Matemática Discreta - Exercícios resolvidos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDDE

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E CCOMPUTAÇÃO Professor: Ulrich Schiel Matemática Discreta

Lista de exercícios resolvidos

Parte I: Técnicas de prova e definições indutivas 1)

Vamos provar a conjectura “ Para um número ser primo não é suficiente que seja ímpar ”. ”. Siga os seguintes passos para prová-la: (a) Desconsidere o não do enunciado e coloque o restante na forma “ se P então Q” (b) Para provar a frase original “não ( se  se P então Q)” basta refutar “ se P então Q” (a) Como o enunciado fala em suficiência o P será a segunda parte “o número é impar”. Logo, o enunciado sem a negação será “ se um número é ímpar então ele é primo” (b) para (b)  para refutar (a) basta encontrar enc ontrar um contra-exemplo. Ora, 9 é ímpar mas não é primo. Logo a conjectura original está provada.

2) Prove que para um inteiro n, n3+5 é ímpar se somente se n é par: a)  por contraposição (a par te te ‘se’) Temos que provar que Se n é par então n3+5 é ímpar  por  por contraposição, ou seja: 3  . Temos que provar que Se n + 5 épar en entt ão n éím par  3 3 3 Se n +5 é par então n +5 = 2k logo n +2.2 + 1 = 2k, logo n3 tem que ser ímpar pois se fosse par daria 2m+2.2 + 1= 2(m+2) + 1 o que é ímpar. Mas, se n3 é ímpar, n não pode ser par pois nesse caso n3=2r.2r.2r = 2(4r 2) que é par. Logo n tem que ser ímpar. c.q.d. Temos que provar que Se n não é par então n3+5 não é ímpar . Como, por hipótese n é ímpar, será da forma n= 2k+1 para algum k. Então n3 +5= (2k+1)3 +5= (4k 2 + 4k+1)(2k+1)+5 = 8k 3+8k+2k+4k 2+4k+1+5 = 8k 3+4k 2+14k+6= 2 (4k 3+2k 714k+3), logo r= 4k 3+2k 714k+3 é um inteiro e temos que n3 +5= 2r, portanto é par. C.Q.D.  b)  por absurdo ( a parte ‘somente ‘so mente se’) 3 Temos que provar que Se n +5 é ímpar então n é par  por  por absurdo. 3 Suponhamos que n +5 é ímpar mas n também é ímpar. Mas, se n é ímpar, é da forma 2k+1, nesse caso teríamos n3 +5 = (2k+1)3 = (2k+1) (2k+1) (2k+1) + 5 = (4k 2+ 4k+3)(2k+1) + 5 = 8k 3 + 4k 2 + 8k 2 + 4k + 6k + 3 + 5 = 8k 3 + 12k 2 + 8k + 8 = 2(4k 3 + 6k 2 + 4k + 4) Que é para, em contradição de que n3+5 é ímpar. c.q.d. 3)

4)

Prove que “se x é positivo então x+1 é positivo” a)  por contraposição  b)  por contradição (a)  provar que “se x+1 não é positivo po sitivo então x não é positivo”. Ora, se x+1  0, como x x, teremos x+1 > 0, contradição com a hipótese. (a) Mostre, por contradição, que a função inversa de uma função bijetiva f(x), é única.

Suponhamos que f(x) tem duas inversas f 1-1(y) e f 2-1(y). Como as duas funções são diferentes existe um y tal que f 1-1(y)  f 2-1(y). Neste caso, se x1= f 1-1(y) e x2 = f 2-1(y) temos que, f(x1)=y e f(x2)=y, já que as duas são inversas de f(x). Mas neste caso f(x) não é injetiva e, portanto, não é bijetiva! CONTRADIÇÃO. (b) Prove, por indução, que para todo inteiro inteiro positivo n vale que 7n-2n é divisível por 5. Para n=1 temos 7-2=5 OK  Supondo que 7n-2n é divisível por 5 existe um k tal que 7n-2n=5k. Agora 7(n+1) –  7(n+1) – 2(n+1)= 2(n+1)= 7n+7-(2n+2)= 7n-2n +7-2 = 5k +7-2=5(k+1). CONFIRMADO 5)

