Matematica Basica UTP

MATEMATICA BASICA I

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ Vicerrectorado de Investigación

MATEMÁTICA BÁSICA I TINS Básicos INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA, INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA AERONÁUTICA, INGENIERÍA MARÍTIMA, INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA NAVAL, INGENIERÍA DE SOFTWARE, INGENIERÍA ECONÓMICA, INGENIERÍA MECÁNICA

TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP

Lima - Perú

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MATEMATICA BASICA I

© MATEMÁTICA BÁSICA I Desarrollo y Edición

:

Vicerrectorado de Investigación

Modificación y Complementación

:

Dr. José Reategui Canga

Diseño y Diagramación

:

• Julia Saldaña Balandra • Fiorella Espinoza Villafuerte

Soporte académico

:

Instituto de Investigación

Producción

:

Imprenta Grupo IDAT

Tiraje 3 A / 1600 / 2008-II

Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.

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MATEMATICA BASICA I

“El presente material contiene una compilación de contenidos de

obras

de

Matemáticas

publicadas

lícitamente,

acompañadas de resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución.

Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A.,

del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de

Autor”.

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MATEMATICA BASICA I

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MATEMATICA BASICA I

PRESENTACIÓN

La matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el concierto de las Ciencias, desde los albores de la civilización humana sigue siendo la base del desarrollo científico y tecnológico de nuestro mundo.

La Ingeniería como expresión de la tecnología, se erige sobre la base de los diferentes espacios de la creación matemática y del pensamiento de la humanidad.

De allí que, en la formación académica de Ingenieros, se debe privilegiar el estudio de la matemática, en la convicción de dotar a sus estudiantes firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador.

En esta proyección se ha desarrollado el presente texto de instrucción, dirigido a estudiantes de Ingeniería, de las Carreras de Ingeniería de: Sistemas, Industriales, Electrónica, Mecatrónica, Telecomunicaciones, Automotriz, Aeronáutica, Marítima, Textil, Naval y de Software; para la Asignatura de Matemática Básica I.

El texto en mención plasma la preocupación institucional de innovación de la enseñanza-aprendizaje en educación universitaria, que en acelerada continuidad promueve la producción de materiales educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos.

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MATEMATICA BASICA I

Esta segunda edición modificada y complementada por el Dr. José Reategui

Canga,

prolijamente

recopilada

de

diversas

fuentes

bibliográficas de uso frecuente en la enseñanza-aprendizaje de la Matemática, está ordenada en función del sillabus de la Asignatura arriba mencionada; presenta la siguiente estructura temática:

Conjuntos y Lógica Matemática Básica.

Conjuntos numéricos que

permiten aclarar las nociones de números y su clasificación en naturales, enteros, racionales, irracionales hasta completar los reales.

Ecuaciones e Inecuaciones que son básicas para el estudio del Álgebra.

Relaciones Binarias que son fundamentales para la comprensión de las funciones básicas al estudio de la Geometría Analítica.

Los Lugares Geométricos: rectas y circunferencias conectan a nociones algebraicas que permiten entrar en los delicados temas de las cónicas: parábolas, elipses e hipérbolas; y de las familias básicas de rectas y circunferencias.

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MATEMATICA BASICA I

Se completa el texto con una Introducción a las Coordenadas Polares.Todo este material permitirá conectar a problemas varios dentro de la carrera.

Finalmente el reconocimiento Institucional al Dr. José Reategui Canga por su meritoria dedicación, a la preparación de esta segunda edición. Su esfuerzo y dedicación académica será identificada al glosar las páginas del texto, en el camino de entendimiento de la matemática universitaria.

Lucio Heraclio Huamán Ureta VICERRECTORADO DE INVESTIGACIÓN

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MATEMATICA BASICA I

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MATEMATICA BASICA I

ÍNDICE

I.

Conjuntos y Lógica ..............................................................

15

II.

Breve presentación de los Conjuntos Numéricos .................

43

III.

Números Reales...................................................................

67

IV.

Recta y Circunferencia .........................................................

109

V.

Cónicas.................................................................................

141

VI.

Miscelanias de Ejercicios......................................................

187

VII.

Coordenadas Polares ...........................................................

201

Bibliografía ......................................................................................

233

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MATEMATICA BASICA I

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MATEMATICA BASICA I

DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA

CLASE Nº

1

2

3

CONTENIDO Capítulo I. CONJUNTOS Y LÓGICA 1.1 DEFINICIÓN 1.2 IGUALDAD 1.3 SUB-CONJUNTOS 1.4 CONJUNTO DE LAS PARTES 1.5 UNIVERSOS 1.6 FAMILIA – COLECCIÓN – SISTEMA – CLASE 1.7 OPERACIONES DE CONJUNTOS 1.7.1 Unión 1.7.2 Intersección 1.7.3 Complemento 1.7.4 Diagramas 1.7.5 Grafos 1.8 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 1.9 LÓGICA 1.9.1 Enunciados 1.9.2 Proposiciones 1.9.3 Conectivos 1.9.4 Valor de la verdad 1.9.5 Tautología y Contradicción 1.9.6 Relaciones del Álgebra Proposicional 1.9.7 Funciones Proposicionales 1.9.8 Cuantificadores EJERCICIOS PROPUESTOS N°01 Capítulo II. BREVE PRESENTACIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS 2.1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES: N 2.2. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS: Z 2.3 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES: Q 2.4. EL CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES: Q´ Ó II 2.4.1 Irracionales algebraicos 2.4.2 Números trascendentales 2.5. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES: IR 2.6 RELACIONES 2.6.1 Las relaciones se presentan en todas las áreas del conocimieno 2.6.2 Relaciones binarias 2.6.3 Propiedades 2.6.4 Relaciones de equivalencia 2.6.5 Clases de equivalencias 2.6.6 Relaciones de orden 2.6.7 Buena ordenación 2.6.8 Relaciones funcionales 2.6.9 Función

11

SEMANA

1

2

3

MATEMATICA BASICA I

EJERCICIOS PROPUESTOSN°02

4

5

6

7

8

9

Capítulo III. NÚMEROS REALES 3.1. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 3.1.1 Definición 1 3.1.2 Proposición 1 3.1.3 Proposición 2 3.1.4 Proposición 3 3.1.5 Colorario 1 3.1.6 Proposición 4 3.1.7 Ejercicios 3.1.8 Proposición 5 3.1.9 Proposición 6 3.1.10 Proposición 7 3.1.11 Ejercicio 3.1.12 Proposición 8 3.1.13 Proposición 9 EJERCICIOS RESUELTOS N°01 EJERCICIOS PROPUESTOS N°03 3.2. DESIGUALDADES E INTERVALOS 3.3. PROPIEDADES GENERALES 3.4. INTERVALOS EN R 3.5 OPERACIONES CON INTERVALOS EJERCICIOS RESUELTOS N°02 3.6. INECUACIONES DE 2° GRADO 3.6.1 Método de factorización 3.6.2 Método por complementación de cuadros EJERCICIOS RESUELTOS N°03 EJERCICIOS RESUELTOS N°04 3.7. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL 3.7.1 Definición 3.7.2 Propiedades generales de valor absoluto EJERCICIOS RESUELTOS N°05 3.8. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA 3.9. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 3.10. SISTEMA CARTESIANO DEL PLANO EJERCICIOS PROPUESTOS N°04 3.11. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA EJERCICIOS PROPUESTOS N°05 EJERCICIO PROPUESTOS N°06 EJERCICIOS RESUELTOS Nº06 3.12. ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA Y PENDIENTE DE UNA RECTA EJERCICIOS PROPUESTOS N°07 Capítulo IV. RECTA Y CIRCUNFERENCIA 4.1 LA ECUACIÓN DE LA RECTA: DIVERSAS FORMAS DE SU ECUACIÓN 4.2 ECUACIÓN GENERAL DE UNA RECTA

12

4

5

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8

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MATEMATICA BASICA I

CLASE Nº 10

11

12

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15

16 y 17

CONTENIDO EXAMEN PARCIAL 4.3 FAMILIAS DE RECTAS 4.4 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EJERCICIOS PROPUESTOS N°08 EJERCICIOS RESUELTOS N°07 EJERCICIOS PROPUESTOS N°09 EJERCICIOS PROPUESTOS N°10 4.5 LA CIRCUNFERENCIA 4.5.1 Definición 4.5.2 Elementos 4.5.3 Ecuaciones de la circunferencia 4.5.4 Familias de circunferencias EJERCICIOS PROPUESTOS N°11 Capítulo V. CÓNICAS 5.1 SECCIÓN CÓNICA O CÓNICA 5.2 PARÁBOLA 5.2.1 Elementos 5.2.2 Ecuaciones de una parábola 5.2.3 Öbservaciones 5.2.4 Ecuaciones general de la parábola 5.3 LA HIPÉRBOLA 5.3.1 Definición 5.3.2 Observaciones 5.3.3 Ecuaciones de la hipérbola 5.3.4 Hipérbolas conjugadas 5.3.5 Ecuación general de la hipérbola 5.4 LA ELIPSE 5.4.1 Definición 5.4.2 Elementos 5.4.3 Ecuaciones de la elipse 5.4.4 Observaciones 5.4.5 Forma general 5.4.6 Casos que se presentan 5.4.7 Ejercicios propuestos Capítulo VI. MISCELANEA DE EJERCICIOS 6.1 LÍNEAS RECTAS. EJERCICIOS RESUELTOS 6.2 PROBLEMAS PROPUESTOS 6.3 CIRCUNFERENCIA 6.4 PROBLEMAS PROPUESTOS 6.5 PARÁBOLA

13

SEMANA 10

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13

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15

16 y 17

MATEMATICA BASICA I

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19

Capítulo VII. COORDENADAS POLARES 7.1 CONCEPTO 7.2 REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN COORDENADAS POLARES 7.3 DEFINICIÓN 7.4 PASAR DE UN SISTEMA DE COORDENADAS A 4 OTRO 7.5. ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA 7.6 GRAFICAS DE FUNCIONES EN COORDENADAS POLARES EXAMEN FINAL

14

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19

MATEMATICA BASICA I

I. CONJUNTOS Y LÓGICA

1.1

DEFINICIÓN.- Un conjunto se describe como una lista o colección de objetos llamados elementos o miembros, siendo números; letras; funciones, etc.

De la nominación ya sea de la lista o colección se desprende un criterio de pertenencia que permite establecer una relación denotada ∈, escribiéndose: a∈A

si a es elemento o miembro de A o de lo contrario:

a∉A

si a no es miembro de A

Ejemplos: A = {a, b, c, d, e}; a∈A, b∈A, etc. B = {b1 , b2 , ....... , b12}; b1∈B, b2∈B, etc. C = {p es un número primo}; 5∈C, 7∈C, 8∉C, 12∉C, etc. De ordinario los conjuntos se denotan con letras mayúsculas A, B, X, Y, Z, …... y los elementos con minúsculas a, b, x, y, t, u, v, …..

1.2

IGUALDAD.- Dos conjuntos A y B son iguales: A=B Si consisten de los mismos elementos. De lo contrario:

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MATEMATICA BASICA I

A≠B

1.3

SUB-CONJUNTOS.- A es subconjunto de B o es parte de B, (o está contenido) se denota: A ⊆ B ó B ⊇ A si cada elemento de A es también elemento de B. De lo contrario A

B ó B

A.

Podemos observar que: i)

La relación ⊆ es de “contenido amplio” de modo que todo conjunto está en la relación consigo mismo: ∀ A ⊆ A. Esto es, una relación reflexiva.

ii)

Cuando B ⊆ A pero B ≠ A

se restringe a la relación

“contenido restringido o propio ⊂:

B ⊂ A. Luego A es sub-

conjunto impropio de si mismo. iii)

(A ⊆ B y B ⊆A) ⇒ A = B

propiedad antisimétrica

iv) (A ⊆ B y B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C propiedad transitiva v)

Es conveniente introducir el “conjunto vacío ∅ que se considera sub-conjunto de cualquier otro: ∀ A: ∅ ⊆ A

1.4

CONJUNTO DE LAS PARTES.- Todas las partes de un conjunto A son elementos de un nuevo conjunto P(A) que se llama el “conjunto de las partes de A” o conjunto potencia. Esto es: ∀ B ⊆ A ↔ B ∈ P(A)

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MATEMATICA BASICA I

En particular: A ⊆ A → A ∈ P(A) A es elemento de P(A) Lo que nos dice que todo conjunto es elemento de alguno otro.

Esta restricción se conoce como el axioma de las partes: “A todo conjunto A le corresponde otro conjunto, sea P(A) cuyos elementos son todas las partes de A”

La inoperabilidad de esto da lugar a las “Clases”.

Ejemplos 1.

Si A={a,b}: ⎧∅ ⎪ P(A) = ⎨{a} , {b} ⎪ ⎩{a, b}

Hay 22 = 4 sub-conjuntos de A que forman P(A).

2.

B={α, β, γ} : ⎧∅ ⎪{α}, {β}, {γ} ⎪ P(B) = ⎨ ⎪{α,β}, {α, γ}, {β, γ} ⎪⎩{α,β, γ} = A Hay 23 = 8 sub-conjuntos de B que forman P(B).

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MATEMATICA BASICA I

1.5

UNIVERSOS. Para las aplicaciones los conjuntos concernientes a un estudio o proceso son mirados como sub conjuntos de uno mayor U ó X que contiene a todos los del estudio, al que se le llama el “Universo del discurso” o simplemente un universo.

Ejemplo: Cuando se trabaja con números y conjuntos naturales, el universo apropiado es N. Cuando entran los enteros positivos y negativos tomamos a Z (todos los números enteros). Para procesos discretos se suele tomar como universo a Q (los racionales) y a veces a R (los reales).

Es decir, para un mismo sistema se puede considerar más de un universo. Veremos como en cada universo se puede hablar de un álgebra de conjuntos con propiedades de interés.

1.6

FAMILIA – COLECCIÓN – SISTEMA – CLASE. Cuando los miembros de un conjunto S son a su vez conjuntos se suele usar el término de familia, de sistema, colección o aún clase.

Ejemplo: La

familia

de

topologías separadas, la colección de

circunferencias de centro ; el sistema de intervalos semicerrados.

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MATEMATICA BASICA I

Aunque la “clase”, se reserva para una extensión de los conjuntos, sin embargo se puede usar para determinar algunas colecciones. Así, se puede decir: la clase de los espacios Rn, la clase de los conjuntos finitos, etc.

1.7

OPERACIONES DE CONJUNTOS. Se tienen 3 operaciones básicas: Unión con símbolo ∪ Intersección

∩

Complemento

C

1.7.1 Unión: A ∪ B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A ó a B

Ejemplo: A = los números impares B = los pares A ∪ B = {impares o pares} = {todos los números enteros} 1.7.2 Intersección: A ∩ B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B al mismo tiempo. En el ejemplo anterior de impares y pares A ∩ B = ∅ se dice en este caso que los conjuntos son disjuntos.

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MATEMATICA BASICA I

Las

operaciones

de

unión

e

intersección

pueden

extenderse a familias de conjuntos.

Si {Ai}i∈J es una familia finita o infinita se define:

∪ Ai = conjunto de elementos que pertenecen a uno por lo

i∈ J

menos de los Ai

∩ Ai = conjunto de los elementos que pertenecen a todos los Ai

i∈ J

Ejemplo: Sea Bi = intervalo abierto

( ,2− )i ≥2 1 i

1 i

Aquí J = los enteros ≥ 2

Se tiene:

∪ Bi =(0, 2) intervalo abierto

i∈ J

( )

∩ Bi = 21 , 32 intervalo abierto

i∈ J

1.7.3 Complemento. Supongamos que el conjunto A está dentro de un universo X. Se define el complemento: CA=A’=X–A los elementos de X que no pertenecen a A Ejemplo: Tomemos como universo X: los habitantes de una región y por A los analfabetos. Su complemento es: A’=X-A está formado por los que saben leer. 20

MATEMATICA BASICA I

Ejercicios para Resolver 1.

Sea A el conjunto de los árabes, C el de los chinos. Determinar un universo X en el cual esten sumegidos A y B. ¿Cuál serían A’, C’, A∪C y A∩C?

2.

Sea L el conjunto de leones, T los tigres y A las águilas. Dar un universo X que no contenga los peces ni las aves de corral. ¿Cuál es L’, T’∪A’?

3.

Dar dos universos diferentes donde se pueda incluir a los enteros Z.

1.7.4 Diagramas. Para tener un esquema visual Venn ideó diagramas: los conjuntos A, B, …..., del discurso dentro de un rectángulo grande que represente un universo:

X

X A B

A B A

B

A

X A´ A

21

B

MATEMATICA BASICA I

1.7.5 Grafos: Cuando se trata de los sub –conjuntos o partes de un conjunto A, el universo puede ser el conjunto potencia P(A)=B, el cual con las operaciones ∪, ∩ y complemento forman una Algebra de Boole, con representación de grafo de Hasse. (Ver ejemplos). Si el número de elementos de A es pequeño, su Algebra de Boole P(A) puede representarse por un grafo de Hasse simple. (Ver ejemplos).

Ejemplos: 2.

A={1} tiene un solo elemento: B’=P(A)=P{1} tiene 2 elementos: ∅ y A={1}. Su Hasse es el par 0 que representa a ∅ y 1: 1

|

B’ es el soporte básico de la lógica bivalente

0

2.

A={a, b} tiene 2 elementos {a}, {b}, A={a, b}} tiene 4=22

B2=P{a, b}={∅,

elementos... Los átomos son 2: a y b que cubren a ∅=0. Su Hasse es: A 1 a

b

a y b son elementos complementarios.

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MATEMATICA BASICA I

B2 es isomorfo a B2 el cuadrado de B’: (1, 1)

(0, 1)

(1, 0) (0, 0)

3.

A={α, β, γ} ejemplo 1.4.2 B3=P(α, β, γ)={∅, α, β, γ, {α, β}, {α, γ}, {β, γ}, {α, β, γ}=A} Los átomos son los subconjuntos de 1 elemento {α, β, γ}=A. El número de elementos de B3 es 2|A|=23= 8. El grafo de Hasse:

1 Α={α, β, γ} {β, γ}

{α, γ}

{γ} {α,β}

{α}

{β} 0

Son complementarios los elementos diametralmente opuestos como {α} con {β, γ}, etc.

B3 es isomorfo al producto B3.

23

MATEMATICA BASICA I

1.8

ÁLGEBRA DE CONJUNTOS. La igualdad =; las operaciones ∪, ∩ y el complemento hacen de todo universo X un “álgebra” que

satisface las leyes o propiedades: Dual 1)

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Asociatividad 2)

A∪B=B∪A

A∩B=B∩A

Commutatividad 3)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

Distributividad 4)

A∪∅=A

A∩X=A

Unidades: ∅ y X (el universo usado). 5)

∅’=X

X’=∅

Complemento de unidades (Recíprocas) 6)

A∪X=X

A∩∅=∅

Acción de recíprocas 7)

A∪A’=X

A∩A’=∅

Complementos. Acción doble y rígida.

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MATEMATICA BASICA I

8)

A∪A=A

A∩A=A

Ídem potencia

9)

A∪ ⎛⎜ ∩ Bi ⎞⎟ = ∩ (A∪Bi)

⎝ i∈ J

⎠

i∈ J

y

A∩ ⎛⎜ ∪ Bi ⎞⎟ = ∪ (A∩Bi)

⎝ i∈ J

⎠

i∈ J

Distributividad generalizada de la propiedad 3

10)

⎛ ⎞ ⎜ ∪ A j ⎟' = ∩ A' j ⎝ j∈ L ⎠ j∈L

⎛ ⎞ ⎜ ∩ A j ⎟' = ∪ A' j ⎝ j∈L ⎠ j∈L

Leyes de Morgan.- Para 2 conjuntos dan: (A1∪A2)’=A’1∩A’2

(A1∩A2)’=A’1∪A’2

1.8.1 Dualidad. Toda expresión tiene su dual que se obtiene

intercambiando las operaciones∪, ∩ y el universo X con ∅ y viceversa. Esto aparece a derecha en la Leyes de 1.8.

