Matemática Básica - Vera-pdf.pdf

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ATICA

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B >

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X-

a -?

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1

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y- \ _ b-'­

I

.. X

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..

~

Numeros Reales ~ Sistema de Coordenadas . Cartesianas en elPlano ~ Relaciones de R en R ~ .La Linea Recta ~ La Circunferencia ~ La Parabola ). La Elipse ~ La Hiperbola ~ Rotacion de los Ejes Coordenados ~ Vectores en Rn ~ Coordenadas Polares ~ Numeros Complejos ~ Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales.

"

CARLOS VERA G.

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1

.

'•

MATEMAT1CA SA-SICA Aulor: Carlos Vera Gutierrez Prinvrn Edici6n: SeJi£mbre 2003

Prohibida la reproduccion total 0 parcial de esta obra por cualq"ier media, .sin 10 previa autorizacton por escrito de la editorial. Dec. Leg. 822 Dep6sito lega': 1501352003·4790 ISBN: 9972-B 13-26·6 Ediiado e lmpresa en los talletes graficosde: Distribuidora - Imprenta - Editorial - Llbreria MOSHERA 5.R.L R.U.C. 20101220584.

PEDIIIOS At POR MAYOR;

DiWibuidora - Imprenta . EdilOriaJ - Llbreria

MOSUERA S.R.L JI. Tacna 2975 . lima 31

Telefax: 567·9299

•

~'I~~

•

AGR{ldECimiEntO: DeS"eo eXpY"'eS"c:r'r'> mi a9l"t':ldecimiento

Moi 3 a-I tal que 5. Sustituir en 3: b = (a-I alb = a-I (ab) = a-I (0) •

a-I a =

1

M,

......... ....... .. .... .. ...M2 pues ab = 0 • segun hip6tesis

b =0 6. Hay una contradiccion, no puede ser que h . 0 y luego b = O. Esta contradicci6n se present6 porque heruos negado la tesis, Para que no ocurra esta contradiccion, simplemente no debe negarse fa tesis, esto es, la hipotesis ab = 0 implica que a = 0 v b = O.

La venida (eo)

(=»

si

a

=b

v b = 0 => ab

= 0

Dcmostracidll :

Crllo1: SI a = 0

enlonces

ab = 0 . b = 0

Caso 2: Si b = 0

entonces

ab ;: a . 0 ;: 0

A.plleaclon•• :

0

a > 0, y

2. a es negative a < 0

2. Para todo numero cumple: ,,';, 0

[)eOnki6" 3. I. Los nurneros a y b tienen signos

iguales, si ambos son positives

0

umbos son negatives.

2. Los numeros

II y b tienen signos diferentes si uoo es positivo y el otro e. negative,

".1> > 0

2. ". b < 0

= =

Ejemplos:

1. Resolver: (x -I)' > 0 La soluci6n es: m- {I } 2. Resolver: (x - I)' '" () La soluci6n es: JR Corolorio 2.2. El conjunto vacio. Es decir JR+ :J; 0

TEOREMA02.

1.

real "c", se

(a> 0

1\

m:

no es

b > 0] v

la < 0 1\ b 0 1\ b < OJ

nOREMA03. (Transitividad de la relacion "menor que") Si [a < b /\ b < c] entonces a < c, para los mimeros reales a. b, c.

TEOkEMA 04,

Si a >0~1.>0

Estoes:

a

1. a cb =a+c1. a

b

2.1.

v v

a e- b a=b

EI siguiente teorema agrupa un conjunto de propiedades referentes a la relacion "menor

o igual"

TEOREMA 09, Para los numeros reales a. b. c se cumplen las siguientes propiedades. 1. 2. 3. 4. S. 6.

".$ a (Todo niimeroreal a, es menor 0 igual a sf mismo) ~

a =b

a -5. b

1\

b -5. a

aS b

1\

b.$ c => a S c

ae b as b asb

~

a c b va>b a+c -5. b s c c z O ~ a c s bc c s O => at: ~ be

7. a c b

~ 1\

1\

___

~

(Definicion de la relacion igual) (transitividad)

......JL.

PROBLEMAS RESUELTOS

Las siguientes demostraciones se haee en base de una buena aplicacion de las de.finiciones y teoremas que se han enunciado.

mJ Si i)

;;)

a < b. demuestre que:

2a <

30+h

a <

30+h

2

u +h

a 0

4

a-J-ab+b>O

Nota: Aplieando i) Se puede hacer ii)

L·Observacwn:."" -1. ',;. ~,,:

a-v b > I+ab

·.:t." :

.,

'':' _, .~~'"' .N?,

Comopode'1' I - b < 0 ... (2)

< 3a+h < a+b < a+3b I => b - J > 0

a+3h -4- <

.de

a'-2ab+b';,0

desarrollar

u

E

a+!';-2 u

•

J

2

a + bJ

2:: a b + ab

2

Multiplicar por 3. en ambos miembros: -r- Jab'

=> 3(a' + b') ;, 3a'b

~ Demostrar que

+-,;! 'V a u +1

E

lR

=:)

Demostmcl6n:

Hacer, previarnente, un ensayo.

Partir de:

2 (a 2 _ I ) " 0 ,

22

Sumar (a] + b 3) en ambos miembros: 3(a] + b]) + (a

J

=:)4(,,3+ bJ);:::.(a+b)3

Multiplicar par

segun cl corolario 2.1

+ b 3);:::. 3a 1b + 3ab 2 + a 3 + b 3

k

b)'

~ 2:: .~i)+-/)

(

PROBLElIIAS

ill Sean

GRUPO 05

a, b, m, n b > 0 Y /I> O.

ill Probar

cada uno de las siguientes proposiciones:

1. Si

a 0 =::> a y b tienen el rnismo signa (Demostrar por el metodo del absurdo). 0 =::- a 2 > 0

4. Si

a

5. Si

a ea < {'IJ

Si c < 0 ::::::> ((1 > cb

i) ii)

'$.

9. a < b ::::::> -a > -b 10. Si [a y b tienen el mismo signo y a.l>-h' a

@ Si o --+3 b a II)

~ Si 0 < a S b , entonces a 3h < /12 3 -b+--"""2+ a a

Si

E.. (ao 4

por 3:

~ >3x>0 ...... Teo 5.1

sumar 2:

~' + 2 > 3. 0+ 2 Teo 4.1 ~3 >3.2 4

-,-l_~

>_1

SoluciOn:

3

3x+2

2

CONCLUSION: Es verdudero la afirmaciou

Si

---l.- r-2

E

IEjemplo 03 I . 2x+1 ~ E [8,16),

myel .x E [m,n 1.

menor

[_1.2 '

_.12 ] entonces

-1-$ . :2 $-1­

dada.

S,

3

n="2

[_.i2' _..l] 2 • i.3 que intervale

E

>2_£ >_1

3

DefiniciM de

mtervalo cerrado

IEjemplo 04 I x-2

53

>

x

'2 -

CONCLUSION: m = :~

7/3 -7 +4

~ >"3-1.r+2 > - , ­ 78

>

3

=> => x

1 _.1.8.. > 1. _ -.l..l2- > _1 + 1. ,." .. Teo. 4 3 159 3 3x+2 6 3

159

-.

±+I;' x-I+I;' I~ +1 ... Teo 4.1

>_l

3x+2

t

106- 28

sumar 1:

h.dlar el mayor valor vaJor

11,

tal

que.

invertir

_f~J;2~_2

por 3

-%~_"-2~-6 -t+2;',,-2+2~-6+2

sumar 2

Solucien:

"!·>..t>-4 5 ­

=>

Si

2>+1

=>

2x+1

x-I

E[8,16]

8-2->-8

Nota : S610 se invierte cuando los

extremes de una desigualdad son negatives 0 positives. Es la aplicaci6n del Teorema 7.

Solucion: Como .r E JR , podemos deducir que: V .r E IR: x';:, O. (segun el corolario 2.1)

A partir de: V x

E

IR : x';:, 0

vamos a construirla expresion: •

En (2) , multiplicar ror 2: 10

f'

5

4

I-t

> 3x > -~+l

5

l~ >

Par .1. 3 . •

A

"2

_t_

Invertir

-3

x+

4

_5_

x'+4;:'0+4

Sumar 4

.! > 3x > .!

=>

x';:, 0

En la desigualdad :

8

_.1 > 3x-l > _1.

Sumar 1:

.r +4

Veamos:

_..1... > 3x-l > _B.

r • I

+

.!..2.>x+l>.!.l 15

12

Si .r E [-2,1], i.a que intervale pertenece la expresi6n algebraica:

-t~(I-x)(x+2)

s",,""': SI

'~

11 E [-2

,

1J

~I

+~---' Sumar 2

'I' 2~-x~-1

Sumar 1 32:I-x2:0 &

@ 5i r;;:;'\07

E

]S.8[, La que intervale

3.(+2 x-2 E

•

51

[10,20],

hallar

valores de m y M tal que

Multiplicar

11/

< X < M,

a> 0 y (3 - ~x) E 13,5[, i,a que intervalo pertenece la cxpreslcn algebraica (ax + 2)?

~ S-i

.r E lR; l,a que intervalo pertenece

la expresi6n algebraica

CONCI.USION: -t,f(l-x)(x+2) E[-2,0]

-,-'-? 2x +5

@ 51 -3 < 2x (Sx+2)

EJERCICIOS: GRUPO 07

@ 51 (I

- 3x) E 1-I,2J, La que intervalo perteeece la exprcsi6n (3x + 2)?

@) 51

~

e 13,51, LB que intervale

pertenece 3x - 1'1

@) a)

la expresion algebraica

5i x e I5,101, hallar el menor valor Myel mayor valor m, tal que,

III

11" I

S -;--2 ~M . .H j

b) Analizar el valor de verdad de: Si (3x - 2) E 11,1 01. entonces 5x-11 E

.(+5

I_I II •

los

@ 5i

~ 0 ~,f(I-x)(x+ 2) 0

-t ~ O;,'-f,f(l-x)(x+2) 2:-2

X~I

perteneee 2x - I? ~

o ~ (I - x)(x + 2) ~ 9

[-s.j5,O]

E

(2x'- 1) E J7.31[ , La que inter­ valo pertenece x?

0" l-x~iJ

por

[-3,2], probar que:

@ si

Cambiar signos _I

E

-S,f(2-x)(x+3)

H3x~11

~

5i x

E

I < S, entonces ja,b[,Hallarayb,

@ Probar: s:

~

E

]-6,-2]

12.(-6

~

2x-3

E

]lQ11'.5 . il[

Soluciones: 01.

[1,4]

03.

a)

It,l[

02. 9

m = 17'

M=

19

32

b) es verdadero

05.

]-4,-21 u j2,4[

06.

]2, ¥[

07.

m=..Q 17 •

08.

lO,2[

10.

a=-3, b= 17

M=227 09.

]0, %[

4.0 INECUACIONES. En esta parte del curso, estudiaremos las inecuaciones de primer grade, de segundo grado, las inecuaciones polin6micas y las inecuaciones racionales. EI objeto de estudiar inecuaciones, es porquese aplican: para acotar funciones; para hallar eI dominio de relaciones de IR en fR y de funciones, para hallar el rango de relaciones y funciones; para hacer dernostraciones de la existencia de limites de una

funcion.

4.1.

INECUACIONES DE PRIMER GRADO 0 lINWES.

Definicion: Una desigualdad lineal en la variable x es aquella que puede escribirse en las fomas: ax + b < 0 ,lU + b ,; 0 , ax + b > 0 , ax + b ;, 0 donde a y b son contantes y a 'i; O.

I

Ejemplo 01

Resolver en IR:

1

''-'4-

1

-

3( 5 - 2x),; 4­ 32,

Soluci6n: Paso I:

Hallar el minima comtin multiple de los denominadores 4 y 3, que es 12 y reducir a su mfnima expresion la inecuacion dada.

3(3x - I) - 36(5 - 2x) ,; 4(4 - 2x)

As' :

9x-3-180+72x ,; 16-8x

Paso 2:

Transportar los terminos en "r" al primer miembro y los terminos numericos transponerlos al segundo rniernbro. 9x+72x+8x ,; 16+3+ 180

~

89x ,; 199 1

=

'I'

r,-----­ kI

I

•

POT 89 .

Ejemplo 02

x <

199

-89"

XE]-OO 199 [ , 89'

3-5x

1

2x-8

I

ResolverenLR: -2- COSTO TOTAL 30q > 10q + 80000 30q - 10q > 80000 20q > 80000 q > 4000

Respuesta.- La cornparua tendra que vender mas de 4000 zapatillas para obtener utilidades.

12(500) + 50d < 3000 + 70d AI resolver esta inecuaci6n se obtiene: d » 150

Respuesta» EI ingeniero constructor debe utilizar la rnaquina al menos 151 dias parajustificar el alquiler.

IEjemplo 04IIRAZON OE ACTIVO) Definicion: negocio es circulantes mercancias

La RAZON DE ACTIVO de un

el cociente de sus activos (efectivo, inventario de y cuentas por cobrar) a sus

pasivos circulantes (prestamos a corto

plazo e impuestos).

Este resultado nos indica que el gerente puede pedir prestado hasta $54000

PROBLEMA.­ Par sugerencia

I Ejemplo

del CONTAIlOR, el gerente de una empresa decide pedir un prestamo a corto plazo para comprar rnercancfa, La compafila tiene un activo de $45000 y un pasivo de $90000. i.euonto puede pedir prestado si quiere que su razon de activo no sea menor que 3.5? Nota..- Los fondos que recibira son considerados como activo y el prestamo como pasivo,

Sea .r la cantidad que la empresa va a pedir prestado. Entonces sus activos seran 45()(x) + x y sus pasivos 9()(X)Q + x. As; tendremos: ACTIVO CIRCULANTE PASIVO CIRCULANTE

RAZ~N DE ACTIVO

450000 +x 90000 +x .

(PUBLICIOAOJ

La compaftfa de publicidad EL ECO. detennina que el costo de publicar cada ejemplar de una cierta revista es de

$1.20.

EI

ingreso

recibido

de

los

distribuidores es de $1. 10 par revista. EI ingreso par publicidad es de el 10% del ingreso recibido de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de 5000. i,Cual cs eJ numero minimo de revistas que deben ser vendidas de modo que la campania obtenga utilidades?

Soluci6n:

Solucwn:

.

Se quiere:

os 1

450000+ x > 90000+ x

3.5

como "x" es POsrnvo. podemos hacer la multiplicacion:

Para obrener utilidades, se debe curnplir que:

INGRESO TOTAL> COSTO

(I )

Donde:

a) EI costa por publicar un ejemplar es $1.20 y de "x" ejernplares sera: 1.20x b) EI i ngreso rec i bido de los distribuidores es de $1.10 por revista y por "x" revlsras sera: 1.10x c) EI ingreso por publicidad es el: 0.10 [I. lO(x - 5000)J AI reemplazar en (I), obtenemos: 1.1Ox + O. IO[J.I0(x - 5000)] > 1.20x

:J(J

450000 +x

~

3.5 (90000 + x)

450000+ x

~

315000 + J.5x

135000

z

2.5x

135000 2.5

~x

54000

~x

Resolver esta desigualdad: 1.I Ox + 0.0 i x - 550 > 1.20x O.lOx > 550 x > 55000

CONCLUSION: Se deben vender mas de 55000 revistas para garantizar utilidades.

PROBLEMAS GRUPO 10

Q!] La

campania AMES fabrica zapatos

que tienen un precio unitario de venia

de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $600000, determine el mimero minima de unidades que deben ser vendidos para que la campania tenga utilidades,

@ Para

I unidad de un quimico nuevo, una compafifa deterrnina que el coste del material es de $2.50 y el de mano de

producir

producto

obra de $4. £1 gasto general, sin importar el

volumen de ventas, es de $5000. Si el precio para un mayorista es de $7.40 pOT unidad, determine el numero

minima de unidades que deben ser vendidas para que la campania obtenga utilidades.

@ Un

hombre de negocios quiere determinar la diferencia entre los costos de cornprar y alquilar un auromovll.

£1 puede alquilar un

autornovil por $400 mensuales (con

una base anual). Bajo esle plan el por kilo metro (gasolina y aceite) es de $0.10. Si comprara el

costo

carro, el gasto fijo anual serfa de "'"

$3000 mas $0.10 por kilometre. l.Cual es el menor mirnero de millas

'" ......;./

que debera conducir par ana para que el alquiler no sea mas caro que la compra?

@ Una

f;\brica de carnisas produce ".r"

carnisas a un costo de mano de obra total de $1.2.r y un costo tolal por

material de $0.3... Los gastos generales para la planla son $6000. Si

cada camisa se vende en $3. l..Cuantas carnisas deben venderse para que la compafiia obtcngu utilidades?

Q§] £1 costo

unitario de publicae ion de una revista es de $0.65. Se vende al distribuidor en $0.60 cada una, y la cantidad que se recibe por publicidad es el 10% de la recibida por todas las

revisras vendidas arriba de HXXXl Encuentre el menor mimero de revisras que pueden ser publicadas sin perdida,

~ Una

cornpafua produce BUJiAS. Durante una semana normal de trabajo el costo par mane de obra para producir un bujias es de $2.00, pero si es hecho en tiempo extra, su costo asciendo a $3.00. £1 Jefe de Planta ha decidido no gastar mas de $25000 por semana en mana de obra. La cornpanla debe producir 11000 bujias esta semana. i,Cual es el minima ruirnero de bujias que deben ser producidas durante una semana normal de trabajo?

mUna

cornpafua invierte $30000 de sus fondos excedentes ados tasas de interes anual: 5 y 6.5%. Desea una ganancia anual que no sea menor al 6.5%. i,eual es la menor cantidad de dinero que debe invertir a la tasa de

6.75 por ciento?

@ La tasa

de aeti vo de una empresa es 3.8. Si sus actives circulantes son de $570000. (,Cuales son sus pasivos? para elevar sus fondos de reserva. l..Cual es la eantidad maxima que puede pedir prestado a ('0((0 pluzo si

quiere que su raz6n de activo no sea menor que 2.6?

~ Una fabrica de maletines tiene 2500 unidades cuyo precio unitario es de $4. EI proximo mes el precio par unidad se incrernentara en $0.50. El fabric ante quiere que el ingreso total recibido por la venia de las 2500 unidades no sea menor que $10750. l.CuaJ es el mimero maximo de unidades que puede ser vendido este mes?

j[] Suponga

que

los

ill EI Rector

de una universidad esta planeando que un grupo de ROCK realice un concierto en el campus. EI precio par el concierto seria un pago unico de $2440 a un pago de $1000 mas el 40% de las entradas. Es probable que 800 estudiantes asistan. A 10 mas. l.Cuanto podra cobrar el decano par boleto de modo que Ia segunda forma de pago no sea mas elevada que el pago unico? si se cobra este maximo. l,cuanto dinero debera dejarse para publicidad, guardias y otros gastos del concierto?

consumidores

cornpraran q unidades de un producto

al precio de

tOO + 1 d61ares por

Respuestas»

q

unidad. l.Cual es el ruimero minima de unidades que deben ser vendidas para que el ingreso por ventas sea mayor que $5OOO?

01 al menos 120001

03 22,500

05 60000

06 $25,714.29

09 1000

10 $4.50, $1160

4.2. INECUACIONES DE SEGUNDO GWO0 cUADRAncas Definicion» Una inecuacion cuadratica en la variable x es aquella que puede escribirse en las formas:

ax' + bx + C

(I)

l

< 0

'* 0

ax'+bx+c';O

con a

ax2+bx+c> 0

a, bye son constantes.

ax2+bx+c ~ 0

METODOS PARA RESOLVER UNA INECUACION CUADRATICA

Estudiarernos tres metodos:

IMETODO 1 I

METODO DE LOS PUIliTOS REFEREIliCIALES

2

Si nx + bx + C es de facil factorizacion, cualquiera de las inecuaciones dadas en (I) se pueden resolver, ficilmente, dibujando en la recta rea' los puntas referenciales y eligiendo los intervalos que satisfacen la inecuaci6n.

