Matematica Básica I - ISAM

 

 

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MATEMÁTICA BÁSICA El presente texto desarrolla el curso de matemática básica, teniendo en cuenta los requerimientos temáticos que deben ser de conocimiento por los alumnos de las diferentes especialidades. Comprende temas en sus aspectos teórico y práctico, para lo cual se han desarrollado los contenidos con sus respectivos ejemplos de reforzamiento. Los alumnos al desarrollar este curso estarán aplicando su razonamiento lógico en el momento de solucionar  problemas y realizar realizar la comunicación comunicación matemática ne necesaria. cesaria.

Comprende dos Unidades de Aprendizaje:

Unidad de Aprendizaje I: Teoría de Conjuntos, razones y proporciones Unidad de Aprendizaje II: Ecuaciones, funciones, logaritmos y geometría Teoría de conjunto, razones y proporciones. •

Algebra de conjuntos Determinación y clases de Conjuntos Representación Representaci ón gráfica de los Conjuntos Problemas con los conjuntos Razones y proporciones Razón aritmética, propiedades y problemas. Proporción aritmética, propiedades y problemas. Razón geométrica, propiedades y problemas Proporción geométrica, propiedades y problemas. Magnitudes proporcionales Magnitud directamente e inversamente proporcional, propiedades y problemas. Algebra de números. Ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, métodos de solución. Inecuaciones lineales y cuadráticas, propiedades y problemas. • •

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Ecuaciones, funciones, logaritmos y geometría. •

Algebra de Ecuaciones Ecuaciones lineales y cuadráticas, Desigualdad: Propiedades Inecuaciones lineales y cuadráticas, propiedades y problemas. Funciones Par ordenado y su representación en el plano cartesiano. Producto cartesiano, Teoremas Dominio y rango. Gráficas de funciones. Logaritmos Propiedades de logaritmos. Logaritmos decimales y neperianos. Ecuaciones e inecuaciones logarítmicas. Geometría Analítica Recta, ecuación de la recta y la Circunferencia. Circunferencia. Parábola, Elipse, Hipérbola. •

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

  a) Presentación y contextualización La matemática como lenguaje se puede estructurar a partir de la Teoría de Conjuntos. Los símbolos primitivos para armar expresiones matemáticas y consecuentemente una red matemática, son los del modelo o Teoría de Conjuntos cuyos entes, conectivos y  puntuación se pueden presentar como elementos y conjuntos. Por ello, aquí el alumno refuerza sus nociones básicas agrupación y operaciones entre conjuntos, así como sus apreciaciones críticas sobresobre los diversos conceptos desarrollados. b) Competencia Identifica y determina conjuntos reconociendo sus elementos, así mismo realiza operaciones para resolver situaciones problemáticas y representa resultados en diagramas.

N

E

S

c) Capacidades

C

OI

1. Identifica claramente la idea o noción de conjunto y determina conjuntos por comprensión y extensión.

P

O

R

2. Realiza operaciones con conjuntos expresando resultados según sean los casos de unión, intersección, diferencia o complemento

PY

3. Identifica los elementos que componen un Producto Cartesiano y expresa gráficamente sus resultados.

N

E

S

R

O

A

Z

O

4. Expresa relaciones entre conjuntos siguiendo la regla de correspondencia que se le da además de identificar el dominio y rango de las relaciones

R

d) Actitudes   Muestra perseverancia perseverancia para el logro de su aprendizaje.   Valora los conocimientos que adquiere como parte de su formación profesional y

O T



N



J

U

que además son de utilidad para resolver situaciones cotidianas. cotidianas.   Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de las tareas asignadas en el desarrollo de los temas.

N



e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:

D

La Unidad de Aprendizaje 01: Teoría de Conjuntos, razones y proporciones, comprende el desarrollo de los siguientes si guientes temas:

AÍ

E

CO

TEMA 01

Algebra de conjuntos

E

TEMA 02

Razones y proporciones

TEMA 03

Magnitudes proporcionales

TEMA 04

Algebra de números.

T

O

R

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  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

Algebra de Conjuntos. Determinación y clases de Conjuntos

Idea y determinación de conjunto: En matemática utilizaremos la idea de conjunto con el mismo significado que se le da en la vida diaria, es decir, un conjunto es una colección, agrupación o reunión de objetos llamados ELEMENTOS y que pueden ser determinados ya sea POR EXTENSIÓN o por COMPRENSIÓN. Generalmente designaremos los conjuntos con letras mayúsculas de imprenta y anotaremos sus elementos entre llaves.  



Diremos elementosque queun lo conjunto forman. está definido por extensión si enumeramos todos los   Un conjunto está definido por comprensión si establecemos una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto y sólo s ólo a ellos.



Ejemplo: El conjunto de las notas musicales se escribe: Por extensión: A = {do, re, mi, fa, sol, la, si}. Por comprensión: A = {x / x es nota musical}. Observación: “x / x” se lee “x tal que x”.  

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Por otra parte, un conjunto se puede representar gráficamente mediante diagramas de Venn; éstos son curvas o polígonos cerrados, dentro de los cuales se indican mediante  puntos los elementos elementos que pertenecen pertenecen al conjun conjunto. to. En el ejemplo:

Un conjunto está bien definido si se puede establecer sin dudar si un elemento pertenece o no al conjunto.   Si consideramos el siguiente conjunto: M = {x / x es mes del año} ¿M está bien



definido? Si es así, ¿cuáles ¿ cuáles son sus elementos? Solución: M sí está bien definido porque es fácil identificar sus elementos. M = {enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, setiembre, octubre, noviembre, diciembre} Si consideramos el siguiente conjunto: M = {x / x es alto} ¿M está bien definido? ¿Por qué? Solución: M no está bien definido porque no es fácil identificar sus elementos. Si consideramos el siguiente conjunto: S = {a, e, i, o, u} podemos decir, por ejemplo: que a pertenecer al conjunto S. En símbolos: que b no pertenece a S. En símbolos:

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  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

Observación: Cardinal de un Conjunto: es el número natural que indica la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Así: A={ x/x Z, -2 < x ≤ 3}  Entonces el conjunto A por extensión será: A = {-1; 0; 1; 2; 3} El cardinal de A será entonces: Card. (A) = n(A) = 5

ACTIVIDAD Escribir por extensión los siguientes conjuntos y representarlos mediante diagramas de Venn. 1) A = {x / x es un número entero positivo de dos cifras igual Solución: A={11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99} 2) B = {x / x es un número entero positivo de dos cifras que suman 6} Solución: B= {15; 24; 33; 42; 51; 60} 3) Responder: ¿555 ∈ A? ¿ – 33 33 ∈ B? ¿33 ∈ A? ¿33 ∈ B? ¿45 ∈ B? ¿Por qué? Solución:

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Cuantificadores: En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta  propiedad. Existen muchos tipos de cuantificadores, pero quizás los más estudiados y utilizados sean:

Conjuntos especiales: Universo o Conjunto Universal El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

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  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

Ejemplos:

