Matematica Educativa La Formación de Profesores--flores Garcia Hernandez-Guerrero

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••••••••••••••• ••••••••••••••• MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN DE PROFESORES

Editado por: Crisólogo Dolores Flores María del Socorro Garcfa González Judith Alejandra Hernández Sánchez Leticia Sosa-(;uerrero

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••••••••••••••• ••••••••••••••• Primera edición: 2014

© Crisólogo Dolores Flores, Maria del Socorro García Gonzál~z, Judith

Alejandra Hernández Sánchez y Leticia Sosa Guerrero {editores) ©Ediciones Díaz de Santos, S. A. D. R. ©Universidad Autónoma de Guerrero . Javier Méndez Aponte No. 1, col. Servidor Agrario, c. P. 39070, Chilpancingo, Gro. Méx.

Agradecimientos Expresamos nuestro agradecimiento a quienes hicieron posible la

Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o p~~ial de e.ste libro, ni su tratamiento informático, ni la transmts1on de runguna forma o por cualquier medio, ya sea electróni~o, mec~co, por fotocopia, por registro u otros métodos, ~ el ~nmso previo y por escrito de los titulares del Copynght.

realización de esta obra: a los autores, que con sus propuestas contribuyen a la discusión de la pregunta central: ¿cómo formar a los profesores de Matemáticas?, a los evaluadores de las propuestas, que con mirada critica valoraron cada una de las contribuciones y a quienes ayudaron en la edición de la obra, a todos ellos: ¡muchas gracias!

Sinceramente Ediciones D. D. S. México

Cuicuilco 29C, col. Letrán Valle, C. P. 03650 Delegación Benito Juárez, México, D. F. [email protected] http: ffwww .diazdesantosmexico.com.mx/

Ediciones Díaz de Santos Cf Albasanz 2, 28037, Madrid, España [email protected] http:fwww.editdiazdesantos.com

ISBN: 978-84-9969-664-5 (Días de Santos) Diseño de portada: Judith Alejandra Hernández Sánchez. Formación tipográfica: Gerardo lbáñez Dolores . y Maria del Socorro García Gonza!ez. Corrección de estilo: María del Socorro Garcia González. · Fecha de edición: enero de 2014. Impreso y hecho en México

Los editores Chilpancingo, Gro., México, noviembre de 2013.

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••••••••••••••• Contenido

Prólogo. Matemática Educativa: La formación de profesores

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Introducción

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Crisólogo Doloi· de Investigación en Matemática Educativa 4(2), pp. 129-159. Gascón, J. (2011). Las tres dimensiones fundamentales de un problema didáctico. El caso del álgebra elemental. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 14(2), pp. 203-231. INEE (2004). Resultados de las pruebas PISA 2000 y 2003 en México. Recuperado el30 de mayo de 2013, de: http:/ fwww.inee.edu.mx. lNEE (2007). PISA 2006 en México. Recuperado el30'de mayo de 2013, de: http:f /www.inee.edu.mx. lNEE (2010). México en Pisa 2009. Recuperado el 30 de mayo de 2013, de: http:/ fwww.inee.edu.mx. Jarero, M., Báez, M., Cantú, C. y Gómez, K. (2008). Un estudio cualitativo sobre las prácticas docentes en las aulas de Matemáticas en el nivel medio. En P. Lestón (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 21, pp. 627-635. México: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa, A. C. Jovanova-Mitkovska, S. (2010). The Need of Continuous Professional Teacher Development. Procedia Social and Behavioral Sciences 2(2), pp. 2921-2926. Kline, M. (1976). El fracaso de la matemática moderrw.. ¿Por qué .[uanito no sabe sumar? México: Siglo XXI.

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• • •• • • • • • • • •• MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA fORMACIÓN DE PROFESORES

MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN DE PROFESORES

Le~, J. (2008). A Hong Kong Case of Lesson Study-Benefits and Concems. Teaching and Teacher Education 24(5), pp. 1115-1124.

SEB (2011). Plan de estudios de educación básica 2011. Recuperado el 3 de junio de 2013, de: http:/ /basica.sep.gob.mxfreform!l'lecundariafdocfprogramas/201 1/plan_estudios_2011_web.pdf

Lewis, C., Peny, R. y Murata, A. (2006). How Should Research Contribute to Instructional lmprovement? The Case of Lesson Study. Educational Researcher 35{3), pp. 3-14.

¡,

National Council of Teachers of Mathematics. {2004). Recuperado en septiembre 10 de 2007, de: http: / /www.nctq.org/ pf publications 1docs fus_bkgrd_reprt_200711 29024238. pdf.

1' '

Núñez, M. A., Arévalo, A. y Ávalos, B. (2012). Profesionalización docente: ¿es posible un camino de convergencia para expertos y novatos? Revista Electrónica de Investigación Educativa 14(2), pp. 10-24. Consultado en http:/ fredie.uabc.mxfvol14no2contenidoninezeta!.html.

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••••••••••••••

Ponte, J. P. (1999). Teachers' Beliefs and Conceptions as a Fundamental Topic in Teacher Education. En K. Krainer y F. Goffree (Eds.), 0n Research in Teacher Education: From a Study of Teaching Practices to Jssues in Teacher Education (pp. 43-50). Osnabrück: Forschungsintitut für Mathematikdidaktik. Ponte, P. y Chapman, O. (2008). Preservice Mathematics Teachers' Knowledge and Development. En L. English (Ed.), Handbook of Intemational Research in Mathematics Education (2da ed., pp. 225263). Nueva York: Routledge.

SEMS (2011). Reforma Integral de la Educación Media Superior. Recuperado el 3 de junio de 2013, de: http:f fwww.reformaiems.sems.gob.mx/wbfriems/ SEP (2012). Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares. Recuperado el 7 de junio de 2013, de: http:f fwww.enlace.sep.gob.mx/. Shulman, L. (1986). Tbose Who Understand: Knowledge Growth in Teaching. Educational Researcher 15(2), pp. 4-14. Shulman, L. y Shulman, J. (2007). How and What Teachers Leam: A Shifting Perspective. Joumal of Curriculum Studies 36(2), pp. 257271. Tbompson, A. G. (1992). Teachers' Beliefs and Conceptions: A Synthesis of the Research. En D. A. Grows (Ed.), Handbook of Research in Mathematics Teaching and Learning (pp. 127-146). Nueva York: MacMillan. Valenzuela, C. y Dolores, D. (2012). Entre el curriculum oficial e impartido: qué es lo que se enseña en el aula. En C. Dolores y M. Garcia (Eds.), ¿Hacia dónde reorientar el Currículum de Matemáticas del Bachillerato? (pp. 111-138). México: Plaza y Valdés.