Expliquemos este metoda hacienda algunos ejemplos:

IEjemplo all

Resolver en lR: x2 - 2x - 15 < 0

Solucion: Paso I.

Factorizar : (x - 5)(x+ 3) < 0

Paso 2.

Igualar a cera cada factor. para obtener los puntas referenciales. Asi: x-5 = 0

x+ 3 Paso 3.

=0

~~=5 ~

:>

son los puntos referenciales.

Dibujar, en la recta real, los puntas referenciales:

1--«l,-3[

~

x =-3

-3

s

l-3.~[

]5,_[

o Los puntos .•..rerenciales -3 y 5 han di vidido a la recta real en tres intervalos: ]-«>,-3[, j-3,5[ y ]5,+«>[. Estos intervalos son abiertos en los extremos -3 y 5 porque la inecuaci6n dada es "rnenor que" («).

!,:­

'~

" Paso 4.

Mirando eI dibujo del paso 3 elegir el intervalo satisfacen la inecuaci6n dada:

x' -

0

los intervalos, que

2x - 15 < 0

'-------.,----­

(x - 5)(.>: + 3) '-)

< 0

(I)

Lmf!norquf!

Veamos:

,'~

a) i.Es el intervale j-«>,-3[ solucion de la inecuaci6n (I)? Analicemos con .>: = -5 E j-«>,-3[: al reemplazar en (1), obtenemos (-5 - 5)(-5 + 3) < 0, que es una proposici6n FALSA. Por tanto, ]-«>,-3[ no es H H < 0 soluci6n de (1). h) i.Es el intervalo ]-3,5[ soluci6n de la inecuaci6n (I)?

'"

AnaJicemos con x = 0

E ]-3,5[

: al reemplazar en (I), obtenernos (0 - 5)(0 + 3) < 0, H (+) 0

SoluciOn:

(x - 2)'

-

3

> 0

• Cambio de signa en el primer factor: (4 - I)(x + 3)'; 0

L Cambia dB sentido 42

(0)

Faclorizar: (x - 2 -,J3)( x - 2 +,J3) > 0

• Dibujar, en la recta real, los puntas referenciales: x

-3/5

...",

= 2 +.fj

2-V3

';0;:,

Cs=xE[-3/5,4J (f)

Elegimos los intervalos can signa (+) Cs = J-ro,2-,[3r v J2+,[3,+«>[ .esolver: (4 -x)(3 - 5x);'; 0

Solucion: Antes de dibujar los puntas referenciales debemos hacer cambios de signos en los coeficientes, de x del primer factor y del segundo factor: (4 - x)(3 - 5x) ;.;0

T

L_ - Nncambia desentido pcrque hemos heche doscamblos de signo.

(x - 4)(5x - 3) ;.; 0

Ahora, dibujar los puntas referenciales x=4 y X= 3/5. 3/5

I

,-­

+

~t;j~~;:,:'fr;" :'"

GJ

T

8

+

2+V3

..

08SERVACIOl'lfS: 1. EI cambia de signos que se ha hecho en los problemas: 2. 4 Y 5 es can el fin de aplicar el metoda practice de los puntos referenciales, de no hacer esto, no funciona dicho metoda practice. 2. Cuando se dice "cambia de signo" en el primer factor, en el segundo factor a en ambos factores, es porque estamos multiplicando por -1 ambos miembros de la inecuaci6n tantas veces como sea necesario. Cada vez que se multiplica por -I, el sentido de la inecuaci6n cambia.

Q§] Resol ver: 4:; x' < 2x -

-

GJ

CS =X E ]-ro,3/5J v (4,+ro[

.esolver: (4 -x)(5x + 3);'; 0

Soluci6n: En: "

(4-x)(5x+3);';0

r

Cambio de signo =:0

1

Cambiara elsenudo

(x-4)(5x+3):;0

3

Soluci6n:



4sr

1\



05r-4

I\x1 - 2 t - 4 < O



05(x-2)(x+2)l\r-2t+l-I-4 (X-I-*)( x-l+* »0

Los puntas referenciales son:

"Factorizar: ::::::)

x=I+-'

1,(6)

>0 ( 1 ,(6)( x+-+22­

x=I--{.

J2'

x+--2 2

,2

Dibujar los puntas referenciales en la recta real y hallar los intervalos que son

Los puntas referenciales son:

saluci6n de fa inecuaci6n.

x=_l+,[6 =,[6-1

2

2

2

X=.-l2 -2­ ,[6

t-

-(,[6 +1)

I

I+..L

vI

vI

"~

±[) 5

Hallar A " B.

2 ,x

-2x+ 1-1+1 > 0 .,--J (x_l)2_l>0 2

Solucion de A: Si

cCE

[4,9]

~.

4S~S9

.;

(

)

(

.. )

(

.)

Factorizar: (x - 5)(x + 5) < 0

~:t4

1\

~;'9

~-HO

1\

~-9$0

(,< - 2)(,< + 2) ;, 0

8

e

+

I

t:

I

-z

z

3

1

~:----,....--

ttl

-

(f)

INTERSECfAR

+

INTESECfAR

1\

~

-I

+

~

(f)

-3

~

1

+

...3

-3

s

~

x=3,.%=-3

~ -

=i

L\ RECTA. REAL

Puntos RlfereocWl's

PunlaO IIflm"'iaIes /l-2,.t--2

(+)

DIBUjARLOSPUNTOS REFERENCIAlES EN

(x- 3)(x+ 3)';0

1\

%)( x+ %)> 0

(x -

1\

-~c:±=±::i ~ 5 5 ~ -I

1

La solucion para el conjunto B, es:

B= ]-5,-%[ v H.5[

La soluci6n para el conjunto A es: A = [-3,-2] v [2.3]

Conclusion: Como el problema pide hallar la interseccion de A con B, esto se ve en un grafico.

SoIuclOn de B:

]1.S • .i[ S

Si

.s, xl

~

1. 2 5

...... ( 1)

4

Nola: Aquf se puede inventr porque

los extremos de fa desigualdad

.ron positivos.

-5

1

-2

2

5

1

3

5

Mirando el grafico, obtenemos:

AnB=[-3.-t[ v ]t.3]

!J Resolver la inecuaci6n: -5 - 7x < x - 4xz $ 2 - Sxz

Ahora, multiplicar en (I) pnr 5:

Solution:

25>x 2 >11 4

Separar en dos inecuaciones conectadas

Separar en dos inecuaciones:

25 >x' 0>x'-25

2

1\

x >

1\

x2

~

_11>0

4

por "1\": -5 - 7x < x - 4x 2

•

A

1\

x-4.i~2-5x2 B

ill Un

Resolver A:

fabricante de cierto articulo estima que su ganancia en miles de d61ares esta dada por la expresion.

2

-5 -7x 0

[a> 0 /\ b > 0] v [a < 0 /\ b < 0]

POSITIVQ

f---O /\ b 0 (+) (-)

es POSITIVO

(+) (-)

entonces (2 - x) es POSITIVO y (2x + 3) es POSITIVO ; 0 (2 - x) es NEGATIVO y (2x + 3) es NEGATIVO. Aplicar

CD: = = = -.

[2 -x> 0 /\ 2x+ 3 > [-x [

> -2

.x < 2

/\ /\

2x X

0 I v

> -3 l v >

-1

L __..j ­ -3/2

•

[2-x0

I v u

/\

.x > 2

'/\

.. ....... ] _1 1

x' <

2

c=

-3/l

~

•

2x+3 0

Solucion: (2x - I) (x + 3) > 0

Factorizar :

(+) (-)

(+) (-)

Apliear la regia de los signos:

=

[2x-1

=

o

> >

.r

I

>-3]v

.r

Lw..

< 0

<

.r

C,

U

= )-00 ,

1\

1/2

-1/2

CONJUNTO SOWClON:

031

x+3 > 0] v [2x-1

1/21\

-3

1Ejemplo

1\

1\

X

+ 3 < 0] X

)

I

-3

1/2

< -3]

-3[ u ] -1/2 , +oo[

Resolver: 2x' + 5x - 3 ,,0

Solucion: Factorizar :

(2x - I) (x + 3) ,,0 (-) (+)

(+) (-)

Apliear 1a regia de los signos:

= =

[2x-l"0

r

x

I\x+3

"1/2 1\

:=i-3

II"

.r

;'O]v[2x-1 ;,

-3 J v

11·1

[-3,+] c, =[-3,+] u

u

1/2

0=[-3,+]

[x

;'0I\x+3,,0]

;,

1/2

1\

c=

~

\/2

-3

u

,,-3 )

x

o

OBSERVAClONES:

1. Es obvio que entre cl metoda de los puntos referenciales (rnetodo practice) y el metoda de la regla de los signos, el primero cs mas sencillo de aplicar.

2. La regla de los signos es muy uti] y practice cuando se trata de sirnplificar FACTORES POSITIVOS.

~mpl;Q4] Resolver: x' (x - 4) < 0

~

x'(x-4) 0 1\ oX + 2 > OJ v [x - 2 < 0 1\ X + 2 c OJ

(-)

excepto para

.r :::: 0, entonces

porque

la

inecuaci6n

-2

2 Cs

s610 queda hacer: .r - 4 < O.

~

es

x'(x-4) < 0 x-4 < 0

Solucion: 2

pues x > 0 VXElR-(O}



< 4

x

x"O

EI conjunto solucicn es:

,

C~

)-oo,4[-{0)

IEjemplo 05[

Resolver en lR : (1-2x)'(x'-4»0 (1 - 2x)' (x' - 4) > 0 (+) (+)

x'-4>0

c> (x - 2) (x + 2) > 0

(+) (-) 50

Porque (x + 2)' es positive para x" -2, multipticamos ambos miernbros de la inecuaci6n por la inversa de (x + 2)2, quedando reducido la inecuaci6n a la forma: (2x - 1) (3 - x),; 0 (-) (+)

( +) (-)

Aplicar 1a regIa de los signos: co !2x-l::;;OI\3-x:2::01v[2%-lzOI\3-:r::;;O]

Solucion:

c>

Resolver en IR: (2x - l)(x + 2)' (3 - x) ,; 0

Resumiendo:

=

2

]-oo,-2[ U ]2,+00[

[EjemplO OtiJ

NEGATIVA.

.. J=:)_

>--1

-2

es posiuvo para tcdo x real.

XI

(x5 .

=

16 >

= =

(x+2)' 9

-4O /\ b2-4ac 0

Se obtiene a

= -4.

4.2.2 CASOS ESPECIAlES 1.

a2

2,

2

3. 4.

0

irnplica

a

a > 0

implica

a;eO

implica

a=O

;:::

a

2

s

a

2

< 0

0

E

IR

implica, que "a NO EX[STE"

EJEMPLOS: 1. Resolver Solucion

(x + 3)'" 0 x E lR

3. Resolver

(x+ 3)' x=-3

Soluci6n

s 0

2. Resolver Solucion

(x + 3)' > 0 xElR-{-3}

4. Resolver Soluci6n

(x+3)' 0, V .r E IR. porque el coeficiente de Xl es positive y su drscrirrunante

.

14k + 49 - 49 + 1 < 0

(k - 7)' < 48

..... ------~.

B

R.solver A:

es positivo para todo x

=:>

,-------

...

0, 'I x

E

lR; si

(k + 2)' - 4(1)(1) < 0 (k

,=

=

4-k' < 0 k' > 4 k > 2 v k < -2

Haciendo

Ull

+ 2)' < 4 -2 < k +2 < 2

-4<

f I

Solucion de A:

N

grafico, hallar la mterseccion

de B con x:

I:ONtI,USION: Intersecrar M con N MnN=k E )-4,O[

-~ -2

>\PLlC>\CIOIll 4 CONCLUSION:

i,Para que valores de K, la inecuacion

los valores de k estan en el intervalo: k

(4 - k') x' + (4k - 4) x -- 4 -c0

E

]t. +

00 [

xc satisface

x

a) Para todo h) Para

.r

E

E

Solucion de b:

JR

Si (4-k')x'+(4k-4)x-4O

Si:

,4 -~' 0, B

,

Lf - ,', B.

luego

resolver

despues INTERSECTAR.

Solucion de B:

A; para

=> (x+f )(x-1 => =>

1< 0

X 2 -.!.x-~ < 15

15

0

15x'-8x-16 < 0

,

, mtlltiplicar por

l· 4 .

(4-4k)'-4(k'-4) (4) < 0 4' (I - k)' - 4' (k'- 4) < 0

1s ' -2x-4 .x·

(2)

(l - k)' - (k' - 4) < 0 57

AI comparar (2) con la ineeuaci6n dada, debe ser que: 2 1l;4_k 4

k' ;1

"

" k;l2

4

() {1.2' _1.) 2 CONCLUSION:

k;

-2 ; 4k - 4

SaluciOn: Paso I.

Completar cuadrados.

Asi:

h(l)

;

-16(1' - 41+ )+80

-16(1' - 41+4-4 )+80

;

-16(t - 2)' + 144

;

it)

-16(' - 2)' +64+80

t

Paso 2.

4.2.2 MAlI.. Y"I.MO OE.I POUIOMII ClIDUnCO P(x); ax' + ox + c polinomio cuadratico.

Sea:

a ,. 0 un

a) Si a < 0, existe un numero real M, tal que, a:i + bx + C .$ M para todo x E IR EI numero M se llama maximo del polinomio P {r} b) Si a> 0 , existe un numero real m , tal que.ax2+bx+c~m. V xE IR. EI numero m se llama minima del polinomio P(x).

APl.JCACION 5 Una piedra se lanza hacia arriba, desde el techo de un edificio 80 pies de altura. La

Porque el coeficiente de negative, habra MAXThIO.

Se cumple:

(I - 2)' ~ 0 , V 1 ErR.

p'rl6

-16(1-2)'''0

surnar 144:

-16 (I - 2)' + 144 S 144

Hemos obtenido : h(t);-16(1-2)'+ 144" 144 a) Para t = 2, la piedra alcanza su punto

mas alto. b) La altura. maxima que aleanza I. piedra desde el suelo es 144 pies 'h(I) 144

en cualquier instante 1 (en segundos) esta dada por h(I);-16t' + 641 + 80 a) i.En que momento alcanza la piedra su punto mas alto?

58

es

Analizar:

altura que Ia piedra alcanza desde el suelo

b) i.eual es la altura maxima que aleanza la piedra con respecto del suelo'!

/2

1= 2

APUCACION 6 (Maximizacion de Ganancias) La ganancia mensual estimada, obtenida por la empresa KODAK al producir y

vender x unidades de camaras modelo Kl cs : P(x) = -O.04x' + 240x - 10 000 dolares. Encuentre cuantas cameras debe producir carla mes para maximizar sus gunancias.

StJluci6n: l!aso 1.

Completar cuadrados,

La relacion entre las ganancias P(x) y la trirnestrales de teleftmica cantidad de dinero "x" invertido en publicidad par trimestre esta definido par la ecuacion, P( .r ) = -tx2 + Tx + 30 Donde P(x) y "x" se miden en miles de

dolares. Determine la cantidad de dinero que debe invertir la campania en publicidad, par trimestre, para maximizar sus ganancias trimestrales,

Soludan:

1'(.,) ~-0.04"'-600Ox+ ...)-loooo ~

-{I.04 (,' - 6000x + 9000(00) + 370000

P(x): -O.04(x - 3(00)' + 370000

Paso L

P(x) = -t(x

P : es la ganancia mensual

x numero de cdmaras.

P 0

Soluci6n: (x - I)' (x + 2) (3 - 2x) (x - 3)' > 0

En:

T

(X_I)2(X_1)

T Simplilicar par ser positive. si "

T

Cambiar de signa I

T Simplificar par

ser positive. si

xn

,I. (2.< - 3)

I

Nota: Cambiar el signa en un factor impliea multiplicar por -1 a la inecuacion, por eso cambia de sentido la inecuacion.

La inecuaci6n se reduce a

]0

siguiente:

• Los pumos referenciales son: x = 1

(x-l)(x+2)(2x-3) 0

x-I

]-1,o[ 2-V2'

x-I - x-2

_x

0

2

>0

Resol ver en lR: x-I < 2 x+3

2)

SolutiOn:

2

x -2x-2x+2 (.l I)(x

>0

1. Transponer el mimero 2 al primer miembro:

2)

2

... -4...+2 >0

( ...-I)(x 2)

x-I

x+3-

Completar cuadrados en el numerador: Xl -4 ... +4+2 •

(x-l)(x-2) (x_2)2 -2

>0

=~'---"';" > (x-1)(x-2)

2. Reducir a una sola fracci6n: .1'-1-2(x+3) < 0

...+3

x-I-2.I-6

0

--"!x-7

(x

:S 0

SolutiOn:

b)(a-x)

~+-X+b_2 a-x-c..r-+cb (x b)(a-x)

=:>

2(b-a)x+4ub (.r+a){.r-b)

AI reducir queda: -u+x+u-cb ~O

Por -I:

Analizar:

(x-bHo-x)

(x

En el numerador: b - a < 0, porque b < a

>0

(1 +c)x-Q-cb :::::::>

b)(a-x) -

segun dato.

.

L- Cambiar M ,ngllO =:>

<

(Hc),r-tl-ro (x-b)(x-a)

0

Entonces hacer cambio de signo:

2(0 -b).r-4ab

(»

(x+ o)(.r

En la recta real, dibujar los puntos a+cb

referenciales: x=)'+;""" , x

teniendo ruimeros:

de

cuidado

x-b

X+Q

sO

r

b • .r =.1' p'

>0

hI

1- ' se reduce en:

._ AI multiplicar por (a-b)x-2ub (t+a)(.~-b) >0

.

(»

ordenar estes Como:

b < a =:> a - b > 0,

adernas

OO

a+eb

S ecump Ie: a x > ±2 esta mal.

08 Si hace ,; > 4 => x> 2. eslara incompl~lo. La eorrecto es:' 2 > 4 :=:> [< > 2 v x < -2]

2

09 Si hace

x' < 4 => x < 2, esta incomplete < 4 :=:> -2 x x'>4 f\ 2 [x>2 v x

-~---~I

i

" 'h YJ ~ ffi 0 .r ">

t

E.sfuJxo

Si x- 3 < 0 x < 3

x+2

=>

-;:;2

=::;)

"

-2

1'=

.r e ]-2,+c[

Entonces, para x;' 3, el conjunto soluci6n es vacfo, Esto es A = 0 •

'=

a

t

v~rdaJ:llro

'Vx E J-2.+«l[

-(-1: -3)

=> -x-3 -=-1 => -I =-1

t es verdadero pan

todo.I

quecumplen : -..( c 3

Si

..t+2 a"bva';;-b

11

Haciendo IxI = 0, obtenemos el punto referendal .r = O.

01 'Va

a=b va=-b

5.1.2 PRDPDSICIOU2

Solucion:

:(2 _

=

09 101 =Ibl

=

1..'-41=9 O -

A

{

... - - - - ,

SolaciD..:

a-

4x == 2

!

.1==1.

!

2

a)

a-I=~I+a

=

0

r

1

ES VEkDADERO

para lodo x e

i :

u

Il2 } lui !

