February 24, 2017 | Author: Rogério Rodrigues Da Rosa | Category: N/A
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Volume
1 Matemática Ensino Médio
LUIZ ROBERTO DANTE • Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP • Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática, pela PUC – São Paulo • Mestre em Matemática pela USP • Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP • Ex-professor da rede estadual do Ensino Fundamental e Médio – São Paulo • Autor de vários livros, entre os quais: Didática da resolução de problemas de Matemática; Didática da Matemática na pré-escola; Coleção Aprendendo Sempre (1º- ao 5º- ano); Tudo é Matemática (6º- ao 9º- ano); Matemática Contexto & Aplicações (Volume único), por esta editora.
Manual do Professor
1a edição 1 impressão 2013 – São Paulo a
Gerente Editorial: Margarete Gomes
Editora: Cármen Matricardi
Edição de texto: Lídia La Marck Sônia Scoss Nicolai
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.) Kátia Scaff Marques (coord.) Ivana Alves Costa Maurício Baptista Vieira Patrícia Travanca
Assessoria didática: Eloy Ferraz Machado Neto Sofia Isabel Machado Lucas Pesquisa iconográfica e cartográfica: Sílvio Kligin (superv.) Cláudia Bertolazzi (iconografia) Márcio Santos de Souza (cartografia)
Edição de arte: Rosimeire Tada (coord.)
Programação visual: Catherine Saori Ishihara
Editoração eletrônica: Formato Comunicação Ltda. Maria Alice Silvestre Guimarães Loide Edelweiss Iizuka
Ilustrações e gráficos: Formato Comunicação Ltda.
Capa: Estúdio Sintonia
Foto da capa: Ewa Ahlin/Johner RF/Getty Images
Título original da obra: Matemática – Contexto & Aplicações – Volume 1 © Editora Ática S.A.
ISBN 978 85 08 12909-6 (aluno) ISBN 978 85 08 12910-2 (professor)
2013 Todos os direitos reservados pela Editora Ática S.A. Av. Otaviano Alves de Lima, 4400 5º- andar e andar intermediário Ala A Freguesia do Ó – CEP 02909-900 São Paulo – SP Tel.: 0800 115152 – Fax: 0(XX)11 3990-1616 www.atica.com.br
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Apresentação A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos. Aristóteles Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real. Lobachevsky Ao elaborar esta coleção para o Ensino Médio, levamos em conta as ideias que abrem esta apresentação. Isso porque nosso objetivo é criar condições para que o aluno possa compreender as ideias básicas da Matemática desse nível de ensino atribuindo significado a elas, além de saber aplicá-las na resolução de problemas do mundo real. Todos os conceitos básicos próprios do Ensino Médio foram explorados de maneira intuitiva e compreensível. As receitas prontas e o formalismo excessivo foram evitados, porém mantivemos o rigor coerente com o nível para o qual a coleção está sendo proposta. Na abertura dos capítulos apresentamos informações gerais sobre o assunto que será discutido, para preparar o aluno e despertar nele o interesse sobre o tema. Antes de resolver os exercícios propostos, é absolutamente necessário que o aluno estude a teoria e refaça os exemplos. Na seção Tim-tim por tim-tim, com exemplos comentados, explicitamos as fases da resolução de um problema. A seção A Matemática e as práticas sociais foi criada para formular, resolver e interpretar situações-problema que exigem a participação consciente do cidadão na sociedade. Cada capítulo contém ainda uma seção de Atividades adicionais com questões de vestibulares de todas as regiões do país, destinadas a revisar, fixar e aprofundar os conteúdos estudados. No fim de cada volume foram incluídas questões do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem). A coleção engloba, desse modo, todos os assuntos costumeiramente trabalhados no Ensino Médio, além de auxiliar o aluno em sua preparação para os processos seletivos de ingresso nos cursos de Educação Superior. Esperamos poder contribuir para o trabalho do professor em sala de aula e para o processo de aprendizagem dos alunos, consolidando e aprofundando o que eles aprenderam no Ensino Fundamental. As sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste trabalho serão sempre bem-vindas. O autor 3
sumário 9. Contrapositiva............................................................. 27
Capítulo 1 Revisão: produtos notáveis e fatoração.......................................................................
10. Operações entre conjuntos................................ 28 8
11. Conjuntos numéricos............................................. 36 12. Intervalos........................................................................ 44
1. Produtos notáveis..................................................... 10
13. Coordenadas cartesianas...................................... 47
2. Fatoração de expressões algébricas.............. 12
14. Produto cartesiano................................................... 51
Atividades adicionais......................................................... 17
15. Relação binária............................................................ 52
Capítulo 2 Conjuntos e conjuntos numéricos.......................................................................... 18
16. Situações-problema envolvendo números reais, grandezas e medidas............ 55 A Matemática e as práticas sociais.............................. 64 Atividades adicionais......................................................... 66 Leituras..................................................................................... 69
1. Introdução..................................................................... 20 2. A noção de conjunto.............................................. 20 3. Propriedades, condições e conjuntos.......... 21 4. Igualdade de conjuntos........................................ 21
Funções................................................................................. 70
5. Conjuntos vazio, unitário e universo............. 22
1. Introdução..................................................................... 72
6. Subconjuntos e a relação de inclusão.......... 22
2. Explorando intuitivamente a noção de função........................................................ 72
7. Conjunto das partes................................................ 26 8. Complementar de um conjunto..................... 26 Antonio Peticov/acervo do artista
Capítulo 3
3. A noção de função por meio de conjuntos................................................... 74 4. Domínio, contradomínio e conjunto imagem..................................................... 76 5. Funções definidas por fórmulas matemáticas............................................ 77 6. Estudo do domínio de uma função real.......................................................... 81 7. Gráfico de uma função.......................................... 82 8. Função par – Função ímpar................................ 87
4
9. Função crescente e função decrescente................................................. 89
17. Função afim e movimento uniforme............ 136
10. Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva.......................................................................... 94
19. Outras aplicações da função afim................... 142
11. Função composta..................................................... 99 12. Função inversa............................................................ 101 13. Função e sequências............................................... 104 A Matemática e as práticas sociais.............................. 106 Atividades adicionais......................................................... 108
18. Proporcionalidade e função linear................. 138 A Matemática e as práticas sociais.............................. 144 Atividades adicionais......................................................... 146
Capítulo 5 Função quadrática................................................... 148 1. Introdução..................................................................... 150
Capítulo 4
2. Definição de função quadrática....................... 150
Função afim...................................................................... 110
3. Situações em que aparece a função quadrática................................................. 151
1. Introdução..................................................................... 112
4. Valor da função quadrática em um ponto............................................................... 151
2. Definição de função afim..................................... 112 3. Casos particulares importantes da função afim f(x) = ax + b......................................................... 113 4. Valor de uma função afim.................................... 113
5. Zeros da função quadrática................................ 154 6. Forma canônica da função quadrática..................................................... 158
5. Determinação de uma função afim conhecendo-se seus valores em dois pontos distintos.......................................................... 114
7. Gráfico da função quadrática............................. 164
6. Taxa de variação da função afim f(x) = ax + b........................................................ 114 7. Caracterização da função afim.......................... 115
9. Vértice da parábola, imagem e valor máximo ou mínimo da função quadrática.............................................. 174
8. Função afim e progressão aritmética........... 118
10. Estudo do sinal da função quadrática.......... 180
9. Gráfico da função afim f(x) = ax + b............... 118
11. Inequações do 2o grau........................................... 184
10. Função afim e Geometria analítica................. 121
12. Taxa de variação da função quadrática..................................................... 191
11. Uma propriedade característica da função afim f(x) = ax + b................................ 122 12. Função afim crescente e decrescente.............................................................. 123 13. Estudo do sinal da função afim........................ 130 14. Zero da função afim................................................. 130
8. A parábola e suas intersecções com os eixos................................................................. 172
13. Função quadrática e progressão aritmética............................................. 195 14. Outros problemas envolvendo equação do 2o grau e função quadrática..................................................... 196
15. Estudo do sinal da função afim pela análise do gráfico........................................... 131
A Matemática e as práticas sociais.............................. 197
16. Inequações do 1º grau........................................... 132
Leitura....................................................................................... 203
Atividades adicionais......................................................... 199
5
Capítulo 6
9. O número irracional e e a função exponencial ex........................................... 249
Função modular.......................................................... 204
10. Aplicações da função exponencial................. 250
1. Módulo de um número real............................... 206
A Matemática e as práticas sociais............................... 254
2. Distância entre dois pontos na reta real..................................................................... 210
Atividades adicionais........................................................... 256
3. Função modular......................................................... 210 4. Equações modulares............................................... 217 5. Inequações modulares........................................... 220
Capítulo 8 Logaritmo e função logarítmica............. 258
6. Uma aplicação do módulo na Física............. 223
1. Logaritmo....................................................................... 260
Atividades adicionais......................................................... 224
2. Função logarítmica................................................... 274 3. Equações logarítmicas........................................... 279
Capítulo 7 Função exponencial.............................................. 228 1. Introdução..................................................................... 230 2. Revisão de potenciação........................................ 230 3. Simplificação de expressões............................... 235
4. Inequações logarítmicas....................................... 281 5. Outras aplicações da função logarítmica e dos logaritmos............................. 284 A Matemática e as práticas sociais.............................. 285 Atividades adicionais......................................................... 287 Leituras..................................................................................... 291
4. Função exponencial................................................ 237 5. Equações exponenciais......................................... 241 6. Inequações exponenciais..................................... 244 7. Aprofundando o estudo da função exponencial................................................................... 246
Aureliano Müller / Folhapress
8. As funções f(x) = ax e g(x) = a−x......................... 248
Capítulo 9 Progressões.................................................................... 292 1. Introdução..................................................................... 294 2. Sequências..................................................................... 294 3. Progressão aritmética (PA)................................... 297 4. Progressão geométrica (PG)............................... 312 5. Problemas envolvendo PA e PG...................... 330 Atividades adicionais......................................................... 333
Capítulo 10 Matemática financeira...................................... 336 1. Introdução..................................................................... 338 2. Números proporcionais......................................... 338 3. Porcentagem................................................................ 340 6
Bettmann / CORBIS / Latinstock
Capítulo 12 Geometria plana......................................................... 390 1. Propriedades de figuras geométricas........... 392 2. Semelhança de triângulos................................... 404 3. Relações métricas no triângulo retângulo.................................................. 412 4. Polígonos regulares inscritos na circunferência e comprimento da circunferência....................................................... 416
Matemática financeira............................................ 346 5. Juros e funções........................................................... 351 6. Equivalência de taxas.............................................. 352
5. Áreas: medidas de superfícies........................... 419 A Matemática e as práticas sociais.............................. 435 Atividades adicionais......................................................... 437 Leitura....................................................................................... 442 FREDERICK FLORIN / AGENCE FRANCE-PRESSE
4. Termos importantes de
7. Equivalência de capitais........................................ 353 A Matemática e as práticas sociais.............................. 357 Atividades adicionais......................................................... 358
Capítulo 11 Trigonometria no triângulo retângulo................................................ 360 1. Introdução..................................................................... 362 2. Índice de subida......................................................... 363 3. A ideia de tangente.................................................. 365 4. A ideia de seno............................................................ 365 5. A ideia de cosseno.................................................... 366 6. Definição de seno, cosseno e tangente por meio de semelhança de triângulos.................................... 366 A Matemática e as práticas sociais.............................. 384 Atividades adicionais......................................................... 386 Tabela de razões trigonométricas................................ 389
Questões do Enem................................................... 443 Glossário............................................................................. 465 Sugestões de leituras complementares....................................................... 470 Significado das siglas de vestibulares. ......................................................... 470 Referências bibliográficas........................... 471 Respostas.......................................................................... 472
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capítulo 1
Revisão: produtos notáveis e fatoração O conhecimento que temos hoje sobre a Matemática do antigo Egito tem como base dois grandes documentos, cujos textos estão escritos em papiros. O mais antigo é conhecido por Papiro Rhind, o outro é o Papiro de Moscou. Eles são compostos de problemas e resoluções, razão pe la qual se supõe que tenham sido destinados ao ensino dos funcionários do Estado e dos escribas dos faraós. e
ry/keyston
n Art Libra
Bridgema
O Papiro Rhind é considerado o mais precioso documento relativo aos conhecimentos mate máticos dos egípcios e data, aproximadamente, de 1650 a.C. Em forma de manual prático, contém uma coleção de 85 problemas de Aritmética e Geometria, em sua maioria envolvendo assun tos do cotidiano, como o preço do pão e a armazenagem de grãos de trigo. Seu nome se deve a um antiquário escocês, Alexander Henry Rhind, que o com prou em 1808, no Egito. Após sua morte, cinco anos depois, o papiro foi adquirido pelo British Museum de Londres, onde se encontra atualmente. O Papiro Rhind é também deno minado Papiro Ahmes em homena gem ao escriba egípcio que o co piou, em escrita hierática (sagrada), de um manuscrito mais antigo, de cerca de duzentos anos antes.
Papiro Rhind, imagem com os problemas 49 a 55 e final do 46.
8
Matemática
Os problemas apresentados nos papiros eram resolvidos por processos aritméticos comuns para os egípcios. No Papiro Rhind, Ahmes utilizava um processo conhecido como método da falsa posição para resolver problemas que envolviam equações lineares com uma incógnita (x + ax 5 b, por exem plo). Nesse processo, um valor específico, provavelmente falso, é assumido para x, e as operações in dicadas à esquerda da igualdade são efetuadas para esse valor; o resultado é então comparado com o resultado que se pretende e, usando-se proporções, chega-se à resposta correta. Ahmes também utilizava, às vezes, outro método chamado método da fatoração, que consistia em colocar o aha (a incógnita) em evidência no lado esquerdo da igualdade e dividir ambos os membros da equação por seu coeficiente. Certamente esse último processo é familiar a você, já que corresponde a um dos casos de fatoração estudados anteriormente. Os conceitos e procedimentos algébricos serão aqui revistos e aprofundados a fim de prepará-lo para novas aplicações.
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
>Atividades 1. Experimente resolver a equação x 1
gato comeu sete ratos, cada rato comeu sete espigas de trigo, e cada espiga de trigo produ zia sete hectares de grãos. Casas, gatos, ratos, espigas de trigo e hectares de grãos, quanto havia disso tudo?”
x 5 24 7
pelo método da falsa posição definido acima. (Sugestão: Dê um valor conveniente para x, por exemplo, 7.)
2. No Papiro Rhind, há problemas que parecem ter sido formulados como enigmas, como no caso do proble ma 79, em que figuram apenas os seguintes dados:
“sete casas, 49 gatos, 343 ratos, 2 401 espigas de trigo, 16 807 hectares”.
Relacione esse possível enunciado com os valores apresentados e encontre o resultado.
3. Sabendo que a unidade fundamental de peso (no
a) O que têm em comum os números indicados no enunciado do problema 79? b) Segundo a interpretação do historiador Moritz Cantor, esse problema poderia ter a seguinte formulação: “Uma relação de bens consistia em sete casas, cada casa tinha sete gatos, cada Capítulo 1 | Revisão: produtos notáveis e fatoração
sentido de massa) era o deben (equivalia a 91 g) e que shaty era uma unidade só conhecida por meio do Papiro Rhind, resolva o seguinte problema (nú mero 62 no Papiro): “Uma bolsa contém o mesmo peso de ouro, prata e estanho. O valor total é 84 shaty. Um deben de ouro é 12 shaty, o de prata, 6 shaty e o de estanho, 3 shaty. Calcular o valor de cada metal”.
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1. Produtos notáveis Alguns produtos que envolvem expressões algébricas apresentam um padrão, uma regularidade em seus resultados. Por isso são conhecidos como produtos notáveis. Conhecendo-os, podemos economizar muitos cálculos. Vamos estudar os produtos notáveis conhecidos por quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.
Quadrado de uma soma indicada: (a 1 b)2 ou (a 1 b)(a 1 b) (a 1 b)2 5 (a 1 b)(a 1 b) 5 a • a 1 a • b 1 b • a 1 b • b 5 a2 1 2ab 1 b2
2ab
Assim: (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2 Geometricamente, é o mesmo que calcular a área da região quadrada de lado (a 1 b). a
b
a
a2
ab
b
ab
b2
Para refletir Tente descobrir, observando a figura, por que a expressão a2 1 2ab 1 b2 é chamada de trinômio quadrado perfeito.
Ao dividir o lado do quadrado em duas partes de medidas a e b, a região quadrada fica dividida em quatro partes: duas retangulares de área ab cada uma, uma quadrada de área a2 e outra quadrada de área b2. Veja alguns exemplos: • (3x 1 5)2 5 9x2 1 30x 1 25
(3x)2
• (y 1 6)2 5 y2 1 12y 1 36
2 • (3x) • 5 52
Exercício proposto
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
1. Use a regularidade que você acabou de ver e calcule o resultado dos quadrados da soma: a) (a 1 5)2 b) (2x 1 4)2
1 c) 5y 1 2
2
d) (x2 1 b)2
Quadrado de uma diferença indicada: (a 2 b)2 ou (a 2 b)(a 2 b) a A
(a 2 b)2 5 (a 2 b)(a 2 b) 5 a • a 2 a • b 2 b • a 1 b • b 5 a2 2 2ab 1 b2
22ab
Assim:
E
b
B
a b a
(a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 b2 Geometricamente, equivale a calcular a área da região quadrada de lado (a 2 b).
10
a b
G
I
H b2
b D
F
C
Matemática
Veja alguns exemplos: • (x 2 4)2 5 x2 2 8x 1 16
• (3x 2 y)2 5 9x2 2 6xy 1 y2
Exercício proposto 2. Use a regularidade do quadrado da diferença e calcule: a) (a 2 3)
2
b) (4x 2 7)2
1 2 c) y 2 3 d) (x 2 2b)2
Produto de uma soma indicada por uma diferença indicada: (a + b)(a 2 b) (a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 ab 1 ba 2 b2 5 a2 2 ab 1 ab 2 b2 5 a2 2 b2 Assim: (a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 b2 a A
a b
B
b
a
Geometricamente, equivale a calcular a área da região retangular de lados (a 1 b) e (a 2 b).
E
F
b D
C
Veja alguns exemplos: •0 (3x 1 7)(3x 2 7) 5 9x2 2 49
• (5x 1 y)(5x 2 y) 5 25x2 2 y2
• (x2 1 x)(x2 2 x) 5 x4 2 x2
Exercícios propostos 3. Use a regularidade que você acabou de ver e calcule mais estes produtos notáveis: a) (x 2 7)(x 1 7) b) (a 1 20)(a 2 20) c) (x 1 4y)(x 2 4y) d) (5x 1 8)(5x 2 8)
4. Pratique um pouco mais os produtos notáveis vistos até aqui: a) (4x 2 9)2
c) (3a 1 8b)2
b) (5x 1 y)(5x 2 y)
2 d) x 2 3
2
Cubo de uma soma indicada: (a 1 b)3 (a 1 b)3 5 (a 1 b)(a 1 b)2 5 (a 1 b) • (a2 1 2ab 1 b2) 5 a3 1 2a2b 1 ab2 1 ba2 1 2ab2 1 b3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 Assim: (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 Capítulo 1 | Revisão: produtos notáveis e fatoração
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a
b
b
a b
Geometricamente, (a 1 b)3 indica o volume de um cubo com arestas que medem a 1 b. Esse cubo pode ser a dividido em: um cubo de arestas a (a3), três paralelepípedos de arestas a, a e b (3a2b), três paralelepípedos de 2 3 arestas a, b e b (3ab ) e um cubo de arestas b (b ). a a
b
a
b a
a b
b
b
b
b
b
a
a a a
a a
b
Veja alguns exemplos: a b
b
• b (x 1 3)3 5 x3 1 3 • x2 • 3 1 3 • x • 32 1 33 5 x3 1 9x2 1 27x 1 27 b b
• (2a 1 b)3 5 (2a)3 1 3 a• (2a)2 • b 1 3 • 2a • b2 1 b3 5 8a3 1 12a2b 1 6ab2 1 b3
Cubo de uma diferença indicada: (a 2 b)3 (a 2 b)3 5 (aa 2 b) • (a 2 b)2 5 (a 2 b)(a2 2 2ab 1 b2) 5 a3 2 2a2b 1 ab2 2 a2b 1 2ab2 2 b3 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3 a Assim: b
(a 2 b)3 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3 Veja alguns exemplos:
• (x 2 4)3 5 x3 2 3 • x2 • 4 1 3 • x • 42 2 43 5 x3 2 12x2 1 48x 2 64 • (3x 2 y)3 5 (3x)3 2 3 • (3x)2 • y 1 3 • (3x) • y2 2 y3 5 27x3 2 27x2y 1 9xy2 2 y3
Exercício proposto 5. Efetue:
c) (1 2 10x)3
a) (x 1 2)3 b) (a 2 4b)3
d) (x 1 y)3
2. Fatoração de expressões algébricas Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la em um produto. Existem vários casos de fatoração que devem ser utilizados de acordo com as características da expressão algébrica a ser fatorada.
1‚ caso de fatoração: colocação de um termo em evidência Vamos fatorar 3a2 1 3ab. 3a é o fator comum às duas parcelas de 3a2 1 3ab. Assim:
3a2 1 3ab 5 3a(a 1 b)
forma fatorada
Em 4x 1 6, o 2 é o fator comum das duas parcelas. Então, 4x 1 6 5 2(2x 1 3).
12
Matemática
Exercício proposto 6. Fatore as expressões, colocando em evidência o fator
b) x(x 2 4) 1 6(x 2 4) c) 2x2 1 4xy d) 7a3 1 14ab
comum em cada uma delas: a) 6x2y2 2 9x2y 1 15xy2
2‚ caso de fatoração: agrupamento
Analise com atenção a expressão algébrica de quatro termos ax + 2a + 5x + 10. Não existe um fator comum aos quatro termos. Mas, agrupando-os de forma conveniente, podemos fazer a sua fatoração aplicando duas vezes o 1‚ caso de fatoração. Veja: ax + 2a + 5x + 10
Para refletir
a(x + 2) + 5(x + 2)
A fatoração de dois grupos, separadamente, deve “gerar” um fator comum para uma nova fatoração.
(x + 2) • (a + 5) Veja outros exemplos: • ab 1 a 2 bx 2 x
• x3 2 2x2 1 x 1 x2y 2 2xy 1 y
• a2 2 5a 1 a 2 5
a(b 1 1) 2 x(b 1 1)
a(a 2 5) 1 1(a 2 5)
x(x2 2 2x 1 1) 1 y(x2 2 2x 1 1)
(b 1 1)(a 2 x) (a 2 5)(a 1 1)
(x2 2 2x 1 1)(x 1 y)
Exercícios propostos 7. Fatore as expressões seguintes usando a fatoração por agrupamento: a) 2x2 2 4x 1 3xy 2 6y b) a2 2 a 2 ab 1 b
c) x2 1 xy 1 x 1 y d) ab 1 3b 2 7a 2 21
8. Fatore a expressão algébrica (3x 1 5)(x 2 2) 1 (3x 1 5)2.
3‚ caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito
No estudo dos produtos notáveis você viu que o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois termos nos dão trinômios como resultados. Por exemplo: • (x 1 5)2 5 x2 1 10x 1 25
• (a 2 7)2 5 a2 2 14a 1 49
• (3x 1 10)2 5 9x2 1 60x 1 100
• (4x 2 9y)2 5 16x2 2 72xy 1 81y2
Cada um dos trinômios obtidos é conhecido por trinômio quadrado perfeito. O caminho inverso do que aparece acima é a fatoração do trinômio. Veja: • x2 1 10x 1 25 5 (x 1 5)2
• 16x2 2 72xy 1 81y2 5 (4x 2 9y)2
quadrado quadrado (4x)2 (9y)2 de x de 5 22 • (4x) • (9y) o dobro do produto de x e 5
Capítulo 1 | Revisão: produtos notáveis e fatoração
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Exemplo: tim-tim por tim-tim
Ibmec-SP) No bolso de uma pessoa havia X cédulas de Y reais e Y cédulas de X reais. Se esta pessoa colocar **(neste bolso mais X cédulas de X reais e Y cédulas de Y reais, então esta pessoa terá no bolso: a) (X 1 Y )2 reais. b) (X 2 Y )2 reais.
c) (X2 1 Y2 ) reais. d) (X2 2 Y2 ) reais.
e) (X2 1 Y2 )2 reais.
1. Lendo e compreendendo a) O que é dado no problema? São dadas as quantidades de cédulas de X reais e a quantidade de cédulas de Y reais. b) O que se pede? Pede-se que se estabeleça a quantidade de dinheiro que a pessoa tem no bolso. 2. Planejando a solução Como sabemos a quantidade de cédulas de X e de Y reais que a pessoa tinha no bolso, basta multipli car a quantidade de cédulas pelo seu valor para ter o total de dinheiro. Depois, somaremos todos esses valores e, se necessário, manipularemos a expressão obtida para chegar à resposta correta. 3. Executando o que foi planejado Antes, havia no bolso X cédulas de Y reais, totalizando X ? Y reais; e havia Y cédulas de X reais, totalizando mais X ? Y reais. Assim, inicialmente, ela tinha XY 1 XY, ou seja, 2XY reais no bolso. Depois, ela colocou mais X cédulas de X reais, totalizando X ? X, ou seja, X2 reais; e colocou também Y cédulas de Y reais, totalizando mais Y ? Y, ou seja, Y2 reais. Assim, ela terá no bolso X2 1 2XY 1 Y2. 4. Emitindo a resposta Para chegar à resposta, é necessário fatorar a expressão inicialmente obtida. Devemos perceber então que se trata de um trinômio quadrado perfeito: X2 1 2XY 1 Y2 5 (X 1 Y)2 A resposta é o item a. 5. Ampliando o problema Discussão em equipe Troque ideias com seus colegas sobre como alterar o enunciado para que o resultado seja o item b das alternativas.
Exercício proposto 9. Fatore completamente:
c) 9x2 1 12xy 1 4y2
a) x 1 16x 1 64 b) 49x2 2 14x 1 1 2
d) a2 2 2ab 1 b2
4‚ caso de fatoração: diferença de dois quadrados
Você já viu que o produto da soma pela diferença dos mesmos termos é um produto notável e que seu resultado é igual à diferença entre o quadrado do 1‚ termo e o quadrado do 2‚ termo. Por exemplo: • (7x 1 y)(7x 2 y) 5 49x2 2 y2 • (x 1 8)(x 2 8) 5 x2 2 64 • (5x 1 9)(5x 2 9) 5 25x2 2 81
• (10 1 a)(10 2 a) 5 100 2 a2
O caminho inverso do que aparece acima é a fatoração da diferença de dois quadrados. Veja: • 25x2 2 81 5 (5x 1 9)(5x 2 9) • 100 2 a2 5 (10 1 a)(10 2 a) • x 2 64 5 (x 1 8)(x 2 8) 2
quadrado de x
14
quadrado de 8
(5x)2
92
102
a2
Matemática
Exercícios propostos 10. Escreva as diferenças como produto de uma soma por uma diferença dos mesmos termos: 1 c) x2 2 a) 9x2 2 16y2 36 b) 4a2b2 2 9x2y2
d)
11. Fatore a expressão (3x 1 4)2 2 (2x 2 1)2. 12. Faça a fatoração das expressões abaixo:
1 2 4a2b2 4
a) 3x2 2 15x
d) x2 1 40x 1 400
b) 9x2 2 25
e) y2 2 81
c) 5a2 2 a 1 10ab 2 2b
f) 2a2 2 6ab 1 4a
5‚ caso de fatoração: soma de dois cubos
Veja o que acontece quando multiplicamos a soma de dois termos por um trinômio formado pelo quadrado do 1‚ termo, menos o produto do 1‚ pelo 2‚ e mais o quadrado do 2‚ termo: • (x 1 y)(x2 2 xy 1 y2) 5 x3 2 x2y 1 xy2 1 yx2 2 xy2 1 y3 5 x3 1 y3 cubo de x
cubo de y
• (5x 1 2)(25x2 2 10x 1 4) 5 125x3 2 50x2 1 20x 1 50x2 2 20x 1 8 5 125x3 1 8
cubo de 5x
cubo de 2
O caminho inverso do que aparece acima é mais um caso de fatoração (soma de dois cubos). Veja: • x 1 y3 5 (x 1 y)(x2 2 xy 1 y2)
• 125x3 1 8 5 (5x 1 2)(25x2 2 10x 1 4)
3
cubo de x
cubo de y
(5x)3
23
Exercício proposto 13. Fatore as expressões que indicam soma de dois cubos: a) a 1 1 000 b) 27x3 1 1 3
c) 8x3 1 y3 d) 27 1 8a3b3
6‚ caso de fatoração: diferença de dois cubos O raciocínio é o mesmo do caso anterior:
• (x 2 y)(x2 1 xy 1 y2) 5 x3 1 x2y 1 xy2 2 yx2 2 xy2 2 y3 5 x3 2 y3 cubo de x
cubo de y
• (3x 2 5)(9x 1 15x 1 25) 5 27x 1 45x 1 75x 2 45x 2 75x 2 125 5 27x3 2 125 2
3
2
2
(3x)3
53
Fazendo o caminho inverso temos o caso de fatoração para expressões que indicam a diferença de dois cubos: • x3 2 y3 5 (x 2 y)(x2 1 xy 1 y2) • 27x3 2 125 5 (3x 2 5)(9x2 1 15x 1 25) cubo de x
cubo de y
(3x)3
53
Exercício proposto 14. Faça a fatoração das diferenças entre dois cubos: a) x 2 64 b) 8a3 2 1 3
Capítulo 1 | Revisão: produtos notáveis e fatoração
c) 27a3 2 125y3 d) 64 2 8x3y3
15
7‚ caso de fatoração: fatoração de expressões quadráticas Quando multiplicamos (x 1 3) por (x 1 2) obtemos x2 1 5x 1 6, ou seja: (x 1 3)(x 1 2) 5 x2 1 5x 1 6 O processo inverso, ou seja, partindo de x2 1 5x 1 6 para chegar a (x 1 3)(x 1 2), é chamado de fatoração da expressão quadrática x2 1 5x 1 6. Veja alguns exemplos de fatoração de expressões quadráticas: • x2 1 6x 1 8 Devemos encontrar dois números cujo produto é 8 e cuja soma é 6. Esses números são 4 e 2. Então, x2 1 6x 1 8 5 (x 1 4)(x 1 2). • x2 2 6x 1 8 Devemos encontrar dois números cujo produto é 8 e cuja soma é 26. Esses números são 22 e 24. Então, x2 2 6x 1 8 5 (x 2 2)(x 2 4).
Exercício proposto 15. Fatore as expressões quadráticas:
d) x2 2 6x 1 8
a) x 1 7x 1 10 b) x2 1 3x 2 10 c) x2 2 2x 2 35 2
e) b2 2 4b 2 21 f) a2 1 14a 1 45
Resolução da equação do 2‚ grau usando fatoração de expressões quadráticas Vamos resolver a equação do 2‚ grau x2 1 x 2 12 5 0. Fatorando, temos: x 2 3 5 0 ⇒ x 5 3 x2 1 x 2 12 5 0 ⇒ (x 2 3)(x 1 4) 5 0 ⇒ ou x 1 4 5 0 ⇒ x 5 24 Assim, as raízes da equação x2 1 x 2 12 5 0 são x 5 3 ou x 5 24.
Exercício proposto 16. Resolva as equações do 2‚ grau usando fatoração:
d) y2 2 15y 1 56 5 0
a) x 1 7x 1 12 5 0 b) x2 1 5x 2 14 5 0 c) x2 2 x 2 12 5 0 2
e) x2 2 14x 1 49 5 0 f) x2 1 9x 1 18 5 0
Fatorações sucessivas Há expressões nas quais podemos fatorar duas ou mais vezes até chegar ao resultado final. Veja alguns exemplos: • 3x2 2 75 5 3(x2 2 25) 5 3(x 1 5)(x 2 5)
colocando o 3 em evidência
• x4 2 81 5 (x2 1 9)(x2 2 9) 5 (x2 1 9)(x 1 3)(x 2 3) • x2 2 y2 1 3x 1 3y 5 (x 1 y)(x 2 y 1 3)
fatorando a diferença entre dois quadrados
(x 1 y)(x 2 y) 1 3(x 1 y)
• 4x 1 4x 1 x 5 x(4x 1 4x 1 1) 5 x(2x 1 1) 3
2
2
2
Exercício proposto 17. Fatore as expressões completamente: a) 45x3 2 5xy2 b) a4 2 b4
16
c) xy 2 5x 1 4y 2 20 d) x2 1 2xy 1 y2 1 5x 1 5y
Matemática
>Atividades adicionais ATENÇÃO! AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC., NÃO ESCREVA NO LIVRO. TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.
A seguir, separadas por regiões geográficas, relacionamos algumas questões de vestibular que envolvem o conteúdo deste capítulo.
1 1. (Ufam) Se x 2 5 3, então o valor de x 1 1 x2 2 3 1 x3 1 2 é: x x a) 27. d) 11. b) 47. e) 63. c) 36.
d)
5 . 2
b) 15.
e)
5 . 3
e) 8.
re as seguintes afirmativas: I) n é um múltiplo de 31. II) n é um múltiplo de 5. III) n é um número primo. IV) n é um número par. Estão corretas as afirmativas:
Região Sudeste 9. (UFMG) Sejam x e y números reais não nulos tais que
a 5 25 e b 5 b0 é 1 000. Podemos afirmar que o valor de b0 é: d) 40. e) 10.
a) 12. b) 0. c) 5.
4. (Unit-SE) Se x é um número real estritamente positivo, a expressão
x y2 1 5 22. Então, é correto afirmar que: x y2 a) x2 2 y 5 0. b) x 1 y2 5 0.
c) x2 1 y 5 0. d) x 2 y2 5 0.
10. (PUC-RJ) O produto (x 1 1)(x2 2 x 1 1) é igual a:
Região Nordeste x 2 x 2 2 2 é equivalente a: d)
( x 2 1)2 . b) x
e) (x 2 1) 2 2
a) x3 2 1. b) x3 1 3x2 2 3x 1 1. c) x3 1 1.
2 , é:
a) 2 2 2 . 2.
x 2 2 1 . x
b) 2 2 1 22. . c) 2.
5. (Unifor-CE) Se a e b são números reais, tais que |a| |b| e 1 a3 b3 a3 b3 , o valor da expressão é: 2 a b a b d) 21. e) 22.
Capítulo 1 | Revisão: produtos notáveis e fatoração
d) x3 2 3x2 1 3x 2 1. e) x2 1 2.
11. (Fatec-SP) O valor da expressão y 5 para x 5
( x 1 1)2 . x
a) x2 2 1.
a) 2. b) 1. c) 0.
d) 9.
a) III e IV. c) II e IV. e) I e II. b) II e III. d) I e III.
3. (UFRR) O valor da expressão (a 1 b)2 2 (a 2 b)2 para
ab 5
7. (UFC-CE) O valor exato de
8. (UFMT) Sobre o número natural n 5 240 2 1, conside-
c) 6.
c)
5 2 3 , o valor de a2 2 b2 é: 2 3 3 a) 5 3 . b) 2 3 . c) . d) . 2 4
Região Centro-Oeste
2. (Ufam) Se (x 1 y)2 2 (x 2 y)2 5 30, então 2xy é igual a: a) 0.
5 1 3 e 2
b5
32 10 7 32 10 7 é: a) 12. b) 11. c) 10.
Região Norte
6. (Uece) Considerando os números a 5
x 3 8 , x 2 2 x 4
d) 20,75. 4 e) 2 . 3
Região Sul
x 2 y e c 5 xy , 12. (UFRGS-RS) Se a 5 x 1 y , b 5 2 2 em que x e y são números reais tais que xy . 0, então uma relação entre a2, b2 e c2 é: a) a2 1 b2 2 c2 5 0. b) a2 2 b2 2 c2 5 0. c) a2 1 b2 1 c2 5 0.
d) a2 2 b2 1 c2 5 0. e) a2 5 b2 5 c2.
17
capítulo 2
Conjuntos e conjuntos numéricos
antonio peticov/acervo do artista
Os gregos, na Antiguidade, só trabalhavam com números naturais (os inteiros positivos) e as razões entre eles (os racionais). Até o século V a.C. acreditavam que esses números fossem suficientes para comparar duas grandezas quaisquer de mesma espécie — segmentos de reta, áreas, volumes, etc. A primeira grande crise no desenvolvimento da Matemática ocorreu quando se percebeu que havia segmentos de reta cuja medida não correspondia a nenhuma razão entre dois números naturais, o que significava que a reta numerada continha pontos que não correspondiam a nenhum número conhecido. E esses novos números foram chamados irracionais. Assim, a construção dos
conjuntos numéricos permaneceu por séculos como uma grande questão entre os matemáticos, sendo amplamente pesquisada, culminando, no século XIX, com a teoria dos conjuntos de Georg Cantor (1845-1918). O “número de ouro” dos gregos, símbolo da harmonia e da beleza, é um dos mais famosos exemplares desse novo tipo de número. Representado por
1 5 , corresponde, na forma de2
cimal, ao número 1,61803398... Está presente em diversos elementos da Natureza — forma de crescimento das plantas e dos demais seres vivos, presas dos elefantes, escamas dos peixes, cauda do pavão, corpo humano — e em vários campos do conhecimento — Arte, Arquitetura, Música, Literatura. Podemos citar alguns exemplos:
A obra 1,618, de Antonio Peticov (1946-), artista plástico paulista, reproduz a formação do caramujo Nautilus marinho. A constituição da espiral do caramujo segue exatamente a sequência do retângulo de ouro (um retângulo é áureo quando a razão entre seu comprimento e sua largura é o “número de ouro”).
18
Matemática
• A fachada do templo grego Partenon é toda organizada segundo a razão áurea. • Na grande pirâmide de Gizé, no Egito, o quociente entre a altura de uma face e a metade do lado
da base vale quase 1,618. • A obra Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, apresenta a razão áurea em várias partes. • A proporção entre fêmeas e machos na população das abelhas, em qualquer colmeia, é áurea. • O pentagrama — estrela regular de cinco pontas — contém uma inumerável quantidade de
relações douradas. • O caramujo Nautilus marinho apresenta a razão áurea em seu corpo segmentado em forma de espiral,
chamada espiral de ouro. Pode-se construí-la a partir de retângulos cujos lados estão na razão áurea. O conceito de conjunto e os conjuntos numéricos serão revistos e aprofundados neste capítulo.
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
>Atividades 1. Observe a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... Ela é chamada de sequência de Fibonacci (esse assunto será retomado na abertura do capítulo 9).
2
2 3
b) Efetue sucessivas divisões entre um número da sequência, a partir do quinto, e o que o antecede. O que você observa? c) São dados: o corte da concha de um Nautilus, no qual se veem as câmaras formando a espiral de
steven puetzer/corbis/latinstock
ouro, e a sequência de retângulos áureos que dão origem a essa espiral. Que relação existe entre a sequência de retângulos e a de Fibonacci?
2 3 8 5
13 8
2 3 5
edward kinsman/photo researchers, inc./latinstock
a) Descubra o padrão de formação dessa sequência.
2 3 5
Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
2. Calcule a razão entre a sua altura e a distância de seu umbigo até o chão. Compare o valor obtido com o número de ouro. O que se pode observar? Repita a experiência com outras pessoas e compare.
19
1. Introdução Analise a seguinte situação-problema: Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol e de vôlei; 8 de basquete e de vôlei e 5 gostam das três modalidades.
Brasil 3 França, 1/7/2006.
MATEMÁTICA PNLEM - VOL. 1 Dante
paulo pinto/agência estado
jonathan campos/agência estado
jefferson bernardes/agence france-presse
a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes? b) Quantas gostam somente de futebol? c) Quantas gostam só de basquete? d) Quantas gostam apenas de vôlei? e) Quantas não gostam nem de basquete nem de vôlei? f) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos?
Brasil 3 EUA, 23/9/2006.
Brasil 3 Polônia, 3/12/2006.
Para resolver questões desse tipo, devemos utilizar conhecimentos de conjuntos.
2. A noção de conjunto
Região Sudeste
A noção de conjunto é bastante simples e fundamental na Matemática, pois a partir dela podem ser expressos todos os conceitos matemáticos. Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Por exemplo: • conjunto dos estados da região Sudeste: S 5 {São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Espírito Santo} • conjunto dos números primos: B 5 {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} • conjunto dos quadriláteros: C 5 {quadriláteros} Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A. Quando for, dizemos que:
MG ES SP
RJ
N
TRÓPICO DE CAPRICÓRNIO
0
330 km
OCEANO ATLÂNTICO
Fonte: Adaptado de Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2007.
a pertence a A e escrevemos a A. Caso contrário, dizemos que: a não pertence a A e escrevemos a A. Nos exemplos acima, temos:
Para refletir Todo número primo maior do que 2 é ímpar? Todo número ímpar maior do que 2 é primo?
• Minas Gerais S e Paraná S • 2 B e 9 B • retângulo C e triângulo C
20
Matemática
Exercícios propostos
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
Para resolver os exercícios 1 e 2 a seguir, use as convenções dadas na página ao lado.
1. Escreva com símbolos: a) Espírito Santo pertence ao conjunto dos estados da região Sudeste. b) Bahia não pertence ao conjunto dos estados da região Sudeste. c) 17 pertence ao conjunto dos números primos. d) 15 não pertence ao conjunto dos números primos.
e) Pentágono não pertence ao conjunto dos quadriláteros. f) Losango pertence ao conjunto dos quadriláteros.
2. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) São Paulo S b) Piauí S c) Rio de Janeiro S d) 21 B e) 2 B
f) paralelogramo C g) trapézio C h) hexágono C i) 29 B j) Venezuela S
3. Propriedades, condições e conjuntos Consideremos a propriedade p: p: x é um número natural ímpar Essa propriedade pode ser expressa pelo conjunto I 5 {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}. Assim, é indiferente dizer que x possui a propriedade p ou que x [ I. Consideremos agora a condição c: c: x é um número inteiro que satisfaz a condição x2 2 4 5 0 Essa condição pode ser expressa pelo conjunto A 5 {22, 2}. Nesse caso, também é indiferente dizer que x satisfaz a condição c ou que x A. É mais simples trabalhar com conjuntos do que com propriedades e condições. Além disso, podemos definir relações e operações entre conjuntos. Já com propriedades e condições isso seria muito difícil.
4. Igualdade de conjuntos Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Por exemplo, se A 5 {números naturais pares} e B 5 {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …}, então A 5 B. Se A não é igual a B, então A é diferente de B e escrevemos A B. Observação: {1, 2} 5 {1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2}, pois possuem os mesmos elementos. A quantidade de vezes que eles aparecem não é importante.
Exercícios propostos 3. Escreva o conjunto expresso pela propriedade: a) x é um número natural par; b) x é um número natural múltiplo de 5 e menor do que 31; c) x é um quadrilátero que possui 4 ângulos retos. Para refletir Todo quadrado é um retângulo?
4. Escreva o conjunto dado pela condição: a) y é um número tal que y2 2 25 5 0;
Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
b) y é um número tal que y2 2 5y 1 6 5 0; c) y é um número divisor de 16 tal que y3 5 8; d) y é um número inteiro menor do que 6 e maior do que 22.
5. Escreva uma propriedade que define o conjunto: a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; b) {0, 2, 4, 6}.
6. Escreva uma condição que define o conjunto: a) {23, 3}; b) {5}.
21
5. Conjuntos vazio, unitário e universo Um conjunto interessante é o conjunto vazio, cuja notação é ∅. Uma propriedade contraditória qualquer pode ser usada para definir o conjunto vazio. Por exemplo: {números naturais ímpares menores do que 1} 5 {x | x é um número natural ímpar menor do que 1} 5 ∅,
lê-se "tal que"
pois não há número natural ímpar menor do que 1. Assim, o conjunto vazio não possui elementos. Ele pode ser representado também por { }. Outro conjunto interessante é o conjunto unitário, formado por um único elemento. Exemplo: {números naturais pares e primos} 5 {x | x é um número natural par e primo} 5 {2},
Para refletir O correto é escrever A 5 {números ímpares}, e não A 5 {conjunto dos números ímpares}.
pois o único número natural par e primo é o 2. Como curiosidade, observe que ∅ é diferente de {∅}, pois {∅} é um conjunto unitário que tem como único elemento o conjunto vazio. Um conjunto importante é o conjunto universo, cuja notação é U. É o conjunto formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando num determinado assunto. Fixado o universo U, todos os elementos pertencem a U e todos os conjuntos são partes de U. É muito importante saber em qual universo estamos trabalhando. Por exemplo, se U é o conjunto dos números naturais, então a equação x 1 5 5 2 não tem solução; porém, se U é o conjunto dos números inteiros, então a equação x 1 5 5 2 tem como solução x 5 23.
Exercícios propostos 7. Classifique como conjunto vazio ou conjunto unitário 8. Escreva qual é o conjunto universo em cada caso: a) O triângulo é um polígono de três lados, o quadrilátero é um polígono de quatro lados e o pentágono, um polígono de cinco lados. b) A adição de dois números naturais é comutativa. c) No conjunto dos números inteiros as soluções da equação x2 2 16 5 0 são 24 e 4. d) No conjunto dos números naturais a solução da equação x2 2 16 5 0 é 4.
considerando o universo dos números naturais: a) A 5 {x | x é menor do que 1} b) B 5 {x | x é maior do que 10 e menor do que 11} c) C 5 {x | x é par maior do que 3 e menor do que 5} d) D 5 {x | x é primo maior do que 7 e menor do que 11} e) E 5 {x | x 1 7 5 4} f ) F 5 {x | x , 0} g) G 5 {x | 5x 5 60}
6. Subconjuntos e a relação de inclusão Consideremos dois conjuntos, A e B. Se todos os elementos de A forem também elementos de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou que A está contido em B ou, ainda, que A é parte de B. Indicamos esse fato por A , B. No diagrama, temos:
A , B lê-se
A é subconjunto de B ou A está contido em B ou A é parte de B
Para refletir Quando A B podemos também escrever B A (lê-se B contém A).
B A
U
22
Matemática
Se A não for subconjunto de B, escrevemos A B. Nesse caso, existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B.
Exemplos: 1‚) Considerando P o conjunto dos números naturais pares e n o conjunto dos números naturais, temos: P 5 {0, 2, 4, 6, 8, 10, …} e n 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Nesse caso, P n, pois todos os elementos de P pertencem a n. n
P
2‚) Se A é o conjunto dos retângulos e B é o conjunto dos quadriláteros, então A B, pois todo retângulo é um quadrilátero. B
A
3‚) Se A 5 {1, 2, 3} e B 5 {1, 2, 4}, então A B, pois 3 A e 3 B. Nesse caso, também B A.
Relação de inclusão A relação A B chama-se relação de inclusão. São casos particulares extremos de inclusão: • A A, pois é claro que qualquer elemento de A pertence a A. • ∅ A, qualquer que seja o conjunto A, pois, se admitíssemos que ∅ A, teríamos um elemento x tal que x ∅ e x A. Mas x ∅ é impossível. Logo, ∅ A. A relação de inclusão possui três propriedades básicas. Dados os conjuntos A, B e C quaisquer de um determinado universo U, temos: • A A (propriedade reflexiva).
Para refletir
• Se A B e B A, então A 5 B (propriedade antissimétrica).
A é subconjunto próprio de B quando A B com A ∅ e A B.
• Se A B e B C, então A C (propriedade transitiva).
A propriedade antissimétrica é sempre usada quando se quer provar que dois conjuntos são iguais. Para provar que A 5 B basta provar que A B (todo elemento de A pertence a B) e que B A (todo elemento de B pertence a A). A propriedade transitiva é fundamental nas deduções. Na lógica, ela é conhecida como uma forma de raciocínio chamada silogismo. Por exemplo: • P: conjunto dos paulistas • B: conjunto dos brasileiros
S
• S: conjunto dos sul-americanos Todo paulista é brasileiro. Todo brasileiro é sul-americano. Então, todo paulista é sul-americano. Se P B e B S, então P S.
B P
Veja outro exemplo: • n: conjunto dos números naturais
® œ n
• œ: conjunto dos números racionais • ®: conjunto dos números reais Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
23
Todo número natural é racional. Todo número racional é real. Então, todo número natural é real. Se n œ e œ ®, então n ®. Observação: [ e são relações entre elemento e conjunto. e , e são relações entre conjunto e conjunto. Por exemplo, 2 n pode ser escrito também como {2} n, mas não podemos escrever 2 n nem {2} [ n.
Exemplo:
Dado o conjunto A 5 {1, 2, {3, 4}, {5}}, vamos verificar se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos: a) O conjunto A tem 4 elementos. Verdadeiro, pois os elementos são 1, 2, {3, 4} e {5}. É importante notar que conjuntos podem ser elementos de outro conjunto. b) 1 A Verdadeiro, pois 1 é elemento de A. c) 1 A Falso, pois 1 é elemento e o símbolo relaciona conjuntos. d) {1} A Falso, pois {1} é conjunto e o símbolo relaciona elemento e conjunto. e) {1} A Verdadeiro, pois {1} é subconjunto de A (já que 1 é elemento de A). f) 5 A Falso, pois 5 não é elemento de A. Não devemos confundir 5 com {5}. g) 5 A Falso, pois 5 é elemento e o símbolo relaciona conjuntos. h) {5} A Verdadeiro, pois {5} é elemento de A. i) {5} A Falso, pois {5} não é subconjunto de A (já que 5 não é elemento de A). j) {{5}} A Verdadeiro, pois {{5}} é subconjunto de A (já que {5} é elemento de A). k) 2 A Verdadeiro, pois 2 é elemento de A. l) {3, 4} A Verdadeiro, pois {3, 4} é elemento de A. m) {2} A Verdadeiro, pois {2} é subconjunto de A (já que 2 é elemento de A). n) {3, 4} A Falso, pois {3, 4} não é subconjunto de A (já que 3 e 4 não são elementos de A).
Relação de inclusão e implicação lógica
Vimos que uma propriedade pode ser expressa por um conjunto. Vamos considerar A o conjunto dos elementos de um certo universo U que possuem a propriedade p, e B o conjunto dos elementos desse mesmo universo que possuem a propriedade q. Quando dizemos que: p ⇒ q (p implica q ou p acarreta q), estamos dizendo que A B.
Exemplos:
Para refletir
1‚) No universo dos números naturais, vamos considerar as propriedades: A implicação p ⇒ q também pode • p: n é um número natural que termina com 3; ser lida assim: • q: n é um número natural ímpar. • se p, então q; Então A 5 {3, 13, 23, 33, …}, • p é condição suficiente para q; B 5 {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} e p ⇒ q ou A B. • q é condição necessária para p. 2‚) Consideremos, no universo dos quadriláteros, as propriedades: • p: ser quadrilátero com quatro lados de mesma medida; • q: ser quadrilátero com lados opostos paralelos. Nesse caso, A é o conjunto dos losangos e B é o conjunto dos paralelogramos e, portanto, A B. Logo, p ⇒ q, ou seja, ser losango implica ser paralelogramo, ou, ainda, se um quadrilátero é losango, então ele é paralelogramo.
24
Matemática
Recíproca de uma implicação lógica e equivalência Dada a implicação p ⇒ q, chamamos de sua recíproca a implicação q ⇒ p. Observe que nem sempre a recíproca de uma implicação verdadeira é também verdadeira. No 2‚ exemplo dado anteriormente, temos que p ⇒ q é verdadeira, pois todo losango é um paralelogramo, mas sua recíproca q ⇒ p é falsa, pois nem todo paralelogramo é losango. Quando a implicação p ⇒ q e sua recíproca q ⇒ p são ambas verdadeiras, escrevemos p ⇔ q e lemos: p é equivalente a q ou p se e somente se q ou p é condição necessária e suficiente para q
Exemplo: • p: a propriedade de um número natural x ser igual a 2 (x 5 2) • q: a propriedade de o dobro deste x ser igual a 4 (2x 5 4) p ⇒ q, pois, se x 5 2, multiplicamos ambos os membros da igualdade por 2 e obtemos 2x 5 4. q ⇒ p, pois, se 2x 5 4, dividimos ambos os membros da igualdade por 2 e obtemos x 5 2. Assim, p ⇒ q e q ⇒ p são verdadeiras. Logo, p ⇔ q e podemos escrever x 5 2 ⇔ 2x 5 4.
Exercícios propostos 9. Dados os conjuntos A 5 {1, 2}, B 5 {1, 2, 3, 4, 5}, C 5 {3, 4, 5} e D 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) A B g) B C b) C A h) B B c) B D i) [ A d) D B j) D A e) C A k) [ B f ) A D l) C D
10. Considerando que:
• A é o conjunto dos números naturais ímpares menores do que 10;
• B é o conjunto dos dez primeiros números naturais; • C é o conjunto dos números primos menores do que 9; use os símbolos ou e relacione esses conjuntos na ordem dada: a) A e B b) C e A c) C e B d) A e C
11. Escreva três conjuntos X tal que A X, sendo A 5 {2, 4, 6}.
13. Escreva, na forma de conjuntos, os silogismos: a) Todo retângulo é paralelogramo. Todo paralelogramo é quadrilátero. Então, todo retângulo é quadrilátero. b) Todo aluno pertence a uma classe. Toda classe pertence a uma escola. Então, todo aluno pertence a uma escola. c) Todo recifense é pernambucano. Todo pernambucano é brasileiro. Então, todo recifense é brasileiro.
14. Escreva os conjuntos definidos pelas propriedades, a implicação lógica e a inclusão de conjuntos: a) Considerando o universo dos números reais: p: n é um número natural par; q: n é um número natural. b) Considerando o universo dos polígonos: p: x é um trapézio; q: x é um quadrilátero.
15. Escreva como se lê a implicação p ⇒ q, sabendo que:
12. Observe o diagrama a seguir. Os conjuntos X, Y e Z não são vazios. Escreva algumas relações verdadeiras entre eles usando os símbolos ou .
p: n é um número natural par; q: n é um número escrito na forma n 5 2m, com m lN.
16. No exercício anterior, a recíproca q ⇒ p é verdadeira? Em caso positivo, como se escreve a equivalência das duas propriedades?
X Y Z
Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
25
7. Conjunto das partes Dado o conjunto A 5 {a, e, i}, é possível escrever todos os subconjuntos (ou todas as partes) de A. Esse conjunto formado por todos os subconjuntos de A é chamado de conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, temos: P(A) 5 {∅, {a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}} Observe que {a}, {a, e} e {a, e, i}, por exemplo, são elementos de P(A). Portanto, escrevemos {a} [ P(A), {a, e} [ P(A) e {a, e, i} [ P(A), e não {a} , P(A), {a, e} , P(A) e {a, e, i} , P(A). Veja que ∅ , P(A) e ∅ [ P(A). Observe também que há uma relação entre o número de elementos de P(A) e o número de elementos de A: • ∅ tem 0 elemento e P(∅) 5 {∅} tem 1 elemento. • A 5 {a} tem 1 elemento e P(A) 5 {∅, {a}} tem 2 elementos. • A 5 {a, e} tem 2 elementos e P(A) 5 {∅, {a}, {e}, {a, e}} tem 4 elementos. • A 5 {a, e, i} tem 3 elementos e P(A) 5 {∅, {a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}} tem 8 elementos.
Para refletir O que significa conjecturar ? Dê um exemplo.
Lembre-se de que 20 5 1; 21 5 2; 22 5 4; 23 5 8. É possível conjecturar então que, se A tem n elementos, P(A) tem 2n elementos. Essa conjectura é verdadeira e será demonstrada no volume 2.
Exercícios propostos 17. Dados A 5 {0, 1} e B 5 {1, 3, 5}, determine:
18. Se P(A) tem 64 elementos, quantos elementos tem o conjunto A?
a) P(A); b) P(B); c) o número de elementos de P(A); d) o número de elementos de P(B).
19. Escreva um subconjunto A dos números naturais tal que P(A) tenha 16 elementos.
8. Complementar de um conjunto
Para refletir
Dado o universo U 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e o conjunto A 5 {1, 3, 5, 7}, dizemos que o complementar de A em relação a U é {0, 2, 4, 6, 8, 9}, ou seja, é o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A. De modo geral, dado um conjunto A, subconjunto de um certo universo U, chama-se complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos elementos A de U que não pertencem a A; indica-se U ou A ou A (lê-se complementar de A em relação a U).
O complementar de um conjunto só tem sentido quando fixamos um conjunto universo U. U
c
Logo, A 5 {x | x U e x A} . c
A A
Propriedades É possível demonstrar a validade das seguintes propriedades: 1·) (A ) 5 A para todo A U (o complementar do complementar de um conjunto A é o próprio conjunto A). 2·) Se A B, então A B (se um conjunto está contido em outro, seu complementar contém o complementar desse outro). Escrevendo de outra forma: AB⇒B A c
c
c
c
c
c
Para refletir De modo geral, podemos considerar AB sempre que A B. Você sabia que o diagrama do exercício 22 é chamado diagrama de Venn?
26
Matemática
Exercícios propostos 22. Copie o diagrama ao lado
20. Dados U 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, a) c U
b) cU
A
B
c) cU C
d) cA C
a) c U A
21. Verifique com um exemplo a equivalência já citada: c
U
no caderno e hachure os conjuntos fazendo uma figura para cada item:
A 5 {0, 2, 4, 6, 8}, B 5 {1, 3, 5, 7, 9} e C 5 {2, 4}, determine:
c
A,B⇔B ,A.
b) B
B A
c) cU C
C
c
9. Contrapositiva Já vimos que, se p é a propriedade que define o conjunto A e q é a propriedade que define o conjunto B, dizer que A B é o mesmo que dizer que p ⇒ q (p implica q). Vamos representar por p’ a negação de p e por q’ a negação de q. Assim, dizer que um objeto x goza da propriedade p’ significa afirmar que x não goza da propriedade p (isso vale também para q’ em relação a q). Dessa forma, podemos escrever a equivalência: A,B⇔B ,A da seguinte maneira: p ⇒ q se, e somente se, q’ ⇒ p’ c
c
ou seja, a implicação p ⇒ q (p implica q) é equivalente a esta outra implicação: q’ ⇒ p’ (a negação de q implica a negação de p). A implicação q’ ⇒ p’ chama-se contrapositiva da implicação p ⇒ q.
Exemplo: Consideremos o universo U o conjunto dos quadriláteros convexos, p a propriedade de um quadrilátero x ser losango, e q a propriedade de ser paralelogramo. Assim, p’ é a propriedade que tem um quadrilátero convexo de não ser losango, e q’ a de não ser paralelogramo. Logo: (1) p ⇒ q: Se x é losango, então x é paralelogramo. (2) q’ ⇒ p’: Se x não é paralelogramo, então x não é losango.
Para refletir O que é um polígono convexo?
As afirmações (1) e (2) são equivalentes, isto é, são duas maneiras diferentes de dizer a mesma coisa.
Exercícios propostos 23. Escreva a contrapositiva da implicação p ⇒ q em que: p: número natural maior do que 2 primo. q: número natural maior do que 2 ímpar. p ⇒ q: se um número natural maior do que 2 é primo, então ele é ímpar.
24. Escreva a contrapositiva das implicações: a) “Se um número quadrado perfeito é par, então sua raiz quadrada é par.” b) “Se um número é par, então esse número é divisível por 2.”
Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
25. Escreva a contrapositiva da implicação: r
s
t
“Se duas retas distintas (r e s) de um plano a são perpendiculares a uma terceira reta (t) desse plano, então elas (r e s) são paralelas.”
27
10.
Operações entre conjuntos
Diferença Dados os conjuntos A 5 {0, 1, 3, 6, 8, 9} e B 5 {1, 4, 9, 90}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B. Assim, C 5 {0, 3, 6, 8}. O conjunto C é chamado diferença entre A e B e é indicado por A 2 B (lê-se A menos B). De modo geral, escrevemos: A AB
A 2 B 5 {x | x A e x B}
B
A B
Observe que, se B A, a diferença A 2 B é igual a c A . B
Por exemplo, se A 5 {0, 2, 4, 6, 8} e B 5 {0, 4}, então A 2 B 5 {2, 6, 8} 5 c A . B
A B cA B
Reunião ou união
Dados os conjuntos A 5 {0, 10, 20, 30, 50} e B 5 {0, 30, 40, 50, 60}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou a ambos. Assim, C 5 {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60}. O conjunto C é chamado reunião ou união de A e B e é indicado por A B (lê-se A reunião B ou A união B). De modo geral, dados dois conjuntos A e B, a reunião A B é o conjunto formado pelos elementos de A mais os elementos de B: A B 5 {x | x A ou x B} Por exemplo, se A 5 {3, 6} e B 5 {5, 6}, então A B 5 {3, 5, 6}. Nos diagramas abaixo, a reunião A B está colorida: A
B
A
B
B
A
A
U
U
U
B
U
Observação: Este “ou” da reunião não é o “ou” de exclusão da linguagem usual “vamos ao cinema ou ao teatro”. Ele significa: se x A B, então x A ou x B ou x pertence a ambos, isto é, x A B quando pelo menos uma das afirmações, x A ou x B, é verdadeira.
Intersecção Dados os conjuntos A 5 {a, e, i, o, u} e B 5 {a, e, u, b}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, ou seja, pelos elementos comuns a A e B. Assim, C 5 {a, e, u}. O conjunto C é chamado intersecção de A e B e é indicado por A B (lê-se A intersecção B ou, simplesmente, A inter B). De modo geral, dados dois conjuntos A e B, a intersecção A B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B: A B 5 {x | x A e x B} Por exemplo, se A 5 {2, 4, 6} e B 5 {2, 3, 4, 5}, então A B 5 {2, 4}.
28
Matemática
Nos diagramas abaixo, a intersecção A > B está colorida: A
B
A
B
B
A A
U
U
B
U
U
Observações: 1·) x [ A > B quando as duas afirmações, x A e x [ B, são simultaneamente verdadeiras. 2·) Se A > B 5 ∅, então os conjuntos A e B são chamados disjuntos.
Propriedades da reunião e da intersecção Dados três conjuntos, A, B e C, valem as propriedades: 1·) A B 5 B A (comutativa) A>B5B>A 2·) (A B) C 5 A (B C) (associativa) (A > B) > C 5 A > (B > C) 3·) A > (B C) 5 (A > B) (A > C) (distributiva) A (B > C) 5 (A B) > (A C) U
A
B
U
A
B
C
C
A > (B C)
(A > B) (A > C)
4·) A , B ⇔ A B 5 B ⇔ A > B 5 A B
B A
A B 5 B
A
A>B5A
5·) A B ⇒ (A C) , (B C) A , B ⇒ (A > C) , (B > C) 6·) Leis de De Morgan Dados A e B subconjuntos de um universo U, tem-se:
( A B) 5 A B (O complementar da reunião é igual à intersecção dos complementares.) ( A B) 5 A B (O complementar da intersecção é igual à reunião dos complementares.) Por exemplo, se U 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A 5 {1, 3, 5, 7} e B 5 {2, 4, 6}, temos: A B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ( A B) 5 {0, 8, 9} A 5 {0, 2, 4, 6, 8, 9} B 5 {0, 1, 3, 5, 7, 8, 9} A B 5 {0, 8, 9} Observe que (A B) 5 A B 5 {0, 8, 9}. Nesse caso, A > B 5 ∅, ( A B) 5 U e A B 5 U. Logo, ( A B) 5 A B . Você pode constatar a veracidade dessas propriedades, de um modo geral, representando os conjuntos por diagramas, como foi feito com a 3· e a 4· propriedade. Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
29
Exemplo: Dados os conjuntos A 5 {x | x é natural ímpar menor do que 10}, B 5 {x | x é par entre 3 e 11} e C 5 {x | x é um número natural menor do que 5}, vamos determinar: f ) B > C a) A B A 5 {1, 3, 5, 7, 9}; B 5 {4, 6, 8, 10}; C 5 {0, 1, 2, 3, 4} B > C 5 {4}
A B 5 {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
g) (A > B) > C
b) A C (A > B) > C 5 ∅ > C 5 ∅ A C 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} h) (A > C) B c) B C (A > C) B 5 {1, 3} {4, 6, 8, 10} 5 {1, 3, 4, 6, 8, 10} B C 5 {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10} i) (A > B) C d) A > C A > C 5 {1, 3} e) A > B A>B5∅
(A > B) C 5 ∅ C 5 C 5 {0, 1, 2, 3, 4}
Para refletir A negação de “p ou q” é “nem p nem q” e a negação de “p e q” é “não p ou não q”.
Exercícios propostos 26. Copie o diagrama abaixo no caderno e hachure os
A
conjuntos, fazendo uma figura para cada item: A
B
B
C
C
a) A 2 B
b) A 2 C
U
c) B 2 C
d) B 2 A
27. Dados os conjuntos A 5 {a, b, c, d, e, f, g}, B 5 {b, d, g, h, i} e C 5 {e, f, m, n}, determine: a) A 2 B b) B 2 C c) B 2 A d) (A 2 B) (B 2 A)
U
a) A B d) (B C) A e) A (B C) b) B C c) (A B) C f ) (A B) (A C) Compare os diagramas obtidos nos itens e e f. O que você pode concluir?
30. Indique simbolicamente a parte colorida no diagrama: a)
A
B
b)
A
B
28. Dados os conjuntos A 5 {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B 5 {2, 4, 5, 6, 9} e C 5 {0, 3, 6, 9, 10}, determine: g) (A C) B a) A B b) A B h) (A B) C c) A C i) (A B) C j) (A C) B d) A C e) B C k) A (B C) f) (A B) C l) A (B C)
29. Copie o diagrama a seguir no caderno e hachure os conjuntos fazendo uma figura para cada item:
30
U
C
C
U
31. Sejam os conjuntos A, B e C dados pelas condições: • A 5 {x | x é um número inteiro que satisfaz x2 2 5x 1 6 5 0}; • B 5 {x | x é um número inteiro que satisfaz x2 2 2x 5 0};
Matemática
• C 5 {x | x é um número inteiro que satisfaz x2 2 9 5 0}. Determine: a) A B b) A B c) B C d) A C e) A B C
35. Na internet, sites de busca permitem que o internauta faça combinações entre as palavras que devem ser pesquisadas para obter os resultados desejados. Em geral, as regras de procura são as seguintes:
• Quando as palavras são digitadas com um espaço entre elas, a busca é feita por uma palavra e a outra palavra. Por exemplo, digitando amor esperança serão procurados apenas os sites que contenham, ao mesmo tempo, as palavras “amor” e “esperança”.
32. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique: a) Se A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, então A B tem 7 elementos. b) Se A tem 2 elementos e B tem 3 elementos, então A B tem 2 elementos.
• Quando se usa um sinal de 2 (menos) na frente
c) Se A B 5 [, A tem 5 elementos e B tem 4 elementos, então A B tem 9 elementos.
33. Escreva a negação de “p ou q” e a negação de “p e q” sabendo que: p: x é um quadrilátero que tem os quatro ângulos retos; q: x é um quadrilátero que tem os quatro lados com a mesma medida.
34. Dados os conjuntos: P: conjunto dos polígonos G: conjunto dos paralelogramos L: conjunto dos losangos R: conjunto dos retângulos Q: conjunto dos quadrados faça um diagrama e determine: a) L R d) R Q b) L G e) G P c) Q L f) P R
de uma determinada palavra, a busca é feita excluindo-se os sites que contenham tal palavra. Por exemplo, digitando amor-esperança serão procurados sites que contenham a palavra “amor”, mas que não contenham a palavra “esperança”. Com base nessas regras, considere que um rapaz tenha feito a seguinte pesquisa: amor beleza-desespero. No diagrama de Venn abaixo, considere que os sites com as palavras Amor, Beleza e Desespero estão representados como conjuntos com a inicial da palavra, ou seja, ao conjunto A pertencem todos os sites que contêm a palavra Amor, e assim por diante. Pinte as regiões que representam corretamente o resultado da busca feita pelo rapaz. B
A
D
Número de elementos da reunião de conjuntos Consideremos A o conjunto dos números ímpares de 0 a 10, e B o conjunto dos números primos de 0 a 10. Então, se n(A) representa o número de elementos de A, temos: A 5 {1, 3, 5, 7, 9} ⇒ n(A) 5 5 B 5 {2, 3, 5, 7} ⇒ n(B) 5 4 A B 5 {3, 5, 7} ⇒ n(A B) 5 3 A B 5 {1, 2, 3, 5, 7, 9} ⇒ n(A B) 5 6 Observe que n(A B) n(A) 1 n(B), pois há três elementos comuns a ambos os conjuntos [n(A B) 5 3]. Assim: 6 5 5 1 4 2 3 ↓ ↓ ↓ ↓ n(A B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A B) De modo geral, quando A e B são conjuntos finitos, tem-se: n(A B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A B), quando A B Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
31
Demonstração: Observe que n(A) inclui n(A B) e n(B) também inclui n(A B): B
A
AB
n(A B) 5 [n(A) 2 n(A B)] 1 n(A B) 1 [n(B) 2 n(A B)] n(A B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A B) No caso particular de A B 5 , temos: n(A B) 5 n(A) 1 n(B), pois n(A B) 5 0
Exemplos: 1‚) No lançamento de um dado perfeito, vamos ver de quantas maneiras diferentes podemos obter número ímpar ou número primo.
Conjunto dos números ímpares do dado:
A 5 {1, 3, 5} ⇒ n(A) 5 3
Conjunto dos números primos do dado:
B 5 {2, 3, 5} ⇒ n(B) 5 3
A B 5 {3, 5} ⇒ n(A B) 5 2
n(A B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A B) ⇒ n(A B) 5 3 1 3 2 2 5 4
Portanto, podemos obter número ímpar ou número primo de quatro maneiras diferentes.
tim-tim por tim-tim
(Enem) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, **2‚) visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1 . Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante conclui que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a: a) 135. b) 126. c) 118. d) 114. e) 110. 1. Lendo e compreendendo a) O que é dado no problema? É dado o número de páginas de cada catálogo, destacando-se quantas páginas serão comuns nos três catálogos. b) O que se pede? Pede-se a quantidade mínima de originais de impressão necessária para imprimir completamente os três catálogos. 2. Planejando a solução Devemos fazer uma nova leitura do problema, com muita atenção, para saber qual é a quantidade de páginas em comum entre os catálogos. O uso do diagrama de Venn ajuda muito nessa leitura e na obtenção de informações.
32
Matemática
3. Executando o que foi planejado Como são três catálogos, desenhamos um diagrama de Venn com três círculos, que representarão os catálogos C1, C2 e C3 . As regiões comuns entre os círculos representam as páginas em comum entre os catálogos. Dessa forma, teremos sete regiões distintas, conforme mostrado abaixo: Páginas iguais nos catálogos C1 e C2 e que não estão em C3. Páginas exclusivas do catálogo C2.
C2
C1
Páginas iguais nos catálogos C2 e C3 e que não estão em C1.
Páginas exclusivas do catálogo C1. C3
Páginas iguais nos catálogos C1 e C3 e que não estão em C2.
Páginas exclusivas do catálogo C3.
Páginas iguais nos três catálogos.
Começamos a preencher o diagrama pela parte central, que corresponde às páginas iguais nos três catálogos. Do enunciado, descobrimos que são 4. A partir daí, preenchemos cada região de páginas iguais tomando dois catálogos por vez. Por exemplo, se no enunciado lemos que C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1, então apenas 1 página é comum a C2 e C3, não estando em C1. Portanto, o diagrama preenchido fica assim: C1
C2 6
38 2
4
34 1
33 C3
A soma de todos os números das sete regiões nos dará a quantidade de originais de impressão necessária: 38 1 6 1 4 1 2 1 34 1 1 1 33 5 118 originais distintos. 4. Emitindo a resposta A resposta é o item c. 5. Ampliando o problema a) Se a tiragem de cada catálogo C1 , C2 e C3 for, respectivamente, 3 000, 4 000 e 6 000 impressões, quantas páginas serão impressas no total? b) A gráfica que vai imprimir os catálogos cobra R$ 1,00 por página se a tiragem for até 5 000 cópias da mesma página, R$ 0,80 se a tiragem for de 5 001 a 10 000 cópias, e R$ 0,70 para tiragens acima de 10 000 cópias. Assim, qual é o custo unitário do catálogo C1 considerando-se as quantidades apontadas no item a? c) Discussão em equipe Troque ideias com seus colegas sobre a importância de ainda haver catálogos impressos nos dias atuais. Um catálogo eletrônico (em um site na internet, por exemplo) não seria mais eficaz, além de poupar o corte de árvores para a fabricação do papel? 3‚) Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que respondessem sim ou não: Gosta de música? Gosta de esportes? Responderam sim à primeira pergunta 90 jovens; 70 responderam sim à segunda; 25 responderam sim a ambas; e 40 responderam não a ambas. Quantos jovens foram entrevistados? A: conjunto dos que gostam de música ⇒ n(A) 5 90 B: conjunto dos que gostam de esportes ⇒ n(B) 5 70 Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
33
A B: conjunto dos que gostam de ambos ⇒ n(A B) 5 25 A 2 (A B): conjunto dos que só gostam de música ⇒ 90 2 25 5 65 A B B 2 (A B): conjunto dos que só gostam de esportes ⇒ 70 2 25 5 45 65 25 45 Portanto, o número de entrevistados é: 65 1 25 1 45 1 40 5 175 40 ou: n(A B) 1 40 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A B) 1 40 5 90 1 70 2 25 1 40 5 175 4‚) Agora estamos em condições de resolver o problema da introdução deste capítulo: “Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol e de vôlei; 8 de basquete e de vôlei; e 5 gostam das três modalidades. a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes? b) Quantas gostam somente de futebol? c) Quantas gostam só de basquete? d) Quantas gostam apenas de vôlei? e) E quantas não gostam nem de basquete nem de vôlei? f ) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos?”
Vamos considerar F o conjunto das pessoas que gostam de futebol, B o das que gostam de basquete e V o das que gostam de vôlei e montar o diagrama com a distribuição das quantidades. Devemos começar sempre com a intersecção dos três conjuntos, depois com a intersecção de dois e, finalmente, com a quantidade de pessoas que gostam só de um esporte, sempre desconsiderando as já contadas. F
B
9
5
5 4
5
3
2 V
a) 50 2 (5 1 5 1 3 1 4 1 5 1 2 1 9) 5 17 Dezessete pessoas não gostam de nenhum desses esportes. b) Nove pessoas só gostam de futebol. c) Cinco pessoas só gostam de basquete. d) Duas pessoas só gostam de vôlei. e) Vinte e seis pessoas não gostam nem de basquete nem de vôlei (9 que só gostam de futebol e 17 que não gostam de nenhum dos esportes). f) 9 1 5 1 10 5 24 Vinte e quatro pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos. Observação: No caso de três conjuntos, A, B e C, a fórmula que indica o número de elementos da união A B C é: n(A B C ) 5 n(A) 1 n(B) 1 n(C ) 2 n(A B) 2 n(A C ) 2 n(B C ) 1 n(A B C ) Assim, nos conjuntos do terceiro exemplo: n(F B V) 5 23 1 18 1 14 2 10 2 9 2 8 1 5 5 33 Podemos justificar essa fórmula fazendo: n(A B C) 5 n[(A B) C] 5 n(A B) 1 n(C) 2 n[(A B) C] Como vale a propriedade distributiva da intersecção em relação à união (A B) C 5 (A C) (B C), temos: n[(A B) C] 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A B) 1 n(C) 2 n[(A C) (B C)] 5 5 n(A) 1 n(B) 1 n(C) 2 n(A B) 2 n(B C) 2 n(A C) 1 n(A B C)
34
Matemática
Exercícios propostos de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões?
37. Numa pesquisa feita com 1 000 famílias para verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados: 510 famílias assistem ao programa A, 305 assistem ao programa B e 386 assistem ao programa C. Sabe-se ainda que 180 famílias assistem aos programas A e B, 60 assistem aos programas B e C, 25 assistem a A e C, e 10 famílias assistem aos três programas. a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas? b) Quantas famílias assistem somente ao programa A? c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao programa B?
38. Um professor de Português sugeriu em uma classe a leitura dos livros Helena, de Machado de Assis, e Iracema, de José de Alencar. Vinte alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 leram os dois livros e 15 não leram nenhum deles. a) Quantos alunos leram Iracema? b) Quantos alunos leram só Helena? c) Qual é o número de alunos nessa classe?
39. Na porta de um supermercado foi realizada uma enquete com 100 pessoas sobre três produtos. As respostas foram: 10 pessoas compram somente o produto A, 30 pessoas compram somente o produto B, 15 pessoas compram somente o produto C, 8 pessoas compram A e B, 5 pessoas compram A e C, 6 pessoas compram B e C, e 4 compram os três produtos. a) Quantas pessoas compram pelo menos um dos três produtos? b) Quantas pessoas não compram nenhum desses produtos? c) Quantas pessoas compram os produtos A e B e não compram C? d) Quantas pessoas compram o produto A? e) Quantas pessoas compram o produto B? f) Quantas pessoas compram os produtos A ou B?
40. Num levantamento entre 100 estudantes sobre o estudo de idiomas, foram obtidos os seguintes resultados: 41 estudam inglês, 29 estudam francês e 26 estudam espanhol; 15 estudam inglês e francês,
Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
8 estudam francês e espanhol, 19 estudam inglês e espanhol; 5 estudam os três idiomas. a) Quantos estudantes não estudam nenhum desses idiomas? b) Quantos estudantes estudam apenas um desses idiomas?
41. Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados leem o jornal A, 29% leem o jornal B, 22% leem o jornal C, 13% leem A e B, 6% leem B e C, 14% leem A e C e 6% leem os três jornais. a) Quanto por cento não lê nenhum desses jornais? b) Quanto por cento lê os jornais A e B e não lê C? c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal?
42. Numa pesquisa sobre audiência de tevê entre 125 entrevistados, obteve-se: 60 assistem ao canal X, 40 ao canal Y, 15 ao canal Z, 25 assistem a X e Y, 8 a Y e Z, 3 a X e Z, e 1 assiste aos três. a) Quantos não assistem a nenhum desses canais? b) Quantos assistem somente ao canal X? c) Quantos não assistem nem a X nem a Y?
43. (FGV-SP) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas, A, B e C, de um determinado produto apresentou os seguintes resultados: A, 48%; B, 45%; C, 50%; A e B, 18%; B e C, 25%; A e C, 15%; nenhuma das três, 5%. a) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas? b) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das três marcas?
Curiosidade Os diagramas de Venn As representações da união e intersecção dos conjuntos em forma de diagrama é conhecida como diagrama de Venn, por causa do seu criador, o matemático inglês John Venn (1834-1923). Esses diagramas foram introduzidos em 1880 por Venn e a partir daí tornaram-se populares, ainda que outros matemáticos já tivessem usado diagramas similares anteriormente. Na foto ao lado, vemos uma das janelas da Faculdade Gonville e Caius (Universidade de Cambridge), que homenageia John Venn, estudante e professor da instituição.
wikimédia Commons/Arquivo da Editora
36. Uma prova com duas questões foi dada a uma classe
35
11. Conjuntos numéricos Os dois principais objetos de que se ocupa a Matemática são os números e as figuras geométricas. O objetivo deste tópico é recordar e aprofundar o que você estudou sobre números no ensino fundamental. Quando comparamos uma grandeza e uma unidade obtemos um número. Se a grandeza é discreta, a comparação é uma contagem e o resultado, um número natural. Exemplo: quando contamos o número de dias de um ano bissexto. Se a grandeza é contínua, a comparação é uma medição e o resultado é um número real. Por exemplo, quando medimos a distância entre duas cidades.
Conjunto dos números naturais (lN) “Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.” Leopold Kronecker
O conjunto dos números naturais é representado por: Para refletir
Um subconjunto importante de n é o conjunto n*, obtido excluindo o zero de n: n* 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, …} ou n* 5 N 2 {0}
Qualquer número natural tem um único sucessor. Números naturais diferentes têm sucessores diferentes. O zero é o único natural que não é sucessor de nenhum outro.
Os números naturais são usados nas contagens (por exemplo, a população brasileira é de aproximadamente 190 milhões de habitantes), nos códigos (por exemplo, o CEP de uma empresa em São Paulo é 02909-900) e nas ordenações (por exemplo, o 1‚ estado brasileiro em superfície é o Amazonas, com aproximadamente 1 570 745 km2, e o 2‚ é o Pará, com aproximadamente 1 247 689 km2). Em n é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, ou seja, a soma e o produto de dois números naturais resultam sempre um número natural. Já a subtração entre dois números naturais nem sempre é um número natural; a subtração 3 2 4, por exemplo, não é possível em n. Daí a necessidade de ampliar o conjunto n introduzindo os números negativos.
Conjunto dos números inteiros ( Ω )
O conjunto dos números inteiros é representado por: Ω 5 {…, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Destacamos os seguintes subconjuntos de Ω:
• n, pois n , Ω
• Ω* 5 Ω 2 {0} ou Ω* 5 {…, 24, 23, 22, 21, 1, 2, 3, 4, …}
…
… –4
3
2
1
0
1
2
3
4
Observe na figura acima que há uma simetria em relação ao zero. O oposto ou simétrico de 3 é 23, bem como o oposto de 23 é 3, valendo 3 1 (23) 5 23 1 3 5 0. No conjunto Ω é sempre possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração, ou seja, a soma, o produto e a diferença de dois números inteiros resultam sempre um número inteiro. E todas as propriedades das operações em n continuam válidas em Ω.
36
Termômetro indicando temperatura negativa.
Para refletir
• Existe número natural que não é inteiro?
• Existe número inteiro que não é natural?
• Você sabia que Z é a primeira
letra da palavra Zahl, que em alemão significa ‘número’ ?
Matemática
guto kuerten/agência rbs/folha imagem
n 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
Já da divisão de dois números inteiros nem sempre resulta um número inteiro: (28) : (12) 5 24 → é possível em Ω
(27) : (12) 5 ? → não é possível em Ω
Daí a necessidade de ampliar o conjunto Ω introduzindo as frações não aparentes.
Conjunto dos números racionais (œ)
Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e negativas ao conjunto Ω, obtemos o conjunto dos números racionais (œ). Assim, por exemplo, são números racionais: 22, 2
3 1 1 1 3 5 , 21, 2 , 2 , 0, , , 1, e 2 2 2 4 2 4 3
Para refletir
Fração aparente é aquela que indica um número inteiro: a 0. Por exemplo, 22 5 Observe que todo número racional pode ser escrito na forma , com a [ Ω, b [ Ω e b 12 8 b 5 3; 2 5 24; etc. 4 2
2
6 2 10 3 2 0 , 15 , 25 ,2 , , 0 5 , etc. 3 2 5 4 3 2 Assim, escrevemos:
œ 5 {x | x 5
a , com a Ω, b Ω e b 0} b
Observe que a restrição b 0 é necessária, pois ção “racional” surgiu porque
a , divisão de a por b, só tem significado se b 0. A designab
a pode ser vista como uma razão entre os inteiros a e b. b
Para refletir
A letra œ, que representa o conjunto dos números racionais, é a primeira letra da pala-
Pense num silogismo envolvendo n, Ω e œ.
vra quociente.
Se b 5 1, temos
a a 5 5 a [ Ω, o que implica que Ω é subconjunto de œ. Assim: b 1 n,Ω,œ Ω
n
œ
Representação decimal dos números racionais Dado um número racional
a , a representação decimal desse número é obtida dividindo-se a por b, podendo b
resultar em: • decimais exatas, finitas:
1 5 6 5 0,25 2 5 20,625 6 5 5 6,0 4 8 1
• decimais ou dízimas periódicas, infinitas:
2 5 0,666… 5 0, 6 3
177 5 0,1787878… 5 0,178 990
Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
4 5 0,8 5
Para refletir Se a decimal for infinita mas não periódica, ela não representa número racional.
37
Determinação da fração geratriz do decimal
a Da mesma forma que um número racional pode ser representado por um decimal exato ou periódico, estes b a também podem ser escritos na forma , que recebe o nome de fração geratriz do decimal. b Por exemplo, vamos escrever a fração geratriz de cada decimal: • 0,75
• 0,1w78 N 5 0,1787878…
75 3 5 → fração geratriz 0,75 5 100 4
10N 5 1,787878…
• 0,222… x 5 0,222… 10x 5 2,222… 10x 5 2 1 0,222… 10x 5 2 1 x 9x 5 2 2 x 5 → fração geratriz 9
78 10N 5 1 1 0,787878… 0,787878... 5 . Verifique. 99 78 10N 5 1 1 99 990N 5 99 1 78 177 → fração geratriz N 5 990
• 0,414141… N 5 0,414141… 100N 5 41,4141… 100N 5 41 1 0,4141… 100N 5 41 1 N 99N 5 41
N 5
41 → fração geratriz 99
Observações: 1·) O número 0,999… é igual a 1, pois o símbolo 0,999… representa o número cujos valores aproximados são 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; etc., cada vez mais próximos de 1. Dizemos que essa sequência tem 1 como limite. 2·) Veja alguns números racionais colocados na reta: 5 8 5
4
3
5 2
2
4 1 3 2 1
1 2 0
3 4 3 2
1
2
3
4
5
Entre dois números inteiros nem sempre existe outro número inteiro. Entre dois números racionais sempre existe outro racional. Por exemplo, entre os racionais podemos encontrar infinitos racionais; entre eles
1 3 5 0,5 e 5 0,75 2 4
5 5 0,625. Mas isso não significa que os racionais preenchem 8
toda a reta. Os números racionais são insuficientes para medir todos os segmentos de reta. Veremos um exemplo disso no próximo item. Embora as quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão por um número diferente de zero) sejam sempre definidas em œ, uma equação como x2 5 2 não pode ser resolvida em œ, pois não existe 2
racional
38
a a tal que 5 2. Surge então a necessidade de outro tipo de número, o número irracional. b b Matemática
Conjunto dos números irracionais ( IIr ) Como vimos, há números decimais que podem ser escritos na forma fracionária com numerador inteiro e denominador inteiro (diferente de zero) — são os números racionais. Mas há também números decimais que não admitem essa representação: são os decimais infinitos e não periódicos. Esses números são chamados números irracionais. Veja alguns exemplos: •
2 5 1,4142135…
•
3 5 1,7320508…
• π 5 3,1415926535… Usando a relação de Pitágoras, podemos representar alguns desses números na reta numérica: 1
3 1
2
2 3 2
1
0
1
2
3
2
d2 5 12 1 12 ⇒ d2 5 2 ⇒ d 5 2 Observe que a medida da diagonal do quadrado de lado 1, usan-
Para refletir
do esse lado 1 como unidade, é 2 . Essa diagonal é um exemplo de segmento que não pode ser medido com um número racional. Sua medida é o número irracional 2 . Observação: Veja as leituras no final do capítulo.
Os matemáticos já demonstraram que p é um número irracional. Você sabia que o número irracional p foi calculado com o auxílio de um computador obtendo-se 1,2 trilhão de casas decimais sem que tenha surgido uma decimal exata ou uma dízima?
π é irracional
A demonstração feita pelos matemáticos é o único modo que temos para saber que nenhum computador vai encontrar periodicidade no cálculo dos algarismos decimais de p, mesmo que examine alguns trilhões de dígitos.
O número π é obtido dividindo-se a medida do comprimento de qualquer circunferência pela medida de seu diâmetro (π 5 3,1415926535…).
Conjunto dos números reais ( ® )
Para refletir
Da reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais obtemos o conjunto dos números reais (®).
Dois conjuntos A e B são disjuntos quando A B 5 ∅. Verifique se são disjuntos: • N e Z; • Q e Ir.
® 5 œ Ir 5 {x | x [ œ ou x [ Ir} 5 {x | x é racional ou x é irracional}
Como vimos, os números racionais não bastam para esgotar os pontos da reta. Por exemplo, os pontos da reta correspondentes aos números 2 3 , 2 , etc. não são alcançados com os números racionais. Agora, os números reais esgotam todos os pontos da reta, ou seja, a cada ponto da reta corresponde um único número real e, reciprocamente, a cada número real corresponde um único ponto da reta. Por isso, dizemos que existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos da reta. Temos assim a reta real, que é construída desta forma: numa reta, escolhemos uma origem (e associamos a ela o zero), um sentido de 1 ). percurso e uma unidade de comprimento ( 0 Observe alguns números reais colocados na reta real:
2 2
1,5
Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
1
3 4
Para refletir O conjunto R pode ser visto como modelo aritmético de uma reta, enquanto esta, por sua vez, é o modelo geométrico de R.
2 0
0,5
1
1,5
2
39
O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos estudados até aqui: ®
œ
�Ir
Ω n
n,Ω,œ,® Ir , ® œ Ir 5 ® œ > Ir 5 ∅ Ir 5 ® 2 œ
Para refletir
Observação: Com os números reais toda equação do tipo x2 5 a, com a [ n, pode ser resolvida e todos os segmentos de reta podem ser medidos.
São reais: • os números naturais; • os números inteiros; • os números racionais; • os números irracionais.
Desigualdades entre números reais Dados dois números reais quaisquer a e b, ocorre uma e somente uma das seguintes possibilidades: a b ou a 5 b ou a b Geometricamente, a desigualdade a b significa que a está à esquerda de b na reta real: a
ab
b
A desigualdade a b significa que a está à direita de b na reta real: b
ab
a
Aritmeticamente, vamos analisar alguns exemplos: • 2,195… 3,189…, pois 2 3 • 4,128… 4,236…, pois 4 5 4 e 0,1 0,2 • 3,267… 3,289…, pois 3 5 3; 0,2 5 0,2 e 0,06 0,08 • 5,672… 5,673…, pois 5 5 5; 0,6 5 0,6; 0,07 5 0,07 e 0,002 0,003 e assim por diante.
Para refletir Ordenar os números reais aritmeticamente é como ordenar as palavras num dicionário.
Algebricamente, a b se, e somente se, a diferença d 5 b 2 a é um número positivo, ou seja, vale a b se, e somente se, existe um número real positivo d tal que b 5 a 1 d. Uma vez definida essa relação de ordem dos números reais, dizemos que eles estão ordenados. Usamos também a notação a b para dizer que a b ou a 5 b. Assim: a b lê-se a é menor do que ou igual a b b a lê-se b é maior do que ou igual a a
Exercícios propostos 44. Usando os símbolos , e , relacione os conjuntos numéricos a seguir: a) IN e IN*
b) Q I e IR
45. Com os conjuntos numéricos dados, efetue as operações de união e intersecção: a) Z Z e Q I b) Q I e Ir
46. Determine: a) IN ZZ I ZZ b) (IN > Q)
c) ( IQ > Ir) > IN d) ( IQ Ir) > IN
47. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F):
a) Todo número natural representa a quantidade de elementos de algum conjunto finito. b) Existe um número natural que é maior do que todos os demais.
40
c) Todo número natural tem sucessor em IN. d) Todo número natural tem antecessor em IN.
48. Dê a representação decimal dos seguintes números racionais: 7 5 3 7 1 c) d) e) 1 a) b) 8 13 4 5 7 a b
49. Determine a geratriz dos seguintes decimais periódicos: a) 0,333… b) 0,1666…
c) 0,242424… d) 0,125777…
50. Coloque em ordem crescente os números reais: 0, 5;
1 4 ; ; 0, 52; 0,25. 2 5
6 ; 10
Matemática
Conjunto dos números complexos (ç)*
Se x [ ®, então x2 0. Assim, a equação x2 1 1 5 0 não tem solução em ®, pois: x2 1 1 5 0 ⇒ x2 5 21 ⇒ x 5 1
e não existe um número real x que elevado ao quadrado resulte 21. Daí surgiu a necessidade de estender o conjunto dos números reais para obter um novo conjunto chamado conjunto dos números complexos. Um número complexo z é um número que pode ser escrito na forma: z 5 a 1 bi, com a [ ®, b [ ® e i2 5 21
Para refletir A forma z 5 a 1 bi é chamada de forma algébrica de z.
i é chamada unidade imaginária e sua característica fundamental é que i2 5 21. Um número complexo tem duas partes, uma real e outra imaginária: z 5 a 1 bi
parte real de z
parte imaginária de z
Re(z) 5 a
Im(z) 5 b
Devemos observar também que, se b 5 0, temos z 5 a (número real); e se a 5 0 e b 0, temos z 5 bi, que é um número imaginário puro. Se indicarmos o conjunto dos números complexos por ç, podemos escrever que ® , ç. ç
®
Veja agora o diagrama que relaciona os conjuntos numéricos: ç ®
œ
Ω
n
Ir
Exemplos: 1‚) Em z 5 2 1 5i, temos Re(z) 5 2 e Im(z) 5 5. 2‚) Em z 5 5, temos Re(z) 5 5 e Im(z) 5 0. Portanto, z é real. 3‚) Em z 5 23i, temos Re(z) 5 0 e Im(z) 5 23. Portanto, z é um imaginário puro.
Operações com números complexos Adição Se z1 5 2 1 2i e z2 5 23 1 4i, temos: z1 1 z2 5 (2 1 2i) 1 (23 1 4i) 5 (2 2 3) 1 (2 1 4)i 5 21 1 6i * O conjunto numérico (ç) será estudado detalhadamente no volume 3 desta coleção. Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
41
Subtração Se z1 5 3 1 i e z2 5 5 1 3i, temos: z1 2 z2 5 (3 1 i) 2 (5 1 3i) 5 (3 2 5) 1 (1 2 3)i 5 22 2 2i
Multiplicação Se z1 5 1 1 5i e z2 5 2 2 2i, temos: z1 • z2 5 (1 1 5i) • (2 2 2i) 5 1 • 2 2 1 • 2i 1 (5i) • 2 2 (5i)(2i) 5 2 2 2i 1 10i 2 10i2 5 2 1 8i 2 10(21) 5 2 1 8i 1 10 5 12 1 8i
Potenciação Veja alguns exemplos: 1‚) Se z 5 1 1 2i, temos: z2 5 (1 1 2i)2 5 (1 1 2i)(1 1 2i) 5 1 • 1 1 1 • 2i 1 (2i) • 1 1 (2i)(2i) 5 1 1 2i 1 2i 1 4i2 5 1 1 4i 2 4 5 23 1 4i 2‚) Se z 5 i, temos: i1 5 i
i3 5 i2 • i 5 (21) • i 5 2i
i5 5 i4 • i 5 1 • i 5 i
i7 5 i4 • i3 5 1 • (2i) 5 2i
i2 5 21
i4 5 (i2)2 5 (21)2 5 1
i6 5 i4 • i2 5 1 • i2 5 1(21) 5 21
i8 5 i4 • i4 5 1 • 1 5 1
Observe que as potências de i começam a se repetir depois de i4. Então, de modo geral, temos: i 5 (i4)n 5 1 i4n 1 1 5 (i4)n • i 5 1 • i 5 i i4n 1 2 5 (i4)n • i2 5 1 • (21) 5 21 i4n 1 3 5 (i4)n • i3 5 1 • i2 • i 5 1 • (21) • i 5 2i ou seja: 4n
i4n 1 p 5 ip
Exemplo: Calcule o valor de: a) i39
c) i80
i39 5 i36 • i3 5 (i4)9 • i3 5 1 • i3 5 1 • (2i) 5 2i
i80 5 (i4)20 5 120 5 1
Ou, de outra maneira:
Ou, de outra maneira:
80 4
39 4
2 36
9 i 5 i 5 2i 39
3
0 20
3
b) 2i13 2 i12
i80 5 i0 5 1
2i13 2 i12 5 2(i4)3 • i 2 (i4)3 5 2 • 13 • i 2 13 5 5 2i 2 1 5 21 1 2i
Divisão O conjugado de um número complexo z 5 a 1 bi é o número complexo z 5 a 2 bi.
Exemplos: 1‚) Se z 5 3 1 4i, então z 5 3 2 4i.
4‚) Se z 5 4i, então z 5 24i.
2‚) Se z 5 1 2 3i, então z 5 1 1 3i.
5‚) Se z 5 0, então z 5 0.
3‚) Se z 5 5, então z 5 5.
6‚) Se z 5 i, então z 5 2i.
O quociente
42
z1 z 2 z z1 . entre dois números complexos, com z2 0, é dado por 1 5 z2 z2 z2 z2 Matemática
Exemplos: 1‚) Vamos determinar o quociente
z1 sabendo que z1 5 1 1 3i e z2 5 2 1 2i. z2
z1 1 2 4i 6( 1) 8 4i 1 3i (1 3i)(2 2i) 2 2i 6i 6i2 1 1 i 2 4 4 8 z2 2 2i (2 2i)(2 2i) 22 (2i)2
2‚) Vamos determinar o número complexo z tal que:
a) z 2 i26 5 i33 2 z
z 2 i26 5 i33 2 z ⇒ z 1 z 5 i33 1 i26 ⇒ 2z 5 i32 • i 1 i24 • i2 ⇒ 2z 5 1 • i 1 1 • (21) ⇒ 2z 5 i 2 1 ⇒ 2z 5 21 1 i ⇒ 1 1 ⇒ z 5 i 2 2 1 1 Logo, z 5 i 2 2
b) iz 5 z 2 2 1 3i
1a maneira
Como z 5 a 1 bi, temos:
b a 2 i(a 1 bi) 5 (a 1 bi) 2 2 1 3i ⇒ 2b 1 ai 5 (a 2 2) 1 (b 1 3)i ⇒ a b 3 Então: 1 2b 5 (b 1 3) 2 2 ⇒ 22b 5 1 ⇒ b 5 2 2
1 5 a 5 b 1 3 ⇒ a 5 2 1 3 ⇒ a 5 2 2
Logo, z 5
2 a maneira
iz 5 z 2 2 1 3i ⇒ iz 2 z 5 22 1 3i ⇒ (i 2 1)z 5 22 1 3i ⇒ z
⇒ z
1 5 2 i. 2 2
2 + 3i ( 2 3i)( 1 i) ⇒ z ⇒ i 1 ( 1 i)( 1 i)
5 i 5 1 2 i 3 2 2i 3i 3i2 ⇒ z ⇒ z ⇒ z i 2 2 2 2 2 1 i ( 1) i
3‚) Vamos resolver em ç a equação x2 2 2x 1 10 5 0.
2 ± 36 2 ± 4 40 (impossível em ®) 2 2 Em ç podemos resolvê-la. Assim, temos:
x 5
2 ± ( 1) ? 36 2 ± i2 ? 36 2 ± 6i 2 2 2 2 1 6i x’ 5 5 1 1 3i 2 2 2 6i 5 1 2 3i x” 5 2 Verificando, vem:
S 5 x’ 1 x” 5 (1 1 3i) 1 (1 2 3i) 5 2
P 5 x’ ? x” 5 (1 1 3i) ? (1 2 3i) 5 12 2 (3i)2 5 1 2 (29) 5 10
Satisfazendo portanto a equação x2 2 Sx 1 P 5 0, ou seja, x2 2 2x 1 10 5 0.
x 5
Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
Para refletir Quando for indicado o conjunto universo, consideramos que o conjunto é R.
43
4‚) Vamos efetuar as divisões indicadas: 1 a) 2 2 i 1 1 1 ? (2 i) 2 i 2 i 2 i 2 i 2 2 5 2 i (2 i)(2 i) 4 1 5 5 2 i
b)
2 1 3i 1 1 4i 2 3i (2 3i)(1 4i) 2 8i 3i 12i2 2 5i 12 14 5i 14 5 i 1 4i (1 4i)(1 4i) 1 16 17 17 17 17
Exercícios propostos 51. Efetue as operações indicadas, escrevendo o resultado na forma algébrica z 5 a 1 bi: a) (22 1 i) 1 (23 2 6i) c) (4 1 2i) • (5 1 3i) b) (2 1 5i) 2 (1 1 3i) d) (1 1 i)3
52. Efetue: c) i400 2 i150 d) i25 1 i16
a) i60 b) i101
a)
1 1 5i 2 1 3i
b)
1 1 2i i
i 1 2 i 3i d) 1 1 2i c)
55. Atividade em dupla 1 i 1 i e dê a resposta na forma 1 i 1 i z 5 a 1 bi. Calcule
53. Resolva em C| as equações: a) x2 2 2x 1 4 5 0
54. Efetue as divisões indicadas:
b) x2 2 4x 1 5 5 0
12. Intervalos
Certos subconjuntos de ®, determinados por desigualdades, têm grande importância na Matemática: são os intervalos. Assim, dados dois números reais a e b, com a b, tem-se: a) Intervalo aberto a
b
(a, b) 5 {x [ ® | a x b}
(A bolinha vazia () indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo.) b) Intervalo fechado a
b
[a, b] 5 {x [ ® | a x b}
(A bolinha cheia () indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo.) c) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita a
b
d) Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda a
b
e) Semirreta esquerda, fechada, de origem b b
f) Semirreta esquerda, aberta, de origem b b
44
[a, b) 5 {x [ ® | a x b} (a, b] 5 {x [ ® | a x b} (2∞, b] 5 {x [ ® | x b} (2∞, b) 5 {x [ ® | x b} Matemática
g) Semirreta direita, fechada, de origem a
[a, 1∞) 5 {x [ ® | x a}
h) Semirreta direita, aberta, de origem a
(a, 1∞) 5 {x [ ® | x a}
i) Reta real
(2∞, 1∞) 5 ®
a
a
Observações: 1·) 2∞ e 1∞ não são números reais; apenas fazem parte das notações de intervalos ilimitados. 2·) Qualquer intervalo de extremos a e b, com a b, contém números racionais e irracionais. 3·) Há outras formas de representar intervalos abertos, usando colchetes em vez de parênteses. Por exemplo: (a, b] 5 ]a, b]; (a, b) 5 ]a, b[.
Exercícios propostos 56. Represente graficamente na reta real os seguintes intervalos: a) {x [ ® | 21 x 3} b) (2∞, 2] 1 c) 23, 2
c)
d) {x [ ® | 2 x 7}
d)
e) {x [ ® | x 24}
e)
f) [0, 6)
b)
3
3
58. Associe V ou F a cada uma das seguintes afirmações: a) 2 [ [2, 6] b) 21 [ (25, 21)
c) 0 [ {x [ ® | 21 x 1}
2
4
1 2 3
57. Escreva os intervalos representados graficamente: a)
1
d) 3 {x [ ® | 3 x 4} e) {2, 5} , [0, 1∞)
1
Operações com intervalos Como intervalos são subconjuntos de ®, é possível fazer operações com eles. As operações de intersecção, união, diferença e complementar serão apresentadas por meio de exemplos. 1‚) Dados A 5 {x [ ® | 21 x 1} e B 5 [0, 5).
Para refletir Analise os possíveis significados de {3, 5}, (3, 5) e [3, 5].
a) Vamos determinar A > B. A
1
1
B
0
AB 1
0
5
1
5
A > B 5 {x [ ® | 0 x 1} 5 [0, 1[ Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
45
b) Vamos determinar A B. A
1
1
B
0
5
AB
5
1
A B 5 {x [ ® | 21 x 5} 5 ]21, 5[
c) Vamos determinar A 2 B. A
1
1
B
0
AB 1
5
0
A 2 B 5 {x [ ® | 21 x 0} 5 ]21, 0[
d) Vamos determinar B 2 A. A
1
1
B
0
5
BA
1
5
B 2 A 5 {x [ ® | 1 x 5} 5 [1, 5[
e) Vamos determinar c AB .
c A não se define, pois A B. B
2‚) Sejam U 5 ® e os conjuntos A 5 [2, 5] e B 5 ]3, 6]. Lembre-se de que c A® 5 ® 2 A também pode ser represen tado por c A ou A.
a) Vamos calcular A. A
A
2
5
2
5
A 5 {x [ ® | x 2 ou x . 5} 5 ]2∞, 2[ ]5, 1∞[
b) Vamos calcular B. B
B
3
6
3
6
B 5 {x [ ® | x 3 ou x . 6} 5 ]2∞, 3] ]6, 1∞[
46
Matemática
c) Vamos calcular A B. A
2
B
5
3
AB
6
2
6
2
6
A B 5 {x [ ® | 2 x 6} 5 [2, 6]
d) Vamos calcular A B. AB
A B 5 {x [ ® | x 2 ou x . 6} 5 ]2∞, 2[ ]6, 1∞[
Exercícios propostos 59. Dados os conjuntos a seguir, determine o que se pede: a) A 5 [2, 4] e B 5 [3, 6]: A > B, A B, A 2 B, B 2 A e cAB . b) A 5 {x [ ® | x 4} e B 5 {x [ ® | x 1}: A B, B B > A, c AB e c A .
c) A 5 [22, 0) e B 5 [21, 1∞): A B e A > B. d) A 5 (22, 1) e B 5 [23, 0]: A, B, A B e A B.
60. Dados A 5 (25, 2], B 5 [26, 6] e C 5 (2∞, 2], calcule: a) A B C
c) (A B) C
b) A B C
d) A (B C)
61. Dados os intervalos A 5 [21, 4], B 5 [1, 5], C 5 [2, 4] e D 5 (1, 3], verifique se 1 pertence ao conjunto (A B) 2 (C 2 D).
Desafio em dupla O diagrama de Venn para os conjuntos A, B e C decompõe o plano em oito regiões. Numere-as e exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunião de algumas dessas regiões. a) (A B) b) (A B) C c
c
c
c
13. Coordenadas cartesianas A notação (a, b) é usada para indicar o par ordenado de números reais a e b, no qual o número a é a primeira coordenada e o número b é a segunda coordenada. Observe que os pares ordenados (3, 4) e (4, 3) são diferentes, pois a primeira coordenada de (3, 4) é 3, enquanto a primeira coordenada de (4, 3) é 4.
Sistema de eixos ortogonais Um sistema de eixos ortogonais é constituído por dois eixos perpendiculares, Ox e Oy, que têm a mesma origem O. (eixo vertical ou y eixo das ordenadas)
x O (origem)
Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
(eixo horizontal ou eixo das abscissas)
47
Damos o nome de plano cartesiano a um plano munido de um sistema de eixos ortogonais. Os eixos ortogonais dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes, na ordem colocada abaixo: y P(a, b)
b 2‚ quadrante
1‚ quadrante x
O 3‚ quadrante
a 4‚ quadrante
Usamos esse sistema para localizar pontos no plano. Dado um ponto P desse plano, dizemos que os números a e b são as coordenadas cartesianas do ponto P, em que a é a abscissa e b é a ordenada. Observe que a cada par ordenado de números reais corresponde um ponto do plano cartesiano e, reciprocamente, a cada ponto do plano corresponde um par ordenado de números reais. Essa correspondência biunívoca entre pares de números reais e pontos do plano permite escrever conceitos e propriedades geométricas em uma linguagem algébrica e, reciprocamente, interpretar geometricamente relações entre números reais. Por exemplo, vamos localizar num plano cartesiano os pontos A(4, 1), B(1, 4), C(22, 23), D(2, 22), E(21, 0), F(0, 3) e O(0, 0). y
B
4 3
F
a abscissa é 4 Ponto A(4, 1) → ponto A de coordenadas cartesianas 4 e 1 { a ordenada é 1
2 A
1 E
x
O
4 3 2 1 0 1
2
1
2 C
3
a abscissa é 1 Ponto B(1, 4) → ponto B de coordenadas cartesianas 1 e 4 { a ordenada é 4
4
D
3
Exercícios propostos 62. Dê as coordenadas cartesianas de cada ponto do plano cartesiano abaixo.
a) A(21, 3); y
b) D(4, 0);
4
A
3
B
c) B(0, 22);
2 1
4 3 2 1 0 1 2 F D
63. Assinale, num plano cartesiano, os seguintes pontos:
3 4
x
C 1
2
3
4
E
d) E(3, 21); 3 e) C[ , 4]; 2 1 f ) F[ , 22]. 2
64. Escreva as coordenadas cartesianas de dois pontos que estão: a) sobre o eixo das abscissas; b) sobre o eixo das ordenadas.
65. Um ponto P tem coordenadas (2x 2 6, 7) e pertence ao eixo das ordenadas. Determine x.
48
Matemática
Determine x e y.
coordenada está sempre na horizontal e a segunda, na vertical.
67. M arque os pontos X(22, 2), Y(2, 2), Z(22, 22) e
Polo Norte 90°
W(2, 22) num sistema cartesiano ortogonal. Una esses pontos e determine a área da região limitada pelo polígono XYWZ.
80° 60° I
G
68. Coordenadas geográficas
90°
O ponto P está localizado a uma latitude de 208 S e a uma longitude de 408 L. Indicamos esse ponto assim: P(208 S, 408 L) ou P(2208, 1408). Estime a latitude e a longitude de cada um dos pontos a seguir e indique-as usando o mesmo procedimento que fizemos com o ponto P. Observação: Mantivemos aqui o que se faz em Cartografia: primeiro escrevemos a latitude, depois a longitude. Em Matemática é o inverso: a primeira
E
K Primeiro meridiano
66. Os pares ordenados (2x, y) e (3y 2 9, 8 2 x) são iguais.
40° 20° Equador
90° P J
H
F
20° 40°
60° 80° 90° Polo Sul
a) E b) F
c) G d) H
e) I f ) J
g) K
Distância entre dois pontos A pergunta fundamental é: Se P(a, b) e Q(c, d), como se pode exprimir a distância do ponto P ao ponto Q em termos dessas coordenadas? Assim, dados dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2), queremos obter a expressão da distância d(P1, P2) em termos das coordenadas de P1 e P2. Para isso, é preciso introduzir um novo ponto Q(x2, y1). O triângulo P1P2Q é retângulo em Q e o segmento de reta P1P2 é a sua hipotenusa. Seus catetos medem (x2 2 x1) e (y2 2 y1), tomados em valores absolutos. Usando a relação de Pitágoras, temos: [d(P1, P2)]2 5 (x2 2 x1)2 1 (y2 2 y1)2, ou seja,
y
P1
y2
P2
y1
Q x
x1
x2
Para refletir
d(P1, P2) 5 2
2
2
( x 2 x1 ) ( y 2 y1 )
Essa expressão geral obtida não depende da localização dos pontos P1 e P2.
Vejamos alguns exemplos: 1‚) Vamos calcular a distância entre os pontos A(1, 24) e B(23, 2). ( x 2 x1 )2 ( y 2 y1 )2 5
( 3 1)2 (2 ( 4 ))2 ( 4 )2 ( 6)2 16 36 52
d(A, B) 5
Logo, d(A, B) 5 52 7,2 unidades de comprimento.
2‚) Vamos demonstrar que o triângulo com vértices
X(24, 3), Y(4, 23) e Z(3, 4) é isósceles.
d(X, Y) 5
( 4 ( 4 ))2 ( 3 3)2 5 64 36 100 10
d(Y, Z) 5
(3 4 )2 ( 4 ( 3))2 1 49 50
d(X, Z) 5
(3 ( 4 ))2 ( 4 3)2 49 1 50
Como d(Y, Z) 5 d(X, Z), o triângulo XYZ é isósceles.
Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
49
Exercícios propostos 69. Determine a distância entre os pontos A e B nos seguintes casos:
70. Demonstre que a distância de um ponto P(x, y) à orix 2 1 y 2 .
gem O(0, 0) é igual a
a) A(3, 24) e B(21, 2)
71. Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são
b) A(3, 23) e B(23, 3)
A(2, 3), B(0, 0) e C(3, 2).
Equação de uma circunferência A circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo que é o centro dela. A distância constante de qualquer ponto da circunferência ao seu centro é denominada raio da circunferência (na figura, OA 5 OB 5 OD 5 r). B
A
raio (r) O
Para refletir
raio (r)
Às vezes nos referimos ao raio como o segmento de reta e às vezes à sua medida.
raio (r)
D
Assim, se o centro de uma circunferência C é o ponto O(a, b) e o raio é o número real positivo r, então um ponto P(x, y) pertence a C se, e somente se, d(O, P) 5 r. Pela fórmula da distância entre dois pontos, temos: 2
2
2
y
r b
P(x, y)
O (a, b)
2
d(P, O) 5 ( x a) ( y b ) , ou seja, r 5 ( x a) ( y b ) , ou ainda, (x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 r2 → equação da circunferência de centro O(a, b) e raio r.
x 0
a
No caso particular em que o centro da circunferência estiver na origem,
ou seja, (a, b) 5 (0, 0), a equação da circunferência passa a ser x2 1 y2 5 r2 . Vejamos alguns exemplos: 1‚) Vamos determinar a equação da circunferência com centro O(23, 1) e raio 3. Neste caso, a 5 23, b 5 1 e r 5 3. Usando a equação da circunferência, temos: (x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 r2 ⇒ (x 1 3)2 1 (y 2 1)2 5 32 ⇒ x2 1 y2 1 6x 2 2y 1 1 5 0 Logo, a equação é (x 1 3)2 1 (y 2 1)2 5 9 ou x2 1 y2 1 6x 2 2y 1 1 5 0. 2‚) Vamos escrever a equação da circunferência de centro (0, 0) e raio 5. x2 1 y2 5 r2 ⇒ x2 1 y2 5 52 ⇒ x2 1 y2 5 25 Logo, a equação é x2 1 y2 5 25.
Exercícios propostos 72. Dê as coordenadas do centro e o raio das circunferências representadas pelas equações: a) (x 2 5)2 1 (y 2 3)2 5 1 b) (x 1 2)2 1 (y 1 1)2 5 9 c) x2 1 y2 5 16 d) x2 1 (y 2 2)2 5 25
73. Determine uma equação da circunferência que tem: a) centro em O(1, 4) e raio 2; b) centro em O(22, 25) e raio 3;
50
c) centro em O(0, 0) e raio 6; d) centro em O(0, 1) e raio 2.
Desafio em dupla Verifique se a equação x2 1 y2 2 4x 1 8y 1 19 5 0 representa uma circunferência. Em caso afirmativo, determine as coordenadas do centro e o raio dela. Observação: Retornaremos e aprofundaremos esse assunto no volume 3 desta coleção.
Matemática
14. Produto cartesiano Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares ordenados (a, b), com a [ A e b [ B. Indicamos o produto cartesiano de A por B por A × B, que se lê “A cartesiano B”. Assim: A × B 5 {(a, b) | a [ A e b [ B}
Exemplo: Se A 5 {1, 2} e B 5 {3, 7, 9}, vamos determinar:
Para refletir
a) A × B A × B 5 {(1, 3); (1, 7); (1, 9); (2, 3); (2, 7); (2, 9)}
• Para A B, temos A × B B × A. • Para A 5 B, indicamos A × B por A2. • O par ordenado (x, y) não é a
b) B × A B × A 5 {(3, 1); (3, 2); (7, 1); (7, 2); (9, 1); (9, 2)}
mesma coisa que o conjunto {x, y}, porque {x, y} 5 {y, x} sempre, mas (x, y) 5 (y, x) somente quando x 5 y.
c) A × A A × A 5 {(1, 1); (1, 2); (2, 1); (2, 2)} 5 A2 d) B2 B2 5 {(3, 3); (3, 7); (3, 9); (7, 3); (7, 7); (7, 9); (9, 3); (9, 7); (9, 9)}
Gráfico do produto cartesiano
Para refletir O exemplo mais impor-
Dados dois conjuntos A e B, com A e B subconjuntos de ®, cada par ordenado do tante de produto carteproduto cartesiano A × B é representado por um ponto no plano cartesiano. O gráfico de siano é o R2 ou R × R. A × B é o conjunto de todos esses pontos. Em A × B, representamos o conjunto A no eixo das abscissas e o conjunto B no eixo das ordenadas. Já em B × A, o conjunto B será representado nos eixos das abscissas e A, no eixo das ordenadas.
Exemplos: 1‚) Dados A 5 {1, 3} e B 5 {2, 4, 5}, vamos determinar o gráfico de: a) A × B b) B × A A B
4
5 4 3
Para refletir
2
Quando A e B são conjuntos finitos, n(A 3 B) 5 n(A) ? n(B).
1
2 1
1 0 1
A 1 0 1
3
1
2
3
B 1
2
5
4
3
4
Observamos que n(A) 5 2, n(B) 5 3 e n(A × B) 5 6 5 n(A) ? n(B). 2‚) Dados os conjuntos A 5 {x [ ® | 1 < x < 4} e B 5 {x [ ® | 22 x 3}, vamos determinar o gráfico de: a) A × B b) B × A B A 3
4
2
3
1
2 A
1 0 1
1
2
3
4
5
2
Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
1 2 1 0 1
B 1
2
3
4
51
Exercícios propostos 74. Dados os conjuntos A 5 {21, 0, 1, 2} e B 5 {2, 3}, dea) A × B;
c) A ;
b) B × A;
d) B2.
80. Sejam A e B conjuntos não vazios. Se A × B tem 12 elementos, então A B pode ter, no máximo, um número de elementos igual a: c) 11. e) 13. a) 7. b) 8. d) 12.
termine: 2
75. Com os dados do exercício anterior, construa o gráfico de A × B e de B2.
81. Identifique a alternativa na qual está representado o gráfico de A × B com A 5 [2, 3] e B 5 {1, 2}:
76. Se n(A × B) 5 15 e B 5 {23, 1, 3}, quantos elementos
a)
tem o conjunto A?
77. O gráfico de C × D é dado por:
2
3
3
2
2
b)
C
1 0
1
3
2
4
1 2 3
1
d)
1
2
3
4
1
2
3
4
y 4
3
3
2
2
1
1 x
x 1
2
3
0
4
gráfico de A × B com A 5 ]2∞, 2] e B 5 [1, 2]:
a)
F
c)
y
y
4
4
3
3
2 1
3 2 E 1
2
2
3
4
x
x 0
1 0 4 3 2 1 1
x 0
4
82. Identifique a alternativa na qual está representado o
79. O gráfico de E × F é dado por: 4
3
y
Escreva os conjuntos C e D. B 5 {x [ IR | 22 x 4}, construa o gráfico de: a) A × B; b) B × A.
2
4
0
78. Se A 5 {x [ IR | 21 x 2} e
1
x 0
2 1
y 4
1
D
3
c)
y 4
b)
1
2
3
1
4
d)
y
2
3
4
3
4
y
4 3 2
3 4
Escreva os conjuntos E e F.
15.
1
x
x 0
1
2
3
4
2
Relação binária
Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se relação (binária) R entre os elementos do conjunto A e os elementos do conjunto B qualquer subconjunto de A × B. Por exemplo, se A 5 {1, 3, 5} e B 5 {2, 4, 6, 8}, então: A × B 5 {(1, 2); (1, 4); (1, 6); (1, 8); (3, 2); (3, 4); (3, 6); (3, 8); (5, 2); (5, 4); (5, 6); (5, 8)}
52
Matemática
Agora, observe estes subconjuntos de A × B: R1 5 {(1, 2); (1, 8); (3, 4); (3, 6); (5, 4); (5, 8)} R2 5 {(1, 4); (3, 2); (5, 6)} R3 5 ∅ R4 5 A × B R5 5 {(3, 8)} R1, R2, R3, R4 e R5 são relações binárias entre os elementos do conjunto A e os elementos do conjunto B (ou relações binárias de A em B), pois todos são subconjuntos de A × B.
Diagrama de flechas Uma relação R entre os elementos do conjunto A e os elementos do conjunto B pode ser representada por diagramas como o abaixo, chamado de diagrama de flechas.
1• 3•
•2 •4 •6
5•
•8
A
B
Para refletir Um caso particular e muito importante de relação é o conceito de função, que será estudado no próximo capítulo.
As flechas indicam quais pares ordenados pertencem à relação. Neste exemplo, temos: R 5 {(3, 2); (3, 6); (5, 6)} e escrevemos 3 R 2; 3 R 6; 5 R 6 para indicar que 3 está relacionado com 2, 3 está relacionado com 6, e 5 está relacionado com 6.
Domínio e conjunto imagem Sendo R uma relação de A em B, podemos definir: • Domínio de R: conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pares ordenados (x, y) que pertencem a R. É indicado por D(R). No exemplo anterior, D(R) 5 {3, 5}. Note que D(R) , A. • Imagem de R: conjunto formado por todos os segundos elementos dos pares ordenados (x, y) que pertencem a R. É indicado por Im(R). No exemplo anterior, Im(R) 5 {2, 6}. Note que Im(R) , B.
Relação inversa Dada uma relação binária R de A em B, definimos a relação inversa R21 como o conjunto formado pelos pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos em cada par. Assim: R21 5 {(x, y) [ B × A | (y, x) [ R} Por exemplo, se R 5 {(1, 2); (3, 4)}, então R21 5 {(2, 1); (4, 3)}. Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
53
Exercícios propostos 83. Dados os conjuntos A 5 {1, 2} e B 5 {3, 4, 5}, indique quais desses conjuntos de pares ordenados representam uma relação entre os elementos de A e os elementos de B, ou seja, uma relação de A em B.
a) F1 5 {(1, 3); (2, 4); (2, 5)}
a) E screva a relação R como um conjunto de pares ordenados. b) Faça o diagrama de flechas de R. c) Escreva o domínio e a imagem de R. Para refletir
b) F2 5 {(2, 3); (2, 5); (2, 6)}
O gráfico de uma relação R entre os conjuntos A e B é o subconjunto G(R) do produto cartesiano A × B formado pelos pares (x, y) tal que x R y, ou seja, G(R) 5 {(x, y) [ A × B | x R y}.
c) F3 5 {(1, 4); (1, 5); (2, 4); (2, 5)} d) F4 5 {(1, 5); (0, 3); (2, 4)}
84. Considerando as relações do exercício anterior: a) construa o gráfico de cada uma delas; b) desenhe o diagrama de flechas de cada uma delas; c) escreva o domínio e o conjunto imagem.
85. Dados A 5 {21, 0, 1, 2} e B 5 {2, 4, 6}, a relação R de-
86. Dados os conjuntos A 5 {21, 1} e B 5 {22, 2}, determine o número de relações binárias não vazias de A em B.
87. Examine a relação R de A em B representada pelo diagrama de flechas abaixo:
finida de A em B tem o seguinte gráfico:
1•
•2
6
3•
•4
5
5•
4
7•
• 10
3 2
A
B
y
1 1
x 0 1
2
3
•6 •8
a) Escreva a relação R como conjunto de pares ordenados. b) Escreva o domínio e o conjunto imagem de R. c) Construa o gráfico de R.
Relações definidas por certas condições entre x e y Entre as relações, destacam-se aquelas definidas por condições que estabelecem se x está ou não relacionado com y. Por exemplo, a relação “menor do que” () entre números reais (relação de ® em ®):
• 2 3, pois 3 2 2 0. • 24 21, pois (21) 2 (24) 5 3 0. • 5 não é menor do que 3, pois 3 2 5 não é maior do que 0. De modo geral, a condição que nos permite escrever x y, com x [ ® e y [ ® é y 2 x 0. Dados A 5 {21, 2, 5} e B 5 {1, 5}, temos: A × B 5 {(21, 1); (21, 5); (2, 1); (2, 5); (5, 1); (5, 5)} e R 5 {(x, y) [ A × B | x y} Nesse caso, um par ordenado (x, y), para pertencer a R, deve pertencer a A × B e satisfazer a condição x y. Assim, R 5 {(21, 1); (21, 5); (2, 5)}.
1 • •1 2• •5 5• B
A
Diagrama de flechas
Exercícios propostos 88. Dados os conjuntos A 5 {1, 2, 3, 4} e B 5 {2, 3, 5, 6}, determine: a) a relação R de A em B definida por R 5 {(x, y) [ A × B | y 5 x 1 2}; b) o domínio e a imagem da relação R; c) a relação R21 inversa de R.
89. Dados os conjuntos A 5 {3, 4, 5} e B 5 {3, 4}, escreva as relações a seguir como conjunto de pares ordenados.
54
Depois, faça o diagrama de flechas, determine o domínio, o conjunto imagem e a sua respectiva relação inversa. a) R1 5 {(x, y) [ A × B | x 1 y 6} b) R2 5 {(x, y) [ A × B | x 5 y} c) R3 5 {(x, y) [ A × B | y x} d) R4 5 {(x, y) [ A × B | x 1 1 y} Matemática
16. Situações-problema envolvendo números reais, grandezas e medidas
Exercícios propostos 90. Considere a informação: A superfície do território
Para refletir Qualquer número natural pode ser decomposto em potências de 10.
Arredondamentos: Ao fazer arredondamentos, você deve observar o algarismo que vem logo à direita do algarismo da ordem que vai arredondar: • se for 0, 1, 2, 3 ou 4, mantém-se a mesma ordem; • se for 5, 6, 7, 8 ou 9, arredonda-se “para cima”. Veja alguns exemplos. A ordem que se vai arredondar está assinalada com um traço: 2 3 2 6 → 2 300 (mais próximo de 2 300 do que de 2 400) 1 6 7 4 3 → 17 000 (mais próximo de 17 000 do que de 16 000) 8 1 5 7 4 3 → 820 000 (mais próximo de 820 000 do que de 810 000) 8 1 6 7 4 3 → 800 000 (mais próximo de 800 000 do que de 900 000) 3 5 8 1 6 7 4 3 → 36 000 000 (mais próximo de 36 000 000 do que de 35 000 000) Poderíamos ter dado a área aproximada da superfície do território brasileiro de forma arredondada. Por exemplo, arredondando para a: • unidade mais próxima: 8 514 880 km2 • centena mais próxima: 8 514 900 km2 Arredonde o número 8 514 877 para a: a) unidade de milhar mais próxima b) dezena de milhar mais próxima c) centena de milhar mais próxima
91. Você sabia que as duas capitais brasileiras mais distantes uma da outra são Boa Vista (Roraima) e Porto Alegre (Rio Grande do Sul)? E que essa distância é de 3 775 km? Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
Boa Vista
OCEANO ATLÂNTICO EQUADOR
OCEANO PACÍFICO
brasileiro tem uma área de 8 514 877 quilômetros quadrados (km2). Leitura: Oito milhões, quinhentos e catorze mil, oitocentos e setenta e sete unidades, ou simplesmente: 8 milhões, 514 mil e 877 Decomposição: Podemos decompor um número natural usando potências de 10: 8 514 877 5 8 000 000 1 500 000 1 10 000 1 4 000 1 1 800 1 70 1 7 5 8 3 1 000 000 1 5 3 100 000 1 1 1 3 10 000 1 4 3 1 000 1 8 3 100 1 7 3 10 1 1 7 3 1 5 8 3 106 1 5 3 105 1 1 3 104 1 4 3 103 1 1 8 3 102 1 7 3 101 1 7 3 100
N Porto Alegre 0
1200 km
Fonte: Adaptado de Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2007.
a) Escreva no caderno esse número por extenso. b) Escreva no caderno esse número decompondo-o em potências de 10. c) Arredonde esse número para a centena mais próxima. d) Arredonde esse número para a unidade de milhar mais próxima.
92. Faça o arredondamento que você achar mais razoável
em cada caso. a) A extensão, em quilômetros quadrados, do estado de São Paulo é de 248 209, aproximadamente. b) A distância terrestre, em quilômetros, entre São Paulo e Rio de Janeiro é de 429. c) Extensão da rodovia Transamazônica, em quilômetros: 5 600 (projeto inicial). d) Extensão, em quilômetros quadrados, dos Estados Unidos: 9 629 091.
93. A distância média da Terra ao Sol é de 149 600 000
quilômetros. a) Para que ordem foi arredondado esse número? b) Escreva como se lê esse número. c) Por que foi escrito “distância média”, e não apenas “distância”?
94. De acordo com IBGE*, a população urbana registrada
no Brasil em 2007 era de 158 453 000 habitantes e a rural, 31 367 000, totalizando 189 820 000 habitantes. Nos jornais e nas revistas, esses números aparecem arredondados e simplificados. Veja como ficam os dois primeiros: 158 453 000 → 158 000 000 → 158 milhões 31 367 000 → 31 400 000 → 31,4 milhões Use o procedimento com o número que indica a população total do Brasil.
* Síntese de Indicadores Sociais: uma análise das condições de vida da população brasileira.
55
95. Observe no exemplo a seguir como podemos trans-
98. No Brasil, a reciclagem de lixo ainda está longe do ideal,
formar um número arredondado e simplificado em um número escrito somente com algarismos: 31,4 milhões → 31 milhões e 4 décimos de 1 milhão → → 31 000 000 1 400 000 → 31 400 000 Use o mesmo procedimento e escreva no caderno usando apenas algarismos. a) 17,3 milhões d) 3,5 bilhões e) 152,7 bilhões b) 0,6 milhão c) 1,3 mil f ) 3,2 trilhões
mas aos poucos está melhorando. Por exemplo: 47% das embalagens de vidro já estão sendo recicladas. a) De acordo com o exemplo dado, para cada 800 t de embalagens de vidro, quantas toneladas são recicladas? b) Determine as porcentagens com base nas informações dadas, em média: • Papelão: em 250 t são recicladas 200 t. • Latas de alumínio: para cada 500 t são recicladas 480 t. c) 20% dos plásticos rigídos são reciclados. Isso significa, em média, que 300 t são recicladas em um total de quantas toneladas? d) Formule uma pergunta com os dados dos itens anteriores.
96. O número que indica a população de uma cidade foi arredondado para a unidade de milhar mais próxima e resultou em 56 000. Quais são o menor e o maior número possíveis para indicar essa população?
97. Arredondamento, estimativa, cálculo mental e resultado aproximado Em uma fazenda, foram colhidas 1 123 caixas de laranjas em um mês e 783 caixas no mês seguinte. Nesses dois meses, aproximadamente, quantas caixas de laranjas foram colhidas? Como se quer aproximadamente o número de caixas, fazemos uma estimativa de 1 123 1 783. Para estimar 1 123 1 783, arredondamos e somamos: 1 123 1783
arredondamos arredondamos
estimativa do resultado aproximado
Nesses dois meses foram colhidas, aproximadamente, 1 900 caixas de laranjas. Arredonde, faça estimativa do resultado aproximado e indique a resposta que você acha mais provável. Em seguida, confira o resultado com os de seus colegas. 130 a) 48 1 71
b) 3 3 297
120
55 e) 95 2 39
65
300
8
600 f ) 402 : 5
80
900
800
10
220 g) 79 1 122
50
1 600 16 000
56
210 200
160 d) 39 3 41
45
110
5 c) 998 : 201
99. Uso da calculadora É muito fácil calcular a porcentagem em uma calculadora. Veja: Vamos determinar 35% de 460: Teclamos e obtemos
.
Faça você. Use uma calculadora e descubra: a) 80% de 1 340 c) 135% de R$ 60,00 b) 32% de 1 400
1 100 1800 1 900
(Fonte: www.cempre.org.br. Acesso em 20/5/2009.)
350 h) 502 2 149
450 400
100. Por que, no item c do exercício anterior, o resultado é maior do que R$ 60,00? Converse sobre isso com um colega.
101. Arredondamentos e estimativas Faça aproximações e identifique apenas o valor mais adequado a cada questão. R$ 20,00 a) Desconto de 9% R $ 30,00 em R$ 298,00 R$ 40,00 b) 49% de uma população de 141 200 habitantes
70 000 habitantes 50 000 habitantes 80 000 habitantes
c) 22% de um percurso de 503 km
50 km 100 km 20 km
d) Preço de um produto que custava R$ 80,50 e aumentou 11%
R$ 180,00 R$ 95,00 R$ 88,00
102. Você sabe quais são os quatro estados brasileiros na ordem do maior para o menor? Confira sua estimativa usando as informações a seguir e descubra as áreas aproximadas dos estados, em quilômetros quadrados. Pará: 75% do Amazonas. Amazonas: (16 3 100 000) km2. Minas Gerais: 50% do Pará. Matemática
3 de Minas Gerais. 2 Agora escreva o nome dos quatro estados de acordo com a ordem decrescente de suas áreas.
Vamos calcular o valor da expressão abaixo usando as teclas de memória:
Mato Grosso:
(2 496 : 32) 1 (6 298 : 94) 2 496
103. Em uma loja de som e imagem, cada vendedor rece-
Brasília
1 015
Salvador
2 052
1 542
Recife
2 716
2 223
1 542
2 223
auxiliar uma pessoa a fazer cálculos complexos mais rapidamente do que utilizando caneta e papel. Observe que a calculadora abaixo tem teclas de memória. Os números podem ser armazenados na memória da calculadora para serem usados posteriormente. Examine o significado de algumas teclas:
ablestock.com/jupiterimages
M+ : coloque um número na
Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
1 000
1 500
1 500
2 000
A notação científica permite escrever números usando potências de 10. Sua principal utilidade é a de fornecer, num relance, a ideia da ordem de grandeza de um número que, se fosse escrito por extenso, não daria essa informação de modo tão imediato. Um número está expresso em notação científica se está escrito como o produto de dois números reais: um número real pertencente ao intervalo [1, 10) e uma potência de 10. Veja alguns exemplos de números escritos na notação científica: 1) 300 5 3 ? 100 5 3 ? 102 2) 0,0052 5 5,2 ? 0,001 5 5,2 ? 1023 3) 32,45 5 3,245 ? 10 5 3,245 ? 101 4) 5 249 5 5,249 ? 1 000 5 5,249 ? 103 5) 0,000 000 000 2 5 2 ? 1029 6) 8 500 000 5 85 ? 105 5 8,5 ? 106 7) a massa de um átomo de oxigênio: 2,7 ? 10223 g 8) a massa de um átomo de hidrogênio: 1,66 ? 10224 g
106. Como você já sabe, as calculadoras são usadas para
Veja como é fácil. Acompanhe o exemplo a seguir.
1 000
108. Notação científica
2 pontos ou 1 ponto (lance livre). Encontre todas as maneiras de um time fazer 15 pontos. (Sugestão: faça uma tabela organizada.)
MC : apague a memória
500
a) 147 1 385 b) 5 199 2 4 002 c) 49 3 19 d) 11 991 : 30 e) 944 1 626
105. No jogo de basquete, as cestas podem valer 3 pontos,
memória
500
D
a) Mentalmente, estime quantos quilômetros José Roberto viajou, aproximadamente. b) Faça os cálculos e determine quantos quilômetros ele viajou. c) Invente uma questão com os dados da tabela. Troque-a com um colega e resolva a dele.
MR : busque um número na
0
C
842
M– : retire um número da memória
78
B
842
memória
MR
A
São Paulo Brasília Salvador Recife 2 716
67
responda em seu caderno. Em qual intervalo abaixo cada resultado poderá ser colocado?
depois, para Salvador e, finalmente, de Salvador foi para Recife. Distância terrestre (em km) 2 052
94
107. Faça estimativas, obtenha resultados aproximados e
104. José Roberto viajou de São Paulo para Brasília. Seguiu,
1 015
78 M+ 6 298
Agora use a calculadora para determinar o valor de: a) (3 612 : 86) ? (1 377 : 51) b) (712 ? 34) 1 (3 455 2 219) c) (756 1 24) ? (912 : 304)
be R$ 80,00 por semana e mais comissão de R$ 5,00 por aparelho de DVD que vender. Luciana vendeu 8 aparelhos em uma semana e Roberto, 4. a) Você acha que Luciana recebeu o dobro do que ganhou Roberto nessa semana? b) Calcule quanto recebeu cada um e depois confira sua resposta. c) Calcule quantos aparelhos de DVD um funcionário precisa vender para receber R$ 145,00 no fim da semana.
São Paulo
32
Escreva os números em notação científica: a) a distância média da Terra ao Sol: 149 600 000 km b) a velocidade da luz: 300 000 km/s c) a distância em torno da Terra no equador: 40 075 km d) a distância média do Sol a Marte: 227 900 000 km e) a distância média do Sol a Júpiter: 778 300 000 km f) a massa de um elétron, aproximadamente 0,000000000000000000000000000911 g
57
formato comunicações/arquivo da editora
109. Você sabia que...
File Edit Object Type View Help
... 1 bit é a menor unidade de informação usada pelo computador?
Pentium Dual-Core: 2 GHz Memória: 2 GB Disco rígido: 250 GB Placa de vídeo: 128 MB Iniciar
... byte (B) é a unidade de medida usada para a memória do computador e para o armazenamento de dados? –
+
+•–
... 1 byte contém 8 bits e pode armazenar um caractere (uma letra, um número ou um símbolo qualquer)? Veja outras unidades: B 5 byte (uma unidade de informação) KB 5 kilobyte (1 024 B ou, arredondando, 1 000 B) MB 5 megabyte (1 024 KB ou, arredondando,
1 000 KB ou 1000 000 B)
GB 5 gigabyte (1 024 MB ou, arredondando,
a) Faça uma tabela que corresponda ao gráfico. b) Qual foi a temperatura média máxima nesses primeiros 8 dias? Em que dia ocorreu? c) Qual foi a temperatura média mínima? Em que dia ocorreu? d) Em que dia a temperatura média registrada foi de 0 °C? e) A média das temperaturas nesses 8 dias foi maior ou menor do que 0 °C? Para refletir Você sabia que... ... foi o cientista sueco Andres Celsius (1701-1744) que, em 1742, criou a escala centesimal para medir temperatura? ... Celsius baseou essa escala na temperatura de solidificação (0 °C) e de ebulição (100 °C) da água em determinadas condições?
1 000 MB ou 1 000 000 000 B)
MHz 5 megahertz (1 000 000 Hz ou 1 000 000 de ciclos por segundo) GHz 5 gigahertz (1 000 MHz 5 1 000 000 000 Hz ou 1 000 000 000 de ciclos por segundo) a) Quando um programa é instalado em um computador, ele fica armazenado no disco rígido. O computador mede a armazenagem em kbytes. Determine o número de bytes de um computador que tem 64 kbytes. b) Use potências de 10 para escrever, de modo arredondado: • 2 GHz em Hz • 128 MB em B c) Escreva na notação científica: • 8 MB em B • 250 GB em B
110. Use cada algarismo abaixo uma única vez. Escreva
dois números de três algarismos cujo produto entre eles seja o menor possível. 1
2
5
3
6
112. Em uma folha de papel quadriculado, trace os eixos
x e y, localize os pontos A(24, 11) e B(14, 23). Em seguida, marque os pontos: C(22, 13), D(14, 11), E(23, 23), F(13, 21), G(0, 23), H(11, 23) e I(23, 0). Trace agora os triângulos nACD, nIEG, nFHB e classifique-os quanto aos ângulos e aos lados. y
4 C
A I
?
3
?
2 1
x
4 3 2 1 0 1
E
4
?
1
2 3
D
G
2
?
H
3
4
F B
4
111. Examine o gráfico de temperaturas médias (em °C) da cidade de Madri (capital da Espanha) nos primeiros dias de janeiro. Temperatura (°C) 4 3
Para refletir
2 1 0
As duas retas perpendiculares são chamadas de eixos x e y. Os dois números do par ordenado são as coordenadas do ponto correspondente. O ponto do par (0, 0) é chamado de origem.
Dias de janeiro 1
2
3
4
5
6
7
8
Chama-se par ordenado porque a ordem em que aparecem os números é importante. Por exemplo, a posição do ponto M(22, 13) é diferente da posição do ponto N(13, 22).
1 2 3
58
113. Os pontos A(21, 3), B(21, 23) e D(5, 3) são vértices de um quadrado ABCD. Escreva o quarto vértice desse quadrado. Matemática
114. Reflexão, translação e ampliação
Examine o triângulo de vértices A(1, 3), B(4, 4) e C(3, 1) da figura a seguir.
Vamos, agora, multiplicar por 2 as coordenadas dos vértices deste triângulo ABC: y
y 4
3
A
3
B
4
B
2
2
1
1
C
4 3 2 1 0
1
2
3
x
A
4 3 2 1 0
4
C x
1
2
3
4
1
1
A(1, 1) → J(2, 2); B(2, 4) → K(4, 8); C(4, 1) → L(8, 2)
2
Vamos multiplicar a primeira coordenada de cada vértice por 21:
O triângulo JKL é uma ampliação do triângulo ABC. Em uma ampliação, a forma da figura original não se altera, mas o tamanho aumenta. y
y E
B
4 D
9
A
3 2
F
K
8 7
1
C
4 3 2 1 0
1
2
3
x 4
6 5
1
4
2
3
B
2
A(1, 3) → D(21, 3); B(4, 4) → E(24, 4); C(3, 1) → F(23, 1) O triângulo DEF é uma reflexão do triângulo ABC em relação ao eixo y. Dizemos também que o triângulo DEF é o simétrico do triângulo ABC segundo o eixo y. Vamos agora somar 23 à segunda coordenada de cada vértice do triângulo ABC: y B
4 3 2
4 3 2 1 0
H
C
G 1
2
x 3
4
1 2
I
A(1, 3) → G(1, 0); B(4, 4) → H(4, 1); C(3, 1) → I(3, 222) O triângulo GHI é uma translação do triângulo ABC, 3 unidades para baixo. Podemos transladar uma figura para a esquerda, para a direita, para cima e para baixo. Em uma reflexão ou em uma translação, o tamanho e a forma da figura original não se modificam. Muda-se apenas a posição da figura. Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
0
J
L C
A 1
2
3
4
x 5
6
7
8
9
Desenhe em uma folha de papel quadriculado um triângulo cujos vértices são A(22, 21), B(24, 22) e C(21, 23). Depois, multiplique a segunda coordenada de cada vértice por 21. Desenhe o novo triângulo. O que é esse novo triângulo em relação ao original?
115. Desenhe em uma folha de papel quadriculado um
A
1
1
triângulo cujos vértices são P(1, 1), Q(2, 23) e R(4, 0). Faça a translação do triângulo PQR 3 unidades para cima. Escreva as coordenadas de cada vértice do triângulo obtido.
116. Desenhe em uma folha de papel quadriculado um triângulo cujos vértices são M(21, 1), N(3, 22) e L(22, 23). Depois, multiplique as duas coordenadas de cada vértice por 3. Desenhe o novo triângulo. O que é esse novo triângulo em relação ao original?
117. Que operações devemos efetuar com as coordenadas dos pontos A, B e C para que o nA9B9C9 seja obtido a partir do nABC? Confira sua resposta determinando e comparando as coordenadas dos vértices dos dois triângulos.
59
120. O gráfico abaixo mostra a variação do valor em reais
y
do dólar comercial no período de 11/5/2009 a 18/5/2009. Analise-o e responda:
C
DÓLAR Taxas de câmbio comercial (R$/venda) 2,1000 2,0992
A B
x C
2,0929
2,0900
2,0784
2,0800
2,0762
2,0700 2,0600
A
118. Aurora vai fazer pãezinhos para seus amigos que vêm
ilustrações: formato comunicações/arquivo da editora
estudar em sua casa. O livro de receitas indica os ingredientes abaixo. RECEITA
2,0579
2,0500 11
B
4 colheres de sopa de açúcar 1 copo de leite 2 1 1 colher de café de fermento em pó 2 5 xícaras de farinha de trigo (Porção para 6 pessoas)
2,0649
35
Como ela pretende fazer pãezinhos para três pessoas, reescreva esses quatro ingredientes com as respectivas quantidades.
119. Quando lançamos um dado, há seis possibilidades quanto à face que ficará voltada para cima: A probabilidade de sair o número 5 é de 1 em 6, ou 1 seja, . 6 A probabilidade de sair um número ímpar é de 3 em 3 1 6 ou 5 . 6 2
12
13 14 maio
15
18
(Fonte: www.bc.gov.br. Acesso em 20/5/2009.) (Fonte: www.bc.gov.br.
Acesso em 20/5/2009.)
a) Qual era o valor do dólar em 12/5? b) Em 18/5, a quantia de 100 dólares correspondia a quantos reais? c) De 15/5 a 18/5, o valor do dólar subiu ou caiu? Quanto? d) Em 11/5, a quantia de R$ 300,00 correspondia a quantos dólares, aproximadamente?
121. Usando as informações acima, determine o valor médio do dólar comercial no período de 11/5/2009 a 18/5/2009. (Use calculadora.)
122. Cíntia toca bateria e viaja todo fim de semana com sua banda. Como precisa economizar, resolveu verificar como estava o consumo de gasolina de seu carro (em km/, ). Para isso fez o seguinte: Antes da viagem, encheu o tanque e anotou a quilometragem marcada no painel: 0 1 8 9 6 8 . Quando retornou, anotou a quilometragem: 0 1 9 1 9 8 , encheu novamente o tanque e viu que gastou 18,4 , de gasolina. a) Qual foi o consumo do carro de Cíntia em quilômetros por litro? b) Quanto Cíntia gastou em gasolina para fazer logo em seguida uma outra viagem de 387,5 km se cada litro custava na época R$ 2,29?
123. Atividade em equipe
Qual é a probabilidade de sair: a) o número 4? b) um número par? c) um número maior do que 2? d) um divisor de 12? e) um número maior do que 7? f) um número primo?
60
IMC é a sigla para índice de massa corporal, que permite a uma pessoa fazer o controle de seu “peso”. O cálculo do IMC é feito usando a fórmula a seguir, e o controle, de acordo com a tabela a seguir. IMC 5
(massa em kg e altura em m)
massa altura ? altura “Peso”
Baixo
Normal
Pré-obeso
Obeso
Até 19
De 19 a 25
De 25 a 30
Mais de 30
Matemática
Consultando a tabela, podemos deduzir que essa pessoa é pré-obesa. a) Usando a fórmula do IMC, determinem em que faixa da tabela está uma pessoa com 1,70 m de altura e 70 kg. b) Verifiquem qual é o IMC de vocês e em que faixa da tabela se encontram. c) Uma pessoa tem 1,80 m de altura. Qual deve ser seu “peso” para que o IMC seja 20? d) Façam o teste com cada elemento da equipe, classificando como IMC “baixo”, “normal”, “pré-obeso” e “obeso”.
Veja:
3 13 3 15
2 4 82 0,42051282 5 1 5 0,42051282 5 13 15 195 1 3 13 3 15
2 4 82 Assim, . 1 5 13 15 195 Agora, use calculadora e determine estas somas: a)
21 12 2 5 17 4 1 b) 1 c) 1 37 17 77 61 23 15
127. Rosa é arquiteta. Ao fazer a planta de uma casa, deparou-se com a seguinte questão: se a altura da escada é de 4 m e o afastamento da escada à parede é de 6 m, qual deve ser a medida do comprimento da escada? Como você resolveria esta questão?
124. O gráfico de setores abaixo mostra o resultado de uma
ilustrações: formato comunicações/arquivo da editora
Tomemos como exemplo uma pessoa com 70 kg e 1,64 m: 70 70 IMC 5 5 5 26,03 (aproximada1,64 ? 1,64 2,6896 mente)
4m
eleição na qual concorreram os candidatos A, B e C. O número total de votos válidos foi 12 000.
6m
B 4 800 votos A
%
votos
? ?
25%
? C votos %
a) Quantos votos teve o candidato A? b) Qual foi a porcentagem de votos dados a B? c) Qual foi a porcentagem e o número de votos dados a C? d) Qual é a medida do ângulo central correspondente aos setores de A, B e C no gráfico?
125. Se 201 g de mercúrio e 16 g de oxigênio se combinam para formar 217 g de óxido de mercúrio, qual a porcentagem de cada elemento no óxido de mercúrio?
126. Você já tentou usar uma calculadora para somar frações? É claro que é possível! 2 4 Veja este exemplo. Vamos somar 1 . 13 15 Acompanhe cada passo: 2 13 2
128. Um caminhão sobe uma rampa inclinada em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m de comprimento e seu ponto mais alto está a 5 m de altura, qual é a distância do início da rampa (A) ao ponto B? Desenhe em seu caderno um modelo matemático, calcule o que se pede e dê a resposta em metros e centímetros. 30 m
C 5m x
A
B
129. Você sabia que... ... a polegada é uma unidade de medida de comprimento inglesa e equivalente a 25 mm? ... polegada vem de polegar? 1 polegada 5 25 mm 5 2,5 cm
4 15 13
M+
4
15
MR
Como escrever esse número na forma de fração? Procure uma fração equivalente com denominador 13 ? 15. Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
Centímetros: 0
Polegadas: 0
1
1 4
2
1 2
3 4
3
1
4
5
2
61
Observe as figuras da página anterior e utilize os valores citados para responder a estas questões: a) Qual é a medida do parafuso da figura em polegadas? 1 b) Um parafuso com 2 polegadas mede mais ou 4 menos do que 6 cm? c) Em 1 m há quantas polegadas? d) Qual é o diâmetro, em milímetros, de um cano de 3 de polegada? 4
131. Você sabia que... ... a produção brasileira de petróleo é de 1,83 milhão de barris por dia? ... o consumo diário brasileiro de petróleo é de 1,82 milhão de barris? ... a cada mês, aproximadamente, 24 bilhões de litros de gasolina e 41 bilhões de litros de diesel são consumidos por uma frota de 33,6 milhões de veículos em todo o país? Fontes: ANP e Sindipeças. Dados de 2006 e 2007.
A capacidade de um barril de petróleo é de 158,98 litros. Quantos litros de petróleo, por dia, aproximadamente, o país: a) produz? b) consome?
132. Caloria (cal) é uma unidade de medida de energia. formato comunicações/arquivo da editora
Examine o quadro abaixo e responda: Tipo de lanche
Quantidade de calorias (cal)
Peito de peru light
194
Hambúrguer simples
296
Hambúrguer duplo
587
X-salada
738
a) Que lanches diferentes uma pessoa pode comer em um dia sem ultrapassar 1 200 cal? b) Cite o nome de dois lanches tais que um deles tenha, aproximadamente, o dobro de calorias do outro. c) Qual lanche possui quase quatro vezes o número de calorias que o sanduíche de peito de peru light?
133. O decibel 2 dB (a décima parte do bel) é usado como unidade de medida do nível de intensidade sonora. A Organização Mundial da Saúde (OMS) recomenda que no interior de edifícios o ruído de fundo não seja superior a 45 dB, que à noite, no interior de dormitó-
62
flip nicklin/minden pictures/latinstock
medir grandes distâncias: 1,00 AU 5 149,6 milhões de km 5 1 496 ? 105 km (distância média da Terra ao Sol). A distância média de Marte ao Sol é de, aproximadamente, 228 000 000 km. De quantas AU é, aproximadamente, essa distância?
Invente um problema com esses dados. Troque com um colega e resolva o dele.
Baleia-azul expelindo ar enquanto nada na superfície do Golfo St. Lawrence, nas proximidades da costa canadense.
Você sabia que... ... as baleias-azuis emitem sons que podem atingir até 188 dB quando se comunicam e que já foram detectadas a 850 km de distância por equipamentos especiais?
134. O planeta Terra e suas medidas (em valores aproximados) noaa/science photo library/latinstock
130. Os cientistas usam a Unidade Astronômica (AU) para
rios, o ruído não seja superior a 35 dB, que os ruídos externos diurnos não sejam superiores a 55 dB e os noturnos, não superiores a 45 dB. Mas veja os sons (em decibéis) produzidos por: a) discotecas: de 85 dB a 100 dB; b) motos: de 80 dB a 105 dB; c) aviões a jato: 120 dB; d) grandes grupos de rock: ultrapassam 120 dB.
Fotografia obtida por satélite enfocando o planeta Terra na região do continente sul-americano.
Você sabia que... ... o diâmetro da Terra na linha do equador é de 12 756,34 km? ... a temperatura do planeta Terra varia de 289,2 °C a 58 °C? ... o planeta Terra pesa 6,5 sextilhões de toneladas? ... o movimento de translação da Terra dura 1 ano e o de rotação, 1 dia? ... a superfície do planeta Terra tem, aproximadamen3 te, 510 000 000 km2 (ou 51 ? 107 km2) e dela são 4 ocupados por água? ... o volume do planeta Terra é de 1 083 230 000 000 km3 ou 108 323 ? 107 km3? Escreva: a) a grandeza e a unidade citadas em cada informação. b) o número 6,5 sextilhões, usando só algarismos. c) a variação, em grau Celsius, da temperatura mínima para a máxima do planeta Terra. Matemática
d) como se lê o número que indica a medida de volume da Terra em quilômetros cúbicos. e) quantos km2 da superfície do planeta Terra são ocupados por água.
135. Ano-luz: uma unidade para medir grandes distâncias Um ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano. Leia o texto a seguir e responda em seu caderno: a quantos quilômetros da Terra está a galáxia espiral M100?
robert gendler/visuals unlimited, inc./getty images
A galáxia espiral M100
calculadora. Densidade Área 2 demográfica (em km ) (hab./km2)
Estado
População
Minas Gerais
19 273 506
586 528
Goiás
5 647 035
340 087
Rio Grande do Sul
10 582 840
Pará
37,56 1 247 690
5,66
Fonte: www.ibge.gov.br/estadosat/perfil.php?. Acesso em 20/5/2009 OCEANO ATLÂNTICO EQUADOR
PA
GO OCEANO PACÍFICO
MG
N RS
Esta imagem mostra a resolução espetacular de estrelas individuais nos braços espirais de M100. O alto poder de resolução do Hubble permitiu a identificação em M100 de uma classe rara de estrelas pulsantes chamadas variáveis Cefeidas. Essas estrelas são indicadores muito precisos de distâncias, uma vez que apresentam uma relação bem definida entre o intervalo de tempo que levam para completar um pulso e seu brilho intrínseco. Chegamos assim ao conhecimento muito preciso da distância de M100 a nós: 56 milhões de anos-luz. Um ano-luz tem 9,5 trilhões de quilômetros. Fonte: www.observatorio.ufmg.br/hubble2.htm. Acesso em 20/5/2009.
136. Arroba: unidade de medida de massa
O Açougue, obra do pintor italiano Annibale Carracci (1560-1606) realizada por volta de 1580.
0
1030 km
Fonte: Adaptado de Atlas geográfico escolar. 4. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2007.
Agora, responda: a) Qual desses quatro estados tem maior população? b) Qual tem maior área? c) Qual tem maior densidade demográfica? d) Qual é a densidade demográfica de Goiás?
138. Velocidade média Quando dizemos que um carro percorreu 240 km em 3 horas, podemos também dizer que sua velocidade média foi de 80 km/h. a) Quantos quilômetros percorre um carro com velocidade média de 90 km/h em 3 h 30 min? b) Quanto tempo gasta um carro para percorrer 340 km com velocidade média de 85 km/h?
139. Você sabia que... ... o trem japonês MLV (veículo levitado magneticamente) chega a desenvolver 582 km/h? koichi kamoshida/getty images agence france-press/estringer
Galáxia espiral M100 enfocada pelo telescópio espacial Hubble.
annibale carracci/kimbell art museum/corbis/latinstock
137. Copie a tabela em seu caderno e complete-a usando
1 arroba vale, aproximadamente, 14,688 kg. Nos cálculos, usaremos: 1 arroba: 15 kg José comprou 18 arrobas de carne para seu açougue e pagou R$ 21,60 a arroba. Depois, vendeu toda a carne por R$ 3,00 o quilograma. Qual foi o lucro de José nessa venda? Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
Trem que opera através de levitação magnética, durante testes em dezembro de 2003 na cidade de Kofu, Japão.
Em quanto tempo o trem japonês MLV faria o trecho de 97 km entre São Paulo e Campinas?
63
A MATEMÁTICA E AS PRÁTICAS SOCIAIS Fontes de energia elétrica
banco de imagens/arquivo da editora
No Brasil cerca de 95% da energia elétrica produzida provém de usinas hidrelétricas. Em regiões rurais e mais distantes das hidrelétricas centrais, tem-se utilizado energia produzida em usinas termoelétricas e, em pequena escala, a energia elétrica gerada da energia eólica. Neste artigo vamos dar uma visão geral de algumas fontes de energia: a hídrica, a térmica, a nuclear e a eólica.
Energia hídrica Nas usinas hidrelétricas, a energia elétrica tem como fonte principal a energia proveniente da queda de água represada a certa altura. A energia potencial que a água tem na parte alta da represa é transformada em energia cinética no momento em que a água cai e faz as pás da turbina girar, acionando o eixo do gerador e produzindo energia elétrica. Utiliza-se a energia hídrica no Brasil em grande escala devido aos grandes mananciais de água existentes. Usina Hidrelétrica de Itaipu.
Energia térmica Nas usinas termoelétricas a energia elétrica é obtida pela queima de combustíveis, como carvão, óleo, derivados do petróleo e, atualmente, também a cana-de-açúcar (biomassa). A produção de energia elétrica é realizada através da queima do combustível, que aquece a água, transformando-a em vapor. Esse vapor é conduzido a alta pressão por uma tubulação e faz girar as pás da turbina, cujo eixo está acoplado ao gerador. Em seguida o vapor é resfriado retornando ao estado líquido, e a água é reaproveitada para novamente ser vaporizada. Vários cuidados precisam ser tomados tais como: os gases provenientes da queima do combustível devem ser filtrados, evitando a poluição da atmosfera local; a água aquecida precisa ser resfriada ao ser devolvida para os rios porque muitas espécies aquáticas não resistem a altas temperaturas.
Esse tipo de energia é obtido a partir da fissão do núcleo do átomo de urânio enriquecido, que libera uma grande quantidade de energia. Vapor para as turbinas Urânio enriquecido – o que é isso? Sabemos que o átomo é constituído de um Gerador de vapor núcleo, onde estão situados dois tipos de partículas: os prótons, que possuem cargas Trocador positivas, e os nêutrons, que não possuem carga. de calor Em torno do núcleo, há uma região denominada eletrosfera, onde se encontram Controle Alta os elétrons, que têm cargas negativas. Átomos do mesmo elemento químico que pressão possuem o mesmo número de prótons e diferente número de nêutrons são chamados isótopos. O urânio possui dois isótopos: 235U e 238U. O 235U é o único capaz de sofrer fissão. Na natureza só é possível encontrar 0,7% desse tipo de isótopo. Para ser usado Vindo como combustível em uma usina, é necessário enriquecer o urânio natural. Um dos de 235 turbina métodos para fazê-lo é “filtrar” o urânio através de membranas muito finas. O U é mais leve e atravessa a membrana antes do 238U. Essa operação tem de ser repetida Cerne várias vezes e é um processo muito caro e complexo. Poucos países possuem tal Frio Bomba tecnologia em escala industrial. No Brasil, está em funcionamento a Usina Nuclear Angra 2, cuja produção de energia Diagrama do reator de uma elétrica é pequena, não dando nem para abastecer toda a cidade do Rio de Janeiro. usina nuclear.
64
Matemática
formato comunicações/arquivo da editora
Energia nuclear
No âmbito governamental está em discussão a construção da Usina Nuclear Angra 3 em virtude do déficit de energia no país. Os Estados Unidos lideram a produção de energia nuclear, e na França, Suécia, Finlândia e Bélgica 50% da energia elétrica consumida provém de usinas nucleares.
Os moinhos de vento mais antigos como, por exemplo, aqueles típicos da Holanda que nós já conhecemos por fotos ou pinturas, usavam a energia dos ventos, isto é, eólica, não para gerar eletricidade, mas para realizar trabalho, como bombear água e moer grãos. Na Pérsia, no século V, já eram utilizados moinhos de vento para bombear água para irrigação. Modernamente, o movimento das pás do moinho é usado para converter a energia cinética dos ventos em energia elétrica. A conversão da energia é realizada por um aerogerador, que consiste num gerador elétrico acoplado a um eixo que gira através da Aerogeradores no Parque Eólico de Osório, no incidência do vento nas pás da turbina. Rio Grande do Sul. A turbina eólica é formada essencialmente por um conjunto de duas ou três pás, com perfis aerodinâmicos eficientes, impulsionadas por forças predominantemente de sustentação, acionando geradores que operam a velocidade variável, para garantir alta eficiência de conversão. Procura-se instalar turbinas eólicas em locais em que a velocidade média anual dos ventos seja superior a 3,6 m/s. Fonte: Adaptado de Iria Müller Guerrini, CDCC, USP São Carlos.
CALCULANDO E COMPREENDENDO MELHOR O TEXTO 1. O Brasil possui no total 2 081 empreendimentos de geração de energia em operação, gerando 104 675 502 kW de potência. De acordo com o texto e com o auxílio de uma calculadora, determine qual a energia gerada a partir de usinas hidrelétricas.
2. Admita que cada turbina eólica produza 300 kilowatts de energia elétrica. Com 1 000 watts podemos acender 10 lâmpadas de 100 watts. Assim, 300 kilowatts seriam suficientes para acender quantas lâmpadas de 100 watts?
3. O Programa Nacional da Universalização do Acesso e Uso da Energia Elétrica, denominado Programa Luz para Todos (LpT), foi criado visando levar energia elétrica à totalidade da população do meio rural. O objetivo do programa era não só garantir energia elétrica como também proporcionar o desenvolvimento de outras atividades e aumentar a renda familiar. Em 2009 o Ministério de Minas e Energia (MME) realizou uma pesquisa e constatou que para nove entre dez pessoas a qualidade de vida melhorou com a chegada da luz. A implementação da luz nas comunidades rurais facilitou o acesso ao serviço de água e saneamento básico, de saúde e de educação. A pesquisa apontou também um crescimento na aquisição de eletrodomésticos. Em uma pesquisa realizada em uma comunidade agraciada com o programa constatou-se que:
Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
• 70% dos moradores adquiriram televisão; • 55% dos moradores adquiriram geladeira; • 45% dos moradores adquiriram aparelho de som; • 40% dos moradores adquiriram televisão e geladeira;
• 35% dos moradores adquiriram televisão e aparelho de som;
• 25% dos moradores adquiriram geladeira e apa-
relho de som; • 20% dos moradores adquiriram os três eletrodomésticos; • 200 pessoas não adquiriram nenhum dos três eletrodomésticos. Qual o número de habitantes dessa comunidade?
PESQUISANDO E DISCUTINDO 4. Com base no seu dia a dia, estime o consumo mensal de energia elétrica da sua residência. Depois determine o consumo anual. Compare com o resultado de seus colegas. Discuta quais medidas podem ser adotadas para que haja economia de energia elétrica em casa.
VEJA MAIS SOBRE O ASSUNTO Procure mais informações em jornais, revistas e nos sites www.aneel.gov.br, www.mme.gov.br e www.cidadessolares.org.br.
65
itamar aguiar/editora abril
Energia eólica
>Atividades adicionais ATENÇÃO!
1 — 1) A B 5 [1, 6]
AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC., NÃO ESCREVA NO LIVRO. TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.
2 — 2) A B 5 ]2, 3]
A seguir, separadas por regiões geográficas, relacionamos algumas questões de vestibular que envolvem o conteúdo deste capítulo.
Região Norte 1. (UFPA) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado: • 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club; • 23 alunos torcem pelo Clube do Remo; • 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama; • 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco; • 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, A B 5 . Concluímos que o número n de alunos desta turma é: a) 49. b) 50. c) 47. d) 45. e) 46. 7 . É correto 31 afirmar que, nesse caso, x é um número: a) inteiro. b) irracional. c) racional. 1 d) real maior que . 4
2. (UFT-TO) Considere o número real x 5
3 — 3) B 2 C 5 {x ® | 1 < x < 2 ou 4 , x , 5}
4 — 4) Se A. é o complementar de A em relação ao 5 A.. universo ®, então 3
5. (Unifor-CE) Na figura abaixo tem-se uma escala linear onde aparecem destacados os números e
3 2 2 , X
3 1 2 . 3 2
3 2 u
x
Se a distância entre 3 2 2 , e 15 u, então o número X é:
3 1 2 .é igual a
a) 5 3 2 2 .
d)
3 2 5 2 . 5
b) 5 3 2 5 2 .
e)
5 3 2 5 2 . 5
c)
5 3 2 2 . 5
6. (UFBA) A representação do complementar de (M2N) P, em relação a P, está indicada pela região colorida de: a)
U
M
N
P
b)
U
M
N
Região Nordeste 3. (Uece) Se P 5 {1, 2, 5, 7, 8}, então o número de elementos do conjunto W 5 {(x, y) P2 | x , y} é: a) 8. c) 10. b) 9. d) 11.
4. (UFS-SE) Considere os conjuntos:
A 5 {x ® | 1 , x < 3 ou 4 < x < 6} B 5 {x ® | 1 < x , 5 e x 3} c 5 {x ® | 2 , x < 4} para analisar as afirmações que seguem. 0 — 0) B C
66
P
c)
U
M
N
P
Matemática
d)
U
M
N
a) x 5
5 4 e y 5 . 11 7
3 5 b) x 5 e y 5 . 7 9 3 4 c) x 5 e y 5 . 7 7
P
e)
U
M
N
d) x 5
5 5 e y 5 . 11 9
11. (ITA-SP) Considere as seguintes afirmações sobre o P
7. (UFC-CE) Sejam M e N conjuntos que possuem um único elemento em comum. Se o número de subconjuntos de M é igual ao dobro do número de subconjuntos de N, o número de elementos do conjunto M N é: a) o triplo do número de elementos de M. b) o triplo do número de elementos de N. c) o quádruplo do número de elementos de M. d) o dobro do número de elementos de M. e) o dobro do número de elementos de N.
conjunto U 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: I) U e n(U) 5 10. II) U e n(U) 5 10. III) 5 U e {5} U. IV) {0, 1, 2, 5} {5} 5 5. Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s): a) apenas I e III. b) apenas II e IV. c) apenas II e III. d) apenas IV. e) todas as afirmações.
12. (PUC-RJ) Sejam x e y números tais que os conjuntos
Região Centro-Oeste 8. (UFG-GO) Sejam os conjuntos A 5 {2n; n Ω} e
B 5 {2n 2 1; n Ω}. Sobre esses conjuntos, pode-se afirmar: I) A B 5 II) A é o conjunto dos números pares. III) B A 5 Ω Está correto o que se afirma em: a) I e II, apenas. b) II, apenas. c) II e III, apenas. d) III, apenas. e) I, II e III.
9. (UFMS) Acrescentando-se dois novos elementos a um conjunto A, verificou-se que o número de subconjuntos de A teve um acréscimo de 384. Quantos elementos possuía originalmente o conjunto A?
{1, 4, 5} e {x, y, 1} sejam iguais. Então, podemos afirmar que: a) x 5 4 e y 5 5. d) x 1 y 5 9. e) x , y. b) x 4. c) y 4.
13. (UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados: • 40% dos entrevistados leem o jornal A. • 55% dos entrevistados leem o jornal B. • 35% dos entrevistados leem o jornal C. • 12% dos entrevistados leem os jornais A e B. • 15% dos entrevistados leem os jornais A e C. • 19% dos entrevistados leem os jornais B e C. • 7% dos entrevistados leem os três jornais. • 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais. Considerando-se esses dados, é correto afirmar que o número total de entrevistados foi: a) 1 200. b) 1 500. c) 1 250. d) 1 350.
14. (FGV-SP) Numa cidade do interior do estado de São Pau-
Região Sudeste 10. (UFMG) Considere o conjunto de números racionais 5 3 5 4 , , , } . Sejam x o menor elemento de 9 7 11 7 M e y o maior elemento de M. Então, é correto afirmar que: M 5 {
Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
lo, uma prévia eleitoral entre 2 000 filiados revelou as seguintes informações a respeito de três candidatos A, B e C, do Partido da Esperança (PE), que concorreram a três cargos diferentes: I) Todos os filiados votaram e não houve registro de voto em branco, tampouco de voto nulo. II) 280 filiados votaram a favor de A e de B.
67
III) 980 filiados votaram a favor de A ou de B, mas não de C. IV) 420 filiados votaram a favor de B, mas não de A ou de C. V) 1 220 filiados votaram a favor de B ou de C, mas não de A. VI) 640 filiados votaram a favor de C, mas não de A ou de B. VII) 140 filiados votaram a favor de A e de C, mas não de B. Determine o número de filiados ao PE que: a) votaram a favor dos três candidatos; b) votaram a favor de apenas um dos candidatos.
15. (UFRJ) Uma amostra de 100 caixas de pílulas anticoncepcionais fabricadas pela Nascebem S.A. foi enviada para a fiscalização sanitária. No teste de qualidade, 60 foram aprovadas e 40 reprovadas por conterem pílulas de farinha. No teste de quantidade, 74 foram aprovadas e 26 reprovadas por conterem um número menor de pílulas que o especificado. O resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas foram reprovadas em ambos os testes. Quantas caixas foram aprovadas em ambos os testes?
18. (UTFPR) Uma classe de quarenta alunos realizou a prova de uma olimpíada contendo duas questões: uma de Matemática e outra de Física. Se 10 alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a questão de Matemática e 20 acertaram a questão de Física, pode-se afirmar que o número de alunos que erraram as duas questões foi de: a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) Nenhum.
19. (UEL-PR) É comum representar um conjunto pelos pontos interiores a uma linha fechada e não entrelaçada. Esta representação é chamada de diagrama de Venn. Considere quatro conjuntos não vazios A, B, C e D. Se A C, C A, B (A C) e D (A C), então o diagrama de Venn que representa tal situação é: a)
B
D A
C
Região Sul 16. (PUC-PR) Em uma pesquisa feita com 120 empregados de uma firma, verificou-se o seguinte: • têm casa própria: 38 • têm curso superior: 42 casa curso superior • têm plano de saúde: 70 • têm casa própria e plano de saúde: 34 • têm casa própria e plano de saúde curso superior: 17 • têm curso superior e plano de saúde: 24 • têm casa própria, plano de saúde e curso superior: 15 Qual a porcentagem dos empregados que não se enquadram em nenhuma das situações anteriores? (Sugestão: Utilize o diagrama de Venn para facilitar os cálculos.) a) 25% c) 35% e) 45% b) 30% d) 40%
b)
C A
D
B
A
D
C
c)
B
d)
B D
A
C
17. (UEL-PR) Um instituto de pesquisas entrevistou 1 000 indivíduos, perguntando sobre uma rejeição aos partidos A e B. Verificou-se que 600 pessoas rejeitavam o partido A; que 500 pessoas rejeitavam o partido B e que 200 pessoas não tem rejeição alguma. O número de indivíduos que rejeitam os dois partidos é: a) 120 pessoas. d) 300 pessoas. e) 800 pessoas. b) 200 pessoas. c) 250 pessoas.
68
e) A
C
B
D
Matemática
>Leituras A crise dos irrracionais Historicamente, os racionais estão associados a resultados de medições. Ao medir um segmento de reta AB com uma unidade u de medida 1 podem ocorrer estas possibilidades: 1·) A unidade u cabe em tAB um número inteiro de vezes:
A
u
B
Vamos supor que u caiba exatamente p vezes em tAB. Então a medida de tAB 5 p unidades, em que p é um número natural. 2·) A unidade u não cabe um número inteiro de vezes em tAB:
A
B
u
v
Nesse caso, procuramos um segmento de reta v que caiba q vezes no segmento unitário u e p vezes no seg1 1 mento de reta AB. A medida de v será a fração e, consequentemente, a medida de AB será p vezes ou seja, igual q q p a . Quando tal segmento v existe, dizemos que os segmentos de reta u e AB são comensuráveis e a medida de q p tAB é o número racional . Nem sempre existe o segmento v nessas condições. Os pitagóricos acreditavam que q sempre existia o segmento v nessas condições, ou seja, que sempre dois segmentos eram comensuráveis. Para eles, o dogma de sua doutrina “TUDO É NÚMERO” se referia aos números racionais; eles não concebiam a existência de outros números que não fossem racionais (inteiro ou fração). Como já vimos, ao medirem a diagonal de um quadrado cujos lados medem 1 unidade de comprimento, os pitagóricos se depararam com o número irracional 2 5 1,414213562…; ou seja, o lado desse quadrado e sua diagonal são segmentos incomensuráveis. Essa descoberta causou, na época, uma crise religiosa de grandes proporções, pois punha por terra um dos dogmas centrais dos pitagóricos: “Tudo é número” (racional). Conta-se que Pitágoras proibiu seus discípulos de divulgar tal descoberta para não abalar a sua doutrina, mas um de seus discípulos, Hipaso, quebrou o voto de silêncio e foi assassinado. A resistência aos números irracionais continuou por vários séculos, até que, no fim do século XIX, o matemático Georg Cantor (1845-1918) fundamentou-os adequadamente.
Prova de que 2 é irracional Para provar que 2 é um número irracional, vamos supor que ele seja um número racional, ou seja, que possa p ser escrito na forma , p Ω, q Ω, e q 0 e chegar a um absurdo. q p p Supomos que 2 é racional, ou seja, 2 5 . Consideramos fração irredutível, ou seja, p e q são primos q q entre si, isto é, mdc(p, q) 5 1. Elevando ambos os membros ao quadrado, temos: p2 p2 5 2 ⇒ p2 5 2q2 (I) ⇒ q2 q2 Como todo número par pode ser escrito na forma 2k, em que k Ω, temos que p2 5 2q2 é par (II). k Assim, p2 é par ⇒ p é par ⇒ p 5 2m, m Ω (III) Observe que: (I) (II) p 5 2m ⇒ p2 5 4m2 ⇒ 2q2 5 4m2 ⇒ q2 5 2m2 ⇒ q2 é par ⇒ q é par (IV) [
2
2] 5
As conclusões (III) de que “p é par” e (IV) de que “q é par” são contraditórias, já que p e q foram supostos primos entre si. Chegamos a um absurdo. Assim, não podemos supor que Portanto,
2 é racional. Logo,
2 é irracional.
2 5 1,4142135... não é uma decimal exata nem periódica.
Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos
69
capítulo 3
Funções tica relacionar as variáveis envolvidas no fenômeno. Nesse contexto aparecem as funções, que apresentam muitas dessas leis e contribuem para as pesquisas nas mais variadas áreas: Física, Economia, Ecologia, Meteorologia, Genética, Engenharia, etc. As paisagens do mundo inteiro contêm pontes de diversas formas e tamanhos. Um formato muito peculiar é o das pontes pênseis: os cabos que as sustentam apresentam-se em curva, conferindo a elas uma beleza singular. No Brasil, a maior ponte pênsil foi construída entre 1922 e 1926, no estado de Santa Catarina, ligando a ilha onde fica a capital, Florianópolis, ao continente. Essa ponte recebeu o nome de Hercílio Luz, em homenagem ao governador que promoveu sua construção. Tem 819 metros de comprimento e duas torres de 75 metros.
Zé Pedro Russo/Sambaphoto
Os papiros egípcios apresentavam, como vimos, problemas práticos ligados às necessidades cotidianas e não tinham o objetivo de analisar o comportamento dos fenômenos. Desafiando a mente humana, as situações sugeridas provocavam o pensamento lógico, direcionando-o aos resultados numéricos. Mas o caráter de generalização, próprio da Matemática, levou os estudiosos a avanços grandiosos. A observação de modelos presentes nos fenômenos, como, por exemplo, a trajetória da bala de um canhão, os fazia investigar e descobrir leis que regiam esses modelos. Interessava mais o caso geral e menos o particular, aquele que acontece especificamente numa circunstância, como um caso isolado. Esse caráter atribui à Matemática a qualidade de prever resultados por meio de leis que têm como caracterís-
Ponte Hercílio Luz (SC). Até o século XVII, pensava-se que os cabos que sustentam as pontes pênseis tivessem a forma de uma parábola; até Galileu pensava assim. Entretanto, o matemático e físico Christian Huygens provou que a curva formada por um fio suspenso pelas extremidades não se tratava de uma parábola, mas sim de uma catenária.
70
Matemática
A curva formada pelos cabos que sustentam essas pontes foi descrita algebricamente por meio de uma equação. Durante o século XVII, grandes matemáticos de diversas partes da Europa, como Huygens, na Holanda, os irmãos Bernoulli, na França, e Leibniz, na Alemanha, dedicaram-se a esses estudos, um independente do outro. As funções, descrições algébricas da dependência entre grandezas, podem, também, ser representadas graficamente, facilitando a linguagem e favorecendo sua compreensão. O crescimento populacional da Terra, fenômeno de grande interesse, é com frequência representado por gráficos, o que permite traçar projeções para o futuro. O estudo das funções, que agora se inicia, é fundamental para a construção do conhecimento matemático. É o início de uma jornada, um convite à exploração dos vários campos que compõem a Matemática.
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
>Atividades 1. Observe o gráfico que representa o desmatamento
b) De quanto é, aproximadamente, o índice de desmatamento nas áreas protegidas, distantes cerca de 20 km das estradas? E nas áreas não protegidas?
no estado de Rondônia. A curva azul indica estradas dentro das áreas protegidas, e a vermelha, estradas situadas fora das áreas protegidas.
2. Uma sequência de figuras começa como no quadro
Rondônia
abaixo. Considerando que a primeira contém 5 quadradinhos, que posição ocupa, nessa sequência, a figura que contém 725 quadradinhos?
% de desmatamento
1,0 0,8
1a- figura
0,6
0,4 0,2 0,0
2a- figura
Distância da estrada (km) 0
10
20
30
40
50
Fonte: www.ambientebrasil.com.br. Acesso em 5/12/2006.
Responda:
3a- figura
e assim por diante ...
a) O índice (em porcentagem) de desmatamento é maior ou menor à medida que nos afastamos das estradas nas áreas protegidas? E nas áreas não protegidas?
Capítulo 3 | Funções
71
1. Introdução O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar de destaque em vários de seus ramos, bem como em outras áreas do conhecimento. É muito comum e conveniente expressar fenômenos físicos, biológicos, sociais, etc. por meio de funções. Daí a importância do seu estudo mais detalhado no Ensino Médio. Inicialmente, estudaremos as ideias intuitivas ligadas à noção de função e, em seguida, vamos aprofundar e estudar mais formalmente esse importante conceito.
2. Explorando intuitivamente a noção de função A ideia de função está presente quando relacionamos duas grandezas variáveis. Vejamos alguns exemplos. 1‚) Número de litros de gasolina e preço a pagar Considere a tabela ao lado que relaciona o número de litros de gasolina comprados e o preço a pagar por eles (em maio de 2009). Observe que o preço a pagar é dado em função do número de litros comprados, ou seja, o preço a pagar depende do número de litros comprados. preço a pagar 5 R$ 2,40 vezes o número de litros comprados ou p 5 2,40x → lei da função ou fórmula matemática da função ou regra da função
Número de litros
Preço a pagar (R$)
1
2,40
2
4,80
3
7,20
4
9,60
:
:
40
96,00
x
2,40x
2‚) Lado do quadrado e perímetro Veja agora a tabela que relaciona a medida do lado de um quadrado (,) e o seu perímetro (P): Medida do lado (,)
Perímetro (P)
1
4
2
8
2,5
10
3
12
4,1
16,4
:
:
,
4,
Para refletir p é símbolo de semiperímetro. Não existe um símbolo para perímetro. Muitas pessoas utilizam 2p para representá-lo. Aqui usaremos P para indicar perímetro.
Observe que o perímetro do quadrado é dado em função da medida do seu lado, isto é, o perímetro depende da medida do lado. A cada valor dado para a medida do lado corresponde um único valor para o perímetro. perímetro 5 4 vezes a medida do lado ou P 5 4, → lei da função ou fórmula matemática da função ou regra da função Como o perímetro depende da medida do lado, ele é a variável dependente, e a medida do lado é chamada de variável independente.
Formato comunicações/ arquivo da editora
3‚) A máquina de dobrar Observe ao lado o desenho imaginário de uma máquina de dobrar números. Veja que os números que saem são dados em função dos números que entram na máquina, ou seja, os números que saem dependem dos números que entram. Assim, a 1... 2... 3... 3,5... 4,3... 5... x variável dependente é o número de saída e a variável independente é o número de entrada. Neste caso, temos: saída número de saída (n) é igual a duas vezes o entrada número de entrada (x) ou MÁQUINA DE DOBRAR n 5 2x → regra da função ou lei da função, ou, ainda, 2... 4... 6... 7... 8,6... 10... 2x fórmula matemática da função
72
Matemática
4‚) Numa rodovia, um carro mantém uma velocidade constante de 90 km/h. Veja a tabela que relaciona o tempo t (em horas) e a distância d (em quilômetros): Tempo (h)
0,5
1
1,5
2
3
4
t
Distância (km)
45
90
135
180
270
360
90t
Observe que a distância percorrida é dada em função do tempo, isto é, a distância percorrida depende do intervalo de tempo. A cada intervalo de tempo considerado corresponde um único valor para a distância percorrida. Dizemos, então, que a distância percorrida é função do tempo e escrevemos: distância 5 90 tempo d 5 90t
variável independente variável dependente
Exercícios propostos
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
1. A tabela a seguir indica o nome de alguns estados e de suas respectivas capitais. Estados
Capitais
Ceará Minas Gerais São Paulo Paraná Pernambuco
Fortaleza Belo Horizonte São Paulo Curitiba Recife
3. Responda às seguintes questões: a) A diagonal (d) de um quadrado é dada em função do seu lado (). Qual é a fórmula matemática que indica essa função? b) O comprimento (c) da circunferência é dado em função do seu raio (r). Qual é a expressão que indica essa função? c) O número de diagonais (d) de um polígono é dado em função do número de lados (n) do polígono. Qual é a fórmula matemática que indica essa função?
OCEANO ATLÂNTICO EQUADOR
CE PE
4. A tabela abaixo indica o custo de produção de certo
MG
OCEANO PACÍFICO
número de peças para informática: Número de peças
PR
N 0
a) O nome da capital é dado em função do nome do estado? b) O nome da capital depende do nome do estado? c) A cada estado corresponde uma única capital?
2. Observe na tabela a medida do lado (em cm) de uma região quadrada e sua área (em cm2). Medida do lado (em cm)
1
3
4
Área (em cm2)
1
9
16 30,25 100 … ,2
5,5
a) O que é dado em função do quê? b) Qual é a variável dependente? c) Qual é a variável independente?
10
1
2
3
4
5
6
7
8
Custo (R$) 1,20 2,40 3,60 4,80 6,00 7,20 8,40 9,60
830 km
Fonte: Adaptado de Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2007.
Capítulo 3 | Funções
d) Qual é a lei da função que associa a medida do lado com a área? e) Qual é a área de uma região quadrada cujo lado mede 12 cm? f) Qual é a medida do lado da região quadrada cuja área é de 169 cm2?
…
,
a) A cada número de peças corresponde um único valor em reais? b) O que é dado em função do quê? c) Qual é a fórmula matemática que dá o custo (c) em função do número de peças (x)? d) Qual é o custo de 10 peças? E de 20 peças? E de 50 peças? e) Com um custo de R$ 120,00, quantas peças podem ser produzidas?
5. Um cabeleireiro cobra R$ 12,00 pelo corte para clientes com hora marcada e R$ 10,00 sem hora marcada. Ele atende por dia um número fixo de 6 clientes com hora marcada e um número variável x de clientes sem hora marcada. a) Escreva a fórmula matemática que fornece a quantia Q arrecadada por dia em função do número x.
73
b) Qual foi a quantia arrecadada num dia em que foram atendidos 16 clientes? c) Qual foi o número de clientes atendidos num dia em que foram arrecadados R$ 212,00? d) Qual é a expressão que indica o número C de clientes atendidos por dia em função de x?
6. Considere a correspondência que associa a cada nú-
mero natural o seu sucessor. a) Construa uma tabela que indique essa correspondência. b) O sucessor de um número natural depende do número natural? c) O que é dado em função do quê?
d) Qual é a regra que associa um número natural ao seu sucessor? e) Qual é o sucessor do maior número natural de três algarismos?
Desafio em dupla Examinem e depois completem esta tabela no caderno. x
22
21
0
1
y
29
24
1
6
2
3
4
5
Descubram o padrão e escrevam a lei da função que representa os dados da tabela.
3. A noção de função por meio de conjuntos Vamos, agora, estudar essa mesma noção de função usando a nomenclatura de conjuntos. Considere os exemplos a seguir. 1‚) Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A estão alguns números inteiros e em B, outros. Devemos associar cada elemento de A a seu triplo em B.
–2 • –1 • 0• 1• 2• A
• –8 • –6 • –4 • –3 • 0 • 3 • 6 • 7
xA
yB
22
26
21
23
0
0
1
3
2
6
B
Note que: • todos os elementos de A têm correspondente em B; • a cada elemento de A corresponde um único elemento de B. Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula y 5 3x. 0•
2‚) Dados A 5 {0, 4} e B 5 {2, 3, 5}, relacionamos A e B da seguinte forma: cada elemento de A é menor do que um elemento de B: Nesse caso não temos uma função de A em B, pois ao elemento 0 de A correspondem três elementos de B (2, 3 e 5, pois 0 2, 0 , 3 e 0 , 5), e não apenas um único elemento de B.
3‚) Dados A 5 {24, 22, 0, 2, 4} e B 5 {0, 2, 4, 6, 8}, associamos os elementos de A aos elementos de igual valor em B: Observe que há elementos em A (os números 24 e 22) que não têm correspondente em B. Nesse caso não temos uma função de A em B.
74
•2 •3
4•
A
•5
B
4 •
•0
2 •
•2
0•
•4
2•
•6
4•
•8
A
B
Matemática
4‚) Dados A 5 {22, 21, 0, 1, 2} e B 5 {0, 1, 4, 8, 16} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula y 5 x4, com x A e y B, temos ao lado: • todos os elementos de A têm correspondente em B; • a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.
•0 •1 0•
Assim, a correspondência expressa pela fórmula y 5 x4 é uma função de A em B.
•4
1•
•8
2•
• 16
A
B
5‚) Sejam P o conjunto das regiões poligonais do plano e ® o conjunto dos números reais. A cada região poligonal do plano fazemos corresponder a sua área em ®. Essa correspondência é uma função de P em ®. 6‚) Consideremos S o conjunto dos segmentos de reta de um plano α e T o conjunto das retas desse plano α. A cada segmento de reta de S fazemos corresponder a sua reta mediatriz. Essa correspondência é uma função de S em T.
r
A
M
B
Definição e notação Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que indica como associar cada elemento x A a um único elemento y B. Usamos a seguinte notação: f: A → B ou A
f
B (lê-se: f é uma função de A em B)
A função f transforma x de A em y de B. Escrevemos isso assim:
f • x
• y
A
B
y 5 f(x)
Exercícios propostos 7. Quais dos seguintes diagramas representam uma função de A em B? a)
5•
•0 •1 •2 •3 •4
A
B
0•
•0
2• 3•
4•
b)
c)
2• 5• 10 • 20 •
•1 •0 •2
A
B
0•
•0
•1
4•
•2
3•
•2
9•
A
B
A
1• 2•
Capítulo 3 | Funções
d)
•3 B
8. Dados A 5 {22, 21, 0, 1, 2}, B 5 {21, 0, 1, 3, 4} e a cor-
respondência entre A e B dada por y 5 x2, com x A e y B, faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B.
9. Dados A 5 {0, 1, 2, 3}, B 5 {21, 0, 1} e a correspondência
entre A e B dada por y 5 x 2 2, com x A e y B, faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. 1 2 e uma correspondência entre A e B expressa por y 5 2x, com x A e y B. Essa correspondência é uma função de A em B?
10. São dados A 5 {21, 0, 1, 2, 3}, B 5 { , 1, 2, 4, 6, 8}
75
11. Observe a tabela abaixo: A
x
1
4
9
16
25
B
y
1
2
3
4
5
a) Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. b) Em caso afirmativo, escreva a fórmula matemática dessa função. Caso contrário, justifique.
4. Domínio, contradomínio e conjunto imagem Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função (D) e o conjunto B, contradomínio (CD) da função. Para cada x A, o elemento y B chama-se imagem de x pela função f ou o valor assumido pela função f para x A, e o representamos por f(x) (lê-se f de x). Assim, y 5 f(x).
f x
• y
A
B
O conjunto de todos os y assim obtidos é chamado conjunto imagem da função f e é indicado por Im(f). Observe os exemplos: 1‚) Dados os conjuntos A 5 {0, 1, 2, 3} e B 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, vamos considerar a função f: A → B que transforma x A em 2x B. 0• 1• 2• 3• A
•0 •2 •4 •6
•1
Para refletir
•3
Em toda função f de A em B, Im(f) B.
•5
B
f
Dizemos que f: A → B é definida por f(x) 5 2x ou por y 5 2x. A indicação x 2x significa que x é transformado pela função f em 2x. Veja que para caracterizar uma função é necessário conhecer seus três componentes: o domínio (A), o contradomínio (B) e uma regra que associa cada elemento de A a um único elemento y 5 f(x) de B. Nesse exemplo o domínio é A 5 {0, 1, 2, 3}, o contradomínio é B 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, a regra é dada por y 5 2x e o conjunto imagem é dado por Im(f) 5 {0, 2, 4, 6}. 2‚) Vamos considerar a função f: n → n definida por f(x) 5 x 1 1. Nesse caso a função f transforma todo número natural x em outro número f • natural y, que é o sucessor de x, indicado por x 1 1. • x y • a imagem de x 5 0 é f(0) 5 0 1 1 5 1 • a imagem de x 5 1 é f(1) 5 1 1 1 5 2 n* • a imagem de x 5 2 é f(2) 5 2 1 1 5 3 n n e assim por diante. Portanto, o domínio é n (D 5 n), o contradomínio é n (CD 5 n), a regra é y 5 x 1 1 e o conjunto imagem é n* 5 n 2 {0}, isto é, Im(f) 5 n*.
3‚) Seja a função f: ® → ® definida por y 5 x2. Nesse caso a função f transforma cada número real x em um outro número real y, que é o quadrado de x. Como todo número real maior ou igual a zero possui raiz quadrada real, então o conjunto imagem é Im(f) 5 ®1 5 {y ® | y 0}, o domínio é ® (D 5 ®), o contradomínio é ® (CD 5 ®) e a regra que associa todo x ® a um único y de ® é dada por y 5 x2.
76
x •
®
x2 •
®
®
Matemática
Exemplo: O diagrama de flechas ao lado representa uma função f de A em B. Vamos determinar: a) D(f) d) f(3) 2• D(f) 5 {2, 3, 5} ou D(f) 5 A f(3) 5 6 e) f(5) b) CD(f) CD(f) 5 {0, 2, 4, 6, 8, 10} ou CD(f) 5 B f(5) 5 10
•0 •2 •4
3•
•6 •8
c) Im(f) f) x para f(x) 5 4 Im(f) 5 {4, 6, 10} x52
5•
• 10
A
B
Exercícios propostos 12. Considere a função A
f
B dada pelo diagrama e
determine:
3•
•1
4•
•3
5•
•5
6•
•7
A
B
a) D(f); b) Im(f); c) f(4); d) y, quando x 5 5; e) x, quando y 5 3;
13. Considere A
f) x, quando f(x) 5 1; g) f(x), quando x 5 6; h) y, quando x 5 3; i) x, quando y 5 7.
g
B a função para a qual A 5 {1, 3, 4}, B 5 {3, 9, 12} e g(x) é o triplo de x, para todo x A. a) Construa o diagrama de flechas da função. b) Determine D(g), CD(g) e Im(g). c) Determine g(3). d) Determine x para o qual g(x) 5 12.
5. Funções definidas por fórmulas matemáticas Grande parte das funções que estudamos é determinada por fórmulas matemáticas (regras ou leis). No início do capítulo vimos uma correspondência entre o número de litros de gasolina e o preço a pagar expressa por: preço a pagar 5 2,40 vezes o número de litros comprados em que o preço de 1 é R$ 2,40. Essa função pode ser expressa pela fórmula matemática: y 5 2,40x ou f(x) 5 2,40x Veja outras funções expressas por fórmulas matemáticas: • f: ® → ® que a cada número real x associa o seu dobro → f(x) 5 2x ou y 5 2x; • f: ® → ® que a cada número real x associa o seu cubo → f(x) 5 x3 ou y 5 x3; • f: ® → ® que a cada número real x associa o seu triplo somado com 1 → f(x) 5 3x 1 1 ou y 5 3x 1 1; 1 • f: ®* → ® que a cada número real diferente de 0 associa o seu inverso → f(x) 5 ou x 1 y 5 ou y 5 x21. x
Para refletir Por que neste último exemplo a função não pode ser de R em R?
Exemplos: 1‚) Numa indústria, o custo operacional de uma mercadoria é composto de um custo fixo de R$ 300,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade fabricada. Portanto, o custo operacional, que representaremos por y, é dado em função do número de unidades fabricadas, que representaremos por x. Vamos expressar, por meio de uma fórmula matemática, a lei dessa função. custo operacional 5 custo fixo 1 custo variável ⇒ y 5 300,00 1 0,50x Então, a fórmula matemática é f(x) 5 300,00 1 0,50x ou y 5 300,00 1 0,50x. Capítulo 3 | Funções
77
2‚) Num quadrado, a fórmula P 5 4 permite calcular a medida P do perímetro em função da medida do lado, e a fórmula d 5 , 2 permite calcular a medida d da diagonal em função da medida do lado. Vamos expressar uma fórmula matemática que permita calcular a medida d da diagonal em função da medida P do perímetro. P P 5 4 ⇒ 5 4 P 2 d 5 , 2 ⇒ d 5 4 P 2 Portanto, a fórmula matemática é d 5 . 4
d
3‚) Vamos determinar o conjunto imagem de f da função f: A → ®, em que f(x) 5 3x 2 5 e A 5 {22, 0, 1}. f (– 2) = 3(2 2) 2 5 = 2 11 f ( 0) = 3 0 2 5 = 2 5 Im( f ) = {2 11, 2 5, 22} f (1) = 3 1 2 5 = 2 2
4‚) Consideremos a função ® a) a imagem do número 4
f
® dada por y 5 x2 2 5x 1 7. Vamos determinar:
y 5 f(4) 5 42 2 5(4) 1 7 5 3 b) o número real x tal que y 5 1 y 5 f(x) ⇒ 1 5 x2 2 5x 1 7 ⇒ x2 2 5x 1 6 5 0 ⇒ (x 2 2)(x 2 3) 5 0 ⇒ x 5 2 ou x 5 3 Portanto, y 5 1 ⇒ x 5 2 ou x 5 3. 1 5‚) A função f: ®* → ® é dada por f(x) 5 x 1 . Vamos determinar: x a) f(3) 1 10 f(3) 5 3 1 = 3 3 1 b) f 2 1 1 1 1 5 f 5 1 5 1 2 5 1 2 2 2 2 2 c) f(x 1 1), para x 21 1 x 2 + 2 x + 2 ( x + 1)( x + 1) + 1 5 5 (x 21) f(x 1 1) 5 x 1 1 1 x + 1 x + 1 x + 1 d) f(a 2 1), para a 1 f(a 2 1) 5 a 2 1 1
1 ( a 2 1)( a 2 1) + 1 a2 2 2a + 2 5 5 (a 1) a 2 1 a 2 1 a 2 1
6‚) As funções f e g são dadas por f(x) 5 2x 2 3 e g(x) 5 3x 1 a. Vamos determinar o valor de a sabendo que f(2) 1 g(2) 5 8.
f (2) = 2 2 2 3 = 1 1161a58⇒a51 g(2) = 3 2 + a = 6 + a
7‚) Seja f: ® → ® uma função tal que:
• f(x) 5 x2 1 bx 1 c (b ®, c ®)
• f(1) 5 2
• f(21) 5 12
Vamos determinar f(2). f (1) = 2 ⇒ 12 + b + c = 2 ⇒ b + c = 1 b + c = 1 2 f (21) = 12 ⇒ (21) + b(2 1) + c = 12 ⇒ 2b + c = 11 2 b + c = 11 2c = 12 ⇒ c = 6 ⇒ b = 25 f(x) 5 x2 2 5x 1 6 ⇒ f(2) 5 22 2 5 ? 2 1 6 5 0
78
Matemática
3x + 1, para x 2 . Vamos determinar: 8‚) f: ® → ® é uma função cuja lei envolve mais de uma sentença: f(x) 5 2 x , para x 2 a) f(5)
f(5) 5 52 5 25 f(23) 5 3(23) 1 1 5 28
b) f(0)
1 e) f ; 3
c) f(23)
1 1 f 5 3 1 1 5 2 3 3
5 d) f ; 2
f(0) 5 3(0) 1 1 5 1
f) f(2) f(2) 5 3(2) 1 1 5 7
2
5 25 5 f 5 5 2 4 2
9‚) Sendo f: ® → ® uma função tal que f(x 1 1) 5 f(x) 1 10. Se f(6) 5 30, vamos determinar: a) f(7) Se f(x 1 1) 5 f(x) 1 10, então f(7) 5 f(6) 1 10 5 30 1 10 5 40 b) f(8) f(8) 5 f(7) 1 10 5 40 1 10 5 50 c) f(5) f(6) 5 f(5) 1 10 ⇒ 30 5 f(5) 1 10 ⇒ f(5) 5 30 2 10 5 20
Exercícios propostos 14. Expresse por meio de uma fórmula matemática a fun-
A área y, em cm2, é dada em função de x.
ção f: lR → lR, que a cada número real x associa: a) o seu quadrado; b) a sua terça parte; c) o seu dobro diminuído de 3; d) o seu quadrado diminuído de 4; e) a sua metade somada com 3; f ) o seu cubo somado com o seu quadrado.
x
15. Escreva a fórmula matemática que expresse a lei de cada uma das funções abaixo: a) Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 de visita mais R$ 20,00 por hora de mão de obra. Então o preço y que se deve pagar pelo conserto de um televisor é dado em função do número x de horas de trabalho (mão de obra).
6
16. Um retângulo tem comprimento c, largura e perímetro 20. Determine: a) a fórmula que dá o valor de c em função de ; b) em função de c.
b) Um fabricante produz objetos a um custo de R$ 12,00 a unidade, vendendo-os por R$ 20,00 a unidade. Portanto, o lucro y do fabricante é dado em função do número x de unidades produzidas e vendidas. c) A Organização Mundial da Saúde recomenda que cada cidade tenha no mínimo 14 m2 de área verde por habitante. A área verde mínima y que deve ter uma cidade é dada em função do número x de habitantes. d) Um triângulo tem base fixa de 6 cm e altura variável de x cm.
Capítulo 3 | Funções
c
79
17. A fórmula C 5 2πr nos permite calcular o comprimen-
to C de uma circunferência em função da medida r do raio. Expresse uma fórmula matemática que permita calcular a medida r em função de C.
x 1 5, se x é par
26. Dada f: n → n tal que f(x) 5 calcule:
2 x , se x é ímpar
,,
a) f(5); b) f(4); c) f(0); d) f(31); e) x tal que f(x) 5 14.
27. Seja f: ® → ® a função definida por
r
x , se x Q . f(x) 5 2 3x , se x Q
18. Considere f: ® → ® dada por f(x) 5 3x 1 5; determine f(23) e f(0).
19. Considere f: ® → ® dada por f(x) 5 x2 2 1 e determine a imagem do número real 2 pela função.
20. Considere f: ® → ® dada por f(x) 5 3x 2 2 e determine o número real x de modo que f(x) 5 0.
21. A fórmula S 5 ,2 nos permite calcular a área S de uma região quadrada em função da medida de seu lado. Sendo P o perímetro desse quadrado, expresse uma fórmula matemática que permita calcular a área S em função de P.
1 Determine o valor de f ( 2 ) 1 f 1 f(p). 3
28. A função f: ® → ® é dada por f(x) 5 ax 1 b, em que
a [ ®* e b [ ®. Sendo m e n dois números reais f(m) 2 f(n) . distintos, calcule o valor da expressão m2n
29. As funções f e g são dadas por f(x) 5 3x 1 2m e
g(x) 5 22x 1 1. Calcule o valor de m sabendo que f(0) 2 g(1) 5 3.
30. Se f(x) 5 x2 1 bx 1 c é tal que f(21) 5 1 e f(1) 5 21, calcule o valor de bc.
31. Seja f: ® → ® uma função tal que: I) f(x) 5 x2 1 mx 1 n; II) f(1) 5 21 e f(21) 5 7. Nessas condições, determine f(3).
22. Seja a função f: D → ® dada por f(x) 5 2x 1 1, de
domínio D 5 {22, 21, 0, 2}. Determine o conjunto imagem de f. 3 x
23. A função f: ®* → ® é dada por f(x) 5 . Calcule: a) o valor de f ( 3 ); b) o número real x, para que f(x) 5 6.
24. Se D 5 {1, 2, 3, 4, 5} é o domínio da função f: D → ® definida por f(x) 5 (x 2 2)(x 2 4), quantos elementos tem o conjunto imagem da função?
25. Seja f: ®* → ® a função dada por f(x) 5 1 Qual é o valor de f(3) 1 f [ ] ? 3
x2 1 1 . x
32. Um motorista, saindo de um terminal A, viaja por uma estrada e nota que a distância percorrida, a partir do ponto inicial, pode ser calculada por d(x) 5 50x 1 6, sendo d em quilômetros e x em horas. Faça uma tabela listando as distâncias percorridas após cada intervalo de uma hora desde x 5 1 até x 5 5.
33. Um fabricante vende um produto por R$ 0,80 a unidade. O custo total do produto consiste numa taxa fixa de R$ 40,00 mais o custo de produção de R$ 0,30 por unidade. a) Qual é o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem prejuízo? b) Se vender 200 unidades desse produto, o comerciante terá lucro ou prejuízo?
Observação: Existem funções matemáticas que não são definidas por fórmulas. Veja os exemplos da página 75: 1‚) f: P → ®, em que P é o conjunto das regiões poligonais do plano e, para cada p [ P, f(p) 5 área de P.
2‚) Consideremos S o conjunto dos segmentos de reta de um plano a e T o conjunto das retas desse mesmo plano. A regra que associa a cada segmento de reta AB [ S sua mediatriz g(AB) define uma função g: S → T.
80
Matemática
6. Estudo do domínio de uma função real Vimos que uma função consta de três componentes: domínio, contradomínio e lei de correspondência. Quando é citada uma função f de A em B, já ficam subentendidos o domínio (A) e o contradomínio (B). Às vezes, porém, é dada apenas a lei da função f, sem que A e B sejam citados. Nestes casos consideramos o contradomínio B 5 ® e o domínio A como o “maior” subconjunto de ® (A ®) tal que a lei dada defina uma função f: A → ®. Veja no exemplo a seguir a explicitação do domínio em algumas funções. Vamos explicitar o domínio das seguintes funções reais: a) f(x) 5
1 x
1 só é possível em ® se x 0 (não existe divisão por 0). x
Para cada x 0, o valor
1 sempre existe e é único (o inverso de x). x
Logo, D(f) 5 ® 2 {0} 5 ®*. b) f(x) 5 3 2 x
3 2 x só é possível em ® se 3 2 x 0 (em ® não há raiz quadrada de número negativo).
3 2 x 0 ⇒ 2x 23 ⇒ x 3
Para cada x 3, f(x) existe e é único, pois é a raiz quadrada de um número real maior ou igual a zero. Portanto, D(f) 5 {x ® | x 3}. c) f(x) 5
7 2 x x 2 2
Neste caso, devemos ter: 7 2 x 0 ⇒ x 7 x 2 2 0 ⇒ x 2
Ou seja, x ]2, 7]. Para cada x ]2, 7], f(x) existe e é único, pois é a divisão de um número real positivo ou nulo por outro positivo. Logo, D(f) 5 ]2, 7].
Exercício proposto 34. Explicite o domínio das funções reais definidas por: a) f(x) 5
1 x 2 6
x b) f(x) 5 2 x 2 9 c) y 5
x 1 1 x
d) f(x) 5
1 x 4 x 5 2
Capítulo 3 | Funções
e) f(x) 5
x 2 1 4
f ) f(x) 5 x 2 7
g) y 5 3 x
h) f(x) 5
x 2 2 x 2 3
81
7. Gráfico de uma função Em livros, revistas, jornais e na internet frequentemente encontramos gráficos e tabelas que procuram retratar uma determinada situação. Esses gráficos e tabelas, em geral, representam funções, e por meio deles podemos obter informações sobre a situação que retratam, bem como sobre as funções que representam. Vamos analisar alguns: 1‚) O gráfico de uma função auxilia na análise da variação de duas grandezas quando uma depende da outra. Examine o gráfico abaixo que mostra a evolução do número de candidatos no vestibular da Fuvest de 1995 a 2009, variando com o tempo. Evolução do número de candidatos no vestibular da Fuvest (1995 a 2009)
180 000
170 474 161147
160 000
Número de candidatos
140 000
149 240
120 000
122 907
138 497 138 311 129 095
100 000 80 000 60 000
144 459 146 307
139 369
157 808 154 514
138 242 93 503
93 723 80 973 52 542
73 990
81 201
87 392
88 242
87 109
87 436
86 236
44 492 42 343 45 289
44 813 49 398
51 572
54 677
85 314 82 032
81 496
62 111
40 000
140 999 142 656
54 214
85 016
85 458
70 797
59 374
49 340
41 353
44 803
20 000 0
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Total de candidatos
2001
2002
2003
2004
Total de candidatos oriundos apenas do ensino público
2005
2006
2007
2008
2009 Anos
Total de candidatos oriundos apenas do ensino particular
Fonte: www.fuvest.br. Acesso em 10/2/2009.
Pela análise do gráfico vemos que: • o número de candidatos oriundos do ensino público diminuiu de 1995 a 1997. De 1997 a 1998 esse número aumentou. De 1998 a 1999 houve uma pequena queda. De 1999 a 2003 houve aumento. De 2003 a 2004 houve redução. De 2004 a 2006 houve aumento. E de 2006 a 2009 esse número diminuiu. • quanto ao número de candidatos oriundos do ensino particular, houve queda de Para refletir 1995 a 1996, de 2000 a 2002, de 2003 a 2005 e de 2006 a 2007. O aumento desse número ocorreu entre 1996 e 2000, 2002 e 2003, 2005 e 2006 e entre 2007 e 2009. Como foram calculadas essas porcentagens de • comparando os vestibulares de 2005 e 2006, a porcentagem dos candidatos 38% e 42%? oriundos do ensino público subiu de 38% para 42% aproximadamente. 2‚) Pontos de consumo de água em uma residência (em porcentagem)
82
35 30 Percentual sobre o total de consumo
Analisando o gráfico ao lado, vemos que: • o lavatório e o tanque consomem a mesma quantidade de água. • a bacia sanitária consome aproximadamente 5 vezes mais água do que o tanque. • a bacia sanitária e o chuveiro são os que mais consomem água. • dessa lista, a máquina de lavar louças é o aparelho que menos consome água.
29%
28%
25 20 17% 15 10 9%
6%
6%
5 0
5% Bacia sanitária
Chuveiro
Pia de cozinha
Máquina de lavar roupas
Lavatório
Tanque
Máquina de Pontos de lavar louças consumo
Matemática
Exercícios propostos 35. Analisando o gráfico, responda: Os dez maiores vencedores da Fórmula 1 até o fim do campeonato de 2008 100 90
91
Número de vitórias
80 70 60 50
51 41
40
31
30
27
25
25
24
Clark ESC
Lauda AUT
Fangio ARG
23
22
20 10 0
Schumacher Prost ALE FRA
Senna Mansell Stewart BRA RUN ESC
Piquet Damon Hill BRA RUN
Pilotos/países
a) Desses dez pilotos, até o fim do campeonato de 2008, qual teve o maior número de vitórias na Fórmula 1 e qual teve o menor número? b) Quais pilotos tiveram o mesmo número de vitórias?
36. Analise o gráfico a seguir e responda: 200 000
Balança comercial brasileira (1990 a 2009) 197 953
190 000 180 000 173 148
170 000 160 000 150 000
152252
160 649
140 000
137 470
Valores (em US$ milhões)
130 000 120 000
118 309
120 610
127637
110 000 100 000
96 475
90 000
91 396
80 000 73 084
70 000 60 000 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000 0 10 000 20 000
73 545
58 223 59 734 57 765 62 813 60 362 55 837 53 314 55 581 49 658 49 295 55 086 46 074 52994 51 140 48 291 43 558 48 011 47 240 40 039 46 501 47 747 44 764 35 862 38 597 33 662 31 414 33 168 31 620 24 793 20 661 21 04120 554 25 480 24 805 15 308 13 117 10 390 13 122 10 753 10 579 2 651
24 615
1 284 751 3 157 6 625 5 567 6 740 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Importações
Exportações
Anos
Saldo
Fonte: www.portalbrasil.net. Acesso em 23/2/2010.
a) Em que ano as importações atingiram valor máximo? E mínimo? b) Em que anos as exportações foram superiores a 50 bilhões de dólares? c) Comparando o saldo de 2008 com o de 2009, houve aumento ou queda? De quanto por cento?
Capítulo 3 | Funções
83
Construção de gráficos de funções Para construir o gráfico de uma função dada por y 5 f(x), com x [ D(f), no plano cartesiano, devemos: • construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente no domínio D e com valores correspondentes para y 5 f(x); • a cada par ordenado (x, y) da tabela associar um ponto do plano cartesiano; • marcar um número suficiente de pontos, até que seja possível esboçar o gráfico da função.
Exemplos: 1‚) Vamos construir o gráfico da função dada por f(x) 5 2x 1 1, sendo o domínio D 5 {0, 1, 2, 3, 4}. y E
9 8
x
y 5 f(x) 5 2x 1 1
7
0
1
6
1
3
5
2
5
4
3
7
3
4
9
2
D
C
B
A
1 0
x 1
2
3
4
Neste caso, o gráfico da função é o conjunto dos pontos A, B, C, D e E.
2‚) Vamos construir o gráfico da função f: ® → ® dada por f(x) 5 2x 1 1. Como, neste caso, D 5 ®, vamos escolher alguns valores arbitrários de x e determinar y: x
y 5 f(x) 5 2x 1 1
22
23
21
21
0
1
1
3
2
5
Agora, o gráfico é o conjunto de todos os pontos (x, y), com x real e y 5 2x 1 1, resultando na reta da figura abaixo. y 5
Para refletir
3
1 0
84
x 1
2
• Você verá no próximo capítulo que, quando temos y igual a um polinômio do 1‚ grau da forma ax 1 b, o gráfico é sempre uma reta. Como dois pontos determinam uma reta, basta marcar apenas dois pontos para traçá-la. • Por que os gráficos dos exemplos 1 e 2 são diferentes se a lei das duas funções é f(x) 5 2x 1 1?
Matemática
3‚) Vamos construir o gráfico da função ®
® dada por f(x) 5 2x2.
f
x
y 5 f(x) 5 2x2
(x, y)
22
24
(22, 24)
21,5
22,25
(21,5; 22,25)
21
21
(21, 21)
0
0
(0, 0)
1
21
(1, 21)
1,5
22,25
(1,5; 22,25)
2
24
(2, 24)
y 2
x
0
1
1
2
1
2
3 f(x) x2
4
comstock images/jupiterimages
A curva que contém todos os pontos obtidos com y 5 2x2 é o gráfico da função dada. Essa curva se chama parábola.
Para refletir Como saber que é uma curva e não um segmento de reta que liga esses pontos? Os matemáticos já provaram que, quando temos y igual a um polinômio do 2º grau da forma ax2 1 bx 1 c, com a 0, o gráfico é uma curva chamada parábola. Veremos isso mais adiante, no capítulo 5, sobre função quadrática. Monumento na cidade de Saint Louis, Estados Unidos.
Exercício proposto 37. Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções y 5 f(x), f: ® ®: a) f(x) 5 x 2 2 b) f(x) 5 x c) y 5 2x
d) y 5 22x e) f(x) 5 x2 f ) f(x) 5 2x 1 g) f(x) 5 , x ≠ 0 x
Determinação do domínio e da imagem de uma função, conhecendo o gráfico Observando o gráfico de uma função no plano cartesiano podemos, às vezes, determinar o domínio D e o conjunto imagem Im da função, projetando o gráfico nos eixos: y
y 5 gráfico de f
imagem
2 gráfico de g
1 x 0
2
4
0,3 0
x 1
domínio
D(f) 5 {x ® | 2 x 4} 5 [2, 4] Im(f) 5 {y ® | 1 y 5} 5 [1, 5] Capítulo 3 | Funções
D(g) 5 {x ® | 21 , x 1} 5 ]21, 1] Im(g) 5 {y ® | 0,3 y , 2} 5 [0,3; 2[
85
Exercício proposto 38. Os seguintes gráficos representam funções; determine o
d)
domínio D e o conjunto imagem Im de cada uma delas. y a)
y
2
2 x 0
2
3
4
1 2
b)
1
0
x
3
e)
y
y 3
1
1
0
x x 0
2
c)
1
2
3
f )
y
y
4
3 2
2 1 1 2 2 1 0
1 x
x
2 1 0
1
1
2
3
Determinando se um conjunto de pontos é gráfico de uma função Já vimos que, para ter uma função de A em B, a cada x [ A deve corresponder um único y [ B. Geometricamente, isso significa que qualquer reta perpendicular ao eixo x que intersecta o gráfico deve fazê-lo num único ponto. Por exemplo:
y
x 0
O gráfico à esquerda é de uma função, pois qualquer reta perpendicular ao eixo Ox intersecta-o em um único ponto. Assim, se essa reta intersectar o gráfico em mais de um ponto, esse gráfico não é gráfico de uma função. O gráfico à direita não é de uma função, pois existem retas perpendiculares ao eixo Ox intersectando-o em mais de um ponto.
y
x 0
Exercício proposto 39. Determine se cada um dos gráficos abaixo representa uma função: a)
b)
y
86
0
d)
y
x
x 0
c)
y
x 0
y
x 0
Matemática
8. Função par – Função ímpar Função par
y f(x) x2
Consideremos a função f: ® → ®, definida por f(x) 5 x . Veja ao lado o gráfico correspondente. 2
4
Observe que: f(1) 5 f(21), ou seja, 1 e 21 têm a mesma imagem f (2 1) = (2 1) = 1
2 • f (1) = 1 = 1
1
2
x 2 • f (2) = 2 = 4 f(2) 5 f(22), ou seja, 2 e 22 têm a mesma imagem 2 f (2 2) = (2 2) = 4
2
1
0
1
2
O gráfico de f(x) 5 x2 é simétrico em relação ao eixo y. Para uma função qualquer, podemos escrever: f é função par se, e somente se, f(x) 5 f(2x), para qualquer x D, em que o domínio é simétrico em relação à origem, isto é, x D acarreta 2x D. O gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y. Assim, f(x) 5 x2 é par, pois para qualquer x D temos f(x) 5 x2 e f(2x) 5 (2x)2 5 x2, ou seja, f(x) 5 f(2x).
Função ímpar
Vamos considerar a função f: ® → ®, definida por f(x) 5 x3. y
f(x) x3
8
Pela análise do gráfico, observe que: • f (1) = 13 = 1
f(1) 5 2f(21), ou seja, 1 e 21 têm imagens opostas f (2 1) = (2 1) = 2 1 3
2 1
1
x 0 1 1
2
• f (2) = 23 = 8
f(2) 5 2f(22), ou seja, 2 e 22 têm imagens opostas f (2 2) = (2 2) = 2 8 3
• Para qualquer x ®, se f(x) 5 m, então f(2x) 5 2m, pois x3 5 2(2x)3.
8
Por isso, o gráfico de f(x) 5 x3 é simétrico em relação ao ponto O, origem do sistema cartesiano, e dizemos que a função f é ímpar. De modo geral: f é função ímpar se, e somente se, f(2x) 5 2f(x), para qualquer x D. O domínio é simétrico em relação à origem, isto é, x D acarreta 2x D. O gráfico de f é simétrico em relação à origem O.
Capítulo 3 | Funções
87
No exemplo dado, f(x) 5 x3 é ímpar, pois para qualquer x D temos f(x) 5 x3 e f(2x) 5 (2x)3 5 2x3, ou seja, f(2x) 5 2f(x). Observação: Existe função que não é par nem ímpar. Por exemplo, f: ® → ® tal que f(x) 5 2x 1 1. Veja que: • f(3) 5 2 3 1 1 5 7
• f(23) 5 2(23) 1 1 5 25
Esse valor x 5 3 já é suficiente para afirmar que f não é função par nem ímpar. y
Para refletir Por que neste exemplo já se pode tirar a conclusão analisando um dos valores de x?
x f(x) 2x 1
0
O gráfico da função f(x) 5 2x 1 1 não apresenta simetria em relação ao eixo y nem em relação ao ponto O. Vamos analisar mais alguns gráficos para verificar se são pares ou ímpares. 1‚)
3‚)
y
y
1 x
1
0
x 0
1
O gráfico é simétrico em relação à origem, portanto a função é ímpar. 2‚)
Não há simetria em relação à origem nem em relação ao eixo y, portanto a função não é par nem ímpar. 4‚)
y
y
1 x 0
x 0
1
O gráfico é simétrico em relação ao eixo y, portanto a função é par.
1
Não há simetria em relação à origem nem em relação ao eixo y, portanto a função não é par nem ímpar.
Exercícios propostos 40. Verifique se os gráficos representam funções e, quando sim, se elas são pares ou ímpares. a)
y
b)
y
c)
y
d)
y 3
1
x
x x
x
1
0
4
3
3
4
41. Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares: a) f: ® → ® tal que f(x) 5
x 1 1 2
b) f: ® → ® tal que f(x) 5 x4
88
c) f: ®* → ® tal que f(x) 5
1 x
d) f: ® → ® tal que f(x) 5 2x2
Matemática
9. Função crescente e função decrescente Vamos analisar as seguintes situações. • O gráfico abaixo mostra a população brasileira de 1940 a 2000. Milhões de habitantes 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
Anos 1940 1950 1960 1970 1980 1991 2000
Fonte: www.ibge.gov.br. Acesso em 22/11/2006.
Pelo gráfico notamos o aumento da população em função do aumento do tempo (dado em anos), ou seja, a curva é crescente. • Este gráfico mostra um tanque de água sendo esvaziado: Volume (em )
600 500 400 300 200 100 Tempo (em min) 5
10
15
20
25
30
35
Pelo gráfico notamos a diminuição do volume de água em função do aumento do tempo (dado em min), ou seja, a curva é decrescente.
reta.
Vamos analisar os gráficos que já construímos. Observe o gráfico da função de ® em ® dada por f(x) 5 2x 1 1: é uma
Dizemos que essa função é crescente, pois, quanto maior o valor dado a x, maior será o valor correspondente a y 5 f(x) 5 2x 1 1.
5
3
cre sce nte
y
Analisando gráficos
f(x) 2x 1
1
x
2 1 0
1
2
1
3
Capítulo 3 | Funções
89
Observe o gráfico da função de ® em ® dada por f(x) 5 2x2: é uma parábola.
y
Veja que:
o
xim
má
• para x 0, essa função é crescente.
2
0
1
• para x > 0, essa função é decrescente.
x
1
2
1
cre sce nte
• o gráfico é simétrico em relação ao eixo y (f é função par).
f(x) x2 2
e ent resc dec
• para x 5 0, f(x) 5 0; para x 0, temos f(x) , 0. Por isso, dizemos que x 5 0 é o ponto de máximo da função.
3 4
x , se x 3
Observe o gráfico da função de ® em ® dada por f(x) 5
3, se x 3
.
Veja que: • para x 3, essa função é crescente.
4
• para x . 3, essa função é constante.
• para x . 0, f(x) . 0.
constante
3
e nt ce es r c
2
• para x , 0, f(x) , 0. • para x 5 0, f(x) 5 0.
y
1
3 2 1 0 1 1 2
2
x 3 4
5
6
7
3 4
Conclusões: De modo geral, analisando o gráfico de uma função, podemos observar propriedades importantes dela, como:
decrescente (se x1 , x2, então f(x1) . f(x2)) e onde ela assume
máximo
• f é positiva em ]25, 21[ e em ]5, 6[.
• f é negativa em ]26, 25[ e em ]21, 5[.
• f é nula em x 5 25, x 5 21 e x 5 5. Esses são os zeros ou raízes da função.
• f é crescente em ]26, 23] e em [2, 6[.
• f é decrescente em [23, 2].
• O ponto com x 5 23 é um ponto de máximo e f(x) 5 2 é o valor máximo de f.
• O ponto com x 5 2 é um ponto de mínimo e f(x) 5 23 é o valor mínimo de f.
90
3 e nt ce s e cr
2 1
6 5 4 3 2 1 1
um valor máximo ou um valor mínimo, se existirem. Por exemplo, considere o gráfico ao lado, que representa uma função definida no intervalo ]26, 6[:
y
2 3
0 1
2
e nt ce es cr de
2·) Onde ela é crescente (se x1 , x2, então f(x1) , f(x2)), onde ela é
4
cr es ce nt e
1·) Onde ela é positiva (f(x) . 0), onde ela é negativa (f(x) , 0) e onde ela se anula (f(x) 5 0). Os valores x0 nos quais ela se anula (f(x0) 5 0) são chamados zeros da função f.
3 4
5
x
6
mínimo
4
Matemática
Informações sobre uma função a partir do seu gráfico Seja f: ® → ® a função cujo gráfico é este ao lado: Observe algumas informações que podem ser obtidas pela leitura do gráfico. • f(23) 5 21
y 3
• f(1) 5 1
2
• se f(x) 5 1, então x 5 1 ou x 5 21
1
• f(0,5) . f(1,5)
3
• e x ® | f(x) 5 3
0 1 2 1 1
• D(f) 5 ® e Im(f) 5 {y ® | y 2}
x 2
3
4
2 3
• O gráfico de f corta o eixo x em (2, 0) e (22, 0) e corta o eixo y em (0, 2) • f é uma função par • f é decrescente para x 0 Observação: No volume 3, estudaremos com mais profundidade o comportamento de algumas funções.
Para refletir Para que valores de x essa função é crescente?
Exemplo tim-tim por tim-tim
**(Enem) O quadro apresenta a produção de algodão de uma cooperativa de agricultores entre 1995 e 1999. Safra Produção (em mil toneladas) Produtividade (em kg/hectare)
1995
1996
1997
1998
1999
30
40
50
60
80
1 500
2 500
2 500
2 500
4 000
O gráfico que melhor representa a área plantada (AP) no período considerado é:
a)
AP
c)
95 96 97 98 99
b)
AP
95 96 97 98 99
AP
95 96 97 98 99
d)
e)
AP
95 96 97 98 99
AP
95 96 97 98 99
1. Lendo e compreendendo a) O que é dado no problema? São dadas duas grandezas em cada ano considerado; a produção, em milhares de toneladas, e a produtividade, em quilos por hectares. b) O que se pede? O melhor gráfico para representar a variação da área plantada ao longo dos cinco anos considerados. Capítulo 3 | Funções
91
2. Planejando a solução Devemos usar as informações da tabela para calcular a área plantada. Como temos a produção em milhares de toneladas, e a produtividade em quilos por hectare, será possível obter a área plantada em hectares. Para fazer isso, precisamos compreender a relação entre as grandezas dadas: isso pode ser feito observando-se as unidades das grandezas. Assim, percebemos que a produtividade é a divisão da produção pela área plantada. Dessa relação, obteremos a área plantada que precisamos para compor o traçado do gráfico. Primeiro vamos igualar as unidades, escrevendo a produção em quilos. Como uma tonelada equivale a 1 000 quilos, então 1 000 toneladas equivalem a um milhão de quilos. 3. Executando o que foi planejado De acordo com nossa estratégia, podemos pensar na relação produtividade 5 tanto, área plantada 5
produção e, porárea plantada
produção . Assim, vamos criar uma nova linha na tabela dada na qual produtividade
dividiremos os valores dados. Vamos também escrever os valores da produção em quilos, lembrando que 1 000 toneladas 5 106 quilos. Safra 1995
1996
1997
1998
1999
Produção (em kg)
30 ? 106
40 ? 106
50 ? 106
60 ? 106
80 ? 106
Produtividade (em kg/hectare)
1 500
2 500
2 500
2 500
4 000
Área plantada (AP) (em hectares)
30 ? 106 5 20 mil 1 500
16 mil
20 mil
24 mil
20 mil
Analisando a nossa linha com valores da área plantada, percebemos que de 1995 a 1996 ela é decrescente, de 1996 a 1998 ela é crescente, e de 1998 a 1999 é novamente decrescente. De acordo com a interpretação dos valores acima e observando as cinco alternativas de gráfico do problema, percebemos que a melhor escolha é o item a. 4. Emitindo a resposta A resposta é o item a. 5. Ampliando o problema a) Calcule qual seria a área plantada em 1998 se a produtividade fosse 3 000 kg/hectare, 4 000 kg/hectare e 5 000 kg/hectare respectivamente. b) Aproveitando os resultados do item a, analise o que ocorre com a área plantada de uma plantação quando se aumenta a produtividade mantendo-se a mesma produção. c) Se aumentarmos a produtividade mantendo a mesma área plantada, o que ocorrerá com a produção? d) Discussão em equipe Troque ideias com seus colegas sobre o esforço dos pequenos agricultores para aumentar a produtividade de uma lavoura. Isso seria bom? Ou não tem muita importância? Se for bom, quem poderia ajudá-los nessa tarefa?
92
Matemática
Exercícios propostos 42. Os gráficos seguintes representam funções. Indique se cada função é crescente ou decrescente: y
a)
b)
y
1
x
1
c)
y
x
x
0
0
0
43. Considerando os gráficos a seguir, que representam funções, responda para que valores reais de x a função é crescente e decrescente: y b) a)
y
0
2
1
π 2
π 2
π
x
x 0
c)
y
π
x
0
2
44. Responda às questões a partir do gráfico da função f dado ao lado.
y
a) Qual é o domínio e qual é a imagem de f? b) Em quantos pontos o gráfico corta o eixo x? E o eixo y? c) f(1,7) é maior, menor ou igual a f(2,9)? d) Qual é o valor máximo de f(x)? E o valor mínimo? e) Qual ponto do gráfico tem abscissa 21? f) O ponto (4, 21) pertence ao gráfico de f? g) Qual é o valor de x, quando f(x) 5 3?
3 2 1 0 1 1
x 1
2
3
4
45. Analise o gráfico abaixo e responda: Valor de compra do dólar comercial, em reais, no primeiro dia útil de cada mês (entre janeiro/2008 e março/2009)
3,5
2,981
3 2,5
2,329 2,3557
2
1,7714
1,6808 1,7443
1,5
1,7526
1,6498 1,6312 1,6053
1,6439
2,4367
2,4113
1,9205
1,5585
1 0,5 0
jan./08
fev./08 mar./08 abr./08 maio/08 jun./08
jul./08
ago./08 set./08
out./08 nov./08 dez./08
jan./09
fev./09 mar./09
Fonte: www.bcb.gov.br. Acesso em 8/6/2009.
a) Em que mês o dólar atingiu seu valor máximo? E seu valor mínimo? b) De que mês para que mês houve valorização mais brusca do dólar? De quanto por cento foi essa valorização? c) De quanto por cento foi a desvalorização do dólar entre abril e agosto de 2008?
46. Um rapaz desafia seu pai para uma corrida de 100 m. O pai permite que o filho comece a corrida 30 m à sua frente. Um gráfico bastante simplificado dessa corrida é dado ao lado. a) Pelo gráfico, como é possível dizer quem ganhou a corrida e qual foi a diferença de tempo? b) A que distância do início o pai alcançou seu filho? c) Em que momento depois do início da corrida ocorreu a ultrapassagem?
Capítulo 3 | Funções
Distância (m) 100 80 60 40 20 Tempo (s) 0
5
10
15
93
10. Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva Função injetiva ou injetora Uma função f: A → B é injetiva (ou injetora) quando elementos diferentes de A são transformados por f em elementos diferentes de B, ou seja, não há elemento em B que seja imagem de mais de um elemento de A. Assim, f é injetiva quando: x1 x2 em A � f(x1) f(x2) em B ou equivalentemente usando a contrapositiva: f(x1) 5 f(x2) em B � x1 5 x2 em A
A
B
A
B
função injetiva
função injetiva
A
B
função não injetiva
(Não há elemento em B que seja imagem de mais de um elemento de A.)
(Há um elemento em B que é imagem de dois elementos distintos em A.)
Exemplos:
1‚) A função f: ® → ® dada por f(x) 5 x2 2 1 não é injetiva, pois: • para x 5 1 corresponde f(1) 5 0; • para x 5 21 corresponde f(21) 5 0. Neste caso, para dois valores diferentes de x encontramos um mesmo valor para a função. No diagrama: 1 • • 0 1 •
®
®
2‚) A função f: ® → ® dada por f(x) 5 2x é injetiva, pois faz corresponder a cada número real x o seu dobro 2x e não existem dois números reais diferentes que tenham o mesmo dobro. Simbolicamente: Para quaisquer x1, x2 ®, x1 x2 � 2x1 2x2 � f(x1) f(x2) Observação: Podemos verificar se uma função é injetiva olhando seu gráfico. Sabemos que, se a função é injetiva, não há elemento do conjunto imagem que seja imagem de mais de um elemento do domínio. Assim, imaginando linhas horizontais cortando o gráfico, essas linhas só podem cruzar o gráfico uma única vez para cada valor de y.
94
Matemática
y
y
x
x
As linhas horizontais intersectam o gráfico mais de uma vez. A função não é injetiva.
As linhas horizontais nunca intersectam o gráfico mais de uma vez. Então a função é injetiva.
Exercícios propostos 47. Verifique se as seguintes funções são injetivas ou não: a) f: A → B
48. Analisando os gráficos abaixo identifique quais são funções injetivas. a)
1 •
y 2
• 4
2 • • 5
3 • A
x
B –2
b) f: A → B
b)
2 y
• 8 • 5
3 • 6 •
• 6
9 •
• 7
A
c) f: A → B
c)
2 •
• 3
6 •
• 5
9 •
• 8
A
y
1 x B
d) f: ® → ® dada por f(x) 5 x 1 2 e) f: ®
f )
x
B
f
® dada por f(x) 5 x4
1 •
d)
y
• 2
3 • 4 • 7• A
Capítulo 3 | Funções
• 4 • 8
x 1
• 6 B
95
Função sobrejetiva (ou sobrejetora) Uma função f: A → B é sobrejetiva (ou sobrejetora) quando, para qualquer elemento y B, pode-se encontrar um elemento x A tal que f(x) 5 y. Ou seja, f é sobrejetiva quando todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A, isto é, quando Im(f) 5 B. •
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
A
•
•
•
•
B
•
A
função sobrejetiva Im(f) 5 B
•
•
B
•
•
A
função sobrejetiva Im(f) 5 B
•
B
função não sobrejetiva (Há elementos em B sem correspondente em A, logo Im(f) ≠ B.)
Exemplos:
1‚) A função f: ® → ® dada por f(x) 5 x 1 2 é sobrejetiva, pois todo elemento de ® é imagem de um elemento de ® pela função [x 5 f(x) 2 2]. Veja: • f(x) 5 5 é imagem de x 5 3, pois 5 2 2 5 3; • f(x) 5 0 é imagem de x 5 22, pois 0 2 2 5 22. 2‚) A função f: ® → ®1 dada por f(x) 5 x2 é sobrejetiva, pois todo elemento de ®1 é imagem de pelo menos um elemento de ® pela função x 5 ± f ( x ) . Observe: • f(x) 5 9 é imagem de x 5 3 e de x 5 − 3 ( ± 9 ) ;
• f(x) 5 0 é imagem de x 5 0 ( ± 0 ) ;
• f(x) 5 2 é imagem de x 5 2 e de x 5 − 2 ( ± 2 ).
3‚) A função sucessora f: n → n definida por f(n) 5 n 1 1 não é sobrejetiva, pois Im(f) 5 n* e n* n. Em outras palavras, dado 0 n, não há natural algum que seja transformado em 0 pela função f, isto é, 0 não é sucessor de nenhum número natural.
Exercícios propostos 49. Verifique se as seguintes funções são sobrejetivas ou não: a) f: ® → ® dada por f(x) 5 2x 2 1 b) f: ® → ® dada por f(x) 5 x3 c) f: {21, 0, 1, 2} → ® dada por f(x) 5 x2 2 4 e) ®
5
b)
c)
• •
10
IR dada por f(x) 5 3 1 2x
• •
•
•
• •
• •
•
•
•
• •
A
B
A
B
1
x
0
x 0
4
b) g: [1, 7] → [0, 1[ y
19
d) f: ®1 → [0, 10] y
10
• •
• x
• A
96
c) f: ®1 → ®1 y
y
50. Identifique quais das funções abaixo são sobrejetivas: a)
são sobrejetivas ou não: a) f: [0, 4] → [1, 5]
d) f: ®* → ®1 dada por f(x) 5 x f
51. Analisando os gráficos abaixo verifique se as funções
B
0
1
7
x 0
Matemática
Função bijetiva ou correspondência biunívoca Uma função f: A → B é bijetiva se ela for, simultaneamente, injetiva e sobrejetiva. Quando isso ocorre dizemos que há uma bijeção ou uma correspondência biunívoca entre A e B. •
•
• • •
• •
•
• • B
•
• B
não é bijetiva (É injetiva, mas não sobrejetiva.)
•
•
•
•
• •
•
•
A
função bijetiva
•
•
•
•
A
•
•
A
A
B
não é bijetiva (É sobrejetiva, mas não injetiva.)
•
• B
não é bijetiva (Não é injetiva nem sobrejetiva.)
Exemplos:
1‚) A função f: ® → ® dada por f(x) 5 3x é bijetiva, pois ela é simultaneamente injetiva e sobrejetiva; cada número real do contradomínio ® tem como correspondente no domínio a sua terça parte, que sempre existe e é única. 2‚) A função f: ® → ® dada por f(x) 5 x 1 1 é bijetiva, pois é injetiva e sobrejetiva; cada número real do contradomínio ® tem sempre um só correspondente no domínio ® (esse número menos 1). 3‚) A função f: ® → ®1 dada por f(x) 5 x2 não é bijetiva, pois, embora seja sobrejetiva, ela não é injetiva: 3 23, mas f(3) 5 f(23) 5 9. 4‚) A função f: ® → ® dada por f(x) 5 2x não é bijetiva; embora seja injetiva, ela não é sobrejetiva. Não existe x ® tal que f(x) 5 0 ou que f(x) seja negativo.
Exercícios propostos 52. Verifique se as funções abaixo são sobrejetivas, injetivas ou bijetivas: a) f: A → B
c) f: A → B
1 •
2 •
• 5
4 •
8 6 • 5
7 •
6 •
• 7
A
9 • B
b) f: A → B
x 0
• 6 • 7
A
B
d) f: A → B
3 •
• 2
4 •
• 5
6 •
1 •
• 7 6 • B
A
e) f: ® → ® tal que f(x) 5 x2 f ) f: {0, 1, 2, 3} → n dada por f(x) 5 x 1 2 g) f: ®1 → ®1 tal que f(x) 5 x2
c) f: [0, 5] → [0, 8] y 8
x
• 5
0
• 9 B
53. Analisando os gráficos a seguir identifique quais funções são injetivas, sobrejetivas ou bijetivas: a) f: [0, 5] → [0, 8] y
0
Capítulo 3 | Funções
5
5
d) f: ® → ® y
1
y = 2x
x
0
e) f: ® → ®1 y
8
x
5
• 2 4 •
• 8
A
b) f: [0, 5] → [0, 8] y
1
y = 2x
x
0
97
Número cardinal Dizemos que dois conjuntos A e B têm o mesmo número cardinal quando se pode definir uma bijeção ou correspondência biunívoca f: A → B.
Exemplos: 1‚) Sejam A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B 5 {3, 6, 9, 12, 15, 18}. Definindo f: A → B pela regra f(x) 5 3x, temos uma bijeção ou uma correspondência biunívoca, em que f(1) 5 3, f(2) 5 6, f(3) 5 9, f(4) 5 12, f(5) 5 15 e f(6) 5 18. Assim, dizemos que A e B têm o mesmo número cardinal. 1• 2•
4•
•6
3•
6•
•9 • 12 • 15 • 18
5•
A
•3
f(x) 3x
B
2‚) Sejam n (conjunto dos números naturais) e P o conjunto dos números naturais pares: P 5 {0, 2, 4, 6, 8, …, 2x, …}. A função f: n → P definida por f(x) 5 2x para todo x n é bijetiva. Assim, entre n e P existe uma correspondência biunívoca e, portanto, n e P têm o mesmo número cardinal, embora P seja subconjunto de n e diferente de n. •0 •2 •4 •6 •8 •.10
0• 1• 2• 3• 4• 5. • .. IN
..
f(x) 2x
Para refletir Você sabia que quem descobriu essa curiosa correspondência biunívoca, há mais de quatrocentos anos, foi o físico italiano Galileu Galilei?
P
Esse exemplo é curioso, pois, além dos infinitos números pares, há os infinitos números ímpares incluídos nos números naturais e, no entanto, n e P têm o mesmo número cardinal.
3‚) Sejam A 5 {0, 1, 2} e B 5 {0, 1, 2, 3, 4}. Não é possível definir uma função f: A → B que seja bijetiva. Portanto, não existe uma correspondência biunívoca entre os conjuntos A e B. Logo, eles não têm o mesmo número cardinal.
Exercício proposto 54. Verifique em cada caso se os conjuntos têm o mesmo número cardinal: a) Sejam n (conjunto dos números naturais); I (conjunto dos números naturais ímpares) e f: n → I definida por f(x) 5 2x 1 1 para qualquer x n. b) Sejam A 5 {1, 3, 5, 7}; B 5 {1, 3, 5, 7, 9} e f: A → B definida por f(x) 5 x para qualquer x A.
c) Sejam A 5 {1, 2, 3}; B 5 {1, 4, 9} e f: A → B definida por f(x) 5 x2 para qualquer x A. d) Sejam A 5 {1, 2, 3, 4}; B 5 {0, 7, 26, 63} e f: A → B definida por f(x) 5 x3 2 1, para qualquer x A. e) Sejam n (conjunto dos números naturais); M (conjunto dos múltiplos de 3): M 5 {0, 3, 6, 9, ..., 3x, ...} e f: n → M definida por f(x) 5 3x para qualquer x [ n.
Conjuntos finitos e conjuntos infinitos Dado n n*, vamos indicar por In o conjunto dos números naturais de 1 até n. Por exemplo, I1 5 {1}, I3 5 {1, 2, 3} e I6 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}. De modo geral, In 5 {1, 2, 3, 4, ..., n}. Dizemos que um conjunto A tem n elementos e é finito quando é possível estabelecer uma correspondência biunívoca f: In → A. O número natural n chama-se então número cardinal do conjunto A, ou, simplesmente, número de elementos de A. Por exemplo, se A 5 {a, e, i, o, u}, é possível definir a bijeção ou correspondência biunívoca f: I5 → A. Logo, o número cardinal de A é 5 ou, simplesmente, o número de elementos de A é 5. Assim, A é um conjunto finito, com 5 elementos.
98
Matemática
Admite-se o conjunto vazio como sendo finito e dizemos que tem zero elemento. Assim, por definição, zero é o número cardinal do conjunto vazio. Dizemos que um conjunto A é infinito quando ele não é finito, ou seja, A não é vazio e para qualquer n n* não existe correspondência biunívoca f: In → A. O conjunto dos números naturais n 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} é infinito, pois não existe correspondência biunívoca f: In → n, para qualquer n.
Para refletir É verdade que todo número natural n é o número cardinal de algum conjunto finito?
11. Função composta Introdução Vamos considerar a seguinte situação: Um terreno foi dividido em 20 lotes, todos de forma quadrada e de mesma área. Nessas condições, vamos mostrar que a área do terreno é uma função da medida do lado de cada lote representando uma composição de funções. Para isso, indicaremos por: • x 5 medida do lado de cada lote; • y 5 área de cada lote; • z 5 área do terreno.
① Área de cada lote 5 (medida do lado)2 � y 5 x2 Então, a área de cada lote é uma função da medida do lado, ou seja: y 5 f(x) 5 x2
② Área do terreno 5 20 ? (área de cada lote) � z 5 20y Então, a área do terreno é uma função da área de cada lote, ou seja: z 5 g(y) 5 20y Comparando ① e ②, temos: Área do terreno 5 20 ? (medida do lado)2, ou seja, z 5 20x2, pois y 5 x2 e z 5 20y. Então, a área do terreno é uma função da medida do lado de cada lote, ou seja: z 5 h(x) 5 20x2. f
g
x x2 20x2
h composta de g com f
A função h, assim obtida, denomina-se função composta de g com f e pode ser indicada por g f. h g f
f x
A
Capítulo 3 | Funções
g
•
•
•
y x2
B
z 20x2
C
99
Vemos que: • a cada x [ A corresponde um único y [ B tal que y 5 x2; • a cada y [ B corresponde um único z [ C tal que z 5 20y; • a cada x [ A corresponde um único z [ C tal que z 5 20y 5 20x2. Logo, existe uma função h (composta de g e f) de A em C definida por h(x) 5 20x2. Assim, h(x) 5 (g f )(x) 5 g(f(x)), para todo x [ D(f).
g(f(x)): lê-se “g de f de x”.
Definição de função composta Dadas as funções f: A → B e g: B → C, denominamos função composta de g e f a função g f: A → C, que é definida por (g f)(x) 5 g(f(x)), x A. g f
f x
g
•
•
•
f(x)
A
g(f(x))
B
C
Dados os conjuntos A 5 {1, 2, 3, 4}, B 5 {2, 3, 4, 5} e C 5 {4, 9, 16, 25}, vamos considerar as funções: f: A → B dada por f(x) 5 x 1 1 g: B → C dada por g(y) 5 y2 g
f
1
•
•2
•
4
2
•
•3
•
9
3
•
•4
•
16
4
•
•5
•
25
A
B
C
Notamos que: (g f)(1) 5 g(f(1)) 5 g(2) 5 4 e que (1 1 1)2 5 4 (g f)(2) 5 g(f(2)) 5 g(3) 5 9 e que (2 1 1)2 5 9 (g f)(3) 5 g(f(3)) 5 g(4) 5 16 e que (3 1 1)2 5 16 (g f)(4) 5 g(f(4)) 5 g(5) 5 25 e que (4 1 1)2 5 25 Percebemos que g(f(x)) 5 (x 1 1)2, ou seja, (g f)(x) 5 g(f(x)) 5 g(x 1 1) 5 (x 1 1)2.
Exemplos: 1‚) Dada f: A → B, vamos supor que exista g: B → A tal que exista g(f(x)), para todo x [ A. Nestas condições, vamos mostrar que f é injetiva. Devemos mostrar, usando a contrapositiva, que f(x1) 5 f(x2) ⇒ x1 5 x2 f(x1) 5 f(x2) ⇒ x1 5 g(f(x1))5 g(f(x2)) 5 x2 Logo, x1 5 x2. Assim, f é injetiva.
100
Matemática
2‚) Dadas as funções f(x) 5 2x 1 a e g(x) 5 3x 2 1, vamos determinar o valor de a para que se tenha (f g)(x) 5 (g f)(x) (f g)(x) 5 f(g(x)) 5 f(3x 2 1) 5 2(3x 2 1) 1 a 5 6x 2 2 1 a (g f)(x) 5 g(f(x)) 5 g(2x 1 a) 5 3(2x 1 a) 2 1 5 6x 1 3a 2 1 Como (f g)(x) 5 (g f)(x), temos: 1 6x 2 2 1 a 5 6x 1 3a 2 1 ⇒ a 2 3a 5 21 1 2 ⇒ 22a 5 1 ⇒ 2a 5 21 ⇒ a 5 2 2
Exercícios propostos 55. Sejam as funções f(x) 5 x2 2 2x 1 1 e g(x) 5 2x 1 1. Calcule: a) f (g(1)) b) g(f(2)) c) f (f(1))
56. (FGV-SP) Se f e g são funções tal que f(x) 5 3x 2 1 e f (g(x)) 5 x, determine g(x).
59. (Mack-SP) Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g. A soma f(g(1)) 1 g(f(21)) é igual a: a) 21. d) 2. y b) 0. e) 3. c) 1. 2
57. (UFSC) Dadas as funções f(x) 5 5 2 x e g(x) 5 x2 2 1,
f
qual é o valor de (g f)(4)?
x
58. (Unifor-CE) Sejam f e g funções de ® em ®. Calcule g(23 2 ) sabendo que f(x) 5 x 2 2 e f (g(x)) 5 x2 2 1.
0
2
1 g
12. Função inversa Introdução
Quando relacionamos o lado com o perímetro de um quadrado, podemos pensar em duas funções bijetivas: • uma, que a cada valor da medida do lado associa o perímetro (P 5 4,); P • outra, que a cada valor do perímetro associa a medida do lado [, 5 ] . 4 Observe: 1• 2•
2,5 • 3• 7•
A
B
f: A → B
8•
10 • 12 • 28 •
•1 •2 • 2,5 •3 •7
4•
•4 •8 • 10 • 12 • 28
B
A
g: B → A
x 4
f(x) 5 4x
g(x) 5
D(f) 5 {1; 2; 2,5; 3; 7}
D(g) 5 {4; 8; 10; 12; 28}
Im(f) 5 {4; 8; 10; 12; 28}
Im(g) 5 {1; 2; 2,5; 3; 7}
Temos que: • D(f) 5 Im(g) • D(g) 5 Im(f) • f e g são bijetivas Em casos assim, dizemos que uma função é a inversa da outra. É costume indicar a função g, inversa de f, por f 21: f: A → B f 21: B → A e x f(x) 5 4x f 21(x) 5 4
Capítulo 3 | Funções
101
Definição de função inversa Dada uma função f: A → B, bijetiva, denomina-se função inversa de f a função g: B → A tal que, se f(a) 5 b, então g(b) 5 a, com a A e b B. Como já vimos, representamos a função inversa de f com o símbolo f21. Exemplificando no diagrama de flechas: f: A → B g: B → A 6•
•6
1• 3•
8•
•8
4•
B
Para refletir
•3
9•
•9
A
•1
Atenção! 1 f –1 não é . f
•4
B
A
De modo geral, se f é bijetiva, temos: A
B
f
x
•
f(x) = y
•
g = f –1
Para refletir Só existe função inversa de uma função bijetiva.
g(y) = x ou f –1(y) = x
em que g: B → A é a função inversa da função f: A → B, uma vez que se tem: g(y) 5 g(f(x)) 5 x para todo x A e f (g(y)) 5 y para todo y B.
Processo para determinar a função inversa de uma função bijetiva dada No exemplo dado anteriormente, a função bijetiva f: A → B, definida por f(x) 5 4x, tem como função inversa a função g: B → A, definida por g(y) 5 g(y) 5 g(f(x)) 5 g(4x) 5
y , uma vez que: 4
4x y y 5 x, para todo x A e f(g(y)) 5 f 5 4 ? 5 y , para todo y B 4 4 4
Vejamos um roteiro que nos permite, a partir da fórmula da função bijetiva f, chegar à fórmula de f 21: • escrevemos f(x) 5 4x na forma y 5 4x; • em y 5 4x, trocamos y por x e x por y, obtendo x 5 4y; x
• em x 5 4y, determinamos y em função de x, obtendo y 5 (pois não é comum, neste nível, considerar y como 4 variável independente); • escrevemos y 5
x x na forma f 21(x) 5 , que é a inversa de f. 4 4
Outro exemplo: f: ® → ® é função bijetiva tal que f(x) 5 23x 1 5. Vamos determinar sua inversa f 21(x). y 5 23x 1 5 2x + 5 2x + 5 x 5 23y 1 5 � 3y 5 2x 1 5 � y 5 � f 21(x) 5 3
3
Testando valores: Por f: x 5 1 → f(1) 5 23 1 5 5 2 Por f 21: x 5 2 → f 21(2) 5
102
22 + 5 5 1 3 Matemática
1
Observação: Sabemos que as funções f: A → B, definida por f(x) 5 8x e g: B → A, definida por g(y) 5 y, por exem8 plo, são inversas. Observe que: (g f)(x) 5 g(f(x)) 5 g(8x) 5
1 ( 8 x ) 5 x para todo x A 8
1 1 y = 8 ? 8 8
(f g)(y) 5 f(g(y)) 5 f
y 5 y para todo y B
De modo geral dizemos que a função g: B → A é inversa da função f: A → B quando se tem: (g f)(x) 5 g(f(x)) 5 x para qualquer x A e (f g)(y) 5 f(g(y)) 5 y para qualquer y B
Exercícios propostos 63. Seja f: ® → ® a função bijetiva tal que f(x) 5 2x 1 5.
60. Determine a função inversa das seguintes funções bijetivas de ® em ®: a) f(x) 5 x 2 6 b) f(x) 5 1 2 2x
Determine:
c) f(x) 5 3x 1 4 d) f(x) 5 3x
a) a função g, inversa de f, isto é, g(x) 5 f 21(x); b) (f g)(x) e (g f)(x).
61. Determine a função inversa f 21(x) da função f: ® 2 {2} → ® 2 {1} dada por f(x) 5 Para refletir
x . x 22
x 21 . 3 Use (f g) e (g f) para descobrir qual é a equação da função g, inversa de f: g(x) 5 3x 2 1 ou g(x) 5 3x 1 1.
64. A função f: ®
Observe as sentenças de f e de f –1 e os conjuntos R – {2} e R – {1}. Tire conclusões.
65. Seja uma função injetiva f que passa pelo ponto
62. Seja a função f(x) 5 3x 2 4 definida de ® em ®. Determine: a) f 21(x);
→ ® é definida por f(x) 5
(2, 5). Sua inversa passa peloponto (5, y). Qual é o valor de y?
b) f 21(2).
