MATEMÁTICA BÁSICA l A
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TOMO 1
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NOCIONES DE LÓGICA
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CONJUNTOS
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RELACIONES BINARÍAS Y FUNCIONES NÚMEROS REALES AXIOMA DEL SUPREMO INDUCCIÓN MATEMÁTICA
MOISÉS LÁZARO CARRIÓN mi m i l i
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A utor : Moisés Lázaro Carrión Estudios : Lic. en Matemáticas Puras, Lie, en Educación, Maestría (Métodos , Cuantitativos de la Economía U N .M .SM f, Maestría (Matemáticas Pur a s P .U .p f J Experiencia Docente: Pontificia Universidad Católica del Perú Universidad Ricardo Palm a d Universidad Nacional Mayor de San Marcos Universidad Nacional dé Ancash Santiago Antúnez de Mayolo Universidad Nacional del Callao ,> Universidad Particular San Martín d é Porres
MATEMÁTICA BÁSICA Autor: Moisés Lázaro Carrión
Prohibida ia reproducción total o parcial de esta óbrá, por cualquier medio, sin la autorización escrita del autor y la editorial. Dec. Leg. 822 Hecho el Deposito Legal en la Biblioteca Nacional deLPerú N° : 2006-10881 International Standard Book Numher ISRN ..... : 9972-813-40-1
Derechos reservados © Primera Edición: Febrero 2007 . Reimpresión: 2012 Tiraje: 500 ejemplares
Obra editada, im presa y distribuida por : Distribuidora - Imprenta - Editorial - Librería
PEDIDOS AL POR MAYOR
MOSHERA S.R.L.
Distribuidora - Imprenta - Editorial - Librería
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Jr. Tacna 2975 - San Martín de Porres Lima - Perú / Telefax: 567-9299
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MOSHERA S.R.L. Jr. Tacna 2975 - San Martín de Porres Telefax: 567-9299 e-mail:
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*erú - Printed in Perú
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PRÓLOGO Este texto titulado MATEMATICA BÁSICA - A, Tomo 1 ha sido preparado para tratarse d» un primer curso de Matemáticas Universitarias y que están de acuerdo al Programa Curricuiar de las carreras de Ciencias, Ingeniería, Administración, Economía. El tomo 1 consta de seis capítulos: Nociones de Lógica, Con juntos, Relaciones Binarias, Números Reales, Axioma del Su premo e Inducción Matemática. Cada capítulo ha sido preparado en forma amena y didáctica sin dejar de ser formal y riguroso. Cada capítulo comienza estableciendo claramente las defini ciones, los axiomas y teoremas con ejemplos ilustrativos e intui tivos. Se demuestran los principales teoremas y se refuerzan con diversos problemas resueltos. El primer capítulo: Nociones de Lógica, es tratado en for ma cuidadosa y ordenada, poniendo especial énfasis en la buena aplicación de las tautologías lógicas y sobre todo lo referente a la IMPLICACIÓN, a la DOBLE IMPLICACIÓN, a la condición NECESARIA SUFICIENTE y a la INFERENCIA LÓGICA; temas muy importantes que se aplican en toda demostración formal y rigurosa. El segundo capítulo: Conjuntos, es tratado de manera for mal, rigurosa y sobre todo INTUITIVA, por ello recurro constan temente a los diagramas de Venn-Euler para intuir las diversas propiedades conjuntistas. El tercer capítulo: Relaciones B in arias, trata en forma ge neral de las nociones de Relaciones y Funciones de un conjunto A en otro conjunto B, es el inicio para ulteriores estudios tales como funciones reales de variable real. En este capítulo se estu dian en forma general los temas relativos a función inyectiva, suryectiva y biyectiva.
