Matematica CL A 12-A Mircea Ganga PDF

 

CUPRINS

.............................. .............................. .............................. .......................... ........... 3 ELEMENTE DE ALGEBRĂ ............... 1. GRUPURI ............................... .............................................. .............................. .............................. .............................. .......................... ........... 5 Lege de compoziţie internă ............... .............................. .............................. .............................. .................. ... 5 •  •  Parte stabilă .............. ................................ ................................. .............................. .............................. ......................... .......... 8 Proprietăţi generale ale legilor de compoziţie ............. ............................ .................... ..... 12 •  •  Structuri algebrice ................ ............................... .............................. .............................. ............................. .............. 3 34 4 Monoizi .......................... ........................................ ............................. .............................. ............................ ............. 35 •  •  Grupuri .............. ................................ ................................. .............................. .............................. ...................... ....... 37 •  Subgrupuri ................................. ............................................... ............................. .............................. ................. .. 67 •

finite .............. ................................ ................................. .............................. ............................ ............. 76   Grupuri   Morfisme şi izomorfisme de grupuri ................................. ............................................... .............. 89 ................................................ .............................. ........................... ............ 118   Teste de evaluare .................................

•

•

2. INELE

................................................ .............................. .............................. ................. 123 ŞI CORPURI .................................

  Inele ............... .............................. ................................. ................................. .............................. .............................. ................. .. 124   Probleme propuse ................................ ............................................... .............................. ................... .... 142 ........................................... .............................. .............................. .............................. ................. .. 145   Corpuri ............................   Probleme propuse ................................ ............................................... .............................. ................... .... 163 ................................ 164   Morfisme şi izomorfisme de inele şi corpuri ................................   Probleme propuse ................................ ............................................... .............................. ................... .... 174

•

•

•

•

•

•

  Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ ............ 179   Probleme propuse ................................ ............................................... .............................. ................... .... 252   Teste de evaluare ................................. ................................................ .............................. ........................... ............ 267

•

•

•

INDICAŢII

 

 

ŞI RĂSPUNSURI ............... ................................. ................................. .............................. .................... ..... 271

1

 

 

2

ELEMENTE DE ALGEBRĂ 

   

3

   

4

1. GRUPURI Acest capitol conţine informaţii despre noţiunea de lege de compoziţie (notată generic „ ∗ “) pe o mulţime nevidă  ( M   M ) şi principalele proprietăţi ale acesteia. Acest concept este ilustrat prin exemple întâlnite în anii precedenţi. Cuplul ( M  , ∗)  este o structură algebrică: monoid, grup. Noţiunea de grup este una fundamental ă  în matematică, având aplicaţii în diverse domenii: teoria ecuaţiilor algebrice şi a ecuaţiilor diferenţiale, teoria relativităţii, cristalografiei, teoria informaţiei, etc. Ca grupuri remarcabile figurează: grupurile de matrice, grupurile de transformări (care sunt grupuri infinite), grupuri de permutări, grupul claselor de resturi, grupul rădăcinilor de ordin  n  ale unităţii (care sunt grupuri finite) etc. Se defineşte conceptul de izomorfism de grupuri. Două astfel de grupuri se bucură de aceleaşi proprietăţi algebrice. Pentru grupurile finite izomorfe tablele lor sunt la fel organizate. Fiecare concept introdus beneficiază  de probleme rezolvate diverse precum şi de un set consistent de probleme propuse (cele mai multe fiind date la bacalaureat sau admitere în facultăţi  în ultimii ani). ani). Istoric. Istoric. No  Noţiunea de grup a fost utilizată pentru prima dată  PIONIER AL MATEMATICII de matematicianul francez Evariste Galois (1811-1832) Evariste GALOIS (1811 – 1832) (mort în duel la vârsta de 21 ani), care este adevăratul Matematician francez creator al teoriei grupurilor. Ideile teoriei grupurilor „erau  în aer“ (cum se întâmplă  adesea cu ideile matematice fundamentale) înainte de Galois, şi anumite teoreme ale ă naiv teoriei grupurilor au fost demonstratelui subGalois o formn-au  de Lagrange (1736-1813). Contemporanii înţăeles şi deci nici apreciat lucrările sale geniale. Ei nu s-au interesat decât după  apariţia în 1870 a cărţii lui Jordan „Traité des substitutions et des équations algébriques“. De abia la sfârşitul secolului al XIX-lea în teoria grupurilor, „fantezia a fost definitiv abandonată pentru a face loc unei preg ătiri atente a scheletului logic“ (F. Klein „Conferinţe asupra dezvoltării matematicilor secolului al XIX-lea“). Matematicianul englez Arthur Cayley (1821-1895), unul dintre cei mai prolifici matematicieni (cu studii la celebrul Trinity College of Cambridge University, a scris peste 200 de articole) a fost printre primii care a descris grupurile abstracte. ●  Lege de compoziţie internă ...............5

●  Grupuri.................... Grupuri ......................................37 ..................37

●  Propriet Parte stabil .......................................8 ăţi ăgenerale ale legilor de compoziţie.........................................12 ●  Structuri algebrice ..........................34 ..........................34 ●  Monoizi ...................... ......................................35 ................35

●  Subgrupuri.................................76 ●  Grupuri finite...................................76 finite...................................76 ●  Morfisme şi izomorfisme de grupuri....................... grupuri .........................................89 ..................89 ●  Teste de evaluare ...........................118 ...........................118

COMPOZIŢIE INTERNĂ 1.1. LEGE DE COMPOZIŢ INTERNĂ  Conceptul care urmează a fi prezentat l-am întâlnit încă din gimnaziu, f ără a-l defini în termenii folosiţi în acest paragraf, iar mai târziu, în anii de liceu preceden ţi, l-am

 

5

 

extins pentru alte categorii de mulţimi. Acum vom interpreta lucrurile învăţate în ceilalţi ani dintr-un punct de vedere mai abstract.

Reamintim că  dată  fiind o mulţime nevidă   M   prin produsul cartezian  M × M     înţelegem mulţimea tuturor perechilor de elemente ( x, y) (prima componentă este x, iar cea de-a doua este y) când  x, y ∈ M  , adică  M × M = {( x, y ) x, y ∈ M } .

Definiţie. Fie  M   o mulţime nevidă. Se numeşte opera Definiţ operaţţie algebrică algebrică  binarăă  (sau lege de compoziţ binar compoziţie internă internă  sau simplu  lege de compoziţ compoziţie) definită  pe  M   o aplicaţie  f : M × M → M  , care asociază  fiecărei perechi ( x, y) ∈ M × M   un unic element  f ( x, y ) ∈ M  . Elementul  f ( x, y )  se numeşte compusul lui x cu y.  Aşadar, la orice pereche (cuplu) ( x, y) ∈ M × M = M 2 , această  operaţie face să  aceeaşi mulţ mulţime  M. Uneori în loc de corespundă în mod unic elementul  f ( x, y )   din aceeaş  f ( x, y )  se scrie  xfy , dar cel mai des se desemnează operaţia binară  pe  M  printr-un   printr-un simbol special: ∗, ,   ⊥,  , ∪, ∩, ⊕, •, ...  . Urmând această cale vom numi  x ⋅ y  (sau simplu  xy , f ără nici un semn între  x  şi  y) M  . + y  suma şi  xvom , yă∈ multiplicativ produsul În primul caz spune  elementelor c ă legea este xdat , iar în al doilea aditiv. Se înţelege că, în majoritatea cazurilor, aceste denumiri sunt convenţionale. În general, pe o mulţime  M  se   se pot defini mai multe operaţii diferite. Când dorim să  punem în evidenţă  una dintre ele vom utiliza parantezele ( M  , ∗)   şi vom spune că  structurăă algebric  algebricăă sau că  ( M  , ∗)  este un sistem operaţia ∗  conferă  mulţimii  M   o structur algebric. De exemplu, pe mulţimea    pe lângă  operaţiile +, ⋅   (adunarea şi înmulţirea numerelor întregi) putem defini şi alte operaţii „derivate“:  x  y  = x + y − 2 xy, x ∗ y = − x + y, x ⊥ y = −x − y + xy  etc. care se obţin cu ajutorul operaţiilor + (sau –) şi ⋅ . Rezultă  astfel structuri algebrice diferite:

(, +), (,⋅), (, ),(, ∗),(, ⊥) . Aşa cum vom vedea în capitolele care urmează, vom clasifica structurile algebrice după: • num număărul de legi de compoziţ compoziţie; proprietăţ ăţile ile acestor operaţ operaţii.  • propriet  

 

Exemple cunoscute de legi de compoziţie 1.  Adunarea pe    (mulţimea numerelor naturale) este aplicaţia + :  ×  →    care asociază  1.  cuplului ( , y )   elementul  x + y   (suma dintre  x  şi  y). Vom marca această  corespondenţă  prin

( , y ) → x + y .

   

6

2. Înmul  Înmulţţirea pe   este aplicaţ aplicaţia ⋅ : ×  →   dat  datăă de corespondenţ corespondenţa ( x , y ) → x ⋅ y . 2. 3.  (mulţţimea matricelor pă pătratice de ordin  n cu elemente numere complexe) 3.   Adu duna nare reaa pe M n (  )  (mul este definită definită prin + : M n ( ) ×Mn ( ) → Mn (), ( A, B ) → A + B . 4. Înmulţţirea pe M n (  )  este aplicaţ 4. Înmul aplicaţia definită definită pr  prin ⋅: M n ()×Mn () → Mn (), ( A, B ) → AB . 5. 5.  Reuniun iunea pe P ( M )  (mul  (mulţţimea pă părţilor lui M ; reprezintă reprezintă toate submulţ submulţimile lui M ) este definită definită  prin: ∪ : P ( M )× P ( M ) → P ( M ), ( A, B ) → A ∪ B . 6. Intersec definită prin ∩ : P ( M )× P ( M ) → P ( M ), ( A, B ) → A ∩ B.   6. Intersecţţia pe P ( M )  este definită 7.   Compunerea pe F ( M )   (mulţ (mulţimea funcţ funcţiilor definite pe  M   cu valori în  M ) este aplicaţ aplicaţia 7.  : F ( M ) × F ( M ) → F ( M ), ( f , g ) → f  g . Desigur că că exemplele pot continua cu alte legi de compoziţ compoziţie întâlnite în anii precedenţ precedenţi.

Tabla operaţ operaţiei (legii) Dacă  mulţimea  M  este   este finit finităă, atunci operaţia algebrică  ∗  pe  M  poate   poate fi dată prin aşa numita tabl tablăă a operaţ operaţiei (sau tabla lui Cayley). Într-adevăr, dacă  M = {a1, a2 , ..., a  n } , atunci tabla operaţiei arată astfel: UN PIONIER AL MATEMATICII ∗

a1

a2



a j



an

a1

a1 ∗ a1

a1 ∗ a2



a1 ∗ a j



a1 ∗ an

a2

a2 ∗ a1

a2 ∗ a2

 a2 ∗ a j

 a2 ∗ an















ai

ai ∗ a1

ai ∗ a2



ai ∗ ai



ai ∗ an















an

an ∗ a1

an ∗ a2

 an ∗ a j

 

 an ∗ an

În acest tabel elementul ai ∗ a j  este situat pe linia i  şi coloana j. Dacă notăm aij = ai ∗ a j , atunci putem

CONTRIBUŢ CONTRIBU ŢII

gândi tabla operaţiei ca o matrice  A = (aij )

• teoria matricelor • teoria grupurilor

ij =1,n

1 1

−1

i

−i

−1

i

−i

−1 −1

1

−i −1

⋅

1

 

 

Arthur CAYLEY (1821 – 1895) Matematician englez

i

i

−i

−i

−i

i

i 

1 1 −1

.

Dacă  luăm  M = {1, −1, i, −i}   cu operaţia de înmulţire, atunci avem tabla legii prezentată  alăturat. Alcătuiţi tabla legii pe mulţimea M  în  în cazurile: 1)  M = {1, 22,, 33,, 4, 4, 55,, 66}}, x ∗ y = min{x, y} ; 2)  M = {1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6}, x  y = c.m.m.d.c.{x, y} .

7

1.2. PARTE STABILĂ  Dacă  ( M  , ∗)  este o structură algebrică, iar  H  este  este o submulţime nevidă a lui M , atunci pentru  x.y ∈ H   elementul  x ∗ y  poate să fie în mulţimea H  sau  sau să fie în afara ei, adică   în M   –– H .

Definiţie. Dacă  pentru orice  x, y ∈ H  , compusul  x ∗ y  aparţine tot lui  H , Definiţ atunci spunem că H    H  este  este parte stabilă stabilă a lui M  în  în raport cu operaţ operaţia ∗ .  Deci,

∅ ≠ H ⊂ M   este parte stabilă a lui M  în  în raport cu ∗ ⇔ [ ∀ x, y ∈ H  ⇒  

⇒ x ∗ y ∈ H ] (fig. 1)

În raport cu adunarea,   este parte stabilă a lui  ,   este parte stabilă a lui   etc. Analog, în raport cu adunarea matricelor Mm,n (  )   este parte stabilă a lui Mm,n (  ) , Mm,n (  )  este parte stabilă a lui Mm,n (  )  etc.  I

S 

M

H   x

 x ∗ y  

 y

ţimea funcţiilor Dacă  definite ( M ), ( M     cu mulîn  M şi respectiv injective pe) M   sunt cu valori mulţimea funcţiilor surjective de la  M  la  l a  M , atunci  x, y ∈ H ⇒ x ∗ y ∈ H    acestea sunt părţi stab abiile ale lui lui F ( M )  în raport cu Fig. 1 operaţia de compunere a funcţiilor. Observaţii. 1) Adjectivul „stabilă“ din noţiunea de „parte stabilă“ pentru o submulţime  H   a lui  M   în raport cu ∗   vine să  precizeze că  dacă   x, y ∈ H    (sunt două  elemente   H ),   H . arbitrare din din  H  ), atunci şi compusul lor  x ∗ y  rămâne în  în H  2) Dacă  H ⊂ M   şi se consideră o aplicaţie ∗ pentru H , atunci aceasta nu este neapărat o lege de compoziţie. Acest lucru trebuie dovedit. Deci enunţul nu poate fi de forma: „Fie H  o  o mulţime şi legea de compoziţie pe H ,  x ∗ y = ... “. Exemplificăm acest lucru prin următoarea problemă: Fie  H  = [0,2]  şi aplicaţia  x ∗ y = xy − x − y + 2, ( ∀ ) x, y , ∈ H . Arătaţi că  ∗ este o lege de compoziţie pe H . Deci trebuie să ar ătăm că  (∀ ) x, y ∈ H ⇒ x ∗ y ∈ H  . Ori avem  x ∗ y = ( x −1)( y −1) +1 . Cum  x, y ∈ H ⇒ x −1 ≤ 1, y −1 ≤ 1 .

Prin urmare faptul că  x ∈ H ⇔ x −1 ≤1. Deci x ∗ y ∈H ⇔ x  ∗ y −1 ≤1⇔ ( x−1)( y −1) ≤1⇔   x − 1 y −1 ≤ 1 , ceea ce este adevărat pentru că   x − 1 ≤ 1, y −1 ≤ 1 .

 

8

 

3)  Dacă  H    în raport cu ∗ , atunci  H × H ⊂ M × M    şi deci H   este parte stabilă a lui  M  în putem vorbi de restricţia legii ∗  l laa  H × H  , care este tot o lege de compoziţie. Pentru comoditate vom nota şi restricţia tot cu ∗ . Deci, dacă  H   este parte stabilă  a lui  M   în raport cu ∗ , atunci legea de compozi ţie ∗ : H × H → H   se spune că este indusă de legea de compozi ţie de pe M. Se mai spune

că legea de pe M  induce pe induce pe H  o  o lege de compozi ţie. Probleme rezolvate 1. Fie  M =  , iar  H = 2 = {2k k ∈ }   (mulţimea numerelor întregi pare) şi  H' =2+1={2k +1 k ∈}  1. Fie (mulţimea numerelor întregi impare) avem H, H' ⊂  .   este parte H  este R. Pe    considerăm legea de compoziţie adunarea numerelor întregi. Se constată  uşor că  H  stabilă  a lui    în raport cu adunarea deoarece din  x , y ∈ H , x = 2 k , y = 2 l , k , l ∈     avem   nu este parte stabilă a lui   în raport cu adunarea pentru c ă  dacă   x + y = 2( k + l ) ∈  2  în timp ce  H'  nu  x, y ∈ 2 + 1, x = 2k + 1, y = 2l + 1, k , l ∈  , atunci  x + y = 2(k + l + 1)  ∉ 2 + 1 . =   considerăm legea de compoziţie  x ∗ y = max( x , y ) . Fie 2. Pentru  Pentru  M   = 2. ∗ 0 1 2 3 4 = {0, 1, 2, 3, 4} . Atunci H  este  H   =  este o parte stabil ă a lui   în raport cu ∗ . 0 0 1 2 3 4 R. R.  Într-adevăr, acest lucru va re reie ieşi din tabla legii pentru H . Observăm că toate elementele (rezultate din compunere) ce figurează în tablă aparţin 1 1 1 2 3 4   lui H . Prin urmare H  este  este parte stabilă a lui   în raport cu legea ∗ . 2 2 2 2 3 4 =    şi legea de compoziţie  x ∗ y = xy − x − y + 2 . Considerăm 3.  Fie  M   = 3.  3 3 3 3 3 4 intervalele H = (1, 2), H' = (2, 3) subm submul ulţimi ale lui  . Să probăm că  H  H   4 4 4 4 4 4 este parte stabilă  a lui  în raport cu ∗ , în timp ce  H'  nu are această  proprietate. R.   Într-adevăr, fie  x, y ∈ H  . Atunci trebuie probat c ă   x ∗ y ∈ H ⇔ 1 < xy − x − y + 2 < 2 ⇔   R. ⇔ 1 < ( x − 1)( y − 1) + 1 < 2 ⇔ 0 < ( x − 1)( y − 1) < 1   ceea ce este evident, deoarece  x, y ∈ H  ⇔   ⇔ 1 0 . Să  se determine a, b astfel încât legea să fie comutativă şi asociativă. 14.  Pe    se consideră  legea de compoziţie  x ∗ y = (1 − a ) x + ay − a , x , y ∈  . Legea este 14.  1 1 ; d)  a = − ; e)  a = 0 . 2 2 15. Pe 15. Pe   se consideră legea de compoziţie ∗  definită prin: a)  x ∗ y = xy + ax + 15 y + 3, ∀x , y ∈  ; b)  x ∗ y = (2a + 1) x + (3a + 1) y − 2, ∀x , y ∈  .

comutativă dacă: a)  a = 1 ; b)  a = −1 ; c)  a =

Să se determine a ∈  , astfel încât legea ∗  să fie comutativă în fiecare caz.

 

21

 

16. Pe 16.  Pe   se defineşte legea de compoziţie ∗  astfel: 1)  x ∗ y = ax + by + c ; 2) ∗  y = xy + 2 x + 2 y + a ; 3)  x ∗ y = xy + ax + by + 6 ; 4)  x ∗ y = xy − 3 ( x + y) + a;   5)  x ∗ y = 3 xy + a ( x + y) + 14;   6)  x ∗ y = 2 xy + ax + by + 3 . Să se determine a , b, c ∈  , astfel încât, în fiecare caz, legea s ă fie comutativă şi asociativă.

P3. Element neutru Definiţie. Un element e ∈ M  se numeşte element neutru pentru legea ∗   Definiţ dacă pentru orice  x ∈ M  avem   x ∗ e = e ∗ x = x . Uneori se mai spune că legea ∗  admite pe e ∈ M  ca element neutru dacă   x ∗ e = e ∗ x = x, ( ∀ ) x ∈ M  .

Faptul că o structură algebrică  ( M  , ∗)  are elementul neutru e se notează uneori prin

( M , ∗, e) . Dacă în plus legea ∗  este comutativă, atunci condiţia ca e ∈ M  să fie element neutru pentru legea ∗  se reduce la  x ∗ e = x, ( ∀ ) x ∈ M   (sau e ∗ x = x, ( ∀ ) x ∈ M ).   Atragem atenţia că elementul neutru e al unei legi ∗  pe M   trebuie să să apar  aparţţină ină mul  mulţţimii   M . Deci e ∈ M  . Nu orice lege de compoziţie pe o mulţime admite element neutru.

Teoremă. Dacă o lege de compoziţie admite element neutru, atunci acesta Teoremă este unic. Demonstraţie.  Vom arăta că  dacă  ar exista două elemente neutre e1, e2 ∈ M  pentru Demonstraţ legea ∗  atunci acestea coincid. Avem:  x ∗ e1 = e1 ∗ x = x, ( ∀ ) x ∈ M  , (1)  x ∗ e2 = e2 ∗ x = x, ( ∀ ) x ∈ M  , (2). În (1) punem  x = e 2 şi rezultă  e2 ∗ e1 = e1 ∗ e2 = e2 ,

(3)  iar în (2) facem f acem  x = e 1 şi obţinem e1 ∗ e2 = e2 ∗ e1 = e1 , (4). Din (3) şi (4) rezultă  e1 = e2 . ■  Observaţie. Dacă  H Observaţ  în raport cu legea ∗ şi dacă  e ∈ M  este H este o parte stabilă a lui M  în element neutru pentru ∗ , atunci dacă  e ∈ H  , acesta este element neutru al legii induse de ∗  pe mulţimea H. Astfel numărul 0 este element neutru pentru adunarea pe  Cum 0 ∈  , acesta va fi element neutru şi pentru adunarea pe  (A se vedea problema rezolvată 4).

 

22

 

Definiţţie. Un element Defini

es ∈ M  se

numeşte element neutru la stânga pentru

legea ∗  dacă  es ∗ x = x, ( ∀ ) x ∈ M .   Un element ed  ∈ M  se numeşte element neutru la dreapta pentru legea ∗   dacă  x ∗ ed  = x, ( ∀ ) x ∈ M  . Aşadar un element e ∈ M  este element neutru pentru legea ∗   dacă  şi numai dacă  e  este element neutru atât la stânga cât şi la dreapta. Dacă o lege de compozi ţie este notată multiplicativ, elementul neutru, dacă există, se numeşte element unitate şi se notează de obicei cu simbolul 1. Dacă legea este notată  aditiv, elementul neutru, dacă există, se numeşte element nul  şi se notează de obicei cu simbolul 0. Fie  M o mulţime pe care am definit o lege de compoziţie asociativă  şi cu element neutru e ∈ M  . Pe o astfel de mul ţime am definit compusul a n elemente, n ≥ 1 . Operaţia dată, având şi element neutru, definim acest compus şi pentru n = 0 ca fiind e. Dacă operaţia algebrică  pe  M este scrisă multiplicativ atunci definim puterea a n-a a  x  ⋅ x ⋅ ... ⋅ x (n factori), dacă n > 0 n  lui  x ∈ M  prin  x =    e, dacă n = 0.     şi orice m, n ∈    Avem evident pentru orice  x ∈ M  m

n

 x ⋅ x = x

m+n

n

( )

, x

m

= x mn .

Dacă  M M este înzestrată cu o lege de compoziţie scrisă aditiv, asociativă  şi cu element  x ∈ M    ş n∈  M  , nx neutru x0  ∈ .. + x (pentru ni), dacă n >i0orice  , definim prin: + x + .atunci n termeorice

nx =  

  0,

 

dacă n = 0.

 

Au loc egalităţile: mx + nx = (m + n) x, n (mx ) = ( mn) x, ( ∀ ) x ∈ M , ( ∀ ) m, n ∈  .

Exemple cunoscute de legi cu element neutru 1. Adunarea 1.  Adunarea pe  ,  ,  ,  ,  are ca element neutru numărul zero, când avem: + 0 = 0 + x = x , ( ∀ ) x  . 2. 2. Înmul  Înmulţirea pe  ,  ,  ,  ,   are ca element neutru numărul unu, când avem: 1 ⋅ x = x ⋅ 1 = x , ∀  x .