Parlan, R. y A. Rivera (1998). El conocimiento de los profesores. Serie· Fundamentos, número 9. Sevilla: Díada. Reyes,

D. (2011). Empoderamiento docente desde una visión socioepistemológica: estudio de los factores de cambio en las prácticas del profesor de Matemáticas. Tesis de maestría. México. Centro de Investigación y de Estudios Avanzados, IPN.

Romera-Iruela, M. (2011). La investigación-acción en la formación del profesorado. Revista Española de Documentación Cientijica, 34(4), pp. 597-614. •i

Saito, E., Harun, l., Kuboki, l. y Tachibana, H. (2006). lndonesian Lesson Study in Practice: Case Study of Indonesian Mathematics and Science Teacher Education Project. Journol of In-seroice Education 32(2), pp. 171-184.

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1

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FORMACIÓN DE PROFESOREE! DE MATEMÁTICAS EN MÉXICO DESDE EL CURRIICULUM OFICIAL i

Crisólogo Dolores Flores, Universidad Autónoma de Guerrero, México Judith Alejandra Hemández Sánchez, Universidad Autónoma de Zacatecas, México

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Resumen

1¡:

En México, la formación inicial y continua de los profesores de Matemáticas es atendida por diferentes instituciones educativas. Sin embargo, la forma y dirección establecidas en los currículos oficiales mantienen algunas diferencias. En la actualidad, la mayoría de los programas de formación inicial de profesores 'de Matemáticas del bachillerato y su erior IPMBy se ene upe 1tada a carreras que o matemáticos. Lo antenor ha generado el interés por precisar la coherencia del currículo oficial y algunos elementos disciplinares del campo de la Matemática Educativa (ME) que son incluidos. Para ello se hizo un análiBrs descríptivo-comparati~o entre las prácticas determinadas en el perfil de egreso y los créditos o materias referentes al campo de la ME. Algunos resultados revelan que el campo académico de la ME no ha permeado sobre los programas de FIPMByS en México. Palabras clave: formación, profesores de Matemáticas y currículo oficial. Abstract

The Vocational Education of Teachers of Mathematics is handled by different Academic lnstitutions in Mexico. However, the way it is handied 51

•••••••••••••• MATEMÁTICA EDUCATIVA: lA FORMACIÓN DE PROFESORES

by the official curriculums keep sorne differeoces. Most of the Academic Programs that handle the Vocational Education of Teachers of Mathematics of High-Schools and Colleges (VETMH-S and C) are dependent on careers that train Mathematicians. The former has generated an interest in specifying the coherence of the official curricula as well as sorne of the elements in the field of Mathematics Education (ME) included on these curriculums. That is why a descriptive-comparative analysis between the practices determined on the Matriculation Prof!le and the Subjects related to ME was made. Sorne results have revealed that Academic Field of ME has not had an impact on the VEMH-S and C programs in Mexico.

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Key words: vocational education, teachers of Mathematics, official curricula.

1. Antecedentes

Las primeras instituciones dedicadas a la formación del profe!!!!!' en México surgieron a fmales del siglo XIX y principios del s1gJo XX. De ahí nacen las primeras s._scuelas normal~ (EN) en el pais, facultadas· para la formación inicial de profesores crel nivel básico (preescolar (3-5), primaria (6-12) y secundaria (13-15)) (Arteaga y Camargo, 2011; Escolano, 1982). Medio si o después se fundan los Centros de Actualización del Magisterio (E\M), unos anos más tarde la Universi a e ó ·ca Nacion , ambas instituciones tenian como función inicial atender la· profesionalización del profesor en activo del nivel básico. Las últimas en · sumarse como formadoras de profesores, a nivel nacional, son las universidades públicas (UP). Su inserción es a partir de la segunda mitad del siglo XX, a través de programas de capacitación y acfu81iZaCIÓn en áreas especificas del conocimiento, como la matemática (Aguayo, Mendoza, Berna!, AguiJar, Rivera y Dévora, 2001).

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En la década de los seten\!!, el Sistema Educativo Nacional experimenta una rápida expansióg, sobre todo en los niveles de secundaria jl3-15 años) y bacbillerato (15'-18 años). Desde entonces, las necesidades de profesores especializados se incrementaron de manera notable. En la su15secuente década de los ochen!!J,. se hace más evidente la necesidad de la profesionalización de' los PM, prueba de ello es ·la instauración del Pro ama Nacional de Fo a Actualización de Pro

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En México existen varias instituciones educativas dedicadas a la formación inicial y continua de los PM, desde el nivel básico (3-15 años) hasta el nivel superior (18-23 años). La diferencia entre ellas radica en sus propuestas curriculares. En este estudio se identificaron tres tipos: aquellas cuya estructura curricular E!!,vilegia la formación !Ndagógica general estos rogramas se ofertan en las EN CAM UP . En Iós gun os, su estructura curricular e confiere yn mayor peso a la form · · 'matemática disci linar se encuentran en las UP, generalmente en instituciones que orm~ matemático . rceros y más jóvenes (fmales del siglo XX e inicios del siglo XXI), se encuentran en una etapa de conformación y sus propuestas =rriculares incluyen elementos disciplinares: en Matemáticas, en pedagogia y en Matemática Educativa (ME). Con este primer acercamiento a los orígenes de las instituciones educativas dedicadas a la formación inicial y continua de los PM en México, se tienen algunos resultados que permitieron delimitar nuestro problema. Las EN, CAM y UPN asumen la misión de la formación inicial y continua del magisterio del nivel básico, siendo las de mayor cobertura en el pais. Para el caso de las UP, su atención se centra en programas de formación inicial y continua a través de licenciaturas y posgrados (especialidades, maestrias y doctorados) dirigidos principalmente a los PM del nivel bachillerato y superior. Por lo anterior, el estudio se enfoca a las UP donde se realiza esencialmente la profesionalización de los PM de estos niveles. Así, la pregunta que dio rumbo a la presente investigación es: ¿dónde cómo se forman los PM del nivel bachillerato y superior en éxico?

2. Problemática

A diferencia de otros paises, como Chj!s: o E;snaña, donde los PM necesitan cursar una especialidad o diplomado para podér desempeñ~ en el nivel 53

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MATEMÁTICA EDUCATIVA: lA FORMACIÓN DE PROFESORES

MATEMÁTICA EDUCATIVA: lA FORMACIÓN DE PROFESORES

bachillerato o superior, en México, según estadísticas presentadas por

INEE (2011), la mayoría se desempeña específica sobre la materia que sin

·

• •••••••••••

una

de Estudio de Licenciatura y Posgrado (ANUlES, 257

~

anterior podría tener sentido si

perfil

profesionistas que se dedican a la enseñanza

Matemáticas en el nivel pre-universitario y universitario en México.