Ejercicios para Resolver

Si A ⊆ B : Probar por diagramas 1.

A∩B=A

2.

A∪B=B

3.

B’⊆A’

4.

A∩B’=∅

5.

A’∩B’=B’; A’∪B’=A’

25

MATEMATICA BASICA I

1.9

LÓGICA

Los conjuntos emplean la lógica clásica o bivalente cuyo soporte o rango es el par: L2 = {0, 1} Donde 1 representa la verdad o validez y 0 la falsedad o contradicción. La matemática exige un razonamiento válido deductivo o inductivo de

absoluta

claridad

de

modo

a

comprender

y

aplicar

debidamente las definiciones, proposiciones y teoremas libres de complicaciones y ambigüedades. En esta sección vamos a revisar elementos básicos de la Lógica simbólica y el Calculo Proposicional.

1.9.1 Enunciados

Son fraces que sirve para comunicarnos. Ejemplos:

1.

¿Dónde estuviste?

2.

Siéntate a ver la televisión.

3.

Los niños son traviesos.

4.

51 es un número primo.

Las 2 primeras no son verdaderas ni falsas: i es una pregunta y ii es una indicación. Las 2 últimas pueden ser verdaderas o falsas; frases de este tipo se conoce como:

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MATEMATICA BASICA I

1.9.2 Proposiciones

Una proposición es toda frase sobre la cual podemos afirmar que es verdadera o falsa. Las representaremos con letras minúsculas p1, p2, …., q1 …, r, s, t, …

Ejemplos:

p1. Los alumnos de la U.T.P son estudiosos. p2. Los números primos terminan en 2 como: 12, 32, … q1.

Rosa es bella.

r.

Está garuando.

s.

2 = 1.5

Cada una es una proposición pues podemos afirmar su verdad o falsedad.

Negación

de

proposiciones.

La

negación

de

la

proposición p es ∼p que se lee no p (Se denota también por 7p).

Ejemplos:

q : Rosa es bella. ∼q : Rosa no es bella.

s:

2 = 1.5

∼s :

2 no es 1.5 o simplemente

27

2 ≠ 1.5 .

MATEMATICA BASICA I

Ejercicios para Resolver

1.

Dar 10 enunciados.

2.

¿Cuáles son proposiciones? Representar con letras.

3.

Negar las que son proposiciones. ¿Cuál es la negación de ∼q?

Proposiciones Compuestas.- Las proposiciones se enlazan o relacionan unas con otras para generar las llamadas proposiciones compuestas mediante los elementos de enlace llamados conectivos.

1.9.3 Conectivos

Para relacionar 2 o más proposiciones se emplean los llamandos enlaces conectivos entre los cuales están:

1.

Conjunción con símbolo ∧ y que enlaza proposiciones con la letra “y”. Por ejemplo: 1.

p :

Juan estudia música.

q :

Juan es menor de edad.

p ∧ q: Juan estudia música y es menor de edad. r 2.

:

s :

Está nevando. Hace mucho frío.

r ∧ s: Está nevando y hace mucho frío.

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MATEMATICA BASICA I

2.

Disyunción con símbolo ∨, enlaza proposicones con la letra “o”.

Ejemplos:

t 1.

:

Compro diez cuadernos.

u :

Compro un pantalón.

v :

Voy al concierto.

t∨u∨v: Compro diez cuadernos o compro un pantalón o voy al concierto.

2.

p1 :

tomas té

p2 :

tomas café

p1∨p2 : tomas té o tomas café

3.

Implicación o condicional con símbolo →; enlaza 2 proposiciones p y q con las palabras: si p… entonces q.

Ejemplos:

1.

2.

p

:

4 = 2.5

q

:

7 + 3 = 11

p → q:

Si

r

:

Mañana va llover.

s

:

No iremos al campo.

r → s:

4 = 2.5 entonces 7 + 3 = 11

Si mañana va llover entonces no iremos al campo.

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MATEMATICA BASICA I

4.

Biconcional o doble implicación o equivalencia con símbolo ↔; enlaza las proposiciones p y q con las palabras: p si y sólo q; lo cual se puede expresar también por la frase: “si p entonces q y si q entonces p”, esto es: p ↔ q = (p → q) ∧ (q → p) Ejemplos:

p:

m > n

q:

n < m

p ↔ q = m > n ↔ n < m : m > n si y sólo si n < m.

EJERCICIOS PARA RESOLVER

1.

Dadas las proposiciones: p

:

Estamos en primavera

q

:

Las uvas son dulces

r

:

Pedro es deportista

s

:

Berta es hermosa

Relacionar

con

oraciones

las

siguientes

composiciones: 1. p ∨ q

7.

∼p → s

2. p ∧ q

8.

r → ∼q

3. q ∧ r

9.

p ∧ (q ∨ r)

4. p ∨ s

10.

q ∨ (r ∧ s)

5. p → r

11.

q ∨ ∼r

6. p ↔ q

12.

∼r ↔ ∼s

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MATEMATICA BASICA I

2.

Indicar 7 ejemplos de proposiciones simples y compuestas

3.

Negar las proposiciones anteriores.

4.

Se da las proposiciones: p:

El mundo es amplio

q:

Las frutas son agradables

r:

La demostración es interesante

s:

Fany es bella

t:

32 + 42 < (3 + 4)2

Representar con oraciones las proposiciones: a)

p∧ r

;

q∨s

;

t→r

b)

∼q ∧ r

;

p ∨ ∼s

;

∼r → ∼t

c)

r → (q ∨ s)

;

p ∨ (∼s) ∨ t

d)

r↔t

;

(s ∧ t) → r

1.9.4 Valor de la verdad

Para evaluar el valor de verdad de una proposición compuesta, es decir, de un enlace de proposiciones simples s, q, v, … por medio de los conectivos, se emplea la tabla de verdad con 3 o más columnas, tomando las primeras columnas para poner los valores de verdad V y F, ó, 1 ó 0. lo que diremos “verdadero y falso” de las proposiciones simples, y las demás columnas para los valores resultantes de las proposiciones compuestas, como sigue:

31

MATEMATICA BASICA I

1. Conjunción

p

q

p∧q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

p

q

p∨q

p∧q es verdadero sólo en el caso en que las 2 p y q son verdadero.

p∨q es verdadero o

2. Disyunción

1

1

1

valido en todos los casos

1

0

1

de validez de p ó q salvo

0

1

1

cuando los 2 son falsos

0

0

0

en cuyo caso p∨q es falso.

3. Implicación

p

q

p→q

V

V

V

p→q es verdadero en

V

F

F

todos los casos a

F

V

V

excepción de aquel en

F

F

V

que p es valido y q falso.

p

q

p↔q p↔q es verdadero en los

4. Bicondicional

V

V

V

2 casos en que ambos p

V

F

F

y q son iguales validos o

F

V

F

ambos falsos. En los 2

F

F

V

casos desiguales el bicondicional es falso.

32

MATEMATICA BASICA I

EJERCICIOS

1.

Construir la tabla de verdad de las proposiciones compuestas:

2.

a)

p ↔ (q ∨ s)

;

(r ∧ t) → s

b)

(p ∧ s) → (r ∨ t)

;

(r → t) ∨ ∼q

c)

(∼q → s) ∧ (∼s → q) ;

(p ∧ r) → (p ∨ r)

Dar las tablas de verdad de las proposiciones: 1. p → (q ∨ r) 2. q ∧ r → ∼p 3. (p ∨ ∼q) ∧ (∼p ∧ r) 4. r ∧ s → r ∨ s 5. (p ∧ s) ∨ (q ∧ r) ∨ ∼p 6. (r ∨ s) ∧ (p ∨ ∼q ∨ s) 7. (p ∧ s) ↔ ∼ (∼p ∨ ∼s) 8. (r ∧ q ∧ s) → (r ∨ q ∨ s) 9. (q ∧ s) ↔ (p ∨ r) 10. (q ∧ ∼s) ↔ (∼q ∨ s)

1.9.5 Tautología y Contradicción

1.

Una proposición compuesta es tautológica o es una tautología si en su tabla de verdad para todas las combinaciones V ó F de sus proposiciones simples, resulta ella siempre válida.

33

MATEMATICA BASICA I

Ejemplos:

1. p→(p∨q)

p

q

p∨q

p→(p∨q)

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

2. El silogismo: (p→q) ∧ (q→r) → (p →r) también es tautológica 3. El modus ponens:

(p→q) ∧ p → q

y el modus tolens o principio de inferencia negativa: (p→q) ∧ ∼q → ∼p son tautologías. Los 3: el silogismo, el modus ponens y el modus tolens son básicas en las pruebas matemáticas. 2.

Una “contradiccón” es lo opuesto a una tautología esto es: siempre falsa para todas las combinaciones de las proposiciones simples.

Ejemplo:

P ↔ ∼p

p

∼p

p ↔ ∼p

1

0

0

0

1

0

∼[p→(p∨q)] ; etc., son contradicciones. 34

MATEMATICA BASICA I

1.9.6 Relaciones del Álgebra Proposicional.

Ejercicios para Resolver

1.

Por medio de las tablas de verdad verificar las siguientes relaciones: (muestre las tautologías): 1.1. Idempotencia

:

⎧p ∨ p ↔ p ⎨ ⎩r ∧ r ↔ r

1.2. Involución

:

∼(∼p) ↔ p

1.3. Asociatividad

:

⎧⎪(p ∨ q) ∨ r ⎨ ⎪⎩(p ∧ q) ∧ r

1.4. Conmutatividad

:

⎧p ∧ q ↔ q ∧ p ⎨ ⎩p ∨ q ↔ q ∨ p

1.5. Distributividad

:

⎧⎪(p ∧ q) ∨ r ⎨ ⎪⎩(p ∨ q) ∧ r

1.6. Identidad

:

⎧⎪p ∧ F → F ⎨ ⎪⎩q ∧ V → V

1.7. Complemento

:

⎧⎪p∨ ∼ p ↔ V ⎨ ⎪⎩ ∼ ( ∼ q) ↔ q

↔ p ∨ (q ∨ r) ↔ p ∧ (q ∧ r)

↔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)

; p∨F ↔ p ; q∧ V ↔ q ; p∧ ∼ p ↔ F ; ∼F↔ V

2.

Dar ejemplos verbales de las 7 relaciones.

3.

Verificar las 2 Leyes de Morgan:

4.

a)

⎧∼ (r ∧ s) ↔ ∼ r ∨ ∼ s ⎨ ⎩∼ (r ∨ s) ↔ ∼ r ∧ ∼ s

b)

∼(p → q) ↔ p ∧ ∼q

Verificar también que: i)

(p → q) ↔ (q∼ → ∼q)

ii)

(∼p → q) ↔ (q → p)

35

MATEMATICA BASICA I

5.

Dar ejemplos verbales de 1, 2, 3, 4

6.

Construir 5 ejemplos de tautologías y 5 ejemplos de contradicciones.

Si T es una tautología y C una contradicción, que da: a)

T∨C

b)

T∧C

c)

T→C

d)

C→T

e)

(T ∨ C) → ∼C

f)

∼C → ∼T

1.9.7 Funciones Proposicionales

Las

proposiciones

en

general

expresan

alguna

característica o cualidad. Ejemplos

1. Pedro es deportista 2. María es bella 3. 41 es un número primo El primero da la característica o cualidad deportista; la segunda la belleza; la tercera la característica de ser divisible sólo por la unidad y por si mismo.

36

MATEMATICA BASICA I

La característica o cualidad genera una función de un dominio de sujetos en el conjunto {V, F} que se representa por una mayúscula como función de una variable como la x, r, s, t, …. en la forma P(x), Q(r), …. Por ejemplo: el ser deportista: P(x): x es deportista, R(t): t es primo, etc., en P(x) el dominio son los seres humanos: x: juan es deportista; x=Berta es deportista, etc. En R(t) el dominio son los números enteros t=25, es primo; t=37, es primo, …. etc.

1.9.8 Cuantificadores

Hay 2 símbolos que permiten transformar las funciones proposicionales en proposiciones, es decir: suceptibles de ser verdaderas o falsas.

I.

Operador Universal: ∀ que expresa: “para todo” y que debe traducirse según las características de la función. Por ejemplo: P(x):

(ser hombre mortal)

∀x.P(x): todos los hombres son mortales

Q(y):

(mujer hermosa)

∀y.Q(y): todas las mujeres son hermosas

R(t):

(ser número entero primo)

∀t.R(t):

todos los números son primos

37

MATEMATICA BASICA I

II.

Operador Existencial: ∃ que expresa: “existe uno o algunos” y que debe traducirse según la característica de la función. Así, en los ejemplos anteriores: ∃x.P(x):

existen hombres mortales

∃y.Q(x): existen, o algunas mejeres son hermosas ∃t.R(t):

existen o hay enteros que son primos

Negación de Cuantificadores

I.

La negación del cuantificador universal es: existencial con la función proposicional negada: ∼[∀x.P(x)] ↔ ∃x: ∼P(x)

…(α)

Si P(x) es: ser hombre mortal, la negación (α) dice:

Es falso que todos los hombres sean mortales equivale a: existe un hombre que no es mortal. Si R(t) es ser número entero primo la negación de: ∀t.R(t) es: ∼[∀t.R(t)] ↔ ∃t: ∼R(t)

“Es falso que todo entero sea primo”, equivale a “existe uno o varios enteros que no son primos”.

II.

La negación del cuantificador existencial es: universal con la función proposicional negada:

38

MATEMATICA BASICA I

∼[∃x. P(x)] ↔ ∀x: ∼P(x)

En los ejemplos anteriores: “es falso que existan hombres mortales” equivale a “todo hombre no es mortal”. En: ∼∃t. R(t) ↔ ∀t: ∼R(t) Es falso que exista un número entero primo” equivale a: “todo entero no es primo”.

Ejercicios

1.

Dada las proposiciones:

p:

El día está cálido

q:

El profesor viene hoy

r:

La luna está llena

s: t:

9 = −3 32 + 52 = (3 + 5)2

formar proposiciones compuestas con los conectivos: ∧, ∨ y →.

2.

Formar

5

funciones

proposicionales

y

cuantificarlas. 3.

Negar las proposiciones cuantificadas anteriores.

Para concluir la lógica proposicional veamos la importancia del:

39

MATEMATICA BASICA I

Razonamiento Deductivo.- Es un razonamiento muy

importante en la Matemática con el cual se establecen numerosos

teoremas,

llamados

tasmbién

Proposiciones.

Estos se enuncian mediante una “implicación” cuyo antecedente es la hipótesis y el consecuente es la tesis.

Por ejemplo la proposición: “si la raíz cuadrada de un número natural n, no es un entero, entonces no es un racional o fracción, si no un irracional”.

Aquí la hipótesis o antecedente es: “si la raíz cuadrada del natural n, no es entero”. La tesis, implicación o conclusión es: “la raíz cuadrada es irracional y no racional”.

A lo largo del TINS se tendrá diversos razonamientos. Completemos los conjuntos y pasemos en el capítulo II a los conjuntos numéricos.

Los conjuntos emplean la lógica clásica o bivalente cuyo soporte o rango es el par: L2={0, 1} 40

MATEMATICA BASICA I

Donde 1 representa la verdad o validez y 0 la falsedad o contradicción.

Las relaciones 7 de 1.8: A ∪ A’ = X ; A ∩ A’ = ∅ Expresan que un punto pertenece a un conjunto o a su complemento pero no a ambos.

En esta lógica es valido el “tercio excluido”, así como el principio de contradicción: p ∨ 7 p ≡ 1 y p ∧ 7 p ≡ 0 …… 7 p= no p

El primero expresa que una proposición o es verdadera o es falsa pero no hay una tercera posibilidad.

El

segundo

completa

al

anterior

expresando que la proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez.

Igualmente son válidos: (p → q) ∧ (q → r) . → . (p → r) ó silogismo y el caso que genera algunas pruebas por absurdo (⎤ p → p) → p Se sugiere hacer el análisis de tablas y valuaciones. 41

MATEMATICA BASICA I

EJERCICIOS PARA RESOLVER

1.

Si un conjunto finito tiene k-elementos ¿Cuántos tiene su conjunto potencia?

2.

Si A={α, β, γ}, cómo es el gráfico o grafo de P(A)

3.

¿Y si G={a, b, c, d} , cómo es el grafo de P(G)

4.

Por medio de un gráfico cómo el que se muestra:

A

(A ∩ B)

B

Verificar la Ley de Morgan: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ donde A’, B’ son los complementos. 5.

Verificar las leyes de distributividad 3) de 1.8

6.

Si 2 conjuntos son infinitos: ¿son ambos isomorfos? Es decir: ¿Tienen el mismo número de elementos?

7.

Probar que el silogismo es siempre válido en la lógica de los conjuntos.- Igualmente probar el “modus ponens”: p∧(p → q).→.q

8.

Por tablas verificar si la equivalencia: (p→q) ↔ ( ⎤q → ⎤p) es válida.

42

MATEMATICA BASICA I

II. BREVE PRESENTACIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS 2.1

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES: N

Se ha convenido en llamar números naturales a cada elemento del siguiente conjunto: N = {0, 1, 2, 3, …, n ….} 2.1.1. Observaciones: o

En N existen dos subconjuntos notables: el conjunto de los números pares y el conjunto de los números impares. Pares = {2,4,6,8,…}

o

Impares = {1,3,5,7,9,….}

Si n ∈ N ⇒ 2n: representa un número par 2n – 1: representa um número impar

o

En N se definen las operaciones de adición y multiplicación, donde si x, y ∈ N → (x + y) ∈ N ∧ (x . y) ∈ N (Ley de Clausura)

o

La sustracción no siempre es posible en N. La sustracción no está totalmente definida en N ¿∃x∈N tal que 7+ x = 3? ¡No! Pues x = –4 ∉N por esta razón se amplian los naturales en un nuevo conjunto de números, el cual será definido seguidamente.

43

MATEMATICA BASICA I

2.2

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS: Z

Z = {…., –3, –2, –1, 0, 1, 2,3, ….}

2.2.1. Observaciones: o

En Z se tienen los siguientes subconjuntos notables Enteros positivos Z+ = {1,2,3,….} = N+ Enteros negativos Z- = {–1,–2,-3,….} = –N+ Enteros no negativos Z

+ 0

= { 0 ,1, 2 , 3 ,...}

Enteros no positivos Z 0− = {0,−1,−2,−3,.....} ∴ Z = Z-∪ {0} ∪ Z+ o

En Z siempre es posible restar, veamos una manera práctica de interpolar la adicción y/o sustracción de números enteros Números positivos → ganancia Números negativos → pérdida Ejemplos:

1.

− 3 + 1 ⇒ luego del negocio ¿ gano o pierdo ? pierde 3

gano 1

pierdo 2 ⇒ − 3 + 1 = −2 −2

2.

o

-9 -3 = -12

En Z no siempre se puede dividir, i.e. la división no está totalmente definida en Z ¿∃x∈Z tal que 3. x = 1? ¡No! Pues x =

1 ∉ Z 3

44

MATEMATICA BASICA I

Por esta razón se amplian los enteros en el siguiente conjunto de números.

