MATEMATICA BASICA ARMANDO VENERO.pdf
April 20, 2017 | Author: jackson | Category: N/A
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M.atei11ática. uasica t .
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J!
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J, AR"AHDO VENERO BALDEON LIClllCIADO EN MATEMATICAS FACULTAD DE CIENCIAS
UNIVERSIDAD NACIONAL D~ INGENIERIA ESTUDIOS DE MAGISTER EN MATEMATICAS PONTIFICIA UNIVERSID TOLICA EL PERO
,)
...
¡ ..*. ··.· , '
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(
PROLOGO
...
E.4.te. .te.úo .t.Uulctdo MATEMATICA BASICA ha. 6.i.do U>c.JÚ.to e.n ba.6e. a lo6 .tema.6 que. Mil ~06 e.11 lo6' pM.meJto6 c.WLh06 de Ma.te.má..tlcaA Un.i. veMUa/ÚLL6 en liÜ CAJl)r.e.JtiU> de. 1rt9~VÚl:t, C.i.e.nc.i.aA, Ec.onomút, Adm.i.11.i.6.tJtll -
l1 A T E M A T 1 CA
.
clón, de. modo que. va r:Wúg.i.do O.. lo6 e.6.tud.i.an.tu. de e.6.ta.6 d.i.6clpUna.6, e.11 llL6
J, ARMANDO VENERO B. La. 6oJtm4 eñ que.
Printed in Peni
Impreso en el Perú
19 9
.6e.
p11.e.6e.n.tall lo6 co1tce.pto4 ma.temá..t 12 " SOLUCIOll
r lz ~ V4 v (11 ~-r V4 .. "'íi! • z21' .. 2112
i > o) ...
De y
1/ ':14 < l/IZ
es v~ pues ?. quiere decir dada ti~ne . el valor sigui~Óte: (F " V) .. F -+
< 1112
rz
+-+
-1 < o)
J
se tiene que
--
- ?. i4 son tmbas falsas. Sin embargo, /z > á
• • Ast se tiene que la proposición
(V
v
(F +-+ V)]
(V
v
(F +-+ V) ]
y según una de las OBSERVACIONES {2. 5) ;es suficiente que el antecedente sea falso para que toda la condicional sea VERDADERA, lo cual puede ser verificado completando lo del corchete.
..
3.4 JERARQUIA DE LOS COIECTIVOS LD6ICOS
Cuando en una proposición compuesta se tienen varios conectivos lógicos, las operaciones se realizan luego de colocar los paréntesis adecuadamente comenzando con las propos!ciones que se encuentran dentro de los P! réntesis interiores. Siguen todas las negaciones y luego .se avanza de izquierda a derecha. Los corchet~s son cons!derados como paréntesis.
3.5 PROBlEl'IA
Sean cas. clones siguientes (a) y a) [ 'l.(p .. q) -+ r J
!
Lóg.leo.
Cap. 1
p , q , r , • y n cinco proposiciones lóg1S1 el valor de verdad de cada una de las proposi -. (b} es FALSA : b) "'P v q .. (s " r) ,
I
{.
"'(p
. .. q)
r
s " r
(*)
es V es F
• Y.
(**)
"'P v q es F por hipótesis , entonces ambas "'P y q son F es decir, p es V y q es F , de donde resulta que ~(p .. q) es V y por lo tanto, r es . V • Luego, de (**) resulta que s es F • Ast , la condicional (c) resulta v., pues e1 antecedente es F , ya que "'r es F , .independientemente de los valores de n Y P • Astmismo, la condicional (d) resulta también ve!LdadeM. (V), pues su ante Como
cedente s es falso (F) •
4 TAUTCl.OGIA Y CONTRADICCION A toda proposición si11Ple o compuesta cuyo valor es siempre VE.!! • OADERO para cu~lquier combinación de valore~ veritativos de sus componentes se ·le llama TAUTOLOGIA y se le denota simplemente por V • A toda proposici6n que es siempre FALSA para. todas las combinaciones de valores veritativos de sus componentes se le llama CONTRADICCION • y se le denota simplemente por F • una proposici6n cuja tabla de verdad contiene al menos un V Y al menos un F recibe el nombro de CONTINGENCIA • la proposic16n: ( {('l.p) v q) " . "-q. J .... "'P , es una TAUTOLOGtA. En efecto,
4.1 EJEftPLO p
q "'P "'q
V
V
V F F V F F
4.2
("' p) V q .
((( ... p)
V
q) /\ lltq ]
F. F
V
F
V F V
F
F
V
F
V
l/
F V
V
..
"'P
I V1 F
1y 1 F 1y \ V 1y 1 V 1 1
la proposición : [ fp " q) v q l " "'q • es una CONTRADICCION. En efecto,
Cap.
Lóg.i.ca
(p /\ q)
q
( ( p " q)
q)
p
q
"'q
p /\ q
V
V
F
V
y
1F1
V
F.
V
F. V F.• F
F y
F F F
F y.
1 F· I 1F1
F
1 F 1
V
V
1
"-Q
"
que a demostraciones de teoremas o resultados en general respecta, pues viene a ser la base del llamado METODO DE DEMOSTRACION POR REDUCCION AL ABSURDO que es una forma indirecta de un proceso de demostraci6n, y que ilustraremos varias veces en el desarrollo del libro. CUADRO DEL EJEMPLO 6.1
p
q
p
Se . llama IMPLICACION LOGICA (6 simplemente IMPLICACION) a toda condicional p -+ q que sea TAUTOLOGIA ; en tal caso, a la condicional se le denota p q • Co1110 ejemplo de IMPLICACION se tiene ( ("' p) v q) " "-Q] = "-P , cuya tabla de verdad esU mostrada en el EJEMPLO 4.1 • Se llama EQUIVALENCIA LOGICA (ó simplemente EQUfVAfEÑCIA) a toda bicondicional p +-+ q que sea TAUTOLOGIA • denoUndose en tal caso p .;:=::::> q • Un ejemplo de EQUIVALENCIA LOGICA es :
p
q
q}
p /\ (p V q)
p V q
~
V V V F F V
V
V
V
V
V
F
F
F F
F
V
1
..
1
V F F
..
6.2
NOTA
p
p v. q
4a. Sa. 6a. 7a. Sa.
(p p p p p
-
p
la.
V
V V V V
q) (q F
V
"
r r)
V ( "-P)
-
[ ("- q) ....
("- p) ]
Esta Olt1ma Equivalencia de (6.1) es muy importante en lo
lb. 2b. 3b. 4b. Sb. 6b. 7b.
E
p. q p
1
(p
1
p V
E
-
"' ("' p)
-
V p
p p (p
"
p
-
p
q)
p
" "
V
q
Las proposiciones (p ~ q) y [ ("' q) ... "-P] son EQUIVALENTES pues sus tablas de verdad resultantes son idénticas , como se PU! de ver en el cuadro de la siguiente p!gina . Por lo tanto, (p .. q)
idénticas
J
NOTA'
Za. ~a.
.. . Dos proposiciones p y q se llaman EQUIVALENTES (6 L6gicamente Equivalentes) si sus tablas de verdad son idénticas, en cuyo caso se simboliza
=
F
V 1F 1 F F 1y 1 V V 1i¡11 V
Un par de Proposiciones Equivalentes p : q produce sie!!.! pre· una Equivalencia L6gic{l p ~· q y viceversa. Por esta raz6n cuando hay una Equivalencia L6gica entre p y q también se dice que: p : q •
V
6 ,- pROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES
p
6, 3
1y 1
F
"'p
Son ciertas Equivalencias L6gicas que las presentaremos a co~ tinuaci6n y cuya demostraci6n es f!cil de realizar exhibienda sus tablas ver.! tativas correspondientes.
p
1 V1 1 V1 1 V1 1 V l·
l
-
7 LEYES DEI.. ALGEBRA PROPOSICIONAL
p
-
"'Q
l y l 1F 1 1y 1 11 V 11
V V V F F V F F
=
p " (p
q
+
1
5 IMPLICACION LOGICA Y EQUIVALENCIA LOGICA
"
11
Lóg.i.ca
Ca.p. 1
p
.P p
" q
"
"
1\
(q F
1\
V
V ("' p)
r r)
-
= -
-
q p (p F p
F
V
V . V
" "
"
p (q q)
r)
V
"
(p
V
r)
p
(q q)
" r) V
(11
"
r)
..
Ca.p. 1
Lóg.i.c.a
12 8b.
"' V
9a.
"' (p
-
F
("' p)
-
q)
V
-
"' F
( "'q)
}
Leyes de
or
MORGAN
SOLUCION
9b.
lA. 2A. JA. 4A. SA. · 6A. 7A. 7, 2 a) b)
LISTA ADICIONAL DE PROPOSICIONES EQUIVALENTES p p p p p
-
"
V
(p (p
V
"'
fJ. q
PROBLEftA
E
p
"- [ "- ( p " q) -+ [ ( ( "-P) " q)
q) ) V q -+ (r " "-r)] "
"' ["' (p
q)
/\
-
-
-+
"-
'\.Q ) . V
-
.. 8a.
"'r
P .... (r
V
F
F F V V F
F V F V F
V F V
F-
V
1V 1 1F 1 1V1 1V 1 ¡v 1 ·¡ V 1 1 V1 1 VI
.F
V F V
F F
V V F F" V F F
•
'l. q') -
"-q
V V V
F
V V
v
V
ftETOD_O 2 a)
b)
p
• -+ ( r
V
V V
V F V V
V
V
Simplificando·:
( q ..... -..p)
"-q )
V V
=
-
7b.
lA. 9b. Sa. 2b , Ja .
(q-+ "-P}
V
Siendo (1) y
(2)
-
(-.. p)
("- r .... ... p) [-..q V ... p]
V
V
{
r
V ti.
("-r
1V1 1F 1 1V1 1V 1 1 VJ 1V 1 1V 1 1V 1
....
"'p)
V F V F
V V
V V
t
idénticas
4A.
"-Q
9b, 2a. 9a • 9b • 7a.
F F V V
lA.
9a. 9b. 2a , 2b.
lA.
Determinar si (a) y (b) son proposiciones equivalenp .... ( r v "'q ) tes: a) b) ( q -+ ._ p) V ( "'r -+ 'V p )
"'P
F
F
F
q
"' [ "' ( "' ( p " q) V "-Q) V q "' [ {p " q) V "-Q) V q ( "-(P " q) " "-("-q)) V q [("-p V "'q) /\ q] V q q V [q A ( "' P V "'q) ] q
"' q
r
V F
F
Tautol~gfa
q) .... p
Mediante las tablas de verdad:
V V V F F
"-Q
[(("-p)A q) -+ ( r " "'r) ] "' "' q [ ( ("- p) 1\ q} -+ f ) " "'Q ! [("-(("-p) /\ q) ) V F ) A = ( ( p V "-Q) V = [ (p V "-
-
"-q
p) F)
b)
: F
+
V
(p
+
. '\, (p
+
I)
"-(p
-
--
A
11)·
7.
\
V) q)
-
V (p
A
"-(p
q)
'\,
++
q)
q) (p V "-Q) (p V "-q) "-(p + q) ++ "-q) III) "-(p ++ q) ( "'P . indicar cull (6 cuSles) es una Contradicc16n (F)
Dadas las proposiciones:
6.