( )ţia identică de la  M la  M, 1 : M → M ,   ( M ) admite ca element neutru func 3. Compunerea  Compunerea pe   3.  M  1 M ( x ) = x , x ∈ M  . 4.  Adun 4.  Adunar area ea matr atric icelo elorr pe  n (  ) are ca element neutru matricea nulă (cu toate elementele egale cu zero) notată simplu O n .

 

23

 

5.  Matr 5.  Matric icea ea un unit itat atee  I  n  ∈  n ( )   reprezintă  elementul neutru pentru operaţia de înmulţire a matri atrice celo lorr di dinn  (  ) .   n ( M )   a p ărţilor unei mulţimi  M elementul neutru faţă de reuniune este mul ţimea 6. Pe 6. Pe mulţimea   ( M ) , iar elementul neutru faţă  de intersecţie este mulţimea vidă,  X ∪ ∅ = ∅ ∪ X = X , (∀ ) X ∈   M,  M ∩ X = X ∩ M = X  , (∀ ) X ∈   ( M )   totală  M,

Probleme rezolvate



e

a

b

c

1. Pe mulţimea M = {e, a, b, c} se consideră legea de compoziţie  dată prin tabla e e a b c 1. Pe legii (alăturat).  a a e c b   Să se arate că legea   admite element neutru. R. Din egalităţile: e  e = e, a  e = e  a = a, b  e = e  b = b, c  e = e  c = c  se  b b c e a R.   c c b a e deduce că  e ∈ M  este elementul neutru pentru  . 2. Pe  Pe mulţimea  M   = (−∞, 1) ∪ (3, ∞)  se consideră aplicaţia  x ∗ y = xy − 2( x + y) + 6 . Arătaţi că  2.

( M  , ∗)  este o structură algebrică f ără element neutru. R. R.   Faptul că   x ∈ M ⇔ x − 2 > 1 . Probăm că  ( M  , ∗)   este structură  algebrică, adică  ∗   este o lege de compoziţie pe  M, ceea ce revine la a arăta că  ( ∀ ) x, y ∈ M ⇒ x ∗ y ∈ M  . Avem  x ∗ y ∈ M  ⇔   ⇔  x ∗ y − 2 > 1 ⇔ ( x − 2)( y − 2) > 1 ⇔ x − 2 y − 2 > 1 , evident. Presupunem acum că  e ∈ M   este elementul neutru. Trebuie să avem:  x ∗ e = e ∗ x = x, (∀ ) x ∈ M    Se vede uşor că  legea este comutativă  şi deci prima egalitate de mai sus se verific ă. Deci trebuie ca  x ∗ e = x, (∀ ) x ∈ M ⇔ xe − 3( x + e) + 6 = x, (∀ ) x ∈ M ⇔ ( x − 2)(e − 3) = 0, (∀ ) x ∈ M  ⇔ e = 3 . Observăm că  3 ∉ M    şi prin urmare legea ∗  nu admite element neutru. 3. Pe 3. Pe mulţimea  H  =  −2, ∞) definim aplicaţia  x ∗ y = 3 xy + 6( x + y )+ 10 .



Să se arate că  ∗  este o lege de compozi c ompoziţie pe H, cu element neutru. R.  Arătăm că  ∗  este o lege de compoziţie pe H. R. Fie  x, y ∈ H  . Atunci x = −2 + α, y = −2 + β, α, β ≥ 0 , şi deci  x ∗ y = 3(−   2 + α)(−2 + β) + 6(−4 + α + β) + 10 = −2 + 3αβ ≥ −2 . Aceasta arată că din  x, y ∈ H ⇒ x ∗ y ∈ H  , adică  ∗  este o lege de compoziţie pe H. Fie e ∈ H  elementul neutru. Legea fiind comutativă trebuie să avem  x ∗ e = x,(∀ ) x ∈ H ⇔ 3 xe + 6( x + e) + 10 = x, (∀ ) x ∈ H ⇔ ( x + 2)(3e + 5) = 0, (∀ ) x ∈ H  . 5 Dacă  x  ≠≠ −2 , atunci din ultima egalitate 3e + 5 = 0 , adică e = − ∈ H  . 3 Acesta este element neutru pentru ∗   dacă  verificăm egalitatea  x ∗ e = x  şi pentru  x = −2 . Ori avem:  5  5  5 (−2) ∗ −  = 3(−2)−  + 6−2 −  + 10 = 10 − 22 + 10 = −2 .  3  3  3  5 Acum pentru orice  x ∈ H  avem egalitatea  x ∗ −   = x .  3 5 Deci e = −  reprezintă element neutru. 3

 

24

 

1 1  a         4. Se 4.  Se consideră  mulţimea de matrice  H = 0 0 1 a ∈ 2 + 1 ⊂ 3 ( ) . Arătaţi c ă  ( H  ,⋅) este o 0 0 1   

structur ă algebrică cu element unitate. R.  Mai întâi arătăm că înmulţirea matricelor din 3 ()  induce pe  H o  lege de compoziţie. Într-adevăr R.  fie:       1 1 a 1 1 b 1 1 a + b + 1      = A  Aa = 0 0 1, Ab = 0 0 1 ∈ H  . Atunci:  Aa Ab =  0 0    1  a +b+1 ∈ H  , deoarece          0 0 1 0 0 1  0 0   1  a + b + 1  ∈ 2 + 1 . Mai mult înmulţirea pe H este comutativă deoarece  Aa ⋅ Ab = Aa+b+1 = Ab+a+1 = Ab ⋅ Aa . Fie  Ae ∈ H    elementul unitate pentru înmulţire. Trebuie să  avem  Ae ⋅ Aa = Aa , (∀ ) Aa ∈ H    sau  Aa+e+1  = Aa , (∀ ) Aa ∈ H  . 

Este clar că  Aa = Ab ⇔ a = b . Deci din  Aa+e+1  = Aa rezultă  a + e + 1 = a  sau e = − 1 ∈ 2 + 1 . 1 1 −1   Elementul neutru este  A−1 = 0 0    1  . Este oare vreo contradic ţie între faptul c ă   I 3   este element      0 0  1  neutru pentru înmulţirea din 3 ()   (în cazul acesta) şi faptul că   A−1 este element neutru pentru H  ⊂    3 () ? Nu, pentru că  I 3  nu aparţine mulţimii H.

Probleme propuse  x  + y , x < y ≤ 2    1. Pe 1.  Pe mulţimea H = {0, 1, 2, 3, 4} definim aplicaţia „  “ astfel  x  y =  x − y , x ≥ y   y − x , x ≤ 3 şi y > 2.  H 

Arătaţi că  ( ,  ) este o structură algebrică neasociativă, necomutativă, dar cu element neutru. 2. Pe mulţimea H = [5, 7] definim aplicaţia  x ∗ y = xy − 6 x − 6 y + 42 .  2. Pe Arătaţi că  ( H  , ∗)  este o structură algebrică având elementul neutru e = 7. 3. Fie  Fie  H = −{−i}  o submulţime a lui  . Definim pe   legea de compoziţie  x  y = xy+i( x+ y)−(1+i).   3. Arătaţi că  ( H   , )  este o structură algebrică asociativă, comutativă cu element neutru e = 1−i .  a 4. Considerăm  H =  1 4. Consider

  ai ∈  , a1a4 ≠ 0 ⊂ 2 (  )  şi legea de compoziţie pe  a4   a2 

2 (  )    a3   a a   b b   a1b1 a2 + a1b2   1 2  ∗  1 2  =   . Demonstraţi  că  ( H  , ∗)   este o structură  algebrică   a3 a4  b3 b4  a3 + a4b3 a4b4 

asociativă, cu element neutru.   5.   Fie  H =  a0 b0 a , b ∈  ⊂ 2 ( ) .Să  se arate că  ( H  ,⋅) este structură  algebrică  asociativă  cu 5.  

elemente neutre la stânga.

 

25

 

6. 6. Pe  Pe   se defineşte legea de compoziţie  x  y = xy − 2 x − 2 y + m , m ∈  . Să se determine valorile lui  m  pentru care  H  =   2, ∞) este o parte stabilă  a lui    în raport cu „ ∗ “. Determinaţi apoi elementul neutru al legii „ ∗ “ pe H.   x  1 − x 0   1     0 0  x ∈ R, x ≠  ⊂ 3 (  ) . Arătaţi că  ( H  ,⋅)   este structură  7.   Fie  H =  A( x ) =  0 7.  2      x 0 1 − x    algebrică asociativă, comutativă, cu element neutru. 8. 8. S  Să se determine valorile parametrului real  a, astfel încât legea de compoziţie pe   definită prin  x ∗ y = a ( x + y ) − xy să fie asociativă şi comutativă. Determinaţi elementul neutru. 9.  Pe  se defineşte legea de compoziţie  x ∗ y = 2 xy − 2 x − 2 y + c , x ∈  . Fie  H   =  − {1} . 9.  Determinaţi pe c pentru care ( H  , ∗)  este o structură algebrică asociativă şi apoi precizaţi elementul neutru. 10.  10.  Pe mulţimea    se consideră  legea de compoziţie  x ∗ y = xy + ax + by + c .  Să  se arate că  legea„ ∗ “ este asociativă dacă şi numai dacă admite element neutru. 11. 11. Pe  Pe  se defineşte legea „ ∗ “ prin:  x ∗ y = xy − ( x + y ) 2 + 2 + 2 , x, y ∈  . 1) Arătaţi că legea „ ∗ “ este comutativă, iar  2 , ∞) este parte stabilă a lui   în raport raport cu „ ∗ “. 

2) Să se determine  y ∈   2 , ∞) astfel încât  x ∗ y = x , ∀x ∈   2 , ∞) . 



3) Determinaţi elementul neutru al legii „ ∗ “ pe  2 , ∞) . 

4) Pentru  a ∈ ( 2 , ∞)  fixat, să se determine  y ∈ ( 2 , ∞) care verifică relaţia  a ∗ y = 1 + 2 . 12. 12.   Pe    se consideră  legea de compoziţie ∗   definită  prin determine  a , b ∈  , astfel încât legea să admită element neutru.

∗  y = xy + 5 x + ay + b . Să  se

P4. Element simetric Definiţţie. Fie ( M  , ∗)  o structură algebrică  cu element neutru  e ∈ M  Defini   şi

 x ∈ M  . Spunem că un element  x ' ∈ M   este un simetric al lui x în raport cu legea ∗  dacă   x ∗ x ' = x '∗ x = e .

Dacă există  xx' cu această proprietate, spunem că  xx este element simetrizabil, în raport cu legea ∗ . Să observăm că   xx' este simetricul lui x, adică (  xx')' = x. să apar  aparţţină ină  Facem precizarea şi în acest caz că simetricul lui  x, elementul x'  trebuie să mulţţimii  M . Deci odată  găsit  x , ', acesta trebuie să mul să  fie în  M . Dacă  legea ∗   este comutativă, atunci  x ' ∈ M  este simetricul lui x dacă  x ∗ x ' = e  (sau x '∗ x = e ). Când legea este notată multiplicativ, vom spune element inversabil în loc de simetrizabil şi element invers în loc de simetric; inversul lui x se va nota cu  x−1 sau 1 .  Dacă  legea de compoziţie este notată  aditiv, vom spune simetricul lui x; opusul lui x se va nota cu – x.  

 x opusul  lui  x  în

loc de

26

 

Exemple cunoscute de legi cu elemente simetrice 1. Elementul 1.  Elementul neutru e este element simetrizabil, un simetric al s ău este el însuşi, e ' = e . 2. Fa naturale, singurul estesimetrizabil 0 (zero), când –0 = element 0. 2. ţă de 3. 3.  Fa   Faţă  deadunarea adunare numerelor pe  (elementul neutru esteelement 0), oricesimetrizabil element este (orice  x ∈   are un opus –x) deoarece x + (− x ) = (− x ) + x = 0 . 4. Fa  Faţă de înmulţirea pe   (elementul neutru este 1), singurele elemente inversabile sunt 1 (având 4. 1 simetricul 1 ) şi –1 (având simetricul –1) când 1−1 = 1  şi (−1)− = −1 .

5. Faţă de înmulţirea pe  n (  )   (elementul neutru este  I  n )  elementele simetrizabile sunt matricele A cu 5. Fa det( A)  ≠ 0 , simetricul matricei A fiind matricea inversă  A−1 , când  A⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I  n . ( M ) (elem 6. Faţă de compunerea pe   6. Fa (elementul entul neutru es este te 1 M  ) elementele simetrizabile sunt funcţiile bijective, deoarece o aplicaţie  f   este inversabilă  dacă  şi numai dacă  este bijectivă  când  f  f −1 = f −1  f  = 1 M  .

Teoremă. Fie ( M  , ∗)  o structură algebrică asociativ Teoremă asociativăă şi cu element neutru e. Dacă  x ∈ M  are un element simetric, atunci acesta este unic. Demonstraţţie. Fie x', x" două elemente simetrice pentru x. Avem Demonstra  x ∗ x ' = x '∗ x = e , (1) şi  x ∗ x '' = x ''∗ x = e , (2). (2) (1) Atunci x ' = x '∗  e = x '∗ ( x ∗ x '') = ( x '∗ x)∗ x '' = e ∗ x '' = x ''  şi teorema este demonstrată. ■ 

Notaţie. Dacă  ( M  , ∗)  este structură algebrică asociativ asociativăă  şi cu element neutru, atunci Notaţ notăm U ( M ) submulţimea elementelor din M simetrizabile în raport cu ∗ . Aşadar

{

}.

U ( M ) = x ∈ M (∃) x ' ∈ M , x ∗ x ' = x '∗ x = e

Pentru o lege de compoziţie pe M , notată multiplicativ şi pentru un element inversabil n − − 1 n − n = x , n ∈ ∗ .  x ∈ M  , definim puterea negativă  x , n ≥ 1 , prin  x

( )

n n −1 − n Este clar că  x este invers pentru  x , x = x−n .

( )

aditivăă  şi  x ∈ M  are un opus  –x, atunci Analog, dacă legea de compoziţie pe  M , este aditiv definim (−n) x, n ≥ 1 , prin (−n) x = n (−x), n ∈  ∗ . Este clar că  n (−x)  este un opus al lui nx , − (nx) = n (−x ) .

 

27

 

Teoremă. Fie ( M  , ∗) o structură algebrică  asociativ Teoremă asociativăă  şi cu element neutru. Atunci: ă elementele  x, y ∈ M  sunt simetrizabile, atunci compusul lui x cu  y 1) Dac este simetrizabil şi mai mult ( x ∗ y ) ' = y '∗ x ' .  2)  Dacă  elementul  x ∈ M  este simetrizabil, simetricul său,  x  ,', este, de asemenea, simetrizabil şi ( x  x')' = x.

3) Dacă  x ∈ M  este simetrizabil, iar  y ∈ M  nu este simetrizabil, atunci  x ∗ y, y ∗ x ∈ M   nu sunt simetrizabile.

Demonstra Demonstraţţie. ie. 1)  1) Trebuie să probăm că  ( x ∗ y ) ∗ ( y '∗ x ') = ( y '∗ x ') ∗ ( x ∗ y ) = e . Avem (folosind asociativitatea legii ∗ ): ( x ∗ y) ∗ ( y '∗ x ') = x ∗ ( y ∗ y ') ∗ x ' = x ∗ e ∗ x ' = x ∗ x ' = e  şi analog ( y '∗ x ') ∗ ( x ∗ y ) = y '∗ ( x '∗ x) ∗ y = y '∗ e ∗ y = y '∗ y = e . Deci  x ∗ y este simetrizabil şi  y '∗ x ' este unicul său simetric (vezi teorema precedentă). 2)  Rezultă din definiţia elementului simetric (observând că  x şi  x'  au rol simetric în această definiţie) şi din unicitatea sa. 3)  Presupunem prin reducere la absurd, că  elementul  z = x ∗ y   este simetrizabil. Atunci şi elementul  x '∗ z (de la punctul 1)) este simetrizabil. Dar avem x '∗ z  = x '∗ ( x ∗ y ) = ( x '∗ x )∗ y = e ∗ y = y , ceea ce înseamnă  că   y ar fi simetrizabil. Contradicţie. Prin urmare  x ∗ y  nu este simetrizabil. Analog se arată că  y ∗ x  nu este simetrizabil. ■  Observaţţii. 1) Afirmaţia 1) din teoremă spune că  (U ( M ),  ∗)  este o structură algebrică, Observa  M ) de legea de compoziţie de pe M . adică  ∗  este lege de compoziţie indusă pe U ( M  2)  Dacă  legea este notată  multiplicativ, atunci această  afirmaţie se transcrie ( xy )−1 =  y−1x−1 . 

Dacă legea este notată aditiv, atunci −( x + y ) = (− y )+ (−x) .

Definiţie.  Fie ( M  , ∗) o operaţie algebrică  având es ∈ M  element neutru la Definiţ stânga ( ed  ∈ M  element neutru la dreapta) şi  x ∈ M  . Spunem că   x 's ∈ M    ( x 'd  ∈ M  ) este un simetric al lui  x la stânga (la dreapta) în raport cu legea ∗ dacă   x 's ∗ x = es   ( x ∗ x 'd = ed  ).

Se mai spune că  x ∈ M  este simetrizabil la stânga (la dreapta) în raport cu  ∗  dac ă  există  x 's ∈ M   ( x 'd  ∈ M  ) pentru care  x 's ∗ x = es   ( x ∗ x 'd = ed  ).  

28

 

Probleme rezolvate 1.   Pe mulţimea    se defineşte legea de compoziţie ⊕ y =   restul împărţirii lui  x +  y la 6. Fie 1.  H = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ⊂  . Arătaţi că ( H  , ⊕)   este o structură  algebrică. Determinaţi elementele simetrizabile din H în raport raport cu ⊕ . ⊕ 0 1 2 3 4 5 R. R.  Tabla legii este dat ă alăturat. 0 0 1 2 3 4 5 Se observă că elementul neutru al legii este e = 0. Pentru a determina simetricul unui element  x utilizând tabla se procedează  1 1 2 3 4 5 0 astfel: se urmăreşte pe orizontala lui  x elementul neutru e = 0. Elementul 2 2 3 4 5 0 1   corespunzător coloanei pe care se găseşte e =0 reprezintă simetricul lui x. Având notaţia aditivă pentru lege în loc de simetricul elementului x vom utiliza 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 denumirea de opusul lui x şi scriem –x. Deci −0 = 0, −1 = 5, − 2 = 4, − 3 = 3, − 4 = 2, − 5 = 1 . 5 5 0 1 2 3 4 2. Pe 2. Pe mulţimea numerelor reale   definim legea de compoziţie  x  y = xy − 3( x + y)+ 12 . Arătaţi că  legea    este asociativă, comutativă, admite element neutru. Stabiliţi elementele simetrizabile din   în raport cu  . R. R.   Se verifică prin calcul asociativitatea şi comutativitatea legii. Pentru determinarea elementului neutru e ∈    utilizăm definiţia acestuia  x ∗ e = x , ( ∀ ) x ∈  ⇔ xe − 3 ( x + e) + 12 = x ,   ( ∀ ) x ∈   ⇔   ⇔ e ( x − 3) = 4( x − 3), ( ∀ ) x ∈   . 

Dacă   x  ≠≠ 3  rezultă  e = 4. Pentru  x = 3 se verifică i me mediat egalitatea 3 ∗ 4 = 3 . Aşadar e = 4 reprezintă  elementul neutru pentru legea  . raportt cu  . Avem: Să determinăm acum elementele simetrizabile. Fie  x ∈    şi  x ' ∈    simetricul lui  x  în rapor 3 x −8 ∈   x ∗ x ' = 4 ⇔ xx'− 3( x + x ') +12 = 4 ⇔ x '( x − 3) = 3x + 8 . Dacă  x  ≠ ≠ 3 , atunci  x' =  x −3 3 x − 8 . Deci orice  x ∈ ,  x ≠ 3  admite un simetric  x ' =  x − 3 3.   Pe    se consideră  legea de compoziţie  x  y = xy − 6( x + y) + 42 . Fie  H = [5, 7]. Arătaţi că  3.

( H  , )  este o structură algebrică asociativă, comutativă, cu element neutru. Determinaţi elementele simetrizabile din H în raport raport cu legea „  “. R.  Să observăm că  x ∈ H ⇔ 5 ≤ x ≤ 7 ⇔ −1 ≤ x − 6 ≤ 1 ⇔ x − 6 ≤ 1 . R. Acum se arată uşor că dacă  x, y ∈ H  , atunci  x ∗ y ∈ H  . Prin calcul se verifică asociativitatea şi comutativitatea legii. Elementul e ∈ H    reprezintă  elementul neutru în raport cu legea „  “ dacă 

 x  e  = x,( ∀) x ∈ H ⇔  

⇔  xe − 6( x + e) + 42 = x,( ∀) x ∈ H ⇔ e ( x − 6) = 7 ( x − 6),( ∀ ) x ∈ H  . 

Dacă  x  ≠≠ 6 , atunci e = 7 ∈ H  , iar pentru x = 6 se verifică egalitatea 6  7 = 6 . Deci e = 7 este elementul neutru în raport cu legea „  “. Determinăm elementele simetrizabile. Fie  x ∈ H    şi  x ' ∈ H  elementul său simetric. Trebuie să  avem egalitatea  x ∗ x ' = 7 ⇔ xx '− 6 ( x + x ') + 42 4 2 = 7 ⇔ x '( x − 6) = 6 x − 35 . Dacă  x  ≠ ≠ 6 , atunci  x' =

6 x −35 6 x−35 ≤ 7 , cea ce dă  . Elementul obţinut x' trebuie să aparţină lui H , adică  5 ≤  x −6  x−6

 x ∈ {5,7} .

Deci singurele elemente simetrizabile sunt x = 5 când x' = 5 şi x = 7 când x' = 7.   = (0, ∞)− {1 } şi aplicaţia  x ∗ y = e ln  ⋅ln y . Arătaţi că  ∗   este o lege de compozi ţie pe  M , 4.   Fie  M  = 4. asociativă, comutativă, cu element neutru. Determinaţi elementele simetrizabile din M  în  în raport cu „ ∗ “.

 

29

 

R. R.   Dacă   x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1 ⇒ x ∗ y > 0, x ∗ y ≠ 1 , ceea ce înseamnă  că  „ ∗ “ este lege de compoziţie pe M . Prin calcul se verifică asociativitatea şi comutativitatea legii. Elementul neutru u ∈ M   are proprietatea  x u  x ∗ u = x , ∀ x ∈ M ⇔ e ln ⋅ln = x , ∀ x ∈ M ⇔

⇔ ln u = 1(⇔) u = e ∈ M .

ln x ⋅ ln u , = ln x , ∀ x ∈ M  ⇔  

( )

 

( )

Observaţie. Când în structura legii figurează ln este indicat să not ăm elementul neutru cu altă literă (aici am pus u). Să  determinăm acum elementele simetrice. Fie  x ∈ M    şi  x ' ∈ M    simetricul său. Trebuie să  avem egalitatea: 1

ln x⋅ln x ' = e ⇔ ln x ln x ' = 1 ⇔ ln x ' = 1 ⇔ x ' = e ln x .  x ∗ x ' = e ⇔ e ln x 1 1 = 0 , fals). Avem de verificat că  x ' ∈ M  . Evident  x  ' > 0  şi  x '  ≠ 1  (deoarece dacă   x ' =1 ⇔ e ln x =1 ⇔  

ln x

Deci (∀ ) x ∈ M  este simetrizabil.   M

=

a

5 a, b

∈

, a2

−

5b 2

1

⊂    şi operaţia de înmulţire pe  . Arătaţi 5. Fie mulţimea 5. Fie că  ( M  ,⋅)   este o structură  algebrică, asociativă, comutativă, cu element neutru. Determinaţi elementele simetrizabile din M  în  în raport cu înmulţirea. R.  Să arătăm că înmulţirea pe M este o lege de compoziţie. R. Fie  x = a + b 5 , y = c + d 5 , a, b, c, d ∈ , a 2 − 5b2 = 1, c 2 − 5d 2 = 1.  