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J E l cu a rto cap ítu lo: Números Reales, es tra ta d o e n fo rm a a x io m á tica , sie iíd o reforzad o co n d iv er so s y v a ria d o s ejem p lo s. L a p a r te a p lic a tiv a e s lo r e fe r e n te a la s ec u a c io n es e in e c u a c io n e s q u e so n m u y im p o r ta n te s p a r a p o ste rio r es te m a s d e estu d io en e l ANÁLISIS MATEMÁTICO. _ ' E l q u in to cap ítu lo: Axioma del Supremo , e s tra ta d o en fo rm a a m e n a e in tu itiv a , e m p ez a n d o p or ejem p lo s s e n c illo s p a ra d e sp u é s fo r m a liz a r s u d efin ició n y se r ap licad o a d iv e r so s co n ju n to s. E s te a x io m a e s . m u y im p o r ta n te p o rq u e c o n s titu y e la p ied ra a n g u la r d e d iv e r so s tó p ic o s tr a ta d o s en el ANÁLISIS MA TEMÁTICO. ' E l se x to capítulo* Inducción M atem ática, es tra ta d o en fo rm a a x io m á tic a y e s re fo rza d o co n d iv e r so s ejem p lo s e n ord en d e d ificu lta d . E s u n te m a m u y su g e s tiv o q u e n o s p e r m ite g a r a n tiz a r la v a lid e z d e d iv e r sa s fó r m u la s q u e s e c u m p le n p a ra to d o n ú m er o n a tu r a l o e n te r o p o sitiv o . C ada c a p ítu lo e s t a aco m p a ñ a d o d e v a ria d o s p ro b lem a s r e s u e lto s q u e c o a d y u v a n al e s tu d ia n te a refo rza r s u a p ren d iza je. A l fin a l d e c a d a c a p ítu lo s e h a n a g reg a d o d iv er sid a d d e p ro b le m a s co n e l fin d e q u e e l e s tu d ia n te re fu e r c e su a p ren d iza je.
Aivkés Lázaro Carrión
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CONTENIDO
1
NOCIONES DE LÓGICA 1.1 1.2 1.3 1.4 1:5 1 .6 1.7 1 .8 1 .9 1 .1 0 1 .11 1 .1 2 1 .1 3 1 .1 4 1 .1 5 1 .1 6 1 .1 7 1.1 8
1 .1 9
E n u n c ia d o ............................. ....... 1 P r o p o s ic ió n „............ .....™ ^ r ^ T r ................ 2 E n u n c ia d o a b ie r t o ............................................................ P ro p o sic io n e s: sim p le s y c o m p u e sta s ....................... C o n e ctiv o s ló g ic o s ........*.................................................... T a b la s d e verd a d .........................................., ............................... 6 V a lid ez d e u n a p ro p o sició n C irc u ito s c o n m u ta d o r e s ;...*..................................... L a .C on ju n cíón L a D isy u n c ió n : in c lu siv a ; e x c lu s iv a .................................................... 9 L a C on d icion al: re cíp r o ca , in v e r sa , c o n tr a r e e íp r o c a ........... 13 P r o p o sic ió n in v e r sa L a B ic o n d í c i o ñ a l ’f....^.. ................... 17° L a N eg a c ió n : c o n ju n tiv a , a lte r n a tiv a .............................................. 18 U s o d e lo s sig n o s d e a g r u p a c ió n .....................................................21 E v a lu a c ió n d e e s q u e m a s m o le c u la r e s p or ta b la d e v a lo r es. T a u t o lo g ía ................... —25L L a e q u iv a le n c ia y la im p lica c ió n ..../............... * 23 L a in fe r e n c ia lógica, T e o re m a . E jem p los: 1, 2, 3, 4 ............... 25 E l m é to d o ab reviad o. D o s m é to d o s p a r a d e m o str a r u n a p ro p o sició n ...... ^ 32 1. M éto d o d ire cto d e d em o str a ció n 2. M éto d o p or re d u cc ió n a l absurdo* ' E jem p los. P r in c ip a le s le y e s ló g ic a s o ta u to lo g ía s ............................. I. L os tr e s p rin cip io s lógicos: d e id en tid a d , d e n o c o n tra d icció n , te r c io ex clu id o . .............................. II. E q u iv a le n c ia s n o ta b le s. L eyés: d o b le n e g a c ió n , id em p o ten cia , co n m u ta tiv a , d istr ib u tiv a s, D e M or g a n , d el co n d icio n a l, d e l b ico n d ieio n a l, le y e s d e a b so rció n , d e tr a n sp o sic ió n , d e ex p o rta c ió n , e le m e n to s n e u tr o s d e la co n ju n ció n y d isy u n ció n .