A seqüência de números triangulares é 1, 3, 6, 10, .. é baseada nos triângulos

1 3 6 Encontre a relação de recorrência e a fórmula fechada desta seqüência. Para encontrar a fórmula fechada use o princípio expandir, supor, verificar. A sequência será 1, 3(=1+2), 6(=3+3), 10(=6+4), 15(=10+5), 21(=15+6),.., logo a relação de recorrência será: S(1) = 1 e S(n) = S(n-1) + n. Fórmula fechada: Expandir: S(1) = 1; S(2) = 1 + 2; S(3) = 1 + 2 + 3; S(4) = 1 + 2 + 3 + 4 Supor: S(n) = i=1,..,n i Verificar: S(1)=1 = i=1,..,1 i Supondo verdadeiro que S(n) = i=1,..,n i temos que S(n+1) = S(n) + n+1 = i=1,..,n i + n+1 = i=1,..,n+1 i C.Q.D.O 6)

Mostre, por indução, que para a seqüência de Fibonacci vale a relação F(n) < 2n

(N.B. a seqüência de Fibonacci é dada por F(1)=1; F(2)=2 e F(n)=F(n-1) + F(n-2)) Hipótese de indução: F(1) = 1 < 21, F(2) = 2 < 22, F(n-1) < 2n-1 e F(n) < 2n. Vamos mostrar que F(n+1) = < 2n+1 para n > 2 Por definição temos que F(n+1) = F(n) + F(n-1), substituindo a hipótese de indução, temos que F(n+1) < = 2. 2n-1 + 2n-1. = 3.2n-1 < 4.2n-1 = 2n+1 está provada a conjectura.  Na prova acima foi usada ‘indução completa’. A prova p rova por indução simples seria: F(n+1) = F(n) + F(n-1), pela definição de F(n) = F(n-1)+F(n-2) + F(n-1), pela hipótese de indução < 2n + F(n-1) como F(n-1) = F(n) F(n) –   – F(n-2) F(n-2) n n n+1 < 2 + 2  –   – F(n-2) F(n-2) = 2  –   – F(n-2) F(n-2) n+1 Então temos F(n+1) + F(n-2) < 2 e, como F(n-2) > 0 teremos F(n+1) < 2n+1 7) Mostre, por indução, que n3 + 2n é divisível por 3 n=1: 1+2=3 supondo que n3.+ 2n é divisível por 3, temos n3.+ 2n = 3k  agora (n+1)3.+ 2(n+1) = (n+1)(n2 + 2n +1)+2n+2 = n3 + 2n2 + n + n2 + 2n + 1 + 2n +2 = 3k + 3n2 + 3n +3 = 3(k + n2 + 3n + 1) 8) Prove que “se x e y são ímpares então x+y é par” a. Por contraposição : Se x+y é impar então x ou y é par.

Pela hipótese x+y = 2n + 1. Mas, para que isso aconteca, x e y não podem ser ambos ímpares  pois, neste caso, teríamos x+y = 2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1), que é par. Logo x ou y tem que ser   par.  b. Por contradição Para x e y impares, suponha x+y impar. Mas, se x+y é ímpar, x+y = 2k+1. Nesse caso x e y não  podem ser ambos ímpares pois, teríamos x+y =2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1), que é par! 9)

Uma sequência é definida por S(1) = 1, S(n)=n+S(n-1) Encontre a forma fechada, usando o princípio: expandir, supor, verificar.

RESP:  Expandir : S(1) = 1; S(2) = 2 + 1; S(3) = 3 + S(2) = 3 + 2 + 1; S(4) = 4 + S(3) = 4 + 3 + 2 + 1 Supor : S(n) = i=1,..,n i Verificar : por indução: S(1) = i=1,..,1 i = 1, OK 

Supondo que vale S(n) = i=1,..,n i teremos S(n+1) = n+1 + S(n) = n+1 + i=1,..,n i = i=1,..,n+1 i. Verificado! 10)