Gráfico da função inversa Vamos observar, através de exemplos, como ficam dispostos os gráficos de uma função f e da sua função inversa f 21 em um mesmo sistema de eixos. 1‚) Seja a função f dada por f(x) 5 x 1 2 e a sua função inversa dada por f 21(x) 5 x 2 2. f
x
y 5 f(x)
0
2
1 2
y
f reta y x
3
4
4
3
f 1
2
Para refletir
f 21
x
x
y 5 f(x)
0
22
1
21
2
0
Capítulo 3 | Funções
0 1
1
2
Se (a, b) pertence ao gráfico de f, então (b, a) pertence ao gráfico de f –1.
2
103
2‚) Seja a função bijetiva f: ®1 → ®1 dada por f(x) 5 x2 e a sua função inversa f 21: ®1 → ®1 dada por f 21(x) 5 x . f
x
y 5 f(x)
0 1 2
0 1 4
f 21
Para refletir
y
f
4
(a, b) e (b, a) são pontos simétricos em relação à reta y 5 x.
reta y = x 3 f 1
2 1
x
y 5 f(x)
0 1 4
0 1 2
x 0
1
2
3
4
Os exemplos dados sugerem que o gráfico de uma função f e o gráfico da sua função inversa f 21 são simétricos em relação à reta y 5 x, que representa a bissetriz dos quadrantes ímpares. É possível provar que isso ocorre em todos os casos de duas funções inversas.
Exercício proposto 66. Seja f: ® → ® a função definida por f(x) 5 26x 1 2. a) Determine f (x). 21
b) Construa os gráficos de f e f21 no mesmo sistema de eixos.
13. Função e sequências Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto IN*, conjunto dos naturais excetuando-se o zero: f: IN* → ®
A cada número natural diferente de zero corresponde um único número real xn: 1 → x1; 2 → x2; 3 → x3; ...; n → xn; ... Uma sequência é indicada por:
Para refletir Podemos ter também sequências finitas. Neste caso, a função é f: {1, 2, 3, …, n} → R e a sequência x1, x2, …, xn tem n termos.
(x1, x2, ..., xn, ...) ou (xn)
Por exemplo, a função de IN* em ® dada por f(x) 5 3x determina a sequencia (3, 6, 9, 12, …) dos múltiplos
positivos de 3.
Dois importantes exemplos de sequências são as progressões aritmética e geométrica.
Progressão aritmética A sequência 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, ... é uma progressão aritmética (PA). Observe que cada termo, a partir do segundo, é a soma do termo anterior com 7. Neste caso, essa constante 7 chama-se razão da PA. A razão de uma PA pode ser um número positivo, negativo ou igual a zero. Por exemplo: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, ... é uma PA de razão 4 (crescente) 15, 12, 9, 6, 3, 0, 23, 26, ... é uma PA de razão 23 (decrescente) 8, 8, 8, 8, 8, ... é uma PA de razão 0 (constante) Observe também que na PA: temos
1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, ...
8 5 1 1 7; 15 5 8 1 7 5 1 1 2 ? 7; 22 5 15 1 7 5 1 1 3 ? 7; 29 5 22 1 7 5 1 1 4 ? 7; etc.
104
Matemática
De modo geral, em uma progressão aritmética como x1, x2, …, xn, … de razão r, temos: xn 1 1 2 xn = r para todo n n* e x2 5 x1 1 r; x3 5 x2 1 r 5 x1 1 2r; x4 5 x1 1 3r; …; xn 1 1 5 x1 1 nr ; etc.
Progressão geométrica A sequência:
2, 6, 18, 54, 162, 486, ...
é uma progressão geométrica (PG). Observe que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior por 3. Neste caso, essa constante 3 chama-se razão da PG. Observe que: 6 5 2 ? 3 ; 18 5 6 ? 3 5 2 ? 32; 54 5 18 ? 3 5 2 ? 33; 162 5 54 ? 3 5 2 ? 34; etc. De modo geral, em uma progressão geométrica como x1, x2, …, xn, … de razão q 0, temos: xn 1 1 5 q para todo n [ n* xn
e x2 5 x1 ? q; x3 5 x2 ? q 5 x1 ? q2;
x4 5 x3 ? q 5 x1 ? q3; …;
xn 1 1 5 x1 ? qn ; …
Retomaremos e aprofundaremos o estudo de sequências no capítulo 9.
Exercícios propostos 67. Escreva a sequência determinada pela função f de lN* em ®, tal que f(x) 5 (x 2 1)2.
68. Qual é a lei da função f de n* em ® que determina a sequência (1, 3, 5, 7, 9, ...)?
69. Quais das sequências abaixo são progressões aritméticas ou progressões geométricas? Nas que forem progressões, indique qual é a razão. a) 10, 5, 0, 25, 210, 215, ... b) 3, 6, 12, 24, 48, 96, ... c) 2, 5, 8, 10, 13, 15, 18, ... 1 1 d) 16, 8, 4, 2, 1, , , ... 2 4
70. O primeiro termo de uma PA é 6. A razão é 5. Qual é o 10‚ termo dessa PA?
71. O primeiro termo de uma PG é 4. A razão é 3. Qual é o 6‚ termo dessa PG?
72. Invente uma PA. 73. Invente uma PG.
Desafio em dupla Tracem o gráfico da função definida por f(x) 5 n, se n , x < n 1 1, sendo n um número inteiro. Qual o domínio e a imagem da função?
Pressão varia em função da profundidade A água que escorre dos vários furos desse garrafão ilustra uma importante função da Física: que a pressão da água varia em função da profundidade. A maior pressão nos furos inferiores do garrafão faz a água esguichar mais longe, em trajetória quase reta; a pressão mais baixa nos furos de cima produz um jato fraco.
Capítulo 3 | Funções
formato comunicações/ arquivo da editora
Curiosidade
105
A MATEMÁTICA E AS PRÁTICAS SOCIAIS O que provoca a obesidade? A capacidade do corpo humano de armazenar energia na forma de gordura parece deslocada num mundo cheio de alimentos. Entender como os sistemas regulatórios podem levar à obesidade revela novas maneiras de combater o excesso de peso*.
Papel confuso da gordura em doenças
STFSTF/Agence France-Presse
RubberBall/Alamy/Other Images
Foi estabelecida uma nítida associação entre obesidade e várias enfermidades sérias, entre elas diabetes, hipertensão, doença cardiovascular e até câncer, embora muitos aspectos dessa relação não tenham sido explicados. Ainda assim, a definição médica mais comum de obesidade se baseia em evidências de efeitos adversos sobre a saúde em pessoas acima do peso. O índice de massa corporal (IMC) é calculado com o peso de uma pessoa, em quilogramas, dividido pelo quadrado da sua altura, em metros. Uma vez que uma maior mortalidade é encontrada em IMCs maiores que 30, esse número tornou-se o limiar aceito para obesidade. Um IMC entre 25 e 30 é chamado sobrepeso, refletindo alguma conexão com efeitos adversos à saúde. Essas relações epidemiológicas entre IMC e enfermidade, contudo, podem variar em diferentes subpopulações. E nenhum número preciso permite que os médicos determinem qual quantidade de gordura excedente causará doença. Algumas pessoas têm problemas de saúde com o IMC abaixo de 25, enquanto outras permanecem sadias com IMC maior que 30. Nem toda gordura parece criar efeitos iguais. O tecido adiposo se acumula sob a pele na maioria das áreas corporais, bem como dentro e ao redor dos órgãos internos, especialmente no abdômen. Muitos estudos sugerem que diabetes e doenças cardiovasculares, em particular, estão ligadas a essa gordura intra-abdominal, ou visceral. Em alguns casos, é relativamente improvável que um excesso significativo de gordura nos quadris e coxas – que produz a forma de pera – cause essas doenças, quando também não existir a gordura abdominal em excesso. Esta última, presente no corpo em forma de maçã, está associada a diabetes e outros desequilíbrios metabólicos, mesmo na ausência de gordura abundante na parte inferior do corpo.
Corpo em forma de maçã.
Corpo em forma de pera.
Maçã não é saudável quando a palavra maçã se refere ao formato do corpo. A gordura abdominal extra indica gordura excessiva dentro e ao redor dos órgãos internos, situação estreitamente ligada a doença metabólica e cardiovascular. Já o formato de pera, que indica gordura acumulada principalmente nos quadris e coxas, é improvável que cause doença.
O fundamento para a influência da localização da gordura sobre a saúde não é inteiramente claro. Uma das teorias concentra-se no fato de que a gordura abdominal libera ácidos graxos, outras substâncias e sinais para a veia porta, que banha diretamente o fígado, e, dessa forma, afeta o funcionamento desse órgão. Uma segunda teoria se baseia no fato de que os depósitos de gordura em diferentes partes do corpo geram diferentes quantidades de sinais químicos, e os volumes relativos maiores que emanam da gordura visceral poderiam explicar seus efeitos mais adversos. * Usaremos a palavra peso na sua acepção coloquial de massa.
106
Matemática
Como ilustram esses poucos exemplos, muitas das mesmas moléculas e mecanismos em investigação por seu papel na regulação de energia do corpo também estão envolvidos em outros processos vitais para a saúde. Avanços no conhecimento da obesidade provavelmente levarão a novas ideias sobre as doenças relacionadas à obesidade e também a seu tratamento. Fonte: Adaptado de Jeffrey Flier e Eleftheria Flier. Scientific American Brasil, 65. ed., out. 2007, http://www2.uol.com.br/sciamreportagens/o_que_provoca_a_obesidade_17.htm.
CALCULANDO E COMPREENDENDO MELHOR O TEXTO 1. A Organização Mundial da Saúde utiliza o índice de mas-
p , h2 onde p é o peso, em quilos, e h é a altura, em metros, do indivíduo, para avaliar se o seu peso está normal, abaixo ou acima do peso ideal. Isso é feito de acordo com a seguinte tabela: sa corporal (IMC), que é dado pela fórmula IMC 5
Homens
Mulheres
Classificação
20 < IMC < 25
19 < IMC < 24
Normal
25 < IMC < 30
24 < IMC < 29
Levemente obeso
IMC . 30
IMC . 29
Obeso
a) Determine o IMC de uma mulher de 1,60 m de altura e 51,2 kg. b) Classifique-a segundo a tabela acima. c) Qual é a altura mínima para que um homem de massa 108,3 kg seja considerado levemente obeso?
2. Uma mulher obesa, preocupada com a saúde, resolve se submeter a uma dieta a fim de chegar à classificação normal de IMC. Quantos quilogramas, no mínimo, ela deverá perder se tem 1,70 m de altura e 90 kg?
3. Uma fórmula antiga que expressa o peso ideal do corpo humano adulto em função da altura é dada por: a 2 150 P = (a 2 100) 2 [ ] , onde P é o peso em k quilogramas e a é a altura em centímetros, k 5 4 para homens, e k 5 2 para mulheres. Qual o peso ideal de um homem adulto de 1,90 m de altura?
4. Ainda usando a fórmula P = (a 2 100) 2 [ a 2 150 ] , k Raquel identificou que está 2 quilogramas acima do seu peso ideal. Sabendo que Raquel pesa atualmente 62 kg, qual é a altura dela?
AMPLIANDO O CONTEÚDO MATEMÁTICO 5. O grupo vencedor da feira de ciências de uma escola de ensino médio identificou uma fórmula que dá aproximadamente a área da superfície do corpo humano dos 3 2 alunos em função da massa. A fórmula é S 5 0,12 m , onde S é a área da superfície do corpo em m2 e m é a
Capítulo 3 | Funções
massa em kg. De acordo com a fórmula, qual é a área da superfície do corpo de um aluno de 64 kg? a) 1,17 m2 c) 1,92 m2 e) 2,34 m2 b) 1,63 m2 d) 2,00 m2
6. A academia Cia. do Corpo cobra uma taxa de inscrição de R$ 60,00 e uma mensalidade de R$ 50,00. A academia Energia e Saúde cobra uma taxa de inscrição de R$ 70,00 e uma mensalidade de R$ 40,00. E a academia Oficina do Corpo não cobra taxa de inscrição, mas cobra uma mensalidade de R$ 60,00. Qual academia oferece o menor custo para um aluno que deseja “malhar” durante um ano? Por quê?
7. Existe uma fórmula que determina em média o tamanho do calçado (T) brasileiro em função do comprimento do 5 pé (c) de uma pessoa. T = [x], onde x = c + 7 e [x] é o 4 menor número inteiro maior ou igual a x. Por exemplo, se x = 23,2, então [x] = 24 e, se x = 26, então [x] = 26. Segundo o Livro dos recordes, o maior pé do mundo foi o do ator americano Matthew McGrory (17/5/1973-9/8/2005). Seu calçado brasileiro seria de número 67. Utilizando a fórmula acima determine o tamanho aproximado do pé do ator Matthew McGrory.
PESQUISANDO E DISCUTINDO 8. Faça a seguinte experiência: Divida a medida da sua altura pela medida da altura do seu umbigo. Peça aos seus colegas que realizem o mesmo procedimento. Compare os resultados. Você verá que o resultado é um número próximo de 1,6. Como você viu na abertura do capítulo 2, esse número era conhecido pelos gregos como número de ouro. Para muitos, o número de ouro representa a mais agradável proporção entre dois segmentos e tem uma forte presença na natureza e nas artes. Na natureza a razão áurea pode ser encontrada por exemplo em girassóis, colmeias e estrelas-do-mar. Nas artes a razão áurea está presente, por exemplo, em pinturas de Leonardo da Vinci e no Parthenon, na Grécia. O número de ouro é irracional e vale aproximadamente 1,618. Pesquise e discuta com seus colegas em quais outros locais é possível encontrar a razão áurea.
VEJA MAIS SOBRE O ASSUNTO Procure mais informações em jornais, revistas e nos sites www.abeso.org.br/; http://portal.saude.gov.br/saude/ e www.youtube.com/watch?v=SUSyRUkFKHY.
107
>Atividades adicionais NA GRANDE SÃO PAULO RECORDE
A seguir, separadas por regiões geográficas, relacionamos algumas questões de vestibular que envolvem o conteúdo deste capítulo.
Região Norte 1. (Ufam) Na figura abaixo têm-se os gráficos de uma função f(x) 5 ax (a . 1) e de sua inversa g. y
f
3
Taxa de desemprego – Meses de abril – Em % 20,3 20,4 20 18,8 18 18,6 16 15,5 16,1 15,3 15,9 17,7 14 14,2 13,1 15,9 12 11,6 13,5 10,4 10,3 10 10,6 8 8,9
8 19 5 8 19 6 8 19 7 8 19 8 8 19 9 9 19 0 9 19 1 9 19 2 9 19 3 9 19 4 9 19 5 9 19 6 9 19 7 9 19 8 9 20 9 0 20 0 0 20 1 02
AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC., NÃO ESCREVA NO LIVRO. TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.
19
ATENÇÃO!
(Fonte: CartaCapital, 5/6/2002. Ano VIII, n. 192.)
Analisando o gráfico, podemos afirmar que a maior variação na taxa de desemprego na Grande São Paulo ocorreu no período de: a) abril de 1985 a abril de 1986. b) abril de 1995 a abril de 1996. c) abril de 1997 a abril de 1998. d) abril de 2001 a abril de 2002.
7. (UFPB/PSS) Na figura a seguir, está representado o g 1
1
0
gráfico de uma função f: [22, 2]→ ®. y = f(x)
1 3
y
4
x 1
3 2
Se g(k) 5 2, então o valor de k é: a) 8. b) 1. c) 2. d) 9. e) 6.
2. (Unifap) Seja a função f: ® → Ω, tal que para cada x ®, associamos a imagem f(x) 5 m, onde m Ω, com a propriedade que m < x , m 1 1. Se a 5 1,9, b 5 2,6 e c 5 21,2, então o valor de f(3a) 1 f(2b) 1 f(c) é igual a: a) 4. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9.
3. (Ufam) Dado tg x 5 1 , então sen x 2 cos x é igual a: 2
a)
2
7 4 3 1 2 . b) . c) . d) . e) . 5 5 5 5 5
Região Nordeste 4. (Uece) Seja f: ® → ® a função tal que f(1) 5 4 e
f(x 1 1) 5 4 ? f(x) para todo x real. Nessas condições, f(10) é igual a: a) 2–10. b) 4–10. c) 210. d) 410.
1
–2
x
0
–1
1
2
O número de soluções da equação f(x) 5 2 é: a) um. c) três. e) cinco. b) dois. d) quatro.
Região Centro-Oeste 8. (UnB-DF) A meia-vida de um núcleo atômico radioativo é, por definição, o tempo necessário para que a metade dos núcleos inicialmente presentes em uma amostra se desintegre. Esse tempo não depende da massa da amostra. Por exemplo, uma amostra de 1,00 g de iodo 131, isótopo do iodo, usado no tratamento de câncer da tireoide, diminui para 0,50 g em 8 dias. A meia-vida do iodo 131 é, então, igual a 8 dias. O gráfico abaixo ilustra o decaimento radioativo para essa amostra em um período de até 40 dias.
5. (UFC-CE) Sejam as funções f, g: ® → ®. Se g é a função
1,00
inversa de f, então f (g(2)) 1 g (f(3)) é igual a: 2 3 a) 5. b) 6. c) . d) . 3 2
Massa do iodo 131 (em g)
0,50
6. (UFRN) O gráfico a seguir representa a taxa de desemprego na Grande São Paulo, medida nos meses de abril, segundo o Dieese:
108
Tempo (em dias)
8 10
20
30
40
Matemática
Em relação à amostra analisada, julgue os itens que se seguem. 1) O período transcorrido até que a massa dessa amostra fique reduzida a 0,25 g é superior a 17 dias. 2) Após 25 dias, a massa de iodo 131 dessa amostra é inferior a 0,13 g. 3) Se M1 e M2 são as massas dessa amostra medidas, nessa ordem, em um intervalo de 8 dias, então o M quociente 1 é igual a 2. M2 4) Se M0 é a massa inicial dessa amostra e M(t) é a massa M após t dias, então o quociente 0 é constante. M(t)
9. (UFMT) Seja f: ® → ® uma função que satisfaz
f(tx) 5 t2 ? f(x), para quaisquer x e t reais. A partir dessas informações, assinale a afirmativa correta. a) f(2x) 5 2f(x), para qualquer x real. b) f(x) > 0, para qualquer x real. c) f(0) 5 1. d) f(1) 5 1. e) f(2x) 5 f(x), para qualquer x real.
14. (ITA-SP) Seja D 5 ® 2 {1} e f: D → D uma função dada por f(x) 5
Considere as afirmações: I) f é injetiva e sobrejetiva. II) f é injetiva, mas não sobrejetiva. 1 III) f(x) 1 f[ ] 5 0, para todo x D, x 0. x IV) f(x) ? f(2x) 5 1, para todo x D. Então, são verdadeiras: a) apenas I e III. d) apenas I, III e IV. e) apenas II, III e IV. b) apenas I e IV. c) apenas II e III.
Região Sul 15. (PUC-PR) Sejam f(x) 5 x2 2 2x e g(x) 5 x 2 1 duas
funções definidas em ®. Qual dos gráficos melhor representa f (g(x))? y a) d) y
10. (UFMS) Seja f: ® → ® uma função real tal que f(1) 5 A,
f(e) 5 B e f(x 1 y) 5 f(x) ? f(y), para todo x e y pertencente a IR, então, f(2 1 e) é igual a: a) A. c) A2B. e) A2 2 B. b) B. d) AB2.
b)
contém os pontos (21, 0) e (2, 0). Assim sendo, o valor de f(0) é: a) 1. b) 26. c) 21. d) 6.
12. (UFV-MG) Seja f a função real que f(2x 2 9) 5 x para todo x real. A igualdade f(c) 5 f 21(c) se verifica para c igual a: a) 9. b) 1. c) 5. d) 3. e) 7.
13. (Unirio-RJ) Sob pressão constante, conclui-se que o
volume V, em litros, de um gás e a temperatura, em graus Celsius, estão relacionados por meio da equação
V0T , onde V0 denota o volume do gás a 0 ºC. 273 Assim, a expressão que define a temperatura como função do volume V é: V 5 V0 1
V0T 6V . 273 0
b) T 5
V 2 V0 . 273V0
c) T 5
273V 2 V0 . V0
Capítulo 3 | Funções
e)
y
x
11. (UFMG) O gráfico da função f(x) 5 x3 1 (a 1 3)x2 2 5x 1 b
d) T 5
V 2 273V0 . V0
e) T 5 273 ?
V 2 V0 . V0
x
x
Região Sudeste
a) T 5 5V 2
x11 . x21
c)
y x
y
x
16. (UTFPR) Em uma indústria de sapatos, o número de pares produzidos mensalmente (Q) é função do número de funcionários (n) e do número de horas diárias de trabalho (t). A função que calcula Q é dada por Q 5 20n 1 30t. No mês de novembro estavam trabalhando 20 funcionários com uma jornada diária de 8 horas. No mês de dezembro, para atender os pedidos, decidiu-se aumentar a jornada diária de 8 horas para 10 horas e foi ainda necessária a contratação de mais 5 funcionários. Então, é correto afirmar que o número de pares que serão produzidos a mais no mês de dezembro, comparando-se com a produção em novembro, é de: a) 100. b) 60. c) 250. d) 300. e) 160.
17. (UFSC) Considere as funções f: ® → ® e g: ® → ®
3 dadas por f(x) 5 x2 2 x 1 2 e g(x) 5 26x 1 . Calcule 5 1 5 f [ ] 1 g(21). 2 4
109
capítulo 4
FunçÃO afim A ideia de proporcionalidade é natural para nós, pois desde criança assimilamos esse conhecimento aplicando-o nas ações mais simples. A noção de que, quanto mais aumenta uma grandeza, mais aumenta outra, parece ser inerente ao ser humano. Está presente em nosso dia a dia na compra de alimentos (quanto mais gramas, mais se paga),
edwin e. buzz
ao abastecer o carro (o consumo de combustível é diretamente proporcional à quantidade de quilômetros percorridos), no preparo de um bolo (para dobrar uma receita, dobramos a quantidade dos ingredientes) e em muitas outras situações. Grandezas diretamente proporcionais são expressas por meio de uma função chamada função linear.
aldrin / nasa
Era 20 de julho de 1969, quando os tripulantes da Apollo 11 confirmaram o primeiro pouso na Lua. Aí, onde a aceleração da gravidade é menor que na Terra, o peso dos corpos também fica menor, embora a massa seja a mesma.
110
Matemática
Na Física, a lei fundamental da dinâmica afirma que “Força é igual ao produto da massa pela aceleração” e é representada por F = ma. Quando se trata de aceleração da gravidade , expressa por g, F é a força da atração que a Terra exerce sobre um corpo, a força peso. Nesse caso, sendo g constante, a função acima fica expressa por P = mg, exemplo de função linear, indicando que o peso é diretamente proporcional à massa de um corpo. A função linear é um caso particular da função afim, que expressa algebricamente o conjunto de pontos cujo gráfico é uma reta. A função afim, suas particularidades e aplicações serão estudadas neste capítulo.
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
>Atividades 1. Na Terra, a aceleração da gravidade é de aproximadamente 10 m/s², enquanto na Lua é de 1,6 m/s². Sabemos que a massa de uma pessoa não se altera dependendo de sua localização, mas o peso sim. Verifique em qual dos corpos, Terra ou Lua, a força peso tem mais intensidade.
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2. No cotidiano, massa e peso são usados como sinônimos. Observe a situação exposta na tirinha abaixo:
O conceito de peso foi usado corretamente por Garfield? Justifique.
Capítulo 4 | Função afim
111
1. Introdução Um representante comercial recebe, mensalmente, um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1 500,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 6% (0,06) sobre o total das vendas que ele faz durante o mês. Nessas condições, podemos dizer que: salário mensal 5 1 500,00 1 0,06 ? (total das vendas do mês) Observamos então que o salário mensal desse vendedor é dado em função do total de vendas que ele faz durante o mês, ou seja: s(x) 5 1 500,00 1 0,06x ou s(x) 5 0,06x 1 1 500,00 ou y 5 0,06x 1 1 500,00 em que x é o total das vendas do mês. Esse é um exemplo de função afim. Observe outros exemplos: • Uma pessoa tinha no banco um saldo positivo de R$ 230,00. Após um saque no caixa eletrônico que fornece apenas notas de R$ 50,00, o novo saldo é dado em função do número x de notas retiradas. A lei da função é dada por f(x) 5 230 2 50x ou f(x) 5 250x 1 230 ou y 5 250x 1 230. • Em um reservatório havia 50 de água quando foi aberta uma torneira que despeja 20 de água por minuto. A quantidade de água no tanque é dada em função do número x de minutos em que a torneira fica aberta. A lei dessa função é f(x) 5 20x 1 50 ou y 5 20x 1 50.
Para refletir Compare as leis dessas funções e procure escrever a lei geral de uma função afim.
2. Definição de função afim Uma função f: ® → ® chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal que f(x) 5 ax 1 b, para todo x ®. Por exemplo: • f(x) 5 2x 1 1
(a 5 2, b 5 1)
• f(x) 5 2x 1 4
(a 5 21, b 5 4)
1 x 1 5 3
• f(x) 5 4x
[a 5
1 , b 5 5] 3
(a 5 4, b 5 0)
hely demutti/arquivo da editora
• f(x) 5
Observe outro exemplo: Um motorista de táxi cobra uma taxa fixa de R$ 3,20 pela “bandeirada” mais R$ 1,80 por quilômetro rodado. Assim, o preço de uma corrida de x quilômetros é dado, em reais, por: f(x) 5 1,80x 1 3,20 De modo geral, se o preço da bandeirada fosse b reais e o preço do quilômetro rodado a reais, então o preço de uma corrida de x quilômetros seria dado, em reais, por f(x) 5 ax 1 b .
112
Matemática
3. Casos particulares importantes da função afim f(x) = ax + b 1‚) Função identidade f: ® → ® definida por f(x) 5 x para todo x ®. Nesse caso, a 5 1 e b 5 0. 2‚) Função linear f: ® → ® definida por f(x) 5 ax para todo x ®. Nesse caso, b 5 0. Alguns exemplos: • f(x) 5 22x (a 5 22)
• f(x) 5
1 x 5
• f(x) 5
3x
• f(x) 5 0, para todo x ® (a 5 0). Esta é a chamada função identicamente nula.
[a 5
1 ] 5
(a 5 3 )
3‚) Função constante f: ® → ® definida por f(x) 5 b para todo x ®. Nesse caso, a 5 0. Alguns exemplos:
• f(x) 5 3 3 • f(x) 5 4
• f(x) 5 22 • f(x) 5 2
4‚) Translação (da função identidade) f: ® → ® definida por f(x) 5 x 1 b para todo x ® e b 0. Nesse caso, a 5 1. Alguns exemplos: • f(x) 5 x 1 2 1 • f(x) 5 x 1 2
• f(x) 5 x 2 3 3 • f(x) 5 x 2 5
4. Valor de uma função afim O valor de uma função afim f(x) 5 ax 1 b para x 5 x0 é dado por f(x0) 5 ax0 1 b. Por exemplo, na função afim f(x) 5 5x 1 1, podemos determinar: • f(1) 5 5 1 1 1 5 5 1 1 5 6. Logo, f(1) 5 6. • f(23) 5 5(23) 1 1 5 215 1 1 5 214. Logo, f(23) 5 214. 1 5
1 5
1 5
• f 5 5 1 1 5 1 1 1 5 2. Logo, f 5 2. • f(x 1 h) 5 5(x 1 h) 1 1 5 5x 1 5h 1 1. Logo, f(x 1 h) 5 5x 1 5h + 1.
Valor inicial Numa função afim f(x) 5 ax 1 b, o número b 5 f(0) chama-se valor inicial da função f. Por exemplo, o valor inicial da função f(x) 5 22x 1 3 é 3, pois f(0) 5 22 0 1 3 5 3.
Exercícios propostos
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
1. Determine o valor da função afim f(x) 5 23x 1 4 para: a) x 5 1;
1 b) x 5 ; 3
c) x 5 0;
d) x 5 k 1 1.
2. Qual função afim tem valor inicial maior:
f(x) 5 3x 1 2 ou g(x) 5 2x 1 3 ? 3
Capítulo 4 | Função afim
4
3. Determine o valor de f(x 1 h) para cada uma das funções: a) f(x) 5 5x 2 3 b) f(x) 5 2x 1 2 c) f(x) 5
1 1 x + 3 4
113
5. Determinação de uma função afim conhecendo-se seus valores em dois pontos distintos
Uma função afim f(x) 5 ax 1 b fica inteiramente determinada quando conhecemos dois dos seus valores f(x1) e f(x2) para quaisquer x1 e x2 reais, com x1 x2. Ou seja, com esses dados determinamos os valores de a e de b. Por exemplo: • se f(2) 5 22, então para x 5 2 tem-se f(x) 5 22, ou seja, 22 5 2a 1 b; • se f(1) 5 1, então para x 5 1 tem-se f(x) 5 1, ou seja, 1 5 a 1 b. Determinamos os valores de a e b resolvendo o sistema de equações: 2a + b 2 2 2a + b ⇒ a + b 1 2a 2b 2 b 4 ⇒ b 4
Como a 1 b 5 1, então: a 1 4 5 1 � a 5 23 Logo, a função afim f(x) 5 ax 1 b tal que f(2) 5 22 e f(1) 5 1 é dada por f(x) 5 23x 1 4.
Generalização De modo geral, conhecendo y1 5 f(x1) e y2 5 f(x2) para x1 e x2 reais quaisquer, com x1 x2 , podemos explicitar os valores a e b da função f(x) 5 ax 1 b, determinando-a completamente. Para refletir
Assim: y1 = f ( x1 ) = ax1 + b y 2 = f ( x 2 ) = ax 2 + b
y2 2 y1 5 (ax2 1 b) 2 (ax1 1 b) 5 ax2 2 ax1 5 a(x2 2 x1) � a =
y 2 2 y1 , x ≠ x2 x 2 2 x1 1
Colocamos x1 x2 para que no denominador (x2 2 x1) não apareça o zero, pois não existe divisão por zero. Esse procedimento é muito comum. Sempre que colocamos x1 x2 é porque aparecerá x2 – x1 no denominador.
Substituindo esse valor de a em y1 5 f(x1) 5 ax1 1 b, obtemos o valor de b: y1x 2 2 y 2 x1 y 2 y1 , x1 ≠ x2 y1 5 2 x1 1 b � y1(x2 2 x1) 5 y2x1 2 y1x1 1 b(x2 2 x1) � y1x2 2 y1x1 2 y2x1 1 y1x1 5 b(x2 2 x1) � b = x 2 2 x1 x 2 2 x1
Observação: Na resolução de exercícios fica a critério de cada um a determinação de a e b: memorizando essas fórmulas ou repetindo o processo para o caso particular.
6. Taxa de variação da função afim f(x) = ax + b O parâmetro a de uma função afim f(x) 5 ax 1 b é chamado de taxa de variação (ou taxa de crescimento). Para obtê-lo, bastam dois pontos quaisquer, porém distintos, (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)), da função considerada. Assim, f(x1) 5 ax1 1 b e f(x2) 5 ax2 1 b, de onde obtemos que f(x2) 2 f(x1) 5 a(x2 2 x1) e, portanto, a =
f ( x 2 ) − f ( x1 ) , x1 ≠ x2 . x 2 − x1
A taxa de variação a é sempre constante para cada função afim, e isso é uma característica importante das funções afins. Por exemplo, a taxa de variação da função afim f(x) 5 5x 1 2 é 5 e a da função g(x) 5 22x 1 3 é 22. Observação: A taxa de variação de uma função afim f(x) 5 ax 1 b pode ser obtida fazendo f(1) 2 f(0). Note que f(1) 5 a 1 b e f(0) 5 b. Logo, f(1) 2 f(0) 5 (a 1 b) 2 b 5 a. Assim, f(1) 2 f(0) 5 a. Voltaremos a esse assunto no volume 3.
114
Matemática
7. Caracterização da função afim
Recordamos que uma função f: A → ® com A ® é: • crescente: se x1 , x2, então f(x1) , f(x2); É possível provar que:
• decrescente: se x1 , x2, então f(x1) . f(x2).
Dada uma função f: ® → ®, crescente ou decrescente, se a diferença f(x 1 h) 2 f(x) depende apenas de h mas não de x, então f é uma função afim. Por exemplo, f(x) 5 3x 2 4 é crescente (x1 5 2; x2 5 3; 2 3 e f(2) 5 2; f(3) 5 5; f(2) f(5) e para quaisquer x1 e x2, se x1 x2, então 3x1 2 4 3x2 2 4) e f(x 1 h) 2 f(x) 5 [3(x 1 h) 2 4] 2 (3x 2 4) 5 3x + 3h 4 3x + 4 3h. Logo, f(x 1 h) 2 f(x) 5 3h. A expressão 3h não depende de x, mas apenas de h. Então, a função f(x) 5 3x 2 4 é afim.
Exercícios propostos 4. Verifique quais funções são afins. Nelas, encontre a e b, para f(x) 5 ax 1 b. a) f(x) 5 3(x 1 1) 1 4(x 2 1) b) f(x) 5 (x 1 2)2 1 (x 1 2)(x 2 2) c) f(x) 5 (x 2 3)2 2 x(x 2 5) d) f(x) 5 (x 2 3) 2 5(x 2 1)
5. Classifique as funções f: ® → ® abaixo em afim, linear, identidade, constante e translação: a) f(x) 5 5x 1 2 d) f(x) 5 x b) f(x) 5 2x 1 3 e) f(x) 5 3x c) f(x) 5 7 f ) f(x) 5 x 1 5
6. Escreva a função afim f(x) 5 ax 1 b, sabendo que: a) f(1) 5 5 e f(23) 5 27 b) f(21) 5 7 e f(2) 5 1
b) f(x) 5 23x 1 7
c) f(x) 5 3 1 d) f(x) 5 x 1 2 3
8. Verifique quais das funções abaixo são funções afins usando f(x 1 h) 2 f(x). a) f(x) 5 26x 1 1
b) g(x) 5 x2 2 5x
9. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças; b) calcule o custo de 100 peças; c) escreva a taxa de crescimento da função.
10. Em um retângulo, o comprimento é 5 cm. Nessas condições: a) calcule o perímetro do retângulo quando a largura for 1 cm; 1,5 cm; 2 cm; 3 cm e 4 cm; b) construa uma tabela associando cada largura ao perímetro do retângulo; c) se x representa a largura, qual é a lei da função que expressa o perímetro nesse retângulo?
Capítulo 4 | Função afim
tabela abaixo. 100 km
taxa fixa de R$ 50,00
300 km
taxa fixa de R$ 63,00
500 km
taxa fixa de R$ 75,00
Em todos os casos, paga-se R$ 0,37 por quilômetro excedente rodado. a) Escreva a lei da função para cada caso, chamando de x o número de quilômetros excedentes rodados. b) Qual é a taxa de variação de cada função?
12. Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre
7. Escreva a taxa de variação para cada uma das funções. a) f(x) 5 4x 1 5
11. O preço do aluguel de um carro popular é dado pela
duas opções: A e B.
• O plano A cobra R$ 100,00 de inscrição e R$ 50,00 por consulta num certo período.
• O plano B cobra R$ 180,00 de inscrição e R$ 40,00 por consulta no mesmo período. O gasto total de cada plano é dado em função do número x de consultas. Determine: a) a equação da função correspondente a cada plano; b) em que condições é possível afirmar que: o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os dois planos são equivalentes.
13. Após a correção das provas de uma classe, um professor resolveu mudar o sistema de pontuação, de modo que a nota máxima continuasse 100, mas a média das notas, que havia sido 60, passasse a ser 80 e que a variação das notas da antiga para a nova pontuação representasse uma função afim. a) Determine a sentença que permite estabelecer a mudança. b) Se antes a nota mínima de aprovação era 50, qual é na nova pontuação?
115
14. (FGV-SP) Os gastos de consumo (C) de uma família e
de 28 km, uma abelha, que voa a 20 km/h, parte de um ponto entre os dois até encontrar um deles; então ela volta em direção ao outro e continua nesse vaivém até ser atingida pelas rodas das bicicletas no momento em que o casal se encontra. Quantos quilômetros voou a abelha?
18. Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis fósseis é o dióxido sulfídrico (SO2 ). Uma pesquisa feita em Oslo, Noruega, demonstrou que o número (N) aproximado de peixes mortos em um certo rio, por semana, é dado por uma função afim da concentração C de SO2. Foram feitas as seguintes medidas:
15. (Fuvest-SP) A função que representa o valor a ser pa-
go após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: a) f(x) 5 x 2 3. d) f(x) 5 23x. b) f(x) 5 0,97x. e) f(x) 5 1,03x. c) f(x) 5 1,3x.
Mortes
401
106
500
109
Qual é a concentração máxima de SO2 que pode ser despejada no rio para que o número de mortes não ultrapasse 115, fato que poderia prejudicar a reprodução da espécie?
16. Sabe-se que 100 g de lentilha seca contêm 26 g de proteína e 100 g de soja seca contêm 35 g de proteína. Para um consumo diário de 70 g de proteína, baseado somente no consumo de soja e lentilha: a) quantos gramas de lentilha devem ser consumidos se for consumido 1,8 g de soja? b) quantos gramas de soja devem ser consumidos se for consumido 1,8 g de lentilha? c) Se o grama de lentilha custa R$ 0,07 e o grama de soja custa R$ 0,09, em qual das situações gasta-se menos?
Concentração (em µg/m3)
19. Devido ao desgaste, o valor (V) de uma mercadoria
17. Um casal de namorados marca um encontro numa ciclovia; ele vem do norte e ela do sul. O rapaz pedala a uma velocidade de 32 km/h e a moça pedala a 4 km/h. No instante em que a distância entre eles é
decresce com o tempo (t). Por isso, a desvalorização que o preço dessa mercadoria sofre em razão do tempo de uso é chamada de depreciação. A função depreciação pode ser uma função afim, como neste caso: o valor de uma máquina é hoje R$ 1 000,00, e estima-se que daqui a 5 anos será R$ 250,00. a) Qual será o valor dessa máquina em t anos? b) Qual será o valor dessa máquina em 6 anos? c) Qual será sua depreciação total após esse período de 6 anos?
Função afim e graduações do termômetro Entre as escalas termométricas conhecidas para a graduação de um termômetro, as mais utilizadas são a escala Fahrenheit, usada principalmente nos países de língua inglesa (como Estados Unidos e Inglaterra), e a escala Celsius, usada no restante do mundo. Elas se baseiam na altura de uma coluna de mercúrio, que aumenta ou diminui conforme a temperatura sobe ou desce. Para graduar um termômetro na escala Celsius escolhem-se duas temperaturas determinadas: a da fusão do gelo, à qual se atribui o valor zero, e a da ebulição da água (à pressão do nível do mar), à qual se atribui o valor 100. Dividindo-se o intervalo entre os dois pontos fixos (0 e 100) em 100 partes iguais, obtém-se o termômetro graduado na escala Celsius ou centesimal. Na escala Fahrenheit, divide-se o intervalo entre os pontos fixos em 180 partes iguais. Atribui-se ao nível inferior o valor 32 e, ao superior, o valor 212; então, o zero dessa escala está 32 graus Fahrenheit abaixo da temperatura de fusão. Assim, 0 °C 5 32 °F e 100 °C 5 212 °F. Como obter uma temperatura em graus Fahrenheit sendo a mesma dada em graus Celsius?
116
R-P/Kino.com.br
sua renda (x) são tais que C 5 2 000 1 0,8x. Podemos então afirmar que: a) se a renda aumenta em 500, o consumo aumenta em 500. b) se a renda diminui em 500, o consumo diminui em 500. c) se a renda aumenta em 1 000, o consumo aumenta em 800. d) se a renda diminui em 1 000, o consumo diminui em 2 800. e) se a renda dobra, o consumo dobra.
Matemática
1·) Examinando a figura ao lado, pode-se estabelecer entre as duas escalas a seguinte relação:
C 0 F 32 C F 32 C F 32 � � � 100 180 100 0 212 32 5 9
⇒ 5F 2 160 5 9C ⇒ 5F 5 9C + 160 ⇒ F 5
°C
°F
100 C
212
F
50
122
0
32
Celsius
Fahrenheit
9 C + 32 ⇒ F 5 1,8C + 32 5
Observa-se, então, que a transformação de uma temperatura da escala Fahrenheit (F) para a escala Celsius (C) é um importante exemplo de função afim: F = 1,8C + 32 ou f(x) = 1,8x + 32
2·) A mudança de escala de Celsius para Fahrenheit é uma função f: ® → ®, que associa à medida x em C a medida f(x) em F da mesma coluna de mercúrio. Essa função é crescente e a diferença f(x + h) 2 f(x) depende apenas de h e não de x. Assim, f é uma função afim da forma f(x) 5 ax + b. Sabemos que f(0) 5 32 e f(100) 5 212. Como f(0) 5 b, então b 5 32. Temos também que f(100) 5 100a + 32, ou seja, 100a + 32 5 212, donde a 5 1,8. Portanto, f(x) 5 1,8x + 32.
Exemplos: 1‚) Em que temperatura as escalas Celsius e Fahrenheit assinalam o mesmo valor? Essa pergunta é equivalente a esta outra: Para qual valor de x tem-se f(x) 5 x? f(x) 5 1,8x + 32 1,8x + 32 5 x ⇒ 0,8x 5 232 ⇒ x 5 240, ou seja, 240 °C 5 240 °F (menos 40 graus Celsius é o mesmo que menos 40 graus Fahrenheit). 2‚) Qual é a temperatura em graus Fahrenheit que é a quarta parte do valor correspondente em graus Celsius? A pergunta acima é equivalente a esta outra: Para qual valor de x tem-se f(x) 5 f(x) 5 1,8x + 32
1 x? 4
1 x ⇒ 1,8x 2 0,25x 5 232 ⇒ 1,55x 5 232 ⇒ x 220,6 4 Assim, 220,6 °C equivalem a 25,15 °F. 1,8x + 32 5
Exercícios propostos 20. Qual é a temperatura Celsius que é a metade do valor correspondente em graus Fahrenheit?
21. Qual é a temperatura Fahrenheit que é 5 vezes o valor da temperatura em graus Celsius?
22. Se um termômetro indica 120 F, qual é essa temperatura em graus Celsius?
23. Se um termômetro indica 50 C, qual é essa temperatura em graus Fahrenheit?
24. Formule um problema usando as escalas Fahrenheit e Celsius. Depois, resolva-o.
Capítulo 4 | Função afim
25. Uma barra de cobre é exposta a várias temperaturas. Seu comprimento é dado em função da temperatura C; essa função pode ser expressa por uma função afim. a) Determine em função de C (medida em graus Celsius), a partir dos dados:
• C1 5 15 °C e 1 5 76,45 cm; • C2 5 100 °C e 2 5 76,56 cm. b) Como ficaria a lei da função se, em vez de adotarmos a escala Celsius, adotássemos a escala Fahrenheit?
117
formato comunicação/arquivo da editora
Há duas maneiras:
8. Função afim e progressão aritmética Há um relacionamento muito importante entre a função afim e uma progressão aritmética, que veremos agora. Já vimos na página 104 que uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o termo anterior mais uma constante, chamada razão da progressão aritmética. Por exemplo, a sequência: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ... é uma progressão aritmética de razão 3. Consideremos agora a função afim f: ® → ® definida por f(x) 5 2x 1 1. Vamos constatar que: f(1), f(4), f(7), f(10), f(13), f(16), f(19), ... é também uma progressão aritmética. Assim, f(x) 5 2x 1 1 f(1) 5 3; f(4) 5 9; f(7) 5 15; f(10) 5 21; f(13) 5 27; f(16) 5 33; f(19) 5 39; etc. Podemos observar que:
3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, ...
é uma progressão aritmética e sua razão é 6 (2 ? 3).
Observação: Esse resultado pode ser provado de modo geral: se f: ® → ® é uma função afim definida por f(x) 5 ax 1 b e x1, x2, x3, ..., xi, ... é uma progressão aritmética de razão r, então f(x1), f(x2), f(x3), ..., f(xi ), ... também é uma progressão aritmética e sua razão é a r. E, reciprocamente, se uma função crescente ou decrescente, f: ® → ®, transforma qualquer progressão aritmética x1, x2, x3, ..., xi , ... em uma outra progressão aritmética f(x1), f(x2), f(x3), ..., f(xi), ..., então f é uma função afim.
Exercícios propostos 26. Dada a progressão aritmética 22, 3, 8, 13, 18, 23, ... e
27. Se tivermos uma PA x1, x2, ..., xi, ... de razão 3 que é levada a outra PA y1, y2, ..., yi, ... pela função afim f(x) 5 4x 1 1, qual é a razão desta segunda PA?
a função afim f(x) 5 3x 2 1: a) determine a razão dessa progressão aritmética; b) verifique que f(22), f(3), f(8), f(13), f(18), f(23), ... é também uma progressão aritmética (PA); c) determine a razão dessa nova progressão aritmética.
28. Se f: ® → ® é uma função afim que transforma a PA
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... em outra PA 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, ..., qual é a lei dessa função afim?
9. Gráfico da função afim f(x) 5 ax 1 b Vamos provar que o gráfico de uma função afim f(x) 5 ax 1 b é uma reta. Para isso basta mostrar que três pontos quaisquer do gráfico são colineares, ou seja, estão numa mesma reta: y P3
ax3 b
ax1 b
P1(x1, ax1 1 b) P2(x2, ax2 1 b) P3(x3, ax3 1 b)
P2
ax2 b P1
x x1
x2
x3
Para que isso ocorra é necessário e suficiente que um dos três números d(P1, P2), d(P2, P3) e d(P1, P3) seja igual à soma dos outros dois. Supomos x1 , x2 , x3 e mostramos então que: d(P1, P3) 5 d(P1, P2) 1 d(P2, P3)
118
Matemática
Usando a fórmula da distância entre dois pontos, obtemos: 2 2 2 2 d(P1, P2) 5 ( x 2 x1 ) [( ax 2 b ) ( ax1 b )] 5 ( x 2 x1 ) ( ax 2 ax1 ) 5 1( x 2 x1 )2 a2 ( x 2 x1 )2 5
5 (1 a2 )( x 2 x1 )2 5 ( x 2 x1 ) 1 a2 De modo análogo, observamos que: d(P2, P3) 5 ( x 3 x 2 ) 1 a2 e d(P1, P3) 5 ( x 3 x1 ) 1 a2 Portanto: d(P1, P2) 1 d(P2, P3) 5 ( x 2 x1 x 3 x 2 ) 1 a2 5 ( x 3 x1 ) 1 a2 5 d(P1, P3), ou seja, d(P1, P2) 1 d(P2, P3) 5 d(P1, P3). Logo, três pontos quaisquer do gráfico da função afim são colineares, o que significa que o gráfico é uma reta. Geometricamente, b é a ordenada do ponto onde a reta, que é gráfico da função f(x) 5 ax 1 b, intersecta o eixo Oy, pois para x 5 0 temos f(0) 5 a ? 0 1 b 5 b. O número a chama-se inclinação ou coeficiente angular dessa reta em relação ao eixo horizontal Ox. O número b chama-se valor inicial da função f ou coeficiente linear dessa reta.
y
P3 P2 P1
(0, b)
x 0
Traçado de gráficos de funções afins Vamos construir os gráficos de algumas funções afins f(x) 5 ax 1 b no plano cartesiano.
Função afim com a 0 e b 0 f(x) 5 2x 1 1 x
5
f(x)
22
23
21
21
0
1
1
3
2
5
f(x) 5 23x 1 2
y f(x) 2x 1 (0, 1): ponto em que a reta intersecta o eixo y
3 b 1
1
2 1
x 0
1
2
x
f(x)
0
2
21
5
1
21
2
24
f(x) 3x 2
y
5 (0, 2): ponto em que a reta intersecta o eixo y
2
b 2
x 0 1 1
1
1
2
3 4
Função linear (b 5 0) f(x) 5 3x x
f(x)
22
26
21
23
0
0
1
3
2
6
6
f(x) 5 22x
y
3 b 0 x 2 1
0 1
2
x
f(x)
22
4
21
2
0
0
1
22
2
24
f(x) 2x
y
4 b 0
2
x 2 1
0 1
2
2
3 4
f(x) 3x
6
O gráfico da função linear f(x) 5 ax é uma reta não vertical que passa pela origem (0, 0). Capítulo 4 | Função afim
119
Função identidade (a 5 1 e b 5 0)
f(x) 5 x x
f(x)
22
22
21
21
0
0
1
1
1
2
2
0 1 2 1 1
y
Para refletir
f(x) x
O que é bissetriz de um ângulo?
2
b 0
x 2
2
Observe que o gráfico da função identidade f(x) 5 x é a bissetriz do 1‚ e 3‚ quadrantes.
Translação (a 5 1 e b 0) A seguir temos a construção do gráfico da translação f(x) 5 x 1 2 no plano cartesiano: f(x) 5 x 1 2 x
f(x)
22
0
21
1
0
2
1
3
2
y 4
Para refletir
3
b 2
2 1 2 1
4 x)
f(
x
x 0 1
2
Examine o gráfico ao lado e responda: Por que a função f(x) = x + b recebe o nome de translação?
2 )
x
f(x
Observe que o gráfico da translação f(x) 5 x 1 b é uma reta paralela à bissetriz do 1‚ e 3‚ quadrantes.
Função constante (a 5 0)
Observe agora a construção do gráfico da função constante f(x) 5 2 para qualquer x ®, no plano cartesiano.
f(x) 5 2 x
f(x)
22
2
21
2
2
0
2
1
1
2
2
2
y b 2
2 1
f(x) 2 x 0 1
2
Para refletir Por que a função f(x) = b recebe o nome de função constante?
O gráfico da função constante f(x) 5 b é uma reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto (0, b). Nesse caso, Im(f) 5 {b}. Observações sobre a função afim: 1·) O gráfico de uma função afim f(x) 5 ax 1 b é uma reta não vertical, isto é, não paralela ao eixo y. 2·) Como dois pontos determinam uma reta, basta considerarmos dois pontos do plano cartesiano para construirmos o gráfico (compare isso com o que foi dito na página 114 sobre a determinação de uma função afim conhecendo-se seus valores em dois pontos distintos). 3·) Mais detalhes sobre a equação da reta você encontrará no volume 3.
120
Matemática
Exercícios propostos 29. Construa, num sistema de eixos ortogonais, o gráfico das seguintes funções: d) f(x) 5 22x 1 5 a) f(x) 5 2x 1 3 b) f(x) 5 x 1 3 e) f(x) 5 22 2 2x 1 c) f(x) 5 x 1 4 f ) f(x) 5 3 1 3x 2
35. Determine o valor de m para que o gráfico da função f(x) 5 2x 1 m 2 3: a) intersecte o eixo y no ponto (0, 5); b) intersecte o eixo x no ponto (3, 0).
36. Sabendo que a função f(x) 5 ax 1 b é tal que f(1) 5 5
30. Em um mesmo sistema de eixos ortogonais, construa os gráficos das seguintes funções: 1 d) s(x) 5 2x a) f(x) 5 x 2 b) g(x) 5 x e) t(x) 5 22x
e f(22) 5 24, determine: a) a taxa de variação da função; b) os valores de a e b; c) o gráfico de f; d) o valor de x para o qual f(x) 5 0.
37. Dado o gráfico da função de ® em ®, escreva a função
c) h(x) 5 2x
31. O proprietário de uma fábrica de chinelos verificou que, quando se produziam 600 pares de chinelos por mês, o custo total da empresa era de R$ 14 000,00 e, quando se produziam 900 pares, o custo mensal era de R$ 15 800,00. O gráfico que representa a relação entre o custo mensal (C) e o número de chinelos produzidos por mês (x) é formado por pontos de uma reta. a) Obtenha C em função de x. b) Se a capacidade máxima de produção da empresa é de 1 200 chinelos/mês, qual o valor do custo máximo mensal?
32. Um corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com a fórmula matemática s 5 2t 2 3, em que s indica a posição do corpo (em metros) no instante t (em segundos). Construa o gráfico de s em função de t.
f(x) 5 ax 1 b correspondente. y 3 2 1 3 2 1 0 1
x 1
2
2
38. Construa, num sistema de coordenadas cartesianas or2, se x 0 togonais, o gráfico da função: f(x) 5 x 2, se x 0
39. Dado o gráfico da função de IR em IR, escreva a função f(x) 5 ax 1 b correspondente: y
33. O custo de um produto é calculado pela fórmula
3
c 5 10 1 20q, na qual c indica o custo (em reais) e q, a quantidade produzida (em unidades). Construa o gráfico de c em função de q.
2 1 x 3 2 1 0 1
34. Obtenha, em cada caso, a função f(x) 5 ax 1 b, cuja reta, que é seu gráfico, passa pelos pontos: a) (21, 1) e (2, 0) b) (3, 0) e (0, 4)
4
3
1
2
3
4
2
3
10. Função afim e Geometria analítica No estudo da Geometria analítica, que veremos no volume 3, os elementos geométricos são descritos por equações. Entre eles, a reta, que particularmente nos interessa, pois a equação que descreve uma reta não vertical é uma função afim.
Para refletir A reta vertical não é gráfico de uma função. Por quê?
Na Geometria analítica podemos escrever a equação da reta de várias maneiras, e uma dessas maneiras, a equação reduzida, é dada por y 5 mx 1 q. Note que não há diferença entre escrever f(x) 5 ax 1 b ou y 5 mx 1 q, exceto as letras empregadas em cada caso. Na Geometria analítica, chamamos o m de coeficiente angular e o q de coeficiente linear. O coeficiente angular da reta é exatamente a taxa de variação da função afim, sendo dado por: m 5
Capítulo 4 | Função afim
y − y2 ∆y 5 1 (x1 x2) ∆x x1 − x 2
121
enquanto você já viu que a taxa de variação a é dada por: a 5
f ( x 2 ) − f ( x1 ) x 2 − x1
São apenas maneiras diferentes de dizer a mesma coisa: sabemos que y 5 f(x). Então, y1 5 f(x1) e y2 5 f(x2). Compare e verifique que, nessas condições, m 5 a. O nome coeficiente angular é dado pelo fato de m ser o responsável pela inclinação da reta. Sua relação com o ângulo de inclinação α é dada por m 5 tg α. O nome taxa de variação é referente à relação entre a variação da grandeza y e a variação da grandeza x. A diferença de nomenclatura, coeficiente angular nas equações da reta e taxa de variação nas funções afins, é fruto somente da interpretação que se pretende em cada caso. Numa equação da reta, é mais importante a informação relativa ao ângulo de inclinação da reta do que sobre a variação de y em relação a x. Na função afim é o oposto, privilegiamos a informação relativa à variação de y em relação a x e não nos interessa tanto saber qual é o ângulo de inclinação da reta. Além disso, na função afim, a alteração das escalas dos eixos modificaria o ângulo da reta desenhada. O importante é que você saiba que, a qualquer momento, é possível usar elementos de Geometria analítica no estudo de funções, e vice-versa. Só depende da conveniência. Vamos, por exemplo, refazer o exemplo do item 5 da página 114 usando o conceito de coeficiente angular. Se f(2) 5 22 e f(1) 5 1, então montamos a tabela: x
y
2
22
1
1
De onde tiramos que y 5 22 2 1 5 23 e x 5 2 2 1 5 1. Portanto, a 5 m 5 Assim, y 5 23x 1 b. Substituindo qualquer um dos pares (x, y) da tabela, obtemos o b.
−3 ∆y 5 5 23. ∆x 1
1 5 23(1) 1 b ⇒ b 5 4 Então, y 5 23x 1 4, ou, se preferir, f(x) 5 23x 1 4.
11. Uma propriedade característica da função afim f(x) = ax + b Vimos que o gráfico de uma função afim f(x) 5 ax 1 b é uma reta. As funções afins são as únicas funções (crescentes ou decrescentes) para as quais acréscimos iguais dados a x e a x’ correspondem acréscimos iguais dados a f(x) e f(x’). Analise o gráfico da função f(x) 5 2x 1 1: 10
y
9 2
8 7 6 5
2
4 3 2 1
f(x) 2x 1
122
0
x 1
2 1
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Matemática
Demos dois acréscimos iguais a 1 em x e obtivemos dois acréscimos iguais a 2 em y. De modo geral, em qualquer função afim f(x) 5 ax 1 b, temos: f(x) f(x h) f(x ) h f(x h) f(x)
f(x) ax b
h
b
x x
x h x
x h
Demos dois acréscimos iguais a h em x e obtivemos dois acréscimos iguais em f(x): f(x 1 h) 2 f(x) 5 f(x’ 1 h) 2 f(x’)
Exercícios propostos 40. Dada a função afim f(x) 5 3x 2 1, mostre que dando acréscimos iguais a 2 em x provocaremos acréscimos iguas a 6 em y 5 f(x).
41. Dada a função afim f(x) 5 4x 1 2 e acréscimos iguais a 3 em x, que acréscimos iguais obteremos em y 5 f(x)? 42. Mostre que, numa função afim da forma f(x) 5 x 1 b, acréscimos iguais a h dados a x e a x’ provocam acréscimos iguais a h em y 5 f(x).
12. Função afim crescente e decrescente Já vimos que uma função afim f(x) 5 ax 1 b tem como gráfico uma reta (que indicamos por y 5 ax 1 b) não vertical, ou seja, não paralela ao eixo y. A ordenada do ponto onde a reta intersecta o eixo y é sempre b. Já vimos que o número a chama-se taxa de variação ou taxa de crescimento da função. Quanto maior o valor absoluto de a, mais a reta se afasta da posição horizontal. Para a 0 existem duas possibilidades: y f(x2)
a 0 f(x1)
f(x1)
x
0
y (0, b)
f(x)
f(x)
(0, b)
x1
f(x2)
x2
0
Se a . 0, f é crescente.
x1
x
x2
Se a , 0, f é decrescente.
Logo, f é crescente se a taxa de crescimento é positiva, e decrescente se a taxa de crescimento é negativa. Assim, o que determina se a função afim f(x) 5 ax 1 b, com a ≠ 0, é crescente ou decrescente é o sinal de a. Se a é positivo, ela é crescente; se a é negativo, ela é decrescente. No caso de a 5 0, o valor de f(x) permanece constante [f(x) 5 b] e o gráfico de f é a reta paralela ao eixo x que passa por (0, b), como já vimos. Capítulo 4 | Função afim
123
Exemplos: 1‚) Em cada um dos gráficos a seguir, que representam funções afins, vamos verificar se a e b são positivos ( 0), negativos ( 0) ou nulos (5 0) e se as funções são crescentes ou decrescentes. a)
c)
y
e)
y
a0eb>0 função crescente
a>0ebAtividades adicionais 2. (Ufam) Qual das representações gráficas abaixo
ATENÇÃO!
melhor representa a aplicação f : Ω → ® definida por f(x) 5 x 2 2? y a) d) y
AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC., NÃO ESCREVA NO LIVRO. TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.
2
A seguir, separadas por regiões geográficas, relacionamos algumas questões de vestibular que envolvem o conteúdo deste capítulo.
x
2
1. (Uepa) O uso do petróleo como fonte energética re-
presenta uma das maiores causas de poluição do ar. Sua queima ocasiona a formação de gases responsáveis pelo efeito estufa, que favorece o aquecimento global. O Instituto Krupa (1997), em suas pesquisas, registrou a presença desses gases, juntamente com suas respectivas contribuições percentuais ao efeito estufa, segundo a tabela abaixo:
Percentuais (%)
CO2 Ozônio CFCs 60
8
12
Óxido Metano nitroso 5
15
Diversas alternativas estão sendo testadas como combustíveis em substituição ao petróleo, que se acumulou no subsolo há milhares de anos e que, num período não muito distante, se esgotará. Uma dessas alternativas está na utilização dos biocombustíveis, obtidos de plantas que produzem álcool ou de palmeiras que produzem o óleo e reduzem o efeito estufa. A cana-de-açúcar é uma das plantas promissoras para a produção desses combustíveis, principal- mente no Brasil, devido à área de 4 milhões de hectares ocupada em terras agriculturáveis, re- presentando cerca de 8% do território brasileiro. Essa fartura ocasionou a implantação, nos anos 80, do objeto Proálcool, gerando a fabricação de carros movidos também a álcool. Atualmente, nossas montadoras já fabricam os carros flex (movidos aos dois combustíveis: gasolina e álcool). Numa concessionária, o departamento de vendas procurou relacionar linearmente a quantidade x de carros a álcool vendidos com o preço y de cada um. Para tanto, verificou que: quando o carro a álcool era oferecido a R$ 25 000,00, nenhum era vendido, porém, quando o preço passava a ser de R$ 20 000,00, 10 carros a álcool eram vendidos. Nessas condições, a relação encontrada entre x e y foi: a) x 1 500y 1 50 000 5 0. b) 500x 2 2y 2 50 000 5 0. c) 500x 1 y 2 25 000 5 0. d) x 1 500y 2 25 000 5 0. e) x 1 2y 2 50 000 5 0.
146
x
2
x
2
Região Norte
Gases
2
b)
e)
y
y 2
x
2 2
c)
y 2
x
2
3. (Ufac) Um agiota empresta R$ 500,00 a uma taxa de
8% ao mês, a juros simples. A função J(t) que dá o valor dos juros no tempo t, é: d) J(t) 5 40t. a) J(t) 5 5t. b) J(t) 5 100 1 7,5 t. e) J(t) 5 500 1 40t. c) J(t) 5 150 1 5t.
Região Nordeste 4. (UFPB/PSS) Considere a função invertível f: IR → IR
definida por f(x) 5 2x 1 b, onde b é uma constante. Sendo f 21 a sua inversa, qual o valor de b, sabendo que o gráfico de f 21 passa pelo ponto A(1, 22)? a) 22 b) 21 c) 2 d) 3 e) 5
5. (Uece) Se f: ® → ® é a função dada por f(x) 5 100x 2 5, então o valor de
f(1025) 2 f(105) é: 1025 2 105
a) 1021. b) 1. c) 10. d) 102.
6. (UFC-CE) O conjunto solução, nos números reais, da inequação
12x . 21 é igual a: 11x
a) {x ®; x . 21}. b) {x ®; x . 0}. c) {x ®; x . 1}.
d) {x ®; x . 2}. e) {x ®; x . 3}.
Matemática
Região Centro-Oeste
Região Sudeste
7. (UEG-GO) Em uma fábrica, o custo de produção de
9. (UFMG) Em 2000, a porcentagem de indivíduos brancos
500 unidades de camisetas é de R$ 2 700,00, enquanto o custo para produzir 1 000 unidades é de R$ 3 000,00. Sabendo que o custo das camisetas é dado em função do número produzido através da expressão c(x) 5 qx 1 b, em que x é a quantidade produzida e b é o custo fixo, determine: a) os valores de b e de q; b) o custo de produção de 800 camisetas.
8. (UFG-GO) A função, definida para todo número real x, cujo gráfico é: 6
Fonte: Newsweek International, 29 de abr. 2004.
Admite-se que essas porcentagens variam linearmente com o tempo. Com base nessas informações, é correto afirmar que os brancos serão a minoria na população norte- -americana a partir de: a) 2050. b) 2060. c) 2070. d) 2040.
10. (Ufes) O banco Mutreta & Cambalacho cobra uma ta-
5 4
1 5
tem a seguinte lei de formação: 2 5 x 4 , x 5 a) f(x) 5 4 x 9, x 5 5 2 x 4 , x 5 b) f(x) 5 5 4 x 9, x 5 5 5 2 x 4 , x 5 c) f(x) 5 5 x 9, x 5 4 2 5 x 4 , x 5 d) f(x) 5 4 x 9, x 5 5 5 2 x 4 , x 5 e) f(x) 5 5 x 9, x 5 4
Capítulo 4 | Função afim
na população dos Estados Unidos era de 70% e outras etnias — latinos, negros, asiáticos e outros — constituíam os 30% restantes. Projeções do órgão do governo norte-americano encarregado do censo indicam que, em 2020, a porcentagem de brancos deverá ser de 62%.
10
rifa para manutenção de conta (TMC) da seguinte forma: uma taxa de R$ 10,00 mensais e mais uma taxa de R$ 0,15 por cheque emitido. O banco Dakah Tom Malah cobra de TMC uma taxa de R$ 20,00 mensais e mais uma taxa de R$ 0,12 por cheque emitido. O Sr. Zé Doular é correntista dos dois bancos e emite, mensalmente, 20 cheques de cada banco. A soma das TMCs, em reais, pagas mensalmente por ele aos bancos é: a) 10,15. b) 20,12. c) 30,27. d) 35,40. e) 50,27.
Região Sul 11. (UEL-PR) Um camponês adquire um moinho ao preço
de R$ 860,00. Com o passar do tempo, ocorre uma depreciação linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6 anos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base nessas informações é correto afirmar: a) Em três anos, o moinho valerá 50% do preço de compra. b) Em nove anos, o preço do moinho será múltiplo de 9. c) É necessário um investimento maior que R$ 450,00 para comprar esse equipamento após sete anos. d) Serão necessários dez anos para que o valor desse equipamento seja inferior a R$ 200,00. e) O moinho terá o valor de venda ainda que tenham decorrido treze anos.
12. (UFSC) Dois líquidos diferentes encontram-se em recipientes idênticos e têm taxas de evaporação constantes. O líquido I encontra-se inicialmente em um nível de 100 mm e evapora-se completamente no quadragésimo dia. O líquido II, inicialmente com nível 80 mm, evapora-se completamente no quadragésimo oitavo dia. Determine, antes da evaporação completa de ambos, ao final de que dia os líquidos terão o mesmo nível (em mm) nesses mesmos recipientes.
147
capítulo 5
FunçÃO quadrática Nos parques de diversão, a montanha-russa é um brinquedo que chama a atenção não só por seu tamanho, mas também pela sensação de perigo, que para uns é divertida e para outros aterrorizante. Em sua forma característica apresenta aclives e declives que resultam em arcos de vários tipos. Originárias da Rússia (séc. XV e XVI), no início eram compostas de rampas de gelo sustentadas por estruturas de madeira. Com o tempo, foram aperfeiçoadas e hoje podem ser encontradas em todo o mun-
andre penner
do, apresentando, quase sempre, estrutura metálica. Uma montanha-russa geralmente é projetada para dar a sensação de desafiar a lei da gravidade. Por isso, seus projetistas estudam a relação entre a energia e a altura de um corpo que nela viaja. Para tanto, é necessário conhecer muito bem os efeitos que a inclinação, a massa e a altura causam no carro que a percorre. A inclinação depende da forma da curva, que pode ser a do arco de uma parábola, como na foto abaixo.
l /editora abri
Parte da montanha-russa principal do parque de diversões Hopi Hari, em Vinhedo, São Paulo.
148
Matemática
A parábola aparece como padrão de comportamento de muitos fenômenos, como, por exemplo, a trajetória de um projétil ao ser lançado, a linha descrita pela água numa fonte e a estrutura que sustenta o farol de um automóvel. As antenas parabólicas, por seu próprio nome, sugerem a aplicação do formato da parábola na sua estrutura. De fato, basta imaginarmos uma curva em forma de parábola girando em torno de um eixo. Seu funcionamento se apoia no seguinte: um satélite artificial, colocado em uma órbita geoestacionária, emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, formando um feixe de raios. Estes, ao atingirem a antena de formato parabólico, são refletidos para um único ponto, chamado foco, que é um componente de parábola. A função quadrática expressa algebricamente o comportamento dos pontos do gráfico que descrevem uma parábola e será objeto de estudo deste capítulo.
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
>Atividades 1. Existem modelos de montanha-russa bastante sofisticados: há os mais radicais, os que têm trecho coberto, os que são exageradamente longos. Pesquise esses modelos e identifique neles curvas em forma de parábola.
2. Observe a sequência de figuras: 1a f igura
2a f igura
3a f igura
4a f igura
e assim por diante...
a) Que lugar ocupa a figura que tem 32 quadradinhos verdes? E a que tem 121 quadradinhos no total? b) Expresse o enésimo termo (termo de ordem n) dessa sequência em função do número de quadradinhos brancos (indique-os por b).
Capítulo 5 | Função quadrática
149
1. Introdução IARA VENANZI/KINO.COM.BR
Os diretores de um centro esportivo desejam cercar com tela de alambrado o espaço em volta de uma quadra de basquete retangular. Tendo recebido 200 metros de tela, os diretores desejam saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar com tela para que a área seja a maior possível. A
x
D
100 x
Realidade
B
x
100 x
C
Modelo matemático
Podemos ilustrar o problema com o retângulo ABCD, com dimensões x por 100 2 x, pois o perímetro é de 200 m. Observe que a área do terreno a cercar é dada em função da medida x, ou seja: f(x) 5 (100 2 x)x 5 100x 2 x2 ou f(x) 5 2x2 1 100x → lei da função Esse é um caso particular de função quadrática. A situação-problema que desencadeou essa função quadrática será resolvida adiante.
2. Definição de função quadrática Uma função f: ® → ® chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com a 0, tal que f(x) 5 ax2 1 bx 1 c para todo x ®. f: ® → ® x → ax2 1 bx 1 c Vamos identificar a função quadrática com o trinômio do 2‚ grau a ela associado e a escreveremos simplesmente como f(x) 5 ax2 1 bx 1 c.
Exemplos: 1‚) f(x) 5 2x2 1 100x, em que a 5 21, b 5 100 e c 5 0 2‚) f(x) 5 3x2 2 2x 1 1, em que a 5 3, b 5 22 e c 5 1 3‚) f(x) 5 24x2 1 4x 2 1, em que a 5 24, b 5 4 e c 5 21 Observe que não são funções quadráticas: • f(x) 5 2x • f(x) 5 2x
Exercícios propostos
ATENÇÃO!
Para refletir
• f(x) 5 x3 1 2x2 1 x 1 1 NÃO ESCREVA NO LIVRO.
1. Quais das seguintes funções são quadráticas? a) f(x) 5 2x 2 b) f(x) 5 2 x c) f(x) 5 2x 1 1 2
d) f(x) 5 x 1 x 2
e) f(x) 5 x(x 2 1)(x 2 2) f) f(x) 5 3x(x 2 1)
2. Para que valores de t as seguintes funções são quadráticas? b) f(x) 5 x 1 tx 1 3
1 2 x 1 2x 1 5 t e) f(x) 5 25xt 1 2x 1 5
c) f(x) 5 (t 2 2)x2 1 3
f) f(x) 5 (t 1 1)x2 1 2
a) f(x) 5 tx2 1 2x 1 5 2
150
d) f(x) 5
4‚) f(x) 5 x2 2 4, em que a 5 1, b 5 0 e c 5 24 5‚) f(x) 5 20x2, em que a 5 20, b 5 0 e c 5 0.
Por que essas três funções não são quadráticas?
3. As funções abaixo são equivalentes à função f(x) 5 ax2 1 bx 1 c. Determine, em cada uma delas, os valores de a, b e c. a) f(x) 5 2x2 b) f(x) 5 2(x 2 3)2 c) f(x) 5 2(x 2 3)2 1 5 d) f(x) 5 (x 1 2)(x 2 3) e) f(x) 5 (4x 1 7)(3x 2 2) f) f(x) 5 (2x 1 3)(5x 2 1)
Matemática
3. Situações em que aparece a função quadrática Na Geometria O número de diagonais (d) em um polígono convexo de n lados é dado por uma função quadrática. Observe:
n53
d 5 0
n54
d 5 2
n55
d 5 5
n56
d59
Um polígono de n lados tem n vértices. De cada vértice partem (n 2 3) diagonais e, para não considerarmos duas vezes a mesma diagonal, dividimos n(n 2 3) por 2. Assim, temos d em função de n dado por: 1 2 3 n(n 3) n2 3n ou d(n) 5 n 2 n d(n) 5 2 2 2 2
Nos fenômenos físicos Na queda livre dos corpos, o espaço (s) percorrido é dado em função do tempo (t) por uma função quadrática s(t) 5 4,9t2, em que a constante 4,9 é a metade da aceleração da gravidade, que é 9,8 m/s2.
No esporte Num campeonato de futebol, cada clube vai jogar duas vezes com outro, em turno e returno. Assim, o número p de partidas do campeonato é dado em função do número n de clubes participantes, conforme vemos na tabela seguinte: Número de clubes
Número de partidas
2
2(2 2 1) 5 2
3
3(3 2 1) 5 6
Para refletir
4
4(4 2 1) 5 12
5
5(5 2 1) 5 20
…
…
Quais são os coeficientes a, b e c nessas funções s(t) e p(n)?
n
n(n 2 1)
Pela tabela, vemos que o número p de partidas é dado por p(n) 5 n(n 2 1) 5 n2 2 n. Observe que n2 2 n é o número de pares ordenados (pois há o “mando de campo”) menos os jogos de cada time com ele próprio, que não existem.
4. Valor da função quadrática em um ponto
Se f: ® → ® é dada por f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, dois problemas são importantes: • dada f(x0), calcular x0 . • dado x0 ®, calcular f(x0);
Exemplos: 1‚) Se f(x) 5 x2 2 5x 1 6, vamos calcular o valor dessa função no ponto x 5 2, ou seja, f(2). f(2) 5 22 2 5 ? 2 1 6 5 0 2‚) Se f(x) 5 1 e f(x) 5 x2 2 5x 1 7, qual é o valor de x? x2 2 5x 1 7 5 1 ou x2 2 5x 1 6 5 0, que é uma equação de 2‚ grau. Os valores que satisfazem essa equação do 2‚ grau, ou seja, as raízes dessa equação, são 2 e 3. Logo, x 5 2 ou x 5 3. Capítulo 5 | Função quadrática
151
Vejamos alguns exemplos de valores que a função quadrática assume em determinados pontos. 1‚) Vamos calcular o número de diagonais de um heptágono convexo. Nesse caso, n 5 7: n2 2 3n 72 2 3 ? 7 d(n) 5 ⇒ d(7) 5 5 14 2 2 Logo, o heptágono convexo possui 14 diagonais. 2‚) Em um campeonato de futebol, cada time vai jogar duas vezes com outro. Se o número de clubes é 10, qual é o número de jogos? Nesse caso, n 5 10: p(n) 5 n2 2 n ⇒ p(10) 5 102 2 10 5 90 Logo, teremos 90 jogos. 3‚) Sobre uma circunferência marcamos pontos distintos e traçamos todos os segmentos possíveis com extremidades nesses pontos. O número de segmentos (s) é dado em função do número x de pontos marcados. Por exemplo:
x 5 2, s 5 1 s 5
x 5 3, s 5 3
2(2 2 1) 5 1 2
s 5
3(3 2 1) 5 3 2
x 5 4, s 5 6 s 5
4( 4 2 1) 5 6 2
a) Vamos escrever a lei dessa função quadrática e determinar os coeficientes a, b e c.
A lei dessa função é s(x) 5
Os coeficientes são a 5
x( x 1) x 2 x 1 1 x 2 x . 2 2 2 2
1 1 , b 5 2 e c 5 0. 2 2
b) Quantos são os segmentos quando são marcados 5 pontos?
s(5) 5
52 5 20 5 10 segmentos 2 2
c) Quantos pontos precisam ser marcados para que o número de segmentos seja 21?
x 2 2 x 5 21 ⇒ x2 2 x 2 42 5 0 2
Para refletir
∆ 5 1 1 168 5 169
1 ± 13 x 5 ⇒ x’ 5 7 e x” 5 26 (não serve) 2
Precisam ser marcados 7 pontos.
Por que o valor x 5 26 não serve?
4‚) Dada a função quadrática f: ® → ® definida por f(x) 5 x2 2 6x 1 8. a) Vamos determinar os coeficientes a, b e c.
Em f(x) 5 x2 2 6x 1 8, temos a 5 1, b 5 26 e c 5 8. 1
b) Vamos encontrar f(1), f(0), f(22) e f ;. 2
f(1) 5 12 2 6(1) 1 8 5 1 2 6 1 8 5 3 f(0) 5 0 2 0 1 8 5 8 f(22) 5 4 1 12 1 8 5 24
1 1 1 12 32 21 f 5 2 3 1 8 5 2 4 4 4
152
Matemática
c) Se existir x ® tal que f(x) 5 3, vamos calcular x; se existir. f(x) 5 3 ⇒ x2 2 6x 1 8 5 3 ⇒ x2 2 6x 1 5 5 0 ∆ 5 36 2 20 5 16
x 5
6 ± 4 ⇒ x’ 5 5 e x” 5 1 2
Existem dois valores de x para os quais f(x) 5 3: x 5 5 ou x 5 1. d) Se existir x ® para o qual f(x) 5 21, vamos calcular x; se existir. f(x) 5 21 ⇒ x2 2 6x 1 8 5 21 ⇒ x2 2 6x 1 9 5 0 ∆ 5 36 2 36 5 0
x 5
6 ± 0 5 3 2
Existe um único x ® tal que f(x) 5 21: x 5 3. e) Se existir x ® para que se tenha f(x) 5 23, vamos calcular x; se houver. f(x) 5 23 ⇒ x2 2 6x 1 8 523 ⇒ x2 2 6x 1 11 5 0 ∆ 5 36 2 44 5 28 Não existe x ® tal que f(x) 5 23. f) Se existir x ® para que se tenha f(x) 5 0, vamos calcular x; se existir. f(x) 5 0 ⇒ x2 2 6x 1 8 5 0 ∆ 5 36 2 32 5 4
Para refletir Analise os itens c e e para responder se f(x) 5 x2 2 6x 1 8 é injetiva e sobrejetiva.
6 ± 2 ⇒ x’ 5 4 e x” 5 2 2
x 5
Existem dois valores para x: x’ 5 4 ou x” 5 2.
5‚) Vamos determinar a lei da função quadrática f, sabendo que f(0) 5 1, f(1) 5 3 e f(21) 5 1. f(x) 5 ax2 1 bx 1 c f(0) 5 1: a ? 02 1 b ? 0 1 c 5 1 → c 5 1 Então, f(x) 5 ax2 1 bx 1 1. f(1) 5 3: a ? 12 1 b ? 1 1 1 5 3 → a 1 b 5 2 f(21) 5 1: a ? (21)2 1 b ? (21) 1 1 5 1 → a 2 b 5 0 a b 2 , encontramos a 5 1 e b 5 1. a b 0
Resolvendo o sistema
Portanto, f(x) 5 x2 1 x 1 1.
Exercícios propostos 4. As seguintes funções são definidas em ®. Verifique
7. Gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo
quais delas são funções quadráticas e identifique em cada uma os valores de a, b e c: a) f(x) 5 2x(3x 2 1) b) f(x) 5 (x 1 2)(x 2 2) 2 4 c) f(x) 5 (1 1 x)(1 2 x) 1 x2 d) f(x) 5 (x 1 2)2 2 x(x 1 1)
de energia em energia elétrica. Se a potência 3 (em watts) que certo gerador lança num circuito elétrico é dada pela relação 3(i) 5 20i 2 5i2, em que i é a intensidade da corrente elétrica que atravessa o gerador, determine o número de watts que expressa a potência 3 quando i 5 3 ampères.
5. Dada a função quadrática f(x) 5 3x2 2 4x 1 1, determine:
8. A área de um círculo é dada em função da medida r
a) f(1) e) f(22) b) f(2) f ) f(h 1 1) c) f(0) g) x de modo que f(x) 5 1 d) f ( 2 )
h) x de modo que f(x) 5 21
6. (Fuvest-SP) Seja f(x) 5 2x2 2 3x 1 1. 2 Calcule f . 3
Capítulo 5 | Função quadrática
do raio, ou seja, S 5 f(r) 5 pr2, que é uma função quadrática. Considerando p 5 3,14, calcule: a) S quando r 5 5 cm; b) r quando S 5 200,96 m2.
9. Quando variamos a medida , do lado de um quadrado, a área da região quadrada também varia. Então, a área é dada em função da medida , do lado, ou seja, f(,) 5 ,2. Faça então o que se pede:
153
a) calcule f(10), f(1,5) e f (2 3 ) ; b) calcule , tal que f(,) 5 256; c) determine qual é o domínio e qual é a imagem dessa função.
17. A área da região em forma de trapézio é dada por
(B 1 b )h , em que B é a base maior, b é a base 2 menor e h é a altura. A 5
x
10. Um corpo está em queda livre. a) Qual é o espaço, em metros, que ele percorre após 3 s? b) Em quanto tempo ele percorre 122,5 m?
x 2
11. O impacto de colisão I (energia cinética) de um automóvel com massa m e velocidade v é dado pela fórmula I 5 kmv2. Se a velocidade triplica, o que acontece ao impacto de colisão de um carro de 1 000 kg?
12. De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm são retirados, de seus quatro cantos, quadrados de lado x. Determine a expressão que indica a área da parte que sobrou em função de x.
13. Em um campeonato de futebol, cada time vai jogar duas vezes com outro. Se o número de jogos for 42, qual é o número de times?
14. Seja f: ® → ® a função definida por f(x) 5 4x2 2 4x 1 3. Determine x, se houver, para que se tenha: c) f(x) 5 21. a) f(x) 5 2; b) f(x) 5 3;
15. Determine a lei da função quadrática f, sabendo que f(1) 5 2, f(0) 5 3 e f(21) 5 6.
16. f e g são funções de ® em ® definidas por f(x) 5 2x 2 1 e g(x) 5 x2 2 1. Determine (f g)(x) e (g f)(x).
6
Nesse trapézio a área pode ser dada em função da base menor por uma lei do tipo f(x) 5 ax2 1 bx 1 c. a) Determine a lei dessa função. b) Identifique os coeficientes a, b e c.
18. Dada a função f: ® → ® tal que
x 2 2 x , para x 5 f(x) 5 3x 20, para 5 x 9 , xx 2 4 x 2, para x 9
determine: a) f(6); e) f(5); b) f(21); f) f(0); c) f(10); g) f(4). d) f(9);
19. Na função f do exercício anterior, determine x para o qual f(x) 5 22.
5. Zeros da função quadrática O estudo da função quadrática tem sua origem na resolução da equação do 2‚ grau. Um problema muito antigo que recai numa equação do 2‚ grau é este: Para refletir “Determinar dois números conhecendo sua soma s e seu produto p”. Este problema aparece em registros Chamando de x um dos números, o outro será s 2 x. Assim, p 5 x(s 2 x) cuneiformes escritos pelos babilônios ou p 5 sx 2 x2, ou, ainda, há quase quatro mil anos. x2 2 sx 1 p 5 0 Para encontrar x (e, portanto, s 2 x), basta resolver a equação do 2‚ grau x2 2 sx 1 p 5 0, ou seja, basta determinar os valores de x para os quais a função quadrática f(x) 5 x2 2 sx 1 p se anula. Esses valores são chamados zeros da função quadrática ou raízes da equação do 2‚ grau correspondente a f(x) 5 0. Por exemplo, os dois números cuja soma é 7 e cujo produto é 12 são 3 e 4, que são as raízes da equação x2 2 7x 1 12 5 0 ou zeros da função quadrática f(x) 5 x2 2 7x 1 12. Para refletir
Observação: Dados quaisquer s e p, nem sempre existem dois números cuja soma seja s e cujo produto seja p. Por exemplo, não existem dois números reais cuja soma seja 3 e cujo produto seja 7.
154
Justifique por que não existem dois números reais cuja soma seja 3 e cujo produto seja 7.
Matemática
Determinação dos zeros por fatoração Vamos determinar os zeros de algumas funções quadráticas usando fatoração, assunto já retomado no capítulo 1 deste volume.
Exemplos: 1‚) Vamos determinar os zeros das seguintes funções quadráticas: a) f(x) 5 x2 2 4 A equação do 2‚ grau correspondente é x2 2 4 5 0. Fatorando o 1‚ membro da equação, temos: x2 2 4 5 0 ⇔ (x 2 2)(x 1 2) 5 0 Para que um produto seja zero, pelo menos um dos fatores precisa ser zero. Logo, (x 2 2) 5 0 ou (x 1 2) 5 0. Se x 2 2 5 0, então x 5 2. Se x 1 2 5 0, então x 5 22. Assim, as raízes da equação x2 2 4 5 0 são 22 e 2 ou os zeros da função quadrática f(x) 5 x2 2 4 são 22 e 2. Verificação: f(x) 5 x2 2 4 f(22) 5 (22)2 2 4 5 4 2 4 5 0 f(2) 5 22 2 4 5 4 2 4 5 0 Geometricamente, podemos representar essa fatoração assim:
x
x 2
x 2 x2
x
x
2
x 2
x 2
x
4
x
2
2
2
2
2
x 2
x 2
A área dada por x2 2 4 é a mesma que a dada por (x 2 2)(x 1 2). Logo, x2 2 4 5 (x 2 2)(x 1 2). Constate isso recortando adequadamente uma folha de papel. b) f(x) 5 x2 1 2x A equação do 2‚ grau correspondente é x2 1 2x 5 0. Fatorando o 1‚ membro da equação, temos: x2 1 2x 5 0 ⇔ x(x 1 2) 5 0 Logo: x 5 0 ou x 1 2 5 0 ⇒ x 5 22 Assim, os zeros da função são 0 e 22. Verificação: f(x) 5 x2 1 2x f(0) 5 02 1 2 ? 0 5 0 f(22) 5 (22)2 1 2(22) 5 4 2 4 5 0 Geometricamente, temos: 1
x
x2
x
x
x
x
x
x
x 2x
1
1
x
x2
x 2
Capítulo 5 | Função quadrática
x
1
1
1
x(x 2)
155
A área dada por x2 1 2x é a mesma que a dada por x(x 1 2). Constate isso recortando adequadamente uma folha de papel. Portanto, x2 1 2x 5 x(x 1 2).
c) f(x) 5 x2 2 6x 1 9 Equação do 2‚ grau: x2 2 6x 1 9 5 0.
Fatorando o 1‚ membro, temos:
x 2 6 x 9 0 ⇔ ( x 3)2 0 ⇔ ( x 3)( x 3) 0 ↓ ↓ x 2 2 ? 3 ? x 32 Logo: x2350⇒x53 ou x2350⇒x53 Neste caso, x 5 3 é um zero “duplo” da função quadrática f(x) 5 x2 2 6x 1 9.
Verificação: f(x) 5 x2 2 6x 1 9 f(3) 5 32 2 6 ? 3 1 9 5 9 2 18 1 9 5 0
Geometricamente, temos: x 3
x
3
x2 6x x 3 x
x2
x 3
x 1 1 1
x2 6x 9
x
1 1
3
1
3 x 3
3
A área dada por x2 2 6x 1 9 é a mesma que a dada por (x 2 3)2 5 (x 2 3)(x 2 3). Portanto, x2 2 6x 1 9 5 (x 2 3)2 5 (x 2 3)(x 2 3).
d) f(x) 5 (x 2 3)2 2 4 Equação do 2‚ grau: (x 2 3)2 2 4 5 0. Fatorando, temos: (x 2 3)2 2 4 5 0 ⇒ [(x 2 3) 2 2][(x 2 3) 1 2] 5 0 ⇒ (x 2 5)(x 2 1) 5 0 Logo: x 2 5 5 0 ⇒ x 5 5 ou x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1 Zeros da função: 1 e 5. Verificação: f(x) 5 (x 2 3)2 2 4 f(1) 5 (1 2 3)2 2 4 5 4 2 4 5 0 f(5) 5 (5 2 3)2 2 4 5 4 2 4 5 0
Exercício proposto 20. Usando fatoração, determine os zeros das seguintes funções quadráticas: a) f(x) 5 x2 2 9 b) f(x) 5 x2 2 2x 1 1
156
c) f(x) 5 (x 2 1)2 2 9 d) f(x) 5 x2 1 6x e) f(x) 5 x2 1 6x 1 9 f) f(x) 5 (x 1 4)2 2 1
Matemática
Determinação dos zeros por completamento de quadrado O completamento de quadrado é um procedimento muito útil no estudo da função quadrática. Analise alguns exemplos: • x2 1 6x 5 x 2 1 2 ? 3 ? x 1 32 2 32 5 (x 1 3)2 2 9 ( x 1 3 )2
Logo, x2 1 6x 5 (x 1 3)2 2 9. (Veja a figura ao lado.)
x2
3x
3x
9
• x2 2 10x 5 x 2 ? 5 ? x 5 2 52 5 (x 2 5)2 2 25 2
2
( x 5 )2
Assim, x2 2 10x 5 (x 2 5)2 2 25. 2
• x2 2
2
2
5 5 5 25 5 5 x 5 x2 2 2 ? ? x 1 x 4 16 4 4 2 4
Faltam 9 regiões quadradas de área 1. Por isso somamos e subtraímos 9 para “completar o quadrado”.
De modo geral, temos que: 2
p p2 x 1 px 5 x 2 4 2
• x2 1 8x 5 (x 1 4)2 2 16 2
• x2 2
2
4 4 16 2 4 x x x 3 6 36 3 9
• 2x2 1 8x 1 3 5 2(x2 1 4x) 1 3 5 2[(x 1 2)2 2 4] 1 3 5 2(x 1 2)2 2 8 1 3 5 2(x 1 2)2 2 5 Acompanhe os exemplos de como determinar os zeros de algumas funções quadráticas usando o completamento de quadrado. 1‚) f(x) 5 x2 1 6x 1 5 Equação do 2‚ grau correspondente: x2 1 6x 1 5 5 0. x2 1 6x 5 25 Completando o quadrado, temos: x2 1 6x 1 9 5 25 1 9 ⇒ (x 1 3)2 5 4 x 3 2 ⇒ x 1
Extraindo a raiz quadrada em ambos os membros, temos: (x 1 3) 5 ±2 ⇒ ou Zeros da função: 21 e 25. Verificação: f(x) 5 x2 1 6x 1 5 f(21) 5 (21)2 1 6(21) 1 5 5 1 2 6 1 5 5 0 f(25) 5 (25)2 1 6(25) 1 5 5 25 2 30 1 5 5 0
x 3 2 ⇒ x 5
2‚) f(x) 5 x2 2 10x 1 16 Equação do 2‚ grau correspondente: x2 2 10x 1 16 5 0. x2 2 10x 5 216 Completando o quadrado, temos:
x 5 3 ⇒ x 8 x 2 10x 1 25 5 216 1 25 ⇒ (x 2 5) 5 9 ⇒ (x 2 5) 5 ±3 ⇒ ou x 5 3 ⇒ x 2 Zeros da função: 2 e 8. 2
2
Verificação: f(x) 5 x2 2 10x 1 16 f(2) 5 22 2 10(2) 1 16 5 4 2 20 1 16 5 0 f(8) 5 82 2 10(8) 1 16 5 64 2 80 1 16 5 0 Capítulo 5 | Função quadrática
157
3‚) f(x) 5 2x2 2 5x 1 3 Equação do 2‚ grau correspondente: 2x2 2 5x 1 3 5 0. Essa equação é equivalente a uma outra em que dividimos todos os termos por 2: 5 3 5 3 x2 2 x 1 5 0 ⇒ x2 2 x 2 2 2 2 5 1 6 3 Completando o quadrado, temos: x ⇒ x 4 4 4 2 2 5 1 5 25 3 25 5 1 ⇒ ou ⇒ x ± ⇒ x2 2 x ⇒ x ⇒ 4 4 2 16 2 16 4 16 4 5 1 x ⇒ x 1 4 4 4 3 e 1. Zeros da função: 2 Verificação: f(x) 5 2x2 2 5x 1 3 2
9 15 3 3 3 f 2 5 3 1 3 5 0 2 2 2 2 2 f(1) 5 2 ? 12 2 5 ? 1 1 3 5 2 2 5 1 3 5 0
Exercícios propostos 21. Faça o completamento de quadrado em: a) x2 2 2x;
b) x2 1 6x 2 16.
22. Usando o completamento de quadrado, determine os zeros das seguintes funções quadráticas: a) f(x) 5 x2 2 6x 1 5 b) f(x) 5 x2 1 10x 1 21
c) f(x) 5 x2 2 2x 2 3 d) f(x) 5 x2 1 4x 1 3
e) f(x) 5 x2 2 8x 1 12 f) f(x) 5 3x2 2 8x 2 3
6. Forma canônica da função quadrática Dada a função quadrática f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, podemos escrever: b c f(x) 5 ax2 1 bx 1 c 5 a x 2 1 x 1 a a As duas primeiras parcelas dentro dos colchetes são as mesmas do desenvolvimento do quadrado 2
b b2 b b2 b 2 2 ? ? x x 2 x x x . a 2a 4 a2 4 a2 2a Completando o quadrado, temos: ou seja,
b b2 b2 c f(x) 5 ax2 1 bx 1 c 5 a x 2 2 ? x 2 2 2a a 4a 4a 2 b 4 ac b2 f(x) 5 ax2 1 bx 1 c 5 a x 2a 4 a2
(forma canônica)
ainda: ou 2
b 4 ac b2 f(x) 5 a x 2a 4a
158
Matemática
Chamando de:
m 5 2
b 4 ac 2 b2 e k 5 2a 4a
concluímos que k 5 f(m). Assim, para todo x ® e a 0 podemos escrever qualquer função quadrática f(x) 5 ax2 1 bx 1 c da seguinte maneira: f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k, em que m 5 2
b e k 5 f(m) 2a
(outra maneira de escrever a forma canônica)
Por exemplo, vamos escrever a função f(x) 5 x2 2 4x 2 6 na forma canônica. 1 maneira Completando o quadrado: x2 2 4x 2 6 5 (x2 2 4x) 2 6 5 (x2 2 4x 1 4) 2 4 2 6 5 (x 2 2)2 2 10 Logo, f(x) 5 x2 2 4x 2 6 5 (x 2 2)2 2 10. a
2a maneira Calculando m 5 2
b , k 5 f(m) e substituindo em f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k: 2a
f(x) 5 x2 2 4x 2 6 a 5 1; b 5 24; c 5 26 4 m 5 5 2 2 k 5 f(2) 5 22 2 4 ? 2 2 6 5 4 2 8 2 6 5 210 ⇒ k 5 210 Portanto, f(x) 5 (x 2 2)2 2 10.
Exercício proposto 23. Escreva na forma canônica as seguintes funções qua-
c) f(x) 5 2x2 1 6x 1 7 d) f(x) 5 x2 1 2x 2 24 e) f(x) 5 10 1 5x 2 5x2 f) f(x) 5 22x2 1 5x 2 1
dráticas: a) f(x) 5 x2 1 2x 2 3 b) f(x) 5 2x2 1 8x 2 5
Decorrências da forma canônica 1·) Valor mínimo e valor máximo da função f(x) 5 ax2 1 bx 1 c Consideremos a função quadrática f(x) 5 3x2 2 5x 1 2. 2
Nesse caso, temos: m 5
5 5 5 1 5 e a forma canônica é dada por: e k 5 f 5 3 2 5 1 2 5 2 12 6 6 6 6 2
5 1 f(x) 5 3 x 2 2 6 12 Analisando essa forma canônica, podemos concluir que o menor valor de f(x) 5 1 para todo x ® é 2 . Isso ocorre quando x 5 . 6 12 De modo geral, da forma canônica f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k, concluímos que, para qualquer x ®: a) se a 0, o menor valor de f(x) é k 5 f(m); b) se a 0, o maior valor de f(x) é k 5 f(m). Capítulo 5 | Função quadrática
Para refletir Por que para todo x temos f(x) 2
1 ? 12
5 6
159
2·) Zeros da função quadrática e raízes da equação correspondente 2
5 1 f(x) 5 3x2 2 5x 1 2 ⇒ f(x) 5 3 x 2 2 (forma canônica) 6 12 2
2
2
5 1 5 1 5 1 5 1 3 x 2 2 5 0 ⇒ 3 x ⇒ x ⇒ x 6 12 6 12 6 36 6 6
5 1 x 6 6 ⇒ x 1 x 5 1 ⇒ x 4 2 6 6 6 3
2 Logo, os zeros de f(x) 5 3x2 2 5x 1 2 são 1 e , que são também as raízes da equação 3x2 2 5x 1 2 5 0. 3
b e 2a k 5 f(m), podemos chegar à fórmula que fornece os zeros da função e, portanto, às raízes da equação do 2‚ grau De modo geral, da forma canônica de f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, com a 0, que é a(x 2 m)2 1 k, com m 5 2
ax2 1 bx 1 c 5 0. Acompanhe as equivalências: ax2 1 bx 1 c 5 0 ⇔ a(x 2 m)2 1 k 5 0 ⇔ a(x 2 m)2 5 2k k ⇔ (x 2 m)2 5 2 a 2 b 2 4 ac ⇔ (x 2 m)2 5 4 a2
⇔ x 2 m 5 ±
⇔ x 5 m ±
⇔ x 5 2
Para refletir Justifique a passagem que substitui 2
k b2 2 4ac por . a 4a 2
b2 2 4 ac 2a
b2 2 4 ac 2a
b b2 2 4 ac ± 2a 2a
2 2b ± b 2 4 ac ⇔x5 (fórmula que fornece as raízes da equação do 2‚ grau ax2 1 bx 1 c 5 0) 2a Observações: 1·) O número ∆ 5 b2 2 4ac é chamado discriminante da função quadrática f(x) 5 ax2 1 bx 1 c. 2·) Quando ∆ 0, a função f(x) 5 ax2 1 bx 1 c tem dois zeros reais diferentes. Quando ∆ 5 0, a função f(x) 5 ax2 1 bx 1 c tem um zero real duplo. Quando ∆ 0, a função f(x) 5 ax2 1 bx 1 c não tem zeros reais.
3·) Relação entre coeficientes e raízes da equação ax2 1 bx 1 c 5 0, com a 0 Existindo zeros reais tais que: b x’ 5 2a x’ 1 x” 5
e
b . a
( )
Para refletir
2
b2 b b ? 2a 2a 4 a2
b2 b2 4 ac 4 ac c 2 a 4 a2 4a Logo, x’ ? x” 5
160
b , obtemos: 2a
b 2b b b 1 5 2a a 2a 2a
Logo, x’ 1 x” 5 2
x’ ? x”
x” 5
c . a
b x9 1 x0 5 2 , ou seja, a média 2a 2 b aritmética das raízes é 2 , o que significa que as 2a b raízes são equidistantes do ponto 2 . Disso decorre 2a que f(x1) 5 f(x2), para x1 x2 se, e somente se, os Observe que
pontos x1 e x2 são equidistantes de 2
b . 2a Matemática
4·) Forma fatorada do trinômio ax2 1 bx 1 c, com a 0 Quando 0, ou seja, quando a equação ax2 1 bx 1 c 5 0 possui as raízes reais x’ e x”, podemos escrever: c 2 b ax2 1 bx 1 c 5 a x + x + 5 a[x2 2 (x’ 1 x”)x 1 x’x”] 5 a[x2 2 x’x 2 x”x 1 x’x”] 5 a[x(x 2 x’) 2 x”(x 2 x’)] 5 a a 5 a(x 2 x’)(x 2 x”) Logo, ax2 1 bx 1 c 5 a(x 2 x’)(x 2 x”) (forma fatorada).
Exemplos: 1‚) Vamos determinar, se existirem, os zeros da função quadrática f(x) 5 x2 2 2x 2 3. 1a maneira Usando a forma canônica: x2 2 2x 2 3 5 0 b ax2 1 bx 1 c 5 a(x 2 m)2 1 k, em que m 5 2 e k 5 f(m) 2a m51 k 5 f(1) 5 12 2 2 1 2 3 5 1 2 2 2 3 5 24 x 1 2 ⇒ x 3 2 2 2 x 2 2x 2 3 5 1(x 2 1) 2 4 5 0 ⇔ (x 2 1) 5 4 ⇔ x 2 1 5 ±2 ou x 1 2 ⇒ x 1 Zeros da função: 3 e 21. 2a maneira Usando a fórmula: x2 2 2x 2 3 5 0 a 5 1, b 5 22 e c 5 23 5 b2 2 4ac 5 (22)2 2 4(1)(23) 5 4 1 12 5 16 ⇒ 0 (a equação tem duas raízes reais diferentes) 2 ± 4 b ± ∆ 2 ± 16 x 2 2a 2
Raízes da equação: 3 e 21. Zeros da função: 3 e 21.
2 4 6 3 2 2 2 2 4 x 1 2 2 x
2‚) Vamos determinar, se existirem, os zeros da função quadrática f(x) 5 2x2 2 3x 1 5. 2x2 2 3x 1 5 5 0 a 5 2, b 5 23 e c 5 5 5 b2 2 4ac 5 (23)2 2 4(2)(5) 5 9 2 40 5 231 ⇒ 0 Logo, a equação não tem raízes reais; consequentemente a função f(x) 5 2x2 2 3x 1 5 não tem zeros reais. 3‚) Para que valores de k a função f(x) 5 x2 2 2x 1 k tem zeros reais e diferentes? • Condição: 0 • 5 b2 2 4ac 5 (22)2 2 4(1)(k) 5 4 2 4k Assim: 4 2 4k 0 ⇔ 24k 24 ⇔ 4k 4 ⇔ k 1 Portanto, a função f(x) 5 x2 2 2x 1 k terá zeros reais e diferentes para quaisquer k ® tal que k 1.
4‚) Vamos determinar o valor de k positivo para que a equação x2 2 2kx 1 (k 1 1) 5 0 tenha uma raiz igual ao triplo da outra. x 3x b x x 2k a c x ? x k 1 a
1 3x” 1 x” 5 2k ⇒ 4x” 5 2k ⇒ x” 5 k 2 1 1 3 x’ 1 k 5 2k ⇒ x’ 5 2k 2 k ⇒ x’ 5 k 2 2 2 Capítulo 5 | Função quadrática
161
Assim:
Para refletir
3 1 3k 2 x’ ? x” 5 k 1 1 ⇒ k ? k 5 k 1 1 ⇔ 5 k 1 1 ⇔ 3k2 2 4k 2 4 5 0 2 2 4 a 5 3, b 5 24 e c 5 24 k k
2
Comprove que a equação x2 – 4x + 3 = 0 tem uma raiz igual ao triplo da outra.
4 8 2 6
b ± b 4 ac 4 ± 16 48 4 ± 64 4 ± 8 ⇒ k ou 2a 6 6 6 4 8 2 k (não serve ) 6 3
Portanto, quando k 5 2, a equação x2 2 2kx 1 (k 1 1) 5 0 se transforma na equação x2 2 4x 1 3 5 0. 5‚) Vamos escrever na forma fatorada as funções: a) f(x) 5 x2 2 5x 1 6 A forma fatorada é f(x) 5 a(x 2 x’)(x 2 x’’), em que x’ e x’’ são as raízes da equação f(x) 5 0. Assim: x2 2 5x 1 6 5 0 5 b2 2 4ac 5 (25)2 2 4 1 6 5 1 5 ± 1 b ± ∆ ( 5) ± 1 ⇒ x’ 5 3 e x’’ 5 2 2a 2 ? 1 2
x 5
Então, f(x) 5 (x 2 3)(x 2 2). (Note que a 5 1 não precisa ser escrito.)
b) g(x) 5 5x2 1 10x 1 5 Fazendo g(x) 5 0, vem: 5x2 1 10x 1 5 5 0 5 b2 2 4ac 5 102 2 4 5 5 5 0 10 ± 0 10 b ± 2a 2 ? 5 10
Para refletir
x5
⇒ x’ 5 21 e x’’ 5 21
Então, g(x) 5 5(x 1 1)(x 1 1) 5 5(x 1 1)2.
Se 5 0, a função quadrática é um trinômio quadrado perfeito.
Exercícios propostos 24. Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas usando a forma canônica: a) f(x) 5 x2 2 x 2 2 b) f(x) 5 3x2 1 x 2 2 c) f(x) 5 x2 2 2x 1 1
25. Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas usando a fórmula: a) f(x) 5 x2 2 3x b) f(x) 5 x2 1 4x 1 5
c) f(x) 5 2x2 1 2x 1 8 d) f(x) 5 x2 1 10x 1 25
26. Para que valores reais de m a função f(x) 5 (m 2 1)x2 2 4x 2 1 não admite zeros reais?
27. Para que valores reais de k a função f(x) 5 kx2 2 6x 1 1 admite zeros reais e diferentes?
28. Para que valores de m a função f(x) 5 (m 2 2)x2 2 2x 1 6 admite zeros reais?
29. Determine o valor de k para que a equação x2 2 (k 1 1)x 1 (10 1 k) 5 0 tenha uma raiz igual ao dobro da outra.
162
30. Use a forma canônica e determine o menor valor que a
função f(x) 5 2x2 2 3x 1 4 pode assumir para todo x ®.
31. Qual é o maior valor que a função f(x) 5 23x2 2 x 1 1 pode assumir para qualquer x ®?
32. Prove que não existe um número real, x, x 0, tal que a soma dele com seu inverso seja 1.
33. Determine o valor de m para que a função f(x) 5 4x2 2 4x 2 m tenha zero real duplo.
34. Para que valores reais de k a função f(x) 5 (k 2 1)x2 2 2x 1 4 não admite zeros reais?
35. Para que valores de m a função f(x) 5 x2 2 mx 1 49 admite um zero duplo?
36. Determine o valor positivo de m para que a equação mx2 2 (m 1 1)x 1 1 5 0 tenha uma raiz igual à quarta parte da outra.
37. Escreva na forma fatorada as seguintes equações do 2‚ grau: a) x2 2 7x 1 12 5 0 b) x2 2 x 2 2 5 0
c) 6x2 2 5x 1 1 5 0 d) 10x2 2 3x 2 1 5 0
Matemática
38. Prove que, se a soma de dois números positivos é constante, seu produto é o maior possível (máximo) quando eles são iguais.
39. Gustavo tem um alambrado suficiente para fazer 24 m de cerca. Ele pretende cercar um terreno retangular de 40 m2 de área. Isso é possível? (Use o mesmo procedimento do exercício anterior.)
40. Um campeonato é disputado em dois turnos, ou seja, cada time joga duas vezes com cada um dos outros. O total de partidas é 380. Quantos times disputam esse campeonato?
41. Quantos lados tem um polígono convexo que possui 170 diagonais? Qual é o nome dele?
42. O retângulo áureo ou de ouro dos gregos é um retân-
44. Renata tem 18 anos e Lígia, 15. Daqui a quantos anos o produto de suas idades será igual a 378?
45. Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Para percorrer essa distância em uma hora a menos, a velocidade deveria ser de 10 km/h a mais. Qual a velocidade do trem?
46. Os 180 alunos de uma escola estão dispostos de forma retangular, em filas, de tal modo que o número de alunos de cada fila supera em 8 o número de filas. Quantos alunos há em cada fila?
47. O número máximo de intersecções possíveis (I) com n retas distintas em um plano é dado pela expressão n2 2 n I5 . Examine alguns casos: 2
gulo especial em que valem as relações entre o comprimento (c) e a largura (): c , ← proporção áurea , c , n 2 I 1
n 3 I 3
c
A proporção áurea pode ser observada na natureza, nas obras de arte e nas construções. Por exemplo, o templo grego Partenon tem suas medidas apoiadas na proporção áurea. Ablestock.com/jupiterimages
n 4 I 6
Qual é o número de retas distintas de um plano sabendo que o número máximo possível de intersecções entre elas é 15?
48. Em um trapézio, a base maior mede 10 cm e a base menor tem o dobro da altura. Calcule a medida da base menor sabendo que a área da região determinada por esse trapézio é de 36 cm2.
Vista do Partenon em Atenas, Grécia.
Se considerarmos c 5 1, a proporção será: 1 , → 2 1 2 1 5 0 , 1 ,
49. A distância entre duas cidades A e B é de aproxima-
A raiz positiva dessa equação é chamada número de ouro. Qual é esse número?
43. Uma caixa sem tampa tem a base
quadrada com lado medindo x dm e altura 1 dm. Sabendo que a área total de sua superfície é de 5 dm2, calcule a medida x.
1
x
Capítulo 5 | Função quadrática
x
damente 240 km. Aline percorreu essa distância em determinado tempo. Ela disse a um colega que dirigiu com muita cautela devido à chuva que havia caído durante o percurso. Como professora de Matemática, ela disse também que, se tivesse aumentado sua velocidade média em 20 km/h, teria feito o mesmo percurso em 1 hora a menos. a) Qual foi o tempo que a professora Aline gastou para fazer o percurso entre as cidades A e B? b) Qual foi a velocidade média com a qual Aline fez esse percurso?
163
7. Gráfico da função quadrática
Para refletir
Consideremos um ponto F e uma reta d que não o contém. Chamamos parábola de foco F e diretriz d o conjunto dos pontos do plano que distam igualmente de F e de d. eixo da parábola
A distância de um ponto a uma reta é a medida do segmento perpendicular baixado do ponto sobre essa reta. P
P
PF = PQ
F
r A
V
A distância de P a r é igual à medida de P t A.
d
D
Q
A reta perpendicular à diretriz que contém o foco chama-se eixo da parábola. O ponto (V) da parábola mais próximo da diretriz chama-se vértice dessa parábola. O vértice (V) é o ponto médio do segmento cujos extremos são o foco e a intersecção do eixo com a diretriz. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Veja alguns exemplos:
Gráfico da função definida por f(x) 5 x2 Para construir o gráfico, fazemos uma tabela com um número suficiente de valores: x f(x) 5 x2
23 9
22 4
0 0
21 1
1 1
2 4
3 9
Marcamos esses pontos e desenhamos uma linha contínua passando por eles, pois estamos trabalhando com números reais. f(x)
( 3, 9)
(3, 9)
( 2, 4)
(2, 4)
(1, 1)
( 1, 1) 0
3 2 1
1
2
x 3
1 1 3 1 5 1 Observe que, por exemplo, os pontos , , , 2 , 2 , 6 também pertencem à parábola. 2 4 2 4 2 4
Prova de que o gráfico de f(x) 5 x2 é uma parábola 1 • O gráfico da função quadrática f(x) 5 x2 é a parábola cujo foco é F[0, ] e cuja diretriz é a reta horizontal 4 1 y 5 2 . Veja como podemos provar isso. 4 y
P(x, x2) F x V d
Q 1 [x, ] 4
y
1 4
164
Matemática
• P(x, x2) são as coordenadas de um ponto qualquer do gráfico de f(x) 5 x2. • A distância de P ao ponto F[0,
1 ] é dada por: 4 2
d(P, F) 5
1 1 ( x 0)2 x 2 x 2 x 2 4 4
• A distância do mesmo ponto P(x, x2) à reta y 5 2
2
1 1 é dada por x2 1 . 4 4 2
1 1 x 2 x 2 x 2 . Como são números positivos, basta verificar 4 4
Pela definição, basta agora verificar que
que seus quadrados são iguais. Elevando ambos os membros ao quadrado, temos: 1 2 1 2 x2 1 [x2 2 ] 5 [x2 1 ] 4 4 1 2 1 x 1 ] 5 x4 1 2 16 1 1 1 5 x4 1 x2 1 x4 1 x2 1 2 16 2
x2 1 [x4 2
1 2 1 x 1 2 16 1 16
Logo, d(P, F) 5 d(P, Q), ou seja, o gráfico é uma parábola de foco [0,
1 1 ] e diretriz y 5 2 . 4 4
Exercícios propostos 50. Trace o gráfico de f(x) 5 x2 e determine os valores f(x) para x igual a: 1 5 b) ; a) 2 ; 2 2 Verifique esses valores no gráfico.
3 c) 2 . 2
51. Como seria o gráfico de f(x) 5 x2 se considerarmos: a) somente os pontos cujas coordenadas são números inteiros? b) somente os pontos cujas coordenadas são números racionais?
Gráfico da função definida por f(x) 5 ax2, a 0
1 1 Examine os gráficos da função definida por f(x) 5 ax2, para a 5 , a 5 , a 5 1, a 5 2 e a 5 5, e para a 5 25, 10 2 1 1 a 5 22, a 5 21, a 5 2 e a 5 2 . 2 10
a 0
a0 y
y = 5x2 y 2x y
2
y x2
y
x
0 y=–
1 2 x 2 y
y=–
1 2 x 10 x
0
1 2 x 10
1 2 x 2
y = –x2 y = –2x2 y = –5x2
Observe que: • quando a 0, a concavidade está voltada para cima; • quando a 0, a concavidade está voltada para baixo; • todas as parábolas têm o mesmo vértice (0, 0) e o mesmo eixo x 5 0; • quanto menor o valor absoluto de a, maior será a abertura da parábola; Capítulo 5 | Função quadrática
165
• quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola; • os gráficos das funções quadráticas f(x) 5 ax2 e g(x) 5 a’x2, em que a e a’ são números simétricos, são simétricos em relação ao eixo x. Veja, por exemplo, os gráficos de f(x) 5 4x2 e g(x) 5 24x2: y
f(x) 4x2 (1, 4)
(x, y) 1 [ , 1] 2 x 0 1 [ , 1] 2 ( x, y)
( 1, 4) g(x) 4x2
Generalização: 1 É possível demonstrar que o gráfico da função quadrática f(x) 5 ax2, a 0, é a parábola cujo foco é F 0, e 4a 1 cuja diretriz é a reta horizontal y 5 2 . 4a a0 a0 y
y y d V
F x
y
Para refletir Se a 5 1, temos a parábola de foco
x
F[0, 1 ] e de diretriz y 5 2 1 , como 4 4 vimos na página 164.
F
V d
1 4a
1 4a
Concavidade da parábola voltada para baixo
Concavidade da parábola voltada para cima
Equação da parábola que tem vértice na origem
y
Consideremos a parábola que tem como diretriz a reta de equação y 5 2c e como foco o ponto F(0, c). Vamos demonstrar que a equação dessa parábola é dada por x2 5 4cy. 2
2
P(x, y)
x
O d
Pela definição, temos: d(P, F) 5 d(P, Q) 2
F(0, c)
Q(x, c)
y c
2
( x 0) ( y c) ( x x ) ( y c) x 1 (y 2 c)2 5 (y 1 c)2 2
x2 1 y2 2 2cy 1 c2 5 y2 1 2cy 1 c2
Para refletir
x 5 4cy, em que c é a distância focal. Neste caso, o vértice está na origem O(0, 0) e a parábola é simétrica em relação ao eixo y, que é o eixo da parábola.
Parábolas com eixo de simetria horizontal são funções? Por quê?
2
166
Matemática
Função quadrática e a equação da parábola A mesma parábola do item anterior, cuja equação é x2 5 4cy, é gráfico da função quadrática y 5 f(x) 5 ax2, em que a, como vimos, determina se a parábola é mais “fechada” ou mais “aberta”. Quanto maior for o a, mais “fechada” é a parábola, ou seja, os valores de y crescem mais rapidamente em relação aos de x. E qual é a relação entre a distância focal c e o a? Substituindo y 5 ax2 em x2 5 4cy, temos que: 1 4 Isso significa que c e a são inversamente proporcionais. Assim, quanto menor for a distância focal c, maior será o a e, portanto, mais fechada será a parábola, e vice-versa. A equação da parábola será retomada e aprofundaremos seu estudo no volume 3 desta coleção. x2 5 4cy ⇒ x2 5 4c ? ax2 ⇒ ca 5
As antenas parabólicas geralmente têm um grande diâmetro (parábola mais aberta, a pequeno) para captar uma quantidade maior de sinais do satélite, portanto a distância focal é em geral grande (c grande) por causa disso. Veja na foto ao lado onde está o foco: é nele que fica o captador dos sinais de TV.
iara venanzi/kino.com.br
Curiosidade
foco
Exercício proposto 52. Trace o gráfico de cada uma das seguintes funções quadráticas em um mesmo sistema de eixos: a) f(x) 5 2x2 b) f(x) 5 22x2
c) f(x) 5
1 2 x 2
d) f(x) 5 2
1 2 x 2
Gráfico da função definida por f(x) 5 ax2 1 k, com a 0 Examine os gráficos das funções quadráticas definidas por:
y
• f(x) 5 x 1 2
6
• g(x) 5 x2 1 1
5
• h(x) 5 x 2 1
4
• ϕ(x) 5 x 2 2
3
2
2
2
Compare-os com o gráfico da função γ(x) 5 x2 que está tracejado. O eixo de todas as parábolas é x 5 0. O ponto mínimo de f(x) 5 x2 1 2 é (0, 2); o de g(x) 5 x2 1 1 é (0, 1); o de h(x) 5 x2 2 1 é (0, 21) e o de ϕ(x) 5 x2 2 2 é (0, 22). De modo geral, para a 0, o ponto mínimo de f(x) 5 ax2 1 k é (0, k).
Capítulo 5 | Função quadrática
y x2 2 y x2 1 y x2 y x2 1 y x2 2
2 1 0 3 2 1 1
x 1
2
3
2
167
Observe agora os gráficos das funções quadráticas definidas por: • f(x) 5 2x2 1 2
y 2 1
• g(x) 5 2x2 1 1
x 0 3 2 1 1
• h(x) 5 2x 2 1 2
• ϕ(x) 5 2x2 2 2 Compare-os com o gráfico de γ(x) 5 2x2 que está tracejado. O ponto máximo de f(x) 5 2x2 1 2 é (0, 2); o de g(x) 5 2x2 1 1 é (0, 1); o de h(x) 5 2x2 2 1 é (0, 21) e o de ϕ(x) 5 2x2 2 2 é (0, 22).
1
2
3
2 y x2 2
3
y x2 1
4
y x2
5
De modo geral, para a 0, o ponto máximo de f(x) 5 ax2 1 k é (0, k).
y x2 1
6
y x2 2
Repare que o gráfico de f(x) 5 ax 1 k é congruente ao gráfico de f(x) 5 ax , porém sua posição é, em valores absolutos, k unidades acima ou abaixo, conforme k seja positivo ou negativo. Dizemos que o gráfico de f(x) 5 ax2 1 k é o gráfico de f(x) 5 ax2 transladado de k unidades, segundo o eixo y. A parábola intersecta o eixo y no ponto (0, k). 2
2
Exercícios propostos 53. Escreva as coordenadas do vértice e o eixo da pará-
54. Quais das funções do exercício anterior possuem um valor mínimo e quais têm um valor máximo? Quais são esses valores?
bola para cada uma das funções quadráticas: 1 a) f(x) 5 3x2 1 1 c) h(x) 5 x 2 2 1 3 b) g(x) 5 23x2 1 2 d) φ(x) 5 3x2 2 1
Gráfico da função definida por f(x) 5 a(x 2 m)2, com a 0 Observe a tabela e os gráficos das funções definidas por f(x) 5 2x2 e g(x) 5 2(x 2 3)2 traçados em um mesmo sistema de eixos: x
...
22
21
0
1
2
3
4
5
...
f(x) 5 2x2
...
8
2
0
2
8
18
...
...
...
g(x) 5 2(x 2 3)2
...
...
...
18
8
2
0
2
8
...
y
(1, 8)
( 2, 8)
( 1, 2)
(2, 8)
(1, 2) (0, 0)
(5, 8)
(2, 2)
(4, 2)
x
(3, 0)
O eixo da parábola f(x) 5 2x2 é x 5 0 e o eixo da parábola g(x) 5 2(x 2 3)2 é x 5 3. A parábola é simétrica em relação a esse eixo. A parábola g(x) 5 2(x 2 3)2 é congruente à parábola f(x) 5 2x2, mas sua posição é 3 unidades à direita do gráfico de f(x) 5 2x2. De modo geral: • o gráfico de f(x) 5 a(x 2 m)2 é congruente ao gráfico de g(x) 5 ax2, porém sua posição, em valores absolutos, é m unidades à direita ou à esquerda do gráfico de g(x) 5 ax2, conforme m seja positivo (m 0) ou negativo (m 0), respectivamente. Dizemos que o gráfico de f(x) 5 a(x 2 m)2 é o gráfico de f(x) 5 ax2 transladado de m unidades, segundo o eixo x. • se a 0, a concavidade da parábola é para cima e ela tem um ponto mínimo (m, 0); se a 0, a concavidade é para baixo e a parábola tem um ponto máximo (m, 0).
y
y a(x m)2
y ax2
(x, a(x m)2) F x m d
y
1 4a
• o gráfico é simétrico em relação à reta x 5 m e essa reta é o eixo da parábola.
• é possível provar que o gráfico da função quadrática f(x) 5 a(x 2 m)2, a 0 e m ® é uma parábola cujo foco 1 1 é o ponto F m, e cuja diretriz é a reta horizontal y 5 2 . 4a 4a
168
Matemática
Exercícios propostos 55. Determine o eixo, o vértice, o foco e a diretriz de cada uma das parábolas dadas pelas funções quadráticas: 1 a) f(x) 5 (x 2 2)2 c) f(x) 5 ( x 2 1)2 2 b) f(x) 5 22(x 1 1)2
e) f(x) 5 3(x 2 2)2 f) f(x) 5 25(x 2 1)2
56. Quais das funções quadráticas do exercício anterior possuem um ponto máximo e quais têm um ponto mínimo? Quais são esses pontos?
1 d) f(x) 5 ( x 2)2 3
Gráfico da função definida por f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k, com a 0
( 3, 1)
g(x) 2(x 3)2 1
y
f(x) 2x2
h(x) 2(x 3)2 1
Já vimos que o gráfico de f(x) 5 ax2 1 k tem uma posição que está, em valores absolutos, k unidades acima ou abaixo do gráfico de f(x) 5 ax2. Vimos também que o gráfico de f(x) 5 a(x 2 m)2 tem uma posição que está, em valores absolutos, m unidades à direita ou à esquerda do gráfico de f(x) 5 ax2. Portanto, o gráfico de f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k é congruente ao gráfico de f(x) 5 ax2, tendo uma posição que está, em valores absolutos, m unidades à direita (m 0) ou à esquerda (m 0) do gráfico de f(x) 5 ax2 e k unidades acima (k 0) ou abaixo (k 0) do gráfico de f(x) 5 ax2. O eixo de simetria da parábola dada por f(x) 5 (x 2 m)2 1 k é x 5 m. Observe, por exemplo, os gráficos das funções quadráticas f(x) 5 2x2, g(x) 5 2(x 2 3)2 1 1 e h(x) 5 2(x 1 3)2 1 1.
(3, 1) x
x 3
x 3
A parábola dada por g(x) 5 2(x 2 3)2 1 1 está 3 unidades à direita e 1 unidade acima da parábola dada por f(x) 5 2x2 e é simétrica em relação ao eixo x 5 3. A parábola dada por h(x) 5 2(x 1 3)2 1 1 está 3 unidades à esquerda e 1 unidade acima da parábola dada por f(x) 5 2x2 e é simétrica ao eixo x 5 23. O vértice da parábola g(x) 5 2(x 2 3) 2 1 1 é V (3, 1) e o vértice da parábola h(x) 5 2(x 1 3)2 1 1 é V(23, 1). Generalização: De modo geral é possível provar que dados a, m, k ®, com a ≠ 0, o gráfico da função quadrática f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k 1 1 . O vértice da é a parábola cujo foco é o ponto F m, k 1 e cuja diretriz é a reta horizontal y 5 k 2 4a 4a parábola é V(m, k). y y a(x m)2 k 2
y a(x m)2
y ax
F
k
d
V
0
m
1 y k 4a
x
1
f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k; F m, k 1 ; V(m, k) 4a
Capítulo 5 | Função quadrática
169
Observação: A função f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k, com a 0, é equivalente à função f(x) 5 ax2 1 bx 1 c (a 0), em que b 5 22am e c 5 am2 1 k. Basta ver que: 2 2 a(x 2 m)2 1 k 5 a(x2 2 2xm 1 m2) 1 k 5 ax2 2 2axm 1 am2 1 k 5 ax2 1 ( 22am 1 k 5 ax 1 bx 1 c ) x 1 am c
b
Gráfico da função definida por f(x) 5 ax 1 bx 1 c 2
Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a função quadrática f(x) 5 ax2 1 bx 1 c. y
eixo de simetria parábola
c x2
x1
O
V
x
vértice
Parâmetro a Responsável pela concavidade e abertura da parábola. • Se a 0, a concavidade é para baixo.
• Se a 0, a concavidade é para cima. y
y
x
x
Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola (parábola mais “fechada”), independentemente da concavidade. a 0 a0 y
y 5x2 y 2x2 y x2
y
x
0 y
y
1 2 x 2 y
1 y x2 10
1 2 x 10
1 2 x 2
y x2 y 2x2 y 5x2
x 0
Parâmetro b Indica se a parábola intersecta o eixo y no ramo crescente ou decrescente da parábola. • Se b 0, a parábola intersecta o eixo y no ramo crescente. y
y
x
x
• Se b 0, a parábola intersecta o eixo y no ramo decrescente. y
y
x
x
170
Matemática
• Se b 5 0, a parábola intersecta o eixo y no vértice. y
y
x
x
Parâmetro c Indica o ponto onde a parábola intersecta o eixo y. y
c
x
A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c). Além disso, a parábola pode intersectar o eixo x em um, dois ou nenhum ponto, dependendo do valor de D 5 b2 2 4ac da equação correspondente. f(x) 5 0 ⇒ ax2 1 bx 1 c 5 0 D 5 0 ⇒ uma raiz real dupla (a parábola intersecta o eixo x em um só ponto) D . 0 ⇒ duas raízes reais distintas (a parábola intersecta o eixo x em dois pontos) D , 0 ⇒ nenhuma raiz real (a parábola não intersecta o eixo x)
Exercícios propostos 57. Determine o eixo, o vértice, o foco e a diretriz de cada uma das parábolas dadas pelas funções quadráticas: a) f(x) 5 2(x 2 3)2 1 4 b) f(x) 5 22(x 2 3)2 1 4
1 d) f(x) 5 2 (x 2 1)2 2 1 2 e) f(x) 5 3(x 1 1)2 1 2
c) f(x) 5 (x 1 3)2 f ) f(x) 5
1 (x 2 2)2 2 3 5
58. Quais das funções quadráticas do exercício anterior possuem um ponto máximo e quais têm um ponto mínimo? Quais são esses pontos?
59. Transforme cada função quadrática na forma canônica e determine o eixo, o vértice, o foco e a diretriz de cada uma das parábolas dadas pelas funções quadráticas abaixo. a) f(x) 5 4x2 1 x 2 3 b) f(x) 5 22x2 1 5x 2 1 c) f(x) 5 23x2 1 2x 2 2 7 d) f(x) 5 x2 2 x 1 3 2
Capítulo 5 | Função quadrática
60. Esboce o gráfico da função quadrática f cuja parábola passa pelos pontos (3, 22) e (0, 4) e tem vértice no ponto (2, 24); em seguida, verifique qual das seguintes sentenças corresponde a essa função: a) f(x) 5 22x2 2 8x 1 4 b) f(x) 5 2x2 2 8x 1 4 c) f(x) 5 2x2 1 8x 1 4
61. Verifique quais dos seguintes pontos pertencem à parábola que representa graficamente a função f(x) 5 x2 2 5x 1 6: a) A(2, 0) b) B(4, 2) c) C(21, 10)
62. Determine o valor de m para que o ponto A(2, 1) pertença à parábola que representa graficamente a função dada por f(x) 5 (m 1 1)x2 2 1.
63. Qual deve ser o valor de k para que a parábola que representa graficamente a função f(x) 5 x2 2 2x 1 k passe pelo ponto P(2, 5)?
171
8. A parábola e suas intersecções com os eixos Nos gráficos seguintes estão indicados os pontos de intersecção da parábola com os eixos; veja como são determinados algebricamente esses pontos de intersecção a partir da lei da função quadrática: a) f(x) 5 x2 2 2x 1 1 y
Intersecção com o eixo y: x 5 0 ⇒ f(0) 5 02 2 2 ? 0 1 1 5 1 A parábola intersecta o eixo y em (0, 1).
(0, 1)
x (1, 0)
Intersecção com o eixo x: f(x) 5 0 ⇒ x2 2 2x 1 1 5 0 5 4 2 4 5 0 ⇒ 5 0 (a equação admite uma raiz dupla) 2 ± 0 5 1 x 5 2
A parábola intersecta o eixo x em um só ponto: (1, 0). Isso significa que a função possui um zero duplo: 1. b) f(x) 5 24x2 1 1
Intersecção com o eixo y:
y
x 5 0 ⇒ f(0) 5 24 02 1 1 5 1
A parábola intersecta o eixo y em (0, 1).
1 [ , 0] 2
(0, 1) x 1 [ , 0] 2
Intersecção com o eixo x: f(x) 5 0 ⇒ 24x2 1 1 5 0 ⇒ 24x2 5 21 ⇒ 4x2 5 1 ⇒ x2 5 (a equação admite duas raízes distintas)
1 1 ⇒ x 5 ± 2 4
Observe que, neste caso, 5 0 1 16 5 16, ou seja, 0.
1 1 A parábola intersecta o eixo x em dois pontos: , 0 e 2 , 0 . 2 2 1 1 Isso significa que os zeros da função f(x) 5 24x2 1 1 são 2 e . 2 2 c) f(x) 5 x2 1 2x 1 3
Intersecção com o eixo y: x 5 0 ⇒ f(0) 5 02 1 2 0 1 3 5 3 A parábola intersecta o eixo y em (0, 3).
y
Intersecção com o eixo x:
(0, 3)
f(x) 5 0 ⇒ x2 1 2x 1 3 5 0 x
Para refletir Por que o gráfico de f(x) = ax2 + bx + c sempre intersecta o eixo y em um só ponto ?
5 4 2 12 5 28 ou 0 (a equação não tem raízes reais)
A parábola não intersecta o eixo x.
A função f(x) 5 x2 1 2x 1 3 não admite zeros reais.
Conclusão: • A parábola da função quadrática f(x) 5 ax2 1 bx 1 c intersecta o eixo y sempre no ponto (0, c), pois f(0) 5 a ? 02 1 b ? 0 1 c 5 c.
172
Matemática
• Essa parábola pode intersectar o eixo x em um ou dois pontos ou pode não intersectar o eixo x, dependendo do valor de 5 b2 2 4ac da equação correspondente. Veja: f(x) 5 0 ⇒ ax2 1 bx 1 c 5 0 ∆ 0 ⇒ uma raiz real dupla ( a parábola int e r secta o eixo x em um só ponto) ∆ 0 ⇒ duas raízes reais dist int as ( a parábola int e r secta o eixo x em dois pontos ) ∆ 0 ⇒ nenhuma raiz real ( a parábola não int er secta o o eixo x ) Graficamente, temos:
a 0
a0
y
y
0 0
x
0
0
x
0 0
Exercícios propostos 64. Determine os zeros das seguintes funções quadráticas: a) f(x) 5 x2 2 11x 1 30 b) f(x) 5 x2 1 4x 2 21
c) f(x) 5 x2 2 36 d) f(x) 5 6x2 2 5x 1 1
67. O gráfico abaixo representa uma função do tipo y 5 ax2 1 bx 1 c, a 0: y
65. Em que pontos a parábola de cada função do exercício anterior intersecta os eixos x e y?
66. Em cada gráfico da função quadrática f(x) 5 ax2 1 bx 1 c,
com 5 b2 2 4ac, descubra se a 0 ou a 0 e se 0, 0 ou 5 0.
a)
y
d)
y
0 x
x
b)
x
y
e)
y x
x
c)
y x
Capítulo 5 | Função quadrática
f)
y x
Então, podemos afirmar que: a) a 0, b2 5 4ac, c 0 e b 0. b) a 0, b2 4ac, c 0 e b 0. c) a 0, b2 4ac, c 0 e b 0. d) a 0, b2 4ac, c 0 e b 0. e) a 0, b2 4ac, c 0 e b 0.
173
9. Vértice da parábola, imagem e valor máximo ou mínimo da função quadrática
A determinação do vértice da parábola ajuda a elaboração do gráfico e permite determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo. Uma das maneiras de determinar o vértice é lembrar que a parábola é simétrica em relação a um eixo vertical. Determinando a posição desse eixo, encontraremos a abscissa do vértice, e com a abscissa do vértice obteremos a ordenada, que é função da abscissa. b e Outra maneira é lembrar que na forma canônica (página 158) o vértice é dado por (m, k) sendo m 5 2 2a 4ac 2 b2 D k 5 f(m) 5 52 . 4a 4a Examine os exemplos: 1‚) f(x) 5 2x2 2 8x Obtendo as raízes, teremos x’ 5 0 e x” 5 4. Dada a simetria das parábolas, o eixo de simetria terá abscissa x’ 1 x” 014 5 2. xV 5 5 2 2
Substituindo x 5 2 na função, obtemos a ordenada do vértice f(2) 5 2 ? 22 2 8 ? 2 5 28. y
Para refletir
x 0
1
2
3
Se 2 é a abscissa do vértice, os pontos de abscissas 1 e 3 são simétricos na parábola. Os de abscissas 0 e 4 também.
4
Im(f)
6
8
(2, 8)
Valor mínimo da função: 28 Im(f) 5 {y [ ® | y > 28} Essa função não tem valor máximo.
Então, o vértice é o ponto (2, 28). A função assume valor mínimo 28 quando x 5 2. Logo, Im(f) 5 {y [ ® | y > 28}. 2‚) f(x) 5 24x2 1 4x 1 5
O vértice de uma parábola dada por f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, a 0, também pode ser calculado assim: b D V [2 , 2 ]. 2a 4a Neste caso, temos: f(x) 5 24x2 1 4x 1 5 1 2b 24 xV 5 5 5 2 2a 28 2D
yV 5
1 V[ , 6] 2
174
4a
5
2(16 1 80) 296 5 56 216 216
Para refletir xV é a média aritmética dos zeros da função quadrática, se existirem. Comprove!
Matemática
1 A função assume valor máximo 6 quando x 5 . 2 Logo, Im(f) 5 {y ® | y 6}. Poderíamos ter transformado a função quadrática f(x) 5 24x2 1 4x 1 5 na b forma canônica f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k, em que m 5 2 e k 5 f(m), e 2a obtido a mesma solução:
y [
1 , 6] 2
1 1 2
2
6 5
Im(f)
b 1 m 5 2 ⇒ m 5 2a 2
x 1 0
2
1 1 1 k 5 f(m) ⇒ k 5 f 5 24 1 4 1 5 5 21 1 2 1 5 5 6 ⇒ k 5 6 2 2 2 3
2
1 1 Assim, f(x) 5 2 4 x 2 1 6 e o vértice é dado por V , 6 . 2 2 1 Logo, a função tem seu valor máximo 6 quando x 5 . 2 Portanto, Im(f) 5 {y ® | y 6}.
Valor máximo da função: 6 Im(f) 5 {y ® | y 6}.
De modo geral, dada a função f: ® → ® tal que f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, com a 0, se V(xV, yV) é o vértice da parábola correspondente, temos então: a 0 ⇔ yV é o valor mínimo de f ⇔ Im(f) 5 {y ® | y yV}
a 0 ⇔ yV é o valor máximo de f ⇔ Im(f) 5 {y ® | y yV} Examine os exemplos: 1‚) Vamos determinar Im(f) e o valor máximo ou mínimo da função quadrática f(x) 5 x2 1 4x 2 2. 1a maneira f(x) 5 x2 1 4x 2 2 (16 8) 5 26 4a 4 a 0, então a concavidade é para cima.
yV 5
Im(f) 5 {y ® | y > 26} Valor mínimo de f: 26
2a maneira f(x) 5 x2 1 4x 2 2 f(x) 5 x2 1 4x 1 4 2 4 2 2 f(x) 5 (x 1 2)2 2 6 (forma canônica) V(22, 26) Valor mínimo (pois a . 0) de f: 26 (ocorre quando x 5 22). Im(f) 5 {y ® | y > 26}
2‚) Vamos determinar m de modo que a função f(x) 5 (3m 2 1)x2 2 5x 1 2 admita valor máximo. Para que a função f(x) 5 (3m 2 1)x2 2 5x 1 2 admita valor máximo, devemos ter a 0 (concavidade para cima). Condição: a 0 ⇔ 3m 2 1 0 3m 2 1 0 ⇒ 3m 1 ⇒ m
1 3
Logo, m pode ser qualquer número real menor do que
Capítulo 5 | Função quadrática
1 . 3
175
3‚) Vamos determinar k de modo que o valor mínimo da função f(x) 5 (k 2 1)x2 1 6x 2 2 seja 25. 2 1 0 ⇒ k 1 e yV 5 5 25 Condições: k 4a a 5 (6)2 2 4(k 2 1)(22) 5 36 1 8k 2 8 5 8k 1 28 8k 28 8k 28 5 25 ⇒ 5 25 ⇒ 5 5 4a 4k 4 4(k 1) Resolvendo a equação em k, temos: 48 5(4k 2 4) 5 8k 1 28 ⇒ 20k 2 20 5 8k 1 28 ⇒ 20k 2 8k 5 28 1 20 ⇒ 12k 5 48 ⇒ k 5 ⇒ k 5 4 (satisfaz a 12 condição k 1) Portanto, para que o valor mínimo de f(x) seja 25, temos de ter k 5 4. Vamos determinar m de modo que a função f(x) 5 24x2 1 (m 1 1)x 1 2 tenha valor máximo para x 5 2. b (m 1) 2b m 1 1 5 2 ⇒ 5 2 Condição: xV 5 5 2 ⇒ 2( 4 ) 2a 8 Resolvendo a equação em m, temos: m 1 1 5 16 ⇒ m 5 15 Logo, a função f(x) tem valor máximo para x 5 2 quando m 5 15.
tim-tim por tim-tim
Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez **4‚) (éEnem) diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamen-
te proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se: R(x) 5 k ? x ? (P 2 x) onde k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44 000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: a) 11 000. b) 22 000. c) 33 000. d) 38 000. e) 44 000. 1. Lendo e compreendendo a) O que é dado no problema? É dada uma fórmula que relaciona a rapidez de propagação do boato com o número de pessoas que o conhecem, para determinado público-alvo. b) O que se pede? Um boato se espalha de forma devagar quando poucos o conhecem, e a velocidade de propagação do boato vai aumentando conforme mais gente o conheça e passe a propagá-lo. Entretanto, se muitas pessoas já sabem do boato, a sua velocidade de propagação também vai ser baixa, pois tanta gente sabe dele que fica mais raro encontrar quem não saiba. Assim, existe determinado número de pessoas que torna a velocidade de propagação máxima. Queremos determinar qual é esse número de pessoas. 2. Planejando a solução Observando a fórmula dada, verificamos que ela é uma função quadrática: R(x) 5 k ? x ? (P 2 x) ⇒ R(x) 5 2kx2 1 kPx Sabemos que, em funções quadráticas, o máximo (ou o mínimo) valor ocorre no vértice. Assim, para obter o valor que maximiza a rapidez de propagação do boato, basta obter o valor da abscissa do vértice, ou seja, de xv. 3. Executando o que foi planejado Para um público-alvo de 44 000 pessoas, a função quadrática será: R(x) 5 kx(44 000 2 x) 5 2kx2 1 44 000kx b então temos a 5 2 k e b 5 44 000k. O xv é dado por xv 5 2 . Assim: 2a 44 000k 5 22 000 xv 5 2 2(2k) Então, a quantidade de pessoas que maximiza a propagação de boato, neste caso, é 22 000.
176
Matemática
4. Emitindo a resposta A resposta é o item b. 5. Ampliando o problema a) Para este modelo de propagação de boato, generalize o resultado para um público-alvo P, obtendo o número de pessoas, em função de P, que deve conhecer um boato para que tenhamos a máxima rapidez de propagação. b) Discussão em equipe Troque ideias com seus colegas sobre o que seria essa constante k presente no modelo de propagação de boatos apresentada. Em que situação o valor de k será maior ou menor: um boato sobre a morte de um artista famoso (que faltou no show de ontem à noite e ninguém sabe seu paradeiro), ou um boato sobre a morte do seu Zé que mora na esquina (e que não abre a janela há dois dias)? 5‚) Resolução da situação-problema da introdução do capítulo Os diretores de um centro esportivo desejam cercar com tela de alambrado o espaço em volta de uma quadra de basquete retangular. Tendo recebido 200 metros de tela, os diretores desejam saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar com tela para que a área seja a maior possível. área do terreno: (100 2 x)x 5 2x2 1 100x A área máxima procurada é o valor máximo da função f(x) 5 2x2 1 100x. Para refletir
x
Qual é o fato que garante a existência do valor máximo dessa função?
100 x
A área assume o valor máximo no vértice da parábola, ou seja, quando: b 100 100 5 50 (largura) 2a 2( 1) 2
Observamos então que a área máxima a ser cercada é uma região quadrada cujo lado mede 50 m. (Lembre-se de que quadrado é um caso particular de retângulo.)
Para refletir Por que o quadrado é um caso particular de retângulo?
6‚) A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por h 5 2t2 1 6t. a) Em que instante a bola atinge a altura máxima? h 5 2t2 1 6t
Ponto de máximo: V(tV , hV ) A bola atinge a sua altura máxima quando: b 6 6 tV 5 5 3 s 2a 2( 1) 2
Logo, a bola atinge a altura máxima 3 segundos após o chute. b) Qual é a altura máxima atingida pela bola?
A altura máxima atingida pela bola é: ∆ 36 36 hV 5 5 9 m ou h(3) 5 232 1 6 ? 3 5 29 1 18 5 9 m 4a 4( 1) 4 A altura máxima atingida pela bola é 9 metros.
Capítulo 5 | Função quadrática
177
DARTFISH SOLUTIONS/ Arquivo da Editora
xV 5
7‚) Dada a função quadrática f(x) 5 3x2 2 10x 1 3, vamos determinar: a) se a concavidade da parábola definida pela função está voltada para cima ou para baixo: Concavidade: voltada para cima, pois a 5 3 e, portanto, a 0. b) os zeros da função:
1 3 c) o vértice da parábola definida pela função: 5 10 b 2 16 64 1 V , ⇒ V , 2 ⇒ V , 2 ⇒ V 1 , 2 5 . 3 3 6 12 2 a 4 a 3 3
3x2 2 10x 1 3 5 0 ⇒ x’ 5 3 e x’’ 5
d) a intersecção com o eixo x: 1 (3, 0) e , 0 . 3 e) a intersecção com o eixo y: (0, 3) f) o eixo de simetria: 5 5 16 x 5 [é paralelo ao eixo y e passa por V , 2 ] 3 3 3 g) Im(f): 16 Im(f) 5 y ® | y 3 h) o esboço do gráfico: y (0, 3) (3, 0)
[ 1 , 0] 3
x 0
– 16 3
[ 5 , –16] 3 3
8‚) Vamos determinar os valores máximo e mínimo e a imagem da função f: [21, 3] → ® cuja lei de formação é f(x) 5 x2. Como o vértice de f(x) 5 x2 é V(0, 0), temos que xV 5 0 pertence ao intervalo dado. Assim, o valor mínimo é yV 5 0 e o máximo é f(3) 5 32 5 9. y 9
1 1 0
x 3
A imagem é Im 5 [0, 9].
178
Matemática
9‚) Se a função f: ® → A definida por f(x) 5 x2 + 3 é sobrejetiva, vamos determinar o conjunto A. Para que a função seja sobrejetiva, Im 5 A. Assim, precisamos determinar a imagem de f: f(x) 5 x2 + 3 2b 5 0 xV 5 2a 2∆ yV 5 5 3 4a Então, Im 5 [3, +∞[ e A 5 [3, +∞[. Observação: Voltaremos ao estudo de máximo e mínimo de funções no volume 3.
Exercícios propostos 68. Determine o vértice V da parábola que representa a
78. Observe os gráficos das funções quadráticas f(x) 5 x2, f(x) 5 (x 2 2)2 e f(x) 5 (x 1 2)2 e responda:
função quadrática: a) f(x) 5 x2 2 2x 2 3 b) f(x) 5 2x2 1 3x 2 5
c) f(x) 5 x 2 4x 1 3 2
69. Verifique se as seguintes funções admitem valor máximo ou valor mínimo e calcule esse valor: a) f(x) 5 23x2 1 2x b) f(x) 5 2x2 2 3x 2 2 c) f(x) 5 24x2 1 4x 2 1
y
f(x) (x + 2)2 x2 4x 4
f(x) x2 f(x) (x 2)2 x2 4x 4 x
2
0
2
70. Determine o valor de k para que a função f(x) 5 (2 2 k)x2 2 5x 1 3 admita valor máximo.
71. Qual o valor de m para que a função f(x) 5 (4m 1 1)x2 2 x 1 6 admita valor mínimo?
72. Para que valor de k o valor mínimo da função f(x) 5 x2 2 6x 1 3k é 3?
73. Determine m de modo que o valor máximo da função f(x) 5 (m 1 3)x2 1 8x 2 1 seja 3.
74. Faça o esboço do gráfico das seguintes funções quadráticas e determine o conjunto imagem de cada uma delas: a) f(x) 5 x2 1 4x 1 3 b) f(x) 5 x2 1 2x 1 1 c) f(x) 5 2x2 1 6x 2 9
a) Como é o gráfico da função f(x) 5 (x 2 2)2 em relação ao gráfico de f(x) 5 x2? b) E o da função f(x) 5 (x 1 2)2 em relação ao gráfico de f(x) 5 x2? c) Quais são as coordenadas dos vértices das parábolas y 5 x2, y 5 (x 2 2)2 e y 5 (x 1 2)2? d) E as do vértice da parábola y 5 (x 2 m)2? E da parábola y 5 (x 1 m)2?
79. Observe os gráficos das funções quadráticas f(x) 5 x2, f(x) 5 (x 2 2)2 1 3 e f(x) 5 (x 1 2)2 2 3: y
f(x) (x 2)2 3 4
75. Determine o conjunto imagem das seguintes funções quadráticas: a) f(x) 5 x2 2 2x 2 3 b) f(x) 5 x2 2 1
3
76. A reta, gráfico da função f(x) 5 3x 2 1, e a parábola,
1 4 3 2 1
gráfico da função g(x) 5 x 2 x 1 2, têm pontos comuns? Se tiverem, descubra quais são. 2
Para refletir Quantos pontos comuns podem ter uma reta e uma parábola?
77. Determine o conjunto A para que a função f: A [3, 7], definida por f(x) 5 x2 2 4x 1 7 seja bijetiva e crescente.
Capítulo 5 | Função quadrática
f(x) x2
2
c) f(x) 5 2x2 1 2x 2 2 d) f(x) 5 2x2 1 4x 2 6
1
x 1
2
3
4
5
2 3 f(x) (x 2)2 3
4
a) Indique as coordenadas dos vértices das parábolas: • y 5 x2 • y 5 (x 2 2)2 2 3 2 • y 5 (x 2 2) 1 3 • y 5 (x 1 2)2 1 3 2 • y 5 (x 1 2) 2 3
179
b) Como é o gráfico da função f(x) 5 (x 2 2)2 1 3 em relação ao gráfico de f(x) 5 x2? c) E o da função f(x) 5 (x 1 2)2 2 3 em relação ao gráfico de f(x) 5 x2? d) E o de f(x) 5 (x 2 m)2 2 k em relação ao gráfico de f(x) 5 x2? e) Quais são as coordenadas do vértice da parábola y 5 (x 2 m)2 1 k?
80. Dada a função quadrática f(x) 5 2x2 2 x 2 3, determine: a) se a concavidade da parábola definida pela função está voltada para cima ou para baixo; b) os zeros da função; c) o vértice da parábola definida pela função; d) a intersecção com o eixo x; e) a intersecção com o eixo y; f ) o eixo de simetria; g) Im(f); h) o esboço do gráfico.
81. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por C 5 x2 2 80x 1 3 000. Nessas condições, calcule: a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo; b) o valor mínimo do custo.
82. Deseja-se construir uma casa térrea de forma retan-
gular. O retângulo onde a casa será construída tem 80 m de perímetro. Calcule as dimensões desse retângulo sabendo que a área de sua região deve ser a maior possível.
83. Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h,
em metros, t segundos após o lançamento, seja h 5 2t2 1 4t 1 6. Determine: a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima; b) a altura máxima atingida pela bola; c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo.
84. Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela
fórmula L 5 R 2 C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que R(x) 5 6 000x 2 x2 e C(x) 5 x2 2 2 000x. Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo?
85. (PUCC-SP) Um projétil da origem O(0, 0), segundo um referencial dado, percorre uma trajetória parabólica que atinge sua altura máxima no ponto (2, 4). Escreva a equação dessa trajetória.
86. Uma região retangular tem perímetro igual a 40 m.
Quais devem ser as dimensões do retângulo para que a área seja máxima?
10. Estudo do sinal da função quadrática Estudar o sinal da função quadrática f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, a 0, significa determinar os valores reais de x para os quais f(x) se anula (f(x) 5 0), f(x) é positiva (f(x) 0) e f(x) é negativa (f(x) 0). O estudo do sinal da função quadrática vai depender do discriminante 5 b2 2 4ac, da equação do 2‚ grau correspondente ax2 1 bx 1 c 5 0, do coeficiente a e dos zeros da função (se existirem). Dependendo do discriminante, podem ocorrer três casos e, em cada caso, de acordo com o coeficiente a, podem ocorrer duas situações:
1‚ caso: 0 Neste caso: • a função admite dois zeros reais diferentes, x’ e x”; • a parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois pontos.
a 0
a0 f(x) 0 x
f(x) 0
f(x) 0
x x
x
f(x) 0
x f(x) 0
x f(x) 0
180
f(x) 5 0 para x 5 x” ou x 5 x’ f(x) 0 para x x” ou x x’ f(x) 0 para x” x x’
f(x) 5 0 para x 5 x” ou x 5 x’ f(x) 0 para x” x x’ f(x) 0 para x x” ou x x’ Matemática
Dispositivo prático: 0 e a0
0 e a,0
x x
x
x x
O que significam os sinais 1 e 2 no dispositivo prático?
x
Para refletir
Assim, quando . 0, f(x) tem o sinal oposto ao de a quando x está entre as raízes da equação e tem o sinal de a quando x está fora do intervalo das raízes.
2‚ caso: 5 0 Neste caso: • a função admite um zero real duplo x’ 5 x”; • a parábola que representa a função tangencia o eixo x.
a 0
a0 x x
f(x) 0
f(x) 0
x
f(x) 0
f(x) 0
x x x
f(x) 5 0 para x 5 x’ 5 x” f(x) 0 para x x’
f(x) 5 0 para x 5 x’ 5 x” f(x) 0 para x x’
Dispositivo prático: 5 0 e a0
50 e a,0
x x
x
x x x
Assim, quando 5 0, f(x) tem o sinal de a para x diferente da raiz dupla da equação.
3‚ caso: 0 Neste caso: • a função não admite zeros reais; • a parábola que representa a função não intersecta o eixo x.
a 0
a0 x f(x) 0
f(x) 0
f(x) 0 para todo x real
Capítulo 5 | Função quadrática
x
f(x) 0 para todo x real
181
Dispositivo prático: , 0 e a0
x
,0 e a,0
x
Assim, quando 0, f(x) tem o sinal de a para qualquer valor real de x.
Exemplos: 1‚) Vamos estudar o sinal das seguintes funções: a)
f(x) 5 x2 2 7x 1 6 a 5 1 0; a . 0 5 (27)2 2 4(1)(6) 5 25 0 zeros da função: x' 5 6 e x'' 5 1
1
x
6
Então, f(x) 5 0 para x 5 1 ou x 5 6; f(x) 0 para x 1 ou x 6 e f(x) 0 para 1 x 6.
Portanto, f(x) é positiva para x fora do intervalo [1, 6], é nula para x 5 1 ou x 5 6 e negativa para x entre 1 e 6.
b) f(x) 5 9x2 1 6x 1 1 a590 5 (6)2 2 4(9)(1) 5 0
zero da função: x 5 2
1 3
x
1 3
1 1 e f(x) 0 para todo x 2 . 3 3 1 1 Ou seja, f(x) é positiva para todo x 2 e se anula em x 5 2 . 3 3 c) f(x) 5 22x2 1 3x 2 4 a 5 22 0; a , 0 5 (3)2 2 4(22)(24) 5 223 0 Portanto, 0 e a função não tem zeros reais.
Logo, f(x) 5 0 para x 5 2
x
Logo, f(x) 0 para todo x real, ou seja, f(x) é sempre negativa.
2‚) Quais são os valores reais de k para que a função f(x) 5 x2 2 2x 1 k seja positiva para todo x real? a 0 (já satisfeita, pois a 1 0) Condições: ∆ 0 Cálculo de : D 5 (22)2 2 4(1)(k) 5 4 2 4k Daí: 4 4 2 4k 0 ⇒ 24k 24 ⇒ 4k 4 ⇒ k ⇒ k 1 4 Logo, k ® | k 1.
182
Matemática
3‚) Para quais valores reais de m a função f(x) 5 (m 2 1)x2 2 6x 2 2 assume valores negativos para todo x real? a 0 ⇒ m 1 0 ⇒ m 1 I Condições: ∆ 0 Cálculo do : 5 (26)2 2 4(m 2 1)(22) 5 36 1 8m 2 8 5 8m 1 28 Daí: 8m 1 28 0 ⇒ 8m 228 ⇒ m 2
7 28 ⇒ m 2 II 2 8
Como as duas condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo, fazemos a intersecção de I e II obtendo S: I
1
II
7 2
7 2
S
7 S 5 m ® | m 2
Exercícios propostos 87. Estude o sinal das seguintes funções quadráticas: b) f(x) 5 23x 1 2x 1 1 2
c) f(x) 5 x2 1 4x 1 4
93. Determine m de modo que a função f(x) 5 x2 1 4x 1 2m
d) f(x) 5 x2 2 4 e) f(x) 5 23x2 1 2x 2 4
seja positiva para todo x real.
f) f(x) 5 22x2 1 3x
94. Para todo x real, a função f(x) 5 x2 2 2x 2 k é positiva.
g) f(x) 5 x2 2 6x 1 8
determine os valores de k.
h) f(x) 5 x2 2 10x 1 25
95. Para quais valores de m a função f(x) 5 x2 1 5x 1 5m
i) f(x) 5 x2 1 4x 1 8
assume valores positivos para todo x real?
j) f(x) 5 24x2 11
96. Determine k para que a função
88. Para que valores reais de x a função
f(x) 5 kx2 1 (2k 1 3)x 1 k seja negativa para todo x real.
f(x) 5 x2 1 7x 1 10 é positiva?
89. Dada a função f(x) 5 x2 2 8x 1 16, determine os valores reais de x para os quais f(x) 0.
90. Quais os valores reais de x que tornam positiva a função f(x) 5 22x2 1 5x 2 2?
91. Para que valores reais de x a função f(x) 5 x 2 2x 1 6 2
é negativa?
Capítulo 5 | Função quadrática
92. Dada a função f(x) 5 x2 1 1, determine os valores reais de x para os quais: a) f(x) . 0. b) f(x) , 0.
a) f(x) 5 x 2 3x 2 4 2
97. (FEI-SP) Ache os valores reais de p para os quais a função f(x) 5 (p 2 1)x2 1 (2p 2 2)x 1 p 1 1 é positiva, qualquer que seja x.
98. Determine os valores reais de m para os quais a função f(x) 5 mx2 1 (4m 1 2)x 1 4m é negativa, qualquer que seja x.
183
11. Inequações do 2‚ grau Desigualdades como estas:
Para refletir
• x2 2 5x 1 6 0
• x2 2 4 0
• 23x2 1 2x 2 1 0
• 22x2 1 5x 0
• 3x2 0
• x2 1 7x 1 10 0
• 3x2 2 4 x 1 3 denominam-se inequações do 2‚ grau.
• (x 2 3)(x 1 3) 0
Como identificar uma inequação do 2‚ grau?
Vejamos nos exemplos a seguir como encontrar a solução de inequações do 2‚ grau usando o estudo do sinal da função quadrática. 1‚) x2 2 3x 1 2 0 Resolver a inequação x2 2 3x 1 2 0 significa determinar os valores reais de x para os quais a função f(x) 5 x2 2 3x 1 2 assume valores negativos. a 5 1 0; a . 0 5 (23)2 2 4(1)(2) 5 9 2 8 5 1 0; 0 As raízes da equação x2 2 3x 1 2 5 0 são x’ 5 1 e x’’ 5 2. Dispositivo prático: Para refletir
1
x
2
O que significa a bolinha vazia no 1 e no 2?
Como devemos ter f(x) 0, então S 5 {x ® | 1 x 2} é a solução da inequação.
2‚) 2x2 1 9 0 a 5 21 0; a , 0 5 (0)2 2 4(21)(9) 5 36 0; 0 As raízes da equação x2 2 9 5 0 são x' 5 23 e x'' 5 3. Dispositivo prático: 3
x
3
Como devemos ter f(x) 0, então S 5 {x ® | 23 x 3} é a solução da inequação.
3‚) 2x2 2 2x 1 5 0 a 5 2 0; a . 0 5 (22)2 2 4(2)(5) 5 4 2 40 5 236 0; 0 A equação 2x2 2 2x 1 5 5 0 não tem raízes reais. Dispositivo prático:
x
Como devemos ter f(x) 0, então S 5 ®.
184
Matemática
4‚) 2x2 1 6x 2 9 0 a 5 21 0; a , 0 5 (6)2 2 4(21)(29) 5 36 2 36 5 0; 5 0 A equação 2x2 1 6x 2 9 5 0 tem uma raiz dupla: x' 5 x'' 5 3. Dispositivo prático: 3
x
Neste caso, é impossível obter a negativo e f(x) positiva, pois f(x) deveria ter o sinal de a para x diferente da raiz dupla. Logo, S 5
5‚) (x 2 1)2 3 2 x Neste caso, devemos inicialmente escrever a inequação na forma f(x) 0. (x 2 1)2 3 2 x ⇒ x2 2 2x 1 1 3 2 x ⇒ x2 2 2x 1 1 2 3 1 x 0 ⇒ x2 2 x 2 2 0 a 5 1 0; a 0 5 (21)2 2 4(1)(22) 5 1 1 8 5 9 0; 0 As raízes da equação x2 2 x 2 2 5 0 são x' 5 2 e x'' 5 21. Dispositivo prático:
1
x
2
Como devemos ter f(x) 0, então S 5 {x ® | x 21 ou x 2} é a solução da inequação.
Exercícios propostos 99. Resolva as seguintes inequações do 2‚ grau: a) 3x2 2 10x 1 7 0 d) x2 2 5x 1 10 0 g) 3x2 1 x 1 1 . 0 b) 22x2 2 x 1 1 0
e) 24x2 1 9 0
h) 2x2 2 2x 1 3 . 0
c) x 2 10x 1 25 0
f) 2x 2 8x 2 16 0
i) x2 2 4x > 0
2
2
100. Considere a função f(x) 5 x2 1 1. Calcule os valores reais de x para que se tenha f(x 1 2) , f(2). 101. Resolva as seguintes inequações do 2‚ grau: a) 3(x 2 1) 2 6x 2 2 2x(x 2 3)
d) (x 1 4)(x 2 3) > 14 1 (1 2 x)(x 2 2)
b) 2(x 2 1)2 , x
e) 3(x2 2 10) 4x2 2 34
c) x(x 2 3) 1 1 . 5(x 2 3) 1 2
102. Qual é o menor número inteiro positivo que satisfaz a condição 3x x( x 2 1)? 103. (PUC-SP) Sendo f(x) 5 x2 2 3x 1 8, calcule o conjunto solução da inequação f(x) . 2f(1). 104. (Unip-SP) Seja A o conjunto solução da inequação x2 2 5x 1 4 , 0 e n 5 {0, 1, 2, 3, …} o conjunto dos números naturais. Determine o conjunto A n.
105. (Faap-SP) Resolva a inequação (2x 2 5)(x 2 4) 2 7 > (x 2 2)(x 2 3).
Capítulo 5 | Função quadrática
185
Inequações simultâneas Resolver inequações simultâneas é o mesmo que resolver um sistema de inequações.
Exemplos: 1‚) Vamos resolver 28 x2 2 2x 2 8 0 em ®. 2 2 x 2 x 8 0 x 2 x 8 0 ⇒ 2 2 x 2 x 8 8 x 2 x 0
x2 2 2x 2 8 0 I a510 5 36 0 x’ 5 4 e x’’ 5 22
2
x2 2 2x 0 II a510 540 x’ 5 2 e x’’ 5 0 x
4
0
SI 5 {x ® | 22 x 4}
x
2
SII 5 {x ® | x 0 ou x 2}
omo temos duas condições que devem ser satisfeitas simultaneamente, vamos determinar a intersecção C S 5 SI SII: 4
2
SI
SII
0
S
2
0
2
4
2
S 5 {x ® | 22 x 0 ou 2 x 4} x 1 0 em ®. 2‚) Vamos resolver o sistema 2 x 5x 6 0 x 2 1 0 I a510 x 5 1 (raiz)
x2 2 5x 2 6 0 II a510 5 49 0 x’ 5 6 e x’’ 5 21 (raízes)
x
1
1
x
6
SII 5 { x ® | 21 x 6}
SI 5 {x ® | x 1} Vamos determinar S 5 SI SII:
1
SI
SII S
6
1
1
6
S 5 {x ® | 1 x 6}
186
Matemática
Exercícios propostos 106. Resolva em ®:
x 2 2 x 0 c) 2 x 2 x 3 0
a) 26 x2 2 5x 6 b) 7 x2 1 3 4x c) 2 x2 2 x 20 2 2x d) 3 x2 2 2x 1 8 8
2 x 2 x 1 0 d) 2 x 4 0
107. Resolva os sistemas de inequações em ®: 2 x 6 x 8 0 a) x 5 0
3 2 x e) ( Vunesp ) 2 x 4 x 3 0
2 x 1 0 b) 2 x 2 x 0
Inequação-produto Desigualdades como estas: • f(x) g(x) 0
• f(x) g(x) 0
• f(x) g(x) 0
• f(x) g(x) 0
são denominadas inequações-produto. Vamos resolver algumas inequações-produto em ®. Veja os exemplos: 1‚) (x 2 3)(x2 1 3x 2 4) 0 f(x) 5 x 2 3 a 5 1 0; a . 0 x 2 3 5 0 ⇒ x 5 3 (raiz) x
g(x) 5 x2 1 3x 2 4 a 5 1 0; a . 0 5 25; 0 x’ 5 1 e x’’ 5 24 (raízes da equação)
3
4
Quadro de resolução: 1
4
3
f(x)
g(x)
f(x) g(x)
1
4
x
1
2‚) (x2 2 9x 2 10)(x2 2 4x 1 4) 0 f(x) 5 x2 2 9x 2 10 a 5 1 0; a . 0 5 121 0 raízes: x’ 5 10 e x’’ 5 21 1
10
Para refletir
3
De acordo com a inequação dada, devemos ter f(x) ? g(x) 0. Então: S 5 {x ® | 24 x 1 ou x 3}
Como são obtidos os sinais de f(x) g(x)?
g(x) 5 x2 2 4x 1 4 a 5 1 0; a . 0 50 raiz: 2
x
x
2
Capítulo 5 | Função quadrática
187
Quadro de resolução: 2
1
10
f(x)
g(x)
f(x) g(x)
10
1
Logo, S 5 { x ® | 21 x 10}.
3‚) (2x 1 1)(x2 2 x 1 5)(x2 2 9) 0 f(x) 5 2x 1 1 a 5 21 0 raiz 5 1
g(x) 5 x2 2 x 1 5 a510 5 219 0 não tem raízes reais
x
1
x
3
x
3
Quadro de resolução: 1
3
3
f(x)
g(x)
h(x)
f(x) g(x) h(x)
3
h(x) 5 x2 2 9 a510 5 36 0 raízes: x’ 5 3 e x’’ 5 23
1
3
Logo, S 5 {x ® | x 23 ou 1 x 3}.
Exercícios propostos 108. Resolva as seguintes inequações em ®: a) (x 2 3)(2x2 1 3x 1 10) 0 b) (x2 2 3x)(2x 1 2) 0 c) (x2 2 5x)(2x2 1 3x 2 6) . 0 d) (x2 2 2x 1 8)(x2 2 5x 1 6)(x2 2 4) 0
109. Quais os números inteiros positivos que pertencem ao conjunto solução da inequação (x2 2 2x 2 15)(2x 1 2) 0?
188
110. Determine o conjunto solução da inequação (2x2 2 x 1 6)(x2 2 4x) 0 em ®.
111. Dados f(x) 5 x2 2 2x e g(x) 5 x2 2 7x 1 12, calcule os valores reais de x para que se tenha f(x) ? g(x) < 0.
112. Para quais valores reais de x o produto (x2 2 5x 1 6)(x2 2 16) é positivo?
113. (FGV-SP) Determine os valores de x para os quais (x2 2 8x 1 12)(x2 2 5x) , 0.
Matemática
Inequação-quociente Desigualdades como estas: f (x) f (x) f (x) f (x) 0 • 0 • 0 • 0 • g( x ) g( x ) g( x ) g( x ) são denominadas inequações-quociente. Lembramos que a regra de sinal para o cálculo do quociente de dois números reais é a mesma que para o cálculo do produto, e que uma fração se anula quando o numerador é zero e o denominador diferente de zero. Veja os exemplos de como resolver inequações-quociente em ®: 2x + 3 0 x 2 4 x 2 5
1‚)
2
g(x) 5 x2 2 4x 2 5 a510 5 36 0 raízes: x’ 5 5 e x’’ 5 21 Restrição: x2 2 4x 2 5 0 ⇒ x 5 e x 21
f(x) 5 2x 1 3 a 5 21 0 raiz: x 5 3 x
3
x 1
Quadro de resolução:
Para refletir f(x)
g(x)
f(x) g(x)
3
1
S 5 {x ® | x 21 ou 3 x 5}
2‚)
x 2 8 x 12 0 x 2 9
5
3
1
5 16; 0
5 36; 0
a510 raízes: x’ 5 3 e x’’ 5 23 Restrição: x2 2 9 0 ⇒ x 3 e x 23
x 2
6
x 3
3
Quadro de resolução: 2
3
3
6
f(x)
g(x)
f(x) g(x)
3
g(x) 5 x2 2 9
Analise com atenção e interprete o significado das flechas, das bolinhas vazias , das bolinhas cheias • e do traço mais forte nos dispositivos práticos.
5
f(x) 5 x2 2 8x 1 12 a510 raízes: x’ 5 6 e x” 5 2
5
2
3
6
S 5 {x ® | 23 x 2 ou 3 x 6}
Capítulo 5 | Função quadrática
189
3‚)
x 2 1 5x 3 x 1 1
Neste caso, vamos obter a inequação-quociente equivalente fazendo as transformações necessárias. x 2 1 5x x 2 2 x 3 x 2 5x 3( x 1) 2 3 0 ⇒ 0 ⇒ 0 x 1 x 1 1 x 1 f(x) 5 x2 1 2x 2 3 a 5 1 0; a . 0 5 16; 0 raízes: x’ 5 1 e x” 5 23
x
x
1
3
g(x) 5 x 1 1 a 5 1 0; a . 0 raiz: x 5 21 Restrição: x 1 1 0 ⇒ x 21
1
Quadro de resolução: 1
1
3 f(x)
g(x)
f(x) g(x)
3
S 5 {x ® | x 23 ou 21 x 1}
4‚)
( x 4 )( x 2 25) 0 x 2 5x 4
1
1
f(x) 5 x 2 4 a 5 1 0; a . 0
g(x) 5 x2 2 25
h(x) 5 2x2 1 5x 2 4
a 5 1 0; a 0
a 5 21 0; a , 0
raiz: x 5 4
5 100; 0
5 9; 0
raízes: x’ 5 5 e x’’ 5 25
raízes: x’ 5 1 e x’’ 5 4
x
Restrição: 2x2 1 5x 2 4 0 ⇒ x 1 e x 4
4
x 1
4
Quadro de resolução: 1
5
x
5
5
4
5
f(x)
g(x)
h(x)
f(x) g(x) h(x)
5
1
4
5
S 5 {x ® | x 25 ou 1 x 4 ou 4 x 5}
190
Matemática
Exercícios propostos 114. Resolva as inequações em ®: 2
117. Para quais valores reais de x a desigualdade 2
a)
x 2 5x + 6 0 x 2 2
d)
x + x 1 x 2 2 1
b)
x 2 2 3x + 2 0 x 2 4
e)
3x , 21 x 2 2 4
x 2 4 c) > 0 2 x 3x
x 2 3 + 1 x é verdadeira? x 2 2
118. Use inequação-produto e depois inequação do 2‚ grau para resolver de duas formas diferentes a seguinte inequação em ®: (x 2 4)(2x + 2) 0.
x 1 . 0 f) x 2 x
119. Dados f(x) 5 x2 2 2x 2 3 e g(x) 5 2x2 1 4, determine
115. Determine os valores reais de x para os quais
os valores reais de x para os quais
x 2 + x 0. x 2 1
116. Determine os valores reais de x para os quais a expressão
x 2 2 7 x + 12 seja positiva. x 2 2
120. Resolva a inequação em ®:
f(x) . 0. g(x)
(x2 1 2x 2 3)(x2 1 5x 1 6) >0 23x 2 6
121. (EEM-SP) Resolva a inequação (x 1 4) , 2
2 em ®. x11
12. Taxa de variação da função quadrática Diferente da função afim, a taxa de variação da função quadrática não é constante. Ela varia conforme o ponto P da parábola, e é dada por 2ax0 1 b, em que x0 é a abscissa de P. Por isso dizemos taxa de variação no ponto P. Veremos este assunto mais detalhadamente no volume 3. Geometricamente, a taxa de variação da função quadrática em um ponto P é a inclinação da tangente à parábola y 5 ax2 1 bx 1 c no ponto P(x0, y0). y y ax2 bx c
(x, y)
t
P(x0, y0)
y0 ax20 bx0 c
x
x x0
A inclinação da tangente t no ponto P(x0, y0) é dada por 2ax0 1 b.
Exemplo: Vamos determinar a taxa de variação das funções quadráticas no ponto P(x0, y0): a) f(x) 5 x2 2 5x 1 6 Vamos substituir diretamente na expressão 2ax 1 b. Neste caso, a 5 1, b 5 25 e encontramos também 2x 2 5, que, no ponto P(x0, y0), se torna 2x0 2 5. b) f(x) 5 2x2 1 2x 2 1 Substituindo diretamente na expressão 2ax 1 b, temos a 5 21 e b 5 2. Logo, 2ax 1 b 5 22x 1 2, que no ponto P(x0, y0) se torna 22x0 1 2. Capítulo 5 | Função quadrática
191
Exercício proposto 122. Determine a taxa de variação de cada uma das funções quadráticas no ponto P(x0, y0): a) f(x) 5 x2 2 4x 1 4
b) f(x) 5 6x2 1 5x 1 1 c) f(x) 5 2x2 1 3x 2 2 d) f(x) 5 212x2 1 7x 2 1
Aplicação: movimento uniformemente variado (MUV) 1 2 at 1 bt 1 c, que for2 nece a posição de um objeto num certo instante t. Nesse caso, a é a aceleração, b é a velocidade inicial (quando O movimento uniformemente variado é caracterizado pela função quadrática f(t) 5
t 5 0) e c é a posição inicial do objeto.
espaço percorrido . No caso do movimentempo de percurso to de um objeto dado por uma função f, temos que sua velocidade média no intervalo [t, t 1 h] é dada por: f(t 1 h) 1 f(t) velocidade média 5 h 1 Para f(t) 5 at2 1 bt 1 c, temos: 2 1 1 1 f(t 1 h) 5 a(t 1 h)2 1 b(t 1 h) 1 c 5 at2 1 ath 1 ah2 1 bt 1 bh 1 c 2 2 2 e 1 1 1 1 f(t 1 h) 2 f(t) 5 at2 1 ath 1 ah2 1 bt 1 bh 1 c 2 at2 2 bt 2 c 5 ath 1 ah2 1 bh 2 2 2 2 Sabemos que velocidade média num intervalo de tempo é igual a
Assim: f(t 1 h) 2 f(t) 5 h
1 ath 1 ah2 1 bh 1 2 5 at 1 ah 1 b 2 h
Quando h se aproximar de zero, o valor da velocidade média se aproximará de at 1 b. Chamamos de v(t) 5 at 1 b a velocidade do ponto (no MUV) no instante t. Observe que, se t 5 0, v(0) 5 b. É por isso que chamamos b de velocidade inicial. Na função afim v(t) 5 at 1 b, a constante a (aceleração) é a taxa de variação da velocidade. Como ela é constante, o movimento chama-se uniformemente variado.
Exemplos: 1‚) Uma partícula é colocada em movimento sobre um eixo a partir do ponto de abscissa 212, com velocidade inicial de 7 m/s e aceleração constante de 22 m/s2. Em quanto tempo a trajetória mudará de sentido? O problema pode ser resolvido de duas maneiras:
1a maneira A trajetória da partícula é dada em função do tempo por: 1 f(t) 5 at2 1 bt 1 c 2 Nesse caso, a 5 22, b 5 7 e c 5 212. Assim, temos: f(t) 5 2t2 1 7t 2 12 Ponto de máximo: b 27 t52 5 5 3,5 2a 22 2a maneira Nesse instante, a velocidade é zero, ou seja, v(t) 5 0. Então: v(t) 5 at 1 b ⇒ 0 5 22t 1 7 ⇒ t 5 3,5 s Portanto, depois de 3,5 s a partícula mudará de sentido.
192
Matemática
2‚) Um automóvel viaja com velocidade de 108 km/h (ou seja, 30 m/s) num trecho retilíneo de uma estrada quando, subitamente, o motorista vê um acidente na pista. Entre o instante em que o motorista avista o acidente e aquele em que começa a frear, o carro percorre 20 m. Se o motorista frear o carro à taxa constante de 5,0 m/s2 mantendo-o em sua trajetória retilínea, ele só evitará o acidente se o tiver percebido a, no mínimo, qual distância?
1a maneira Como o carro freia com aceleração constante de 5 m/s2, podemos escrever sua aceleração como sendo a 5 25 m/s2. Dv 230 230 Assim, o tempo de frenagem será dado por: a 5 ⇒ 25 5 ⇒ Dt 5 56s Dt Dt 25 2 at Como a distância percorrida é dada por S 5 1 v0t 1 s0 e temos que s0 5 20 m, v0 5 30 m/s, t 5 6 s, a 5 25 m/s2, 2 2 (25)6 calculamos S: S 5 1 30 ? 6 1 20 5 290 1 180 1 20 5 110 2 Logo, S 5 110 m.
2a maneira Construímos o gráfico da velocidade 3 tempo.
v (m/s) 30 20 10 t (s)
0
1
2
3
4
5
6
Sabe-se que a superfície compreendida entre o gráfico e os eixos coordenados tem área A numericamente igual S S ao deslocamento S [basta observar que A 5 vt, mas v 5 . Assim, A 5 ? t, ou seja, A 5 S] . t t v (m/s)
v
A
t (s)
t
base ? altura 6 ? 30 5 5 90 m. Logo, S 5 90 m. 2 2 Como o automóvel percorre uma distância de 20 m, antes de acionar os freios, a distância total percorrida será de D 5 20 m 1 90 m 5 110 m. Portanto, o motorista só evitará o acidente caso o tenha avistado a pelo menos 110 m de distância. Nesse caso, S 5
3‚) Um automóvel, partindo do repouso, mantém aceleração constante de 4 m/s2 durante 5 s. A partir daí, mantém velocidade constante durante 10 s, quando começa a frear, variando sua velocidade em 4 m/s a cada segundo, até parar. a) Vamos calcular a distância total percorrida pelo automóvel durante todo o seu percurso.
1a maneira Neste caso temos três tipos de movimentos independentes: na primeira parte, o automóvel mantém velocidade variável com aceleração constante (MUV – movimento uniformemente variado). Na segunda parte ele mantém velocidade constante (MU – movimento uniforme). E, finalmente, na terceira parte ele volta a acelerar (MUV). Assim, temos:
Capítulo 5 | Função quadrática
193
Parte 1: movimento uniformemente variado (acelerado) t 5 5 s at2 4 ? 52 4 ? 25 S (t) 5 t 1 s ⇒ S (5) 5 10?5105 5 50 m 1 v 1 0 0 1 2 2 2 2 a 5 4 m/s s 0 5 0 v 0 5 0
Assim, S1 5 50 m.
Como v 5 v0 1 at, temos v1 5 0 1 4 ? 5 5 20.
Logo, v1 5 20 m/s.
Parte 2: movimento uniforme
t 5 10 s
v 5 v1 5 20 m/s
S2 5 0 1 20 ? 10 5 200
Logo, S2 5 200 m.
Parte 3: movimento uniformemente variado (retardado)
v 5 cons tan te S2(t) 5 s0 1 vt s 0 5 0
a 4 m /s 2 ( movimento retardado ) v 0 20 m / s v 0 m /s s 0 0
a5
S3(t) 5
Logo, S3 5 50 m.
Para calcular a distância total percorrida, devemos somar todos os deslocamentos: S 5 S1 1 S2 1 S3.
Logo, S 5 50 1 200 1 50 5 300 m, ou seja, S 5 300 m.
2a maneira
L embrando que em um gráfico da velocidade por tempo a área da superfície compreendida entre o gráfico e os eixos coordenados é numericamente igual ao deslocamento, temos neste caso: (B 1 b)a v (m/s) Área do trapézio: A 5 ; B 5 20, b 5 10 e a 5 20 2 20 600 (20 1 10)20 S 5 300 5 A5 t (s) 2 2
v 2 v0 Dv 220 ⇒ 24 5 5 ⇒t55s Dt t 2 t0 t at2 24 ? 52 1 v0t 1 s0 ⇒ S3(5) 5 1 20 ? 5 1 0 5 250 1 100 5 50 2 t
Portanto, S 5 300 m.
0
5
b) Vamos calcular a velocidade média desse automóvel durante esse intervalo de tempo.
1a maneira S 300 m vm 5 5 5 15 m/s, ou seja, vm 5 15 m/s. t 20 s
2a maneira
vm 5
194
15
10 s
20
5s
300 m 5 15 m/s, ou seja, vm 5 15 m/s. 20 s Matemática
ercícios propostos Exercícios propostos 123. Uma partícula é colocada em movimento sobre um eixo. Calcule em quanto tempo a trajetória mudará de sentido nos seguintes casos: a) a posição inicial é igual a 23, a velocidade inicial é de 4 m/s e a aceleração constante é de 22 m/s2; b) a posição inicial é igual a 216, a velocidade inicial é de 12 m/s e a aceleração constante é de 24 m/s2; c) a posição inicial é igual a 15, a velocidade inicial é de 28 m/s e a aceleração constante é de 2 m/s2; d) a posição inicial é igual a 236, a velocidade inicial é de 218 m/s e a aceleração constante é de 4 m/s2.
124. Partindo do repouso, um avião percorre a pista de decolagem com aceleração constante e atinge a velocidade de 360 km/h (100 m/s) em 20 s. Calcule o valor da aceleração desse avião (m/s2) e o comprimento mínimo da pista de decolagem para que o avião consiga decolar.
125. Um automóvel, partindo do repouso, mantém aceleração constante de 5 m/s2 durante 8 s. A partir daí, mantém velocidade constante durante 20 s, quando começa a acelerar novamente, variando sua velocidade em 5 m/s, a cada segundo, até atingir a velocidade de 80 m/s. Calcule a distância total percorrida pelo automóvel durante todo o seu percurso.
13. Função quadrática e progressão aritmética Já vimos no capítulo anterior que uma função afim f(x) 5 ax 1 b transforma uma progressão aritmética em uma outra progressão aritmética. Vimos também que essa propriedade caracteriza a função afim, ou seja, se uma função tem essa propriedade ela é considerada afim e, se ela for afim, terá essa propriedade. Vejamos agora o que ocorre com a função quadrática. Consideremos a função quadrática f(x) 5 x2 e a progressão aritmética: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ..., 2n 1 1, ... e vejamos o que ocorre com f(1), f(3), f(5), f(7), f(9), f(11), ..., f(2n 2 1), f(2n 1 1), ... ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 2 1, 9, 25, 49, 81, 121, ..., 4n 2 4n 1 1, 4n2 1 4n 1 1, ... Essa nova sequência não é uma progressão aritmética, pois a diferença entre dois termos consecutivos não é constante. Mas, se tomarmos as diferenças entre os termos consecutivos dessa nova sequência, teremos: 8, 16, 24, 32, 40, ..., 8n, ... que é uma progressão aritmética de razão 8. Isso ocorre não só com a função quadrática mais simples f(x) 5 x2, mas com qualquer função quadrática f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, a 0. Essa propriedade caracteriza a função quadrática, ou seja, se f é uma função quadrática, então ela transforma uma PA numa sequência cujas diferenças dos termos consecutivos formam uma PA. E, reciprocamente, se uma função transforma uma PA em uma sequência cujas diferenças dos termos consecutivos também formam uma PA, então essa função é uma função quadrática.
Exercícios propostos 126. Dada a progressão aritmética 1, 2, 3, 4, 5, ..., n, n 1 1, ... e a função quadrática f(x) 5 x2 1 1, verifique que a sequência formada pela diferença dos termos consecutivos de f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), ..., f(n), f(n 1 1), ... é uma PA.
127. D ada a progressão aritmética 1, 3, 5, 7, 9, 11, ..., 2n 1 1, ... e a função quadrática f(x) 5 x2 2 2x 1 1, verifique que a sequência formada pela diferença dos termos consecutivos de f(1), f(3), f(5), f(7), f(9), f(11), ..., f(2n 2 1),f(2n 1 1), ... é uma PA.
Capítulo 5 | Função quadrática
128. É possível provar que, se r é a razão da primeira PA, então a razão da última PA será 2ar2. Constate esse fato nos dois exercícios anteriores.
129. Dada a progressão aritmética 1, 4, 7, 10, 13, 16, ..., 3n 1 1, ... e a função quadrática f(x) 5 4x2 2 4x 1 1: a) verifique que a sequência formada pela diferença dos termos consecutivos de f(1), f(4), f(7), f(10), f(13), f(16), ..., f(3n 1 1), ... é uma PA. b) determine as razões da primeira e da última PA. Constate que, se r é a razão da primeira PA, a razão da última pode ser encontrada por 2ar2.
195
14. Outros problemas envolvendo equação do 2‚ grau e função quadrática
Exercícios propostos 130. A despesa total de um condomínio é de R$ 3 600,00. No entanto, 10 condôminos deixaram de pagar, ocasionando um acréscimo de R$ 60,00 para cada condômino. Quantos são os condôminos no total e quanto cada um dos pagantes pagou?
131. Um ônibus de 40 lugares foi fretado para uma excursão. A empresa exigiu de cada passageiro R$ 20,00 mais R$ 2,00 por lugar vago. Qual o número de passageiros para que a rentabilidade da empresa seja máxima?
132. Dois amigos levam juntos 24 horas para descarregar um trem carregado de farinha. Se os dois trabalhassem sozinhos, um deles levaria 20 horas a menos do que o outro para descarregar a farinha. Em quanto tempo cada um deles descarregaria o trem?
133. Duas torneiras enchem uma piscina em 18 horas. Uma delas sozinha levaria 15 horas a mais do que a outra para enchê-la. Quantas horas levaria cada uma das torneiras para encher essa piscina?
134. Atividade em dupla Define-se custo médio de produção Cm(x) o valor de produção de uma peça de um lote de x peças. Assim, o custo médio é calculado dividindo-se o custo total C( x ) . Se pelo número de peças produzidas: Cm(x) 5 x o custo médio de produção de certa mercadoria é 10 dado por Cm(x) 5 2x + 3 + e a função receita é x dada por R(x) 5 10x 2 2x2 (x é dado em milhares): a) obtenham o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo; b) classifiquem a função Cm quanto ao crescimento no intervalo [1, 4]. O que vocês podem concluir após analisar o crescimento da função?
135. (FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por L 5 2x2 1 30x 2 5, em que x é a quantidade mensal vendida. a) Qual o lucro mensal máximo possível? b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195?
136. (UFRN) Uma pedra é atirada para cima, com velocidade inicial de 40 m/s, do alto de um edifício de 100 m de altura. A altura (h) atingida pela pedra em relação ao solo, em função do tempo (t), é dada pela expressão h(t) 5 25t2 1 40t 1 100.
196
a) Em que instante t a pedra atinge a altura máxima? Justifique. b) Esboce o gráfico de h(t).
137. (Faap-SP) Suponha que no dia 5 de dezembro de 1995 o Serviço de Meteorologia do Estado de São Paulo tenha informado que a temperatura na cidade de São Paulo atingiu o seu valor máximo às 14h, e que nesse dia a temperatura f(t) em graus é uma função do tempo t medido em horas, dada por f(t) 5 2t2 1 bt 2 156, quando 8 , t , 20. Obtenha o valor de b. a) 14 d) 35 b) 21 e) 42 c) 28
138. (UFPE) Num voo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aérea cobra R$ 200,00 por pessoa quando todos os lugares são ocupados. Se existirem lugares não ocupados, ao preço de cada passagem será acrescida a importância de R$ 4,00 por cada lugar não ocupado (por exemplo, se existirem 10 lugares não ocupados o preço de cada passagem será R$ 240,00). Quantos devem ser os lugares não ocupados para que a companhia obtenha o faturamento máximo?
139. (Vunesp) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão h(t) 5 3t 2 3t2, em que h é a altura atingida em metros. a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?
Desafio em equipe Considerem a função de ®+ em ® definida por f(x) = x e 9 o ponto A , 0 . Qual é o ponto da curva definida por 2 f(x) = x que tem a menor distância ao ponto A? f (x) 7 6 5 4 3 2 1 0
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A
Matemática
A MATEMÁTICA E AS PRÁTICAS SOCIAIS Tensão no Oriente
Lee Jae-won/reuters/latinstock
Somente ontem (5/7/2009), os norte-coreanos lançaram sete mísseis, desafiando a ONU (Organização das Nações Unidas) e países vizinhos, como o Japão. Em pouco mais de dois dias, a Coreia do Norte lançou onze mísseis de curto e médio alcance em testes militares realizados na costa leste do país, no litoral do mar do Japão. Sob críticas internacionais, após o teste nuclear de 25 de maio passado, o regime comunista mantém as ameaças a despeito de sanções impostas pelo Conselho de Segurança (CS) da ONU.
Grande parte dos sete testes realizados foram com mísseis de curto alcance, entre 400 km e 500 km.
Com um histórico de disparar mísseis em momentos de atrito diplomático, a Coreia do Norte já havia anunciado que realizaria manobras militares durante o mês de julho, e pediu ao Japão que não se aproximasse de sua costa no período. Ontem, os Estados Unidos comemoraram sua independência – enquanto o país asiático lembrou os três anos do primeiro teste de seu mais potente míssil, o Taepodong-2. Os Estados Unidos consideraram “perigosos e provocativos” os testes realizados desde quinta-feira pela Coreia do Norte. Relatórios dos ministérios da Defesa da Coreia do Sul e do Japão revelam um possível ataque ao território americano do Havaí, no Pacífico. O secretário de Defesa dos Estados Unidos, Robert Gates, anunciou que aprovou a ativação de um sistema antimísseis próximo ao Havaí para proteger o arquipélago de um possível lançamento norte-coreano. O presidente Barack Obama declarou que o país está “totalmente preparado para qualquer tipo de contingência” em relação a um possível lançamento de um míssil pela Coreia do Norte. Dos sete testes realizados ontem, a maior parte era de mísseis de curto alcance – entre 400 km e 500 km –, segundo o governo sul-coreano. O Serviço de Inteligência de Seul diz que, apesar da pouca potência, a Coreia do Norte possui algo em torno de 700 projéteis como os testados ontem, do tipo Scud, que tem capacidade para atingir a Coreia do Sul. Capítulo 5 | Função quadrática
197
Entre os armamentos norte-coreanos, há ainda 320 mísseis Rodong, que podem atingir o Japão, e as variações do Taepodong – cujo alcance varia entre 4 000 e 6 500 km, podendo atingir a costa do Alasca ou passar pelo Havaí. Segundo reportagem da agência de notícias Associated Press, que cita fontes do governo sul-coreano, os militares do regime comunista atiraram seu sétimo míssil a partir de Wonsan, cidade no litoral do mar do Japão. O local foi usado em todos os testes recentes para lançamento de projéteis de curto alcance. Os testes são realizados ininterruptamente desde as 8h locais (20h de sexta-feira em Brasília). O Japão teme que seja alvo de ataques, apesar das críticas e fortes restrições lançadas pela ONU após a detonação de bombas em testes nucleares no fim de maio. “Não podemos descartar essa possibilidade”, afirmou o chefe de gabinete do governo japonês, Takeo Kawamura. Esta série de lançamentos é a primeira desde que a ONU impôs em 12 de junho novas e mais duras sanções. A organização vetou, por exemplo, o comércio de armas com o país comunista. Fonte: Adaptado de http://diariodonordeste.globo.com/materia.asp?codigo5652126. Acesso em 9/11/2009.
CALCULANDO E COMPREENDENDO MELHOR O TEXTO 1. Um míssil Scud pode voar a velocidade de 6 500 km/h. Não há muito tempo para identificar, reagir e efetuar a defesa. Quanto tempo levaria um míssil Scud viajando a 6 500 km/h para atingir uma cidade que fica a 4 550 km do ponto de lançamento?
2. O Instituto de Ciência e Segurança Internacional considera que, com 50 kg de plutônio, pode-se fabricar 12 bombas nucleares. Considerando que em junho de 2008 a Coreia do Norte, ao entregar sua declaração nuclear, afirmou dispor de uma reserva de plutônio de 31 kg, qual o número máximo de bombas nucleares que esse país poderia produzir?
3. Considere os testes realizados com mísseis de curto alcance, cujo alcance máximo é de 400 km, e a trajetória do míssil descrita pela função y 5 2x2 1 400x, em que x e y são dados em km. O míssil foi lançado a partir do ponto A(0, 0). Determine as coordenadas dos pontos B, C e M. C
a função A(x) 5 2x2 1 6x; para sua defesa, eles lançam um míssil Patriot, que descreve uma trajetória retilínea segundo a função B(x) 5 23x 1 k, em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas com x e y dados em centenas de quilômetros. Sabendo que o ponto mais alto da trajetória do míssil Scud é o ponto onde os dois mísseis se chocam, determine o valor de k.
PESQUISANDO E DISCUTINDO 5. Com as explosões das bombas atômicas lançadas em 1945 pelos Estados Unidos nas cidades de Hiroshima e de Nagasaki, estima-se que mais de 200 mil pessoas foram mortas ao serem expostas à radiação ou a uma temperatura semelhante à do Sol. Faça uma pesquisa sobre essas explosões e discuta com seus colegas a importância do desarmamento nuclear no mundo.
6. A Guerra Fria foi um conflito teórico que ocorreu entre dois blocos políticos pouco depois da Segunda Guerra Mundial. Um bloco era liderado pelos Estados Unidos e o outro pela União Soviética. Pesquise e discuta com seus colegas sobre o que foi a Guerra Fria, a sua origem, seu fim e as suas consequências para a economia e a política mundiais.
7. Com o objetivo de impedir que cidadãos fugissem da
A
M
B
4. Os Estados Unidos desenvolveram o sistema de míssil Patriot com o intuito de detectar e interceptar um míssil inimigo de até 6 m de comprimento, alcançando até 5 vezes a velocidade do som. Segundo o presidente Barack Obama, os Estados Unidos estão “totalmente preparados para qualquer tipo de contingência”. Suponha que os Estados Unidos sejam atacados por um míssil Scud, que descreve uma trajetória parabólica segundo
198
Alemanha Oriental para a Alemanha Ocidental, o governo comunista construiu em 1961 o muro de Berlim e dividiu por quase trinta anos os dois Estados. Em 1989 houve a derrubada desse muro. Pesquise e discuta com seus colegas o que representou politicamente a derrubada do muro de Berlim.
VEJA MAIS SOBRE O ASSUNTO Procure mais informações em jornais, revistas e nos sites www.aprendebrasil.com.br/noticiacomentada /050805not01.asp, http://educacao.uol.com.br/historia/ ult1690u30.jhtm e http://educaterra.terra.com.br/voltaire/ mundo/muro.htm. Matemática
>Atividades adicionais Região Nordeste
ATENÇÃO!
5. (UFC-CE) Sejam [0, 2] e [a, b] intervalos fechados de
AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC., NÃO ESCREVA NO LIVRO. TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.
números reais, f: [0, 2] → ® e g: ® → [a, b] funções definidas por f(x) 5 x2 1 1 e g(x) 5 x 1 1. Se a função composta g f é sobrejetiva, calcule a soma dos extremos [a, b].
A seguir, separadas por regiões geográficas, relacionamos algumas questões de vestibular que envolvem o conteúdo deste capítulo.
6. (Ufal) Determine o menor número inteiro tal que
Região Norte
1. (Ufam) As duas raízes da função do 2‚ grau são 2 1 . Então f(x) é igual a: 3 a) 6x2 2 x 2 1. b) 6x2 1 x 2 1. c) 6x2 2 x 1 1. d) 6x2 1 2x 2 2. e) 6x2 2 2x 1 2.
1 2
e
7. (Uece) O valor de m para o qual o gráfico da função linear g(x) 5 mx contém o vértice da parábola que configura o gráfico da função quadrática f(x) 5 x2 2 6x 2 7 é: 16 13 a) 2 . c) 2 . 3 5 7 b) 2 . 6
2 d) 2 . 3
8. (UFPB/PSS) A função L(x) 5 2100x2 1 1 200x 2 2 700
2. (UFRR) A equação do 2‚ grau que tem como uma das suas raízes 2 2 3 e o produto das raízes igual a 1 é: a) x2 2 x 1 4 5 0. b) x2 1 4x 1 1 5 0. c) x2 2 4x 2 1 5 0. d) x2 1 4x 2 1 5 0. e) x2 2 4x 1 1 5 0.
3. (Unifap) Seja a equação quadrática ax 1 bx 1 c 5 0, 2
onde a, b e c são os coeficientes reais (a 0). Se a soma das raízes da equação quadrática é 2 , e a diferença 15 entre a soma das raízes e o dobro do produto das raízes 4 , então a diferença entre a maior e a menor raiz é: é 15
a)
4 . 15
d)
7 . 15
b)
1 . 3
e)
8 . 15
c)
6 . 15
4. (UFPA/PSS) Um cidadão, ao falecer, deixou uma herança de R$ 200 000,00 para ser distribuída, de maneira equitativa, entre os seus x filhos. No entanto, três desses filhos renunciaram às suas respectivas partes nessa herança, fazendo com que os demais x 2 3 filhos, além do que receberiam normalmente, tivessem um adicional de R$ 15 000,00 e suas respectivas partes dessa herança. Portanto, o número x de filhos do referido cidadão é: a) 8. d) 4. b) 10. e) 7. c) 5. Capítulo 5 | Função quadrática
x2 2 4x 2 5 , 0.
representa o lucro de uma empresa, em milhões de reais, onde x é a quantidade de unidades vendidas. Nesse contexto, considere as seguintes afirmações: I) Se vender apenas 2 unidades, a empresa terá lucro. II) Se vender exatamente 6 unidades, a empresa terá lucro máximo. III) Se vender 15 unidades, a empresa terá prejuízo. Está(ão) correta(s) apenas: a) I. d) I e II. b) II. e) II e III. c) III.
9. (UFCG-PB) Dois amigos apostam em quem lança uma pedra para o alto e atinge a maior altura. Cada pedra é lançada do mesmo ponto e, durante um certo intervalo de tempo, observa-se que cada uma teve um alcance horizontal de 20 m. Para certos números a e b, as pedras descrevem trajetórias parabólicas, uma 1 segundo a parábola de equação y 5 2 x2 1 a e a 20 1 outra segundo a parábola y 5 2 x2 1 b. A maior 10 altura, em metros, atingida por uma das pedras foi de: a) 5. b) 10. c) 15. d) 12. e) 20.
Região Centro-Oeste 10. (UnB-DF) Os bancos A e B oferecem, cada um, duas
opções de investimentos: X e Y. Designando por D uma quantia a ser investida, então pD e qD — em que 0 < p, q < 1 e p 1 q 5 1 — representam as quantias a serem investidas nas opções X e Y, respectivamente. Tendo em vista o risco de perdas resultantes de incertezas do mercado financeiro, um analista de investimentos propôs, para cada banco, uma função f(x), definida
199
para 0 , x < 1, tal que f(p) mede o risco de se investir a quantia pD na opção X e f(q) mede o risco de se investir a quantia qD na opção Y. Nessa situação, o risco total do investimento, i.e., o risco de se investir a quantia D, é calculado pela soma f(p) 1 f(q). Segundo o analista, quanto menor for o valor de f(p) 1 f(q), menor será o risco. O quadro abaixo apresenta as funções de risco f(x) para cada banco. Banco
f(x)
A
0,3x 2 0,6x 1 0,40
B
0,5x2 2 0,5x 1 0,25
2
De acordo com as informações acima, julgue os itens que se seguem. 1) Para os bancos A e B, existe um valor de p para o qual os riscos de se investir a quantia pD na opção X de cada banco são iguais. 2) Os investimentos na opção X realizados no banco A estão sujeitos a maiores riscos que aqueles realizados na mesma opção no banco B. 3) No banco A, o risco total de um investimento em que se aplica pD na oção X e (1 2 p)D na opção Y é igual a 0,6p2 2 0,6p 1 0,5. 4) No banco B, para que determinada quantia investida sofra o menor risco total possível, metade deve ser investida na opção X e a outra metade, na opção Y.
11. (UFMS) Na figura abaixo estão ilustrados os gráficos de duas funções: uma afim, de equação y 5 mx 1 n (m 0), e outra quadrática, de equação y 5 ax2 1 bx 1 c (a 0). y 12 10
x 1
1 2
2
Como ilustrado no gráfico, temos: • uma das raízes da função quadrática é (21). • as intersecções entre as duas funções são nos pontos de abscissas 0 e 2. • o gráfico da função afim é uma reta de coeficiente linear igual a 10.
12. (UnB-DF) Durante o verão, quando há um aumento no
consumo de refrigerantes, um grupamento de escoteiros decidiu coletar latas de alumínio para reciclagem, conseguindo recolher 300 latas por dia. A companhia de reciclagem pagava R$ 0,10 por lata, mas, a esse preço, as latas estavam se acumulando nos galpões, mais rapidamente do que poderiam ser recicladas. Assim, no dia em que os escoteiros iniciaram a coleta, a companhia mudou a sua estratégia e passou a pagar uma quantia menor por lata: houve uma redução fixa e diária correspondente a 1,25% do preço inicial de R$ 0,10. Como as latas coletadas deveriam ser entregues de uma única vez, devido aos custos de transporte, os escoteiros ficaram em um dilema; no início, o preço estava melhor, mas eles tinham poucas latas; por outro lado, se esperassem muito, o preço ficaria significativamente menor. Determine o número de dias em que os escoteiros devem concluir a coleta e vender as latas, de modo que o grupamento receba a maior quantia possível.
13. (UFG-GO) O banco A oferece a quem investe quantias
de até R$ 50 000,00 um rendimento que é calculado 2C2 6C pela fórmula RA 5 4 1 3 . O banco B oferece aos 10 10 investidores um rendimento de 0,8% para quantias até R$ 15 000,00, e para quantias acima de R$ 15 000,00, 16C 12 2 2 . o rendimento é dado pela fórmula RB 5 103 10 Em ambos os casos, C é o valor investido e R é o rendimento. Sabendo que C e R estão expressos em milhares de reais, julgue os itens abaixo. 1) Para uma quantia de R$ 50 000,00, o banco A oferece maior rendimento que o banco B. 2) Se a quantia a ser investida é inferior a R$ 10 000,00, o banco A oferece maior rendimento que o banco B. 3) No banco B, o rendimento obtido ao aplicar R$ 40 000,00 é o dobro do rendimento obtido ao aplicar R$ 20 000,00. 4) Para que o rendimento seja de R$ 275,00, o valor a ser investido no banco A é maior que o valor a ser investido no banco B.
14. (UFMS) Um cabo está suspenso entre dois postes de mesma altura e que distam 20 m entre si. 14,4 cm 2m 9m
1 2
• o gráfico da função quadrática passa pelo ponto [ , 12] A partir desses dados, temos que a raiz da função afim é igual a: a) 3. d) 4,5. b) 3,5. e) 5. c) 4.
200
20 m
O cabo foi feito com um material especial de modo que a curva por ele representada é uma parábola. Sabendo-se Matemática
que a flexão do cabo a uma distância de 2 m de um dos postes é de 14,4 cm e que a altura dos postes é de 9 m, então é correto afirmar que o ponto mais baixo do cabo, com relação ao solo, ficará a uma altura de: a) 7,35 m. d) 7,6 m. e) 8,3 m. b) 8,6 m. c) 8,35 m.
Região Sudeste
19. (Ufscar-SP) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) 5 22t2 1 8t (t > 0), em que t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute: a) o instante em que a bola retornará ao solo; b) a altura máxima atingida pela bola.
20. (UFMG) Observe esta figura: y
15. (UVA-RJ) Se a função f: ® → A definida por f(x) 5 x2 2 4x 1 6 é sobrejetora, então: a) A 5 {y [ ® | y > 2}. b) A 5 {y [ ® | y . 2}. c) A 5 {y [ ® | y < 2}. d) A 5 {y [ ® | y , 2}.
16. (UFRJ) Cíntia, Paulo e Paula leram a seguinte informa-
ção numa revista: “Conhece-se, há mais de um século, uma fórmula para expressar o peso ideal do corpo humano adulto em a 2 150 , onde P é função da altura: P 5 (a 2 100) 2 k o peso, em quilos, a é a altura, em centímetros, k 5 4, para homens, e k 5 2, para mulheres.” a) Cíntia, que pesa 54 quilos, fez rapidamente as contas com k 5 2 e constatou que, segundo a fórmula, estava 3 quilos abaixo do seu peso ideal. Calcule a altura de Cíntia. b) Paulo e Paula têm a mesma altura e ficaram felizes em saber que estavam ambos exatamente com seu peso ideal, segundo a informação da revista. Sabendo que Paulo pesa 2 quilos a mais do que Paula, determine o peso de cada um deles.
17. (Unifesp) A porcentagem p de bactérias em uma certa cultura sempre decresce em função do número t de segundos em que ela fica exposta à radiação ultravioleta, segundo a relação p(t) 5 100 2 15t 1 0,5t2. a) Considerando que p deve ser uma função decrescente variando de 0 a 100, determine a variação correspondente do tempo t (domínio da função). b) A cultura não é segura para ser usada se tiver mais de 28% de bactérias. Obtenha o tempo mínimo de exposição que resulta em uma cultura segura.
18. (Uerj) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua safra anual, vende cada fruta por R$ 2,00. A partir daí, o preço de cada fruta decresce R$ 0,02 por dia. Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia. a) Expresse o ganho do fruticultor com a venda das frutas como função do dia de colheita. b) Determine o dia da colheita de maior ganho para o fruticultor. Capítulo 5 | Função quadrática
A
B
x
Nessa figura, os pontos A e B estão sobre o gráfico da função de segundo grau y 5 ax2 1 bx 1 c. O ponto A situa-se no eixo das ordenadas e o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas. Assim sendo, é correto afirmar que o comprimento do segmento AB é: b . a) c. c) a c b b) 2 . d) 2 . a a
Região Sul 21. (PUC-RS) Se x e y são números reais tais que x 2 y 5 2, então o valor mínimo de z 5 x2 1 y2 é: a) 21. d) 2. b) 0. e) 4. c) 1.
22. (UEL-PR) Um terreno retangular tem 84 m de perímetro. O gráfico que descreve a área y do terreno como função de um lado x é: a)
y 400 300 200 100 x 0
10
b)
20
30
40
y 0
10
20
30
40 x
100 200 300 400
201
c)
não haja nenhuma outra força, além da gravidade, agindo sobre ele). A distância d (em metros) do ponto de partida, sua velocidade v (em m/s) no instante t (em segundos contados a partir do lançamento) e aceleração a (em m/s2) são dadas pelas fórmulas 1 10t2, v 5 300 2 10t, a 5 210. d 5 300t 2 2
y 40 30 20 10 x 0
d)
20
40
60
80
01) O projétil atinge o ponto culminante no instante t 5 30 s.
y
02) A velocidade do projétil no ponto culminante é nula.
40
04) A aceleração do projétil em qualquer ponto da sua trajetória é a 5 210 m/s2.
30
08) O projétil repassa o ponto de partida com velocidade v 5 300 m/s.
20 10 x 0
e)
10
20
30
40
y
25. (UFSM-RS) O conjunto solução da inequação 1 x2 1 x 2 1 é dado por: > 32x 9 2 x2
300 200 100 x 0
16) A distância do ponto culminante, medida a partir do ponto de lançamento, é de 4 500 m. 32) O projétil repassa o ponto de lançamento no instante t 5 60 s.
400
10
20
30
40
23. (UFPR) O lucro diário L é a receita gerada R menos
o custo de produção C. Supondo que, em certa fábrica, a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções R(x) 5 60x 2 x2 e C(x) 5 10(x 1 40), sendo x o número de itens produzidos no dia. Sabendo que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia, considere as seguintes afirmativas: I) O número mínimo de itens x que devem ser produzidos por dia, para que a fábrica não tenha prejuízo, é 10. II) A função lucro L(x) é crescente no intervalo [0, 25]. III) Para que a fábrica tenha o maior lucro possível, deve produzir 30 itens por dia. IV) Se a fábrica produzir 50 itens num único dia, terá prejuízo.
Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
24. (UFSC) Um projétil é lançado verticalmente para cima
com velocidade inicial de 300 m/s (suponhamos que
202
Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
a) [23, 3[. b) ] , 22] < [2, [. c) ] 23, 22] < [2, 3[.
d) [22, 2]. e) [2, [.
26. (UEL-PR) Para um certo produto comercializado, a
função receita e a função custo estão representadas a seguir em um mesmo sistema de eixos, onde q indica a quantidade desse produto. RC 125 000
Custo
105 000 Receita 45 000 35 000 q 0 50
250 350
500
Com base nessas informações e considerando que a função lucro pode ser obtida por L(q) 5 R(q) 2 C(q), assinale a alternativa que indica essa função lucro. a) L(q) 5 22q2 1 800q 2 35 000 b) L(q) 5 22q2 1 1 000q 1 35 000 c) L(q) 5 22q2 1 1 200q 2 35 000 d) L(q) 5 200q 1 35 000 e) L(q) 5 200q 2 35 000 Matemática
>Leitura Uma propriedade notável da parábola Se girarmos uma parábola em torno do seu eixo, ela vai gerar uma superfície chamada paraboloide de revolução, também conhecida como superfície parabólica. Essa superfície possui inúmeras aplicações interessantes, todas elas decorrentes de uma propriedade geométrica da parábola, que veremos nesta seção. A fama das superfícies parabólicas remonta à Antiguidade. Há uma lenda segundo a qual o extraordinário matemático grego Arquimedes, que viveu em Siracusa em torno do ano 250 a.C., destruiu a frota que sitiava aquela cidade incendiando os navios com os raios de Sol refletidos em espelhos parabólicos. Embora isso seja teoricamente possível, há sérias dúvidas históricas sobre a capacidade tecnológica da época para fabricar tais espelhos. Mas a lenda sobreviveu, e com ela a ideia de que ondas (de luz, de calor, de rádio ou de qualquer outra natureza), quando refletidas numa superfície parabólica, concentram-se sobre o foco, assim ampliando enormemente a intensidade do sinal recebido. Da lenda de Arquimedes restam hoje um interessante acendedor solar de cigarros e outros artefatos que provocam ignição fazendo convergir os raios de Sol para o foco de uma superfície parabólica polida. Outros instrumentos atuam inversamente, concentrando na direção paralela ao eixo os raios de luz que emanam do foco. Como exemplos, citamos os holofotes, os faróis de automóveis e as simples lanternas de mão, que têm fontes luminosas à frente de uma superfície parabólica refletora. Um importante uso recente dessas superfícies é dado pelas antenas parabólicas, empregadas na radioastronomia, bem como na transmissão das redes de televisão, refletindo os débeis sinais provenientes de um satélite sobre sua superfície, fazendo-os convergir para um único ponto, o foco, desse modo amplificando consideravelmente sua intensidade.
F
eixo
MARCUS ANTONIUS/FOLHA IMAGEM
Fonte: A Matemática do Ensino Médio. Elon Lages Lima e outros. Coleção do Professor de Matemática, v. 1, p. 134.
Fogão solar em atividade em Areia, Paraíba.
Capítulo 5 | Função quadrática
203
capítulo 6
Função modular O ato mais simples para o qual a Matemática nos dá suporte é o de contar. Já houve tempo em que as ovelhas de um pasto eram contadas baseando-se na comparação de sua quantidade com a quantidade de nós de uma corda. Medir é um dos aspectos da contagem, pois quando o fazemos também comparamos grandezas. Observando situações em que o ato de medir está presente, por exemplo, a intensidade luminosa de uma estrela, a população de um país ou a temperatura de uma pessoa, percebemos que muitas vezes é conveniente associarmos um sentido à medida. Esse é o caso da longitude, medida em graus, de um ponto sobre a superfície terrestre: por convenção, às longitudes consideradas a leste do meridiano de Greenwich é atribuído o sinal positivo (1), enquanto às longitudes a oeste desse meridiano é atribuído o sinal negativo (2).
Longitude
–120°
–80°
–40°
0°
leste 40°
80°
120°
160º
60°
40°
norte
oeste –160°
O meridiano de Greenwich é o meridiano que passa sobre a localidade de Greenwich (nos arredores de Londres, Reino Unido) e que, por convenção, divide o globo terrestre em ocidente e oriente, permitindo medir a longitude. Definido como o primeiro meridiano, serve de referência para estabelecer a relação entre as horas em qualquer ponto da superfície terrestre, estabelecendo os fusos horários. Esse meridiano atravessa dois continentes e sete países (na Europa: Reino Unido, França e Espanha; e na África: Argélia, Mali, Burkina Fasso e Gana). Seu antimeridiano cruza uma parte da Rússia, no estreito de Bering, e uma das ilhas do arquipélago de Fiji, no oceano Pacífico. (Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/ Meridiano_de_Greenwich. Acesso em 20/7/2009.) Entretanto, a quantidade expressa pela grandeza independe do sinal que a precede, pois este ape-
Brasília
0°
–40° 3 320 km
Fonte: Atlante Geografico Metodico De Agostini 2008-2009. Novara, Istituto Geografico De Agostini, 2008.
204
sul
–20°
N
0
Latitude
Meridiano de Greenwich
20°
–60°
Matemática
nas indica um sentido. Assim, dizemos que essa quantidade é seu valor absoluto, e quando está acompanhada de sinal é chamada de valor relativo. Se consultarmos um site para saber a longitude e a latitude de Brasília, por exemplo, podemos encontrar o seguinte: Brasília Latitude –15 : 46 : 47 (sul) Longitude –47 : 55 : 47 (oeste)
Oralmente essa informação pode ser dada por: “Brasília encontra-se a 47°55’47” a oeste do meridiano de Greenwich e a 15°46’47” ao sul do equador”. Nesse caso, os sinais negativos foram substituídos pelas expressões ‘oeste’ e ‘sul’, e as medidas (em graus, minutos e segundos) foram tomadas em seus valores absolutos. Na Matemática, dizemos que o valor absoluto é o módulo do número. Vimos que o comportamento de uma função pode ser representado graficamente por um conjunto de pontos num sistema de eixos e que esse gráfico pode assumir valores positivos e negativos. Vamos, neste capítulo, associar o conceito de função ao de módulo. ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
>Atividades 1. “As zonas horárias ou fusos horários são cada uma das
24 áreas em que se divide a Terra e que seguem a mesma definição de tempo. Anteriormente, usava-se o tempo solar aparente, de forma que a hora do dia se diferenciava ligeiramente de uma cidade para outra. Os fusos horários corrigiram em parte o problema ao colocar os relógios de cada região no mesmo tempo solar médio. Os fusos horários geralmente estão centrados nos meridianos das longitudes que são múltiplos de 15°”. (Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Fusos_ hor%C3%A1rios. Acesso em 20/7/2009.) Com base no texto acima, responda: Se Brasília está a 47°55’47” de longitude a oeste de Greenwich, qual é a diferença de horário entre essas duas cidades? (Dica: Visite o site www.timeticker.com e veja os horários de todas as regiões do mundo.)
2. Uma situação comum que apresenta valores positivos e negativos é o extrato de conta bancária. Capítulo 6 | Função modular
Suponhamos, de maneira simplificada, que o saldo de uma conta corrente, em dois momentos distintos, seja dado por: Data
Saldo (R$)
1‚/4/2010
2150,00 2282,00
21/4/2010
a) O que significa o sinal negativo (2) que qualifica o saldo? b) Em que dia o saldo dessa conta era maior? c) Em que dia o correntista devia mais ao banco?
3. Nos Estados Unidos a unidade de temperatura é o grau Fahrenheit (F) e no Brasil a temperatura é medida em graus Celsius (C). Existe uma função que relaciona a temperatura nas duas unidades citadas: 5(F 2 32) . C5 9 a) Qual temperatura é mais fria, 0 °C ou 0 °F? b) A temperatura de 68 °F pode representar para nós, brasileiros, um dia de que estação do ano? Justifique.
205
1. Módulo de um número real O módulo ou valor absoluto de um número real r, que representamos por |r|, é considerado igual a r se r 0 e igual a 2r se r 0. Por exemplo: • |2| 5 2, porque, neste caso, r 5 2 e 2 0 • |0| 5 0, porque, neste caso, r 5 0 • |22| 5 2(22) 5 2, porque r 5 22 e 22 0 Resumindo, podemos escrever: |r | 5 r, se r 0 e |r | 5 2r, se r 0 Geometricamente, o módulo de um número indica, na reta real, a distância desse número ao zero. 0
3 3 unidades
2 2 unidades
distância do 2 ao 0: 2 unidades → |2| 5 2 distância do 23 ao 0: 3 unidades → |23| 5 3 Veja outros exemplos: • |3| 5 3 • |1,5| 5 1,5
• |26| 5 2(26) 5 6 1 1 • 5 2 2
(
• | 2 | 2
)
2
• |0| 5 0
Podemos observar que o módulo de um número real qualquer nunca é negativo, ou seja, é sempre positivo ou zero.
Exemplos: 1‚) Vamos calcular o valor de: a) 2 |5| 2 |5| 5 2 ? 5 5 10
d) |25 1 3| |25 1 3| 5 |22| 5 2
b) |27| 1 |22| |27| 1 |22| 5 7 1 2 5 9
e) |25| 1 |3| |25| 1 |3| 5 5 1 3 5 8
c) |23| 2 |18| |23| 2 |18| 5 3 2 8 5 25
f ) |(25)(24)| |(25)(24)| 5 |20| 5 20
2‚) Vamos calcular: a) |3 2 x| quando x 5 7 |3 2 x| 5 |3 2 7| 5 |24| 5 4 b) |x2 2 3x 2 10| quando x 5 2 |x2 2 3x 2 10| 5 |4 2 6 2 10| 5 |212| 5 12 c) |x2| com x ® Como x ® ⇒ x2 0 e, pela definição, |x2| 5 x2.
d) |x5| com x ® • se x 0, então x5 0 e, pela definição, |x5| 5 x5 • se x 0, então x5 0 e, pela definição, |x5| 5 2x5
206
Para refletir |x2| independe do sinal de x. |x5| depende do sinal de x.
Matemática
e) |x 2 3| com x ® Para resolver este exercício, usamos o estudo do sinal de f(x) 5 x 2 3:
3 (raiz)
Se x 3, então x 2 3 0 e |x 2 3| 5 x 2 3. Se x , 3, então x 2 3 , 0. Assim |x 2 3| 5 2(x 2 3) 5 2x 1 3. Logo, |x 2 3| 5 x 2 3 quando x 3, e |x 2 3| 5 2x 1 3 quando x 3.
f)
|x 2 2| 1 |x 2 6| com x 2 • Se x 2, então (x 2 2) 0 e, pela definição, |x 2 2| 5 2(x 2 2) 5 2x 1 2 • Se x 2, então (x 2 6) 0 e, pela definição, |x 2 6| 5 2(x 2 6) 5 2x 1 6 Assim: Se x 2, então |x 2 2| 1 |x 2 6| 5 (2x 1 2) 1 (2x 1 6) 5 2x 1 2 2 x 1 6 5 22x 1 8 Portanto, para x 2 temos |x 2 2| 1 |x 2 6| 5 22x 1 8.
g) |x 2 2| 1 |x 2 6| com x ®
Vamos resolver este exercício de duas maneiras:
1a maneira: Nesta expressão, devemos analisar três casos: x 2, 2 x 6 e x 6. • Para x , 2, já vimos no exercício anterior: |x 2 2| 1 |x 2 6| 5 22x 1 8.
• Para 2 x 6, temos x 2 2 0 e x 2 6 0. Então: |x 2 2| 1 |x 2 6| 5 (x 2 2) 1 (2x 1 6) 5 x 2 2 2 x 1 6 5 4 • Para x 6, temos x 2 2 0 e x 2 6 0. Então: |x 2 2| 1 |x 2 6| 5 (x 2 2) 1 (x 2 6) 5 2x 2 8 2 x 8, se x 2 Logo, |x 2 2| 1 |x 2 6| 5 4 , se 2 x 6 . 2 x 8, se xx 6 2a maneira:
x 2, se x 2 |x 2 2| 5 x 2, se x 2
x 6, se x 6 |x 2 6| 5 x 6, se x 6 2
6
|x – 2|
–x + 2
x–2
x–2
|x – 6|
–x + 6
–x + 6
x–6
|x – 2| + |x – 6|
–2x + 8
4
2x – 8
2
6
2 x 8, se x 2 Logo: |x 2 2| 1 |x 2 6| 5 4 , se 2 x 6 . 2 x 8, se xx 6 Capítulo 6 | Função modular
207
Exercícios propostos
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
2. Aplicando a definição, escreva a expressão dada usan-
1. Calcule:
do sentenças que não apresentem módulo. a) |x4| com x ® b) |x3| com x ® c) |x 2 2| com x ® d) |x 2 4| com x . 4 e) |x 2 2| 1 |x 2 1| com x 2 f ) |x 2 1| 1 |x 2 4| com 1 x 4
a) |23| 1 3 b) |2x 2 1| quando x 5 25 c) (23) ? |25| d) |x2 2 3x| quando x 5 0 e) 2|27| f ) |22 1 5| g) |x2 2 x 2 12| quando x 5 3
Propriedades envolvendo módulo Admitiremos, sem demonstrar, algumas propriedades dos módulos: 1·) Para todo r ®, temos |r| 5 |2r|.
Exemplos:
a) |7| 5 |27|
b) |24| 5 |4|
↓
↓
↓
↓
7
7
4
4
1 1 c) 2 2 ↓ ↓ 1 1 2 2
Para refletir Cuidado! A igualdade |2r| 5 r não é verdadeira para r 0. Por exemplo, para r 5 25, temos |2(25)| 5 25 ou |5| 5 25, que é falso.
2·) Para todo r ®, temos |x2| 5 |x|2 5 x2.
Exemplos:
a) Para x 5 6, temos x2 5 36, |x2| 5 |36| 5 36 e |x|2 5 |6|2 5 62 5 36
b) Para x 5 0, temos x2 5 0, |x2| 5 |02| 5 |0| 5 0 e |x|2 5 |0|2 5 02 5 0
c) Para x 5 25, temos x2 5 25, |x2| 5 |25| 5 25 e |x|2 5 |25|2 5 52 5 25 Não é correto considerar
x 2 igual a x, pois isso é verdadeiro para x 0, mas é falso para x 0. Veja os exemplos:
• Se x 5 3, então x 2 5 32 5 9 5 3 5 x • Se x 5 24, então x 2 ( 4 )2 16 5 4 x O correto é afirmar que:
para todo x ®, temos x2 5 |x|.
3·) Para todo x e y pertencentes a ®, |x ? y| 5 |x| ? |y|. Invente alguns exemplos e constate que essa propriedade é verdadeira.
Para refletir Compare os valores reais de x em cada uma das situações: a) x 5 49 5 7 b) x2 5 49 ⇒ x 5 ± 49 ⇒ ⇒ x 5 ±7, ou seja, x 5 7 ou x 5 27
4·) Para todo x e y pertencentes a ®, |x 1 y| |x| 1 |y|.
Exemplos: a) Se x 5 23 e y 5 22, então |(23) 1 (22)| ? |23| 1 |22| c) Se x 5 4 e y 5 5, então |4 1 5| ? |4| 1 |5| |25| ? 3 1 2 |9| ? 4 1 5 5 5 5 959 b) Se x 5 23 e y 5 4, então |(23) 1 4| ? |23| 1 |4| d) Se x 5 1 e y 5 22, então |1 1 (22)| ? |1| 1 |22| |1| ? 3 1 4 |21| ? 1 1 2 1 7 13
208
Matemática
5·) Para todo x e y pertencentes a ®, || x | | y | | |x 2 y|.
Exemplos: a) Se x 5 1 e y 5 2, então ||1| 2 |2|| ? |1 2 2| |1 2 2| ? |1 2 2| |21| ? |21|
c) Se x 5 21 e y 5 22, então ||1| 2 |22|| ? |(21) 2 (22)| |1 2 2| ? |1| |21| ? |1|
151
151
b) Se x 5 1 e y 5 22, então ||1| 2 |22|| ? |1 2 (22)| d) Se x 5 21 e y 5 2, então || 21| 2 | 2 || ? |21 2 2| |1 2 2| ? |1 1 2| |1 2 2| ? |23| |21| ? |3| |21| ? |23|
13
1 3
Valor de x a partir do módulo de x Vamos analisar cada um dos exemplos (com módulo de x nulo, negativo e positivo): 1‚) Se |x| 5 0, então x 5 0. Zero é o único número real cujo módulo é igual a zero. 2‚) |x| 5 23 Não existe valor real para x, pois o valor de um módulo nunca é negativo. 3‚) Se |x| 5 6, então x 5 6 ou x 5 26, porque |6| 5 6 e |26| 5 6.
Para refletir Analise e perceba a diferença entre as sentenças x 5 |7| e |x| 5 7.
Resumindo, podemos dizer que: • Se |x| 5 0, então x 5 0.
• Não existe x ® tal que |x| 5 a, com a 0. • Se |x| 5 a e a 0, então x 5 a ou x 5 2a.
Exercícios propostos
3. Verifique se as igualdades são verdadeiras ou falsas: a) |5| 5 25
e) |5| 1 |25| 5 0
b) |25| 5 5
f ) 2|25| 5 5
c) |5| 5 |25|
g) (25)2 5 5
d) 2|5| 5 25
h) |52| 5 (25)2
g) ||(23)| 2 |(22)|| |23 1 2| h) ||(5)| 2 |(23)|| |5 1 3|
5. Determine o valor de y em cada caso: a) |y| 5 9
c) |y| 5 0
b) |y| 5 26
d) |y| 5
4. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas:
e) |y| 5 1
4 5
f ) |y| 5 21
6. Determine os possíveis valores reais de x nos seguin-
a) 22 5 |2| b) |3 | 5 |3| 5 3
tes casos:
c) |3 (22)| |3| |22|
a) x 5 |26|
e) x 5
d) |(23) (24)| 5 |23| |24|
b) |x| 5 26
f ) x2 5 25
e) |(21) 1 2| 5 |21| 1 |2|
c) |x| 5 6
g) |x| 5 |3|
f ) |3 1 (25)| |3| 1 |25|
d) x 5 |6|
h) |x| 5 |24|
2
2
2
Capítulo 6 | Função modular
25
209
2. Distância entre dois pontos na reta real Considerando a reta real representada por: C
D
5
4
0
A
B
2
5
podemos determinar, através do módulo, a distância entre dois pontos dessa reta fazendo a correspondência entre os pontos da reta e números reais: • a distância entre A e B é AB 5 |5 2 2| 5 |3| 5 3 • a distância entre D e A é DA 5 |2 2 (24)| 5 |6| 5 6 • a distância entre C e D é CD 5 |(24) 2 (25)| 5 |1| 5 1
• a distância entre B e C é BC 5 |(25) 2 5| 5 |210| 5 10
Observe que: • a distância entre A e B é AB 5 |5 2 2| 5 |3| 5 3
• a distância entre B e A é BA 5 |2 2 5| 5 |23| 5 3
Logo, AB 5 BA. Verifique outros exemplos e veja que esse fato ocorre sempre. De modo geral, é possível demonstrar que: Na reta, se a é a coordenada do ponto A e b é a coordenada do ponto B, então a distância entre A e B pode ser escrita por |a 2 b| ou |b 2 a|, que são iguais.
Exercícios propostos 7. Observando a reta com os pontos, determine as distâncias pedidas: C
D
6
2
a) AB b) EA
E
A
B
1 0 2
1
7
c) DE d) DC
e) CB f ) DA
g) DB h) CA
8. Se P corresponde ao número 2127, Q corresponde ao número 238 e M corresponde ao número 231, calcule: a) PQ, PM e MQ ; b) PO, MO e QO, sabendo que O é a origem da reta numérica; c) o maior valor: PO 1 QO ou PM 1 MQ.
3. Função modular Dado um número real x, sempre existe |x| e seu valor é único. Temos então uma função de ® em ® que será chamada de função modular.
Definição de função modular Denomina-se função modular a função f, de ® em ®, tal que f(x) 5 |x|, ou seja: x, para x 0 f(x) 5 x, para x 0
Exercício proposto 9. Se f: ® → ® é dada por f(x) 5 |x|, calcule quando existir:
210
a) f(7); b) f(24);
c) f(0); d) f(4);
e) x tal que f(x) 5 8; f ) x tal que f(x) 5 22.
Matemática
Gráfico da função modular Vamos construir o gráfico da função f(x) 5 |x|: • se x 0 ⇒ f(x) 5 |x| 5 x
• se x < 0 ⇒ f(x) 5 |x| 5 2x
x
y 5 f(x)
x
y 5 f(x)
0
0
21
1
1
1
22
2
2
2 y y
2 1
2
x
1
2 1 0
x 0 1
2
Colocando as duas condições num só gráfico, temos o gráfico de f(x) 5 |x|: y 2 1 x 2 1
0 1
D(f) 5 ® Im(f) 5 ®1
2
Observação: Podemos construir o gráfico de f(x) 5 |x| a partir do gráfico de g(x) 5 x usando o conceito de reflexão. A reflexão de um ponto (x, y) em torno do eixo Ox é o ponto (x, 2y). Assim, a reflexão de um gráfico em torno do eixo Ox é: y
y x
O
Reflexão em torno de Ox
x O
ou seja, os valores de f(x) negativos tornam-se positivos, e vice-versa. No caso dos gráficos de funções modulares do tipo f(x) 5 |g(x)|, podemos obtê-los fazendo a reflexão da parte do gráfico de g(x) cujas imagens sejam negativas. Assim: Gráfico de f(x) 5 x Gráfico de f(x) 5 |x| y y 2
2
1 x
1 0 1 1
2
Reflexão em
1
torno de Ox
x 2 1
0 1
2
parte do gráfico que vai sofrer reflexão
Capítulo 6 | Função modular
211
Outro conceito útil na elaboração de gráfico é o conceito de translação. Vamos examinar estes outros gráficos: y
a)
y
d)
g)
g(x) = |x| + 2
y
f(x) = |x|
r(x) = |x 2|
t(x) = |x – 3| + 1
2 x
1
x 2
b)
y
e)
x 3
0
y
h)
y f(x) = |x|
s(x) = |x + 2|
h(x) = |x| 2 x
u(x) = |x + 1| – 3 x
–1
x
0
0
2 2
–3
c)
y
g(x) = |x| + 2
y
f)
s(x) = |x + 2|
y
i)
t(x) = |x 3| + 1
f(x) = |x|
f(x) = |x|
f(x) = |x| 2
h(x) = |x| 2 x
0
r(x) = |x 2| x 2
0
2
1 1
x 1
0
3
u(x) = |x + 1| 3
2
3
Para refletir
Para refletir
Para refletir
Analise a sentença e o gráfico de g(x) e de h(x) em relação a f(x) 5 |x|.
Analise a sentença e o gráfico de r(x) e de s(x) em relação a f(x) 5 |x|.
Analise a sentença e o gráfico de t(x) e de u(x) em relação a f(x) 5 |x|.
De modo geral, podemos perceber que: • O gráfico de uma função g(x) 5 |x| 1 k é congruente ao de f(x) 5 |x|, porém transladado para cima (quando k 0) ou para baixo (quando k 0). O número de unidades do deslocamento é o valor absoluto de k. • O gráfico de uma função h(x) 5 |x 2 m| é congruente ao de f(x) 5 |x|, porém transladado para a direita (quando m 0) ou para a esquerda (quando m 0). O número de unidades do deslocamento é o valor absoluto de m. • O gráfico de uma função p(x) 5 |x 2 m| 1 k é congruente ao de f(x) 5 |x|, porém transladado para a direita ou para a esquerda (m 0 ou m 0) e para cima ou para baixo (k 0 ou k 0). O número de unidades dos deslocamentos são os valores absolutos de m e de k, respectivamente.
Exercício proposto 10. Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções e confira as observações acima: a) f(x) 5 |x 2 3| b) f(x) 5 |x 1 1|
212
c) f(x) 5 |x| 1 1 d) f(x) 5 |x| 2 3 e) f(x) 5 |x 2 3| 1 2 f ) f(x) 5 |x 1 3| 2 1
Matemática
Observe os exemplos a seguir para aprender outra maneira de construir gráficos. 1‚) Dada a função f(x) 5 |2x 2 8|. 1 a) Vamos calcular f(5), f(1), f(0), f , f(24) e f(4). 2 f(5) 5 |2 ? 5 2 8| 5 |2| 5 2 f(1) 5 |2 ? 1 2 8| 5 |26| 5 6 f(0) 5 |2 ? 0 2 8| 5 |28| 5 8
1 1 f 2 8 5 |27| 5 7 2 2 f(24) 5 |28 2 8| 5 |216| 5 16 f(4) 5 |8 2 8| 5 |0| 5 0
b) Vamos escrever f(x) com sentenças que não têm módulo.
2x 2 8 5 0 ⇒ 2x 5 8 ⇒ x 5 4 x 4 ⇒ 2x 2 8 0 ⇒ f(x) 5 |2x 2 8| 5 2x 2 8 x 4 ⇒ 2x 2 8 0 ⇒ f(x) 5 |2x 2 8| 5 2(2x 2 8) 5 22x 1 8
4
2 x 8, para x 4 f(x) 5 2 x 8, para x 4
Para refletir Confira as respostas dadas em a usando a resposta de b.
2‚) Vamos construir o gráfico da função f(x) 5 |x 2 2| 2 1.
Em questões que peçam a construção de gráficos, podemos recorrer a dois caminhos:
1‚ caminho: utilizando translações O gráfico de g(x) 5 |x| é:
y
g(x)
x 0
O gráfico de h(x) 5 |x 2 2| é congruente ao de g(x), porém transladado de 2 unidades para a direita: y
h(x)
2 x 0
2
O gráfico de f(x) 5 |x 2 2| 2 1 é congruente ao de h(x), porém transladado de 1 unidade para baixo: y f(x) 1
2
0 1
Capítulo 6 | Função modular
x
Para refletir Partindo do gráfico de g(x) 5 |x|, fazemos uma translação de 2 unidades para a direita seguida de uma translação de 1 unidade para baixo e obtemos o gráfico de f(x) 5 |x 2 2| 2 1.
213
2‚ caminho: utilizando a definição de módulo
Vamos escrever f(x) usando sentenças sem módulo:
• x 2 ⇒ x 2 2 0 ⇒ f(x) 5 |x 2 2| 2 1 5 x 2 2 2 1 5 x 2 3
• x 2 ⇒ x 2 2 0 ⇒ f(x) 5 |x 2 2| 2 1 5 2(x 2 2) 2 1 5 2x 1 1 x 3, se x 2 f(x) 5 x 1, se x 2
Usaremos as retas dos gráficos das duas funções afins para obter o gráfico de f(x): x2
x2
x
y5x23
x
y 5 2x 1 1
2
21
1
0
3
0
0
1
y
y x 1
1
y x 3
2
x
0 1
Gráfico de f(x) 5 |x 2 2| 2 1: y
1 1
2
3
x
0 1
D(f) 5 ®
Im(f) 5 {y ® | y 21}
3‚) Vamos construir o gráfico da função f(x) 5 |x 2 1| 1 |x 2 3|. | x 1| x 1 • x 3 ⇒ | x 3 | x 3 f(x) 5 (x 2 1) 1 (x 2 3) 5 x 2 1 1 x 2 3 5 2x 2 4
| x 1| x 1 • 1 x 3 ⇒ | x 3 | ( x 3) x 3 f(x) 5 (x 2 1) 1 (2x 1 3) 5 x 2 1 2 x 1 3 5 2
Para refletir Gráficos de funções cujas sentenças têm mais de um módulo devem ser feitos pela definição.
| x 1| ( x 1) x 1 • x 1 ⇒ | x 3 | ( x 3) x 3
f(x) 5 (2x 1 1) 1 (2x 1 3) 5 2x 1 1 2 x 1 3 5 22x 1 4
2 x 4 , se x 3 Então, f(x) 5 2, se 1 x 3 . 2 x 4 , se x 1
214
Matemática
x3
1x3
x1
x
y 5 2x 2 4
x
y52
x
y 5 22x 1 4
3
2
1
2
0
4
4
4
2
2
21
6
Gráfico de f(x) 5 |x 2 1| 1 |x 2 3|: y 6
4
2
x 0
1
1
3
4
D(f) 5 ® Im(f) 5 {y ® | y 2}
4‚) Vamos construir o gráfico de f(x) 5 |x2 2 4|. 1a maneira: utilizando a definição Fazendo o estudo do sinal de x2 2 4, temos: 2
x
2
Então: • x 22 ou x 2 ⇒ x2 2 4 0 ⇒ f(x) 5 |x2 2 4| 5 x2 2 4 • 22 x 2 ⇒ x2 2 4 0 ⇒ f(x) 5 |x2 2 4| 5 2(x2 2 4) 5 2x2 1 4 2 x 4 , para x 2 ou x 2 . Podemos escrever f(x) 5 |x2 2 4| como f(x) 5 2 2 x 2 x 4 , para 2
Construímos os gráficos dessas duas funções quadráticas, de mesmas raízes e concavidades opostas. O gráfico de f(x) será obtido a partir destas parábolas: y
y 4
4
f(x) x2 4
y x2 4 x
x 2
2
2
2
y x2 4
4
Capítulo 6 | Função modular
215
2a maneira: utilizando reflexões
O gráfico de g(x) 5 x2 2 4 é:
y
x 2
2
4
Para obter o gráfico de f(x) 5 |g(x)| a partir do gráfico de g(x), devemos fazer uma reflexão em torno do eixo Ox da parte do gráfico de g(x) cujas imagens são negativas: y
y 4
x 2
2
Reflexão em torno de Ox x 2
4
2
Dessa forma, o gráfico de f(x) 5 |x2 2 4| é: y 4
x 2
2
| x| , para 2 x 2 . 5‚) Vamos construir o gráfico da função f dada por f(x) 5 x , para x 2 4 , para x 2 y 4
x 2
2 2
Para refletir O que significam as indicações de (“bola vazia”) e • (“bola cheia”) nesse gráfico?
216
Matemática
Exercícios propostos 11. Analisando a definição e o gráfico da função modular
c) Construa o gráfico de f. d) Determine D(f) e Im(f).
f(x) 5 |x|, de ® em ®, faça o que se pede: a) Determine D(f) e Im(f). b) f é crescente ou decrescente? c) f é injetiva? E sobrejetiva? d) f é função par ou ímpar? e) Faça o estudo do sinal da função f.
14. Construa o gráfico das funções, determinando o domínio e o conjunto imagem de cada uma:
12. Seja f: ® → ® a função dada por f(x) 5 |23x 1 15|.
a) f(x) 5 |x 2 2|
c) f(x) 5 |x| 1 x
b) f(x) 5 |x 2 1| 2 1
d) f(x) 5 |x 2 1| 1 |x 2 2|
15. No plano cartesiano, esboce o gráfico da função de-
a) Escreva f(x) sem utilizar módulo nas sentenças. b) Calcule f(2), f(7), f(21) e f(5) usando a definição dada ou a resposta obtida em a.
finida por: a) f(x) 5 |x2|;
b) f(x) 5 |x2 2 1|.
16. Atividade em dupla
13. Dada a função f de ® em ® definida por
Construam o gráfico da função f tal que
f(x) 5 |3 2 x| 1 4, faça o que se pede: a) Determine f(8), f(21), f(3) e f(0). b) Escreva f(x) usando sentenças sem módulo.
| x |, para x 1 . f(x) 5 x 3, para x 1
4. Equações modulares Equações modulares são aquelas em que a incógnita aparece dentro de módulos. Para resolvê-las é útil relembrar as propriedades envolvendo módulos vistas no começo deste capítulo.
Exemplos: 1‚) Vamos resolver as equações:
a) |x 2 5| 5 3
|x 2 5| 5 3 ⇔ x 2 5 5 3 ou x 2 5 5 23
Resolvendo as equações obtidas, temos: x2553⇒x58 x 2 5 5 23 ⇒ x 5 2 S 5 {2, 8}
Graficamente, podemos considerar as funções f(x) 5 |x 2 5| e g(x) 5 3 e procurar os pontos comuns de seus gráficos: y y = |x 5|
5 4
y=3
3 2 1 3 2 1 0 1 2 3
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Pontos comuns aos gráficos: (2, 3) e (8, 3). Portanto, S 5 {2, 8}.
Capítulo 6 | Função modular
217
b) |3x 2 1| 5 25
Não existe módulo com valor negativo, logo não existe valor real para x. S5 Não há intersecção dos gráficos; logo, a equação não tem solução. Graficamente: y y = |3x 1|
2 1
x 2
1
0
1
2
1 2 3 4
5
y = 5
c) |x|2 1 2|x| 2 15 5 0 Fazemos |x| 5 y, com y 0, e temos: y2 1 2y 2 15 5 0 5 64 y’ 5 3 e y” 5 25 (este valor não convém, pois y 0) Como |x| 5 y e y 5 3, temos: |x| 5 3 ⇔ x 5 3 ou x 5 23 S 5 {23, 3}
d) |x2 2 x 2 1| 5 1
|x2 2 x 2 1| 5 1 ⇔ x2 2 x 2 1 5 1 ou x2 2 x 2 1 5 21 • x2 2 x 2 1 5 1 ⇒ x2 2 x 2 2 5 0 5 9 x’ 5 2 e x” 5 21 S 5 {21, 0, 1, 2}
x(x 2 1) 5 0 x’ 5 0 e x” 5 1
e) |x2| 2 9|x| 2 10 5 0
|x2| 2 9|x| 2 10 5 0 ⇒ |x|2 2 9|x| 2 10 5 0
Fazendo |x| 5 y, com y 0, temos: y2 2 9y 2 10 5 0 5 121
y’ 5 10 e y” 5 21 (este valor não convém)
Como |x| 5 y e y 5 10: |x| 5 10 ⇔ x 5 10 ou x 5 210 S 5 {210, 10}
• x2 2 x 2 1 5 21 ⇒ x2 2 x 5 0
f) |3x 2 5| 5 |x 1 3|
|3x 2 5| 5 |x 1 3| ⇔ 3x 2 5 5 x 1 3 ou 3x 2 5 5 2(x 1 3)
Resolvendo as equações obtidas, temos: • 3x 2 5 5 x 1 3 ⇒ 3x 2 x 5 3 1 5 ⇒ 2x 5 8 ⇒ x 5 4
• 3x 2 5 5 2(x 1 3) ⇒ 3x 2 5 5 2x 2 3 ⇒ 3x 1 x 5 23 1 5 ⇒ 4x 5 2 ⇒ x 5
218
1 S 5 , 4 2
1 2
Matemática
tim-tim por tim-tim
(UFRN) Durante o ano de 1997 uma empresa teve seu lucro diário L dado pela função **2‚) L(x) 5 50 ? (|x 2 100 | 1 | x 2 200|), onde x 5 1, 2, ... , 365 corresponde a cada dia do ano e L é dado em reais. Determine em que dias (x) do ano o lucro foi de R$ 10 000,00. 1. Lendo e compreendendo a) O que é dado no problema? É dada a lei de uma função que relaciona o lucro com os dias do ano de 1997. b) O que se pede? Em que dias do ano de 1997 o lucro da empresa mencionada no enunciado foi de 10 mil reais. 2. Planejando a solução Devemos usar a função dada para obter o(s) dia(s) do ano em que o lucro foi de 10 mil reais. Para isso, vamos fazer L(x) 5 10 000 e resolver a equação modular para obter os valores de x, de acordo com a teoria estudada no capítulo. 3. Executando o que foi planejado Vamos obter x tal que L(x) seja 10 mil: Fazendo L(x) 5 10 000, temos a equação 50 ? (|x 2 100| 1 |x 2 200|) 5 10 000. Dividindo tudo por 50, chegamos a |x 2 100| 1 |x 2 200| 5 200. Para resolver essa equação modular, precisamos lembrar que |x 2 100| 5 x 2 100 se x > 100 e |x 2 100| 5 100 2 x se x , 100. Da mesma forma, |x 2 200| 5 x 2 200 se x > 200 e |x 2 200| 5 200 2 x se x , 200. Assim, precisamos formular três hipóteses: x , 100, 100 < x , 200 e x > 200. 1· hipótese: supondo que x , 100: Neste caso, se x , 100 (por exemplo, x 5 90), também teremos x , 200 (pois 90 , 200). Então: |x 2 100| 5 100 2 x |x 2 200| 5 200 2 x |x 2 100| 1 |x 2 200| 5 200 ⇒ 100 2 x 1 200 2 x 5 200 ⇒ 300 2 2x 5 200 ⇒ 2x 5 100 ⇒ x 5 50 Esse valor é adequado com a hipótese inicial, pois 50 , 100; portanto, é um valor válido. 2· hipótese: supondo que 100 < x , 200: Este caso, 100 < x , 200, equivale a x > 100 e x , 200. Então: |x 2 100| 5 x 2 100 |x 2 200| 5 200 2 x |x 2 100| 1 |x 2 200| 5 200 ⇒ x 2 100 1 200 2 x 5 200 ⇒ 100 5 200 Essa sentença é falsa independente do valor de x. Assim, a hipótese não é válida. 3· hipótese: supondo que x . 200: Neste caso, se x . 200 (por exemplo, x 5 230), também teremos x . 100 (pois 230 . 100). Então: |x 2 100| 5 x 2 100 |x 2 200| 5 x 2 200 |x 2 100| 1 |x 2 200| 5 200 ⇒ x 2 100 1 x 2 200 5 200 ⇒ 2x 2 300 5 200 ⇒ 2x 5 500 ⇒ ⇒ x 5 250 Esse valor é adequado com a hipótese inicial, pois 250 . 200; portanto também é um valor válido. 4. Emitindo a resposta Os dias do ano em que o lucro foi de R$ 10 000,00 foram o 50‚ dia e o 250‚ dia. 5. Ampliando o problema a) Em que meses do ano estão os dias cujo lucro foi de R$ 10 000,00? b) Sabendo que 1‚ de janeiro de 1997 foi uma quarta-feira, em que dias da semana caíram os dias cujo lucro foi de R$ 10 000,00? c) Esboce o gráfico de L(x) para 1 < x , 365. d) Discussão em equipe No enunciado, é dito que “x 5 1, 2, ..., 365 corresponde a cada dia do ano”. Converse com seu colega sobre a diferença, caso exista, entre “x 5 1, 2, ..., 365” e “1 < x , 365” dias.
Capítulo 6 | Função modular
219
Exercícios propostos 17. Resolva as equações: a) | 4x 2 1| 5 23 b)
x 2 1 5 2 4
d) |x2 2 2x 2 4| 5 4 c) 5 1 |22x 1 4| 5 11 d)
e) 5 1 | x2 2 x 2 2| 5 3
x 2 1 5 2 para x 3 x 2 3
f ) x2 2 4|x| 2 12 5 0 g) | x2 | 2 4 5 0
18. Resolva as seguintes equações em ®: a) |x2 2 4| 5 3x
20. Resolva as seguintes equações:
b) |3x 1 2| 2 1 5 x
a) |3x 2 7| 5 |2x 2 3| b) |1 2 3x| 5 |x 1 3|
19. Resolva as equações:
c) |x2 2 4x 1 1| 5 |x 1 1|
a) |x2 1 6x 2 1| 5 6 b) |x2 2 5x| 5 6
21. Dadas as funções f(x) 5 |x 1 1| e g(x) 5 |3x 2 1|, determine os pontos comuns aos gráficos de f e g.
c) |x2 2 6| 5 21
5. Inequações modulares Inequações modulares são aquelas que envolvem a incógnita em módulo. Veja alguns exemplos: • |x| 7
• |3x 2 1| 4
• |x2 2 1| 22
• |x 2 3| x
Vamos analisar algumas desigualdades que podem ser resolvidas usando apenas a definição de módulo: I) |x| 24 ⇒ S 5 ® (todo número real tem módulo maior ou igual a 0 e portanto maior ou igual a 24) II) |x| 24 ⇒ S 5 (não existe número real com módulo negativo) III) |x| 0 ⇒ S 5 ® IV) |x| 0 ⇒ S 5 ®* Para refletir V) |x| 0 ⇒ S 5 Justifique as conclusões VI) |x| 0 ⇒ S 5 {0} de III, IV, V e VI. 4 4 x VII) |x| 4 ⇒ S 5 {x ® | 24 x 4} números com módulo menor do que 4
VIII) |x| 4 ⇒ S 5 {x ® | x 24 ou x 4}
4
4
x
números com módulo maior do que 4
Pelos dois últimos casos (VII e VIII), podemos escrever que:
Para refletir
Dado o número real a 0, temos: |x| a ⇒ 2a x a |x| a ⇒ x 2a ou x a
Pense nas soluções das inequações: • |x| 3 • |x| 3
Usando essa propriedade, podemos resolver algumas inequações modulares. Veja a seguir alguns exemplos. Vamos resolver as seguintes inequações em ®: a) |x 2 3| 7 |x 2 3| 7 ⇔ 27 x 2 3 7 (pela propriedade) 27 x 2 3 7 ⇒ 27 1 3 x 7 1 3 ⇒ 24 x 10 Graficamente: x
S 5 {x ® | 24 x 10}
220
4
10
Matemática
b) |x 2 1| 5 |x 2 1| 5 ⇔ x 2 1 5 ou x 2 1 25 (pela propriedade)
I x215⇒x6 x 2 1 25 ⇒ x 24
Fazendo a união, vamos obter a solução por meio do seguinte quadro:
II 6
I II 4 S
6
4
S 5 {x ® | x 24 ou x 6}
c) |5x 2 3| 22 Todo módulo é maior ou igual a zero, portanto nunca pode ser menor ou igual a 22. Logo, S 5 . d) 2 |x 2 1| 4
| x 1| 4 I 2 |x 2 1| 4 equivale ao sistema | x 1| 2 II
I |x 2 1| 4 ⇔ 24 x 2 1 4 ⇔ 24 1 1 x 4 1 1 ⇔ 23 x 5
II |x 2 1| 2 ⇔ x 2 1 2 ou x 2 1 22 ⇔ x 3 ou x 21
A solução será dada pela intersecção das duas inequações simultâneas: 5
3
I
1
II S 3
1
Para refletir
3
3
S 5 {x ® | 23 x 21 ou 3 x 5}
Como seria o conjunto solução: a) em Z? b) em N?
5
e) |x 2 6| x Neste caso temos de resolver a inequação em três situações: para x 0, x 5 0 e x 0. A solução da inequação será dada pela união das soluções de cada uma. • x 0 ⇒ |x 2 6| x ⇒ não existe valor para x (o módulo nunca é menor ou igual a um número negativo) negativo S1 5 • x 5 0 ⇒ |0 2 6| 0 ⇒ 6 0 (impossível) S2 5
x 6 x ⇒ x 3 • x 0 ⇒ |x 2 6| x ⇒ 2x x 2 6 x ⇒ x 6 x ⇒ 0 6 ⇒ x ®
As condições x 0, x 3 e x ® simultaneamente nos dão S3 5 {x ® | x 3}. Temos então S1 5 , S2 5 e S3 5 {x ® | x 3}. A solução da inequação é dada por S 5 S1 S2 S3 5 {x ® | x 3}.
positivo
f ) |x 2 3| 1 |x| 5
• f(x) 5 x 2 3
• g(x) 5 x
3
x 3 ⇒ x 2 3 0 ⇒ |x 2 3| 5 x 2 3 x 3 ⇒ x 2 3 0 ⇒ |x 2 3| 5 2x 1 3 Capítulo 6 | Função modular
0
x 0 ⇒ |x| 5 x x 0 ⇒ |x| 5 2x
221
Então: | x 3| x 3 • x 0 ⇒ ⇒ 2x 1 3 2 x 5 ⇒ 22x 2 ⇒ x 21 | x | x S1 5 {x ® | x 21} | x 3 | x 3 ⇒ 2x 1 3 1 x 5 ⇒ 3 5 (impossível) • 0 x 3 ⇒ | x | x S2 5 | x 3| x 3 • x 3 ⇒ ⇒ x 2 3 1 x 5 ⇒ 2x 8 ⇒ x 4 | x | x S3 5 {x ® | x 4}
Logo: S 5 S1 S2 S3 5 {x ® | x 21 ou x 4}
Exercícios propostos 22. Resolva em ®:
a) |2x 2 5| 3 b) |3x 1 1| 10 c) |3x 2 4| > 2 d) 2 < |x 1 2| < 6 e) |x 2 3| 21 f ) |2x 2 3| x
23. Resolva a inequação |2x 2 6| 4 em Ω. 24. (EEM-SP) Determine os valores reais de x para os quais 1 , |x 2 1| , 2.
25. Atividade em dupla (Fuvest-SP) Resolva a inequação x|x| . x.
26. Determine os valores reais de x para os quais |x2 2 4| 3x. | x | 4
27. Resolva o sistema
| 2 x | 3
.