El panorama descrito anteriormente ratifica lo expuesto por Bc'ntos, las teorias y los procedimientos probablemente'' deja de--lado el -reconocimiento de los heclws matemáticos pnncrpiiles que deberian eJ~Plícrtarse, si se atiended.e manera literíil a lo planteado por Grossman (1990). A éste respecto, es necesario precisar qué se entiende por hecho matemático, asunto que es no menos escabroso que la determinación de los conceptos principales; en efecto, una simple búsqueda en intemet del término "hecho matemático" arroja varios textos que lo identifican con ~mate~, demostración matem~~ca, p~osición matemática o -=-e ~o=- ron ~ matematica. No obstante esta variedad de acepciones, atendiendo a una cierta tendencia mayoritaria se puede asumir que un hecho matemático es, en esencia, una proposición enunciada y demostrada en el marco de una cierta teoria matemática; aún bajo esta precisión, el problema persiste en términos análogos a los que se enunciaron antes para el caso de .los conceptos. En otras palabras, si bien los matemáticos especialistas en un área de las Matemáticas podrían identificar las principales proposiciones de una teoria o de su área de especialidad, no es muy factible que todos ellos compartan los criterios ¡'lara establecer tal carácter y es menos probable que una vez que se disponga de todas las proposiciones principales de las diferentes teorias, éstas puedan ser valoradas para constituir un listado de las que comparativamente son, en efecto, las principales de las Matemáticas.

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Este asunto refiere inexorablemente a la., historia de las Matemáticas como fuente de fuformación sobre el pasado y presente del desarro!lo y organización de dicha disciplina, y a la fJ!osofia de la ciencia como espacio de reflexión sobre el concepto de paradigma; sin recurnr a la interacción entre este par de disciplinas, ingenuamente, la respuesta que se podría plantear se referirla a una sele¡¡0 r y la enseñanza de las Matemáticas. En S. Llinares y V. Sánchez Teoría y práctica en educación matemática. Sevilla: Alfar.

Colombia:

a H. H. (1995). Changing the Professional Knowkdge and Behefs of .'fílletll ' hers· A Training Study Leaming and Instruction, 5(4), PP· 291, 'feac · · 318. · bull H. w. (1968). Los grandes matemáticos. En J. R. Newman (Ed.). 'fW1l El mundo de las Matemáticas (décima ed., vol. 1, PP· 4-94).

Ministerio de Educación Nacional (2006). Estándares básicos de competencias en Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y Ciudadanas . Colombia: Autor.

Barcelona: Grijalbo. e E (1991). ·Hay revoluciones o rupturas epistemológi~s e~ las Vas~~te;,áticas? Re';n,;ta de la Facultad de Ciencias de la Umversidad Javeriana 1(4), pp. 29-52.

Ministerio de Educación Nacional (1998). Matemáticas. curriculares. Colombia: Autor. Ministerio de Educación Nacional {2003). Resolución 2769. Autor.

.¡;

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.

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.

Sigm:,.

Moreíra, P. y David, M. (2008). Academic Mathematics and Mathematical Knowledge Needed ín School Teaching Practice: Sorne Conflicting Elements. Joumal ofMathematics Teacher Education, 11(1), pp. 23-40. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principies and Standards ofSchool Mathematics. Reston, VA: Autor. Peñas, M. y Flores, P. {2009). Modo de uso del Conocimiento profesional en procesos de reflexión en la formación inicial de profesores de Matemáticas. PNA: Revista de Investigación en Didáctica de la Matemática, 3(1), pp. 19-34. Real Academia Española (2009). Diccionario de la Lengua Española (22• ed). Tomo 2. España: Autor . . Schwarz, B., Leung, 1., Buchholtz, N., Kaiser, G., Stillman, G., Brown, J. y Vale, C. (2008). Future Teachers' Professional Knowledge on Argumentation and Proof: A Case Study from Universities ín Three Countries. ZDM, 40(5), pp. 791-811. Secretaria de Educación Pública. Dirección General de Desarrollo Curricular (2006). Reforma de Educación Secundaria. Fundamentación Matemática. México: Autor. Shulman, L. S. (1987). Knowledge and Teaching. Foundations of the New Reform. Harvard Educational Reuiew, 57{1), pp. 1-22.

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··········----· ¡NVESTIGACIÓN SOBRE EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS EN LA UNIVERSIDAD DE HUELVA (ESPAÑA)

José Carrillo, Eric Flores, Nuria Climent, Luis Contreras Álvaro AguiJar, Dinazar Escudero, Miguel Montes Universidad de Huelva, España

Resumen Presentamos la evolución de nuestra investigación sobre las concepciones

y creencias, el desarrollo profesional y el conocimiento del profesor de

1

: ¡

Matemáticas. Comenzamos desarrollando iostrumentos de análisis de las s_oncepciones sobre la matemática y de las tendencias didáctica':. Abordamos la iovestigación sobre el desarrollo profesjonaJ con una noc1on de desarrollo basada en la 7omprensión de la práctics de formación del profesorado.

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teacher, Mathematics teach~¡.'s ~~pens, "alit~acdhkner development, C! se owledge.

1:

Jos valores socioculturales que pueden llegar a atribuirle, el y sentido de los problemas, dependen en gran medida de los

Investigación, lo que ha dado lug:r vandias tesis, O:aba!os y proyectos de a versas publicaciOnes. La organización del capítulo re d . . nuestras investigaciones De nu tr s~on ~ al mteres cronológico de · · es o mteres · ·cial concepciones y creencias del profesor illl por estudiar las de su desarrollo profesional con~J'~~s ~ ocupamos del análisis dimensión importante dentro ,d di h yen o as concepciones una expone el objeto de investigaci~n e ~e~arrollo. A continuación se conocim~ento del profesor. Acabamosa~m .r '1¡:,.,¡

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Hemos intentado acceder 1 . través de diversos instrum at as concepciOnes y tendencias didácticas usado cuestionarios a modoe:,od ten muchos casos recursivos. Hem~ entrevistas semiestructw'ad e onantes, que !':'C!:o se han seguido de (evocación del recuerdo); he:::'~s a:btes d~ 1 ~ acct?~ Y después de ésta nuestros informantes a analizar ~erva o.. a accwn y hemos invitado a analizado los artefactos (pr . a ac~wn de otro docente; hemas hemos pedido al profesor q~~CI':;es, mstrumentos de evaluación )· 08 (Villella y Contreras, 200S). JUS que la elección de su libro de t~

2 . La inve•••.. sobre desarrollo profesional ....,..cton En Matemática Educativa el de . · ha sido ob;to de :::a~o profestonal .(DPJ dcl profesor c:le mv~tigaciones (v. g., Jaworski ~0 ~~. una cantidad considerable de Hollingsworth, 2002; Ponte y Ch ' man • . Cooney, 2001; Clarire y preocupación por entender o . "!' ' 2006). En nuestro grupo, la tdeas nucleares: la reflexión yy prel .~=b. ei DP nos. ha Uevado a utilizar dos . u" "JO co1aborativo.