Demonstre quais das afirmações a seguir são verdadeiras ou mostre quais são falsas: a) O cubo de um número par x é par  Verdadeiro. Prova por absurdo: Suponhamos que existe um ímpar n = p3, em que p é um par. Logo n =  p.p.p = p2.p Como p é par existe um inteiro q tal que p=2.q. Mas então temos que = p2.q.2 e fazendo  p2.q = m temos n = 2.m, contradizendo a suposição de que n é ímpar.  b) |x+y|  |x| + |y| Verdadeiro: Temos 3 casos principais: (1) x e y positivos, (2) um deles é negativo e (3) ambos negativos. (1) Neste caso, |x| = x e |y| = y, logo |x+y| = |x| + |y| = x+y (2) Seja x< 0 e y  0, neste caso x+y < |x| + y = |x| + |y| e, como para todo número n|n| temos que |x+y| < ||x| + |y|| = |x| + |y| (3)  para x e y negativos teremos |x+y|  |-(-x + -y)| = |(-x + -y)|  |-x| + |-y| = |x| + |y| (4) Os casos em que um deles é 0 podem ser enquadrados nos casos anteriores. c) 1+5+9+ ... + (4n-3) = n(2n-1) {prove por indução que vale para todo inteiro positivo n} Prova: Para n=1 temos 4n-3=1 a sequência terá um só termo como 1=1(2.1-1)= 1. OK  Supondo que vale para n, para n+1 sería: 1+5+9+ ... + (4n-3)+(4(n+1)-3) = (n+1)(2(n+1)-1) 2 2 n(2n-1) + 4n+4-3 = 2n -n + 4n +1= 2n + 3n +1 A outra parte fica sendo (n+1)(2n+2-1) = (n+1)(2n+1) = 2n2+n+ 2n+1=2n2+3n+1 C.Q.D. 11) Sabemos que para uma relação de recorrência do tipo S(n) = c.S(n-1) + g(n),  podemos encontrar a fórmula fechada pela equação S(n) = cn-1 S(1) + (k=0..n-2) ck  g(n-k ). Aplique esta equação à relação de recorrência a S(1) = 2; S(n) = 2.S(n-1) + n2 + 1 a) Determine sua fórmula fechada A equação S(n) = c n-1 S(1) + (k=0..n-2) ck  g(n-k), aplicada à relação S(1) = 2 e S(n) = 2.S(n-1) + n 2 + 1 Temos que c= 2, S(1)=2 e g(n) = n 2+1, logo a fórmula será S(n) = 2n-1 2 + (k=0..n-2) [2k  ((n-k)2+1)] = 2n + (k=0..n-2) [2k  ((n-k)2+1)]

 b) Calcule S(4)

Para n=4, temos que S(4) = 2 4-1 2 + (k=0..4-2) [2k  ((4-k)2+1)] = 2 3 2 + (k=0..2) [2k  ((4-k)2+1)] = 16 + 2 0 (42+1) + 2 1.(32+1) + 22.(22+1) = 16 + 16+1 + 2(9+1) + 4(4+1) = 33 + 20 + 20 = 73

Conferindo: S(1) = 2; S(2) = 4+4+1=9; S(3) = 2.9+9+1= 28; S(4) = 2.28+16+1= 73

Parte II: Conjuntos e Gramáticas 1) Sejam A = {p,q,r,s}; B = {r,t,v} e C = {p,s,t,u}. subconjuntos de S={p,q,r,s,t,u,v,w} Encontre (Obs. A’ é o complemento de A): 1) (A  B)’ 2) A’ – (B  C) 3) (B-A)  A 4) R ={(x,y)  B  A tal que x precede y no alfabeto} 5) R ={(x,y)  B  S tal que x divide y} 1) (A  B) = {r}, logo (A  B)’ = {p,q,s,t,u,v,w} 2) {t,u,v,w} – {p,r,s,t,u,v} = {w} 3) {t,v}  {p,q,r,s} = {(t,p), (t,q), (t,r), (t,s), (v,p), (v,q), (v,r), (v,s)} 4) {(r,s)} 5) {(1,1),...,(1,10),(3,3),(3,6),(3,9),(5,5),(5,10)} 2) Sejam A = {2,4,5,6,8}, B = {1,3,5} e C = {x/x  Z e 3 x < 5} subconjuntos de S={0,...,10} Encontre: a. (A  B)’ (A  B)’ = ({2,4,5,6,8}  {1,3,5})’ = ({5})’ = {0,1,2,3,4,6,7,8,9,10}  b. A’ – (B  C) A’ – (B  C) = {2,4,5,6,8}’ – ({1,3,5}{3,4}= {0,1,3,7,9,10} – {1,3,4,5}) = {0,7,9,10} c. (B-A)  A ({1,3,5} - {2,4,5,6,8})  {2,4,5,6,8}= {1,3}  {2,4,5,6,8} = {,,,1,6>,, ,,,,} d. R ={(x,y)  B  A tal que x divide y} R = {,,,1,6>,, ,} 3) Sejam: A = {letras do teu primeiro nome} e B = {letras do teu último nome}. a) Encontre (A B’)’  (BA)' Obs. O universo é L={letras do alfabeto} (AB’)’ – (BA)’ AB’ = {U, R} (BA) = [U,L,R,I,C,H,S,E] (AB’)’ – (BA)’ = {A-Z exceto U e R] - {A-Z exceto U L R I C H S E] = {L,I,C,H,S,E}  b) Seja l1 = {das duas primeiras letras de teu primeiro nome} e l2 = {das duas primeira letras de teu último nome}. Encontre (A  B)(l1  l2). l1={U,L} , L2 = {S,C} logo li X l2 = {, ,, }. Nesse caso teremos A X B – (l1 X l2) todos os pares de letras de {U,L,R,I,C,H} e {S,C,H,I,E,L} exceto os 4 acima. 2) Seja a gramática G = < , L, P>, com  = tnt , t = {0,1}, nt= {S }, L= t* e as produções P = { S  0S, S  1} a) Quais sentenças válidas são produzidas por esta gramática?  b) E se acrescentarmos a produção S  S0? (a) As sentenças válidas são 1, 01, 001, 0001, 00001, ... (b) Agora temos 1, 01, 001, 0001, ... e 10, 100, 1000, ... e 010, 0010, 00010, ... Ou seja, todas cadeias com um ‘1’ e restante ‘0’s. 3) a) Qual a diferença entre  ,{}, {}? Dê a cardinalidade de cada um e as possíveis relações {, ,  ou =} entre eles.

