Matematica Burtea aX-a

I. MULTIMI DE NUMERE r.1. MUITIMtA NUMEBEIoR REALE. PUTERI 1.1.1. Radicalul de ordinul n, n

n 1.

$l

RADICALI

€ N I {1}

Sd se calculeze:

a)

Js, {z*, {5',W;

J3u,

b)

{d

d) Vo^ooo1,

J2.

{:zga , t[*l:a;

{o,w,Vf"oo243

x e lQ au loc egalitdlile:

a)

{l

=*;

VF= -x; e) i/Z = -x;

c1

s) O

;

d(zxr)' =1_2x;

b)

{7

d)

Vt' =x;

o

tF.,f

h)

=

-*; =

X+J^ r2I _t

x)

-1-

x;

x+3 ^ l,.l

3. Si se determine partea intreagi a numerelor: J24so,t/60, - V200, V+oo; {/-gcro; V2006.

J 4.

Sd se compare numerele reale:

")

[f*]

b)

ei[Vzooz];

c) {Jas.64}

sr

[me]ei[-Veo]; o1 {+{-rzszo} oi {-Ss+to}

{-Vtt,az+};

ft 5. sd se aproximeze prin lipsd gi prin adaos nurnerele

D

6.

cu o eroare mai mied decat

J5, Va, 0, B > o, A'-B > o.

15

1.1.4. logaritmul unui numdr pozitiv

J 1.

J 2.

O

Sd se scrie sub formd logaritmicd urmdtoarele egalitali:

a) 3a = 81;

b)

4a = 256.

c) 5"

av

(sJs)' :

= 200;

l

Sd se scrie sub forrnd exponentiald urmdtoarele egalitili: O; tgti,OOOt = _ 0, x

O 16. Dacd 45" = S gi 45b = 3, sd se arate cd

*

=Irr.

1.

16# u Z.

O 17. Se se arate cirrrmdtoarele expresii nu depind de x: log. xVi + log. x-3 . a)' A = logs xs - logu x, Jx'

b)

B

=

4togr2 xa

+12togri_t

_8tog, x)2;

1 c)C==--.1_ n-1. . ' tog*2.tog,a' tog,alog,S +"'r1;;l;1@,1;-:---loge'x; -...1 dlD= -'--ro@*6*...* 1

-@; o

18' Fie a, b, c e (0,

1

oo)

-..r rrr xeN-\{1}. t

numere in progresie geometrici in aceastd ordine. sd se demonstreze cd pentru orice numdr rear x e (0, *)\ are roc egaritatea:

{t}

{1}

log"x _ log"x_logox log"x logox_log"x'

18

tr

19' sa se demonst reze ca 6 <

log?

14+gi4 28

< 12'

B 20. Sd se demonstreze inegalitdlile:

1 > 3o: -' b) B. logu 12 logrz 24.10. ' ----Llog.r 66 - loguu 132- -

a)

'

D 21. Se se arate cd: log, 3 + log. 4 + logo 5 + logu 6 > 5. O 22. Se se arate cd: 2lg3 + tgl 1.1g19 < log, 10.

D 23. Fie x, y e (0,+*) gi a > O, a + 1. Sd se demonstreze cd:

ryrft"-lt* b) tos, ry =ft*#*

a) ros"

i



e

1;

o fo (*)+4, v x e Q?

12CI

O 11. Se se studieze injectivitatea funcliei f

n

("')-f'(*)>f,

)3

ci

b) f :(0,.o) +(0, -), t(x)+f(x+y)= D

Q, dacd f

nu existd funclii injective astfelinc6t: -+ Q, f2(x)< r(x).r(t-x), v x e D;

12. Se se arate

a) f : a

:ll +

o * * o'

y,

v

x, y e Q.

32,-.

daci existd funclii injective f : D -+ [0, "o) astfel incAt: er(x)-1> f (x).r(t- x), v x e Q.

13. Sa se studieze

O14. Fie f a) (f c)

:e-+n, f (x)=3x-1.

g:Q+Q, incazurile: 3 b) (g'f )(*)= 2x-1, v x e Q;

Sdsestudiezeinjectivitateafuncliei

'gX*)=2x-1,vxeQ;

.

[x.x d.

al

.f *t

E!fi@. Sa se aral€ --ective.