!~faten:'áticas

9

Con base en las investigacio :~ ~re el desarrollo profesional de profesores (Carrillo y Climent 2003), hemos construido una ~once ' . e?_t, 2005; Climent y Carrillo, como constructo • · · ptua!izaoon del DP que· ha sido usada ,enco para estudi di h expertos {Climent, 2005; Ribeiro 2010)ar ovelesc o p~so en profesores en entornos colaborativos. ' Yn (Munoz.CataJán, 2009)

20

Nuestra comprensión ~el desarroll fe . en la consideración del profesor o pro &onal del profesor se asienta es el resultado de cambios ' como un aprendiz adulto cuyo desarrollo en su estructura C"""'ti d ma urez y complejidad jBrown B k -...~ va, pasando a ganar del profesor como 1a conjunción~e ~~b~;92). En~n~do el ~nacimiento de los que hace uso en el des . 11 y expenenoas que este posee y (esto es, su interpretación de7'r~ ~ de su labor ~ocente (Estepa, 2000) asunciones personales qÚe en . .:'n:'Cno ~ucativo con los saberes y Cmprensión de la Práctica {Krani mterv:tenen), nos referimos a. una er, 1999) cad8. vez más completa, Esto

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MATEMÁTICA EDUCATIVA: lA FORMACIÓN DE PROFESORES

"Una toma en consideración progresiva de la complejidad de dicha y del aprendizaje de los alumnos, y el análisis de ella y actuación cada vez más elementos y adaptándola al aprendizaje de los concretos" (Climent, 2005: 119). desarrollo profesional del p~ofesor supone la toma de conciencia de de su actuación, de su manera de entender la profesión, conocimiento y sus necesidades; y, por otro lado y relacionado con lo la implicación en el cuestionamiento continuo de la práctica !998). En ese sentido, entendemos la práctica reflexiva, la oliaaci(>TI en un análisis cuidadoso de las situaciones de enseñanza, (planiftcación), durante (reflexión en la acción) y tras su vivencia en que puede asociarse con un papel de investigador de .su práctica de los aspectos con· que cal Content Knowledge) (Shulman, 1987), al considerar que la

•genérica• y éstas deberían atender a la relatividad de un tema matemático determinado.

,, expresión "conocimiento matemático para la enseñanza" no refleja

adecuadamente los diversos componentes o facetas que se deben tener en

Con base en los resultados obtenidos en diversas investigaciones

cuenta, como ocurre también con la expresión "conocimiento pedagógico del contenido".

¡p;no-Fan, Godino y Font, 2011; Pino-Fan, 2011; Pino-Fan, Godino, Font y castro, 2012; 2013), hemos podido ir un paso más allá respecto del modelo inicial del CDM. Primeramente, atendiendo a la necesidad de

Entendemos que la didáctica de la matemática es la disciplina

concretar los conocimientos en tópicos matemáticos específicos, en nuestro caso, tomamos como ejemplo la noción de derivada. Además, al

ac~dem1~~ y el área de conocimiento cuyo objetivo específico es la art1~ulacmn coherente de las distintas facetas o dimensiones que se ponen

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centrarnos en la exploración y descripción de la faceta epistémica del los aspectos teóricos que teníamos como base, aunados a los aspectos empíricos que arrojaron nuestros análisis, nos hicieron replantearnos el conocimiento especializado del contenido.

en JUego. en el estudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las

·cnM,

senl!do de constructo epistémico-mgnitivo--afectivo general que incluye comprensión, competencia y disposición (Pino-Fan, Godino y Font, 2010: 209). La disposición se reW.ciona con la noción de objeto matemático y dJdactico personal, es decrr, con aquello que posibilita la práctica. La

Para Ba!J, Thames y Phelps (2008: 400), el conocimiento especializado del contenido es "conocimiento y habilidades Matemáticas únicas para la

Mat~mattcas. Además, el término "conocimiento" ·lo utilizamos en el

.!

••••••••••••••

competencia se relaciona con la activación de la configuración cognitiva

enseñanza". Este conocimiento incluye "cómo representar con precisión

adecuada, e idóneamente acoplada a la configuración epistémica de referencia, al contexto en el que se desarrolla W. práctica. La comprensión tiene que ver con las relaciones que se deben establecer entre todos los elementos que intervienen en la implementación de una configuración epistémica (o cognitiva) idónea para un contexto determinado. De esta

ideas Matemáticas, proporcionar explicaciones Matemáticas de reglas y procedimientos comunes y examinar y comprender los métodos poco usuales para la resolución de problemas• (Hill, Ball y Schilling, 2008: 377378). Estamos de acuerdo con este enfoque (o defmición) del conocimiento especializado del contenido, sin embargo, la pregunta que surge es: ¿qué criterios específicos nos permiten analizar y potenciar dicho conocimiento especializado?

forma, para nosotros:

... el CDM viene a ser la trama de reW.ciones que se establecen entre los distintos objetos matemáticos primarios [y los procesos de significación], que se ponen en juego en W.s prácticas operativas y dJscursJvas del profesor, realizadas con el fin de resolver un determinado campo de situaciones problemáticas para implementar procesos de instrucción eficaces (idóneos) que faciliten el aprendizaJe de los estudiantes (Pino-Fan, Godino y Font, 2010: 209).