{

+

b

=

}

2

Avem  xy = ac + 5bd + (ad + bc ) 5  , unde ac + 5bd , ad + bc ∈     şi (ac + 5bd ) − 5(ad + bc) =  

(

)(

)

= a 2 − 5b 2 c 2 − 5d 2 = 1  şi deci xy ∈ M  .

   , iar înmulţirea pe  este asociativă  şi comutativă  se deduce că  rămâne cu aceleaşi Cum  M  ⊂ proprietăţi şi pe submulţimea M .

Fie e = α + β 5 ∈ M , α, β ∈ , α2 − 5β2 = 1 elementul neutru. Trebuie să avem:  xe = x,( ∀ ) x ∈ M ⇔ aα + 5bβ + (aβ + bα)

5 = a + b   5 , ( ∀ ) a, b ∈  .

  + 5bβ = a aα De aici rezultă sistemul:  , (∀ ) a, b ∈ , a 2 − 5b2 = 1 . aβ   + bα = b

Punând a = 1, b = 0 în prima ecua ţie rezultă  α = 1 . Din a doua ecuaţie rezultă acum aβ = 0 , când β = 0 .

(

)

Deci e = 1 + 0 5 ∈ M , 12 − 5 ⋅ 02 = 1 .

Observaţie.  Cum 1 este element neutru pentru înmul ţirea din  , iar 1 = 1 + 0 ⋅ 5 ∈ M  , atunci (am văzut la partea teoretică pentru element neutru) că 1 este de asemenea element neutru şi pe mulţimea M  în  în raport cu înmulţirea. Să  determinăm elementele simetrizabile. Fie  x = a + b 5 , a, b ∈ , a 2 − 5b2 = 1 . Să  găsim  x ' ∈ M   

pentru care  xx ' = 1 ⇔ x ' = 1 ⇔ x ' =  x

= a − b 5 = a − b 5 . Deci  x ' = a + (−b) 5 ∈ M  , a + b 5   a 2 − 5b 2

 

1

30

 

deoarece

2

2

a, −b ∈     şi a − 5(−b) = 1 .

În final orice element din  M  este   este simetrizabil (inversabil) în

raport cu înmulţirea. Din  x ∈ M ⇒ x 2 , x3 , ..., x n , ... ∈ M , (∀ ) n  şi deci M  este  este infinită.

6.  (  − {0}) cu operaţia de compunere a funcţiilor, unde  f1 ( x ) = x , 6.  Fie  H = { f1 , f 2 , f 3 , f 4 } ⊂   1 1  f 2 ( x ) = , f 3 ( x ) = − x , f 4 ( x ) = −  .  x

x

Arătaţi că  ( H ,  ) este structură  algebrică  asociativă, comutativă, cu element elementele simetrizabile din H în raport raport cu opera operaţia de compunere. R. R.  Tabla legii pe H este dată alăturat.  Întotdeauna compunerea funcţiilor este asociativă. Deci şi pe  H rămâne la fel.  f 1 Comutativitatea legii rezultă  din tablă, aceasta fiind simetrică  în raport cu  f 2 diagonala principală. Elementul neutru este  f 1 . Observăm că  pe fiecare linie a tablei apare elementul neutru. Deci toate  f3  f 4 elementele sunt simetrizabile (funcţiile sunt inversabile in versabile)) şi avem:  f1−1 = f1, f 2− 1 = f 2 , f3−1 = f3 , f 4−1 = f 4 .

neutru. Stabiliţi  f1

f2

f3

f 4

f1

f2

f3

f 4

f2

f1

f4

f 3

f3

f4

f1

f 2

f4

f3

f2

f 1

 

   a a − 1 7. Fie  H =  A a ∈ 2 (  ) Aa = 0 7. Fie 1  , a ∈  , a ≠ 0 .Să se arate că înmulţirea matricelor de pe  2 (  )   induce o lege de compozi ţie asociativă, comutativă  şi cu element neutru pe  H. Care sunt

elementele simetrizabile din H ? R.  R.  Să  arătăm că înmulţirea este lege de compoziţie pe  H. Fie Aa , Ab ∈ H    şi să probăm că   Aa ⋅ Ab ∈ H  . a a −1b b −1 ab ab −1   =  = A ∈ H  pentru că  a, b ≠ 0 ⇒ ab ≠ 0 . Avem:  Aa Ab =      1  ab 0 1 0 1   0 Înmulţirea matricelor este întotdeauna asociativă. Deci rămâne la fel şi pe  H. Cum înmulţirea matricelor,  în general, nu-i nu-i comutativă trebuie să arătăm că  Aa . Ab =  Ab ⋅ Aa , (∀ ) Aa , Ab ∈ H  . Ori avem:  Aa ⋅ Ab = Aab = Aba = Ab ⋅ Aa (pentru a doua egalitate am utilizat comutativitatea înmul ţirii pe , a b = ba ). Găsim în continuare eleme elementul ntul nneutru eutru al legii. Fie acesta A ∈ H  . e Trebuie să avem  Aa ⋅ Ae = Aa , ( ∀ ) Aa ∈ H ⇔ Aae = Aa , (∀ ) Aa ∈ H  . Cum  Aa = Ab ⇔ a = b , de mai sus avem ae = a  şi deci e = 1 (a  ≠≠ 0) .  1 0 Aşadar elementul neutru este A1 =     . 0   1 1 Acest lucru se putea obţine remarcând că  pentru a = 1 rezultă   A1 =  0

0    1   matricea unitate care este 

element neutru în raport cu înmul ţirea matricelor pe 2 () . Deci rămâne element neutru şi pentru  înmulţire pe H. Elementul  Aa ∈ H  este simetrizabil dacă există  Aa ' ∈ H   pentru care  Aa ⋅ Aa ' = A1 ⇔ Aaa ' = A1 . 1 De aici aa ' = 1 ⇒ a ' = (a ≠ 0) . a Aşadar orice  Aa ∈ H  are simetric matricea  A1 ∈ H  . a

În acest caz, din  Aa ⋅ Aa ' = I 2 rezultă că   Aa '  este chiar inversa matricei  Aa .

 

31

 

  a 0 a       8. Se 8.  Se consideră   H = 0 1 0 a > 0 . Arătaţi c ă înmulţirea matricelor din      a a 0   

3 (  )   induce

pe  H

o lege de compoziţie asociativă, comutativă, cu element neutru. Determinaţi elementele simetrizabile din H în raport raport cu înmul înmulţirea. R.  Se verifică  imediat că  (∀ ) Aa , Ab ∈ H ⇒ Aa ⋅ Ab = A2ab ∈ H (a, b > 0 ⇒ ab > 0) . Înmulţirea R.  matricelor este întotdeauna asociativă, deci la fel rămâne şi pe H. Pentru comutativitate avem:  Aa ⋅ Ab = A2ab = Ab ⋅ Aa , (∀ ) Aa , Ab ∈ H  . Elementul neutru

 Ae ∈ H  are

calitatea că   Aa ⋅ Ae = Aa , (∀ ) Aa ∈ H ⇔ A2ae = Aa , ( ∀ ) Aa ∈ H  . Cum 1  Aa = Ab ⇔ a = b , de mai sus rezultă  2ae = a  şi deci e = . Aşadar elementul neutru pentru înmulţirea 2 1 1   0   2    2       pe H este matricea  A1 =  0  1  0  .   2  1     1   0   

 Observăm c ă   I 3  care este 2element2 neutru în raport cu înmulţirea de pe 3 ( ) nu aparţine lui  H ! Deci nu poate fi vorba ca  I 3 să fie element neutru pentru înmulţirea pe H. Să determinăm acum elementele simetrizabile (şi nu inversabile, care le numim aşa dacă   I 3  este element neutru faţă  de înmulţirea matricelor din M3 () ) din  H  în raport cu înmulţirea. Fie  Aa ∈ H    şi 1  Aa ' ∈ H  simetricul său. Atunci trebuie să avem:  Aa ⋅ Aa ' = A1 ⇔ A2aa ' = A1 . De aici 2aa '  =   şi deci 2 2

a' =

2

1 > 0 dacă  a > 0 . Deci pentru  Aa ∈ H  , simetricul său este  A 1 . 4a 4a

9. Fie  Fie  n ∈  , n ≥ 2 , dat şi 9.

  x  =  H =  A    

 0

0 



 x , y ∈ , A = I 2  .   y  n

Arătaţi că  ( H  ,⋅)  este o structură 



algebrică, comutativă, cu element neutru. Care sunt elementele simetrizabile din  H  în raport cu  înmulţirea ?  înmul  x 0  x ' 0   =   R. Înmulţirea pe  H este o lege de compoziţie deoarece (∀ ) A, B ∈ H ⇒ AB =  0  y  0 y '  x n  xx ' 0   n   =  =  A . Avem imediat c : ă      0    yy '  0

0  1  0     =      , iar de aici  x n = 1, y n = 1 .     n  0 1  y   x 0  , elementele  x, y sunt soluţiile ecuaţiei  z n  = 1 . Deci

Aceasta înseamnă  că  pentru matricea  A = 

   0    y

mulţimea H are în total n2 elemente. Înmulţirea matricelor este întotdeauna asociativă. Înmulţirea este şi comutativă în acest caz (cum se vede u şor). Elementul neutru este  I 2  (îl obţinem punând x = y = 1 rădăcină pentru  z n  = 1 ). Inversa lui  A este  An  −1 pentru că   A ⋅ An−1 = I 2 . Inversa lui  A2 este  An  −2   etc. Toate elementele lui  H sunt inversabile.

 

32

 

Probleme propuse 1.   Pe mulţimea    se defineşte legea de compoziţie  x ⊗ y = restul împărţirii lui  xy la 6. Fie 1.  H = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ⊂  . Arătaţi că  ( H  , ⊗) este o structură  algebrică  comutativă, cu element unitate. Determinaţi elementele din H simetrizabile în raport cu „ ⊗ “. 2.  2.  Pe mulţimea numerelor complexe  se defineşte legea „ ∗ “ prin  z1 ∗ z2 = z1 + z2 − z1z2 . Fie  H  =  =  − {1} . Arătaţi că „ ∗ “ induce pe  H o lege de compoziţie asociativă, comutativă, cu element neutru. Determinaţi elementele din H simetrizabile în raport cu legea dat ă.  = (−2, ∞) . Arătaţi că  3.   Pe  definim legea de compoziţie  x  y = 3 xy + 6 ( x + y ) + 10 . Fie  H  = 3. , )   este o structură  algebrică  comutativă, cu element neutru şi că  orice element din  H este ( H  

simetrizabil în raport cu legea „  “.

}

4. 4.   Fie  H = x ∈  x = a − b 10 , a , b ∈  , a 2 − 10b 2 = 1   şi operaţia de înmulţire pe  . Demonstraţi că  ( H  ,⋅) este o structură algebrică asociativă, comutativă, cu element neutru şi orice element din H admite un simetric (invers) în raport cu operaţia de înmulţire. + y  = (−1,1) ⊂  şi aplicaţia  x ∗ y = 1 + xy . Arătaţi că  ( H  , ∗) este o structură  algebrică  5.  Fie  H  = 5.  asociativă, comutativă, cu element neutru şi orice element din H este simetrizabil simetrizabil în raport cu „ ∗ “. 6.   Se consideră   H  =  = 0, ∞ − {1 } şi aplicaţia  x ∗ y = x 5 ln y . Arătaţi că   H  , ∗ este o structură  6.

(

)

(

algebrică asociativă, comutativă, cu element neutru şi că orice element raport cu legea dată.  0 0 0     n 1 0 0 7. Consider  Considerăm mulţimea de matrice  H =  X n ∈ , n ≥ 1, X =  7.  0 1 0   0 0 1 

)

din  H este simetrizabil în 1  0   împreună cu operaţia 0  0

de înmulţire. Demonstraţi că  ( H  ,⋅) este o structură  algebrică  asociativă, comutativă, cu element neutru şi orice element din H este simetrizabil în raport cu înmulţirea.   ) şi aplicaţia  x  y = 8. 8. Fie  Fie  H   = = (0,1

 xy

. Arătaţi că  ( H ,  )  este o structură algebrică  2  y + 1 − ( x + y ) asociativă, comutativă, cu element neutru şi orice element din H este simetrizabil în raport cu „  “.    cos α sin α     9.   Fie  Aα =  9.  α ∈   ⊂ 2 (  ) . Arătaţi că  înmulţirea matricelor de pe 2 (  )   −sin α cos α     induce pe  H o lege de compoziţie asociativă, comutativă, cu element neutru şi orice element din  H este simetrizabil în raport cu această lege. −1 1 2 −1 10. Fie  A =  10. Fie ; B =   şi mulţimea  H = {aA + B a ∈  ∗ } .

−2 2

2 −1

Arătaţi că H   H este parte stabilă a lui

2 (  )  în

 

raport cu înmulţirea matricelor şi U(H) = H.

33

 

1.4. STRUCTURI ALGEBRICE Am văzut că  dacă  pe mulţimea nevidă  M definim o lege de compoziţie ∗ , atunci cuplul ( M  , ∗)  l-am numit sistem algebric.

ă algebric ă  pe ţmul ţimea  M  În general, dacă   M  ă≠ , atunci structur ă determinat   pe∅ M    de unanumim  de sau maistructur multe legi de compozi ie, aceste legi, orice fiind supuse unor condiţii (asociativitate, comutativitate, ... ), sau fiind legate una de alta prin anumite relaţii (distributivitatea unei legi de compoziţie faţă de alta). Condiţiile la care sunt supuse legile ce definesc o structur ă  algebrică  şi relaţiile de legătură ce există între aceste legi constituie axiomele structurii respective. Numărul legilor de compoziţie şi axiomele caracterizează specia de structură considerată. Teoriile axiomatizate (numite şi sisteme axiomatice) sunt teorii ipotetico-deductive în care termenii nedefiniţi (primitivi) şi propoziţiile primitive (axiomele) sunt expuse explicit şi complet de la început. Dezideratele ce se au în vedere despre ansamblul de axiome rezidă  din pretenţiile contradicţia axiomelor (atunci când în asupra unei teorii axiomatice, şi anume: non contradicţ sistem nu pot deriva simultan o propozi ţie şi negaţia sa), independen independenţţa axiomelor  (nici una din axiomele sistemului s ă  nu poată  fi dedusă  în interiorul sistemului, utilizându-le doar pe celelalte) şi completitudinea axiomelor  (pretinde ca întreaga teorie să se poată deduce în cadrul sistemului). În toate structurile algebrice pe care le vom studia vom avea situa ţia de mai jos: dată fiind o mulţime  M   ≠ ∅   înzestrată  cu o structură  algebrică  şi  M ' ≠ ∅, M ' ⊂ M  , atunci structurăă indus  indusăă pe  M '  de structura lui M , structura algebrică determinată de numim structur legile induse pe  M '  de către legile care definesc structura pe M . Se spunea adesea că structura dată pe  M  prelunge  prelungeşte structura ce o induce pe o parte a lui M . PIONIERI AI MATEMATICII EUCLID (330? – 375 î.C.)

David HILBERT (1862-1943)

Matematician Matemat ician grec

Matematician german

CONTRIBUŢII

CONTRIBUŢII

• „Pă rintel  rintele“ e“ geometriei geometriei

• algebră  • analiză  • geometrie 

Notă istorică. Istoric, problema axiomatizării începe cu lucrările lui Euclid în domeniul geometriei. Matematicienilor secolului al XIX-lea le revine meritul de a elucida aceast ă problemă plecând de la

 

34

 

dezvoltarea geometriei elementare. Marele matematician german David Hilbert (1862-1943) a reu şit să  rezolve (1899) de o manieră  satisf ăcătoare dificila problemă  a axiomatizării geometriei (20 axiome). Axiomatizarea aritmeticii (1889) a fost realizată de matematicianul italian Giuseppe Peano (1858-1932) (5 axiome). Teoria mulţimilor a fost axiomatizată  de matematicianul german Zermelo (1871-1953) (7 axiome), reluată şi precizată de matematicianul german Fraenkel (1891-1965). Ca număr de exemplare tipărite pe plan mondial,  Elementele  lui Euclid se situează  pe locul doi după Biblie.

1.4.1. Monoizi Definiţie. Cuplul ( M  , ∗) , unde  M   ≠ ∅   şi ∗  este o lege de compoziţie pe Definiţ  M, se numeşte monoid dacă legea ∗  satisface următoarele două axiome: asociativăă. M1) Legea ∗  este asociativ M2) Legea ∗  are element neutru. Dacă , în plus, legea ∗  verifică şi axioma: comutativăă, M3) Legea ∗  este comutativ atunci cuplul ( M  , ∗) se numeşte monoid comutativ. Dacă  ( M  , ∗)  este monoid, atunci  M ' ⊂ M , M ' ≠ ∅  pentru care ( M ',  ∗)  este monoid îl numim submonoidul monoidului ( M  , ∗) . Exemple cunoscute de monoizi 1.  Mulţimea numerelor naturale  cu operaţia de adunare (respectiv de înmulţire este monoid 1.  comutativ cu elementul neutru 0 (zero) (respectiv 1 (unu)). 2.   Mulţimea numerelor întregi    cu operaţia de adunare (respectiv de înmul ţire) este monoid 2. comutativ cu elementul neutru zero (respectiv 1 (unu)). Submulţimea lui   formată din numerele întregi impare (notată 2 + 1 ) cu operaţia de înmulţire este un submonoid al lui ( ,⋅)   3.  Fie  X  3.    şi . Atunci  ( X ), ,   ( X ), sunt monoizi comutativi, cu element neutru ∪) ( ∩) ∅  ≠ ∅ ( respectiv X. 4.   Fie  X  ≠ 4. ( X ),  ) este monoid  ≠ ∅ şi  ( X ) = { f : X → X , f bijectivă} ⊂   ( X ) . Cuplul (  necomutativ cu element neutru aplicaţia identică a mulţimii  X , 1 X : X → X ,1X (a) = a, (∀)a ∈ X  . 5. 5.   Mulţimea matricelor de ordin  n  cu elemente din  , M n ( ), n ≥ 2 , împreună  cu operaţia de  înmulţire este un monoid necomutativ. Elementul neutru este matricea unitate I n . 6.   Dacă  ( M  ,⋅)   este monoid multiplicativ şi x ∈ M  , fixat, atunci  H x = {e = x0 , x1, x2 , ..., x n , ...}   cu 6.  înmulţirea este submonoid al lui  M, numit submonoidul ciclic generat de generat de x.

Elementele  x ∈ M   simetrizabile în raport cu legea ∗  le numim elemente simetrizabile ale monoidului. Notăm mulţimea aceasta cu U ( M   M ). Deci:

U (M ) = {x x ∈ M , x

simetrizabil}    M ). Evident U ( M )  ≠ ∅ , deoarece elementul neutru e ∈ M  aparţine lui U ( M 

 

35

 

Exemple 1. Pentru monoidul ( , +) , avem U (  ) = {0} , iar pentru ( ,⋅) avem U (  ) = {1} . 1. Pentru 2. Pentru ( , +)  avem U (  ) =  , iar pentru ( ,⋅)  avem U (  ) = {−1, 1} . 2. Pentru 3. Pentru ( X ),  )  avem U  ( ( x )) =   ( X ) . 3. Pentru (  Am văzut în paragrafele precedente (la element neutru şi la elemente

simetrice),

n n 1 − − pentru o lege multiplicativă pe M ce înseamnă  x  şi  x = x , n∈.

( )

n

Analog în cazul legii aditive am precizat ce înseamnă nx şi respectiv (−nx) . Pentru monoid are loc

Teorema. Fie ( M  ,⋅) monoid şi  x ∈ M  . Atunci: 1)  xn ⋅ x m = xn +m ,( ∀ ) n, m ∈  . 2)  ( x n ) m = x nm , ( ∀ ) n, m ∈  . Dacă  x ∈ U ( M ) , atunci egalităţile 1), 2) au loc ( ∀ ) n, m ∈  . Demonstra Demonstraţţie. 1) Avem

n

 x ⋅ x

m

= ( x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x )⋅ ( x ⋅ x ⋅ ...⋅ x ) = ( x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x) = x n  +m .

  n



m

n+ m

Dacă  x ∈ U ( M ) , atunci se face discuţia în cazurile: n, m 0 ;

 b a      a −3b   a , b ∈  , a 2 + b2 > 0 ; 3)   b  a       cos 2 k π −sin 2k π     n n   k  = 0, n − 1 ; 5) 

 a 3b  2 2    2)   a , b ∈  , a + b > 0 ;  b a     cos α −sin α  ;  α  ∈  0,2 0, 2 π 4)  )    sin α cos α      2 − a 6) 

 a − 1   a ∈  ∗  ;

  2 k π  sin  n 

cos

 k 2k π  n



n

   

  2(1 − a ) 2a − 1

  

  a 2b      a ,  b ∈ , a 2 −7 b2 = 1 ; 8)  7 b  2  a     1 0 0 1  0 1 −1 −1 −1 −1  1 0   t       9)  A ∈ M 2 (  ) A ⋅ A = E ; 10)  ,  ,  ,  ,   ,   .   1  −1 −1 0 1 1 0 −1 −1  0 1 0     1  a b      17.  17.  Să  se arate că  mulţimea matricelor G =  A = 0 1 c  a , b, c ∈    este grup în raport cu     0 0 1    a 0     7)   a , b, c ∈  , a , b ≠ 0 ;  c b 

{

}

 înmulţirea matricelor.    a b b    . Să se arate că G este grup în raport   1 18. Fie  Fie G =  M a ,b = b a b M a ,b ∈ M 3 (  ), det( M a ,b ) = 18.        b b a 

cu înmulţirea matricelor. 19. 19.   Fie ecuaţia  x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 . Determinaţi numerele reale  a,  b,  c,  d   astfel încât mulţimea formată din soluţiile complexe ale ecuaţiei să fie: 1) grup în raport cu adunarea uzuală; 2) grup în raport cu înmulţirea uzuală.

 

61

 

 1 0  a        a 2  20. 20.   Fie G = M (a ) = −a 1 −  a ∈  . Să  se arate că  G  este grup abelian în raport cu    2      1   0 0    

 înmulţirea matricelor. Calculaţi  M 3 (a ) .   x  1 − x 0     1  21. 1) Se consideră mulţimea: G =  A( x ) =  0 21. 1) 0 0  x ∈  −   . Arătaţi că G formează       2   −  x x 0 1    

grup relativ la operaţia de înmulţire a matricelor şi calculaţi  A n ( x ) .   1 − a 1 −a 1 2) Fie G  mulţimea matricelor de forma:  M (a ) = 1 − a 2  0  0

   , a ∈ (−1, 1) . Să  se  1 − a 2 

0 0

arate că: a) (G ,  ⋅)  este grup abelian; b) dacă  a ∈ (−1, 1) , atunci pentru orice  n ∈  ∗  există un unic unic el elem emen entt  a n  ∈ (−1,1)  cu proprietatea  M (a n ) = ( M (a )) n ;

c) lim  a =

 a

, ∀a ∈ (−1, 1) − {0} .

 n→∞

 n

 a

   2   1  x x + x      M =  A( x ) = 0 1 3) Fie 21x ; x ∈  . Să se arate că:   0 0    a)  A( x) = A( y) ⇔ x = y ; b)  A( x ) ⋅ A( y ) = A( x + y ) ; c) (M,⋅)   este grup abelian; d) Calcula ţi  A(1) A( 2)... A( n) .

0  1 22. Fie matricea  A =  22. Fie 0  0

0 0 1 0

0 0 0 1

1  0  n   ∗    şi G = { A n ∈  } . Arătaţi că  (G ,  ⋅)  este grup abelian. Câte 0  0

elemente are G ? 23. S  Să se demonstreze că pe mulţimea G = (1, ∞) × ( 2, ∞)  aplicaţia: 23. ( x , y )  ( x ', y ') = ( xx '− x − x '+ 2, 2, yy '− 2 y − 2 y '+ 66))   determină o structură de grup comutativ. 24. 24. 1)  1) Fie mulţimea de matrice de ordinul doi: 1 0 −1 0  0 i   0 −i  0 −1  0 1 −i 0  i 0  G =  ,   ,   ,  ,   ,   ,   ,   .    0 1  0 −1  i 0 −i 0  1 0  −1 0  0 i  0 −i    Să se arate că G împreună cu înmulţirea matricelor formează un grup necomutativ.

