Matematica Exercicios 1000 Resolvidos PDF

 

REMEMBER III 01 Se o raio de um círculo é um número racional. sua área é dada por um número: a) racional b) irracional c) inteiro d)quadrado perfeito e) n.r.a. 02 Duas classes de um colégio fizeram o mesmo teste. Uma classe de 20 alunos teve uma nota média correspondente a 80%; a outra classe de 30 alunos teve uma nota média de 70%. A nota média das duas classes è: a) 75% b) 74% c) 72% d) 77% e)n.r.a. 03 A expressão a³ - a-3 é igual a: a) (a – 1/a) (a² + 1 + 1/a²) b) (1/a (1/a – a) (a² - 1+ 1+ 1/a²) 1/a²) c) (a – 1/a) (a² - 2 + 1/a²) d) (1/a – a) (1/a² + 1 + a²) e) n.r.a. 04 O custo de enviar um pacote pesando P kg, P inteiro, é 10 centavos pelo 1º kg e 3 centavos por kg adicional. A fórmula fórmula que estabelece esse custo é: a) C = 10 + 3P b) C = 10P + 3 c) C = 10+ 3(P – 1) d) C = 9 + 3P e) C = 10P – 7. 05 Os pontos (6, 12) e (0, -6) pertencem a uma reta. Um terceiro ponto dessa reta pode ser: a) (3,3) b) (2,1) c) (7,16) d)(-1,-4) e)(-3,-8) 06 A diferença entre as raízes da equação x² -7x -9 =0 é; √

√

a) 7 b) 7/2 c) 9 d) 2  85 e)  85 07 Quando simplificada, a expressão (x -1+y-1)-1 é igual a: a) x + y b) xy / (x + y) c) xy d) 1 / xy d) (x +y)/xy   08 Dois círculos iguais, num mesmo plano, não pode ter o número de tangentes comuns * igual a : a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.r.a. *N.T *N. T. – “número “número de tan tangent gentes es comuns” comuns” deve ser entendido como o número de elementos do conjunto: A = {r / r é uma reta tangente aos dois círculos de igual tamanho e pertencentes ao mesmo plano}. 09 Se m = cab / (a – b) então b é igual a: a) m(a – b) / ca b) (cab – ma) / (-m) c) 1 / (1 + c) d) ma / (m + ca) e) (m + ca) / ma 10 Um automóvel subiu uma encosta viajando a 10 km / h e desceu-a a 20 km / h. A velocidade média do  percurso foi: a) 12,5 km/h b) 13 1/3 km/h c) 14,5 km/h d) 15 km/k d) n.r.a. 11 Se y = f( x ) = x + 2 , então é incorreto afirmar :   x-1 a) x = (y + 2) / (y – 1) b) f(0) = -2 c) f(1) = 0 d) f(-2) = 0 e) f(y) = x.

12 A soma infinita dos termos de uma PG infinita é 6. A soma dos dois primeiros termos é 4,5. O primeiro termo da progressão é: a) 3 ou 1,5 b) 1 c) 2,5 d) 6 e) 9 ou 3. 13 a função x² + px + q com p e q maiores do que zero tem seu valor mínimo quando: a) x = - p b) x = p / 2 c) x = -2p d) x = p²/4p e) x = -p/2. 14 Uma casa e uma mercearia foram vendidas por  R$ 12.000,00 cada uma. A casa foi vendida 20% abaixo do custo e o armazém, 20% acima do custo. Ao final, o resultado do negócio foi: a) sem lucro nem prejuízo b) prejuízo de R$ 1.000,00 c) lucro de R$ 1.000,00 d) lucro de R$ 2.000,00 e) n.r.a. 15 Os lados de um triângulo estão na proporção de 6: 8: 9. Então: a) o triângulo triângulo é obtuso b) os ângulos estão na  proporção de 6: 8: 9 c) o triângulo é acutângulo d) o ângulo oposto ao maior lado é o dobro do ângulo oposto ao menor lado e) n.r.a. 16 Se a base de um retângulo retângulo é aumentada em 10% e sua área não se altera então a sua altura é diminuída em: a) 9% b)10% c) 11% d) 11 1/9% e) 9 1/11% 17 Um mercador comprou produtos com um desconto de 20% sobr sobree os pr preç eços os de tabe tabela la.. El Elee pr pret eten ende de marca-los com um preço tal que, dando um desconto de 20% sobre o preço marcado ele ainda tenha um lucro de 20% do preço de venda. O percentual sobre o preço de tabela que ele deve marcar é: a) 20 b) 100 c ) 125 d) 80 e) 120 18 Log p + log q = log (p + q) se e somente se: a) p = q = zero b) p = q² / (1 – q) c) p = q = 1 d) p = q / (q – 1) e) p = q / (q + 1) 19 O ângulo B de um ∆ ABC é trissectado por BD e BE os quai quaiss enco encont ntra ram m AC nos nos pont pontos os D e E respectivamente. Então: a) AD  = AE  b) AD  = AB  C) AD  = BD   EC DC EC BC EC BE AD  (AB)(BD) AD (AE)(BD) d)  =   e) =   EC (BE)(BC) EC (DC)(BE) 20 Se x  =  3 , então a expressão incorreta é:   y 4 x + y 7 a)   =   b)   y =   4 c) x + 2y  = 11   y 4 y-x 1 x 3 x 3 x – y 1 d)   =   e)   = 2y 8 y 4 21 Os lados de um polígono regular de n lados, n >4, são estendidos para se formar uma estrela. Os ângulos em cada ponta da estrela valem: a) 360 / n b) (n – 4)180 / n c) (n – 2) 180 / n d) 180 – 90/n e) 180 / n. 22 Na hipotenusa AB de um ∆ retângulo ABC, um segu egundo  ∆  re retâ tâng ngul uloo AB ABD, D, é cons constr truí uído, do, cuja cuja hipotenusa também é AB. Se BC = 1, AC = b e AD = 2, então BD é igual a: a) √ b² + 1 b) √ b² - 3 c) √ b² + 1 + 2 d) b² + 5