Lo anterior nos ha llevado a un replanteamiento del conocimiento especializado en nuestro modelo de CDM, el • cual radica en la consideración de dos niveles del conocimiento especializado, a saber: de aplicación, en el que los futuros profesores deben hacer uso de diversas representaciones, conceptos, proposiciones, procedimientos y argumentos, así como usar diversos significados parciales de un objeto matemático para

resolver tareas, en nuestro caso, sobre derivadas. El segundo nivel, 1

i

El modelo CDM trata de seguir avanzando en W. caracterización de los co:'?cimientos de los profesores de Matemáticas mediante el planteamiento teonco de pautas y "algunos criterios• para medir el conocimiento didáctico-matemático del profesorado. Al final de su estudio, Godino (2009) mtroduce con el modelo CDM una reestructuración del MKT, pero ésta queda algo implícita (véanse tablas 1, 2, 3 y 4). Además, no se ve claramente la relación e interacción entre cada una de las facetas o dimensiones incluidas en el modelo CDM. Aunado a lo anterior, se encuentra el hecho de que W. sugerencia de pautas para la creación de ítems para evaluar y analizar cada una de las facetas del CDM es

identificación, se refiere a W. competencia de los profesores para identificar conocimientos (elementos lingüísticos, conceptos, propiedades, procedimientos y argumentos) puestos en juego en la resolución de una tarea sobre derivadas. · Con estas características, es obvio que el conocimiento especializado implique conocimiento común y parte del conocimiento ampliado. Por ejemplo, W. tarea que se presenta en la figura 6 es evaluadora tanto del conocimiento común -ítem a, en tanto que el futuro profesor debe resolverlo sin necesidad de dar justificaciones o utilizar diversas

1.

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............. . MATEMÁTICA EDUCATIVA: lA FORMACIÓN DE PROFESORES

MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN DE PROFfSORES

representaciones-, y el conocimiento ampliado -ítem d, que implica la generalización de la tarea inicial sobre la derivabilidad de la función valor absoluto en x = O, a partir de justifiCaciones válidas para la proposición "la gráfica de una función derivable no puede tener picos•, mediante la definición de derivada como límite del cociente de incrementos-, como de ambos niveles del conocimiento especializado.

Debemos señalar que, dadas sus características, estos dos niveles que proponemos del conocimiento especializado están íntimamente vinculados dentro del modelo CDM con las otras facetas del conocimiento de los profesores. Por un lado, el nivel uno, de aplicación, se relaciona con las facetas interacciona! y mediacional (klwwledge of content and teaching), puesto que un buen dominio de este nivel del conocimiento especializado sobre un tópico específico, como lo es el de derivada, proporciona al profesor los medios para un desempeño idóneo de su práctica de enseñanza. Por su parte, el nivel dos, de identificación, está vinculado con las facetas cognitiva y afectiva (knowledge of content and siudents), puesto que faculta al profesor para detectar de manera previa, durante y posterior a la implementación de una actividad de enseñanza, conocimientos matemáticos involucrados, significados de los objetos matemáticos, así como conflictos y errores que se pueden presentar a sus alumnos, gestionando así los aprendizajes de sus alumnos de una manera más eficaz.

Por un lado, los ítems b y e r-efieren al primer nivel del conocimiento especializado, en tanto que los futuros profesores deben resolverlos haciendo uso de distintas representaciones (gráficas, simbólicas y verbales) y argumentaciones válidas que justifiquen sus procedimientos. Por otro lado, el ítem e explora el segundo nivel del conocimiento especializado, en tanto que el profesor debe resolver los ítems anteriores e identificar el entramado de conocimientos que se pone en juego en sus resoluciones.

Figura 2. Tarea 2 de un cuestionario paca evaluar el CDM sobre la derivada en

futuros profesores T""'2 Bxamina la fimcióo f(x) = 1•1 y su gnifi d" . . . los profesores sobre la clari"de perspectiva de la ens -ndo los srgnijicados de la derivada desde la . Académtica Española. enanza Y el apFendizaje. Saarbrücken, Alemania:

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Pino-Fan . 'la · ·_Y F ont V. (2010). Conocimiento · , .L, Go dmoJD matemático sobre didácticopresentado en la Y de la derivada. Trabajo Instituto Tecnológico de ln':"'""o en Matemática Educativa, svperiores de Monterrey, Monterrey, Nuevo León,

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MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN DE PROFESORf.S

eontr~ras,

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]llatemática pesquisa 13(1), PP· 141-178 . p¡no-Fan. L., Godino, J. D., Font, V. y Castro, W. F. (2012). Key Epistemic Features of ¡.iathematical J{nowledge for Teaching the Derivative. En T. y. Tso ¡Ed.)· proceedings of the 36" Conferenoe of the International aroup ¡or the ¡>sychology o/ Mathematics Education (vol. 3, pp. 297304). Taipei, Taiwan: PME. pjno-fan, L., GodinO, J. D., Font, V. Y Castro, W. (2013). Prospective Teacher's specialized Content Knowledge on Derivative. Eighth congress o! ¡;;uropean Research in Mathematics Education (CERME 8). Antalya, rurquía· ponte. J. P. y chapman, O. {2006). Mathematics Teachers' Knowledge and Practices. E!l A. Gutiérrez y P. Boero (Eds.). Handbook of Research on the p ycnolo9Y of Mathematics Education: Past, Present and Furure (pp. 5

461-494). ].Zotterdam: Sense. Rowland, T., auckstep, P. y 'fhwaites, A. (2005). Elementary Teachers' Mathematics Subject Knowiedge: 'fhe Knowledge Quartet and the Case ofNaoroi. Journol ofMathematics Teacher Education 8(3), pp. 255-281. Rowland, T. y J.Zuthven, K. (Eds.) (2011). Mathematical Knowledge in TeachinB· Mathematics Education LibraTY 50. Londres: Springer. -schoenfeld, A· y Kilpatríck, J. (2008). Towards a 'fheory of Profiency in Teaching !Jathematics. E11 D. Tirosh y T. L. Wood (Eds.). Tools and Prooesses in Mathematics Teacher Education \PP· 321-354). Rotteron•ao bajo convenio entre el Departamento de Matemática Educativa cinvestav y la Dirección General de Formación Continua de Maestros Servicio de la Subsecretaria de Educación Básica-SEP. El objetivo del proyecto fue que los participantes conocieran, profundizaran y ~ :~~~~~.;;,;~ sus conocimientos y prácticas relativas a las Matemáticas y las ciencias en el ámbito educativo, a fm de favorecer decisiones relativas al diseño, elaboración y análisis de situaciones de aprendizaje para las , clases de Matemáticas en su relación con otras disciplinas y la vida ~ ,;otidiana del estudiante. Este proyecto contó con actividades presenciales ! ,¡uran1:e una semana y luego, una actividad a distancia cuya duración fue poco más de dos meses de trabajo diario. Ahora bien, dado que este proyecto estuvo impulsado por científicos ,:::~~:::• en conjunto con la Secretaria de Educación Pública, era de ,~ que una vez concluido el programa de profesionalización se ,., ''~'·-- vuelta la mirada" a los resultados y se .estudiaran su impacto y su repercusión en un sentido amplio. Uno de los estudios derivados de este proyecto es aquel que se propone la cuestión de cómo atender a la profesionalización docente üesde una

mirada socioepistemol6gica, específicamente a partir del papel que desempeña la problematización del saber matemático escolar en las acciones didácticas, esto es a lo que llamaremos: fenómeno del empoderamiento docente. Este será el tema objeto de estudio del presente capítulo.