 

62

 

2) (Matrice permutare) O astfel de matrice se obţine din matricea unitate  I  n  prin interschimbarea liniilor odată sau de mai multe ori (permutări de linii). Pentru  n = 3  avem matricele: 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1            P1 = 0 0 1 , P2 = 1 0 0 , P3 = 0 0 1 , P4 = 0 1 0 , P5 = 1 0 0 .           0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 Arătaţi că  G = { I 3 , P1 , P2 , ..., P5 }  este grup cu înmulţirea matricelor. 0 −1 1 −1 0 0 1  0 −1 0         3) Fie  A =  , B =   , C =   , D =   , E =   . 0 0  1 0 −1  0 1 1 0 −1

{

}

Arătaţi G = I 2 , A, A2 , A3 , B, C , D, E este grup cu operaţia de înmulţire a matricelor. Scrieţi tabla legii.  ˆ  a b   1 

   25. 25.   Să  se arate că  mulţimea G = 0  ˆ1 c a , b, c ∈  3    împreună  cu înmulţirea obişnuită  a    ˆ1 0 0    

matricelor este grup. Câte elemente are acest grup?   ˆ ˆ    1 4 a  26. Arătaţi că  mulţimea G =   a ∈  12    împreună  cu operaţia de înmulţire obişnuită  a  ˆ6 a 1ˆ     matricelor este grup abelian.  ˆ0 2ˆ  0ˆ 4ˆ  0ˆ 0ˆ      27. Fie 27. Fie matricele  A =  , B =   , C =    din M2 ( 12 )  şi mulţimea :  ˆ0 0ˆ  0ˆ 0ˆ  6ˆ 0ˆ 

G = { I 2 + xA + yB + zC x , y , z ∈  12 } .

Arătaţi că  (G ,  ⋅)  este grup abelian.  ˆ1 2ˆ   ∈ M ( )  şi mulţimea G = { A n n ∈  ∗ } . 28. Fie  Fie  A =  28. 2 10  ˆ5  ˆ1 1) Arătaţi că  (G ,  ⋅)  este grup abelian. 2) Arătaţi că dacă   AX = AY  , atunci  X = Y  . 3) Rezolvaţi ecuaţia  XA = AX  . 29. Să se rezolve sistemele: 29. S  x  + ˆ2 y + 3ˆ z = 1ˆ  x  + y + ˆ3 z = 1ˆ  ˆ3 x ˆ ˆ      + y + 2 z = 3     ˆ 1)  x + 2 y + 3ˆ z = 1ˆ  în  5 ; 2)  ˆ2 x + y + z = 2ˆ  în  5 ; 3)  ˆ4 x + y + 2ˆ z = 2ˆ  în  5 ;     ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ2 x   ˆ2 x   + 4ˆ y + 3ˆ z = 3   +3y + z = 2 3 x  + 4 y = 4   ˆ3 x ˆ ˆ    +3y + z = 2





 ˆ2 x 10 y + z = 4ˆ    + 10  în  11 ; 6) 4)  x + ˆ2 y + 3ˆ z = 3ˆ  în  7 ; 5)  x + ˆ3 z = 2ˆ   10 x  ˆ2 x   + y + 3ˆ z = ˆ5   + ˆ2 y + 2ˆ z = 1ˆ    

 

 

 x  + y + z = ˆ0   ˆ3 x + 2ˆ y + z = 1ˆ  în  ;  11   ˆ5 x   + ˆ3 y + 2ˆ z = 4ˆ 

63

 

 ˆ2 x ˆ ˆ    + y + 2 z = 2  7)  x + ˆ3 y + 3ˆ z = 3ˆ  în  6 ; 8)  ˆ4 x   + ˆ5 y + 4ˆ z = 4ˆ 

 x  + ˆ2 y + 3ˆ z = 0ˆ    ˆ2 x + y + z = 2ˆ  în  6 ; 9)   ˆ ˆ ˆ  x  + 3 y + 3 z = 3

 ˆ2 x ˆ ˆ  ˆ    + 4 y + 3 z = 5   ˆ2 x + 2ˆ y + 3ˆ z = 3ˆ  în  6 ;   ˆ ˆ ˆ  x  + 3 y + 4 z = 1

 x  + ˆ5 y + 7ˆ z = 10  ˆ2 x  ˆ2 x ˆ ˆ ˆ  ˆ ˆ     + 3 y + z = 3    + 5 y + 9 z = 7    10)  ˆ4 x + 2ˆ y + 3ˆ z = 1ˆ  în  8 ; 11)  x + ˆ5 y + ˆ9 z = 2ˆ  în  10 ; 12)  ˆ3 y + 2ˆ z = 9ˆ  în  12 ;     ˆ6 x  x  + ˆ7 y + ˆ3 z = 4ˆ  ˆ3 x   + 3ˆ y + 2ˆ z = 2ˆ   + 4ˆ y + 2ˆ z = 1ˆ     x  + y + z = ˆ1  x  + y + z = ˆ2     13)  xy + yz + zx = ˆ4  în  5 ; 14)  x 2 + y 2 + z 2 = ˆ4  în  5 ;    ˆ  xyz  x 3 + y 3 + z 3 = ˆ1   =3       ˆ0 1ˆ   X  + ˆ2Y  =  ˆ ˆ   x  + y + z = ˆ2   1 2    ˆ 15)  xy + xz + yz = 4  în  5 .  în  5 ; 16)        ˆ1 2ˆ   x 2 yz + xy 2 z + xyz2 = ˆ1  ˆ3 X +   Y  =     ˆ ˆ    3 4  

30. Ar 30. Arătaţi că matricele ( X ,Y )  sunt o soluţie pentru fiecare din sistemele:     ˆ1 2ˆ  3ˆ 4ˆ        X  ˆ   ˆ  + Y  =  ˆ ˆ  ,  ˆ1 2ˆ  0ˆ 1ˆ  2 1    1 3       X =  , Y  =   în  5 ; a)   ˆ2 3ˆ   ˆ2 1ˆ  ˆ ˆ 1ˆ 2ˆ  4ˆ 3ˆ  2 3           X + Y  =  0ˆ 1ˆ  3ˆ 4ˆ   ˆ1 0ˆ       

    ˆ  X 0      ˆ3 b)      ˆ1  X       ˆ2         ˆ0  X        ˆ0 c)      ˆ  X    2   ˆ    1

ˆ ˆ ˆ ˆ 2ˆ  + 1ˆ 0ˆ Y  = 6ˆ 1 3 2 4 0ˆ 3ˆ  1ˆ 3ˆ    

 ˆ  5 1ˆ   în  7 ; ˆ4

1ˆ  1ˆ  + Y  ˆ1 2ˆ

0ˆ  1ˆ = ˆ1 3ˆ

4ˆ  ˆ2

 0ˆ  1ˆ  − Y   ˆ3 0ˆ

1ˆ  3ˆ = ˆ3 6ˆ

4ˆ   6ˆ 

 − Y  =  2ˆ 1ˆ   ˆ5 1ˆ     

 0ˆ 

 în  7 ;

 ˆ0  X =   ˆ3 

1ˆ 4ˆ  , Y  =  ˆ2 0ˆ

0ˆ    1ˆ 

 ˆ0  X =   ˆ3 

1ˆ 4ˆ  , Y  =  ˆ2 2ˆ

0ˆ  . ˆ4

31. Alc per mutărilor pe S3 . 31. Alcătuiţi tabla legii de compunere a permut ătaţi că mulţimea de permutări S = {e ,  σ1 , σ 2 , σ 3 } , unde: 32. 32. Ar  Ar 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 e =    ,  , σ3 =  , σ1 =  , σ 2 =  6 3 5 2 4 1 1 5 4 3 2 6 1 2 3 4 5 6 6 4 2 5 3 1  împreună cu operaţia de compunere a permutărilor formează un grup.

 

64

 

33. 33. S  Să se rezolve ecuaţiile: 1 2 3 4 1 2 3 4 . a)  x 2  ;   b)  x 2  = 4 3 2 1 = 2 3 1 4 1 2 3 4 5  . 34. S 34. Să se rezolve ecuaţia σ =  xσ , unde σ =  2 3 1 5 4

Reguli de calcul într-un grup Am văzut pentru monoizi anumite posibilităţi de efectuare a unor calcule algebrice. Cum orice grup este monoid, se înţelege că  toate regulile de calcul valabile pentru monoizi se păstrează şi pentru grupuri. În plus pentru grupuri există reguli care le sunt specifice (şi ţin de existenţa pentru fiecare element a inversului). simplificare) Fie (G,⋅) un grup şi  x, y ∈ G   Teoremă. (Reguli de simplificare) arbitrare. Au loc echivalenţele: 1)  zx = zy ⇔ x = y („simplifi („simplificare“ care“ la stânga),  z ∈ G . 2)  xz = yz ⇔ x = y  („simplifi („simplificare“ care“ la dreapta),  z ∈ G . Demonstraţie. ie.   1)  1)  „ ⇒ “ Fie  zx =  zy. Prin înmulţire la stânga cu  z−1 rezultă   z−1( zx) = z−1zy ⇔ ( z−1z ) y ⇔ ex = ey ⇔ x = y .  x = y. Se înmulţeşte la stânga cu z şi avem zx = zy. „ ⇐ “ Presupunem că x 2) Analog. 2) Analog. ■  1) Dacă legea este dată aditiv atunci teorema se scrie: ii.  1) Dac Observaţii.

1)  z + x = z + y ⇔ x = y ; 2)  x + z = y + z ⇔ x = y . 2) Proprietatea 2) Proprietatea de a împărţi o egalitate printr-un număr real nenul rezultă din această  teoremă. La fel, proprietatea de a reduce termenii egali situaţi în membri diferiţi rezultă de aici. Teoremă. Fie (G,⋅) un grup şi x ∈ G fixat. Atunci: 1)  xn x m = xn  +m , m n 2)  x =  x nm , ( ∀ ) n, m ∈  .

( )

Demonstraţie. ie. Analog  Analogă celei de la monoizi. ■  ie. Dac Observaţie.  Dacă grupul G este aditiv, atunci rezultatele din teoremă   x, au forma: 1) nx + mx = (n + m) x,  x, ( ∀ ) n, m ∈  . 2) n(mx) = (nm) x,  

65

 

Următorul rezultat simplu pentru elementele unui grup poate stabili dacă  acesta este comutativ. Mai precis are loc Teorema.  Dacă  în grupul (G,⋅) avem  x2 = e, ( ∀ ) x ∈ G , atunci grupul Teorema.  abelian.. este abelian Demonstraţie. ie. Fie  Fie  x, y ∈ G , arbitrare. Să probăm că xy  xy = yx. Din  x, y ∈ G  rezultă  xy ∈ G  şi deci  x2 = e, y 2 = e, ( xy)2 = e . Scriem egalitatea ( xy )2 = e  succesiv astfel: ( xy)( xy) = x2 y 2 ⇔ x( yx) y = x( xy) y ⇔ yx = xy  (după simplificare la stânga cu x şi la dreapta cu y). ■  Probleme propuse 1. Fie (G , ⋅ ) un grup cu element neutru e. Arătaţi că  (G , ⋅ ) este grup abelian dacă este adevărată una 1.  din condiţiile de mai jos: 1)  x 3 = e, ∀x ∈ G , x 2 y 2 = y 2 x 2 , ∀x , y ∈ G ; 2

2)  x 3 = e, ∀x ∈ G , ( xy )2 = ( yx ) , ∀x , y ∈ G ; 3) există   n ∈ N ∗ astfel încât pentru orice  x , y ∈ G avem: ( xy ) n = x n y n , ( xy )n+1 = x n+1 y n+1 şi (  y ) n+2 = x n+2 y n+2 , ∀x , y ∈ G .  2. Se consideră  (G ,  ⋅) un grup abelian cu  n elemente. Să se arate că   x n = e , ∀x ∈ G , unde e este 2. Se elementul neutru al grupului. 3. 3. Fie  Fie (G , ⋅ ) grup şi  x , y ∈ G , astfel încât: 1)  x 5 = y 4 = e ; 2)  xy = yx 3 . Arătaţi că:  yx = x 2 y   şi

 xy 3 = y 3 x 2 .

4. Fie (G , ⋅ ) un grup cu element neutru e. Arătaţi că  (G , ⋅ ) este grup abelian dacă este adevărată una 4. Fie din condiţiile de mai jos: 1)  x = x−1 , ∀x ∈ G ; 2) ( xy )−1 = x−1 y−1 , ∀xy ∈ G ; 3)  xy−1 = yx−1 , ∀x , y ∈ G − {e} . 5. Fie  Fie (G ,  ⋅) grup şi , y ∈ G , astfel încât  x 2 = y 2 = ( xy )2 . Să se arate că   x 4 = y 4 = e . 5. 6. 6.  Pe G =  − {i } se consideră aplicaţia x ∗ y = x + y + ixy , ∀x , y ∈ G . 1)Arătaţi că  (G ,  ∗) este grup comutativ. 2) Calculaţi (−i )3 , (1 + i )2 , x n , n ∈ N ∗ , n ≥ 2 . 7.  7. Pe G = ( 3, ∞)  se consideră aplicaţia  x ∗ y = xy − 3 x − 3 y + 12, x , y ∈ G . 1)Arătaţi că  (G ,  ∗) este grup abelian. ∗ a ∗ ... ∗ a = (a − 3) n + 3, ∀a ∈ G , n ∈  , n ≥ 2.   2) Arătaţi că  a  n

ori

 

66

 

1 3 a     8. 8. Fie  Fie G =   a ∈  . 0 1     1) Arătaţi că  (G ,  ⋅) este grup abelian. 1 3 a   . Calculaţi  A2 (1), A3 (−3), A(a ) A( b), A n (a ), A(a ) + A2 (a ) + .. + An (a ) . 2) Fie  A(a ) =  0 1 

1.4.3. Subgrupuri Printre submulţimile nevide ale unui grup G, există unele care formează grup relativ la operaţia de pe G. Astfel de submulţime se numeşte subgrup a lui G. Definiţie. ie. Fie G un grup. O submultime nevidă  H a lui G se numeşte subgrup al subgrup  al grupului G dacă  legea de compoziţie din G induce pe  H o lege de compoziţie împreună cu care H este grup. Exemple.  1) ( , +) este su subbgrup al grupulu luii ( , +) . Exemple. 2) (  , +) este subgrup al grupului (, +) . 3)  (U  n  ,⋅)  este sub ubgr gruup al grupulu luii (∗ ,⋅) .

Următoarea afirmaţie vine să precizeze în ce condiţii o submulţime H  unui  unui grup G este un subgrup. Teoremă. O submulţime H a unui grup (multiplicativ) G este subgrup al grupului G dacă şi numai dacă sunt îndeplinite condiţiile: 1)  1)  ( ∀ ) x, y ∈ H ⇒ xy ∈ H  , 2)  2)  ( ∀ ) x ∈ H ⇒ x−1 ∈ H .

ie. Presupunem Demonstraţie. H este subgrup al lui G. Atunci din definiţie rezultă că   Presupunem că  H 1). legea de compoziţie din G  induce o lege de compoziţie pe  H, adică  se verifică  1). Legea indusă  posedă  element neutru u ∈ H  , astfel încât oricare ar fi x ∈ H  , ux = xu = x . În particular, uu = u  şi din unicitatea lui u rezultă u = uu uu−1 = e . Prin urmare H conţine elementul neutru din G. Cum  H este subgrup, orice element  x ∈ H    este inversabil în  H şi inversul lui  x  în  H coincide cu inversul lui  x  în G, deoarece 2) are loc. inversul este unic, adică  x ∈ H ⇒ x−1 ∈ H    şi 2) are 1) şi 2). 2). Din 1) rezult 1) rezultă legea lui G induce o Reciproc, presupunem verificate condiţiile 1)  lege pe  H care este asociativ asociativă, deoarece legea din G este asociativă. Din 2) se 2) se deduce că pentru fiecare  x ∈ H ⇒ x−1 ∈ H   deci  xx−1 = e ∈ H  . Cu aceasta  H  împreună  cu legea indusă este grup, adică subgrup al lui G .■ 

 

67

 

Observaţii. 1) Dacă legea în G este notată aditiv, atunci condiţiile 1)  1) şi 2) se 2) se scriu sub ii.  1) Dac forma: 1') ∀  x, y ∈ H ⇒ x + y ∈ H  , 2') (( ∀ )) x ∈ H ⇒ −x ∈ H  . 2)  2)  Să  reţinem că  un subgrup  H al grupului G  este o submulţime a sa care odată  cu două elemente conţine şi produsul lor (l)), iar odată cu un element îi conţine şi inversul (2)). Teorema precedentă se poate reformula şi sub forma: Teoremă. O submulţime nevidă  H H a unui grup G este subgrup al lui G, dacă  şi numai dacă este îndeplinită condiţia: (∀ ) x, y ∈ H ⇒ xy−1 ∈ H  . Demonstraţie. ie.   Fie  H subgrup al lui G. Atunci, condiţia este îndeplinită  conform teoremei precedente, deoarece din  x, y ∈ H ⇒ x, y−1 ∈ H    şi deci  xy−1 ∈ H  .   ă  se Reciproc, dacă   x ∈ H ⇒ xx−1 = e ∈ H  . Din e, x ∈ H ⇒ ex−1 = x−1 ∈ H   adic 2) din teorema precedentă. verifică 2) din 1)  din Dacă   x, y ∈ H ⇒ x, y−1 ∈ H    şi deci  x( y−1)−1 = xy ∈ H  , adică  are loc şi 1)  teorema precedentă.■  ie.  1) Dacă G este aditiv, atunci condiţia din teoremă se scrie Observaţie. (∀ ) x, y ∈ G ⇒ x − y ∈ G . 2) Dacă H   H  este  este subgrup al lui G, atunci notăm  H ≤ G . Exemple 1. Fie G un grup şi e ∈ G elementul neutru. Submulţimile G şi {e} ale lui G sunt subgrupuri, numite 1. Fie improprii.. Orice subgrup H al lui G, diferit de G şi {e} se numeşte subgrup propriu propriu.. subgrupuri improprii 2. Grupul ({1,−1},⋅) este subgrup al lui ( ∗ ,⋅)   2. Grupul

3.   Fie  n = {nk k ∈ }, n ∈  , submulţime a grupului ( , +) . Atunci ( n  , +)   este subgrup al lui 3.  , deoarece (∀ ) nk1 , nk2 ∈ n   rezultă 

1)  nk1 + nk2 = n( k1 + k2 ) ∈   şi 2) − nk = n(−k ) ∈ n   . 4. 4.   Submulţimea H ={z ∈ z =1} est stee un sub subgrup grup in infi finnit al lu luii (∗ ,⋅)   deoarece (∀) x, y ∈H ⇒xy−1 ∈H  

pentru că   xy−1 =

 x  y

=

 x y

1 1

= = 1  şi odată cu  z ∈ H ⇒ z n ∈ H , (∀ ) n ∈  .

5.  5.  Submulţimea  H = {1, − 1, i , − i }   este subgrup finit al grupului considerăm tabla operaţiei.

 

(∗ ,⋅) .

Pentru aceasta

68

 

⋅

1

i

−1

Se constată că  (∀ ) x , y ∈ H ⇒ xy ∈ H  . În plus, 1−1 = 1 ∈ H ,  

i

−i

(−1)−1 = −1 ∈ H , i−1 = −i ∈ H , (−i )−1 = i ∈ H  . Deci ( H  , ⋅)  este

1 −i −i −1

i

1 −1 1 −1

−1 −1 i

i

−i

−i

i

1  1 −1

( )

subgrup al lui ∗ ,⋅ . De fapt,  H = U 4 , grupul multiplicativ al rădăcinilor de ordin 4 ale unităţii.

 ˆ ˆ ˆ   este subgrup finit al grupului ( , +) . Tabla  = {0,2,4,6} 6. 6.   Submulţimea  H  = 8 operaţiei pe H  este  este dată alăturat.   este Observăm că  (∀ ) x , y ∈ H ⇒ x + y ∈ H  . Simetricul fiecărui element din  H  este

+  ˆ0 2ˆ 4ˆ 6ˆ

 ˆ0  ˆ2

0ˆ 2ˆ

2ˆ 4ˆ

4ˆ 6ˆ

6ˆ 0ˆ

tot în  H , − ˆ0 = 0 ∈ H , − 2ˆ = 6ˆ ∈ H , − 4ˆ = 4ˆ ∈ H , − 6ˆ = 2ˆ ∈ H  . Asemănător

 ˆ4  ˆ6

4ˆ 6ˆ

6ˆ 0ˆ

0ˆ 2ˆ

2ˆ 4ˆ

( )

probaţi că  H   = = { ˆ1, 2ˆ , 4ˆ }  este subgrup al grupului ∗7 , ⋅ .

 ˆ , 4ˆ , 6ˆ , 8ˆ } ⊆  . Utilizând tabla operaţiei cu înmulţirea arătaţi că  ( H  ,⋅)   este grup. 7. 7.   Fie  H  =  = {2 {2, 10 Totuşi, ( H  , ⋅)  nu este subgrup subgrup al  al lui  10 , deoarece  10  cu înmulţirea nu este grup. grup. 8. 8. Dac  Dacă G este un grup, atunci: 1) (G ) = { z ∈ G zg = gz , ∀g ∈ G }  se numeşte centrul grupului grupului  G.  9.   Dacă   g ∈ G , atunci C( g) = { x ∈ G xg = gx}  (elementele grupului care comută cu  g) este subgrup al 9.  g în   în G). Care este relaţia între aceste subgrupuri şi  (G ) ?  lui G (numit centralizatorul lui  lui  g

Următoarea teoremă dă informaţii despre comportarea subgrupurilor unui grup faţă de operaţia de intersecţie a mulţimilor. Mai precis are loc: Teorema. Fie o { H i }  familie de subgrupuri ale lui G. Atunci intersecţia Teorema. Fie ∩ H   este un subgrup al lui G. i

Demonstraţie. ie.   Cum elementul neutru e  al grupului aparţine fiecărui subgrup  H i  se deduce că  e ∈ ∩ H i , adică  ∩ H i  ≠ ∅ .

Dacă   x, y ∈∩H i , atunci  x, y ∈ Hi , ( ∀)i . Cum  H i  este subgrup rezultă  că   xy−1 ∈ H i ,

(∀ )i   şi deci  xy−1 ∈ ∩ H i , ceea ce arată că  ∩ H i  este subgrup al lui G. ■  Exemplu.  Să se arate că  2 ∩ 3 = 6 . Exemplu.  R.  R. Egalitatea de mulţimi se probează prin dubla incluziune. Fie  x ∈  2 ∩ 3 . Deci există  k , m ∈    astfel încât  x = 2k = 3m . Deci x se divide prin 2 şi 3, adică se divide prin 6, ceea ce înseamnă   x = 6 n , n ∈  ⇒ x ∈ 6 . De aici 2  ∩ 3  ⊆ 6  , (1). Din  x ∈  6 ⇒   ⇒ x = 6 p, p ∈   . Cum  x = 2(3 p) ∈  2   şi  x =3(2p) ∈  3 , deducem  x ∈  2 ∩ 3 ⊆ 6 , (2). Din (1) şi (2) rezultă egalitatea.

 

69

 

Următoarea propoziţie precizează  că  o submulţime finită  a unui grup G  devine subgrup cu operaţia indusă de pe G. Mai precis are loc ţ ă ă ş (G,⋅)  un grup  Fie echivalente: Teorema. Fie Teorema. afirma ţii sunt echivalent e: i H o submul ime finit  a lui G. Urm toarele 1) H este subgrup al lui G; 2) H este parte stabilă faţă de operaţia din G.