.
· NOTA.-
"-(P
Demostrar qÚe (p •.. q) a)
es falsa.
l!J
l.ógi..ca
e) { (l)
resulta que "'p v "-Q v r : F , es decir de modo que (*) '\, p • p,q:V y r : F V es absurdo, pues por . (*) {p -+ q) -+ r F pero. {p ... q) .... r (a) no se cumple, y por lo tanto se cumple {b}. del cual se tiene Luego, de donde puede ocurrir que que r : F y p .... q : V p + (q ... r} ·J. ·{absurdo) lo que da bl) · p , q : V , r : F p + (q + r) V lo que da b2) p q : F , r : F p • (q + r) : V lo que da b3) p F , q : V , r : F -+
r)
l
(a) 6 {b) :
qel dato, solo puede ocurrir una
{.p .... q) .... r
b)
q) ++ r]
[{p - q) .... r]
SOLUCIOff a)
-+
( (l
Cap. l
-
La proposici6n "'(p + q) " (q ... "'r) , l a cull (o culles) de las s! gu1entes proposiciones es equivalente ? . a) P" (p v - "-rl ""trvq) , b) p,. ("-q) ""-{q,. r) e)
··s. • l.
v [ {p -:- "-r)
(p ,,_ ."'q)
... "-q]
Alguna de las siguientes proposiciones es una Tautologh ?
a)
"-[{"-(P v q)
b)
"' [( "'P)
c)
"' { (p ,. q) v [ p~ ... ("' p v q) ] }
++
+
q]
"-Q] ++
.......
(p
+
q)
{p + q) ++
{p .. "'q)
\ 9. Simplificar: [("' p ... q) _ ·+ (r ,. "'r)] ... "'q \ 10~ Simplificar: [(~ q + "'P) + ("'P . + rvq)] ... . "'(P ... q) \ 11. De las sjguientes proposiciones, l culles son equivalentes entre sl 1
Es necesario que Juan no vaya al cine para que termine su tarea. b) No es cierto que Juan termine su tarea y vaya al cine. c) Juan no ierm1nar4 su tarea y no ir5 al cine. ·
a)
12. ¿ CuUes son Tautologfas 1 : a) [(p v "'q) ,. q] + p c)
["'P ... (q v "-r)]
13. ~la falsedad de
+
"-q) v ( "'r
+
('\o p ,..
[{"-r v q) ... q] ++ [{"-q v r) ... s] {p + r) + ((p v q) ,. "-q)
14. Si se sabe que
q
s) , deducir el valor de
b)
V.
++
N"-P" q) v "-(P v r)]
a)
e)
"-q)
(p
[{p ,. q) v q]
b)
++
"'q
{p .. q)
y
(q
+
t)
son falsas , ¿cuáles de las
16
'\, [ p
a)
s-iguientes proposiciones son verdaderas 1 a) ("-P v t) ·v· s b) "-(P,.. ("-q v "'P))
c)
""'15.
("' p v {q ,..
"'t))
No ingresar al.teatro o pagar 100 intis,
b)
Pagar 100 intis o ser .socio,. y no ingresar al teatro.
c}
Págar 100 intis y ser socio, o no ingresar al teatro.
" · 16.
Si la proposici6n
("'p.,.. q) +
22.
y ser socio.
((p ,.. r) v t]
es falsa,
"-'[("-p) ("-q ,..
b)
e) ("' p
17.
W)
t)
+
V
+
... (r V "'t)] ["-t "' (p V
q})
b) c)
~p) v ( q ,.. ( r v "' p)) ] (p ,.. "-q) [ "'q v ( "'r V: p)] "-( "-q + "'P] "' ( q .... "-(p + r)]
s
(p v q)
++
(r ,.. s)
,.. p
b) e) d)
[ "-(P V q) ,.. (r V s)] V ( "'P ... q)' [("-r""'s)+(pvr)],."-(r .. s} [( w ,.. "-S) + (s v p)] A "'(r ,.. p)
..
b)
. "-(q + "-P) ++ (q V p) { ( -'\.p ,.. '\. q) V 'l. q } ~ "-(p + q)
c) 20.
Si
p
+
valentP
q
++
[{p v q) ,..
q)
[('V p} .¡. q]
V
(
b)
({"- p)
+ Q)
V
((
e)
[('Vp) .¡. ('\tq))
V
"-Q)
+
( "-P)
q
Y
r
r
? •
r
(p
++
V
q) ·
{ (p
z :
+
q)
+
[
p v (q ,.. r)]}
+
[
q ,.. (p v r)]
p y
r
de modo que si
q es
F ' en ton-
b)
r
de modo que si
q es
V • en ton-
z es V •
Escribir 1a negaci6n de cada una de las proposiciones siguientes: a)
El no es rico, pero es feliz.
b}
El ncf es pobre ni es feliz. El es bajo pero es muy Sgil. Ni Juan ni su papS viajarln a Tarma a fin de mes. El tiene un comp!s o una regla. Ambos rquipos Alianza y la U 1r4n a la Copa Libertadores. 54 Juan llega a tiempo con los documentos, entonces ambos, Carlos y . Jorge, podrAn inscribirse en el ciclo de conferencias • tal~s que
26. Si p • q , r , \ , t , w son proposiciones
q) ,. Q]
,
ces z es F • indicar los valores de p y
a)
{p ,..
b)
("' w +
"'r) .... "-S)
(s + w)
es verdadera, ..
es falsa.
hallar el valor de verdad de las proposiciones e) (p ,. q) v r v s , d) (s +-+ "-W) + {r v "'p)
entonc~s la cual es equj;
e) 27. p)
[t .. (w v "-p)] ,. "-(P
Expresar la proposi.ci6n que únicamente
int~rvengan
+
,
r)
{p ,.. q) v (r v s)
de otra manera, en la
los conectivos
y
("-)
(p f q)
/Cu4les de las siguientes proposiciones
V
V
indicar los valores· de
9.>
28. Zl.
d)
"' "-q)
a)
f)
"'G)
? : q .¡. p]
++
4)
V
{ "'p) ~ { "'q) •
se define por
"-(P
"- ( (p
"-(P " q) +-+ ( p .¡. q] (p .¡. q) ++ "-(p. V q) "-(p + q) ++ p A q
e)
es vv.Nladelta
¿ Cu41es son Equivalencias L6gicas 1 : a)
[(p t q) .¡. (q f p) )
c) d)
es ~a.U« es vv.NiadeJr.JL
l cu¡les son· ciertas ? •
19.
t
es vv.NiadeJtD..
[{("-p),.. ("-q)} v (r ... s)]
(p
Dada
valores v.eritatiwos opuestos, se afirma que
a)
+
b}
24.
2!¡..
teniendo r
(p + q)
b)
ces
es verdadera¡
r) ]
lCuSntas F ·y cu&ntas V tiene el resultado de la Tabla de Verdad de: "' ( (p ,.. q) + "'r] ,.. (s v "'s) después de simplificarla 1
"-[ ( q v
La proposici6n
( '\,
23.
r ]
"'G +
[
A
a)
d) hallar el
Deinostra.r que las. .tres proposi'Ciones siguientes .~on equivalentes:
a)
18.
"'G)
V
q)
Si P + q significa "ni p y ni q • , l cu41es de las siguientes proposiciones son Tautologtas (siempre verdaderas} ? : ·
'C)
valor ver.i tativo de:
a)
( '\,
son equtva lentes a:
¿ cuSl(es} de las siguientes proposiciones es equivalente a • ts necesario pagar 100 intis y. ser socio para ingresar al teatro " 1 a)
A
(r v q) ,.. "' ("' r ,.. q)
c)
( (p + q) ,.. "-(q ,.. t) }
+-+
17
Lóg.ú.a
Cap. 1
Cap. 1
Lógica.
Hallar el valor de ve.rdad de la proposici6n:
( + )
3-
,. -8 < 0) ... ( 12 ~ "./ 8
-
-
( "./ 8 > 12
29.
30.
(a)
y (b)
a)
("-S
.
b)
1 3- <
78
-
8> 0))
+
"-W) V
(t ...
"-W)
w
b)
•
+
("-t V s)
.... [ p Vº ("-q}]
111 , . 7. Todas 8. Solo (c) , 9. "-q , 10. "-q , Solo (a) y (b) 12. Todas , 13. a) F , b) F , c) Y Todas , 15. Solo (c) , 16. a) F , b) V , c) V •. 18. Sólo (c) 19. Sólo (b) y (e), 20. y 21. Sólo (b), 22. Sólo (a) y (c), 23. 1 y y 7 F, 24. a) P: V , r: V ó F (cualquiera); b) p y r : ambos,cualquier valor. 25. a) El es rico o no es feliz ; b) El es pobre o es feliz ; c) El no es bajo o no es muy Sgil ¡ ..ú!l Al menos uño, Juan o su papS viajar! a Tarma a fin de mes ; ~ El no tiene ni un comp!s ni u~ na regla; íf.l Al menos uno de los dos equipos, Alianza o la U, no 6.
Utilizando tablas de verdad determinar si la siguiente proposición es una tautologla, una contradicción o una contingencia: {[{ "'P,. r} ... q] ++ ["-q ++ (p V r)]} t:. {(p ++ q)ti.(q V"-r)} "' ([ p t:. ("- q}]
Simplificar:
+
("-
q}) • q
analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
y
V F y
t:)
tLAVI Dt RESPU[SIAS 11. 14.
son Lógicamente Equivalentes
p
b)
V
p
*
q
V
F V F
F es condición necesaria o suF F ficiente pa_ra que (p * q) - V • r ,. s 'Y p * [(p ,. q) * (r,. s)] sea condición necesaria y suficiente E F Es falso que Ce .,. q)
Q E V
g)
p
*q
E
w:F,
ZI, 29.
( p + "'q) + ( "' r + s) , 28. S1 son Lógicamente Equivalentes ,
31.
a)
32.
Las tres proposiciones son Verdaderas. Note que
33.
Oel dato resuita que las proposfciones r y s. tienen valores de ver dad opuestos, y que p y q son ambas verdaderas. Luego, solamente la
A
A
Sabiendo que la propasiéi6n siguiente es falsa: { "'[(p Ar) ... q ] A ((p v q) ti. s ] l · { t. p) + t } nar el valor de verdad de las proposiciones: a) {[("-p t:. q) t:. r ] ... .[ .... (q.,. (u+ p))]} ti. (pAq) b) {"-(P .... q) A ((r,. p) ... "-(r V s)]} A t
(s
,
determi
Si p, q, r, s, t, w son proposiciones tales que (p,. "'r) ...... (s + w) es verdadera, y ("' w + "'s) es falsa, hallar el valor de verdad de: [ t+ (wv"-p),. "-(p +r)].
s:V,
r:Y,
Contingencia ,
proposición
(111)
b)
p:F, entonces
c):V,
ll):V, e):F.
V 30. ·Solo (c)
p v ( "'q) •
es necesariamente verdadera:
p
*
q
E
q •
·
34.
Las proposiciones p y r resultan verdaderas; q, s y t .son falsas. Luego.· (a) es Verdadera , y (b) es Verdadera.
35.