e) √ b² + 3 .

1

 

23 Se x² - bx  = m – 1  tem raízes raízes numericamente ax – c m+1 iguais e de sinais opostos, então o valor de m deve ser: a) a – b  b) a + b c) c d) 1 / c e) 1   a+b a–b   24 Na fig igur uraa ao   lado, o ângulo C = 90°, AD = DB, DE ⊥  AB, AB = 20 e AC = 12. A área do A quadrilátero ADEC é: a) 75 b) 58,5 c) 48 d) 37,5 e) n.r.a.

C E

D

B

25 Um técnico técnico em explosivos explosivos coloca coloca uma dinamite dinamite com um pavio aceso que o fará detonar em 30 segundos. segund os. Aí ele se afasta do local correndo a 8 m/s. O som se desloca a 1.200 km/h. Quando o técnico ouve a explosão, ele correu aproximadamente: a) 200m b) 352m c) 300m d) 245m e) 512m.   26 Se (r + 1/r)² 1/r)² = 3, então r³ + 1/r³ é igual a: a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 6. 27 A razão entre o perímetro de um ∆ eqüilátero cuja altura é igual ao raio de um círculo e o perímetro de um ∆ eqüilátero inscrito no círculo é: a) 1:2 b) 1:3 c) 1:√ 3 d) √ 3:2 e) 2:3. 28 Na tabela abaixo, a fórmula que relaciona x com y é: x 1 2 3 4 5 y 3 7 1 2 31 3 1   a) y = 4x – 1 b) y = x³ - x² + x + 2 c) y = x² + x + 1 d) y = (x² + x + 1)(x – 1) e) n.r.a. 29 Um círculo cujo raio é de 5 unidades, CD e AB são diâmetros perpendiculares. Uma corda CH de 8 unidades de comprimento corta AB em um ponto k. O diâmetro AB é dividido em 2 segmentos cujas dimensões são: a) 1,2 e 8,75 b) 2,75 e 7,25 c) 2 e 8 d) 4 e 6 e)nra 30 Quando a soma dos dez primeiros termos de uma PA é quatro vezes a soma dos 5 primeiros termos, a razão entre o primeiro termo e a diferença comum é: a) 1:2 b) 2:1 c) 1:4 d) 1:4 e) 1:1. 31 Dados 12 pontos em um plano, onde 3 nunca estão alinhados. O número de retas que eles determinam é: a) 24 b) 54 c) 120 d) 66 e) n.r.a. 32 K leva 30 minutos menos que M para percorrer 30 Km. K anda 1/3 km/h mais rápido que M. Se x é a velocidade velocid ade de K em km/h, então o tempo que K leva  para percorrer a distância é: a) x + 1/3  b) x – 1/3  c) 30 d) 30/x e) x/30   30 30 x + 1/3 33 Um cí círc rcul uloo e um qu quad adra rado do têm têm o mesm mesmoo  perímetro. Então: a) suas áreas são iguais b) a área do círculo é maior  c) a área do quadrado é maior d) a área do círculo é π

 vezes a área do quadrado

e) n.r.a.