Demonstraţie. ie. Vom  Vom demonstra dubla implicaţie 1) ⇒ 2)  şi 2) ⇒ 1)   1) ⇒ 2) este adevărată  deoarece din  H subgrup al lui G  avem că  ( ∀ ) x, y ∈ H  ⇒   ⇒ xy ∈ H  , ceea ce arată că H  H este parte stabilă faţă de operaţia din G. 2) ⇒ 1) Presupunem că  H H este parte stabilă  faţă de operaţia din G, adică  ( ∀) x, y ∈ H ⇒   ⇒ xy ∈ H  . Fie H = {x1, x2 , x3 , ..., xn } .  Mai avem de verificat a doua condiţie ca  H să fie subgrup, adică ( ∀ ) x ∈ H ⇒ x−1 ∈ H . 2)) Fie  x ∈ H  un element arbitrar fixat. Atunci elementele (conform cu 2))  xx1, xx2 ,...., xxn ∈ H  . (1)  Mai mult, ele sunt distincte două  câte două. Într-adevăr, dacă  prin absurd  xxi = xx j , i ≠ j , atunci simplificând la stânga (în G) rezultă   xi = x j ,  fals deoarece elementele din H sunt distincte două câte două. Aşadar H conţine cele n elemente din (1). Cum H are exact n elemente, rezultă c ă elementele din (1) sunt chiar  x1, x2 , ..., xn  eventual în altă ordine. Deci există  1 ≤ i ≤ n   pentru care xxi = x . De aici simplificând prin  x (în G) se obţine xi = e ∈ H  . În fine există  1 ≤  j ≤ n pentru care  x ⋅ x j = e , iar de aici  x j = x−1 ∈ H  .■  Exemple.  1. Su Exemple.  Subg bgru rupu puri rile le fi fini nite te cu n elem elemen ente te al alee gru grupu pulu luii (∗ ,⋅)  sunt grupurile de rădăcini ale unităţii U n,n∈N ∗ . Arătaţi că  singurele părţi finite ale lui   ∗ , stabile faţă  de înmulţire sunt   ∗

U n , n ∈ 

. Se ia  x ∈ H    şi se calculează xx1 ,..., xx n ∈ H  , care sunt chiar  x1 , x2 , ... x n  în altă 

ordine. Din (  x1 )( xx2 )...( xx n ) = xx1 ... xn ⇒ x n = 1 ⇒ x ∈ U n . Deci  H ⊂ U  n . Cum  H şi U  n au exact n elemente ⇒ H = U  n . 2.  2.  Grupul ( ∗ ,⋅)  este infinit. Determinaţi o submulţime a lui ∗  care este parte stabil ă  faţă  de 1  înmulţire, ire, dar dar nu este sub ubgr gruup al lu luii ( ∗ , ⋅) . Se ia  H = { x > 1}  pentru care −1 = ∉ H  .  x

 

70

 

Pentru reguli de calcul într-un grup se adaugă: Teorema. Fie (G,⋅) un grup şi H un subgrup al lui G,  H ≠ G . Teorema. Fie Dacă  x ∈ H , y ∈ G − H  , atunci  xy, yx ∈ G − H  . Demonstraţie. ie. Fie  Fie z = xy. Presupunem Presupunem,, prin absurd că  z ∈ H  . Din z = xy rezultă  y = x−1z . Cum  x, z ∈ H  , rezultă  y ∈ H  , fals. Analog se probează că  yx ∈ G − H  . ■  Exemplu.   (, +) este subgrup al lui (  , +) . Dacă  luăm x = 3 ∈    şi  y = 3 ∈  −  , atunci (conform teoremei)  x + y = 3 + 3 ∈  −  . Dacă luăm  x , y ∈  −  , atunci + y   poate fi atât în  cât şi   −  , după cum arată exemplele de mai jos:  x = 1 + 2 , y = 1 − 2 ∈  −   şi  x + y = 2 ∈  ;  x = 3 , y = 2 ,  x , y ∈  −   şi  x + y = 3 + 2 ∈  −  .

Exemple remarcabile de subgrupuri 1) Subgrupurile grupului aditiv ale numerelor întregi Să  considerăm grupul aditiv al numerelor întregi (, +) . Dorim să  determinăm subgrupurilee acestui grup. Rezultatul este furnizat de următoarea: subgrupuril Teoremă. Fie H o submulţime nevidă a lui  . Atunci H este subgrup al lui  , dacă şi numai dacă există  n ∈  astfel încât  H = n   . Demonstraţie. ie.   Am văzut mai sus că  dacă   H = n = {nk k ∈ } , atunci  H este subgrup al lui  . Reciproc, dacă  H este subgrup al lui    să  probăm existenţa lui n ∈  pentru care  H = n   . Analizăm două cazuri: a) Dacă H  H = {0}, atunci evident n = 0, când  H  = 0 = {0} . {0}} , atunci există în H elemente nenule. b) Dacă  H  ≠ {0 Fie m ∈ H , m ≠ 0 . Cum  H este subgrup, atunci şi −m ∈ H  . Dar m, −m ∈    şi sunt

nenule. Deci cel puţin unul este număr natural nenul. Fie n cel mai mic număr natural nenul aparţinând lui  H. Să  arătăm că  atunci  H = n   . Vom proceda prin dubla incluziune. n  + ... Fie deci  x ∈ n   . Atunci  x = nk , k ∈  sau  x = n+  +  n ∈ H  deoarece n ∈ H  . k 

n x⊂ (1). Aşadar ∈ H  H ,. Conform Fie acum teoremei împărţirii cu rest pe  , există  q, r ∈  astfel  încât x = nq + r , 0 ≤ r < n . De aici r = x − nq ∈ H pentru   că  x, nq ∈ H  . Cum n a fost

 

71

 

cel mai mic număr natural nenul din  H, iar 0 ≤ r < n, r ∈ H  ,  atunci neapărat r = 0 ,   şi deci  x ∈ n   . adică  x = nq În fine pentru  x ∈ H  , am găsit x ∈ n   , adică H ⊂ n   , (2).  Din (1) şi (2) rezultă  H = n    .■  {0}} . Observaţie. ie. Deduce  Deduceţi de aici că singurul subgrup finit al lui (, +)  este  H  = {0 2) Subgrup generat de un element. Grup ciclic Fie (G,⋅)  un grup şi  x ∈ G . Subgrupul generat de  x se notează  <  x > şi are ca elemente puterile întregi ale lui  x  ..., x−2 , x−1, e = x0 , x, x2 , ...  şi este numit grup ciclic generat de generat de x. Aşadar = {x k  k ∈ }  

Definiţie. ie. Grupul ciclic dac  Grupul G se numeşte ciclic  dacă este generat de un element al său. Acest element se numeşte generator  al grupului. generator al Observaţii. 1) Dac 1) Dacă G este un grup aditiv  aditiv şi  x ∈ G , atunci: = {kx k ∈ } . 2)  2)  Orice grup ciclic este abelian pentru că  orice două  puteri întregi ale unui element comută. Reciproca este falsă (vezi grupul lui Klein, care este abelian dar nu este ciclic). Exemple 1. Elementele 1.  Elementele −1,1 ∈   (ca grup aditiv). Atunci = { k(−1) k ∈ } = {(−k ) ⋅ 1 k ∈ } =  , < 1 >= { k ⋅ 1 k ∈ } =  , ceea ce arată că grupul aditiv al numerelor întregi este un grup ciclic

generat de elementul –1 sau 1. Observăm că acest grup este infinit. 2. Grupul  Grupul (U    ,⋅)  al rădăcinilor de ordinul n ale unităţii este 2.  n

  2 kπ 2k π = + = − c o s s i n , 0 , 1 U n =  z z i k n  k k  .    n n

Elementul  z1 = cos

2π  n

+ i si n

2π n

 are proprietatea că   z10 = 1, z k1 = z k , k = 1, n − 1 , ceea ce arată 

că U n = { z k1 k = 0, n − 1} , adică este grup ciclic finit de ordin n, generat de  z1 . 1}  este un subgrup ciclic de 3.  Dacă  luăm grupul (∗ ,⋅) atunci < i >= {i k k ∈ } = {−i , i , 1,−1} 3. 

ordin 4, generat de unitatea imaginară. 4. Grupul  Grupul claselor de resturi modulo  n cu adunarea ( n ,  +)  este ciclic deoarece  n  ==   4. = { k ⋅ ˆ1 k ∈ } . Mai mult este un grup ciclic finit, f init, de ordin n. Arătaţi că pentru grupul ( , +) , 6

avem  6 == . 5. 5. Grupul  Grupul cuaternionilor (G = { ± 1 , ± i , ± j , ± k } , ⋅ )  nu este ciclic, dar are subgrupul ciclic < i > ={ ±1,±i } .

 

72

 

Probleme rezolvate 1.   Fie (∗ ,⋅)   grupul multiplicativ al numerelor complexe nenule, ε   o rădăcină  a ecuaţiei 1.  x 2 + x + 1 = 0  şi H  = {1, ε, ε 2 } . Arătaţi că: ∗

a) H este sub subgru grup al grupulu luii ( ,⋅)   b) Or Oric icee subg subgru rupp cu tr trei ei el elem ement entee al grupu grupulu luii (∗ ,⋅) coincide cu H. R. a) Ştim că  H  ⊂  ∗ este subgrup al lui (∗ ,⋅) dacă: 1) (∀ ) x, y ∈ H ⇒ xy ∈ H  ; 2) (∀ ) x ∈ H ⇒ x−1 ∈ H  .

⋅

1

ε

Din ε 2 + ε + 1 = 0   prin înmulţire cu ε −1   rezultă  ε3  = 1   şi avem tabla legii pe  H:

1

1

ε = ε   se verifică  2 ε

ε ε2

ε ε2

Din tablă  rezultă  că  1) se verifică, iar din

−1

( )

1−1 = 1, ε−1 = ε 2 , ε2

1

ε2 ε2

1 ε

şi 2).

b) Fie  H ' = {1, a, b}  subgrup cu trei elemente al grupului (∗ ,⋅) . Avem a 2  ≠ 1 (căci altfel a = 1, fals, iar dacă  a = −1 , atunci b 2  = 1 sau b 2  = −1 . Dacă  b 2  = 1 , atunci b = ±1  şi  H' = {– 1, 1} are doar două  elemente, iar pentru b2  = −1 rezultă  b = ±i   când  H ' = {±1, ±i}   are patru elemente). La fel a 2 ≠ a . Rămâne b = a 2 şi a3  = 1 . Deci  H ' = {1, a, a 2}   cu a3 = 1, a  ≠≠ 1 .

2. 2. Pe  Pe mulţimea matricelor

M2 (  )

 se consideră operaţia de adunare şi submulţimea

2 a 3b       H =    H este subgrup al grupului (M2 ( ), +) .  a , b, c , d  ∈  . Să se arate că H  4 c 5d    

R.  Avem de verificat pentru H şi operaţia de adunare cele două proprietăţi: R. 1) (∀ ) A, B ∈ H ⇒ A + B ∈ H  ;  2) (∀ ) A ∈ H ⇒ − A ∈ H  . 

2a1 3b1   2a2 3b2      , ai , bi , ci, di ∈ Pentru a demonstra 1) fie  A =      . Atunci  A + B =   , B =   4c1 5d1  4c2 5d2    2(a1 + a2 ) 3(b1 + b2  )  =   ∈ H  deoarece a1 + a2 , b1 + b2 , c1 + c2 , d1 + d2  ∈    şi  4 (c1 + c2 )    5(d1 + d 2 )    2(−a1) 3 (−b1  )  ∈ H   pentru că  −a1,−b1,− c1,−d1 ∈ − A =      .  4(−c1)    5(−d 1)

1 0 0 1 −1 0   0 −1 3. Fie  Fie matricele I2 =  3. , A =  , B =  , C =   şi mulţimea G = { I 2 , A, B, C } .  0 1 1 0  0 −1 −1 0 

1) Arătaţi că G cu operaţia de înmulţire a matricelor este subgrup al lui (M2 (  ),⋅)   2) Determinaţi subgrupurile grupului (G ,  ⋅) .  ⋅  I 2 A B C  R. R.  1) Tabla legii este dată mai jos  I 2 I 2 A B C  Verificăm cele două proprietăţi ale subgrupului:  A A I2 C B a) (∀ ) A, B ∈ G ⇒ AB ∈ G  (din tabla operaţiei această proprietate se verifică).  B B C I 2 A − − − − 1 1 1 1 − 1 b) (∀ ) A ∈ G ⇒ A ∈ G . Avem  I2 = I2 , A = A, B = B, C = C .  C C B A I2  

 

73

 

2) Din faptul că   A2 = B 2 = C 2 = I  2 şi  AB = C, BC = A, CA = B   deducem că  subgrupurile lui G sunt: { I 2}, {I2 , A}, {I2 , B}, {I2 , C }  şi { I 2, A, B, C } . 4. 4. Fie  Fie (G ,  ⋅) grup.

1) Să se arate că  mulţimea  Z (G ) = {a ∈ G ax = xa, (∀ ) x ∈ G }   numită centrul grupului G este un subgrup al lui G. Z(G) este abelian. 2)  2) Să se arate că   Z 3) Dacă  , y ∈ G  , astfel încât  xy ∈ Z (G ) , atunci xy = yx  yx.. 4) Dacă (G,.) este abelian, care este Z(G) ? R. R.  1) Să arătăm că dacă  a, b ∈ Z (G ) , atunci ab ∈ Z ( G) . Din a , b ∈ Z (G ) ⇒ ax = xa , by = yb, (∀ ) x, y ∈ G . Atunci avem: ( a b ) x = a ( b x ) = a ( x b ) =   = ( xa )b = x(ab   ) şi deci ab ∈ Z ( G) . Fie a ∈ Z (G )   şi să  arătăm că  a−1 ∈ Z (G) . Pentru  x ∈ G   arbitrar avem: ax−1 = x−1a ⇒   −1

−1 = x−1a ⇒ xa−1 = a−1x   ,, adică  a−1 ∈ Z (G) . Prin urmare Z (G) este subgrup al lui G.

( ) ( )

⇒ ax−1

2) Fie a, b ∈ Z (G ) . Deci ax = xa, (∀ ) x ∈ G . În particular pentru  x = b ∈ Z (G )  rezultă ab = ba.

(

)

3) Fie  z = xy ∈ Z (G ) . Atunci  y = x−1z  şi  yx = x−1z x = x−1( zx) = x−1( xz) = z = xy . 4) Din cele de mai sus Z (G) = G.

Probleme propuse   H este subgrup al lui G în raport cu operaţia ∗ , unde: 0. Arătaţi că H a)  H = 3 n n ∈  , G =  ∗+ , ∗ = ⋅ ; b)  H = { ˆ0, 2ˆ , 4ˆ } ,G =  6 , ∗ = + ;

{

}

 2 n  n ∈  , G = , ∗ = + ;  5 

d)  H = 

c)  H = { 3a + 2 bi a , b ∈  } , G = ( i ), ∗ = + ;

{

}

f)  H = {a + b 2 a , b ∈ } , G =  , ∗ = + ;

e)  H = 3 n5m n, m ∈  , G =  ∗ , ∗ = ⋅ ; 3

3

  ∗

 n

h)  H = i n ∈  , G =  , ∗ = ⋅ ; g)  H = a + b 2 + c 4 a , b, c ∈  , G =  , ∗ = + ; i)  H = {a + bi 2 a, b ∈ } , G = , ∗ = + ; j)  H = f ∈ [ X ] f ( 3 2 ) = 0 , G = [ X ]],, ∗ = + ;

{

{

}

{

{

}

}

k)  H = a + b 2 a , b ∈ , a 2 − 2b 2 = 1 , G =  ∗ , ∗ = ⋅ ;  a b   2 2   l) H =   a , b ∈  ,  a − 3b = 1 , G = M2 ( ), ∗ = ⋅    3 a b   

1. 1)  1) Arătaţi că  H = { z ∈  z = 1} ⊂  este un subgru rupp al lui ( ∗ ,⋅) . 1. ∗

∗

∗

}

( )(

)( )

2) Determinai subgrupurile finite ale grupurilor:  ,⋅ ,  + ,⋅ ,  ,⋅ . 2. 1) Să se arate că submulţimile de numere întregi 2. 1)  H1 = {4k1 + 6k2 k1 , k2 ∈  }, H 2 = {3k1 + 5k2 k1 , k2 ∈  } împreună 

subgrupuri ale lui (, +) .

 

cu

adunarea

formează 

74

 

2) Fie (, +)   grupul întregilor. Determinaţi o submulţime a lui  , parte stabilă  în raport cu adunarea, dar care nu este subgrup al lui  .  a 2b   0  a   0 0             3. 3. Fie  Fie mulţimile:  H1 =   a,b,c, d ∈ .  a , b, c ∈  ,  H3 =  a ∈   ,  H 2 =  3 c 4d   2 b 3c   a a         Arătaţi că  H , H , H  sunt subgrupuri ale lui (M ( ), +) .  1

2

3

2 1  a    4.  4.  1) Să  se arate că  mulţimea  H =  A a =   a ∈   este un subgrup al grupului matricelor 0 1      a −b   2 2   inversabile din M2 (  ) , cu înmulţirea. Aceeaşi cerinţă  şi pentru mulţimile:  H1 =  a +b =1,    b a     1  a       1 0  0 1 −1 −1 −1 −1 0 1       H 2 =   b ≠ 0 , H 3 = I 2 ,  ,   , ,   ,  .   0  1 0 0  b   −1 −1 −1 −1  1 0 1      

2) Fie grupul (G = { A ∈ M2 ( ) det ( A) ≠ 0} , ⋅) . Arătaţi că   H ⊂ G   este subgrup în raport cu  înmulţirea matricelor în cazurile: 1 0 1 1 0  i 0 −1 0 −1 0 0 −i 0 −1 0         a)  H  =    ,  ,  ,   ; b)  H  =    ,  ,  ,     i i 0 1 0 −1  0 1  0 −1 0 1 0 −   0   0 −1  a b    a b   x y  ax b + ay    3) Fie  M =     ad  ≠ 0 pe care definim legea ∗  astfel:   ∗   =   .  c d   z t  c + dz   c d   dt    a 0  Arătaţi că  ( M  , ∗) este grup necomutativ, iar  M ' =     ab ≠ 0  este subgrup al lui M. 0  b   

5.  Fie mulţimile  H1 = { A ∈ M n ()  t A = A}, H 2 = { A ∈ Mn ( ) t A = −A} . Arătaţi că  ( H 1 , +) , 5.  ( H 2  , +) sunt subgrupuri ale lui (M n (  ), +) . 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4   6. Fie  Fie G = {e, σ σ1, σ2 , σ3 } unde e =  6. , σ1 =  , σ2 =  , σ3 =   .  1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 3 4 1 2 Arătaţi că operaţia de compunere (înmulţire) a permutărilor determină  pe G o structură de grup abelian. Stabiliţi subgrupurile grupului G. 7. 7.   Fie S4   grupul permutărilor mulţimii {1, 2, 3, 4} şi fie  H ⊂ S4   mulţimea formată  din permut ările ce lasă neschimbat elementul 4. Arătaţi că  H  H este subgrup al lui ( S4 , ) .  daccă subgrupul H al lui S4 conţine transpoziţiile (12), (13), (14), atunci  H = S4 . 8. Să se arate că da 9. Fie  Fie funcţia  f  :   →  , cu proprietatea că există  p ∈  , p > 0 astfel încât  f ( x + p ) = f ( x),( ∀) x ∈ . 9.

Notăm  P = { p ' ∈  f ( x + p ') = f ( x ), ( ∀ ) x ∈  } . Să  se arate că   P ⊂  este un subgrup al lui (  , +) . 10. 10.   Să  se arate că: a) 3  ∩ 4  = 1 2  ; b) 4  ∩ 6  = 1 2  ; c)  m  ∩ n = [ m , n ] , unde [ m , n] = c.m .m.m.c.( m , n ) .

11.   Să  se arate că  dacă: 11.

C (  ) = { f

:  →  f  continuă} ;

P (  ) = { f

:  → f  are primitive}  

atunci: (C (  ), +), (P (  ), +)  sunt subgrupuri ale lui (F (  ), +) .

 

75

 

12. 12. Pentru  Pentru grupurile considerate stabiliţi subgrupurile ciclice indicate: a) (G = {±1, ±i }, .), < 1 >, < −1 >, < i > ; b) ( 16 , +), ; c) ∗5 , ⋅ , < 3ˆ > ;

( )

0 1 1 1 d) (G = { A ∈ M2 () det( A)  ≠ 0}, ⋅) ,  unde  A =  ;  , < A >  unde  A =  1 0 0 1

e) (G = M2 (  5 ), +), < A > , unde  A =  ˆ2 0ˆ   şi respectiv  A =  ˆ0 1ˆ  .  ˆ2 4ˆ   ˆ0 3ˆ      13. Fie (G ,  ⋅) un grup comutativ şi  H = { x ∈ G (∃)k ∈  , x k = e} . Arătaţi c ă  H 13. Fie H este subgrup al lui G.

14. Fie (G ,  ⋅) un grup abelian şi  H1 , H 2 două subgrupuri ale lui G. 14. Fie Să se arate că mulţimea  H = H1 ⋅ H 2 = {h1h2 h1 ∈ H1 , h2 ∈ H 2 } este subgrup al lui G . 15. 15.   Fie  H un subgrup al grupului G şi  a ∈ G un element oarecare. Să  se arate că  mulţimea  aHa −1 = {aha −1 h ∈ H }  este un subgrup al lui G. În ce caz  aHa −1 = H  ?

16*.  Fie S n grupul permutărilor de  n elemente şi  A n ⊂ Sn mulţimea permutărilor pare de  n 16*.  elemente. Determinaţi  Z ( A n ) iar pentru  n ≥ 3  arătaţi că  Z ( S n ) = {e } . 17.   Fie G un grup şi  H, K două subgrupuri ale lui G. Să se demonstreze că   H ∪ K  este subgrup 17. dacă şi numai dacă  H ⊂ K   sau  K ⊂ H  . 18. Pe 18. Pe G = [0,1) definim legea de compoziţie  x ∗ y = { x + y } , unde { a} reprezintă partea fracţionară  a numărului real a. Să se arate că: a) (G ,  ∗) este grup abelian;   1 2 3 4  b) G5 = 0, , , ,  , ∗  este subgrup al lui G.   5 5 5 5  



 

1.5. GRUPURI FINITE Tabla operaţiei Un grup finit G, format din elementele g1 , g2 , ..., g n poate fi descris cu ajutorul tablei lui Cayley. Aceasta este o tabelă  pătrată în care la intersecţia liniei i cu coloana  j  se află  elementul gi g j . De exemplu, dacă ordinul grupului este 2 şi grupul este format din elementele e (unitatea) şi g ≠ e , atunci g 2  poate fi egal doar cu e (în caz contrar g 2 = g ⇒ g = e! ). De aceea tabla lui Cayley are forma: ⋅ e g e e g 

g g e.

 

76

 

Dacă  ordinul grupului este 3, e este elementul unitate al său iar

g ≠e,

atunci se

constată  uşor că  g 2 ≠ g  şi g 2 ≠ e , de aceea G = {e, g, h}  cu g 2 = h . La fel de simplu se arată că gh = e. Tabla lui Cayley are forma: Din tabla grupului se poate deduce comutativitatea lui (dacă tabla ⋅ e g h este simetrică în raport cu diagonala principal ă); se poate determina e e g h elementul unitate, inversul pentru fiecare element al grupului. g g h e Existenţa unui izomorfism între două  grupuri  (aşa cum apare la h h e g izomorfisme de grupuri)  înseamnă  că (abstracţie f ăcând de notaţiile elementelor) tablele Cayley corespunzătoare lor coincid. Tablele Cayley pot fi scrise efectiv doar pentru grupuri cu ordinul mic. În cazul grupului multiplicativ finit cu n elemente, G = {x1, x2 , ..., xn }   în în tabla legii (Cayley) pe fiecare linie sau coloană, fiecare element al lui G  apare o dată  şi numai o singură dată. Într-adevăr fie  xi ∈ G , fixat fixat i ∈ {1, 2,... 2,...,, n} . În linia lui  xi din tabla operaţiei se găsesc elementele:  xi x1, xi x2 , ..., xi xn .  Pentru k ≠ l   avem  xi xk ≠ xi xl . În caz contrar din  xi xk

=

xi xl

  prin compunere la

stânga cu  xi−1 ar rezulta x k = xl , fals. Aşadar elementele  xi x1, xi x2 , ..., xi xn  sunt distincte două câte două şi în plus sunt în G. Cum G are exact n elemente înseamnă  că  G = {xi x1 , xi x2 , ..., xi xn } , altfel spus aceste elemente sunt chiar  x1, x2 , ..., xn  eventual în altă ordine.