(Sugestão: Resolva cada equação do sistema e depois faça a intersecção das soluções de cada uma.)
Aplicação da resolução de inequações modulares Podemos determinar o domínio de algumas funções aplicando a resolução de inequações modulares.
Exemplos: Vamos determinar o domínio das funções: a) f(x) 5
1 | x 2 2 | 2 3
1 | x 2 2 | 2 3
só é possível em ® se |x 2 2| 2 3 0.
|x 2 2| 2 3 0 ⇒ |x 2 2| 3 ⇒ x 2 2 3 e x 2 2 23 ⇒ x 5 e x 21 Logo, D(f) 5 {x ® | x 5 e x 21}. b) f(x) 5 5 2 | x 2 3 |
5 2 | x 2 3| só é possível em ® se 5 2 |x 2 3| 0.
Para refletir Por que de |x 2 2| 3 deduzimos x 2 2 3 e x 2 2 23 e não x 2 2 3 ou x 2 2 23?
5 2 |x 2 3| 0 ⇒ 2|x 2 3| 25 ⇒ |x 2 3| 5 ⇒ 25 x 2 3 5 ⇒ 25 1 3 x 5 1 3 ⇒ 22 x 8
Logo, D(f) 5 {x ® | 22 x 8}.
222
Matemática
Exercícios propostos 28. Explicite o domínio D das seguintes funções: a) f(x) 5
1 | x | 2 10
b) g(x) 5 2 | x 1|
c) h(x) 5 | x 2 1| 2 1 d) i(x) 5
x | x | 2 3
29. Usando as funções f, g, h e i do exercício anterior, calcule se existir: e) h(11); f ) i(1); g) i(4); h) x tal que h(x) 5 3.
a) f(0); b) f(1); c) f(29); d) g(22);
6. Uma aplicação do módulo na Física Exemplo: Um professor de Matemática parte da Universidade Federal de Ufscar - km 235 São Carlos (Ufscar), localizada na cidade de São Carlos-SP, na rodovia Washington Luís, km 235, em direção à Universidade Estadual Paulista (Unesp), localizada na cidade de Rio Claro, São Paulo, na mesma rodovia, no km 174. Rodovia Washington Luís (SP-310) Nesse deslocamento, o automóvel do professor desenvolve uma velocidade média de 90 km/h. No mesmo instante, saindo de Rio Claro, um professor de Unesp RC - km 174 Física se dirige a São Carlos, desenvolvendo uma velocidade média de 93 km/h. A figura ao lado ilustra a rodovia que interliga as duas cidades. a) Vamos determinar as equações horárias dos dois automóveis. Adotando o sentido Rio Claro-São Carlos como positivo, as equações horárias serão: s 5 s0 1 vt sRC 5 174 1 93t sSC 5 235 2 90t b) Vamos determinar o instante e a posição do encontro entre os dois professores. No instante do encontro, os dois automóveis devem se localizar no mesmo espaço, ou seja, sRC 5 sSC . Assim sendo: 61 1 ⇒ t . h 5 20 min 174 1 93t 5 235 2 90t ⇒ 93t 1 90t 5 235 2 174 ⇒ 183t 5 61 ⇒ t 5 183 3 1 1 Nesse instante, o local do encontro será em: sRC 5 174 1 93 ? 5 205 km, ou sSC 5 235 2 90 ? 5 205 km, ou 3 3 seja, no quilômetro 205 (km 205). c) Vamos determinar os instantes em que a distância que os separa é de 30 km. d 5 |sSC 2 sRC| ⇒ d 5 |(235 2 90t) 2 (174 1 93t)| ⇒ d 5 |61 2 183t|
Como d 5 30 km, temos 30 5 |61 2 183t|. Pela definição de módulo, vem:
61 183t 30 ⇒ 31 183t ⇒ t 0, 169 h (10 min 10 s ) |61 2 183t| 5 30 ⇒ ou 61 183t 30 ⇒ 91 183t ⇒ t 0, 497 h (29 min 50 s )
Exercício proposto 30. Dois veículos estão em uma mesma reta. Um deles parte de um ponto A com velocidade média de 80 km/h. No mesmo instante e em sentido oposto, outro veículo parte de B com velocidade média de 90 km/h. Sabendo que a distância AB é de 340 km, determine: a) as equações horárias dos dois veículos; b) o instante e a posição do encontro dos dois veículos; c) os instantes em que a distância que os separa é de 170 km.
Capítulo 6 | Função modular
A B
223
>Atividades adicionais ATENÇÃO!
c)
AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC., NÃO ESCREVA NO LIVRO. TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.
A seguir, separadas por regiões geográficas, relacionamos algumas questões de vestibular que envolvem o conteúdo deste capítulo.
1
0 1
d)
Região Norte
1
1. (Ufam) Dada a inequação x . 2|x|. Então, a alternativa correta é: a) Tem solução para todo x real. b) Não tem solução. c) Tem solução x 5 0. d) Tem solução para x negativo. e) Tem solução para x positivo.
1
1
a seguinte mensagem ao seu melhor aluno, um estudante chamado Nicéphoro, que gostava muito de desenhar e traçar gráficos:
1, se | x | 1 . f(x) 5 0, se | x | 1
. Trace, por favor, usando os seus conhecimentos, o gráfico desta função e o envie para mim. Um abraço e saudações matemáticas. Euclides Arquimedes.
Nicéphoro traçou corretamente o gráfico da função acima e o enviou ao prof. Euclides Arquimedes. O gráfico enviado foi: a)
0
3. (UFT-TO) Sejam f e g funções reais de uma variável real definidas por f(x) 5 |x 2 1| e g(x) = 5. A área da região limitada pelos gráficos dessas funções é: a) 10 unidades de área. c) 50 unidades de área. b) 30 unidades de área. d) 25 unidades de área.
4. (Ufac) Qualquer solução real da inequação |x 1 1| , 3 tem uma propriedade geométrica interessante, que é: a) a sua distância a 1 é maior que 3. b) a sua distância a 21 é maior que 3. c) a sua distância a 21 é menor que 3. d) a sua distância a 1 é menor que 3. e) a sua distância a 3 é menor que 1.
Região Nordeste 5. (Cesesp-PE) A e B são subconjuntos definidos por
A = {x [ ® | |x 2 1| . 4} e B = {x [ ® | |x 1 2| , 3}. Determine A > B.
1
6. (UFPB) Para todo x, y [ ®, é verdade que:
0
a) b)
( xy )2 5 xy.
b) | x | | y | | x | | y | . 1
0
224
1
e)
2. (UFPA) Um professor de Matemática Aplicada enviou
Prezado Nicéphoro, Estive analisando cuidadosamente aquele problema de Matemática e percebi que ele é regido por uma função pulso-unitário definida por
0
c)
x2 y2 | x | | y | .
d)
( x y )2 | x | | y | .
e)
( x y )2 | x y | . Matemática
7. (Unifor-CE) Seja f a função de ® em ® definida por
f(x) 5 |x 2 1| 2 1. Os números reais que satisfazem a sentença f(x) , 0 pertencem ao intervalo: a) ]2, 1 ∞[. d) ]0, 2[. b) ]2∞, 0[. e) ]1, 3[. c) ]21, 1[.
8. (UFC-CE) Seja f uma função real de variável real cujo gráfico está representado abaixo:
x
0 1
1
2
3
016) o menor número inteiro positivo k, tal que os k k k k k números 5 , , , , e são inteiros posi3 4 5 6 9 tivos, é k 5 460.
10. (UEMS) O conjunto S, solução da equação |x| 5 2x 1 1 é: 1 a) S 5 {2 , 21}. d) S 5 {0, 21}. 3 1 b) S 5 {2 }. e) S 5 [. 3 c) S 5 {21}.
f(x) 1
1 são raízes da equação ax2 1 5x 1 c 5 0, 2 com a e c constantes reais, então a 1 c 5 0.
008) se 22 e
4
11. (UEMS) Dada uma função real y 5 f(x). Se ||x| 1 y| < 1,
Se g(x) 5 2f(x) 2 1, assinale a alternativa cujo gráfico melhor representa |g(x)|. a) d) g(x) g(x) 1
1
x
0 1 1 2
74 2
2
x
0
1
2
3
4
8x [ ® então pode-se afirmar que o conjunto imagem de f denominado Imf é tal que: a) Imf , {y [ ® | y > 1}. b) Imf , {y [ ® | y < 1}. c) Imf , {y [ ® | y < 21}. d) Imf , {y [ ® | y > 21}. e) Imf , {y [ ® | 21 < y < 1}.
12. (UEMS) A melhor representação gráfica da função f(x) 5 |x| 1 |x 2 1| é: a) b)
e)
g(x)
d)
y
g(x)
y
f
3
3
f 1
0 1
1
1
7 2 4
1 2
1
x
0
2
1 2
2
0
1
0
7 4 2
b) c)
x x
x
e)
y
y
g(x) f
3
f 1
1 0
1
2
3
0
4
Região Centro-Oeste 9. (UFMS) Com base nas propriedades dos números reais, é correto afirmar que: 1 1 1 001) 2 5 10
1
.
3 2 002) se |x2 2 1| 5 3, então x 5 2. 004) se x 5 2, então |x2 2 1| 5 3. Capítulo 6 | Função modular
x x
x
1
c)
0
1
y
f 1 x 0
1
225
Região Sudeste 13. (FGV-SP) A soma dos valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as desigualdades |x 2 5| , 3 e |x 2 4| > 1 é: a) 25. b) 13. c) 16. d) 18. e) 21.
18. (UEL-PR) Seja f: ® → ® dada por f(x) 5 |x2| 1 |x|. O gráfico da função g: ® → ®, definida por g(x) 5 2f(x 11), é: a)
y 6 5 4 3 2
14. (PUC-MG) O gráfico da função f(x) 5 |x| 1 2 é constituí
1
x
4 3 2 1
do por: a) duas semirretas de mesma origem. b) duas retas concorrentes. c) duas retas paralelas. d) uma única reta que passa pelo ponto (0, 2).
1
1
2
3
4
2 3 4
15. (Mack-SP) A soma dos valores de x que satisfazem a igualdade |x2 2 x 2 2| 5 2x 1 2 é: a) 1. b) 3. c) 22. d) 2. e) 23.
b)
y 6 5 4 3 2
16. (Uerj) O volume de água em um tanque varia com o
1
tempo de acordo com a equação V 5 10 2 |4 2 2t| 2 |2t 2 6|, t [ ®1. Nela, V é o volume medido em m3 após t horas, contadas a partir de 8h de uma manhã. Determine os horários inicial e final dessa manhã em que o volume permanece constante.
x
4 3 2 1 1
1
2
3
4
1
2
3
4
2 3 4
Região Sul 17. (PUC-PR) Sendo x e y números reais, quais das afirma-
c)
y
ções são sempre verdadeiras? I) Se x . y, então 2x . 2y.
6
II) Se |x| 5 2x, então x , 0.
4
III) Se 0 , x , y, então
IV) Se x2 > 9, então x > 3.
V) x2 2 2x 1 y2 . 0 a) Somente I e II. b) Somente II e IV. c) Somente II e III. d) Todas. e) Somente I e III.
226
5
3
1 1 . . y x
2 1
x
4 3 2 1 1 2 3 4
Matemática
y 6
d)
c)
y 4
5 4
2
3 2
x
1
4
x
4 3 2 1 1 2
1
3
2
4
2
4
2
4
2
2 4
3
d)
4
y 4
y
e)
6 2
5 4
x
3
4
2
2 2
1
x
4 3 2 1 1
1
2
3
4
4
e)
2
y
3
4
4 2
19. (PUC-RS)
Considerando a função f definida por f(x) 5 x2 2 1, a representação gráfica da função g dada por g(x) 5 |2f(x)| 2 2 é: y a)
2
2
4
2
2
20. (UFSC) Em cada item a seguir, f(x) e g(x) representam
leis de formação de funções reais f e g respectivamente. O domínio de f deve ser considerado como o conjunto de todos os valores de x para os quais f(x) é real. Da mesma forma, no caso de g considera-se o seu domínio todos os valores de x para os quais g(x) é real. Verifique a seguir o(s) caso(s) em que f e g são iguais e assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
4
2
4
b)
y 4
01) f ( x ) 2 x 4
2
2 2
4
Capítulo 6 | Função modular
4
x 4
4
4
x 4
2
2
x x 1
e g( x )
x x 1
02) f ( x ) 5 x 2 e g( x ) 5 x 1 x e g( x ) 5 x x 2 08) f ( x ) 5 x e g( x ) 5 x 04) f ( x ) 5
( )
16) f ( x ) 5 x 2 e g( x ) 5 | x |
227
capítulo 7
FunçÃO exponencial Entre os fenômenos naturais, um dos mais recentemente estudados pelo homem é o da radioatividade: propriedade de algumas substâncias em emitir radiações e se desintegrar, transformando-se em outras. Esse fenômeno tem ajudado os geólogos a determinar a idade das rochas e também os arqueólogos a determinar a idade de objetos encontrados em suas escavações. O tempo que uma substância leva para que metade de seus átomos se desintegre é denominado meia-vida. Esse termo significa que a cada período transcorrido ocorrerá a desintegração de metade da quantidade dos átomos e, como esse processo continua, restará 1 , 1 , 1 , etc. 2 4 8 da substância original, conforme transcorra uma
Aureliano Müller/fo
vez, duas vezes, três vezes meia-vida, e assim por diante. Observando essa sequência de frações, podemos perceber o padrão das potências de 1 , sendo 2 o expoente de cada termo correspondente à quantidade de meias-vidas transcorridas. Assim, tere2 3 mos: 1 , [ 1 ] , [ 1 ] , ..., o que nos permite generalizar, 2 2 2 1 x escrevendo [ ] para x meias-vidas transcorridas. 2 A generalização desse padrão dará origem a uma função, uma vez que temos a variável x no expoente, chamada função exponencial. Há inúmeras situações nas quais a função exponencial está presente: na Economia, naquelas
lhapress
Parque Nacional de Sete Cidades, no Piauí. Na foto, a Pedra da Tartaruga é uma formação de arenito que se notabiliza pelas formas poligonais, na sua maioria pentagonais, cobertas de líquen.
228
Matemática
em que se aplicam juros compostos; em Urbanismo, no campo de pavimentação urbana, onde se verifica que os componentes de um sistema viário se degradam numa variação exponencial inversa aos níveis de investimento destinados à sua manutenção e reabilitação; na Biologia, no estudo do crescimento do número de bactérias numa cultura; e outras. Neste capítulo estudaremos a função exponencial.
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
>Atividades 1. Vamos fazer uma experiência com dobraduras: Dobre uma folha retangular pela metade, paralelamente à sua largura e, em seguida, abra-a e anote o número de retângulos que aparecem marcados; continue dobrando sucessivamente o retângulo encontrado, sempre pela metade e no mesmo sentido. E, a cada etapa, abra totalmente a folha e anote a quantidade de retângulos menores que aparecem marcados nela. O esquema abaixo dá uma ideia do processo:
ras a quantidade de vezes que o papel foi dobrado a cada etapa. Número de dobraduras
Número de retângulos resultantes
0
1
1
2
2 3 4
b) Se forem feitas 6 dobraduras, quantos retângulos ficarão marcados na folha? c) Generalize, encontrando a expressão que dá o número de retângulos para n dobraduras. d) Ao fazer essa experiência, uma pessoa obteve 256 retângulos marcados na folha original. Quantas dobraduras ela fez?
2. Um remédio contém uma substância radioativa que a) Complete a seguinte tabela com os resultados obtidos. Vamos chamar de número de dobraduCapítulo 7 | Função exponencial
apresenta meia-vida de 2 horas. Se uma pessoa tomar 50 mg desse remédio, qual a quantidade restante em seu organismo depois de 12 horas?
229
FABIO COLOMBINI/ Acervo do Fotógrafo
1. Introdução Consideremos a seguinte situação: Em uma cultura de bactérias, a população dobra a cada hora. Se há 1 000 bactérias no início da experiência, calcule quantas bactérias existirão depois de: a) 3 horas • Depois de 1 hora, teremos 2 000 bactérias (2 1 000). • Depois de 2 horas, teremos 4 000 bactérias (4 1 000 ou 22 1 000). • Então, depois de 3 horas, teremos 8 000 bactérias (8 1 000 ou 23 1 000).
Para refletir
b) 10 horas 210 1 000 ou 1 024 000 bactérias
Na prática, as bactérias podem desenvolver-se sobre uma camada de alimentos e sua população é medida pela área que ocupa.
c) x horas 2x 1 000 bactérias
De modo geral, o modelo matemático usado para resolver situações como essa é dado pela função de tipo exponencial f(x) 5 b ax, que estudaremos neste capítulo. No caso das bactérias da foto acima, o modelo matemático é dado pela função de tipo exponencial f(x) 5 b ? 2x, em que b representa a população de bactérias existentes no início da experiência e x é o tempo decorrido. Neste caso, vimos que, se calcularmos a população das bactérias nos instantes x0, x0 1 h, x0 1 2h, ..., isto é, em intervalos de igual duração h, obteremos que cada população é igual à do instante anterior multiplicada pela mesma constante k: f(x0 1 h) 5 f(x0) ? k, f(x0 1 2h) 5 f(x0 1 h) ? k, etc. (No item a acima, h 5 1 hora e k 5 2.) Esta é a característica fundamental da função exponencial e, mais geralmente, da função tipo exponencial.
2. Revisão de potenciação Será que a expressão ax tem sentido para todo número real x? Vejamos isso retomando o estudo da potenciação.
Potência com expoente natural Dados um número real positivo a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número an que é igual ao produto de n fatores iguais a a: an 5 a a a ... a n fatores
Para n 5 1, considera-se por definição que a1 5 a, uma vez que não há produto com um único fator. Vejamos alguns exemplos: • 25 5 2 2 2 2 2 5 32 1 1 1 1 1 2 5 2 2 2 5 8
Pode-se definir que o valor de an é dado por: • a1 5 a • an 1 1 5 an a Por exemplo: • a2 5 a1 a 5 a a • a3 5 a2 a 5 a a a
2
• 14 5 1 1 1 1 5 1
• 3 5 3 3 5 9 4 4 4 16
• 103 5 10 10 10 5 1 000
• 35 5 3 3 3 3 3 5 243
3
•
Para refletir
Propriedade fundamental Observe que 23 22 5 (2 2 2)(2 2) 5 2 2 2 2 2 5 25 5 23 1 2. De modo geral, para quaisquer m, n n*, podemos provar que:
am an 5 am 1 n (propriedade fundamental da potenciação: multiplicação de potências de mesma base), pois em ambos os membros da igualdade temos o produto de m 1 n termos iguais a a.
230
Matemática
Essa propriedade continua válida para um número qualquer de fatores. Para m1, m2, …, mp quaisquer pertencentes a n*, temos: mp m + m + ... + mp m m2 a 1 a … a 5 a 1 2 p fatores
Por exemplo, 22 23 25 5 22 1 3 1 5 5 210. No caso de todos esses expoentes serem iguais (m1 5 m2 5 … 5 mp 5 m), temos: (am)p 5 amp (potência de potência) 32 32 32 ... 32 5 (32 )7 5 314 . Por exemplo, 7 fatores
Observe também que: • Se a 1, então an 1 1 an. Basta multiplicar ambos os membros da desigualdade a 1 por an, que é positivo: a an an ⇒ an 1 1 an Assim: a 1 ⇒ 1 a a2 a3 ... an an 1 1 ... • Se 0 , a , 1, então 1 . a . a2 . a3 . ... . an . an 1 1 . ...
Para refletir Quando a 5 1, essa sequência é constante, com todos os termos iguais a 1.
Potência com expoente inteiro
Como atribuir um significado à potência an (a real positivo), quando n Ω é um número inteiro, que pode ser negativo ou zero? Isso precisa ser feito de modo que seja mantida a propriedade fundamental a m a n 5 am 1 n. Inicialmente, vejamos qual deve ser o valor de a0 para a 0. Como a igualdade a0 a1 5 a0 1 1 deve ser válida, teremos a0 a 5 a. Assim, a única possibilidade que temos é definir a0 5 1, com a 0 . Em seguida, dado qualquer n n*, devemos ter, para a 0: a2n an 5 a2n 1 n 5 a0 5 1 Portanto a2n an 5 1, ou seja, a2n 5
1 . an
Para refletir
Observe os valores da sequência e complete-a logicamente: 24, 23, 22, 21, 20 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 16, 8, 4, 2, ?
Com isso, estendemos o conceito de potência do número real positivo a, com expoentes inteiros quaisquer, mantendo a propriedade fundamental.
Exemplos: 1‚) 3 2 1 2‚) 2
3‚)
1 1 2 9 3
3
( 2)
2
1 1 2
5
3
1
( 2)
2
5
1 8 1 8 1 2
Inverso de um número a 0 1 a Observe que a ? a21 5 a ? 5 5 1, ou seja, a ? a21 5 1, com a 0. a a 1 a21 5 é chamado o inverso de a. a Capítulo 7 | Função exponencial
Para refletir O número zero não tem inverso. Por quê?
231
Outras propriedades
Para refletir
1·) Observe que: am 1 am : an 5 n 5 am n 5 am a2n 5 am 1 (2n) 5 am 2 n, com m, n Ω a a Logo: am : an 5 am 2 n ou
am 5 am 2 n n a
Observe os valores da sequência e complete-a logicamente: 24, 23, 22, 21, 20, 221, 222, 223 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 16, 8, 4, 2, ?, ?, ?, ?
com a 0 (quociente de potências de mesma base)
2·) Se a 0, para m, n Ω continua valendo (am)n 5 amn .
1 1 5 9 5 32 5 3(22)(21) 1 3 9
Por exemplo, (322)21 5
2
Observe também que: • Se a . 1, então a sequência an é crescente para n Ω. Por exemplo, para a 5 2: 1 1 1 ... 223 222 221 20 21 22 23 ... ⇒ ... 1 2 4 8 ... (sequência crescente) 8 4 2
• Se 0 a 1, então a sequência an é decrescente para n Ω. Por exemplo, para a 5 1 ... 2
3
1 2
2
1 : 2
1 2
1
0
1
2
3
1 1 1 1 1 1 1 ... (sequência ... 8 4 2 1 2 4 8 2 2 2 2
decrescente)
Exemplo: 1 Vamos calcular o valor de a 5 2
22
1
2
1 [221 2 (22)21]21. 1
1 2 1 4 1 1 a 5 5 4 1 121 5 4 1 1 5 5 1 2 2 1 2 2 Logo, a 5 5.
Exercícios propostos
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
1. Calcule as potências com expoente inteiro em ®. a) 3
0
b) (2,5)
f) ( 2 )2
c) (22)3
g) ( 7 )3
2
3
1 d) 1 2
h) 622
2. Calcule o valor de: 3
1 a) x 5 2 1 [321 2 (23)21]22 3
232
2 2 22 2 1 2 2 2 1 3. Calcule: a) 106 b) 109 b) y 5
e) 5
4
4. Escreva como potência de base 10: a) 10 000 b)
c) 1024 d) 1026 ? 104
100 000 100
c) 0,0001 d) 0,000001
5. Escreva as sequências an, para n ZZ: a) a 5 3
b) a 5
1 4
Matemática
Potência com expoente racional
m é um número n racional (em que m Ω e n Ω* ), de modo que continue válida a propriedade fundamental ar as 5 ar 1 s. Veremos agora que significado pode ser dado à potência ar, com a positivo, quando r 5
1
Inicialmente, vejamos como podemos definir, por exemplo, 2 2 , mantendo a propriedade fundamental: 1
1
1
2 2 2 2 2 2
1 2
5 21 5 2
1
Assim, 2 2 é um número positivo cujo quadrado é igual a 2. Portanto, pela definição de raiz quadrada: 1 2
1 2
2 5 2 , pois [ 2 2 ] 5
( 2 ) 5 2 2
De modo geral, partindo da propriedade fundamental: ar as 5 ar 1 s ou (ar)n 5 ar ? n e fazendo r 5 1 teremos: n 1 n
1
1
1
1
1 n n
1
1
[ a n ] a n a n ... a n a n n ... n a
n
a n a
1
ou seja, a n é o número real positivo cuja n-ésima potência é igual a a. Pela definição de raiz, esse número é n a , a raiz n-ésima de a. Logo: 1
a n n a com a real positivo e n 5 2, 3, 4, …
Exemplos: 1
1‚) 8 3 5 3 81 5 3 8 5 2
3‚) 3
1 2
1
3
1 2
1 2
1 3
3 3
2‚) 90,5 5 9 5 2 91 5 9 5 3 Podemos observar também que: 2
1
2 3 2 3
1 3
1
1
2
( 2 )( 2 ) ( 2 )
2 3 2 3
3
3
3
3
22
2
Portanto, 2 3 5 3 22 . De modo geral, preservando a propriedade fundamental: ar as 5 ar 1 s ou (ar)n 5 ar ? n e fazendo r 5
m , teremos: n m n
m
m
m
m
m
m
[ a n ] a n a n ... a n a n n ... n a
m n n
am
m
ou seja, a n é um número real positivo cuja n-ésima potência é igual a am. Pela definição de raiz, esse número é n am , a raiz n-ésima de am. Logo: m n
Constate com exemplos
n
m
, com a real positivo e m, n 5 2, 3, 4, …
n
am 5 para todo p N*.
em que
a a
Capítulo 7 | Função exponencial
Para refletir np
a mp
233
Exemplos: 3
1‚) 2 5 5 5 23 5 5 8 3
3‚)
3
14 1 1 2‚) 5 4 5 4 8 2 2
( 5)
4‚) 1 3
2 3
2 3
5
3
( 5)
1 3 3
2
5 3 5
2
3 32 3 9
Exercícios propostos 6. Calcule as potências em ® quando definidas: 2 7
a) 5
c)
3
( 3)
4 5
1
e) 2
1
1 2 g) 2
1 3
d) 9 2
i ) 70,4 1
1
b) 2 4
3
h) 0 8
f ) 80,666…
1 2 1 2 1 7. Calcule o valor de 27 3 64 2 8 3 4 2 .
Potência com expoente irracional Vamos agora dar uma ideia de como caracterizar, por exemplo, 2 2 . Tomamos as aproximações racionais do número irracional 2 , que são: 1; 1,4; 1,41; 1,414; … e temos definidas as potências com expoente racional 21; 21,4; 21,41; 21,414; … À medida que:
1; 1,4; 1,41; 1,414; … se aproximam de 2 , 21; 21,4; 21,41; 21,414; … se aproximam de 2 2 .
Usando a calculadora, obtemos: 21 5 2; 21,4 5 2,639015; 21,41 5 2,657371; 21,414 5 2,664749; ...; 2
2
5 2,665144...
Obtemos assim, por aproximação de racionais, a potência ax, com x irracional e a real positivo. É importante observar que ax é sempre um número real positivo.
Potência com expoente real Lembrando que os números racionais unidos com os números irracionais resultam nos números reais, chegamos às potências com expoentes reais mantendo as propriedades mencionadas anteriormente. Assim, são potências com expoente real: 5
3 6 2 3 7 π
( 3)
2
2 3
5
1 2
− 2
2 54 7 −2 8 0 − 3
−5
Exercício proposto 8. A potência 3
20
(
é maior, menor ou igual a 250? Dica: 4 20 5.
)
Observação: Quando a 5 0 ou a 0, algumas potências de base a estão definidas em ® e outras não. Por exemplo: 03 5 0 022 5
234
1 1 1 ® ( 8) 3 3 8 2 ( 9) 2 9 ® 0
Matemática
Notação científica A notação científica permite escrever números usando potências de 10. Sua principal utilidade é a de fornecer, num relance, a ideia da ordem de grandeza de um número que, se fosse escrito por extenso, não daria essa informação de modo tão imediato. Um número expresso em notação científica está escrito como o produto de dois números reais: um número real pertencente ao intervalo [1, 10[ e uma potência de 10. Veja como se escreve um número em notação científica: • 300 5 3 100 5 3 102
• 32,45 5 3,245 10 5 3,245 101
• 0,0052 5 5,2 0,001 5 5,2 1023
• 5 249 5 5,249 1 000 5 5,249 103 NASA/Arquivo da editora
Netuno
Urano
Saturno
Júpiter
Marte
Terra
• a velocidade da luz: 300 000 km/s 5 3 105 km/s;
Vênus
Sol
• a distância média da Terra ao Sol: 149 600 000 km 5 1,496 108 km;
Mercúrio
Veja alguns exemplos em informações científicas:
• a distância em torno da Terra no Equador: 40 075 km 5 4 104 km (aproximadamente); • a massa de um átomo de oxigênio: 2,7 10223 g; • a massa de um átomo de hidrogênio: 1,66 10224 g.
Nota: Os elementos da foto não estão representados numa mesma escala.
Exercícios propostos 9. Escreva em notação científica os seguintes números: a) 500
g) 20,39
b) 0,0006
h) 0,000008
c) 0,00000025
i ) 48 000
d) 0,02
j ) 7 000 000 000
e) 0,034
k) 923,1
f) 0,8
l ) 40 400
10. Dê o valor de cada número escrito em notação científica: a) 8 104 b) 5 1022 c) 3,52 105 d) 1,6 1023
11. Escreva em notação científica: a) a distância média do Sol a Marte: 227 900 000 km; b) a distância média do Sol a Júpiter: 778 300 000 km; c) a massa de um elétron, aproximadamente, 0,000000000000000000000000000911 g.
3. Simplificação de expressões Observe nos exemplos a seguir como podemos aplicar as propriedades da potenciação na simplificação de expressões: 2 0, 001 1000 4 3 1‚) Vamos simplificar a expressão ? (0,0001) . 105 2
2
2 2 0, 001 1000 4 1023 (103 )4 1023 1012 109 3 24 3 212 212 ? (10 ? (0,0001) ? 10 5 ) 5 5 105 ? 10 5 105 105 105
5 (104)2 ? 10212 5 108 ? 10212 5 1024 ou 0,0001
2‚) Sabendo que 2x 5 m e 2y 5 n, vamos escrever a expressão (0,25)2x 2 y em função de m e n. 25 1 1 5 5 2 5 222 100 4 2
0,25 5
(222)2x 2 y 5 224x 1 2y 5 224x ? 22y 5 (2x)24 ? (2y)2 5 m24 ? n2
Capítulo 7 | Função exponencial
235
3‚) Vamos transformar em produto a expressão 2x 2 2 1 2x 2 1. 1 1 3 3 2x 2 2 1 2x 2 1 5 2x ? 222 1 2x ? 221 5 2x(222 1 221) 5 2 x 2 x 2 x 4 4 4 2 colocando 2x em evidência 4‚) Se A 5 2 x 1 22x e B 5 2x 2 22x, vamos calcular o valor de A2 2 B2 para todo x real.
x x x x x x x x 2 2 A2 2 B2 5 (A 1 B)(A 2 B) ⇒ A2 2 B2 5 [( 2 2 2 ) ( 2 )][( 2 ) ( 2 )] ⇒
⇒ A 2 B 5 [2 ? 2 ][2 ? 2 ] ⇒ A 2 B 5 4 ? 2 ? 2
A
2
2
x
2
2x
2
B
x
2x
A
B
⇒A 2B 54?2 54?154 2
2
0
3 5‚) Vamos escrever a expressão a a na forma de potência. 1 1 2 4 1 1 1 1 1 + 2 2 3 3]2 3 3 2 3 3 ] [ [ [ ] a 5 a a a 5 a a 5 a a 5 a 5
(
)
3
6‚) Vamos determinar o valor da expressão 0, 25 16 4 . 3 3 3 5 1 1 1 1 5 0, 25 16 4 0, 5 (2 4 ) 4 2 3 10 2 2 2 8 8
Exercícios propostos 12. Represente a expressão 1004 ? (0,001)3 na forma de
21. Transforme numa só potência as expressões:
potência de 10.
13. Simplifique a expressão
12 1023 1024 10 8 . 12 1021 10 −4
14. Transforme em produto a expressão 3x 1 2 1 3x 21 2 3x. 15. Se (a 2 a21) 5 k, com a 0 e a 1, calcule o valor de a2 1 a22 em função de k. (Sugestão: Eleve a igualdade dada ao quadrado.)
16. Se A 5 (3x 1 32x) e B 5 (3x 2 32x), calcule o valor de A 2 B para todo x real. 2
2
1
1
1 35 3 34 3 2 a)10 10 b) 2 : 2 c) [ 3 3 ] d) 2 5 3 3 22. Escreva na forma de potência de 10: a) 10 000 000 d) (0,01)4 g) (0,0001)23 8 b) 0,001 e) (0,1) h) 10026 0,0001 10 i) c) 1006 f ) 1 000 0,001 1 2
1 4
1 3
1 4
23. (Vunesp) Calcule o valor de m, sabendo que m5
0,00001 ? (0,01)2 ? 1 000 0,001
17. Escreva sob a forma de potência a expressão 6 x 5 x .
24. (Fuvest-SP) Sendo x 5 (22)3, y 5 223 e z 5 232 calcule
18. Simplifique as expressões abaixo para x . 0.
25. (FGV-SP) Qual é o valor da expressão
2
a) x 3 x
1 2
3
x2 2 23 x x
a ? b22 ? (a21 ? b2)4 ? (a ? b21)2 quando a 5 1023 e a23 ? b ? (a2 ? b21)(a21 ? b) b 5 1022?
x
b)
x
19. Calcule o valor das expressões numéricas: 1 3 ( 2) 3 0
20 1 221 a) 421 b)
c)
2 4 32 2 0 1 22 3
1
2
1 2
2
b)
236
4
5
103 2
c) d)
4
35
10
67
26. (Mack-SP) Se 2x 5 a e 2y 5 b, com x e y reais, determine o valor de (0,25)23x 1 y em função de a e b. 3
27. (ITE-SP) Qual é o valor da expressão 64 2 ? 28. (Ufal) Transforme numa só potência a expressão
2
20. Escreva na forma de potência com expoente fracionário: a)
x ? y ? z.
1
e) f )
3 1 3
102
( )
2
3
1
6 .
29. (UnB-DF) Escreva na forma de potência a expressão x 5
x4
. 2
30. (UFMG) Qual é o valor de 4(0,5)4 1 0, 25 8 3 ?
Matemática
4. Função exponencial Vamos agora estudar a função exponencial definida por f(x) 5 ax.
Definição
Dado um número real a (a . 0 e a 1), denomina-se função exponencial de base a a uma função f de ® em ® *+ definida por f(x) 5 ax ou y 5 ax.
Exemplos: 1‚) f(x) 5 3x
4‚) f(x) 5 (0,4)x
2‚) y 5 5x
5‚) f(x) 5 ( 2 )x x
3‚) f(x) 5 1 2
6‚) f(x) 5 10x
Observação: As restrições a . 0 e a 1 dadas na definição são necessárias, pois:
• Para a 5 0 e x negativo, não existiria ax (não teríamos uma função definida em ®). 1 • Para a 0 e x 5 , por exemplo, não haveria ax (não teríamos uma função em ®). 2 • Para a 5 1 e x qualquer número real, ax 5 1 (função constante).
Exercícios propostos 31. Verifique quais das sentenças dadas correspondem à lei de uma função exponencial. a) f(x) 5 9x e) y 5 x2 b) f(x) 5 (0,666…)x
f) f(x) 5 0x
c) f(x) 5 (24)x
g) f(x) 5 1x
d) y 5 2x
1 h) f(x) 5 5
32. Dada a função exponencial f(x) 5 4x, determine:
x
a) f(3);
1 d) f 2 ; 2
b) f(21);
e) m tal que f(m) 5 1;
1 c) f ; 2
f ) D(f) e Im(f ).
Gráfico da função exponencial Vamos analisar os gráficos de duas funções exponenciais f(x) 5 ax, a primeira com a . 1 e a segunda com 0 , a , 1. 1·) a . 1 f(x) 5 2x ou y 5 2x → → →
8
→
→
→
→
x
23
22
21
0
1
2
3
2x
2
2
2
0
2
1
2
2
2
23
1
2
4
8
23
y 5 2x
y
→
22
21
1
1
1
8
4
2
→
→
4
→
→
→
3 2
→
Para refletir
1 3 2 1
1 2 0 1
x 2
3
4
A função exponencial está definida para todo x real e tem por imagem o semieixo y . 0.
Capítulo 7 | Função exponencial
237
2·) 0 , a , 1 x
1 1 f(x) 5 ou y 5 2 2
→ x
1 2
23 x
1 y 2
→
1 2
x
→ 22
23
1 2
→ 0
21
22
1 2
→
21
1 2
1 0
←
4
←
2
1
←
←
1
8
• Como garantir que o gráfico passa por (0, 1)?
1 2
• Justifique por que o gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III e IV.
3 2
1 2
1
1
1
2
4
8
←
Para refletir
→ 2
1 2
x
8
→
y
←
4
3
3 2 1 3 2 1
x 0
1
2
3
←
Pela observação das tabelas e dos gráficos podemos concluir que, para uma função exponencial: • D(f) 5 ®, CD(f) 5 ® *+ , Im(f) 5 ® *+ , f(1) 5 a e f(x1 1 x2) 5 f(x1) ? f(x2);
• o gráfico é uma figura chamada curva exponencial, que passa por (0, 1); • o gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III e IV; • para a . 1 a função é crescente (x1 . x2 ⇒ ax1 ax2 ); x
x
• para 0 a 1, a função é decrescente ( x1 x 2 ⇒ a 1 a 2 );
• a função exponencial é sobrejetiva: Im(f) 5 CD(f), ou seja, para todo número real b . 0, existe algum x ® tal que ax 5 b (todo número real positivo é uma potência de a); x
x
x
x
• a função exponencial é injetiva ( x1 x 2 ⇒ a 1 a 2 ou a 1 a 2 ⇒ x1 x 2 ), pois ou ela é crescente (a . 1) ou é decrescente (0 , a , 1); • a função exponencial é bijetiva, logo, admite função inversa; • a função exponencial é ilimitada superiormente.
Característica fundamental da função exponencial x0 → f(x0) 5 a
x0
x0 1 h → f(x0 1 h) 5 a
x 0 h
a
x0
5k
ah x
x
5k
x0 1 2h → f(x0 1 2h) 5 a
x 0 2 h
a 0 a2h a 0 ah ah
x0 1 3h → f(x0 1 3h) 5 a
x 0 3 h
a
x 0 2 h
Para refletir
5 k ? ax0 5 kf(x0)
5k
ah
5 k ? f(x0 1 h)
5 k ? f(x0 1 2h)
Acréscimos iguais dados a x fazem com que f(x) fique multiplicada sempre pela mesma constante.
etc. Por exemplo, observe no gráfico de f(x) 5 2x (gráfico da página 237), fazendo x0 5 21 e h 5 1: 1 2 x0 1 h → 21 1 1 5 0 → f(0) 5 1 5 2 ? f(21) x0 5 21 → f(21) 5
x0 1 2h → 21 1 2 5 1 → f(1) 5 2 5 2 ? f(0) x0 1 3h → 21 1 3 5 2 → f(2) 5 4 5 2 ? f(1) etc.
238
Matemática
Observação: As ideias desenvolvidas no estudo da função exponencial f(x) 5 ax podem ser aplicadas em outras funções em que a variável aparece no expoente, como: f(x) 5 2 ? 3x
f(x) 5 5x 2 2
f(x) 5 5x 2 2
Por exemplo, seja f a função de ® em ® definida por f(x) 5 4x 1 1; vamos:
3 • calcular f(22), f(21), f(0), f(1) e f ; 2
• construir o gráfico de f e determinar D(f) e Im(f). 1 17 f(22) 5 422 1 1 5 1 5 1,0625 16 16 1 5 f(21) 5 421 1 1 5 1 5 1,25 4 4 f(0) 5 40 1 1 5 1 1 1 5 2 f(1) 5 41 1 1 5 4 1 1 5 5 3 3 f 4 2 1 64 1 1 5 8 1 1 5 9 2
x 22 21
y 17 16
5 1, 0625
5 4
2
1
5
2
Para refletir O que muda no gráfico de f(x) 5 4x 1 1 em relação ao gráfico de f(x) 5 4x ?
4 3
5 1, 25
0 3
y
2 1 x
9
2
1
0
1
2
D(f) 5 ® Im(f) 5 {y ® | y 1}
A seguir temos os gráficos das funções exponenciais f e g definidas por f(x) 5 rx e g(x) 5 sx. y y f(x) rx
g(x) sx
6,25
2,25
x
x
2 2
Com base nos gráficos, vamos analisar as seguintes questões: a) r . 1 ou 0 , r , 1? 0,r,1 b) s . 1 ou 0 , s , 1? s.1 c) f é crescente ou decrescente? E g é crescente ou decrescente? f é decrescente e g é crescente. d) f(7) é maior, menor ou igual a f(3)? f(7) , f(3) e) g(5) é maior, menor ou igual a g(4)? g(5) . g(4) Capítulo 7 | Função exponencial
239
f) Traçando os gráficos de f e g no mesmo sistema de eixos, em que ponto os gráficos vão se intersectar? No ponto (0, 1). g) Entre as sentenças seguintes, identifique as de f e g: 2 I) f ( x ) 5 3
x
2 II) f ( x ) 5 5
x
3 III) g( x ) 5 2
x
5 IV) g( x ) 5 2
x
Para refletir As funções f e g não possuem zeros (raízes).
x
5 2 f(x) 5 ; g(x) 5 2 3
x
Exercícios propostos 33. Cada gráfico abaixo representa uma função exponencial do tipo f(x) 5 ax. Identifique a lei de formação de cada uma delas. a)
y
f
34. Cada gráfico abaixo representa uma função exponencial do tipo f(x) 5 b ? ax. Identifique a lei de formação de cada uma delas. a)
4
1
y
f
6
2 x x
2 1
b)
y
f
b)
27 8
y 12
6
1 x
3
3
f 1
c)
y
x
1
35. Construa o gráfico das funções e confirme as observações feitas sobre as funções exponenciais. 1 0,7
a) f : ® → ®* dada por f(x) 5 3x
f x 1
240
1 b) f : ® → ®* definida por f(x) 5 4
x
Matemática
36. Identifique as seguintes funções como crescentes (C) ou decrescentes (D): a) f(x) 5 4x
3 e) f(x) 5 2
b) f(x) 5 π
f) f(x) 5 (0,01)
x
99
x
2 c) f(x) 5 2 x
d) f(x) 5 ( 3 )
1 g) f(x) 5 5
g(x) 5 5x 2 2 e h(x) 5 5x 2 2. Determine:
x
h) f(x) 5 22x
37. Compare as potências, colocando entre elas o símbolo de maior, menor ou igual: (0,9)5
a) (0,9)8
b) 475
d) (( 33)) 55 ( ( 3))22
38. f, g e h são funções de IR em IR dadas por f(x) 5 2 ? 3x,
x
x
88
3 3 c) 3 3
a) f(2);
e) g(0);
b) g(2);
f) h(0);
c) h(2);
g) x tal que h(x) 5 125;
d) f(21);
h) x tal que g(x) 5 3.
39. Construa o gráfico da função f de ® em ® definida
473
por f(x) 5 2x 2 1 e determine Im(f).
5. Equações exponenciais Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. Veja alguns exemplos: x
4 5 32 x
1 3 81
25x 1 5x
22x 5 2x 1 12
Resolução de equações exponenciais simples Vamos primeiramente resolver equações exponenciais que podem ser transformadas numa igualdade de potências de mesma base. Para resolvê-las, usamos o fato de que a função exponencial é injetiva, ou seja, para a . 0 e a 1, temos: ax ax ⇔ x1 x 2 1
2
Exemplos: 1‚) Vamos resolver as equações abaixo: a) 3x 2 1 5 81 Vamos transformar a equação dada numa igualdade de potências de mesma base: 3x 2 1 5 81 ⇒ 3x 2 1 5 34 Igualando os expoentes, temos: x 2 1 5 4 (equação do 1‚ grau em x) ⇒ x 5 5 Verificação: x 5 5 ⇒ 3x 2 1 5 35 2 1 5 34 5 81 S 5 {5} x
1 b) 5 3 4 2
x
2
1 1 1 2 2 1 x 3 3 ⇒ x ( 2 ) 3 ⇒ 2 x 2 3 ⇒ x ⇒ x ⇒ ( ) 4 2 4 2 2 2 3 3
S = 2
Para refletir Faça a verificação do item b.
2 3
2
c) 2 x 3 x 4 1 2 Como 1 5 20, podemos escrever 2 x 3 x 4 2 0 . x2 2 3x 2 4 5 0 (equação do 2‚ grau em x) 5 25 x’ 5 4 e x’’ 5 21 S 5 {21, 4} Capítulo 7 | Função exponencial
241
d) 9 x 1
1 1 ⇒ (32 )x 1 3 27 3
5 1 1 ⇒ (32 )x 1 3 ⇒ 32x 1 2 5 323 ⇒ 2x 1 2 5 23 ⇒ 2x 5 23 2 2 ⇒ 2x 5 25 ⇒ x 5 2 2 27 3 5 S 2
9 x 1
x
75 9 9 5 ⇒ e) 0,75 5 ⇒ 16 16 100 x
x
x
x
2
75 3 9 9 3 3 32 ⇒ 5 ⇒ x 5 2 ⇒ 5 5 0,75 5 ⇒ 2 16 16 100 4 4 4 4 S 5 {2} x
5x y 1 2‚) Vamos calcular x e y no sistema de equações x 1. y 3 ? 9 9 5x 1 y 5 1 ⇒ 5x 1 y 5 50 ⇒ x 1 y 5 0 1 3x ? 9y 5 ⇒ 3x ? 32y 5 322 ⇒ 3x 1 2y 5 322 ⇒ x 1 2y 5 22 9 Os valores de x e y serão obtidos resolvendo-se o sistema do 1‚ grau:
x y 0 ⇒ x 2 e y 2 x 2 y 2 S 5 {(2, 22)}
Exercícios propostos 40. Resolva as seguintes equações exponenciais com incógnita x:
2
a) 2x 5 64
g) 2 4 x x 8
b) 3
h) (10 )
5 0,000001
125
i) 32 x
1 27
1 10
j) 3
x22
c) 5x
2
5 9
2 x
1 x
d) 10 e)
( 2)
x
x 12x
5 4
f ) (0,5)2x 5 21 2 3x
x25
1 k) 2 l)
5
44. Sabendo que 32x 1 2 5 16x 1 1, calcule o valor de x2. 45. Qual é o valor de x que torna verdadeira a sentença 2 ? 2x 5 8 ? 4 2 ? 6 2 ?
5 27
12x
x 2 4
2 x 5
8
x 2
1 32
4 x 2 x
41. Sabe-se que f ( x ) 4 e g(x) 5 (0,8)3(x 1 1). 5 Calcule os valores de a para que se tenha f(a) 5 g(a).
42. Resolva as equações exponenciais na incógnita x: 1 a) 100x 1 3 5 10 b) 8x 2 4 5 4x 1 1
c) 9x 2 2 5 d) [
242
27
1 x22 = 8x ] 16
e) (0,01)x 2 1 5 1 000 f ) (4x)x 5 5122
43. (FEI-SP) Resolva a equação (0,25)x 5 16.
1 12x g) (0,25)x 2 1 5 [ ] 8 25x h) 51 5
3x y 1
46. Se
x 2 y 2 2
, qual é o valor de x 2 y?
47. Descubra qual par (x, y) é a solução do sistema x 1 y 4 ? 8 5 4 . 9 x ? 272 y 5 3
1
5x y 48. Dado o sistema 125 , calcule o valor de 3x y 243
(x ? y)3.
49. Qual é o ponto comum aos gráficos de f(x) 5 4x 2 1 e g(x) 5 2x?
Matemática
Resolução de equações exponenciais usando artifícios de cálculo Algumas equações exigem artifícios de cálculo para serem solucionadas. Observe isso nos exemplos a seguir. Vamos resolver as seguintes equações: a) 3 ? 4x 1 1 5 96 96 ⇒ 4x 1 1 5 32 ⇒ (22)x 1 1 5 25 ⇒ 22x 1 2 5 25 ⇒ 2x 1 2 5 5 ⇒ 2x 5 5 2 2 ⇒ 3 ? 4x 1 1 5 96 ⇒ 4x 1 1 5 3 3 ⇒ 2x 5 3 ⇒ x 5 2 3 S 5 2 b) 2x 1 2 1 2x 2 1 5 18 1a maneira 9 36 2x 1 2 1 2x 2 1 5 18 ⇒ 2x ? 22 1 2x ? 221 5 18 ⇒ 2x(22 1 221) 5 18 ⇒ 2x ? 5 18 ⇒ 2x 5 ⇒ 2x 5 4 ⇒ 2 9 ⇒ 2x 5 22 ⇒ x = 2 Logo, S 5 {2}. 2a maneira 2x 1 2 1 2x 2 1 5 18 ⇒ 2x ? 22 1 2x ? 221 5 18 (propriedade am 1 n 5 am ? an) Fazendo 2x 5 y, temos: y 1 y ? 4 1 y ? 18 ⇒ 4 y 5 18 ⇒ 8y 1 y 5 36 ⇒ 9y 5 36 ⇒ y 5 4 2 2 2x 5 y e y 5 4 ⇒ 2x 5 4 ⇒ 2x 5 22 ⇒ x 5 2 S 5 {2} c) 22x 2 9 ? 2x 1 8 5 0 22x 2 9 ? 2x 1 8 5 0 ⇒ (2x)2 2 9(2x) 1 8 5 0 (propriedade 2mn 5 (2m)n)
Fazendo 2x 5 y, temos: y2 2 9y 1 8 5 0 (equação do 2‚ grau em y) 5 49 y' 5 8 e y'' 5 1 Como 2x 5 y, temos:
x x 3 2 5 8 ⇒ 2 5 2 ⇒ x 5 3 x 2 5 1 ⇒ 2 x 5 2 0 ⇒ x 5 0 S 5 {0, 3}
Exercícios propostos h) 22x 1 1 1 3 ? 2x 1 1 5 8
50. Resolva as equações exponenciais: 2
a) 2 ? 3x 2 2 5 162
c) 5 ? 2 x
b) 3 ? 5x 2 1 5 75
d) 10 ? 2x 1 3 5 10
51. Resolva as seguintes equações: a) 2x 1 2x 2 1 5 12 b) 3x 2 2 1 3x 1 1 5 84 c) 7x 1 7x 2 1 5 8 d) 4 ? 2x 1 2x 2 1 5 72 e) 32x 1 2 ? 3x 2 15 5 0 f ) 22x 2 2 ? 2x 2 8 5 0 g) 32x 2 3x 5 6
Capítulo 7 | Função exponencial
4
160
i ) 4x 1 2 2 3 ? 2x 1 3 5 160
52. Resolva:
9 x 3 3x 0 4
a) 32x 1 2 ? 3x 2 15 5 0
d)
b) 22x 1 1 1 3 ? 2x 1 1 5 8
e) 3x
c) 4x 1 2 2 3 ? 2x 1 3 5 160
f )
9 8 3x
25x 1 125 5 5x 1 1 6
53. Na sequência 1, 3, 9, 27, 81, ..., das potências inteiras de 3, dizemos que 81 é o 5‚ termo. Que termo é o número 2 187?
243
Raízes da equação 2x 5 x2 Quantas raízes tem a equação 2x 5 x2? É fácil observar que 2 e 4 são duas raízes, pois: x 5 2 ⇒ 22 5 22 e x 5 4 ⇒ 24 5 42 Para saber se há mais alguma raiz, podemos utilizar os gráficos das funções y 5 2x e y 5 x2 e verificar quantos são seus pontos comuns. Além dos valores x 5 2 e x 5 4, podemos verificar que existe mais um valor de x, negativo, para o qual se tem 2x 5 x2. Portanto são três as raízes da equação 2x 5 x2. Esse problema mostra que, em alguns casos, o processo gráfico é mais vantajoso que o algébrico.
y
y 2x
y x2
16
4 x 0
2
4
6. Inequações exponenciais Desigualdades como as seguintes são chamadas inequações exponenciais: 1 x 8 x 1 x 3x 2 1 > 27 25 5 16 Para resolvê-las devemos nos lembrar de que a função exponencial f(x) 5 ax é crescente para a . 1 e decrescente para 0 , a , 1, ou seja: ax1 , ax2 ⇔ x1 , x2 (para a . 1) ax1 , ax2 ⇔ x1 . x2 (para 0 , a , 1)
• f(x) 5 ax com a . 1 função crescente
y
y
am
an
n
am
a
(0, 1) 0
(0, 1)
x n
0
m
am . an ⇔ m . n
x m
n
am an ⇔ m n
Neste caso de a . 1, o sentido da desigualdade foi conservado. • f(x) 5 ax com 0 a 1 função decrescente y
y
am
an
n
am (0, 1)
a (0, 1) x m
n
0
am an ⇔ m n
x n
m
0
am an ⇔ m n
Neste caso de 0 a 1, o sentido da desigualdade foi trocado.
244
Matemática
Exemplos: 1‚) Vamos resolver as inequações: a) 2x 1 7 32 2x 1 7 32 ⇒ 2x 1 7 25 → desigualdade de potências de mesma base a 5 2 ⇒ a . 1 (mantém-se o sentido da desigualdade) x 1 7 5 ⇒ x 5 2 7 ⇒ x 22 x 2
S 5 {x ® | x 22}
1 b) 2
x 1
x 1 1
1 2
a 5 2 ⇒ a . 1 (mantém-se o sentido da desigualdade)
2x 2 1 2x 1 6 ⇒ 2x 2 2x 6 1 1 ⇒ 23x 7 ⇒ 3x 27 ⇒ x 2
4 x 3
4x 1 3 ⇒ (221)x 1 1 (22)x 1 3 ⇒ 22x 2 1 22x 1 6
x
Para refletir
7 3
7 3
7 S x ® | x 3
c) 1 3
x2 x
1 3
Resolva o item b escrevendo 4x 1 3 em potên1 cia de base e veri2 fique que se obtém o mesmo resultado.
2
Como já temos uma desigualdade com potências de mesma base, podemos escrever: 1 a ⇒ 0 a 1 (troca-se o sentido da desigualdade) 3 x2 2 x 2 ⇒ x2 2 x 2 2 0 x2 2 x 2 2 5 0 59.0 x' 5 2 e x'' 5 21
1
x
2
S 5 {x ® | 21 x 2}
d)
1 9 x 1 3x 9
x 1 1 9 A solução procurada é a solução do sistema 9. 9 x 1 3x Resolvendo cada inequação separadamente: 1 9x 2 1 . ⇒ 9x 2 1 . 921 ⇒ x 2 1 . 21 ⇒ x . 0 9 9x 2 1 3x ⇒ 32x 2 2 3x ⇒ 2x 2 2 x ⇒ x 2 A intersecção das duas soluções é a solução do sistema. S 5 {x ® | 0 x 2}
Capítulo 7 | Função exponencial
245
2‚) Vamos explicitar o domínio D das seguintes funções:
a) f(x) 5 3x 2 9 Para que exista f(x) devemos ter 3x 2 9 0. Então: 3x 9 ⇒ 3x 32 ⇒ x 2 Logo, D 5 {x ® | x 2}.
b) g(x) 5
10 1 16 2 2
x
x
1 Para que exista g(x) devemos ter 16 2 . 0. Então: 2 x
4
x
1 1 1 16 . ⇒ ⇒ 24 x 2 2 2 Logo, D 5 {x ® | x . 24}.
Exercícios propostos 54. Resolva as inequações exponenciais abaixo: d) ( 0, 01)x
a) 25x . 23x 1 10 2
b) 35 x 3 4 c)
( 2)
2
x 2 x
( 2)
.
x
e) [
1 ] 3
2
x
3x 2 1
( 0, 01)x 1
2
ne os valores de x para os quais 1 , y , 32.
58. Resolva os sistemas de inequações:
>1
c)
b) 10 100x 1 000
1 1 d) 9 3
c) 3x 1 1 1 3x 1 2 108 3
1 b) 2 x 3 2
d) (0,5)x 2 1 1 (0,5)x 2 2 48
56. (Vunesp) Seja a, 0 , a , 1, um número real dado. Resolva a inequação exponencial a2x 1 1 . [
1 1 2 x 3 2 4
a) 1 2x 2 1 16
x
55. Resolva as inequações exponenciais: a) 3x 2 2 . 9
57. (PUC-SP) Na função exponencial y 5 2x 2 4x, determi-
1 x23 ] . a
x 1
3x
59. Explicite o domínio D das funções: a) f ( x ) (7 x )x 72 x b) f ( x )
x 2
x 2 1
32
7. Aprofundando o estudo da função exponencial Função exponencial e progressões Há um relacionamento muito importante entre a função exponencial e as progressões aritmética e geométrica, que veremos agora. Já vimos na página 105 que uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do termo anterior por uma constante diferente de zero, chamada razão da progressão geométrica. Por exemplo, a sequência 1, 3, 9, 27, 81, 243, ... é uma progressão geométrica de razão 3. Consideremos agora uma função do tipo exponencial f: ® → ® definida, por exemplo, por f(x) 5 3 ? 2x e a progressão aritmética (PA) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... de razão 2. Vamos constatar que f(1), f(3), f(5), f(7), f(9), f(11), f(13), ... é uma progressão geométrica (PG). Assim, temos: f(x) 5 3 ? 2x f(5) 5 3 ? 25 5 96 f(11) 5 3 ? 211 5 6 144 1 7 f(1) 5 3 ? 2 5 6 f(7) 5 3 ? 2 5 384 f(13) 5 3 ? 213 5 24 576; ... f(3) 5 3 ? 23 5 24 f(9) 5 3 ? 29 5 1 536
246
Matemática
Vemos que 6, 24, 96, 384, 1 536, 6 144, 24 576, ... é uma progressão geométrica e sua razão é 4 (22). Esse resultado em que uma função de tipo exponencial leva uma progressão aritmética (PA) a uma progressão geométrica (PG) pode ser provado de um modo geral e é uma característica da função exponencial do tipo f(x) 5 b ? ax. Se f: ® → ® é do tipo exponencial f(x) 5 b ? a x e x1, x2, ..., xn, ... é uma progressão aritmética de razão r, x
x
x
isto é, xn + 1 5 xn + r, então os termos f ( x1 ) 5 b ? a 1 , f(x2) 5 b ? a 2 , ..., f(x n ) 5 b ? a n , ... formam uma progressão geométrica de razão ar. Observe que no exemplo anterior tínhamos a 5 2 e r 5 2; por isso obtivemos a PG de razão 22 5 4. Se tomarmos um termo da PG, por exemplo, o 3‚ termo, que é 96, vemos que: 3
? 2 ? 22 (96 é igual ao 2‚ termo, que é 24 multiplicado pela razão 4). 96 5 3 ? 25 5 3 ? 23 + 2 5 3 24
De modo geral: x
x r
f ( x n 1 ) b ? a n 1 b ? a n
x
(b ? a n ) ? ar
o que prova que a razão da PG é ar. Também podemos observar na PA que, por exemplo, o 3‚ termo, que vale 5, é dado por: 5 5 1 + 2 ? 2 (an 5 a1 + nr) e r n f(5) 5 f(1) ? 22 ? 2 a 96 5 6 ? 24 De modo geral, como o (n + 1)-ésimo termo da PA é dado por: xn + 1 5 x1 + nr conclui-se que: f(xn + 1) 5 f(x1) ? An, em que A 5 ar ou seja,
f(xn + 1) 5 f(x1) ? arn
Aplicação Uma aplicação dessa última observação é o cálculo dos juros compostos quando calculado em intervalos de tempos iguais. Se um capital inicial C0 é aplicado a juros fixos e capitalizados continuamente após decorrido um tempo t, o capital existente é dado por C(t) 5 C0 ? at. Se tirarmos extratos da conta nos tempos 0, r, 2r, 3r, ... teremos: C(0) 5 C0; C(r) 5 C0 ? A; C(2r) 5 C0 ? A2; C(3r) 5 C0 ? A3; ... r em que A 5 a , ou seja, a evolução do saldo, quando ele é calculado em intervalos de r unidades de tempo, é dada pela PG: C0, C0 ? A, C0 ? A2, C0 ? A3, ... r em que A 5 a . Se tivermos um capital inicial C0 e uma taxa fixa de i% ao mês, teremos: • capital inicial: C0 • capital após 1 mês: C1 5 C0 ? (1 1 i) • capital após 2 meses: C2 5 C0 ? (1 1 i)2 • capital após 3 meses: C3 5 C0 ? (1 1 i)3 • capital após t meses: Ct 5 C0 ? (1 1 i)t Assim, vemos que: é uma PG de razão (1 1 i). Capítulo 7 | Função exponencial
C0, C0 ? (1 1 i), C0 ? (1 1 i)2, C0 ? (1 1 i)3, ...
247
Por exemplo, um capital inicial de R$ 100 000,00, aplicado a juros fixos de 2% ao mês, produz um montante no final de: a) 1 mês: C0 ? (1 1 i) 5 100 000 ? (1 1 0,02) 5 100 000 ? 1,02 5 R$ 102 000,00 b) 2 meses: C0 ? (1 1 i)2 5 100 000 ? (1 1 0,02)2 5 100 000 ? (1,02)2 5 R$ 104 040,00 c) 3 meses: C0 ? (1 1 i)3 5 100 000 ? (1 1 0,02)3 5 100 000 ? (1,02)3 5 R$ 106 120,80 Os números 102 000,00; 104 040,00; 106 120,80; ... formam uma PG de razão 1,02. Confira com o auxílio de uma calculadora.
Caracterização da função de tipo exponencial É possível provar que se f: ® → ®*+ é uma função crescente ou decrescente que transforma toda progressão aritmética x1, x2, ..., xn, ... numa progressão geométrica y1, y2, ..., yn, ..., com yn 5 f(xn), e se pusermos b 5 f(0) e f (1) , então teremos f(x) 5 b ? ax para todo x ®. a 5 f ( 0) Por exemplo, vamos considerar f: ® → ®*+ uma função crescente ou decrescente que transforma a PA 1, 4, 7, 10, 13, 16, ... na PG 10, 80, 640, 5 120, 40 960, ..., sendo f(0) 5 5 e f(1) 5 10. f (1) 10 5 Fazendo b 5 f(0) 5 5, temos a 5 5 2, ou seja, a 5 2. Neste caso, a função exponencial f(x) 5 b ? ax é f ( 0) 5 dada por f(x) 5 5 ? 2 x. Observe que a razão da PA é r 5 3 e, portanto, a razão da PG é ar 5 23 5 8.
Exercícios propostos 60. Dadas a progressão aritmética 22, 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... e a função exponencial f(x) 5 2 ? 3x: a) determine a razão dessa progressão aritmética; b) verifique que a sequência f(22), f(0), f(2), f(4), f(6), f(8), f(10), ... é uma progressão geométrica; c) determine a razão dessa progressão geométrica.
62. Um pesquisador encontrou em suas investigações a seguinte relação entre os valores de x e y: x
1
3
5
7
y
4
8
16
32
Que tipo de função relaciona y em função de x? Justifique.
61. Se tivermos uma PA x1, x2, x3, ..., xi, ... de razão 3 que é
levada a uma PG y1, y2, y3, ..., yi, ... pela função exponencial f(x) 5 4 ? 5x, qual é a razão dessa PG?
8. As funções f(x) 5 ax e g(x) 5 a x 2
Dada uma função exponencial f definida por f(x) 5 ax, chamamos de recíproca da função exponencial f a função g tal que g(x) 5 a2x. x
Por exemplo, se f(x) 5 2x, sua recíproca é g(x) 5 22x 5 1 . 2 Veja ao lado os gráficos das duas funções. Vemos que o gráfico de g(x) é simétrico ao gráfico de f(x) em relação ao eixo y, isto é, se dobrarmos a página exatamente no eixo de y, os gráficos de f(x) e g(x) coincidem. Essa não é uma característica exclusiva da função exponencial. Para qualquer função f: ® → ®, os gráficos de f(x) e f(2x) são simétricos em relação ao eixo y.
y g(x) 2 x
f(x) 2x
4
2 1 2 1
248
x 0 1
2
Matemática
9. O número irracional e e a função exponencial e x n
Para refletir
Vamos considerar a sequência 1 1 1 com n {1, 2, 3, 4, …}: n 1 1 1 1 ↓ 2,000
1
2
3
10
1 1 1 1 , 1 1 , 1 1 , ..., 1 1 , ..., 1 1 2 3 10 100 ↓ ↓ ↓ ↓ 2,7048 2,2500 2,3703 2,5937
1 ..., 1 1 1 000 ↓ 2,7169
1000
1 , ..., 1 1 50 000 ↓ 2,7182
50 000
100
1 , ..., 1 1 500 ↓ 2,7156
1 1
500
1 é sempre maior n
do que 1, quando n N 9.
, ...,
n
1 , ..., 1 1 , ... n
n
1 Quando n aumenta indefinidamente, a sequência 1 1 tende muito lentamente para o número irracion nal e 5 2,7182818284… Uma função exponencial muito importante em Matemática é aquela cuja base é e: f(x) 5 ex Funções envolvendo essa função exponencial ex aparecem com muita frequência nas aplicações da Matemática e na descrição de fenômenos naturais. Algumas calculadoras possuem uma tecla com o número irracional e. Veja a seguir a função exponencial ex e sua recíproca e2x para valores de x de 0 até 6. x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0
ex 1,0000 1,1052 1,2214 1,3499 1,4918 1,6487 1,8221 2,0138 2,2255 2,4596 2,7183 3,0042 3,3201 3,6693 4,0552 4,4817 4,9530 5,4739 6,0496 6,6859 7,3891 8,1662 9,0250 9,9742 11,023 12,182 13,464 14,880 16,445 18,174 20,086
Capítulo 7 | Função exponencial
e2x 1,00000 0,90484 0,81873 0,74082 0,67032 0,60653 0,54881 0,49659 0,44933 0,40657 0,36788 0,33287 0,30119 0,27253 0,24660 0,22313 0,20190 0,18268 0,16530 0,14957 0,13534 0,12246 0,11080 0,10026 0,09072 0,08208 0,07427 0,06271 0,06081 0,05502 0,04979
x 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0
ex 20,086 22,198 24,533 27,113 29,964 33,115 36,598 40,447 44,701 49,402 54,598 60,340 66,686 73,700 81,451 90,017 99,484 109,95 121,51 134,29 148,41 164,02 181,27 200,34 221,41 244,69 270,43 298,87 330,30 365,04 403,43
Para refletir A função f(x) 5 ex é crescente. Justifique.
e2x 0,04979 0,04505 0,04076 0,03688 0,03337 0,03020 0,02732 0,02472 0,02237 0,02024 0,01832 0,01657 0,01500 0,01357 0,01228 0,01111 0,01005 0,00910 0,00823 0,00745 0,00674 0,00610 0,00552 0,00499 0,00452 0,00409 0,00370 0,00335 0,00303 0,00274 0,00248
249
Exercício proposto 63. Considere as funções f(x) 5 ex e g(x) 5 e2x. Usando os valores da tabela da página anterior, determine: a) f(1,7), g(5), f(3) e g(4,3);
b) x tal que f(x) 5 8,1662; c) x tal que g(x) 5 0,00303. Agora, construa no mesmo sistema de eixos os gráficos de f e g.
10. Aplicações da função exponencial O crescimento exponencial é característico de certos fenômenos naturais. No entanto, de modo geral não se apresenta na forma ax, mas sim modificado por constantes características do fenômeno, como em: f(x) 5 C ? akx Como exemplo, vamos resolver os problemas a seguir: A expressão P(t) 5 K ? 2 fornece o número P de milhares de habitantes de uma cidade, **1‚) (Uneb-BA) em função do tempo t, em anos. Se em 1990 essa cidade tinha 300 000 habitantes, quantos habitantes,
tim-tim por tim-tim
0,05t
aproximadamente, espera-se que ela tenha no ano 2000? a) 352 000 b) 401 000 c) 423 000 d) 439 000 e) 441 000 1. Lendo e compreendendo a) O que é dado no problema? É dada uma função exponencial que relaciona o número esperado de habitantes da cidade com o ano: P(t) 5 K ? 20,05t. Também é dada a população da cidade em 1990: 300 mil habitantes. b) O que se pede? O número esperado de habitantes na cidade citada em 2000. 2. Planejando a solução A função dada relaciona a população esperada da cidade com o ano. Entretanto, a função não é inteiramente conhecida, pois existe uma constante K que precisaremos determinar para conhecer a função e depois obter a população no ano 2000. Para obter a constante K, usaremos um dado conhecido: em 1990 a população era de 300 mil habitantes. Então, uma primeira estratégia a ser seguida pode ser: a) obter K usando os dados conhecidos de 1990; b) substituir o valor de K na função para conhecê-la; c) usar a função para estimar a população da cidade em 2000.
Há uma segunda estratégia, um pouco mais teórica que a anterior, porém que demanda menos trabalho braçal. Esta estratégia aproveita o fato de que toda função exponencial transforma progressões aritméticas (PA) em progressões geométricas (PG), como foi visto no item “Função exponencial e progressões”, na página 246. E se P(1 990) e P(2 000) são termos de uma PG, a razão P(2 000) P(1 990) é um número constante, portanto independe de K. Assim, a segunda estratégia pode ser: P(2 000) ; a) determinamos a razão P(1 990) b) substituímos o valor de P(1 990) e obtemos o valor de P(2 000).
250
Matemática
3. Executando o que foi planejado Pela primeira estratégia: Se em 1990 a população era de 300 mil habitantes, temos P(1 990) 5 300 000. Então: 300 000 5 K ? 20,05 ? 1990 ⇒ 300 000 5 K ? 299,5 ⇒ K 5
300 000 299,5
Não há necessidade alguma de desenvolver melhor o valor de K, uma vez que o seu valor está sendo determinado apenas para que a função exponencial seja conhecida completamente. Vamos substituí-lo na função: 300 000 0,05t ?2 P(t) 5 299,5 Com a função plenamente determinada, podemos agora obter P(2 000), que é a população esperada no ano 2000. 300 000 0,05 ? 2 000 300 000 100 ?2 ⇒ P(2 000) 5 ?2 P(2 000) 5 299,5 299,5 Neste momento, observe a ocorrência de uma das propriedades da potenciação — a divisão de potências de mesma base: 2100 5 2100 2 99,5 5 20,5 299,5 Assim, temos P(2 000) = 300 000 ? 20,5.
1
Atenção: lembre-se de que potências com expoente racional são raízes: 20,5 5 2 2 5 2 Agora temos P(2 000) 5 300 000 ? 2 . Estimando 2 como sendo o decimal 1,41, temos: P(2 000) 5 300 000 ? 1,41 5 423 000 Então, em 2000, espera-se que a população seja de 423 000 habitantes. Pela segunda estratégia: • P(2 000) 5 K ? 20,05 ? 2 000 5 K ? 2100 • P(1 990) 5 K ? 20,05 ? 1 990 5 K ? 299,5 Fazendo a razão P(2 000) , temos: P(1 990) 100 P(2 000) 5 k ? 2 5 2100 5 2100 2 99,5 5 20,5 5 2 299,5 P(1 990) k ? 299,5 Então, P(2 000) 5 P(1 990) ? 2 5 300 000 ? 1,41 5 423 000 Chegamos ao mesmo resultado anterior de 423 000 habitantes. Alguns passos da segunda estratégia foram mais imediatos por serem idênticos aos da primeira, como no caso da utilização da propriedade da divisão de potências de mesma base. 4. Emitindo a resposta A resposta é a alternativa c. 5. Ampliando o problema a) Qual é a população esperada para essa cidade em 2010? E em 2030? b) Interprete o que está ocorrendo com a população dessa cidade de 20 em 20 anos, ou seja, de 1990 a 2010, de 2010 a 2030. Isso parece algo razoável em termos reais? c) Discussão em equipe Converse com seus colegas sobre o crescimento populacional e como isso pode afetar a vida dos moradores de uma cidade. O que pode ocorrer se uma cidade tiver um grande aumento populacional em um curto intervalo de tempo? Pensem nas coisas boas e nas coisas ruins. Que medidas podem ser tomadas pelas autoridades para evitar que a qualidade de vida dos cidadãos seja afetada pelo crescimento populacional? d) Pesquise Qual é a maior cidade do planeta em termos de população (apenas área urbana, sem contar a região metropolitana)? Onde fica? Quantos habitantes tem? Capítulo 7 | Função exponencial
251
2‚) (FMJ-SP) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão N(t) 5 1 200 ? 20,4t. Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38 400 bactérias?
N(t) 5 1 200 ? 20,4t ⇒ N(t) 5 38 400 Igualando, temos: 5 38 400 ⇒ 20,4t 5 32 ⇒ 20,4t 5 25 ⇒ 0,4t 5 5 ⇒ t 5 5 12,5 h ou 12 h 30 min 1 200 ? 20,4t 5 38 400 ⇒ 20,4t 5 0, 4 1 200 Portanto, a cultura terá 38 400 bactérias após 12 h 30 min.
3‚) Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula M 5 C(1 1 i)t. Supondo que o capital aplicado é de R$ 200 000,00 a uma taxa de 12% ao ano durante 3 anos, qual o montante no final da aplicação?
C 5 200 000
i 5 12% ao ano (0,12)
t53
M 5 200 000(1,12)3 5 280 985,60
O montante no final da aplicação deverá ser de R$ 280 985,60.
Para refletir O que significa a expressão “juros sobre juros”?
4‚) A radioatividade é um fenômeno que ocorre em núcleos de átomos instáveis por emitirem partículas e radiações. Núcleos instáveis em geral são grandes e, por isso, emitem partículas e radiação para tornarem-se estáveis. A medida de tempo na qual metade da quantidade do material radioativo se desintegra é denominada meia-vida ou período de semidesintegração (P). O valor da meia-vida é sempre constante para o mesmo elemento químico radioativo. Assim, a cada período de tempo P, a quantidade de material radioativo reduz-se à metade da anterior, sendo possível relacionar a quantidade de material radioativo a qualquer tempo com t
1 P a quantidade inicial por meio de uma função exponencial N( t ) 5 N0 ? , em que N0 é a quantidade inicial 2
Usando essas informações resolva o problema: A PET (Positron Emission Tomography) é uma das melhores técnicas de tomografia para obtenção de imagens do corpo humano, permitindo melhores definições de imagem usando menos radiação do que outras técnicas. Os isótopos mais usados nos radiofármacos injetados nos pacientes submetidos ao processo PET são o carbono-11, o nitrogênio-13, o oxigênio-15 e o flúor-18, cujas meias-vidas são respectivamente de 20, 10, 2 e 110 minutos. Como os isótopos usados têm meia-vida muito curta, assim que um desses isótopos é obtido, restam poucos minutos para sintetizar o radiofármaco e injetá-lo no paciente. Vamos calcular em quanto tempo uma amostra de carbono-11 se reduz a 25% do que era quando foi obtida. A função que relaciona a quantidade de carbono-11 t
1 20 presente em função do tempo é N( t ) 5 N0 ? . Se 2 gundo o enunciado, devemos ter N(t) 5 0,25N0. Então: t
t
1 20 1 1 1 20 0, 25N0 5 N0 5 N0 ? ⇒ 5 ⇒ 4 4 2 2 t
1 2 1 20 t ⇒ 5 ⇒ 2 5 ⇒ t 5 40 min 20 2 2
252
Paciente em aparelho de tomografia computadorizada.
Matemática
Polka Dot Images/Agence France-presse
do material radioativo, t é o tempo decorrido e P é o valor da meia-vida do material radioativo considerado.
Exercícios propostos 64. Numa certa cultura, há 1 000 bactérias num determinado instante. Após 10 min, existem 4 000. Quantas bactérias existirão em 1 h, sabendo que elas aumentam segundo a fórmula P 5 P0 ? ekt, em que P é o número de bactérias, t é o tempo em horas e k é a taxa de crescimento?
65. (Vunesp) Uma substância se decompõe aproximadamente segundo a lei Q(t) 5 K ? 220,5t, em que K é uma constante, t indica o tempo (em minutos) e Q(t) indica a quantidade de substância (em gramas) no instante t.
70. (Uespi) Um botânico, após registrar o crescimento diário de uma planta, verificou que o mesmo se dava de acordo com a função f(t) 5 0,7 1 0,04(3)0,14t, com t representando o número de dias contados a partir do primeiro registro e f(t) a altura (em cm) da planta no dia t. Nessas condições, é correto afirmar que o tempo necessário para que essa planta atinja a altura de 88,18 centímetros é: a) 30 dias. c) 46 dias. e) 55 dias. b) 40 dias. d) 50 dias
71. (Vunesp) O acidente do reator nuclear de Chernobyl,
Q
em 1986, lançou na atmosfera grande quantidade de Sr radioativo, cuja meia-vida é de 28 anos. Supondo ser este isótopo a única contaminação radioativa e sabendo que o local poderá ser considerado seguro quan-
90 38
2 048
512
t 0
a
Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico, determine os valores de K e de a.
66. A quantia de R$ 20 000,00 foi aplicada a uma taxa de 1% ao mês. Qual será o saldo no final de 3 meses?
67. Estima-se que a população de uma certa cidade cres-
ça 3% a cada 8 anos. Qual é o crescimento estimado para um período de 24 anos?
68. Os biólogos afirmam que, sob condições ideais, o número de bactérias em uma certa cultura cresce de tal forma que a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes no início do intervalo de tempo considerado. Suponhamos que 2 000 bactérias estejam inicialmente presentes em uma certa cultura e que 4 000 estejam presentes 30 minutos depois. Quantas bactérias estarão presentes no final de 2 horas?
69. Atividade em dupla Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a se desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outros elementos). Dessa forma, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Chamamos de meia-vida o tempo que o elemento radioativo leva para desintegrar metade de sua massa radioativa. O antibiótico Axetil cefuroxina apresenta meia-vida de 3 horas. Se uma pessoa tomou 50 mg desse medicamento, qual é a quantidade de antibiótico ainda presente no organismo: a) após 12 horas de sua ingestão? b) após t horas de sua ingestão?
Capítulo 7 | Função exponencial
do a quantidade de 90 Sr se reduzir, por desintegração, 38 1 a da quantidade inicialmente presente, o local po16 derá ser habitado novamente a partir do ano de: a) 2014. c) 2266. e) 3000. b) 2098. d) 2986.
72. São necessários 5 anos para que o cobalto-60 perca metade de sua radioatividade. Qual é a porcentagem de sua atividade original que permanecerá no fim de 20 anos?
73. Datação arqueológica com carbono-14
O carbono-14 é um isótopo raro do carbono presente em todos os seres vivos. Com a morte, o nível de C-14 no corpo começa a decair. Como é um isótopo radioa tivo de meia-vida de 5 730 anos, e como é relativamente fácil saber o nível original de C-14 no corpo dos seres vivos, a medição da atividade de C-14 num fóssil é uma técnica muito utilizada para datações arqueológicas. A atividade radioativa do C-14 decai com o tempo pós-morte segundo a função exponencial t
1 5 730 A( t ) 5 A 0 ? , em que A0 é a atividade natural 2 do C-14 no organismo vivo e t é o tempo decorrido em anos após a morte. Suponha que um fóssil encontrado em uma caverna foi levado ao laboratório para ter sua idade estimada. Verificou-se que emitia 7 radiações de C-14 por grama/hora. Sabendo que o animal vivo emite 896 radiações por grama/hora, qual é a idade aproximada do fóssil?
Desafio em dupla Considerem uma substância radioativa de meia-vida P que inicia o processo de desintegração. Que porcentagem de sua massa ainda restará após metade da sua primeira meia-vida?
253
A MATEMÁTICA E AS PRÁTICAS SOCIAIS joao ramid/editora abril
O maior acidente radioativo do mundo
Em um acidente radioativo ocorrido no dia 13 de setembro de 1987, em Goiânia, Goiás, foram contaminadas centenas de pessoas acidentalmente através das radiações emitidas por uma cápsula que continha césio-137. Foi o maior acidente radioativo do Brasil e o maior do mundo ocorrido fora das usinas nucleares. Tudo teve início com a curiosidade de dois catadores de lixo que vasculhavam as antigas instalações do Instituto Goiano de Radioterapia (também conhecido como Santa Casa de Misericórdia), no centro de Goiânia. No local eles encontraram um aparelho de radioterapia. Removeram a máquina com a ajuda de um carrinho de mão e levaram-na até a casa de um deles. Eles estavam interessados nas partes de metal e chumbo que podiam ser vendidas em ferros-velhos da cidade; desconheciam completamente aquela máquina e o que continha em seu interior. No período da desmontagem da máquina, foram expostos ao ambiente 19,26 g de cloreto de césio-137 (CsCl). Tal substância é um pó branco parecido com o sal de cozinha, mas que no escuro brilha com uma coloração azul. Após cinco dias, a peça foi vendida a um proprietário de um ferro-velho, o qual se encantou com o brilho azul emitido pela substância. Crendo estar diante de algo sobrenatural, o dono do ferro-velho passou quatro dias recebendo amigos e curiosos interessados em conhecer o pó brilhante. Muitos levaram para casa pedrinhas da substância. Parte do equipamento de radioterapia foi para outro ferro-velho, de forma que gerou uma enorme contaminação com o material radioativo. Os primeiros sintomas da contaminação (vômito, náusea, diarreia e tontura) surgiram algumas horas após o contato com a substância, o que levou um grande número de pessoas à procura de hospitais e farmácias, sendo medicadas apenas como portadores de uma doença contagiosa. Mas tarde descobriu-se que se tratava na verdade de sintomas de uma síndrome aguda de radiação. Somente no dia 29 de setembro de 1987 é que os sintomas foram qualificados como contaminação radioativa, e isso só foi possível porque a esposa do dono do ferro-velho, Maria Gabriela, levou parte da máquina de radioterapia até a sede da Vigilância Sanitária. Os médicos que receberam o equipamento solicitaram a presença de um físico, pois tinham a suspeita de que se tratava de material radioativo. Então o físico nuclear Valter Mendes, de Goiânia, constatou que havia índices de radiação na Rua 57, do Setor Aeroporto, bem como nas suas imediações. Por suspeitar ser gravíssimo o acidente, ele acionou a então Comissão Nacional Nuclear (CNEN). O então chefe do Departamento de Instalações Nucleares, José Júlio Rosenthal, dirigiu-se no mesmo dia à Goiânia. Ao se deparar com um quadro preocupante, ele chamou o médico Alexandre Rodrigues de Oliveira, da Nuclebrás (atualmente Indústrias Nucleares do Brasil), e também o médico Carlos Brandão da CNEN. Chegaram no dia seguinte, quando a Secretaria de Saúde do estado já fazia a triagem dos acidentados num estádio de futebol.
254
Matemática
Uma das primeiras medidas foi separar todas as roupas das pessoas expostas ao material radioativo, lavá-las com água e sabão para a descontaminação externa. Após essa medida, as pessoas tomaram um quelante (substância que elimina os efeitos da radiação). Com ele, as partículas de césio saem do organismo através da urina e das fezes. Cerca de um mês após o acidente quatro pessoas já haviam morrido: a menina Leide das Neves, Maria Gabriela e dois funcionários do ferro-velho; cerca de 400 pessoas ficaram contaminadas. O trabalho de descontaminação dos locais atingidos gerou cerca de 13,4 toneladas de lixo (roupas, utensílios, materiais de construção, etc.) contaminado com o césio-137. Esse lixo encontra-se armazenado em cerca de 1 200 caixas, 2 900 tambores e 14 contêineres em um depósito construído na cidade de Abadia de Goiás, onde deve ficar aproximadamente por 180 anos. Após o acidente cerca de 60 pessoas morreram vítimas da contaminação com o material radioativo, entre eles funcionários que realizaram a limpeza do local. O Ministério Público reconhece apenas 628 vítimas contaminadas diretamente, mas a Associação de Vítimas contaminadas do césio-137 calcula um número superior a 6 mil pessoas atingidas pela radiação. No ano de 1996, a Justiça julgou e condenou por homicídio culposo (quando não há intenção de matar) três sócios e funcionários do antigo Instituto Goiano de Radioterapia (Santa Casa de Misericórdia) a três anos e dois meses de prisão, pena que foi substituída por prestação de serviços. Atualmente, as vítimas reclamam da omissão do governo para com a assistência que eles necessitam, tanto médica como de medicamentos. O governo nega a acusação e diz que as vítimas fazem o uso do acidente como pretexto para justificar todos seus problemas de saúde. Fonte: Extraído e adaptado de www.brasilescola.com/quimica/acidente-cesio137.htm. Acesso em 3/8/2009.
O césio-137 é um isótopo radioativo com meia-vida9 de 30 anos, produzido artificialmente pela fissão do urânio ou plutônio, que se desintegra formando o isótopo Ba-137.
CALCULANDO E COMPREENDENDO MELHOR O TEXTO 1. Suponha que inicialmente uma pessoa entrou em contato com o césio-137. No dia seguinte duas novas pessoas entraram em contato com a substância. No terceiro dia, quatro novas pessoas, e assim por diante. a) Quantas novas pessoas entraram em contato com a substância no sexto dia? b) Qual é o total de pessoas que entraram em contato com o césio-137 do primeiro ao décimo dia? c) Escreva a função exponencial que representa o número de novas pessoas que entraram em contato com o césio-137 em função do tempo t contado em dias.
2. Sabendo que o acidente radioativo foi em 1987 e que o local do acidente só poderá ser habitado de novo quando a quantidade de césio-137 se reduzir, por desintegração, a poderá ser habitado de novo no ano de: a) 2017. b) 2030. c) 2070. d) 2110. e) 2137.
1 da quantidade inicialmente presente, então o local 32
PESQUISANDO E DISCUTINDO 3. Pesquise sobre o acidente radioativo de Chernobyl e depois discuta com seu colegas.
VEJA MAIS SOBRE O ASSUNTO Procure mais informações em jornais, revistas e nos sites www.energiatomica.hpg.ig.com.br/ad51.html, http://efisica. if.usp.br/moderna/radioatividade/historico e veja.abril.com.br/em-dia/chernobyl-303074.shtml.
9 Meia-vida é o tempo que um elemento leva para reduzir sua massa pela metade. Capítulo 7 | Função exponencial
255
>Atividades adicionais Região Nordeste
ATENÇÃO! AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC., NÃO ESCREVA NO LIVRO. TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.
7. (UFC-CE) Dentre as alternativas a seguir, marque aquela que contém o maior número. a)
A seguir, separadas por regiões geográficas, relacionamos algumas questões de vestibular que envolvem o conteúdo deste capítulo.
c) 5 3 6
( ) 2 ( 3 )
12 2
x2 2 2
1 22x 5 5 [ ] . Então, a é um número: ção 25 125 a) par. d) divisível por 5. b) primo. e) irracional. c) não real. 2
2. (UFRR) O valor da expressão (256) a) 23 (256)4 .
d) 2
b) 64.
e)
3 4
1 . 64
1 . 64
3. (Unifap) Qual é o algarismo das unidades de 381? a) 0 b) 1 c) 3 d) 7
4. (UFRR) Um lago possui em sua superfície uma planta que a cada dia dobra a área que ocupa. Sabendo que a mesma leva 100 dias para tomar toda a superfície do lago, em quantos dias ela compreenderá metade da superfície do lago? a) 99 d) 10 b) 50 e) 80 1 c) 2
5. (UFPA) As unidades de formação da colônia (u.f.c.) de
bactérias são dadas em função do tempo t, em horas, 5t 1 pela função C(t) 5 107[ ] . Se numa determinada hora 2 t a colônia possui 9 766 u.f.c., dez minutos depois essa colônia terá: a) sido extinta. b) atingido seu crescimento máximo. c) aumentado. d) diminuído. e) permanecido constante.
6. (Ufac) Se 3x 5 2 para algum x real, o valor de 3
256
2 . 2 3 e) . 2
d)
22
.
é possível afirmar, corretamente, que, para quaisquer p, q [ IR: a) f(p 1 q) 5 f(p) 1 f(q). b) f(p 1 q) 5 f(p) ? f(q). c) f(p 1 q) 5 f(p ? q). d) f(p 1 q) 5 p ? f(q) 1 q ? f(p).
é:
2
22
9. (Uece) Sobre a função real dada por f(x) 5 2x, x [ ®,
c) 24 (256)3 .
c) 2.
e) 3 6 5
b) 6 3 5
1. (Ufam) Seja a o menor número que é solução da equa-
b) 3.
d) 3 5 6
5 ? 6
8. (Uece) Calcule o valor da expressão
Região Norte
a) 2 .
3
x 2
é:
2
2 x 2 x 64 10. (Unifor-CE) A equação [ ] ? [ ] 5 admite 3 3 729 duas raízes reais. É verdade que a: 1 a) maior delas é 3. d) menor delas é . 2 b) menor delas é 21. e) maior delas é 1. c) maior delas é 2.
Região Centro-Oeste 11. (UEG-GO) Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é S 5 S0 ? 220,25t, em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial desintegre-se? aP a 1 (P 2 a) ? 321 descreva a população de microrganismos no solo de um terreno com resíduos tóxicos no instante t > 0, dado em minutos contados a partir do instante inicial t 5 0, e que essa função satisfaça as seguintes condições:
12. (UnB-DF) Suponha que a função y(t) 5
I) número de microrganismos em t 5 0 é 5 ? 109. II) P 5 102a Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. a) O valor de P é superior a 1012. y(2) é inferior a 9. b) O quociente a Matemática
13. (UFG-GO) Julgue cada item como “certo” ou “errado”.
As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo, estima-se que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma forma de gripe, o número N de pessoas contaminadas (em milhares) é aproximadamente 20 N5 . De acordo com essa estimativa, 1 1 19 ? 1020,5t pode-se afirmar que: 1) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da gripe. 2) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da constatação da existência da gripe. 3) são necessárias mais de quatro semanas para que 18 mil pessoas sejam infectadas. 4) o número de pessoas infectadas atingirá 20 mil.
14. (UFG-GO) A teoria da cronologia do carbono, utilizada para determinar a idade de fósseis, baseia-se no fato de que o isótopo do carbono 14 (C-14) é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio e que a quantidade de C-14 na atmosfera é a mesma que está presente nos organismos vivos. Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação, cessa, e a quantidade de C-14 presente no fóssil é dada pela função C(t) 5 C010kt, onde t é dado em anos a partir da morte do organismo, C0 é a quantidade de C-14 para t 5 0 e k é uma constante. Sabe-se que 5 600 anos após a morte, a quantidade de C-14 presente no organismo é a metade da quantidade inicial (quando t 5 0). No momento em que um fóssil C foi descoberto, a quantidade de C-14 medida foi de 0 . 32 Tendo em vista estas informações, calcule a idade do fóssil no momento em que ele foi descoberto.
15. (UFMS) Seja a função exponencial real dada por 2x
f(x) 5 8 2 , então o conjunto de todas as soluções da inequação f(x) , 0,25 é o intervalo: 8 4 a) 6 , 1∞5. d) 62∞, 5. 5 3 b) 62∞,
8 5. 5
4 8 e) 6 , 5. 3 5
4 c) 6 , 1∞5. 3
17. (PUC-RJ) Determine uma das soluções da equação 224
10x
5
18. (PUC-MG) Considere como verdadeiras as igualdades Ax 2 y 5 2 e A3y 5 8. Nessas condições, o valor de Ax é: a) 4. b) 6. c) 8. d) 10.
Região Sul 19. (PUC-RS) Uma substância que se desintegra ao longo do tempo tem sua quantidade existente, após t anos, 2t
dada por M(t) 5 M0 (1, 4 ) 1000 , M0 representa a quantidade inicial. A porcentagem da quantidade existente após 1 000 anos em relação à quantidade inicial M0 é, aproximadamente: a) 14%. b) 28%. c) 40%. d) 56%. e) 71%.
20. (UEL-PR) Um barco parte de um porto A com 2x passageiros e passa pelos portos B e C, deixando em cada um metade dos passageiros presentes no momento x
de chegada, e recebendo, em cada um, 2 2 novos passageiros. Se o barco parte do porto C com 28 passageiros e se N representa o número de passageiros que partiram de A, é correto afirmar que: a) N é múltiplo de 7. b) N é múltiplo de 13. c) N é divisor de 50. d) N é divisor de 128. e) N é primo.
21. (UFRGS-RS) Analisando os gráficos das funções reais x21
3 e g(x) 5 x, de variável real definidas por f(x) 5 [ ] 2 representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, verificamos que todas as raízes da equação f(x) 5 g(x) pertencem ao intervalo: a) [0, 3].
1 b) [ , 46. 2
Região Sudeste
c) [1, 5).
16. (Mack-SP) Calcule o valor da expressão
3 d) [ , 66. 2
2
12 12 2n 2 2 1 2n 2 1
n14
n12
1 . 1 000
n21
.
Capítulo 7 | Função exponencial
e) (2, 6).
257
capítulo 8
Logaritmo e função LogarítmicA Na Antiguidade, os babilônios foram os que mais se interessaram pela Astronomia e durante séculos enfrentaram problemas com os cálculos, que eram muito trabalhosos. Foi somente no início do século XVII que surgiram as primeiras tábuas de logaritmos, inventadas independentemente por Jost Bürgi (1552-1632) e John Napier (1550-1617). Logo depois, Henry Briggs (1561-1631) aperfeiçoou essas tábuas, apresentando os logaritmos decimais. A principal contribuição dos logaritmos para facilitar os cálculos foi a de transformar as operações de multiplicação em adição e as de divisão em subtração, ao estudar as propriedades operatórias: loga(x ? y) 5 logax 1 loga y x loga 5 logax 2 loga y y
Uma importante aplicação dos logaritmos é a escala Richter, na área da sismologia, que fornece as magnitudes dos terremotos. Desenvolvida em 1935 pelos sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutenberg, é uma escala logarítmica. No início, a escala Richter era graduada de 1 a 9, já que terremotos mais fortes não eram comuns na Califórnia (local onde Richter e Gutenberg faziam seus estudos). Mas teoricamente não existe limite para essa medida. A magnitude de Richter corresponde ao logaritmo da medida da amplitude das ondas sísmicas de tipo P (primárias, mais rápidas) e S (secundárias, mais lentas) a 100 km do epicentro. A fórmula utilizada é ML 5 log A 2 log A0 , sendo log a abreviação de logaritmo, A a amplitude máxima medida no sismógrafo e A0 uma amplitude de referência.
SCIENCE SOURCE/photo resea
rchers/latinstock
Essas descobertas aumentaram muito a capacidade de cálculo dos que estavam envolvidos em Astronomia e Navegação.
Em 1638 um matemático inglês chamado William Oughtred inventou a régua de cálculo com base na tábua de logaritmos criada por Napier. Esse foi um passo em direção à calculadora e à construção dos computadores.
Calculadora antiga criada por John Napier, também conhecido como Neper.
258
Matemática
Veremos neste capítulo que a diferença entre os logaritmos de dois valores corresponde ao logaritmo do quociente entre esses valores. Assim: A log A 2 log A0 5 log A0 Então, se tomarmos dois valores inteiros e consecutivos na escala Richter, por exemplo, 4 e 5, a A(4) A(5) amplitude do segundo será 10 vezes maior do que a do primeiro, pois 4 5 log e 5 5 log e, A0 A0 A(4) A(5) como 4 5 log 104 e 5 5 log 105, obtemos 104 5 e 105 5 . O que resulta A(4) 5 104 ? A0 e A0 A0 A(5) 5 105 ? A0. Embora cada acréscimo no grau de magnitude represente um aumento de 10 vezes na medida da amplitude de uma onda, a energia liberada é 32 vezes superior, e isso acontece a cada par de valores consecutivos. O estudo dos logaritmos se estende a funções logarítmicas quando introduzimos variáveis em suas expressões e analisamos o comportamento de pontos do plano que as satisfazem. ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
>Atividades 1. A tabela seguinte relaciona as dez primeiras potên- 3. “Um fractal (anteriormente conhecido como curva cias de 3, de expoente natural, com os respectivos expoentes: n 3n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a) Copie a tabela e complete-a. b) Multiplique 9 por 729. c) Consulte a tabela que você completou e escreva os fatores 9 e 729 em forma de potência de 3 e, em seguida, some os expoentes. Que potência de 3 corresponde a essa soma de expoentes que você registrou? d) Compare a resposta dos itens b e c e escreva uma conclusão. e) O expoente n é denominado logaritmo da potência 3n, considerada a base 3. Sendo assim, procure na tabela o logaritmo de 34 e o logaritmo de 6 561.
2. Considere dois valores de magnitudes consecutivos, medidos na escala Richter, e responda: a) Se a energia liberada por um sismo for (32)² vezes maior que a de outro, qual é a diferença entre os valores das magnitudes? b) Quantas vezes um terremoto de magnitude 2 é menos intenso que um terremoto de magnitude 5? Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
monstro) é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente autossimilares e independem de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo. O termo foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polônia, que descobriu a geometria fractal na década de 70 do século XX, a partir do adjetivo latino fractus, do verbo frangere, que significa ‘quebrar‘.” (Fonte: http://pt. wikipedia.org/wiki/Fractal. Acesso em 3/8/2009). De acordo com o texto, supondo que um fractal seja gerado por um padrão que o reduza sempre à terça parte, depois de quantas reduções corresponderá a: a)
1 do original? 243
b)
1 do original? 1 000
Observação: Por enquanto, você resolverá este item por aproximação, mas neste capítulo aprenderá a obter um resultado mais exato, com o auxílio do conceito de logaritmo.
259
1. Logaritmo
América Latina: divisão política Golfo do México
Segundo o Banco Mundial, a previsão do crescimento demográfico na América Latina, no período de 2004 a 2020, é de 1,2% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população da América Latina vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma?
OCEANO ATLÂNTIC O
BAHAMAS CUBA
MÉXICO
REP. DOMINICANA JAMAICA HAITI PORTO RICO BELIZE (EUA) GUATEMALA HONDURAS EL SALVADOR NICARÁGUA TRINIDAD COSTA RICA E TOBAGO PANAMÁ VENEZUELA GUIANA SURINAME COLÔMBIA GUIANA FRANCESA (FRA) EQUADOR
PERU
BRASIL
BOLÍVIA
OCEANO PACÍFICO
CHILE
Fonte: Adaptado de Simielli, M. E. Geoatlas. São Paulo: Ática, 2009.
PARAGUAI
URUGUAI ARGENTINA
N
Nessas condições, podemos organizar o seguinte quadro: Tempo
População
Início
P0
1 ano
P1 P0 ? 1,012
2 anos
P2 (P0 ? 1,012)1,012 P0(1,012)2
3 anos . . . x anos
P3 P0(1,012)3 . . . Px P0(1,012)x
0
1540 km
Para refletir 100% 1 1,2% 5 101,2% 5 5
101, 2 5 1,012 100
Supondo que a população dobrará após x anos, temos: Daí:
Px 2P0 P0 (1, 012)x 2P0 ⇔ (1, 012)x 2
Não é possível resolver essa equação usando os conhecimentos adquiridos até aqui. Com o objetivo de transformar uma equação exponencial como essa numa igualdade entre potências de mesma base, vamos desenvolver a noção de logaritmo.
Um pouco de História Há cerca de 400 anos, em 1614, o escocês John Napier revolucionaria os métodos de cálculo da época com a invenção dos logaritmos. O logaritmo de Napier não era exatamente o que usamos hoje, nem era associado ao conceito de expoente, mas a essência era a mesma. Naquela época, multiplicar, dividir, calcular potências e extrair raízes eram trabalhos extremamente árduos, que eram feitos a partir de senos. Hoje em dia, com o advento das calculadoras eletrônicas, multiplicar, dividir, calcular potências e extrair raízes não é mais uma dificuldade. Nem por isso os logaritmos tornaram-se inúteis, pois a possibilidade de definir logar itmos como expoentes (mérito do inglês John Wallis em 1685) e a ideia de base para os logaritmos (do galês William Jones em 1742) transformaram o logaritmo em um imprescindível instrumento de resolução de equações exponenciais. É esse logaritmo moderno, definido como um expoente, que estudaremos nas próximas páginas.
Definição de logaritmo de um número Considere as seguintes questões. A que número x se deve elevar: a) o número 2 para se obter 8?
260
b) o número 3 para se obter
1 ? 81 Matemática
Observe as resoluções: a) 2x 8 ⇔ 2x 23 ⇔ x 3 Esse valor 3 denomina-se logaritmo do número 8 na base 2 e é representado por log2 8 3. Assim: Para refletir log2 8 3 ⇔ 23 8 Perceba que o logaritmo 1 1 b) 3x ⇔ 3x 4 ⇔ 3x 3 4 ⇔ x 4 é um expoente. 81 3 1 1 na base 3 e é representado por log3 4. O valor 24 chama-se logaritmo do número 81 81 Dados os números reais positivos a e b, com a 1, se b ac, então o expoente c chama-se logaritmo de b na base a, ou seja: loga b c ⇔ ac b, com a e b positivos e a 1 Nessa equivalência temos: Forma logarítmica
Forma exponencial
c : logaritmo logab 5 c a : base do logaritmo b : logaritmando
b : potência c a 5 b a : base da potência c : expoente
Vejamos mais alguns exemplos: • log3 81 4 ⇔ 34 81
1 • log 1 32 5 ⇔ 2 2
• log
25
Para refletir Quando falamos logaritmo, estamos nos referindo a um número.
5 5 2 ⇔ ( 5 ) 5 5 2
5
• log8 1 0 ⇔ 80 1
32
Observações: 1·) Veja que, de acordo com as restrições impostas, não são definidos, por exemplo: log3 (281), log10 0, log0 3, log22 8 e log1 6. Experimente aplicar a definição nesses casos. 2·) Quando a base do logaritmo for 10, podemos omiti-la. Assim, log 2 é o logaritmo de 2 na base 10. Aos logaritmos na base 10 damos o nome de logaritmos decimais ou de Briggs.
Exemplos: 1‚) Vamos determinar: a) log2 128 def. Representando por x o valor procurado, temos: log2 128 x ⇒ 2x 128 2x 27 ⇒ x 7 Portanto, log2 128 7.
b) log
3
9
log 3 9 5 x ⇒ ( x 5 2 ⇒ x 5 4 2
Logo, log
x
3
x 1 2 3 ) 5 9 ⇒ 3 2 5 3 ⇒ 3 2 5 32 x
9 5 4.
c) log 1 3 3
9 1 3 log 1 3 3 5 log 2 31 3 2 5 log 2 3 2 3 3 9
3 3 3 3 3 x log 22 3 2 x ⇔ (322 ) 3 2 ⇔ 322 x 3 2 ⇔ 2 x ⇔ x 3 4 2 3 Portanto, log 1 3 3 . 4 9
Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
261
2‚) Vamos calcular a sabendo que loga 25 2. O número a procurado deve ser positivo e diferente de 1 (1 a 0).
loga 25 5 2 ⇒ a2 5 25 ⇒ a 5 ± 25 ⇒ a 5 ± 5 Logo, a 5 (o valor 25 não deve ser considerado, pois a deve ser positivo).
3‚) Vamos calcular o número real A sabendo que 1 A log10 0, 001 log2 . 16 log10 0,001 x ⇒ 10x 0,001 ⇒ 10x 1023 ⇒ x 23
1 1 1 y ⇒ 2 y ⇒ 2 y 4 ⇒ 2 y 2 4 ⇒ y 4 16 16 2 1 Portanto, A log10 0, 001 log2 (23) 1 (24) 5 27. 16 log2
4‚) Sabendo que log3 x 22, vamos calcular x.
1 O número x deve ser positivo (x 0). Pela definição de logaritmo, x 3 2 ⇒ x . 9 5‚) Vamos calcular log2 (log3 81). log3 81 x ⇒ 3x 81 ⇒ x 4
Então: log2 (log3 81) log2 4 2
Exercícios propostos
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
1. Usando potência, determine o equivalente a cada logaritmo: a) log2 7 x
e) log 1 16 4
b) m logp r
c) log 0,1 21
f ) log 2 3
2. Com os três números dados, escreva uma igualdade usando logaritmo: a) 6, 36 e 2 b) 5, 21 e
c) 8, 8 e 1
1 5
d) 5, 2 e 32
a) log3 27
a) loga 8 3
c) loga 4 22
b) loga 5 1
d) loga 1 0
5. Calcule x nas igualdades: a) log2 x 5
b) log (x 1 1) 2
6. Se A 5 log2 1 024 1 log 1 625 , determine o valor de A. 5
c) log 1 32 2
b) log 10 000
i) log4 1
4. Determine o valor da base a nas seguintes igualdades:
3. Usando a definição, calcule:
8 27
g) log2 0,25
Para refletir No item b temos duas respostas possíveis.
h) log7 7
d) log2 8
7. Se x 5 log2 2 2 e y 5 log0,01 10, calcule x 1 y. 8. Calcule log2 [log3 81].
Condições de existência de logaritmos Já sabemos que a existência de um logaritmo, como por exemplo loga N, depende das seguintes condições: • N deve ser um número positivo (N 0). • A base deve ser um número positivo e diferente de 1 (1 a 0). N 0 loga N existe quando e somente quando a 0 e a 1
262
Matemática
Exemplos: 1‚) Vamos determinar os valores reais de x para os quais existe: a) log2 (x 2 3) Como a base é 2 (positiva e diferente de 1), devemos impor que x 2 3 0 ⇒ x 3. Logo, x ® | x 3.
b) log 1 ( x 2 7 x 10)
3
As condições de existência nos levam a impor que: x2 2 7x 1 10 0 a10 90 x 5 e x 2 Estudo do sinal:
2
x
5
Logo, a solução é dada por {x ® | x 2 ou x 5}.
2‚) Qual é o conjunto dos valores reais de x para os quais existe logx 2 2 (x 1 5)? Pelas condições de existência, temos: x 1 5 0 ⇒ x 25 I
x 2 0 ⇒ x 2 II x 2 1 ⇒ x 3
x deve satisfazer simultaneamente as três condições: I
5
II S
Logo, o conjunto é {x ® | x 2 e x 3}.
2
3
2
3
3‚) Vamos encontrar o conjunto dos valores reais de x para os quais é possível determinar logx 2 2 (x2 2 4x 2 5). Pelas condições de existência, temos: • x2 2 4x 2 5 0 a 1 0 36 0 x 5 e x 1 Estudo do sinal:
1
x
5
x 21 ou x 5 I
x 2 0 ⇒ x 2 • x 2 1 ⇒ x 3
II
Satisfazendo simultaneamente as condições, estabelecemos o quadro de resolução: I II S
Logo, o conjunto é {x ® | x 5}. Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
5
1 2
3
5
263
Exercícios propostos 9. Ache os valores reais de x para os quais é possível determinar: a) logx 10
10. Determine os valores de x para que exista: a) logx 2 5 10
b) log10 (x 2 3)
b) log1 2 x 3 2
11. Determine o conjunto dos valores reais de x para que seja possível definir:
2
c) log 1 ( x 5x 4 ) 2
x 2 1 d) log2 x + 3
a) logx (x 3)
c) logx (x2 2 4)
b) logx 2 1 (x 1 4)
d) logx 1 1 (x2 2 5x 1 6)
Consequências da definição de logaritmo 1·) loga 1 0 , pois a0 1, qualquer que seja a 0 e a 1. 2·) loga a 1 , pois a1 a para todo a 0 e a 1. 3·) loga an n , pois an an para todo a 0 e a 1 e para todo n. 4·) alog N = N , com N 0, a 0 e a 1. a
Justificativa: loga N x ⇒ ax N Substituindo x: alog N = N
a
5·) loga x loga y ⇔ x y , com x 0, y 0, a 0 e a 1. Justificativa: se loga x r e loga y s, isto é, ar x e as y, temos: • x y ⇒ ar as ⇒ r s ⇒ loga x loga y • loga x loga y ⇒ r s ⇒ ar as ⇒ x y Portanto, logax 5 logay ⇔ x 5 y, com x . 0, y . 0, a . 0 e a 1.
Exemplos: 1‚) Vamos calcular o valor de 2 2
log5 10 ? log2 5
5 (2
log2 5 log5 10
)
log5 10 ? log2 5 log5 10
5 5
.
5 10
propriedade das potências
2‚) Vamos calcular o valor de x tal que log2 (x 2 2) 5 log2 9. Condição de existência: x 2 2 . 0 ⇒ x . 2 log2 (x 2 2) 5 log2 9 ⇒ (x 2 2) 5 9 ⇒ x 5 11
Como, para x 5 11, existem log2 (x 2 2), pois 11 . 2, e log2 9, a resposta é x 5 11.
Exercícios propostos 12. Calcule o valor dos logaritmos: a) log7 1
e) log0,5 1
b) log0,8 0,8
f) log0,1 0,1
c) log 2 2
g) log6 6
d) log 1 1
h) log9 1
3
264
13. Dê o valor de x nas igualdades: a) 1 log3 x b) 0 log2 x c) log2 x 5 log2 5 d) log 2x log 6
Matemática
14. Calcule o valor dos logaritmos a seguir:
16. Calcule o valor de x:
a) log10 10
c) log2 16
a) log6 x log6 8
c) log x2 log x
b) logπ π2
d) log5 5
b) log3 8x log3 16
d) log 1 ( x 1) log 1 3
24
5
15. Calcule o valor das expressões: a) 10
log10 3
e) 10
2 3
2
c) 2log
2
6 ? log6 10
d) 3log 7 ? log 2 2
17. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
3 ? log10 2
f) 21 1 log
b) 2log 5 3
5
g) 22 1 3 log
2 5
h) 23 2 2 log
2 6
a) log5 1 1
e) log7 37 3
b) log1 5 5
f) log3 37 7
c) log5 5 1
g) 2log 5 5 5
d) log5 1 0
h) 2log 2 5 5
2
5
Propriedades operatórias dos logaritmos 1· propriedade: logaritmo de um produto Da propriedade fundamental das potências, ax ? ay ax 1 y, surge uma propriedade semelhante nos logaritmos. Veja um exemplo: • log2 (4 ? 8) log2 (22 ? 23) log2 22 1 3 2 1 3 5 I • log2 4 1 log2 8 log2 22 1 log2 23 2 1 3 5 II De I e II tiramos que: log2 (4 ? 8) log2 4 1 log2 8 Vamos provar que esse fato vale para qualquer base e quaisquer dois números para os quais existam os logaritmos envolvidos. Ou seja, que se trata de uma propriedade: loga (M ? N) loga M 1 loga N Demonstração: Consideramos loga (M ? N) p; loga M m e loga N n. Dessas igualdades, tiramos ap M ? N; am M e an N. Então: ap M ? N am ? an am 1 n Se ap am 1 n, então p m 1 n, ou seja, loga (M ? N) loga M 1 loga N. Conclusão: Numa mesma base, o logaritmo do produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses números.
Exemplos:
Para refletir
1‚) log7 (2 ? 5) log7 2 1 log7 5
log 3 ? 2 não é o mesmo que log (3 ? 2).
2‚) log 300 log (3 ? 100) log 3 1 log 100 log 3 1 2 3‚) log5 (4 ? 5) log5 4 1 log5 5 log5 4 1 1
Observação: Essa propriedade de transformar produtos em somas foi a motivação original para a introdução dos logaritmos, no século XVII, no intuito de simplificar cálculos.
2· propriedade: logaritmo de um quociente Vamos observar, por exemplo, que: 24 16 • log2 log2 2 log2 2 4 2 2 4 2 2 I 4 2 De I e II concluímos que:
Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
• log2 16 2 log2 4 log2 24 2 log2 22 4 2 2 2 II
16 log2 log2 16 log2 4 4
265
Esse fato é válido para qualquer base e quaisquer dois números, desde que existam os logaritmos envolvidos. Temos então mais uma propriedade dos logaritmos: loga
M loga M loga N N
Demonstração:
M 5 q; loga M m e loga N n. N M am M Daí tiramos aq 5 ; am M e an N. Então: aq 5 5 n 5 am 2 n N N a M Se aq am 2 n, então q m 2 n, ou seja, loga loga M loga N. N Conclusão: Consideramos loga
Numa mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses números. 1 Caso particular: loga loga 1 loga N 0 loga N, ou sseja, N
1 loga loga N N
Exemplos: 2 1‚) log5 log5 2 log5 3 3 1 2‚) log2 log2 1 log2 8 0 3 3 3 8 7 3‚) log log 7 log 10 log 7 1 10
3· propriedade: logaritmo de uma potência Observemos que: log2 73 log2 (7 ? 7 ? 7) log2 7 + log2 7 log2 7 3 ? log2 7 3 parcelas
Então: log2 73 3 ? log2 7 Temos mais uma propriedade dos logaritmos, pois trata-se de um fato que ocorre para qualquer base e qualquer potência sempre que existam os logaritmos envolvidos. loga MN N ? loga M Demonstração: Consideramos loga MN r e loga M m. Daí tiramos: ar MN e am M. Então: ar MN (am)N aNm Se ar aNm, então r Nm, ou seja, loga MN N ? loga M. Conclusão: Numa mesma base, o logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.
266
Matemática
Podemos aplicar essa propriedade no logaritmo de uma raiz (quando existir): 1
1 loga N M loga M N loga M N
Exemplos: 1‚) log3 84 4 ? log3 8
3‚) log7 53 3 ? log7 5
2‚) log 102 2 ? log 10 2 ? 1 2
1 1 1 2 4‚) log2 3 4 5 log2 ( 4 ) 3 5 ? log2 4 5 ? 2 5 3 3 3
4· propriedade: mudança de base Observe: • log4 64 3, pois 43 64; • log2 64 6, pois 26 64; • log2 4 2, pois 22 4. log2 64 6 . Como 3 5 , podemos escrever log4 64 5 log2 4 2 Nesse caso dizemos que houve uma mudança de base nos logaritmos (bases 4 e 2). Vamos então provar que a relação verificada acontece em geral, isto é, que se tem mais uma propriedade dos logaritmos: logb N
loga N para N 0, b 0, a 0; b 1 e a 1 loga b
Demonstração: Consideramos logb N p; loga N q e loga b r. Daí tiramos: bp N; aq N e ar b. Fazendo substituições: N aq bp (ar)p arp. loga N q . Se aq arp, então q rp e daí p 5 ou logb N 5 loga b r Conclusão:
Para refletir Como garantir que r 0?
Para escrever o logb N usando logaritmos na base a, realizamos a mudança de base: logb N
loga N loga b
Observações: 1·) Nessa propriedade de mudança de base, fazendo N a, temos um caso importante: loga a 1 logb a 5 5 loga b loga b Então podemos escrever que, quando existirem os logaritmos envolvidos: logb a
1 loga b
ou
Para refletir Quando existirem, logb a e loga b são números inversos.
logb a ? loga b 1
Exemplos: 1·) log7 5 5
log2 5 (na base 2) log2 7
3‚) log5 25 2 ⇔ log25 5 5
2·) log7 5 5
log 5 (na base 10) log 7
3 4 4‚) logb a ⇔ loga b 4 3
1 2
2·) Outra aplicação importante dessa propriedade é o uso em calculadoras eletrônicas, pois elas só possuem teclas para calcular logaritmos na base 10 e na base e (veja a observação da página 271). Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
267
Exercício proposto 18. Escreva:
1 b) o valor de logy x sabendo que logx y 5 2 . 3
a) log5 8 usando logaritmos na base 4;
Quadros-resumo Sempre que existirem os logaritmos envolvidos, temos: Definição de logaritmo loga b c ⇔ ac b Consequências da definição de logaritmo 1·) loga 1 0 3·) loga an n loga b
2·) loga a 1
4·) a
5·) logb a logb c ⇔ a c
b
Propriedades operatórias dos logaritmos 1·) loga (M ? N) loga M 1 loga N M 2·) loga loga M loga N N 1 loga loga N N
3·) loga MN N ? loga M
1 loga N M loga M N
4·) logb N logb a
loga N loga b 1 ou logb a ? loga b 1 loga b
Exemplos: a b 1‚) Vamos determinar o desenvolvimento logarítmico da expressão log 3 . c 1 1 1 a b a ? b 2 1 3 2 2 log a log b + log c3 log a ? log b 3 ? log c log 3 log l og a ? b log c 3 2 c c Para refletir a b 1 O que você acha que significa de Portanto, log 3 log a + ? log b 3 ? log c. senvolvimento logarítmico? 2 c 2‚) Dados loga m 11 e loga n 6, qual é o valor de loga (m3n2)? loga (m3n2) loga m3 1 loga n2 3 ? loga m 1 2 ? loga n 3 ? 11 1 2 ? 6 45 Então, loga (m3n2) 45. 3‚) Se log 2 a e log 3 b, vamos expressar log 72 em função de a e b. log 72 log (23 ? 32) log 23 1 log 32 3 ? log 2 1 2 ? log 3 3a 1 2b Então, log 72 3a 1 2b. 4‚) Vamos calcular o valor da expressão log3 5 ? log25 81. log3 5 ? log25 81 5 log3 5 ?
log3 81 log3 34 4 4 5 log3 5 ? 5 log3 5 ? 5 5 2 2 log3 25 2 ? log3 5 2 log3 5
268
Matemática
5‚) Vamos provar que, para a ®*, b ®* e b 1, temos logb a 5 log n an , para todo n ®. b Consideramos logb a x e daí tiramos bx a. n x bx a ⇒ (bx )n an ⇒ (bn) an ⇒ logbn a = x logb a x e log n an 5 x ⇒ logb a 5 log n an b
b
Por exemplo: a) log5 7 log25 49 c) log 5 log1 000 125
b) log9 4 5 log 1 ( 4 ) 2 5 log3 2 d) log11 3 5 log
1 11
3
92
6‚) Vamos escrever as expressões a seguir por meio de um único logaritmo:
a) 3 ? log4 7
3 ? log4 7 log4 7 log4 343 3
2 ? log3 x 1 5 ? log3 2 log3 x2 1 log3 25
b) log3 x 2 log3 2
log3 x 2 log3 2 log3
log3 (25x2) log3 32x2
x 2
c) log 1 6 1 log 1 3 2
f) 2 ? log3 x 1 5 ? log3 2
2
g)
log5 8 5 log7 8 log5 7
log25 8 log5 3
log 1 6 log 1 3 log 1 ( 6 ? 3) log 1 18 2
2
2
2
log5
h)
d) log5 4 1 log5 x 2 log5 3
log5 4 1 log5 x 2 log5 3 log5 4x 2 log5 3 4x 3
log5 8 log5 7
log25 8 log25 8 5 5 log9 8 log5 3 log25 9
i) 1 1 log7 3
1 1 log7 3 log7 7 1 log7 3
1 e) ? log 2 5
log7 (3 ? 7) log7 21 1
1 ? log 2 5 log 2 5 5 log 5 2 5
Exercícios propostos 19. Determine o desenvolvimento logarítmico das expressões: πr h a) log 3
a b c) logx 21 c
x b) log3 2 y
d) log
3
2
a 3
bc
20. Sabendo que log a 5 6 ? log b, 2 ? log b 5 log c e que log c 5 45, calcule o valor numérico da expressão log 5
a3 ? b 4 . c2
21. Escreva na forma de um único log: a) log5 6 1 log5 11 c) 4 ? log 3 b) log7 28 2 log7 4
Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
22. Sendo loga 2 20 e loga 5 30, calcule o valor de loga 100.
23. Sendo logx 2 a e logx 3 b, calcule logx 3 12 em função de a e b.
24. Dados log 2 5 a, log 3 5 b e log 10 5 1, calcule log 60. 25. Determine a expressão P sabendo que: a) log P 2 log a 1 5 ? log b 1 b) logx P logx a 2 logx b 2
26. Escreva usando logaritmos de base 10: a) log2 5
c) log2 (x 2 1)
b) logx 2
d) log(x 1 1) (x 2 3)
269
Cologaritmo Denomina-se cologaritmo de um número N (N 0) numa base a (a 0 e a 1) o oposto do logaritmo do número N na base a ou o logaritmo do inverso de N na base a. Para refletir
ou
cologa N 2loga N
cologa N loga 1 N
Como provar que loga N loga
1 ? N
Exercícios propostos 27. Pela definição de cologaritmo, calcule: a) colog2 8
c) colog10 0,001
1 b) colog3 81
d) colog2 2 2
28. Se logx S 2 ? logx a 1 cologx b, determine a expressão S.
29. Se log5 x log5 3 1 colog5 4, qual é o valor de x?
Cálculo de logaritmos Introdução Em Química, define-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal (base 10) do inverso da respectiva concentração de H3O1 (íon hidroxônio). O cérebro humano contém um líquido cuja concentração de H3O1 é 4,8 ? 1028 mol/ (em média). Qual será o pH desse líquido? De acordo com a definição e os dados do problema, temos: 1 pH 5 log10 5 log10 1 2 log10 (4,8 ? 1028) 5 log10 1 2 log10 4,8 2 log10 1028 5 28 4 , 8 ? 10 5 0 2 log10 4,8 2 (28) 5 8 2 log10 4,8 Portanto, pH 5 8 2 log10 4,8. Para logaritmos como esse, existem três formas de cálculo, que serão estudadas a seguir: • com o auxílio da calculadora; • com a aplicação de tabelas de valores (tabelas de logaritmos); • por meio de alguns logaritmos dados. Com a difusão do uso da calculadora, a utilização das tabelas de logaritmos hoje está praticamente abolida. Veremos a seguir os outros dois processos citados.
Calculadora
Para refletir
Em algumas calculadoras, Algumas calculadoras possuem duas teclas com as seguintes funções: para obter log N digita-se • tecla log : permite calcular o logaritmo decimal de um número N, inteiro ou decimal. primeiro log e depois N.
• tecla 10x : permite calcular o número N quando se conhece log N 5 x. Usando essas teclas, as propriedades dos logaritmos e as quatro operações fundamentais, é possível realizar os seguintes cálculos: 1‚) log 36 digita-se 36
tecla-se log log 36 1,556303
1,556303
2‚) log 3 4 , 57
1 ? log 4,57 3 tecla-se log digita-se 4,57 log 3 4 , 57 5
270
0,659916 : 3 5 0,219972
log 3 4 , 57 0,219972 Matemática
3‚) log2 997 log2 997 5
log 997 (propriedade de mudança de base) log 2
Usando a tecla log , calcula-se log 997 2,998695 e log 2 0,301030. log2 997
2, 998695 9,961449 0, 301030
4‚) log10 x 5 0,72342 digita-se 0,72342
tecla-se 10x
5,289566
log 5,289566 0,72342 5‚) Podemos também resolver o problema do líquido cerebral que vimos na página anterior: usando a calculadora, obtemos log 4,8 0,681241. Assim, pH 5 8 2 0,681241 7,3. Observação: Existem calculadoras com a tecla ln , que permite calcular os logaritmos naturais dos números reais positivos. Os logaritmos naturais têm a base e, ou seja, n x 5 loge x (logaritmo natural de x). O número e, base dos logaritmos naturais, é caracterizado pelo fato de que seu logaritmo natural é igual a 1, ou seja, n e 5 1. O número e é irracional. Um valor aproximado dessa importante constante é e 5 2,7182818284, como já vimos no capítulo anterior. Os logaritmos naturais, de base e, são muito importantes nas aplicações.
Logaritmos dados A partir de um ou mais logaritmos dados, podemos obter o valor aproximado de uma infinidade de logaritmos, usando as propriedades conhecidas. Por exemplo: Dados log 2 0,30 e log 3 0,48, podemos calcular: • log 6 5 log (2 ? 3) 5 log 2 1 log 3 5 0,30 1 0,48 5 0,78 • log 30 5 log (3 ? 10) 5 log 3 1 log 10 5 0,48 1 1 5 1,48 • log 8 5 log 23 5 3 ? log 2 5 3 ? 0,30 5 0,90 1 1 • log 3 5 ? log 3 5 ? 0, 48 5 0, 24 2 2 • log 5 5 log (10 : 2) 5 log 10 2 log 2 5 1 2 0,30 5 0,70 • log2 3 5
log 3 0, 48 5 5 1, 60 log 2 0, 30
log 32 log 25 5 ? log 2 5 ? 0, 30 1, 50 5 5 5 5 5 1, 5625 2 log 9 2 ? log 3 2 ? 0, 48 0, 96 log 3 1 • log3 2 5 5 0,625 (Neste caso, verificamos que log3 2 e log2 3 são inversos.) 1, 6 • log9 32 5
• log81 16 5 0,625 (log81 16 5 log 4 2 4 5 log3 2 5 0,625) 3
Exemplo: Sabendo que log 2 0,301, vamos calcular o número de algarismos da potência 5100. x 5100 ⇒ log x 100 ? log 5 ⇒ log x 100 ? log
10 100(1 0,301) 69,9 2
Então, se log x 69,9, pela definição temos x 1069,9. Como 1070 é o primeiro número com 71 algarismos (1070 1 seguido de 70 zeros), então necessariamente 1069,9 tem 70 algarismos. Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
271
Exercícios propostos 30. Com o auxílio de uma calculadora, calcule utilizando as teclas das quatro operações fundamentais, a tecla log e a 10x (caso não tenha uma calculadora à disposição, indique o roteiro para efetuar o cálculo): h) log3 38 a) log 64,3 b) log 0,00196
i) log5 3
c) log 0,0570
j) log2 10
d) x tal que log x 1,35
5 k) x 429
e) log 914 f ) log 0,820
3
l) x 5 7 m) x 34,27
g) log 1536
35. (UFMG) Dados log 2 5 0,301 e log 3 5 0,477, calcule log
3
a2b quando a 5 2 e b 5 3.
36. (Mack-SP) Dados log 4 5 0,60206 e log 6 5 0,77815, calcule log
6 000 ? 0, 64 . 216
37. (FEI-SP) Qual é o logaritmo decimal de 10 3 200 , dado log 2 5 0,301?
38. Dados log 2 0,30 e log 7 0,85, determine: a) log 14 b) log 50
Para refletir
5
c) log 3,5 d) log 70
Em k , l e m calculamos log x e depois x.
31. Sem usar calculadora, determine entre quais inteiros consecutivos fica cada logaritmo: a) log 279 c) log 0,071 d) log7 2 b) log 6
32. Calcule: a) log 100 b) log 0,00001
c) log 0,001 d) log 10 000 000
33. (PUC-SP) Uma calculadora eletrônica possui as teclas das quatro operações fundamentais e as teclas 10x, log10 e loge. Como se pode obter o valor de e usando as funções da calculadora?
34. Dados log 2 0,30, log 3 0,48 e log 5 0,70, quanto vale: a) log 20 b) log 0,0002 c) log 30 000 d) log 0,3 e) log 500 f ) log 72 g) log 0,006
h) log 14,4 i) log 7,5 j) log 18 k) log 45 l) log 250 m) log 1,25
39. Dados log 2 0,30, log 3 0,48 e log 5 0,70, calcule, com aproximação de duas casas decimais e usando mudança de base, os logaritmos: a) log2 12
c) log8 9
b) log5 3
d) log100 5
40. Sabendo que log 52 1,7160, determine o número de algarismos da potência 521 000.
41. Se log a 0,297, calcule log (100a). 42. Se log N 1,964, calcule log N . 43. Sabendo que log 3 0,477, determine log 4 27 000 . 44. C alcule log [(0,2) 3 ? 0,003], dados log 2 0,30 e log 3 0,48.
45. O pH de uma solução é o logaritmo decimal do inverso da concentração de H3O1. Qual é o pH de uma solução cuja concentração de H3O1 é 4,5 ? 105 mol/?
Aplicação dos logaritmos na resolução de equações exponenciais e de problemas Exemplos: 1‚) Vamos resolver a equação 3x 5. log 5 0, 69897 ⇒ x 3x 5 ⇒ log 3x log 5 ⇒ x ? log 3 log 5 ⇒ x 1,46 log 3 0, 47712 S {1,46} 2‚) Dados log 2 0,30; log 3 0,48 e log 5 0,70, vamos resolver a equação 52x 7 ? 5x 1 12 0. 52x 7 ? 5x 1 12 0 ⇒ (5x)2 7(5x) 1 12 0 Fazendo 5x y, temos: y2 7y 1 12 0 (7)2 4(1)(12) 1 y 4 e y 3
272
Matemática
Daí: 0, 60 2 ? log 2 0,86 • 5x 4 ⇒ log 5x log 4 ⇒ log 5x log 22 ⇒ x ? log 5 2 ? log 2 ⇒ x log 5 0, 70 0, 48 log 3 • 5x 3 ⇒ log 5x log 3 ⇒ x ? log 5 log 3 ⇒ x 0,69 0, 70 log 5 S {0,69; 0,86}
3‚) Vamos resolver a equação ex 27 0, dados log e 0,43 e log 3 0,48.
ex 27 0 ⇒ ex 27 ⇒ log ex log 27 ⇒ log ex log 33 ⇒
⇒ x ? log e 3 ? log 3 ⇒ x
S {3,34}
3 ? log 3 1, 44 3,34 log e 0, 43
4‚) Sabemos que o número de bactérias numa cultura, depois de um tempo t, é dado por Para refletir N N0 ? ert, em que N0 é o número inicial (quando t 0) e r é a taxa de crescimento Se a taxa é de 5% ao minuto, o tempo t é relativo. Em quanto tempo o número de bactérias dobrará se a taxa de crescimento dado em minutos. contínuo é de 5% ao minuto? Pelos dados do problema, a pergunta é: Em quanto tempo N 2N0? Assim, temos: n 2 N N0 ? ert ⇒ 2N0 N0 ? e0,05t ⇒ 2 e0,05t ⇒ n 2 n e0,05t ⇒ n 2 0,05t ? n e ⇒ n 2 0,05t ⇒ t 0 , 05 1 Calculando n 2 obtemos n 2 0,6931; portanto:
Para refletir
0, 6931 8 13,8 min 5 13 min e min 13 min 48 s t 0, 05 10 O número de bactérias dobrará em 13 minutos e 48 segundos.
O tempo não depende do número inicial de bactérias.
5‚) Em quantos anos 500 g de uma substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao ano, se reduzirão a 100 g? Use Q Q0 ? ert, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.
Sabemos que: Q Q0 ? ert ⇒ 100 500 ? e0,03t, que é equivalente a:
⇒ t
1 1 e 0 ,03 t ⇒ n n e 0 ,03 t ⇒ n 1 n 5 0, 03t n e ⇒ n 5 0, 03t ⇒ 5 5 0 1 n 5 1, 6094 53,6 anos 0, 03 0, 03
6‚) (Situação-problema da introdução do capítulo) Segundo o Banco Mundial, a previsão do crescimento demográfico na América Latina, no período de 2004 a 2020, é de 1,2% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população da América Latina vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma? População do ano-base P0 População após um ano P0(1,012) P1 População após dois anos P0(1,012)2 P2 População após x anos P0(1,012)x Px
Supondo que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, temos:
Aplicando logaritmos, temos:
Px 2P0 ⇒ P0 (1, 012)x 2 P 0 ⇒ (1, 012)x 2
log (1,012)x log 2 ⇒ x ? log 1,012 log 2 ⇒
0, 30103 log 2 58 0, 00518 log 1, 012
A população dobrará em 58 anos, aproximadamente.
Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
273
Exercícios propostos 56. (Fuvest-SP) A intensidade I de um terremoto, medida
46. Dados log 2 0,30; log 3 0,48; log 5 0,70 e
na escala Richter, é um número que varia de I 5 0 até I 5 8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: E 2 I 5 log10 E0 3
log e 0,43, resolva as equações: a) 2x 5 d) ex 6 0 x b) e 3 e) 3x 5 10 c) 5x e f) ex 5 15
47. Calcule (com duas casas decimais) o valor de x que verifica a equação 3 ? 2x 10, dados log 2 0,30 e log 3 0,48.
na qual E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 5 7 ? 1023 kWh.
48. Dados log 5 5 0,70 e log 3 5 0,48, calcule o valor de
a) Qual é a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter?
x na equação (0,3) 5 1,5. x
b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada?
49. Se log 2 5 0,30 e log e 5 0,43, resolva a equação 8x 2 2e 5 0.
57. A expressão M A(1 1 i)n nos permite calcular o
50. Dados log 2 0,30 e log 3 0,48, resolva a equação
montante M, resultante da aplicação do capital A a juros compostos, à taxa anual i, ao completar um período de n anos. Nessas condições, se o capital de R$ 800 000,00 for aplicado a juros compostos e à taxa anual de 12%, após quanto tempo da aplicação serão obtidos juros no valor de R$ 700 000,00?
32x 5 ? 3x 1 6 0.
51. Determine o valor de x que verifica a equação (1,12)x 3, sendo dados log 2 0,30, log 3 0,48 e log 7 0,85.
52. Resolva a equação e2x 2 3 ? ex 1 2 5 0, dados log 2 5 0,30 e log e 5 0,43. ara os exercícios 53 a 55 use a fórmula Q 5 Q0 ? e2rt, na P qual Q representa a massa da substância ou o número de bactérias, r representa a taxa e t representa o tempo.
58. Uma pessoa deposita uma quantia em caderneta de poupança à taxa de 2% ao mês. Em quantos meses a quantia depositada triplica?
53. Uma substância radioativa se desintegra a uma taxa
59. Uma pessoa coloca R$ 1 000,00 num fundo de aplica-
de 8% ao ano. Em quantos anos 50 g dessa substância se reduzirão a 5 g?
ção que rende, em média, 1,5% a.m. Em quantos meses essa pessoa terá no mínimo R$ 1 300,00? Use uma calculadora para fazer os cálculos.
54. Num laboratório, uma pessoa verifica que a taxa de crescimento relativo contínuo de bactérias numa cultura é de 2,5% por minuto. Nessas condições, em quantos minutos o número de bactérias passará de 4 000 para 6 000?
60. Um cartão de crédito cobra juros de 9% a.m. sobre o saldo devedor. Um usuário desse cartão tem um saldo devedor de R$ 505,00. Em quanto tempo essa dívida chegará a R$ 600,00 se não for paga?
55. Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de 4% ao ano. (Lembre-se: meia-vida é o tempo que deve decorrer para que, em certo momento, metade dos átomos de uma substância radioativa se desintegre.)
(Dados: log 2 0,3; log 3 0,48; log 1,01 0,004; log 1,09 0,038.)
2. Função logarítmica No capítulo anterior estudamos a função exponencial. Para todo número real positivo a 1, a função exponencial f: ® → ®*, f(x) 5 ax, é uma correspondência biunívoca entre ® e ®*. Ela é crescente se a 1, decrescente se 0 a 1 e tem a seguinte propriedade: x x 2
f(x1 1 x2) 5 f(x1) ? f(x2), ou seja, a 1
x
= a 1 a
Para refletir Dizer que f(x) é uma correspondência biunívoca é o mesmo que dizer que f é uma função bijetiva.
x2
Essas considerações garantem que f possui uma função inversa.
274
Matemática
Definição da função logarítmica A inversa da função exponencial de base a é a função loga: ®* → ®, que associa a cada número real positivo x o número real loga x, chamado logaritmo de x na base a, com a real positivo e a 1. x x x x Observe que f: ® → ®* , dada por f(x) 5 ax, tem a propriedade f(x1 1 x2) 5 f(x1) ? f(x2), ou seja, a 1 2 = a 1 a 2 . A sua inversa g: ®* → ®, dada por g(x) 5 loga x, tem a propriedade loga (x1 ? x2) 5 loga x1 1 loga x2. ®
®*+
Domínio da função logarítmica: ®* Imagem da função logarítmica: ®
f •
• g
Como a função logarítmica é a inversa da função exponencial, temos: loga x
a
5 x para todo x . 0 e loga (ax) 5 x para todo x ®
Assim, loga x é o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja, y 5 loga x ⇔ ay 5 x, como já vimos. As funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja base a é maior do que 1. Particularmente, as de base 10 (logaritmos decimais), as de base 2 (logaritmos binários) e as de base e (logaritmos naturais). São exemplos de função logarítmica as funções de ®* em ® definidas por: • f(x) log2 x • g(x) log10 x 5 log x • h(x) loge x 5 n x • i(x) log 1 x 4
Exercícios propostos 61. As funções logarítmicas f e g são dadas por
62. Dados f(x) log3 (x 1 1), g(x) 4 1 log2 x e h(x) log 2x, determine:
f(x) log3 x e g(x) log4 x. Determine: a) f (9); b) g(1); c) g(4); d) D(f );
e) Im(f); f ) x tal que g(x) 4; g) f1(1); h) f(27) 1 g(16).
a) f(2);
d) g(1);
b) g(2);
e) f(26);
c) h(50);
f ) g( 2 ).
Para refletir
Gráfico da função logarítmica
Os gráficos de y 5 loga x e y 5 logb x, com a 1 e 0 b 1 quaisquer, têm o mesmo aspecto dos gráficos abaixo, respectivamente.
Observe os seguintes gráficos de função logarítmica: f(x) 5 log2 x x 1 4 1 2
2
f(x) log2 x
y
2
y 5 f(x) 22
x
1
1
1 1 4 2
21
1
0
2
1
4
2
0
f(x) 5 log 1 x
x (1, 0)
2
1
2
Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
4
4 1 2 1
y 2
y 5 f(x) 2
1 (1, 0)
1 0
2
21
4
22
2
4
x
0 1 1 4 2 1
2
f(x) log1 x 2
275
Como consequência da definição de função logarítmica e da análise dos gráficos, podemos concluir que: • o gráfico da função logarítmica passa pelo ponto (1, 0), ou seja, f(1) 5 0, ou, ainda, loga 1 5 0; • o gráfico nunca toca o eixo y nem ocupa pontos dos quadrantes II e III; • quando a 1, a função logarítmica é crescente (x1 x2 ⇔ loga x1 loga x2); • quando 0 a 1, a função logarítmica é decrescente (x1 x2 ⇔ loga x1 loga x2); • somente números positivos possuem logaritmo real, pois a função x → ax assume somente valores positivos; • se a 1, os números maiores do que 1 têm logaritmo positivo e os números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritmo negativo; • se 0 a 1, os números maiores do que 1 têm logaritmo negativo e os números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritmo positivo; • a função logarítmica é ilimitada, superior e inferiormente. No caso de a 1 ser ilimitada superiormente significa que se pode dar a loga x um valor tão grande quanto se queira, desde que tomemos x suficientemente grande;
Para refletir
No caso de a 1, o que significa ser ilimitada inferiormente?
• ao contrário da função exponencial f(x) 5 ax com a 1, que cresce rapidamente, a função logarítmica loga x com a 1 cresce muito lentamente. Veja, por exemplo, que, se log10 x 5 1 000, então x 5 101 000. Assim, se quisermos que log10 x seja maior do que 1 000, será preciso tomar um número x que tenha pelo menos 1 001 algarismos; • a função logarítmica é injetiva, pois números positivos diferentes têm logaritmos diferentes. Ela é também sobrejetiva, pois, dado qualquer número real b, existe sempre um único número real positivo x tal que loga x 5 b. Portanto, ela é bijetiva (há uma correspondência biunívoca entre ®* e ®).
Exercícios propostos 63. Construa os gráficos das funções logarítmicas e con-
66. Sabendo que o gráfico abaixo é da função f(x) log x, determine os valores de a e b.
firme neles as conclusões obtidas: a) f(x) log3 x
x c) f(x) log2 2
b) f(x) log 1 x
d) f(x) log2 (x 2 1)
y
3
64. Observando a base, identifique as seguintes funções como crescentes ou decrescentes: a) f(x) log3 x
d) f(x) log1,2 x
b) f(x) log2 x
e) f(x) log0,1 x
c) log0,5 x
f) f(x) log 1 x 4
65. Construa os gráficos das funções: x a) f(x) log2 2
b
x 0
a
10
b) f(x) log2 (x 1)
Uma relação importante No capítulo 3, vimos que os gráficos de duas funções inversas são simétricos em relação à reta y 5 x (bissetriz dos quadrantes I e III). Observe os gráficos a seguir das funções inversas f(x) 5 ax e g(x) 5 loga x:
276
Matemática
y
y
1 f(x) 2
x
f(x) 2 4
bissetriz
bissetriz 4
2
g(x) log2 x
2
x
1
1
x
x 2
1
0
1
2
4
2
1
a 1
1
2
4
1
1 2
0
2
0 a 1
g(x) log1 x 2
Para refletir
Para refletir
Observe no gráfico (a > 1) como a função exponencial cresce rapidamente, enquanto a função logarítmica cresce muito lentamente.
Escreva as coordenadas de alguns pontos simétricos em cada um dos gráficos.
Exercício proposto 67. Construa no mesmo sistema de eixos os gráficos de f(x) 3x e g(x) log3 x.
Uma propriedade importante Duas funções logarítmicas quaisquer são sempre proporcionais. Demonstração: Dadas as funções logarítmicas f(x) 5 loga x e g(x) 5 logb x, temos que g(x) 5 loga b ? f(x) ⇒ g(x) 5 k ? f(x).
logb x g( x ) 5 loga b, isto é, f (x) loga x
k
Logo, a constante de proporcionalidade é dada por k 5 loga b. Observação: Essa propriedade explica por que, dados a e b positivos e diferentes de 1, os gráficos de loga x e logb x são obtidos, um a partir do outro, multiplicando-se todas as ordenadas por uma constante. Vejamos um exemplo tomando as funções f(x) 5 log2 x e g(x) 5 log8 x. Observe que: 1 log2 x 5 1 → x 5 2 → log8 x 5 3 2 log2 x 5 2 → x 5 4 → log8 x 5 3 → log2 x 5 3 → x 5 8 log8 x 5 1 1 2 Dobrando log2 x (de 1 para 2), dobrou também log8 x de para . Triplicando log2 x (de 1 para 3), triplicou 3 3 1 3 também log8 x de para 1 , e assim por diante. 3 3 Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
277
1 2 3 Além disso, temos 1 3 ? , 2 = 3 ? , 3 3 ? , e assim por diante, ou seja, log2 x 5 3 ? log8 x, ou ainda, 3 3 3 log2 x 5 log2 8 ? log8 x. k (constante de proporcionalidade)
k (constante de proporcionalidade)
Observe que, multiplicando as ordenadas de log8 x pela constante 3, obtemos as ordenadas de log2 x. log2 x x 1
log8 x y
2 1
21
2
1
4
2
0
x 1 2 1 2 4
y
y 1 3
2
0
1
1 3 2
y = log2 x
3 2 1 0 1
y = log8 x x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
Caracterização das funções logarítmicas Como saber se para resolver um determinado problema devemos usar o modelo dado pelas funções logarítmicas? A resposta é quando estivermos diante de uma função f: ®* → ®, crescente ou decrescente tal que f(x 1 ? x 2) 5 f(x 1) 1 f(x 2) para quaisquer x 1, x 2 ®*. Pois, neste caso, é possível provar que existe a 0 tal que f(x) 5 loga x para todo x ®* .
Um pouco de História Logaritmos e funções logarítmicas Vários conceitos básicos da Matemática, criados para atender a certas necessidades e resolver problemas específicos, revelaram posteriormente uma utilidade bem mais ampla do que a inicialmente pensada e vieram, com a evolução das ideias e o desenvolvimento das teorias, a adquirir uma posição definitiva de grande relevância nessa ciência. Em alguns casos, a utilidade original foi, com o tempo, superada por novas técnicas, mas a relevância teórica se manteve. […] Os logaritmos foram inventados no início do século XVII a fim de simplificar as trabalhosas operações aritméticas dos astrônomos para a elaboração de tabelas de navegação. x Com efeito, a regra log (xy) 5 log x 1 log y e suas consequências, tais como log 5 log x 2 log y, y log x n n , permitem reduzir cada operação aritmética (exceto, naturalmente, a adição log (x ) 5 n ? log x, log x n e a subtração) a uma operação mais simples, efetuada com os logaritmos. Essa maravilhosa utilidade prática dos logaritmos perdurou até recentemente, quando foi vastamente superada pelo uso das calculadoras eletrônicas. A função logarítmica, entretanto, juntamente com sua inversa, a função exponencial, permanece como uma das mais importantes na Matemática, por uma série de razões que vão muito além da sua utilidade como instrumento de cálculo aritmético. […] Resumindo: um matemático ou astrônomo do século XVII achava os logaritmos importantes porque eles lhe permitiam efetuar cálculos com rapidez e eficiência. Um matemático de hoje acha que a função logarítmica e sua inversa, a função exponencial, ocupam uma posição central na Análise Matemática por causa de suas propriedades funcionais, especialmente a equação diferencial x’ 5 c ? x, que descreve a evolução de grandezas que, em cada instante, sofrem uma variação proporcional ao valor naquele instante. Exemplos de grandezas com essa propriedade são um capital empregado a juros compostos, uma população (de animais ou bactérias), a radioatividade de uma substância, ou um capital que sofre desconto. […] Fonte: Elon Lages Lima. Meu professor de Matemática e outras histórias. Rio de Janeiro: Impa-Vitae, 1991. p. 28-30 passim.
278
Matemática
3. Equações logarítmicas Vamos agora estudar as equações logarítmicas, ou seja, aquelas nas quais a incógnita está envolvida no logaritmando ou na base do logaritmo, como estas: 1‚) log3 x 5 5
3‚) logx 2 1 3 5 2
2‚) log2 (x 1 1) 1 log2 (x 2 1) 5 1
4‚) 2 ? log x 5 log 2x 2 log 3
Exemplos: 1‚) Vamos resolver a equação log2 (x 3) 1 log2 x 2. • condição de existência: x 3 0 e x 0 ⇒ x 3 e x 0 ⇒ x 3 • há dois modos diferentes de resolução: I) log2 (x 3) 1 log2 x 2 ⇒ log2 [(x 3)x] 2 Usando a definição de logaritmo: (x 3)x 22 ⇒ x2 3x 4 0 9 1 16 25 x 4 e x 1 II) log2 (x 3) 1 log2 x log2 22 ⇒ log2 [(x 3)x] log2 4 Usando o fato de que a função logarítmica é injetiva: (x 3)x 4 ⇒ x2 3x 4 0 25 x 4 e x 1 • verificação: como a condição de existência é x 3, então 4 S e 1 S S {4} 2 2‚) Vamos resolver a equação log10 x 3 ? log10 x 1 2 0.
Para refletir
• condição de existência: x 0 • a equação pode ser escrita na forma: (log10 x)2 3 ? log10 x 1 2 0
log2 x não pode ser confundido com log x2.
Fazendo log10 x y, temos: y2 3y 1 2 0 1 y 2 e y 1 log x 2 ⇒ 102 x ⇒ x 100 Como log10 x y, então: 10 1 log10 x 1 ⇒ 10 x ⇒ x 10
• verificação: 100 0 e 10 0. Logo, 100 S e 10 S. S {10, 100}
tim-tim por tim-tim
(Ufscar-SP) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, **3‚) evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: h(t) 5 1,5 1 log3 (t 1 1), com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de: a) 9.
b) 8.
c) 5.
d) 4.
e) 2.
1. Lendo e compreendendo a) O que é dado no problema? É dada uma função logarítmica que relaciona o tempo transcorrido desde a plantação da árvore com a altura dela: h(t) 5 1,5 1 log3 (t 1 1). Também é dada a altura no momento do corte: 3,5 m. b) O que se pede? Determinar quanto tempo depois de ter sido plantada a árvore foi cortada.
Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
279
2. Planejando a solução Como a função dada relaciona a altura da árvore de acordo com o tempo transcorrido após a plantação, usaremos essa função para determinar o tempo t para quando a altura for de 3,5m. 3. Executando o que foi planejado Se h(t) é a altura da árvore na idade t, então queremos t tal que h(t) 5 3,5. Assim: 3,5 5 1,5 1 log3 (t 1 1) ⇒ 2 5 log3 (t 1 1) Pelo conceito de logaritmo, se 2 5 log3 (t 1 1), então t 1 1 5 32. Assim, t 1 1 5 9 ⇒ t 5 8 anos. Então a árvore foi cortada 8 anos após sua plantação. 4. Emitindo a resposta A resposta é a alternativa b. 5. Ampliando o problema a) Qual era a altura da árvore no momento em que foi plantada? b) Qual seria a altura da árvore após 80 anos de sua plantação se ela não tivesse sido cortada? c) Essa árvore atingiria 10 m de altura em algum momento? Se sim, quanto tempo depois de plantada? d) Discussão em equipe Converse com seus colegas sobre a importância de preservar a natureza, evitando-se o corte abusivo das árvores. É possível para a humanidade viver sem o corte das árvores? Se não for, qual seria a solução para evitar o desmatamento das florestas? e) Pesquise O que é o selo FSC? Em que ano foi criado o FSC Brasil?
Exercícios propostos 68. Resolva as equações:
70. Resolva as seguintes equações:
a) logx 36 2
c) log2 (x 1 x 1 2) 3
2 a) log10 (x 1 1) log10 (x 1 1) 0
b) log 1 (x 2) 3
d) log2 [log3 (x 1)] 2
b) log3 [7 1 log9 (x 1)] 2
2
2
69. Calcule x sabendo que: a) 2log
2 ( x 1)
3
log5 ( x 2 3 x )
b) 5
4
c) log25 x 4 ? log5 x 1 3 0 d) log10 (x 1 4) 1 log10 (x 4) 2 ? log10 3
71. (Mack-SP) Se log10 m 5 2 2 log10 4, determine o valor de m (lembrar: 2 5 log10 102).
Sistemas de equações logarítmicas Há sistemas de equações que são resolvidos aplicando-se as propriedades operatórias dos logaritmos.
Exemplo:
log x log10 y log10 2 Vamos resolver o sistema de equações x 10 y 16 4
• condições de existência: x 0 e y 0 • preparação do sistema:
x x log10 x log10 y log10 2 ⇒ log10 log10 2 ⇒ 2 ⇒ x 2y y y xy xy 2 4 16 ⇒ 4 4 ⇒xy2 x 2 y • resolvendo o sistema: ⇒ 2y y 2 ⇒ y 2 x y 2 x 2y ⇒ x 2(2) ⇒ x 4 • verificação: x 4 0 e y 2 0 S {(4, 2)}
280
Matemática
Exercícios propostos 72. Resolva os sistemas de equações: log x log10 y 2 b) 10 x y 20
log x log10 y log10 3 a) 10 x 2 y 15
x y 70 . Calcule o valor de x2 1 y2. log10 x log10 y 3
73. Sejam x, y ® tal que
4. Inequações logarítmicas Observe as inequações: • log2 (x 1 1) log2 6 • log 1 x 5 • log x 1 log 3 log 2x 2
Esses são alguns exemplos de inequações logarítmicas. Para resolvê-las, usamos várias informações já obtidas sobre logaritmos e função logarítmica. Vamos recordar: • A função f(x) 5 loga x é crescente quando a 1. Nesse caso, conserva-se o sentido da desigualdade. Por exemplo: para x 0, temos log 7 x log 7 3 ⇔ x 3. 4
4
• A função f(x) 5 loga x é decrescente quando 0 a 1. Nesse caso, troca-se o sentido da desigualdade. Por exemplo: para x 0, temos log 3 x log 3 3 ⇔ x 3. 5
5
Vejamos alguns exemplos de resolução de inequações logarítmicas: 1‚) Vamos resolver as inequações:
a) log2 (x 1 1) log2 6 • condição de existência: x 1 1 0 ⇒ x 1 I
• base a 2 (a 1) → mantém-se o sentido da desigualdade: log2 (x 1 1) log2 6 ⇒ x 1 1 6 ⇒ x 5 II
• quadro de resolução (as condições I e II devem ser satisfeitas simultaneamente): 1
I
II
5
S
S {x ® | x 5}
b) log3 x 1 log3 (x 8) 2
• condição de existência: x 0 e x 8 0 ⇒ x 0 e x 8 ⇒ x 8 I Como 2 log3 32, a inequação pode ser escrita assim: log3 x 1 log3 (x 8) log3 9.
5
• base a 3 (a 1) → mantém-se o sentido da desigualdade: log3 x 1 log3 (x 8) log3 9 ⇒ log3 [x(x 8)] log3 9 ⇒ x(x 8) 9 ⇒ x2 8x 9 0 100 x 9 e x 1
1
x
9
21 x 9 II
Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
281
• quadro de resolução:
8
I II
9
1
S
8
9
S {x ® | 8 x 9}
c) log49 2x log49 3 log7 x 1 log49 2 • condição de existência: 2x 0 e x 0 ⇒ x 0 Para que todos os logaritmos tenham a mesma base, podemos substituir log7 x por log49 x2. A inequação fica assim: 2x 2x log49 (2x2) ⇒ 2x2 ⇒ 6x2 2x 0 log49 2x log49 3 log49 x2 1 log49 2 ⇒ log49 3 3 1 x 0 e x 3
0
• verificação: x 0 e 0 x
1 S x ® | 0 x 3
Para refletir
x
1 3
Construa o quadro de resolução para confirmar a resposta.
1 1 ⇒0x 3 3
log2 x 2 2‚) Vamos resolver o sistema log ( x 1) 1. 21
• condição de existência: x 0 e x 1 0 ⇒ x 1 I
• log2 x 2 ⇒ log2 x log2 4 ⇒ x 4 II
• log 1 (x 1) 1 ⇒ log 1 (x 1) log 1 2 ⇒ x 1 2 ⇒ x 3 III 2
2
2
• quadro de resolução: I
1 4
II III S
S {x ® | 3 x 4}
3 3
4
Exercícios propostos 75. Determine os valores reais de x que satisfazem:
74. Resolva: a) log 1 (3 x) log 1 2 log 1 x 2
2
b) log 1 (x 2 1) > log3 4 3
c) logx 2 log5 2 d) log3 (log2 x) 0 e) log 1 (log2 x) 0 3
282
2
a) 2
log10 ( x 4 )
1
b) |log10 x| 1 c) log 1 (x2 2x) 1 3
76. Atividade em dupla
(Mack-SP) Quais os valores reais de x que verificam a equação log 1 (x2 2 8) > 0? 2
Matemática
Aplicações da resolução de inequações logarítmicas Exemplos:
1‚) Vamos calcular para que valores reais de x é definida a função f(x) log10 log 1 ( x 2 x 1) , ou seja, vamos 3 explicitar o domínio de f.
Para que esta função seja definida, é necessário que log 1 (x2 x 1 1) 0.
Então, devemos resolver essa inequação.
Como 0 log 1 1, a inequação pode ser escrita assim: log 1 (x2 x 1 1) log 1 1
• condições de existência: x2 x 1 1 0
3
3
3
3
3 (não tem zeros reais) x
Como a 0 e 0, a condição se verifica para todo x real. I 1 (0 a 1) → troca-se o sentido da desigualdade: 3 x2 x 1 1 1 ⇒ x2 x 0 1 x 1 e x 0 • base a
0 x 1 II
• quadro de resolução:
1
I II
0
S
x
0
1 0
1
Logo, S D(f ) {x ® | 0 x 1}.
2‚) Vamos determinar os valores de k para que a equação x2 2x 1 log10 (k 2) 0 admita raízes reais diferentes. Para que a equação admita raízes reais diferentes, devemos ter 0, ou seja:
(2)2 4(1) ? log10 (k 2) 0 ⇒ 4 4 ? log10 (k 2) 0 ⇒ 4 ? log10 (k 2) 4 ⇒ ⇒ 4 ? log10 (k 2) 4 ⇒ log10 (k 2) 1
Portanto, temos de resolver a inequação: log10 (k 2) 1 ou log10 (k 2) log10 10
• condição de existência: k 2 0 ⇒ k 2 I • base a 10 (a 1) → mantém-se o sentido da desigualdade: k 2 10 ⇒ k 12 II • quadro de resolução: 2 I
II S
S {k ® | 2 k 12}
Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
12 2
12
283
Exercícios propostos 77. Para que valores reais de x é definida a função
79. Determine os valores de k para que a equação x2 2x 1 log10 (k2 3k) 0 admita raízes reais e diferentes.
f(x) log10 log 1 ( x 1 1) ? 3
78. (Faap-SP) Determine os valores de a para que a equação x 2 2x 2 log10 a 5 0 admita raízes reais. 2
80. Explicite o domínio da função f ( x )
1
log8 x log2 5
.
5. Outras aplicações da função logarítmica e dos logaritmos ATENÇÃO! AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC., NÃO ESCREVA NO LIVRO. TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.
Resolva os exercícios 81 a 86 em equipe.
81. (Unifor-CE) O número de bactérias numa certa cultura duplica a cada hora. Se, num determinado instante, a cultura tem mil bactérias, daí a quanto tempo, aproximadamente, a cultura terá um milhão de bactérias? Considerar log 2 5 0,3. a) 2 horas b) 3 horas c) 5 horas d) 10 horas e) 100 horas
82. (Mack-SP) O volume de um líquido volátil diminui 20% por hora. Após um tempo t, seu volume se reduz à metade. O valor que mais se aproxima de t é: (Use log 2 5 0,30.) a) 2 h e 30 min. d) 3 h e 24 min. b) 2 h. e) 4 h. c) 3 h.
83. (Vunesp) Os biólogos dizem que há uma alometria entre duas variáveis, x e y, quando é possível determinar duas constantes, c e k, de maneira que y 5 cxk. Nos casos de alometria, pode ser conveniente determinar c e k por meio de dados experimentais. Consideremos uma experiência hipotética na qual se obtiveram os dados da tabela: x
y
2
16
20
40
Supondo que haja uma relação de alometria entre x e y e considerando log10 2 5 0,301, determine o valor de k.
284
84. (FGV-SP) O anúncio de certo produto aparece diariamente num certo horário na televisão. Após t dias do início da exposição (t exposições diárias), o número de pessoas (y) que fica conhecendo o produto é dado por y 5 3 2 3(0,95)t, em que y é dado em milhões de pessoas. a) Para que valores de t teremos pelo menos 1,2 milhão de pessoas conhecendo o produto? b) Faça o gráfico de y em função de t.
85. (Cesgranrio-RJ) As indicações R1 e R2, na escala Richter,
de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula M1 R1 2 R2 5 log10 [ ] , em que M1 e M2 medem a M2 energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondente a R1 5 8 e outro M correspondente a R2 5 6. A razão 1 é: M2 4 4 e) log10 [ ] . a) 2. c) . 3 3 d) 102. b) log2 10.
86. (Unir-RO) A quantidade de madeira em uma floresta jovem aumenta, anualmente, segundo a função f(t) 5 aqt (a . 0, q . 0, q 1) em que a representa a quantidade inicial de madeira, q o fator de crescimento e t o número de anos. Assinale a expressão que representa o número de anos necessários para que a quantidade de madeira seja igual a b. b a) logq a
d)
log b b) log a ? log q
a log2 b e) log2 q
c)
log q b log a
log b 1 log a log q Matemática
A MATEMÁTICA E AS PRÁTICAS SOCIAIS
Destruição causada numa rua da cidade de Valdívia pelo Grande Terremoto do Chile, 1960.
National Oceanic and atmospheric Administration/Arquivo da Editora
bettmann/corbis/latinstock
Terremotos
Ocorrência de tsunami * desde Valdívia ao largo do oceano Pacífico.
Sismo, ou terremoto, é um fenômeno de vibração brusca e passageira da superfície da Terra resultante de movimentos subterrâneos de placas rochosas, de atividade vulcânica, ou de deslocamentos de gases no interior da Terra, principalmente metano. O movimento é causado pela liberação rápida de grandes quantidades de energia sob a forma de ondas sísmicas. A maior parte dos terremotos ocorre nas fronteiras entre placas tectônicas, ou em falhas entre dois blocos rochosos. O comprimento de uma falha pode variar de alguns centímetros até milhares de quilômetros, como é o caso da falha de Santo André na Califórnia, Estados Unidos. Só nos Estados Unidos, ocorrem de 12 mil a 14 mil terremotos anualmente (ou seja, aproximadamente 35 por dia). De acordo com registros históricos de longo prazo, aproximadamente 18 grandes terremotos (de 7,0 a 7,9 na escala Richter) e um terremoto gigante (8 ou acima) podem ser esperados num ano. O maior terremoto já registrado foi o Grande Terremoto do Chile, em 1960, que atingiu 9,5 na escala Richter, seguido pelo da Indonésia em 2004, que atingiu 9,3 na mesma escala. A escala Richter foi desenvolvida em 1935 pelos sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutenberg. Ambos estudavam sismos no sul da Califórnia, utilizando um equipamento específico 2 o sismógrafo Wood-Anderson. Após recolher dados de inúmeras ondas sísmicas liberadas por terremotos, eles criaram um sistema para calcular as magnitudes dessas ondas. No princípio, essa escala destinava-se a medir unicamente os tremores que ocorriam na Califórnia. A escala Richter corresponde ao logaritmo da medida da amplitude das ondas sísmicas a 100 km do epicentro. A intensidade I de um terremoto é um número que varia de I = 0 até I = 9,5 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: E 2 I= log10 3 E0 onde E é a energia liberada em quilowatt-hora e E0 = 7 ? 1023 kWh. Fonte: Adaptado de http://pt.wikipedia.org/wiki/Terremotos. Acesso em 3/8/2009. * Tsunami é uma onda gigante com alto poder destrutivo quando chega à região costeira.
Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
285
CALCULANDO E COMPREENDENDO MELHOR O TEXTO 1. Qual a energia liberada em um terremoto de intensidade 8 na escala Richter? 2. Imagine que uma residência simples tenha o consumo médio mensal de energia elétrica de 100 kWh. Se fosse possível captar toda a energia liberada em um terremoto de intensidade 8 na escala Richter, qual seria o número de residências do tipo descrito que poderiam ser abastecidas com energia elétrica durante um mês?
3. Um abalo de médio porte foi sentido pela população do Rio Grande do Norte em 13 de setembro de 2007. Esse abalo, superior a 3 pontos na escala Richter, foi detectado pelos equipamentos de sistemologia da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN). Qual foi a energia liberada por ele?
4. No dia 6 de junho de 2000, um terremoto atingiu a cidade de Ancara, na Turquia, com liberação aproximada de STR/Agence France-Presse
7 ? 106 kWh. Qual a intensidade desse terremoto na escala Richter?
AMPLIANDO O CONTEÚDO MATEMÁTICO 5. No Brasil, a unidade mais usada para medir ruídos é o decibel (dB), que equivale a um décimo do bel. O decibel é uma homenagem a Graham Bell, o inventor do telefone. Sessenta dB é a intensidade do som de uma conversa, e 140 dB, a de um avião a jato. A escala que mede a intensidade ou volume do som é uma escala logarítmica. A escala de um aparelho para medir ruídos é definida da seguinte forma: R = 12 1 log10 (I), onde R é a medida do ruído em bel e I é a intensidade sonora em W/m2. Qual seria a medida em decibéis de um trombone de intensidade sonora I = 1022 W/m2?
6. Sabendo que o nível máximo de ruído que a orelha humana pode suportar sem sofrer danos é de 120 dB, qual é a intensidade sonora equivalente em W/m2 que podemos suportar sem termos a saúde prejudicada?
PESQUISANDO E DISCUTINDO 7. Pesquise e discuta com seus colegas se pode existir alguma relação entre terremoto e tsunami. 8. Pesquise e discuta com seus colegas sobre a poluição sonora e os efeitos negativos dela à saúde humana.
VEJA MAIS SOBRE O ASSUNTO Procure mais informações em jornais, revistas e nos sites www.unb.br/ig/sis/terremo.htm, http://ciencia.hsw.uol.com. br/terremotos.htm e www.unb.br/ig/glossario/verbete/tsunami.htm.
286
Matemática
>Atividades adicionais 5. (UFPA) Um professor de Matemática propôs o seguin-
ATENÇÃO! AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC., NÃO ESCREVA NO LIVRO. TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.
A seguir, separadas por regiões geográficas, relacionamos algumas questões de vestibular que envolvem o conteúdo deste capítulo.
Região Norte 1. (Ufam) Considere as funções f(x) 5 log3 (9x2) e
1 ] , definidas para todo x 0. Então, x 1 1 f(x) 1 g(x) é igual a: a) 1 1 log3 x. d) 1 2 log3 x. b) 3 1 log3 x. e) 3 log3 x. c) 3 2 log3 x. g(x) 5 log3 [
1
2. (Ufam) Considere a equação em x, ax21 5 b x , onde a e
b são números reais positivos, tais que n b 5 6 n a . 0 (,n 5 logaritmo natural). A soma das soluções da equação é: a) 3. d) 26. b) 22. e) 6. c) 1.
3. (Uepa) Os carnavais fora de época conseguem reunir uma grande quantidade de pessoas que se divertem ao som dos famosos Trios Elétricos. Os frequentadores desses eventos ficam submetidos a uma excessiva exposição sonora, que pode causar dores e lesões auditivas. A expressão utilizada para medir o Nível de Intensidade Sonora (NIS), em decibel, é dada por l NIS510 log10 [ ] onde I é intensidade de energia l0 qualquer e I0 é a intensidade de energia limiar de audição. A nocividade auditiva começa a partir de 80 dB. Se num desses eventos descritos acima a intensidade de energia for quadruplicada, o Nível de Intensidade Sonora será: (Dado: log 4 5 0,6.) a) oito vezes maior. d) aumentado em 6 dB. b) dezesseis vezes maior. e) aumentado em 16 dB. c) aumentado em 8 dB.
4. (Uepa) Por volta dos anos 80, durante a implantação do projeto Proálcool, uma montadora estimou que sua produção de carros a álcool teria um crescimento anual de acordo com a expressão P(t) 5 105 ? log3 (t 1 1), onde P é a quantidade produzida e t o número de anos. Dessa forma, daqui a 8 anos a produção estimada será de: a) 200 000 carros. d) 250 000 carros. b) 220 000 carros. e) 300 000 carros. c) 232 000 carros. Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
te problema aos seus alunos: Determine o valor preciso da seguinte expressão, em que os logaritmos são todos calculados na base 10 (logaritmos decimais): 1 2 3 4 x 5 log [ ] 1 log [ ] 1 log [ ] 1 log [ ] 1 2 3 4 5 1 log [
5 6 7 8 9 ] 1 log [ ] 1 log [ ] 1 log [ ]1 log [ ] 6 7 8 9 10
Os alunos que resolveram corretamente esta questão concluíram que: 1 d) x 5 22. a) x 5 2 . 2 b) x 5 1. e) x 5 21. c) x 5 2.
6. (Ufac) A função f(x)5log x 1 x, x . 0, possui algumas 2
propriedades. Uma delas é: a) f(1) 5 1. b) para x . 1, f(x) . 0. c) para 0 , x , 1, f(x) , 0. d) f é uma função crescente. e) a equação f(x) 5 0 tem uma única solução, a saber, x 5 1.
7. (Unir-RO) Considere as funções f e g dadas por
x , x11 para todo x natural diferente de 0. O valor de x que torna verdadeira a igualdade f(x)5 f(g(1)) 1 f(g(2)) 1 f(g(3)) 1 f(g(4)) 1 ??? 1 f(x) 5 log x, para todo x real positivo e g(x) 5
1 f(g(98)) 1 f(g(99)) é: a) 1023. b) 1024. c) 1022.
d) 1025. e) 1021.
Região Nordeste 8. (UFC-CE) Calcule o valor de [5 log10 (5 log10 100)]2. 9. (UFC-CE) Se log7 875 5 a, então log35 245 é igual a: a12 . a17 a12 b) . a15 a15 c) . a12 a)
a17 . a12 a15 e) . a17 d)
10. (UFC-CE) Suponha que o nível sonoro b e a intensidade de I de um som estejam relacionados pela equação b 5 120 1 10 ? log10 I, em que b é medido em decibéis e I em watts por metros quadrados. Seja I1 a intensidade sonora de 80 decibéis em um cruzamento de duas avenidas movimentadas e I2 a intensidade correspondente ao nível sonoro de 60 decibéis do interior de um auto-
287
móvel com ar-condicionado. A razão a)
l1 é igual a: l2
1 . b) 1. c) 10. d) 100. e) 1 000. 10
11. (Ufal) Considere que uma determinada xícara de café
contém cerca de 100 mg de cafeína. O nível Q de cafeí na no corpo decresce a uma taxa de 19% por hora, a partir do instante em que o café foi tomado.
0-0) Ao fim de t horas, a quantidade de cafeína restante no organismo é tal que Q(t) 5 2100 ? (1,19)t. 1-1) A função Q(t) é crescente se 0 , t , 1, e decrescente se t 1, t em horas. 2-2) Depois de 2 horas, a quantidade de cafeína remanescente no corpo é 65,61 mg. 3-3) O tempo para que o nível de cafeína no corpo atinja 72,9 mg é de 1 hora e meia. 4-4) Se log 2 5 0,30 e log 9 5 0,95, então a meia-vida da cafeína no corpo é de 3 horas.
12. (UFS-SE) O dono de uma concessionária de automó-
veis usa a expressão V(t) 5 40 000 ? (0,96)t para calcular, em reais, o valor de um certo tipo de automóvel após t anos de uso. Use essa informação e, quando necessário, log 2 5 0,30 e log 3 5 0,48, para responder se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas. 0-0) Após 2 anos de uso esse tipo de automóvel estará valendo R$ 35 864,00. 1-1) Anualmente esse tipo de automóvel sofre uma desvalorização percentual de 4%. 2-2) O valor atual desse tipo de automóvel é R$ 38 400,00. 3-3) Uma expressão de t em função de V(t) é t 5 230 2 50 ? log V(t). 4-4) Para o cálculo do valor de um automóvel de outra marca, é usada a expressão V(t) 5 50 000 ? (0,9)t. Usando logaritmos, o dono da concessionária concluiu que os dois veículos estarão valendo a mesma quantia após 5 anos de uso.
13. (UFRN) Se log5 x 1 log5 y 5 3, com x e y inteiros maiores que 1, então: a) x ? y 5 15. b) x 1 y 5 20.
c) x ? y 5 25. d) x 5 y 5 30.
14. (UFC-CE) Sejam x e y os números reais positivos que satisfazem o sistema de equações log 3 x log 1 y 3 log3 2
3
log3 x log3 y 3 log 3 2
.
Assinale a alternativa na qual consta o valor numérico de x 1 y. a) 12 d) 30 b) 18 e) 36 c) 24
288
Região Centro-Oeste 15. (UnB-DF) A disseminação de uma doença infecciosa em uma determinada população de 30 000 frangos em uma granja pode ser descrita pela equação 11 480 P(t)5 , em que t é o número de dias decorri11342t dos desde a detecção da doença, que é definido como o momento do aparecimento dos primeiros casos (t 5 0) e P(t) é a quantidade total de frangos infectados após t dias. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 1) A quantidade de frangos infectados no momento em que a doença foi detectada é superior a 150. 2) Caso a doença não seja controlada, toda a população de frangos da granja será infectada. 3) 4 100 frangos serão infectados decorridos 2 1 log3 5 dias do momento da detecção da doença. 4) O número de frangos infectados somente no terceiro dia é inferior a 1 200.
16. (UnB-DF) Julgue a afirmativa abaixo: Existe um único número real x0 . 0 que é solução da equação 2 log10 x 5 log10 (2x 2 8) 1 log10 (x 1 3).
17. (UEG-GO) Em uma pesquisa, após n meses da constatação da existência de uma epidemia, o número de 40 000 pessoas por ela atingidas era f(n) . Nes2 1 15 ? 422n tas condições, o tempo para que a epidemia atinja pelo menos 4 000 pessoas é de aproximadamente: (Dados: log 2 5 0,3 e log 3 5 0,48.) a) 9 dias. b) 8 dias. c) 7 dias. d) 5 dias.
18. (UFMT) O quadro abaixo apresenta o valor do logaritmo de 2 e 3 nas bases 2, 3 e 6. Base do logaritmo Logaritmando
2
3
6
2
a
b
c
3
d
e
f
A partir dessas informações, é correto afirmar que: 1 1 21. d) d 5 12 . a) d 5 c c f e) b 5 b) a 5 2e. . c b . c) c 5 f
19. (Unemat-MT) Os biólogos consideram que, ao chegar a 100 indivíduos, a extinção da espécie animal é inevitável. A população de determinada espécie animal ameaçada de extinção diminui segundo a função f(t) 5 kat, na qual k e a são números reais e f(t) indica o número de indivíduos dessa espécie no instante t (em anos). Atualmente (instante t 5 0) existe 1 500 indivíduos da esMatemática
pécie e estima-se que, daqui a 10 anos, haverá 750. Caso nenhuma providência seja tomada, mantido tal decrescimento exponencial, daqui a quantos anos será atingido o nível de população que os biólogos consideram irreversível para a extinção? Para os cálculos utilize, se necessário, alguns dos valores da tabela abaixo: n
2
3
7
10
log n
0,30
0,47
0,85
1
a) 25 b) 40 c) 30
d) 15 e) 39
20. (UFG-GO) A lei de resfriamento de Newton estabelece
para dois corpos, A e B, com temperatura inicial de 80 °C e 160 °C, respectivamente, imersos num meio com temperatura constante de 30 °C, que as temperaturas dos corpos, após um tempo t, serão dadas pelas funções TA 5 30 1 50 ? 102kt e TB 5 30 1 130 ? 1022kt, onde k é uma constante. Qual será o tempo decorrido até que os corpos tenham temperaturas iguais? 1 2 5 a) log 5 d) log k k 2 2 18 1 2 b) log e) log k 5 k 5 1 13 c) log k 5
21. (UFMS) Resolvendo, no conjunto dos reais, a equação exponencial dada por 23x ? 34x 5 0,012 e considerando, se necessário, que log 2 5 0,30 e log 3 5 0,47 (onde log 2 e log 3 são, respectivamente, os logaritmos de 2 e 3 na base 10), temos que o valor de x encontrado é tal que: 3 5 3 a) 2 , x , 2 . d) x . 2 . 4 7 5 5 2 3 b) 2 , x , 2 . e) x , 2 . 7 3 4 2 3 c) 2 , x , 2 . 3 5
b) Qual a população do país? c) Após quanto tempo 80% da população estava ciente do plano? (Dados do problema: n 3 5 1,09; n 2 5 0,69.)
23. (Vunesp) O corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22 horas. Às 22h 30min o médico da polícia chegou e imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de 32,5°. Uma hora mais tarde, tomou a temperatura outra vez e encontrou 31,5°; a temperatura do ambiente foi mantida constante a 16,5°. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva seja 36,5 °C e suponha que a lei matemática que descreve o resfriamento do corpo é dada por D(t) 5 D0 ? 2(22at) em que t é o tempo em horas, D0 é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente no instante t 5 0, D(t) é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente num instante t qualquer e a é uma constante positiva. Os dados obtidos pelo médico foram colocados na tabela seguinte: Hora
Temperatura Temperatura Diferença de do corpo (°C) do quarto (°C) temperatura (°C)
t5?
morte
36,5
16,5
D(t) 5 20
t50
22h 30min
32,5
16,5
D(0) 5 D0 5 16
t51
23h 30min
31,5
16,5
D(1) 5 15
Considerando os valores aproximados log2 5 5 2,3 e log2 3 5 1,6, determine: a) a constante a; b) a hora em que a pessoa morreu.
24. (Fuvest-SP) Se x é um número real, x . 2 e
log2 (x 2 2) 2 log4 x 5 1, então o valor de x é: a) 4 2 3 .
d) 4 1 2 3 .
b) 4 3 .
e) 2 1 4 3 .
c) 2 1 2 3 .
25. (Ufes) A figura abaixo representa melhor o gráfico da
Região Sudeste 22. (FGV-SP) Em um certo país com população A (em milhões de habitantes), é noticiada pela tevê a implantação de um novo plano econômico pelo governo. O número de pessoas que já sabiam da notícia após t 0 A hora é dado por f ( t ) . Sabe-se também A
função: y
t
1 4 e 2 que, decorrida 1 hora da divulgação do plano, 50% da população já estava ciente da notícia. a) Qual a porcentagem da população que tomou conhecimento do plano no instante em que foi noticiado? Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
x
289
l
l
a) f1(x) 5 log10(x 1 1) .
l
l (x 1 1)l.
b) f2(x) 5 1 1 log10(x 1 1) .
l
c) f3(x) 5 1 1 log10
d) f4 ( x ) x 0, 9 . e) f5 ( x ) 1
x 0, 9 .
26. (Ufscar-SP) Em notação científica, um número é escrito na forma a ? 10b, sendo a um número real tal que 1 a , 10 e b um número inteiro. Considerando log 2 5 0,3, o número 2255, escrito em notação científica, terá a igual a:
a)
2.
30. (PUC-RS) A equação 3x 5 6 pode ser solucionada por meio da análise do gráfico da função f dada por: a) f(x) 5 2x.
d) 1,2.
b) f(x) 5 3x.
e) 1,1.
c) f ( x ) 3 x .
Região Sul 27. (UPF-RS) Sabendo-se que 5y 5 2, pode-se concluir que log2 10 000 é igual a: a) 3y. b) 3y. c) 3 1 y. d)
3(11y) . y
e)
y . 31y
28. (Udesc) Se loga b 5 3 e logab c 5 4, então loga c é: a) 12. b) 16. c) 24. d) 8. e) 6.
29. (Ufpel-RS) No Brasil, as leis de trânsito consideram que o limite de álcool no sangue permitido para dirigir com segurança (LP) é 0,6 grama de álcool por litro de sangue, embora especialistas entendam que esse número devesse ser menor. A melhor forma de curar uma bebedeira é esperar o tempo passar, pois a medida que o tempo passa, tende a diminuir o estado de embriaguez. Um modelo matemático que serve para estimar o tempo de desaceleração do nível de álcool LP no sangue é dado por t 5 log0,5 [ ], em que t é o NA tempo em horas e NA é o nível de álcool no sangue em grama/litro.
290
http://www.agenciabrasil.gov.br. Acesso em 19/10/2007 (adaptado).
10 .
b) 3 . c)
Utilizando log 2 5 0,3 e considerando que, depois de tomar 7 latas de cerveja, o nível de álcool no sangue de uma pessoa tenha atingido 1,5 grama/litro, é correto afirmar que, segundo a lei brasileira de trânsito, ela só poderá dirigir com segurança, após ter passado, no mínimo: a) 1 h. b) 1 h 20 min. c) 1 h 48 min. d) 1 h 34 min. e) 48 min. f ) I.R.
d) f(x) 5 x3. e) f(x) 5 log3 x.
31. (UFPR) Um método para se estimar a ordem de gran-
deza de um número positivo N é usar uma pequena variação do conceito de notação científica. O método consiste em determinar o valor x que satisfaz a equação 10x 5 N e usar propriedades dos logaritmos para saber o número de casas decimais desse número. Dados log 2 5 0,30 e log 3 5 0,47, use esse método para decidir qual dos números abaixo mais se aproxima de N 5 2120 ? 330. a) 1045 b) 1050 c) 1055 d) 1060 e) 1065
32. (UTFPR) A inequação log (x 1 1) . 2log (x 1 1) tem como solução: a) {x ® | x . 0}. b) {x ® | x , 22 ou x . 0}. c) {x ® | 22 , x , 0}. d) {x ® | x . 21}. e) {x ® | 21 , x , 0}.
33. (UEM-PR) Seja f(x) 5 log2 (2 2 x) 1 log2 x uma função real de variável real. Assinale a alternativa correta. a) O domínio de f é ®* . b) A função inversa de f é dada por f21(x) 5 log22x 2 1 logx 2. c) f(2 2 x) 5 f(x). d) O gráfico de f intercepta o eixo x em x 5 2. e) O gráfico de f intercepta o eixo y em y 5 2.
Matemática
A lei de Weber e as escalas de Fechner A lei de Weber (Ernst Heinrich Weber, 1795-1878, fisiologista alemão) para resposta de seres humanos a estímulos físicos declara que diferenças marcantes na resposta a um estímulo ocorrem para variações da intensidade do estímulo proporcionais ao próprio estímulo. Por exemplo, um homem que sai de um ambiente iluminado para outro só percebe uma variação da luminosidade se esta for superior a 2%; só distingue entre soluções salinas se a variação da salinidade for superior a 25%; etc. Fechner (Gustav Theodor Fechner, 1801-1887, físico e filósofo alemão) propôs um méErnst Heinrich Weber todo de construção de escalas baseado na lei de Weber. Seja i a taxa de variação da intensi- (1795-1878). dade do estímulo que permite discriminação da resposta. Associemos ao estímulo x0 o nível de resposta 0. Então, a cada variação de taxa i no nível do estímulo, aumentamos uma unidade na medida do nível de resposta. Sejam y a resposta e x a intensidade do estímulo. • Temos que x 5 x0(11 i)y. 1 1 e x0 5 • Temos que y 5 a ? log x 1 b, com a 5 b. log(1 1 i)
• O brilho de uma estrela é uma sensação, ou seja, é uma resposta a um estímulo que é a energia luminosa recebida pelo olho. Os astrônomos medem o brilho por intermédio de uma escala de Fechner, m 5 c 2 2,5 ? log10 I, em que m é a medida do brilho, chamada de magnitude aparente, I é a energia luminosa recebida pelo olho e c é uma constante. • Uma escala de Fechner muito conhecida é a escala Richter, que mede a intensidade de terremotos. Ela é definida por R 5 a 1 log10 I, em que R é a intensidade do terremoto (em graus Richter) e I é a energia liberada por ele. • Outra escala de Fechner também muito conhecida é a que mede ruídos, definida por R 5 12 1 log10 I, em que R é a medida do ruído em bels (essa designação é em homenagem a Alexander Graham Bell, 1847-1922, físico escocês e inventor do telefone) e I é a intensidade sonora, medida em watts por metro quadrado. Na realidade, a unidade legal no Brasil é um submúltiplo do bel, o decibel. Gustav Theodor Fechner (1801-1887).
Fonte: Augusto Cesar Morgado e outros. Progressões e Matemática financeira. Rio de Janeiro: SBM, 1993. p. 40-1 passim. (Coleção do Professor de Matemática.)
O logaritmo na era da informática Quando um evento tem probabilidade p de ocorrer, sua ocorrência fornece uma quantidade de informações I 1 dada por uma expressão que envolve logaritmos, que é I 5 log2 , ou seja, 1 bit de informação. p
Vendo o logaritmo natural como área
y y
1 A função f(x) 5 , com x . 0, tem como gráfico a figura ao lado, que é um ramo x de hipérbole:
2
1 x
1 1 2 0
x 1 2
1
2
Se x é real positivo, podemos definir o logaritmo natural de x, isto é, n x, como a área das faixas sombreadas abaixo: y
0
y
1
1 x
y
x
x
0
y
1
1 x
Área 1 2
x e3
n x
área 5 n x Capítulo 8 | Logaritmo e função logarítmica
área 5 n e 5 1
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log(1 1 i)
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>Leituras
capítulo 9
Progressões
fabio colombini/ Acervo do fotógrafo
Ao longo da vida, estamos o tempo todo rodeados de fenômenos da natureza e, se prestarmos atenção, vamos nos surpreender com sua regularidade. Sendo o objeto da Matemática justamente o estudo dessa regularidade, à medida que se constata haver um padrão de compor tamento comum a diferentes situações feno mênicas, a pesquisa é desenvolvida e as des cobertas ampliadas. Assim, esses padrões são transformados em representações numéricas, que são a expressão da Matemática. Observe, por exemplo, o formato das flores, a quantidade de pétalas que elas contêm, o desenho que aparece nas frutas quando são cortadas transversal ou longitudinalmente, ou os gomos da casca do abacaxi — elementos da natureza que estão à nossa volta. Você perceberá, no mínimo, que há uma disposição tão perfeitamente simétrica que não conseguirá ficar indiferente.
O padrão de distribuição das folhas ao longo do caule das plantas é chamado filotaxia. De acordo com esse padrão, os ramos e as folhas das plantas distribuem-se buscando sempre receber o máximo de luz. Essa distribuição é um dos inúmeros fenômenos que apresentam o padrão, já citado na abertura do capítulo 2, conhecido como sequência de Fibonacci. Fibonacci é o nome pelo qual o matemático Leonardo Pisano (ou Leonardo de Pisa) ficou conhecido. Nascido em Pisa (famosa por sua torre inclinada, na Itália) viveu na Idade Média (1170-1250) e contribuiu para o desenvolvimento da Matemática com diversas pesquisas, como a sistematização dos algarismos arábicos em substi tuição à numeração romana, a publicação do Liber Abaci (Livro do Ábaco) e a descoberta da se quência referida acima. Outros exemplos de fenômenos da natureza que apresentam os números dessa sequência são: o crescimento das plantas, as ondas do oceano, as espirais das galáxias, as carapaças de caracóis, os chifres dos animais e o número de descendentes numa família de coelhos. A sequência de Fibonacci, que você já viu no exercício 1 da abertura do capítulo 2, consiste em
O número de espiras em numerosas flores e frutos se ajusta a pares consecutivos de termos da sequência de Fibonacci. Os girassóis têm 55 espiras em um sentido e 89 em outro, ou 89 e 144. As margaridas apresentam as sementes em forma de 21 e 34 espiras.
292
Matemática
uma sequência de números que começa por 1 e 1, sendo, daí por diante, cada número determinado pela soma dos dois anteriores: 1
1
2
3
89
5 144
8
13
233
21
34
55
377 ...
Em símbolos matemáticos, usando, agora, a notação de função, essa sequência pode ser expressa 1, se n 1 por F(n) . F(n 1) F(n 2), se n 2 ATENÇÃO!
As sequências numéricas podem se apresentar por meio de leis de formação diferentes, e muitas delas são tão familiares ao nosso raciocínio que intuitivamente as determinamos. Tente, por exemplo, continuar as seguintes sequências, sem que sejam informadas suas leis: (0, 2, 4, 6, 8, 10, ...), (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...), (2, 4, 8, 16, 32, 64, ...), (2, 6, 18, 54, 162, ...). Você vai perceber que nem era necessário indicar tantos termos assim. Essas sequências recebem a denominação de progressão aritmética (no caso das duas primeiras) e progressão geométrica (as duas últimas); elas serão estudadas neste capítulo.
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
>Atividades 1. Observe as sequências apresentadas no antepe- 3. Existem sequências numéricas cujos termos podem núltimo parágrafo (progressões aritmética e geométrica) e associe cada uma delas à sua denominação, conforme o texto. Explique qual a diferença de comportamento entre os dois “tipos” de sequência (essa diferença transparece na própria denominação).
ser representados por figuras e são conhecidos por números figurados. Observe a sequência de figuras abaixo (sequência de números triangulares):
2. Sabemos que as razões entre dois termos conse-
cutivos da sequência de Fibonacci, do maior para o menor, a partir do quinto termo, se aproximam de um valor conhecido como número de ouro, indicado pela letra grega f. a) Calcule pelo menos seis dessas razões, com três casas decimais (pois esse número é, como vimos, irracional), observando o número para o qual elas tendem, que é f. b) Determine as seguintes potências de f: do expoente 2 4 até 4, passando por todos os números inteiros desse intervalo. c) A sequência formada pelas potências de f é chamada série de ouro. Escreva seus termos, encontrados no item b. Explique como você pode obter cada termo dessa sequência a partir do termo que o antecede. d) Compare a lei de formação da série de ouro com a da sequência de Fibonacci. O que se pode concluir?
Capítulo 9 | Progressões
e assim por diante a) Que tipo de triângulo aparece nessa sequência de figuras? b) Escreva a sequência numérica de números triangulares representada acima e encontre a regra de formação dela. c) Represente os números triangulares por outro tipo de arranjo triangular. Que tipo de triângulo você usou? d) Represente com figuras os números naturais quadrados perfeitos de 1 a 64. Existe algum número triangular diferente de 1 que também aparece na sequência de números quadrados? e) Escolha um número quadrado e expresse-o como soma de dois números triangulares con secutivos.
293
christof koepsel/bongarts/Getty imagesstaff
1. Introdução 1·) Um corpo caindo livremente (despre zando-se a resistência do ar) tem, no fi nal do primeiro segundo, velocidade de 9,8 m/s; velocidade de 19,6 m/s no final do segundo seguinte; de 29,4 m/s no final do terceiro segundo; e assim por diante. Continuando nesse ritmo, qual será sua velocidade no final do décimo segundo?
eduardo santaliestra/ Arquivo da editora
Examine estas duas situações:
2·) Ao lançarmos uma moeda, temos dois resultados pos síveis: cara ou coroa. Se lançarmos duas moedas dife rentes, por exemplo, uma de R$ 0,10 e outra de R$ 0,50, teremos quatro possibilidades: (cara, cara), (cara, coroa), (coroa, coroa) ou (coroa, cara). Se lançarmos três moe das diferentes, serão oito os resultados possíveis. E assim por diante. Brasil 3 Japão, 22/5/2005, em Colônia, na Alemanha. A relação entre o número de moedas e o número de resultados é mostrada na tabela: Número de moedas
Número de resultados
1
2
2
4
3
8
4
16
5
32
:
:
Para refletir Vemos que 2 21; 4 22; 8 23; 16 24; 32 25; etc. Explicite os oito reEntão, se n é o número de moedas, o número de resultados é dado por 2n. sultados no caso de Nesse caso, temos uma sequência: (2, 4, 8, 16, 32, …). três moedas. Qual é o total de resultados se lançarmos 8 moedas? Neste capítulo estudaremos sequências e, em particular, as sequências chamadas de progressão aritmética e de progressão geométrica já mencionadas no capítulo 3. Com esses conceitos poderemos resolver situações como as exemplificadas e outras envolvendo sequências.
2. Sequências Em muitas situações da vida diária aparece a ideia de sequência ou sucessão. Assim, por exemplo, temos: • a sequência dos dias da semana (domingo, segunda, …, sábado); • a sequência dos meses do ano (janeiro, fevereiro, …, dezembro); • a sequência dos números naturais (0, 1, 2, 3, 4, …); • a sequência dos anos, a partir de 1990, nos quais a Copa do Mundo de Futebol é realizada (1990, 1994, 1998, 2002, 2006, 2010, …). Em todas essas situações observamos uma certa ordem nos elementos da sequência. Esses elementos são também chamados termos da sequência. Na sequência dos meses do ano, temos: 1‚ termo: janeiro, 2‚ termo: fevereiro, …, 12‚ termo: dezembro.
294
Matemática
Se representarmos o 1‚ termo por a1 (lê-se a índice um, ou a um), o 2‚ termo por a2, o 3‚ por a3, e assim por diante, até o termo de ordem n, ou enésimo termo (an), essa sequência pode ser representada por: (a1, a2, a3, …, an) Neste exemplo, temos: • a1 janeiro • a7 julho • a10 outubro • a12 dezembro
Definição Uma sequência finita de n termos é uma função cujo domínio é o conjunto numérico {1, 2, 3, …, n}. Os números do contradomínio são indicados por a1, a2, a3, …, an. Uma sequência infinita é uma função f cujo domínio é n* {1, 2, 3, …, n, …}, e o contradomínio indicado por {a1, a2, a3, …, an, …}. Assim, f(1) a1, f(2) a2, …, f(n) an, …
Exemplos: 1‚) A sequência dos números ímpares positivos é infinita: (1, 3, 5, 7, 9, …), na qual a1 1, a2 3, a3 5, a4 7, a5 9, etc. 2‚) A sequência dos quatro primeiros múltiplos de 5 é finita: (0, 5, 10, 15). Nesse caso, a1 0, a2 5, a3 10 e a4 15. 3‚) A sequência dos números quadrados perfeitos é infinita: (1, 4, 9, 16, 25, …). 4‚) A sequência do número de dias dos 12 meses de um ano bissexto é finita: (31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31). Esse exemplo mostra ainda que os termos de uma sequência não são necessariamente distintos. 5‚) 17, 12, 7, 2, 3, 8 é uma sequência finita de 6 termos.
Determinação de uma sequência Algumas sequências são dadas por regras ou leis matemáticas chamadas leis de formação, que possibilitam explicitar todos os seus termos. A sequência an 2n 1, n n*, é dada por: • para n 1 ⇒ a1 2 1 1 1;
• para n 2 ⇒ a2 2 2 1 3; • para n 3 ⇒ a3 2 3 1 5; • para n 4 ⇒ a4 2 4 1 7; etc. Portanto, a sequência é (1, 3, 5, 7, …), ou seja, a dos números naturais ímpares.
Exemplos: 1‚) Vamos determinar o termo an, chamado termo geral, na sequência dos números quadrados perfeitos (1, 4, 9, 16, 25, …). an ? Observamos que: • n 1 ⇒ a1 1 12 • n 2 ⇒ a2 4 22 • n 3 ⇒ a3 9 32 • n 4 ⇒ a4 16 42 … • para um n qualquer ⇒ an n2 Logo, an n2 é o termo geral da sequência, com n n*. 2‚) Vamos escrever a sequência definida por:
a1 3 an an 1 2, para n n, n 2
Capítulo 9 | Progressões
295
a1 3 • para n 2 ⇒ a2 a1 1 2 3 1 2 5
Para refletir Essa maneira de definir uma sequência é chamada de recorrência. Por quê?
• para n 3 ⇒ a3 a2 1 2 5 1 2 7 • para n 4 ⇒ a4 a3 1 2 7 1 2 9, etc.
Portanto, a sequência é (3, 5, 7, 9, …), que é a sequência dos números naturais ímpares a partir do 3.
Exercícios propostos
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
1. Escreva as sequências definidas pelos termos gerais a seguir (nos casos em que não aparece o conjunto de variação de n, considera-se n n*): a) an 5n 1 b) an n , com n n* e n 4 3
c) an =
n n 1 1
a 2 a) 1 n an ( 1) an 1 , para n 2 a 0 b) 1 2 an ( an 1 ) 1, para n 2
8. Calcule o 8‚ termo da sequência que tem a1 6 e an an 1 1 3, para n > 2.
n
1 d) an 1 1 , com n n e 1 n 6 n
2. Escreva o termo geral das sequências: a) (1, 2, 3, 4, 5, 6, …) b) (2, 3, 4, 5, 6, …) c) (3, 6, 9, 12, 15, 18, …) d) (2, 5, 8, 11, 14, 17)
3. Complete cada uma das sequências até o 7‚ termo: a) 1, 4, 7, 10, … 3 6 9 12 , , … b) , , 4 7 10 13
9. Observe as figuras abaixo, formadas com palitos.
Agora, copie a tabela no caderno e complete-a com o número de palitos necessários para formar os triângulos: Número de triângulos
Número de palitos
1
3
2
5
c) 2 , 2, 2 2 , 4 , … d) 2 5, 4 10, 8 20, 16 40, …
3 4
4. No exercício anterior, determine o termo geral de
5
ordem k de cada uma das sequências.
:
5. Determine: a) o 10‚ termo da sequência dos números naturais pares; b) o 7‚ termo da sequência cujo termo geral é an 2(n 1).
6. Calcule: a) a soma a2 1 a5 para a sequência cujo termo geral n 1 2 ; é dado por an (1)n n 1 1 b) a soma dos quatro primeiros termos da sequência cujo termo geral é f(n)
1 , com n n*. n2
Para refletir No exercício 6b, a notação f(n) corresponde a an.
7. Determine os cinco primeiros elementos das sequên cias (an), n n*, definidas pelas leis de recorrência a seguir:
296
:
x
Observando que o número de palitos necessários é dado em função do número de triângulos que se quer formar, responda: a) Quantos palitos são necessários para formar 20 triân gulos? b) Quantos palitos são necessários para formar 77 triân gulos? c) Quantos triângulos se podem formar com 41 palitos?
10. Chamamos sequência de Fibonacci à sequência de finida por: a1 a2 1 an an 1 an 2 , para n 3 Calcule os dez primeiros termos dessa sequência.
11. Dada uma sequência em que a1 2 e an an 1 1 5,
com n > 2, quantos dos dez primeiros elementos da sequência são números primos? Matemática
12. Determine o 6‚ termo da sequência a1 4 3 an an 1 , para n 2 2
13. Determine os oito primeiros termos da sequência (an), n n*, definida assim: an 3n 5, para 1 n 3 a3 1 a 2a , para n 3 n 1 n
14. Na sequência definida pelo termo geral an 3 n 1 , com 1 < n < 65, quantos termos são números racionais?
15. Mostre que, para n n*:
a) a sequência cujo termo geral é an (n 1 1)2 (n2 1 2) corresponde à sequência dos números naturais ímpares; b) a sequência cujo termo geral é dado por (n 1)2 (n 1)2 corresponde à sequência 2 dos números naturais pares diferentes de zero.
an
n , n lN. Determine n 1 1
16. Considere a sequência
o 1‚, o 2‚ e o 15‚ termo dessa sequência. (Lembre-se de que, neste caso, o 1‚ termo é a0.)
3. Progressão aritmética (PA) Introdução Encontramos frequentemente grandezas que sofrem variações iguais em intervalos de tempo iguais. Veja, por exemplo, o seguinte problema: Uma empresa produziu, em 2009, 100 000 unidades de certo produto. Quantas unidades produzirá, anualmen te, de 2009 a 2014, se o aumento anual de produção for estabelecido em 20 000 unidades? Esquematizamos o problema da seguinte forma: • produção em 2009 5 100 000 • produção em 2010 (produção em 2009) 1 20 000 100 000 1 20 000 120 000 • produção em 2011 (produção em 2010) 1 20 000 120 000 1 20 000 140 000 • produção em 2012 (produção em 2011) 1 20 000 140 000 1 20 000 160 000 • produção em 2013 (produção em 2012) 1 20 000 160 000 1 20 000 180 000 • produção em 2014 (produção em 2013) 1 20 000 180 000 1 20 000 200 000 Nessas condições, a produção anual nesse período será representada pela sequência: (100 000, 120 000, 140 000, 160 000, 180 000, 200 000) Notamos que, nessa sequência, cada termo, a partir do segundo, é obtido da soma do anterior a um número fixo (20 000, neste caso). Ou seja, a produção sofreu aumentos iguais de 20 000 unidades, em intervalos de tempo iguais de 1 ano. Sequências desse tipo são chamadas de progressões aritméticas. Observe que a diferença entre cada termo e o termo anterior é constante (20 000 unidades nessa sequência). A sequência (100 000, 120 000, 140 000, 160 000, 180 000, 200 000) é um exemplo de progressão aritmética. O aumento de cada termo para o seguinte é sempre o mesmo e é chamado razão da progressão. A razão dessa progressão é 20 000. Dizemos que os termos dessa sequência estão em progressão aritmética.
Definição Progressão aritmética (PA) é toda sequência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada razão da progressão e é representada pela letra r.
Exemplos: 1‚) A sequência (2, 7, 12, 17, …) é uma progressão aritmética infinita de razão 5, em que a1 2 e r 5. Essa é uma PA crescente, pois r 0. Capítulo 9 | Progressões
297
2‚) A sequência (20, 10, 0, 10, 20) é uma PA de cinco termos em que o 1‚ termo é a1 20 e a razão é r 10. Essa é uma PA decrescente, pois r 0. 3‚) A sequência (4, 4, 4) é uma PA de três termos, em que o 1‚ termo é a1 4 e a razão é r 0. Quando r 0, a PA é chamada PA constante ou estacionária. 4‚) A sequência (1, 1, 1, 1, 1, 1, …) não é uma progressão aritmética, pois as diferenças entre termos sucessivos são alternadamente 2 e 2. Observações: 1·) Notamos então que, de modo geral, uma sequência (a1, a2, a3, a4, …, an, …) é uma PA quando: a2 a1 1 r ⇒ a2 a1 r a3 a2 1 r ⇒ a3 a2 r a4 a3 1 r ⇒ a4 a3 r … an an 1 1 r ⇒ an an 1 r Comparando, temos: a2 a1 a3 a2 a4 a3 … an an 1 … r 2·) Da definição decorre que, se ar, as e ap são termos consecutivos de uma PA, então: as ar ap as ⇒ 2as ar 1 ap ⇒ as
ar 1 ap 2
Ou seja, dados três termos consecutivos de uma progressão aritmética, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois.
Representações especiais Eventualmente podemos recorrer a algumas representações especiais de uma PA, principalmente quando a soma dos termos for conhecida. A vantagem das representações especiais é diminuir a quantidade de cálculos exigidos em algumas situações. As principais representações especiais são: • três termos em PA: (x r, x, x 1 r) • quatro termos em PA: (x 3y, x y, x 1 y, x 1 3y) Note que, nesse caso, r 2y. • cinco termos em PA: (x 2r, x r, x, x 1 r, x 1 2r)
Exemplos: 1‚) Vamos verificar se a sequência (6, 13, 20, 27, 34) é uma PA. 13 6 7; 20 13 7; 27 20 7; 34 27 7 Logo, a sequência dada é uma PA de razão r 7. 2‚) Vamos ver se a sequência (x 4y, x 2y, x, x 1 2y), em que x e y são números reais, é ou não uma PA. Se for, vamos determinar a razão. (x 2y) (x 4y) x 2y x 1 4y 2y x (x 2y) x x 1 2y 2y (x 1 2y) x x 1 2y x 2y Logo, a sequência é uma PA de razão r 2y.
7 3
3‚) A sequência 2, , … é uma PA infinita. Vamos determinar a razão e o 3‚ termo dessa PA.
a1 2 7 a2 3 7 7 6 1 r a2 a1 2 3 3 3 3
298
Matemática
7 1 8 a3 a2 1 r 3 3 3 1 8 Logo, r e a3 . 3 3 4‚) Vamos determinar o 4‚ termo da PA (x 3, x 1, …). a1 x 3 a2 x 1 r a2 a1 (x 1) (x 3) x 1 x 1 3 2 a1 a2 a3 a4
1r
1r
1r
Então: a4 a1 1 r 1 r 1 r a1 1 3r (x 3) 1 3 ? 2 x 3 1 6 x 1 3 O 4‚ termo da PA dada é a4 x 1 3.
5‚) Vamos determinar o 8‚ termo de uma PA na qual a3 8 e r 3. a3
a4
1r
a5
1r
a6
1r
a7
1r
a8
1r
a8 a3 1 5r 8 1 5(3) 8 15 7 Logo, o 8‚ termo da PA é a8 7.
6‚) Vamos determinar quatro números em progressão aritmética crescente, sabendo que sua soma é 2 e a soma de seus quadrados é 6. Um artifício para representar progressões aritméticas com um número par de termos é chamar os dois termos centrais de x y e x 1 y, pois assim a razão passa a ser:
( x y ) ( x y ) x y x y 2 y Logo, r 2y. Portanto, a PA é dada por (x 3y, x y, x 1 y, x 1 3y), com as seguintes condições: ( x 3y ) ( x y ) ( x y ) ( x 3y ) 2 2 2 2 2 ( x 3y ) ( x y ) ( x y ) ( x 3y ) 6 Efetuando os cálculos, chegamos a: 4 x 2 2 2 4 x 20 y 6 1 4x 2 ⇒ x 2 2
1 1 1 4x2 1 20y2 6 ⇒ 4 1 20y2 6 ⇒ 1 1 20y2 6 ⇒ 20y2 5 ⇒ y2 ⇒ y 6 2 2 4 Como a PA é crescente, então y é positivo. 1 1 Assim, x e y . Daí, vem: 2 2 x 3y 2; x y 1; x 1 y 0; x 1 3y 1 Portanto, a PA é dada por (2, 1, 0, 1) e sua razão é r 1.
Exercícios propostos 17. Verifique se a sequência dada é uma PA e, se for, dê o valor da razão r. a) (2, 5, 8, 11, 14) b) (15, 10, 5, 0, 5) c) (2, 3, 5, 7) 4 5 d) 1, , , 2 3 3
Capítulo 9 | Progressões
e) (1, 1 1 3 , 1 1 2 3 , 1 1 3 3 ) 1 2 3 f) , , 2 3 4 1 g) a 1, a , a 2 h) (x 5y, x 2y, x 1 y, x 1 4y)
299
18. As sequências abaixo são PAs. Determine a razão de cada uma:
b) o 3‚ termo de uma PA em que o 1‚ termo é a1 2π 1 1 e a razão é r 2π; c) o 6‚ termo de uma PA na qual a2 12 e r 7; d) o 7‚ termo de uma PA na qual a4 25 e r 5;
a) (9, 16, …)
e) (1 2 3 , 1 2 3 , …)
b) (4, 2, …)
x 2 1 2 2 f ) , , … x x
4 c) , 2, … 3
n 1 , … g) 1, 2
20. Sabe-se que três números inteiros estão em PA. Se
d) (x 2y, x 1 y, …)
h) (π, 2π 1, …)
21. Determine cinco números que formam uma PA cres
19. Determine: a) o 4‚ termo de uma PA em que o 1‚ termo é a1 1 e a razão é r
1 , n 0; n
e) o 6‚ termo da PA em que a3
x 1 2 e r 2. 3
esses números têm por soma 24 e por produto 120, calcule os três números. cente, de forma que o produto dos extremos seja 28 e a soma dos outros três seja 24.
22. A soma de quatro números em progressão aritmética é 16 e o produto dos extremos é 7. Determine-os.
Fórmula do termo geral de uma PA Em uma progressão aritmética (a1, a2, a3, …, an, …) de razão r, partindo do 1‚ termo, para avançar um termo basta somar r ao 1‚ termo (a2 a1 1 r); para avançar dois termos basta somar 2r ao 1‚ termo (a3 a1 1 2r); para avançar três termos basta somar 3r ao 1‚ termo (a4 a1 1 3r), e assim por diante. Desse modo encontramos o termo de ordem n, denominado termo geral da PA, que é dado por: an a1 1 (n 1)r (ao passar de a1 para an, avançamos (n 1) termos, ou seja, basta somar (n 1) vezes a razão ao 1‚ termo) Nessa fórmula temos: an termo geral a1 1‚ termo n número de termos (até an) r razão da PA Observações: 1·) Note que a9 a4 1 5r, pois, ao passar de a4 para a9, avançamos cinco termos; a3 a15 12r, pois retrocedemos 12 termos ao passar de a15 para a3; e assim por diante. Agora podemos estender a definição do termo geral para: an ak 1 (n k)r (ao passar de ak para an, avançamos (n k) termos, ou seja, basta somar (n k) vezes a razão ao k‚ termo) 2·) Observe a PA finita (a1, a2, a3, a4). Nela, os termos a2 e a3 são equidistantes dos extremos a1 e a4. Veja: a2 1 a3 a1 1 r 1 a3 a1 1 a3 1 r a1 1 a4 Isso é válido de modo geral e dizemos que, numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Generalizando, temos que am 1 an ak 1 ap , se m 1 n k 1 p. Consequentemente, tomando-se três termos consecutivos (…, ak 1, ak, ak 1 1, …), temos que 2ak ak 1 1 ak 1 1, pois k 1 k k 1 1 k 1 1. Isso significa que o termo central é a média aritmética dos seus vizinhos: ak
ak 1 ak 1 . 2
3·) Algumas vezes é conveniente notar que o 1‚ termo é a0 e não a1, ficando o termo geral da PA dado por an a0 1 nr. Observe isso no seguinte problema: Se o preço de um carro novo é R$ 40 000,00 e esse valor diminui R$ 1 200,00 a cada ano de uso, qual será seu preço com 5 anos de uso?
300
Matemática
Temos uma PA com a0 40 000, razão r 1 200, e queremos determinar a5: a5 a0 1 5r 40 000 1 5(1 200) 40 000 6 000 34 000 Assim, após 5 anos o carro custará R$ 34 000,00.
Exemplos: 1‚) Vamos encontrar o termo geral da PA (5, 9, …). Na PA dada, temos a1 5 e r 9 2 5 5 4. Daí: an a1 1 (n 1)r 5 1 (n 1)4 5 1 4n 4 4n 1 1 Logo, a fórmula do termo geral é an 4n 1 1, n [ n*. 2‚) Vamos determinar o décimo termo da PA (2, 8, 14, ...). a1 5 2; r 5 6; n 5 10 a10 5 a1 1 9r 5 2 1 9 ? 6 5 56 Logo, a10 5 56. 3‚) Em uma progressão aritmética, o décimo termo é 23 e o décimo segundo é 11. Quanto vale o sétimo termo dessa progressão? a12 5 a10 1 2r ⇒ 11 5 23 1 2r ⇒ r 5 7 a7 5 a10 2 3r ⇒ a7 5 23 2 3 ? 7 5 224 Logo, o sétimo termo vale 224. 4‚) Qual é o 1‚ termo de uma PA em que a10 39 e r 4?
a10 39 Dados: r 4 n 10 a10 a1 1 9r ⇒ 39 a1 1 9 4 ⇒ 39 a1 1 36 ⇒ a1 3 Então, a1 3 e a PA é (3, 7, 11, …).
5‚) Numa PA de 14 termos, o 1‚ termo é 2 e o último é 28. Vamos calcular a razão dessa PA.
a1 2 Dados: a14 28 n 14
a14 a1 1 13r ⇒ 28 2 1 13r ⇒ 13r 26 ⇒ r 2 Portanto, r 2 e a PA é (2, 4, 6, 8, …).
6‚) Quantos elementos tem a PA finita (2, 3, …, 43)?
a1 2 Dados: an 43 r 5 an a1 1 (n 1)r ⇒ 43 2 1 (n 1)5 ⇒ 43 2 1 5n 5 ⇒ 5n 50 ⇒ n 10 Logo, a PA dada tem 10 elementos.
7‚) Vamos determinar o valor de x para que os números x2, (x 1 2)2 e (x 1 3)2 sejam, nessa ordem, os três primei ros termos de uma PA. Pelo problema, temos:
a1 x 2 2 a2 ( x 2) 2 a3 ( x 3)
Capítulo 9 | Progressões
301
a1 a3 , temos: 2
Como a2
a2
Resolvendo a equação:
a1 a3 x 2 ( x 3)2 (equação em x) ⇒ ( x 2)2 2 2
x 2 1 x 2 1 6 x 1 9 ⇒ 2x2 1 8x 1 8 x2 1 x2 1 6x 1 9 ⇒ 8x 6x 8 1 9 ⇒ 2 1 ⇒ 2x 1 ⇒ x 2 Verificação: x2 1 4x 1 4
2
2
2
2
2
1 5 7 1 1 1 ⇒ , , 2 , 2 1 2 , 2 1 3 2 2 2
1 25 49 24 PA: , , ; razão: 6 4 4 4 4
1 Portanto, o valor procurado é x . 2
2
8‚) Numa PA crescente, a2 1 a6 20 e a4 1 a9 35. Vamos determinar o 1‚ termo a1 e a razão r dessa PA.
a2 a1 r ⇒ a2 1 a6 (a1 1 r) 1 (a1 1 5r) ⇒ a2 1 a6 2a1 1 6r a6 a1 5r
a4 a1 3r ⇒ a4 1 a9 (a1 1 3r) 1 (a1 1 8r) ⇒ a4 1 a9 2a1 1 11r a9 a1 8r
Pelos dados do problema, vamos resolver o sistema:
2 a 1 6r 20 2a1 6r 20 ⇒ 2 a1 11r 35 2a1 11r 35 5r 15 ⇒ r 3 2a1 1 6(3) 20 ⇒ 2a1 1 18 20 ⇒ 2a1 2 ⇒ a1 1 Logo, a1 1 e r 3. A PA é (1, 4, 7, 10, 13, …).
9‚) Três números estão em PA; o produto deles é 66 e a soma é 18. Vamos calcular os três números. Podemos sempre representar três números em PA por x 2 r, x, x 1 r, em que r é a razão. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
x( x 2 r 2 ) 66 ( x r )x( x r ) 66 ⇒ ( x r) x ( x r ) 18 3x 18
Resolvendo o sistema: 3x 5 18 ⇒ x 5 6
302
66 ⇒ 36 2 r2 5 11 ⇒ r2 5 25 ⇒ r 5 65 6 Então, para x 5 6 e r 5 5, temos: • x 2 r 5 6 2 5 5 1 • x 1 r 5 6 1 5 5 11 6(62 2 r2) 5 66 ⇒ 36 2 r2 5
Para refletir
Para x 5 6 e r 5 25, temos: Quando temos an 5 a1 ? n • x 2 r 5 6 2 (25) 5 11 em uma PA? • x 1 r 5 6 2 5 5 1 Verificação: 1 ? 6 ? 11 5 66 e 1 1 6 1 11 5 18 Portanto, os números procurados são 1, 6 e 11, que estabelecem duas PA: (1, 6, 11) e (11, 6, 1). Matemática
tim-tim por tim-tim
A Anatel determina que as emissoras de rádio FM utilizem as frequências de **10‚) (Unicamp-modificado) 87,9 a 107,9 MHz, e que haja uma diferença de 0,2 MHz entre emissoras com frequências vizinhas. A cada emissora, identificada por sua frequência, é associado um canal, que é um número natural que começa em 200. Desta forma, à emissora cuja frequência é de 87,9 MHz corresponde o canal 200; à seguinte, cuja frequência é de 88,1 MHz, corresponde o canal 201, e assim por diante. Pergunta-se: Quantas emissoras FM podem funcionar [na mesma região], respeitando-se o intervalo de frequên cias permitido pela Anatel? 1. Lendo e compreendendo a) O que é dado no problema? Informa-se o modo como as frequências são distribuídas entre as várias emissoras de rádio FM: “as emissoras de rádio FM usam as frequências de 87,9 a 107,9 MHz, havendo uma diferença de 0,2 MHz entre emissoras com frequências vizinhas”. b) O que se pede? O número de emissoras FM que podem funcionar na mesma região, respeitando-se as regras da Anatel. 2. Planejando a solução Como a diferença entre as frequências de duas emissoras consecutivas é constante, a sequência de valores das frequências caracteriza uma progressão aritmética. Dessa forma, podemos consi derar cada frequência como um termo da sequência. Determinando o número de termos, sabe remos a quantidade de frequências possíveis. 3. Executando o que foi planejado A sequência (87,9; 88,1; 88,3; …; 107,7; 107,9) é uma PA de razão 0,2 e a1 5 87,9. O termo de ordem n é an 5 107,9. Vamos usar o conceito de termo geral: Sabemos que an 5 a1 1 (n 2 1)r. Substituindo os valores, temos: 20 107,9 5 87,9 1 (n 2 1) ? 0,2 ⇒ 20 5 (n 2 1) ? 0,2 ⇒ n 2 1 5 5 100 ⇒ n 5 101 0,2 4. Emitindo a resposta São 101 emissoras de rádio FM possíveis por região. 5. Ampliando o problema a) (Unicamp) Qual o número do canal com maior frequência? b) (Unicamp) Os canais 200 e 285 são reservados para uso exclusivo das rádios comunitárias. Qual a frequência do canal 285, supondo que todas as frequências possíveis são utilizadas? c) Devido à falta de canais para uso das rádios comunitárias, o Governo Federal recentemente tam bém abriu os canais 198 e 199 para esse fim. Qual é a frequência desses dois novos canais? d) Discussão em equipe Rádios comunitárias são rádios autorizadas pela Anatel, com alcance limitado a uma pequena região (alcance máximo de 1 km), mantidas por fundações ou associações comunitárias sem fins lucrativos. Converse com seus colegas sobre a existência dessas rádios comunitárias. Elas são importantes no dia a dia de uma comunidade? Vocês conhecem alguma rádio comunitária? e) Pesquise O que significa a sigla Anatel? 11‚) Quantos são os múltiplos de 8 compreendidos entre 100 e 1 000? • o primeiro número múltiplo de 8, maior que 100, é 104;
• o último número múltiplo de 8, menor que 1 000, é 992. Então, os múltiplos de 8 compreendidos entre 100 e 1 000 constituem a PA (104, 112, …, 992).
Capítulo 9 | Progressões
303
Nessa PA, temos: a1 104 r 8 a 992 n
Devemos calcular o número n de termos da PA: an a1 1 (n 1)r ⇒ 992 104 1 (n 1)8 ⇒ 992 104 1 8n 8 ⇒ 8n 992 104 1 8 ⇒ ⇒ 8n 896 ⇒ n 112 Portanto, existem 112 múltiplos de 8 compreendidos entre 100 e 1 000.
12‚) Primeira situação da introdução do capítulo (página 294) Um corpo caindo livremente (desprezando-se a resistência do ar) tem, no final do primeiro segundo, velocida de de 9,8 m/s; velocidade de 19,6 m/s no final do segundo seguinte; de 29,4 m/s no final do terceiro segundo; e assim por diante. Continuando nesse ritmo, qual será sua velocidade no final do décimo segundo? Devemos estabelecer a PA (9,8; 19,6; 29,4; …), na qual a1 9,8 e r 9,8, e determinar o termo a10:
an a1 1 (n 1)r ⇒ a10 9,8 1 9 ? 9,8 ⇒ a10 98 m/s
Logo, no final do décimo segundo sua velocidade será de 98 m/s.
13‚) Vamos determinar quantos são os múltiplos de 5 compreendidos entre 101 e 999. • Os múltiplos de 5 terminam em 0 ou 5. • O primeiro número múltiplo de 5 maior do que 101 é 105. • O último número múltiplo de 5 menor do que 999 é 995. Então, os múltiplos de 5 compreendidos entre 101 e 999 constituem a PA (105, 110, ..., 995). Nela temos a1 5 105, r 5 5 e an 5 995. Devemos calcular o número n de termos da PA: an 5 a1 1 (n 2 1)r ⇒ 995 5 105 1 (n 2 1)5 ⇒ 995 5 105 1 5n 2 5 ⇒ n 5 179 Portanto, existem 179 múltiplos de 5 compreendidos entre 101 e 999. 14‚) Em uma PA, o quinto termo vale 30 e o vigésimo vale 50. Quanto vale o oitavo termo dessa progressão? 4 a20 a5 1 15r ⇒ 50 30 1 15r ⇒ r 3 4 a8 a5 1 3r ⇒ a8 30 1 3 34 3 Logo, a8 34. 15‚) Se a10 1 a30 36, vamos determinar o valor de: a) a15 1 a25 a10 1 a30 a15 1 a25, pois 10 1 30 15 1 25. Logo, a15 1 a25 36. b) a20 a10 1 a30 a20 1 a20, pois 10 1 30 20 1 20. Logo, 2a20 a10 1 a30 36 ⇒ a20 18
Exercícios propostos 23. Escreva a PA de:
a) cinco termos, em que o 1‚ termo é a1 5 7 e a razão é r 5 4; b) quatro termos, em que o 1‚ termo é a1 5 26 e a razão é r 5 8.
24. Qual é a fórmula do termo geral da sequência dos números pares positivos?
25. Qual é o 50‚ número ímpar positivo? 26. Calcule o 1‚ termo da PA: a) de razão r 5 3 sabendo que a7 5 21; b) em que a12 5 229 e r 5 24.
304
27. Numa PA na qual o 20‚ termo é 157 e o 1‚ termo é 5, calcule a razão.
28. Numa PA, o 8‚ termo é 52 e o 10‚ termo é 66. Calcule o 9‚ termo e a razão dessa PA.
29. Quantos múltiplos de 11 existem entre 100 e 1 000? 30. Quantos números inteiros existem de 100 a 500 que não são divisíveis por 7?
31. Determine quatro números em progressão aritmética crescente sabendo que sua soma é 6 e a soma de seus quadrados é 54. Matemática
32. As medidas dos lados de um triângulo retângulo for mam uma PA de razão 5. Determine as medidas dos lados desse triângulo. (Sugestão: utilize o teorema de Pitágoras para esquematizar o problema.)
Desafio em dupla Determinem três números que estão em PA crescente tal que, aumentados de 1, 2 e 9 unidades, respectivamente, sejam proporcionais aos números 5, 10 e 25.
33. A população atual de uma certa cidade é de 20 000 habitantes. Essa população aumenta anualmente em 100 habitantes. Qual será a população dessa cidade daqui a 10 anos?
Interpretação geométrica de uma progressão aritmética Já vimos que o termo geral de uma progressão aritmética é dado por an a1 1 (n 1)r ou por an a0 1 nr ao começarmos a enumeração dos termos por a0. Assim, podemos pensar em uma progressão aritmética como uma função que associa a cada número natural n o valor an dado por an a0 1 nr. Essa função é a restrição aos números naturais da função afim a(x) a0 1 rx, ou seja, ela é definida por uma fórmula do tipo da função afim, mas com domínio n. O gráfico dessa função é formado por uma sequência de pontos colineares no plano: (0, a0), (1, a1), (2, a2), (3, a3), …, (n, an), … an
a4
an a0 nr
a3
Para refletir
a2
Bastam dois pontos para determinar uma reta e bastam dois termos de uma PA para determinar a PA toda.
a1 a0 n 0
1
2
3
4
Assim, podemos caracterizar uma progressão aritmética observando que uma sequência (an) é uma progressão aritmética se e somente se os pontos do plano que têm coordenadas (0, a0), (1, a1), (2, a2), (3, a3), etc. estão em linha reta.
Exercício proposto 34. Trace o gráfico de cada uma das progressões aritméticas sabendo que: a) a0 1 e r 1;
b) a0 2 e r 2.
Interpolação aritmética Vamos resolver o seguinte problema: No primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal de uma montadora está em PA crescente. Em janei ro, a produção foi de 18 000 carros e, em junho, de 78 000 unidades. Qual foi a produção dessa montadora nos meses de fevereiro, março, abril e maio? Nessas condições, o problema consiste em formar uma PA na qual: a1 5 produção de janeiro 5 18 000 an 5 produção de junho 5 78 000 ⇒ (18 000, ___, ___, ___, ___, 78 000) n56 Devemos inicialmente calcular o valor da razão r: an a1 1 (n 1)r ⇒ 78 000 18 000 1 5r ⇒ 5r 60 000 ⇒ r 12 000 Capítulo 9 | Progressões
305
Então, teremos: a2 produção de fevereiro = 30 000 a3 produção de março = 42 000 ⇒ (18000, 30000, 42000, 54 000, 66000, 78000)) a4 produção de abril = 54 000 a produção de maio = 66 000 5 Na realidade, o que fizemos foi inserir ou interpolar quatro meios aritméticos entre 18 000 e 78 000.
Exemplos: 1‚) Vamos interpolar 6 meios aritméticos entre 100 e 184. Devemos formar a PA (100, ___, ___, ___, ___, ___, ___, 184), em que: a1 100 an 184 n 2 + 6 8 an a1 1 (n 1)r ⇒ 184 100 1 7r ⇒ 7r 84 ⇒ r 12 Então, temos a PA (100, 112, 124, 136, 148, 160, 172, 184).
2‚) Quando inserimos 10 meios aritméticos entre 2 e 79, qual é a razão da PA obtida?
a1 2 an 79 n 2 + 10 12
an a1 1 (n 1)r ⇒ 79 2 1 11r ⇒ 11r 77 ⇒ r 7 Logo, r 7.
Exercícios propostos 37. Qual é a razão da PA que se obtém inserindo 10 ter
35. Insira 7 meios aritméticos entre 20 e 68.
mos entre os números 3 e 25?
36. Quantos meios aritméticos devemos inserir entre 5 e 53 de modo que a sequência obtida tenha r 8?
Soma dos termos de uma PA finita Introdução Na tabela abaixo está demonstrada a produção anual de uma empresa num certo período: Ano
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Produção (em unidades)
10 000
12 000
14 000
16 000
18 000
20 000
22 000
24 000
Quantas unidades a empresa produziu de 2003 a 2010? Pela tabela, no período de 2003 a 2010 a empresa produziu: 10 000 1 12 000 1 14 000 1 16 000 1 18 000 1 20 000 1 22 000 1 24 000 136 000 unidades Observamos que: • as parcelas formam uma PA finita (razão r 2 000): (10 000, 12 000, 14 000, 16 000, 18 000, 20 000, 22 000, 24 000) • o número 136 000 representa a soma dos termos dessa PA.
306
Matemática
Exercícios propostos 38. Dada a PA (5, 8, …), determine a soma de seus 4 pri meiros termos.
40. Uma PA tem a1 1 e r 1. Determine a soma dos seus:
39. Uma PA tem a1 9 e r 7. Determine seus 6 pri meiros termos e calcule a soma deles.
a) 10 primeiros termos; b) 20 primeiros termos.
Fórmula da soma dos termos de uma PA finita Karl Friedrich Gauss foi um matemático alemão que viveu de 1777 a 1855. Certo dia, quando Gauss era um estudante com menos de 10 anos de idade, seu professor, querendo manter o silêncio em sala de aula por um bom tempo, pediu que os alunos somassem todos os números de 1 a 100, isto é, 1 1 2 1 3 1 4 1 ... 1 99 1 100. Para surpresa do professor, depois de alguns minutos Gauss disse que a soma era 5 050. Veja seu raciocínio: 1 1 2 1 3 1 … 1 98 1 99 1 100 (1 1 100 101, 2 1 99 101, etc.) 50 parcelas de 101 50 ? 101 5 050
Ou seja, 1 1 2 1 3 1 4 1 … 1 99 1 100 5 050.
Um pouco de História Gauss Karl Friedrich Gauss (1777-1855) é considerado um dos maiores matemáticos do século XIX e um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Nascido em Brunswick, Alemanha, de família muito simples, foi uma criança prodígio. Conta-se que, com poucos anos de idade, corrigiu um erro aritmético de seu pai. Gauss deu grandes contribuições nas áreas de astronomia, geodésia e eletricidade. Depois de sua morte, o rei de Hanover ordenou que se cunhasse uma medalha em sua homenagem. Nessa medalha, havia uma inscrição que se referia a Gauss como o “Príncipe da Matemática”, como ele é conhecido até hoje. Fórmula O procedimento usado por Gauss no caso da PA (1, 2, 3, 4, …, 99, 100) vale de modo geral. 1a demonstração: Consideremos a PA finita de razão r (a1 , a2 , a3 , …, an 2 , an 1 , an) cuja soma dos seus n termos pode ser escrita por: Sn a1 1 a2 1 a3 1 … 1 an 2 1 an 1 1 an a1 1 an a1 1 a n a1 1 an
n Portanto, Sn ( a1 an ) ( a1 an ) … ( a1 an ) ( a1 an ). 2
n
∑a
i
i 1
Para refletir n
O símbolo ∑ a i é lido i=1
“somatório dos ai, i variando de 1 a n”.
n parcelas iguais a ( a1 + an) 2
Então: Sn
( a1 + an )n 2
(fórmula que nos permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA) em que:
Capítulo 9 | Progressões
307
• a1 é o primeiro termo;
Para refletir
• an é o enésimo termo;
• A fórmula obtida é equivalente a esta: Sn
• n é o número de termos; • Sn é a soma dos n termos.
n(a p a q) 2
, com
p 1 q n 1 1. Por quê?
2 a demonstração: Consideremos a PA finita (a1, a2, a3, a4, ..., an 2 3, an 2 2, an 2 1, an) e vamos indicar por Sn a soma de seus termos. Daí:
• Sn é uma função quadrática de n. Basta substituirmos an por a1 1 (n 2 1)r e chegaremos a: Sn 5 r n2 1 [a1 2 r ]n 5 an2 1 bn, em que a 5 r e b 5 a1 2 r . 2 2 2 2 Verifique.
Sn 5 a1 1 a2 1 a3 1 a4 1 ... 1 an 2 3 1 an 2 2 1 a n 2 1 1 an
I
ou, de maneira equivalente: Sn 5 an 1 an 2 1 1 an 2 2 1 an 2 3 1 ... 1 a4 1 a3 1 a2 1 a1 II Somando membro a membro as igualdades I e II , temos: 2Sn 5 (a1 1 an) 1 (a2 1 an 2 1) 1 (a3 1 an 2 2) 1 ... 1 (an 2 2 1 a3) 1 (an 2 1 1 a2) 1 (an 1 a1) Sabemos que, numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Então, temos: 2Sn 5 ( a1 1 an ) 1 ( a1 1 an ) 1 ( a1 1 an ) 1 … 1 ( a1 1 an ) 1 ( a1 1 an ) 1 ( a1 1 an ) n parcelas iguais a ( a1 1 an )
Logo: 2Sn 5 n(a1 1 an) e S n
( a1 + an )n 2
Exemplos: 1‚) Vamos retomar o problema sobre a produção de uma empresa, citado na página 306, e resolvê-lo agora apli cando a fórmula da soma dos termos de uma PA finita. Sabemos que a produção anual nesse período é uma PA na qual a1 10 000, r 2 000, n 8 e an a8 24 000.
Aplicando a fórmula: n( a an ) 8(10 000 24 000) Sn 1 136 000 0 2 2 Logo, no período de 2003 a 2010 a empresa produziu 136 000 unidades.
2‚) Vamos calcular a soma dos 50 primeiros termos da PA (2, 6, …). Nessa PA infinita, os 50 primeiros termos formam uma PA finita, na qual a1 2, r 4 e n 50. Devemos calcular an (ou seja, a50): an a50 a1 1 (n 1)r ⇒ an 2 1 49(4) ⇒ an 2 1 196 ⇒ an 198 Aplicando a fórmula, temos:
( a1 an )n (2 198)50 ⇒ S50 ⇒ S50 5 000 2 2 A soma procurada é igual a 5 000. Sn
3‚) Vamos calcular a soma dos primeiros n números ímpares (1, 3, 5, 7, ..., 2n 2 1, ...), n [ n*:
308
( a1 an )n (1 2n 1)n 2n2 5 n2 2 2 2 Portanto, a soma dos n primeiros números ímpares é igual a n2. Sn
Matemática
4‚) A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1‚ termo dessa PA é 2, qual é a razão r da PA?
Nessa PA sabemos que S10 200, a1 2 e n 10.
Devemos calcular a10 aplicando a fórmula da soma:
S10
Vamos calcular r:
a10 a1 1 9r ⇒ 38 2 1 9r ⇒ 9r 36 ⇒ r 4
Então, a razão procurada é 4.
( a1 a10 )10 (2 a10 )10 ⇒ 200 ⇒ 20 10a10 400 ⇒ 10a10 380 ⇒ a10 38 2 2
5‚) Uma maneira geométrica de ver que: 1 1 2 1 3 1 ... 1 n 5
n(n 1 1) é examinar as duas figuras abaixo: 2
n
n
n
n
Figura a
1
Figura b
Queremos saber o total de quadradinhos da figura a, o que corresponde a: 1 1 2 1 3 1 ... 1 n.
Examinando a figura b, vemos que o total de quadradinhos é dado por n ? (n 1 1).
Como a figura a é metade da figura b, o total de quadradinhos da figura a é dado por
Logo, 1 1 2 1 3 1 ... 1 n 5
n ? (n 1 1) . 2
n(n 1 1) . 2
6‚) Vamos determinar o valor de: 5
a) S
∑ 2i i1
O símbolo ∑ significa somatório, ou seja, devemos efetuar a seguinte soma: S 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 2 1 4 1 6 1 8 1 10 30 30
b) S
∑ (1 i) i 1
S (1 1 1) 1 (1 1 2) 1 ... 1 (1 1 29) 1 (1 1 30) 2 1 3 1 ... 1 30 1 31 Assim, temos uma PA em que a1 2 e a30 31. Aplicando a fórmula, temos: S
(2 1 31) 30 495 2
Capítulo 9 | Progressões
309
A soma dos números naturais ímpares: uma interpretação geométrica Vejamos a sequência dos números naturais ímpares: (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ..., 2n 2 1, ...), para n 5 1, 2, 3, ... Utilizando quadrados, vamos mostrar como podemos calcular geometricamente a soma dos n primeiros números naturais dessa sequência:
1 5 12
1 1 3 5 4 5 22
1 1 3 1 5 1 7 5 16 5 42
1 1 3 1 5 5 9 5 32
1 1 3 1 5 1 7 1 9 5 25 5 52 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 5 36 5 62
Pelos desenhos, vemos que: • a soma dos dois primeiros números naturais ímpares é 4 5 22; • a soma dos três primeiros números naturais ímpares é 9 5 32; • a soma dos quatro primeiros números naturais ímpares é 16 5 42; • a soma dos cinco primeiros números naturais ímpares é 25 5 52; • a soma dos seis primeiros números naturais ímpares é 36 5 62. Generalizando, podemos conjecturar que: A soma dos n primeiros números naturais ímpares é n2.
Exercícios propostos 41. Calcule a soma: a) dos trinta primeiros termos da PA (4, 10, …); b) dos vinte primeiros termos de uma PA em que o 1‚ termo é a1 17 e r 4; c) dos 200 primeiros números pares positivos; d) dos 50 primeiros múltiplos positivos de 5; e) de todos os múltiplos de 7 que tenham três algarismos; f ) dos n primeiros números pares positivos;
42. Ao se efetuar a soma das 50 primeiras parcelas da PA (202, 206, …), por distração não se somou a 35· par cela. Qual foi a soma encontrada?
310
43. A expressão Sn n2 3n, para qualquer n inteiro
positivo, representa a soma dos n primeiros termos de uma PA. Qual é a razão dessa PA?
44. Numa PA, a soma dos seis primeiros termos é 12. Sa bendo que o último termo dessa PA é 7, calcule o primeiro termo, a1.
45. A soma dos 20 termos de uma PA finita é igual a 710. Se o 1‚ termo dessa PA é a1 5 7, calcule seu10‚ termo.
46. Numa PA, a3 1 a6 5 34 e a4 1 a9 5 50. Calcule a soma dos 20 primeiros termos dessa PA.
Matemática
Fernando piacastelli/editora abril
47. Sabe-se que, numa PA, a1 1 an 5 n. Calcule a soma dos n termos dessa PA.
48. Calcule a razão de uma PA cuja soma dos n primeiros termos é expressa por Sn 5 n2 1 4n, para todo n natural.
49. Resolva a equação 2 1 5 1 8 1 … 1 x 77, sabendo que os termos do 1‚ membro estão em PA.
50. Calcule o valor de x na igualdade x 1 2x 1 … 1 20x 6 300, sabendo que os termos do 1‚ membro estão em PA.
Teatro Municipal de Ouro Preto, em Minas Gerais, considerado o mais antigo da América do Sul. Esta foto foi tirada em julho de 2008, após a restauração.
51. Determine o valor de: a)
10
∑ 3i; i 1
b)
20
∑ (5 2i).
56. A soma das medidas dos ângulos internos de um triân-
i 1
gulo é 180º. Num triângulo, as medidas dos ângulos estão em PA e o menor desses ângulos mede 40°. Calcule as medidas dos outros dois ângulos.
52. Um ciclista percorre 20 km na primeira hora; 17 km na segunda hora, e assim por diante, em progressão arit mética. Quantos quilômetros percorrerá em 5 horas?
57. Os ângulos internos de um pentágono convexo estão em progressão aritmética. Determine o termo do meio dessa sequência.
53. Um corpo em queda livre percorre 3 m no primeiro segundo, 12 m no segundo, 21 m no terceiro segun do, e assim por diante. Continuando nessa sequência, quantos metros terá percorrido após 10 segundos?
58. Atividade em dupla
54. Uma escada maciça possui 10 degraus. Cada degrau é um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 50 cm de comprimento, 20 cm de largura e 10 cm de altura. Qual é o volume dessa escada?
55. Um teatro possui 12 poltronas na primeira fileira, 14 na segunda e 16 na terceira; as demais fileiras se com põem na mesma sequência. Quantas fileiras são ne cessárias para o teatro ter um total de 620 poltronas?
(Osec-SP) Um jardim tem uma torneira e dez roseiras dispostas em linha reta. A torneira dista 50 m da primeira roseira e cada roseira dista 2 m da seguinte. Um jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde na torneira e despeja seu conteúdo na primeira. Volta à torneira e repete a operação para cada roseira seguinte. Após regar a última roseira e voltar à torneira para deixar o balde, ele terá andado: c) 1 130 m. e) 1 000 m. a) 1 200 m. b) 1 180 m. d) 1 110 m.
Progressões aritméticas de segunda ordem Da sequência (an) (0, 3, 8, 15, 24, 35, …) podemos formar uma progressão aritmética tomando as diferenças entre cada termo e o termo anterior (an 1 1 an): 3, 5, 7, 9, 11, … obtendo uma PA não estacionária (r ≠ 0).
Definição Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência (an) na qual as diferenças (an 1 1 an) entre cada termo e o termo anterior formam uma progressão aritmética não estacionária. Assim, a sequência (an) (0, 3, 8, 15, 24, 35, …, n2 1, …) é um exemplo de uma PA de segunda ordem.
Caracterização É possível provar que toda sequência na qual o termo de ordem n é um polinômio em n do segundo grau é uma progressão aritmética de segunda ordem. Reciprocamente, se (an) é uma progressão aritmética de segunda ordem, então an é um polinômio do segundo grau em n. Dessa forma, se o domínio de uma função quadrática for uma PA, então sua imagem será uma PA de 2· ordem. Essa característica já havia sido mencionada no capítulo de funções quadráticas. Capítulo 9 | Progressões
311
Exemplo: Dada a PA de 2· ordem 4, 7, 12, 19, ..., vamos determinar o polinômio de 2‚ grau que expressa o termo geral. Observe que: a1 4 a2 7 4 1 3 a3 12 4 1 3 1 5 a4 19 4 1 3 1 5 1 7 soma dos 3 termos da PA (3, 5, 7, ...)
: a8 4 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 soma dos 7 termos da PA (3, 5, 7, ...)
: an 4 1 3 1 5 1 ... 1 bn 2 1 soma dos (n 1) termos da PA (3, 5, 7, ...)
Assim: bn 1 3 1 (n 1 1) ? 2 3 1 2n 4 2n 1 Então: 3 1 5 1 7 1 ... 1 bn 1 Logo:
(3 2n 1)(n 1) ( 2 2 n)(n 1) (n 1)(n 1) n2 2 1 2 2 an 4 1 n2 1 ⇒ an n2 1 3
Exercícios propostos 59. Verifique se cada uma das sequências abaixo é uma progressão aritmética de 2· ordem: a) (an) (1, 3, 6, 10, 15, 21, ...) b) (an) (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...) c) (an) (1, 5, 11, 19, 29, 41, ...) d) (an) (2, 5, 11, 20, 32, 47, ...) e) (an) (2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)
60. Dadas as progressões aritméticas de 2· ordem, escre va o termo geral an como um polinômio de 2‚ grau em n: a) 1, 2, 7, 14, 23, 34, ... b) 2, 5, 10, 17, 26, 37, ... c) 1, 7, 17, 31, 49, ... d) 4, 14, 30, 52, 80, ...
4. Progressão geométrica (PG) Enquanto a população humana cresce em progressão geométrica, a produção de alimentos cresce em progressão aritmética. Thomas Malthus (economista britânico)
Introdução A taxa de crescimento relativo de uma grandeza é dada pela razão entre o seu aumento e seu valor inicial. b a Assim, uma grandeza que passa do valor a para o valor b tem taxa de crescimento relativo igual a . a Por exemplo, a taxa de crescimento relativo de uma grandeza que passa do valor 5 para o valor 8 é igual a 60%, pois
8 5 3 0,60 60%. 5 5
Neste item trataremos de sequências que variam com taxa de crescimento relativo constante. Examine, por exemplo, a seguinte situação-problema:
312
Matemática
Em 2009 uma empresa produziu 200 000 unidades de certo produto. Quantas unidades produzirá no período de 2009 a 2014 se o aumento de produção anual for sempre de 10% em relação ao ano anterior? Esquematizamos o problema da seguinte forma: • produção em 2009 200 000 • produção em 2010 produção em 2009 1,10 200 000 1,10 220 000 • produção em 2011 produção em 2010 1,10 220 000 1,10 242 000 • produção em 2012 produção em 2011 1,10 242 000 1,10 266 200 • produção em 2013 produção em 2012 1,10 266 200 1,10 292 820 • produção em 2014 produção em 2013 1,10 292 820 1,10 322 102
Para refletir Se uma grandeza tem taxa de crescimento relativo igual a i, o novo valor é obtido fazendo (1 1 i) vezes o valor anterior. No exemplo, (1 1 i) (1 1 0,10) 1,10 ou 1,1.
Nessas condições, a produção anual, nesse período, será representada pela sequência (200 000, 220 000, 242 000, 266 200, 292 820, 322 102). Notamos que, nessa sequência, cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por um número fixo (no caso, 1,10), ou seja, a produção anual teve uma taxa de crescimento relativo constante de 10% em relação ao ano anterior. Sequências com esse tipo de lei de formação são chamadas progressões geométricas. No exemplo dado o valor 1,10 é chamado de razão da progressão geométrica e indicado por q (no exemplo, q 1,10). Dizemos que os termos dessa sequência estão em progressão geométrica.
Definição Progressão geométrica (PG) é toda sequência de números não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior. Esse quociente constante é chamado razão (q) da progressão. Ou seja, uma progressão geométrica é uma sequência na qual a taxa de crescimento relativo de cada termo para o seguinte é sempre a mesma.
Exemplos: 1‚) A sequência (2, 10, 50, 250) é uma PG de quatro termos, em que o 1‚ termo é a1 2 e a razão q 5. Observe que: • a1 2; a2 10 (2 5); a3 50 (10 5); a4 250 (50 5) 250 : 50 5; 50 : 10 5; 10 : 2 5 → quociente constante 5 (razão) • a taxa de crescimento relativo de a para b é dada por
10 2 8 b a 4 400%. . Neste exemplo, i 2 2 a
Logo, q 1 1 i 1 1 4 5. 2‚) A sequência (6, 12, 24, 48, 96) é uma PG de cinco termos, na qual a1 6 e q 2, pois: a1 6 a2 12 [12 6(2), ou seja, a2 a1 ? (2)] Para refletir a3 24 [24 (12)(2), ou seja, a3 a2 ? (2)] Aumentar uma vez é aumena4 48 [48 24(2), ou seja, a4 a3 ? (2)] tar 100%, aumentar duas vezes é aumentar 200%, e asa5 96 [96 (48)(2), ou seja, a5 a4 ? (2)] sim por diante. Ou, de modo equivalente: • 12 : 6 2; 24 : (12) 2; 48 : 24 2; 96 : (48) 2 (quociente constante 2 (razão)) • taxa de crescimento relativo: i
12 6 18 3 300% 6 6
Logo, q 1 1 i 1 1 (3) 2. 3‚) A sequência (1, 3, 9, 27, 81, …) é uma PG infinita na qual a1 1 e q 3, pois: a1 1 a2 3 (3 1 3, ou seja, a2 a1 3) Capítulo 9 | Progressões
313
a3 9 (9 3 3, ou seja, a3 a2 3) a4 27 (27 9 3, ou seja, a4 a3 3), etc. Taxa de crescimento relativo: i 3 1 2 200%. Logo, q 1 1 2 3. 1 4‚) A sequência (10, 10, 10) é uma PG de três termos, em que o 1‚ termo é 10 e a razão é 1, pois: a1 10 a2 10 (10 10 1, ou seja, a2 a1 1) a3 10 (10 10 1, ou seja, a3 a2 1) Taxa de crescimento relativo: i
10 10 0 0 0%. Logo, q 1 1 0 1. 10 10
Observações: 1·) De modo geral, observamos que uma sequência (a1, a2, a3, …, an, …) com a1 0 é uma PG de razão q 0 quando: a a a a a2 a1 q ⇒ 2 q a3 a2 q ⇒ 3 q a4 a3 q ⇒ 4 q … an an 1 q ⇒ n q a1 a2 a3 an − 1 Comparando, temos: a2 a a a a an 1 3 4 … n q , com q 1 1 i em que i n ( an 1 0) é a taxa de crescimento a1 a2 a3 an − 1 an 1 relativo dos termos. 2·) Da definição decorre que, se ar, as e ap estão em PG, então: ap as ⇒ a2s ar ap ar as Ou seja, dados três termos consecutivos de uma progressão geométrica, o termo do meio é a média geométrica dos outros dois.
Exemplos: 1‚) Vamos verificar se a sequência (5, 15, 45, 135, 405) é uma PG.
15 45 135 3 3 3 5 15 45 Logo, a sequência é uma PG de razão 3.
405 3 135
2‚) Vamos ver se a sequência (an 4, an 2, an, an 1 2), com a 0, é uma PG. Se for, vamos dar a razão.
an 2 an 2 (n 4) an 2 n 1 4 a2 an 4 an an 2
an (n 2) an n 1 2 a2
an 1 2 an 1 2 n a2 an Então, a sequência é uma PG de razão a2.
1 1 3‚) A sequência , , … é uma PG infinita. Vamos determinar a razão dessa PG e a taxa de crescimento dos 2 6 seus termos. 1 a1 2 a 1 2 6 1 a2 6 ⇒ q 1 2 1 314 q ⇒ q Matemática 1 a1 3 6 1 2
a1 a 2
1 2 1 6
1 a2 1 1 2 q ⇒ q 6 ⇒ q 1 a1 3 6 1 2 1 Logo, q . 3
1 1 1 2 = 3 = 2 0,66… 66,66% Taxa de crescimento relativo: i 6 1 1 3 2 2
4‚) Vamos determinar o 4‚ termo da PG (ab, a3b2, …), com a 0 e b 0. a1 ab 3 2 a2 a b a2 a3b2 ⇒ q a2b q ⇒ q a1 ab
Então, temos: a1
a2
a3
?q
?q
a4
?q
Portanto: a4 a1 q q q ⇒ a4 a1 q3 ⇒ a4 ab(a2b)3 ⇒ a4 ab a6b3 ⇒ a4 a7b4 Logo, a4 a7b4.
5‚) Nas progressões geométricas abaixo, qual é a taxa de crescimento relativo de cada termo para o seguinte? a) (1, 2, 4, 8, 16, 32, …) Nesta PG a taxa de crescimento relativo de cada termo para o seguinte é de 100%, o que faz com que 2 1 cada termo seja igual a 200% do termo anterior 1 → 100% . 1 b) (100, 70, 49, …) Cada termo equivale a 70% do termo anterior. A taxa de crescimento relativo de cada termo para o 70 − 100 30 → 30% . seguinte é de 30% 100 100 6‚) Vamos determinar o 8‚ termo de uma PG na qual a4 12 e q 2. a4
a5
?q
a6
?q
a7
?q
a8
?q
Então: a8 a4 q4 ⇒ a8 12(2)4 ⇒ a8 12 16 ⇒ a8 192
Portanto, o 8‚ termo da PG é 192.
7‚) A população de um país é atualmente igual a P0 e cresce 3% ao ano. Qual será a população desse país daqui a t anos? Como a população cresce 3% ao ano, em cada ano a população é 103% a do ano anterior. Logo, a cada ano a popu lação é multiplicada por 103% 1,03. Após t anos, a população será P0 ? (1,03)t. Neste caso, temos a PG: P0 , P0 (1,03), P0 (1,03)2, P0 (1,03)3, …, P0 (1,03)t, … de razão 1,03. 8‚) Um tanque tem capacidade C0 de água. Abre-se o tampão e essa capacidade decresce 4% por minuto. Qual será a capacidade desse tanque daqui a t minutos? Capítulo 9 | Progressões
315
Como a capacidade diminui 4% por minuto, em cada minuto a capacidade equivalerá a 96% da capacidade do minuto anterior. Assim, a cada minuto que passa, a capacidade é multiplicada por 96% 0,96. Depois de t minutos, a capacidade do tanque será de C0 0,96t. Neste caso a PG seria C0; C0 0,96; C0 (0,96)2; C0 (0,96)3; …; C0 (0,96)t; … de razão 0,96.
Exercícios propostos 61. Verifique se cada sequência dada é uma PG. Em caso positivo, dê o valor da razão q: a) (1, 3, 9, 27, 81) b) (2, 4, 6, 8, 10, 12)
63. Escreva uma PG: a) de cinco termos em que a1 7 e q 3; b) de quatro termos em que a1 5 e q 2.
64. Se o 1‚ termo de uma PG é a1 103 e a razão é 102,
c) (400, 200, 100, 50) d) (5, 10, 20, 40, 80, 160) 1 1 1 , e) 1, , 4 16 64
escreva os quatro primeiros termos dessa PG.