34 O preço de certo artigo é aumentado p%. Mais tarde, o novo preço sofreu um desconto de p%. Se o  preço final é R$ 1,00 então o preço original era: a) (1 – p²)/200 b) (√ 1 – p²)/100 c) um Real d) 1 - p² / (10000 – p²) e) 10 000 / (10 000 – p²) √ 2 35 A expressão com denominador    √ 2 + √ 3 - √ 5 racional, é equivalente a: a) 3 + √ 6 + √ 15   b) √ 6 – 2 + √ 10  c) 2 + √ 6 + √ 10   6 6 10 d) (2 + √ 6 - √ 10) / 6 e) n.r.a.

x³ + 1 36 Para que a função x² - 1   seja contínua no ponto x = -1, o valor da função nesse ponto deve ser: a) -2 b) 0 c) 3 /2 d)   e) -3/2 ∞

37 Duas cordas iguais e paralelas são traçadas, com distância de 8 cm uma da outra em um círculo de 8 cm de raio. A área do círculo contida entre essas duas cordas é de: a) 21 1/3π - 32 √ 3 b) 32 √ 3 – 21 1/3 π  c) 32√ 3 + 42 2/3π  d) 16√3+42 2/3π  e) 42 2/3 π 38 A área de um trapézio é de 1.400 m².Sua altura é de 50 m. Calcular a medida das duas bases, sabendo que a medida de cada uma delas é múltiplo de 8. O número de soluções deste problema é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) n.r.a. 39 Se o perímetro de um retângulo é p e se a diagonal mede d, então a diferença entre o comprimento e a largura do retângulo é: a) (√ 8d² - p²) / 2 b) (√ 8d² + p²) / 2 c) (√ 6d² - p²) / 2 d) (√ 6d² + p²) / 2 e) (√ 8d² - p²) / 4. 40 Para desenhar o gráfico de f(x) = ax² + bx + c, foi elaborada uma tabela. Os valores desta função para um conjunto de valores crescentes eqüiespaçados de x era 3844, 3969, 4096, 4227, 4356, 4489, 4624 e 4761. O valor errado nesta seqüência é: a) 4096 b) 4356 c) 4489 d) 4761 e)n.r.a. Para entender basta Seiscentos anos de estudo Ou seis segundos de atenção 41 Aument Aumentan andodo-se se o ra raio io de um cili cilindr ndroo de 6 unidades, o seu volume aumenta de y unidades.O mesmo acontece se aumentarmos a altura do cilindro de 6 unidades. Se a altura original era 2, então o raio original era: a)2 b) 4 c) 6 d) 6π  e) 8   42 Seja D um valor decimal que se repete. Se P denota os r algarismos que não se repetem e Q representa os s algarismos que se repetem, então a expressão incorreta é: a) D = 0, PQQQ. . . b) 10r D = P, QQQ. . . c)10r  + s D = PQ,QQQ. . . d)10r (10s – 1)D = Q(P – 1) e) 10r .102sD = PQQ,QQQ. . . 43 O diâmetro de um círculo é dividido em n partes iguais. Em cada parte é construído um semicírculo. À medida que n cresce, as somas dos comprimentos dos

2

 

ar arccos dos semicírculos se aprox oxiimam do comprimento: a) igual à semicircunferência do círculo original  b) igual ao diâmetro do círculo original c) c)m maior que o diâmetro mas menor que a semicircunferência do círculo original d) infinito e) maior que a semicircunferência mas infinito.

Se o processo de crescimento continua sempre, então o limite para o crescimento do segmento é: a)   b) 4/3 c) 8/3 d) 1/3 (4 + √ 2). ∞

  01. B 02. B

GABARITO 11. C 21. B 31. D 12. E 22. B 32. D 13. E 23. A 33. B 14. B 24. B 34. E 15. C 25. 35. A D 16, E 26. C 36. E 17. C 27. E 37. B

41. C 42. D

44 Se um número número inteiro inteiro de dois dígitos dígitos é k vezes a soma de seus dígitos, então o número formado pela troca dos dígitos é a soma dos dígitos multiplicada  por: a) (9 – k) b) (10 – k) c) (11 – k) d) (k – 1) e) (K + 1)

03. A 04. C 05. A

45 Se a e b são dois números positivos distintos então: a) 2 ab > √  ab > a + b  b) √ ab > 2 ab  > a + b   a+b 2 a+b 2 2 ab a + b a + b 2 ab c)  >   > √ ab d)  >   > √ ab   a+b 2 2 a+b a + b 2 ab e)   > √  ab > 2 a+b

08. A

46 A base de um novo retângulo é igual à soma da di diago agona nall e o la lado do maio maiorr de um retâ retângu ngulo lo da dado do,, enquanto que a altura do novo retângulo é igual à diferença entre a diagonal e o lado maior do retângulo dado. A área do novo retângulo é: a) maior que a área do retângulo dado  b) igual à área do retângulo dado c) igual à área de um quadrado cujo lado é igual ao lado menor do retângulo dado d) igual à área de um retângulo cujo lado é igual ao lado maior do retângulo dado e) igual à área de um retângulo cujas dimensões são a diagonal e o lado menor do retângulo dado.