El val9r de la propo!>1cHln dada depender! del valor de la proposición t: - si t es verdadera, la propos1ci6n dada resulta FALSA ; - si . t es fa 1sa, 1a propos ic i 6n dada res u1ta VERDADERA.
F •
Si la· proposición [(p t:. ("- q)),. (p v q)] · + [ r +-+ s] es falsa, cu!les de las siguientes proposiciones son n~ce.6a!L.i.a.m~ verdaderas?: . 1) (p q) .,. (p s) ; II) [( "-P) v r ] .... (r v s) III) (r .. s) ... (p ti. r) •
ir! a la Copa Libertadores. Juan no llegar! a tiempo con los documentos, y en tal caso al menos uno, Carlos o Jorge, no podrS inscribirse en el ciclo.de conferencias.
26.
-
para que
35.
1
.¡;¡
Dado el circuito lógico definido por la tabla:
a)
34.
V (
q Dadas las proposiciones p y q • se define la proposición p V p ... "'Q 1 : p ,. ("' q) . ¿ A cu!l(es) es equivalente como: ("' p) V q d) "-(p V q) a) e} p V ( "'q) {"' p) V ("' q) b)
31. a)
33.
3-
Sin usar tablas de verdad, determinar si las siguientes propos1ciones
c)
32.
Cap.
L6g.i.ca.
18
8 VARIANTES CONDICIONALES Dadas dos proposiciones p y q ción condicional
" p ..... q "
,
con respecto a la proposi-
se pueden presentar las. siguientes varian -
tes condici onales que contienen a p y q : llamada l a PROPOS ICION RECIPROCA de p-+ q q ..... p llamada la PROPOSICION INVERSA de p -+ q · "'p ..... "-q 11 amada la PROPOSICION CONTRAPOSITIVA de p -+ q "'q _.,. "'P
20
Ca.p. 1
fup. f
Lóg.i..c.a.
9 INFERENCIA LOGICA Ó ARGUMENTO LOGICO Las tablas de verdad de estas cuatro condicionales son RECIPROCA
CONO 1CIOtW.
V
F
p
"'p
V V F V
V F V V
V F
V V F F
q .....
p- q
q
p
"'q .... "'P
"-q
-+
Se llama INFERENCIA LOGICA 6 ARGUMENTO (LOGICO) condicional áe la forma
CON TRAPOS 1TI Vio
INVERSA
V V
V
F V
V V
( P1
F
Una proposici6n condicional p -+ q y su contrapositi-· va "' q .... "'p sf son L6gic"amente Equivalentes. (Ver la
2) Si la con_dicional {*) no es una Tautologfa entonces se denomina FALACIA.
El valor de verdad de un Argumento se determina como sigue.
de nuestros conocimientos escolares sabemos que ro que su rectproco q + p es falso. 8.3
APLICACION DEL •TEOREMA (8.1) ..
DEFIHICION
p .... q
es verdadero,
~
Sea n un entero positivo.
~
n
2 1) 2 • 4k2 + 4k + 1 • 2(2k + 2k) + 1 2 n2 • 2 k + l donde k1 • 2k + 2k +
p -• q
2 n resulta también ser i11par. es verdadera , y por lo tanto que
? O , entonces
"' q
-+
"'p
El Argumento (*) también es denotado por: P1 • Pz ' • .. • pk
es par entonces n es par. SOLU·C-1 OH . Definimos p : n2 es par , q : n es par • Sus ne2 es impar , q : n es impar • Se nos pide gaciones son p: demostrar que p -+ q es verdadera, es decir que " Si n es 4mpar en2 tonces n es impar • se cumple • En efecto, Si n es impar entonces n • 2k + 1 para algún entero k ~ O ; luego
1 k es un entero 1 Luego, h mos verificado que
2
1
2
n2 • (2k
Un Argumento (*} es verdadero si q es verdadera cuando todas las premisas p , p , ••• , pk son verdaderas. En cualquier otro caso el Argumento (*} es falso.
mostrar que si n
y como
.
Consideremos los siguientes enunciados acerca de un Para-
lelogramo A ; Si A es un cuadrado, entonces A es un rombo Si A es un rombo, entonces A es un cuadrado
q -+ p
(*)
.... q
l) Si la condicional (*) es una TAUTOLOGIA , es decir si es una 1mplicacióK entonces r~cibe el nombre de ARGUMENTO VALIDO 6 Inferencia Válida .
tabla de verdad anterior).
p .... q
pk)
Una inferencia puede ser una tautologta, una contingencia, ó una contradicción.
EJEftPLO
~
A
SIOM'.
quivalentes.
8 .1 · TEOREMA
Pz
donde las proposiciones p , p2 , •• • , pk son llatnadas PREMISAS, y 1 originan como consecuencia otra proposici6n denotada q y llamada CONCLU-
observe que una proposici6n condicional y su recfproca no son L6gicamente E-
8.2
A
a toda
var~n a procedimientos correctos de deducci6n lOgica .
(**)
q
Si el Argumento es VALIDO y las premisas p1 • Pz • ••• pk , son verdaderas , entonces la CONCLUSION q es
9.1 TEOREMA
verdadera.
PRUEBA
Siendo un argumento (inferenc,a)
válido, la condicional
{*)
{p ,. p ,.. • • P1c.) ~ q es una tautolog1a, en la que (p 1 ,. P.2 ,. •• 2 1 • • ,.. pk) es verdadera (pues cada Pi , p2 , ..... pk lo es) 11e donde la. única posibilidad para la CONCLUSlON q es que sea verdadera (si fuese falsa. la condicional serfa falsa y la inferencia no serfa VALIDA contradiciendo la A
hip6tesis). 9. 2
OBSERVAC I OH
9. 3
NO TAC 1011
es verdadPro , que es lo querhmos demostrar. A continuac10n estudiaremos un tipo d~ condicionales que nos 11!
l-
Una inferencia no se modifica si una o varias de las proposiciones componentes Pi • P2 • "· • Pk • q se reemplazan por otra u otra que sean EQUIVALENTES. Un argumento
(pi ,.. p2 ,.. • ..
,. Pk.} .... q
tambHn
C4p. 1
ln6eAenc.la. Lógic4
22
E.;E!'1PLO:
donde los tres puntos
-9.4
u
23
: cu:a •al idez ha sidu demostrada en el EJERCICIO (9.4).
se denota en la forma siguiente:
se leen
f cP. 1
Luis viajar!
poi!. lo taltto " •
. 9. 6. 2
Demostrar que el siguiente Argumento es Vllido :
EJERCICIO
SI Luis gana el concurso, entonces viajar& a Espafta Luis gana el concurso
LEY DEL ttaou's TOLLENDO. TOLLENS [(p .... q)
p p .... q
a Espafta
===· { "'P)
" ( "'q)]
simbolizado tambi6n como:
p .... q
q
"'q
SOLUCION ' Debemos demostrar que la condicional
( p -,.. (p .... q} ] .... q
·es una Tautología (V} : [p "(p -
... EJEMPLO:
q)] .... q "' [ p " ( ": P V q}]
(("-p) V
_y
q]
V
("' p)
q
(p " "'q)
("'{P,. -vq)]
{p" "-Q)
V
V
V
V
.....................................................
(p" "'q)
(Por lo tanto) Lu1s no ga~6 el concurso
TAUT!)LOGIA
9.6.3 LEY DEL SILOGISft{) HIPOTETICO
Esto también pudo haberse demostrado con las tablas de verdad.
9.5 EJEMPLO
q
Si Luis gana el concurso, entonces viajar! a Espana Luis no vfaj6 a Espana
[(p .... q)
-En un Ejercicio Propuesto tent8l11os la LEY TRANSITIVA: [(p .... q} ,. {q .... r)]
,..
(q .... r)]
s.imbo11zado tamb16n como:
==> (p-+ r}
p-+
p- .+ q
q .... r
9.6
-+
..
r
EJEMPLO:
9.6.4 p]
también s1mbo11zado como:
=
-.
Sf no llueve entonces se perder! la cosecha Sf se p1er·c1e la cosecha entonces no se podrl cancelar la deuda
(Por lo tanto) Si no llueve, no se pod~l cancelar la deuda.
9.6.l LEY DEL ftODUS PONENDO PONENS ,..
r
......... ............................. •,• ...................... .
INFERENCIAS VALIDAS NOTABLES ftETODOS DE DE~OSTRACIOI
[(p .... q)
LEY TRANSITIVA
p .... q q .... r
por lo ta~to el siguiente es un ARGUMENTO LOGICO váli..dD:
p
(p .... r)
=o
LEY DEL SILOGISMO DISYUNTIVO ((p
V
q)
"'
("- p))
::=:>
q
esquematizada por: p .... q
p
p
"' p
q
V
q
q
Ca:p. 1
24
J R IC 1O
Gladys tiene un carnet o una Libreta Electoral Gladys no tiene ningún carnet
EJEMPLO:
................................................ (Por lo tanto) Gladys tiene una Libreta Electoral
9.6.5
LEY DEL DILEMA CONSTRUCTIVO [(p .... q}
A
(r .... s) ,.. (p v r)]
=
(q v s)
(p ... "-q) ,
a)
(p
(r..,. q)
-+
"'q) •
(r-+ p)
• q
SOLUCION De las impl1cac1ones ya conocidas tenemos que a) Si reempluamos (r..,. q) por su equivalente ("' q .... ""r) entonces: [(p- "-q) ,.. ("'q-+ "'r)] = (p -+ "-rl por la Ley del Sil09ismo Hipotético b) Por conmutat1vidad tenemos
esquematizada por:
p -+ q
r
-+
[ ( r .... P} ,.. ( P .... "' q) ,.. q ]
s
p·
V
r
q
V
S
9.8 Si Pepito toma bebidas heladas, entonces se resfriar! Si Rosa no llega a tiempo, se quedar! sin ver la obra Pepito toma .bebidas ·heladas o Rosa no 11eg6 a tiempo
EJEMPLO:
....................................................... (Por lo tanto) Pepito se resfriar! o Rosa se quedar! sin ver la obra.
9.6.6 a)
LEYES DE SIKPLIFICACION p
A
q
=
esquematizadas por:
EJEMPLO:
9.6.7
p "' q
b}
p p
..
=
q
q
p
q
"'r
(Ley del Modus Ponendo Poneos) (Ley del Modus Tollendo Tollens)
"'q) ,.. q]
"ETODOS DE DEMOSTRACIOK Cuando se utiliza un Argumento L6gi~o V!lido en la. fonna:
.
(I)
para una ciert~ Demostraci6n, entonces se dice que se ha empleado un METDDO DI~ECTO DE DEMOSTRACION. En cambio, si consideramos la ne.gad.óll de. la. conchu.lóit q y de wut de. la.6 piwn.c:.46 P¡ , Pz , • • • , plt , digamos de p 1 y se construye
probareroos
..
~ue
e e Aruume11to Llig1co (11) es equivalente al Argumento {I): pk ] ..,. "' P1
[("' q) ,. Pz "' -
"'[("' q) "'- P2
-
q
-
( P1 "' P2 ,.