65. Determine: a) o 4‚ termo da PG em que a1 4 e q 5; b) o 5‚ termo da PG na qual a1 5 1024 e q 5 10;
1 1 1 f ) 2, 1, , , 2 3 4
1 . b 66. Nas progressões geométricas abaixo, qual é a taxa de crescimento relativo de cada termo para o seguinte? c) o 9‚ termo da PG em que a5 ab2 e q
g) (x, 4x, 16x, 64x, 256x) com x 0 h) (a, ap, ap2, ap3) com a 0 e p 0
i) (x, 3x2, 9x2, 27x2) com x 0
a) (5, 15, 45, 135, …)
x x j) 2 , , x , x y com x 0 e y 0 y y
b) (1 000, 800, 640, 512, …)
62. As seguintes sequências são PG. Determine a razão de cada uma delas: a) (2, 8, …)
e) (xy, xy3, …)
3 b) 3, , … 2
f ) (104, 107, …)
1 2 c) , , … 3 9 d) (101, 10, …)
x x2 g) [ 2 , 3 , ...] y y
c) (1, 4, 16, 64, 256, …) d) (100; 60; 36; 21,6; …)
67. Uma população de bactérias é atualmente dada por B0 e cresce 5% por minuto. Qual será essa população daqui a n minutos?
68. A torcida de um determinado clube é atualmente
h) (xn 2 2, xn, ...)
dada por P0, mas está diminuindo 3% ao ano. Se esse fato continuar a ocorrer, qual será a torcida desse clu be daqui a t anos?
Classificação das progressões geométricas Dependendo da razão q, uma PG pode ser: • Crescente 2 A PG é crescente quando q 1 e os termos são positivos, ou quando 0 q 1 e os termos são ne gativos. Por exemplo: (2, 6, 18, 54, …), com q 3 1 (40, 20, 10, 5, …), com q 2 • Decrescente 2 A PG é decrescente quando 0 q 1 e os termos são positivos, ou quando q 1 e os termos são negativos. Veja os exemplos: 1 (200, 100, 50, 25, …), em que q 2 (4, 12, 36, 108, …), em que q 3 • Constante 2 A PG é constante quando q 1. Veja: (10, 10, 10, …), em que q 1 (5, 5, 5, …), na qual q 1
316
Matemática
• Alternante 2 A PG é alternante quando q 0. Por exemplo: (4, 8, 16, 32, …), em que q 2 1 (81, 27, 9, 3, …), na qual q 3
Para refletir Como são os termos da PG alternante?
Exercício proposto 69. Identifique cada PG abaixo como crescente, decres cente, constante ou alternante:
1 1 e) 1, , , … 2 4
a) (20, 40, 80, …)
c) (7, 14, 28, …)
f) (9, 18, 36, 72, …) i ) (1, 21, 1, 21, 1, 21, …)
b) (3, 9, 27, 81, …)
d) (2, 2, 2, …)
g) (256, 64, 16, …)
3 h) 6, 3, , … 2 j)
(
)
2 , 2, 2 2 , 4 , 4 2 , …
Representações especiais Como visto em PA, também podemos recorrer a algumas representações especiais de PG, principalmente se o produto dos termos for conhecido. As principais são: x • três termos em PG: , x , xq q
x x • cinco termos em PG: 2 , , x , xq, xq2 q q
x x • quatro termos em PG: 3 , , xy , xy 3 y y Neste caso, temos q y2.
Exemplo: Três números estão em PG de forma que o produto deles é 729 e a soma é 39. Vamos calcular os três números. Neste tipo de problema sobre PG com três termos consecutivos, é conveniente representar a sequência na x forma , x , xq , em que o termo médio é x e a razão é q. Assim, temos o seguinte sistema de equações: q x x 3 729 x x q 729 q ⇒ x x x xq 39 q x xq 39 q Da 1· equação, temos: x3 729 ⇒ x 3 729 ⇒ x 9 Substituindo na outra equação, temos: 9 1 9 1 9q 39 ⇒ 9 1 9q 1 9q2 39q ⇒ 9q2 30q 1 9 0 ⇒ 3q2 10q 1 3 0 q D (10)2 4(3)(3) 64 q
10 6 8 1 ⇒ q 3 e q 6 3 Então, para x 9 e q 3, temos:
x 9 1‚ número: q 3 3 2‚ número: x 9 3‚ número: xq 9 3 27 Capítulo 9 | Progressões
317
1 Para x 9 e q , temos: 3 x 9 1‚ número: q 1 27 3 2‚ número: x 9 3‚ número: xq 9 1 3 3 Portanto, os números procurados são 3, 9 e 27.
Exercícios propostos 70. Determine a PG de três elementos que são números
72. Três números inteiros positivos estão em PG de tal
inteiros, sabendo que a soma deles é igual a 31 e o pro duto é 125.
forma que a soma deles é igual a 62 e o maior núme ro é igual a 25 vezes o menor. Quais são os três nú meros?
71. As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PG. Determine a razão q dessa PG.
Fórmula do termo geral de uma PG Em uma progressão geométrica (a1, a2, a3, …, an, …) de razão q, partindo do 1‚ termo, para avançar um termo, basta multiplicar o 1‚ termo pela razão q (a2 a1q); para avançar dois termos, basta multiplicar o 1‚ termo pelo quadrado da razão q (a3 a1q2); para avançar três termos, basta multiplicar o 1‚ termo pelo cubo da razão q (a4 a1q3); e assim por diante. Desse modo encontramos o termo de ordem n, denominado termo geral da PG, que é dado por: an a1qn 1 (ao passar de a1 para an, avançamos (n 1) termos) Nessa fórmula: • an termo geral;
• a1 1‚ termo;
• n número de termos (até an);
• q razão.
Observações:
a 1·) Note que a10 a3q7, pois ao passar de a3 para a10 avançamos 7 termos; a 9 , pois ao passar de a9 para a5 5 q4 retrocedemos 4 termos; e assim por diante. Dessa forma, podemos estender a definição do termo geral para: an ak qn k (ao passar de ak para an avançamos (n k) termos) 2·) Observe a PG finita (a1, a2, a3, a4). Nela, os termos a2 e a3 são equidistantes dos extremos a1 e a4. Veja que: a2 a3 a1q a3 a1 a3q a1 a4 Isso é válido de modo geral e dizemos que, numa PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. Generalizando, temos que am an ak ap , se m 1 n p 1 k. Consequentemente, considerando três termos consecutivos (…, ak 1, ak, ak 1 1, …), temos que ak2 ak 1 ak 1 , pois k 1 k k 1 1 k 1 1.
318
Matemática
3·) Algumas vezes é conveniente colocar o 1‚ termo como a0 e não a1, ficando o termo geral da PG dado por an a0 qn. Por exemplo, se o número de sócios de um clube hoje é 2 000 e cresce 5% ao ano, quantos sócios esse clube terá em 3 anos? Temos uma PG com a0 2 000 e razão q 1 1 i 1 1 0,05 1,05. Após 3 anos, o clube terá a3 a0 q3 2 000(1,05)3 2 315 sócios.
Exemplos: 1‚) Segunda situação da introdução (página 294) Ao lançarmos uma moeda, temos dois resultados possíveis: cara ou coroa. Se lançarmos duas moedas diferen tes, por exemplo, uma de R$ 0,10 e outra de R$ 0,50, teremos quatro possibilidades: (cara, cara), (cara, coroa), (coroa, coroa) ou (coroa, cara). (…) Qual é o total de resultados se lançarmos 8 moedas? Nesta situação, temos a progressão geométrica (2, 4, 8, 16, 32, …) e procuramos o 8‚ termo: an a1 qn 1; a1 2; q 2 a8 2 28 1 2 27 28 256 Portanto, se lançarmos 8 moedas diferentes, teremos 256 resultados possíveis. 2‚) Vamos determinar o 10‚ termo da PG [ Temos a1 5
1 , 1, 2, 4 …]. 2
1 e q 5 2. 2
an 5 a1qn 2 1 ⇒ a10 5 a1q9 ⇒ a10 5
1 ? 29 ⇒ a10 5 28 ⇒ a10 5 256 2
Logo, o 10‚ termo vale 256. 3‚) Em uma progressão geométrica crescente, o 4‚ termo é 2 e o 9‚ termo é 64. Qual é o valor do 7‚ termo dessa progressão? a9 5 a4q5 (ao passar do 4‚ termo para o 9‚, avançamos 5 termos) 64 5 2q5 ⇒ q5 5 32 ⇒ q 5 2 a7 5 a4q3 ⇒ a7 5 2 ? 23 ⇒ a7 5 16 Logo, o 7‚ termo vale 16. 4‚) Qual é a fórmula do termo geral da PG (2, 4, …)? Na PG dada, temos a1 2 e q 2: an a1 qn 1 ⇒ an 2 2n 1 ⇒ an 21 1 n 1 ⇒ an 2n Logo, o termo geral da PG dada é an 2n. 5‚) Qual é o 7‚ termo da PG (2, 6, …)? a1 2 Dados: q 3 n 7 a7 a1 q6 ⇒ a7 2 36 ⇒ a7 1 458 Logo, a7 1 458. 6‚) Vamos calcular o 1‚ termo de uma PG em que a4 375 e q 5. a4 = 375 Dados: q = 5 n = 4 a4 a1 q3 ⇒ 375 a1 53 ⇒ 125a1 375 ⇒ a1 3 Portanto, a1 3. Capítulo 9 | Progressões
319
7‚) Numa PG crescente, o 1‚ termo é 3 e o 5‚ termo é 30 000. Qual é o valor da razão q nessa PG?
a1 3 Dados: a5 30 000 n 5
Para refletir
a5 a1 q4 ⇒ 30 000 3 q4 ⇒ q4 10 000 ⇒
⇒ q ± 4 10 000 ⇒ q ±10
Então, como a PG é crescente, q 10.
Observe e entenda cada uma das impli cações em R:
• x3 8 ⇒ x 3 8 2
8‚) Quantos elementos tem a PG (8, 32, …, 231)?
x3 8 ⇒ x 3 8 2
• x4 16 ⇒ x 64 16 ±2 • x4 16 ⇒ não existe x ®
a1 = 8 Dados: a = 231 n q = 4
an a1 qn 1 ⇒ 231 8 4n 1 ⇒ 231 23 22n 2 ⇒ 231 23 1 2n 2 ⇒ ⇒ 231 22n 1 1 ⇒ 2n 1 1 31 ⇒ 2n 30 ⇒ n 15 Logo, a PG tem 15 termos.
Quando ocorre cada um desses casos?
9‚) Vamos determinar o valor de x de modo que os números x 1 1, x 1 4 e x 1 10 formem, nessa ordem, uma PG . Como os números dados são três termos consecutivos de uma PG, pela definição temos: (x 1 4)2 (x 1 1)(x 1 10) ⇒ x2 1 8x 1 16 x2 1 11x 1 10 ⇒ ⇒ 8x 11x 10 16 ⇒ 3x 6 ⇒ 3x 6 ⇒ x 2 Logo, o valor procurado é x 2, e os números são 3, 6 e 12. 10‚) Numa PG crescente, o 3‚ termo é 3 e o 5‚ termo é 48. Qual é o valor do 4‚ termo? Qual é o valor da razão q? Pelos dados do problema e aplicando a definição, temos: 2
(a4)2 a3 a5 ⇒ (a4)2 3 48 ⇒ a4 144 ⇒ a4 6 144 ⇒ a4 ±12
Como a PG é crescente, temos a4 12. Para calcular a razão q, temos: a4 a3 q ⇒ 12 3q ⇒ q 4 Logo, a4 12 e q 4.
11‚) Numa PG, temos a5 32 e a8 256. Vamos calcular o primeiro termo e a razão dessa PG. 256 ⇒ q3 8 ⇒ q 3 8 ⇒ q 2 32
a8 a5 q3 ⇒ 256 32q3 ⇒ q3
Determinamos então a1: a5 a1 q4 ⇒ 32 a1 24 ⇒ 32 a1 16 ⇒ a1 2 Então, a1 2 e q 2.
12‚) Quais são as progressões geométricas de termos reais em que a7 20 e a3 320?
a7 a3 q4 ⇒ 20 320q4 ⇒ q4
Vamos determinar a1: 1 • para q 2
1 1 20 1 ⇒ q ± ⇒ q4 ⇒ q ± 4 16 2 320 16
2
1 1 a3 a1 q ⇒ 320 a1 ⇒ 320 a1 ⇒ a1 1 280 2 4 2
• para q
1 2 2
1 1 a3 a1 q ⇒ 320 a1 ⇒ 320 a1 ⇒ a1 1 280 2 4 2
320
Matemática
Então, as progressões procuradas são duas:
1 • (1 280, 640, 320, …), quando q ; 2
1 • (1 280, 640, 320, …), quando q . 2
13‚) Numa PG, a soma do 3‚ e do 5‚ termo é igual a 360 e a soma do 4‚ e do 6‚ termo é igual a 1 080. Vamos determinar a razão e o 1‚ termo dessa PG.
a3 a1 q2 ⇒ a3 1 a5 a1 q2 1 a1 q4 ⇒ a1(q2 1 q4) 360 I a5 a1 q4 a4 a1 q3 ⇒ a4 1 a6 a1 q3 1 a1 q5 ⇒ a1 q(q2 1 q4) 1 080 a6 a1 q5 Dividindo membro a membro I e II , temos: a 1 ( q2 q4 ) 2
4
a 1 q (q q )
II
1
360 1080
⇒
1 1 ⇒ q 3 3 q
3
Vamos calcular a1: a1(q2 1 q4) 360 ⇒ a1(32 1 34) 360 ⇒ a1 90 360 ⇒ a1 4 Portanto, na PG dada, a1 4 e q 3.
14‚) Vamos supor que o valor de um carro diminui sempre 30% em relação ao valor do ano anterior. Sendo V o valor do carro no primeiro ano, qual será o seu valor no oitavo ano? Valor no 1‚ ano V Valor no 2‚ ano 70% de V 0,7V (diminuição de 30%) Valor no 3‚ ano 70% de (0,7V) 0,7(0,7V) (0,7)2V Temos então uma PG na qual a1 V e q 0,7. Devemos calcular a8: an a1 qn 1 ⇒ a8 a1 q7 ⇒ a8 V(0,7)7 Logo, o valor do carro no 8‚ ano será (0,7)7 V. Faça os cálculos para V 5 R$ 40 000,00. 15‚) Em uma progressão geométrica, o 4‚ termo vale 7 e o 7‚ termo vale 189. Quanto vale o 6‚ termo dessa pro gressão? a7 a4 q3, pois, ao passar do 4‚ termo para o 7‚, avançamos três termos. Assim:
189 7 q3 ⇒ q3 27 ⇒ q 3 Analogamente: a6 a4 q2 ⇒ a6 7 32 ⇒ a6 63 ou a6 a7 : q ⇒ a6 189 : 3 ⇒ a6 63 Portanto, o 6‚ termo vale 63.
Exercícios propostos 73. Determine a fórmula do termo geral de cada PG: a) (2, 8, …) b) (3, 9, …) c) (2, 1, …)
Qual é o 7‚ termo dessa PG?
78. Calcule o 1‚ termo da PG (a1, a2, a3, …) em que:
a) o 5‚ termo da PG (1, 5, …) b) o 10‚ termo da PG (9, 27, …) 1 2
75. Numa PG infinita, temos a1 512 e q . Qual é o
Capítulo 9 | Progressões
o 1‚ e o 2‚ termos de uma PG crescente. Determine o 6‚ termo dessa PG.
77. Considere a PG de termos não nulos (2ax, 4ax2, …).
74. Calcule:
6‚ termo dessa PG?
76. As raízes da equação do 2‚ grau x2 5x 1 4 0 são
a) a4 128 e q 4
1
b) a6 103 e q 10
79. Numa PG em que a1 5 4 e q 5 2, qual é o lugar ocupado na sequência pelo termo igual a 32?
321
80. Calcule quantos termos tem a PG finita (a1, a2, …, an) em que: a) a1 9, an 320 e q 3 b) an 1 875, a1 3 e q 5
81. Numa PG crescente, o 8‚ termo vale 8 e o 10‚ vale 32. Calcule o 9‚ termo e a razão dessa PG.
82. Sabe-se que, numa PG de números reais, a2 48 e
desse mesmo ano, considerando que não tenha ha vido retirada no período?
92. Segundo o Banco Mundial, na América Latina, a po pulação deverá crescer à taxa média de 1,2% ao ano. Em 2004, sua população era de P habitantes. Persis tindo essa taxa de crescimento anual, qual será a po pulação da América Latina em 2020?
3 . Qual é o 1‚ termo dessa PG? 2 83. A produção de uma empresa nos meses de janeiro, fevereiro e março, respectivamente, forma uma PG. Se a produção em janeiro foi de 3 000 unidades e em março foi de 27 000 unidades, quantas unidades fo ram produzidas em fevereiro?
93. Uma pessoa compra uma casa, devendo pagá-la em
84. Numa PG de números reais, a3 5 16 e a6 5 1 024.
duto no primeiro trimestre de 2009. Supondo que a produção tenha dobrado a cada trimestre, quantas unidades desse produto foram produzidas no último trimestre de 2009?
a7
Determine a1 e a razão q dessa PG.
85. Numa PG crescente, a2 a1 30 e o primeiro termo a1 é igual ao quíntuplo da razão q. Calcule a1 e q.
86. Descubra o produto dos termos da seguinte PG fi nita: (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024). (Su gestão: utilize um processo análogo ao de Gauss, citado na página 307.)
87. Determine x para que as seguintes sequências sejam PG: a) (4, x, 9) b) (a, x, ab2)
c) (2x 1 1, 3x 2 6, 4x 2 8) d) (x 3, x, x 1 6)
88. Numa PG de números reais, a4 1 a6 5 120 e a7 1 a9 5 960. Calcule a razão q e o primeiro termo, a1, dessa PG.
89. Qual o número x que se deve adicionar a 2, 6 e 14 para que os números assim obtidos sejam, nessa or dem, termos consecutivos de uma PG?
90. Qual é a razão q de uma PG de quatro termos, na qual a soma dos dois primeiros é igual a 15 e a soma dos dois últimos é igual a 240?
91. A cada mês, a caderneta de poupança rende juros de 0,7% sobre o saldo anterior. Se em 1‚ de abril de 2010 o saldo era S, qual será o saldo em 1‚ de dezembro
prestações mensais durante 5 anos. A primeira pres tação é de R$ 400,00, sendo que as prestações pagas num mesmo ano são iguais. A cada ano, a prestação sofre um aumento de 10% em relação à do ano anterior. Qual será o valor da prestação mensal no último ano?
94. Uma indústria produziu 30 000 unidades de certo pro
Resolva em equipe os exercícios 95 e 96.
95. (UFMG) Uma criação de coelhos foi iniciada há exata mente um ano e, durante esse período, o número de coelhos duplicou a cada quatro meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorra, a porcentagem da população atual dessa criação de coelhos a ser vendida é: a) 75%. b) 80%. c) 83,33%. d) 87,5%.
96. (UFPE) Suponha que o preço de um automóvel se des valorize 10% ao ano nos seus cinco primeiros anos de uso. Se esse automóvel novo custou R$ 10 000,00, qual será o seu valor em reais após os cinco anos de uso? a) 5 550,00. d) 5 904,90. b) 5 804,00. e) 5 745,20. c) 6 204,30.
a(x)
Interpretação geométrica de uma progressão geométrica Já vimos que o termo geral de uma progressão geométrica é dado por an a1 qn 1 ou por an a0 qn quando começamos a enumeração dos termos por a0. Nesse caso, podemos pensar em uma progressão geométrica como uma função que associa a cada número natural n o valor dado por an a0 qn. Essa função é a restrição aos números naturais da função exponencial a(x) a0qx. O gráfico dessa função é formado por uma sequên cia de pontos pertencentes ao gráfico de uma função exponencial.
322
a3
a2 a1 a0 x 0
1
2
3
Matemática
Veja o exemplo de an 5 a0 ? qn, com a0 5 1 e q 5 3 e o esboço do gráfico 4 1 3 9 27 da função correspondente: PG , , , , … . 4 4 4 4
Interpolação geométrica
an 27 4
7 6 5 4
Vamos considerar o seguinte problema: 3 No primeiro semestre de 2009, a produção mensal de uma indústria cresceu em 9 PG. Em janeiro, a produção foi de 1 500 unidades e, em junho, foi de 48 000 unidades. 4 2 Qual foi a produção dessa indústria nos meses de fevereiro, março, abril e maio? 3 1 Nessas condições, o problema consiste em formar uma PG em que: 4 a1 (produção em janeiro) 5 1 500 n 1 4 an (produção em junho) 5 48 000 0 1 2 3 4 n56 Devemos inicialmente calcular o valor da razão q: an 5 a1 ? qn 2 1 ⇒ 48 000 5 1 500 ? q5 ⇒ q5 5 32 ⇒ q 5 5 32 ⇒ q 5 2 Então, temos: (1500, 3 000, 6 000, 12 000, 24 000, 48 000) Daí podemos dizer que: a4 5 produção em abril 5 12 000 unidades a2 5 produção em fevereiro 5 3 000 unidades a5 5 produção em maio 5 24 000 unidades a3 5 produção em março 5 6 000 unidades Na realidade, o que fizemos foi inserir ou interporlar quatro meios geométricos entre 1500 e 48 000.
Exemplos: 1‚) Vamos inserir três meios geométricos entre 3 e 48. Devemos formar a PG (3, ___, ___, ___, 48) na qual: a1 3 n 2 3 5 a 48 5
a5 5 a1 ? q4 ⇒ 48 5 3q4 ⇒ q4 5 16 ⇒ q 5 64 16 ⇒ q 5 ±2 Então, temos: • para q 5 2, a PG (3, 6, 12, 24, 48)
• para q 5 22, a PG (3, 26, 12, 224, 48)
2‚) Quando interpolamos quatro meios geométricos entre 1 e 243, qual é a razão q da PG assim obtida? Devemos formar a PG (1, ___, ___, ___, ___, 243), na qual: a1 1 n 6 a 243 6
a6 5 a1 ? q5 ⇒ 243 5 1q5 ⇒ q5 5 243 ⇒ q 5 5 243 ⇒ q 5 3 Logo, a razão da PG é q 5 3. 1 e 64 de modo que a sequência obtida tenha razão 4? 3‚) Quantos meios geométricos devemos inserir entre 16 Nesse caso, temos: 1 a1 16 a 64 n q 4 Devemos então calcular n: 1 ? 4n 2 1 ⇒ 43 5 422 ? 4n 2 1 ⇒ 43 5 4n 2 3 ⇒ n 2 3 5 3 ⇒ n 5 6 an 5 a1 ? qn 2 1 ⇒ 64 5 16 Então a PG deve ter 6 termos, ou seja, devemos inserir 4 meios geométricos.
Capítulo 9 | Progressões
323
Exercícios propostos 97. Insira quatro meios geométricos entre 6 e 192. 98. Quando inserimos quatro meios geométricos entre 8 e 1 944, qual é o 2‚ termo da PG obtida?
99. Entre os números 18 e x foram inseridos dois meios geométricos. Obteve-se, assim, uma PG de razão 3. Qual é o valor de x?
100. Escrevendo-se quatro números entre 480 e 15, obtém-se uma sequência que é uma PG. Qual é a razão q dessa PG?
101. Entre os números 100 e 1 000 000 devem ser escritos x números de modo que a sequência obtida seja uma PG de razão 10. Calcule x.
Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG finita A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica (an) de razão q 1 é Sn 5 a1
1 qn . 1 q
Demonstração: Consideremos a PG finita (a1, a2, a3, …, an 2 1, an) e seja Sn a soma de seus termos: Sn 5 a1 1 a2 1 a3 1 … 1 an 2 1 1 an I Vamos multiplicar os dois membros dessa igualdade pela razão q, obtendo: qSn a1q a2 q a3 q … an 1q an q a2 a3 a4 an
ou
Para refletir Se fizéssemos II 2 I , obteríamos Sn(q 2 1) 5 anq 2 a1, ou seja, Sn
a n q a1 , q 1. q 1
qSn 5 a2 1 a3 1 a4 1 … 1 an 1 anq II Fazendo I 2 II obtemos:
Sn 2 qSn 5 a1 2 anq
Como an 5 a1qn 2 1, então anq 5 a1qn 2 1q 5 a1qn, daí: Sn(1 2 q) 5 a1 2 a1qn ⇒ Sn(1 2 q) 5 a1(1 2 qn) Portanto, Sn a1
1 qn para q 1. 1 q
Para refletir Essa fórmula também pode aparecer assim: Sn a1 ⋅
qn 1 q 1. , q 1
Exemplos: 1‚) Uma empresa produziu 10 000 unidades de certo produto em 2009. A cada ano seguinte produzirá 20% a mais desse produto em relação ao ano anterior. Quantas unidades desse produto a empresa produzirá no período de 2009 a 2013? 1a maneira: Ano
Produção (em unidades)
2009
10 000
2010
12 000
120% de 10 000 5 12 000
2011
14 400
120% de 12 000 5 14 400, etc.
2012
17 280
2013
20 736
No período de 2009 a 2013 a empresa produzirá: 10 000 1 12 000 1 14 400 1 17 280 1 20 736 5 74 416 unidades. As parcelas formam uma PG finita de razão q 5 1,20. Assim, a soma dos cinco primeiros termos é 74 416.
324
Matemática
2a maneira: usando a fórmula Como temos uma PG na qual a1 5 10 000, q 5 1,20 e n 5 5, temos: Sn 5 a1 ?
1 2 qn 1 2 (1, 20)5 21, 48832 ⇒ S5 5 10 000 ? 5 10 000 ? 5 74 416 1 2 q 1 2 1, 20 20, 20
Logo, no período de 2009 a 2013 a empresa produzirá 74 416 unidades desse produto. 2‚) Vamos determinar a soma: a) dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12, …) 1a maneira: Conhecemos a1 5 3, q 5 2 e n 5 10. Sn 5
a1(qn 2 1) 3(210 2 1) 3(1 024 2 1) 5 5 5 3 069 q21 221 1
2 a maneira: Nessa PG, conhecemos: a1 5 3, q 5 2 e n 5 10. Aplicando a fórmula: Sn 5 a1 ?
1 2 qn 1 2 210 1 2 1024 ⇒ S10 5 3 ? 5 3 ? 5 3 069 1 2 q 1 2 2 21
A soma pedida é 3 069. b) dos termos da PG (2, 22, …, 210) Nessa PG, temos: a1 5 2; q 5 2 e n 5 10. S10 5 2 ?
1 2 210 1 2 1024 5 2 ? 5 2 046 1 2 2 21
Portanto, a soma dos termos da PG é 2 046. 3‚) A soma dos termos de uma PG finita é 728. Sabendo que an 5 486 e q 5 3, vamos calcular o primeiro termo dessa sequência. Nessa PG, conhecemos: Sn 5 728, an 5 486, q 5 3. Vamos aplicar a fórmula Sn 5 728 5
an q 2 a1 para calcular a1: q 2 1
486 ? 3 2 a1 1458 2 a1 ⇒ 728 5 ⇒ 1 458 2 a1 5 1 456 ⇒ a1 5 1 458 2 1 456 ⇒ a1 5 2 3 2 1 2
Portanto, o primeiro termo da PG dada é a1 5 2. 4‚) Vamos calcular o valor de x na igualdade 10x 1 20x 1 … 1 1 280x 5 7 650, sabendo que os termos do 1‚ membro formam uma PG. Nesse caso, a1 5 10x, q 5 2, an 5 1 280x e Sn 5 7 650. Inicialmente, vamos determinar n: x 0
an 5 a1qn 2 1 ⇒ 1 280x 5 10x ? 2n 2 1 ⇒ 128 5 2n 2 1 ⇒ 27 5 2n 2 1 ⇒ n 2 1 5 7 ⇒ n 5 8 Sn 5
a1( qn 2 1) 10 x(2 8 2 1) ⇒ 7 650 5 ⇒ 7 650 5 10x ? 255 ⇒ 7 650 5 2 550x ⇒ x 5 3 q 2 1 2 2 1
Logo, x 5 3.
Capítulo 9 | Progressões
325
Curiosidade
1 qn 1 2 64 5 1 ? 5 264 2 1 1 q 1 2 Fazendo esse cálculo, encontramos o gigantesco número de vinte algarismos: 18 446 744 073 709 551 615. Coitado do rei! Será que ele teria uma superfície tão grande para conter uma plantação de trigo com esse número de grãos?
banco de imagens/Arquivo da editora
Há uma lenda que diz que um rei perguntou ao inventor do jogo de xadrez o que ele queria como recompensa por ter inventado esse jogo. E o inventor respondeu: “1 grão de trigo pela primeira casa, 2 grãos pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta, 16 pela quinta, e assim por diante, sempre dobrando a quantidade a cada nova casa”. Como o tabuleiro de xadrez tem 64 casas, o inventor pediu a soma dos primeiros 64 termos da PG: 1, 2, 4, 8, 16, 32, …, de razão q 5 2: Sn 5 a1 ?
Para refletir Como se lê esse número?
Exercícios propostos 102. Calcule a soma: a) dos seis primeiros termos da PG (2, 8, …); b) dos seis primeiros termos da PG (7, 14, …); c) dos dez termos iniciais da PG (a2, a5, …).
103. Qual é a soma dos dez primeiros termos de uma PG na qual o 1‚ termo é a1 5 10 e a razão é q 5 2?
104. Calcule a soma dos termos da PG finita: a) (1, 2, …, 512) b) (5, 20, …, 1 280)
c) (1, 22, …, 210)
105. Quantos termos devemos considerar na PG (3, 6, …) para obter uma soma igual a 765?
106. Os termos do 1‚ membro da equação 3 1 6 1 … 1 x 5 381 formam uma PG. Calcule o conjunto solução dessa equação.
107. A soma dos seis termos iniciais de uma PG é 1456. Sabendo que a razão dessa PG é q 5 3, calcule a1.
108. Uma pessoa aposta na loteria durante cinco semanas, de tal forma que, em cada semana, o valor da aposta é o dobro do valor da aposta da semana anterior. Se o valor da aposta da primeira semana é R$ 60,00, qual o total apostado após as cinco semanas?
Limite da soma dos termos de uma PG infinita Introdução
1 Consideremos a sequência (an) 5 com n [ n*, explicitada por: n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , , …, , …, , …, , … 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 n
Para refletir Essa sequência é uma PG?
ou, ainda, em representação decimal: 1; 0,5; 0,333…; 0,25; 0,2; 0,16…; 0,142…; 0,125; 0,11…; 0,1; …; 0,01; …; 0,001; … 1 Observemos que, à medida que n cresce indefinidamente (tendendo a infinito), o termo an 5 tende a n 0 (zero). Indicamos assim: 1 n → ∞ ⇒ → 0 n ou, então, assim: 1 lim 0 n → n [Lê-se “limite de
326
1 quando n tende a infinito é igual a 0”.] Voltaremos a explorar essa ideia de limite no volume 3. n Matemática
Nas progressões geométricas em que 0 , |q| , 1, a soma dos n primeiros termos tem um limite finito quando n tende a infinito. Nesse caso, qn aproxima-se de zero para n suficientemente grande, ou seja, lim qn 0. Sabemos que Sn 5 a1 ?
n →
1 0 1 2 qn Sn a1 ? , isto é: , q 1. Logo, nlim → q 1 1 2 q
Para refletir O que acontece com a soma dos termos de uma PG infinita de termos positivos e razão maior do que 1?
a lim S 1 , 0 | q | 1 n → n 1 q
Exemplo:
1 1 1 1 1 Vamos calcular o limite da soma dos termos da progressão geométrica + + + + … + n + …, n n*. 2 4 8 16 2 1 1 Neste caso, a1 5 , q 5 e temos: Para refletir 2 2 1 1 1 a S1 5 lim Sn 1 2 2 1 2 n→ 1 1 1 q 1 1 1 3 S2 2 2 2
Logo, lim Sn 1. Isso significa que, quanto maior for n, a soma n →
1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 n 1 … será mais próxima de 1. 2 2 4 8 16
4
4
1 1 1 7 S3 2 4 8 8 1 3 7 , , , ... tende a 1. 2 4 8
Veja ao lado uma interpretação geométrica desse fato considerando a área da região 1 1 1 quadrada igual a 1. Inicialmente pintamos dela, depois , depois , e assim por diante. 2 4 8 Continuando esse procedimento indefinidamente, estaremos nos aproximando da área total da região quadrada, que é 1.
Aproximações* 22 … é uma aproximação do número irracional π 3,141592 … com erro absoluto 3,142857 7 ↓ ↓ 22 menor do que 0,01. Mas esse mesmo número 5 3,142857… não é uma aproximação de π 5 3,141592… com 7 erro absoluto de 0,001. De modo geral, se ε é um número real positivo, dizemos que x é uma ε-aproximação de y se e só se |x 2 y| , ε, ou seja, uma ε-aproximação de y é uma aproximação de y com erro (absoluto) menor do que ε. 1 Quando dissemos que lim 0, estávamos querendo dizer que, para qualquer número real positivo ε dado, n → n 1 sempre é possível determinar um termo da sequência a partir do qual todos os termos dessa sequência são n ε-aproximações de 0. 1 1 1 Por exemplo, se e 5 0,1, teremos , ou, ainda, quando 0 , e quando n . , ou seja, quando n . 0,1 n ε 1 n . 10. Logo, para n . 10, é uma 0,1-aproximação de zero, isto é, é uma aproximação de zero com erro n (absoluto) menor do que 0,1. Para constatar isso, basta ver os valores da sequência: O número
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , , , , , … 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1; 0,5; 0,33...; 0,25; 0,2; 0,16...; 0,142; 0,125; 0,11...; 0,1; 0,090909...; 0,08333...; 0,076923...; ... * Para mais detalhes veja Augusto C. Morgado e outros. Progressões e Matemática Financeira: SBM, 2006. (Coleção do Professor de Matemática.)
Capítulo 9 | Progressões
327
Vejamos agora estes exemplos: 1‚) Vamos mostrar que o limite da soma 0,6 1 0,06 1 0,006 1 … quando o número de parcelas tende a infinito 2 é igual a . 3 1a maneira: Somando um número muito grande de termos dessa progressão geométrica encontramos aproximadamen6 2 te a dízima periódica 0,6666… 5 5 . 9 3 0, 6 0, 06 0, 006 1 0, 0006 0, 00006 −−−−− 0, 6666… 2 a maneira: calculando o limite 1 Neste caso, a1 5 0,6 e q 5 . Assim: 10 6 a1 6 2 0, 6 10 lim S n→ n 1 9 9 3 1 q 1 10 10 2 Portanto, lim Sn . n → 3 1 2 4 1 1 1 … 3 9 27 2 2 9 1 As parcelas formam uma PG infinita na qual a1 5 e q . 1 3 3 3 a 2 Como , 1, podemos usar a fórmula lim Sn 1 : n → 3 1 q 1 1 3 3 lim S 1 n → n 2 1 1 3 3 Logo, o valor procurado é 1.
2‚) Vamos determinar o limite da soma da PG infinita
3‚) Vamos calcular o limite da soma dos termos da 1 1 1 PG , 2 , , … . 9 27 3
1 1 1 9 Nessa PG, temos a1 e q : 1 3 3 3 1 1 1 a1 1 3 3 3 lim S n → n q 1 4 4 1 1 1 1 3 3 3 Logo, o limite da soma procurada é
328
1 . 4 Matemática
4‚) Vamos resolver a equação 5x
10 x 20 x … 20, na qual o primeiro membro é o limite da soma de 3 9
uma PG infinita. 10 x 2 S 5 20 a1 5 5x, q 5 3 5 e nlim → n 5x 3
a1 5x 5x 20 20 4 ⇒ 20 ⇒ 5x 5 ⇒ x 5 5 ⇒ 20 q 2 1 3 15 3 1 1 3 3 4 Logo, x 5 . 3 lim Sn
n →
5‚) Vamos determinar a fração geratriz: a) da dízima periódica simples 0,333… 0,333… 5 0,3 1 0,03 1 0,003 1 … 5
3 3 3 1 … 1 1 1000 10 100
3 3 3 3 1 As parcelas formam a PG infinita , 2 , 3 , … na qual a1 5 e q 5 . 10 10 10 10 10 A fração correspondente a 0,333… é o limite da soma dessa PG infinita. a lim Sn 1 n → 1 q
3 10
3 3 1 10 1 9 9 3 1 10 10
1 Logo, a fração procurada é . 3 b) da dízima periódica composta 0,52121… 0,52121… 5 0,5 1 0,021 1 0,00021 1 … 5
21 21 5 1 1 … 1 100 000 10 1000
1 21 21 21 21 Observamos que a sequência 3 , 5 , 7 , … é uma PG infinita, na qual a1 5 3 e q 5 2 : 10 10 10 10 10 21 1 21 21 1000 21 100 21 7 3 a 1000 0 lim Sn 1 10 99 99 990 330 n → 1000 1 1 1 q 1 2 1 10 100 100 10 Agora, vamos calcular: 5 7 165 1 7 172 86 1 5 5 5 10 330 330 330 165 86 Logo, a fração geratriz é . 165 0,52121… 5
6‚) A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. Unindo-se os pontos médios de seus lados obtém-se um segundo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados desse novo triângulo equilátero obtém-se um terceiro, e assim por diante, indefinidamente. Vamos calcular a soma dos perímetros de todos esses triângulos. Perímetro do 1‚ triângulo 5 30 Perímetro do 2‚ triângulo 5 15 15 Perímetro do 3‚ triângulo 5 2 Capítulo 9 | Progressões
329
1 Devemos calcular a soma dos termos da PG infinita [30, 15, 15 , …] na qual a1 5 30 e q 5 : 2 2 a1 30 30 lim S 60 Para refletir n → n 1 1 q 1 1 Nessas condições, os perímetros sempre 2 2 1 Portanto, a soma dos perímetros é 60. formam uma PG infinita de razão . 2
Exercícios propostos 109. Determine o valor dos limites das seguintes somas: 1 1 1 1 1 a) 1 … b) 2 1 1 1 … 2 4 8 2 8
110. Determine o valor de x na igualdade
áreas de todas essas regiões triangulares, sabendo que elas formam uma PG.
114. Partindo de um quadrado Q1, cujo lado mede a, con-
sideremos os quadrados Q2, Q3, Q4, …, tais que os vértices de cada um sejam os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Determine o limite da soma das áreas de todos esses quadrados.
x x x … 12, na qual o primeiro membro é 3 9 o limite da soma dos termos de uma PG infinita.
x2 x2 x2 1 1 1 ... 5 6, na 2 4 8 qual o primeiro membro é o limite da soma dos termos de uma PG infnita.
111. Resolva a equação x2 2
112. Calcule a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas: a) 0,515151… b) 0,4333…
c) 0,2313131… d) 2,666…
115. Uma bola de borracha cai de uma altura a. Após chocar2 da ante3 rior e este valor se mantém nos choques subsequentes. Quanto a bola percorrerá até que pare? -se com o solo, atinge uma altura igual a
116. Considerando-se, inicialmente, um triângulo equilá-
113. Seja um triângulo de área 40. Unindo os pontos médios dos lados desse triângulo, obtemos um segundo triângulo; unindo os pontos médios dos lados desse segundo triângulo, obtemos um terceiro, e assim por diante, indefinidamente. Calcule o limite da soma das
tero de lado ,, forma-se uma sequência de triângulos equiláteros, cada um tendo os vértices nos pontos médios dos lados do triângulo anterior. Obtenha o limite da soma das áreas da infinidade de triângulos equiláteros dessa sequência sabendo que a área do triângulo equilátero é dada por S 5
,2 3 . 4
5. Problemas envolvendo PA e PG
Para completar o capítulo sobre progressões, veremos agora exemplos de problemas que envolvem PA e PG ao mesmo tempo. 1‚) São dados quatro números, x, y, 6, 4, nessa ordem. Sabendo que os três primeiros estão em PA e os três últimos estão em PG, vamos determinar x e y. x 1 6 . Se x, y, 6 estão em PA, temos y 5 2 Se y, 6, 4 estão em PG, temos 62 5 4y. Devemos resolver o sistema formado por essas duas equações: x 6 y 2 4 y 36 ⇒ y 9 x 1 6 ⇒ x 1 6 5 18 ⇒ x 5 12 9 5 2 Então, x 5 12 e y 5 9. 2‚) Numa situação em que há empréstimo de dinheiro para devolução depois de certo número de períodos, e em que esse empréstimo é baseado no sistema de juros simples, os juros correspondentes a cada período são constantes e iguais ao valor calculado no fim do 1‚ período. Dessa forma, no fim do 1‚ período, os juros são
330
Matemática
acrescidos ao capital inicial, resultando no montante M1. No fim do 2‚ período, os juros são acrescidos ao montante M1, resultando no montante M2, e assim por diante até o fim dos períodos contratados, em que o capital emprestado terá se transformado no montante Mn. Vamos considerar então um empréstimo de R$ 800,00 a ser pago em 6 meses, à taxa de juros simples de 4% a.m. No fim dos 6 meses, quanto deverá ser pago para a quitação da dívida? Os 4% de juros simples cobrados por mês significam 0,04 ? 800,00 5 R$ 32,00 de acréscimo mensal. Essa é uma situação em que os valores devidos evoluem da seguinte forma: Mês 0: 800,00 Mês 1: 800,00 1 32,00 Mês 2: 832,00 1 32,00 Mês 3: … Mês 4: … … É possível representar a sequência de valores devidos por uma progressão aritmética usando como 1‚ termo o valor devido após o 1‚ período e, como razão, o valor constante a ser pago a título de juros simples: r 5 juro do 1‚ período 5 0,04 ? 800 5 32 an 5 a1 1 (n 2 1)r ⇒ Mn 5 832 1 (n 2 1)32 ⇒ M6 5 832 1 (6 2 1)32 5 992,00 É importante salientar que essa progressão poderia ser mais bem representada usando-se a0 em vez de a1 no termo geral. Assim, teríamos o capital inicial representado no termo geral: an 5 a0 1 nr ⇒ Mn 5 800 1 32n ⇒ M6 5 800 1 32 ? 6 5 992,00 No fim do 6‚ mês, o valor a ser pago será R$ 992,00. 3‚) Numa outra situação, semelhante à anterior, em que há empréstimo de dinheiro para devolução depois de certo número de períodos, mas em que o empréstimo é baseado no sistema de juros compostos, os juros correspondentes a cada período não são constantes e, por isso, precisam ser calculados no fim de cada período relativo ao montante atual da dívida. Dessa forma, no fim do 1‚ período, os juros são acrescidos ao capital inicial, resultando no montante M1. No fim do 2‚ período, os juros são recalculados sobre o montante M1 e somados, resultando no montante M2, e assim por diante até o fim dos períodos contratados, em que o capital emprestado terá se transformado no montante Mn. Vamos considerar então um empréstimo de R$ 800,00 a ser pago em 6 meses, à taxa de juros compostos de 4% a.m. No fim dos 6 meses, quanto deverá ser pago para a quitação da dívida? Antes de iniciar a montagem da sequência de valores devidos, notemos que, quando é preciso aumentar um valor em 4%, o novo valor é imediatamente obtido ao multiplicarmos o valor antigo por 1,04, pois x1 5 x 1 0,04x 5 x(1 1 0,04) 5 1,04x. Chamamos 1,04 de fator de atualização. Essa é uma situação em que os valores devidos evoluem da seguinte forma: Mês 0: 800,00 Mês 1: 800 ? 1,04 5 832,00 Mês 2: 832 ? 1,04 5 800 ? (1,04)2 5 865,28 Mês 3: 865,28 ? 1,04 5 800 ? (1,04)3 5 … Mês 4: … … É possível representar a sequência de valores devidos por uma progressão geométrica usando como 1‚ termo o valor devido após o 1‚ período e, como razão, o valor do fator multiplicativo que permite a atualização do valor: q 5 1 1 i 5 1 1 0,04 5 1,04 an 5 a1 ? qn 2 1 ⇒ Mn 5 832 ? (1,04)n 2 1 ⇒ M6 5 832 ? (1,04)6 2 1 5 1 012,25 Novamente é importante salientar que essa progressão poderia ser mais bem representada usando-se a0 em vez de a1 no termo geral. Assim, teríamos o capital inicial representado no termo geral: an 5 a0 ? qn ) Mn 5 800 ? (1,04)n ) M6 5 800 ? (1,04)6 5 1 012,25 No fim do 6‚ mês, deverão ser pagos R$ 1 012,25. Capítulo 9 | Progressões
331
4‚) Um artesão esculpe carrancas utilizadas em embarcações que navegam no rio São Francisco. Ele tem em estoque 15 carrancas e recebe uma encomenda de 87 carrancas. Sabendo que ele produz 2 carrancas por semana, quantos meses serão necessários para o artesão atender à encomenda? Como o artesão já tem em estoque 15 carrancas, ele deve produzir 87 2 15 5 72 carrancas e, como produz 2 72 carrancas por semana, serão necessárias 5 36 semanas, ou seja, aproximadamente 8 meses. 2 Podemos também resolver este problema utilizando o conceito de progressão aritmética. Assim, a1 5 17 (lembre-se de que no fim da primeira semana ele terá as 15 carrancas do estoque mais as duas produzidas nessa semana); r 5 2 (número de carrancas produzidas por semana) e an 5 87, para que possamos determinar o valor de n. Logo: an 5 a1 1 (n 2 1)r ⇒ 87 5 17 1 (n 2 1)2 ⇒ 70 5 (n 2 1)2 ⇒ 35 5 n 2 1 ⇒ n 5 36 semanas . 8 meses
Exercícios propostos 117. Calcule x e y sabendo que a sequência (x, y, 9) é uma PA e a sequência (x, y, 12) é uma PG crescente.
118. A sequência (x, y, z) é uma PA e a sequência [
1 1 1 , , ] é uma PG. Nessas condições, prove x y x1z
que y 5 2x.
pelos clientes. Faça uma comparação do montante de uma dívida de R$ 1 000,00 após 6 meses, usando os sistemas de juros simples e compostos, verificando se a diferença entre os montantes obtidos com os dois sistemas de juros é significativa, comparada com a dívida*: a) para 0,5% a.m. b) para 5% a.m.
119. A sequência (a1, a2, a3, a4) é uma PA de razão 4 e a
sequência (b1, b2, b3, b4) é uma PG de razão 4. Sabendo que a4 5 b3 e a1 5 b2, escreva a PA e a PG.
Observação: É fácil perceber o motivo que leva à adoção do sistema de juros simples quando o valor do juro é muito baixo. A diferença monetária não compensa o esforço do cliente (ou do lojista) em fazer uso do sistema de juros compostos.
120. Sabendo que os números 2, log x, log y, nessa ordem,
125. Obtenha o valor à vista de um carro cujo valor, no
estão simultaneamente em PA e em PG, calcule x e y.
121. A torcida do glorioso S. C. Corinthians Paulista tem hoje 20 milhões de torcedores e cresce 3% ao ano. Qual será a torcida do time daqui a 10 anos?
122. A espessura de uma folha de papel é 0,05 mm. Forma-se uma pilha de folhas de papel colocando-se na 1· vez uma folha e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já foram colocadas anteriormente. Após 11 operações iguais a essa, qual a altura da pilha de folhas de papel em centímetros?
123. Um sitiante estava perdendo sua plantação de algodão em decorrência da ação de uma praga. Ao consultar um agrônomo da Casa da Lavoura, foi orientado para que pulverizasse, uma vez ao dia, um determinado agrotóxico da seguinte maneira: • 1‚ dia: 2 litros • 2‚ dia: 4 litros • 3‚ dia: 8 litros … e assim sucessivamente. Sabendo que o total de agrotóxico pulverizado foi de 126 litros, determine quantos dias de duração teve esse tratamento.
124. Em alguns países europeus, a taxa de juros é tão baixa que algumas lojas e bancos trabalham com o sistema de juros simples, pois ele é mais facilmente compreendido
financiamento, foi de R$ 8 000,00 de entrada e mais 12 parcelas de R$ 726,00, sabendo que foram cobrados juros compostos de 3% no financiamento. Use sua calculadora.
126. (Fuvest-SP) 500 moedas são distribuídas entre três
pessoas, A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira: A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, C seis, A sete, e assim por diante, até que não haja mais moedas suficientes para continuar o processo. A pessoa seguinte, então, receberá as moedas restantes. a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu? (Deixe explícito como você obteve a resposta.) b) Quantas moedas recebeu cada uma das três pessoas?
127. (UFRRJ) Uma forte chuva ameaça começar a cair na
UFRRJ formando uma goteira no teto de uma das salas de aula. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à metade à medida que a chuva aumenta de intensidade. Se a situação assim se mantiver, em quanto tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a goteira se transformará em um fio contínuo de água?
* Consulte o segundo e o terceiro exemplo das páginas 330 e 331 para lembrar-se de como relacionar juros simples e juros compostos com PA e PG.
332
Matemática
>Atividades adicionais ATENÇÃO! AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC., NÃO ESCREVA NO LIVRO. TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.
A seguir, separadas por regiões geográficas, relacionamos algumas questões de vestibular que envolvem o conteúdo deste capítulo.
Região Norte
1 1 1 , , ,…] tem um limite que, por definição, 3 9 27 é o seu valor. O valor ao qual nos referimos acima é: [1,
a) 2.
d) 1. 3 e) . 2
b) 3. c)
2 . 3
6. (Ufam) Dada a progressão aritmética 2, 5, 8, 11, …
1. (Unifap) Uma progressão aritmética tem como seus dois primeiros termos os números 5 e 10; conhecemos, ainda, que seu último termo é o número 500. Uma outra progressão aritmética tem como seu primeiro termo o número 2, e como seus dois últimos termos os números 492 e 497, respectivamente. Se os termos das duas progressões aritméticas finitas são misturados, obtém-se uma nova sequência. A soma dos termos desta nova sequência é: a) 24 750. b) 25 250. c) 50 200. d) 60 500. e) 62 750.
2. (UFRR) Quantos múltiplos de 7 existem entre 5 e 500? a) 70 b) 71 c) 69
5. (Ufac) A soma dos infinitos termos da sucessão
d) 67 e) 68
3. (Ufam) Sejam A, B, C, nesta ordem, termos de uma progressão aritmética em que A ? C 5 100 e a, b, c, nesta ordem, termos de uma progressão geométrica, em que a 5 A, b 5 C e c 5 80. Então a afirmação falsa é:
Então a soma dos termos da PA desde o 21‚ até o 41‚ termo, inclusive, é igual a: a) 1 954. b) 1 666. c) 1 932. d) 1 656. e) 1 931.
Região Nordeste 7. (UFC-CE) Considere a função real de variável real definida por f(x) 5 22x. Calcule o valor de f(0) 2 f(1) 1 f(2) 2 f(3) 1 f(4) 2 f(5) 1…
8. (Ufal) Considere uma sequência de quadrados Q1, Q2,
Q3, ..., de modo que cada um, a partir do segundo, tenha para vértices os pontos médios dos lados do anterior. A medida do lado de Q1 é 1 cm. 0-0) A área de Q2 é 0,25 cm2. 1-1) Os perímetros desses quadrados são numericamente iguais aos termos de uma progressão
c) a razão da PG é um número par.
2 . 2 2-2) As áreas desses quadrados são numericamente iguais aos termos de uma progressão geométri1 ca de razão . 2
d) A é um número primo.
3-3) A soma dos perímetros desses quadrados é igual
a) B é um número natural. b) a razão da PA é um número racional.
e) C a c .
4. (Ufac) Dentre as sequências abaixo somente uma não representa uma PA ou uma PG. Em qual dos itens abaixo ela aparece? a) Sequência dos números pares positivos. b) Sequência dos números primos maiores que 21 e menores que 70. 1 1 c) 227,29,23,21,2 ,2 , … 3 9 d) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … e)
3 3 2 3 3 2 3 3 2 ,… , , , , , , … 2 4 4 8 8 16
Capítulo 9 | Progressões
aritmética de razão
(
)
a 4 2 1 2 cm. 4-4) A soma das áreas desses quadrados é igual a 4 cm2.
9. (UFC-CE) Seja f uma função polinomial de primeiro grau, crescente e tal que f(f(x))59x18 para todo x real. Sabendo que 2, 5, 8, … 44 é uma progressão aritmética de razão 3, o valor numérico de f(2) 1 f(5) 1 f(8) 1 … 1 f(44) é: a) 1 020. b) 1 065. c) 1 110. d) 1 185. e) 1 260.
333
10. (Unifor-CE) Numa progressão aritmética, o quarto e o sétimo termos são, respectivamente, 2 e 27. A soma dos vinte primeiros termos dessa progressão é: a) 2350. b) 2330. c) 2310. d) 2290. e) 2270.
11. (Uece) Uma progressão geométrica finita possui primeiro termo igual a 1, razão igual a 4 e último termo igual a 2100. O produto dos termos desta progressão é igual a: a) 42 750. b) 23 000. c) 42 500. d) 22 550.
002) A sequência dos logaritmos decimais forma uma progressão aritmética. 004) A razão da progressão formada pelos logaritmos decimais é igual a 1,4. 008) A razão da progressão formada pelos logaritmos decimais é igual a 1,7. 016) A razão da progressão formada pelos logaritmos decimais é igual a 6.
15. (UFMS) Uma sequência é construída com palitos de
forma que, a partir de um quadrado, é construído o quadrado seguinte com acréscimo de mais palitos, como mostra a figura a seguir. Na primeira figura, são gastos 4 palitos, na segunda, 12 palitos, na terceira, 24 palitos e assim por diante. Quantos palitos serão usados para fazer a 10· figura da sequência?
Região Centro-Oeste 12. (UEG-GO) Sabendo que o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em progressão aritmética, calcule a medida do lado do quadrado.
13. (Unemat-MT) Em uma festa de encerramento de um grande torneio esportivo todos os atletas foram dispostos em 40 filas formando um triângulo, como indica a figura abaixo. Fila 01 02 03 04
40
Diante desse quadro quantos atletas participaram do torneiro? a) 41 atletas b) 840 atletas c) 820 atletas d) 420 atletas e) 1 680 atletas
14. (UFMS) Considere uma sequência de números positivos que formam uma progressão geométrica de razão 24. Se tomarmos uma sequência formada pelos logaritmos decimais dos números da progressão geométrica, construiremos outra progressão. Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). (Dados: logaritmos decimais log 2 5 0,3 e log 3 5 0,5.) 001) A sequência dos logaritmos decimais forma uma progressão geométrica.
334
… 1· figura
2· figura
3· figura
16. (UFG-GO) A figura abaixo representa uma sequência
de cinco retângulos e um quadrado, todos de mesmo perímetro, sendo que a base e a altura do primeiro retângulo da esquerda medem 1 cm e 9 cm, respectivamente. Da esquerda para a direita, as medidas das bases desses quadriláteros crescem, e as das alturas diminuem, formando progressões aritméticas de razões a e b, respectivamente. Calcule as razões dessas progressões aritméticas.
9
1
17. (UEMS) Seja (a1, a2, a3, ...) uma progressão aritmética tal que a55 5 176 e a33 5 242. Então o valor de a3 é: a) 348. b) 344. c) 338. d) 332. e) 32.
Região Sudeste 18. (FCMSCSP) Numa progressão aritmética de 7 termos, a soma dos dois primeiros é 14 e a dos dois últimos é 54. Calcule a razão e o último termo dessa PA.
19. (Fuvest-SP) Seja A o conjunto dos 1 993 primeiros números inteiros estritamente positivos.
Matemática
a) Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao conjunto A? b) Quantos números de A não são múltiplos inteiros nem de 3 nem de 5?
20. (Ufes) Três polígonos têm o número de seus lados em progressão aritmética de razão 3. Se a soma dos ângulos internos dos três polígonos vale 3 240°, então o número de diagonais do polígono de maior número de lados é: a) 77. b) 44. c) 65. d) 54. e) 35.
21. (UFRRJ) Em uma PA não constante de sete termos, com termo médio igual a 6, os termos 2‚, 4‚ e 7‚, nesta ordem, formam uma PG. Determine esta PA.
22. (Fuvest-SP) Sejam a e b números reais tais que: • a, b e a 1 b formam, nessa ordem, uma PA; • 2a, 16 e 2b, formam, nessa ordem, uma PG. Então, o valor de a é: 2 a) . 3 4 b) . 3 5 c) . 3 7 d) . 3 8 e) . 3
24. (UFSC) Uma função f é definida recursivamente como f(n 1 1) 5
5f(n) 1 2 . Sendo f(1) 5 5, o valor de f(101) é: 5
a) 45. b) 50. c) 55. d) 60. e) 65.
25. (UFSC) Na progressão geométrica [10, 2, 2 , 2 , ...], 2 qual é a posição do termo ? 625
5 25
26. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
01) Se f(x) 5 3x 1 a e a função inversa de f é x g(x) 5 1 1, então a 5 23. 3 02) Se (an) e (bn) são duas progressões aritméticas, então (an 1 bn) é uma progressão aritmética.
04) A equação
x 2 1 1 5 x 2 1 não tem solução real.
08)
43 1 x 2 4x 2 3 5 64 para todo x real. 4x 1 4x 2 3
16)
n2 1 n 1 para todo número inteiro n. n 1
27. (UPF-RS) A sequência de números reais x, y, z, w forma,
23. (UFRJ) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua inaba-
lável paciência, deseja bater o recorde mundial de construção de castelo de cartas. Ele vai montar um castelo na forma de um prisma triangular no qual cada par de cartas inclinadas que se tocam deve estar apoiado em uma carta horizontal, excetuando-se as cartas da base, que estão apoiadas em uma mesa. A figura a seguir apresenta um castelo com três níveis.
♠♠ ♠
28. (Udesc) O primeiro termo de uma progressão geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão dessa progressão é: a) 2. d) 4. b) 10. e) 6. c) 5.
♠♠ ♠
6
métrica infinita é 3, e sua soma é 3,333... A razão dessa progressão é: a) 23.
♦♦ ♦♦ ♥
♥♥ ♥ 5
♣
4
Α
♦
nessa ordem, uma progressão aritmética cuja soma dos termos é 80; a sequência de números reais x, y, p, q forma, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 3. A diferença q 2 w é igual a: a) 90. b) 100. c) 120. d) 150. e) 180.
29. (PUC-RS) O primeiro termo de uma progressão geo-
Α
♠ ♠ 2
Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis. Determine o número de cartas que ele vai utilizar. Capítulo 9 | Progressões
Região Sul
b) 2
1 . 3
1 . 3 1 d) 2 . 10 1 e) . 10
c)
335
capítulo 10
Matemática* financeira As primeiras transações comerciais de que se tem notícia foram as trocas de mercadorias. Preocupados com os bens que poderiam acumular, os povos começaram a trocar o excedente do que produziam por mercadorias que lhes fossem mais convenientes. É daí que vem o termo salário, quantidade de sal que era dada como pagamento. As primeiras moedas surgiram no século VII a.C. na Turquia. Eram peças feitas geralmente de metal, que substituíam as mercadorias e iam organizar a comercialização de produtos. Durante muito tempo possuíram um valor real que dependia, portanto, do material de que eram feitas (bronze, prata, ouro), ao contrário do que acontece hoje, quando as moedas têm valor nominal. /Latinstock
bettmann/corbis
Na Idade Média surgiu o costume de guardar valores com o ourives, pessoa que negociava objetos de ouro e prata. E como garantia os proprietários ficavam com um recibo que com o tempo acabou sendo usado para efetuar pagamentos, dando origem à “moeda de papel”. Ficava assim instituída a figura do banco. A relação entre o dinheiro e o tempo foi logo percebida, uma vez que em processos de acumulação de capital a moeda desvalorizava com o passar do tempo. Foi então que surgiu o conceito de juro, uma espécie de remuneração do banqueiro. Por volta de 575 a.C., a Babilônia sediava alguns “escritórios de banqueiros” que cobravam altas taxas pelo dinheiro que emprestavam a fim de financiar o comércio internacional da época. O juro era pago como uma recompensa pelo dinheiro emprestado, como se fosse um aluguel. Com o tempo, uma extensa rede bancária foi criada no século XII, iniciada em Veneza. Proliferavam-se, então, as instituições financeiras.
Imagem do Chemical Bank de Nova York, em 1885.
336
Matemática
Assim se desenvolveu a Matemática financeira, que utiliza uma série de conceitos matemáticos aplicados à análise de dados financeiros em geral. É uma área da Matemática especialmente prática, pois é aplicada em situações particulares e objetivas. Atualmente, qualquer transação comercial demanda, de quem a faz, certos conhecimentos de alguns conceitos específicos dessa área da Matemática. A simples decisão de comprar um bem a prazo ou à vista envolve conhecimentos financeiros: no caso de se dispor do dinheiro e ele estar aplicado, precisaremos comparar os juros cobrados pela loja e os oferecidos pelo banco. Porcentagem, juro, montante, capital são alguns dos conceitos específicos dessa área do conhecimento, e sua aplicação será objeto de estudo deste capítulo.
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
>Atividades 1. No mês de abril, o controle de qualidade de uma indústria de rolamentos constatou que a cada 350 peças fabricadas, 21 apresentavam defeito. Tomadas as devidas providências, no mês de junho essa razão passou a 12 peças defeituosas em cada lote de 250 fabricadas. Mostre que de abril para junho o índice de peças defeituosas, na produção dessa indústria, diminuiu 1,2%.
2. João
emprestou R$ 10 000,00 a um amigo. Eles combinaram que três meses depois o amigo lhe devolveria R$ 10 800,00, sendo os R$ 800,00 a título de remuneração pelo dinheiro emprestado. Calcule a porcentagem representada por essa remuneração sobre o valor emprestado.
a) Complete a tabela que retrata essa situação durante o primeiro trimestre de 2009: Dia 1‚ de
Saldo (R$)
2% do saldo
Cálculo efetuado
Janeiro
300,00
0,02 ? 300
300 + 0,02 ? 300
Fevereiro
306,00
Março Abril
3. Uma pessoa aplicou R$ 300,00 numa instituição
b) Se na primeira linha da última coluna você registrou o cálculo sobre o saldo anterior, como ficariam as três linhas seguintes se o cálculo fosse sempre em relação ao saldo inicial?
financeira no primeiro dia do mês de janeiro de 2009, de modo que no primeiro dia de cada mês seguinte o dinheiro aplicado rendesse juros de 2% sobre o saldo do mês anterior.
c) Supondo que essa aplicação seja feita por tempo indeterminado, calcule, observando os resultados encontrados no item b, qual será o saldo depois de 24 meses.
Capítulo 10 | Matemática financeira
337
1. Introdução Entre as inúmeras aplicações da Matemática está a de auxiliar na resolução de problemas de ordem financeira, como cálculo do valor de prestações, pagamento de impostos, rendimento de poupança e outros. Veja um destes problemas: Uma pessoa vai fazer uma compra no valor de R$ 4 000,00 usando o que tem depositado na caderneta de poupança, que está rendendo 1% ao mês. Ela quer saber, do ponto de vista financeiro, qual plano de pagamento é mais vantajoso: • pagar à vista; ou • pagar em duas prestações iguais de R$ 2 005,00 cada uma, com entrada. Esse problema e outros, que envolvem assuntos de Matemática financeira, serão estudados e resolvidos neste capítulo.
2. Números proporcionais Vimos nos capítulos 4 e 7 aplicações da ideia de proporcionalidade. Vamos agora estudar mais uma aplicação desse importante conceito matemático. O que o número 3 representa em relação ao 6? Representa a metade de 6. O mesmo vale para o 10, que representa a metade de 20, e o 8, que representa a metade de 16. Dizemos então que os números 3, 10 e 8 são diretamente proporcionais aos números 6, 20 e 16, nessa ordem. Veja: 3 10 8 6 20 16 ↓ ↓ ↓ 1 1 1 2 2 2 Nesse caso,
Para refletir 3 10 8 21 1 6 20 16 42 2
1 é considerado coeficiente de proporcionalidade. 2
Podemos então dizer que os números reais não nulos a, b, c, d, …, n são diretamente proporcionais aos números a’, b’, c’, d’, …, n’, nessa ordem, se e somente se: a b c d n … a’ b’ c’ d’ n’ Além disso, lembre-se de que: • a fração irredutível equivalente a • a fração
a é chamada de coeficiente de proporcionalidade (k); a’
a b c … n k . a’ b ’ c’ … n’
Dizemos que os números reais não nulos a, b, c, …, n são inversamente proporcionais aos números reais a’, b’, c’, 1 1 1 1 …, n’, nessa ordem, quando são diretamente proporcionais aos números , , , …, . Ou seja: n’ a’ b’ c’ a b c n ou a ? a’ b ? b’ c ? c’ … n ? n’ 1 1 1 1 a’ b’ c’ n’
338
Matemática
Exemplos: 1‚) Vamos verificar se os números 15, 20 e 35 são proporcionais (diretamente proporcionais) aos números 12, 16 e 21, nessa ordem. 15 20 35 12 16 21 ↓ ↓ ↓ 5 5 5 4 4 3
Logo, 15, 20 e 35 não são proporcionais a 12, 16 e 21.
2‚) Os números 35, 14 e x são proporcionais aos números y, 16 e 24, nessa ordem. Vamos determinar x e y. 35 14 x y 16 24 ↓ 7 8
35 7 ⇒ 7y 280 ⇒ y 40 y 8 x 7 ⇒ 8x 168 ⇒ x 21 24 8 Portanto, x 21 e y 40.
3‚) Vamos calcular o valor de x e y, sabendo que os números 9, x e 2 são inversamente proporcionais aos números 4, 6 e y, nessa ordem. 9 x 2 ⇒ 36 6x 2y 1 1 1 4 6 y
6x 36 ⇒ x 6 2y 36 ⇒ y 18 Logo, x 6 e y 18.
Exercícios propostos
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NÃO ESCREVA NO LIVRO.
1. Verifique se os números são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não são proporcionais, na ordem em que aparecem: a) os números 4, 6 e 14 e os números 6, 9 e 21; b) os números 10 e 4 e os números 2 e 5; c) os números 12, 15 e 9 e os números 16, 20 e 12; d) os números 5 e 8 e os números 6 e 4.
2. Calcule x, y e z sabendo que eles são diretamente proporcionais aos números 4, 10 e 12, nessa ordem, e que x 1 y 1 z 5 91.
3. Se a quantia de R$ 1 200,00 rendeu R$ 175,00, quanto rendeu, proporcionalmente, a quantia de R$ 1 008,00 no mesmo período?
Divisão de uma quantia em partes proporcionais Analise a seguinte situação: Três sócios tiveram a seguinte participação em um negócio: o primeiro investiu R$ 5 000,00, o segundo R$ 4 000,00 e o terceiro R$ 2 000,00. No final de certo período foi apurado um lucro de R$ 3 300,00. Como deve ser repartido esse lucro? Em casos assim, o lucro deve ser repartido de forma proporcional à quantia que cada um investiu. Capítulo 10 | Matemática financeira
339
Então: x y z x y z 3300 3 5000 4 000 2000 5000 4 000 2000 11000 10 x 3 ⇒ 10x 15 000 ⇒ x 1 500 5000 10
Para refletir O segundo sócio investiu o dobro do terceiro e por isso deve receber o dobro do terceiro.
y 3 ⇒ 10y 12 000 ⇒ y 1 200 4 000 10 z 3 ⇒ 10z 6 000 ⇒ z 600 2000 10 O primeiro sócio receberá R$ 1 500,00, o segundo, R$ 1 200,00 e o terceiro, R$ 600,00.
Exercícios propostos 4. Reparta o número 364 em parcelas proporcionais
6. Reparta a quantia de R$ 945,00 em partes inversamente proporcionais aos números 6 e 8.
aos números 16, 40, 32 e 24.
5. Uma pessoa aplicou R$ 840,00 em uma caderneta
7. Dois sócios, Paulo e Rafael, repartiram o lucro final de
de poupança e R$ 560,00 em outra, ambas durante o mesmo período, no mesmo banco. Se no final desse período as duas juntas renderam R$ 490,00, qual foi o rendimento de cada uma?
um negócio, que foi de R$ 4 900,00, de forma proporcional à quantia que cada um investiu. Sabe-se que Rafael investiu R$ 2 000,00 a mais que Paulo e seu lucro foi de R$ 700,00 a mais que o de Paulo. Qual foi o investimento de cada um nesse negócio?
3. Porcentagem Você já estudou no Ensino Fundamental que a porcentagem é uma forma usada para indicar uma fração de denominador 100 ou qualquer representação equivalente a ela. Veja os exemplos: 1‚) 50% é o mesmo que
50 1 ou ou 0,50 ou 0,5 (metade) 100 2
2‚) 75% é o mesmo que
75 3 ou ou 0,75 100 4
3‚) 9% é o mesmo que
9 ou 0,09 100
4‚) 0,4 é o mesmo que 0,40 ou 5‚)
40 ou 40% 100
6 3 15 é o mesmo que ou ou 15% 40 20 100
6‚) 8 pessoas em um grupo de 10 correspondem a
8 80 ou ou 80% do grupo 10 100
21 7 ou ou 7% do total. 300 100 Algumas porcentagens, de uso mais constante, devem ter seus valores bem conhecidos. Observe e procure justificar cada uma delas: 1 • 100%: total • 20%: ou 0,2 (quinta parte) 5 1 3 • 25%: ou 0,25 (quarta parte) • 75%: ou 0,75 4 4 7‚) Num total de R$ 300,00, a quantia de R$ 21,00 equivale a
340
Matemática
• 1%:
1 ou 0,01 100
1 ou 0,5 (metade) 2 1 • 10%: ou 0,1 10 • 50%:
• 200%: o dobro
Porcentagem de uma quantia Se uma mercadoria que custa R$ 450,00 está sendo vendida com desconto de 8%, veja como calcular de quanto é o desconto e por quanto ela está sendo vendida. 8 2 de 450, ou seja: Devemos calcular 8% 25 100 2 2 450 36 de 450 25 25 450 36 414 Logo, o desconto é de R$ 36,00 e a mercadoria está sendo vendida por R$ 414,00. Na sentença 8% de R$ 450,00 R$ 36,00, temos: 8%: porcentagem R$ 450,00: total (corresponde a 100%) R$ 36,00: valor correspondente a 8% Basicamente, as situações com porcentagem são resolvidas usando-se os três problemas exemplificados a seguir. Cada um deles pode ser resolvido de várias formas. Procure entender cada uma delas. 1‚) Qual é o valor de 45% de 60? 2 700 45 x • 45% de 60 ? • 45% de 60 ? • 27 ⇒ 100x 2 700 ⇒ x 100 100 60 ↓ ↓ 0, 45 45 9 100 20 0,45 60 27 9 60 27 20 Logo, 45% de 60 27.
2‚) 80% de quanto dá 28? • 80% de ? 28 • 80% de ? 28 • ↓ 80 4 100 5
↓ 0, 80 0, 8
80 28 2 800 35 ⇒ 80x 2 800 ⇒ x 100 x 80
28 : 0,8 35
28 : 4 7 7 5 35 Portanto, 80% de 35 28. 3‚) A quantia de R$ 36,00 corresponde a quanto por cento de R$ 120,00?
• ?% de 120 36
36 6 30 → 30% 120 20 100
• ?% de 120 36 36 : 120 0,3 0,3 0,30 → 30%
Capítulo 10 | Matemática financeira
Para refletir É importante escolher em cada problema a forma mais conveniente de resolução.
341
•
x 36 3600 30 ⇒ 120x 3 600 ⇒ x 100 120 120
Logo, 30% de R$ 120,00 R$ 36,00. 1 1 Observação: Para calcular 10% ou 1% de um número, basta “andar com a vírgula” uma ou duas casas 10 100 para a esquerda, respectivamente.
Exemplos: 1‚) 10% de 450 45,0 ou 45
Para refletir
2‚) 10% de R$ 38,00 R$ 3,80
Qual é o valor de 10% de R$ 8,00 e 1% de R$ 8,00?
3‚) 1% de 450 4,50 ou 4,5 4‚) 1% de R$ 2 000,00 R$ 20,00
Exercícios propostos 8. Represente: a) 65% em forma de fração irredutível; b) 4% na forma decimal; c)
48 em forma de porcentagem; 75
d) 0,7 em forma de porcentagem; e) 1
4 em forma de porcentagem; 5
f ) 40% de 30% numa única porcentagem.
9. Desenhe um círculo e pinte 75% dele.
10. Calcule e responda:
Para refletir
a) Qual é o valor de 60% de 95? b) Quanto por cento de 70 é Se x indica uma certa quantia, podemos igual a 56? representar 60% de c) 6 são 15% de que número? x por 60x ou 3x 5 d) Quanto valem 3,5% de 100 ou 0,6x. Como se R$ 650,00? representam 75% e) R$ 75,20 correspondem a de x 1 9? 20% de que quantia? f ) Em relação a um total de R$ 300,00, a quantia de R $ 171,00 corresponde a quanto por cento? g) 0,5% de R$ 85,00 dá um valor maior ou menor do que 1% de R$ 170,00?
Fator de atualização O fator de atualização (f) é a razão entre dois valores de uma grandeza em tempos diferentes (passado, presente ou futuro). O fator de atualização é a ferramenta mais indicada para quem quer trabalhar com Matemática financeira, seja na preparação para os vestibulares, seja na vida cotidiana. Na divisão entre dois valores quaisquer, só existem três resultados possíveis. Ou resulta 1, ou maior que 1 ou menor que 1. Quando o resultado da divisão é 1 significa que os dois valores são iguais, portanto, nenhum é maior nem menor que o outro. Um valor é 100% do outro. Por isso diz-se que f 1 é o fator neutro. A No caso de a divisão resultar em número maior do que 1, como 1,05, podemos entender o resultado de B duas formas diferentes: 1·) A é 5% maior que B ou 2·) A é 105% de B (portanto 5% maior) Ambas interpretações são corretas e seu uso depende do melhor contexto. No caso de a divisão resultar em A número menor do que 1, como 0,90, também podemos entender o resultado de duas formas diferentes: B 1·) A é 10% menor que B ou 2·) A é 90% de B (portanto 10% menor)
342
Matemática
Também aqui a escolha sobre qual interpretação é melhor depende do contexto. Na prática, se a opção for pela primeira interpretação, então precisamos aprender a obter a taxa percentual i a partir do valor do fator de atualização. • Se f 1, f 1 1 i; portanto a taxa é i f 1, em números decimais. • Se f 1, f 1 i; portanto a taxa é i 1 f, em números decimais. Assim: • f 1,05 ⇒ i f 1 0,05 ⇒ taxa 0,05 100 5% (maior do que…) • f 0,90 ⇒ i 1 f 0,10 ⇒ taxa 0,10 100 10% (menor do que…)
Aumentos e descontos Na comparação de dois valores diferentes de uma mesma grandeza, f 1 significa aumento (ou acréscimo de valor) e f 1 significa desconto (ou perda de valor), pois o valor da grandeza variou no tempo e o valor mais antigo é a base de comparação. O fator f 1 significa que não houve variação: f f 1 → aumento
valor novo valor velho
f 1 → desconto
f 1 → não houve variação
Aumentos e descontos sucessivos Para compor vários aumentos e/ou descontos basta multiplicar os vários fatores individuais e assim obter o fator “acumulado”, que nada mais é que o fator de atualização entre o primeiro e o último valor considerado, independentemente dos valores intermediários. facumulado f1 f2 f3 f4 … O fator acumulado é também um fator de atualização e deve ser interpretado como tal.
Exemplos: 1‚) (Vunesp) Se a taxa de inflação de janeiro é de 6% e a de fevereiro é de 5%, então a taxa de inflação no bimestre janeiro/fevereiro é de: a) 11%. b) 11,1%. c) 11,2%. d) 11,3%. e) 11,4%.
f1 1 1 0,06 1,06 f2 1 1 0,05 1,05 facumulado f1 f2 ⇒ facumulado 1,06 1,05 1,113 ⇒ 1 1 i 5 1,113 ⇒ i 5 0,113 11,3%
Resposta: alternativa d.
2‚) (UEL-PR) Em uma liquidação os preços dos artigos de uma loja são reduzidos em 20% de seu valor. Terminada a liquidação e pretendendo voltar aos preços originais, de que porcentagem devem ser acrescidos os preços da liquidação? a) 27,5% b) 25% c) 22,5% d) 21% e) 20%
f1 1 0,20 0,80 f2 ? facumulado f1 f2 1 (f 1 significa que não houve alteração: voltou aos valores originais) Assim: 1 facumulado 0,80f2 1 ⇒ f2 1,25 0, 8 Como f2 1, então: f2 1 1 i 1,25 ⇒ i 0,25 25% Resposta: alternativa b.
Capítulo 10 | Matemática financeira
343
3‚) A tabela a seguir mostra a variação do preço do dólar em uma semana qualquer, em termos percentuais. No valor acumulado desses 5 dias, o que aconteceu com o preço do dólar? (Subiu? Caiu? Quanto por cento?) Dia
Variação
Segunda-feira
22,35%
Terça-feira
1,37%
Quarta-feira
1,05%
Quinta-feira
20,13%
Sexta-feira
0,21%
Temos de compor as cinco variações para poder emitir um julgamento. Para isso, precisamos dos fatores de atualização de cada variação: f1 1 0,0235 0,9765 f2 1 1 0,0137 1,0137 f3 1 1 0,0105 1,0105 f4 1 0,0013 0,9987 f5 1 1 0,0021 1,0021 Assim: facumulado f1 f2 f3 f4 f5 0,9765 1,0137 1,0105 0,9987 1,00211,00107
Como o fator facumulado 1, então:
Então, o dólar teve uma pequena alta de 0,107%.
f 1 1 i ⇒ i 0,00107 0,107%
4‚) O preço de uma camisa passou de R$ 50,00 para R$ 59,00. Qual foi o aumento percentual desse preço?
Preço velho: 50,00
Preço novo: 59,00
f
Como f 1, então:
preço novo 59, 00 1,18 preço velho 50, 00 f 1 1 i 1,18 ⇒ i 0,18 18%
Logo, o aumento percentual foi de 18%.
Exercícios propostos 11. Escreva o fator de atualização correspondente a cada situação: a) 3% de aumento b) 3% de desconto c) 15% de aumento
d) 15% de desconto e) 230% de aumento f) 3 000% de aumento
12. Interprete cada fator de atualização definindo se é aumento ou desconto, e qual o valor da taxa. a) f 1,13 c) f 2 e) f 30 b) f 0,70 d) f 0,95
13. Avalie o efeito acumulado de cada situação a seguir, definindo qual é o aumento ou desconto equivalente. a) Aumento de 3% e aumento de 5%. b) Aumento de 10% e desconto de 20%. c) Três aumentos de 10%. d) Dois aumentos de 6% e três descontos de 4%.
344
14. O índice da Bolsa de Valores de São Paulo (Ibovespa) fechou o ano de 2008 com 37 550,31 pontos. A tabela abaixo mostra a variação percentual desse índice nos últimos 4 anos. Com quantos pontos estava o Ibovespa no fim de 2004 (ou seja, antes de 2005)? Ano
2008
2007
Variação 241,22% 43,65%
2006
2005
32,93%
27,71%
Fonte: www.bovespa.com.br. Acesso em 11/8/2009.
15. Investi R$ 11 000,00 num fundo de aplicação de um banco e hoje, após 3 meses, tenho R$ 11 440,00. Qual foi o rendimento percentual obtido nesse período de 3 meses?
Matemática
Resolução de problemas com porcentagem A partir das informações já dadas, estamos em condições de resolver uma série de problemas que envolvem porcentagem. Acompanhe a seguir os exemplos de alguns desses problemas resolvidos. 1‚) Uma geladeira, cujo preço à vista é de R$ 680,00, tem um acréscimo de 5% no seu preço se for paga em 3 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação? 1‚ modo: 5% de 680 0,05 680 34 (acréscimo) 680 1 34 714 (preço em 3 prestações iguais) 714 : 3 238 (valor de cada prestação)
2‚ modo: t 5% 0,05 f 1 1 0,05 1,05 680 1,05 714 714 : 3 238 Então, o valor de cada prestação é de R$ 238,00.
O salário de um trabalhador era de R$ 840,00 e passou a ser de R$ 966,00. Qual foi a porcentagem de aumento? 1‚ modo: 966 840 126 (aumento em reais) ?% de 840 126 126 18 3 15 → 15% 840 120 20 100 ↓ 2‚)
2‚ modo:
aumento em porcentagem
?% de 840 966 (salário anterior mais aumento) 966 138 23 115 → 115% → 100% 1 15% 840 120 20 100 ↓ 3‚ modo: 966 1,15 f 840 f 1 ⇒ aumento f 1 1 i 1,15 ⇒ i 0,15 15% Logo, a porcentagem de aumento foi de 15%.
aumento
3‚) Laura gastou R$ 900,00 na compra de uma bicicleta, de um aparelho de som e de uma estante. A bicicleta custou R$ 60,00 a menos que a estante e o preço do aparelho de som corresponde a 80% do preço da bicicleta. Quanto custou cada uma das mercadorias? Preço da estante: x Preço da bicicleta: x 60 Preço do aparelho de som: 4( x 60) 80% de (x 60) → 5 ↓ 80 4 100 5 4( x 60) 5 040 x 1 x 60 1 900 ⇒ 5x 1 5x 300 1 4x 240 4 500 ⇒ 14x 5 040 ⇒ x 360 5 14 Logo, os preços foram: estante: R$ 360,00 bicicleta: R$ 300,00 (360 60) aparelho de som: R$ 240,00 (80% de 300) Capítulo 10 | Matemática financeira
345
Exercícios propostos 16. Um televisor cujo preço é R$ 685,00 está sendo vendido, em uma promoção, com desconto de 12%. Por quanto ele está sendo vendido?
17. Um objeto que custava R$ 70,00 teve seu preço aumentado em R$ 10,50. De quanto por cento foi o aumento?
18. Uma mercadoria custava R$ 80,00 e seu preço foi reajustado (aumentado) em 5%. Se ao novo preço for dado um desconto de 5%, ela voltará a custar R$ 80,00? Justifique a resposta. Calcule os preços após o aumento e após o desconto.
19. O mesmo modelo de uma geladeira está sendo vendido em 2 lojas do seguinte modo:
• na 1· loja, sobre o preço de R$ 800,00 há um des conto de 8%; • na 2· loja, sobre o preço de R$ 820,00 há um des conto de 10%. Qual dessas ofertas é a mais conveniente para o cliente?
20. Um fogão está sendo vendido nas seguintes condições: 30% de entrada e o restante em 5 prestações iguais de R$ 58,80 cada uma. Qual é o preço desse fogão?
21. Um comerciante comprou uma peça de tecido de
23. A quantia de R$ 1 890,00 foi repartida entre 3 pessoas
da seguinte forma: Marta recebeu 80% da quantia de Luís e Sérgio recebeu 90% da quantia de Marta. Quanto recebeu cada pessoa?
24. Uma camisa custava R$ 36,00. Após um aumento de 6%, qual será seu preço?
25. Uma calça teve um aumento de 7% e passou a custar R$ 59,00. Qual era o preço antes do aumento?
26. Um posto de gasolina aumentou seus preços em 5%
em fevereiro e 3% em janeiro. Se a gasolina custa agora R$ 2,59, quanto custava antes dos aumentos?
27. O fluxo de veículos em determinada rua passou de 3 por
hora para 3 por minuto depois que ela foi asfaltada. Qual foi o aumento percentual do fluxo de veículos nessa rua?
28. O que você prefere quando for comprar alguma coi-
sa: receber um único desconto de 55% ou dois descontos sucessivos de 30%? Justifique do ponto de vista financeiro.
29. Se eu tiver um aumento de 9% em meu salário, passarei a receber R$ 566,80. Porém, isso não acontecerá, e eu só terei 5% de aumento. Qual será o meu salário com esse aumento?
100 m por R$ 800,00. Se ele vender 40 m com lucro de 30%, 50 m com lucro de 10% e 10 m pelo preço de custo, quanto por cento de lucro ele terá na venda de toda a peça?
30. O dólar caiu 3% em janeiro. Em fevereiro caiu mais x%.
22. Certa mercadoria é vendida nas lojas A e B, sendo
31. Tio João comprou um lote de 100 ações da Petrobras,
R$ 20,00 mais cara em B. Se a loja B oferecesse um desconto de 10%, o preço nas duas lojas seria o mesmo. Qual é o preço na loja A?
Se no bimestre a queda acumulada foi de 5%, de quanto por cento foi a queda do dólar em fevereiro? pagando R$ 40,00 por ação. Além desse gasto, pagou 2% do total em taxas de corretagem. Quanto tio João gastou no total?
4. Termos importantes de Matemática financeira
Vamos supor que uma pessoa aplique certa quantia (capital) em uma caderneta de poupança por determinado período (tempo). A aplicação é como se ela estivesse fazendo um empréstimo ao banco. Então, no fim desse período, essa pessoa recebe uma quantia (juros) como compensação. O valor dessa quantia é estabelecido por uma porcentagem (taxa de juros). Ao final da aplicação, a pessoa terá em sua conta a quantia correspondente a capital 1 juros (montante). Veja o exemplo: Um banco oferece rendimento de 1,2% ao mês. Se uma quantia de R$ 600,00 for aplicada nesse banco, vejamos que quantia o cliente terá em sua conta no fim de 1 mês: 1,2% de 600 0,012 600 7,2 600,00 1 7,20 607,20 No fim de 1 mês de aplicação a quantia em depósito será de R$ 607,20. Nesse problema, temos: R$ 600,00: capital (C) ou principal R$ 7,20: juros (j) 1 mês: tempo (t) R$ 607,20: montante (M) 1,2% ao mês: taxa de juros (i) Observação: Na internet, pode-se acessar uma calculadora financeira on-line em www.webcalc.com.br/financas/ calc_fin.html. Acesso em 10/11/2009.
346
Matemática
Juros simples Um capital aplicado à taxa de 2% de juros simples ao mês, durante 5 meses, rende 10% do capital no final desses 5 meses, ou seja, 5 2%. Vejamos agora alguns exemplos de problemas sobre juros simples. Lembre-se de que a taxa e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo (% ao mês e meses, % ao dia e dias, % ao ano e anos, e assim por diante). 1‚) O capital de R$ 530,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses?
3% de R$ 530,00 0,03 530 R$ 15,90 (juros em 1 mês) 5 R$ 15,90 R$ 79,50 (rendimento em juros simples ao fim de 5 meses) R$ 530,00 1 R$ 79,50 R$ 609,50 (montante) Após 5 meses o montante será de R$ 609,50.
2‚) Um capital de R$ 600,00, aplicado à taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1 080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo? 1 080 600 480 (juros obtidos após todo o período de aplicação) ?% de 600 480 480 80 80% (porcentagem do rendimento) 600 100 Como 80 : 20 4, temos: 4 20% 80% Logo, o tempo de aplicação foi de 4 anos. Generalização: Podemos escrever um problema de juros simples assim: Se um capital C, aplicado à taxa de i% ao período, no sistema de juros simples, rende juros j no fim de t períodos, então: i C juros obtidos no fim de 1 período (i C)t juros obtidos no fim de t períodos → j C i t O 1‚ e o 2‚ exemplo podem ser resolvidos usando as fórmulas: jCit
e
MC1j
Resolva-os com a aplicação das fórmulas.
Exercícios propostos
Use calculadora se desejar.
32. Quanto rendeu a quantia de R$ 600,00, aplicada a
juros simples, com a taxa de 2,5% ao mês, no final de 1 ano e 3 meses?
33. Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples
com uma taxa de 2% ao mês, resultou no montante de R$ 880,00 após um certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação?
34. Uma dívida de R$ 750,00 foi paga 8 meses depois de contraída e os juros pagos foram de R$ 60,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros?
35. Um capital aplicado a juros simples rendeu, à taxa de
36. Em 1‚/3/2010 uma pessoa emprestou a quantia de R$ 4 000,00, a juros simples, com a taxa de 4% ao mês. Qual era o montante da dívida em 1‚/7/2010?
37. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado para que seu valor dobre, no sistema de juros simples, à taxa de 2% ao mês?
38. Se o capital de R$ 300,00 rende mensalmente R$ 12,00, qual é a taxa anual de juros no sistema de juros simples?
39. Se uma mercadoria cujo preço é de R$ 200,00 for paga em 6 meses, com a taxa de 20% ao ano, quanto será pago de juros no sistema de juros simples?
25% ao ano, juros de R$ 110,00 depois de 24 meses. Qual foi esse capital?
Capítulo 10 | Matemática financeira
347
Juros compostos Vejamos o seguinte problema: Um capital de R$ 40 000,00 foi aplicado à taxa de 2% ao mês, durante 3 meses. Qual foi o montante no fim dos 3 meses? • Vimos que, no sistema de juros simples, calculamos: 2% de 40 000 0,02 40 000 800 (juros produzidos em 1 mês) 800 3 2 400 (juros produzidos em 3 meses) 40 000 1 2 400 42 400 (montante ao final de 3 meses) • No sistema de juros compostos, temos: No primeiro mês: 2% de 40 000 800 (juros produzidos no 1‚ mês) 40 000 1 800 40 800 (montante no fim do 1‚ mês) No segundo mês: 2% de 40 800 816 (juros produzidos no 2‚ mês) 40 800 1 816 41 616 (montante no fim do 2‚ mês) No terceiro mês: 2% de 41 616 832,32 (juros produzidos no 3‚ mês) 41 616 1 832,32 42 448,32 Logo, no fim dos três meses o montante é de R$ 42 448,32. No sistema de juros simples os juros foram de R$ 2 400,00 e no de juros compostos foram de R$ 2 448,32. O que gerou essa diferença? Note que, no sistema de juros compostos, deve-se calcular os juros no fim de cada período, formando um montante sobre o qual se calculam os juros do período seguinte, até esgotar o tempo da aplicação (é o que se chama de “juros sobre juros”). Além disso, é possível perceber que esse processo usado na resolução (cálculo mês a mês) não é conveniente para um prazo longo. Vamos então determinar um processo mais prático de resolução.
Fórmulas Vamos calcular, no sistema de juros compostos, qual será o montante (M), produzido por um capital (C), aplicado à taxa i ao período, no fim de t períodos: Início
Juros
1o período
C
iC
2o período
M1
iM1
3o período
M2
iM2
Montante no fim do período M1 C 1 iC C(1 1 i) M2 M1 1 iM1 M1(1 1 i) C(1 1 i)(1 1 i)
Para refletir A sequência (C, M1, M2, …) é uma PG de razão 1 1 i.
M2 C(1 1 i)2 M3 M2 1 iM2 M2(1 1 i) C(1 1 i)2(1 1 i) M3 C(1 1 i)3
…
No fim de t períodos o montante será: M C(1 1 i)t Podemos então escrever que, no sistema de juros compostos, o capital C, aplicado à taxa i ao período, produz juros j e gera um montante M no fim de t períodos. M C(1 1 i)t
e
jMC
Veja a seguir como fica o exemplo dado, que foi resolvido mês a mês, usando-se agora as fórmulas acima.
348
Para refletir No regime de juros compostos de taxa i, um capital C0 transforma-se, em n períodos de tempo, em um montante Cn C0(1 1 i) n.
Matemática
C: R$ 40 000,00 i: 2% ao mês (0,02)
Para refletir
t: 3 meses M C(1 1 i)t 40 000(1,02)3 40 000 1,061208 R$ 42 448,32 (montante no fim de 3 meses) j 42 448,32 40 000 R$ 2 448,32 (juros produzidos nos 3 meses)
Usando fator de atualização, podemos escrever o montante M C ? f t, em que f 1 1 i.
Exemplos: 1‚) Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$ 6 000,00 à taxa de 1% ao mês?
C: 6 000
Para refletir
t: 1 semestre 6 meses
i: 1% (0,01) ao mês
(1,01)6 1,0615 é o fator acumulado em 6 meses.
M 6 000(1,01)6 6 369,120904 1 1 0,01 Consideramos M R$ 6 369,12 e j 6 369,12 6 000,00 369,12. Logo, a pessoa receberá R$ 369,12 de juros.
2‚) O capital de R$ 2 000,00, aplicado a juros compostos, rendeu, após 4 meses, juros de R$ 165,00. Qual foi a taxa de juros mensal? C: 2 000
t: 4 meses
j: 165
M: 2 165 5 2 000 1 165
i: ?
M C(1 1 i)t ⇒ 2 165 2 000(1 1 i)4 ⇒ (1 1 i)4
⇒ 1 1 i 4 1, 0825 ⇒ 1 1 i 1,020015981 ⇒ i 0,020015981 → 2,0015981%
Portanto, a taxa de juros foi de aproximadamente 2% ao mês.
2 165 ⇒ (1 1 i)4 1,0825 ⇒ 2 000
3‚) Qual deve ser o tempo para que a quantia de R$ 30 000,00 gere o montante de R$ 32 781,81, quando aplicada à taxa de 3% ao mês, no sistema de juros compostos? C: 30 000 M: 32 781,81 i: 3% ao mês (0,03) t: ? 32 781, 81 M M C(1 1 i)t ⇒ (1 1 i)t ⇒ (1,03)t ⇒ (1,03)t 1,092727 ⇒ 30 000 C log 1, 092727 ⇒ t log1,03 1,092727 3 log 1, 03
O tempo deve ser de 3 meses.
4‚) Em quanto tempo um capital dobrará se for aplicado, a juros compostos, à taxa de 30% ao ano? M C ? ft M 2C log 2 2,64 anos 2 anos e 8 meses 2C C ? 1,3t ⇒ 1,3t 2 ⇒ log 1,3t log 2 ⇒ t log 1, 3 Logo, o tempo deve ser de aproximadamente 2 anos e 8 meses. Capítulo 10 | Matemática financeira
349
tintim por tintim
João deseja comprar um carro cujo preço à vista, com todos os descontos possíveis, é de **5‚) R(Enem) $ 21 000,00, e esse valor não será reajustado nos próximos meses. Ele tem R$ 20 000,00, que podem
ser aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, e escolhe deixar todo o seu dinheiro aplicado até que o montante atinja o valor do carro. Para ter o carro, João deverá esperar: a) dois meses, e terá a quantia exata. b) três meses, e terá a quantia exata. c) três meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 225,00. d) quatro meses, e terá a quantia exata. e) quatro meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 430,00. 1. Lendo e compreendendo a) O que é dado no problema? É dado o preço do carro à vista (21 mil reais), o capital que João tem para investir (20 mil reais) e a taxa de juros que João obterá nesse investimento (2% ao mês). b) O que se pede? O tempo que João deverá esperar para comprar o carro pretendido, e se haverá sobra ou não de dinheiro. 2. Planejando a solução Deveremos calcular o montante do investimento de João para 2, 3 e 4 meses, e comparar com o valor à vista do carro para saber quando João conseguirá comprar o carro. 3. Executando o que foi planejado O montante pode ser obtido pela fórmula M 5 C ? (1 1 i)t, com C 5 20 000 (capital), i 5 0,02 (taxa) e t assumindo os valores 2, 3 e 4. Assim: M1 5 20 000 ? (1 1 0,02)2 5 20 808,00 M2 5 20 000 ? (1 1 0,02)3 5 21 224,16 M3 5 20 000 ? (1 1 0,02)4 5 21 648,64 Como M1 , 21 000 (preço à vista), concluímos que investir por 2 meses apenas é insuficiente para comprar o carro. Como M2 . 21 000, concluímos que 3 meses é suficiente, e ainda sobram 224,16 reais. Também percebemos que esperar 4 meses é desnecessário, porém, se assim ocorresse, sobrariam 648,64 reais. Diante desses resultados, João deverá esperar três meses e ainda sobrarão, aproximadamente, 225 reais. 4. Emitindo a resposta A resposta é a alternativa c. 5. Ampliando o problema a) Qual deveria ser a taxa para que, em apenas 1 mês de investimento, João conseguisse comprar o carro à vista sem sobra de dinheiro? b) Discussão em equipe Converse com seus colegas sobre a importância de uma boa educação financeira para a população, ou seja, a importância de ensinar as pessoas, de qualquer idade e nível social, a planejar os gastos futuros, economizando dinheiro quando for possível para que ele seja usado mais tarde sem atrapalhar as finanças da família.
6‚) Situação-problema da introdução do capítulo Uma pessoa vai fazer uma compra no valor de R$ 4 000,00 usando o que tem depositado na caderneta de poupança, que está rendendo 1% ao mês. Ela quer saber, do ponto de vista financeiro, qual plano de pagamento é mais vantajoso: • pagar à vista; ou • pagar em duas prestações iguais de R$ 2 005,00 cada uma, com entrada. Pagando à vista: toda quantia de R$ 4 000,00 será gasta (sobrará 0).
350
Matemática
Pagando em duas prestações de R$ 2 005,00: como a caderneta de poupança utiliza o sistema de juros compostos, após o pagamento da primeira prestação sobrará a quantia de R$ 1 995,00, que renderá juros de 1% até o pagamento da segunda prestação. Veja: 1% de 1 995 19,95 M 1 995 1 19,95 2 014,95 2 014,95 2 005 9,95 Logo, o segundo plano de pagamento é o melhor, pois ainda sobrará a quantia de R$ 9,95.
Exercícios propostos
Use calculadora se desejar.
46. Carlos deixou R$ 800,00 aplicados por 3 anos em um fundo de investimento. Se o rendimento médio desse fundo foi de 1% ao mês, quanto Carlos tinha ao final desse período?
40. Qual será o montante produzido pelo capital de R$ 20 000,00, aplicado a juros compostos, à taxa de 20% ao ano, durante 6 meses? (Lembre-se de que t 5 0,5.)
41. Aplicando uma certa quantia na poupança, a juros
mensais de 1% durante 2 meses, os juros obtidos são de R$ 200,00 (o sistema é de juros compostos). Qual é essa quantia?
42. Em qual situação a aplicação de R$ 4 000,00 terá maior
rendimento e de quanto a mais: • no sistema de juros simples, à taxa de 3% ao mês, durante 2 meses? • no sistema de juros compostos, à taxa de 2% ao mês durante 3 meses?
47. Guto precisará de R$ 400,00 daqui a 8 meses. Sabendo que o banco está pagando 1,5% de juros ao mês, quanto ele deve aplicar hoje para ter essa quantia?
48. Afonso depositará R$ 1 000,00 hoje na poupança, que rende, em média, 0,7% ao mês. Daqui a 6 meses, depositará mais R$ 1 000,00. Daqui a 1 ano, quanto ele terá na poupança?
49. Quando Luísa nasceu, seu pai investiu para ela R$ 600,00 num fundo de investimento que rende, em média, 1,2% ao mês. Em quanto tempo Luísa terá mais de R$ 650,00?
43. Calcule o montante produzido por R$ 5 000,00 apli-
cado à taxa de 6% ao bimestre, após um ano, no sistema de juros compostos.
44. Um capital de R$ 900,00 foi aplicado a juros de 18% ao ano, durante 2 anos. Quanto rendeu de juros: a) em porcentagem? b) em reais?
45. Uma dívida de R$ 700,00 foi contraída a juros com-
postos de 2% ao mês, para ser quitada em 4 meses. a) Quanto deverá ser pago para quitar a dívida? b) Qual a taxa de juro acumulado nesse período de 4 meses?
50. Após quanto tempo, à taxa de 4% ao mês, a aplicação de R$ 1 000,00 renderá juros de R$ 170,00, no sistema de juros compostos?
51. Investindo um capital a juros mensais de 4%, em quanto tempo você triplicará o seu capital inicial?
52. Uma pessoa deseja aplicar R$ 10 000,00 a juros compostos e no fim de 3 meses obter R$ 11 248,64. Qual deve ser a taxa de juros?
5. Juros e funções j (em reais)
Suponhamos o capital de R$ 800,00 aplicado à taxa de 40% ao ano. 1‚) No sistema de juros simples, os juros são obtidos em função do tempo de aplicação, através da equação j 800 0,4t ou j 320t. t i f(t) Essa função tem uma equação do tipo da função linear f(x) ax. 0 0 Observe o gráfico ao lado: 1 320 f: ® + → ® Para refletir 2 640 j f(t) 320t Em j 320t, os valores de j são diretamente j proporcionais aos valores de t 320 . t
Capítulo 10 | Matemática financeira
640
320
t (em anos) 0
1
2
3
351
2‚) Ainda no sistema de juros simples, o montante é obtido em função do tempo, e a equação dessa função é M 800 1 320t ou M 320t 1 800, que é do tipo da função afim. g: ® → ® 1 M g(t) 320t 1 800 t
M g(t)
0
800
1
1 120
2
1 440
M (em reais)
1440 1120 800
t (em anos) 0
1
2
3
3‚) Já no sistema de juros compostos, o montante é obtido em função do tempo por meio da equação M 800 1,4t, que envolve uma variação do tipo exponencial f(x) a ? bx. M (em reais)
Veja o gráfico ao lado: h: ®1 → ® M h(t) 800 1,4t
2000
t
M h(t)
0
800
1
1 120
2
1 568
3
2 195,20
1600
1200
800
t (em anos) 0
1
2
3
4
6. Equivalência de taxas Considere a seguinte situação-problema: Se um investimento rende 3% ao ano, quanto renderá em 10 anos? i 3% 0,03 Capital inicial: C0 Montante após 1 ano: C0(1 1 0,03) Montante após 2 anos: C0(1 1 0,03)2 … Montante após 10 anos: C0(1 1 0,03)10 Se I é a taxa de juros acumulada em 10 anos e i é a taxa de juros relativa a 1 ano, temos: 1 1 I (1 1 i)10 pois 10 anos equivalem a 10 períodos iguais a 1 ano. No problema, temos: 1 1 I (1 1 0,03)10 ⇒ 1 1 I (1,03)10 ⇒ 1 1 I 1,3439 ⇒ I 0,3439 34,39%
352
Matemática
Portanto, o investimento renderá aproximadamente 34,39% em 10 anos. É possível provar que, se I é a taxa de crescimento de uma grandeza relativa ao período de tempo T e i é a taxa de crescimento relativa ao período t, e se T nt, então 1 1 I (1 1 i)n.
Exemplos:
Para refletir Taxa de juros é uma taxa de crescimento.
1‚) Uma bomba retira, em cada sucção, 3% da água de um poço. Depois de 20 sucções, quanto restará da água inicialmente existente no poço? i 23% 20,03 1 1 I (1 0,03)20 ⇒ 1 1 I (0,97)20 ⇒ 1 1 I 0,5437 ⇒ I 20,4563 245,63% Portanto, a quantidade de água, após 20 sucções, diminuirá aproximadamente 45,63% e restarão cerca de 54,37% da água existente inicialmente no poço. 2‚) Qual é a taxa de juros anual equivalente a uma taxa mensal de 2%? i 2% 0,02 1 1 I (1 1 0,02)12 ⇒ 1 1 I 1,268 ⇒ I 0,268 26,8% Portanto, a taxa anual é de 26,8%. 3‚) Qual é a taxa de juros mensal equivalente a uma taxa anual de 50%? I 50% 0,5
1 1 0,5 (1 1 i)12 ⇒ 1,5 (1 1 i)12 ⇒ 1 1 i 12 1, 5 1,034 ⇒ i 0,034 3,4%
Portanto, a taxa mensal é de 3,4%.
Para refletir Use uma calculadora científica para extrair a raiz de índice 12.
Exercícios propostos 53. Numa cultura de bactérias, o número delas aumenta à taxa de 20% por minuto. Quanto crescerá esse número em 8 minutos?
54. Uma seringa retira, de cada vez, 2% do remédio de um frasco. Depois de 10 vezes, quanto restará do remédio inicialmente existente no frasco?
55. O número de torcedores de um time de futebol diminui 6% ao ano. Depois de 12 anos, quanto restará dos torcedores inicialmente existentes?
56. Se a população do Brasil continuar crescendo à taxa
de 1,05%* ao ano, qual será o seu crescimento na próxima década?
57. Qual é a taxa de juros anual equivalente a uma taxa mensal de 1%?
58. Qual é a taxa de juros anual equivalente a uma taxa bimestral de 3%?
59. Qual é a taxa de juros mensal equivalente a uma taxa de juros anual de 130%?
60. A renda per capita é definida como o quociente do produto interno bruto (PIB) pela população economicamente ativa. Se nos próximos dez anos a população crescer 1,4%* ao ano, quanto deverá crescer anualmente o PIB para que a renda per capita aumente 10% na próxima década?
7. Equivalência de capitais O valor de uma quantia depende da época à qual ela está referida. Por exemplo, se meu dinheiro rende 1% ao mês, é indiferente pagar agora R$ 100,00 ou pagar R$ 101,00 daqui a um mês. Por outro lado, é mais vantajoso pagar R$ 100,50 daqui a um mês do que pagar R$ 100,00 agora. E, também, é mais vantajoso pagar R$ 100,00 agora do que pagar R$ 102,00 daqui a um mês. Assim, a principal questão em Matemática financeira é deslocar quantias no tempo.
Uma outra leitura para Cn 5 C0(1 1 i)n
Podemos ler a fórmula Cn C0(1 1 i)n da seguinte maneira: uma quantia, hoje igual a C0, será transformada, depois de n períodos de tempo, em uma quantia igual a C0(1 1 i)n, à taxa de i% ao período. * Fonte: www.ibge.gov.br. Acesso em 11/8/2009.
Capítulo 10 | Matemática financeira
353
Por exemplo, uma quantia cujo valor atual é R$ 1 000,00 equivalerá no futuro, depois de n períodos de tempo, a 1 000(1 1 i)n. Essa é a fórmula fundamental da equivalência de capitais: Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 1 i)n. Para obter o valor presente, basta dividir o valor futuro por (1 1 i)n.
Exemplos: 1‚) Rosângela tomou emprestado R$ 300 000,00 a juros mensais de 12%. Dois meses depois, Rosângela pagou R$ 150 000,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou sua dívida. Qual é o valor desse último pagamento?*
Os esquemas de pagamento representados abaixo são equivalentes: 300 000 0 0
1
150 000
P
2
3
R$ 300 000,00 na data 0 têm o mesmo valor de R$ 150 000,00 dois meses depois mais um pagamento igual a P na data 3. Igualamos os valores na mesma época (0, por exemplo) dos pagamentos nos dois esquemas e obtemos: 150 000 150 000 P P ⇒ 300 000 1 1 ⇒ 2 3 1 , 2544 1, 404928 (1 1 0,12) (1 1 0,12)
300 000
⇒
P 150 000 P 300 000,00 119 579,08 ⇒ 300 000 2 ⇒ 1, 404928 1, 2544 1, 404928
⇒
P 180 420,92 ⇒ P 253 478,40 1, 404928
Portanto, o último pagamento foi de R$ 253 478,40.
2‚) Hélen tem duas opções de pagamento na compra de um televisor: • 3 prestações mensais de R$ 150,00 cada; • 7 prestações mensais de R$ 65,00 cada. A primeira prestação é paga no ato da compra em ambos os casos. O dinheiro vale 2% ao mês para Hélen. Qual é a melhor opção de compra? Os esquemas de pagamento são: Para refletir 150
150
150
0
1
2
65
65
65
65
65
65
65
0
1
2
3
4
5
6
Muitas pessoas acham que o primeiro esquema é o melhor, pois o total pago é de R$ 450,00, ao passo que no segundo esquema o total pago é de R$ 455,00.
A título de comparação, vamos determinar o valor dos dois conjuntos de pagamentos na mesma época, por exemplo, na época 2. Então temos: V1 150(1 1 0,02)2 1 150(1 1 0,02) 1 150
e
V2 65(1 1 0,02)2 1 65(1 1 0,02) 1 65 1
Calculando esses valores, obtemos V1 R$ 459,06 e V2 R$ 446,43. Portanto, a melhor opção para Hélen é fazer o pagamento em 7 prestações.
65 65 65 65 1 1 1 1 1 0, 02 (1 1 0, 02)2 (1 1 0, 02)3 (1 1 0, 02)4
* O 1‚ e o 2‚ exemplo foram extraídos e adaptados de: Elon L. Lima e outros. A Matemática do Ensino Médio. v. 2. Rio de Janeiro: SBM, 1998. p. 46. (Coleção do Professor de Matemática.)
354
Matemática
3‚) Na análise de investimentos, chamamos de valor presente (VP) o valor do investimento na data zero, ou seja, na data atual, e de valor futuro (VF) o valor desse mesmo investimento daqui a n períodos, considerando-se uma taxa de juros compostos compatível com o risco do investimento. De certo modo, podemos dizer que o capital é o VP de um investimento, e os montantes a cada período são o VF do mesmo investimento.
a) Qual o valor futuro, após 4 anos, de um investimento de R$ 23 000,00 a juros mensais de 2%? Vamos usar a calculadora. 1 1 i 1 1 0,02 1,02 n 4 anos 48 meses VF 23 000 1,0248 59 502,62
b) Qual o valor presente de uma dívida de R$ 1 000,00 que deve ser paga em duas partes de R$ 500,00, sendo a primeira em 6 meses e a segunda em 1 ano? Vamos considerar o custo de oportunidade em 1,5% a.m. Observação: No caso, custo de oportunidade é a taxa de juros sobre o capital próprio, ou seja, se a pessoa que contraiu a dívida não aplicar o dinheiro, deixará de auferir rendimentos de 1,5% ao mês.
1 1 i 1 1 0,015 1,015 Temos dois VF, portanto o VP é composto de duas parcelas, cada uma relativa ao desconto de um VF. VP1: n 6 meses 500 VP1 (1,015)6 ⇒ VP1 457,27 VP2: n 12 meses 500 VP2 (1,015)12 ⇒ VP2 418,19 VP VP1 1 VP2 457,27 1 418,19 875,46 VP R$ 875,46 Na prática, tendo R$ 875,46 disponíveis hoje, e conseguindo uma remuneração de capital de 1,5% ao mês, quita-se a dívida nos prazos acertados e não sobra nem falta dinheiro.
4‚) O valor à vista de um produto é na prática a soma de todos os valores presentes em suas parcelas, descontado pela taxa de juro do financiamento. Vamos obter o valor à vista de um produto vendido em 4 parcelas de R$ 50,00, com juros de 7% a.m.: a) sendo a primeira à vista (1 1 3) 1 1 i 1 1 0,07 1,07 A soma do VP das 4 parcelas é: 50 1
50 50 50 1 1 181,21 (note que a primeira parcela já é o valor presente, pois é paga (1, 07)1 (1, 07)2 (1, 07)3
à vista) O valor à vista do produto é R$ 181,21.
b) sendo a primeira daqui um mês (0 1 4)
1 1 i 1 1 0,07 1,07 A soma do VP das 4 parcelas é:
50 50 50 50 1 1 1 169,36 (1, 07)1 (1, 07)2 (1, 07)3 (1, 07)4
O valor à vista do produto é R$ 169,36.
5‚) Análise de alternativas Quando se tem mais de uma alternativa de investimento, mesmo que seja na aquisição de um bem, é necessário comparar o dinheiro em datas iguais para poder tomar uma decisão. A data mais utilizada é a data atual, e a comparação é feita obtendo-se o valor presente das várias alternativas de investimento. Um vendedor de uma loja oferece três alternativas ao cliente na hora de vender um conjunto de sofás que está sendo oferecido pelo preço de tabela, R$ 800,00:
a) Em duas vezes sem juros* de R$ 400,00. b) À vista, com 5% de desconto. c) Sem entrada, em 4 parcelas de R$ 210,00.
* As lojas usam muito a expressão “sem juros” para atrair os clientes, mas, do ponto de vista matemático, se o preço à vista tiver desconto, como no caso acima, então há juros embutidos na opção dita “sem juros”.
Capítulo 10 | Matemática financeira
355
Qual é a melhor alternativa a ser escolhida se o custo de oportunidade do cliente é de 1,3%? Vamos usar calculadora. Para saber a melhor alternativa precisamos obter o VP das três opções e escolher o menor. 400 Opção a: VP 400 1 794,87 (1, 013)1 Opção b: VP 800 0,95 760,00
210 210 210 210 1 1 1 813,40 1 2 3 (1, 013) (1, 013) (1, 013) (1, 013)4 Portanto, a opção b é a melhor para esse cliente. Opção c: VP
Exercícios propostos
Use calculadora se desejar.
61. Uma loja de eletrodomésticos oferece ao cliente duas opções de pagamento: a) à vista, com 25% de desconto; b) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, com a primeira prestação sendo paga no ato da compra. Qual a taxa mensal de juros embutidos nas vendas a prazo?
62. Noemi tem duas opções de pagamento na compra de um notebook: a) 4 prestações mensais de R$ 1 500,00; b) 9 prestações mensais de R$ 700,00. Nos dois casos, a primeira prestação é paga no momento da compra. Sabendo que Noemi consegue fazer seu dinheiro render 3% ao mês, qual a melhor opção para ela?
63. Um carro popular custa numa revendedora R$ 22 000,00 à vista. Numa promoção de Natal realizada no mês de dezembro de 2010, com R$ 12 000,00 de entrada, um comprador tem o valor restante financiado em 36 prestações mensais. As prestações pagas num mesmo ano são iguais, e a cada ano o valor da prestação sofre um aumento de 10% em relação à do ano anterior. Sabendo que o valor da primeira prestação a ser paga em janeiro de 2011 é R$ 300,00, determine: a) quanto o comprador do carro desembolsará ao fim de cada ano, excluindo-se a entrada; b) qual o valor total do carro.
64. Michele comprou uma calça em 4 vezes (1 1 3) de R$ 35,00, e Jaqueline comprou uma calça idêntica em outra loja e pagou em 3 vezes (0 1 3) de R$ 45,00. Suponha que o custo de oportunidade de Michele seja de 1,2% a.m. e o de Jaqueline, que tem conta em outro banco, de 1% a.m. Qual das duas fez melhor negócio?
356
65. Qual é a melhor opção para Carina considerando que ela consiga juros de 1,3% a.m. no banco: a) comprar uma calça à vista por R$ 55,00 ou b) comprar a mesma calça em três vezes iguais de R$ 20,00, com entrada (1 1 2)?
66. Na hora de pagar uma compra no valor de R$ 400,00, Rogério descobriu que a loja oferecia duas opções de pagamento: a) comprar à vista com 4% de desconto; b) comprar em quatro vezes sem entrada (0 1 4). Qual é a melhor opção para Rogério, do ponto de vista financeiro, considerando que ele pode conseguir juros de 2,5% ao mês se deixar o dinheiro no banco?
67. Atividade em dupla No ano de 2010, o governo paulista ofereceu as seguintes condições para o pagamento do IPVA – Imposto sobre a Propriedade de Veículos Automotores: a) cota única com desconto de 3% para pagamento até dia 15 de janeiro de 2010; b) cota única sem desconto para pagamento até dia 15 de fevereiro de 2010; c) pagamento em 3 parcelas iguais, cada uma equiva1 lente a do imposto devido, nas datas de 15 de 3 janeiro, 15 de fevereiro e 15 de março. Supondo que uma pessoa precisou pagar um IPVA de R$ 900,00 e possuía no dia 15 de janeiro recursos financeiros suficientes para escolher qualquer uma das três opções, e que esses recursos estavam aplicados em uma poupança que remunera o capital aplicado em média a 0,6% a.m., respondam: Qual das três opções seria a escolha mais acertada para essa pessoa?
68. Um pagamento de R$ 500,00 deverá ser feito daqui a 3 meses. Se eu quiser pagar hoje, qual seria o preço justo a pagar considerando juros de 4% a.m.?
Matemática
O Sistema Financeiro Nacional No Brasil, o conjunto de instituições que possibilitam a ligação entre pessoas e empresas que dispõem de dinheiro para emprestar e pessoas e empresas que necessitam de dinheiro e se oferecem para tomá-lo emprestado é denominado Sistema Financeiro Nacional. Fazem parte desse sistema os bancos comerciais, a Caixa Econômica Federal, as cooperativas de crédito e as instituições similares. Esse sistema, que movimenta vultosos recursos diariamente, é regulamentado por lei e permeia todo o território nacional, influenciando a vida de todos os brasileiros. Quem empresta dinheiro no mercado financeiro tem por motivação os juros que pode ganhar durante o tempo em que o seu dinheiro estiver emprestado. Esses juros são calculados por meio de porcentagens e sistemas de juros simples e juros compostos. Para o cálculo das porcentagens e desses juros, é necessário conhecer técnicas de Matemática. Matemática financeira é o ramo da matemática que trata dos métodos utilizados para efetuar esses cálculos. A taxa Selic (Sistema Especial de Liquidação e Custódia) é a média de Banco Central do Brasil, em Brasília, DF. juros que o Governo Brasileiro paga por empréstimos tomados dos bancos. Quando a taxa Selic é alta, os bancos preferem emprestar ao Governo porque ele paga muito bem e o banco tem todas as garantias de recebimento. Quando a Selic é baixa, os bancos preferem emprestar dinheiro à população – nesse instante as taxas de cheque especial e cartão de crédito tendem a diminuir. Quando existe risco de inflação alta, o Comitê de Política Monetária (Copom) do Banco Central aumenta a taxa Selic e a inflação geralmente recua. Texto elaborado por Josimar Viana, doutor em Matemática.
22 de julho de 2009 – Banco Central reduz a taxa Selic para 8,75% ao ano O Comitê de Política Monetária (Copom) do Banco Central reduziu nesta quarta-feira a taxa básica de juros do país, a Selic, em 0,5 ponto percentual – de 9,25% para 8,75% ao ano. Segundo o comunicado divulgado pelo BC, após o corte, a decisão foi unânime e “consistente com o cenário inflacionário benigno”. Este foi o quinto corte da taxa Selic no ano e já era esperado pela maioria dos analistas. Desta vez, porém, o Copom decidiu diminuir o ritmo da redução. Desde janeiro, a Selic havia sido reduzida em 1 ponto percentual por três vezes e em 1,5 ponto uma vez. Fonte: Revista Veja.
CALCULANDO E COMPREENDENDO MELHOR O TEXTO 1. Quanto o governo economizará ao final de um ano
com a redução de 0,5% na taxa anual de juros sabendo que o empréstimo feito junto aos bancos foi de R$ 1 000 000 000,00? 2. Suponha que o Brasil resolva fazer uma sequência de redução da sua taxa básica de juros. A taxa Selic de 8,75% ao ano deverá sofrer uma redução de 0,05% a cada mês até atingir a mesma taxa básica do Japão, que é de 0,1% ao ano. Em quanto tempo as taxas básicas de juros do Brasil e do Japão serão iguais?
3. Infelizmente a taxa Selic não é a taxa cobrada pelos
bancos aos seus usuários. A taxa cobrada pelo cheque especial chega a mais de 170% ao ano. a) Quanto o governo pagará de juros a cada R$ 1 000,00 emprestados pelos bancos ao final de um ano tendo como base a taxa Selic de 8,75% ao ano?
Capítulo 10 | Matemática financeira
b) Quanto um cidadão que utiliza R$ 1 000,00 do seu cheque especial pagará de juros após um ano tendo como base a taxa de 170% ao ano?
PESQUISANDO E DISCUTINDO 4. Discuta com seus colegas: a) Qual é a relação entre juros simples, função afim e progressão aritmética? b) Qual é a relação entre juros compostos, função exponencial e progressão geométrica?
VEJA MAIS SOBRE O ASSUNTO Procure mais informações em jornais, revistas e nos sites www.bcb.gov.br, www.receita.fazenda.gov.br e www. portaldoinvestidor.gov.br.
357
ana araujo/editora abril
A MATEMÁTICA E AS PRÁTICAS SOCIAIS
>Atividades adicionais ATENÇÃO! AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC., NÃO ESCREVA NO LIVRO. TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.
A seguir, separadas por regiões geográficas, relacionamos algumas questões de vestibular que envolvem o conteúdo deste capítulo.
Região Norte 1. (UFT-TO) Pedro fez um empréstimo de R$ 800,00 em uma financeira que cobra uma taxa de juros de 10% ao mês, comprometendo-se a saldar a dívida em dois meses. No fim do primeiro mês, Pedro pagou à financeira uma parcela de R$ 600,00. Assim sendo, é correto afirmar que, para quitar o empréstimo feito, ao final do segundo mês, Pedro deve pagar: a) R$ 200,00. c) R$ 308,00. b) R$ 280,00. d) R$ 380,00.
2. (Uepa) De acordo com os dados de uma Associação de Fabricantes de Veículos Automotores, a produção de veículos a álcool cresce a uma taxa anual de 2%. Se P0 é a produção inicial desses veículos, a expressão P(t), que define a produção após t anos, será: a) P(t) 5 P0(1,002)t. d) P(t) 5 P0(1 1 0,2)t. t b) P(t) 5 P0(1,02) . e) P(t) 5 P0 1 P0(1,2)t. t c) P(t) 5 P0(0,2) .
3. (UFPA/PSS) Se uma poupança rende 0,9% ao mês e S a aplicação inicial, então em 7 meses o saldo acumulado é dado por: a) 0,097 ? S. d) (1 1 7 ? 0,09)S. b) 7 ? 0,009S. e) (1,009)7S. c) 1,097S.
Região Nordeste 4. (Uneb-BA) O lucro de um comerciante na venda de um produto é diretamente proporcional ao quadrado da metade das unidades vendidas. Sabendo-se que, quando são vendidas 2 unidades, o lucro é de R$ 100,00, pode-se concluir que, na venda de 10 unidades, esse lucro é, em reais, igual a: 01) 500,00. 04) 2 500,00. 02) 1 000,00. 05) 2 800,00. 03) 1 600,00.
5. (UFPE) Um vendedor ambulante compra sete canetas por cinco reais, para comercializá-las ao preço de quatro canetas por três reais. Qual o lucro percentual do vendedor? a) 0,05% d) 15% b) 0,5% e) 50% c) 5%
358
6. (UFPB) Num supermercado, um produto foi posto em promoção com 20% de desconto sobre o seu preço de tabela, por um período de 5 dias. Concluído esse período, o preço promocional foi elevado em 10%. Com esse aumento, o desconto, em relação ao preço de tabela, passou a ser: a) 8%. d) 15%. b) 10%. e) 14%. c) 12%.
7. (UFPE) A população de pobres de um certo país, em 1981, era de 4 400 000, correspondendo a 22% da população total. Em 2001, este número aumentou para 5 400 000, correspondendo a 20% da população total. Indique a variação percentual da população do país no período.
Região Centro-Oeste 8. (UFMS) Uma loja vende um produto por R$ 510,00 para pagamento à vista. Um cliente pode pedir um financiamento pelo plano (1 1 1) pagamentos iguais, ou seja, o primeiro pagamento deve ser feito no ato da compra e o segundo, um mês após essa data. Se a taxa de juros praticada pela loja for de 4% ao mês, então o valor de cada uma das prestações será de: a) R$ 267,60. b) R$ 265,20. c) R$ 260,00. d) R$ 257,50. e) R$ 270,50.
9. (UnB-DF) A tabela a seguir representa os percentuais dos grupos sanguíneos na população de um país. O
A
B
AB
Rh1
35,0%
38,1%
6,2%
2,8%
Rh2
9,0%
7,2%
1,2%
0,5%
. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 1) A porcentagem da população desse país pertencente ao grupo O é superior a 45%. 2) A porcentagem da população com fator Rh1 é inferior a 80%. 3) Dos indivíduos que pertencem ao grupo AB, o percentual daqueles com fator Rh2 é superior a 15%.
10. (UEG-GO) Uma pessoa aplicou uma parte de um capital a 4% ao ano e a outra parte a 5%, também ao ano. No final de um ano, ela recebeu de juros um total de R$ 220,00. Se os montantes aplicados tivessem sido invertidos, o que foi aplicado a 4% fosse aplicado a 5% e vice-versa, os juros recebidos teriam sofrido acréscimo de R$ 10,00. Qual foi o capital total aplicado por essa pessoa? Matemática
11. (UEG-GO) Um fogão custou R$ 600,00 para um comerciante. O comerciante anunciou o preço para venda do fogão de modo que, se sobre esse preço anunciado fosse aplicado 25% de desconto, ao vender o fogão, o comerciante ainda teria um lucro de 25% sobre o preço de custo. O preço anunciado foi de: a) R$ 1 020,00. b) R$ 1 000,00. c) R$ 960,00. d) R$ 940,00. e) R$ 900,00.
Região Sudeste 12. (Unicamp-SP) A quantia de R$ 1 280,00 deverá ser dividida entre 3 pessoas. Quanto receberá cada uma, se: a) a divisão for feita em partes diretamente proporcionais a 8, 5 e 7? b) a divisão for feita em partes inversamente proporcionais a 5, 2 e 10?
13. (Unicamp-SP) Um capital de R$ 12 000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anual mente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre: a) o capital acumulado após 2 anos; b) o número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial. (Se necessário, use log10 2 5 0,301 e log10 3 5 0,477.)
14. (Ufla-MG) Um motorista escolhe um trajeto que sabe ser 20% maior que o trajeto que usualmente toma, pois nesse novo trajeto poderá desenvolver uma velocidade média 100% maior que a do trajeto usual. O tempo de viagem diminuirá: a) 40%. b) 50%. c) 100%. d) 9%. e) 20%.
Região Sul 15. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 01) As promoções do tipo “leve 5 e pague 4”, ou seja, levando-se um conjunto de 5 unidades, paga-se o preço de 4, acenam com um desconto de 25%. 02)
80% 5 40%. 2%
04) (30%)2 5 0,09.
Capítulo 10 | Matemática financeira
08) Uma pedra semipreciosa de 20 g caiu e se partiu em dois pedaços de 4 g e 16 g. Sabendo-se que o valor, em uma certa unidade monetária, desta pedra é igual ao quadrado de sua massa expressa em gramas, a perda é de 32% em relação ao valor da pedra original. 16) Um quadro cujo preço de custo era R$ 1 200,00 foi vendido por R$ 1 380,00. Nesse caso, o lucro obtido na venda, sobre o preço de custo, foi de 18%.
16. (Ufpel-RS) Um dos motivos que leva as pessoas a enfrentarem o problema do desemprego é a busca, por parte das empresas, de mão de obra qualificada, dispensando funcionários não habilitados e pagando a indenização a que têm direito. Um funcionário que vivenciou tal problema, recebeu uma indenização de R$ 57 000,00 em três parcelas, em que a razão da pri4 e a razão da segunda meira para a segunda é de 5 6 para a terceira, de . 12 Com base no texto e em seus conhecimentos, determine: a) o valor de cada parcela. b) o tempo necessário para que o funcionário aplique o valor da primeira parcela, a juro composto, a uma taxa de 1% ao mês, para acumular um montante de R$ 12 738,00. c) a taxa mensal que deve ser aplicada, a juro simples, à segunda parcela, para que o funcionário, no final de 2 anos, obtenha o montante de R$ 25 800,00.
17. (UEL-PR) Um dos traços característicos dos achados arqueológicos da Mesopotâmia é a grande quantidade de textos, escritos em sua maioria sobre tabuinhas de argila crua. Em algumas dessas tabuinhas foram encontrados textos matemáticos datados de cerca de 2000 a.C. Em um desses textos, perguntava-se “por quanto tempo deve-se aplicar uma determinada quantia de dinheiro a juros compostos de 20% ao ano para que ela dobre?”. (Adaptado de: Eves, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Editora da Unicamp, 1995. p. 77.) Nos dias de hoje, qual equação seria utilizada para resolver tal problema? a) (1,2)t 5 2 b) 2t 5 1,2 c) (1,2)t 5 2 d) 2t 5 1,2 e) t2 5 1,2
359
capítulo 11
Trigonometria no triângulo retângulo nas quais os objetos estão situados em lugares inatingíveis. E, sendo a Astronomia uma ciência bastante desenvolvida na Antiguidade, imagina-se que seus problemas tenham despertado nos estudiosos as primeiras noções de Trigonometria. Hiparco de Niceia, conhecido como seu fundador, foi o maior astrônomo da Antiguidade, ao lado de Cláudio Ptolomeu. É atribuída a Hiparco a construção da primeira tábua trigonométrica (tabela que apre senta os valores das razões trigonométricas dos Album/akg-images/latinstock
Vimos, na abertura do capítulo 6, que o ato de medir envolve sempre uma comparação entre grandezas. Mas há vários caminhos pelos quais podemos fazer uma medição, e a escolha de um deles depende da necessidade e da possibilidade de cada situação. A questão agora é: Como medir uma grandeza inacessível, como, por exemplo, a altura de uma torre ou de uma árvore, a largura de um rio ou a distância entre dois planetas? Áreas de conhecimento como Astronomia e Engenharia lidam constantemente com situações
Hiparco no observatório em Alexandria, xilogravura anônima, s.d. Hiparco (190-125 a.C.), nascido em Niceia, trabalhou em Alexandria e Rodes, onde fundou um observatório e desenvolveu importantes atividades.
360
Matemática
ângulos de medida entre 0° e 90°), no século II a.C. Mais tarde, por volta do ano 100 d.C., Ptolomeu escreveu treze livros sobre Trigonometria, tomando como base o trabalho de Hiparco sobre o assunto. Essa obra, denominada pelos árabes Almajesto (al, do árabe, + majest-, do latim, que significa ‘o maior’), tinha o título de Syntaxis mathematica e apresentava um verdadeiro tratado de Trigonometria retilínea e esférica. Na Trigonometria, o conceito de proporcionalidade é o ponto de partida. É da semelhança de triângulos retângulos que se desenvolvem métodos especiais de medição de grandes distâncias. Este capítulo, portanto, faz uma introdução a essa Trigonometria, com a pretensão de ser uma retomada de conceitos já estudados anteriormente, mas com um aprofundamento maior ao abordar problemas mais complexos.
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
>Atividades tes, impomos que as razões entre as medidas dos lados correspondentes sejam iguais. Faça o esboço de dois triângulos retângulos semelhantes e nomeie seus lados de maneira que seja possível identificar lados correspondentes. Por exemplo, a e a’ para os lados que correspondem às hipotenusas, e assim por diante. Em seguida, escreva as razões referidas acima igualando-as. Finalmente, derive dessa igualdade as razões trigonométricas relativas aos ângulos representados nos triângulos.
2. Considere a seguinte situação: Um jogador de futebol está a uma distância de 30 m do gol, que tem 2 m de altura. Ele chuta a bola direto para o gol. Recorra à semelhança de triângulos e calcule o ângulo de inclinação da trajetória da bola em relação ao chão para que a bola bata na trave. Use material de desenho, inclusive transferidor.
Capítulo 11 | Trigonometria no triângulo retângulo
Formato Comunicação/ Arquivo da Editora
1. Ao construir dois triângulos retângulos semelhan-
3. Os degraus de uma escada bem-feita seguem um padrão no qual as medidas do “passo” (a parte do degrau que é pisada) e do “eretor” (porção vertical entre os degraus) são determinadas. Supondo-se que esse padrão seja dado pela fórmula a 1 2b 5 63, na qual a é a medida do passo e b a do eretor, e sabendo que 23 a 35, responda: a) Qual escada é mais íngreme, aquela cuja medida do passo está mais próxima de 23 ou a que tem a medida do passo mais próxima de 35? b) Tomando a medida de a o valor médio do intervalo dado, você seria capaz de estimar o ângulo de inclinação da escada para essa medida? Justifique.
361
1. Introdução
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A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri 5 três, gonos 5 ângulos e metron 5 medir. Daí o seu significado: medida dos triângulos. Inicialmente a Trigonometria era considerada a parte da Matemática que tinha como objetivo o cálculo das medidas dos elementos de um triângulo (lados e ângulos). Como a Trigonometria estabelece relações entre as medidas de ângulos e de segmentos, foi também considerada originalmente como uma extensão da Geometria. Existem vestígios de um estudo rudimentar de Trigonometria entre os babilônios, que a usavam para resolver problemas práticos de navegação, de agrimensura e de Astronomia. Hoje, sabemos que a Astronomia foi a grande impulsionadora do desenvolvimento da Trigonometria, principalmente entre os gregos e os egípcios. Aliás, foram os astrônomos que estabeleceram os fundamentos da Trigonometria. Acredita-se que foi o astrônomo grego Hiparco (190 a.C.-125 a.C.) quem empregou, pela primeira vez, relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo, por volta de 140 a.C. Importantes trabalhos hindus foram traduzidos para o árabe, no final do século VIII, mostrando o quanto aquele povo estava familiarizado com esse ramo da Matemática, dando embasamento às notáveis descobertas feitas pelos matemáticos árabes. O primeiro tratado de Trigonometria feito de maneira sistemática é chamado De triangulis ou Tratado dos triângulos e foi escrito pelo matemático alemão Johann Müller, chamado Regiomontanus. Atualmente, a Trigonometria não se limita a estudar somente os triângulos; sua aplicação se estende a vários campos da Matemática (como a Geometria e a Análise). Encontramos, também, aplicações da Trigonometria em Eletricidade, Mecânica, Acústica, Música, Engenharia Civil, Topografia e em muitos outros campos de atividades, aplicações estas envolvidas em conceitos que dificilmente lembram os triângulos que deram origem à Trigonometria.
Pessoas subindo a encosta de uma duna.
subida
subida 30°
55°
Formato comunicação/arquivo da editora
Observe uma pessoa que sobe dois tipos de rampa:
Dizemos que a segunda rampa é mais íngreme ou tem aclive maior, pois seu ângulo de subida é maior (55° 30°).
362
Matemática
Formato comunicação/ arquivo da editora
Vejamos agora a seguinte situação-problema: Sem conhecer os ângulos de subida, como saber qual das duas rampas abaixo é a mais íngreme?
3m
5m
4m 7m
Situações como essa, que envolvem lados e ângulos de um triângulo, podem ser resolvidas com o estudo da Trigonometria.
2. Índice de subida Para cada ponto P alcançado na subida, temos um percurso, um afastamento e uma altura. Exemplos: P P
percurso
percurso altura
altura
afastamento afastamento
Observe a rampa e a tabela a seguir. D C A 1m
6m
B
4m 2m
2m 4m
Ponto
Afastamento
Altura
A
2m
1m
B
4m
2m
C
8m
4m
D
12 m
6m
8m
Para refletir A proporcionalidade dos valores é decorrente da se melhança dos triângulos retângulos. Comprove construindo a figura com os valores em centímetros e conservan do o ângulo de subida.
12 m
Para cada um dos pontos, a razão entre a altura e o afastamento correspondente é dada por: ponto A:
altura 1 m 1 afastamento 2 m 2
ponto C:
altura 4 m 1 afastamento 8 m 2
ponto B:
2 m altura 1 4 m afastamento 2
ponto D:
altura 6 m 1 afastamento 12 m 2
Note que a razão entre a altura e o afastamento, para cada ponto de uma mesma subida, é uma constante 1 (é sempre a mesma). No exemplo dado, essa constante é e a ela damos o nome de índice de subida. 2 índice de subida
Capítulo 11 | Trigonometria no triângulo retângulo
altura afastamento
363
2 Na figura abaixo, por exemplo, o índice de subida da rampa é , isto é, a cada 3 unidades que nos afastamos, 3 elevamo-nos 2 unidades. C
B 6
A
Para refletir
4
Como devem ser a altura e o afastamento para que o índice de subida seja 1? E maior que 1?
2 3 6 9
Exercícios propostos
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
1. Que subida é mais íngreme: uma com índice 1 ou outra com índice
1 ? 3
2. Para determinada rampa, temos os dados da tabela abaixo. Copie a tabela no caderno e complete-a. Calcule o índice de subida. Ponto
Afastamento
Altura
A
4m
8m
Para refletir
4m
Dadas duas subidas, qual é a mais íngreme: a de índice de subida maior ou menor?
B C
1m
D
6m
E
5m
F
10 m
5. Numa subida de índice igual a 2 , se nos elevarmos
5 a uma altura de 4 m, qual será o afastamento correspondente?
6. Em construção civil, o índice de subida é muito usado para fazer referências às inclinações de telhados, calhas, rampas, ruas e rodovias. Em vez de utilizar o termo índice de subida, na construção civil usa-se inclinação. Assim, um telhado com índice de subida de 0,15 é um telhado com inclinação de 15%; uma rampa com índice 1 de subida é uma rampa com inclinação de 50%. 2 Considere o seguinte telhado, cuja vista frontal abaixo é um triângulo isósceles de base 8 m. Se a inclinação do telhado é de 15%, qual é a altura h desse telhado?
3. Desenhe uma rampa com índice de subida igual a 3 . 2
h
4. Numa subida de índice igual a 1 , se nos afastarmos 2 50 m, a quantos metros nos elevaremos do chão?
8m
Relacionando o ângulo de subida com o índice de subida Até agora, verificamos quanto uma subida é íngreme usando o ângulo de subida ou então o índice de subida. Para refletir h2
h1
h1 h 2 e das figuras ao lado. a1 a 2
a1
Verifique se são maiores, menores ou iguais, os ângulos e e as razões
a2
• Quanto maior o ângulo de subida, mais íngreme é a subida. • Quanto maior o índice de subida, mais íngreme é a subida. Será que podemos associar esses dois coeficientes numa mesma subida? É o que veremos a seguir.
364
Matemática
3. A ideia de tangente ILUSTRAÇÕES: Formato comunicação/ arquivoS da editora
Usaremos a palavra tangente para associar a medida do ângulo de subida e o índice na mesma subida. A tangente do ângulo de subida é igual ao índice de subida associado, e ela será indicada por k1. Tangente de um ângulo de subida k1 tg k1 altura
tg
altura índice de subida afastamento
afastamento
Temos agora condições de resolver a situação-problema da página 363: Sem conhecer os ângulos de subida, como saber qual das duas rampas abaixo é a mais íngreme? Vamos retomar as duas figuras e depois construir seus modelos matemáticos, que são dois triângulos retângulos.
5
5m 3
3m
7m
4m
Índice de subida da primeira ou tg
7
4
3 . 4
5 Índice de subida da segunda ou tg . 7 3 5 Como , a primeira subida é a mais íngreme. 4 7
Para refletir 3 5 reduzindo 4 7 as duas frações ao mesmo denominador ou transformando-as em decimais. Podemos verificar que
Observação: Além da tangente do ângulo de subida, que é obtida pela razão entre a altura e o afastamento, veremos que há outras razões que envolvem também o percurso e que podem ser úteis na resolução de problemas.
4. A ideia de seno Em qualquer subida podemos determinar a razão entre a altura e o percurso, que será um número indicado por k2, ao qual chamaremos de seno de . altura número k2 percurso O número k2, da mesma forma que a medida do ângulo de subida, pode nos indicar quanto a subida é íngreme.
percurso altura
Seno de um ângulo de subida k2
Para refletir
sen k2
Pense em duas subidas com percursos iguais e ângulos de subida e , com . Responda: • Qual delas terá altura maior? • Quem é maior: sen ou sen ? • Qual das subidas é mais íngreme? Faça desenhos para conferir suas respostas.
sen altura percurso
Capítulo 11 | Trigonometria no triângulo retângulo
365
Um pouco de História De onde vem o nome seno? Quando estudei Trigonometria no colégio, meu professor ensinou que seno vem do latim sinus, que significa seio, volta, curva, cavidade (como nas palavras enseada, sinuosidade). E usou o gráfico da função, que é realmente bastante sinuoso, para justificar o nome. Mais tarde vim a aprender que não é bem assim. Sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta. Isso não tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa, que infelizmente durou até hoje. A palavra árabe adequada, a que deveria ser traduzida, seria jiba, em vez de jaib. Jiba significa a corda de um arco (de caça ou de guerra). Uma explicação para esse erro é proposta por A. Aaboe (Episódios da história antiga da Matemática, p. 139): em árabe, como em hebraico, é frequente escreverem-se apenas as consoantes das palavras; o leitor se encarrega de completar as vogais. Além de “jiba” e “jaib” terem as mesmas consoantes, a primeira dessas palavras era pouco comum, pois tinha sido trazida da Índia e pertencia ao idioma sânscrito. Evidentemente, quando se buscam as origens das palavras, é quase inevitável que se considerem várias hipóteses e dificilmente se pode ter certeza absoluta sobre a conclusão. Há outras explicações possíveis para a palavra seno. Uma delas é a de que se teria originado da abreviatura s. ins. (semicorda inscrita). Fonte: Elon Lages Lima. Meu professor de Matemática. Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Impa) e Vitae – Apoio à Cultura, Educação e Promoção Social. Rio de Janeiro, 1991. p. 187.
5. A ideia de cosseno Em qualquer subida podemos determinar a razão entre o afastamento e o percurso, número que indicaremos por k3, ao qual chamaremos de cosseno de . afastamento número k3 percurso
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O número k3, da mesma forma que a medida do ângulo de subida, indica-nos quanto a subida é íngreme.
percurso altura
Cosseno de um ângulo de subida k3 cos k3 afastamento cos percurso
afastamento
Para refletir Pense em duas subidas com percursos iguais e ângulos de subida e , com . Responda: • Qual delas terá afastamento maior? • Quem é maior: cos ou cos ? • Qual das subidas é mais íngreme? Faça desenhos para comprovar suas respostas.
6. Definição de seno, cosseno e tangente por meio de semelhança
de triângulos
C
Se ABC é um triângulo retângulo em A, temos: • a é a medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto); • b e c são as medidas dos catetos (lados que formam o ângulo reto); B eC B são ângulos agudos; • B • AC é o cateto oposto ao ângulo B; • AB é o cateto adjacente ao ângulo B.
a
B
b
c
A
Observação: Usaremos Ba ora para designar ângulo a, ora para designar medida do ângulo a. Pelo contexto, saberemos quando estaremos usando um significado e quando estaremos usando o outro.
366
Matemática
Consideremos agora um ângulo ABOB , 0° 90° e tracemos, a partir dos pontos C, E, G, etc. da semirreta OA, as perpendiculares CD, EF, GH, etc., à semirreta OB. A
G E C
O
D
F
H
B
Os triângulos OCD, OEF, OGH, etc. são semelhantes por terem os mesmos ângulos. Podemos, portanto, escrever: CD EF GH ... (constante) 5 5 OC OE OG Essa relação depende apenas do ângulo θ (e não do tamanho do triângulo retângulo do qual θ é um dos ângulos agudos). Ela é chamada de seno de θ e escrevemos: sen θ CD medida do cateto oposto ao ângulo θ OC medida da hipotenusa
(0° 90°)
De modo análogo, da semelhança de triângulos obtemos as relações: OD OF OH 5 5 ... (constante) OC OE OG CD EF GH 5 5 ... (constante) OD OF OH que também dependem apenas do ângulo e que definimos, respectivamente, como cosseno do ângulo e tangente do ângulo θ : cos θ OD medida do cateto adjacente ao ângulo θ OC medida da hipotenusa tg θ CD medida do cateto oposto ao ângulo θ OD medida do cateto adjacente ao ângulo θ As razões sen θ
(0° θ 90°) (0° θ 90°)
CD OD CD , cos θ e tg θ são chamadas razões trigonométricas em relação ao ângulo θ. OC OC OD Para refletir Com um colega, procure justificar as seguintes afirmações:
Observações: 1·) Compare essas definições com as relações dadas nas páginas 365 e 366 envolvendo afastamento, percurso e altura em uma subida. 2·) A semelhança de triângulos é a base de toda a Trigonometria.
Se B B é um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, então: • sen B B é um número entre 0 e 1;
• cos B B é um número entre 0 e 1; • tg B B é um número maior do que 0 e pode ser menor do que, igual a ou maior do que 1.
hipotenusa
B
Capítulo 11 | Trigonometria no triângulo retângulo
C
C
cateto adjacente a B
cateto oposto a B
A
B
A
367
Seno, cosseno e tangente só dependem do ângulo É importante salientar que sen B B, cos B B e tg B B dependem apenas do ângulo B, mas não do tamanho do triângulo retângulo do qual BB é um dos ângulos agudos. Vamos provar isso. Consideremos dois triângulos retângulos, ABC e A’B’C’, que tenham um ângulo agudo de mesma medida (BB BB). Neste caso, eles são semelhantes, pois têm dois ângulos correspondentes, B B B B e BA BA (retos): C C a
b A
a
b c
B A
B
c
Dessa semelhança, temos: b' b 5 a' a
c' c 5 a' a
b' b 5 c' c
ou seja, sen B B sen B B; cos B B cos B B; tg B B tg B B.
Portanto, o seno, o cosseno e a tangente dizem respeito apenas ao ângulo, e não ao triângulo que os contém.
Exercícios propostos 7. Examine o triângulo retângulo da figura abaixo e calcule o valor destas razões:
5 6
10. Em um triângulo EFG, retângulo em E, temos sen BF , 11 5 11 . e tg B F 6 11
cos B F
F
15
9
12
a) sen b) cos
c) tg d) sen
e) cos f) tg
8. Os resultados do exercício 7 estão coerentes com as afirmações do “Para refletir” da página anterior?
9. Responda com base na análise do triângulo retângulo da figura a seguir. A
z
y
B
x
E
a) Calcule sen BG, cos BG e tg BG. b) Se a hipotenusa do EFG mede 30 cm, quanto medem os catetos? c) Calcule o valor das expressões: • (sen B F )2 1 (cos B F )2 •
a) Qual é o valor da soma B B 1 BC?
b) Indique as frações correspondentes a sen B B, cos B B, tg B B, sen BC, cos BC e tg BC.
368
sen B F cos B F
• sen2 BG 1 cos2 BG •
C
G
sen BG cos BG
Para refletir B é o mesmo que (sen G B )2. Usa-se sen2 G B . com mais frequência sen2 G
Matemática
Relações entre seno, cosseno e tangente As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente se relacionam de várias formas, como veremos a seguir: 1·) Relação fundamental do triângulo retângulo sen2 1 cos2 1 (0° 90°)
Demonstração: Consideremos um ângulo de vértice C e um triângulo CAB, retângulo em A, como mostra a figura ao lado.
B
Lembrando o teorema de Pitágoras, a2 b2 1 c2, temos: 2
2
a
b c b + c a 5 2 1 sen2 1 cos2 + 5 a a a2 a 2
2
c
2
C
A
b
Portanto, sen2 1 cos2 1 (0° 90°). C
2·) tg sen α cos α
(0° 90°)
Demonstração:
a
b
b sen α b a 5 5 tg c cos α c a
c
A
B
ou
b b sen α a tg 5 5 (dividimos ambos os termos da razão por a 0) c c cos α a Portanto, tg
sen α (0° 90°) cos α
3·) Se num triângulo retângulo conhecermos um ângulo agudo e a medida a da hipotenusa, os catetos medirão: a ? sen (cateto oposto a )
a
a ? cos (cateto adjacente a )
a sen
a cos
4·) Se dois ângulos e são complementares ( 1 90°), então sen cos (o seno de um ângulo é igual ao 1 cosseno do ângulo complementar, e vice-versa) e tg . tg β Demonstração: C a
b
e são complementares
B
c
A
Capítulo 11 | Trigonometria no triângulo retângulo
369
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente no triângulo anterior, temos:
sen
b cos ; portanto, sen cos a
cos
c sen ; portanto, cos sen a
tg
b 1 1 ; portanto, tg 1 = = c c tg β tg β b
Observações: 1·) Dessa propriedade surgiu o nome cosseno — seno do complemento. 2·) Com essa propriedade, conhecendo as razões trigonométricas de ângulos , tal que 0° 45°, passamos a conhecer imediatamente as razões trigonométricas dos ângulos complementares , tal que 45° 90°, e vice1 1 -versa. Por exemplo, sabendo que sen 30° , já sabemos que cos 60° , pois 30° e 60° são complementares. 2 2
Exercícios propostos 11. Use transferidor e régua
Verifique se os valores encontrados para tg 40°, sen 40° e cos 40° estão próximos dos valores da tabela.)
Para refletir
para construir um triânguCos 40°, por exem lo retângulo que tenha um plo, significa cosse ângulo de 40°. Meça os lano do ângulo cuja dos e calcule tg 40°, sen 40° medida é 40°, ou seja, identificamos e cos 40º, com aproximao ângulo com sua ção de três casas decimais. medida. (Na página 389 deste capítulo temos uma tabela com valores de seno, cosseno e tangente que poderão ser usados em alguns exercícios.
12. No triângulo retângulo da figura, temos cos
12 . 13
x
16 m
a) Calcule sen e tg . b) Determine a medida da hipotenusa.
Outras relações 5·) Se 0° , a , 45°, então sen 2a 5 2 ? sen a ? cos a. Demonstração: Os triângulos OAB e OAC são congruentes, retângulos em A, tais que: OB > OC 5 1 B 1 O
A
D
Nessas condições, temos: sen a AB > AC 5 5 sen a 1 OA 5 cos a
ABOB > ABOC 5 a
Traçando BD perpendicular a OC temos, no triângulo BDO, que BD 5
370
C
sen 2a 5 sen 2a. 1 Matemática
BC ? OA OC ? BD e também igual a , ou seja, o dobro da 2 2 área do triângulo OBC é dado por 2 ? área OBC 5 BC ? OA 5 OC ? BD. Como BC 5 2 ? AB 5 2 ? sen a, OA 5 cos a, OC 5 1 e BD 5 sen 2a, temos 2 ? sen a ? cos a 5 1 ? sen 2a, ou seja, sen 2a 5 2 ? sen a ? cos a, 0° , a , 45°.
Observamos que a área do triângulo OBC é igual a
6·) Se 0° , a , 90°, então sen
a 5 2
1 cos . 2
Demonstração:
Na figura da 5· relação, vemos que OD 1 DC 5 1 ou seja, 1 ? cos 2a 1 BC ? cos b 5 1. Como BC 5 2 ? sen a e cos b 5 sen a (a e b são complementares), temos: cos 2a 1 2 ? sen a ? sen a 5 1 cos 2a 1 2 ? sen2 a 5 1
sen2 a 5
1 2 cos 2a 2
ou, ainda, sen a 5
1 cos 2 2
Substituindo 2a por a e consequentemente a por
a a , temos sen 5 2 2
1 cos , 0° , a , 90°. 2
Observação: Com essas duas relações, a partir das razões trigonométricas de um ângulo podemos calcular a de muitos outros. Por exemplo, conhecidas as razões trigonométricas de 20°, podemos obter as de 70° 5 90° 2 20°; 20° 10° 5 ; 40° 5 2 ? 20°; 50° 5 90° 2 40°; etc. 2
Exercícios propostos 13. Sabendo que sen 5° 5 0,087 e cos 5° 5 0,996, determine o valor de sen 10°. 14. Sabendo que cos 36° 5 0,809, determine o valor de sen 18°.
Tabela com valores de seno, cosseno e tangente Sabemos que, em um ABC, retângulo em A, como o da figura, temos: •
b sen B B, ou seja, b a ? sen B B a
•
c cos B B, ou seja, c a cos B B a Da mesma forma chegamos a:
• b a cos BC • c a sen BC
Para refletir
C b
a
A
c
B
Se é um ângulo agudo, então tg , sen e cos são números reais tais que: 0 sen 1 0 cos 1 tg 0
• b c tg B B
• c b tg BC
Sabemos também que vale a relação de Pitágoras, que envolve as medidas dos três lados (a2 b2 1 c2), e a B 90°, que envolve as medidas dos dois ângulos agudos. relação B B 1 C Assim, por meio dessas relações e da tabela com valores de seno, cosseno e tangente de ângulos agudos (de medidas em graus), conseguimos descobrir as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo retângulo, bastando para isso conhecer as medidas de dois lados ou de um lado e um ângulo agudo. Capítulo 11 | Trigonometria no triângulo retângulo
371
Exemplo: Vamos determinar b e c no triângulo retângulo abaixo. C
6 cm
b
40° c
A
B
Na tabela da página 389 vemos que cos 40° 0,766 e sen 40° 0,643. Assim: b a sen 40° ⇒ b 6 0,643 ⇒ b 3,9 cm c a cos 40° ⇒ c 6 0,766 ⇒ c 4,6 cm Logo, b 3,9 cm e c 4,6 cm. Observação: Seno, cosseno e tangente são conhecidos há muito tempo, e os antigos tabelaram, para todos os ângulos de 1° a 90°, os valores dessas relações (ver tabela na página 389). Hoje em dia, as tabelas trigonométricas foram em grande parte substituídas pelas calculadoras científicas, que oferecem os valores de senos, cossenos e tangentes com mais precisão e maior facilidade de manipulação.
Ângulos e medidas de segmento No triângulo abaixo está traçada a altura h em relação à base AB. C
h
A
Neste caso, temos:
B
H
sen B B
h ⇒ h BC sen B B BC
Vemos, por essa fórmula, que a Trigonometria nos auxilia a relacionar ângulos com comprimentos de segmentos. Isso mostra que ela é uma importante ferramenta de cálculo na Geometria.
Exemplo: Vamos determinar a área da região triangular abaixo. C 7 cm
h
20° A
12 cm
B
sen 20° 0,342; BC 7 cm; AB 12 cm Área
AB ? h ; h ? 2
h BC sen B B ⇒ h 7 0,342 ⇒ h 2,4 cm
Logo: 12 ? 2, 4 Área 14,4 cm2 2 A área da região triangular é de, aproximadamente, 14,4 cm2.
372
Matemática
Quadro-resumo sobre triângulos retângulos C
a
b
A
c
B
O triângulo ABC é retângulo em A, isto é, BA é reto (90°). a: medida da hipotenusa b e c: medidas dos catetos BA: reto (90°) BB e BC: agudos e complementares (B B 1 BC 90°)
• Relação entre os lados (relação de Pitágoras): a2 b2 1 c2 B 1 BB 1C B 180° • Relação entre os ângulos: A
• Relações entre lados e ângulos: b c sen B B ⇒ a b sen B B cos A B B ⇒ c a cos A B B tgA B a a c b sen BC ⇒ c a sen BC cos BC ⇒ b a cos BC tg A C a a • Relações entre seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos:
b c c b
sen B B B sen B B cos C B cos B B = 90 ° , pois B B + C B sen C 2 2 B B cos B B B + cos C B 1 tg C se n C sen C B cos C
sen2 B B + cos 2 B B 1 tg B B
s e n 2B B 2 senB B cos B B
B B 2 s e nBC cos C sen 2 C
sen
BB 2
1 cos B B 2
sen
B C 2
B 1 cos C 2
Exemplos: 1‚) “Resolver” um triângulo retângulo é determinar as medidas não conhecidas de todos os seus seis elementos (3 lados e 3 ângulos) quando se conhecem algumas delas. Vamos “resolver” o triângulo retângulo a seguir usando a tabela da página 389 ou uma calculadora científica. B () e B B (b). Conhecemos AB (4), AC ( 4 3 ) e B A (90°). Devemos descobrir BC (x), C
• x2 42 1 ( 4 3 ) ⇒ x2 16 1 48 ⇒ x2 64 ⇒ x 8 4 1 • sen 0,5 ⇒ 30° 8 2 2
B
x
4
A
C
4 3
B 180° ⇒ 90° 1 1 30° 180° ⇒ 60° • BA 1 B B 1 C B 30°. Portanto, BC 8, B B 60° e C
C
2‚) No triângulo retângulo da figura ao lado, calcule a medida x indicada. (Dados: sen 40° 0,64; cos 40° 0,76 e tg 40° 0,84.)
6: medida da hipotenusa Temos { x: medida do cateto oposto ao ângulo de 40°
x x sen 40° ⇒ 0,64 ⇒ x 0,64 6 3,84 6 6
Capítulo 11 | Trigonometria no triângulo retângulo
6
x
40° B
A
373
3‚) Se a é a medida de um ângulo agudo e tg a 5 4, quanto vale sen a? Consideremos o triângulo retângulo ao lado, cujo cateto oposto ao ângulo de medida a vale 4 e o 4 cateto adjacente vale 1, ou seja, tg a 5 5 4. 1 Para refletir Aplicando o teorema de Pitágoras, calculamos o valor de x:
x2 5 42 1 12 5 17 ⇒ x 5 17
Portanto, sen a
4
17
4 17
17 17
No exemplo 3, poderíamos construir o cateto oposto com 8 e o cateto adjacente com 2. Justifique.
4 17 17
4
1
4‚) Vamos “resolver” o triângulo retângulo ABC da figura abaixo sabendo que b 5 5 e a 5 40°. C a
b 5
40° B
c A Precisamos determinar a, c e b. 5 5 • sen 40° 5 ⇒a5 sen 40° a Consultando a tabela da página 389 ou usando uma calculadora, temos sen 40° 5 0,643. 5 . 7,7 Então, a 5 0,643 5 5 • tg 40° 5 ⇒ c ? tg 40° 5 5 ⇒ c 5 c tg 40° 5 . 5,9. Vendo na tabela que tg 40° 5 0,839, temos c 5 0,839
• Como 40° 1 b 5 90° (B a e B b são ângulos complementares), temos b 5 90° 2 40° 5 50°. Logo, a . 7,7; c . 5,9 e b 5 50°.
Exercícios propostos 15. Nos triângulos retângulos abaixo, determine o seno, o
B ; depois, consulte a tacosseno e a tangente do ângulo B B , em graus. bela e determine a medida aproximada de B C a) C b) 10
6
A
4
B
8
B
16. Você vai construir uma tabela de valores muito importantes; para isso: a) calcule sen 45°, cos 45° e tg 45° utilizando o triângulo retângulo destacado do quadrado abaixo:
3 2
3 2
A
2
2 3
30°
30°
2
2
2
c) calcule sen 60°, cos 60° e tg 60° utilizando o triângulo retângulo destacado do triângulo equilátero abaixo:
2
2
3 2
b) calcule sen 30°, cos 30° e tg 30° utilizando o triângulo retângulo destacado do triângulo equilátero a seguir :
3 2
45°
45°
374
60°
60° 2
2
2
Matemática
c)
d) com os valores que você encontrou, complete a tabela: 45°
30°
C 60°
x
60° B
d)
cos
A
6 3
sen
3 2
A
B
tg x
45°
Para refletir
C
• Em um triângulo retângulo com ângulos
e)
de 90°, 45° e 45°, os catetos são iguais.
• Em um triângulo retângulo com ângu
5 3
C
los de 90°, 60° e 30°, o cateto menor, oposto ao ângulo de 30°, é a metade da hipotenusa.
x B
17. Nos triângulos retângulos seguintes, calcule a medi-
f)
da x indicada:
a)
C
C
8
30° A
b)
40°
12
x
C
5
A
abaixo:
x 60°
30°
62° A
Dados: sen 40° 5 0,64; cos 40° 5 0,76; tg 40° 5 0,84.
18. (Fuvest-SP) Calcule a medida x indicada na figura
Dados: sen 62° 5 0,88; cos 62° 5 0,46; tg 62° 5 1,88.
x
x
B B
A
30°
B
100
Projeção ortogonal de um segmento de reta sobre um eixo Observe que, se A’B’ é a projeção ortogonal do segmento de reta AB sobre um eixo, então as medidas de tABu e tA’B’u são relacionadas pela fórmula A’B’ AB cos , em que é o ângulo formado por tABu e o referido eixo.
B
A
Exemplos: 1‚) Se AB 5 cm e 29°, temos que A’B’ AB cos ⇒ A’B’ 5 cos 29°. Consultando a tabela da página 389 ou usando uma calculadora científica, vemos que cos 29° 0,875. Logo, A’B’ 5 0,875 4,375 cm. Portanto, A’B’ 4,375 cm.
A
B
2‚) No triângulo retângulo ao lado, vamos calcular a medida x indicada. (Dados: sen 15° 0,25; cos 15° 0,96 e tg 15° 0,26.)
C 1
1: medida do cateto oposto ao ângulo de 15° x: medida do cateto adjacente ao ângulo de 15°
Dados {
tg 15°
1 1 1 3,84 ⇒ 0,26 ⇒ 0,26x 1 ⇒ x x x 0, 26
Capítulo 11 | Trigonometria no triângulo retângulo
15° B
x
A
375
3‚) Vamos consultar a tabela da página 389 e responder: a) Se sen 0,94, qual o valor de ? Na tabela da página 389 procuramos por 0,94 na coluna do seno (sen). Encontramos o valor de 70°. b) Se cos 0,407, qual o valor de ? Na mesma tabela, procuramos por 0,407 na coluna do cosseno (cos). Encontramos o valor de 66°.
Poderíamos também usar uma calculadora científica em vez da tabela. 2 4‚) Se é a medida de um ângulo agudo e cos , quanto 5 vale tg ? Para refletir
Consideremos o triângulo retângulo ao lado, cujo cateto adjacente ao ângulo de medida vale 2 e a hipotenusa vale 2 5, ou seja, cos x . 5
Aplicando o teorema de Pitágoras, calculamos o valor de x:
52 x2 1 22 ⇒ x2 25 2 4 21 ⇒ x 21
Portanto:
tg
5 x
Este exercício também pode ser resolvido usando as relações sen2 a 1 cos2 a 5 1 e sen a tg a 5 cos a , para a agudo. Confira.
2
x 21 2 2
1 5‚) Uma rampa tem índice de subida igual a . Qual é o ângulo de subida dessa rampa? 5 1 Vamos considerar uma rampa com altura 1 e afastamento 5, pois o índice de subida é . 5 Para obter o ângulo de subida , vamos calcular tg :
tg
1 5
1 cateto oposto 5 0,2 5 cateto adjacente
Procurando na tabela da página 389 o ângulo cuja tangente é 0,2, encontramos um valor entre 11° e 12°. Portanto, vamos admitir 11,5°. Observação: Se utilizarmos uma calculadora científica, obteremos 11,3°.
Exercícios propostos 19. Use a tabela da página 389 e responda: a) Se sen 0,53, qual o valor de ? b) Se cos 0,777, qual o valor de ? c) Se tg 4,011, qual o valor de ? 1 3
20. Se tg , calcule sen (B é ângulo agudo).
4 21. Sabendo que sen , qual é o valor de cos ? (A 5 é ângulo agudo.) 1 22. Quanto vale tg se cos ? (B é ângulo agudo.) 4
376
23. Resolva o triângulo retângulo
C
ABC da figura a seguir, sabendo que a 12 e b 67°. (Consulte a tabela ou use uma calculadora científica para determinar os valores necessários.)
a
b
B
c
A
Matemática
24. C alcule o valor de x no triângulo retângulo ABC abaixo.
25. Na figura abaixo, h 2 , 30° e b 60°. Calcule a medida x + y.
C
x h
A
45°
30° D
70
B
x
y
Aplicação: resolução de problemas Vejamos agora alguns exemplos de problemas cujas soluções exigem o conhecimento das razões trigonométricas no triângulo retângulo. 1‚) Uma rampa lisa de 10 m de comprimento faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira eleva-se quantos metros verticalmente?
Realidade
Modelo matemático
10
10 x
x
30°
30°
10: medida da hipotenusa x: medida do cateto oposto ao ângulo de 30°
Pelo desenho, temos {
sen 30°
Logo, a pessoa eleva-se 5 m verticalmente.
x 1 x ⇒ 5 ⇒ 2x 10 ⇒ x 5 10 2 10
Observação: Chama-se ângulo de elevação ou ângulo de depressão de um ponto A em relação a um ponto B o ângulo formado pela semirreta AB com a horizontal passando por A.
B A
ângulo de elevação
A ângulo de depressão B
Capítulo 11 | Trigonometria no triângulo retângulo
377
2‚) O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50 m da base de uma encosta, ao topo da encosta é de 60°. Que medida deve ter um cabo que ligue o pé da árvore ao topo da encosta? Realidade ilustrações: Formato Comunicação/ Arquivo da Editora
Modelo matemático
x
60°
60°
50 m
50
50: medida do cateto adjacente ao ângulo de 60° x: medida da hipotenusa
Pela figura, temos {
cos 60°
50 1 50 ⇒ ⇒ x 100 x x 2 Logo, a medida do cabo deve ser 100 m.
3‚) Do alto da torre de uma plataforma marítima de petróleo de 45 m de altura, o ângulo de depressão em relação à proa de um barco é de 60°. A que distância o barco está da plataforma?
Realidade
Modelo matemático 60°
60° 45 m
30°
30° 45
x
45: medida do cateto adjacente ao ângulo de 30° x: medida do cateto oposto ao ângulo de 30°
Pela figura, temos {
tg 30°
Portanto, o barco está a 25,95 m da plataforma.
3 x x 45 3 ⇒ ⇒ x ⇒ x 15 3 15(1,73) 25,95 m 3 45 45 3
tim-tim por tim-tim
Um avião decola de um ponto B sob inclinação constante de 15° com a horizontal. A 2 km de B **4‚) (seCpcar-MG) encontra a projeção vertical C do ponto mais alto D de uma serra de 600 m de altura, conforme figura. D
Dados: cos 15o 0,97 sen 15o 0,26 tg 15o 0,27 B
378
15° C
É correto afirmar que: a) não haverá colisão do avião com a serra. b) haverá colisão do avião com a serra antes de alcançar 540 m de altura. c) haverá colisão do avião com a serra em D. d) se o avião decolar 220 m antes de B, mantendo a mesma inclinação, não haverá colisão do avião com a serra. Matemática
1. Lendo e compreendendo a) O que é dado no problema? É dada a altura DC da serra (600 m), a distância BC do avião à projeção vertical do ponto mais alto da serra (2 km) e o ângulo de inclinação do avião durante a decolagem (15°). Também são dados seno, cosseno e tangente de 15°. b) O que se pede? Avaliar se o avião conseguirá ou não decolar em segurança nas condições dadas. 2. Planejando a solução Devemos usar os conhecimentos de trigonometria no triângulo retângulo para calcular em que altura estará o avião depois de ter percorrido a distância BC, e comparar com a altura da serra, para avaliarmos o que ocorrerá. 3. Executando o que foi planejado O modelo matemático que obtemos com os dados do problema é: h 15° 2 000 m
Dos dados do problema, temos que tg 15° 5 0,27: h 5 2 000 ? 0,27 5 540. Isso significa que, após percorrer 2 000 m na horizontal, o avião estará a uma altura de 540 m, insuficiente para sobrevoar com segurança a serra. Haverá colisão! Note, pelo desenho abaixo, que a colisão ocorrerá antes de o avião atingir 540 m, pois a serra não é um segmento vertical, sem espessura. Então, haverá colisão do avião com a serra 600 m antes que ele alcance 540 m de altura. Vamos avaliar a hipótese descrita na alterna540 m tiva d: “se o avião decolar 220 m antes de B, mantendo a mesma inclinação, não haverá colisão do avião com a serra”. 15° B Nesta hipótese, a distância horizontal seria C 2 000 m de 2 220 m, e estaríamos calculando uma altura h2 do avião após percorrer os 2 220 m na horizontal. De forma análoga ao que foi feito anteriormente, usaríamos a tangente de 15°, obtendo: h2 5 2 220 ? tg 15° 5 2 220 ? 0,27 5 599,4 m. Essa altura ainda não seria suficiente para uma decolagem em segurança, reforçando que a resposta correta é a alternativa b.
Formato Comunicação/ Arquivo da Editora
Temos o cateto adjacente e queremos o cateto oposto. Assim, o ideal é usar a tangente, que relaciona esses dois catetos: cateto oposto h tangente ⇒ tg 15° ⇒ h 2000 ? tg 15° cateto adjacente 2000
4. Emitindo a resposta A resposta é a alternativa b. 5. Ampliando o problema a) Qual seria a distância mínima antes do ponto B de onde o avião deveria decolar (inclinado a 15°) para que ele sobrevoasse o ponto D com pelo menos 10 m de folga? b) Se o avião decolasse do ponto B, qual deveria ser a inclinação mínima de sua subida para que ele sobrevoasse o ponto D com pelo menos 10 m de folga? Use a tabela da página 389 ou uma calculadora científica. c) Discussão em equipe No momento de escolher o local para a construção de um aeroporto, pontos elevados (como montanhas e morros) devem ser evitados para permitir boa circulação dos aviões. Discuta com seus colegas outros fatores que devem ser levados em consideração quando se escolhe a localização de um aeroporto.
Capítulo 11 | Trigonometria no triângulo retângulo
379
ma técnica que permite a medição correta da U altura é a seguinte: de um ponto no chão, mede-se o ângulo de elevação do chão ao topo da montanha (); caminha-se um valor conhecido de metros para trás (p); mede-se novamente o ângulo de elevação do chão ao topo da montanha (b). amos calcular a altura h de uma montanha V sabendo que 44°, b 39° e p 120 m. Com uma calculadora ou consultando a tabela trigonométrica da página 389 vamos obter os valores de seno, cosseno e tangente que forem necessários.
Ilustrações: Formato Comunicação/ Arquivos da Editora
5‚) Medição de alturas inacessíveis Medir alturas de montanhas, em geral, não é simples. Pelo fato de não ser possível obter as medidas do triângulo retângulo teórico que permite o cálculo da altura por meio do uso das relações trigonométricas (a não ser que se fizesse um túnel até o centro da montanha, o que não é prático), deve-se recorrer a outra técnica.
p
h 39° 120 m
44° a
h 0,966 ⇒ h 0,966a a h tg 39° 0,810 ⇒ h 0,810(120 + a) 0,966a ⇒ 97,2 + 0,810a 0,966a ⇒ 0,156a 97,2 ⇒ a 623,08 120 + a Então, h 602 m. A montanha tem, aproximadamente, 602 m.
tg 44°
6‚) Medida do raio da Terra Como medir o raio da Terra, um comprimento inacessível às medidas diretas? Um processo, usado desde a época dos gregos, é o seguinte: Sobe-se a uma torre de altura h e mede-se o ângulo que faz a reta BC do horizonte de B com a vertical BO do lugar. B h
torre
C
lin ha do
ho riz on te
R
Examinando a figura ao lado percebe-se que: R
O Terra
R sen ⇒ R ? sen 1 h ? sen R ⇒ R + h h ? sen α ⇒ R (1 sen ) h ? sen ⇒ R 1 sen α Com as medidas h e (que são acessíveis) e uma tabela de senos (ou uma calculadora), podemos chegar à medida do raio da Terra.
380
Matemática
Exercícios propostos 26. Um navio está situado exatamente 10 milhas a leste de um ponto A. Um observador, situado exatamente ao sul do navio, vê o ponto A sob um ângulo de 40°. Calcule a distância entre o observador e o navio. (Dados: sen 40° 0,64; cos 40° 0,76 e tg 40° 0,83.)
10°
N S
10
A
40° observador
ILUSTRAÇõES: Formato Comunicação/ ArquivoS da Editora
20 m L
O
27. Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10° em
30. Do alto de uma torre de 50 m de altura, localizada em uma ilha, avista-se um ponto da praia sob um ângulo de depressão de 30°. Qual é a distância da torre até esse ponto? (Desconsidere a largura da torre.) 30° 50 m
relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m de comprimento, a quantos metros o caminhão se eleva, verticalmente, após percorrer toda a rampa? (Dados: sen 10° 0,17; cos 10° 0,98 e tg 10° 0,18.) 30 m 10°
31. Na figura abaixo, qual é a altura do avião em relação ao chão?
28. Distância inacessível
Queremos saber a largura de um rio sem atravessá-lo. Para isso, adotamos o seguinte processo: • marcamos dois pontos, A (uma estaca) e B (uma árvore), um em cada margem; • marcamos um ponto C, distante 8 m de A, onde fixamos o aparelho para medir ângulos (teodolito), de tal modo que o ângulo no ponto A seja reto; • obtemos uma medida de 70° para o ângulo ACB. Nessas condições, qual a largura do rio? (Dados: sen 70° 0,94; cos 70° 0,34 e tg 70° 2,75.)
00
50
m
h
30°
32. Observe a figura a seguir e responda:
60° x
4m
B
a) Qual é o comprimento da escada? b) Qual o ângulo formado pela escada e o chão?
33. Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo
70° C
8m
coloca o teodolito a 100 m da base e obtém um ângulo de 30°, conforme mostra a figura. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70 m do solo, qual é aproximadamente a altura da torre? (Dados: sen 30° 0,50; cos 30° 0,87 e tg 30° 0,58.)
A
29. Em um exercício de tiro esportivo, o alvo se encontra
numa parede e sua base está situada a 20 m do atirador. Sabendo que o atirador vê o alvo sob um ângulo de 10° em relação à horizontal, calcule a que distância o centro do alvo se encontra do chão. (Dados: sen 10° 0,17; cos 10° 0,98 e tg 10° 0,18.)
Capítulo 11 | Trigonometria no triângulo retângulo
h
30°
100 m
381
34. Na construção de um telhado foram usadas telhas fran-
6
tiro nela. Sabendo que entre um tiro e outro a moeda caiu 12 m e que a altura do revólver em relação ao solo na hora dos dois disparos era de 2 m, qual foi a altura máxima alcançada pela moeda? (Observação: Considere que os tiros não desviam a moeda da linha vertical em que ela está caindo.)
38. Um avião levanta voo em A e sobe fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando sobrevoar uma torre situada a 2 km do ponto de partida? (Dados: sen 15° 5 0,26; cos 15° 5 0,97 e tg 15° 5 0,27.)
6
20°
3
d
35. Atividade em equipe Em Física, muitas grandezas são representadas por vetores, que são segmentos de reta orientados que possuem um tamanho (fala-se “módulo” do vetor), uma direção e um sentido (indicado pela flecha na ponta do vetor). Quando a direção desses vetores não é nem horizontal nem vertical, eles podem ser decompostos em outros dois vetores, sendo um horizontal e outro vertical. Na figura a seguir, vocês observam um vetor V, de módulo (tamanho) 10, cuja direção está inclinada 30° em relação à horizontal. Usem seus conhecimentos de Trigonometria para calcular qual é o módulo (tamanho) do vetor Vx na horizontal e do vetor Vy na vertical. (Observação: As linhas tracejadas são perpendiculares aos eixos horizontal e vertical.)
h A
15° 2 km 2 000 m
ilustrações: Formato Comunicação/ Arquivo da Editora
cesas e o “caimento” do telhado é de 20° em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6 m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem 3 m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. (Dados: sen 20° 0,34; cos 20° 0,94; tg 20° 0,36.)
39. (Cesesp-PE) Do alto de uma torre de 50 m de altura, localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de 45° em relação ao plano horizontal. Para transportar material da praia até a ilha, um barqueiro cobra R$ 0,20 por metro navegado. Quanto ele recebe em cada transporte que faz?
50 m
Vy
V 10 45°
30° Vx
x
36. Um observador está em um ponto A do aterro do
40. (Unicamp-SP) Para medir a largura AC de um rio, um
Flamengo e vê o Pão de Açúcar segundo um ângulo de 10° com o plano horizontal (medido com o teodolito). Ele anda em direção ao seu objetivo até um ponto B distante 650 m de A e agora vê o Pão de Açúcar segundo um ângulo de 14°. Qual é a altura do Pão de Açúcar em relação ao plano de observação?*
queiro C de modo que o ângulo AB B C fosse de 60°; determinou o ponto D no prolongamento de CA
37. Um cowboy joga uma moeda para o alto. Quando a moeda atinge sua altura máxima, ele dá um tiro nela, com o braço inclinado 60° em relação ao solo, acertando-a. A moeda começa a cair em linha reta, perpendicularmente ao solo, e, com o braço inclinado 45° em relação ao solo, o cowboy acerta mais um * O exercício 36 foi extraído de Elon Lages Lima e outros. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM, 2001. p. 66 e 68. (Coleção do Professor de Matemática.)
382
homem usou o seguinte procedimento: marcou um ponto B de onde podia ver na margem oposta o co-
de forma que o ângulo CB BD fosse de 90°. Medindo AD 5 40 m, calculou a largura do rio. Determine essa largura e explique o raciocínio. D
B
A
C
Matemática
41. (Unicamp-SP) Caminhando em linha reta ao longo de
uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB 5 1 200 m. Quando em A, ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NB AB é de 60°; quando em B, verifica que o ângulo NB BA é de 45°. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule a distância a que se encontra o navio da praia.
46. Uma rampa retangular inclinada que dá acesso ao piso superior de um estacionamento faz um ângulo a com o piso horizontal e tem 120 m2 de área. Exatamente embaixo dessa rampa foi delimitada uma área de 90 m2 para um jardim interno, conforme a figura. Qual é o ângulo de inclinação dessa rampa em relação à horizontal? Use a tabela da página 389. rampa y
42. (Vunesp) Um obelisco de 12 m de altura projeta, num certo momento, uma sombra de 4,8 m de extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80 m de altura poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra.
43. A figura abaixo, encontrada no livro de Apianus, Qua-
Fonte: alunos.cc.fc.ul.pt/arquivo da editora
drans astronomicus, de 1535, mostra a medição da altura de uma torre.
jardim interno
x
47. Um corpo com massa de 7 kg é abandonado em um plano inclinado cujo ângulo de elevação é 30°, sendo desprezível o atrito entre o corpo e o plano. Admitindo g 5 10 m/s2, determine: a) a aceleração do corpo; b) a intensidade da reação normal de apoio. N=
30° P=
30°
48. Um bloco é deslocado de 8 m por uma força de 40 N e o ângulo formado com a horizontal é de 60°, de acordo com a figura: F=
60°
Como se pode observar na figura, aparentemente o homem viu a torre sob um ângulo de 50°, andou 246 unidades de comprimento para trás e novamente viu a torre, agora sob um ângulo de 25°. Supondo esses dados, qual seria a altura da torre, na unidade de medida de comprimento adotada, e sem considerar a altura da pessoa que mede? (Use uma calculadora e/ ou consulte a tabela de senos, cossenos e tangentes, se necessário.)
A
8m
49. Atividade em dupla Um raio luminoso monocromático passa de um meio A para um meio B de acordo com a figura: 60°
44. A montanha onde se localiza o Cristo Redentor, no Rio de Janeiro, está a 703 m de altura em relação ao nível do mar. Lá de cima, um observador vê o horizonte (no mar) segundo um ângulo de 0,85° em relação ao plano horizontal. Encontre uma medida aproximada para o raio da Terra.*
45. Um segmento AB de 10 cm faz um ângulo agudo a com a horizontal. Sua projeção A’B’ na horizontal mede 5 3 cm. Qual é o valor do ângulo a?
* O exercício 44 foi extraído de Elon Lages Lima e outros. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM, 2001. p. 66 e 68. (Coleção do Professor de Matemática.)
Capítulo 11 | Trigonometria no triângulo retângulo
B
Determine o trabalho realizado.
A B 45°
O meio A é o ar, em que nA 5 1. Determinem o índice de refração absoluto do meio B. Use a lei de Snell-Descartes: nA ? sen B i 5 nB ? sen B r .
Desafio em dupla Obtenham uma fórmula para calcular a altura h de uma montanha, em função de a e b e da distância p em situa ções como a descrita no quinto exemplo da página 380 (Medição de alturas inacessíveis).
383
A MATEMÁTICA E AS PRÁTICAS SOCIAIS Voo do Rio para Paris desaparece dos radares Um Airbus A330-200 da Air France que transportava 228 pessoas desapareceu na madrugada de 1‚ de junho de 2009 sobre o oceano Atlântico, quando viajava do Rio de Janeiro, Brasil, para Paris, França. As primeiras notícias indicavam que o mais provável era a aeronave ter caído no mar devido a uma avaria provocada por uma tempestade, reportada pela tripulação no sistema automático de controle de voo da companhia, em Paris.
ÁFRICA OCEANO ATLÂNTICO
Área onde os destroços foram vistos 150 k m
650
km
Arquipélago de São Pedro e São Paulo
X
Fortaleza Fernando de Noronha
BRASIL
Natal
N 0
160
320 km
Fonte: Ministério da Defesa, 2009.
As buscas foram conduzidas sobre uma vasta área do Atlântico entre o Nordeste do Brasil e o arquipélago de Cabo Verde, uma distância de 2 000 quilômetros que não é coberta pelos radares de controle de tráfego aéreo. Para isso foram utilizados meios navais e aéreos do Brasil, França, Espanha e Cabo Verde. Uma nota divulgada pela Força Aérea Brasileira, entidade responsável pelo controle aéreo no Brasil, informou que o último contato feito pelo avião da Air France, que decolou do aeroporto do Galeão, Rio de Janeiro, às 19h03 do dia 31 de maio de 2009, foi às 22h33 para o controle da cidade de Recife (horários de Brasília). “O voo AFR 447 realizou o último contato via rádio com o Centro de Controle de Área Atlântico (Cindacta III) na posição Intol (565 quilômetros de Natal, capital do Rio Grande do Norte), informando que ingressaria no espaço aéreo de Dacar, Senegal (posição Tasil – 1 228 quilômetros de Natal) às 23h20 de Brasília”, diz o comunicado. De acordo com o brigadeiro do ar Antônio Carlos Moretti Bermudez, quando a aeronave saiu da cobertura do radar do Cindacta III, as informações indicavam que o Airbus A330 voava normalmente a 35 000 pés (11 quilômetros) de altitude e a uma velocidade de 840 quilômetros por hora. A Air France informou ao Cindacta III que o voo AFR 447 enviou uma mensagem para a companhia, a aproximadamente 100 quilômetros da posição Tasil, informando problemas técnicos na aeronave, nomeadamente despressurização e uma avaria elétrica não identificada. A companhia anunciou que a bordo estavam 208 adultos (126 homens e 82 mulheres), cinco crianças e um bebê, além dos 12 tripulantes. Fonte: Adaptado de Catanho Fernandes, http://www.dnoticias.pt/.
384
Matemática
CALCULANDO E COMPREENDENDO MELHOR O TEXTO 1. No texto da página anterior, observa-se uma relação entre duas unidades de comprimento — pé e quilômetro. É fácil relacioná-las pela regra de três. No texto diz-se que 35 000 pés equivalem a 11 km. Escreva em centímetros a equivalência de um pé. Após esse primeiro passo, compare com o padrão adotado internacionalmente de que 1 pé equivale a 30,48 cm. Verifique se o erro da reportagem foi para mais ou para menos e diga o erro percentual.
2. Observe o mapa abaixo. Suponha que o ângulo formado no ponto vermelho pelas linhas imaginárias que ligam esse ponto ao arquipélago de São Pedro e São Paulo e a Fernando de Noronha possua medida de 90°. De acordo com essa nova figura, calcule a distância entre Fernando de Noronha e o Arquipélago de São Pedro e São Paulo. (Use uma calculadora.) OCEANO ATLÂNTICO
Área onde os destroços foram vistos
150 k m
650
km
Arquipélago de São Pedro e São Paulo X
Fernando de Noronha
0
N
160 km
Fonte: Ministério da Defesa, 2009.
3. No dia 9 de junho de 2009 a FAB divulgou um mapa esquemático da área de busca onde encontraram uma grande peça do avião. De acordo com esse “mapa”, calcule a área do círculo que representa a área de busca (considere p 5 3,14).
corpos 85 km
Tasil
grande peça raio de 46 km
corpos
destroços
PESQUISANDO E DISCUTINDO
4. Pesquise e discuta com seus colegas: Como a marinha mede a altura de uma onda? E como os surfistas medem tal altura?
VEJA MAIS SOBRE O ASSUNTO
Procure mais informações em jornais, revistas e nos sites http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_trigonometria.htm, www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/pitagoras.html e www.somatematica.com.br Capítulo 11 | Trigonometria no triângulo retângulo
385
>Atividades adicionais Região Nordeste
ATENÇÃO! AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC., NÃO ESCREVA NO LIVRO. TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.
4. (Unit-SE) Do topo de um mastro vertical é esticado um fio de arame até o plano do chão, conforme mostra a figura abaixo:
A seguir, separadas por regiões geográficas, relacionamos algumas questões de vestibular que envolvem o conteúdo deste capítulo.
60°
mastro
Região Norte
arame
1. (Ufac) Uma pessoa sobe uma rampa, que forma com a horizontal um ângulo de 30°. Admitindo que o terreno sob a rampa é plano, a que altura do solo se encontrará essa pessoa quando tiver caminhado 15 m sobre a mesma? d) 7,9 m a) 8,5 m b) 8 m e) 7,5 m c) 9 m
2. (Ufam) Use o triângulo SPQ, retângulo em S: P
Se o fio tem 16,4 m de comprimento, a altura do mastro, em metros, é: a) 7,2. b) 7,6. c) 7,8. d) 8,2. e) 8,8.
5. (UFRN) A figura abaixo é formada por três triângulos retângulos. As medidas dos catetos do primeiro triângulo são iguais a 1. Nos demais triângulos, um dos catetos é igual à hipotenusa do triângulo anterior e o outro cateto tem medida igual a 1. Considerando os ângulos a, b e g na figura abaixo, atenda às solicitações seguintes. 1
s
q
1
Q
p
S
Então os valores de sen Q, cos Q e tg Q correspondem respectivamente a: a)
q s q e . , p p p
d)
q p p e . , s s q
b)
q q p , e . s p s
e)
q p q , e . s s p
c)
s s p , e . q p q
1 1
a) Calcule tg a, tg b e tg g. b) Calcule os valores de a e g. c) Justifique por que 105° , a 1 b 1 g , 120°.
6. (UFC-CE) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em B.
C
3. (Ufam) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é
13
5
a) 2 3 . b)
3 . 3
3 c) . 6 d)
20 . 20
e) 3 3 .
386
A
B
O cosseno do ângulo BBAC é: 12 6 d) . a) . 13 13 11 1 e) . b) . 13 13 10 c) . 13 Matemática
7. (UFPB) Ao empinar uma pipa, João percebeu que estava a uma distância de 6 m do poste onde a pipa engalhou. Maria notou que a tangente do ângulo a formado entre a linha da 4 pipa e a rua era , como 3 mostra a figura ao lado. 6m A altura do poste é: d) 8 m. a) 4,5 m. b) 6 m. e) 9 m. c) 7,5 m.
8. (UFPE) Dois pavimentos
Considerando-se que foram utilizados 10 m de cabo para ligar os dois postes, determine a altura do poste telefônico em relação ao solo.
11. (UFMS) Um móvel parte de um ponto A, situado em uma reta r, numa direção que forma um ângulo de 30° com a reta. Sabendo que o móvel desloca-se a uma velocidade constante de 50 km/h, então a distância entre o móvel e a reta r, após 3 horas de percurso, é: a) 75 km.
b) 75 3 km.
d) 75 2 km.
e) 50 km.
c) 50 3 km.
de uma construção devem ser ligados por uma 3,60 escada com 10 degraus de mesma altura, construída sobre uma rampa de 3,6 m 1 como ilustrado na figura. Se sen a 5 indique a 2 altura, em centímetros, de cada degrau.
12. (UFMS) Para obter a altura de uma torre, um topógrafo
posiciona o teodolito em A, obtendo um ângulo a 5 15°. Em seguida, aproxima-se 20 m da torre, coloca o teodolito em B e agora obtém um ângulo b 5 30°.
Região Centro-Oeste
h
9. (UFG-GO) Em um jogo de sinuca, uma bola é lançada do
ponto O para atingir o ponto C, passando pelos pontos A e B, seguindo a trajetória indicada na figura a seguir.
0,8 m
C
20 m
a) 10 m.
1,2 m O
B
Se for desprezada a altura do teodolito, a altura h da torre será de:
x A
A
bola B 2,0 m
Nessas condições, calcule: a) o ângulo b em função do ângulo u; b) o valor de x indicado na figura.
d) 10(2 1 3 )m.
b) 10 3m.
e)
10 3
m.
c) 10(2 3 )m.
Região Sudeste 13. (Mack-SP) Calcule a medida do segmento AB na figura abaixo, sabendo que BCDE é um retângulo: A
10. (UFG-GO) Para dar sustentação a um poste telefônico,
utilizou-se um outro poste com 8 m de comprimento, fixado ao solo a 4 m de distância do poste telefônico, inclinado sob um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo.
D
30°
E
cabo 50 8m 60°
60° C
Capítulo 11 | Trigonometria no triângulo retângulo
B
387
14. (Ufla-MG) Um aparelho é construído para medir alturas e consiste de um esquadro com uma régua de 10 cm e outra régua deslizante que permite medir tangentes do ângulo de visada a, conforme o esquema da figura 1. Uma pessoa, utilizando o aparelho a 1,5 m do solo, toma duas medidas, com distância entre elas de 10 m, conforme esquema da figura 2. Sendo ,1 5 30 cm e ,2 5 20 cm, calcule a altura da árvore. Figura 1 10 cm
Região Sul 17. (UFSC) Uma escada com 10 m de comprimento foi
apoiada em uma parede que é perpendicular ao solo. Sabendo que o pé da escada está afastado 6 m da base da parede, determine a altura, em metros, alcançada pela escada.
18. (UEM-PR) Para obter a altura CD de uma torre, um mate-
mático, utilizando um aparelho, estabeleceu a horizontal AB e determinou as medidas dos ângulos a 5 30° e b 5 60° e a medida do segmento BC 5 5 m, conforme especificado na figura. Nessas condições, a altura da torre, em metros, é...
D
Figura 2
1,5 m
2
60°
A
1 10 m
15. (UFRRJ) Milena, diante da configuração representada
abaixo, pede ajuda aos vestibulandos para calcular o comprimento da sombra x do poste; mas, para isso, ela informa que o sen a 5 0,6. Calcule o comprimento da sombra x.
10 m
B
30°
5m C
19. (UEL-PR) Um engenheiro fez um projeto para a constru-
ção de um prédio (andar térreo e mais 6 andares), no qual a diferença de altura entre o piso de um andar e o piso do andar imediatamente superior é de 3,5 m. Durante a construção, foi necessária a utilização de rampas para transporte de material do chão do andar térreo até os andares superiores. Uma rampa lisa de 21 m de comprimento, fazendo ângulo de 30° com o plano horizontal, foi utilizada. Uma pessoa que subir essa rampa inteira transportará material, no máximo, até o piso do: a) 2‚ andar. c) 4‚ andar. e) 6‚ andar. b) 3‚ andar. d) 5‚ andar.
20. (PUC-RS) Uma ponte sobre um rio tem comprimento x
16. (Vunesp) A figura mostra duas circunferências de raios
de 20 m e abre-se a partir de seu centro para dar passagem a algumas embarcações, provocando um vão AB, conforme a figura abaixo. A
8 cm e 3 cm, tangentes entre si e tangentes à reta r. C e D são os centros das circunferências.
B
C
D
r O
P
Se a é a medida do ângulo CBOP, o valor de sen a é: 1 1 3 c) . e) . a) . 6 2 8 5 8 d) . b) . 11 23
388
20 m
No momento em que os ângulos a 5 b 5 45°, o vão AB mede: a) 20 5 2 m.
d) 20 20 2 m.
b) 10 5 2 m.
e) 10 m.
c) 20 10 2 m. Matemática
TABELA DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Ângulo
sen
cos
tg
Ângulo
sen
cos
tg
1° 2° 3° 4° 5°
0,017 0,035 0,052 0,070 0,087
1,000 0,999 0,999 0,998 0,996
0,017 0,035 0,052 0,070 0,087
46° 47° 48° 49° 50°
0,719 0,731 0,743 0,755 0,766
0,695 0,682 0,669 0,656 0,643
1,036 1,072 1,111 1,150 1,192
6° 7° 8° 9° 10°
0,105 0,122 0,139 0,156 0,174
0,995 0,993 0,990 0,988 0,985
0,105 0,123 0,141 0,158 0,176
51° 52° 53° 54° 55°
0,777 0,788 0,799 0,809 0,819
0,629 0,616 0,602 0,588 0,574
1,235 1,280 1,327 1,376 1,428
11° 12° 13° 14° 15°
0,191 0,208 0,225 0,242 0,259
0,982 0,978 0,974 0,970 0,966
0,194 0,213 0,231 0,249 0,268
56° 57° 58° 59° 60°
0,829 0,839 0,848 0,857 0,866
0,559 0,545 0,530 0,515 0,500
1,483 1,540 1,600 1,664 1,732
16° 17° 18° 19° 20°
0,276 0,292 0,309 0,326 0,342
0,961 0,956 0,951 0,946 0,940
0,287 0,306 0,325 0,344 0,364
61° 62° 63° 64° 65°
0,875 0,883 0,891 0,899 0,906
0,485 0,469 0,454 0,438 0,423
1,804 1,881 1,963 2,050 2,145
21° 22° 23° 24° 25°
0,358 0,375 0,391 0,407 0,423
0,934 0,927 0,921 0,914 0,906
0,384 0,404 0,424 0,445 0,466
66° 67° 68° 69° 70°
0,914 0,921 0,927 0,934 0,940
0,407 0,391 0,375 0,358 0,342
2,246 2,356 2,475 2,605 2,747
26° 27° 28° 29° 30°
0,438 0,454 0,469 0,485 0,500
0,899 0,891 0,883 0,875 0,866
0,488 0,510 0,532 0,554 0,577
71° 72° 73° 74° 75°
0,946 0,951 0,956 0,961 0,966
0,326 0,309 0,292 0,276 0,259
2,904 3,078 3,271 3,487 3,732
31° 32° 33° 34° 35°
0,515 0,530 0,545 0,559 0,574
0,857 0,848 0,839 0,829 0,819
0,601 0,625 0,649 0,675 0,700
76° 77° 78° 79° 80°
0,970 0,974 0,978 0,982 0,985
0,242 0,225 0,208 0,191 0,174
4,011 4,332 4,705 5,145 5,671
36° 37° 38° 39° 40°
0,588 0,602 0,616 0,629 0,643
0,809 0,799 0,788 0,777 0,766
0,727 0,754 0,781 0,810 0,839
81° 82° 83° 84° 85°
0,988 0,990 0,993 0,995 0,996
0,156 0,139 0,122 0,105 0,087
6,314 7,115 8,144 9,514 11,430
41° 42° 43° 44° 45°
0,656 0,669 0,682 0,695 0,707
0,755 0,743 0,731 0,719 0,707
0,869 0,900 0,933 0,966 1,000
86° 87° 88° 89°
0,998 0,999 0,999 1,000
0,070 0,052 0,035 0,017
14,301 19,081 28,636 57,290
Capítulo 11 | Trigonometria no triângulo retângulo
389
capítulo 12
Geometria plana Desde que nascemos, exploramos o espaço em que vivemos e os objetos que povoam esse espaço. Eles nos interessam por muitos atributos: tamanho, cor, material de que são feitos, função, forma e outros. As figuras geométricas impregnadas nesses objetos têm despertado o interesse da humanidade desde a Antiguidade em várias áreas do conhecimento. Na Arquitetura é tão presente o uso de
figuras geométricas e suas propriedades que não há quem não se encante, por exemplo, com o estilo enxaimel das construções de algumas casas encontradas na Europa e no sul do Brasil. O enxaimel é uma técnica de construção que consiste em paredes montadas com hastes de madeira encaixadas entre si em posições horizontais, verticais ou inclinadas, cujos espaços são preenchidos geralmente por pedras ou tijolos.
frederick florin/agence france-presse
Casas da cidade de Colmar, na Alsácia, nordeste da França, construídas com a técnica da colombage, ou enxaimel: caibros de madeira inseridos na alvenaria.
390
Matemática
Os tirantes de madeira dão estilo e beleza às construções do gênero, produzindo um caráter estético privilegiado. Outras características são a robustez e a grande inclinação dos telhados. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Enxaimel. Acesso em 18/8/2009. Outras áreas do conhecimento humano, como a Ciência e a Arte, também lançam mão das figuras geométricas e de suas propriedades, o que mostra que o nosso cotidiano está permeado por situações nas quais elas se aplicam. Veja nas atividades a seguir exemplos de aplicações da Geometria.
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
>Atividades 1. O mastro de um painel eletrônico tem 12 m de altura e é fincado perpendicularmente ao solo, além de ser sustentado por quatro cabos de aço, como mostra o esquema a seguir. Quantos metros de cabo de aço foram utilizados na fixação do mastro, se na amarração de cada um no solo foram gastos 50 cm de cabo?
O desenho da bandeira As regras para a feitura da bandeira encontram-se definidas no art. 5‚ da Lei n‚ 5 700/71. O desenho é modular, o que facilita a sua reprodução e confecção. Para o cálculo das dimensões, toma-se por base a largura desejada, dividindo esta em 14 partes iguais. Cada uma das partes será considerada uma medida ou módulo. O comprimento da bandeira será de 20 módulos. Fonte: www.brasilrepublica.com. Acesso em 18/8/2009.
12 m
4m
5m
5m
4m
2. Leia o texto do quadro a seguir que apresenta algumas informações sobre as dimensões da bandeira brasileira, depois resolva o que se pede. Capítulo 12 | Geometria plana
a) Determine o comprimento da bandeira brasileira, com 1,26 m de largura, confeccionada segundo as informações acima. b) De acordo com as informações do quadro, qual deve ser a área de um painel retangular ocupado inteiramente pela bandeira brasileira com 102 cm de perímetro?
391
1. Propriedades de figuras geométricas* No ensino fundamental você já estudou as noções básicas de Geometria plana. Neste capítulo vamos recordar esse estudo por meio da resolução de exercícios e problemas.
Ângulos opostos pelo vértice Observe o desenho abaixo, de dois ângulos opostos pelo vértice (opv):
a
b
Podemos medir com um transferidor esses dois ângulos e constatar que eles têm a mesma medida. Mas, para constatar que isso é verdade sempre, quaisquer que sejam os dois ângulos opostos pelo vértice, precisamos demonstrar essa propriedade. Examine a demonstração desta importante propriedade. A partir de afirmações verdadeiras e usando raciocínio lógico, concluímos que uma outra afirmação é verdadeira.
Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma reta transversal As retas r e s são paralelas: estão no mesmo plano e não têm ponto comum (r / s). A reta t, chamada transversal, determina quatro ângulos com r e quatro ângulos com s. A reta transversal t forma oito ângulos com as retas r e s.
r
Åa Åd
s
Åb Åc
Åf
Åe Åh
Åg t
* Veja a seção Leitura no final do capítulo.
392
Matemática
Em alguns casos, considerando as posições relativas, damos nomes a esses ângulos quando tomados dois a dois. Analise os nomes e o que acontece com as medidas: r
a) B a e B e
B b e B f
ângulos correspondentes B a 5 B e; B b 5 B f ; B c 5 B g; dB 5 B h
B c e B g dB e B h
Bb
Ba Bd
s
Bc
Bf
Be Bh
B g t
b) B c e B e
ângulos alternos internos B c 5 B e; dB 5 B f
dB e B f Justificativa: Observe que: B c 5 B a; (opv) B a 5 B e; (correspondentes) Então, B c 5 B e. De modo análogo, dB 5 B f. c) B a e B g
ângulos alternos externos B a 5 B g; B b 5 B h
B b e B h d) B a e B h
B b e B g
ângulos colaterais externos B a 1 B h 5 180°; B b 1 B g 5 180°
e) B c e B f dB e B e
ângulos colaterais internos B c 1 B f 5 180°; dB 1 B e 5 180°
Assim, ângulos correspondentes são sempre congruentes; ângulos alternos são sempre congruentes; e ângulos colaterais são sempre suplementares (somam 180°).
Exercícios propostos
ATENÇÃO!
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
1. Converse com os colegas e procurem justificar os nomes usados para relacionar os ângulos.
2. Desenhe em seu caderno duas retas paralelas cortadas
4. Na figura a seguir, a e b são retas paralelas cortadas
pela transversal r. Calcule as medidas de x e y sabendo que a diferença entre elas é de 64°.
por uma transversal em que um dos ângulos formados tenha 50°. (Use régua e transferidor.) Depois, meça os demais ângulos e verifique as suas medidas.
3. Considere m e n retas paralelas (m / n), calcule o
y
valor de x e a medida de cada ângulo assinalado.
x r
x 30°
r
2x 10°
m
Capítulo 12 | Geometria plana
a
b
n
393
Propriedade
Para refletir
Em todo paralelogramo dois ângulos opostos são congruentes (medidas iguais) e dois ângulos não opostos são suplementares (soma das medidas: 180°).
Lembre-se de que paralelogramo é todo quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
Demonstração: Se ABCD é um paralelogramo, temos tAB / tCD e podemos considerar tAD como uma transversal. A
B
D
C
Então, B a e dB são ângulos colaterais internos. A partir disso podemos afirmar que B a 1 dB 5 180°, ou que B a e dB são suplementares (I). Da mesma forma, considerando: • tAB / tCD e a transversal tBC, concluímos que B b 1 B c 5 180° (II);
• tAD / tBC e a transversal tAB, concluímos que B a 1 B b 5 180° (III);
• tAD / tBC e a transversal tCD, concluímos que B c 1 dB 5 180° (IV). A
B Åa
Åb Åd
D
Åc
C
B Usando as afirmações (I), (II), (III) e (IV), você pode completar a demonstração e concluir que B a 5 B c e B b 5 d.
Exercícios propostos 5. Em um paralelogramo: a) se um dos ângulos internos mede 65°, quanto medem os outros três? b) se um ângulo interno mede o dobro de outro, quais são as medidas dos quatro ângulos internos?
6. Calcule as medidas dos quatro ângulos internos dos paralelogramos a seguir: a)
5x
b)
x 15°
3x 22° x 30° 2
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo No ensino fundamental, você constatou empiricamente que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Vamos agora demonstrar essa propriedade.
Diferença entre constatar empiricamente e demonstrar Há uma grande diferença entre constatar empiricamente uma propriedade geométrica medindo, recortando, justapondo, etc., e demonstrar ou provar logicamente essa propriedade.
394
Matemática
Por exemplo, você pode constatar concretamente que “a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°” recortando os ângulos internos do triângulo e justapondo-os para formar um ângulo raso ou de 180°, como mostra a figura abaixo. C
BB
A
BC
BA
Constatação: BA 1 BB 1 BC 5 180°
B
Você pode fazer isso para alguns triângulos. Mas isso não prova, não demonstra, que essa propriedade é válida para qualquer triângulo no plano. Demonstração lógica: Veja como seria a demonstração lógica dessa propriedade. Para isso usamos definições e axiomas já conhecidos ou propriedades já demonstradas anteriormente. Neste caso vamos usar: a) Por um ponto fora de uma reta passa uma única reta paralela a ela (axioma – afirmação aceita como verdadeira sem demonstração). P
s
r
b) Ângulos alternos internos formados por duas paralelas e uma transversal são congruentes (propriedade demonstrada anteriormente). t
B3
B1
B2
r
B4
s B1 5 B2
B3 5 B4
O que temos é que B 1, B 2 e B 3 são ângulos internos do nABC (hipótese). Queremos demonstrar (tese) que B1 1 B2 1 B 3 = 180° A B4 B2 B
B1
s
B5 B3
C
r
Demonstração: Pelo vértice A traçamos a reta s paralela à reta r (r / s), usando o axioma a. Os ângulos formados 4 e 5 são tais que:
B 5 B2 (ângulos alternos internos formados por duas paralelas e uma transversal) 4 B5 5 B3 (idem)
e usamos a propriedade b acima. Capítulo 12 | Geometria plana
395
Vemos na figura que B4 1 B1 1 B5 5 180°
ou seja,
5↓ B2
5↓ B3
B2 1 B 1 1 B3 = 180°
album/akg-images/latinstock
ou B 1 1 B2 1 B3 = 180° , como queríamos demonstrar.
Devemos ao matemático grego Euclides (c. 330 a.C.-260 a.C.) essa maneira organizada e lógica de ver a Geometria. Ele reuniu numa obra de treze volumes, chamada Os elementos, todos os conhecimentos de Geometria até então conhecidos, organizando-os e sistematizando-os logicamente.
Euclides (c. 330 a.C.-260 a.C.).
Exercícios propostos 7. Com base no que você acabou de ver, responda:
a) Se nABC tem BA de 47° e B B de 103°, qual é a medida B ? de C b) Se os três ângulos internos de um triângulo são congruentes (de medidas iguais), qual é a medida de cada um?
8. Em um nEFG, o ângulo B E mede 40° a mais do que o
B mede o dobro de B E. Calcule as ângulo B F, e o ângulo G B . medidas de B E, B F e G
12. Use o que você já aprendeu para demonstrar esta propriedade: Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. Lembre-se de que o ângulo externo é obtido prolon gando-se um dos lados do ângulo interno. A
9. Existe um triângulo com dois ângulos internos obtusos e um agudo? Justifique sua resposta.
10. Quais os possíveis tipos de triângulo quanto aos ângulos? Escreva o nome de cada um, como são seus ângulos e dê um exemplo.
11. Uma corda foi esticada do topo desse prédio até o chão.
formato comunicação/ arquivo da editora
O ângulo determinado no chão pode ser medido: 62°. Qual é a medida do ângulo no topo desse prédio?
B
C
Demonstre que x 5 BA 1 B B.
13. Observe esta figura e calcule o valor de y.
?
158° 62°
396
x
y 15°
Matemática
Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo Para refletir Um polígono é dito convexo quando todos os seus vértices “apontam para fora”.
Em todo quadrilátero convexo, a soma das medidas dos ângulos internos é 360°.
Polígono não convexo
Polígono convexo
Isso pode ser demonstrado traçando-se uma das diagonais do quadrilátero, transformando-o em dois triângulos. Acompanhe: B
A
B
A
y x
BA 1 BB 1 BC 1 BD 5 ?
z C
D
D
t C
B B 1 y 1 t 5 180° BD 1 x 1 z 5 180° B B 1 y 1 t 1 B D 1 x 1 z 5 360°
Portanto: BA 1 BB 1 BC 1 BD 5 360°
x 1 y 5 B A t 1 z 5 B C
Exercício proposto 14. Determine o valor da medida do menor ângulo do quadrilátero abaixo. D
A 2x 2 30°
3x
x C
B
Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo Veja agora esta importante propriedade dos polígonos convexos: Em um polígono convexo de n lados, a soma das medidas dos ângulos internos (Si) é igual a (n 2 2) ? 180°. Já demonstramos que: • no triângulo (3 lados): Si 5 180° 5 1 ? 180°
Capítulo 12 | Geometria plana
322
(número de lados menos 2)
• no quadrilátero (4 lados): Si 5 360° 5 2 ? 180°
422
(número de lados menos 2)
397
Examine agora estes exemplos:
• no pentágono (5 lados): Si 5 3 ? 180° 5 540° 5 2 2 (número de lados menos 2)
• no hexágono (6 lados): Si 5 4 ? 180° 5 720° 6 2 2 (número de lados menos 2)
De modo geral, se o polígono tem n lados, a soma das medidas de seus ângulos internos (Si) é dada pela fórmula: Si 5 (n 2 2) ? 180° Sabe por que isso acontece? Porque, se o polígono tem n lados, ele pode ser decomposto em (n 2 2) triângulos.
Exercícios propostos 15. Calcule:
16. Qual o valor de x na figura ao lado?
a) a soma das medidas dos ângulos internos de um heptágono convexo (polígono de 7 lados);
160° 95°
b) o número de lados de um polígono convexo no qual Si 5 1 440°.
x
Ângulos internos em polígonos regulares Exercícios propostos 17. Examine com atenção estas figuras que sugerem poformato comunicação/ arquivo da editora
lígonos regulares:
Lembre-se: polígono regular é aquele que tem todos os lados e todos os ângulos com medidas iguais. Polígono regular
Soma das medidas Medida de de todos os cada ângulo ângulos internos interno
Triângulo equilátero Quadrado Pentágono regular
Hexágono regular Decágono regular Polígono regular de n lados
18. Em um polígono regular de 20 lados (icoságono regular), qual é a medida de cada ângulo interno?
19. Em um polígono regular, cada ângulo interno mede Agora, copie a tabela em seu caderno e complete-a.
398
135°. Quantos lados tem esse polígono?
Matemática
Figuras congruentes Imagine duas figuras tais que seja possível transportar uma sobre a outra de modo que coincidam. Dizemos que essas figuras são congruentes. C Veja estas figuras: B 3 cm 3 cm
A 4 cm E
F D
Entre os segmentos acima, são congruentes tAB e tCD. Indicamos assim: tAB tCD.
Q
40°
40° P
30°
R
BP e BQ são congruentes. Indicamos assim: B P B Q.
Exercício proposto 20. Atividade em dupla Converse com um colega e respondam às perguntas. a) O que acontece com as medidas de dois segmentos de reta congruentes? b) E com as medidas de dois ângulos congruentes?
Congruência de triângulos Observe os triângulos ABC e PQR:
C
A
B
R
P
Q
nABC e nPQR são triângulos congruentes. Indicamos assim: nABC nPQR. A, B e C são os vértices correspondentes aos vértices P, Q e R, respectivamente. tAB tPQ tAC tPR tBC tQR
BA BP BB BQ BC B R
A congruência dos seis elementos (três lados e três ângulos) determina a congruência dos dois triângulos. A congruência dos dois triângulos determina a congruência dos seis elementos.
Capítulo 12 | Geometria plana
399
Veja como podemos indicar nas figuras a congruência dos seis elementos: R
C
A
P
B
Q
Exercício proposto 21. Os triângulos ABC e EFG representados abaixo são congruentes (nABC nEFG). Determine as medidas assinaladas por letras. G
30°
A
z
c
e 60°
y
B
w
C
5 cm
E
x 2,5 cm F
Casos de congruência de triângulos Será que, para saber se dois triângulos são congruentes, temos de verificar toda vez a congruência dos seis elementos (três lados e três ângulos)? Não. Podemos verificar a congruência de três deles numa certa ordem. Se eles forem congruentes, os outros três também serão e os triângulos serão congruentes. Vejamos, sem desmonstrar, os quatro casos em que a congruência de três elementos garante a congruência dos triângulos. 1‚ caso: LAL (dois lados congruentes e o ângulo formado por eles congruente) t BeA t C, e que o B E é formado por tEF e tEG. B é formado por A Observe, nas figuras, que o A G
C
A
B
E
F
Se tAB tEF, BA BE e tAC tEG, então podemos garantir que nABC nEFG.
Exercício proposto 22. Use régua e transferidor para construir um triângulo no qual um dos ângulos meça 60° e esse ângulo seja formado por lados de 5 cm e 3 cm. Depois, compare-o com os triângulos que seus colegas construíram e verifique se são todos congruentes.
400
Matemática
2‚ caso: LLL (três lados congruentes) t B Et F, A t C Et G e B t C Ft G, então nABC nEFG. Se A C
G
A
B
F
E
Podemos então afirmar que BA B E, B B B F e BC BG.
Exercício proposto 23. Use régua e compasso para construir um triângulo com lados de 8 cm, 5 cm e 7 cm. Compare-o com os triângulos que seus colegas construíram e verifique se todos são congruentes.
3‚ caso: ALA (dois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente) Se BA BE, tAB tEF e B B B F, então BC BG, tAC tEG e tBC tFG, ou seja, nABC nEFG. A
B
E
F
C
G
Exercício proposto 24. Construa um triângulo com um lado de 7 cm compreendido entre ângulos de 50° e 20°. Depois, compare-o com os triângulos que seus colegas construíram e verifique se todos são congruentes.
4‚ caso: LAAo (um lado congruente, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado congruente) Se tAB tEF, BA B E e BC BG, então nABC nEFG. G
C
A
B
Capítulo 12 | Geometria plana
E
F
401
Exercícios propostos 25. Construa um nABC no qual At B 5 5 cm, BA 5 70° e CB 5 50°.
Uma dica: em primeiro lugar, determine B B. Verifique se o seu nABC é congruente aos triângulos de seus colegas.
26. Verifique em cada item abaixo se é possível afirmar que os triângulos são congruentes. Em caso positivo, escreva qual o caso de congruência que garante a congruência e quais os demais elementos congruentes. Os itens a e b já estão prontos. Estude-os e faça os demais. B e BC BO. a) nABC e nMNO têm tAC tMO, B A M Podemos afirmar que nABC nMNO (caso ALA). Assim, os demais elementos são congruentes: tAB tMN, tBC tNO e B B BN. b)
F
N M 70°
50°
d) Os lados do nRSP medem tRS: 8 cm, tRP: 10 cm e tSP: 13 cm. Os lados do nEFG medem tEG: 10 cm, tFG: 13 cm e tEF: 8 cm. e) A Q P
B
R
C
t Y, Et G X t Z e B F BY. f ) nEFG e nXYZ são tais que Et F X
g) nPQR e nMNO têm B R reto, BO reto, tPR tMO e tQR tNO. h)
G
N
3 cm 50° 70° G
3 cm
H
L
Não podemos garantir a congruência desses dois triângulos. Sabemos que são congruentes um lado e dois ângulos, mas isso não corresponde ao caso ALA nem ao caso LAAo. Analise essa afirmação com seus colegas.
i ) nABC é isósceles de 20 cm de perímetro e nMNO é isósceles de 20 cm de perímetro.
c) nPQR tem ângulos de 75°, 90° e 15°. nXYZ tem ângulos de 75°, 90° e 15°.
j ) nEFG é equilátero com 12 cm de perímetro e nPQR é equilátero com 12 cm de perímetro.
F
H
L
M
Aplicações dos casos de congruência de triângulos Exercícios propostos 27. Você já deve ter percebido que podemos chegar às propriedades geométricas sem necessidade de usar medições. Chamamos a esse método de raciocínio de demonstração. Vimos que para demonstrar uma propriedade geométrica devemos seguir alguns passos. Vamos, por exemplo, demonstrar que:
B . t BA t C e queremos provar que B B C Sabemos que A Para isso vamos usar o segmento tAM, que liga o vértice A ao ponto médio de tBC (ponto M), e verificar que nABM nACM. A
Em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são também congruentes. Para refletir Triângulo isósceles é aquele que tem dois lados de medidas iguais (congruentes). B
402
M
C
Matemática
• tAB tAC (dado inicial)
33. O bserve a figura abaixo e as medidas indicadas.
t M (segmento comum aos nABM e nACM) • tAM A
É possível descobrir a distância BC entre as duas casas? Justifique.
Pelo caso LLL, podemos afirmar que nABM nACM e, a partir disso, concluir que B B BC. B mede 38°, calcule as medidas de B B e C B . Se nessa figura A
B A 1,3
Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes.
Em todo paralelogramo, os lados opostos são congruentes. A
D
1 km
km
Observação: Às vezes, essa propriedade dos triângulos isósceles é enunciada assim:
28. Vamos agora demonstrar a seguinte propriedade:
Formato comunicação/ Arquivo da editora
• tBM tCM (M é ponto médio de tBC)
2 km P
45° 1 km
C
2 km
D
34. Considerando EFGH um paralelogramo, determine as medidas dos ângulos F, G e H e dos lados tFG e tGH. E
3m H
70°
B
5m
C
Inicialmente, vamos verificar que tAB tDC. Considerando ABCD um paralelogramo, podemos traçar a diagonal tAC.
Nos triângulos ABC e CDA, temos:
• tAC tAC (lado comum)
F
B D (ângulos alternos internos com • CBAB AC tAB / tCD e tAC transversal)
• B B BD (ângulos opostos do paralelogramo) Pelo caso LAAo, temos: nABC nCDA, e daí chegamos a tAB tDC. Agora você pode demonstrar que tAD tBC, usando a diagonal tBD.
G
35. Examine a demonstração de mais esta propriedade: Em todo paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio. A
B
29. Usando a demonstração feita no exercício anterior, justifique esta afirmação: O
Em todo retângulo, os lados opostos são congruentes.
30. Use um dos casos de congruência de triângulos e demonstre esta afirmação: As diagonais de um retângulo são congruentes.
31. As diagonais de um quadrado são sempre congruentes? Justifique sua resposta.
32. Em um nABC isósceles, temos (AB ) 5 110°. Determine
B B e BC e responda: quais são os lados congruentes desse triângulo?
Capítulo 12 | Geometria plana
D
C
Considerando o paralelogramo ABCD e as diagonais tAC e tBD, temos: nAOB > nCOD (caso ALA). Da congruência desses triângulos deduzimos que tAO > tCO e tBO > D t O, ou seja, o ponto O, cruzamento das diagonais, é o ponto médio das duas. Com base no que foi demonstrado, justifique estas afirmações: a) As diagonais do retângulo cortam-se ao meio. b) As diagonais do quadrado cortam-se ao meio. c) As diagonais do losango cortam-se ao meio.
403
2. Semelhança de triângulos Introdução A proporcionalidade, principalmente na forma do teorema de Tales ou de semelhança de triângulos, foi um dos conhecimentos geométricos mais úteis ao longo dos tempos. Foi com semelhança de triângulos que Aristarco comparou as distâncias da Terra à Lua e da Terra ao Sol, que Eratóstenes calculou o raio da Terra, e que os matemáticos árabes estabeleceram as razões trigonométricas. Tales de Mileto (624 a.C-547 a.C.), considerado um dos mais versáteis gênios da Antiguidade, levou para a Grécia a geometria dos egípcios e começou a aplicar a ela os procedimentos da filosofia grega. Com seu método de comparar sombras, hoje conhecido como teorema de Tales, realizou muitos cálculos inéditos até então, como obter a altura de uma pirâmide. Situação-problema Observe a planta de um loteamento: 12 m
x
Lote 1
Rua Pitágoras
y
Lote 2
Lote 3
13,50 m 15,40 m
Rua G
alois
16,30 m
Tente responder a esta pergunta: Quais são as medidas aproximadas das frentes dos lotes 2 e 3?
Feixe de paralelas Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas distintas de um plano, paralelas entre si. As retas r, s e t da figura ao lado constituem um feixe de retas paralelas. Transversal ao feixe de retas paralelas é uma reta do plano do feixe que intersecta todas as retas do feixe. Na figura, as retas a e b são transversais ao feixe. A e A9 são pontos correspondentes. Também são correspondentes os pontos B e B9, C e C9. tAB e tA9B9 são segmentos correspondentes. Igualmente tBC e tB9C9, assim como também tAC e tA9C9.
a A B
C
b r
A9 B9
s
C9 t
Teorema de Tales Se duas transversais intersectam um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma transversal é igual à razão dos segmentos correspondentes da outra. Vamos comprovar esse teorema. a A u u u B C u u u D
404
b A9
r
u9 s
B9
t
C9
D9
z
Matemática
Considere um feixe de paralelas e duas transversais como indica a figura. Vamos supor que exista um segmento u de modo que AB 5 mu e CD 5 nu (m, n [ n), ou seja, que AB e CD são números racionais. Estabelecendo a AB , obtemos: razão CD AB mu m 5 5 (I) CD nu n Pelos pontos que dividem tAB e tCD em m e n partes congruentes ao segmento de medida u, traçamos retas paralelas ao feixe. Desse modo, os segmentos tA9B9 e tC9D9 ficam divididos em m e n partes iguais a u9, respectivamente. Temos:
A9B9 mu9 m 5 5 (II) n C9D9 nu9
Das relações I e II, concluímos que: AB A9B9 5 CD C9D9 Podemos também enunciar o teorema de Tales como segue: Um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. Em decorrência das propriedades das proporções, valem também as igualdades: AC A9C9 ou 5 AB A9B9
AC A9C9 5 BC B9C9
Exemplos: 1‚) Nas figuras, as retas r, s e t são paralelas. Vamos determinar o valor de x: r a) b) s
x 2
4
2x 1 t
r 3
3x 4
6
5
s
t
8 2 x 5 ⇒x5 5 5 4
2x 2 1 3 5 ⇒x56 3x 1 4 6
2‚) Vamos retomar o problema apresentado na introdução deste item. “Observe a planta de um loteamento:
12 m
Lote 1
x
Lote 2
y
Rua Pitágoras
Lote 3
13,50 m 15,40 m 16,30 m
Rua G
alois
Tente responder a esta pergunta: Quais são as medidas aproximadas das frentes dos lotes 2 e 3?” Esse problema pode ser resolvido usando-se o teorema de Tales, como segue: 12 13,5 12 13,5 5 ⇒ x . 13,7 m 5 ⇒ y . 14,5 m x 15,4 y 16,3 O lote 2 tem aproximadamente 13,7 m de frente e o lote 3 tem aproximadamente 14,5 m. Capítulo 12 | Geometria plana
405
Exercícios propostos 36. Na figura, r / s / t. Determine a medida do segmento AB.
39. Na figura, a reta DE é paralela ao lado BC do triângulo ABC. Calcule o valor de x. A
r D s
4 E
A 2x 1 B
6
x 1 D
t
F
5x 1
x 3 E
2
C
3
B
Resolva em equipe os próximos dois problemas.
37. Na figura, r / s / t. Qual é o valor de xy?
40. (Fuvest-SP) A sombra de um poste vertical, projetada r
6
12 x
8
y
s 10
C
t
pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. A altura do poste é: a) 6 m. d) 20 m. b) 7,2 m. e) 72 m. c) 12 m.
41. (Unicamp-SP) A figura mostra um segmento AD dividit B 5 2 cm, B t C 5 3 cm e C t D 5 5 cm. do em três partes: A B
A
38. Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem 180 m?
30 m
D
B9 C9 D9
O segmento AD9 mede 13 cm e as retas BB9 e CC9 são paralelas a DD9. Determine o comprimento do segmento AB9. a) 2,6. c) 2,8. e) 3,0. b) 2,7. d) 2,9.
Rua B
40 m
C
20 m
Rua A
Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. Observe os triângulos ABC e A9B9C9:
A
c
B
A’
c’
b
a
C
B’
b’
a’
C’
nABC e nA9B9C9 são semelhantes. Indicamos assim: nABC nA9B9C9. BA BA a b c nABC nA9B9C9 ⇔ B B B B e k (constante ou razão de proporcionalidade) a b c C B B C
406
Matemática
Da mesma forma que na congruência de triângulos, basta verificar alguns elementos para saber se dois triângulos são semelhantes. Veja a seguir os casos de semelhança.
Casos de semelhança 1‚ caso: critério AA (Ângulo, Ângulo) Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um são congruentes a dois ângulos do outro. A A’
B A B A9
B B B B9 C
B
⇒ nABC nA9B9C9
C’
B’
2‚ caso: critério LLL (Lado, Lado, Lado) Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro. A A’
c
b
a
B
C
a b c ⇒ nABC nA9B9C9 a b c
b’
c’
B’
a’
C’
3‚ caso: critério LAL (Lado, Ângulo, Lado) Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados proporcionais. A A9 c
a
B
c9
b
C
a9
B9
b9
B B B B c a ⇒ nABC nA9B9C9 a a
C9
Exemplo:
Considere o triângulo ABC, retângulo em A, e seja D um ponto do segmento tAC e seja tDE perpendicular ao lado BC. Vamos provar que nEDC nABC. B
B E BA (retos ) ⇒ nEDC nABC (caso AA) B é comum C
E
A
Capítulo 12 | Geometria plana
D
C
407
Propriedade (teorema fundamental da semelhança) Toda reta paralela a um lado de um triângulo que intersecta os outros dois lados em pontos distintos determina outro triângulo semelhante ao primeiro. A
r / BC
r AB 5 {D } ⇒ nADE nABC r AC 5 {E}
r
E
D
C
B
Exemplo: A figura mostra um quadrado PQRS inscrito em um triângulo ABC. Sendo BC 5 24 cm e a altura relativa a essa base igual a 16 cm, vamos calcular a medida do lado desse quadrado. A
16 x x
P
Q 16
x
B
x
x
R
C
S
24
No quadrado PQRS, o lado PQ é paralelo ao lado BC do nABC. Como nAPQ é semelhante ao nABC: x 48 16 2 x 5 5 9,6 ⇒x5 24 5 16 Logo, o lado do quadrado mede 9,6 cm.
Exercícios propostos 42. Dados os triângulos ABC e DEF, isósceles de bases tBC e tEF, e sabendo que BA 5 BD, mostre que tais triângulos são semelhantes.
43. Sabendo que, na figura abaixo, temos três quadrados,
Resolva os exercícios 44 e 45 em equipe.
44. (Mack-SP) Na figura abaixo, MNPQ é um losango. Se MT 5 12 e MS 5 6, quanto mede cada lado do losango?
calcule o valor de x.
M N Q
x
408
6
9
T
P
S
Matemática
45. (Fuvest-SP) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo
50. Os triângulos ABC e MNO são semelhantes. Determine as medidas n e o.
em A, ADEF é um quadrado, AB 5 1 e AC 5 3. Quanto mede o lado do quadrado?
A
7 cm C
B
N
8 cm
E
D
n
o
15 cm
M
B
A
F
A
51.
C
O
18 cm
C
46. A maquete de um edifício tem 50 cm de altura e o
E
B
edifício tem 40 m de altura. Sabendo que as janelas dos apartamentos têm 2 m de largura, qual é a largura das janelas na maquete do edifício?
47. Num triângulo ABC, os lados medem AB 5 4 cm,
D
BC 5 5 cm e AC 5 6 cm. Calcule os lados de um triângulo semelhante a ABC cujo perímetro seja 20 cm.
Justifique a semelhança dos triângulos ABC e DEC.
52. Dos três triângulos dessa figura (nABC, nBCD e nABD),
48. Determine o valor de x:
há dois que são semelhantes. Quais são eles?
A
C
10 3,5 cm
D
D
15
B
4 cm
15
x
4,5 cm
C
E
A
3 cm
6 cm
B
20
49. Dois triângulos são semelhantes. O perímetro de um dos triângulos é de 35 cm e o do outro, 105 cm. Qual é a razão de semelhança entre os triângulos?
Desafio em dupla Os lados de um triângulo medem 3 cm, 4 cm e 5 cm. Calculem as medidas dos lados de um triângulo semelhante a este cujo perímetro é de 30 cm.
Uso de semelhança para medir distâncias inacessíveis Como medir a altura de um prédio, de uma árvore, de um poste? Você poderia medir essas alturas indiretamente usando semelhança de triângulos e proporção. Como fazer isso? Examine este exemplo. Vamos medir a altura aproximada de uma cesta de basquete (página seguinte). Para isso, usaremos a metade de uma folha de papel quadrada, como mostrado abaixo: H
F
D
G
F
D
G
tDGu 5 tFGu Capítulo 12 | Geometria plana
409
formato comunicação/ arquivo da editora
Siga estes procedimentos: Mire o topo da cesta conservando a parte inferior da folha (tDG) paralela ao chão. Talvez você precise afastar-se ou aproximar-se da cesta para que isso ocorra. Meça a distância entre você e a perpendicular ao chão que passa pela cesta: tAB 5 140 cm na figura ao lado. t B5D t C. Logo, D t C 5 140 cm. Observe que A
E
F D C
G
Meça agora a distância do chão aos seus olhos: tAD 5 160 cm
160 cm
Veja que tAD 5 tBC. Logo, tBC 5 160 cm.
nDCE nDGF (dois ângulos correspondentes congruentes).
140 cm
Da semelhança dos triângulos DCE e DGF, concluímos: tDE tDC tEC 5 5 tDF D t G tFG
Observando a última igualdade
tDC
tDG
5
tEC
tFG
B
A
e sabendo que tDG 5 tFG, concluímos que tDC 5 tEC.
Assim, a altura da cesta de basquete é dada por: tBC 1 tCE 5 160 cm 1 140 cm 5 300 cm 5 3 m
Exercícios propostos 53. Use o método da folha de papel quadrada e determine
... uma dessas situações é determinar a medida de postes, casas, prédios, árvores, etc., com base nas medidas de suas respectivas sombras? formato comunicação/ arquivo da editora
formato comunicação/ arquivo da editora
a altura do mastro da bandeira do desenho abaixo.
180 cm 300 cm
54. Use o método do exercício anterior e determine as medidas de algumas alturas (casa, edifício, poste, árvore, etc.). Em seguida, copie a tabela a seguir no caderno e complete-a. Objeto
Pense no seguinte: como calcular a medida da altura do poste, conhecendo-se a medida da altura do cachorro e as medidas das respectivas sombras? Veja como fica o modelo matemático do exemplo:
Distância Distância do Altura do até o objeto chão aos olhos objeto
x 80 cm 60 cm 525 cm
55. Você sabia que... ... a semelhança de triângulos resolve muitas situações de nosso dia a dia?
410
Calcule a medida da altura do poste sabendo que a medida da altura do cachorro é 80 cm, a medida da sombra do poste é 525 cm e a medida da sombra do cachorro é 60 cm.
Matemática
56. Na figura abaixo, temos um poste representado por tPQ, a sombra do poste (tPR), uma vara (tST) e a sombra da vara (tRS). Se tRP 5 9 m, tRS 5 2,4 m e tST 5 2 m, qual é a altura do poste? Realidade
Modelo matemático Q
formato comunicação/ arquivo da editora
T
R
P
S
Polígonos semelhantes Quando dois polígonos têm todos os lados correspondentes proporcionais e todos os ângulos correspondentes congruentes, eles são chamados de polígonos semelhantes.
Exercícios propostos 57. Observe estes dois hexágonos regulares e responda:
A F
B
E
C
A
59. Verifique se estes pentágonos são semelhantes. Explique sua resposta. A
A
B
E
B
F
B
E
D C
C
E
D
C
D
60. Identifique os pares de retângulos semelhantes. a)
D
a) Os lados correspondentes são proporcionais? Justifique sua resposta. b) Os ângulos correspondentes são congruentes? Justifique sua resposta. c) Esses hexágonos regulares são semelhantes?
3 cm
4 cm
Para refletir
b)
Polígonos regulares com o mesmo número de lados são sempre semelhantes. Por quê?
1,5 cm
58. Examine esta figura e res-
Capítulo 12 | Geometria plana
c) formato comunicação/ arquivo da editora
ponda: todos os pentágonos regulares são semelhantes?
2 cm
2 cm
5 cm
411
d)
4 cm
culado e depois desenhe outra, semelhante a ela, cujo lado maior tenha 6 cm.
1 cm
e)
63. Copie a figura abaixo em uma folha de papel quadri-
2,5 cm 1 cm
61. Desenhe no caderno um retângulo com as medidas 3 cm por 4 cm. A seguir, trace a diagonal e meça-a. Desenhe outro retângulo, semelhante ao primeiro, com as medidas dos lados duplicadas e trace a diagonal. Meça a diagonal do retângulo ampliado. O que você observou?
62.
x 1 30
64. Verdadeira ou falsa? 25 m
R1
x 1 14
15 m
R2
Sabendo que R1 e R2 são retângulos semelhantes, calcule: a) as medidas de seus comprimentos; b) a razão entre as medidas das larguras (R1 por R2); c) a razão entre as medidas dos comprimentos (R1 por R2); d) a razão entre os perímetros (R1 por R2); e) a razão entre as áreas das regiões retangulares (R1 por R2).
Verifique se cada uma das frases abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. a) Todos os quadrados são semelhantes. b) Todos os retângulos são semelhantes.
65. Verifique se há duas figuras semelhantes abaixo. Em caso positivo, justifique sua escolha.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
3. Relações métricas no triângulo retângulo Introdução formato comunicação/ arquivo da editora
Analise a seguinte situação-problema:
Uma rodovia cruza uma hidrovia perpendicularmente por meio de uma ponte. Ambas podem ser consideradas retilíneas. No mesmo instante em que um carro cruza a ponte, a uma velocidade constante de 100 km/h, uma barcaça passa sob a ponte a 60 km/h e prossegue a viagem a essa velocidade. Após 15 minutos, qual será a distância aproximada entre o automóvel e a barcaça, supondo que ambos estejam no mesmo plano horizontal?
412
Matemática
Elementos do triângulo retângulo Consideremos um triângulo ABC, retângulo em A, e o segmento AD perpendicular ao lado BC, com D em tBC. Ficam definidos os seguintes elementos do nABC: A
c
m B
b
h n
C
D a
tBC ! hipotenusa (medida a) tAC ! cateto (medida b) tAB ! cateto (medida c) tBD ! projeção do cateto tAB sobre a hipotenusa (medida m) tCD ! projeção do cateto tAC sobre a hipotenusa (medida n) tAD ! altura relativa à hipotenusa (medida h)
Relações métricas Uma importante aplicação da semelhança de triângulos são as relações métricas no triângulo retângulo.
Triângulos semelhantes A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo ABC o divide em dois triângulos retângulos semelhantes a ele e semelhantes entre si. Observe: A A A c
b
h
B
c
a
b
h
D
h
C
B m D D
n
C
Como os três triângulos têm todos os ângulos congruentes, pelo 1‚ caso de semelhança temos: nABC nDBA nDAC
As relações métricas Da semelhança entre nABC e nDBA, segue que:
tAB tDB c m 5 ⇒ 5 ⇒ c2 5 am (I) a c tBC tBA Da semelhança entre nABC e nDAC, temos: Para refletir tAB tDA c h Você reparou que as relações (I) e (III) são as 5 ⇒ 5 ⇒ ah 5 bc (II) mesmas, apenas mudam do lado esquerdo a b tBC tAC tAB tDC b n 5 ⇒ 5 ⇒ b2 5 an (III) a b tBC t C A
para o lado direito do triângulo ABC? Ambas podem ser generalizadas como: cateto2 5 hipotenusa ? projeção
Da semelhança entre nDBA e nDAC, segue que:
tDA tDC h n 5 ⇒ 5 ⇒ h2 5 mn (IV) m h t B tDA D
Somando membro a membro (I) e (III), temos: c2 5 am
1 b2 5 an b2 1 c2 5 am 1 an ⇒ b2 1 c2 5 a(m 1 n) ⇒ b2 1 c2 5 a2 (V) (teorema de Pitágoras) Capítulo 12 | Geometria plana
413
Observe agora a aplicação dessas relações métricas na resolução de problemas.
Exemplos: 1‚) Vamos calcular o valor de x em cada uma das figuras: a) 2
c) 6
8
x
x 4
a
• a 5 6 1 8 ⇒ a2 5 100 ⇒ a 5 10 • ah 5 bc ⇒ 10x 5 6 ? 8 ⇒ x 5 4,8 2
c2 5 am ⇒ 22 5 4x ⇒ 4 5 4x ⇒ x 5 1 b)
2
2
x
3
5
Pelo teorema de Pitágoras: 32 1 x2 5 52 ⇒ 9 1 x2 5 25 ⇒ x2 5 16 ⇒ x 5 4 2‚) Vamos agora resolver o problema apresentado na introdução deste item. “Uma rodovia cruza uma hidrovia perpendicularmente por meio de uma ponte. Ambas podem ser consideradas retilíneas. No mesmo instante em que um carro cruza a ponte, a uma velocidade constante de 100 km/h, uma barcaça passa sob a ponte a 60 km/h e prossegue a viagem a essa velocidade. Após 15 minutos, qual será a distância aproximada entre o automóvel e a barcaça, supondo que ambos estejam no mesmo plano horizontal?” A velocidade do carro é 100 km/h, logo, em 15 minutos terá percorrido 25 km. Por sua vez, a barcaça está a 60 km/h, logo, terá percorrido 15 km nesses 15 minutos:
d
25
15
d2 5 152 1 252 ⇒ d2 5 225 1 625 ⇒ d2 5 850 ⇒ d 5 5 34 Portanto, d 29,15 km.
Exercícios propostos 66. Calcule a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa no triângulo retângulo de catetos 8 cm e 12 cm.
67. Calcule as medidas b, c e h indicadas no triângulo retângulo a seguir:
B
uma mesma cidade em direção reta; um em sentido leste e outro em sentido norte. Determine a distância que os separa depois de 2 h sabendo que as velocidades dos atletas são de 20 km/h e 25 km/h respectivamente.
b h
5
15
C
68. Dado um triângulo equilátero de lado a, calcule sua
414
70. Dado um quadrado de lado a, calcule a medida das 71. Durante um treinamento, dois maratonistas partem de
a
altura.
9 . Sabendo que a hipo16 tenusa mede 10 cm, calcule a medida dos catetos.
catetos sobre a hipotenusa é
diagonais desse quadrado.
A
c
69. Num triângulo retângulo, a razão entre as projeções dos
72. Uma torre de televisão de 40 m de altura vai ser sustentada por três cabos de mesmo comprimento. Os cabos serão presos na torre a 25 m de altura, e os três ganchos no solo para prender os cabos estarão a 6 m da base da torre. Quantos metros de cabo, aproximadamente, serão necessários para a sustentação da torre?
Matemática
79. (Cesgranrio-RJ) Uma folha quadrada de papel ABCD
73. Determine o valor de
x, y, z e w no triângulo retângulo ao lado.
12
x
y
w
é dobrada de modo que o vértice C coincide com o ponto M, médio de tAB. Se o lado de ABCD é 1, o comprimento BP é:
z
D
C
15
D
74. Determine o valor de x sabendo que a reta que con-
P
tém x é tangente às circunferências: T a) x
A
T 10
3 O
T 2
O
M C
B
3
O
x
A
a) 0,300. b) 0,325. c) 0,375. d) 0,450. e) 0,500.
O
OO 25
b)
B
M
Desafios em dupla
OO 13 T
75. Se tAB 5 10 cm é a medida de uma corda e tOB 5 8 cm
é a medida do raio de uma circunferência, qual é a distância tOD do centro à corda?
• Determinem m e n na figura abaixo, com m , n.
(Sugestão: montem um sistema de incógnitas m e n e resolvam-no.)
76. Calcule os valores de x, y, c e r do triângulo abaixo.
10 3 2
7
c y
n
x
• (Fuvest-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de ma-
r
77. Quanto mede a diagonal de um quadrado cujo lado tem 5 cm? E se a medida for , cm? A
,
D
,
deira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros, é:
B
d
,
m
25
a)
1 7 . 2
d) 1
7 . 3
,
b)
1 7 . 3
e) 1
7 . 4
C
c)
1 7 . 4
78. Um motorista vai da cidade A até a cidade E passan-
formato comunicação/ arquivo da editora
do pela cidade B, conforme mostra a figura. Quantos quilômetros esse motorista percorreu? A
h Cidade A
B Cidade B
16 km 25 km
E
C 2,5
Cidade E
Capítulo 12 | Geometria plana
415
4. Polígonos regulares inscritos na circunferência e comprimento da circunferência
Introdução Nas figuras abaixo há dois polígonos regulares (todos os lados e todos os ângulos congruentes entre si) inscritos, cada um, numa circunferência: ,4 a4
Para refletir
,5
Apótema é um segmento com uma extremidade no centro da circunferência e outra no ponto médio do lado do polígono regular.
Para refletir Se desenharmos uma circunferência inscrita ao polígono regular, o apótema coincidirá com seu raio.
a5
quadrado inscrito 4: lado a4: apótema
pentágono regular inscrito 5: lado a5: apótema
Cálculo da medida do lado e do apótema de um polígono regular em função do raio da circunferência Quadrado inscrito em uma circunferência A ,4
r a4 O
a) lado: 4 Aplicando o teorema de Pitágoras no AOB, temos: 24 5 r2 1 r2 ⇒ 24 5 2r2 ⇒
⇒ 4 r 2
Para refletir O diâmetro da circunferência é a diagonal do quadrado.
r
B
b) apótema: a4 Observe na figura que: a4 1 a4 5 4 ⇒ ⇒ 2a4 5 4 ⇒ a4 5 Ou seja: a4
4 2
Para refletir O apótema é metade do lado do quadrado.
r 2 2
Exemplo: Vamos calcular o lado e o apótema de um quadrado inscrito numa circunferência de 30 cm de raio. • ,4 5 r 2 ⇒ ,4 5 30 2 ⇒ ,4 42, 3 cm • a4 5
416
r 2 30 2 ⇒ a4 5 ⇒ a4 21, 2 cm 2 2 Matemática
Hexágono regular inscrito em uma circunferência A r a6
,6
O r
B
b) apótema: a6
a) lado: 6 ABOB:
AB r 5 , temos: 2 2 r2 r2 5 a26 1 ⇒ 4
360o 5 60°; tOAu OB ⇒ OBAB OB BA 6
Como
Nesse caso, OB AB e OBBA também medem 60°
180 ° 2 60 . 2
⇒ a26 5
r 3 3r2 ⇒ a6 4 2
Então, OAB é equilátero e, daí, 6 5 r .
Exemplo: Vamos calcular o lado e o apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência de 20 cm de raio. • 6 5 r ⇒ 6 5 20 cm • a6 5
r 3 20 3 ⇒ a6 5 ⇒ a6 17, 3 cm 2 2
Triângulo equilátero inscrito em uma circunferência A
r O
,3
a3
B
C ,6 5 r M
a) lado: 3 Observe que AC 5 3 ⇒ CM 5 6. Logo, CM 5 r.
Aplicando o teorema de Pitágoras no ACM, temos:
,32 r 2 (2r )2 ⇒ ,32 3r 2 ⇒ 3 r 3
b) apótema: a3 2
2
,3 r 3 2 2 2 a 2 r ⇒ a3 r 2 ⇒ 2 3
⇒ a3
r 2
Exemplo: Vamos calcular o lado e o apótema de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de 35 cm de raio.
• ,3 5 r 3 ⇒ , 3 5 35 3 ⇒ , 3 60, 6 cm • a3 5
r 35 ⇒ a3 5 ⇒ a3 5 17,5 cm 2 2
Capítulo 12 | Geometria plana
Para refletir O apótema é a terça parte da altura do triângulo equilátero.
417
Exercícios propostos 80. Numa circunferência de 10 cm de raio, calcule as medidas do lado e do apótema de um: a) triângulo equilátero inscrito; b) quadrado inscrito; c) hexágono regular inscrito.
82. Um triângulo equilátero de lado 5 cm está inscrito numa circunferência de raio r. Qual é a medida do diâmetro dessa circunferência?
83. Determine a razão entre o apótema de um quadrado e o lado de um triângulo equilátero, ambos inscritos numa circunferência de raio igual a 6 cm.
81. Determine o perímetro do hexágono regular inscrito numa circunferência de raio igual a 5 cm.
Comprimento da circunferência Historicamente, o cálculo do comprimento de uma circunferência sempre foi feito a partir da comparação com o diâmetro. Há cerca de 4 mil anos, os babilônios obtinham o comprimento da circunferência triplicando o diâmetro. Essa razão entre o comprimento da circunferência e o diâmetro dela é conhecida como o número p, ou seja, C p 5 . Então, para os babilônios, p 5 3. Há cerca de 2 mil anos, Arquimedes (287 a.C.-212 a.C.), um dos mais imD portantes geômetras gregos de toda a História, publicou um tratado matemático contendo o cálculo do valor de p 223 22 e . Isso equivalia a usar p 5 3,14, o mesmo que usamos hoje em dia nos cálculos como um número entre 71 7 práticos, um feito notável para a época. Hoje sabemos que p é o número irracional 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510..., aqui escrito com as 50 primeiras casas decimais, mas que já foi obtido com precisão de 1,2 trilhão de casas decimais por uma equipe da universidade de Tóquio em 2002. Porém, mesmo hoje em dia, usar p = 3,14 é suficiente para as nossas necessidades práticas. Em cálculos teóricos, não substituímos p pelo seu valor. Assim, usamos para o comprimento da circunferência a fórmula C 5 2pr , pois: C C 5p⇒ 5 p ⇒ C 5 2pr D 2r O r
AB: medida da circunferência ou comprimento da circunferência (C)
A
B C
Exemplo: Vamos determinar o valor aproximado do comprimento de uma circunferência que tenha 5 cm de raio. C 5 2pr ⇒ C . 2 ? 3,14 ? 5 ⇒ C . 31,4 cm
Exercícios propostos 84. Determine o comprimento de uma circunferência cujo diâmetro é 14 cm.
85. Calcule a medida do raio de uma circunferência cujo comprimento é 43,96 cm.
86. Uma roda tem 28 cm de raio. Para rodar 175,84 m, quantas voltas completas ela precisa dar?
87. Uma roda de bicicleta tem diâmetro de 60 cm. Qual é a distância percorrida pela bicicleta depois que a roda deu 500 voltas?
418
88. Quanto aumenta o comprimento de uma circunferência quando seu raio: a) dobra; b) triplica.
89. Determine o comprimento de uma circunferência inscrita num quadrado de lado 5 cm.
90. Calcule o comprimento de uma circunferência na qual está circunscrito um triângulo equilátero cujo apótema é 6 cm.
Matemática
5. Áreas: medidas de superfícies Introdução Desde os egípcios, que procuravam medir e demarcar suas terras (daí surgiu o nome Geometria 5 medida da terra), até hoje, quando topógrafos, geólogos e arquitetos fazem os seus mapeamentos e plantas, o cálculo de áreas tem sido uma preocupação constante na história da Matemática. Neste capítulo você aprenderá a resolver problemas envolvendo áreas, como este: (Unicamp-SP) Em uma fotografia aérea, um trecho retilíneo de uma estrada que mede 12,5 km aparece medindo 5 cm e, na mesma fotografia, uma área queimada aparece com 9 cm2. Calcule: a) o comprimento que corresponde a 1 cm na mesma fotografia; b) a área da superfície queimada.
A ideia intuitiva de área Suponha que queiramos medir a região do plano que está indicada por F. Para isso, precisamos comparar F com uma unidade de área. O resultado dessa comparação é um número que exprime quantas vezes a região F contém a unidade de área de F. Esse número assim obtido é a área de F.
U
F
Unidade de área: U
Então, a área da região plana F é 13,5 U, ou seja: área de F 5 13,5 U
Região quadrada unitária Vamos estabelecer como unidade de área uma região quadrada cujo lado mede uma unidade de comprimento. Ela será chamada de região quadrada unitária. Qualquer região quadrada cujo lado meça 1 terá, por definição, área igual a 1.
1
1 1
Região quadrada unitária
Área da região quadrada Consideremos uma região quadrada Q cujo lado mede n, em que n é um número natural. Ela pode ser decomposta em n2 regiões quadradas justapostas, cada uma com lado unitário e, portanto, com área 1. Logo, a região quadrada Q tem área n2: área de Q 5 n2 Para refletir 4
Q
1 1
Região quadrada de lado 4, decomposta em 16 5 42 regiões quadradas unitárias.
Quadrado é todo quadrilátero que tem os quatro lados congruentes e os quatro ângulos retos.
4
Capítulo 12 | Geometria plana
419
1 em que n [ n*. Neste caso, a região n quadrada unitária pode ser decomposta em n2 regiões quadradas justapostas, todas congruentes a Q. Vejamos agora quando o lado da região quadrada Q tem por medida
1 2
Q
1
Região quadrada unitária decomposta em 4 5 22 regiões quadradas congruentes a Q. 2 1 12 1 Área da região Q 5 [ 2 ] ou 2 4 2
1 1
1 2
Assim, n2 ? (área de Q) 5 1. Logo: área de Q 5
1 1 2 ou [ ] 2 n n
Passemos agora para um caso mais geral, em que a medida do lado da região quadrada Q é um número raciom nal do tipo , m [ n e n [ n*. n 1 Neste caso, pode-se decompor Q em m2 regiões quadradas, cada uma das quais com lado . Assim, a área de n 1 cada uma dessas regiões quadradas menores é 2 . n 4 , decomposta em 16 5 42 regiões quadradas 3 1 1 1 menores, cada uma com lado cuja medida é e cuja área é 2 5 . 3 3 9 2 16 42 4 [ ] ou [ ] . Área da região Q 5 9 32 3 Região quadrada de lado
4 3
1
Q 1 3
4 1 1 3 3
1
Portanto, a área da região quadrada Q será dada por m2[
1 m2 , ou seja: 2] 5 n n2
área de Q 5 [
m 2 ] n
É possível provar que, se a medida do lado da região Q for um número irracional k, ainda assim: área de Q 5 k2 Conclusão: A área de uma região quadrada Q cujo lado mede é dada por:
área de Q 5 ,2
Q
sendo um número real positivo qualquer: natural, fracionário ou irracional.
Área da região retangular A região retangular abaixo pintada contém 15 unidades de área. Portanto, sua área é de 15 cm2. 1 cm
1 cm
Unidade de
1 cm2
Para refletir
área: 1 cm2
3 cm
Retângulo é todo quadrilátero que tem os quatro ângulos retos.
5 cm
420
Matemática
Observe que, em vez de contar quantas unidades de área estão contidas na região retangular, basta multiplicar a medida do comprimento pela medida da largura: 5 cm ? 3 cm 5 15 cm2 Neste caso, as medidas do comprimento e da largura são números naturais. Vamos provar que, se a medida do comprimento (c) e a medida da largura () forem números reais quaisquer, a área da região retangular R é dada por: área de R 5 c ? , Consideramos uma região retangular R de comprimento c e largura (ou base c e altura ), em que c e são números reais. R
c
Construímos uma região quadrada cuja medida do lado é c 1 ,, que contém duas cópias de R e mais duas regiões quadradas, uma cujo lado mede c e outra cujo lado mede . A área dessa região quadrada (Q) é dada pelo quadrado de uma soma: área de Q 5 (c 1 ,)2 5 c2 1 2c, 1 ,2 (I)
c
c
R
c
Como as regiões quadradas têm áreas iguais a ,2 e c2, concluímos que: área de Q 5 c2 1 ,2 1 2 ? (área de R) (II) Comparando (I) e (II), chegamos a:
R
c
área de R 5 c ? ,
Proporcionalidade e área da região retangular A área da região retangular é proporcional a cada uma de suas dimensões, ou seja, se mantivermos constante uma das dimensões e multiplicarmos a segunda dimensão por um número natural qualquer, a área também será multiplicada pelo mesmo número natural. Isso pode ser observado no exemplo a seguir. Sendo A(x, y) a área de uma região retangular de dimensões x e y: A(a, 3b) 5 A(3a, b) 5 3A(a, b) b a b a
a b
b
a
b a
Usando essa ideia de proporcionalidade e a região quadrada unitária: b 1 1
a
podemos também chegar à área da região retangular com dimensões a e b quaisquer: A(a, b) 5 a ? A(1, b) 5 a ? b ? A( 1, 1) 5 ab 1
Logo, esta é uma outra maneira de provarmos que a área de uma região retangular cujo comprimento (base) é b e cuja largura (altura) é a é dada por ab, ou seja: A 5 ab Capítulo 12 | Geometria plana
421
Área da região limitada por um paralelogramo Vamos calcular a área da região plana limitada pelo paralelogramo ABCD tomando como base tABu de medida b e sua altura tCEu (perpendicular a tABu) de medida a. Examine a figura: F D C Para refletir
A
b
B
c
Paralelogramo é todo quadrilátero no qual os lados opostos são paralelos.
a
a
c
E
A região limitada pelo paralelogramo está contida em uma região retangular de base b 1 c e altura a. Você já sabe: a área dessa região retangular é dada por: (b 1 c)a 5 ba 1 ca Observe que a região retangular é formada pela região limitada pelo paralelogramo mais duas regiões triangulares que, juntas, formam uma região retangular de área ca. Assim: Para refletir ba 1 ca 5 (área da região limitada pelo paralelogramo) 1 ca Esse resultado não depende da base escolhida. Se tivéssemos escolhido outro lado como base e tomado a altura correspondente, o resultado seria o mesmo.