01(B 01(B)) Como omo a ár área ea do cír círcu culo lo = A = πr²; π  é irracional e r, racional, temos que A é irracional.(O  produto de um nº. racional por um nº. irracional é irracional).

47 No conjunto de equações: z x = y 2x, 2 z = 2.4x,  x + y + z = 16, as raízes inteiras x, y, z nesta ordem, são: a) 3, 4, 9 b) 9, -5, 12 c) 12, -5, 9 d) 4, 3, 9 d) 4, 9, 3. 48 Dois ciclistas, ciclistas, distantes distantes entre si k quilômetros, quilômetros, se cruzariam em r horas se viajassem na mesma direção, mas se cr cruz uzar ariam iam em t ho hora rass se viaj viajas asse sem m em direçõess opostas. direçõe opostas. A proporção entre a veloci velocidade dade do ciclista mais rápido e o ciclista mais lento é: r+t r__  r+t r +k  a)   b)   c)   d) r / t e)   r–t r–t r t – k    A 49 Na fi figu gura ra ao   E lado, os   F N 2 se segm gmen ento toss CD, CD,   N3  N1 AE e BF são 1/3   dos seus B D C respectivos respec tivos lados. lados. Portanto AN2 :N2  N N1  : N1D = 3:3:1, o mesmo ocorrendo para os se segm gment entos os BE e CF CF.. Entã Entãoo a ár área ea do triâ triângu ngulo lo  N1  N N2  N N3 é: a) 1/10 ∆ ABC b) 1/9 ∆ ABC c) 1/7 ∆ ABC d) 1/6 ∆ ABC e) n.r.a.

06. E 07. B 09. D 10. B

1D8. 19. D 20. E

28. C

43. A 44. C 45. E 46. C 47. D 48. A

29. A

3D8. 39. A

30. A

40. E

50. D

49. C

SOLUÇÕES

02(B) Devemos usar a Média Arit. Ponderada: A média das duas classes = 20. 80 + 30. 70 = 74   20 + 30 03 (A)Prepara-se e usa-se Produtos Notáveis:   a³ - a-3 = a³ - 1/a³ = (a – 1/a)(a² + 1 + 1/a²). 04 (C) O custo de P – 1 quilos é 3 centavos por quilo. O custo do primeiro quilo é 10 centavos. Portanto o custo (C) é dado pela equação: equa ção: C = 10 + (P – 1). 3. 05 (A) Determinando a equação da reta que passa por dois pontos A(0,6),B(6,12): m = yB – yA = y – yA   xB – xA  x – xA 12 + 6 = y + 6  ∴ y = 3x – 6 . (É um modo rápido ∴    6–0 x–0 para cálculo reta por 2 pontos). Verificando os pontos das alternativas, o que pertence a reta é (3,3), pois é o único que satisfaz a igualdade: 3 = 3.3 – 6. 06 (E) As raízes são (7 ∓ √ 49 + 36 ) / 2 e a diferença entre elas é: 7 + √ 85  - 7 - √ 85  = √ 85 ou 7 -√ 85  - 7 + √ 85 =   2 2 2 2 = - √ 85. Portanto (E) é a alternativa correta. 07 (B) Usaremos propriedade potência expoente negativo (a –n = 1 / an) e operações c/ fração. 1 (x-1 + y-1) -1 = = xy__    1/x + 1/y x + y 08 (D) Dois círculos iguais em um mesmo me smo plano nunca têm apenas um tangente comum. Vejamos:

50 Um segmento de 1cm cresce de acordo com a seguinte seguin te lei, onde o primeiro termo é o comprimento comprimento inicial .1 1 +  √ 2 + 1 + 1 √ 2 + 1  + 1  √ 2 + 1  + . . .   4  4  16  16 64 64

3

 

log p + log q = log (p.q). Como log (p.q) = log (p+q), temos: p + q = p.q ∴ p =   1__  (q – 1)