V ("' (p2
9.8 1 V
-+
(II)
LEY DE LA ADICIOH (p
=
p
q
=
((r
el siguiente Argumento
Ningún estudiante es ocioso y Carlos es un excelente pfanfsta. Por lo tanto, ningún estudiante es ocioso.
p
=
,. •••
J
v "'P1
,. '.' " plt "' P1 })
plt )
DEFINICIOft
q)
,.. Pk
-+ q
-
=q
v ["'(Pz ,.. ••• ,.. plt)] v "'P1
"' ( p l "' :
Pz " •' • "' p~ )
v
q
ARGUMENTO (1 )
Cuando se desea f'11pléar el Argumento V5.lido (II} en una Oemostraci6n. se dice que se est~ aplicando
el METOOO INDIRECTO li M~todo por Reducci6n al Absurdo. EJEMPLO:
Todos los poetas son desordenado\. Luego, los poetas son desordenados o son temperamentales.
9,8.2
HOTA
La ap11caci6n del METODO INDIRECTO consiste en considerar
..
., Cap. '
Aqu f hemos demostrado que no ew.te IU.ngÚJl
1
9.8.3
que
EJERCICIO
q '-+ p
q
/
V S
'\, s
(q
A
q
-
[p
-
'\, (q A '\, s)
A
s)
V
p
-
A
[( '\,q
("'
(q
'\,
(
(
V
'\,
PROBLEMA
SOLUCIOH q2 " 2
V
p)
A
"-S)] -
APLICACIONES A ENUNCIADOS
F}
A
(
A
'\,
- V
V
V
s}
[(p ~ q}
-
(q
V
p
_
p
v V
V s)
-
V '\,
V
(q
V s)
A
_
[p
-
p
A
.. -
q " ~
=
=
n es par también (por· un Ejercicio previo) = n • 2 k2 para algún entero k • De aqut resul~ que ambos m y n tienen como faf 2
(
"-P)] -
("-q
V '\, q
TAUTOLOGIA
m , con m , n enteros priDemostrar que: si q n mos entre sf (no tiene factores comunes, excepto el 1), entonces q2 ~ 7 . "'
q :
Llueve
llueve, Julia se resfriar! Julia no se resfrió
·············· ··············· No llovió
Julia esta resfriada [(p ... q)
b)
"-q
"'{[("-p)vq]A"-p}v("-q)
a)
s)]-+ "'(q v s}
s) -+ '\, (q V s)
=
p:
r
~i
Escribamos los argumentos en fonna s i.mból i ca ~)
Supongamos que se cumple la negación de la tesis, es decir que para
no se resfrió
TAUTOLOGlA
s}
V
s)] -+ '\, ( q
("-
............................... ~ulia
no es racional.
Determinar la validez de los Argumentos:
EJEMPLO··
Si º llueve, Julia se resfriara No 11ovi6
p
, con m y n enteros primos entre st9 luego 2 2 q 2 "' 2 = (m/n) 2 " 2 ""' m • 2n (*) m2 es par , pues n es un entero =-- m también es par (por un Ejercicio anterior), m " 2 k1 para algún entero k1 = 2 2 2 2 2 en (*) : 4 kl • 2 n n • 2 kl n es par
=
9.11
A p) ' v p V
/2
El número
COROLARIO
SOLUCION
s)] -+ '\, ( q
~ p)
"'P) v
A
p
A
A
,.. "-S
'\,(q A "-S}
-
p}
v ( (q v s} v "' ( q v s)
p
9.9
V
p)
V
[{ ("- q
p)
V
"-(q
[( '\,q
-
(q
A
Probaremos que la siguiente condicional es Tautológica
METODO INDIRECTO: [ ( q - •P)
-
p
V ( "-
p
"-S]-+
A
"-S ] -
A
nií.meJtp Jt..a.Ci.ona.l q .tc.l
" 2 •
9.10
a)
METODO DIRECTO: p)
q
9.11.1
p
[(q -
2
Util ice los dos mHodos: Directo e Indirecto para
comprobar la validez del Argumento:
l
tor común al número 2 contradiciendo la hipótesis acerca de m y n, de ser primos entre st. Asf, hemos conclufdo nuestra demostración, mediante una aplicaci~n del METODO INDIRECTO ó por Reducción al Absurdo.
como una premisa a la negación de la conclusión, es decir ~q • Y se de inferir validamente la negación de a!gwt4 de lA.I> p11.em.Ua.4, considelas demas verdaderas. Para efectos de la prueba previa se trató de i.!!, "' p , la negación de la premisa p1 •
ahora trata rando ferir
[(p
b)
-
+
•
q) ,:
'\, { ("' p)
v p)] v("-q)
-
'\, { ("- p)
-
(p
V
"-
("-q)]-+ "'P
A
V
(q
A
q) ,.. (p
'\,
p)} V("- q)
V "- q~
No es una Tautologfa pues depende de los ·valores que tomen p y q. Ast, (a) NO ES VALIDO, es Falacia. ( "-q)] + "'P - "-{[("-p) V q] ,. "'G } V ("- p) (p V "'P) V q p V q V "'P ( ~ q) } V ( "- p)
-
.
-
Luego, (b) es VALIDO. TAUTOLOGIA V V V q = En este caso (b) , también pudimos haber aplica~o la Ley del ~odus Tollendo Tollens directamente.
9.11. 2 EJEMPLO
Comprobar la validez del Argumento; 0
Si estudio, entonce s no me desaprueban MatemH1cas Sf no voy a nadar, entonces estud.io Pero, me desaprobaron Hatem~tfcas
..................................................... (Por lo tanto) Me-fut a nadar
Ca.p. ¡
Ca.p. ¡
28
Me desaprueban
p : Yo estudio • _q r : Me voy a nadar.
SOLUCJOH El argumento es
=
-
(("-r-+"-q)Aq] ·
SILOG. HIP.
c)
[("-r-+p)A(p -"-q)Aq]
=
b)
pAq .... p .... q
("' p)
r
Asl. hemos comprobado que el Argumento dado es una IMPLICACION (condicional tautológica), es decir que es un ARGUMENTO VALIDO.
d)
A (p V q) (p V q) -+ r r .. s
p
MODUS TOLL.
p (-vp
-+
SUG: v
"-S)-+
("-P
A
V
"'q
r -+ "'q p ..... q "'r -+ s p
s e)
(p A q) -+ (r A s) (-vq) V ("-S)
"' q
L~eqo.
((p-+ "'q) A ("-r-+ p) A q]-+ r
[(p-"'q)A('\.r-+p)Aq]
a)
Mate~ticas
"'r)
s
r
,
Algunos se prueban mejor por el método indirecto.
Verificar la validez del argumento
9.11.3 EJERCICIO
s
fn el cumpleaños de mi esposa la llevaré a cenar afuera Es el cumpleaños de mi esposa o trabajo hasta tarde Hoy no llevé a mi esposa a cenar afuera
2.
······················································· Por lo tanto, hoy trabajé hasta tarde
Sea n un número entero , demostrar que si n2 es múltipl~ de 3, enton ces n es también múltiplo de 3 •. SUG: n no múltiplo de 3 equivale a que n = 3k + 1 ó n = 3k + 2 , para k entero. Probar para cada caso.
Sea n un entero, demostrar que si n2 es múltiplo ~e 5, entonces n es también múltiplo de S. 4: Sea n un entero. Demostrar que si n2 es múlti plo de 6, entonces n también es múltiplo de 6. SUG: n es múltiplo de 6 si y solo si n es 2 A j .
3.
SOLUCION p : Es el cumpleaños de mi esposa r : Hoy trabajo hasta tarde q : ~a llevaré a cenar afuera , Verificaremos que el argumento: es una Tautologla. En efecto, l(p
q) A (p [ ("' p)
.......;.
MODUS TOLL.
V
r) A "'q) (.P
V
r)
[(p -+ q) A (p v r) A ("' q)] ..... r
-
[(p .... q)
[("-P
A
"'P,. r
A
NOTA
"-Q)
A
=
r)]
(Ley de Simplif.)
r
=
r
.
Del desarrollo de la Solución del Ejercicio previo. vemos que el siguiente es también un ARGUMENTO VALIDO:
························································
Por lo tanto. hoy no es el cumpleanos de mi esposa SlRIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS l. Verifique la validez de los siguientes argumentos:
. 6.
7.
Tautologla
En el cumpleaños de mi esposa la ll~varé a cenar afuera Es el cúmpleaños de mi esposa o trabajo hasta tarde Hoy no llevé a mi esposa a cenar afuera .
s. Sea n un entero. Demostrar que si n3 es múltiplo de
(p v r)]
p) v (-vp
Por lo tanto. [(p -+- q) A (p v r) A ("- q)] de modo que el Argumento dado es VALIDO.
9.11.4
(
(*)
es múltiplo de 2. Demostrar que no existe ningún número racional
2, el)tonces 2
q tal que: q
•
n
3.
3
Demostrar que no existe ningún número racional q tal que: q = 2,
8. Dados los argumentos .iguientes, determinar en cada caso si es un Argumeh to VSlido o si es una Falacia traduciendo previamente a s~mbolos: a)
Si 6 es 1mpar, entonces 4 no divide a 7 5 no es primo o 4 divide a 7 Pero 5 es primo ,. 6 es par (no impar)
...................... .................... b)
Trabajo o apruebo MatemH1cas Si trabajo no puedo estudiar Aprobé Mate~tf cas
................................ Por lo tanto. yo
estudi~
Ca.p. l
31
Cap. 1
que se fundamenta la teorfa del funcionamiento de las Cal culadoras Eléctr6nicas, Microcomputadoras, Computadoras.
Si trabajo no puedo estudiar Estudio o apruebo MatemUicas Trabajé
c)
=V
1
O -
(verdadero) ;
F (falso}
................ ............. . "
10.2 CIRCUITOS EN SERIE
Por lo tanto, aprobé Hatemciticas
RPTA:
VHido: { [(p _... "-q) b) Falacia: { ((p v r)
a)
e)
Vci1ido: { [( p -+
"'
Son aquellos provistos de dos interruptores
r v· q) ,.. r] .... "'p} :
A
("'
A
(p .... "-q)
A
r] .... q} :
V
p,.. "'q ,.. r
10 CIRCUITOS BocLEANOS CLOGICOS) Un circuito eléctrico es un ensamblaje de inte~tores automciticos que permiten el paso de la corriente eléctrica, o la interrumpen. Se puede representar un interruptor mediante una proposici6n p , y viceversa,· de modo qué se identifique el valol" VERDADERO de la pro posici6n p con el PASO DE LA CORRIENTE , en cuyo caso se dice que • e1. ~ cu.lto eA.t..i ce.M4do" ; y el valor FALSO con la IHTERRUPCtOK DE LA CORRIEN-
p. O>----•...;,._.