Conjunto Infinito: En teoría de conjuntos, un conjunto infinito es cualquier conjunto que no pueda ponerse en bisección con ningún número natural. Es decir que no se puede contar sus elementos o saber la cardinalidad del conjunto. Ejemplo:  N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito Conjunto Finito: Conjunto finito es un conjunto que tiene un número finito de elementos Por ejemplo { 2,4,6,8,10} es un conjunto finito con cinco elementos. La cardinalidad o número de elementos de un conjunto finito es igual a un número natural. Todo conjunto finito es un conjunto numerable. Si un conjunto no es finito, f inito, entonces es infinito. Conjunto Vacío:

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Propiedades

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS: Inclusión: Definición: Un conjunto A está incluido en otro B si y sólo si todo elemento que pertenece a A, pertenece también a B. En símbolos:

Observaciones:

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  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

Ejemplo:

Igualdad: Definición: Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A ⊂ B y B ⊂ A, es decir, dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. En símbolos:

Actividad: Sean: R = {x / x es una letra de la palabra RECITAL} C = {x / x es una letra de la palabra CITA} L = {x / x es una letra de la palabra LA} A = {x / x es una letra de la palabra ALA} Definir los conjuntos por extensión, graficarlos y decir qué inclusiones y qué igualdades se verifican. Solución:

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Se puede verificar:

 Notemos que el el conjunto vacío está está incluido en ccualquier ualquier conjunto.

¿Existe alguna relación de inclusión entre un conjunto A consigo mismo? ¿Por qué? Si hay inclusión de un conjunto consigo mismo porque todo conjunto está incluido o contenido en sí mismo. . Aplicaciones Prácticas: 1) Dar por extensión el conjunto A:

Solución:

Así tenemos:

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  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Relación entre los Conjuntos Relaciones Sean conjuntos no vacíos. Una relación binaria de A en B o relación entre los elementos de A y B es todo subconjunto R del producto cartesiano, esto es:

Tal que:

Donde: p(x,y) es la REGLA DE CORRESPONDENCIA de la relación.

Ejemplo: Dados los conjuntos: B={1; 3; 5} y C={2; 4; 6} Hallar los elementos de las relaciones:

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN:

Dominio: Sea R una relación. Definimos el dominio de R como el conjunto formado por las primeras componentes de las parejas ordenadas que pertenecen pertenecen a R y lo notamos D ( R ) o dom ( R ). Dicho conjunto lo representamos por comprensión así:

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  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

Ejemplo:

Solución:

a) Conjunto Solución  b) Dominio c) Rango d) Diagrama de Venn Euler e) Diagrama de Coordenadas.

a) El conjunto solución es

 b) El dominio es Dom(R) Dom(R) = { 2, 3, 4 } c) El rango es Ran(R) = { 4, 6 } d) El diagrama de Venn –  Euler  Euler (también llamado diagrama sagital o de flechas) es:

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

e) El Diagrama de Coordenada Coordenadass es:

2) Siendo N el conjunto de los números Naturales, se define la siguiente relación:

Hallar la relación R e indicar los elementos del dominio y rango. Solución: Tengamos en cuenta que: que: N x N = N2  Recordemos que el conjunto de los números Naturales es:  N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ………}  Usando la regla de correspondencia de la Relación: x + y ≤ 4 ; empezamos a dar valores naturales a “x” y se puede hallar también los valores naturales de “y” teniendo en cuanta

que debe cumplir la Regla de Correspondencia: Correspondencia: x + y ≤ 4  y ≤ 4 –  x

Así tenemos: R={(0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0)} Dom(R)={0; 1; 2; 3; 4} Ran(R)={0; 1; 2; 3; 4} 3) Si: S={3; 4; 5; 6; 7; 88;; 9; 110} 0} y la rel relación ación R={(x, R={(x,y) y) S x S / y es múltiplo de x; x ≠ y} hallar la suma de todos los elementos del Dom(R)

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  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

Solución: R={(3;6), (3;9), (4;8), (5;10)} Dom(R)={3; 4; 5} La suma pedida es: 3 + 4 + 5 = 12 4) Dado el universo U={1; 2; 3; 4} y las relaciones: R1={(x;y) U2 / x = y} R2={(x;y) U2 / x = 3} R3={(x;y) U2 / x ≤ y} Hallar: R3 –  (R1 R2)

Solución:

TIPOS DE RELACIONES: Relación Reflexiva R es una relación reflexiva en un conjunto A no vacío, si y sólo si cada elemento de él está relacionado consigo mismo:

Ejemplo:

Relación Simétrica

A={1,2,3} R={(1,1),(1,3),(2,2),(3,2),(3,3)} R es una relación Reflexiva porque todos los elementos de A están relacionados consigo mismo.

R es una relación simétrica en un conjunto A no vacío, si y sólo si cada par de elementos de él satisface lo siguiente:

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Ejemplo: A={1,2,3} R={(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} R es una relación simétrica porque para todo par (a; b) que  pertenece a la relación tamb también ién se tiene el el par (b; a) que pertenece pertenece a la relación. Relación Antisimétrica R es una relación anti simétrica en un conjunto A no vacío, si y sólo si cada par de elementos de él satisface lo siguiente:

Ejemplo: A={1,2,3} R={(1,3),(2,1),(2,2),(3,2)} R es una relación Anti simétrica porque para todo par (a; b) que  pertenece a la relación, no se tiene el par (b; a) eenn la relación. Relación Transitiva R es una relación transitiva en un conjunto A no vacío, si y sólo si cada trío de elementos de él satisface lo siguiente:

Ejemplo: A={1,2,3} R={(1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,3)} R es una relación Transitiva porque para todo par (a; b) y (b; c) que pertenecen a la relación, también el par (a; c) pertenece a la relación.

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  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

Problemas con los conjuntos Operaciones con Conjuntos

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unión de Conjuntos

Diferencia de Conjunto

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  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

Complemento de Conjunto

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

 b) (P ∩ Q) 

Solución: (P ∩ Q) = {x/x ∈ P y x ∈ Q} = {l, 2, 3, 4, 5} ∩ {l, 2, 4, 5} 

= {1, 2, 4, 5} =Q c) Q’ 

Solución: El conjunto Q’ consiste en los elementos que están en  

U pero no en Q. Q’ = {x/x ∈ U ∧ x ∉ Q}

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Q = {1, 2, 4, 5} Q’ = {3, 6} 

d) (P - Q)’  Solución: P - Q = {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 2, 4, 5} P - Q = {3} (P-Q)’= {1, 2, 4, 5, 6}   Página 22 de 22 de 98  98 

 

  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

2) Una compañía tiene 350 empleados de los cuales 160 obtuvieron un aumento de salario, 100 fueron promovidos y 60 fueron promovidos y obtuvieron un aumento de salario. a) ¿Cuántos empleados obtuvieron un aumento, pero no fueron promovidos?  b) ¿Cuántos empleados empleados fueron promovidos, pero nnoo obtuvieron un aumento? c) ¿Cuántos empleados no obtuvieron ni aumento de salarios ni fueron promovidos?