09 (D) Aplicando a propriedade das proporções e “isolando” b temos: ma – mb = cab ∴ ma = mb + cab = b( m + ca) ∴ b = ma__ m + ca 10 (B) Temos um problema para cálculo de uma velocidade média de um mov. retilíneo uniforme: 2d = 2d V m = D total = =   td + tsub. d /Vd + d / Vsub  ∆t total 2d = = 40 / 3 = 13 1/3 km/h.   d / 10 + d / 20  Nota: Considere os símbolos: D total = d(subida) + d(descida); V = d / ∆t ∴  ∆  ∆t = t = d / V. Veja se você consegue demonstrar a fórmula abaixo, que é uma “roubada” para esse tipo de problema:   1 = 1 ( 1 + 1 ) ∴  1 = 1 ( 1 + 1 ) ∴   Vm 2 Vs Vd Vm 2 10 20   ∴ Vm = 40 / 3 = 13 1/3 Km/h. 11( 1(C) C) A funç função ão f(x) f(x) po poss ssui ui uma uma co cond ndiç ição ão de exi exist stên ênci cia, a, já qu quee a mesm mesmaa é de defi finid nidaa co com m lei lei fracionária, e assim sendo seu denominador deve ser difere diferente nte de zer zero, o, ou ou sseja: eja: x – 1 0 ∴  x 1. Logo Logo f(1) não é definido, e a resposta certa é a (C ). 12(E) Fazendo os dois primeiros a e a.q, com -1< q < 1. Temos que: a + a.q = a(1 + q) = 4,5 (i) , e que: S = a / (1 – q) = 6 ∴ a = 6(1 – q) (ii). Substituindo (ii) em (i): 6(1 –q) (1 + q) = 4,5 ∴ ∴ 1 – q² = 4,5 / 6 ∴ q = ∓ 0,5 e a = 3 ou a = 9. 13(E) O mínimo da função quadrática quadrática (a > 0) é dado  para x, pela abscissa do vértice da função, ou seja:  x v = x = -b / 2 a = - p / 2.1 = -p / 2. 14(B) Chamando de C o custo da casa e de M o custo da mercearia, temos: C – 0,2C = 12.000 ∴  C = 15.000. M + 0,2M = 12.000 ∴ M = 10.000. ∴(CUSTO)  C + M = 25.000. ∴ A VENDA VENDA foi feita com prejuízo de R$ 1.000,00. →

15( C) Resolvemos Resolvem os a, a questão com oa éuso de quelado, , um triângulo de lados b e c, onde o maior temos:i) Se b² + c° > a² (  ∆ ∆ acutângulo); ii) Se b² + c² = a ² (  ∆ ∆  re retâ tâng ngul ulo) o) e iii) iii) Se b² + c² < a² (  ∆ ∆ obtusângulo). Na questão: 6² + 8² = 100 > 9² e  podemos concluir que o ∆ é acutângulo. 16(E) Usando a fórmula da área do retângulo, temos: AR = b.h = (b + 0,1b) (h – i.h) = (1 + 0,1)b (1 – i).h ∴  1,1.(1 – i) = 1 ∴ i = 1 / 11 = 9 1/ 11% 17(C) Sendo C o preço de custo do produto; V o  preço de venda; T o preço de tabela e M o preço marcado, temos: (Pr.Compra) C = (100-20)%T= 80%T= 0,8T=4/5T (Pr. Venda) Venda)  V = C + 20%V=C + 1/5V ∴V =5/4C.   Mas V = 80%M = 4/5 M ∴ 4/5.4/5 M = 4/5 V ∴ M = 5/4 L. →

→

18(D) Pela propriedade de logaritmos, temos:

19 Como BD divide ao meio o ângulo ABE, temos: AD  = AB  e como BE divide ao meio o ângulo DE BE BE DBC, então temos: DE = AB EC BC. Logo AD = DE (AB/BE)  = (AB) (BD)   EC DE (BC/BD) (BE) (BC)  

   

A D

 

E

B

C

20 (E) Usando uma das propriedades das proporções,: x – y = 3 – 4 ∴  x – y = - 1_ ∴(E) é incorreta.   y 4 y 4 21 (B) Procure esboçar um desses polígonos. Cada um desses ângulos (Â) pedidos é ângulo do vértice de um  ∆ isósceles em que cada ângulos da base mede, em graus: 180 - (n – 2) 180 / n = 360 / n ∴Usando a soma dos ângulos internos de um ∆ temos: S(int) = 2. 360/n + Â ∴ Â = 180 – 720/n = = (180n-720)/n ∴ Â = 180(n – 4) / n. 22(B 22(B)) Us Usan ando do o teor eorem emaa de Pitágo Pitágoras ras nos doi doiss tri triângu ângulos los,, já que eles eles possuem a mes esm ma hipotenusa, temos: x² + 2² = b² + 1 ∴ x = √ b² - 3 .