I = -(I -

o

~

J- co. t J

=

2

Ix -

lR:

.,[x=3 v x=-lj v (x=5 v x=-3]

C s = {3,-1,5,-3j

~ Resolver en

Ix - 21 = I -

/R:

-2x~-1

::::­

3X=3

v

x$;1

~

x=l

v

-)

+ 2x]

La ecuaci6n es: -x + I = x + I 0= 2x x=O

La ecuaci6n es: x-l=x+1 -I = I

Entonces 8=8 1 vB,= {OJ

x=-1

CONCLUSION:

C s = {-I}

c, = A v

Solucwn.:

v

a=-b[

APLICACIONES:

x-Ix-II= I v x-Ix-II=-I

'------- ...------_#

-------,

'--------~,--

A

8

@ Resolver en

/R:

12x-11 =13x-4[

Resolver A: lx-II = x-I

=

Si

Solucwn:

x-I«O =>(x-I=x-I v x-I=-x+l)

r

x 2:. I :::::) [t'sverdoJno 'r/ x

E

C1.+oo(

V

X=

t]

[I,+oo[ => ([I,+oo[ u (I) [I,+oo[

.

(:::::=:;'

= =

2x-l=3x-4

v 2x-I=-(3x-4)

-x=-3

v lx-I =-3x+4

5x= 5

v

x=3

Al intersectar: C s = [1,+00]

CONCLUSION:

Resolver B: (Por punta referendal)

@ Resol ver en

Ix-Ij=x+1 PUDtO

8 = [I,+oo[ v {O I

5.U ..oPOIII10109 [lJ=lbl =a=b

~ Resolver en /R:

[I,+oo[ =>

i

es falso para todo .r E [1,+,H EI conjunto sojucicn esBI={O}

-x= I

]-oo,~]n {I,-I}

~

1x-II=x-1

T

Solud6n: Si I - 2x «0 entonces Si

Ix-II=-(x-I)

2x

[x - 2'" 1 - 2x v .r - 2 0::

[ I,+oo[

referendal x =

1

c, =

[x' -

x",l

(3, I)

/R:

4xl =

15 - 4 x I 83

S"lllei6,,:

=

Soillewn d. B:

X' -4x = 5 - 4x v X' - 4x=-(5 -4x) X' = 5 v X'-4x=-5+4x X' - 8x =-5

=

Comptetar cuadrados:

J

X'-

8

@ Resolver en

v

~oluc;on:

(z.2-4=X'vz.2-4=-X')

=:)

=t

APLICACIONES:

~

12;x+2J '--~,---'

'-------,~------_.

'-------,~------~

A

U

B

Nota:

En este ejercicio el conjunto U = [-2,+00[ es el universo solucion,

[lesol..r A: -x-2'; 2x'-19 -2+19 ';2x'+x 17 < 2x'+x

~ Resolver en lR:

Ix'-2x1

compJetar cuadrados: 2+.lx !l<

'<

:;,

I

21~ .;,:

l

" ~

+

J)

+

$

~

.,.,n

'"

_In I

II

~

u'"

V

0

"i

V

0

$

V

~I " "

.:I

~

+

0

"I "

~'

"

~I"

V

I

0

'<

I

I

-

11~ n+"

r

C

iii tl

2

-c;.

@ Utilizando el sfmbolo de valor absoluto, exprese cada uno de los siguientes hechos: a) "x esta a menos de 3 unidades de 7 " '--------------------'.~-------------------~'

Ix-710

v

I+2x-2 :$0

x-I

x-I

I

x

-

--:=J-3

+2:S;O

Cs

~$O

V

.1'-1

I

I

c

•

~ + 8 +

.1"-1

1Jl

I

~

•

e

XE )1,2) XE[f,t[ Cs = [t,l[ ]1,2)

•

U

= =

fR: 3 < Ix-2' ~4

-2-,;-4

3.. ·-8;,8

v

3x - 8';-8

x~.!&. 3



Cs

v

= ]-"',O[

x ­s O

U[I; ,+"'[

® Si a > 1, resolver en lR la inecuaci6n: I ~ I ;, 1 SoluewlI:



1>-21>2" Ix-21,;4



(> - 2 > 2 V x- 2 < -2)" (--4';> - 2 ';4)

,,(-2';x,,6)

(»4v>1 x+a -

-= ~-l~O x.a

=

-2d

>0

V

x-a --S;-l

V

--+lS;O

v

....1!..- 4 2 ­

=

U

@ Resolver en

IR:

Soluei611:

~$O

V

C­

7

= ]-"',-3( U ]1,3[ U ]7 ,+"'[

0.. Resolver en ®

~-

=

CJ I 3

I

x

>0

-%+2

=

.... - ) ­

2 > 5 v x - 2 < -5) v -1 < > - 2 < J (x>7v x-21

t

-toO

~

5-" - 9 = (x _ I)'

o =- Y - y, es la distaneia de E a F ( IF - E I)

Y\+Y2

Y~-2-

I PROBL~MAS R~SU~LTOS I

PROBLEMA 01 Hallar el perimetro del cuadrilatero cuyos vertices son (-3,-1) • (0,3), (3,4) , (4,-1).

Soluci6n: Graficar los puntos en el plano cartesiano,

EI perfrnetro del cuadrilatero es : P~IABI

y

+IBCI +ICDI+I DAI

Donde:

IABI ~J(-3-0)'

B(O,3),

:;

/

A(-3,-I)

I

\\

x

'D(4,-1)

+(_1_3)2

~5

IBCI ~J(0-3)'+(3-4)' ~JW ICDI =J(3-4)2 +(4+1)' ~..fi6 IDAI

=J(-3-4)2+(-1+1)'

~7 109

BnlOMt••I-JlII'fn\llIro es ,01'''~''

I

P = 5+M+.J26+7 = 5 + 3.16 + 5.09 + 7 = 20.25)l

.

PItOaLlMA 02 Los vl!ttices de un triangulo son A(3.8). B(2.-I) Y C(6,-I).

Si D es el punto media dellado BC, calcular la longitud de la mediana AD.

SoluciOlI : Graficar los puntas:

El punto medic del lado

y

8

Be es :

D=(2;6, -~-I )=(4,-1)

A(3,8)

AD es la mediana.

La longjtud del segmemo AD, es :

IADI=~(3_4)2+(8+1)2 =../82

I

rI

,\

X

-1

PROBLeMA 3 Dado un triangulo de vertices: A(-3, 3) , B(3, 5) , C(-l ,-3) a) Hallar los puntos medics de cada lado del triangulo b) Hallar el perlmelta del nuevo triangulo formada por los puntos medias de los lados del triangulo ABC. c) Hallar el area del triangulo forrnado por los puntos medias de los lados del triangulo ABC.

Solucl611 : Oralicar el triangulo, a) Hallar el punto medio de cada lada del tri'ngulo ABC.

y

• Punto medio de AB: M=(-\+3, 3;5)=(0,4)

A(-l,3)

•

_\

II

Punto medio de BC :

N=(3~l, 5;3)=(1,1)

x

•

Punto medio de CA: R=(-1;3, -3

C(-I,-3)

2+3)=(-2,0)

b) ElperfmetrodeltrianguloMNRes:

P=[MNI+INRI+IRMI

donde: • IMNI=J(0-L)2 +(4-1)2 =,fIO •

INRI=~(1+2)2+(1-0)2

=,fIO

• I RMI=~(-2-0)2 +(0-4)2 Entonces, eJ perfmetro es:

=.fiO

P = ,JIO +,JIO +.fiO = 2,J1O+.,flO

c) Ef area del triangulo se puede hallar, facilmente, por diferencias de areas de un rectangulo y triangulos rectangulos. y

area('G)=A(R) - (A (RSM)

LL

+ A (MQN) +A (RTN))

area del ree/lingulo RSQT

area del /rlt2nxulo RMT·

area(,&)=(3)(4)_{(4)(2) +(1)(3) \

N(I,I)

i!-- I ; enlOnccs el punto Q que divide aI segmento AB en la razon ..,menlo AB y cen:a del extreme B (punlo de Ja derecha). BnIOIlCea AQ: QB

=-: implica

AQ = -4QB Q-A=-4(B-Q) Q-A~-4B+4Q 3Q~4B~A

Q~tI4B-A) Q= t{4(1O, 7)- 0,1)

"',.

Q=(I3,9)

l­

-\4 eslAfuera del

-

(M]\lj::I,l':I) "

Hallese el Area del triangulo cuyos vertices son:

I@ (2,3)

, (8,0) , (5,6)

1@(1,4),(7,1),(5,8)

I@ (6,0) , (-2,3) , (2,7)

I@ (5,1), (-3,4), (-1,-2)

I@ (0,-5), 0

I .L[ ye ] -2"' 2

x y1 -y-4>:=O

x= yl-'­ -4

1-4;

xv' -

y' -

4x =

°

' - coincide con la ecuacicn original,

earonces 13 grafica de S es sUnemca respeao aJ eje X.

b) Simetrfa respecto al eje Y

Si al cambiar x por -x. Ia ecuacion de la rclacion

S, no varia. afirmamos que existe simetria

respectoal eje Y. En el ejemplo se tiene (-x) Y" -

Y - 4(-xl = 0 => -xy" - y4 + x0 = => x/+/-4x=0 ' - esta ecuacion 110 es igual a La original. entonas la grdjka de 10 relacioll S no I!S simetrica respeao at eje Y.

c) Simetrfa respecto al ORIGEN ; Si al cambiar "x" por "-x", adernas "y" por "-y";

la ecuaci6n original NO VARiA, afirmamos que existe simetna respectoal origen,

En el ejemplo se hace :

(-x)(-y)' - (_.y)' - 4(-x) =

°

=> =>

°

-xy' - / + 4x = xl + / - 4x = 0

' - No es iguai a La ecuacion original.

Entonces La 8,d./ica de S 110 es stmemca respecto at origen.

[I] DETERMINAClO:-l DEL DOMINIO Y RANGO a) Determinacion del dominic :

Paso 1.

Despejar y en terminos de .r : De xy' - y' - 4x =

° =>

/(x - I) = 4;: => y=±2J x-I x

,."

AMllur : "y" eo un n6mcro real si -'~0 ,-I

.....

AI NIOIvw II lnec_iM> raci...... l se obtiene x Dom(S) = x

:

E

E

)-"',0)

V

]1 , + 0 }

So/ucwn: 1° Graficar I. frontera 2x - 3y - 6 = 0 Por tratarse de una relaci6n lineal bastaran dos puntas arbitrarios que pertenecen a la frontera. Los puntas mas sencillos se obtienen : hacienda x = 0 para obiener el valor de y, luego hacer y = 0 para obtener, el eorrespondiente valor de .r .

As( :

~ y

o

-2

Si .r = 0, enlonees 2(0) - 3y - 6 = 0 => y =-2

3

0

Si y = 0, enronces 2x - 3(0) - 6 = 0 => x ~ 3

Entonees I. frontera es una linea recta que pas. por los puntos P(0.-2) y Q(3,0).

Grafico de 10 regi6n R,: 2x - 3Y - 6 > 0

EI grafico de 10 frontera es : y

y

R,

_ '''­

"

,

x

.-­

.'~' ,

--~

(0/0)

L

R,

FRONTERA

------1 h-3y-6~O R,

2° Sombrear.- La frontera ha dividido al plano IR 2 en dos regiones : R I Y R 2 (,emil de las regiones debemos sombrear?

'

Para sombrear hace 10siguiente : •

Elegir un punto cualquiera de la region R j y reemplazar en la relaci6n A : 2x - 3y - 6 > 0_

o

Supongamos que e1egimos el punto (0,0) obtenemos : A : 2(0) - 3(0) - 6 >

°

E

R,. al reemplazar en la reladlm-A

1-6(°1

El fllso atl Plopoaie'"

Este resultado nos indica que NO debemos sombrear la region R t porque el punto (0,0) E R I no satisface la relaci6n A. En consecuencia se sombrea la region Rz que se encuentra al otro lado de la frontera. •

Si por el contrario, elegimos eJ punto (4,-3) E R z Y reemplazamos en la relacion A: 2x - 3y - 6 > 0, obtenemos A: 2(4) - 3(-3) - 6 >

°

~

V.rdadero

Este resultado nos indica que debemos sombrear la region R z• porque el punto (4,-3) E R, Ysatisface ala relacion A.

Nota: En el grafico se observa que la linea recta se ha lrazado con puntitos 0 con rayitas; se hace asr, porque la relaci6n dada A: 2x - 3y - 6 > 0 es estrictamente MAVOR. Si la relacion fuera 2x - 3y - 6 ~ 0, entonces la frontera se traza con una linea continua.

(lrlnc., .1 pllllD eoavexo, limitado por al intersecei6n de las graficas de las siguientes . rel..,I"•••n IR . A :

~-y-2S0

B : .. +4y-4~0

C:

5.>:+ 7y S 35

D:

x~O

E :

y>O

SebH:i6" :

a) Oraliear la relaci6n A .

1° Oraliear la frontera : x - y - 2

~

0

(£A)

y

~ o

-2

2

0

ZO Sombrear: Elegir el punto (0,0) y reemplazar en la relaei6n A : x - y - 2 < 0, obleni~ndose -2 < 0 , el eual es verdadero, Entonces sombrear 10 regi6n donde se ubiea el punto (0,0) b) Oraliear 10 relaei6n B .

,0

Oraliear la frontera : x + 4y - 4 ~ 0.........

(£.)

~ y

o

J

4

0

2° Sombrear.- Elegir (0,0) y reemplazar en B: x - 4y - 4> 0

obreniendose : ~Es talso

Entonces graflcar la ngi6" opuesla a la region donde se encuentra el (0,0)

142

c) Graficar la relacion C

(£d

\0 Graficar la frontera : 5x + 7y = 35 y

.

~

o

5

7

0

2° Sombrear: Elegir (0.0) y reemplazar en C: 5y + 7y < 35 Obteniendose :

~VerdaderO

Entonces graficar la region donde esta el punto (0,0). d) La regi6n D

= { (x,y)

e) La region E = { (x,y) incluyendo al eje X.

IR' /

X" 0 } es la parte derecha del eje Y incluyendo al eje Y.

E lR' /

y" 0 } es la parte superior del eje X (encima del eje Xl

E

La intersecci6n de las regiones D n E

EI grafico del

= PRIMER CUADRANTE.

PLANO CONVEXO contenido

en

lR'

y

-I

~ _ :::::::::

" _<

x

r. EI plano P es convexo de vertices P, Q. R. S Y es la intersecci6n de las cinco relaciones: A nB n c r.o nE.

Ij~~Pf§~·Q1 Graficar la inecuacion :

xl + 4x + 4y/'S > 0

'et.,., I" It ....lIcI.l. frontera

xi + 4x+ 4,' - 5 =0

DllCullllllllla ecuaci6n :

~4x+4,'-5~

( I) IN'nIlCZPTOS :

.r

• •

COlI ejc Y : bacer ~. 0 cull ecuci60----+ COlI ejc Y: hater ~ "" 0 CD IIccuaci60----+

0

y

±1.1 I (O)(y')+ 4(0) + 4y' -5 =O=> y =±1j. =±I. t

.i 4

0

x(O) + 4."

E

R1 Y recmpla­

x

xl +4x +4/- 5 > 0 , se obtiene : o+ 0 + 0 - 5 > 0 r::s;Dl Esfalso~ Este resultado nos indica que NO debemos

sombrear 1a region R1 sino R2 .

Nota,' Para sombrear, de preferencia usar los puntas (0,0), (0,1), (1,0).

6. GRAFICA DE ECUACIONES EN DDS VARIARLES CON VAlOR ABSOlUTO. Para graficar las relacioncs con VALOR ABSOLUTO. tales como:

R

{ (x.y) E

S

{(x,y)

E

Ixl + Iyl :0; 2 }

IR'/(x- I) [y - II =x}

T

(x,y)

E

'

IR z Ix=[y--41)

Q

{ (x,y)

E

1R'l y

JR'I

= Ix - 11- 21x + 21 }

10 primero que debera hacerse es definir cada valor absoluto, luego se procede como en el ejemplo 7.

--

Oraficar la relacion R = { (x,y)

E

[R'/lxl + Iyl ,,2 }

SqIHci6n : I" Graticar la frontera:

Ixl +Iyl =2

Recordar que:

a) Definir cada valor absoluto

Ixl+lyl=2

b)

=

r'~'

=2 -x +Y = 2 -x - y = 2

si x

y, si. y;, 0 -y , Sl Y < 0

(son 4 segrnentos de recta

= frontera)

2" Sombrear : con (0,0) es verdadero o < 2, entonces sombrear 13 region

,,;+y=2

')

IyI={

si x ab

= 10 ......

(I)'

ii) Ahora, hallemos alguna relacidn que exprese "a" en terrninos de (x,y) y "b" en I~rmino. de (x,y). • En el triangulo rectangulo BPO, recto en P, I. altura NP es media proporcional entre las proyecciones de los caletas sabre la hipotenusa OB. esto es :

, ,

h-y x

•

=-"- => b=~ y

(2)

y

En el triangulo rectanguio OPA. recto en P, MP es altura relativo a Ia hipotenusa.

OA entonces : L=_"~

Y

=> a

(I-X

=x

1

2

+ .'1

"

• Reernplazar (2) y (3) en (I) :

.............. (3)

["':")( "':" )=10 => (x 2+i)2=lOxy

,~lel)l~19(J3 Dado un triangulo ABC, hallar la ecuacion del lugar geornetrico descrito par el venice C de manera que dos de sus vertices son AIO,b) y B(O,-b} can b > 0, Y la longitud de la mediana trazada desde el vert ice A es 4

J3

Solllci6n: •

)'

•

A(O.b}

,(

'B(O.-h)

AM es mediana de BC

• Como M es punta media de BC entonces: M

C(",,}

I

Sea C = (x,y)

x

•

Como data se tiene:

I AM II

~(f)2 +('~h -b t

=4./3

=("-2' l.::.!!-) 2

= 4./3

Elevar al cuadrado y resumir: x 2 + l- 6by + 9b' = 192.

~ififupio .04 . Dados los puntos A(4.2) y la ecuacion de la curva C: x2 - y + 1 = 0, sea Q un punta arbitrario de C. Si P es punta media del segrnento AQ, hallar la ecuacion del lugar geornetrico descrito pOT P.

,."., Si Q es un punto arbitrario de C, hacer Q = (/ , /' + I)

1

Si Pes punto medic de QA , entonces:

x --~ 2

1

12 + 1+ 2

=:0

2 X -4= t

,2+ 3

Y=--2-=-2- =:0 2y

I

r

4

=,2 +4

(1)

(2)

Rcempllzar (I) en (2): 2y = (lx - 4)' + 4 Simplificando: y = lx' - 8x

+ 10

.-wi En el paralelogramo ABCD, con

lados paralelos AB y CD, que se cumplen las

siguientes condiciones: (i)

(ii)

(11/)

Ellado AB esta contenido en la recta de ecuacion y = x + 2. EI lado BC esta contenido en la recta de ecuacion y

=- t x + 5

LI suma de las ordenadas en el origen de las ecuaciones de las rectas AD y CD 004.

Haller la ecuacion dellugar geometrico descrito por el vertice D.

SolucitJn:

p

y

v = x+2 Graficar la rectas:

,y=;r+2

{ y=-t x + 5

_y=_~x+ 5

Como AD es paralelo a Be , la ecuacion de 1a Tecta que contiene el segrnento AD

;/

I :> .

*"""

10"

x

es:

s. AD:

Hx+ilJ

(1)

Como DC es paralelo al segmento AB, entonces la ecuacion de la recta que contiene al selmento DC, es ~'DC: y = x + d

So pide hallar D(x,y).

(2)

Pero D=2-n£-' AD Be '

-lx+b 2

Por dato se tiene:

= x+d

b - d = l. x { b-v d 2b

2

=4 =

3x+8 2

b (3) en (I): y =

~ 3x+8

•

.