3) En una encuesta aplicada a 1000 empleados de un centro comercial sobre el tipo de transporte que utilizan para ir de sus casas al trabajo se obtuvo la siguiente información:              



431 empleados utilizan metropolitano. 396 taxi. 101 empleados utilizan metropolitano y combi pero no taxi. 176 empleados no utilizan ninguno de los tres medios considerados. 341 utilizan combi. 634 utilizan metropolitano o combi. 201 utilizan sólo metropolitano. a) ¿Cuántos empleados utilizan metropolitano o combi pero no taxi? 











 b) ¿Cuántos empleados empleados utilizan sólo uno de los tres tres medios de tran transporte sporte menciona mencionados? dos? c) ¿Cuántos empleados utilizan sólo combi? d) ¿Cuántos empleados utilizan metropolitano, combi y taxi?

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

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  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Razones y proporciones Razón aritmética, propiedades y problemas. Razones y Proporciones Tanto la razón como la proporción son dos conceptos matemáticos sumamente útiles en la vida cotidiana de cualquier individuo. El primer estudio formal fue introducido en la obra de Euclides: “Los Elementos, la Teoría de las Proporciones” donde sus libros V y

VI tratan de la l a proporcionalidad y semejanza. Conceptos: Cantidad: el resultado de la que medición delserestado de una magnitud escalar. llama magnitudesEsescalares a aquello pueden medidos o contados como, por Se ejemplo: las edades, los volúmenes y el dinero, etc. Observación: Hay magnitudes no medibles como la alegría, la memoria; por lo tanto, no pueden expresarse numéricamente, por ello no las consideraremos en este texto. Ejemplo: La altura del edificio Trilce de la av. Arequipa es 24 metros Magnitud: Longitud, Cantidad: 24 metros Razón: Es la comparación que existe entre dos cantidades de una magnitud, mediante las operaciones de sustracción y división. Clases de Razón: Razón Aritmética Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. Sean las cantidades a y b, su razón aritmética será:

donde: a: antecedente  b: consecuente consecuente r: valor de la razón aritmética Ejemplos:

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  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

La edad de José es 42 años y la edad de María es 14 años, hallemos la razón aritmética de sus edades. Solución: 42 –  14  14 = 28 Interpretación: La edad de José excede a la edad de María en 28 años. La edad de María es excedida por la edad de José en 28 años. La edad de José es mayor en 28 años a la edad de María. Los ciclistas A y B se desplazan con velocidades de 16 m/s y 12 m/s, respectivamente. Hallemos la razón aritmética de dichas velocidades. Solución: 16 m/s –  12  12 m/s = 4 m/s Interpretación: La velocidad del ciclista A excede en 4 m/s a la velocidad del ciclista B, es decir, en un segundo A recorre 4 m más que B.

Proporción aritmética, propiedades y problemas. Proporción Aritmética Es la igualdad entre dos razones aritméticas. Ejemplo: Si 35 excede a 23 tanto como 30 excede a 18, se puede escribir como:

donde: 35 y 30: antecedentes 23 y 18: consecuentes 35 y 18: términos extremos 23 y 30: términos medios

Propiedad:

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Tipos de Proporción Aritmética: • Discreta 

Es cuando los términos medios son diferentes. Se expresa como: a –  b = c –  d donde: d: es la cuarta diferencial de a, b y c. Ejemplo: Halle la cuarta diferencial de 5; 11 y 13. Solución: Sea x la cuarta diferencial. 5 –  11  11 = 13 –  x

x = 19

• Continua 

Es cuando los términos medios son iguales. Se expresa como:

c: es la tercera diferencial de a y b.  b: es la media diferencial diferencial o media aaritmética ritmética de a y cc.. Ejemplo: Halle la media diferencial de 60 y 24. Sea x la media diferencial. Solución: Página 28 de 28 de 98  98 

 

  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

Halle la tercera diferencial de 20 y 15. Sea y la tercera ter cera diferencial. Solución:

Razón geométrica, propiedades y problemas Razón Geométrica Es la comparación de dos cantidades mediante la división, y consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades contiene a cierta unidad de referencia. Sean las cantidades a y b, su razón geométrica será:

donde: a: antecedente  b: consecuente consecuente k: valor de la razón geométrica Ejemplos: Hallemos la razón geométrica con respecto de las edades de José y María del ejemplo 1.

Interpretación: La razón geométrica de las edades de José y María es 3. Las edades de José y María están en la relación de 3 a 1. La edad de José es tres veces la edad de María. Las edades de José y María son proporcionales a 3 y 1. La edad de José es dos veces más que la edad de María. Página 29 de 29 de 98  98 

 

Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Hallemos la razón geométrica con respecto de las velocidades de los ciclistas A y B del ejemplo 2. Solución:

Las velocidades de los ciclistas A y B están en la relación de 4 a 3, respectivamente. Las velocidades de los ciclistas A y B son proporcionales a 4 y 3, respectivamente. Proporción: Es la igualdad de dos razones de una misma especie o clase (aritmética o geométrica) que tenga el mismo valor de la razón.

Proporción geométrica, propiedades y problemas. Proporción Geométrica Es la igualdad de dos razones geométricas. Ejemplo: Si un hombre gana S/.35 por semana, ¿Cuánto tiempo tendrá que trabajar para ganar S/.385? Solución:

donde: 1 y 11: antecedentes 35 y 385: consecuentes 1 y 385: términos extremos 35 y 11: términos medios

Propiedad: Página 30 de 30 de 98  98 

 

  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

Tipos de Proporción Geométrica: Discreta Es cuando los términos medios son diferentes. Se expresa como:

donde: d: es la cuarta proporcional de a, b y c. Ejemplo: Halle la cuarta proporcional de 4; 8 y 6. Solución: Sea x la cuarta proporcional.

• Continua 

Es cuando los términos medios son iguales. Se expresa como: Página 31 de 31 de 98  98 

 

Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

c: es la tercera proporcional de a y b.  b: es la media proporcional proporcional o media ggeométrica eométrica de a y c. Ejemplo: Halle la media proporcional de 9 y 25. Sea x la media proporcional. Solución:

Halle la tercera proporcional de 4 y 12. Sea y la tercera proporcional. Solución:

Propiedades de proporciones geométricas:

Serie de razones geométricas equivalentes:

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  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

Ejemplo:

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Magnitudes proporcionales Magnitud directamente propiedades y problemas.

e

inversamente

proporcional,

Razón entre dos números  Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos. Entonces: 

Razón entre dos números a y b es el cociente entre ellos:     = 2  Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es decir 5, ya que  

Proporción numérica Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que    entre c y d. es decir   =   Se lee “a es a b como c es a d”.   Ejemplo: Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5   es la misma que la razón entre 8 y 20. 

 

Es decir  =   

 

En la proporción llaman medios.  =   hay cuatro términos; t érminos; a y d se llaman extremos, c y b se llama medios. La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda  proporción, el producto producto de de   

 

los extremos son igual al de los medios, es decir:   =  => .  = . .   