    2  D   x B

A b 1 C

23(A 23(A)) Us Usan ando do a pr prop opri ried edad adee fund fundam ament ental al das das  proporções (produto dos meios = produto dos ex extr trem emos os)) e oper operan ando do os term termos os se semel melha hant ntes es,, obtemos a equação equivalente: x² - ( b + m – 1 .a ) x + c ( m – 1 ) = 0.   m+1 m+1 Como a soma das raízes é nula e igual ao coeficiente coeficiente de x, temos: b + m – 1  a = 0 ∴ bm + b + ma – a = 0   m+1 a – b . ∴ m = a+b 24(B) Temos que: AB = 20; AC = 12 e BC = 16. Como ∆BDE  ∆BCA  área ∆BDE  = 10²   área ∆ BCA 16² Mas a área ∆BCA = ½. 12.16 = 96 ∴  área ∆BDE=37,5 .Daí, a área do quadrilátero = = 96 – 37,5 = 58,5. →

25(D) Temos que: d = Vs.ts = Vh.th(i), pois a os dois movimentos são uniformes, onde Vh = 8m/s e V s = 1200km/h = 1000/3 m/s.Temos também que Tt = 30s ∴ ts + th = 30 ∴ ts = 30 – th (ii). Substituído Vh, Vs e ts em (i), teremos:

4

 

1000/3. (30 – th) = 8. th ∴ th 30s. Entã Então, o, a di dist stânc ância ia per percor corri rida da d Portanto a alternativa correta é (D).

Como 4π < 16 ∴ P² / 4π > P² / 16

26 (C) Usaremos uma das propriedades dos produtos notáveis: r³ + 1/r³ = ( r + 1/r) (r² - 1 + 1/r²). 1/r²). Mas ( r + 1/r)² = r² + 2 + 1/r² = 3 ∴ r² + 1/r² = 1. Daí: r³ + 1/r³ = (r + 1/r)(1 – 1) = 0. 27(E) Sejam P1 e P2 os perímetros do  ∆  menor e do  ∆ maior, respectivamente. Então:

B

A

 A1 > A2.

→

8. 8.30 30 24 2400 m.

60° r/√3

C

o  ∆   No ABO: D tg60°=AO/BO E F ∴√3=r/ BO∴ BO=r /√ 3. Logo: P1=3. BC=3.2r/√3 ∴ P1 = 6r / √3.  No ∆ FOE: Ê = 30° e então: cos30°= FE/OE = (s/2)/r ∴ (s/2)/r = √3/2 ∴s = r √3. Como P2 = 3s ∴  P2 = 3r √3. Então a razão P1: P2 = (6r/√3)/ (3r √3) = 2 : 3. 30

28(C ) É o tipo de questão que se faz fazendo a verificação alternativa por alternativa, caso que se obtém (C).  Nota: O fato de que a diferença di ferença das abscissas é 2, 4, 6 e 8 serve para eliminar (A) e (B) como respostas. 29(A) Consideramos Consideramos as duas cordas concorrentes em k: AB e CD. AK = 10-x; KB = 10-X x; CK = y e KH= 8-y.   K 0 Então: CK. KH = KB. Y-8 KA y.(8-y) = x.(10-x) (i)  No  ∆COK (retângulo), (retângulo), temos: KC² = OK² + OC²  y² = (x - 5)² + 5² (ii). De (i) e (ii), temos: y = 25/4 25 /4 ∴ x = KB = 5/4 e KA = 10 – x = 35/4 →

→

30(A) Sendo S a soma dos n primeiros termos da PA de razão r, temos: S = n/2 [ 2 al + (n-1) r].   Pelo enunciado do problema, temos: 10/2 (2 a l + 9r) = 4[ 5/2 (2 a l + 4r)] ∴ r = 2 a l ∴ a l : r = 1 : 2.  N.T.: A fórmula S acima é obtida facilmente com a  N.T.: substi sub stitui tuição ção de de termo termo geral geral a n  = a l + (n-1)r na formula da soma S n = n(a l + a n)/2 da PA. 31(D) Escolhendo um ponto qualquer dentre os 12, ele pode ser ligado aos 11 restantes , formando 11 retas. Como cada reta apenas encontra 2 pontos, o número de retas é: ½(12 x 11) = 66 retas distintas. Outra maneira é usando-se Análise Combinatória a  parte das Combinações Simples, ou seja: C 12, 2 = 12!/ 2!(12-2)! = 66. 32(D) Pela definição da velocidade, temos: Tempo(t) = Distância(d) / Velocidade(v) ∴t = 30/x. 33(B) Seja P o perímetro comum, A 1 e A2 as áreas do círculo e do quadrado, respectivamente. Então: P = 2πr ∴ r = P / 2π ∴ A1 = πr² = P² / 4π. P = 4L ∴ L = P / 4 ∴ A2 = L² = P² / 16.

