Matematica Basica Nuevo

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Prefacio

El presente texto desarrolla el curso de matemática básica, teniendo en cuenta los requerimientos temáticos que deben ser de conocimiento por los alumnos de las diferentes especialidades. Comprende temas en sus aspectos teórico y práctico, para lo cual se han desarrollado los contenidos con sus respectivos ejemplos de reforzamiento. Los alumnos al desarrollar este curso estarán aplicando su razonamiento lógico en el momento de solucionar problemas y realizar la comunicación matemática necesaria.

Comprende cuatro Unidades de Aprendizaje:

Unidad I: Ra Razones zones y Proporc iones Unidad II: Números Reales Unidad III: III: Lógic a y Matrices Matrices Unidad IV: IV: Tópicos de Geometría Geometría Analítica

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Razones y Proporciones

Números Reales

Lógica y Matrices

Ecuaciones E Inecuaciones

Razones Razones y proporciones

Ecuaciones de primer grado

Definició Definició n clásica. Enunciado y proposi ción. Clases Clases de proposiciones.

Puntos en el plano cartesiano. Distancia entre dos puntos. Punto medio.

Regla de tres

Ecuaciones de segundo grado

Tanto Tanto por ciento

Intervalos, inecuaciones lineales y de segundo grado

Interés

Jerarquía de los conectivos lógicos. Proposiciones tautológicas, contradictori as y contin gencias. Tablas Tablas de verdad

Ecuación de la Recta. Gráficos

Paralelismo y perpendicularidad de rectas.

Matriz: Definición y clases, operaciones operaciones con matrices, propiedades.

La competencia que el estudiante debe lograr al final de la asignatura es:

“Identificar conjuntos y los elementos que lo

componen, realizar operaciones con números reales rea les expresando resultados a través de intervalos, expresar el conjunto solución de ecuaciones e inecuaciones, demostrando en todo momento seguridad en sus procedimi entos ”.

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Índice del Contenido

I. PREFACIO II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: RAZONES Y PROPORCIONES 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrol lo de los temas a. Tema 01: Razones y pr opor ciones b. Tema 02: Regla d e tres c. Tema 03: Tanto por ciento d. Tema 04: Interés 3. Lecturas recomendadas 4.  Act ividades 5.  Aut oeval uación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: N MEROS REALES 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrol lo de los temas a. Tema 01: Ecuaciones de prim er grado. b. Tema 02: Ecuaciones de segundo grado. c. Tema 03: Operaciones con intervalos. 3. Lecturas recomendadas 4.  Act ividades 5.  Aut oeval uación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: L GICA Y MATRICES 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrol lo de los temas a. Tema 01: Proposiciones y conectivos lógicos. b. Tema 02: Jerarquía de los conectivos l ógicos . Proposicion es. Tabla de la verdad. c. Tema 03: Matriz. d. Tema 04: Casos Practicos 3. Lecturas recomendadas 4.  Act ividades 5.  Aut oeval uación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 4: T PICOS DE GEOMETRIA ANAL TICA 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrol lo de los temas a. Tema 01: Puntos en el p lano cartesiano. b. Tema 02: Ecuación de la recta. c. Tema 03: Paralelismo y perpendicul aridad de rectas. 3. Lecturas recomendadas 4.  Act ividades 5.  Aut oeval uación 6. Resumen III. GLOSARIO IV. FUENTES DE INFORMACI N

02 03 – 117 05-38 06 06 06 06 06 06 07-38 08 19 27 34 38 38 38 38 40-59 40 40 40 40 40 40 42-58 42 45 51 59 59 59 59 59 61-94 61 61 61 61 61 61 63-83 63 68 74 85 86 87 89 94 96-114 96 96 96 96 96 96 98-109 98 103 107 110 110 110 110 114 115 117

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Introducción

a) Presentación y contextualización La matemática como lenguaje se puede estructurar a partir de la Teoría de Conjuntos. Los símbolos primitivos para armar expresiones matemáticas y consecuentemente una red matemática, son los del modelo o Teoría de Conjuntos cuyos entes, conectivos y puntuación se pueden presentar como elementos y conjuntos. Por ello, aquí el alumno refuerza sus nociones básicas sobre agrupación y operaciones entre conjuntos así como sus apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.