2. Profesionalización docente

En estas experiencias hemos tenido una estructuración común: ejes de profesionalización docente basados en la Teoría Socioepistemológica de la Matemática Educativa. Ello se ha expresado a través de nociones como transversalidad curricular, práctica social, situaciones de aprendizaje situadas en entornos culturales, construcción social -del saber matemático,

Son numerosos los estudios realizados en este último tíeinpo sobre la formación y profesionalización docente en el ,campo de las Matemáticas y su repercusión en distintas regiones del orbe es constatada por la gran diversidad de publicaciones (Ball, Thames y Phelps, 2008; Contreras, Carrillo, Zakaryan y otros, 2012; Da Ponte, QuMesma y Branco, 2012; Gellert, Becerra y Chapman, ,2013; Llinares, Valls y Roig, 2008; Rivas, Godino y Castro, 2012). Las investigaciones en esta temática se sustentan

158

1S9

práctica.

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MATEMÁTICA EDUCATIVA: lA FORMACIÓN DE PROFESORES MATEMÁTICA EDUCATIVA: lA FORMACIÓN DE PROFESORES

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normalmente en reflexiones que denominaremos "clásicas": estudios concepciones, creencias, formación continua o profesionalización dcen,te: 1

sobre.

e:

contenido pedagógico del conocimiento, el contenido

conocimiento para la enseñanza; sobre las prácticas de los docente

través del análisis de tareas propuestas, el tipo de discurso en el aula y

~o:

roles asumidos por los docentes y estudiantes· conocimientos teórico ·ti· ' largo etcétera. Es decir sy prac cos que db e en tener Jos docentes y así un exJ.S~e una fuerte centracwn en los procesos didáctico-pedagógicos ·' . .. sm : . n nues a opm10n, una adecuada "problematización del saber tr e realizar matematico escolar", en otras palabras, "hacer del saber matemático escol_ar un probl~ma de estudio", un objeto para el análisis didáctico, ~~~do Y :mabzando s~ uso y su razón de ser. Considerarnos que esto

último se ubica en el nucleo de la acción didáctica: le llamaremos ¡ •estudiO de naturaleza ontológica y la dimensión epistemológica

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saber matematico enseñado". Nuestra contribución reside específicamente

en este ~sU?_to: atender a la profesionalización docente desde la problematizacwn del saber matemático escolar.

por tanto, nuestro trabajo, enfatizado en el saber matemático, busca su

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rediseño. Metafóricamente hablando, diríamos que el remedio es parte del mal· En nuestro acercamiento hemos identificado uno de los posibles catninos que conducen la transición del saber matemático desde una

perspectiva platónica, centrada en objetos abstractos ajenos a la realidad, hacia una visión socioepistemológica en donde se privilegie la vida misma del que aprende, la aceptación de las distintas formas de argumentación, donde se favorezca la aparición de diversas racionalidades contextualizadas y que el saber adquiera un estatus funcional; esto favorece una resignificación progresiva del que aprende considerando

marcos de referencia diversos y concibiendo que la base de la construcción atiende a la profesionalización docente desde la problematización del saber matemático escolar lo hemos denominado empoderamiento docente.

2.1 Profesionalización docente y problematización del saber matemático escolar: una alternativa para el cambio La diferencia fundru:>;ntal con las posturas que abordan la problemática de la p~o:eswnalizacwn docente radica en el papel que le darnos al saber

3. Empoderamiento

cone1ben a la matematica centrada en objetos abstractos y formulaciones esc~Jar~s preconfiguradas -perspectiva platónica-, la visión socwepiStemológica asume a las prácticas sociales como la base de la c_onstrucción del conocimiento matemático de toda persona. Este hecho tiene repercusiones al momento de plantearse una reflexión conjunta.

ejemplo, desde un enfoque psicosocial (Martín, 2011), social (Silva y Martinez, 2007), feminista (Carnacho, 2003), desde la psicologia comunitaria (Montero, 2006), o bien, desde un enfoque educativo (Howe Y Stubbs, 1998, 2003; Stolk, De Jong, Bulte y Pilot, 2011), y en todas ellas pueden encontrarse elementos transversales que caracterizan al fenómeno: se entiende como un proceso del individuo en colectivo, que parte de la reflexión para consolidarse en la acción, que se produce desde el individuo sin la posibilidad de ser otorgado y, por sobre todas las cosas, que

Si partimos. de la idea de que Jos problemas de aprendizaje en Matematicas residen en las acciones inmediatas de los actores del sistema educativo, en particular en Jos docentes, inevitablemente enfocaremos n~e_sn:os anális!s. de dicha problemática hacia cuestiones propiamente di~actico-pedagog¡cas a fin de contribuir en la mejora de las clases bnndand? mejo~es estrategias didácticas para el aula y hacer, de este modo, mas accesible un saber matemático. Sin embargo, a contracorriente de lo ~~e suele afrrmarse, . nuestra postura despersonifica dicha problematica y da vuelta la mrrada hacia aquello que hasta hace tres

La noción de empoderamiento es estudiada en diversas disciplinas, por

transforma su realidad. En este caso, ahondaremos en aquellos que refieren a la educación. Los proyectos que tienen como propósito impulsar el empoderarniento docente (Howe y Stubbs, 1998, 2003; Stolk, De Jong, Bulte y Pilot, 2011), se proponen que los docentes obtengan una actitud de liderazgo, confianza y mejora en sus prácticas para la enseñanza a través de brindarles 161

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esta en las prácticas sociales. A este fenómeno de carácter social que

maten:atic~ ell; _Jos fenómenos didácticos en general y en el proceso de prof~sionalizacwn e~ . particular. Mientras que algunas perspectivas

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décadas no se cuestionaba: ponemos en discusión al propio objeto de oprendizaje, Jos contenidos y. las ideologias, digamos que al dtscurso ¡,fatemattco Escolar (dME). Partimos de considerar que en éste esta la rruz de )os conflictos para la enseñanza y el aprendizaje de las Matematicas, porque sobre su base han sido formados tanto estudiantes como docentes.