RESP: ||=|{}|=0 e |{}| = 1.  = {},   {},   {},    e {}  {}.  b) Dados os conjuntos A={a, {a}, {{a}}}, B={a} e C={, {a,{a}}}, dê a cardinalidade de cada um e mostre quais afirmações são verdadeiras: CA; BA; BC; {a, {a}}A; A-BC. RESP: |A| = 3, |B| = 1, |C| = 2. CA - falsa; BA - verdadeira; BC - falsa; {a, {a}}A - falsa; A-BC - falsa. 4) Dados 3 conjuntos A, B e C, mostre que a) A X (B  C) = (A X B)  (A X C). Parte 1: A X (B  C)  (A X B)  (A X C) Se  A X (B  C) então x  A e y  (B  C). Nesse caso y  B e y  C). Mas, com x  A e y  B temos que  (A X B) e com x  A e y  C temos que  (A X C). Destes dois fatos deduzimos que < x,y>  (A X B)  (A X C). Parte 2: O inverso se mostra invertendo todos os argumentos anteriores.  b) (A  B) C) = A  (BC) Parte 1: (A  B) C)  A  (BC) Se  (A  B) C) então  A X B e  (A X C). Pela primeira pertinência sabemos que x  A e y  B. Logo, para valer a relação  só é possível se y C.  Nesse caso temos x  A, y  B e y  C o que caracteriza a situação (A X (B-C)). c.q.d. Parte 2: similar a anterior 

5) Considere a gramática: G = . Onde:  = {+, -, .,1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 ,0} U {B, S, I, P, F}, sendo B o símbolo inicial. R = {B  SIPF, S  +|-| λ I  ID | D P. F  DD D  0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9 } 1) Qual a linguagem que esta gramática define? RESP: esta gramática reconhece números com duas casas decimais podendo ter um sinal na frente ou não. Os números poderão começar com um ou mais dígitos ‘0’. Em outras palavras, reconhece sequencias da forma +nn...n.nn ou – n...n.nn ou nn...n.nn. 2) Mostre como ela reconhece o número -459.33 RESP: para testar, basta seguir, em ordem inversa, as regras até chegar a B. Ou seja, temos: -459.33  -459.DD -459.F  -459PF  -45DPF  -4DDPF  -DDDPF  SDDDPF  SIDDPF  SIDPF  SIPF  B (N.B. também pode-se percorrer o caminho inverso) 3) Modifique a gramática para que ela reconheça números inteiros, sem frações. RESP:Para reconhecer só números inteiros, deve-se alterar a primeira regra para BSI e excluir as regras P  . e F  DD Para reconhecer também números inteiros, a primeira regra fica sendo BSIPF | SI 5) Considere a gramática: G = . Onde:  = nt  t sendo t = {+, -, ., /, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 ,0} e nt = {B, EXP, OP, N, D}, com as regras de produção: R = { 1: B  EXP; 2: EXP  ( EXP ) OP N; 3: EXP  N OP N; 4: OP  + | - | . | / ; 5: N  D | ND; 6: D  0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9} a) Qual a linguagem que esta gramática define?