b) Competencia Identifi ca y determina conjun tos reconociendo sus elementos, así mismo realiza operaciones para resolver situaciones problemáticas y representa resultados en diagramas.

c) Capacidades 1. Identifica claramente la idea o noción de conjunto y determina conjuntos por comprensión y extensión. 2. Realiza operaciones con conjuntos expresando resultados según sean los casos de unión, intersección, diferencia o complemento 3. Identifica los elementos que componen un Producto Cartesiano y expresa gráficamente sus resultados. 4. Expresa relaciones entre conjuntos siguiendo la regla de correspondencia que se le da además de identificar el dominio y rango de las relaciones

d) Actitudes Muestra perseverancia para el logro de su aprendizaje. Valora los conocimientos que adquiere como parte de su formación profesional y que además son de utilidad para resolver situaciones cotidianas. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de las tareas asignadas en el desarrollo de los temas.

e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 01: Razones y prop orciones , comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: Razones y Prop orciones TEMA 02: Regla de tres TEMA 03: Tanto por c iento TEMA 04: Interés

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TEMA 1

Identifica claramente los conceptos de Razones y Proporciones, sus clases y sus tipos, y con ellas realiza operaciones.

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Desarrollo de los Temas 

Tanto la razón como la proporción son dos conceptos matemáticos sumamente útiles en la vida cotidiana de cualquier

individuo. El primer estudio formal fue

introducido en la obra de Euclides:”Los Elementos, la Teoría de las Proporciones” donde sus libros V y VI tratan

de la proporcionalidad y semejanza.

1) Conceptos: Cantidad: Es el resultado de la medición del estado de una magnitud escalar. Se llama magnitudes escalares a aquello que pueden ser medidos o contados como por ejemplo: las edades, los volúmenes y el dinero, etc. Observación: Hay magnitudes no medibles como la alegría, la memoria; por lo tanto no pueden expresarse numéricamente, por ello no las consideraremos en este texto.

Ejemplo: La altura del edificio Trilce de la av. Arequipa es 24 metros. Magnitud: Longitud Cantidad: 24 metros

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Razón: Es la comparación que existe entre dos cantidades de una magnitud, mediante las operaciones de sustracción y división. Clases de Razón: a) Razón Aritmética Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. Sean las cantidades a y b, su razón aritmética será: a – b = r donde: a : antececedente b : consecuente r : valor de la razón aritmética

Ejemplos: 1) La edad de José es 42 años y la edad de María es 14 años, hallemos la razón aritmética de sus edades. Solución: 42 – 14 = 28 Interpretación: 

La edad de José excede a la edad de María en 28 años.



La edad de María es excedida por la edad de José en 28 años.



La edad de José es mayor en 28 años a la edad de María.

2) Los ciclistas A y B se desplazan con velocidades de 16 m/s y 12 m/s, respectivamente. Hallemos la razón aritmética de dichas velocidades. Solución: 16 m/s – 12 m/s = 4 m/s Interpretación: 

La velocidad del ciclista A excede en 4 m/s a la velocidad del ciclista B, es decir, en un segundo A recorre 4 m más que B.

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b) Razón Geométrica Es la comparación de dos cantidades mediante la división, y consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades contiene a cierta unidad de referencia. Sean las cantidades a y b, su razón geométrica será:

 = k  donde: a : antececedente b : consecuente k : valor de la razón geométrica

Ejemplos: 3) Hallemos la razón geométrica con respecto de las edades de José y María del ejemplo 1. Solución:

edad de José = 42 = 3 edad de María 14 1 Interpretación: 

La razón geométrica de las edades de José y María es 3.



Las edades de José y María están en la relación de 3 a 1.



La edad de José es tres veces la edad de María.



Las edades de José y María son proporcionales a 3 y 1.



La edad de José es dos veces más que la edad de María.