=BuC 9i f :,r(A)-+ e(B)x,?(C),f (X)=(XuB, XuC). Si

este injectivd daci gi numai

.,

ast'et inc6t

atunci f = g.

C 51. Fie A

a; t x -'

35 se ara:e

"f)(x)+x,Vxee.

a) Sd se arate ci f este injectivd. b! Sd se calculeze f (0). c) Sd se dea exemplu de o func{ie f cu proprietatea

=,e'.g:[-

65. Sa se aratl

xea,f(x) 366.Fie aeQ

:Q-+e

are proprietatea c6 f(x+y) = f(x)+f(V), V x, y e p. Se se arate ci f are un singur punct fix daci 9i numai dacd funcfia g:e_+n, O(x)_f (x)_x este injectivd'

50

njectivd di

j

67.

Sa se det injectivd'

etiind cd existdr

" l, r,l"i j;Fil1,',:1"11',.*, Si

sunt injective se arate ca f 9i f + ctg

v

ci €

(-1

1)'

358.Fief:Q-+lQcuproprietateacdpentruoricareXl,X2elQ,x,,*x,existdctelQ\.& functii iniective' se arate ci t 9l {t} sunt 36 a' (*r) = f (x.,)-f astfel incAt S59.Sesestudiezedac6existdfunclii.f.:;.*injectivecuproprieiateae6: (tgx)'v *'[-z'7) f (sinx)+f (cosx)=f i)> s(i),v ie

N,

S60.Sesearatecdoricefuncliemonotondf:iQ+Dsescriecasurndadoudfunelii injective.

;d se arate cd

arate

arate c6

f

fn=9n'f*=9*'56se proprietaieaca (m'n)=1 9i 9i m,n€N cu f g' f este injectivd atunci =

f ,61.Fie f,E:A-+A

este

ci daci

"' ::,:i;T:;:5:l:ii'5 H;;Hi?li1,l;iil:';:Y?.ru,.>n f63.FieaeD9if:R+|J,astfelinc6if(v+f(x*y))=x+f(ay),Vx,yeiF. iniectivi' a) Sd se arate ci f este data' cu ;i Sd t" cletermine f proprietatea astfel incAt: f' g' h: lQ +'& 9i a e Q 64' Se considerd functiile

f

l$)e ,iX"ilyl:i';?,'i-HJJ":sd func'tie

constantS'

" :".T ;lT.T:Tii:i:";]" I =

e. sd se arate

n,g(x)=f(x)_x f

n' t(x) 66' Fie a e'Q 9i f : Q -+

=

pentru care h poate se determine ae Q

ri

proprr'etatea cb pentru ol"icare f : rQ'+ D injective cu

{ax'

+bx+c}"

dacd b e R \ injectivi dacd 9i numai

cd f esie funclie a' b' c e lQ' Se se arate

'Q'

f :rQ-+rn,f(x)=x+a{x} cu proprietatea cd functia 67.sa se determine a€lQ injectivd'

51

este

il.2. FUNCTil SURJECTTVE

fl 1.

f, *f

Sd se arate cd urmitoarele funcliisunt surjective: a) f : {0, 1, 2, 3l_+ {0, r, 4, 9}, f(x) = x2;

b) f :R -+ [0, *), f (x)= xr; c) f : D -+ [0, *), r(x)=

f,

lxl;

'

-t

d) f : N -" {-1, 1}, f (n)= (-1)"; e) f :D -+ A, f (x) =3x+2;

f) f : A -+ (-*, -t], f(x)

= --x2 +

g) f : D r {-a} -+n \ {-1}, f(*) h) f :a -+ z, f (x)= [x].

fr

m

2.

3'

$d se deterrnine surjectitatea funcliei f :Q

c)

=

u} r(x)

{;--.t;:"';],,

r{x)=max(3x-1,x+1);

O)

+e

=

= x'+1' ^X

:

g) r(x)= sinx;

5. Si se studieze

-

(-*,

[._

-

:E:3*'"

{:;;::'

r(x)=min(x2,*2x+3).

f(x)=-:-:

n) r(x)

Jx'+1

= coSX.

surjectivitatea func{iilor:

a) f : a -+ n, f(x) = r"*[*.,', b) f : a

0

d'

folosind metoda graficd, in cazurile:

seconsiderd f :Q-+D' sdsedetermine DcQ cu proprietateacdf estesurjectivd, in cazurile: a) f (x) =x2 -2x. n) r(x) = -3x2 +6x-5; c) f (x)= x-lxl; o) r(x)=x+lxl; e) f(x)