(3)

-+x+ 3x+8 = x+8 • • •

x+8) . hacien . d L uego: D = ( x, -.0 x =b t se 0 ' nene y

1+8 =-,-

0

x+8

•

v=-­

•

o=x- 4y + 8. EierriploO~; Por el punta A(2,O) se trazan rectas secantes a la circunferencia de ecuacion x2 + (ver figura).

l

=9

y

•

::I) Hallar el lugar geometrico determinado pOT los puntos medics Plx,y), de todas las

cuerdas determinadas por las secantes.

y grafica r cl lugar geornetrico obtenido en Ia).

b) Jdentificar

o

\ ...

Sugerencia: encontrar ulla relacion entre

-

-

las rectas OP y AP .

Solucitln :

•

.!'. '"-.

/

La ecuaci6n de La recta £ que pasa pOT el punta A(2,O) es: '£: y = mix - 2) (I) Si OP pasa por el punto medio de la cuerda RT, entonces OP es perpendicular aL segmenro RT .

Si OP 1- RT , enlonces: m OP m £ = -1

(~)(m)=-1 ~ m=-'£y ......... Reemplazar (2) en (I):

y=-~(x-2)

Y 2 = -x(x-2)

(2)

x'-2x+/ = 0

(x - I)' +

l

= 1

(Circunferencia de centro (1,0) y radio r = I)

--

Hallar e identificar el Iugar geometrico descrito por el centro de una circunferencia de radio variable, que es tangente exteriorrnente a las dos circunfcrencias: x 2 + l::: 4, x'+ /-I6x+ 48 =0.

SO/Ilew" :

Graficar las circunferencias.

el

y

x2 + i = 4

:

10,

x'-16x+64-64+/=-48

(x - 8)' + l = 16

-"-"""'\ /

4

IV]

Sc pide hallar el lugar geornetrico descrito por el centro C(h,k).

"LJ Lei

• La ecuacion de la circunferencia de

:"

/

\

. "-.... ------"'\ ...-------/

-e,

ccntroen(h,k) y radio res:

•

e: (x _ h)' + (y _ k)' =? Como e es tangente a e entonces:

IIOCII=2+r

(1)

e es tangente a t.:2. entonces:

IIEell = 4+r

(2)

l•

• Como

IIECII

• De (I) y (2) se obtiene:

~(x-8)' E1cvar 01 cuadrado:

(h -8)' +k'

Simplificar: 15 - 411 =

+k

2

II Dell

=

2+

=

2+Mk'

= 4 + 4~h2 + k 2 + h 2 + k'

~h2 + k'

Elcvar DI cuadrado y simplificar: ISh' - k' -120h + 225 = 0

Haeiendo:

15x' -

Ix

£(8,0)

"=x { k=y

y' -120x + 225 = 0 , es I. ecuaci6n de uno hiperbola,

PROBlEM~S

CD

PROPUESTOS: GRUPO 02

Un punto se mueve de tal rnanera que su distancia al eje Y disminuida en 3 cs siempre igual ,,1 doble de su distancia at cjc X. Hallar la ecuacion del lugar geometrico y dar su interpretacion geornetrico.

R. :

x - 2y - 3 ~ 0

punto se mueve de tal manera que su distancia al eJe X es siempre igual a su ® Un distancia del punto A(O,4). Halle 1a ecuaci6n de su lugar geometrico.

R. :

(]

x' - Bv + 16 ~ a

Hallar 1a ecuacion dellugar geornetrico de un punto que se mueve de tal manera que la diterencia de los cuadrados de sus distancias a los dos puntas A(2.-2) y B(4.1) es

igual a 12. R. :

CD

4x + 6y - 21

~

0 . 4x + 6y + 3 ~ 0

Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(2,4) es siempre igual a su distancia del eje Y aurnentado en 3. Hallar la ecuacion de Sll lugar geometrico.

R.:

i-lOx-~ "11~0

la ecuacion del lugar geometrico de un punto que se mueve de la manera que ® Hallar la surna de sus distancias a los das puntas A(3.0) y B( -3.0) es siempre igual a 8.

R. 7x' + 16/ ~ 112 Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los dos puntos ® A(3,0) y 8(-3,0) es siempre igual a 4. Hallar la ecuacion de su lugar geometrico,

R. 5x'-4y'~20 Dos de los vertices de un triangulo son los puntas fijos A(-1.3) y B(5.1). Hallar la ® ecuacion del lugar geomernco del tercer venice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre e! dable de la dellada BC

R. :

xy + x + 7v - 17 ~ 0

@ Los extremes de

la base de un triangula son los puntas A(O.O) y BO.oJ Hnllar I" ecuaci6n del lugar geornetrico del vertice opuesto C si se mueve de tal manera que el angulo en la base CAB es siempre igual al dable del angulo en la base CBA.

LI

•

b.6_~3y1+9 ; yoOO

Una MOuldr. ae desplaza en su mismo plano, manteniendo los extremos de la

hlpolanUlll .abre los ejes coordenados. Uno de sus angulos mide 30" y su vertice IlOrrNpondiente siempre esta en el eje X. Hallar el lugar geornetrico que describe el .&-tiee del "'gulo recto.

R. :

8 Sea t' una circunferencia que pasa por el origen y tiene radio a, a > O. la cual es tangente a la recta L: x = 2a. Desde el origen de coordenadas "0", se traza un rayc el cual corta a la circunferencia y a la recta L en los puntas C y D. respectivarnente. Determinar el lugar geometrico descrito pOT 101 puntas P pertenecientes al rayo tales que d(O.P) = d(C,D).

R.:

x'+/x=2xy'

@ Sea la circunferencia ~ : (x -

a)2

+l

;: a 2 • a > O. Del origen de cordenadas "0" se

traza una cuerda cualquiera DB. Se prolonga la cuerda hasta el punto P de tal rnanera que la distancia 18Pj es siempre una constante. Hallar el lugar geometrico descrito por P a medida que la cuerda prolongada gira en lomo al origen.

Ro:

x2+i=2ax+~x2+y2

K

, K=constante.

I BJBRCICIOS I ~'~.: ~",~.,,,3;

ill H411eliC la ecuaci6n del lugar geometnco de un punto cuya distanciu al punto (-4,0) lea

Ilual al valor absoluto de su distancia al eje-Y.

jij H411eliC la ecuacion del

lugar geometrico de un punto que est. a una distancia de 5 unidndes de (2.3). es el angulo de inclinacion de la recta

.£\ .

2- 1 Y (h es el angulo de inclinacion de la recta

'£2; el

angulo a se llama angulo entre las rectas .£1 Y ~.

que se mueve en sentido antihorario desde la recta .£)

I

/ .. "

::,,uZl

<

X

hasta 1a recta '£2­

A la recta £, la lIamaremos recta inicilll y a la recta £, la lIamaremos recta final. A la tg/;l, = In, la lIamaremos la pendiente inicial y a la tg/;l, = Inlla lIamaremos la pendiente final.

ITeorema 21

£"

Si a es el Angulo entre las rectas £, y (

entonces

i

'"2-'"t

• ml m2:#.-1

tga::::: 1+ III JnI 2

en donde In, es la pendiente inicial y correspondienle al Angulo a'.

mi

la pendiente final

Demostracion : 1. Sean £ I .; £, dos rectas que se cortan en el punta C, donde /;I, y /;I" son sus angulos de inclinacion, respectivamente. y

2. En el triangulo ACB se tiene : /;I, es un Angulo exterior relativa al vertice B. /;I, Y a son angulos interiores del triangulo ACB.

Par geornetrfa elemental, se sabe que:

I

r-:/ l7n

;a '-172)

X

8 2 := Al despejar a, se obtiene Aplicar la funci6n tangente Por trigonometria elemental se obtiene :

e1 + a

un dngula exterior es iliUaJ] ~ fia suma de 10.\' dngulas [ mlento.~ no adsacesues

a=/;I,-B, tg a = tg (B, - B,) 'SO} -Igo] 1+tgt1'lfg01 1n2 - I l l j

3. PeTotgf}z=mlytgO\=m],entonces: tga=-l-­ J1I +

1Jn 2

4.4. RECTAS PARAlEIAS YRECTAS PERPENDICIIARES Del leorema 2 podemos deducir las condiciones de paralelismo y perpendicular de dos rectas, conocidas sus pendientes. Dado dos rectas :

L 1 con pendiente mI' y L, can pendiente In,.

I

L,

@\

L,

UU

I

a) Si L, Y I., son paralelas, el 4ngulo a formado por elias eo O· 6180·. AI aplicar el Teorema 2.tendremos:

tg 180"

I

=

'"2 -Ill]

1+R1[

In}

11'12 -/III

0=I+ml,"2

. tg 180" =0

• tg O·

~

m2 - ml

=>

1m, =m,1

=0

==0

As], podemos conduir que L, es paralela a I., si, y s610 si sus pendienles son iguales :

IL, 1/l-2 = m, = m 21

Usando notaciones :

b) Si L, Y I., son perpendiculares, el 4ngulo a fonnado por elias es 90·. Como tg 90" no existe, esto es Ig 90° = 00, no podemos deducir ninguna

~

relaci6n entre las pendientes m, y m,. Para

evitar

esto,

utilizamos la ctg 90°.

Del Teorema 2 deducimos: ctg a

I+lnl '"2 '"2

-m,

Si L, es perpendicular a 1.,. 01 4ngulo entre ellas es 90· y ctg90· = O.

POT tanto, 0 .

1+'"I /R1. "'2 -"'\

•

implica que

mj mz + I = 0 ,ml m2

;:-1

CO"dIl5id" : L, es perpendicular a I., si, y 0610 si el producto do sus pendientes es igual

a -]

Notacion :

ICOROLARIO 1 l ICOROLARIO 2 l

,.

I L, 1. ~ =

m, m2 = -I

I

La condicion necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas es que sus pendientes son iguales. La condicion necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares entre 51. es que el producto de sus pendientes sea igual a -I.

I

I

iJIMPLOS

I...08l.UIA 0 r I Dado un cuadrilatero de vertices A( -3 , 2), B(3, 4), C(5 , -4) Y D(-I , -2) ; demostrar

que los puntos medios de los lados del cuadrilatero ABCD son vertices de un

paralelogramo,

,,",eM:

En primer lugar, graficar los puntos y hallar los POlltOS medios de cada lado,

a) M es punto medio de

AB, entonces

M=(-\+3,2;4)=(O,3)

b) N es punto medic de N=

(3; 5, 4; 4)= (4,0)

BC, entonces

c) P es punto medio de CD. entonces

(5-1

-4-2) = (2,- 3 ) P= -2-'-2qS,-4)

I d) Q

es punto medio de

Q=(

DA, entonces

-1;3, -2;2) = (-2,0)

Ahora, probemos que el cuadrilatero MNPQ es un paralelogramo : MNPQ es un paralelogramo

=

i) Sus lados opuestos son paralelos, y

i,) Sus lados opuestos son iguales,

Veamos: i)

­ MN 1/ QP .porque

m­

u»

_ 3-0

-0:4=-~

m - = 0-(-3) QP

3

_1.

---- 2

m

5011

igwales

-2-2 =-­ 4 0-3

QM 1/ PN ,porque

J

QM-_ 2_ 0

-3-0

J

J'oniguoles

-1.

mPN = 2-4 - 2

117

II)

IJmI-Il'I. porquel IMN I~ J(O- 4) 2 + (3-0) 2 =5 IQPI~J(2-(-2»)2+(-3-0)2~5

I·

::"",,rt ~I.fih

'J,orque I QM I ~ J(-2 -0) 2 +(0- 3)2

=..m

IPNI~J(4-2)2+(0-(-3»)2 ~..m

INO.....2! Dado un tri6ngulo de vertices: (2, -2) ,(-1,4) Y (4,5); hallar : a) el ortocentro (intersecci6n de las alturas) b) el 6rea del mangulo

Sol"tl6n: En primer lugar, graficar los datos del problema con el fin de intuir como plantear y resolver el problema. y

a) Debemos hallar el punto P ~ £ C(4,S)

(

"

,

~ I

rv £

CN .

Para ello, hallemos las ecuaciones de las

rectas .£ AM

I \. "

AM

Y .£ CN

.

.f. AM es la recta que ccntiene a (a altura AM X

o£Oi es la recta que contiene a la altura

<

CN

A = (2, -2), punto de paso

Para hailer la ecuaci6n de Ie AM se necesitan

_

.. ,

m=---L~-S

mI

Luego, Ie AM:

1M

Y+ 2 =-5(x - 2)

4 -

'1 )

s:

m=lg4So= I

P(-1.4) E !t Q(2.0) E

La ecuaciO. de !t es

La ecuaci6n de !t es

P(2.3)

Pes un punto de!t

ii es un vector paralelo a !f"

x

E

y-3= I (x-2)

s:

Ix-y+l=ol

I

T'ONlltfl

I

3

4-0 -1-2

y-4=-(x-(-I) 14x - 3y - 8 =0

La recta que pasa por el punto dado P,(x, • y,) y tiene la pendiente dada In. tiene por ecuaci6n : y - y, = m (x - x,) Ef.'lIQri6ll : punto - fHIJdienre

, ~lIto.lnlcI611

t.

..

Por hip6tesis: P, (x, • y,) es un punto de la recta Yin su pendiente.

2. Sean (x.y) las coordenadas de cualquier punto P de la recta.

170

I

3. Con los puntos (x, ,y,) , (x ,y) de la recta aplicamos el Teorema 1. obteniendose : ym=-­ )'1

X-XI

=

y-y, =m(x-x,)

t ll1G~idGS t $0"

IEjemp/o 1 I Hallar I.. ecuaci6n de 10 recta que pasa por el punto A(-6, -3) Y uene angulo de inclinaci6n 135"

SoIacwft :

1. La ecuaci6n de una recta es

)f:

y-?= 9(x-~) YI

",

1 ...

·"""",·····(1)

XI

donde (x,. y.l es un punto conocido de la recta y m es su pendiente.

1.

(x , ,y,) = (-6,-3)

Por los datos del problema tenemos:

3. ReempJazar (2) en (I):

{

m

='8 135" : =:8 45"

)f: y -{-3) = -1 (x - (-6»

Y+ 3 = - (x+6) Ix+y+9 =

01

IEjemplo Z I Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2. -I) Yque forman cada una un angulo de 45· con la recta 2x - 3y + 7 = 0

So/acwn: ( X, . y tl = ? Se pide hallar ecuaciones de la forma )f: y - y, = m(x - XI), donde Por los datos del problema ya tenemos:

{

m;:::.?

(x,. y,) = (2. -1)

Asf, las ecuaciones por hallarse son: y + I = m(x - 2) "" .. " ...... "" .. "..... (\)

Faltaria hallar la pendiente m :

Para ello, hagamos un bosquejo de 10 grafica del problema:

a) Oraticar el pumo (2 , -I) b) Graficar la recta L: 2x - 3y + 7 = O. una manera muy sencillaes : j)

hac.. x = 0 para hallar y

jj)

haecr y = 0 para hallar x

~

-tTB0

2(0)-3y+7=0~ y=t=2t 2x-3(0)+7=0~x=-;=-3.5

rca '" la pendiente de £ (recta por hallarse) como L: 2x- 3y + 7 = 0, su pendiente es : m,=-..1.=~ -) ) Aplicar el Teorema 2 :

Tg45"= ..

-t

I+f­

3.-"' 1= 3+210 --

~

'" = S

(2 )

AI reempluar (2) en (I), oolenemos £ : y + 1 = 5(.1 - 2)

5.1-)1-11=0 La OCI1l reclll eo£,. de pendienle desconocida "'" 1111 que : 1_ ..

1145" = ..L.:::!..

1+1111 1 3

z-.. I=~ Lulao,IICCUICi6nde£,es: y+I=-}(x-2)

1~.oJI Sean £, : 5.1 + 4y -

=

~

"'I -_1 _ ~

Ix+5y+3=01

16 =0. £, : x- y = 0 dos rectas de IR'. ABel Iellmenlo de recta en el primer cuadranle comprendido entre los ejes coordenados delerminado por £.,.

Si ~ es la recta que pasa por el punto medio del segmenlo AB y forma con !i', un ~ngul(} o (medido desde 2, hacia ~) tal que rg O = - L a) Hallar la ecuaci6n la £ b) Determiner el area del triangulo formado por las rectas !t, £, y

~.

SoIaciAn : a) Se pide hallar la ecuaci6n de !t : ] - YI = m (x - x,).

Debemos hallar el ponto de paso (x, •],) '/ 10 pendienle m. En primer lugar. hacer un bosquejo de las lP'~ficas de las reetaadadas en el problema:

£':1Q01Il ~

1)1'-I:~

~ ~

r

~.

2) EI segmento AB. donde A = (0.4). B =(161S. 0)

-

3) Punlo medio de AB es M

(O+JA 4+0) = (8IS,2) ---t-.-z~

4) SilgO=-I,entoncesO=Jf-E.=4 ........ 4

En segundo lugar, al reemplazar el punto de paso (x, ' Y, ) • (

.f:y-2=m(x-t)

I Falla Balw m I La pendiente In la hallamos con la relaci6n :

8 tg =

"'-'"2 1+",m2

-1= .. -I

1+ ..

rgO donde

=> m=O

{

= -I = pendienle de !t "" = I = pendiente , de £, In

4

......../~

;;II y=2

~x+4y-16=0

~x+8-16=O

IM=(t. 2 )

N. f.n~

=>

x=81~

I

Y- 2 = O { x-y=O

R_f.ln~{~X+4Y-16

=

x- y =

Ahora. hallemoa:

(2)

=>

y = 2

=>

x=y

°

°

=>

=>

=>

jN=(2.2)I

x=2

IR = (1619 • 1619) I

°

a =1 RM 1= J(!16)2 +(2-~) 2 = 2.[41 '" 28 19 9 4l'

HMNI=J(2-fj2 +(2_2)2 =i=0.4

e.INRI=J(~-2)2+(.If-2)2 =iJ2 "'0.31 P -- ~ 2 = 0.49~

EI Area del triangulo MNR es: A =~(0.495 )(0.215 )(0.095 )(0.185)

=../I%i =1.3611'

IEjemplo 4 I Dadas

las rectas L, : x + y - 3 = O. L,: 2x - y + I = 0; hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (I, I) que forme angulos iguales con las dos rectas dadas.

SoI"ei6" : 1. En primer lugar, hacer el grafico de todos los datos L, L, y y

y

§±§ ~ o

3

o

I

3

0

-1/2

0

2. La recta inc6gnita que pasa por (1.1), es:

£: y-I=m(x-I)

' \r.,­

Por hallarse la pendienle "m".

Li.-.z=-.l... 2 -I

£I._,=-l.t

:-t

3. Como:

9, = 9,

entonccs

Ig 9, = Ig

9,

... -2

-1-.

I + 2m =

""'i"'='m

m'-6111-1 =0 m=-3±.JW

4. Por 10 tanIo,

.IEjemplo 5 )

£ :y-I=(-3±.JW)(x-l) Dadas las ecuaciones de los dos lados de un rectangulo L,: 2x - 3y + 5 = 0 ; L,: 3x + 2y - 7 = 0 y uno de sus vertices A(2 ,-3), hallar las ecuaciones de los otros dos lados de esle

rectangulo,

SoI"ciO" :

L,

1. Graflcar los datos :

­

L,

x

y

x

0

5/3

0

7/2

-5/2

0

7/3

0

y

171

2. Se pide haUar las ecuaciones de I., y

r..

a) Sea 1.,: y - y, = m(x - x,) Un punto de paso de I., es A(2 • -3) ComO 1.,1.1., enlonces (m)(-f)=-l

> < t. '1

'. <

m=t

1l

L:!: y+3=1(x-2)

Luego

12.< - 3yb) L,: y-y,

13 = 0 I

/

~m(x -x,).