Define expressões aritméticas da forma op1 op op2 em que op é um dos operadores +, -, . ou /, op2 é um número inteiro positivo e op1 é ou também um inteiro ou outra expressão da mesma forma entre  parêntesis.  b) Mostre como ela reconhece a expressão (30-5)+025. Indique qual regra foi aplicada em cada  passo. -(1)-: B  EXP -(2)-: ( EXP ) OP N -(4)-: ( EXP ) + N -(5)-: ( EXP ) + ND -(5)-: ( EXP ) + NDD -(5)-: ( EXP ) + DDD -(6*)-: ( EXP ) + 025 -(3)-: ( N OP N ) + 025 -(5)-: ( N OP D ) + 025 -(6)-: ( N OP 5 ) + 025 -(5)-: ( ND OP 5 ) + 025 -(5)-: ( DD OP 5 ) + 025 -(5*)-: ( 30 OP 5 ) + 025 -(4)-: ( 30 - 5 ) + 025 c) Modifique a gramática para que ela: 1. também reconheça expressões entre parêntesis à direita e Alterar a regra (2) para: 2: EXP  N OP (EXP) | ( EXP ) OP N; 2. um número não comece com 0 (zero). Substituir as regras 5: e 6:  por 5:  N  P | PD; 6: D  DF | F; 7: P  1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9; 8: F  P | 0 |  E acrescentar aos não-terminais os símbolos P e F. 6) Considere a gramática: G = . Onde: R  0R1 | 1R0 | λ a) A palavra 11001 pertence à linguagem geada por G?  Não, pois se tentamos produzi-la, p.ex. R 1R011R001100 vai faltar a produção do último ‘1’ a direita. Generalizando, toda regra produz um número par de terminais, logo é impossível produzir uma cadeia com 5 dígitos.  b) Qual linguagem definida por G? Cadeias de 1s e 0s tal que para cada dígito na enésima posição da esquerda para a direita ocorre o inverso desse dígito na enésima posição da direita para a esquerda. 7) Considere a gramática: G = . Onde:  = nt  t sendo t = {‘a’, ‘b’, ‘c’,..,’x’, ‘y’, ‘z’, ‘,’, ‘ ‘} e nt = {NC, Nome, Sobrenome, N, Letra}, com as regras de produção: R = {1: NC  Nome ´ ´ Sobrenome; 2: Nome   N | N ‘ ‘ Nome; 3: Sobrenome   N | N ‘ ‘  Nome; 4: N  Letra | Letra N; 5: Letra  ‘a’ | ‘b’ | .. | ‘z’ ; c) Mostre a sequência de produções para produzir teu nome completo. 1: NC  Nome ´ ´ Sobrenome; (2): N ´ ´ Sobrenome; (4): Letra N ´ ´ Sobrenome; (4)5 vezes: Letra Letra Letra Letra Letra Letra ´ ´ Sobrenome; (5)6 vezes: ulrich ´ ´ Sobrenome; (3): ulrich ´ ´ N; Repetindo (4)5 vezes: e (5)6 vezes: obtemos ulrich schiel d) Altere a gramática para produzir o nome na forma inversa sendo que só o último sobrenome aparece antes da vírgula. Basta alterar as regras (1) e (3). Ficarão sendo: 1: NC  Sobrenome ´, ´ Nome; 3: Sobrenome  N; 8) a) Uma mulher tem 7 blusas, 5 saias e 9 vestidos. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir? (princípios da adição e multiplicação) Existem duas formas de se vestir: (1) blusa e saia ou (2) vestido

(1) Para combinar 7 blusas com 5 saias, pelo princípio da multiplicação, há 35 combinações possíveis (2) Aqui há 9 vestidos diferentes que podem ser vestidos Pelo princípio da adição haverá, ao todo, 35 + 9 = 44 possibilidades  b) Queremos criar uma codificação binária para um conjunto de k caracteres. Determine quantas casas  binárias são necessárias para codificar todos caracteres (princípio das casas de pombos). Para k=2 bastaria uma posição binária. Para k=3 ou 4, precisaríamos 2 casas, que dão 4 combinações. Para k entre 5 e 8 seriam 3. No geral, em n posições cabem 2 n combinações. Logo, para codificar k caracteres o número de posições n será tal que 2 n-1 < k < 2 n.