D

=*,

Sd se construiasci o funclie f : N _+ N astfel inc6t: a) f si fie injectivd gi nesurjectivd; b) f sfr fie neinjectivd gi surjectivi.

a) r(x)

n4"

4x-S;

]),

+], r(x) = min(_x, +4, 4x+ 4);

e'

l.=

,i

a:=\

-

c) f

:e+D,

izx+s, t(o) = lo,

0)

x=0

;

xe(0,*)

-x2

x e (-"c,

f

r.1,

l*-1,

Fie f :[a, o]+

(-o,

i.x' + e,

d) f :lQ -+ D, i(n)= I

: :

xe

1]

xe(t,":)' Sd se determine a,belQ astfel incAt

[0, + I,f(*) = ax-+"b.

f sd fie

functie surjectivS. Sd se studieze in funcfie de m e

D

surjectivitatea funciiilor:

a) f :iQ -+ [m, *), f (n)= 2x2 -Gx; b) f : (-o, m] -+ [2, .c), r(x) = x.2 -3x

+ 4;

- [-m,m], r(x) =#t d) f rL - [-!,'], t1*1 = -Ja' x'+x+1 Lm-4' _]

c) f

:rD :

aficd, in cazurile:

Sd se determine m e lQ pentru care funcliile f :lQ -+ lQ sunt surjective:

a)

r

[x+rn,x1' _v

l*r*_2m,

Sd se arate cd existd o infinitate de fr"rnclii

a)A=u; I10.

f(x)__{**+m-3,x1'

biA=I;

f :A -+ A surjective, in cazurile: d) A=lP.

clA=,Q;

Fie A, B mullimi ne,ride gi disjuncte gi funcliile

f,:A+C,fr:B-+C.

ff"(x).xeA (x)= I '. i este suriectivd dacd _, f,\../ funclia f :AuB -+ C, lf, (*), *. a

_

rm(f,)urm(f,)= c.

53

Sd se arate cd

9i numai dacd

"

t

t {'i":ii,,i"?;"*rX;:.?,H: b) ecuafia

cd u rmitoarere arirmalii

su

nt ech ivarenre:

(;) = o'"t" pulin o solufie pentru oricare ""r c) mur{imea f-r({b}) este nevidi pentru oricare b e B; d) f(A)=8.

321.F

f

a

b e B;

b

322.F D

12. Se considerd A gi B mul{imi finite nevide. Sd se s'!qrq arate ucr cd existd o funcfie surjectivd dacd gi numaio".a f : A +_B ""rofn) =

*A;i

o

I

nevide gi f : A -+ B. sd se arate cd: a) dac6-Bmu[imi funcfia f este su4eci,"a, ,,"r". b) dacd r este injecrivd, atunci

rj"",,ur,

J24.t

c

o

14. Fie f : N' _+ (0, z), r(n) =

ll

o

",b

e (0,

b) f nu este

{,6.}.

{fr;}

2),^.b existd n e N.

su4ectiva.

sd se arare cd:

astfel incat a < f (n) <

J25.1 b:

I

15. se se arate

ci

funcfia f : z[i]

_+

1f

(x+ iy) = x + (_t;,_r este surler,va.

D26.{

C!16. Fie a, b, c, d, e ee astfet?ncAt (cd_be)(b_d)> a(e_c),. Sa se era:e _: a)ecua{iile ax2+bx+c=0 9i ax2+dx+e=O auodao b) dacd x,, x, e e sunt solu{iire ecua{iei _'ttl.,u_ _:J"_": wA_==_

17.

SA se deterr f

o tt'

:AxA

3?,*

card(A)'

-.i;i t?fl")

;i

J?"t'"

A

mul{ime finitd' daca exs:5

r: E -+

F

i

n27.1

a'uiur a:_.tCi funCtia '-

"-, f:Q\{x.,,xr}+n,f(x)=alt+!x+c ' ax. +OxG este surjectivd.