2.3

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES: Q

⎧a ⎫ Q = ⎨ / a, b ∈ Z ∧ b ≠ 0⎬ ⎩b ⎭

ó

{ b}.∀a,b ∈ Z ∧ b ≠ 0

Q= a

Todo y número que puede escribirse en forma de fracción se llama número racional.

EJEMPLOS

8 −3 1 1 2 ; −3 = ; 0, 5 = ; ; son racionales 2 1 2 3 5

1.

4=

2.

m 1 1 1 5 m ⎫ ⎧ Q = ⎨..., − , − 1, − , ... , , , , 2, , ...⎬ n n 2 3 2 4 ⎩ ⎭

3.

0,666 , 0,75 , 0,78888 , -3.452 , -36 ,

+100, …∈Q

Propiedad 1: Los números racionales abarcan a los N y a los Z,

pues ∀n ∈ N =

n a y ∀a ∈ Z = 1 1

Propiedad 2: Si el número dado es decimal periódico, su

transformación a fracción es por el siguiente cociente:

45

MATEMATICA BASICA I

Sea: N=a1 ,, am • b1 ,, bn c1 ,, cjci ,, cj ,, … donde c1 ..cj es elperíodo decimal, a1, … am están a la izquierda del punto decimal y b1, …, bn están a la derecha del punto. Entonces el siguiente cociente da el número N: a1..amb1..b n c1..c j − a1..amb1..b q..q 0..0 n

j

Para simplificar la prueba supondremos m=n=1, j=2: N = a • bc1c 2 c1c 2 ... 2

4

⎛ ⎞ Multipliquemos N por ⎜ 1000 − 10 ⎟ : ⎝ 4 2 ⎠ a•bc1c2c1c2…c1c2…X(1000-10) = abc1c2•c1c2...c1c2...-ab•c1c2…c1c2… = abc1c2-ab Despejando N tendremos: N=

es decir:

abc1c 2 − ab 1000 − 10

N=a•bc1c2…c1c2…=

abc1c 2 − ab que da la prueba. 990 j

n

Para cualquier otrol N la prueba es semejante.

46

MATEMATICA BASICA I

Ejemplos

1.

o, abc =

abc donde abc = abc es el entero o producto por 999

1000 (3 ceros) eabc − e donde eabc = eabc 999

2.

e, abc =

3.

0,abcbc…= 0,abcbc =

4.

m,abcbc.. = m,abcbc =

5.

0,666... = 0,6 =

6.

1,222…=

7.

3,6767... =

367 − 3 364 = 99 99

8.

0,4333... =

43 − 4 39 13 = = 90 90 30

9.

3,6767... =

367 − 3 364 = 99 99

10.

0,34747…=

347 − 3 344 = 990 990

11.

4,32121…=

4321 − 43 4278 = 990 990

abc − a aquí J=2, n=1, m=0 990 mabc − ma análoga a la prueba 990

6 2 = … m=n=0, j=1 9 3

12 − 1 11 … m=1, n=0, j=1 = 9 9

Para m=1, j=2, n=2 12.

1,234545… =

12345 − 123 12222 = 9900 9900

Para m=1, j=2, n=3

47

MATEMATICA BASICA I

13.

3,1235454…=

312354 − 3123 309231 = 99000 99000

¿Todos los números pueden escribirse en forma de fracción? ¡No! Pues no existe x∈Q/x2 = 2 por tal motivo se crea el siguiente conjunto de números.

2.4.

CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES: Q´ Ó II

Se da el nombre de número irracional a todo número que no es racional. i.e. I = {x / x ≠

m , m, n ∈ Ζ; n ≠ 0} n

Veamos por que, por ejemplo

2 no es un racional

Supongamos que lo fuera:

2=

m n

m m , donde ha sido reducido y n n

no tienen factores comunes.

Tendremos elevando al cuadrado: 2=

2 m2 ⇒ m2 = 2n 2 n

lo que nos dice que m2 y por lo tanto m es par o múltiplo de 2.

Sea m=2r, r un entero. Reemplazando: m2 = 4r 2 = 2n2 ⇒ n2 = 2r 2 lo que muestra que n es también par.

48

MATEMATICA BASICA I

Luego m y n siendo pares tienen un factor común, el 2, contrario a la hipótesis.

2 no puede ser racional.

Por consiguiente

De modo semejante se puede probar que todo radical: ...,

3

3,

5,

2, 3 3, ..., de un número que no es una potencia, no es

racional. Ejemplos:

1.

2 = 1,4142…

2.

3 = 1,73 205…

3.

5 = 2,23 606…

4. 1 +

2

5. 2 −

3

6.

2 + 3,

1 2

,

2 3

Propiedad 3. Un número irracional se caracteriza por tener parte

decimal no periódica, con infinitas cifras decimales. ¿Por qué?

En efecto: si el número tuviera parte decimal periódica, por propiedad 2 de 2.3 podría expresarse como el cociente de 2 enteros, esto sería un racional.

49

MATEMATICA BASICA I

Los números irracionales son de dos tipos: 2.4.1 Irracionales algebraicos. Son raíces de polinomios de

coeficientes enteros. *

2, 7, 3 2 −

3 ,...

2.4.2 Números trascendentales. No son raíces de ningún

polinomio de coeficientes enteros. π = 3,14159... e = 2,718281...

*

π = 3,141592…

infinito no periódicas. -π=-3.141592...

e = 2,7182 81 82…

infinito no periódicas. –e=-2.71828...

2 = 1,4142 1356… infinito no periódicas. - 2 =-1.4142135

2.5.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES: IR

Es el conjunto delos números racionales y el de los irracionales. Las propiedades y/o relaciones se desarrollan en el Capítulo III. IR : Q ∪ I , IR = IR+ ∪ {0} ∪ IR– IR+ : Reales positivos. IR– : Reales negativos.

Graficamente:

IN ⊂ Z ⊂ IR II ⊂ IR

50

MATEMATICA BASICA I

1)

IN ⊂ Z ⊂ Q

2)

Q ∪ I = IR

3)

Q∩I=∅

EJERCICIOS RESUELTOS Transformar a Radicales Simples

1.

10 + 84 A=10 ; B=84 Solución:

Cómo se sabe: A2 – B es un cuadrado perfecto = C2, entonces: A± B =

En nuestro caso:

A+C ± 2

A−C 2

C2 = 102 – 84 = 16 cuadrado perfecto

C = ± 4 asumiendo C = 4 10 + 84 =

2.

10 + 4 10 − 4 + = 7+ 3 2 2

13 − 160

Solución:

Como en el caso anterior: C2 = 132 – 160 = 9 cuadrado perfecto C = ± 3 asumiendo C = 3 13 − 160 =

13 + 3 13 − 3 + = 8+ 5 =2 2+ 5 2 2

51

MATEMATICA BASICA I

3.

Si n = 14 + 2 45 − 9 − 80 ; hallar le menor valor de x cuando: x2 – nx + n +1 = 0 Solución:

14 + 2 45 = 9 + 5 = 3 + 5

Como:

9 − 80 ⇒ c 2 = 81 − 80 = 1 ⇒

9 +1 9 −1 − = 5−2 2 2

∴ 3 + 5 − 5 + 2 = 5 = n ⇒ x2 – 5n + 6 = (x-3) (x-2)=0 que da x=3

y x=2 Luego el menor valor de x es 2.

4.

Si x = 3 2 + 5 + 3 2 − 5 . Hallar el valor numérico de 6 x 3 + 18 x + 5 Solución:

Como: (a + b ) = a 3 + b 3 + 3ab(a + b ) 3

Entonces:

x 3 = ⎛⎜ 3 2 + 5 + 3 2 − 5 ⎞⎟ ⎝ ⎠

3

x 3 = 2 + 5 + 2 − 5 + 3(− 1)⎛⎜ 3 2 + 5 + 3 2 − 5 ⎞⎟ ⎝ ⎠ x 3 = 4 − 3⎛⎜ 3 2 + 5 + 3 2 − 5 ⎞⎟ ⎝ ⎠

⇒

6⎛⎜ 4 − 3⎛⎜ 3 2 + 5 + 3 2 + 5 ⎞⎟ ⎞⎟ + 18⎛⎜ 3 2 + 5 + 3 2 + 5 ⎞⎟ + 5 ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝

24 − 18⎛⎜ 3 2 + 5 + 3 2 + 5 ⎞⎟ + 18⎛⎜ 3 2 + 5 + 3 2 + 5 ⎞⎟ + 5 = 29 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

52

MATEMATICA BASICA I

5.

Si a > 0; a ∈ R ⇒ a +

1 ≥2 a

Solución: Cómo a > 0 ⇒

a >0⇒

1 a

≥0

2

⎛ 1 ⎞ ⇒⎜ a− ⎟ ≥0 a⎠ ⎝ ⇒ a+

6.

1 1 − 2 ≥ 0 ⇒ a + ≥ 2 l.q.q.d. a a

⎛1 1⎞ Si a, b > 0 ⇒ ⎜ + ⎟(a + b ) ≥ 4 ⎝a b⎠ Solución: Como a, b > 0 ⇒ a – b ≥ 0 ⇔ a ≥ b

⇒ (a − b ) ≥ 0 ⇒ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 2

⇒ a 2 + b 2 ≥ 2ab ⇒ ⇒

a2 b2 + ≥2 ab ab

a b a b + ≥ 2 ⇒ +1+ +1 ≥ 4 b a b a

Lo que implica:

a b b a a+b a+b + + + ≥4⇒ + ≥4 b b a a b a ⎛1 1⎞ ⇒ ⎜ + ⎟(a + b ) ≥ 4 ⎝b a⎠

7.

Si x ∈ 2,4 ⇒

l.q.q.d.

1 1 1 ; ∈ 2 x + 3 11 7

Solución: Como x ∈ 2,4 ⇒ 2 < x < 4

4 < 2x < 8 ⇒ 7 < 2x + 3 < 11 implica:

53

MATEMATICA BASICA I

1 1 1 < < 11 2 x + 3 7 ∴

8.

1 1 1 , ∈ 2 x + 3 11 7

Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyas vértices son (-3, -1) (0, 3) (3, 4) (4, -1) Solución:

Graficando los vértices El perímetro del cuadrilátero es: ____

____

____

____

P = AB + BC + CD + DA Donde:

____

(− 3 − 0)2 + (− 1 − 3)2

____

(0 − 3)2 + (3 − 4)2

= 10

____

(3 − 4)2 + (4 + 1)2

= 26

____

(− 3 − 4)2 + (− 1 + 1)2

AB =

BC = CD = DA =

B = (0, 3)

A = (-3, -1)

=5

=7

C = (3, 4)

D = (4, -1 )

54

MATEMATICA BASICA I

Entonces: P = 12 + 10 + 26 ≅ 20,25 und. 9.

El punto medio del segmento entre P1 (x1; y1) y P2(x2, y2) es: ⎛ x1 + x 2 y1 + y 2 ⎞ ; ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2

y P2(x2; y2) P1(x1; y1)

A(x1; 0) 1)

P(x; y) B(x; 0)

C(x2; 0)

x

Se pide hallar las coordenadas (x, y) del punto P en términos de las coordenadas de P1; P2. Para ello traemos desde los puntos P1; P2 segmentos paralelos al eje y y corten al eje x en los puntos A, B, C.

2)

Por la geometría plana elemental; se sabe que la ruta paralela al eje y que pasa por el punto P biseca el segmento AC en el punto B; esto es; B es punto medio del segmento AC. Si B es punto medio del segmento AC entonces se cumple que: x – x1 = x2 – x ⇒ d (A a B) = d (B a C) luego: x=

x1 + x 2 2

de manera similar por los puntos P1;P; P2 trazamos segmentos paralelos al eje x, obteniéndose y2 – y = y – y1

55

MATEMATICA BASICA I

y=

y1 + y 2 2

⎛ x + x 2 y1 + y 2 ⎞ , Luego la fórmula del punto medio es ⎜ 1 2 ⎟⎠ ⎝ 2

10.

Hallar los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son los puntos (-2, 3) (6, -3) Solución: P1 P

(-2, 3)

Q

P2

Se pide hallar las coordenadas

(6, -3)

de P; Q que dividen al segmento

Cómo: ______

P1

P2 P

(-2, 3)

(6, -3)

P1 P2 en tres segmentos de igual

longitud. _____

1

2

PP

1 _____

=

PP2

Entonces: xp =

xp1 + rxp2 1+ r

, yp =

1 =r 2

yp1 + ryp2 1+ r

1 1 6 3 + ( −3 ) 2 = 2; y = 2 ⇒ xp = =1 p 1 1 3 1+ 1+ 2 2 −2 +

⇒ p = ( 2 3 ,1)

Cálculo del Q

56

MATEMATICA BASICA I

⎛1 ⎞ ⎜ 3 + 6 1 − 3 ⎟ ⎛ 10 ⎞ Q=⎜ ; ⎟ = ⎜ ; −1⎟ 2 ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

EJERCICIOS PARA RESOLVER

[1]

Probar las siguientes desigualdades: 1)

a2 + b2 +c2 ≥ ab + ac + bc; ∀a,b,c∈R

2)

∀a,b∈R+⇒

3)

Si a2+b2=1; c2+d2 = 1 entonces 1 ≥ ac+bd; ∀a,b,c,d ∈ R

4)

Si a+b+c=1, donde a,b,c > 0 ⇒ (1-a)(1–b)(1–c) ≥ 8abc

5)

a4 + b4 + c4 + d2 ≥ 4abcd; ∀a,b,c,d ∈ R

6)

Si a > 0; a∈R ⇒ a+

7)

Si a,b,c ∈R+ ⇒

8)

Si a > 0, b > 0 tal que a + b = 1 ⇒ ab ≤ ¼

9)

Si a, b, c ∈R ⇒ a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2 (a + b+ c)

10)

Si a, b > 0 /a ≥ b ⇒

11)

⎛ 1 1 1⎞ Si a, b, c > 0 ⇒ ⎜ + + ⎟ ( a + b + c ) ≥ 9 ⎝a b c⎠

12)

si a > 0 ; a ≠ 1; a ∈R ⇒ a3 +

13)

( ax + by )

14)

(a + b + c+ d)2 ≤ 4(a2 + b2 + c2 + d2) ; ∀ a, b, c, d ∈ R

15)

(a x + by + cz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2)

16)

Si x – 5 ∈ −2,2 → x ∈ 3,7

2

a+b ≥ ab 2

(

1 a

≥2

bc ac ab + + ≥ a+b+c a b c

≤ a2 + b2

a 3b b2 + ≥ +3 b a a2

)( x

2

1 1 > a2 + 2 3 a a

)

+ y 2 ; ∀a,b, x,y ∈ R

57

MATEMATICA BASICA I

17)

[2]

Si x ∈ 1,3 →

1 1 1 , ∈ x + 3x + 1 19 5 2

Resolver las siguientes inecuaciones 1)

3(3x – 17) + 5 (5 – 3x) ≥ 3(3x – 11) – 2(4x – 3)

2)

13 (2x – 3) – 7 (3x – 5) < 3 (2x – 11) + 13x

3)

3x − 2 3x + 7 3x − 5 7 − x − < − 5 2 2 3

4)

3x − 7 8 4 < ( 3 − x ) < ( 7 − 2x ) 4 3 7

5)

9x − 5 3x − 1 5x + 4 ≥ − 4 2 3

6)

7x − 2 5x − 6 9x + 34 + < 2 3 5

7)

2x − 1 3x − 2 2x + 1 2 > + + 5 6 2 3

8)

x 3x 5 ;a>b>0 + < 2 a −b a+b a−b

9)

2x x 2x x − < 10 − < 10 ; a > b > 0 a−b a+b a−b a+b

10)

x+5 x−5 x x + > > 12 6 3 3

2

58

MATEMATICA BASICA I

2.6.

RELACIONES 2.6.1 Las relaciones se presentan en todas la áreas del conocimiento. Por ejmplo: San Isídro es mas grande que

San Borja; Pedro es menor que Pablo; “…es congruente con…” etc. En matemática nos interesan las relaciones entre 2 conjuntos.

2.6.2 Relación Binaria

Dados 2 conjuntos no vacios A y B, una realción binarias de A y B es dado por todo conjunto R del producto A x B. Al conjunto A se le denomina: Dominio o primera proyección y al B el rango o segunda proyección. Si invertimos: B x A se obtiene la relación inversa R-1 entre B y A. Cuando el conjunto B = A es una relación en el conjunto A.

2.6.3 Propiedades

Una relación R en un conjunto A puede tener las siguientes propiedades: : ∀x ∈ A ⇒ ∈ R

1)

Reflexiva

2)

No reflexiva : ∃ x ∈ A ⇒ ∉ R

3)

Simétrica

4)

No simétrica : ∃ ∈ R ⇒ ∈∉ R

5)

Asimétrica

6)

Anti simétrica : ∀[ ∧ ∈ R] ⇒ a = b

: ∀ ∈ R ⇒ ∈ R : ∀ ∈ R ⇒ ∉ R

59

MATEMATICA BASICA I

7)

Transitiva

: ∀[ ∈ R ∧ ∈ R] ⇒ ∈ R

8)

No trasitiva

: ∃[ ∈ R ∧ ∈ R] ⇒ ∉ R

9)

Intransitiva

: ∀[ ∈ R ∧ ∈ R] ⇒ ∉ R

Las relaciones en un conjunto A pueden cumplir algunas propiedades. Las más importantes relaciones son:

2.6.4

Relaciones de equivalencia

Son las reflexivas, simétricas y transitivas.- Si R denotamos simplemente por ∼, debe cumplir: E1 ∀ a ∈ A ⇒ a ∼ a .............................reflexiva E2 ∀ a, b ∈ A : si a ∼ b ⇒ b ∼ a......... simétrica E3 a ∼ b ∧ b ∼ c ⇒ a ∼ c ................... transitiva

Ejemplos:

1.

A = conjunto de las circunferencias en el plano c, si tienen igual radio. Es una relación de equivalencia. (se trata de las circunferencias. Ver Capítulo IV)

2.

Relaciones de congruencias módulo m en los enteros Z. Por ejemplo m = 5 a, b ∈ Z son cogruentes a ∼ b mod 5 si: a – b es multiplo de 5. Así: 1 ∼ 6 mod 5; 2 ∼ 7, 3 ∼ 8 ∼ 13, 4 ∼ 9 ∼ 14 ∼ 19,… etc

60

MATEMATICA BASICA I

3.

Rectas en el plano de igual pendiente: y – x = 0 ∼ 2y – 2x – 3 = 0; y – 1 = 0 ∼ y + π = 0 ∼ etc. x… (se tratar las rectas y propiedades. Ver Capítulo IV).

2.6.5 Clases de Equivalencias

Toda relación de equivalencia en un conjunto A, lo separa en sub-conjuntos A1, A2,… formado por los conjuntos equivalentes. Es lo que denominamos una partición de A. Por ejemplo, en Z los enteros congruentes modulo m, sea m=5 forma m=5 clases de equivalencia: Z0={….., -10, -5, 0, 5, 10, 15, …..} Z1={….., -9, -4, 1, 6, 11, …..} Z2={….., -8, -9, 2, 7, 12, …..} Z3={….., -7, -2, 3, 8, 13, …..} Z4={….., -6, -1, 4, 9, 14, …..} 2.6.6 Relaciones de Orden

Son las que cumplen la reflexividad, la antisimetría y la transitividad. Si la relación la denotamos por 4 ó x 0 I.

a2 < b ↔ a < b ∧i a > − b

II.

a2 > b ↔ a > b ∨ ó a < − b

Ejemplos:

Resolver: 1.

4x2 + 12x – 3 > 0

→ x2 + 3x – ¾ > 0 → x2 + 3x > ¾ → x2 + 3x + 9/4 > ¾ + 9/4 → (x + 3/2)2 > 3

2.

