Livro Matemática Completa da editora FTD, na versão de degustação como Manual do Professor...
Se o penhor dessa igualdade Conseguimos conquistar com braço forte, Em teu seio, ó Liberdade, Desafia o nosso peito a própria morte!
Do que a terra mais garrida Teus risonhos, lindos campos têm mais flores; “Nossos bosques têm mais vida”, “Nossa vida” no teu seio “mais amores”. Ó Pátria amada, Idolatrada, Salve! Salve!
Ó Pátria amada, Idolatrada, Salve! Salve! Brasil, um sonho intenso, um raio vívido De amor e de esperança à terra desce, Se em teu formoso céu, risonho e límpido, A imagem do Cruzeiro resplandece.
Brasil, de amor eterno seja símbolo O lábaro que ostentas estrelado, E diga o verde-louro desta flâmula - Paz no futuro e glória no passado.
Gigante pela própria natureza, És belo, és forte, impávido colosso, E o teu futuro espelha essa grandeza.
Mas, se ergues da justiça a clava forte, Verás que um filho teu não foge à luta, Nem teme, quem te adora, a própria morte. Terra adorada, Entre outras mil, És tu, Brasil, Ó Pátria amada!
Terra adorada, Entre outras mil, És tu, Brasil, Ó Pátria amada!
Dos filhos deste solo és mãe gentil, Pátria amada, Brasil!
Dos filhos deste solo és mãe gentil, Pátria amada, Brasil!
ISBN 978-85-322-8492-1
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788532 284921
MATEMÁTICA COMPLETA ensino médio
GIO bo VA pa nj NNI ul or no Jr o . câ m ar a
Deitado eternamente em berço esplêndido, Ao som do mar e à luz do céu profundo, Fulguras, ó Brasil, florão da América, Iluminado ao sol do Novo Mundo!
MATEMÁTICA
Ouviram do Ipiranga as margens plácidas De um povo heroico o brado retumbante, E o sol da Liberdade, em raios fúlgidos, Brilhou no céu da Pátria nesse instante.
Matemática Completa
Letra: Joaquim Osório Duque Estrada Música: Francisco Manuel da Silva
componente curricular:
ensino médio
M pr an of ua es l so do r
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HINO NACIONAL
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componente curricular:
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA COMPLETA ENSINO MÉDIO
José Ruy Giovanni Jr. Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo – USP. Professor de Matemática em escolas do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1985.
José Roberto Bonjorno Bacharel e licenciado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP. Professor de Matemática e Física em escolas do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1973.
Paulo Roberto Câmara de Sousa Mestre em Educação pela Universidade Federal da Paraíba – UFPB. Especialização em Educação Matemática pela Universidade Federal Rural de Pernambuco – UFRPE. Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Pernambuco – UFPE. Professor de Matemática do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1974. Professor de programas de formação continuada e pós-graduação desde 1990. componente curricular:
MATEMÁTICA
MANUAL DO PROFESSOR
3a edição São Paulo, 2013
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Matemática Completa Copyright © José Ruy Giovanni Jr., José Roberto Bonjorno e Paulo Roberto Câmara de Sousa, 2013 Todos os direitos reservados à
Editora FTD S.A. Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo – SP CEP 01326-010 – Tel. (0-XX-11) 3598-6000 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 Internet: www.ftd.com.br E-mail:
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Diretora editorial Silmara Sapiense Vespasiano Editora Juliane Matsubara Barroso Editora adjunta Flávia Renata P. de Almeida Fugita Editores assistentes Dario Martins de Oliveira Kátia Takahashi Assistentes de produção Ana Paula Iazzetto Lilia Pires Assistente editorial Gislene Aparecida Benedito Supervisora de preparação e revisão de textos Sandra Lia Farah Preparadores Amanda Lenharo di Santis José Alessandre da Silva Neto Revisores Carina de Luca Daniella Haidar Pacifico Desirée Araújo S. Aguiar Francisca M. Lourenço Giseli Aparecida Gobbo Júlia Siqueira e Mello Juliana Cristine Folli Simões Juliana Rochetto Costa Lilian Vismari Carvalho Maiara Andréa Alves Pedro Henrique Fandi Operadora de editoração eletrônica Gislene Aparecida Benedito Coordenador de produção editorial Caio Leandro Rios Editor de arte Fabiano dos Santos Mariano Projeto gráfico e capa Fabiano dos Santos Mariano Ilustrações que acompanham o projeto Editoria de Arte Fotos da capa Haveseen/Shutterstock/Glow Images Filip Fuxa/Shutterstock/Glow Images Chistian Delbert/Shutterstock/Glow Images Iconografia Supervisora Célia Rosa Pesquisador(es) Dulce Plaça Eliana Almeida Nelson Molinari Jr. Editoração eletrônica Diagramação Setup Bureau Tratamento de imagens Ana Isabela Pithan Maraschin Eziquiel Rachetti Vânia Aparecida Maia de Oliveira Gerente executivo do parque gráfico Reginaldo Soares Damasceno
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Giovanni Júnior, José Ruy Matemática completa : 2o ano / José Ruy Giovanni Jr., José Roberto Bonjorno, Paulo Roberto Câmara de Sousa . -- 3. ed. -São Paulo : FTD, 2013. Componente curricular: Matemática ISBN 978-85-322-8491-4 (aluno) ISBN 978-85-322-8492-1 (professor) 1. Matemática (Ensino médio) I. Bonjorno, José Roberto. II. Sousa, Paulo Roberto Câmara de. III. Título. 13-03934 CDD-510.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino médio 510.7
Apresentação Esta coleção do Ensino Médio tem como objetivo auxiliar e estimular você a compreender a Matemática e sua presença dinâmica no dia a dia. Após cada conceito, na intenção de ampliar, aprofundar e integrar os conhecimentos adquiridos, os volumes destacam exemplos que analisam a resolução de atividades e oferecem vasta gama de exercícios, nos quais você pode priorizar a compreensão e aplicação do conteúdo abordado. Paralelamente aos contextos matemáticos específicos, a coleção propõe a leitura e interpretação de textos que buscam aguçar sua curiosidade e levá-lo(a) a refletir sobre a realidade socioeconômica atual e seu comprometimento em relação à cidadania e à sustentabilidade ambiental. Além de primordiais para o prosseguimento educacional nesse período, esses aspectos também são fundamentais para a formação humana contemporânea. Os Autores
Conheça o seu livro Trigonometria no ciclo
CAPÍTULO
Fotos: Fabio Colombini
1
Abertura de capítulo Apresenta um tema relacionado ao conteúdo matemático que será desenvolvido no capítulo. Este tema voltará a ser abordado na seção Retomando e pesquisando.
AQUI TEM MATEMÁTICA Quase três quartos da superfície do planeta Terra são cobertos pela água dos mares e oceanos. A força gravitacional entre a Lua e a Terra provoca nessa massa um movimento que altera o nível da água no litoral ao longo do dia. Esse fenômeno é chamado de maré. Na maré alta, a água avança sobre o litoral. Na maré baixa, ela recua. Esse ciclo se repete a cada seis horas, aproximadamente. Esse fenômeno periódico pode ser modelado por uma função trigonométrica. Neste capítulo, você vai estudar conteúdos relacionados à Trigonometria, entre eles as funções seno, cosseno e tangente. Saco do Mamanguá, maré alta. Paraty, RJ, 2007.
Saco do Mamanguá, maré baixa. Paraty, RJ, 2007.
8 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo
Trigonometria no ciclo
No início de cada capítulo, é apresentada uma relação dos conteúdos que serão trabalhados.
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Matrizes são tabelas retangulares utilizadas para organizar dados numéricos. Nas matrizes, cada número é chamado elemento da matriz. As filas horizontais são denominadas linhas e as filas verticais são chamadas colunas. Observe a matriz a seguir:
Este boxe apresenta textos que exploram a relação entre a Matemática e outras áreas, ou entre conceitos da própria Matemática.
10 8 9 10 8 9 4 5 6 4 5 6 ou 5 7 10 5 7 10 12 11 6 12 11 6
4 5 1 2 matriz 1 3 Essa matriz tem uma só linha. Dizemos que é uma matriz linha.
1 matriz 2 1 7
Essa matriz tem uma só coluna. Dizemos que é uma matriz coluna. 0 0 0 matriz 3 2 0 0 Como todos os elementos dessa matriz são iguais a zero, dizemos que é uma matriz nula. Em geral, indicamos a matriz nula por 0, sem mencionarmos o tipo da matriz. Numa matriz, cada número ocupa uma posição definida por sua linha e por sua coluna, nessa ordem. 0
1a coluna 2a coluna 3a coluna
10 8 9 4 5 6 5 7 10 12 11 6
1a linha 2a linha 3a linha 4a linha
Representação genérica De modo geral, uma matriz A de m linhas e n colunas (m n), ou seja, uma matriz Am × n, é indicada assim: a11 … a13 a1n a12 … a22 a23 a2n a21 Am × n a31 … a32 a33 a3n com m, n N* am2 am3 … amn am1 Em uma matriz A, a32 representa o elemento da 3a linha e da 2a coluna, enquanto a23 representa o elemento da 2a linha e da 3a coluna. Abreviadamente, a matriz genérica A pode ser representada assim: A m n [aij]m n
ou
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Estabelecendo conexões
1 Conceito de matriz
Nesse exemplo, a matriz tem 4 linhas e 3 colunas. Dizemos que essa é uma matriz do tipo 4 3 (4 linhas e 3 colunas). Lê-se: quatro por três. Vejamos outros exemplos: 2 3 1 matriz 2 3 7 6 8
Capítulo 1
A m n (aij)m n
Nessa expressão, i assume valores no conjunto {1, 2, 3, ..., m} e j assume valores no conjunto {1, 2, 3, ..., n}.
60 Capítulo 2 Matrizes
Observação: Uma amostra para representar bem uma população, deve propiciar semelhança com aquilo que distingue a população a ser observada, isto é, deve ter “a cara da população”. Para estudar o aproveitamento do aprendizado dos alunos do Ensino Médio de uma cidade, por exemplo, convém entrevistar não apenas os alunos do 3o ano ou não somente os alunos de uma única escola dessa cidade, ou seja, é necessário diversificar a composição da amostra.
Estabelecendo conexões Inferência e publicidade Inferir significa deduzir por meio de raciocínio, delimitar com base em conclusão ou consequência. Em Estatística, inferência é um ramo que estuda técnicas que possibilitam a extrapolação, a um grande conjunto de dados, de informações e conclusões que são elaboradas com base na análise de subconjuntos, geralmente de tamanho muito menor. Empregando a linguagem vista neste capítulo, podemos dizer que a inferência estatística visa estudar a população com base na amostra. Essa ideia ocorre no dia a dia, por exemplo, quando se experimenta uma pequena quantidade de um alimento para verificar se ele está ou não totalmente quente, ou então quando o vendedor oferece uma laranja ao comprador para que ele decida se vai ou não comprar.
Ícone calculadora Os exercícios com este ícone trabalham o uso da calculadora para resolver a atividade.
Ícone Desafio Os exercícios com este ícone apresentam uma ampliação da análise e aplicação do conteúdo estudado.
É evidente que tal analogia transmite uma visão simplista de inferência. Há outros exemplos de aplicação, bem mais complexos, como a inferência usada nas pesquisas para o mercado publicitário ou nas pesquisas eleitorais. No Brasil, as pesquisas eleitorais, em geral, são feitas por empresas ligadas à Associação Brasileira de Empresas de Pesquisa (Abep) e, além de registradas em órgãos governamentais, precisam informar, entre outras coisas, as técnicas e os controles de qualidade realizados. Em uma pesquisa, um aspecto importante refere-se à coleta da amostra. Na escolha de uma amostra, é necessária uma quantidade de informações que, de acordo com as técnicas desenvolvidas, determinarão o quanto a inferência pode vir a se concretizar, ou seja, qual é a margem de confiança da pesquisa. Para um alto grau de confiança, as amostras devem ser rigorosamente representativas da população em estudo, selecionadas por meio de critérios estatísticos – quotas proporcionais de sexo, idade, grau de instrução e setor de dependência econômica, por exemplo – e com base nas fontes oficiais de dados do país, como o Tribunal Regional Eleitoral (TRE), o Tribunal Superior Eleitoral (TSE) e o já citado IBGE. Fontes de pesquisa: MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antonio C. P. de. Noções de probabilidade e estatística. Edusp: São Paulo, 2013; ABEP. Disponível em: . Acesso em: 4 fev. 2013.