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MATEMÁTICA EDUCATIVA: lA FORMACIÓN DE PROFESORES

es en ese sentido que reconocemos que está transformando su realidad herramientas para que realicen nuevas situaciones para el aula potliend, como . p_unto importante la contextualización, ya sea conoc1m1ento {conocer que existe) de nuevas investigaciones rellac'ionad101! c?n e~ tema a abordar, así como también mediante la muestra s1tuacrones. q~e brinden un contexto a lo que ellos ya conocen. embargo, SI b1en nosotros coincidimos plenamente con los resultados ~e esperan, consideramos que este tipo de análisis se reduce a un ,. mterpretación pedagógica: tal como la habíamos enunciado co: ant~nondad, aunada a la 1dea de la toma de actitudes de liderazgo. Pero ¿q~e . es ~1 empoderamíento docente desde una mirad soc10ep1stemologica? a

3.1 Empoderamiento docente desde una mirada socioepistemológica

Di~rsa~ investigaciones ?esde la Teoría Socioepistemológica han ~denC!ado que el dME está centt:ado en objetos matemáticos abstractos aJe~os a la re.~dad humana, provocando que su aprendizaje se reduzca a

la mc?rporac10n de. ciertos algoritmos, argumentaciones y procedimientos especifi~s, es deru, _~arece de un sentido humano. En este tipo de centrac10n, la matematica es preexistente a cualquier actividad humana (Cantoral, __ 2003). Ent?nMeado ¡noblemu 10-

Fuente: elaboración propia. Tabla 2. características de un

Palabra/Descriptor

talento-en Matemáticas

Frecuencia de aparición (veces) !'.:

186

Emociones Las siguientes tres preguntas se asociaron con las emociolies del docente, las cuales describe a partir de su experiencia cotidiana.

187

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MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN DE PROFESORES

. 4. ¿Qué es lo que te produce mayor preocupación en Matemáticas? Las respuestas se dividieron de acuerdo con datJilennati teachers es""'"ally th ,............. ose oare' tr·· proposal.' m ammg, is discussed Key words: teaching of Mathem . . . question, didactic impulses. atics, mstructional heuristics

l. Antecedentes

Esta propuesta didáctica se . . como dooenre de Didáctica ~II';,¡en la ~~nencta profesional acumulada formación permanente de fe atematica de pregrado y posgrado en la ~stituciones educativas de ~;'ossore_s de Matemática en Cuba y en . mvestigaciones cientificas en pwses. É~ta se ha nutrido de varias propia, así como de la formació e~ ~po, mcluyendo la tesis doctoral elaboración de numerosos ~os ':ster Y d~or:es en Ciencias y de la Y textos Científicos sobre el tema.

1.1 Eltposición de lap",/!lemática abordada

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1'

La heuristica es ia ciencia en del descubrimiento y la inv ~gada del estudio de las reglas y métodos tan di~ersos como la Filoso:'~~ni>JC::t e_ncontrado a¡;>~cación en campos Su ongen está estrechamente vincula~ la Mate'?atica y la Pedagogia {470-399 a. n. -e.) Ei-«od . o con el filosofo griego Sócrates • • """ 0 socrático constitu · rruces lústóricas de la conversació ~e, Junto al catequismo, las lugar a lo que después se ha dado nllcomo metodo de enseñanza y dio .

,. en amar conversación heurística'

En · · . la didáctica, el, método heuristico se h. f: .. trabaJ?~ de F. A. Diesterweg (1790-1866 . IZO ~ a partir de los dogmatica y heuristica resaltand ~llleil divtdio la enseñanza en este sentido, los experhnentos del ~sta Ul~a..También se destacan, en 1954) y las publicaciones del h · dagog inglés H. E. Armstrong (1890la Matemática es conocido por ~:~ ~- P~lya (~887-1985). Su empleo en a la vez adjudicaba iguales proi:x;si:~"! ;1 gnegl"do Pappus (300-?), quien uc 1 es (365-300 a. n. e.), a

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(262-190 a. n. e.) y a Arquimedes (287-212 a. n. e.). Se conoce,

~;e npio, que Arquímedes describió en una carta a su amigo

1

las estrategias heuristicas de resolución de problemas ¡¡nii tic·OS, que él denominó un método y obtuvo diversas fórmulas 1 aétJriaLS jcomo el volumen de la esfera, de un elipsoide de revolución y sección de paraboloide de revolución) por analogia con su conocida .,cánica de la palanca (Cantora!, 1988). Posteriormente a los griegos, 111 ewrística fue utilizada con éxito por destacados matemáticos como R. 1 (1596-1650), W. Leibniz (1646-171"6) y B. Bolzano (1781-1848), J. Kepler (1571-1"630), L. Euler (1707-1783) y P. S. Laplace

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En ese sentido, P. S. Laplace llegó a afirmar: "Aún en las ciencias ate~nática.s nuestros instrumentos principales para descubrir ·la verdad 1a inducción y la analogía" (citado en Polya, 1966: 65). Mientras que J. señalaba: "Yo estimo a las analogias más que nada, son mis guías dignas de confianza. Ellas conocen todos los secretos de la Naturaleza ser menos descuidadas en geometria" (citado en Polya, 1966: 37). Ese marcado interés de los matemáticos por la heuristica es explicado Polya cuando señala: ¡...] Las Matemáticas presentan dos caras: por un lado son la ciencia rigurosa de Euclides, pero también son algo más. Las Matemáticas presentadas a la manera euclidiana aparecen como una ciencia sistemática, deductiva; pero las Matemáticas en via de formación aparecen como una ciencia -experimental, inductiva (Polya, 1986: 3). Se sustenta en la estrecha relación de la heuristica con las foqnas de ·· trabajo y pensamiento de la Matemática: la variación de condiciones, la büsqueda de relaciones y las consideraciones por analogía {Ballester Arango y Rodriguez, 1992). Un intento de despliegue de una enseñanza de la Matemática apegada a ia lógica {interna) de esta ciencia pr-esupone un empleo sistemático del método heuristico en las clases. Ello fue tempranamente observado por G. Polya, quien en su libro .¿Cónw plantear y rosolver problem.aS? destacó, ya desde 1944, la necesidad de dotar a los estudiantes de recursos de bfu;queda y de un programa general de resolución de problemas. Las ideas de G. Polya han sid(l posteriormente enriquecidas por los metodólogos alemanes: D. Kuscbman, W. Jungk, W. Zilbner, K. Rony H. M11ller, y tenidas en cuenta por educadores matemáticos de otras latitudes, como los españoles M. de Guzmán y S. Femández, los 207

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MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN DE PROFESORES

MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN DE PROFESORES

A decir de esta autora: La Instrucción Heurística (de la Matemática) es la enseñanza consciente y planificada de reglas generales y especiales de la heurísti~a para la solución de problemas, para lo cual es necesano que, cuando se declaren por primera vez las mismas explícitament_e, se destaquen de un modo claro y firme, y se recalque su unportancia en clases posteriores hasta que los alumnos las aprendan y utilicen independientemente de manera generalizada, por lo que debe ejercitarse su uso en numerosas y variadas tareas (Ballester, Arango y Rodríguez

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~ ~strucción heurística de la Matemática presupone, así, el conocmnento y empleo consciente de tres tipos fundamentales de recursos heu~s~cos: los medios heurísticos auxiliares, los procedimientos heunsticos y el programa heurístico general. Los medios heurísticos allxili:ares constituyen recursos materializados de búsqueda que contrí_buyen a prec1sar los datos y las incógnitas del problema planteado· son ejemplos de medios heurísticos: los esbozos y figuras de análisis la~ tablas que destacan relaciones entre datos del problema y los momentos 0 resúm~n~s de los . lí?ros de texto escolares. Por . otra parte, los procedmn_entos _heunsticos constituyen recursos mentales de búsqueda quepe':'~uten onentarse y obtener la vía de solución durante el proceso de resolucton de un problema matemático.