Portanto: área da região limitada pelo paralelogramo 5 ba
Isso significa que a área da região limitada por um paralelogramo é igual ao produto da medida de uma de suas bases pela medida da altura correspondente a essa base escolhida.
Área da região triangular Conhecendo-se a área da região limitada por um paralelogramo, fica muito simples determinar a área de uma região triangular. Sabe por quê? Porque toda região triangular é metade da região limitada por um paralelogramo de mesma base e mesma altura. Veja: A
D
a
B
E
C
t Bu e B t Cu, determinando Dada a região triangular ABC, cuja área queremos determinar, traçamos paralelas aos lados A t Eu de medida a desse paralelogramo. o ponto D e a região limitada pelo paralelogramo ABCD. Consideremos a altura A Já sabemos que, se a medida de tBCu é b, então a área da região limitada pelo paralelogramo é ba. Mas as regiões triangulares ABC e ADC são congruentes (pelo caso de congruência de triângulos ALA: têm um lado comum compreendido entre dois ângulos de mesma medida). Logo, essas regiões triangulares têm áreas iguais. Assim: Para refletir área da região ABCD 5 2 ? área da região triangular ABC ou Esse resultado não depende da base escolhida. Temos três escolhas para a base b, cada uma com sua altura a ba 5 2 ? área da região triangular ABC Portanto: área da região triangular ABC 5
ba 1 ou ba 2 2
ba correspondente. Seja qual for a escolha, o valor de 2 será sempre o mesmo.
Podemos escrever: a área de uma região triangular é a metade do produto da medida da base pela medida da altura correspondente.
422
Matemática
Área da região triangular sendo conhecidos os três lados Conhecidos os três lados (a, b e c) de um triângulo, a área da região triangular pode ser calculada pela fórmula de Heron. A c
Para refletir
b
O que significa semiperímetro de um polígono? B
a
Sendo o semiperímetro p 5
C
a1b1c , é possível demonstrar que: 2 p(p a)(p b )(p c)
A5
(Fórmula Heron)
Área da região limitada por um triângulo equilátero
No triângulo equilátero, todos os lados são congruentes (, e ), todos os ângulos internos são congruentes (60°, 60° e 60°) e toda altura é também mediana e bissetriz. Veja o cálculo da área, usando a base () e a altura (h): A
Para refletir
B
2
M
Mediana é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
h
C
2
O triângulo AMC é retângulo em M e, portanto, vale a relação de Pitágoras: 3 , 2 3,2 ,2 5 h2 1 [ ] ⇒ h2 5 ⇒ h 2 4 2 Logo, a área da região limitada pelo triângulo ABC é dada por: , 3 ,? 2 base ? altura BC ? h 2 5 , 3 A5 5 5 2 2 2 4 2 3 Portanto, A 5 (área da região triangular equilátera de lado ). 4
Para refletir Verifique como se chega a essa expressão da área do triângulo equilátero usando a fórmula de Heron.
Área da região limitada por um trapézio Podemos decompor uma figura plana em regiões cujas áreas já sabemos calcular. A área dessa figura plana será a soma das áreas das regiões em que a figura foi decomposta. Por exemplo, vamos decompor a área da região limitada por um trapézio traçando uma de suas diagonais. Dividimos a região limitada por um trapézio em duas regiões triangulares: uma de base B e altura a e outra de base b e altura a. b
Para refletir a
a
Trapézio é todo quadrilátero com um só par de lados paralelos (bases).
B
Capítulo 12 | Geometria plana
423
A área de uma região triangular você já aprendeu a calcular. Portanto, a área da região trapezoidal é dada por: A5
Ba ba Ba 1 ba (B 1 b)a 1 5 5 2 2 2 2
Então: A5
(B 1 b)a (base maior 1 base menor) ? altura ou A 5 2 2
Dizemos que a área de uma região trapezoidal é igual à semissoma das medidas das bases vezes a medida da altura.
Área da região limitada por um losango Todo losango é um paralelogramo, daí a área da região limitada por ele poder ser calculada como o produto da base pela altura. Entretanto, em geral as dimensões de um losango são expressas pelas medidas de suas diagonais D e d. d Toda região limitada por um losango tem a mesma área de uma região retangular com altura D e base , como 2 mostram as figuras:
Para refletir
D
Losango é todo quadrilátero que tem os quatro lados com medidas iguais. d 2
Assim, a área da região limitada por um losango é dada pela metade do produto das medidas das diagonais. Veja: A5D?
d Dd diagonal maior ? diagonal menor ou A 5 ou A 5 2 2 2
D
d
Para refletir Como todo quadrado é um losango, às vezes é conveniente calcular a área da região quadrada em função das suas diagonais, que têm a mesma medida.
Área da região limitada por um hexágono regular A região limitada por um hexágono regular é formada por seis regiões triangulares equiláteras. Como a área da região triangular equilátera é dada por: A5
,2 3 4
60°
a área da região limitada por um hexágono regular é dada por: A56?
,2 3 3, 2 3 6 ,2 3 5 5 4 2 4
ou seja: A 5
424
3 2 3 2 Matemática
Área de uma região limitada por um polígono regular Para refletir Polígono regular é aquele que tem todos os lados e todos os ângulos internos congruentes. Ele pode sempre ser inscrito em uma circunferência.
Observe alguns exemplos de polígonos regulares nos contornos das regiões poligonais:
apótema
a
O
Triângulo equilátero (polígono regular de três lados)
Quadrado (polígono regular de quatro lados)
Pentágono regular (polígono regular de cinco lados)
Octógono regular (polígono regular de oito lados)
Pode-se perceber que, se o polígono regular tem n lados, a região limitada por ele pode ser decomposta em n regiões limitadas por triângulos isósceles. Em cada um desses triângulos, a base é o lado () e a altura é o apótema (a) do polígono regular. A área da região limitada por um polígono regular de n lados pode então ser escrita assim: A5n? em que : lado a: apótema n: perímetro (2p) p: semiperímetro
n, ,a ? a ou A 5 pa ou A 5 2 2 Para refletir No pentágono regular temos A 5
O
octógono regular temos A 5 4,a. Escreva no caderno a área de um decágono regular em função do lado e do apótema.
a A
5 ,a e no 2
B
Exemplos: 1‚) Vamos determinar a área do terreno plano abaixo usando as medidas dadas.
Modelo matemático
formato comunicação/ arquivo da editora
Realidade
5m
12 m
12 m
5m
6m
6m
4m
4m
3m 3m
8m
8m
O terreno foi decomposto em três regiões: uma retangular, uma triangular e outra em forma de trapézio. Como já sabemos calcular a área de cada uma delas, a soma das três nos dará a área do terreno.
Aretângulo 5 12 ? 6 5 72 m2
Atriângulo 5
A trapézio 5
5?6 5 15 m2 2
(8 1 3)4 5 22 m2 2 Área total 5 72 m2 1 15 m2 1 22 m2 5 109 m2
Capítulo 12 | Geometria plana
425
tim-tim por tim-tim
O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: **2‚) (5Enem) triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3. B
A
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 cm, então a área da figura 3, que representa uma “casinha”, é igual a a) 4 cm2. b) 8 cm2. c) 12 cm2. d) 14 cm2. e) 16 cm2. 1. Lendo e compreendendo a) O que é dado no problema? É dado o esquema de um tangram e duas das formas que podem ser feitas com ele — um hexágono e uma casinha. Também é fornecido o comprimento de um dos lados do hexágono (2 cm). b) O que se pede? A área da casinha mostrada na figura 3. 2. Planejando a solução Primeiramente, devemos perceber que, como a casinha foi feita usando-se todas as peças do tangram, a sua área equivale à área do quadrado da figura 1 e à área do hexágono da figura 2. Dessa forma, não precisamos calcular área por área de cada peça do tangram. A seguir, devemos perceber que o segmento AB do hexágono coincide com metade da diagonal do quadrado da figura 1, pois ambos são formados pelo lado do quadrado e por um dos catetos do triângulo pequeno. Assim, determinaremos a área do quadrado a partir de sua diagonal, e isso pode ser feito de duas formas: 1a maneira: A partir da diagonal, obtemos o lado (), e assim podemos usar a fórmula da área do quadrado (Aquadrado 5 ,2). 2a maneira: Lembrando que todo quadrado é um losango, podemos usar a fórmula da área do losango para D?d obter a área do quadrado a partir de suas diagonais [Alosango 5 ]. 2 3. Executando o que foi planejado Se AB 5 2 cm equivale à metade da diagonal do quadrado da figura 1, então a diagonal do quadrado mede 4 cm. A partir da diagonal do quadrado, de acordo com nossa estratégia, podemos obter a sua área de duas maneiras distintas: 1a maneira: A diagonal D do quadrado de lado é dada por D = , ? 4=,?
426
2 ⇒,=
2 . Assim, temos: 4 2 Matemática
Não há necessidade de racionalizar esse resultado, pois ele foi calculado apenas para ser usado na fórmula da área do quadrado: 2 4 16 Aquadrado 5 ,2 ⇒ Aquadrado 5 5 8 cm2 5 2 2 2a maneira: As duas diagonais do quadrado são iguais; então, ambas medem 4 cm. Alosango 5
16 D?d 4?4 ⇒ Alosango 5 5 5 8 cm2 2 2 2
Assim, a área do quadrado da figura 1 é 8 cm2 e também a área da casinha da figura 3 (e do hexágono da figura 2). 4. Emitindo a resposta A resposta é a alternativa b. 5. Ampliando o problema a) O hexágono da figura 2 é regular? Justifique. b) Se a área do triângulo menor for A, qual é a área das demais peças (quadrado, paralelogramo, triângulo médio e os dois triângulos maiores)? c) Discussão em equipe Conversem sobre a utilidade de jogos e brincadeiras, como o tangram, em sala de aula com o objetivo de ajudar o ensino de Matemática. Na opinião de vocês, essa prática é útil ou não? d) Pesquise De que país é originário o tangram? Em que ano foi publicado o primeiro livro conhecido que menciona o tangram?
Exercícios propostos 91. Feito o levantamento de um terreno, foram determinados os dados indicados na figura abaixo. Nessas condições, qual é a área do terreno? 40 m
94. Mostre que a fórmula A 5
(B 1 b)a pode ser obtida 2
decompondo-se a região limitada pelo trapézio como na figura abaixo. b
30 m
a 40 m
36 m
x
92. Na figura abaixo, tDMu 5 tMNu 5 tNCu. Calcule a área da região colorida dessa figura. D
M
N
C 5 cm
A
12 cm
B
93. Um terreno tem a forma de um trapézio de bases 20 m e 14 m, e altura 11 m. Nesse terreno, construiu-se uma piscina retangular de 8 m por 5 m. No restante do terreno foram colocadas pedras mineiras. Qual foi a área onde se colocou pedra?
Capítulo 12 | Geometria plana
y B
95. O perímetro de um triângulo equilátero é 30 cm. Calcule a área desse triângulo.
96. De uma placa de alumínio foi recortada uma região triangular equilátera de lado 20 cm. Qual é a área dessa região que foi recortada?
97. Qual é a área do material usado para fazer as quatro bandeirinhas abaixo? 2 cm
2 cm
2 cm
427
98. Qual é a área de toda a parte colorida da figura ao lado? Qual é a área da região não colorida?
diagonal menor mede 0,2 cm. Determine a área desse município.
2 cm 2 cm
102. Calcule a área da região poligonal de uma cartolina limitada por um hexágono regular de lado 10 cm.
103. A figura abaixo mostra uma folha circular de zinco, de onde foi recortada a região triangular equilátera colorida. Calcule a área dessa região colorida. r , 3 5 r 3 e a3 5 2
99. Um terreno tem forma triangular e as medidas dos seus lados são 17 m, 15 m e 8 m. Qual é a área desse terreno? Resolva os exercícios 100 e 101 em dupla.
100. (Unicamp-SP) Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos públicos considerando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas. Qual a estimativa do número de pessoas presentes numa praça de 4 000 m2 que tenha ficado lotada para um comício, segundo essa avaliação?
20 cm
101. (PUC-SP) Um mapa é feito em uma escala de 1 cm para cada 200 km. O município onde se encontra a capital de certo estado está representado, nesse mapa, por um losango que tem um ângulo de 120° e cuja
104. Um piso de cerâmica tem forma hexagonal regular. O lado do piso mede 8 cm. Qual é a área desse piso?
Área do círculo Veja o círculo abaixo inscrito em um quadrado. 2r
r
2r
2r
2r
Medida do lado do quadrado: 2r. Área da região quadrada: (2r)2 5 4r2. Então, a área do círculo com raio de medida r é menor do que 4r2. Agora observe ao lado o mesmo círculo circunscrito a um quadrado. O quadrado tem diagonais de medidas 2r e 2r. Como o quadrado é um caso particular de losango, a área da região quadrada pode ser obtida assim: 4r2 2r ? 2r 5 5 2r2 2 2
r r r r
Então, a área do círculo com raio de medida r é maior do que 2r2. Assim, em um círculo com raio de medida r, a área A é tal que: 2r2 , A , 4r2 ou seja, a área A é obtida pelo produto de um número próximo de 3 (que veremos que é o p) por r2.
428
Matemática
Determinação da área do círculo 1a maneira: Usando círculo dividido em setores O círculo a seguir foi dividido em um número par de setores circulares que formaram uma figura cujo contorno 2pr 5 pr] e sua altura mede r. lembra um paralelogramo. Sua base mede a metade do comprimento da circunferência [ 2 2 A área dessa figura, que é também a área do círculo, é A 5 (pr)r 5 pr , isto é: A 5 pr2
r r
r
πr
2a maneira: Usando polígonos regulares aP , em que a é a medida Já vimos que a área da região determinada por um polígono regular é dada por A 5 2 do apótema e P é o perímetro. Analise esta sequência. O que você pode perceber? a) d) g)
b)
e)
h)
a
c)
a
a
a
a
a r
f )
a
a
À medida que aumentamos o número de lados dos polígonos regulares, a tendência é chegar ao círculo, no qual o apótema passa a ser o raio (r) e o perímetro passa a ser o comprimento da circunferência (2pr). Assim, a área do círculo pode ser representada por: aP r ? 2pr 5 A 5 5 pr2, ou seja, A 5 pr2 2 2
Exemplo: Vamos calcular quantas pessoas cabem, aproximadamente, em uma praça circular de 20 m de raio, considerando 5 pessoas por metro quadrado. (Use p 5 3,14.) A 5 pr2; p 5 3,14; r 5 20 A 5 202 ? 3,14 5 1 256 m2 Número aproximado de pessoas: 1 256 ? 5 5 6 280 Assim, cabem aproximadamente 6 280 pessoas nessa praça.
Capítulo 12 | Geometria plana
429
Área do setor circular A parte pintada da figura é conhecida como setor circular de um círculo de raio R. Todo setor circular tem um arco correspondente () e um ângulo (a). R
O setor circular é uma fração do círculo, e sua área A é diretamente proporcional ao ângulo central a. Um semicírculo, por exemplo, é um setor circular cujo ângulo central é 180° (metade de 360°) e sua área é metade da área do círculo. O comprimento do arco também é proporcional ao ângulo central a. Então, podemos escrever que: agraus arad Asetor , 5 5 2 5 pR 2pR 360º 2p Dependendo da informação conhecida (a em graus, a em radianos, ou comprimento do arco) usamos as razões acima.
Exemplo: Vamos calcular a área do setor circular pintado ao lado. Asetor 45º 1 9p ⇒ Asetor 5 ? p ? 36 5 5 área do setor: 2 360º 8 2 p?6 A área do setor circular pintado é
6 m 45° 6 m
9p 2 m. 2
Cálculo aproximado de áreas Você saberia calcular a área desta região R?
R
Que método podemos adotar para achar a área de regiões com formas parecidas com essa? Para responder a essas perguntas usamos o seguinte procedimento: Primeiramente decalcamos essa região em uma malha quadriculada e contamos o maior número possível de regiões quadradas inteiras que cabem dentro dela.
R
430
Matemática
Em seguida, contamos o menor número possível de regiões quadradas inteiras que cobrem R totalmente:
R
Assim: • cabem 34 regiões quadradas inteiras dentro da região R. Dizemos que a área por falta da região R é de 34
.
• 67 regiões quadradas inteiras cobrem a região R. Dizemos que a área por excesso da região R é de 67
.
Conseguiu descobrir qual é a área? A área da região R é maior do que 34
e menor do que 67
.
Uma razoável aproximação para essa área é dada pela média aritmética dos dois valores encontrados: área aproximada 5 Como a área da região quadrada
34 1 67 5 50,5 2
da malha quadriculada é de (0,5)2 cm2 5 0,25 cm2, então a área aproximada
da região R é dada por A . 50,5 ? 0,25 5 12,63 cm2.
Exercícios propostos 105. Um disco de cobre tem 20 cm de diâmetro. Qual é a área desse disco?
106. O piso (fundo) de uma piscina circular tem 2,80 m de diâmetro (internamente). Qual é a área do piso dessa piscina?
107. (Vunesp) Certos registros históricos babilônicos indicam o uso de uma regra para o cálculo da área do círculo equiC2 valente à fórmula (em notação atual) A 5 em que C 12 representa o comprimento da circunferência correspondente. Determine o valor de π oculto nesses registros.
108. Qual é a área da região colorida da figura ao lado?
4m
110. (UFU-MG) Dado um triângulo equilátero de lado ,, qual a área da coroa circular limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita nesse triângulo?
111. Uma região quadrada tem 8 cm de lado. a) Se cada lado aumentar em 3 cm, a área aumentará em quantos centímetros quadrados? b) Se cada lado aumentar em 20%, a área aumentará em quanto por cento?
112. Uma cesta de lixo tem por faces laterais trapézios isósceles e por fundo um quadrado de 19 cm de lado. Desprezando a espessura da madeira, quantos metros quadrados de madeira foram necessários para fabricar essa cesta de lixo? face lateral 27 cm
4m
109. Um terreno tem a forma da figura ao lado. Na figura estão registrados alguns dados do terreno, que nos permitem calcular a sua área. Calcule então a área desse terreno.
Capítulo 12 | Geometria plana
30 cm 6m 8m
19 cm
431
113. O perímetro do quadrado ABCD da figura é 32 cm. Calcule a área da região colorida da figura.
D
C
A
B
116. Calcule a área aproximada de cada uma destas regiões. Use o
como unidade de área.
a)
114. Calcule a área do setor circular da figura.
O
10 cm
r 4 cm
115. Quantos centímetros quadrados de alumínio são ne-
b)
cessários para fazer uma arruela cujas dimensões estão na figura? r2 1 cm O r 3 cm 1
Razão de semelhança para áreas Todos os quadrados são semelhantes entre si. Considere três quadrados de lados x, 2x e 3x:
Note que suas áreas são x2, 4x2 e 9x2, respectivamente. Ou seja, a área não é proporcional ao lado, e sim proporcional ao quadrado do lado. Isso também pode ser explicado pelo princípio da proporcionalidade: se duas figuras geométricas forem semelhantes com razão de semelhança k entre suas grandezas lineares, então suas áreas terão razão de semelhança k2: A(kx, ky) 5 kA(x, ky) 5 k2A(x, y), seja qual for a área A(x, y) Isso pode ser estendido a volumes de sólidos semelhantes, pois todo volume depende de três grandezas lineares. Portanto, em sólidos semelhantes, cujas grandezas lineares tenham razão de semelhança k, as áreas terão razão de semelhança k2 e os volumes terão razão de semelhança k3.
Exemplos: 1‚) A área de um triângulo retângulo é de 30 cm2. A área de um triângulo retângulo semelhante ao primeiro é de 120 cm2. Se a hipotenusa do primeiro triângulo mede 13 cm, quanto mede a hipotenusa do segundo triângulo? hipot2 x A razão entre as hipotenusas é k 5 5 . hipot1 13 A razão entre as áreas é: A2 120 54⇒k5 4 52 k2 5 5 A1 30 x Então, 5 2 ⇒ x 5 26. 13 Logo, a hipotenusa mede 26 cm.
432
Matemática
2‚) A área de um dodecágono é de 10 cm2. Qual é a área de um dodecágono semelhante ao primeiro cujo perímetro é o triplo do perímetro do primeiro? perím2 3 5 5 3. A razão entre os perímetros é k 5 perím1 1
A razão entre as áreas é: A2 x k2 5 32 5 ⇒ 9 5 ⇒ x 5 90 A1 10 Logo, a área do segundo dodecágono é de 90 cm2.
3‚) Um triângulo escaleno de altura AH 5 10 cm foi cortado perpendicularmente à sua altura AH de forma que os dois pedaços resultantes tivessem a mesma área. A que distância do vértice A foi feito o corte? A
A
x 10
H
S e os dois pedaços resultantes do corte (um triângulo e um trapézio) têm a mesma área, cada um deles tem metade da área do triângulo original. O triângulo menor é semelhante ao maior, pois o corte foi perpendicular à altura, portanto paralelo à base.
A razão entre as alturas é k 5
A razão entre as áreas é: A2 1 1 2 1 5 5 k2 5 5 ⇒ k 5 A1 2 2 2 2 Então:
altura2 x 5 . altura1 10
x 2 ⇒ x 5 5 2 . 7,1 5 10 2
Logo, o corte foi feito a aproximadamente 7,1 cm do vértice A.
4‚) (Unicamp-SP) Um triângulo escaleno ABC tem área igual a 96 m2. Sejam M e N os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Vamos fazer uma figura e calcular a área do quadrilátero BMNC. B
M
A
N
C
A razão entre os lados dos triângulos ABC e AMN é k 5 2. A razão entre as áreas é: 96 96 ⇒ A 5 5 24 cm2 k2 5 4 5 A 4 Então, a área do trapézio BMNC é 96 2 24 5 72 cm2.
Capítulo 12 | Geometria plana
433
Exercícios propostos Resolva em equipe os próximos problemas.
117. (Unicamp-SP) Um fio de 48 cm de comprimento é cortado em duas partes para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro. a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes do fio? b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados?
118. (Fuvest-SP) No papel quadriculado da figura a seguir, adota-se como unidade de comprimento o lado do quadrado hachurado. DE é paralelo a BC. Para que a área do triângulo ADE seja a metade da área do triângulo ABC, a medida de AD, na unidade adotada, é: a) 4 2 . C
b) 4. c) 3 3 .
E
8 3 . 3 7 3 . e) 2
d)
a) x 5 30 cm, y 5 20 cm b) x 5 40 cm, y 5 30 cm c) x 5 30 2 cm, y 5 20 2 cm, d) x 5 20 2 cm, y 5 30 2 cm, e) x 5 90 2 cm, y 5 60 2 cm,
122. (Udesc) Se o raio de um círculo aumenta 10%, então o seu perímetro e a sua área aumentarão respectivamente: a) 10% e 10%. d) 10% e 0%. b) 10% e 21%. e) 0% e 10%. c) 21% e 21%.
123. (UFC-CE) A planta de um apartamento está confeccionada na escala 1 : 50. Então a área real, em metros quadrados, de uma sala retangular cujas medidas na planta são 12 cm e 14 cm é: a) 24. d) 42. b) 26. e) 54. c) 28.
124. (Fazu-MG) Um agricultor leva 3 h para limpar um terA
B
D
119. (FGV-SP) Uma pizzaria vende pizzas com preços proporcionais às suas áreas. Se a pizza média tiver raio igual a 80% do raio da grande, seu preço será: a) 59% do preço da grande. b) 64% do preço da grande. c) 69% do preço da grande. d) 74% do preço da grande. e) 80% do preço da grande.
120. (Faap-SP) Uma chapa de metal circular, com 1 m de raio, ficou exposta ao sol. Em consequência, sofreu uma dilatação de 1% na dimensão do raio. (Considere π 5 3,14.) A área dessa chapa após a dilatação (em metros quadrados) é: a) 3,14. c) 3,10. e) 3,45. b) 3,32. d) 3,20.
121. (FEI-SP) Uma chapa metálica de formato triangular (triângulo retângulo) tem inicialmente as medidas indicadas e deverá sofrer um corte reto (paralelo ao lado que corresponde à hipotenusa do triângulo) representado pela linha pontilhada, de modo que sua área seja reduzida à metade. Quais serão as novas medidas x e y?
reno circular de 5 m de raio. Se o raio do terreno fosse igual a 10 m, ele levaria: a) 8 h. d) 10 h. b) 15 h. e) 12 h. c) 6 h.
125. Resolvam o problema da introdução deste item. “(Unicamp-SP) Em uma fotografia aérea, um trecho retilíneo de uma estrada que mede 12,5 km aparece medindo 5 cm e, na mesma fotografia, uma área queimada aparece com 9 cm2. Calcule: a) o comprimento que corresponde a 1 cm na mesma fotografia; b) a área da superfície queimada.”
Desafio em dupla (UFRN) O sr. José dispõe de 180 m de tela para fazer um cercado retangular, aproveitando, como um dos lados, parte de um extenso muro reto. O cercado compõe-se de uma parte paralela ao muro e três outras perpendiculares a ele (ver figura). muro
x
x
y 40 cm y
x 60 cm
434
Para cercar a maior área possível com a tela disponível, os valores de x e y são, respectivamente: a) 45 m e 45 m. b) 30 m e 90 m. c) 36 m e 72 m. d) 40 m e 60 m.
Matemática
Dante
A MATEMÁTICA E AS PRÁTICAS SOCIAIS
AE Conflito pela terra
Raposa/ Serra do Sol
RR
OCEANO ATLÂNTICO
AP
AM MA
CE
PA PI RO
AC
TO BA
MT
RN PB PE AL SE
DF GO MG MS
ES
OCEANO PACÍFICO
SP PR
Reserva degularizada
Áreas das Reservas (em hectares)
SC
Amazônia Legal Reserva delimitada Reserva declarada Reserva homologada
RJ
Declaradas 10 067 133
RS 0
445
890 km
Delimitadas 2 336 494
Homologadas 1 545 385 Regularizadas 95 119 146
Hoje, 12,56% do território nacional é reservado ao usufruto dos índios - as terras pertencem à União, assim como a riqueza contida no solo delas. São 615 terras indígenas, nos mais diferentes estágios administrativos. A maioria delas já está regularizada.
Com 1,7 milhão de hectares, a Terra Indígena Raposa Serra do Sol era alvo de disputa desde os anos 1970, quando começou seu processo de identificação e demarcação. Em 2005, foi homologada pelo presidente Lula. Mas a retirada de não índios foi interrompida quando um grupo de rizicultores* se recusou a sair. Em 2009, o STF decidiu: a reserva será contínua, os arrozeiros terão de deixá-la, mas os índios ou a Funai não podem impedir que a União entre nas terras para defender as fronteiras ou construir escolas e hospitais, entre outras condições. 12_m01_PNLEMdA Título: As reservas indígenas no Brasil
HistóricoFonte: www.estadao.com.br/especiais/a-disputa-pela-raposa-serra-do-sol,17895.htm. Acesso em nov. 2009.
Antes do século XX – A chegada dos colonizadores No vale do rio Branco, na região de Roraima, onde hoje fica a capital, Boa Vista, no século XVIII, os portugueses encontraram índios Macuxi, uma das etnias residentes em Raposa Serra do Sol atualmente. Depois, os colonizadores passaram a arregimentar mão de obra indígena para extração vegetal. 1917 – Primeira delimitação No dia 16 de outubro de 1917, o estado do Amazonas edita a Lei Estadual n‚ 941, que delimita as terras entre os rios Surumu e Cotingo para a ocupação e usufruto dos índios Macuxi e Jaricuna. 1984 – Aumento da reserva Mais uma terra indígena é instituída. Mesmo sem ser conclusivo, o trabalho do grupo propõe o aumento da demarcação para 1,57 milhão de hectares depois de identificar cinco áreas contíguas: Xununuetamu, Surumu, Raposa, Maturuca e Serra do Sol. * Rizicultores – Aqueles que cultivam arroz.
Capítulo 12 | Geometria plana
435
José Luís da Conceição/Agência Estado
2009 – Decisão histórica O STF já resolveu: a demarcação da reserva Raposa Serra do Sol deve ser contínua, e os arrozeiros que ocupam a região terão de deixá-la. Mas o tribunal estabeleceu dezenove condições, sugeridas pelo ministro Carlos Alberto Menezes Direito, para a demarcação contínua da reserva, entre as quais: proibição de cobrança de pedágio, proibição de exploração de recursos hídricos, de potencial energético e garimpagem do subsolo. A Reserva Raposa Serra do Sol em números • 19 mil índios • 1,7 milhão de hectares • 12 vezes o tamanho da cidade de São Paulo • 135 é o número aproximado de malocas indígenas • 5 etnias convivem na região
Plantação de arroz localizada na Reserva Raposa Serra do Sol, em Roraima.
Fonte: www.estadao.com.br/especiais/a-disputa-pela-raposa-serra-do-sol,17895.htm.
CALCULANDO E COMPREENDENDO MELHOR O TEXTO 1. Com o auxílio de uma calculadora e tomando como base a Reserva Raposa Serra do Sol, descubra: a) Se fosse feita uma distribuição igualitária, cada índio teria direito a quantos hectares? b) Quantos índios estariam ocupando uma área equivalente à cidade de São Paulo?
2. Sabe-se que um hectare tem medida equivalente a 10 000 m2. Qual a área em m2 da Reserva Raposa Serra do Sol? E em km2?
3. Se uma família indígena receber uma área em formato circular de 125 600 m2, qual será aproximadamente o raio desse círculo?
4. Se um jovem índio herdar uma terra em forma de um quadrilátero de perímetro igual a 6 000 m, então qual a maior área possível dessa terra herdada?
5. Uma tribo tem como área reservada para caça e pesca a região desenhada abaixo, em que cada quadradinho tem como lado a medida de 1 km. Qual é a área em km2 reservada para caça e pesca dessa tribo? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
PESQUISANDO E DISCUTINDO 6. Estima-se que no começo do século XVI existiam no atual território brasileiro entre 1 milhão e 10 milhões de índios. De acordo com a Funai, vivem hoje, no país, cerca de 460 mil índios, distribuídos entre 225 sociedades indígenas, que perfazem cerca de 0,25% da população brasileira. Pesquise a organização social, costumes, línguas, crenças e tradições dos índios no Brasil e discuta com seus colegas.
VEJA MAIS SOBRE O ASSUNTO Procure mais informações em jornais, revistas e nos sites www.funai.gov.br, www.indiosonline.org.br e www.comin.org.br.
436
Matemática
>Atividades adicionais 4. (Ufac) É conhecido que em um triângulo retângulo: A soma
ATENÇÃO! AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC., NÃO ESCREVA NO LIVRO. TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.
A seguir, separadas por regiões geográficas, relacionamos algumas questões de vestibular que envolvem o conteúdo deste capítulo.
Região Norte 1. (Unifap) Na construção de uma peça geométrica, observa-se que ela tem o formato de um polígono regular. Se a soma dos ângulos internos da peça geométrica é 2 340°, então podemos afirmar que um dos ângulos internos mede: a) 120°. c) 195°. e) 390°. b) 156°. d) 234°.
dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa [Pitágoras (571-480 a.C.)]. Esta relação induz ao conceito de “terno pitagórico”, que é toda terna de inteiros positivos (a, b, c) tal que a2 1 b2 5 c2. Nesse sentido, se (a, b, c) é um terno pitagórico, vale que: a) (a, c, b) é um terno pitagórico. b) (ka, kb, kc) é um terno pitagórico, se k é um inteiro positivo. c) (a 2 b, a 2 c, b 2 c) é um terno pitagórico. d) (b, c, a) é um terno pitagórico. e) (a 1 b, a 1 c, b 1 c) é um terno pitagórico.
5. (Ufam) Observe a figura abaixo: B
C
P
2. (UFT-TO) Observe esta figura: B
A
D
Q
C
A
No triângulo ABC, o ângulo externo b mede o triplo do ângulo a. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que, na mesma figura, o ângulo u mede: a) a metade do ângulo a. b) o dobro do ângulo a. c) o mesmo que o ângulo a. d) o triplo do ângulo a.
Nessa figura, o quadrado ABCD tem área igual a 4, o triângulo BPQ é equilátero, e os pontos P e Q pertencem, respectivamente, aos lados CD e AD. Assim sendo, a área do triângulo ABQ é: a) 4 2 3 . d) 4 1 3 . e) 2 1 2 3 . b) 4 1 2 3 . c) 4 2 2 3 .
6. (UFRR) Os catetos de um triângulo retângulo são iguais a b e c. Então o comprimento da bissetriz do ângulo reto é: a)
3. (UFPA) Durante muito tempo, quando se precisava usar a área do círculo em problemas de Geometria, o cálculo era feito por aproximação. Uma dessas maneiras era usar o Método da Exaustão, que consiste em aproximar o círculo por polígonos regulares nele inscritos, conforme mostram as figuras a seguir:
b)
2 (b 1 c) . bc 2b . b 1 c
c)
2c . b 1 c
d)
2bc . b 1 c
e)
2bc . b 1 c
7. (UFRR) No triângulo ABC abaixo, o segmento de reta tAD. é a bissetriz do ângulo BA. A
π 3
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
Supondo que os círculos acima possuam raio de comprimento igual a 1 m, qual o erro cometido ao aproximar a área do círculo pela área do hexágono regular nele inscrito, conforme mostra a figura 4? Admita que p 5 3,14, 3 5 1,73 e use duas casas decimais após a vírgula. Capítulo 12 | Geometria plana
B
D
C
Se tBD. mede 2,1 cm, tDC. mede 2,8 cm e a soma das medidas dos lados do triângulo é 14 cm, os lados tAB. e tAC. medem em cm, respectivamente: a) 3,9 e 5,2. c) 4,9 e 4,2. e) 3,6 e 5,5. b) 3,8 e 5,3. d) 4,5 e 4,6.
437
Região Nordeste 8. (UFS-SE) A medida do suplemento de um ângulo é o triplo da medida do ângulo. Nessas condições: a) o maior desses ângulos mede 140°. b) o maior desses ângulos mede 135°. c) o maior desses ângulos mede 120°. d) o menor desses ângulos mede 50°. e) o menor desses ângulos mede 40°.
04) O ângulo CBAD mede 105°. 08) A área do quadrilátero ADBC é igual a tAB. 4 2
(
)
3 1 2 . D B
9. (UFRN) A diferença entre os ângulos agudos de um triângulo retângulo é 50°. Qual a medida do menor ângulo desse triângulo? a) 10° d) 40° b) 20° e) 70° c) 25°
10. (UFC-CE) Na figura abaixo, a razão entre o perímetro da região hachurada e o perímetro da circunferência é: (O é o centro da circunferência.) 1 a) . 3 b)
p 1 4 . 4p
c)
p . 4
C
A
13. (UFPE) Na figura abaixo, quatro das cinco circunferências possuem o mesmo raio. Três destas são tangentes à circunferência de maior raio e têm centros em vértices de um triângulo equilátero. A quarta circunferência de raio menor é tangente às outras três. Se a e b representam as áreas das regiões amarelas indicadas 100a na figura, calcule . b
O
a
b
p 1 4 . 2p e) 2.
d)
11. (Unifor-CE) Seja uma circunferência de centro O. Por um ponto P traçam-se uma tangente tPT. e uma secant S., que contém o ponto O, como mostra a figura te P abaixo.
T
P
25°
medidas dos lados são os números inteiros 2, 7 e x. Podemos afirmar que o menor valor de x é: a) 9. d) 6. b) 8. e) 5. c) 7.
Região Centro-Oeste
U
14. (UFPI) Seja ABC um triângulo de área não nula, cujas
O
S
Se U [ tPS., a medida u, do ângulo assinalado, é: a) 85°. d) 57°30’. b) 75°30’. e) 45°. c) 65°.
15. (UnB-DF) Em um bloco de aresta medindo 1 m, con-
sidere C o ponto médio de uma de suas arestas e AB a diagonal do cubo, conforme ilustra a figura abaixo. Calcule, em m2, a área do triângulo ABC. Multiplique o valor encontrado por 100 e despreze, caso exista, a parte fracionária de seu resultado. B
C
12. (UFBA/adaptada) Considerando-se um triângulo retângulo isósceles ABC, um ponto D tal que tAD. 5 tBD. e o ângulo DB BC, que mede 150°, representados na figura, é correto afirmar: 01) O quadrilátero ADBC é um trapézio. 02) O triângulo ADB é equilátero.
438
A
Matemática
16. (UFG-GO) No trapézio ABCD abaixo, o segmento AB
mede a, o segmento DC mede b, M é o ponto médio de AD e N é o ponto médio de BC. b
D
r O
C A
M
A
b) c) d) e)
B
N
a
B
Nestas condições, a razão entre as áreas dos trapézios MNCD e ABNM é igual a: a)
a 1 2b . 3a 1 b a 1 3b . 2a 1 b a 1 3b . 3a 1 b a 1 2b . 2a 1 b 3a 1 2b . 2a 1 3b
17. (UFMS) Uma sequência de quatro quadrados foi construída, na ordem do maior para o menor, de forma que um quadrado está circunscrito na circunferência na qual o quadrado seguinte está inscrito e assim sucessivamente, como ilustrado na figura a seguir:
Em relação aos ângulos da figura é correto afirmar que: a) 2b 1 g 5 180°. b) a 1 g 5 180°. c) a 5 2b. d) b 5 2a. e) b 1 g 5 90°.
19. (UFG-GO) O número de diagonais de um polígono
n2 2 3n defi2 nida para todo número natural n > 4. De acordo com essa afirmação, julgue os itens abaixo. 1) Não existe polígono regular com 99 diagonais. 2) O conjunto imagem da função d(n) é o conjunto de todos os números naturais. 3) O conjunto dos números naturais n > 4, tais que d(n 1 1) . 2d(n), possui infinitos elementos. 4) O conjunto de valores d(n), para n 5 4, 5, 6, ..., nesta ordem, forma uma progressão aritmética. regular de n lados é dado pela função
20. (UFMS) Na figura abaixo estão representadas três retas coplanares e paralelas r, s e t, tais que a distância entre r e s é igual a 2 cm e a distância entre s e t é igual a 3 cm. C
M
A
Sabendo-se que a área do menor quadrado mede 4 m2, então a área total destacada em azul mede: (Use p 5 3, para obter o valor procurado final.) a) 16 m2. b) 14 m2. c) 12 m2. d) 10 m2. e) 8 m2.
18. (UEMS) Na figura apresentada nesta questão, tem-se que a reta r é tangente à circunferência de centro O no ponto B.
Capítulo 12 | Geometria plana
r
N
s
B
t
Sabendo-se que o segmento MN tem 4 cm, a área do triângulo ABC vale: a) 25 cm2. d) 17,5 cm2. b) 22,5 cm2. e) 15 cm2. c) 20 cm2.
21. (Unemat-MT) Um aro metálico de raio 50 cm, ao ser aquecido, teve seu comprimento aumentado em 1%. De quanto foi o aumento percentual do raio? a) 31,4% d) 3,14% b) 1% e) 1,57% c) 15,7%
439
Região Sudeste
26. (UFF-RJ) Seja MNPQ um quadrado de lado igual a 2 cm.
22. (FGV-SP) Considere as retas r, s, t, u todas num mesmo plano, com t / u. O valor em graus de (2x 1 3y) é:
Considere C o círculo que contém os vértices P e Q do quadrado e o ponto médio do lado MN (ponto T). Determine o raio do círculo C.
r
C t
Q
y
P
u
20° x
M
s
a) 64°. c) 520°. e) 580°. b) 500°. d) 660°.
23. (Fuvest-SP) No retângulo a seguir, o valor, em graus, de a 1 b é:
N
T
27. (UFV-MG) De um piso quadrado de 34 cm de lado recortam-se pequenos triângulos retângulos isósceles de cateto x, de modo a obter um piso em forma de octógono regular, conforme ilustra a figura abaixo.
40°
a) 50. c) 120. e) 220. b) 90. d) 130.
x x
24. (Fuvest-SP) As retas t e s são paralelas.
Considere 2 5 1,4. a) Determine o valor de x. b) Calcule a área de um dos triângulos recortados. c) Calcule a área do octógono.
x 120° t
140°
s
A medida do ângulo x, em graus, é: a) 30. c) 50. e) 70. b) 40. d) 60.
25. (FEI-SP) Na figura, x mede: a) 3. 10 b) 2 . 15 c) Faltam dados para calcular x. 10 d) 3 1 2 . 15 e) n.d.a.
Região Sul 28. (UEL-PR) Embora o desenho abaixo pareça representar uma figura em três dimensões, ele foi feito no plano usando-se apenas losangos congruentes entre si.
8 x 5 17
440
Os ângulos internos desses losangos medem: a) 30° e 150°. d) 45° e 135°. b) 36° e 72°. e) 60° e 120°. c) 36° e 144°. Matemática
29. (UEL-PR) Na figura a seguir, as medidas x, y e z são diretamente proporcionais aos números 5, 20 e 25, respectivamente.
31. (PUC-RS) Um jardim de forma retangular com medidas 6 m 3 8 m possui dois canteiros em forma de triângulos isósceles e um passeio no centro, como na figura abaixo.
x
z
O y
O suplemento do ângulo de medida x tem medida igual a: a) 144°. d) 82°. b) 128°. e) 54°. c) 116°.
30. (UFRGS-RS) Na figura 1, BC é paralelo a DE e, na figura 2, GH é paralelo a IJ. E
A área do passeio, em metros quadrados, é: a) 64. d) 12. b) 36. e) 2. c) 24.
32. (UPF-RS) Considere as medidas dos ângulos X, Y e Z da figura, que são diretamente proporcionais aos números 4, 12 e 9, respectivamente, e as seguintes afirmativas: I) O complemento do ângulo X é igual ao suplemento do ângulo Y. II) O complemento do ângulo Z é igual ao ângulo X. III) O suplemento do ângulo Z é 50°24’.
x Z C
X
O
a
Y
A
B
É correto apenas o que se afirma em: a) I. c) III. e) I e III. b) II. d) I e II.
D b
1
33. (UEL-PR) Para medir a altura de um edifício, um enge-
f igura 1
nheiro utilizou o seguinte procedimento: mediu a sombra do prédio obtendo 10,0 metros. Em seguida, mediu sua própria sombra que resultou em 0,5 metro. Sabendo que sua altura é de 1,8 metro, ele pôde calcular a altura do prédio, obtendo: a) 4,5 metros. d) 36,0 metros. b) 10,0 metros. e) 45,0 metros. c) 18,0 metros.
J y H a
34. (UEM-PR) Em uma circunferência de centro O e cuja F
I
G b
1 f igura 2
Então, x e y valem, respectivamente: a b d) e ab. a) ab e . b a b a 1 e) e . b) ab e . a b b a c) e ab. b
Capítulo 12 | Geometria plana
medida do raio é 2 cm, constrói-se um quadrilátero inscrito ABCD. Sabe-se que: • a diagonal BD é o diâmetro da circunferência; • o ângulo interno BD do triângulo ABD mede 30°; • o ângulo interno B B do triângulo BCD mede 45°. É correto afirmar que: a) o triângulo AOD é equilátero. b) o quadrilátero ABCD possui um ângulo de 60°. c) o triângulo OBC é obtusângulo. d) o quadrilátero ABCD possui um ângulo de 120°. e) o quadrilátero ABCD possui dois ângulos retos.
441
>Leitura A Geometria e o conhecimento científico centro cultural da época. Ficou conhecido por sua versatilidade e por uma engenhosa ideia para calcular o raio da Terra, baseado na proporcionalidade entre medida e comprimento de arcos, nos ângulos correspondentes em paralelas cortadas por transversais e na razão entre comprimento da circunferência e seu diâmetro.** O polonês Nicolau Copérnico (1473-1543) retomou as hipóteses heliocêntricas de Aristarco (que na época não vingaram) e elaborou toda uma teoria em que os planetas teriam órbitas circulares em torno do Sol, calculando os períodos de revolução dos planetas e suas distâncias até o Sol, baseado na proporcionalidade de arcos e semelhança de triângulos (já na forma de trigonometria).*** O alemão Johannes Kepler (1571-1630) aperfeiçoou as ideias de Copérnico ao afirmar que as órbitas planetárias são na verdade elípticas e apresentou as três leis que hoje conhecemos como “leis de Kepler”, repletas de proporcionalidades, áreas e elipses. A Geometria que estudamos hoje é essencialmente a mesma que serviu de alicerce para que os estudiosos do passado conseguissem cada vez mais adquirir conhecimento e entender melhor a natureza que nos cerca. Se hoje sabemos muito sobre ela e seus fenômenos, isso é resultado do esforço e dedicação de muitos sábios da Antiguidade, alguns dos quais considerados os maiores astrônomos, geômetras ou matemáticos de suas épocas. stock montage/ getty imagescontributor
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A Geometria, ao longo de toda sua história, acompanhou o homem na busca pelo conhecimento da natureza que o cerca. Quando a civilização grega chegou ao ápice, os gregos assumiram o desenvolvimento da Geometria. Passaram a privilegiar o conhecimento dedutivo e não o empírico, como ocorria até então. E questões que sempre intrigaram o homem, como o tamanho do raio da Terra, a distância da Terra à Lua ou da Terra ao Sol, já estimadas em outras épocas por outros sábios, passaram a partir de então a ser tratadas com o auxílio dos conhecimentos geométricos. Com o fim da hegemonia grega, o mundo passou por quase quinze séculos de trevas. Apenas com a queda de Constantinopla e o início do Renascimento, os clássicos gregos voltaram à Europa, trazidos pelos que fugiam da invasão turca. E, com o seu renascimento, também voltaram as contribuições da Geometria aos outros campos do conhecimento científico. Eis alguns bons exemplos de contribuições da Geometria à ciência ao longo dos tempos. O grego Aristarco de Samos (310 a.C.-230 a.C.) foi brilhante em perceber como comparar as distâncias da Terra à Lua e da Terra ao Sol, usando triângulos retângulos, semelhanças de triângulos e proporções.* Eratóstenes (276 a.C.-196 a.C.) não era grego, mas estudou em Atenas e viveu em Alexandria, importante
Monumento em homenagem a Nicolau Copérnico esculpido por Bertel Thorvaldsen.
Johannes Kepler (1571-1630).
Para mais detalhes, leia “Aristarco e as dimensões astronômicas”, do Prof. Geraldo Ávila, em Revista do Professor de Matemática 55, SBM, 2004, p. 1-10. ** Sobre a ideia de Eratóstenes, leia “Se eu fosse professor de matemática”, do Prof. Geraldo Ávila, em Revista do Professor de Matemática 54, SBM, 2004, p. 2-9. *** Para saber detalhes sobre os cálculos de Copérnico, leia “Geometria e Astronomia”, do Prof. Geraldo Ávila, em Revista do Professor de Matemática 13, SBM, 1988, p. 5-12. *
442
Matemática
>Questões do Enem ATENÇÃO! ESTAS QUESTÕES FORAM TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC., NÃO ESCREVA NO LIVRO. TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.
Exame Nacional do Ensino Médio 2000 1. A tabela abaixo resume alguns dados importantes sobre os satélites de Júpiter:
3 642
Europa
3 138
670 900
3,6
Ganimedes
5 262
1 070 000
7,2
Calisto
4 800
1 880 000
16,7
Diâmetro (km)
Período orbital (dias terrestres) 1,8
1,0 0,9
Ao observar os satélites de Júpiter pela primeira vez, Galileu Galilei fez diversas anotações e tirou importantes conclusões sobre a estrutura de nosso Universo. A figura abaixo reproduz uma anotação de Galileu referente a Júpiter e seus satélites. 1
2
3
4
0,8 0,7 0,6 IDH
Io
Distância média ao centro de Júpiter (km) 421 800
Nome
O IDH é um indicador social que considera a longevidade, o grau de escolaridade, o PIB (Produto Interno Bruto) per capita e o poder de compra da população. Sua variação é de 0 a 1. Valores do IDH próximos de 1 indicam melhores condições de vida. Tentando-se estabelecer uma relação entre o IDH e o consumo de energia per capita nos diversos países, no biênio 1991-1992, obteve-se o gráfico abaixo, onde cada ponto isolado representa um país, e a linha cheia, uma curva de aproximação.
0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
De acordo com essa representação e com os dados da tabela, os pontos indicados por 1, 2, 3 e 4 correspondem, respectivamente, a: a) Io, Europa, Ganimedes e Calisto. b) Ganimedes, Io, Europa e Calisto. c) Europa, Calisto, Ganimedes e Io. d) Calisto, Ganimedes, Io e Europa. e) Calisto, Io, Europa e Ganimedes.
2. Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura: 30
60
Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em centímetros, deve ser: a) 144. b) 180. c) 210. d) 225. e) 240.
3. As sociedades modernas necessitam cada vez mais de energia. Para entender melhor a relação entre desenvolvimento e consumo de energia, procurou-se relacionar o Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) de vários países com o consumo de energia nesses países. Questões do Enem
0
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Consumo de energia per capita (TEP/ capita)*
* TEP: Tonelada equivalente de petróleo. Fonte: Goldemberg, J. Energia, meio ambiente e desenvolvimento. São Paulo: Edusp, 1998.
Com base no gráfico, é correto afirmar que: a) quanto maior o consumo de energia per capita, menor é o IDH. b) os países onde o consumo de energia per capita é menor que 1 TEP não apresentam bons índices de desenvolvimento humano. c) existem países com IDH entre 0,1 e 0,3 com consumo de energia per capita superior a 8 TEP. d) existem países com consumo de energia per capita de 1 TEP e de 5 TEP que apresentam aproximadamente o mesmo IDH, cerca de 0,7. e) os países com altos valores de IDH apresentam um grande consumo de energia per capita (acima de 7 TEP).
4. Um boato tem um público-alvo e alastra-se com de-
terminada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: R(x) kx(P x), em que k é uma constante positiva característica do boato.
443
O gráfico cartesiano que melhor representa a função R(x), para x real, é: a)
R
d) R
Considerando esses dados, a pesca do pacu deve ser autorizada para espécimes com peso de, no mínimo: a) 4 kg. c) 7 kg. e) 11 kg. b) 5 kg. d) 9 kg.
2. O gráfico a seguir mostra a porcentagem da força de x
x
b) R
e) R
trabalho brasileira em 40 anos, com relação aos setores agrícola, de serviços e industrial/mineral. 70
1940
1960
1980
x
x
c) R
Porcentagem
60 50 Agricultura
40
Serviços Indústria/ mineração
30 20 10
x
5. Uma companhia de seguros levantou dados sobre os
carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é: a) 20. b) 30. c) 40. d) 50. e) 60.
2001
1. A pesca não predatória pressupõe que cada peixe
retirado de seu habitat já tenha procriado pelo menos uma vez. Para algumas espécies, isso ocorre depois de os peixes apresentarem a máxima variação anual de seu peso. O controle de pesca no Pantanal é feito com base no peso de cada espécie. A tabela fornece o peso do pacu, uma dessas espécies, em cada ano. Idade (anos) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
444
Peso (kg) 1,1 1,7 2,6 3,9 5,1 6,1 7 7,8 8,5 8,9 9,1 9,3 9,4
0
A leitura do gráfico permite constatar que: a) Em 40 anos, o Brasil deixou de ser essencialmente agrícola para se tornar uma sociedade quase que exclusivamente industrial. b) A variação da força de trabalho agrícola foi mais acentuada no período de 1940 a 1960. c) Por volta de 1970, a força de trabalho agrícola tornou- -se equivalente à indústria e à mineração. d) Em 1980, metade dos trabalhadores brasileiros constituía a força de trabalho do setor agrícola. e) De 1960 a 1980, foi equivalente o crescimento percentual de trabalhadores nos setores industrial/mineral e de serviços.
3. A padronização insuficiente e a ausência de controle na fabricação podem também resultar em perdas significativas de energia através das paredes da geladeira. Essas perdas, em função da espessura das paredes, para geladeiras e condições de uso típicas, são apresentadas na tabela. Espessura das paredes (cm)
Perda térmica mensal (kWh)
2
65
4
35
6
25
10
15
Considerando uma família típica, com consumo médio mensal de 200 kWh, a perda térmica pelas paredes de uma geladeira com 4 cm de espessura, relativamente a outra de 10 cm, corresponde a uma porcentagem do consumo total de eletricidade da ordem de: a) 30%. c) 10%. e) 1%. b) 20%. d) 5%. Matemática
Emissão média de CO (g/km)
2002 1. O excesso de peso pode prejudicar o desempenho de um atleta profissional em corridas de longa distância como a maratona (42,2 km), a meia maratona (21,1 km) ou uma prova de 10 km. Para saber uma aproximação do intervalo de tempo a mais perdido para completar uma corrida devido ao excesso de peso, muitos atletas utilizam os dados apresentados na tabela e no gráfico: Altura (m)
Peso ideal para atleta masculino de ossatura grande, corredor de longa distância (kg)
1,57
56,9
1,58
57,4
1,59
58,0
1,60
58,5
:
:
15 10
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
3. No gráfico estão representados os gols marcados e os
gols sofridos por uma equipe de futebol nas dez primeiras partidas de um determinado campeonato. Número de gols
Prova de 10 km Peso acima do ideal (kg) 1
Usando essas informações, um atleta de ossatura grande, pesando 63 kg e com altura igual a 1,59 m, que tenha corrido uma meia maratona, pode estimar que, em condições de peso ideal, teria melhorado seu tempo na prova em: a) 0,32 minuto. d) 2,68 minutos. b) 0,67 minuto. e) 3,35 minutos. c) 1,60 minuto. e o gráfico, a emissão média do poluente monóxido de carbono (em g/km) por veículo da frota, na região metropolitana de São Paulo, no período de 1992 a 2000. Ano
Frota a álcool (em milhares)
Frota a gasolina (em milhares)
1992
1 250
2 500
1993
1 300
2 750
1994
1 350
3 000
1995
1 400
3 550
1996
1 350
3 700
1997
1 250
3 950
1998
1 200
4 100
1999
1 100
4 400
2000
1 050
4 800
6
Gols marcados Gols sofridos
5 4 3 2 1
4
/3
1/
/3
25
3
/3
18
11
/2
4/
/2
25
2
/2
18
11
4/
28
/1
0
Data da partida
Considerando que, neste campeonato, as equipes ganham 3 pontos para cada vitória, 1 ponto por empate e 0 ponto em caso de derrota, a equipe em questão, ao final da décima partida, terá acumulado um número de pontos igual a: a) 15. b) 17. c) 18. d) 20. e) 24.
2. A tabela mostra a evolução da frota de veículos leves,
Questões do Enem
20
Comparando-se a emissão média de monóxido de carbono dos veículos a gasolina e a álcool, pode-se afirmar que: I) no transcorrer do período 1992-2000, a frota a álcool emitiu menos monóxido de carbono. II) em meados de 1997, o veículo a gasolina passou a poluir menos que o veículo a álcool. III) o veículo a álcool passou por um aprimoramento tecnológico. É correto o que se afirma apenas em: a) I. b) I e II. c) II. d) III. e) II e III.
Meia maratona
0,32
25
Adaptado de: Cetesb: relatório do ano 2000.
1,33
0,67
30
Ano
Tempo Peso (modelo Wilmore e Benke) Tempo perdido (minutos) Maratona
Gasolina Álcool
4. Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras:
Figura 1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano.
445
Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há falhas ou superposição).
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Nome
Figura
Ângulo interno
Triângulo
60°
Quadrado
90°
Pentágono
108°
Hexágono
120°
Octógono
135°
Eneágono
140°
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um: a) triângulo. d) hexágono. b) quadrado. e) eneágono. c) pentágono.
TPP tempo de exposição mínima para produção de vermelhidão na pele protegida (em minutos). TPD tempo de exposição mínima para produção de vermelhidão na pele desprotegida (em minutos). O FPS mínimo que uma pessoa de pele tipo II necessita para evitar queimaduras ao se expor ao sol, considerando TPP o intervalo das 12:00 às 14:00h, num dia em que a irradiância efetiva é maior que 8, de acordo com os dados fornecidos, é: a) 5. c) 8. e) 20. b) 6. d) 10.
6. Um estudo realizado com 100 indivíduos que abastecem seu carro uma vez por semana em um dos postos X, Y ou Z mostrou que: • 45 preferem X a Y e Y a Z. • 25 preferem Y a Z e Z a X. • 30 preferem Z a Y e Y a X. Se um dos postos encerrar suas atividades, e os 100 consumidores continuarem se orientando pelas preferências descritas, é possível afirmar que a liderança de preferência nunca pertencerá a: a) X. c) Z. e) Y ou Z. b) Y. d) X ou Y.
7. Em uma reportagem sobre crescimento da população brasileira, uma revista de divulgação científica publicou tabela com a participação relativa de grupos etários na população brasileira, no período de 1970 a 2050 (projeção), em três faixas de idade: abaixo de 15 anos; entre 15 e 65 anos; e acima de 65 anos. 69,7 54,8 42,1 31,8 21,5
5. Os níveis de irradiância ultravioleta efetiva (IUV) indi-
cam o risco de exposição ao sol para pessoas de pele do tipo II — pele de pigmentação clara. O tempo de exposição segura (TES) corresponde ao tempo de exposição aos raios solares sem que ocorram queimaduras de pele. A tabela mostra a correlação entre riscos de exposição, IUV e TES. Riscos de exposição
IUV
TES (em minutos)
Baixo
0a2
máximo 60
Médio
3a5
30 a 60
Alto
6a8
20 a 30
Extremo
acima de 8
máximo 20
Uma das maneiras de se proteger contra queimaduras provocadas pela radiação ultravioleta é o uso dos cremes protetores solares, cujo Fator de Proteção Solar (FPS) é calculado da seguinte maneira: FPS
446
TPP TPD
64,4
63,3
3,1 1970
4,9
17,2
18,4
8,8
1995 2000 2050 População abaixo de 15 anos População entre 15 e 65 anos População acima de 65 anos
Admitindo-se que o título da reportagem se refira ao grupo etário cuja população cresceu sempre, ao longo do período registrado, um título adequado poderia ser: a) “O Brasil de fraldas”. b) “Brasil: ainda um país de adolescentes”. c) “O Brasil chega à idade adulta”. d) “O Brasil troca a escola pela fábrica”. e) “O Brasil de cabelos brancos”.
8. Os números e cifras envolvidos, quando lidamos com dados sobre produção e consumo de energia em nosso país, são sempre muito grandes. Apenas no setor residencial, em um único dia, o consumo de energia elétrica é da ordem de 200 mil MWh. Para avaliar esse consumo, imagine uma situação em que o Brasil não Matemática
O Protocolo de Kyoto prevê que os países industrializados reduzam suas emissões de CO2 até 2012 em 5,2%, em relação aos níveis de 1990. Adaptado de: Folha de S.Paulo, 11/4/2001.
O gráfico mostra o total de CO2 emitido nos últimos 50 anos por alguns países, juntamente com os valores de emissão máxima de CO2 por habitante no ano de 1999. Emissão anual máxima por habitante (tonelada) Total de emissões de CO2 desde 1950 (bilhões de t)
dispusesse de hidrelétricas e tivesse de depender somente de termoelétricas, onde cada quilograma de carvão, ao ser queimado, permite obter uma quantidade de energia da ordem de 10 kWh. Considerando que um caminhão transporta, em média, 10 toneladas de carvão, a quantidade de caminhões de carvão necessária para abastecer as termoe- létricas, a cada dia, seria da ordem de: a) 20. c) 1 000. e) 10 000. b) 200. d) 2 000.
9. A capa de uma revista de grande circulação trazia a seguinte informação, relativa a uma reportagem daquela edição: “O brasileiro diz que é feliz na cama, mas debaixo dos lençóis 47% não sentem vontade de fazer sexo.” O texto abaixo, no entanto, adaptado da mesma reportagem, mostra que o dado acima está errado. “Outro problema predominantemente feminino é a falta de desejo — 35% das mulheres não sentem nenhuma vontade de ter relações. Já entre os homens, apenas 12% se queixam de falta de desejo.” Considerando que o número de homens na população seja igual ao de mulheres, a porcentagem aproximada de brasileiros que não sentem vontade de fazer sexo, de acordo com a reportagem, é: a) 12%. d) 35%. b) 24%. e) 50%. c) 29%.
10. Considerando que o calendário muçulmano teve início em 622 da era cristã e que cada 33 anos muçulmanos correspondem a 32 anos cristãos, é possível estabelecer uma correspondência aproximada de anos entre os dois calendários, dada por: (C = anos cristãos e M = muçulmanos) M a) C M 622 . 33 C 622 . b) C M 622 32 M c) C M 622 . 33 C 622 . d) C M 622 33 M e) C M 622 . 32
11. Em março de 2001, o presidente dos Estados Unidos da América, George W. Bush, causou polêmica ao contestar o pacto de Kyoto, dizendo que o acordo é prejudicial à economia norte-americana em um momento em que o país passa por uma crise de energia (...). Questões do Enem
200 180
36
160 7
140
2,5
120 100 80 60 40 20 0
0
EUA
China
Austrália
Brasil
Adaptado de: revista Veja, 18/4/2001.
Dados populacionais aproximados (número de habitantes): • EUA: 240 milhões • Brasil: 160 milhões Se o Brasil mantivesse constante a sua população e o seu índice anual máximo de emissão de CO2, o tempo necessário para o Brasil atingir o acumulado atual dos EUA seria, aproximadamente, igual a: a) 60 anos. d) 850 anos. b) 230 anos. e) 1340 anos. c) 460 anos.
2003 1. Visando adotar um sistema de reutilização de água, uma indústria testou cinco sistemas com diferentes fluxos de entrada de água suja e fluxos de saída de água purificada. Sistema Sistema Sistema Sistema Sistema I II III IV V Fluxo de entrada 45 L/h (água suja)
40 L/h
40 L/h
20 L/h
20 L/h
Fluxo de saída (água purificada)
10 L/h
5 L/h
10 L/h
5 L/h
15 L/h
Supondo que o custo por litro de água purificada seja o mesmo, obtém-se maior eficiência na purificação por meio do sistema: a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.
447
2. Dados divulgados pelo Instituto Nacional de Pesquisas
3. A eficiência do fogão de cozinha pode ser analisada em relação ao tipo de energia que ele utiliza. O gráfico abaixo mostra a eficiência de diferentes tipos de fogão. Eficiência do fogão (%)
70 60 40 30 20 10 Fogões a lenha
Fogões a carvão
Fogões a querosene
Fogões a gás
Fogões elétricos
Pode-se verificar que a eficiência dos fogões aumenta: a) à medida que diminui o custo dos combustíveis. b) à medida que se passam a empregar combustíveis renováveis. c) cerca de duas vezes, quando se substitui fogão a lenha por fogão a gás. d) cerca de duas vezes, quando se substitui fogão a gás por fogão elétrico. e) quando são utilizados combustíveis sólidos.
448
em uma certa avenida movimentada foi avaliada por uma empresa. Os resultados mostraram que, em média: • passam, por dia, 30 000 motoristas em frente ao painel eletrônico; • 40% dos motoristas que passam observam o painel; • um mesmo motorista passa três vezes por semana pelo local. Segundo os dados acima, se um anúncio de um produto ficar exposto durante sete dias nesse painel, é esperado que o número mínimo de motoristas diferentes que terão observado o painel seja: a) 15 000. c) 42 000. e) 84 000. b) 28 000. d) 71 000.
5. O tempo que um ônibus gasta para ir do ponto inicial
ao ponto final de uma linha varia, durante o dia, conforme as condições de trânsito, demorando mais nos horários de maior movimento. A empresa que opera essa linha forneceu, no gráfico abaixo, o tempo médio de duração da viagem conforme o horário de saída do ponto inicial, no período da manhã. Tempo do percurso (minutos) 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
Horário de saída
De acordo com as informações do gráfico, um passageiro que necessita chegar até às 10h 30min ao ponto final dessa linha deve tomar o ônibus no ponto inicial, no máximo, até às: a) 9h 20min. c) 9h 00min. e) 8h 50min. b) 9h 30min. d) 8h 30min.
6. João e Antônio utilizam os ônibus da linha menciona-
50
0
4. A eficiência de anúncios num painel eletrônico localizado
11:00 10:50 10:40 10:30 10:20 10:10 10:00 9:50 9:40 9:30 9:20 9:10 9:00 8:50 8:40 8:30 8:20 8:10 8:00 7:50 7:40 7:30 7:20 7:10 7:00 6:50 6:40 6:30 6:20 6:10 6:00
Espaciais mostraram o processo de devastação sofrido pela região Amazônica entre agosto de 1999 e agosto de 2000. Analisando fotos de satélites, os especialistas concluíram que, nesse período, sumiu do mapa um total de 20 000 quilômetros quadrados de floresta. Um ór- gão de imprensa noticiou o fato com o seguinte texto: “O assustador ritmo de destruição é de um campo de futebol a cada oito segundos.” Considerando que um ano tem aproximadamente 32 106 s (trinta e dois milhões de segundos) e que a medida da área oficial de um campo de futebol é aproximadamente 102 km2 (um centésimo de quilômetro quadrado), as informações apresentadas nessa notícia permitem concluir que tal ritmo de desmatamento, em um ano, implica a destruição de uma área de: a) 10 000 km2, e a comparação dá a ideia de que a devastação não é tão grave quanto o dado numérico nos indica. b) 10 000 km2, e a comparação dá a ideia de que a devastação é mais grave do que o dado numérico nos indica. c) 20 000 km2, e a comparação retrata exatamente o ritmo da destruição. d) 40 000 km2, e o autor da notícia exagerou na comparação, dando a falsa impressão de gravidade a um fenômeno natural. e) 40 000 km2 e, ao chamar a atenção para um fato realmente grave, o autor da notícia exagerou na comparação.
da na questão anterior para ir trabalhar, no período considerado no gráfico, nas seguintes condições: • trabalham vinte dias por mês; • João viaja sempre no horário em que o ônibus faz o trajeto no menor tempo; • Antônio viaja sempre no horário em que o ônibus faz o trajeto no maior tempo; • na volta do trabalho, ambos fazem o trajeto no mesmo tempo de percurso. Considerando-se a diferença de tempo de percurso, Antônio gasta, por mês, em média: a) 5 horas a mais que João. b) 10 horas a mais que João. c) 20 horas a mais que João. d) 40 horas a mais que João. e) 60 horas a mais que João. Matemática
7. Na literatura de cordel, os textos são impressos,
15,5 cm
em geral, com 8, 16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5 cm 3 15,5 cm. As razões históricas que explicam tal fato estão relacionadas à forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor aproveitamento possível do papel disponível. Considere, abaixo, a confecção de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas):
bebida alcoólica. A ingestão de uma lata de cerveja provoca uma concentração de aproximadamente 0,3 g/L de álcool no sangue. A tabela abaixo mostra os efeitos sobre o corpo humano provocados por bebidas alcoólicas em função de níveis de concentração de álcool no sangue: Concentração de álcool no sangue (g/L)
Efeitos
0,1 – 0,5
Sem influência aparente, ainda que com alterações clínicas.
0,3 – 1,2
Euforia suave, sociabilidade acentuada e queda da atenção.
0,9 – 2,5
Excitação, perda de julgamento crítico, queda da sensibilidade e das reações motoras.
1,8 – 3,0
Confusão mental e perda da coordenação motora.
2,7 – 4,0
Estupor, apatia, vômitos e desequilíbrio ao andar.
10,5 cm
Utilizando o processo descrito acima, pode-se produzir um exemplar de cordel com 32 páginas de 10,5 cm 15,5 cm, com o menor gasto possível de material, utilizando uma única folha de: a) 84 cm 62 cm. d) 42 cm 62 cm. b) 84 cm 124 cm. e) 21 cm 31 cm. c) 42 cm 31 cm.
8. Os alunos de uma escola organizaram um torneio individual de pingue-pongue nos horários dos recreios, disputado por 16 participantes, segundo o esquema abaixo: Jogo 1 Jogo 9
3,5 – 5,0
Coma e morte possível. (Revista Pesquisa Fapesp, no 57, set. 2000.)
Uma pessoa que tenha tomado três latas de cerveja provavelmente apresenta: a) queda de atenção, de sensibilidade e das reações motoras. b) aparente normalidade, mas com alterações clínicas. c) confusão mental e falta de coordenação motora. d) disfunção digestiva e desequilíbrio ao andar. e) estupor e risco de parada respiratória.
10. Após a ingestão de bebidas alcoólicas, o metabolismo
Jogo 2 Jogo 13 Jogo 3 Jogo 10 Jogo 4
Jogo 15 (final)
Jogo 5 Jogo 11 Jogo 6 Jogo 14
do álcool e sua presença no sangue dependem de fatores como peso corporal, condições e tempo após a ingestão. O gráfico mostra a variação da concentração de álcool no sangue de indivíduos de mesmo peso que beberam três latas de cerveja cada um, em diferentes condições: em jejum e após o jantar.
Jogo 7 Jogo 12
g/L
Jogo 8
9. Os acidentes de trânsito, no Brasil, em sua maior parte são causados por erro do motorista. Em boa parte deles, o motivo é o fato de dirigir após o consumo de
Questões do Enem
1,0 0,9 Álcool no sangue
Foram estabelecidas as seguintes regras: • Em todos os jogos, o perdedor será eliminado. • Ninguém poderá jogar duas vezes no mesmo dia. • Como há cinco mesas, serão realizados, no máximo, 5 jogos por dia. Com base nesses dados, é correto afirmar que o número mínimo de dias necessário para se chegar ao campeão do torneio é: a) 8. b) 7. c) 6. d) 5. e) 4.
Ingestão de álcool
em jejum
0,8
após o jantar
0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
Horas 1 2 3 4 5 6 Tempo após ingestão
7
(Revista Pesquisa Fapesp, no 57, set. 2000.).
449
Tendo em vista que a concentração máxima de álcool no sangue permitida pela legislação brasileira para motoristas é 0,6 g/L, o indivíduo que bebeu após o jantar e o que bebeu em jejum só poderão dirigir após, aproximadamente: a) uma hora e uma hora e meia, respectivamente. b) três horas e meia hora, respectivamente. c) três horas e quatro horas e meia, respectivamente. d) seis horas e três horas, respectivamente. e) seis horas, igualmente.
2004 1. As Olimpíadas são uma oportunidade para o congra-
çamento de um grande número de países, sem discriminação política ou racial, ainda que seus resultados possam refletir características culturais, socioeconômicas e étnicas. Em 2000, nos Jogos Olímpicos de Sydney, o total de 300 medalhas de ouro conquistadas apresentou a seguinte distribuição entre os 196 países participantes, como mostra o gráfico. Distribuição das Medalhas de Ouro Olimpíadas de Sydney – 2000
250
Nas últimas cinco Olimpíadas, esse aumento ocorreu devido ao crescimento da participação de: a) homens e mulheres, na mesma proporção. b) homens, pois a de mulheres vem diminuindo a cada Olimpíada. c) homens, pois a de mulheres praticamente não se alterou. d) mulheres, pois a de homens vem diminuindo a cada Olimpíada. e) mulheres, pois a de homens praticamente não se alterou.
3. Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere- -se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a: a) uma volta completa. d) duas voltas e meia. b) uma volta e meia. e) cinco voltas completas. c) duas voltas completas.
4. A produção agrícola brasileira evoluiu, na última dé-
Número de medalhas
EUA
Rússia
China
40
32
28
Austrália Alemanha Outros 16
13
171
Esses resultados mostram que, na distribuição das medalhas de ouro em 2000: a) cada país participante conquistou pelo menos uma. b) cerca de um terço foi conquistado por apenas três países. c) os cinco países mais populosos obtiveram os melhores resultados. d) os cinco países mais desenvolvidos obtiveram os melhores resultados. e) cerca de um quarto foi conquistado pelos Estados Unidos.
2. O número de atletas nas Olimpíadas vem aumentan-
do nos últimos anos, como mostra o gráfico. Mais de 10 000 atletas participaram dos Jogos Olímpicos de Sydney em 2000.
Número de atletas
12 000 9 421 9 364
10 000
6 000 4 000 2 000
7 932
7 247
8 000
6 085 5 353
5 348 5 140 5 531 5 848 4 738 4 457 4 750 610
683
781
10 624 10 321
6 434 6 983 6 659 7 075 6 416 3 549 3 905
4 834 4 265 2 438 2 705 1 299 1 251 1 088 1 498
0 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000
Total Homens Mulheres
450
Ano
Milhões de toneladas
0
cada, de forma diferenciada. No caso da cultura de grãos, por exemplo, verifica-se nos últimos anos um crescimento significativo da produção da soja e do milho, como mostra o gráfico. 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
Soja
Milho
Arroz
Feijão
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
(Ministério de Agricultura e Produção Agropecuária.)
Pelos dados do gráfico é possível verificar que, no período considerado: a) a produção de alimentos básicos dos brasileiros cresceu muito pouco. b) a produção de feijão foi a maior entre as diversas culturas de grãos. c) a cultura do milho teve taxa de crescimento superior à da soja. d) as culturas voltadas para o mercado mundial decresceram. e) as culturas voltadas para a produção de ração animal não se alteraram.
5.
VENDEDORES JOVENS Fábrica de LONAS – Vendas no Atacado 10 vagas para estudantes, 18 a 20 anos, sem experiência. Salário: R$ 300,00 fixo + comissão de R$ 0,50 por m2 vendido. Contato: 0xx97-43421167 ou
[email protected] Matemática
Na seleção para as vagas desse anúncio, feita por telefone ou correio eletrônico, propunha-se aos candidatos uma questão a ser resolvida na hora. Deveriam calcular seu salário no primeiro mês, se vendessem 500 m de tecido com largura de 1,40 m, e no segundo mês, se vendessem o dobro. Foram bem-sucedidos os jovens que responderam, respectivamente: a) R$ 300,00 e R$ 500,00. b) R$ 550,00 e R$ 850,00. c) R$ 650,00 e R$ 1 000,00. d) R$ 650,00 e R$ 1 300,00. e) R$ 950,00 e R$ 1 900,00.
erro algum tempo depois, quando vários clientes já estavam almoçando. Ela fez alguns cálculos e verificou que o erro seria corrigido se o valor incorreto indicado na nota dos clientes fosse multiplicado por: a) 0,54. b) 0,65. c) 0,70. d) 1,28. e) 1,42.
8. As “margarinas” e os chamados “cremes vegetais” são
produtos diferentes, comercializados em embalagens quase idênticas. O consumidor, para diferenciar um produto do outro, deve ler com atenção os dizeres do rótulo, geralmente em letras muito pequenas. As figuras que seguem representam rótulos desses dois produtos.
6. Em uma fábrica de equipamentos eletrônicos, cada componente, ao final da linha de montagem, é submetido a um rigoroso controle de qualidade, que mede o desvio percentual (D) de seu desempenho em relação a um padrão ideal. O fluxograma a seguir descreve, passo a passo, os procedimentos executados por um computador para imprimir um selo em cada componente testado, classificando-o de acordo com o resultado do teste: Início
D 5,0%?
Não
Sim Entrar D
Escolher a cor vermelha Escrever "Rejeitado"
D 3,0%?
Não Escolher a cor azul
D 1,0%?
Sim Escolher a cor amarela Escrever “3· Classe”
Não Escrever "1· Classe"
Sim Escrever "2· Classe"
Imprimir selo
Fim
Os símbolos usados no fluxograma têm os seguintes significados:
Entrada e saída de dados
Decisão (testa uma condição, executando operações diferentes caso essa condição seja verdadeira ou falsa)
Operação
65% de lipídios
35% de lipídios
Valor energético por porção de 10 g: 59 Kcal
Valor energético por porção de 10 g: 32 Kcal Não recomendado para uso culinário
Uma função dos lipídios no preparo das massas alimentícias é torná-las mais macias. Uma pessoa que, por desatenção, use 200 g de creme vegetal para preparar uma massa cuja receita pede 200 g de margarina, não obterá a consistência desejada, pois estará utilizando uma quantidade de lipídios que é, em relação à recomendada, aproximadamente: a) o triplo. d) um terço. b) o dobro. e) um quarto. c) a metade.
9. Para medir o perfil de um terreno, um mestre de obras utilizou duas varas (VI e VII), iguais e igualmente graduadas em centímetros, às quais foi acoplada uma mangueira plástica transparente, parcialmente preenchida por água (figura abaixo). Ele fez 3 medições que permitiram levantar o perfil da linha que contém, em sequência, os pontos P1, P2, P3 e P4. Em cada medição, colocou as varas em dois diferentes pontos e anotou suas leituras na tabela a seguir. A figura representa a primeira medição entre P1 e P2. VII VI
Segundo essa rotina, se D 1,2%, o componente receberá um selo com a classificação: a) “Rejeitado”, impresso na cor vermelha. b) “3· classe”, impresso na cor amarela. c) “3· classe”, impresso na cor azul. d) “2· classe”, impresso na cor azul. e) “1· classe”, impresso na cor azul.
7. Em quase todo o Brasil existem restaurantes em que o cliente, após se servir, pesa o prato de comida e paga o valor correspondente, registrado na nota pela balança. Em um restaurante desse tipo, o preço do quilo era R$ 12,80. Certa vez a funcionária digitou por engano na balança eletrônica o valor R$ 18,20 e só percebeu o Questões do Enem
Peso Líquido 500 g CREME VEGETAL
500 g MARGARINA
Peso Líquido
nível de água na mangueira
239
164 ??
P1
P2
Vara I Medição
Ponto
(terreno fora de escala) P3 P4
Vara II
Leitura LII Leitura LI Ponto (cm) (cm)
1a 2a
P1 P2
239 189
P2 P3
164 214
3
P3
229
P4
174
a
Diferença (LI LII) (cm)
75 25 55
451
Ao preencher completamente a tabela, o mestre de obras determinou o seguinte perfil para o terreno: a) d)
P1
P2
P3
b)
P1
P1
P4
P2
P3
P2
P3
P4
e)
12. Uma pesquisa sobre orçamentos familiares, realizada
P1
P4
P2
P3
P4
c)
P1
P2
P3
P4
10. Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 m de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. Média
Pequena
2m
Grande
2m
Área do círculo: πr2 As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que: a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III. c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III. e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.
11. Antes de uma eleição para prefeito, certo instituto
realizou uma pesquisa em que foi consultado um número significativo de eleitores, dos quais 36% responderam que iriam votar no candidato X; 33%, no candidato Y; e 31%, no candidato Z. A margem de erro estimada para cada um desses valores é de 3% para mais ou para menos. Os técnicos do instituto concluí ram que, se confirmado o resultado da pesquisa: a) apenas o candidato X poderia vencer e, nesse caso, teria 39% do total de votos.
452
b) apenas os candidatos X e Y teriam chances de vencer. c) o candidato Y poderia vencer com uma diferença de até 5% sobre X. d) o candidato Z poderia vencer com uma diferença de, no máximo, 1% sobre X. e) o candidato Z poderia vencer com uma diferença de até 5% sobre o candidato Y. recentemente pelo IBGE, mostra alguns itens de despesa na distribuição de gastos de dois grupos de famílias com rendas mensais bem diferentes. Tipo de despesa
Renda até R$ 400,00
Renda maior ou igual a R$ 6 000,00
Habitação
37%
23%
Alimentação
33%
9%
Transporte
8%
17%
Saúde
4%
6%
Educação
0,3%
5%
Outros
17,7%
40%
Considere duas famílias com rendas de R$ 400,00 e R$ 6 000,00, respectivamente, cujas despesas variam de acordo com os valores das faixas apresentadas. Nesse caso, os valores, em R$, gastos com alimentação pela família de maior renda, em relação aos da família de menor renda, são, aproximadamente: a) dez vezes maiores. d) três vezes menores. b) quatro vezes maiores. e) nove vezes menores. c) equivalentes.
13. Já são comercializados no Brasil veículos com motores que podem funcionar com o chamado combustível flexível, ou seja, com gasolina ou álcool em qualquer proporção. Uma orientação prática para o abastecimento mais econômico é que o motorista multiplique o preço do litro da gasolina por 0,7 e compare o resultado com o preço do litro de álcool. Se for maior, deve optar pelo álcool. A razão dessa orientação deve-se ao fato de que, em média, se com um certo volume de álcool o veículo roda dez quilômetros, com igual volume de gasolina rodaria cerca de: a) 7 km. c) 14 km. e) 20 km. b) 10 km. d) 17 km.
14. “As empresas querem a metade das pessoas trabalhando o dobro para produzir o triplo.”
(Revista Você S/A, 2004.)
Preocupado em otimizar seus ganhos, um empresário encomendou um estudo sobre a produtividade de seus funcionários nos últimos quatro anos, entendida por ele, de forma simplificada, como a relação direta entre seu lucro anual (L) e o número de operários envolvidos na produção (n). Do estudo, resultou o gráfico a seguir: Matemática
L n
n
R$ 100,00 45
20 20
40
45 40
40
35
16
30
16 14
25 20
18
12 12 20 2000
Produtividade
2001 L n
2002
10 2003
10
Número de operários (n)
Ao procurar, no gráfico, uma relação entre seu lucro, produtividade e número de operários, o empresário concluiu que a maior produtividade ocorreu em 2002, e o maior lucro: a) em 2000, indicando que, quanto maior o número de operários trabalhando, maior é o seu lucro. b) em 2001, indicando que a redução do número de operários não significa necessariamente o aumento dos lucros. c) também em 2002, indicando que lucro e produtividade mantêm uma relação direta que independe do número de operários. d) em 2003, devido à significativa redução de despesas com salários e encargos trabalhistas de seus operários. e) tanto em 2001 como em 2003, o que indica não haver relação significativa entre lucro, produtividade e número de operários.
15. Comprimam-se todos os 4,5 bilhões de anos de tempo geológico em um só ano. Nesta escala, as rochas mais antigas reconhecidas datam de março. Os seres vivos apareceram inicialmente nos mares, em maio. As plantas e animais terrestres surgiram no final de novembro. (Don L. Eicher, Tempo Geológico)
dezembro. Nessa mesma escala, Pedro Álvares Cabral chegou ao Brasil também no mês de dezembro, mais precisamente na: a) manhã do dia 01. b) tarde do dia 10. c) noite do dia 15. d) tarde do dia 20. e) noite do dia 31.
2005 1. No gráfico abaixo, mostra-se como variou o valor do dólar, em relação ao real, entre o final de 2001 e o início de 2005. Por exemplo, em janeiro de 2002, um dólar valia cerca de R$ 2,40. 4.00 3.60 3.20 2.80 2.40 2.00 1.60 1.20
jan. 2002
jan. 2003
jan. 2004
jan. 2005
(Fonte: Banco Central do Brasil.)
Durante esse período, a época em que o real esteve mais desvalorizado em relação ao dólar foi no: a) final de 2001. b) final de 2002. c) início de 2003. d) final de 2004. e) início de 2005.
2. A água é um dos componentes mais importantes das células. A tabela abaixo mostra como a quantidade de água varia em seres humanos, dependendo do tipo de célula. Em média, a água corresponde a 70% da composição química de um indivíduo normal.
Meses
(em milhões de anos)
Jan.
4 500
Fev.
4 125
Tipo de célula
Quantidade de água
Mar.
3 750
Tecido nervoso – substância cinzenta
85%
Abr.
3 375
Tecido nervoso – substância branca
70%
Maio
3 000
Medula óssea
75%
Jun.
2 625
Tecido conjuntivo
60%
Jul.
2 250
Tecido adiposo
15%
Ago.
1 875
Hemácias
65%
Set.
1 500
Ossos (sem medula)
20%
Out.
1 125
Nov.
750
Dez.
375
Na escala de tempo acima, o sistema solar surgiu no início de janeiro e vivemos hoje à meia-noite de 31 de Questões do Enem
(Fonte: L. C. Junqueira e J. Carneiro. Histologia Básica. 8. ed. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 1985.)
Durante uma biópsia, foi isolada uma amostra de tecido para análise em um laboratório. Enquanto intacta, essa amostra pesava 200 mg. Após secagem em estufa, quando se retirou toda a água do tecido, a
453
4. Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D
estão dispostas como vértices de um quadrado de 40 km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D. A nova estação deve ser localizada: a) no centro do quadrado. b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada. c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada. d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, oposto a essa base. e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.
5. Quando um reservatório de água é agredido ambien-
talmente por poluição de origem doméstica ou industrial, uma rápida providência é fundamental para diminuir os danos ecológicos. Como o monitoramento constante dessas águas demanda aparelhos caros e testes demorados, cientistas têm se utilizado de biodetectores, como peixes que são colocados em gaiolas dentro da água, podendo ser observados periodicamente. Para testar a resistência de três espécies de peixes, cientistas separaram dois grupos de cada espécie, cada um com cem peixes, totalizando seis grupos. Foi, então, adicionada a mesma quantidade de poluentes de origem doméstica e industrial, em separado. Durante o período de 24 horas, o número de indivíduos passou a ser contado de hora em hora. Os resultados são apresentados a seguir:
454
Número de peixes
lina ou o álcool nos veículos automotores. Nas grandes cidades, essa possibilidade tem sido explorada, principalmente, pelos táxis, que recuperam em um tempo relativamente curto o investimento feito com a conversão por meio da economia proporcionada pelo uso do gás natural. Atualmente, a conversão para gás natural do motor de um automóvel que utiliza a gasolina custa R$ 3 000,00. Um litro de gasolina permite percorrer cerca de 10 km e custa R$ 2,20, enquanto um metro cúbico de GNV permite percorrer cerca de 12 km e custa R$ 1,10. Desse modo, um taxista que percorra 6 000 km por mês recupera o investimento da conversão em aproximadamente: a) 2 meses. d) 8 meses. b) 4 meses. e) 10 meses. c) 6 meses.
100
50
0
Tempo (24 horas)
Com poluentes domésticos Com poluentes industriais
Espécie II 100
Número de peixes
3. O gás natural veicular (GNV) pode substituir a gaso-
Espécie I
50
0
Tempo (24 horas)
Espécie III 100
Número de peixes
amostra passou a pesar 80 mg. Baseado na tabela, pode-se afirmar que essa é uma amostra de: a) tecido nervoso – substância cinzenta. b) tecido nervoso – substância branca. c) hemácias. d) tecido conjuntivo. e) tecido adiposo.
50
0
Tempo (24 horas)
Pelos resultados obtidos, a espécie de peixe mais indicada para ser utilizada como detectora de poluição, a fim de que sejam tomadas providências imediatas, seria: a) a espécie I, pois sendo menos resistente à poluição, morreria mais rapidamente após a contaminação. b) a espécie II, pois sendo a mais resistente, haveria mais tempo para testes. c) a espécie III, pois como apresenta resistência diferente à poluição doméstica e industrial, propicia estudos posteriores. Matemática
d) as espécies I e III juntas, pois tendo resistência semelhante em relação à poluição permitem comparar resultados. e) as espécies II e III juntas, pois como são pouco tolerantes à poluição, propiciam um rápido alerta.
6. Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas quadradas brancas e pretas, segundo o padrão representado abaixo, que vai ser repetido em toda a extensão do pátio. As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro quadrado e as de cor preta, R$ 10,00. O custo por metro quadrado do revestimento será de: a) R$ 8,20. b) R$ 8,40. c) R$ 8,60. d) R$ 8,80. e) R$ 9,00.
assim por diante, sempre alternando multiplicações por 1 e por 2. • soma-se 1 a cada um dos resultados dessas multiplicações que for maior do que ou igual a 10. • somam-se os resultados obtidos. • calcula-se o resto da divisão dessa soma por 10, obtendo-se assim o dígito verificador. O dígito de verificação fornecido pelo processo acima para o número 24685 é: a) 1. b) 2. c) 4. d) 6. e) 8.
2006 Leia o texto abaixo para responder às questões 1 e 2.
7. Em um estudo feito pelo Instituto Florestal, foi possível acompanhar a evolução de ecossistemas paulistas desde 1962. Desse estudo publicou-se o Inventário Florestal de São Paulo, que mostrou resultados de décadas de transformações da mata Atlântica.
Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa de crescimento populacional em quase todos os continentes. A seguir, são apresentados dados relativos aos países mais populosos em 2000 e também as projeções para 2050. 1400
1275
1200
1008
1000 Área de Vegetação Natural (em mil km )
Países mais populosos em 2000 (em milhões de habitantes)
2
800
72,6
600 43,9 33,3
34,6
400
283
200 1962-1963
1971-1973
1990-1992
2000-2001
China
Índia
EUA
212
Indonésia
170 Brasil
(Fonte: Pesquisa. 91, São Paulo: Fapesp, set./2003, p. 48.)
Examinando o gráfico da área de vegetação natural remanescente (em mil km2) pode-se inferir que: a) a mata Atlântica teve sua área devastada em 50% entre 1963 e 1973. b) a vegetação natural da mata Atlântica aumentou antes da década de 60, mas reduziu nas décadas posteriores. c) a devastação da mata Atlântica remanescente vem sendo contida desde a década de 60. d) em 2000-2001, a área de mata Atlântica preservada em relação ao período de 1990-1992 foi de 34,6%. e) a área preservada da mata Atlântica nos anos 2000 e 2001 é maior do que a registrada no período de 1990-1992.
8. Os números de identificação utilizados no cotidiano
(de contas bancárias, de CPF, de Carteira de Identidade, etc.) usualmente possuem um dígito de verificação, normalmente representado após o hífen, como em 17326-9. Esse dígito adicional tem a finalidade de evitar erros no preenchimento ou digitação de documentos. Um dos métodos usados para gerar esse dígito utiliza os seguintes passos: • multiplica-se o último algarismo do número por 1, o penúltimo por 2, o antepenúltimo por 1, e
Questões do Enem
1800 1600
1572
Países mais populosos - previsão para 2050 (em milhões de habitantes) 1462
1400 1200 1000 800 600 397
400
344
311
200 Índia
China
EUA
Paquistão Indonésia
Fonte:
1. Com base nas informações dos gráficos, é correto afirmar que, no período de 2000 a 2050: a) a taxa de crescimento populacional da China será negativa. b) a população do Brasil duplicará. c) a taxa de crescimento da população da Indonésia será menor que a dos EUA. d) a população do Paquistão crescerá mais de 100%. e) a China será o país com a maior taxa de crescimento populacional do mundo.
455
2. Com base nas informações dos gráficos mostrados,
suponha que, no período de 2050-2100, a taxa de crescimento populacional da Índia seja a mesma projetada para o período de 2000-2050. Sendo assim, no início do século XXII, a população da Índia, em bilhões de habitantes, será: a) inferior a 2,0. b) superior a 2,0 e inferior a 2,1. c) superior a 2,1 e inferior a 2,2. d) superior a 2,2 e inferior a 2,3. e) superior a 2,3.
3. Os gráficos 1 e 2 a seguir mostram, em milhões de
reais, o total do valor das vendas que uma empresa realizou em cada mês, nos anos de 2004 e 2005. Vendas em 2004
8,0 milhões de reais
7,5 7,0 6,5 6,0
das chamadas que recebe. O controle dessa meta é feito ininterruptamente por um funcionário que utiliza um equipamento de rádio para monitoramento. A cada 100 chamadas, ele registra o número acumulado de chamadas que não foram atendidas em 15 minutos. Ao final de um dia, a cooperativa apresentou o seguinte desempenho: Total acumulado de chamadas Número acumulado de chamadas não atendidas em 15 minutos
11
17
21
24
Esse desempenho mostra que, nesse dia, a meta estabelecida foi atingida: a) nas primeiras 100 chamadas. b) nas primeiras 200 chamadas. c) nas primeiras 300 chamadas. d) nas primeiras 400 chamadas. e) ao final do dia. no caderno Economia & Negócios do jornal O Estado de S. Paulo, em 11/6/2006.
5,0 4,0 J
F
M
A
M
J J meses
A
S
O
N
D
Inflação - acumulado em 12 meses no Brasil e nos EUA, segundo índices de preços ao consumidor
16,00
Em porcentagem
14,00
Vendas em 2005
8,0
EUA - CPI**
Brasil - IPC-FIPE*
Gráf ico1
12,00
7,5 milhões de reais
6
5. O gráfico a seguir foi extraído de matéria publicada
5,5 4,5
10,00
7,0
8,00
6,5
6,00
6,0
3,55
4,00
5,5
2,00
5,0
0
4,5 4,0 J
F
M
A
M
J J meses
A
S
O
N
D
Gráf ico 2
Como mostra o gráfico 1, durante o ano de 2004, houve, em cada mês, crescimento das vendas em relação ao mês anterior. A diretoria dessa empresa, porém, considerou muito lento o ritmo de crescimento naquele ano. Por isso, estabeleceu como meta mensal para o ano de 2005 o crescimento das vendas em ritmo mais acelerado que o de 2004. Pela análise do gráfico 2, conclui-se que a meta para 2005 foi atingida em: a) janeiro, fevereiro e outubro. b) fevereiro, março e junho. c) março, maio e agosto. d) abril, agosto e novembro. e) julho, setembro e dezembro.
4. Uma cooperativa de radiotáxis tem como meta atender, em no máximo 15 minutos, a pelo menos 95%
456
100 200 300 400 482
2,57 2001
2002
2003
2004
2005
2006
* Índice de preços ao Consumidor da FIPE – ** Consumer Price Index Fonte: Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (FIPE).
É título adequado para a matéria jornalística em que esse gráfico foi apresentado: a) Brasil: inflação acumulada em 12 meses menor que a dos EUA. b) Inflação do terceiro mundo supera pela sétima vez a do primeiro mundo. c) Inflação brasileira estável no período de 2001 a 2006. d) Queda no índice de preços ao consumidor no perío do 2001-2005. e) EUA: ataques terroristas causam hiperinflação.
6. No primeiro semestre de 2006, o Movimento Global
pela Criança, em parceria com o Unicef, divulgou o relatório Salvando vidas: o direito das crianças ao tratamento de HIV e aids. Nesse relatório, conclui-se que o aumento da prevenção primária ao vírus deverá reduzir o número de novos casos de infecção entre jovens de 15 a 24 anos de idade, como mostra o gráfico a seguir. Matemática
Número de novas infecções (em milhares)
A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Assim, se uma dose desse antibiótico for injetada às 12h em um paciente, o percentual dessa dose que restará em seu organismo às 13h 30min será aproximadamente de a) 10%. d) 35%. b) 15%. e) 50%. c) 25%.
3000 2500 2000 1500 1000
com maior prevenção
500
com a prevenção atual
0
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2. [...] O lavrador de Ribeirão Preto recebe em média R$ 2,50 por tonelada de cana cortada. Nos anos 80, esse trabalhador cortava cinco toneladas de cana por dia. A mecanização da colheita o obrigou a ser mais produtivo. O corta-cana derruba agora oito toneladas por dia. [...] Considere-se que cada tonelada de cana-de-açúcar permita a produção de 100 litros de álcool combustível, vendidos nos postos de abastecimento a R$ 1,20 o litro. Para que um corta-cana pudesse, com o que ganha nessa atividade, comprar álcool produzido a partir das oito toneladas de cana resultantes de um dia de trabalho, ele teria de trabalhar durante: a) 3 dias. d) 48 dias. b) 18 dias. e) 60 dias. c) 30 dias.
Com base nesses dados, analise as seguintes afirmações: I) Ações educativas de prevenção da transmissão do vírus HIV poderão contribuir para a redução, em 2008, de mais de 20% dos novos casos de infecção entre os jovens, em relação ao ano de 2005. II) Ações educativas relativas à utilização de preservativos nas relações sexuais reduzirão em 25% ao ano os novos casos de aids entre os jovens. III) Sem o aumento de medidas de prevenção primária, estima-se que, em 2010, o aumento de novos casos de infecção por HIV entre os jovens será, em relação ao ano de 2005, 50% maior. É correto apenas o que se afirma em: a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III.
3. O Aedes aegypti é vetor transmissor da dengue. Uma pesquisa feita em São Luís, MA, de 2000 a 2002, mapeou os tipos de reservatório onde esse mosquito era encontrado. A tabela abaixo mostra parte dos dados coletados nessa pesquisa.
2007 1. A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à sua meia-vida, tempo necessário para que a quantidade original do fármaco no organismo se reduza à metade. A cada intervalo de tempo correspondente a uma meia-vida, a quantidade de fármaco existente no organismo no final do intervalo é igual a 50% da quantidade no início desse intervalo.
% de fármaco no organismo
pneu tambor/tanque/depósito de barro
População de A. aegypti 2000
2001
2002
895
1 658
974
6 855 46 444 32 787
vaso de planta
456
90
material de construção/peça de carro
271
436
276
80
garrafa/lata/plástico
675
2 100
1 059
70
poço/cisterna
44
428
275
60
caixa-d’água
248
1 689
1 014
50
recipiente natural, armadilha, piscina e outros
615
2 658
1 178
100
40
total
30
0
3 191
1 399
10 059 58 604 38 962 Caderno Saúde Pública, v. 20, n. 5, Rio de Janeiro, out. 2004 (com adaptações).
20 10 0
1
2 3 4 5 6 7 Número de meias-vidas
O gráfico acima representa, de forma genérica, o que acontece com a quantidade de fármaco no organismo humano ao longo do tempo. F. D. Fuchs; Cher I. Wannma. Farmacologia clínica. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 1992, p. 40.
Questões do Enem
Tipos de reservatório
Se mantido o percentual de redução da população total de A. aegypti observada de 2001 para 2002, teria sido encontrado, em 2003, um número total de mosquitos a) menor que 5 000. b) maior que 5 000 e menor que 10 000. c) maior que 10 000 e menor que 15 000. d) maior que 15 000 e menor que 20 000. e) maior que 20 000.
457
2008
3. O gráfico a seguir ilustra a evolução do consumo de
1. O gráfico abaixo mostra a área desmatada da Amazônia, em km2, a cada ano, no período de 1988 a 2008.
eletricidade no Brasil, em GWh, em quatro setores de consumo, no período de 1975 a 2005. 400 375 350
400
km2 30 000
350
outros
CONSUMO DE ELETRICIDADE NO BRASIL
300
300
250
20 000
250
industrial
200
200 150
88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 ano
Fonte: MMA.
As informações do gráfico indicam que: a) o maior desmatamento ocorreu em 2004. b) a área desmatada foi menor em 1997 que em 2007. c) a área desmatada a cada ano manteve-se constante entre 1998 e 2001. d) a área desmatada por ano foi maior entre 1994 e 1995 que entre 1997 e 1998. e) o total de área desmatada em 1992, 1993 e 1994 é maior que 60 000 km2.
2. O sistema de fusos horários foi proposto na Conferência Internacional do Meridiano, realizada em Washington, em 1884. Cada fuso corresponde a uma faixa de 15º entre dois meridianos. O meridiano de Greenwich foi escolhido para ser a linha mediana do fuso zero. Passando-se um meridiano pela linha mediana de cada fuso, enumeram-se 12 fusos para leste e 12 fusos para oeste do fuso zero, obtendo-se, assim, os 24 fusos e o sistema de zonas de horas. Para cada fuso a leste do fuso zero, soma-se 1 hora, e, para cada fuso a oeste do fuso zero, subtrai-se 1 hora. A partir da Lei no 11 662/2008, o Brasil, que fica a oeste de Greenwich e tinha quatro fusos, passa a ter somente 3 fusos horários. Em relação ao fuso zero, o Brasil abrange os fusos 2, 3 e 4. Por exemplo, Fernando de Noronha está no fuso 2, o estado do Amapá está no fuso 3 e o Acre, no fuso 4. A cidade de Pequim, que sediou os XXIX Jogos Olímpicos de Verão, fica a leste de Greenwich, no fuso 8. Considerando-se que a cerimônia de abertura dos jogos tenha ocorrido às 20h 8min, no horário de Pequim, do dia 8 de agosto de 2008, a que horas os brasileiros que moram no estado do Amapá devem ter ligado seus televisores para assistir ao início da cerimônia de abertura? a) 9h 8min, do dia 8 de agosto. b) 12h 8min, do dia 8 de agosto. c) 15h 8min, do dia 8 de agosto. d) 1h 8min, do dia 9 de agosto. e) 4h 8min, do dia 9 de agosto.
458
2005
2002
1999
1996
1993
1990
1987
1984
1981
1978
100 50
residencial 1975
10 000
0
150 comercial
100 70 50
Observa-se que, de 1975 a 2005, houve aumento linear do consumo de energia elétrica. Se essa mesma tendência se mantiver até 2035, o setor energético brasileiro deverá preparar-se para suprir uma demanda total aproximada de a) 405 GWh. c) 680 GWh. e) 775 GWh. b) 445 GWh. d) 750 GWh.
4. A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008. Banco S.A. Pagável em qualquer agência bancária até a data de vencimento
Vencimento
30/06/2008 Agência/cód. cedente
Cedente
Escola de Ensino Médio Data documento
Nosso número
02/06/2008 Uso do banco
( ) Valor documento
Instruções
( ) Descontos
Observação: no caso de pagamento em atraso, cobrar multa de R› 10,00 mais 40 centavos por dia de atraso.
( ) Outras deduções
R› 500,00
( ) Mora/Multa ( ) Outros acréscimos ( ) Valor cobrado
Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então a) M(x) 5 500 1 0,4x. d) M(x) 5 510 1 40x. b) M(x) 5 500 1 10x. e) M(x) 5 500 110,4x. c) M(x) 5 510 1 0,4x.
5. O gráfico abaixo modela a distância percorrida, em
km, por uma pessoa em certo período de tempo. A escala de tempo a ser adotada para o eixo das abscissas depende da maneira como essa pessoa se desloca. Qual é a opção que apresenta a melhor associação entre meio ou forma de locomoção e unidade de tempo, quando são percorridos 10 km? 10 km
0
1
2
tempo
Matemática
a) carroça – semana b) carro – dia c) caminhada – hora
d) bicicleta – minuto e) avião – segundo
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é a) d)
6. A contagem de bois Em cada parada ou pouso, para jantar ou dormir, os bois são contados, tanto na chegada quanto na saída. Nesses lugares, há sempre um potreiro, ou seja, determinada área de pasto cercada de arame, ou mangueira, quando a cerca é de madeira. Na porteira de entrada do potreiro, rente à cerca, os peões formam a seringa ou funil, para afinar a fila, e então os bois vão entrando aos poucos na área cercada. Do lado interno, o condutor vai contando; em frente a ele, está o marcador, peão que marcas as reses. O condutor conta 50 cabeças e grita: – Talha! O marcador, com o auxílio dos dedos das mãos, vai marcando as talhas. Cada dedo da mão direita corresponde a 1 talha, e da mão esquerda, a 5 talhas. Quando entra o último boi, o marcador diz: – Vinte e cinco talhas! E o condutor completa: – E dezoito cabeças. Isso significa 1 268 bois. Boiada, comitivas e seus peões. In: O Estado de S. Paulo, ano VI, ed. 63, 21/12/1952 (com adaptações).
Para contar os 1 268 bois de acordo com o processo descrito acima, o marcador utilizou a) 20 vezes todos os dedos da mão esquerda. b) 20 vezes todos os dedos da mão direita. c) todos os dedos da mão direita apenas uma vez. d) todos os dedos da mão esquerda apenas uma vez. e) 5 vezes todos os dedos da mão esquerda e 5 vezes todos os dedos da mão direita.
7. Fractal (do latim fractus, ‘fração, quebrado’) — objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares. O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos: 1. comece com um triângulo equilátero (figura 1); 2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias; 3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2; 4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).
… Figura 1
Questões do Enem
Figura 2
Figura 3
b)
e)
c)
2009
1. A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar água da chuva. Os principais critérios a serem observados para captação e armazenagem de água da chuva são: a demanda diária de água na propriedade; o índice médio de precipitação (chuva), por região, em cada período do ano; o tempo necessário para armazenagem; e a área de telhado necessária ou disponível para captação. Para fazer o cálculo do volume de uma cisterna, deve-se acrescentar um adicional relativo ao coeficiente de evaporação. Na dificuldade em se estabelecer um coeficiente confiável, a Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (Embrapa) sugere que sejam adicionados 10% ao volume calculado de água. Desse modo, o volume, em m3, de uma cisterna é calculado por Vc 5 Vd 3 Ndia, em que Vd 5 volume de demanda da água diária (m3), Ndia 5 número de dias de armazenagem, e este resultado deve ser acrescido de 10%. Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se que a captação seja feita somente nos telhados das edificações. Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1 m2 produz 1 litro de água, pode-se calcular a área de um telhado a fim de atender a necessidade de armazenagem da seguinte maneira: área do telhado (em m2) 5 volume da cisterna (em litros)/precipitação.
Disponível em: www.cnpsa.embrapa.br. Acesso em: 8 jun. 2009 (adaptado).
Para atender a uma demanda diária de 2 000 litros de água, com período de armazenagem de 15 dias e precipitação média de 110 mm, o telhado, retangular, deverá ter as dimensões mínimas de: a) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área de 30 m2.
459
b) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma área de 300 m2. c) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma área de 3 000 m2. d) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 2 730 m2. e) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 3 300 m2.
2. A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1 : 150.
1 , poderia ter um compasso ou com 2 duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula 3 é , poderia ser preenchido com: 4 de compasso for
a) 24 fusas. b) 3 semínimas. c) 8 semínimas. d) 24 colcheias e 12 semínimas. e) 16 semínimas e 8 semicolcheias.
4. A população mundial está ficando mais velha, os
28,5 metros
36 metros
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter? a) 2,9 cm 3 3,4 cm b) 3,9 cm 3 4,4 cm c) 20 cm 3 25 cm d) 21 cm 3 26 cm e) 192 cm 3 242 cm
índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. 461 Países desenvolvidos
30 269 1.592 Números em milhões
Semibreve
1
Mínima
1/2
Semínima
1/4
Colcheia
1/8
Semicolcheia
1/16
Fusa
1/32
Semifusa
1/64
Um compasso é uma unidade musical composta de determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula
460
25 20
95
490
3. A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte.
35
15 Países em desenvolvimento
10 5
110 1950
ESTIMATIVAS 70
90
2010
30
0 50
Fonte: “Perspectivas da população mundial”, ONU, 2009. Disponível em: www.economist.com. Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).
Suponha que o modelo exponencial y 5 363e0,03x, em que x 5 0 corresponde ao ano 2000, x 5 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 5 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre: a) 490 e 510 milhões. b) 550 e 620 milhões. c) 780 e 800 milhões. d) 810 e 860 milhões. e) 870 e 910 milhões. Matemática
5. A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço, elas são submetidas a algoritmos de compressão, que reduzem em até 95% a quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB 5 1 000 bytes, 1 MB 5 1 000 KB, 1 GB 5 1 000 MB. Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algo- ritmo de compressão é de 95%, João fotografou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar: a) um CD de 700 MB. b) um pendrive de 1 GB. c) um HD externo de 16 GB. d) um memory stick de 16 MB. e) um cartão de memória de 64 MB.
6. A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir. Casos de câncer pulmonar
Casos de câncer pulmonar dado o número de cigarros consumidos diariamente
do da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura. 3 km
João
Pedro 2 km José
1 km
1 km
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a:
[Considere
3 5 0,58.] 3
a) 50%. b) 43%. c) 37%. d) 33%. e) 19%.
8. As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra-cabeças que está sendo montado. Observe que as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de modo a completar os desenhos.
Figura A
Figura B
60 50 40 30 20 10 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Número de cigarros consumidos diariamente
Fonte: Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS. Summer Course – 1992 (adaptado).
a) O consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais. b) O consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam. c) O consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais. d) Uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão. e) O consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade.
7. Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km 3 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquer-
Questões do Enem
Peça 1
Peça 2
Disponível em: http://pt.eternityii.com. Acesso em: 14 jul. 2009.
É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no tabuleiro da figura A colocando a peça: a) 1 após girá-la 90° no sentido horário. b) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário. c) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário. d) 2 após girá-la 180° no sentido horário. e) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário.
9. Dados da Associação Nacional de Empresas de Transportes Urbanos (Antu) mostram que o número de passageiros transportados mensalmente nas principais regiões metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em abril de 2001. Nesse período, o tamanho da frota de
461
veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001. O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade utilizado pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veículos. Capitais Brasileiras - Sistema de Ônibus Urbano* Passageiros Transportados por Veículos/dia** 1995 a 2008 631
600
581 569 568 555 506 500 505 463 451 441 435 438 447 428 450 446 407 410 418 440 422 400 415 411 410 400 391 393 404 350 550
Out./95 Abr./96 Out./96 Abr./97 Out./97 Abr./98 Out./98 Abr./99 Out./99 Abr./00 Out./00 Abr./01 Out./01 Abr./02 Out./02 Abr./03 Out./03 Abr./04 Out./04 Abr./05 Out./05 Abr./06 Out./06 Abr./07 Out./07 Abr./08 Out./08
Passageiro/Veículo
650
* São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Recife, Porto Alegre, Salvador, Fortaleza, Curitiba e Goiânia ** Passageiros total mensal/frota/25
Disponível em: http://www.ntu.org.br. Acesso em 16 jul. 2009 (adaptado).
Supondo que as frotas totais de veículos naquelas regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do gráfico permitem inferir que o total de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi aproximadamente igual a: a) 355 milhões. d) 441 milhões. b) 400 milhões. e) 477 milhões. c) 426 milhões.
10. Joana frequenta uma academia de ginástica onde faz
exercícios de musculação. O programa de Joana requer que ela faça 3 séries de exercícios em 6 aparelhos diferentes, gastando 30 segundos em cada série. No aquecimento, ela caminha durante 10 minutos na esteira e descansa durante 60 segundos para começar o primeiro exercício no primeiro aparelho. Entre uma série e outra, assim como ao mudar de aparelho, Joana descansa por 60 segundos. Suponha que, em determinado dia, Joana tenha iniciado seus exercícios às 10h 30min e finalizado às 11h 7min. Nesse dia e nesse tempo, Joana: a) não poderia fazer sequer a metade dos exercícios e dispor dos períodos de descanso especificados em seu programa. b) poderia ter feito todos os exercícios e cumprido rigorosamente os períodos de descanso especificados em seu programa. c) poderia ter feito todos os exercícios, mas teria de ter deixado de cumprir um dos períodos de descanso especificados em seu programa. d) conseguiria fazer todos os exercícios e cumpriria todos os períodos de descanso especificados em seu programa, e ainda se permitiria uma pausa de 7 min. e) não poderia fazer todas as 3 séries dos exercícios especificados em seu programa; em alguma dessas séries deveria ter feito uma série a menos e não deveria ter cumprido um dos períodos de descanso.
462
11. João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao che-
que especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A opção que dá a João o menor gasto seria: a) renegociar suas dívidas com o banco. b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas. c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos. d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial.
12. Nos últimos anos, o volume de petróleo exportado
pelo Brasil tem mostrado expressiva tendência de crescimento, ultrapassando as importações em 2008. Entretanto, apesar de as importações terem se mantido praticamente no mesmo patamar desde 2001, os recursos gerados com as exportações ainda são inferiores àqueles despendidos com as importações, uma vez que o preço médio por metro cúbico do petróleo importado é superior ao do petróleo nacional. Nos primeiros cinco meses de 2009, foram gastos 2,84 bilhões de dólares com importações e gerada uma receita de 2,24 bilhões de dólares com as exportações. O preço médio por metro cúbico em maio de 2009 foi de 340 dólares para o petróleo importado e de 230 dólares para o petróleo exportado. O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 2001 a 2008 e dos primeiros cinco meses de 2009. Comércio exterior de petróleo (milhões cúbicos) Ano
Importação
Exportação
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009*
24,19 22,06 19,96 26,91 21,97 20,91 25,38 23,53 9,00
6,43 13,63 14,03 13,39 15,93 21,36 24,45 25,14 11,00
* Valores apurados de janeiro a maio de 2009. Disponível em: http://www.anp.gov.br. Acesso em: 15 jul. 2009 (adaptado).
Matemática
Considere que as importações e exportações de petróleo de junho a dezembro de 2009 sejam iguais 7 a das importações e exportações, respectivamente, 5 ocorridas de janeiro a maio de 2009. Nesse caso, supondo que os preços para importação e exportação não sofram alterações, qual seria o valor mais aproxi mado da diferença entre os recursos despendidos com as importações e os recursos gerados com as expor tações em 2009? a) 600 milhões de dólares b) 840 milhões de dólares c) 1,34 bilhão de dólares d) 1,44 bilhão de dólares e) 2,00 bilhões de dólares
Considerando que a taxa de crescimento da população economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja de 4%, então o número de pessoas economicamente ativas em 06/09 será igual a: a) 23 940. d) 23 940 800. b) 32 228. e) 32 228 000. c) 920 800.
15. O mapa abaixo representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros.
Y
13. O governo cedeu terrenos para que famílias construís sem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno BC , Antônio demarretangular ABCD, em que AB 5 2 cou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no AB qual AE 5 é lado do quadrado. 5 B
C
de cada bioma brasileiro.
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele: a) duplicasse a medida do lado do quadrado. b) triplicasse a medida do lado do quadrado. c) triplicasse a área do quadrado. d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. e) ampliasse a área do quadrado em 4%.
14. O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de 2008 a maio de 2009, da população economicamente ativa para seis Regiões Metropolitanas pesquisadas. População economicamente ativa (em mil pessoas) 23.500
22.959
22741
22.700
22811
23.100
23.020
23.300 22.900 22.500 22.300
04/08 05
06
07
08
09
10
11
12 01/09 02
03
04
05
Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas. Coordenação do Trabalho e Rendimento. Pesquisa mensal de emprego. Disponível em: www.ibge.gov.br.
Questões do Enem
Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y? a) 25 min d) 1,5 min e) 0,15 min b) 15 min c) 2,5 min
16. O quadro apresenta informações da área aproximada
D
A E
X
Biomas continentais brasileiros
Área aproximada Área/total (km2) Brasil
Amazônia
4 196 943
49,29%
Cerrado
2 036 448
23,92%
Mata Atlântica
1 110 182
13,04%
Caatinga
844 453
9,92%
Pampa
176 496
2,07%
Pantanal
150 355
1,76%
Área total Brasil
8 514 877 Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).
É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo de futebol (com as medidas de 120 m 3 90 m) para auxiliar a visualização de áreas consideradas extensas. Nesse caso, qual é o número de campos de futebol correspondente à área aproximada do bioma Pantanal? a) 1 400 d) 1 400 000 b) 14 000 e) 14 000 000 c) 140 000
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17. Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário, d1 5 (11 2 r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 5 (11 2 s). Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123 456 789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente: a) 0 e 9. c) 1 e 7. e) 0 e 1. b) 1 e 4. d) 9 e 1.
18. Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do
capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros. Disponível em: http://noticias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).
Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da Sabesp, a capacidade do aquífero Guarani é: a) 1,5 3 102 vezes a capacidade do reservatório novo. b) 1,5 3 103 vezes a capacidade do reservatório novo. c) 1,5 3 106 vezes a capacidade do reservatório novo. d) 1,5 3 108 vezes a capacidade do reservatório novo. e) 1,5 3 109 vezes a capacidade do reservatório novo.
20. Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.
y
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.
carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km. Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L, esteja no circuito de Spa-Francorchamps parado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo: a) 617 kg. c) 680 kg. e) 717 kg. b) 668 kg. d) 689 kg.
21. Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial pa-
19. Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1 200 000 quilômetros qua drados, dos quais 840 000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo. Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (Sabesp) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja
ra organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas? a) R$ 14,00 c) R$ 22,00 e) R$ 57,00 b) R$ 17,00 d) R$ 32,00
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Números de bolas (x)
Nível da água (y)
5
6,35 cm
10
6,70 cm
15
7,05 cm Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)? a) y 5 30x d) y 5 0,7x e) y 5 0,07x 1 6 b) y 5 25x 1 20,2 c) y 5 1,27x
Matemática
>Glossário Algoritmo: Esquema para simplificar cálculos. Por exemplo, algoritmo da divisão, da raiz quadrada, etc. A palavra algoritmo deriva do nome de Al-Khowarizmi, matemático árabe do século IX que escreveu um livro sobre resolução de equações usando letras para representar as incógnitas.
Análogo: Da mesma forma. Ângulo agudo: Ângulo cuja medida é menor do que 90°. Ângulo obtuso: Ângulo cuja medida está entre 90° e 180°. Ângulo reto: Ângulo de medida igual a 90°. Ângulos complementares: Dois ângulos que têm a soma de suas medidas igual a 90°. Ângulos suplementares: Dois ângulos que têm a soma de suas medidas igual a 180°. Apótema de um polígono regular: Segmento que tem por extremidades o centro da circunferência circunscrita ao polígono e o ponto médio de um de seus lados. Área: Medida de uma superfície. Aresta: Segmento de reta comum a duas faces de um poliedro. Aritmética: Parte da Matemática que estuda os números, as operações que com eles podemos efetuar e suas propriedades. Assíntota: Linha reta que se aproxima indefinidamente de uma curva sem tocá-la. Bissetriz de um ângulo: Semirreta que parte do vértice do ângulo e o divide em dois ângulos de mesma medida. Capital: Quantia de dinheiro que é aplicada em algum tipo de investimento. Cateto: Qualquer um dos dois lados que formam o ângulo reto de um triângulo retângulo. Circunscrito: Circunscrever significa envolver ou limitar. Uma circunferência circunscrita a um polígono é aquela que passa por todos os vértices desse polígono. Um polígono circunscrito a uma circunferência é aquele que tem todos os seus lados tangentes a essa circunferência. Coeficiente: Número ou letra que multiplica uma incógnita ou expressão algébrica. Por exemplo, 2 é o coeficiente de 2x e o número real a é o coeficiente de ax2. Completamento: Ação de completar algo. No contexto, completamento de quadrados é a ação de completar uma expressão para que ela possa ser fatorada como um quadrado perfeito. Comutar: Trocar de posição, permutar, inverter a ordem. Glossário
Comutativa: Diz-se da operação em que os elementos podem comutar sem que isso altere o resultado. Por exemplo, a adição de dois números naturais é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma. Concavidade: Reentrância; cavidade. Da parábola se diz concavidade voltada para baixo ou para cima. Congruentes: Diz-se de duas figuras quando estas podem coincidir por superposição. Côngruo: Congruente. Na trigonometria, arcos côngruos são arcos com o mesmo ponto terminal na circunferência trigonométrica. Diferem entre si de um múltiplo de 2π. Conjunto solução: Conjunto cujos elementos são as soluções de uma equação. Esse conjunto pode ser vazio se o problema não tiver solução; finito se houver um número finito de soluções; unitário se houver apenas uma solução para o problema; ou infinito se o número de soluções for infinito. Contrapositiva: A Lógica trabalha com proposições, que são sentenças, ou afirmações, sobre as quais se verifica a validade. Essas proposições, por exemplo, p1 e p2, podem aparecer relacionadas na forma de implicação, a qual se lê “se p1 então p2”. Diz-se que a contrária ou a contrapositiva dessa implicação é “se (não p2) então (não p1)”. Além disso, se uma proposição condicional (relação de implicação) for verdadeira, então a sua contrária (ou contrapositiva) também o será. Coordenadas cartesianas: Dois ou três números, colocados em ordem, que definem a posição de um ponto no plano ou no espaço, respectivamente. Por exemplo, P(a, b), Q(a, b, c). Em um plano cartesiano as coordenadas de um ponto são dadas pela abscissa e pela ordenada, que são, respectivamente, a posição ao longo do eixo horizontal e do eixo vertical, definindo a localização do ponto no plano. (Ver Plano cartesiano.) Corda: Segmento cujas extremidades são pontos de uma circunferência. O diâmetro é a maior corda da circunferência. Coroa circular: Dados dois círculos concêntricos (que têm o mesmo centro), a região do círculo maior que não contém pontos do círculo menor é uma coroa circular . Correspondência biunívoca: Correspondência um a um, ou seja, que associa os elementos de dois conjuntos, tal que cada elemento de um tenha um único correspondente no outro. Decágono: Polígono de dez lados. Diagonal de um polígono convexo: Segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um polígono convexo.
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Diagrama: Desenho ou esquema usado para representar uma situação. Por exemplo, os diagramas de Venn representam relações entre conjuntos.
Função linear: É toda função f: ® → ® definida por f(x) 5 ax, para todo x ®. Seu gráfico é a reta não vertical que passa pela origem do sistema cartesiano.
Dígito: O mesmo que algarismo. Símbolo usado para representar um número. O número 425 é formado por três dígitos ou algarismos (4, 2 e 5).
Função quadrática: É toda função f: ® → ® definida por f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, com a 0, para todo x ®. Seu gráfico é uma parábola com concavidade para cima ou para baixo, dependendo do sinal do a.
Discriminante: Que discrimina, ou seja, diferencia. No caso de uma equação do 2o grau, o valor do discriminante ( 5 b2 2 4ac) nos permite diferenciar se a equação tem duas soluções iguais (se 5 0), se tem duas soluções distintas (se 0) ou não tem soluções reais (se 0). Divisível: Um número natural (ou um polinômio) é divisível por outro número natural (ou outro polinômio) quando a divisão do primeiro pelo segundo é exata (isto é, dá resto zero). Dízima periódica: Número racional que, escrito na forma decimal, possui, depois da vírgula, uma repetição infinita de um algarismo ou de um grupo de algarismos. Cada algarismo ou grupo de algarismos que se repete é denominado período. Dodecágono: Polígono de doze lados. Equação: Sentença matemática que apresenta o sinal de igualdade (5) e uma ou mais incógnitas que representam números desconhecidos. Equidistante: O prefixo equi- indica igual. Assim, equidistante significa ‘igualmente distante de’ . Estratégia: Qualquer uma das diferentes maneiras de se aplicar os conhecimentos disponíveis para a resolução de um problema. Experimento: Ensaio para a verificação de um fenômeno; experiência. Fatoração: Fatorar significa escrever em forma de produto, ou seja, com fatores. Especificamente no caso da função quadrática, fatorar é escrevê-la na forma a(x 2 x1)(x 2 x2), em que x1 e x2 são os zeros da função. Fenômeno: Fato ou evento de interesse científico que pode ser descrito e explicado cientificamente. Função: Correspondência que associa cada elemento de um conjunto A a um e apenas um elemento de um conjunto B. O conjunto A é chamado domínio da função f e B é chamado contradomínio da função f. Função afim: É toda função f: ® → ® do tipo f(x) 5 ax 1 b, a e b números reais, para todo x ®. Seu gráfico é uma reta. Função constante: É toda função f: ® → ® definida por f(x) 5 k, para todo x ®, sendo k um número real qualquer. Seu gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas. Função identidade: É toda função f: ® → ® definida por f(x) 5 x, para todo x ®. Seu gráfico é a reta bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano.
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Função real de variável real: Função cujos domínio e contradomínio são subconjuntos dos números reais. (Ver Função.) Geometria plana: Campo da Matemática que estuda os elementos do plano (retas, circunferências, ângulos, etc.), suas propriedades e relações. Geratriz: Que gera, dá origem. A fração geratriz é a fração que dá origem a um número racional na forma deci5 é a geratriz de 0,555... mal. Por exemplo, 9 Gráfico: Representação das funções em um sistema de coordenadas por meio de uma curva ou superfície. Grandeza: Algo que pode ser medido, como comprimento, temperatura, tempo, massa, etc. Grandezas lineares: Grandezas que expressam comprimento, como a medida do lado de um quadrado, por exemplo. Grandezas proporcionais: Quando uma grandeza X é diretamente proporcional a uma grandeza Y, duplicando-se o valor de X, duplica-se o valor de Y; triplicando-se o valor de X, triplica-se o valor de Y; e assim por diante. Quando uma grandeza X é inversamente proporcional a uma grandeza Y, duplicando-se o valor de X, o valor de Y fica dividido por 2; multiplicando-se por 3 o valor de X, o valor de Y fica dividido por 3; e assim por diante.
Hemisfério: Metade de uma esfera; semiesfera. Cada uma das partes, norte e sul, do globo terrestre, imaginariamente separadas pelo equador. Heptágono: Polígono de sete lados. Hipotenusa: Lado oposto ao ângulo reto em um triângulo retângulo. Em grego, hipotenusa significa, genericamente, ‘o que se estende embaixo’ . Essa expressão tem sentido se consideramos o triângulo retângulo apoiado horizontalmente sobre a hipotenusa, isto é, com o ângulo reto acima dela. Homólogos: Que têm a mesma posição relativa; correspondentes. Icoságono: Polígono de vinte lados. Identidade: Igualdade que se verifica (é sempre verdadeira) para qualquer valor atribuído à incógnita. Implicação lógica: Relação estabelecida entre duas proposições, de tal forma que a veracidade de uma delas Matemática
conduz à veracidade da outra. Dizer que uma proposição p implica outra proposição, q, significa dizer que, para ocorrer q, é suficiente que ocorra p. Exemplo: “Se x é um número natural, então x é um número inteiro”. Essa afirmação equivale a “Ser um número natural é condição suficiente para ser um número inteiro”. Incógnita: Valor desconhecido de uma equação, de uma inequação ou de um sistema de equações. Do latim, cognitus significa ‘conhecido’, e o prefixo in- indica negação. Inequação: Sentença matemática que envolve um sinal de desigualdade (,, ., ou ) e que pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores atribuídos à(s) incógnita(s). Inscrito: Desenhado dentro. Por exemplo, um círculo inscrito em um quadrado está contido no interior do quadrado e tangencia seus lados. Por outro lado, um quadrado está inscrito em uma circunferência quando está contido no seu interior e tem seus vértices pertencentes à circunferência. Interpolar: Introduzir; colocar; inserir. Intersecção: O que é comum (ou seja, existe simultaneamente) a dois ou mais conjuntos. Lei da função: Regra ou fórmula que define a relação entre os elementos do domínio e da imagem de uma função. Losango: Quadrilátero cujos lados têm a mesma medida. Assim, todo quadrado é também um losango. O losango é um paralelogramo cujas diagonais são perpendi culares entre si e bissetrizes dos seus ângulos internos. Lugar geométrico: Conjunto de pontos caracterizado por uma propriedade. Uma figura é um lugar geométrico se todos os seus pontos possuem a propriedade e só os seus pontos possuem essa propriedade. Maquete: Miniatura de um projeto arquitetônico, com todos os detalhes e proporcional ao objeto real. Massa: Quantidade de matéria contida em um corpo. É comum confundir-se massa com peso (ver Peso). A massa de uma pessoa é a mesma em qualquer lugar em que ela esteja, na Terra ou na Lua. Mas na Lua o peso de uma pessoa é menor do que na Terra. Monômio: Expressão algébrica que apresenta apenas multiplicação entre números e letras e estas apresentam como expoentes apenas números naturais. Montante: Em Matemática financeira é a soma do capital com os juros. Múltiplo: Um número natural b é múltiplo de um número natural a se existir um número natural que, multiplicado por a, resulte em produto igual a b. Notação: Conjunto de sinais com que se faz uma representação ou designação convencional. Número cardinal: Número usado para designar quantidades (um, dois, trinta, mil, etc.). Glossário
Número irracional: Número que não pode ser obtido como quociente de números inteiros. Exemplos de números irracionais incluem o pi (π . 3,141592...) e muitas raízes “não exatas”, como
2 , 3 , etc.
Número natural primo: É todo número natural que possui exatamente dois divisores distintos: o 1 e ele mesmo. Números consecutivos: Que se seguem imediatamente um após o outro. Por exemplo, 10, 11, 12 são três números naturais consecutivos. Octógono: Polígono de oito lados. Paralelas: Uma das possíveis posições relativas entre duas retas no espaço. Retas paralelas são retas coplanares (isto é, existe um plano que as contém simultaneamente) que não têm ponto comum. Paralelogramo: Quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Entre suas propriedades estão os ângulos opostos congruentes, lados opostos congruentes e diagonais que se cruzam no ponto médio dessas diagonais. Também são paralelogramos o retângulo, o losango e o quadrado. Parâmetro: Constante que aparece em uma equação, fórmula ou expressão algébrica, cujo valor determina certas propriedades dessa equação, fórmula ou expressão algébrica. Na função quadrática f(x) 5 ax2, a é o parâmetro. Dependendo do valor absoluto do a, a parábola será mais “aberta” ou mais “fechada”. Par ordenado: Dois números x e y em determinada ordem indicados por (x, y). No plano cartesiano, os pares ordenados (x, y) indicam a abscissa e a ordenada de um de seus pontos. Juntas, abscissa e ordenada compõem as coordenadas desse ponto, que dão sua localização no plano em função dos eixos Ox (horizontal) e Oy (vertical). Pé: Unidade de medida de comprimento usada geralmente em países de língua inglesa. Corresponde a 30,48 centímetros. Percentual: Relativo a porcentagem. Perímetro: Medida do contorno de uma figura geométrica plana. Peso: Intensidade de força com que a Terra atrai uma certa massa. (Ver Massa.) Pitágoras: Pitágoras de Samos, matemático e filósofo grego, viveu no século VI a.C. Foi um dos mais importantes matemáticos gregos da Antiguidade. Seu nome está ligado ao teorema que afirma que “em um triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”. Plano cartesiano: Plano cujos pontos são localizados por meio de um sistema de coordenadas cartesianas. Todo ponto desse plano fica perfeitamente caracterizado por suas coordenadas cartesianas. (Ver Coordenadas cartesianas.)
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Polígono: Linha fechada formada apenas por segmentos de reta (lados) que não se cruzam. O prefixo poli- indica muitos e o sufixo -gono indica ângulos. Assim, polígono indica uma figura geométrica de muitos ângulos. Polígono convexo: Polígono em que todos os ângulos internos são menores do que 180°. Dizemos também que um polígono é convexo quando, tomando-se como referência qualquer um de seus lados, o polígono fica situado em um mesmo semiplano em relação a esse lado. Pontos colineares: Pontos que pertencem a uma mesma reta. Porcentagem: O mesmo que percentagem. Parte proporcional calculada sobre um total, real ou hipotético, de 100 unidades. Símbolo: %. N% corresponde a N , ou seja, N partes das 100 partes de um total. 100 Potenciação: É o ato de se elevar um número x a uma potência n, ou seja, efetuar o produto de n fatores iguais a x se n for natural, ou de usar das regras estabelecidas quando n não for natural. Progressão aritmética: Sequência de números em que a diferença entre qualquer um deles, a partir do segundo, e o termo anterior é sempre constante (razão). Progressão geométrica: Sequência de números não nulos em que o quociente entre qualquer um deles, a partir do segundo, e o termo anterior é sempre constante (razão). Projeção: A projeção de um segmento de reta AB sobre uma reta r, segundo uma direção perpendicular, é o segmento de reta A’B’ determinado pelos pés das perpendiculares traçadas de A e B à reta r. B A
Quadrilátero convexo: Quadrilátero cujos ângulos internos são menores do que 180°. (Ver Polígono convexo.) Quíntuplo: Que é cinco vezes maior. O quíntuplo de um número n é representado por 5n. Radicando: Número ou expressão algébrica que está sob um radical (símbolo que indica a raiz). Raio: Segmento de reta cujas extremidades são o centro e um ponto da circunferência. Raiz: Raiz de índice n de um número a é um número r de mesmo sinal que a e que, elevado à potência n, resulta no número a. Não existe em IR raiz de índice par de números a negativos. Receita: Quantia recebida ou obtida com a venda de um ou mais produtos. Se a receita é maior do que o custo, há lucro. Se é menor, há prejuízo. Recorrência: Repetição continuada da mesma operação. Região poligonal do plano: Região contida no interior de um polígono. Relação de ordem: Dados dois números reais a e b distintos, ocorre uma e uma só das seguintes situações: a , b ou a . b. Isso significa que é sempre possível ordenar os números reais e que, portanto, há uma relação de ordem entre os números reais. Restrição: Restringir é limitar, impor condições para que algo possa existir adequadamente. Por exemplo, a função afim, f(x) 5 ax 1 b, que é uma função real, quando for restrita aos números naturais, apresentará apenas valores naturais. Assim, seu gráfico passa a ser uma sequência descontínua de pontos colinea- res, em vez da reta contínua da sua representação para valores reais. Retângulo: Quadrilátero com os quatro ângulos retos. Todo retângulo também é paralelogramo cujas diagonais são congruentes. Reta tangente: Uma reta é tangente a uma curva quando possui um único ponto comum com essa curva.
r A
B
Em um triângulo retângulo, os segmentos que a al- tura determina sobre a hipotenusa são chamados de projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Proporcionalidade: Propriedade apresentada por certas grandezas, chamadas proporcionais. Propriedade: Característica comum a um grupo de elementos, a uma operação, a uma figura geométrica, etc. Quadrante: Cada uma das quatro regiões do plano determinadas por dois eixos perpendiculares. Quadrilátero: Polígono de quatro lados.
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Retas perpendiculares: Retas perpendiculares são retas concorrentes (isto é, que possuem um ponto comum) que formam um ângulo cuja medida é 90°. Retilíneo: Da forma de uma linha reta. Se e somente se: Expressão de uma relação de equivalência. Representada por p ⇔ q, indica uma dupla implicação, ou seja, é o mesmo que p ⇒ q e q ⇒ p. Exemplo: dizer que “dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais” é o mesmo que dizer que “dois triângulos serem semelhantes equivale a possuírem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais”. Matemática
Segmento de reta: Parte da reta compreendida entre dois de seus pontos distintos, denominados extremos. Semiperímetro: Metade do perímetro de uma figura plana. É comum o semiperímetro ser representado por p e o perímetro por 2p. Isto porque há fórmulas que consideram o semiperímetro, e tal representação facilita os cálculos. Semiplano: Uma das duas regiões do plano determinadas por uma reta. Sequência: Números apresentados em uma certa ordem (conjunto ordenado), seguindo um padrão ou lei de formação. Simétrica: Duas figuras geométricas são ditas simétricas quando admitem um eixo de simetria (ou um centro de simetria), de tal forma que elas possam ser sobrepostas. Simultâneo: Que ocorre ou é feito ao mesmo tempo. Por exemplo, resolver duas inequações simultâneas significa encontrar valores que satisfaçam a ambas, como em um sistema de equações. Sistema de equações: Duas ou mais equações cujas soluções devem ser comuns. Sistema de inequações: O mesmo que inequações simultâneas. Duas ou mais inequações cujas soluções devem ser comuns. Subconjunto: O conjunto A é subconjunto do conjunto B se todos os elementos de A pertencem a B. Nesse caso, diz-se também que A está contido em B e escreve-se A ⊂ B (lê-se: A é subconjunto de B ou A está contido em B). Taxa de variação ou taxa de crescimento da função afim: É a “rapidez” com que a função cresce (ou decresce). Por exemplo, o gráfico da função afim f(x) 5 3x 1 1 é dado por: x
y 5 f(x) 5 3x 1 1
0 1 2 3
1 4 7 10
7 6
3
4 3
3
2 1
x 0
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Trapezoidal: Da forma de um trapézio. Triângulo: Polígono de três lados (e, consequentemente, três ângulos) cuja soma das medidas dos ângulos internos é 180°. Sendo assim, esses três ângulos são sempre dois ângulos agudos e um terceiro que pode ser agudo também, reto ou obtuso. Esse terceiro ângulo caracteriza a classificação do triângulo quanto a ele ser acutângulo, retângulo ou obtusângulo, respectivamente. Outra maneira de classificar os triângulos é quanto aos lados; assim: os três lados de medidas diferentes entre si (triângulo escaleno), ou dois de mesma medida, independentemente do terceiro lado (triângulo isósceles), ou os três de mesma medida (triângulo equilátero). Assim, todo triângulo equilátero é também um triângulo isósceles. Trinômio: Expressão algébrica formada pela adição algébrica de três monômios. Por exemplo, o trinômio a2 1 2ab 1 b2 5 (a 1 b)2 é chamado trinômio quadrado perfeito. Unidade: Grandeza tomada como referência para se obter a medida de outra grandeza de mesmo tipo.
Variável dependente e variável independente: Em uma função relacionamos grandezas, representadas por variáveis. A variável independente representa os elementos do domínio; a variável dependente representa os elementos da imagem. Então, na função y 5 f(x) temos que x é a variável independente e y é a variável dependente.
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Trapézio: Quadrilátero que tem um só par de lados paralelos (bases).
Variável: Aquilo que pode assumir diferentes valores. Por exemplo, na função f(x) 5 4x, x é a variável. As variáveis são geralmente representadas por letras.
y
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Translação: Movimento de uma figura geométrica em que cada ponto se desloca segundo um segmento de reta e todos esses segmentos são paralelos de mesma medida.
Unitária: Relativa à unidade. Composta de uma só unidade.
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Observamos que, quando o valor de x aumenta de uma unidade, f(x) aumenta de 3 unidades. Isso ocor- re para qualquer valor inicial de x. Diz-se que 3 é a taxa de variação ou taxa de crescimento de f(x). Ela fornece a medida da “rapidez” com que f(x) cresce, quando x aumenta.
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Venn: John Venn (1834-1923), matemático inglês, inventou a maneira de representar conjuntos por meio de diagramas, conhecidos como diagramas de Venn.
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>Sugestões de leituras complementares Alvarez, Maria Terezinha Seordamoglio. Seu problema é dinheiro? São Paulo: Editora do Brasil. (Coleção PEC – Projeto Escola e Cidadania). A obra trata de cálculo de juros e mostra como esse conhecimento pode ajudar o aluno a tomar decisões na vida pessoal e profissional. Ball, Johnny. Pense em um número. Tradução de Percival de Carvalho. São Paulo: Caramelo. Uma viagem fascinante ao mundo dos números. O livro apresenta exemplos, ilustrações, quebra-cabeças e truques em quase todas as áreas da Matemática. São tratados assuntos como a divina proporção, a 3ª- dimensão, fractais, o número pi. Barbosa, Ruy Madsen. Descobrindo padrões pitagóricos. São Paulo: Atual. A obra resgata a questão da descoberta de padrões. Na primeira parte se ocupa de temas essencialmente geométricos; na segunda parte trata de aspectos numéricos. Carvalho, Maria Cecília Costa e Silva. Padrões numéricos e sequências. São Paulo: Moderna. O objetivo deste livro é mostrar a possibilidade de estudarmos sequências numéricas (progressões) utilizando basicamente observação de padrões, associações de ideias e generalizações. Dessa maneira são valorizados o desenvolvimento do espírito crítico e a capacidade de generalização. Enzensberger, Hans M. O diabo dos números. Tradução de Sérgio Tellaroli. São Paulo: Companhia das Letras. Um livro para todos aqueles que têm medo de Matemática. O grande poeta alemão combate esse medo “traduzindo” o pensamento matemático para “língua de gente”. Fainguelernt, Estela K.; Nunes, Kátia Regina Ashton. Fazendo arte com a Matemática. Porto Alegre: Artmed.
O livro relaciona a beleza da Arte com a Matemática. Analisa obras de artistas como Alfredo Volpi, Lygia Clark e outros. Frabetti, Carlo. Alice no País dos Números. Tradução de Maria Dolores Prades. São Paulo: Ática. Alice, uma menina que odeia Matemática, encontra personagens da história de outra Alice, a do País das Maravilhas, e descobre que a Matemática, além de útil, também é divertida. São tratados temas como o zero, fatorial de um número, número primo, sequência de Fibonacci, etc. Guelli, Oscar. Dando corda na trigonometria. São Paulo: Ática. O livro acompanha um pouco da história desse importante ramo da Matemática, fazendo um passeio pela Grécia, pelo Egito e pela Índia. Com uma linguagem simples, mostra as origens e o desenvolvimento da trigonometria. Stewart, Ian. Almanaque das curiosidades matemáticas. Tradução de Diego Alfaro. Rio de Janeiro: Jorge Zahar. Quebra-cabeças lógicos, geométricos, numéricos e probabilísticos, esquisitices da cultura matemática, coisas para se fazer e construir. Tahan, Malba. Matemática divertida e curiosa. Rio de Janeiro: Record. Conteúdos matemáticos abordados de maneira intuitiva e acessível por meio de problemas numéricos, anedotas, contos, frases célebres, e outros. Zampirolo, Maria José C. V. Parábolas, para que te quero? São Paulo: Editora do Brasil. (Coleção PEC – Projeto Escola e Cidadania). Reconhecimento, representação e resolução de situações cotidianas e científicas envolvendo a função de segundo grau.
>Significado das siglas de vestibulares Cesesp-PE: Centro de Estudos Superiores do Estado de Pernambuco Cesgranrio-RJ: Centro de Seleção de Candidatos ao Ensino Superior do Grande Rio (Rio de Janeiro) CPCAR-MG: Curso Preparatório de Cadetes do Ar (Minas Gerais) EEM-SP: Escola de Engenharia Mauá (São Paulo) Enem: Exame Nacional do Ensino Médio – Ministério da Educação e Cultura Faap-SP: Fundação Armando Álvares Penteado (São Paulo) Fatec-SP: Faculdade de Tecnologia de São Paulo Fazu-MG: Faculdade de Agronomia e Zootecnia de Uberaba (Minas Gerais) FCMSCSP: Faculdade de Ciências Médicas da Santa Casa de São Paulo
470
FEI-SP: Faculdade de Engenharia Industrial (São Paulo) FGV-SP: Fundação Getúlio Vargas (São Paulo) FMJ: Faculdade de Medicina de Jundiaí (São Paulo) Fuvest-SP: Fundação Universitária para o Vestibular (São Paulo) Ibmec-SP: Instituto Brasileiro de Mercado de Capitais (São Paulo) ITA-SP: Instituto Tecnológico de Aeronáutica (São Paulo) ITE-SP: Instituição Toledo de Ensino de Bauru (São Paulo) Mack-SP: Universidade Presbiteriana Mackenzie (São Paulo) Osec-SP: Organização Santamarense de Educação e Cultura (São Paulo) PUCC-SP: Pontifícia Universidade Católica de Campinas (São Paulo) PUC-MG: Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Matemática
PUC-PR: Pontifícia Universidade Católica do Paraná
UFPE: Universidade Federal de Pernambuco
PUC-RJ: Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Ufpel-RS: Universidade Federal de Pelotas (Rio Grande do Sul)
PUC-RS: Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul
UFPI: Universidade Federal do Piauí
PUC-SP: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
UFPR: Universidade Federal do Paraná
Udesc: Universidade do Estado de Santa Catarina
UFRGS-RS: Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Uece: Universidade Estadual do Ceará
UFRJ: Universidade Federal do Rio de Janeiro
UEG-GO: Universidade Estadual de Goiás
UFRN: Universidade Federal do Rio Grande do Norte
UEL-PR: Universidade Estadual de Londrina (Paraná)
UFRR: Universidade Federal de Roraima
UEM-PR: Universidade Estadual de Maringá (Paraná)
UFRRJ: Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
UEMS: Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul
UFSC: Universidade Federal de Santa Catarina
Uepa: Universidade Estadual do Pará
Ufscar-SP: Universidade Federal de São Carlos (São Paulo)
Uerj: Universidade Estadual do Rio de Janeiro Uespi: Universidade Estadual do Piauí
UFSM-RS: Universidade Federal de Santa Maria (Rio Grande do Sul)
Ufac: Universidade Federal do Acre
UFS-SE: Universidade Federal de Sergipe
Ufal: Universidade Federal de Alagoas
UFT-TO: Universidade Federal do Tocantins
Ufam: Universidade Federal do Amazonas
UFU-MG: Universidade Federal de Uberlândia (Minas Gerais)
UFBA: Universidade Federal da Bahia
UFV-MG: Universidade Federal de Viçosa (Minas Gerais)
UFC-CE: Universidade Federal do Ceará
UnB-DF: Universidade de Brasília (Distrito Federal)
UFCG-PB: Universidade Federal de Campina Grande (Paraíba)
Uneb-BA: Universidade do Estado da Bahia
Ufes: Universidade Federal do Espírito Santo
Unemat-MT: Universidade do Estado de Mato Grosso
UFF-RJ: Universidade Federal Fluminense (Rio de Janeiro)
Unicamp-SP: Universidade Estadual de Campinas (São Paulo)
UFG-GO: Universidade Federal de Goiás
Unifap: Universidade Federal do Amapá
Ufla-MG: Universidade Federal de Lavras (Minas Gerais)
Unifesp: Universidade Federal de São Paulo
UFMG: Universidade Federal de Minas Gerais
Unifor-CE: Universidade de Fortaleza (Ceará)
UFMS: Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Unip-SP: Universidade Paulista (São Paulo)
UFMT: Universidade Federal de Mato Grosso
Unirio-RJ: Universidade do Rio de Janeiro
UFPA: Universidade Federal do Pará
Unir-RO: Universidade Federal de Rondônia
UFPA/PSS: Universidade Federal do Pará/Processo Seletivo Seriado
Unit-SE: Universidade Tiradentes (Sergipe)
UFPB: Universidade Federal da Paraíba
UTFPR: Universidade Tecnológica Federal do Paraná
UFPB/PSS: Universidade Federal da Paraíba/Processo de Seleção Seriado
UVA-RJ: Universidade Veiga de Almeida (Rio de Janeiro)
UPF-RS: Universidade de Passo Fundo (Rio Grande do Sul)
Vunesp: Fundação para o Vestibular da Unesp (São Paulo)
>Referências bibliográficas Ávila, G. Cálculo 1: funções de uma variável. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1982. Boyer, Carl B. História da Matemática. São Paulo, Edgard Blücher/Edusp: 1974. Coleção do Professor 1993, 14 v.
de
Matemática: Rio de Janeiro: SBM,
Dante, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12. ed. São Paulo: Ática 1997. Davis, P. J. & Hersh, R. A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989. Referências bibliográficas
Lima, E. L. et alii. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1997. (Coleção do Professor de Matemática, v. 1 e 2). Morettin, P. A & Bussab, W. O. Estatística básica. São Paulo: Atual, 1981. Polya, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1986. . Mathematical discovery. New York: John Wiley & Sons, 1981. 2 v. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: SBM, 1982/1998. v. 1 a 36.
471
>Respostas Capítulo 1
Página 14
1. x 5 21
2. a) Todos são potências de 7. b) 7 1 72 1 73 1 74 1 75 5 19 607
3. Ouro: 48 shaty; prata: 24 shaty e estanho: 12 shaty.
tim-tim por tim-tim
Abertura
1. a) a
1 10a 1 25 b) 4x2 1 16x 1 16 2
y22 1 5y 1 c) 25 25y
1 4
11. (5x 1 3)(x 1 5)
12. a) 3x(x 2 5) b) (3x 1 5)(3x 2 5) c) (5a 2 1)(a 1 2b) d) (x 1 20)2 e) (y 1 9)(y 2 9) f) 2a(a 2 3b 1 2)
3. a) x2 2 49
4. a) 16x2 2 72x 1 81 b) 25x2 2 y2 c) 9a2 1 48ab 1 64b2 4 4 d) xx22 2 x 3 9
Página 12
b) (x 2 4)(x 1 6) c) 2x(x 1 2y) d) 7a(a2 1 2b)
b) (a 2 1)(a 2 b) c) (x 1 y)(x 1 1) d) (a 1 3)(b 2 7)
8. (3x 1 5)(4x 1 3)
472
2. b
3. e
4. b
5. d
6. a
7. c
8. e
9. b
10. c
11. a
12. b
Capítulo 2 Página 19 Abertura
1. a) Depois do 0 e do 1 iniciais, os números seguintes correspondem à soma dos dois termos anteriores. b) Os resultados aproximam-se cada vez mais do número de ouro. c) Tanto a razão entre o comprimento e a largura dos retângulos, como a razão de um termo pelo anterior na sequência de Fibonacci correspondem ao número de ouro.
2. Aproximadamente igual a 1,618, ou seja, a razão áurea.
Página 20 Para refletir Sim; não
Página 21
1. a) Espírito Santo S b) Bahia S c) 17 B d) 15 B e) pentágono C f) losango C
15. a) (x 1 5)( x 1 2) b) (x 1 5)(x 2 2) c) (x 2 7)(x 1 5) d) (x 2 4)(x 2 2) e) (b 2 7)(b 1 3) f) (a 1 5)(a 1 9)
6. a) 3xy(2xy 2 3x 1 5y)
7. a) (x 2 2)(2x 1 3y)
1. b
Página 16
14. a) (x 2 4)(x2 1 4x 1 16) b) (2a 2 1)(4a2 1 2a 1 1) c) (3a 2 5y)(9a2 1 15ay 1 25y2) d) (4 2 2xy)(16 1 8xy 1 4x2y2)
Página 13
13. a) (a 1 10)(a2 2 10a 1 100) b) (3x 1 1)(9x2 2 3x 1 1) c) (2x 1 y)(4x2 2 2xy 1 y2) d) (3 1 2ab)(9 2 6ab 1 4a2b2)
5. a) x3 1 6x2 1 12x 1 8 b) a3 2 12a2b 1 48ab2 2 64b3 c) 1 2 30x 1 300x2 2 1 000x3 d) x3 1 3x2y 1 3xy2 1 y3
10. a) (3x 1 4y)(3x 2 4y)
Atividades adicionais
d) 1 − 2ab 1 + 2ab 2 2
2. a) a2 2 6a 1 9
b) 16x2 2 56x 1 49 2 1 y c) y22 2 3 9 d) x2 2 4xb 1 4b2
c) (3x 1 2y)2 d) (a 2 b)2
Página 17
c) x + 1 x − 1 6 6
b) a2 2 400 c) x2 2 16y2 d) 25x2 2 64
b) (a2 1 b2)(a 1 b)(a 2 b) c) (y 2 5)(x 1 4) d) (x 1 y)(x 1 y 1 5)
b) (2ab 1 3xy)(2ab 2 3xy)
Página 11
9. a) (x 1 8)2
Página 15
d) x4 1 2x2b 1 b2
Y cédulas de Y reais. Se ela perder X cédulas de Y reais e Y cédulas de X reais, com quanto ficará no bolso?
b) (7x 2 1)2
Página 10
17. a) 5x(3x 1 y)(3x 2 y)
or exemplo: No bolso de uma ** 5. Ppessoa há X cédulas de X reais e
Página 9
16. a) x 5 23 ou x 5 24 b) x 5 27 ou x 5 2 c) x 5 4 ou x 5 23 d) y 5 7 ou y 5 8 e) x 5 7 f ) x 5 23 ou x 5 26
2. a) V
3. a) {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}
e) V h) F b) V f ) V i ) F c) F g) F j ) F d) F
b) {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30} c) {retângulos} Para refletir Sim
Matemática
4. a) {5, 5} b) {2, 3}
• Ser um número escrito na forma
c) {2} d) {1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
n 2m, com m n, é condição necessária para ser um número par.
5. a) x é um número natural menor do
6. a) y é um número inteiro tal que y2 9 0. b) y é um número natural tal que y2 25 0.
7. a) Unitário b) Vazio c) Unitário d) Vazio
16. Sim • Ser um número par é equivalente a escrever o número na forma n 2m, m n.
b) C A
c) C B d) A C
11. Exemplos: X {2, 3, 4, 5, 6}; X {2, 4, 6, 8}; X {0, 2, 4, 6}; X {2, 4, 6}; X n; X {2, 4, 6, ...}
12.
13. a)
X Z; Y Z; X Y R P e P Q ⇒ R Q b) a C e C E ⇒ a E c) r P e P B ⇒ r B {0, 2, 4, 6, ...}; B {0, 1, 2, 3, 4, ...}; A p ⇒ q; A B b) A {trapézio}; B {quadrilátero}; p ⇒ q; A B
Página 26
CU Para refletir É um polígono cujos ângulos internos são todos menores que 180.
17. a) P(A) {, {0}, {1}, {0, 1}}
c) 4 elementos d) 8 elementos
18. 6 elementos
19. Qualquer conjunto formado por qua-
Página 27
20. a) {1, 3, 5, 7, 9} b) {0, 2, 4, 6, 8} c) {0, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9} d) {0, 6, 8}
21. Por exemplo, se A {1, 2}, B {0, 1, 2, 3, 4} e U {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
temos: A = { 0, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9} e B = {5, 6, 7, 8, 9} . Logo , B A .
22. a)
24. a) p: número quadrado perfeito par;
q: a raiz quadrada desse número é par; p ⇒ q; p’: número quadrado perfeito ímpar; q’: a raiz quadrada desse número é ímpar; q’ ⇒ p’; se a raiz quadrada de um número é ímpar, então esse número é quadrado perfeito ímpar. b) p: número par; q: número divisível por 2; p ⇒ q; q’: número não divisível por 2; p’: número ímpar; q’ ⇒ p’: se um número não é divisível por 2, então ele é um número ímpar.
tro números naturais, por exemplo, A {3, 20, 80, 124}.
23. q’: número natural maior do que 2,
par; p’: número natural maior do que 2, não primo; q ' ⇒ p ': se um número natural maior do que 2 é par, então ele não é primo.
b) P(B) {, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}}
15. •
S er um número par implica ser um número escrito na forma n 2m, com m n. • Ser um número par acarreta ser um número escrito na forma n 2m, com m n. • Se x é um número par, então x é um número escrito na forma n 2m, com m n. • Ser um número par é condição suficiente para ser um número escrito na forma n 2m, com m n.
B
C
14. a)
Respostas
necessária e suficiente para ser escrito na forma n 2m, m N. Simbolicamente, p ⇒ q.
Supor, levantar hipóteses.
e) V i) F b) F f) V j) V c) V g) F k) V d) F h) V l) F
U A
Para refletir
9. a) V
10. a) A B
c)
• Ser um número par é condição
Página 25
B
se, x é escrito na forma n 2m, m n.
b) U N c) U Z d) U N
B
C
• x é um número par se, e somente
e) Vazio f) Vazio g) Unitário
8. a) U {polígonos}
A
ma n 2m, com m n.
Página 22
U
• Todo número par é escrito na for-
que 10. b) x é um número natural par menor do que 8.
b)
25. q ⇒ p : r / s ⇒ r ⊥ t ou s ⊥ t
ou se duas retas distintas (r e s) de um plano não são paralelas, então uma delas não é perpendicular a uma reta t desse plano.
Página 30 U A
B
26. a)
U A
C
AU
B
C
AB
473
b)
c)
U A
A
B
35.
A
B
B
D
C C
c)
d)
AC
A
Página 33
B
páginas ** 5. b) a) 570 000 R$ 47,20
U A
tim-tim por tim-tim
B
C
e)
A
B
C
d)
BC
Página 35
U A
B
36. 5 alunos
C
f)
A
37. a) 54 famílias b) 315 famílias c) 365 famílias
B
C
38. a) 25 alunos
BA C
27. a) {a, c, e, f}
c) {h, i} d) {a, c, e, f, h, i}
b) B
28. a) {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b) {4, 5, 6} c) {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} d) {0, 3, 6} e) {6, 9} f) {0, 3, 4, 5, 6, 9, 10} g) {0, 2, 3, 4, 5, 6, 9} h) {6} i) {0, 3, 6, 9} j) {4, 5, 6, 9} k) {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} l) {6}
29. a)
A
B
A
39. a) 66 pessoas b) 34 pessoas c) 4 pessoas d) 19 pessoas e) 40 pessoas f) 51 pessoas
30. a) (A B) C b) (A B) (B C)
31. a) {2} b) {0, 2, 3} c) d) {3} e) {3, 0, 2, 3}
32. a) F
33. A negação de p ou q é “nem p nem
q”: x é um quadrilátero que não tem os quatro ângulos retos nem os quatro lados de mesma medida. A negação de p e q é “não p ou não q”: x é um quadrilátero que não tem os quatro ângulos retos ou não tem os quatro lados de mesma medida.
34.
b) F c) V
P G L
B
40. a) 41 estudantes b) 27 estudantes
Página 31
C
b)
c) 50 alunos
b) 10 alunos
Q Q
R
41. a) 43%
42. a) 45 entrevistados
b) 7% c) 57%
b) 33 entrevistados c) 50 entrevistados
43. a) 10%
b) 57%
Página 36 Para refletir
• Não • Sim Página 37 Para refletir
C
474
a) Q b) G c) Q
d) Q e) P f) R
Todo número natural é inteiro. Todo número inteiro é racional. Portanto, todo número natural é racional.
Matemática
Página 39
Para refletir
• Não • Sim
n n* e n* n b) œ ® e ® œ
45. a) Ω œ œ e Ω œ Ω
c) V e) V b) F d) V
b) Ω c) d) n
48. a) 0,875
d) 1,4 e) 1,142857
c)
b) 1 6
d)
50.
0,25
283 2 250
A
d) A ( , 2] [1, + );
c) 2 d) i 1
60. a) (, 6]
64. a) P(xP, 0)
65. x 3
5
E
F
B
b) P’(0, yP)
Página 49
66. x 3 e y 5
67.
y X
2
2
0
Z
2
Y
x
c) [6, 2] d) (5, 2]
A 6 4
1
b) F(60°, 20°) c) G(40°, 60°) d) H(50°, 60°) e) I(55°, 30°) f) J(35°, 85°) g) K(60°, 80°)
5 3
8
Página 50 U
69. a) Aproximadamente 7,2 unidades de comprimento. b) Aproximadamente 8,4 unidades de comprimento.
( A B) região e região 6 b)
3
A
2 –3
d)
B 2
6 4
1 2
1
5 3
8
70. P(x, y) e O(0, 0) d(P, O ) ( 0 x )2 ( 0 y )2
7
2
x 2 y2
C
7
W
68. a) E(20°, 40°)
B 2
C
–1
2
A 16
7
b)
Respostas
x
D 4
–3
Por exemplo, poderíamos numerar assim: a)
6 3 1 i 5 5
d)
Página 45
f)
–2
61. Sim
55. 2i
e)
3 1 3 2 2
0
Desafio em dupla
7 i 1 1 c) i 13 2 2
b) 2 i
c)
–1
–1
A B ( , − 2] ( 0, );
b) (5, 2]
b) x’ 2 i e x” 2 i
56. a)
–2
A B = ( , − 2] ( 0, ).
53. a) x 1 3 i e x 1 3 i
–3
c) A B [2, ); A B [1, 0)
c) 14 22i d) 2 2i
52. a) 1
13
1
B ( , 3) ( 0, );
51. a) 5 5i
54. a) 17 1
B
B não se define; A 5 [1, 4 ).
b) i
A
b) A B (, 4); B A (, 1);
1 6 4 0, 52 0, 5 2 10 5
b) 1 2i
A B [2, 3); B A (4, 6]; B não se define.
8 33
Página 44
3 2
59. a) A B [3, 4]; A B [2, 6];
1 3
49. a)
A
Página 47
c) 0,75
C
4
{3, 5} representa o conjunto dos elementos 3 e 5. (3, 5) representa o conjunto dos números reais entre 3 e 5 e também representa o par ordenado de abscissa 3 e ordenada 5. [3, 5] representa o conjunto dos números reais de 3 até 5.
b) œ IIr ® e œ IIr
b) 0,384615
y 5
Para refletir
47. a) V b) F c) V d) F
63.
58. a) V
44. a)
46. a) Ω
62. A(3, 3); B(3, 2); C(2, 0); D(2, 4); E(4, 3); F(0, 2).
c) ], 1]
e) 2 3 , 3
b) (1, [
Página 40
Página 48
d) 1 , 3 2
57. a) [4, 2]
U
–4 0
6
( A B) C 5 região 2 região 5 região 8
71.
(2 13 1 2) unidades de comprimento
475
72. a) O(5, 3), r 1
b)
2 1 B 0
–1
–2
73. a) (x 1)2 (y 4)2 4
2
3
85. a) b)
4
–1
4
79. E {x ® | 3 x 2}; 80. e
B {(1, 2), (1, 3), (0, 2), (0, 3), A (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}
83. a e c
b) B A {(2, 1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 0), (3, 1), (3, 2)}
84. a) Gráfico de F1:
A
86. 15 relações binárias
87. a)
R {(1, 2), (3, 4), (3, 6), (5, 10), (7, 10)}
b) D(R) {1, 3, 5, 7}; Im(R) {2, 4, 6, 10} c)
B
c) A2 {(1, 1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (0, 1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}
4
d) B2 {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}
2
B
5
10 9 8 7
3
6 5 4
1
AB
3 2
A 1
0
B
2
1 0
3
2 1 A 1
0
A 1 2
3 4
5 6 7
Gráfico de F3:
B
88. a) R {(1, 3), (3, 5), (4, 6)} b) D(R) {1, 3, 4}; Im(R) {3, 5, 6} c) R1 {(3, 1), (5, 3), (6, 4)}
5
2
B
c) D(R) {1, 0, 1, 2}; Im(R) {2, 4, 6}
81. a 82. b
Página 54
6
2
F {x ® | 4 x 3}
Página 52
–1
2
1
O(2, 4), r 1
75.
R {(1, 2), (0, 4), (1, 4), (2, 2), (2, 6)}
0
Desafio em dupla
74. a)
1
–1
b) (x 2)2 (y 5)2 9 c) x2 y2 36 d) x2 (y 1)2 4
c) F1: D(F1) {1, 2}; Im(F1) {3, 4, 5}; F3: D(F3) {1, 2}; Im(F3) {4, 5}.
A
b) O(2, 1), r 3 c) O(0, 0), r 4 d) O(0, 2), r 5
4
B2
3
B 3
89. a)
2 1
3
A
2
0
1
R1 {(3, 4), (4, 3), (4, 4), (5, 3), (5, 4)}
3
2
4
1
4 B
0
1
2
5
3
b) Diagrama de flechas de F1
76. 5 elementos
3
A
1
77. C {2, 1, 3} e D {3, 1, 0, 2, 3}.
4 2
78. a)
5 B A
4 3
2
B
3
Diagrama de flechas de F3
3 4 4
A 0 –1
1
2
5
3 1 4
A
2 5
–2
A
476
{( ) ( ) ( ) (3, 5) , (4 , 5)}
1 R 1 4 , 3 , 3, 4 , 4 , 4 ,
b) R2 {(3, 3), (4, 4)}
1 –1
B
D(R1) {3, 4, 5}; Im(R1) {3, 4};
B
B
D(R2) {3, 4}; Im(R2) {3, 4};
{( ) ( )}
1 R 2 3, 3 , 4 , 4 .
Matemática
c) R3 {(3, 4)}
97. a) 120 d) 1 600 g) 200 b) 900 e) 55 h) 350 c) 5 f) 80
3 3
4 4
98. a) 376 t
A
B
D(R3) {3}; Im(R3) {4};
1 R 3 4 , 3 .
{( )}
99. a) 1 072
1 01. a) R$ 30,00
3 4
b) 3 105 km/s c) 4 104 km (aproximadamente) d) 2,279 108 km e) 7,783 108 km f) 9,11 1028 g
Página 58
109. a) Aproximadamente 111,76 GB bi-
b) 70 000 habitantes c) 100 km d) R$ 88,00
3
107. a) B c) B e) D b) C d) A
b) 448 c) R$ 81,00
1 00. Porque 135% é mais do que 100%.
d) R4 {(3, 3), (4, 3), (4, 4), (5, 3), (5, 4)}
nários. b) 35 1010 bytes; 128 106 bytes. c) 2,56 1011 bytes; 8 106 bytes.
4 5
1 02. Pará: 1 200 000 km2;
A
B
D(R4) {3, 4, 5}; Im(R4) {3, 4};
{( ) ( ) ( ) (3, 5) , (4, 5)} . 1 R 4
3, 3 , 3, 4 , 4 , 4 ,
Página 55
90. a) 8 515 000 b) 8 510 000 c) 8 500 000
91. a) Três mil, setecentos e setenta e cinco b) 3 103 7 102 7 10 5 100 c) 3 800 d) 4 000
93. a) Dezena de milhar b) Cento e quarenta e nove milhões e seiscentos mil c) A órbita da Terra em torno do Sol é elíptica. Há momentos em que a Terra está mais próxima do Sol, e há momentos em que está mais distante dele. Distância média é a média de todas essas distâncias.
94. 189 820 000 → 189 800 000 → → 189,8 milhões
Página 56
95. a) 17 300 000 b) 600 000 c) 1 300 d) 3 500 000 000 e) 152 700 000 000 f) 3 200 000 000 000
96. Menor: 55 500; maior: 56 499.
Respostas
b) 27 444 c) 2 340
1 08. a) 1,496 108 km
b) Papelão: 80%; latas de alumínio: 96%. c) 1 500 t
5
106. a) 1 134
Amazonas: 1 600 000 km2; Minas Gerais: 600 000 km2; Mato Grosso: 900 000 km2. Amazonas, Pará, Mato Grosso e Minas Gerais.
1 10. 135 e 246 111. a)
Dias de janeiro
Temperatura
1
4 °C
2
21 °C
Página 57
3
23 °C
103. b) Luciana: R$ 120,00; Roberto: R$ 100,00. c) 13 aparelhos de DVD
4
0 °C
5
21 °C
6
3 °C
1 04. a) 3 300 km
7
2 °C
8
1 °C
105.
b) 3 399 km
3 pontos
2 pontos
1 ponto
5 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 – – – – – – – –
– 1 – 3 2 1 – 4 3 2 1 – 6 5 4 3 2 1 – 7 6 5 4 3 2 1 –
– 1 3 – 2 4 6 1 3 5 7 9 – 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11 13 15
b) 4 °C; dia 1‚. d) Dia 4. c) 3 °C; dia 3. e) Maior. 112.
y
C
3 2
A
1 –4
–3
–2
1
–1
I
2
0
3
4
D
x
F
–1 –2
E
–3
G
H
B
nACD: obtusângulo e escaleno; nIEG: retângulo e isósceles; nFHB: acutângulo e escaleno.
113. C(5, 3)
Página 59 114.
2
B’
A’
–4
–3 –2
1
–1 0
A
1
2
3
x
–1 –2
B C
y 3
C’
–3
É uma reflexão do ABC ou é o simétrico do ABC em relação ao eixo x.
477
115.
y (1,4) 4
(4,3)
3
–3
–2
1
–1
P 1
0
2
3
4
x
y
0
L
F
Página 65
b) Menos
–1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9
c) 40 polegadas d) 18,75 mm
N
E
O DEF é uma ampliação do MNL.
117. 1 coordenada: 6; 2a coordenada: 6. a
Página 60 118. 2 colheres de sopa de açúcar, 1 de 4 3 copo de leite, de colher de café 4 de fermento em pó, 2 1 xícaras de 2
1 31. a) 291 milhões
1 34. a) Diâmetro da Terra: comprimento 2 km; temperatura do planeta Terra: temperatura 2 grau Celsius; peso do planeta Terra: massa 2 tonelada; movimento de translação e de rotação da Terra: tempo 2 ano e dia; superfície do planeta Terra: superfície 2 km 2; volume do planeta Terra: volume 2 km 3. b) 6 500 000 000 000 000 000 000
5 65 1020
b) R$ 207,84
c) Subiu; R$ 0,0022 d) R$ 145,77
Atividades adicionais
Página 63 135. 532 quintilhões de quilômetros
1 22. a) 12,5 km/
b) R$ 70,99
1 37.
1 23. a) Normal
c) 64,8 kg
Página 61 124. a) 3 000 votos b) 40% c) 35%; 4 200 votos d) A: 90°; B: 144°; C: 126°.
1 25. Mercúrio: aproximadamente 92,6%; oxigênio: aproximadamente 7,4%.
1 26. a) 478
801 b) 507 c) 347 629 4 697 345
2. c
3. c
4. 0-0) F 1-1) V
2-2) F 3-3) V
4-4) F
b) 1 420 filiados 15. 48 caixas
16. e
17. d
18. d
19. c
Capítulo 3 Página 71
1. a) Menor; menor. b) 0,05% nas áreas protegidas e 0,15% nas áreas não protegidas aproximadamente.
e) 382 500 000 km
136. R$ 421,20
1. b
5. c 6. e 7. e 8. e 9. 7 elementos 10. c 11. c 12. d 13. b 14. a) 80 filiados
2
121. Aproximadamente R$ 2,58.
2. 3 000 lâmpadas 3. 2 000 habitantes
Abertura
d) Um trilhão, oitenta e três bilhões, duzentos e trinta milhões.
b) 1 d) 5 f) 1 2 6 2
Página 66
c) 142,2 °C 119. a) 1 c) 2 e) Zero 6 3
1. 99 441 726,9 kW
b) 289 milhões
132. a) P or exemplo: peito de peru, hambúrguer simples e hambúrguer duplo; peito de peru e X-salada. b) Hambúrguer duplo e hambúrguer simples. c) X-salada
farinha de trigo.
1 20. a) R$ 2,0649
b) 4 h
A Matemática e as práticas sociais
130. 1,52 AU
3 2 11 2 3 4 5 6 7 8 9 x
M
1 29. a) 1,75 polegada Página 62
Q
–7 –6 –5 –4 –3 –2
1 39. Aproximadamente 10 min.
–1
–3
D
1 28. Aproximadamente 29,58 m.
R –2
116.
138. a) 315 km
(2,0)
2 –4
127. 7,21 m
2. 25a posição.
Página 73
1. a) Sim b) Sim c) Sim
Estado
População
Densidade Área demográfica (em km2) (hab./km2)
2. a) A área é dada em função do lado. b) A área (2).
Minas Gerais
19 273 506
586 528 32,86
Goiás
5 647 035
340 087 16,60
d) A 2
Rio Grande 10 582 840 do Sul
281 748 37,56
e) 144 cm2
Pará
1 247 690 5,66
7 065 573
a) Minas Gerais b) Pará c) Rio Grande do Sul d) 16,60 hab./km2
c) O lado ().
f ) 13 cm
3. a) dd 5
2
b) c 2r c) d
n(n 2) 2 Matemática
4. a) Sim
Página 76
b) O custo produção (c) é dado em função do número de peças (x). c) c 1,20x d) 10 peças: R$ 12,00; 20 peças: R$ 24,00; 50 peças: R$ 60,00. e) 100 peças
11. a)
5. a) Q 72 10x
1
1
4
2
9
3
16
4
25
5
Número natural
Sucessor
0
1
1
2
2
3
3
4
...
...
n
n11
12. a) D(f) {3, 4, 5, 6} b) Im(f) {1, 3, 7} c) f(4) 1 d) y 7 e) x 6 f) x 3 ou x 4 g) f(x) 3 h) y 1 i) x 5
b) Sim c) O sucessor é dado em função do número natural. d) n 1 e) 1 000
x 2 1 0
1
2
y 9 4 1
6
11 16 21 26
3
4
5
Página 75
8.
1
3
3
9
4
12
3
b) f ( x ) 5 x 3
2
4
c) f(x) 2x 3
B
É função.
–1 0
Respostas
14. a) f(x) x2
27.
28. a
1
2 1 2 1 π 2
29. m 1
x (h)
31. 1 1
d (km) 56
2
3
4
5
106 156 206 256
33. a) 80 unidades
b) Lucro
Página 81
34. a) D(f) ® {6}
b) D(f) ® {3, 3} c) D(f) ®*
d) D(f) ® {5, 1}
e) D(f) ®
16. a) c 10
g) D(f) ®
Para refletir
f) f(x) x3 x2
5
c) y 14x d) y 3x
Em 2006: 70 797 em 170 474
b) 10 c
Página 80 r 5 C 2π
17.
18. f(3) 4; f(0) 5.
19. 1
B
c) 5 e) x 7 b) 9 d) 62
d) f(x) x2 4 e) f ( x ) x 3 2
15. a) y 20x 40 b) y 8x
9.
10. Sim
26. a) 10
20 3
Página 82
Página 79
1
2
b) x 5 1 2
h) D(f) {x ®| x 2 e x 3}
1
Não é função.
25.
3
Porque para x 0 não existe 1 . x
0
A
( 3 ) 5
f) D(f) {x ® | x 7}
0
3
24. 3 elementos
f
Para refletir
–1
1
B
–1
0
32.
–2
A
23. a)
b) D(g) {1, 3, 4}; CD(g) {3, 9, 12}; Im(g) {3, 9, 12}. c) g(3) 9 d) x 5
y 5x 1
13. a)
Desafio em dupla
7. a, c
22. Im {3, 1, 2, 5}
2
16
30. 1
A
Página 77
21. S 5 P
20.
B
É função.
b) y 5 x
Página 74 6. a)
0
A
b) R$ 172,00 c) 20 clientes d) C x 6
0
x 5 2 3
Em 2005: 59 374 em 154 514 5
5
59 374 0,38 5 38% 154 514
70 797 41,5 42% 170 474
Página 83
35. a)
36. a) Máximo: 2008; mínimo: 1992.
Maior: Schumacher; menor: D. Hill. b) Clark e Lauda.
b) Em 1997, 1998 e em 2000 a 2009. c) Queda de aproximadamente 0,8%.
479
Página 84
g)
Para refletir
2
Porque, no primeiro exemplo, D(f) {0, 1, 2, 3, 4} e, no segundo exemplo, D(f) ®.
1
1 2 –3
–2
x 0
–1
Página 85
b) Crescente: {x ® | x 1}; decrescente: {x ® | x 1}. c) Crescente: {x ® | x 0}; decrescente: {x ®| 0 x }.
y
1 1 2 –1
2
b) Eixo x: um ponto; eixo y: um ponto. c) Igual d) Valor máximo: 3; valor mínimo: 1. e) O ponto (1, 1). f) Sim g) 1 x 3
–2
37. a)
y
Página 86
x 0
2
38. a) D [3, 1]; Im [2, 2]. b) D (2, 3); Im [1, 3]. 1 c) D [2, 1); Im , 46 2
–2
b)
1 1
0
39. a) Sim
b) Sim c) Sim d) Não
Porque, para ser par, f(3) f(3), o que não acontece. Para ser ímpar, f(3) f(3), o que também não acontece.
2
x 0
40. a) É função (não é par nem ímpar). b) É função ímpar. c) Não é função. d) É função par.
1
d)
y
1
b) É função par. c) É função ímpar. d) É função par.
Página 91
–2
Para refletir e)
Para x 0.
y
**
1 x –1
1
2
y
4
tim-tim por tim-tim
5. a) 20 000 hectares; 15 000 hecta-
0
Página 95
49. a) Sim
50. a e b
51. a) Sim
x 0
480
c) Crescente
b) Decrescente
1
1
2
c) Não e) Sim b) Sim d) Não
b) Não c) Não d) Sim
43. a) Crescente: {x ® | x 2}; decrescente: {x ® | x 2}.
52. a) É sobrejetiva, não é injetiva e não é bijetiva. b) Não é sobrejetiva, é injetiva e não é bijetiva. c) Não é sobrejetiva, não é injetiva e não é bijetiva. d) É sobrejetiva, é injetiva e é bijetiva. e) Não é sobrejetiva, não é injetiva e não é bijetiva. f) É injetiva, não é sobrejetiva e não é bijetiva. g) É injetiva, é sobrejetiva e é bijetiva.
res; 12 000 hectares. b) A área plantada diminui. c) A produção aumenta.
42. a) Crescente
c) Sim e) Não b) Sim d) Sim f) Não
Página 96
Página 93 2
47. a) Não
Página 97
Página 92
4
f)
chegou aos 100 m em 14 s e o filho, em 17 s; a diferença de tempo foi de 3 s. b) Cerca de 70 m. c) Cerca de 9,5 s.
48. c e d
41. a) Não é função par nem ímpar.
x
0
–2
46. a) O pai ganhou a corrida, pois ele
Para refletir
y
45. a) Valor máximo: novembro de 2008; valor mínimo: agosto de 2008. b) De outubro de 2008 para novembro de 2008; 55,22%. c) 12,45%
Página 88
x
c)
d) D [0, 4]; Im [0, 2] e) D [0, 2]; Im [1, 1] f) D (2, 3); Im (0, 3)
y
44. a) D(f) [1, 4]; Im(f) [1, 3]
53. a) É sobrejetiva, não é injetiva e não é bijetiva. b) É injetiva, não é sobrejetiva e não é bijetiva.
Matemática
c) É injetiva, é sobrejetiva e é bijetiva. d) É injetiva, não é sobrejetiva e não é bijetiva. e) É injetiva, é sobrejetiva e é bijetiva.
b) 1 3
1 2
2 1
2 f
54. a) Sim c) Sim
–1
e) Sim
Capítulo 4
Página 99
Abertura
Para refletir
1. Na Terra.
2. Quando se fala em “perder peso”, o
–10
Sim
que se quer dizer é perder massa, já que a aceleração da gravidade é constante no lugar em que estivermos. Garfield quis ser esperto ao falar que iria para um planeta onde a gravidade fosse menor, pois realmente seu peso será menor lá, mas ele sabia que na verdade ele não iria “perder peso”, pois sua massa continuaria a mesma.
Página 105
Página 101
55. a) 4
56. g( x )
57. 0 58. 19 59. d
b) 3 c) 1
x 1 3
Página 103
11. b 14. a 17. 10
Página 111
–4
b) Não d) Sim
10. c 13. e 16. e
x
–1 0
Página 98
9. e 12. a 15. a
y
f
67. (0, 1, 4, 9, 16, …)
68. f(x) 2x 1
69. a) PA; r 5. b) PG; q 2.
60. a) f1(x) x 6 1 x b) f −1( x ) 2
70. 51
c) Não
d) PG; q 5 1 . 2
71. 972
Página 113
Desafio em dupla
y
c) 4 d) 3k 1
b) 3
3
x 4 c) f −1( x ) 3
1. a) 1
2
2. g(x)
3. a) 5x 5h 3
1
x d) f −1( x ) 5 3
x –3
–2
–1
0
1
2
3
4
b) x h 2 c) 1 x 1 1 h 1 1 3 3 4
–1 –2
61. f −1( x ) Para refletir
2x x 1
–3
{ })
(
O domínio de f ® 2 2 é a imagem
(
{ })
de f1. A imagem de f −1 ® 2 1 é o domínio de f. x 4 b) 2 62. a) f ( x ) 3 −1
x 5 63. a) g( x ) 2 b) (f g)(x) 5 x; (g f)(x) 5 x.
64. g(x) 3x 1
65. y 2
Página 104
66. a)
f −1( x )
Respostas
Página 115
D(f) ®; Im(f) Ω.
2 x 6
b) Não é função afim. c) Função afim; a 1 e b 9. d) Função afim; a 4 e b 2.
Página 107 A Matemática e as práticas sociais
1. a) 20 b) Normal c) 1,9 m 2. 20,64 kg 3. 80 kg 4. 1,7 m 5. c 6. Academia Energia e Saúde 7. 48 cm
Página 108
5. Afim: todas; linear: d, e; identidade: d; constante: c; translação: f.
6. a) f(x) 3x 2
7. a) 4
8. a) Sim
9. a) f(x) 8 0,50x
b) f(x) 2x 5
b) 3 c) 0 d) 1 3 b) Não c) 0,50
b) R$ 58,00
Atividades adicionais
3. d 7. d
4. a) Função afim; a 7 e b 1.
1. d 2. d 5. a 6. c 8. 1) Errado
4. d
3) Correto
2) Correto
4) Errado
10. a)
Largura 1 cm; perímetro 12 cm; largura 1,5 cm; perímetro 13 cm; largura 2 cm; perímetro 14 cm; largura 3 cm; perímetro 16 cm; largura 4 cm; perímetro 18 cm.
481
b) Largura (cm) Perímetro (cm)
Página 120
12
1,5
13
2
14
3
16
• Porque você pode "andar" com a reta
4
18
y 5 x 1 b paralelamente com a reta y 5 x.
2
• É a semirreta de origem no vértice que
x –2
0
–1
–2 –3
de f(x) é o mesmo (valor constante b). f )
Página 121
y
5 4
29. a)
y
3
6
12. a) Plano A: f(x) 50x 100;
2
5
1 –1
4
x 0
3
1 –1
2
–2
1
13. a) P 1 p 50 b) 75 2
x –2
–1
0
1
30.
2
y t(x) 4
–1
Página 116
14. c
1
–1
• Porque para qualquer valor de x o valor
plano B: g(x) 40x 180. b) O plano A é mais econômico para x 8; o B, para x 8; e eles são equivalentes para x 8.
1
divide o ângulo ao meio.
11. a) f1(x) 50 0,37x, para x 100;
f2(x) 63 0,37x, para 100 x 300; f3(x) 75 0,37x, para 300 x 500. b) f1: 0,37; f2: 0,37 e f3: 0,37.
y
Para refletir
1
c) f(x) 10 2x
e)
s(x)
b)
2
y
15. b
h(x)
3
f(x)
1
5
x
0
16. a) 0,66 g
–1
1
–2
2
17. 10 km
–3
1
–4
x –2
–1
0
1
2
19. a) V 150t 1 000 b) R$ 100,00 c) R$ 900,00
31. a) C(x) 6x 10 400 b) R$ 17 600
c)
y
32.
5
y –1
4
Página 117
21. 50 °F
–3
x –1
0
2
–2
1 –2
1
–1
3
20. 160 °C
22. 48,9 °C
x 0
2
2
–1
3
18. 700 g/m3
–2
4
b) 0,27 g c) Na primeira situação.
g(x)
1
–4
2
–5
23. 122 °F
25. a) 0,00129C 76,43058
d)
y
33.
5
b) 0,000717F 76,407647
c 5
4 4
Página 118
26. a) r 5
3 3
b) Sim c) r 15
2 2
1
27. r 12
28. f(x) 4x 1
482
x –1
0
1
2
1 – 2
1 q 1 0 – 4
Matemática
2 34. a) f ( x ) 1 x 3 3
Página 124
tim-tim por tim-tim
1 x 1
0 –1 –2 –3
3
–5 –4 –3
x
–2 –1 0 –1
1
2
3
c) Os gráficos f e f1 são simétricos em relação ao da função y x. 3
48. P − 2 , 1
(0, 245)
2 3
Para refletir g(a) 5 103 e h(a) 5 97
Página 128
43. a) f(x)
corta o eixo x no ponto 4 3 , 0 , e o eixo y no ponto (0, 4).
2
1 x 1
2
b) f(x) é decrescente; g(x) é crescente; h(x) é crescente. c)
1 x 2 2
Página 129
g(x) corta o eixo x no ponto (0, 0) e o eixo y no ponto (0, 0). h(x) corta o eixo x no ponto (2, 0) e o eixo y no ponto (0, 2).
y
49. a) Retas paralelas distintas. b) Retas concorrentes. c) Retas concorrentes.
50. a)
y f(x)
5
y
4
f(x) 4
3 P
3 2
Para refletir Porque existem infinitos valores de y para um único valor de x e, portanto, não é função.
1
–1 –4
–3 –2
g(x)
2
h(x)
1
x
0 –1
1
2 3
x
4
–1
40. f(x 2) f(x) 5 3(x 2) 1 (3x 1) 5 3x 6 1 3x 1 6
41. Acréscimos iguais a 12.
42. Precisamos mostrar que f(x h) f(x) f(x’ h) f(x’). f(x h) f(x) 5 (x h b) (x b) h (1) f(x’ h) f(x’) 5 x’ h b (x’ b) h (2) Logo, f(x h) f(x) f(x’ h) f(x’).
0
1 –1
–2
2
3
4 g(x)
–2
Página 123
Respostas
f –1(x)
1
Esse valor não é adequado por não ser um número inteiro. O melhor valor no caso seria o próximo número inteiro maior que f(2 013), ou seja, 517 espécies.
Para refletir
37. y 2 x 2 3
y=x
2
–5
39. y
6
4
–4
0
f(x) 7
** 5. a) b) 572 f(2 013) 516,5
–2
–1
y
Página 126
2
–2
x 5 6
5
36. a) 3 b) a 3 e b 2 c) y
38.
f −1( x )
b)
Basta observar os gráficos: ângulo de inclinação da reta (a . 0, a , 0 ou a 5 0) e ponto onde ela corta o eixo y (b . 0, b , 0 ou b 5 0).
35. a) m 8 b) m 3
d) x
47. a)
Para refletir
b) f ( x ) 4 x 4 3
–1
44.
f ( x ) x 4 ; crescente. 2
45. f(x) 3x 1; a 3
46. a) A(3, 0); B(0, 3); C(6, 3) b)
3 12 b) P , 5 5
y g(x) = x – 3 4
B
Página 130 C
3 2
Para refletir
h(x) = 3
1 –1 0
51. g(x) 3x 5
A 1
2
3
x 4
5
6 f(x) = –x + 3
Quando x . 5 , f(x) . 0; quando x , 5 , 2 2 f(x) , 0.
483
Página 131
• O sinal 1 significa f(x) . 0, e o sinal 2 significa f(x) ,0.
( 14 , 0)
1
x 0
1
2
3
–2 –3
52. a) Eixo x: (5, 0); eixo y: (0, 5). b) Eixo x: (4, 0); eixo y: (0, 4). 1 c) Eixo x: 2 , 4
e) Eixo x: (2, 0); eixo y: (0, 1).
60. a) S { x ® | 2 x 1 }
10 5
para x 5 ; f(x) 0 para x 5 . 3 3
d) f(x) 0 para x 2; f(x) 0 para x 2; f(x) 0 para x 2.
55. Não existe valor real de x que satisfaça as duas condições simultaneamente.
56. x 17
Página 135
484
uma proporcionalidade
72. Não é uma proporcionalidade.
73. Sim.
74. Sim.
Página 141 LOJA B
75. a)
50
2
10
10
20
5
25
4
5
20
b) xt 5 100; t 5 c)
t (min)
x (/min)
Livros
Para menos de 5 livros, o preço do frete é menor na loja A, para 5 livros o valor do frete é o mesmo nas duas lojas e para mais de 5 livros, o valor do frete é menor na loja B.
64. a) O plano C.
65. A partir de 60 minutos.
66. x 1 500 0
100 x
t 20 16 14
67. d
12 10 8 6 4 2 0
x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
d) Sim, inversa.
Página 138
68. a) v 60 m/s b) S 60t 100 c) S 700 m d) t 15 s
b) S {x ® | x 14} b) S {x ® | 2 x 4} c) S = { x ® | 1 x 3} 2
71. → P é
b) A partir de 50 minutos.
57. a) S {x ® | x 2}
58. a) S {x ® | 0 x 4}
18
54. a) Para x 1. b) Para x 4.
t (s)
Página 139
x 5
1,0 2,0 3,0 4,0
direta.
63. a) Na loja A.
Frete (em R$) y
v (m/s)
0 –10
3
c) f(x) 0 para x 5 ; f(x) 0 3
3 } 2
b) Loja A: f(x) 3x 5; loja B: f(x) 2x 10. LOJA A c)
b) f(x) 0 para x 1 ; f(x) 0 2 1 para x ; f(x) 0 para x 1 . 2 2
c) 10
62. a) D { x ® | x − 5 ou x 1}
53. a) f (x) 0 para x 4; f(x) 0 para x 4; f(x) 0 para x 4.
S { x ® | 1 x
t (s)
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
–10
2
61. a)
6,0
0
c) D {x ® | x 1 ou x 5}
8 f) Eixo x: , 0 ; eixo y: (0, 2). 3
10
b) D {x ® | x 0 ou x 3}
0 ; eixo y: (0, 1).
d) Eixo x: (0, 0); eixo y: (0, 0).
30 20
b) S {x ® | 4 x 1 ou x 2}
Página 132
40
b) S {x ® | x 1 ou 2 x 4}
–1
S (m) 50
e) 66 x 82
2
–1
b)
d) x 102
3
–2
70. a) v 10 m/s; S0 50 m
c) x 109
y
–3
b) x 46 O comerciante terá prejuízo se vender menos de 46 unidades.
Para refletir
•
59. a) f(x) 5,00x 230,00
69. a) v 10 m/s b) S 10t 10 c) S 40 m
76. a)
Velocidade (km/h) Tempo (h) 50
8
100
4
80
5
25
16
40
10
20
20
Matemática
b)
93. 6 20
40
60
80
100 120
c) Proporcionalidade inversa. C , em que R é a resistência, A C é o comprimento e A é a área da seção reta.
77. R 5
78. Y também sofre um acréscimo de 10%.
84. 90 000 000 cm ou 90 km
85. a) 1 cm: 100 km ou 1 : 10 000 000 b) 150 km
86. a)
Fique em Forma: G(x) 80 50x; Corpo e Saúde: G(x) 60 55x. b) Em um ano a academia Fique em Forma oferece menor custo.
87. a) V
5 m (m 0) 4
1. 2,0 2. A expectativa de vida será de 77,5 anos. 3. 2035 4. 5 anos
1. c 4. e
2. d 5. d
A função não é injetiva nem sobrejetiva.
3. d 6. a
7. a) b 2 400 e q 5 3 5 b) R$ 2 880,00
c 0. b) Função quadrática: a 1, b 0, c 8. c) Não é função quadrática. d) Não é função quadrática.
5. a) 0 b) 5 c) 1
Página 149
d) 7 2 4 2 e) 21 f) 3h2 2h
Abertura
2. a) 32º; 11º
b) b2 b
g) x 0 ou x 5 3 4 h) Não existe x real.
Página 150 Para refletir Porque f(x) 2x é função afim, f(x) 2x é função exponencial e f(x) x3 2x2 x 1 é função do 3‚ grau.
1. a, d, f
P 1 d) x 3
2. a) Para todos os números reais dife-
Respostas
4. a) Função quadrática: a 6, b 2,
11. e
b) 28 palitos. c) 5 quadrados.
91. c 3 p 50 40
Porque x representa o número de pontos marcados na circunferência.
Para refletir
Capítulo 5
89. a) P 3x 1
90. c
Para refletir
Página 153
8. a 9. a 10. d 12. Após 24 horas.
88. b
Página 143
Página 152
Atividades adicionais
b) m 24 g
s(t): a 4,9; b c 0. p(n): a 1; b 1; c 0.
Página 146
83. Para cada unidade na planta (1 cm,
Para refletir
A Matemática e as práticas sociais
Página 142 por exemplo) correspondem 10 000 unidades na realidade (no caso do exemplo: 10 000 cm ou 100 m).
Página 151
a) 10 000 pés b) 50 C
Página 145
é π.
b) A função é linear. c) Sim.
b) a 2, b 12 e c 18 c) a 2, b 12 e c 23 d) a 1, b 1 e c 6 e) a 12, b 13 e c 14 f) a 10, b 13 e c 3
Desafio em equipe
79. Y sofre um decréscimo de, aproxima-
81. a) f(x) 15x
3. a) a 2, b 0 e c 0
96. c
80. O coeficiente de proporcionalidade
95. a) P 156 2,5n b) 15 semanas
damente, 13%.
94. b
v (km/h) 0
e) Para t 2. f) Para todos os números reais diferentes de 1.
92. F 1 n 37 4
t (h) 20 16 12 8 4
rentes de zero. b) Para todos os números reais. c) Para todos os números reais, exceto t 2. d) Para todos os números reais diferentes de zero.
13 2 9 2 9
6.
8. a) 78,5 cm2
9. a) f(10) 100; f(1,5) 2,25;
7. 15 watts b) 8 m
( )
f 2 3 5 12. b) 5 16 c) D(f) ®*; Im(f) ®*
Página 154
10. a) 44,1 m
11. O impacto é 9 vezes maior.
b) 5 s
485
12. A 600 4x2
14. a) x 5 1 2 b) x’ 0 e x’’ 1 c) Não existe x real.
15. x2 2x 3
vo e, somando com 2
x2 4x 3 0 16 4 1 3 4 6 x 3 4 ± 2 2 x 2 2 x 1 2 Logo x’ 3x”
→
e) 5 f) 0 g) 8
b) 3 c) 62 d) 47
24. a) Zeros da função: 2 e 1.
27. k 9 e k 0 13 e m 2 6
29. k’ 5 8 e k
22. a) Zeros da função: 5 e 1. b) Zeros da função: 3 e 7. c) Zeros da função: 3 e 1. d) Zeros da função: 1 e 3. e) Zeros da função: 6 e 2. f) Zeros da função: 3 e 2 1 . 3
Página 159
26. m ® tal que m 3
21. a) (x 1)2 1 b) (x 3)2 35
23. a) (x 1)
2
4
b) 2(x 2)2 13 c) (x 3) 16 2
d) (x 1)2 25 2
45 1 e) 5 x 2 4 2
17 5 f ) 2 x 8 4
486
Se x 5 k , então y k x ou 2
b) Não há zeros reais. c) Zeros da função: 2 e 4. d) Zeros da função: 5 (duplo).
28. m
Página 158
x b k k 2a 2 2
y k k k . 2 2
25. a) Zeros da função: 3 e 0.
20. a) x’ 3 e x’’ 3 b) x 1 (zero duplo) c) x’ 4 e x’’ 2 d) x’ 0 e x’’ 6 e) x 3 (zero duplo) f) x’ 3 e x’’ 5
b) Zeros da função: 2 e 1. 3 c) Zero da função: 1.
19. 6
Página 156
38. Sejam x e y os números pedidos: x y k (constante) ⇒ y k x Seu produto é f(x) x(k x) 5 x2 kx (função quadrática, com a 1, a 0). Logo, f(x) assume o maior valor possível (máximo) quando:
Para refletir
x2 1 4 x 1 6. 2
18. a) 2
1 1 d) 10 x x 0 2 5
Página 163
Página 162
b) a 5 1 ; b 5 4 ; c 5 6. 2
1 , o resultado 12
→
17. a)
1 1 c) 6 x x 0 2 3
será sempre maior que 2 1 . 12
16. (f g) (x) 2x2 3; (g f) (x) 4x2 4.
b) (m 2)(x 1) 0
2
5 Porque 3 x 2 será sempre positi6
13. 7 times
37. a) (m 3)(x 4) 0
Para refletir
30.
23 8
11 2
31.
40. 20 times
41. 20 lados; icoságono
42.
43. x 1 dm
44. 3 anos
45. 40 km/h
46. 18
47. 6 retas
48. 8 cm
5 2 1 2
49. a) 4 horas
13 12
50.
f(x) 25 4
⇔ x 2 x 1 0 a 1, b 21, c 1 b2 4ac (1)2 4 1 1 5 1 4 3 Logo, , 0 e, portanto, a equação não admite raízes reais.
33. m 1
9 4
5 4
1 4 5 – 2
35. m 14 36. m 4 ou m 5
34. k
1 4
b) 60 km/h
Página 165
32. x 1 1 ⇔ x 2 1 x ⇔ x
39. Não
3 – 2
1 – 2
x 01 2
3 2
5 2
25 c) 9 a) 1 b) 4 4 4
Matemática
51. a)
b) Eixo: x 1; V(1, 0);
f(x)
(–3, 9)
1 F 1, ; d: y 1 . 8 8
2
49 ; eixo: 59. a) 4 x 1 8 16
(3, 9)
(–1, 1)
b)
F 1 , 1 ; d: y 3 . 16 16 8
F 1, 1 ; d: y 1 . 2 2
d) Eixo: x 2; V(2, 0);
(1, 1)
x
f(x)
e) Eixo: x 2; V(2, 0);
2
17 b) 2 x 5 ; eixo: 4 8
3 F 2, ; d: y 3 . 4 4
(0, 0)
49 x 1 ; V 1 , ; 8 16 8
c) Eixo: x 1; V(1, 0);
17 x 5 ; V 5 , ; 4 4 8
F 2, 1 ; d: y 1 . 12 12
F 5 , 2 ; d: y = 18 . 8 4
f) Eixo: x 1; V(1, 0);
x
Página 166
5 c) 23 x 2 1 2 ; eixo: 3 3
56. Ponto máximo: b (1, 0); d (2, 0);
5 x 1 ; V 1 , ; 3 3 3
Não, porque uma função não pode ter duas imagens para um mesmo domínio, e essas parábolas têm dois y para cada x, excetuando-se o vértice.
f(x)
2
y = 2x
1 2 y= 2 x
x
1 2 y=– 2 x 2
y = –2x
Página 168
53. a) V(0, 1); x 0.
b) V(0, 2); x 0. c) V(0, 1); x 0. d) V(0, 1); x 0.
54. Valor
mínimo: f(x) → 1, h(x) → 1, o( x ) → 21; valor máximo: g(x) → 2.
2
a) Eixo: x 3; V(3, 4); F 3, 4 1 ; d : y 5 3 7 . 8 8 1 7 F 3, 4 ; d d:: y 5 3 . 8 8
57.
F 3, 3 7 ; d: y 5 4 1 . 8 8
d) x 2 7 2 1 ; eixo: 4 16 x 7 ; V 7 , 1 ; 4 16 4 F 7 , 3 ; d: y 1 . 8 4 16
60.
y
4 c) Eixo: x 3; V(3, 0); F 3, 1 ; d: y 1 . 4 3 4 1 1 2 F 3, ; d: y . 4 4
d) Eixo: x 1; V(1, 1); F 1, 3 ; d: y 1 . 2 2 F 1, 3 ; d: y 1 . 2 2 e) Eixo: x 1; V(1, 2);
f) Eixo: x 2; V(2, 3);
F 2, 3 ; d: y 4 1 . 4 4
1 . Ponto máximo: b(3, 4); d(1, 1); pon 55. a) Eixo: x 2; V(2, 0); F 2, 1 ; d: y 58. 4 to mínimo: a(3, 4); c(3, 0); e(1, 2); 4 f(2, 3). Esses pontos são os vértices F 2, 1 ; d: y 1 . 4 das parábolas. 4
1 1
2
3
x 4
0 –1 –2 –3
F 1, 2 1 ; d: y 1 11 . 12 12
–4
Alternativa b.
61. a) Pertence à parábola. b) Pertence à parábola. c) Não pertence à parábola.
Página 169
Respostas
F 1 , 21 ; d: y 19 . 12 12 3
b) Eixo: x 3; V(3, 4); F 3, 3 7 ; d: y 5 4 1 . 8 8
Página 167
f (1, 0); ponto mínimo: a (2, 0); c (1, 0); e (2, 0). Esses pontos são os vértices das parábolas.
Página 171
Para refletir
52.
2
1 F 1, ; d: y 1 . 20 20
62. m 1 2
63. k 5 487
Página 172
70. k 2
71. m 1
72. k 4
73. m 7
74. a)
4
Para refletir Porque é o valor da função quando x vale 0.
Página 173
64. a) x’ 6 e x” 5
3
–2
x
–3
0
–1
65. a) Eixo x: (5, 0) e (6, 0); eixo y: (0, 30).
y
d) Eixo x: 1 , 0 e 1 , 0 ; 3 2 eixo y: (0, 1).
d) (1, 0) e 3 , 0 2
x 0
–1
80. a) Para cima.
1 25 c) V , 2 8 4
1
66. a) a 0 e 0
(0, 0); (2, 3); (2, 3); (2, 3); (2, 3) b) É deslocado três unidades para cima e duas unidades para a direita. c) É deslocado três unidades para baixo e duas unidades para a esquerda. d) É deslocado k unidades para baixo e m unidades para a direita, se k 0 e m 0. e) V(m, k)
b) x 3 e x” 1 2
Im {y ®| y 1}
b)
79. a)
Página 180
–1
b) Eixo x: (3, 0) e (7, 0); eixo y: (0, 21). c) Eixo x: (6, 0) e (6, 0); eixo y: (0, 36).
y
b) x’ 3 e x” 7 c) x’ 6 e x” 6 d) x 1 e x 1 2 3
e) (0, 3)
b) a 0 e 0 c) a 0 e 0 d) a 0 e 0 e) a 0 e 0 f) a 0 e 0
Im {y ® | y 0}
c)
f) x 5 1 4
y
25 g) Im( f ) = y ® | y 8
x 0
67. b
3
h)
f(x)
Página 177
**
tim-tim por tim-tim
5. a)
x
P pessoas 2
(–1, 0)
Para refletir
• a 1 0 • Quando os quatro lados do retângulo
68. a) V(1, 4)
76. Há dois pontos comuns, que são (1, 2)
c) V(2, 1)
69. a) valor máximo 1 3
225 b) valor mínimo 5 8 c) valor máximo 0
488
b) Im {y ® | y 1} c) Im {y ® | y 1} d) Im {y ® | y 2}
Dois pontos comuns, um ponto comum ou nenhum ponto comum.
3 11 b) V , 2 4 2
75. a) Im {y ® | y 4}
eixo: x =
81. a) 40 unidades
82. 20 m por 20 m
83. a) 2 s
77. A [2, 4]
78. a) É deslocado duas unidades para a direita. b) É deslocado duas unidades para a esquerda. c) (0, 0); (2, 0) e (2, 0) d) (m, 0) e (m, 0)
1 4
b) 1 400
b) 10 m c) Aproximadamente 310 s.
Para refletir
Página 179
1 , 25 – 4 8
Im {y ® | y 0}
e (3, 8).
são congruentes, ele é chamado de quadrado.
(0, –3)
–9
3 ,0 2
84. 2 000 unidades
85. h(x) x2 4x
86. 10 m por 10 m
Página 181 Para refletir Indicam os intervalos nos quais a função assume valores positivos ou negativos.
Matemática
Página 183
87. a) f(x) 0 para x 1 ou x 4; f(x) 0 para x 1 ou x 4; f(x) 0 para 1 x 4 b) f(x) 0 para x 1 ou x 1; 3 f(x) 0 para 1 x 1; 3 f(x) 0 para x
1 ou x 1. 3
c) f(x) 0 para x 2; f(x) 0 para 2. d) f(x) 0 para x 2 ou x 2; f(x) 0 para x 2 ou x 2; f(x) 0 para 2 x 2. e) f(x) 0 para todo x real f) f(x) 0 para x 0 ou x 5 3 ; 2 3 f(x) 0 para 0 x ; 2 3 f(x) 0 para x 0 ou x . 2 g) f(x) 0 para x 2 ou x 4; f(x) 0 para x 2 ou x 4; f(x) 0 para 2 x 4. h) f(x) 0 para x 5; f(x) 0 para 5
89. x 4
90.
Página 184 Para refletir
Para refletir
• Verificando se a inequação é do tipo
Sinais iguais, produto positivo; sinais diferentes, produto negativo.
f(x) 0, f(x) 0, f(x) 0, f(x) 0 ou f(x) 0, com f(x) ax2 bx c, em que a ®*, b ® e c ®. • Significa que a equação x2 3x 2 0 não existe nos pontos para x 1 e x 2.
Página 185 7 99. a) S x ® | 1 x 3 b) S x ® | x 1 ou x 1 2
91. Para nenhum valor real de x.
92. a) Para todo x real.
b) Para nenhum valor real de x.
Para refletir
g) S ®
•
101. a) S x ® | x 1 ou x 5 2
1 b) S x ® | x 2 2
102. 7
1 03. S {x ® | x 1 ou x 4} 1 04. {2, 3}
94. k 1
Página 187
Respostas
As flechas indicam que a solução continua para 1∞ ou 2∞; o símbolo representa a não inclusão do ponto na solução; o símbolo representa a inclusão do ponto na solução e o traço mais forte representa todo o intervalo entre um número e outro.
1 00. x ® | 4 x 0
3 4
111. S {x ® | 0 x 2 ou 3 x 4}
113. S {x ® | 0 x 2 ou 5 x 6}
1 05. S {x ® | x 1 ou x 7}
96. k ® | k
110. S {x ® | 3 x 0 ou 2 x 4}
3 3 e) S x ® | x 2 2
93. m ® | x 2
109. 3 e 4
112. S {x ® | x 4 ou 2 x 3 ou x 4}
d) S
5 95. m ® | m 4
108. a) S {x ® | 2 x 3 ou x 5} b) S {x ® | x 0 ou 2 x 3} c) S {x ® | 0 x 5} d) S {x ® | 2 x 3 e x 2}
c) S ® {5}
c) S ® {4} d) S {x ® | x 3 ou x 4} e) S {x ® | 2 x 2}
1 x 2 2
Página 188
1 1 ou x ; 2 2 h) S {x ® | 3 x 1} i) S {x ® | x 0 ou x 4}
1 1 ou x . 2 2
88. x 2 ou x 2
b) S {x ® | 1 x 0} c) S {x ® | 1 x 0} d) S {x ® | 2 x 2 ou x 1} e) S {x ® | x 3}
1 98. m ® | m 4
Página 189
1 1 x ou x ; f(x) 0 para 2 2 1 1 x ; f(x) 0 para 2 2 x 0 ou x
1 07. a) S {x ® | x 5}
f) S ® {4}
i) f(x) 0 para todo x real j) f(x) 0 para x 0 ou x
97. p ® | x 1
106. a) S {x ® | 1 x 2 ou 3 x 6} b) S {x ® | 2 x 3} c) S {x ® | 5 x 1 ou 2 x 4} d) S {x ® | 0 x 2}
Página 191 114. a) S {x ® | x 3} b) S {x ® | x 1 ou 2 x 4} c) S {x ® | 2 x 0 ou 2 x 3} d) S {x ® | x 1} e) S {x ® | 4 x 2 ou 1 x 2} f) S {x ® | x 2 ou 1 x 0 ou x 2}
1 15. x ® | x 1 ou 0 x 1 1 16. x ® | 2 x 3 ou x 4 1 17. x ® | x 2 1 18. S {x ® | 2 x 4} 1 19. S {x ® | 2 x 1 ou
2 x 3}
489
120. S {x ® | x 1 e x 2}
137. c
Capítulo 6
1 21. S {x ® | x 3 ou
138. 25 lugares
Página 205
2 x 1}
1 39. a) 1 s
Página 192 122. a) 2x0 4 b) 12x0 5
c) 2x0 3 d) 24x0 7
c) 4 s d) 2,25 s
Desafio em equipe 9 A , 0 2
Página 195 123. a) 2 s b) 1,5 s
b) 0,75 m
125. 1 440 m
126. É uma PA.
1. 3 horas
2. a) Indica que o saldo é devedor, isto é, que o cliente deve ao banco. b) 21 de abril c) 1‚ de abril
Página 198
1 24. 5 m/s2; 3 km
Abertura
A Matemática e as práticas sociais
3. a) 0 F
1. 42 min
Página 208
127. É uma PA.
2. 7 bombas
3. B(400, 0); C(200, 40 000); M(200, 0)
128. Exercício 126: razão da primeira PA 1; razão da última PA 2; a 1; 2ar2 2 1 12 2 (correto). Exercício 127: razão da primeira PA 2; razão da última PA 8; a 1; 2ar2 2 1 22 8 (correto).
4. k 18
1. b 2. e 3. e 4. a 5. 8 6. Zero 8. e 9. c 7. a 10. 1) Verdadeiro 3) Verdadeiro
Página 196 130. 30 condôminos; cada um pagou R$ 180,00.
Para refletir
11. e
12. 40 dias
x | 7 | ⇒ x 7 | x | 7 ⇒ x ±7
13. 1) Correto
1 31. 15 passageiros
133. Uma torneira gastaria 30 horas para encher a piscina e a outra gastaria 45 horas.
15. a
16. a) 1,64 m
h(t) 180
t 4
10
18. a) G 160 0,4d 0,02d2 b) 11‚ dia
19. a) 1 s
20. d 21. d 22. a
b) 8 m
24. 01, 02, 04, 16 e 32
26. a
e) F f ) F g) V h) V e) F f ) V g) F h) V
5. a) y 9 ou y 9 b) Não existe valor real para y. c) y 0 d) y 4 ou y 4 5 5 e) y 1 ou y 1 f ) Não existe valor real para y.
17. a) t ® | 0 t 10
25. c
4. a) V b) V c) F d) V
23. c
100
490
b) Paulo: 56 kg; Paula: 54 kg.
3. a) F b) V c) V d) V
14. b
135. a) 220 b) x ® | 10 x 20
0
b) 6 s
134. a) 3 500 peças b) Cm é decrescente.
136. a) 4 s b)
Página 209
4) Verdadeiro
2) Errado 3) Errado 4) Correto
132. Um deles descarregaria o trem em 40 horas e o outro em 60 horas se estivessem sozinhos.
2. a) x4
2) Falso
e) 7 f ) 3 g) 6
b) x 0: x3; x 0: x3 c) x 2: x 2; x 2: x 2 d) x 4 0: x 4 e) 2x 3 f ) 3
Atividades adicionais
1 29. a) É uma PA. b) Razão da primeira PA 3; razão da última PA 72; a 4; 2ar2 2 4 32 72 (correto). Então, se r 3 é a razão da primeira PA, 2ar2 72 é a razão da última PA.
b) 11 c) 15 d) 0
Página 199
1. a) 6
6. a) x 6 b) Não existe valor real para x. c) x 6 ou x 6 d) x 6 e) x 5 f ) x 5 ou x 5 g) x 3 ou x 3 h) x 4 ou x 4
Matemática
Página 210
d)
7. a) 6
e) 13
1
2
3
3
2
–1
1 –2
g) 9
x
–1 0
1
e)
8. a) PQ 365; PM 96; MQ 269
f(x)
2 11
(3, 2)
x 0
1
2
3
4
f )
5
f(x)
2
y
2
4 3
1
Para refletir
• Em g(x) todos os pontos de f(x) se des-
(–3, –1)
locam duas unidades para cima. Em h(x) todos os pontos de f(x) se deslocam duas unidades para baixo.
• Em r(x) todos os pontos de f(x) se des-
locam duas unidades para a direita. Em s(x) todos os pontos de f(x) se deslocam duas unidades para a esquerda.
• Em t(x) todos os pontos de f(x) se des-
locam três unidades para a direita e uma unidade para cima. Em u(x) todos os pontos de f(x) se deslocam uma unidade para a esquerda e três unidades para baixo. f(x) 3
2
x
–3 –4
–1
–2
0
1
1
2
–1
x 1
2
3
4
Página 216 A indicação significa que o ponto pertence ao gráfico da função; a indicação significa que o ponto não pertence ao gráfico da função.
5 4 3 2 1
x
Página 217
1
3
1 x 0
–1
1
3 4
D(f) ®; Im(f) {y ® | y 1}
15. a)
y 5 4 3 2 1
3x 15, se x 5 12. a) f ( x ) 3x 15, se x 5
x
–2 –1 0
b)
1
2
1
2
y
3
7 x , se x 3 b) f ( x ) x 1, se x 3
2
–2
2
13. a) f(8) 9; f(1) 8; f(3) 4; f(0) 7.
f(x)
–3
2
y
–2 –1 0 –1
11. a) D(f) ®; Im(f) ® b) crescente para x 0; decrescente para x 0. c) Não é injetiva nem sobrejetiva. d) Par. e) f(x) 0 para x 0; f(x) 0 para x 0.
1
D(f) ®; Im(f) ®
d)
Para refletir
b) f(2) 9; f(7) 6; f(1) 18; f(5) 0. b)
x
–3 –2 –1 0 –1
2 1
3
D(f) ®; Im(f) {y ® | y 1}
c)
3
Página 212
x
–2 –1 0 –1 –2
1
b) 4 c) 0 d) 4 e) x 8 ou x 8 f ) Não existe valor real para x.
y 3
3
9. a) 7
0
3
D(f) ®; Im(f) ®
b)
4
2
10. a)
2
–3
h) 7
b) PO 127; MO 31; QO 238 c) PQ QO
0
f ) 3
d) 4
y
x –1
3 b) 2 3 c) 2
14. a)
f(x)
2
3
c)
2 1
y
x
–2 –1 0
8 7
c)
6
f(x)
3 1
1 x
Respostas
3
2
2
0
y
4
3
–1
16.
5
1
2
–2 –1 0
x 1
2
3
4
5
6
d) D(f) ®; Im(f) {y ® | y 4}
2 1 –3 –2 –1 0 –1
x 1
2 3
491
23. S {2, 3, 4}
b) 64 retângulos
fevereiro e em setembro. ** 5. b) a) Em Na quarta-feira e na segunda-
24. x ® | 1 x 0 ou 2 x 3
c) 2n
tim-tim por tim-tim
Página 219
-feira. c)
L (x) 21 500 14 900 5 000 1
100
200
365
x (dias do ano)
25. S {x ® | 1 x 0 ou x 1}
17. a) S b) S {7, 9}
c) S {1, 5} d) S 7 , 5 3
18. a) S {1, 4} b) S 3 , 1 4 2 19. a) S {7, 5, 1, 1} b) S {1, 2, 3, 6} c) S d) S {2, 0, 2, 4} e) S f ) S {6, 6} g) S {2, 2} 20. a) S {2, 4} b) S 1 , 2 2
27. S x ® | 4 x 5
Página 231 • 1 • Porque não existe divisão por zero.
Página 223
28. a) D {x ® | x 10 e x 10} b) D x ® | 3 x 1 c) D {x ® | x 0 ou x 2} d) D {x ® | x 3 ou x 3}
29. a)
1 10
e) 3
b) 1 9
f) i(1) não existe.
c) 1
g) 4
d) 1
h) x 11 ou x 9
30. a) SAB 80t; SBA 340 90t b) instante: 2 h; posição: 160 km c) t 1h e t 3h
2. d
• S x ® | 3 x 3 • S x ® | x 3 ou x 3
3. d
Página 221 Para refletir b) S 4
Página 222
22. a) S {x ® | x 1 ou x 4}
11 b) S x ® | x 3 3 2 c) S x ® | x ou x 2 3
d) S {x ® | 8 x 4 ou 0 x 4} e) S f) S {x ® | x 1 ou x 3}
Para refletir 1, 1 , 1 , 1 2 4 8
10. b
11. b
12. c
14. a
15. b
e) 1 f) 2
c) 8
g) 7 7
27 8
h) 1 36
239 108
b) 15
2. a)
3. a) 1 000 000 b) 1 000 000 000 c) 0,0001 d) 0,01
4. a) 104
c) 104 d) 106
b) 10 3
1 1 1 1 3 9 27 9 3 27 ...
5. a) ...
b) ...64 16 4 1 1 4 1 1 ... 16 64
Capítulo 7
Página 234
Abertura
1. a)
b) 6,25
16. Horário inicial: 10 h; horário final: 11h 17. c 18. a 19. a 20. 01, 04, 16
Página 229
1. a) 81
d)
4. c
9. 001, 004, 008 13. e
Página 232
5. A B {x ® | 5 x 3} 6. e 7. d 8. e
Para refletir
492
Para refletir
Porque a negação de x 3 ou x 3 é x 3 e x 3.
1. e
21. (0, 1) e (1, 2)
a) S 2 e 4
Para refletir
Atividades adicionais
c) S {0, 1, 2, 5}
2. 0,78 mg
26. S x ® | 1 x 4
Página 220
d) 8 dobraduras
Número de dobraduras
Número de retângulos resultantes
0
6. a) 7 25
f) 4 2 2
b) 4 8
g)
1
c) 4 9
h) 0
1
2
d) 3
i) 5 49
2
4
e) 2 3 2
3
8
4
16
5
32
7. 3
8. Menor Matemática
Página 235
Página 238
9. a) 5 10
g) 2,039 10 h) 8 106 i) 4,8 104 j) 7 109 k) 9,231 102 l) 4,04 104
2
1
b) 6 104 c) 2,5 107 d) 2 102 e) 3,4 102 f ) 8 101 10. a) 80 000 b) 0,05
Para refletir
• O gráfico passa por (0, 1), pois, qual-
quer que seja o valor de a (a 0 e a 1), temos f(0) a0 1.
• O gráfico não toca o eixo x porque
f(x) ax 0, x ®, já que a 0 e a 1. O gráfico não tem pontos nos quadrantes III e IV porque estamos considerando a 0, isto é, qualquer que seja x ®, ax 0.
c) 352 000 d) 0,0016
11. a) 2,279 108 km b) 7,783 108 km c) 9,11 1028 g
Página 239
12. 101
13. 106
25 14. 3x 3
15. k
16. 4
17. x 5
2
2
20. a) 10 4 b) 2
c) 3 d)
5 4
33. a) f(x) 2x
21. a) 10 4 b) 2
1 12
22. a) 107 b) 103 c) 1012
c) 3
f) 10
35. a)
y
10 9
2 3
8
1 6
6 5
d) 31 g) 1012 h) 1012 i) 104
23. m 0,001
24. 2
25. 109
26. a6 b2
1 x –2
b)
32. a) 64 b) 1 4 c) 2
7
Respostas
6
g) x 5
d) 2 3
h) x 1
y 2 f(x) = 2x – 1
1
x –1
0
1
2
3
Im(f) ®* 40. a) S {6} b) S {4} c) S {1, 3} d) S {2} e) S {4} f ) S {1} g) S {1, 3} h) S {2, 3} i) S {5} j) S {2} k) S {2, 1} l) S {25} 3 ou a = 1 2 2
1 4
7 1 42. a) S e) S 2 2 b) S {14}
f) S {3, 3}
11 c) S 4
g) S {1}
8 d) S 7
1 h) S 2
43. S {2}
5
44. 36
4
x
45. x
3
11 12
46. 2
2
d) 1 2 f ) D(f) ®; Im(f) ®*.
3
8
y=
e) m 0
2
y
30. 1
31. a, b, d, h
1
–1
1 4
Página 237
0
–1
1
29. x 10
c) 1
2
23
28. 2
f) 1 25
41. a
3
–3
27. 29
y = 3x
4
d) 108 e) 108 f) 107
b) 23
d)
Página 242
7
3
e) 1
c) f(x) (0,7)x
e) 3
38. a) 18
x
34. a) f(x) 2 3x x b) f ( x ) 6 1 2
c)
–1
3 b) f ( x ) 2
1 2
7 610
b)
Página 240
19. a) 6 b) 6 c) 1 5 2 3
a)
–2
1 4
b) x
37.
Todos os pontos do gráfrico “sobem” uma unidade.
1
18. a) x5
36. Crescentes: a, b, d; decrescentes: c, e, f, g, h.
39.
Para refletir
Página 236
1 5
Página 241
1 x –2
–1
0 –1
1
2
47. 5 , 1 2
48. 64
49. (2, 4)
493
Página 243 50. a) S {6} b) S {3}
c) S {3, 3} d) S {3}
51. a) S {3} b) S {3} c) S {1} d) S {4} e) S {1}
f) S {2} g) S {1} h) S {0} i) S {2}
52. a) S {1} b) S {0} c) S {2}
d) S {0, 1} e) S {2} f) S {1, 2}
y 7
Desafio em dupla
6
Aproximadamente 71%.
5 f(x) = ex 4
2 g(x) = e–x 1 x –1
54. a) S {x ® | x 5} b) S {x ® | x 3 ou x 3} c) S {x ® | x 0 ou x 2} d) S {x ® | x 1} 1 e) S x ® | x 3
55. a) S {x ® | x 4} b) S {x ® | x 6} c) S {x ® | x 2} d) S {x ® | x 3} 56. S x ∈ ® | x 2 3 57. x ® | 1 x 0 ou 4 x 5 58. a) S {x ® | 1 x 5}
b) S x ® | 1 x 3 2 2 c) S {x ® | 1 x 2} 2 d) S x ∈ ® | x 3
59. a) D {x ® | x 0 ou x 2} b) D {x ® | x 2 ou x 2}
Página 248 60. a) r 2 b) É uma progressão geométrica. c) q 9 61. a 125 62. Uma função exponencial.
Página 250 63. a) f (1,7) 5,4739; g(5) 0,00674; f(3) 20,086; g(4,3) 0,01357. b) x 2,1
0
1
1. a) 32 novas pessoas b) 1 023 pessoas c) f(t) 2t 1 2. e
2
Página 256 Atividades adicionais
Página 251 010: 600 000 pessoas; 2030: ** 5. a) 21 200 000 pessoas.
tim-tim por tim-tim
Página 246
Página 255 A Matemática e as práticas sociais
3
53. 8‚ termo
494
73. Aproximadamente 40 mil anos.
c) x 5,8
b) A população dessa cidade dobra de 20 em 20 anos. Isso não parece ser um valor razoável, condizente com o que se costuma observar na realidade. d) Algumas estimativas para 2009 já colocam Xangai, na China, como a cidade mais populosa do mundo. Entretanto, a maioria ainda considera Bombaim (Mumbai), na Índia, cuja população foi estimada em 2009 em 13,92 milhões de habitantes.
1. c 2. e 3. c 4. a 5. d 6. d 7. b 8. 2 9. b 10. c 11. 4 anos 12. a) Falsa b) Verdadeira 13. 3 14. 28 000 anos 82 3
15. c
16.
18. a
19. e
17. S {1, 1} 20. d
21. c
Capítulo 8 Página 259 Abertura
Página 252
1. a)
n
3n
0
1
1
3
2
9
3
27
4
81
5
243
Página 253
6
729
64. Aproximadamente 4 447 022 bac-
7
2 187
8
6 561
9
19 683
Para refletir Após o primeiro período de aplicação, o capital inicial aumenta em virtude dos juros desse período. Assim, o total para o segundo período já será “capital juros” e sobre essa soma é que se calculam os juros do segundo período, e assim sucessivamente, até o término do tempo estipulado. Por isso se diz “juro sobre juro”: juro calculado sobre juro já ganho.
térias. 65. K 2 048; a 4 66. R$ 20 606,02
67. 9,27%
68. 32 000 bactérias 1
69. a) 3,125 mg b) f ( t ) 50 2 3
70. d 71. b 72. 6,25%
b) 6 561 c) 9 32; 729 36; soma dos expoentes: 8; potência: 38 6 561 d) 32 36 38 e) O log de 34 na base 3 é 4. O log de 6 561 na base 3 é 8.
Matemática
b) 3,05 10
5
15. a) 3 b) 5 c) 10
2. a) Duas unidades vezes
3. a) 5 reduções
b) Aproximadamente 1 3
d) 7
6 ,288
.
1. a) 2x 7
c) 101 0,1
17. a) F b) F c) V d) V
b) pm r
2. a) log6 36 2 b) log5 1 1 ou log 1 5 1 2 5
c) log8 8 1 d) log2 32 5
3. a) 3 b) 4 c) 5 3 d) 2 e) 2
4. a) 2 b) 5
c) 1 2
Página 268
{}
* 1 d) 1, ∀ x ®
6. 6 7. 1 8. 2
b) 99
Página 264 9. a) {x ® | x 0 e x 1} b) {x ® | x 3} c) {x ® | 1 x 4} d) {x ® | x 3 ou x 1} 10. a) {x ® | x 5 e x 6} b) {x ® | 1 x 1 e x 0} 11. a) {x ® | x 3} b) {x ® | x 1 e x 2} c) {x ® | x 2} d) {x ® | 1 x 0 ou 0 x 2 ou x 3} 12. a) 0 b) 1 c) 1 d) 0
e) 0 f) 1 g) 1 h) 0
13. a) 3 b) 1
c) 5 d) 3
Página 265
Respostas
Página 267
18. a)
5. a) 32
b) 2
e) F f) V g) V h) F
r loga b; a e b são números reais positivos e a 1 e b 1; então: ar b ⇒ r 0
i) 0
14. a) 4
28. S
Para refletir f) 3 g) 2 h) 1
c) 4 d) 1 2
19. a) log π 3 log r log h log 3 1 log3 x 2 log3 y 2
1 c) 2 logx a logx b logx c 2 d) 1 log a 1 log b 1 log c 2 6 6 20. 81 21. a) log5 66 b) 1 c) log 81 22. 100
23.
2a b 3
24. a b 1 25. a) P a2b5
26. a)
log 5 log 2
log 2 b) log x
b) P
c)
a b b
log ( x 1) log 2
log ( x 3) d) log ( x 1)
Página 270 Para refletir loga N 1 loga N loga N 1 loga 1 N
a2 b
d)
3 2
29.
3 4
Página 272 30. a) Aproximadamente 1,808. b) Aproximadamente 2,708. c) Aproximadamente 1,244. d) Aproximadamente 22,387. e) Aproximadamente 2,961. f) Aproximadamente 0,086. g) Aproximadamente 1,593. h) Aproximadamente 3,312. i) Aproximadamente 0,341. j) Aproximadamente 3,322. k) Aproximadamente 3,357. l) Aproximadamente 1,914. m) Aproximadamente 108,970. 31. a) Entre 2 e 3. b) Entre 0 e 1. c) Entre 2 e 1. d) Entre 0 e 1.
3 b) 3 2 log4 5 7
Página 269 b)
c) 3
b) 4
16. a) 8 b) 4 c) 1 d) 4 3
Página 262
27. a) 3
e) 8 f) 6 g) 500 h) 2 9
32. a) 2 b) 5 c) 3 d) 7 33.
log e e 10 10
10
34. a) 1,30 b) 3,70 c) 4,48 d) 0,52 e) 2,70 f) 1,86 g) 2,22
loge e loge 10
1
10
loge 10
h) 1,16 i) 0,88 j) 1,26 k) 1,66 l) 2,40 m) 0,10
35. 0,360 36. 0,24998 37. 0,351 38. a) 1,15 b) 1,70
c) 0,55 d) 1,85
39. a) 3,60 b) 0,69
c) 1,07 d) 0,35
40. 1 717 algarismos 41. 2,297
42. 0,982
43. 1,108
44. 4,62
45. 4,347
Página 274 46. a) S {2,33} b) S {1,12} c) S {0,61}
d) S {1,81} e) S {2,08} f) S {2,74}
47. Aproximadamente 1,73.
495
48. 0,35
49. S {0,81}
50. S {0,63; 1}
c)
y
51. 9,60
x y = log2 2
1 2
3
68. a) S {6} b) S {10}
c) S {3, 2} d) S {82}
69. a) 2
b) 1 e 4
70. a) S {0, 9} b) S {82}
c) S {5, 125} d) S {5}
2 1
52. S {0; 0,70}
–1 –2
x
1 0
2
3
4
5
6
7
8
9
–3
53. Aproximadamente 28 anos, 9 meses e 18 dias.
d)
y
71. 25
y = log2 (x – 1)
3 2
54. Aproximadamente 16 min 12 s.
1 –1 –2
55. Aproximadamente 17 anos, 3 meses e 18 dias.
x 0
1
2
3
4
5
6
7 8
9
65. a)
b) Por 10 10 .
y
b) S {(10, 10)}
Página 282 Para refletir
x y = log2 2
1 2
3
0
x>0
2
57. Aproximadamente 5 anos, 6 meses e 18 dias.
1 –1 –2
58. Após 56 meses. 59. 18 meses
72. a) S {(9, 3)} 73. 2 900
–3
64. Crescentes: a, b, d; decrescentes: c, e, f.
56. a) 7 109 kWh
Página 281
x
1 0
2
3
4
5
6
7
8
9
0 x
1 3
1 3
0
S 0
–3
b)
60. 2 meses
y
1 3
S 5 {x [ ® | 0 , x < 1 } 3
y = log2 (x – 1)
3 2
Página 275
1
e) ® f) 256 g) 3
61. a) 2 b) 0 c) 1 * d) ®
–1 –2
2
3
4
5
6
7
8
9
Página 277 Para refletir a 1: (2, 1) e (1, 2); (4, 2) e (2, 4); 0 a 1: (1, 2) e (2, 1); (2, 4) e (4, 2)
Página 276
67.
Para refletir
y
8
Significa que, dado B 0, tem-se loga x B, desde que x seja um número positivo suficientemente pequeno.
77. x ® | 1 x 0
6 5 4
g(x) = log3 x
1 78. a ® | a 10
2
y
1
y = log3 x
3
–2 –1 0 –1 –2
2 1
x 0
1 2
3
4
5
6
7
8
9
–2
y 3 2 1 0 –1 –2 –3
496
2
3
4
5
6
7
8
9
m ** 5. b) a) 2,5 5,5 m
–3
b)
x 1
Página 280
2 1
9 x
3 4
y = log 1 x 3
5
6
7
8
tim-tim por tim-tim
–1
b) x ® | 1 x 10 10 c) x ® | 1 x 0 ou 2 x 3
Página 284
7
3
63. a)
75. a) x ® | x 5
76. x ® | x 3 ou x 3
x
f(x) = 3
9
74. a) S {x ® | 1 x 3}
5 b) S x ® | 1 x 4 c) S {x ® | 0 x 5 e x 1} d) S {x ® | x 2} e) S {x ® | 1 x 2}
66. a 1 e b 1
d) 4 e) 3 f) 9 2
c) 2
1
–3
h) 5
62. a) 1 b) 5
x 0
c) Sim; depois de 113 séculos.
79. k ® | 2 k 0 ou 3 k 5 80. D {x ® | x 125} 81. d
82. c 83. 0,398
84. a) Aproximadamente 9,95. y b) 3
1,2 t 9,95
Matemática
85. d
86. a
φ1 1, 615; φ2 2, 6082;
Página 286
1. 7 109 kWh
2. 7 107 residências
3. 7 101,5 kWh
4. 6
5. 100 dB
6. 1 W/m2
3. d 4. a 8. 25 9. c
11. 0-0) Errado 1-1) Errado 2-2) Correto
3-3) Correto 4-4) Correto
12. 0-0) Errado 1-1) Errado 2-2) Correto
3-3) Correto 4-4) Correto
13. d
14. c
15. 1) Errado 2) Errado
3) Correto 4) Errado
16. Verdadeira
17. c
φ
−2
0, 3834 ;
φ−1 0, 6191; φ0 1;
Respostas
5. a) 20
6. a)
7. a) (2, 2, 2, 2, 2, …)
b) 12
1 6
b) 205 144
b) (1, 5, 13, 29, 61, …)
8. a) 27
3
2
5
3
7
4
9
Página 294
5
11
Para refletir
:
:
(ca, ca, ca), (ca, ca, co), (ca, co, ca), (ca, co, co), (co, ca, ca), (co, ca, co), (co, co, ca), (co, co, co).
x
2x 1
9.
11. 2, 7, 17, 37, 47
Para refletir Porque recorre-se a um ou mais termos dados da sequência para determinar os demais.
1. a) (5, 10, 15, 20, …)
Página 297 12.
23 12
13. (8, 11, 1, 2, 4, 8, 16, 32, …)
b) 1 , 1 , 1 , 1 3 9 27 81
a) 41 b) 155 c) 20 10. (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55)
Página 296
Página 293
φ−3 0, 2374 ;
2k(5 2k – 1)
1
Capítulo 9
2. a) 1; 2; 1,5; 1,666; 1,6; 1,625; 1,615
d)
23. a) Aproximadamente 0,05. b) 19h 30min
Abertura
d) 2k 5 2k – 1 ou
Número de palitos
22. a) 20% b) 2,76 milhões de habitantes c) 2 h
24. d 25. c 26. a 27. d 28. b 29. b 30. e 31. b 32. a 33. c
3k 3k 1
k
c) 2 2
Número de triângulos
5. e 10. d
19. e 20. c 21. b
b) φ−4 0, 1469;
3. a) Equilátero b) 1; 3; 6; 10; 15; 21 Cada termo é obtido somando-se um número natural, sendo o primeiro termo da sequência o número 1 e o primeiro número natural a ser somado, o 2. c) Triângulos retângulos
Atividades adicionais
1. b 2. c 6. e 7. c
b)
c) 0,1469; 0,2374; 0,3834; 0,6191; 1; 1,615; 2,6082; 4,2122; 6,8028
Página 287
4. a) 3k 2
φ3 4 , 2122; φ 4 6, 8028.
A Matemática e as práticas sociais
18. a
14. Cinco.
c) 1 , 2 , 3 , 4 2 3 4 5
15. a) (1, 3, 5, 7, …) b) (2, 4, 6, 8, …)
7 776 117 649 , d) 2, 9 , 64 , 625 , 4 27 256 3125 46 656
16. a0 0, a1 1 ; a14 14 2 15
2. a) an n, com n n*
b) an n 1, com n n* c) an 3n, com n n* d) an 3n 1, com n n* e 1 B E, Demais B S > B F, B P > G B . B S > B F, B P > G B .
31. Sim
Página 411 56. 7,5 m
B 35° ; AC > AB 32. B B 35° ; C
57. a) Sim b) Sim c) Sim
33. Sim
34. B F 110° ; G B 70° ; BH 110° ;
FG 3 m; GH 5 m e) São congruentes pelo caso LAAo. Demais elementos: BC > B P , AB > RQ e 35. Todo retângulo, todo quadrado e BC > B P AB > RQ e BC > PQ. todo losango são paralelogramos. f) Não podemos garantir a con a) V b) V c) V gruência dos triângulos.
Página 406 g) São congruentes pelo caso LAL. B , BQ > BN e 36. 3,5 Demais elementos: B P > M
38. 80 m; 60 m e 40 m h) São congruentes pelo caso ALA. 39. 9 40. d Demais elementos: BH > B L , FH > ML e
BH > B L , FH > ML e GH > NL.
42.
59. Não
41. a
62. a) R1: 40 m; R2: 24 m. d) 5 3 25 b) 5 e) 9 3
A
c) 5 3
j) São congruentes pelo caso LLL; ambos têm lados de 4 cm, 4 cm e 4 cm. 27. Os ângulos medem 71° e 71°.
58. Sim
Página 412
Página 408
i) Não podemos garantir a con gruência dos triângulos.
Porque os lados correspondentes são proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes.
60. a e b; c e e
37. 320
B , BQ > BN e PQ > MN. B P > M
Para refletir
64. a) Verdadeira b) Falsa
C
B
65. Sim, as figuras 1 e 3.
D
Página 403
Página 414
28. A demonstração é a mesma do exercício 27.
66. h
29. Como todo retângulo é um paralelogramo, ele está incluído na demonstração do exercício 28. 30.
A
B
67. b 10 3; c 10; h 5 3 E
F
BA > BD; BB > BE; BC > BF Pelo caso (AA) temos que os triângulos ABC e DEF são semelhantes.
C
Considerando o retângulo ABCD, de-
Analisando os elementos do ADC e do BCD, temos: A
vemos demonstrar que AC > BD.
C B
D
C
AD > BC (lados opostos de um retângulo)
BD > BC (retos)
70. a 2
Página 415
45. 0,75 46. 2,5 cm 16 20 47. cm, cm e 8 cm 3 3 48. 11,25
49.
1 ou 3 3 1
51. ABC DEC, pois têm dois ângulos correspondentes congruentes: BB > BE (retos); C1 > BC2 (opv). 52. O ABC e o ADB.
73. x 9; y
36 48 27 ; z ; w 5 5 5
74. a) 24 b) 12 75. 76. x 1,4; y 3,6; c
39 cm 3 14 ; r5 5
77. 5 2 cm; 2 cm 78. 36 km
79. c
Desafio em dupla
• m 5 e n 20 • e
Desafio em dupla 7,5 cm; 10 cm e 12,5 cm
Página 410
Pelo caso LAL, temos que o
53. 4,80 m
ADC > BCD. Portanto, AC > BD.
Respostas
69. 6 cm e 8 cm
Página 409
DC > DC (lado comum)
a 3 2
44. 4
50. n 8,4 cm; o 9,6 cm D
68.
71. Aproximadamente 64 km. 72. Aproximadamente 77,2 m.
43. 4
D
36 13 24 3 16 13 ; m ; n 13 13 13
55. 7 m
Página 418 80. a) 3 17,32 cm; a3 5 cm b) 4 14,14 cm; a4 7,07 cm c) 6 10 cm; a6 8,66 cm 81. Aproximadamente 5,77 cm.
503
82. 30 cm 83.
Página 431 105. 100π cm
6 6
106. 1,96π m 108. (16 4π) m2
2
84. Aproximadamente 43,96 cm. 85. 7 cm
86. 100 voltas
2
107. 3
25π 48 2 π2 09. 1 110. m 2 4
24. e
25. b
27. a) 10,2 cm
5 cm 4 c) 947,92 cm2
26.
b) 52,02 cm2
28. e 32. c
29. a 33. d
30. a 34. e
31. d
87. Aproximadamente 94,2 km.
1 11. a) 57 cm2 b) 44% 112. 0,3121 m2
88. a) O comprimento também dobra. b) O comprimento também triplica.
Página 432
Questões do Enem
113. 16(4 π) cm2
2000
89. Aproximadamente 15,7 cm. 90. Aproximadamente 37,68 cm.
Página 423 A metade da soma das medidas dos lados.
Página 425 Para refletir
116. a) 11,5 cm 2
b) 12 cm
2
119. b 120. d 121. c 1 22. b 123. d 124. e
1. e 5. b 9. b
1 25. a) 2,5 km
2003
118. a
b) 56,25 km2
** b) Quadrado: 2 ; paralelogramo: 5. a) Não.
a
2 ; triângulo médio: 2a; triân gulos maiores: 4A cada um. a
1. d 6. c
93. 147 m2 96. 100 3 cm2
92. 40 cm2 95. 25 3 cm2 97. 4 3 cm2
Página 428 98. Região colorida: 8 cm2; região não colorida: 8 cm2. 99. 60 m 2
100. 16 000 pessoas 102. 150 3 cm2
01. 800 1
3 km
1 03. 300
3 cm2 104. 96 3 cm2
2
A Matemática e as práticas sociais 1. a) Aproximadamente 89,47 hectares. b) Aproximadamente 1 583 índios. 2. 17 000 000 000 m2 17 000 km2 3. 200 m 4. 2 250 000 m2 5. b
2. e
3. c
4. e
5. b
2. b 6. a 10. a 2. e 7. d
3. c 7. e 11. c
3. c 8. d
4. b 8. d
4. b 9. a
5. e 10. c
1. b 2. e 3. d 4. a 5. c 10. e 11. d 12. b 13. c 14. b 15. e
6. d 7. c 8. c 9. a
2005
1. b 5. a
2. d 6. b
3. b 7. e
4. c 8. e
2006
1. d 2. e 3. d 4. e 5. a 6. e
2007
Atividades adicionais
1. b 2. b 4. b 5. c 8. b 9. b 12. 02, 04 e 08.
3. 0,54 m2 6. d 7. a 10. d 11. d 13. 60 14. d
15. 25 6 m2 18. d 19. 1) Correta
16. c
2) Errada
4) Errada
20. a
22. e
21. b
3. d
2004
Página 437
91. 2 320 m2
2. d
2001 2002
Página 436
Página 427
1. b 1. a
117. a) 4 cm e 8 cm b) 16 cm2 e 64 cm2
Desafio em dupla b
5a
tim-tim por tim-tim
115. 8π cm2
Página 434
Para refletir
504
114. 20 cm2
17. b
3) Errada
23. d
1. d
2. d
3. e
2008
1. d 2. a 3. c 4. c 5. c 6. d 7. c
2009
1. b 6. e 10. b 14. d 18. b
2. d 7. e 11. e 15. d 19. e
3. d 8. c 12. c 16. e 20. e
4. e 5. e 9. a 13. c 17. a 21. d
Matemática
Matemática
Volume 1
Manual Pedagógico do Professor
2
Sumário PARTE GERAL 1. Conversa com o professor .................................................. 2. Apresentação ............................................................................... A coleção ........................................................................................... O Manual do Professor .............................................................. 3. Características da coleção .................................................. Introdução ........................................................................................ Esta coleção e a Educação Matemática . ........................ Ensinando por compreensão, contextualizando e aplicando ........................................................................................... Articulação ........................................................................................ Contextualização .......................................................................... Interdisciplinaridade ................................................................... Formulação e resolução de problemas .......................... As várias seções desta coleção . ........................................... 4. Pressupostos teóricos para o ensino de Matemática segundo as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio ...................................... Introdução ........................................................................................ Ensino Médio Inovador ............................................................. O Novo Enem .................................................................................. Interdisciplinaridade e contextualização ....................... Objetivos específicos do ensino de Matemática. no Ensino Médio ........................................................................... Orientações metodológicas . ................................................. 5. Algumas ideias para a utilização desta coleção ............................................................................................... Postura do professor ................................................................... Autonomia do professor ao trabalhar com. a coleção ............................................................................................ Sugestões para a utilização das várias seções da coleção ................................................................................................ A lição de casa ................................................................................ O uso do caderno ......................................................................... 6. Recursos didáticos auxiliares . ......................................... Calculadora ....................................................................................... Livros paradidáticos .................................................................... Jornais, revistas e folhetos de propaganda .................. Instrumentos e materiais ......................................................... Vídeos . ................................................................................................. Computador .................................................................................... Internet ............................................................................................... Jogos, divertimentos e quebra-cabeças ........................ Sala-ambiente de Matemática ou laboratório de ensino de Matemática ............................................................... 7. Formulação e resolução de problemas . .................. Objetivos ............................................................................................ As fases da resolução de um problema . ........................ Algumas sugestões para a sala de aula .......................... Um exemplo para ser discutido em classe ................... 8. Etnomatemática e modelagem ..................................... O que é Etnomatemática? ...................................................... O que é modelagem? ................................................................
3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 10 10 11 11 15 16 17 20 20 20 21 22 23 23 23 25 25 26 26 27 31 31 31 32 32 32 33 33 36 36 37
9. Temas transversais .................................................................... Ética ....................................................................................................... Orientação sexual ......................................................................... Meio ambiente ............................................................................... Saúde ................................................................................................... Pluralidade cultural ...................................................................... Trabalho e consumo ................................................................... 10. A avaliação ...................................................................................... Introdução ........................................................................................ O que e quando avaliar? .......................................................... Instrumentos de avaliação ...................................................... A avaliação em Matemática ................................................... Indicadores para a avaliação em Matemática . ..................................................................................... Como lidar com o erro do aluno em Matemática ... 11. Informações úteis ao professor para sua formação continuada ............................................................. A importância da atualização ............................................... Com quem se comunicar? . .................................................... 12. Referências bibliográficas para o professor ......... Aprofundando os conhecimentos matemáticos ..... História da Matemática ............................................................. Educação Matemática ............................................................... Metodologia do ensino de Matemática . ....................... Matemática recreativa ............................................................... Informática e Educação Matemática ................................ Educação . .......................................................................................... Sobre o Enem . ................................................................................ 13. Sugestões de sites para os alunos ................................ PARTE ESPECÍFICA 1. Breves comentários sobre os capítulos, atividades suplementares e indicação de leituras ........................................................................................ Capítulo 1. Revisão: produtos notáveis e fatoração ......... Capítulo 2. Conjuntos e conjuntos numéricos . .................. Capítulo 3. Funções .............................................................................. Capítulo 4. Função afim ..................................................................... Capítulo 5. Função quadrática ....................................................... Capítulo 6. Função modular . .......................................................... Capítulo 7. Função exponencial ................................................... Capítulo 8. Logaritmo e função logarítmica ......................... Capítulo 9. Progressões ...................................................................... Capítulo 10. Matemática financeira . .......................................... Capítulo 11. Trigonometria no triângulo retângulo ......... Capítulo 12. Geometria plana ........................................................ Questões do Enem ............................................................................... 2. Enem – Habilidade por habilidade . ............................. 3. Resolução dos exercícios . ....................................................
37 37 38 38 38 38 39 39 39 39 40 41 42 44 45 45 45 50 50 51 51 53 54 54 54 55 55
56 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 77 78 82 98
3
Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
Parte geral 1. Conversa com o professor Caro colega professor Escrevi este manual pedagógico especialmente para você. Sei que o colega nem sempre tem condições e oportunidade de ler revistas e livros especializados em Educação Matemática, de participar de encontros e congressos ou de frequentar cursos de especialização ou mestrado. Mas, com base no trabalho que desenvolvo há décadas com professores de Matemática como você, sei da grande vontade que todos têm de estar atualizados e de ter acesso às mais recentes informações sobre aprendizagem e ensino da Matemática. Estou certo de que este manual pedagógico vai ajudá-lo nessa procura. Você será convidado a refletir comigo questões sobre: pressupostos teóricos que embasam uma maneira de ensinar Matemática, Ensino Médio Inovador e Novo Enem; algumas ideias para a utilização desta coleção; recursos didáticos auxiliares; formulação e resolução de problemas; Etnomatemática e modelagem; temas transversais; avaliação e avaliação em Matemática. No item A importância da atualização, procuro estimulá-lo a estar sempre atualizado, aperfeiçoando e aprofundando continuamente sua formação em Matemática, em Metodologia do Ensino de Matemática e em Educação. Fazendo parte desse movimento nacional em prol da melhoria da qualidade da aprendizagem e do ensino de Matemática, certamente você se sentirá mais seguro e motivado nessa difícil, mas gratificante, tarefa diária de criar condições para que seus alunos aprendam Matemática com significado e prazer, para poderem usá-la naturalmente em suas vidas como cidadãos. Com isso, estará auxiliando seus alunos na concretização dos princípios gerais da educação: aprender a conhecer, a fazer, a conviver e a ser. Bom trabalho. Compartilhe comigo suas vitórias, seus sucessos, suas dúvidas e suas dificuldades enviando sugestões para melhorar este trabalho. Um abraço. O autor
2. Apresentação A coleção Esta coleção é composta de três volumes para o aluno e de três manuais pedagógicos para o professor. A coleção procura trazer uma nova proposta pedagógica de ensino de Matemática para o Ensino Médio, quer em termos de conteúdos, quer em termos de metodologia. Ela contempla um amplo leque de conteúdos nos campos da aritmética, da álgebra, da geometria, das grandezas e medidas, da estatística, da combinatória e da probabilidade – sempre que possível, integrados entre si e com as demais áreas do conhecimento. A maioria desses temas é trabalhada a partir de situações-problema contextualizadas ou interdisciplinares. Inova quanto aos conteúdos quando trabalha tópicos de grandezas e medidas como aplicações dos números reais, quando trabalha taxa de variação da função afim; quando trabalha a contrapositiva associada à relação de inclusão de conjuntos; quando não introduz função como caso particular de relação, como é tradicionalmente feito; quando trabalha as progressões como caso particular de função; quando explora a proporcionalidade na função linear; quando explora a geometria analítica da parábola na função quadrática; quando relaciona a função quadrática a uma progressão aritmética; quando apresenta caracterização da função exponencial por meio da progressão geométrica; quando abrevia o cálculo com logaritmos e dá lugar ao uso da calculadora; quando apresenta a interpretação geométrica de uma progressão aritmética e de uma progressão geométrica; quando apresenta as posições relativas dos três planos no espaço ao estudar os sistemas lineares 3 3 3; quando apresenta uma introdução à Programação linear; quando apresenta o método binomial para o cálculo de probabilidade; quando apresenta as aplicações de probabilidade à genética, etc. Inova ainda na distribuição dos conteúdos ao longo da coleção, como, por exemplo, não esgotando um assunto em um único capítulo e abordando um
4
Matemática
mesmo conceito em vários dos campos mencionados anteriormente, bem como sob diferentes pontos de vista dentro de um mesmo campo. É o caso das funções e progressões, da função afim e da geome-. tria analítica da reta, da função quadrática e da geometria analítica da parábola, das grandezas e medidas e dos números, etc. Quanto à metodologia, procura-se atribuir ao aluno papel central no processo de ensino-aprendizagem, como agente da sua aprendizagem em constante interação com o texto e solicitado a responder perguntas, a confrontar soluções, a verificar regularidades, a refletir e a tirar conclusões. Para isso, grande parte do conteúdo é introduzida por situações-problema e depois sistematizada.
O Manual do Professor O Manual do Professor é composto de duas partes. Uma parte geral e uma parte específica. A parte geral contém: 1. Conversa com o professor 2. Apresentação 3. Características da coleção 4. Pressupostos teóricos para o ensino de Matemática segundo as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio 5. Algumas ideias para a utilização desta coleção 6. Recursos didáticos auxiliares 7. Formulação e resolução de problemas 8. Etnomatemática e modelagem 9. Temas transversais 10. A avaliação 11. Informações úteis ao professor para sua formação continuada 12. Referências bibliográficas para o professor 13. Sugestões de sites para os alunos A parte específica contém: 1. Breves comentários sobre os capítulos, atividades suplementares e indicação de leituras 2. Enem – Habilidade por habilidade 3. Resolução dos exercícios
3. Características da coleção Introdução Como qualquer outro material didático, o livro deve ser visto como mais um (e não o único) importante auxiliar do professor que busca ensinar Matemática de modo mais significativo para o aluno, com assuntos da vivência dele, desenvolvendo conceitos por meio da compreensão de situações-problema interessantes, contextualizadas ou interdisciplinares.