D

f23.S

13' Fje.A,

*,.i, I :J'Ton.?ffi

o

I

: '--::e

este surjectiv- :a:E

O 19. Se se arate cd funcfia f : A _+ B este surjectivd dacd s func{ii u,v:B+x, iinegatrtatel Jlr=uof, atunci ,=.,'O20. Fie f, g, h:e_+e. Sd searate cd dacd feste surjectivd s

1,,

:

surjectivd

r.rai

t

:;:ts:€--.ru

=

_,. ::*-.

dacd

o

28.1

tr29.1

0 30.

oricare

n 31. g=h.

g:B+c' sa3ellleca: g ' f este surjectivd' a) dacd f 9i g sunt surjective' "*n:: atunci g este surjectivb' b) dac6 g f este surjectivd'

OZ1.Ftef

:A+ts

qi

o

f,22.Fief,g:N-+Nastfelincatf(x)

:

are iui f care sunt

clf d)f

€ s-*E a doud funclii

e)f f) f

tJ4.

Sds

a) f

c)f 56

:

ivd, iar f .g

il.3.

:1.

Sd se arate

'e centru de

ci

urmdtoarele fl.rnc{ii sunt bijective:

2,3,4\ -+ {s, s, 7, s}' r(x) =2x+1; b) f : {x e z I lx+rl < z} -t {-1, 1, 3, 5, 7}, f(*)= 1-2x;

a) f idmit centre

BlJEcTll'E. INVERSA UNEI ruNcTll

FUTUCTII

: {1,

c) f :F{-+N',f(n)=n+1;

d) f :m+n,f(x) =2x-3,

f:a+a,f(x)=x3+x;

e) rietatea cd

f) f : [0, *)-+

[0,

m), f (x)=

x'?.

Sd se studieze bijectivitatea funcliilor: a cd:

a) r: [-7, a]-+ [-r, s], t(x)=

x+m x2+x+1

:

valoare a

b) f : [-1, t] -+ [-t, s], r(x) = 3x + 2; c) f : [-3, a]+ [-s, o], r(x) =3-2x; d) f : (-.o, s] -+ [-e, *)' r(x) = 6 - 3x;

")

r

,[*, -)

*

iu, .o),

t(x) =

fl f :a \ {z} +e \ {3}, f(*) :are n > 2,

I 3. Sd se arate ci urmdtoarele a) f : N + N, f (n) = n+(-1)"

'({o})

are

'care sunt

b) f : z

+

z, f(n) =

c) f :,C +

d) f :o rud funclii

+'

C, f

3x2

-4x

+ 5;

=5 funclii sunt bijective: l

n-(-l)";

(z) =32+1;

+ C, f (z) =22+3;

e) r : tD t

{:}

*

P \ {2}, t(n)

=F*'

f) f : 'D -+ D, f (z) =iz+1' bijectivd: valorile parametrului m e lQ pentru care funclia f este 5] -+ [em, m)' t (x) = mx + 6; a) f :(-"o, m]+ [2,.o), f (x) = -2x-1; b) f : (-.o, + (-a, *), f (x) = x2 - 2x-3' f :[2,+)-+[z,m),r(x)=2x+m-8; d) f : (-m, m)

: 4. Sd se determine c)

57

n 5.

Sd se determine m, nelQ pentru care functia f :[0,

2]-[-1,

a],

t(x)=(m+1)x+n

l,c

4rt

{

ai Sl

este bijectivd.

b)

46.

Fie f

:l-1,21-+[a,b],t(*)=b'x+f. Siseafle a,beR

si

n8.

*asedetermine

oe[)

astfelincdtfunc{iaf

,'€ftf

b)

surjectivd; c) bijectivi. 3'1t5. Se

Sdsediscuteinfuncliede a,beD bijectivitateafuncliei f :Q-+Q incazurile: u) r(x) =

{ii;': ,,::',, lx+2, rl

x<

r_l l2x+8, x>1

Fie f :A

+

B,

g:B -+ C. Sd se arate

a) dacd f gi g sunt bijective atunci

daci

g

o

f

{:"'.".,,, I I _1'

l*',

-1

c) f(x)=]ax+2a+b,xe(-l,t); d) f(*)=

b)

3

xtD,f(x)=i(a+t)x+2'x3 a)

Sr

d) f :,C+nxn,f (x)=(nez,lmz);

3

20. Fie a)

b)

x)= (m+1)x+n

f

13. Fie f, g:

o +'c, f (z) =z*i'(-,t)t''4,g(t)= z*(-t)t*"4

'

a) Sd se arate cd f 9i g sunt bijective. b) Sd se calcuieze f-t 9i g-'. f este bijectivd.