Especialmente importantes son aquellos que posibilitan de manera directa la obtención de medios de solución y el establecimiento de una vía apropiada de resolución (Torres, 1993). Los procedimientos heurísticos han_ sido.~lasificados por los autores de diferentes formas. Una primera cl~s~c~cwn la ofrecen Jungk (1981) y Zillmer (1981), al diferenciar: pnnc1p10s, reglas y estrategias heurísticas. . Los principios heurísticos constituyen sugerencias para encontrar (directamente) la idea de solución principal de resolución; posibilita 208

1 1

mexicanos R. Cantoral y L. M. Santos Trigo, y el estadounidense Schoenfeld. En Cuba, la idea de la utilización de recursos heurístico 8 las clases de Matemática encontró eco en las enseñanzas de prestigiosos educadores D. M. Escalona y R. Albo, y posteriormente en de su destacada discípula S. Hernández Montes de Oca, a partir de la .· . se h~bla de InstrucCión Heurística de la Matemática (Ballester, Arang0 · Rodnguez, 1992). Y

1992: 225).

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••,minar. por tanto, a la vez los medios y la vía de solución. Las reglas ;,rístíca:l, por otra parte, actúan como impulsos generales dentro del de búsqueda y ayudan a encontrar, especialmente, los medios resolver el problema. En cambio, las estrategias heurísticas se como recursos organizativos del proceso de resolución, que ~r1tribuyrua en particular a determinar la vía de solución del problema Una segunda clasificación de los procedimientos heurísticos la introduce Müller (1997), al distinguir además entre procedimientos heurísticos generales y especiales. De esa manera, este autor reconoce como principios heurísticos generales los de: analogia, reducción e inducción. El principio heurístico de analogia consiste en un recurso de búsqueda de la idea principal de solución sobre la base de la utilización de ·semejanzas de forma o de contenido entre los elementos matemáticos. Un . ejemplo de utilización de este principio heurístico se presenta cuando se . obtienen los criterios de semejanzas de triángulos a partir de su similitud ·. con los criterios de igualdad de triángulos, previamente aprendidos. En cambio, el principio heurístico de reducción es aquel recurso de búsqueda de la idea principal de solución que se desarrolla sobre la base de la transformación de lo desconocido en conocido. Un ejemplo de su aplicación se tiene cuando se induce el procedimiento de resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas a partir de la sustitución de una variable por otra, con lo que se reduce la nueva situación al caso conocido de resolución de una ecua~ón lineal con una variable. Por último, el principio heurístico de inducción se define como el recurso de búsqueda de la idea principal de la solución que se concreta mediante la generalización de una relación a partir del análisis de varios casos particulares. Un ejemplo de aplicación de ese principio heurístico es el procedimiento sugerido por Gauss, en su infancia, para la obtención de una fórmula para calcular la suma de n números naturales: n(n+l)

1+2+ ... +n=-2

En cambio, a decir de Múller (1997), constituyen principiós heurísticos especiales: la generalización (a partir de un caso especial), la movilidad (variar las condiciones), el medir y comprobar sistemáticamente, la

209

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•••••••••••••• MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN Df PROFESORES

MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN DE PROF-ESORES

búsqueda de relaciones y dependencias y la consideración de casos especiales y casos limites.

o sea, que:

En cambio, son estrategias heurísticas especiales:

~üller clasifica las reglas heuristicas también en generales y

especiales. Son reglas heuristicas generales: separar lo dado de lo buscado, buscar relaciones entre los elementos dados y buscados y recordar conocimientos relacionados con lo dado o con lo buscado. ·

El esquema de Descartes (útil para el cálculo co'.' magnitudes), consistente en considerar simultáneamente las magrutudes O): (a + O sea, que: a' +2ab + b' ;:: 4ab .

Transponiendo:

a'- 2ab +b' ;:: O. 210

(a-b) 2 :2 O, yeso ocurre para todo a,bE 9t.

~

El método de los lugares geométricos (de utilidad para ejerci~ios de construcción que se reducen a la obtención de un punto), consistente en determinar al menos dos conjuntos de puntos a los qu~ perteneoe el punto buscado y determinar la intersección de ambos conJuntos; Y .

• El método de las transformaciones geométricas (de util!~ad para ejercicios de construcción que no se reducen a la obtenCio'.' de un punto), y que radica en construir una figura que cumpla parCialmente con las condiciones exigidas y después obtener la f¡gura deseada mediante una transformación geométrica. Finalmente, el programa heuristico general es la secuencia de a~!ones delimitada por las etapas principales del proceso general de resoluc10n de un problema (matemático), que reproduce la lóg_ica_ misma de ese proceso. Dicho programa está -compuesto por las s1g111entes fases y tareas principales: TAREAS fRINCIPALES:

·FASES FUNDAMENTALES:

1. Orientación hacia el problema.

Comprensión del problema. Búsqueda de la idea de la solución

3. Solución del problema.

(reflexión sobre los medios y reflexión sobre la vía). Ejecución del plan de. solución.

4. Evaluación de la solución y de la vía.

Comprobación de la solución y reflexión sobre los métodos empleados.

2. Trabajo en el problema.

Para concluir esta sección, se expondrá un ejemplo. de tratamie.nto metodológico de la tarea docente: Demuestre que en todo tridngulo, la ~tad del perímetro es mayor que la longitud de cada lado, e'.' e_l que se pon~r~ de manifiesto el empleo de algunos de los procedimientos heunsticos anteriormente señalados. 211

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MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN DE PROFESORES

MATEMÁTICA EDUCATIVA: LA FORMACIÓN DE PROFESORES

Profesor: ¿Qué es conveniente hacer para iniciar la búsqueda de una demostración? (regla heurística: separar premisas y tesis).

·:··

. t e: Prem1sa: · AB e triangulo .. . Tesxs: · a