Exemple remarcabile de grupuri finite 1) Grupul rădăcinilor de ordin  n ale unităţii Fie n ∈  ∗  şi U n = {z ∈  z n = 1}   mulţimea rădăcinilor de ordinul n ale unităţii. Se ştie că acestea sunt date de relaţia  zk  = cos 2

kπ n

Pe U n considerăm operaţia de înmulţire de pe Are loc următoarea:

+i

sin 2

k π n

, k = 0,1, ..., n −1 .

.

Teoremă.  C Cuuplul (U n  ,⋅) este grup abelian finit, numit grupul rădăcinilor de ordin n ale unităţii. Demonstraţie. Verificăm axiomele grupului.  

77

 

G1) Înmulţirea de pe    este lege de compoziţie  pe U n , adică  să  arătăm că 

(∀ ) zk , zl ∈ U n ⇒ zk ⋅ zl ∈ U n .  Avem ( zk zl )n = zkn ⋅ zln = 1⋅1 = 1 .  G2) Asociativitatea înmulţirii are loc, deoarece înmulţirea pe   este asociativă. G3) Elementul neutru. Cum 1 este element neutru pentru înmulţirea de pe    şi 1 ∈ U n (pentru k = 0, z0 = 1 ) se deduce că 1 este element unitate şi ffaaţă de înmulţirea de pe U n . G4) Elemente inverse  (simetrizabile). Pentru  x ∈ U n , există   x ' ∈ U n astfel încât  1 n 1 1 1  xx ' = 1 = x ' x . De aici  x ' = ∈ U n   deoarece      = = = 1 , ceea ce arată  că  n  x   x 1  x 1 inversul lui x din U n  (adică  ) se menţine în U n .  x G5) Comutativitatea înmulţirii are loc pe U n deoarece înmulţirea este comutativă pe . Observaţie.  Elementele lui U n   au ca imagini geometrice în plan vârfurile unui  înscris în cercul unitate. poligon regulat cu n laturi înscris În Fig. 5 avem ilustrate cazurile n = 3, n = 4.

n=4

 y 

n=3

 A1( z  z1)

 A1(  zz1) 4π 3

 

2π 3

π

 

 A0(  zz0)

 A2( z  z2)

π 

2 3π 2

 A2(  zz2)  A0  A A1  A A2 triunghi echilateral

 A0( z  z0)  x 

 A3( z  z3)  A0 A  A1 A  A2 A  A3 pătrat

Fig. 5

2) Grupul lui Klein Fie planul P  =  ×   în care avem reperul cartezian  xOy. Considerăm următoarele transformări geometrice ale planului. P

P 

→ , M ( x , y ) → M ( x, y )   1) i(( x,iy: )) = ( x, y ) , aplicaţia identică a planului.

 

78

 

2) s x : P → P , M( x, y) → M '(x,−y) = simetricul lui M  în  în raport cu Ox (Fig. 6), s x (( x, y )) = ( x, − y ), s x este simetria în raport cu Ox. 3) s y : P → P , M ( x, y ) → M ''(−x , y)  

 y  M'' ((–– x, y)

 M (  xx, y)

O  x s y ((x, y)) = (−x, y), s y   este simetria în raport cu Oy.  M' (  xx, – y)  M'''   x  y ( (– – , – ) 4) so : P → P , M ( x , y ) → M '''(− x , − y ) , so (( x , y )) = (− x , − y ), so   este simetria în Fig. 6 raport cu O. Notăm prin K = {i, s x  , s y , so } şi considerăm operaţia de compunere a funcţiilor pe K . Atunci are loc următorul rezultat:

Teoremă. Cuplul (K, )  este un grup abelian, numit grupul lui Klein. Demonstraţie. Tabla operaţiei este dată alăturat.  i s x sy so Verificăm axiomele grupului comutativ. G1) Asociativitatea compunerii. Întotdeauna compunerea i i s x sy so funcţiilor este asociativă, deci este la fel şi în acest caz s x sx i so s y   particular. s y s y so i s x G2) Elementul neutru este funcţia identică a planului, i. G3) Elemente inversabile. Avem imediat (din tabla legii) so so s y sx i 1 −1 i−1 = i, s x−1 = sx , s− y = s y , so = so . G4) Comutativitatea compunerii rezultă din faptul că tabla legii este simetrică  faţă  de diagonala principală. ⋅ e a b c Aşadar cuplul (K, ) este un grup abelian, având ordinul 4. Observaţii. 1) Mai general considerăm mulţimea K = { e, a, b, c} e e a b c pe care definim o operaţie multiplicativă dată de tabla alăturată. a a e c b  Atunci ( K  ,⋅)  este grupul lui Klein. Observăm că într-un astfel de b b c e a c c b a e grup avem: a2 = b2 = c2 = e, ab = ba = c, ac = ca = b, bc = cb = a . 2)  Dacă  se consideră  G = {e, a, b, c}   împreună  cu o lege multiplicativă  dată de tabla alăturată atunci se constată  că  (G,⋅)   ⋅ e a b c este un grup tot de ordin 4. Numai că  în acest caz observăm că  e e a b c a a b c e  a 2 = b, a3 = c  şi a 4 = e , adică  elementele acestui grup sunt b b c e a generate de elementul a. c c e a b

 

79

 

Deci G = {e, a, a  2 , a3} şi se numeşte grup ciclic generat de elementul a. 3) Se poate demonstra că nu există decât două grupuri diferite de ordin 4. Altfel spus, nu există decât două moduri de a aranja cele patru elemente e, a, b, c  în tabla legii „ ⋅ “ astfel încât (G,⋅) să  fie grup. Primul mod generează  grupul lui Klein, iar cel de-al doilea mod din 2) furnizează grupul ciclic de ordin 4.

4) Determinaţi C ( g ), g ∈ K .   3) Grupul de simetrii ale triunghiului echilateral Printr-o mişcare rigidă  a triunghiului înţelegem o bijecţie de la mulţimea punctelor triunghiului (de pe cele trei laturi ale sale) pe ea îns ăşi care păstrează distanţa între orice două puncte ale sale. O astfel de mişcare trebuie să ducă un vârf pe un alt vârf al triunghiului şi întreaga aplicaţie este determinată  de imaginile vârfurilor  A,  B, C . Aceste mişcări rigide se numesc simetrii, care împreună  cu operaţia de compunere formează grup. Fie mulţimea E = { A , B , C}    a vârfurilor unui triunghi echilateral  ABC. Notăm cu l1, l2 , l3  mediatoarele laturilor triunghiului echilateral care trec prin  A,  B  şi respectiv C şi cu O punctul de intersecţie al mediatoarelor (Fig. 7). l3 

C

A

A

B

l2 

O B

l1 

C

B

CA

0 

C

A

C

3 

B C

1 

B

B

4 

 f 2= f 12 

A

B

A A

5 

C

Fig. 7

0, 5 ,  f i  bijecţii definite Considerăm mulţimea: S = { f0, f1, f 2, f 3, f 4, f5}, fi : E → E , i  = 0,5 astfel:  f0 ( A) = A, f0 ( B ) = B, f0 (C ) = C   (  f 0  aplicaţia identică a lui E lasă punctele neschimbate);   f1 ( A) = B, f1( B) = C , f1(C ) = A (  f 1   este rotaţia de unghi 1200  în sens trigonometric în jurul lui O);  ●

●

 

80

 

 f 2 ( A) = C , f 2 ( B ) = A, f 2 (C ) = B (  f 2   este rotaţia de unghi 2400  în sens trigonometric în jurul lui O); ●  f ( A) = A, f ( B ) = C , f (C ) = B (  f   este simetria în raport cu mediatoarea l );  1 3 3 3 3 ●  f ( A) = C , f ( B ) = B, f (C ) = A (  f   este simetria în raport cu mediatoarea l 4 4 4 4 2 ); ●  f ( A) = B, f ( B ) = A, f (C ) = C (  f   este simetria în raport cu mediatoarea l );.  3 5 5 5 5 Compunândd elementele Compunân el ementele două câte două obţinem tabla: ●



 f0  f1  f2  f3  f4  f5

 f0 f0 f1 f2 f3 f4 f5

f1 f1 f2 f0 f5 f3 f4

f2 f2 f0 f1 f4 f5 f3

f3 f3 f4 f5 f0 f1 f2

f4 f4 f5 f3 f2 f0 f1

f 5 f 5 f 3   f 4 B f 1 f 2 f 0

A

C

A

 f 1  C

 f 4  A

B

C

B

 f 4  f1 = f 3  

Fig. 8

Teoremă. Cuplul ( S ,  )  este un grup de ordin 6 şi se numeşte grupul de simetrii ale triunghiului echilateral. Demonstraţie. Verificăm axiomele grupului. G1) Asociativitatea compunerii are loc deoarece întotdeauna compunerea funcţiilor are această calitate. G2) Elementul neutru este aplicaţia identică   f 0 .  G3) Elemente inverse. Avem  f0−1 = f0, f1−1 = f2, f2−1 = f1, f3−1 = f 3,    f4−1 = f4, f5−1 = f 5 .  Observaţii. 1) Grupul nu este abelian deoarece, de exemplu  f2  f5 = f4 ≠ f5  f2 = f 3 . 2)  Se poate asocia, în acelaşi mod, un grup  Dn , numit grup diedral,  la fiecare poligon regulat cu n laturi; se demonstrează că el are ordinul 2n.

{

3) Arătaţi c ă  H = { f0 , f1 , f 2 }  este subgrup al grupului ( S ,  ) , iar S = f0 , f1, f12 , f 3 ,      f3  f1, f3  f 12 , ultimele trei elemente având ordinul 2, iar  f1, f 12  au ordinul 3. De

}

regulă, S  se  se notează cu  D3  şi se numeşte grupul diedral cu 6 elemente. 4) Dac ă  A A,  B, C  le  le identificăm prin 1, 2, 3, atunci asociaţi fiecărei funcţii o permutare   1 2 3 1 2 3   . din S 3 . De exemplu:  f0 → e =     ,  f 1 →   σ =           1 2 3 2 3 1    5) Asociaţi pătratului de vârfuri 1, 2, 3, 4 şi axe de simetrie d1, d2 , l1, l2   (Fig. 9) grupul de simetrii (numit grupul octic) şi realizaţi tabla operaţiei. Scrieţi simetriile ca permutări din S  . 4

 

81

 

Arătaţi că  grupul octic  D4 = I , R, R 2 , R3 , S , RS , R 2 S , R3S  , unde  I   este aplicaţia

{

}

identică,  R este rotaţia de unghi 900 , iar S  este   este simetria faţă  de diagonala AC  a  a pătratului. Transformările  R k S   au ordinul 2 şi sunt simetrii în raport cu „diametrele“ ce trec prin vârfurile poligonului (aici diagonalele pătratului d1, d 2 ) sau în raport cu mediatoarele laturilor (l1, l2 ) . Verificaţi că 

d 2  2

3

d 1 

l1 

O

1

 R 4 = S 2 = I , SR = R3S .

l2 

4

Fig. 9 Aplicaţii în diverse domenii Noţiunea de grup a apărut mai întâi sub forma noţiunii de grup de permutări (transformări) şi tot în această formă se întâlneşte aproape întotdeauna în matematică  şi în fizica matematică. Transformările bijective ale spaţiului euclidian ce păstrează  distanţa între puncte formează grupul izometriilor spaţiului. Dacă toate păstrează  fix un acelaşi punct al spaţiului, atunci avem de-a face cu grupul transformărilor ortogonale. Grupul format din transformările ce păstrează  (invariază) un obiect poate fi ă  un triunghi este neisoscel interpretat ca fiind grupul sale. sau Faptul (oarecare), este isoscel şi nu simetriilor este echilateral, estecechilateral, se poate „măsura“ prin grupul izometriilor planului ce invariază triunghiul. În primul caz acest grup este format doar din transformarea identică, în al doilea caz apare şi o simetrie faţă de o dreaptă  (axa de simetrie a triunghiului), iar în al treilea caz grupul este format din următoarele şase transformări: cea identică, rotaţiile de unghi 1200 sau 2400 în jurul centrului O al triunghiului, şi simetriile în raport cu cele trei axe (cele trei mediatoare ale triunghiului).

Prin simetrie a unei molecule  se înţelege o transformare a spaţiului ce transformă  fiecare atom al moleculei într-un atom de acela şi tip, păstrând totodată valenţele între atomi. Astfel o moleculă de fosfor este format ă din patru atomi, repartizaţi în vârf urile unui tetraedru regulat, iar grupul simetriilor ei coincide cu grupul simetriilor tetraedrului regulat. Grupul simetriilor unui cristal  este una dintre caracteristicile importante ale cristalului. Aici prin simetrie se înţelege o transformare a spaţiului, încât se păstrează  poziţia atomilor cristalului precum şi legăturile între atomi (deci transformând fiecare atom într-unul de acelaşi tip). Simetriile intervin uneori şi în fenomene fizice. De exemplu, conform unei teoreme a lui E. Noether, dacă un sistem dinamic X este descris de funcţia lui Lagrange L  ce are ca grup de simetrii un grup de transformări depinzând de un parametru, atunci sistemul are o integrală care se descrie simplu. Astfel, în cazul mi şcării unui sistem de puncte materiale, faptul că  rămâne invariant faţă  de translaţii conduce la legea de

   

82

mişcare a centrului maselor, iar faptul că  rămâne invariant faţă de rotaţii conduce la legea momentului cinetic. Exemple clasice de grupuri finite de rota ţii ale spaţiului sunt legate de poliedrele regulate (cunoscute încă  din antichitate, din care cauză  se mai numesc şi corpuri platonice): fiecărui poliedru regulat  M  îi corespunde grupul G M   al tuturor transformărilor ce invariază poliedrul. „Regularitatea“ poliedrului se reflect ă în faptul că  el are multe simetrii. Fiecărui poliedru regulat îi este asociat un dual, ale c ărui vârfuri sunt centrele feţelor poliedrului original. Evident, poliedrul dual are acela şi grup G M   ca şi poliedrul  M. Tetraedrul este autodual, cubul are ca dual octaedrul, iar dodecaedrul are ca dual icosaedrul. În acest fel se ob ţin trei grupuri ale poliedrelor regulate: cel al tetraedrului (notat cu T), cel al octaedrului ( O) şi cel al icosaedrului (Y ) pentru care T = 12, O = 24, Y  = 60 . Grupurile poliedrelor regulate se întâlnesc în natură  ca grupuri de simetrie ale moleculelor. De exemplu grupul de simetrie al moleculei  H 3C − CCl3   (Fig. 10.a)) 2k π , k = 0, 1, 2 . este grupul rotaţiilor în jurul unui punct cu unghiuri 3

H

a)

H

b) Fig. 10

H 

c)

Grupul de simetrie al moleculei C 2 H   H 6 6   (Fig. 10.b)) este grupul triunghiului echilateral. Grupul moleculei de metan CH 4 (Fig. 10.c)) este grupul T (atomul C se află în centrul tetraedrului, iar atomii H în vârfuri). Spre deosebire de cristale, grupurile de simetrie ale moleculelor nu con ţin translaţii. Ele se mai numesc grupuri punctuale. Forme de simetrie apar şi în muzică sau dans, ritmul fiind o repetare la intervale egale a unui motiv muzical. Aplicaţii ale teoriei grupurilor le întâlnim la ornamente, în clasificarea scoarţelor, etc.

   

83

Ordinul unui element Definiţie. Fie (G,⋅)  un grup şi  x ∈ G . Cel mai mic număr natural nenul n

∗

şte ordinul elementului  x  în cu proprietatea  x = e   se ∗nume n grupul G. Dacă  pentru orice n ∈ N , x ≠ e , atunci se spune că ordinul elementului x este ∞ . n ∈ N 

 x) = n. Notaţie. Dacă n este ordinul elementului x, atunci notăm acest lucru prin ord( x Observaţie. În orice grup ordinul unui element este egal cu ordinul inversului acestui element  x k = e ⇔ x−k  = e .

(

)

1)2 = 1 . Aşadar Exemple. 1.  În grupul ({1,−1, i ,−i },⋅) elementul –1 are ordinul 2 deoarece (−1) 501 2 ord(–1) = 2. Analog ord( i) = ord(–i) = 4. Atunci i 2006 = i 4⋅501+ 2 = i 4 ⋅ i = −1 .

( )

2. În grupul (∗5 ,⋅)  avem ord( ˆ2) = 4  pentru că ˆ24 = 1ˆ , ord( ˆ3) = 4, ((33ˆ 4 = 1ˆ ), oorrd(4ˆ ) = 2, ((44ˆ 2 = 1ˆ ) . 2. În 501+3

 ˆ 2007 ˆ 4 ˆ4  ˆ 2007  ˆ 4 ˆ ă = 2 = 2 Pentru a calcula 2 utiliz m 2 = 1 , când avem 2 folosit teorema împărţirii cu rest pentru 2007 şi 4, 2007 = 4 ⋅ 501 + 3 ).

( )

K = { i , s x , s y , s0 }   cum

3.  3.  În grupul lui Klein

2 = s2 = s2 = i  s x y 0

501

( )

ˆ3 ˆ ˆ ˆ ⋅ 2 = 1 ⋅ 3 = 3  (am

  rezultă  o r d ( s x ) = o r d ( s y ) =  

= ord( s0 ) = 2 . 1 2 ∈ S3 , σ =  3 1  1 2 3 1 σ   şi avem: σ 2 =    3 1 2 3

4. 4. Fie  Fie S3  grupul permutărilor de grad 3 şi Calculăm puterile lui

σ

3 . 2 2 3 1 2 3 = , 1 2  2 3 1

σ

3 = σ2 ⋅ σ =  

1 2 31 2 3 1 2 3   =   = e . Aşadar ord( σ ) = 3. =  2 3 13 1 2 1 2 3 Pentru calculul permutării σ 2008 , ţinem seama de σ 3  = e   şi 2008 = 3 ⋅ 6 69 + 1 , când avem 2008 = σ 3⋅669+1 = σ 3 669 ⋅ σ1 = eσ = σ . σ

( )

{

}

not. = < x >  cu operaţia „ ⋅ “ este grup, cum

Fie (G,⋅)  un grup şi  x ∈ G . Atunci  x k  k ∈  uşor se verifică (numit grup ciclic generat de  x ). Dacă grupul este aditiv, (G,  +) , atunci = {kx k ∈ } .

( ∗5 ,⋅),= {1ˆ, 2ˆ , 2ˆ 2 , 2ˆ 3 } = {1ˆ, 2ˆ , 3ˆ , 4ˆ } , iar = {1ˆ , 4ˆ } .  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 8 , +),< 2 >= { 2 k k ∈ } = {0, 2, 4, 6} .

Exemple. 1. Pentru 2. Pentru 2. Pentru (



 

 



3. Pentru  Pentru ( , +),< 1 >=< −1 > =  . 3.

 

 

84

Observaţie. Dacă  (G,⋅)  este grup, iar  H ⊆ G  şi ( H  ,⋅)  are structură de grup, atunci H   se numeşte subgrup al lui G şi se notează  H ≤ G . În cazul de mai sus  este subgrup al lui G şi anume subgrupul ciclic al lui G. Am văzut că pentru un element  x ∈ G  subgrupul ciclic generat de x este ={xk  k ∈}. Care este forma acestui sub grup dacă  x  x are ordin finit? Răspunsul este dat de:

Teoremă. Cu  Cuplul (G ,⋅)  este un grup şi  x ∈ G  un element de ordin n. Atunci

= {e, x, x

2 , ..., x n  −1}  şi ord () = n .

Demonstraţie. Egalitatea de mulţimi o vom demonstra prin dubla incluziune. Este clar că  {e, x, ..., x n−1} ⊂< x >,   (1).  Fie acum  x k  ∈< x >, k ∈  . Atunci din teorema împărţirii cu rest pe astfel încât k = nq + r , 0 ≤ r ≤ n −1 . Deci  x k

=x

nq + r

= (x

n q

)

  există  q, z ∈ ,

r r r n−1 ⋅ x = e ⋅ x = x ∈ {e, x , ..., x } . 

Aşadar ⊂{e, x, ..., xn  −1}  (2). Din (1) şi (2) rezultă egalitatea. Este clar că elementele  xi , x j ,1≤i < j ≤n−1 sunt distincte, căci altfel  xi = x j  ar da  x j −i = e  şi  j − i < n , în  x) = n .■  contradicţie cu ord( x Observaţie.  Teorema afirmă  că  dacă   x ∈ G este un element de ordin n, atunci subgrupul ciclic generat de x are tot ordinul n. Exemple. Le examinăm pe cele prezentate la ordinul unui element. 1. Subgrupul 1. Subgrupul {−i , i ,1 , 1,−1} al lui (∗ ,⋅)   Pentru  x = −i , ord(−i ) = 4  şi deci < −i >= {1,−i , (−i )2 ,( , (−i )3 } = {1,−i ,−1, i } . Pentru  x = i , ord(i ) = 4 când < i >= {1, i , i 2 , i 3 } = {1, i ,−1,−i } .  Pentru  x = −1 , ord(–1) = 2 când avem < −1 >= {1, (−1)1} = {1,−1} . 2. În grupul (∗5 ,⋅) avem: ord( ˆ2) = 4   şi deci = {1ˆ , 2, 2ˆ , 2ˆ 2 , 2ˆ 3 } = {1ˆ , 2, 2ˆ , 4, 4ˆ , 3ˆ } ; ord( ˆ4) = 2  când = {1ˆ , 4ˆ } . 3. Grupul  Grupul lui Klein K = {i , s x , s y , so }   3. Pentru  x = s x , or o rd( s x ) = 2  şi avem = {i , s x } . Pentru  x = s y , or o rd( s y ) = 2  şi deci = {i , s y } . În fine  x = s o , ord( so ) = 2  dă  = {i , so } .  4. Pentru grupul S3  şi 4. Pentru

 

 

σ

1 2 3  cuu ord(σ )  = 3 , avem: < σ >= {e , σ, σ 2 } .  ∈ S3 , σ =    c 3 1 2

85

Probleme propuse

   ˆ    G =  ˆ1  a   a ∈  8  ,⋅  şi  A2007 .    ˆ ˆ     0 1   2. 2. a)  a) Să se determine subgrupul generat de elementul  ˆ2  în grupul (12 , +) . b) Să se determine subgrupul generat de elementul i în grupul (U 4  ,⋅) .    a b  3. Fie G =  A =  3. Fie  det A = 1 . Arătaţi că:   c d   0 −1  1 1  A) = 4, ord( B  B) = 6 şi a) (G  ⋅, )   este grup; b) dacă   A =   , B =   , atunci ord( A 1 0  −1 0 ord( AB )  = ∞ . Calculaţi  A2007 , B 2008 . 4.  Să  se verifice ordinele elementelor pentru fiecare caz în parte: 1) o r d ( σ )  = 3 , unde 4.   1 2 3 1 2 3 σ =    şi ord(δ ) = 2, δ =   ; Calculaţi σ 2007 , δ 2008 ; 2 3 1 1 3 2 0 0 1 1 0 0     2) ord( P1  ) = 2 , unde  P1 = 0 0 1; ord( P5 ) = 3 , unde  P5 = 1 0 0 , cu înmulţirea matricelor;     0 1 0 0 1 0  ˆ1 1. S 1.  Să se determine ordinul elementului ele mentului A =   ˆ0

2ˆ    în grupul 1ˆ 

calculaţi  P 2007 , P 2008 . 1

5

 Excursie matematică  * * * * * 

(facultativ)

Teorema lui Lagrange. Consecinţe. Aplicaţii Următorul rezultat fundamental pentru grupurile finite se refer ă  la rela ţ ia ia dintre ordinul oricărui subgrup al său  şi ordinul grupului. Mai precis are loc

Teorema lui Lagrange. Ordinul oricărui subgrup al unui grup finit este un divizor al ordinului grupului. Corolar. Într-un grup finit, ordinul oricărui element este finit  şi este un divizor al ordinului grupului.  Demonstra ţ ie ie. Fie (G ,⋅)  un grup de ordin n  şi  x ∈ G . Ordinul elementului x nu poate  fi infinit, deoarece deoarece subgrupul ciclic ciclic generat de el < x > ar avea ordinu ordinull infinit, absurd absurd  pentru că < x > este subgrup al unui grup finit. Deci ord(x) = k. Atunci s-a v ă zut că  < x > are ordinul tot k, iar din teorema lui Lagrange k divide pe n. ■ 

   

86

Corolar. Fie (G , ) grup finit de ordin n. Atunci  x n = e, ( ∀ ) x ∈ G .    Demonstra ţ ie ie. Fie  x ∈ G cu ord(x) = k divizor al lui n. Deci n = kp, p ∈ N ∗ când  p n k = e p = e . ■   x = x

( )

Corolar. Orice grup de ordin un număr prim este ciclic.  Demonstr  Demon straa ţ ie. ie. Fie (G,⋅) grup cu ord(G) = p, p număr prim. Cum  p ≥ 2  se poate alege  x ∈ G , x ≠ e . Subgrupul ciclic generat de x, are ord() = k ≥ 2 ( x, e ∈< x >) .  Din teorema lui Lagrange k îl divide pe p. Cum p este prim rezult ă  k = p. A şadar = G, ceea ce arat ă că G este ciclic. ■  PIONIERI AI MATEMATICII J.L. LAGRANGE (1736–1813) Matematician francez

L. EULER (1707-1783) Matematician elveţian

CONTRIBUŢII • analiză  • mecanică analitică  • probabilităţ i • teoria numerelor

CONTRIBUŢII • toate domeniile matematicii

Următoarele două rezultate au aplica ţ ii ii importante în teoria numerelor.