Pero

L, II Lt y pasa por A (2 • -3)

.1

L,IILtentonces m=-t. Luego.

L..:y+3=-f(x-2) 13.

d) Un punto de paso de LCD es C = L Be

f'I

LAc Y su pendiente es m = //I A. =

t.

4 x+ 3 Y- 30 = O

EI punto C se halla resolviendo el sistema

{ x+7y-20=O . y se obtiene C = (6 • 2)

Luego, L CD:y-2=t(x-6)

=

3x-4y-IO=O

e) Un punto de paso de Lo;. es A=(-I,3)ysapendientees m=miC=-1.1uego Lj);i:y-3=-1(x+l)

=

14x+3y-5=OI

lEOTA PAlALElA Al ElE x flEGTA PWlElA Al ElE y

U

I

a) La ecuacion de una recta paralela al eje X es de la forma: y = k !donde k es un namero real. Su pendiente es cero. . La grafica de Ja ecuaci6n y = k es una recta horizontal.

IRECTA HORIZONTAl. SU PENDIENTE ES CERO. I

Ejemplos : y

y

{

y-2

-

-

-

x

x

.

~_x

y=o lejcx)

'C

Y-:- 3h

I

b) La ecuaci6n de una recta paralela al eje Yes de la forma : x = k nWnero real. No tiene pendienle.

I . donde k es un

La grAfica de la ecuaci6n x = k es una recta vertical. Ejemplos:

IRECTA VERTICAl. NO TIENEPENDIENTE I -

y

y

y

LJ-

1

L

x

u=o

.r" -2

lejex)

I·

•

x

mAl FOI... DE lA EeOCIOJl DE lA IECTA.

4.J

Hay otras formas de la ecuacion de I. recta. que se aplican a situaciones problemAticas especiales. Dichas formas son: a) ECUACION DE LA RECTA. DADAS SU PENDlENT'E Y SU INTERCEPCION CON EL EJE Y.

1110

I Teonma 41

La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b

Ejemplos Graficos : y

y

y

,

1/

3

/

~=3

x

-I

I

y=2%+3

m=2

~ "­

b=2

%

y=-.t+2

• b= 3

Iff

b=-~ 1/

x I

-2

y=3%-2 ,"=3 • b=-2

=-t • b=2

b) ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA.

I Teorema 51

1;:+f=ll

Ejemplos graficos: y

b

y

~4

, x

•

t+t=l a=4

U

a" 0 y b., O.

La recta cuyas intercepciones con los ejes X y Y son respectivarnente, tiene por ecuaci6n

• b=3

.>

Y

~

-3

x

-~ -2

L+f= 1 -3 0=-3

x

...L... L = I

.

-3 -2

b=2

0=

-3

b=-2

fORMA GENERAl DE II ECUACION DE UNA RECTA I Teorema 6/ La grafica de la ccuaci6n lineal

lAx + By + C== 0 I es

una recta

recfprocamente, tada linea recta es la grafica de una ecuaci6n lineal.

v.

Ejemplol:

l

A= 2

1. 2:< - 31 + 3. O. donde

B = -3 ,Ia pendienle es m =

-t

=_~=l

C=3

-3

l

3

A= O

-=

1. 41 -7 -0

1=

t (recti horizontll)

m=-Jl=O 4

B= 4

C--7

=

3. 2x+S=0

A-2

x=-t (recta vertical)

m = -~

B=O

1

(110 existe)

CaS

OBSBIV.tCJ6N:

La divisi6n entre cero no eslll delinido, esto es la

110 exilIC (110 es un n"mero real)

divisi6n

t

En el limite, la divisi6n

t tiende al

+00 0

al -90"

yeas a>O, luego

cos a

J8

a) Si 80

>0

6. Para ambos casos: a) y b) se cumple: d = lAx, + By, +C1 JA

. I Problema I }

2+B 2

, Sean L Y L, dos rectas tales que la ecuaci6n de L es % - Y + 2 = O. L, no pasa por el tercer cuadrante y el angulo 0 formado por L y L,

(medido en sentido antihorario desde L, hacia L), satisface IgO= 2. La distancia desde el punto A(-2,-I) a L, es

I

--

,fW. Hallar la ccuacion de L,.

cr i'. T;~ \L

Solution:

L:~ u:::r::IT]J

1. Hacer un grafico con los datos: y 1.'.m=_-.1."" 1 -I 'LI,1II1

CSe pid; haii.;Ia ~u~6~d;L,) 2. Como datos se bene: )-111,

tg8=-­ I+ml

!L ;.4

l

2~:::: ~ lml=-j

%

-I

entonces :

I

Lt: y = -1x+b

ILt:

x+3y-3b=OI

3. La distancia del punto A(-2. -I} a la recta L, es ,f1o. entonces aplieamos la formula:

d(A.

L,)

1.u,·By, .cl

JA' .8'

,fW = 1- 2+3(-1)-31>1

41• 9

lO=I3b+sl

=

b=t v

b=-S

4. En consecuencia, hay dos ecuaciones para L, :

y=-tx+i

v

ly=-t

x­

51

N. pal "" " 3to CUldrlllll

IProbhma 1 I

Las rectas L, y L, se eortan en el punlo P(l ,3) fonnando un angulo de 45° (medido de L, a L,). La recta L, tiene ordenada en el origen

igual

at. Determinar los pumos sabre ~ rates que su distancia de

estos puntas a L, sea 4u.

..

,,.,,

I. Or.IIMr 101-. : 2. Como datos lenemos: a) a= 45'

b) L, pasa por P( 1.3) y A =(0,

f), su ccuaci6n cs:

3-.1

L, :y-3= 1-~ (x-I) ,r-2y+5=0 ,

r ;

,

=1"

L, pasa por PO,3) Y su pendiente m es desconocido.

x I

c) La recta

-tt

3. COlI I. f6rmula Ig 45° = ..

1+ ..

Por tanto. Ia _mn de

Inl

1m =31

obtenemos

L,: y - 3 = 3(.1- I)

3.r-y=0

4. Ahara, hallar los puntos Q(.ro. Yo)

E

L, tal que la distancia de Q a L, es 4u.

Si (.ro.1o) E L, => 3. Yo=3. m

)-l-t m

3. Entonces la ecuacien de Les : y=-fx+b

=

"=

_1. . 4

3x+4y-4b=0

Debemos hallar b. con el dato de la distancia del origen a i :

",U''-,U,-_,

4.

=

5. Las ecuaciones de z, son: 3x+ 4y -

Ibl=s..fi

20..[2 = 0

=

b=s..fi v b=-S..fi

v 13x+ 4y + 20..fi = 01 N. pes. p.. II lar. ",adr8llte

I1'robkma 41

Sean las rectas Lt : x - 7y - 10 = O. L, : x - y - 2 = O. Hallar la ecuacion de la recta L de pendienle negativa, no pasa por el tercer cuadrante y forma con las rectas L 1 Y L2 un triiingulo isosceles cuyos lados iguales se encuentran en L, y L,. respectivamente. Adernas

50

sabe que d (P. L) = 2,/5.

PEL,nL,.

SoIaci6n: 1. Graficar los datos

L,: x - 7y - 10 = 0 • '"' =

~ ~

t

L,:x-y-2=0. ,",=1

~ ~ II'

Se pide hallar la ecuaci6n de L ; que no pasa por el tercer cuadrante y forma con L1 y 1., un triangulo is6sceles Dehemos hallar un punto de paso y su pendiente deL I£n~

2. Sean:

_L1

a) Q

E

L tal que d ( P , Q) =2./5

b) P se halla resolviendo el sistema:

{

x-7y-lO= 0 seobtiene p=(~ x-y-2=0 3'

_.!) 3

c) Q es un punto de la bisectriz PQ (en un triangulo is6sceles la altura, la mediana, la mediatriz y la bisectriz relativo al vtrtice P, coinciden) conocido los lados L1 Y LIb' 'PQ I >-7y-10 y-2) ,"" a ,secITIZ se halla as : J ± (>Oji:i 1+49

=

1+1

2.I+y=0 v I1lpunto Q es Q=(x,tx-t)

d) Como d(P.Q)=2./5 entonces J R ; ( .I:

•

-f)

De M, h + 3y ; O. hemos despejado obteniendose y = - 2z .

U

y

)J

,

3

..)

8

U

B[6. 10;:3b]

De

E

L Be

L Be

=> 8

3z ) = ( . ( '10-2­ ,3.1: + 2y -10 = 0 se ha

despejado

IO-3x

y;-2­ iii) Conviene reemplazar en el punto R. la variable x pol' a,y en el punto B. reemplazar la variable ,r por a. 4+b

iv) Como R es ""nlo medio del segmenlo C8 • enlonces a; -2- • AI resolver el sistema de las do. eceacioees se obtiene 8;(8.-7) . Conocidos los puntos A

L AB,y-2;

IProblema 71 i)

= (-3 .2)

:;_18( .1: + 3 ) =

-I+~ _-1- = __ , 2

b; 8. POT tanto,

Y B - (8 • -7). la ecuaci6n de :

19.1: + 11y + 5 = 0 1

Sea A8CD un trapecio is6sceles que cumple las Ires condiciones

siguientes:

La base menor A8 esta contenida en la Tecta L, ' ,r - y + 6 = O. SU pUnlO medio esta en el eje Y y la abscisa de 8 es 2;

ii) La base mayor CD eSI' contenida en la recta

iii) Cada lado no paralelo del trapecio mide

L",r -

y - 2 =0 ;

.J34.

Hallar las ecuaciones de las reclas que contienen a los lados no paralelos del trapecio.

••111.' I. 111"._ ..... ....liear los dltOI. Esto nos lyudln! intuir el problema :

i

L, :.J'-1+6,...0

L,

1-,

~

I:2TITIJ ~

c::LTI::IIJ R ,

/

\1t

,

V

2. HIlIar II ecuaei6n de L Be .

x

Para ello, lenemo. que hlllar el punlo B ) el punto CoIl pendien1ede BC .

ID

Vamos: ,) 8(2, b) ;1) Si C •

E

L, ~ 2- b+ 6 =0 ~ b= 8, entonccs

IB= (2,8)1

Lz en_a las eoordellldas de C son (x , x - 2), porque y = x - 2.

;;1) Si .. 10ngilUd dellado

\BCI-../34 implicl

Be

co

../34 ,entoncca;

J(x-2)2+(x-IO)2

=../34

x2-4x+4+x2-2Ox+lOO = 34

2x2-24x+70 = 0

0<

x2-12x+35 = 0 (x-7)(x-5) = Sedille IC=(7,5)

I

x=7

y=5

x=5

y=3

8-' LUCIO, II ecuaci6n de LiC el: y -lI= 2=1 (x - 2)

13x+ 5y - 46 = 0 1

3. Jllliar II ccullCi6n de L;W' Neccaltamo. 101 punlOS A y D. I) Si A " L, , entollteS las eoordenldls de A son (x, x

+ 6), pues y = x + 6.

;1) Si M = (0,6) es punto medic del segmento A8, entonces :

,.

0=

x+2

2

A

6 == x+6+8

A

x=-2

x=-2

2

Luego, y=-2+6=4.Portanto, IA=(-2,4)!

L", entonees las coordenadas del punto D son (x • x - 2). Si la longitud de AO es .J34, entonces .J34 = J(x + 2)2 + (x _6)2

iiI) Como 0 E

.

0= 2x'-Sx+6 0= x'-4x+3

o=

(x - I) {x - 3)

<

x» I

• y e c-I

x=3

Seelige 10=(1,-1)1 iv) La ecuaci6n de

-1-4

L AD: y + I = ""i"+T(x-l)

y+I=-f(x-l)

=>

15x+3y-2=01

4.11 DmRMINACIOI DE lAS leUGlOlR DE lAS BISEGTRICO DE IDS ANGUlUS SUPlEMENTARIOS FOlMADOS POI DOS IEellS DADAS QUE IE GORTIIl

ITeorertUl S I Las

ecuaciones de las bisectrices de los angulos suplementarios formados por dos rectas que 50 conan

L:Ax+8y+C=0,

L,:A,x+8,y+C,=0 son

L, IAx+By+C~

JA'+B' IEjemplo

I

+ A1A'+B,y+C 1 JAl+B I2

--

Hallar la ecuaci6n de la bisectriz del angulo agudo fonnado por las

rectas L: x- 2y -4 =0 Y L,: 4x - y-4 =0.

I ....... '

I. Clrltlelr Iu doIl'Ic:las :

L,:~ c:L:8IQJ

_tliz dol

-+

~

...

,/

I {

Z. Las ecuaciones de las bisectrices son :

L

:;p}(:

~

x

- 2y - 4

±4x- y-4

JI+4

C'6+' Aqu{, lIoy do! ef'ual'ionl's.

En este pmbwma, rleg;, el qu.e firne signo ~1I0.f

Estoes:

~-2,,-4

_

j;

-

4~-y-4

J'6+1

(Ji'i +4,[S)J:+(-2Ji'i -,[Sy)-4Ji'i -4,[S =0

Otraa proposiciones fAciles de probar son:

IT,,,,.-'I

EI Area del trtangulo que tiene por vertices los puntos (x" y,), (X2 ,YV Y (x" y,) es

x,

Area =

tI

y,

X2 Y2

X3

Y3

, debiendose tomar en valor absolute el determinante,

I Ejlmplo I Hallar por tres metodos diferentes, el Area del triangulo cuyos vertices son A H, I), 8(3,4) Y C(5. -I).

SobI~M" :

En primer lugar, graficar los puntos :

,.

Metodo 1 :

y

A(T) = -tbh • donde :

b

{ h = altura =d(B, LAC)

A' ! ........... ' t

,

r

'

-I' R'

=base =IACI =J36+4 =2M

Se neceslta ta ecuaci6n .. 1_\

LAC'

Y-I=:.(~+I) ~+3y-2=O

13+3(4)-21

Entonces, A(T) = -2'

Mhodo 2:

7iO

ji:9

Luego d (B , LAc) =

'.'

13

2M 4,. = 13 u ~lO

2

Hallar las longitudes de cada lado: a

-

-

= IABI. b = IBCI. c

=

-

ICAI

J

u+b+c . Entonces A( T )= P(P-a)(P- b )(P-c) , P=-2­

Mltodo 3 :

Por determinantes : -I A(T) =1. 2

3

1

CD 9(-1)

4 I

5 -I

tUsarrollO}

,Para 'rour mdsfi1cilel lUI tUIUm;nanle: multipliea, la p,il7lera fila PO' -} Y 31U1tar a 3egundo y lercerafila .'

ta

+

I

+

-I

I

=-tl 4

3

6

-2

I

~1=-t(1)I: }2!=-t(-S-IS)= -13

DlSarl• . par II31...........

En valor absoluto : A (7) = 13

&Ntodo 4 :

Por diferencia de areas:

i) Formar el rectlingulo MNCR. haciendo pasar sus lados por los vertices del triangulo ABC.

I,) A(7) = A (R) - [Sumas de areas de los triangulos rectangulos : AMB • BNC • CRA]

t

.l

area del

rectdng"'0~NCR

~4rea lUI rrithrgulo ABC

If.

ICOROlARIO I Una condici6n necesaria y suficientepara que tres puntosdiferentes de coordenadas(x, • y,). (x, • y,). (X3 • Y3) sean colinealeses que

No'"

ITeo~1fIIJ i!J

Colineal t's cuando recla.

x,

y,

x,

Y2

x3

Y3

11=0

putuos se encuemran en una

IOJ 'Tt'S

La ecuaci6n de la recta que pasa por los punros P, (x" y,) Y P, (x,. y,) • expresadoen forma de determinanres, es :

Y

x

x,

y,ll=o

x2

Y2

HaUar la ecuaci6n de la recta que pasa por los pumos I Ejemplo I P,(3.4) :

P,(-I. I)

SoluCWII : Aplicando el Teorema 10 :

Y 1

x

-1

1

3 4 Multiplien,PO' -I a /a I'" fila y

.'JUI." n

In

r y 1'"Jiln.

x

-I-x 3-x

Io

r

Y

1 1-- Y O=O=)

4-y

o

I-I-x 3-x

I-yl

4-y

=0

=> (-1- x)(4 -y) -(3 -x)( 1- y) = 0 =>

-

~+7=ol

Y

4.12 FAMILIADERECTAS Definicion ,- EI conjunto de rectas que satisfacen una unica condicion geornetrica se llama familia 0 haz de rectas.

ACLARACl6N DE LA DEFINICl6N

Se sabe que una recta queda bien definida si se conocen : un punto y su pendiente 0 en su defecto dos puntos. En ambos casas, hay dos condiciones que definen a una recta.

Hay dos tipos de familia de rectas. a) Familia de rectas que pasan por un punto comun.

DlIllmlIII

EI haz de rectas que pasan por el punto (1.2) escribe : y-2=m(x-l)

se

b) Familia de rectas que tienen pen­

diente cormin (son las rectas parale­ las) .

-­

EI

haz de pendiente .!.

,

,.

recras de se escribe

ast: y =.!.x+b y

y

21;.'

.I

~

x

£..={(x,y)e ar/y = 2 + m (x-I), me IR}

Bastanl dar un valor a "m" para hallar un clcmenlo de la familia

[ PROPOSICI6N)

;i.e ,""""-'

:>?

;r

ff,b~«x,y)eIR2/y~tx +b, beIR)

Bastara dar un valor a b. para hallar un elemento de la familia.

Si las rectas t; : A, x + B, y + C, = 0 L, : A,x+B,y+C,=O

se intersectan en el punto P,(x, • y,), entonces la familia de rectas que pasan por la intersecci6n de L, Y L,. es : A ,x + Bly + C, +" (A,x + B,y + C,) = 0 • " .. 0 , "E 1R

IEje",plo 1 I Una recta pasa por el punto A(-2,3) y por la intersecci6n de las rectas

L, : x + 5y + 2 = 0 Y L,: 3x + 4y - 5 = O. Hallar su ecuaci6n sin delerminar su punlOde intersecci6n.

Solllci6" : La familia de rectas que pasan por Ia intersecci6n de L, Y L, es:

£,,: x+5y+2+A(3x+4y-5)=0 Si A (-2 • 3) E

£" => -2 + 5(3) + 2 + A(3 (-2) + 4(3) IS+A(1) =0 =>

Reemplazar en (I):

(I)

5) = 0 ~

= -IS

x + Sy + 2 - IS(3x+ 4y - S) = 0

= =

44x+S5,-n = 0

14. medio de Ia hipotenusa de un triangulo rectangulo equidista de los Ires vbtic:es.

jJ La

recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paraIeIa a las bases e igual a la mitad de su suma.

::!l La figura fonnada uniendo en orden consecutive lospnnros rnedios de los.Iados de un euadrihitero es un, paralelogramo, cuyo. perfmetm es igual a la diagonales del cuadriliitero original.

SUDia

Ide las

ru Las rectas que unen los puntos medios de 10. Iados opuestos de un cuadnletero, se bisecan. ill La recta que une los·puntos medios de dos lades opeestos'de un cuadnletero y la que una los puntosmedios de sus diagonajes, se biseean,

@ La suma de 10' cuadrados.de las distancias de cualquier punto a do. vertices opeestos de un rectangulo, es Igual a la suma de los cuadradosde sus distancias a otras dos vertices.

j[] La suma de los cuadrados.de los cuatro Iados de unparalelogramo es.igual

ala suma

de los cuadrados de las I diegonales.

ill Las rnedianas de 10. Iades.iguales de un triangulo isosceles, son iguales. !D La suma de los cuadradesdc las mcdianas de un.mangulo, es iguaha las Ires cuartas partes de la sumade los cuadrados d. los lados.