→ x+

3 3 > 3 o x+ < − 3 2 2

→ x+

3 3 > 3 o x+ − ⎬x−2< 2 2 ⎪ 3⎪ → ( x − 2) > − 2 ⎪⎭ → ( x − 2) <

3.

Resolver 4x2 – 4x + 7 ≥ 0

→ x2 – x + 7/4 ≥ 0 → x2 – x ≥ –7/4 → x2 – x + ¼ ≥ –7/4 + ¼ → (x – ½)2 ≥ – 3/2 Conjunto Solución: R 2

1⎞ 3 ⎛ Pues ∀x∈R: ⎜ x − ⎟ ≥ 0 ≥ − : (todo cuadrado ≥0) 2⎠ 2 ⎝

3.7.

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL 3.7.1. Definición: El valor absoluto de un número real “a” se

define como aquel número real no negativo que se denota por: |a| donde:

|a|=a si a≥0 |a|=-a si a 0 ∧ (–b < a < b )

10.

| a | ≤ b ↔ b ≥ 0 ∧ (–b ≤ a ≤ b )

11.

| a | > b ↔ a > b ∨ a < -b

12.

| a | ≥ b ↔ a ≥ b ∨ a ≤ –b

13.

| a + b | ≤ | a | + | b | ; ∀ a, b ∈ R

14.

|| a | – | b || ≤ | a – b | ; ∀ a, b ∈ R

15.

|| a || = | a |; ∀ a∈ R

Prueba de 13 y 14: | a + b | 2 = ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = a2 + b2 + 2ab ≤ | a |2 + | b |2 + 2| a b | = | a |2 + 2 | a | | b | + | b |2 = (| a | + | b |)2

| a + b |2 ≤ ( | a | + | b | )2 |a+b|≤|a|+|b|

84

MATEMATICA BASICA I

| a | = | b + (a – b) | ≤ | b | + |a – b| → | a | – | b | ≤ |a – b|

(I)

| b | = | a + (b – a) | ≤ | a | + | a – b | → | b | – | a | ≤ |(a – b)| – (| a | – | b |) ≤ | a – b | (II) De (I) y (II) | a | – | b | ≤ | a – b | ∧ –(| a | – | b |) ≤ | a – b | → ≤ │a – b│}

Ejemplos:

1.

| 3x + 4 | = | 7x – 3 |

↔

3x + 4 = 7x – 3

ó

3x + 4 = –(7x – 3)

↔

–4x = –7

ó

10x = –1

↔

x=

7 4

ó

x= −

1 10

⎧ 1 7⎫ ⎨− , ⎬ ⎩ 10 4 ⎭ 2.

| 10x + 7 | = 17

↔

10x + 7 = 17 ó

10x + 7 = -17

↔

10x = 10

ó

↔

x=1

ó

10x = -24

x= −

⎧ 12 ⎫ ⎨− ,1⎬ ⎩ 5 ⎭ 3.

| 5 – 3x | < 7

↔

–7 < 5 – 3x < 7

↔

–12 < – 3x < 7

↔

12 > 3x > –7

85

12 5

MATEMATICA BASICA I

↔

–7 < 3x < 12

↔

–

7 17

ó

7x + 3 < –17

↔ 7x > 14

ó

7x < –20

↔ x>2

ó

x 9

ó

x2 –16 < -9

↔ x2 > 25

ó

x2 < 7

↔ (x > 5

ó

x < –5) o

20 7

| x2 – 16 | > 9

(−

7 0

5)

3x2 – 10x + 3 < 0

6)

x(3x + 2) < (x + 2)2

7)

5x2 – 14x + 9 > 0

8)

1 – 2x – 3x2 ≥ 0

9)

3x2 – 5x – 2 ≥ 0

86

MATEMATICA BASICA I

2.

Resolver las siguientes inecuaciones: (3er grupo) 1)

x4 – 4x3 – x2 + 4x – 6 < 0

2)

2 x3 + 3 x2 – 11 x –6 ≥ 0

3)

x 3 – 3 x2 – 13x + 5 > 0

4)

x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 > 0

5)

x 5 + 3x4 – 5x3 – 15x2 – 4x + 12 > 0

6)

x4 – 3x2 – 6x – 2 < 0

7)

( 3x − 1)( x + 1) ≥ 0 ( 2x + 1) (x − 8)

8)

( 3 − x ) ( x 2 − 1) (1 − 5 ) x >0 2 7 ( 6x + 3 ) ( 3x − 5 ) 2

3

9)

10)

3.

(x

3

) ( x − 1) ( x + 3 ) ( x − 25 ) 7

−8

) (x 7

2

4

(x

2

+ x +1

8

10

2

)

− 2x + 1 ( x + 3 ) ( x − 9 )

≥0

7

x 4 − 2x 2−8

>0

11)

x4 – 2x2 + 8x – 3 > 0

12)

(x – 7) (x + 3) (x + 5) (x + 1) ≥ 1680

Resolver las siguientes inecuaciones: (4to grupo) 1)

2x 2 − 3x + 3 1 >− ( x − 2)( 2x + 3 ) 2

2)

x+4 x−2 < x−5 x+3

3)

7 1 + < −2 x−4 x+2

4)

7 6 − 2 >2 x −1 x −1

87

MATEMATICA BASICA I

4.

5)

x 2 − 2x + 3 > −3 x 2 − 4x + 3

6)

7 6 − 2 0 x+2 x +1

2

88

MATEMATICA BASICA I

10) 11) 5.

x 2 + 3x − 4 ≤1 x 2 − 3x + 2

|2x3 – 3| ≤ |4x + 1|

Resolver la siguiente inecuación: (6to Grupo) 1)

Dados los conjuntos A = {4x + 7 > – 17} B = {4x2 – 13 |x| + 9 ≥ 0}, hallar CA ∩ B ; A ∩ CB.

2)

Si D={3x2-(x+9)>0} ; E={x2+4x-21 x−2

e)

x 2 + 2x + 2 x + 2} 2 ∩ 0,1 = φ 3

MATEMATICA BASICA I

d)

2 ⎪⎫ x2 − 6 x + 7 ⎪⎧ A = ⎨x ∈ R / ≥ ⎬ x −1 x − 1⎭⎪ ⎩⎪ ⎧ x − 2 x + 3⎫ B = ⎨x ∈ R / ≤ ⎬ R − ∞,] ∪ {3} ∩ 6 + ∞ . x + 4 x − 6⎭ ⎩

e)

⎧⎪ x 3 − 2 x 3 − 4 ⎫⎪ A = ⎨x ∈ R / 2 < ⎬ x + 1 x 2 + 2 ⎪⎭ ⎪⎩

⎛ x4 − 2 x2 − 8 ⎞ ⎪⎧ ⎪⎫ B = ⎨x ∈ R / ⎜ ⎟ x ≤ 0⎬ 2− x ⎝ ⎠ ⎩⎪ ⎭⎪

3.8.

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

Postulado de Cantor – Dedekind: “Los puntos de una recta orientada son coordenados o está en correspondencia binómica con los reales”.

Esta correspondencia permite aplicar los métodos del Análisis a la Geometría

creando

asi

una

relación

entre

estas

ramas

matemáticas que se conoce como: Análisis y Geometría o con mayor propiedad Geométrica Analítica. Correspondencia que permitirá, por ejmplo: usar con ventaja: métodos algebraicos para resolver probelmas geométricos, e inversamente usar representaciones geométricas de ecuaciones y relaciones funcionales.

91

MATEMATICA BASICA I

Los sistemas de coordenadas fueron introducidos por el filósofomatemático francés René Descartes en 1637. Por ello es que también se llama la Geometría Analítica como la Geometría Cartesiana. Para introducir esta rama matemática a un problema geométrico, un buen plan es primero, trazar un sistema apropiado de coordenadas. A

continuación

trataremos

algunos

problemas

básicos

geométricos con ayuda de la Geometría Analítica.

3.9.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 3.9.1 Proposición 12. La distancia d entre 2 puntos P1(x1 , y1) y

P2(x2 , y2) está dado por la fórmula: d=

( y2 − y1 )

2

+ ( x2 − x1 )

2

En efecto: En el triángulo recto P1 Q P2, El teorema de Pitágoras asegura que: d 2 = ( y2 − y1 ) + ( x2 − x1 ) 2

2

92

x2-x1

MATEMATICA BASICA I

Sacando la raíz cuadrada positiva: d=

3.10

( y 2 − y1 )

2

+ ( x 2 − x1 )

2

SISTEMA CARTESIANO DEL PLANO

Hemos estado viendo problemas sobre rectas. Para analizar diversas relaciones sobre el plano debemos introducir un sistema apropiado.

El sistema cartesiano plano es la intersección de 2 rectas orientadas perpendiculares de conformidad a la figura:

Cada

punto

coordenadas:

del una

plano sobre

tiene el

2 eje

horizontal X, la abcisa, y otra sobre

y

el vertical Y, la ordenada. Pasemos a ver diversos casos:

EJERCICIOS PROPUESTOS N°04

1.

Verificar que los puntos A(3,8) , B(–11,3) y C(–8, –2) son los vértices de un triángulo isósceles.

2.

Verificar que los puntos A(7,5) , B(2,3) y C(6,–7) son los vértices de un triángulo rectángulo.

3.

Determinar un punto que equidiste de los puntos A(1,7), B(8,6) y C(7,–1).

4.

Verificar que los puntos A(2,4) , B(8,6) y D(4,8) son los vértices de un paralelogramo.

93

MATEMATICA BASICA I

3.11. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA 3.11.1 Proposición 13. Si P1(x1 , y1) y P2(x2, y2) son los extremos

de un segmento ; las coordenadas (x,y) de un punto P que divide a este segmento en la razón dada. r=

P1 P P P2

son x =

y + ry 2 x1 + rx2 , y= 1 ; r ≠ −1 1+ r 1+ r

Prueba:

-

Por los puntos P1, P2 , P tracemos perpendiculares a los ejes coordenados.

-

A1, PA y

Por Geometría Elemental, las tres paralelas P1

P2 A2 interceptan segmentos proporcionales sobre las dos transversales P1P2 y A1A2. Por lo tanto:

r=

P1P A A = 1 P P2 A A 2

(α )

Las coordenadas de los pies de la perpendicular al eje X son A1(x1,0), P

A(x,0) y A2(x2,0). Luego: A 1A = x − x1 ; A A 2 = x2 − x En:

(α)

r=

x − x1 x + rx2 →x= 1 ; r ≠ −1 x2 − x 1+ r

94

MATEMATICA BASICA I

De manera similar, podemos comprobar y=

y1 + ry 2 ; r ≠ −1 1+ r

3.11.2 Observaciones:

1.

Si r > 0, el punto P es interno al segmento dirigido .

2.

Si r < 0, el punto P es externo al segmento dirigido (pero siempre en la recta que contiene al segmento).

3.

a)

Estará más cerca al punto P1 si | r | < 1.

b)

Estará más cerca al punto P2 si | r | > 1.

En el caso particular en que r = 1, tenemos el siguiente corolario:

Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido cuyos puntos extremos son: (x1 , y1) y (x2 , y2) esta dado por: x=

x1 + x2 y + y2 , y= 1 . 2 2

EJERCICIOS PARA RESOLVER

1.

El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremo los puntos A(2,-1) y B(-1,2), y los lados iguales miden 17 unidades. Hallar el vértice opuesto al lado desigual.

2.

Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son (-2,1), (5,2) y (2, -3).

3.

Dos vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(1,0) y B(–1, 2 3 ). Hallar las coordenadas del tercer vértice C(x,y).

95

MATEMATICA BASICA I

4.

Hallar las coordenadas de un punto P(x,y) que divida al segmento P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en la razón r =

P1 P . P P2

donde: a)

P1(4,–3) , P2(1,4)

,

r=2

b)

P1(5,3) , P2(-3,–3)

,

r = 1/3

c)

P1(0,3) , P2(7,4)

,

r = –2/7

d)

P1(–5,2) , P2(1,4)

,

r = -5/3

e)

P1(–2,1) , P2(3,-4)

,

r = –8/3

3.11.3 Área de Polígonos de lados rectos. Los vértices de un

triángulo orientados en sentido antihorario son (x1,y1), (x2,y2) y (x3,y3). Entonces el área del triángulo cuyos vértices son dados es:

x1 1 AΔ = x 2 2 x3

y1 y 2 ; la mitad del valor del arrego. y3

El valor dado de arreglo se obtienen adjuntado x, y, luego hay 3 flechas hacia abajo positivas y las 3 flechas hacia arriba

96

MATEMATICA BASICA I

(punteadas) negativas. Se hace las operaciones y al final se toma la mitad del valor absoluto:

=

( x1y 2 + x 2 y 3 + x 3 y1 ) − ( x1y 3 + x 3 y 2 + x 2 y1 )

Ejemplo:

Los vértives de un triángulo son , y ¿Cuál es su área?

El valor del área es:

1 2

=

1 ( 21+ 0 + 0 ) − ( 0 + 56 + 0 ) 2

=

1 21 − 56 = 17.5 2

Sólo se ponen las flechas a la derecha. Nota.- En esta forma, la fórmula se puede generalizar para hallar

el área de cualquier polígono. Se puede comenzar de cualquier vértice y en cualquier sentido teniendo cuidado de no saltarnos. Para 4 lados o cuadriláteros:

A =

97

x1

y1

1 x2 2 x3 x4

y2 y3 y4

MATEMATICA BASICA I

Ejemplos:

1.

Determinar el área:

Del triángulo DCE:

A = 1

2

=

1 3 + 30 + 9 − (6 + 9 + 15)] = 6u2 [ 2

(3 obticuas)

Del rectángulo ABCD:

A = 1

2

1 = ⎡⎣1 + 15 + 15 + 1 − ( 3 + 3 + 5 + 5 ) ⎤⎦ = 8u2 2

(4 obticuas)

Del pentágono ABCED

A = 1

2

1 = ⎡⎣1 + 15 + 30 + 9 + 1 − ( 3 + 6 + 9 + 5 + 5 ) ⎤⎦ = 14u2 2

(5 obticuas)

98

MATEMATICA BASICA I

2.

Área de la figura ABCDE que debe dar aproximadamente circulo de radio1: aprox.

π . 4

Área de polígono = Ap inscrito en el

Ap =

1 2

0 1

0 0

3 2 1 2

1 2

0 0

1 0

1 de 4

1 de círculo. 4

1 ⎡ 1 3 1 1⎤ 6 3 = ⎢ + + − ⎥= = 2 ⎣2 4 2 4⎦ 8 4

3 2

3 = 0.75 4

π 1 = 0.785 área de círculo 4 4 de radio 1

EJERCICIOS PARA RESOLVER

1.

Hallar el área de los polígonos cuyas coordenadas de los vértices son:

a)

(2,5) , (7,1) , (3,-4) y (-2,3)

R. 39.5u2

b)

(0,4) , (1,-6) , (-2,-3) y (-4,2)

R. 25.5u2

c)

(1,5) , (-2,4) , (-3,-1) , (2,-3) y (5,1)

R. 40u2

d)

(1,1), (7,1), (7,3), (7,6) y (1,3)

R. 21u2

e)

(-4,2), (-6,-2), (-2,-8), (5,-9), (10,-2) y (5,6)

R. 153u2

99

MATEMATICA BASICA I

EJERCICIOS RESUELTOS

1.

Hallar las coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices son A(x1 , y1), B(x2 , y2), C(x3, y3)

Solución

Las medianas de un triángulo se cortan en un punto P(x,y) llamado baricentro, situado de los vértices a 2/3 de la distancia de cada uno de ellos al punto medio del lado opuesto. Consideramos la mediana APD, siendo D el punto medio de BC. Las coordenadas de D son

Como

x2 + x3 y + y3 , 2 2 2

AP 2 = AD 3

resulta r =

A(x1,y1)

AP 2 = =2 PD 1

⎡ x + x3 ⎤ x1 + 2 ⎢ 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ = x1 + x2 + x3 x= 1+ 2 3 ⎡ y + y3 ⎤ y1 + 2 ⎢ 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ = y1 + y 2 + y 3 , y= 1+ 2 3 luego las coordenadas del baricentro son y + y2 + y3 ⎤ ⎡ x + x + x3 P⎢ 1 2 , 1 ⎥ 3 3 ⎣ ⎦

100

D

P

MATEMATICA BASICA I

2.

Hallar las coordenadas del baricentro de los triángulos cuyos vértices son:

3.

a)

(5,7) , (1 ,–3) y (–5,1)

b)

(2,–1) , (6,7) y (–4,–3)

c)

(3,6) , (–5,2) y (7,–6)

d)

(7,4) , (3,–6) y (–5,2)

e)

(-3,1) , (2,4) y (6,–2)

Demostrar que los 3 puntos siguientes son colineales: A(–3,–2) , B(5,2) y C(9,4) Debe de verificar que el área de los 3 puntos es 0.

3.12. ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA Y PENDIENTE DE UNA RECTA 3.12.1 Definición. Si L es una recta que pasa por el punto

P0(x0,y0), entonces el ángulo θ formado por la recta L y el eje x positivo en sentido antihorario se llama ángulo de inclinación de L. Variación de θ es 0 ≤ θ ≤ 180° . Llamaremos pendiente de una recta L a la tangente de su ángulo de inclinación y denotaremos por mL = tan θ . 3.12.2 Observaciones:

Si θ < 90º ⇒ mL > 0 Si θ > 90º ⇒ mL < 0 Si θ = 90º ⇒ mL → ∞

101

MATEMATICA BASICA I

Proposición 14. La pendiente de una recta L que pasa por los

puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) está dado por mL =

y 2 − y1 ; x2 ≠ x1 . x2 − x1

La prueba de deja como ejercicio.

3.12.3 Rectas paralelas; perpendiculares:

1.

Dos rectas L1 y L2 no verticales son paralelas si y sólo si m1 = m2. En efecto:

Si L1 // L2 → α1 = α 2 → tanα1 = tanα 2 i – e = m 1 = m 2. 2.

Dos rectas son perpendiculares . ↔ m1 ,m2 = −1 Esto es, si los ángulos de inclinación son x y θ, se tiene:

θ = 90º +α - tanθ = tan ( 90º +α ) - tanθ = − cot α =

−1 tan α

tan α tan θ = –1 esto es: m1 . m2 = –1

102

MATEMATICA BASICA I

3.12.4 Ángulo entre 2 rectas

Supongamos que tenemos 2 rectas L1 y L2 que se cortan y queremos la medida del ángulo

que forman.