4) Hallemos la razón geométrica con respecto de las velocidades de los ciclistas A y B del ejemplo 2. Solución:

velocidad del ciclista A = 16 / = 4 velocidad del ciclista B 12 m/s 3 Interpretación: 

Las velocidades de los ciclistas A y B están en la relación de 4 a 3, respectivamente.



Las velocidades de los ciclistas A y B son proporcionales a 4 y 3, respectivamente.

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Proporción: Es la igualdad de dos razones de una misma especie o clase (aritmética o geométrica) que tenga el mismo valor de la razón. Clases de Propor ción: c) Proporción Aritmética Es la igualdad entre dos razones aritméticas. Ejemplo: Si 35 excede a 23 tanto como 30 excede a 18, se puede escribir como:

donde:

35 y 30 : antececedentes 23 y 18 : consecuentes 35 y 18 : términos extremos 23 y 30 : términos medios

Propiedad: Como: 35 – 23 = 30  – 18 Entonces: 35 + 18 = 30 + 23 términos extremos

términos medios

Por lo tanto:

Suma de Suma de términos = términos extremos medios

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UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tipos de Proporción Aritmética: 

Discreta

Es cuando los términos medios son diferentes. Se expresa como: a – b = c  – d donde: d : es la cuarta diferencial de a, b y c. Ejemplo:

1) Halle la cuarta diferencial de 5; 11 y 13. Solución: Sea x la cuarta diferencial. 5 – 11 = 13  – x x = 19 

Continua

Es cuando los términos medios son iguales. Se expresa como: a – b = b  – c

donde: c : es la tercera diferencial de a y b. b : es la media diferencial o media aritmética de a y c. Ejemplo: 2) Halle la media diferencial de 60 y 24. Sea x la media diferencial. Solución: 60 – x = x – 24 x=

+ 

x = 42 3) Halle la tercera diferencial de 20 y 15. Sea y la tercera diferencial. Solución: 20 – 15 = 15 – y y = 10

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d) Proporción Geométrica Es la igualdad de dos razones geométricas. Ejemplo: Si un hombre gana S/.35 por semana, ¿Cuánto tiempo tendrá que trabajar para ganar S/.385? Solución:

  =    x = 11 semanas Esto se puede leer como:

donde: 1 y 11 : antececedentes 35 y 385 : consecuentes 1 y 385 : términos extremos 35 y 11 : términos medios

Propiedad: Como:

  =    Entonces: 1 * 385 = 35 * 11 términos extremos

términos medios

Por lo tanto:

Producto Producto de términos = de términos extremos medios 13

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tipos de Proporción Geométrica: 

Discreta

Es cuando los términos medios son diferentes. Se expresa como:

donde:

 =   

d : es la cuarta proporcional de a, b y c. Ejemplo: 4) Halle la cuarta proporcional de 4; 8 y 6. Solución: Sea x la cuarta proporcional.

 =    x = 12 

Continua

Es cuando los términos medios son iguales. Se expresa como:

donde:

 =   

c : es la tercera proporcional de a y b. b : es la media proporcional o media geométrica de a y c. Ejemplo: 5) Halle la media proporcional de 9 y 25. Sea x la media proporcional. Solución:

 =    x = 15 6) Halle la tercera proporcional de 4 y 12. Sea y la tercera proporcional. Solución:

  =   y y = 36

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Propiedades de propor ciones g eométricas:

Serie de razones geométricas equivalentes :

Ejemplo:

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Actividades y Ejercicios Ingresa al Lin k: “Razones y Proporciones”   lee atentamente las indicaciones, desarrolla los ejercici os y envíalo por el mismo m edio.

1. Encuentre la media diferencial (aritmética) y media proporcional (geométrica), respectivamente entre los números dados:

a. b. c. d.

12 y 3 24 y 6 9 y 25 1.6 y 4.9

2. Encuentre la tercera diferencial y tercera proporcional, respectivamente entre los números dados:

a. b. c. d.

18 y 6 32 y 8 3y9 9 y 1.5

3. Encuentre la cuarta diferencial y cuarta proporcional, respectivamente entre los números dados:

a. b. c. d.