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3 4 5
7
34 35
III.
1 .2 0 1.21
Im p lica c io n e s n o ta b les: F o rm a h o riz o n ta l, fo rm a v e r tic a l *................ * .................. 38 L ey de M odus P o n en s ..................... ............................. .............. 38 L ey d e M o d u s T o lle n s ................ .........................— ........... 38 L ey d e l silo g ism o d isy u n tiv o , le y d e la in fe r e n c ia e q u iv a le n t e .............. 39 L ey d el silogisin © h ip o té tic o , le y d e la tr a n sitiv id a d s im é t r ic a le y d e la sim p lifica c ió n .................... 40 L ey d e ad ición . L ey d el ab su rd o .................. ,4 1 R e su m e n - C uad ro .................... 42 43 C on d ició n n e c e s a r ia y C on d ició n s u fic ie n t e ......... .-.............. P r o b le m a s r e s u e lto s G rup o 4 : C irc u ito s ló g ic o s :........................ 46 G ru p o 2: S im p lific a c ió n d e P ro p o sic io n e s c o m p u e sta s .... 54 P r o b le m a s p r o p u e s t o s .......................................................................... 86
2 CONJUNTOS 2 .1 2 .2 2 .3 2 .4 2 .5 2 6L 2 .7 ' 2 .8 2 .9 2 .1 0 2 .1 1 2 .1 2 2 .1 3 2 .1 4 2 .1 5 2 .1 6 2 .1 7 2 .1 8
N o c ió n d e co n ju n to .......... N o ta c ió n y c o n v e n io s in ic ia le s R ela c ió n d e igu a ld a d . P r o p ie d a d e s ......................... R ela c ió n d e p e r te n e n c ia C o n ju n to s n u m é r ic o s D e te r m in a c ió n o d e sig n a c ió n d e c o n j u n t o s .............................. C o n ju n to s b ie n d e fin id o s ....... C u a n tifíca d o res: e x iste n c ía l y u n iv e r s a l ......................... N e g a c ió n d e c u a n t if íc a d o r e s .................... ~ C u a n tific a c io n e s con d o s o m á s c u a n t if íc a d o r e s ....... P r o b le m a s ............... S im b o liz a c ió n d e p r o p o sic io n e s c a t e g ó r ic a s ............ C u a n tifica ció n d e la s fo rm a s ca te g ó r ic a s típ ic a s d e la ló g ic a tr a d ic io n a l P r o b le m a s r e s u e l t o s ...............................^................................... V a r ia b le y co n ju n to u n iv e r s a l ......................................................... C o n ju n to fin ito C o n ju n to in fin ito C o n ju n to n u m e r a b le R e la c io n e s e n t r e c o n ju n to s. S u b c o n ju n t o s .......................
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1 05 106
11 2 113 115 118 119 122123
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2 .2 1 2 .2 2 2 .2 3 2 .2 4 2 .2 5 2 .2 6 2 .2 7 2 .2 8 2 .2 9 2 .3 0 2 .3 1 . 2 .3 2 * 2 .3 3 2 .3 4 2 .3 5 2 i3 6 2 .3 7 2 .3 8 2 .3 9
•.