Resp.-tas GruIlO '03.

01

a)

~

b)

g)

-t

h) I

m).i 6

I~'

vc) .! 9

iii)

_E.

y)

.If

a

--:S­

j)

I

1. 4

k) -7

n) _.i

oil) 0

t) -I

JII) .1

v] .!

w} .J]

e) f Itl(J'

z)

9

J

. q)

, .1)

.l. 6

I) _.! J

noexlIte . r) noexillt 9

X

)

~JIS .IS -----n

21'''''+''1

~

03 a) 45°

b) 135°

, c) IlO"

d) 30"

15 6

17 11 7

119

21 117°15'

!3

e)

3' p) 0

6

s)

•J

d) -I

a) 36°10',67"10'.76-"110' d) 90",33°41',56°'9'

13

I) 150"

bb) 90",45°,45 " c) 73°44',53°8',53"8' 0) 76°52',24"27',78°41' II) 39"6'.26°8',114°46'

Grapo 05 @ Enconlr...

Jo recta que pIS8 po< 10 intersecci6n de las reetas: Tx- 2y = 0 4x - y - 1 • O. yeo papeildicular 0 Ia recta 3x + 8y = 19.

y

m

Hallar los valores de A Y C para que las recta. Ax - 2y - I = 0 y fu - 4y + C = 0 b) sean paralelas

0) Ienpn a610 un punlO comlin

c) _

perpendiculares

d) sean iguales 0 coincidenles

m

Si A(2,3) Y B(5,4), enconlrar C tal que el triangulos ABC tenga Area 5 y la bisectriz del anguJoA paseporel punlO 0(3,5).

~ Si y = ax - bef2 ,y = bx - acf2 • y = ex - abf2. en donde a < b < e. son las ecuaciones de los lados de un lriAngulo: a) haJlar los vl!rtices

b) probar que el Area es (a - b)(b - e)(e - a)/8

~ Hallar las ecuaciones de los lados del IriAngulo ABC si B(2,-I), la perpendicular al lado BC es 3x - 4y + 27 = 0 y la bisectriz del Angulo C es x + 21 - 5 = 0 ~ Un triangulo tiene por vertices los pumos A(-l,-l). B(3.3) Y C(5.1). Hallar las ecuaciones de las rectas que: a) contienen a sus alturas b) contienen a sus mediatrices

!!J Dos vU1ic:es consecutivos de un rombo son el origen (0,0) y el vMices opueslO alorigen es B. Si el area del rombo es

*u

2

punlO A(2,4) y el

. Hallar todos los

valores posibles de la pendienle de la recta que pasa por A y B.

a. I

finuIcLD~

7

DI Bx-3y+5 z 0

D2

a) AdistinlOde3

03 C(I,6)

0

b) AiguaJa3

c) A=-1/3

e(3,O)

OS AB: 4x + 7y - I = 0 ; BC: 4x + 3y - 5 = 0 ; AC: y = 3 05 a) y=x. x+y-6=0. 3x+y-12=0 b) x- y-2 =0 • x+ y- 2 =0 , 3:: -

6t' +6/- 32>:- 25y- 34=0 20y - 62 =0

e.

b) Oraliear la eireunfereneia. c) Hallar Ia Iongirud de la eireuRfereneia, d) Hallar el 4rea del circulo.

SoIl1cl6n :

La primcro que debera hacerse es eompletar euadrados en la ecuacion : 25'" + 25y' + 30>: - 20y - 62

=0

x 2 + y 2 + JQ. X _ 1!!y_

Dividir entre 25

25

Orden..

x

2_30 X 25 +

...... +y

26

62

25

25

2_l9. y 25 + ······

=0 _~

-25

24

62

X -JX+ ...... + Y -Jy+ ...... =25

.X Forma ordinaria:

269

-JX+E + ,

•

(x-t)2

e

+

2

4

4

Y -JY+-g

,

(Y~tI2

'

=M+.2..+..!. 25 25 25 = 3

R.",••SIiB : a) Mirando Ia forma ordinaria tencmos : -Elcenlroes

C=(t.tl

- El radio es r = ,{3

b) EJ grtlico es :

r c)

l(e)=21rr=21r,{3

L d) A(

,i

I

~'-

..

x

~ LACIlCUNFERENCIA

e ) =nr 2 =3".

L J

WNGm.!D

AREA DELCfOCULO

5.2.2 DETERMINACION DE UNA CIRCUNFERENCIA SVJETA A TRES CONDICIONES DADAS. I'ropollclAn.

Unacircunferencia queda biendeterminada si se conocen tres puntos si se conocen el centroy el radio.

E»IO es : a)

Si queremos hallar la ecuaci6n ordinaria de la circunferencia (x - h)' + (y - k)' = ;. , hay tres constantestparametros) arbitrarias : h, k Y r que deberan conocerse.

b)

0

Si queremos hallar la ecuaci6n general de 1a circunferencia x' + y' + Dx + Ey + F = 0, hay, tambien, tres constantes arbitrarias independientes : D, E Y F, que deberan conoeerse.

IT.or.rna 31

La ecuaci6n de la circunfereneia que pasa por tres puntas dados no colineales I',(x" y,), I',(x,. y,) Y I',(x" y,). esta dada por 1a determinante :

x'+i

,

xI

z

+ YI

x

y

xI

y,

z

,

z

z x, y,

x, + y,

1 "I =0

x, y,

x, + y,

IEj.mplo

I Hallar la ecuaci6n de la circunfereneia que pasa por los tres puntas 1',(4, -I), 1',(0, -7), 1',(-2. -3).

Solucwn: Hay por 10 menos Ires formas de hallar la ecuaci6n de la circunferencia Ph 1', Y 1',.

Forma I :

Aplicando el Teorema 3, la ecuaci6n de

z

x

y

I

4

-I

0

-7

x'

+ Y

16

+

0

+ 49

4

+ 9

-2 -3

e, es :

"1=0 I I'-------Es undd~rminal/te de 4 filas por 4

Co(Um1UL~.

e que pasa por

.. 2

x

,

17

4

-1 1

49

0

-7 1

,2

+

1

I

13

-2 -) 1

x 2 +,2

. ,

= 0 , JUtmdo Ia Ira fila con 1a 2da, 3ra,

fila, " " - - .

,+1 0

,,2 + ,2

-17 .. -4

,,2 + ,:i

-49

,,2 +,z

-"13 ,,+2 ,+3 0

x

,4ta

1_0 ,+7 0

Desm'ollmdod detami_ por la 4"" ooIumna, oblenclllOs : ,,2 +,2 -17 ,,-4 _.;r2 +,2 -49

,+1

'+71- 0 , resIM 1a I" fila con la 2", 3"fiIas: ;r2 +,z -13 ,,+2 ,+3 x

..2 +,2_17 ,,-4 ,+1

)2

-4

-6 1-0

-4

-6

-2

F ~ 2 de Ia 2'" Fila, -2 de la 3" Fila :

,,2+,2_17 ,,-4 ,+1 -(2)(-2)

16

-2

2

3

-3

1-0

Multiplicar la 3" fila por 3 y sumar a la 2" fila; luego, multiplicar -(y + 1) a la 3" fila y sumar a la I" Fila:

x'+/-2y-19 x-3y-7 0 22

7

2

3

01=0

Desarrollar por la 3" columna:

2 y- 7 x + y2 -2y -19 x-3 1 =0 => 22 7 Forma 2 i

Utilizando la ecuaci6n general

Si Sl

e:

x' +! + Dx + Ey + F = 0

P,ee:

17+4D-E+F=0

e: P, e e:

49' - 7E + F = 0

P, e

Sf

17x' + 7y' -22x+52y+21 = 0 I

13 - 2D - 3E + F = 0

AI resolver el sistema de ecuaciones, obtenemos: D =

F=3 Fqrma oJ :

-f- '

E=

si '

/

Hallando dos mediatrices, luego hallando la intersecci6n de las mediatrices (centro de la circunferencia) y luego hallando la distancia dcl centro de I. circunferencia a uno dc los tres puntos (radio).

FAMIUlIE elReUIFEIEICIA.

5.3

Si las ecuaciones de dos circunferencias dadas cualquiera C, y C,

Teorema4

son:

C,: C,:

x'+!+D,x+E,y+F,= 0 x' ~ y' + D, x + E,)" + F, = 0

I

La ccuacion: x' + y' + D,x + ElY + F, + A(x' + y' + D,x + E,y + F,) = 0 I A e IR representa a la familia de circunferencias que tienen sus centres en la recta que une

C, y C,. 2114

5A DE RADICAL e" el EJE RADICAL de (;;, y e, es el lugar geometrico de un punlo P que se mueve de tal manera que las longitudes de las tangentes trazadas desde P a (;;, y e, . son iguales,

Definicion: Dadas las circunferencias (;;, y

Ejemplosgnlfreos :

En los siguientes graficos la recta L es el ElE RADICAL.

/1, o!,icdwln ,I, I

("1)I+(-8-4>1).>+(--4+4>1)y+ 11-8.1= 0

1. EI centro de C. es C= (h.t). donde h = Siendo

D = -I-U , +A

.

Luego •

h=~ I+A

•

-i- . t ,,-t .

E=~ I+A t =

1-1A I+A

3. Como el centro pertenece a la recta 2x + y - 14 = O. entonces : 1-U 4 +1A ) 2 (- + ---14=0 I+l I+A

t

>1 .. -1

8 + 4>1 + 2 - 2A- 14 - 14>1 = 0 ..

4. AI reemplazaren C 1

:

>1 =_l.]

..'+ y' - 8.I:-4y+ 11 -

t(..' + 1'- 4.1: +4y -

8)=0

Zx'+2y'-2Ox-16y+41 =0

Notll: Cualquier otra manera de resolver est« problemLl seria muy laboriosa.

IProblema 031

Hallar la ecuaci6n de la circunferencia de radio

f../2

y que pasa

por las intersecciones de las circunferencias :

e, :x' + "

+ 2x - 6y - 16; 0 y ("~: ~ + " - 6x + 2y ; 0

Sol/lci611 :

1. La familia de circunferencias que pasa por las intersecciones de

e,:

e, y e"

es :

~ + y' + 2x - 6y - 16 + A(~ + y' - 6x + 2y) ; 0 (1 +.!)..'+(I+.!)"+(2-U)x+(-{l+2A)y-16 ; 0

2. El radio de

F; -16

e,

es

r ;t../D2 + E 2 -4F • donde

D;2-6.I ""'i+T •

E;~ 1+1

.! .. -I

'+1

3. Como dalo se liene el radio r;

l.fi;1. '(2-61)2

2

2'V

1+.t

t../2. e_os ilualamos :

+(~)2 I......

-4(.=!t.) I.'"

s.fi ; rh~(2-6A)2 +( _6+u,)2 +64(1T.!)

5../2 (I + .! ) ; .J40.!2 + 1M + 104

. elevar al cuadndo y simplificar :

S.!2+ 42.!-27;O .!;-9 , .!=i

4. Conclusi6n: a) con .!; -9 oblenemos: x' +" -7x + 3y + 2 = 0 b)

IProblema tu ~

C 9h'+8h-176-0 => h=4. h=-~ 3. ConeIUli6n:

,

C = (h , k) z (4 ,0); el radio ea r = I CA I= eircunf_ia II: (.t - 4)' + y' = 10

a) Para

b) Para

C-(h.k)=(-~ .0)

=

051

y la eeuaci6n de la

,elradioes r = ICAI=Jz:-:o

y la eeuaei6n de la circunferencia es : ( .. + ~ ) 2 +

11+oblema

JiO

l

=

z::o

9..' + 9y' + 8a.. - 106 = 0

Los v~rtices de un cuadrado perteneeen a las rectas

L, : x - 7y + 35 = 0

L, : .. -7y-15= 0

L,: 7x + y - 5 = 0

L. : 7.. + Y- 55 = 0

Haller la eeuaci6n de la circunferencia que pasa por los

Solllddn:

v~ices

del cuadrado.

1.<

I. Para intuir .1 problema, podemos hacer un simulacro del gnlfico.

2. Se pide hallar la eeuaci6n de la circunferencia

e: (.t -II)' + (y h=?

•

k)' =

k=?

,

r'

r=?

L,

3. Si la circunferencia e pasa por los vertices A, 8. C y D, bastan' hallar : a) EI centro P, que es punlo medio del segmenlo AC

b) EI radio r =1 PAl

4. Hallar (A) = L, ,-,

se obtiene C = (I , -2) S. Conocidos A y C, hallamos : a) EI centro P =

b) Elradio r=!PA!=5 c) Conclusi6n:

, - 7Y+ 3S = O

u { 7.1"+y-55=0

e: (x -

se obtiene A = (7 , 6) Hallar Ie} = 1.,,-, L.

t (A + C) =(4,2)

4) 1 + (y _ 2) 1 = 2S

{,-7Y- I5- 0 7.1"+y-5=0

las ecuaciones de las circunferencias que pasan por los IPro6/.11U1 06 1 Hallar punlos A(4, y 8(-8, -2) y son IaDgentes a la recta -fi)

x- y -14 =0 Sol"eilm : 1. Gralicar los datos :

Y

1J{-1,-21

2. Hallar el punto medio de AB. que es M = (-2 • -4). PO' M se Iraza L" perpendicular mediatriz)

-

AB

a

(so

5. Resolver la ecuacion

I CBI = d( C • L) ~r(h-+-8--=)2-+-(3-"-+-4)-=-2= J21 h + 81

llama

La ecuaci6n de L, es L1 L1 : y + 4 = 3 (x + 2)

("+8)2 +(3"+4)2 =2("+8)2 (3"+4)2 =("+8)2

3x-y+2=0.

pues la pendiente de BA es : -6+2

3"+4=h+8

1

m=""'4"+i""=-J" En la mediatriz L, est4 el centro C de la circunferencia

e.

Si h es la aboeisa de C y como C E L" ersoeces C = (h • 3h + 2)

" =2

" =-3

U

U

C(2.8)

C(-3 • -7)

r=d(C.L)

4. Son radios:

ICBI=ICA l=d(C. L) donde: -

d(C. L) = ,A-(3II+2)-141

'i:i

L

Jt'

=12

=J212+81

=J21-3+81

=IM

=sJ2

las citcunferencias son :

e,: (x - 2)' + (y - 8)' = 200

= J(h +8)2 +(3h+4)2

=J("-4)2 +(3"+8)2

r=d(C.L)

6. Conclusi6n:

ICBI = J(h +8)2 +(3h + 2 + 2)2

ICA I = J(h _4)2 +(3h + 2+ 6)2

v 3h +4 = -h - 8

e, : (x + 3)' + (y + 7)' = 50

OTRA MAMRA DE RESOLVER:

Si

ah ,11) es el centro.

haeer:

ICAI = ICBI = d(C.L)

=J21"+81

~

diSlaDCia de C (h • 3h + 2)

alarectl

L::l-y-l~=O

la tangente del Angulo obtuso que forman las rectas IProblema 07 1 Hallar tangentes a la circunferencia ,r + l- lOx + 7 = O. trazadas desde

el punlo A(-S • 4)

Solud4n : 1. Graficar losdatos:

e:

Si L es tangente a la circunferencia :

,7-+,'-101+7 = 0

,7--10>:+ ... +1 = -7

,7--10>:+25+1 = -7+25 (J-5)'

+,'

ccnlrO C=(5.0) •

e : ,7- + "

- 10< + 7 = O.entonccs satisfac. a e.

y = 4 + m(J + 5)

e: ,7-+ [4+m(J+5»)'-10>:+7=0

= 18

X' +16+....... 5) • •2(.1'+,.2 -10.1:+1_0

r=[i8 =4.2

r

Xl ..

16+1_i-4OIII• • J ..- 1 +IOM2.r.1JIIrIo J -IClr+ 1-0

.

(1+1II1)X2 +(.... +1~2 -10).1:+40lIl+ 15.12 +2) .. 0

4. La condici6n de tangencia••s que .1 discriminanlC de la ecuaci6n es cern.

esto es :

-'----"'or,H

I-x

.2_ . . =-0 (IN. 101,,2 -lO)' _ 04(1+.3 xelll. 1SM;2 .. 13) cO

Elevar al cuadrado y simplificar : Se pille hallar IgO= Ig (180" - a)

1. Para hallar a debemos conocer las pendicnleSde loP y IoQ.

-

Isa=~

!+ . . ~

.n_

3. Como loP y IoQ

150Il

41

5. En coDSCCuencia. las lang.nlCs son : L ,: y-4=-(J+5) L,:

y-4= ta(H5)

IaIlgcntcs a la

circ"nfetencia. resolvamos d "problema de la laftBCncia" : Sea

... =-1 41 m'+40m-1 : 0 < ... =.1.

L:y-4=m(x+5) la m:ta que pasa por.1 punto 10(-5.4).

6. En lup de hallar II a • hallar IgO : Ig8=~ I .....

=~

I

I-a

Is8 = -j

I

P el punto donde se inlerceptln la' rectas langentes una IPtobI,lIlQ 08 1 Sea circunfcrencia en sua puntos Q(-I ,9) Y R(7 , S). Si se sabe que el I

punto (-3, S) perteneee I dicha circunferencia, hallor Ja ccuaci6n de la circunfcrencil que tiene a! segmenlo RP como di6melro. SoIfldlHr:

1. Orlliear loadatoa :

Lueao.f.r,;;j: y-7=2(x-3)

r

Ih-y+l=ol

eo

b) Para hall... L ,.. ncc:eaitamos : R=(7,S) Y ... =_....L.. (-3")lf

-Ai

I l. "S>4.........

~,/

:r

2. Se pide bailor II ccuaci6n de la cir­ cunfcrencia que ticnc a! ICgmenlO

e,

PR como diamelrO. Butar6 bailor el punto P, que ea Ia inlersecci6n de II

Peru AR es dialllClro de II circuttrerettcia que pasa por los pttntoaA. Q. R.

EI trianplo AQR es : + 5)

Sean las curvas:

VERTICE V = (-5,-2) 4P=-4=>P=-1

t: : ; + y' - 2>: +4y=0 9' : y' + 4y + 4>: + 24 = 0

• Elfoco es F(-5,-3)

Sea !e una recta con ordenada en el ongen positiva, tangente a e y per­ pendicular a la recta de ecuacion. >:-2y+9=0.

F es e1 foeo de 9', A es el punlo de inlersceci6n de !e y e, y B es el punlo de intersceci6n de !e con el eje foeal de 9'. i) ji)

HaUar la ecuacl6n de !e. Hallar el4rca dcllri4nguJo FAB

• Ahora, hallemos el PIll1Io A = e rv L CA •

Porque CA es radio de

y It es

perpendicular a L" entonces CA es paralelo a la recta L,. • La ecuaci6n de la recta que pasa por C(I,-2) yes paralela a es: .t CA :y+2=1(>:-I)

L,.

y=1(>:-1)-2

Solutl611 : Graficar los dalos:

e

...... (I)

• Para hallar el punto A, rccmpla2ar (I) ene: (x_I)2 +[1(x-I)-2+2]2 =5 . x=3--+y=-1 >:= -I

Entonces A = (3.-1)

"

~

%

• Circunfcrcnciae:(>:-I)'+(y+2!'=5

CENTRO: C(I,-2)

IProblema 11 I

• La ecuaci6n de la recta que pasa por el punlo Ayes tangente a e, es: .£ : y + I = -2(>:- 3)

2>:+y-5=0

X - 5 i) B = I!JEfOCALf"IL: _ { = (-5,15) 21'+,-5-0 ii) Entonces el area del triangulo FAB,es: -5 15 I

,{reo=11- 5

-3 11=72,u2

3 -I I

Hallar la ecuacion de la circunfcrencia tangente a 3x - 4y -' 4 = 0, en (0, ·-1) Yque contenga al punto (-2, -9).