--o
circuito cerrado (pa.Aa. co/IJÚe.nte: V )
~·eA.t..i
p ,.. q
(no pa.44. co~: F )
"'P , en-
corriente. Cuando est~ pasando la corriente denotaremos esta situacf6n con el valor V 6 sino t H1b1én con el número 1 ; y cuan do no circule la corriente d1.111··larcmos a esta situac16n con el valor F (Falso) .6 sino t 111blén con el número O Es precisamente en base a .esto• dos valores O y 1 en los
----JI q
pasa corriente
Pe;o precisamente esto corresponde a la tabla de verdad de la CONJUHCION
circuito abierto
cuando por el interruptor p e\tl pasando corriente, por el interruptor "' p estarci interrumpido el paso; y cuando por p se encuentre interrumpido el pasQ de la corr1tnte, por "'p estarci circulando la
10.l MOTA
p
o--------
-o-----~ ----o
..
no pasa corrien te. -
de modo que en todo el circuito pasar& la corriente solamente en el caso en que ambos p y q se encuentren cerrados (ambos tienen el vil,lor 1) como sigue
p
q
p ,.. q
l
1
1
1
o
o o
1.
o ·o o
a.b.i.ellhl • •
Si en un complejo de interruptores aparecen tanto p como tonces:
-/.
q) ,.. ( q v r) ,.. p ] .... r } : V
TE , eñ cuyo caso se dice que • e1.
conectados en
P Y q
SERIE
o
de donde vemos que basta que uno de ellos est.i abierto (O) para que no circule la corriente en todo el circuito:
o---· _ _ / p
A la expresi6n
q
p ,.. q
·-----o
p • 1 q •
o
se le llama la FUNCION BOOLEANA del CIRCUI-
TO EH SERIE.
10,3
CIRCUITOS ER PARALELO Son aquellos circuitos provistos de dos interruptores
p y q conec
Cap. 1
'-9'· J
do (en el que la corr1•·ntf' $1empr
n la
computadoras no
son de utilidad evidentemente.
tados en PARALELO
Expresar mediante funciones Booleanas los circuitos:
10.6 PROBLEMA pasa corriente
o)
a)
q
circ e la corriente en el circuito es suficiente que al de modo que para que ~' est~ cerrado ( 1 ) ; y solamente deja guno de los interruptores p o q (ambos: O) r! de circular la ~orriente si ambos est~n abiertos
,SOLUCIOH a)
p
b}
(p
no pasa corriente
A
p
q
p V q
1
l
l
l
o
o
1
l l
o
o
o
10.4 SIMBOLOGIA
V
a)
A la expresi6n p v q se le llama la FUHCIOH BOOLEANA del CIRCUITO EN b)
De ~quf en adelante esquematizaremos a un interruptor p simplemente co~
p -
q
:
( "- p)
p A q
l(J.8
NOTA
q
~-·=rq
=
(pv q),. (("-p}
e
(p ,. "-Q)
q
>1
V
(11.q}]
(q ,.. "-P)
--[
"'q
q --
"'P
..
Simplificar el siguiente circuito
PROBLE"A
..
/
t~3-C SOLUCION
10,S
V
-[ p }[''} -
EJEMPLOS:
Una TAUTOLOGIA se representa por un ~o ALvnpll~·C~
p A .Q
p - - 11.q}
p
p V q
b}
q
(paralelo)
PARALELO.
p
p -
SOLUCIOll
q
•
p ,.. q
"'P)
q)v{[("-p)vr]A"-Q}
a)
P
V
Construir el circuito L6gico de las Funciones Booleanas
10.7 PROBLEMA tabla de verdad de la DISYUHCIOH Esto precisamente corresponde a la
(q
La func16n Booleana del circuito es : (p
V
q v{("-p),. (11.q)}),.. ((11.j)}
V
q]" p
Ca.p. 1
Ca.p. 1
34 -
que al simplificar resulta : ( { p V ("- p) V q} ,. (p [ V ,.. V ]
F
V
(q
A
A
[
(
p)
"'P -
p)
q
V (q
"-q)) ,. (("- p)
V
. p)]
-
V
V ,. [ F
V
(q
a)
,. (p
q) ]
-
Luego, el circuito
p ... q
.~:]-·
r
-
"-Q
~
q - -. 'l.op
5~·..-
p -
~
~~ q
~
Simplificar el circuito
.~...--.: ____¡L
: LC -r-3-C
•> ..
---'-
---o
Simplificar el circuito
I
~ :.J-C~.r
b)
q
SER IE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
(q tJ. p) : iA cual de los siguientes circuitos equivale? c)
p --
e l cua 1 por contener so1amente dos 11 aves: hara que se ahorren 6 de las a llaves lo que corresponde a un ahorro de I/. 300.00 • Asf, el costo del circuito ser~ tan solo de I/. 100.00 (cien intis) •
Dado el circuito correspondiente a la funci6n booleana
. p
r
e>---
... p))
q
p
q .. p . .
-+
(
q) " p
El circuito reducido equivalente es por lo tanto
(p . tJ. q)
V
equivalente mas simple es: V
q ,., p
10.9 PROBLEM
(p " q)
r
p
Se puede verificar que :
SOLIJC 1Off
( p !J. q) .... ( q !J. p) -
"-[(p v. q)
'l.(p
'\o
q))
(p !J. q] V
((q
~Simplificar el circuito
V
V
"-q
(q
(¡.
p) ,.,
p]
"-(Q ,.
p)]
: V - p
V
'\o
p
Por. lo tanto., el circuito dado as equivalente al circuito (a) •
10.10 · PROBLEP!A
Si el costo de cada llave .eri la instalaci!!ft adyace!l te es de I/. 50.00 (cincuenta intis) • Len cua!l to se reducirá el costo de la insta1ac10n si se reemplaza este circuito por
=r-:
-CPJ-~"1mplol -[~-e,: uno equivalente
~
q
"'P
4. l A cual (o cuales) de los siguientes circuitos le corresponde la propos:i ci6n: "-[p+ "'(q v r)]? e)
a) o
q
SOLUCIOlt [ p ,., (p
V
La funci6n Booleana del circuito e•. q) ,., q ] V [ r ... ( "'r V q) ,. p ]
E
o-p-c:J-o
Cap. 1
Cap. J
8. b)
Ha llar el circuito lógico más s imp le que represente a
o-- p - q - r - - < >
~----l:e::
equivale de los circuitos siguientes 5. l A cu~l 6 cuáles { [(r
b)
-
p
0--
a-C
V
'Vr }
A
q
-
r
~
?
q
p
]-
r
q
- ~
d)
a-C J..
q
p
d)
p
y
~
q
1
V V F
V
F V V
F
F V F
1
V
a) ~
"'P
p
-
-vq
..
--0
-vq
b)
.-[-{ '-~ - - "'P
-[
"' [ ( p v "' q) v ( p "
... ("' q)
]-
p
/ . . Hallar el circuito lógico más simple pa ra la
q
-vq
c)
10. Dado el .siguiente circuito traducirl o al lenguaje lógko forma l y transformarlo en un circuito equivalente más simple :
.
esquema adjunla tabla de verdad de cierta proposición es conio la del Si cu~l(es) de los siguientes circuitos le corresponde ? to, l a p
"' r
Hallar el circuito lógico más simple correspondi ente a
0--
-v(p ... q)
b)
q --o
p
c)
---e
,P
( "' p) .,_... [ p .... -vq ]
-vr
p
A
9.
q
cu~l de las siguient~s proposiciones le c.orresponde
a)
r
o-["'Pf
El circuito
¿ a
7.
q) ·.. p)
c)
a)
6.
V
"' r) v
~Simplificar el si~uiente circuito
I
· . , J" -' q q ] { ,
-Le
~iguiente
"' ( r v q 'v
fu ncfón booleana . :
"' p) ]
-c,x-,lógico:
"-q-p
.
~.;J-
q-[
q
q
.
.
13. Sea M la proposición más simplificada del circuito
q p
J-C[_~ "' q "' r "- r -
q
p p
-
~qT
"'P- -vq
r - - -vq Y sea N la pr opos i ci ón m~s simpli ficada del circuito cor respondiente p
Cap. 1
_c-'ap_._2_ _ _ _-:--------=C.::..:01:jwLt_o_~ _ _ _ _ _ _ _ _~ _ __ 3;;:. :;9
38
~
[(p. s) v (p -"'s))] • [(p • q) v (p
r)]
2
construir el circuito lógicó mas simplificado que corresponde a la prop2 s ici ón N ... M · l'4. Sea A la proposición lógica más simple del circuito
!·
CONJUNTOS (p * q) • (p (p .... q) · Hallar
y· B la proposición lógica más simple de la proposición:
*
donde [(p
.... "'Q).
q) .... . F ), es equivalente a:
el valor de verdad de la proposición
l CONJUNTOS Se entiende por CONJUNTO a una colecdón, agrupac1ón o reunión de objetos llamados ELEMENTOS , y que puede ser· determinado ya sea :
A ..... B •
CLAVE DE RESPUESTAS
a)
POR EXTENS!ON:
l.
b)
POR COMPRENSION : •
s.
·4. Solo (c) ; 8.
¡-
-
Solo (d) ;
6. Solo (b)
p
A
A
( [
lJ.
q)
q "' ("- p) pvq
1.2 ~-
q
~
:
r
~-
q -
conjunto A
"'p
/
o-C~r
·A
M: p v [r ,.. "'q] , N: p ,.. (q v r) • Luego, N + M E V (Tautologta) , y su circuito correspond1ent~ es el de un circuito siempre A ..... B :
v
(tautologta).
por la relación: · (p * q) ..;:=::;>
"'(p * q)
=. p .. q =
Note que la operación +
F ;: P .... q (p
* q)'
Sea A el conjunto formado por los números positivos impan·s menores que 11 , entonces se puede representar a 1
EJEl'IPLO
t
s
cerrado (por el que siempr.e está pasando la cnrriente). 1 4
Para representar a los conjuntos se utilizan letras mayú~ culas A , .B , ••• , y para representar a sus eleme_!! tos se usan letras min6sculas a , b, x., , entre un par de llaves.
1.1 NO TAC ION
-
t • (q · v "'s)
p
12.
A
-=>
= "'(p ...
q)
p * q está definida "-(P * q) V F = p + " q •
a)
POR EXTENS ION :
b)
POR COMPRENSION
y se lee
A =
{ 1 , J , 5 , 7 ,.9 }
1
x. / x. es un número entero impar positivo menor que- 11 }
=
ó .sino también A = { x. : M
x. es un número entero impar positivo menor que 11 }
A es el con~unto de los x. TALES QUE x. es un número entero im-.
par positivo menor que 11 1.3
cuando e.x iste una propiedad o condición que es C.Q..
múri a todqs sus elementos, de ta l manera que ai considerar cualquiP.r ob jeto existente dentro de un contexto de estudio, se pueda es t abh·cer sin ambiguedad si es o no un elemento de tal colección ..
q • { p v ( s • "' q) } ) v [ r "' { ( s • p). v "' q } ) )
·. 11:
"'(p
~
"-S
~p--r--J 10•.
7. Solo (b):
cuando sus elementos esUn indicados exp lkitamente,
NOTACION
u.
Si un objeto :t es elemento de un conjunto A se di ce qui'
Cap. 2
Cort]un.to
{ x /
los números comp 1e jos }
x. • a + b i
donde
z+ •
b
a
{ l os enteros· positivos}.
Z-
= { los enterós negativos } •
z~
" ·{ x. ¡
x. =o 6
x.
E.
i •
z+}"
a y b
&
IR }
D> RAYOS (a • "')
{xclR/
. [a • "')
s{xclR/
/...,¡
{ 1 . 2. 3' { ••• ,
,
-3 ,
-
Q~
Q~
(1)
etc •
INTERVALOS
[a,b]
(-"'· b)
•
( - m,b)
Son conjuntos de números definidos mediante la· relaci6n de orden en el campo de los números reales , y son de varios tipos.
a{X:tlR/
a~x.Sb
x. • a
y
(1)
[a, m)
a>
e IR /
{
X.