 

Así, en la proporción anterior  =  se cumple que el producto de los extremos nos da 2 · 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 · 8 = 40 Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o magnitudes, ahora veremos que esa relación puede darse en dos sentidos: Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las magnitudes sube la otra bajo y viceversa.

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  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan  pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente  proporcionales. Si ocurre como en el segundo caso, en que, si una magnitud sube la otra baja en la misma cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales. Magnitudes directamente proporcionales Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad cantidad de la pprimera rimera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, o si a la mitad, tercio,... cantidad de la primera corresponde la mitad, tercio,... cantidad cantidad de la segunda, segunda, entonces ssee dice que esa esass magnitudes son directamente proporcionales. Veamos un ejemplo de una tabla de valores directamente proporcionales, fijaros que al multiplicar una la otra magnitud también se multiplica, y si se divide divi de una la otra también. Observar que se verifica las siguientes      igualdades:  =  =  = 0.75  a ese cociente, se le llama razón de  proporcionalidad directa: directa: k = 0,75 Ejemplo 1 En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal? Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente  proporcionales..  proporcionales Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y se escribe del siguiente modo:

Se verifica la proporción:



 





 =

  y ccomo omo en toda propo proporción rción el producto de medios

es igual al producto producto de extremos resulta: 1300·x = 50 · 5200, luego  = gramos de sal.

 ∙ 

  = 200 

Ejemplo 2 Un automóvil gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil? Página 35 de 35 de 98  98 

 

Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones



Escribimos la proporción:  =

  

 y resolvemos.

Luego, con 6 litros el automóvil recorrerá 120 km   Magnitudes inversamente proporcionales Si dos magnitudes son tales que, a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. Veamos un ejemplo de una tabla de valores inversamente proporcionales, fijaros que al multiplicar una la otra magnitud se divide y viceversa. Observar que se verifica las siguientes igualdades: 6·8 = 3·16 = 24·2 = 48 a ese  producto, se le llama razón de  proporcionalidad inversa: inversa: k = 48 Ejemplo 1 Si 3 hombres necesitan 24 días  para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? En este caso a doble número de trabajadores, trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales Formamos la tabla:  Hombres Días

3 24

6 12

9 8

... ...

18 ?

Vemos que los productos 3 · 24 = 6 · 12 = 9 · 8 = 72   Por tanto 18 · x = 72, entonces x = 4 O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo  Nótese que aquí que constante propo proporcionalidad, rcionalidad, obtiene multiplicando las magnitudes y quelasu productodeserá siempre igual. que es 72, se obtiene Página 36 de 36 de 98  98 

 

  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

Ejemplo 2 Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas? Vemos que, con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales. X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas   N° de vacas vacas  N° de días

220 45

450 x

Se cumple que: 220 · 45 = 450 · x, de donde  =   ∗  = 22   Luego 450 vacas podrán comer 22 días. En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

El truco es recordar que como es inversa escribimos la proporción invirtiendo solo una     de las de las fracciones:  =   y de ahí se obtiene lo mismo: 220 · 45 = 450 · x. Ejemplo 3  3  Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles? t oneles?

Escribimos la proporción invirtiendo solo una de las fracciones:  32 200    = 8 

32x = 8·200  =

1600   = 50   32

Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino.

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Algebra de Números Ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, métodos de solución. Sistema de Ecuaciones Lineales con dos Variables Se llama sistema de ecuaciones a todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes. Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente simultáneamente cada una de sus ecuaciones.

Método de Reducción o Eliminación Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza utili za para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita donde el método de resolución es simple.

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Unidad 1

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnitaPor menos que el inicial, en el podemosresolver seguir por aplicando este método reiteradamente. ejemplo, supongamos queque queremos sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccio seleccionamos namos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que  posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos despejamos,, obteniendo la siguiente ecuación.

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

MÉTODO DE IGUALACIÓN El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí

Una vez obtenido el valor de la incógnita, se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la Y.

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  Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

Unidad 1

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Unidad 1

 

Teoría de Conjuntos, razones y proporciones

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Unidad 1

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  Ecuaciones, s, funciones, logaritmos y geometría Ecuacione

Unidad 1 logaritmos y geometría

INTRODUCCIÓN a) Presentación y contextualización:

R E

b) Competencia:

O

Reconoce las expresiones algebraicas y dentro de ellas a los monomios y polinomios, resuelve operaciones aplicando leyes de exponentes, productos notables y factorización teniendo orden en su trabajo y así llegar a soluciones correctas.

Y

G

E

M

T

AÍ

.

Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual. Los polinomios son expresiones algebraicas racionales enteras, con las cuales se realizan operaciones y aplican propiedades que hacen más cortas los  procedimientos; así mismo se realizan factorizaciones con diferentes métodos para resolver situaciones problemáticas. Los contenidos de ésta unidad lleva a que el alumno reflexione sobre los diversos conceptos dados y los refuerza mediante aplicaciones  prácticas.

c) Capacidades

MT

1. Reconocey las Expresiones Algebraicas y los elementos que lo componen, identificando monomios polinomios.

A

2. Aplica las Leyes de Exponentes para resolver correctamente operaciones donde interviene potenciación y radicación.

O

G

R

I

O

S

3. Resuelve operaciones con polinomios aplicando productos notables y métodos que lo llevan a soluciones correctas.

N

E

4. Realiza factorizaciones mediante la aplicación de métodos diversos, reconociendo  previamente el método método de factorizac factorización ión más acertado. acertado.

C

d) Actitudes:

U

N

OI

S

,

L

  Muestra perseverancia perseverancia para el logro de su aprendizaje.

,FS



  Valora los conocimientos que adquiere como parte de su formación profesional y



que además son de utilidad para resolver situaciones cotidianas. cotidianas.   Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de las tareas asignadas en el desarrollo de los temas.

N

E OI



e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:

U

La Unidad de Aprendizaje 03: Expresiones Algebraicas y Polinomios comprende el desarrollo de los siguientes temas:

E

C

A

C

TEMA 01 TEMA 02 TEMA 03 TEMA 04

Álgebra de Ecuaciones Ecuaciones.. Funciones. Logaritmos. Geometría Analítica.

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Unidad 1

 

Ecuaciones, Ecuacione s, funciones, logaritmos y geometría

Algebra de Ecuaciones Ecuaciones lineales y cuadráticas, Desigualdad: Propiedades ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS DEFINICIÓN Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática o resolvente es una Ecuación poli nómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica: Donde: a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0.  b el coeficiente lineal lineal o de primer grado. grado. c es el término t érmino independiente.

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA 1) Por Factorización: Esta forma de solución sólo nos ayudará en algunos casos.

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  Ecuaciones, s, funciones, logaritmos y geometría Ecuacione

Unidad 1 logaritmos y geometría

2) Por Fórmula: La fórmula general siempre solucionará cualquier caso de ecuación cuadrática.