2, 5 y 15 4, 3 y 32 3, 6 y 8 1.25, 3.5 y 0.25

4. Dos números están en la relación de 2 a 5, si se añade 175 a uno y 115 al otro se hacen iguales. ¿Cuál es la diferencia entre estos números?

a. b. c. d. e.

24 18 30 84 60

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5. Si: a  b  c  1120 y

a. b. c. d. e.

 =  = . Hallar: a + b + c   

28 32 38 19 26

6. En una reunión, hay hombres y mujeres, siendo el número de mujeres al total de personas como 7 es a 11 y la diferencia entre mujeres y hombres es 21. ¿Cuál es la razón de mujeres a hombres si se retiran 14 mujeres?

a. b. c. d. e.

5/3 5/4 7/3 4/3 3/2

7. Si:

===     

Además: nq  – mp = 306 Entonces: p + q  – m – n Es igual a:

a. b. c. d. e.

11 22 33 44 55

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TEMA 2

Identifica claramente los conceptos de la Regla de tres, sus clases y sus tipos, respectivamente; y realiza operaciones con ellas.

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1) Conceptos: Una de las aplicaciones de proporcionalidad más antigua es la Regla de Tres que resulta al comparar dos o más magnitudes. Cuando cuatro cantidades forman una proporción y una de ellas es desconocida, la operación que tiene por objeto determinar ésta incógnita en función de las cantidades conocidas lleva el nombre de Regla de Tres Simple.

Clases de Regla de Tres : a) Regla de Tres Simple

Es cuando se comparan dos magnitudes proporcionales. Es la operación que se utiliza para encontrar el cuarto término en una proporción. A la parte que contiene los datos conocidos se le llama supuesto y a la que contiene el dato desconocido se le llama pregunta. Pueden ser directas o inversas. Tipos d e Regla de Tres Simpl e: 

Directa Cuando las magnitudes comparadas o cantidades son directamente proporcionales. Esquema:

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Ejemplos: 1) Un grifo arroja en 12 minutos 640 litros de agua. ¿Cuántos litros arrojará en 75 minutos? Solución:

2) Si 12 discos compactos cuestan $600, ¿Cuántos costarán 18 discos? Solución: # discos

recio 600

18 18(600) x = $900



Inversa

Cuando las magnitudes comparadas o cantidades son inversamente proporcionales Esquema:

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Ejemplos: 3) 24 sastres pueden hacer un trabajo en 30 días, ¿Cuántos sastres habrá que aumentar para hacer dicho trabajo en 20 días? Solución:

Entonces hay que aumentar: 36  – 24 = 12 sastres.

4) Se ha planeado que un edificio sea construido por 24 hombres en 18 días; sin embargo, solo se logró contratar a 12 hombres, ¿En cuántos días lo construirán? Solución:

Por tanto, 12 hombres construyen el edificio en 36 días.

b) Regla de Tres Compuesta Es cuando se comparan más de dos magnitudes es decir al menos 3 magnitudes (6 valores correspondientes). Método d e las propo rciones : I. Trasladar la información a la hoja de cálculo. II. Se ubica la magnitud de la incógnita, la cual se compara con c/u de las otras magnitudes (deberá considerar que las otras magnitudes que no intervienen permanecen constantes). III. En caso que la comparación determine que las magnitudes son DP, cambie la posición de los valores, escribiéndolos como una fracción.

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IV. En caso que la comparación determine que las magnitudes son IP, mantenga la posición original de los valores (en fracción). V. La incógnita se determina del siguiente modo:

Ejemplos: 5) 50 peones siembran un terreno de 500

 de superficie en 6 días de 6h/d;

entonces, el número de días que necesitan 20 peones doblemente rápidos para sembrar un terreno de 800

 de superficie trabajando 4h/d es:

Solución:

Luego,

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1) 5 hornos consumen 30 toneladas de carbón en 20 días; 3 hornos más consumirán en 25 días una cantidad de carbón igual a :

Solución:

Se cumple:

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Actividades y Ejercicios “Regla de 3”  lee atentamente las indi caciones, desarrolla los ejercici os y envíalo

por el mismo m edio. 8. El precio de 25 latas de aceite es de $248, ¿Cuántas latas se podrán comprar con $1240? 9. Si 15 obreros hacen una obra de construcción en 60 días, ¿Cuánto tiempo emplearán 20 obreros para realizar la misma obra?