{
X E
IR I
R R )(. < b }
)(. s b
}
a>
(1)
!e
42
2.2
OBSERVACION
2.3
NOTA
Y simbolizada por 3 x E A ¡ q(x) • , resulta FALSA , pues ningún elemento x de A cumple con la condición q(x) : la de ser un número negativo •
{ los números reales }
(-""' co)
\R
( a }
[a , a)
Ahora, para otro conjunto 6= { 3 , 6 , 9 , ... } • la proposición definida por 11 PARA TOVO x e: B • se cumple la condición r(x.) •
3 CUANTIFICADOR EXISTENCIA~ Y ~ CUANTIFICADOR UNIVERSAL Aqu1 definimos dos nuevas proposiciones relacionadas con ciertas e! presiones p(x) llamadas FUNCIONES ~ROPOSICIONALES que se convierten en proposiciones lógicas cuando la variable x toma algún valor particular.
3.1
resulta VERDADERA , pues .simbolizada por: 't x e: 8 , r(x.) 11 se puede verificar qUl! todo elemento del Sin embargo, para la condici6n p(x.) conjunto B es .múltiplo de 3 • , la proposici6n
Y
EJEMPLOS DE FUHCIONES PROPOSICIONALES
tario
,
11
Dada la función pr.oposicional q(x) : " x. es estudiante universi~ si tú amigo lector reemplazas x. por tu nombre entonces q(x)
se convierte en una proposición lógica.
nes Proposicionales
A= { 1 , 2 , 3 ,
..• } =
ó sino
" EXISTE
ll'.
en A ,
An!logamente, ~e tiene que
11
3
X E
A /
11
.l
X E
A
( poJt. lo menol>)
el.eine.n.to e.A u.n
1_túmeJt.O
En cambio, para la. condición • EXISTE
" PARA TODO
x es un número negativo x. es un múltiplo de 3 •
p(x)
E
A
TAL QUE
..
"' (
p(x) es cier.to•
u.n el.e.men.to del. conju.n.to A, TAL QUE
~
't
X. E
X
E
A /
A ,
"
q(x) dada , la proposición u.n el.e.men.to X E A, TAL· Q.Uc q(x) es cierta •
se ·les llama CUAflfI FI CAVOR UNI VER ~\ respectivamente.
a)
't
X E
z+
b)
.:i
X E
z+ /
p(x)
p(l()
·_
J
't
~
x e: A , "'p(l()
X. E
A /
"'p(x)
x2 - 6x + 5
=O 2 x - 6x + 5 " O
x2 - 6x. + 5 " (x-·l)(x-5) " O Como la ecuación dada tiene solamente dos soluciones x = 1 y x " 5 , ambas en .z + , entonces pues pata que sea verdadera, la ecuación dada deberfa (a) es FALSA , cump l f rse pa.JUZ. .todo4 loli en.te.1to1i po1.ilivoli de. Z+ , p~
SOLUC I O.N d,i,cho
la condición p(x) no se cumple "
Ind1c.ir el valor de las .siguientes proposicione~ para el conjunto z+ " { l" 2 • 3 ..• '} y negarlas
3.4 EJEl'IPLO
11
p(x) A puede
ntttu/LCLl
..J
•
3.3. NEGACIONES Df PROPOSICIONES CON ~UANTIFICADORES
q(x.)
x
y
'f
y CUANTIFICAVOR EXISTENCIAL '
- "' ( 3'
por: X "' .4 • ~er VERDADERA , pues tal X E resulta Expltc1tamente , la proposición anterior se interpreta como tamb1~n
A estos sfmbolos SAL
x. es un número natural par
" EXISTE ( polt. lo me.nol>) u.n el.e.me n.to
y simbolizada por:
resulta FALSA , pues no es simbolizada por: 't ~ E 8 , p(x) cierto que todo e 1emento de B sea par• ya que existen elemento~ en B, como el número 3 que no es par (adem!s de 9 • 15 • 21 • etc, por supuesto).
Y
IN. , y las Funcio-
se tiene que la siguiente proposición
se cumple la condición p(x.) • 11
p(x) r(x.}
x E B •
Negar el hecho que exista algún elemento l( de A tal que p(x) se cumpla , equivale a afirmar que ningún elemento x de · A satisface la condi ción p(x) ; es decfr que
CUAHTIFICADOR EXISTENCIAL .Y CUAHTIFICADOR UNIVERSAL Dado el conjunto
PARA TOVO
"
La expresi6n p(x) : x. + 1 = 2 no es una proposición lógica en el sentido que no se le puede asignar un valor de VERDADERO o de FALSO , a me.1106 qu.e H le dé. u.n va.loJt. pa!Lli-.cul..aJr. a. la. ·va.M..a.bl.e. x : - si x = 1 p(_l) 1 +1 2 · es VERDADERO s1 x = 5 p( 5) = 5 + 1 = 2 es FALSO
3.2
43
Cap. 2
Cap. 2
Cttp. 2
Co11jun.to4
_
_ _ _ _ __
_:!.,?
'1'i
Conju.n-to4
44
x. • l
ro eso no es cierto ya que solo se cumple para
dad de cada una de las propos i ci ones siguientes e i ndi car sus negaciones : x2 + 3y < 12 a) 'f X E A ' 't IJ e: A
Y
5 • y x. • 5 en pues existen !!ill! dos soluciones x. z+ , y solo hubiese bastado con una d•• las soluci onP.~ .
X "
(b) es VERDADERA ,
las negaciones correspondientes son: '\.{
para (a) :
'f
e;
z+
X
E:
Z+ /
"' ( x2 ·_ 6x + 5
X
e;
.z.+ /
x. 2 - 6x. + 5 1
la cual es VERDADERA ,
"-( 3
para (b)
x· e: z+ /
'f
x
pues para x
2 x - 6x + 5 se hace
= 1,
c~
Simplificar y negar la. siguiente pro pos ici6n compuesta:
..J
"'p :
x
3
( b) :
p :
't
x E Z ,
l
3
x
x es irracional
x es par
es impar
"' q :
¡
't
x
&
{c):
x.
E
A l
IR ,
[ { p ,.. q) -+- "' p )
5
E
[ p
V
{p
[ p
-+
{p
(
"'P
{"- p
V
V
q)) V
(p
p)
q)) V
+-+
.[ { q
_,. (q ,.. [(p
V
q)
q)] ,. [ "'{P
( 'l. q
V
p)
p)
V
V
p
V
-
p
++
(p
V
q)
V
V
y,.[("'P ""' q)vp]
p ) ( p V "' q)
( "' P) ,. q
p
Sea
V
('U q)
.,;
cuya t raducci6n
Exi sten números ent eros pares y ex i sten númer os rea les
PROBLErlA •
q)
p ]
-+
la negac i 6n cor re spondi ente es por lo t anto: 11
y simplificando:
p) .... 'U q )
V
"' ( 'f y
A I .3
E
A ,
x
it
't:
e: A
'f IJ
11
..
irracionales~·.
A ,. { 1 , Z ; 3 } • Determi nar el valor de ver-
+ 3y ?. 12
E.
s~mbo lo
y ~ 3) V Bastaba con una parej a.
para
3 x. E A / 'f 1J e: A 't. x e: A , 3 y E A / X
2
IJ ,. 2) V (X " l '
x.
't
x
IJ " 3 e: A • no se cumple que 2 X + Jy < 12
1J '" 2) •
y e: A /
x.
entonces x es racional
ast, la proposición dada · se pu'ede simbolizar como
3.6
.:l
« 12)
x
2
+ 3y < 12 )
2
+ ly ?. 12
2
+
2
jlJ ::
12
+ 3y :: 12
2 x. + 3y :: 12
A•
.3 !
es lefdo como Por ejempl o, ' a proposición
·q :
Z /
E
2
"-( x + 3y
( *) x = 3 e: A no· existe ningún IJ e: A que haga cum· pl ir (*) : x2 + 3y < 12 tal x e: A puede ser x. " l • y solamente este va l or. ta 1es x e: A • ·!/ e A pueden ser : •
3.7 lfOTACION El
IR /
+ 3!{ < 12
pues para
cada número real es racional • E
2
x = 2 e: A
pues para
( d):
Sean
X
Estableciendo que:
Todos los número·S enteros son impares y existen números reales irrac ionales, si existe algún entero par; si y solo si , hay algún núlll! ro real irracional o cualquier número entero es impar, si es que
SOLUCIOH
IJ e: A I
las negaciones correspondientes son,
•
3. 5 .PROBLEMA
es :
..:r
I
)
(a):
ro.
11
A
+ 3y . < 12 .
x2 + 3y < 12
(c ) es VERDADERA- , (d) es VERDADERA , (x • 1 , y " 1) V (x. : l ' (x • 2 , · y a l) v (x " 2 ,
= O'
- 6x + 5 "' O x2 - 6°x + 5 1 O
>txe:z+,
la cual es FALSA ,
E
X
=2
"' { x.2
Z+. ,
E:
X
.]-
li es FALSA •
pues se cumple por ejemplo para
. x2 - 6x + 5
d)
(
o
z+
e:
c)
E· A
(a) es FALSA •
O)
x2
.l !{ e: A I I 'f !{ e: A
X E A •
'f
·.J x
SOLUCION
x2 - .6x + 5 "' O
X
b) .
es simbo 1iza da por:
11
EXISTE l 1N liNICO entero x. ta 1 que 11
.3 l x e:
z
¡
EXISTE UN UNICO 3 < x.3 + 2 < 12 •
3 < x.3 + 2 < 12 •
.
Note que esta propos i c16n es VERDADERA pues si bien ·e s cierto que la inecua •, ' · ci ón és por muchos números :eales , solamente uno de el l os es UN EN • · •· TERO, a saber x • 2 •
satisfe~ha
Sean A= { 2, 3, 8 } • B'" \ l, 2, 7 } • lcuSl es son verdaderas?: 1) .3 x E A ¡ .lf IJ· e: s , x + y ?. 9 ;
3.8 EJERC I CIO 11)
:J
Ul) . .lf
.Rfil :
3 Yp !12
" l' xz e A X. E
A. Jf IJ
Todas
E
B•
E .B
I
" · + 2y < 23
2( x1 + x.2) ~ IJ1 +. Y2
a)
Jf x. • 3-IJ
b)
$X. '·
RPTA:
= 1)
;
:1 z /
Jf IJ •
3 z /
2z > x. :t IJ
Si el profesor no está presente, entonces algunos estudiantes no comple-
tarán su tarea. Algunos estudiantes 'no completaron su tarea o el profesor está ausente. c) El profesor está presente y todos los estudiantes completarán su tarea.
7.
b)
SOLUCIOH El profesor está ausente y todos los estudiantes completaron su tarea. Todos los .estudiantes completaron su tarea y el profesor está presente. c) El profeso~ no está presente o algunos estudiantes completarán su tarea.
a)
8.
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS l. N.egar las siguientes proposiciones para el conjunto a)
'f
X.
E.
l
c)
,l' :t
E
l
+1>
X.
:t2
/
:t
;
= :t
;
b) d)
.J
X. E
't :t
E
Z· de números enteros: 2 Z / :t + 1 Q 2 Z ,, :t - l > Q ,.