Ejemplo 1: Resolver: x2 - 5x + 6 = 0 Solución:

Ejemplo 2: Resolver: x2 + x + 1 = 0 Solución:

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Unidad 1

 

Ecuaciones, Ecuacione s, funciones, logaritmos y geometría

PROPIEDADES

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Unidad 1 logaritmos y geometría

OPERACIONES BÁSICAS CON LAS RAÍCES

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Unidad 1

 

Ecuaciones, Ecuacione s, funciones, logaritmos y geometría

Ejemplo 1:

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Unidad 1 logaritmos y geometría

Inecuaciones lineales y cuadráticas, propiedades y problemas. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Una Inecuación es una desigualdad condicional en la que hay una o más cantidades desconocidas (variables) y que solo se satisface para determinados valores de dicha variable. Las inecuaciones de una sola variable son expresiones de la forma:

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Unidad 1

 

Ecuaciones, Ecuacione s, funciones, logaritmos y geometría

Entendemos por solución de una inecuación al conjunto de todos los números, en la que al reemplazar cada uno de ellos en la variable “x” hace verdadera la desigualdad. A continuación, resolveremos resolveremos los diversos tipos de inecuaciones de una variable en R. Inecuación de segundo grado o cuadráticas: Son aquellas que se presentan de la siguiente forma

Método de solución por puntos críticos Este método de solución busca factorizar la expresión cuadrática para luego igualar los factores a cero y así hallar los puntos críticos que serán ubicados en la recta real para dar el conjunto solución según indique la desigualdad de la inecuación.

Ejemplo 1:

Solución: Factorizamos la expresión cuadrática por el método de Aspa simple:

Ahora escribimos la Inecuación con los factores:

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  Ecuacione Ecuaciones, s, funciones, logaritmos y geometría

Unidad 1 logaritmos y geometría

Igualamos a cero cada factor y así hallamos los Puntos Críticos:

Ubicamos estos puntos en la Recta Real y ésta queda dividida en segmentos (+) y (-):

Como en la inecuación se tiene: (x  –  4)  4) (x –  2) > 0 “Mayor que cero”, nos quedamos con los segmentos (+) y el conjunto solución serán intervalos abiertos.

Ojo: como la inecuación es sólo MAYOR que cero (no está tomando los valores iguales a los extremos de los l os intervalos), entonces se toman los intervalos abiertos.

Ejemplo 2: Hallar el conjunto solución de   + 2 + 1 ≥ 0  Solución: Factorizamos la expresión cuadrática por el método de Aspa simple: si mple:

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Unidad 1

 

Ecuaciones, Ecuacione s, funciones, logaritmos y geometría

Como podemos analizar, todo número elevado al cuadrado es siempre positivo (mayor o igual que cero), entonces los valores de “x” puede ser cualquier número Real:   Rpta.: C.S. = R Ejemplo 3: Hallar el conjunto solución de: 6  − 11 + 9 > 0  Solución: Hallamos la discriminante de la expresión cuadrática:

Como el discriminante es negativo, las raíces r aíces de la ecuación no son reales y la inecuación:   +  + 1 > 0  sie  siempre mpre será positivo y se verificará para todo x R por tanto tanto el el conjunto conjunto solución será: Rpta: C.S. = R Ejemplo 4: Hallar el conjunto solución de: 4  − 16 ≤ 0  Solución: Factorizamos la expresión cuadrática por diferencia de cuadrados:

El conjunto solución será el segmento negativo porque ahora la inecuación es:

“menor o igual que cero” y el int ervalo será cerrado:

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  Ecuacione Ecuaciones, s, funciones, logaritmos y geometría

Unidad 1 logaritmos y geometría

Ojo: como la inecuación es MENOR O IGUAL que cero (está admitiendo la condición de igualdad, es decir se toman los extremos de los intervalos), entonces el intervalo solución es cerrado.

VALOR ABSOLUTO El valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3. El valor absoluto está relacionado con las nociones, magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El valor absoluto de un número Real “x” se denota por: | x | y se define de la siguiente

manera:

Ejemplos:

 Note que, por definición, el valor absoluto de X siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo. Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real X es siempre  positivo o cero, cero, pero nunca nunca nega negativo. tivo. En general, general, el valor absoluto de un número Re Real al X, es la distancia que hay del cero al número X.

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Unidad 1

 

Propiedades fundamentales:

OTRAS PROPIEDADES

Ecuaciones, Ecuacione s, funciones, logaritmos y geometría

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  Ecuacione Ecuaciones, s, funciones, logaritmos y geometría

Unidad 1 logaritmos y geometría

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO:

Ejemplo: 1) |2x + 1| = 5x + 3 Solución: Se debe asegurar que: 5x + 3 ≥ 0 porque el resultado de un valor absoluto no puede ser

negativo, siempre será positivo o cero.

Ahora se tiene que: X ≥

Es: X = - 4/7 Rpta: C.S. = {- 4/7 }

-3/5; entonces el valor de X que cumple esta condición

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Unidad 1

 

Ecuaciones, Ecuacione s, funciones, logaritmos y geometría

SOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Resolver las siguientes inecuaciones: Ejemplo 1:

Solución:

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  Ecuacione Ecuaciones, s, funciones, logaritmos y geometría Ejemplo 2:

Los puntos críticos son:

Ejemplo 3: Resolver: |3x –  1|  1| < 5x –  3  3 Solución: Debemos hacer:

Unidad 1 logaritmos y geometría

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Unidad 1

 

Los puntos críticos:

Ecuaciones, Ecuacione s, funciones, logaritmos y geometría

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  Ecuaciones, s, funciones, logaritmos y geometría Ecuacione

Unidad 1 logaritmos y geometría

Funciones Par ordenado y su representación en el plano cartesiano. Producto Cartesiano Se llama par ordenado a un conjunto formado por dos elementos y un criterio de ordenación que establece cuál es primer elemento y cuál el segundo. Un par ordenado de componentes a, b se denota (a, b). En general en el par ordenado: (a,  b) a "a" se le llama primera componente o abscisa y a "b" se llama segunda componente componente u ordenada. Ejemplo: Son pares ordenados: (3; 5) , (-2; 7), etc.

Igualdad de pares ordenados: Los pares ordenados (a, b) y (c, d) diremos que son iguales si sus correspondientes componentes son iguales, esto es:

Ejemplo: Determinar los valores x e y, si los siguientes pares ordenados son iguales: (4, 2x-10) = (x-1, y+2) Solución: teniendo en cuenta el concepto de igualdad de pares ordenados, se tiene: t iene: 4 = x –  1

; 2x –  10  10 = y + 2

5=x

2(5) –  10  10 = y + 2 -2 = y

Producto cartesiano, Teoremas Dominio y rango. Producto cartesiano de conjuntos: Consideremos dos conjuntos A y B arbitrarios; llamaremos producto cartesiano de A y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a, b) de tal manera que la primera

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Unidad 1

 

Ecuaciones, Ecuacione s, funciones, logaritmos y geometría

componente “a” pertenece al conjunto A y la segunda componente “b” pertenece al

conjunto B.