Esta coleção e a Educação Matemática Para se constituir realmente nesse importante auxiliar do professor, esta coleção incorporou muitos dos recentes avanços dos estudos e das pesquisas em Educação Matemática. Em geral, os conceitos são desencadeados a partir de uma situação-problema, como é recomendado hoje pelos educadores matemáticos que trabalham com resolução de problemas; a modelagem matemática é feita pela procura de modelos matemáticos a partir de problemas reais (por exemplo, os números reais como modelo para as medidas; a função linear como modelo dos problemas de proporcionalidade; a função quadrática como modelo do movimento uniformemente variado; a função exponencial como modelo dos juros compostos, da desintegração radioativa, do aumento do número de bactérias em uma cultura, etc.); as abordagens da história da Matemática, ora feitas como introdução de um assunto, ora como leitura para complementação; e o uso da tecnologia de informação, como calculadoras, é realizado em vários momentos da coleção, em especial nos problemas envolvendo exponenciais, logaritmos, trigonometria e números reais. Procurou-se colocar em cada volume conteúdos de diferentes blocos curriculares, permitindo alternância de temas. A organização das atividades foi feita com o objetivo de proporcionar a construção de conceitos, procedimentos e algoritmos, de modo equilibrado e sem descuidar das aplicações. Sempre que possível, valorizaram-se diferentes enfoques e articulações com diversos campos da Matemática e de outras ciências.
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
A presença do método dedutivo pode ser notada em toda a coleção e não apenas na Geometria. Por exemplo, propriedades da análise combinatória, de probabilidade, de trigonometria e de áreas e volumes foram demonstradas. Procurou-se um equilíbrio no emprego da linguagem usual e da linguagem matemática, evitando exacerbar esta última e tornando a comunicação clara e adequada ao nível do aluno a que se destina esta coleção.
Interdisciplinaridade
Ensinando por compreensão, contextualizando e aplicando
Em geral, o enfoque metodológico da coleção foi feito por meio da formulação e resolução de problemas, quer desencadeando um novo conceito, quer aplicando os conceitos e procedimentos estudados em situações contextualizadas e/ou interdisciplinares ou mesmo em problemas da própria Matemática.
A tônica desta coleção é ajudar o aluno a construir e desenvolver conceitos e procedimentos matemáticos, sempre compreendendo e atribuindo significado ao que ele está fazendo, evitando a simples memorização e mecanização. E tudo isso valendo-se de situações-problema contextualizadas e, posteriormente, aplicando os conceitos em situações cotidianas, na própria Matemática ou em outras áreas do conhecimento.
Articulação As atividades da coleção propiciam, em muitos momentos, fazer a articulação entre os grandes campos temáticos, bem como entre o conhecimento novo e o já abordado. Para exemplificar, citamos funções e progressões, funções (afim e quadrática) e Geometria analítica, sistemas lineares e Geometria analítica, etc. As retomadas frequentes de conceitos e procedimentos, seguidas de aprofundamento, são outra forma de articulação. Por exemplo, números reais e números complexos, a equação da reta na função afim e na Geometria analítica, idem para a parábola na função quadrática e na Geometria analítica, os sistemas lineares 2 3 2 estudados no Ensino Fundamental e os sistemas lineares 3 3 3 com suas interpretações geométricas, etc.
Contextualização Sempre que possível, o desencadeamento de novos conceitos e a apresentação de exercícios e problemas são feitos por meio de situações-problema contextualizadas.
É grande o número de exercícios e problemas desta coleção em que se procurou aplicar conceitos matemáticos na solução de situações de outros componentes curriculares como Física, Química, Geografia, Biologia e outras áreas do conhecimento.
Formulação e resolução de problemas
As várias seções desta coleção Apresentação Texto destinado ao aluno, estimulando-o a se dedicar aos estudos.
6
Matemática
Sumário Enumeração dos capítulos e das demais seções do volume.
Exemplos Mostram as várias formas de resolução de uma questão ou problema.
Abertura de capítulo Objetiva dar uma ideia geral do que será estudado no capítulo.
Exemplos comentados Explicitam as fases de resolução de um problema, além de ampliá-lo com novas questões.
Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
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Exercícios propostos Problemas e exercícios para consolidar e aplicar os conhecimentos recém-adquiridos.
Desafio Atividade um pouco mais complexa que as demais. Estimula o raciocínio.
Para refletir É uma chamada paralela que estimula a reflexão do aluno.
Curiosidade Fatos e propriedades curiosos para despertar o interesse do aluno pela Matemática.
8 Um pouco de História Aborda a evolução histórica dos conceitos matemáticos.
Leitura Textos que ampliam e enriquecem o conteúdo trabalhado.
Matemática
A Matemática e as práticas sociais Seção para formular, resolver e interpretar situações-problema que exigem a participação consciente do cidadão na sociedade.
Atividades adicionais Traz questões de vestibular separadas por região geográfica.
9
Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
Questões do Enem Questões aplicadas no período de 2000 a 2009, específicas para o assunto trabalhado no volume.
Glossário Pequeno dicionário de termos matemáticos que aparecem no volume.
Sugestões de leituras complementares e Significado das siglas de vestibulares Relação de obras com leituras que complementam os assuntos desenvolvidos no volume. Relação do nome das universidades cujas questões de vestibular foram utilizadas no volume.
Referências bibliográficas Referências utilizadas na elaboração da coleção.
10 Respostas Traz as respostas dos exercícios propostos para o aluno.
Veja mais detalhes no item Sugestões para a utilização das várias seções da coleção, na página 21.
4. Pressupostos teóricos para o ensino de Matemática segundo as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio1 Introdução Na Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei no 9 394/96), a educação escolar compõe-se de: Educação Básica, formada pela Educação Infantil, pelo Ensino Fundamental e Ensino Médio, e Educação Superior. A Educação Básica tem por finalidade desenvolver o educando, assegurar-lhe a formação comum indispensável para o exercício da cidadania e fornecer-lhe meios para progredir no trabalho e 1 Fontes: www.portal.mec.gov.br/dmdocuments/ensino_inovador. pdf., www.abrelivros.org.br/abrelivros/01/index e www.abrelivros. org.br/abrelivros/01/index.php?option=com_content&view=arti cle&id=3642:escolas-iniciam-ensino-medio-inovador&catid =1:noticias&Ite-mid=2. Acesso em 14 fev. 2009.
Matemática
em estudos superiores. Segundo o artigo 35 desta lei, os objetivos gerais do Ensino Médio estão estabelecidos nos seguintes termos: “O Ensino Médio, etapa final da Educação Básica, com duração mínima de três anos, tem como finalidades: 1. a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental, possibilitando o prosseguimento dos estudos; 2. a preparação básica para o trabalho e a cidadania do educando para continuar aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas condições de ocupação ou aperfeiçoamento posteriores; 3. o aprimoramento do educando como ser humano, incluindo a formação ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico; 4. a compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos dos processos produtivos, relacionando a teoria com a prática, no ensino de cada disciplina.” Além disso, o currículo do Ensino Médio observará as seguintes diretrizes: “I 2 destacará a educação tecnológica básica, a compreensão do significado da Ciência, das Letras e das Artes; o processo histórico de transformação da sociedade e da cultura; a língua portuguesa como instrumento de comunicação, acesso ao conhecimento e exercício da cidadania; II 2 adotará metodologias de ensino e de avaliação que estimulem a iniciativa dos estudantes. Os conteúdos, as metodologias e as formas de avaliação serão organizados de tal forma que, ao final do Ensino Médio, o educando demonstre: I 2 domínio dos princípios científicos e tecnológicos que presidem a produção moderna; II 2 conhecimento das formas contemporâneas de linguagem; III 2 domínio dos conhecimentos de Filosofia e Sociologia necessários ao exercício da cidadania.” Nesta coleção, em particular nos capítulos de conjuntos numéricos e Geometria plana, procurou-se recordar, ampliar e aprofundar conceitos e procedimentos já estudados no Ensino Fundamental, apresentando-os sob vários pontos de vista e em diversas
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
linguagens: natural, gráfica, de tabelas e simbólica. Buscou-se constantemente o trabalho em dupla ou em equipe, valorizando a coletividade, a ajuda mútua, a ética e a solidariedade.
sante e terá um objetivo mais bem definido. Espera-. -se, pois, superar o que talvez sejam os maiores problemas da educação brasileira: a evasão e o baixo rendimento escolar.
Ensino Médio Inovador
Objetivo do Programa Ensino Médio Inovador
Com a preocupação constante de tornar a aprendizagem significativa, capacitando o jovem para a inserção social e ensinando-o a compreender e interagir com os fenômenos sociais e científicos cotidianos, o Ministério da Educação (MEC) desenvolveu programas e projetos em parceria com municípios, estados e o Distrito Federal para a implantação de um Ensino Médio inovador. Por meio dessa implantação, haverá um aumento de 600 horas na formação do aluno. Dessa forma, a carga horária passará de 2 400 horas anuais para 3 000 horas anuais. Esse aumento será gradativo, à razão de 200 horas por ano. A grade horária sofrerá uma flexibilização e o aluno terá a possibilidade de escolher 20% da sua carga horária, a partir de um conjunto de atividades oferecidas pela escola. Além dessas mudanças, o Ensino Médio Inovador estabelece como referencial as seguintes proposições curriculares e condições básicas para os projetos das escolas: a) Centralidade na leitura, enquanto elemento basilar de todas as disciplinas; utilização, elaboração de materiais motivadores e orientação docente voltadas para essa prática. b) Estímulo a atividades teórico-práticas apoiadas em laboratórios de Ciências, Matemática e outros que auxiliem os processos de aprendizagem nas diferentes áreas do conhecimento. c) Fomento de atividades de Artes, de forma que promovam a ampliação do universo cultural do aluno. d) Atividade docente com dedicação exclusiva à escola. e) Projeto político pedagógico implementado com a participação efetiva da comunidade escolar e a organização curricular articulada com os exames do Sistema Nacional de Avaliação do Ensino Médio. Com a implantação do Ensino Médio Inovador, essa etapa de formação do jovem será mais interes-
O Programa Ensino Médio Inovador tem como objetivo a melhoria da qualidade do Ensino Médio nas escolas, promovendo, ainda, os seguintes impactos e transformações: •• Superação das desigualdades de oportunidades educacionais. •• Universalização do acesso e permanência dos adolescentes de 15 a 17 anos no Ensino Médio. •• Consolidação da identidade dessa etapa educacional, considerando a diversidade de sujeitos. •• Oferta de aprendizagem significativa para jovens e adultos, reconhecimento e priorização da interlocução com as culturas juvenis.
O Novo Enem2 O Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) foi criado em 1998 e tinha como principal objetivo avaliar o desempenho do estudante ao fim da escolaridade básica. Podiam participar do exame alunos que estavam cursando ou que tinham concluído o Ensino Médio em anos anteriores, independentemente da idade ou do ano do término do curso. Em 2009, o Enem passou por mudanças consideráveis, necessárias à universalização a que se propõe. O número de inscritos vem crescendo a cada ano, e é cada vez maior o número de instituições de Ensino Superior que adotam o exame como forma de ingresso nos cursos. A pontuação obtida pelo candidato pode ser utilizada em diversas instituições de Ensino Superior, de quatro modos: •• Como fase única, com o sistema de seleção unificada, informatizado e on-line. •• Como primeira fase do processo de ingresso. •• Combinado com o vestibular da instituição. •• Como fase única para as vagas remanescentes do vestibular. 2 Fonte: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content& view=article&id=13318&Itemd=310. Acesso em 14 fev. 2009.
12
Matemática
As razões por que o Enem mudou são inúmeras, dentre as quais podemos citar: a necessidade de reformular do currículo do Ensino Médio, de promover a mobilidade de estudantes entre regiões e, sobretudo, de proporcionar uma melhor qualidade do Ensino Médio no país, visto que a preocupação da maioria das escolas é cumprir o extenso conteúdo programático exigido pelos vestibulares tradicionais em detrimento de dar significado a esse conteúdo e de viabilizar o desenvolvimento das aptidões essenciais do aluno. Uma vez adotado o Sistema de Seleção Unificado (Sisu), esse exame poderá proporcionar aos alunos a possibilidade de escolha da instituição em que desejam estudar, sem terem de prestar vestibular em vários lugares. Com isso, haverá uma maior integração entre os jovens das diversas regiões do país. Por fim, o Enem se propõe a melhorar a qualidade do Ensino Médio, uma vez que avalia o desenvolvimento de certas competências e habilidades dos alunos, não isoladamente, mas de forma conjunta. Assim, o conteúdo ministrado no Ensino Médio passa a ser determinado pelos professores, coordenadores e diretores e não exclusivamente ditado pelas universidades. As mudanças que ocorreram na prova: Enem (antes de 2009) 63 questões e uma redação. A prova era realizada em um dia. Exigia a contextualização e a interdisciplinaridade entre as questões. Servia apenas como forma de avaliação do aluno. Novo Enem (2009) 180 questões divididas em 4 áreas de conhecimento e uma redação. A prova é realizada em dois dias. Além da contextualização e interdisciplinaridade, é exigido praticamente todo o conteúdo do Ensino Médio. Serve também como forma de ingresso em diversas instituições de Ensino Superior.
As questões do Novo Enem são elaboradas com base na Matriz de Referência divulgada pelo MEC.
Nessa matriz estão descritas as competências e habilidades que se esperam do aluno do Ensino Médio e que estão fundamentadas em cinco eixos cognitivos: I. Domínio das linguagens (DL): dominar a norma culta da Língua Portuguesa e fazer uso das linguagens matemática, artística e científica e das línguas espanhola e inglesa. II. Compreensão dos fenômenos (CF): construir e aplicar conceitos das várias áreas do conhecimento para a compreensão de fenômenos naturais, de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas. III. Enfrentamento das situações-problema (SP): selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações representados de diferentes formas, para tomar decisões e enfrentar situações-problema. IV. Construção da argumentação (CA): relacionar informações, representadas em diferentes formas, e conhecimentos disponíveis em situações concretas, para construir argumentação consistente. V. Elaboração de propostas (EP): recorrer aos conhecimentos desenvolvidos na escola para elaboração de propostas de intervenção solidária na realidade, respeitando os valores humanos e considerando a diversidade sociocultural. A prova do Novo Enem abrange uma redação e 180 questões objetivas, sendo 45 questões para cada uma das áreas de conhecimento em que está dividido o exame: •• Linguagens, Códigos e suas Tecnologias (Língua Portuguesa, Literatura e Língua estrangeira). •• Matemática e suas Tecnologias (Álgebra e Geometria). •• Ciências da Natureza e suas Tecnologias (Física, Química e Biologia). •• Ciências Humanas e suas Tecnologias (Geografia, História, Filosofia e Sociologia). As competências e as habilidades (indicadas por H) da Matriz de Referência para a prova de Matemática e suas Tecnologias são:
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•• Competência de área 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais. H1 – Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais. H2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem. H3 – Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos. H4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas. H5 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos. •• Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela. H6 – Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional. H7 – Identificar características de figuras planas ou espaciais. H8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma. H9 – Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano. •• Competência de área 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. H10 – Identificar relações entre grandezas e unidades de medida. H11 – Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano. H12 – Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas. H13 – Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente. H14 – Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas. •• Competência de área 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
13 H15 – Identificar a relação de dependência entre grandezas. H16 – Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais. H17 – Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação. H18 – Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas. •• Competência de área 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas. H19 – Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas. H20 – Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas. H21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. H22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação. H23 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos. •• Competência de área 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação. H24 – Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências. H25 – Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos. H26 – Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos. •• Competência de área 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. H27 – Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos
14
Matemática
em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos. H28 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade. H29 – Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação. H30 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade. Além disso, cada área possui objetos de conhecimento que fazem parte do currículo do Ensino Médio atual e que o aluno precisa dominar. Apresentamos na tabela a seguir os objetos de conhecimento associados às Matrizes de Referência para Matemática e suas Tecnologias e em que volume eles se encontram nesta coleção. Objetos de conhecimento (associados às Matrizes de Referência para o Enem 2009)
Posição na coleção Matemática – 3 volumes
1) Conhecimentos numéricos Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais)
Volume 1 – Conjuntos numéricos: definição – capítulo 2 Volume 1 – Potenciação e radiciação: capítulo 7
Desigualdades
Volume 1 – capítulo 2 Volume 1 – capítulo 4
Divisibilidade
Volume 3 – capítulo 6
Fatoração
Volume 1 – capítulo 1
Razões e proporções
Volume 1 – capítulo 10
Porcentagem e juros
Volume 1 – capítulo 10
Relações de dependência entre grandezas
Volume 1 – capítulo 4
Sequências e progressões
Volume 1 – capítulo 9
Princípios de contagem
Volume 2 – capítulo 13
2) Conhecimentos geométricos Características das figuras geométricas planas e espaciais
Volume 1 – capítulo 12 Volume 2 – capítulo 11 / capítulo 12
Grandezas, unidades de medida e escalas
Volume 1 – capítulo 2 / capítulo 3 / capítulo 4
Comprimentos, áreas e volumes
Volume 1 – capítulo 12 Volume 2 – capítulo 11 / capítulo 12
Ângulos
Volume 1 – capítulo 12
Posições de retas
Volume 2 – capítulo 10 Volume 3 – capítulo 8
Simetrias de figuras planas ou espaciais
Volume 1 – capítulo 5 Volume 2 – capítulo 11 / capítulo 12
Congruência e semelhança de triângulos
Volume 1 – capítulo 12
Teorema de Tales
Volume 1 – capítulo 12
Relações métricas nos triângulos
Volume 1 – capítulo 12
Circunferências
Volume 1 – capítulo 12
Trigonometria do ângulo agudo
Volume 1 – capítulo 11
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3) Conhecimentos de estatística e probabilidade Representação e análise de dados
Volume 3 – capítulo 2
Medidas de tendência central (médias, moda e mediana)
Volume 3 – capítulo 2
Desvios e variância
Volume 3 – capítulo 2
Noções de probabilidade
Volume 2 – capítulo 14
4) Conhecimentos algébricos Gráficos e funções
Volume 1 – capítulo 3 Volume 3 – capítulo 8
Funções algébricas do 1o e do 2o graus, polinomiais, racionais, modulares, exponenciais e logarítmicas
Volume 1 – Função do 1o grau: capítulo 4 Volume 1 – Função do 2o grau: capítulo 5 Volume 1 – Função modular: capítulo 6 Volume 1 – Função exponencial: capítulo 7 Volume 1 – Função logarítmica: capítulo 8 Volume 3 – Função polinomial: capítulo 7 Volume 3 – Funções do 1o e do 2o graus, polinomiais: capítulo 8
Equações e inequações
Volume 1 – Equações do 2o grau: capítulo 1 Volume 1 – Inequações do 1o grau: capítulo 4 Volume 1 – Inequações do 2o grau: capítulo 5 Volume 1 – Equações modulares: capítulo 6 Volume 1 – Inequações modulares: capítulo 6 Volume 1 – Equações exponenciais: capítulo 7 Volume 1 – Inequações exponenciais: capítulo 7 Volume 1 – Equações logarítmicas: capítulo 8 Volume 1 – Inequações logarítmicas: capítulo 8 Volume 3 – Equação polinomial: capítulo 7
Relações no ciclo trigonométrico e funções trigonométricas
Volume 2 – O ciclo trigonométrico: capítulo 2 / capítulo 3 Volume 2 – Relações trigonométricas: capítulo 4 Volume 2 – Função trigonométrica: capítulo 6
5) Conhecimentos algébricos / geométricos Plano cartesiano
Volume 1 – capítulo 2 Volume 3 – capítulo 3
Retas
Volume 3 – capítulo 3 / capítulo 8
Circunferências
Volume 3 – capítulo 4
Paralelismo e perpendicularismo
Volume 2 – capítulo 10 Volume 3 – capítulo 3
Sistemas de equações
Volume 2 – capítulo 9
Interdisciplinaridade e contextualização A interdisciplinaridade Propõe-se que a organização e o tratamento dos conteúdos do ensino e as situações de aprendizagem sejam feitos de modo a destacar as múltiplas interações entre as várias disciplinas do currículo, superando sempre que possível a fragmentação entre elas. É sabido que algumas disciplinas se identificam, se aproximam, têm muitas afinidades (como, por exemplo, a Matemática e a Física), enquanto outras se diferenciam em vários aspectos: pelos métodos e procedimentos
16 que envolvem, pelo objeto que pretendem conhecer ou ainda pelo tipo de habilidade que mobilizam naquele que as investiga, conhece, ensina ou aprende. Os professores de uma mesma classe podem promover um ensino interdisciplinar por meio de um projeto de investigação, um plano de intervenção ou mesmo de uma atividade. Neste caso, são identificados os conceitos e procedimentos de cada disciplina que podem contribuir nesta tarefa, descrevendo-a, explicando-a, prevendo soluções e executando-a. Os conceitos podem ser formalizados, sistematizados e registrados no âmbito das disciplinas que contribuem para o seu desenvolvimento, ou seja, a interdisciplinaridade não pressupõe a diluição das disciplinas. A tarefa a ser executada é que é interdisciplinar na sua concepção, execução e avaliação. A linguagem matemática é comum às demais áreas do currículo. Por exemplo, os conceitos das Ciências Naturais (Física, Química e Biologia) e as leis naturais geralmente são expressos pela linguagem matemática. Esta coleção procura dar relevo a vários modelos matemáticos que favorecem a interdisciplinaridade, tais como: a função linear e as situações de proporcionalidade direta; a função quadrática e o movimento uniformemente variado; a função exponencial e vários fenômenos naturais; a probabilidade e a genética; as grandezas e medidas e as práticas científicas, tecnológicas e sociais; as funções trigonométricas e os fenômenos periódicos; etc. A contextualização Tratar os conteúdos de ensino de forma contextualizada significa aproveitar ao máximo as relações existentes entre esses conteúdos e o contexto pessoal ou social do aluno, de modo a dar significado ao que está sendo aprendido, levando-se em conta que todo conhecimento envolve uma relação ativa entre o sujeito e o objeto do conhecimento. Assim, a contextua lização ajuda a desenvolver no aluno a capacidade de relacionar o aprendido com o observado e a teoria com suas consequências e aplicações práticas. Ajuda também a articular a Matemática com os temas atuais da ciência e da tecnologia, bem como a fazer conexões dentro da própria Matemática.
Matemática
A história da Matemática é também uma importante ferramenta de contextualização ao enfocar a evolução e as crises pelas quais determinados conceitos matemáticos passaram ao longo da história. Grande parte das situações-problema desta coleção são contextualizadas. Como exemplo de contexto histórico, citamos a crise dos pitagóricos na passagem dos números racionais para os reais, com a introdução dos irracionais, feita no capítulo 2 do volume 1.
Objetivos específicos do ensino de Matemática no Ensino Médio No contexto dos princípios norteadores e dos objetivos gerais, os objetivos específicos do ensino da Matemática devem ser os de capacitar o estudante para: •• compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticos e planejar soluções para problemas novos, que exijam iniciativa e criatividade; •• aplicar conhecimentos matemáticos para com preender, interpretar e resolver situações-problema do cotidiano ou do mundo tecnológico e científico; •• desenvolver a capacidade de comunicação de ideias matemáticas por escrito ou oralmente, promovendo sua capacidade de argumentação; •• estabelecer relações, conexões e integração entre os diferentes campos da Matemática para resolver problemas, interpretando-os de várias maneiras e sob diferentes pontos de vista; •• interpretar e validar os resultados obtidos na solução de situações-problema; •• fazer arredondamentos e estimativas mentais de resultados aproximados; •• desenvolver atitudes positivas em relação à Matemática, como autonomia, confiança em relação às suas capacidades matemáticas, perseverança na resolução de problemas, gosto pela Matemática e pelo trabalho cooperativo; •• analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do conhecimento e do cotidiano. Em relação aos campos da Matemática, os objetivos específicos do ensino de Matemática devem ser os de capacitar o estudante para:
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
•• saber utilizar o sistema de numeração, as operações, suas propriedades e suas regularidades nos diversos conjuntos numéricos; •• empregar corretamente os conceitos e procedimentos algébricos, incluindo o uso do importante conceito de função e de suas várias representações (gráficos, tabelas, fórmulas, etc.); •• conhecer as propriedades geométricas das figuras planas e sólidas e suas representações gráfica e algébrica, bem como reconhecer regularidades nelas; •• compreender os conceitos fundamentais de grandezas e medidas e saber usá-los na formulação e resolução de problemas; •• utilizar os conceitos e procedimentos da estatística e da probabilidade, valendo-se para isso da combinatória, entre outros recursos.
Matemática – área do conhecimento já consolidada, que vem contribuindo muito, por meio de estudos e pesquisas, para mudar o ensino de Matemática no mundo todo. Os avanços conquistados pela Educação Matemática indicam que, para que o aluno aprenda Matemática com significado, é fundamental: •• trabalhar as ideias, os conceitos matemáticos intuitivamente, antes da simbologia, antes da linguagem matemática. Por exemplo, antes de ser apresentada em linguagem matemática, a ideia de função deve ser trabalhada de forma intuitiva com o aluno. Uma situação-problema que torna isso possível é: “Considere a quantidade de litros de gasolina e o respectivo preço a pagar: Quantidade de litros (L)
Orientações metodológicas O mundo está em constante mudança, dado o grande e rápido desenvolvimento da tecnologia. Máquinas de calcular, computadores, internet, etc. são assuntos do dia a dia, e todos eles têm ligações estreitas com a Matemática. Para acompanhar essa rápida mudança, foi necessário estudar e pesquisar como deveria ser o ensino de Matemática no Ensino Fundamental e Médio. Nas últimas décadas, muitos pesquisadores da Psicologia cognitiva se dedicaram a estudar e pesquisar como os alunos aprendem, como aplicam o que aprendem na resolução de situações-problema, como constroem conceitos, qual é a maturidade cognitiva necessária para se apropriar, com significado, de determinado conceito, como a interação com o meio social desenvolve a aprendizagem, dentre muitos outros assuntos. A partir daí surgiu o movimento socioconstrutivista que estamos vivenciando atualmente. Aproveitando tais pesquisas e estudos, educadores matemáticos do mundo todo começaram a se reunir em grupos e em congressos internacionais para discutir como usar todos esses avanços da Psicologia cognitiva. Teve início, então, um grande movimento internacional de melhoria da aprendizagem e do ensino de Matemática, surgindo a Educação
Preço a pagar (R$)
1
2,50
2
5,00
3
7,50
.
.
.
.
.
.
50
125,00
O preço a pagar é dado em função da quantidade de litros que se coloca no tanque, ou seja, o preço a pagar depende do número de litros comprados”. Depois desse trabalho intuitivo calcado na elaboração de conceitos é que, pouco a pouco, vamos introduzindo a linguagem matemática:
A x
•
B f
f(x)
•
f: A → B x → f(x) “A cada x de A corresponde um único f(x) de B, levado pela função f.” •• que o aluno aprenda por compreensão. O aluno deve atribuir significado ao que aprende. Para isso, deve saber o porquê das coisas, e não simplesmente mecanizar procedimentos e regras. Por exemplo, não basta dizer que o número racio-
18
Matemática
3 1 ou ; é preciso, para a sua 9 3 compreensão, saber por que isso ocorre, fazendo, por exemplo: nal 0,3333... é igual a
x = 0,3333… ⇒ 10x = 3,333… = 3 + 0,333… ⇒ 3 1 ⇒ 10x = 3 + 9x = 3 ⇒ x = = 9 3 •• estimular o aluno a pensar, raciocinar, criar, relacionar ideias, descobrir e ter autonomia de pensamento. Em lugar de simplesmente imitar, repetir e seguir o que o professor fez e ensinou, o próprio aluno pode e deve fazer Matemática, descobrindo ou redescobrindo por si só uma ideia, uma propriedade, uma maneira diferente de resolver uma questão, etc. Para que isso ocorra, é preciso que o professor crie oportunidades e condições para o aluno descobrir e expressar suas descobertas. Por exemplo, desafios, jogos, quebra-cabeças, problemas curiosos, etc. ajudam o aluno a pensar logicamente, a relacionar ideias e a realizar descobertas. •• trabalhar a Matemática por meio de situações-problema próprias da vivência do aluno e que o façam realmente pensar, analisar, julgar e decidir-se pela melhor solução. Por exemplo, a seguinte situação-problema poderá desencadear o estudo da função quadrática: “Se quisermos cercar um terreno de forma retangular com uma tela de 40 m de comprimento, de modo a cercar a maior área possível, quais devem ser as dimensões do terreno?”
x
20 – x perímetro = 40 m
Área: A(x) 5 x(20 2 x) 5 20x 2 x 2 5 2x 2 + 20x ⇒ ⇒ A(x) 5 2x2 + 20x (modelo matemático para esta situação) Nesse caso, temos a função quadrática f(x) 5 2x2 + 20x, cujo gráfico é dado a seguir. O ponto de máximo da parábola (10, 100) dará a solução do problema. Assim, o terreno que satis-
faz as condições do problema é de forma quadrada (o quadrado é um caso particular de retângulo), de lado igual a x 10 m e área igual a 10 100 m2. É consenso entre os educadores matemáticos que a capacidade de pensar, de raciocinar e de resolver problemas deve constituir um dos principais objetivos do estudo da Matemática. A(x)
100
(10, 100)
•• trabalhar o conteúdo com significado, levando o aluno a sentir que é importante saber aquilo para sua vida em sociedade ou que o conteúdo trabalhado lhe será útil para entender o mundo em que vive. Por exemplo, ao trabalhar as diversas funções e seus gráficos relacionando-os com a vivência e com os fenômenos das ciências naturais, ao resolver problemas de juros compostos usando logaritmos, ao coletar dados, fazer tabelas, gráficos e interpretá-los, ao estudar probabilidade com as leis de Mendel da Biologia, etc., o aluno percebe que tudo isso tem sentido em sua vida presente e futura. Para que o aluno veja a Matemática como um assunto útil e prático e possa apreciar o seu poder, precisa perceber que ela está presente em praticamente tudo e é aplicada para resolver problemas do mundo real e entender uma grande variedade de fenômenos. •• valorizar a experiência acumulada pelo aluno dentro e fora da escola. É preciso lembrar que, quando o aluno chega ao Ensino Médio, ele já viveu intensamente até seus 14 anos de idade. A partir dessa vivência, o professor deve iniciar o trabalho de construir e aplicar novos conceitos e procedimentos matemáticos, dando continuidade ao que o aluno já aprendeu no Ensino Fundamental e na vida. Detectar os conhecimentos prévios dos alunos para, com base neles, desenvolver novos conhecimentos contribui para uma aprendizagem significativa. •• estimular o aluno a fazer cálculo mental, estimativas e arredondamentos, obtendo resultados aproximados. Por exemplo, quando o aluno
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
efetua a divisão 306 4 3 e coloca 12 como resultado, ele evidencia que não tem sentido numérico, não sabe arredondar (300 4 3 5 100), enfim, falta-lhe a habilidade de cálculo mental. Muitas vezes, mais vale saber qual é o resultado aproximado do que o resultado correto propriamente dito. •• considerar mais o processo do que o produto da aprendizagem – “aprender a aprender” mais do que levar em conta resultados prontos e acabados. É muito mais importante valorizar a maneira como o aluno resolveu um problema, especialmente se ele o fez de maneira autônoma, original, em vez de simplesmente verificar se acertou a resposta. O mesmo se pode dizer sobre o modo de realizar operações, medições, resolver equações e sobre as maneiras de observar e descobrir propriedades e regularidades em algumas formas geométricas. Sempre que possível, devemos analisar diferentes resoluções de um mesmo problema. •• compreender a aprendizagem da Matemática como um processo ativo. Os alunos são pessoas ativas que observam, constroem, modificam e relacionam ideias, interagindo com outros alunos e outras pessoas, com materiais diversos e com o mundo físico. O professor precisa criar um ambiente de busca, de construção e de descoberta e encorajar os alunos a explorar, desenvolver, levantar hipóteses, testar, discutir e aplicar ideias matemáticas. As salas de aula deveriam ser verdadeiras salas-ambiente de Matemática, equipadas com grande diversidade de materiais instrucionais que favorecessem a curiosidade e a aprendizagem matemática. •• permitir o uso adequado de calculadoras e computadores. Em uma sociedade voltada à comunicação, que se apoia no uso de calculadoras e computadores, nada mais natural do que os alunos utilizarem essas ferramentas para explorar ideias numéricas, regularidades em sequências, tendências, comprovação de cálculos com “números grandes”, aplicações da Matemática em problemas reais, etc. Por exemplo, na resolução de problemas, o aluno pode se concentrar mais nos
métodos, nas estratégias, nas descobertas, na relação lógica entre ideias matemáticas e na generalização do problema, deixando os cálculos para que a máquina execute. •• utilizar a história da Matemática como um excelente recurso didático. Comparar a Matemática de diferentes períodos da história ou de diferentes culturas (Etnomatemática). Por exemplo, pode-se contar a época na qual os pitagóricos só conheciam os números racionais e acreditavam apenas na existência dos segmentos comensuráveis (um pode ser medido pelo outro e a medida é expressa por um número racional). Ao medir a diagonal do quadrado de lado igual a uma unidade, usando esse lado como unidade de medida, surgem os números irracionais (√∙2, no caso) e os segmentos incomensuráveis: d2 5 12 1 12 5 2 ⇒ d 5 √∙2 d
1
1 •
O lado do quadrado e a diagonal desse quadrado são segmentos incomensuráveis entre si.
•• utilizar jogos. Os jogos constituem outro excelente recurso didático, pois podem possibilitar a compreensão de regras, promover interesses, satisfação e prazer, formar hábitos e gerar a identificação de regularidades. Além disso, facilitam o trabalho com símbolos e o raciocínio por analogias. •• trabalhar o desenvolvimento de uma atitude positiva em relação à Matemática. Reforçar a autoconfiança do aluno na resolução de problemas; aumentar o interesse por diferentes maneiras de solucionar um problema; levar o aluno à observação de características e regularidades de números, funções, figuras geométricas, etc. Sensibilizar o aluno para organizar, argumentar logicamente e perceber a beleza intrínseca da Matemática (simetrias, regularidades, logicidade, encadeamentos lógicos, etc.). •• enfatizar igualmente os grandes eixos temáticos da Matemática – números e funções (Álgebra), espaço e forma (Geometria), grandezas e medidas e tratamento da informação (Estatística e Probabilidade) – e, de preferência, trabalhá-los
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Matemática
de modo integrado. Por exemplo, quando se está estudando a função afim, cujo gráfico é uma reta não paralela ao eixo vertical, pode-se estudar um pouco de Geometria analítica explorando o coeficiente angular da reta, determinando a equação da reta que passa por dois pontos, etc. Esse tipo de atividade que integra os eixos de conteúdos é muito importante para que o aluno perceba a unidade da Matemática. A alfabetização matemática, exigida para todo cidadão do terceiro milênio, não se restringe a números e cálculos. Tão importante quanto os números é a Geometria, que permite compreender o espaço, sua ocupação e medida; as superfícies, suas formas, regularidades e medidas; as linhas, suas propriedades e medidas; e as relações entre todas essas figuras geométricas. Atualmente, igual importância tem a Estatística, que cuida da coleta e organização de dados numéricos em tabelas e gráficos para facilitar a comunicação. Da mesma forma, a Probabilidade, que trata das “previsões” e das chances de algo ocorrer. As grandezas e medidas proporcionam a integração dos vários eixos da Matemática – e são um instrumento de contextualização com as ciências em geral e com a tecnologia. O tema funções, integrador por excelência, é um dos mais importantes da Matemática. Por meio das funções e seus gráficos, podemos entender melhor vários fenômenos das Ciências Naturais e fatos da atualidade. •• trabalhar os temas transversais (ética, orientação sexual, meio ambiente, saúde, pluralidade cultural, trabalho e consumo) de modo integrado com as atividades de Matemática, por meio de situações-problema.
5. Algumas ideias para a utilização desta coleção Esta coleção procura priorizar a atividade do aluno, estimulando a reflexão, a experimentação e a resolução de problemas, com o objetivo de auxiliar a produção de significados.
Postura do professor Ao priorizar a construção do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno, o papel do professor é mais o de facilitador, orientador, estimulador e incentiva-
dor da aprendizagem. Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno, instigando-o a refletir, investigar e descobrir, criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem, onde o diálogo e a troca de ideias sejam uma constante, quer entre professor e aluno, quer entre os alunos. Em lugar de “ensinar”, no sentido tradicionalmente entendido, o professor passa a estar ao lado de um aluno, de uma dupla ou de uma equipe, ajudando-os a pensar, a descobrir e a resolver problemas, usando caminhos e estratégias diversificados. Com isso, o professor transforma-se também em um investigador, buscando e criando novas atividades, novos desafios e novas situações-problema, registrando tudo para posterior reflexão, transformação e aprimoramento. Uma aula expositiva partilhada, dialogada com os alunos, pode ser apropriada para sintetizar e organizar as descobertas, as ideias e os resultados, e, também, para sistematizar os assuntos tratados em determinado período.
Autonomia do professor ao trabalhar com a coleção Cada professor tem sua maneira de conduzir sua aula e utilizar o livro didático. Apesar disso, esboçamos algumas possibilidades que podem ser exploradas. Uma delas é ler e discutir cada página com os alunos – em especial a página que introduz um conceito novo –, fazendo indagações, problematizando e estimulando as descobertas deles. Outra possibilidade é reuni-los em duplas ou em pequenos grupos e sugerir que estudem o texto e refaçam os exemplos; enquanto isso, o professor circula entre as duplas ou entre os grupos, orientando, fazendo perguntas e instigando os alunos a refletir. Dessa atividade resultará a aprendizagem não só de conteúdos, mas também de atitudes e valores. E o que é mais importante: desenvolverá a autonomia do aluno, o “aprender a aprender”. O professor pode ainda dar uma ideia geral do capítulo, deixando que os alunos, individualmente ou em equipe, realizem as atividades propostas com sua orientação e acompanhamento. Em seguida, alguns alunos podem ir ao quadro explicar
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
como desenvolveram determinada atividade. Após a exposição, o professor faz uma síntese do que foi trabalhado e, quando necessário, sistematiza as descobertas dos alunos. O professor é quem conhece e se relaciona diariamente com seus alunos. Com base nesses dados e no contexto social em que está inserida a escola, o professor pode e deve modificar, complementar e inserir problemas, jogos, quebra-cabeças, desafios, atividades e exercícios. É como se ele fosse “reescrevendo” o livro com seus alunos. Depois do trabalho com determinado conteúdo, o professor pode e deve estimular o aprofundamento do assunto, de livre escolha do aluno, de acordo com sua criatividade e gosto. Paralelamente ao uso da coleção, o professor pode e deve sugerir leituras complementares adequadas – livros paradidáticos, revistas e jornais –, como as que relacionamos na seção Sugestões de leituras complementares, no livro do aluno.
Sugestões para a utilização das várias seções da coleção Com o objetivo de oferecer melhor aproveitamento desta coleção, apresentamos a seguir nossa intenção ao elaborar as seções de cada capítulo, podendo ficar como sugestão de roteiro a ser seguido pelo professor. Aberturas Podem ser trabalhadas no início de cada assunto, situando-o na história e ligando-o, sempre que possível, a algum modelo atual. Elas são independentes do conhecimento do conteúdo a ser trabalhado. Servem apenas de reflexão ou constatação de alguma propriedade. No final de cada texto são sugeridas atividades que complementam sua compreensão.
Exemplos Os exemplos, que são exercícios ou problemas resolvidos, têm a finalidade de mostrar as várias formas de resolução de determinada questão ou problema. Não devem ser vistos como modelos que os alunos apenas imitam e dos quais repetem estratégias. Servem apenas para inspirar e indicar possíveis estratégias de solução. Podem ser resolvidos pelo aluno, como expe riência de verificação da compreensão do conteúdo já desenvolvido pelo professor e comparados com a resolução apresentada no livro. Esse trabalho pode ser realizado em duplas, visando à discussão e ao intercâmbio de experiências. Exemplos comentados e detalhados: seção Tim-tim por tim-tim Nos exemplos dessa seção explicitamos as fases da resolução de um problema (compreender, planejar, executar, verificar e emitir a resposta). Também mostramos em que direções a questão pode ser ampliada, apresentando em geral uma proposta de discussão em equipe sobre o assunto. Exercícios propostos Com este subtítulo há uma grande variedade e quantidade de exercícios e situações-problema para o aluno checar, consolidar e aplicar os conhecimentos recentes. Eles são apresentados com dificuldades graduadas e, sempre que possível, contextualizados com explorações interdisciplinares. Podem ser trabalhados em sala de aula, dando continuidade ao processo de fixação dos conceitos, ou podem ser distribuídos de forma que fiquem alguns para serem resolvidos depois, como tarefa de casa, para sedimentação da aprendizagem.
Trabalhando com o raciocínio e complementando-o: seção Para refletir
Atividades ou Desafios
Esta é uma seção importante da coleção. Ela chama a atenção do aluno para refletir sobre alguma propriedade ou fato, constatar, descobrir, perceber ou provar algo. Às vezes, complementa o estudo daquele tópico que está sendo abordado.
Em praticamente todos os capítulos há atividades ou desafios para o aluno resolver individualmente, em dupla ou em equipe. Em geral, esse tipo de atividade exige um pouco mais de perspicácia por parte do aluno.
22 O trabalho em dupla ou em equipe facilita a comunicação entre os alunos, contribui para o desenvolvimento da solidariedade no trabalho coletivo e, transversalmente, contribui para o desenvolvimento da ética entre eles. “Letramento em Matemática”: seção A Matemática e as práticas sociais Hoje já se fala em “letramento em Matemática”. O que é isso? Quando se diz que o indivíduo está “letrado” em Matemática e não apenas “alfabetizado”? “Letramento em Matemática” é o estado ou a condição de quem não apenas conhece os fatos fundamentais dos vários conteúdos de Matemática, mas também cultiva e exerce as práticas sociais que usam a Matemática, ou sabe fazer uso de diferentes tipos de raciocínio matemático para formular, resolver e interpretar problemas em diversas situações e contextos, para atuar consciente e criticamente na sociedade. Nessa seção oferecemos alguns exemplos disso. Questões de vestibular separadas por região geográfica: seção Atividades adicionais Caracterizadas por apresentar uma interligação entre os conteúdos estudados até determinado momento, as questões de vestibular têm a grande importância de permitir ao aluno a autoavaliação. Embora o enfoque principal do ensino de Matemática seja a formação do aluno para a vida, o vestibular é uma etapa que ele tem de enfrentar para ingressar num curso superior. Há uma grande diversidade no nível de exigência e nos assuntos mais recorrentes nos vestibulares das universidades brasileiras. Para que o aluno tenha uma amostra significativa disso, além das questões de vestibular que aparecem ao longo dos capítulos, apresentamos, nessa seção do final de cada um, várias outras questões separadas por região geográfica brasileira. Essa seção é livre, isto é, fica a cargo do professor utilizá-la como trabalho obrigatório ou opcional. Geralmente os alunos sentem-se desafiados a resolver exercícios que fizeram parte de provas de vestibular. O professor pode também sentir-se desafiado, pois é uma maneira de avaliar se o seu curso dá subsídios para o aluno e o prepara adequadamente.
Matemática
Podem também ser sugeridos como exercícios extras para os alunos se prepararem para uma prova final.
A lição de casa É essencial que o professor proponha a lição de casa frequentemente. Isso auxilia o aluno no desenvolvimento do hábito de estudar e praticar o que já estudou. É interessante mesclar situações-problema com exercícios de manipulação. Sem exageros, o professor pode e deve dar para o aluno fazer em casa exercícios e atividades de manipulação. “A manipulação está para o ensino de Matemática assim como a prática de escalas musicais está para o aprendizado do piano ou como o treinamento dos chamados ‘fundamentos’ está para a prática de certos esportes como o tênis e o voleibol. A fluência no manuseio de equações, fórmulas e operações com símbolos e números, o desenvolvimento de atitudes mentais automáticas diante de cálculos algébricos ou construções geométricas, a criação de uma série de reflexos condicionados sadios em Matemática, os quais são adquiridos através da prática continuada de exercícios manipulativos bem escolhidos, permitem que o aluno (mais tarde o usuário da Matemática) concentre sua atenção consciente nos pontos realmente essenciais, salvando seu tempo e sua energia de serem desperdiçados com detalhes secundários.” 3 É interessante também propor para casa atividades de assuntos que serão discutidos na aula seguinte. Bem dosadas, elas servem de motivação para a próxima aula, e os alunos já ficarão familiarizados com o assunto; eventualmente, alguns até virão para a aula com as atividades realizadas. A correção da lição de casa é fundamental. Assim, o aluno perceberá que a lição é parte integrante do curso e não castigo. Os alunos, em duplas ou em equipes, podem fazer a correção. Os problemas e/ou atividades em que eles tiverem mais dificuldades podem ser expostos no quadro de giz pelos alunos e comentados pelo professor. 3 LIMA, Elon Lages. Matemática e ensino. Rio de Janeiro: SBM, 2001. (Coleção do Professor de Matemática.)
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
O uso do caderno O caderno é um material escolar importante.. É nele que o aluno deve registrar o que é trabalhado na sala de aula e as tarefas realizadas em casa. É essencial que o professor oriente o aluno a
para seu trabalho pedagógico na sala de aula. Há muitos outros recursos importantes para promover uma aprendizagem significativa. Vejamos alguns deles.
manter o caderno em ordem, organizado e comple-
Calculadora
to. Caderno limpo, bem cuidado e organizado
É permitido usar calculadora em sala de aula?
pode ser sinal de aluno interessado, organizado e que tem hábitos de limpeza. É importante estimular o aluno a registrar no caderno, além da sistematização da aula e das tarefas, as discussões, as várias maneiras de resolver um problema, as observações significativas feitas pelos colegas e pelo professor, as soluções mais originais e mais interessantes dadas a uma questão ou a um problema, as dúvidas e os erros mais frequentes seus e dos colegas, sua opinião pessoal sobre determinado assunto, etc. É como se o aluno fosse escrevendo um relatório de sua aprendizagem e compondo seu próprio livro. Feito isso, ele terá mais prazer em estudar pelo caderno, além de estar desenvolvendo sua autonomia.
É consenso entre os educadores matemáticos e indicado pelos PCN que é preciso iniciar o aluno no uso de novas tecnologias, e a calculadora é uma delas. Uma razão é social: a escola não pode se distanciar da vida do aluno, e sua vida em sociedade está impregnada do uso da calculadora. Outra razão é pedagógica: usando a calculadora para efetuar cálculos, o aluno terá mais tempo livre para raciocinar, criar e resolver problemas. Portanto, o que se discute hoje é quando e como utilizar uma calculadora. Nos primeiros anos, enquanto a criança estiver construindo os conceitos básicos das quatro opera-
O caderno pode se constituir em importante
ções, é necessário que ela faça isso manualmente
elemento de avaliação. Examinando cuidadosamen-
para perceber algumas regularidades e adquirir ha-
te o caderno de um aluno – e seria interessante que
bilidade no cálculo aritmético. O cuidado, a atenção,
isso fosse feito frequentemente –, é possível saber
a disciplina mental, impostos pela ordem sequencial
se ele compreendeu o que foi ensinado, conhecer
em que são efetuadas as operações, a apreciação da
melhor quais procedimentos ele utiliza para resolver
beleza, da elegância e da concisão de determinado
exercícios e problemas, como pensa, que tipos de
algoritmo (como o da divisão) são aspectos educati-
erro comete e o que realmente fica da aula dada
vos essenciais que a criança poderá incorporar para
pelo professor. (Para mais detalhes sobre esse as-
o resto da vida, aplicando-os em outras situações de
sunto, leia o interessante artigo “Os cadernos dos
seu cotidiano.
alunos e a aprendizagem da Matemática”, de Regina
A partir do quinto ou sexto ano, quando a
Maria Simões Puccinelli Tancredi e outras, na revista
criança já tiver dominado as várias ideias associadas
Educação Matemática em Revista, ano 8, n. 11, dez.
às operações e o relacionamento entre as opera-
2001, p. 26-33.)
ções e suas regras de cálculo, é importante iniciá-la
6. Recursos didáticos auxiliares O livro didático é apenas um dos recursos auxiliares de que o professor deve lançar mão
no uso da calculadora. No Ensino Médio o uso da calculadora é imprescindível. Esse instrumento é mais um recurso didático que pode ser utilizado para facilitar a aprendizagem da Matemática.
24
Matemática
Em que casos é recomendado o uso da calculadora? • Quando os cálculos numéricos são apenas auxiliares. A calculadora é recomendada quando os cálculos numéricos são apenas auxiliares na questão a ser resolvida, liberando mais tempo para o aluno pensar, criar, investigar, conjecturar, relacionar ideias, descobrir regularidades, etc. O tempo gasto desnecessariamente com cálculos longos e enfadonhos pode ser usado na busca de novas estratégias para a resolução de problemas, na busca de soluções de um desafio, de um jogo, etc. • Para melhorar a estimativa dos alunos por meio de jogos. A calculadora é recomendada também para aguçar a capacidade de estimativa do aluno. Há várias possibilidades de jogos do tipo estime e confira. Por exemplo, de um conjunto de 15 a 20 números de três algarismos, um aluno escolhe três deles e estima sua soma. Outro aluno escolhe mais três e também estima sua soma. Em seguida, conferem seus cálculos com a calculadora. Quem se aproximar mais do resultado correto marca um ponto. Vence quem fizer 5 pontos primeiro. Algo semelhante pode ser feito com as demais operações, usando números naturais inteiros, racionais e irracionais. • Para investigar propriedades matemáticas. Analisando padrões ou regularidades que ocorrem em situações ou em tabelas com muitos dados, o aluno pode levantar hipóteses, fazer conjecturas, testá-las e descobrir propriedades. Por exemplo, ao preencher tabelas usando calculadora, os alunos podem descobrir propriedades da multiplicação e da divisão, que, depois, o professor poderá provar para eles, generalizando. Assim: Fator
Fator
Produto
Dividendo
Divisor
Quociente
15
12
?
13
5
?
15
24
?
26
10
?
15
48
?
52
20
?
“Quando se dobra um fator, o produto também dobra.” “Quando se dobram o dividendo e o divisor, o quociente permanece o mesmo.” Outro exemplo é quando os alunos trabalham com operações de radicais usando calculadora: a b
a b
a + b
a+b
a – b
a–b
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
b
a b
a b
5
3
?
7
10
3
1
Eles poderão conjecturar que, por exemplo, a b a b e a + b a + b . Depois, o professor poderá demonstrar que essas conjecturas estão corretas. • Para trabalhar com problemas da realidade. Ao trabalhar com problemas que apresentam dados reais, em geral os números são muito “grandes” ou “pequenos” e, às vezes, são muitos itens e muitas operações a realizar com eles. Isso faz com que a calculadora se torne um instrumento fundamental para aliviar o aluno do trabalho manual, mecânico, e concen-
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
trar-se mais no essencial, que são o raciocínio, as estratégias e as descobertas. Por exemplo, o índice de massa corpórea (IMC) de uma pessoa é dado m pela fórmula IMC = 2 , em que m é a massa (em a quilogramas) e a é a altura (em metros). Uma mulher adulta é considerada dentro dos padrões normais se seu IMC estiver entre 19 e 24. Por exemplo, uma mulher com 1,65 de altura e massa de 68 kg está fora dos padrões normais, pois seu IMC é dado por: 68 24,98, que é maior do que 24. IMC = 1, 652 Outro exemplo: gastam-se 11,2 cm de arame de aço galvanizado para fabricar um clipe de papel. Com 100 m desse arame, quantos clipes serão fabricados aproximadamente?
Livros paradidáticos Como são os livros paradidáticos? Em geral, os livros paradidáticos são escritos em estilo mais coloquial, abordam aspectos históricos interessantes, integram-se com outras áreas do conhecimento e não se restringem ao conteúdo matemático de determinado tema. Para que servem os livros paradidáticos? São utilizados para proporcionar ao professor alternativas de aprofundar e esclarecer detalhes de assuntos importantes abordados em um programa do curso. Como utilizar os livros paradidáticos? Há várias possibilidades de uso dos livros paradidáticos. Veja alguns exemplos. a) Uso livre. O professor estimula os alunos a escolher determinado livro paradidático para ler, sem nenhuma cobrança posterior. b) Tarefa de casa. O professor indica a leitura para casa de um paradidático e promove, em classe, uma discussão sobre o tema do livro. c) Desencadeando um conteúdo. Antes de iniciar um conteúdo, o professor solicita aos alunos que, em grupos, estudem um paradidático na
sala de aula. Em seguida, ele coordena uma discussão sobre o tema do livro. d) Aprofundando um conteúdo. Após trabalhar com um conteúdo, o professor solicita aos alunos que, indivi dualmente ou em grupos, estudem um paradidático na sala de aula. Na sequência, o professor coordena uma discussão e esclarece possíveis dúvidas. e) Servindo de fonte de consulta. O livro paradidático pode ser utilizado para um melhor entendimento de determinado assunto, para o desenvolvimento de um trabalho interdisciplinar e para o desenvolvimento de um projeto em equipe, que poderá ser exposto para a classe e para os demais alunos da escola.
Jornais, revistas e folhetos de propaganda A Matemática está presente em tudo A presença da Matemática em jornais, revistas e folhetos de propaganda é marcante. O professor pode usar esses recursos auxiliares para mostrar ao aluno que a Matemática está presente em seu cotidiano, que ela é útil no dia a dia das pessoas e que também é uma forma de linguagem. Interdisciplinaridade e temas transversais Muitos trabalhos interdisciplinares e projetos que envolvam os temas transversais podem ter origem na leitura de artigos de jornais e revistas. Formulação e resolução de problemas • Os alunos podem melhorar a leitura e interpretação de textos lendo notícias de jornais e revistas que contenham dados numéricos. • Os alunos podem formular problemas com dados obtidos em folhetos, jornais e revistas, resolvendo-os em seguida. • O professor, após solicitar a leitura de um texto, pode formular questões e problemas sobre ele. Tratamento da informação • Os alunos podem colecionar tabelas e gráficos que aparecem em jornais e revistas e interpretá-. -los oralmente.
26 • Os alunos podem fazer uma redação descrevendo como interpretam um gráfico presente em jornal ou em revista. • O professor pode sugerir a leitura de um texto com muitos dados e solicitar aos alunos que organizem esses dados, elaborem tabelas e construam gráficos que representem a situação.
Instrumentos e materiais Constituem também recursos didáticos auxiliares da aula de Matemática os instrumentos, tais como: régua, esquadro, transferidor, compasso, metro, trena, termômetro, ampulheta, relógio, cronômetro, teodolito, pantógrafo, espelho, bússola e tesoura. Outros recursos importantes são os materiais, tais como: papel quadriculado, malha triangular, folha de sulfite e de cartolina, fita-crepe, cola, barbante, arame, canudinhos, palitos, etc.
Vídeos Há uma grande variedade de vídeos com aulas de Matemática. Este é mais um recurso que o professor pode usar. Sua finalidade é motivar um assunto, complementar um conteúdo, debater um tema, aprofundar um item do programa, problematizar a partir de uma situação, etc. Por exemplo, o vídeo Donald no país da Matemática, da Disney, é um excelente recurso didático para mostrar a presença da Matemática na música, na natureza, nas construções, nos jogos e na tecnologia. Depois de os alunos assistirem a esse vídeo, o professor pode retomar com a classe a importância da Matemática e de suas aplicações em diversos setores do cotidiano. Os alunos podem fazer uma redação ou elaborar uma história em quadrinhos sobre parte do que viram no vídeo da Disney. Alguns possíveis temas seriam: • A Matemática e a natureza. • A Matemática e a música. • A Matemática e os jogos. Os alunos podem gravar um vídeo com uma dramatização feita por eles sobre, por exemplo, a história dos números ou então sobre motivos matemáticos presentes na natureza, nas artes, nas cons-
Matemática
truções, nos supermercados, etc. e exibi-lo para. a classe. Como todas as outras, essa interessante atividade com vídeo deve ser planejada detalhadamente para que cumpra realmente seus objetivos. É fundamental que o professor assista antes ao vídeo para poder programar sua ação pedagógica e suas intervenções. O Guia da TV Escola (Secretaria de Educação a Distância – SED – MEC) é um excelente material de consulta sobre vídeos. Seguem endereços eletrônicos que exibem vídeos sobre Matemática: Aula de Matemática: número áureo (Donald no país da Matemática) http://br.youtube.com/watch?v=SUSyRUkFKHY Aula de Matemática e música (Donald no país da Matemática) http://br.youtube.com/watch?v=7S3iW_sbqsA Donald no país da Matemática – 1a parte http://br.youtube.com/watch?v=Nc1vulpH31E&fe ature=related Donald no país da Matemática – 2a parte http://br.youtube.com/watch?v=9lxAQrCjvKo&fea ture=related Donald no país da Matemática – 3a parte http://br.youtube.com/watch?v=Qfi-Mk2FYQw& feature=related Número áureo – 1a parte – (Prof. Luiz Barco) http://br.youtube.com/watch?v=w2NqqfHM9_8 Número áureo – 2a parte – (Prof. Luiz Barco) http://br.youtube.com/watch?v=T0CA60XXYp0 Matemática e Música – Parte 1 (Prof. Luiz Barco) http://br.youtube.com/watch?v=jy8KGaXxG4U Matemática e Música – Parte 2 (Prof. Luiz Barco) http://br.youtube.com/watch?v=rK9xPVB5S3o Matemática e Música – Parte 3 (Prof. Luiz Barco) http://br.youtube.com/watch?v=6XCKqXxcftQ Matemática e Música – Parte 4 (Prof. Luiz Barco) http://br.youtube.com/watch?v=nylquiAd6nM Matemática e Música – Parte 5 (Prof. Luiz Barco) http://br.youtube.com/watch?v=TtWkiQ4NxSw
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
Matemática e Música – Parte 6 (Prof. Luiz Barco) http://br.youtube.com/watch?v=lgUsAmUnFko Matemática e Música – Parte 7 (Prof. Luiz Barco) http://br.youtube.com/watch?v=IV8q5mNa62M Funções de 1o e 2 o graus (funções polinomiais) http://br.youtube.com/watch?v=WNKQSQxFnwM Teorema de Pitágoras http://br.youtube.com/watch?v=qjvy2jcbv8w Novo Telecurso – E. Fundamental – Matemática (Por que aprender Matemática) 1a parte www.youtube.com/watch?v=r2Sv_4o1Hk4. 2a parte www.youtube.com/watch?v=-5zEdaDRFF e&feature=related David Copperfield – Mágica interativa (uma mágica envolvendo Matemática) www.youtube.com/watch?v=Ut26bNwqlE&featu re=related
tando um dinamismo que muitas vezes convence mais do que qualquer demonstração de resultados. As normas que gerenciam o Cabri são fáceis e suas ferramentas básicas estão à disposição do usuário na tela de trabalho: basta escolher a ferramenta clicando sobre o ícone desejado. Para aqueles que dispõem de internet, existem diversas páginas que podem ser acessadas, em particular www.cabri.com.br, em que é possível encontrar algumas sugestões didáticas.
Computador
1o exemplo Projeto: pontos notáveis de um triângulo. Objetivo: construir o ponto notável baricentro de um triângulo. Pré-requisito: definição de mediana de um triângulo e de baricentro de um triângulo. Desenvolvimento do projeto: 1. Conceitos iniciais a) Mediana de um triângulo é um segmento com extremidades em um vértice e no ponto médio do lado oposto a esse vértice. zAM é a mediana do ABC relativa ao lado BC.
Em uma era de tecnologia e comunicação, é fundamental que os alunos se familiarizem com o computador e com programas específicos para aprofundar sua aprendizagem matemática. Programas específicos Logo É uma linguagem de programação com a qual se constroem programas. Cada programa gera um desenho geométrico na tela do computador. Ao construí-lo, o aluno organiza o pensamento e desenvolve seu raciocínio lógico, além de aprender conceitos básicos de Geometria. Cabri-géomètre II O Cabri-géomètre II é um software educacional desenvolvido na Universidade Joseph Fourier de Grenoble (França) por Jean-Marie Laborde e Franck Bellemain. Trata-se de um programa que facilita o estudo da Geometria plana, da Geometria analítica e da Geometria espacial. Por se tratar de um software interativo de interface amigável, permite, com pouco esforço, a construção precisa de modelos que exigiriam grande perícia se desenhados no quadro. Além da precisão e da beleza, as construções realizadas no Cabri, embora visuais, obedecem às relações matemáticas que as disciplinam, possibilitando a transformação do visual da página, apresen-
CD: Geometria espacial dinâmica – Telas do Cabri-géomètre II como recurso didático É um CD produzido pelos doutores Marcos Luiz Lourenço e Ruy Madsen Barbosa, da Faculdade de Filosofia de Catanduva (Fafica – Catanduva (SP)). Informações podem ser obtidas pelo site www.fafica.br. Veja dois exemplos de atividade usando o Cabri-. -géomètre II:
A
C
M
B
Figura 1 b) Baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das três medianas. O ponto O é o baricentro do ABC. A R
C
O
M
Figura 2
N
B
28
Matemática
2. Construção do baricentro utilizando o Cabri-géo mètre II. O Cabri permite a construção de triângulos, bastando para isso selecionar a opção desejada (triângulo, conforme a figura 3) e clicar em três pontos, que serão os vértices do triângulo. Após clicar nos três pontos, o triângulo surge na tela (figura 4).
O software indaga se o usuário deseja o ponto médio daquele lado. Esse procedimento é usual no Cabri e faz parte da interatividade do programa. Uma vez determinado o ponto médio do lado (no exemplo, o ponto médio do lado CB), a mediana pode ser construída, traçando o segmento de origem em A e extremidade no ponto médio (M), conforme a figura 6. A
C
B
M
Figura 6 Figura 3 Para dar nome aos vértices, escolha a opção Rótulo, clique sobre o ponto que deseja nomear e dê o nome desejado.
As outras medianas devem ser construídas de maneira análoga. O ponto de encontro das medianas (ponto O) é obtido determinando-se a intersecção de duas medianas (as três encontram-se em um mesmo ponto), conforme sugere a figura 7.
A
R
Figura 4 Uma vez construído o triângulo, a mediana com relação a um dos lados (ou a um dos vértices) pode ser traçada de maneira muito simples. Marque o ponto médio do lado desejado (o Cabri dispõe da opção Ponto médio – veja a figura 5) selecionando a opção na barra de ferramentas; indique o lado do triângulo do qual deseja o ponto médio clicando no botão esquerdo do mouse.
A
C
B
ponto médio deste lado do triângulo
Figura 5
N O
C
M
B
Figura 7 Uma vez determinado o ponto de encontro das medianas (baricentro do triângulo), pode-se alterar a posição dos vértices do triângulo e constatar que o ponto O, embora mude de lugar, é sempre o “encontro” das três medianas. A variação do triângulo é feita “agarrando” um dos vértices – por exemplo, o ponto A – e “arrastando-o”. Isso se consegue aproximando a seta (ou a cruz que indica a posição do mouse) do ponto desejado (neste instante ela se transforma em uma “mãozinha”), clicando e mantendo o botão esquerdo pressionado e movendo o mouse. Caso o mouse não se apresente como o descrito, é porque ele está vinculado à última construção. É preciso “liberá-lo”. Para isso, basta levá-lo até a seta no alto do vídeo (à esquerda) e clicar: a seta se destacará.
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
A figura 8 mostra o triângulo e o baricentro em condições de ser “arrastado”. Observe a seta em destaque.
A
Figura 8
R
este ponto
N O
C
B
M
Discuta com os alunos a construção do ortocentro, do incentro e do circuncentro de um triângulo. 2 o exemplo Projeto: teorema de Tales. Objetivo: verificação empírica do teorema de Tales. Pré-requisito: enunciado do teorema de Tales. Desenvolvimento do projeto: Teorema de Tales: “Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais segmentos de medidas proporcionais”. Construção: Para a verificação dessa relação, bastam três retas paralelas entre si e duas transversais, conforme sugere a figura 1.
r D E
Figura 1
F
t a
A
b
B
C
c
A construção de retas paralelas é muito simples: basta selecionar a opção (retas paralelas), indicar a reta inicial e um ponto por onde a paralela será traçada. As transversais são construídas de forma aleatória. Para o trabalho com a relação de Tales, necessitamos de medidas, no caso de medidas dos segmentos determinados sobre as transversais. Esses segmentos devem ser construídos a partir das intersecções A, B, C, D, E e F das retas a, b e c com as retas r e t, conforme indicado na figura 1. Uma vez determinadas as medidas (podem ser obtidas como distância entre os pontos), devemos trabalhar com a calculadora disponível no Cabri, conforme sugere a figura 2. Figura 2
O quociente das medidas dos segmentos é obtido da seguinte forma: Com a calculadora aberta (na tela o campo da calculadora aparece colorido), direcione o mouse sobre o número que indica a medida de AB (1.37). O Cabri perguntará: Este número? Clique uma vez com o bo-
30
Matemática
tão do mouse; neste momento o número 1.37 será inserido na calculadora, aparecendo, na região de trabalho, a letra a. O procedimento agora é o usual para calculadoras, isto é, clique sobre a barra (/) no botão correspondente da calculadora. A barra será inserida na calculadora. Em seguida, clique sobre o número 2.36 (medida de BC). O número será inserido na calculadora, surgindo, na região de trabalho, a letra b, conforme a figura 3.
Figura 3 Para obter o quociente de 1.37 por 2.36, basta clicar sobre o sinal de igual (=) da calculadora. Surgirá o resultado 0.58. Clique novamente sobre o sinal de igual e desloque o mouse sobre a tela do Cabri. O desenho do mouse (uma cruz) transforma-se em um lápis e na ponta do lápis aparece uma janela pontilhada (figura 4).
Figura 4
Clicando novamente, a janela pontilhada desaparece, dando lugar ao resultado da operação:
1.37 cm
1.46 cm
2.51 cm
2.36 cm Resultado: 0.58
Da mesma forma devemos determinar a razão entre DE e EF: r
D
E 2.51 cm F
A
a 1.37 cm
1.46 cm
Resultado: 0.58
t
B
b 2.36 cm Resultado: 0.58 C
c
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
Alterando a posição da reta r (ou da reta t), os segmentos AB, BC, DE e EF se alteram e, consequentemente, suas medidas se modificam; entretanto, a razão entre as medidas continua a mesma. 3o exemplo Proponha aos alunos que façam uma construção para verificar, de forma dinâmica, a relação de Pitágoras. Geometricks É um software de Geometria de fractais desenvolvido por Viggo Sadolin, da Royal Danish of Education Studies, Copenhague, Dinamarca. Ele foi traduzido pelos professores Miriam G. Penteado e Marcelo C. Borba, da Unesp-Rio Claro (SP). Informações podem ser obtidas pelo site www.editora.unesp.br. Excel Um programa não educativo, mas muito usado para elaborar planilhas de cálculo, entender fórmulas e construir gráficos.
Internet Um excelente recurso didático para enriquecer as aulas de Matemática é a internet. Nela há sites que exploram a história da Matemática, curiosidades, desafios, etc. O professor pode encontrar esses sites usando programas de busca e procurando, por exemplo, por Educação Matemática. Surgirão vários endereços de grupos, universidades e pessoas que trabalham com Educação Matemática. Sugestões de alguns programas de busca: • cade.search.yahoo.com • www.yahoo.com.br • www.google.com.br
Jogos, divertimentos e quebra-cabeças Por meio desses recursos, os alunos aprendem Matemática brincando. Em um jogo, o aluno desempenha papel ativo na construção de seu conhecimento, desenvolvendo raciocínio, autonomia, além de interagir com seus colegas.
Sala-ambiente de Matemática ou laboratório de ensino de Matemática Quando possível, o professor pode e deve organizar um espaço tipo Laboratório de ensino de Matemática ou Sala-ambiente de Matemática, ou até mesmo um Cantinho da Matemática, integrado ao projeto pedagógico da escola. O que são? Os laboratórios ou as salas-ambiente são espaços de construção coletiva do conhecimento nos quais os recursos didático-pedagógicos criam vida. Com esses espaços e recursos o professor e os alunos podem dar mais vazão à sua criatividade, dinamizar o trabalho e enriquecer as atividades de ensino-aprendizagem, tornando esse processo muito mais dinâmico, prazeroso e eficaz. O aluno aprende fazendo em oficinas de Matemática. É um espaço propício para estimular: • atitudes positivas em relação à Matemática (gosto pela Matemática, perseverança na busca de soluções e confiança em sua capacidade de aprender e fazer Matemática); • a construção, com compreensão, de conceitos, procedimentos e habilidades matemáticas; • a busca de relações, propriedades e regularidades; • o espírito investigativo e a autonomia. Por que sala-ambiente ou laboratório de Matemática? Esse espaço é importante para o aluno: • relacionar o conhecimento escolar com a vida e com o mundo, pois o aluno que interage com uma maior diversidade de recursos e materiais pedagógicos tem possibilidade de fazer isso com mais eficácia; • agregar materiais que estimulem a curiosidade, a observação, a investigação e a troca de experiências e vivências. Com que estrutura? Esse espaço deve permitir: • fácil acesso dos alunos aos materiais;
32
Matemática
• reconhecimento fácil do material adequado a cada situação, pelo aluno e pelo professor. Qual é o papel do professor nesses espaços? Cabe ao professor: • estimular o aluno a pensar ativa, criativa e autonomamente, atuando como mediador entre o aluno e o conhecimento; • considerar a sala-ambiente ou o laboratório de ensino de Matemática um espaço de ensino e aprendizagem;
Todo esse material deve ser encarado como meio para uma aprendizagem significativa e não como fim. A sala-ambiente e o laboratório de Matemática devem ser o local da escola onde se respire Matemática o tempo todo, um ambiente permanente de busca e descoberta.
7. Formulação e resolução de problemas “A resolução de problemas é a coluna vertebral da instrução matemática desde o papiro de Rhind.”
• elaborar uma proposta pedagógica de interação que inclua trocas afetivas, formação de hábitos e respeito mútuo;
George Polya
“A razão principal de se estudar Matemática é para aprender como se resolvem problemas.”
• estimular um processo contínuo, da exploração à apropriação do saber. Quais materiais utilizar nesses espaços? Há uma grande variedade de materiais que podem ser usados em um laboratório de ensino ou em uma sala-ambiente de Matemática. Dentre eles, destacamos: • livros (didáticos, paradidáticos, de história da Matemática, de problemas, de curiosidades, etc.); • compassos, esquadros, transferidores, réguas, trenas, cronômetros, termômetros, etc.; • blocos lógicos, material dourado, ábacos, tangrans, sólidos geométricos, caleidoscópios, etc.; • calculadoras, computadores, CDs, vídeos e TV; • mapas, globo terrestre, bússolas, guias de cidades; • cartazes, tabelas, gráficos; • geoplanos, dobraduras, formas geométricas variadas;
Lester Jr.
Ao ter como prioridade a construção do conhecimento pelo fazer e pensar, o papel da formulação e resolução de problemas é fundamental para auxiliar o aluno na apreensão dos significados. Indicamos a seguir alguns procedimentos para melhor atingir esse objetivo.
Objetivos • • • • •
A resolução de problemas deve ter por meta: fazer o aluno pensar; desenvolver o raciocínio lógico do aluno; ensinar o aluno a enfrentar situações novas; levar o aluno a conhecer as primeiras aplicações da Matemática; tornar as aulas mais interessantes e motivadoras.
• obras de arte, pinturas, artesanatos, fotos ou desenhos de animais (estrela-do-mar);
As fases da resolução de um problema
• jornal-mural com curiosidades, desafios e problemas da semana;
• painéis, mosaicos, faixas decorativas;
Cinco são as etapas que o aluno deve adotar na resolução de um problema: a) compreensão do problema; b) elaboração de um plano de solução; c) execução do plano; d) verificação ou retrospectiva; e) emissão da resposta.
• roletas, moedas, dados e tetraedros.
Vamos examinar cada fase que o aluno deve seguir:
• banco de problemas para cada ano e/ou assunto; • jogos: damas, xadrez, matrix, dominó, bingo e outros jogos inventados pelos alunos; • jornalzinho da Matemática;
33
Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
a) Compreensão do problema • Leitura e interpretação cuidadosa do problema. • Quais são os dados e as condições do problema? Há dados a mais no problema? Faltam dados? • O que se pede, o que se pergunta no problema? • É possível fazer uma figura, um diagrama ou uma tabela? • É possível estimar uma resposta? b) Elaboração de um plano de solução • Qual é seu plano para resolver o problema? • Que estratégias você tentará desenvolver? • Você se lembra de um problema semelhante mais simples que pode ajudá-lo a resolver este problema? • Tente organizar os dados em tabelas, gráficos ou diagramas. • Tente resolver o problema por partes. c) Execução do plano • Execute o plano elaborado. • Efetue todos os cálculos indicados no plano. • Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolver o mesmo problema. d) Verificação ou retrospectiva • Você leu e interpretou corretamente o problema? • Você elaborou um plano razoável e factível? • Executou com precisão o que foi planejado? Conferiu todos os cálculos? • Há alguma maneira de “tirar a prova” para verificar se você acertou?
Algumas sugestões para a sala de aula • Comece trabalhando com problemas simples e, pouco a pouco, apresente problemas mais complexos. Isso fortalece a autoestima e a autoconfiança do aluno. • Valorize o processo, a maneira como o aluno resolveu o problema e não apenas o resultado. • Incentive o aluno a “pensar alto” ou a contar como resolveu o problema. Isso auxilia a organização do pensamento e a comunicação matemática. • Estimule o aluno a fazer a verificação da solução, a revisão do que fez. • Deixe claro que é permitido errar. Aprendemos muito por tentativa e erro e não por tentativa e acerto. O erro deve ser encarado como ponto de apoio para uma ideia nova. Quando está implícito que é “proibido errar”, o aluno não se arrisca, não se aventura, não gera novas ideias, não explora caminhos novos e diferentes. • Oriente, estimule, questione, procurando deixar o aluno descobrir por si. • Proponha aos alunos que inventem seus próprios problemas. • Não apresse o aluno durante a resolução de um problema; esta não é uma competição de velocidade. • Proponha ao aluno que formule problemas a partir de uma resposta dada. • Forme o seu “Banco de problemas” por ano, por ciclo, por assunto, ou por nível de dificuldade. • Implante em sua classe e/ou em sua escola a seção “O problema da semana”, que poderá figurar no mural da classe e/ou escola.
• A solução está correta? • Existe outra maneira de resolver o problema? • É possível usar a estratégia empregada para resolver problemas semelhantes? e) Emissão da resposta • A resposta é compatível com a pergunta? • Você escreveu a resposta por extenso, respondendo à pergunta do problema?
Um exemplo para ser discutido em classe Como, no geral, a ênfase desta coleção é na formulação e resolução de problemas, seria interessante que na primeira semana de cada ano o professor discutisse com a classe um exemplo como este que vamos analisar. Assim, sempre que o aluno for resolver um problema, lembrará destas fases e destes cuidados a tomar.
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Matemática
Ana tem um problema para resolver. Ela precisa tomar uma decisão. Leia cuidadosamente o problema de Ana e acompanhe as etapas a seguir.
Compreendendo o problema Inicialmente, Ana precisa compreender o problema. Ela descreve o problema para si mesma fazendo algumas perguntas:
O que é dado no problema?
O que se pede?
O problema informa que há 30 alunos numa sala. Eles vão se cumprimentar com um aperto de mão e uma pequena apresentação.
Pede-se o número total de cumprimentos (apertos de mão) entre os alunos.
Como você descreveria o problema de Ana usando suas próprias palavras?
Planejando a solução Ana precisa planejar como resolver seu problema. Ela pensa nas maneiras que pode adotar para resolvê-lo. Procura a melhor estratégia: • 1a maneira – Elaborando diagramas e analisando casos mais simples. • 2 a maneira – Elaborando uma tabela, descobrindo regularidades e usando progressão aritmética (PA). • 3 a maneira – Usando raciocínio combinatório, isto é, usando a ideia de combinação. Assim, ela elabora um plano perguntando a si mesma: Como posso resolver o problema? Posso construir diagramas, analisando casos mais simples, com menos alunos envolvidos. Depois, posso generalizar esse raciocínio para um número qualquer de pessoas.
Que outro plano Ana poderia ter feito?
Ilustrações: David iizuka/arquivo da editora
No primeiro dia de aula de Matemática do Ensino Médio, 30 alunos estavam presentes na sala. Para se conhecerem melhor, o professor sugeriu que cada aluno cumprimentasse o outro com um aperto de mão e uma breve apresentação. Qual foi o total de apertos de mão?
Executando o que foi planejado Agora, Ana precisa executar o plano e resolver o problema. Ela pode fazer os cálculos mentalmente, com lápis e papel ou com calculadora. Ana escolheu usar lápis, papel e calculadora.
Os diagramas abaixo representam os cumprimentos para 1, 2, 3, 4 e 5 alunos.
1
2
3
4
5
Observo que o problema dos cumprimentos se reduz à contagem do número de segmentos necessários para conectar vários números de pontos.
No caso de 4 alunos: A cumprimenta 3 colegas: B, C e D (3 cumprimentos). B também cumprimenta 3 colegas: A, C e D (3 cumprimentos). Assim por diante. Cada aluno cumprimenta outros 3 colegas. Parece então que teremos 4 ? 3 ou 12 cumprimentos. Mas noto que os cumprimentos entre A e B foram contados duas (2) vezes. Isso ocorre com cada um dos 4 alunos. Consequentemente, cada cumprimento foi contado duas vezes. Assim, para obter a 4?3 resposta, preciso dividir 12 por 2, ou seja, fazer ou 6, 2 que é igual ao número de segmentos de reta traçados na t AC, t AD, t tBC, BD, t tCD). figura (AB,
Faço esse mesmo raciocínio no caso de 5 alunos. Descubro 5?4 ou 10 cumprimentos ou 10 segmentos de que serão 2 reta ligando 5 pontos não alinhados do plano. Generalizo esse raciocínio para um número qualquer de pessoas. Uso a estratégia acima e resolvo o problema 30 ? 29 870 fazendo 5 ou 435 cumprimentos. 2 2
Como você resolveria o problema?
Ilustrações: David iizuka/arquivo da editora
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
36 Verificando se a resposta está correta Finalmente, Ana pode verificar se sua resposta está correta. Ela pensa como pode checar sua resposta, fazendo algumas perguntas para si mesma. Como posso checar minha resposta? Posso fazer a verificação realizando essa situação concretamente. Nesse caso, o 1º aluno cumprimenta 29 colegas, o 2º cumprimenta 28, o 3º cumprimenta 27 e, assim por diante, o penúltimo cumprimenta o último. Daí, o total de cumprimentos será 29 1 28 1 27 1 … 1 3 1 2 1 1 5 435.
Minha solução responde à pergunta do problema? Sim, pois determinei o número total de cumprimentos (apertos de mão) entre os alunos.
De que outra forma Ana poderia verificar sua resposta?
Escrevendo a resposta Ana escreve a resposta por extenso:
Quando 30 alunos se cumprimentam com um aperto de mão, há 435 cumprimentos no total. Como Ana, podemos usar a resolução de problemas para tomar decisões em muitas situações do cotidiano. Para esse importante assunto, indicamos os livros: Didática da resolução de problemas de Matemática (Ática); A resolução de problemas na Matemática escolar (Atual); A arte de resolver problemas (Interciência).
8. Etnomatemática e modelagem O que é Etnomatemática? O prefixo etno tem significado muito amplo, referente ao contexto cultural e, portanto, inclui considerações como linguagem, jargão, códigos de comportamento, mitos e símbolos; matema é uma raiz difícil, que vai na direção de explicar, de conhecer, de entender; tica, sem dúvida, vem de techne, que é a mesma raiz de arte e de técnica. Assim, Etnomatemática é a arte ou técnica de explicar, de conhecer, de entender nos diversos contextos culturais. Ela
procura compreender o saber/fazer matemático ao longo da história da humanidade, contextualizando em diferentes grupos de interesse, comunidades, povos e nações. As práticas matemáticas de feirantes, comerciantes, borracheiros, cirurgiões cardíacos, vendedores de suco de frutas, bicheiros, indígenas, grupos africanos enquadram-se, por exemplo, nos estudos e nas pesquisas da Etnomatemática.
David iizuka/arquivo da editora
Matemática
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
Para se inteirar sobre Etnomatemática, recomendamos a leitura dos livros: Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade, de Ubiratan D’Ambrósio, Editora Autêntica; e Etnomatemática, de Ubiratan D’Ambrósio, Editora Ática; e da revista A Educação Matemática em Revista, da SBEM, ano 1, n. 1, 1993, inteiramente dedicada a este tema.
O que é modelagem? Diante de uma realidade complexa, global, podemos reduzir esse grau de complexidade isolando algumas variáveis. Temos, assim, uma representação da realidade sobre a qual refletimos e procuramos construir estratégias de ação. De posse dos resultados obtidos nessa representação, voltamos ao global. Esse processo de passagem do global para o local e do local para o global, a partir de representações, é normalmente chamado modelagem. Acompanhe esta explicação apresentada por Ubiratan D’Ambrósio: “O esforço de explicar, de entender, de manejar uma porção da realidade, um sistema, normalmente se faz isolando esse sistema e escolhendo alguns parâmetros nos quais concentraremos nossa análise. Com isso, o sistema, com toda a complexidade que ele oferece, fica aproximado por um sistema artificial, no qual se destacam somente alguns parâmetros (algumas qualidades) e se ignoram suas interações com o todo. Dessa maneira considera-se um modelo e passa-se a analisar e refletir sobre o modelo. Este é o processo de modelagem, na sua essência, uma forma de abstração. São exemplos históricos de modelagem em Matemática a Geometria Euclidiana, a Mecânica Newtoniana, a Óptica Geométrica. A modelagem, visando aplicações, que é mais comum, faz sempre apelo à realidade na qual está inserido o sistema que deu origem ao modelo com o qual trabalhamos, sempre procurando verificar a adequação dos parâmetros selecionados e as implicações dessa seleção no inter-relacionamento desse sistema com a realidade como um todo, isto é, procurando recuperar o sentido holístico que permeia o matema. Não é possível explicar, conhecer, entender, manejar, lidar com a realidade fora do contexto holístico. Têm-se não mais que visões parciais e incompletas da realidade.
A modelagem é eficiente a partir do momento em que nos conscientizamos de que estamos sempre trabalhando com aproximações da situação real, que, na verdade, estamos elaborando sobre representações. Assim, a modelagem pode ser uma metodologia de ensino muito útil e se enquadra no Programa Etnomatemática, que inclui a crítica, também de natureza histórica, sobre representações, que deve estar subjacente ao processo de modelagem.” Para saber mais sobre modelagem, recomendamos a leitura de: Ensino-aprendizagem com modelagem matemática, de Rodney Carlos Bassanezi, Editora Contexto; e Modelagem matemática & implicações no ensino-aprendizagem de Matemática, de Maria Salett Biembengut, Editora da Universidade Regional de Blumenau (Furb). Veja também um modelo para racionamento de energia elétrica na revista A Educação Matemática em Revista, da SBEM, ano 8, n. 11, dez. 2001, p. 41-50.
9. Temas transversais* Os temas transversais podem ser apresentados por meio de situações-problema e trabalhos em equipe. Esses temas aparecem ao longo de toda a coleção, tendo um destaque especial na seção A Matemática e as práticas sociais. O professor poderá enriquecer suas atividades com esses temas seguindo as orientações dos PCN. A seguir, discutiremos algumas dessas orientações.
Ética Com atividades apropriadas, é possível desenvolver no aluno atitudes como: • confiança na própria capacidade de construir e adquirir conhecimentos matemáticos e resolver problemas com eles; • empenho em participar ativamente das atividades da sala de aula; • respeito à maneira de pensar dos colegas. Para isso, é preciso que o professor: • valorize a troca de experiências entre os alunos; • promova intercâmbio de ideias; * Adaptados dos PCN de Matemática.
38 • respeite o pensamento, a produção e a maneira de se expressar do aluno; • deixe claro que a Matemática é para todos e não apenas para alguns mais talentosos; • estimule a solidariedade entre os alunos superando o individualismo. O trabalho em duplas ou em equipes é próprio para o desenvolvimento de tais atitudes.
Orientação sexual Não cabe ao professor de Matemática dar orientação sexual aos alunos, mas, de modo transversal, poderá propor situações-problema, principalmente envolvendo tabelas e gráficos, a respeito de temas sobre os quais os alunos possam refletir. Veja alguns exemplos que podem ser explorados: • estatísticas sobre a incidência de gravidez prematura entre jovens e adolescentes; • evolução da aids nos diferentes grupos (jovens, homens, mulheres, homossexuais, etc.); • estatísticas sobre doenças sexualmente transmissíveis; • estatísticas sobre prevenção de doenças sexualmente transmissíveis. É possível também trabalhar com estatísticas e situações-problema que não reafirmem preconceitos em relação à capacidade de aprendizagem de alunos de sexos diferentes, bem como mostrar a diferença de remuneração e cargos de chefia entre homens e mulheres.
Meio ambiente Este tema pode e deve ser trabalhado em vários momentos na aula de Matemática. Veja alguns exemplos. Coleta, organização e interpretação de dados estatísticos, formulação de hipóteses, modelagem, prática da argumentação, etc. são procedimentos que auxiliam na tomada de decisões sobre a preservação do meio ambiente. A quantificação permite tomar decisões e fazer investigações necessárias (por exemplo, reciclagem e aproveitamento de materiais). Áreas, volumes, proporcionalidade e porcenta-
Matemática
gem são conceitos utilizados para abordar questões como poluição, desmatamento, camada de ozônio, etc.
Saúde Dados estatísticos sobre vários fatores que interferem na saúde do cidadão, quando trabalhados adequadamente na sala de aula, podem conscientizar o aluno e, indiretamente, sua família. Alguns contextos apropriados para a aprendizagem de conteúdos matemáticos são: • índices da fome, da subnutrição e da mortalidade infantil em várias regiões do país e, em particular, naquela em que vive o aluno; • médias de desenvolvimento físico no Brasil e em outros países; • razão médico/população e suas consequências; • estatísticas sobre várias doenças (dengue, malária, etc.) e como preveni-las; • levantamentos de dados sobre saneamento básico, condições de trabalho, dieta básica, etc.
Pluralidade cultural A Matemática foi e é construída por todos os grupos sociais (e não apenas por matemáticos) que desenvolvem habilidades para contar, localizar, medir, desenhar, representar, jogar e explicar, em função de suas necessidades e interesses. Valorizar esse saber matemático-cultural e aproximá-lo do saber escolar em que o aluno está inserido são de fundamental importância para o processo de ensino-aprendizagem. A Etnomatemática dá grande contribuição a esse tipo de trabalho. No estudo comparativo dos sistemas de numeração, por exemplo, os alunos poderão constatar a supremacia do sistema indo-arábico e concluir que a demora de sua adoção pelos europeus se deveu também ao preconceito contra os povos de tez mais escura e que não eram cristãos. Outros exemplos poderão ser encontrados ao se pesquisar a produção de conhecimento matemático em culturas como a chinesa, a maia e a romana. Nesse momento entra o recurso da história da Matemática e da Etnomatemática.
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
Trabalho e consumo Situações ligadas ao tema trabalho podem se tornar contextos interessantes a ser explorados na sala de aula: o estudo de causas que determinam aumento/diminuição de empregos; pesquisa sobre oferta/procura de emprego; previsões sobre o futuro mercado de trabalho em função de indicadores atuais; pesquisas dos alunos dentro da escola ou na comunidade a respeito dos valores que os jovens de hoje atribuem ao trabalho. Às vezes o consumo é apresentado como forma e objetivo de vida, transformando bens supérfluos em vitais e levando ao consumismo. É preciso mostrar que o objeto de consumo – um tênis ou uma roupa de marca, um produto alimentício ou um aparelho eletrônico, etc. – é fruto de um tempo de trabalho. Aspectos ligados aos direitos do consumidor também necessitam da Matemática para serem mais bem compreendidos. Por exemplo, para analisar a composição e a qualidade de produtos e avaliar seu impacto sobre a saúde e o meio ambiente, ou para analisar a razão entre menor preço/maior quantidade. Nesse caso, situações de oferta como “compre 3 e pague 2” nem sempre são vantajosas, pois geralmente são feitas para produtos que não estão com muita saí da – portanto, não há, muitas vezes, necessidade de comprá-los em grande quantidade – ou que estão com os prazos de validade próximos do vencimento. Habituar-se a analisar essas situações é fundamental para que os alunos possam reconhecer e criar formas de proteção contra a propaganda enganosa e contra os estratagemas de marketing a que são submetidos os potenciais consumidores.
10. A avaliação
Além disso, ela deve ser essencialmente formativa, na medida em que cabe à avaliação subsidiar o trabalho pedagógico, redirecionando o processo de ensino-aprendizagem para sanar dificuldades, aperfeiçoando-o constantemente. A avaliação vista como um diagnóstico contínuo e dinâmico torna-se um instrumento fundamental para repensar e reformular os métodos, os procedimentos e as estratégias de ensino para que realmente o aluno aprenda. Nessa perspectiva, a avaliação deixa de ter o caráter “classificatório” de simplesmente aferir o acúmulo de conhecimento para promover ou reter o aluno. Ela deve ser entendida pelo professor como processo de acompanhamento e com preensão dos avanços, dos limites e das dificuldades dos alunos em atingir os objetivos da atividade de que participam. Assim, o objetivo da avaliação é diagnosticar como está se dando o processo de ensino-aprendizagem e coletar informações para corrigir possíveis distorções observadas nele. Por exemplo, se os resultados da avaliação não foram satisfatórios, é preciso buscar as causas. Pode ser que os objetivos tenham sido superdimensionados ou que o problema esteja no conteúdo, na metodologia de ensino, nos materiais instrucionais, na própria forma de avaliar ou em algum outro aspecto. O importante é determinar os fatores do insucesso e reorientar as ações para sanar ou minimizar as causas e promover a aprendizagem do aluno. Em resumo, avalia-se para identificar os problemas e os avanços e redimensionar a ação educativa, visando ao sucesso escolar.
Introdução
O que e quando avaliar?
A avaliação é um instrumento fundamental para fornecer informações sobre como está se realizando o processo de ensino-aprendizagem como um todo – tanto para o professor e a equipe escolar conhecerem e analisarem os resultados de seu trabalho, como para o aluno verificar seu desempenho. Ela não deve simplesmente focalizar o aluno, seu desempenho cognitivo e o acúmulo de conteúdos para classificá-lo em “aprovado” ou “reprovado”.
Incidindo sobre os aspectos globais do processo de ensino-aprendizagem, a avaliação oferece informações sobre os objetivos, os métodos, os conteúdos, os materiais pedagógicos, os próprios procedimentos de avaliação – se houve ou não crescimento e envolvimento do aluno em todo o processo, ou até mudanças de suas atitudes. Enfim, não procede mais pensar que o único avaliado é o aluno e seu desempenho cognitivo.
40 A ação avaliativa deve ser contínua e não circunstancial, reveladora de todo o processo e não apenas do seu produto. E esse processo contínuo serve para constatar o que está sendo construído e assimilado pelo aluno e o que está em via de construção. Cumpre também o papel de identificar dificuldades para que sejam programadas atividades diversificadas de recuperação ao longo do ano letivo, de modo que não se acumulem e solidifiquem. Devendo ser contínua e processual, a avaliação não pode simplesmente definir pela aprovação ou pela reprovação. A avaliação final representa um diagnóstico global do processo vivido – que servirá para o planejamento e a organização do próximo ano. Todavia, pode ocorrer que algum aluno não consiga um desenvolvimento equilibrado em todas as dimensões da formação apropriada àquele ano, dificultando a interação com sua turma de referência. A decisão da conveniência ou não de mantê-lo no mesmo ano deve ser coletiva, da equipe escolar, e não apenas de um professor. Levam-se em conta, nesse caso, o desempenho global do aluno e a pluralidade de dimensões que estão em jogo, como os benefícios da manutenção do aluno com seus pares para a socialização e o desenvolvimento equilibrado de habilidades, vivência e convivências. A permanência de algum aluno no mesmo ano deve ser considerada uma situação excepcional e de modo algum uma prática escolar habitual.
Instrumentos de avaliação O que tem sido feito usualmente é a verificação do aproveitamento do aluno apenas por meio de procedimentos formais, isto é, aplicação de provas escritas no final do mês ou do bimestre. É sabido que só isso não afere todos os progressos que o aluno alcançou, como: mudança de atitudes, envolvimento e crescimento no processo de ensino-aprendizagem, avanço na capacidade de expressão oral ou na habilidade de manipular materiais pedagógicos descobrindo suas características e propriedades, etc. Por isso, sugerem-se vários tipos de instrumentos de avaliação, como os descritos a seguir.
Matemática
Observação e registro Ao avaliar o desempenho global do aluno, é preciso considerar os dados obtidos continuamente pelo professor a partir de observações que levem em conta os aspectos citados anteriormente e outros que possam traduzir seu aproveitamento. Esse acompanhamento das atividades no dia a dia dos alunos é muito valioso, especialmente nas aulas que dão oportunidade de participação, nas quais o aluno pergunta, emite opiniões, levanta hipóteses, constrói novos conceitos e busca novas informações. Além disso, é possível observar nas atitudes dos alunos a responsabilidade, a cooperação, a organização e outros modos de agir. Em suma, a observação permite ao professor obter informações sobre as habilidades cognitivas, as atitudes e os procedimentos dos alunos, em situações naturais e espontâneas. O processo de observação deve ser acompanhado de cuidadoso registro, com objetivos propostos e critérios bem definidos. Provas, testes e trabalhos Esses instrumentos de avaliação não devem ser utilizados como sanção, punição ou apenas para ajuizar valores. Devem, sim, ser encarados como oportunidades para perceber os avanços ou dificuldades dos alunos em relação ao conteúdo em questão. Para isso, sua formulação deve se fundamentar em questões de compreensão e raciocínio, e não de memorização ou mecanização. É interessante arquivar todos os trabalhos dos alunos em pastas ou portfólios individuais para que eles verifiquem, periodicamente, quanto aprenderam. Entrevistas e conversas informais É extremamente importante que o professor estabeleça canais de comunicação com os alunos para que possa ouvir o que eles têm a dizer sobre o processo de aprendizagem e perceber o que e como estão aprendendo. Isso pode ser feito individualmente, em pequenos grupos ou em conversas coletivas. Conversando, também se avalia o que os alunos estão aprendendo ou não.
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
Autoavaliação Se pretendemos formar sujeitos autônomos, é preciso que o aluno exercite a reflexão sobre seu próprio processo de aprendizagem e socialização. A avaliação feita pelo aluno, se bem orientada, é muito construtiva para favorecer uma análise crítica do seu desempenho. Ele pode expressar-se por escrito ou oralmente: de que mais gostou ou de que menos gostou e por quê, quanto acha que aprendeu, em que teve mais dificuldade ou facilidade, o que na sua opinião deveria ser feito para melhorar seu desempenho, etc.
• ação que ocorre durante todo o processo de ensino-aprendizagem e não apenas em momentos específicos caracterizados como fechamento de grandes etapas de trabalho. Avaliar a aprendizagem, portanto, implica avaliar o ensino oferecido — se, por exemplo, não há a aprendizagem esperada significa que o ensino não cumpriu a sua finalidade: a de fazer aprender” (Parâmetros Curriculares Nacionais, v. 1 — Introdução. Brasília: SEF/MEC, 1997.)
Fichas avaliativas
A avaliação em Matemática
É importante que se tenha na escola uma ficha que revele à família, periodicamente e ao longo de todo o ano letivo, como está se desenvolvendo o processo educativo do aluno. Nessa ficha poderão constar aspectos cognitivos, dificuldades de aprendizagem, providências tomadas para sanar as dificuldades, além de aspectos afetivos, de socialização, organização, atitudes, etc.
A mudança no ensino de Matemática deve vir acompanhada por uma transformação de ênfase na maneira de avaliar o aluno. Os estudos e pesquisas em Educação Matemática relacionados com a avaliação apontam que devemos com:
Conclusão Vimos assim que a avaliação é um elemento, uma parte integrante do processo de ensino-aprendizagem, abrangendo a atuação do professor, o desempenho do aluno e também os objetivos, a estrutura e o funcionamento da escola e do sistema de ensino. É algo bem mais amplo do que medir quantidade de conteúdos que o aluno aprendeu em determinado período. PORTANTO, A AVALIAÇÃO DEVE SER . COMPREENDIDA COMO: “• elemento integrador entre a aprendizagem e o ensino; • conjunto de ações cujo objetivo é o ajuste e a orientação da intervenção pedagógica para que o aluno aprenda da melhor forma; • conjunto de ações que busca obter informações sobre o que foi aprendido e como; • elemento de reflexão para o professor sobre sua prática educativa; • instrumento que possibilita ao aluno tomar consciên cia de seus avanços, dificuldades e possibilidades;
Maior ênfase • Avaliar o que os alunos sabem, como sabem e como pensam matematicamente. • Avaliar se o aluno compreendeu os conceitos, os procedimentos e se desenvolveu atitudes positivas em relação à Matemática. • Avaliar o processo e o grau de criatividade das soluções dadas pelo aluno. • Encarar a avaliação como parte integrante do processo de ensino. • Focalizar uma grande variedade de tarefas matemáticas e adotar uma visão global da Matemática. • Propor situações-problema que envolvam aplicações de conjunto de ideias matemáticas. • Propor situações abertas que tenham mais de uma solução. • Propor que o aluno invente, formule problemas e resolva-os. • Usar várias formas de avaliação, incluindo as escritas (provas, testes, trabalhos, autoavaliação), as orais (exposições, entrevistas, conversas informais) e as de demonstração (materiais pedagógicos). • Utilizar materiais manipuláveis, calculadoras e computadores na avaliação.
42 Menor ênfase • Avaliar o que os alunos não sabem. • Avaliar a memorização de definições, regras e esquemas. • Avaliar apenas o produto, contando o número de respostas certas nos testes e provas. • Avaliar contando o número de respostas certas nas provas, com o único objetivo de classificar. • Focalizar um grande número de capacidades específicas e isoladas. • Propor exercícios e problemas que requeiram apenas uma capacidade. • Propor problemas rotineiros que apresentam uma única solução. • Propor ao aluno que resolva uma série de problemas já formulados. • Utilizar apenas provas e testes escritos. • Excluir materiais manipuláveis, calculadoras e com putadores da avaliação.
Indicadores para a avaliação em Matemática Como já dissemos, esta coleção contemplou algumas das atuais tendências em Educação Matemática. Elas dizem respeito ao desenvolvimento de um ensino que aumente a capacidade matemática do aluno por intermédio da resolução de problemas, valorizando a comunicação matemática, a construção e a compreen são de conceitos e procedimentos. Passamos, então, a exemplificar como avaliar tais capacidades. Avaliando a capacidade matemática do aluno É preciso avaliar a capacidade matemática do aluno, ou seja, a sua capacidade de usar a informação para raciocinar, pensar criativamente e para formular problemas, resolvê-los e refletir criticamente sobre eles. A avaliação deve analisar até que ponto os alunos integraram e deram sentido à informação, se conseguem aplicá-la em situações que requeiram raciocínio e pensamento criativo e se são capazes de utilizar a Matemática para comunicar ideias. Além disso, a avaliação deve analisar a predisposição dos alunos em face dessa ciência, em particular a sua confiança em fazer Matemática e o modo como a valorizam.
Matemática
Por exemplo, em uma situação-problema aberta como esta: “Elabore a maquete da escola com base na sua planta”, os alunos podem revelar a sua capacidade matemática. Avaliando a resolução de problemas Como a resolução de problemas deve constituir o eixo fundamental da Matemática escolar, o mesmo deve ocorrer com a avaliação. A capacidade dos alunos para resolver problemas desenvolve-se ao longo do tempo, como resultado de um ensino prolongado, de várias oportunidades para a resolução de muitos tipos de problemas e do confronto com situações do mundo real. Ao avaliar essa capacidade dos alunos, é importante verificar se eles são capazes de resolver problemas não padronizados, de formular problemas a partir de certos dados, de empregar várias estratégias de resolução e de fazer a verificação dos resultados, bem como a generalização deles. Identificar lacunas é muito importante na elaboração de problemas. Por exemplo, em um problema do tipo: “Você vai comprar 10 itens no supermercado. Na fila do ‘caixa expresso’ (10 itens ou menos) estão seis pessoas. O caixa 1 tem uma pessoa na fila e o caixa 3 tem duas. Os outros caixas estão fechados. Para qual dos caixas você se dirigirá?”, qual é a informação necessária para responder à pergunta? (É preciso saber o número de mercadorias que cada pessoa está comprando e a velocidade dos caixas.) Generalizar soluções de problemas é outro ponto fundamental. Por exemplo, peça aos alunos que determinem qual é o valor de 1 1 3 1 5 1 7 1 9 (é 25); depois, proponha que eles formulem uma expressão que forneça a soma dos n primeiros números ímpares. A solução seria:
1 parcela: 1
2 parcelas: 1 1 3 5 4 (22)
3 parcelas: 1 1 3 1 5 5 9 (32)
4 parcelas: 1 1 3 1 5 1 7 5 16 (42)
5 parcelas: 1 1 3 1 5 1 7 1 9 5 25 (52)
: :
n parcelas: n2
43
Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
Outras informações a respeito de resolução de problemas podem ser obtidas no livro Didática da resolução de problemas de Matemática, da Editora Ática.
exemplo, peça a ele que descubra como começaram e como continuam as sequências:
Avaliando a comunicação do aluno
2, 1,
Na sala de aula discutem-se ideias e conceitos matemáticos, partilham-se descobertas, confirmam-se hipóteses e adquire-se conhecimento matemático pela escrita, pela fala e pela leitura. O próprio ato de comunicar clareia e organiza o pensamento e leva os alunos a se envolverem na construção da Matemática. Como a Matemática utiliza símbolos e, portanto, tem uma linguagem própria, específica, às vezes a comunicação fica dificultada. Ao avaliar a comunicação de ideias matemáticas pelos alunos, é preciso verificar se eles são capazes de expressar-se oralmente, por escrito, de forma vi sual ou por demonstrações com materiais pedagógicos; se compreendem e interpretam corretamente ideias matemáticas apresentadas de forma escrita, oral ou visual e se utilizam corretamente o vocabulário matemático e a linguagem matemática para representar ideias, descrever relações e construir modelos da realidade. Veja a seguir um problema que envolve esses aspectos: “Suponha que você esteja ao telefone falando com um colega de turma e quer que ele desenhe algumas figuras. Escreva as instruções de modo que seu colega consiga desenhar a figura e o gráfico exatamente como estão desenhados abaixo:”
y
0, 3, 8, 15, 24, (35), (48), (63) → (n2 2 1; n 5 1, 2, 3, ...) 1 1 1 1 1 1 , , , , , 2 4 8 16 32 64
É preciso verificar ainda se ele analisa situações para identificar propriedades comuns. Por exemplo, o que há de comum entre o losango e o quadrado? E no que eles diferem?
quadrado
losango
E se ele utiliza o raciocínio espacial ou proporcional para resolver problemas. Por exemplo, peça ao aluno que desenhe um cubo planificado, ou que desenhe um cone montado a partir de um planificado. Para verificar o uso do raciocínio proporcional, pergunte: “Quantos alunos da escola usam óculos?”. Isso leva os alunos a desenvolverem um processo que permita identificar os que usam óculos de uma amostra de alunos e a utilizarem raciocínio proporcional para determinar o número de alunos que usam óculos em toda a escola. Para aferir o raciocínio dedutivo, peça aos alunos que justifiquem por que, se somarmos o mesmo número de pontos à porcentagem de acertos no teste de cada aluno, a média das classificações aumentará na mesma quantidade. Avaliando a compreensão de conceitos
x
Avaliando o raciocínio do aluno Para avaliar a capacidade de raciocínio matemático do aluno, é preciso verificar se ele identifica padrões, formula hipóteses e faz conjecturas. Por
A essência do conhecimento matemático são os conceitos. Os alunos só podem dar significado à Matemática se compreenderem os seus conceitos e significados. A avaliação do conhecimento de conceitos e da compreensão deles pelos alunos deve indicar se são capazes de verbalizá-los e defini-los; identificá-los e produzir exemplos e contraexemplos; utilizar modelos, diagramas e símbolos para representar conceitos; passar de uma forma de representação para outra;
44
Matemática
reconhecer vários significados e interpretações de um conceito; comparar conceitos e integrá-los. Para identificar exemplos e contraexemplos de conceitos, apresente uma questão como esta: “Quais das seguintes expressões representam números racionais? 2 3
4 5
0
1121121112 , ...
5
1, 3434 25, 6
216
26 22
25%
Para reconhecer condições que determinam um conceito, proponha ao aluno que faça uma classificação dos quadriláteros (4 lados). Ao separar os paralelogramos (2 pares de lados paralelos) dos trapézios (apenas 1 par de lados paralelos), o aluno demonstra que sabe identificar essas formas geométricas pelas suas propriedades. Na continuação, pode separar os retângulos (4 ângulos retos) dos losangos (4 lados de mesma medida) e incluir os quadrados (4 ângulos retos e 4 lados de mesma medida) nos losangos, demonstrando compreensão dos conceitos de quadrado, losango, retângulo, paralelogramo e quadrilátero. Para passar de uma representação de um conceito para outra, peça, por exemplo, que o aluno escreva a equação da reta: y
x (1, 0) (0, 2)
A integração de conceitos pode ser trabalhada com atividades do tipo: “Una os pontos médios dos lados de um trapézio isósceles. Qual figura se obtém? Justifique sua resposta”. Avaliando procedimentos matemáticos Procedimentos matemáticos são, por exemplo, os algoritmos ou as técnicas de cálculo, são as maneiras de traçar retas paralelas, perpendiculares, ângulos, etc.
A avaliação do conhecimento de procedimentos dos alunos deve indicar se são capazes de executar uma atividade matemática com confiança e efi ciência; de justificar os passos de um procedimento, reconhecer se ele é adequado ou não a determinada situação e se funciona ou não; e, sobretudo, se são capazes de criar novos procedimentos corretos e simples. Para verificar se o aluno conhece as razões dos passos de um procedimento, peça, por exemplo, que ele justifique cada passagem da multiplicação (x 1 3)(x 1 2): (x 1 3)(x 1 2) 5 x(x 1 2) 1 3(x 1 2) 5 5 x2 1 2x 1 3x 1 6 5 x2 1 (2 1 3)x 1 6 5 5 x2 1 5x 1 6 Para verificar se o resultado de um procedimento está correto, proponha, por exemplo, que o aluno 3 21 inverta a matriz A 5 e verifique se o resul4 1 tado é realmente a inversa dela.
Como lidar com o erro do aluno em Matemática Muito se aprende por tentativas e erros, por aproximações sucessivas e aperfeiçoamentos. Por isso, os erros cometidos pelo aluno devem ser vistos naturalmente como parte do processo de ensino-. -aprendizagem; e, na maioria das vezes, é possível usá-los para promover uma aprendizagem mais significativa. Para isso, é fundamental que o professor analise o tipo de erro cometido pelo aluno. Ao fazer isso, poderá perceber quais foram, de fato, as dificuldades apresentadas e, assim, reorientar sua ação pedagógica com mais eficácia para saná-las. O ato de mostrar ao aluno onde, como e por que ele cometeu o erro ajuda-o a superar lacunas de aprendizagem e equívocos de entendimento. Com o repertório de todos os erros mais frequentes cometidos pelos alunos, o professor, ao trabalhar aquele assunto, saberá chamar a atenção para os pontos mais críticos e, com isso, diminuir a possibilidade de erro.
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É interessante também que os alunos sejam levados a comparar suas respostas, seus acertos e erros com os dos colegas, a explicar como pensaram e a entender como os outros colegas resolveram a mesma situação.
11. Informações úteis ao professor para sua formação continuada A importância da atualização Todos nós, professores, sabemos que é extremamente importante estarmos sempre atualizados, especialmente porque o mundo está em constantes e rápidas mudanças. Estamos sempre aprendendo coisas novas, quer com o aluno em nossa vivência de sala de aula, quer consultando grupos de estudos e pesquisas ou publicações (livros, revistas, jornais, etc.), ou ainda trocando ideias e experiências em cursos, encontros, congressos, etc. Tudo isso é o que hoje chamamos formação continuada do professor, ou seja, seu diploma é apenas o primeiro estágio de sua formação. Entretanto, nem sempre o professor tem informações precisas sobre onde e como obter orientações para seu trabalho no dia a dia. Há no país muitos grupos estudando e pesquisando o ensino e a aprendizagem da Matemática (Educação Matemática) e que realizam cursos, palestras e orientações técnicas para professores. Há também muitas publicações dessa área que podem auxiliar o trabalho diário do professor com os alunos.
Com quem se comunicar? A seguir indicamos alguns endereços pelos quais você poderá se comunicar com esses grupos e obter as publicações para se integrar nesse movimento nacional de melhoria da qualidade do ensino de Matemática e para saber que não está só nessa difícil, mas gratificante, tarefa de trabalhar prazerosamente as primeiras ideias matemáticas com as crianças e com os jovens.
Alguns grupos e instituições Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (Caem) Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo (USP) Rua do Matão, 1010, bloco B, sala 167 Cidade Universitária Armando Salles de Oliveira CEP 05508-090 – São Paulo (SP) Telefax: (11) 3091-6160 e-mail:
[email protected] site: www.ime.usp.br/~caem/ Centro de Ciências Exatas (CCE) Universidade Estadual de Londrina (UEL) Rodovia Celso Garcia Cid, PR 445, km 380 Campus Universitário Caixa Postal 6001 – CEP 86051-990 – Londrina (PR) Tel.: (43) 3371-4733 / Fax: (43) 3371-4216 e-mail:
[email protected] site: www2.uel.br/cce Centro de Ciências Exatas, Ambientais e de Tecnologias Pontifícia Universidade Católica de Campinas (PUCCampinas) Rodovia Dom Pedro I, km 136 – Parque das Universidades CEP 13086-900 – Campinas (SP) Tel.: (19) 3343-7377 e-mail:
[email protected] site: www.puc-campinas.edu.br/centros/ceatec Centro de Ciências Exatas e da Terra (CCET) Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN) Campus Universitário – Lagoa Nova CEP 59072-970 – Natal (RN) Telefax: (84) 3215-3781 e-mail:
[email protected] site: www.ccet.ufrn.br Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Universidade Federal de São Carlos (Ufscar) Rodovia Washington Luís, km 235 Caixa Postal 676 – CEP 13565-905 – São Carlos (SP) Tel.: (16) 3351-8219 e-mail:
[email protected] site: www.dm.ufscar.br
46 Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) Campus Universitário – Trindade CEP 88040-900 – Florianópolis (SC) Tel.: (48) 3331-9317 / Fax: (48) 3331-9688 e-mail:
[email protected] site: www.cfm.ufsc.br Centro de Ciências Naturais e Exatas (CCNE) Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) Faixa de Camobi, Prédio 13 – Campus UFSM CEP 97105-900 – Santa Maria (RS) Tel.: (55) 3220-8611 e-mail:
[email protected] site: w3.ufsm.br/ccne Centro de Ensino de Ciências e Matemática (Cecimig) Faculdade de Educação Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Avenida Antônio Carlos, 6627 – Cidade Universitária CEP 31270-901 – Belo Horizonte (MG) Tel.: (31) 3409-5338 e-mail:
[email protected] site: www.fae.ufmg.br Centro de Estudos, Memória e Pesquisa em Educação Matemática (Cempem) Faculdade de Educação Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) Rua Bertrand Russell, 801 CEP 13083-970 – Campinas (SP) Tel.: (19) 3521-5587 / Fax: (19) 3521-5576 e-mail:
[email protected] site: www.cempem.fae.unicamp.br Curso de Pós-Graduação em Educação Matemática Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP) Rua Marquês de Paranaguá, 111 CEP 01303-050 – São Paulo (SP) Tel.: (11) 3124-7210 e-mail:
[email protected] site: www.pucsp.br/pos/programas/educ_matematica/apresentacao.htm
Matemática
Departamento de Matemática Centro de Ciências Exatas Universidade Federal do Espírito Santo (Ufes) Avenida Fernando Ferrari, 514 CEP 29075-910 – Vitória (ES) Tel.: (27) 4009-2479 / Fax: (27) 4009-2827 e-mail:
[email protected] site: www.cce.ufes.br Faculdade de Educação Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) Rua Bertrand Russell, 801 CEP 13083-865 – Campinas (SP) Tel.: (19) 3521-5578 / Fax: (19) 3521-5576 e-mail:
[email protected] site: www.fe.unicamp.br Faculdade de Educação Departamento de Metodologia do Ensino e Educação Comparada Universidade de São Paulo (USP) Avenida da Universidade, 308 Cidade Universitária Armando Salles de Oliveira CEP 05508-040 – São Paulo (SP) Tel.: (11) 3091-3099 / Fax: (11) 3815-0297 e-mail:
[email protected] site: www.fe.usp.br Fundação Universidade Regional de Blumenau (Furb) Departamento de Matemática Rua Antônio da Veiga, 140 – Victor Konder CEP 89012-900 – Blumenau (SC) Tel.: (47) 3321-0200 / Fax: (47) 3322-8818 e-mail:
[email protected] site: www.furb.br Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática (Gepem) Instituto de Educação – Sala 30 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) Rodovia BR 465, km 7 CEP 23890-000 – Seropédica (RJ) Telefax: (21) 2682-1841 e-mail:
[email protected] site: www.gepem.ufrrj.br
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
Instituto de Ciências Exatas Universidade Católica de Salvador (Ucsal) Avenida Professor Pinto de Aguiar, 2589 – Pituaçu CEP 41740-090 – Salvador (BA) Tel.: (71) 3206-7858 / Fax: (71) 3206-7823 e-mail:
[email protected] site: www.ucsal.br Instituto de Ciências Exatas e da Terra (Icet) Universidade Federal do Mato Grosso (UFMT) Campus Cuiabá Avenida Fernando Correa, s/n – Coxipó CEP 78060-900 – Cuiabá (MT) Tel.: (65) 3615-8000 / Fax: (65) 3628-1219 e-mail:
[email protected] site: www.ufmt.br Instituto de Geociências e Ciências Exatas (IGCE) Universidade Estadual Paulista (Unesp) Campus Rio Claro Rua 10, 2527 – Santana CEP 13500-230 – Rio Claro (SP) Telefax: (19) 3526-2200 site: www.rc.unesp.br/igce Instituto de Matemática Universidade Federal da Bahia (UFBA) Avenida Adhemar de Barros, s/n – Campus Ondina CEP 40170-110 – Salvador (BA) Tel.: (71) 3283-6258 / Fax: (71) 3283-6276 e-mail:
[email protected] site: www.im.ufba.br Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (Impa) Estrada Dona Castorina, 110 – Jardim Botânico CEP 22460-320 – Rio de Janeiro (RJ) Tel.: (21) 2529-5000 / Fax: (21) 2512-4115 e-mail:
[email protected] site: www.impa.br Laboratório de Educação Matemática (Lemat) Instituto de Matemática e Estatística (IME) Universidade Federal de Goiás (UFG)
Campus Samambaia (Campus II) Caixa Postal 131 – CEP 74001-970 – Goiânia (GO) Tel.: (62) 3521-1208 / Fax: (62) 3521-1180 e-mail:
[email protected] site: www.ime.ufg.br/lemat/page.php Laboratório de Ensino de Geometria (LEG) Universidade Federal Fluminense (UFF) Rua Mário Santos Braga, s/n – Praça de Valonguinho CEP 24020-140 – Niterói (RJ) Tel.: (21) 2629-2006 e-mail:
[email protected] site: www.uff.br/leg Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (Imecc) Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) Caixa Postal 6065 – CEP 13083-970 – Campinas (SP) Tel.: (19) 3521-6017 e-mail:
[email protected] site: www.ime.unicamp.br/ex.html Laboratório de Ensino de Matemática (Lemat) Departamento de Matemática Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) Avenida Professor Luiz Freire, s/n – Cidade Universitária CEP 50740-540 – Recife (PE) Tel.: (81) 2126-7650 / Fax: (81) 2126-8410 e-mail:
[email protected] site: www.dmat.ufpe.br Mathema – Assessoria Pedagógica Rua Andaquara, 164 – Santo Amaro CEP 04673-110 – São Paulo (SP) Telefax: (11) 5548-6912 e-mail:
[email protected] site: www.mathema.com.br Núcleo de Educação Matemática Omar Catunda (Nemoc) Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS) BR 116, km 3 – Campus Universitário CEP 44031-460 – Feira de Santana (BA) Tel.: (75) 3224-8115 e-mail:
[email protected] site: www.uefs.br/uefs/nemoc.html
48 Projeto Fundão-Matemática Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) Bloco C, sala 108, Projeto Fundão Caixa Postal 68530 – CEP 21941-972 – Rio de Janeiro (RJ) Telefax: (21) 2562-7511 e-mail:
[email protected] site: www.projetofundao.ufrj.br/matematica Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) Departamento de Matemática – Sala 108 Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) Avenida Professor Luiz Freire, s/n – Cidade Universitária CEP 50740-540 – Recife (PE) Telefax: (81) 3272-7563 e-mail:
[email protected] site: www.sbem.com.br Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) Estrada Dona Castorina, 110 – Sala 109 – Jardim Botânico CEP 22460-320 – Rio de Janeiro (RJ) Tel.: (21) 2529-5073 / Fax: (21) 2259-4143 e-mail:
[email protected] site: www.sbm.org.br Universidade de Brasília (Unb) Departamento de Matemática Campus Universitário Darcy Ribeiro – Asa Norte CEP 70910-900 – Brasília (DF) Tel.: (61) 3307-2441 / Fax: (61) 3273-2737 e-mail:
[email protected] site: www.mat.unb.br Universidade Estadual de Maringá (UEM) Departamento de Matemática Avenida Colombo, 5790 – Campus Universitário CEP 87020-900 – Maringá (PR) Tel.: (44) 3261-4933 e-mail:
[email protected] site: www.dma.uem.br Universidade Federal do Paraná (UFPR) Departamento de Matemática Setor de Ciências Exatas – Centro Politécnico Caixa Postal 19081 – CEP 81531-990 – Curitiba (PR) Tel.: (41) 3361-3032 / Fax: (41) 3361-3019 site: www.mat.ufpr.br
Matemática
Páginas eletrônicas importantes para o professor Sites • educação.uol.com.br/matematica • http://portal.mec.gov.br Coleção Explorando o Ensino. Matemática –. Ensino Médio. • http://vello.sites.uol.com.br/ubi.htm Etnomatemática. • http://matematica.com.br/ • http://matematiques.sites.uol.com.br/ Matematiquês. • http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/ fundam/fundam.htm Matemática essencial. • www.apm.pt/portal/index.php APM – Associação de Professores de Matemática, Portugal. • www.aprendiz.com.br Site do Projeto Aprendiz, destinado a professores e alunos. Destaque: lição de casa, com atividades de várias disciplinas. • www.cabri.com.br Comunidade virtual do Cabri da Geometria e do professor de Matemática. • www.calculando.com.br/ • www.cempem.fae.unicamp.br Cempem – Centro de Estudos, Memória e Pesquisa em Educação Matemática. • www.ciadosnumeros.com.br/ Companhia dos números. • www.eciencia.usp.br Site de divulgação da Estação Ciência. • www.enem.inep.gov.br Enem – Exame Nacional de Ensino Médio. • www.fc.up.pt/cmup/polya/polya_home.html Projeto Polya. • www.fe.unb.br/etnomatematica/textos.htm Textos acadêmicos na área de Etnomatemática. • www.futuro.usp.br Site da Escola do Futuro. • www.ime.unicamp.br/~lem LEM – Laboratório de Ensino da Matemática – Unicamp.
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
• www.impa.br/opencms/pt/ Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (Impa). • www.inep.gov.br/imprensa/noticias/outras/ news04_51.htm Pisa – Programa Internacional de Avaliação de Alunos - 2003. • www.klickeducacao.com.br Destaque: a) Biblioteca ativa, com sugestões de aulas, atividades e um banco de dados. b) Professores, vários temas com textos explicativos e ilustrações. • www.mat.ufrgs.br/~/portosil/resu.html Resolução de problemas. • www.novaescola.com.br Página da revista Nova Escola, da Fundação Victor Civita. Traz planos de aulas, sugestões de avaliação, indicação de livros e filmes para professores. • www.obm.org.br/ Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM). • www.profcardy.com/ A Matemática, um ABC do xyz. • www.rpm.org.br RPM – Revista do Professor de Matemática. • www.sbem.com.br SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática. • www.sbm.org.br SBM – Sociedade Brasileira de Matemática. • www.somatematica.com.br Só Matemática. • www.sosmatematica.com/ SOS Matemática. • www.tvcultura.com.br/artematematica/home.html TV Cultura. • www.uol.com.br/cienciahoje Traz publicações como a revista Ciência Hoje das Crianças. Jogos Existem alguns jogos envolvendo a Matemática. Por exemplo: • www.aulavaga.com.br/busca.php?b=matematica • www.ojogos.com.br/jogos/matematica/matematica.html
Softwares • gregosetroianos.mat.br/softwares.asp • superdownloads.uol.com.br/busca/matematica. html • www.somatematica.com.br/softwares.php Revistas e boletins de Educação Matemática • Bolema – Boletim de Educação Matemática Publicado pelo Departamento de Matemática, IGCE – Unesp – Rio Claro (SP). site: www.rc.unesp.br/igce/matematica/bolema • Boletim Gepem Série Reflexão em Educação Matemática Publicações do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática e do Mestrado em Educação Matemática da Universidade de Santa Úrsula (RJ). site: www.gepem.ufrrj.br • Educação Matemática em Revista Temas e Debates Publicações da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM). site: www.sbem.com.br/index.php?op=Publicacoes • Educação Matemática Pesquisa Revista do Programa de Estudos Pós-graduados em Educação Matemática da PUC (SP). e-mail:
[email protected] site: www.pucsp.br/pos/edmat • Revista Brasileira de História da Matemática (SBHMat) site: www.sbhmat.com.br • Revista do Professor de Matemática Revista da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). Publicação rica, variada e excelente para o professor de Matemática aprofundar seus conhecimentos continuamente. site: www.rpm.org.br • Revista Pró-Posições Publicada pela Faculdade de Educação da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) e editora Cortez. site: mail.fae.unicamp.br/~proposicoes • Zetetiké Publicações do Cempem – Unicamp. site: www.cempem.fae.unicamp.br/zetetike.htm
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Matemática
Alguns órgãos governamentais • Fundação Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE) SBS – Setor Bancário Sul, quadra 2, bloco F, Edifício FNDE CEP 70070-929 – Brasília (DF) Tel.: 0800-616161 e-mail:
[email protected] site: www.fnde.gov.br O FNDE mantém o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). • Secretaria de Educação Básica (SEB) Esplanada dos Ministérios, bloco L, 5o andar, sala 500 CEP 70047-901 – Brasília (DF) Tel.: (61) 2104-8612 e-mail:
[email protected] site: portal.mec.gov.br/seb/ Informe-se sobre os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática, sobre o Guia do livro didático e todas as questões relacionadas com o Ensino Médio. • Secretaria de Educação a Distância (Seed) Esplanada dos Ministérios, bloco L, 1o andar, sala 100 CEP 70047-900 – Brasília (DF) e-mail:
[email protected] site: www.mec.gov.br/seed Informe-se sobre os Programas da TV Escola e a revista da TV Escola. • Secretarias de Educação estaduais e municipais Provavelmente a Secretaria de Educação do estado em que você mora e também a do seu município mantenham equipes pedagógicas, publicações e ofereçam cursos de Matemática a professores. Procure se informar e participar.
12. Referências bibliográficas para o professor Aprofundando os conhecimentos matemáticos “A primeira regra do ensino é saber o que se deve ensinar. A segunda é saber um pouco mais do que aquilo que se deve ensinar.” George Polya
• ÁVILA, Geraldo. Introdução às funções e à derivada. São Paulo: Atual, 1995. As ideias de função e derivada são introduzidas de maneira clara e intuitiva, com ênfase em suas aplicações. • BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a geometria fractal para sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. • CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais de Matemática. Lisboa: Sá da Costa, 1989. É um clássico. Vale a pena estudá-lo. Mostra o desenvolvimento das ideias matemáticas ao longo da história com base nas necessidades do ser humano. • COLEÇÃO do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). Vários autores. 12 volumes, 2006. Livros temáticos rigorosos e excelentes para o professor. • COLEÇÃO Matemática: Aprendendo e Ensinando. Vários autores. São Paulo: Atual/Mir. Vários volumes, 1999. São traduções de livros da Editora Mir, de Moscou, enfocando vários temas: sistemas de numeração, curvas notáveis, demonstração em Geometria, etc. • KALEFF, Ana Maria M. R. Vendo e entendendo poliedros. Niterói: Eduff, 2003. Um texto ideal para o professor que quer aprofundar seus conhecimentos sobre poliedros. • LIMA, Elon Lages et alii. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 2006. 3 volumes. (Coleção do Professor de Matemática.) Livro rigoroso e ideal para o professor aprofundar seus conhecimentos matemáticos. • POGORÉLOV, A. V. Geometria elemental. Trad. em espanhol de Carlos Vega. Moscou: Mir, 1974. Um livro de Geometria plana e espacial que todo professor deveria ler. • Revista do Professor de Matemática (RPM). Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM).. Uma publicação rica e variada, pela qual todo professor de Matemática deveria aprofundar seus conhecimentos continuamente.
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
• TINOCO, Lúcia A. A. A Geometria Euclidiana por meio de resolução de problemas. Rio de Janeiro: UFRJ (Instituto de Matemática), Projeto Fundão, 1999. Ótimo livro para o professor aprofundar seus conhecimentos em Geometria por meio de resolução de problemas. • WEYL, Herman. Simetria. São Paulo: Edusp, 1997. Enfoca a simetria nas artes, nos cristais, na Física e na Matemática.
História da Matemática • BOYER, Carl B. História da Matemática. 2. ed. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 1999. Enfatiza detalhes sobre o desenvolvimento histórico das ideias matemáticas, desde suas origens até o início do século XX. • COLEÇÃO Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula. Vários autores. São Paulo: Atual, 1993. Aborda aspectos da evolução histórica das ideias matemáticas e auxilia no enriquecimento das aulas. Cada livro focaliza um destes temas: álgebra, cálculo, computação, geometria, números e numerais e trigonometria. • EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. Campinas: Unicamp, 2004. Aborda a história da Matemática em duas partes: antes do século XVII e depois do século XVII. Com este livro aprende-se muita Matemática, além de História. • GARBI, Gilberto Geraldo. O romance das equações algébricas. São Paulo: Makron Books, 2007. Episódios históricos verdadeiros são narrados por meio de um romance. Além disso, aprendemos muita Matemática com sua leitura. • GUELLI, Oscar. Coleção Contando a História da Matemática. São Paulo: Ática. Vários volumes, 1998. Apresenta questões matemáticas que despertaram o interesse do ser humano ao longo das civilizações. • IFRAH, Georges. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997. tomos 1 e 2.
Estudo detalhado dos mais importantes sistemas de numeração da história. • MIGUEL, Antônio; MIORIM, Maria Ângela. História na educação matemática: propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. • Revista Brasileira de História da Matemática. Vários autores. SBHMat. • SINGH, Simon. O enigma de Fermat. Rio de Janeiro: Record, 1998. Um livro acessível que conta a evolução histórica da solução de um dos mais famosos e clássicos problemas da Matemática. • STRUIK, Dirk. História concisa das matemáticas. Trad. João Cosme Santos Guerreiro. Lisboa: Gradiva, 1992. Este livro relata o desenvolvimento das ideias matemáticas até o início do século XX. • TENÓRIO, R. M. (Org.). Aprendendo pelas raízes. Alguns caminhos da Matemática na História. Salvador: Centro Editorial e Didático da Universidade Federal da Bahia, 1995. Estudo de autores nacionais sobre Filosofia da Matemática, Geometria, etc.
Educação Matemática • BICUDO, Maria A. V.; GARNICA, Antonio V. M. Filosofia da educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2006. • BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem matemática & implicações no ensino-aprendizagem de Matemática. Blumenau: Editora da Universidade Regional de Blumenau (Furb), 2004. É uma introdução muito bem-feita de um dos temas estudados em Educação Matemática: a modelagem. Merecem destaque as implicações para a sala de aula. • BORBA, Marcelo de Carvalho. Tendências internacionais em formação de professores de Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2006. • CARRAHER, Terezinha. Aprender pensando. Contribuição da Psicologia cognitiva para a educação. Petrópolis: Vozes, 2005. _________ . et alii. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 2000.
52 Leituras fundamentais a todos os professores de Matemática. Em Na vida dez, na escola zero, os autores discutem por que as crianças se saem bem com a Matemática da rua e não se saem bem com a Matemática da escola. • CURY, Helena Noronha. Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. • D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e Matemática. São Paulo/ Campinas: Summus/Unicamp, 1986. _________ . Educação matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus, 2002. _________ . Etnomatemática. São Paulo: Ática, 1998. _________ . Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. O autor é um dos precursores da Educação Matemática em nível nacional e internacional. Vale a pena estudar seus excelentes livros. • DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de Matemática. São Paulo: Ática, 2002. Auxilia os professores a trabalharem com resolução de problemas na sala de aula. • _________ . Incentivando a criatividade através da Educação Matemática. São Paulo: PUC-SP (mimeo.). Tese de Doutorado, 1980. Defende a tese de que é possível desenvolver e estimular a criatividade do aluno com atividades adequadas sobre conteúdos matemáticos. • _________ . Criatividade e resolução de problemas. São Paulo: Unesp (mimeo.). Tese de Livre-Docência, 1998. Mostra como a resolução de problemas contribui para o aumento do grau de criatividade do aluno. • KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Orgs.). A resolução de problemas na Matemática escolar. Trad. Hygino H. Domingues e Olga Corbo. São Paulo: Atual, 1997. Este livro reúne 22 artigos que enfocam a resolução de problemas, uma das áreas mais importantes da Educação Matemática. • LINS, Rômulo Campos; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, 1997. Examina características da aritmética e da álgebra e como elas se relacionam.
Matemática
• LOVELL, Kurt. Desenvolvimento dos conceitos matemáticos e científicos na criança. Porto Alegre: Artmed, 1998. Trata de como a criança constrói conceitos matemáticos de acordo com a teoria de Piaget. • MACHADO, Silvia A. (Org.). Educação matemática: uma introdução. São Paulo: Educ, 1999. • MOYSÉS, Lúcia M. M. Aplicações de Vygotsky à educação matemática. Campinas: Papirus, 2003. • NASSER, Lilian; SANT’ANNA, Neide F. Parracho (Coords.). Geometria segundo a teoria de Van Hiele. Rio de Janeiro: UFRJ (Instituto de Matemática), Projeto Fundão, SPEC/PADCT/Capes, 2000. Relata como as crianças constroem conhecimentos geométricos e como raciocinam geometricamente. Estudo baseado na prática educativa e amparado na teoria de Van Hiele. • Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática. Brasília: MEC/SEF. • PIRES, Célia M. C. Currículos de Matemática: da organização linear à ideia de rede. São Paulo: FTD, 2000. Mostra como é possível tecer e usar uma rede de conceitos interligados na formulação de um currículo de Matemática. • POLYA, George. A arte de resolver problemas. Trad. Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. Polya é o “pai da resolução de problemas”. Discute fases e estratégias para a resolução de problemas na sala de aula. • PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. • POZO, Juan Ignácio. A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Trad. Beatriz Affonso Neves. Porto Alegre: Artmed, 1998. Este livro mostra que ensinar os alunos a resolver problemas supõe dotá-los da capacidade de aprender a aprender, no sentido de habituá-los a encontrar por si mesmos respostas às perguntas que os inquietam ou que precisam responder. • PUBLICAÇÕES do Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (Caem) do IME/USP. SPEC/ PADCT/Capes. Há vários fascículos, todos para uso na sala de aula.
Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
• PUBLICAÇÕES do Gepem – Grupo de Estudos, Pesquisas em Educação Matemática. Série Reflexão em Educação Matemática. Há muitos títulos interessantes nesta série. Destacamos dois deles: Avaliação em Educação Matemática, de Paulo Abrantes, e Etnomatemática: uma proposta pedagógica, de Eduardo Sebastiani. • PUBLICAÇÕES do Projeto Fundão do Instituto de Matemática da UFRJ. São diversas sugestões de atividades baseadas em pesquisas. Exemplos de como o próprio aluno pode construir seu conhecimento: — Geometria segundo a teoria de Van Hiele, de Lilian Nasser (coord.) — Construindo o conceito de função do 1o grau, de Lucia A. A. Tinoco (coord.) — Tratamento da informação – Explorando dados estatísticos e noções de probabilidade a partir das séries iniciais, de Maria Laura M. Leite (coord.). — Geometria – Na era da imagem e do movimento, de Maria Laura M. Leite e Lilian Nasser (coords.). — Razões e proporções, de Lucia A. A. Tinoco (coord.) — A geometria euclidiana por meio de resolução de problemas, de Lucia A. A. Tinoco (coord.) — Números: linguagem universal, de Vânia Maria P. Santos (coord.) — Avaliação de aprendizagem e raciocínio em matemática: métodos alternativos, de Vânia Maria P. Santos (coord.)
Metodologia do ensino de Matemática • AEBLI, Hans. Didática psicológica: aplicação à didática da psicologia de Jean Piaget. São Paulo: Nacional, 1978. • BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo: Contexto, 2006. • BIEMBENGUT, Maria Salett; SILVA, Viviane Clotilde da; HEIN, Nelson. Ornamentos X criatividade: uma alternativa para ensinar Geometria Plana. Blumenau: Universidade Regional de Blumenau, 1996. • BRASIL, Luiz Alberto S. Aplicações da teoria de Piaget ao ensino da Matemática. Rio de Janeiro: Forense-Universitária, 1977.
53 • CARVALHO, Dione Lucchesi de. Metodologia do ensino da Matemática. São Paulo: Cortez, 2000. • CYRINO, Hélio. Diálogo geométrico. Campinas: Átomo, 2001. • DANTE, Luiz Roberto. Uma proposta para mudanças nas ênfases ora dominantes no ensino da Matemática. Revista do Professor de Matemática, n. 6. São Paulo, Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). • LIMA, Elon Lages. Matemática e ensino. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 2001. Capítulos 1, 15, 16, 17 e 18. (Coleção do Professor de Matemática.) • LINDQUIST, Mary Montgomery; SHULTE, Albert P. (Orgs.). Aprendendo e ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1994. • PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática: uma análise da influência francesa. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. • PARRA, C.; SAIZ, I. (Orgs.) Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 2001. • Revista do Professor de Matemática (RPM). São Paulo, Sociedade Brasileira de Matemática. Vários artigos: — O ensino da Matemática através de suas aplicações, de Herbert Fremont, n. 5, p. 28. — O ensino por meio de problemas, de George Polya, n. 7, p. 11. — Dez mandamentos para professores, de George Polya, n. 10, p. 2. — O ensino da Matemática, de Geraldo Ávila, n. 23, p. 1. — Objetivos do ensino da Matemática, de Geraldo Ávila, n. 27, p. 1. — Sobre o ensino da Matemática, de Elon Lages Lima, n. 28, p. 1. — Conceituação, manipulação e aplicações, de Elon Lages Lima, n. 41, p. 1. — Observações de um matemático sobre o ensino da Matemática, de André Toom, n. 44, p. 3. — A crise no ensino de Matemática no Brasil, de Suely Druck, n. 53, p. 1. • Revista Nova Escola. São Paulo: Fundação Victor Civita. Abril Cultural. Artigos sobre Educação Matemática.
54 • ROSA NETO, Ernesto. Didática da Matemática. São Paulo: Ática, 1998. • TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática de Matemática: como dois e dois. A construção da Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Matemática recreativa • CHEMALE, Elena Hass; KRUSE, Fábio. Curiosidades matemáticas. Novo Hamburgo: Centro Universitário, Feevale, 1999. • COLEÇÃO Ciência Hoje na Escola. Matemática. São Paulo: Instituto Ciência Hoje, 1999. v. 8. • COLEÇÃO O Prazer da Matemática. Vários autores. Lisboa: Gradiva. Diversos volumes. • ENZENSBERGER, Hans Magnus. O diabo dos números. São Paulo: Companhia das Letras, 2000. • KALEFF, Ana Maria M. R.; REI, Dulce Monteiro; GARCIA, Simone dos Santos. Quebra-cabeças geométricos e formas planas. Niterói: Eduff, 2002. • OBERMAIR, Gilbert. Quebra-cabeças, truques e jogos com palitos de fósforos. Rio de Janeiro: Ediouro, 1981. • PERELMANN, J. Aprenda álgebra brincando. Trad. Milton da Silva Rodrigues. São Paulo: Hemus, 1970. • Revista Galileu. Rio de Janeiro: Globo. Seção de problemas. • SBPC. Matemática: por que, para quê? Ciência Hoje na Escola, n. 8. São Paulo: Global, 1999. • TAHAN, Malba. O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 1998. ________ . As maravilhas da Matemática. Rio de Janeiro: Bloch, 1987. ________ . Os números governam o mundo. Folclore da Matemática. Rio de Janeiro: Ediouro, 1998. ________ . Matemática divertida e curiosa. Rio de Janeiro: Record, 1991.
Informática e Educação Matemática • BONGIOVANNI, Vincenzo et alii. Descobrindo o Cabri-Géomètre. Caderno de Atividades. São Paulo: FTD, 1997. • BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.
Matemática
• LOURENÇO, Marcos. Cabri-Géomètre: introdução e atividades. Catanduva: Fafica, 2000. • MAGINA, Sandra; CAMPOS, Tânia M. M. (Coords.). Explorando os polígonos nas séries iniciais do ensino fundamental. São Paulo: Proem/PUC, 1999. • PAIVA, Maria Auxiliadora V. et alii. Cabri: descobrindo a Geometria no computador. Vitória: Leacim-. -Ufes, 1997. • RÊGO, Rogéria Gaudêncio do; RÊGO, Rômulo Marinho do. Matematicativa. João Pessoa: Editora Universitária da UFPB, 1997. ________ . Matematicativa II. João Pessoa: Editora Universitária da UFPB, 2004. • RODRIGUES, Claudina I.; REZENDE, Eliane Q. F. Cabri-Géomètre e a Geometria Plana. Campinas: Editora da Unicamp, 1999. • SANGIACOMO, Lígia et alii. Geometria plana com o Cabri-Géomètre: diferentes metodologias. São Paulo: Proem – PUC. ________ . Explorando geometria elementar com o dinamismo do Cabri-Géomètre. São Paulo: Proem – PUC.
Educação Professor, seria interessante que você pudesse ler alguns (ou todos) destes importantes livros atuais, que tratam da formação e da vida profissional do professor. • ALARCÃO, Isabel (Org.). Formação reflexiva de professores: estratégias de supervisão. Porto: Porto Editora, 1996. (Coleção Cidine.) • BROUSSEAU, Guy. Os diferentes papéis do professor. In: PARRA, Cecília; SAIZ, Irma (Orgs.). Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 2001. • DELORS, Jacques (Org.). Educação: um tesouro a descobrir. São Paulo/Brasília: Cortez/MEC/Unesco, 1999. • ESTRELA, Maria Teresa (Org.). Viver e construir a profissão docente. Porto: Porto Editora, 1997. • GARCÍA, Carlos Marcelo. Formação de professores: Para uma mudança educativa. Porto: Porto Editora, 1999.
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Manual Pedagógico do Professor • Parte geral
• HERNÁNDEZ, Fernando. Transgressão e mudança na educação. Os projetos de trabalho. Porto Alegre: Artmed, 1998. • MORIN, Edgar. Os sete saberes necessários à educação do futuro. Brasília/São Paulo: Unesco/Cortez, 2001. • NÓVOA, Antonio. Profissão: professor. Porto: Porto Editora, 1999. • PERRENOUD, Philippe. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre: Artmed, 2001. _________ . Ensinar: agir com urgência, decidir na incerteza. Porto Alegre: Artmed, 2001. _________ ; PAQUAY, Léopold; ALTET, Marguerite; CHARLIER, Évelyne (Orgs.). Formando professores profissionais: Quais estratégias? Quais competências? Porto Alegre: Artmed, 2001. • RATZ, Louis E.; ROTHSTEIN, Arnold, M. Ensinar a pensar: teoria e aplicação. Trad. Dante Moreira Leite. São Paulo: EPU, 1977. • TEDESCO, Juan Carlos. O novo pacto educativo. Trad. Otacílio Nunes. São Paulo: Ática, 2001. • ZABALA, Antoni. A prática educativa: Como ensinar. Porto Alegre: Artmed, 1998.
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• • •
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Sobre o Enem • ÉTICO Sistema de Ensino. Novo 1 Enem. São Paulo: Saraiva, 2009. • Explicando o Enem. São Paulo: Abril Educação, 2009. • Guia do Estudante 2 O Novo Enem 2009. São Paulo: Abril, 2009.
13. Sugestões de sites para os alunos Os sites relacionados a seguir podem ser utilizados pelos alunos de qualquer ano do Ensino Médio, pois tratam de assuntos envolvidos nos 3 volumes desta coleção. • www.bussolaescolar.com.br/matematica Bússola Escolar Apresenta links para as mais variadas disciplinas. Em Matemática apresenta resumo dos conteúdos
• •
•
que fazem parte do currículo. Conforme o assunto, ele encaminha para diferentes endereços. www.diadematematica.com Dia de Matemática Apresenta questões em forma de testes sobre Álgebra e Números, Geometria e Tratamento da Informação e, ao final, fornece as respostas, mas não as resoluções. www.matematica.br IMática – A matemática Interativa na Internet Site criado e alimentado por professores do IME-USP. www.obm.org.br/ Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM) Apresenta as provas e a resolução das questões de todas as Olimpíadas de Matemática realizadas. www.obmep.org.br Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – Obmep Apresenta as provas e a resolução das questões, assim como um banco de questões, para que os alunos possam se preparar para as provas. www.sercomtel.com.br/matematica Matemática essencial Matemática para o Ensino Fundamental, Médio e Superior. Apresenta passatempos, resumos e exercícios resolvidos sobre Matemática Financeira, Álgebra, Trigonometria, Geometria. www.sobresites.com/pesquisa Pesquisa escolar Apresenta links para sites sobre educação com comentários para cada um deles. www.somatematica.com.br Só Matemática. O site apresenta resumos de temas estudados no Ensino Médio, tópicos de história da Matemática, biografias de matemáticos famosos e desafios matemáticos. É necessário (e simples) fazer o cadastro. www.tooantonioreis.seed.pr.gov.br/ Apresenta resumo de conteúdos trabalhados no Ensino Médio e traz vários exercícios sobre esses temas. O tema Funções aparece no item Cálculo Diferencial e Integral e é adequado para alunos do Ensino Médio.
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Matemática
Parte específica Iniciamos esta parte específica do Manual Pedagógico do Professor fazendo um breve comentário sobre cada capítulo do volume 1 da coleção. Sugerimos também atividades suplementares e indicamos leituras para o professor ampliar seus conhecimentos sobre os assuntos trabalhados no capítulo. Em seguida, atendendo a nova Matriz de Referência do Enem 2009, incluímos uma seção com questões contextualizadas que envolvem as competências e habilidades pertinentes ao 1o ano do Ensino Médio. Por fim, fornecemos a resolução de todos os exercícios e atividades propostos no livro do aluno.
1. Breves comentários sobre os capítulos, atividades suplementares e indicação de leituras Todos os capítulos deste volume 1 estão comentados nesta seção. Após os comentários, apresentamos atividades e problemas suplementares, que poderão ser usados para reforçar, fixar, ampliar, aprofundar e avaliar conceitos e procedimentos. Eles atendem também ao objetivo de aumentar a quantidade de atividades para turmas ou grupos de alunos que apresentem maior rendimento. Dependendo da proposta pedagógica do professor e das características da turma, essas atividades poderão ser desenvolvidas: •• durante o estudo de um assunto, como reforço ou como elemento diversificador (o professor pode, por exemplo, introduzir uma atividade que trabalhe outro tema); •• após cada capítulo ou depois de alguns capítulos, como reforço, fixação ou revisão; •• no último bimestre, como revisão, fixação e aprofundamento de todos os assuntos estudados no decorrer do ano;
•• durante o ano, como “lição de casa” para fixação, tomando-se o cuidado de que as atividades mais complexas sejam feitas em classe. Para facilitar o trabalho do professor na localização dos conteúdos, as atividades foram distri buídas por capítulo. Entretanto, elas não precisam ser necessariamente trabalhadas nessa ordem. O professor definirá como e quando será melhor utilizá-las. Todas as atividades suplementares estão acompanhadas das resoluções. Para o professor aprofundar seus conhecimentos sobre os conteúdos abordados no volume, além das obras indicadas na parte geral deste Manual Pedagógico relacionamos aqui alguns textos específicos para cada capítulo.
Capítulo 1. Revisão: produtos notáveis e fatoração Este capítulo é uma revisão de conceitos que o aluno já estudou no Ensino Fundamental. O conceito de fatoração é essencial para uma boa compreensão dos tópicos que serão estudados no Ensino Médio, por isso achamos bastante conveniente retomar suas técnicas e aprofundar sua com preensão. Sugerimos que esse capítulo seja trabalhado em classe, numa atividade em que os alunos fiquem independentes na execução dos exercícios propostos, até como uma maneira de eles próprios avaliarem seu conhecimento. No exemplo da seção Tim-tim por tim-tim, presente em todos os capítulos da coleção, trabalhamos as fases da resolução de um problema. Incentive os alunos a sempre verificarem se a resposta que deram está correta. Para isso, retome com eles as etapas da resolução de um problema, trabalhadas no item “Um exemplo para ser discutido em classe” da parte geral deste Manual Pedagógico. Estimule também a participação de todos na discussão em equipe.
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
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Atividades suplementares (para avaliações, fixações e revisões) 1. Pratique um pouco mais os produtos notáveis: 1 1 g) a a a) (x 1 7)2 2 2 b) (x 2 7)2 c) (x 1 8)(x 2 8) d) (r 1 s)2 e) (r 2 s)2 f ) (r 2 s)(r 1 s)
h) (4y 3)2 i) (5 3a)2 2 1 j) x 1 5 2 k) y 2 3
3. Resolva as equações do 2o grau usando fatoração: a) x2 2x 35 0 b) y2 6y 9 0 c) x2 4x 5 0 d) x 2 8x 12 0 e) x 2 2x 15 0 f ) y2 5y 6 0 g) y2 2y 1 0 Resolução a) x2 2x 35 0 ⇒ (x 7)(x 5) 0 ⇒ ⇒ x 7 ou x 5 b) y2 6y 9 0 ⇒ (y 3)2 0 ⇒ ⇒ y 3 (duas raízes iguais) c) x2 4x 5 0 ⇒ (x 5)(x 1) 0 ⇒ ⇒ x 5 ou x 1 d) x 2 8x 12 0 ⇒ (x 6)(x 2) 0 ⇒ ⇒ x 6 ou x 2 e) x 2 2x 15 0 ⇒ (x 3)(x 5) 0 ⇒ ⇒ x 3 ou x 5 f ) y2 5y 6 0 ⇒ (y 2)(y 3) 0 ⇒ ⇒ y 2 ou y 3 g) y2 2y 1 0 ⇒ (y 7)2 0 ⇒ ⇒ y 7 (duas raízes iguais)
2
Resolução a) (x 7)2 x2 14x 49 b) (x 7)2 x2 14x 49 c) (x 8)(x 8) x2 64 d) (r s)2 r2 2rs s2 e) (r s)2 r2 2rs s2 f ) (r s)(r s) r2 s2 1 1 1 g) a a a2 2 2 2 4
h) (4y 3)2 (4y)2 2 (4y) 3 32 5 16y2 24y 9 i) (5 3a)2 52 2 5 (3a) (3a)2 4. Efetue: 25 30a 9a2 a) ( 3 2 )( 3 2 ) 2 2 1 1 1 1 2 2 2 j) x x +2 x x x ( )2 25 b) 3 1 2 5 5 5 5 2
Resolução
1 1 1 2 +2 x x 2 x 25 5 5 5 2
2
a) ( 3 2 )( 3 2 )
2 2 4 2 2 2 4 k) y y 2 2 y y 2 y ( 3 ) ( 2 ) 3 2 1 9 3 3 3 3 2
4 2 2 4 2 y y 2 y 9 3 3 3 2. Escreva as diferenças como produto de uma soma por uma diferença dos mesmos termos: a) x2 1 b) 9a2 49 c) 1 a2 Resolução a) x2 1 (x 1)(x 1) b) 9a2 49 (3a 7)(3a 7) c) 1 a2 (1 a)(1 a)
b) ( 3 2 ) ( 3 ) 2 3 2 ( 2 ) 2
2
2
3 2 6 2 5 2 6 5. Simplifique as frações algébricas: a) b) c)
6x 2 2 9x 15x x 2 25 2
x 10x 25 20x 3 yz 2 2 2
35xy z
d)
e) f )
x 2 2xy y 2
x 2 xy 3x 3y 5x 2 10
x 2 2 2x x 6 3
x 36x
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Matemática
Resolução a)
b)
c)
1 6x 2 9x 3 x (2x 3) 2x 3 15x 5 5 15 x
x 2 25 2
x 10x 25 20x 3 yz 2
35xy 2 z
4 7
2
(x 5) (x 5) (x 5)
2
x 5 x 5
x2
y
2 ( x y) d) 2 x xy 3x 3y x (x y) 3(x y) (x y) 2 x y (x y) (x 3) x 3
x 2 2xy y 2
e) f )
5x 10 2
x 2x
x 6 3
x 36x
5 (x 2)
x (x 2)
x 6
x 6
x (x 2 36)
x (x 6) (x 6)
5
x
1 x (x 6)
Para saber mais Recomendamos ao professor a leitura dos textos “Teoria dos números” e “Números primos e números perfeitos” da obra História da Matemática, p. 78 e 79, de Carl B. Boyer (Rio de Janeiro, Edgard Blücher, 2. edição, 1996), bem como dos seguintes artigos da Revista do Professor de Matemática (RPM), publicação da SBM: G. M. de la Penha, Euler e a Teoria dos Números, RPM n. 4, p. 12; Fausto Arnaud Sampaio, Usando ábacos para fatoração, RPM n. 53, p. 6; Rubens Vilhena, Fatoração forte, RPM n. 66, p. 16; Chico Nery, Ensino, logo aprendo, RPM n. 70, p. 17.
Capítulo 2. Conjuntos e conjuntos numéricos Procuramos adotar um ponto de vista objetivo fazendo uma apresentação sucinta sobre a linguagem de conjuntos, ressaltando seu papel unificador em Matemática. Os exemplos apresentados de con-
juntos são, em sua maioria, tirados do contexto matemático (conjunto de figuras geométricas, por exemplo), procurando mostrar a inserção natural desse conceito nos vários campos da Matemática e, ao mesmo tempo, revisando noções básicas estudadas nos anos anteriores. Aproveitamos a oportunidade para fazer a conexão entre conjuntos e lógica de maneira simples, ressaltando a noção de contrapositiva de uma proposição, um instrumento frequentemente usado nos raciocínios matemáticos e fácil de entender. I e IR) são estuOs conjuntos numéricos (IN, ZZ, Q dados neste capítulo. Apresentamos os números como resultados de contagens ou medidas. Mostramos que os números irracionais surgem da medição de uma grandeza incomensurável com a unidade adotada e explicamos em uma leitura do final do capítulo por que 2 1,4142135… não é um número racional. Os racionais não bastavam para esgotar os pontos da reta. Da união dos racionais com os irracionais obtemos os números reais. Estabelecemos a correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos da reta, escolhendo na reta uma origem, um sentido de percurso e uma unidade de comprimento. Chamamos a atenção do aluno para o fato de que há outros números além dos reais (os números complexos) que serão estudados posteriormente no capítulo 6 do volume 3. A seção A Matemática e as práticas sociais permite uma conexão do assunto tratado no capítulo com outras áreas do conhecimento e com situações da atualidade.
Atividades suplementares (para avaliações, fixações e revisões) 1. Dados os conjuntos: • A {x x é divisor natural de 12}, • B {x x é divisor natural de 18}, determine o máximo divisor comum (mdc) entre 12 e 18. Resolução A {1, 2, 3, 4, 6, 12}; B {12, 18} mdc(12 e 18) 6
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
2. Dados os conjuntos: • A {x x é múltiplo natural de 6}, • B {x x é múltiplo natural de 8}, determine o mínimo múltiplo comum (mmc) de 6 e 8. Resolução A {0, 6, 12, 18, 24, …}; B {0, 8, 16, 24, …} mmc(6 e 8) 24 3. Dados os conjuntos A {7, 8, 9} e B {8, 9, 10, 11}, calcule: a) A B b) A B c) A B d) B A B
e) A B
f ) U em que U {x x é número natural menor do que 13} Resolução a) A B {7, 8, 9, 10, 11} b) A B {8, 9} c) A B {7} d) B A {10, 11} B
e) A não existe, pois B A. f ) U {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} B U {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12}
4. Dados os conjuntos A {3, 4, 5, 6}, B {1, 3, 5, 7} e H {4, 6}, determine: H
a) A b) (A B) H c) (A B) (B A) d) (B H) A Resolução H
a) A {3, 5} b) (A B) H {3, 5} {4, 6} {3, 4, 5, 6} c) (A B) (B A) {4, 6} {1, 7} {1, 4, 6, 7} d) (B H) A {1, 3, 4, 5, 6, 7} {3, 4, 5, 6} {1, 7}
59 5. Identifique como racionais ou irracionais os números a seguir:
1 2
a) 4
g)
b) 1
h) π
c) 2 3
i)
d) 5
j) 2 9
e) 2 8
k)
f ) 4 9
l)
4 1 2
2
2 5 5
Resolução Racionais: a, b, f, g, j, l; irracionais: c, d, e, h, i, k.
Para saber mais Recomendamos ao professor a leitura dos capítulos de 1 a 4 do livro (escrito para professores) A Matemática do Ensino Médio (volume 1), de Elon Lages Lima, Paulo Cezar P. Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado (Rio de Janeiro, SBM, 1997, Coleção do Professor de Matemática), bem como dos seguintes artigos da Revista do Professor de Matemática (RPM): Elon Lages Lima, As várias maneiras de se extrair a raiz quadrada, RPM n. 21, p. 11; José P. Q. Carneiro, Um processo finito para a raiz quadrada, RPM n. 34, p. 36; Hideo Kumayama e Eduardo Wagner, Vamos usar a calculadora?, RPM n. 26, p. 16; Geraldo Ávila, A teoria dos conjuntos e o ensino da Matemática, RPM n. 4, p. 4; Geraldo Ávila, Cantor e a Teoria dos conjuntos, RPM n. 43, p. 6; Elon Lages Lima, O que é o número π, RPM n. 6, p. 18; Geraldo Ávila, Grandezas incomensuráveis e números irracionais, RPM n. 5, p. 6; Elon Lages Lima, Que significa a igual1
dade 0 , 1 1 1 …?, RPM n. 2, p. 6; Elon Lages Lima, 9
Dízimas, RPM n. 8, p. 19 e RPM n. 10, p. 23; Manoel A. C. Botelho, O mundo dos números reais é ordenado?, RPM n. 12, p. 31; Roberto C. F. Costa, O que é um número transcendente?, RPM n. 1, p. 14; lole de Freitas Druck, A linguagem lógica, RPM n. 17, p. 10;
60 Guilherme M. de Ia Penha, Euler e a teoria dos números, RPM n. 4, p. 12; José Paulo Carneiro, Dízimas periódicas, RPM n. 52, p. 1.
Capítulo 3. Funções Este é o primeiro de seis capítulos do volume que envolvem o conceito de função. Muitas vezes, os professores têm dúvidas quanto à adequação do completo desenvolvimento do estudo de funções neste momento, dada a possível imaturidade dos jovens para assimilar conceitos tão minuciosos, como paridade, composição e inversão de funções, mas propõe-se que esse estudo seja apresentado integralmente, ficando a cargo do professor trabalhá-lo em partes. Nada impede que o assunto seja retomado no final do Ensino Médio, abordando aqueles pontos mais particulares, até como aprofundamento dos conceitos anteriormente estudados. No capítulo 3 optamos por apresentar o conceito de função como variação de uma grandeza associada à variação de outra grandeza (por exemplo, número de litros de gasolina e preço a pagar: o preço a pagar é dado em função da quantidade de litros de gasolina que se coloca no carro) e não como subconjunto do produto cartesiano. O enfoque dado às funções é o que aparece na Matemática, nas ciências em geral e no cotidiano: mediante fórmulas, tabelas e gráficos. Evitamos os formalismos habituais com que era apresentado tal conceito. Dessa forma, o conceito de função assume um papel unificador relevante entre os vários campos da Matemática. A ênfase foi dada nos gráficos das funções e nas propriedades observadas a partir deles. Como as funções constituem a linguagem pela qual os fenômenos das ciências naturais e sociais são expressos, a interdisciplinaridade se faz presente de modo marcante. Isso pode ser observado, por exemplo, nas seções Tim-tim por tim-tim e A Matemática e as práticas sociais trabalhadas no capítulo. Aproveitamos o estudo do plano cartesiano para introduzir noções de Geometria analítica, como distância entre dois pontos e equação de uma circunferên-
Matemática
cia, integrando os conteúdos de função, equação e figura geométrica. Definimos também uma sequência como uma função, iniciando o estudo das progressões aritmética e geométrica, que será retomado e aprofundado no capítulo 9.
Atividades suplementares (para avaliações, fixações e revisões) 1. Seja a função f real tal que: I) f(x) f(y) f(x y) II) f(1) 2
( 2 ) 4 O valor de f (3 1 2 ) é:
III) f
a) 2. b) 4. c) 8. d) 16. e) 32. Resolução
(
)
f 3 1 2 f(3) f
( 2 ) f(3) 4 4 f(1 2)
4 f(1) f(2) 4 2 f(2) 8 f(2) 8 f(1 1) 8 f(1) f(1) 8 2 2 32 Resposta: alternativa e. 2. Considerando que o gráfico abaixo representa uma função, responda para que valores reais de x a função é crescente e para quais é decrescente: y 3π 2 0
π 2
2π
x
π
Resolução Crescente: π 3π ou x 2π ; x IR | 0 x 2 2
3π π decrescente: x IR | x . 2 2
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
61
3. Se f(x) 3x 4 e g(x) 2x 2k, calcule o valor de k para que se tenha (f g)(x) 5 (g f )(x).
Resolução (f g)(x) 5 f(2x 1 2k) 5 3(2x 1 2k) 1 4 5 5 6x 1 6k 1 4 (g f )(x) 5 g(3x 1 4) 5 2(3x 1 4) 1 2k 5 5 6x 1 8 1 2k (f g)(x) 5 (g f )(x) ⇒ ⇒ 6x 1 6k 1 4 5 6x 1 8 1 2k ⇒ 4k 5 4 ⇒ k 5 1
4. Seja uma função f injetiva cujo gráfico é dado abaixo: y
1 x 0
Assinale o gráfico que melhor representa a função f1. y a)
Resolução Se (0, 1) pertence ao gráfico de f, então (1, 0) pertence ao gráfico de f1. Mas como o gráfico de f1 deve ser simétrico (em relação à reta y x) ao de f, então o gráfico que melhor representa o que o problema pede é o do item c. Resposta: alternativa c. 5. A velocidade v de um objeto em movimento retilíneo uniformemente variado (aceleração constante) pode ser calculada em qualquer instante t por meio da seguinte expressão: v v0 at em que v0 representa a velocidade inicial do objeto e a indica o valor de sua aceleração. a) Represente graficamente a velocidade (v) em função do tempo (t) usando os resultados indicados na seguinte tabela: v (m/s) 2 4 6 8 10
1 x 0
b)
b) Qual é o valor da velocidade inicial (v0 ) desse móvel? c) Qual é o valor de aceleração (a) que esse móvel tem? d) Qual é a velocidade desse móvel no instante 12 s?
y
x 0
c)
t (s) 0 5 10 15 20
1
Resolução
y
a)
v (m/s) 10
1
8
x
0
6 4
d)
y
2 t (s) 0
1 x 0
e)
y 1 x 0
5
10
15
20
b) v0 2 m/s c) v 2 at Se t 5 s e v 4 m/s, então: 4 2 a 5 ⇒ 5a 2 ⇒ a 0,4 m/s2 d) v 2 0,4t Para t 12 s, vem: v 2 0,4 12 6,8 m/s
62
Para saber mais Recomendamos ao professor a leitura dos capítulos 3 e 4 do livro A Matemática do Ensino Médio (volume 1), de Elon Lages Lima, Paulo César P. Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado (Rio de Janeiro, SBM, 1997, Coleção do Professor de Matemática), bem como dos seguintes artigos da Revista do Professor de Matemática (RPM): Geraldo Ávila, Funções e gráficos num problema de freagem, RPM n. 12, p. 18; Maria Alice Gravina, O estudo de funções, RPM n. 17, p. 27; Maria Alice Gravina, O quanto precisamos de tabelas na construção de gráficos de funções, RPM n. 17, p. 27. E também a leitura dos seguintes artigos: Ana Maria Carneiro Abrahão e Gilda de La Rocque Palis, A questão da escala e as concepções de professores ao analisarem gráficos de funções f: IR → IR obtidos em calculadoras, Educação Matemática em Revista, SBEM, ano 11, n. 16, maio 2004, p. 30; Edna Maura Zuffi, Alguns aspectos do desenvolvimento histórico do Conceito de Função, Educação Matemática em Revista, SBEM, ano 8, n. 9/10, abr. 2001, p. 10; Wagner Valente, Educação matemática e política: a escolarização do conceito de função no Brasil, Educação Matemática em Revista, SBEM, ano 9, n. 12, junho 2002, p. 16.
Capítulo 4. Função afim Introduzimos a função afim por meio de situações-problema, apresentamos objetivamente sua definição e seus casos particulares importantes e demonstramos que seu gráfico é uma reta. Mostramos que a taxa de variação da função f(x) ax b é a e demos a caracterização de uma função afim. Fizemos a conexão entre a função afim e a progressão aritmética, bem como da função afim com a Geometria analítica e com o movimento retilíneo uniforme. Como a função linear f(x) ax é o modelo matemático para todas as situações de proporcionalidade, esse conceito foi retomado e utilizado em várias situações, inclusive em regra de três e escalas. Deste capítulo 4 até o capítulo 9 (Progressões), os alunos trabalharão com vários exemplos de aplicação do conceito de função interligados, ampliando sua visão matemática. As situações retratadas, se não forem exatamente comuns no cotidiano dos alunos, podem ser observadas em noticiários da atualidade, como questões de Física, Biologia, Eco-
Matemática
nomia, Estatística e Matemática financeira, esta estudada particularmente no capítulo 10.
Atividades suplementares (para avaliações, fixações e revisões) 1. Faça o gráfico de cada uma das seguintes funções: a) f(x) 4x c) f(x) x 3 b) f(x) 5
d) f(x) 3
Resolução a) f(x) 5 24x x
f(x)
0
0
2
28
y 4
x 1 0
1 2
4
8
b) f(x) 5 5
y
x
f(x)
22
5
0
5
5
x 2 1 0
c) f(x) 5 x 2 3 x
f(x)
0
23
2
21
1 2
y 2
x
2 1 0 1 1 2 3 4 5
d) f(x) 5 23
y x
x
f(x)
0
23
1
23
2 1 0
1 2
3
2. Dois corpos A e B se movimentam em velocidade constante. Suas posições, SA e SB, são dadas pelas seguintes fórmulas matemáticas: SA t 1 e SB 2 t, em que t indica um instante de tempo qualquer.
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
63
a) Determine, num gráfico, o ponto onde os corpos A e B se encontram (ou seja, SA SB ).
c ) Determine a quantidade de carne que se pode comprar com R$ 34,00.
b) Resolva o sistema de equações simultâneas:
Resolução
SA t 1 , determinando o tempo que os SB 2 t corpos A e B demoram para se encontrar e a posição em que estarão quando se encontrarem. (Observe que a solução do sistema é o ponto de intersecção das retas do item a.) Resolução SA t 1 0 1
a) t 1 2
1
1 2
2 1 0
4 3 2 13 1 2 2 3
SB 2 t 1 0
Ponto de encontro: 3 1 2 , 2
y SB
t 1 2
2
x
Q: quantia (R$)
x 3 → Q 8x 3 x 5 → Q 8x 2
x 5 → Q 8x
10 8x 7,2x 100
b) x 2 → Q 8 2 16 (R$ 16,00) x 4 → Q 8 4 2 32 2 30 (R$ 30,00) x 5 → Q 7,2 5 36 (R$ 36,00) c) Como 34 36, então podemos comprar menos de 5 kg de carne. Logo: 34 8x 2 ⇒ 8x 36 ⇒ x 4,5 kg 4. Atividade em dupla
SA
S t 1 b) S 2 t t 1 2 t ⇒ 2t 3 ⇒ t
a) x: quantidade (kg)
3 2
3 2 1 3 S t 1 1 2 2 2 3 1 S , 2 2 3. Em um açougue o preço do quilograma de um tipo de carne é R$ 8,00. Durante certo período foi feita a seguinte promoção: • Na compra de uma quantia entre 3 kg e 5 kg, desconto de R$ 2,00 no total. • Na compra de 5 kg ou mais, desconto de 10%. a) Determine a equação da quantia Q a ser paga em função da quantidade x de quilogramas comprados, nos casos x 3, 3 x 5 e x 5. b ) Determine a quantia a ser paga na compra de 2 kg, 4 kg e 5 kg.
Um dos mais famosos usos de extrapolação linear foi descoberto pelo cientista francês Jacques Charles em 1787. Ele observou que os gases se expandem quando aquecidos e se contraem quando resfriados. (Vocês podem verificar isso experimentalmente em casa, enchendo uma bexiga e colocando-a no congelador. A bexiga irá encolher.) Observando valores diversos para a temperatura e os valores correspondentes do volume, os pares ordenados obtidos pareciam estar em linha reta, ou seja, a relação é linear. a) Suponham que determinado gás tenha um volume de 500 cm3 a 27 C e um volume de 605 cm3 a 90 C. Escrevam uma equação para esses dados. b) Usem a equação que vocês conseguiram no item a e descubram em qual temperatura temos o volume de 0 cm3. Ao fazer isso, vocês vão calcular a menor temperatura possível. (Essa temperatura, chamada de zero absoluto, foi primeiramente estimada por Charles.)
64
Matemática
Resolução a) V at b V (cm3) t (°C) 500 605
27 90
27a b 500 500 a 27 b ⇒ 605 a 90 b 90a b 605 5 633a 105 ⇒ a 3 5 500 27a b ⇒ 500 27 b ⇒ 3 ⇒ 500 45 b ⇒ b 455 5 Logo, V t 455. 3 5 b) 0 t 455 ⇒ 5t 1 365 0 ⇒ t 273 °C 3 5. Um vendedor autônomo recebe uma comissão de 15% (0,15) sobre o total de suas vendas no mês. Portanto, a comissão que ele recebe é dada em função do total de suas vendas. a) Se indicarmos por x esse total de vendas, qual é a lei da função que representa a comissão do vendedor? b) Essa função é linear? c) Em um mês em que a venda foi de R$ 100 000,00, qual foi a comissão do vendedor? Resolução a) f(x) 0,15x b) Sim. c) f(x) 0,15 100 000 15 000 A comissão do vendedor foi de R$ 15 000,00.
Para saber mais Recomendamos ao professor a leitura do capítulo 5 do livro A Matemática do Ensino Médio (volume 1), de Elon Lages Lima, Paulo César P. Carvalho, Eduar do Wagner e Augusto César Morgado (Rio de Janeiro, SBM, 1997, Coleção do Professor de Matemática), bem como dos seguintes artigos da Revista do Professor de Matemática (RPM): Geraldo Ávila, Razões, proporções e regra de três, RPM n. 8, p. 1; Geraldo Ávila, Ainda
sobre a regra de três, RPM n. 9, p. 1; Elon Lages Lima, Que são grandezas proporcionais?, RPM n. 9, p. 21; Elon Lages Lima, Novamente a proporcionalidade, RPM n. 12, p. 8; Lúcia Tinoco, Como e quando os alunos utilizam o conceito de proporcionalidade, RPM n. 14, p. 8.
Capítulo 5. Função quadrática Introduzimos o estudo da função quadrática com uma situação-problema buscando a problematização deste conteúdo e a motivação. Em seguida, colocamos objetivamente a definição de função quadrática, mostrando sua presença na Geometria, nos fenômenos físicos e no esporte. Determinamos os zeros da função quadrática por fatoração e por completamento de quadrado; como decorrência, chegamos à forma canônica e, dela, chegamos à fórmula que fornece as raízes da equação do 2o grau associada. Estudamos as relações entre coeficientes e raízes da equação e a forma fatorada do trinômio ax2 bx c, com a 0. Como aplicação, fizemos a conexão entre a proporção áurea (retângulo de ouro), o número de ouro () e a solução de uma equação do 2o grau especial associada ao retângulo áureo. Estudamos o gráfico da função quadrática dada na forma canônica do tipo f(x) a(x m)2 k, bem como fizemos a conexão com a geometria analítica da parábola, que voltará a ser estudada e aprofundada no capítulo 5 do volume 3. Fizemos um resgate de assuntos de álgebra estudados no Ensino Fundamental (inequações do 2o grau, inequações simultâneas de 2o grau, inequação-produto, inequação-quociente, etc.), agora neste outro contexto. Definimos a taxa de variação da função quadrática e, como aplicação, trabalhamos com o movimento uniformemente variado (MUV). Demos uma caracterização da função quadrática fazendo a conexão entre ela e as progressões aritméticas. Uma aplicação importante da parábola são as antenas parabólicas, que abordamos na leitura do final do capítulo.
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
65
Atividades suplementares (para avaliações, fixações e revisões) 1. (Vunesp) O gráfico representa uma função f que descreve, aproximadamente, o movimento (em função do tempo t em segundos) por um certo período, de um golfinho que salta e retorna à água, tendo o eixo das abscissas coincidente com a superfície da água. Altura (metros)
1
Tempo (segundos)
0 2 4
a) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é constituída por segmentos de reta, determine a expressão matemática de f nos instantes anteriores à saída do golfinho da água. Em que instante o golfinho saiu da água? b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte de uma parábola, dada por
3 4
f(t) t2 6t 9. Determine quantos segundos o golfinho ficou fora da água e a altura máxima, em metros, atingida no salto. Resolução a) O segmento de reta que representa a parte negativa do gráfico anterior ao salto do golfinho, pertence à reta f(t) at b, que passa pelos pontos (0, 4) e (1, 22). Logo: a b 2 f (1) 2 ⇒ a 2 ⇒ b 4 f ( 0 ) 4 Portanto, f(t) 2t 4. O golfinho saiu da água no instante em que f(t) 0. Então: 0 2t 4 ⇒ t 2 s 3 b) f(t) 2 t2 6t 9 4 Fazendo f(t) 0, obtemos os zeros da função: 3 2 t2 6t 9 0 ⇒ 3t2 24t 36 0 ⇒ 4 ⇒ t2 8t 12 0 ⇒ t 6 s e t 2 s
Portanto, o golfinho ficou fora da água durante 4 s. A altura máxima atingida é o valor de yV na função 3 f(t) 2 t2 6t 9: Assim: 4 y V
4a
9 3 m 3 4 4
2. Determine os zeros das seguintes funções quadráticas: a) f(x) x2 8x 16 b) f(x) 25x2 9x 1 Resolução a) f(x) x2 8x 16 64 4 1 16 0 x
8 4 (zero duplo) 2
b) f(x) 25x2 9x 1 81 4 25 1 19 Não tem raízes reais. 3. Considere a função f: [2, 6] → IR, cuja lei de formação é f(x) x2 4x 7, e determine os valores máximo e mínimo de f e a imagem. Resolução f: [2, 6] → IR, sendo f(x) x2 4x 7 a 1 ⇒ concavidade da parábola voltada para cima y 0 ⇒ x2 4x 7 0 (4)2 4(1)(7) 16 28 12 (não possui zeros da função) Portanto, a parábola não intercepta o eixo x. Para x 2: f(2) (2)2 4(2) 7 4 8 7 19 Para x 6: f(6) (6)2 4(6) 7 36 24 7 19 ( 4) ( 12) Vértice: x V 2 e y V 3 2 1 4 1 y 19
3 x –2
0
2
6
66
Matemática
b) Se T 100 ºC, então E 0, isto é, ao nível do mar a água ferve a 100 ºC.
Portanto, V(2, 3). Valor máximo: y 19 Valor mínimo: y 3 Im [3, 19] 4. Considere a função f: [1, 3] → IR, cuja lei de formação é f(x) x2 6, e calcule o valor máximo de f. Resolução f: [1, 3] → IR, sendo f(x) x2 6 a 1 ⇒ concavidade da parábola voltada para baixo
0 0 2a 2 ( 1) ∆ 24 y V 6 4a 4 ( 1) x V
b
Portanto, V(0, 6). f(1) 12 6 1 6 5 f(3) 32 6 9 6 3 y
6 5
x 0
1
3
–3
Valor máximo de f: y 5 (para x 1) 5. A temperatura T na qual a água entra em ebulição varia com a elevação E acima do nível do mar. Medindo a elevação em metros e a temperatura em graus Celsius, temos E 1 000(100 T) 580(100 T)2. a) Em que elevação a temperatura de ebulição será de 99,5 C? b) Discuta o caso T 100. c) Escreva a equação de E em função de T na forma geral da função quadrática (E aT2 bT c). Resolução a) E 1 000(100 T) 580(100 T)2 1 000(100 99,5) 580(100 99,5)2 1 000 0,5 580(0,5)2 500 145 645 E 645 m
c) E 1 000(100 T) 580(100 T)2 100 000 1 000T 580(10 000 200T T2) 100 000 1 000T 5 800 000 116 000T 580T 2 5 900 000 117 000T 580T2 580T2 117 000T 5 900 000
Para saber mais Recomendamos ao professor a leitura do capítulo 6 do livro A Matemática do Ensino Médio (volume 1), de Elon Lages Lima, Paulo César P. Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado (Rio de Janeiro, SBM, 1997, Coleção do Professor de Matemática), bem como dos seguintes artigos da Revista do Professor de Matemática (RPM): A concavidade da parábola, RPM n. 4, p. 32, Seção Dos Nossos Alunos…; Raymundo Tavares, Uma maneira abreviada de resolver algumas inequações, RPM n. 5, p. 34; Antônio L. P. Pastor, Equações do 2o grau: completando quadrados, RPM n. 6, p. 36; Nelson Tunala, Resolução geométrica da equação do 2o grau, RPM n. 12, p. 33; Abram Bloch, Inequações-produto, RPM n. 23, p. 35; César Polcino Milies, A solução de Tartaglia para a equação do 3o grau, RPM n. 25, p. 15; Carlos Moreira, Uma solução das equações do 3o e 4o graus, RPM n. 25, p. 23; Geraldo Ávila, Equações e inequações com radicais, RPM n. 38, p. 10; Elon Lages Lima, A equação do 2o grau, RPM n. 13, p. 21; Leonardo Paulovich e outro, Vértices de famílias de parábola, RPM n. 41, p. 7; José Paulo Carneiro, Uma aplicação de funções quadráticas, RPM n. 48, p. 7. E também a leitura do artigo: Wagner da Cunha Fragoso, Equação do 2o grau: uma abordagem histórica, Educação Matemática em Revista, SBEM, ano 7, n. 8, junho 2000, p. 57.
Capítulo 6. Função modular Trabalhamos apenas o essencial sobre este assunto, definindo módulo de um número real, distância entre dois pontos na reta real e gráficos de funções modulares do tipo f(x) x; f(x) x k; f(x) x m e f(x) x m k, transladando o gráfico de f(x) x segundo o eixo x e segundo o eixo y.
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
67
Apresentamos as equações e inequações modulares e fizemos uma conexão entre inequações modulares e domínio de funções. Encerramos a parte teórica do capítulo com uma aplicação na Física.
Atividades suplementares (para avaliações, fixações e revisões) 1. Seja a função f: IR* em IR dada por f(x) a) construa o gráfico de f; b) determine D(f ) e lm(f ).
Se x 0, então
|x|
x
.
|x|
x |x|
x
x
1.
2x
x
1.
y 2 1 −1
x 0 1 2 3
2. Resolva as equações: a) 2 5x 13
c)
2x 1
5 3x 1
2
0 1
Resolução a) |2 5x| 13 ⇒ 2 5x 13 11 ou 2 5x 13 ⇒ x 2 ou x 3 5 11 S 2 , 3 5 b)
2x 1
5
0 ⇒ |2x 1| 0 ⇒ 2x 1 0 ⇒
⇒ 2x 1 ⇒ x 1 S 2
S 3. Resolva as seguintes equações: a) |4x 1| |2x 3| 0
Resolução a) |4x 1| |2x 3| 0
x
1
2
1
b) D(f ) IR* lm(f ) {1, 1}
b)
2
a) Se x 0, então
−3 −2 −1
3x 1
b) |2x 2 15x 3 | x 2 2x 3
Resolução
c)
x
1 4
3 2
3 • Para x 2 : 2 4x 1 (2x 3) 0 ⇒ ⇒ 4x 1 2x 3 0 ⇒ ⇒ 2x 4 ⇒ x 2 (não serve) 1 3 • Para 2 x : 4 2 4x 1 (2x 3) 0 ⇒ ⇒ 4x 1 2x 3 0 ⇒ 1 ⇒ 6x 2 ⇒ x 2 3 1 • Para x : 4 4x 1 (2x 3) 0 ⇒ ⇒ 4x 1 2x 3 0 ⇒ ⇒ 2x 4 ⇒ x 2 1 Logo, S 2 , 2. 3 b) |2x2 15x 3| x2 2x 3 1· maneira: 2 2x 15x 3 x 2 2x 3 ⇒ 2 ⇒ x 13x 0 ⇒ x 0 (não serve ) ou x 13 2 2 2x 15x 3 x 2x 3 ⇒ ⇒ 3x 2 17 x 6 0 ⇒ x 6 1 ou x (não serve ) 3
x
68
Matemática
1 Os valores 0 e não satisfazem a igualdade, 3 pois substituídos em x2 2x 3 resultam valores negativos, não correspondendo ao módulo de nenhum número real. Logo, S {13, 6}.
1 2 5 2 1 5 Vértice: , 2 4 2
x
Logo:
2· maneira: y 2x2 15x 3 2x2 15x 3 0 ⇒ x 7,7 ou x 0,2
7,7
y 3 2
x
0,2
1
• Para x 7,7 ou x 0,2: 2x2 15x 3 x2 2x 3 ⇒ ⇒ x2 13x 0 ⇒ x 0 (não serve) ou x 13 Logo, x 13. • Para 7,7 x 0,2: 2x2 15x 3 x2 2x 3 ⇒ ⇒ 3x2 17x 6 0 ⇒ x 6 1 ou x (não serve) 3 Logo, x 6. Portanto, S {13, 6}. 4. Resolva |x 2 2x 2 | |x 2 x 1| algébrica e graficamente.
Resolução |x2 2x 2| |x2 x 1| ⇒ 2 1 2 x 2x 2 x x 1 ⇒ 3x 1 ⇒ x 3 ⇒ x 2 2x 2 x 2 x 1 ⇒ 3 ⇒ 2x 2 x 3 0 ⇒ x ou x 1 2 3 1 Então, S 2 , , 1. 2 3 Graficamente: • y x2 2x 2
x2 x 1 0 ⇒ x
–2
–1
1
0
2
3
5. Determine a soma dos elementos de A B, sendo A {x x 5 3} e B {x x 4 1}.
Resolução A: |x 5| 3 ⇒ 3 x 5 3 ⇒ 2 x 8 x 4 1 ⇒ x 3 B: |x 4| 1 ⇒ x 4 1 ⇒ x 5 A B A∩B
8
2
2
3
5
3
5
8
2 x 3 ou 5 x 8 Como x ZZ, temos A B {3, 5, 6, 7}. Logo, a soma dos elementos de A B é 21.
Para saber mais Recomendamos ao professor a leitura do capítulo 1 do livro Cálculo 1: funções de uma variável, de Geraldo Ávila (4. ed., São Paulo, Livros Técnicos e Científicos, 1982).
Capítulo 7. Função exponencial
x2 2x 2 0 ⇒ x 1 3 ou x 1 3 Vértice: (1, 3) • y x2 x 1
x –3
1 1 5 ou 2
Desencadeamos este assunto com uma situação-problema envolvendo um fenômeno natural (cultura de bactérias). A função exponencial é o modelo matemático para muitos fenômenos naturais daí a grande importância do seu estudo neste nível de ensino.
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
69
Resgatamos as noções de potência já estudadas no Ensino Fundamental. Definimos a função exponencial, analisamos suas propriedades pelo gráfico, exploramos as equações e inequações exponenciais, caracterizamos a função exponencial fazendo uma conexão com as progressões geométricas e com o número irracional e. Apresentamos ainda várias aplicações. No texto “Raízes da equação 2x x2” da página 244 demos um exemplo da vantagem do processo gráfico sobre o algébrico na obtenção de raízes de uma equação. Na seção A Matemática e as práticas sociais do capítulo, abordamos um importante acontecimento da história de nosso país: acidente radioativo em Goiânia (GO). Além de um exercício de aplicação da função exponencial, as questões permitem que os alunos reflitam sobre comportamento ético do ser humano.
d) 729 como potência de base 3 e) 25 como potência de base
1 5
f ) 49 como potência de base 7 g) 7 como potência de base 49 h) 49 como potência de base 49 5 como potência de base 5 5
i)
j) 5 81 como potência de base 9 k)
1 216
como potência de base 6
l) 1 como potência de base 5 m) 1 como potência de expoente 5 n)
1 128
como potência de base 2
Resolução 1
Atividades suplementares (para avaliações, fixações e revisões)
a) 7 7 2
1. Calcule cada radical:
b)
8 a) 2 125 b) ( 2 6)2
3
c)
(
2 2 2 1)
d)
(
2 2 3)
2
2 8 2 3 125 5 5
b) ( 6)2 6
(
2 1) 2 1, pois 2 1 0
d)
(
2 3 ) 2 3 , pois
2 3 0
2
2
2. Escreva os números reais na forma indicada: a) 7 como potência de base 7
3 96
32
1 2 5 5 2
d) 729 36 1 e) 25 5 5
−2
f ) 49 72 1
g) 7 49 49 2 h) 49 491
c)
b)
1
2
3
a)
96
c) 729 36 (32)3 93
Resolução 3
3
como potência de base 2
c) 729 como potência de expoente 3
1
1
1
1 5 i) 5 2 : 51 5 2 5 2 5 1
j) k)
5
1 216
1 63
6 3
l) 1 50 m) 1 15 n)
2
81 (92 ) 5 9 5
1 128
1 7
2
2 7
70
Matemática 2
3. Se y 2x 2 4x, determine os valores de x para que se tenha y 32. Resolução 2 2 2x 2 4x 32 ⇒ 2x 2 4x 25 ⇒ x2 4x 5 0 36 x
4±6 2
a) a
Para saber mais a
, quando 0 a 1
x17 x2
b) a3x 1 4 a , quando a 1 Resolução a) 3x 2 1 < x 1 7 ⇒ 2x < 8 ⇒ x < 4 x
4
S 5 {x [ IR | x < 4} b) 3x 1 4 . x2 ⇒ x2 2 3x 2 4 , 0 D 5 25 x 5
3 ± 5 ⇒ x9 5 4 e x0 5 21 2 1
4
S 5 {x [ IR | 21 , x , 4} 5. Determine o domínio das funções: a) f(x)
1 2 2x 2 1 16
b) f(x) 3x 2 3x 1 7 Resolução a)
⇒ 3x 2 3x 31 7 0 ⇒ 7 ⇒ 3x (1 6) 7 0 ⇒ 3x ⇒ 7 ⇒ 3x 1 ⇒ 3x 30 ⇒ x 0 D IR
⇒ x 5 ou x 1
4. Resolva as seguintes inequações: 3x 2 1
b) 3x 2 3x 1 7 0 ⇒
1 1 2x 1 0 ⇒ 2 x 1 ⇒ 16 16 ⇒ 2x 1
1 ⇒ 2x 1 2 4 ⇒ 16
⇒ x 1 4 ⇒ x 3 D 5 {x [ IR | x < 23}
Recomendamos ao professor a leitura do capítulo 8 do livro A Matemática do Ensino Médio (volume 1), de Elon Lages Lima, Paulo César P. Carvalho, Eduar do Wagner e Augusto César Morgado (Rio de Janeiro, SBM, 1997, Coleção do Professor de Matemática), bem como dos seguintes artigos da Revista do Professor de Matemática (RPM): Elon Lages Lima, Quais são as raízes da equação 2x x2?, RPM n. 3, p. 18; Elon Lages Lima, Crescimento linear e crescimento exponencial, RPM n. 33, p. 16.
Capítulo 8. Logaritmo e função logarítmica x
Introduzimos o conceito de logaritmo por meio de uma situação-problema, a fim de problematizar e motivar o assunto. Definimos o que é logaritmo de um número, demonstramos as propriedades operatórias dos logaritmos, introduzimos o uso da calculadora no cálculo de logaritmos e apresentamos algumas aplicações. Definimos a função logarítmica como inversa da função exponencial, estudamos seu gráfico e demos a caracterização da função logarítmica. Fizemos um estudo sucinto das equações e inequações logarítmicas, usando estas últimas para explicitar domínios de algumas funções. Apresentamos mais algumas aplicações envolvendo os logaritmos e as funções exponenciais e logarítmicas. A conexão com a história da Matemática foi feita na introdução do capítulo, num boxe da página 278 e na leitura final, onde demos também outras aplicações dos logaritmos.
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
71
Atividades suplementares (para avaliações, fixações e revisões) 1. Sabendo que loga(x 1 y) 5 m e loga(x 2 y) 5 n, calcule loga(x2 2 y2). Resolução
loga(x2 2 y2) 5 loga [(x 1 y)(x 2 y)] 5
5 loga(x 1 y) 1 loga(x 2 y) 5 m 1 n
2. (Vunesp) Suponha que uma represa de área igual a 128 km2 tenha sido infestada por uma vegetação aquática. Suponha também que, por ocasião de um estudo sobre o problema, a área tomada pela vegetação fosse de 8 km2 e que esse estudo tivesse concluído que a taxa de aumento da área cumulativamente infestada era de 50% ao ano. Nessas condições: a) Qual seria a área infestada n anos depois do estudo, caso não se tomasse nenhuma providência? b) Com as mesmas hipóteses, em quantos anos a vegetação tomaria conta de toda a represa? (Use os valores aproximados Iog10 2 0,30 e Iog10 3 0,48.) Resolução a) A 5 128 km2 A0 5 8 km2 Tempo Início Após 1 ano Após 2 anos
Área (km2) 8 8 1,5 (8 1,5)1,5 5 8 1,52
Após n anos
8 1,5n
A área infestada seria (8 1,5n) km2. b) 128 5 8 1,5n ⇒ 27 5 23 1,5n ⇒ 1,5n 5 24 ⇒ log 2 log 2 ⇒ n 5 log1,5 24 5 4 5 4 5 log 1, 5 3 log 2 5 4
log 2 0, 30 5 4 5 log 3 2 log 2 0, 48 2 0, 30
20 0, 30 5 6,6 5 4 5 3 0,18 3 A vegetação tomaria conta de toda a represa em, aproximadamente, 6,6 anos. 5 4
3. Resolva os sistemas de equações: log10 x log10 y 1 a) 2 x y 24 log x log2 y 3 b) 2 x 2y 10 Resolução a) • condição de existência: x 0 e y 0 x x 10 log10 log10 10 y • ⇒ y ⇒ 2 x y 24 2 x y 24 x 10 y ⇒ 2 x y 24 10y 1 y2 5 24 ⇒ y2 1 10y 2 24 5 0 5 196 210 ± 14 ⇒ y 2 e y 12 y 5 2 x 5 10(2) 5 20 e x 10(212) 120 • verificação: para x 20 e y 2 → x 0 e y 0 ⇒ 20 0 e 2 0 (V) para x 5 2120 e y 5 212 → x 0 e y 0 ⇒ 2120 0 e 212 0 (F) S 5 {(20, 2)} b) • condição de existência: x 0 e y 0 log ( xy ) 3 xy 8 ⇒ • 2 ⇒ x 2y 10 x 2y 10 xy 8 ⇒ x 10 2y (10 2 2y)y 5 8 ⇒ 22y2 1 10y 2 8 5 0 ⇒ ⇒ y2 2 5y 1 4 5 0 5 9 5 ± 3 ⇒ y 5 4 e y 5 1 y 5 2 x 5 10 2 8 5 2 e x 5 10 2 2 5 8 • verificação: para x 5 2 e y 5 4 → x 0 e y 0 ⇒ 2 0 e 4 0 (V) para x 5 8 e y 5 1 → x 0 e y 0 ⇒ ⇒ 8 0 e 1 0 (V) S 5 {(2, 4), (8, 1)}
72
Matemática
4. O pH de uma solução é dado em função da concentração de hidrogênio H em mols por litro de so 1 lução, pela seguinte expressão: pH log10 1 [H ] ou pH 2log[H+ ]. Calcule: a) o pH de uma solução que tem [H] 1,0 108; b) o valor de [H] para uma solução que tem pH 2. Resolução a) pH 2log[H1] log (1,0 108) (8) 8 b) pH 5 2log[H1] ⇒ 2 5 2log[H1] ⇒ ⇒ log[H1] 5 22 ⇒ 1022 5 [H1]
Para saber mais Recomendamos ao professor a leitura do capítulo 8 do livro A Matemática do Ensino Médio (volume 1), de Elon Lages Lima, Paulo César P. Carvalho, Eduar do Wagner e Augusto César Morgado (Rio de Janeiro, SBM, 1997, Coleção do Professor de Matemática), bem como dos seguintes artigos da Revista do Professor de Matemática (RPM): Elon Lages Lima, Números negativos têm logaritmo?, RPM n. 3, p. 20; Renato Fraenkel, Logaritmos um curso alternativo, RPM n. 4, p. 16; Elon Lages Lima, Sobre a evolução de algumas ideias matemáticas, RPM n. 6, p. 1; Elon Lages Lima, Sistemas de logaritmos, RPM n. 18, p. 24; Geraldo Ávila, Números muito grandes, RPM n. 25, p. 1; Geraldo Ávila, Como se constrói uma tábua de logaritmos, RPM n. 26, p. 1.
Capítulo 9. Progressões Introduzimos este capítulo apresentando duas situações-problema, uma envolvendo conceito de Física (queda livre dos corpos) e a outra sobre possibilidades (lançamento de moedas), e demos a definição de sequência como sendo uma função. Definimos progressão aritmética (PA), demonstramos a fórmula do termo geral de uma PA e explo-
ramos a interpretação geométrica de uma PA fazendo uma conexão com a função afim. Desenvolvemos o conceito de interpolação aritmética e demonstramos a fórmula da soma dos termos de uma PA finita. Como um estudo complementar, trabalhamos o conceito de progressão aritmética de segunda ordem. Definimos progressão geométrica (PG), demonstramos a fórmula do termo geral de uma PG, exploramos a interpretação geométrica de uma PG fazendo uma conexão com a função exponencial e trabalhamos com a interpolação geométrica. Demonstramos a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG finita e a fórmula do limite da soma dos termos de uma PG infinita. Apresentamos uma grande variedade de aplicações das progressões. Se o professor desejar, retome a sequência de Fibonacci, já abordada na abertura do capítulo, mostrando esta curiosa aplicação no campo da Genética:
A sequência de Fibonacci No século XIII, o matemático Leonardo de Pisa, cujo apelido era Fibonacci, visitou uma fazenda onde havia uma criação de coelhos e pôs-se a refletir sobre a reprodução rápida desses animais. Supondo que um coelho tenha vida eterna e que cada casal gere um novo casal, que dará origem a um novo par no segundo mês de vida, e assim sucessivamente, de mês em mês, fica formada uma sequência especial com números naturais. Assim: • no 1º mês temos um casal de coelhos, que chamaremos de A; • no 2º mês continuamos com um casal de coelhos; • no 3º mês, A gera um par B e passamos a contar com 2 casais, A e B; • no 4º mês, teremos três pares, sendo que o novo casal é uma cria de A; passamos assim a ter A, B e C; • já no 5º mês, teremos, além da cria de A, uma cria de B, e então ficamos com 5 casais de coelhos: A, B, C, D e E; • no 6º mês, além das crias de A e B, também teremos uma de C e então contaremos com 8 casais: A, B, C, D, E, F, G e H;
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
73
• no 7º mês, teremos crias de A, B, C, D e E e obteremos 13 casais: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L e M; e assim sucessivamente. Esquematicamente, temos: Mês
Casais
Número de casais
Casais que dão cria
1o
A
1
2o
A
1
A
3o
A, B
2
A
4o
A, B, C
3
A
5o
A, B, C, D, E
5
AeB
6o
A, B, C, D, E, F, G, H
8
A, B e C
7o
A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M
13
A, B, C, D e E
etc.
Ampliando mais ainda essa tabela, temos: Número do mês
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
etc.
Número de casais
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
etc.
Podemos formar uma sequência em que cada termo nos dá o número de casais de coelhos: (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …) Se dividirmos cada termo dessa sequência, a partir de 21, pelo seu precedente obteremos aproximadamente o número 1,618, o “número de ouro” dos gregos: 21 : 13 1,61538; 34 : 21 1,61904; 55 : 34 1,61764; 89 : 55 1,61818...; etc.
Atividades suplementares (para avaliações, fixações e revisões) 1. As medidas dos ângulos de um triângulo estão em PA de razão 20. Calcule as medidas dos ângulos do triângulo.
Resolução PA (x r, x, x r)
x r x x r 180 º ⇒ 3x 180 º ⇒ x 60 º
PA (60 20, 60, 60 20) ⇒ PA (40, 60, 80)
2. As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética. Determine-as, sabendo que o perímetro do triângulo é 36 cm.
74
Matemática
Resolução Colocando os lados em ordem crescente e chamando de x o cateto maior, os lados serão x r, x e x r. Usando o teorema de Pitágoras, vem:
( x r )2 x 2 ( x r )2 ⇒ ( x r ) x ( x r ) 36
x 2 4rx ⇒ 3x 36 ⇒ x 12 122 4r 12 ⇒ 48r 144 ⇒ r 3 Logo, os lados medem 9 cm, 12 cm e 15 cm. 3. Segundo o IBGE, em 2007 a população de Arapi raca (AL) era de aproximadamente 200 000 habitantes. Essa população cresce anualmente em 2 800 habitantes. Supondo que a população dessa cidade cresça nesse mesmo ritmo, qual será a população daqui a 10 anos?
Resolução a0 200 000; r 2 800; n 10 a10 200 000 9(2 800) 225 200 A população dessa cidade em 2017 será de aproximadamente 225 200 habitantes.
4. Uma indústria produziu 74 400 unidades de certo produto num período de cinco anos. Quantas unidades produziu no primeiro ano, supondo que a produção tenha dobrado a cada ano? Resolução S5 74 400; q 2 74 400
a1( 25 1) 31a1 74 400 ⇒ a1 2400 2 1
Logo, no primeiro ano a indústria produziu 2 400 unidades.
5. Uma empresa produziu 20 000 unidades de certo produto no primeiro trimestre de 2007. Quantas unidades foram produzidas no ano de 2007, supondo que a produção aumentou 20% a cada trimestre?
Resolução a1 20 000; q 1,20; n 4
20000[(1,20)4 1] 20000[1,0736] = = 1,20 1 0,2 = 107 360
S =
Portanto, em 2007 a empresa produziu 107 360 unidades.
Para saber mais Recomendamos ao professor a leitura do capítulo 1 do livro A Matemática do Ensino Médio (volume 2), de Elon Lages Lima, Paulo César P. Carvalho, Eduar do Wagner e Augusto César Morgado (Rio de Janeiro, SBM, 1997, Coleção do Professor de Matemática), bem como dos artigos da Revista do Professor de Matemática (RPM): Elon Lages Lima, Uma construção geométrica e a progressão geométrica, RPM n. 14, p. 13; Geraldo Ávila, As séries infinitas, RPM n. 30, p. 10; Geraldo Ávila, Ainda as séries infinitas, RPM n. 31, p. 6; Luciano Rampazzo, Progressões aritméticas na 6a série?, RPM n. 13, p. 51; André Marchesini Gabrielli e Martha Salemo Monteiro, Atividades com números poligonais e sequências, RPM n. 68, p. 7.
Capítulo 10. Matemática financeira O capítulo se inicia com uma situação-problema que exige do aluno uma decisão entre duas opções: é melhor pagar à vista ou a prazo? É muito importante que ele aprenda a usar os conceitos matemáticos para julgar objetivamente as opções que lhe são oferecidas no dia a dia. Para desenvolvermos tais conceitos, recordamos algumas noções básicas sobre proporções, divisão de uma quantia em partes proporcionais e porcentagem. Introduzimos fator de atualização, aumentos e descontos, juros simples e compostos, representação gráfica dos juros simples e compostos, fazendo conexão com funções e equivalência de capitais. A seção A Matemática e as práticas sociais apresenta um interessante texto sobre o Sistema Financeiro Nacional.
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
Atividades suplementares (para avaliações, fixações e revisões) 1. A inflação pode ser entendida como a taxa média com que os preços (de um lugar, país ou região) aumentam. Suponha que, num determinado país, as taxas mensais de inflação em cada um dos últimos 3 meses foram, respectivamente, 1,2%, 0,8% e 1,7%. Qual foi a inflação total acumulada nesses 3 meses? Resolução facumulado 1,012 1,008 1,017 1,0374 A inflação acumulada foi de 3,74%. 2. Uma loja aumentou o preço dos seus produtos em 5% em julho e 8% em agosto. Qual deve ser o desconto percentual que precisa ser oferecido agora, para que o valor pago com desconto seja igual ao que era antes dos aumentos? Resolução facumulado 1,05 1,08 1,134 Aumento de 13,4%. y x x ⇒ 1134 , 100 ⇒ 113, 4 100 1134 , y ⇒ y 11, 82
x 1134 ,
O desconto deverá ser de 11,82%. 3. Marieta vendeu um lote de 300 ações de uma empresa telefônica por R$ 36,00 cada ação. Pela venda, precisou pagar 1,5% do total em taxas de corretagem. Quanto recebeu pela venda, descontando-se as taxas pagas? Resolução 300 36 10 800 10 800 0,985 10 638 Recebeu R$ 10 368,00. 4. Joana deixou R$ 800,00 aplicados por 3 anos em um fundo de investimento. Se o rendimento médio desse fundo foi de 1% ao mês, no primeiro ano, de 1,4% ao mês no segundo ano e de 0,9% ao mês no terceiro ano, quanto Joana tinha ao final desse período?
75
Resolução C 800; i 1% ao mês (0,01); t 1 ano 12 meses
M 800(1,01)12 901,46
C 901,46; i 1,4% ao mês (0,014); t 12 meses
M 901,46(1,014)12 1 065,13
C 1 065,13; i 0,9% ao mês (0,009); t 12 meses
M 1 065,13(1,009)12 1 186,03 Ao final do período Joana tinha R$ 1 186,03.
5. A quantia de R$ 4 640,00 foi distribuída como abono a três funcionários de uma firma, de forma inversamente proporcional ao número de faltas de cada um. Paulo faltou 6 dias, Cláudia faltou 9 dias e Ana faltou 8 dias. O abono que Cláudia recebeu foi de: a) R$ 1 280,00. b) R$ 1 920,00. c) R$ 1 360,00. d) R$ 1 440,00. e) R$ 1 420,00. Resolução
p c a p c 1 1 6 9
4 640
a 1 8
p c a c 4 640 ⇒ 9c ⇒ c 1280 1 1 1 1 29 6 9 8 9 72 Resposta: alternativa a.
Para saber mais Recomendamos ao professor a leitura do capítulo 2 do livro A Matemática do Ensino Médio (volume 2), de Elon Lages Lima, Paulo César P. Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado (Rio de Janeiro, SBM, 1997, Coleção do Professor de Matemática), bem como dos seguintes artigos da Revista do Professor de Matemática (RPM): Manoel Henrique C. Botelho, Quanto perco com a inflação?, RPM n. 20, p. 25; João Calixto
76
Matemática
Garcia, À vista com desconto ou a prazo sem juros?, RPM n. 20, p. 23; Hideo Kumayama, Pagamento parcelado, RPM n. 22, p. 13; José Paulo Carneiro e Paulo Afonso Lopes, Cálculo de juros em planilhas eletrônicas, RPM n. 51, p. 40; Samuel Hazzan, Poupando para a aposentadoria, RPM n. 33, p. 7; Ilydio Pereira de Sá e Vinícius Pereira de Sá, Duas vezes 100 é igual a 200?, RPM n. 70, p. 13; Ernesto Rosa Neto, O número e as moedas, RPM n. 68, p. 21; José Carlos de Souza Jr. e Andréa Cardoso, Como encontrar a taxa de um financiamento?, RPM n. 68, p. 33; Guillermo Zamalloa Torres, Calcular prestações de uma dívida, como?, RPM n. 66, p. 9.
Resolução
α
Atividades suplementares (para avaliações, fixações e revisões) 1. No triângulo retângulo da figura seguinte são dados c 10 e 35. Calcule a, b e . (Consulte a tabela do final do capítulo ou use uma calculadora.) C α a b
A
c
β B
a
b
β = 35° c = 10
A
B
90 35 55 10 cos 35 0,819 ⇒ a 12,21 a b tg 35 0,7 ⇒ b 7 10
13 2. Uma rampa tem índice de subida igual a . Qual 40 é o ângulo de subida dessa rampa? Resolução
Capítulo 11. Trigonometria no triângulo retângulo Neste capítulo voltamos a abordar assuntos já estudados no Ensino Fundamental, porém agora aprofundados, preparando os alunos para etapas posteriores. Acreditamos ser imprescindível essa retomada, pois os alunos encontram-se nesse momento mais amadurecidos pessoal e matematicamente. Este capítulo, que retoma o conceito de semelhança e proporcionalidade, é de suma importância para a formação matemática dos jovens, preparando-os para o estudo da Trigonometria, que será trabalhado minuciosamente no volume seguinte. Conexão com a história da Matemática é feita no início do capítulo e no boxe da página 366. Encerramos o capítulo apresentando uma tabela trigonométrica com valores de seno, cosseno e tangente.
C
13 40
13 0,325 ⇒ 18 40 Use o triângulo RSP, retângulo em B R, para responder aos testes 3 e 4. tg
S
p
R
r
s
P
3. Os valores de sen B P, cos B P e tg B P correspondem respectivamente a: p s p a) , e . r r s p p s b) , e . r s r r r s c) , e . p s p p s s d) , e . r r p p r p e) , e . s s s Resolução p p s sen B P ; cos B P ; tg B P r s r Resposta: alternativa a.
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
4. Se p 3 e sen B P 0,6, então os valores de r e s são, respectivamente: a) 5 e 6. b) 5 e 4. c) 6 e 4. d) 6 e 6 e) 1,5 e 2. Resolução 3 3 0, 6 ⇒ r 5 r 0,6 9 s2 25 ⇒ s2 16 ⇒ s 4
77 Demonstramos as principais fórmulas para o cálculo de áreas de regiões poligonais conhecidas. A seção Tim-tim por tim-tim trabalha uma questão muito interessante e oportuna do Enem sobre o tangram, abrindo uma discussão sobre o uso didático de jogos em sala de aula. Aproveitamos a seção A Matemática e as práticas sociais para trabalhar questões como demarcação de terras indígenas e diversidade cultural. Conexão com a história da Matemática foi feita ao longo do capítulo e na leitura final.
Resposta: alternativa b.
Para saber mais Recomendamos ao professor a leitura do texto Tópicos da História da Matemática, Trigonometria, de Edward S. Kennedy (São Paulo, Atual, 1977), bem como dos seguintes artigos da Revista do Professor de Matemática (RPM): José Luiz Pastore Mello, Trigonometria e um antigo problema de otimização, RPM n. 52, p. 29; Pedro Firmino da Silva, Trigonometria na oficina mecânica, RPM n. 10, p. 30; Daniel Teodoro e Robinson Nelson dos Santos, Como escolher a TV de tela larga uma aplicação do teorema de Pitágoras, RPM n. 70, p. 10.
Atividades suplementares (para avaliações, fixações e revisões) 1. No EFG, uma das bissetrizes é GM. Calcule o perímetro do EFG. E x
x 2 F 24 G
Resolução x 3x ⇒ 24 x 3x 2 6 x ⇒ x 2 24 ⇒ 3x 2 30 x 0 ⇒ x 10
Capítulo 12. Geometria plana Neste capítulo fizemos uma retomada da Geometria plana do Ensino Fundamental, enfocando conceitos, procedimentos e aplicações fundamentais desse assunto. Procuramos percorrer todos os conceitos geométricos que sedimentam a Matemática, tais como: teorema de Tales, estudo dos polígonos regulares, casos de congruência de triângulos, relações métricas no triângulo retângulo, teorema de Pitágoras, o círculo e a circunferência, áreas de superfícies, etc. Algumas propriedades foram demonstradas e outras foram apenas citadas como verdadeiras, sem demonstração. Aproveitamos para explicitar a diferença entre constatar uma propriedade empiricamente e demonstrar logicamente essa propriedade.
3x
M
perímetro: 3 10 24 10 2 10 30 24 18 72
2. Obtenha o valor de x no triângulo abaixo: α
6
8 x α 4
Resolução x 4 ⇒ x 2 6 x 16 0 ⇒ x 2 4 6 x
78
Matemática
3. Obtenha o ângulo HBAS no triângulo abaixo, sabendo que AH é a altura e AS é a bissetriz. A
50°
32°
B
H
S
C
Resolução Seja x 5 HBAS, y 5 BBAH e z 5 BBAS 5 SBAC y 180 90 50 40 2z 50 32 180 ⇒ z 49 x z y 49 40 9
4. Considere um triângulo qualquer BC. Obtenha o valor de x (segmento AD). C α
n. 18, p. 10; Bruce Paulsell e outro, Números pitagóricos: uma fórmula de fácil dedução e algumas aplicações geométricas, RPM n. 7, p. 49; Gilda de La Rocque Palis, Comprimento da circunferência no ensino elementar, RPM n. 14, p. 29; Hideo Kumayama, Retificação de uma circunferência e a determinação geométrica de n, RPM n. 20, p. 39; Manoel Henrique C. Botelho, O octógono regular, RPM n. 15, p. 28; Valdemar Bastos e Aparecida da Silva, A área do círculo, RPM n. 40, p. 46; Eduardo Wagner, Usando áreas, RPM n. 29, p. 19; Renate G. Watanabe, Seno de 30 é um meio?, RPM n. 30, p. 26; Carlos A. S. Victor, Área de um polígono, RPM n. 35, p. 28. E também a leitura do artigo: Lícia de Souza Leão Maia, O ensino de Geometria: analisando diferentes representações, Educação Matemática em Revista, SBEM, ano 7, n. 8, junho 2000, p. 24; Sérgio Alves, O centro de massa de um triângulo, RPM n. 71, p. 40; Guilhermo Antonio Lobos Villagra, Caracterizações de triângulos retângulos, RPM n. 70, p. 37.
11
Questões do Enem
α A
x
D
10
B
Resolução x + 10 11 ⇒ x 5 2,1 5 11 10
Para saber mais Recomendamos ao professor a leitura do livro Geometria elemental, de A. V. Pogorélov (Moscou, Mir, 1974; tradução em espanhol de Carlos Vega), bem como dos seguintes artigos da Revista do Professor de Matemática (RPM): Elon Lages Lima, Qual é a soma dos ângulos internos ou externos de um polígono (convexo ou não)?, RPM n. 19, p. 31; Waldyr Muniz Oliva, A independência do axioma das paralelas e as geometrias não euclidianas, RPM n. 2, p. 28; Geraldo Ávila, Euclides, geometria e fundamentos, RPM n. 45, p. 1; Eduardo Wagner, Semelhança, pizzas e chopes, RPM n. 25, p. 10; Geraldo Ávila, Aristarco e as dimensões astronômicas, RPM n. 55, p. 1; Euclides Rosa, Mania de Pitágoras, RPM n. 2, p. 14; Valdir V. Silva, Uma verificação do teorema de Pitágoras, RPM n. 11, p. 52; Elon Lages Lima, Mais uma vez o teorema de Pitágoras, RPM n. 13, p. 57; Cláudio Arconder, As ternas pitagóricas, RPM
No final do livro incluímos as questões do Enem (período de 2000 a 2009) específicas do volume, para que o aluno entre em contato com este tipo de prova e com o nível de dificuldade das questões.
Atividades suplementares (para avaliações, fixações e revisões) Apresentamos a seguir mais algumas questões do Enem de 2009. 1. Um posto de combustível vende 10 000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10 200 litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é: a) V 10 000 50x x2. b) V 10 000 50x x2. c) V 15 000 50x x2. d) V 15 000 50x x2. e) V 15 000 50x x2.
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
79
Resolução De acordo com o enunciado, podemos montar a função venda: V( x ) (10 000 100 x ) [1, 50
x ] , em que 100
x é o valor do desconto em centavos.
Apenas para esclarecer melhor, perceba que V( 2) (10 000 2 100 ) [1, 50
2 ]5 100
5 10 200 ? 1,48, como descrito no texto. Desenvolvendo a expressão de V(x), temos: x (10 000 100 x ) [1, 50 ] 100
b) Oferecer 4 máquinas a mais. Aqui, temos k1 1, k2 2 e k3 1; então, k1 k2 k3 2. Não serve.
5 15 000 1 150x 2 100x 2 x2 5 15 000 1 50x 1 x2 Resposta: alternativa d.
2. Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1 000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25 000,00. Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria: a) manter sua proposta. b) oferecer 4 máquinas a mais. c) oferecer 6 trabalhadores a mais. d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias. e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.
Resolução Perceba que o número de trabalhadores, a quantidade de máquinas e o regime de trabalho diário são todos diretamente proporcionais ao número de hectares colhidos. Em outras palavras, se multiplicarmos por k1 o número de trabalhadores, por k2 a quantidade de máquinas e por k3 o regi-
me de trabalho diário, o número de hectares colhidos será multiplicado por k1 k2 k3. Em 6 dias precisamos colher 180 hectares, ou seja, 30 hectares por dia. Comparando com os 20 hectares propostos, temos 30 que 5 1,5. Esse valor equivale a k1 k2 k3. 20 Então, k1 k2 k3 1,5. Vamos estudar cada alternativa: a) Manter sua proposta. Aqui, temos k1 1, k2 1 e k3 1; então, k1 k2 k3 1. Não serve.
c) Oferecer 6 trabalhadores a mais. Aqui, temos k1 1,5, k2 1 e k3 1; então, k1 k2 k3 1,5. Serve. d) Aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias. Aqui, temos k1 1, k2 1 e k3 1,5; então, k1 k2 k3 1,5. Serve. e) Reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina. Aqui, temos k1 1, k2 1 e k3 1; então, k1 k2 k3 1. Não serve.
De acordo com as opções descritas em cada alternativa, podemos oferecer 6 trabalhadores a mais ou aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias. Vamos aos custos: • Opção 1 18 trabalhadores por 6 dias: 18 10 6 1 080 reais 4 máquinas por 6 dias: 4 1 000 6 24 000 reais Total: 25 080 reais (Passa do desejado.) • Opção 2 12 trabalhadores por 6 dias: 12 10 6 720 reais 4 máquinas por 6 dias: 4 1 000 6 24 000 reais Total: 24 720 reais (Note que não se paga a mais por fazer os trabalhadores ficarem 3 horas a mais por dia.)
80
Matemática
Dessa forma, o adequado nas condições do problema é aumentar a jornada para 9 horas diárias. Resposta: alternativa d. 3. Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de: a) 920 kg. d) 600 kg. b) 800 kg.
4. Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias. Valor da diária 150
Tempo 1
e) 570 kg.
5
50 5 5 20 2
3
4
5
6
7
8
De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de: d) R$ 150,00. a) R$ 90,00. e) R$ 170,00. b) R$ 110,00. c) R$ 130,00.
c) 720 kg. Resolução Perceba que o número de alunos, a quantidade de dias e o regime de trabalho diário são todos diretamente proporcionais ao número de quilos arrecadados. Em outras palavras, se multiplicarmos por k1 o número de alunos, por k2 a quantidade de dias e por k3 o regime de trabalho diário, o número de quilos arrecadados será multiplicado por k1 k2 k3. Nos primeiros 10 dias, 20 alunos, trabalhando 3 horas por dia, arrecadaram 12 kg por dia (total: 120 kg). Nos 20 dias seguintes, 50 alunos, trabalhando 4 horas por dia, arrecadaram x kg, em que x 120 k1 k2 k3.
2
Resolução A sequência de valores das diárias, em que ai é o diai , é: P (150, 150, 150, 130, 110, 90, 90, 90). Um pacote de 7 dias não promocional custa 7 150 1 050. A soma das diárias da sequência P é: 150 3 130 110 90 3 960 Portanto, a economia será de 90 reais. Resposta: alternativa a.
20 45. A rampa de um hospital tem na sua parte mais 50 5 . 5 2; k 2 5 5 ; k3 5 10 3 elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente 20 2 4 ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslo. ; k3 5 3 cou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. Portanto: A distância em metros que o paciente ainda deve 5 4 caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é: x 120 2 800 kg 2 3 a) 1,16 metro. d) 5,6 metros. Assim, o total é 800 120 920 kg. b) 3,0 metros. e) 7,04 metros. Resposta: alternativa a. c) 5,4 metros. Temos, então, k1 5
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
81
Resolução Pelos dados do problema, temos que o paciente se eleva de 0,8 m para cada 3,2 m caminhados, ou seja,
0,8 1 5 de metro de elevação por metro 3,2 4
caminhado. Para se elevar o restante da rampa (2,2 0,8 1,4 m) o paciente deve caminhar
1,4 1,4 4 5,6 m. 1 4
Outra resolução Pelos dados do problema, o seno do ângulo de 0,8 1 inclinação da rampa é sen . 3,2 4 Para se elevar os 1,4 m restantes da rampa (2,2 0,8 1,4 m), o paciente deve caminhar mais x metros. Assim: 1,4 1,4 1 sen ⇒ ⇒ x 5,6 m x x 4
6. A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1 050 m3/s. O cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q Av. Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes. 30 m 2,5 m 20 m
figura II
49 m
Resolução Como a velocidade não se altera, por hipótese do enunciado, a vazão é proporcional à área da seção transversal da canaleta. Vamos calcular a área A1, da figura I, e A2, da figura II: ( 30 20 ) 2,5 A1 62,5 m2 2 ( 49 41) 2 A2 90 m2 2 Assim: A Q1 1050 62, 5 ⇒ 5 1 ⇒ 5 90 Q2 A2 Q2 ⇒ Q2 5 1512 m3 /s
Resposta: alternativa d.
figura I
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta? d) 1 512 m3/s. a) 90 m3/s. 3 e) 2 009 m3/s. b) 750 m /s. c) 1 050 m3/s.
Resposta: alternativa d.
7. Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília-DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4. Mapa do Brasil e algumas capitais
22
1
33 5
4
1 4
5
17 17 15 15 Manaus Boa Vista Macapá Belém São Luís Teresina Fortaleza Natal Salvador
10 11 12 13 14 15 16 17 18
7 7
88
6
18 18
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6
Rio de Janeiro São Paulo Curitiba Belo Horizonte Goiânia Cuiabá Campo Grande Porto Velho Rio Branco
9 DF 14 14
9
13 13
16 16 12
11
10
2,0 m 41 m
Disponível em: www2.uel.br.
SIQUEIRA, S. Brasil Regiões. Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br . Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado).
82
Matemática
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135 graus no sentido horário com a rota Brasília-Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em: a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
Resolução De acordo com o texto, temos o trajeto do avião AII a partir de Brasília, fazendo um ângulo de 135 graus no sentido horário com a rota Brasília-Belém: Mapa do Brasil e algumas capitais 22
1
33 1
5
4 4
5
6
7 7
88
6
18 18 17 17
9 135°
15 15
9
14 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Manaus Boa Vista Macapá Belém São Luís Teresina Fortaleza Natal Salvador
10 11 12 13 14 15 16 17 18
Rio de Janeiro São Paulo Curitiba Belo Horizonte Goiânia Cuiabá Campo Grande Porto Velho Rio Branco
13 13
16 16 12
11
10
A única capital neste trajeto é Belo Horizonte (ponto 13). A seguir, ele pega um avião AIII que seguiu a direção que forma ângulo reto, no sentido anti-horário,
com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Mapa do Brasil e algumas capitais
22
1
33 1
5
4 4
5
6
7 7
88
6
18 18 17 17
9 135°
15 15
9
14 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Manaus Boa Vista Macapá Belém São Luís Teresina Fortaleza Natal Salvador
10 11 12 13 14 15 16 17 18
Rio de Janeiro São Paulo Curitiba Belo Horizonte Goiânia Cuiabá Campo Grande Porto Velho Rio Branco
13 13
16 16 12
11
90° 10
As possíveis capitais nesse trajeto são Natal e Salvador (pontos 8 e 9, respectivamente). Portanto, de acordo com as alternativas dadas, temos que Carlos foi para Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. Resposta: alternativa b.
2. Enem – Habilidade por habilidade A seção Enem – Habilidade por habilidade fornece mais ferramentas para o aluno resolver problemas do dia a dia, capacitando-o para a inserção social na medida em que promove sua compreensão e interação com os fenômenos sociais e científicos cotidianos. Com isso, sua aprendizagem se torna mais significativa. É uma seção com questões contextualizadas, muitas vezes interdisciplinares, em que estão envolvidas as competências e habilidades pertinentes ao 1o ano do Ensino Médio, atendendo a nova Matriz de Referência do Enem 2009 (consulte a página 12 e seguintes na parte geral deste manual). Como essas questões não constam do livro do aluno, o professor pode usá-las também para avaliações, trabalhos, seminários e discussões. Todas estão resolvidas. O professor pode apresentar caminhos diferentes de resolução e enfatizar outros pontos importantes a serem abordados em cada uma delas.
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
83
Às vezes, uma questão mais abrangente contempla mais de uma habilidade, identificada aqui com a letra H seguida de um número. Veja, por exemplo, a questão 18 na página 92.
Calendário 3 a.C. 2 a.C. 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C. atual (C) Cômputo dos 1 2 3 22 21 astrônomos Calendário 3 a.C. 2 a.C. 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C. atual (D) Cômputo dos 1 2 23 22 21 astrônomos
COMPETÊNCIA DE ÁREA 1: CONSTRUIR SIGNIFICADOS PARA OS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E REAIS. H1: Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações — naturais, inteiros, racionais ou reais. 1. (Enem 2009/Prova anulada) No calendário utilizado atualmente, os anos são numerados em uma escala sem o zero, isto é, não existe o ano zero. A era cristã se inicia no ano 1 depois de Cristo (d.C.) e designa-se o ano anterior a esse como ano 1 antes de Cristo (a.C.). Por essa razão, o primeiro século ou intervalo de 100 anos da era cristã terminou dia 31 de dezembro do ano 100 d.C., quando haviam decorrido os primeiros 100 anos após o início da era. O século II começou no dia 1 de janeiro do ano 101 d.C., e assim sucessivamente. Como não existe o ano zero, o intervalo entre os anos 50 a.C. e 50 d.C., por exemplo, é de 100 anos. Outra forma de representar anos é utilizando-se números inteiros, como fazem os astrônomos. Para eles, o ano 1 a.C. corresponde ao ano 0, o ano 2 a.C. ao ano 21, e assim sucessivamente. Os anos depois de Cristo são representados pelos números inteiros positivos, fazendo corresponder o número 1 ao ano 1 d.C. Considerando o intervalo de 3 a.C. a 2 d.C., o quadro que relaciona as duas contagens descritas no texto é: Calendário 3 a.C. 2 a.C. 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C. atual (A) Cômputo dos 0 1 2 3 21 astrônomos
(B)
Calendário 3 a.C. 2 a.C. 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C. atual Cômputo dos 0 1 2 22 21 astrônomos
(E)
Calendário 3 a.C. 2 a.C. 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C. atual Cômputo dos 0 1 23 22 21 astrônomos
Resolução A questão relaciona duas unidades de medida de tempo, e pode facilmente ser resolvida observando-se as informações apresentadas no enunciado. Especificamente, a que relaciona o ano 1 a.C. do calendário utilizado atualmente com o ano 0 utilizado pelos astrônomos. Dessa forma, existe apenas uma alternativa possível. Resposta: alternativa B.
H2: Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem. 2. (Enad 2005/Modificada) O mandato do reitor de uma universidade começará no dia 15 de novembro de 2010, segunda-feira, e terá duração de exatamente quatro anos, sendo um deles bissexto. Nessa situação, conclui-se que o último dia do mandato desse reitor será no(a): (A) sexta-feira. (B) sábado. (C) domingo. (D) segunda-feira. (E) terça-feira. Resolução O número de dias do mandato do reitor será 3 ? 365 1 366 5 1 461 dias. 1461 7 5 208 Serão 208 semanas completas e mais 5 dias de mandato. A semana de número 208 terminará em um domingo; logo, com o acréscimo de 5 dias o mandato terminará numa sexta-feira. Resposta: alternativa A.
84
Matemática
H3: Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos. 3. (Enem 2009/Prova anulada) No depósito de uma biblioteca há caixas contendo folhas de papel de 0,1 mm de espessura, e em cada uma delas estão anotados 10 títulos de livros diferentes. Essas folhas foram empilhadas formando uma torre vertical de 1 m de altura. Qual a representação, em potência de 10, correspondente à quantidade de títulos de livros registrados nesse empilhamento? a) 102 b) 104 c) 105 d) 106 e) 107
Resolução Para calcular a quantidade de títulos registrados nesse empilhamento, primeiro precisamos descobrir quantas folhas há nele. Para isso, dividimos a medida da altura da torre (1 m, que corresponde a 1 000 mm ou 103 mm) pela espessura de cada folha (0,1 mm, que corresponde a 1021 mm): 103 mm ; 1021 mm/folha 5 104 folhas Depois, multiplicamos esse valor pelos títulos de cada folha, encontrando a resposta do problema: 104 folhas 3 10 títulos 5 105 títulos Resposta: alternativa c.
H4: Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas. 4. O cigarro infelizmente é um dos produtos de consumo mais vendidos no mundo. O fumo é um dos principais fatores que diminui a expectativa de vida. Milhões de pessoas morrem a cada ano em decorrência do fumo. Cada cigarro fumado pode diminuir 10 minutos na vida de um indivíduo. Doenças como câncer, problemas cardíacos, complicações da diabetes e derrame cerebral podem ser originadas ou agravadas com o tabagismo.
Suponha que um cigarro tem 10 cm de comprimento, um maço de cigarros tem 20 cigarros e que determinado indivíduo consome 2 maços de cigarros diariamente, dos 20 aos 60 anos de idade. Se, um após o outro, fossem enfileirados cigarros correspondentes aos fumados pelo indivíduo citado, o comprimento máximo dessa fileira seria mais próximo de: (A) A altura de um poste de iluminação (5 m). (B) A altura de um prédio de 30 andares (90 m). (C) A distância de São Paulo a Cubatão (57 km). (D) Distância do Caburaí ao Chuí (4 320 km). (E) Uma volta na Terra (40 000 km). Resolução O tamanho da fila será: x 5 2 ? 20 ? 365 ? 40 ? 10 ⇒ x 5 5 840 000 cm ⇒ ⇒ x 5 58,4 km Resposta: alternativa C.
H5: Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos. 5. A prática de atividade física tem importância fundamental no desenvolvimento físico e mental do ser humano, e está diretamente associada a qualidade de vida e saúde. Independentemente da idade, os médicos recomendam a prática regular de exercícios físicos associada a uma dieta saudável. As melhorias são inúmeras. Por exemplo: • Melhora da oxigenação dos tecidos. • Melhora da movimentação muscular e articular. • Melhora do metabolismo do organismo. • Redução do nível de gordura. • Diminuição da ansiedade. Por outro lado, a falta de atividade física é um dos principais fatores de risco para as doenças cardiovasculares. Sérgio, preocupado com seu “peso” em excesso, resolve se submeter a uma dieta saudável e à prática de exercícios. Acompanhado por um médico, um nutricionista e um preparador físico, identifica que deverá gastar pelo menos 2 000 kcal por dia. Recebe a seguinte tabela de gasto energético:
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
85
Atividade física
Gasto energético (em kcal) em 10 minutos de atividade, de acordo com o “peso” de Sérgio
Futebol
100
Golfe
55
Squash
115
Natação
60
Tênis
92
Vôlei
75
Sérgio pode gastar a quantidade de kcal diária que deseja praticando: a) 10 minutos de futebol e 15 minutos de natação. b) 6 minutos de vôlei, 10 minutos de golfe e 8 minutos de squash. c) 20 minutos de natação e 10 minutos de futebol. d) 25 minutos de golfe e 5 minutos de tênis. e) 4 minutos de cada esporte apresentado. Resolução a) Gasto 5 10 ? 100 1 15 ? 60 5 1 900 kcal b) Gasto 5 6 ? 75 1 10 ? 55 1 8 ? 115 5 1 920 kcal c) Gasto 5 20 ? 60 1 10 ? 100 5 2 200 kcal d) Gasto 5 25 ? 55 1 5 ? 92 5 1 835 kcal e) Gasto 5 4 ? (100 1 55 1 115 1 60 1 92 1 75) 5 5 4 ? 497 5 1 988 kcal Resposta: alternativa c.
COMPETÊNCIA DE ÁREA 2: UTILIZAR O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO PARA REALIZAR A LEITURA E A REPRESENTAÇÃO DA REALIDADE E AGIR SOBRE ELA. H6: Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional. 6. (Enem 2009/Prova anulada) O xadrez é jogado por duas pessoas. Um jogador joga com as peças brancas, o outro com as pretas. Neste jogo, vamos utilizar somente a Torre, uma das peças do xadrez. Ela pode mover-se para qualquer casa ao longo da coluna ou linha que ocupa, para frente ou para trás, conforme indicado na figura a seguir.
O jogo consiste em chegar a um determinado ponto sem passar por cima dos pontos pretos já indicados.
A
B
C
D
E
F
G
H
Respeitando-se o movimento da peça Torre e as suas regras de movimentação no jogo, qual é o menor número de movimentos possíveis e necessários para que a Torre chegue à casa C1? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7 Resolução Existem algumas maneiras para a Torre chegar à casa C1 com apenas 4 movimentos. Uma delas está na figura abaixo:
A
B
C
D
E
F
G
H
86
Matemática
É possível chegar a C1 com uma quantidade maior de movimentos, porém é pedido na questão o menor número de movimentos possíveis. Resposta: alternativa c.
H7: Identificar características de figuras planas ou espaciais. 7. (Enem 2009/Prova anulada) Um decorador utilizou um único tipo de transformação geométrica para compor pares de cerâmicas em uma parede. Uma das composições está representada pelas cerâmicas indicadas por I e II.
II
I
H8: Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma. 8. (Enem 2009/Prova anulada) Dois H1 H2 holofotes iguais, situados em H1 e H2, respectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e deR R S terminam uma região S de maior intensidade luminosa, conforme figura. R2 , a em ra Área do setor circular: A SC 5 2 dianos. A área da região S, em unidades de área, é igual a: (A)
2
12
Utilizando a mesma transformação, qual é a figura que compõe par com a cerâmica indicada por III? (A)
(B)
(C) (D)
3R2 . 2
(2π 3 3 )R . (B)
III
2πR2 3
(E)
(C)
πR2 R2 . 12 8
(D)
πR2 . 2
(E)
πR2 . 3
Resolução Os triângulos AC1C2 e BC1C2 são equiláteros, logo C1BAC2 vale 608 e ABC2B vale 1208. A
C2
C1
B
Resolução Observando a transformação geométrica ocorrida da figura I para a figura II, podemos observar uma rotação de 180º em relação às quatro arestas da base. É a inversão das faces da cerâmica. Se a mesma rotação for aplicada à figura III, a sua composição será a figura apresentada na alternativa B. Resposta: alternativa B.
A área procurada S é duas vezes a área do segmento circular abaixo.
A
C2
120°
B
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87 2π rad, temos: 3
Lembrando que 1208 equivale a
S 5 2 3 (área do segmento circular)
2 2 3 πR R R sen 120° S 2 ⇒ 2 2
πR 2 ⇒ S 2 3
Resposta: alternativa A.
3R2 2 πR 2 ⇒ S 4 3
3R2 2
Sejam L o lado da base da forma quadrada, r o raio da base da forma redonda, A1 e A2 as áreas das bases das formas 1 e 2, e V1 e V2 os seus volumes, respectivamente. Se as formas têm a mesma altura h, e sabendo que, se elas comportam a mesma quantidade de massa de bolo deverão ter a mesma área da base, qual é a relação entre r e L? a) L 5 r b) L 5 2r c) L 5 πr d) L 5 r π
H9: Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano. 9. (Enem 2009/Prova anulada/Modificada) Em uma padaria, há dois tipos de forma de bolo, formas 1 e 2, como mostra a figura abaixo. 1
A1 β
e) L 5
2
Resolução Como foi citado acima, para que os dois sólidos apresentados, que possuem a mesma altura h, tenham o mesmo volume é necessário que admitam a mesma área da base. Portanto, a área do círculo deverá ser igual à área interna ao quadrado. Ou seja: A1 5 A2
L2 5 πr2 ⇒ L 5 πr 2 ⇒ L 5 r π
Resposta: alternativa d.
2
A2
( πr 2 )
COMPETÊNCIA DE ÁREA 3: CONSTRUIR NOÇÕES DE GRANDEZAS E MEDIDAS PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO COTIDIANO. H10: Identificar relações entre grandezas e unidades de medida. 10. Leia o texto abaixo, veiculado no site da Folha On-line (www1.folha.uol.com.br, acesso em 20 de novembro de 2009):
Entenda o que é a camada pré-sal A chamada camada pré-sal é uma faixa que se estende ao longo de 800 quilômetros entre os Estados do Espírito Santo e Santa Catarina, abaixo do leito do mar, e engloba três bacias sedimentares (Espírito Santo, Campos e Santos). O petróleo encontrado nesta área está a profundidades que superam os 7 mil metros, abaixo de uma extensa camada de sal que, segundo geólogos, conservam a qualidade do petróleo (veja figura a seguir). Vários campos e poços de petróleo já foram descobertos no pré-sal, entre eles o de Tupi, o principal. Há também os nomeados Guará, Bem-Te-Vi, Carioca, Júpiter e Iara, entre outros.
88
Matemática
RJ
Rio de Janeiro
cerca de 2 km
Leito do oceano
Blocos do pré-sal
SP
Camada pós-sal
BRASIL de 7 km a 8 km
BM-S-42 Parati
Corcovado Oceano Atlântico
Iara e Tupi
Sal
BM-S-50 Júpiter Bem-Te-Vi
BM-S-17
Guará e Carioca
Caramba BM-S-22
Camada pré-sal GÁS
PETRÓLEO
Camada em área ultraprofunda, que fica entre 7.000 e 8.000 metros abaixo do leito do mar, depois de uma camada de sal. ES SP
PR SC
RJ
A camada se estende por uma faixa de 800 km, que vai do litoral de Santa Catarina ao do Espírito Santo.
Um comunicado, em novembro de 2009, de que Tupi tem reservas gigantes, fez com que os olhos do mundo se voltassem para o Brasil e ampliassem o debate acerca da camada pré-sal. À época do anúncio, a ministra Dilma Rousseff (Casa Civil) chegou a dizer que o Brasil tem condições de se tornar exportador de petróleo com esse óleo. Tupi tem uma reserva estimada pela Petrobras entre 5 bilhões e 8 bilhões de barris de petróleo, sendo considerada uma das maiores descobertas do mundo dos últimos sete anos. Neste ano, as ações da estatal tiveram forte oscilação depois que a empresa britânica BG Group (parceira do Brasil em Tupi, com 25%) divulgou nota estimando uma capacidade entre 12 bilhões e 30 bilhões de barris de petróleo equivalente em Tupi. A portuguesa Galp (10% do projeto) confirmou o número.
Um barril de petróleo contém 159 litros e é capaz de gerar algo em torno de 75 litros de gasolina. Um galão americano possui aproximadamente 3,8 litros e são necessários 10,5 galões para encher o tanque de um automóvel “popular”. Dez barris de petróleo geram gasolina suficiente para encher o tanque de aproximadamente quantos carros populares? a) 5
c) 15
b) 9
d) 19
e) 23
Resolução 10 barris de petróleo correspondem a 750 < de gasolina. O número de carros populares que podem ser abastecidos será dado por:
x
Resposta: alternativa d.
750 ⇒ x . 18,8 carros 3, 8 10, 5
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
89
H11: Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
11. (Inep – Simulado 2009)
5
A evolução da luz: as lâmpadas LED já substituem com grandes vantagens a velha invenção de Thomas Edison. A tecnologia do LED é bem diferente das lâmpadas incandescentes e das fluorescentes. A lâmpada LED é fabricada com material semicondutor semelhante ao usado nos chips de computador. Quando percorrido por uma corrente elétrica, ele emite luz. O resultado é uma peça muito menor, que consome menos energia e tem uma durabilidade maior. Enquanto uma lâmpada comum tem vida útil de 1 000 horas e uma fluorescente de 10 000 horas, a LED rende entre 20 000 e 100 000 horas de uso ininterrupto.
D 5 100 000 horas 5
100000 dias . 4 166 dias 5 24
4166 anos . 11,4 anos 5 1,14 decênio 365
Resposta: alternativa C.
H12: Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas. 12. (Enem 2009/Prova anulada) Nos últimos anos, o aumento da população, aliado ao crescente consumo de água, tem gerado inúmeras preocupações, incluindo o uso desta na produção de alimentos. O gráfico mostra a quantidade de litros de água necessária para a produção de 1 kg de alguns alimentos.
litros de água
Há um problema, contudo: a lâmpada LED ainda custa mais caro, apesar de seu preço cair pela metade a cada dois anos. Essa tecnologia não está se tornando apenas mais barata. Está também mais eficiente, iluminando mais com a mesma quantidade de energia. Uma lâmpada incandescente converte em luz apenas 5% da energia elétrica que consome. As lâmpadas LED convertem até 40%. Essa diminuição no desperdício de energia traz benefícios evidentes ao meio ambiente.
18000 17000 16000 15000 14000 13000 12000 11000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 arroz
A evolução da luz. Veja, 19 dez. 2007. Disponível em: http://veja.abril.com.br/191207/p_118.shtml. Acesso em 18 out. 2008.
carne legumes banana de boi
óleo de soja
carne de porco
trigo
alimentos (1 kg)
Considerando que a lâmpada LED rende 100 mil
C om base no gráfico, para a produção de 100 kg de milho, 100 kg de trigo, 100 kg de arroz, 100 kg de carne de porco e 600 kg de carne de boi, a quantidade média necessária de água, por quilograma de alimento produzido, é aproximadamente igual a:
horas, a escala de tempo que melhor reflete a duração dessa lâmpada é o: (A) dia.
(B) ano.
(C) decênio.
(A) 415 litros por quilograma.
(D) século.
(B) 11 200 litros por quilograma.
(E) milênio.
(C) 27 000 litros por quilograma.
(D) 2 240 000 litros por quilograma.
(E) 2 700 000 litros por quilograma.
Resolução É uma questão de conversão de unidades. Duração da lâmpada Led (D):
milho
90
Matemática
Resolução Com base no gráfico e no que o problema pede, serão necessários para produzir: 100 kg de milho → 100 × 1 000 5 100 000 litros de água. 100 kg de trigo → 100 × 1 500 5 150 000 litros de água. 100 kg de arroz → 100 × 2 500 5 250 000 litros de água. 100 kg de carne de porco → 100 × 5 000 5 5 500 000 litros de água. 600 kg de carne de boi → 600 × 17 000 5 5 10 200 000 litros de água. O total para a produção dos itens acima é de 11 200 000 litros de água. A média será dada por: Média 5
11200 000 1000
Resolução Se a concentração está em 0,8 ppm é porque já existem na piscina 0,8 ? 2,5 litros de cloro, ou seja, 2 litros de cloro. Como a concentração desejada é de 2 ppm, tem de haver na piscina 2 ? 2,5 litros de cloro. Para isso é necessário adicionar 3 litros de cloro. Resposta: alternativa c.
H14: Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas. 14. (Enem 1999/Adaptada) Uma garrafa cilíndrica está fechada, contendo um líquido que ocupa quase completamente seu corpo, conforme mostra a figura. Suponha que, para fazer medições, você disponha apenas de uma régua milimetrada.
Média 5 11 200 litros de água por quilograma de alimento. Resposta: alternativa B.
H13: Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente. 13. Muitas pessoas se queixam de irritação nos olhos ou na pele ao entrarem em algumas piscinas. Isso pode acontecer pelo fato de a concentração de cloro não estar na faixa ideal. O recomendado por especialistas é que a concentração permaneça entre 1 e 3 ppm (partes por milhão). Milhões de bactérias podem se proliferar em uma piscina sem tratamento, causando doenças como inflamações na garganta, olhos e ouvidos, hepatites e micoses. F oi feita a análise da água de uma piscina olímpica cujas dimensões são 50 m de comprimento, 25 m de largura e 2 m de profundidade e que possui 2,5 milhões de litros, tendo sido identificado que a concentração de cloro estava em 0,8 ppm. Quantos litros de cloro deverão ser adicionados nessa piscina a fim de que a concentração passe a ser de 2 ppm? a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3
a) Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, o número mínimo de medições a serem realizadas é: (A) 1 (C) 3 (E) 5 (B) 2 (D) 4 b) Para calcular a capacidade total da garrafa, lembrando que você pode virá-la, o número mínimo de medições a serem realizadas é: (A) 1 (C) 3 (E) 5 (B) 2 (D) 4 Resolução a) Volume do líquido → 2 medições (raio da base e altura do líquido). Resposta: alternativa B. b) Volume da garrafa → 3 medições. As duas medições do item anterior mais a medição da distância entre o nível do líquido e o topo da garrafa, feita com a garrafa invertida (“de ponta-cabeça”). Resposta: alternativa C.
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
91
COMPETÊNCIA DE ÁREA 4: CONSTRUIR NOÇÕES DE VARIAÇÃO DE GRANDEZAS PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO COTIDIANO.
(E) 5150
M(x)
H15: Identificar a relação de dependência entre grandezas.
x
15. (Enem 2009/Prova anulada) Paulo emprestou R$ 5 000,00 a um amigo, a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Considere x o número de meses do empréstimo e M(x) o montante a ser devolvido para Paulo no final de x meses. Nessas condições, a representação gráfica correta para M(x) é:
Resolução É importante lembrar que os juros simples estão associados à função afim (função polinomial do 1o grau) e também à progressão aritmética. Como o gráfico da função afim é uma reta, e o valor devido a Paulo irá sempre aumentar, o gráfico da alternativa A é o que melhor representa o montante a ser devolvido ao final de x meses. Resposta: alternativa A.
(A) M(x)
H16: Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
5 000 x
16. (Inep – Simulado 2009) A figura a seguir mostra a porcentagem de oxigênio (O2) presente na atmosfera, ao longo de 4,5 bilhões de anos, desde a formação da Terra até a era dos dinossauros.
5 000
1 Bilhões de anos atrás
M(x)
Dinossauros
21 %
Metazoários
x
(C)
Hoje: Liberação de carbono fóssil
2
Eucariotas atuais Desenvolvimento da camada de ozônio Fototróficos aeróbicos (cianobactéria) Procariotos
3
4
20 % 10 % 1% Arqueobactéria Eucariotos
Fototróficos anaeróbicos Eubactéria (bactéria fotossintética) Origem da vida – há 3,8 bilhões de anos Evolução química
0,1 %
% O2 na atmosfera
Formações Sedimentos vermelhos de camadas de ferro
0
Origem do ambiente marinho Origem terrestre
M(x)
Cemitério de carbono
(B)
Síntese fotoquímica
5 000 x
Formação da Terra há 4,5 bilhões de anos Disponível em: . Acesso em: 1o mar. 2009.
(D) M(x)
5 000 x
Considere que a escala de tempo fornecida seja substituída por um ano de referência, no qual a evolução química é identificada como 1o de janeiro à zero hora e a era dos dinossauros como dia 31 de dezembro às 23 h 59 min e 59,99 s.
92
Matemática
Desse modo, nesse ano de referência, a porcentagem de oxigênio (O2 ) presente na atmosfera atingiu 10% no: (A) 1o bimestre. (B) 2o bimestre. (C) 2o trimestre. (D) 3o trimestre. (E) 4o trimestre. Resolução Observamos na figura que, da evolução química à era dos dinossauros, a escala de tempo dada está dividida em 4 etapas. Tomando a evolução química como o início, temos que a porcentagem de O2 presente na atmosfera se encontra na terceira etapa. Substituindo a escala de tempo fornecida por um ano de referência, temos que a porcentagem de O2 na atmosfera atingirá 10% no 3o trimestre. Resposta: alternativa D.
H17: Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação. 17. ( Enem 2009/Prova anulada) Um comerciante contratou um novo funcionário para cuidar das vendas. Combinou pagar a essa pessoa R$ 120,00 por semana, desde que as vendas se mantivessem em torno dos R$ 600,00 semanais e, como um estímulo, também propôs que na semana na qual ele vendesse R$ 1 200,00, ele receberia R$ 200,00, em vez de R$ 120,00. Ao término da primeira semana, esse novo funcionário conseguiu aumentar as vendas para R$ 990,00 e foi pedir ao seu patrão um aumento proporcional ao que conseguiu aumentar nas vendas. O patrão concordou e, após fazer algumas contas, pagou ao funcionário a quantia de: (D) R$ 180,00. (A) R$ 160,00. (E) R$ 198,00. (B) R$ 165,00. (C) R$ 172,00.
Resolução Se o funcionário aumentasse as vendas em R $ 600,00, receberia R$ 80,00 de aumento. Como o funcionário aumentou as vendas em R$ 390,00,
recebeu um aumento de 390 ?
80 5 52 reais. 600
Logo, o patrão pagou ao funcionário a quantia de: R$ 52,00 1 R$ 120,00 5 R$ 172,00.
Resposta: alternativa C.
H18: Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas. 18. C om o intuito de diminuir drasticamente o número de acidentes de trânsito e consequentemente o número de mortes, o Congresso Nacional aprovou a Lei Federal no 11 705, de 19 de junho de 2008, apelidada de Lei Seca. Segundo ela, o motorista não pode dirigir tendo ingerido qualquer quantidade de bebida alcoólica. Nos dois primeiros meses de vigência da Lei Seca, o governo economizou R$ 48,4 milhões com a redução de 13,6% dos acidentes fatais nas estradas federais, segundo dados do Ministério da Justiça. Entre 20 de junho e 20 de agosto desse ano, o número de acidentes com mortes nas estradas federais caiu de 998 para 862. 14.000
13.162 12.090
12.000 10.000 8.000 7.358
7.303
6.000 4.000 2.000
998
862
0 acidentes com morte acidentes com feridos acidentes sem vítima 2007
2008
Fonte: www.estadao.com.br/especiais/balanco-da-lei-seca,26897.htm. Acesso em 20 de novembro de 2009.
Admita que as informações acima se repitam bimestre a bimestre durante um ano. Qual será o valor economizado pelo governo nesse período e quantas pessoas deixarão de morrer em aci-
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
dentes de trânsito nas estradas federais nesse período? a) R$ 290 400 000,00 e 816 pessoas. b) R$ 290 000 400,00 e 680 pessoas. c) R$ 242 000 000,00 e 816 pessoas. d) R$ 242 000 000,00 e 680 pessoas. e) R$ 580 000 000,00 e 1 632 pessoas. Resolução • Valor economizado pelo governo: X 5 6 ? 48,4 milhões 5 R$ 290 400 000,00 • Pessoas que deixarão de morrer: Y 5 6 ? (998 2 862) 5 816 pessoas Resposta: alternativa a. Comentário A intenção do autor ao criar essa questão foi, também, alertar os jovens sobre um grande problema social: o perigo da ingestão de álcool, em especial quando associada com direção. Obser va-se também como, de acordo com a questão, as informações se repetem a cada bimestre; nesse aspecto, podemos trabalhar com a variação de grandezas. A interpretação gráfica é de suma importância na resolução dessa questão. Portanto, é possível verificar que se explora mais de uma habilidade (além da H18). Por exemplo: H15: Identificar a relação de dependência entre grandezas. H16: Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais. H20: Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
COMPETÊNCIA DE ÁREA 5: MODELAR E RESOLVER PROBLEMAS QUE ENVOLVEM VARIÁVEIS SOCIOECONÔMICAS OU TÉCNICO-CIENTÍFICAS, USANDO REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICAS. H19: Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas. 19. ( Inep – Simulado 2009) Uma pessoa de estatura mediana pretende fazer um alambrado em torno do campo de futebol de seu bairro. No dia da medida do terreno, esqueceu de levar a trena
93 para realizar a medição. Para resolver o problema, a pessoa cortou uma vara de comprimento igual a sua altura. O formato do campo é retangular e foi constatado que ele mede 53 varas de comprimento e 30 varas de largura. Uma região R tem área AR, dada em m2, de mesma medida do campo de futebol, descrito acima. A expressão algébrica que determina a medida da vara em metros é:
(A) Vara 5
AR m. 1500
(B) Vara 5
AR m. 1590
1590 m. AR A (D) Vara 5 R m. 1500 A (E) Vara 5 R m. 1590
(C) Vara 5
Resolução AR 5 53 ? 30 ⇒ AR 5 1 590 ? (vara)2 ⇒ AR m 1590 Resposta: alternativa B.
⇒ vara 5
H20: Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas. 20. ( Enem 2009/Prova anulada) Uma empresa produz jogos pedagógicos para computadores com custos fixos de R$ 1 000,00 e custos variáveis de R$ 100,00 por unidade de jogo produzida. Desse modo, o custo total para x jogos produzidos é dado por C(x) 5 1 1 0,1x (em R$ 1 000,00). A gerência da empresa determina que o preço de venda do produto seja de R$ 700,00. Com isso a receita bruta para x jogos produzidos é dada por R(x) 5 0,7x (em R$ 1 000,00). O lucro líquido, obtido pela venda de x unidades de jogos, é calculado pela diferença entre a receita bruta e os custos totais. O gráfico que modela corretamente o lucro líquido dessa empresa, quando são produzidos x jogos, é:
94
Matemática
(A)
Lucro (em R$1.000,00)
Lucro (em R$1.000,00)
(E) 4.0 3.0 2.0 1.0
1.0 1.0
1.0 2.0 3.0 4.0 Número de jogos vendidos
2.0
1.0
1.0 Número de jogos vendidos
2.0
Resolução O lucro líquido é dado pela diferença entre a receita bruta e os custos totais. Assim, o lucro líquido L(x), obtido pela venda de x unidades de jogos, é dado por:
3.0
Lucro (em R$1.000,00)
(B) 4.0
L(x) 5 R(x) 2 C(x) L(x) 5 0,7x 2 (1 1 0,1x) ⇒ L(x) 5 0,6x 2 1 (função afim crescente)
3.0 2.0 1.0 1.0
1.0 1.0
2.0 3.0 4.0 Número de jogos vendidos
2.0 3.0
(C)
6.0
Lucro (em R$1.000,00)
5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 Número de jogos vendidos
1.0
(D)
6.0
Lucro (em R$1.000,00)
5.0
1.0
O coeficiente linear dessa função afim é 21; portanto, o ponto em que o gráfico corta o eixo das ordenadas é o ponto (0, 21). A raiz dessa função é obtida da seguinte forma: 1 0,6x 2 1 5 0 ⇒ x 5 ⇒ x . 1,67 0,6 portanto, o valor de x em que o gráfico corta o eixo das abscissas. O gráfico que representa essas informações é o apresentado na alternativa B. Resposta: alternativa B.