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Ig u a ld a d d e co n ju n to s. P r o p ie d a d e s................. *....... ~ ............... 1 36 A x io m a s d e esp ecifica ció n : C o n ju n to v a cío , c o n ju n to u n iv e r s a l ............. 137 D ia g r a m a d e V e n n -E u le r C o n ju n to P o te n c ia d e u n co n ju n to . P r o p ie d a d e s .................... 1 3 8 . O p er a cio n es co n co n ju n tos; U n ió n , p r o p ie d a d e s................... 14 5 I n te r se c c ió n d e co n ju n to s J ftr o p ie d a ó p s .............. 145 D ife r e n c ia d e d o s co n ju n to s. P r o p ie d a d e s .... ............ 1 4 8 C o m p le m e n to d e u n c o n ju n to . P r o p ie d a d e s ............... 154 C o m p le m e n to d e u n co n ju n to . P r o p ie d a d e s .................................. 155 t A p lic a c io n e s im p o r ta n te s ....................................... 156 C ejiju n to s d isju n to s. D efin ició n ; v ....... 160 L e y e s d e D e M organ ............. 162 G e n e r a liz a c ió n d e la u n ió n e in te r se c c ió n ................................ 16 3 D ife r e n c ia sim étr ica : P r o p ie d a d e s > 163 D e m o str a c ió n d e a lg u n a s p ro p ied a d e s ........................................16 8 P r o b le m a s r e su e lto s. E je r c ic io s ; w . . , ........... 173 P r o b le m a s r e la tiv o s a l c o n ju n to p o t e n c i a .......................... 176 C ard in alid ad d e u n con ju n to : T e o r e m a ............ 179 P r o b le m a s r e s u e lto s so b r e ca rd in a lid a d . P r o b le m a s 182 M isc e lá n e a d e p r o b le m a s r e s u e l t o s ........................................... 19 7 C o n ju n to s e q u ip p te n te s. P r o b le m a s .......*................................ 2 1 3 .
2 .1 9 2 .2 0
3 RELACIONES BINARIAS 3.1 3.2 3.3 %3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
P a r O r d e n a d o . D e f in ic ió n .......................... P a r e s o r d e n a d o s ig u a le s . T e o r e m a ....... ........................... P r o d u c to d e c o n ju n to s . D e fin ic ió n . P r o p i e d a d e s ................... P r o d u c to c a r te s ia n o . P r o b le m a s ............... R e la c io n e s B in a r ia s . D e f in ic ió n .......................i . . . . . . . ....... D o m in io y r a n g o d e u n a r e la c ió n . P r o p i e d a d e s •............... T ip o s d e re la c io n e s : re fle x iv a , s im é tr ic a , t r a n s i t i v a d e e q u iv a le n c ia , a s im é tr i c a , a n t is im é tr ic a , d e o r d e n p a r c ia l, d e p r e - o r d e n , d e e q u iv a le n c ia , p r o b le m a s ................ R ela c ió n in v e r sa . P r o p ie d a d e s .... ;...>...................... C o m p o sic ió n d e r e l a c i o n e s .......... P u n c io n e s o a p lic a c io n e s . D e fin ic ió n . D o m in io y r a n g o d e u n a fu n c ió n . G r a f o d e u n a fu n c ió n . I g u a ld a d d e f u n c io n e s
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237 238 238 240 245 249 256 266 270
3 .1 1 3 .1 2 3 .1 3 3 .1 4 3 .1 5 3 .1 6 3 .1 7
F u n c ió n r e s t r in g id a ........... 273 C o m p o sició n d e fu n c io n e s. P ro p ied a d es. P r o b le m a s 283 F u n c ió n in y e c tiv a , su b y e c tiv á y b iy ectiv a . P r o b le m a s ...... 2 8 9 Im a g e n d ir e c ta e im a g en in v e r sa d e u n co n jú n to P r o p ie d a d e s .................................... 307 P ro p ie d a d es im p o r ta n te s. T e o r e m a s.................... 310 F u n c ió n in v e r sa .......... 313 F u n c ió n c a r a c te r ístic a *................................. i.......................... 3 1 4 O p era ció n b in a r ia In te rn a . P rop ied a d es. P r o b le m a s 319