FAÇA NOO CADERN
Atividade
A Câmara Internacional de Comércio (ICC, na sigla em inglês) e a Sociedade Europeia para Pesquisa de Opinião e Mercado (Esomar, na sigla em inglês), criaram o Código Internacional ICC/Esomar. Consulte-o no site e responda: a) Quais são os direitos de uma pessoa entrevistada em uma pesquisa de mercado? b) Que providência um pesquisador deve tomar para entrevistar uma criança ou um menor de idade?
270 Capítulo 8 Noções de Estatística
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Conteúdos apresentados neste capítulo
entados neste Conteúdos apres capítulo: iz Conceito de matr rada Matriz quad izes Igualdade de matr de matrizes Adição e subtração de um número Multiplicação iz real por uma matr de matrizes Multiplicação matriz Inversa de uma
Os ícones abaixo indicam pontos onde você encontra material complementar no livro digital. Clique em cada um deles para ter acesso.
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Acompanhe como usar uma planilha eletrônica para resolver problemas de Probabilidade. Siga o roteiro: Abra uma planilha no Libre Office e nomeie-a de Probabilidade. Em Inserir Função, a categoria Estatística possui uma fórmula que permite simular um grande nú-
mero de lançamento de moedas ou dados. Trata-se da função: DISTRBINOM (distribuição binomial).
Professor, você encontrará mais informações sobre esse material nas Orientações do livro digital para o Professor.
A sintaxe dessa função é: DISTRBINOM: X: número de sucessos em uma série de tentativas. Tentativas: o número total de tentativas. PS: a probabilidade de sucesso em uma tentativa. Acumulado: A 0 calcula a probabilidade individual e A 1 calcula a probabilidade acumulada.
No nosso caso, utilizaremos para essa variável lógica A 0.
Tecnologia
Construa uma tabela na planilha com os campos: X: sucessos; Tentativas; PS e Probabilidade.
Vamos supor que estamos lançando uma moeda 4 vezes e desejamos saber qual a probabilidade de obtermos, nesses lançamentos, 3 “caras”. Utilizando a planilha, basta preenchermos a tabela com os valores 3, 4, e 0,5 e colocarmos o cursor na célula referente ao cálculo da probabilidade.
Neste boxe são trabalhadas atividades que utilizam algum recurso tecnológico, como calculadora ou softwares matemáticos.
Acionamos a fórmula DISTRBINOM e completamos com os valores:
Libre Office
X 3; Tentativas 4; PS 0,5 e A 0 Ao acionarmos o OK, obteremos a solução do problema: 0,25 ou 1 4
Atividade
RETOMANDO E PESQUISANDO
FAÇA NOO CADERN
Na seção Aqui tem matemática, na abertura deste capítulo, você viu que existe um deslocamento das águas do oceano, gerando as marés. Observe nas imagens a seguir a mesma paisagem em dois momentos distintos.
Utilize a planilha do Libre Office para resolver os itens a seguir: a) Ao lançarmos uma moeda 10 vezes qual a probabilidade de que em 7 desses lançamentos apareçam a face “cara” voltada para cima? b) Nessa mesma situação, encontre a probabilidade de aparecerem pelo menos 4 “caras”.
Probabilidade
Capítulo 6
185
Saco do Mamanguá, maré alta. Paraty, RJ, 2007. Fotos: Fabio Colombini
Retomando e pesquisando Apresenta textos e atividades acompanhados de indicações de sites, revistas ou livros em que são encontradas informações sobre o tema abordado na abertura do capítulo, proporcionando uma oportunidade de se pesquisar algum assunto relacionado a esse tema.
Saco do Mamanguá, maré baixa. Paraty, RJ, 2007.
1. Nas imagens acima, você deve ter observado que o nível da água em relação ao litoral nesse local não é o mesmo nos dois momentos em que as fotografias foram tiradas. Isso ocorre devido ao movimento das marés. Acesse o site (acesso em: 27 maio 2013) e veja a tábua de marés para pelo menos três dias quaisquer na cidade de Paraty, Rio de Janeiro, e responda: qual é o intervalo de tempo entre duas marés altas? E entre duas marés baixas?
2. Suponha que, em determinado período, a altura da maré em Paraty seja dada, aproximadamente, pela π função h(t) 0,705 sen t 0,415, em que h é a altura e t é a hora do dia, com 0 t 24. Con6 sidere ainda que a altura máxima atingida seja 1,12 m, e a mínima, 0,29 m. Responda: a) Qual é a amplitude da maré? b) Em que hora do dia a maré atinge altura máxima?
Ver Orientações para o Professor.
56 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo
Além disso, os conceitos estatísticos podem também ser aplicados em outras ciências. Na Medicina, por exemplo, a estatística serve para saber se um novo tratamento é eficaz para determinada doença. Fonte de pesquisa: IBGE 7 a 12. O que é estatística? Disponível em: . Acesso em: 7 fev. 2 013.
Veja a seguir uma reportagem que utiliza dados estatísticos.
Cresce a preocupação com o desmatamento em Ilhabela Poluição de rios, cachoeiras, mares e praias também aparecem como sérios problemas da cidade. Ilhabela, no litoral norte de São Paulo, é um dos poucos lugares do país que preservam a Mata Atlântica brasileira, hoje reduzida a 22% da sua cobertura original, de acordo com dados do Ministério do Meio Ambiente. No arquipélago paulista, a preocupação dos moradores com o desmatamento vem aumentando nos últimos anos. Segundo a pesquisa do [Instituto Brasileiro de Opinião Pública e Estatística] Ibope Inteligência, em 2010, 24% da população considerava o desmatamento como um dos problemas ambientais mais sérios da ilha, percentual que subiu para 38% em 2012.
Segundo a pesquisa, os moradores também se preocupam com a poluição de rios e cachoeiras (33%), mares e praias (28%), queimadas (28%), construções irregulares (22%), invasão de áreas protegidas (21%), falta de educação ambiental (13%), caça ilegal (12%), poluição do ar (12%) e pesca ilegal (10%). O zelo pela preservação ambiental em Ilhabela também é revelado por outros dados da pesquisa. Cerca de 6 a cada 10 moradores é favorável à limitação da entrada de veículos em Ilhabela, número similar ao dos ilhabelenses que aprovam a cobrança da taxa de preservação ambiental na saída de veículos do município.
Joel Silva/Folhapress
Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a Estatística é uma ciência que cuida da coleta de dados, que são organizados, analisados e então utilizados para determinado objetivo. No caso do IBGE, a principal importância da Estatística é informar sobre a realidade do Brasil por meio de números.
Fabio Colombini
Em alguns capítulos, esta seção apresenta um texto relacionado aos conteúdos desenvolvidos, acompanhado de questões que trabalham a compreensão desse texto. Em outros, traz uma questão seguida de um encaminhamento que objetiva desenvolver habilidades e competências cognitivas.
LEITURA E COMPREENSÃO Em nosso cotidiano, usamos a Estatística para estabelecer os índices de inflação ou de emprego e desemprego, por exemplo. E você sabe definir o que é Estatística?
Sobre a pesquisa: O Ibope Inteligência realizou 406 entrevistas domiciliares no município, entre 11 e 15 de agosto deste ano [2012]. O percentual de erro é de 5 pontos percentuais sobre os resultados da amostra. O objetivo foi medir e acompanhar a evolução de indicadores de aspectos relacionados à cidade para auxiliar nas discussões de políticas públicas e programas de Governo voltados para Ilhabela. Fonte: IBOPE. Cresce a preocupação com o desmatamento em Ilhabela, 4 set. 2012. Disponível em: . Acesso em: 7 fev. 2013.
Lagereek/Karlium/Easypix
Leitura e compreensão
Interpretando o texto
FAÇA NOO CADERN
1. A reportagem trata de um dos poucos lugares do Brasil que preserva a Mata Atlântica. Que lugar é esse? 2. Segundo a pesquisa do Ibope Inteligência, qual foi o índice percentual de aumento, de 2010 para 2012,
Segundo a organização não governamental SOS Mata Atlântica, somados todos os fragmentos de floresta nativa acima de 3 hectares, temos atualmente 11% da mata atlântica que existia originalmente. (Fonte de pesquisa: . Acesso em: 3 maio 2013.)
294 Capítulo 8 Noções Funçõesde logarítmicas Estatística
no número de pessoas que considerava o desmatamento como um dos problemas ambientais mais sérios da ilha?
3. Qual foi a amostra da pesquisa do Ibope tratada na reportagem? 4. O percentual de erro é de 5 pontos percentuais sobre os resultados da amostra. O que isso significa? 5. Em que período as entrevistas da pesquisa foram realizadas? 6. Qual o objetivo da pesquisa?
Noções Funçõesdelogarítmicas Estatística
Capítulo 8
295
Sumário Capítulo 1 • Trigonometria no ciclo 1 Circunferência: arco, ângulo central .......................... 10 2 Unidades de medida de arcos e ângulos .................. 11 Exercícios ................................................................. 14 3 Circunferência trigonométrica ................................... 15 Exercícios ................................................................. 18 4 Seno e cosseno de um arco ...................................... 18 Exercícios ................................................................. 23 Estabelecendo conexões .......................................... 23 Exercícios ................................................................. 28 Tecnologia ................................................................ 30 5 Tangente de um arco ................................................. 30 Exercícios ................................................................. 34 6 Equações trigonométricas ......................................... 35 Exercícios ................................................................. 38 7 Cotangente de um arco ............................................. 38 Exercícios ................................................................. 40 8 Secante e cossecante de um arco ............................. 40 Exercícios ................................................................. 41 9 Relação trigonométrica fundamental ......................... 42 Exercícios ................................................................. 43 10 Propriedades dos arcos complementares ................. 43 Exercícios ................................................................. 44 11 Equações trigonométricas que envolvem artifícios ..... 45 Exercícios ................................................................. 46 12 Fórmulas da adição de arcos .................................... 46 Exercícios ................................................................. 48 13 Fórmulas da multiplicação de arcos ......................... 49 Exercícios ................................................................. 51 14 Identidades trigonométricas ...................................... 52 Exercícios ................................................................. 53 15 Inequação trigonométrica .......................................... 54 Exercícios ................................................................. 55 Estabelecendo conexões .......................................... 55 RETOMANDO E PESQUISANDO .................................. 56 LEITURA E COMPREENSÃO ........................................ 57 Capítulo 2 • Matrizes 1 Conceito de matriz .................................................... 60 2 Matriz quadrada ....................................................... 61 Exercícios ................................................................. 62 3 Igualdade de matrizes .............................................. 63 Exercícios ................................................................. 65 Estabelecendo conexões .......................................... 65
4 Adição e subtração de matrizes ................................. 66 Exercícios ................................................................. 68
5 Multiplicação de um número real por uma matriz ...... 68 Exercícios ................................................................. 69 6 Multiplicação de matrizes .......................................... 70 Exercícios ................................................................. 74 Tecnologia ................................................................ 76 7 Inversa de uma matriz................................................ 77 Exercícios ................................................................. 78 RETOMANDO E PESQUISANDO .................................. 79 LEITURA E COMPREENSÃO ........................................ 80 Capítulo 3 • Determinantes 1 Introdução ................................................................ 84 2 Determinantes de matrizes quadradas de ordens 1 e 2 ...................................... 85 Exercícios ................................................................. 86 Estabelecendo conexões .......................................... 87 3 Determinante de uma matriz de 3a ordem - Regra de Sarrus ..................................................... 87 Exercícios ................................................................. 89 4 Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 .... 90 Exercícios ................................................................. 92 Estabelecendo conexões .......................................... 93 Tecnologia ................................................................ 94 5 Propriedades e teoremas .......................................... 95 Exercícios .......................................................100, 102 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................102 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................103 Capítulo 4 • Sistemas lineares 1 Equação linear .......................................................106 Exercícios ...............................................................107 2 Sistemas lineares ...................................................108 Exercícios ...............................................................110 Estabelecendo conexões ........................................111 3 Classificação de um sistema linear .........................112 Exercícios ...............................................................113 4 Matrizes associadas a um sistema linear ................114 Exercícios ...............................................................115 Tecnologia ..............................................................116 5 Resolução de um sistema linear por escalonamento ...117 Exercícios ...............................................................122 6 Discussão sobre um sistema linear .........................122 Exercícios ...............................................................124 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................124 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................125
Capítulo 5 • Análise combinatória 1 Problemas que envolvem contagem ........................128 Exercícios ...............................................................130 2 Princípio multiplicativo ............................................131 Exercícios ...............................................................133 Estabelecendo conexões ........................................134 3 Fatorial ...................................................................135 Exercícios ...............................................................136 4 Arranjo simples ......................................................137 5 Permutação simples ................................................140 Exercícios ...............................................................142 6 Permutação com elementos repetidos .....................142 Exercícios ...............................................................144 7 Combinação simples ...............................................144 Exercícios ...............................................................148 8 Número binomial .....................................................149 Exercícios ...............................................................152 Estabelecendo conexões ........................................152 9 Fórmula do binômio de Newton ...............................153 Exercícios ...............................................................154 Tecnologia ..............................................................155 10 Termo geral do binômio de Newton ..........................156 Exercícios ...............................................................157 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................157 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................158 Capítulo 6 • Probabilidade 1 Experimentos aleatórios ..........................................162 Exercícios ...............................................................165 2 Probabilidade .................................................166, 170 Estabelecendo conexões ........................................172 3 Probabilidade da união de dois eventos ....................173 Exercícios ...............................................................174 4 Probabilidade condicional ......................................176 Exercícios ...............................................................179 5 Eventos independentes ...........................................180 Exercícios ...............................................................183 Tecnologia ..............................................................185 6 Experimentos não equiprováveis .............................186 Exercícios ...............................................................186 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................187 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................188
Capítulo 7 • Geometria 1 Geometria no plano e no espaço .............................192 Exercícios ..............................196, 198, 202, 205, 208 2 Tópicos de Geometria plana ...................................209 Exercícios .......................................................211, 214 3 Poliedros ................................................................216 Exercícios .......................................................219, 220 4 Prismas ..................................................................220 Exercícios .............................................. 223, 226, 228 Estabelecendo conexões ........................................230 Exercícios ...............................................................231 Tecnologia ..............................................................233 5 Pirâmides ...............................................................234 Exercícios ..............................237, 239, 241, 244, 245 6 Cilindros .................................................................246 Exercícios .......................................................248, 249 7 Cones .....................................................................251 Exercícios .............................................. 254, 256, 259 8 Esferas ...................................................................260 Exercícios .......................................................261, 263 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................264 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................265 Capítulo 8 • Noções de Estatística 1 Estatística: introdução ............................................268 Estabelecendo conexões ........................................270 2 Frequências ............................................................271 Exercícios ...............................................................273 3 Representação gráfica da distribuição de frequências ...274 Exercícios ...............................................................277 4 Distribuição de frequências com dados agrupados ..279 Exercícios ...............................................................281 5 Medidas de tendência central .................................282 Exercícios .......................................................284, 288 6 Desvio médio .........................................................288 Exercícios ...............................................................291 7 Variância e desvio padrão........................................291 Exercícios ...............................................................293 RETOMANDO E PESQUISANDO .................................293 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................294 Sugestões para pesquisa e leitura ............................296 Lista de siglas ............................................................298 Respostas ...................................................................299 Referências bibliográficas ...........................................304
Trigonometria no ciclo
CAPÍTULO
1
Saco do Mamanguá, maré alta. Paraty, RJ, 2007.