2. Determinar el valor ·de verdad de cada una de las proposiciones dadas en el
't :t E IR
b)
3 :t
c)
.l :t :l :t
E
t
A /
c/
:l y 't
E
lj E
8 /
B •
p(:t)
p(':t)
A
V
q{y) [ "-q{y)]
4. Demostrar que: "' ( 't
K
E
A,
p(x)
+
q(:t) ]
5. Negar cada una de las siguientes proposiciones:
E
IR /
'txtlR,
e
[ p(x.)
·>
E
't
A,
(-x)(-y)
E IR •
!{
(-1)
. i,2 :t
X
.. .
p{:t, y, z) q(:t, y) ]
[ q(x) v r{x) )
:f
X E
M /
i;
't:ttM
d)
.3-xtM/
-+
X.y >
o
.. :t l cuiles son verdaderas ?
+ 3 ·~ 10
f:t-eM,.ZycM/
c)
= :tlj
0
M• { l , 2 , 3 , 4 , 5 } ,
Dado
x+r¡~7
:t+3~8
i:+3>6
Dadas las proposiciones: 2 .a) ( 3 X E IN / :t + 2 " 5 ) " ( 't :t E IN x > ~ ) b) [ .'f a E ._z , -a < O ] v [ 3 x E z / .:.x • x ]
3 :t E IR / ¡;;; E IR • l Cuáles son los valores de verdad de sus negaciones, en ese orden? •
e}
10 • . l Cuál de las siguientes proposiciones corresponde a la negación de:
• Para todo entero ! entonces (a + 1) r
el Ejercicio anterior. 3. Negar las siguientes proposiciones: a) 't :t E A 3 y E A / '[ p{:t, !() ,.. q(q) )
B /
E
E
't z
Indicar la verdad o falsedad de: a)
b)
9..
lj
B /
Oe;>strar que la afirmación: • Para todo entero positivo n, el número ~ - n + 41 es un número primo • es FALSA , con un contraejemplo • .
a)
En la siguiente secció'n continuaremos con el estudio formal de los CONJUNTOS y consideraremos a ciertos conjuntos denominados SUBCONJUNTOS.
E
.Todos los americanos están locos. Hay al menos una persona que es feliz todo el tiempo •. Todos los hombres son honestos o algún hombre es un ladrón. Si e 1 número x es menor que 12 , entonces hay un número real • y ' ta 1 que · x2 + y2 - 144 es pos ith:o.
c)
b)
lj
d)
f)
6.
:t E
A~ 3 A I .l
[ .l 1J e A / "'p{y) ] ... 't x
g) Negar las siguientes proposiciones:
E
c)
e)
a) FALSA (para x. = 9 no se cumple) b) FALSA {tal x. sf existe: e) FALSA (para x. = 9 ... y= 9 no existe ningún z E U tal c¡ue
3.10 EJERCICIO
b)
..l
b}
2z > 18 •
a)
't :t
a)
,¡.
< z2 x.2 + 1 < 3y2 ; c) Jf x. ... Jf 1J , x.2 +
41
Confu.l'Lto6
C11p. 2
Dado el Universo U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ¿cuáles de las siguientes. pro~osiciones son verdaderas?
3.9 EJERCICIO
x.
C11p. 2
Co1tf u.nto~
46
existe un entero ! es par • ? :
a)
3
r e Z /
't a e Z
b)
.J r e Z /
't a e Z
e) 3 d) 3
r r
E
Z /
't a
E
Z
E
z/
't
a
E
Z ,
ar ar ar ar
tal que si ar.
es par,
y (11 + 1) r son impares es impar y (a + 1) r es par es par y (a +.l) r es impar es impar y {a + 1) r es par.
11. l Cuál de las siguientes proposiciones sobre Q {racionales) corresponde a la negación de " Para todo número racional r ; existe un número entero p ta 1 que p ·~ r < p + 1 ~ 1 ~
Cap. 2
C1111jun.to4
48
r 3 r .J r J r
e: e: e: e:
3
a) b) c) d)
V p·c
z• z• z• z,
+1 ~
X ,
V p e:
Q/ Q/ Q/ Q/
V p e: V p e:
p ?: r p > r
Conjuní:oA
Cap. 2 4ea
p + l > p. > r
p < p+1 <
r
,•
4ubc.onjun.to de B ;
49
en este caso se denota
A
a) 3
X
e: l /
X
p +1 < r
V
p+ 1
o.o
r
~
2
d) .:% X e: Z / x - 1 5 0 x2 'f x VFVF en ese orden • J. a) :t x e: A / V tJ e: A , p(x, y)
.c) 2.
V x e: Z ,
A
J.
'
x 2 + 1 f. O
V x e: Z ,
b)
V y e: S , . "'p(x)
b) c)
3 y e:
V
s / '\, p(x)
A
"'
q(y)
q(y) q(y)
EJEMPLO
Si A = { 2 ,
A
VfF
10:
11:
(c)
(d) •
*'******
..
B= { 1 , 2 , 3 , 4 }
y
entonces
todo elemento de A es también elemento de B .
4.2
DEFINICIÓN
que
A e4
4.3
DEFINICION
A
9.
4}
A e B • En efecto, por simple inspección se observa que
V y e: S ,
3 x e: A /
4.1
"'
.1 z e: C / "'p(x, y, z) V x e: A , V y e: B , .p(x) "'q(x, y) b) [ . V y e A , p(y) ] v [ ;J x e: A / "' q(x) "'r(x) J c) d) Existe al menos un americano que no esU loco. ·e) . Todas las personas son infelices en algún momento. f)" Ha.y al menos un hombre deshonesto y ningún hombre es ladrón. 2 2 g) x < 12 , y para todo y e: R se cumple que: x + y - 144 5 O 6. n = 41 . ; 7. a) F b) V , c) F 8. Las cuatro •
wa>
B
r
V
CLAVE DE RESPUESTAS l.
q:.
si
ó si
4. 4 EJEltPLO En efecto:
4 INCLU.SION ·DE CONJUNTOS. SUBCONJUNTOS
VADERA ,
A e B , si B tuviese uno o más elementos que no pertenecen al conjunto A, se dice
SUBCONJUWTO PROPIO de B •
wt
A e: B
En el caso en que
Se dice que dos conjuntos A y B son COMPARABLES si alguno de ellos está contenido en el otro. Es dec1r, B e A•
Para cualquier co.n junto A se t iene siempre· que A e A;
V x e: A , la implicación pu~s
la implicaci ón
p ===> p
=
xe:A es. siempre VER· . es una tautologla.
xe:A
Se dice que A es un subconjunto de · B si todo elemento de A es también 'elemento del conjunto B ,
denoUndose en este caso:
Formalmente, esta definición e& simbolizada como sigue: [Vx cA ,
Ae B
A
e B
Se llama asl a todo conjunto que consiste de
4.5 CONJUNTO UNITARIO
..
xe:B]
4olo el.eme.nt.o •
4.6 .. CONJUNTO YACIO 1NULO)
es
comune.l>)
AUB
De la figura anterior {b) , obtenemos
. 1
Ca.p. 2
Conjun-to4
60
Ca.p. 2
7 LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS Presentamos a continuación la lista de las llamadas LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS en la que· podemos notar una perfecta· ana 1ogfa con.las L~ yes del Algebra de las Proposiciones Lógicas. El conjunto U es el conjunto
B U A (A U B) U C (A ·u B) n (A
A U (B U C)
7a. Ba.
A U (B íl C) A U+ A Uu A U A' (A')'
. 9a .
(A U B)'
9b.
(A íl B)'
lb.
A íl A
2b.
A íl B (B n C)
6a.
A.
Jb. 4b.
n
Sb.
A íl
+
6b. 7b.
A íl
u
u .C)
B)
U'
·Sb.
A
t
p
V,
A ~ (B
e
C)
n
==>
(x. E A)
V
(x. E B "
(x
A)
V
(:t
=
A' n B'
Le.yeA de. VE MORGAN
E
X.
.p
n
=
¿¡e_.., ..
=
(A n C) c.. ,fo:: l'Vw1t~ V x.
..
t
u
..
• y por (*) :
=
:t
A U ( B íl C)
t
A' íl B'
A) "
E
;
x.
E
(A
"- ( x.
~
x E B)
"-(:t E B)
t.
X.
B
u
(** )
=
e: A'
X
"
:t E B'
x.
A' "
:t E B'
B)' t
A' íl B'
xt.A,.,x.t.B
==>
E A v
A' n B'
A'· íl B' ,
=
=
xtAUB
"' p .. "'q ]
t A "
e
= "' (x
XE(AUB)'
X
B'
:
(x. E A U B)
"'(x
n
A'
b)
11
A' íl B'
"'(p v q)
= =
u
••
e
"'
E pues
n e
B) B)
n
C)
Por Doble Inclusión :
Vx.E(AUB)',
A J:;d-e,.-npc/o '· ·ie< B n A ,,.,. )".J'""
:t E
E C)
B n C)
E
x e: (A U C)
Demostrar la LEY de DE MORGAN (9a.) :
(A U B)'
A' U B'
(A (A
t (A U B) . ..
l
=
a) }
C)
=
A
A
t;
V
( por (**) de (a) ]
x. e: 8)
AUB
:ti
X t
===>("-X.EA)"' ("-X.EB)
==>
x. e: (A U B)'
•
Por Doble Inclusión, demostrar que:
C)
e
u
(A
x. e A v x. e (B (x.
u
x. e: B) " (x. E A v
"'
(B '
u
V
X. E
(q " 'r)
n e)
B)
"
n
C)
n
B)
A U (B íl C) ,
V x. t
(A
(x E A v
SOLUC ION
.A
n
(A U C)
E
(A U B) íl (A U C)
U
7.1 PROBLEl'A
(B
l
(A U B)'
A continuació'n demostraremos 1as Leyes 4a. y 9a.
SOLUCION a) A u
n
u
A íl A'
( pues
u
. (A
"
(A U B) íl (A U C)
E
7.2 PROBLEMA
A
A íl (B U C)
Q
x.
=
la.
Sa.
==>
V x. t
A
A UA AUB
o 4a.
x. E (A U B)
b)
Universal . 2a. 3a.
=
•
(A
(p
E V
'u
B)
n
(A
u
7.3
C)
PROBLEMA
X E
A
V
Utilizando las Leyes del Algebra de Conjuntos , y la relación M- N ,; M íl N' demostrar que: (A U B) - (A íl B)
(A - B) U (B - A)
u .8.
SOLUC ION (A - B)
= (x.
(A
A
V
l
L
q) " (p
V
(x.
E
B
i
:. [
C) r)
)
u
(*)
n B' ) u (B n A') . .1, , (A n B'.) u .B ] n [ (A n B u A J . (A u B) n (B' u B) n (A u A') n (B' u A') (A. u B) n u n u n (B' u A' l. " (A u B) n (B - A)
..