I14.Se consideri f :D-+D,f(x) =-t*0. Sd se el inc6t func{ia f

verificd egalitatea (t . g.

f r

= 6x

-

numerele reale m gi n astfel incAt g =

f

16.

25,

v

g:P-+Q

care

x e Q'

g:e+ro, f (x)=-4x+2, g(x)=(m2 +m)x*? tU se determine

15. Se dau funcliite f,

cazurile:

t-')(x)

determine funclia

Fie f, g:Q+4, f(x)

f-l'

-("' -5a+7)x-0,

g(x) =

**-O'

Sd se determine a' b e Q

Pentrucare f =g-1'

f

17. Fie f :D-+n, f(x)=

[ax, x e {)

jt -up lx'

a) Si

\ e,

u'Q'

se arate cd f este bijectivd rsabile.

:o

).

f

33. Se se arate

f

34.Fie f :N-+l{, bijectivd astfel incAt f(2n+1):1+f(2n),VneN. Sd se arate ci pentru onicare n e F{ numdrul n+f (n) este numdr par.

I

35. Fie f,

ci

func{ia f :D -+ Q, este bi.iectivd: a) f(x)=x+sinx; U) f(x)=X+GqSX.

g:

{1,

2,3,..., n} -+ {t, 2,3,..., n} funclii bijective. = A=... = =L. "'-'-"-: + t(n) f (1) f (2)

a) Sd se deterrnine f daca

b)Sdsearatecdaaca

f

35. Se se determine p e

ffi=ffi=

=ffi,atunci

f =e.

N' astfel incdt funclia f : N -; u, f (n) = lll * l!_ltl * [

'L;l.t-'

fie bijectivd. r)

'I' sd se

f

37. Sa se arate cd funclia f

f

38. SA

:

39. Sd se arate

afle

sd se afle

:8 -+ Q, cu proprietatea t(x)+t([x])+r({x}) = X, v x e D este bijectiva.

n + 2-1

l.I o ]'"

c5:

se studieze dacd existd funclii f : N' x N' + N' bijective cu proprietatea f(3mn+m+n) = +t(m)t(n)+f(m)+f(n), v m, n e N'.

ci funclia f :Q + Q, este bijectivS in cazurile: a) f(x+y)+f(x-y) = 3f(x)-y, v x, y en, f(1) e Q'; u) t(x')-t(2xy)*t(v') =2x2 -4xy + 2y2 +5, v x, y e tD.

cd

.'40. Fie M o mut{ime finitd nevidd, M c (0,

bijectivd. e

m

o n tr

fi'

pentru care functia

e'c\D o rdddcind de ordinur trei a unitdtii. se se deterrnine

proprietatea cd func{ia f

:N-+ u, r(n)=.*?rn +be2n este bijectivd.

s5 se arate cd func{ia f : D

+

n, f (x)=

{*}-["]

h=f of. S a) daci h( b) daci g

1ru"

tr4'l.Fie f :N--*X,t(n)=n+a.in+b.i2n. Se se afle a,beO E4Z.Fie

f53.FieAcQ

"o) 9i funclia bijectivd f :M -+ M cu proprie

tatea cd f (x).r-1(n)= o, v x eM. sd se arate cd f =

este bijectivd gi

si

f

r

esu

a,bec

f c^

A=

I

o

meg

astfer inc&

f

n

=E6

(

infinitate

58. Fie f

:Q

-+

Sd se arate

dacd a, b, c eZ.

a) funclia

g

b) pentru ol

funcfia:

be

z

I

pentru care func{ia:

pentrucarefunciia f

62

:e_+Af(x)=x+a{x}

59. Fie A, B mrexistd gio f

l60.Fie m,neF

f :lQ -+ ru, f (x)= x+a[x]+b[2x] este bijectivd gi f = f_1.

e

detr

aceeagi prc

f :lQ + in, f (x)= x+[a1x]+[arx]+...+[a"x] este bijectivd gi f = f_1?

fl52.SAsedetermine ae

se

J 3/. :ia se cons

D49' Fie a'bez 9i f :lQ+a,f(x)=x+a[bx]. sisedeterminea, bastfetincat f =f-i. E 50. Pentru care numere a1, a2,..., a,

n 51' Sa se afre reratia dintre numerere a,

56. Sd an

astfelinc6t:

oznS'Fie f:e+m,r(x)=ax?+bx+c cu proprietatea ci existd f(x+m)=mf(x)+X, X e e. Sd se arate cd f =f_1 daci gi numai

eZ

{o:a

fog=gof,

f-1

46. Se se arate cA existd funciii bijective f : N _+ Z.

a) f(x)*r(g(x))_zg(x) = 3, v x e e; n) r(s(x))+ r(o-'(x))- zx 4, v x e = e.

