as medidas de seus lados? da largura e a Resposta: os lados medem 4 e 20 cm 10. Nos ítens abaixo, indicamos uma mudança na medida de um dos lados. Que mudança deveremos realizar na medida do outro lado do retângulo para que a área deste permaneça constante? a. A base é multi multiplicada plicada por 3; b. A altura é di dividida vidida por 2; c. A base é aumentada 25%; d. A base é diminuída 25% Respostas: (a) a altura é dividida por três (b) a base é multiplicada por dois (c) a altura é diminuída 20% (d) a altura é aumentada 1/3

 

11. Calcular a área de um retângulo cujo lado mede s e a diagonal mede d.

Solução Devemos calcular a medida do outro lado de retângulo, seja x este lado, pelo teorema de Pitágoras temos que: d²=s²+x² x²=d²-s² x = R[d²-s²] Area=s×x=s×R[d²-s²] 12. Um triângulo retângulo tem um ângulo de 30 graus. Determinar as medidas dos catetos, se a hipotenusa é indicada por a.

Solução Dado o triângulo retângulo ABC, traçamos BD de modo que o ângulo CBD também tenha 30 graus, o triângulo ABD é um triângulo equilátero com AB=BD=a e AC=a/2. Como: (AB)²=(AC)²+(BC)², segue que; a²=(a/2)²+(BC)² (BC)²=(3/4)a² BC = R[3]a/2 Se a hipotenusa mede a, os catetos c atetos medem a/2 e R[3]a/2. 13. Um triângulo retângulo tem um ângulo de 45 graus. Determinar as medidas dos catetos, se a hipotenusa é indicada por a. 

Solução Dado o triângulo ABC, com hipotenusa AB=a, segue pelo teorema de Pitágoras que: a²=AC²+CB² e como o triângulo é retângulo com um ângulo de 45 graus temos AC = CB, então; a²=2(AC)² e AC=a/R[2].

Assim, se a hipotenusa mede a, os catetos são congruentes e cada uma deles mede a R[2]/2.

 

14. Obter a área de um paralelogramo conhecendo-se o ângulo Â=30 graus e cada um dos dados abaixo:

a. AX AD = 34 cm R[3]ecm = 8 cm b. A AB Be=AB 4 R[2] c. AB = 10 cm e AD = 6 cm d. AB = 6 cm e A AX= X= 3 R[3] cm Respostas: (a) 16 R (3) cm² (b) 4 R (6) cm² (c) 30 cm² (d) 18 cm² c m²

15. A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triângulo retângulo isósceles em cima. Se um dos catetos do triângulo mede 7 metros, qual é a área frontal desta casa?

Resposta: Área = 77/2 m²

 

16. A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triângulo retângulo isósceles em cima. Se a diagonal do quadrado mede 2R[2] m, calcular a área frontal desta casa.

Solução Como a diagonal do quadrado mede 2.R[2]m, temos que d²=a²+a²=2a², de onde segue que (2R[2])²=2a², que equivale a 8=2a². Obtemos assim a=2m, e Área do quadrado =4m². Como AB=BC e o triângulo é retângulo, segue que a²=AB²+BC²=2 AB², de onde segue que AB²=4/2=2. Assim temos: AB=R[2] Área do triângulo=(AB×AB)/2=R[2]×R[2]/2=1m². Área total=área(quadrado)+área(triângulo)=5m²

17. O lado de um triângulo equilátero T1 mede 10 cm. Qual deve ser a medida do lado de um outro triângulo equilátero T2 que possui o: (a) dobro da área de T1? (b) triplo da área de T1? (c) quádruplo da área de T1? Respostas: (a) lado = 2 R (2) cm (b) lado lado = 10 R (3) cm (c) lado = 20 cm 18. Os números em cada linha na tabela abaixo, referem-se às medidas de um triângulo, onde são conhecidas duas informações dentre: Base, Altura e Área. Complete a tabela com os dados que estão faltando. Base (cm) (a) (b) (c) (d)

5 2R[3]

Altura (cm) 5 3R[3] 6

Área (cm²) 10 12 12

 

Solução As respostas estão em vermelho na tabela abaixo a. b. c. d.

Base (cm) 4  5 2R[3] 4 

Altura (cm) 5 24/5  24/5  3R[3] 6

Área (cm²) 10 12 9  12

19. Os números em cada linha na tabela abaixo referem-se às medidas de um trapézio, onde b1 e b2 são as bases, h é a altura e A a área. Complete a tabela com os dados que estão faltando. b1 (cm) (a) 10 (b) 5 (c) (d) 1/2 (e) 5R[2]

b2 (cm) 6 3 5 1/3 3R[2]

h (cm) 4 3 1

A (cm²) 24 12 4R[6]

Solução As respostas estão em vermelho na tabela abaixo a. b. c. d. e.

b1 (cm) 10 5 3  1/2 5R[2]

b2 (cm) 6 3 5 1/3 3R[2]

h (cm) 4 6  3 1 R[3]  R[3] 

A (cm²) 32  32  24 12 5/12  5/12  4R[6]

20. Calcular a medida do lado de um triângulo equilátero com a área igual a 9 R[3] unidades de área. Resposta: L = 3 R(2) u

 

21. Um fazendeiro possuía um terreno no formato de um triângulo equilátero com lado medindo 6 Km e comprou do vizinho mais uma área triangular isósceles cuja base mede 4 Km, de acordo com a figura, em anexo. Qual era a área que o fazendeiro possuía e qual é a nova área?