8 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo l
Fotos: Fabio Colombini
AQUI TEM MATEMÁTICA Quase três quartos da superfície do planeta Terra são cobertos pela água dos mares e oceanos. A força gravitacional entre a Lua e a Terra provoca nessa massa um movimento que altera o nível da água no litoral ao longo do dia. Esse fenômeno é chamado de maré. Na maré alta, a água avança sobre o litoral. Na maré baixa, ela recua. Esse ciclo se repete a cada seis horas, aproximadamente. Esse fenômeno periódico pode ser modelado por uma função trigonométrica. Neste capítulo, você vai estudar conteúdos relacionados à Trigonometria, entre eles as funções seno, cosseno e tangente. Saco do Mamanguá, maré baixa. Paraty, RJ, 2007.
Trigonometria no ciclo
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Capítulo 1
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co, ângulo Circunferência: ar central a de arcos Unidades de medid
1 Circunferência: arco, ângulo central Arco de circunferência e ângulo central
e ângulos nométrica Circunferência trigo um arco Seno e cosseno de co Tangente de um ar étricas Equações trigonom arco Cotangente de um te de um Secante e cossecan arco
Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos. Os pontos A e B são chamados extremidades dos arcos. Neste livro, desde que não haja indicação explícita em contrário, convencionamos indicar os arcos menores de uma circunferência apenas pelos extremos. extremidade B
étrica fun-
Relação trigonom damental
cos comPropriedades dos ar plementares étricas que Equações trigonom s envolvem artifício
de arcos Fórmulas da adição plicação de Fórmulas da multi
arco AB A extremidade
A medida de um arco de circunferência é a medida do ângulo central correspondente, isto é, o ângulo que tem vértice no centro da circunferência e cujos lados passam pelos extremos do arco.
arcos
nométricas Identidades trigo métricas Inequações trigono
Ilustrações: Editoria de Arte
ados neste
Conteúdos apresent capítulo:
B O
é . A medida do arco AB ). Representa-se por med (AB
α A
D B O
α A
James L. Amos/Corbis/Latinstock
Note que a medida de um arco não representa a medida do comprimento (me e CD possuem a mesma medida , porém não dida linear) desse arco. Os arcos AB têm o mesmo comprimento.
A circunferência e suas partes são utilizadas em muitas situações cotidianas, em plantações e em construções.
10 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo
C
2 Unidades de medida de arcos e ângulos Para expressar a medida de arcos e ângulos, utilizamos o grau e o radiano.
Grau
0
100 90 80 70
60
10 0
14
33 0
0 21
180
160
0 0 20 1 360 30
Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, cada uma dessas partes é um arco de 1o (lê-se um grau).
50 40
0
12
30
270
0
24
Ilustrações: Editoria de Arte
0
Então, observamos que a circunferência possui 360.
1º
arco de 90°
arco de 180°
arco de 270°
arco de 360°
e o arco AB da figura medem, cada um, 50. Assim, o ângulo AOB Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo. Um minuto é igual a 1 do grau. 60 Um segundo é igual a 1 do minuto. 60
B arco de 50 o
50o
O
Usamos os símbolos: Grau °
A
Minuto
Segundo
Por exemplo, se a medida de um arco é 50 graus, 15 minutos e 27 segundos, indicamos: 50 15 27.
Radiano B
Quando o comprimento de um arco é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém, dizemos que esse arco mede 1 radiano (indicamos 1 rad).
arco de comprimento r
r 1 rad O
r
A
Na figura: :r comprimento do arco AB : 1 rad medida do arco AB ) 5 1 rad Escrevemos: med (AB em radiano, basta fazermos a proporção: Para determinar a medida a de um arco qualquer PQ med (PQ) comprimento de PQ , , a 5 comprimento da circunferência V 2π 5 2π r V a 5 r medida do arco de 1 volta
Trigonometria no ciclo
l
Capítulo 1
11
em radiano, basta dividirmos a medida do compriEm geral, para determinar a medida a de um arco PQ mento do arco () pela medida do raio da circunferência que o contém (r): � a 5 med ( P Q )5 ,r de comprimento 8 cm, contido numa circunferência de raio igual Por exemplo, a medida de um arco PQ a 4 cm, é 2 rad, pois:
) 5 , 5 8 cm 5 2 rad med ( PQ 4 cm r Como o comprimento da circunferência mede C 5 2pr, a medida, em radiano, da circunferência toda é:
Ilustrações: Editoria de Arte
a 5 C 5 2πr 5 2π r r
arco de π rad 2
arco de p rad
arco de 2p rad
90° 5 π rad 2
Comparando as medidas desses arcos em grau e em radiano, obtemos:
Unidade
arco de 3π rad 2
Amplitude
grau
0°
90°
180°
270°
360°
radiano
0 rad
π rad 2
p rad
3π rad 2
2p rad
0
180° π rad
360 o 2π rad
270°
3π rad 2
Comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de medida a, em grau Para determinar o comprimento do arco AB ou em radiano, podemos então estabelecer a seguinte regra de três simples e direta: 360° ou 2p rad (volta completa) corresponde a 2pr;
r
a corresponde ao comprimento .
Ângulo
Comprimento
360° a (em graus)
2pr ,
ou
α
O
Ângulo
Comprimento
2p rad a (em rad)
2pr ,
B º
r A
A unidade de medida usada para obter o comprimento do arco é a mesma que se usa para obter o comprimento do raio. Observe a seguir alguns exemplos de situações envolvendo arcos e ângulos da circunferência.
12 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo l
Exemplos 1. Eratóstenes, matemático e astrônomo grego que viveu no século III a.C., foi o primeiro a medir com certa precisão a circunferência terrestre e, portanto, determinar a medida do raio da Terra. No processo utilizado, ele teve de medir o ângulo formado entre duas cidades no Egito, Alexandria e Siena, obtendo 7 12, como mostra a figura abaixo. Escreva essa medida em grau, utilizando a notação decimal, e em radiano.
Resolução Estabelecemos a seguinte regra de três: grau
radiano
180
p π 6
x
180 5 π V 180 5 6π 5 6 V x 5 180 5 30 π π x x 6 6
Alexandria
7°
δ 12
Logo, π rad equivale a 30°. 6 Siena
Editoria de Arte
ra Ter da
3. As rodas de uma bicicleta têm 60 cm de diâmetro.
Alberto De Stefano
arco da circ unfe rênc ia
2. Expresse π rad em grau. 6
60 cm
Resolução Para escrever 12 em grau, aplicamos uma regra de três: minuto
grau
60
1
12
x 12 1 x 5 60 ? 1 5 5 5 0,2
Portanto, 7° 12 equivale à soma 7° 1 0,2°, isto é, a 7,2°. Agora, também com uma regra de três, vamos estabelecer a relação entre grau e radiano: grau
radiano
180
p
7,2 x 180 5 π V 25 5 π V x 5 π 7,2 x x 25 π rad . Portanto, 7° 12 equivale a 25
a) Qual é o comprimento aproximado da circunferência dessa roda? b) Aproximadamente quantas voltas dará cada roda num percurso de 94,2 m? Use o valor aproximado 3,14 para p. Resolução a) A medida do raio é igual à metade da medida do diâmetro. Logo: r 5 30 cm Assim, o comprimento da circunferência da roda é: C 5 2pr V C 2 · 3,14 · 30 5 188,4 Portanto, a circunferência dessa roda mede aproximadamente 188,4 cm. b) Como 188,4 cm 5 1,884 m, a cada volta da roda a bicicleta percorre 1,884 m. Para percorrer 94,2 m, o número de voltas será dado pelo quociente: 94,2 : 1,884 5 50 Portanto, ela dará 50 voltas. Trigonometria no ciclo
l
Capítulo 1
13
4. Determine, em grau e em radiano, a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 8h20min. Resolução Vamos considerar: a a medida do ângulo pedido; x a medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas em 20 min, a partir das 8h. 1
11
3
120º
4
4
x
5
6
2
2
8 7
1
9
3
9
12
10
12
10
11
30º
8
Ilustrações: Editoria de Arte
30º
7
6
5
O mostrador do relógio é dividido em 12 arcos iguais. Por isso, o arco compreendido entre dois números consecutivos mede 360° , ou seja, 30°. 12 Assim, a 5 x 1 120.
Exercícios
30 p cm
2. Quanto mede em graus, aproximadamente, um arco de 1 rad? Considere p 5 3,14. 57° 19' 29''
3. A figura a seguir representa a planta do terraço de um apartamento. Qual o perímetro do piso desse terraço? Considere p 5 3,14. 30,56 m 5m
4m
tempo (min)
ângulo (grau)
60
30
20
x
Assim, obtemos: 60 5 30 V 3 5 30 V x 510 (medida em grau) 20 x x a 5 x 1 120 ä a 5 10 1 120 ä a 5 130 Em radiano: grau radiano ______ 180 π 130 ? π 13π ⇒a5 5 180 18 130 ______ a O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 8h20 mede 130 ou 13π rad. 18
FAÇA NOO N CADER
1. (Inatel-MG) Qual é o comprimento de um arco de 60, em uma circunferência que tem 90 cm de raio?