Solaewn: 1. Graflcar los datos :

4. Como CeL,=> C=(h.-1h-l) L:3s-4y-"~O

-=-:t=t

5. EI radio es r

-2

Jill

+

=1 CA I =I CHI. esro es:

(-th-I+J)1.J: - 2y + 6 = 0 • determine los valores de la pendiente m para 100 cuales la recta y = InK + 3 : a) corta a la circunferencia en dos puntas diotintos. b) eo tangente. e) no tiene punto en coman con la circunferencia. Adernas, en b) indique 100 puntas de intersecci6n.

Soluti61t : a) Si la recta L: y =

InK

+ 3 corta a la

circunferencia e

:x'+ y' -

6>:- 2y + 6 = 0:

entonces, a1 reemplazar L en obtenemos la ecuaci6n cuadratica : ZlII

x' + (.... +3)' - 6>: - 2

(InK

+ 3) + 6 = 0

x'+m'x' + 6mx+9 - 6>:-2",>:- 6+ 6=0

e

(I + ..')x' + (4m - 6) x + 9=0 '

El discriminante h' - 4ac debe ser posiuvo :

h' -4ac =0 m(5m+\2)=0

(4111-6)'-4(\ +",')(9) > 0

m=O v

-20m'-48111 > 0 51/1' + 12m < 0 //I (5//1 + 12) < 0

_1.'11,

La recta Les: . v=3 v .v=_l1 s x+3

0

Los puntos de tangeneiason:

~ +

-

m=-ll s

(3.3).(:i. IJJ)'

+

me}-1p! b) Si la recta L es tangente a la eireunfe­

c]

//I E

]-oo.-.!f[ u \O.+oo[

e.

rencia entonces el discriminante es cere, esto es,

IProblema J4l

Hallar la eeuaci6n de la circunfereneia que determina sobre los ejes coordenados X e Y. segmento de 3 y 6 unidades de longilud. respectivamente, y cuyo centro esta en el primer cuadrante y pertenece a 1arecta L: y =2x ,

SoI.cw" : 3. EI radioes r= d(C .A)=d(C. BJ

1. Grafiear los datos:

Resolver:

L:y=2x

.uc .A) =d (C ,1J)

.J(h-3)~(2h-ol= ~(I,-O)' +(21,_6)' (h-3)' +411' =h' +(21,_6)' " ='

4. El centro es C=(t.3)

J

Sea

e: (x -

Elradioes r=d(C.A)=.J¥

11)' (y - k)' = r'

Debemos hallar el centro (Il.k) y el

radio r.

E

e.

B(0.6)

E

e

Si el centro C = (h • k) eslt en la recta L: y 2....

.t""/"~

~,

-

'~""'C'

._

ICIRCUNFERENCIA I

(.. _5. 2 +(y+ 2)2 = 20 y (.. _~)2 +(y-f

Y=20

Hallar la ecuaci6n de la circunferencia que. teniendo el centro en la recta 2.< + y = 0, es tangentea las rectas 4.1:10= 0 , 4.. 30= O.

3y+

Rpt& :

03.

~

Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan par el punlo de A( 1;0) y son tangentes a las dos TC: + Y+ 2 = 0 . 2>: + y - Ig ~ 0 ,

RpIa.: 02.

~

....,'.

(x - I)'. (y

3y-

+ 2)2 = ~.~

HaJlar las c-,h)' •

.,

-1.-:.1 b2

0(0,0) se traslada al centro O'(Il, k).

_I> -:)' b

=I

en el sistema XY, al hacer

en el sistema

x'

Y' , cuando el origen

Las ccllll:iones que aparecen en los recuadros son las mis simples de la circunferencia, de la PMAlKJla, de la elipse y de II hipQbola, respectivamente.

Olros ejcmploo:

I~.". OJ I·

Transfonna la ccllll:i6n de e: ~ + + 2.t - 6y + 6 = 0 truladando los ej,s coordenados II centro de

1

e

SoIIIdM : En

e COlIII'le.... cuadrados :

~+2.t+ .,. + 1-6,+". . ~+2.t+1 + 1-6,+9

(x:

~

x'

I x+l-x'

,

1)2

+

()' _ 3)2

2

2

+

"

=-6 • -6+1+9

• 4 • 4

h-3-"

I·."." I

En los ,jercicios a) y b), por una trullCi6n de ,je5, lrllllSf6r_ II ccuaci6n dada en Olra que caraca de Ibmi_ de primer .,.ado:

a) ~ - 21 -42.t - 4, + 133 = 0

b) .1Y - x+ 2, - 10 =0

'pb·4'·' J. Hacer Ia lI'aMformICi&I

x-x'+11 {

, - " +A:

2. • ......... n Ia ccllll:i6n :

3(x + II)' - 2(y' + A:)' - 42(.1'+ II)- 4(y' + A:) + 113 = 0 ~

~,

.,

3(x + 2"... + II ,- 2 (y' + 2A:y' +..-) -4U-~ -4,' - 4A: + 113 • 0

_Iliplicar •asociar y ordenar :

2

3... + 6hx ' + 3h' - 2/

, ,

- 4A:, ,- :u2 - 4U - 4211 - 4, ' - 4A: + 113 = 0

(2.),.. 3X - 2,' + (611 - 42) x'+ (-44- 4),' + 3112 - 242 - 4211 - 4A: + 113 = 0

----­

.. ,.

_ _ J

\'. ~. I "

'i ,.' ~

3. Como se pide que en la ecuaci6n carezca de ll!rminosde primer grado, se debe

hacer

611-42=0 ~ h=7 { -44-4=0

~

4=-1

4. Asl la ecuaci6n (2.) se reduce a:

11",2 - 2" 2- 32 = 0 I

501';';6" de b I

X= ,, +h

1. Reemplazar en la ecuaci6n la In\nsfonnaci6n

{

,=

y'+4

(x' + h) if + 4) - (x' + h) + 2 (y' + 4) - 10 = 0 x'y' + h' + hy' + III - " - h + 2" + 24 - 10 = 0 x'y'+(k-I)x'+(h+2)y'+h.t-h+24-10= 0

2. HllCcr

(1.)

4 - 1= 0 ~ 4=1 { h+2=0 ~ h=-2

3. Asi.la eclllCmn (I.) se reduce a:

I x',' - 8 = 0\

OBSERVACION.

Como podemos apreeiDr La traslaci611 de ejes eoordetllUias simplifiea las

ecuaciones .,complictulDI" en eclltlciones simples, ladles de r«OIIOCer y faciles de grdfiear.

1.1 aEWlTIlDlIIPIRIBOII :

x' . eje de Ja parabola (biseca a la paribol.) V: venice de la parAbol•. Se encuen tra en el eje de la paribola. F: faco de Ja parAbola (es un punto fijo que penenece al eje de 1a paribola y se eneuemra

L

a una distancia p del verrice).

L: Directriz de la paribola (recta fija perpendicular .1 eje de I. parAbol. y se encucntra a una distancia I' del venice). La distancia del vhtice .1 faco co igual a la diSlancia del venice a la din:ctriz. Dieha distanci. I. denotarcmos con "1'''. Esto es IVFI~d(V .L)= I'

NI N 2: lado rceto (cucrda que pasa por el foco y co perpendicular al eje de Ja paribola y lieJlc IollIitud i. .l. 41')

12 . . . . . . .".,....

Como lugar gco~trico. I. paribol. se define del siguiellle modo:

!P={ peIR 2/d(p.Ll=lpFI}

L

La pardbol4 es el IU8ar gtomlr,ico de lUI ptIIJlO P qw :Ie nuwve m un plano de tal MalW'TG qw s,. distancUJ a IUItl ~etd jija L. s;tlMldo en el plalW, s;empre es i,1ItJ1 a IU distQ1f.cia de lUI PUII,o}ljo F del piMa qw no /Hneneu a 10 recta L

_

D..so I. din:ctriz L: 3x - 4)1- 12 = 0 y el foeo F(I.2) hallar la ccuaci6n de Iapribol•

.!MIdM: Sea P = (x • y) un pulllO de I. parAboI•. Por definici611 de pribol. se tiene: d(P.L) = II'FI 13S-5.. -12/

= /(x_I)2 +()I-2)2

Elevar a1 cuadrado y simplificar :

(3x - 4,. - 12)' = 25 [ (x - 1)' + (y - 2)'

J

9x' + 16l+ 144 - 24xy-72x+ 96y = 25 [x' -2x+ I + l-4y +4) 116x'+9l+24xy+22x-I96y-44 =

01

Lest. ec...,Oln es ",ompIi'ada ". Sift embargo, oJ rotar trruladtu 1meJes XY y

se cOftvwrte eft waa t'ella€iOr'I ffUly s~.

8.3 ECOICIOI DE II'1RABIIIA DE IEmCE EI El OBIBEI 'DE01DE COOBDEIIDO. @La .ecuaci6n de una panlbola' de. vo!rticc en cl origcn y EJE, el cjc X, CS

®

La ecuaci6n de una par6bola de venicc en 'cl odgen y EJE, eI eje Y.

es

Il=4PSI

I x'=4pYl

I!

L.

N:

I

~.

';Ic<

%

..." ..." \ ,

I.

DlItECTRII

Dondc el foco es F= (P,O) Y la ecuaci6n de la dircctriz CO x = -po • Si p > 0, la panlbola se abre hacia la dereeha. • Si P < 0, la panlbola se abn: hacia Ia

izquierda,

Donde el foro cs F = (O.p) y la ecuaci6n de la direclriz es y = -po o Si p > 0, la par6bola se abre hacla •

arriba. Si p < 0, la par6bola, se abrc hacla abajo.

EI cada caso, lalongitud dellado recto es IN1N2 1 = 14 pi . 293

Demostroci6n de ® Sea 9' una parabola de verttce en el origen y eje, el

y

L

•

ejex.

~I

~ -I-----Q.--...:x ~F(p.O) -p

I

Si F(P,O) es el foco y L : x + p = 0 es la ecuaci6n de la directriz, entonces por definici6n de parabola se tiene: d(p,L)=I"1

P=(x,y)

J+ pI =~r(x-_-p)-:2-+-(-Y-_-0)-:;-2 1+0

( x + p)' = (x _ p)' + yO

Elevar al cuadrado:

~+2px+p' = ~_2pX+p2+Y'

Y'

= 4px.

_ _ Hallar la ecuacicln de I. panlbola de v&tice en el origen y foco el punto (0, -3).

SoI.tlOn:

=

Como el foco F (0. -3) se encuentran en ellado negativo del eje Y, la parAbola se abre hacia abajo y pot 10 tanto p =-3 y IVF I = I p I = 3. La ecuaci6n de la parAbola es de la forma : ~ = 4py

]I

,I

x

p

1'\0,-3)

__

~

= 4(-3) Y

~

= -12y

Hallar la ecuacicln de la parabola de vertice en el origen y directriz la recta x+5= O.

Sol.tlOn: L

/,

.1

.

1=4px ; donde p=d(V,L)=5

I

F ",

.d

Si la parabola tiene v&tice en V = (0,0) y su direcniz es x = -5. entonces la ecuacicln de la parabola tiene la forma:

]I

'

x'=x-h { y'= y_k·· .. ·····(2)

• AI reemplazar (2) en (I) oblenemos: (y - k)' = 4p (x - h), que viene a ser la ecuaci6n de una paribola de ve.-ticeen el punto V = (h,k) y el eje de la parabola es paralelo al ejeX. y

I

I

•

r'=4py'

\ll~.<

.. _~0'

De manera similar observemos el siguiente grafico :

y'

0' :(IJ,A)

• Respeclo al plano de ejes coordenados X' Y' , la ecuaci6n de la parabola es :

.,

x =4py'

"

""

". (3)

• Por traslaci6n de los ejes coordenados XY, las coordenadas (x,y) del punto P que pertenecen a la parabola, esta dado por :

y

X= X' + h { y= y'+k

=>

{X'=X-h

... " ....... (4)

y'= y-k

AI reemplazar (4) en (3) obtenemos: (x - h)' = 4p(y - k), que viene a ser ecuaci6n de una parabola de venice en el punto V(h,k) y eje paralelo al eje Y.

la

(T~l'elllll-;J

@

La ec:uaci6n ordinaria de una par'bola puede presentarse de dos farmas:

La ec:uaci6n de una par'bola de vc!rtice V(h,k) Y EJE paralelo al eje X. es de la

I(y -1)1 = 4p(x - h) I

forma: Siendo vatice

IPI la

longilUd del segmenlO del lit: comprendido enlre el foeo y el

Y L

Y

_.. __z'

-.I'!­

:~hp,l)

I I

,~

X

I

'"

I p 0 : la par.oola se abre bacra la dereeha.

®

b) Si p < 0, la par'bola se abre bacra la izquierda.

EI focoes F=(h - p .k) La direclriz L; x = II + p

EI focoes F= (h+p .1)

La cliJeclriz L: z z h - P

Lado recto :

x

Lado recto : IN. N3 1 = ]4pl

IN. N3 1 z 14pl

La ecuac:i6n de una par'bola de vbtice V(II.k) Y lit: paralelo al eje Y. es de la forma:

I(z-h)l=4p(y-k) ,

Siendo Ip Iialongilud del segmenlOdel EJE comprendido enlre eJ foco yel vOrtice

r

y'

Y'

I ,.

L

p

h,l··!'jN,

Ni'cr"Pl·

': p

't I u'iFI.o ~ P),~'

1", , pp

I

'I"

N.

L

•

X

Ca'o' : a) Si p > O. la parabola se abre hacia arriba.

b) Si p < O. la par6bola se abre hacia abajo.

Elfoco es F= (h. k + p)

El foco es F = (h. k - p)

La directriz L:

Ladirectriz L:

Lado recto :

y =k- P

IN, N2 1 = 14pl

Lado recto :

y = k +p

INI N21 = 14pl

ICOROIARlO l a) Una ecuaci6n cuadrAtica de la forma : y' + py + qx + r = O. con q _ 0; es una par6bola con Eje paralelo al eje X.

b) Una ecuaci6n cuadrAtica de la forma : x' + a.r + by + c = 0 con b _ 0; es una par6bola con EJE paralelo al eje Y

o..MtnIdtJ. d, II) En Ia ecuaci6n

y' + PY + qx + r = 0 2

J

rompletamos cuadrados respecto a y :

2'

2

+PJ+7- z-qx-r+.!T

(Y+iY =-q( x+t-~)

............... (I)

La ecuaci6n (I) aene la fanna A del Teorema 2. donde :

V=(_L+.t!... _.!!.) q 4q' 2 Dt.tntnIdDtt .. b) En la ecuaci6n

i" + ax + by + C =

O. compIelar c:uadrados respecto. .r :

2'

,

x +IU+",-=-by-C+"'-

(x+tt

=

• b .. O

-b( y +t-~ )

............... (2)

La ecuaci6n (2) liene la forma B delteorema 2 donde :

v=( -f.-t+~)

es el vertice y 4p=-b

...

Hall.. el v6nice. el- foeo y la ecuacion de la recta direetriz de las parabolas euyaucua,ciones son :

2=0

ai ,; - 4x:;- y + 3 =0

c) 4x' - 8x - 3y -

b) 31'::4x+ 12y+ 16=0

d) y'+6x+6y+ 15=0

Nola: Para ,l'fI/lcaruna p: - y + 3 = 0

eompletar cuadrado. respecto a x :

r-4.>:+ =y-3 r-4x+4 = y-3+4

I(x-2)' = l(y+ I I)

•

EIv6nice .. V-(2 .-1)

• EI eje de la parAbola es paralela aJ eje Y. • 4p-1 => p-t •

La parAbola ac abrc hacia arriba, porque p es positiva.

• EIFocoes F.12.-~.tH2.-t) •

Laccuaei6ndeJadirectrizes: x=-I-1'=-1

•

La Iongitud del tado recto es 14p I = I

• EI pifieo de la parAbola paso tres PllDlIJS : pur el v6nicc y los extremes dellado recto

b) En

31 - 4.>:+ 12y + 16 = 0

complclar cuadrado. respecto a y:

3y'+ 12y+

=4x-16

l+4y+

=!X-'t

y2+ 4 y+4=jx-"t+ 4 (y+2)2 =.!x-.! -i.,

3

3

110.1\ =.!(x-I) 3

•

EJ v6rtice es V = (I • -2)

•

EI eje de la parAbola es paralela al eje X .

•

4p=t

•

Si p > 0, entonces la parabola so abre pur dereeha.

=>

,f\: ~

p=t

I "

F=(I+t·- 2) =

• EI focoes

• Ladirectrizes:

(t·- 2 )

y

x=l-l=1. 3

I

3

• La longitud del lado recto es:

14p I=

t

• EI grafico pasa pot los tres puntos : el vertice y los extremes dellado recto. c) En

1

>,C

X

-2

4..' - 8.t - 3y - 2 = 0 • completar cuadrado respecto a x : 4..,2 - 8x + = 3y + 2 I--y'----------I x

2-2x+······=iy+t

xZ-2x+l=.1y+~+1

U

• • (x_I)2 =.ly+~ • •

= ~(y+ 2)

~

I

I

-X

-I

• EI vertice es V = (I , -2) • El eje de la parabola es paralelo al eje Y •

4p=1.• ~

p=.1. I.

• Si p > 0 ~ La parabola

-2 50

r

abre haci. arriba. I

I

F=(I.-2+,~)=(I.-::)

• El foco es

" 3 3' • Ladirecmzes r»>2 -16=-16"

• La longitud dellado recto es : I N,Nzl = 14p I=

t

• EI grafico de la parabola pasa por tres puntos c1aves : por el venice y por los extremos del Iado recto. d) En

l

+ 6x + 6y + 15 = 0 completar cuadrado respeclO a y: + 6y + ... = --6>: - 15 r'- - - - - - - - "

l

l+6y+9 = --6>:-15+9 (y+3)' = --6>:-6

= --6(x+ I)

• ElveniceesV=(-I.-3) • EI eje de la parabola es paralelo al IDE X •

4P=-6 ~

• Si P < 0

~

P=_1.z

la parabola se abre hacia la izquierda

I I

....

_Y\.N~

'<

-1 i

'"

-I -2

.-, -s -6

-,

=(-I-t. -

• £1 foco es : F

• La dircctriz es L: x= -I +

(-t. -3)

3) =

t= 1

• La longitud del lado recto eo IN, Nzi =14p I =1-61 = 6 £1 extreme Nz est! a 3 unidades encima del foco y N, cst! a 3 unidades debajo del foco Nau: No olvidar que el LADO REbo pasa por 01 focc, perpendicular aI EJE FOCAL. Y ueee lonJitud 14pl· La milad de 14pI ala derecha (arriba) del (OCO Yla otra milld a la iz.quienla (abajo)del roco.

U IECTIJIlIUTE I IlIA ,1IIAB8IA. Los siguienleS teoremas son relanvos a la recta tangente a una parAbola:

ITeore_3I

IT--.41 ITeon_S I

l

La tangente a la parAbola = 4px en clllllquier punto P,(x'JI,) de la curva liene por ecuaci6n " , = 2p(x + XI). La langente de pendienle mala parAbola ecuaci6n: ,=mJ:+ L • m"O

.

l

= 4px liene por

La recta tangenle a la parAbola fJ' en el punlo P(x",,) E fJ'. corta el BIll FOCAL en un punto Q tal que la distancia de Q al v&tice es igual a la distancia del v~ al pie de la perpendicular trazada desde el punlo de contacto (x, •,,) al eje focal.

r

y

r

L :y -)'1.81(% -XI)

L:)'s . . . 6

.. ·1

6.1

,'1

%

;' I

.r

');' 01 &

.r

IllYl = II'RI T.O• • •" .