34(E) Seja P o preço inicial. Preço com aumento= P1 = P. ( 1 + p / 100). Preço com desconto = P2 = P1 (1 – p/100)= =P. (1 + p/100) (1 – p/100)= P.(1 – p² / 100²). Cálculo do preço inicial:  Novo preço com desconto = 1,00 ∴ P.( 1 – p² / 100²) = 1 ∴ P = 1 / (1 – p²/100²) ∴ P = 10.000 / (10.000 – p²). 35(A) Usando a propriedade dos produtos notáveis (a – b) (a + b) = a² - b² no denominador associado, que se tem como fator racionalizante ( √2 + √3) + √5, √2  temos: . (√2 + √3) + √5  = 2 + √6 + √10 ;   (√2+√3)-√5 (√2 + √3) + √5) 2√6 Vamos usar como fator racionalizante √6, ou seja: 2 + √6 + √10  . √6  = 2√6 + 6 + 2 √15 = 3 + √6 + √15   2√6 √6 2.6 6 36(E) Inicialmente vamos fatorar a fração dada: x³ + 1 = (x + 1) (x² - x + 1)  = x² - x +1 para x 1. x² - 1 (x + 1) ( x – 1) x -1 x³ + 1 x² x + 1  = 3 = - 3 . Então lim   = lim -2 2 x -1 x² - 1 x -1 x – 1 x³ + 1 Para que  seja contínua em x = -1, precisamos x² - 1 definir o valor de x³ + 1  = -3 /2 para x = - 1.   x² - 1 Obs.: O problema está fora do escopo pretendido. →

→

37(B) Seja S a área G do se seto torr circ circul ular ar B BOF e T a área do ∆ OGB. OG B. A área área entre entre S as cordas cordas AB e CD O medee por simetr med simetrias ias A = 4 (T + S).(Veja H figura).  No  ∆  OGB, temos: OG = 8/2=4; OB = raio= 8. Aplicando Pitágoras, temos que GB = 4 √3.Daí então: T = ½.4.4√3 = 8√3.  No setor BOF, BOF, temos seu ângulo = 30° (pode-se calcula-lo usando os ângulos internos do ∆OGB).Daí: S = 30 / 360. (π8²) = 16/3 π. Logo A = 4 (8 √3 + 16/3 π ) = 32√3 + 21 1/3 π. 38(D) Denominando as bases de a e b, tEemos: A = 1400 = ½.50(8 a + 8 b) ∴  a + b = 7. Trata-se de uma equação indeterminada,  pois é satisfeita para 3 soluções no conjunto dos inteiros: (1,6), (2,5) e (3,4). Logo a resposta correta é (D). 39(A 39(A)) Seja Sejam m c = compr comprim imen ento to;; L = larg largur uraa do retângulo; d = diagonal e p / 2 = c + L (semi perímetro), temos então: (i) c² + L² = d² ; (ii) (c + L)² = c² + 2 cL + L² = p²/4 ∴ 2cL= p²/4 – (c² + L²) = p²/4 – d². (iii) (c – L)² = c² - 2cL +L²= (c²+L²) – 2cL = d² - (p²/4 – d²) = 2d² - p²/4 ∴ c – L = (√8d² - p²) / 2 . 40(E) Os valores de f(x) listados correspondem a: f(x), f(x+h), f(x+2h), . . . , f(x+7h). Pode-se observar

5

 

que a diferença entre dois valores sucessivos é dada  por: f(x+h) – f(x) = a(x+h)² + b(x+h) +c – (ax²+bx+c) = 2ahx + ah² + bh que é uma função linear linear em x. A seguir listamos dados e as respectivas diferenças:   3844 3969 4096 4227 4356 4489 4624 4761 são:

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o que nos leva a dizer que o valor errado é 4227,  baseado no fato de que há um único valor errado. 41(C) Vcil= πr².h ∴ V + y = π(r + 6)².h = πr²(h +6)∴ com h = 2   (r + 6)².2 = r²(2+6) ∴3r² - 12r -36 = 0 ∴ r = 6. →

42(D) 42(D) Temos emos uma dízim dízimaa per perió iódi dica ca co compo mpost staa denominada por D = 0,PQQQ... = = 0, a 1 . . . a r  b  b 1 . . .b s.. . . Port Portan anto to as al alte tern rnat ativa ivass (A), (A), (B), (B), (C) (C) e (E (E)) sã sãoo corret corretas. as. Par Paraa verifi verificar carmos mos que (D) é incorre incorreta, ta, r + s. r temos: 10 D – 10 D = PQ – P r s ∴ 10 ( 10  – 1) D = P ( Q – 1). 43(A) Para cada semicírculo, o diâmetro é ( 2 r / n ) e o comprimento do arco é (π r / n) . A soma dos n arcos = n.(π r / n ) = π r = metade do perímetro da circunferência.