9) Uma pesquisa dentre 150 estudantes revelou que 83 são proprietários de carros, 97 possuem bicicletas, 28 têm motocicletas, 53 são donos de carros e bicicletas, 14 têm carros e motocicletas, sete possuem  bicicletas e motocicletas, e dois têm todos os três. Resp.: Seja E o conjunto dos Estudantes, C os que têm carro, B os que têm bicicleta e M os que têm motocicleta. Teremos: |E| = 150 |C| = 83 |B| = 97 e |M| = 28; |CCM| = 14 , |BM| = 7 e |CBM| = 2 1) Quantos estudantes possuem apenas bicicletas? Resp.: Os que só têm bicicletas são dados por  |B| - |C | - |B| + |C  | = = 97 - 53 - 7 + 2 = 41 2) Quantos estudantes não têm qualquer dos três? Resp.: Todos que tê algum veículo são dados por  |C  | = |C| + |B| + |M| - |C | - |C | - |B| + |C  | = = 83 + 97 + 28 - 53 - 14 - 7 + 2 = 136 Logo, os que não têm nada, são 150 – 136 = 14 10) Você está desenvolvendo um novo sabonete e contratou uma empresa de pesquisa de opinião pública  para realizar uma pesquisa de mercado para você. A empresa constatou que, em sua pesquisa de 450 consumidores, os fatores a seguir foram considerados relevantes na decisão de compra de um sabonete: Perfume 425 Fácil produção de espuma 397 Ingredientes naturais 340 Perfume e fácil produção de espuma 284 Perfume e ingredientes naturais 315 Fácil produção de espuma e ingredientes naturais 219 Todos os três fatores 147 Você confiaria nesses resultados? Justifique. Resp.: Seja C o conjunto dos consumidores P o conjunto dos que preferem o perfume; E o conjunto dos que preferem a espuma; e  N o conjunto dos que preferem ingredientes naturais. Temos |C| = 450, |P| = 425, |E| = 397 e |N| = 340 |PE| = 284, |P+  = 315, |NE| = 219 e |PE+  = 147 Supondo que 'Perfume' significa 'Só Perfume', todos conjuntos serão disjuntos. Nesse caso teremos que |C| E| + |P+  + |NE| + |PE+   425 + 397+340+284+315+219+147 = 2127, mas |C| = 450!! Mesmo supondo que 'Perfume' significa 'Também Perfume' teríamos |C| = |P  | = |P| + |E| + |N| - |P | - |P | - |E| + |P  | =

425+397+340- 284 o que ainda é maior que 450

315 - 219 +

147

= 491

10)Quantas vezes dois dados precisam ser lançados para termos certeza que obtivemos algum par duas vezes? (Sugestão: divida as soluções em dois casos: 1.Quando os dados tiverem o mesmo valor  2.Quando os valores forem diferentes) Resp. Como os resultados dos dois dados são independentes e cada dado tem 6 faces há, pelo princípio da multiplicação 6x6=36 possibilidades. Seguindo a sugestão, consideramos dois casos: a) Quando os dois dados têm o mesmo valor, há 6 possibilidades;  b) Fora (a) sobraram 30 possibilidades. Para cada par (dado1=n,dado2=m) existe outro lançamento (dado1=m,dado2=n) idêntico. Assim, haverá 15 lançamentos diferentes. Pelo princípio da adição haverá 6+15 = 21 possibilidades de pares diferentes. Logo, pelo princípio da casa do pombo, após 22 lançamentos, um par terá que se repetir. OUTRA SOLUÇÃO: Há 6 casos aditivos, dependentes: 1. se para o dado-1 cair 1, haverá 6 combinações possíveis com o dado-2 2. se para o dado-1 cair 2, além de (2,1)., haverá mais 5 combinações possíveis 3. se cair 3, haverá mais 4 combinações novas 4.  para o 4, haverá mais 3 combinações novas 5.  para o 5 há mais 2 combinações 6.  para o 6 há mais uma combinação, o (6,6). Assim, pelo princípio da adição temos, ao todo, 6+5+4+3+2+1 = 21 combinações distintas.

Parte III: Relações 1) Podem ser definidas mais propriedades de relações binárias  em um conjunto S:  é irreflexiva quando xS temos (x,x)  ]  é assimétrica quando x,yS temos [(x, y)   (y, x)  ] a. Construa uma relação binária em S = {1,2,3} que é assimétrica e anti-simétrica. Obtenha o fecho transitivo desta tua relação.  b. Analise o conjunto