4.0 3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 Número de jogos vendidos
H21: Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. 21. (Enem 2009) Uma resolução do Conselho Na cional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos postos. A exigência é que, a partir de 1o de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodísel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodísel, bem como possibilita a redução da importação de dísel de petróleo. Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
95
Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões de litros de biodísel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da mistura final dísel/biodísel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodísel com a adição de 3%? a) 27,75 milhões de litros b) 37,00 milhões de litros c) 231,25 milhões de litros d) 693,75 milhões de litros e) 888,00 milhões de litros Resolução Sendo x o total de litros consumidos de dísel, temos: 0,04x 5 925 ? 106 ⇒ x
925 10 6 5 231,25 ? 108 0 , 04
Com 3% de biodísel, o consumo seria de y 5 0,03x, ou seja: y 5 0,03 ? 231,25 ? 108 5 693,75 milhões de litros Resposta: alternativa d.
H22: Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação. 22. (Enem 2009/Prova anulada) Na cidade de João e Maria, haverá shows em uma boate. Pensando em todos, a boate propôs pacotes para que os fregueses escolhessem o que seria melhor para si. Pacote 1: taxa de 40 reais por show. Pacote 2: taxa de 80 reais mais 10 reais por show. Pacote 3: taxa de 60 reais para 4 shows, e 15 reais por cada show a mais. João assistirá a 7 shows e Maria, a 4. As melhores opções para João e Maria são, respectivamente, os pacotes: (A) 1 e 2. (B) 2 e 2. (C) 3 e 1. (D) 2 e 1. (E) 3 e 3. Resolução Para identificar todas as possibilidades e escolher as melhores opções para João e Maria, podemos construir uma tabela: João (7 shows)
Maria (4 shows)
Pacote 1
7 3 40 5 R$ 280,00
4 3 40 5 R$ 160,00
Pacote 2
80 1 (7 3 10) 5 R$ 150,00
80 1 (4 3 10) 5 R$ 120,00
Pacote 3
60 1 (7 2 4) 3 15 5 R$ 105,00
R$ 60,00
Portanto, o pacote 3 é o mais vantajoso para João e Maria. Resposta: alternativa E.
96
Matemática
23. ( Inep – Simulado 2009/Adaptado) O capim-elefante é uma designação genérica que reúne mais de 200 variedades de capim e se destaca porque tem produtividade de aproximadamente 40 toneladas de massa seca por hectare por ano, no mínimo, sendo, por exemplo, quatro vezes maior que a da madeira de eucalipto. Além disso, seu ciclo de produção é de seis meses, enquanto o primeiro corte da madeira de eucalipto é feito a partir do sexto ano. Considere uma região R plantada com capim-elefante que mantém produtividade constante com o passar do tempo. Para se obter a mesma quantidade, em toneladas, de massa seca de eucalipto, após o primeiro ciclo de produção dessa planta, é necessário plantar uma área S que satisfaça à relação:
H24: Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências. 24. ( Enem 2009/Prova anulada) Muitas vezes o objetivo de um remédio é aumentar a quantidade de uma ou mais substâncias já existentes no corpo do indivíduo para melhorar as defesas do organismo. Depois de alcançar o objetivo, essa quantidade deve voltar ao normal. Se uma determinada pessoa ingere um medicamento para aumentar a concentração da substância A em seu organismo, a quantidade dessa substância no organismo da pessoa, em relação ao tempo, pode ser melhor representada pelo gráfico. (A) Quantidade da substância A
H23: Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Tempo
(A) S 5 4R. (C) S 5 12R.
(B) Quantidade da substância A
(B) S 5 6R. (D) S 5 36R. (E) S 5 48R.
Tempo
(C) Quantidade da substância A
Resolução Como a produtividade do capim-elefante é 4 vezes maior do que a da madeira do eucalipto e seu ciclo de produção é 12 vezes maior em um período de 6 anos, temos que: S 5 4 ? 12R ⇒ S 5 48R Resposta: alternativa E.
Tempo
(D) Quantidade da substância A
COMPETÊNCIA DE ÁREA 6: INTERPRETAR INFORMAÇÕES DE NATUREZA CIENTÍFICA E SOCIAL OBTIDAS DA LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS, REALIZANDO PREVISÃO DE TENDÊNCIA, EXTRAPOLAÇÃO, INTERPOLAÇÃO E INTERPRETAÇÃO.
Tempo
Manual Pedagógico do Professor • Parte específica
97
(E) Quantidade da substância A
vas apresentadas, o único ano que satisfaz essa condição é o de 1963. Resposta: alternativa B.
H26: Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Tempo
Resolução De acordo com o enunciado, a substância A já deve existir no organismo do indivíduo (o que elimina a alternativa C). Depois da ingestão do medicamento a concentração da substância deve aumentar e posteriormente voltar ao normal. Fica claro que o gráfico que melhor representa essa variação é o da alternativa D. Resposta: alternativa D.
H25: Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos. 25. (Enem 1999) O número de indivíduos de certa população é representado pelo gráfico abaixo. Número de indivíduos ( 1000)
10
26. ( Inep – Simulado 2009) Um desfibrilador é um equipamento utilizado em pacientes durante parada cardiorrespiratória com o objetivo de restabelecer ou reorganizar o ritmo cardíaco. O seu funcionamento consiste em aplicar uma corrente elétrica intensa na parede torácica do paciente em um intervalo de tempo da ordem de milissegundos. O gráfico seguinte representa, de forma genérica, o comportamento da corrente aplicada no peito dos pacientes em função do tempo. I (A) 80 1,4
60 40
9 8
3,9
20
7
0,1
6 5
7,2 5,2
0
4 20
3 2
2
1
t (anos) 1940
1950
1960
1970
1980
1990
4
6
8 t (ms)
(A) 1960. (B) 1963. (C) 1967. (D) 1970. (E) 1980.
De acordo com o gráfico, a contar do instante em que se inicia o pulso elétrico, a corrente elétrica inverte o seu sentido após: (A) 0,1 ms. (B) 1,4 ms. (C) 3,9 ms. (D) 5,2 ms. (E) 7,2 ms.
Resolução Observando o gráfico, concluímos que a população em 1975 era de 9 000 habitantes. Essa mes ma quantidade pode ser observada em um ano compreendido entre 1960 e 1965. Das alternati-
Resolução A corrente inverte o sentido no instante em que a intensidade muda de sinal, portanto após 3,9 segundos do início da contagem do tempo. Resposta: alternativa C.
Em 1975, a população tinha um tamanho aproximadamente igual ao de:
98
Matemática
3. Resolução dos exercícios
4. a) (4x 9)2 (4x)2 2 (4x) 9 92 16x2 72x 81 b) (5x y) (5x y) (5x)2 y2 25x2 y2 c) (3a 8b)2 (3a)2 2 (3a)(8b) (8b)2 9a2 48ab 64b2
Capítulo 1
2
Abertura
5. a) (x 2)3 x3 3 x2 2 3 x 22 23 x3 6x2 12x 8 b) ( a 4b) 3 a 3 3 a 2 (4b) 3 a (4b) 2 (4b) 3 5 a 3 12a 2 b 48ab 2 64b 3 c) (1 10x)3 13 3 12 (10x) 3 1 (10x)2 (10x)3 5 1 30x 300x2 1000x3 d) (x y)3 x3 3x2y 3xy2 y3
1. Para x = 7, temos: 7
7 8 7
3
3
t
21 24 7
t
21
6. a) 6x2y2 9x2y 15xy2 3xy(2xy 3x 5y) b) x (x 4) 6 (x 4) (x 4)(x 6) c) 2x2 4xy 2x(x 2y) d) 7a3 14ab 7a(a2 2b)
Logo, x 21.
2. a) Todos são potências de 7: 71, ↓ 7
72, ↓ 49
73, ↓ 343
74, ↓ 2 401
75 ↓ 16 807
b) 7 72 73 74 75 7 49 343 2 401 16 807 19 607 (7 casas 72 gatos 73 ratos 74 espigas 75 hectares)
3. 1 deben 91 g
Deben
Shaty
1 1 1
12 6 3
O problema consiste em dividir 84 em 3 partes proporcionais a 12, 6 e 3. x y z 12 6 3 84 x ⇒ x 48 21 12 84 y ⇒ y 24 21 6 84 z ⇒ z 12 21 3 Logo, os valores são: ouro 48 shaty, prata 24 shaty e estanho 12 shaty. 1. a) (a 5)2 a2 2 a 5 52 a2 10a 25 b) (2x 4)2 (2x)2 + 2 (2x) 4 42 4x2 16x 16 2
2
1 1 1 1 c) 5y (5y)2 + 2 (5y) 25y2 5y 2 2 4 2 d) (x2 b)2 (x2)2 2 (x2) b b2 x4 2x2b b2 2. a) (a 3)2 a2 2 a 3 32 a2 6a 9 b) (4x 7)2 (4x)2 2 (4x) 7 72 16x2 56x 49 2
b) a2 a ab b a(a 1) b(a 1) (a 1)(a b) c) x2 xy x y x(x y) 1 (x y) (x y)(x 1) d) ab 3b 7a 21 b (a 3) 7 (a 3) (a 3)(b 7) 8. (3x 5)(x 2) (3x 5) 2 (3x 5)(x 2 3x 5) 5 (3x 5)(4x 3)
*
Ouro Prata Estanho x y z 84 Ouro Prata Estanho
7. a) 2x2 4x 3xy 6y 2x(x 2) 3y(x 2) (x 2)(2x 3y)
tim-tim por tim-tim
2
4 4 2 2 2 d) x x2 2 x x2 x 3 3 3 9 3
2
2 1 1 1 1 c) y y2 2 y y2 2 y 3 3 3 9 3 d) (x 2b)2 x2 2 x (2b) (2b)2 x2 4xb 4b2
3. a) (x 7) (x 7) x2 72 x2 49 b) (a 20) (a 20) a2 202 a2 400 c) (x 4y) (x 4y) x2 (4y)2 x2 16y2 d) (5x 8) (5x 8) (5x)2 82 25x2 64
Página 14 5. Por exemplo: No bolso de uma pessoa há X cédulas de X reais e Y cédulas de Y reais. Se ela perder X cédulas de Y reais e Y cédulas de X reais, com quanto ficará no bolso?
9. a) x2 16x 64 (x 8)2 b) 49x2 14x 1 (7x 1)2 c) 9x2 12xy 4y2 (3x 2y)2 d) a2 2ab b2 (a b)2 10. a) 9x2 16y2 (3x 4y)(3x 4y) b) 4a2b2 9x2y2 (2ab 3xy)(2ab 3xy) c) x2
1 1 1 x x 36 6 6
1 1 1 d) 4a2b2 2ab 2ab 4 2 2 11. (3x 1 4)2 2 (2x 2 1)2 5 [(3x 1 4) 1 (2x 2 1)][(3x 1 4) 2 (2x 2 1)] 5 = [3x 1 4 1 2x 2 1][3x 1 4 2 2x 1 1] 5 (5x 1 3)(x 1 5) 12. a) 3x2 15x 3x(x 5) b) 9x2 25 (3x 5)(3x 5) c) 5a2 a 10ab 2b a(5a 1) 2b(5a 1) 5 (5a 1)(a 2b) d) x2 40x 400 (x 20)2 e) y2 81 (y 9)(y 9) f) 2a2 6ab 4a 2a(a 3b 2) 13. a) a3 1000 (a 10)(a2 10a 100) b) 27x3 1 [(3x) 1][(3x)2 (3x) 1 12] 5 (3x 1)(9x2 3x 1) c) 8x3 y3 [(2x) y][(2x)2 (2x) y y2] 5 (2x y)(4x2 2xy y2) d) 27 8a3b3 [3 (2ab)][32 3(2ab) (2ab)2] 5 (3 2ab)(9 6ab 4a2b2)
99
Manual Pedagógico do do Professor • Capítulo 1 14. a) x3 64 (x 4)(x2 4x 16) b) 8a3 1 [(2a) 1][(2a)2 (2a) 1 12] 5 (2a 1)(4a2 2a 1) c) 27a 3 125y 3 [(3a) (5y) ][ (3a) 2 (3a)(5y) (5y) 2] 5 (3a 5y)(9a2 15ay 25y2) d) 64 8x3y3 [4 (2xy)][42 4(2xy) (2xy)2]
4. x 2 x 2 2 2 x 2 2 1 5 x x 5
5 (4 2xy)(16 8xy 4x2y2) 15. a) x 7x 10 (x 5)(x 2) b) x2 3x 10 (x 5)(x 2) c) x2 2x 35 (x 7)(x 5) d) x2 6x 8 (x 4)(x 2) e) b2 4b 21 (b 7)(b 3) f) a2 14a 45 (a 5)(a 9)
2
2 x
1 2 x2
x 2 1 2x 1 2 x x
x 2 2x 1 ( x 1)2 x x
Resposta: alternativa b.
2
16. a) x2 7x 12 0 ⇒ (x 3) (x 4) 0 ⇒ x 3 ou x 4 b) x2 5x 14 0 ⇒ (x 7) (x 2) 0 ⇒ x 7 ou x 2 c) x2 x 12 0 ⇒ (x 4) (x 3) 0 ⇒ x 4 ou x 3 d) y2 15y 56 0 ⇒ (y 7) (y 8) 0 ⇒ y 7 ou y 8 e) x2 14x 49 0 ⇒ (x 7) (x 7) 0 ⇒ x 7 (duas raízes iguais) f) x2 1 9x 1 18 5 0 ⇒ (x 1 3) ? (x 1 6) 5 0 ⇒ x 5 23 ou x 5 26
5.
a3 b3 a3 b3 ab ab 5
( a b ) ( a2 ab b2 ) ( a b )( a2 ab b2 ) a b a b
5 a2 ab b2 a2 ab b2 2ab 1 Como ab , temos: 2 1 2ab 2 1 2 Resposta: alternativa d. 2
2
5 3 5 3 6. a2 b2 2 2
17. a) 45x3 5xy2 5x(9x2 y2) 5x(3x y)(3x y) b) a4 b4 (a2 b2)(a2 b2) (a2 + b2)(a b)(a b) c) xy 5x 4y 20 x(y 5) 4(y 5) (y 5)(x 4) d) x2 2xy y2 5x 5y (x y)2 5(x y) (x y)(x y 5)
Atividades adicionais
5
25 10 3 3 25 10 3 3 4 4
5
28 10 3 28 10 3 28 10 3 28 10 3 4 4 4
5
20 3 5 3 4
Resposta: alternativa a.
2
1 1 1 1 1. x 5 32 ⇒ x2 2 2 ? x ? 1 2 5 9 ⇒ x2 2 2 1 2 5 9 ⇒ x x x x ⇒ x2 1
7. Sendo k 32 10 7 32 10 7 , temos:
( 32 10 7 32 10 7 ) 5 ( 32 10 7 ) 2 32 10 7 32 10 7 ( 32 10 7 ) 32 10 7 2 ( 32 10 7 )( 32 10 7 )
1 5 11 x2
2
3
1 1 1 1 3 3 2 x x 5 3 ⇒ x 2 3 ? x ? x 1 3 ? x ? 2 2 3 5 27 ⇒ x x
2
1 1 1 ⇒ x3 2 3 ? x 2 3 5 27 ⇒ x3 2 3 ? 3 2 3 5 27 ⇒ x x x
32 10 7 64 2 ( 32 )2 (10 7
1 ⇒ x3 2 3 5 36 x
Se k2 5 100, então k 5 10. Resposta: alternativa c.
3. (a 1 b)2 2 (a 2 b)2 5 y ⇒ ⇒ a2 1 2ab 1 b2 2 (a2 2 2ab 1 b2) 5 y ⇒ ⇒ a2 1 2ab 1 b2 2 a2 1 2ab 2 b2 5 y ⇒ 4ab 5 y Para a 5 25 e b 5 b0, y 5 1000 Assim: 4 ? 25 ? b0 5 1000 ⇒ 100b0 5 1000 ⇒ b0 5 10 Resposta: alternativa e.
8. Temos que 21 5 2, 22 5 4, 23 5 8, 24 5 16, 25 5 32, 26 5 64, 27 5 128 e 28 5 256. Percebe-se que as unidades repetem-se de 4 em 4. Dessa forma temos que, por exemplo, para: 29 → 9 4 → unidade 5 21 5 2, o que se verifica, pois 29 5 512 e, 1 2 t
2. (x 1 y)2 2 (x 2 y)2 5 30 ⇒ ⇒ x2 1 2xy 1 y2 2 (x2 2 2xy 1 y2) 5 30 ⇒ ⇒ x2 1 2xy 1 y2 2 x2 1 2xy 2 y2 5 30 ⇒ 4xy 5 30 (: 2) ⇒ ⇒ 2xy 5 15 Resposta: alternativa b.
5 64 1
+ 2 1 024 700 5 64 1 2 324 5 64 1 2 ? 18 5 64 1 36 5 100
1 1 1 1 1 x3 1 2 5 x2 1 2 1 x3 2 3 5 11 1 36 5 47 x3 x x x
Resposta: alternativa b.
)2
t
x2 2
2
k2
resto
quando o resto for zero, a unidade será a mesma de 24. Portanto, 240 terá como unidade o 6. Então, para n 5 240 2 1, a unidade será o 5. I) Verdadeira. II) Verdadeira. III) Falsa. IV) Falsa. Resposta: alternativa e.
100
Matemática t
x y2 x2 y4 2y 2 x ⇒ x2 2y2x y4 0 ⇒ 2 ⇒ 2 2 x y yx y2x
9.
⇒ (x y2)2 0 ⇒ x y2 0 Resposta: alternativa b. 10. (x 1)(x2 x 1) x3 13 x3 1 Resposta: alternativa c. 11. y
2. A razão solicitada será aproximadamente igual a 1,618, ou seja, será a razão áurea. Por exemplo: uma pessoa com 1,60 m de altura tem a distância do umbigo ao chão de 0,97 m. Logo, a razão entre sua altura e a dis160 , tância de seu umbigo ao chão é 1,649, que corresponde 0, 97
x3 8 ( x 2 )( x 2 2x 4 ) ⇒ y ⇒ y x 2 ⇒ 2 x 2x 4 x 2 2x 4
⇒ y 2 2 Resposta: alternativa a. 12. Vamos resolver este exercício de duas maneiras: 1· maneira: x 2 2xy y 2 xy ( x y )2 a ⇒ a2 ⇒ a2 2 4 2 2 2 2 x 2 xy y 2 xy ( x y ) b ⇒ b2 ⇒ b2 2 4 2 2
a aproximadamente ao número de ouro.
1. a) Espírito Santo S
a2 b2 c2
2. a) V b) V
x 2 2xy y 2 ( x 2 2xy y 2 ) xy ⇒ 4 4
x 2 2xy y 2 x 2 2xy y 2 xy ⇒ 4 4xy ⇒ a2 b2 c2 xy ⇒ a2 b2 c2 xy xy ⇒ 4 ⇒ a2 b2 c2 0
i) F j) F
c) y3 8 ⇒ y 2 {2} d) {1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} 5. a) x é um número natural menor do que 10. b) x é um número natural par menor do que 8. 6. a) y é um número inteiro tal que y2 9 0. b) y é um número natural tal que y2 25 0.
x y 2a x y 2b 2x 2a 2b ⇒ x a b
7. a) A {x | x é menor do que 1} 5 {0} Então, A é um conjunto unitário. b) B {x | x é maior do que 10 e menor do que 11} { } Então, B é um conjunto vazio. c) C {x | x é par maior do que 3 e menor do que 5} {4} Então, C é um conjunto unitário. d) D {x | x é primo maior do que 7 e menor do que 11} { } Então, D é um conjunto vazio. e) E {x | x 1 7 5 4} 5 { } Então, E é um conjunto vazio. f ) F {x | x , 0} 5 { } Então, F é um conjunto vazio. g) G {x | 5 ? x 5 60} 5 {12} Então, G é um conjunto unitário.
Substituindo x na 1· equação, temos: x y 2a ⇒ a b y 2a ⇒ y a b Mas, c2 xy. Então: c2 (a b)(a b) ⇒ c2 a2 b2 ⇒ a2 b2 c 0 Resposta: alternativa b.
Capítulo 2 Abertura 1. a) Depois do número 0 e 1 do início dessa sequência, os seguintes correspondem à soma dos dois termos anteriores. Assim: 0 1 0 1 1 1 1 2 1 2 3 2 3 5 3 5 8 ... 3
5
8. a) U {polígonos} b) U IN
8
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 b) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 1 2 1,5 1,666 1,600 1,625 1,615 1,619 1,617 1,618 Pode-se observar que os resultados dessas divisões aproximam-se cada vez mais do número de ouro.
t
2
g) F h) F
y 2 0 ⇒ y 2 b) y2 5y 6 0 ⇒ ( y 2 2)( y 2 3) 5 0 ⇒ y 3 0 ⇒ y 3 {2, 3}
x y a 2 ⇒ x y 2a (I) x y ⇒ x y 2b (II) b 2 c xy ⇒ xy c2 (III) Resolvendo o sistema formado pelas equações (I) e (II), obtemos:
1
e) V f) V
4. a) y2 25 0 ⇒ y2 25 ⇒ y 5 {5, 5}
2· maneira:
1
c) F d) F
3. a) {0, 2, 4, 6, 8, 10, …} b) {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30} c) {retângulos}
⇒ a2 b2 c2
0
d) 15 B e) pentágono C f) losango C
b) Bahia S c) 17 B
c xy ⇒ c2 ( xy )2 ⇒ c2 xy Logo:
c) Observa-se que os retângulos apresentados têm suas dimensões dadas por: 1 1 2 1 3 2 5 3 8 5 13 8 e em todos a razão entre o comprimento e a largura corresponde ao número de ouro. Essa é a relação entre esses retângulos e a sequência de Fibonacci.
c) U ZZ d) U IN
9. A 5 {1, 2}; B 5 {1, 2, 3, 4, 5}; C 5 {3, 4, 5}; D 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5} a) A B (V) e) C A (V) i) ∅ A (F) b) C , A (F) f ) A , D (V) j) D . A (V) c) B , D (V) g) B , C (F) k) ∅ , B (V) d) D , B (F) h) B , B (V) l) C . D (F)
101
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 2 10. A 5 {1, 3, 5, 7, 9}; B 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; C 5 {2, 3, 5, 7} a) A e B A , B
b) C e A C A
c) C e B C , B
22. a) U
d) A e C AC
11. Exemplos: X 5 {2, 3, 4, 5, 6}; X 5 {2, 4, 6, 8}; X 5 {0, 2, 4, 6}; X 5 {2, 4, 6}; X 5 IN; X 5 {2, 4, 6, ...}. 12. X , Z; Y , Z; X Y
c) U
B
A
A
C
C cA U
13. a) R , P e P , Q ⇒ R , Q b) a [ C e C , E ⇒ a [ E c) r [ P e P , B ⇒ r [ B 14. a) A 5 {0, 2, 4, 6, …} B 5 {0, 1, 2, 3, 4, …} p ⇒ q A , B
B
b) U
cC U
B
A C
b) A 5 {trapézio} B 5 {quadrilátero} p⇒q A,B
15. • Ser um número par implica ser um número escrito na forma n 5 2m, com m [ IN. • Ser um número par acarreta ser um número escrito na forma n 5 2m, com m [ IN. • Se x é um número par, então x é um número escrito na forma n 5 2m, com m [ IN. • Ser um número par é condição suficiente para ser um número escrito na forma n 5 2m, com m [ IN. • Ser um número escrito na forma n 5 2m, com m [ IN, é condição necessária para ser um número par. • Todo número par é escrito na forma n 5 2m, com m [ IN. 16. A recíproca q ⇒ p é verdadeira. Então: • ser um número par é equivalente a escrever o número na forma n 5 2m, m [ IN. • x é um número par se, e somente se, x é escrito na forma n 5 2m, m [ IN. • ser um número par é condição necessária e suficiente para ser escrito na forma n 5 2m, m [ IN. Simbolicamente, p ⇔ q. 17. a) P(A) {, {0}, {1}, {0, 1}} b) P(B) {, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}} c) P(A) tem 4 elementos. d) P(B) tem 8 elementos. 18. P(A) 64 ⇒ 2n 64 ⇒ 2n 26 ⇒ n 5 6 O conjunto A tem 6 elementos.
23. q9: número natural maior do que 2, par. p9: número natural maior do que 2, não primo. q9 ⇒ p9: se um número natural maior do que 2 é par, então ele não é primo. 24. a) p: número quadrado perfeito par. q: a raiz quadrada desse número é par. p⇒q p9: número quadrado perfeito ímpar. q9: a raiz quadrada desse número é ímpar. q9 ⇒ p9: se a raiz quadrada de um número é ímpar, então esse número é quadrado perfeito ímpar.
26. a) U
B
c) U
B
A
A C
C
A−B
B−C
b) U
20. a) c UA {x | x U e x A} {1, 3, 5, 7, 9}
d) U
B
B
b) cBU {x | x U e x B} {0, 2, 4, 6, 8}
A
A
c) cUC {x | x U e x C} {0, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9} d) cCA {x | x A e x C} {0, 6, 8}
U {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, temos: • A {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} • B {5, 6, 7, 8, 9} Logo, B A.
b) p: número par. q: número divisível por 2. p⇒q q9: número não divisível por 2. p9: número ímpar. q9 ⇒ p9: se um número não é divisível por 2, então ele é um número ímpar.
25. p: r p t e s p t q: r / s p ⇒ q: r p t e s p t ⇒ r / s p9: r p t ou s p t q9: r / s q9 ⇒ p9: r / s ⇒ r p t ou s p t ou se duas retas distintas (r e s) de um plano não são paralelas, então uma delas não é perpendicular a uma reta t desse plano.
19. P(A) 5 16 ⇒ 2n 16 ⇒ 2n 24 ⇒ n 4 Então, A tem 4 elementos. Qualquer conjunto formado por quatro números naturais, por exemplo, A {3, 20, 80, 124}.
21. Por exemplo, se A {1, 2}, B {0, 1, 2, 3, 4} e
BC
C
C
A−C
B −A
27. a) A 2 B {x | x [ A e x B} 5 {a, c, e, f}
b) B 2 C 5 {x | x [ B e x C} 5 {b, d, g, h, i} 5 B
c) B 2 A 5 {x | x [ B e x A} 5 {h, i} d) (A 2 B) (B 2 A) 5 {a, c, e, f, h, i}
102
Matemática
28. a) A < B 5 {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b) A > B 5 {4, 5, 6} c) A < C 5 {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} d) A > C 5 {0, 3, 6} e) B > C 5 {6, 9} f) (A > B) < C 5 {4, 5, 6} < {0, 3, 6, 9, 10} 5 {0, 3, 4, 5, 6, 9, 10} g) (A > C) < B 5 {0, 3, 6} < {2, 4, 5, 6, 9} 5 {0, 2, 3, 4, 5, 6, 9} h) (A > B) > C 5 {4, 5, 6} > {0, 3, 6, 9, 10} 5 {6} i) (A < B) > C 5 {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} > {0, 3, 6, 9, 10} 5 5 {0, 3, 6, 9} j) (A < C) > B 5 {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} > {2, 4, 5, 6, 9} 5 5 {4, 5, 6, 9} k) A < (B > C) 5 {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8} < {6, 9} 5 {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} l) A > (B > C) 5 {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8} > {6, 9} 5 {6}
29. a)
B
b)
A
B A
32. a) Falso, pois o conjunto A pode ter um ou mais elementos iguais aos do conjunto B. b) Falso, pois os elementos de A podem ser diferentes dos elementos de B. c) Verdadeiro, pois se A > B 5 , isto significa que os elementos de A são diferentes dos elementos de B. 33. p ou q: x é um quadrilátero que tem os quatro ângulos retos ou os quatro lados com a mesma medida. A negação de p ou q é “nem p nem q”: x é um quadrilátero que não tem os quatro ângulos retos nem os quatro lados de mesma medida. p e q: x é um quadrilátero que tem os quatro ângulos retos e os quatro lados de mesma medida. A negação de p e q é “não p ou não q”: x é um quadrilátero que não tem os quatro ângulos retos ou não tem os quatro lados de mesma medida. P
34.
G C AB
c)
B
d)
B
35. Conjunto A: sites que contêm a palavra AMOR Conjunto B: sites que contêm a palavra BELEZA Conjunto D: sites que contêm a palavra DESESPERO amor beleza desespero (A B) D
A C (B C) A
C BC
e)
B
A
f)
B
D
*
C A (B C) B
A
B
B
A C AB
A C AC
C (A B) (A C)
Comparando os itens e e f observamos que A (B C) 5 5 (A B) (A C).
30. a) (A < B) > C
b) (A > B) < (B > C)
31. • x2 2 5x + 6 5 0 D 5 (25)2 2 4 ? 1 ? 6 5 25 2 24 5 1 ( 5 ) ± 1 5±1 ⇒ x9 5 3 e x0 5 2 2 2
x5
Então, A 5 {2, 3}. • x2 2 2x 5 0 ⇒ x(x 2 2) 5 0 ⇒ x9 5 0 e x0 5 2
Então, B 5 {0, 2}. • x2 2 9 5 0 ⇒ x2 5 9 ⇒ x9 5 23 e x0 5 3 Então, C 5 {23, 3}.
a) A > B 5 {2} b) A < B 5 {0, 2, 3} c) B > C 5 d) A > C 5 {3} e) A < B < C 5 {23, 0, 2, 3}
B
A
A C BC
B
A
R
a) Q b) G c) Q d) Q e) P f) R
C (A B) C
C AB
Q
A
A
L
B
tim-tim por tim-tim
C BC
Página 33 5. a) C1: 50 ? 3 000 5 150 000 C2: 45 ? 4 000 5 180 000 C3: 40 ? 6 000 5 240 000 Total: 570 000 páginas impressas b) O catálogo C1 é composto por 4 tipos de página: um tipo é exclusivo de C1 (38 páginas), um tipo é compartilhado com C2 (6 páginas), um tipo é compartilhado com C3 (2 páginas) e um tipo é compartilhado com C2 e C3 (4 páginas) (veja o diagrama de Venn para saber essas quantidades). Assim, para as 38 páginas exclusivas, serão feitas 3 000 impressões ao custo de R$ 1,00 cada. Para as 6 páginas em comum com C2, serão feitas 7 000 cópias (3 000 + 4 000) ao custo de R$ 0,80 cada. Para as 2 em comum com C3, serão feitas 9 000 cópias (3 000 + 6 000) também ao custo de R$ 0,80. E para as 4 páginas em comum a todos os catálogos, serão feitas 13 000 cópias (3 000 + 4 000 + 6 000) ao custo de R$ 0,70. Assim, o preço unitário de um catálogo C1 é: (38 ? 1,00) + (6 ? 0,80) + (2 ? 0,80) + (4 ? 0,70) 5 R$ 47,20.
36. Consideremos: A: os que acertaram a primeira questão B: os que acertaram a segunda questão Como a classe tinha quarenta alunos, o número de alunos que não acertou nenhuma das questões é dado por: 40 15 10 10 5 Portanto, cinco alunos erraram as duas questões.
A 15
B 10
10
103
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 2 37. Consideremos: A: famílias que assistem ao programa A B: famílias que assistem ao programa B C:famílias que assistem ao programa C
B
A
315 170 75 10 15 50 311
43. Sendo x a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas, temos: U A
15 − x
10
44. a) IN IN* e IN* IN
15 15
a) Vinte e cinco alunos leram Iracema. b) Dez alunos leram só Helena. c) 10 1 10 1 15 1 15 5 50 Portanto, a classe tem 50 alunos. 39.
U B
A
4
10 1
4 15
40.
30 2 C
a) 10 1 30 1 15 1 4 1 1 1 2 1 4 5 66 b) 100 2 66 5 34 c) 8 2 4 5 4 d) n(A) 5 19 e) n(B) 5 40 f) n(A < B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A > B) 5 5 19 1 40 2 8 5 51
U 10
12 14
5 4
46. a) IN ZZ ZZ | b) (IN Q) ZZ IN ZZ ZZ | Ir) IN IN c) ( Q | Ir) IN IR IN IN d) ( Q
47. a) V, pois 0 IN e está associado ao número de elementos do conjunto vazio, que é um conjunto finito, pois tem 0 elemento. b) F, pois para cada número natural existe seu sucessor, que é maior que ele. c) V d) F, pois 0 não tem antecessor em IN.
11
5 b) 0, 384615 13
E
c)
a) 100 2 (12 1 11 1 4 1 10 1 14 1 3 1 5) 5 100 2 59 5 41
41.
A 12
B 7
6
7 1,4 5
e) 1
1 1142857 , 7
3 0,75 4
⇒ 9N 3 ⇒ N
1 3
b) N 0,1666… ⇒ 10N 1,666… 1 0,666…
C 8
d)
49. a) N 0,333… ⇒ 10N 3,333… 3 0,333… 3 N ⇒
U
16
7 0,875 8
3
b) 12 1 11 1 4 5 27
| IR e IR Q | b) Q
| Q | e Z | Z Z Q Z 45. a) ZZ Q | Ir IR e Q | Ir b) Q
48. a)
F
I
5
a) 15 1 x 1 2 1 x 1 10 1 x 1 15 2 x 1 25 2 x 1 18 2 x 1 x 5 5 95 ⇒ x 5 95 2 85 5 10% b) Como x 5 10, temos: 15 1 10 1 2 1 10 1 10 1 10 5 57 Assim, 57% dos entrevistados consomem uma e apenas uma das três marcas.
U 10
2+x
25 − x C
c) 311 54 365 Portanto, 365 famílias não assistem ao programa A nem ao programa B. I
x
10 + x
b) Trezentas e quinze famílias assistem somente ao programa A.
H
18 − x
15 + x
C
a) 1 000 (315 170 10 15 50 75 311) 5 1 000 946 54 Assim, 54 famílias não assistem a nenhum desses programas.
38.
B
5 1
8
6 15 1 ⇒ 90N 15 ⇒ N 9 9 6
c) N 0,242424… ⇒ 100N 24,2424… 24 0,2424… 5 24 N ⇒ 99N 24 ⇒ N
a) 100 2 (16 1 7 1 6 1 12 1 8 1 8) 5 100 2 57 5 43 Assim, 43% não leem nenhum desses jornais. b) 13 2 6 5 7% c) 16 1 7 1 6 1 8 1 8 1 12 5 57% 42.
d) N 0,12577… ⇒ 1 000N 125,77… 125 0,77… 5 125
U X
Y
24
33 2
1 5
8 7 Z
a) 125 2 (33 1 8 1 5 1 24 1 1 1 2 1 7) 5 125 2 80 5 45 b) 60 2 (24 1 1 1 2) 5 60 2 27 5 33 c) 45 1 5 5 50
8 33
50.
7 283 ⇒ 9 000N 1 132 ⇒ N 9 2 250
6 0,6 10
1 0,5 2
0, 52 0,5252…
0, 5 0,555…
4 0,8 5
0,25
0,25
1 6 4 , , 0, 52 0, 5 2 10 5
51. a) (2 i) (3 6i) (2 3) (1 6)i 5 5i b) (2 5i) (1 3i) (2 1) (5 3)i 1 2i
104
Matemática c) (4 2i) (5 3i) 4 5 4 3i (2i) 5 (2i) (3i) 5 20 12i 10i 6i2 20 22i 6 14 22i d) (1 i)3 (1)3 3 12 (i) 3 1 ? (i)2 (i)3 1 3i 3 (2i) 5 2 2i
52. a) i60 (i4)15 115 1 b) i101 i100 i (i4)25 i 125 i i c) i400 i150 (i4)100 i148 i2 1100 (i4)37 (1) 1 1 (1) 5112 d) i25 i16 i24 i (i4)4 (i4)6 i 14 16 i 1 i 1 53. a) x2 2x 4 0 x 5
2 ± 12 2 ± ( 1) ? 12 2 ± 12 ? i 2 2 2
2±2 3 ?i 2
e)
4 ± 4 4± 2
x
4 2i 2 i 2
x
4 2i 2 i 2
c)
( 1) ? 4 4 ± 2i 2 2
b) {x IR | x 1} (1, ∞[ c) {x IR | x 1} ]∞, 1] d) {x IR |
17 7 2 7i 15 17 7i i 13 13 49 13
1 2i (1 2i ) ? i i2?i i2 2 i i i?i 1 i2
4
2
4 3
A B
6 6
2
A B {x IR | 2 < x < 6} [2, 6] • A B A
2
B
4 3
A−B
2
6
3
A B {x IR | 2 < x 3} [2, 3)
3i 3i(1 2i ) 3i 6i2 3i 6 2 1 2i (1 2i )(1 2i ) 1 ( 2i )2 1 4i2
• B A A B
12 2i i2 (12 2i i2 ) 1 2i 1 (1 2i 1) 1 1 12 i2 2i 2i 4i 5 2i 2 2 5
−1
3
b)
2
4 3
6 4
6
B A {x IR | 4 x < 6} (4, 6] •
cA B
não se define, pois A B.
b) A (∞, 4) e B (∞, 1) • A B A B A B
1 2
2
B−A
2
1 i 1 i (1 i ) (1 i ) 2 1 i 1 i (1 i )(1 i )
−3
3
6
A B {x IR | 3 x < 4} [3, 4]
i i(1 i ) i i2 i 1 i 1 2 1 i (1 i )(1 i ) 1 1 2 1 i2
2
c)
4 3
B
1 5i (1 5i ) ? ( 2 3i ) 2 3i 10i 15i2 2 3i ( 2 3i ) ? ( 2 3i ) 22 ( 3i )2
56. a)
2
A B
3i 6 3i 6 6 3 5 i 1 4 5 5 5
55.
1 1 , x 3} [ 36 2 2
e) {x IR | 3 x 3 } [ 3 , 3 ]
• A B A
1 1 5 i 2 2 d)
6
57. a) {x IR | 4 x 2} [4, 2]
B
2
b)
0
• A B A
Assim, temos:
5
−4
f)
b) x2 4x 5 0
54. a)
7
59. a) A [2, 4] e B [3, 6]
2 2 3 ?i 1 3 i 2
2 2 3 ?i 1 3 i x 2
x
2
58. a) V b) F c) V d) V e) V
Assim, temos: x
d)
4 1 4
A B {x IR | x 4} (∞, 4)
105
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 2 • B A
• A B
B
1
A
B
4
B A
• cB não se define, pois A B. A
c
60. a)
A
4
1
4
b)
−2
6
−5
2 −5
A B {x IR | x > 2} [2, ∞)
c)
A
• A B
−5
B −2
B
A B
0
−1
−6
6
−6
6 2
(A B) C
0
A B {x IR | 1 < x 0} [1, 0)
−6
d)
• A
B
6
−6
C
A A
−2
1
−2
1
2
B C
6
A
A {x IR | x < 2 ou x > 1} (∞, 2] < [1, ∞)
−5
A (B C)
B B
−3
0
−3
0
61. • A > B
A
A B A B A B
−1
4
B
• A > B
B
−2
−2 −2
2
1
A B
1
−3
2
A > (B < C) {x IR | 5 x 2} (5, 2]
B {x IR | x 3 ou x 0} (∞, 3) < (0, ∞)
A
2
−5
• B
2
(A < B) > C {x IR | 6 x 2} [6, 2]
d) A (2, 1) e B [3, 0]
2
C
−1
A B
2
A > B > C {x IR | 5 x 2} (5, 2]
−2
A
6
C
0 −1
A B
2
−6
A B C
B
6 2
B
A
2
−6
A
• A B
−5
A < B < C {x IR | x 6} (∞, 6]
{x IR | 1 x 4} [1, 4)
c) A [2, 0) e B [1, ∞)
0
A B C
B
cB A
−2
C
1 A
0
−3
B
A
1
A B {x IR | x 2 ou x 0} (∞, 2] (0, ∞)
cB A
B
−2
A B
1
B A {x IR | x 1} (∞, 1)
•
A
0
• C 2 D
0
0
A > B {x IR | x < 2 ou x 0} (∞, 2] (0, ∞)
1
C
C
4
2
D
0
5
1 D
4 3 3
4
106
Matemática
• (A > B) 2 (C 2 D)
C
1
4
D
3
(C
(A B)
A B
D)
1
4
3
Logo, 1 [1, 3].
Desafio em dupla A
B
2
6 4
1
b)
7
A
8
B
2
6 4
1 7
C
b) A(3, 23) e B(23, 3)
d(A, B) 5
5
Logo, d(A, B) 5 6 2 8,4 unidades de comprimento.
5 3
U
c
c
(A B) 5 5 região 4 região 6
8
3 C
d(P, O) 5
U
c
(A B) C 5 5 região 2 região 5 região 8
y
A
5 4
C 3
2 1
D −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 E F −2 B
64. a) P(xP, 0)
x
2
d(A, B) 5 5
5
2
2
2
2
2
2
2
5
4 9 13 (3 0)2 (2 0) 3 2
5
9 4 13
d(A, C) 5 5
2
(0 2)2 (0 3) 2 3
2
(3 2)2 (2 3) 1 ( 1) 5
1 1 2
Perímetro 5 13 13 2 ( 2 13 2 ) unidades de comprimento 72. a) O(5, 3), r 5 1 b) O(22, 21), r 5 3
c) O(0, 0), r 5 4 d) O(0, 2), r 5 5
73. a) (x 2 1)2 1 (y 2 4)2 5 4 b) (x 1 2)2 1 (y 1 5)2 5 9
c) x2 1 y2 5 36 d) x2 1 (y 2 1)2 5 4
Lembramos que x2 2 2ax 1 a2 5 (x 2 a)2 e completando os quadrados, temos: x2 1 y2 2 4x 1 8y 1 19 5 0 ⇒ x2 2 4x 1 1 y2 1 ⇒ 1 8y 1 5 219 1 1 ⇒ x2 2 4x 1 4 1 y2 1 8y 1 16 5 219 1 4 1 16 (x 2 2)2 (y 1 4)2
65. P(2x 2 6, 7) 2x 2 6 5 0 ⇒ 2x 5 6 ⇒ x 5 3 66. (2x, y) 5 (3y 2 9, 8 2 x) 2x 3y 9 y 8 x
Logo, a equação x2 1 y2 2 4x 1 8y 1 19 5 0 representa uma circunferência de centro O(2, 24) e raio 1.
2x 5 3(8 2 x) 2 9 ⇒ 2x 5 24 2 3x 2 9 ⇒ 5x 5 15 ⇒ x 5 3 y582x582355
74. a) A B {(1, 2), (1, 3), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)} b) B A {(2, 1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 0), (3, 1), (3, 2)}
67.
c) A2 A A {(1, 1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (0, 1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}
y X
Y
2
A 5 42 5 16 x
−2
0
Z
2 −2
d) B2 B B {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} 75. A B B
W
B2 B B
68. a) E(220°, 240°) b) F(260°, 20°) c) G(40°, 260°) d) H(250°, 260°)
e) I(55°, 230°) f ) J(235°, 85°) g) K(60°, 80°)
69. a) A(3, 24) e B(21, 2) d(A, B) 5
( 1 3)2 (2 ( 4)) 2
B
3
3
2
x y
Desafio em dupla b) P9(0, yP )
2
(0 x)2 (0 y)
71. A(2, 3), B(0, 0) e C(3, 2)
5
62. A(3, 3); B(23, 2); C(2, 0); D(22, 24); E(4, 23); F(0, 22) 63.
2
( 6 )2 (6)2 36 36 72 6 2
d(B, C) 5 c
( 3 3)2 (3 ( 3))
70. P(x, y) e O(0, 0)
Por exemplo, poderíamos numerar assim: a)
5 ( 4 )2 (6)2 16 36 52 Logo, d(A, B) 5 52 7,2 unidades de comprimento.
2
2
1
1
B
A −1
0
1
2
0
1
2
3
76. Como n(A B) n(A) n(B), n(A B) 15 e n(B) 3, temos: 15 n(A) 3 ⇒ n(A) 15 : 3 ⇒ n(A) 5
107
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 2 77. C {2, 1, 3) e D {3, 1, 0, 2, 3} 78. a) A B
b) B A B
c) Domínio e conjunto imagem de F1: D(F1) {1, 2}; Im(F1) {3, 4, 5}. Domínio e conjunto imagem de F3: D(F3) {1, 2}; Im(F3) {4, 5}. A
4
85. a) R {(1, 2), (0, 4), (1, 4), (2, 2), (2, 6)}
2
3
1
2 1
–2 –1 0 –1
A
–1 0 –1
1
B 1
2
3
b)
4
–1
2
0
4
1
2
6
2
–2
A
79. E {x IR | 3 x 2}
F {x IR | 4 x 3}
B
c) D(R) {1, 0, 1, 2); Im(R) {2, 4, 6}
80. Como o n(A) e n(B) são números naturais diferentes de zero e n(A B) 12, podemos ter: • n(A) 1 e n(B) 12 • n(A) 2 e n(B) 6 • n(A) 3 e n(B) 4 (ou vice-versa) Se os elementos de A forem diferentes dos elementos de B, o número máximo de elementos de A B é 1 12 13. Resposta: alternativa e.
86. Como qualquer subconjunto de A B pode ser uma relação binária R, temos: R1 {(1, 2)}; R2 {(1, 2)}; R3 {(1, 2)}; R4 {(1, 2)}; R5 {(1, 2), (1, 2)}; R6 {(1, 2), (1, 2)}; R7 {(1, 2), (1, 2)}; R8 {(1, 2), (1, 2)}; R9 {(1, 2), (1, 2)}; R10 {(1, 2), (1, 2)}; R11 {(1, 2), (1, 2), (1, 2)}; R12 {(1, 2), (1, 2), (1, 2)}; R13 {(1, 2), (1, 2), (1, 2)}; R14 {(1, 2), (1, 2), (1, 2)}; R15 {(1, 2), (1, 2), (1, 2), (1, 2)} Portanto, o número de relações binárias não vazias de A em B é 15.
81. Resposta: alternativa a.
87. a) R {(1, 2), (3, 4), (3, 6), (5, 10), (7, 10)} b) D(R) {1, 3, 5, 7}; Im(R) {2, 4, 6, 10}
82. Resposta: alternativa b.
c)
83. Os conjuntos de pares ordenados que representam uma relação entre os elementos de A e B são F1 e F3. Respostas: alternativas a e c. 84. Como A {1,2}, B {3, 4, 5}, F1 {(1, 3), (2, 4), (2, 5)} e F3 {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5)}, temos: a) Gráfico de F1: B
4
4
3
3
2
2
1
1 A
0
1
0
2
b) Diagrama de flechas de F1: 3
1
4 2
5 A
Diagrama de flechas de F3: 3 4 2
5 A
B
7
4 3 2 1
A
0
A 1
2
1
2
3
4
5
6
7
88. a) R {(1, 3), (3, 5), (4, 6)} b) D(R) {1, 3, 4}; Im(R) {3, 5, 6}
c) R1 {(3, 1), (5, 3), (6, 4)}
89. a) R1 {(3, 4), (4, 3), (4, 4), (5, 3), (5, 4)} 3
3
4 4
5
A B D(R1) {3, 4, 5}; Im(R1) {3, 4} R11 {(4, 3), (3, 4), (4, 4), (3, 5), (4, 5)}
b) R2 {(3, 3), (4, 4)}
B
1
8
5
B
5
9
6
Gráfico de F3: 5
B
10
3
3
4 4
5 A
D(R2) {3, 4}; Im(R2) {3, 4} {(3, 3), (4, 4)} R1 2
B
108
Matemática 100. Porque 135% é mais do que 100%.
c) R3 {(3, 4)} 3
101. a) R$ 30,00 b) 70 000 habitantes
3
4 4
5 A
102. Pará: 1 200 000 km2; Amazonas: 1 600 000 km2; Minas Gerais: 600 000 km2; Mato Grosso: 900 000 km2; Amazonas, Pará, Mato Grosso e Minas Gerais.
B
D(R3) {3}; Im(R3) {4} {(4, 3)} R1 3 d) R4 {(3, 3), (4, 3), (4, 4), (5, 3), (5, 4)} 3
103. a) Resposta pessoal.
3
b) Luciana: 80 1 8 ? 5 5 80 1 40 5 120; R$ 120,00 Roberto: 80 1 4 ? 5 5 80 1 20 5 100; R$ 100,00 Conferência: 8 é o dobro de 4, mas R$ 120,00 não é o dobro de R$ 100,00.
4 4
5 A
B
D(R4) {3, 4, 5}; Im(R4) {3, 4} {(3, 3), (3, 4), (4, 4), (3, 5), (4, 5)} R1 4 90. a) 8 515 000
b) 8 510 000
c) 8 500 000
91. a) Três mil, setecentos e setenta e cinco b) 3 ? 103 1 7 ? 102 1 7 ? 10 1 5 ? 100 c) 3 800 d) 4 000
b) 1 015 1 1 542 1 842 5 3 399 Ele viajou 3 399 km. c) Resposta pessoal.
93. a) Dezena de milhar b) Cento e quarenta e nove milhões e seiscentos mil. c) A órbita da Terra em torno do Sol é elíptica. Há momentos em que a Terra está mais próxima do Sol, e há momentos em que está mais distante dele. Distância média é a média de todas essas distâncias. 94. 189 820 000 → 189 800 000 → 189,8 milhões 95. a)17 300 000 b) 600 000 c) 1 300
d) 3 500 000 000 e) 152 700 000 000 f ) 3 200 000 000 000
96. Menor: 55 500; maior: 56 499. 97. a) 50 1 70 5 120 b) 3 3 300 5 900 c) 1 000 : 200 5 5 d) 40 3 40 5 1 600
e) 95 2 40 5 55 f ) 400 : 5 5 80 g) 80 1 120 5 200 h) 500 2 150 5 350
47 de 800 5 376 98. a) 47% ou 100 São recebidas 376 t. b) • Papelão: 200 em 250 5 • Latas de alumínio: 5
200 40 80 5 5 5 80% 250 50 100
480 48 96 5 5 5 96% 500 50 100
20%
300 t
100%
1500 t
35
35
Num total de 1 500 t. d) Resposta pessoal. 99. a) 1 072
c) 145 2 80 5 65 65 : 5 5 13 Outra resolução: 80 1 5x 5 145 ⇒ 5x 5 65 ⇒ x 5 13 Um funcionário precisa vender 13 aparelhos de DVD.
1 04. a) 1 000 1 1 500 1 800 5 3 300 km (resultado aproximado)
92. Respostas pessoais.
c)
c) 100 km d) R$ 88,00
105.
3 pontos
2 pontos
1 ponto
5
—
—
4
1
1
4
—
3
3
3
—
3
2
2
3
1
4
3
—
6
2
4
1
2
3
3
2
2
5
2
1
7
2
—
9
1
6
—
1
5
2
1
4
4
1
3
6
1
2
8
1
1
10
1
—
12
—
7
1
—
6
3
—
5
5
—
4
7
—
3
9
—
2
11
—
1
13
—
—
15
27 maneiras. b) 448
c) R$ 81,00
106. a) 1134
b) 27 444
c) 2 340
109
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 2 107. a) 150 1 400 5 550 → B b) 5 200 2 4 000 5 1 200 → C c) 50 ? 20 5 1 000 → B d) 12 000 : 30 5 400 → A e) 950 1 630 5 1 580 → D
y
1 13.
A
D
3 2 1
108. a) 1,496 ? 108 km b) 3 ? 105 km/s c) 4 ? 104 km (aproximadamente)
–4 –3
d) 2,279 ? 108 km e) 7,783 ? 108 km f) 9,11 ? 10228 g
x
0 –1
–2 –1
1
2
3
4
–2 B –3
109. a) 1 GB “original” 5 230 5 (210)3 5 1 0243 5 1 073 741 824 bytes Assim, devemos descobrir quantos GB cabem em 120 000 000 000: 120 000 000 000 111,76 GB binários 1 073 741 824
114.
C B
c) 256 GB 5 256 000 000 000 bytes 5 2,56 ? 1011 bytes 8 MB 5 8 000 000 bytes 5 8 ? 106 bytes
1
A
y
Temperatura
2
21 °C
3
23 °C
4
0 °C
5
21 °C
6
3 °C
7
2 °C
8
1 °C
(4, 3)
2 P –3 –2 –1
0 –1
5 421231021131211 5 5 8 8 5 0,625 °C . 0 °C A média das temperaturas foi maior. e) MA 5
L
1
–3
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 N
–4 –5 –6
3
–7 D
1 0 –1
–3
Q
2
–2
y
1
2
3
F
4
–2 E
x
4
3
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
2
–2 –1
3
y
D M
I
2
–3
d) Dia 4.
–4 –3
1
–2
c) –3 °C; dia 3
A
(2, 0) R
1
116.
C
(1, 4)
3
b) 4 °C; dia 1‚
112.
3
É uma reflexão do ABC ou é o simétrico do ABC em relação ao eixo x.
4
4 °C
2
–2
115.
1‚
1
C –3
Os números são 135 e 246.
x
0 –1
–4 –3 –2 –1
B
1 10. 135 ? 246 5 33 210
y 3 2
A
b) 350 GB 5 350 000 000 000 bytes 5 35 ? 1010 bytes 128 MB 5 128 000 000 bytes 5 128 ? 106 bytes
111. a) Dias de janeiro
C
C(5, 23)
Curiosidade: Esse fato gerou muita confusão, pois alguns softwares apontavam a capacidade do HD de 120 GB como sendo 111,7 GB. O usuário tinha a impressão de ter sido lesado em quase 9 GB quando, na verdade, ambos estavam corretos: o HD usava a notação do SI e o software a notação binária.
5
G
H
ACD: obtusângulo e escaleno IEG: retângulo e isósceles FHB: acutângulo e escaleno
B
x
F
–8 –9
M(21, 1) → D(23, 3) N(3, 22) → E(9, 26) L(22, 23) → F(26, 29) O DEF é uma ampliação do MNL. 117. 1· coordenada: 16; 2· coordenada: 26 A(24, 12) → (24 1 6, 2 2 6) → A9(12, 24) B(21, 11) → (21 1 6, 11 2 6) → B9(15, 25) C(21, 15) → (21 1 6, 15 2 6) → C9(15, 21)
E
110
Matemática
118. 2 colheres de sopa de açúcar, café de fermento em pó, 2
1 3 de copo de leite, de colher de 4 4
1 xícaras de farinha de trigo. 2
1 6
d) 5 em 6 ou
b) 3 em 6 ou
3 2 5 6 3
e) Zero
c) 4 em 6 ou
4 2 5 6 3
f) 3 em 6 ou
119. a) 1 em 6 ou
7,21. Assim, 52 7,21. Logo, a medida do comprimento da escada é de 7,21 m.
5 6
3 1 5 6 2
C 128. 30 m 5 m
x2 1 52 5 302 ⇒ ⇒ x2 5 900 2 25 ⇒ ⇒ x2 5 875 ⇒
⇒x5
A
x
129. a) 1
2,580 1 2,585 1 2,581 1 2,563 1 2,574 1 2,578 5 2,5768 6
b) 2
d) 122. a) 19 198 2 18 968 5 230 230 : 18,4 5 12,5 km/,
b) 387,5 : 12,5 5 31 2,29 ? 31 5 R$ 70,99
b) 159 ? 1,82 milhão 5 289 milhões
c) Massa: x x 5 20 ⇒ x 5 20 ? 3,24 5 64,8 kg 1,8 ? 1,8 d) Resposta pessoal.
t
4 800
t t
1 200
100% 10%
t
34
132. a) Por exemplo: peito de peru, hambúrguer simples e hambúrguer duplo; peito de peru e X-salada. b) Hambúrguer duplo e hambúrguer simples (587 : 296 1,9)
1 de 12 000 5 3 000 votos 4
12 000 t
t
40% t
c) 738 : 194 3,8 X-salada
: 10
133. Resposta pessoal.
34
134. a) Diâmetro da Terra: comprimento – km
c) 40% 1 25% 5 65% 100% 2 65% 5 35% 35% de 12 000 5 4 200 votos
d) Setor A: 25% de 360° 5 90° Setor B: 40% de 360° 5 144° Setor C: 35% de 360° 5 126° 201 x ⇒ 217x 5 20 100 ⇒ x 92,6% 5 217 100 16 x ⇒ 217x 5 1 600 ⇒ x 7,4% Oxigênio: 5 217 100 801 629
b)
507 4 697
c) 58 2 (289,2) 5 58 1 89,2 5 142,2 °C d) Um trilhão, oitenta e três bilhões, duzentos e trinta milhões e)
347 345
c)
Modelo matemático
x?
C
6m
3 de 510 milhões 5 382 500 000 km2 4
135. 56 milhões ? 9,5 trilhões de quilômetros 5
127. Usamos a relação de Pitágoras no triângulo retângulo ABC: (BC)2 5 (AC)2 1 (AB)2 x2 5 62 1 42 x2 5 36 1 16 x2 5 52 x 5 52 m
Temperatura do planeta Terra: temperatura – grau Celsius Peso do planeta Terra: massa – tonelada Movimento de translação e de rotação da Terra: tempo – ano e dia Superfície do planeta Terra: superfície – km2 Volume do planeta Terra: volume – km3
b) 6 500 000 000 000 000 000 000 5 65 ? 1020
125. Mercúrio:
126. a)
3 3 ? 25 de 25 mm 5 5 18,75 mm 4 4
131. a) 159 ? 1,83 milhão 5 291 milhões
b) Resposta pessoal.
: 10
1 ? 2,5 5 2,25 ? 2,5 5 5,625 cm (menos) 4
Aproximadamente 1,52 AU.
Normal
b)
3 polegada ou 1,75 polegada 4
130. (2 280 ? 105) : (1 496 ? 105) 5 2 280 : 1 496 1,52
70 24,2 1,70 ? 1,70
124. a) 25% ou
875 29,58 m ou 29 m e 58 cm
c) 100 cm : 2,5 cm 5 40 polegadas
Aproximadamente R$ 2,58.
123. a) IMC 5
B
120. a) R$ 2,0649 b) 100 ? 2,0784 5 R$ 207,84 c) Subiu. 2,0784 2 2,0762 5 R$ 0,0022 d) 300 : 2,0579 R$ 145,77 121.
Para calcular 52 basta teclar 5 2 . Aparecerá no visor o número decimal 7,2111025. Arredondando para centésimos, encontramos o valor aproximado de
B
4m
A
5 56 000 000 ? 9 500 000 000 000 5 5 532 000 000 000 000 000 000 km 5 532 quintilhões de quilômetros
136. 18 ? 21,60 5 388,80 18 ? 15 5 270 270 ? 3 5 810 810,00 2 388,80 5 R$ 421,20
111
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 2 137. Estado
População
Área (em km2)
Densidade demográfica (hab./km2)
Minas Gerais
19 273 506
586 528
32,86
Goiás
5 647 035
340 087
16,60
Rio Grande do Sul
10 582 840
281 748
37,56
Pará
7 065 573
1 247 690
5,66
Atividades adicionais 1. A 17 6 C 4
5
18 B
a) Minas Gerais b) Pará
c) Rio Grande do Sul d) 16,60 hab./km2
138. a) 3 ? 90 5 270 90 : 2 5 45 270 1 45 5 315 km Resolvendo de outra maneira: 3 h 30 min 5 3,5 h 3,5 ? 90 5 315 km b)
km → 85 h→ 1
34
5 34
7 a , então x é racional, pois é da forma , com a e b inteiros 31 b 7 e b 0. E, como 5 0,23, então não é um número real maior que 31 1 . 4 Resposta: alternativa c.
2. Se x 5
340 x
3. W {(x, y) P2 | x y}, sendo P {1, 2, 5, 7, 8}. Logo: W {(1, 2), (1, 5), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 7), (2, 8), (5, 7), (5, 8), (7, 8)} Portanto, n(W) 10. Resposta: alternativa c.
340 : 85 5 4 x54h
582 km em 60 min 139. : 6 :6 t t
n 5 4 1 5 1 6 1 17 1 18 5 50 Resposta: alternativa b.
4. A
97 km em 10 min
Em aproximadamente 10 min.
B C
A Matemática e as práticas sociais
1
3
1
3 2
4
6 5
4
Analisando as afirmações, temos:
1. 95% de 104 675 502 kW 95 ? 104 675 502 5 99 441 726,9 kW 100
0-0) Falsa, B C, pois 3 B.
2. 100 W 300 000 W ⇒ x 5 3 000 lâmpadas
3-3) Verdadeira, B C [1, 2] < ]4, 5[.
1-1) Verdadeira, A < B [1, 6]. 2-2) Falsa, A > C ]2, 3] < {4}.
10 lâmpadas ⇒ x
5 A. 3
4-4) Falsa, pois U
3. G
T
5. Pelo enunciado, temos: ( 3 2 ) ( 3 2 ) 15u ⇒ 3 2 3 2 5 2 2 15 Como X 3 2 6u, temos: 15u ⇒ 2 2 15u ⇒ u
20%
15%
10%
X 3 2 6 ?
20% 15%
5%
5 3 5 2 4 2 5 3 2 ⇒ X 5 5 Resposta: alternativa c.
⇒ X
5%
6. 200
200 habitantes x ⇒ x 5 2 000 habitantes
2 2 4 2 ⇒ X 3 2 ⇒ 15 5
U
M
U
N
M
N
S
5
10% ⇒ 100%
P (M N)
P
P
5
112
Matemática
U
M
N
P
12. Se {1, 4, 5} 5 {x, y, 1}, temos duas possibilidades: • x 4 e y 5 • x 5 e y 4 Portanto, só podemos afirmar que x y 9. Resposta: alternativa d. 13.
Q
A
O complemento de Q em relação a P é: U
M
B
5%
20%
31%
7% 8%
N
12% 8%
9%
C
9 % do total corresponde a 135 entrevistados.. Então:
P
9 135 ? 100 x 135 ⇒ x ⇒ x 1 500 100 9
Resposta: alternativa e.
Resposta: alternativa b.
7. Sejam n(M) o número de elementos do conjunto M e n(N) o número de elementos do conjunto N. Então o número de subconjuntos de M é 2n(M) e o número de subconjuntos de N é 2n(N). Como o número de subconjuntos de M é igual ao dobro do número de subconjuntos de N, temos:
14. Representando no diagrama de Venn, temos:
A
nM nN 1 n N 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) ⇒ n ( M ) 1 n( N )
Como n( M N ) n( M ) n( N ) n( M N ) e n( M N ) 1, temos n( M N ) 1 n( N ) n( N ) 1 2n( N ) . Resposta: alternativa e.
a b c d e f g h 2 000 ⇒
inteiros pares B {2n 1, n ZZ} {..., 5, 3, 1, 1, 3, 5, ...} conjunto dos números inteiros ímpares. Analisando as afirmações, temos: I) Verdadeira II) Verdadeira III) Verdadeira Resposta: alternativa e.
⇒ a ( d g ) e ( b f c ) 2 000 ⇒ ⇒ a 280 140 1 220 2 000 ⇒ a 360 a d b 980 ⇒ 360 d 420 980 ⇒ d 2 00 d g 280 ⇒ 200 g 280 ⇒ g 80 a) Votaram nos três candidatos, 80 filiados. b) Votaram em apenas um candidato:
9. Seja A um conjunto com n elementos. Então o número de subcon-
5 3 5 4 0, 45; 0,5714... 10. 0, 5; 0,4285...; 9 7 11 7 3 4 Portanto, x e y . 7 7 Resposta: alternativa c.
I) h 0 II) d g 280 d b a III) a d b 980 g f IV ) b 420 e V ) b f c 1 220 c h VI) c 640 C U V II) e 140 B
Do início do texto, temos:
8. A {2n, n ZZ} {..., 4, 2, 0, 2, 4, ...} conjunto dos números
juntos de A é 2n. Aumentando 2 novos elementos, temos n 1 2 elementos e 2n 1 2 subconjuntos. Do enunciado, temos que: 2n 1 2 5 2n 1 384 ⇒ 2n ? 22 5 2n 1 384 ⇒ 4 ? 2n 5 2n 1 384 ⇒ 384 ⇒ 4 ? 2n 1 2n 5 384 ⇒ 3 ? 2n 5 384 ⇒ 2n 5 ⇒ 3 n 7 ⇒ 2 5 128 5 2 Portanto n 5 7. O conjunto A possuía 7 elementos.
U
a b c 3 60 420 640 1 420 filiados. 15. A : conjunto das reprovadas na qualidade B: coo njunto das reprovadas na quantidade n( A B ) n( A ) n( B ) n( A B ) 40 26 14 52 reprovadas Aprovadas: 100 52 48 caixas 16. casa
2
2 19
15
16
curso superior
9
27
11. I) Falsa, pois U. II) Verdadeira. III) Verdadeira. IV) Falsa, pois {0, 1, 2, 5} > {5} {5}. Logo, apenas II e III são verdadeiras. Resposta: altenativa c.
plano de saúde
Porcentagem: 0,25 25 %
30
Resposta: alternativa a. 17. Conjunto A: pessoas que rejeitam o partido A Conjunto B: pessoas que rejeitam o partido B
30 120
113
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 3 Então, temos o diagrama: U A
B 600 – x
500 – x
x
Capítulo 3 Abertura
1. a) À medida que nos afastamos das estradas, tanto nas áreas protegidas quanto nas não protegidas, o índice de desmatamento é menor, aproximando-se de 0%. b) 0,05% nas áreas protegidas e 0,15% nas áreas não protegidas, aproximadamente.
200
600 2 x 1 x 1 500 2 x 1 200 5 1 000 ⇒ x 5 300 Resposta: alternativa d. 18. • Número de alunos que acertaram as duas questões: 10 • Número de alunos que acertaram apenas a questão de Matemática: 25 2 10 5 15 • Número de alunos que acertaram apenas a questão de Física: 20 2 10 5 10 Então temos o diagrama:
U
M
2.
7
9
11
13
5 (1·)
12 (2·)
21 (3·)
32 (4·)
45 (5·)
12 (4 1)
22 (4 2)
32 (4 3)
42 (4 4)
52 (4 5)
n2 (4 n) 725 ⇒ n2 4n 725 0 ⇒ n 29 (não serve) ou n 25 Verificando: (25)2 (4 25) 625 100 725 Resposta: 25· posição.
F 15
10
1. a) Sim
10 x
15 1 10 1 10 1 x 5 40 ⇒ x 5 5 alunos Resposta: alternativa d. l excluem a alternativa b. A relação 19. As relações A Cl e B (A C) l só deixa possível as alternativas b e c. Portanto a resD (A C) posta é c. Resposta: alternativa c.
Página 21 Sim Página 26 Supor, levantar hipóteses. Página 27 É um polígono cujos ângulos internos são todos menores que 180°. Página 36 • Não, todo número natural é inteiro. • Sim, há números inteiros que não são naturais: os números inteiros negativos. Página 37 Todo número natural é inteiro. Todo número inteiro é racional. Portanto, todo número natural é racional. Página 39 • Não, pois IN ZZ 5 IN. • Sim, pois Q l Ir 5 . Página 45 {3, 5} representa o conjunto dos elementos 3 e 5. (3, 5) representa o conjunto dos números reais entre 3 e 5 e também representa o par ordenado de abscissa 3 e ordenada 5. [3, 5] representa o conjunto dos números reais de 3 até 5.
c) Sim
2. a) A área é dada em função do lado. b) A área (2). c) O lado (). d) A 2 e) A 122 144 A área é de 144 cm2. f) A 2 ⇒ 169 2 ⇒ 169 13 A medida do lado é de 13 cm. 3. a) d
Para refletir Página 20 Sim; não
b) Sim
d 2
b) c 2πr c) d
n( n 2 2 ) 2
4. a) Sim b) O custo de produção (c) é dado em função do número de peças (x). c) c 1,20x d) Para x 10, temos: c 1,20 10 12 (R$ 12,00) Para x 20, temos: c 1,20 20 24 (R$ 24,00) Para x 50, temos: c 1,20 50 60 (R$ 60,00) e) c 120 ⇒ 1,20x 120 ⇒ x
120 100 peças 120 ,
5. a) Q 5 72 1 10x b) 16 5 x 1 6 ⇒ x 5 10 Q 5 72 1 10 ? 10 5 172 (R$ 172,00) c) Q 5 212 ⇒ 72 1 10x 5 212 ⇒ 10x 5 140 ⇒ x 5 14 Foram atendidos 14 1 6 5 20 clientes. d) C 5 x 1 6
114
Matemática
6. a)
Número natural
Sucessor
0
1
1
2
2
3
3
4
n
n1
d) Quando x 5, y f(5) 7. e) Quando y 3, x 6. f) Quando f(x) 1, x 3 ou x 4. g) Quando x 6, f(x) 3. h) Quando x 3, y 1. i) Quando y 7, x 5. 13. a)
1
b) Sim c) O sucessor é dado em função do número natural.
A
d) n 1
Desafio em dupla x
22
21
0
1
2
3
4
5
y
29
24
1
6
11
16
21
26
y 5 5x 1 1
7. a, c. −2
−1
−1
0
0
1
1 2
3 4
A
1 2 3 A
É função.
0 2 3 A
11. a)
20. 3x 2 0 ⇒ 3x 2 ⇒ x
1
21. P 5 4, ⇒ , 5
)2 1 2 1 1 2 3
P 4
2
P P2 S5 [ ] 5 4 16 22. f(22) 5 2(22) 1 1 5 23 f(21) 5 2(21) 1 1 5 21 f(0) 5 2 ? 0 1 1 5 1 f(2) 5 2 ? 2 1 1 5 5 Im 5 {23, 21, 1, 5}
Sim Sim
23. a) f ( 3 ) 5 0 1
4
2
9 16 25
3 4 5
12. a) D(f) {3, 4, 5, 6} b) Im(f) {1, 3, 7} c) f(4) 1
C 2π
17. C 2πr ⇒ r
0
0 1
A
c) y 14x d) y 3x
19. f( 2 ) 5 ( 2
B
b) y x
15. a) y 20x 40 b) y 8x
−1
1 2 1 2 4 6 8
1
d) f(x) x2 4 x e) f(x) 3 2 f) f(x) x3 x2
18. f(3) 3(3) 5 4 f(0) 3(0) 5 5
B
−1
B
14. a) f(x) x2 x b) f(x) 3 c) f(x) 2x 3
B
Não é função, pois 0 A e não tem correspondente em B. 10.
12
16. a) 2c 2 20 ⇒ c 10 ⇒ c 10 b) 10 c
9. 0
9
4
b) D(g) {1, 3, 4}; CD(g) {3, 9, 12}; Im(g) {3, 9, 12} c) g(3) 9 d) g(x) 12 ⇒ x 4
e) Maior número natural de três algarismos: 999 Sucessor: 999 1 1 000
8.
3
3
B
b) É função. É função.
3 3
3 3
5
3 3 3
5 3
3 1 3 5 6 ⇒ 6x 5 3 ⇒ x 5 5 6 2 x
24. f(1) (1 2)(1 4) (1)(3) 3 f(2) (2 2)(2 4) (0)(2) 0 f(3) (3 2)(3 4) (1)(1) 1 f(4) (4 2)(4 4) (2)(0) 0 f(5) (5 2)(5 4) (3)(1) 3 Im {1, 0, 3} n(Im) 3 25. f(3)
9 1 10 3 3
115
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 3 2
1 1 11 3 1 1 10 10 1 9 f 3 5 1 1 3 3 9 3 3 3 10 10 20 3 3 3 26. a) f(5) 2(5) 10 b) f(4) 4 5 9 c) f(0) 0 5 5 d) f(31) 2(31) 62 e) Se x é par, então (x 5) é ímpar. Se x é ímpar, então 2x é par. Portanto: f(x) 14 ⇒ x é ímpar 2x 14 ⇒ x 7 27. f( 2 ) 5
2 2
1 1 f 5 3 1 3 3 π f(π) 2
b) V(200) 5 0,80(200) 5 160,00 C(200) 5 40,00 1 0,30(200) 5 40,00 1 60,00 5 100,00 O comerciante terá lucro de R$ 60,00. 34. a) x 6 0 ⇒ x 6 D(f) IR {6} b) x2 9 0 ⇒ x2 9 ⇒ x ±3 D(f) IR {3, 3} c) x 0 D(f) IR* d) x2 4x 5 0 16 4(1)(5) 36 24 ± 6 ⇒ x 1 e x 5 x 2 D(f) IR {5, 1} e) D(f) IR f) x 7 0 ⇒ x 7 D(f) {x IR | x > 7} g) D(f) IR
2 π 2 121π 1 1 1 2 2 2 28. f(m) 5 am 1 b; f(n) 5 an 1 b am b ( an b ) am b an b am an m n m n m n
33. Sejam V(x) 5 0,80x a função que define a venda do produto e C(x) 5 40,00 1 0,30x a função que define o custo total do produto: a) 0,80x 5 40,00 1 0,30x ⇒ 0,50x 5 40,00 ⇒ x 5 80
am( m n ) a m n
29. f(0) 3(0) 2m 2m g(1) 2(1) 1 2 1 1 2m 1 3 ⇒ 2m 2 ⇒ m 1
x 2 0 x 2 ⇒ h) x 3 0 x 3 D(f) {x IR | x 2 e x 3} 35. a) Schumacher e D. Hill.
b) Clark e Lauda.
36. a) Em 2008. Em 1992. b) Em 1997, 1998 e em 2000 a 2009. c) Queda de aproximadamente 0,8% [ 37. a)
30. f(21) 1 ⇒ 1 2 b c 1 ⇒ 2b c 0 ⇒ b 5 c f(1) 21 ⇒ 1 1 b c 21 ⇒ b c 22 Resolvendo o sistema, temos:
24 805 2 24 615 0,08 0,8%] 24 615 x
y f(x) x 2
0
2
2
0
y
x 0
b c b c 2 ⇒ 2b 2 ⇒ b 1 e c 1
2
–2
bc (1)(1) 1 31. f(1) 1 ⇒ 1 m n 1 ⇒ m n 2 f(1) 7 ⇒ 1 m n 7 ⇒ m n 6 Resolvendo o sistema, temos:
b)
x
y f(x) x
0
0
1
1
y 1 x
m n 2 m n 6 2nn 4 ⇒ n 2 m n 2 ⇒ m 2 2 ⇒ m 4 f(x) x2 4x 2 ⇒ f(3) 9 12 2 1 32.
x (h)
d (km)
1 2 3 4 5
50 1 6 56 50 2 6 106 50 3 6 156 50 4 6 206 50 5 6 256
0
c)
x
y 2x
0
0
1
2
1
y
2
x 0
1
116
Matemática d)
x
y 2x
0
0
1
2
y
40. a) É função (não é par nem ímpar).
x
0
b) É função ímpar.
1
41. a) f(x) –2
y f(x) x2
0
0
1
1
1
1
2
4
2
4
4
*
1 –2
f)
x
0
–1
1
2
Página 93 60 106 5. a) 5 20 000 hectares 3 000
60 106 5 15 000 hectares 4 000
60 106 5 12 000 hectares 5 000
b) A área plantada diminui. x
y f(x) 2x
0
1
1
2
2
4
c) A produção aumenta.
y 4
42. a) Crescente
1 x 0
x
y
1 x
23
1 2 3
22
1 2 2
21
21
1
x
1 2
2
1 1 2 1
1
1
2
2
1 2
3
1 3
2
38. a) D 5 {x IR | 23 < x < 1} 5 [23, 1] Im 5 {y IR | 22 < y < 2} 5 [22, 2] b) D 5 {x IR | 22 , x , 3} 5 (22, 3) Im 5 {y IR | 1 < y < 3} 5 [1, 3] c) D 5 {x IR | 22 < x , 1} 5 [22, 1) 1 1 , y < 4} 5 [ , 46 2 2
d) D 5 {x IR | 0 < x < 4} 5 [0, 4] Im 5 {y IR | 0 < y < 2} 5 [0, 2] e) D 5 {x IR | 0 < x < 2p} 5 [0, 2p] Im 5 {y IR | 21 < y < 1} 5 [21,1] f) D 5 {x IR | 22 , x , 3} 5 (22, 3) Im 5 {y IR | 0 , y , 3} 5 (0, 3)
39. a) É função. b) É função.
c) É função. d) Não é função.
c) Crescente
44. a) D(f) [1, 4]; Im(f) [1, 3]
2
3
Im 5 {y IR |
2
y
1 1 2 1 0
b) Decrescente
43. a) Crescente: {x IR | x 2}; decrescente: {x IR | x 2} b) Crescente: {x IR | x 1}; decrescente: {x IR | x 1} c) Crescente: {x IR | π x 0}; decrescente: {x IR | 0 x π}
2
g)
1 1 ⇒ f(x) f(x) ⇒ é função ímpar x x
d) f(x) (x)2 x2 ⇒ f(x) f(x) ⇒ é função par
y
tim-tim por tim-tim
x
x 1 ⇒ não é função par nem ímpar 2
b) f(x) (x)4 x4 ⇒ f(x) f(x) ⇒ é função par c) f(x)
e)
c) Não é função. d) É função par.
2
b) Corta o eixo x em um ponto; corta o eixo y em um ponto. c) f(1, 7) f(2, 9) 3 d) Valor máximo de f(x) é 3; valor mínimo de f(x) é 1. e) O ponto (1, 1) f) Sim g) f(x) 3 para 1 x 3 45. a) Em novembro de 2008; em agosto de 2008. b) De outubro de 2008 para novembro de 2008; 55,22%. c) 12,45%. 46. a) O pai ganhou a corrida, pois ele chegou aos 100 m em 14 s e o filho, em 17 s; a diferença de tempo foi de 3 s. b) Cerca de 70 m. c) Cerca de 9,5 s. 47. a) Não é injetiva, pois f(2) f(3) 5. b) É injetiva, pois f(3), f(6) e f(9) são distintos dois a dois. c) É injetiva, pois f(2), f(6) e f(9) são distintos dois a dois. d) É injetiva. e) Não é injetiva, pois f(x) x4 e f(x) (x)4 x4. f) Não é injetiva, pois f(3) f(4) f(7) 4.
48. a) Não é injetiva, pois linhas horizontais interceptam o gráfico mais de uma vez. b) Não é injetiva, pois linhas horizontais interceptam o gráfico mais de uma vez. c) É injetiva, pois linhas horizontais interceptam o gráfico uma única vez. d) É injetiva, pois linhas horizontais interceptam o gráfico uma única vez.
117
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 3 49. a) É sobrejetiva. b) É sobrejetiva. c) Não é sobrejetiva, pois existem elementos de IR que não são imagens de nenhum elemento do domínio. Por exemplo, 12 IR e não é imagem de nenhum elemento do domínio. d) Não é sobrejetiva, pois zero não é imagem de nenhum elemento do domínio. e) É sobrejetiva.
d)
1 2 3 4
f(x) = x3 – 1
A
e) A função f: IN → M definida por f(x) 5 3x para qualquer x IN.
0 1 2 3 .. .
52. a) É sobrejetiva; não é injetiva ⇒ não é bijetiva. b) É injetiva; não é sobrejetiva ⇒ não é bijetiva. c) Não é sobrejetiva; não é injetiva ⇒ não é bijetiva. d) É sobrejetiva; é injetiva ⇒ é bijetiva. e) Não é sobrejetiva; não é injetiva ⇒ não é bijetiva. f) É injetiva; não é sobrejetiva ⇒ não é bijetiva. g) É injetiva; é sobrejetiva ⇒ é bijetiva. 53. a) É sobrejetiva; não é injetiva ⇒ não é bijetiva. b) É injetiva, não é sobrejetiva ⇒ não é bijetiva. c) É injetiva, é sobrejetiva ⇒ é bijetiva. d) É injetiva; não é sobrejetiva ⇒ não é bijetiva. e) É injetiva; é sobrejetiva ⇒ é bijetiva. 54. a) A função f: IN → I definida por f(x) 2x 1 para qualquer x IN é bijetiva.
n
1 3 5 7 .. . I
Então, entre IN e I existe uma correspondência biunívoca e, portanto, IN e I têm o mesmo cardinal. b)
1 3 5 7
1 3 5 7 9
f(x) = x
A
B
f(x) x não é bijetiva e não é possível definir uma função f: A → B que seja bijetiva. Portanto, não existe uma correspondência biunívoca entre os conjuntos A e B, que, portanto, não têm o mesmo número cardinal. c)
1
1 4 9
2 3 A
f(x) = x2
0 3 6 9 .. .
f(x) = 3x
n
51. a) É sobrejetiva, pois Im(f) [1, 5]. b) Não é sobrejetiva, pois Im(f) [0, 19] [0, ∞[. c) Não é sobrejetiva, pois Im(f) ]0, 10] IR. d) É sobrejetiva, pois Im(f) [0, 10].
f(x) = 2x + 1
B
f: A → B é bijetiva e, portanto, A e B têm o mesmo número cardinal.
50. a) É sobrejetiva, pois Im(f) B. b) É sobrejetiva, pois Im(f) B. c) Não é sobrejetiva, pois Im(f) B.
0 1 2 3 .. .
0 7 26 63
B
f: A → B é bijetiva e, portanto, A e B têm o mesmo número cardinal.
M
Então, entre IN e M existe uma correspondência biunívoca e, portanto, IN e M têm o mesmo cardinal. 55. a) g(1) 2(1) 1 3 f(g(1)) f(3) 32 2(3) 1 9 6 1 4 b) f(2) 22 4 1 1 g(f(2)) g(1) 2 1 3 c) f(1) 1 2 1 0 f(f(1)) f(0) 0 2(0) 1 1 56. f(g(x)) 3g(x) 2 1 ⇒ x 3g(x) 2 1 ⇒ 3g(x) x 1 1 ⇒ ⇒ g(x)
x 11 3
57. f(4) 5 5 2 4 5 1 g(f(4)) 5 g(1) 5 12 2 1 5 0 58. f(g(x)) 5 g(x) 2 2 5 x2 2 1 ⇒ g(x) 5 x2 1 1 2
g( 3 2 ) ( 3 2 ) 1 1 5 18 1 1 5 19 59. g(1) 5 0 f( g(1)) 5 f(0) 5 0 f(21) é um número negativo e, pelo gráfico de g, temos que g(número negativo) é igual a 2. Portanto, g( f(21)) 5 2. Assim: f( g(1)) 1 g( f(21)) 5 0 1 2 5 2 Resposta: alternativa d. 60. a) y x 6; x y 6 ⇒ y x 6 ⇒ y x 6 ⇒ ⇒ f1(x) x 6 12 x ⇒ b) y 1 2x; x 1 2y ⇒ 2y 1 x ⇒ y 2 12 x ⇒ f1(x) 2 c) y 3x 4; x 3y 4 ⇒ 3y x 4 ⇒ 3y x 4 ⇒ ⇒ y
x24 x24 ⇒ f1(x) 3 3
d) y 3x; x 3y ⇒ y 61. y
x x ⇒ f1(x) 3 3
x y ; x ⇒ x(y 2) y ⇒ xy 2x y ⇒ x 22 y 22
⇒ xy y 2x ⇒ y(x 1) 2x ⇒ y ⇒ f1(x)
2x x 21
2x ⇒ x 21
118
Matemática
62. a) y 3x 4; x 3y 4 ⇒ x 4 3y ⇒ y x14 3
69. a) PA; r 5 25.
63. a) y 2x 5 ⇒ x 2y 5 ⇒ x 5 2y ⇒ y
x 25 ⇒ 2
x 25 2
x 25 x 25 b) (f o g)(x) f(g(x)) f 2 5 2 2 5x 5 1 5 x (g o f)(x) g(f(x)) g(2x 5) 64. f(g(x)) f(3x 1)
2x 5 5 2x x 2 2
3x 1 1 3x x 3 3
x 21 x 2 1 g(f(x)) g 3 1 x 1 1 x 3 3 Então, g(x) 3x 1 é inversa de f(x). 65. Se f passa pelo ponto (2, 5), então f
1
passa pelo ponto (5, 2). Logo,
y 2. 66. a) f(x) 6x 2 ⇒ y 6x 2; x 6y 2 ⇒ 6y 2 x ⇒ ⇒ y b)
22x 22x ⇒ f1(x) 6 6 f
x
f1
y f(x)
0
2
1
4
2
10
f 1 1 2 3 −1 0
−4
x
y f(x)
1
1 2
0
1 3
2
0
d) PG; q 5
70. 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51 Logo, o 10‚ termo é 51. 71. 4, 12, 36, 108, 324, 972 Logo, o 6‚ termo é 972.
72. Resposta pessoal. 73. Resposta pessoal.
f(x) 5 n, se n , x < n 1 1, sendo n um número inteiro. Por exemplo: f(0) 5 21, pois 21 , 0 < 0. 1 1 f [ ] 5 0, pois 0 , < 1. 2 2 f(1) 5 0, pois 0 , 1 < 1. f(1,5) 5 1, pois 1 , 1,5 < 2. f(22) 5 23, pois 23 , 22 < 22. x
n
0
21
1 2
0
1
0
1,5
1
1,9
1
2
1
2,1
2
22
23
y 3 2 1 x 3
67. (0, 1, 4, 9, 16, ...)
2
1 0
1
2
3
4
1 2 3
D(f) 5 IR; Im(f) 5 ZZ.
A Matemática e as práticas sociais
y
1. a) IMC 5
51, 2 5 20 (16 , )2
b) Normal 2
c) IMC 5
x 1 2
f –1
2.
P 108, 3 ⇒ h2 5 3,61 ⇒ h 5 1,9 m ⇒ 30 5 h2 h2
P 5 24 ⇒ P 5 69,36 kg (17 , )2 A mulher deverá perder 90 2 69,36 5 20,64 kg.
3. P 5 (190 2 100) 2 [ −10
1 . 2
Desafio em dupla
3x 2 1 2 1 3x 2 2 3 3
Então, g(x) 3x 1 não é inversa de f(x). f(g(x)) f(3x 1)
c) Não
b) PG; q 5 2.
2 4 6 2 b) f1(2) 3 3
⇒ g(x)
68. f(x) 5 2x 2 1
190 2 150 ] ⇒ P 5 80 kg 4
4. Peso atual de Raquel: 62 kg Peso ideal de Raquel: 60 kg 60 5 (a 2 100) 2 [
a 2 150 ] ⇒ a 5 1,7 m 2
t
⇒ f1(x)
x14 ⇒ 3
119
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 3 t
f(4) f(3 1) 4 f(3) 4 43 44 f(5) f(4 1) 4 f(4) 4 44 45 Podemos verificar que f(n) 4n, então f(10) 410. Resposta: alternativa d.
3 , 3 642 ⇒ S 5 1,92 m2 5. S 5 0,12 m2 ⇒ S 5 012 Resposta: alternativa c.
6. Durante 1 ano os custos são: Cia. dos Corpos: 60 1 12 ? 50 5 R$ 660,00 Energia e Saúde: 70 1 12 ? 40 5 R$ 550,00 Oficina do Corpo: 12 ? 60 5 R$ 720,00 O menor custo é o da academia Energia e Saúde.
5. Como g é a inversa de f, analisando o diagrama, temos: f 3 = g(f(3)) g(2)
7. T 5 67 5 5 c 1 7 ⇒ c 5 48 cm x 5 c 1 7 ⇒ 67 5 4 4
g
Portanto: f(g(2)) g(f(3)) 2 3 5 Podemos resolver diretamente, pois como g é a inversa de f, então f(g(x)) x e g(f(x)) x. Logo: f(g(2)) g(f(3)) 2 3 5 Resposta: alternativa a.
Atividades adicionais 1. • •
Pelo gráfico temos: f(1) 3 ⇒ a1 3 ⇒ a 3 Logo, f(x) 3x. Se g é a inversa de f, então g(k) 2 ⇔ f(2) k. Como f(2) 32 9, então k 9. Resposta: alternativa d.
2. f(3a) 1 f(2b) 1 f(c) 3a 5,7 ⇒ 5 5,7 6 2b 5,2 ⇒ 5 5,2 6 c 1,2 ⇒ 2 1,2 1
6. A maior variação anual na taxa de desemprego na Grande São Paulo até 2002 ocorreu de abril de 1997 a abril de 1998 e foi de 2,9%. Resposta: alternativa c. 7. Traçando uma reta paralela ao eixo x, por y 2, interceptamos a curva em 4 pontos. Logo, o número de soluções da equação f(x) 2 é 4.
y
Portanto: f(3a) 1 f(2b) 1 f(c) 5 5 1 5 1 (22) 5 8 Resposta: alternativa d. x x x 1 x 1 2 3. tg 5 5 ⇒ sen 5 cos x 2 2 2 2 2 cos 2 Mas:
2 1 x 0
sen
sen2 ⇒
1 x 2 x x 2 x 5 1 ⇒ [ cos ] 1 cos2 5 1 ⇒ 1 cos 2 2 2 2 2
x x x 1 5 x 4 1 cos2 5 1 ⇒ 5 cos2 cos2 5 1 ⇒ cos2 2 2 2 4 4 2 5
Logo:
x x x 2 x 2 sen2 5 cos2 2 [1 2 cos ] ⇒ 2 2 2 2 x 4 3 ⇒ cos x 5 2 cos2 2152? 2 1 ⇒ cos x 5 2 5 5 cos x 5 cos2
f(3) 2 = f(g(2))
Resposta: alternativa d. 8. 1) Errado, pois, após 16 dias, a massa é de 0,25 g (ponto P1). 2) Correto, pois, após 24 dias, a massa é menor do que 0,13 g (ponto P2). 3) Correto. M Como M2 1 , então: 2
M1 M 5 1 2 M1 M2 2 MO ser constante, M(t) deveria ser constante. M( t ) Obviamente isso não acontece. M(t) é decrescente.
4) Errado, pois para
Como sen2 x 5 1 2 cos2 x, temos: 9 16 4 ⇒ sen2 x 5 ⇒ sen x 5 ± 25 25 5 x x Como tg . 0, o arco está no 1‚ ou 3‚ quadrante. 2 2
9. f(2x) 5 (21)2f(x) 5 f(x)
Dessa forma, o arco x está no 1‚ ou 2‚ quadrante. Como cos x . 0, então x está no 1‚ quadrante. Portanto, 4 sen x 5 . 5 Logo: 4 3 3 sen x 2 cos x 5 2 5 5 5 5 Resposta: alternativa d.
5 A ? A ? B 5 A2B Resposta: alternativa c.
sen2 x 5 1 2
4. Para a função f: IR → IR tal que f(1) 4 e f(x 1) 4 f(x), temos: f(2) f(1 1) 4 f(1) 4 4 42 f(3) f(2 1) 4 f(2) 4 42 43
Resposta: alternativa e.
10. f(2 1 e) 5 f(1 1 1 1 e) 5 f(1) ? f(1 1 e) 5 f(1) ? f(1) ? f(e) 5
11. A função f(x) x3 (a 3)x2 5x b passa pelos pontos (1, 0) e (2, 0). Logo: 3 2 f( 1) 0 ( 1) ( a 3 ) ( 1) 5 ( 1) b 0 ⇒ 3 ⇒ 2 ( 2 ) ( a 3 ) 2 5 2 b 0 f( 2 ) 0
1 a 3 5 b 0 a b 7 ⇒ ⇒ 8 4a 12 10 b 0 4a b 10 Resolvendo o sistema, temos a 1 e b 6.
120
Matemática Então: f(0) 03 (a 3) 02 5 0 b ⇒ f(0) b ⇒ f(0) 6 Resposta: alternativa b.
12. f(2x 9) x ⇒ f1(x) 2x 9 ⇒ f1(c) 2c 9 Por outro lado, se c 2x 9, então x
c9 . Logo: 2
c9 f(2x 9) x ⇒ f(c) 2
V0 T 273
3 5
g(21) 5 26(21) 1 Logo:
3 3 33 5 6 1 5 5 5 5
1 5 7 5 33 7 33 f [ ] 1 g(21) 5 5 10 2 4 4 4 51 4 40
Para refletir Página 77 Porque para x 0 não existe Página 82
⇒ 273V 273V0 V0T ⇒ 273V 273V0
5 V0T ⇒ 273(V V0) V0T ⇒ T
273( V V0 ) V0
Resposta: alternativa e. 14. •
g(x) 5 26x 1
1
Portanto: c9 ⇒ 4c 18 c 9 ⇒ f(c) f1(c) ⇒ 2c 9 2 ⇒ 3c 27 ⇒ c 9 Resposta: alternativa a. 13. V V0
1 1 2 1 1 1 7 f [ ] 5 [ ] 2 2 2 2 2 2 4 2 4
Seja a, b D, então se f é injetiva, temos: f(a) f(b) ⇒ a b Assim: a 1 b 1 f(a) f(b) ⇒ ⇒ a 1 b 1
⇒ (a 1)(b 1) (b 1)(a 1) ⇒ ⇒ ab a b 1 ab b a 1 ⇒ a b
1 . x
Em 2005: 59 374 em 154 514 Em 2006: 70 797 em 170 474
59 374 0,38 38% 154 514
70 797 0,415 42% 170 474
Página 84 Porque, no primeiro exemplo, D(f) 5 {0, 1, 2, 3, 4} e, no segundo exemplo, D(f) 5 IR. Página 89 Porque, para ser par, f(3) f(3), o que não acontece. Para ser ímpar, f(3) f(3), o que também não acontece. Então, achamos um exemplo que já garante que a função não é par nem ímpar (ele é chamado contraexemplo).
• Im(f) IR {1} D. Logo, Im(f) contradomínio. Então, f é sobrejetiva. Concluímos, portanto, que f é injetiva e sobrejetiva. Logo, a afirmação I é verdadeira e a afirmação II é falsa.
Página 92 Para x 0.
1 1 x 1 x 1 x 1 1 x • f(x) f x 1 1 x x x 1 x 1 1 x x
Página 103 O domínio de f(IR {2}) é a imagem de f1. A imagem de f1(IR {1}) é o domínio de f.
5
x 1 1 x x 1 x 1 0 x 1 1 x x 1 x 1
Página 99 Sim
Capítulo 4
A afirmação III é verdadeira. • Para x 1 não podemos calcular f(x) f(x), pois f(1) f((1)) f(1) f(1) e 1 D. Logo, a alternativa IV é falsa. Resposta: alternativa a.
Abertura
15. f(g(x)) f(x 1) (x 1)2 2 (x 1) x2 2x 1 2x 2 ⇒ ⇒ f(g(x)) x2 4x 3
2. Quando se fala em “perder peso” o que se quer dizer é perder massa, já que a aceleração da gravidade é constante no lugar em que estivermos. Garfield quis ser esperto ao falar que iria para um planeta onde a gravidade fosse menor, pois realmente seu peso será menor lá, mas ele sabia que na verdade ele não iria “perder peso”, pois sua massa continuaria a mesma.
É um gráfico de uma função do 2‚ grau, com raízes 1 e 3 e concavidade voltada para cima. O gráfico que melhor representa f(g(x)) é o da alternativa a. Resposta: alternativa a.
16. Novembro: n 5 20 e t 5 8 Q 5 20 ? 20 1 30 ? 8 5 400 1 240 5 640 pares produzidos Dezembro: n 5 25 e t 5 10 Q 5 20 ? 25 1 30 ? 10 5 500 1 300 5 800 pares produzidos Aumento: 800 2 640 5 160 pares produzidos Resposta: alternativa e. 17. f(x) 5 x2 2 x 1 2
1. PTerra 10m; PLua 1,6m É na Terra que a força peso tem mais intensidade, pois a aceleração da gravidade é maior.
1. a) f(1) 3 1 4 3 4 1 1 1 b) f 3 4 1 4 3 3 3 c) f(0) 3 0 4 4 (valor inicial) d) f(k 1) 3(k 1) 4 3k 3 4 3k 1 2. g(x), pois f(0) 3 0 3 2 . 4 3
2 2 3 3 e g(0) 2 0 e 3 3 4 4
121
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 4 3. a) f(x h) 5(x h) 3 5x 5h 3 b) f(x h) (x h) 2 x h 2 c) f(x h)
1 1 1 1 1 (x h) x h 3 4 3 3 4
4. a) f(x) 3x 3 4x 4 7x 1 Função afim; a 7 e b 1. b) f(x) x2 4x 4 x2 4 2x2 4x Não é função afim. c) f(x) x 2 6x 9 x 2 5x x 9 Função afim; a 1 e b 9. d) f(x) x 3 5x 5 4x 2 Função afim; a 4 e b 2. 5. Afim: todas; linear: d, e; identidade: d; constante: c; translação: f. 6. a) f(1) 5 ⇒ a 1 b 5 ⇒ a b 5 f(3) 7 ⇒ a(3) b 7 ⇒ 3a b 7 Então:
a b 5 a b 5 ⇒ 3a b 7 3a b 7 4a 12 ⇒ a 3
ab5⇒b532 Logo, f(x) 3x 2. b) f(1) 7 ⇒ a b 7 f(2) 1 ⇒ 2a b 1 Então: a b 7 a b 7 ⇒ 2a b 1 2a b 1 3a 6 ⇒ a 2 a b 7 ⇒ b 7 2 5 Logo, f(x) 2x 5. 7. a) f(x) 4x 5 f(x h) 4(x h) 5 4x 1 4h 5 f(x h) f(x) 4x 1 4h 5 4x 5 4h Logo, a
f( x h ) f( x ) 4h 4 h h
b) f(x) 23x 7 f(x h) 23(x h) 7 23x 2 3h 7 f(x h) f(x) 3x 2 3x 1 7 3x 7 23h Logo: 3h f( x h ) f( x ) a 3 h h c) f(x) 3 f(x h) 3 f(x h) 2f(x) 3 2 3 5 0 Logo: 0 f( x h ) f( x ) a 0 h h 1 x2 3 1 1 1 f(x 1 h) 5 (x h) 1 2 5 x h 1 2 3 3 3
d) f(x)
f(x 1 h) 2 f(x) 5
1 1 1 1 x h 1 2 2 x 2 2 5 h 3 3 3 3
Logo: 1 h 1 f( x h ) f( x ) 3 a 3 h h 8. a) f(x) 6x 1 f(x h) f(x) 6(x h) 1 (6x 1) 5 6x 6h 1 6 x 1 6h (depende somente de h) Sim b) g(x) x2 5x g(x h) g(x) (x h)2 5(x h) (x2 5x) 5 x 2 2xh h2 5x 5h x 2 5x 2xh h2 5h (depende de h e de x) Não 9. a) f(x) 8 0,50x b) f(100) 8 0,50 100 8 50 58 O custo de 100 peças é de R$ 58,00. c) f(x h) 8 0,50(x h) 8 0,50x 0,50h f(x h) f(x) 8 0, 50 x + 0,50h 8 0, 50 x 0,50h Logo: f( x h ) f( x ) 0, 50 h a 0,50 h h Vamos encontrar a taxa de crescimento da função de outra maneira: Como 0,50 é o coeficiente de x, então a 0,50. 10. a) • largura 5 1 cm perímetro 5 2 ? 5 1 2 ? 1 5 10 1 2 5 12 cm • largura 5 1,5 cm perímetro 5 2 ? 5 1 2 ? 1,5 5 10 1 3 5 13 cm • largura 5 2 cm perímetro 5 2 ? 5 1 2 ? 2 5 10 1 4 5 14 cm • largura 5 3 cm perímetro 5 2 ? 5 1 2 ? 3 5 10 1 6 5 16 cm • largura 5 4 cm perímetro 5 2 ? 5 1 2 ? 4 5 10 1 8 5 18 cm b) Largura (cm) Perímetro (cm) 1 1,5 2 3 4
12 13 14 16 18
c) f(x) 5 2 ? 5 1 2x 5 10 1 2x 11. a) f1(x) 5 50 1 0,37x, para x < 100 f2(x) 5 63 1 0,37x, para 100 , x < 300 f3(x) 5 75 1 0,37x, para 300 , x < 500 b) f1 → a 5 0,37 f2 → a 5 0,37 f3 → a 5 0,37 12. a) Plano A: f(x) 50x 100 Plano B: g(x) 40x 180 b) Para que o plano A seja mais econômico, devemos ter: f(x) g(x) ⇒ 50x 100 40x 180 ⇒ 10x 80 ⇒ x 8 Para que o plano B seja mais econômico, devemos ter: f(x) g(x) ⇒ 50x 100 40x 180 ⇒ 10x 80 ⇒ x 8 Para que os dois planos sejam equivalentes, devemos ter: f(x) g(x) ⇒ 50x 100 40x 180 ⇒ 10x 80 ⇒ x 8 Assim, o plano A é mais econômico para x 8; o B, para x 8; e eles são equivalentes para x 8.
122
Matemática
13. Vamos considerar P a nova pontuação e p a pontuação antiga: a) P ap b (variação afim) 100a b 100 p 100 e P 100 ⇒ p 60 e P 80 60a b 80 1 40a 20 ⇒ a 2 1 100 b 100 ⇒ b 50 2 1 Logo, P p 50 2 1 b) p 50 ⇒ P 50 50 25 50 75 2 Então, na nova pontuação, a nota mínima de aprovação é 75. 14. C1 5 2 000 1 0,8x ⇒ renda: x renda: x 1 1 000 ⇒ C2 5 2 000 1 0,8(1 000 1 x) 5 5 2 000 1 800 1 0,8x ⇒ C2 5 C1 1 800 Resposta: alternativa c. 15. f(x) 5 x Após o desconto de 3% ⇒ f(x) 5 x 2
3 97 x 5 x 5 0,97x 100 100
Resposta: alternativa b. 16. Sendo x o consumo de lentilha e y o consumo de soja, temos que 26x 1 35y 5 70 é a equação que relaciona o consumo de soja com 26 o consumo de lentilha, ou y 5 x 1 2 é a função afim que asso35 cia x a y.
a) Se x 5 1,8 g, então y 5 0,66.
b) Se y 5 1,8 g, então y 5 0,27. c) A função custo é dada por: 0,07 ? 26x 1 0,09 ? 35y ou 1,82x 1 3,15y Se x 5 1,8 e y 5 0,66, o custo é R$ 5,36. Se x 5 0,27 e y 5 1,8, o custo é R$ 6,16. Logo, a primeira situação é a mais econômica. 17. A primeira tentativa, quando nos deparamos com um problema como esse, é somar as distâncias percorridas pela abelha no seu vaivém, o que é uma tarefa muito difícil. A solução mais simples consiste em calcular o tempo. Os pneus das bicicletas se encontram no instante 28 t, quando 32t 1 24t 5 28 ⇒ t 5 5 0,5 h. Como a abelha voa a 56 20 km/h, temos 20 ? 0,5 5 10 km. 18. A função afim tal que f(400) 5 106 e f(500) 5 109 é dada por N 5 0,03C 1 94. Se o número de mortes for 115, a concentração C correspondente será 115 5 0,03C 1 94, ou seja, C 5 700 µg/m3 de SO2 . 19. a) A função afim tal que f(0) 5 1000 e f(5) 5 250 é dada por V 5 2150t 1 1000. b) Para t 5 6, temos: V 5 2150 ? 6 1 1000 5 2900 1 1000 5 100 c) 1000 2 100 5 900 20. Para qual valor de x tem-se f(x) 2x? 1,8x 32 2x ⇒ x 160 Assim, 160 °C equivalem a 320 °F.
22. f(x) 1,8x 32 e f(x) 120 120 1,8x 32 ⇒ x 48,9 Portanto, 120 °F equivalem a aproximadamente 48,9 °C. 23. f(x) 1,8x 32 e x 50 f(50) 1,8 50 32 122 Logo, 50 °C equivalem a 122 °F. 24. Resposta pessoal. 25. a) A função afim tal que f(15) 76,45 e f(100) 76,56 é dada por 0,00129C 76,43058. 9 5(F 32 ) . b) Como F C 32, então C 5 9 5(F 32 ) Assim, 0,00129 76,43058, ou seja, 9 0,000717F 76,407647. 2 6. a) r 5 5 b) f(22) 5 3(22) 2 1 5 26 2 1 5 27 f(3) 5 3 ? 3 2 1 5 9 2 1 5 8 f(8) 5 3 ? 8 2 1 5 24 2 1 5 23 f(13) 5 3 ? 13 2 1 5 39 2 1 5 38 f(18) 5 3 ? 18 2 1 5 54 2 1 5 53 f(23) 5 3 ? 23 2 1 5 69 2 1 5 68 Portanto, 27, 8, 23, 38, 53, 68 é uma PA. c) r 5 15(3 ? 5) 2 7. 4 ? 3 5 12 A razão será 12. 9 2a b ⇒a 5 4 e b 5 1 2 8. y 5 ax 1 b ⇒ 17 4a b Logo, a lei é f(x) 5 4x 1 1. 29. a) f(x) 5 2x 1 3 x
f(x)
21
1
1
5
y 7 5 3 1 −2 −1 0 1 2 −1
y
b) f(x) 5 x 1 3 x
f(x)
0
3
1
4
x
5 4 3 2 1
x
−2 −1 0 1 2
c) f(x) 5
1 x14 2
y
x
f(x)
22
3
6 5 4
0
4
3
21. 1,8x 32 5x ⇒ x 10 f(10) 50 Logo, 10 °C equivalem a 50 °F.
x −2
0
2
4
123
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 4 d) f(x) 5 22x 1 5 x
f(x)
0
5
2
1
31. a) Como o gráfico é formado por pontos de uma reta, temos que C(x) 5 ax 1 b. Então: C(600) 5 a ? 600 1 b 5 14 000 C(900) 5 a ? 900 1 b 5 15 800 Resolvendo o sistema formado pelas equações acima, obtemos a 5 6 e b 5 10 400. Assim, a função é C(x) 5 6x 1 10 400.
y 9 7 5 3
b) C(1200) 5 6 ? 1200 1 10 400 5 17 600
1 −2 −1
x
e) f(x) 5 22 2 2x x
f(x)
22
2
0
22
32.
0 1 2
y
t
s = 2t – 3
21
25
0
23
s 1 −2 −1 0 1 −1 −3
2 x
−2 −1
t 2
−5
0 1 2
−2
−7
−4
33.
−6
q
1 4 1 2 2 2
y
f) f(x) 5 3 1 3x x
f(x)
21
0
0
3
9
q
1 x 2
x
a b 1 a b 1 ⇒ 2 a b 0 2a b 0
0 1 2
d)
3a 1 ⇒ a
x
s(x) = –x
0
0
2
22
x
t(x) = –2x
0
22
4
2
2
0
0
x
h(x) = 2x
x
f(x) =
0
0
2
1
x
g(x) = x
0
22
24
0
0
e)
2a b 1 ⇒ b 5 1 2 Então, f(x) 5 2
1 2 3 3
1 2 x . 3 3
f(3) 5 3a 1 b 5 0 f(0) 5 b 5 4 3a 1 b 5 0 ⇒ 3a 5 24 ⇒ a 5 2 h(x)
Então, f(x) 5 2
y 4 g(x)
s(x)
4 x 1 4. 3
4 3
35. a) f(0) 5 2 ? 0 1 m 2 3 5 5 ⇒ m 5 8 b) f(3) 5 2 ? 3 1 m 2 3 5 0 ⇒ 6 1 m 2 3 5 0 ⇒ m 5 23
2 f(x)
1 1 −1 −2
36. f(1) 5 a 1 b 5 5 f(22) 5 2a 1 b 5 24
x
−1
2
a b 5 a b 5 ⇒ 2 a b 4 2a b 4 3a 9 ⇒ a 3 a1b55⇒b552352 Então, f(x) 5 3x 1 2.
−4
1 3
b) (3, 0) e (0, 4)
t(x)
−2
−1 4
34. a) (21, 1) e (2, 0) f(21) 5 2a 1 b 5 1 f(2) 5 2a 1 b 5 0
−3
c)
0
6
−2 −1
b)
5
5
−1 2
3
30. a)
c
c = 10 + 20q
a) a 5 3 b) a 5 3 e b 5 2
124
Matemática x
y
f(x) = 3x + 2
22
24
0
2
f(x9 1 h) 2 f(x9) 5 x9 1 h 1 b 2 (x9 1 b) 5 h (2) Logo, f(x 1 h) 2 f(x) 5 f(x9 1 h) 2 f(x9).
5
*
2 x −2 −1 0
−1
1
−4
d) f(x) 5 0 ⇒ 3x 1 2 5 0 ⇒ 3x 5 22 ⇒ x 5 2 37.
x 0
y 5 ax 1 b
f(x)
23
2 3
3a b 0 0 a( 3) b ⇒ 2 a 0 b b 2
0 2
23a 1 b 5 0 ⇒ 23a 1 2 5 0 ⇒ 23a 5 22 ⇒ a 5 Então, y 5 38.
2 3
2 x 1 2. 3
x
f(x) = x + 2
21
1
22
0
tim-tim por tim-tim
c)
Página 126 5. a) f(2 019) 5 572 b) f(2 013) 5 516,5 Esse valor não é adequado por não ser um número inteiro. O melhor valor no caso seria o próximo número inteiro maior que f(2 013), ou seja, 517 espécies.
43. a) • f(x) 5 23x 1 4 ⇒ f(0) 5 4 ⇒ corta o eixo y no ponto (0, 4) 4 23x 1 4 5 0 ⇒ 23x 5 24 ⇒ x 5 ⇒ corta o eixo x no 3 4 ponto [ , 0] 3 • g(x) 5
x
f(x)
0
2
4
0
b) f(x) é decrescente; g(x) é crescente; h(x) é crescente.
2 1
x
c) 4 3 2 1 −4 −3 −2 −1 0
2 a 0 b b 2 ⇒ 0 a 4 b 4a b 0
1 Então, y x 2. 2
y f(x)
y ax b
4a b 0 ⇒ 4a 2 0 ⇒ 4a 2 ⇒ a 2
g(x)
−1 −2
h(x) x 1
2 3
1 2
Resolvendo de outra maneira: Para (0, 2), temos x1 0 e y1 2. Para (4, 0), temos x2 4 e y2 0. y y1 , então: Como a 2 x 2 x1 a
x 5 0 ⇒ x 5 0 ⇒ corta o eixo x no ponto (0, 0) 3
• h(x) 5 x 2 2 ⇒ h(0) 5 22 ⇒ corta o eixo y no ponto (0, 22) x 2 2 5 0 ⇒ x 5 2 ⇒ corta o eixo x no ponto (2, 0)
y
−2 −1 0
39.
x ⇒ g(0) 5 0 ⇒ corta o eixo y no ponto (0, 0) 3
0 2 1 4 0 2
y x y 2 x1 , então: Como b 1 2 x 2 x1 2 4 00 8 2 b 4 0 4 Ou simplesmente b 2, pois 2 é o valor de y, onde a reta intercepta o eixo y. 1 Logo, y x 2. 2 40. f(x 1 2) 2 f(x) 5 3(x 1 2) 2 1 2 (3x 2 1) 5 5 3x 6 1 3x 1 6 41. f(x 1 3) 2 f(x) 5 4(x 1 3) 1 2 2 (4x 1 2) 5 5 4x 12 2 4x 2 12 Acréscimos iguais a 12 em y 5 f(x). 42. Precisamos mostrar que f(x 1 h) 2 f(x) 5 f(x9 1 h) 2 f(x9). f(x 1 h) 2 f(x) 5 (x 1 h 1 b) 2 (x 1 b) 5 h (1)
8a b 0 0 a( 8) b ⇒ 44. y 5 ax 1 b ⇒ 4 a 0 b b 4 28a 1 4 5 0 ⇒ 28a 5 24 ⇒ a 5 x 1 4. 2 Portanto, a função é crescente.
1 2
Então, f(x) 5
5 a 2 b ⇒ 45. y 5 ax 1 b ⇒ 4 a( 1) b 2a b 5 2a b 5 ⇒ ⇒ a b 4 a b 4
3a 9 ⇒ a 3
2a 1 b 5 24 ⇒ b 5 a 2 4 5 3 2 4 5 21 Então, f(x) 5 3x 2 1. Como a função é afim, a taxa de variação é a 5 3. x y 3 y x 3 46. a) ⇒ y x 3 x y 3 2y 0 ⇒ y 0 x 1 y 5 3 ⇒ x 1 0 5 3 ⇒ x 5 3 A(3, 0) y x 3 y 3 3 5 2x 1 3 ⇒ x 5 0
125
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 4 B(0, 3)
Mas:
y x 3 y 3 3 5 x 2 3 ⇒ x 5 6
a
y 2 y1 2 0 2 2 x 2 x1 0 ( 1) 1 y x y 2 x1 0 0 ( 2 )( 1) 2 2 b 1 2 x 2 x1 0 ( 1) 1
C(6, 3)
Ou, simplesmente, b 22 é o valor de y onde a reta intercepta o eixo y. Logo, f(x) 2x 2. O ponto P é a intersecção das duas retas, ou seja, é a solução do sistema:
y
b) 4
3 2 10
−3 −2 −1 −1 −2 −3 −4
B
h(x) = 3 C g(x) = x − 3 A
1 2
3
f(x) = −x + 3
47. a) y 6x 5 ⇒ x 6y 5 ⇒ 6y x 5 ⇒ y ⇒ f1(x)
2x 2 2x 2x y 2x 4 ⇒ ⇒ 2 2x 2 ⇒ 3 3 3 y 2x 2 3 ⇒ 2x 6x 12 ⇒ 8x 12 ⇒ x 2
x 4 5 6
x 5 6
b)
x 5 ⇒ 6
y
f 1(x)
7 6 5 4 3 2 1 0
5 4 3 2 1 1
3 y 2 2 3 2 1 2 3 P , 1 2 49. a) a 5 a9 e b b9 ⇔ retas paralelas distintas b) a a9 ⇔ retas concorrentes c) a a9 ⇔ retas concorrentes
f(x)
y=x
50. a) 5 4
x 1 2
3 2 1
c) Os gráficos de f e f 1 são simétricos em relação ao da função y x. 0 a( 3 ) b 3a b 0 ⇒ 48. y ax b ⇒ 2 a 0 b b 2 2 3a 2 0 ⇒ 3a 2 ⇒ a 3 2x 2 f(x) 3 Resolvendo de outra maneira: Para (3, 0), temos x1 23 e y1 0. Para (0, 2), temos x2 0 e y2 2. y y1 , então: Como a 2 x 2 x1 a
2 0 2 0 ( 3 ) 3
Como b b
y
y1 x 2 y 2 x 1 , então: x 2 x1
0 0 2 ( 3 ) 6 2 0 ( 3 ) 3
Ou simplesmente b 2, pois é o valor de y, onde a reta intercepta o eixo y. 2 Logo, f(x) x 2. 3 0 a( 1) b a b 0 ⇒ y ax b ⇒ 2 a 0 b b 2 a 2 0 ⇒ a 2 g(x) 2x 2 Resolvendo de outra maneira: Para (1, 0), temos x1 1 e y1 0. Para (0, 2), temos x2 0 e y2 2.
1
f(x) P g(x) 3 0 1 2 4 1 2
x
y 4x 3 ⇒ 4x x 3 ⇒ 5x 3 ⇒ x b) 5 y x 3 3 12 y 4 5 5 3 12 P , 5 5 51. s / r ⇒ y 3x b ⇒ 2 3(1) b ⇒ b 3 2 ⇒ b 5 g(x) 3x 5 52. a) x 5 0 ⇒ x 5 ⇒ corta o eixo x no ponto (5, 0) 0 5 5 ⇒ corta o eixo y no ponto (0, 5) b) x 4 0 ⇒ x 4 ⇒ x 4 ⇒ corta o eixo x no ponto (4, 0) 0 4 4 ⇒ corta o eixo y no ponto (0, 4) 1 c) 1 4x 0 ⇒ 4x 1 ⇒ x ⇒ corta o eixo x em 4 1 , 0 4 1 4 0 1 ⇒ corta eixo y em (0, 1) d) 22x 5 0 ⇒ x 5 0 ⇒ corta o eixo x em (0, 0) e corta o eixo y em (0, 0) 1 x x 2 1 5 0 ⇒ 5 1 ⇒ x 5 2 ⇒ corta o eixo x em (2, 0) 2 2 1 ? 0 2 1 5 21 ⇒ corta o eixo y em (0, 21) 2 3 3x 8 ⇒ 3x 8 ⇒ x ⇒ corta o eixo x f) 2 x 0 ⇒ 2 4 4 3 e)
126
Matemática 8 em , 0 3 3 2 0 2 ⇒ corta o eixo y em (0, 2) 4
x
+ 4
3a 1 ⇒ a 1 1 17 b 6 ⇒ b 6 3 3 3 x 17 1 17 y x 3 3 3
1 b) 2x 1 0 ⇒ 2x 1 ⇒ x 2 a 2 0 ⇒ f(x) é decrescente
57. a) 3 4x x 7 ⇒ 4x x 7 3 ⇒ 5x 10 ⇒ ⇒ 5x 10 ⇒ x 2 S {x IR | x 2} b)
x
+ 1 2
1 2 1 f(x) 0 para x 2 1 f(x) 0 para x 2
f(x) 0 para x
⇒ 5x 6x 6 20 ⇒ x 20 6 ⇒ x 14 ⇒ x 14 S {x IR | x 14}
II b) 2x x 4 3x 5 3
I
a 5 3 . 0 ⇒ f(x) é crescente +
x
5 3
5 3 5 f(x) 0 para x . 3 5 f(x) 0 para x , 3
2x x 4 ⇒ x 4 (I) x 4 3x ⇒ 2x 4 ⇒ x 2
f(x) 0 para x
d) 1 a
Sl
(II)
4
SII
2
Sl SII
2
4
S {x IR | 2 x 4}
1 1 x 0 ⇒ x 1 ⇒ x 2 2 2
1 0 ⇒ f(x) é crescente 2 +
x 3( x 1) 5x 6( x 1) 20 1 ⇒ ⇒ 4 10 20 20 20
58. a) 1 x 1 1 , 5 ⇒ 1 2 1 x , 5 2 1 ⇒ 0 x , 4 S {x IR | 0 x , 4}
c) 3x 2 5 5 0 ⇒ 3x 5 5 ⇒ x 5
1 3
x 17 0 ⇒ x 17 0 ⇒ x 17 3
f(x) 0 para x 4 f(x) 0 para x 4 f(x) 0 para x 4
2a b 5 ⇒ ( 1) a b 6
a b 6 ⇒
53. a) x 4 0 ⇒ x 4 a 1 0 ⇒ f(x) é crescente
2a b 5 56. y ax b ⇒ a b 6
x
2
f(x) 0 para x 2 f(x) 0 para x 2 f(x) 0 para x 2
54. a) 1 x 0 ⇒ x 1 a 1 0 ⇒ f(x) é decrescente f(x) 0 para x 1 b) 3x 12 0 ⇒ 3x 12 ⇒ x 4 a 3 0 ⇒ f(x) é crescente f(x) 0 para x 4 55. 2x 8 0 ⇒ 2x 8 ⇒ x 4 a 0 ⇒ f(x) é decrescente ⇒ f(x) 0 para x 4 3x 6 0 ⇒ 3x 6 ⇒ x 2 a 0 ⇒ g(x) é crescente ⇒ g(x) 0 para x 2 Portanto, não existe valor real de x que satisfaça as duas condições simultaneamente.
5 2x 4 2x 1 2x 1 ⇒ ⇒ ⇒ c) x 5 1 x 2 x 6 x 3 1 x ⇒ 2 x 3
SI
( I) (II) 1 2
SII SI SII
S {x IR |
3 1 2
3
1 x 3} 2
59. a) f(x) 5,00x 230,00 b) 5x 230 0 ⇒ 5x 230 ⇒ x 46 Então, o comerciante terá prejuízo se vender menos de 46 unidades. c) 5x 230 315 ⇒ 5x 545 ⇒ x 109 d) 5x 230 280 ⇒ 5x 510 ⇒ x 102 e) 100 5x 230 180 ⇒ 330 5x 410 ⇒ 66 x 82 60. a) (2x 1)(x 2) 0 f(x) 2x 1 (a 2: função crescente)
127
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 4 2x 1 0 ⇒ 2x 1 ⇒ x
1 2
f(x)
g(x)
f(x) g(x)
g(x) x 2 (a 1: função crescente) x 2 0 ⇒ x 2
2
2 f(x)
b)
f(x) g(x)
2
1 2
4
x
4
1
2
4
f(x)
g(x)
h(x)
f(x) g(x) h(x)
1
2
4
S {x IR | x 1 ou 2 x 4}
h(x)
f(x) g(x) h(x)
(x 1)(3x 5) 0 g(x) x 1 (a 1: função crescente) x10⇒x1 x
1
h(x) 3x 5 (a 3: função crescente) 5 3x 5 0 ⇒ 3x 5 ⇒ x 3
x
x
5 3
g(x) 1 x (a 1: função decrescente) 1 x 0 ⇒ x 1 ⇒ x 1
2
1
S {x IR | 4 x 1 ou x 2}
3 2
1
4
2x 3 0 1 x
f(x) 2x 3 (a 2: função crescente) 3 2x 3 0 ⇒ 2x 3 ⇒ x 2 x
f(x)
62. a) f(x) ( x 1)( 3x 5 )
2
1
g(x)
x
h(x) x 4 (a 1: função decrescente) x 4 0 ⇒ x 4
61. a)
2
1
2
x
g(x) 2 x (a 1: função decrescente) 2x0⇒x2
4
h(x) x 2 (a 1: função crescente) x 2 0 ⇒ x 2
x
x
b) (x 1)(2 x)(2x 4) 0 f(x) x 1 (a 1: função crescente) x10⇒x1
1
g(x) x 4 (a 1: função crescente) x 4 0 ⇒ x 4
1 S {x IR | 2 x 2
x
g(x)
( x 1)( x 4 ) 0 ( x 2)
f(x) x 1 (a 1: função crescente) x 2 1 0 ⇒ x 1
1 2
S {x IR | 1 x
3 2
1
x
3 2
1
x
1 2
5 3
1
g(x)
h(x)
g(x) h(x)
5 3
D {x IR | x
1
5 ou x 1} 3
3 2
128
Matemática 2x 3 1 x
b) f(x)
2x 3 2x 3 x x3 1 0 ⇒ 0 ⇒ 0 x x x
g(x) x 3 (a 1: função crescente) x30⇒x3
64. a) O plano C. b) A partir de 50 minutos.
x
65. A partir de 60 minutos.
3
66. Custo: C(x) 5 0,50x 1 1 500 Receita: R(x) 5 1,50x Lucro: L(x) 5 R(x) 2 C(x) 5 x 2 1 500 A expressão necessária é L(x) que não deve ser menor que 0: x 2 1 500 > 0.
h(x) x (a 1: função crescente) x0 x
0
0
67. Resposta: alternativa d.
3
g(x)
h(x)
g(x) h(x)
68. Como a trajetória é retilínea e a velocidade é constante, o movimento é retilíneo uniforme. a) v 5
0 3 D {x IR | x 0 ou x 3}
b) Como t0 5 0, S0 5 100 m e v 5 60 m/s, então a função é dada por S 5 vt 1 S0 , ou seja, S 5 60 t 1 100 (função afim). c) S 5 60t 1 100 ⇒ S 5 60 ? 10 1 100 ⇒ S 5 700 m
x 1 0 x 5
d) S 5 60 t 1 100 ⇒ 1 000 5 60t 1 100 ⇒ t 5 15 s
g(x) x 1 (a 1: função crescente) x10⇒x1
69. a) Consideremos os pontos: t0 5 0 ⇒ S0 5 10 m t 5 1 ⇒ S 5 20 m Logo: S S0 20 10 v 5 5 10 ⇒ v 5 10 m/s t t0 1 0
x
1
h(x) x 5 (a 1: função crescente) x50⇒x5
b) S 5 vt 1 S0 ⇒ S 5 10t 1 10 c) Pelo gráfico, vemos que t 5 3,0 s, temos S 5 40 m. Ou, de outra maneira, se S 5 10t 1 10 quando t 5 3,0 s, temos: S 5 10 ? 3,0 1 10 5 40 ⇒ S 5 40 m
x
5
1
70. a) S 5 S0 1 vt ⇒ S 5 50 2 10 t Logo, S0 5 50 m e v 5 210 m/s (velocidade negativa). b) Vamos elaborar uma tabela com alguns valores para t (em s) e s (em m):
5
g(x)
h(x)
g(x) h(x)
1
S S0 I 400 100 300 60 t t t0 5,0 0 5,, 0
Assim, v 5 60 m/s.
x 1 x 5
c) f(x)
O ponto de encontro mostra a quantidade de livros na qual o preço do frete é o mesmo nas duas lojas. Analisando o gráfico, percebe-se que para menos de 5 livros, o preço do frete é menor na loja A, para 5 livros o valor do frete é o mesmo nas duas lojas e para mais de 5 livros, o valor do frete é menor na loja B.
5
t (s)
0
2,0
3,0
4,0
6,0
S (m)
50
30
20
10
210
D {x IR | x 1 ou x 5} S (m)
63. a) Loja A: R$ 17,00; Loja B: R$ 18,00 Portanto para comprar 4 livros o frete é mais barato na loja A.
50
b) Loja A: f(x) 5 3x 1 5; Loja B: f(x) 5 2x 1 10
40
Frete (em R$)
c)
Loja A
30
Loja B
20
10
10 t (s)
5 5
Livros
0 –10
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
129
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 4 c) Como v 5 210 m/s, constante, o gráfico é:
b)
v (m/s)
20
10
16
t (s) 0
1,0
t (h)
2,0
3,0
12
4,0
–10
8 4 v (km/h)
71. P 4 A correspondência → P é uma proporcionalidade direta (dobrando, triplicando, etc. a medida do lado, o perímetro dobra, triplica, etc.).
0
73. Sim; dobrando, triplicando, etc. o volume de um líquido homogêneo, seu peso correspondente dobra, triplica, etc.
1
2
3
…
c
A
1h
2h
3h
…
ch
80
100 120
C , em que R é a resistência, C é o comprimento e A é a área A da seção reta.
78.
X 5 k Y
X 11 ,X 5 ⇒ Y9 5 1,1Y Y Y9
11 ,X 5 k Y9 Logo, Y também sofre um acréscimo de 10%. 79. XY 5 k (1,15X)Y9 5 k
1h 2h 3h ch … h 1 2 3 c Logo, x → A é uma proporcionalidade direta. 75. a)
60
77. R 5
74. Sim. Considerando h a distância entre as retas (largura do retângulo), temos: x
40
c) Proporcionalidade inversa (dobrando, triplicando, etc. a velocidade, o tempo reduz-se à metade, à terça parte, etc.)
72. Não é uma proporcionalidade. Contraexemplo: Para x 1 cm, temos A 1 cm2. Para x 2 cm, temos A 4 cm2. Dobrando x (1 para 2), A quadruplica (1 para 4), ou seja, A não dobrou nem ficou metade.
20
XY 5 1,15Y ? Y9
1 Y 0,87Y 5 87%Y 115 , 100% 2 87% 5 13%
x (/min)
50
10
20
25
5
t (min)
2
10
5
4
20
Logo, Y sofre um decréscimo de, aproximadamente, 13%. 80. O coeficiente de proporcionalidade é p.
100 b) xt 100; t x
81. a) f(x) 5 15x b) A função é linear.
c)
c) Sim
t 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
82. Medir a distância no mapa e usar regra de três. 83. Para cada unidade na planta (1 cm, por exemplo) correspondem 10 000 unidades na realidade (no caso do exemplo: 10 000 cm ou 100 m). 84. x
85. a) 8 mm 5 0,8 cm
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
1 cm 250 km 250 0,8 5 200 km (distância real) ⇒ x 5 0,8 cm x km 1 2 cm 1 cm
d) Sim, inversa. 76. a) Velocidade (km/h) Tempo (h)
1 15 , 5 ⇒ x 5 1485 000 000 cm ou 1485 km 990 000 000 x
200 km y km
⇒ y 5 100 km
escala: 1 cm : 100 km ou 1 : 10 000 000 50
100
80
25
40
20
8
4
5
16
10
20
b) Medindo no mapa de Míriam: 1,5 cm 1 cm 100 km 1,5 cm x km
⇒ x 5 150 km
130
Matemática
86. a) Fique em Forma: G(x) 5 80 1 50x Corpo e Saúde: G(x) 5 60 1 55x
92.
b) Fique em Forma: G(12) 5 80 1 50 ? 12 5 680 Corpo e Saúde: G(12) 5 60 1 55 ? 12 5 720 Logo, em 1 ano a academia Fique em Forma oferece menor custo.
x
1
2
3
4
P
4
7
10
13
68
172
80
124a b 68 ⇒ 172a b 80 1 48a 12 ⇒ a 4
Logo, m 5 24 g.
89.
124
124 a b 68 68 a 124 b ⇒ ⇒ 172a b 80 80 a 172 b
4 4 30 120 ? V 5 5 24 5 5 5
88. Tempo fixo gasto: 50 min 60 km/h 5 1 km/min Logo, f(x) 5 50 1 1x (para x em minutos). 50 x Para x em horas, temos f(x) 5 . 60 Resposta: alternativa b.
F
F 5 an 1 b
5 87. a) f(40) 5 50 ⇒ a ? 40 5 50 ⇒ a 5 4 5 V 5 m (m . 0) 4 b) m 5
n
124a 1 b 5 68 ⇒ 124 ? Logo, F 5
1 1 b 5 68 ⇒ 31 1 b 5 68 ⇒ b 5 37 4
1 n 1 37. 4
93. f(2) 5 23 ⇒ a ? 2 1 b 5 23 ⇒ 2a 1 b 5 23 f(21) 5 6 ⇒ a ? (21) 1 b 5 6 ⇒ 2a 1 b 5 6 Então: 2a b 3 2a b 3 ⇒ a b 6 a b 6 3a 9 ⇒ a 3
a) P 5 ax 1 b a b 4 4 a 1 b ⇒ ⇒ 2 a b 7 7 a 2 b
31b56⇒b53 Logo: b 2 a 5 3 2 (23) 5 6
a b 4 ⇒ 2a b 7 a 3 a1b54⇒31b54⇒b51 Então, P 5 3x 1 1.
94. A razão só é constante a partir de uma ingestão de 20 mg/dia e não para toda e qualquer quantia ingerida. Resposta: alternativa b.
b) P 5 3 ? 9 1 1 5 28 São necessários 28 palitos.
95. a) P 5 156 2 2,5n b) 120 5 156 2 2,5n ⇒ 2,5n 5 36 ⇒ n 5 14,4 Deverá permanecer no spa no mínimo 15 semanas.
c) 16 5 3x 1 1 ⇒ 3x 5 15 ⇒ x 5 5 São formados 5 quadrados. d) P 5 3x 1 1 ⇒ 3x 5 P 2 1 ⇒ x 5 90. Peso (P) (kg)
P 1 3
Custo (C) (R$)
0,P1
P 2 1 (o que ultrapassa 1 kg)
C 5 10 1 0,30 (P 2 1) Resposta: alternativa c. 91. c 5 ap 1 b p 5 0 ⇒ c 5 50 p 5 400 ⇒ c 5 80 Então: b 50 50 0a b ⇒ 80 400a b 400a b 80 3 400a 1 50 5 80 ⇒ 400a 5 30 ⇒ a 5 40 3 Logo, c 5 p 1 50. 40
96. Da tabela percebemos que o atleta está 4 kg acima do peso ideal para sua altura. Do gráfico descobrimos que cada quilo acima do peso ideal equivale a 0,32 minuto perdido na prova de 10 km. Assim, o tempo perdido pelo atleta é de: 4 ? 0,32 5 1,28 minuto Resposta: alternativa c.
Desafio em dupla a) A temperatura de um ponto a x pés (0 < x < 40 000) de altitude acima do ponto A é dada por: x (em °C). Logo: T(x) 5 20 2 2 ? 1 000 x T(x) 5 0 ⇒ 20 2 2 ? 5 0 ⇒ x 5 10 000 1 000
A temperatura é de 0 °C a 10 000 pés de altitude.
b) T(35 000) 5 20 2 2 ?
35 000 5 250 °C 1 000
A temperatura é de 250 °C a 35 000 pés de altitude.
131
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 4 Se f –1 passa por A(1, 22), temos: 1 b 1 b f 21(1) 5 ? 1 2 ⇒ 22 5 2 ⇒ 5 2 2 2 2 Resposta: alternativa e.
A Matemática e as práticas sociais 1. 10 ? 0,01 5 0,1 A taxa de fecundidade em 2017 será de 2,1 2 0,1 5 2,0. 2. 8 anos 20 anos
3 x ⇒ x 5 7,5 anos
5.
Em 2020 a expectativa de vida será 70 1 7,5 5 77,5 anos.
5
3. Expectativa de vida no Japão: 83 anos. 8 anos 3 13 ⇒ x 35 x anos
5
5. a) Se não houvesse mortes precoces a taxa necessária para a reposição da população seria 2,0. Dois pais (pai e mãe) teriam 2 filhos e assim por diante. Esse acréscimo de 0,1 na taxa de fecundidade é justamente para compensar as mortes precoces e haver a reposição populacional. b) Geralmente a taxa de fecundidade nos países desenvolvidos é muito baixa, enquanto nos países subdesenvolvidos é muito alta. c) Dentre os diversos hábitos saudáveis podemos citar: boa alimentação, prática regular de exercícios, não fumar, não beber e dormir bem.
Atividades adicionais 1. y 5 f(x) ⇒ y 5 ax 1 b Quando x 5 0, vem: y 5 a ? 0 1 b 5 25 000 ⇒ b 5 25 000 Quando x 5 10, vem: y 5 10a 1 b ⇒ 20 000 5 10a 1 25 000 ⇒ 10a 5 25 000 ⇒ ⇒ a 5 2500 Portanto: y 5 2500x 1 25 000 ⇒ 500x 1 y 2 25 000 5 0 Resposta: alternativa c. 2. O gráfico de f(x) 5 x 2 2 é uma reta se o domínio for real. Como no caso o domínio é o conjunto dos inteiros, o gráfico será constituído por infinitos pontos alinhados. Dentre estes pontos temos: x
f(x)
2
0
0
22
→ (2, 0) → (0, 22)
Resposta: alternativa d. 3. 8% de 500 equivale a 0,08 ? 500 5 40. Assim, a cada mês o valor do juro aumenta em R$ 40,00. A função J(t) que corresponde a esse aumento constante de R$ 40,00 por mês é J(t) 5 40t. Resposta: alternativa d. 4. f(x) 5 2x 1 b ⇒ y 5 2x 1 b Então, para a função inversa f –1, temos: 1 b 1 b x 5 2y 1 b ⇒ 2y 5 x 2 b ⇒ y 5 x 2 ⇒ f 21(x) 5 x 2 2 2 2 2
100 10 5 5 100 105 5 10 5 105 100 (105 105 ) 105 105
100
Resposta: alternativa d.
O Brasil terá a mesma expectativa de vida que o Japão tem hoje em 2000 1 35 5 2035. 2 628 000 4. 20 ? 365 ? 36 ? 10 5 2 628 000 minutos 5 5 60 43 800 1 825 5 1 825 dias 5 5 5 anos 5 43 800 horas 5 24 365
f(105 ) f(105 ) 100 105 5 (100 105 5 ) 5 5 10 10 105 105
6.
1 x 1 x 1 x 1 x 1 ⇒ 1 0 ⇒ 0 ⇒ 1 x 1 x 1 x 2 0 ⇒ 1 x Logo: 1 x 0 ⇒ x 1 Resposta: alternativa a.
7. a) De acordo com o enunciado, temos que: 3 2 700 q 500 b ⇒ q e b 2 400 5 3 000 q 1000 b 3 3 x 2 400 ⇒ C(800) = ? 800 1 2 400 2 880 5 5 O custo de produção de 800 camisetas é R$ 2 880,00. b) C(x)
8. • Para x , 5 temos uma reta que passa por (0, 4) e (5, 6). Assim: ∆y 6 4 2 a 5 ∆x 5 0 5 b 5 4 2 Essa reta é o gráfico da função f(x) 5 x 1 4. 5 • Para x > 5 temos uma reta que passa por (5, 5) e (10, 1). Assim: ∆y 1 5 4 a 5 ∆x 10 5 5 4 No momento, a reta é dada por g(x) 5 x 1 b e g(10) 5 1. 5 Então: 4 ? 10 1 b 5 1 ⇒ b 5 9 5 4 Logo, a função g(x) é g(x) 5 x 1 9. 5 Portanto, a função completa é dada por: 2 5 x 4, para x 5 4 x 9, para x 5 5 Resposta: alterantiva a. 9. Como as porcentagens variam linearmente com o tempo, temos: P(t) 5 a t b. Sendo P a população de brancos, temos: P( 2000 ) 70 % a 2000 b 0, 70 ⇒ ⇒ P ( 2020 ) 62 % a 2020 b 0, 62 ⇒ a 0,004 e b 8,7 Portanto, P(t) 0,004 t 8,7.
132
Matemática Os brancos serão minoria quando a sua população for menor de 50%, ou seja: P(t) 50% ⇒ 0,004t 8,7 0,5 ⇒ 0,004t 28,2 ⇒ ⇒ 0,004t 8,2 ⇒ t 2050 Resposta: alternativa a.
10. Pelo enunciado, temos as seguintes tarifas para manutenção de conta (TMC): f( x ) 0,15x 10 f( 20 ) 0,15 20 10 13 ⇒ g ( x ) 0 , 12 x 20 g( 20 ) 0,12 2 0 20 22, 4 Portanto: f(20) g(20) 13 22,4 35,4 Resposta: alternativa d.
11. f(t) 860 dt ⇒ f(6) 860 d 6 ⇒ 500 860 6d ⇒ ⇒ 6d 360 ⇒ d 60 Logo, f(t) 860 60t. Analisando as afirmações, temos: a) Falsa, em 3 anos o moinho valerá: f(3) 860 60 3 5 860 180 680, e R$ 680,00 não é 50% de R$ 860,00. b) Falsa, em 9 anos o moinho valerá: f(9) 860 60 9 5 860 540 320, e R$ 320,00 não é múltiplo de 9. c) Falsa, em 7 anos o moinho valerá: f(7) 860 60 7 5 860 420 440, e R$ 440,00 é um valor menor que R$ 450,00. d) Falsa, em 10 anos o moinho valerá: f(10) 860 60 10 5 860 600 260, e R$ 260,00 é um valor superior a R$ 200,00. e) Verdadeira, em 13 anos o moinho valerá f(13) 860 60 13 5 860 780 80 e, portanto, o moinho ainda terá valor de venda. Resposta: alternativa e.
Página 121 Porque existem infinitos valores de y para um único valor de x e, portanto, não é função. Página 124 Basta observar os gráficos: ângulo de inclinação da reta (a 0, a 0 ou a 0) e ponto onde ela corta o eixo y (b 0, b 0 ou b 0). Página 126 A reta corta o eixo y no ponto em que x 0. Então: y 9 0 45 45 Logo, no ponto (0, 45). Página 128 f(a) 100 ⇒ 2a 100 ⇒ a 50 g(a) 2a 3 2 50 3 100 3 103 h(a) 2a 3 2 50 3 100 3 97 Página 130 5 5 Quando x , f(x) 0; quando x , f(x) 0. 2 2 Página 131 • O sinal significa f(x) 0 e o sinal 2 significa f(x) 0. • y
2 1 0
3 x 3 0 3 x 3 x 1 ( I) ⇒ ⇒ x 6 0 x 6 (II) x 6 SI
Logo, f(t) 100
80 5 48 3
5 t. 3 Para terem o mesmo nível nesses recipientes, temos que ter: Logo, g(t) 80
5 5 t 80 t ⇒ 600 15t 480 10t ⇒ 2 3 ⇒ 15t 10t 480 600 ⇒ 5t 120 ⇒ t 24
f(t) g(t) ⇒ 100
Resposta: Os líquidos terão o mesmo nível após 24 dias.
Para refletir Página 112 Uma função afim é sempre do tipo f(x) ax b, em que a e b são números reais. Página 120 • É a semirreta de origem no vértice que divide o ângulo ao meio. • Porque você pode “andar” com a reta y x b paralelamente com a reta y x. • Porque para qualquer valor de x o valor de f(x) é o mesmo (valor cons tante b).
x
2 3
Página 133
100 5 ⇒ d ⇒ 40d 100 ⇒ d 40 2
⇒ 48d 80 ⇒ d
41 , 0
1 3 2 1 1 2 3
12. Para o líquido I, temos: f(t) 100 d t ⇒ f(40) 100 d 40 ⇒ 0 100 40d ⇒
5 t. 2 Para o líquido II, temos: g(t) 80 d t ⇒ f(48) 80 d 48 ⇒ 0 80 48d ⇒
3
1
SII
6
SI SII
6
S {x IR | x 6}
Capítulo 5 Abertura 1. Acesse . 2. a) Quadradinhos verdes: 1
2 3
Total de quadradinhos: 1 4
9
4 ... 32 ↓ 32‚ 16
... 121 ↓ 11‚
b) n-ésimo termo: b2 b
1. a, d, f 2. a) Para todos os números reais diferentes de zero. b) Para todos os números reais. c) Para todos os números reais, exceto t 2. d) Para todos os números reais diferentes de zero.
133
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 5 e) Para t 2. f) Para todos os números reais diferentes de 1. 3. a) a 2, b 0 e c 0 b) f(x) 2(x 3)2 2(x2 6x 9) 2x2 12x 18 a 2, b 12 e c 18 c) f(x) 2(x 3)2 5 2x2 12x 18 5 2x2 12x 23 a 2, b 12 e c 23 d) f(x) (x 2)(x 3) x2 3x 2x 6 x2 x 6 a 1, b 1 e c 6 e) f(x) (4x 7)(3x 2) 12x2 8x 21x 14 5 12x2 13x 14 a 12, b 13 e c 14 f) f(x) (2x 3)(5x 1) 10x2 2x 15x 3 5 10x2 13x 3 a 10, b 13 e c 3
b) f(2) 3(2)2 4(2) 1 12 8 1 5 c) f(0) 3(0)2 4(0) 1 1 2 ) 1 6 4 2 1 7 4 2
e) f(22) 3(22)2 4(22) 1 12 1 8 1 1 5 21 f ) f(h 1 1) 3(h 1 1)2 4(h 1 1) 1 3(h2 1 2h 1 1) 2 4h 2 4 1 1 5 5 3h2 1 6h 1 3 2 4h 2 4 1 1 5 3h2 1 2h g) 3x2 2 4x 1 1 5 1 ⇒ 3x2 2 4x 5 0 ⇒ 4 ⇒ x(3x 2 4) 5 0 ⇒ x 5 0 ou x 5 3 h) 3x2 2 4x 1 1 5 21 ⇒ 3x2 2 4x 1 2 5 0 D 5 16 2 4(3)(2) 5 16 2 24 5 28 e x real | f(x) 5 21 6. f [
]
2[
]
2
3[
x 20 2x
20
x 30
Ar 5 30 ? 20 Aq 5 x2 A 5 Ar 2 4Aq 5 600 2 4x2
1 2 b) 4x2 4x 3 3 ⇒ 4x2 4x 0 ⇒ x2 x 0 ⇒ ⇒ x(x 1) 0 ⇒ x 0 e x 1 c) 4x2 4x 3 1 ⇒ 4x2 4x 4 0 ⇒ x2 x 1 0 1 4(1)(1) 3 e x real | f(x) 1
14. a) 4x2 4x 3 2 ⇒ 4x2 4x 1 0 ⇒ x
5. a) f(1) 3(1)2 4(1) 1 3 4 1 0
2 3
x
1 ± 13 ⇒ n 7 e n 6 (não convém) 2 Portanto, são 7 times.
d) f(x) x 2 4x 4 x 2 2 x 3x 1 4 Não é função quadrática.
2 3
x
n
c) f(x) 1 x 2 x 2 1 Não é função quadrática.
)2 4(
12.
13. n2 n 42 ⇒ n2 n 42 0 1 4(1)(42) 169
4. a) f(x) 2x(3x 1) 6x2 2x Função quadrática: a 6, b 2, c 0. b) f(x) x2 4 4 x2 8 Função quadrática: a 1, b 0, c 8.
d) f( 2 ) 3( 2
11. I kmv2 v 3v 2 I km(3v)2 km 9v2 9 kmv 9 I I O impacto é 9 vezes maior.
2 3
]
15. f(x) ax2 bx c ⇒ f(1) a(1)2 b(1) c 2 ⇒ a b c 2 ⇒ f( 0 ) a 02 b 0 c 3 ⇒ c 3 2 f( 1) a( 1) b( 1) c 6 ⇒ a b c 6 a b 1 a b 3 2 ⇒ a b 3 6 a b 3 2a 2 ⇒ a 1 a b 1 ⇒ 1 b 1 ⇒ b 2 Portanto, f(x) x2 2x 3.
4 1 2 1 9
4 9 2 9 13 9 2 9 9
16. (f o g)(x) f(g(x)) f(x2 1) 2(x2 1) 1 5 2x2 2 1 2x2 3 (g o f )(x) g(f(x)) g(2x 1) (2x 1)2 1 5 4x2 4x 1 1 4x2 4x 17. a) f(x)
7. (3) 5 20(3) 2 5(3)2 5 60 2 45 5 15 watts 8. a) S 5 f(5) 5 3,14 ? 5 5 3,14 ? 25 5 78,5 cm b) 3,14r2 5 200,96 ⇒ r2 5 64 ⇒ r 5 8 m 2
9. a) f(10) 10 100 f(1,5) (1,5)2 2,25 2 f(2 3 ) ( 2 3 ) 12 2 b) 256 ⇒ 16 c) D(f) IR *; Im(f) IR * 2
10. a) s(t) 4,9t2 Para t 3 s, vem: s 4,9 32 4,9 9 44,1 m b) 122,5 4,9t2 ⇒ t2 25 ⇒ t 5 s
2
5
( 6 x )( x 2 ) 6 x 12 x 2 2x 2 2
x 2 8x 12 x2 4x 6 2 2
b) a
1 , b 4 e c 6 2
18. a) f(6) 3 6 20 2 b) f(1) (1)2 2(1) 1 2 3 c) f(10) 100 40 2 62 d) f(9) 81 36 2 47 e) f(5) 3 5 20 15 20 5 f) f(0) 02 2 0 0 g) f(4) 42 2 4 16 8 8
134
Matemática
19. • • •
x2 2x 2 ⇒ x2 2x 2 0 4 4(1)(2) 4 e x real | x2 2x 2 3x 20 2 ⇒ 3x 18 ⇒ x 6 x2 4x 2 2 ⇒ x2 4x 0 ⇒ x2 4x 0 ⇒ ⇒ x(x 4) 0 ⇒ x 0 e x 4 e x real que satisfaça, pois devemos ter x 9. Portanto: f(x) 2 ⇒ x 6
e) x2 8x 12 0 ⇒ x 2 2 4 x 42 42 12 0 ⇒ ( x 4 )2
⇒ (x 4) 16 12 0 ⇒ (x 4)2 4 ⇒ x 4 2 ⇒ x 6 ⇒ x 4 ±2 ⇒ ou x 4 2 ⇒ x 2 2
Zeros da função: 6 e 2. f) 3x2 8x 3 0 ⇒ x2
8 8 x 1 0 ⇒ x2 x 1 ⇒ 3 3 2
20. a) f(x) x2 9 x2 9 0 ⇒ (x 3)(x 3) 0 ⇒ x 3 e x 3 b) f(x) x2 2x 1 x2 2x 1 0 ⇒ (x 1)2 0 ⇒ (x 1)(x 1) 0 ⇒ ⇒ x 1 (zero duplo) c) f(x) (x 1)2 9 (x 1)2 9 0 ⇒ (x 1 3)(x 1 3) 0 ⇒ ⇒ (x 4)(x 2) 0 ⇒ x 4 e x 2 d) f(x) x2 6x x2 6x 0 ⇒ x(x 6) 0 ⇒ x 0 e x 6 e) f(x) x2 6x 9 x2 6x 9 0 ⇒ (x 3)2 0 ⇒ (x 3)(x 3) 0 ⇒ ⇒ x 3 (zero duplo) f) f(x) (x 4)2 1 (x 4)2 1 0 ⇒ (x 4 1)(x 4 1) 0 ⇒ ⇒ (x 3)(x 5) 0 ⇒ x 3 e x 5 21. a) x2 2x x 2 2 1 x 12 12 (x 1)2 1 ( x 1)2
b) x2 6x 16 x 2 2 3 x 9 9 16 (x 3)2 25 ( x 3 )2
x 2 2 3 x 32 32 5 0 ⇒ 22. a) x2 6x 5 0 ⇒ 2
( x 3)
⇒ (x 3)2 9 5 0 ⇒ (x 3)2 4 0 ⇒ x 3 2 ⇒ x 5 ⇒ (x 3)2 4 ⇒ x 3 ±2 ⇒ ou x 3 2 ⇒ x 1 Zeros da função: 5 e 1. x 2 2 5 x 52 52 21 0 ⇒ b) x2 10x 21 0 ⇒ ( x 5 )2
⇒(x 5)2 25 21 0 ⇒ (x 5)2 4 0 ⇒ x 5 2 ⇒ x 3 ⇒ (x 5)2 4 ⇒ x 5 ±2 ⇒ ou x 5 2 ⇒ x 7 Zeros da função: 3 e 7.
⇒ x2 2
4 16 16 4 25 ⇒ x 1 ⇒ x 3 9 9 3 9
x 4 5 ⇒ x ± ⇒ ou 3 3 x 1 Zeros da função: 3 e . 3
5 b) 2x2 8x 5 25(x2 4x) 6 2 5 13 2 5 25(x 2 2x 4) 4 6 25(x 2)2 6 2 2 5 2(x 2)2 13 Logo, f(x) 2(x 2)2 13. c) x2 6x 7 [(x2 6x) 7] 5 [(x2 2 3x 9) 9 7] (x 3)2 16 Logo, f(x) (x 3)2 16. d) x2 2x 24 (x2 2x) 24 (x2 2x 1) 1 24 5 (x 1)2 25 Logo, f(x) (x 1)2 25. e) f(x) 10 5x 5x2 a 5, b 5, c 10 b 5 5 1 m 2a 2( 5 ) 10 2 2
1 5 5 1 1 k f 10 5 5 10 2 2 2 2 4 5
40 10 5 45 4 4 2
45 1 . Portanto, f(x) 5 x 4 2
2 1 x 1 1 3 0 ⇒ c) x 2x 3 0 ⇒ x ⇒ (x 1) 1 3 0 ⇒ (x 1)2 4 ⇒
m
2
( x 1)2
2
x 1 2 ⇒ x 3 ⇒ x 1 ±2 ⇒ ou x 1 2 ⇒ x 1 Zeros da função: 3 e 1. x 2 2 2 x 22 22 3 0 ⇒ d) x2 4x 3 0 ⇒ ( x 2 )2
⇒ (x 2)2 4 3 0 ⇒ (x 2)2 1 ⇒ x 2 1 ⇒ x 1 ⇒ x 2 ±1 ⇒ ou x 2 1 ⇒ x 3 Zeros da função: 1 e 3.
4 5 1 ⇒ x 3 3 3
23. a) x2 2x 3 (x2 2x) 3 (x2 2x 1) 1 3 5 (x 1)2 4 Logo, f(x) (x 1)2 4.
f) f(x) 2x2 5x 1 a 2, b 5, c 1
2
2
4 5 ⇒ x 3 3 3
b 5 5 5 2a 2( 2 ) 4 4 2
5 25 25 5 5 1 k f 2 5 1 2 4 4 4 16 4 5
25 42 17 25 21 8 8 8 4 2
17 5 Portanto, f(x) 2 x . 8 4 24. a) x2 x 2 0 a 1, b 1, c 2 1 b 1 m 2 2a 2 1
135
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 5 2
b2 4ac 42 4 1 5 16 20 4 Logo, a equação não tem raízes reais; consequentemente a função f(x) x2 4x 5 não tem zeros reais.
1 1 1 1 1 k f 2 2 4 2 2 2 2 5
1 2 8 9 4 4 2
2
9 9 1 1 x2 x 2 1 x 0 ⇒ x ⇒ 4 4 2 2 x 1 3 ⇒ x ± ⇒ ou 2 2 x
x
1 3 ⇒ x 1 2 2
2 6 4 x 2 2 2 ⇒ x 2 6 8 4 2 2 Zeros da função: 2 e 4.
b) 3x2 x 2 0 a 3, b 1, c 2
d) x2 10x 25 0 a 1, b 10, c 25 b2 4ac 102 4 1 25 100 100 0
b 1 1 5 2a 23 6 2
1 1 1 1 1 2 k f 3 2 3 36 6 6 6 6 5
1 1 1 2 24 25 2 12 6 12 12 2
25 1 0 ⇒ 3x2 x 2 3 x 12 6 2
2
25 25 1 1 ⇒ x ⇒ ⇒ 3 x 12 36 6 6 ⇒ x
1 5 ± ⇒ 6 6
x ⇒ ou x
x
b ± 10 ± 10 10 5 2a 2 1 2
Zeros da função: 5 (duplo) 26. (m 1)x2 4x 1 0 a m 1 (m 1), b 4, c 1 0 ⇒ b2 4ac 0 ⇒ (4)2 4(m 1)(1) 0 ⇒ ⇒ 16 4m 4 0 ⇒ 4m 12 ⇒ m 3 Para todo m IR tal que m 3. 27. kx2 6x 1 0 a k (k 0), b 6, c 1 0 ⇒ b2 4ac 0 ⇒ (6)2 4k 1 0 ⇒ 36 4k 0 ⇒ ⇒ 4k 36 ⇒ k 9 Logo, k 9 e k 0.
1 5 2 ⇒x 6 6 3 1 5 ⇒ x 1 6 6
Zeros da função:
b ± 2 ± 36 2 ± 6 ⇒ 2a 2( 1) 2
1 3 ⇒ x 2 2 2
Zeros da função: 2 e 1
m
c) x2 2x 8 0 a 1, b 2, c 8 b2 4ac 22 4(1) 8 4 32 36
28. (m 2)x2 2x 6 0
2 e 1. 3
a m 2 (m 2), b 2, c 6 0 ⇒ b2 4ac 0 ⇒ (2)2 4(m 2) 6 0 ⇒
2
c) x 2x 1 0 a 1, b 2, c 1 2 b 2 m 1 2 2a 2 1
⇒ 4 24m 48 0 ⇒ 24m 52 ⇒ m Logo, m
k f(1) 12 2 1 1 1 2 1 0 x2 2x 1 (x 1)2 0 0 ⇒ (x 1)2 0 ⇒ x 1 (zero duplo) Zero da função: 1
13 e m 2. 6
29. x2 (k 1)x (10 k) 0 x 2x x x
25. a) x2 3x 0 a 1, b 3, c 0 b2 4ac (3)2 4 1 0 9 x
b ± ( 3 ) ± 2a 2 1
9
xx 3±3 ⇒ 2
52 13 ⇒ m 24 6
b k 1 (k 1) a 1
c 10 k 10 k a 1
2x x (k 1) ⇒ 3x (k 1) ⇒ x
k 1 3
2( k 1) 3
3 3 x 2 3 ⇒ x 3 3 0 2
x
Zeros da função: 3 e 0.
⇒ 2k2 4k 2 90 9k ⇒ 2k2 5k 88 0
b) x2 4x 5 0 a 1, b 4, c 5
a 2, b 5, c 88
x9 ? x0 5 10 1 k ⇒
2( k 1) ( k 1) 10 k ⇒ 3 3
b2 4ac (5)2 4 2(88) 25 704 729
136
Matemática k
5 ± 27 b ± ( 5 ) ± 729 ⇒ 4 2a 22
5 27 8 k 4 ⇒ k 5 27 22 11 4 4 2
3 b 3 4 2a 22
1 m 1 4(m 1) 1 ⇒ ⇒ m 5m 5m m
⇒ 4(m2 2m 1) 5 25m ⇒ 4m2 1 8m 4 25m ⇒
23 . Isso ocorre Logo, o menor valor de f(x) para todo x IR é 8 3 quando x . 4 31. 3x2 x 1 0 a 3, b 1, c 1 b 1 1 2a 2( 3 ) 6 2
1 1 1 1 k f 3 2 6 6 6 1 1 1 2 12 1 1 1 1 5 36 6 12 12 6
13 12
4 ( m 1) m 1 5m 5m 4
⇒ (m 1) ? 4(m 1 1) 25m ⇒ 4(m 1 1)2 25m ⇒
2
23 3 0 2x 3x 4 2 x 8 4 2
c 1 a m
x x 4 x x
9 9 9 18 32 23 4 8 4 8 8
5 3
( m 1) m 1 b 2 m m a
x m 1 4( m 1) 4( m 1) ⇒ 5x x ⇒ x 4 m m 5m
2
m
x 4
x x
9 9 3 3 3 4 k f 2 3 4 2 4 4 4 16 4 5
x
x x
30. 2x2 3x 4 0 a 2, b 3, c 4 m
36. mx2 (m 1)x 1 0
⇒ 4m2 1 8m 1 4 2 25m 0 ⇒
m 4
⇒ 4m2 2 17m 1 4 0 m
1 4
37. a) x2 7x 12 0 x x 7 x 3 e x 4 x x 12 x2 7x 12 (x 3)(x 4) 0 b) x2 x 2 0 x x 1 x 2 e x 1 x x 2 x2 x 2 (x 1 2)(x 2 1) 0 c) 6x2 5x 1 0 b2 4ac (5)2 4 6 1 25 24 1
2
13 1 0 3x2 x 1 3 x 12 6 Logo, o maior valor de f(x) para todo x IR é 1 do x . 6
x 13 . Isso ocorre quan12
1 1 ⇔ x2 1 x ⇔ x2 x 1 0 x a 1, b 1, c 1
32. x
b2 4ac (1)2 4 1 1 1 4 3 Logo, 0 e, portanto, a equação não admite raízes reais. 33. 4x2 4x m 0
5±1 12
⇒ 16 16 m 0 ⇒ m 1 34. (k 1)x2 2x 4 0 a k 1 (k 1), b 2, c 4 0 ⇒ b2 4ac 0 ⇒ (2)2 4(k 1) 4 0 ⇒ ⇒ 4 16k 16 0 ⇒ 20 16k 0 ⇒ 16k 20 ⇒ 20 5 ⇒ k ⇒ k 16 4 35. 5 0 ⇒ m2 4 ? 49 5 0 ⇒ m2 5 196 ⇒ m 5 ±14
5 1 6 1 12 12 2 5 1 4 1 x 12 12 3 x
1 1 6x2 5x 1 6 x x 0 2 3 d) 10x2 3x 1 0 b2 4ac (3)2 4 10(1) 9 40 49 x
a 4, b 4, c 2m 0 ⇒ b2 4ac 0 ⇒ (4)2 4 4(m) 0 ⇒
b ± (5 ) ± 1 2a 26
5
b ± (3 ) ± 49 2a 2 10
3±7 20
3 7 10 1 20 20 2 4 1 37 x 20 5 20 x
1 1 10x2 3x 1 10 x x 0 2 5 38. Sejam x e y os números pedidos: x 1 y 5 k (constante) ⇒ y 5 k 2 x Seu produto é f(x) 5 x(k 2 x) 5 2x2 1 kx (função quadrática, com a 5 21, a , 0). Logo, f(x) assume o maior valor possível (máximo) quando:
137
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 5 x52
b k k 2a 2 2
k k k , então y 5 k 2 x ou y 5 k 2 5 . 2 2 2 k k Portanto, x 5 e y 5 . 2 2 Se x 5
39.
44. (18 x)(15 x) 378 ⇒ 270 18x 15x x2 378 0 ⇒ ⇒ x2 33x 108 0 b2 4ac 332 4 1(108) 1 089 432 1 521
33 39 3 x 2 ⇒ x 33 39 36 ( não serve ) 2 Logo, daqui a 3 anos o produto de suas idades será igual a 378.
y
x
2x 1 2y 5 24 ⇒ x 1 y 5 12
x
O maior valor possível para a área (x ? y) é 36 m2 (6 ? 6). Assim, com 24 m de cerca Gustavo não pode cercar um terreno cuja área é de 40 m2. O máximo que ele consegue cercar é um terreno quadrado de 6 m por 6 m, com 36 m2 de área.
v 10
5 200x ⇒ 10x2 10x 200 0 ⇒ x2 x 20 0 b2 4ac ⇒ (1)2 4 1(20) 1 80 81
D 5 b2 2 4ac 5 (21)2 2 4 ? 1(2380) 5 1 1 1 520 5 1 521
1 9 x 2 5 ⇒ x 1 9 4 ( não serve ) 2
1 39 20 1 ± 39 2 5 2 1 39 n 19 ( não se r ve) 2 Logo, 20 times disputam esse campeonato. n
200 40 5 Logo, a velocidade do trem é 40 km/h.
v
41. d
46. x(x 8) 180 ⇒ x2 8x 180 0 b2 4ac 64 4 1(180) 64 720 784
3 ± 37 b ± (3 ) ± 1 369 ⇒ 2 2a 2 1
8 28 10 x 2 ⇒ x 8 28 18 ( não s erve) 2
42. 2 1 0 b2 4ac 12 4 1 (1) 1 4 5
Número de alunos em cada fila: 10 8 18 47. I
n
1 11 6 2 1 11 n 5 ( não serv e ) 2 Logo, existem 6 retas distintas.
5 1 . 2
b ± 4 ± 6 ⇒ 2a 2
4 6 1 x 2 ⇒ x 4 6 5 ( não serv e ) 2 Logo, x 1 dm.
b ± (1) ± 121 2a 2 1 n
1 ± 11 5 2
43. x2 x x x x 5 ⇒ x2 4x 5 0 b2 4ac 16 4 1(5) 36 x
n2 n n2 n ⇒ n2 n 30 0 ⇒ 15 2 2
b2 4ac 1 4 1(30) 121
1 5 2 ⇒ 1 5 ( não serve ) 2 O número é
b ± 8 ± 28 8 ± 784 ⇒ 2a 2 2 1
x
3 37 20 n 2 ⇒ n 3 27 17 ( não se r ve) 2 Portanto, o polígono tem 20 lados e se chama icoságono.
b ± 1 ± 5 1 ± 5 ⇒ 2a 2 1 2
b ± (1) ± 81 1± 9 ⇒ 2a 2 1 2
x
b ± (1) ± 1 521 n 2a 2 1
n( n 3 ) n( n 3 ) ⇒ 170 ⇒ n2 3n 340 0 2 2 b2 4ac (3)2 4 1(340) 9 1 360 1 369
200 200 200 ⇒ 10 ⇒ x 1 x x 1
⇒ 200(x 1) 10x(x 1) 200x ⇒ 200x 200 10x2 10x
40. 380 5 n2 2 n ⇒ n2 2 n 2 380 5 0
200 x
45. v
y
n
b ± 33 ± 1 521 33 ± 39 ⇒ 2a 2 1 2
x
48.
2h h 10
A
(10 2h )h 36 ⇒ 2h2 10h 72 0 ⇒ h2 5h 36 0 2
138
Matemática b2 4ac 25 4 1(36) 25 144 169
b)
f(x)
b ± 5 ± 169 h 2a 2 1 5 13 4 2 5 13 h 9 ( não se r ve) 2 h
5 ± 13 5 2
Portanto, a base menor mede 8 cm. 49. a)
x
240 240 20 ⇒ x2 x 12 0 x x 1
1 48 49 8 4 2 6 x 3 ( não serve ) 2 x
1± 7 x 2
52.
f(x) y = 2x2 1 2 x 2
y=
Logo, a professora Aline gastou 4 horas para fazer o percurso entre as cidades A e B.
x
b) Ela fez a viagem com uma velocidade média de 60 km/h (240 : 4 60). Se sua velocidade fosse 80 km/h (20 km/h a mais), ela faria o percurso em 3 horas (240 : 80 3). 50.
y=–
1 2 x 2
y = –2x2
f(x)
53. a) f(x) 3x2 1
25 4
V(0, 1); x 0
2
b) g(x) 3x 1 2 V(0, 2); x 0
1 4 –3 2
–1 2
x
0
1 2
1 2 x 1 3
V(0, 1); x 0 d) φ(x) 3x2 1 V(0, 1); x 0
54. Valor mínimo: f(x) → 1, h(x) → 1, φ(x) → 1; valor máximo: g(x) → 2.
9 4
–5 2
c) h(x)
3 2
5 2
1 1 55. a) Eixo: x 2; V(2, 0); FF 2, ; d: y 4 4 1 1 b) Eixo: x 1; V(1, 0); FF 1, ; d: y 8 8
1 1 a) f 2 4
1 1 c) Eixo: x 1; V(1, 0); FF 1, ; d: y 2 2
25 5 b) f 2 4
3 3 d) Eixo: x 2; V(2, 0); FF 2, ; d: y 4 4
9 3 c) f 2 4
1 1 ; d: y e) Eixo: x 2; V(2, 0); FF 2, 12 12 1 1 f) Eixo: x 1; V(1, 0); FF 1, ; d: y 20 20
51. a) f(x)
( 3, 9)
56. Ponto máximo: b (1, 0); d (2, 0); f (1, 0); ponto mínimo: a (2, 0); c (1, 0); e (2, 0). Esses pontos são os vértices das parábolas.
(3, 9)
1 7 57. a) Eixo: x 3; V(3, 4); F 3, 4 ; d: y 3 8 8
( 1, 1)
(1, 1) (0, 0)
7 1 b) Eixo: x 3; V(3, 4); F 3, 3 ; d: y 4 8 8 x
1 1 c) Eixo: x 3; V(3, 0); F 3, ; d: y 4 4
139
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 5 3 1 d) Eixo: x 1; V(1, 1); F 1, ; d: y 2 2
62. (m 1)(2)2 1 1 ⇒ 4m 4 1 1 ⇒ 4m 2 ⇒ m
1 11 e) Eixo: x 1; V(1, 2); F 1, 2 ; d: y 1 12 12
63. (2)2 2(2) k 5 ⇒ 4 4 k 5 ⇒ k 5
3 1 f) Eixo: x 2; V(2, 3); F 2, 1 ; d: y 4 4 4
64. a) x2 11x 30 0 121 4 1 30 121 120 1 11 ± 1 (11) ± 1 x ⇒ x 6 e x 5 2 2 1
58. Ponto máximo: b (3, 4); d (1, 1); ponto mínimo: a (3, 4); c (3, 0); e (1, 2); f (2, 3). Esses pontos são os vértices da parábola.
b) x2 4x 21 0 16 4 1(21) 16 84 100 4 ± 10 x ⇒ x 3 e x 7 2
2
49 1 59. a) f(x) 4 x 16 8 1 3 1 49 1 1 Eixo: x ; V , ; F , ; d: y 16 8 16 8 16 8
c) x2 36 0 ⇒ x 6 e x 6 d) 6x2 5x 1 0 25 4 6 1 1
2
17 5 b) f(x) 2 x 8 4
x
18 5 5 17 5 ; F , 2 ; d: y Eixo: x ; V , 8 4 8 4 4
b) Eixo x: (3, 0) e (7, 0); eixo y: (0, 21).
1 5 c) f(x) 3 x 3 3 1 5 1 ; V , ; 3 3 3
c) Eixo x: (6, 0) e (6, 0); eixo y: (0, 36).
2
60.
7 1 7 3 7 1 ; V , ;F , ; d: y 4 4 16 4 16 8
y
66. a) a 0, 0 b) a 0, 0 c) a 0, 0
d) a 0, 0 e) a 0, 0 f) a 0 e 0
67. a 0 (concavidade voltada para baixo) 0 (2 zeros da função diferentes) ⇒ b2 4ac 0 ⇒ b2 4ac c 0 (valor de y onde a parábola intercepta o eixo y) b 0 (a parábola cruza o eixo y no ramo crescente da parábola) Resposta: alternativa b.
*
x
tim-tim por tim-tim
4 3 2 1
1 1 d) Eixo x: , 0 e , 0 eixo y: (0, 1). 3 2
21 19 1 F , ; d: y 3 12 12
7 1 d) f(x) x 4 16 Eixo: x
5±1 1 1 ⇒ x e x 12 2 3
65. a) Eixo x: (5, 0) e (6, 0); eixo y: (0, 30).
2
Eixo: x
1 2
1 0 1 2 3 4 1 2 3 4
f(x) 5 ax2 + bx + c a 22 b 2 c 4 ⇒ 4a 2b c 4 a 32 b 3 c 2 ⇒ 9a 3b c 2 a 02 b 0 c 4 ⇒ c 4
a 2
Resposta: alternativa b. 61. a) 22 5(2) 6 4 10 6 0 A(2, 0) pertence à parábola. b) 42 5(4) 6 16 20 6 2 B(4, 2) pertence à parábola. c) (1)2 5(1) 6 1 5 6 12 C(1, 10) não pertence à parábola.
5. a)
P pessoas 2
68. a) 4 4(1)(3) 16 2 16 1 e yV 4 2 4 V(1, 4) xV
2a b 4 4a 2b 4 4 2a b 4 ⇒ ⇒ 9a 3b 4 2 3a b 2 3a b 2 2a b 4 ⇒ 4 b 4 ⇒ b 8 Portanto, f(x) 2x2 8x 4
Página 177
b) 9 4(1)(5) 9 20 11 xV
3 3 11 11 e yV 2 2 4 4
11 3 V , 2 4 c) 16 4(1)(3) 4 4 4 1 xV 2 e yV 2 4 V(2, 1) 69. a) Valor máximo
4 1 4a 12 3
140
Matemática b) Valor mínimo
25 4a 8
c) Valor máximo
0 4a
75. a) 4 4(1)(3) 16 16 yV 4 4 Im {y IR | y 4} b) 0 4(1)(1) 4 4 yV 1 4 Im {y IR | y 1}
70. 2 k 0 ⇒ k 2 ⇒ k 2 71. 4m 1 0 ⇒ 4m 1 ⇒ m
1 4
36 12k 3 ⇒ 3 ⇒ 12k 36 12 ⇒ 12k 48 ⇒ 72. 4a 4 ⇒k4
d) 16 4(1)(6) 8 8 yV 2 4 Im {y IR | y 2}
73. m 3 , 0 ⇒ m , 3 4m 76 3 ⇒ 3 ⇒ 4m 76 12m 36 ⇒ 4a 4m 12 ⇒ 16m 112 ⇒ m 7 (7 , 3) Logo, m 7.
76. x2 x 2 3x 1 ⇒ x2 4x 3 0
74. a) x2 4x 3 0 16 4(1)(3) 4 x
c) 4 4(1)(2) 4 4 yV 1 4 Im {y IR | y 1}
16 4 1 3 4
y
x
3
4 ± 2 ⇒ 2
4±2 ⇒ x 3 e x 1 2
x1⇒y2 x3⇒y8
⇒ x 1 e x 3 x
Eixo x: (1, 0) e (3, 0)
3 2
Eixo y: (0, 3) V(2, 1)
1
0
77. Para a função f: A → [3, 7], dada por f(x) x2 4x 7 ser bijetiva é necessário ser: • sobrejetiva: Im [3, 7] • injetiva: x1 x2 ⇒ f(x1) f(x2) Como f tem a concavidade voltada para cima (a 0) e f deve ser crescente, temos:
1
Im {y IR | y 1} b) x2 2x 1 0 4 4(1)(1) 0 2 1 2 Eixo x: (1, 0) Eixo y: (0, 1) V(1, 0)
Logo, há dois pontos comuns, que são (1, 2) e (3, 8).
y
x x
7
3
y
V x
0
2
4
1 x 1
b ( 4 ) 2 2a 2 1 V( 2, 3 ) ( 12 ) yV 3 4a 4 1
0
xV
Im {y IR | y 0} c) x2 6x 9 0 36 4(1)(9) 36 36 0 x x
Para y 7: x2 4x 7 7 ⇒ x2 4x 0 ⇒ x 0 ou x 4 Logo, o conjunto A, domínio da função, é A [2, 4].
6 3 2
Eixo x: (3, 0) Eixo y: (0, 9) V(3, 0)
Im {y IR | y 0}
y 3 0
9
x
78. a) É deslocado duas unidades para a direita. b) É deslocado duas unidades para a esquerda. c) (0, 0), (2, 0) e (2, 0) d) (m, 0) e (m, 0) 79. a) (0, 0), (2, 3), (2, 3), (2, 3), (2, 3) b) Ele é deslocado três unidades para cima e duas unidades para a direita. c) Ele é deslocado três unidades para baixo e duas unidades para a esquerda.
141
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 5 d) Ele é deslocado k unidades para baixo e m unidades para a direita, se k 0 e m 0. e) (m, k)
80. a) Para cima, pois a 0. b) 2x2 x 3 0 1 4 2(3) 1 24 25 1± 5 3 x ⇒ x e x 1 4 2
86. f(x) x(20 x) x2 20x
3 d) (1, 0) e , 0 2 e) (0, 3) 1 f) x 4 25 g) Im(f) 5 {y IR | y > } 8
xV
87. a) x2 3x 4 0 9 4(1)(4) 25 x
x
(0, –3)
[ 3 , 0] 2
b) CV
3±5 ⇒ x 4 e x 1 2
[ 1 , – 25 ] 4 8 eixo: x =
81. a) xV
20 10 2
As dimensões do retângulo são 10 m por 10 m.
f(x) (–1, 0)
h(0) 0 ⇒ c 0 b b ⇒ 2 ⇒ b 4a (I) xV 2a 2a 0 h(2) 4 4 22a 2b c ⇒ 4 4a 2b ⇒ 2a b 2 (II) Substituindo (I) em (II), vem: 2a 4a 2 ⇒ 2a 2 ⇒ a 1 b 4a 4(1) 4 Então, h(x) x2 4x.
25 1 c) VV , 4 8
h)
h(x) ax2 bx c
1
f(x) 0 para x 1 ou x 4 f(x) 0 para x 1 ou x 4 f(x) 0 para 1 x 4
1 4
b 80 40 unidades 2a 2
b) 3x2 2x 1 0 4 4(3)(1) 16
5 600 1 400 4a 4
x
82. f(x) 5 x(40 2 x) 5 2x2 1 40x 40 x V 5 20 2 Então, o terreno deve ser quadrado com 20 m de lado.
2 ± 4 1 ⇒ x 1 e x 6 3 −1 3 −
+
b 4 2 s 2a 2 40 10 m b) hV 4a 4
f(x) 0 para
4 ± 2 10 4 ± 2 10 t 5 ⇒ t 2 10 (não convém) 2 2 e t 2 10 5,16 5 min 10 s 310 s 84. L(x) R(x) C(x) 6 000x x2 x2 2 000x 2x2 8 000x 8 000 2 000 unidades xV 4
1 ou x 1 3
1 x 1 3
f(x) 0 para x
c) t2 4t 6 0 16 4(1)6 40
1 ou x 1 3
c) x2 4x 4 0 16 4(1)(4) 0 4 2 x 2 +
+
x
−2
f(x) 0 para x 2 f(x) 0 para x 2
y 4
d) x2 4 0 ⇒ x2 4 ⇒ x ±2 +
x (0, 0)
x
1 −
f(x) 0 para x
83. a) tV
85. hmáx (2, 4) h0 0 xV 2 yV 4
x
4
2
+ −2
−
2
f(x) 0 para x 2 ou x 2 f(x) 0 para x 2 ou x 2 f(x) 0 para 2 x 2
x
142
Matemática 88. x2 7x 10 0 49 4(1)(10) 9
e) 3x2 2x 4 0 4 4(3)(4) 44 x − − − − − − − − − − −
x
7 ± 3 ⇒ x 2 e x 5 2 +
+ −5
f(x) 0 para todo x real f) 2x2 3x 0 ⇒ 2x2 3x 0 ⇒ x(2x 3) 0 ⇒ x 0 e 3 x 2 3 2
+
0 −
x −
f(x) 0 para x 0 ou x f(x) 0 para 0 x
x
f(x) 0 para x 4 90. 2x2 5x 2 0 25 4(2)(2) 9
3 2
x
+
5 ± 3 1 ⇒ x e x 2 4 2 1 2
+
− +
x
4
f(x) 0 para
x
2 −
1 x 2 2
91. x2 2x 6 0 4 4(1)(6) 20
f(x) 5 0 para x 5 2 ou x 5 4 f(x) . 0 para x , 2 ou x . 4 f(x) , 0 para 2 , x , 4 h) x2 2 10x 1 25 5 0 100 4(1)(25) 0 10 x 5 2
+ + + + + + + + + + +
x
S 92. x2 1 0 ⇒ x2 1 a) e x IR | x2 1
+
+ 4
36 4(1)(8) 4 6 ± 2 x ⇒ x 4 e x 2 2
89. x2 8x 16 0 64 4(1)(16) 0 8 x 4 2 +
g) x2 2 6x 8 5 0
−
x
−2
f(x) 0 para x 5 ou x 2
3 2
3 2
f(x) 0 para x 0 ou x
2
−
+
x
5 + + + + + + + + + + +
x
f(x) 0 para x 5 f(x) 0 para x 5
f(x) 0 para todo x real
i) x2 4x 8 0
b) De acordo com o item a, não existe x para o qual f(x) , 0.
16 4(1)(8) 16 93. 16 4(1)(2m) 16 8m 0 ⇒ 8m 16 ⇒ m 2 S {m IR | m 2}
+ + + + + + + + + + +
x
f(x) 0 para todo x real j) 4x2 1 0 ⇒ 4x2 1 ⇒ x2
−1 2 −
+
1 2
1 1 ⇒ x ± 4 2 x
−
1 1 f(x) 0 para x ou x 2 2 1 1 f(x) 0 para x 2 2 1 1 f(x) 0 para x ou x 2 2
94. 4 4(1)(k) 4 4k 0 ⇒ 4k 4 ⇒ k 1 S {k IR | k 1}
95. 25 4(1)(5m) 25 20m 0 ⇒ 20m 25 ⇒ ⇒ m
5 4
S {m IR | m 96. a k 0
5 } 4
I
(2k 3)2 4(k)(k) 4k 2 12k 9 4k 2 5 12k 9 0 ⇒ 12k 9 ⇒ k
3 4
II
143
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 5 I
e) 4x2 9 0 ⇒ 4x2 9 ⇒ x2
0
II
−3 4
S
−3 2
−3 4
S {k IR | k
−
3 } 4
97. a p 1 0 ⇒ p 1
(2p 2)2 4(p 1)(p 1) 4p2 8p 4 4(p2 1) 5 4p2 8p 4 4p2 4 8p 8 0 ⇒ 8p 8 ⇒
98. a m 0
−4 −
S IR {4}
I 2
2
(4m 2) 4(m)(4m) 16m 16m 4 16m 1 5 16m 4 0 ⇒ 16m 4 ⇒ m II 4 I
g) 1 4(3)(1) 11
0 + + + + + + + + + + +
II S
−1 4
S IR
−1 4
h) 4 4(1)(3) 16
S {m IR | m
1 } 4
x
+
+ 1
−
x
+
+ 0
x
4
−
S {x IR | x 0 ou x 4}
1± 3 1 ⇒ x 1 e x 4 2 1 2
−
−
i) x2 4x 0 ⇒ x(x 4) 0 ⇒ x 0 e x 4
7 3
b) 1 4(2)(1) 9
+
x
1
S {x IR | 3 x 1}
7 S {x IR | 1 x } 3
−1
+
−
10 ± 4 7 ⇒ x 1 e x 6 3
x
2±4 ⇒ x 3 e x 1 2 −3
99. a) 100 4(3)(7) 16
x
x
−
2
x
3 3 x } 2 2
f) 64 4(1)(16) 0 8 x 4 2
⇒ p 1 II S {p IR | p 1}
x −
S {x IR | I
3 2
+
9 3 ⇒ x ± 4 2
1 00. (x 2)2 1 5 ⇒ x2 4x 4 1 5 ⇒ x2 4x 0 Raízes: x 0 e x 4 x +
−
+ −4
S {x IR | x 1 ou x
1 } 2
x
0
−
S {x IR | 4 x 0}
c) 100 4(1)(25) 0 x
101. a) 3x 3 6x 2 2x2 6x ⇒ 2x2 9x 5 0
10 5 2
81 4(2)(5) 121
+
+
x x
5
+
S IR {5} d) 25 4(1)(10) 15 + + + + + + + + + + +
S
9 ± 11 1 ⇒ x 5 e x 4 2
+ −1 2
S {x IR | x x
−
x
5
1 ou x 5} 2
b) 2(x2 2x 1) x 0 ⇒ 2x2 5x 2 0 25 4(2)(2) 9
144
Matemática x
5±3 1 ⇒ x 2 e x 4 2 +
1 05. 2x2 8x 5x 20 7 x2 3x 2x 6 ⇒ x2 8x 7 0 64 4(1)(7) 36
+ 1 2
S {x IR |
x
2
−
8±6 ⇒ x 7 e x 1 2
1 x 2} 2
+
+
+
x
S {x IR | x 1 ou x 7}
1 06. a) I x2 5x 6 ⇒ x2 5x 6 0 25 4(1)(6) 49 x
5±7 ⇒ x 6 e x 1 2 +
d) x2 3x 4x 12 14 x 2 x2 2x ⇒ ⇒ 2x2 2x 24 0 ⇒ x2 x 12 0 1 4(1)(12) 49 1± 7 x ⇒ x 4 e x 3 2 +
+ −3
x
4
−
2
x 2 e x 2
x
6
−
S I {1 x 6}
II x2 5x 6 ⇒ x2 5x 6 0
25 4(1)(6) 1 x
5±1 ⇒ x 3 e x 2 2 +
e) 3x 30 4x 34 0 ⇒ 2x 4 0 2
+ −1
S {x IR | x 3 ou x 4}
+ 2
x
3
−
S II {x 2 ou x 3} +
−2
x
2
−
x
7
−
4
S IR {4}
2
+ 1
c) x2 3x 1 5x 15 0 ⇒ x2 8x 16 0 64 4(1)(16) 0 8 x 4 2
x
SI
−
−1
6
SII
S {x IR | 2 x 2}
2
3
S
x2 x 1 02. 3x ⇒ 6x x2 x ⇒ x2 7x 0 2 2
b) I x2 1 3 4x ⇒ x2 4x 3 0
Raízes: x 0 e x 7 +
+ 0
−
2 3 6 −1 S {x IR | 1 x 2 ou 3 x 6}
x
7
16 4(1)(3) 4 x
4±2 ⇒ x 3 e x 1 2
Portanto, o menor número inteiro positivo que satisfaz a inequação é 7. +
103. x2 3x 8 2(1 3 8) ⇒ x2 3x 8 12 ⇒ x2 3x 4 0 3±5 x ⇒ x 4 e x 1 2
+ −1
−
x
+
x
+
x
3
II x2 3 7 ⇒ x2 4 0
x 2 e x 2
4
+
S {x IR | x 1 ou x 4}
−2
2
−
S II {x 2 ou x 2}
1 04. x 5x 4 0 2
25 4(1)(4) 9
SI
5±3 x ⇒ x 4 e x 1 2 +
−
S I {1 x 3}
9 4(1)(4) 25
+
1
+
1 4 −
SII x
A {x IR | 1 x 4} A IN {2, 3}
S
1 −2
3 2
2 S {x IR | 2 x 3}
3
145
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 5 SI
c) I x2 x 20 2x ⇒ x2 x 20 0 1 4(1)(20) 81 x
SII
1 ± 9 ⇒ x 4 e x 5 2 +
+ −5
S
−
x
x 1 e x 1 + −1
S I {1 x 1}
1± 3 ⇒ x 2 e x 1 2 +
+ −1
−
x
2
+ 4
−1
SI
S
x
Raízes: x 0 e x 6 +
+ + + + + + + + + + +
x
0
1 07. a) I x2 6x 8 0
SII
36 4(1)(8) 4 6 ± 2 ⇒ x 2 e x 4 x 2 +
x −
6
SI
+
3
S II {1 x 3}
2
S {x IR | 0 x 2}
S
0 −1 −1
3 0
S {x IR | 1 x 0} x
d) I x2 2x 1 0
4
4 4(1)(1) 0 2 x 1 2
S I {x 4 ou x 2} II x 5 0 ⇒ x 5
+
x
−
0
+
−1
SII
II x2 2x 3 0
2
−
x
6
4 4(1)(3) 16 2 ± 4 ⇒ x 1 e x 3 x 2
S II IR
−
S I {x 0 ou x 6}
2
+ 0
4 4(1)(5) 16
S
2
0
c) I x2 6x 0
2
II x2 2x 8 3 ⇒ x2 2x 5 0
SI
1
S
S I {0 x 2}
x
−1 0 | S {x IR 1 x 0}
Raízes: x 0 e x 2 +
−1
SII
d) I x2 2x 8 8 ⇒ x2 2x 0
−
+ 2
−
S II {x 0 ou x 2}
4 2 −5 −1 S {x IR | 5 x 1 ou 2 x 4}
0
0
2
+
x
Raízes: x 0 e x 2
−5
SII
+ 1
−
II x2 2x 0
S II {x 1 ou x 2} SI
−5
b) I x2 1 0
1 4(1)(2) 9
−5
4
II x2 x 2 ⇒ x2 x 2 0
x
−2
S {x IR | x 5}
S I {5 x 4}
−4
−5
S II {x 5}
+ 1
x
S I IR {1}
146
Matemática
II x2 4 0
II g(x) x 2 ⇒ raiz 2
Raízes: x 2 e x 2
+
+
+ −2
x
Quadro de resolução:
S II {2 x 2} SI
1
SII
−2
S
−
2
−
2 1
−2
x
2
0
2
3
f(x)
+
−
−
+
g(x)
+
+
−
−
f(x) g(x)
+
−
+
−
0
2
2
3
S {x IR | 2 x 2 e x 1}
S {x IR | x 0 ou 2 x 3}
3 e) I 3 , 2x ⇒ x . 2
c) I f(x) x2 5x ⇒ raízes: x 0 e x 5
x
+ 0
3 2
S I 5 {x .
+
3 } 2
x
5
−
II g(x) x2 3x 6 ⇒ não tem raízes reais
x − − − − − − − − − − −
2 II x 2 4x 3 > 0 16 4(1)(3) 4
x
Quadro de resolução:
4±2 ⇒ x 3 e x 1 2 +
+
1
S II {x < 1 ou x > 3} SI
x
3
−
5
f(x)
+
−
+
g(x)
−
−
−
f(x) g(x)
−
+
−
0
3 2
SII
0
5
S {x IR | 0 x 5} 3
1
S
d) I f(x) x2 2x 8 ⇒ não tem raízes reais
3
S 5 {x IR | x > 3}
+ + + + + + + + + + +
1 08. a) I f(x) x 3 ⇒ raiz 3
3
−
+
II g(x) x2 3x 10 ⇒ raízes: x 2 e x 5 +
−2
−
x
3
III h(x) x2 4 ⇒ raízes: x 2 e x 2
− +
Quadro de resolução:
−2
3
−
−
+
+
g(x)
−
+
+
−
+
−
+
−2
3
0
−
3
− 5
x
x
2
−2
b) I f(x) x2 3x ⇒ raízes: x 0 e x 3 +
−
Quadro de resolução:
S {x IR | 2 x 3 ou x 5}
+
+ −2
5
f(x)
f(x) g(x)
+ 2
x
5
−
II g(x) x2 5x 6 ⇒ raízes: x 3 e x 2
x
+
x
2
3
f(x)
+
+
+
+
g(x)
+
+
−
+
h(x)
+
−
+
+
f(x) g(x) h(x)
+
−
−
+
−2
2
S {x IR | 2 x 3 e x 2}
3
147
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 5 109. I f(x) x2 2x 15 ⇒ raízes: x 5 e x 3 +
+ −3
+
−
2
+
f(x)
−
5
−
−4
2
3
4
g(x)
+
+
−
−
f(x) g(x)
+
−
+
−
g(x)
+
−
−
−
+
f(x) g(x)
+
−
+
−
+
−3
2
5
S {x IR | x 3 ou 2 x 5} Portanto, os números inteiros positivos que pertencem à solução são 3 e 4.
+
3
4
1 13. I f(x) x2 8x 12 ⇒ raízes: x 2 e x 6 + 2
x
6
−
+
x
4
+ 0
x
5
−
Quadro de resolução:
−3
0
2
4
0
f(x)
−
+
+
−
−
g(x)
+
+
−
−
+
f(x) g(x)
−
+
−
+
−
−3
0
2
4
1 11. I f(x) x2 2x ⇒ raízes: x 0 e x 2 +
+
+
+
−
−
+
g(x)
+
−
−
+
+
f(x) g(x)
+
−
+
−
+
x
+
+ 2
+
6
x
3
−
II g(x) x 2 ⇒ raiz: x 2 −
x
+
2
x
4
−
6
1 14. a) I f(x) x2 5x 6 ⇒ raízes: x 2 e x 3
II g(x) x2 7x 12 ⇒ raízes: x 3 e x 4 +
5
f(x)
2
−
2
0 2 5 S {x IR | 0 x 2 ou 5 x 6}
S {x IR | 3 x 0 ou 2 x 4}
3
2
II g(x) x2 5x ⇒ raízes: x 0 e x 5
Quadro de resolução:
0
+
+
+
−4
II g(x) x 4x ⇒ raízes: x 0 e x 4
−
−
S {x IR | x 4 ou 2 x 3 ou x 4}
2
0
+
+
−
+
+
x
2
−
Quadro de resolução:
f(x)
−3
x
4
−
+
1 10. I f(x) x2 x 6 ⇒ raízes: x 3 e x 2
+ −4
Quadro de resolução:
x
3
−
II g(x) x2 16 ⇒ raízes: x 4 e x 4
x
2
+ 2
−3
+
II g(x) x 2 ⇒ raiz: x 2
x
5
−
+
112. I f(x) x2 5x 6 ⇒ raízes: x 2 e x 3
Quadro de resolução:
Quadro de resolução: 0
2
3
2
4
3
f(x)
+
−
+
f(x)
+
−
+
+
+
g(x)
+
+
+
−
+
g(x)
−
+
+
f(x) g(x)
+
+
f(x) g(x)
−
−
+
− 0
+ 2
− 3
S {x IR | 0 x 2 ou 3 x 4}
4
2 S {x IR | x 3}
3
148
Matemática b) I f(x) x2 3x 2 ⇒ raízes: x 1 e x 2 +
+ 1
x
2
−
e)
I f(x) x2 3x 4 ⇒ raízes: x 1 e x 4
II g(x) x 4 ⇒ raiz: x 4 4
+ x
+
2
4 +
+
−
+
+
g(x)
−
−
−
+
f(x) g(x)
−
+
−
+
Quadro de resolução:
2
−2
4
c) I f(x) x2 4 ⇒ raízes: x 2 e x 2 +
+ −2
x
2
−
II g(x) x2 3x ⇒ raízes: x 0 e x 3 +
0
x
3
−
Quadro de resolução:
−2 f(x)
+
g(x)
−
f(x) g(x)
−
0
2
−
+
+
+
−
+
0
+
−
−
+
+
g(x)
+
+
−
−
+
f(x) g(x)
+
−
+
−
+
x2 ( x 2) x2 x 2 0 ⇒ 2 0 x( x 2 ) x 2x I f(x) x2 x 2 ⇒ raízes: x 2 e x 1 +
−
2
3
2
x2 x x2 1 x 1 0 ⇒ 2 0 x2 1 x 1
II g(x) x2 2x ⇒ raízes: x 0 e x 2
−
Quadro de resolução: −2
+
x
−
II g(x) x 1 ⇒ raízes: x 1 e x 1 2
+
+ −1
x
0
−1
+ −2
I f(x) x 1 ⇒ raiz: x 1
x
2
−
+
2
x x x x ( x 1) 0 ⇒ d) 2 1 0 ⇒ x 1 x2 1 ⇒
+ −1
S {x IR | 2 x 0 ou 2 x 3} 2
2
f(x)
+
+
−
−2
1
3
−
−
−2
−4 −2 1 2 S {x IR | 4 x 2 ou 1 x 2}
f)
−
x
2
−
−4
S {x IR | x 1 ou 2 x 4}
+
f(x)
1
x
1
−
II g(x) x2 4 ⇒ raízes: x9 2 e x 2
Quadro de resolução: 1
+ −4
−
3x 3x x 2 4 x 2 3x 4 1 0 ⇒ 0 0 ⇒ 2 x 4 x 4 x2 4 2
−
x
1
−1
1
f(x)
−
+
+
g(x)
+
−
+
f(x) g(x)
−
−
+
S {x IR | x 1}
−1
0
2
+
+
−
−
+
g(x)
+
−
−
+
+
f(x) g(x)
+
−
+
−
+
−2
−1
0
2
S {x IR | x 2 ou 1 x 0 ou x 2}
115. I f(x) x2 x ⇒ raízes: x 0 e x 1
Quadro de resolução:
−1
f(x)
+
+ −1
x
0
−
II g(x) x 1 ⇒ raiz: x 1 1
1 −
+
x
149
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 5 Quadro de resolução:
−1
0
f(x)
+
−
+
+
g(x)
−
−
−
+
f(x) g(x)
−
+
−
+
−1
0
Quadro de resolução: 2
1 16. I f(x) x2 7x 12 ⇒ raízes: x 3 e x 4 3
x
II g(x) x 2 ⇒ raiz: x 2 2
f(x)
−
−
+
g(x)
+
−
−
f(x) g(x)
−
+
−
−
x
Quadro de resolução: 2
3
4
f(x)
+
+
−
+
g(x)
−
+
+
+
f(x) g(x)
−
+
−
+
2
3
4
• Inequação do 2‚ grau: x2 2x 4x 8 0 ⇒ x2 6x 8 0 36 4(1)(8) 4
x
+
4
2 | S {x IR 2 x 4}
4
−
4
S {x IR | 2 x 3 ou x 4}
6 ± 2 ⇒ x 2 e x 4 2 +
2
x
4
−
−
S {x IR | 2 x 4}
1 19. I f(x) x2 2x 3 ⇒ raízes: x 3 e x 1 +
x3 x 3 (1 x )( x 2 ) 1 17. 1 x 0 ⇒ 0 ⇒ x 2 x 2 ⇒
x
−
1
+
2
+
S {x IR | x 1 ou 0 x 1}
+
II g(x) x 2 ⇒ raiz: x 2
1
+ −1
x 3 x 2 x 2 2x x 2 4x 5 0 ⇒ 0 x 2 x 2
x
3
−
II g(x) x2 4 ⇒ raízes: x 2 e x 2 +
−2
I f(x) x2 4x 5 ⇒ não tem raízes reais x
x
2
−
−
− − − − − − − − − − −
Quadro de resolução: −2
II g(x) x 2 ⇒ raiz: x 2 2
x
+
−
2 f(x)
−
−
g(x)
−
+
f(x) g(x)
+
−
−
+
g(x)
−
+
+
−
−
f(x) g(x)
−
+
−
+
−
−2
+ 4
−1
2
3
S {x IR | 2 x 1 ou 2 x 3}
⇒ raízes: x9 5 23 e x 1 +
+ −3
−
x
1
II g(x) x2 5x 6 (x 1 2)(x 1 2) ⇒ ⇒ raízes: x 2 e x 3
I f(x) x 4 ⇒ raiz: x 4 −
−
1 18. • Inequação-produto:
3
+
1 20. I f(x) x2 2x 3 (x 1 3)(x 2 1) ⇒
2
S {x IR | x 2}
2
+
Quadro de resolução:
−1
f(x)
+
x
+ −3
−
−2
x
150
Matemática c) f(x) 5 2x2 1 3x 2 2 a 5 21, b 5 3 2ax 1 b 5 2(21)x 1 3 5 22x 1 3 No ponto P(x0, y0 ), se torna 22x0 1 3.
III h(x) 3x 6 ⇒ raiz: x 2 x
+
−
−2
Quadro de resolução: −3
−2
1
f(x)
+
−
−
+
g(x)
+
−
+
+
h(x)
+
+
−
−
f(x) g(x) h(x)
+
+
+
−
−3
−2
1
S {x IR | x 1 e x 2}
1 21. x 4 ⇒
2 ( x 4 )( x 1) 2 0 ⇒ 0 ⇒ x 1 x 1
x 2 x 4x 4 2 x 2 5x 6 0 0 ⇒ x 1 x 1
I f(x) x2 5x 6 ⇒ raízes: x 2 e x 3 +
+ −3
II g(x) x 1 ⇒ raiz: x 1 −1
x
+
−
Quadro de resolução: −3
−1
−2
123. a) f(t)
1 2 at bt c 2
f(t) t2 4t 3 Ponto máximo: b 4 4 t 2 2a 2( 1) 2 v(t) 0 ⇒ at b 0 ⇒ 2t 4 0 ⇒ 2t 4 ⇒ t 2 s Portanto, depois de 2 s a partícula mudará de sentido. b) f(t) 4t2 12t 16 Ponto máximo: 12 12 b t 1,5 s 2( 4 ) 8 2a v(t) 0 ⇒ at b 0 ⇒ 4t 12 0 ⇒ 4t 12 ⇒ t 1,5 s Portanto, depois de 1,5 s a partícula mudará de sentido. c) f(t) t2 8t 15 Ponto máximo: 8 b 8 t 4 2 2a 2 1 v(t) 0 ⇒ at b 0 ⇒ 2t 8 0 ⇒ 2t 8 ⇒ t 4 s Portanto, depois de 4 s a partícula mudará de sentido.
x
−2
−
d) f(x) 5 12x2 1 7x 2 1 a 5 212, b 5 7 2ax 1 b 5 2(212)x 1 7 5 224x 1 7 No ponto P(x0, y0 ), se torna 224x0 1 7.
f(x)
+
−
+
+
g(x)
−
−
−
+
f(x) g(x)
−
+
−
+
−3 −2 −1 | S {x IR x 3 ou 2 x 1}
d) f(t) 4t2 18t 36 Ponto máximo: 18 9 b 18 2,25 s t 8 4 2a 24 v(t) 0 ⇒ at b 0 ⇒ 4t 18 0 ⇒ 4t 18t ⇒ t 2,25 s Portanto, depois de 2,25 s a partícula mudará de sentido.
1 24. 1·· maneira: a
v 100 m/s 5 m/s2 t 20 s
S S0 v0t 5 100 20
1 22. a) f(x) 5 x2 2 4x 1 4
f( x h ) f( x ) 5 h
( x h )2 4( x h ) 4 ( x 2 4x 4 ) 5 5 h 5
x 2 2xh h2 4x 4h 4 x 2 4x 4 5 h
5
h ( 2x h 4 ) 2xh h2 4h 5 5 2x 1 h 2 4 h h
No ponto P(x0, y0 ), temos 2x0 2 4. b) f(x) 5 6x2 1 5x 1 1 a 5 6, b 5 5 2ax 1 b 5 2 ? 6x 1 5 5 12x 1 5 No ponto P(x0, y0 ), se torna 12x0 1 5.
at 2 at 2 at 2 ⇒ S S0 v0t ⇒ S v0t 2 2 2
5 202 2 000 1 000 3 000 2
Logo, S 3 000 m 3 km (comprimento mínimo da pista para que o avião consiga decolar). 2·· maneira (graficamente): a
Dv v 100 ⇒ 5 ⇒ v 200 m/s (velocidade após 20 s) Dt 20 v (m/s)
200
100
t (s) 0
20
151
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 5 Área deslocamento
(B b )a ( 200 100 )20 2 2
v (m/s)
5 3 000 m 3 km Portanto, o valor da aceleração é de 5 m/s2 e o comprimento mínimo da pista é de 3 km. 125. 1·· maneira: Temos três tipos de movimentos independentes. 1· parte: O automóvel mantém velocidade variável com aceleração constante (MUV). a 5 m/s2 v0 0 t 8 s S 0 0
t (s) 0
8
28
36
Área da região retangular: A 36 40 1 440 Logo, S 1 440 m.
at 2 5 82 160 ⇒ S1 160 m 0 0t 2 2 v v0 at ⇒ v1 0 5 8 40 ⇒ v1 40 m/s
S1 S0 v0t
2· parte: O automóvel mantém velocidade constante (MU). v cons tan te v1 40 m/s t 20 s S 0 0
126. f(1) 2, f(2) 5, f(3) 10, f(4) 17, f(5) 26, …, f(n) n2 1, f(n 1) n2 2n 2, … 2, 5, 10, 17, 26, …, n2 1, n2 2n 2, … Sequência formada pelas diferenças de termos consecutivos: 3, 5, 7, 9, …, 2n 1, …, que é uma PA de razão 2. 127. f(1) 0, f(3) 4, f(5) 16, f(7) 36, f(9) 64, f(11) 100, …, f(2n 1) 4n2 8n 4, f(2n 1) 4n2, … 0, 4, 16, 36, 64, 100, …, 4n2 8n 4, 4n2, … Sequência formada pelas diferenças de termos consecutivos: 4, 12, 20, 28, 36, …, 8n 4, …, que é uma PA de razão 8.
S2 S0 vt 0 40 20 800 ⇒ S2 800 m 3· parte: O automóvel volta a acelerar (MUV). a 5 m/s2 v 0 40 m/s v 80 m/s S 0 0
1 28. Exercício 126:
Dv 40 ⇒ 5 5 ⇒ t 8 s Dt Dt at 2 5 82 S3 S0 v0t 320 160 480 ⇒ 0 40 8 2 2 ⇒ S3 480 m
a
Assim, a distância percorrida é a soma das distâncias percorridas nas três partes. S S1 S2 S3 160 800 480 1440 ⇒ S 1440 m
2·· maneira: Construindo um gráfico da velocidade do automóvel em função do tempo, temos:
Razão da primeira PA: 1 Razão da última PA: 2 a1 2ar2 2 1 12 2 (correto) Exercício 127: Razão da primeira PA: 2 Razão da última PA: 8 a1 2ar2 2 1 22 8 (correto)
129. a) f(1) 5 1, f(4) 5 49, f(7) 5 169, f(10) 5 361, ..., f(3n 1 1) 5 36n2 1 12n 1 1, ... 1, 49, 169, 361, ..., 36n2 1 12n 1 1, ...
v (m/s)
Sequência formada pelas diferenças de termos consecutivos:
80 3 40
40
v = 40 m/s
II
2 I S
1
t (s) 0
8
28 20 s
36 8s
Dv Dv ⇒ 5 ⇒ v 40 m/s Dt 8 Parte 2 : v constante durante 20 s Parte 1 : a
Parte 3 : a
Dv 40 ⇒ 5 ⇒ t 8 s Dt Dt
Como a área do triângulo I é igual à área do triângulo II , podemos
48, 120, 192, ...
72 n 16 ,
..., que é uma PA de razão 72.
f(3n 1) f(3n 2)
b) Razão da primeira PA: 3 (r 5 3) Razão da última PA: 72 a54 2ar2 5 2 ? 4 ? 32 5 72 (correto) Realmente, se r 5 3 é a razão da primeira PA, 2ar2 5 72 é a razão da última PA. 130. Seja n o número de condôminos. A princípio deveríamos ter um condo3 600 , mas como 10 condôminos deixaram de pagar, o mínio de n 3 600 novo valor ficou , e isso ocasionou um acréscimo de R$ 60,00. n 10 Assim, temos:
transladar o triângulo II para o local do triângulo I , obtendo um
3 600 3 600 60 ⇒ n2 10n 600 0 ⇒ n 30 e n 10 n
retângulo.
n 20 (não serve)
152
Matemática Logo, temos 30 condôminos, e como somente 20 deles efetuaram o 3 600 pagamento, cada um pagou 180 (R$ 180,00). 20
10 b) Para estudarmos o crescimento Cm(x) x 3 no interx valo [1, 4], podemos elaborar uma tabela de valores:
1 31. Seja x o número de lugares vazios (0 x 40). O lucro da empresa
x
Cm(x)
é dado pela função L(x) (40 x)(20 2x). Para determinar o lucro máximo, basta determinar a abscissa do vértice da parábola L(x) x2 30x 400. Assim: b 30 15 xV 2a 2( 1) Portanto, temos o lucro máximo da empresa quando 15 passageiros forem transportados.
1
12
132. Um dos amigos gastaria x horas e o outro (x 20) horas. Em 1 hora 1 . Logo, temos: a fração do trem que os dois descarregam é igual a 24 1 1 1 ⇒ x2 28x 480 0 ⇒ x 40 e x x 20 24 x 12 (não serve) Portanto, um deles descarregaria o trem em 40 horas e o outro em 60 horas se estivessem sozinhos.
2
6
3
3,3
4
1,5
Examinando-a, percebemos que a função Cm(x) é decrescente (pois, para x2 x1, temos Cm(x2) Cm(x1)). Nessas condições, podemos concluir que quanto maior a produção menor é o custo das peças produzidas. 135. a) yv 5
Lucro máximo 5 220 b) 2x2 1 30x 2 5 > 195 ⇒ 2x2 1 30x 2 200 > 0 D 5 302 2 800 5 100 x 5
133. Uma torneira gasta x horas e a outra (x 15) horas. Em 1 hora as duas torneiras enchem
1 1 1 da piscina, sendo e as frações 18 x x 15
do volume, respectivamente, que representam a contribuição de cada torneira. Logo: 1 1 1 5 ⇒ x2 21x 270 0 ⇒ x 30 e x 9 x x 15 18 (não serve) Portanto, uma torneira gastaria 30 horas para encher a piscina e a outra gastaria 45 horas.
1 34. a) L(x): função lucro
(302 20) 880 220 4a 4 4
30 ± 10 ⇒ x9 5 10 e x0 5 20 2( 1)
+
10 −
x
20 −
S 5 {x IR | 10 < x < 20} b 40 4 2a 2 ( 5) A pedra atinge altura máxima no instante t 5 4 s.
136. a) xv 5
b) h(4) 5 25 ? 42 1 40 ? 4 1 100 5 180 25t2 1 40t 1 100 5 0 ⇒ t9 5 10 e t0 5 22 (não serve) h (t)
L(x) R(x) C(x) R(x) 10x 2x2
180
10 C(x) x Cm(x) x x 3 x2 3x 10 x L(x) 10x 2x2 (x2 3x 10) x2 7x 10
100
t
L (x) 0
5 4
137. xv 5
3 2,25 2
10
b 5 14 ⇒ 2b 5 14 ? 2(21) ⇒ b 5 28 2a
Resposta: alternativa c.
1 x 0
4
1
2
3 3,5 4
5
6
O valor de x que torna a função lucro L(x) máxima é b 3,5. xmáx. 2a Substituindo x por 3,5 na função lucro, temos o lucro máximo: Lmáx. (3,5)2 7 3,5 10 2,25 Portanto, o número de peças a serem produzidas é de 3,5 milha res (3 500) para obter o lucro máximo de 2,25 milhares de reais (R$ 2 250,00).
138. Lugares desocupados: x Lugares ocupados: 100 2 x Preço por pessoa: 200 1 4x O faturamento F pode ser expresso em função de x por uma função quadrática: F(x) 5 (100 2 x)(200 1 4x) 5 24x2 1 200x 1 20 000 b (abscissa do vérO faturamento máximo acontece quando x 5 2a tice da parábola): x 5
b 200 5 25 5 2a 8
Para que a companhia obtenha o faturamento máximo, devem ser 25 os lugares não ocupados.
153
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 5 t
139. a) h(t) 5 0 ⇒ 3t 2 3t2 5 0 ⇒ t(3 2 3t) 5 0 ⇒ 3 2 3t 5 0 ⇒ ⇒ 23t 5 23 ⇒ t 5 1 s b) yv 5
9 9 0, 75 m 4a 4( 3) 12
Desafio em equipe Ponto procurado: P(x, x )
5. Centenas de milhares de japoneses morreram instantaneamente desintegrados pelo calor atômico de 5,5 milhões de graus Celsius. Temperatura similar à temperatura do Sol. A radioatividade das explosões das bombas espalharam-se provocando chuvas ácidas, contaminação do solo, lagos, rios. O desarmamento nuclear é o caminho para evitar que fatos dessa natureza nunca mais voltem a acontecer. 6. A guerra fria surgiu logo após a Segunda Guerra Mundial. Os dois blocos políticos disputavam a hegemonia política, militar e econômica. Com a crise do socialismo e o consequente enfraquecimento do sistema, os embates ideológicos, militares e políticos praticamente acabaram e com eles a guerra fria.
9 Ponto dado: A , 0 2 d(P, A) ( x A xP )2 ( y A yP )2 ⇒ 2
9 2 ⇒ (d(P, A))2 (xA xP)2 (yA yP)2 x (0 x ) 2 81 5 x2 8x 4 81 8 b O valor mínimo para x2 8x se dá em x 4. 4 2 2a
7. Para alguns historiadores a derrubada do muro de Berlim representou o fim da guerra fria.
Atividades adicionais
Para x 4, temos x 4 2. Logo, P(4, 2) é o ponto da curva que tem a menor distância de
1. x1 5
9 A , 0 . 2
1 1 e x2 3 2
f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, sendo:
[x ] [x ] 0 ⇒ 1 2
1 hora x ⇒ x 5 0,7 h 5 42 min
2. x1 2 3 x1x 2 1
12 bombas 2. 50 kg ⇒ x 5 7,44 31 kg x O número máximo de bombas nucleares que a Coreia pode produzir é 7.
⇒ x2 2 3
3. ax2 1 bx 1 c 5 0 2 b b 2 S 5 ⇒ 15 a a 15
b ∆ , ] ⇒ C(200, 40 000) 2a 4a
2 4 4 2 4 ⇒ ⇒ 2P S 15 15 15 15 15 1 c 2 ⇒ P ⇒ P 15 a 15 2 S 2P
O ponto M é o ponto M(200, 0). y
Portanto:
C
ax2 1 bx 1 c 5 0 ⇒ x2 1 x
A
M
y A(x)
x1 2 x2 5
3 1 e x2 15 3
1 3 5 3 8 [ ] 3 15 15 15
Resposta: alternativa e. B(x)
x
4. herança 5 R$ 200 000,00 200 000 y ( I) x 3y 15 000(x 3) ⇒ y 5 000(x 3)
O ponto mais alto da trajetória parabólica é dado por: V [
b c 2 1 x 0 ⇒ x2 x 0 ⇒ a a 15 15
⇒ 15x2 2 2x 2 1 5 0 ⇒ x1 5
B
Logo:
4.
1 1 1 x x 0 ⇒ 6 3 2
Soma das r aízes : 2 3 2 3 4 Logo: x2 2 Sx 1 P 5 0 ⇒ x2 2 4x 1 1 5 0 Resposta: alternativa e.
3. O ponto B é a raiz da função, portanto: 2x2 1 400x 5 0 ⇒ x9 5 0 e x0 5 400 Logo, B(400, 0). O ponto C é o vértice da parábola, então: C [
x2
⇒ 6x2 2 2x 1 3x 2 1 5 0 ⇒ 6x2 1 x 2 1 5 0 Resposta: alternativa b.
A Matemática e as práticas sociais 1. 6 500 km 4 550 km
1 3
b ∆ , ] . Então, V(3, 9). Como V é um ponto de encon2a 4a
(II)
Substituindo (II) em (I), temos: t
tro, teremos B(3) 5 9. Logo: 23 ? 3 1 k 5 9 ⇒ k 5 18
200 000 5 000(x 3) ⇒ 40 5 x(x 2 3) ⇒ 40 5 x2 2 3x ⇒ x
154
Matemática ⇒ x2 2 3x 2 40 5 0 ⇒ (x 2 8)(x 1 5) 5 0 ⇒ x 5 8 e x 5 25 (não serve) Resposta: alternativa a.
5. f: [0, 2] → IR, sendo f(x) x2 1 g: IR → [a, b], sendo g(x) x 1 g o f(x) g[f(x)] g[x2 1] x2 1 1 x2 2 Como g o f é sobrejetiva, temos: a g o f(0) 02 2 2 b g o f(2) 22 2 6 Logo: ab268
4±6 ⇒ x 5 e x 1 2 +
+ 1
x
4
−
Portanto, o menor número inteiro que satisfaz a inequação é zero. 7. O vértice da função f(x) x2 6x 7 é: b ( 6 ) xv 3 2a 2 1 yv 32 6 3 7 16 Portanto, V(3, 16). V(3, 16) g(x) m(x), então: 16 16 m 3 ⇒ m 3 Resposta: alternativa a. 8. • L(2) 5 2100 ? 22 1 1 200 ? 2 2 2 700 5 2700 ( prejuízo) Portanto, a afirmação I é falsa. • Lucro máximo: xv 5
b 1 200 5 6 2a 2 ( 100)
Logo, a afirmação II é verdadeira. • L(15) 5 2100 ? 152 1 1 200 ? 15 2 2 700 5 27 200 Portanto, a afirmação III é verdadeira. Resposta: alternativa e. 1 1 ( 20 ) 2 1 a ⇒ a 5 20 9. y1 5 x 2 1 a ⇒ 0 5 20 20 1 Logo, y1 5 x 2 1 20. Então: 20 x v 10 10 0 20 15 y v 20 y2 5
2 1 2 1 22 (10) 5 b ⇒ ? (20)2 1 b ⇒ x 1 b ⇒ 0 5 10 10 10
⇒ b 5 40 Logo, y2 5
1 2 x 1 40. Então: 10
x v 10 10 0 40 30 y v 10 Resposta: alternativa c.
⇒ 0,2p2 0,1p 0,15 0 ⇒ p Como p ]0, 1], então p
0,1 ± 0,13 0, 4
0,1 ± 0,13 . 0, 4
2) Falso Vamos tomar como exemplo p 1. fA(1) 0,3 12 0,6 1 0,4 ⇒ fA(1) 0,1 fB(1) 0,5 12 0,5 1 0,25 ⇒ fB(1) 0,25 Portanto; fA(1) fB(1).
6. 16 4(1)(5) 36 x
10. 1) Verdadeiro Existe p ]0, 1] tal que: fA(p) fB(p) ⇒ 0,3p2 0,6p 0,4 0,5p2 0,5p 0,25 ⇒
3) Verdadeiro O risco total é: f(p) f(q) f(p) f(1 p) 5 0,3p2 0,6p 0,40 0,3(1 p)2 0,6(1 p) 0,40 0,6p2 0,6p 0,5 4) Verdadeiro Seja R B(p) o risco total em B. Então: R B(p) f(p) f(1 p) 5 0,5p2 0,5p 0,25 0,5(1 p)2 0,5(1 p) 0,25 ⇒ ⇒ R B(p) p2 p 0,5 O ponto PV do vértice da parábola R B(p) é: PV
( 1) 1 2 (1) 2
Logo, p
1 1 e q . 2 2
11. Pelo gráfico vemos que a parábola, quando x 5 0, intercepta o eixo y em y 5 10. Portanto: ax2 1 bx 1 c 5 y ⇒ a ? 02 1 b ? 0 1 c 5 10 ⇒ c 5 10 1 Para x 5 , y 5 12. Então: 2 1 1 1 1 a 1 b 1 10 5 12 ⇒ a 1 b 5 2 ⇒ a 1 2b 5 8 2 2 4 4
(I)
Para x 5 21, y 5 0. Então: (21)2 ? a 2 1b 1 10 5 0 ⇒ a 2 b 5 210 ⇒ 2a 1 b 5 10 (II) Fazendo (I) 1 (II), temos: 3b 5 18 ⇒ b 5 6 Mas: a 2 b 5 210 ⇒ a 5 210 1 b 5 210 1 6 ⇒ a 5 24 Portanto, y 5 24x2 1 6x 1 10. Para x 5 2, teremos: y 5 24 ? 22 1 6 ? 2 1 10 5 216 1 12 1 10 ⇒ y 5 6 Logo, o ponto (2, 6) pertence também à reta definida pela função y 5 mx 1 n. Como o coeficiente linear é 10, então y 5 mx 1 10. Mas, para x 5 2, y 5 6. Portanto: 6 5 m ? 2 1 10 ⇒ m 5 22 Logo, y 5 22x 1 10. Assim, a raiz dessa função é: 22x 1 10 5 0 ⇒ 22x 5 210 ⇒ x 5 5 Resposta: alternativa e. 12. x 5 número de dias Preço por dia pago por lote de 300 latas: com a redução diária de 1,25% do preço, cada lote de 300, que custaria 30 reais se fosse
155
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 5 pago 0,10 por lata, perde 0,375 milésimos de real por dia. Assim, cada lote de 300 latas no dia x sai por P 5 30 2 0,375x. O preço total arrecadado pelas latas é, então: PT(x) 5 (30 2 0,375x)x
O máximo dessa função ocorre com x 5 40. Resposta: 40 dias.
a( 10)2 c 900 f( 10) 900 ⇒ ⇒ 2 a( 8) c 885,6 f( 8) 885,6 100a c 900 ⇒ ⇒ a 0,, 4 e c 860 64a c 885,6
Então, f(x) 5 0,4x2 1 860. Portanto, a parábola cruza o eixo y em (0, 860), ou seja, o ponto mais baixo está a 8,6 m do solo. Resposta: alternativa b.
13. 1) Correto • Banco A: 2 502 6 50 RA 5 0,5 1 0,3 5 0,8 mil reais 104 103
15. f: IR → A, sendo f(x) x2 4x 6
• Banco B: 16 50 12 R B 5 2 0,68 mil reais 103 10
y
Portanto, RA . R B . 2
2) Errado Para 8 mil reais (C 5 8):
2
0
x
• Banco A: 2 82 68 RA 5 0,0608 mil reais 104 103
xV
b ( 4 ) 2 2a 2 1
• Banco B: R B 5 0,08 ? 8 5 0,64 mil reais
yV
( 8 ) 2 4a 4 1
Portanto, R B . RA .
Como f é sobrejetora, então: CD Im ⇒ A Im ⇒ A {y IR | y 2}
3) Errado • R B para C 5 40: 16 40 12 R B 5 2 0,52 1 103 10
Resposta: alternativa a. 16. a) O peso ideal de Cíntia é 57 kg. Então, fazendo P 57 e k 2 na fórmula, temos: a 150 57 (a 100) ⇒ 114 2a 200 a 150 ⇒ 2 ⇒ a 164 cm ou 1,64 m
• R B para C 5 20: R B 5 2
16 20 12 3 0,2 103 10
Portanto, R B 2R B . 1
2
4) Correto • Banco A:
b) De acordo com o enunciado, temos: a 150 PPaulo PPaula 2 ⇒ (a 100) 4 a 150 5 (a 100) 2 ⇒ 4a 400 a 150 2
2C2 6C 3 0,275 ⇒ 2C2 1 60C 5 2 750 ⇒ 104 10 ⇒ C2 1 30C 2 1 375 5 0 ⇒ C1 5 25 e C2 5 255 (não convém)
5 4a 400 2a 300 8 ⇒ 3a 250 2a 92 ⇒ a 158
Assim, precisamos investir 25 000 reais no banco A.
Portanto:
• Banco B:
PPaulo (158 100)
16C 12 2 0,275 ⇒ 16C 2 120 5 275 ⇒ C 5 24,7 103 10
PPaula PPaulo 2 56 2 54 kg
Assim, precisamos investir 24 700 reais no banco B. 14. Vamos adotar um sistema de eixos coordenados adequado para facilitar a resolução do problema:
17. a) p(t) 100 15t 0,5t2, sendo 0 p(t) 100. Os zeros dessa função são: 0,5t2 15t 100 0 ⇒ t2 30t 200 0 ⇒ t 20 e t 10 Fazendo um esboço do gráfico, temos:
y 900
p (t) 100
885,6 C
9
t (s) 0 x
10 8
0
158 150 58 2 56 kg 4
10
20
• Eixo y passa pelo vértice: a parábola é do tipo f(x) 5 ax2 1 c. • A escala usada no eixo y está em centímetros. • Do gráfico, sabemos:
10
20
Logo, se 0 p(t) 100, então 0 t 10. Portanto, o domínio da função no intervalo pedido é: D {t IR | 0 t 10}. b) 100 15t 0,5t2 28 ⇒ 0,5t2 15t 72 0 ⇒ ⇒ t2 30t 144 0
156
Matemática +
+ 6
−
t
24
• vértice da parábola:
6 < t < 24
Logo, o tempo mínimo de exposição é 6 s. 18. a) d 5 dia da colheita Preço de cada fruta: R$ 2,00 2 0,02d Número de frutas colhidas: 80 1 d Logo, o ganho do fruticultor é: G 5 (2 2 0,02d)(80 1 d) ⇒ ⇒ G 5 160 1 2d 2 1,60d 2 0,02d2 ⇒ ⇒ G 5 160 1 0,4d 2 0,02d2
xv
b 50 25 2a 2( 1)
yv
900 225 4a 4 ( 1)
V(25, 225) L (x) V
225
b 0, 4 10 2a 2 ( 0, 02 )
b) xv 5
x 0
O dia de maior ganho é o 11‚ dia.
25
Analisando as afirmativas através da observação do gráfico, temos: I) Verdadeira
∆ 64 b) yv 5 8m 4a 4( 2 )
II) Verdadeira III) Falsa, deve produzir 25 itens por dia.
20. f(0) 5 c
IV) Verdadeira ax2B
1 bxB 1 c 5 c ⇒
ax2B
1 bxB 5 0 ⇒
b ⇒ xB(axB 1 b) 5 0 ⇒ xB 5 0 ou xB 5 2 a b Como xA 5 0, então xB 5 2 . a
Resposta: alternativa c. 24. Pelo enunciado, temos: d 300t 5t 2 v 300 10t a 10
Resposta: alternativa d.
01) Verdadeira
x y 2 y x 2 ⇒ 2 2 2 2 z x y z x y
21.
t v
300 b 30 s 2 ( 5 ) 2a
Então: z x2 (x 2)2 ⇒ z x2 x2 4x 4 ⇒ z 2x2 4x 4
02) Verdadeira
O valor mínimo de z é zv:
04) Verdadeira
zv
40
19. a) h(t) 5 0 ⇒ 22t2 1 8t 5 0 ⇒ t(22t 1 8) 5 0 ⇒ ⇒ 22t 1 8 5 0 ⇒ 22t 5 28 ⇒ t 5 4 s
f(xB ) 5 c ⇒
10
08) Falsa O projétil repassa o ponto de partida no instante t 5 60 s. Então: v 5 300 2 10 ? 60 ⇒ v 5 2300 m/s
( 16 ) 16 2 4a 42 8
Resposta: alternativa d.
16) Verdadeira 22.
dmáx 5 x
∆ 90 000 4 500 4a 20
32) Verdadeira y
Perímetro 84 ⇒ 2x 2y 84 ⇒ x y 42 ⇒ y 42 x Aretângulo x y ⇒ Aretângulo x (42 x) ⇒ ⇒ Aretângulo x2 42x ⇒ y x2 42x
25.
x2 x 1 1 x2 x 1 ( 3 x ) 0 ⇒ 0 ⇒ 3x 9 x2 9 x2 ⇒
Essa função do 2‚ grau tem como gráfico uma parábola com a concavidade voltada para baixo (a 1) e de raízes, 0 e 42. Resposta: alternativa a.
23. Pelo enunciado temos que: L(x) R(x) C(x); R(x) 60x x2 e C(x) 10(x 40). Então: L(x) R(x) C(x) ⇒ L(x) 60x x2 10(x 40) ⇒ ⇒ L(x) 60x x2 10x 400 ⇒ L(x) 2x2 50x 400
x2 4 0 9 x2
I f(x) x2 4 ⇒ raízes: x 2 e x0 2 +
+ –2
x
2
II g(x) 9 x2 ⇒ raízes: x 3 e x 3
Fazendo o gráfico dessa função, temos: • zeros da função: x2 50x 400 0 ⇒ x 40 e x 10
−
+
−
–3
x 3 −
157
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 6 Quadro de resolução: −2
3
2
f(x)
+
+
−
+
+
g(x)
−
+
+
+
−
f(x) g(x)
−
+
−
+
−
−3
−2
2
3
S ]3, 2] [2, 3[ Resposta: alternativa c. b ⇒ b 500a qV 2a 250 26. R(q): b2 4ac y 2 125 000 ⇒ b 500 000a V 4a Então: 250 000a2 5 2500 000a ⇒ a 5 22 R(q) 5 a(q 2 q1)(q 2 q2) 5 22(q 2 0)(q 2 500) 5 22q2 1 1 000q C(0) b 35 000 C(q): C(350) 350a b 105 000 ⇒ a 200 Então, C(q) 5 200q 1 35 000. Logo: L(q) 5 22q2 1 1 000q 2 (200q 1 35 000) 5 5 22q2 1 800q 2 35 000 Resposta: alternativa a.
Para refletir Página 150 f(x) 2x é função afim. f(x) 2x é função exponencial. f(x) x3 2x2 x 1 é função do 3‚ grau. Página 151 Em s(t): a 4,9; b c 0. Em p(n): a 1; b 1; c 0 Página 152 Porque x representa o número de pontos marcados na circunferência. Página 153 A função não é injetiva nem sobrejetiva. Página 154 Se existirem, os números serão as raízes da equação x2 3x 7 0. Essa equação tem 9 28 19 0. Para 0, não existe valor real para x. Página 159 2
5 1 Porque 3 x será sempre positivo e, somado com , o resulta 6 12 1 do será sempre maior do que . 12 Página 160 Como k
4ac b2 , vem: 4a
4ac b2 b2 4ac k 4a a a 4a2
Página 162 x2 4x 3 0 16 4 1 3 4
4±2 x 2
6 3 2 2 x 1 2 x
Logo, x 3x. Página 166 Não, porque uma função não pode ter duas imagens para um mesmo domínio, e essas parábolas têm dois y para cada x, excetuando-se o vértice. Página 172 Porque é o valor da função quando x vale 0. Se f(x) ax2 bx c, então f(0) c. Logo, a parábola intersecta o eixo y sempre no ponto (0, c). Página 177 • f(x) x2 100x tem a 1 0. • Um retângulo é um paralelogramo que possui quatro ângulos retos. Quando os quatro lados são congruentes, o retângulo recebe um nome especial: quadrado. Página 179 Uma reta e uma parábola podem ter dois pontos comuns, um ponto comum ou nenhum ponto comum. Página 181 Os sinais e indicam os intervalos nos quais a função assume valores positivos ou negativos. Página 184 • Será inequação do 2‚ grau se for do tipo f(x) 0, f(x) 0, f(x) 0, f(x) 0 ou f(x) 0, com f(x) ax2 bx c, em que a IR*, b IR e c IR. • Significa que a inequação x2 2 3x 1 2 , 0 não existe nos pontos para x 5 1 e x 5 2. Página 187 Pelo mesmo processo da multiplicação de números reais: sinais iguais, produto positivo; sinais diferentes, produto negativo. Página 189 As flechas indicam que a solução continua para ∞ ou ∞. O símbolo representa a não inclusão do ponto na solução. O símbolo representa a inclusão do ponto na solução. O traço mais forte representa todo o intervalo entre um número e outro.
Capítulo 6 Abertura 1. 47º5547 a oeste significa 47º5547, como vimos no texto. Como cada fuso corresponde a 15º, a longitude de Brasília estará a um pouco mais de 3 fusos (45º), no sentido negativo. Como existem 24 fusos (24 15º 360º, uma volta inteira), cada fuso corresponderá a 1 hora. Assim, a diferença de horário entre Greenwich e Brasília é de 3 horas (para menos em Brasília). 2. a) O sinal negativo indica que o saldo é devedor, ou seja, que o cliente deve ao banco. b) No dia 21 de abril o saldo era maior, pois 150 82. c) O correntista deve mais ao banco no dia 1‚ de abril, pois o valor absoluto da dívida é R$ 150,00 (portanto, mais que R$ 82,00). 5(F 32 ) 9 0 ºC 32 ºF
3. a) C
t
−3
158 t
Matemática 160 º C 5 0 ºF 9 aproximadamente 18 ºC Logo, 0 ºF é uma temperatura mais fria do que 0 ºC. 5( 68 32 ) b) 68 ºF ⇒ C 20 9 68 ºF correspondem a 20 ºC. Embora essa temperatura devesse caracterizar um clima nem muito frio nem muito quente, podendo acontecer no outono ou na primavera, hoje em dia a instabilidade das estações nos faz admitir que ela é possível em qualquer época do ano.
6. a) x 6 b) Não existe valor real para x. c) x 6 ou x 6 d) x 6
e) x 5 f) x 5 ou x 5 g) x 3 ou x 3 h) x 4 ou x 4
7. a) AB |7 1| 6 3 1 1 b) EA 1 1 1 2 2 2 c) DE
3 1 1 (2 ) 2 2 2 2
d) DC |6 (2)| |6 2| 4 e) CB |7 (6)| |7 6| 13
1. a) 3 3 6 b) |10 1| |11| 11 c) 3 5 15 d) |0| 0
e) 7 f) |3| 3 g) |9 3 12| |6| 6
f) DA |1 (2)| |1 2| 3 g) DB |7 (2)| |7 2| 9 h) CA |1 (6)| |1 6| 7 8. a) Indicando na reta real, temos: P M
2. a) |x4| x4 b) x 0 ⇒ x3 0 ⇒ |x3| x3 x 0 ⇒ x3 0 ⇒ |x3| x3
−127
−31
c) x 2 ⇒ x 2 0 ⇒ |x 2| x 2 x 2 ⇒ x 2 0 ⇒ |x 2| x 2
PQ |238 127| 365
d) x 4 . 0 e |x 2 4| x 4
MQ |238 31| 269 b) PO |2127| 127 MO |231| 31 QO |238| 238
f ) 1 x 4 ⇒ x 1 0 ⇒ |x 1| x 1 1 x 4 ⇒ x 4 0 ⇒ |x 4| x 4 Então, se 1 x 4: |x 1| |x 4| x 1 x 4 3 b) V
c) V
d) V
e) F
f) F
c) PO 1 QO 5 127 1 238 5 465 PM 1 MQ 5 96 1 269 5 365 Portanto, PO 1 QO tem o maior valor. g) V
h) V
4. a) 22 2 22 |2| (V) |2| 2 b) |32| 9 32 |32| |3|2 32 (V) |3|2 32 9 c) |3 (2)| |6| 6 |3 (2)| |3| |2| (F) |3| |2| 3 2 6 d) |(3) (4)| |12| 12 |3| |4| 3 4 12 e) |(1) 2| |1| 1 |1| |2| 1 2 3
g) ||(3)| |(2)|| |3 2| 1 |3 2| |1| 1 h) ||5| |(3)|| |5 3| 2 |5 3| |8| 8 5. a) y 9 ou y 9 b) Não existe valor real para y. c) y 0 4 4 d) y ou y 5 5 e) y 1 ou y 1 f) Não existe valor real para y.
9. a) f(7) |7| 7 b) f(4) |4| 4 c) f(0) |0| 0 d) f(4) |4| 4 e) f(x) |x| 8 ⇒ x 8 ou x 8 f) f(x) |x| 2 ⇒ não existe valor real para x. 10. a) f(x) |x 3| f(x)
|(3)| |(4)| |3| |4|
(V)
3
|(1) 2| |1| |2| (F)
f) |3 (5)| |3 5| |2| 2 |3| |5| 3 5 8
x
PM |–31 127| 96
e) x 2 ⇒ x 2 0 ⇒ |x 2| x 2 x 2 ⇒ x 1 0 ⇒ |x 1| x 1 Então, se x 2: |x 2| |x 1| x 2 x 1 2x 3
3. a) F
Q 238
2 1
|3 (5)|
x
< |3| |5| (V) ||(3)| |(2)|| . |3 2| (F)
0
1
3
2
4
b) f(x) |x 1|
||5| |(3)|| |5 3| (V)
f(x) 3 2 1 x
–2
–1
0
1
2
3
159
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 6 c) f(x) |x| 1
3x 15, se x 5 Então, f(x) 3x 15, se x 5
f(x)
b) f(2) 3(2) 15 6 15 9 f(7) 3(7) 15 21 15 6 f(1) 3(1) 15 3 15 18 f(5) 3(5) 15 15 15 0
3 2 1
13. a) f(8) |3 8| 4 9 f(1) |3 1| 4 8 f(3) |3 3| 4 4 f(0) |3 0| 4 7
x –1
0
1
3
2
4
d) f(x) |x| 3 f(x) 0
–1
b) x 3 ⇒ f(x) 3 x 4 7 x x 3 ⇒ f(x) 3 x 4 x 1
x 1
7 x, se x 3 Então, f(x) x 1, se x 3
3
2
–1
c)
–2 –3
e) f(x) |x 3| 2
y
x
y
1
6
4
5
2
5
5
6
3
4
6
7
y
f(x)
8 7 6 5 4 3 2 1
4 3 2
(3, 2)
1 x 0
1
2
3
4
5
f) f(x) |x 3| 1
x
y
3
2
0
2
3
1
x 2 ⇒ |x 2| x 2 ⇒ f(x) x 2
1 x
(–3, –1)
–2
–1
0
1 2 3 4 5 6
14. a) x 2 ⇒ |x 2| x 2 ⇒ f(x) x 2
f(x)
–3
x
−2 −1 0 −1
d) D(f ) IR Im(f ) {y IR | y 4}
–4
x
1
2
–1
x
y
1
1
0
2 y
11. a) D(f) IR Im(f) IRM b) f(x) é crescente para x 0 f(x) é decrescente para x 0 c) f(x) não é injetiva nem sobrejetiva. d) f(x) é função par. e) f(x) 0 para x 0 f(x) 0 para x 0 12. a) x 5 ⇒ f(x) |3x 15| 3x 15 x 5 ⇒ f(x) |3x 15| 3x 15
3 2 1
x 1 2 3
−1 0
D(f ) IR; Im(f) IRM b) x 1 ⇒ |x 1| 1 x 1 1 ⇒ f(x) x 2 x
y
1
1
2
0
160
Matemática x 1 ⇒ |x 1| 1 x 1 1 x x
16.
y
0
0
1
1
x
y
1
1
0
0
1
1
2
1
3
0
y 3 2 1
*
tim-tim por tim-tim
x 1 2 3
−2 −1 0 −1 −2
D(f) IR; Im(f) {y IR | y 1} c) x 0 ⇒ |x| x x x 2x ⇒ f(x) 2x x
y
0
0
1
2
4 3 2 1
3
x 1 2 3
y
0
3
1
5
b)
x
y
2
4
1
1
0
0
1
1
2
4
x
y
2
3
1
0
0
1
1
0
2
3
Página 219 5. a) O 50‚ dia está em fevereiro, e o 250‚ dia está em setembro. b) O 50‚ dia caiu numa quarta-feira, e o 250‚ dia numa segunda-feira. L(x) c) 21500 14900
x (dias do ano) 100
200
365
y 5
18. a) Condição: 3x > 0 ⇒ x > 0 x2 2 4 5 3x ou x2 2 4 5 23x ⇒
4 3 2 1 −2 −1 0 −1
x 1 x 1 x 1 2 ⇒ 2 ou 2 ⇒ x 1 2x 6 ou x3 x3 x3 7 x 1 2x 6 ⇒ x 5 ou x 3 7 S 5 , 5 3
d)
⇒ x 2 3x 4 0 ou x 2 3x 4 0 I II
x 1 2 3 4
I 9 4(1)(4) 9 1 16 5 25
x
3±5 ⇒ x9 4 (satisfaz a condição) e 2
x0 5 21 (não satisfaz a condição)
D(f) IR; Im(f) {y IR | y 1} 15. a)
x
c) 5 |2x 4| 11 ⇒ |2x 4| 6 ⇒ 2x 4 6 ou 2x 4 6 ⇒ 2x 2 ou 2x 10 ⇒ x 1 ou x 5 S {1, 5}
1 x 2 ⇒ |x 1| |x 2| x 1 x 2 1 x 1 ⇒ |x 1| |x 2| x 1 x 2 2x 3 ⇒ ⇒ f(x) 2x 3 x
3
x 1 x 1 x 1 2 ⇒ 2 ou 2 ⇒ x 1 8 ou 4 4 4 x 1 8 ⇒ x 9 ou x 7 S {7, 9}
d) x 2 ⇒ |x 1| |x 2| x 1 x 2 2x 3 ⇒ ⇒ f(x) 2x 3
3
−1
0 1 2
17. a) |4x 1| 3 S
D(f ) IR; Im(f) IRM
1
−3 −2 −1
b)
−3 −2 −1 0 −1
y
3 2 1
1
y
2
y
5900
x 0 ⇒ |x| x x x 0
x
y 5 4 3 2 1 −2 −1
x
3 ± 5 ⇒ x 1 (satisfaz a condição) 2
ou x 5 24 (não satisfaz a condição) x 0 1 2
II 9 4(1)(24) 25
S {1, 4} b) |3x 1 2| x 1 1 Condição: x 1 1 > 0 ⇒ x > 21
y
3x 1 2 x 1 1 ou 3x 1 2 5 2x 2 1 ⇒ x 5 3 2 1 −2 −1
(satisfaz a condição) ou x 5 x 0 1 2
1 3 S 5 { , } 2 4
1 2
3 (satisfaz a condição) 4
161
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 6 19. a) |x2 6x 1| 6 ⇒ x2 6x 1 6 ou x2 6x 1 6 ⇒
⇒ x 2 6 x 7 0 ou x 2 6 x 5 0 (I) ( II ) I II
6 ± 8 ⇒ x 1 ou x 7 2
b) |x2 5x| 6 ⇒ x2 5x 6 ou x2 5x 6 ⇒ 5x 6 0 ou x 2 ⇒ x 2 5x 6 0 (I) ( II ) I II
22. a) 2x 5 3 ou 2x 5 3 ⇒ x 4 ou x 1 S {x IR | x 1 ou x 4} b) 10 3x 1 10 ⇒ 11 3x 9 ⇒
I 25 4(1)(6) 49
x
S {x IR |
5±7 ⇒ x 6 ou x 1 2
S {x IR | x
c) |x2 6| 1
d) 2 < |x 1 2| < 6 I II
S d) |x 2x 4| 4 ⇒ x 2x 4 4 ou x 2x 4 4 ⇒ 2
2
⇒ x 2x 0 2x 8 0 ou x ( II ) (I) I II 2
2
I 4 4(1)(8) 36
x
2 ou x > 2} 3
I |x 1 2| > 2 ⇒ x 2 > 2 ou x 1 2 < 22 ⇒
| | ⇒ II x 1 2 < 6 ⇒ 26 < x 1 2 < 6 28 < x < 4 Quadro de resolução: I
0
−4
II
II x(x 2) 0 ⇒ x 0 ou x 2
−8
S
4
−8
0
−4
4
e) 5 1 |x 2 x 2 2| 3 ⇒ |x 2 x 2 2| 22 S5
S {x IR | 8 x 4 ou 0 x 4}
f) |x| y ⇒ y2 2 4y 2 12 0
S
2
2
16 4(1)(12) 64 4±8 ⇒ y 6 ou y 2 (não convém) 2 |x| 6 ⇒ x 6 ou x 6 S {6, 6}
y
g) |x| y ⇒ y2 2 4 5 0 ⇒ y 5 2 ou y 5 22 (não convém) |x| 2 ⇒ x 5 2 ou x 5 22 S {22, 2} 20. a) 3x 7 2x 3 ou 3x 7 2x 3 ⇒ x 4 ou x 2 S {2, 4}
e) |x 3| 1 f ) 2x 3 x ou 2x 3 x ⇒ x 3 ou x 1 S {x IR | x 1 ou x 3} 23. |2x 6| 4 ⇒ 4 2x 6 4 ⇒ 2 2x 10 ⇒ 1 x 5 S {2, 3, 4} 24. 1 |x 1| 2 I II I |x 1| 1 ⇒ x 1 1 ou x 1 1 ⇒ x 2 ou x 0
b) 1 3x x 3 ou 1 3x x 3 ⇒ 4x 2 ou 1 2x 4 ⇒ x ou x 2 2 1 S , 2 2 ⇒ x 3x 2 0 5x 0 ou x ( II ) (I) I II 2
II |x 1| 2 ⇒ 2 x 1 2 ⇒ 1 x 3 Quadro de resolução: I
c) x2 4x 1 x 1 ou x2 4x 1 x 1 ⇒ 2
2 3
⇒ x > 0 ou x < 24
2±6 ⇒ x 4 ou x 2 2
S {2, 0, 2, 4}
11 x 3} 3
x
2
11 x 3 3
c) 3x 2 4 > 2 ou 3x 2 4 < 22 ⇒ x > 2 ou x 1, |x| 5 x e |x 2 1| 5 x 2 1. Assim: f(x) 5 x 1 x 2 1 5 2x 2 1 22x 1 1, para x , 0
Portanto, f(x) 5 1, para 0 < x , 1 2x 2 1, para x > 1 e seu gráfico é: y
1
10. • Se x > 0: |x| 5 x x 5 2x 1 1 ⇒ x 5 21 (não convém)
• Se x , 0: |x| 5 2x
x 0
1
Resposta: alternativa c.
2x 5 2x 1 1 ⇒ x 5
1 3
13. I |x 5| 3 ⇒ 3 x 5 3 ⇒ ⇒ 3 5 x 5 5 3 5 ⇒ 2 x 8
Resposta: alternativa b. y 1 |x| 11. ||x| 1 y| < 1 ⇒ 21 < |x| 1 y < 1 ⇒ y 1 |x|
2
8
II |x 4| 1 ⇒ x 4 1 ou x 4 1 ⇒ x 5 ou x 3.
O gráfico de y < 1 2 |x| é:
3
y
Fazendo a intersecção de I e II , temos:
1
I
x
1
1 0
2
8
II I II
O gráfico de y > 21 2 |x| é: y 1
1
2
3
5
3
5
8
Como x ZZ, então S {3, 5, 6, 7}. A soma dos valores de S é: 3 5 6 7 21. Resposta: alternativa e.
x
0
x 2, se x 0 14. f(x) |x| 2 x 2, se x 0
1
y
2
2
A intersecção dos dois gráficos é: y 1
x 0 1
1 0
x
Resposta: alternativa a.
1
15. |x2 x 2| 2x 2 ⇒ 2
Assim, a imagem de f é todo y < 1. Resposta: alternativa b.
x2 ⇒ 2 x
x 2 2x 2 ⇒ x 2 3x 4 0 ⇒ ⇒ x 1 ou x 4 x 2 2x 2 ⇒ x 2 x 0 ⇒ ⇒ x 1 ou x 0
165
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 6 Condição de existência: 2x 2 0 ⇒ 2x 2 ⇒ x 1 Todas as raízes satisfazem a condição de existência. Logo, S {1, 0, 4}. Resposta: alternativa b.
19. O esboço do gráfico de f(x) x2 1 é: y
x
4 2t , se t 2 16. |4 2 2t| 5 2t 4, se t 2
0 –1
2t 6, se t 3 |2t 2 6| 5 6 2t , se t 3
O esboço do gráfico de g(x) |f(x)| é: y
V 5 10 2 |4 2 2t| 2 |2t 2 6| 5 10 (4 2t) (6 2t), se t 2 5 10 (2t 4) (6 2t), se 2 t 3 ⇒ 10 (2t 4) (2t 6), se t 3 4t, se t 2 ⇒ V 5 8, se 2 t 3 4t 20, se t 3
1 x 0
O esboço do gráfico de h(x) g(x) 2 é:
O volume permanece constante entre 10 e 11 h. y
17. I) Falsa, pois, se x y, então x y.
x
II) Verdadeira.
0
III) Verdadeira.
–1
IV) Falsa, pois, se x2 9, então x 3 ou x 3. V) Falsa, por exemplo, se x 1 e y 1, então: (1)2 2 (1) (1)2 0 ⇒ 0 . 0 (absurdo) Resposta: alternativa c. 2 x x, se x 0 18. f(x) |x2| |x| 2 x x, se x 0
O esboço do gráfico é: y
Resposta: alternativa a. 20. 01) Verdadeira 02) Falsa, pois, se f(x) g(x), então g(x) |x|. 04) Verdadeira. 08) Falsa, pois, se f(x) g(x), então g(x) |x|. 16) Verdadeira.
Para refletir x 0
O esboço do gráfico de f(x 1) é: y
x –1
O esboço do gráfico de f(x 1) é: y
Página 209 x |7| ⇒ x 7 |x| 7 ⇒ x ±7 Página 212 • Em g(x) todos os pontos de f(x) se deslocaram duas unidades para cima. Em h(x) todos os pontos de f(x) se deslocaram duas unidades para baixo. • Em r(x) todos os pontos de f(x) se deslocaram duas unidades para a direita. Em s(x) todos os pontos de f(x) se deslocaram duas unidades para a esquerda. • Em t(x) todos os pontos de f(x) se deslocaram três unidades para a direita e uma unidade para cima. Em u(x) todos os pontos de f(x) se deslocaram uma unidade para a esquerda e três unidades para baixo. Página 213
x –1
f(5) 2(5) 8 2 f(1) 2(1) 8 6 f(0) 2(0) 8 8 1 1 f 2 8 7 2 2 f(4) 2(4) 8 16
Resposta: alternativa a.
f(4) 2(4) 8 0
166
Matemática
Página 216 A indicação de significa que o ponto pertence ao gráfico da função; a indicação de significa que o ponto não pertence ao gráfico da função. ágina 220 P • III) |x| 0 (todo número real tem módulo 0, portanto S IR) IV) |x| 0 (todo número real não nulo tem módulo 0, portanto S IR*) V) |x| 0 (nenhum número real tem módulo 0, portanto S ) VI) |x| 0 (nenhum número real tem módulo negativo; resta, portanto, |x| 0 ⇒ S {0}) • S {x IR | 3 x 3} S {x IR | x 3 ou x 3} Página 221 a) S {2, 4} b) S {4}
5
9 4 243 239 1 1 5 5 4 108 108 27
1 16 2 1 1 4 2 2 22 2 1 4 2 5 b) y 5 5 4 5 1 2 1 1 2 2 2 1 4 2 4 15 5 215 1
5
3. a) 1 000 000
c)
b)
Abertura
105 5 103 102
Número de retângulos resultantes
0
1
2
3
4
5
1
2
4
8
16
32
b) 26 5 64 retângulos c) 2n d) 2n 5 256 ⇒ 2n 5 28 ⇒ n 5 8
1 5 0,01 100
c)
1 5 1024 10 000
d)
1 5 1026 1 000 000
1 1 1 , 1 , 3 , 9 , 27 , ... (crescente) 27 9 3
5. a) ...
1. a) Número de dobraduras
1 5 0,0001 10 000
d) 1022 5
4. a) 104
Capítulo 7
b) ... 64 . 16 . 4 . 1 .
1 1 1 . ... (decrescente) 4 16 64
6. a) 7 52 7 25 3
b) 2 4 4 23 4 8
2 2 2 2 2 2 2 2
4
c) ( 3 )5
5
(
3
)4
5 5 32 5 9
ou
4
4
1
1
3 )5 [ 3 2 ] 5 5 3 2
(
?
4 5
4
2
3 10 3 5 5 5 32 5 9
d) 9 5 3 1
e) 2
e) 1 f) 2
c) 28
g) 7 7
27 3 d) 2 8
2
( 22 )3
5 4
1 1 2 2 2 2
h) 3 08 5 0 4
2
i) 70,4 5 7 10 7 5 5 5 72 5 49 1
1
2
1
1
7. [27 3 64 2 8 3 4 2 ] 2 5 1
( 3 27
1
64 3 82 4
Logo, 3
1 1 h) 6 36
3
1 2. a) x 5 1 [321 2 (23)21]22 5 3 2
2
5
1 1 1 1 3 27 3
5
)2 5
1
5 ( 3 8 4 2 ) 2 5 9 2 3
⇒ 81 , 3 2
1 1 1 1 3 27 3
g)
3
8. 16 20 25 ⇒ 4 , 20 , 5 ⇒ 34 , 3
b) 6,25 3
4
2 3 3 24 5 3 23 ? 2 2 3 2
f ) 8 9 8 3 3 82 5 3 ( 23 )2
2. 12 5 2 3 6 Se a cada 2 horas a substância se reduz à metade, em 6 etapas de 6 1 2 horas (12 horas ao todo), ela reduzirá a , ou seja, haverá 2 1 dessa substância no organismo da pessoa. Assim, tomando 64 50 50 mg, depois de 12 horas a quantidade restante será de mg, 64 que corresponde a 0,78 mg. 1. a) 81
1 3
6
Ela fez 8 dobraduras.
5
1 2 1 27 3
b) 1 000 000 000
Página 222 Porque a negação de x 3 ou x 3 é x 3 e x 3
256 128 64 32 16 8 4 2 1
2
5
20
20
, 243
é menor que 250.