Sean las pertinentes según figura: m1 = tan β m2 = tan θ θ = α + β → α = θ − β → tgα = i−e

tgα =

tgθ − tgβ 1 + tgθ tgβ

m2 − m1 ; m2m1 ≠ −1. (Suponemos que las 1 + m2m1

rectas no son perpendiculares, este es α ≠

π ) 2

EJERCICIOS RESUELTOS

1)

El área de un triángulo es 8 und2 y los vértices son los puntos A(1, -2), B(2, 3) y el tener vértice C esta en la recta 2x + y – 2 = 0. Determinar las coordenadas del vértice C. Solución: Cómo: B(2, 3)

L: 2x + y – 2 = 0 A(1, -2) C(x, -2x + 2)

103

MATEMATICA BASICA I

Se tiene: 1 − 2 1 1 Area = 2 3 1 =8⇒ 2 x − 2x + 2 1

x = −1 y=4

∴ x = (-1, 4) 2)

Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por los vértices del triángulo A (5, -4) B(-1, 3) C(-3, -2) y son paralelas a los lados opuestos. Solución: B (-1, 3)

L3 L1

A (5, -4)

C (-3, -2)

L2

Calculo de L1 ____

Cómo L1 // AB ⇒ mAB = mL1 mL1 = mB-A =

3 − ( −4 ) −1 − 5

=

7 7 =− −6 6

Punto de paso: (-3, -2) ⇒ Ecuación L1 Ecuación punto pendiente:

7 y+2 =− x+3 6

104

MATEMATICA BASICA I

Se tendrá: y + 2 =

−7 ( x + 3) 6

7x + 6y + 33 = 0

Cálculo de L2 ____

Como L2 // BC ⇒ m ____ = mL2 BC

m BC = mC −B =

3 − (− 2) 5 = − 1 − (− 3) − 4

Ecuación punto pendiente:

y+4 5 =− 4 x−5

5 ( x + 5) ; 4

Entonces:

y+4=−

Es decir:

5x + 4 y − 9 = 0

Cálculo de L3 ____

Como L3 // AC ⇒ m _____ = mL3 AC

m ____ = mCA = AC

2 1 − 2 − (− 4) = =− 4 −3−5 −8

Ecuación punto – pendiente: Entonces:

y −3= −

y−3 1 =− x +1 4

1 (x + 1) 4

x + 4y – 11 = 0

3)

Dadas las ecuaciones de dos lados de un paralelogramo 8x+3y+1=0; 2x+y-1=0 y la ecuación de una de sus diagonales

105

MATEMATICA BASICA I

3x+2y+3 = 0; determinar las coordenadas de las vértices de este paralelogramo. Solución: D B

L2: 8x + 3y + 1 = 0

A C L1: 3x + 2y + 3 = 0

L3: 2x + y - 1 = 0

Calculo vértice A1 L1= ∩ L2:

8x + 3y + 1 = 0

(x, y) = (1, -3)

3x + 2y + 3 = 0

Cálculo vértice B: L1 ∩ L3:

3x + 2y + 3 = 0

(x, y) = (5, -9)

2x + 0y - 1 = 0

Cálculo vértice C: L1 ∩ L3:

8x + 3y + 1 = 0

(x, y) = (-2, 5)

2x + y - 1 = 0

Para calcular D: se recurre

____

____

AD = CB

____

⇒ D − A = CB = A + B − C = (1,−3) + (5,−9) − (− 2,5) D = (8, -17)

106

MATEMATICA BASICA I

4)

Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por los vértices del triángulo A(-4, 3) B(6, -4) C (-8, -2) y son paralelas a los lados opuestos. L3 A(-4, 3)

Solución:

L2 B(6, -4) C(-8, -2)

L1

Calculo de L1: ____

Como: L1 // AC ⇒ mL1 =

−2 − 3 5 = −8 + 4 4

Ecuación punto de paso – pendiente: y ‘ y0 = (x – x0) donde: (x0, y0) = (6, -4)

mL1; 5/4

y+4=

5 (x − 6) ⇒ 5 x − 4 y − 46 = 0 4

y+4=

5 (x − 6) ⇒ 5 x − 4 y − 46 = 0 4

Calculo de L2: ____

Como: L2 // BC ⇒ mL2 = y−2 = −

− 3 − (− 4) 7 = −4−6 − 10

7 ( x + 8 ) ⇒ 7x + 10y + 36 = 0 10

107

MATEMATICA BASICA I

Calculo de L3: ____

Como: L3 // BC ⇒ mL3 = y −3= −

− 2 − (− 4) 2 1 = =− 7 −8−6 − 14

1 (x + 4) ⇒ x + 7 y − 17 = 0 10

EJERCICIOS PARA RESOLVER

1.

Dado el triángulo de vértices A(-2,5) , B(-6,-3) y C(4,7). Hallar el ángulo que forma la mediatriz del lado AB con la mediana trazada desde C.

2.

Hallar el radio de la circunferencia inscrita al triángulo isósceles ABC sabiendo que A(-7,-1), B(5,4) y C(5,-6). R. 10/3

3.

Tres rectas L1, L2 y L3 se interceptan en el punto M(-6,4). Si L1 y L2 contienen los puntos (2,2) , (0,0) respectivamente y L2 es bisectriz del ángulo que hacen L1 con L3. Hallar la pendiente de L3. R. 3/2 , 19/2

4.

Encuentre los ángulos interiores del triángulo ABC cuyos vértices son A(–2,–3), B(–5,4) y C(6,1).

5.

Si P(3,6) y Q(–3,4) son los puntos de trisección del segmento AB, hallar el ángulo ACB donde C = (7,–3).

6.

Hallar el área del exágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1.

108

MATEMATICA BASICA I

IV. RECTA Y CIRCUNFERENCIA

4.1

LA ECUACIÓN DE LA RECTA: DIVERSAS FORMAS DE SU ECUACIÓN Forma punto – pendiente.

La ecuación de la recta L que pasa por el punto P0(x0,y0) y cuya pendiente es m esta dado por:

L : y – y0 = m(x - x 0) Forma pendiente-ordenada en el origen.

La ecuación de la recta L de pendiente m y que corta al eje Y en el punto P0(o,b) (siendo b la ordenada en el origen) está dado por

L: y = mx + b.

Forma cartesiana.

La ecuación de la recta que pasa por 2 puntos P1(x1,y1) y P2(x2, y2) está dado por: y − y1 x − x1

=

y2 − y1 x2 − x1

109

MATEMATICA BASICA I

Ecuación simétrica de la recta.

La ecuación de la recta L corta a los ejes coordenados X e Y en los puntos A(a,o) y B(o,b) está dado:

L:

4.2

x y + =1 a b

ECUACIÓN GENERAL DE UNA RECTA.

La forma general de la ecuación de la recta

L está dado por L :

Ax + By + C = 0, A, B, C son constantes con la condición que A, B y C no son simultáneamente nulas. 4.2.1 Observaciones:

1.

Si A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 → y = −

C , que es una recta // B

al eje x. 2.

Si A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 → x = −

C , que es una recta // A

al eje Y. 3.

Si A ≠ 0, B ≠ 0 → y = −

A C x− B B

de la recta con pendiente m = −

, que es la ecuación A , B

sigue de las

relaciones vistas:

4.2.2 Consideremos 2 rectas:

L 1: A1 x + B1y + C1 = O; L 2 : A2x + B2 y + C2 = 0

110

MATEMATICA BASICA I

las relaciones siguientes son condiciones necesarias y suficientes para: 1.

L1, sea paralela a L 2: L 1// L

2

↔

A1 B1 = A 2 B2

deben ser iguales o: − 2.

en efecto: las pendientes

A1 A 2 A B = ⇒ 1 = 1 B1 B2 A 2 B2

L 1, sea perpendicular a L 2: L 1 ⊥ L 2 A1A2 + B1B1 = 0 aquí las pendientes perpendiculares o: ⎛ ⎜ 1 A − 1 = −⎜− B1 ⎜ A2 ⎜ B 2 ⎝

4.3

⎞ ⎟ B ⎟ = 2 ⇒ A1A 2 + B1B2 = 0 ⎟ A2 ⎟ ⎠

FAMILIAS DE RECTAS

Todo conjunto de rectas que satisfacen una única condición geométrica se llama familia de rectas o haz de rectas. Sean las rectas

L 1 : = A1x , B1 y + C1 = 0 , L 2 : = A2x , B2 y + C2 = 0 que se cortan en el

punto P0(x0 , y0) = 0 . La familia de rectas. Que pasan por el punto de intersección de

L 1 y L 2 es L

1

+k

L 2 = O; K se denomina

un parámetro: es un valor constante para cada recta, variando de una recta a otra.

111

MATEMATICA BASICA I

En efecto:

(

)

Si x y y es el punto de intersección de L1 y L2 tendremos: A 1x + B1y + C1 = 0

y

A 2 x + B 2 y + C2 = 0 Luego, para cada valor de K, la recta: L1+KL2 = [A1 x + B1 y + C1 + K (A2 x + B2 y + C2)] =0

pasará por ( x, y ) puesto que: ⎡ ⎛ ⎞⎤ L1 + KL 2 = ⎢ A1x + B1y + C1 + K ⎜ A 2 x + B2 y + C2 ⎟ ⎥ ⇒ 0 ⎜ ⎟⎥ ⎢ 0 0 ⎝ ⎠⎦ ⎣

112

MATEMATICA BASICA I

Ejemplos

1.

Dar la familia de rectas que pasan por el punto (2,2) Tomemos 2 rectas que se cortan en (2,2): sean y=x y y=2 La familia solicitada puede darse por: y-x+K(y-2)=0

2.

Familia de rectas paralelas de pendiente 3: Daremos 2 rectas paralelas de pendiente 3 y con ellas formamos la familia pedida: y = 3x y = 3x + 2 Estas dos rectas paralelas se intersectan en el ∞, luego la familia pedida puede ser dada por: y - 3x + α (y - 3x - 2) = 0

113

MATEMATICA BASICA I

Nota. En un sistema coordenado lineal la distancia no dirigida

entre 2 puntos se define como el valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une estos dos puntos.

EJERCICIOS PARA RESOLVER

1)

Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje y disminuida en 3 es siempre igual al doble de su distancia al eje x. Hallar la ecuación del lugar geométrico: Resp. x – 2y – 3 = 0

2)

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancia a los dos puntos A (3, 0) y B (-3,0) es siempre igual a 8. Resp. 7x2+ 16y2 = 112

4.4

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 4.4.1 La distancia no-dirigida de un punto

Q(x0,y0) a una recta:

L : Ax + By + C = 0 está dado por la fórmula d (Q , L ) =

Ax0 + By 0 + C A 2 + B2

114

MATEMATICA BASICA I

L 1 : = Ax + By + C = 0 ,

4.4.2 Observación: Si dos rectas

L 2 : = Ax + By + D = 0 Son paralelas entonces la distancia entre estas dos rectas, esta dado por: d (L 1, L 2) =

C−D A 2 + B2

Verifiquemnos en la forma siguiente:

Distancia de un punto a una recta Preposición 15: Si L: Ax + By + C = 0 es una recta y P1 = (x1; y1)

es un punto de R2; entonces la distancia de P1 a L es: Ax1 + By1 + C

d=

A2 + B 2

Prueba: [: RQP1 ⇒ d = PR.cosα y

P (x1; y1)

(porque)es un segmento vertical

d

Como R∈L⇒ Ax1+By0+C=0

α Q

L: Ax + By + C = 0

R (x1; y0) θ x x1

115

MATEMATICA BASICA I

⇒ Cómo RP1 = y1 + ⇒ d=

By1 + Ax1 + C B

Ahora: tgθ =

By1 + Ax1 + C A C x1 + = B B B cos α

−A pero θ = α (porque los lados de θ son B

perpendiculares a los lados de α)

tgα = −

A A = B −B

B α A

;A>0

También: Si B < 0 ⇒ α > 90º y cos α > 0 ⇒ cos α = Si B > 0 ⇒ α < 90º y cos α > 0 ⇒ cos α =

∴d =

Ax1 + By1 + C A 2 + B2

116

−B

A2 + B 2 B A2 + B 2

>0 >0

MATEMATICA BASICA I

EJERCICIOS PARA RESOLVER 1.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,4) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (7,3) y (5,–1).

2.

Los vértices de un triángulo ABC son A(–2,1) , B(4,7) y

C(6,–3).

Hallar la ecuación de sus lados. 3.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas L 1 : 5x + 2y + 7 = 0,

L 2 : 4x – 3y + 24 = 0, y es perpendicular a la recta L 3 : 3x – 4y – 12 = 0, 4.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x + 5y – 2 = 0; 2 x – 3y – 14 = 0 y es paralela a la recta 4x – 3y – 12 = 0.

5.

Una recta pasa por el punto de intersección de las rectas 2x – 3y – 5 = 0, x + 2y – 13 = 0, y el segmento que determina sobre el X es igual al doble de su pendiente. ¿Cuál es su ecuación?

6.

Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2,–1) y que pasan por el punto (2,–1) y forman un ángulo de 45º con la recta 2x – 3y + 7 = 0.

7.

Dado el triángulo ABC cuyos vértices son A(9, 7), B(–5, 5) y C(-3,–9) Hallar: a)

El área del triángulo ABC.

b)

La ecuación de la recta que pasa por el, baricentro de dicho triángulo y es perpendicular a la recta 7x + 8y + 84 = 0.

c)

La ecuación de la mediatriz al lado AB.

117

MATEMATICA BASICA I

d)

La ecuación de la altura bajada desde el vértice B al lado AC.

e) 8.

La ecuación de la mediana bajada del vértice A al lado BC.

Encontrar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas L 1 : 3x + 4y – 7 = 0 y L 2 : 4x – 3y + 6 = 0.

9.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas L

1

: 2x + 3y – 14 = 0, L 2 : 3x – y – 10 = 0, y dista del origen

7 unidades. 10.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por las intersecciones de las rectas

L

1

: 3x – 4y = 0,

L 2 : 2x – 5y + 7 = 0, y forma con los

ejes coordenadas un triángulo de área 8u2. 11.

Hallar

las

ecuaciones

de

los

lados

de

un

triángulo,

conociendo uno de sus vértices B(2,-1) y las ecuaciones de la altura: 3 x – 4y + 27 = 0 y de la bisectriz: x + 2y – 5 = 0, trazadas desde diferentes vértices. Resta:

L AB = 4x + 7y – 1 = 0 L BC = 4x + 3y – 5 = 0

EJERCICIOS RESUELTOS

1.

Las rectas

L1 y L2 se cortan en el punto P(1,3) formando un

ángulo de 45º (medido de en el origen igual a

L 1 a L 2 ). La recta L 1 tiene ordenada

5 . Determinar los puntos sobre 2

su distancia de estos puntos a

L 1 sea = 4u.

118

L 2 tales que

MATEMATICA BASICA I

Solución

Como

L 1 pasa por P(1,3) y

A = (0,

5 ) su ecuación es: 2 A

L1: y – 3 =

La recta

5 2 ( x − 1) 1− 0

3−

L 2 pasa por P(1,3) y su pendiente m es desconocido.

Como tg45º =1; m = 3:

L 2 : y = 3 + 3(x - 1)

y = 3x.

L 2 tal que la distancia de Q a

Ahora hallar los puntos Q(x0 , y0)

L 1 es 4u. Si (x0 , y0) ∈

L 2 3x0 – y0 = 0 y0 = 3x0.

Luego: x0 − 2y o + 5 1+ 4

=4⇔

x0 − 2 ( 3x0 ) + 5

= 4 ⇔ 5 − 5x0 = 4 5

5

⇔ 5 − 5 x0 = 4 5 ∨ 5 − 5 x0 = −4 5 x0 =

5−4 5 5+4 5 ∨ x0 = → 5 5

119

y0 =

(5 − 4 5) 3 5

∨ y0 =

(

3 5+4 5 5

)

MATEMATICA BASICA I

2.

Hallar las ecuaciones de las restas que pasan por el punto y que forman cada una un ángulo de 45º con la recta 2x – 3y + 7 = 0. Solución

Como (x1 , y1) = (2,–1) Luego las ecuaciones por hallarse son: y + 1 = m(x – 2).

Graficando:

(1.1)

Sea m la pendiente de L Como: L : 2x + 3y + 7 = 0; su pendiente es: m1 = −

2 2 = −3 3

2 3 =1 ⇒ m = 5 tg45º = 2 1+ m 3 m−

⇒

L : y + 1 = 5(x - 2):

5 x – y – 11 = 0.

2 − m1 1 L : dependiente m1 tal que: tg45º = 3 = 1 ⇒ m1 = − 1 5 1 + m1 2

⇒

L : y + 1 = − 1 ( x − 2) 5

120

(2,-1)

MATEMATICA BASICA I

EJERCICIOS PARA RESOLVER

1.

Dadas las rutas

L 1: x + y – 3 = 0; L 2: 2x – y + 1 = 0; hallar las

ecuaciones de las rutas que pasan por el punto (1,1) que forma ángulos iguales con las rutas dadas. 2.

Halle la tangente del ángulo que forma la ruta que pasa por (–5,6) y (1,2) con la que pasa por (–4,7) y (8,7).

3.

Encuentre las tangentes de los ángulos del triángulo cuyos vértices son (1,4) (6,2) (0,–3).

4.

El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos A(2,-1) y B(-1,2); y los lados iguales miden cada 17 unidades, hallar el vértice opuesto al lado desigual. R. C(–2,–2) , C(3,3)

5.

Dos vértices de un triángulo equilátero son puntos A(1,0) y B(–1, 2 3 ), hallar las coordenadas del tercer vértice. R. (–3,0) ; (3, 2 3 )

6.

El lado de un rombo es igual a 5 10

y dos de sus vértices

opuestos son los puntos (4;9) y (–2;–1), calcular el área de este rombo. 7.

Hallar las coordenadas de un punto P1(x,y) que divida al segmento : P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en la razón r = a) P1(4;–3) ; P2(1,4) ; r = 2 b) P1(5,3) ; P2(–3,–3) ; r = ½ c) P1(0,3) ; P2(7,4) ; r = 2/7 d) P1(-5,2) ; P2(1,4) ; r = 5/3 e) P1(-2,1) ; P2(3,-4) ; r = 8/3

121

P1 P . PP2

MATEMATICA BASICA I

8.

Halla las áreas de los polígonos cuyas coordenadas de los vértices son:

9.

a) (2,4) , (7,1) , (3,–6) y (–2,3)

R. 39,5 u2

b) (0,5) , (1,–7) , (–2,-4) y (–4,2)

R. 25,5 u2

c) (1,6) , (–2,5) , (–3,2) y (5,2)

R. 40 u2

d) (–4,3) , (–6,–3) , (–2,–8) , (5,–9) , (10,–3) y (5,7)

R.153 u2

Tres rectas L 1, L 2 y L 3 se interceptan en el punto M(–6,4). Si L1 y

L2 contienen

los puntos (2,2), (0,0) respecto. Y

L2

es bisectriz

del ángulo que hacen L 1 con L 3. Halla la pendiente de L 3.

10.

Hallar el radio de la circunferencia inscrita al triángulo isósceles ABC si A(–7,–1) , B(5,4) y C(5,–6).

11.

R. 10/3

Dado el triángulo de vértices A(–2,–5) , B(–6,–3) y C(4,7). Hallar el ángulo que forma la mediatriz del lado AB con la mediana trazada desde el vértice C.

12.

Determinar el punto equidistante de los puntos A(9,0), B(-6,3), C(5,6). R. (1,–1)

13.

Los puntos medios de los lados de un triángulo son A(2,5), B(4,2) y C(1,1), hallar las coordenadas de los vértices del triángulo. R. (2,-3) , (-1,4) y (5,6)

14.

Discutir y graficar: a) x2y – x2 – y = 0

b) xy2 + x – 8y = 0

c) xy – 2y – 3x = 0

d) x2y + xy – 2y – x = 0

e) x2y – 4y + x = 0

f) xy – x + 2y – 1 = 0

g) x2 y2 – 4xy2 + 3y2 – 4 = 0

g) xy – x 4y + 2 = 0

122

MATEMATICA BASICA I

15.

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los puntos A(-2,2) y B(2,5) es siempre constante e igual a 13.

16.

Hallar la ecuación del L.G. de los puntos (x,y) tales que la suma de sus distancias con respecto a los puntos (-4,0) y (2,0) es siempre igual a 10 unidades.

17.

Sobre un triángulo ABC cuya base AB se encuentran sobre el eje “X” y la mediatriz de dicha base sobre el eje “Y”, tiene los vértices A y B de coordenadas A(3,0) y B(-3,0). Hallar la ecuación del L.G. descrito por el tercer vértice C(x,y) el cuál se mueve de manera que Aˆ + Bˆ = 135° .

18.

Dado el triángulo ABC de vértices A(-4,0), B(0,8) y C(-3,0). Hallar la ecuación del L.G. de los centros de los rectángulos inscritos en el triángulo. R. 4x + y – 4 = 0

19.