4m
Como a cada 60 minutos o ponteiro das horas percorre 30, temos:
5. (Mack-SP) A figura representa uma pista não oficial de atletismo, com 4 raias para corridas, cujas curvas são determinadas por semicircunferências. Cada raia tem largura igual a 2 m e os atletas devem percorrer 300 m sobre as linhas, conforme as setas indicam na figura.
r
4m
4m
linha de chegada posições de para corridas partida de 300 m para corridas de 300 m
k
d
d
r
d
sentido das corridas
4. (Enem-MEC) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6 370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente: a) 16 horas e) 36 horas X c) 25 horas b) 20 horas d) 32 horas
14 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo l
Sendo r 5 10 m e adotando p 5 3, o valor de k 1 d é: a) 248 m b) 247 m
c) 245 m d) 244 m
X e)
240 m
6. (Enem-MEC) Calcule o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio que marca 12 horas e 20 minutos. a) 120 c) 100 e) 115 d) 130 X b) 110
7. (Unimep-SP) Das 16h30min, até às 17h10min, o ponteiro das horas de um relógio percorre um arco de: a) 24 b) 40 X c) 20 d) 18 e) Nenhuma das alternativas anteriores
linha de origem
B
α
a) 30 b) 36
c) 45 d) 60
X e)
Editoria de Arte
A
Editoria de Arte
72
10. Qual o comprimento da chapa metálica necessária para confeccionar a peça de fixação, em forma de U, mostrada na figura? As medidas indicadas estão em centímetro. Considere π 3,14. 61,4 cm
9. (UFG-GO) Deseja-se marcas nas trajetórias circulares concêntricas, representadas na figura a seguir, os pontos A e B, de modo que dois móveis partindo, respectivamente, dos pontos A e B, no sentido horário, mantendo-se na mesma trajetória, percorram distâncias iguais até a linha de origem.
15
10
Alexandre Argozino Neto
8. (Vunesp-SP) Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma m 1c de um setor circular de raio 1 cm, 1 rad como mostra a figura. A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do “monstro”, em cm, é: a) π 1 c) 2π 1 X e) 2π 1 d) 2π b) π 1
Considerando-se que o ponto A deverá ser marcado sobre a linha de origem a 8 m do centro e o ponto B a 10 m do centro, o valor do ângulo , em graus, será igual a:
3 Circunferência trigonométrica Arco orientado A figura mostra que o percurso de A para B pode ser feito no sentido anti-horário (contrário ao movimento dos ponteiros do relógio), seguindo o arco , ou no sentido horário, seguindo o arco verde AB . alaranjados AB
A
O
Estabelecendo como positivo o sentido anti-horário e como negativo o sentido horário, temos:
O
B
Editoria de Arte
Editoria de Arte
B
Editoria de Arte
B
A
) π rad med ( AB 2
O
A
) 32π rad med ( AB
Trigonometria no ciclo
Capítulo 1
15
Circunferência trigonométrica Vamos fixar um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais uÔv no plano. A circunferência orientada de centro na origem do sistema, de raio unitário (r 5 1) e cujo sentido positivo é anti-horário, é denominada circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico. v
Sobre essa circunferência, vamos marcar os arcos trigonométricos que têm: origem no ponto A (1, 0);
r51
O
A(1, 0) u
medidas algébricas positivas, se marcados no sentido anti-
-horário, e negativas, se marcados no sentido horário.
2 v 90°
Os eixos do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes, chamadas quadrantes, numeradas a partir do ponto A, no sentido anti-horário. Como a circunferência trigonométrica tem raio unitário (r 5 1), a medida de qualquer arco, em radiano, é numericamente igual ao comprimento desse arco:
II
I
180° π rad III
a5 , 5 , 5, r 1
IV
270°
Logo, no lugar de π rad, escrevemos apenas π ; em vez de 2 2 2 3π rad, escrevemos 2 3π e etc. 2 2 Além da origem A, cada arco trigonométrico tem como extremidade um único ponto na circunferência. Assim, é comum indicarmos o arco apenas por esse ponto, isto é, a cada número real x podemos associar um único ponto na circunferência. Esse ponto é chamado imagem de x no ciclo.
π rad 2
v
3π rad 2 π (90o ) 2
3π 4 p (180o) 5π 6
π (45o ) 4 π (30o ) 6 0 (0o)
P
2
A 0° u 360° 2π rad
A
Q
u
3π (270o ) 2
É como se enrolássemos a reta numérica na circunferência trigonométrica, com a parte associada aos números positivos “enrolada” no sentido anti-horário, e com a parte associada aos números negativos “enrolada” no sentido horário. Em ambos os casos, a origem a reta coincide com o ponto A. Para obter a imagem P de 3π , partimos de A e caminhamos 3π na circunferência, no sentido anti-horário. 4 4 A imagem Q de 2 5π é obtida caminhando 5π no sentido horário na circunferência, a partir de A. 6 6
Arcos côngruos Seja P um ponto da circunferência trigonométrica. É fácil verificarmos que, com origem em A e extremidade em P, há uma infinidade de arcos. Para isso, basta fazermos o percurso num sentido ou noutro e dar mais ou menos voltas completas na circunferência. de π rad. Vamos considerar, por exemplo, o arco AP 3
16 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo l
Ilustrações: Editoria de Arte
1
π Existem infinitos arcos com extremidade P, côngruos a 3 rad. Veja o quadro: 3
3
)
7π 5 π 1 1 ? 2 π 3 3
(
19 π 3
) 5 ( π 1 3 ? 2π ) 3 A
3
3
)
v P
( π3 21? 2π ) 11π 2 5 ( π 2 2 ? 2π ) 3 3 17 π π 2 5 ( 2 3 ? 2π ) 3 3 2
13π 5 π 1 2 ? 2π 3 3
(
π π 0 2π 5π 5 3
π rad 3 O
A u
Editoria de Arte
(
π π 0 2π
A
Os arcos que têm a mesma extremidade e diferem apenas pelo número de voltas inteiras são chamados de arcos côngruos. De modo geral: se um arco mede a graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é:
a 1 k ? 360°, com k Z se um arco mede a radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é:
a 1 2kp, com k Z chama-se primeira determinação positiva de um arco a medida do arco côngruo a ele, tal que:
0 < , 360° ou 0 < , 2p rad
Exemplos 1. Um móvel percorreu um arco de 1 690° na circunferência trigonométrica, partindo do ponto A. Quantas voltas completas esse móvel deu, e em qual quadrante parou? Resolução 1 690 360 250 4 1 690° 5 250° 1 4 ? 360°
(expressão geral) número de voltas completas o arco de 1 690° tem a mesma extremidade que o arco de 250°
O móvel deu 4 voltas completas no sentido anti-horário e, como 180° , 250° , 270°, o móvel parou no 3o quadrante.
2. Calcule a 1a determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos ao arco de 1 940°. Resolução
1 940 360 140 5 1 940° 5 140° 1 5 ? 360° (expressão geral) número de voltas completas 1a determinação positiva
A 1a determinação positiva é 140° e a expressão geral é a 5 140° 1 k ? 360°, com k Z. Trigonometria no ciclo
l
Capítulo 1
17
12. a) 5 voltas: 1o quadrante b) 3 voltas: 1o quadrante c) 3 voltas: 3o quadrante
11. Determine o quadrante em que está a extremidade dos seguintes arcos: a) 21 640°
c) 2487π rad
b) 2 630°
2 quadrante o
4
2 quadrante o
4o quadrante
12. Determine quantas voltas completas um móvel dá e em que quadrante ele para se, partindo da origem dos arcos, percorre, na circunferência trigonométrica, um arco de:
13. Os polígonos regulares das figuras estão inscritos nas circunferências trigonométricas. Determine em grau e em radiano as primeiras determinações positivas dos arcos cujas extremidades são vértices de cada polígono: Respostas no final do livro. a) N
31π rad 6 17π f) 8 rad
b) 25π rad 4 c) 21 200º
B C
60º
d) 2 350°
a) 1 810°
b)
M
A O
Q
e)
D
F
P
E
Ilustrações: Editoria de Arte
FAÇA NOO N CADER
Exercícios
d) 6 voltas: 3o quadrante e) 2 voltas: 3o quadrante f) 1 volta: 1o quadrante
4 Seno e cosseno de um arco Consideremos no ciclo trigonométrico o ponto M, que é a imagem de um número real x, conforme indica a figura. v que corresponde ao ângulo central de Consideremos também o arco AM, M
M’
r5
1
medida x. Seja OM o raio do ciclo, M’ e M” as projeções ortogonais do ponto M nos eixos u e v, respectivamente.
x
Do triângulo retângulo OM”M, temos:
O
sen x 5 M”M 5 OM’ 5 OM’ Æ sen x 5 OM’ OM 1 OM” OM” 5 5 OM” Æ cos x 5 OM” cos x 5 OM 1
M” A u
Definimos: • Seno de x é a ordenada do ponto M. • Cosseno de x é abscissa do ponto M. O eixo v é o eixo dos senos e o eixo u é o eixo dos cossenos. Daí, se M é um ponto do ciclo trigonométrico, podemos escrever: M (cos x, sen x). Essas novas definições têm a vantagem de não ficarem restritas aos ângulos agudos do triângulo retângulo, como nas definições anteriores. Agora, podemos falar em seno e cosseno de arcos (ou ângulos) de qualquer medida. No 1o quadrante (I), o seno é positivo e o cos-
seno é positivo.
No 2o quadrante (II), o seno é positivo e o
cosseno é negativo. v
M’
v M
sen x O cos x M” A u
18 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo l
M
M’ sen x
M” cos x O
A u
No 4o quadrante (IV), o seno é negativo e o
cosseno é negativo.
cosseno é positivo.
v
v
M” cos x O
O cos x M”
A u
sen x
A u
sen x
M’
M
M’
Ilustrações: Editoria de Arte
No 3o quadrante (III), o seno é negativo e o
M
Valores notáveis de sen x e cos x sen π 90º 2
Vamos destacar os valores do seno e do cosseno para os arcos com extremidade nos eixos v (dos senos) e u (dos cossenos), e também para os arcos do 1o quadrante cujos senos e cossenos já havíamos calculado na Trigonometria nos triângulos, do volume 1. 0° 30° Arco
(0)
45°
60°
90°
180° 270° 360°
π
π
π
3π
() () () () π 6
3
4
sen
0
1 2
cos
1
3 2
(p)
2
( )
(2p)
2
2 2
3 2
1
0
21
0
2 2
1 2
0
21
0
1
60º π 3 45º π 4 30º π 6
1
3 2 2 2 1 2
180° p 1
O
1 2
1 0° (0) cos
360°(2p)
2 2
3 2
1
3π 270º 2
Redução ao primeiro quadrante Usando a simetria, podemos relacionar o seno e o cosseno de um arco de qualquer quadrante com os valores do seno e do cosseno de um arco do 1o quadrante. Desse modo, fazemos uma redução ao 1o quadrante.
Redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante Observe, em cada figura, o seno e o cosseno dos arcos destacados. Grau
Radiano
sen 180o 2 x
sen x
π2x
x cos
cos
sen (180° 2 x) 5 sen x
sen (p 2 x) 5 sen x
cos (180° 2 x) 5 2cos x
cos (p 2 x) 5 2cos x
Trigonometria no ciclo
l
Capítulo 1
19
Note que os arcos de medidas x e (180° 2 x) ou x e (p 2 x) são arcos suplementares e que suas extremidades são pontos simétricos em relação ao eixo dos senos. senos iguais Dois arcos suplementares têm: cossenos simétricos
Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante Observe, em cada figura, o seno e o cosseno dos arcos destacados. Grau
Radiano
x
x
cos 180o 1 x
cos π1x
sen (180° 1 x) 5 2sen x
sen (p 1 x) 5 2sen x
cos (180° 1 x) 5 2cos x
cos (p 1 x) 5 2cos x
Ilustrações: Editoria de Arte
sen
sen
Note que as extremidades desses arcos são pontos simétricos em relação à origem do sistema de eixos. Os arcos de medidas x e (180° 1 x) ou x e (p 1 x) têm:
senos simétricos cossenos simétricos
Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante Observe, em cada figura, o seno e o cosseno dos arcos destacados. Grau
Radiano sen
sen
x
x
cos
cos 2π 2 x
360o 2 x
sen (360° 2 x) 5 2sen x
sen (2p 2 x) 5 2sen x
cos (360° 2 x) 5 cos x
cos (2p 2 x) 5 cos x
Os arcos de medidas x e (360° 2 x) ou x e (2p 2 x) são arcos replementares e suas extremidades são pontos simétricos em relação ao eixo dos cossenos. Dois arcos replementares têm:
20 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo l
senos simétricos cossenos iguais
Das figuras também obtemos: (360° 2 x) e 2x são medidas de arcos côngruos. sen (360° 2 x) 5 sen (2x) 5 2sen x cos (360° 2 x) 5 cos (2x) 5 cos x
Com base no que foi visto, podemos construir o quadro a seguir, que indica os valores do seno e do cosseno de arcos recorrentes em nosso estudo. £ (em grau) (em radiano)
sen £
cos £
£ (em grau) (£ em radiano)
sen £
cos £
210°
7π 6
21 2
2 3 2
225°
5π 4
2 2 2
2 2 2
240°
4π 3
2 3 2
21 2
270°
3π 2
21
0
300°
5π 3
2 3 2
1 2
2 2 2 2 3 2
315°
7π 4
2 2 2
2 2
330°
11π 6
21 2
3 2
21
360°
2p
0
1
0°
0
0
1
30°
π 6
1 2
45°
π 4
60°
π 3
90°
π 2
2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
1
0
120°
2π 3
21 2
135°
3π 4
150°
5π 6
3 2 2 2 1 2
180°
p
0
y
3 1 , 2 2 135°
3π 4 150° 5π 6
1 3 , 2 2
π 90° 2
120°
2 2 , 2 2
3 1 , 2 2
(0,1)
2 60° , 2 π 45° 3 π 30° 4 π 6
2π 3
( 1, 0) 180° π
0°
7π 6 5π 4 225°
3 1 , 2 2
2 2 , 2 2
3 1 , 2 2
(1, 0)
360° 2 π
210°
2 2
11π 6 330°
240° 3 1 , 2 2
5π 3 300°
4π 3 270° 3π (0, 1) 2
7π 4 315°
Editoria de Arte
x
3 1 , 2 2
2 2 , 2 2
3 1 , 2 2
Trigonometria no ciclo
l
Capítulo 1 21
Exemplos 1. A quantidade de energia consumida por uma
3. Calcule o valor da expressão
cidade varia com as horas do dia. Os técnicos da companhia de energia conseguiram aproximar essa necessidade de energia pela função:
E
(
π π P(t) 40 20 cos 12 t 4
)
Resolução
em que t é a hora do dia e P a quantidade de energia, em MW. Em qual horário o consumo de energia é maior nessa cidade, às 6h ou às 15h? ( Use 2 1,4 ) Resolução Convém lembrar que MW (megawatt) equivale a 106 watts, unidade da grandeza física potência no Sistema Internacional de Unidades. Para t 6 (6h), temos:
(
)
P (6 ) 40 20cos π 6 π 12 4 π 40 20cos 40 20 2 4 2 1 , 4 40 20 2 P(6) 26 MW Para t 15 (15h), temos:
(
sen1830º cos13π . sen 16π 3
Vamos calcular a 1a determinação positiva de cada arco: • 1830º
360º
V 1830º 30º 5 360º
sen1830º sen30º 1 2 • 13π π 12π π 6 2π cos 13π cos π 1 • 16π 12π 4π 4π 4π 4π 2 2π 3 3 3 3 3 sen 16π sen 4π (3o quadrante) 3 3 Reduzindo do 3o para o 1o quadrante: 30º
5
sen
π 3
cos 4π 3
)
P (15) 40 20cos π 15 π 12 4 40 20cosπ 40 20 ( 1) 60 P(15) 60 MW O consumo de energia é maior às 15h.
4π π π e sen 4π sen π 3 3 3 3 1 1 1 2 2 1 Então: E 3 3 3 2 2
2. Calcule os valores de sen 210° e cos 210°.
4. Simplifique a expressão
3 2 3 3
A sen (900° x) cos (1 980° x) sen(1 440° x).
sen 1 2
30º
Ilustrações: Editoria de Arte
Resolução
Resolução
Reduzindo esse arco ao 1o quadrante, temos: sen210º sen30º 1 2
Sabemos que: 900° 180° 2 360° 1 980° 180° 5 360° 1 440° 0 4 360° Logo: sen (900° x) sen (180° x) sen x cos (1 980° x) cos (180° x) cos x sen (1 440° x) sen ( x) sen x
cos210º cos30º 3 2
Substituindo na expressão, temos: A sen x cos x sen x ⇒ A cos x
210º
3 2
1 2
3 2
22 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo
cos
FAÇA NOO N CADER
14. Sendo A 5 cos 5π 1 sen 13π e
6
em que t é o tempo medido em meses e t 51 corresponde ao mês de janeiro. a) Qual seria a população de animais dessa espécie na reserva no mês de novembro? 425 b) E no mês de junho? 575
4
B 5 (sen 675° 2 cos 1 200°), qual a relação de ordem que podemos estabelecer entre A e B? A , B
15. (FGV-SP) A previsão de vendas mensais de uma
17. (Acafe-SC) Analise o ciclo trigonométrico a seguir e determine o perímetro do retângulo MNPQ, em unidades de comprimento. A alternativa correta é:
empresa para 2011, em toneladas de um produto, πx é dada por f ( x ) 5100 1 0, 5x 1 3 ? sen 6 , em que x 5 1 corresponde a janeiro de 2011, x 5 2 corresponde a fevereiro de 2011 e assim por diante. A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 2011 é: (Use a aproximação decimal 3 51,7.) a) 308,55 c) 309,55 e) 310,55 X d) 310,05 b) 309,05
sen x
a) 11 3 2 b) 11 2 3
N
1
c) 11 3
M
60° 1 cos x
O
d) 2 1 3
16. Os biólogos de uma reserva ecológica descobriram
X
(
e) 2 11 3
)
P
Ilustrações: Editoria de Arte
Exercícios
Q
18. (Fuvest-SP) Qual dos números é maior? Justifique.
que a população P de animais de certa espécie presente na reserva variava durante o ano segundo a fórmula t 1 2) π P(t) 5 500 2 150 cos ( 3
a) sen 830° ou sen 1 195° sen 830º b) cos (2535°) ou cos 190° cos 190º
Estabelecendo conexões O menor caminho
Ver Orientações para o Professor.
Yoko Aziz/Age Fotostock/Easypix
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Imagine duas cidades sobre um mesmo paralelo, por exemplo, Budapeste e Quebec, que se localizam aproximadamente a 45° N e 19° L e a 45° N e 73° O, respectivamente. A representação é apenas um esquema.
N O’ Q B O
P
Cidade de Quebec, capital da Província de Quebec, Canadá.
S
Budapeste é a maior cidade e também capital da Hungria.
Suponha que você vai viajar de avião de Quebec para Budapeste. Intuitivamente, pode parecer que seu avião percorrerá a menor trajetória se sobrevoar na mesma direção do paralelo. No entanto, isso é um engano. Veja o porquê. A distância entre dois pontos, Q e B, é o menor comprimento das trajetórias que ligam Q e B. Em uma superfície plana, a distância de Q a B é o comprimento do segmento de reta QB . Em uma contido na circunferência máxima por Q e B, que superfície esférica, é o comprimento do menor arco QB é a circunferência contida no plano que passa pelo centro da esfera.
Trigonometria no ciclo
l
Capítulo 1
23
Q
B
paralelo circunferência máxima
O
Editoria de Arte
Então, o menor percurso de Quebec a Budapeste é pela circunferência máxima, que passa por essas cidades e tem o raio de mesmo comprimento que o raio da Terra, aproximadamente 6 380 km. do percurso sobre Cálculo do comprimento do arco QB
o paralelo. Observe a figura da página anterior. Sabendo que o ângulo de deslocamento QÔ’B mede 92° (73° 1 19°), podemos obter o raio O’B desse paralelo. são alternos internos, logo têm a mesma medida. Como o triângulo O’BO O ângulo £ e o ângulo O’BO é retângulo em O’, tem-se que cos θ 5 O’B , ou O’B 5 OB cos £. Substituindo OB 5 OP por 6 380 km OB e £ por 45°, temos BO’ 4 511 km. Agora basta fazermos uma regra de três: 2p ? B0 92° 360°
5
92 ? 2 ? 3 , 14 ? 4 511 7240 360
Portanto, a trajetória sobre o paralelo entre cidades é de aproximadamente 7 240 km. Já por uma circunferência máxima, segundo informação obtida em (acesso em: 24 set. 2012), a distância percorrida é de aproximadamente 6 428 km. A diferença de 812 km (7 240 – 6 428) equivale a uma economia de aproximadamente 54 minutos em um voo cuja velocidade é de 900 km/h.
Gráfico das funções seno e cosseno Para estudar a função seno, dada pela lei y 5 sen x, e a função cosseno, dada pela lei y 5 cos x, ambas definidas para todo x R, vamos variar x no intervalo [0, 2p].
y 5 sen x Verifique, na tabela da página 21, os valores de sen x que aparecem no gráfico. y 1
1 0 2 2 2 2 3 1 2 2 2
π 6
π π 4 3
π 2
2π 3π 5π π 3 4 6
7π 5π 4π 6 4 3
3π 2
5π 7π 11π 3 4 6 2π
x
Editoria de Arte
3 2 2 2 1 2
p = 2π
O gráfico da função seno é chamado senoide. Ele continua à direita de 2p e à esquerda de 0 (zero), repetindo o mesmo formato (padrão). O domínio da função y 5 sen x é o conjunto dos números reais, isto é: D(f) 5 R A imagem da função y 5 sen x é o intervalo [21, 11], isto é: 21 < sen x < 1 Toda vez que adicionamos 2p a determinado valor de x, a função seno assume o mesmo valor. Como
2p é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y 5 sen x é p 5 2p.
24 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo l
Essa conclusão pode ser obtida, também, com base no ciclo trigonométrico em que marcamos o arco x. sen Ilustrações: Editoria de Arte
sen x 5 OM”
M
M”
sen (x 1 2p) 5 OM”
x
sen (x 1 4p) 5 OM”
O
A A
sen (x 1 2kp) 5 OM”, k [ Z
Quando adicionamos 2 kp, com k R, ao arco x, obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois a função seno é periódica: sen x 5 sen (x 1 2kp), k [ Z De modo geral, o período de uma função do tipo y 5 a 1 b sen (kx), com a [ R, b [ R e k [ R, é dado por:
p 5 2π k
y 5 cos x Verifique, na tabela da página 21, os valores de cos x que aparecem no gráfico. 3 2 2 2 1 2
y 1
1 0 2 2 2 2 3 1 2 2 2
2π 3π 5π 3 4 6 π π π 6 4 3
π
7π 5π 4π 6 4 3
π 2
3π 5π 7π 11π 2 π 2 3 4 6
x
p =2π
O gráfico da função cosseno é chamado cossenoide. Ele continua à direita de 2p e à esquerda de 0 (zero), repetindo o mesmo formato (padrão). O domínio da função y 5 cos x é o conjunto dos números reais, isto é: D(f) 5 R A imagem da função y 5 cos x é o intervalo [21, 11], isto é: 21 < cos x < 1 O período da função y 5 cos x é igual a 2p.
Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico, em que marcamos o arco x. Quando adicionamos 2kp, com k R, ao arco x, obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois a função cosseno é periódica: cos x 5 cos (x 1 2kp), k [ Z De modo geral, o período de uma função do tipo y 5 a 1 b cos (kx), com a [ R, b [ R e k [ R, é dado por: p 5 2π k
Trigonometria no ciclo
l
Capítulo 1 25
Paridade Quando uma função f é tal que f(x) f(x), para todo x do seu domínio, dizemos que f é uma função ímpar. Como sen (2x) 5 2sen x, para todo x real, podemos afirmar que a função seno é ímpar.
Ilustrações: Editoria de Arte
sen
sen x
sen (2x) 5 2sen x
x
O seno é uma função ímpar.
x sen ( x)
Quando uma função f é tal que f(x) f(x), para todo x do seu domínio, dizemos que f é uma função par. Como cos (2x) 5 cos x, para todo x real, podemos afirmar que a função cosseno é par.
cos (2x) 5 cos x
x x
cos
O cosseno é uma função par.