9. a) 5 ? 100 5 5 ? 102 b) 6 ? 1024 c) 2,5 ? 1027 d) 2 ? 1022 e) 3,4 ? 1022 f) 8 ? 1021
g) 2,039 ? 101 h) 8 ? 1026 i) 4,8 ? 104 j) 7 ? 109 k) 9,231 ? 102 l) 4,04 ? 104
20
, 35 ⇒
167
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 7 10. a) 8 ? 10 000 5 80 000 b) 5 ? 0,01 5 0,05 11. a) 2,279 ? 108 km b) 7,783 ? 108 km
12 ? 101 12 ? 105
5 106
1
1
1
6
x ?x
18. a) x3 ? x
19. a)
x
x
3 x2 ? 2 3 5 x x ?x
5 x ? x x
x 5 x
6 30
3
1 2
5 2
b)
6
3 11 2
5 2
1 2
5 x
1
1 2
3
?
x2 x
23
5 5 1 2 2
3
5 2
29. [
x2 5 x ? 1 5 x 5
5 x
1
1
1
1
x 2 5 [ x 2 ] 2 x 4
1
e)
7
d) 6 10
2
2 1 4
3 4
10
2
1 12
1
x
x2
2 5
1
3
1
f )
1
22. a) 10 b) 1023
1
x 10
2
1 164
1 1 1 1 1 1 2 4 4 2 4
c) 3
1 1 ? 3 2
10
3
2 3
1 4
f ) D(f ) 5 IR; Im(f ) 5 IR* 33. a) f(x) 5 2x
1 6
1 310 3 d) 7 ( 33 ) 3 31 3
3 b) f(x) 5 2
x
c) f(x) 5 (0,7)x 34. a) f(x) 5 2 ? 3x
7
2 5
1 1 1 1 d) f 4 2 5 1 2 2 42 e) 4m 5 1 ⇒ m 5 0
1 2
2 3
1
1
10
b) 2
1 c) f 4 2 4 5 2 2
c) 3
4 3 12
]
1
x2
32. a) f(3) 5 43 5 64
32
1 1 3 4
x
4 5
1 2
1
24
b) f(21) 5 421 5
5 4
b) 2 5
5 (222)23x 1 y 5
31. a, b, d, h.
1 4 3 2 1 4 4 2
10
x
1 6
1
20. a) 10
3 x y
4 4 1 5 1 0, 5 ( 23 ) 3 4 2 2 2 10 2
1 2 1 1 2 3 4 2 5 2 5 5 6 ? 1 1 1 21 4 4
21. a) 10
4
4 ?
3 4
1 4
30. 4
1 1
1 1 2 4
3 x y
1 3
16 9 1 6 b) 4 9 5 c)
25
26. 100
28. 3 [2 2 ]
1 5
5 x ? x 5 x
x x
5 2
1 2
5 a ? b3 5 1023(1022)3 5 1023 ? 1026 5 1029
27. ( 26 ) 2 29
ou 30
a ? b 2 ? a 4 ? b8 ? a2 ? b 2 a 1 ? b4 2 1 1 3 2 a ?b?a ?b ?a ?b a ?b
3
1
[ x ? x 5 ] 6 5 [ x 5 ] 6 x 5
5
10 5(10 2 )2 ? 103 10 5 ? 10 4 ? 103 3 10 10 3
5 26x 2 2y 5 26x ? 222y 5 (2x)6 ? (2y)22 5 a6 ? b22
5 32 x 2 3 2 x 2 32 x 2 3 2 x 5 4
6 5
101 5 104 103
24. x ? y ? z 5 26 ? 28 ? 29 5 223 25.
16. (3x 1 32x)2 2 (3x 2 32x)2 5 5 32x 1 2 ? 3x ? 32x 1 322x 2 (32x 2 2 ? 3x ? 32x 1 322x ) 5
1
i)
10 6 1023 5 0,001 10 3
5
15. (a 2 a21)2 5 k2 ⇒ a2 2 2 ? a ? a21 1 a22 5 k2 ⇒ a2 2 2 1 a22 5 5 k2 ⇒ a2 1 a22 5 k2 1 2
)6
104 5 1027 103
23. m 5
25 25 ? 3x 3 3
17. ( x ? 5 x
h) (102)26 5 10212
g) (1024)23 5 1012
1 14. 3x ? 32 1 3x ? 321 2 3x 5 3x(32 1 321 2 1) 5 3x 9 1 5 3 5 3x ?
f )
c) 9,11 ? 10228 g
12. (102)4 ? (1023)3 5 108 ? 1029 5 1021 13.
e) (1021)8 5 1028
c) 3,52 ? 100 000 5 352 000 d) 1,6 ? 0,001 5 0,0016
c) (102)6 5 1012 d) (1022)4 5 1028
1 b) f(x) 5 6 ? 2
x
168
Matemática
35. a)
x
22
y
21
1
1
9
3
1
2
f) h(0) 5 50 2 2 5 522 5
1
3
9
g) 5x 2 2 5 125 ⇒ 5x 2 2 5 53 ⇒ x 2 2 5 3 ⇒ x 5 5 h) 5x 2 2 5 3 ⇒ 5x 5 5 ⇒ x 5 1
y
10
39.
9
x
21
0
1
1
4
2
y
8 7
1
2
f(x) = 2x – 1
1 x
4
2
1
3
0 1
1
2
3
Im(f) 5 IR*
2 1
40. a) 2x 5 26 ⇒ x 5 6
x 0
−1
2
2
y = 3x
5
−2
1
y
6
−3
1 25
0
1
S 5 {6}
3
2
b) 3x 2 2 5 32 ⇒ x 2 2 5 2 ⇒ x 5 4 S 5 {4}
−1
2
b)
x
22
21
0
y
16
4
1
1
c) 5x 2 x 5 53 ⇒ x2 2 2x 2 3 5 0 D 5 16 2±4 ⇒ x 5 3 ou x 5 21 x 5 2 S 5 {21, 3}
2
1
1
4
16
d) 101 2 x 5 1021 ⇒ 1 2 x 5 21 ⇒ 2x 5 22 ⇒ x 5 2 S 5 {2}
y 8
1
7
2x
4
x
2
g) 24 x x 5 23 ⇒ 2x2 1 4x 2 3 5 0 D54 4 ± 2 ⇒ x 5 1 ou x 5 3 x 5 2 S 5 {1, 3}
3 2 1 x
−2
−1
0
1
2
h) 10x x 5 1026 ⇒ x 2 x2 1 6 5 0 ⇒ x2 2 x 2 6 5 0 D 5 25 1± 5 ⇒ x 5 3 ou x 5 22 x 5 2 S 5 {22, 3}
2
36. Crescentes: a, b, d; decrescentes: c, e, f, g, h, i. 9
3 3 c) 3 3
37. a) (0,9) , (0,9) 8
x 5 2 ⇒ x 5 4 2
1 f) 5 21 2 3x ⇒ (221)2x 5 21 2 3x ⇒ 22x 5 1 2 3x ⇒ x 5 1 2 S 5 {1}
5
( 41 )
x
S 5 {4}
6
y=
x
e) [2 2 ] 5 22 ⇒ 2 2 5 22 ⇒
5
d) ( 3
b) 475 . 473
38. a) f(2) 5 2 ? 32 5 18 b) g(2) 5 52 2 2 5 23 c) h(2) 5 52 2 2 5 1 d) f(21) 5 2 ? 321 5 2 ? e) g(0) 5 50 2 2 5 21
1 2 3 3
)5
(
3
)2
8
i) 32 2 x 5 323 ⇒ 2 2 x 5 23 ⇒ 2x 5 25 ⇒ x 5 5 S 5 {5} j) 3x 2 5 5 (33)1 2 x ⇒ x 2 5 5 3 2 3x ⇒ x 5 2 S 5 {2} 2
k) ( 21 )x 4 5 (23)x 1 2 ⇒ 2x2 1 4 5 3x 1 6 ⇒ x2 1 3x 1 2 5 0 D51 3 ± 1 ⇒ x 5 21 ou x 5 22 x 5 2 S 5 {22, 21} x
l) 2 5 5 225 ⇒ S 5 {225}
x 5 25 ⇒ x 5 225 5
169
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 7 4a2 a
3a 1 3
4 4 41. 5 ⇒ 4a2 2 a 5 3a 1 3 ⇒ 4a2 2 4a 2 3 5 0 5 5 D 5 64 4±8 3 1 a 5 ⇒ a 5 ou a 5 8 2 2 42. a) (102)x 1 3 5 1021 ⇒ 2x 1 6 5 21 ⇒ x 5 7 S 5 { } 2
7 2
b) (23)x 2 4 5 (22)x 1 1 ⇒ 3x 2 12 5 2x 1 2 ⇒ x 5 14 S 5 {14} 3 1 3 11 3 c) (32)x 2 2 5 ( 3 ) 2 ⇒ 32x 2 4 5 ( 3 ) 2 ⇒ 2x 2 4 5 ⇒ x 5 2 4 11 S5{ } 4 8 d) (224)x 2 2 5 (23)x ⇒ 24x 1 8 5 3x ⇒ x 5 7 8 S5{ } 7 1 e) (1022)x 2 1 5 103 ⇒ 22x 1 2 5 3 ⇒ x 5 2 2 1 S 5 {2 } 2
49. 4x 2 1 5 2x ⇒ 22(x 2 1) 5 2x ⇒ 2x 2 2 5 x ⇒ x 5 2 f(2) 5 42 2 1 5 4 O ponto comum é (2, 4). 50. a) 3x 2 2 5 81 ⇒ 3x 2 2 5 34 ⇒ x 2 2 5 4 ⇒ x 5 6 S 5 {6} b) 5x 2 1 5 25 ⇒ 5x 2 1 5 52 ⇒ x 2 1 5 2 ⇒ x 5 3 S 5 {3} 2
2
c) 2x 4 5 32 ⇒ 2x 4 5 25 ⇒ x2 2 4 5 5 ⇒ x2 5 9 ⇒ x 5 3 ou x 5 23 S 5 {23, 3} d) 2x 1 3 5 1 ⇒ 2x 1 3 5 20 ⇒ x 1 3 5 0 ⇒ x 5 23 S 5 {23} 51. a) 2x 1 2x ? 221 5 12 ⇒ 2x(1 1 221) 5 12 ⇒
1 x1 g) [ ] 5 (223)1 2 x ⇒ (222)x 2 1 5 223 1 3x ⇒ 4 ⇒ 22x 1 2 5 23 1 3x ⇒ x 5 1 S 5 {1}
⇒ 2x 5 12 ?
S 5 {22} 44. (25)x 1 2 5 (24)x 1 1 ⇒ 5x 1 10 5 4x 1 4 5 x 5 26 ⇒ x2 5 36 3 2
1 4
1 6
45. 21 1 x 5 2 ? 2 ? 2 ⇒ 21 1 x 5 2 ? 2 ? 2 ⇒ 3
6
4
3
⇒ 21 1 x 5 2 2
1
1 1 1 4 6
⇒ 1 1 x 5
x y 30 x y 0 3 46. x 2 y ⇒ 21 2 x 2y 1
23 11 ⇒ x 5 12 12
? ( 1)
x y 0 ⇒ x 2y 1 y 1
x 1 1 5 0 ⇒ x 5 21 x 2 y 5 21 2 1 5 22
22 x ? 23 y 2 2 2x 3y 2 47. 2 x ⇒ 6y 1 2x 6 y 1 3 ? 3 3
11y55⇒y54 (x ? y)3 5 (1 ? 4)3 5 64
1 3 ⇒ 2x 1 1 5 12 ⇒ 2x ? 5 12 ⇒ 2 2
1 x 43. [ ] 5 42 ⇒ 42x 5 42 ⇒ 2x 5 2 ⇒ x 5 22 4
f ) (22x)x 5 (29)2 ⇒ 2x2 5 18 ⇒ x2 5 9 ⇒ x 5 3 ou x 5 23 S 5 {23, 3}
25x 1 5 1 ⇒ 25x 5 5 ⇒ 52x 5 5 ⇒ 2x 5 1 ⇒ x 5 h) 5 2 1 S5{ } 2
x y 3 5x y 5 3 48. x y ⇒ 5 3 x y 5 3 2x 2 ⇒ x 1
2x 3y 2 ⇒ 2x 6 y 1 3y 3 ⇒ y 1 5 2x 1 6 5 1 ⇒ x 5 2 5 S 5 , 1 2
4
1
S 5 {3} b) 3x ? 322 1 3x ? 31 5 84 ⇒ 3x(322 1 31) 5 84 ⇒ 3 28 9 1 ⇒ ⇒ 3x 1 3 5 84 ⇒ 3x ? 5 84 ⇒ 3x 5 84 ? 9 9 281
⇒ 3x 5 27 ⇒ 3x 5 33 ⇒ x 5 3
S 5 {3} 1 c) 7x ? 7x ? 721 5 8 ⇒ 7x(1 1 721) 5 8 ⇒ 7 x 1 1 5 8 ⇒ 7 1 8 7 ⇒ 7x 5 7 ⇒ x 5 1 ⇒ 7x ? 5 8 ⇒ 7x 5 8 ? 7 81 S 5 {1} d) 4 ? 2x 1 2x ? 221 5 72 ⇒ 2x(4 1 221) 5 72 ⇒ 8 9 1 2 ⇒ 2x 4 1 5 72 ⇒ 2x ? 5 72 ⇒ 2x 5 72 ? ⇒ 2 2 91 ⇒ 2x 5 16 ⇒ 2x 5 24 ⇒ x 5 4 S 5 {4}
e) 3x 5 y ⇒ y2 1 2y 2 15 5 0 D 5 64 y 5
? ( 1)
⇒
2 ⇒ 2x 5 8 ⇒ 2x 5 23 ⇒ x 5 3 3
2 ± 8 ⇒ y 5 3 ou y 5 25 2
x 3 3 ⇒ x 1 3x 5 y ⇒ x 3 5 (não convém)
S 5 {1} f ) 2x 5 y ⇒ y2 2 2y 2 8 5 0 D 5 36 y 5
2 ± 6 ⇒ y 5 4 ou y 5 22 2
x x 2 2 4 ⇒ 2 2 ⇒ x 2 2x 5 y ⇒ x 2 2 (não convém )
S 5 {2}
170
Matemática g) 3x 5 y ⇒ y2 2 y 2 6 5 0
d)
D 5 25 1 ± 5 y 5 ⇒ y 5 3 ou y 5 22 2
x 3 3 ⇒ x 1 3x 5 y ⇒ x 3 2 (não convém) S 5 {1}
h) 2 ? 2 1 3 ? 2 ? 2 5 8 ⇒ 2 ? 2 1 6 ? 2 2 8 5 0 2x 5 y ⇒ 2y2 1 6y 2 8 5 0 ⇒ y2 1 3y 2 4 5 0 2x
1
x
1
2x
x x 0 2 1 ⇒ 2 2 ⇒ x 0 2 5 y ⇒ x 2 4 (não convém ) S 5 {0}
x
i) (22)x 2 2 2 3 ? 2x 2 3 5 160 ⇒ 22x 2 4 2 3 ? 2x 2 3 5 160 ⇒ ⇒ 22x ? 24 2 3 ? 2x ? 23 5 160 ⇒ 22x ? 16 2 3 ? 2x ? 8 2 160 5 0 ⇒ ⇒ 16 ? 22x 2 24 ? 2x 2 160 5 0 ⇒ 2 ? 22x 2 3 ? 2x 2 20 5 0 2x 5 y ⇒ 2y2 2 3y 2 20 5 0 D 5 169 3 ± 13 5 ⇒ y 5 4 ou y 5 2 4 2
2x 4 ⇒ 2x 22 ⇒ x 2 ⇒ 2 5y x 5 2 (não convé m ) 2 S 5 {2} x
52. a) 3x 5 y y2 1 2y 2 15 5 0 D 5 64 2 ± 8 y 5 ⇒ y 5 3 ou y 5 25 2 x 3 3 ⇒ x 1 3x 5 y ⇒ x 3 5 ( não convém ) S 5 {1}
b) 22x ? 21 1 3 ? 2x ? 21 5 8 ⇒ 2 ? 22x 1 6 ? 2x 2 8 5 0 2x 5 y 2y2 1 6y 2 8 5 0 ⇒ y2 1 3y 2 4 5 0 D 5 25 y 5
3 ± 5 ⇒ y 5 1 ou y 5 24 2
x x 0 2 1 ⇒ 2 2 ⇒ x 0 2x 5 y ⇒ x 2 4 ( não convém ) S 5 {0}
c) (22)x 1 2 2 3 ? 2x 1 3 5 160 ⇒ 22x 1 4 2 3 ? 2x 1 3 5 160 ⇒ ⇒ 22x ? 24 2 3 ? 2x ? 23 5 160 ⇒ 22x ? 16 2 3 ? 2x ? 8 2 160 5 0 ⇒ ⇒ 16 ? 22x 2 24 ? 2x 2 160 5 0 ⇒ 2 ? 22x 2 3 ? 2x 2 20 5 0 2x 5 y 2y2 2 3y 2 20 5 0 D 5 169 y 5
y 5
S 5 {2}
4±2 ⇒ y 5 3 ou y 5 1 2
x 3 3 ⇒ x 1 3x 5 y ⇒ x x 0 3 1 ⇒ 3 3 ⇒ x 0
S 5 {0, 1} ( 3x )2 9 8 ? 3x ⇒ 32x 2 9 5 8 ? 3x ⇒ x 3 3x ⇒ 32x 2 8 ? 3x 2 9 5 0 3x 5 y y2 2 8y 2 9 5 0 D 5 100
e)
y 5
8 ± 10 ⇒ y 5 9 ou y 5 21 2
3x 9 ⇒ 3x 32 ⇒ x 2 3x 5 y ⇒ x 3 1 ( não convém ) S 5 {2} f ) 52x 1 125 5 6 ? 5x ? 51 ⇒ 52x 1 125 5 30 ? 5x ⇒ ⇒ 52x 2 30 ? 5x 1 125 5 0 5x 5 y ⇒ y2 2 30y 1 125 5 0 D 5 400 y 5
30 ± 20 ⇒ y 5 25 ou y 5 5 2
5x 25 ⇒ 5x 52 ⇒ x 2 5x 5 y ⇒ x 5 5 ⇒ x 1 S 5 {1, 2} 53. 2 187 5 37 Então, 2 187 é o 8‚ termo. 54. a) 5x . 3x 1 10 ⇒ 2x . 10 ⇒ x . 5 x 5 | S 5 {x [ IR x . 5}
b) 5 2 x2 , 24 ⇒ 2x2 , 29 ⇒ x2 . 9 x9 5 3 e x0 5 23
3
x
3
S 5 {x [ IR | x , 23 ou x . 3} c) x2 2 x . x ⇒ x2 2 2x . 0 ⇒ x(x 2 2) . 0 x9 5 0 e x0 5 2
5 3 ± 13 ⇒ y 5 4 ou y 5 2 4
2x 4 ⇒ 2x 22 ⇒ x 2 2x 5 y ⇒ x 5 2 ( não convé m ) 2
⇒ 32x 2 4 ? 3x 1 3 5 0 3x 5 y y2 2 4y 1 3 5 0 D54
x
D 5 25 3 ± 5 y 5 ⇒ y 5 1 ou y 5 24 2
y 5
32x 1 3 4 ? 3x 0 ⇒ 32x 1 3 2 4 ? 3x 5 0 ⇒ 2 4 4 4
0
2
S 5 {x [ IR | x , 0 ou x . 2} d) x2 2 x . x 2 1 ⇒ x2 2 2x 1 1 . 0 D50
x
171
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 7 x51
1
x
1 | S 5 {x [ IR x 1}
1 e) 3
3x 1
x
5
Quadro de resolução:
0
1 1 ⇒ 3x 2 1 < 0 ⇒ 3x < 1 ⇒ x 0 ⇒ 7 x > 72x ⇒ x2 > 2x ⇒ x2 2 2x > 0 ⇒ 2
⇒ x(x 2 2) > 0 x9 5 0 e x0 5 2
0
4
x
II x2 2 4x 2 5 , 0 D 5 36 x 5
4±6 ⇒ x9 5 5 e x0 5 21 2
0
2
D 5 {x [ IR | x < 0 ou x > 2}
x
172
Matemática 2
b) 2x 1 1 2 32 . 0 ⇒ 2x ⇒ x2 . 4 x9 5 2 e x0 5 22
2
2
11
. 32 ⇒ 2x
2
11
. 25 ⇒ x2 1 1 . 5 ⇒
x
2
2 ; f(0) 5 2; f(2) 5 18; f(4) 5 162; ... 9
2 Logo, , 2, 18, 162, 9
... é uma PG de razão 9.
c) q 5 9
Logo, a razão da PG é: ar 5 53 5 125
62. Uma função exponencial, pois x é uma PA e y é uma PG.
63. a) f(1,7) 5 e1,7 5 5,4739
b) ex 5 8,1662 ⇒ x 5 2,1 c) e2x 5 0,00303 ⇒ x 5 5,8
g(5) 5 e 5 0,00674 f(3) 5 e3 5 20,086 g(4,3) 5 e24,3 5 0,01357 25
29 ⇒ 220,5a 5 222 ⇒ 211
⇒ 20,5a 5 22 ⇒ a 5 4 66. M 5 20 000(1,01)3 5 20 606,02 O saldo será de R$ 20 606,02.
68. O número de bactérias no instante t é f(t) 5 C ? at. Como f(0) 5 2 000, temos que C 5 2 000. Como 30 min 5 0,5 h, temos f(0,5) 5 4 000. Logo: 4 000 5 2 000a0,5 ⇒ 2 5 a0,5 ⇒ a 5 4 Portanto, f(t) 5 2 000 ? 4t. Assim, após 2 h temos f(2) 5 32 000 bactérias. 69. a) Após 3 horas, temos
y 7
5
f(x) = ex
4
1 de 25 5 12,5 mg. 2
Após 9 horas, temos
1 de 12,5 5 6,25 mg. 2
Após 12 horas, temos
3 2 g(x) = e x
1
x 0
1 de 50 5 25 mg. 2
Após 6 horas, temos
6
1
k
67. A população hoje é de x habitantes; daqui a 8 anos será x 1 0,03x 5 1,03x. Assim, a cada 8 anos a população será multiplicada por 1,03. Logo, em 24 anos ela é multiplicada por (1,03)3 5 1,0927. Dessa forma, o crescimento estimado é de 0,0927, ou seja, 9,27%.
f(1) 20 61. a 5 5 5 f( 0 ) 4
k
⇒ e 6 5 4 ⇒ e 6 5 e1,4 ⇒
k . 1,4 ⇒ k . 8,4 6 P 5 1 000e8,4 ? 1 5 1 000(e4,2)2 5 1 000(66,686)2 . 4 447 022 bactérias Observação: os valores usados foram obtidos da tabela.
512 5 2 048 ? 220,5a ⇒ 220,5a 5
b) f(22) 5
tim-tim por tim-tim
1 6
65. Q(t) 5 K ? 220,5t ⇒ 2 048 5 K ? 20 ⇒ K 5 2 048
60. a) r 5 2
*
k ?
⇒
D 5 {x [ IR | x , 22 ou x . 2}
64. P 5 P0 ? ekt 5 4 000 5 1 000e
1
2
Página 251 300 000 5. a) P(2 010) 5 99,5 ? 20,05 ? 2 010 ⇒ 2 300 000 ⇒ P(2 010) 5 99,5 ? 2100,5 ⇒ 2 ⇒ P(2 010) 5 30 000 ? 2 5 600 000 300 000 ? 20,05 ? 2 030 ⇒ 299,5 300 000 ⇒ P(2 030) 5 99,5 ? 2101,5 ⇒ 2 P(2 030) 5
⇒ P(2 030) 5 30 000 ? 22 5 1 200 000 b) A população dessa cidade dobra de 20 em 20 anos. Isso não parece ser um valor razoável, condizente com o que se costuma observar na realidade. d) Algumas estimativas para 2009 já colocam Xangai, na China, como a cidade mais populosa do mundo. Entretanto, a maioria ainda considera Bombaim (Mumbai), na Índia, cuja população foi estimada em 2009 em 13,92 milhões de habitantes. (Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_cities_by_population, acessado em 23/7/2009.)
1 de 6,25 5 3,125 mg. 2
b) É importante observar que nesse caso não podemos utilizar uma função afim para modelar a variação da medicação, pois esta levaria à conclusão de que, ao final de 6 horas, não haveria mais antibiótico presente no organismo, o que é falso. O processo de eliminação do antibiótico do organismo apresenta o seguinte comportamento: à medida que a água é ingerida, ela é adicionada à corrente sanguínea e o excesso é eliminado através dos órgãos excretores. A quantidade de antibiótico eliminada é maior quando a quantidade de antibiótico presente é maior. Assim, é razoável adotar como modelo uma função exponencial f(t) 5 C ? at, pois a taxa de variação em intervalos de tempo de mesma duração é sempre a mesma. Utilizando f(0) 5 50, obtemos C 5 50. Utilizando agora f(3) 5 25, temos:
f(t) 5 50at ⇒ f(3) 5 50a3 ⇒ 25 5 50a3 ⇒ a 5 2
1 3
t
Portanto, f(t) 5 50 ? 2 3 . 70. 0,7 1 0,04(3)0,14t 5 88,18 ⇒ 3,00,14t 5 2 187 ⇒ 30,14t 5 37 ⇒ ⇒ 0,14t 5 7 ⇒ t 5 50 Resposta: alternativa d. 71. A função que relaciona a quantidade de 90 Sr presente em função 38 t
1 28 do tempo é N(t) 5 N0 ? . Segundo o enunciado, quando 2 1 N(t) 5 N , o local poderá ser novamente habitado. Então: 16 0
173
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 7 t
t
4
t
t
1 1 1 28 1 28 1 1 28 N 5 N0 ? ⇒ ⇒ ⇒ 2 2 2 2 16 0 16 ⇒ 4 5
t ⇒ t 5 112 28
Ou seja, em 1986 1 112 5 2 098 o local poderá ser habitado. Resposta: alternativa b. 72. A função que relaciona a quantidade de cobalto-60 presente em função t
1 5 do tempo é N(t) 5 N0 ? . Segundo o enunciado, temos t 5 20 anos. 2
3. Em 1986 a usina de Chernobyl, situada ao norte da Ucrânia, teve um grande vazamento radioativo. Mais de 300 mil pessoas tiveram que deixar suas casas por estarem em uma zona de risco de contaminação. Nove mil pessoas que trabalharam tentando conter o vazamento morreram vítimas de câncer e outras milhares que estavam na proximidade também tiveram o destino selado. De acordo com a OMS (Organização Mundial de Saúde) mais de 60 mil pessoas (possíveis vítimas) ainda têm a saúde monitorada.
Então: 1 N(20) 5 N0 ? 2
20 5
Atividades adicionais
4
1 ⇒ N(20) 5 N0 ? ⇒ 2
2
1.
1 ⇒ N(20) 5 N 5 0,0625N0 5 6,25% da atividade 16 0
1 tempo é A(t) 5 A0 ? 2
1 7 5 896 ? 2 7
1 1 ⇒ 2 2
7 1 1 5 2 896 128
⇒
t 5 730
⇒ 7 5
2. (256)
⇒
1 2
5
1 2
? 523 5 (522)22x ⇒ 5x
2
5
5 54x ⇒
3 4
8 (2 )
3 4
6
2
1 1 64 26
Resposta: alternativa e.
t ⇒ t 5 40 110 . 40 mil anos 5 730
3. 381 5 x ..... y, y 5 ? Analisando as potências de base 3, temos: 30 5 01 31 5 03 período 5 4 32 5 09 3 3 5 27 34 5 81 ⇒ 34 ⇒ 4 4 e resto 5 0 ⇒ 34 5 30 5 x1 0 1 35 5 243 ⇒ 5 6 ⇒ 5 4 e resto 5 1 ⇒ 1 5 35 5 31 5 x3 3 3 5 729 37 5 ... 7 1 1
Metade da meia-vida P é a média aritmética entre a data zero (início do processo) e a meia-vida P, portanto a desintegração será a média geométrica entre a massa total (100% ou 1) e metade da massa (50% ou 0,5): 1 2
2
Resposta: alternativa c.
Desafio em dupla
x 5 1 ?
2
1 IR.
. Segundo o enunciado, A(t) 5 7 e
t 5 730
⇒ 5x
Se a é o menor número solução da equação, então a 5 21. Logo,
A0 5 896. Então: t 5 730
2 x
⇒ x2 2 5 5 4x ⇒ x2 2 4x 2 5 5 0 ⇒ x 5 5 ou x 5 21
73. A função que relaciona a atividade de C-14 no fóssil em função do t 5 730
5x 2 1 25 125
2 . 0,71, ou seja, aproximada2
mente 71% de sua massa.
Assim: 381 ⇒ 81 4 e resto 5 1 ⇒ 1 5 381 5 31 5 x3 1 20
A Matemática e as práticas sociais 1. a) 1‚ dia: 1 2‚ dia: 2 3‚ dia: 4 4‚ dia: 8 5‚ dia: 16 6‚ dia: 32 f(6) 5 26 2 1 5 32 Entraram em contato com a substância 32 novas pessoas. b) 1 1 2 1 4 1 8 1 ... 1 512 5 1 023 O total de pessoas é 1 023. c) f(t) 5 2t 2 1
Resposta: alternativa c. 4. De acordo com o enunciado, A(n) 5 A0 ? 2n. Se A(100) 5 A, quereA mos n tal que A(n) 5 . 2 A(100) A A(100) 5 A0 ? 2100 ⇒ A0 5 5 100 2100 2 A A A 2100 n n 5 2n ⇒ 299 5 2n ⇒ A0 ? 2 ⇒ 100 ? 2 ⇒ 2 2 2 2 ⇒ n 5 99
x
1 2. A função que dá a massa do césio-137 é M(x) 5 Mo ? , em 2 que x é o número de meias vidas. x
5
5. A função que relaciona as u.f.c. com o tempo é uma exponencial:
x
1 1 1 1 Mo Mo ? ⇒ ⇒ 2 2 2 32
1 C(t) 5 107 ? 2
⇒ x 5 5 meias vidas Tempo 5 5 ? 30 5 150 anos O local poderá ser novamente habitado em 1987 1 150 5 2137. Resposta: alternativa e.
Como 0 ,
5t
1 , 1, então C(t) é decrescente. Assim, aumentando-se 2
t, diminui-se C(t). t
Resposta: alternativa a.
Resposta: alternativa d.
174
Matemática
6. 3x 5 2
3
x 2
x y ⇒ (3 )
1 2
y⇒2
1 2
1
y⇒ y
1
⇒y
1
22
2
Portanto, inferior a 9. Logo, afirmação verdadeira.
⇒
13. 1) Constatação da gripe: t 5 0
2 ⇒y 2
N 5
Resposta: alternativa d. 7. a)
3
Assim N 5 1 milhar e, portanto, o item 1 está errado.
5 ? 6 6 30
2) Após 2 semanas: t 5 2
b) 6 3 5
3
63 ? 5 6 1 080
c) 5 3 6
3
53 ? 6 6 750
d) 3 5 6
3
52 ? 6 6 150
e) 3 6 5
3
62 ? 5 6 180
N
20 20 1 19 ? 10 0,5 ? 2 1 19 ? 10 1 200 . 6, 9 29
3) 18 5
1
2 2 1 1 8. 12 5[2 2 ] [ 3 2 ] 6 5 12[221 2 321] 5 12 5 3 2 1 2 3 5 12 5 12 ? 5 2 6 6 6
2 2 10. ? 3 3
x2
64 2 ⇒ 3 729
x x2
6
2 ⇒ x 1 x2 5 6 ⇒ 3
⇒ x2 1 x 2 6 5 0 ⇒ x 5 2 ou x 5 23 Resposta: alternativa c.
S0
1 5 220,25t ⇒ 2 1 ⇒ 221 5 220,25t ⇒ 0,25t 5 1 ⇒ t 5 ⇒ t 5 4 anos 0, 25 2
⇒ 19 ? 1020,5t 5 ⇒ 100,5t 5 171
Portanto, como 171 . 100, então t . 4. Logo, o item 3 está correto. 4) 20 5
⇒ 5 ? 10 9
2
5 S0 ? 220,25t ⇒
14. C(t) 5 C0 ? 10kt C(5 600) 5 C(t) 5
a?P aP ⇒ a P a a (P a ) ? 30
aP
P0
=⇒ a 5 5 ? 10
P
1 C0 C 1 ⇒ 0 5 C0 ? 10kt ⇒ 5 10kt ⇒ 5 10kt (II) 32 2 32 32
Substituindo (I) em (II), vem: (105 600k)5 5 10kt ⇒ 1028 000k 5 10kt ⇒ 28 000k k t ⇒
9
⇒ t 5 28 000 anos
2
9
11
a) O valor de P é inferior a 1012. Logo, afirmação falsa.
15. 8
x 2
0, 25 ⇒ ( 23 )
x 2
⇒ 3 x 4 ⇒ x
5 ? 109 ? 5 ? 1011 b) y(2) 5 ⇒ 9 5 ? 10 (500 ? 109 5 ? 109 )32
2 2 ⇒ 2
3x 2
2 2 ⇒
3x 2 ⇒ 2
4 3
Resposta: alternativa c.
20
25 ? 10 ⇒ 495 ? 109 5 ? 10 1 9 9
⇒ y( 2 )
C0 C 1 ⇒ 0 5 C0 ? 105 600k ⇒ 5 105 600k (I) 2 2 2 5
II) P 5 10 a 5 10 ? 5 ? 10 5 5 ? 10
⇒ y(2) 5
20 20 ⇒ 1 1 19 ? 1020,5t 5 5 1 ⇒ 20 1 19 ? 10 0,5t
⇒ 19 ? 1020,5t 5 0 ⇒ 1020,5t 5 0 (impossível)
12. I) Para t 5 0, temos: y(0) 5 5 ? 109 5
2 1 2 ⇒ 1020,5t 5 ⇒ 1020,5t 5 ⇒ 342 171 18
Portanto, o item 4 está errado.
11. De acordo com o enunciado, temos: S 5 S0 ? 220,25t ⇒
20 20 ⇒ 1 1 19 ? 1020,5t 5 ⇒ 18 1 19 ? 10 0,5t
Para t 5 4, temos: 100,5 ? 4 5 102 5 100
9. f(p 1 q) 5 2p 1 q 5 2p ? 2q 5 f(p) ? f(q) Resposta: alternativa b. x
20 19 1 10
Assim N 6,9 milhares e, portanto, o item 2 também está errado.
Resposta: alternativa b. 1
20 20 20 5 1 1 19 ? 1 20 1 19 ? 10 0,5 ? 0
25 ? 1020 25 ? 1020 ⇒ ⇒ y( 2 ) 9 9 60 ? 109 5 ? 10 55 ? 10
16.
2n ? 24 2n ? 22 2n ? 2 1 2n ( 24 22 2 1 ) 5 5 n 2 n 1 2 ?2 2 ?2 2n ( 2 2 2 1 ) 41 1 2 2 5 2 5 41 ? 4 5 82 3 1 1 3 3 2 1 1 4 4 2
16 1 4 1 5
5 11 ⇒ y( 2 ) ? 10 12 Logo: 5 ? 1011 y(2) 102 100 12 5 8,33 9 a 12 12 5 ? 10
17. 10x
2
4
5
1 ⇒ 10x 1 000
⇒ x 5 ±1 S 5 {21, 1}
2
4
5 1023 ⇒ x2 2 4 5 23 ⇒ x2 5 1 ⇒
175
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 7 Ax A x 2 ? A y A x y 2 2 18. 3 y ⇒ y ⇒ A y A 2 A 3 y 23 A 8
I( I )
Para refletir
II (II)
Página 231
Substituindo II em I , temos: Ax 5 2 ? 2 ⇒ Ax 5 4 Resposta: alternativa a.
M(t) 5 M0 ? (1, 4 )
16
8
4 2 1
1 000 1 000
21
20
1 an
por zero.
Para t 5 1 000, temos:
22
Se a 5 0, temos
t 1 000
M(1 000) 5 M0 ? (1, 4 )
23
• a2n 5
19. De acordo com o enunciado, temos:
• 24
1 , que não está definido em IR, pois não existe divisão 0n
Página 232 ⇒ M(1 000) 5 M0 ? (1,4)21 ⇒
24
23
22
21
20
221
Logo, M(1 000) é 71,4% de M0.
16
8
4
2
1
Resposta: alternativa e.
1 2
Página 233
⇒ M(1 000) 5
1 ? M0 ⇒ M(1 000) 5 0,714M0 1, 4
a) 3 26 3 64 4
20. De acordo com o enunciado, temos:
3?2
• Porto A: 2x passageiros • Porto B:
x 2
x
2 1 2 passageiros 2 x
2x 1 22 x x x 2x 1 2 2 5 28 ⇒ • Porto C: 2 1 2 2 1 2 ? 2 2 5 56 2 2 x 2
t2 t2 1 t 1 2t 5 56 ⇒ 1 3t 2 56 5 0 ⇒ t2 1 6t 2 112 5 0 ⇒ 2 2
⇒ t 5 214 (não convém) e t 5 8
x
2 2 5 23 ⇒
x 5 3 ⇒ x 5 6 2
2
N 5 2 ⇒ N 5 2 ⇒ N 5 64 (divisor de 128) 6
1 8
3 6 3?2 6?2 2 2 6 4 096 4
c) 5 75 7 7
5?3
15
15
7
5?3 5?3 5 5 7 7 7
Página 238 • O gráfico passa por (0, 1), pois, qualquer que seja o valor de a (a . 0 e a 1), temos f(0) 5 a0 . 1.
Página 241
Resposta: alternativa d. 21. Fazendo o esboço dos gráficos no mesmo sistema cartesiano, temos:
1 2
2 3
1 3 2
2
5 3 22 3 4
Página 245
y
()
f(x) = 3 2
x 1
1 2
g(x) = x
x 11
1 > (22)x 1 3 ⇒ 2
⇒ 3x < 27 ⇒ x 3}
5
S
x 0
II
S
x 5
x 10 ⇒
x
3
• quadro de resolução:
⇒x241⇒x5 x 4
3
x 5
I
2
2
S
10 ( x
• log 1 (x2 2 8) 0 ⇒ x2 2 8 1 ⇒ x2 2 9 0
1
x 2
• 2log
x
2√ 2
3
S 5 {x IR | 21 x 0 ou 2 x 3}
0
3
x
I
• 0 ⇒ 4 2 4(1)[log10 (k2 2 3k)] 0 ⇒ ⇒ 4 2 4 log10 (k2 2 3k) 0 ⇒ 24 log10 (k2 2 3k) 4 ⇒ ⇒ log10 (k2 2 3k) 1 ⇒ log10 (k2 2 3k) log10 10 ⇒ ⇒ k2 2 3k 10 ⇒ k2 2 3k 2 10 0 49 k 5
3±7 ⇒ k 5 e k 2 2
184
Matemática
2
x
5
3
• quadro de resolução: I
1,2
0
II
0
3
5
S 5 {k IR | 22 k 0 ou 3 k 5} 80. • condição de existência: x 0 e log8 x 2 log2 5 0 ⇒ log2 x 1 ⇒ log8 x log2 5 ⇒ log2 5 ⇒ log2 x log2 5 ⇒ 3 log2 8 ⇒ log2 3 x log2 5 ⇒ 3 x 5 ⇒ x 125 • quadro de resolução:
85. R1 2 R2 5 log10 [ ⇒ 2 5 log10 [
M1 M ] ⇒ 8 2 6 5 log10 [ 1 ] ⇒ M2 M2
M1 M ] ⇒ 1 5 102 M2 M2
Resposta: alternativa d. 86. f(t) 5 b ⇒ aqt 5 b ⇒ logt qt 5 logq Resposta: alternativa a.
x 0
b b ⇒ t 5 logq a a
0
x 125
9,95
5
2
t
3
2
S
y
b) II
125
S
125
D(f) 5 {x IR | x 125}
A Matemática e as práticas sociais E 2 2 E ⇒ log10 ⇒ 8 log10 3 3 7 1 0 3 E0
1. I 5
E E 12 ⇒ log10 12 ⇒ 10 ⇒ 7 10 3 7 10 3
81. t0 5 1 000 t1 5 2 000
⇒ E 5 7 ? 109 kWh
t2 5 4 000 tn 5 2n ? 103 5 1 000 000 ⇒ 2n ? 103 5 106 ⇒ 2n 5 103 ⇒ 3 3 ⇒ log 2 5 log 10 ⇒ n 5 5 10 h log 2 0, 3 Resposta: alternativa d. n
3
82. V0(1 2 0,20)t 5
V0 1 ⇒ ( 0,80 )t ⇒ log (0,80)t 5 log 221 ⇒ 2 2
0,30 8 ⇒ t ? log 5 21 ? log 2 ⇒ t 5 5 log 8 log 10 10 0,3 0,3 0,3 5 5 3 h log 23 1 3 0,3 1 0,1 Resposta: alternativa c. 83. Sabendo que y 5 cxk e usando os valores da tabela, obtemos: k c 2 16 k c 20 40
Dividindo membro a membro (para c 0), vem:
2.
7 109 5 7 ? 107 residências 100
3. 3 5
4. I 5
E 2 ⇒ E 5 7 ? 101,5 kWh log10 3 7 103
7 106 2 ⇒ I 5 6 log10 3 3 7 10
5. R 5 12 1 log10 I ⇒ R 5 12 1 log10 1022 ⇒ ⇒ R 5 10 Bels 5 100 dB 6. 120 dB 5 12 B 12 5 12 1 log10 I ⇒ 0 5 log10 I ⇒ I 5 1 W/m2 7. Um tsunami pode ter origem através de vulcanismo ou abalos sísmicos (terremotos). Quando o terremoto acontece no assoalho oceânico (maremoto) pode ocorrer um significativo recuo do mar seguido de uma onda de enorme comprimento. Em 2004 um tsunami castigou a Ásia e a África deixando 280 mil mortos.
k
20 5 c 20k 40 5 ⇒ ⇒ 10k ⇒ 16 2 2 2 c 2k ⇒ k log10
5 ⇒ k log 5 log 2 2
Como log 2 5 0,301, temos: 10 k 5 log 5 2 log 2 5 log 2 log 2 5 log 10 2 log 2 2 log 2 5 2 5 1 2 2 ? 0,301 5 0,398 84. a) 1,2 5 3 ? 3(0,95) ⇒ 0,6 5 0,95t ⇒ t 5 log0,95 0,6 ⇒ t
⇒ t 5
log 0, 6 ⇒ t 9,95 log 0, 95
8. A poluição sonora é um tipo de alteração física do ambiente em que estamos. É uma poluição difícil de controlar e pode causar muitos danos à saúde humana, tais como: perda de audição, insônia, depressão e dores de cabeça.
Atividades adicionais 1. Temos: f(x) log3 (9x 2 ) 1 g(x) log3 x
185
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 8 Então: 1 1 f(x) 1 g(x) 5 1 1 log3 (3x)2 1 log3 x21 5 1 5 1 1 2 ? (log3 3 1 log3 x) 2 log3 x 5 1 1 2 1 2 log3 x 2 log3 x 5 5 3 1 log3 x Resposta: alternativa b.
7. f(x) 5 log x x g(x) 5 x1 x 5 log x 2 log (x 1 1) f( g(x)) 5 log x 1 Assim: f( g(1)) 5 log 1 2 log 2
1
2. Temos:
f( g(2)) 5 log 2 2 log 3
1
1
x 1 a b x a, b IR e a, b 0 ,n b 6 ,n a 0
f( g(3)) 5 log 3 2 log 4
Então: 1 x
1
f( g(98)) 5 log 98 2 log 99 f( g(99)) 5 log 99 2 log 100
1 x
ax 1 b ⇒ , n ax 1 , n b ⇒ 1 ⇒ ( x 1)) , n a , n b ⇒ x 1 ⇒ ( x 1) , n a 6 ,n a ⇒ x( x 1) 6 ⇒ x ⇒ x x 6 0 ⇒ x1 3 e x 2 2 2
1
f( g(1)) 1 ... 1 f( g(99)) 5 log 1 2 log 100 ⇒ 1 5 log 1022 100 Na equação f(x) 5 f( g(1)) 1 ... 1 f( g(99)), temos: ⇒ f( g(1)) 1 ... 1 f( g(99)) 5 log
log x 5 log 1022 ⇒ x 5 1022 Resposta: alternativa c.
Portanto: x1 1 x2 5 3 2 2 5 1
8. [5 log10 (5 2)]2 5 [5 log10 10]2 5 [5 1]2 5 25
Resposta: alternativa c.
9. log7 875 5 log7 53 7 5 3 log7 5 1 1 5 a ⇒ log7 5 5
I1 3. NIS1 5 10 log10 5 10(log I1 2 log I0) I0 I NIS2 5 10 log10 2 5 10(log I2 2 log I0) I0 Como I2 5 4I1 , temos: NI 5 10(log 4I1 2 log I0) 5 10(log 4 1 log I1 2 log I0) 5 5 10 log 4 1 10(log I1 2 log I0) 5 10 ? 0,6 1 NSI1 ⇒ ⇒ NSI2 5 6 1 NSI1 Resposta: alternativa d. 5
1 1 3 9 log log ... log 2 2 4 10
Como log a ? b 5 log a 1 log b, vem: x 5 log
1 2
2 3
3 4
...
8 9
9 1 log 10 10
a 5 log a 2 log b. Então: b 1 0 x 5 log 1 2 log 10 ⇒ x 5 0 2 1 ⇒ x 5 21 Mas, log
Resposta: alternativa e. 6. O gráfico de f(x) 5 log 1 x é: 2
y
I1 10 4 6 5 102 5 100 I2 10 Resposta: alternativa d.
•
11. 0-0) 1-1) 2-2) 3-3)
Errado A função é Q(t) 5 100 0,81t. Errado A função é decrescente. Correto Q(2) 5 100 0,812 5 65,61 mg Correto t
Q(t) 5 72,9 ⇒ 72,9 5 100 0,81t ⇒
729 81 5 ⇒ 100 1 000
t
t
⇒
⇒ 6log 3 2 3log 10 5 t [4log 3 2 2log 10] ⇒
⇒ t 5
36 34 34 36 5 2 ⇒ log 3 5 log 2 ⇒ 103 10 10 10
6 0, 46 3 1 ⇒ t 5 1,5 h 4 0, 46 2 1
t 4-4) Correto 92 1 Q(t) 5 50 ⇒ 50 5 100 (0,81)t ⇒ 5 2 ⇒ 2 10
x
t
0 1
f(x)
Resposta: alternativa c.
• 60 5 120 1 10 log10 I2 ⇒ log10 I2 5 26 ⇒ I2 5 1026 5
Resposta: alternativa a. 5. x 5 log
a 1 2 log7 7 5 2 log7 5 3 5 log35 245 5 5 5 a 1 log7 35 1 log7 5 1 3 6 a 1 3 a5 5 5 3 3 a 1 a2
10. • 80 5 120 1 10 log10 I1 ⇒ log10 I1 5 24 ⇒ I1 5 1024
4. P(t) 5 10 ? log3 (t 1 1) ⇒ P(8) 5 10 ? log3 (8 1 1) 5 10 ? log3 9 5 1 5 105 ? log3 32 5 105 ? 2 ? log3 3 5 2 ? 105 ⇒ P(8) 5 200 000 carros 5
a 1 3
Resposta: alternativa e.
92 1 ⇒ log 5 log 2 ⇒ log 1 2 log 2 5 2 10
5 2t [log 9 2 log 10] ⇒ 2t 5
0 0, 3 ⇒ 2t 5 6 ⇒ t 5 3 h 0, 95 1
186
Matemática
12. 0-0) Errado V(2) 5 40 000 (0,96)2 5 R$ 36 864,00 1-1) Correto. V(1) 5 40 000 (0,96) 5 R$ 38 400,00 Logo: 1 600 5 0,04 5 4% 40 000
⇒ log V(t) 5 log (4 104) 1 t log (0,96) ⇒ 96 ⇒ ⇒ log V(t) 5 2 log 2 1 4 log 10 1 t log 100 ⇒ log V(t) 2 0,6 2 4 5 t [5 log 2 1 log 3 2 2] ⇒
log V( t ) 4, 6 ( 4, 6 log V( t )) 100 ⇒ t 5 ⇒ 0, 02 2 ⇒ t 5 230 2 50 log V(t)
⇒ t 5
4-4) Correto V(t) 5 V1(t) ⇒ 40 000 (0,96)t 5 50 000 (0,9)t ⇒ t
t
4 8 0, 9 30 5 5 ⇒ ⇒ 0, 96 32 5 10
⇒
⇒ log 8 2 log 10 5 t[log 30 2 log 32] ⇒
⇒ 3log 2 2 1 5 t [log 3 1 1 2 5log 2] ⇒
⇒ t 5
3 0, 3 1 0,1 ⇒ t 5 ⇒ t 5 5 anos 0, 48 1 5 0, 3 0, 02
13. • log5 x 1 log5 y 5 3 ⇒ log5 (xy) 5 3 ⇒ xy 5 53 ⇒ ⇒ xy 5 125 (x 1 e y 1) • Analisando a alternativa d, temos: xy 125 ⇒ x(30 2 x) 5 125 ⇒ x2 2 30x 1 125 5 0 ⇒ x y 30 x 25 ⇒ y 5 ⇒ x 5 ⇒ y 25 Resposta: alternativa d. log 3 x log 1 y 3 log3 2 3 14. ⇒ log3 x log3 y 3 log 3 2 log 1 x log3 1 y log3 27 log3 2 2 ⇒ 3 ⇒ log ( x y ) log3 27 log 1 2 3 2 3
Assim: 108 108 ⇒ y 5 6 y 5 x 18
15. 1) Errado P(0) 5
2 log3 x log3 y log3 54 ⇒ ⇒ log3 ( x y ) l o g3 27 2 log3 2 2 log x log3 y log3 54 ⇒ 3 ⇒ log3 ( x y ) lo g3 27 log3 4
x2 y log3 54
x2 54 ⇒ y ⇒ x y 108 ( x y ) log3 108
x 54y ⇒ 108 y x 2
11 480 11 480 5 140 5 82 1 34
2) Errado t → 0 ⇒ P(t) → 11 480 3) Correto 11 480 P(2 1 log3 5) 5 1 34 ( 2 log
3
5
(II)
5
11 480 1 32 log
3
5
5
3
4) Errado • P(3) 5
11 480 5 2 870 1 31
• P(2) 5
11 480 5 1 148 1 32
Logo, P(3) 2 P(2) 5 1 722. 16. 2 ? log10 x 5 log10 (2x 2 8) 1 log10 (x 1 3) ⇒ ⇒ log10 x2 5 log10 (2x 2 8)(x 1 3) ⇒ x2 5 2x2 1 6x 2 8x 2 24 ⇒ ⇒ x2 2 2x2 2 24 5 0 ⇒ x1 5 6 e x2 5 24 Condição de existência: • x . 0 • 2x 2 8 . 0 ⇒ x . 4 • x 1 3 . 0 ⇒ x . 23 Logo x . 4. Então, x 5 6. Portanto, afirmação verdadeira. 4 104 2 15 4 2n f(n) 5 4 000 5 4 ? 103
17. f(n) 5
Então: 410
4 10 3 4 10 ⇒ 2 1 15 ? 422n 5 10 ⇒ 2 15 4 2n ⇒ 15 ? 422n 5 10 2 2 ⇒ 15 ? (22)22n 5 8 ⇒ ⇒ log 15 ? 224n 5 log 23 ⇒ log 15 1 log 224n 5 3 ? log 2 ⇒ 30 1 log 224n 5 3 log 2 ⇒ 2 ⇒ log 30 2 log 2 1 log 224n 5 3 log 2 ⇒ ⇒ log
⇒ log 3 ? 10 1 log 224n 5 4 log 2 ⇒ ⇒ log 3 1 log 10 1 log 224n 5 4 log 2 ⇒ ⇒ log 224n 5 4 log 2 2 log 3 2 log 10 ⇒ ⇒ 24n ? log 2 5 4 log 2 2 log 3 2 1 ⇒ ⇒ 24n 5
(I)
5)
11 480 11 480 5 4 100 5 9 9 1 log 5 1 5 3
log ⇒ 3 log 3
108 ⇒ x3 5 5 832 ⇒ x 5 18 x
Resposta: alternativa c.
3-3) Correto V(t) 5 40 000 (0,96)t ⇒ log V(t) 5 log [40 000 0,96t] ⇒
x2 5 54
Logo, x 1 y 5 18 1 6 5 24
2-2) Errado V(0) 5 40 000 5 R$ 40 000,00
Substituindo (II) em (I), temos:
4 0, 3 0, 48 1 0, 28 ⇒ n ⇒ log 2 4 0, 3
⇒ n 5 0,2333 mês 5 0,2333 ? 30 dias ⇒ n 5 6,999 dias Resposta: alternativa c.
187
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 8 18. Da tabela temos log2 2 5 a 5 1, log3 2 5 b, log6 2 5 c, log2 3 5 d, log3 3 5 e 5 1 e log6 3 5 f. Logo: log6 2 5
log2 2 1 1 5 c ⇒ log2 6 log2 2 log2 3 1 d
4
c)
1 c 1 ⇒ 1 5 c 1 dc ⇒ d 5 2 1 c c Resposta: alternativa a.
1 ⇒ a 2
1 10
80 100
⇒ e
⇒ 1 1 4e
750 1 10 10 a ⇒ a ⇒ 1500 2
2,76 t 2
5 224 ⇒ ln e21,38t 5 ln 224 ⇒ 21,38t 5 24 0,69 ⇒
D(1) 5 D0 2(22 1) ⇒15 5 16 2(22) ⇒ 22 5 log2
100 1 x x a ⇒ a 1500 15
(II)
⇒ 5
Usando os valores dados no enunciado, temos:
1
log15
⇒
x log 2 5 2log 15 ⇒ 10
4 16 , 2, 3 5 0,05 2
Assim, 0,05. b) Devemos determinar t quando D(t) 5 20: D(t) 5 D0 2(22t) ⇒ 20 5 16 2(22t) ⇒ 22t 5 log2 ⇒ t 5
5 10(log 10 1 log 3 2 log 2) ⇒ 0,3x 5 10(1 1 0,47 2 0,3) ⇒
Como 0,05, temos que:
117 , 5 39 ⇒ 0,3x 5 11,7 ⇒ x 5 0, 3 Resposta: alternativa e.
t 5
30 50 10 kt 30 130 10 2kt ⇒
50 10 2kt kt ⇒ 130 10
5 5 kt ⇒ 10 ⇒ kt log ⇒ 13 13 5 5 1 1 ⇒ t log log k k 13 13
1
13 1 log k 5
Resposta: alternativa c. 21. 23x ? 34x 5 0,012 ⇒ (23 ? 34)x 5 12 ? 1023 5 22 ? 3 ? 1023 ⇒ ⇒ log (23 ? 34)x 5 log (22 ? 3 ? 1023) ⇒ ⇒ x log (23 ? 34) 5 log 22 1 log 3 1 log 1023 ⇒ ⇒ x(log 23 1 log 34) 5 2 log 2 1 log 3 2 3 log 10 ⇒ ⇒ x(3 log 2 1 4 log 3) 5 2 ? 0,3 1 0,47 2 3 ⇒ ⇒ x(3 ? 0,3 1 4 ? 0,47) 5 0,6 1 0,47 2 3 ⇒ ⇒ 2,78x 5 21,93 ⇒ x 20,69 5 2 5 2 0,71 e 0,66, então x 7 3 7 3 Resposta: alternativa b. Como
A A 5 5 20% de A 5 1 4e0
A 2
A
1 4e
2 log2 5 2
2 2, 3 5 23 2 0, 05
24. Se x 2, então: log2 (x 2 2) 2 log4 x 5 1 ⇒ log2 (x 2 2) 2
1 log2 x 5 1 ⇒ 2
x 2 x 2 5 2 ⇒ x 2 2 5 2 x ⇒ ⇒ log2 5 1 ⇒ x x 2
⇒ (x 2 2)2 5 (2 x ) ⇒ x2 2 4x 1 4 5 4x ⇒ x 5
84 3 5 4 1 2 3 2
x 5
84 3 (não serve) 2
⇒ x 2 8x 1 4 5 0 2
Logo, x 5 4 1 2 3 . Resposta: alternativa d. 25. O esboço é um gráfico de uma função logarítmica. y
x
A 1 2
⇒ 1 1 4e
A 2
5 2 ⇒
A
5
5 ⇒ 4
Logo, a pessoa morreu aproximadamente 3 horas antes de t 5 0, isto é, aproximadamente às 22h 30min 2 3h 5 19h 30min.
20. Temperaturas iguais: TA 5 TB
15 ⇒ 16
4 log2 3 log2 5 2
30 ⇒ x log 2 5 10 log 15 ⇒ x log 2 5 10 log 5 10(log 30 2 log 2) 5 2
⇒ e
t 5 1 ⇒ e 2 5 ⇒ 4 16
23. a) D(t) 5 D0 2(22t), para t 5 1, temos:
x
A 5 b) f(1) 5 2
A
5
⇒ 22 5 log2 15 2 log2 16 ⇒ 22 5 log2 3 1 log2 5 2 4 ⇒
1 x x 1 1 10 1 10 1 1 10 15 ⇒ 2 15 ⇒ ( 2 ) 15 ⇒ 2
22. a) f(0) 5
A t 2
⇒t52h
De (I) e (II), vem:
⇒ log 2
A t 2
1 4e
( I)
• f(x) 5 100 ⇒ 100 5 1 500ax ⇒
x 10
A
A 5
5
19. • f(0) 5 1 500 ⇒ 1 500 5 k ? a0 ⇒ k 5 1 500 • f(10) 5 750 ⇒ 750 5 1 500a10 ⇒
A 5 22 ln 2 5 22 0,69 5 21,38 ⇒ 2 ⇒ A 5 2,76 milhões de habitantes ⇒
1 ⇒ In e 2 5 ln 222 ⇒ 4
Note que o gráfico foi rebatido, então temos um módulo.
188
Matemática 31. log 2 5 0,30 ⇒ 2 5 100,30
y
log 3 5 0,47 ⇒ 3 5 100,47 N 5 2120 ? 330 5 (100,30)120 ? (100,47)30 5 1036 ? 1014,1 5 1050,1 Resposta: alternativa b. x
32. Condição de existência: x 1 1 . 0 ⇒ x . 21 log (x 1 1) . 2log (x 1 1) ⇒ log (x 1 1) . log (x 1 1)21 ⇒ ⇒ x 1 1 . Assim:
1 x 1
Como x . 21 podemos multiplicar os dois membros por x 1 1:
f3(x) 5 0 ⇒ |1 1 log10 (x 1 1)| 5 0 ⇒ 1 1 log10 (x 1 1) 5 0 ⇒
(x 1 1)2 . 1 ⇒ x2 1 2x 1 1 2 1 . 0 ⇒ x2 1 2x . 0
1 9 ⇒ x 5 ⇒ log10 (x 1 1) 5 21 ⇒ x 1 1 5 10 10
0
2
Resposta: alternativa c.
Mas como devemos ter x . 21 a resposta é x . 0 apenas.
26. a 10b 5 2255 ⇒ log (a 10b) 5 log 2255 ⇒
Resposta: alternativa a.
⇒ log (a 10b) 5 255 log 2 ⇒ log (a 10b) 5 255 0,3 ⇒ ⇒ log (a 10b) 5 76,5 ⇒ a 10b 5 1076,5 ⇒ a 10b 5 1076 1 0,5 ⇒ 1 2
33. f(x) 5 log2 (2 2 x) 1 log2 x Substituindo x por 2 2 x, temos: f(2 2 x) 5 log2 (2 2 (2 2 x)) 1 log2 (2 2 x) 5
⇒ a 10b 5 10 1076 ⇒ a 10b 5 10 1076 ⇒ a 5 10 Resposta: alternativa a.
5 log2 x 1 log (2 2 x) ⇒ f(2 2 x) 5 f(x) Resposta: alternativa c.
27. log2 1 000 5 log2 103 5 3 log2 10 5 3(log2 2 1 log2 5) Como 5y 5 2, temos: log2 5y 5 log2 2 ⇒ y ? log2 5 5 1 ⇒ log2 5 5
Para refletir
1 y
y 1 1 3( y 1) log2 1 000 5 3 [1 ] 3 [ ] y y y
Então: ar 5 b 1 ⇒ r 0
Resposta: alternativa d. 28. loga b 5 3 ⇒ a3 5 b logab c 5 4 ⇒ (ab) 5 c ⇒ (a ? a ) 5 c ⇒ c 5 a 4
3 4
16
loga c 5 loga a16 5 16 Resposta: alternativa b. 29. LP 5 0,6 g/litro NA 5 1,5 g/litro Então: LP 0, 6 log 0, 4 t 5 log0,5 log0,5 log0,5 0,, 4 log 0,5 , NA 15 Mas:
4 log 0,4 5 log 5 log 22 2 log 10 5 2 ? log 2 2 log 10 5 10 5 2 ? 0,3 2 1 5 20,4 1 log 0,5 5 log 5 log 1 2 log 2 5 0 2 0,3 5 20,3 2 Então: 1 0, 4 log 0, 4 4 t 5 1 5 1 hora e 20 minutos 3 0, 3 log 0,5 3 Resposta: alternativa b. 30. 3 5 6 ⇒ x 5 log3 6 Onde x pode ser encontrado pela ordenada de f(x) 5 log3 x para x 5 6. Resposta: alternativa e. x
Página 267 r 5 loga b a e b são números reais positivos e a 1 e b 1.
Página 268 O desenvolvimento logarítmico utiliza as propriedades para expandir uma expressão de maneira que nos permita calcular o logaritmo de um produto, quociente ou potência, conhecendo apenas os logaritmos dos fatores do produto, dos termos do quociente ou da base da potência. Página 270 2loga N 5 21 loga N 5 loga N21 5 loga
1 N
Página 276 Significa que, dado B 0, tem-se loga x B, desde que x seja um número positivo suficientemente pequeno. Página 277 a 1: (2, 1) e (1, 2); (4, 2) e (2, 4) 0 a 1: (21, 2) e (2, 21); (22, 4) e (4, 22) Página 282 Quadro de resolução: x 0 0 x 1 3 S
0 0
1 3
0
1 3
S 5 {x IR | 0 x
1 } 3
189
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 9
Capítulo 9
n 5 4 ⇒ a4 5 5 ? 4 5 20 etc. A sequência é (5, 10, 15, 20, ...).
Abertura
1. PA: (0, 2, 4, 6, ...) e (1, 3, 5, 7, ...) PG: (2, 4, 8, 16, ...) e (2, 6, 18, 54, ...) Nas progressões aritméticas, de um termo ao seguinte somamos algum valor constante, e nas progressões geométricas cada termo é obtido por meio do produto do anterior por um valor constante. 2. a) 0
1
1 1
2 2
3 1,5
5 1,666
8 1,6
b) Sendo f 5 1,615, temos: f24 5 0,1469 f21 5 0,6191 f23 5 0,2374 f0 5 1 f22 5 0,3834 f1 5 1,615
13 1,625
21 1,615
f2 5 2,6082 f35 4,2122 f4 5 6,8028
c) Série de ouro: 0,1469; 0,2374; 0,3834; 0,6191; 1; 1,615; 2,6082; 4,2122; 6,8028 Obtém-se cada termo desta sequência multiplicando o anterior por 1,615, que é f. 1 1 2 3 5 8 13 21 d) Fibonacci: 0 Em ambas as sequências, a razão entre dois termos (a partir do 7‚ termo, no caso da de Fibonacci) é aproximadamente igual ao número de ouro. 3. a) Equilátero 3 b) 1 +2
6 +3
10 +4
15 +5
21 +6
Regra de formação: cada termo é obtido somando-se um número natural, sendo o primeiro termo da sequência o número 1 e o primeiro natural a ser somado, o 2. c) Triângulos retângulos
1 31 1 n 5 2 ⇒ a2 5 2 3 1 n 5 3 ⇒ a3 5 3 3 1 n 5 4 ⇒ a4 5 4 3
b) n 5 1 ⇒ a1 5
5
1 3
5
1 9
5
1 27
5
1 81
1 1 1 1 , . A sequência é , , 3 9 27 81 c) n 5 1 ⇒ a1 5
1 1 1 1 2
n 5 2 ⇒ a2 5
2 2 2 1 3
n 5 3 ⇒ a3 5
3 3 3 1 4
n 5 4 ⇒ a4 5
4 4 4 1 5
1 2 3 4 A sequência é , , , , ... . 2 3 4 5 1
1 d) n 5 1 ⇒ a1 5 1 1 5 21 5 2 1 2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
1 9 3 n 5 2 ⇒ a2 5 1 2 2 4 1 64 4 n 5 3 ⇒ a3 5 1 3 3 27 1 625 5 n 5 4 ⇒ a4 5 1 4 4 256 1 7 776 6 n 5 5 ⇒ a5 5 1 5 5 3 125
d)
1 117 649 7 n 5 6 ⇒ a6 5 1 6 6 46 656
1 4 9 16 25 36 49 64 12 22 32 42 52 62 72 82 Sim, o número 36 aparece nas duas sequências: 21 28 36 e 36 = 62 +7
+8
e) 1 5 12 1 1 3 5 22 3 1 6 5 32 6 1 10 5 42 10 1 15 5 52 15 1 21 5 62 21 1 28 5 72 Todos os números quadrados podem ser expressos como soma de dois números triangulares.
9 64 625 7 776 117 649 A sequência é 2, , . , , , 4 27 256 3 125 46 6 56 2. a) Observamos que: n 5 1 ⇒ a1 5 1 n 5 2 ⇒ a2 5 2 n 5 3 ⇒ a3 5 3 n 5 4 ⇒ a4 5 4 :
:
para n qualquer ⇒ an 5 n Logo, an 5 n, com n [ IN*. b) Observamos que: n 5 1 ⇒ a1 5 2 5 1 1 1 n 5 2 ⇒ a2 5 3 5 2 1 1 n 5 3 ⇒ a3 5 4 5 3 1 1 n 5 4 ⇒ a4 5 5 5 4 1 1
1. a) n 5 1 ⇒ a1 5 5 ? 1 5 5 n 5 2 ⇒ a2 5 5 ? 2 5 10 n 5 3 ⇒ a3 5 5 ? 3 5 15
:
:
para n qualquer ⇒ an 5 n 1 1 Logo, an 5 n 1 1, com n [ IN*.
190
Matemática c) Observamos que: n 5 1 ⇒ a1 5 3 5 3 ? 1 n 5 2 ⇒ a2 5 6 5 3 ? 2 n 5 3 ⇒ a3 5 9 5 3 ? 3 n 5 4 ⇒ a4 5 12 5 3 ? 4 : : para n qualquer ⇒ an 5 3n Logo, an 5 3n, com n [ IN*.
a4 5
a1 1 a2 1 a3 1 a4 5 1 1 5
4, 3
3
3
b)
3 , 4
7,
3
c) √2 ,
9 , 10
3
2,
√2 2
3
3
2√2 ,
2
3
15 , 16
3
4,
√2
3
3
√2
2
3
18 , 19
4√2 ,
2
21 , … 22
3
8,
√2
8√2 , …
2
2
2
2
2
c) 2 2
3k 3k 1 1
d) 2k ? 5 ? 2k 2 1 ou 2k(5 ? 2k 2 1)
5. a) n 5 1 ⇒ a1 5 2 5 2 ? 1 n 5 2 ⇒ a2 5 4 5 2 ? 2 n 5 3 ⇒ a3 5 6 5 2 ? 3 n 5 4 ⇒ a4 5 8 5 2 ? 4 : an 5 2n ⇒ a10 5 2 ? 10 5 20 b) an 5 2(n 2 1) ⇒ a7 5 2(7 2 1) 5 12 6. a) a2 5 (21)2 ? a5 5 (21)5 ? a2 1 a5 5
2 2 4 2 1 3 5 2 7 5 1 6
4 7 8 7 1 2 5 3 6 6 6
1 5 1 12 1 1 a2 5 2 5 4 2 1 1 a3 5 2 5 9 3
b) a1 5
2
k
4. a) 23k 1 2 b)
2
8. n 5 1 ⇒ a1 5 6 n 5 2 ⇒ a2 5 a1 1 3 5 6 1 3 5 9 n 5 3 ⇒ a3 5 a2 1 3 5 9 1 3 5 12 n 5 4 ⇒ a4 5 a3 1 3 5 12 1 3 5 15 etc. A sequência é (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...). Logo, o 8‚ termo é 27. 9.
√2
d) 2 5, 4 10, 8 20, 16 40, 32 80, 64 160, 128 320, … 2
144 1 36 1 16 1 9 205 5 144 144
b) n 5 1 ⇒ a1 5 1 n 5 2 ⇒ a2 5 2a1 1 3 5 2 ? 1 1 3 5 5 n 5 3 ⇒ a3 5 2a2 1 3 5 2 ? 5 1 3 5 13 n 5 4 ⇒ a4 5 2a3 1 3 5 2 ? 13 1 3 5 29 n 5 5 ⇒ a5 5 2a4 1 3 5 2 ? 29 1 3 5 61 etc. A sequência é (1, 5, 13, 29, 61, ...).
19, …
16,
3
12 , 13
3
√2
13, 3
3
6 , 7
3
10,
1 1 1 1 1 5 4 9 16
7. a) n 5 1 ⇒ a1 5 22 n 5 2 ⇒ a2 5 (21)2 ? a1 5 1(22) 5 22 n 5 3 ⇒ a3 5 (21)3 ? a2 5 21(22) 5 2 n 5 4 ⇒ a4 5 (21)4 ? a3 5 1 ? 2 5 2 n 5 5 ⇒ a5 5 (21)5 ? a4 5 21 ? 2 5 22 etc. A sequência é (22, 22, 2, 2, 22, ...).
d) Observamos que: n 5 1 ⇒ a1 5 2 5 3 ? 1 2 1 n 5 2 ⇒ a2 5 5 5 3 ? 2 2 1 n 5 3 ⇒ a3 5 8 5 3 ? 3 2 1 n 5 4 ⇒ a4 5 11 5 3 ? 4 2 1 : : para n qualquer ⇒ an 5 3n 2 1 Logo, an 5 3n 2 1, com n [ IN e 1 < n < 6. 3. a) 1,
1 1 5 16 42
Número de triângulos
Número de palitos
1
3
2
5
3
7
4
9
5
11
:
:
x
2x 1 1
a) 2x 1 1 5 2 ? 20 1 1 5 41 b) 2x 1 1 5 2 ? 77 1 1 5 155 c) 2x 1 1 5 41 ⇒ 2x 5 40 ⇒ x 5 20 10. a1 5 1 a2 5 1 a3 5 a2 1 a1 5 1 1 1 5 2 a4 5 a3 1 a2 5 2 1 1 5 3 a5 5 a4 1 a3 5 3 1 2 5 5 a6 5 a5 1 a4 5 5 1 3 5 8 a7 5 a6 1 a5 5 8 1 5 5 13 a8 5 a7 1 a6 5 13 1 8 5 21 a9 5 a8 1 a7 5 21 1 13 5 34 a10 5 a9 1 a8 5 34 1 21 5 55 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55) 11. n 5 1 ⇒ a1 5 2 n 5 2 ⇒ a2 5 a1 1 5 5 2 1 5 5 7 n 5 3 ⇒ a3 5 a2 1 5 5 7 1 5 5 12 n 5 4 ⇒ a4 5 a3 1 5 5 12 1 5 5 17 etc. A sequência é (2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, ...). Então, são primos os números 2, 7, 17, 37 e 47.
191
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 9 12. n 5 1 ⇒ a1 5 4 3 3 11 n 5 2 ⇒ a2 5 a1 1 5 4 1 5 2 2 2 3 11 3 5 7 n 5 3 ⇒ a3 5 a2 1 2 2 2 n 5 4 ⇒ a4 5 a3 1
3 3 17 5 7 1 5 2 2 2
n 5 5 ⇒ a5 5 a4 1
3 17 3 5 10 2 2 2
n 5 6 ⇒ a6 5 a5 1
3 3 23 5 10 1 5 2 2 2
etc. A sequência é [4, O 6‚ termo é
11 17 23 , 7, , 10, , ...]. 2 2 2
23 . 2
13. n 5 1 ⇒ a1 5 3 ? 1 1 5 5 8
n 5 2 ⇒ a2 5 3 ? 2 1 5 5 11 n 5 3 ⇒ a3 5 1
n 5 4 ⇒ a4 5 2a3 5 2 n 5 5 ⇒ a5 5 2a4 5 4 n 5 6 ⇒ a6 5 2a5 5 8 n 5 7 ⇒ a7 5 2a6 5 16 n 5 8 ⇒ a8 5 2a7 5 32 A sequência é (8, 11, 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...).
14. n 2 1 5 0 ⇒ n 5 1 n2151⇒n52 n2158⇒n59 n 2 1 5 27 ⇒ n 5 28 n 2 1 5 64 ⇒ n 5 65 Cinco termos são racionais. 15. a) an 5 n2 1 2n 1 1 2 n2 2 2 5 2n 2 1 n 5 1 ⇒ a1 5 2 ? 1 2 1 5 1 n 5 2 ⇒ a2 5 2 ? 2 2 1 5 3 n 5 3 ⇒ a3 5 2 ? 3 2 1 5 5 n 5 4 ⇒ a4 5 2 ? 4 2 1 5 7 etc. A sequência é (1, 3, 5, 7, ...) dos números naturais ímpares. b) an 5 2
2
n 2n 1 n 2n 1 4n 5 2n 2 2
5
n2 2n 1 ( n2 2n 1) 5 2
n 5 1 ⇒ a1 5 2 ? 1 5 2 n 5 2 ⇒ a2 5 2 ? 2 5 4 n 5 3 ⇒ a3 5 2 ? 3 5 6 n 5 4 ⇒ a4 5 2 ? 4 5 8 etc. A sequência é (2, 4, 6, 8, ...) dos números naturais pares diferentes de zero.
16. a0 5
0 5 0 ⇒ 1‚ termo é a0 5 0 0 11
1 1 1 ⇒ 2‚ termo é a1 5 a1 5 1 1 2 2
a14 5
14 14 14 ⇒ 15‚ termo é a14 5 14 1 15 15
17. a) 5 2 2 5 8 2 5 5 11 2 8 5 14 2 11 5 3 É PA e r 5 3. b) 10 2 15 5 5 2 10 5 0 2 5 5 25 2 0 5 25 É PA e r 5 25. c) 3 2 2 5 2 3 ⇒ 1 2 Não é PA. 4 5 4 5 1 2 1 5 2 5 2 2 5 3 3 3 3 3 1 É PA e r 5 . 3
d)
e) 1 1 3 2 1 5 1 1 2 3 2 1 2 3 5 5 1 1 3 3 2 1 2 2 3 5 3 É PA e r 5 3 . 2 1 3 2 1 1 2 2 ⇒ 3 2 4 3 6 12 Não é PA. f)
1 1 1 2 a 1 1 5 a 2 a 1 5 2 2 2 1 É PA e r 5 . 2
g) a 2
h) x 2 2y 2 x 1 5y 5 x 1 y 2 x 1 2y 5 5 x 1 4y 2 x 2 y 5 3y É PA e r 5 3y. 18. a) r 5 16 2 9 5 7 b) r 5 22 1 4 5 2 c) r 5 2 2
4 6 4 2 3 3 3
d) r 5 x 1 y 2 x 1 2y 5 3y e) r 5 1 2 3 1 2 3 4 3 2 2 x2 2 x 2 x2 2 5 2x 5 x x x x n 21 n 1 2 n 3 2 1 5 g) r 5 2 2 2 h) r 5 2π 2 1 2 π 5 π 2 1 f) r 5
1 3 n 3 5 1 1 n n n b) a3 5 a1 1 r 1 r 5 a1 1 2r 5 2π 1 1 1 2(22π) 5 5 2π 1 1 2 4π 5 1 2 2π c) a6 5 a2 1 r 1 r 1 r 1 r 5 a2 1 4r 5 12 1 4 ? 7 5 40
19. a) a4 5 a1 1 r 1 r 1 r 5 a1 1 3r 5 1 1 3 ?
d) a7 5 a4 1 r 1 r 1 r 5 a4 1 3r 5 25 1 3(25) 5 5 25 2 15 5 10 x 12 e) a6 5 a3 1 r 1 r 1 r 5 a3 1 3r 5 1 3 ? 2 5 3 x 12 x 2 18 x 20 1 6 5 5 3 3 3
20. PA (x 2 r, x, x 1 r) x 2 r 1 x 1 x 1 r 5 24 ⇒ 3x 5 24 ⇒ x 5 8 (8 2 r)8(8 1 r) 5 120 ⇒ 64 2 r2 5 15 ⇒ r2 5 49 ⇒ ⇒ r9 5 7 e r0 5 27 PA (1, 8, 15) ou PA (15, 8, 1) 21. PA (x 2 2r, x 2 r, x, x 1 r, x 1 2r) x 2 r 1 x 1 x 1 r 5 24 ⇒ x 5 8 (8 2 2r)(8 1 2r) 5 28 ⇒ 64 2 4r2 5 28 ⇒ 16 2 r2 5 7 ⇒ ⇒ r2 5 9 ⇒ r9 5 3 e r0 5 23 (não convém) PA (2, 5, 8, 11, 14)
192
Matemática
22. Termos da PA: x 2 3y, x 2 y, x 1 y e x 1 3y
4x 16 ⇒ x 4 ⇒ 2 2 x 9y 7
42 2 9y2 5 7 ⇒ 29y2 5 29 ⇒ y 5 61 Logo, os números são 1, 3, 5, 7 ou 7, 5, 3, 1.
*
Página 303 5. a) 300 b) 104,9 MHz c) Canal 199: 87,7 MHz; canal 198: 87,5 MHz. e) Agência Nacional de Telecomunicações.
tim-tim por tim-tim
( x 3y ) ( x y ) ( x y ) ( x 3y ) 166 ⇒ ( x 3y ) ( x 3y ) 7
23. a) a2 5 a1 1 r 5 7 1 4 5 11 a3 5 11 1 4 5 15 a4 5 15 1 4 5 19 a5 5 19 1 4 5 23 PA (7, 11, 15, 19, 23) b) a2 5 a1 1 r 5 26 1 8 5 2 a3 5 2 1 8 5 10 a4 5 10 1 8 5 18 PA (26, 2, 10, 18)
PA (x 2 3y, x 2 y, x 1 y, x 1 3y) Então: • x 2 3y 1 x 2 y 1 x 1 y 1 x 1 3y 5 6 ⇒ 4x 5 6 ⇒ 6 5 1,5 4 • (x 2 3y)2 1 (x 2 y)2 1 (x 1 y)2 1 (x 1 3y)2 5 54 ⇒ ⇒ x2 2 6 xy 9y 2 x 2 2xy y 2 x 2 2xy ⇒ x 5
1 y2 1 x2 1 6 xy 9y 2 54 ⇒ 4x 2 20y 2 54 ⇒ ⇒ x2 1 5y2 5 13,5 ⇒ (1,5)2 1 5y2 5 13,5 ⇒ 5y2 5 11,25 ⇒ ⇒ y2 5 2,25 ⇒ y 5 ±1,5 Como a PA é crescente, y é positivo. Assim, x 5 1,5 e y 5 1,5. Então: x 2 3y 5 1,5 2 4 ? 1,5 5 23 x 2 y 5 1,5 2 1,5 5 3 x 1 y 5 1,5 1 1,5 5 3 x 1 3y 5 1,5 1 3 ? 1,5 5 6 Logo, a PA é dada por (23, 0, 3, 6) e sua razão é 3. 32. PA (x 2 5, x, x 1 5) (x 2 5)2 1 x2 5 (x 1 5)2 ⇒ ⇒ x 2 10x 25 x 2 x 2 10x 25 ⇒ ⇒ x2 2 20x 5 0 ⇒ x(x 2 20) 5 0 ⇒ x9 5 0 (não convém) e x0 5 20 PA (15, 20, 25)
24. a1 5 2; r 5 2 an 5 a1 1 (n 2 1)r 5 2 1 (n 2 1)2 5 2 1 2n 2 2 5 2n
33. Temos uma PA de razão 100 e a0 5 20 000. a10 5 a0 1 10r 5 20 000 1 10 ? 100 5 21 000 A população dessa cidade será de 21 000 habitantes daqui a 10 anos.
25. a1 5 1; r 5 2; n 5 50 a50 5 a1 1 49r 5 1 1 49 ? 2 5 99
Desafio em dupla
26. a) r 5 3; a7 5 21; n 5 7 a7 5 a1 1 6r ⇒ 21 5 a1 1 6 ? 3 ⇒ a1 5 21 2 18 5 3 PA (3, 6, 9, 12, ...) b) a12 5 229; r 5 24; n 5 12 a12 5 a1 1 11r ⇒ 229 5 a1 1 11(24) ⇒ 229 5 a1 2 44 ⇒ ⇒ a1 5 15 PA (15, 11, 7, 3, ...)
PA (x 2 r, x, x 1 r)
27. a20 5 157; a1 5 5; n 5 20 a20 5 a1 1 19r ⇒ 157 5 5 1 19r ⇒ 19r 5 152 ⇒ r 5 8 PA (5, 13, 21, 29, ...)
2x 2r 2 x 2 ⇒ 5x 10 2x 2r 18
28. a9 5
a8 a10 52 66 118 5 59 2 2 2
x r 1 x 12 x 1r 19 5 5 ⇒ 5 10 25 ⇒ x 2 r 1 1 5
x 12 x 1r 19 5 ⇒ 2 5
I
II I II
x 2r 0 ⇒ 3x 2r 8 2x 8 ⇒ x 4
2r 5 x 5 4 ⇒ r 5 2 PA (2, 4, 6)
r 5 a9 2 a8 5 59 2 52 5 7 29. PA (110, ..., 990) a1 5 110; an 5 990; r 5 11 an 5 a1 1 (n 2 1)r ⇒ 990 5 110 1 (n 2 1)11 ⇒ ⇒ 880 5 (n 2 1)11 ⇒ n 2 1 5 80 ⇒ n 5 81 30. De 100 a 500 são 401 números inteiros; os divisíveis por 7 formam a PA (105, ..., 497): a1 5 105; an 5 497; r 5 7 an 5 a1 5 (n 2 1)r ⇒ 497 5 105 1 (n 2 1)7 ⇒ 392 5 (n 2 1)7 ⇒ ⇒ n 2 1 5 56 ⇒ n 5 57 Logo, não são divisíveis por 7: 401 2 57 5 344 números 31. Termos centrais: x 1 y e x 2 y r 5 (x 1 y) 2 (x 2 y) 5 x 1 y 2 x 1 y 5 2y
34. a)
an a4 = 5 a3 = 4 a2 = 3 a1 = 2 a0 = 1 n 0
1
PA: 1, 2, 3, 4, 5, ... Razão: r 5 1 a0 5 1
2
3
4
193
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 9 b)
b) n 5 20; a1 5 17; r 5 4 a20 5 a1 1 19r 5 17 1 19 ? 4 5 93
an a5 = 8
S20 5
7
c) PA (2, 4, ...) a1 5 2; r 5 2; n 5 200 a200 5 2 1 199 ? 2 5 400
a4 = 6 5
S200 5
a3 = 4
a2 = 2 1 n 1
2
3
4
5
6
7
8
–1 a0 = –2 –3
PA: 22, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Razão: 2 a0 5 22 35. PA (20, —, —, —, —, —, —, —, 68) a1 5 20; an 5 68; n 5 2 1 7 5 9 an 5 a1 1 (n 2 1)r ⇒ 68 5 20 1 (9 2 1)r ⇒ 8r 5 48 ⇒ r 5 6 Então, PA (20, 26, 32, 38, 44, 50, 56, 62, 68). 36. a1 5 5; an 5 53; r 5 8 an 5 a1 1 (n 2 1)r ⇒ 53 5 5 1 (n 2 1)8 ⇒ (n 2 1)8 5 48 ⇒ ⇒n2156⇒n57 Então, a PA deve ter 7 termos. Portanto, devemos inserir 5 meios aritméticos. E teremos a sequência (5, 13, 21, 29, 37, 45, 53). 37. a1 5 3; an 5 25; n 5 2 1 10 5 12 an 5 a1 1 (n 2 1)r ⇒ 25 5 3 1 11r ⇒ 11r 5 22 ⇒ r 5 2 38. PA (5, 8, ...) a1 5 5; a2 5 8; r 5 3 a3 5 11 a4 5 14 Portanto, a soma é: 5 1 8 1 11 1 14 5 38 39. PA (29, 22, 5, 12, 19, 26, ...) Portanto, a soma é: 29 2 2 1 5 1 12 1 19 1 26 5 51 40. PA (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...) Portanto, a soma é: a) 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 5 55 b) 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 12 1 13 1 1 14 1 15 1 16 1 17 1 18 1 19 1 20 5 210 41. a) PA (4, 10, ...) a1 5 4 e r 5 6 a30 5 a1 1 29r 5 4 1 29 ? 6 5 178 S30 5
200( 2 1 400 ) 5 40 200 2
d) PA (5, 10, ...) a1 5 5; r 5 5; n 5 50 a50 5 5 1 49 ? 5 5 250
3
a1 = 0
20(17 1 93 ) 5 1 100 2
30( 4 1 178 ) 5 2 730 2
S50 5
50( 5 1 250 ) 5 6 375 2
e) PA (105, ..., 994) a1 5 105; an 5 994; r 5 7 994 5 105 1 (n 2 1)7 ⇒ (n 2 1)7 5 889 ⇒ n 2 1 5 127 ⇒ ⇒ n 5 128 S128 5
128(105 1 994 ) 5 70 336 2
f ) PA (2, 4, ..., an) a1 5 2 e r 5 2 an 5 2 1 (n 2 1)2 5 2 1 2n 2 2 5 2n, n [ IN* n( 2 1 2n ) 2 n(1 1 n ) 5 5 n(1 1 n) 2 2
Sn 5
42. PA (202, 206, ...) a1 5 202 e r 5 4 a35 5 202 1 34 ? 4 5 338 a50 5 202 1 49 ? 4 5 398 50( 202 1 398 ) 5 15 000 2 soma encontrada 5 15 000 2 338 5 14 662
S50 5
43. Sn 5 n2 2 3n S1 5 12 2 3 ? 1 5 22 ⇒ a1 5 22 S2 5 22 2 3 ? 2 5 22 ⇒ a1 1 a2 5 22 ⇒ 22 1 a2 5 22 ⇒ ⇒ a2 5 0 PA (22, 0, ...) r52 3
44. S6 5
6 ( a1 1 7 ) 2
5 12
1
a1 1 7 5 4 ⇒ a1 5 23 45. PA (7, ..., a20) 10
S20 5
20 ( 7 1 a20) 2
5 710
7 1 a20 5 71 ⇒ a20 5 64 64 5 7 1 19r ⇒ 19r 5 57 ⇒ r 5 3 a10 5 a1 1 9r 5 7 1 9 ? 3 5 34 a a6 34 a 2r a1 5r 34 ⇒ 1 ⇒ 46. 3 a1 3r a1 8r 5 0 a4 a9 50 2a1 7r 34 2a 7r 34 ⇒ ⇒ 1 2 a 11 r 50 1 2a1 11r 50 4r 16 ⇒ r 4
194
Matemática 2a1 1 7 ? 4 5 34 ⇒ 2a1 5 6 ⇒ a1 5 3 a20 5 a1 1 19r 5 3 1 19 ? 4 5 79
54.
50 20 10
10
S20 5
47. Sn 5
20 ( 3 1 79)
5 820
2
n( a1 + an ) n?n n2 5 5 2 2 2
48. Sn 5 n2 1 4n S1 5 12 1 4 ? 1 5 5 ⇒ a1 5 5 S2 5 22 1 4 ? 2 5 12 ⇒ a1 1 a2 5 12 ⇒ 5 1 a2 5 12 ⇒ a2 5 7 PA (5, 7, ...) r52
V1‚ degrau 5 10 ? 20 ? 50 5 10 000 cm3 5 10 dm3 V2‚ degrau 5 2V1‚ 5 20 dm3 V3‚ degrau 5 3V1‚ 5 30 dm3 : : V10‚ degrau 5 10V1‚ 5 100 dm3
49. PA (2, 5, ..., x) a1 5 2; an 5 x; r 5 3 x 5 2 1 (n 2 1)3 5 2 1 3n 2 3 5 3n 2 1 ⇒ 3n 5 x 1 1 ⇒ x 11 ⇒ n 5 3 n( a1 1 an ) x 11 2 1 x ? 5 77 ⇒ 5 Sn 5 3 2 2 ⇒ x2 1 3x 1 2 5 462 ⇒ x2 1 3x 2 460 5 0 D 5 1 849 x 5
S10 5
55. PA (12, 14, 16, ...) a1 5 12 e r 5 2 an 5 12 1 (n 2 1)2 5 12 1 2n 2 2 5 2n 1 10 n( a1 1 an ) n(12 1 2n 1 10 ) 5 620 ⇒ Sn 5 ⇒ 2 2
23 ± 43 ⇒ x9 5 20 e x0 5 223 (não convém, pois a PA é 2
⇒
crescente) S 5 {20}
n 5
a1 5 x; an 5 20x; r 5 x 20x 5 x 1 (n 2 1)x ⇒ 19x 5 nx 2 x ⇒ 20x 5 nx ⇒ n 5 20 20 ( x 1 20x ) 2
São necessárias 20 fileiras.
5 6 300 ⇒ 21x 5 630 ⇒ x 5 30
x 2 r 1 x 1 x 1 r 5 180º ⇒ 3x 5 180º ⇒ x 5 60º x 2 r 5 40º ⇒ 60º 2 r 5 40º ⇒ r 5 20º PA (40º, 60º, 80º)
10
51. a) ∑ 3i 5 3 ? 1 1 3 ? 2 1 ... 1 3 ? 10 5 3 1 6 1 ... 1 30 i 51
a1 5 3; a10 5 30; n 5 10
57.
a+r
10
( 3 30 ) ? 10 5 165 ∑ 2 i 1
a−r
20
i 1
5 7 1 9 1 ... 1 45 a1 5 7; a20 5 45; n 5 20 20
∑ (5 2i) =
i 1
( 7 45 ) ? 20 5 520 2
52. PA (20, 17, ..., a5)
a1 5 20 e r 5 23 a5 5 20 1 4(23) 5 8
5( 20 1 8 ) 5 70 km S5 5 2
53. PA (3, 12, 21, ..., a10) a1 5 3; r 5 9; n 5 10 a10 5 a1 1 9r 5 3 1 9 ? 9 5 84 m S10 5
10( 3 1 84 ) 5 435 m 2
a + 2r
a
b) ∑ ( 5 2i ) 5 (5 1 2 ? 1) 1(5 1 2 ? 2) 1 ... 1 (5 1 2 ? 20) 5
211 ± 51 ⇒ n9 5 20 e n0 5 231 (não convém) 2
56. PA (x 2 r, x, x 1 r)
10
n( 2n 1 22 ) 5 620 ⇒ n(n 1 11) 5 620 ⇒ 2
⇒ n2 1 11n 2 620 5 0 D 5 2 601
50. PA (x, 2x, ..., 20x)
S20 5
10(10 1 100 ) 5 550 dm3 2
a − 2r
PA (a 2 2r, a 2 r, a, a 1 r, a 1 2r)
A soma dos ângulos internos de um pentágono convexo é: Si 5 (n 2 2)180º 5 (5 2 2)180º 5 540º
a 2 2r 1 a 2 r 1 a 1 a 1 r 1 a 1 2r 5 540º ⇒
⇒ 5a 5 540º ⇒ a 5 108º O termo do meio é 108º.
58.
T
R2
R1
•
•
50 m Roseira
Anda
1·
100 m
2·
104 m
3·
108 m
10·
136 m
R3
•
2
•
2
195
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 9 a10 5 a1 1 9r 5 100 1 9 ? 4 5 136 m S10 5
j)
(100 1 136)10 236 ? 5 5 1 180 m 2
x x x y2 : 2 5 ? 5y y y y x
x :
Resposta: alternativa b. 59. a) Sim; (2, 3, 4, 5, 6, ...) é uma PA não estacionária (r 5 1). b) Não; (2, 2, 2, 2, 2, ...) é uma PA estacionária (r 5 0). c) Sim; (4, 6, 8, 10, 12, ...) é uma PA não estacionária (r 5 2). d) Sim; (3, 6, 9, 12, 15, ...) é uma PA não estacionária (r 5 3). e) Não; (1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) não é uma PA.
x y 5 x ? 5 y y x
xy : x 5 y Logo, a sequência é PG e q 5 y.
62. a) q 5 b) q 5
8 5 4 2 3 3 1 1 : 3 5 ? 5 2 2 3 2 1
60. a) an 5 n2 2 2 b) an 5 n2 1 1 3 5 3 1
61. a)
2 1 2 3 2 c) q 5 : 5 ? 5 9 3 1 3 9
c) an 5 2n2 2 1 d) an 5 3n2 1 n 9 5 3 3
3
27 5 3 9
81 5 3 27
Logo, a sequência é PG e q 5 3. b)
4 5 2 2
6 3 3 5 2 4 2 2
Logo, a sequência não é PG. 100 1 5 200 2
200 1 5 400 2
c)
Logo, a sequência é PG e q 5
50 1 5 100 2
1 . 2
210 5 22 5
20 5 22 210
80 5 22 240
2160 5 22 80
240 5 22 20
Logo, a sequência é PG e q 5 22. 1 1 : 15 4 4
1 1 1 4 1 : 5 ? 5 16 4 16 1 4
1 1 1 16 1 : 5 ? 5 64 16 64 1 4
Logo, a sequência é PG e q 5 f) 1 : 2 5
g) q 5
y2 x2 x x2 x : 2 5 3 ? 5 3 y y y x y x
5 x2
63. a) a1 5 7 e q 5 3 a2 5 7 ? 3 5 21 a3 5 21 ? 3 5 63 a4 5 63 ? 3 5 189 a5 5 189 ? 3 5 567 PG (7, 21, 63, 189, 567) b) a1 5 25 e q 5 2 a2 5 (25)2 5 210 a3 5 (210)2 5 220 a4 5 (220)2 5 240 PG (25, 10, 220, 240)
b) a1 5 1024 e q 5 10 a5 5 a1 ? q ? q ? q ? q 5 a1 ? q4 5 1024 ? 104 5 100 5 1
16 x 5 4 4x
64x 5 4 16 x
256 x 5 4 64x
2
ap 5 p ap
1 b 4 1 a 1 a9 5 a5 ? q ? q ? q ? q 5 a5 ? q4 5 ab2 5 ab2 ? 4 5 2 b b b c) a5 5 ab2 e q 5
Logo, a sequência é PG e q 5 4.
66. a) i 5 3
ap 5 p ap2
9x 2 5 3 3x 2 Logo, a sequência não é PG para x 1.
15 5 10 5 2 5 200% 5 5
b) i 5
800 2 1 000 200 5 2 5 20,2 5 220% 1 000 1 000
c) i 5
4 21 5 3 5 300% 1
d) i 5
60 100 40 5 20,4 5 240% 100 100
Logo, a sequência é PG e q 5 p. 3x 2 i) 5 3x x
xn n22
65. a) a1 5 4 e q 5 5 a4 5 a1 ? q ? q ? q 5 a1 ? q3 5 4 ? 53 5 500
4x 5 4 x
ap 5 p p
107 5 103 5 1 000 104
1 2 2 3
g)
h)
f) q 5
64. a1 5 1023 e q 5 102 a2 5 1023 ? 102 5 1021 a3 5 1021 ? 102 5 10 a4 5 10 ? 102 5 103 PG (1023, 1021, 10, 103, ...)
1 1 : 15 2 2
1 1 1 2 2 : 5 ? 5 3 2 3 1 3 Logo, a sequência não é PG.
xy 3 5 y2 xy
1 . 4
1 2
e) q 5
h) q 5
d)
e)
10 d) q 5 21 5 102 10
196
Matemática
67. Como a população cresce 5% por minuto, em cada minuto a população é de 105% da população do minuto anterior. Logo, a cada minuto a população é multiplicada por 105% 5 1,05. Após n minutos, a população será B0 ? (1,05)n. 68. Como a torcida diminui 3% ao ano, em cada ano a torcida é de 97% da torcida do ano anterior. Logo, a cada ano a torcida é multiplicada por 97% 5 0,97. Após t anos, a torcida será P0 ? (0,97)t. 69. Crescentes: a, h, j; decrescentes: c, e, g; constante: d; alternantes: b, f, i.
a2 ? (a2)2 5 125 ⇒ (a2)3 5 125 ⇒ a2 5 5 a1 5 a3 31 a 26 a3 ⇒ 1 a ? a 25 1 3 a1 ? a3 25 (26 2 a3)a3 5 25 ⇒ 2a 23 1 26a3 2 25 5 0 ⇒ ⇒ a 23 2 26a3 1 25 5 0 D 5 576 26 ± 24 ⇒ a’3 5 25 e a”3 5 1 2
a’1 5 26 2 25 5 1 e a”1 5 26 2 1 5 25 PG (1, 5, 25) ou PG (25, 5, 1) 71. PG (x, xq, xq2) (xq2)2 5 x2 1 (xq)2 ⇒ x2q4 2 x2q2 2 x2 5 0 ⇒ q4 2 q2 2 1 5 0 q2 5 y ⇒ y2 2 y 2 1 5 0 D55 y 5
1±
5 2
⇒ y9 5
11 5 12 5 e y0 5 (não convém) 2 2
11 5 q 5 2 72. I PG (a1, a2, a3) é crescente
a3 5 25a1 2 ( a2 ) 5 a1 ? a3
(a2)2 5 a1 ? 25a1 5 25(a1)2 ⇒ a2 5 5a1
a1 1 5a1 1 25a1 5 62 ⇒ a1 5 2
a2 5 10
a3 5 50
PG (2, 10, 50)
9 5 3 e a1 5 3 3
an 5 a1 ? qn 2 1 5 3 ? 3n 2 1 5 31 ? 3n ? 321 5 3n c) q 5
1 e a1 5 2 2
1 an 5 a1 ? qn 2 1 5 2 2
n 21
5 2 ?
1 5 21 ? 22n ? 21 5 22 2 n 2n ? 221
5 5 5 e a1 5 1 1 a5 5 a1 ? q4 5 1 ? 54 5 625
74. a) q 5
27 5 3 e a1 5 9 9 a10 5 a1 ? q9 5 9 ? 39 5 32 ? 39 5 311 5 177 147
b) q 5
a1 ? a2 ? a3 5 125 70. 2 ( a2 ) 5 a1 ? a3
a3 5
b) q 5
75. a1 5 512 e q 5
1 2
1 5 1 a6 5 a1 ? q5 5 512 [ ] 5 512 ? 5 16 2 32 76. x2 2 5x 1 4 5 0 D59 5±3 x 5 ⇒ x9 5 4 e x0 5 1 2 PG (1, 4, ...) a1 5 1 e q 5 4 a6 5 a1 ? q5 5 1 ? 45 5 1 024 77. q 5
4ax 2 5 2x e a1 5 2ax 2ax
a7 5 a1 ? q6 5 2ax(2x)6 5 2ax ? 64x6 5 128ax7 78. a) a4 5 128 e q 5 4 a4 5 a1 ? q3 ⇒ 128 5 a1 ? 43 ⇒ a1 5
128 5 2 64
b) a6 5 103 e q 5 10 a6 5 a1 ? q5 ⇒ 103 5 a1 ? 105 ⇒ a1 5 79. a1 5
103 5 1022 105
1 ; q 5 2; an 5 32 4
an 5 a1 ? qn 2 1 ⇒ 32 5 ⇒ 2n 5
1 ? 2n 2 1 ⇒ 25 5 222 ? 2n ? 221 ⇒ 4
25 ⇒ 2n 5 28 ⇒ n 5 8 223
a8 5 32
II PG (a1, a2, a3) é decrescente
Logo, é o 8‚ termo. 80. a) a1 5 9; an 5 320; q 5 3 an 5 a1 ? qn 2 1 ⇒ 320 5 9 ? 3n 2 1 ⇒
320 5 3n ? 321 ⇒ 32
a1 5 25a3 2 ( a2 ) 5 a1 ? a3
a2 5 5a3 ⇒ 25a3 1 5a3 1 a3 5 62 ⇒ a3 5 2
a2 5 10
b) an 5 1 875; a1 5 3; q 5 5
a1 5 50
PG (50, 10, 2)
an 5 a1 ? qn 2 1 ⇒ 1 875 5 3 ? 5n 2 1 ⇒ 5n 2 1 5 625 ⇒ ⇒ 5n 2 1 5 54 ⇒ n 5 5
73. a) q 5
8 5 4 e a1 5 2 2
an 5 a1 ? qn 2 1 5 2 ? 4n 2 1 5 2 ? 4n ? 421 5 2 ? 22n ? 222 5 22n 2 1
⇒
3n 5 318 ⇒ 3n 5 319 ⇒ n 5 19 3
81. a8 5 8 e a10 5 32 a10 5 a8 ? q2 ⇒ 32 5 8 ? q2 ⇒ q2 5 4 ⇒ q 5 2 ou q 5 22 (não convém, pois a PG é crescente) a9 5 a8 ? q 5 8 ? 2 5 16
197
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 9 82. a2 5 48 e a7 5 a7 5 a2 ? q5 ⇒
3 2 3 3 1 1 1 ⇒ q 5 5 48q5 ⇒ q5 5 ? 5 2 2 32 2 48 16
a1 5
a2 48 5 96 5 1 q 2
a1(1 q ) 15 ⇒ 2 a1 ? q (1 q ) 240 a 1 (1 q ) a 1 ? q2 (1 q )
83. PG (3 000, x, 27 000) x2 5 3 000 ? 27 000 5 81 000 000 ⇒ x 5 9 000 unidades 84. a3 5 16 e a6 5 1 024 a6 5 a3 ? q3 ⇒ 1 024 5 16q3 ⇒ q3 5 64 ⇒ q 5 4 a3 5 a1 ? q2 ⇒ 16 5 a1 ? 42 ⇒ a1 5 1 a a1 30 a ? q a1 30 ⇒ 1 85. 2 a1 5q a1 5q 5q ? q 2 5q 5 30 ⇒ 5q2 2 5q 2 30 5 0 ⇒ q2 2 q 2 6 5 0 D 5 25 1± 5 ⇒ q9 5 3 e q0 5 22 (não convém, pois a PG é crescente) q 5 2 a1 5 5 ? 3 5 15 86. (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024) 2 ? 1 024 5 2 048 4 ? 512 5 2 048 8 ? 256 5 2 048 16 ? 128 5 2 048 32 ? 64 5 2 048 5 ? 2 048 5 10 240 87. a) x2 5 4 ? 9 5 36 ⇒ x 5 6 ou x 5 26 b) x2 2 a2b2 ⇒ x 5 ab ou x 5 2ab c) (3x 2 6)2 5 (2x 1 1)(4x 2 8) ⇒ ⇒ 9x2 2 36x 1 36 5 8x2 2 16x 1 4x 2 8 ⇒ ⇒ x2 2 24x 1 44 5 0 D 5 400 24 ± 20 x 5 ⇒ x9 5 22 e x0 5 2 2 Logo, x 5 22 ou x 5 2. d) x2 5 (x 2 3)(x 1 6) ⇒ x2 5 x2 1 3x 2 18 ⇒ ⇒ 3x 5 18 ⇒ x 5 6 a ? q3 a1 ? q5 120 a a6 120 ⇒ 1 6 ⇒ 88. 4 8 a7 a9 960 a1 ? q a1 ? q 9 60 3 2 a ? q (1 q ) 120 ⇒ 1 6 2 a1 ? q (1 q ) 960
a1 ? q3 (1 q2 )
a1 a1 ? q 15 a a2 15 ⇒ ⇒ 90. 1 2 3 a a 240 4 3 a1 ? q a1 ? q 240
1
1 1 ⇒ q 5 2 ⇒ 3 8 q 960 a1 ? q 6 (1 q2 ) 8 120
1
15 240
⇒
16
1 1 ⇒ q 5 4 ou q 5 24 16 q2
91. Temos: a1 S n 9 q 1 0, 007 1007 , Então: a9 5 a1q8 5 S(1,007)8 . 1,057S 92. a1 5 P a2 5 P 1 1,2% de P 5 1,012P Então, q 5 1,012. Logo: a17 5 a1q16 5 P(1,012)16 . 1,21P 93. a1 5 400 a2 5 400 1 10% de 400 5 440 ⇒ q 5 1,1 a5 5 a1 ? q4 5 400(1,1)4 5 R$ 585,64 94. a1 5 30 000 e q 5 2 a4 5 a1 ? q3 5 30 000 ? 23 5 240 000 unidades meses meses meses 95. x 4 → 2x 4 → 4x 4 → 8x
Deve vender 7x. Então: 7x 5 0,875 ⇒ x 5 87,5% 8x Resposta: alternativa d. 96. a1 5 10 000 q 5 0,9 a6 5 10 000 ? 0,95 5 10 000 ? 0,590490 5 5 904,90 Resposta: alternativa d. 97. PG (6, __, __, __, __, 192) a1 5 6 e a6 5 192 a6 5 a1 ? q5 ⇒ 192 5 6q5 ⇒ q5 5 32 ⇒ q 5 2 PG (6, 12, 24, 48, 96, 192) 98. PG (8, __, __, __, __, 1 944) a1 5 8 e a6 5 1 944 a6 5 a1 ? q5 ⇒ 1 944 5 8q5 ⇒ q5 5 243 ⇒ q 5 3 a2 5 a1 ? q 5 8 ? 3 5 24 99. PG (18, __, __, x) e q 5 3 a4 5 a1 ? q3 5 18 ? 33 5 486
3
a1 ? 23(1 1 4) 5 120 ⇒ a1 5
120 ⇒ a1 5 3 40
89. PG (x 1 2, x 1 6, x 1 14) (x 1 6)2 5 (x 1 2)(x 1 14) ⇒ ⇒ x 2 1 12x 1 36 5 x 2 1 16x 1 28 ⇒ 4x 5 8 ⇒ x 5 2
100. PG (480, __, __, __, __, 15) a6 5 a1 ? q5 ⇒ 15 5 480q5 ⇒ q5 5
1 1 ⇒ q 5 32 2
101. a1 5 100, an 5 1 000 000, q 5 10 an 5 a1 ? qn 2 1 ⇒ 1 000 000 5 100 ? 10n 2 1 ⇒ ⇒ 106 5 102 ? 10n 2 1 ⇒ 10n 1 1 5 106 ⇒ n 1 1 5 6 ⇒ n 5 5 x53
198
Matemática
102. a) a1 5 2, q 5 4, n 5 6 6
S6 5
2( 4 1) 2( 4 096 1) 5 2 730 4 1 3
7( 26 2 1) 7( 64 2 1) 5 5 441 2 21 1
c) a1 5 a2, q 5 a3, n 5 10 S10 5
lim Sn
n →
b) a1 5 7, q 5 2, n 5 6 S6 5
111. a1 5 x2, q 5 2
a2 [( a3 )10 2 1] a2 ( a30 1) a32 a2 3 5 3 3 a 21 a 1 a 1
1 04. a) a1 5 1, an 5 512, q 5 2 Sn 5
512 ? 2 2 1 5 1 023 2 21
b) a1 5 5, an 5 1 280, q 5 4 Sn 5
1 280 ? 4 2 5 5 1 705 4 21
c) a1 5 1, an 5 210, q 5 22 210 ? 22 2 1 1 024 ? 4 2 1 5 Sn 5 5 1 365 3 22 2 1
3( 2n 2 1) ⇒ 2n 2 1 5 255 ⇒ 2n 5 256 5 28 ⇒ n 5 8 2 21
1 06. a1 5 3, q 5 2, Sn 5 381 381 5
112. a) 0,515151... 5 0,51 1 0,0051 1 0,000051 1 ... 5
x ?223 ⇒ 2x 2 3 5 381 ⇒ 2x 5 384 ⇒ x 5 192 2 21
a ( 729 2 1) a1( 36 2 1) 5 1 456 ⇒ 1 5 1 456 ⇒ a1 5 4 2 3 21 108. n 5 5, q 5 2, a1 5 60 60( 25 1) 60 ? 31 S5 5 5 R$ 1 860,00 2 1 1 1 109. a) a1 5 1, q 5 2 2 1
1 1 2 1 b) a1 5 2, q 5 4
n →
lim Sn
n →
1 10. a1 5 x, q 5 lim Sn
n →
2 1 1 4
51 51 99 51 100 100 : ? 5 lim Sn 5 5 n → 1 100 100 99 100 1 100 5
1 1 3
51 17 5 99 33
Então: 0,515151... 5
5 1 :
5
3 4 3 1 1 1 ... 10 100 1 000
3 1 , q 5 100 10 3 1 3 9 10 1 3 100 : 5 5 lim Sn ? 5 n → 1 100 10 30 100 93 1 10
4 1 12 1 13 5 1 10 30 30 30
2 2 3 5 1 ? 5 3 3 2
13 . 30
c) 0,2313131... 5 0,2 1 0,031 1 0,00031 1 ... 5 2 31 31 1 1 ...] 5 1 [ 10 1 000 100 000 a1 5
31 1 ,q5 1000 100
lim Sn
n →
31 1 000 31 : 99 31 ? 100 31 1 990 99 1 000 10 0 10 00 1 100
2 31 198 31 229 10 990 990 990
Então, 0,23131... 5 5 2 :
3 4 8 5 2 ? 5 4 3 3
2 3x 5 5 12 ⇒ 3x 5 24 ⇒ x 5 8 3 2
229 . 990
d) 2,666... 5 2 1 0,6 1 0,06 1 ... 2 [
a1
5 x :
17 . 33
b) 0,4333... 5 0,4 1 0,03 1 0,003 1 ... 5
1 3 x
51 1 ? q 5 100 100
Então: 0,4333... 5
107. S6 5 1 456, q 5 3
lim Sn
51 51 51 1 1 1 ... 100 10 000 1 000 000
a1 5
S 5 {192}
3 2x 2 5 5 6 ⇒ 2x2 5 18 ⇒ x2 5 9 ⇒ 2 3
a1 5
105. a1 5 3, q 5 2, Sn 5 765 765 5
5 x2 :
1 1 2
S 5 {23, 3}
1 03. a1 5 10, q 5 2, n 5 10 10( 210 2 1) 10(1 024 2 1) 5 5 10 230 2 21 1
x
⇒ x9 5 3 e x0 5 23
5
S10 5
1 2
6 1 ,q 10 10
lim Sn
n →
6 6 ...] 10 100
6 10 1
1 10
2
9 6 10 2 6 : ? 3 10 10 10 93
199
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 9 2 6 2 8 3 3 3 8 Assim, 2,666... . 3
2
a 1
2a 2a 4a 4a 4a 2a 1 1 1 1 ... 5 a 1 2 1 1 ... 3 3 9 9 3 9
2a 4a , , ... PG 3 9 2a 2 ,q5 3 3 2a 2a 2a 1 ? 3 5 2a lim S 3 : 5 n → n 2 3 3 3 1 3 a 1 2 ? 2a 5 5a
1 13.
a1 5 a 2
c
b b 4
c 4
b 2
a 4
a
c 2
Área do n1 5 p( p 2 a )( p 2 b )( p 2 c ) 5 40 pp a p b p c 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 2
Área do n2 5
S∆2
1 1 p( p a )( p b )( p c ) ? 40 5 10 4 4
PG (40, 10, ...) a1 5 40, q 5 lim Sn
n →
1 4
40
5 40 :
1 1 4
3 4 160 5 40 ? 5 4 3 3
a√2 2
a 2
5
,2 3 16
2
, 4 ? 5 4
5
,2 3 64
3
,2 3 ,2 3 ,2 3 , , ...] , 64 4 16
a1 5
,2 3 1 ,q5 4 4
,2 3 ,2 3 3 4 : lim Sn n → 1 4 4 1 4 ,2 3 4 ,2 3 ? 3 3 4
1 17. PA (x, y, 9) e PG (x, y, 12) x 9 y 2 y 2 12x
a a 2
a√2 2
3
PG [
1 14.
, ? 2 5 4 2
S∆
1 p( p 2 a )( p 2 b )( p 2 c ) 5 5 16
,2 3 4 2
p 1 1 1 ? ( p 2 a ) ? ( p 2 b ) ? ( p 2 c ) 5 2 2 2 2
5
5
116. S ∆1 5
x 1 9 5 2y ⇒ x 5 2y 2 9 y2 5 12(2y 2 9) ⇒ y2 5 24y 2 108 ⇒ y2 2 24y 1 108 5 0 D 5 144 24 ± 12 ⇒ y9 5 18 e y0 5 6 y 5 2 x9 5 27 (não convém, pois a PG é crescente) e x0 5 3 PA (3, 6, 9) e PG (3, 6, 12)
a 2
SQ 5 a 1
2
a 2 a2 SQ 5 5 2 2 2
PG[a2,
1 1 1 ] 118. PA (x, y, z) e PG [ , , x y x1z
a2 , ...] 2
x z 2y x z y 2 ⇒ 1 2 1 1 1 1 y 2 x( x z ) ? y x x z 2 y 1 1 ⇒ y 2 2xy ⇒ 2x ⇒ y 2x 2 y x ? 2y y
1 a1 5 a2, q 5 2 lim Sn
n →
a2 1 1 2
5 a2 :
1 5 2a2 2
115. a
2a 3
2a 3
2 2a = 4a 3 3 9
4a 9
2 a 5 b3 a 3r b1 ? q a 12 16b1 ⇒ 1 ⇒ 1 119. 4 a1 4b1 a1 5 b2 a1 b1 ? q 4b1 1 12 5 16b1 ⇒ b1 5 1 PG (1, 4, 16, 64) a1 5 4 ? 1 5 4 PA (4, 8, 12, 16)
200
Matemática
120. PA (2, log x, log y) log y 1 2 log x 5 ⇒ 2 ? log x 5 log y 1 2 ⇒ 2 ⇒ log y 5 2 ? log x 2 2 PG (2, log x, log y) (log x)2 5 2 ? log y ⇒ (log x)2 5 2(2 ? log x 2 2) ⇒ ⇒ (log x)2 5 4 ? log x 2 4 t2 5 4t 2 4 ⇒ t2 2 4t 1 4 5 0 D50 4 t 5 5 2 2 log x 5 2 ⇒ x 5 100 log y 5 2 ? 2 2 2 5 2 ⇒ y 5 100
121. Vamos chamar de T0 a torcida no instante inicial e Ti a torcida daqui a i anos. Então: T0 5 20 3 ? 20 5 20(1 1 0,03) 5 20 ? 1,03 T1 5 20 1 100 3 T2 5 20 ? 1,03 1 ? 20 ? 1,03 5 20 ? (1,03)2 100
Temos, portanto, uma PG de razão 1,03 e o primeiro termo igual a 20, e queremos determinar o décimo primeiro termo dessa PG (T10): T10 5 20 ? (1,03)10 5 26 878 328 torcedores 122. Na primeira vez havia 1 folha, na segunda vez, 2 folhas, na terceira vez, 4 folhas, e assim sucessivamente, ou seja, cada vez que dobramos o número de folhas presentes, haverá uma PG de a1 5 1 e razão q 5 2. Devemos determinar o 11‚ termo dessa PG. Assim: a11 ⇒ a1q10 5 1 ? 210 5 1 024 folhas Como a espessura de cada folha é de 0,05 mm, temos 1 024 ? 0,05 5 51,2 mm 5 5,12 cm. 123. Temos uma PG de razão 2 com o primeiro termo igual a 2 e a soma dos n primeiros termos igual a 126. a ( qn 2 1) 2( 2n 2 1) ⇒ 2n 5 64 ⇒ n 5 6 ⇒ 126 5 Sn 5 1 q 21 2 21 Portanto, o tratamento durou 6 dias.
1 24. a) Juros simples (PA): r 5 juro 5 0,005 ? 1 000 5 5,00
M6 5 1 000 1 6 ? 5 5 1 030,00 Juros compostos (PG): q 5 1 1 i 5 1 1 0,005 5 1,005 M6 5 1 000 ? (1,005)6 5 1 030,37 Diferença 5 0,37 em 1 000 Portanto, equivalente a 0,037% do capital. b) Juros simples (PA): r 5 juro 5 0,05 ? 1 000 5 50,00 M6 5 1 000 1 6 ? 50 5 1 300,00 Juros compostos (PG): q 5 1 1 i 5 1 1 0,05 5 1,05 M6 5 1 000 ? (1,05)6 5 1 340,10 Diferença 5 40,10 em 1 000 Portanto, equivalente a 4% do capital.
1 1 1 1 5 1 ... 1 125. Valor à vista 5 E 1 P (1 1 i )1 (1 1 i )n (1 1 i )2 1 1 1 1 5 8 000 1 726 ? 1 ... 1 5 (103 , )1 (103 , )2 (103 , )12
5 8 000 1 726 ?
1 103 ,
1 12 2 1 103 , 5 1 21 103 ,
5 8 000 1 726 ?
1 1 2 (103 , )12 5 20, 03 (103 , )12
1 1 2 1, 4258 5 20, 03 1, 4258 5 8 000 1 726 ? 9,9546 5 15 227,04 Portanto, o valor à vista é de R$ 15 227,04. 5 8 000 1 726 ?
126. a) Seja n o maior número de moedas que uma pessoa recebe antes da conclusão do processo descrito no problema. Então, n é o maior inteiro positivo que satisfaz 1 1 2 1 3 1 4 1 ... 1 n < 500. A soma à esquerda representa a soma dos n primeiros elementos de uma PA de razão 1. Assim, temos:
(1 1 n )n < 500 ⇒ n2 1 n 2 1 000 < 0 ⇒ 2
⇒
21 2 4 001 1 4 001 < n 0 ⇒ x 5 ± n b
• n par, xn 5 b e b , 0 ⇒ e x [ IR
Página 326 • Dezoito quinquilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinquenta e um mil seiscentos e quinze.
2.
364 x 91 5 ⇒ x 5 5 14 26 4 26 910 y 91 5 ⇒ y 5 5 35 • 26 10 26 1092 z 91 5 ⇒ z 5 5 42 • 26 12 26
Página 327 A soma tende ao infinito, ou seja, a cada termo acrescentado, o resultado se torna cada vez maior. 3.
Capítulo 10 Abertura Defeituosas
350
21
250
12
6 2 4,8 5 1,2 Logo, houve uma diminuição de 1,2%.
21 350 12 250
175 ? 1008 1200 1008 ⇒ x 5 5 147 5 1200 175 x Rendeu R$ 147,00.
y z t x 364 13 ⇒ x1y1z1t 4. 16 5 5 40 32 24 ⇒ 16 1 40 1 32 1 24 112 4 x y z t 364
Índice 5 0, 06 5 6 %
4
16 ? 13 x 13 5 ⇒ x 5 5 52 16 4 4
5 0, 048 5 4, 8 %
1
10
t
Fabricadas
x y z x y z 91 ⇒ 4 10 12 4 10 12 26 •
1 1 1 • Não : 1 : . 2 3 2
Junho
300,00
c) (1,02)24 ? 300 . 482,53 Depois de 24 meses o saldo será de R$ 482,53.
Para refletir
Abril
Cálculo efetuado
Janeiro
b) 300 1 0,02 ? 300 5 1,02 ? 300 1,02 ? 300 1 0,02(1,02 ? 300) 5 (1,02 ? 300)(1 1 0,02) 5 5 (1,02)2 ? 300 (1,02)2 ? 300 1 0,02[(1,02)2 ? 300] 5 5 [(1,02)2 ? 300](1 1 0,02) 5 (1,02)3 ? 300
28. a4 5 a1 ? q3 ⇒ 80 5 10 ? q3 ⇒ q3 5 8 ⇒ q 5 2 Resposta: alternativa a.
1.
800 8 5 5 8% 10 000 100
13 ? 40 y 13 5 ⇒ y 5 5 130 40 4 4 1
205
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 10 8
9.
32 ? 13 z 13 5 ⇒ z 5 5 104 32 4 4 1
→ 75% 5
6
24 ? 13 t 13 5 ⇒ t 5 5 78 24 4 4
75 3 5 100 4
1
20
560 840 1400 20 840 1 560 5. x y ⇒ 5 5 7 x 1 y 490 x y 490 7 42
•
840 ? 7 840 20 5 ⇒ x 5 5 294 x 7 20
5 700 60 ? 95 5 5 57 100 100
10. a) b)
? 70 5 56 ⇒
7x 5 56 ⇒ 7x 5 560 ⇒ x 5 80 10
Logo, 80%.
1
3
28
•
x 10 0
560 ? 7 560 20 5 ⇒ y 5 5 196 y 7 20
15
c)
100
y x 1 1 x+y 945 6. ⇒ 5 5 3 240 7 1 1 6 8 + x y 945 24 6 8 x • 5 3 240 ⇒ 6x 5 3 240 ⇒ x 5 540 1 6 y • 5 3 240 ⇒ 8y 5 3 240 ⇒ y 5 405 1 8 As partes são de R$ 540,00 e R$ 405,00.
3x 5 6 ⇒ 3x 5 120 ⇒ x 5 40 20
20
1
Uma rendeu R$ 294,00 e a outra, R$ 196,00.
? x 5 6 ⇒
d)
3, 5 2 275 ? 650 5 5 R$ 22,75 100 100 1
20
e)
100
? x 5 75,20 ⇒ x 5 R$ 376,00
5
x
f)
100
? 300 5 171 ⇒ x 5
171 5 57 3
Logo, 57%. g)
0, 5 42, 5 ? 85 5 5 R$ 0,425 100 100 1
100
? 170 5 R$ 1,70
0,5% de R$ 85,00 dá menos que 1% de R$ 170,00.
7. • Cálculo do lucro: r p 700 r p 4 900
11. a) f 5 1 1 0,03 5 1,03 b) f 5 1 2 0,03 5 0,97 c) f 5 1 1 0,15 5 1,15
2r 5 600 ⇒ r 2 800
d) f 5 1 2 0,15 5 0,85 e) f 5 1 1 2,3 5 3,3 f) f 5 1 1 30 5 31
p 5 4 900 2 2 800 5 2 100 • Cálculo do investimento: 2100 2 800 2 800 2 2100 2 800 x y ⇒ 5 ⇒ x y x 2 x y 2 000 400
2 800 ? 20 2 800 5 ⇒ x 5 ⇒ x 5 8 000 ⇒ x 7 2 000 700
1
y 5 8 000 2 2 000 5 6 000 Rafael investiu R$ 8 000,00 e Paulo investiu R$ 6 000,00. 8. a)
65 13 = 100 20
b)
4 5 0,04 100
48 5 48 : 75 5 0,64 5 64% c) 75 d) 0,7 5 0,70 5 70% 4 9 e) 1 5 5 9 : 5 5 1,80 5 180% 5 5 f)
40 100
?
30 100 25
5
3 5 0,12 5 12% 5
12. a) Aumento; i 5 1,13 2 1 5 0,13 5 13%. b) Desconto; i 5 1 2 0,7 5 0,3 5 30%. c) Aumento; i 5 2 2 1 5 1 5 100%. d) Desconto; i 5 1 2 0,95 5 0,05 5 5%. e) Aumento; i 5 30 2 1 5 29 5 2 900%. 13. a) facumulado 5 1,03 ? 1,05 5 1,0815 Aumento de 8,15%. b) facumulado 5 1,10 ? 0,8 5 0,88 Desconto de 12%. c) facumulado 5 1,1 ? 1,1 ? 1,1 5 1,331 Aumento de 33,1%. d) facumulado 5 1,06 ? 1,06 ? 0,96 ? 0,96 ? 0,96 5 0,994 Desconto de 0,6%. 14. Precisamos compor as quatro variações para poder emitir um julgamento. Para isso precisamos dos fatores de atualização de cada variação: F1 5 1 2 0,4122 5 0,5878 F2 5 1 1 0,4365 5 1,4365 F3 5 1 1 0,3293 5 1,3293 F4 5 1 1 0,2771 5 1,2771 O fator acumulado é: Facum. 5 F1F2F3F4 5 0,5878 ? 1,4365 ? 1,3293 ? 1,2771 1,4335
206
Matemática Então: VF 5 VP ? F ⇒ 37 550,31 5 x ? 1,4335 ⇒ ⇒ x 5
⇒ x 1 20 2
37 550, 31 26 195 14335 ,
⇒ x 1 20 2
Portanto, o Ibovespa estava com 26 195 pontos no fim de 2004. 15. f 5
11 440 5 1,04 11 000
16. 100% 2 12% 5 88% 60 280 88 5 R$ 602,80 ? 685 5 100 100
Logo, o preço na loja A é de R$ 180,00.
x 1
Logo, ele está sendo vendido por R$ 602,80.
18.
x
? 7 0 5 10,50 ⇒
100
80 80x 5 ? 750 5 600 (Marta) 100 100 Sérgio recebeu 1 890 2 750 2 600 5 540. Portanto, Luís recebeu R$ 750,00, Marta recebeu R$ 600,00 e Sérgio, R$ 540,00.
? 80 5 4
O preço após o aumento será de R$ 84,00. 1
5 100
42
24.
6 ? 36 5 2,16 100 36 1 2,16 5 38,16 O preço após o aumento será de R$ 38,16.
25.
7 ? x 5 0,07x 100 x 1 0,07x 5 59 ⇒ 1,07x 5 59 ⇒ x 5 55,14 Antes do aumento o preço era de R$ 55,14.
? 84 = 4,2 (desconto)
20 10
84 2 4,2 5 79,80 O preço após o desconto será de R$ 79,80. 8 ? 800 = 64 100 800 2 64 5 R$ 736,00
19. • 1· loja:
10 ? 820 = 82 100 820 2 82 5 R$ 738,00 • 2· loja:
Portanto, a oferta da 1· loja é melhor. 20.
30 ? x 1 5 ? 58,80 5 x ⇒ 0,3x 1 294 5 x ⇒ 100 ⇒ 0,3x 2 x 5 2294 ⇒ 0,7x 5 294 ⇒ x 5 420 Portanto, o preço desse fogão é de R$ 420,00.
21. • Preço de custo: 100 m ! R$ 800,00 40 m ! R$ 320,00 50 m ! R$ 400,00 10 m ! R$ 80,00 30 100
? 320 + 400 +
26. facumulado 5 1,05 ? 1,03 5 1,0815. Aumento de 8,15%. 8,15 x 5 0,0815x ⇒ x 1 0,0815x 5 2,59 ⇒ 100 ⇒ 1,0815x 5 2,59 ⇒ x 5 2,39 Antes dos aumentos a gasolina custava R$ 2,39. 27. 3 veículos por muinuto 5 3 ? 60 5 180 veículos por hora x ? 3 5 180 2 3 ⇒ 3x 5 17 700 ⇒ x 5 5 900 100 O aumento foi de 5 900%. 28. facumulado 50,7 ? 0,7 5 0,49 Desconto de 51%. Logo, um desconto de 55% é maior.
• Preço de venda: 320 1
80x 72x 252x 5 1 890 ⇒ 1 5 1 890 ⇒ 100 100 100
⇒ x 5 750 (Luís)
7x 5 10,50 ⇒ 7x 5 105 ⇒ x 5 15 10
10 0 Logo, o aumento foi de 15%. 5
x x = 18 ⇒ x 5 180 2 2 2 x 5 0 ⇒ 10 10
Luís : x 80x 23. Marta : 100 90 80 x ? Sérgio : 100 100
i 5 1,04 2 1 5 0,04 5 4%
17.
x + 20 5 x ⇒ 10
10 100
? 400 1 80 5
29. 1,09x 5 566,80 ⇒ x 5 520,00 1,05 ? 520 5 546,00 O salário será de R$ 546,00.
5 320 1 96 1 400 1 40 1 80 5 936 • Lucro: 936 2 800 5 136 136 5 17% 800 Portanto, ele teve 17% de lucro na venda de toda a peça. Loja A : x 10 22. (x 1 20) 5 x ⇒ (x 1 20) 2 Loja B : x + 20 100
30. facumulado 5 5% 5 0,95 0,97 ? x 5 0,95 ⇒ x 5 0,9794 Queda de 2,06%. 31. 40 ? 100 5 4 000 2 ? 4 000 5 80 100 No total tio João gastou R$ 4 080,00.
207
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 10 32. C 5 600; i 5 2,5% ao mês; t 5 1 ano e 3 meses 5 15 meses 2, 5
15 = 225 100 Logo, rendeu R$ 225,00 de juros.
j 5 600
42. • juros simples:
33. C 5 800; j 5 80; i 5 2% ao mês 2 t ⇒ 16t 5 80 ⇒ t 5 5 100 Portanto, o tempo de aplicação foi de 5 meses. 80 5 800
34. C 5 750; t 5 8 meses; j 5 60 1
2
60 5 750i ? 8 ⇒ i 5
60 750 ? 8 25
5
1 5 1% 100
4
Assim, a taxa de juros foi de 1% ao mês. 35. i 5 25% ao ano; j 5 110; t 5 24 meses 5 2 anos 1
1
25
⇒ 0,0201C 5 200 ⇒ C 5 9 950,25 Logo, essa quantia é de R$ 9 950,25.
C 110 5 C ? ? 2 ⇒ 5 110 ⇒ C 5 220 2 100 4 2
C 5 4 000; i 5 3% ao mês; t 5 2 meses 3 ? 2 5 240 j 5 4000 ? 100 • juros compostos: C 5 4 000; i 5 2% ao mês; t 5 3 meses M 5 4 000(1,02)3 5 4 244,83 j 5 244,83 Logo, terá maior rendimento — R$ 4,83 a mais — no sistema de juros compostos. 43. C 5 5 000; i 5 6% ao bimestre (0,06); t 5 6 bimestres (1 ano) M 5 5 000(1,06)6 5 7 092,59 Portanto, o montante produzido é de R$ 7 092,59. 44. a) facumulado 5 1,18 ? 1,18 5 1,3924 39,24% b) 900 ? 0,3924 5 353,16 R$ 353,16
Logo, esse capital foi de R$ 220,00. 36. C 5 4 000; i 5 4% ao mês; t 5 4 meses j 5 4000 ?
4 100
? 4 = 640
M 5 4 640 Portanto, o montante da dívida era de R$ 4 640,00. 1
C?t t 37. j 5 C ⇒ C 5 C ? 5 C ⇒ 5 1 ⇒ ? t ⇒ 50 50 100 2
⇒ t 5 50 meses
38. C 5 300; j 5 12; t 5 1 mês 12 5 300i ? 1 ⇒ 300i 5 12 ⇒ i 5 4% ao mês 5 48% ao ano 39. C 5 200; t 5 6 meses 5 0,5 ano; i 5 20% ao ano 20 100
? 0,5 5 20
Portanto, serão pagos R$ 20,00 de juros.
tim-tim por tim-tim
*
A taxa de juro acumulado foi de 8,24%. 46. C 5 800; t 5 3 nos 5 36 meses; i 5 1% ao mês (0,01) M 5 C(1 1 i)t 5 800(1,01)36 5 1 144,62 Ao final do período Carlos tinha 1 144,62.
50
Logo, deverá ser aplicado durante 50 meses.
j 5 200 ?
45. a) C 5 700,00; i 5 2% ao mês (0,02); t 5 4 meses M 5 C(1 1 i)t 5 700(1 1 0,02)4 5 757,70 Para quitar a dívida deverá ser pago R$ 757,70 b) facumulado 5 (1,02)4 5 1,0824
Página 350 5. a) 20 000(1 1 i) 5 21 000 ⇒ 1 1 i 5 1,05 ⇒ i 5 0,05 Portanto, 5% ao mês.
47. M 5 400; t 5 8 meses; i 5 1,5% ao mês (0,015) 400 5 355,08 11265 , Guto deve aplicar R$ 355,08.
400 5 C(1,015)8 ⇒ C 5
48. C 5 1 000; i 5 0,007; t 5 6 meses M 5 1 000(1,007)6 5 1 042,74 C 5 1 042,74 1 1 000 5 2 042,74; i 5 0,007; t 5 6 meses M 5 2 042,74(1,007)6 5 2 130,05 Afonso terá R$ 2 130,05. 49. M 5 600(1,012)t 600(1,012)t . 650 ⇒ 1,012t .
650 650 ⇒ log 1,012t . log ⇒ 600 600
⇒ 0,0052t . 0,0348 ⇒ t . 6,69 Em 7 meses Luiza terá mais de R$ 650,00. 50. i 5 4% ao mês; C 5 1 000; j 5 170; M 5 1 170 1 170 5 1 000(1 1 0,04)t ⇒ (1,04)t 5 1,17 ⇒
40. C 5 20 000; i 5 20% ao ano (0,20)
log 117 , 0, 06818586 5 5 4 log 104 , 0, 01703334
t 5 6 meses 5 0,5 ano
⇒ t 5 log1,041,17 5
, 5 21 908,90 M 5 20 000(1,2)0,5 5 20 000 ? 12
Portanto, a aplicação renderá R$ 170,00 após 4 meses.
O montante produzido será de R$ 21 908,90. 41. i 5 1% ao mês (0,01); t 5 2 meses; j 5 200 M 5 C(1 1 i)t ⇒ C 1 200 5 C(1,01)2 ⇒ ⇒ C 1 200 5 1,0201C ⇒ 1,0201C 2 C 5 200 ⇒
51. Sendo C0 o capital inicial e n o tempo, temos: C0(1 1 0,04)n 5 3C0 ⇒ 1,04n 5 3 ⇒ n ? log 1,04 5 log 3 ⇒ log 3 ⇒ n 5 . 28 meses log 104 ,
208
Matemática
52. C 5 10 000; t 5 3 meses; M 5 11 248,64 11 248,64 5 10 000(1 1 i )3 ⇒ (1 1 i)3 5 1,124864 ⇒
64. Precisamos obter o VP dos dois planos, considerando-se o custo de oportunidade de cada uma.
⇒ 1 1 i 5 3 1124864 , 5 1,04 ⇒ i 5 0,04 5 4% A taxa de juros deve ser de 4% ao mês.
Michele: VP 5 35 1
53. 1 1 I 5 (1 1 0,2)8 ⇒ 1 1 I . 4,2998 ⇒ I . 3,2998 329,98% em 8 minutos. 54. i 5 22% 5 20,02 1 1 I 5 (1 2 0,02)10 ⇒ 1 1 I 5 (0,98)10 ⇒ 1 1 I . 0,8171 ⇒ ⇒ I . 20,1829 5 218,29% 100 2 18,29 5 81,71% 55. i 5 26 5 20,06 1 1 I 5 (1 2 0,06)12 ⇒ 1 1 I 5 (0,94)12 ⇒ 1 1 I . 0,4759 ⇒ ⇒ I . 20,5241 5 252,41% 100 2 52,41 5 47,59%
Jaqueline: VP 5
20 20 + = 59, 23 1 2 1013 , 1013 , Logo, a melhor opção é pagar à vista.
65. VP 5 20 1
66. À vista: 400 ? 0,96 5 R$ 384,00 VP 5
67. Obtendo o VP das três opções temos: a) VP 5 900 ? 0,97 5 R$ 873,00 900 5 R$ 894,63 1006 , 300 300 + 5 R$ 894,64 c) VP 5 300 1 2 1006 , 1006 ,
b) VP 5
59. 1 1 1,3 5 (1 1 i)12 ⇒ 2,3 5 (1 1 i)12 ⇒ ⇒ 1 1 i 5 12 2, 3 . 1,072 ⇒ i . 0,072 5 7,2%
Portanto, a decisão mais acertada era retirar o dinheiro da poupança e pagar à vista, com desconto, em 15 de janeiro.
60. Representando a renda por R, o PIB por P, a população por Q e a taxa de crescimento do PIB por i, temos: P10 P0 (1 + i )10 (1 + i )10 = ⇒ 1,1R0 5 R0 ⇒ 10 Q10 Q0 (1 + 0, 014 )10 1014 ,
⇒ (1 1 i)10 5 1,2641 ⇒ 1 1 i 5 10 12641 , 5 1,024 ⇒ ⇒ i 5 0,024 5 2,4% 61. Fixando o preço do eletrodoméstico em R$ 100,00, temos duas possibilidades: pagar R$ 75,00 à vista ou em duas parcelas de R$ 50,00. Igualando os valores no instante inicial, temos: 75 5 50 1
50 50 ⇒ 25 5 ⇒ i 5 1 1+ i 1+ i
Isso corresponde a 100% ao mês nas vendas a prazo. 62. No primeiro caso Noemi terá de pagar 3 prestações de R$ 1 500,00; se tivesse o dinheiro aplicado teria: 1 500(1,03)3 1 1 500(1,03)2 1 1 500 ? 1,03 5 4 775,44 Com a entrada gastaria R$ 6 275,44. No segundo caso ela terá de pagar 8 prestações de R$ 700,00; se tivesse aplicado o dinheiro teria: 700(1,03)7 1 700(1,03)6 1 … 1 700 ? 1,03 5 5 524,63 Com a entrada gastaria R$ 6 224,63. O melhor negócio seria parcelar em 9 vezes. 63. a) No fim de 2011 o comprador terá desembolsado um total de 12 ? 300 5 R$ 3 600,00. Com o acréscimo de 10% nas prestações, no ano de 2012 vai desembolsar 3 600 ? 1,1 5 R$ 3 960,00 e, no ano de 2013, 3 960 ? 1,1 5 R$ 4 356,00. b) O valor total do carro corresponde à entrada mais 36 prestações, ou seja: 12 000 1 3 600 1 3 960 1 4 356 5 R$ 23 916,00
100 100 100 100 + + + 5 376,20 1 2 3 1025 1025 1025 102 , , , , 54
Logo, a melhor opção é parcelar a compra.
58. 1 1 I 5 (1 1 0,03)6 ⇒ 1 1 I . 1,194 ⇒ I . 0,194 5 19,4%
R10 5
45 45 45 + + 5 R$ 132,34 (101 , )1 (101 , )2 (101 , )3
Como o VP da calça de Jaqueline é menor que o VP da calça de Michele, Jaqueline fez mellhor negócio. Na prática, Jaqueline precisa ter menos dinheiro hoje para pagar pela mesma calça que Michele.
56. 1 1 I 5 (1 1 0,0105)10 ⇒ 1 1 I 5 1,0511 ⇒ I 5 0,0511 O crescimento será de 5,11%. 57. 1 1 I 5 (1 1 0,01)12 ⇒ 1 1 I . 1,1268 ⇒ I . 0,1268 5 12,68%
35 35 35 5 R$ 137,53 + + (1012 , )1 (1012 , )2 (1012 , )3
68.
500 5 R$ 444,50 (104 , )3
A Matemática e as práticas sociais 1. 0,5% de 1 000 000 000 5 5 000 000 O governo economizaria R$ 5 000 000,00.
2. A redução da taxa básica de juros do Brasil deverá ser de 8,65%, portanto: 0,05% ———— 1 mês 8,65% ———— x ⇒ x 5 173 meses 3. a) 8,75% de 1 000 5 R$ 87,50 b) 170% de 1 000 5 R$ 1 700,00 4. a) Os juros simples são na realidade progressões aritméticas de razão igual aos juros cobrados em determinado período (dia, mês, ano, etc.) e são originados a partir de uma função afim. b) Os juros compostos são na realidade progressões geométricas de razão igual aos juros cobrados em determinado período (dia, mês, ano, etc.) e são originados a partir de uma função exponencial.
Atividades adicionais 1. M 5 800 1 800 ? 0,1 ? 1 5 800 1 80 5 880 Ao final do 1‚ mês, Pedro pagou R$ 600,00, então restam R$ 880,00 2 R$ 600,00 5 R$ 280,00. Dessa forma, ao final do 2‚ mês, ele deverá pagar: M 5 280 1 280 ? 0,1 ? 1 5 280 1 28 ⇒ M 5 308 Resposta: alternativa c.
209
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 10 2. tcresc. 5 2% ao ano P0 5 produção inicial Início ——— P0 1‚ ano ——— P0 1 P0 ? tc 5 P0(1 1 tc) 5 P1 2‚ ano ——— P1 1 P1 ? tc 5 P1(1 1 tc) 5 P0(1 1 tc)(1 1 tc) 5 2
5 P0(1 1 tc) .. . x ano ⇒ P(x) 5 P0(1 1 tc)x ⇒ P(t) 5 P0(1 1 0,02)t ⇒ ⇒ P(t) 5 P0(1,02)t Resposta: alternativa b. 7
0, 9 ⇒ Vf 5 1,0097S 3. Vf 5 V0(1 1 i) ⇒ Vf 5 S 1 1 100 Resposta: alternativa e. 4. De acordo com o enunciado, temos: 2 2 x 2 L(x) 5 k ? ⇒ L(2) 5 100 ⇒ k ? 5 100 ⇒ k 5 100 2 2 2
x Assim, L(x) 5 100 ? . Logo: 2 2
10 L(10) 5 100 5 100 ? 52 5 100 ? 25 5 R$ 2 500,00 2 Resposta: alternativa 04. 5 5. V0 (valor inicial) 5 7 3 Vf (valor final) 5 4 Logo: 3 5 21 20(1 i ) ⇒ Vf 5 V0(1 1 i) ⇒ (1 i ) ⇒ 4 7 28 28 ⇒ 1 1 i 5
21 ⇒ 1 1 i 5 1,05 ⇒ i 5 0,05 5 5% 20
Resposta: alternativa c. 6. O produto passou a custar: Vf 5 V0(1 2 0,2) ⇒ Vf 5 0,8V0 Com o aumento passou a custar: Vf 5 0,8V0(1 1 0,1) ⇒ Vf 5 0,88V0 Logo, o desconto foi de 12% em relação ao preço total. Resposta: alternativa c. 7. A população em 1 981 era de: 22 x ? 5 4 400 000 ⇒ x 5 20 000 000 100 A população em 2001 era de: y ?
20 5 5 400 000 ⇒ y 5 27 000 000 100
Logo, a variação foi de: y2x 7 5 5 0,35 5 35% y 20 8. Seja P o valor da prestação. Então: entrada 1
P P 5 preço à vista ⇒ P 1 5 510 ⇒ 11 i 1 1 0, 04
104 , P 1P 5 510 ⇒ 2,04P 5 530,40 ⇒ P 5 260,00 104 , Resposta: alternativa c. ⇒
9. 1) Errado Pela tabela, temos 44%. 2) Errado Pela tabela, temos 82,1%. 3) Correto 0, 5 % . 0,1515 . 15,15% 3, 3 % 10. De acordo com o enunciado, temos: 4 5 x ? 100 ? 1 y ? 100 ? 1 220 4x 5y 22 000 ⇒ ⇒ 4y 5x 23 000 y ? 4 ? 1 x ? 5 ? 1 230 100 100 ⇒ x 5 3 000 e y 5 2 000 Logo, o capital aplicado foi de R$ 3 000,00 1 R$ 2 000,00 5 R$ 5 000,00 11. Sendo: : lucro pc: preço de custo pv: preço de venda Temos: 1 1 1 5 ⇒ 5 ⇒ 5 ⇒ 5 R$ 150, 00 pc pv − 4 4 600 4 Mas: (1 2 0,25)pv 5 150 1 600 ⇒ pv 5
750 ⇒ pv 5 R$ 1 000,00 0, 75
Resposta: alternativa b. 12. Sendo a, b e c as quantias recebidas, temos: a b c 1280 I a) a b c 8 5 7 k ⇒ a 8k; b 5k; c 7k II Substituindo II em I , temos:
8k 1 5k 1 7k 5 1 280 ⇒ k 5 64 Logo: a 5 8 ? 64 5 R$ 512,00 b 5 5 ? 64 5 R$ 320,00 c 5 7 ? 64 5 R$ 448,00
a b c 1280 I b) a b c k ⇒ a k ; b k ; c k II 1 1 5 2 10 1 5 2 10 Substituindo II em I , temos:
k k k 2k 5k k 12 800 1 280 ⇒ ⇒ 5 2 10 10 10
⇒ 8k 5 12 800 ⇒ k 5 1 600 Logo: 1600 5 R$ 320, 00 5 1600 5 R$ 800, 00 b 5 2 1600 5 R$ 160, 00 c 5 10 a 5
13. a) O capital acumulado foi de: 12 000(1 1 0,08)2 5 R$ 13 996,80 b) Seja M o capital acumulado. Então: M . 12 000 ? 2 ⇒ 12 000(1 1 0,08)t . 12 000 ? 2 ⇒
210
Matemática ⇒ 1,01t 5 1,0615 ⇒ log 1,01t 5 log 1,0615 ⇒ ⇒ 0,0043 ? t 5 0,0259 ⇒ t 5 6,0233 meses 6 meses c) M 5 C 1 J ⇒ 25 800 5 15 000 1 15 000 ? i ? 24 ⇒ ⇒ 24i 5 0,72 ⇒ i 5 0,03 5 3% a.m.
108 ⇒ 1,08t . 2 ⇒ t ? log . log 2 ⇒ 1 00 ⇒ t[log(22 ? 33) 2 2 ? log 10] . log 2 ⇒ ⇒ t(2 ? log 2 1 3 ? log 3 2 2) . log 2 ⇒ ⇒ t ? 0,033 . 0,301 ⇒ t . 9,12 Portanto, o número mínimo de anos é 10. S S ⇒ t1 5 t1 v
Para refletir
125 , 125 , ⇒ t2 5 2v t2
Logo:
Página 342 • 10% de 8,00 5 R$ 0,80 1% de R$ 8,00 5 R$ 0,08
t2 v 125 , 5 ? = 0, 6 t1 2v 5
• 75% de (x 1 9) 5
v’ 5
3
Portanto, o tempo de viagem diminuirá 40%. Resposta: alternativa a. 15. 01) Errado Seja x o preço da unidade do produto, então: 4 Vf 5 V0(1 2 i) ⇒ 4x 5 5x(1 2 i) ⇒ 5 1 2 i ⇒ 5 ⇒ 1 2 i 5 0,8 ⇒ i 5 0,2 5 20% 02) Errado 80 80 % 80 100 5 5 5 40 40% 2 2% 2 100 04) Correto 2 2 9 30 3 5 5 5 0,09 (30%)2 5 100 10 100 08) Correto Preço total 5 202 5 400,00 Então: preço4 5 16,00 preço16 5 256,00 Logo: Vf 5 V0(1 2 i) ⇒ 272 5 400 ? (1 2 i) ⇒ 0,68 5 1 2 i ⇒ ⇒ i 5 0,32 5 32% 16) Errado Vf 5 V0(1 1 i) ⇒ 1 380 5 1 200 ? (1 1 i) ⇒ 1 1 i 5 1,15 ⇒ ⇒ i 5 0,15 5 15%
75 ( x + 9 ) 100
0,75(x 1 9) 5 0,75x 1 6,75
Capítulo 11 Abertura 1. B B’ a
c
A
⇒
a’
c’
C
b
A’
b’
C’
a b c Considerando os ângulos AA BC e A 'A B ' C ' : a b c a b b b cateto oposto ⇒ a b a a hipotenusa a c c c cateto adjacente ⇒ a c a a hipotenusa b c b b cateto oposto ⇒ b c c c cateto adjacente 2. 2m
4 5x x y 5 5 ⇒ y 5 4 y 5 6 5 1 ⇒ y5 z z 12 2 2
x 1 y 1 z 5 57 ⇒ x 1
3( x + 9 ) ou 4
4
16. a) Sejam x, y, e z os valores das parcelas, respectivamente:
Assim: 5x z 5x 5 ⇒z5 4 2 2 Logo:
5
em escala de 1 : 400
30 m
0,5 cm
7,5 cm 5°
5x 5x 1 5 57 000 ⇒ 4 2
228 000 4x 1 5x 1 10x 5 ⇒ x 5 R$ 12 000,00 4 4
y5
5 ? 12 000 5x ⇒y5 ⇒ y 5 R$ 15 000,00 4 4
z5
5x 5 ? 12 000 ⇒z5 ⇒ z 5 R$ 30 000,00 2 2
b) M 5 C ? (1 1 i)t ⇒ 12 738 5 12 000 ? (1 1 0,01)t ⇒
3. a) a 1 2b 5 63 23 a 35 b
a
20 b 14
20 b 14 b , , ⇒ 0, 87 , , 0, 4 23 a 35 a mais íngreme
Logo, a mais íngreme é aquela cujo passo está mais próximo de 23.
t
14. v 5
17. Se o capital dobra, M 5 2C. Assim: M 5 C(1 1 i)t ⇒ 2C 5 C(1 1 0,2)t ⇒ 2 5 1,2 t Resposta: alternativa a.
211
t
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 11
f) tg b 5
5,5 cm
19 50°
4,75 cm Logo, o ângulo de inclinação é, aproximadamente, 50°.
alt . 5 1 ⇒ alt 5 afast. afast .
alt . 1 5 ⇒ afast. 5 3alt. afast . 3 Portanto, a subida mais íngreme é a de índice 1. Ponto
Afastamento
A
4m
8m
B
2m
4m
C
1m
2m
D
3m
6m
E
5m
10 m
F
10 m
⇒ BB 1 BC 5 90° z y z b) sen BB 5 ; cos BB 5 ; tg BB 5 x x y
y z y ; cos BC 5 ; tg BC 5 x x z
sen BC 5
EF 11 5 cos BF 5 FG 6
20 m
EG 5 5 sen BF 5 FG 6
cos BG 5 tg BG 5
Altura
8 índice 5 5 2 4
5
EF 1 1 1 11 5 5 5 5 5 EG EG tg B F 5 11 5 11 EF 11
11
?
5 11
11 11
5
11 5
b) sen BF 5
EG 5 5 ⇒ EG 5 25 30 6
cos BF 5
EF 5 30
11 ⇒ EF 5 5 11 6 2
alt . 3 2 5 ⇒ afast. 5 alt. afast . 2 3
3. índice 5
9. a) BA 1 BB 1 BC 5 180° ⇒ 90° 1 BB 1 BC 5 180° ⇒
10. a) sen BG 5
índice 5
2.
12 4 5 9 3
8. Sim
valores divididos por 4 22
1. índice 5
9 3 5 5 0,6 15 5
e) cos b 5
35 23 19 2 Então, b 5 22. b) acentral
2 11 25 11 5 c) • (sen BF )2 1 (cos BF )2 5 1 + 5 5 6 36 36 6
5
• 12
36 5 1 36
sen B F 5 cos B F
5 6 5 5 ? 6 11 6
6 11
5
5 11
5
5 11 11 2
2 11 5 • sen2 BG 1 cos2 BG 5 (sen BG)2 1 (cos BG)2 5 1 5 6 6
6 3 2
5
4 8
alt . 1 alt . 1 5 ⇒ 4. 5 ⇒ alt. 5 25 m afast . 2 50 2 5.
alt . 2 4 2 5 ⇒ 5 ⇒ afast. 5 10 m afast . 5 afast . 5
11 25 36 1 5 5 1 36 36 36
sen BG 5 • cos BG
11 6 5 5 6
11 6 ? 5 6 5
11 5
11. Resposta pessoal. 2
alt . 15 alt . 5 ⇒ 6. 5 0,15 ⇒ alt. 5 0,60 m 5 60 cm afast . 100 4 7. a) sen a 5
9 3 5 5 0,6 15 5
b) cos a 5
12 4 5 5 0,8 15 5
c) tg a 5
9 3 5 5 0,75 12 4
d) sen b 5
12 4 5 5 0,8 15 5
12 12. a) sen2 a 1 cos2 a 5 1 ⇒ sen2 a 1 5 1 ⇒ 13 ⇒ sen2 a 5 1 2
144 25 5 ⇒ sen2 a 5 ⇒ sen a 5 169 169 13
5 sen 5 13 5 13 ? tg a 5 5 ⇒ tg a 5 12 cos 13 12 12 13 b) sen a 5
16 5 16 208 ⇒ = ⇒ x 5 x 13 x 5
13. sen 10° 5 2 ? sen 5° ? cos 5° 5 2 ? 0,087 ? 0,996 5 0,173
212
Matemática 1 cos 36 2
14. sen 18° 5
5
cos BB 5 tg BB 5
b) tg 62° 5
x x ⇒ 1,88 5 ⇒ x 5 9,4 5 5
6 5 6 10
c) tg 60° 5
6 3 ⇒ x
8 5 0,8 10
d) sen 45° 5
3 2 2 3 2 ⇒ 5 ⇒ x 5 6 x 2 x
e) cos 30° 5
5 3 3 5 3 ⇒ ⇒ x 5 10 5 x 2 x
f ) sen 40° 5
x x ⇒ 0,64 5 ⇒ x 5 5,12 8 8
6 3 5 5 0,75 8 4
BB 37°
2 1 b) sen BB 5 5 4 2 cos BB 5
1
2
2 3
3
?
3
cos 45° 5
5
,
?
, 2 ,
5
, 2
2 2
5
sen 60° 5
2 2
20. x
1
, 3 2 5 3 2 ,
α
3
x2 5 32 1 12 5 10 ⇒ x 5 10 1
sen a 5 21.
?
10
10 10
10 10
5
5
x
4
x 1 4 5 5 ⇒ x2 5 25 2 16 5 9 ⇒ x 5 3 2
, 3 tg 60° 5 2 5 3 , 2
2
cos a 5
2
3 5
22.
45°
30°
60°
2
1
3
2
2
2
x 3 5 ⇒ x 5 50 3 100 2
19. a) a 5 32° b) a 5 39° c) a 5 76°
, 1 2 5 cos 60° 5 , 2
tg
A
nBCD é isósceles ⇒ tCDu 5 100
2 2
, 3 3 c) sen 60° 5 2 5 2 ,
cos
D
x
100 m
, 3 2 5 tg 30° 5 3 , 3 2
sen
60°
30°
B
, 1 2 5 b) sen 30° 5 , 2
d)
C
3 3
, tg 45° 5 5 1 ,
cos 30° 5
6 3 ⇒ x 5 6 x
30° 30°
BB 5 30° 16. a) sen 45° 5
3 5
18.
2 3 3 5 4 2 1
tg BB 5
x 1 x ⇒ 5 ⇒ x 5 6 12 2 12
17. a) sen 30° 5
0,191 5 0,096 5 0,3098 2
15. a) sen BB 5
1 0,809 5 2
4
1
x
2
3
1
2
2
2
x2 1 12 5 42 ⇒ x2 5 16 2 1 5 15 ⇒ x 5 15
3
tg a 5
1
3 3
15 5 15 1
213
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 11 23.
4 1 4 ⇒ 5 ⇒ x 5 8 m x 2 x A escada tem 8 m de comprimento.
C
32. a) cos 60° 5
γ
b) a 1 60° 1 90° 5 180° ⇒ a 5 30°
a = 12
b
x 5 0,58 ⇒ x 5 58 m 100 h 5 58 1 1,70 5 59,7 m
33. tg 30° 5 β = 67° c
B
A
b 5 67° ⇒ g 1 67° 5 90° ⇒ g 5 23° sen 67° 5
b b ⇒ 0,921 5 ⇒ b . 11,05 12 12
c c ⇒ 0,391 5 ⇒ c . 4,69 cos 67° 5 12 12 24. Chamando BD 5 a, temos que: x tg 45° 5 5 1 ⇒ x 5 a a Mas: x x 3 ⇒ 3 ( x 1 70 ) 5 3x ⇒ tg 30° 5 a 70 x 70 3 ⇒ x 5
70 3 3 3 x
25. tg 30° 5
2 y
tg 60° 5 x 1 y 5
x 5 0,34 ⇒ x 5 2,04 m 6 h 5 3 1 2,04 5 5,04 m
34. sen 20° 5
2
Vy 5 10 ? sen 30° 5 10 ?
h 10°
A
14° B
x
h: altura do Pão de Açúcar em relação ao plano horizontal x: distância de B ao “pé da altura” h x tg 14 ° 0, 2493 h tg 10 ° 0,1 7 63 650 x
3 6 ⇒ x 5 3 3
Resolvendo o sistema, encontramos h 5 391,40 m. Logo, o Pão de Açúcar tem 391,40 m de altura.
5 3 ⇒ y 5 6
6 6 3 6 4 6 1 6 5 3 3 3
1 5 5 2
36.
35 3 1 35
5
3 55 3 2
35. Vx 5 10 ? cos 30° 5 10 ?
37. 12
tim-tim por tim-tim
*
Página 379
610 ⇒ d 5 2 259,3 m 0, 27 610 ⇒ tg a 5 0,305 ⇒ b) 2 000 ? tg a 5 610 ⇒ tg a 5 2 000 ⇒ a 17°
5. a) d ? tg 15° 5 610 ⇒ d 5
c) Respostas pessoais. Pontos que podem ser abordados: proximidades a áreas urbanas e centros geradores de tráfego; tipo de solo, altitude, temperatura, direção preferencial dos ventos, etc.
10 26. tg 40° 5 5 0,83 ⇒ d . 12,05 milhas d h 5 0,17 ⇒ h 5 5,1 m 27. sen 10° 5 30 28. tg 70° 5
, 5 2,75 ⇒ , 5 22 m 8
h 5 0,18 ⇒ h 5 3,6 m 29. tg 10° 5 20 30. tg 30° 5
50 3 5 ⇒ d 5 50 3 m d 3
31. sen 30° 5
h 1 5 ⇒ h 5 2 500 m 5 000 2
x
60° 45° a
tg 45° 5 1 ⇒
2m
x ⇒ x 5 a a
tg 60° 5 3 ⇒ x 5
12 3 1
12 x 12 x ⇒ 3 x 5 12 1 x ⇒ a x 6 3 6
Assim, a altura total é: 12 1 6 3 1 6 1 2 5 ( 20 + 6 3 ) m 38. tg 15° 5
h 5 0,27 ⇒ h 5 540 m 2 000
cos 15° 5 39. tg 45° 5
2 000 5 0,97 ⇒ d . 2 062 m d
50 5 1 ⇒ x 5 50 m x
50 ? 0,20 5 10,00 O barqueiro recebe R$ 10,00.
214
Matemática
40. 60°
No nABD, temos:
40
40 1 40 sen 30° 5 ⇒ 5 ⇒ BD 2 BD
30° 60°
B
D
A
44.
B
plano horizontal
⇒ BD 5 80 m
C R
No nBCD, temos:
sen 30° 5 30°
BD 1 80 ⇒ 5 ⇒ 40 1 , 2 40 1 ,
R linha do horizonte
O
⇒ 40 1 , 5 160 ⇒ , 5 120 m C
41. a)
N
O ângulo BB de medida a é o ângulo entre a vertical wBO e a linha do horizonte. O BOC é retângulo em C, então:
45° d
A
60°
d
45°
1 200 m
b) tg 60° 5
sen α 5 B
d 3 ⇒ 1 200 3 d 3 d ⇒ 1200 d
⇒ 1 200 3 d 3 d d( 3 1) ⇒ ⇒ d 5
1 200 3 2 1
1200 3 ( 3 1) 3 1 3 1
?
42.
12
d 4,8
1,8
Para h 5 0,703 km e a 5 0,85°, encontramos R 5 6 633 km. Observação: O raio da Terra é de cerca de 6 370 km. Logo, o resultado encontrado é bastante razoável. 45.
B
10
3 1
(1800 600 3 ) m 5 600( 3 2 3 ) m 780 m
R h ? sen α ⇒R R h 1 sen α
x
12 18 , 5 ⇒ 12x 5 8,64 ⇒ x 5 0,72 4, 8 x d 5 4,8 2 0,72 5 4,08 m
A A
B
5 3
Pelas condições do problema devemos ter 0° , a , 90°. Logo: 3 A9B9 5 AB ? cos a ⇒ 5 3 5 10 ? cos a ⇒ cos a 5 ⇒ 2 ⇒ cos a 5 30° 46. Área da rampa 5 xy 5 120 Área do jardim 5 xy ? cos a 5 90 ⇒ 120 ? cos a 5 90 ⇒ 3 ⇒ cos a 5 5 0,75 4 Consultando a tabela, procuramos na coluna dos cossenos qual ângulo tem cosseno 0,75 e encontramos cos 41° 5 0,755. Logo, o ângulo procurado mede, aproximadamente, 41°. 47. Decompondo a força P& em seus componentes retangulares, obtemos: N&
43. Px&
h
30°
50° a
25° 246 m
P&
30°
Py&
h 5 1,192 ⇒ h 5 1,192a a h tg 25° 5 5 0,466 ⇒ h 5 0,466(246 1 a) 5 1,192a 246 1 a
1 Px 5 P ? sen 30° 5 mg 2
114,6 1 0,466a 5 1,192a ⇒ 0,726a 5 114,6 ⇒ a 5 157,9 ⇒ ⇒ h 188 m
a) Para calcular a aceleração, usamos a segunda lei de Newton na direção do movimento (direção x): 1 1 Px 5 ma ⇒ mg 5 ma ⇒ ? 10 5 a ⇒ a 5 5 m/s2 2 2
tg 50° 5
A altura da torre mede aproximadamente 188 unidades de comprimento.
Py 5 P ? cos 30° 5
3 mg 2
215
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 11
Py 5 NA ⇒
t
b) Para calcular a intensidade da normal (N&A ), observa-se que P&y anula N&A (não há movimento na direção perpendicular ao plano de apoio):
2.
3 3 mg 5 NA ⇒ NA 5 ? 7 ? 10 5 35 3 N 2 2
650
48. Analisando a figura, vemos que apenas o componente Fx realiza trabalho (não há deslocamento na direção y). Então, sabendo que o trabalho é dado pelo produto entre a força e o deslocamento que o bloco sofre, temos: 1 †A, B 5 Fx ? d 5 F ? d ? cos a 5 40 ? 8 ? 5 160 J 2 49. Observe a figura a seguir: raio incidente
normal i
A B
r raio refratado
x
3. Área 5 π ? 462 ⇒ Área 5 6 644,24 km2 4. A marinha brasileira dispõe de bases científicas em suas estações com uma série de equipamentos e sensores que permitem, não só identificar a altura das ondas, mas também a sua direção e velocidade. Uma forma muito comum para medir a altura das ondas pelos surfistas é comparando o tamanho da “parede” da onda com o tamanho do surfista que está na onda. Ou seja, identificar quantas vezes a onda é maior que o surfista.
Atividades adicionais 1.
B i 5 ângulo de incidência B r 5 ângulo de refração nA 5 índice de refração do meio A nB 5 índice de refração do meio B Podemos relacionar esses elementos pela lei de Snell-Descartes: nA ? sen B i 5 nB ? sen B r . Assim: nA ? sen B i 5 nB ? sen B r ⇒ 1 ?
x2 5 6502 1 1502 ⇒ ⇒ x 667 km
150
15 m
h
30°
sen 30° 5
2 6 3 ⇒ nB 5 5 nB ? 2 2 2
h 1 h ⇒ h 5 7,5 m ⇒ 5 15 2 15
Resposta: alternativa e.
Desafio em dupla
2. P
q s p cos Q 5 s q tg Q 5 p sen Q 5
s
q
h p
a
S
h ⇒ h 5 a ? tg a a h tg b 5 ⇒ h 5 tg b ? (p 1 a) p1a tg a 5
p
Resposta: alternativa e. 3.
Então: tg b ? (p 1 a) 5 a ? tg a ⇒ p ? tg b 1 a ? tg b 5 a ? tg a ⇒ ⇒ p ? tg b 5 a ? tg a 2 a ? tg b ⇒ p ? tg b 5 a(tg a 2 tg b) ⇒
Por Pitágoras: 2a
(4a)2 5 (2a)2 1 x2 ⇒
4a
⇒ 16a2 5 4a2 1 x2 ⇒
tg ⇒ ⇒a5p? tg tg ⇒ h 5 p ?
Q
⇒ x2 5 12a2 ⇒ x 5 2 3a Assim, o menor lado é 2a e a tangente do seu ângulo oposto será:
x
tg ? tg tg ? tg a 5 p ? tg tg tg tg tg a 5
tg ? tg . Logo, h 5 p ? tg tg
2a 2 3a
⇒ tg α 5
1 3
⇒ tg α 5
3 3
Resposta: alternativa b. 4. Seja h a altura do mastro.
A Matemática e as práticas sociais 1. 35 000 pés 1 100 cm ⇒ x 31,42 cm x 1 pé Erro: 31,42 2 30,48 5 0,94 cm Em percentual: 30,48 100% y ⇒ y 3% 0,94
60°
cos 60° 5
⇒ h 5
16,4 m
h
t
Resposta: alternativa d.
h ⇒ 16, 4
1 ? 16,4 ⇒ h 5 8,2 m 2
216
Matemática
5. E
1
9.
D
1 √3
C
2
y
C
1
O
A
H
y
0,8 m
√2
A
x
D
1,2 m
B
1
B
1
nACD: tg b 5 nADE: tg g 5
a) nABC: tg a 5 1 ?
2 1
?
3 b) tg a 5 1 ⇒ a 5 45°
2 2 3 3
5
2 2
5
3 3
2,0 m
a) • nOAD: a 1 u 5 90° ⇒ a 5 90° 2 u • nABC: b 1 2a 5 180° ⇒ b 1 180° 2 2u 5 180° ⇒ b 5 2u x b) • nADO: tg u 5 0, 8 • nBHC: tg u 5
3 ⇒ γ 5 30° 3 c) Do item a concluímos que 30° , b , 45°. Logo: 75° 1 30° , 75° 1 b , 45° 1 75° ⇒ ⇒ 105° , 45° 1 30° 1 b , 120° ⇒ 105° , a 1 b 1 g , 120° tg g 5
6.
y 12 ,
• x 1 2y 5 2 Então: x y 5 ⇒ y 5 1,5x 0, 8 12 , Logo: x 1 2y 5 2 ⇒ x 1 3x 5 2 ⇒ 4x 5 2 ⇒ x 5 0,5 m
C
10.
E
AA9 5 x
10
13
5 A
B
A
h
A
B
8
132 5 (AB) 2 1 52 ⇒ AB 5 12 Logo: AB 12 B )5 cos (BAC 5 13 13 Resposta: alternativa a.
60° C A
x
4
D
A
cos 60
60°
x x 1 ⇒ ⇒ 8 2 8
⇒x 4m
7. 8
x
sen 60
z
z z 3 ⇒ ⇒ 8 2 8
⇒z 4 3 m 6m
60° C
Seja x a altura do poste. Então: x 3 x ⇒ x = 4, 5 tg a 5 ⇒ 5 6 4 6 Resposta: alternativa a.
Do esquema, temos que AB 5 AA9 1 A9B. AA9 5 4, conforme cálculo anterior. A9B 5 4, pois A9BDC é um retângulo. Assim, AB 5 4 1 4 5 8.
8.
102 5 y2 1 82 ⇒ y 5 6
E
Logo, EB 5 6 m. 3,6 m
10
y
10x
x
A
Seja x a altura de cada degrau. Então: 10x 1 10x ⇒ 5 ⇒ x 5 0,18 m 5 18 cm sen a 5 3, 6 2 3, 6
8
B
Como A9BDC é um retângulo: • BD 5 A9C 5 z 5 4 3 m • h 5 ED 5 EB 1 BD 5 6 1 4 3 m Portanto, a altura do poste é ( 6 1 4 3
) m.
217
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 11 11.
14.
t 3h
10 ∆S t 0
10
h
30°
r
A
tg
20
30
1 2
1 3
tg
A
Em 3 h, viajando a 50 km/h, o móvel percorre: DS 5 3 ? 50 5 150 km Então: sen 30° 5
h 1 h ⇒ 5 ⇒ h 5 75 km ∆S 2 150
x
x 1,5
Resposta: alternativa a. 12.
1,5 B
D
y
C
D
10 m
Seja x a altura da árvore. Então: h
A
30°
15° B
20
C
• nABC: tg a 5
x 15 , 1 x 15 , ⇒ ⇒ y 5 2x 2 3 y 2 y
• nABD: tg b 5
x 15 , 1 x 15 , ⇒ ⇒ y 1 10 5 3x 2 4,5 y 10 3 y 10
Logo: 2x 2 3 1 10 5 3x 2 4,5 ⇒ 2x 5 211,5 ⇒ x 5 11,5 m
30° é ângulo externo do triângulo ABD, portanto: 15 1 5 30 ⇒ 5 15° Então, o triângulo ABD é isósceles e BD 5 AB 5 20.
15. sen a 5 0,6 ⇒ sen a 5
3 5
D 5 20
tg a 5
3
h
30°
4
B
C
Mas:
h 1 h ⇒ 5 ⇒ h 5 10 m sen 30° 5 20 2 20
Resposta: alternativa a. 13.
D
30° y
60°
tg a 5
10 m
A
30° y
10 3 10 ⇒ 5 ⇒ x . 13,34 m x 4 x
30° x 60° E
x
16. 14
D 50
x
50 O 60°
C
tg 60° 5
3 4
B
50 50 3 5 3 ⇒y5 y 3
C 8
3
E
Pelo nODE, temos sen a 5
3 . 3+x
Pelo nOPC, temos sen a 5
8 . 14 + x
r P
Então: x 3 x 5 ⇒ 2x 5 50 ⇒ x 5 25 sen 60° 5 ⇒ y 2 50 3 3 AB 5 25 1 50 5 75
8 3 5 ⇒ 42 1 3x 5 24 1 8x ⇒ 18 5 5x ⇒ 14 + x 3+x ⇒ x 5
18 cm 5
218
Matemática Logo:
Analogamente, z 5 y 5 5 2 .
15 3 ⇒ sen a 5 ⇒ sen a 5 ⇒ sen a 5 33 18 33 3+ 5 5 3
⇒ sen a 5
x 1 y 1 z 5 20 ⇒ x 1 5 2 5 2 20 ⇒ x 20 10 2 Resposta: alternativa c.
5 11
Resposta: alternativa b.
Para refletir Página 364
17.
• Para que o índice de subida seja 1, a altura e o afastamento devem ser iguais.
h
Para que o índice seja maior que 1, a altura deve ser maior que o afastamento.
6
• A mais íngreme é a que tem índice de subida maior.
h2 1 36 5 100 ⇒ h2 5 64 ⇒ h 5 8 m 18.
• a , b h h 1 , 2 a1 a2
D
5 ⇒ • nABC: tg 30° 5 AB 3 5 ⇒ ⇒ AB 5 5 3 m 5 3 AB
B 5m C
3,5
6‚
3,5
5‚
3,5
4‚
3,5
3‚
3,5
2‚
3,5
1‚
⇒ 3 5
BD 5 3
⇒ BD 5 15 m
Logo: CD 5 BC 1 BD 5 5 1 15 5 20 m
ll α
A 21 m
ll 30°
α C
β
Página 376
No nABC, temos: AB 1 AB ⇒ 5 ⇒ AB 5 10,5 sen 30° 5 21 2 21
sen2 a 1
Resposta: alternativa b.
tg a 5
A
B
10
45°
45° A
4 4 21 21 5 5 1 ⇒ sen2 a 5 1 2 ⇒ sen a 5 25 25 25 5
21 2 : 5 5 5
21 5
?
5 5 2
21 2
Capítulo 12
10
Abertura 1.
B 20
y
Página 366 A que tem ângulo de subida menor (b). cos b . cos a A que tem ângulo de subida maior (a), ou seja, de cosseno menor.
Térreo B
20.
β
x
12 z
O vão AB equivale ao vão A9B9, pois AA9BB9 é um retângulo. Assim: y 2 y 10 2 ⇒ ⇒y5 5 55 2 cos 45° 5 10 2 10 2
4
5
5
4
25 1 144 5 x2 ⇒ 169 5 x2 ⇒ x 5 13
t
30°
A
⇒
ll
60°
BD 5 3
ll
• nABD: tg 60° 5
Página 365 Terá altura maior a que tem ângulo de subida a. sen a . sen b A mais íngreme é a que tem ângulo de subida maior (a), ou seja, de seno maior.
10
19.
Então:
219
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 12 t
2. 50° x
12
130°
130°
50° 50°
130°
130°
5
50°
81 1 144 5 y ⇒ 225 5 y ⇒ y 5 15 2
2
3. 2x 1 10° 5 x 1 30° ⇒ x 5 20° 2x 1 10° 5 2 ? 20° 1 10 5 50° x 1 30° 5 20° 1 30° 5 50°
y
12
4. x 2 (180° 2 x) 5 64° ⇒ x 2 180° 1 x 5 64° ⇒ 2x 5 244° ⇒ x 5 122° y 5 180° 2 x 5 180° 2 122° 5 58° 9
Cabo de aço: 15 1 15 1 13 1 13 1 50 5 106 m 2. x (largura)
x 14
1 módulo
10 x (comprimento) 7
20 módulos:
20x 10x 5 (comprimento da bandeira) 14 7
a) Se x 5 1,26 m, então x 5 126 cm. 10 ? 126 5 180 cm Comprimento: 7 Logo, o comprimento da bandeira será 1,80 m. b) 2p 5 102 cm (perímetro)
10 x 7
x
20x 5 102 ⇒ 14x 1 20x 5 714 ⇒ 34x 5 714 ⇒ 7 ⇒ x 5 21 (largura) 2x 1
Logo: 10x 210 5 5 30 (comprimento) 7 7 Logo: área da bandeira 5 21 ? 30 5 630 cm2
5. a) 180° 2 65° 5 115° Os outros três ângulos medem 65°, 115° e 115°. b) x 1 2x 5 180° ⇒ 3x 5 180° ⇒ x 5 60° 2x 5 2 ? 60° 5 120° Os quatro ângulos medem 60°, 60°, 120° e 120°. 6. a) 5x 5 3x 1 22° ⇒ 2x 5 22° ⇒ x 5 11° 5x 5 5 ? 11° 5 55° 180° 2 55° 5 125° Os ângulos medem 55°, 55°, 125° e 125°. x 1 30° 5 180° ⇒ 2x 2 30° 1 x 1 60° 5 360° ⇒ 2 ⇒ 3x 5 330° ⇒ x 5 110° Os ângulos medem 95°, 85°, 95° e 85°.
b) x 2 15° 1
7. a) 103° 1 47° 5 150° 180° 2 150° 5 30° b) 180° : 3 5 60° 8. x 1 (x 1 40°) 1 2(x 1 40°) 5 180° ⇒ x 1 x 1 40° 1 2x 1 80° 5 180° ⇒ ⇒ 4x 5 60° ⇒ x 5 15° BE: 15° 1 40° 5 55° BF: 15° B : 2 ? 55° 5 110° G 9. Não, porque só a soma das medidas dos dois ângulos obtusos já passa de 180°. 10. Triângulo acutângulo: três ângulos agudos (exemplo: 60°, 50° e 70°); triângulo retângulo: um ângulo reto e dois agudos (exemplo: 90°, 40° e 50°); triângulo obtusângulo: um ângulo obtuso e dois agudos (exemplo: 100°, 30° e 50°).
1. Correspondentes: na mesma posição em relação às paralelas e à transversal. Alternos internos: em lados diferentes em relação à transversal e na parte interna em relação às paralelas. Alternos externos: em lados diferentes em relação à transversal e na parte externa em relação às paralelas. Colaterais internos: do mesmo lado em relação à transversal e na parte interna em relação às paralelas. Colaterais externos: do mesmo lado em relação à transversal e na parte externa em relação às paralelas.
11. 90° 1 62° 5 152° 180° 2 152° 5 28° 12. x 1 BC 5 180° BA 1 BB 1 BC 5 180° Comparando as duas igualdades, temos x 5 BA 1 BB. 13. 180° 2 158° 5 22° y 5 22° 1 15° 5 37° 14. 2x 2 30° 1 3x 1 x 1 90° 5 360° ⇒ 6x 5 300° ⇒ x 5 50° 15. a) 7 2 2 5 5 5 ? 180° 5 900° b) Por tentativa:
220
Matemática
7 lados → 5 ? 180° 5 900°
23.
8 lados → 6 ? 180° 5 1 080° 9 lados → 7 ? 180° 5 1 260° 10 lados → 8 ? 180° 5 1 440°
5 cm
Outra resolução:
7 cm
1 440° : 180° 5 8 8 1 2 5 10 16. 5 lados
8 cm
3 ? 180° 5 540° 24.
90° 1 90° 1 160° 1 95° 1 (180° 2 x) 5 540° ⇒ ⇒ 2x 5 540° 2 90° 2 90° 2 160° 2 95° 2 180° ⇒ ⇒ 2x 5 275° ⇒ x 5 75° 17.
50°
Polígono regular
Soma das medidas de todos os ângulos internos
Medida de cada ângulo interno
Triângulo equilátero
180°
60°
Quadrado
360°
90°
Pentágono regular
540°
108°
Hexágono regular
720°
120°
Decágono regular
1 440°
144°
Polígono regular de n lados
(n 2 2) ? 180°
25. 70° 1 50° 5 120°; 180° 2 120° 5 60° (BB) C
50°
( n 2 2 ) ? 180 °
18. 20 2 2 5 18 18 ? 180° 5 3 240° 3 240° : 20 5 162° ( n 2 ) ? 180 135 ⇒ 135n 5 (n 2 2) ? 180 ⇒ 19. n 1 ⇒ 135n 5 180n 2 360 ⇒ 245n 5 2360 ⇒ n 5 8 8 lados 20. a) As medidas são iguais.
20° 7 cm
n 70°
60°
A
5 cm
B
26. c) Não podemos garantir a congruência dos triângulos. Eles podem ter os mesmos ângulos, mas os lados podem não ser congruentes. d) Podemos afirmar que RSP e EFG são congruentes (caso LLL). Demais elementos: BR BE, BS B F, B P BG. e) ABC RQP (caso LAAo). Demais elementos: B B P, A t BR t QeB t C Pt Q. C E X f )
b) As medidas são iguais. 21. c 5 2,5 cm; e 5 5 cm; x 5 60°; y 5 30° z 5 180° 2 (60° 1 30°) 5 90° w 5 z 5 90° 22.
F
G
Y
Z
Não podemos garantir a congruência dos triângulos. g) P
5 cm
R
M
Q
O
N
O PQR e o MNO são congruentes (caso LAL). Demais eleB , BQ N B e tPQ tM N. mentos: B P M
60° 3 cm
h) FGH MLN (caso ALA). Demais elementos: BH BL, tFH tM L e tG H tN L.
221
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 12 i) Não podemos garantir a congruência dos triângulos (um pode ter lados de 9 cm, 9 cm e 2 cm e o outro, de 6 cm, 6 cm e 8 cm). j) Os triângulos são congruentes (caso LLL); ambos têm lados de 4 cm, 4 cm e 4 cm.
AB 5 2x 1 1 5 2 ? 37.
27. 180° 2 38° 5 142° 142° : 2 5 71° Os ângulos medem 71° e 71°.
5 5 7 1 1 5 1 3, 5 4 2 2
6 12 3 12 ⇒ 5 ⇒ 3x 5 48 ⇒ x 5 16 5 8 x 4 x 6 12 3 12 ⇒ 5 ⇒ 3y 5 60 ⇒ y 5 20 5 10 y 5 y xy 5 16 ? 20 5 320
28. Demonstração idêntica à do exercício 27.
38.
z
y
x
29. Como todo retângulo é um paralelogramo, ele está incluído na demonstração do exercício 28. 30. A
40
B
x 40 x 40 y 30 z 20
C
D
Considerando o retângulo ABCD, devemos demonstrar que tAC tBD. Analisando os elementos do ADC e do BCD, temos: A
39.
D
C
30
20
y z x y z 180 ⇒ 2 30 20 40 30 20 90
2 ⇒ x 80 m 2 ⇒ y 60 m 2 ⇒ z 40 m
x 1 x 3 ⇒ 3x 2 3 5 2x 1 6 ⇒ x 5 9 2 3
40.
B x D
C
t D tBC (lados opostos de um retângulo) A BD BC (retos) tDC tDC (lado comum) Pelo caso LAL, temos que o ADC BCD. Portanto, tAC tBD. 31. Como todo quadrado é um retângulo, vale aqui a demonstração do exercício anterior.
1 12
x 1 12 ⇒ 0, 6 x 5 12 ⇒ x 5 5 5 20 12 0, 6 0, 6 Resposta: alternativa d. 41. A
2x 1 4 2x 1 2 36. ⇒ ⇒ 6x 1 3 5 10x 2 2 ⇒ 4x 5 5 ⇒ 5x 1 6 5x 1 3 5 ⇒ x 5 4
B
3
C
5
D
B9 C9 D9
33. tAP tCP, tDP tBP e ABPD CBPB, pois são opostos pelo vértice. Pelo caso LAL, temos APD CPB e, daí, tBC tDA e BC 5 1,3 1,3 km
35. Todo retângulo, todo quadrado e todo losango são paralelogramos. a) V b) V c) V
2 x
32. x 1 x 1 110° 5 180° ⇒ 2x 5 70° ⇒ x 5 35° B B 5 35° e BC 5 35° tAC tAB
34. B G 5 70° BF 5 180° 2 70° 5 110° BH 5 110° tFG 5 3 m tG H 5 5 m
0,6
2 10 1 5 ⇒ 5 ⇒ 5x 5 13 ⇒ x 5 2, 6 5 x 13 x 13 Resposta: alternativa a. 42.
A
B
D
C E
F
BA 5 BD BB 5 BE BC 5 BF Pelo caso (AA) temos que os triângulos ABC e DEF são semelhantes.
222
Matemática
43.
48.
A 10
E C A x O
9
6 B x D
6 F
Os triângulos OBA, ODC e OFE são semelhantes pelo caso (AA). Logo:
B
Como ABC EDC, então: AB ED x x 15 3 ⇒ ⇒ 5 ⇒ 4x 5 45 ⇒ x 5 11,25 5 5 BC DC 20 15 4 15
M x N
x
12 − x
6 Q
x x T
P
S
49.
35 1 105 3 5 ou 5 105 3 35 1
50.
15 8 7 5 5 18 o n
MN 5 MQ 5 PQ 5 NP 5 x Como MTS NTP, então: 12 6 2 1 ⇒ ⇒ 2x 12 x ⇒ 3x 5 12 ⇒ 12 x 12 x x x ⇒x54 Cada lado do losango mede 4. 45.
1
A
x x
C
x x 2 1 ⇒ ⇒ 20x 5 0, 5 ⇒ x 5 0,025 m 5 2,5 cm 5 5 40 0, 5 20 0, 5 A largura das janelas é de 2,5 cm.
6
y z
y 5 4 3 4 3 4 3
ABC e CBD não são semelhantes:
6 8 4 . 3, 5 6 3
CBD e ADB não são semelhantes:
6 4, 5 3 . 4 3, 5 3
3 1 4 1 5 5 12 12 3 5 ⇒ x 5 7, 5 cm x 30 12 4 5 ⇒ y 5 10 cm y 30 12 5 5 ⇒ x 5 12, 5 cm z 30
x 5
6 8 4 5 5 . 4, 5 6 3
53. 300 1 180 5 480 cm ou 4,8 m
4
x 4 x 4 y 5 z 6
8 ? 18 5 9,6 cm 15
Desafio em dupla
Como BDE BAC, então: 1 1 x 3 ⇒ x 3 3x ⇒ 4x 3 ⇒ x 0,75 3 x 4 O lado do quadrado mede 0,75.
47.
o 5
3−x F 3
46.
18 ? 7 5 8,4 cm 15
52. ABC ADB, pois
E
x
n 5
51. ABC DEC, pois têm dois ângulos correspondentes congruentes: BB BE (retos): BC1 B C2 (opv).
B 1−x D x
C
E 20
9 6 3 6 5 ⇒ 5 ⇒ 3x 5 12 ⇒ x 5 4 x x 6 2
12
15
x
9
44.
D
15
z x y z 20 4 6 4 5 6 15 3 16 ⇒ 3x 16 ⇒ x 3 20 y 3 ⇒ 20 ⇒ y 3
54. Resposta pessoal. 55.
x 80 80 ? 525 ⇒x5 5 5 700 cm 5 7 m 525 60 60
56.
x 9 ⇒ x 5 7,5 m 5 2 2, 4
⇒ 3z 24 ⇒ z 8
Os lados do triângulo são
16 20 cm e 8 cm. cm, 3 3
57. a) Sim. A B B C C D D E E F 2 AB BC CD DE EF constante de proporcionalidade 5 2 b) Sim. Como os hexágonos são regulares, seus ângulos são congruentes: todos os ângulos internos do hexágono ABCDEF me-
223
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 12 dem 120°. O mesmo vale para o hexágono A9B9C9D9E9F9. Logo, os ângulos correspondentes são congruentes. c) Sim. Os lados correspondentes são proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes.
b2 5 am ⇒ 82 5 4 13 m ⇒
c2 5 an ⇒ 122 5 4 13 n ⇒ n 5
58. Sim. Os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. 59. Não, no primeiro pentágono há um ângulo reto ( BC ) e no segundo não. Isso já garante que os pentágonos não têm ângulos correspondentes congruentes.
67.
B
5
a h
⇒ h2 1
a 2
130 65 5 5 5 78 39 3
a 2
⇒ h2 5
25 5 5 . 3 9
3a2 a 3 ⇒h5 4 2
c
b
h m
n
a 5 10
m 9 m n 9 16 10 25 2 5 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ n 16 n 16 n 16 n 16 32 ⇒ 5n 32 ⇒ n 5 18 32 32 m n 10 ⇒ m 10 ⇒ m 10 5 5 5 18 2 2 2 b am ⇒ b 10 ? ⇒ b 36 ⇒ b 6 5 32 c2 an ⇒ c2 10 ? ⇒ c2 64 ⇒ c 8 5
lado maior da primeira figura
Os ângulos da nova figura devem ter as mesmas medidas dos ângulos da primeira, e seus lados devem ter uma vez e meia as medidas dos da primeira figura. 64. a) Verdadeira, pois as medidas dos lados serão sempre proporcionais, e os ângulos, iguais a 90°. b) Falsa. Contraexemplo:
1 4,5
1,5 3
65. Sim. As figuras 1 e 3 possuem ângulos correspondentes congruentes e lados de medidas proporcionais, pois da figura 1 para a figura 3 todas as medidas dos lados dobraram.
Os catetos medem 6 cm e 8 cm. 70.
a
a
d
a
12
h
a m
a2 ⇒ 4
69.
6 3 1 5 51 4 2 2
8
a2 5 a2 ⇒ 4
⇒ h2 5 a2 2
a
lado maior da segunda figura
66.
100 3 55 3 20 2
2
63.
C
15 a
a
medidas dos lados:
24 13 13
a h2 1 5 a2 ⇒ 2
25 5 5 15 3
Note que a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre as
5
b
68.
1000 25 5 360 9
96 4 13
36 13 13
h
40 5 5 c) 24 3
e)
4 13
ah 5 bc ⇒300 20h 5 5 10 3 ? 10 ⇒ h 5
x 1 30 5 10 1 30 5 40 x 1 14 5 10 1 14 5 24 R1: 40 m; R2: 24 m
5
a 5 5 1 15 5 20 b2 5 15a ⇒ b2 5 15 ? 20 ⇒ b2 5 300 ⇒ b 5 300 5 10 3 c2 5 5a ⇒ c2 5 5 ? 20 ⇒ c2 5 100 ⇒ c 5 10
x 30 x 14 ⇒ 25(x 1 14) 5 15(x 1 30) ⇒ x 5 10 25 15
d)
144
16 13 13
A c
61. A diagonal também ficou duplicada.
b)
5 m ⇒ m 5
ah 5 bc ⇒ 4 13 h 5 8 ? 12 ⇒ h 5
60. Semelhantes: a e b; c e e. O retângulo d não tem par semelhante neste exercício.
62. a)
64 4 13
n
a
a2 5 82 1 122 5 64 1 144 5 208 ⇒ a 5 4 13
d2 5 a2 1 a2 ⇒ d2 5 2a2 ⇒ d 5 a 2 As diagonais medem a 2 .
224
Matemática
71. N
82 5 x2 1 52 ⇒ x2 5 64 2 25 ⇒ x2 5 39 ⇒ x 5 39
⇒ d2 5 2 500 1 1 600 ⇒ d2 5 4 100 ⇒
OD mede 39 cm.
⇒ d 5 10 41
d
50
d2 5 502 1 402 ⇒
A distância que os separa após duas horas
O
40
2 2 76. r2 5 ( 7 ) 1 ( 3 2 ) 5 7 1 18 5 25 ⇒ r 5 5
é 10 41 km (aproximadamente 64 km).
L
5c 5 7 ? 3 2 5 3 14 ⇒ c 5
( 7 )2 5 5x ⇒ 7 5 5x ⇒ x 5 72.
x2 5 252 1 62 ⇒ x2 5 625 1 36 ⇒ x2 5 661 ⇒ ⇒ x 25,7 Como são 3 cabos, serão necessários, aproximadamente, 77,2 m. x
3 14 5
7 , ou 14 5
y 1 1,4 5 5 ⇒ y 5 5 2 1,4 5 3,6 77. d2 5 52 1 52 5 25 1 25 5 50 ⇒ ⇒ d 50 2 ? 25 2 ? 52 5 2 cm
25
d2 ,2 ,2 2,2 ⇒ d 2 ,2 , 2 cm
73.
79. D
12
x
y w
z
A
M C
15
x2 5 15w ⇒ 92 5 15w ⇒ x 5 122 5 15z ⇒ z 5
3 3 ⇒ x 5 5 0, 375 4 8 Resposta: alternativa c. ⇒ 2x 5
4
12 36 5 5 155
T9 10 7 O9
x T 3 O
9
x
Desafios em dupla
x 5 TT9 OO9 5 25
m n 25 ⇒ m 5 5 e n 5 20 ou m 5 20 e n 5 5 • mn 100 Como m , n, a resposta é m 5 5 e n 5 20.
252 5 x2 1 72 ⇒ x2 5 625 2 49 ⇒ x2 5 576 ⇒ x 5 24 b)
T 2
13
O9
O
3 T9
x
B
1 2
2 1 1 ,2 5 x2 1 ⇒ (1 2 x)2 ⇒ x2 1 ⇒ 4 2 1 1 1 ⇒ 1 2 2x 1 x 2 x 2 ⇒ 1 2x ⇒ 2x 5 1 2 ⇒ 4 4 4
81 27 5 15 5
144 48 5 15 5
15y 5 9 ? 12 ⇒ y 5
x
x1,51⇒,512x
152 5 122 1 x2 ⇒ x2 5 225 2 144 ⇒ x2 5 81 ⇒ x 5 9
74. a)
P
• Da figura, podemos ver que a altura pedida é a soma de dois raios (AD 1 BF) e do cateto AH do triângulo retângulo ABH (ou ACH). 5 m descontando os Como a largura do caminhão é 2,5 m ou 2 3 raios dos troncos que tangenciam as laterais, temos BC 5 ; e 2 3 dividindo por 2, temos o valor dos catetos BH 5 CH 5 . 4 D
OO9 5 13
5
1 2 A 1 2
1 2
132 5 x2 1 52 ⇒ x2 5 169 2 25 ⇒ x2 5 144 ⇒ x 5 12 75.
D 5
A x
O
1 2
h B 1 2
B 8
1 2
AB 5 10 cm OB 5 8 cm
1 2
F 1 2
H
C 1 2
E 3 4
G 3 4
5 2
1 2 t
6
78. AB: x ⇒ x2 5 25 ? 16 ⇒ x 5 20 20 1 16 5 36 km
225
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABH, encontramos 7 AH 5 . Somando os dois raios, temos: 4 h
89.
,55
1 1 7 7 1 2 2 4 4
Resposta: alternativa e. 2r 5 , 5 5 ⇒ r 5
80. a) ,3 5 r 3 5 10 3 17, 32 cm a3 5
r 10 m 5 5 5 cm 2 2
5 2
5 5 5p 15,7 cm 2
C 5 2pr 5 2p ? 90.
b) , 4 5 r 2 5 10 2 cm 14,14 cm
r 2 10 2 cm 7, 07 cm a4 5 5 2 2
a3 5 r 5 6 C 5 2pr 5 2p ? 6 5 12p 37,68 cm
c) , 6 5 r 5 10 cm a6 5
r 3 10 3 5 5 5 3 cm 8, 666 cm 2 2
a3
81. ,6 5 r 5 5 2p 5 6,6 5 6 ? 5 5 30 cm 82.
*
,3 5 5 ⇒ r 3 5 5 ⇒ 5
5
⇒ r5
5
3
?
3
d 5 2r 5 2 ?
3
5
5 3 3
5 3 10 3 5 3 3
tim-tim por tim-tim
t
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 12
5,77 cm
83. a4 5
b) Observe a figura abaixo. Podemos dividir as demais peças em triângulos equivalentes ao triângulo pequeno e, a partir daí, obter a área dessas figuras.
r 2 6 2 5 53 2 2 2 ,3 5 r 3 5 6 3 a4 2 3 2 ? 5 5 ,3 6 3 2 3
Página 427 5. a) Não, pois se o lado AB do hexágono mede 2 cm, então o cateto do triângulo pequeno mede 1 cm (pois equivale à metade do lado AB). O lado do hexágono que está na vertical equivale à hipotenusa do triângulo pequeno, portanto vale 2 cm. Assim, o hexágono não é regular pois não tem todos os lados congruentes. Outro argumento poderia ser que o ângulo BB do hexágono é reto, enquanto um hexágono regular tem todos os ângulos agudos iguais e valendo 120°.
3 3
5
6 6
84. d 5 14 ⇒ r 5 7 C 5 2pr 5 2p ? 7 5 14p 14 ? 3,14 43,96 cm 85. C 5 43,96 ⇒ 2pr 5 43,96 ⇒ r 5 7 cm
86. r 5 28 cm S 5 175,84 m 5 17 584 cm C 5 2pr 5 2p ? 28 175,84 cm 17 584 5 100 voltas n 5 175,84 87. d 5 60 ⇒ r 5 30 n 5 500 C 5 2pr 5 2p ? 30 188,40 cm S 5 188,40 ? 500 94 200 cm 94,2 km 88. a) raio r → C 5 2pr raio 2r → C1 5 2p ? 2r 5 4pr Aumento: C1 2 C 5 4pr 2 2pr 5 2pr Logo, o comprimento dobra quando o raio dobra. b) raio r → C 5 2pr raio 3r → C1 5 2p ? 3r 5 6pr Logo, o comprimento triplica quando o raio triplica.
Figura 1
Quadrado: 2A Paralelogramo: 2A Triângulo médio: 2A Triângulos maiores: 4A cada um
c) Resposta pessoal. d) China; 1813. 91.
A 40 m
30 m
B
E
40 m
C
36 m
D
226
Matemática Utilizando o teorema de Pitágoras, temos: BE2 5 402 1 302 5 1 600 1 900 5 2 500 ⇒ BE 5 50 m 20
Área do ABE 5
40 ? 30 21
Área do trapézio BCDE 5
S 5 S 2 Scol. 5 42 2 8 5 16 2 8 5 8 cm2 20
21
5 86 ? 20 5 1 720 m2
Área do terreno 5 600 1 1 720 5 2 320 m2
8
(12 4 )5 16 ? 5 5 40 cm2 Área do trapézio 5 2 21 14 m 5m 11 m
17 15 8 40 20 m 2 2 20(20 17 ) (20 15)(20 8) 2 4 2 20 ? 3 ? 5 ? 12 22 ? 5 ? 3 ? 5 ? 22 ? 3 2 ? 3 ? 5
2 2 2 ? 3 ? 5 60 m
100. 1 m2 → 4 pessoas 4 000 m2 → 16 000 pessoas 101. 1 cm → 200 km 0,2 cm → 40 km
piscina 8 m
99. p S
92. DM 5 MN 5 NC 5 4 cm
93.
2?2 5 2 cm2 2
Scolorida 5 4 ? 2 5 8 cm2
5 600 m2
( 50 1 36 ) 40
98. • S 5
60°
20 m
( 20 14 )11 2
34 ? 11 21
ll
60°
40 km
ll
Strapézio 5
17
5 187 m2
ll
60°
Spiscina 5 5 ? 8 5 40 m2 Spedras 5 187 2 40 5 147 m2 94.
D
b
A
402 3 3 200 3 2 5 5 800 3 km 4 4
102. A 5 6 ?
,2 3 100 3 2 56? 5 150 3 cm 4 4
C
a I
S 5 2 ?
II
III
103. r 5 20 cm ⇒ , 5 20 3 cm y
x
• Cálculo da área da região I: S I 5
B
ax 2
S 5
( 20 3 )2 4
3
100
400 ? 3 3 2 5 300 3 cm 41
5
,2 3 64 3 2 56? 5 96 3 cm 4 4
• Cálculo da área da região II: S II 5 ab
104. S 5 6 ?
ya 2 xa ay ab • Soma das áreas 5 S I 1 S II 1 S III 5 2 2
105. d 5 20 cm ⇒ r 5 10 cm S 5 p ? 102 5 100p cm2
• Cálculo da área da região III: S III 5
a x b y a x b b y 2 2 2 2 2 2
a (x b b y) 2
Fazendo x 1 b 1 y 5 B, temos: a (B b )a (B b ) 2 2
2
3
,
4
5
10
2
3
4
5 25 3 cm2
96. , 5 20 cm S 5
20
2
3
4
5 100 3 cm2
S 5
2
3 4
1 4
? p ? 4 2 5 (16 2 4p) m2
1 09. • Cálculo da hipotenusa do triângulo: x2 5 62 1 82 5 36 1 64 5 100 ⇒ x 5 10 m • Cálculo da área do semicírculo de raio 5: p ? 52 25p 2 m S 5 5 2 2 • Cálculo da área do triângulo:
97. , 5 2 cm 2
1
π 4 π 2r 2 π 2r 2 C2 ( 2π r )2 2 5 5 5 5 5 πrr ? 12 12 3 3 12 3 π π ⇒ 5 Scírculo ? 51⇒ π5 3 3 3
107. A 5
108. S 5 Squad. 2 Ssetor 5 16 2
95. 2p 5 30 ⇒ , 5 10 cm S 5
106. d 5 2,80 m ⇒ r 5 1,40 m S 5 p(1,4)2 5 1,96p m2
5 3 cm2
Stotal 5 4 3 cm2
S 5
8? 6 21
3
5 24 m2
• Área do terreno 5
25π 25 π 48 2 24 m 2 2
227
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 12 110.
A
a) Então, um dos quadrados tem lado 32 5 8 cm. 4
R
16 5 4 cm e o outro tem lado 4
b) As áreas são, respectivamente, 42 5 16 cm2 e 82 5 64 cm2.
O r
1 18. A razão entre os lados é: C
B
k 5
AD x 5 AB 8
A razão entre as áreas é: • Se R é o raio da circunferência circunscrita, então:
,
, 5R 3 ⇒ R 5
3
3
?
3
5
, 3 3
k2 5
A2 1 5 ⇒k5 2 A1
Logo:
Se r é o raio da circunferência inscrita, então:
x 2 ⇒ x54 2 5 8 2
Resposta: alternativa a.
, 5 2r 3 ⇒ r 5
, 3 1 , 3 ? 5 2 3 6
• S 5 pR2 2 pr2 5 p(R2 2 r2) 5
2 1 1 2 2 2 , 3 , 3 π , ? 3 , ? 3 π 9 3 3 3612 6 1 4,2 ,2 ,2 ,2 π,2 3 ,2 π? π π 4 12 12 12 4 3
111. a) 121 2 64 5 57 A área aumentará em 57 cm2.
b) (1,2,)2 5 1,44 ,2 A área aumentará em 44%. 5
119. Se o raio da pizza média é 80% do raio da pizza grande, então a razão entre os raios da pizza média e da grande é 0,8. Assim: k 5 0,8 ⇒ k2 5 0,64 Logo, a razão entre as áreas das pizzas média e grande é: k2 5 0,64 5 64% Resposta: alternativa b. 120. Se o raio aumentou 1%, então o fator de aumento é 1,01 (k 5 1,01). Portanto, a área aumentará k2 5 1,012 5 1,0201. Logo: x 5 1,0201 ⇒ x 5 3,14 ? 1 ? 1,0201 3,20 p ? 12 Resposta: alternativa d.
2
112. • Laterais: 4S
1 2 5 2 2
4 (27 1 19)30 21
5 60 ? 46 5 2 760 m2
• Fundo: S 5 192 5 361 cm2 • Área total: 2 760 1 361 5 3 121 cm2 5 0,3121 m2
121. O triângulo menor é semelhante ao maior, pois o corte foi paralelo ao lado do triângulo maior. Assim: • a razão entre os catetos é: x y k 5 5 60 40
113. • Lado do quadrado: 8 cm ⇒ r 5 4 cm
• a razão entre as áreas é:
• Área colorida 5 área do quadrado ABCD 2 área de um círculo de 4 cm de raio 5 82 2 p ? 42 5 64 2 16p 5 16(4 2 p) cm2
k2 5
114. S 5
115. S 5 p(r12 2 r22 ) 5 p(32 2 12) 5 8p cm2 116. a) Por falta: 31
por excesso: 61 31 1 61 5 46 ■ média 5 2 Considerando que ■ tem 0,5 cm de lado:
■.
S 46 ? 0,52 5 11,5 cm2 ■;
1 2 5 2 2
Logo:
r, 4 ? 10 5 20 cm2 5 2 2
■;
A menor 1 5 ⇒k5 2 A maior
■.
b) Por falta: 34 por excesso: 62 34 1 62 5 48 ■ média 5 2 Considerando que ■ tem 0,5 cm de lado: S 48 ? 0,52 5 12 cm2
117. Se as áreas têm razão de semelhança k2 5 4, os perímetros têm razão de semelhança k 5 2. Assim: x 1 2x 5 48 ⇒ x 5 16 cm e 2x 5 32 cm
2 x ⇒ x 5 30 2 5 60 2 2 y ⇒ y 5 20 2 5 40 2 Resposta: alternativa c.
122. Se o raio aumenta 10%, o fator de aumento é 1,1, então a razão de semelhança é 1,1. O aumento do perímetro é também de 10%, pois o perímetro é linear como o raio. Mas a razão de semelhança entre as áreas é k2 5 1,21, que equivale a um aumento de 21%. Resposta: alternativa b.
123. Se a escala é 1 : 50, então k 5 50 e k2 5 2 500. Se a área na planta é 12 ? 14 5 168 cm2, a área real é 168 ? 2 500 5 420 000 cm2 5 42 m2. Resposta: alternativa d.
228
Matemática
124. O tempo gasto para limpar o terreno é proporcional à área dele. Assim, se o raio dobra (k 5 2), a área quadruplica (k2 5 4). Então, ele gastará 4 vezes mais tempo: 3 ? 4 5 12 h Resposta: alternativa e.
125. a) A razão de semelhança linear é k 5
1250 000 5 250 000. 5
Portanto, 1 cm na foto equivale a 250 000 cm 5 2 500 m 5 5 2,5 km b) k2 5 250 0002 5
5 562 500 000 000 cm2 5 56 250 000 m2 5 56,25 km2
1. Sângulos 5 2 340° 5 (n 2 2) ? 180° ⇒ n 2 2 5 Mas: Sângulos 5 n ? ângulo ⇒ ângulo 5
Resposta: alternativa b. 3. Área do círculo: Ac 5 pr2 ⇒ Ac 5 3,14 m2 Área do hexágono: Ahex. 5 6 ? Aequilátero Área do triângulo equilátero: A 5
3x 1 y 5 180 ⇒ y 5 180 2 3x (1) S 5 xy (2) De (1) e (2), temos: S 5 x(180 2 3x) 5 180x 2 3x2 5 60 2 x2 A área máxima assume valor máximo no vértice da parábola, ou seja, quando:
Então: A 5
r 3 r 3 ? 5 2 2 4
Ahex. 5 6A 5 6 ?
3 3 3 3 ⇒ A hex . 5 5 ? 1,73 ⇒ Ahex. 5 2,60 m2 2 4 2
Portanto, o erro cometido é: erro 5 Ac 2 Ahex. 5 3,14 2 2,60 5 0,54 m2
Logo, y 5 90 m. Resposta: alternativa b. 4.
Pitágoras: a2 1 b2 5 c2 e (a, b, c) 5 terno pitagórico a) Falso, pois a2 1 c2 b2. b) Verdadeiro, pois (ka)2 1 (kb)2 5 5 k2a2 1 k2b2 5 k2(a2 1 b2) 5 5 k2c2 5 (kc)2. c) Falso. d) Falso, pois b2 1 c2 a2. e) Falso.
A Matemática e as práticas sociais 1700 000 89,47 hectares/índio 19 000
125 600 ⇒ r 5 200 m 3,14
4. A maior área possível formada por um quadrilátero é quando este for um quadrado. Portanto, o lado desse quadrado será 1 500 m e sua área: A 5 ,2 ⇒ A 5 1 5002 ⇒ A 5 2 250 000 m2 5. Para calcular a área basta calcular a área de dois triângulos, onde o primeiro tem base 3 e altura 2 e o segundo, base 3 e altura 4. 3?2 3?4 1 A 5 ⇒ A 5 9 2 2 Resposta: alternativa b. 6. Diferentemente dos “brancos” não há classes sociais entre os índios. Todos têm os mesmos direitos e também recebem o mesmo tratamento. Os índios costumam dividir a caça e a terra pertence a todos. Cada povo indígena possui sua crença, sua língua e suas tradições.
c
a
b) Como a reserva possui 12 vezes o tamanho de São Paulo, temos: 19 000 1 583 índios 12 2. 1 700 000 ? 10 000 m2 5 17 000 000 000 m2 Como 1 km2 5 1 000 000 m2, então: 17 000 000 000 m2 5 17 000 km2
hr r 3 eh5 2 2
Logo:
b 60 xV 5 5 30 m ⇒ x 5 30 m 2a 2
3. pr2 5 125 600 ⇒ r2 5
2 340 5 156° 15
2. b 5 3a Mas: b 5 a 1 ⇒ 3a 5 a 1 ⇒ 2a 5
Desafio em dupla
1. a)
2 340 13 ⇒ n 5 15 180
Resposta: alternativa b.
Resposta: alternativa b.
b 2
B
5.
▼
A ⇒ A 5 9 ? 250 000 ? 250 000 cm2 5 9
Atividades adicionais
15°
C
30° P
60° β
2
E 60°
A
α y
Q
β
45° x
D
Pela figura do quadrado acima, temos: a 1 15° 5 90° ⇒ a 5 75° a 1 60° 1 b 5 180° ⇒ b 5 45° Portanto, o triângulo QED é isósceles. , , Logo, tE D 5 tEQ 5 e h 1 5 diagonal de ABCD 5 2 2 . 2 2 Mas: 2 2 , 3 , , ,2 5 h2 1 ⇒ h ,2 ⇒ h 2 2 2
229
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 12 8. 180° 2 x 5 3x ⇒ x 5 45° 3x 5 135° Resposta: alternativa b.
Portanto: , 3 , 2 2 ⇒ , 2 2
4 2 3 1
Pelo QED, temos: 2
x y 90 ° 9. ⇒ x 5 70° e y 5 20° x y 50 ° Resposta: alternativa b.
2
, 2 , , x ⇒ x 2 2 2 2
Portanto: 4 2 3 1 2
x
4(1 2
? 2
4
3
3 1
?
1 1
4(1 3 1 3 3 3
)
10. x
R
)
R O
Logo, x 5 2( 3 2 1 ). Daí:
R
R
y 5 2 2 x ⇒ y 5 4 2 2 3
x
Portanto: ÁreaABQ 5
2(4 2 3 2
)
2pR 360 ° 2pR pR ⇒ x 5 ⇒ x 5 5 x 90 ° 4 2
4 2 3
Resposta: alternativa c.
Logo:
6. Seja P o ponto em que a bissetriz do ângulo reto encontra a hipotenusa. Se P pertence à bissetriz, então P equidista dos catetos. Seja d a distância de P aos catetos. Traçando-se por P as perpendiculares aos catetos, fica determinado um quadrado de lado d cuja diagonal é o comprimento da bissetriz. Então, sua medida é d 2 . Seja A um dos vértices do triângulo pertencentes à hipotenusa:
c
b
biss A
45°
d
pR p 2R 2 2 2 5 pR p
p 4 p 4 5 2 p 2p Resposta: alternativa d. 11.
d •
perímetrohachurada 2( x 2 R) 2p R perímetrocircunferência
T
c–d A
Temos: b B tg A c d tg A B c d
65°
25°
P
U
O
S
Logo: b d ⇒ bc 2 bd 5 cd ⇒ d(c 1 b) 5 bc ⇒ d 5 bc b 1 c c c d Então, o comprimento da bissetriz é igual a
2 bc . b 1 c
Resposta: alternativa d. 7.
A
x
Teorema da bissetriz interna: x y ⇒ 4x 5 3y (I) 5 2,1 2, 8 y
Como a soma dos lados é 14 cm, então: x 1 y 1 4,9 5 14 ⇒ x 5 9,1 2 y (II)
2,1
D
▼
4,9
C
2,8 ▼
B
De (I) e (II), vem:
12. D
B
60°
B
A
C
Do enunciado: b 1 90° 5 150° (DB BC) ⇒ b 5 60° Então o ABD é equilátero, pois BD 5 60°. Logo: 2a 1 90° 5 180° ⇒ a 5 45°
01) D
4(9,1 2 y) 5 3y ⇒ 36,4 2 4y 5 3y ⇒ ⇒ 7y 5 36,4 ⇒ y 5 5,2 x 5 9,1 2 5,2 5 3,9
Resposta: alternativa a.
No nOTU, temos: u 1 u 1 65° 5 180° ⇒ u 5 57,5° Resposta: alternativa d.
ADBC não é trapézio, pois não possui ângulos consecutivos que são suplementares, então 01 é falsa.
150° 105°
45°
C
230
Matemática Mas:
02) Verdadeira.
C
04) Verdadeira, m(CBAD) 5 a 1 b 5 105° 08) AADBC 5 AABD 1 AABC ⇒
√5 2
2
⇒ A ADBC
( AB ) ? 3 1 ? AB ? BC 4 2
1 ( AB)2 ( AB )2 ? 3 ( AB)2 4 2 4
(
3 2)
A
H
√3 2
Então, 08 é verdadeira.
√5 2
h
√3 2
B
No nBHC, temos: 13. Seja r o raio das circunferências menores. Então, a circunferência maior tem raio 3r, pois o seu centro coincide com o centro da circunferência menor que tangencia as outras três circunferências. A área da região a é pr . 2
9p r 2 3p r 2 p r 2 1 1 1 1 p( 3r )2 p r 2 p r 2 p r 2 3 3 2 2 3
100a vale : b
100p r 2 300 60 5 5p r 2 3 14. O terceiro lado deve ter medida entre a soma e a diferença das medidas dos outros lados: 722,x,712⇒5,x,9
6 2 m 5 25 6 m2 . 4
Logo, 100 ?
b MN ? h1 SMNDC 2 a MN ? h2 S ABNM 2 h1 h2 Então:
Portanto, 6 é a menor medida inteira. Resposta: alternativa d.
a b 2b a b 2 ?h a b 2 2 a b 2a a b 3a b a ?h 2 2 2 b
15.
M
SMNDC S ABMN
1 2
B
1 D
1 2 6 2 ? 3 ? 5 m 2 2 4
16. Temos que: AB DC a b MN 5 2 2 Mas:
5p r 2 3
Assim, o quociente
2
Então: AnABC 5
A área da região b é:
2
3 5 5 3 2 2 h 1 m 5 ⇒ h 5 2 ⇒ h 5 4 4 2 2 2 2
Resposta: alternativa c.
C 1 2
1
17. Numerando os quadrados e círculos, de dentro para fora, em ordem crescente, temos: • A 5 ,12 5 4 ⇒ ,15 2 1
√3
Ac 5 pr12 1
1
r1 5
2 2 1 5 2 ? diagonal do quadrado 1 ⇒ r1 5 2 2
Ac 5 2p 1
√2 A
1
1
• A 5 ,22 2
,2 5 2r1 5 2 2 A 5 ( 2 2 2
)2
⇒ A 5 8 2
Ac 5 pr22
No nBMC, temos:
2
1 5 1 m (BC)2 5 12 1 ⇒ (BC)2 5 1 1 ⇒ BC 5 2 4 2
1 diagonal do quadrado 2 2 2 diagonal 5 2 ,2 5 ,2 2 5 2 2 ? 2 5 4
No nADC, temos:
Então, r2 5 2.
2
r2 5
2
2
1 5 1 (AC)2 5 12 1 ⇒ (AC)2 5 1 1 ⇒ AC 5 m 2 4 2
Ac 5 pr22 ⇒ Ac 5 4p 2
• A 5 ,32 3
2
231
Manual Pedagógico do Professor • Capítulo 12 23. 180° 2 a 1 90° 1 180° 2 b 1 40° 5 360° ⇒ a 1 b 5 130° Resposta: alternativa d.
,3 5 2r2 5 2 ? 2 ⇒ ,3 5 4 A 5 42 ⇒ A 5 16 3
3
Ac 5 pr32 3
r3 5
24. x 1 90° 1 140° 1 180° 2 120° 5 360 ⇒ x 5 70° Resposta: alternativa e.
1 diagonal do quadrado 3 2
diagonal 5 2 ,32 5 ,3 2 5 4 2 3 Então, r3 5 2 2 .
Ac 5 pr32 ⇒ Ac 5 ( 2 2 3 3
25.
)2 ? p ⇒ Ac3 5 8p
Logo: Apedida 5 Ac 2 A 1 Ac 2 A 1 Ac 2 A 5 3
3
2
2
1
x 8
5 5 1 8 10 ⇒ x 5 5 2 15 3 3 15 172 82 Resposta: alternativa b.
26. Seja R o raio do círculo.
1
5 8p 2 16 1 4p 2 8 1 2p 2 4 5 (8 1 4 1 2)p 2 (16 1 8 1 4) 5
C
5 14p 2 14 ? 2 5 14(p 2 2) Fazendo p 5 3, temos A 5 14(3 2 2) 5 14 m2.
2R – 2
Q
Seja o arco )AB: a 5
18.
b 5 )AB.
r
O
AB e 2
2R 2
Resposta: alternativa d.
B
M
A
n 2 3n ⇒ n2 2 3n 2 198 5 0 2
r
C M
4
N
2
s 3
A
N
1
Aplicando uma relação métrica no nPTC, temos:
20.
T
1
2
12 5 2(2R 2 2) ⇒ 2R 2 2 5
5 (23)2 2 4 ? 1 ? (2198) 5 801 Como 801 não é um quadrado perfeito, não há n inteiro que satisfaça a equação. Então, a afirmação está correta. 2) Afirmação errada, pois como visto no item 1 há pelo menos um valor dos naturais que não é imagem de d(n). Se não há polígono com 99 diagonais, 99 não é imagem de d(n). 3) d(n 1 1) . 2d(n) • Se n 5 4: d(5) . 2d(4) ⇒ 5 . 2 ? 2 (certo) • Se n 5 5: d(6) . 2d(5) ⇒ 18 . 2 ? 5 (certo) • Se n 5 10: d(11) . 2d(10) ⇒ 44 . 2 ? 35 (errado) Portanto, a afirmação está errada. 4) Afirmação errada. Se uma função quadrática for alimentada com os termos de uma PA, ela resulta em uma PA de segunda ordem.
2
√5
Assim, b 5 2a.
19. 1) 99 5
P
1
Resposta: alternativa b.
t y
Resposta: alternativa a.
B
x√2
x x
x√2
x x
x√2
x√2 x
x√2 x√2 x
x√2
34 cm
x x
x√2
a) x 1 x 2 1 x 5 34 ⇒ x( 2 1 2 ) 5 34 ⇒ ⇒ x 5
34
(2 1
2)
?
(2 2 (2 2
2) 2)
⇒ x 5
34( 2 2 2 ) ⇒ 422
⇒ x 5 17( 2 2 2 ) ⇒ x 5 10,2 cm x?x x2 (10, 2 )2 5 5 ⇒ An 5 52,02 cm2 2 2 2
Por semelhança de triângulo: 4 2 ⇒ y 2 3
b) An 5
⇒ 20 5 2y ⇒ y 5 10 Então: 1 AABC 5 ? 10 ? 5 5 2 5 25 cm2
⇒ Aoctógono 5 947,92 cm2
21. Como comprimento e raio são ambos lineares, então eles variam com a mesma razão k. Resposta: alternativa b. 22. Resposta: alternativa e.
27.
1 5 5 ⇒ 2R 5 ⇒ R 5 cm 2 2 4
c) Aoctógono 5 Aquadrado 2 4Atriângulo ⇒ Aoctógono 5 342 2 4 ? 52,02 ⇒
28. x 1 y 5 180° 3y 5 360° ⇒ y 5 120° x 5 60° Resposta: alternativa e. 29.
x x y z x 360 ⇒ ⇒ x 5 36° 5 5 20 25 5 50 180° 2 36° 5 144° Resposta: alternativa a.
232
Matemática
30.
34.
E
A
x x+a
C
30° 45°
D
a A
1
B 1+b
D
b
B
C
nABC , nADE: 1 a ⇒ x 1 a 5 a 1 ab ⇒ x 5 ab 1 b x a
B e BC do quadri Como BD é diâmetro da circunferência, os ângulos A látero são retos, ou seja, o quadrilátero tem dois ângulos retos. Resposta: alternativa e.
J
Para refletir
y a+y
Página 411 Porque os lados correspondentes são proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes.
H
a F
b
G b+1
1
Página 423 • Metade da soma das medidas dos lados.
I
3
nFGH , nFIJ: a b a ⇒ ab 1 by 5 ab 1 a ⇒ y 5 a y b 1 b Resposta: alternativa a. 6?6 5 48 2 36 5 12 m2 31. Apasseio 5 Aret. 2 2 ? Atriâng. 5 6 ? 8 2 2 ? 2 Resposta: alternativa d. 32.
3, 3, , 2 2
• A
X Y Z 5 5 5 k ⇒ X 5 4k, Y 5 12k e Z 5 9k 4 12 9 Mas: X 1 Y 1 Z 5 360° ⇒ 4k 1 12k 1 9k 5 360° ⇒ 25k 5 360° ⇒ 360 5 14,4° ⇒ k 5 25 Logo: X 5 4k 5 4 ? 14,4° 5 57,6° 5 57°369 Y 5 12k 5 12 ? 14,4° 5 172,8° 5 172°489 Z 5 9k 5 9 ? 14,4° 5 129,6° 5 129°369 • Afirmação I: falsa, pois complemento de X: 32°249 e suplemento de Y: 7°129. • Afirmação II: falsa, pois Z . 30°, portanto não tem complemento. • Afirmação III: verdadeira. Resposta: alternativa c.
3
3, 3, 2, 2 2
3,4 ,2 3 16 4
Página 425 10 ,a 5 5,a A 5 2
Questões do Enem 2000 1. Associando os dados da tabela à figura, podemos concluir que: • Io corresponde ao satélite 2 cuja distância ao centro de Júpiter é a menor e, portanto, com menor período orbital. • Europa corresponde ao satélite 3. • Ganimedes corresponde ao satélite 1. • Calisto corresponde ao satélite 4. Portanto, os pontos 1, 2, 3 e 4 indicados na figura representam, respectivamente, a Ganimedes, Io, Europa e Calisto. Resposta: alternativa b. 2. De acordo com o enunciado, temos: 30 cm H
30 cm
33.
a
b
1,80 m
2H
a 30 cm
3H
b
30 cm c
x 0,5 m
c 30 cm
15 cm
15 cm 60 cm
10 m
Por semelhança: x 10 10 ? 180 , 5 36 m ⇒x5 5 180 , 0,5 0, 5 Resposta: alternativa d.
3, ,3 ? 2 8
a H 5 ⇒ a 5 3,75 cm 15 4H b 2H 5 ⇒ b 5 7,5 cm 15 4H c 3H 5 ⇒ c 5 11,25 cm 15 4H
4H
H: altura de um degrau
233
Manual Pedagógico do Professor • Questões do Enem Para obtermos o comprimento mínimo de madeira, é necessário somarmos as medidas de cada degrau. Assim: comprimento mínimo 5 30 1 30 1 2a 1 30 1 2b 1 30 1 2c 1 60 5 5 180 1 2 ? 3,75 1 2 ? 7,5 1 2 ? 11,25 5 225 cm Portanto, o comprimento mínimo deve ser de 225 cm. Resposta: alternativa d.
3. A variação de perda térmica mensal em espessura de paredes com 4 cm e 10 cm é dada por:
3. Analisando o gráfico podemos verificar que existem países com consumo de energia per capita de 1 TEP e de 5 TEP que apresentam aproximadamente o mesmo IDH, cerca de 0,7.
Portanto, a perda térmica em relação ao consumo total corresponde a uma porcentagem de 10%. Resposta: alternativa c.
Dperda térmica 5 35 kWh 2 15 kWh 5 20 kWh 20 kWh em relação a 200 kWh: 20 1 5 5 0,1 5 10% 200 10
1,0
2002
0,9
1. De acordo com a tabela, para a altura 1,59 m temos como peso ideal 58,0 kg. Logo, o atleta do enunciado apresenta 5 kg acima de seu peso ideal (63 2 58). Pelo gráfico, temos que, para um excesso de peso de 1 kg, em uma corrida de meia-maratona, o tempo perdido é de 0,67 min. Assim, para o excesso de 5 kg, temos 5 ? 0,67 min 5 3,35 min. Portanto, o atleta, em condições de peso ideal, teria melhorado seu tempo na prova em 3,35 min. Resposta: alternativa e.
0,8 0,7 IDH
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Consumo de energia per capita (TEP/ capital)
Resposta: alternativa d. 4. R(x) 5 kx(P 2 x) ⇒ R(x) 5 2kx2 1 kxP Como R(x) é uma função quadrática e 2k , 0, pois k . 0, então R(x) é representado graficamente por uma parábola com a concavidade para baixo. Resposta: alternativa e. X 2Y X 2Y 1 ⇒ 5. X Y 0, 6 ? 150 X Y 90 2 Substituindo X de 1 em 2 , temos: 2Y 1 Y 5 90 ⇒ Y 5 30 Portanto, o número esperado de carros roubados da marca Y é igual a 30. Resposta: alternativa b.
2. A afirmação I é correta, pois pelo gráfico verifica-se que a emissão de CO dos veículos a gasolina é maior durante o período de 1992-2000, visto que, a frota de veículos a gasolina sempre foi maior que a frota dos veículos a álcool. A afirmação II é correta, pois, devido ao aprimoramento tecnológico, o veículo a gasolina passou a poluir menos que o veículo a álcool, em meados de 1997. A afirmação III é falsa, pois representa a contradição da afirmação II. Resposta: alternativa b. 3. O gráfico apresenta a linha tracejada (gols marcados) acima da linha contínua (gols sofridos) em cinco datas, isso significa 5 vitórias. Logo, temos 5 ? 3 5 15 pontos. Os três empates são observados quando as linhas se encontram. Assim, temos 3 ? 1 5 3 pontos. O total de pontos acumulados é igual 15 1 3 5 18. Podemos resolver esse problema de outra maneira, veja: Resultados: 2 a 0 (3 pontos)
0a5
2001
1a4
2 a 1 (3 pontos)
1 a 0 (3 pontos)
1.
3 a 3 (1 ponto)
3 a 1 (3 pontos)
0 a 0 (1 ponto)
Idade (anos)
1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Variação anual de 0,6 0,9 1,3 1,2 1,0 0,9 0,8 0,7 0,4 peso (kg)
0,2
0,2
2 a 2 (1 ponto)
3 a 0 (3 pontos)
Total: 5 ? 3 1 3 ? 1 5 18 pontos Resposta: alternativa c.
0,2
De acordo com esses dados, a máxima variação é expressa por 1,3 kg, que corresponde às idades 3 e 4 anos. Logo, a pesca de pacu deve ser autorizada para espécimes com peso de 4 kg no mínimo. Resposta: alternativa a.
4. Para que não haja falhas, ou superposições de ladrilhos, a soma dos ângulos internos dos ladrilhos em torno do vértice comum deve ser igual a 360°. Sendo um dos ladrilhos octogonal, o outro tipo escolhido deverá ser um quadrado, pois 360° 5 135° 1 90° 1 135°. Resposta: alternativa b.
2. Pela análise do gráfico, de 1960 a 1980 o crescimento percentual de trabalhadores nos setores industrial/mineral e de serviços foi equivalente. Resposta: alternativa e.
5. Para IUV acima de 8, o valor de TES é de, no máximo, 20 minutos, ou 1 ainda, hora. Isso significa também que o TPD ocorre a partir desse 3 período.
234
Matemática Considerando o TPP num intervalo de 2 horas (12:00 às 14:00), temos: 2 horas 5 6 FPS 5 1 hora 3
2,5 ? 160 ? 106t 5 180 ? 109 ⇒ t 5
Resposta: alternativa b. 6. Do enunciado, temos: Se X encerra suas atividades, então: • 45 1 25 5 70 preferem Y a Z; • 30 preferem Z a Y. Se Y encerra suas atividades, então: • 45 preferem X a Z; • 25 1 30 5 55 preferem Z a X. Se Z encerra suas atividades, então: • 45 preferem X a Y; • 25 1 30 5 55 preferem Y a X. Portanto, a liderança de preferência nunca pertencerá ao posto X. Resposta: alternativa a. 7. No período de 1970 a 2050, a estimativa é que ocorra um aumento contínuo da população acima de 65 anos. Portanto, um título sugestivo seria “O Brasil de cabelos brancos”. Resposta: alternativa e. 8. Seja x a quantidade necessária de carvão: 1 kg
10 kWh
x
200 ? 1 06 kWh
Considerando t o tempo, em anos, necessários para o Brasil atingir os EUA, temos:
⇒
18000 18 ? 1010 5 5 2, 5 ? 16 ? 107 40
5 450 anos, ou, de acordo com as alternativas, aproximadamente 460 anos. Resposta: alternativa c.
2003 1. Seja x a eficiência, então x 5 x1 5
15 5 0,333 45
x2 5
10 1 5 5 0,250 40 4
x3 5
5 5 0,125 40
x4 5
10 5 0,500 20
x5 5
5 5 0,250 20
fluxo de saída . Logo: fluxo de entrada
Portanto, o sistema mais eficiente é o IV. Resposta: alternativa d. 2. Do enunciado, temos:
1 kg ? 200 ? 106 kWh ⇒ x 5 5 2 ? 107 kg 5 20 000 t 10 kWh
Á r e a ( km2 ) Tempo ( s ) 8 1022 8 1022 5 ⇒ ⇒ 6 6 x 32 ? 10 x 32 ? 10
Seja n o número de caminhões necessários para abastecer as termoelétricas:
⇒ x 5 4 ? 104 5 40 000 km2
1 ca min hão n
20000 ? 1 10 t ⇒ n 5 5 2 000 10 20000 t
Portanto, seriam necessários cerca de 2 000 caminhões de carvão para abastecer as termoelétricas. Resposta: alternativa d. P será 2 o número de mulheres e, também, o número de homens. Conforme a reportagem, o número de brasileiros que não sentem vontade de ter
9. Seja P a população em faixa etária sexualmente ativa. Assim,
relações é 0,35 ?
P P P 1 0,12 ? 5 0,47 ? 5 0,235P 5 23,5% de 2 2 2
P (aproximadamente 24%). Resposta: alternativa b. 10. C 2 622 32
M ⇒ C 2 622 5 32 M ⇒ 33 33
M M ⇒ C2 622 5 M ? ⇒ C 5 M 1 622 2 33 33 Resposta: alternativa a.
11. O Brasil só atingirá os EUA se emitir aproximadamente 180 bilhões de toneladas.
Resposta: alternativa e. 3. De acordo com o gráfico, a eficiência dos fogões a gás é, aproximadamente, 60%. Este resultado é duas vezes maior que a dos fogões a lenha, que é de aproximadamente 30%. Resposta: alternativa c. 4. Do enunciado, o número x pedido é: x 5 0,4 ?
30000 ? 7 ⇒ x 5 28 000 motoristas. 3
Resposta: alternativa b. 5. Se o passageiro tomar o ônibus às 8h 50min, a viagem durará 100 min, ou seja 1 h 40 min, e ele chegará ao ponto final exatamente às 10h 30min. Resposta: alternativa e. 6. Cálculo do tempo gasto por João para ir trabalhar: 20 ? 50 5 1 000 min. Cálculo do tempo gasto por Antônio para ir trabalhar: 20 ? 110 5 2 200 min. Logo, como o tempo gasto para voltar é o mesmo, temos que 2 200 2 1 000 5 1 200 min 5 20 h. Resposta: alternativa c.
235
Manual Pedagógico do Professor • Questões do Enem 7.
6. início 15,5 D 5%
31 cm
não
D 3%
não Escolher a cor azul
D 1,0%
15,5 10,5
sim
1,2%
10,5
Escrever “2· classe”
21 cm
Vamos então resolver a seguinte regra de três: Número de páginas
8 32
Área da folha inicial 21 3 31 ⇒ y
8 21 3 31 5 ⇒ y 5 42 3 62 32 y Resposta: alternativa d. ⇒
8. De acordo com o enunciado temos: • para completar 8 jogos, são necessários 2 dias; • para completar 4 jogos, é necessário 1 dia; • para completar 2 jogos, é necessário 1 dia; • para completar 1 jogo, é necessário 1 dia. Logo, são necessários 2 1 1 1 1 1 1 5 5 dias para se chegar ao campeão do torneio. Resposta: alternativa d. 9. Uma pessoa que tenha tomado três latas de cerveja deverá apresentar 3 ? 0,3 g/L 5 0,9 g/L de álcool no sangue. O que nos remete às linhas 2 e 3 da tabela. Resposta: alternativa a. 10. De acordo com o gráfico, verifica-se que a concentração máxima permitida por lei, que é de 0,6 g/L, começa a diminuir após três horas e após quatro horas e meia, respectivamente, para o indivíduo que bebeu após o jantar e para aquele que bebeu em jejum. Resposta: alternativa c.
2004
Logo, COR AZUL e classificação “2· classe”. Resposta: alternativa d. 7. Se x é o fator pelo qual os valores incorretos deveriam ser multiplicados, então: x 5
Resposta: alternativa c. 8. Cálculo de lipídeos recomendados: 200 ? Cálculo de lipídeos utilizados: 200 ? Logo: 70 . 0,54 130
• P2 está 75 cm acima do ponto P1; • P3 está 25 cm abaixo do ponto P2; • P4 está 55 cm acima do ponto P3. Logo, o esboço do perfil do terreno é: h (cm)
100
2. A participação das mulheres vem crescendo desde 1984, enquanto a participação dos homens praticamente não se alterou. Resposta: alternativa e.
20
5. No primeiro mês o salário seria: 300 1 0,5 ? 500 ? 1,4 5 R$ 650,00. No segundo mês o salário seria: 300 1 0,5 ? 1 400 5 R$ 1 000,00. Resposta: alternativa c.
35 5 70 g 100
9. Observando a tabela, concluímos que:
80
4. A partir do gráfico podemos concluir que: • a produção de alimentos básicos praticamente não se alterou; • a produção de soja teve significativo aumento; • o milho teve maiores oscilações, mas com aumento mais significativo. Resposta: alternativa a.
65 5 130 g 100
Resposta: alternativa c.
1 1. EUA, Rússia e China conquistaram 100 medalhas, ou seja, do total 3 distribuído. Resposta: alternativa b.
3. O número de voltas é: 900 ° 5 2,5 (duas voltas e meia) 360 ° Resposta: alternativa d.
12, 80 5 0,70 18, 20
60 40
0
P1
P2
P3
P4
Resposta: alternativa a. 10. Os raios são: • tampa grande: 1 m 1 • tampa média: m 2 1 • tampa pequena: m 4 Cálculo das sobras de material: • tampa grande: 4 2 π ? 12 5 (4 2 π) m2 2
1 • tampa média: 4 2 4 ? π ? 5 (4 2 π) m2 2 2
1 • tampa pequena: 4 2 16 ? π ? 5 (4 2 π) m2 4 Logo, as entidades recebem quantidades iguais de material. Resposta: alternativa e.
236
Matemática
11. De acordo com o enunciado temos que: • X teria, no mínimo, 33% dos votos; • Y teria, no mínimo, 30% dos votos; • Z teria, no máximo, 34% dos votos. Logo, Z poderia vencer com uma diferença de, no máximo 1% sobre X. Resposta: alternativa d. 12. A família de renda R$ 400,00 gasta
14. De acordo com o enunciado temos: L
6000 ? 1,10 5 R$ 550,00 12
Então, o investimento será recuperado em
D
C
x E x
x
A 20
F
20
40 – x B
Seja x a distância da estação central E às estações A e B e à estrada reta que liga as estações C e D, então: No nAFE, temos: x2 5 202 1 (40 2 x)2 ⇒ x 5 25 km Resposta: alternativa c. 5. A espécie I é mais sensível aos poluentes, servindo como indicadora de poluição. Resposta: alternativa a.
? 100
n
L ? 100
2000
20
20
400
2001
40
16
640
10 ?
2002
45
12
540
Resposta: alternativa b.
2003
40
10
400
n
Logo, em 2001 ocorreu o maior lucro. Resposta: alternativa b. 15. Pedro Álvares Cabral chegou ao Brasil há aproximadamente 500 anos. Assim: 500 1 31 ? 24 horas . 1023 horas 5 meses 5 375 ? 106 75 ? 104 75 ? 104 Logo, ele chegou na noite do dia 31 de dezembro. Resposta: alternativa e.
6. De acordo com o enunciado, podemos concluir que o custo do revestimento será: 40 160 1 8 ? 5 R$ 8,40 200 200
7. Observando o gráfico, temos: • área preservada da mata Atlântica: 33,3 mil km2 no período de 1990-1992; • área preservada da mata Atlântica: 34,6 mil km2 nos anos 2000 e 2001. Logo, a área preservada é maior em 2000-2001. Resposta: alternativa e. 8. De acordo com o enunciado temos que: 5?155
2005
8 ? 2 5 16
1. A época em que o real esteve mais desvalorizado em relação ao dólar foi no final de 2002. Resposta: alternativa b.
6?156
2. A porcentagem de água na amostra é: 200 – 80 ? 100% 5 60% (tecido conjuntivo) 200 Resposta: alternativa d.
3000 . 4 meses. 770
Resposta: alternativa b. 4.
13. Sejam: • V o volume de álcool; • v o volume de gasolina; • P o preço do litro da gasolina; • k a quilometragem com gasolina. Então, o carro gasta com gasolina: v x 10 5 ⇒ V 5 V 10 X 10v Logo, ? P. X De acordo com o enunciado devemos ter: 10v 10 ? P . v ? P ? 0,7 ⇒ . 0,7 ⇒ 10 . 0,7x ⇒ 0,7x , 10 ⇒ X X ⇒ x , 14,28 Assim, o veículo rodaria cerca de 14 km. Resposta: alternativa c.
6000 ? 2,20 5 R$ 1 320,00 10
Logo, o taxista economiza 1 320 2 550 5 R$ 770,00 por mês.
9 ? 6 000 5 R$ 540,00. 100
Logo,
Ano
Custo com GNV:
33 ? 400 5 R$ 132,00. 100
A família de renda R$ 6 000,00 gasta 540 . 4. 132 Resposta: alternativa b.
3. Custo com gasolina:
4?258 2?152 5 1 (16 1 1) 1 6 1 8 1 2 5 38 Logo, o resto da divisão de 38 por 10 é 8. Resposta: alternativa e.
237
Manual Pedagógico do Professor • Questões do Enem
2006
3.
1. As projeções para 2050 são: • Índia crescerá 56%; • China crescerá 14,6%; • EUA crescerá 40%; • Indonésia crescerá 46,7%; • Paquistão crescerá mais de 100%; • Brasil crescerá menos de 100%. Resposta: alternativa d. 2. 1 572 ? 1,56 5 2 452,32 milhões de habitantes Resposta: alternativa e. 3. Nos meses de abril, agosto e novembro a meta para 2005 foi atingida, pois as inclinações foram maiores que a inclinação verificada em 2004. Resposta: alternativa d. 4. As razões são Logo:
6 11 17 21 24 , , , e . 100 200 300 400 482
24 5 , ⇒ 2 400 , 2 410 482 100
Portanto, a fração menor que 5% é
24 . 482
Resposta: alternativa e. 5. As inflações acumuladas em 12 meses são: • Brasil: 2,57% • EUA: 3,55% Logo, o título deveria ser: “Brasil: inflação acumulada em 12 meses menor que a dos EUA”. Resposta: alternativa a. 6. De acordo com o gráfico as afirmações II e III são verdadeiras. Resposta: alternativa e.
2007 1. 12h ⇒ x x 13h ⇒ ⇒ 50% 2 13h 30min ⇒ ? x 14h ⇒ ⇒ 25% 4 Logo, às 13h 30min,
38 962 5 0,66 ⇒ redução de 33%. 58 604 x 5 0,66 ⇒ x 5 25 714,92 (maior que 20 000) 38 962 Resposta: alternativa e.
2008 1. Repare, observando o gráfico, que: a) é falso, pois o maior desmatamento ocorreu em 1995. b) é falso, pois a área desmatada foi menor em 2007 que em 1997. c) é falso, pois a área desmatada a cada ano entre 1998 e 2001 não se manteve constante. d) é correta, pois se a área desmatada em 1997 é menor que em 1994, e a de 1998 menor que a de 1995, podemos afirmar que a área desmatada por ano foi realmente maior entre 1994 e 1995 do que entre 1997 e 1998. e) é falso, pois a área desmatada em 1992, 1993 e 1994 são todas menores que 20 000 km2, portanto não podem somar 60 000 km2. Resposta: alternativa d. 2. Amapá, no fuso 3 a oeste, perde 3 h em relação a Greenwich. Pequim, no fuso 8 a leste, ganha 8 h em relação a Greenwich; desta forma, a diferença de horário é de 8 2 (23) 5 11 h [a menos]. Desta forma, basta retirarmos 11 h de 20h 8min do dia 8 de agosto, obtendo 9h 8min, do dia 8 de agosto. Resposta: alternativa a. 3. O acréscimo de energia de 1975 a 2005 foi de 375 2 70 5 305 GWh. Assim, mantendo-se essa mesma tendência, bastaria acrescentar 305 GWh ao valor de 2005, obtendo 375 1 305 5 680 GWh. Resposta: alternativa c. 4. Sendo x o número de dias em atraso e, considerando que ele não pode ser zero, temos que o valor M(x) em atraso é composto pelos R$ 500,00 originais, mais a multa de R$ 10,00 e mais R$ 0,40 por dia de atraso. Assim, M(x) 5 500 1 10 1 0,40x 5 510 1 0,4x. Resposta: alternativa c. 5. Vejamos cada uma das opções apresentadas: a) Falso, pois carroça andar 10 km em 2 semanas e meia é irreal. (A velocidade dela seria algo em torno de 0,02 km/h, ou seja, 20 m/h.)
50 25 75 5 37,5%, ou aproximada 2 2
mente 35%. Resposta: alternativa d.
2. Se o corta-cana ganha R$ 2,50 por tonelada cortada, e ele corta atualmente 8 toneladas de cana por dia, então sua renda diária será de 2,50 ? 8 5 R$ 20,00. E se o preço do álcool é R$ 1,20 por litro, e 1 tonelada equivale a 100 litros, então as 8 toneladas diárias equivalem a 800 litros de álcool, cujo preço seria 1,20 ? 800 5 R$ 960,00. Como o corta-cana ganha R$ 20,00 por dia, ele obterá o necessário 960 5 48 dias. para comprar os 800 , de álcool em 20 Resposta: alternativa d.
b) Falso, pois carro andar 10 km em 2 dias e meio é muito irreal. (A velocidade dele seria algo em torno de 0,16 km/h.) c) Verdadeiro, pois uma pessoa andar 10 km em 2 horas e meia é bem razoável. (A velocidade dela seria algo em torno de 4 km/h.) d) Falso, pois bicicleta andar 10 km em 2 minutos e meio é muito irreal. (A velocidade dela seria algo em torno de 240 km/h.) e) Falso, pois avião andar 10 km em 2 segundos e meio é muito irreal. (A velocidade dele seria algo em torno de 14 400 km/h.) Resposta: alternativa c. 6. De acordo com o texto, para marcar 25 talhas seria necessário usar os 5 dedos da mão esquerda uma única vez. Resposta: alternativa d.
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Matemática
7. Pelo processo descrito, cada triângulo escuro da figura N dará origem a 3 escuros e um claro na figura N 1 1. Assim, a figura 4 será exatamente como mostrado na figura da alternativa c. Resposta: alternativa c.
tg 30° 5
x x ⇒ 0,58 5 ⇒ x 5 1,16 2 2
Área do terreno de João: Isso equivale a
2009
1 ? 2 ? 1,16 5 1,16 km2 2
1,16 5 0,193 0,19 5 19%. 6
Resposta: alternativa e.
1. Vc 5 2 000 ? 15 5 30 000 Acréscimo de 10%: 30 000 ? 1,1 5 33 000 m3 Como cada 1 mm de chuva produz 1 ,/m2, 110 mm produzem 110 ,/m2. 33 000 5 300 m2 de telhado. Assim, precisamos de 110 Resposta: alternativa b. 2. 36 m 5 3 600 cm
3 600 5 24 cm. 150 Adicionando as duas margens, temos 26 cm.
Na escala 1 : 150, 3 600 cm são
28,5 m 5 2 850 cm
2 850 5 19 cm. Na escala 1 : 150, 2 850 cm são 150 Adicionando as duas margens, temos 21 cm.
8. Pelo padrão apresentado, aparentemente a melhor opção é a c, pois a peça 2 parece ter uma das “cores” (padrão de cinza, no caso) que combina com a da peça à direita do espaço mostrado. Resposta: alternativa c. 9. De acordo com o texto, se o tamanho da frota não mudou, uma alteração no índice de produtividade depende apenas de uma alteração proporcional no número de passageiros. Do gráfico, obtemos que o índice de abril de 2001 foi 400, e o de 441 5 1,1] . outubro de 2008 foi 441, cerca de 10% maior [ 400 Assim, podemos calcular o número de passageiros em outubro de 2008 como sendo 10% maior que o de abril de 2001: 1,1 ? 321,9 1,1 ? 322 5 354,2 355 Resposta: alternativa a.
Resposta: alternativa d. 3 3 3. 8 compassos de exigem uma soma das durações de 8 3 5 6. 4 4 1 5 3] e 12 semíni Isso pode ser obtido com 24 colcheias [24 3 8 1 5 3] , pois teremos 3 1 3 5 6. mas [12 3 4 Resposta: alternativa d. 4. Em 2030, x 5 30 e y 5 363e0,03 ? 30 5 363e0,9 5 363 ? (e0,3)3 5 5 363 ? 1,353 ? 2 893. Resposta: alternativa e. 5. 150 imagens de 2 megapixels equivalem a 300 megapixels, ou seja, 300 milhões de pixels, que equivalem a 300 3 3 5 900 milhões de bytes. Comprimindo 95%, sobram 5%: 0,05 ? 900 ? 106 5 45 ? 106 bytes 5 5 45 MB. Isso pode ser melhor armazenado no cartão de memória de 64 MB. Resposta: alternativa e. 6. O gráfico mostra que há relação entre as grandezas, porém não há proporcionalidade. Resposta: alternativa e. 7. A parte de João é um triângulo retângulo de 30° (terça parte do ângulo reto). x
2 30°
10. Em cada uma das 3 séries nos 6 aparelhos (18 séries, portanto) Joana demora 60 segundos para iniciar e 30 para completar o exercício. Ou seja, em cada uma das 18 séries ela leva um total de 90 segundos, ou seja, 1,5 minuto. O programa completo de exercícios de Joana demoraria: 10 1 18 ? 1,5 5 37 min. Se Joana começou os exercícios às 10h 30min e terminou às 11h 07min, pelos cálculos prevemos que ela conseguiu fazer toda a série programada. Resposta: alternativa b. 11. A única maneira de resolver essa questão com os dados apresentados é desprezando o detalhe crucial de que não se deve comparar dinheiro em épocas diferentes (R$ 100,00 hoje é diferente de R$ 100,00 daqui a 18 meses). Dito isso, temos as seguintes quantias totais referentes a cada opção: a) 18 ? 125 5 2 250 b) Para quitar imediatamente as dívidas, João gastaria: 10 ? 150 5 R$ 1 500,00, referentes à dívida do cheque especial; 0,75 ? 5 ? 80 5 R$ 300,00, referentes à dívida do cartão de crédito. José lhe emprestaria os 1 800 (1 500 1 300), cobrando 25% de juros. Portanto, o montante seria 1,25 ? 1 800 5 2 250. c) 12 ? 150 1 5 ? 80 5 2 200 d) 1,25 ? 1 500 1 5 ? 80 5 2 275 e) 12 ? 150 1 1,25 ? 300 5 2 175 Assim, comparando apenas esses valores, o menor é o da alternativa e. Resposta: alternativa e. 12. De acordo com o texto, de junho a dezembro de 2009 será importado 7 7 de 9 milhões de m3 a US$ 340,00 o m3 e exportando de 5 5 11 milhões de m3 a US$ 230,00 o m3. Assim, a diferença referente aos meses de junho a dezembro será:
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Manual Pedagógico do Professor • Questões do Enem 7 7 ? 9 ? 106 ? 340 2 ? 11 ? 106 ? 230 5 4 284 ? 106 2 3 542 ? 106 5 5 5 5 742 milhões de dólares Adicionando-se os 600 milhões apurados de janeiro a maio (2,84 bilhões de dólares 2 2,24 bilhões de dólares 5 0,6 bilhão de dólares 5 600 milhões de dólares), temos um total de 742 1 600 5 1 342 milhões de dólares 5 1,34 bilhão de dólares. Resposta: alternativa c.
17. d1 5 1 ? 10 1 2 ? 9 1 3 ? 8 1 4 ? 7 1 5 ? 6 1 6 ? 5 1 7 ? 4 1 1 8 ? 3 1 9 ? 2 5 210 Dividindo-se 210 por 11, obtém-se resto 1, portanto d1 5 0. d1 5 2 ? 10 1 3 ? 9 1 4 ? 8 1 5 ? 7 1 6 ? 6 1 7 ? 5 1 8 ? 4 1 1 9 ? 3 1 0 ? 2 5 244 Dividindo-se 244 por 11, obtém-se resto 2, portanto d1 1 11 2 2 5 9. Assim, d15 0 e d2 5 9. Resposta: alternativa a.
13. Tomando o valor de AB como unidade padrão, a área atual da resi1 2 1 ] 5 5 0,04 e a área total do terreno é de 1 ? 2 5 2. 5 25 0,004 5 0,02 5 2%. Comparando 0,04 com 2, temos: 2
dência é [
Então, a área atual da residência ocupa 2% do terreno. De acordo com o texto, o máximo permitido para a residência é 6% do terreno. Assim, para se chegar em 6%, bastaria triplicar os atuais 2%. Resposta: alternativa c. 14. 1,04 ? 23 020 ? 103 5 23 940,8 ? 103 5 23 940 800
18. 16 voltas 5 16 ? 7 km 5 0,75 ? 16 ? 7 litros 5 750 ? 0,75 ? 16 ? 7 g 5 5 63 000 g 5 63 kg Assim, o peso mínimo será 63 1 605 5 668 kg. Resposta: alternativa b. 19. Aquífero: 30 ? 103 km3 5 30 ? 103 (103 m)3 5 30 ? 103 ? 109 m3 5 5 30 ? 103 ? 109 ? 103 5 30 ? 1015 litros Reservatório: 20 ? 106 litros Comparando o aquífero com o reservatório, temos:
Resposta: alternativa d. 15. O percurso mínimo de X a Y é o mostrado abaixo:
30 ? 1015 5 1,5 ? 109 20 ? 106 Resposta: alternativa e.
t
20. Pela tabela, percebe-se que a cada 5 bolas, o nível da água aumenta t
t
t
t
t
bola é 6,35 2 0,35 5 6 cm.
t
t
t
t
t
t
t
t
t
0,35 cm. Desta forma, temos um aumento de 0,07 cm por bola. Como o nível de água com 5 bolas é 6,35 cm, então, com nenhuma
t t
X
Y
t
t
t
t
t
t
t
t
t
São 5 quarteirões de 200 m, totalizando 1 000 m 5 1 km. A 40 km/h, 1 de hora para percorrer 1 km. demora-se 40 1 1 Assim, são [ ] horas 5 60 ? [ ] minutos 5 1,5 minuto. 40 40 Resposta: alternativa d.
Desta forma, a expressão algébrica que permite calcular o nível da água ( y) em função do número de bolas (x) é y 5 0,07x 1 6. Resposta: alternativa e. 21. Com os R$ 7,00 das 55 pessoas, cobre-se 7 ? 55 5 385 dos R$ 510,00 que faltavam anteriormente. O restante, R$ 125,00, equivale ao que os novos 5 tiveram que pagar para equalizar os pagamentos com os outros 50. Dividindo-se 125 por 5, temos 25 como o valor da cota inicial, e daí conclui-se que a cota final foi de 25 1 7 5 32 reais. Outra resolução
16. Área do campo de futebol, em km2: 0,12 km 3 0,09 km 5 0,0108 km2 O bioma Pantanal tem 150 355 km2.
Sendo x o valor inicialmente calculado para a cota:
150 355 15 ? 104 5 5 13,6 ? 106 campos. Assim, caberiam 0,0108 1,1 ? 1022
⇒ 5x 5 125 ⇒ x 5 25
Resposta: alternativa e.
50x 1 510 5 55 ? (x 1 7) ⇒ 50x 1 510 5 55x 1 385 ⇒ A nova cota é x 1 7, portanto, 32 reais. Resposta: alternativa d.
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