Dos de los vértices de un triángulo son A(-1,3) y B(5,1). Hallar la ecuación del L.G. del tercer vértice si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC .

20.

Un triángulo ABC cuya base se encuentra sobre el eje X. Tiene los vértices A( 3,0 ) y B( 3,0 ). Hallar la ecuación del L.G. descrito por el tercer vértice C(x,y) el cuál se mueve de manera que )(A) + )(B) = 120º .

21.

Sea un círculo de radio 4 unidades, se traza una tangente geométrica que corta al eje X en N. Se traza el radio por el punto de tangencia que prolongado corta en P a la perpendicular al eje X levantada desde N; punto donde la tangente corta al eje X. Hallar la ecuación del L.G. de P.

123

MATEMATICA BASICA I

22.

Los puntos externos de la base de un triángulo son A(0,0) y B(3,0). Hallar la ecuación del L.G. del vértice opuesto C, el cuál se mueve tal que el ángulo de la base CAB es siempre el doble del otro ángulo de la base CBA.

4.5

LA CIRCUNFERENCIA 4.5.1 Definición. Sea C un punto fijo del plano R2, r ∈ R+

entonces se llama circunferencia de centro C y radio r al conjunto de puntos p(x,y) que equidista de C(h,k)

r

una cantidad r>0.

C = {(x,y) ∈ R2 / || cp || = r }

i.e

( x − h)

|| cp || =

2

+ (y − k) ç 2

Es decir: → (x - h)2 + (y - k)2 = r2

4.5.2 Elementos

1. El punto fijo C(h,k) se llama r

centro de la C. 2. La distancia fija r>0 se llama radio de C. 3. El

segmento

AB

se

llama

diámetro de C. 4. El segmento DE se llama cuerda de C. 124

MATEMATICA BASICA I

5. La cuerda L1 que pasa por F se llama tangente a C en F. 6. La distancia de C a F es el radio de la circunferencia donde F es punto tangente.

4.5.3 Ecuaciones de la Circunferencia I.

Forma ordinaria.

De conformidad a la definición 4.5.1: La ecuación de la circunferencia de centro C(h,k) y radio r > 0 esta dado por C: (x - h)2 + (y - k) = r2. Ejemplo:

Circunferencia de centro y que pasa por P(6,4). Se tiene: r2=(6-2)2+(4 -1)2=25 => r=5=>(x-2)2+(y -1)2=25

II.

Forma canónica.

La ecuación de la circunferencia de centro el origen C(0,0): h=K=0 de coordenadas y radio r > 0 está dado por ⇒x2+y2=r2.

125

MATEMATICA BASICA I

III. Ecuación general.

Sea la ecuación que implica: (x – h)2 + (y – k)2 = r2 ⇒ x2 – 2xh + h2 + y2 – 2yk + k2 = r2 x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0

esto es x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ( ‘ ) Toda ecuación de la forma x2 + y2 + Ax + By + C = 0 define una circunferencia? En ( ‘ ) completando cuadrados para pasar a su forma ordinaria. x2 + Ax + y2 + By = -C

A2 B2 A2 B2 2 + Y + By + = + −C → x + Ax + 4 4 4 4 2

2

2

A⎞ ⎛ B⎞ A2 + B 2 − 4C ⎛ →⎜x+ ⎟ +⎜y+ ⎟ = =d 2⎠ ⎝ 2⎠ 4 ⎝

Se representan 3 casos: 1.

Si d > 0, en este caso 2

2

A⎞ ⎛ B⎞ ⎛ ⎜x + 2 ⎟ +⎜y + 2 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( d)

2

⎛ A B⎞ Estamos frente a una circunferencia de dentro ⎜ − , − ⎟ y ⎝ 2 2⎠ radio d .

126

MATEMATICA BASICA I

2

2.

2

A⎞ ⎛ B⎞ ⎛ Si d = 0 → ⎜ x + ⎟ + ⎜ y + ⎟ = 0 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎛ A B⎞ El único punto que satisface a la ecuación es ⎜ − , − ⎟ ⎝ 2 2⎠ Por consiguiente, para que haya circunferencia se requiere que: A2+B2-4C>0

3.

Si d < 0

el conjunto es φ .

Ejemplo 2x2 + 2y2 – 10x + 6y – 15 = 0

Dividiendo:

x2 + y2 – 5x + 3y -

15 =0 2

A2 + B2 – 4C = 25 + 9 – 4 x

15 =4>0 2

Hay circunferencia: Ordenando y completando cuadrados: 25 ⎞ ⎛ 2 9 ⎞ 15 25 9 ⎛ 2 ⎜ x − 5 x + 4 ⎟ + ⎜ y + 3 y + 4 ⎟ = 2 + 4 + 4 = 16 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

2

5⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ ∴ ⎜ x − ⎟ + ⎜ y + ⎟ = 16 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎞ ⎛5 Circunferencia con centro en ⎜ y − ⎟ y radio 4. 2⎠ ⎝2

127

MATEMATICA BASICA I

4.5.4 Familias de Circunferencias Hemos visto que la ecuación

general de una circunferencia es: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ó 2

2

A⎞ ⎛ B⎞ A 2 + B2 − 4C 2 ⎛ x y + + + = =r ⎜ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4 ⎝ Por consiguiente depende de 3 valores:

−

A B y − son el centro y C o r es el radio. Estos 3 valores o 2 2

condiciones varíando de una curva a otra, determinan clases o lo que se denomina familias de circunferencias. Las familias más importantes son aquellas en que dependen de una sola condición, la cual se denomina: “parámetro”.

Ejemplos:

1.

Varía el radio; el centro fijo. Determinar

la

familia

de

circunferencias con centro en el punto P(1,0). En este caso el parámetro es el radio r. La ecuación general será: (x - 1)2 + (y - 0)2 = r2 Para cada valor de r tenemos una circunferencia de la familia; así: (x – 1)2 + y2 = 1 ; (x – 1)2 + y2 = 3 ; …

128

MATEMATICA BASICA I

2.

Variación de uno de los centros (lo demás fijo). Determinar la familia de circunferencias con centro en la recta y=1 y de radio 2. Aquí el radio es fijo y el centro de todas está en el eje y=1.

El centro genérico es x=α, y =1 es decir: (x-α)2 + (y-1)2 = 4 α es el parámetro.

3.

Variación de los 2 centros. Hallar

la

familia

de

circunferencias con centro en el eje y-x=0 y radio 1. Aquí varían A y B que dan el centro

pero

proporcional-

mente dependientes de un parámetro α; (x-α)2 + (y-α)2 = 1

129

MATEMATICA BASICA I

Puede haber variación de 2 ó aún los 3 valores A, B, C en función de un parámetro.

4.

Hallar

la

familia

de

circunferencias que pasa por los 3 puntos: P1(0,0), P2(6,0) y P3(3, α). La circunferencia que pasa por

3

puntos

P1(x1,y1),

P2(x2,y2) y P3(x3,y3) es dado por el determinante de 4º orden: x2 + y2

x

y

x +y

x1

y1 1

x2

y2 1

x3

y3 1

x x

2 1 2 2 2 3

+y +y

2 1 2 2 2 3

1 =0

En el caso dado tendremos: x2 + y2 0

y 1

0 0 1

36 9+α

x

6 0 1 2

= x2 + y2 − 6x +

18 − 9 − α 2 y=0 α

3 α 1

Veamos ahora las familias dadas por 2 circunferencias: La ecuación:

C1 + λC2 = 0

Ó equivalente: x2 + y2 + A1x + B1y + C1 + λ(x2 + y2 + A2x + B2 y+ C2) = 0 da para cada valor del parámetro λ ≠ -1, una circunferencia que pasa por por los 2 puntos de intersección I1 e I2 de C1 y C2 si 130

MATEMATICA BASICA I

es que estas circunferencias se cortan y su centro está en la recta de los centros de Cr1 y Cr2.

Si Cr1 y Cr2 son tangentes,

cada circunferencia de la

familia pasa por el punto de tangencia.

5. Cr1 : (y-2)2 + x2 = 4 => y2 – 4y + x2 = 0 Cr2 : y2 + x2 = 1 => y2 + x2 – 1 = 0 Familia de circulo Cr1 + λCr2: y2 – 4y + x2 + λ(y2 + x2 - 1) = 0

Recta de centros X=0 ó eje Y Puntos de intersección:

−

15 1 , 4 4

,

15 1 , 4 4

La recta que pasa por los puntos de intersección es: y = Todas las circunferencias de la familia: y2 – 4y + x2 + λ(y2 + x2 - 1) = 0

131

1 4

MATEMATICA BASICA I

con y ≠ -1 pasan por los puntos de intersección −

15 1 , 4 4

,

15 1 , . 4 4

La recta que pasa por estos puntos de intersección se denomina “eje vertical”. Veamos una propiedad importante del:

4.5.5. Eje

radical.-

Sean

2

circunferencias

diferentes

cualesquiera: Cr1: x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0 Cr2: x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0 Hemos formado la familia: x2 + y2 + A1x + B1y+ C1 + λ (x2 + y2 + A2x + B2y + C2) = 0 y discutido para todos los valores excepto λ = –1. Para este valor se tiene la recta: (A1 – A2)x + (B1-B2)y + (C1-C2) = 0

que se conoce comno el eje radical; pasa por los puntos de intersección de Cr1 y Cr2 si ellas se cortan, por el punto de tangencia si ellas son tangentes y por un punto entre las 2 si ellas no se tocan. El eje radical es perpendicular a la rcta de los centros y la propiedad más importante es que para cada punto P(x,y) del eje radical las tangentes a las circunferencias de la familia, todas estas tangentes tienen la mnisma longitud. 132

MATEMATICA BASICA I

Para la prueba pongamos las circunferencias en la forma: Cr1: (x - a1)2 + (y - b1)2 – r12 = 0 Cr2: (x - a2)2 + (y – b2)2 – r22 = 0 El eje radical P(λ = -1) se obtiene restando las 2: Cr1 – Cr2 = 0 ó sea: P… (2a1 – 2a2)x + (2b1 – 2b2)y + a22 – a12 + b22 – b12 + r12 – r22 = 0 Tenemos ahora un punto cualquiera P(x,y) en el eje radical y tracemos las tangentes t1 a Cr1 y t2 a Cr2. El valor de cada una es por (Pitágoras) los triángulos rectángulos: t12 = (x-a1)2 + (y-b1)2 – r12 t22 = (x – a2)2 + (y – b2)2 – r22 y su diferencia: t22 – t12 =(x - a2)2 + (y - b2)2 – r22 – [(x - a1)2 + (y - b1)2 – r12] =(2a1–2a2)x + (2b1 – 2b2)y + a22 – a12 + b22 – b12 + r12 – r22

133

MATEMATICA BASICA I

Necesariamente igual a 0 por resultar la ecuación P del eje radical.

Luego:

t22 – t12 = 0 => t2 = t1

Lo que prueba que las 2 tangentes son iguales. En forma semejante se puede probar que para toda otra circunferencia Cr de la familia: las tangentes desde P(x,y) del eje radical a Cr y a Cr1 (o Cr2) son iguales. Consideremos dos circunferencias: C1: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 C2: x2 + y2 + Ex + Fy + C = 0 La familia de circunferencias que pasan por la intersección de C1 y C2 viene expresada por C: x2 + y2 + Ax + By + C +K (x2 + y2 + Ex +Fy + D) = 0 ; k ≠ -1 Donde k es el parámetro que puede tomar cualquier valor real.

134

MATEMATICA BASICA I

PROBLEMAS RESUELTOS

Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto A(-4, -1) y que es tangente a la recta L: 3x + 2y -12 = 0

Solución:

Como

la

ecuación

de

la

circunferencia es: (x- h)2 + (y - k)2=r2

(-4, 1)

donde (h, k) es el centro y r su radio; entonces el centro (h, k) = (-4, -1)

L: 3x + 2y – 12 = 0

Para hallar el radio: r =d (centro, L ) =

3(− 4 ) + 2(− 1) − 12 32 + 2 2

=

26 13

= 2 13

⇒ Ecuación de la circunferencia será:

(x + 4)2 + ( y + 1)2 = 52 Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(7, -5) y es tangente a la recta L1: x – y – 4 = 0 en el punto B(3, -1) Solución: A (7, -5) L1: x - y – 4 = 0

Hallando la recta LBC ⇒ mLBC = -1 donde mL1 = 1 ⇒ mLBC = -1 ⇒ LBC: y + 1 = - (x - 3) ⇒ x + y – 2 = 0

C B (3, -1)

____

____

Entonces el centro = (x, 2 - x) ⇒ CA = CB

135

MATEMATICA BASICA I

⇒ (x - 7)2 + (2 – x + 5)2 = (x - 3)2 + (2 – x + 1)2 ⇒ x = 5 ____

⇒ centro será: (5, -3) ; radio = CA = 2 2 Entonces: (x - 5)2 + (y + 3)2 = 8 Ejemplo 3: Sea la circunferencia cuya ecuación es: 25x2 + 25y2 + 30x - 20y – 62 = 0 Se pide: 1)

Hallar el centro y el radio de C

2)

Longitud de la circunferencia

3)

Hallar el área del circulo

Solución:

1)

Como 2

la

ecuación

de

una

C

en

forma

general

2

x +y +Dx+Ey+F=0 ⎛ D E⎞ Siendo su centro: ⎜ − , − ⎟ ; r 2 = 3 ⇒ r = 3 ⎝ 2 2⎠ ⇒ (x − 3 5 ) + ( y − 2 5 ) = 3 2

2)

(C ) = 2πr = 2π

3)

A(C ) = πr 2 = 3π

2

3

Ejemplo 4: Determinar para que valores del coeficiente angular L la recta y = Kx 1) Corta a la circunferencia x2 + y2 – 10x + 16 = 0. 2) Es tangente a esta circunferencia. 3) Esta fuera de la circunferencia.

136

es:

MATEMATICA BASICA I

Solución:

1)

Para que: L: y = Kx corta a la C: x2 + y2 – 10x + 16 = 0 Entonces L es recta secante a C ⇒ (x , Kx) ∈ C:

x2 + K2 x2 – 10x + 16 = 0 ......

Δ

(1 + K2)x2 – 10x +16 = 0 Δ debe ser positivo, luego: Δ > 0 ⇒ |K| <

3 4

2.

Se cumple Δ = 0 ⇒ K = ±

3.

Se cumple Δ < 0 ⇒ K >

3 4

3 4

Ejemplo 5: Hallar la circunferencia C que pasa por A(1, -1) y por los puntos de intersección de las dos circunferencias: C1: x2 + y2 + 2x – 2y – 23 = 0 C2: x2+ y2 – 6x + 12y – 35 = 0 Solución:

Caso de familia de circunferencias: C1 + γC2 = 0 (x2 +y2 + 2x – 2y - 23) + γ (x2 +y2 - 6x + 12y - 35) = 0 Como:(1, -1) ∈ C ⇒ γ = -1/3 ⇒ C: x2 + y2 + 6x – 9y – 17 = 0

137

MATEMATICA BASICA I

EJERCICIOS PARA RESOLVER

1.

2.

Hallar el centro y radio de las circunferencias (si existen). a)

x2 + y2 + 10x – 6y + 18 = 0

b)

x2 + y2 -14x + 4y + 53 = 0

c)

x2 + y2 + 2x -12y + 46 = 0

d)

2 x2 + 2y2 – 10x + 14y + 5 = 0

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (5,1) , (9,5) y con centro sobre la recta 3x – 2x – 5 = 0.

3.

4.

5.

Hallar la ecuación de la circunferencia: a)

Centro en (0,-3) y tangente a L:5x – 12y + 3 = 0.

b)

Centro en el eje X y pasa por (4,6) y (1,3).

c)

Pasa por (7,-5) y tangente a L: x – y – 4 = 0 en (3, -1).

d)

Que pasa por (2,3) , (3,29 y (-4,3).

Hallar la ecuación de las rectas tangentes a: a)

9x2 + 9y2 + 18x – 12y – 16 = 0 cuyas pendientes miden 2.

b)

x2 + y2 + 6x - 8 = 0 perpendiculares a la recta 4x - y + 31 = 0

c)

x2 + y2 + 8x – 2y + 12 = 0 desde el punto (7,2).

La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 = 50. El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es (-2,4). Hallar la ecuación de la cuerda.

6.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (-8,5) y por la intersección de las circunferencia: C1: x2 + y2 – 8x – 6y + 17 = 0 C1: x2 + y2 – 18x – 4y + 67 = 0 R. x2 + y2 + 2x – 8y – 33 = 0

¿Cuál es el eje radical?

138

MATEMATICA BASICA I

7.

La recta que pasa por A(1,-3) y B(-1,-5) es mediatriz de una cuerda de una circunferencia. Un extremo de esa cuerda D(2,2). Hallar la ecuación de tal circunferencia si su radio mide 4 unidades.

8.

dada la circunferencia x2 + y2 – 6x – 2y + 6 = 0, determine los valores de la pendiente m para los cuales la recta y = mx + 3.

9.

a)

Corta a la circunferencia en dos puntos distintos.

b)

Es tangente e indique los puntos de intersección.

c)

No tiene punto en común con la circunferencia.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(1,-1) y por los puntos de intersección de las dos circunferencias: x2 + y2 + 2x – 2y – 23 = 0 ; x2 + y2 + 6x + 12y – 35 = 0

Verificar que desde un punto P(x1,y1) del eje radical; las 3 tangentes a las 3 circunferencias tienen igual longitud. R. x2 + y2 + 6x – 9y – 17 = 0

139

MATEMATICA BASICA I

140

MATEMATICA BASICA I

V. CÓNICAS

5.1

SECCIÓN CÓNICA O CÓNICA

Dada una recta L (fija) y un punto fijo F no en esa recta. Se llama

cónica

al

lugar

geométrico de un Punto P que se mueve en el plano de L y F de tal manera que la razón de su distancia de F a su distancia de L es siempre una constante positiva.

La recta fija L se llama mediatriz, el punto F foco y la constante positiva, a la que denotaremos por: excentricidad de la cónica=e.

Por definición de cónica, el punto P debe satisfacer la condición geométrica:

PF PA

=e .

Denominaciones:

Si es e < 1 ⇒ la cónica se llama Elipse. Si e = 1 ⇒ la cónica se llama parábola. Si e > 1 ⇒ la cónica se llama hipérbole.

141

MATEMATICA BASICA I

5.2

PARÁBOLA

Es el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a un punto fijo y a una recta fija son iguales. Es decir: P(x,y) = ρ ⇒ por definición de

cónica

se

tiene

d(p,F) = d(p,L).

5.2.1 Elementos

(Ver figura que sigue) 1.

La recta fija L se llama directriz de la parábola.

2.

El punto fijo F se llama foco de la parábola.

3.

La recta L‘ que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz L se llama eje focal.

4.

Si Q es el punto de intersección de L con L‘, entonces el punto medio V del segmento QF que pertenece a la parábola se llama vértice.

5.

El segmento BB‘ que une 2 puntos cualesquiera de la parábola se llama cuerda.

6.

La cuerda CC‘ que pasa por el foco se llama cuerda focal.

7.

La cuerda focal RR‘ perpendicular a L‘ se llama lado recto.

8.

El segmento FP

que une el foco con un punto de la

parábola se llama radio de P.

142

MATEMATICA BASICA I

5.2.2 Ecuaciones de la parábola I.

La ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje focal coincide con el eje X es dada por y2 = 4px, donde el foco es (P,O) y la ecuación de la directriz es x = –P.

II.

La ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje focal coincide con el eje Y esta dado por x2 = 4py, donde el foco es (0,p) y la ecuación de la directriz es y = –p.