Resposta: O fazendeiro possuía 18 R[3] Km² Km².. A nova área é (18 R[3] + 4 R[2]) Km². 22. Um trapézio isósceles com bases medindo 12 cm e 16 cm está inscrito em uma circunferência de raio 10 cm. Calcular a área do trapézio, se o centro da circunferência está no interior do trapézio.

Na figura ao lado, a altura do trapézio mede h=a+b, onde: a²=10²-8²=36 a=6 b²=10²-6²=64 b=8 h=6+8=14 Área do trapézio = (B+b)h/2=(16+12)×7=196cm². 23. Um trapézio isósceles com bases medindo 12 cm e 16 cm está inscrito em uma circunferência de raio 10 cm. Calcular a área do trapézio, se o centro da circunferência não está no interior do trapézio.

Na figura ao lado, a altura h do trapézio mede h=b-a, onde: a²=10²-8²=36 a=6 b²=10²-6²=64 b=8 h=8-6=2 cm Área do trapézio = (B+b)h/2=(16+12)×1=28cm².

 

24. Calcular a área do trapézio isósceles, cujo desenho está na figura ao lado, se todos os seus lados são tangentes à circunferência e as medidas são dadas em cm.

Solução Seja o triângulo isósceles construido prolongando os lados não paralelos do trapézio, de acordo com a figura. Tomando h=AE e r o raio da circunferência inscrita no trapézio. BC=18 e DF=8, logo GC=9 e EF=4. Como o trapézio BCFD é isósceles, o triângulo ABC é isósceles. O triângulo AGC é retângulo com ângulo reto em G. O triângulo AEF é retângulo com ângulo reto em E e por semelhança de de triângulos, temos AE/EF=AG/GC implica que h/4=(h+2r)/9, onde segue queque: h=8r/5.

O triângulo ATO tem um ângulo reto em T, porque T é ponto de tangência. Este triângulo ATO também é semelhante ao triângulo AGC, logo: AT/TO=AG/GC m(AT)/r=(h+2r)/9 (*) Acontece que: AT=R[h²+2hr]=R[16r²/25+2r(8r)/5]=12r/5. Substituindo este valor em (*), obtemos: 12r / 5r = (h+2r)/9 ·.· 12/5 = (8r/5 + 2r)/9 ·.· r=6 Seja B a base maior do trapézio e b a base menor do trapézio, assim, a área do trapézio é dada por, A=(B+b)×h/2 A=(18+8)×2×6/2=78

 

25. No plano coordenado, os vértices de um paralelogramo são os pontos A=(-3,-2), B=(6,-2), C=(10,3) e D=(1,3). Determinar a área do paralelogramo ABCD.

Solução Seja AB a base do paralelegramo e h sua altura, então, AB=6-(-3)=9 h=3-(-2)=5

A Área do Paralelogramo é a base vezes a altura, então, A=9×5=45 unidades de área. 26. Na figura representando o triângulo PQR, o segmento TS é paralelo ao segmento PQ. Calcular a razão entre a área do triângulo RTS e a área do trapézio PQST, sob as seguintes condições: a. b. c. d.

RT=1 cm, RP=2 cm RT=2 cm, TP=3 cm TS=2 cm, PQ=3 cm TS=R[3] cm, PQ=2 cm

Dica: Obter a razão entre as áreas dos triângulos PQR e TSR.

Respostas: (a)  (b)  (c)  (d) 

1:3 4:21 4:5 3:1

27. Calcular a área de um triângulo equilátero cujas medidas são dadas por: Respostas a. Lado = 6 cm b. Apótema = 3 cm c. Raio = 6 cm

área = 9R[3] cm² cm²   cm²   área = 27R[3] cm² área = 27R[3] cm²

d. Perímetro de medi medida da t cm

área = t² R[3]/36 cm² cm²  

 

28. Calcular a área de um hexágono regular cujas medidas são dadas por: área = 24R[3] cm²  cm²  área = 24R[3] cm²  cm²  cm²  área = 54R[3] cm²  área = 2t² R[3] cm²  cm² 

a. Lado = 4 cm b. Apótema = 2R[3] cm c. Raio = 6 cm d. Perímetro = t cm

29. ABC é um triângulo retângulo com ângulo reto em C. Se m(AB)=15 cm e m(BC)=9 cm, qual é a área do quadrado de lado AC?