54.Fie f :Q-

Sd se detr

45. SA se construiascd o funclie bijectivd f : N _+ N x N.

n 47. Se se determine f,g: le -+ D, g bijectivi,

cr

l55.FieAomu

se afre f-1.

44' Sd se arate c5 furnc{ia f : Q -+ n, t(x) = x - +[x]+ [2x] este bijectivd gi s6 se afre

Rdm6ne

bijective f estebijectivd.

1+f (1),2+

:

+ M cu propri*

'e functia f

Rdmine concluzia adevdratd dacd A este infinitd?

3

54.

ci

e afle f-1.

si

f. Sd se arate c6: a) daci h(*) = x' v x e A' atunci g este constantd; b)dacdgesteconstante,iarrnul{imeaAestefinit6,atuncin(x)=x,VXeA. h=f.

es:*

ine a,beC

)i

estebijectivdgi g =f -f-" I53. Fie AcQ gifuncliile f,h:A+A,g:A+P, astfelinc6tf

se afle f-'

S5 se arate ci Fie f : Q + P, o funclie injectivS sau surjectivi dar nebijectivS' n = {g : Q -+ Q I f ' g = g'f} estre infintd'

: n -r Al f b'rjective}' tr 55. Fie Ao mullimefinitd n=card(A) 9i Sa = {t daci f e so cu proprietatea sd se determine valoarea minimd a lui n, astfel incat f og=gof,VgeSo sdnezulte f =1n'

3

56, Sa

""

1

57.

girul (a") cu termenul general se determine f : N' -+ N' bijectivd pentru care =

fr;

este crescitor'

N, care s5 ia fiecare valoare a sa de sa se construiascd o funclie surjectivS f :N -+ arate ci existd g: N -+ F{ cu o infinitate de ori. Pentru o astfel de funclie si se

aceeagiproprietate,astfelincAth:N-+NxN,h(x)=(t(*),9(x))safiebijectivS'

D

astfel

inc6"

tr

58. Fie f

:D -+D

a) funclia g: ?ncAt

f =f-1

f(xy)=t(x)f(Y)'vxyea 9i f(x)+x'vxec \{t}'

Sd se arate cd afirmaliile urmitoare sunt echivalente:

d a,b, c eZ. rl

cu proprietateaca

D'

+

P',

g(x) f(x)

este bUectivi;

f (*y)= (t b) pentru oricare y e P', existi x e D" astfelincdt

.

j

cd dacd existd 59. Fie A, B mullimi nevide. sd se arate -+ g: '/(A) existd 9i o funclie b'rjectivd

't)(x)'

f :A + B funclie bijectiva, atunci

t(e)'

sdsedeterminenumdrul l60.Fie m,neN cuproprietateaci n>19i mm

c) Pentru

injectivd; b)surjectivd; c) bijecir,;i

Fie

z[i]=ix+iylx,

O 2. Fie f, g:t

y./]9i f :z[i]-+ziil. r z,=z_ _

a) Sd se arate cd func{ia f este bijectivd. b) Si se rezotve ecualia f (Zz) + f -, (Sz) =

O

O1. Fief :A-

Fie M o mulfime finitd 9i nevidd gi f

(o " o)(x; Sd se ara

5i.

:M-+lvl o fu:rcle cu procrretatea cd f of of

O 3. Sd se ar€

este strict monotond. Sd se arate cd f este functle b 1et,;8.

Testul

O 1.

nr.3

O' Si se arate cd functia f :N -+.*' (x)=. n, f'\^/ -'xi\t=

-

injectivS.

O

inversabil

Testul nr

x=0

-.,'Zx-,'),

x>

o

este

numai dar

2. Fie k e N'. Si se arate cd: a) existi un singur numdr naturar n e

O 1. Fie f :A-

2n e (t ,

O2.

ci - t , t 15625; b) '1gts-*' < (0, 1)";

cl

3,'-z,z*

- (e-,Vf )-';

o)

/ 1\"-1

[aJ

a7.