Teorema lui Euler. Fie n ∈ , n ≥ 2, a ∈ , (a, n) = 1 .  Atunci aϕ(n) ≡ 1( mod n) , unde ϕ  este indicatorul lui Euler.

 

87

 

ie. Fie grupul multiplicativ U  ( n )   al elementelor inversabile din  Demonstra ţ ie monoidul (  ,⋅) . Am vă zut că ordinul acestui grup este ϕ(n) (=numărul de numere mai

n

mici decât n, prime cu n). Din (a, n) = 1 rezult ă  aˆ ∈ U   ( n ) . Atunci s-a vă zut că orice element dintr-un grup finit la puterea ordinul grupului coincide cu elementul unitate al grupului. În cazul nostru aˆ ϕ(n) = 1ˆ ⇔ aϕ(n) = 1ˆ ⇔ aϕ( n) ≡ 1( mod n) . ■  

Caz particular al acestei teoreme îl constituie: constituie:

Teorema lui Fermat. Fie  p > 0   un număr prim  şi a ∈ , (a, p) = 1 . a p−1 ≡ 1( mod p)  

 Atunci

 Demonstra ţ ie ie. Dacă p este prim atunci ϕ( p  ) = p − 1  şi suntem în condi ţ   ţ iile iile teoremei lui Euler. Deci aϕ(n) ≡ 1( mod p )  sau a p−1 ≡ 1( mod p) . ■   Aplica ţ ii.  ii.  1. 1.   Să  se afle restul împă r ţ irii irii lui 17  319  prin 73. Luă m a = 17, p = 73, (17,73) = 1 şi  conform teoremei 17 72  ≡  1 (mod 73), iar de aici 17  319  ≡  17  3(mod 73) ≡  22(mod 73). Deci restul  cerut este egal cu 22.  2.  2. O  O altă  aplica ţ ie ie a teoremei lui Lagrange este dat ă  de determinarea grupurilor cu un num ă r ă determină m care sunt grupurile de ordin 4.  finit de un elemente. Aici ne propunem  Fie G grup de ordinul 4. Dacăs  exist ă  un element  a ∈ G având ordinul egal cu 4, atunci =4   şi deci G = , adică  G este un grup ciclic. În caz contrar pentru orice  a ∈ G, a ≠ e ,  avem ord(a) = 2 (din teorema teo rema lui Lagran Lagrange ge ordinul elementului di divide vide ord ordinul inul grupu grupului). lui). Rezult ă   x 2 = e , ( ∀ ) x ∈ G  şi deci grupul G este abelian.  Dacă a ∈ G , a ≠ e , atunci  H =< a >= {e , a } . Dacă b ∈ G − H  , atunci G = {e, a , b, ab} . Grupul G

este definit de generatorii a şi b şi rela ţ iile iile  a 2 = e, b2 = e , ab = ba , iar tabla sa de multiplicare este: ⋅ e a b ab e  a

e a

a e

 b b ab  ab ab b

b ab ab b  . Acesta este de fapt grupul lui Klein. e a

a e

 Rezultă  că  există  două  tipuri de grupuri de ordinul 4: grupul ciclic generat de un element şi  grupul lui Klein.  Pentru grupurile cu trei elemente există  un singur tip (vezi ultimul corolar al teoremei lui  Lagrange) de grup şi anume cel ciclic.

*****

 

88

 

1.6. MORFISME ŞI IZOMORFISME DE GRUPURI Existenţa unui morfism între două  grupuri poate dezvălui informaţii importante şi

interesante relative la structura grupurilor. Un morfism „conservă operaţia de grup. Două consecinţe ale acestei condiţii sunt: 1) elementele neutre se corespund prin morfism; 2) simetricul unui element, se aplic ă în simetricul imaginii elementului. . Fie (G,  ∗)  şi (G ',  )   două  grupuri. O funcţie  f : G → G '   se Definiţiemorfism numeşte  (sau omomorfism) de grupuri dacă are loc condiţia:  f ( x ∗ y) = f ( x)  f ( y ), ( ∀ ) x, y ∈ G . Mulţimea morfismelor de la G la G'  se notează cu Hom(G, G ') .

Observaţii. 0) Schematic, acţiunea morfismului f  este  este redată mai jos (Fig. 11).  f ( x)  

 x  x ∗ y  

 f ( x ∗ y) = =  f (  x)  f ( y )    f ( y )  

 y

 f

, )  (G  ∗

(G ',  )  

Fig. 11 În cazurile când G, G' sunt finite, avem reprezentarea: ∗

a1 

a j

 an



a1

b1





ai

ai ∗ a j

 

 f

bi





an

bn

b1 

b j

bi  b j

 bn

 

 f (ai ) = bi  

 

89

 

1) Un morfism de grupuri de la un grup la el însu şi se numeşte endomorfism al acelui grup. Pentru grupul G mulţimea tuturor endomorfismelor se notează cu End(G). 2)  Un morfism de grupuri  f : G → G ' se numeşte morfism injectiv  (sau monomorfism) dacă aplicaţia f este injectivă.

Un morfism de grupuri  f : G → G  se numeşte morfism surjectiv (sau epimorfism) dacă aplicaţia f este surjectivă. 3)  Orice grup fiind faţă  de aceeaşi lege şi monoid, din definiţie rezultă  că  orice morfism de grupuri este şi morfism de monoizi. Exemple cunoscute de morfisme de grupuri 1.   Funcţia  f n : (, +) → (, +), n ∈  , fixat  f n ( x ) = nx, x ∈    este endomorfism al grupului  , 1. deoarece:  f n ( x + y ) = n( x + y ) = nx + ny = f n ( x ) + f n ( y ), (∀ ) x , y ∈  . 2. Funcţia  f : (  , +) → ( ∗ , ⋅), f ( x ) = e  este morfism de grupuri pentru că  2. Func  f ( x + y ) = e x+ y = e x ⋅ e y = f ( x ) ⋅ f ( y ), ( ∀ ) x , y ∈  . 

3. Func  Funcţia  f : ( ∗+  ,⋅) → (  ,+)),, f ( x ) = log a x , a > 0, a ≠ 1 , este morfism de grupuri deoarece: 3.  f ( x ⋅ y ) = log a ( xy ) = log a x + log a y = f ( x ) + f ( y ), ( ∀ ) x , y ∈  .

1, σ = permutare pară   4.  Funcţia ε : ( S n ,⋅) → ({1,−1},⋅), ε(σ ) =    este morfism de grupuri 4.  -1,  σ = permutare impară pentru că  ε( στ ) = ε(σ )ε( τ ), ( ∀ )σ , τ ∈ S n .   5.  5.  Funcţia  f : (, +) → (G ,⋅), f ( n) = a n , a ∈ G , fixat este morfism de grupuri deoarece  f ( n + m) = a n+m = a n ⋅ a m = f ( n) f ( m ), ( ∀ )m , n ∈  . 6. 6. Func  Funcţia  f : ( , +) → (< a >, ⋅)),, (< a > grup ciclic infinit )    f ( n) = a n  este (ca mai sus) morfism de grupuri.

 x 0     x 0  ∗ ∗     7. 7.   Funcţia  f : (  ,⋅) →   x ∈   ,⋅ , f ( x ) =   , este morfism de grupuri pentru că:   0  x 0 x         xy 0   x 0  y 0   f ( xy ) =   =    = f ( x ) f ( y ), (∀ ) x , y ∈ ∗ .  0  xy  0 x  0 y 8.  8.  Funcţia  f : (G ,⋅) → (G ,⋅)   G grup comutativ,  f ( x ) = x−1   este endomorfism al grupului G deoarece:  f ( xy ) = ( xy )−1 = y−1 x−1 = x−1 y−1 = f ( x ) f ( y ), (∀ ) x, y ∈ G .  9. Funcţia  f : (GL( n,  ),⋅) → ( ∗ ,⋅), f ( A) = det A  este morfism de grupuri pentru că: 9. Func  f ( AB ) = det( AB ) = det( A) det( B) = f ( A) f ( B)),, (∀ ) A, B ∈ GL ( n,  ) . 10.  Funcţia  f : (G , ∗) → (G , ), f ( x ) = e ' , unde e' este elementul neutru al lui G ,' se numeşte 10.  morfismul constant, constant, fiindcă:  f ( xy ) = e ' = e ' e ' = f ( x )  f ( x ), ( ∀ ) x , y ∈ G . Observaţie. Morfismul de la 1 ( n  ≠≠ 0) , 2, 3, 5, 6, 7, 8 sunt injective, iar morfismele de la 1 (pentru  n ≠≠ ±1 ), 3, 4, 6, 7, 8 sunt morfisme surjective.

 

90

 

Vom utiliza din nou notaţia multiplicativă pentru grupurile care apar, dac ă nu se face o altă precizare.

Teoremă. Compunerea a două morfisme de grupuri este tot un morfism de grupuri. Demonstraţie. Fie  f : G → G ', g : G ' → G ''  morfisme de grupuri.

Atunci g  f : G → G ''  este de asemenea un morfism pentru că  ( g  f )( xy ) = g ( f ( xy)) = g ( f ( x) f ( y)) = g ( f ( x)) g ( f ( y )) = ( g  f )( x)( g  f )( x),   ∀  x, y ∈ G . ■ 

( )

Teoremă. Fie  f : (G,⋅) → (G ',⋅)  un morfism de grupuri. Dacă  e, e' sunt elementele neutre din grupurile G şi respectiv G ,'  atunci: 1)   f (e) = e ' ; 2)  f ( x−1 ) = ( f ( x))−1, ( ∀ ) x ∈ G ; 3)   f ( x n ) = ( f ( x))n , ( ∀ ) x ∈ G, ( ∀ ) n ∈  .

Demonstraţie. Mai întâi reformulăm în cuvinte cerinţele teoremei (Fig. 12): 1) morfismul duce elementul neutru al unui grup în elementul neutru al celuilalt grup; 2)  imaginea simetricului unui element printr-un morfism de grupuri ( f ( x−1 ))   este ) )−1 ) ;  simetricul imaginii acelui element (( f ( x)) 3) imaginea puterii unui element printr-un morfism de grupuri ( f ( x n ))  este puterea

imaginii elementului (( f ( x))n ) .  1) Avem  f (e) = f (e ⋅ e) = f (e) f (e) . Prin simplificare cu f (e) rezultă e' = f (e). e' 

e

( −1) =  (  f (x))−1 

 x−1  

 f x

 x

 f ( x)    f xn =   ( f (x))n  

( )

 xn  

G

G'

Fig. 12

 

91

 

2) Avem: e ' = f (e) = f ( xx−1) = f ( x) f ( x−1) . Înmulţim aici la stânga cu ( f ( x) )−1   şi avem ( f ( x))−1 = f ( x−1 ) .  3) Dacă n = 0 se verifică 1). f ( x ).)... f ( x ) = ( f ( x))n .  Dacă  n ∈  ∗ , atunci  f ( x n ) = f ( x...x) =  

n

n

Dacă  n < 0 , atunci punem n =−n', n' ∈  ∗   şi deci  f ( xn ) = f ( x−n ' ) = f (( x−1)n ' ) =  

= ( f ( x−1 ))n ' = (( f ( x))−n ' ) = ( f ( x))−n ' = ( f ( x)) n . ■ 

Observaţie. Reformulaţi teorema în cazul grupurilor aditive. Definiţie. Fie  f : (G,⋅) → (G ',⋅) un morfism de grupuri. Submulţimea lui G definită  prin Ker  f = {x ∈ G f ( x) = e '}   se numeşte nucleul  morfismului  f. Submulţimea lui G'   definită  prin Im  f = { f ( x) x ∈ G}   se numeşte imaginea morfismului f. Observaţie.  Ker  f   ≠ ∅ pentru că  e ∈ Ker f ( f (e) = e ') .  1. Morfismul  Morfismul constant  f0 : ( , +) → (, +), ) , f 0 ( x ) = 0 , are Ker  f   =   ş i Im f = {0}. Exemple. 1. 2. 2. Morfismul  Morfismul  f : ( , +) → ( ∗ ,⋅), f ( x ) = e x  are Ker f = {0} şi Im  f   = (0, ∞) . + 1,1},⋅), ε   fiind funcţia semn pentru permut ări are Ker ε =  A   3. 3.   Morfismul ε : (S n ,⋅) → ({−  n (grupul altern) şi Im ε = {−1, 1} .

4. 4.   Morfismul  f : (, +) → (< a >,⋅) , ord() = q, f ( n) = a n   are Ker  f = {l ⋅ q l ∈  }  şi Im  f =< a > . 5.  Morfismul  f : (GL( n,  ),⋅ ) → ( ∗ ,⋅ )),, f ( A) = det( A)  are Ker  f = SL( n,  ), Im f  =  ∗ . 5. 6. Morfismul  Morfismul  f : (,+) →(∗,⋅), f ( x) = cos 2πx + i sin 2πx  are Ker  f   =   şi Im f ={z ∈∗ z =1} . 6.

Teoremă. Fie  f : (G,⋅) → (G ',⋅) un morfism de grupuri. Atunci: 1)  Ker  f   este un subgrup al grupului G;  2)  ff este injectiv (monomorfism) ⇔ Ker  f = {e} ; 3)  ( ∀ ) H  subgrup al lui G ⇒ f ( H )   subgrup al lui G'   (Imaginea unui subgrup printr-un morfism este un subgrup); în particular Im  f =  f (G)  este un subgrup al lui G' . Demonstraţie.  1)  Trebuie dovedit că  ( ∀ ) x, y ∈ Ker f ⇒ xy−1 ∈ Ker f  . Din  x, y ∈ Ker f ⇒ f ( x) = f ( y) = e ' .  A arăta că  xy−1 ∈ Ker f   înseamnă a verifica egalitatea  f (xy−1) = e ' . Ori avem  f (xy−1) = f (x) f ( y−1) = f (x)( f ( y))−1 = e'⋅ (e')−1 =e' . 

 

92

 

2) Presupunem că f f este injectiv şi probăm că Ker f = {e}. Fie  x ∈ Ker f  . Deci  f ( x  x)  = e' =  f (e). Cum  f este injectiv rezultă   x = e. Deci Ker  f ⊂ {e} . Cum evident {e} ⊂ Ker f  rezultă egalitatea Ker f = {e}. Reciproc, fie Ker f = {e} şi să arătăm că f f este injectiv. Fie deci  f (x) = f ( y), x, y ∈G . De aici  f (x)( f ( y))−1 =e' ⇔ f (xy−1) =e' ⇔ xy−1 ∈Ker f ={e} , adică   xy−1 = e   sau (înmulţind la dreapta cu  y)  x =  y. Aşadar din  f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y , ceea ce arată că f f este injectiv.

1 3)  Trebuie probat că  pentru y1, y2 ∈ f ( H ) ⇒ y1 y− 2 ∈ f ( H ) .  Din  y1, y2 ∈ f ( H ) se

deduce că  există   x1, x2 ∈ H    pentru care  f ( x1 ) = y1, f ( x 2 ) = y2 ,  Atunci  y1 y2−1 =   1) = f ( x x−1) ∈ f ( H ) , deoarece din  x x ∈ H  ⇒   =  f ( x1)( f ( x2 ))−1 = f ( x1) f ( x− 1 2 1 2 2 '  1 ∈ H  ( H fiind subgrup). În final deducem c ă ( ) este subgrup al lui ⇒ x1x−   H    f  f     H  H    G . 2

Dacă H  H = G, rezultă f   f (G) = Im f este subgrup al lui G'  .■ 

Ideea fundamentală  care stă  în „spatele“ cuvântului izomorfism este următoarea: grupurile care sunt izomorfe au aceeaşi structură  relativ la operaţiile respective ale grupurilor. Grupurile sunt din punct de vedere algebric aceleaşi, deşi elementele lor pot diferi sau legile să fie diferite. Deoarece izomorfismul conservă operaţiile între două grupuri, atunci este de a şteptat ca elementele neutre din cele două  grupuri să  se conserve, imaginea inversului să  fie inversul imaginii, ordinul unui element să fie egal cu ordinul imaginii acelui element, etc. Mai precis, formulăm următoarea:

Definiţie.  Fie (G,  ∗)   şi (G ' , )   două  grupuri. O aplicaţie  f : G → G '   se numeşte izomorfism de grupuri dacă: 1)  ff este morfism de grupuri; 2) f este bijecţie.  Dacă între două grupuri G, G' există cel puţin un izomorfism spunem că  grupurile sunt izomorfe şi scriem G  G ' .  Observaţii. 1) Un izomorfism de grupuri este un izomorfism de monoizi. 2)  Un izomorfism de grupuri  f : G → G   se numeşte automorfism  al lui G. Altfel spus, un endomorfism bijectiv al lui G  se numeşte automorfism al lui G. Mulţimea tuturor automorfismelor lui G se notează cu Aut (G). Arătaţi că  (Aut (G ) , )  este grup, unde „  “ este operaţia de compunere a funcţiilor. 3)  Dacă   f : G → G '   este izomorfism de grupuri, atunci şi  f −1 : G ' → G are aceeaşi calitate (demonstraţi !).  

93

 

Exemple cunoscute de izomorfisme de grupuri 1.  Aplicaţia identică  1G : G → G , 1G ( x ) = x   este izomorfism de grupuri, deci este un 1.  automorfism al lui G. 2. Aplica 2. Aplicaţia  f : ( , +) → ( ∗+ ,⋅), f ( x ) = e x  este izomorfism de grupuri, deoarece am văzut la morfisme de grupuri că această aplicaţie este morfism şi în plus este bijectiv. 3. 3.   Morfismul  f : (, +) → (< a >,⋅), < a >   grup ciclic infinit,  f ( n ) = a n este izomorfism, deoarece această aplicaţie este bijectivă. Aşadar orice grup ciclic infinit este es te izomorf cu grupul aditiv al numerelor întregi. 4. 4. Aplica  Aplicaţiile  f1 , f−1 : (, +) → (, +), f1 ( x ) = x , f−1 ( x ) = − x  sunt automorfisme ale lui   ( şi

sunt singurele !).  2π   2π  5. Aplica  Aplicaţia  f : ( n , +) → (U n ,⋅), f ( ˆk ) = 5.   ω k , unde ω = cos   + i sin    (este bine definită adică    n  n dac dacă   ˆl = kˆ ⇒ f ( lˆ ) = f ( kˆ ) ) este izomorfism de grupuri. Cum  f ( ˆk + lˆ) = f (k + l ) =   ω k  +l  =    f este morfism. = ω k ⋅ ωl  =  f ( ˆk ) f ( l ˆ )  rezultă f  

De asemenea  f este surjectiv (elementele lui U  n   sunt puteri întregi ale lui ω )  şi cele două  mulţimi  n   şi U  n   au acelaşi număr de elemente rezultă   f este bijectivă. Deci  f este izomorfism. Observaţie. ie. Se  Se poate arăta uşor că orice două grupuri ciclice finite având acelaşi ordin sunt izomorfe. Dacă dou ă grupuri sunt izomorfe, atunci ele se bucură de aceleaşi proprietăţi algebrice (dacă  unul este comutativ, atunci şi celălalt este la fel; dacă  unul este ciclic, la fel este şi celălalt). Prin urmare toate grupurile izomorfe între ele se comport ă  la fel. Clasa tuturor acestor grupuri formând ceea ce se numeşte tipul grupului grupului.. Pentru studiul algebric al acestor grupuri se alege unul dintre ele. Noţiunile de „grupuri izomorfe“ şi „tipul unui grup“ sunt analoge cu no ţiunile de „mulţimi echipotente“ (două  mulţimi A, B se numesc echipotente dacă există o aplicaţie bijectivă   f : A → B ) şi „cardinalul unei mulţimi“ (cardinalul unei mulţimi  A este clasa tuturor mulţimilor echipotente cu  A)  din teoria mulţimilor. De exemplu, toate grupurile ciclice de ordin  n constituie un tip de grupuri, iar un reprezentant al acestui tip este ( n  , +) sau (U  n  ,⋅) . Grupul ( , +) este un reprezentant pentru toate grupurile ciclice infinite.

În cazul a două grupuri finite, de acelaşi ordin, izomorfismul între ele poate fi dedus utilizând tablele operaţiilor. Dacă  cele două  table sunt la fel organizate, adică  un element dintr-un grup şi imaginea sa în celălalt grup prin izomorfism să ocupe în cele două table aceleaşi poziţii.

 

94

 

Dacă  (G, ∗), (G ', ), ), G = {a1, ..., a n }, G ' = {b1, ..., bn }   sunt două  grupuri izomorfe, atunci  f : G → G ', f (ai ) = bi , i = 1, n  este izomorfism dacă  şi numai dacă  pentru orice 1 ≤ i, j ≤ n , imaginea prin  f a elementului ai ∗ a j de la intersecţia liniei lui ai  cu coloana lui a j din tabla operaţiei lui G  coincide cu elementul bi  b j de la intersecţia liniei lui bi = f (ai ) cu coloana lui b j = f (a j )  din tabla operaţiei lui G' .