Resposta: área = 144 cm² 30. Pesquise a origem e o significado para cada uma das palavras que são usadas em Geometria: a. apótema:

Segmento de reta perpendicular ao lado de um polígono traçada a partir do centro do mesmo.  b. hipotenusa: maior lado do Triângulo Retângulo, opondo-se ao ângulo reto. c. catetos: catetos são os menores lados do Triângulo Retângulo. Formam o ângulo de 90° d. abscissa: Nome da coordenada do eixo x em um sistema cartesiano bidimensional.  e. ordenada: é uma das coordenadas que, no sistema cartesiano, definem a posição de um ponto num plano ou no espaço.

31. Os números em cada linha da tabela abaixo referem-se às medidas do polígono regular indicado, onde L é o lado, a é o apótema, p é o perímetro e A a área. Complete a tabela com os dados que estão faltando. 1

L (cm) a (cm) p (cm) A (cm²)

Triângulo 2 R[3] Pentágono k 4 Hexágono k octógono t k Decágono 40 40k Solução: As respostas estão em vermelho na tabela abaixo Triângulo Pentágono Hexágono octógono Decágono

L (cm) a (cm) p (cm) 12 12   2 R[3] 36  36  4/5   k 4 4/5 k R[3]/2  k R[3]/2  6 kk   t 2k  2k 

k 2k 2k  

8t 8t   40

A (cm²) 36 R[3] R[3]   2 k  k  (3 k²R[3])/2 k²R[3])/2   4tk  4tk  40k

 

32. Os lados correspondentes de dois pentágonos semelhantes estão na razão 1:2. Qual é a razão entre as suas áreas? Qual é a razão entre os seus perímetros? Resposta: a razão entre as áreas é 1:4 e a razão entre os perímetros é 1:2

33. Dois hexágonos s emelhantes semelhantes iguais 36 cm² cm², respectivamente. Qual é a razãopossuem entre asáreas medidas dea um par ede64lados correspondentes (um em cada hexágono)? Resposta: a razão é 3:4

34. Dois pentágonos semelhantes possuem áreas iguais a 50 cm² e 100 cm², respectivamente. Qual é a razão entre as medidas de um par de lados correspondentes (um em cada pentágono)? Resposta: a razão é 2:2 35. No triângulo ABC, desenhado ao lado, AB mede 5 cm e altura CD mede 8 cm. Qual deverá ser a medida do lado de um quadrado com área igual à área do triângulo ABC?

Resposta: L=2R[5]

36. A área de um polígono de n lados é 25/4 da área de um outro polígono semelhante com n lados. Qual é a razão entre os perímetros dos dois polígonos? Resposta: a razão é 5:2

37. Os pontos X, Y e Z são os pontos médios dos lados de um triângulo ABC. Qual é a razão entre a área do triângulo ABC e do triângulo XYZ? Resposta: a razão é 1:4

 

38. O lado menor de um polígono de área igual a 196 cm² mede 4 cm. Calcular a área de um polígono semelhante a este que tem o lado menor medindo 8 cm. Resposta: área 784 cm² 39. Os lados de um quadrilátero medem 3 cm, 4 cm, 5 cm e 6 cm. Calcular as medidas dos lados de um quadrilátero semelhante a este com área 9 vezes maior. Resposta: L1 = 9 cm L2 = 12 cm L3 = 15 cm L4 = 18 cm 40. Qual é a razão entre as áreas de dois triângulos equiláteros, sabendose que um deles está inscrito em uma circunferência de raio 6 cm e o outro circunscrito na mesma circunferência? Resposta: a razão é 1:4 41. Na figura ao lado D e E são, respectivamente, os pontos médios dos lados do triângulo AC e BC. Qual é a razão entre as áreas dos triângulos DEC e ABC?

Resposta: a razão é 1:3 42. Considere dois quadrados inscritos, um em uma semicircunferência de raio r e o outro em uma circunferência de mesmo raio. Qual é a relação existente entre suas áreas?

Resposta: a razão é 2:5 43. Um hexágono regular é inscrito em uma circunferência de raio r e um segundo hexágono regular é circunscrito na mesma circunferência. Se a soma das áreas dos dois hexágonos é 56 R[3] u.a, qual é o raio da circunferência? Resposta: R = 4 u

 

44. O quadrilátero ABCD é um retângulo e os pontos E, F e G dividem a base AB em quatro partes iguais. Qual é a razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo?

Resposta: razão = 1/8

45. O retângulo ABCD tem área 105 m². Qual a medida do lado do quadrado EFGC?

46. De um quadrado cujo lado mede 8 cm, são recortados triângulos retângulos isósceles nos quatro cantos de modo que o octógono formado seja regular como mostra a figura ao lado. Qual é a medida do lado do octógono?

Resposta: L = 4 (2-R[2]) cm