10. Se sabe que "h" hombres tienen víveres para "d" días. Si estos víveres deben alcanzar para "4d" días. ¿Cuántos hombres deben retirarse? a. h/3 b. h/4 c. 2h/5 d. 3h/5 e. 3h/4

11. Ángel es el doble de rápido que Benito y la tercera parte que Carlos. Si Ángel hace una obra en 45 días, ¿En cuántos días harán la obra los 3 juntos?

a. b. c. d. e.

10 12 15 20 25

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12. Para cosechar un campo cuadrado de 18m. de lado se necesitan 12 días. ¿Cuántos días se necesitan para cosechar otro campo cuadrado de 27m? de lado?

a. b. c. d. e.

18 20 22 27 30

13. Si 10 obreros pueden hacer un trabajo en 24 días, ¿Cuántos obreros, que tengan un rendimiento igual a la mitad, se necesitarán para hacer un trabajo 7 veces mayor en un tiempo 1/6 del anterior? a. 640 b. 500 c. 900 d. 840 e. 960 14. Un reservorio cilíndrico de 8m. de radio y 12m. de altura, abastece a 75 personas durante 20 días. ¿Cuál deberá ser el radio del recipiente de 6m? de altura que abastecería a 50 personas durante 2 meses? a. 8 b. 24 c. 16 d. 18 e. 11

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TEMA 3

Nos permiten tener resultados de los porcentajes de cada valor

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1) Conceptos Es un procedimiento que permite determinar que tanto representa una cantidad con respecto de un todo llamado cuánto.

Ejemplo: El 5 por 8 de 120 Si a 120 lo dividimos en 8 partes iguales, tomando 5 de ellas o sea:

5   120 = 75 ) 5(120 = 8 8 Es decir, el A por B de N es:

  .  Tanto p or Ciento

Ejemplo 1:

1 % = 100

40 %

Ejemplo 2:

40 = 2 40 % = 100 5

El 20 % de 80

Observación:

20   80 = 16 20 % 80 = 100 100 %  = 100 100    = 

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Porcentaje Es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una determinada cantidad.

Ejemplo:

30   40 = 12 30 % 40 = 100 Tanto por ciento

Porcentaje

¿Qué tanto por ciento? En general, si queremos saber qué tanto por ciento (x%) de N es b:

 % =    100% Ejemplo: ¿Qué tanto por ciento de 120 es 180?

 % = 180 120   100%  % = 32   100%  % = 150%  Apli caciones Comerciales: 1) Cuando el precio de venta está por encima del precio de costo esto significa que estamos ganando

>→= 2) Cuando el precio de venta está por debajo del precio de costo esto signi fica que estamos p erdiendo

 0

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 3

CASO 2   0 

raíces complejas

imaginarias  y conjugadas

Si x1 = 2i  x2 = -2i

Ejemplo: x2 + x + 1 = 0

 1

 C.S. = 

3



 2

2

i;

1

3  i 2 



2

 = 12 – 4(1) (1) = -3 < 0

II)

OPERACIONES BÁSICAS CON LAS RAÍCES Sea: ax2 + bx + c = 0 ; a  0 (sus raíces son x1 y x2)

1

x1

SUMA DE RAÍCES:

PRODUCTO DE RAÍCES:

 3

x2

x1 . .x 2

DIFERENCIA DE RAÍCES:

 b  

a

c 

a

( x1  x 2 ) 2

RECONSTRUCCION DE LA ECUACIÓN:

Ejemplo 1:



x2





( x1  x 2 )2



4x1x 2

(x1  x 2 )x  x1x 2



0



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Ejercicios:

1)

Resolver:

Solución con Fórmula General:

2) Resolver: Solución: 

Si es a