Así tenemos: A X B = {( {(, , ) ∕  ∈  ∧  ∈ }  Ejemplo 1: Sean: A = {1; 3; 5} y B = {2; 4}. Hallar AXB e indicar su cardinal. Representarlo gráficamente.

Solución: A X B = {(1; 2), (1; 4), (3;2), (3; 4), (5; 2), (5; 4)} Además, el cardinal de AXB será: Card. (AXB) = n(AXB) = n(A) X n(B) = 3 X 2 = 6 Representaciónn Gráfica: Representació

El Plano Cartesiano:

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Unidad 1 logaritmos y geometría

Ejemplo 2: Sean los conjuntos A y B. A = {a, b, c} y B = {m, n, o} El producto cartesiano A x B estará definido como: AxB={(a, m), (a, n), (a, o), (b, m), (b, n), (b, o), (c, m), (c, n), (c, o)}

El producto cartesiano BxA estará definido como: BxA={(m, a), (m, b), (m, c), (n, a), (n, b), (n, c), (o, a), (o, b), (o, c)}

Ejemplo: Representar en el plano cartesiano AxB: Sean  = { ∕  ∈  ∧ 1 <  ≤ 3}  ,  = { ∕  ∈  ∧ −2 −2 ≤  < 2} 

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Unidad 1

 

Ecuaciones, Ecuacione s, funciones, logaritmos y geometría

Solución: Se debe tener en cuenta que los elementos de A y B son reales, por lo tanto en el gráfico se tomarán en cuenta todos los puntos que corresponden a los intervalos de valores para A y B. La representación geométrica geométrica de A X B es:

A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que  pertenecen a los segmentos PQ y QR.

Propiedades Del Producto Cartesiano: 1) A X B ≠ B X A (está sujeto s ujeto a los elementos de los

2) A x Ø = Ø x A = Ø 3) A X (B ∪ C) = A X B ∪ A X C 4) A X (B ∩ C) = A X B ∩A X C 5) A X (B - C) = A X B - A X C

conjuntos)

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Unidad 1 logaritmos y geometría

Ejemplo: Se tiene los productos:

Las inecuaciones fraccionarias fraccionarias o racionales tienen llaa incógnita en el denominador. Las inecuaciones racionales resue lven de un modo similarser a lascero. de segundo grado, pero hay que tener presente quese resuelven el denominador no puede Las Inecuaciones Fraccionarias reducidas a su más simple expresión toma la siguiente forma.

FORMAS GENERALES:

Donde P(x) y Q(x) son Monomios y Polinomios no nulos con coeficientes reales

Soluciones de inecuaciones fraccionarias: Recuerda: Si se tiene una desigualdad y se multiplica o divide a ambos miembros un número  positivo, la desigualdad desigualdad no cambia. cambia. Ejemplo:

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Unidad 1

 

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Si se tiene una desigualdad y se multiplica o divide a ambos miembros un número negativo, la desigualdad sí cambia. Ejemplo:

Para hallar el conjunto solución de una Inecuación fraccionaria se realizará los siguientes  pasos: 1º) Reducir la Inecuación fraccionaria a su forma general aplicando factorización, para eso ya se conocen los diferentes Métodos de Factorización:

2º) Identificar el denominador de la expresión fraccionaria e indicar los valores de la variable que la hacen cero, para no tomarlos en el conjunto solución.

Este valor no debe incluirse en el conjunto solución 3º) Multiplicamos a ambos lados de la desigualdad, el denominador de la fracción elevado al cuadrado. Así:

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Unidad 1 logaritmos y geometría

Debes recordar que:

4º) La expresión ahora queda reducida a:

5º) Al tener la Expresión Reduc Reducida, ida, se procede con el Métodos de los Puntos Críticos para hallar finalmente el Conjunto. Solución:

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Unidad 1

 

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Ejemplo 2:

Solución:

Cambiamos el signo del numerador multiplicando por (-1) a ambos miembros y tenemos:

2º) Identificamos el cero del denominador:

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  Ecuacione Ecuaciones, s, funciones, logaritmos y geometría Este valor de X no se debe incluir en el Conjunto Solución. 3º) Multiplicamos ( − 2)  a ambos miembros de la desigualdad:

4º) Expresión reducida:

5º) Hallamos los puntos críticos:

Ejemplo 3: Hallar el conjunto solución de:

Solución:

Unidad 1 logaritmos y geometría

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Unidad 1

  Estos valores no se incluyen en el conjunto solución

Los puntos críticos:

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Unidad 1 logaritmos y geometría

Gráficas de funciones. Representación gráfica de una función

Definimos la gráfica de esta función como el conjunto de puntos:

o también los pares de puntos. Estos puntos se pueden representar con coordenadas cartesianas en el plano formándose así el dibujo de la gráfica de la función.

Pero, ¿Cómo se representa una gráfica? Para poder explicarlo debemos introducir antes el concepto de dominio e imagen de una función.

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Unidad 1

 

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En una función distinguimos dos conjuntos: uno es el conjunto de donde tomamos valores para evaluar la función (los posibles valores de  x ) y el otro es el conj conjun untto form formad adoo po porr los los dif difer ereentes ntes valo valore ress que que alc alcan anza za la fu func nciión. ón.

.

Entonces, definimos: Dominio de una función como el conjunto de valores donde evaluaremos la función. Se denota como: Imagen de una función como el conjunto de valores obtenidos por la función. Se denota como: Fijémonos que cuando notamos una función como:

el conjunto X es el dominio, puesto que tomaremos los valores de dentro de éste y la imagen estaría dentro del conjunto Y. Ejemplo

Ejemplo

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Unidad 1 logaritmos y geometría

Podemos observar que el dominio puede ser un u n conjunto a elección nuestra (ya que podemos escogerlo más pequeño o más grande) mientras que la imagen vendrá dada por el dominio escogido. A veces, pero, nos encontramos que nuestra función por ciertos motivos no  puede ser evaluada en ciertos ciertos puntos ya que no está definida, así que tendremos tendremos que excluir ciertos puntos o intervalos del dominio. Ejemplo

Cálculo de dominios: Para calcular el dominio de una función tenemos que partir de que puede ser cualquier número de la recta real () e ir restringiendo el conjunto dependiendo de la función. Para hacer estas restricciones debemos localizar los puntos "débiles" de nuestras funciones o, mejor dicho, los puntos de no definición. A continuación, listamos los conjuntos de no definición de las principales funciones:

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Unidad 1

 

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Ejemplo

Representación gráfica Supongamos que tenemos una función . Para representarla gráficamente debemos primero encontrar su dominio para saber en qué puntos debemos evaluarla. Una vez encontrado el dominio procederemos a hacer la representación. ¿Cómo lo haremos? Bien, la manera más simple y sencilla es mediante una tabla de valores, es decir, daremos valores a la variable y encontraremos el valor de y dibujaremos el punto encontrado, en el plano usando las coordenadas cartesianas. Ejemplo

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Unidad 1 logaritmos y geometría

y por lo tanto encontramos los pares de puntos:

los que dibujaremos en el plano X Y los uniremos con una línea. Al final obtenemos:

donde hemos marcado con puntos las coordenadas encontradas en la tabla de valores. Este procedimiento (hacer la tabla de valores) puede sernos muy útil cuando debemos dibujar una función, pero a veces nos puede desconcertar, ya que existen funciones muy diversas y a veces sólo encontrando unos cuantos  puntos en la tabla de valores no basta para poder dibujar la ffunción. unción.