")

(JZ -',)*-*'

(J-

+

r)'

;

fl3Jrn o,(3);

t . J-Ji*i

>

g:a

f 8.

Sd se studi

a) f :(0,'o)

b) f :(0,.o) 70

il.7. FUNCTTA r0cAR|TMtCA

3 1. 3

2.

Sd se reprezinte graficulfunc{iei logaritmice pentru baza Sd se reprezinte graficul funcliei f : (0,

a) f (x) = logz x'; c) f (x)=log.v.

a) t (x)

e) f(x)=logrx+logox;

33, Si se reprezinte a) f

-+ Q, in cazurile:

x-b.

x;

= log, (Bx);

D r(*) = logg x2 + log, V3x.

graficul funcliilor:

:(-0o,1)-+a,r(r)=tos.(1-x);

c) f :(--1, 2)-+ a, f (*)= tos, (3 + x);

34.

'{'''' +''}

o) + R, in cazurile:

n) r(x)= 3loge

iF;

^

b) f :(3, +m)+n,f(x)=tosr(x-3); d) f :a'

+

a, f (x)= rogr lxl.

Sd se reprezinte graficul funcliilor f : D -+ D:

a) f (x) = ltog, xl;

u) t(x)=lr*ros,fl,

c) f (x)= ltoo, xl; e) f(x) = llog2 x +togu xl;

a) r(x)

= tos,l4xl;

r(x) = tslx - tl.

fl

I 5. Sd se reprezinte graficul funcliei f in cazurile: ft

I

x]; t:[], sl-+ n, r(*)= fi.[rog, x]; cl'L2) a) f

:

14,

f6.

a.l -+ n, f (*) = [tos,

37.

f8,

t,[*,t]+

n, r(x)=

x

d]

r

e, f (x)=

x' [ros, v;]

[*,r]-+

lrosa x];

Sd se determine valorile parametrului real m pentru care: f :(0,.o)-+ A, f (x)= log,,*, x, este inversa funcfiei

g:D -+ (0,-),g(*)=

p

b)

(r^,

-7m+7)'

.

Fie f : D -+ Q, f(") = togr[Sx2 +(m+5)x+m+5]. a) Pentru care valoriale lui m e D, funclia are domeniulde defini{ie D = e? b) Pentru m = -5 sd se determine D gi sd se studieze monotonia funcliei. c) Sd se determine m e tQ pentru care f este funclie injectivi pe D = (t, *). Sd se studieze bijectivitatea funcliilor:

a) f : (0,.o)

+

D,

f(x)

= x+logu x;

b) f : (0, co) -+ D, f (*) = -x

+ logo,. x.

71

g

1

n 9.

Sd se studieze monotonia functiilor f :(0, m)-+ Q,

Tn

11.8. FUN

cazurile:

A1. Sdsere

t(x) = log" x + log.*,, x; a) f(x) = log" x-log,n" x.

a) f(x)=log"x+logu,x;

U)

c) f(x)=log"x+logox;

a) f(x)

=

c) f(x)

=

O 10. Se se arate cifunclia f :(0,.o)+l), f (x)=logzX-log. x este inversabilS.

32. Sisere O 11. Se se studieze bijectivitatea funcliei f : (0, + m) -+ (-1, +.o), f (x) = x + (-tfro'J

a) f(x).

.

D 12. Sa se studieze bijectivitatea funcliei f in cazurile: a) f : (0, m) -+ Q, f(*) = lOx +(-t;tb'l' b) f : (0, "o) + a, f(*)

= log"

x+(-t;t'*.'l,

c) f(x)' e) f(x)

a e (0, 1)u(1, m).

O 13. Folosind monotonia func[iei logaritmice sd se rezolve inecua{iile: a) log, (* * t) < log, (3x - 5); togo,u (" - t) > logo,u (x' - r); 1aJ.

c)

", s)

tog.

sx

* Js)

'

h)

e) f(x)

o;

g) r(x) > 0.

J4. Siset ( a) f :l

14. Se se rezolve inecua{iile:

a)

tos._,uu

c)

logu,*.,

('onr,, (x' + J2- z)) > o;

(log,-", (1+ x)) <

0;

")

[;j