Exemplos 1. Em certas espécies em perfeito equilíbrio ecológico, a variação no tamanho de sua população é periódica. Esse período depende de condições ambientais, como a quantidade de predadores e a quantidade de alimento disponível, entre outros fatores. Em uma ilha, a população P de certa espécie animal é dada pela função: πt P ( t ) 5 500 1 100 cos 3
( )
em que t corresponde aos meses do ano (t 5 1 correspondendo a janeiro). a) Em que meses do ano essa população é mínima? πt b) Esboce o gráfico da função y 5 100cos 3 , dando o período dessa função. c) Esboce o gráfico de P em função de t para a população dessa espécie animal, dando o intervalo de variação dessa população no ano.
( )
Resolução a) Como sabemos que a função cosseno varia entre 21 e 1, a população P será mínima quando cos π t for mínimo, ou seja: cos πt 521 . 3 3
( )
( )
26 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo l
Observando o ciclo trigonométrico, vemos que os valores que possuem cosseno igual a 21 são: p, 3p (p 1 2p), 5p (p 1 4p), 7p, ... cos
( π3t ) 521 X π3t 5 π V t 5 3 (mês de março)
cos
( π3t ) 521 X π3t 5 3π V t 5 9 (mês de setembro)
cos
( π3t ) 521 X π3t 5 5π V t 515 (não serve, pois 1 < t < 12)
( ) ( )
• t 5 3 P (3) 5 500 1 100 ? cos π ? 3 5 500 1 3 1 100 cos π 5 500 2 100 5 400 • t 5 9 P (9) 5 500 1 100 ? cos π ? 9 5 500 1 3 1 100 cos3π 5 500 2 100 5 400 Então, essa população é mínima nos meses de março (3) e setembro (9), com 400 habitantes.
( )
b) Construindo a tabela da função y 5100 cos π t , temos: 3 πt 3
0
0
1
1
π 3
2
2π 3
1 2 21 2
p
21
4π 3 5π 3
21 2 1 2
2p
1
3 4 5 6
cos
πt 3
y =100 cos
y
πt 3
100
100
50
50
2 3
4 5 6
1
250
8
10
250
2100
t
Ilustrações: Editoria de Arte
t
2100
250
p 5 2π 5 2π ? 3 5 6 π π 3 O período da função é p 5 6.
50 100
( ) tem o gráfico parecido com o gráfico de y 5 100cos ( π3t ), mas
c) A função P(t) 5 500 1 100cos π t 3
deslocando cada ponto 500 unidades “para cima”, isto é, no sentido positivo do eixo dos y. y 600
t 5 3 ≤ y 5 2100 ≤ P 5 400 t 5 6 ≤ y 5 100 ≤ P 5 600
500 400 300 200 100
0
2
4
6
8
10 t
A variação da população corresponde à imagem da função P, ou seja: Im 5 [400, 600] A população dessa espécie varia entre 400 e 600 animais.
2. Determine k para que exista o arco que satisfaz a igualdade sen x 5 2k 2 5. Resolução Sabemos que 21 < sen x < 1. Substituindo sen x por 2k 2 5, temos:
(II) 21 < 2k 2 5 < 1 (I)
(I) 2k 2 5 < 1 2k < 6 k 21 2k > 4 k>2
Na reta real: (I) (II) (I) 5 (II)
3 2 2
2 0 4 No ciclo, temos: (II) π π Agora, substituímos z por x 2 : 0 < x 2 4 < π 4
z 0
π
0 z π
(I)
π (I) x 2 4 π
π (II) x 2 4 > 0
x < 5π 4
x> π 4
Na reta real:
5π 4
(I)
π 4
(II) (I) 5 (II)
{
5π D(f) 5 x R | π 4 0}
Trigonometria no ciclo
l
Capítulo 1
41
Consideremos o ciclo trigonométrico da figura. No triângulo retângulo OM’M, pelo teorema de Pitágoras, temos: (MM’)2 (OM’)2 (OM)2 (sen x)2 (cos x)2 12
M
M’’
ou, ainda:
x
sen x cos x 1 2
2
O
Essa relação, denominada relação trigonométrica fundamental, é válida para todos os valores de x, inclusive para aqueles em que o ponto M pertence a um dos eixos.
A M’ OM 1 OM’ cos x OM’’ MM’ sen x
Exemplos
1. Dados cos x 3 , com π2 x π, calcular tg x. 3
Resolução Para calcular tg x, devemos conhecer o valor de sen x e, para isso, usamos a relação sen2 x cos2 x 1: 2 sen2 x 3 1 V sen2 x 3 1 V sen x 6 3 9 3 Como π x π (x 2o quadrante, em que sen x é positivo), temos: sen x 6 2 3 sen x Vamos calcular tg x, usando a relação tg x cos x , temos:
( )
Portanto, tg x 2.
6 3 tgx 6 3 6 2 3 3 3 3 3 tg cot g
2. Simplifique a expressão sec cot g . Resolução sen2 cos2 sen cos 1 tg cotg cos sen cos sen cos sen 1 1 sec cotg 1 cos sen sen cos sen
sen 1 1 sec 1 sec cos cos
A expressão dada é equivalente a sec .
3. Se cos x 14 , calcule o valor de A, sabendo que: A cossec x sec x cotg x 1 Resolução cos x sen x 1 1 cos x sen x sen x cossec x sec x sen x cos x sen x cos x 1 A sen x cos x cos x sen x cos x cotg x 1 cos x cos x sen x 1 sen x sen x Substituindo cos x por 1 , temos: A 1 4 1 4 4
42 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo
Editoria de Arte
9 Relação trigonométrica fundamental
FAÇA NOO N CADER
Exercícios
50. Sendo sen x 53 e π x 32π , calcule:
1 53. (PUC-SP) Sendo cos x m e sen x determine m. { 1, 2}
c) sec x 5 4 d) cotg x 4
a) cos x 4 5 b) tg x 3 4
54. (UEMA) Sendo x um arco do 2 o quadrante
3
e sabendo-se que cos x 1 , calcule o valor de 2 tg x cot g x 4 . 3 y sen x 55. Sendo sen x 23 , com 0 x π2 , calcule o tg x sen x cos x y 8 . valor da expressão y 27 sec x
51. Dado cos x 14 e π2 x π , calcule os va-
lores de sen x e tg x.
sen x
15 4
m 1 , m
; tg x 15
52. (UEPB) Dado sen x 0,6, onde x é um ângulo agudo de um triângulo retângulo, o valor de cotg x cossec x é igual a:
56. (Uneb-BA) Considerando-se sen cos cos m, m 0 e sen cos n , pode-se afirmar 4 que o valor de 2m n é igual a: X a) 2 b) 1 c) 0 d) 2 e) 3
a) 1 b) 5 3 20 X c) 9 3 d) 5 10 e) 9
10 Propriedades dos arcos complementares
(
)
Verificamos que: Esses arcos são complementares, pois x
(
P
P2
π x 2 M
M2 x
)
π x π 2 2
P1
O
M1
Editoria de Arte
Consideremos no ciclo trigonométrico dois arcos cujas medidas π são x e 2 x .
cos x OM1, sen x OM2
(
)
(π )
π cos 2 x OP1 , sen 2 x OP2 Considerando os triângulos OM1M e OP2P, temos: OM OP (r 1) P OP (x) V OM M OP P M1 OM 2 1 2 M OP P (reto) OM 1 2 Temos, ainda: PP2 OP1 e MM1 OM2 . Podemos, então, concluir: O seno do complementar de um arco é igual ao cosseno desse arco.
(
)
OP2 OM1 V sen π x cos x 2
Trigonometria no ciclo
Capítulo 1
43
O cosseno do complementar de um arco é igual ao seno desse arco.
(
)
OP1 PP2 MM1 OM2 V OP1 OM2 V cos π 2 x 5 sen x 2 Assim, também obtemos: sen π 2 x cos x 2 π tg 2 x 5 5 5 cotg x 2 sen x π cos 2 x 2
(
( (
)
(
)
cotg π 2 x 5 2
(
)
sec π 2 x 5 2
(
) )
( (
) )
cos π 2 x sen x 2 5 5 tg x cos x sen π 2 x 2
1 5 1 5 cossec x sen x π cos 2 x 2
)
cossec π 2 x 5 2
(
)
1 5 1 5 sec x cos x π sen 2 x 2
(
)
Exemplo Simplifique a expressão:
(
)
(
sen π 2 x ? cossec π 2 x 2 2 y5 π π cos 2 x ? tg 2 x 2 2
(
Resolução
(
)
) (
)
(
) )
sen π 2 x ? cossec π 2 x 2 2 cos x ? sec x cos x ? sec x cos x ? sec x y5 5 5 5 sec x 5 cos x sen x ? cotg x cos x π π sen x ? cos 2 x ? tg 2 x sen x 2 2
) (
)
FAÇA NOO N CADER
Exercícios
57. Simplifique a expressão:
( ) ( ) ( ) ( )
cos π 2 a ? sen 2 y5 π sen 2 a ? cotg 2
π 2a 2 π 2a 2
X
(
cossec a
π e) sen 2 2 x
58. (UMC-SP) Baseando-se no círculo trigonométrico apresentado na figura a seguir, pode-se afirmar que o
(
)
cos π 2 x 2 valor da expressão 1 sen x
cos x sen π 2 x 2
44 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo l
(
a) 1 b) 2 c) sen x d) cos x
)
M x O
0,6
)
59. Sabendo-se que sen x 5 2 , calcule: a) sen (p 2 x) b) sen (p 1 x)
é: c) cos
( 2π 2 x )
3
2 2 3 2 3 2
2 3
A
Editoria de Arte
(
11 Equações trigonométricas que envolvem artifícios Há equações trigonométricas em que iniciamos sua resolução por meio de algumas transformações, aplicando as propriedades e soluções já vistas, tornando-as equações mais simples de resolver, como nos exemplos a seguir.
Exemplos 1. (Udesc-SC) Um topógrafo em uma atividade de medição de superfície de terra chegou à equação 2 sen2 x 1 1 5 cos x 5 4. O topógrafo solicitou ajuda a um zootecnista para encontrar os possíveis ângulos x. Supondo que você seja esse zootecnista, encontre o conjunto solução desta equação. Resolução
cos x 5 1 2 cos x 5 2 ( esta equação não é válida, pois 21 cos x 1) cos x 5 1 2 |x 1 5 π 1 2 kπ ou x 5 5π 1 2 kπ, k Z 5cosx x5R S De , verificamos naéfigura o2 conjunto 3 3que não válida, pois 1 cos solução x 1) é dado por: cos x 5 2 (2esta equação S 5 x R |x 5 π 1 2 kπ ou x 5 5π 1 2 kπ, k Z 3 3
{ {
1 2
} }
2π
cos
Ilustrações: Editoria de Arte
Inicialmente, vamos encontrar uma equação equivalente de 2o grau em cos x, substituindo sen2 x por (1 2 cos2 x). 2 sen2 x 1 5 cos x 5 4 V 2 · (1 2 cos2x) 1 5 cos x 2 4 5 0 2 2 2 cos2 x 1 5 cos x 2 4 5 0 2 cos2 x 2 5 cos x 1 2 5 0 Em seguida, vamos fazer cos x 5 y. Assim temos: π 60° 1 3 2 cos2 x 2 5 cos x 1 2 5 0 ä 2y2 2 5y 1 2 5 0 ä y’ 5 e y’’ 5 2 2 Por último, voltando à substituição de y por cos x, temos:
π 5π 300° 3 3
2. Resolva a equação sen 3x 5 cos x. Resolução
(
)
Sabendo que cos x 5 sen π 2 x , vamos encontrar uma equação equi2 valente que contém apenas uma função trigonométrica de x:
(
sen 3x 5 cosx X sen 3x 5 sen π 2 x 2
(
sen
p2x
x
)
cos
)
Resolvendo a equação sen 3x 5 sen π 2 x , temos: 2 3x 5 π 2 x 1 2kπ V 4x 5 π 1 2kπ ⇒ x 5 π 1 k π ou 2 2 8 2
(
)
3x 5 π 2 π 2 x 1 2kπ ⇒ 2x 5 π 1 2kπ ⇒ x 5 π 1 kπ 2 2 4
{
}
S 5 x R |x 5 π 1 k π ou x 5 π 1 kπ, k Z 8 2 4
Trigonometria no ciclo
l
Capítulo 1
45
} π 2 kπ π kπ 1 ou x 5 1 2 ,k Z 6 3 2 3 xR|x5
{
63. x 5
7π 11π π 3π 5π 7π ou x 5 ou x 5 ou x 5 ou x 5 ou x 5 6 6 4 4 4 4
60. (Faap-SP) Resolva,no intervalo 0 < x , 2p,a equação: 1 2 sen x 1 cos2 x 5 0 π2
π 3π a) 4 , 4
3π d) 4 , π
61. (UFC-CE) Encontre as soluções da equação: x 5 6
b) π 3π 2
e) 3π , 7π 2 4
{}
π
9 2 2 cos2 x 5 15 sen x, no intervalo 2 π , π . 2 2 62. (Cefet-MG) Resolva a equação: cos2 (3x) 1 2 sen2 (3x) 5 2
X
63. (Fuvest-SP) Determine as soluções da equação (2 cos2 x 1 3 sen x) (cos2 x 2 sen2 x) 5 0 que estão no intervalo [0, 2p].