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Logaritmos

Propiedades de logaritmos. Propiedades de los logaritmos Anteriormente hemos definido la función logarítmica como la inversa de la función exponencial, y se evaluaron las expresiones de logaritmo con el fin de identificar los valores de estas funciones. En esta lección vamos a trabajar con expresiones más complicadas de logaritmo. Vamos a utilizar las propiedades de los logaritmos para escribir una expresión log como la suma o diferencia de varias expresiones, o escribir varias expresiones como una sola expresión log. Propiedades de los logaritmos 1.El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos l ogaritmos de los factores:

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

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Unidad 1 logaritmos y geometría

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el llogaritmo ogaritmo de la  base:

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

5. Cambio de base:

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EJERCICIOS RESUELTOS Aplica la propiedad que corresponde: Calcula:

Logaritmos decimales y neperianos. Relación entre logaritmos decimales y neperianos Conocido el logaritmo decimal de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo neperiano es:

Conocido el logaritmo neperiano de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo decimal es:

log1/a X = -loga X

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Los logaritmos loga b y log b a son inversos.

Ejercicios:

Dado el log 25 = 1,397940, calcular ln 25. Resolución:

Dado el ln 17 = 2,833213, calcular log 17. Resolución:

Calcular log1/6 216, sabiendo que log6 216 = 3. Resolución: log1/6 216 = -log6 216 = -3 Calcular log3 10, sabiendo que log 3 = 0,477121. Resolución:

Calcular log5 e, sabiendo que ln 5 = 1,609437. Resolución:

Unidad 1 logaritmos y geometría

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Ecuaciones e inecuaciones logarítmicas. Intervalos, Inecuaciones lineales y cuadráticas Intervalos Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo. CLASIFICACIÓN DE INTERVALOS

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el símbolo U (unión) entre ellos

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UTILIDAD DE LOS INTERVALOS:

Estos subconjuntos de R se definen mediante intervalos. En todos los casos, los números a y b se llaman extremo inferior y extremo superior del intervalo respectivamente.

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Unidad 1

 

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Ejemplos: 1) Escribe como intervalo los conjuntos de números reales:

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Unidad 1 logaritmos y geometría

Los extremos infinitos siempre serán abiertos.

Representa en la recta real los siguientes intervalos (cada uno en una recta distinta)

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Operaciones con Intervalos Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de conjuntos, definiremos a continuación algunas operaciones, con conjuntos en general, e ilustraremos estas operaciones mediante ejemplos, de entre los cuales en algunos casos se involucrarán intervalos.

Sean y conjuntos. Se define la intersección de y se denota, al conjunto cuyos elementos  pertenecen a y también a . Simbólicamente se tiene que: Ejemplo 1: Si:

Ejemplo 2:

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Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Unidad 1 logaritmos y geometría

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Unidad 1

 

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Sean y conjuntos. Se define la diferencia de “y” y se denota, al conjunto cuyos elementos  pertenecen a y no a

Ejemplo

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Geometría Analítica Recta, ecuación de la recta y la Circunferencia. Círculo y recta ¿Por qué el círculo y la recta son tan importantes? Los dos objetos geométricos más importantes – aparte aparte del punto –  son  son sin duda la recta y el círculo. La recta por ser geodésica, es decir, la curva más corta que conecta cada dos  puntos de ella: si fijamo fijamoss dos puntos P y Q, el segm segmento ento recto P Q eess el camino más corto entre P y Q. La recta P Q es la continuación de este camino hacia ambos lados. Geodésicas hay en cada superficie. En la esfera, las geodésicas son círculos mayores, es decir círculos que tienen el mismo mi smo radio que la esfera misma, o dicho de todavía de otra manera, las geodésicas son aquellos círculos que resultan al interceptar la esfera con un  plano que pasa pasa por el centro. La siguiente ilustración n muestra el lado izquierdo diferentes círculos mayores que pasan por un punto y el punto antípoda (el punto opuesto).

El círculo o más correctamente –  la   la circunferencia, es el lugar geométrico de todos los  puntos que están a lacircunferencias misma distancia, el superficies radio, de unque punto dado, el centro. También  podemos considerar sobre no son planos. La ilustración anterior muestra del lado derecho circunferencias con el mismo mi smo centro en la esfera.

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Las rectas y las circunferencias son los dos objetos fundamentales que nos dicen algo sobre la medición de las distancias en el plano (o en la superficie que queremos considerar). La ecuación de la circunferencia Para obtener la ecuación de una circunferencia (en el plano) consideramos un punto C con las coordenadas (a, b) y otro punto P con coordenadas (x, y).

Recordamos (a, b) son las coordenadas del del centro y r es el radio. Ecuaciones de la recta  No hay una única ecuación ecuación de la recta sino hay varios. La pendiente

Un concepto de suma importancia es la pendiente de una recta. La pendiente es un número (o infinito, si la recta es vertical). La pendiente indica qué tan inclinada es la recta. Antes de indicar como se calcula la pendiente de una recta indicamos algunos hechos importantes:   La pendiente es cero para rectas horizontales.   La pendiente es positiva para rectas que suben hacia la l a derecha.   La pendiente es negativa para rectas que bajen hacia la derecha.

 



Ahora vemos como se calcula la pendiente. Para ello se fijan dos puntos de la recta (los que sean). Si las coordenadas de los puntos son (x1, y1) y (x2, y2) entonces la pendiente es:

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Comentario: No importa cuales puntos se eligen. Para diferentes elecciones obtenemos triángulos semejantes y por ello siempre la misma razón de los catetos, es decir, la misma  pendiente. Ejemplo 1. La siguiente grafica muestra un ejemplo de una recta.

Es fácil encontrar las coordenadas de algunos puntos que pertenecen a esta recta:  por ejemplo (0, 1) y (2, 2) son puntos de la recta. Por ello ello la pendiente ees: s:

Ahora vemos diferentes formas de ecuaciones para representar una ecuación. Ecuación punto-pendiente Si p es la pendiente de una recta y (a, b) las coordenadas de uno de sus puntos entonces  para todos los puntos (x, y) de la recta se satisface satisface

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de lo que se obtiene la ecuación punto-pendiente de la recta:

Esta será la forma preferida para nosotros. Por ello presentamos las otras formas de manera breve.

Ecuación normal de la recta Si multiplicamos el factor del lado derecho de la ecuación “punto pendiente” obtenemos.

Esta última es la forma normal de la recta. r ecta.