4
'
NUMEROS REALES 4 .1 4 .2 4 .3 4 .4 4 .5 4 .6 4 .7 4 .8 4 .9 4 .1 0
4 .1 1 4 .1 2 4 .1 3
I n t r o d u c c ió n .......... 333 D e fin ic ió n a x io m á tic a d e l s is te m a d e n ú m e r o s r e a l e s 337 T e o r e m a s r e la tiv o s a la ig u a ld a d ................................................... 3 3 9 ...... 3 41 P r o p ie d a d e s d e lo s n ú m e r o s reátes. T e o r e m a s D ife r e n c ia e n tr e d os n ú m e r o s re a le s. T e o r e m a ...................... 3 4 6 C o c ie n te d e d o s n ú m e r o s re a le s. A p lic a c io n e s ................3 4 7 O r d en a ció n e n tr e lo s n ú m e r o s re a le s. A x io m a s. N ú m e r o ......... .......... 349 p o sitiv o y n ú m e r o n e g a t iv o T e o r e m a s d e o rd en e n lo s n ú m e r o s r e a le s ................... 351 R ela c ió n m e n o r o ig u a l e n e l s is te m a d e lo s n ú m e r o s re a le s. P r o p ie d a d e s ...................... 358 In ec u a c io n e s: ^ In e c u a c io n e s d e p rim er grad o co n u n a in c ó g n ita In e c u a c io n e s p o lin ó m ic a s fa c to r iz a b le s e n fa c to r e s ...... 362 lin e a le s i I n e c u a c io n e s a d ic io n a le s ................. :............................ 3§5 M é to d o 1 367 M éto d o 2 . . . . . ....................r..................... :......,.......................:........... M é to d o 3: R e g la d e lo s s i g n o s .............................. 368 M é to d o 4: R e g la p r á c tic a d e ló s p u n to s r e fe r e n c ia le s ......... 3 6 9 In te r v a lo s .................................. . ............................ 372 D e fin ic io n e s: in te r v a lo a b ier to , in te r v a lo cerrad o. V a lo r a b so lu to . P r o p ié d a d e s. T e o r e m a ....... 373 P r o b le m a s r e s u e l t o s ............................................................ 3 8 3 D e m o str a c io n e s te ó r ic a s so b re e l v a lo r a b so lu to D e m o str a c io n e s te ó r ic a s so b r e d e sig u a ld a d e s ...... 393
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4 .1 4 4 .1 4 .1
4 .1 5 4 .1 6 4 . 17 4 .1 8
4 .1 9
A. P r o b le m a s so b re o p era c ió n b in a r ia ....... B. P r o b le m a s p r o p u e sto s ......... E c u a c io n e s e in e c u a c io n e s con v a lo r a b so lu to : ........ ........ E c u a c io n e s co n v a lo r a b so lu to . E jem p lo s E c u a c io n e s co n d os o m á s v a lo r e s a b so lu to s (cr ite rio d e lo s p u n to s r e fe r e n c ia le s) ............ In e c u a c io n e s con v a lo r a b so lu to .............. In e c u a c io n e s co n v a lo r a b so lu to q u e s e r e s u e lv e n a p li can d o p ro p ied a d es .......... In e c u a c io n e s con d o s o m á s v a lo r e s a b s o l u t o s P r o b le m a s q u e s e r e s u e lv e n con sim p le s a n á l i s i s ....... P o te n c ia e n é s im a d e u n n ú m e r o re a l ............ R a d ica les, P r o p ie d a d e s ........ R a cio n a liz a ció n d e r a d ic a le s .......................... .. E c u a c io n e s e in e c u a c io n e s c u a d rá tica s ........................ E c u a c ió n cu ad rática: D isc r im in a n te . T e o r e m a s. A p lic a c io n e s * ^ .............. I n e c u a c ió n c u a d r á tic a . A p lic a c io n e s E c u a c io n e s e in e c u a c io n e s co n ra d ica les. P r o b le m a s ..........