64. (Mack-SP) A equação 1 1 tg2 x 5 cos x tem uma solução pertencente ao intervalo:
c) 7π , 9π 4 4
{
π 5 π 9 π 13 π 3π 7 π , , , , , 8 8 8 8 8 8
}
65. Sabendo que x [0, 2p], resolva a equação
(
2x cos 3x 5 sen x. Faça sen x 5 cos π 2 66. (Ufop-MG) Resolva a equação: 7 π 3 tg2 x 1 5 5 cos x , x 0, 2 .
).
{} π 3
12 Fórmulas da adição de arcos Cálculo de sen (a 1 b) e cos (a 1 b) Sejam a e b dois arcos positivos, do 1o quadrante, cuja soma pertence também ao 1o quadrante, ou seja: 0,a, π 0,b, π 0 , a 1b , π 2 2 2 No ciclo trigonométrico ao lado, destacamos:
B
os arcos a 5 AM e b 5 MD;
D b
a 5 d (ângulos agudos e lados perpendiculares);
d
PS 5 QR e SR 5 PQ (lados opostos de um retângulo).
Com base nessa figura, vamos calcular sen (a 1 b) e cos (a 1 b) em função dos valores do seno e do cosseno dos arcos a e b.
S b a O
R
M a
P
Q
Editoria de Arte
62.
Exercícios
FAÇA NOO N CADER
A
sen (a b) No triângulo retângulo OPD: sen (a 1 b) 5 PD 5 PS 1 SD sen (a 1 b) 5 QR 1 SD (I) QR V QR 5 OR ? sen a (II) No triângulo retângulo OQR: sena 5 OR No triângulo retângulo DRS: send 5 DS V SD 5 DR ? cos d V SD 5 DR ? cos a DR Substituindo (II) e (III) em (I), temos: sen (a 1 b) 5 OR ? sen a 1 DR ? cos a (IV)
(III)
No triângulo retângulo ORD: OR 5 cos b e DR 5 sen b Desse modo, a igualdade (IV) pode ser escrita: sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a
cos (a b) Usando um procedimento análogo, podemos demonstrar a seguinte fórmula para o cosseno da soma de dois arcos a e b, nas condições estabelecidas: cos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b
46 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo l
Essas duas fórmulas foram demonstradas para arcos a e b do 1o quadrante, cuja soma (a 1 b) também pertence ao 1o quadrante. Entretanto, assim como as fórmulas a seguir, elas se verificam para quaisquer que sejam a e b, pois são fórmulas que permitem determinar o seno e o cosseno da soma de dois arcos, a e b, quando são conhecidos os valores do seno e do cosseno desses arcos.
sen (a b) Observe que: (a 2 b) 5 [a 1 (2b)] sen (2b) 5 2sen b (seno é uma função ímpar) cos (2b) 5 cos b (cosseno é uma função par) Da fórmula da soma, temos: sen (a 2 b) 5 sen [a 1 (2b)] 5 sen a ? cos (2b) 1 sen (2b) ? cos a sen (a 2 b) 5 sen a ? cos b 2 sen b ? cos a
Então:
cos (a b) Da fórmula da soma, temos: cos (a 2 b) 5 cos [a 1 (2b)] 5 cos a ? cos (2b) 2 sen a ? sen (2b) cos (a 2 b) 5 cos a ? cos b 1 sen a ? sen b
Então:
Cálculo de tg (a b) e tg (a b) As relações a seguir são válidas para os valores de a, b e a 1 b que pertencem ao domínio da função tangente, ou seja: a π 1 kπ, b π 1 kπ , (a 1 b) π 1 kπ, com k Z 2 2 2
tg (a b)
sen(a 1 b) Sabemos que: tg (a 1 b) 5 cos (a 1 b)
Vamos, então, desenvolver o segundo membro: tg (a 1 b) 5 sena ? cosb 1 senb ? cos a cos a ? cosb 2 sena ? senb Dividindo o numerador e o denominador do segundo membro por cos a ? cos b, com cos a ? cos b 0, temos: sena ? cosb senb ? cos a sena senb 1 1 cos a ? cosb cos a ? cosb cos a cosb V tg (a 1 b) 5 cos a ? cosb sena ? senb sena senb 2 12 ? cos a ? cosb cos a ? cosb cos a cosb Como
sena senb 5 tg a e 5 tg b, temos: cos a cosb
tg (a 1 b) 5
tg a 1 tg b 1 2 tg a ? tg b
tg (a b) Lembrem-se de que tg (2b) 5 2tg b, pois a tangente é uma função ímpar. tg (a 2 b) 5 tg [a 1 ( 2 b)] 5 Assim, temos: tg(a 2 b) 5
tg a 1 tg ( 2 b) 1 2 tg a ? tg ( 2 b)
tg a 2 tg b 1 1 tg a ? tg b
Essa relação é válida para os valores de a, b e a 2 b que pertencem ao domínio da função tangente, como já vimos anteriormente. Essas duas fórmulas permitem determinar, respectivamente, a tangente da soma e da diferença de dois arcos, a e b, quando são conhecidos os valores das tangentes desses arcos.
Trigonometria no ciclo
l
Capítulo 1
47
Exemplos 1. Calcule o sen 105° Resolução Vamos tentar escrever 105° como a soma de ângulos cujos senos e cossenos são conhecidos. Assim: sen 105° 5 sen (45° 1 60°) Aplicando a fórmula do seno de uma soma, temos: sen (45° 1 60°) 5 sen 45° ? cos 60° 1 sen 60° ? cos 45° 21 6 3 2 6 2 sen ( 45º 1 60º ) 5 22 ? 1 2 1 2 ? 2 V sen ( 45º 1 60º ) 5 4 1 4 5 4 21 6 4 2. Calcule o cos 15°. Então: sen 105º 5
Resolução Vamos tentar escrever 15° como a diferença de ângulos cujos senos e cossenos são conhecidos. Assim: cos 15° 5 cos (45° 2 30°) Aplicando a fórmula do cosseno da diferença, temos: cos (45° 2 30°) 5 cos 45° ? cos 30° 1 sen 45° ? sen 30°
(
)
(
)
Exercícios 67. Resolva o sistema:
FAÇA NOO N CADER 100 m π π S 5 0 , , , 0 2 2
sen x 1 sen y 51 π x 1 y 5 , com x, y [0, 2π ] 2
68. Calcule a tg 165º. 2 2 1
3
69. (EsPCEx-SP) O valor da expressão cos15º 1 cos 75º sen15º 1 sen 75º é igual a: 1 sen 15º cos15º a) 3 c) 5 e) 7 b) 4 d) 6 X
70. (FGV-SP) O muro de uma barragem tem a forma da figura a seguir. De um lado, uma rampa de 100 m de comprimento fazendo ângulo de 20° com o plano horizontal. Do outro lado, uma rampa de comprimento x fazendo ângulo de 40° com o plano horizontal.
48 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo l
x 40°
20°
Ilustrações: Editoria de Arte
61 2 cos 45º 2 30º 5 2 ? 3 1 2 ? 1 V cos 45º 2 30º 5 6 1 2 5 2 2 2 2 4 4 4 61 2 Então: cos 15º 5 4
Dados: I. sen 20° 5 0,342, cos 20° 5 0,940 e tg 20° 5 0,364 II. sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a O valor de x é aproximadamente: a) 53 m b) 57 m c) 61 m d) 65 m e)70 m X
71. (UFSC) Sejam a e b os ângulos centrais associados, respectivamente, aos arcos AN e AM na circunferência trigonométrica da figura 1 e considere x na figura 2, a seguir. Determine o valor de y 5 15x4, sabendo que a 1 b 5 π ? 60 2 N
O
M A P Q
OA χ 1 x
PN χ QM χ Figura 1
Figura 2
OP OQ
72. (Fuvest-SP) Sejam x e y dois números reais, com 0 , x , π e π , y , p, satisfazendo sen y 5 4 e 2 2 5 11 sen x1 5 cos (y 2 x) 5 3. Nessas condições, determine: b) sen 2x 120 a) cos y 2 3 5
169
Alberto De Stefano
73. (UFPel-RS) São cada vez mais frequentes construções de praças cujos brinquedos são montados com materiais rústicos. A criatividade na montagem de balanços, escorregadores e gangorras de madeira vem proporcionando uma opção de lazer para as crianças. A figura abaixo mostra um brinquedo simples que proporciona à criançada excelente atividade física. A
B
C
Considerando os textos, a distância AB e AC � igual a 75° e seus conheigual a 2,0 m, o ângulo BAC cimentos, determine: a) a distância de B até C. 2,4 m b) a altura do triângulo ABC, relativa ao lado BC . 1,6 m
π
74. (UFPR) Considere x, y 0, 2 tais que sen x 5 3 e sen y 5 4 . 5 5 a) Calcule os valores de cos x e cos y.
cos x 5
4 3 e cos y 5 5 5
b) Calcule os valores de sen (x 1 y). 1
75. (IMT-SP) Resolva a equação
(
) (
sen x 2 π cos x 2 π 4 4
)5
6 , para 0 , x , 2p. 2
{
76. Calcule: a) tg 15°
2π π , 3 3
}
22 3
(
b) tg π 1 π 4 3
)
22 2 3
77. Calcule tg x, sabendo que tg (x 1 30°) 1 tg (60° 2 x) 5 2.
22 3
78. (PUC-SP) Se tg (x 1 y) 5 33 e tg x 5 3, calcule tg y.
3 10
79. (AFA-SP) Um aro circular de arame tem 5 cm de raio. Esse aro é cortado e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 24 cm. O valor do seno do ângulo central (agudo), que o arco formado pelo arame determina na polia, é: a)
6 2 4
2
X c)
6 1 4
2
b)
6 1
2
d)
6 1 2
2
13 Fórmulas da multiplicação de arcos Este item trata da aplicação das fórmulas da adição (a 1 b) de dois arcos. Nelas, faremos b 5 a, obtendo as fórmulas para o arco 2a.
sen 2a Sabemos que: sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a Fazendo b 5 a, temos: sen (a 1 a) 5 sen a ? cos a 1 sen a ? cos a Então: sen 2a 5 2 ? sen a ? cos a
cos 2a Sabemos que: cos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b Fazendo b 5 a, temos: cos (a 1 a) 5 cos a ? cos a 2 sen a ? sen a Então: cos 2a 5 cos2 a 2 sen2a
Trigonometria no ciclo
l
Capítulo 1
49
tg 2a Sabemos que: tg (a 1 b) 5
tg a 1 tg b 1 2 tg a ? tg b
Fazendo b 5 a, temos: tg (a 1 a) 5
tg a 1 tg a 1 2 tg a ? tg a
Então: tg 2a 5
2 tg a 1 2 tg2 a
Essas fórmulas são chamadas de fórmulas do arco duplo.
Exemplos 1. Determine as medidas dos ângulos e do lado AB de um triângulo ABC, em que AC 5 1, BC 5
3e a
medida do ângulo � A é o dobro da medida do ângulo B . Resolução A ) 5 2x B ) 5 x e med ( � Consideremos: med ( � Usando a Lei dos Senos, temos:
b 1
3 sen x
2 ? sen x ? cos x 5 3 ? sen x 2 ? sen x ? cos x 2 3 ? sen x 5 0
( sen x ) ? ( 2 cos x
2
a5 3
2x A
x c ?