Ecuación simétrica de la recta Podemos reescribir la ecuación aún más:

La ventaja de esta forma es que r y s tienen una inmediata interpretación geométrica: la gráfica de la recta cruza el eje de coordenadas x (resp. y) en la coordenada r (resp. en s). Ejemplo 2. Las diferentes formas para representar la recta del Ejemplo 1 se ven de la siguiente manera:

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Ejemplo 3. Determina una ecuación de la recta f que pasa por los puntos (3, 5) y (4, 3). La forma más adecuada para este problema es la de punto-pendiente. La pendiente es:

Intersección de objetos Empezamos con un problema. Ejemplo 4. Determina el punto de intersección de las dos rectas m y n que se muestran en la siguiente figura.

Las coordenadas del punto de intersección satisfacen ambas ecuaciones. Despejamos una   de las variables de la primera ecuación, por ejemplo y. Obtenemos  =   + 1 . Ahora 

sustituimos la variable y de la segunda ecuación por   + 1  Así obtenemos una ecuación en una sola variable:

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que podemos resolver usando las herr amientas del ´alge br a: 

De esta manera determinamos la coordenada x del punto de intersección  

Para determinar la coordenada y simplemente sustituimos  =  = 1.2  en una de las dos ecuaciones de las rectas. Si usamos la ecuación de la recta m obtenemos  − 1 =  ∙ 1.2 = 0.6 y de ahí que y = 1.6 (podríamos usar la segunda ecuación:  y − 4 = −2 · 1.2 = −2.4 de donde se obtiene también  y = 1.6).

Las coordenadas son (1.2, 1.6). Lo importante a observar en el ejemplo anterior es que tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas que hay que resolver simultáneamente. Se dice que se trata de un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones en dos variables. En el ejemplo anterior el sistema se resolvió con el método de sustitución que usa dos pasos:   En una de las ecuaciones se despeja una de las variables.   Luego se sustituye esta variable en la otra ecuación por la expresión

 

correspondiente. correspondie nte. Esto da una ecuación en una sola variable que se resuelve. r esuelve.

  Finalmente se sustituye el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para



determinar el valor de la segunda variable. Ejemplo 5. Determina los puntos de intersección de las dos circunferencias f y g que se muestran en la siguiente figura.

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El centro de f es (−1, 0) y el radio es 2, mientras g tiene centro (3, 1) y radio 

3. Por ello las ecuaciones de las dos circunferencias son

Aquí es difícil despejar una variable. Por ello primero usamos un truco. Para ello evaluamos los cuadrados en ambas ecuaciones. Obtenemos

Si ahora restamos las dos ecuaciones obtenemos una nueva ecuación ecuación en la cual ya no hay cuadrados:

Si reescribimos obtenemos

Esta es una recta en la forma f orma estándar. De hecho, es la recta que pasa por los dos puntos de intersección. Ahora podemos sustituir y en la ecuación de f por la expresión −4x + 2.

Obtenemos:

Ahora podemos determinar los dos valores de x con la fórmula general

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Los dos valores los sustituimos en la ecuación (21.5) (y ( y no en la ecuación (21.1) o (21.2) ni en (21.3) o (21.4)1). Así obtenemos y1 = −4 · 0.7445 + 2 = −0.9780  y2 = −4 · 0.0790 + 2 = 1.6840 

Así que los dos puntos de intersección son (0.7445, −0.9780) y (0.0790, 1.6840).  Lo importante a observar es que podemos tomar diferencias de dos ecuaciones y obtener una nueva ecuación. Si las coordenadas (x, y) satisfacen ambas ecuaciones iniciales entonces también la suma y la diferencia de ellas.

Ejercicios Calcula la pendiente de cada una de las rectas ℓ, m, n y p que se muestran  en la siguiente

ilustración.

2. Determina una ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 1) y es paralela a la recta f del Ejemplo 2. 3. Determina una ecuación para la recta que pasa por los dos puntos (8, 3) y (−2, 5).  4. Determina las ecuaciones de las siguientes circunferencias:

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5. Determina los puntos de intersección de la recta ℓ con la circunferencia.

6. La siguiente figura muestra un cuadrado con lados de 10 cm. El punto M es el punto medio del lado BC. Determina la longitud AE. Pista: Elige un sistema de coordenadas a tu conveniencia. Dibuja los ejes y aclara la escala.

Parábola, Elipse, Hipérbola. Se entiende por Secciones Cónicas a las curvas planas que se producen por la intersección i ntersección de un plano con un cono. Las intersecciones del plano con el cono dependen del modo como éstas se produzcan. Cambiando el ángulo del plano y el lugar donde éste corta al cono, se producirán secciones diferentes.

En el siguiente dibujo tienes una cartulina amarilla que “corta”

 perpendicularmente al eje del  perpendicularmente del cono y ccompruebas ompruebas que la sección sección es es el círculo en azul, siempre que el corte no se produzca por el vértice. Su contorno es una circunferencia.

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Si el plano corta oblicuamente al eje del cono y a todas sus generatrices, sin pasar por el vértice, la sección que obtenemos es una elipse. Mantenemos la misma cartulina amarilla y la sección resultante en azul:

Si el corte lo hacemos, de forma oblicua al eje del cono  pero paralela a la generatriz del mismo obtenemos obtenemos una parábola:

Si el plano corta oblicuamente al eje del cono y a todas sus generatrices, sin pasar por el vértice, la sección que obtenemos es una elipse. Mantenemos la misma cartulina amarilla y la sección resultante en azul: Si el corte lo hacemos, de forma oblicua al eje del cono, pero  paralela a la generatriz generatriz del mismo obten obtenemos emos una pparábola: arábola: Si el plano corta a las generatrices en ambos lados del vértice del cono, obtenemos una hipérbola.

Si te fijas en la figura siguiente, podemos clasificarlas teniendo en cuenta el ángulo que forman el plano con el eje del cono: cono: Si el pla plano no es  perpendicular al al eje, tenemos una sección circular cuyo contorno es la circunferencia.

Si el ángulo que forma el plano con la base es menor que el ángulo que forma el plano con la generatriz, tenemos que la sección será una elipse. Si paralelo generatriz parábola. Si el el plano ánguloesque formaaellaplano con latenemos base es lamayor del que forma con la generatriz, tenemos la hipérbola.

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Cuanto acabas de leer lo tienes ti enes representado a continuación:

LA GEOMETRÍA ANALÍTICA Fueron los griegos quienes “inventaron” la geometría. La palabra geometría significa medir la tierra. La acción de medir la l a tierra la tenían que repetir cada vez que el río Nilo se inundaba y borraba las señales y límites lí mites anteriores. De esta práctica surgieronTiene fórmulas de distintas figuras geométricas cálculo de superficies y volúmenes. que transcurrir mucho tiempo, hasta el para sigloelXVII en que René Descartes aborda la resolución de problemas geométricos haciendo aplicación del álgebra con la ayuda especial de las coordenadas cartesianas. cartesianas. Este es el comienzo del estudio de la geometría en el que para la resolución de los  problemas geométricos no sólo se necesitan regla y compás, sino que, examinándolos, analizándolos, reducirlos a expresiones y ecuaciones algebraicas para su inmediata resolución. A esta Geometría la conocemos como Geometría Analítica.

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