∗

a1 …

a j



… a n

b1 …

b j

a1



b1











ai … … ai ∗ a j

 

bi … … bi  b j





an

bn

… b n

 

Un element ajutător pentru aranjarea mai rapidă a tablelor este furnizat de următoarea:

Teoremă.  Fie (G1,⋅), (G2 ,⋅)   două  grupuri finite, iar  f : G1 → G2   un izomorfism de grupuri. Dacă  x1 ∈ G1  şi  x2 = f ( x1 ) ∈ G2 , atunci: ord ( x1 ) = ord f ( x1) . Ordinul unui element este egal cu ordinul imaginii acestuia printr-un izomorfism de grupuri finite. Deci, date fiind două grupuri finite se determină ordinele elementelor din cele dou ă  grupuri. Izomorfismul de construit între ele trebuie s ă ducă un element  xk  din grupul G1  în imaginea  f ( xk )  din G2 , astfel încât ord ( xk ) = ord ( f ( xk ))  şi  f (e1 ) = e2 , e1, e2   elementele neutre din cele două grupuri. Aplicăm această  schemă  pentru a demonstra că  grupul (G = {1, −1, i, −i}, ⋅)   este izomorf cu grupul ( 4 , +) . Definim  f : G →  4 , prin  f (1) = 0ˆ , f (−1) = 2ˆ , f (i ) = 1ˆ ,  f (−i ) = 3ˆ . Evident f  este  este bijectivă. Pentru a arăta că  f f  este  este izomorfism de la G la  4 , vom utiliza tabla operaţiilor pe G şi  4 . Fiecărui element  x ∈ G  îi construim imaginea  f ( x)   din  4 . Deoarece tabla rezultată  astfel este chiar tabla adunării pe  4 ,

 

95

 

deducem că  are loc egalitatea  f ( xy) = f ( x) + f ( y ), ( ∀ ) x, y ∈ G . Deci  f   este izomorfism de grupuri, G   4 . ⋅

1 i −1 −i

1 i −1 −i 1 i −1 −i  f  i −1 −i 1  → −1 −i 1 i −i 1 i −1 Tabbla lui G Ta

Altfel, pentru evidenţierea izomorfismului să  observăm că  ˆ0 0ˆ 1ˆ 2ˆ 3ˆ o r d ( i )  = o r d (1ˆ ) = 4  şi deci putem 1ˆ 1ˆ 2ˆ 3ˆ 0ˆ pune  f (i)  = 1ˆ . Analog, o r d (− 1) =     2ˆ 2ˆ 3ˆ 0ˆ 1ˆ = ord(2ˆ ) = 2   şi avem  f  (−1) = 2ˆ . 3ˆ 3ˆ 0ˆ 1ˆ 2ˆ În fine, o rd (−i ) = o rd (3ˆ ) = 4   şi

+ 0ˆ 1ˆ 2ˆ 3ˆ

Tab Tabla lui f ( xy) punem  f (−i ) = 3ˆ , iar  f (1  ) = 0ˆ .

Altfel, izomorfismul îl realizăm

{

}

0,  3 . Deci  f : G →  4   este dat de uşor dacă  observăm că  G =< i >= i k  k = 0,3  f i k  = kˆ, k = 0, 3 .

( )

Alteori, se utilizează  aşa numitul „Transport de structură“ pentru realizarea de izomorfisme de grupuri. Mai precis are loc următoarea:

Teoremă.  Fie (G,  ∗)   un grup şi  H   o mulţime astfel încât există   f : G → H   bijectivă. Atunci: 1)  ( H ,  ) este grup, unde  x  y = f f −1( x) ∗ f −1( y) ,  ( ∀) x, y ∈ H ;

(

)

2) (G, ∗)   ( H , )  prin  f : G → H  . Evident e ∈ H    element neutru, e = f (e∗ ) , e∗   fiind elementul neutru din G;

(

)

simetricul lui  x ∈ H   este  x' = f f − 1 ( x∗' ) , unde  x∗'  este simetricul lui  x ∈ G . Această  teoremă  ne arată  cum putem înzestra o mulţime  H   cu o structură  algebrică  dacă  avem dat (este cunoscut) un grup (G,  ∗)   şi o aplicaţie bijectivă   f : G → H  .  f  este Arătaţi că f   este şi morfism. Probleme rezolvate 1. Să se demonstreze că: a) toate grupurile de ordin doi sunt izomorfe; b) toate grupurile de ordinul 1. S trei sunt izomorfe. ⋅ e a R. R.  a) Fie (G ,⋅)  grup cu două elemente G = {e, a} . Tabla legii este: e e a . a a e

 

96

 

Considerăm acum ( 2  , +)  grupul aditiv al claselor de resturi modulo doi. Tabla legii este: Observăm c ă  dacă  notăm  f : G →  2 , f (e) = 0ˆ , f (a) = 1ˆ , atunci cele dou ă table sunt la fel de structurate (poziţiilor ocupate de e în prima tablă le corespunde  ˆ0  în a doua tablă –

+ 0ˆ 1ˆ

0ˆ 0ˆ 1ˆ   1ˆ 1ˆ 0ˆ

am marcat elementele e şi 0ˆ cu roşu în cele două table – şi lui a din prima tablă elementul 1ˆ  din a doua tablă), ceea ce arată că cele două grupuri sunt izomorfe. Aşadar orice grup de ordinul doi este izomorf cu ( 2  , +)   şi deci toate grupurile de ordin doi sunt izomorfe. b) Se consideră  grupul multiplicativ (G = {e, a, b}, ⋅)   şi grupul aditiv ( 3 , +) . Fie  f : G →   3 ,  f (e) = 0ˆ , f (a) = 1ˆ, f (b) = 2ˆ . Tabla grupului G  şi cea rezultată  înlocuind fiecare element  x ∈ G   cu elementul  f ( x) ∈    3  sunt date mai jos. + 0ˆ 1ˆ 2ˆ ⋅ e a b e e a b  f  0ˆ 0ˆ 1ˆ 2ˆ Observăm că  tabla rezultată  ( f ( xy ))   este chiar tabla pentru  →

a a b e b b e a

1 1 2 0 2ˆ 2ˆ 0ˆ 1ˆ Tabl Tablaa lui f ( xy )

adunarea pe  3 . Deci  f   este morfism. Cum  f   este şi bijecţie, deducem că  f f  este  este izomorfism.

Tabl Tablaa lu luii G   Se constată c ă cele două table sunt la fel structurate (poziţiilor lui e din prima tablă le corespunde 0ˆ în a doua tablă, poziţiilor lui a din prima tablă le corespunde 1ˆ din a ddoua oua tablă etc.), ceea ce arată  că orice grup cu trei elemente este izomorf cu ( 3 , +) . Aşadar, toate grupurile de ordin trei sunt izomorfe.  x − 1 1 , ,    f3 ( x ) = ie. Grupul  Grupul (G = { f1, f2, f3}  , )  unde  fi :  \ {0,1}→  \ {0,1}, f1(x ) = x, f2(x) = Observaţie.  x 1− x este izomorf cu ( 3 , +) . 2. 2. Fie  Fie grupul ( , +) . Să se arate că: 1) Funcţii  f m :  →  , f m ( x ) = mx  sunt morfisme de grup; 2) Orice endomorfism al lui   este de acelaşi tip; 3) Să se determine au automorfismele tomorfismele grupului (, +) . R. R.   1) A spune că   f m   este endomorfism al lui    revine la a arăta că   f m ( x + y) = f m ( x) + f m ( y ),   (∀ ) x, y ∈   . Avem:  f m ( x + y ) = m( x + y ) = mx + my = f m ( x ) + f m ( y ) . 2) Vom construi efectiv un morfism şi arătăm că este un  f m . Ţinem seama de faptul că  (,  +)  este un grup ciclic ciclic generat de 1 (de exem exemplu). plu). Fie ϕ :   →    cu ϕ(1) = n ∈  . Atunci ϕ(2) = ϕ(1 + 1) = ϕ(1) + ϕ(1) = 2ϕ(1) = 2n . Din aproape 0 0 ∗  în aproape ap roape avem ϕ(n  ) = n ⋅ n0 . Această exprimare are loc pentru orice n ∈ N   (se arată prin inducţie). Din ϕ ( x + y ) = ϕ ( x ) + ϕ ( y ) , (∀  ) x , y ∈    rezultă  pentru  x = y =   0 , ϕ ( 0 ) = 0 . De aici ϕ( 0 ) = 0 = ϕ ( x − x ) = ϕ ( x ) + ϕ(− x ) , adică  ϕ(− x) = −ϕ( x) ,  x ∈   . Extindem definiţia lui ϕ  la numerele întregi negative.

Fie  x = −n, n ∈  ∗ . Atunci ϕ( x) = ϕ(−n ) = −ϕ( n) = (−n )n0 .

 

97

 

Aşadar, putem conchide că  dacă  ϕ ∈ E nd() , atunci există  n0 ∈      astfel

încât ϕ(n ) = nn0 = fn0 (n) ,

(∀ ) n ∈   . Deci ϕ =  f n0 . 3) Funcţiile  f1( x) = x, f−1( x) = − x  sunt izomorfisme, adică   f1, f −1  ∈  Aut () . Morfismele  f m ( x) = mx , cu m ≠ ±1  nu sunt surjective, deoarece  f m ( ) = m ⊂  . 3. Ar  Arătaţi că: 1) pe mulţimea G = ( 2, ∞)  aplicaţia  x  y = xy − 2 x − 2 y + 6  determină o structură de 3. grup abelian; 2) pe mulţimea G '  = ( 3, ∞)  aplicaţia  x ∗ y = xy − 3 x − 3 y + 12  determină o structură de grup abelian; 3) Să se arată  că între grupul de la 1) şi grupul de la 2) există un izomorfism  f  : (  2, ∞) → ( 3, ∞)   de forma  f ( x ) = x + a . 4) Arătaţi că  (  ∗+  ⋅, )  este izomorf cu (G ' , ∗)  printr-un izomorfism de forma  f ( x ) = mx + n . 

R. R.   1)-2) Lăsăm în seama cititorului să probeze că cele două structuri algebrice (G , ), ( G ', ∗)  sunt grupuri. 2 x − 3   (arătaţi că   x  ' > 2   dacă  Reţinem pentru primul grup că  elementul neutru este e = 3 ∈ G   şi  x ' =  x − 2  x > 2 ).

3 x 8 (> 3) .  x − 3 3) Dacă  f f   este este morfism de grupuri, atunci duce elementul neutru al primului grup în elementul neutru al celui de-al doilea grup, adică  f f (3) (3) = 4 şi deci 3 + a = 4, adică a = 1. Deci f (  xx) = x + 1. Arătăm că  ff este morfism de grupuri, adică   f ( x  y  ) = f ( x) ∗ f ( y ), ( ∀) x, y ∈ G . Avem  f ( x  y ) = x  y + 1 = xy − 2 x − 2 y + 7  şi  f ( x ) ∗ f ( y ) = ( x + 1) ∗ ( y + 1) = ( x + 1)( y + 1) −   −3( x + 1) − 3( y − 1) + 12 = xy − 2 x − 2 y + 7 , şi cei doi membri sunt egali. Mai trebuie probat că  ff este bijectivă. Funcţia este injectivă deoarece din  f ( x) = f ( y ), x, y ∈ G ⇒ x + 1 = y + 1 , adică  x = y . Funcţia este şi surjectivă  pentru că  (∀ ) y ∈ G ' , (∃) x ∈ G   astfel încât  f (x) = y . Avem  x + 1 = y ⇔   ⇔  x = y − 1 > 2 ⇔ y > 3 , adevărat. Cum f este bijectivă şi morfism, se deduce f izomorfism de grupuri. 4) Cum f este morfism de grupuri f (1) (1) = 4, adică m + n = 4, (1). A doua ecuaţie pentru m, n se obţine din cerinţa ca  f   să  fie morfism adică   f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) ,

Pentru al doilea grup găsim e = 4  şi  x ' =

( ∀ ) x, y > 0 ⇔ mxy + n = m2 xy + (mn − 3m) x + ( mn − 3my ) + n2 − 6n + 12, ( ∀ ) x, y > 0 . De aici rezultă  m = m 2 , mn − 3m = 0, n2 − 6n + 12 = n . Găsim m1 = 0 , m 2 = 1 . Valoarea m = 0 , nu este bună  deoarece  f ( x ) = n   nu este injectivă. Rămâne m = 1 , când n = 3 . Aşadar funcţia căutată  este  f ( x) = x + 3 . Faptul că  f este morfism de grupuri, adică   f ( xy ) = f ( x) ∗ f ( y ),   (∀ ) x, y > 0 , rezultă  din modul în care am determinat parametrii m, n. Funcţia  f este injectivă  pentru că  din  f ( x) = f ( y ) ⇒ x + 3 = y + 3 ⇒ x = y .

Funcţia  f este şi surjectivă  deoarece ( ∀ ) y ∈ G ', (∃) x ∈ ( 0, ∞ )   pentru care  f ( x) = y . Avem  x + 3 = y ⇔ x = y − 3 > 0   deoarece  y > 3 . Aşadar f este izomorfism de grupuri.

1  n     4. Fie  Fie mulţimea G =  4.  n ∈  . Să se arate că: 0 1   

a) G formează grup comutativ în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor; b) (G, ⋅)  ( , +) .

 

98

 

   n  n m  n + m  = An+m , n, m ∈   , ceea ce R.   a) Fie  An = 1    . Atunci avem:  An ⋅ Am = 1 1  = 1 R. 0   1 0 10 1  0 1  arată că înmulţirea pe G este lege de compoziţie. Să observăm că   An = Am ⇔ n = m . Înmulţirea, matricelor întotdeauna este asociativă, deci şi în acest caz particular. Din  An Am = An  +m =   =  Am+n = Am An  rezultă că înmulţirea este comutativă pe G. Element neutru. Să  arătăm că  există   Ae ∈ G   astfel încât  Aa ⋅ Ae = Aa, ( ∀) Aa ∈ G   sau  Aa+e  = Aa ⇔    1 0 De aici e = 0 . Aşadar elementul neutru este  Aa = I 2 =     . Elemente 0   1 inversabile. Fiind vorba de înmulţirea obişnuită  şi cum fiecare element  An din G  are det( An ) = 1 ≠ 0   rezultă  că  fiecare  An   este inversabilă. Rămâne de arătat că  şi inversa lui  An   este tot în G. Din ⇔ a + e = a, (∀ ) a ∈   .

 An ⋅ An ' = A0   rezultă   An+n ' = A0 , adică  n + n ' = 0   şi deci n ' = −n ∈   . Aşadar ( An ) ' = A−n ∈ G . Deci (G ,⋅)  este grup abelian. b) Definim  f :  → G, f (n) = An   aplicaţia care realizează  izomorfismul. Într-adevăr  f este morfism de grupuri pentru că   f (n + m) = An+m = An ⋅ Am = f ( n) f ( m), ( ∀) n, m ∈   . Funcţia f este injectivă deoarece din  f (n) = f (m) ⇒ An = Am ⇒ n = m .

Funcţia  f este surjectivă  deoarece (∀ ) An ∈ G , există  n ∈     pentru bijectivă. În concluzie f este izomorfism de grupuri. 5. Se consideră mulţimile 5. Se   a 2 2 G2 =  G1 = { z ∈  z = a + bi , a , b ∈  , a + b = 1}   − b 

care  f (n) = An . Deci  f este şi

 b 2 2  a, b ∈  , a + b = 1 .  a 

1) Arătaţi că  (G1 ,⋅)  şi (G2 , ⋅)  sun grupuri izomorfe.

 3   2) Calculaţi  2  1 −  2

 n

1  2  ,  n ∈  ∗ .  3   2  R.  1) Nu vom insista asupra verificărilor necesare pentru a proba că cele două structuri sunt grupuri. R.  a b Funcţia  f : G1 → G2 , f (a + bi) =       este funcţia care realizează  izomorfismul. Arătăm că  f este −b   a morfism de grupuri, adică   f ( z1z2 ) = f ( z1) f ( z2 ), (∀ ) z1, z2 ∈ G1 . Fie  z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 . Atunci  z1z2 = a1a2 − b1b2 + i (a1b2 + a2b1)  şi deci:  a1a2 − b1b2 a1b2 + a2b1  a1 b1  a2 b2  =   = f ( z1) f ( z 2 ) .  −(a b + a b ) a a − b b  −b a −b a  12 21 1 2 12 1 1 2 2  a1 b1   a 2 b2    =   ⇒ a1 = a 2   şi b1 = b2 , Funcţia  f este injectivă deoarece din  f ( z1 ) = f ( z 2 ) ⇒  −b1 a1  −b2 a 2  adică  z1 = z2 .

 f ( z1z2 ) = 

 a b  2 , a + b2 = 1 , există   z = a + bi ∈ G1   pentru care    −b   a

Funcţia  f este surjectivă  deoarece (∀ ) A =   f ( z ) = A .

 

99

 

ă f   este izomorfism. Cum f este morfism bijectiv se deduce  3 c   f  1      2    2   3  2  1 2           1 .     este în G2        +   = 2) Să observăm că matricea  A =   1   3   2      2     −       2   2 

Pentru a calcula  An utilizăm izomorfismul de mai sus.  a b n n n Avem:  f ((a + bi ) ) = ( f (a + bi )) =     ,  n ∈ ∗ . −b   a n     3  n       n   i i π π nπ nπ  3         n          +    = f  + i si n Deci:  A = f  =     +     = f   co s  + i sin   = f  co s    2  2    2         2   6 6 6 6      

 cos nπ sin nπ       6 6    . =      π π n n   −sin 6     cos 6 

6.   a) Să  se arate că  pe mulţimea G1 = { x + y 5 x, y ∈ , x 2 − 5 y 2 = 1}   înmulţirea determină  o 6. structur ă de grup.

b) Să se demonstreze că pe mulţimea   x 2 y    x , y ∈ , x 2 −5 y 2 = 1  înmul G2 =  5 y   înmulţirea matricelor determină o structură de grup.    x     2 

  x 2 y   c) Arătaţi că   f : G1 → G2 , f ( x + y 5 ) =  5 y  x  este un izomorfism de grupuri. 2  verificarea rea punctelor a), bb). ). R. Lăsăm în seama cititorului verifica c) Arătăm că f f este morfism de grupuri. Avem:  f (( x1 + y1 5 )( x 2 + y2 5 )) = f (( x1x2 + 5 y1 y2 + 5 ( x1 y2 + x 2 y1)) =     x1x2 + 5 y1 y 2 2( x1 y2  + x2 y1)     x1  2 y1 x2 2 y2   5  =  f ( x + y 5 ) f ( x + y 5 ),       =  5    =  5     1 1 2 2    ( x y + x y )    x x + 5 y y      y  y2 x2  x    1 1 1 2 2 1 1 2 1 2    2   2   2

(∀ ) x1 + y1 5 , x2 + y2 5 ∈ G1 . Funcţia  f este injectivă  deoarece din  f ( x1 + y1 5 ) = f ( x 2 + y 2   x2 2 y2    ⇒ x = x  şi  y = y ⇒ x + y 5 = x + y 5 . =  5    1 2 1 1 2 2 1 2    y2    x2  2 

 

   x1 5 ) ⇒  5   y1 2

100

 

  x  În fine, funcţia  f este şi surjectivă  deoarece pentru orice matrice  A x, y =  5 y    x

2 y         x  ∈ G2 ,   

există 

5 ∈ G1  pentru care  f ( z ) = A x, y .  Putem concluziona că  ff este izomorfism de grupuri.  z = x + y

ă se arate că ătoarele perechi de grupuri nu sunt izomorfe 7. Să 7. S că urm  urmă izomorfe:: a) ( , +), ( , +) ; b) ( , +), (  , +) ; c) ( , +), (∗+ , ⋅) . R.  a) R. 

Dacă grupurile sunt izomorfe, atunci ele ar trebui să  aibă  aceleaşi proprietăţi. Cum   este grup ciclic (generat de 1), iar   nu este ciclic rezult ă că cele două grupuri nu sunt izomorfe. b) Mulţimile ,   nu sunt echipotente, adică nu există o bijecţie  f   :  →  . Mulţimea   este numărabilă în timp ce   este nenumărabilă. c) Prin reducere la absurd. Presupunem c ă există un izomorfism  f  :  (  , + ) → (  ∗+ , ⋅ ) ,  f ( x + y ) = f ( x) f ( y ), (∀ ) x, y ∈     cu  f (0  ) = 1 . a a a Fie a ∈   astfel încât  f (a)  = 2 . Atunci 2 =  f ( a ) = f  +  = f    2  2  2 a  f     =  2 

2 , contradicţie deoarece

a

2 ∉    în timp ce  f      ∈ ∗+ . 2

2  a    a    f   =  f       . De aici  2    2  

      

2 y1 

 =   x1  

ătaţ ă grupurile aditive ( , +)  şi ( [ X ] , +)  nu sunt izomorfe. 8.* Ar  Ară taţi ccă 8.* R.   Dacă, prin absurd, cele dou ă grupuri ar fi izomorfe, atunci ar trebui ca ele s ă aib ă aceleaşi proprietăţi. R. X cu Ştim că grupul (, + )   este ciclic =< 1 > . Dacă  [ X ]   (mulţimea polinoamelor de nedeterminată  X

coeficienţi întregi) întregi) ar fi ciclic ciclic gene generat rat de polinomul polinomul  f ∈ [ X ] , grad(  f f ) = k, k ∈  ∗ , atunci toate pol polin inoa oame mele le lu luii [ X ] ar avea gradul zero sau k, [ X ] =< f >= {nf n ∈ }  ceea ce înseamnă  că  toate ceea ce este fals. Deci cele dou ă grupuri nu pot fi izomorfe.   9.* 9.*   Să  se determine toate subgrupurile G ale grupului (  , +)   astfel încât  f : (G ,+) → (  ∗ ,⋅) ,  

 f ( x ) = sin( 2 x + 1)

π

2

 să  să fie morfism de grupuri.

subg bgru rupp adit aditiv iv al grup grupul ului ui ( , + ) R. Fie G un su R. 

. π

π

Pentru  x ∈ G   avem 1 =  f (0) = f ( x + (−x )) = f ( x ) f (− x )   sau s in ( 2 x + 1) s in (− 2 x + 1) = 1 ⇔   2 2 cos 2 xπ − cos π ⇔ = 1 ⇔ cos 2 xπ = 1 ⇔   x ∈  .  2 Deci pentru  x ∈ G ⇒ x ∈   , adică  G ⊂   , arată  că  G este de fapt subgrup al lui  . Se ştie că  G are forma G = n, n ∈  . Reciproc, dacă  G = n   , atunci f este morfism de grupuri =  f ( x) f ( y), (∀ ) x, y ∈ G .

   x+ y  f ( x + y ) = (−1) = (−1) x (−1) y =  

ă se determine endomorfismele grupului (  , +) . 10.* S  Să 10.* R. R.   Fie  f   :  →    un

morfism de grupuri. Procedând ca la problema rezolvat ă  2 găsim că  punând

 f (1) = a ∈ , f ( x) = ax, (∀ ) x ∈  . Extindem construcţia lui f

 

la  + .

101

 

           1       1    a = f (1) = f  1 + 1 +  f  1   = 1 a , n  ∈  ∗   şi  f  m  =     ... +  = n f    . Deci n  n  n n  n  n     n       n

       + 1  =   .. . f   1 + ...    n     n        m

1 m = mf     = a, m , n ∈ ∗ .  n  n

Deci  f (x) = ax, (∀) x ∈  + . Dacă   x = −y, y ∈  + , atunci  f ( x) = f (−y) = − f ( y) = a(−y) = ax . Aşadar pentru orice  x ∈ , f ( x) = ax .  Evident că  (∀ ) a ∈ , f ( x) = ax   este endomorfism al grupului (, + ) , cum uşor se poate vedea  f  :  (, ) → (, ∗) , ceea ce este imediat.

11.* 11.* Fie  Fie (G  ⋅, ) un grup. Arătaţi că   f : G → G , f ( x ) = x−1 este un izomorfism de grupuri dacă  şi numai dacă G este abelian. R.    Presupunem că  f este izomorfism de grupuri. Avem (  ff morfism):  f (xy) = f (x) f ( y), (∀) x, y ∈ G   sau R. ţinând seamă de forma lui f

( xy )−1 = x−1 y.1, ( ∀ ) x, y ∈ G ⇔ e = xyx−1 y−1 .

Compunând ultima egalitate la dreapta cu  y şi apoi cu  x obţinem  yx = xy, ( ∀ ) x, y ∈ G egalitate care arată  că G este comutativ. Reciproc, presupunem că  G este grup abelian. Să ar ătăm c ă   f : G → G , f ( x) = x−1   este un izomorfism. −1

−1 −1

−1 −1