401 402 403 404 410 416
421 432 436 438 441 442
449 455
5 AXIOMA DEL SUPREMO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 6 .1 7. 8. 8:1 9. 10. 11.
....... i 497 In tr o d u cc ió n . E je ip p lo s .. C on ju n to a co ta d o s u p e r io r m e n t e ............ 501 C o n ju n to aco ta d o in fe r io r m e n te . E j e m p lo s .............. 502 C o n ju n to a co ta d o ........ ...............— .................... 504 ................... 506 S u p re m o d e u n co n ju n to d e n ú m e r o s r e a le s A x io m a d el su p r em o . E j e m p lo s ....... 507 S u p re m o e n s u c e s io n e s d e n ú m e r o s re a le s. E je m p lo s 512 ín fim o d e u n c o n ju n to d e n ú m e r o s r e a le s. E j e m p lo s 517 L a p ro p ied ad A r q u im e d ia n a d el s is te m a d e lo s n ú m e r o s r e a le s. T e o r e m a ...... 523 C orolario 524 1 T e o re m a . N o ta c ió n ...... .........i.................. 5 2 4 T eorem a --------526 A p lica c io n e s t e ó r i c a s ...................... 527
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12. 13. 13.1 13.2
Aplicaciones prácticas ...... Ecuaciones e inecuaciones ....... Ecuaciones con máximo entero Inecuaciones con máximo entero Problemas propuestos .........
532 533 ............................... 534 545
6 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 1. 2. 3. 4. 5. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 6. 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 7. 7.1 8.
Introducción ....... Postulado de Inducción Matemática ....... Teorema (Principio de Inducción Matemática) Corolario 1 (Definición recursiya) ......... Aplicaciones............... Para el caso de sumas finitas Para el caso de divisibilidad ....... Para el caso de números combinatorios ......... Sumatorias ....... Propiedades de las sumatorias ................ Fórmulas usuales Cálculo de algunas sumas aplicando lapropiedad teles cópica Binomio de Newton .......... ¿..... Factorial de ai Coeficiente binomial Propiedades Teorema (binomio de Newton) ...... Algunas consecuencias del Binomio de Newton .....;......... Propiedades Cálculo del término (K +l) en el desarrollodel Binomio de Newton ............................. Desarrollo del binomio de Newton cuandoel exponente es negativo y fraccionario ..... Productoria ................... Propiedades Problemas ............ Problemas propuestos .....
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551 552 554 560 563 564 566 567 569 574
575 576
578 579 582 586 588
CAPITULO 1
NOCIONES DE LÓGICA INTRODUCCIÓN Todos los tópicos relativos a las matemáticas se razonan desde el punto de vista lógico y por lo tanto hay que tener muy en cuenta el enunciado de las proposiciones MATEMATICAS y su consecuente validez.
NpTA:
v a l i d e z sign ifica *que una prop osición es verdadera o es falso, pero n u n ca debe ocurrir que sea verdadero y fa lso a la vez.
A lo largo de;todas los temas que iremos desarrollando en estos apuntes, veremos cóm o se ¿usan los conectivos lógicos y cuando es v e r d a d e r o o f a l s o una disyun ción, una conjunción o una condicional.
I.1 ENUNCIADO Se llama enunciado a toda frase u oración. Algunos enunciados son mandatos o in terrogaciones o son expresiones de emoción; otros en cambio son afirmaciones o negaciones que tienen las características de ser verdadero o falsa.
( ejemplo
■■■
01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08.
¿Qué curso te has matriculado? iVaya rápido! ¡Viva el Perú! Prohibido hacer bulla D os más tres es igual a cinco Todas las gallinas son aves París es la capital de Francia 5 > 8
09.
3+5 = 8
10.
x2<
II.
x2+ y2
4y