III.

La ecuación de la parábola con vértice (h,k) y eje focal paralelo al eje X esta dado por (y – k)2 = 4p(x – h), donde el foco es F(h + p , k) y la directriz es x = h – p.

IV.

La ecuación de la parábola con vértice (h,k) y eje focal paralelo al eje Y esta dado por (x – h)2 = 4p(y – k), donde el foco es F(h, k + p) y la directriz es y = k – p.

143

MATEMATICA BASICA I

5.2.3 Observaciones:

•

Para los casos (I) y (III): Si p > 0 ⇒ La parábola se abre hacia la derecha. Si p < 0 ⇒ La parábola se abre hacia la izquierda.

•

Para los casos (II) y (IV): Si p > 0 ⇒ La parábola se abre hacia arriba. Si p < 0 ⇒ La parábola de abre hacia abajo.

(I)

(II)

144

MATEMATICA BASICA I

(IV)

(III)

5.2.4 Ecuación general de la parábola

Sea la ecuación en su forma ordinaria (x - h)2 = 4p(y - k) x2 – 2xh + h2 – 4py + 4pk = 0

Recíprocamente consideremos

ie x2 + Ay + Bx + c = 0 x2+Ay+Bx+C=0⇒x2+Bx=-Ay-c 2

→ x2 + Bx +

⎛ B 2 B2 B⎞ C B2 ⎞ ⎛ = − Ay − C → ⎜ x + ⎟ = − A ⎜ y + − ⎟ 4 4 2⎠ A 4A ⎠ ⎝ ⎝

Representa una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje y.

Discusión.

Si A = 0 ⇒ x2 + Bx + c = 0

(◊ )

Si las raíces de ( ◊ ) son reales y desiguales:

145

MATEMATICA BASICA I

ie

r1 y r2

( ◊ ) se pueden escribir como (x – r1) (x – r2) = 0 y el lugar

geométrico correspondiente consta de las rectas diferentes

x = r1 y x =

r2 paralelas ambas al eje y. Si las raíces de ( ◊ ) son reales e iguales, el L.G. consta de 2 rectas coincidentes representadas geométricamente por una recta paralela al eje Y. Si las raíces de ( ◊ ) no son reales no existen ningún lugar geométrico.

PROBLEMAS RESUELTOS

1)

Hallar el vértice; el foco y la ecuación de la recta directriz de las parábolas cuyas ecuaciones son: a)

x2- 4x + 3 – y = 0

b)

3y2 – 4x + 12y + 16 = 0

c)

4x2 – 8x – 3y – 2 = 0

Solución:

a)

y

x2 – 4x = y – 3 ⇒ (x - 2)2 = (y + 1) ⇒ vértice: (2, -1); eje focal ⎜⎜ eje y; 4p =1

Foco: F = (2, -1 + ¼) = (2, -3/4) Ec. Directriz: y = -1 - ¼ = -5/4 L. lado recto: 4 p = 1

146

p=

1 4 -1

L

MATEMATICA BASICA I

y x -2

b)

3y2 – 4x + 12y + 16 = 0 3y2 +12y = 4x – 16 = 4(x - 4) y2+4y =

4 (x − 4) ⇒ ( y + 2)2 = 4 (x − 1) 3 3

vértice: (1, -2), eje focal: ⎜⎜ eje x; ⎛ 1 ⎞ ⎛4 ⎞ Foco: F = ⎜1 + ,−2 ⎟ = ⎜ ,−2 ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠

Directriz: x = 1 -

p=

1 2 = 3 3

L. Lado Recto: 4 p =

4 3

y

1 x

-2

147

4p =

1 3

4 3

MATEMATICA BASICA I

c)

4x2 - 8x = 3y + 2

3 y +1 2

x2 – 2x =

(x − 1)2 = 3 ( y + 2) 4

Vértice: V = (1, -2); eje focal: ⎜⎜ eje y; 4p =

3 2

3 ⎞ ⎛ 29 ⎞ ⎛ Foco: F = ⎜1,−2 + ⎟ = ⎜1,− ⎟ 16 ⎠ ⎝ 16 ⎠ ⎝ Directriz: y = −2 −

3 35 =− 16 16

L Lado Recto: 4 p =

2)

3 4

Hállese la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los extremos del lado recto de la parábola. y2 = 4x

Solución:

Como: Es una parábola cuyo vértice es el origen del sistema y cuyo eje e focal es paralelo al eje horizontal entonces:

Siendo su foco: F = (h + p, 0) = (1, 0)

Siendo: 4p = 4 ⇒ p = 1

148

MATEMATICA BASICA I

y A

x

F B

La longitud el lado recto 4 p = 4 quiere decir sus extremos son los A(1, 2) B (1, -2). Luego la circunferencia pasa por los puntos (0, 0) (1, 2) (1, -2); entonces la circunferencia tienen como ecuación: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0. Reemplazando los puntos dados en la circunferencia se tienen: D=0; E=-5; F=0, luego la ecuación de la circunferencia será: x2 + y2 − 5y = 0

(x )

2

2

5⎞ 25 ⎛ +⎜y− ⎟ = 2⎠ 4 ⎝

Radio:

3)

5

; Centro: (0, 5 2 )

2

De la información del vértice y foco, hallar la ecuación de la parábola. vértice (2, 3) foco: (5, 3)

149

MATEMATICA BASICA I

Solución: y

Eje focal ⎜⎜ eje x

( x − h )2 = 4 p ( y − K ) 3

V

Como p = d (vértice; foco) F

Vértice (h, k) = (2, 3)

p=2

⇒ ecuación parábola (x-2) = (y - 3)2 2

x

EJERCICIOS PARA RESOLVER

1.

Discutir y graficar: 4x2 + 28x + 32y – 95 = 0.

2.

Discutir y graficar: 4y2 – 32x – 12y – 103 = 0.

3.

Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x2 = -8y que es paralela a la recta 3x + 4y – 7 = 0.

4.

Hallar la ecuación de la parábola si su foco es (2,-5) y la ecuación de la directriz es 3x + 4y – 12 = 0.

5.

Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva y2 = 16x en el punto (4,-8).

6.

Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje X y que pasa por los puntos (3,3) , (6,5) y (6,-3). R. y2 – 2y – 4x + 9 = 0

7.

Hallar la ecuación de la tangente a la parábola y2 – 8x = 0 si la pendiente de dicha tangente es -1.

150

MATEMATICA BASICA I

8.

Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto (2,3), de eje paralelo al eje Y, y que pase por el punto (4,5). R. x2 – 4x – 2y + 10 = 0

9.

Hallar la ecuación de la parábola de vértice (-2,3) y foco (1.3). R. y2 – 6y – 12x – 15 = 0

10.

El punto (-2,-4) es el punto medio de una cuerda de la parábola x2 + 6x + 10y + 19 = 0. Hallar la ecuación de tal cuerda.

11.

El eje de una parábola es la recta L1: x – 2y + 4 = 0, su foco está en la recta L 2: x – 2 = 0 y su vértice es V(4,4). Hallar la longitud del lado recto y la ecuación de las parábolas.

5.3

LA HIPÉRBOLA 5.3.1 Definición. Una hipérbole H es el conjunto de todos los

puntos del plano R2 con la propiedad de que el valor absoluto del cociente de sus distancias a dos puntos fijos es siempre igual a una constante positiva 2a menor que la distancia entre los puntos 2c. i.e. Si F1 y F2 son los puntos fijos de R2 y “a” un número real

positiva entonces se tiene:

{

}

H = P ( x, y ) ∈ IR2 : d (PF1 ) − d (PF2 ) = 2a

151

MATEMATICA BASICA I

5.3.2 Observaciones

152

MATEMATICA BASICA I

1.

Toda hipérbola se compone de dos ramas H1 y H2 definidas por:

{ } = {P ( x,y ) ∈ IR :d (PF ) − d (PF ) = −2a}

H1 = P ( x,y ) ∈ IR2 :d (PF1 ) − d (PF2 ) = 2a H2 2.

2

1

2

Los puntos fijos F1 y F2 son llamados focos de la hipérbole y el punto medio F0 del segmento FF 1 2 es el centro de la hipérbola.

3.

La recta L que pasa por los focos es llamado eje focal.

4.

El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos V1 y V2 que son

los

vértices

de

la

hipérbola

y

determinan

el

segmento V1V2 llamado eje transversal con una longitud de 2ª unidades. 5.

La recta L

1

que pasa por F0 y es perpendicular al eje focal

es llamado eje normal. 6.

El segmento B1B2 del eje normal tiene como punto medio a F0

y

(F0,B1)= 7.

una

longitud

de

2b

donde

b=dist.

1 ax lado recto , (ver 11) se llama eje conjugado. 2

Un segmento CC1 que une dos puntos cualesquiera de la hipérbola se llama cuerda.

8.

La cuerda FF1 que pasa por el foco se llama cuerda de focal.

9.

La cuerda LL1 perpendicular al eje focal se denomina lado recto y tiene una longitud de 2

153

b2 unidades. a2

MATEMATICA BASICA I

10.

La cuerda DD1 que pasa por el centro se llama diámetro.

11.

Si c=d(F1 F0) = d(F2 F0) ⇒ c > a → C2 > a2 → c2 – a2 > 0 i.e. c2 – a2 = b2.

Los números a y b se denominan semiejes transversales y conjugados respectivamente. 12.

El número e =

13.

Si a = b

c > 1 se llama excentricidad de la hipérbola. a

i.e. Si los semiejes transversales y conjugados

son iguales, entonces la hipérbola se llama equilátera. Si a = b y e =

c a2 + b2 →e= = 2 a a

Una hipérbola es equilátera . ↔ e = 2

5.3.3 Ecuaciones de la hipérbola

1.

T1: La ecuación de una hipérbola con centro en el origen y eje transverso el eje X está dado por: x2 y2 H: 2 − 2 =1 a b •

Vértices: V1 (-a,o) y V2 (a,o)

•

Focos: F1 (-c,o) y F2 (c,o)

•

Directrices: x = ±

a2 c

154

(Ver figura (1) pag 144 ó 157)

MATEMATICA BASICA I

2.

T2 :

La ecuación de una hipérbola con centro en el origen

y eje transverso el eje Y está dado por: H:

y2 x2 − =1 a2 b2

•

Vértices: V1 (o,-a) y V2 (o,a)

•

Focos: F1 (o,-c) y F2 (o,c)

•

Directrices: y = ±

a2 c

(Ver figura (2) pag 144 ó 157)

Observación

La ecuación de las asíntotas de la hipérbola para ambos casos se obtiene haciendo cero al 2º: miembro de cada ecuación dada en 5.3.3. i.e. y = ± y=±

3.

T3:

b x (Eje transverso el eje X) a

a x (Eje transverso el deje Y) b

La ecuación de una hipérbole de centro (h,k) y eje

transverso paralelo al eje X está dado por:

( x − h) H:

2

a2

(y − k) =−

2

b2

=1

•

Vértice: V1 (h – c, h) y V2 (h + a, k)

•

Focos : F1 (h – c, k) y F2 (h + c,k)

•

Directrices: x = h ±

a2 c

155

MATEMATICA BASICA I

4.

T4:

La ecuación de una hipérbola de centro (h,k) y eje

transverso paralelo al eje Y está dado por:

( y − k ) − ( x − h) 2

a2

b2

2

=1

•

Vértice: V1 (h, k - a) y V2 (h, k + a)

•

Focos: F1 (h, k - c) y F2 (h, k + c)

Observación

1.

Las asuntotas de la hipérbola

( x − h) a2

2

( y − h) − b2

2

= 1 son dos

rectas. Cuyas ecuaciones se obtienen haciendo cero el 2º miembro de la ecuación dada.

2.

Las asíntotas de la

(y − k) hipérbola a2

2

( x − h) − b2

rectas . y −k =

a a (x − h), y, y − k = − (x − h) b b

156

2

= 1 son las

MATEMATICA BASICA I

(1)

(2)

(3)

(4)

157

MATEMATICA BASICA I

5.3.4 Hipérbolas conjugadas

Dos

hipérbolas

son

conjugadas

si

tienen

transversales y conjugados intercambiados.

sus

ejes

i.e. Si la

Hipérbola H1 es conjugada con la hipérbola H2 entonces se cumple: Eje transverso de H1 = Eje conjugado de H2. Eje conjugado de H1 = Eje transverso de H2. Ver las figuras (3) y (4).

5.3.5 Ecuación general de la hipérbola La ecuación general de

hipérbola es de la forma: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

….(I) donde A, B, C, D y E

son constantes. A y B tienen signos opuestos.

Completando cuadrados en (I): ⎛ ⎛ 2 D C C2 ⎞ D2 ⎞ A ⎜ x2 + x + B y y + + + ⎟ ⎜ ⎟= A 4A 2 ⎠ B 4B2 ⎠ ⎝ ⎝ 2

=

C2 D2 + −E 4A 2 4B2 M

1.

Si M > 0 → I

C ⎞ ⎛ D ⎞ ⎛ ⎜ x + 2A ⎟ ⎜ y + 2B ⎟ ⎠+⎝ ⎠ =M i.e. ⎝ 1 1 A B

representa una hipérbola de eje focal

coincidente o paralelo al eje X.

158

MATEMATICA BASICA I

2.

Si M < O ;

I

representa una hipérbola de eje focal 1

coincidente o paralelo al eje Y. a. Si M = O ; I representa un par de rectas que se cruzan.

Ejemplos:

1)

Hallar la ecuación de una hipérbola si una asíntota es 3x + 4y = 0 y un foco es (0, 20).

Solución:

Como la asíntotas son:

3x + 4y = 0

3x – 4y = 0 F = (0, 20) = F (0, C) ⇒ C = 20 Entonces (3x + 4y) (3x – 4y) = K 9 x 2 − 16 y 2 = k ⇒

a2 = − ⇒

2)

y2

−

x2

( −k 16 ) ( −k 9 )

=1

k k y b2 = ⇒ c 2 = a2 + b2 ⇒ 2304 = −k 16 9

y2 x2 − =1 144 256

Hallar las coordenadas de los vértices; foco; ecuaciones de las directrices; asíntotas; longitud lado recto excentricidad y la representación gráfica de la hipérbola 9 x 2 − 16 y 2 = 144

159

MATEMATICA BASICA I

Solución:

x2 y2 Como: − = 1 ⇒ a = 4 ; b = 3; c = 5 16 9 Puntos de corte con los ejes son (±5, 0) e=

3)

c 5 a2 16 = ; directrices: x = ± =± a 4 e 5

Lado recto:

2b2 9 = 2 a

Asíntota:

b 3 y=± x= x a 4

Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene su centro origen; el eje real sobre el eje x; excentricidad igual a 6.

Solución:

a2 + b2 7 2b2 = Como: e = ; lR: =6 a 2 a ⇒ a2 + b2 =

a2 = 16 ⇒

∧

7 2 a ⇒ 4b2 = 3a2 4

b2 = 12

x2 y2 x2 y2 ; − = 1 ⇒ − =1 a2 b2 16 12

160

b2 =

3 3ª 4

en el

1 7 y lado recto 2

MATEMATICA BASICA I

EJERCICIOS PARA RESOLVER

1.

Discutir y graficar: 9 x 2 − 16y 2 + 36 x + 32y − 124 = 0

2.

Discutir y graficar: 16y 2 − 9 x 2 + 128y + 18 x + 103 = 0

3.

El

punto (1,-2)

está

en

una hipérbola uno cuyos focos es

(-2,2) y la directriz correspondiente es 2x–y–1=0. Hallar la ecuación de esta hipérbola. 4.

Hallar el área de triángulo formado por las asuntotas de la hipérbola 9x2 – 4y2 = 36 y la recta x = 3.

5.4

LA ELIPSE 5.4.1 Una

conjunto

elipse de

es

puntos

el del

plano IR2 con la propiedad de que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano es una constante positiva

mayor

que

la

distancia entre los puntos. ie

Si F1 y

F2 son los

puntos fijos del plano IR2 y “a” un número real positivo entonces: Elipse= {P(x,y) IR2 / d(PF1) + d(PF2) = 2ª} 5.4.2 Elementos. Ver figura siguiente: (pág. 263)

1.

Los puntos fijos F1 y F2 se llaman focos de la elipse.

2.

La recta L que pasa por los focos se llama eje focal.

161

MATEMATICA BASICA I

3.

El eje focal corta a la elipse en dos puntos V1 y V2 llamadas vértices y el segmento V1V2 se llama eje mayor de la elipse con una longitud de 2ª unidades.

4.

El punto medio de los focos F0 se llama centro de la elipse.

5.

La recta L 1 que pasa por F0 y es perpendicular al eje focal se llama eje normal.

6.

El eje normal corta a la elipse en los puntos B1 y B2 determinando el segmento B1B2 llamado eje menor de la elipse.

7.

El segmento AA1 que une dos puntos cualesquiera de la elipse se llama cuerda de la elipse.

8.

La cuerda EE1 que pasa por un foco se llama cuerda focal.

9.

La cuerda focal RR1 perpendicular al eje focal se llama lado recto y tiene una longitud de

10.

La excentricidad: e =

c a

162

2b2 unidades. a

MATEMATICA BASICA I

V2

5.4.3 Ecuaciones de la Elipse

t 1:

La ecuación de la elipse con centro en el origen de

coordenadas y eje focal coincide con el eje X está dado por: E:

x2 y2 + =1 a2 b2

•

Focos: F1(-C,O) y F2 (C,O) …

•

Vértices: V1 (-a, o) y F2 (a,o)

•

Directrices: x = ±

•

Excentricidad:

•

Longitud de del eje mayor: 2a

•

Longitud del eje menor: 2b

a2 C

E=

c a

163

c2 = a2 - b2

MATEMATICA BASICA I

t 2:

La ecuación de la elipse con centro en el origen de

coordenadas y eje focal coincide con el eje Y está dado por: E:

x 2 y2 + =1 b2 a2

•

Focos: F1 (o,-c) y F2 (o,c)

•

Vértices: V1 (o,-a) y V2 (o,a)

•

Directrices: y = ±

•

Excentricidead E =

t 3:

La ecuación de la elipse con centro el punto (h,k) y eje focal

a2 c c a

paralelo al eje X está dado por:

( x − h) E=

2

a2

(y − k) +

2

=1

b2

•

Vértices: V1 (h – a, k) y V2 (h + a, k)

•

Focos: F1 (h – c, k) y F2 (h + c, k)

t 4:

La ecuación de la elipse con centro el punto (h,k) y eje focal

paralelo al eje Y está dado por:

( x − h) E=

2

b2

(y − k) +

•

Vértice: V1(h, k -a) y V2 (h, k + a)

•

Focos: F1 (h, k - c) y V2 (h, k + c)

164

a2

2

=1

MATEMATICA BASICA I

5.4.4 Observaciones

1.

La longitud de cada lado recto es excentricidad está dada por

e=

2b2 a

y la

c < 1 para cada a

elipse. 2.