(2)

s R   = R. R.t e s L  = k – L.t (em sentido contrário). No local do encontro s R   = s L com te = t ∴ R.t = k – L.t ∴ R + L = k / t.

Fazendo (I) + (II), temos: 2.R = K/r + k/t = k(r + t)/r.t Fazendo (II) – (I), temos: 2.L = k/t – k/r = k(r – t)/r.t. Daí então tem que: R / L = (r + t) / (r – t). 49(C) Subtraindo da área do ∆ ABC a soma das áreas dos ∆ CBF + ∆ BAE + ∆ ACD e a este resultado somarm som armos os as áreas áreas  ∆  CDN1 +  ∆  BFN3  +  ∆  AEN2 temos a área do ∆ N1  N N2  N N3. Temos que: ∆ CBF = ∆ BAE = ∆ ACD = 1/3 ∆ABC. A part partir ir da af afir irma maçã çãoo fe feit itaa no enun enunci ciad adoo do  problema, temos que:  ∆CDN1 = ∆BFN3 = ∆AEN2 = 1/7.1/3. ∆ABC = = 1/21 ∆ABC ∴   ∆ N1  N N2  N N3 = ∆ABC – 3.1/3 ∆ABC + 3. 1/21 ∆ABC = 1/7 ∆ABC.

=

50( 50(D) D) Rearra Rearranja njando ndo os ter termos mos podemos podemos esc escrev rever er duas PG infinitas de somas: S 1 = 1 + 1/4 + 1/16 + . . . = 4 / 3 S 2 = √2 / 4 + √2 / 16 + √2 / 64 + . . . = √2 / 3 ∴ S = S 1 + S 2 = 1/3 ( 4 + √2 ).

44(C) Seja Nº. = ut = 10u + t = k (u + t) (i). Temos que: tu = 10 t + u = m (u + t) (ii). Fazendo (i) + (ii), temos: 11 (t + u) = (k + m)(u + t) ∴ k + m = 11 ∴ m = 11 – k. 45(E) Sejam os números positivos a e b temos que a sua : Média Aritmética = M.A. = (a + b)/ 2; Média Geométrica = M.G. = √a.b e ssua ua Média Média Harmônica = M.H. = 2ab / (a + b). Vamos provar que a ordem decrescente das três médias é: M.A > M.G. > M.H., ou seja, alternativa (E). (I) Como (a – b)² > 0 temos que a² - 2ab + b² b ² > 0 ∴  a² + b² > 2ab, ∴ a² + 2ab + b² > 2ab+ 2ab ou seja: (a + b)² > 4ab ∴ a + b > 2 √ab ∴ (a + b) / 2 > √ab, ou seja: M.A. > M.G. (I) (II) Como sabe-se que (a + b)² > 4ab, temos então que: 1 > 4ab / (a + b)² ∴ ab > 4ab.ab / (a + b)² ou seja: √ab > 2ab / (a + b) ∴ M.G. > M.H. (II) De (I) e (II), temos: M.A. > M.G. > M.H. 46(C) 46(C) Co Cons nsid ider erand andoo o retâ retâng ngul uloo dado dado de lado ladoss L(base); h (altura) e diagonal d. Temos então que: Área do novo retângulo = (Base). (altura) = = (d + L). – h. L) = d² - L² = h² = Área de um quadrado de (d lado 47(D) Na equação (1) temos: z = y². y². z   Na equação (2) temos: 2  = 2 2x+1 ∴z = 2x+1   ∴ x = (z – 1) / 2 = (y² - 1) / 2. Da equação (3) tiramos: (y² - 1) / 2 + y + y² =16 de onde resulta uma raíz inteira y = 3. ∴ x = 4; y = 3 e z = 9. 48(A) 48(A) Temos emos um pr prob oble lema ma de Mov Mov. Un Unif ifor orme me (V constante ∴ s = s o + vt) com tempo de encontro (te). Sejam R e L as velocidades dos ciclistas rápido e lento, lent o, respect respectivam ivament ente. e. As distân distância ciass (medid (medidas as a  partir do ponto de partida, so = 0, do ciclista rápido) até o ponto de encontro são: (1) s R   = R.t e s L  = k + L.t (no mesmo →

R  L sentido). No=local do ∴ encontro te = r ∴ R.r k + L.r  R – L =s k  = / r.s  com

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