ITeore_'1

T.O• • •" .

T.O•••" .

La ecuaci6n de la recta tangente a la parAbola (x - h)z = 4p(y - k) en un punto de COntaCIO (.to. '0) es (x" -h)(x- h) = 4p

(Y+/' -k )

I Teorema

U

La normal a la parabola en cualquier punto p = (x, , y.J de la parabola forma angulos iguales con el radio vector (vector focal) de Pyla recta que pasa por P y es paralela al eje de la parabola,

y N

'f~tQ::\,* r;~remaS d~[ii.g'lJCla $I ,.~:."

~~n"4'P'P.lJPrqlleeT drs~(f'ilelJil¥:~,i

T­

I

X

r'

T: reea. THIGENTE N : rectaNOR~

',;~ ,. ~~!14':"'8W11io;Birldo-.~ igual a.

,,:':ji::t.. ;¥~"~::i,- .; -t.. ,'L\:~t~0!1-$b !b.::~;c/t~

:i'.

a={J

PROBLEMAS RESUELI'OS

I Problema 01

l

La recta L: x = -3 es I. directriz de una parabola 9'. Los puntos A(-13. - 5) Y 8(-13, II) pertenecen a 9' y la abscisa del foco es "a" tal que a> -13.

a) hallarla ecuacion de 9'_ b) Hallar la ecuacion de la recta tangente a 9' que sea paralela a la recta L, : x -2y - 5 = 0

Soillewn de a. 1. Graficar los datos del problema ; L

11

I

2. Por la posicion que tienen los puntos A • 8 Yla

Y •

directriz podemos intuir que se trata de una

II

parabola de F.JE paralelo al eje x. y que se abre por la izquierda. I

L13

A

(I

1

-.---- ·-5

x

Entonces la parabola fonna 9': ( y - k)

2

9' tiene la siguiente

= 4p

debemos hallar : h, k, p _

( x - h). con p < 0

v_os: I) A(-13, -5) E fP, enlonees (-5 - k)' = 4p (-13- h) b) B(-13, 11) E fP, entonees (11- k)' = 4P (-13 - h)

c) Dividir (I) entre (2) : 3. Resolverlaecuaci6n (3):

(-,-tj' (11_*)2

(\) (2)

I

(3)

(k+ 5)2 = (k- II)'

k'+ IOk+25 = k'-22k+ 121

k = 3 4. SegUn date del problema la abscisa del foco es a. Como k = 3, entonces el focn es F= (a, 3). 5. Eligiendo el punto B = (-13 ,-5) y teniendo el foeo F = (a , 3) y la directriz L : x + 3 = 0, aplicamos la definici6n de parabola: d(B,L)=IBFI

1-13+ 31 =

..J(a + 13)2 + (3 + 5')

. Elevar al cuadrado y sirnplificar

a= -19

a'+26a+ 133 = 0 <

a=-7

L

6. Elegir a = -7 (porque a> -13)

"'-7,3) p

7. Si el foco es

Y{h,3) -- "-----v

F = (-7,3), entonces

p

r

h-(-7) = -3-h

h + 7 = -3 - h

=:0

2h = - 10

=:0

h = - 5 /\

p = -3-11 = -3+5=2

8. Teniendoel vertice V = (-5 , 3) y p = -2, la ecuaci6n de la parabola es:

fP :

(y - 3)' = 4 (-2)(x + 5) (y - 3)' = -8(x + 5)

fP:

y'-6y+8x+49 = 0

Solucitln de b.

Se pide hallar una recta :£- que es tangente a la parabola fI' yes paralela a la recta L, : x - 2y - 5 = 0 y

Graficar L,:

~

~

Como la pendiente de L, es m = - ~ = ------%'

£

t

L,. entonces 1a ecuaci6n de la recta tangente, es :£-: y = t x + b

L,

y f es paralelo a

•

Reemplazar

y=

t.:t + b

en f.P

:

(tx+b)' -6(tX+b)+Sx+49=O AI elevar al cuadrado y reducir, obtenemos :

?- + 4 (b + 5) x + 4b' -

24b + 196 = 0

• La condici6n de tangencia es que: J'I discriminando de la ecuaci6n es cero, esto es, [4 (b + 5)]' - 4( I) [4b' - 24b + 196] =0

,

b=1. •

Conclusion,

s:: y = 1- x + t

IProblema 02 I

Dos puntos de una parabola son P( 11 • 9) y Q( 6 • -I). Si Ia directriz es la recta x = 1 encontrar la ecuaci6n de la parabola.

Soludon: Dado dos puntos de Ia parabola y su directriz, podemos aplicar la definicion de parabola. a) Sea F = (m , n) el foco. Considerando el punto P( II ,9) y la directriz L: x-I aplicamos la definicion de parabola: d(P.L)=1 PF!

Ii 1- II = ~r(m---I-I--=),'--+-(-n-_-9)7,

10= Jm 2 - 22m + 121+ n2 -I8n + 81;

m'+n'-22m-ISn =-102

Elevar al cuadrado y reducir : (I)

= O.

b) Teniendo eI foco F=(m.n). el punto Q(6.1) y la directriz L:x-I =0, aplicamos la definicion de parabola :

d(Q,L) =

IQFI

16-11 = J(m-6)' +(n+I)'

I - 6)"" + (n + I) 5 = ,/(m

.

. Elevar al cuadrado y reducir :

m2 + n2 _ 12m + 2n = -12 c) Restar (2) - (I):

(2)

10m + 20n = 90 m+2o = 9 ~ rn=9-2o

(3)

d) Reemplazar(3) en (2) : (9-2n)2+ n2-12(9-2n)+2n = -12

n2 - 2n - 3 = 0

n=3

(n-3)(n+l) = O

ab=64

(I)

5. Los pumos A. B. G est6n en una misma recta, entooces se cwnple I. siguiente relaci6n de pendientes :

rs;; - 0

0

+.fib

- = -m-btj-m 6. De (I) despejar b

=:>

m=

= M. a

7. Reemplazar (3) en (2)

a./b b.Ja .Ja + Jb

=:>

(2)

a+ b

~=* a-l.. +J!! r: m = .j. II /'

D1STANC4A DE UN PUNTO DE LA -

PARABOLA ALA OIRECTRlZ

L I

d(P,F)=d(P,L) , P=(x,y)

2. La directriz L es conocida, Falta hallar el foco F.

IFVI=d(V,L)

3.Pero:

11-2(1)-61 ==

J1+4

_ 7

-75 4. Para hallar F, debemos conocer la ecuaei6n de la recta L FV ' que pasa por V = (I , 1) Y su pendiente es m = -2 (porque L es perpendicular a L FV )

L

FV

y-l = -2(x-1)

:

2x+y-3 = 0

5. Como F

E

L FV

F= (X, 3 -2>:)

'

entonces

-

6. Pero: IFVI =

7 75

~(X-I)2+(3-2x-1)2

-7,

JS(x-l) 2 -7> _ 7 2 •• (x-I) ~ 2'

, N,. (.

N2 =

3.Q= (a

.t a +t)

Adem4s:

3. Conociendo el foco F( -2 ,0) y la directriz D,. la parabola 9', se halla aplicando la definicion de parabola:

d(F,Q) = 2p

~(a+2)'+(ta+~)' =2(1)

d(P • F)

Se reduce en : (a =0>

+ 2)'

a+2

AI elegir

~(x+2)' +(y-O)'

= 16 = 4

v

a+2 =-4

la-2lv /a--61 a = -6 obtenemos Q( -6 , -3)

= d(P , D,) 14x + 3y+J31

,)'6+ 9

AI elevar al cuadrado y simplificar, se obtiene :

6OlU' + 6161- 24xy + 2236x - 198y - 1089 = 0

Entonces !a ecuaci6n de la directriz Db

es:D,:

y+3=-f(x+6)

4. Para p

4x + 3y+ 33 = 0

.

322

...........

.

= -~ , hagalo usted.

[ EJERCICIOS )

';QiljJl-'cQ~Q:i

!!l Tracese la parabola

y' = px para p = 1,2,3,4, -4. i,Cual es eJ efecto de p sobre el

aspectode la cur va? Para cada una de las siguientes parabolas, hallense las coordenadas del foco, Ja ecuacion de la directriz y la longitud del semilado recto. Tracese la curva, mostrando todas estas caracterfsticas. :@y'=I2x

03 y'=-l2x

04 y'=4x

~ x' =4y

06 x' = -6y

01 y'=x

~ 2y'= 5x

09 5y' = 2x

10 y'+8x= 0

ill y' = 2x

12 lOx = y'

13 y=w?

Con los datos siguientes, hallese la ecuacion de la parabola:

jD Foeo (6,0), directriz

.r =-6

~ Foeo (-4,0), veruce en el origen,

j!] Vertice en el origen, eje coincidente con el eje-x, pasa por el punto (3,2). i,Cual es el foco de esta parabola?

ill Lado recto igual a 8, vertice en el origen, eje coincidente con el eje-y. [] Pasa por (5,4), (5, -4) Ypor el origen, su eje coincide con el eje-x. Hallese el foco de esta parabola.

!!J Directriz .r = 6 , venice en el origen. ~ Los extremes de su lado recto estan en los punlos (2,4) y (2,-4) , su venice esta en el origen,

iI] EI foeo esta en (0,-4), 10 directriz es paralela al eje-r y esta por encima del mismo, el lado recto es 16.

221 Foco

m

«. 0) ,

venice en el origen,

Hallese Ia ecuacion de la circunferencia que pasa por el vertice y los extremes del lado recto de la parabola y' = 4x.

~ La secci6n longitudinal de un reflector es una parabola de 8 centimetres de ancho y 4 ccntfmctros de profundidad. A que distancia del venice se encuernra el foco?

~ Un arco de forma parab6lica mide 6 metros a 10 largo de su base; su venice esta 2,4 metros arriba de la misma. Hallese la longitud de una viga paralela a la base y 1,8 metros arriba de 13 misma.

~ Un cable de un puente colgante est. suspendida en forma parab6lica, las torres de soporte de los cables se encuentran separadas 180 metros una de la otra. EI cable pasa por las torres de soporte a 33 metros sobre el nivel de la plataforma. y el punta mas bajo del cable esta a 3 metros de Ia misma. Hallense las longitudes de las barras suspensoras (del cable al suelo) a intervalos de 15 metros del centro del puente hasta una torre de soporte.

m

EI area de un puente de piedra tiene la forma de una parabola; la luz es de 12 metros y la altura maxima de 3 metros. Hallese la altura del areo a intervalos de 1,5 metros. desde un extreme hasta el centro.

Usando la definici6n de parabola, hallese 'a ecuaci6n de la parabola cuyo foco y directriz estan dados:

2il (6,0) , eje-y

29 (3,4) eje-x

~ (5,-4), recta x - 3 = 0

31 (-6,2), eje-y

~ (0,0), recta x + 4 = 0

33 (-5,3) , recta x + I

~ (8,-4) , recta y - 2 = 0

35 (3,-4), recta y + 2 = 0

3Sl (-1,-5), recta

11 (-2,0), recta y - 4 = 0

y + I =0

ee

0

~ (2, I) , recta 3x + 4y = 0

39 (0,0), recta x + y - 6

~ (4,-3), recta

41 (O,ll, recta 5x + 12y - 13 = 0

y =x

=0

~ (2,4), recta 12x - 5y = 0 ~ EI radio focal de un punta de una parabola es la recta que une el foco can este punta. Demuestrese que el radio focal del punto (x,y) de la parabola longitud

324

Ix + t I p

l

= 2px tiene una

...,~>,,'t""'''.;·;,.,.._,,?".

~.,

:GR!:!~.O

02·

De los datos siguientes, hallese la ecuaci6n de la parabola:

@II Vertice (2,3), foco (5,3)

@) Foeo (6,1), directriz, el eje-y @) Vertice (4,-2) lado recto igual a 8, eje y + 2 = 0 (® Vertice (2,5) foeo (2,-1) @ Vertice (3,1), directriz, y = 3 @ Vertice (-4,-3), directriz, x = 6 @) Extremos dellado recto (-2,-7) y (6,-7), vertice por debajo dellado recto. @) Foco (4,-1), directriz x = -I @) Foco (-3,8), directriz, el eje-x @ Vertice (1,-2), foco (+, -2) @ @

Extremes dellado recto (3, I) Y(3,5), abierta hacia la derecha.

@

Vertice (3,2) , distancia del vertice a un extreme del lado recto igual a paralelo a OX.

Abscisa de un exu "rna dellado recto igual a 5, vertice (1,-1). Eje paralelo a

or.

.J5, eje

Reduzcanse cada una de las siguientes ecuaciones de parabolas, a una de las formas estandar. ( y - k)' = 2p (x - h) , (x - h)' = 2p (y - k) Hallense las coordenadas del vertice y del foco, y la ecuaci6n de la directriz. Tracese

la curva. @/-8x-2y+17=O

tID / + 12x - 6y + 45 = 0

00 :C-

(ill x'-

8x + 4y + 12 = 0

12x - lOy + 36 = 0

@ / +8x + 14y + 89 = 0 @ / - 24x -4y -20 = 0 @ 2/ - 15x - 20y+ 35 =0

@/+16x+8Y+16=0

tEl 4x' -

® 3/+

12x - 24y - 15 = 0

@x'-8x+16y=0 @:C+ x+y-I =0 16x-96=0

.....

@ Un cable de ucero esta colgado por los dos extremos; los puntas de suspension estan situados II unu misma altura y a una distancia de 20 m. La magnitud de la flexion a la distancio de 2 m de los puntas de suspension en sentido horizontal, es igual a 14,4 em. Determinar la magnitud de Ia f1exi6n de este cable en su punta media (la f1echa), suponiendo que el cable tiene la forma de un area de parabola,

@) Hallar la ecuaci6n de la parabola, si se dan su foco F (2 ; -I) Y la directriz. x-y-I=O

@ Dado el vertice de una parabola

A(6; -3) y la ecuaci6n de su directriz

3x - 5y + 1 = 0 hallar el toea F de esta parabola.

@ Dado el venice de una parabola

A(-2;-I)

v I. ecuacion de su directriz

x+ 2y - I

=0

hallar Ia ecuaei6n de esta parabola.

@ Hallar en la parabola

y' = 64x

el punta M 1 mas pr6ximo a la recta 4x + 3y - 14 = 0

y ealeular la distancia d del punta M 1 a esta recta.

@ Dcsde el

punta A(5;9) se han trazado tangentes a la parabola ecuaci6n de la cuerda que une los puntas de contacto.

y' = 5x

Hallar la

® Dados

los segmentos AB de extremes A(3,-2) y B(7,I) Y la parabola 8y + 17 = 0, hallar sabre Ia parabola un punta Q tal que unido a los puntas A y B forme un triangulo cuya areasea minima. Hallar el valor del area.

x' + 2x -

@ Una

parabola cuya directriz es el eje X es tal que su foco esta en 13 recta L1 : 2x + 5y + 12 ~ 0 y su vertice esta en la recta L, = 3x + 5y - 6 ~ O. Hallar I. ecuaci6n de la parabola.

@) Si eI venice de una parabola es el punta V(-2,-3), Ja longitud dellado recto es 4,[5 y la recta tangente a la parabola en V es £, : 2\" - y + 1 = 0, determine la ecuacion de la parabola.

@ Si el vertice de

una parabola es V(-2,-3) y un extrema del lado recto es el punto (0,-7); encontrar la ecuaci6n de la parabola.

326

@ Una parabola fJ' para por el punto A(6,4) y su vertice es el extremo derecho del eje menor de la ELiPSE &, : 4/ + 9x' = 36. Hallar la ecuaci6n de fJ' y graticar fJ' y &, en un mismo sistema de coordenadas.

x

@ Dos puntos de una parabola son: P(7,8) y Q(2,-2).

Si la directriz es la recta L : = 3 encontrar la ecuacion de la parabola (dos soluciones).

@ Sea 0

el centro de la circunferencia C : x' +/ + 8x + JOy + 23 = 0 Y D : x = -I la directriz de una parabola fJ', cuyo foco es el punto F ubicado en el primer cuadrante. Si 7{-1,-2) divide al segmento OF en la razon r

=:t, hallar la ecuaci6n de la

parabola

® Una parabola fJ' que tiene como eje focal a la recta y

=

5 Y cuyo foco esta situado en

la recta 2x - y=2, pasa porel punto A(3,5 +.fi).

a) Hallar la ecuaci6n de cada una de tales parabolas,

b) Hallar en la parabola de la parte (a), que se abre hacia la derecha, todos los puntos

Q tales que el area del triangulo VFQ sea 3)1, siendo V y F el venice y el foco, respectivarnente, de dicha parabola,

® Un triangulo equilatero inscrito en la parabola (x + 2)'

= 4(y - I) tiene uno de sus vertices coincidentes con el vertice de la parabola. Hallar las coordenadas de los vertices del triangulo,

® Dadas: la parabola fJ' de ecuaci6n x' - 8x + 3by = 0, donde b es una constante no nula, y la recta £ : 3x - 2y - 5 = 0 que pasa por eJ foco de fJ'; hallar los valores de la constante by la longitud dellado recto de las parabolas correspondientes,

@ Hallar la ecuaci6n de la parabola9' que cumple con las siguientes cuatro condiciones: i) La circunferencia C: (x - 2)' + (y - 3)' = 25 corta a la parabola fJ' solamente en su venice V.

ii) La parabola fJ' tiene eje focal paralelo al eje X.

iii) Un extremo del lado recto esta contenido en la recta £: y = -x + 16

iv) EI foco de fJ' tiene abscisa mayor que 7.

327

B,."", Grupo 01:

05 (0,1). y =-I

03 (-3,0) ,x = 3 •1=6 fYI

.t =2

Of 0,1,0) , x = ~,I , / =

(t,O).x=-t,l=t

t

II (t.O).x=-t,I=1

13 (0 ...«t: .J...) y=_.J... / =.J... 4G'1.

15 y' = -16<

17 x'=±8y

l' y'=-24x

21 x' = -16y

%3 x' + y'-~x=O

1.5 3 m.

1.7 0 m,

1,31~

m. 2,2~ m, 2,8125 m, 3 m

1.!1 x'-6l'RO (cuerda que pasa por el centro)

•

F1P Y F~P se lIaman RADIOS VECl"ORES (son vectores que se trazan de cada foco al punto P de la elipse).

· __.e'

,

IUIIICIOIIE ElIPSE

1.1

S'RJI§tte.s fijos F, Y F2 lIamados 111& fill!lkil!lk9 , y d~na

constante "a" tal que a > c > 0, se define I"

elipse como el conjunto de'todos los puntos P

tales que la suma de las distancias de P a los

focos F, YF2 es igual a 2a. esto es.

Dado?'

1

FOCOS. separa

Id(P.F,) + d(P,F,): 2a

I

usando notaci6n conjuntista, la EUPSE se define como : ,,: {P(x.y) e lR 2 / d(P. F,) + d(P, Fi): 2a}

1.2

IECTIS IllEmlGH Dos rectas L, y L, se lIaman rectas directrices de la elipse if, correspondiente a los focos Fj y F2• respectivamente, si son perpendiculares al eje focal, no cortan al segmento F 1 F2 y.si existe una constante "e", lIamado excentricidad de la elipse tal que para todopunto P e Ii; se cumple diP ,f;)

e dIP.L, ) 33lJ

d(P.F2) diP,L, )

• O