Se cumple la ecuación: a2 = b2 + c2 Donde c = d (F0 , F1) = d (F0 , F2)

5.4.5 Forma general:

( x − h) E: a2

2

(y − k) +

2

=1

b2

;

( x − h) E: b2

2

(y − k) +

Desarrollando la primera: b2 ( x − h ) + a2 ( y − k ) = a2b2 2

(

2

)

(

)

b2 x 2 − 2 xh + h2 + a2 y 2 − 2yk + k 2 = a2b2 b2 x 2 + a2 y 2 − 2b2hx − 2a2ky + b2h2 + a2k 2 − a2b2 = 0

Que es de la forma: Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ; A > 0 , C > 0

Recíprocamente cuadradas: Ax 2 + Dx + Cy 2 + Ey = −F ⎛ D D2 ⎞ E ⎞ ⎛ A ⎜ x2 + x + + C ⎜ y 2 + y ⎟ = −F 2 ⎟ A 4A ⎠ C ⎠ ⎝ ⎝

165

a2

2

=1

MATEMATICA BASICA I

⎛ 2 D ⎛ 2 E D2 ⎞ E 2 ⎞ D2 E 2 A⎜x + x + + −F ⎟ + C⎜ y + y + ⎟= A 4A 2 ⎠ C 4C2 ⎠ 4A 4C ⎝ ⎝ 2

2

D ⎞ E ⎞ D2C + AE2 − 4ACF ⎛ ⎛ + + = =t A⎜x + C y ⎜ 2A ⎟⎠ 2C ⎟⎠ 4AC ⎝ ⎝ 2

2

D ⎞ E ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ x + 2A ⎟ ⎜ y + 2C ⎟ ⎠ +⎝ ⎠ =t Ecuación : ⎝ 1 1 A C

5.4.6 Casos que se presentan:

a)

Si t > 0 ⇒ obtenemos una elipse.

b)

D ⎞ E ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ x + 2A ⎟ ⎜ y + 2C ⎟ ⎠ +⎝ ⎠ =0 Si t = 0 → ⎝ 1 1 A C

2

2

E ⎞ ⎛ D ⇒ Es un punto ⎜ − ,− 2C ⎟⎠ ⎝ 2A c)

Si t < 0 ⇒ ⇒ ∃ curva real.

EJERCICIOS RESUELTOS

1)

Sea 9 x 2 + 4 y 2 = 36 . Hallar: vértice; focos; longitud del lado recto; longitud el eje menor; excentricidad.

Solución:

Como: 9 x 2 + 4 y 2 = 36 ⇒

x2 y2 + = 1 , ecuación ordinaria de un 4 9

elipse.

166

MATEMATICA BASICA I

También:

a2 = 9 ⇒ a = ± 3 b2 = 4 ⇒ a = ± 2

Eje focal paralelo al eje y.

También:

a2 = b2 + c2 ⇒ c2 = 5 ⇒ c = ± 5 y

V1: (0, -3)

V2 (0, 3)

V2

B1: (-2, 0)

B2 (0, 2)

F1: (0, - 5 ) F2 (0,

F2

2ª = 6

B2

B1

x

e=

F1

2)

2b = 4

5 c = 3 a

Lado recto:

V1

5)

2b 2 8 = 3 a

Sea la elipse 4x2 + 9y2 - 48x + 72y + 144 = 0. Hallar centro, semi ejes, vértices, focos.

Solución:

Como: 4x2 + 9y2 - 48x + 72y + 144 = 0 Reagrupando:

( x − 6 )2 + ( y + 4 )2 36

16

=1

Centro: (6, -4); a = 6; b = -4 Vértices: (0, -4), (12, -4) Extremos eje menor: (6, 0) (6, -8)

167

MATEMATICA BASICA I

3)

Un arco tiene la forma de semi elipse con una luz de 150 mts. siendo su máxima altura de 45 mts. Hallar la longitud de sus soportes verticales situados cada uno a igual distancia del extremo del arco=50. Solución:

Supongamos el eje x en la base del arco y el origen en su punto medio. La ecuación el arco será: Siendo: a = 75

;

x2 y2 + =1 a2 b2

b = 45

Para hallar su altura de los soportes hacemos x = 25; en la ecuación y despejamos y: y2 625 + = 1 ; ⇒ y 2 = 8(225) 5625 2025 y = 30 2 mts.

5.4.7 EJERCICIOS PARA RESOLVER

1.

Discutir y graficar: E: 16x2 + 9y2 + 160x – 54y + 337 = 0

2.

Discutir y graficar: E: 16x2 + 25y2 – 96y + 50y – 231 = 0

3.

Hallar la ecuación canónica de la elipse donde sus focos están sobre el eje X y que pasa por los puntos ⎛

⎞

⎝

⎠

( −3,2 3 ) y ⎜⎜ 4, 4 35 ⎟⎟ . 4.

Hallar la ecuación de la elipse con vértice son los puntos (-2,1) , (6,1) y sus semi eje menor es 3.

168

MATEMATICA BASICA I

5.

hallara la ecuación de la elipse con vértice en (-1,-1) ; (3,3), y excentricidad e = ½.

6.

Discutir y graficar: E : 25x2 + 16y2 + 150x – 32y – 15y = 0.

7.

Hallar la ecuación de la elipse de vértices (-4,7), (2,5) y uno de los focos es (1,3).

8.

Hallar el área del cuadrilátero que tiene dos de sus vértices en los focos de la elipse 9x2 + 16y2 = 144 y los otros dos vértices coinciden con los extremos del eje menor.

169

MATEMATICA BASICA I

170

MATEMATICA BASICA I

VI. COORDENADAS POLARES

6.1

CONCEPTO

En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersecan los dos ejes coordenados.

Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas polares, en este sistema se necesitan un ángulo (θ) y una distancia (r). Para medir θ, en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.

171

MATEMATICA BASICA I

Si queremos localizar un punto (r, θ) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación θ y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar. A continuación localizamos varios puntos en el plano polar.

Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas circunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo único que hace falta es encontrar el ángulo de inclinación. Para medir el ángulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo. Si es positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y si es negativo, a favor del movimiento de las manecillas del reloj.

172

MATEMATICA BASICA I

Como ves los ángulos pueden ser negativos dependiendo de cómo se midan a partir del eje polar.

También podemos tener distancias “negativas”: ya que hayamos localizado el ángulo, la recta que parte del polo en esa dirección tendrán un radio positivo y los puntos que estén sobre la prolongación de esta recta en sentido contrario al polo tendrán un radio negativo. Por ejemplo:

173

MATEMATICA BASICA I

Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de coordenadas polares, podemos graficar funciones y no solo puntos. En este tipo de funciones la variable independiente es θ y la dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(θ). El método para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r(θ) en coordenadas rectangulares y a partir de esa gráfica trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la dependencia de r con respecto a θ. Recordemos que θ es la variable independiente y va de 0 a 2π generalmente. Por ejemplo la función r=θ tiene como gráfica en rectangulares

174

MATEMATICA BASICA I

Mostraremos a continuación algunas gráficas en coordenadas polares. r = sen (2θ)

p=sen2θ

r=sen2θ

r = sen (3θ)

r = sen (4θ)

175

MATEMATICA BASICA I

r = sen (5θ)

Hasta aquí hemos visto que las funciones del tipo r = sen (aθ) son rosas o rosetas. El número de pétalos depende del valor de a, si a es par, el número de pétalos es 2a; y si a es impar el número de pétalos es a. Para graficar estas funciones en el cuaderno o en el pizarrón se puede hacer una tabulación sólo con algunos valores de θ que casi siempre son: 0, π/2, π, 3π/2, 2π. y ver cómo cambia el valor de r.

r = 1- sen (θ) Aquí observamos que el radio siempre es positivo y va de 1 a 2.

176

MATEMATICA BASICA I

6.2

REPRESENTACIÓN

DE

PUNTOS

EN

COORDENADAS

POLARES

1.

Observa que en este sistema de referencia, se ha destacado un punto del plano, que se llama polo y una semirrecta que parte del polo, que se llama eje polar.

2.

Ve presionando sucesivas veces el pulsador azul del paso y, en cada

paso

observa

los

elementos

que

van

apareciendo

relacionados con el punto destacado. Anota estos elementos en tu cuaderno. 3.

Mueve el punto y observa cómo son la distancia y el ángulo en las distintas zonas del plano.

177

MATEMATICA BASICA I

6.3

1 DEFINICION

2

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia. En muchos casos, es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos mucho la vida. Definamos un sistema ortogonal con eje de abscisas X y eje de ordenadas Y. Tracemos un vector centrado en el origen y acostado en el eje de las abscisas, y de longitud r. Si ahora decidimos inclinarlo con un ángulo α, tendremos un vector definido por las variables r y α. Es decir, para definir un punto en el plano por ejemplo podemos, bien definir un par ordenado (x, y) en coordenadas cartesianas, bien dar un largo r de vector y un ángulo α en coordenadas polares. Ambas precisan un mismo punto en el plano. (Si trabajamos en el espacio, tenemos (x, y, z) como variables en las coordenadas cartesianas, y (r,α,z) en coordenadas polares).

178

MATEMATICA BASICA I

6.4

PASAR DE UN SISTEMA DE COORDENADAS A OTRO

Utilizando las propiedades de la trigonometría clásica, tenemos que

;

De ahí obtenemos que

En este caso pasamos de las coordenadas cartesianas a polares. Para pasar de polares a cartesianas, emplearemos el teorema de Pitágoras

(la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa), entonces:

Para calcular

, basta calcular el arco seno de

obtendremos dos Valores de

, de donde

, lo mismo para el arco coseno de

, con otros dos valores. Con cualquiera de estas tres ecuaciones obtenemos el ángulo

179

buscado.

MATEMATICA BASICA I

6.5

ECUACION DE LA TRAYECTORIA EN COOREDENADAS POLARES

En esta página, vamos a deducir paso a paso la ecuación de la trayectoria de una partícula bajo la acción de una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. La fuerza de interacción gravitatoria y eléctrica son centrales y conservativas. Por tanto, la energía y el momento angular se mantienen constantes en todos los puntos de la trayectoria

Posición y velocidad en coordenadas polares

La posición del punto P es x=r·cosθ , y=r·senθ expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares.

180

MATEMATICA BASICA I

Calculamos las componentes rectangulares de los vectores unitarios r y θ.

Vemos que:

Las componentes del vector velocidad en coordenadas polares son, por tanto.

6.6

GRAFICAS DE FUNCIONES EN CORDENADAS POLARES

Para hacernos una idea general de los gráficos que se presentarán durante las páginas que veremos seguidamente, vemos ahora un listado general de los tipos de funciones que son graficados o las figuras que resultarán:

181

MATEMATICA BASICA I

1.

Rosa

2.

Cardióide

3.

Limaçon o caracol

4.

Circunferência

5.

Lemniscata

6.

Nefroide de Freeth

7.

Concoide de Nicómenes

8.

Cisoide de Diocles

9.

Parábola

10.

Espiral

Por supuesto que existen muchísimas otras figuras que se forman a partir de las funciones en coordenadas polares, pero para este estudio se ha tratado de presentar las más importantes o comunes, a la vez que se muestra más de un ejemplo para casi todos los tipos de gráfico, de manera que resulte totalmente clara la forma que cada función tendrá al ser graficada en las coordenadas polares. Se espera que al finalizar la lectura completa de este trabajo, se logre comprender claramente cada figura y se tenga una idea global de los tipos de gráfico que podemos desarrollar mediante funciones en coordenadas polares.

182

MATEMATICA BASICA I

ROSA

Rosa de Cuatro Hojas/Pétalos

Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:

r = sen 2θ

El seno es máximo =1 cuando el ángulo es caso 2θ =

π 3π y -1 para . En este 2 2

π π da θ = = 45º 2 4

Rosa de Tres Hojas/Pétalos

Presentamos

ahora

el

gráfico

llamado

Rosa

de

tres

pétalos.

Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:

183

MATEMATICA BASICA I

r = 2 sen 3θ

Aquí para 3θ =

π π ⇒ θ = = 30º da sen 3θ=1 y r=2. 2 6

Rosa de Ocho Hojas/Pétalos

El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada

r = 2 cos 4θ

El coseno alcanza su mayor valor en 0º: cosθ=1 y cosπ=-1. Luego los mayores valores de r se obtienen en 4θ=0, =π, etc., dando r=2 en θ=0º, π = 45º , etc. 4

184

MATEMATICA BASICA I

Una Rosa dentro de otra

Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:

r = 1 – 2 sen 3θ Para: θ=0º ; r=1 θ=10º ; 3θ=30º ⇒ r=0 θ=30º=

π 6

; 3θ=

π ⇒ r=1-2 = -1 2

θ=45º =

π 4

3 ; 3θ= π ⇒ r0 de un punto fijo, C(h,k). Describa el conjunto de esos puntos. P: (x,y) →

3.

r > 0

C:(h,k) ( x - h) ² + (y - k) ² = r

│P – C) = r

Obtenga una formula que exprese que el hecho de que P(x,y) esté a una distancia 5 del origen. Describa el conjunto de esos puntos. │P – P0│ = T ^

T > 0

→ P = (h,k) al centro ^ T > 0 el radio → C es el conjunto de puntos P = (x,y) ( x - h) ² + (y - k) ² = T

Para (h,k) = (0,0) → 4.

x²

+

y²

=

r²

Dada la ecuación: x² + y² = 4, determine el lugar geométrico de todos los puntos medios de la ordenada de la ecuación dada. Dado x² + y² = 2² → x : ab y : ordenada Si x ∈ [ -2,2 ] ^ y ∈ [ -2,2 ]

225

MATEMATICA BASICA I

El lugar geométrico de los y/2 es: x ℮ [ -2,2 ] ^ y/2 ℮ [ -1,1 ]

5.

Determine si el punto P se encuentra dentro, fuera, o sobre la circunferencia con centro en C, y de radio r. I)

P(4,2) →

,

C(1,-2) ,

r = 5

(4-1)² + (2 + 2)² =

9 + 16 = 5 → P sobre la

circunferencia II)

P(1,-2)

,

C(6,-7)

,

r = 7

→ (1 6)² + (-2 + 7)² = 25 + 25 = 7.1 → P fuera de la circunferencia.

III)

P(-2,5) →

,

C(3,7) ,

(-2 3)² + (5 7)² =

r = 6 25 + 4 = 5.4 → P dentro de la

circunferencia

226

MATEMATICA BASICA I

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.

Halle la ecuación de la circunferencia con centro en (4,2) x = y.

que es tangente a la recta

x² + y² + 9 = 6y - 4x

2.

Trazar la grafica de:

3.

En el mismo sistema coordenado, trace las graficas: I) 2x - y = 4

II) x² + y² = 4 + 2x - 4

Demuestre q la curva I divide a la curva II en dos partes iguales. 4.

Halle la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro el segmento de extremos (-1,2)

5.

y

(3,-4).

Deduzca la ecuación de la circunferencia concéntrica a x² + y² + 4x – 6y = 0, y además que pase por el punto

P(2,6). 6.

Trace la grafica de la circunferencia o semi–circunferencia, indicando el centro y radio. a)

x² + y² = 4

b)

(x-3) ² + (y+2) ² = 9

c)

(x-3) ² + y² = 25

d)

x² + (y+1) ² = 16

e)

4x² + 4y² = 9

f)

4 − x² = y 9 - y²

g)

x =

h)

y = 4x - x²

i)

x = − 25 − y²

j)

x²

+ 4x

+

k)

x²

+

+

y²

y² - 6y

=

4y - 117 =

227

12 0

MATEMATICA BASICA I

7.

l)

x²

+ y²

–

10x +

16 =

m

2x² + 2y² –

12x +

4y = 15

n)

9x² + 9y² +

12x

o)

x2

+

p)

x²

+ y²

–

q)

x²

+ y²

–

2x –

r)

x²

+ y²

+

4x + 6y

y² +

0

= 6y – 4

4x -

2y + 5 = 0

6x + 4y + 13 = 0 8y

= –19 + 16 = 0

Deduzca una ecuación de la circunferencia que satisfaga las condiciones pedidas: a)

Centro C (1/4,0), radio 5

b)

Centro C (0,3) radio 5

c)

Centro C (-4,6) que pase por P (1,2).

d)

Centro en el origen, que pase por P (4,-7).

e)

Centro C (-3,6), que sea tangente al eje X.

f)

Centro C (4,-1), que sea tangente al eje Y.

g)

Tangente a los dos ejes, centro en el segundo cuadrante, y que tenga radio 4.

h) 8.

Que los extremos de un diámetro estén en A (4.-3) y B (-2,7).

Para la circunferencia dada, calcule las intersecciones con los ejes X, Y.

9.

I)

x²

+

y² - 4x -6y + 4 =

II)

x²

+

y² - 10x + 4y

+

0 13 = 0

Una circunferencia de radio 4 tiene su centro en el punto C (1,-1). Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de todos los radios.

228

MATEMATICA BASICA I

10.

Halle la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro el segmento de los extremos (-1,2) y (3,-4). Determine además la ecuación de la circunferencia concéntrica cuyo radio mide 5.

11.

Alcances de las emisiones de radio: La señal de una radiodifusora tiene un alcance circular de 50 millas. Otra estación de radio; que esta a 100mi. Al oriente, y a 80 al norte de la primera, tiene un alcance de 80 mí. ¿Hay zonas en las q se pueden recibir las señales de ambas estaciones? Explique su respuesta.

7.5

PARÁBOLA. EJERCICIOS PROPUESTOS N°20

1.

Las secciones trasversales de una tienda de campaña de 6m. de altura, tiene una forma de parábola y de base circular de 8m, de diámetro; se desea ubicar una lámpara en la posición del foco de la parábola. ¿A que distancia del suelo se ubicara la lámpara?

→

(x – h)² = 4p (y – k) -x²

=

4p

(y)

-6²

=

4p

(4)

-36

= 16p

-36/16 =

p

(h , k) = (0 , 0)

→ p = -9/4 = -2.23

229

MATEMATICA BASICA I

→ F

2.

: (0, 3,75)

Determinar las ordenadas en los puntos de intersección de las graficas de la recta y = 1 – x y la parábola y = x² – 1. y = x² – 1

y = 1 – x

x² – 1 =1-x x² + x – 2 = 0 x² + x + ¼ - ¼ – 2 = 0

(x + 1)² = 9/4

→ x + ½ = ± 3/2

→ X1 = ½ + 2/3

^

X1 = 2

X2 = –1

→ Y1 = –1 3.

X2 = ½ – 2/3

Y2 = 2

El techo de un pasillo de 8m. de ancho tiene la forma de una parábola con 9m. de altura en el centro así como de 6m. de altura en las paredes laterales. Calcula la altura del techo a 2 m. de una de las paredes.

230

MATEMATICA BASICA I

x²

4.

=

4p (y)

(–4)² =

4p (–3)

16²

=

–12p

p

=

–4/3

x²

=

–16/3y

(–2)² =

–16/3y

4

=

–16/3y

y

=

–12/16

=

–3/4

h

=

9 – ¾

=

8.25m

La sección transversal de la taza de la figura es una parábola con centro en la base de la taza y vértice un cm., de la base. La abertura en la parte superior tiene un diámetro de 6cms. ¿cual es la profundidad de la taza en un punto que se localiza a 2cm. del eje? x² = 4py

si p = 1 → x² =

4y

Hallemos la altura total: (3)² = 4y

→

p=1

9/4 = y

(0,0)

y = 2.25

231

MATEMATICA BASICA I

Hallamos la altura a 2cm. del eje: (2) ² = 4y

→

4

=

y = Profundidad es ∆ Y 5.

=

4y 1

2.25 – 1 =

1.25 cm.

La altura h, en pies, sobre el piso, que alcanza un cohete de juguete a los t segundos de haber sido disparado, es h = –16t² +120t. ¿Cuando llegara el cohete a 180 pies sobre el piso? ¿Cual es la máxima altura alcanzada?

232

MATEMATICA BASICA I

BIBLIOGRAFÍA

1.

Leithold, Luis (1994). Algebra y Trigonometría con Geometría

Analítica. México DF. Harla S.A. 899p. 2.

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3.

Espinoza Ramos, Eduardo (2002). Análisis Matemático I.

Editorial Servicios Gráficos. 4.

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Kindle, Joseph. (1994). Geometría Analítica. México. Mc Graw-

Hill. 6.

Venero, Armando. Análisis Matemático. Curso de Introducción.

Volumen I. México Trillas 808p.

233