3) 5 0
Então, obtemos: sen x 5 0 V x 5 0° ou x 5 180° (nenhuma dessas soluções satisfaz, pois não haveria triângulo) ou 3 V x 5 30° ou x 5 330° (não satisfaz) 2 Logo, a única solução válida é: x 5 30° B ) 5 30° e med ( � A ) 5 60° Assim, temos: med ( � � Para calcular med ( C ) , temos: A ) 1 med ( � C ) 5 180° V 30° 1 60° 1 med ( � C ) 5 180° med ( � B ) 1 med ( � C ) 5 90° med ( � Logo, o triângulo ABC é triângulo retângulo. 2 Cálculo de c (aplicando o teorema de Pitágoras): c2 512 1 ( 3 ) V c 5 4 5 2 A ) 5 60°, med ( � C ) 5 90° e c 5 2. Portanto, med ( � B ) 5 30°, med ( � 2 ? cos x 2 3 5 0 V cos x 5
2. Conhecendo-se, sen a 5 45 , 0 , a , π2 , calcule: a) sen 2a
b) cos 2a
Resolução 1 cos2 a 5 1 a) sen2 a 1 cos2 a 5 1 V 16 25
(
)
3 0 , a , π cos2 a 5 9 V cos a 5 5 25 2 4 sen2a 5 2sen a ? cos a V sen2a 5 2 ? ? 3 V sen2a 5 24 5 5 25
50 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo l
Editoria de Arte
3 5 1 V sen2x 5 sen2x sen x
C
c) tg 2a
B
() () 2
2
4 b) cos2a 5 cos2a 2 sen2a V cos2a 5 3 5 2 5 7 cos2a 5 9 2 16 V cos2a 5 2 25 25 25 4 sen a c) tg a 5 5 5 5 4 cos a 3 3 5 8 2? 4 2 tg a 3 tg2a 5 5 3 V tg2a 5 2 24 V tg2a 5 16 27 7 1 2 tg2 a 12 9 9 3. Resolva a equação sen 2x 2 sen x 5 0. Resolução
De acordo com a figura ao lado, temos: 5π π x 5 3 1 2kp ou x 5 3 1 2kp, k Z
{
π 3
A O
1 2
Ilustrações: Editoria de Arte
Vamos substituir, na equação dada, sen 2x por 2 ? sen x ? cos x: sen 2x 2 sen x 5 0 V 2 ? sen x ? cos x 2 sen x 5 0 sen x (2 cos x 2 1) 5 0 Então, obtemos: sen x 5 0 V x 5 kp, k Z, ou 1 2 cos x 21 5 0 V 2 cos x 5 1 V cos x 5 2
5π 3
}
S 5 x R |x 5 kπ ou x 5 π 1 2kπ ou x 5 5π 1 2kπ, k Z 3 3
Exercícios
FAÇA NOO N CADER
80. Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100 m, como mostra o esquema. torre
1
83. Sabendo que cos x 5 2 e cos y 5 3 com 2
observador 2x
x 160 m
4x
100 m
A altura da torre, em metro, equivale a: X a) 96 b) 98 c) 100 d) 102
81. (UFPB) Sabendo que cotg x 5 12 , o valor da tg 2x
é igual a: a) 2 1 2 b) 4 5
82. (IESP-PB) A soma de todas as soluções reais da equação sen 2x 5 cos x no intervalo [0, 2p] é: a) p e) 5p X c) 3p b) 2p d) 4p
c) 4 3 d) 21
X e)
24 3
0 , x , π e 0 , y , π , calcule cos (x 1 2y). 2 2
2
1 2
84. (Uni-Rio-RJ) Considerando o corpo humano como uma partícula, o salto em distância por seres humanos pode ser modelado como o movimento de um projétil onde a amplitude A do salto, em metro, é função da velocidade V0 no início do salto, em metro por segundo, e V2 do ângulo £ de saída da seguinte forma: A 5 0 sen 2θ. g A figura a seguir faz uma representação do salto e das variáveis do modelo.
Trigonometria no ciclo
l
Capítulo 1
51
Editoria de Arte
www.demotu.org/pubs/BrPt02.pdf
86. (Vunesp-SP) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo a, conforme a figura. x α 36 m
Considerando g 5 10 m2 e sabendo que um s atleta realizou um salto com velocidade V0 5 10 m2 e s 12 ângulo £ tal que cos £ 5 , determine a amplitude 13 desse salto. 7
85. (Ufop-MG) Resolva a equação trigonométrica sen x 1 sen 2x 5 0, para x [2p, p]. S 5 0, 2π , π , 4π
{
3
3
}
a) Admitindo-se que sen a 5 3 , calcule a distância x. x 5 48 m 5 b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo a passou exatamente para 2a, calcule a nova distância x’ a que o barco se encontrará da base do farol. x’ 5 10,5 m
14 Identidades trigonométricas Consideremos uma igualdade da forma f(x) 5 g(x), na qual f(x) e g(x) são funções trigonométricas. Se essa igualdade é válida para qualquer valor real de x para os quais os valores das funções f e g existem, dizemos que f(x) 5 g(x) é uma identidade trigonométrica. Observe: A igualdade cos2 x 5 1 2 sen2 x é válida para qualquer x real.
Logo, é uma identidade trigonométrica. A igualdade cotg x 5
1 é válida para todo x kπ , k Z. 2 tg x
Logo, é uma identidade trigonométrica. Para provar uma identidade trigonométrica, podemos empregar qualquer uma das relações trigonométricas já estudadas nesta unidade (e que são, também, identidades) e escolher um dos seguintes processos de demonstração: 1o processo: Partimos de um membro de identidade (geralmente o mais complicado) e chegamos ao outro membro. 2o processo: Transformamos o 1o membro f(x) de em uma função h(x) e, separadamente, transformamos o 2o membro g(x) também na função h(x), levando em consideração a propriedade: f(x) 5 h(x) g(x) 5 h(x)
52 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo l
V f(x) 5 g(x)
Exemplos 1. Demonstre a identidade (1 1 cotg2 x) ? (1 2 cos2 x) 5 1. Resolução Vamos reescrever a expressão do 1o membro utilizando apenas as funções sen x e cos x. Depois, aplicaremos a relação sen2 x 1 cos2 x 5 1 para chegar ao 2o membro:
2
cos x 2 (1 1 cotg2 x ) (1 2 cos2 x ) 5 1 1 sen 2 ( 1 2 cos x ) 5 x
sen2 x 1 cos2 x ( 1 − cos2 x ) 5 12 ? sen2 x 5 1 5 sen2 x sen x
Assim, fica demonstrada a identidade (1 1 cotg2 x) ? (1 2 cos2 x) 5 1
2. Demonstre a identidade tg x 1 cotg x 5 tg x ? cossec 2 x. Resolução Considerando f(x) 5 tg x 1 cotg x e g(x) 5 tg x ? cossec 2 x, vamos expressar essas funções em sen x e cos x. f(x) 5 tg x 1 cot g x 5 g(x) 5 tg x ? cos sec2 x 5
sen x cos x sen2 x 1 cos2 x 1 5 1 5 cos x sen x cos x ? sen x cos x ? sen x sen x 1 ? 1 5 cos x sen2 x cos x ? sen x
Como f(x) 5 g(x), está demonstrada a identidade. sen2 x 5 1 2 cos x 3. Demonstre a identidade: 1 1 cos x Resolução
(
)(
)
11 cos x 12 cos x sen2 x 12 cos2 x 5 5 5 12 cos x cos 1 1 11 cos x x 11 cos x g(x) f(x)
Como f(x) 5 g(x), está demonstrada a identidade.
Exercícios
FAÇA NOO N CADER
87. Demonstre que: Respostas no final do livro.
89. Prove que: Respostas no final do livro.
cos x sen x 1 5 1 sec x cos sec x sec a 2 cos a b) cos sec a 2 sen a 5 tg3 a
a) cos (60° 2 x) 1 cos (60° 1 x) 5 cos x 1 1 tg x sen ( 45° 1 x ) b) 5 1 2 tg x sen ( 45° 2 x )
88. Demonstre que: Respostas no final do livro.
1 ? sen2 ( x ) é: 1 2 cos2 ( x ) ? tg2 ( x ) 2 e) 22 a) sec2 (x) X c) 2cos (x) 2 b) sen (x) d) 2
a)
a) cos x · (1 2 tg x) 1 sen x · (1 2 cotg x) 5 0 1 2 tg x cos2 x 2 sen2 x 5 b) 11 tg x sec2 x
90. (Esal-MG) Uma expressão equivalente para
Trigonometria no ciclo
l
Capítulo 1
53
15 Inequação trigonométrica Toda inequação envolvendo uma função trigonométrica com arco desconhecido denomina-se inequação trigonométrica. Assim, são inequações trigonométricas: sen x 1 cos x 3 2 sen2 x sen x 0 tg x 1 2 2 Os valores de x que satisfazem a inequação formam o conjunto solução da inequação.
Exemplos 1. Volte à situação do problema da profundidade de um rio, exemplo 1 do item 6, que pode ser calculada com base em funções trigonométricas. • Por causa das variações das marés oceânicas, a profundidade de certos rios varia periodicamente em função do tempo. Suponha que determinado rio tenha sua profundidade indicada pela função d(t) 3 sen π t − 4 8, em que d é sua profundidade em metro e t é a hora do dia (sendo t 0 à 6 meia-noite e t medido na forma 24 h). Em quais períodos do dia a profundidade desse rio é maior que 9,5 m?
(
)
Resolução Para resolver esse problema, fazemos:
)
(
)
(
)
(
)
Então: sen π t − 4 1 V π 2kπ π ( t 4 ) 5π 2kπ 6 6 6 6 2 ( ) π 12kπ π t 4 5π 12kπ 6 6 6
6 π
1 2
Ilustrações: Editoria de Arte
(
d 9,5 V 3 sen π t − 4 8 9,5 V sen π t − 4 9,5 8 V π t − 4 1 2 3 6 6 6 π π 5 1 Use o ciclo trigonométrico e lembre-se de que sen 6 sen 6 2 . sen π 5π Assim, os valores desejados estão entre 6 e 6 (no quadrante). 5π
π 6
cos
1 12k t 4 5 12k 5 12k t 9 12k Para k 0 ä 5 t 9 ä entre 5 h e 9 h. Para k 1 ä 17 t 21 ä entre 17 h e 21 h. Note que k não pode assumir valores negativos ou maiores que 1, pois 0 t 24. Portanto, os períodos em que a profundidade do rio é maior que 9,5 m são entre 5h e 9h e entre 17h e 21h.
2. Resolva a inequação cos x
2 , com 0 x 2π. 2
π 2
Resolução Um bom caminho para a resolução dessa inequação é marcar, no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos cujo cosseno é 2 . Em seguida, 2 destacar os arcos que têm cosseno menor que 2 . 2 Observando a figura, concluímos que: cos x 2 V π x 7π 2 4 4 7π π Portanto, S x R | 4 x 4
{
54 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo
}
π 4
π
0 O
3π 2
2 2 7π 4
Exercícios
FAÇA NOO N CADER
91. Resolva as seguintes inequações trigonométricas, no intervalo 0 < x < 2p: Respostas nos final do livro. a) 2 sen x > 21 1 b) cos x > 2 c) sen x , 1 2 2 d) cos x 2 92. (Fuvest-SP) Determine os valores de x no intervalo ]0, 2p[ para os quais cos x > 3 ? sen x 1 3.
3π x 2
93. (Unicamp-SP) Ache os valores de x, com 0 < x <
94. (Ufla-MG) Os valores de x com 0 < x < 2p que satis-
(
)
1 fazem à desigualdade sen x 2 2 ( sen x 2 2) 0 são: π a) 0 < x < 2 π b) 2 < x < p π 5π X c) 6 < x < 6 π 6 d) 4 < x < π 4 3 π 11π e) p < x < 2 6
95. Resolva a inequação 2 cos2 x 1 3 cos x 1 1 0,
< 360°, tais que 2 cos2 x 1 5 sen x 2 4 > 0. {x R |30° x 150°} sendo x [0, 2p[.
{
xR|0