(A
1
1
)
(A'
u
B')
por hipótesis : A íl B .. A ) ==> .p ,. q = q ]. Por lo tanto, Ae
(A U B) íl (1
(A U B) - (A
7. 4
7 .6. PROBLEP!A.-
Der
PROBL.El'tA
SOLUCION.-
SOLUCION 't .t e:
A- B "
.t e: A
A•
e
(A - C) lt {C - B)
A
n
B'
[A
e
e)
{A
A
b}. 'V .te: A n B , pues (p ,. q}
n B') n (C' u C) n 8' n C'] u [A n n C'). u (C n B')
(A
=
-
C]
{A-C) u (C-B)
(A
u
B
u
C) - (A
n
B n C)
(A
=
Á
u
B)
(8
C)
Á
Ejercicio. SOLUCIOll.Dei
7 .5 .PROBLEM
(A
u
B
u,
Se prueba que:
C) - {A
n
8
n
C)
•
((.A - C) U (A - B) U (B - A)]
SOLUCIOH a)
n
B'
M
Demostrar con las LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS, y las propiedades ya encontradas que:
PROBLEP!A.-
7.7
C
M .f'r N e
Tomando el resultado de . 7.4 (b)
[pues Por lo tanto,
B •
pa.!U1. ~}
U [(C - A) U (B - C) U (C - B)]
((A - B) U (8 - A)]
.ir'.te:AUB,
U [(B - ·C) U (C ".' B)]
(A t. B) U (B t:. C)
(y por .la l'lip•
(y como
..
7 ,8
p
a2)
B
Por lo tanto,
A
(.;::=}
p
'V.te:
=
p
V
..
PROB~EP!A
.-
pemostrar que :
~i
bl)
A
bZ)
A
.te: A
b)
A íl (A U B)
(A
=
De
(bl
V.te:
B) AA
LEYES VE ABSORCION
)
SOLUCION.a)
.t e:
A
u (A n
B)
b)
;( e:
A íl (A U B)
·=
.t e: A
=· = =
.t e: A
;( e: A
Demostrar que :
7.9 PROBLEP!A.SOLUCIOll.-
(A'
n
B)
n
A
= (A n
por hipótesis. Por lo tanto,
V
(t
6:
A p
[pues
B)
B.,
n A
(A U A')íl B
(p .. q)
-
p]
.t e: B)
V
B
=
8
= 4>
4>
= A íl
B
= A'
íl B
=
(A íl B) U (A'
íl
q)
: 1 p]
V
.A
=
V
p ',. (p
[pues
A' n B
;( e: 'B)
A
;( e: A ,. (t e: A
==>
= (=)
n
A
sis: A U B b)
u
a)
íl
B)
Ca.p. 2
Co1iju.nto1;
'Conju.n.to.6
Ca.p. 2
7 . 14 =
•
7.10
EJERCICIO. -
PRÓBLEl'IA.-
c)
•
u. B)
- C
A - (B
n C)
(A
a)
A - (B U C)
A AS'= (A-B') U (B'-A) A A 8' •
= (A - C) U { B - C)
B • B
. (A .- B) íl {A - C)
=
B
ne
Aíl(B' íl C')
n B') n C'
(A
e •
' b)
Ejercicio.
7 .11
b)
A A B = 4>
Demostrar que:
= +
u ·e•)
A. e. B'
A e ===>
~
A
'
.
EJERCICIO.-
+e
b)
SOLUCION. A U B • 4>
A U B •
n B) e
e•
=
C
=
t
A U B • C
ce A
\.,.
=
AcB
b)
B)
u (B' n
ademas,
A')
[de 7 .13 (a) ]
• • A
A•
n A'
8
A
se
a
A,
4> por el EJERC. 7.11
B
(A - B) ::::> A u e
(A A B)'
=
=
A' A B'
+
..
b)
B' - (A- B) "' (BU A)' ::::> A U B =· (A U B) íl (A U B) = $ A U B " $ · $ íl B • $ • Por lo tanto, la proposici6n (a) es FALSA.
Simplificando: .
=
i;.;
=
.A .. •
===
Ae e
A
B
=• e e e
'A
=
=
Simplificando:
Luego,
(A' - B') U ( B' - A')' (A' n B) u (B' n A)
A' ti. B'
=
(A -
B •
A A B • · A' ti. B'
sea
M .. A A B ,
=
M .. M' •
u•
=
entonces =
•
=
(A A B)'
B) u (B - A) '
u•
(por hi°p6tesis]
=
M· = M' 4>
M = M U M • M' U M " U
=
A• •
n
Por lo tanto, la proposici6n (b) es VERDADERA.
A u B":
LAB ce A u B • A U B •
l
Luego,
·Dados dos subconjuntos A y B de un Universo u, lcuil de los siguientes enunciados es verdadero? :
PROBLEPIA . -
at e' -
a)
+ =
scAUB t
A = B
A ti. B
A U B ..
f A:
A
SOLUCION.-
+
A íl B' ·• ·
B
A "
b)
(A
B' íl B •
Demostrar que: a)
a)
e
Annogamente, se demuestra que·:
NOTA.-
A e
7.13
u (A n B') n e•) • A n e•
B) (A
n B'
A
c.s·"'1
B' •
A íl B e
=== 7 ,12
n • u
(A
• • Por lo tanto,
= $
A
A-8•4> 8-Aclf>
,
{
8.6 {l}CA,., el> e A es decir,
1) Al conjunto P(A) también se le llama EL CONJU~O VE PARTES VE A •
n
2) ·Se prueba que si un conjunto A es finito, y tiene elementos, entontes P(A) tiene z!l elementos, ra • zón por la cua 1 tambi ~n se 1e denota por
3)
El conjunto vado TO POTENCIA
el>
P(A) •
4.l.e.mp1t:e.
e.J;
u.n
zA •
e.le.me.nto
del. CONJU!!,
{X}
{x}
(definición de
P(B) )
..
B
e A
=
{ X }
=
X
por hip6t. , • pues P(A) e P(B) '
e: 1'( B)
e
B
P(A)
E
e: 8
.P(A) U P(B)
X. e: P(A) U P(B)
=
A
V
X e
=
8
e P(A U B)
X e: ·P(A)
V
X e: P(B) ;,.
X e (A U B)
X E P(A U B)
{ a , b , e } e Z - { - 1 , 1 } • Si M .. { (a + b + e) / { a 2 + b2 - 5 , .- 3 , -4a } •
Sea
PROBLEPIA -
" { b - Zc - 8 •
SOLUCION.-
2} }
{x}
( hipótesis)
B
(prop. t r ansitiva de l a inc l usión),
Demostrar que :
X e
-
es decir,
A
l } , {2} , { 1 ,
Sea
=
X e A }
Si A= { 1 , 2 } , entonces: {2}CA, ACA, y
EJEl'IPLO .P(A)
P(A) •
es . un subconjunto de A :
X e: P(A)
·s.l
el> ,;
PROBlEPIA .-
SOLUC 1ON.-
Es el conjunto formado por todc1; lo1; 1;u.bconjv.nto1; de. A , .ilt-
p[ Mu
a7 + 4 } } • ha 11 ar:
-x /
X ¡;
M "
2 -X
te en
-4a no puede ser -3 = (a + 2) 2 " O 2
(ello dar~a: . a • 3/4
=
E
M} ]
son entero~, distintos de 1 y -1 •
a , b , c
Del dato:
{
En M se ve que -3 no puede ser a2 + 4 , lueg·o : -3 " b - Zc - 8 b - Zc ª 5 • As t, { a 2 + b2 - 5 , -3 , -4a } • { -3 , a2, + 4 }
Adem~s. a2 + 4
•
A e B
y por lo tanto
8.5
P( B)
P(B)
A e
= = =·
e: A
A•
2A
P(A}1
X
P( A) e
Ae
donde
X e: P(B)
=
(c)
y
Xe A X e B
P(A) e
P(A) e. P(B) Sea
=
e B
P(B)
=-
X e: P(°A)
y por lo tanto
*******
8 CONJUNTO POTENCIA
P(A) e
=
{ -3, -2, -1, 0, 3}
2s:
=
=
b) { -3, -2, 2 , 3 } , e) { -2, -1, O } ,
A
Demostrar que :
La demostración consta de dos partes:
A e B
Sea
A }
P(A)" {el>,{$), {{cj>}}
SOL.UCIOfL-
Sólo (a) , 9. Todas. A ; b) V para C = el> ,
hallar 1'(A) • ·
A .. { $ , { el>}
Si
8.4 PROBLEl'\A.-
3. ~ólo (b)
Sólo (e)
2.
Sólo (d)
PROBLEf'IA .-
SOLUCION.-
CLAVE DE RESPUESTAS
11
Conju.nto1i
Cap. 2
Ca.p. 2
a " -2 •
t
z)
=
= (*)
-4a ..
La igualdad (*) se convier ' -
{ b - l , -3 , 8 } "' { -3 , 8 } y como el conjunto de la izquier-
da sólo puede tener dos element os, entonces: b2 - l ~ -3
li
b2 - 1
&
8
=
72 i)
Si
b2 -
1i)
Si
b2 - 1 " 8
1
-3
a " -2 ,
Luego,
entonces
b2
entonces
b2
b • -3 ,
-2
=
=
9
a + b + c = -9
c ;, -4 ,
9 NUMERO DE ELEMENTOS:
(absurdo) .
b •
:t 3
=
Dados dos conjuntos finitos y cW.j1Lnto1;.
n(A
pues
~ERIE
+,
Encontrar
2.
Demuestre que
J.
Dé un ejemplo de dos conjuntos -A y
P(A)
donde
A " {
P(A íl B)
et.
4. lEn qué caso·s se cumple que: Si
A "' $ ,
hallar
Dados· los. 'conjuntos
P(M)
(A - B) U (A íl B)
A ,. hnpl ica que
a
,
{
n
B ,.
+
n(A) •
(A - .B} íl (A íl B)
donde
,
n(A - B) + n(A
n
(1) A y B
=
4' (2)
B)
B
+} }
B en el que se vea que
u
P(A) U P(B)
e . P(A) ?
A
En el caso en que
P(P(A))
A•
{ x. e: IN /
x.3 - 2x.2 - Sx. + 6 • O}
X. & IN I zx.2 - 7x. + 3 • o } • e• { 2 • 3} O • (A - B) U C 1 hallar el número de elementos de
Si
A•
{
a ,
+ , { +} }
y
8 • { { 4> } , { {
(no necesariamente disjuntos) ,
,
B íl (A - B)
ya que P(D)
+} } } ,
n(A U B) •
u 8)
- (A
n
a)
(A
b)
El número de elementos de
c)
P(A)
n
P(B)
8)
•
• { •
{ a ,
• , { { 4> } } es 8 •
.
• { { • } } }
Demostrar que: · B e: P{A)
=
A
Adem!s, siendo
{l }
s.
{ • ' {• }
7.
Las
B ..
{2}
{{$ } } , {
B U (A - B)
,
entonces n{B) +
n(A) + n(B) -
AUB •
n(A)
n( A
n(A íl B)
(A - B) U (A íl B) U (B - A)
conjuntos disjuntos entre s1 (dos a dos)
CLAVE DE RESPUESTAS A•
,
A U B •
n
B·)
de (2) ,
(*)
una unión de t res
se tiene que
r,. B .. A - . B • n (A
3.
4'
n(A - B) =
n(B) +
n (A U B) ..
P(A)
•
A y B son conjuntos fin'itos arbitra r ios
y puesto que:
L cua-
les de las siguientes proposiciones son verdaderas ?
8.
A
llO 1tec.UaM.anleJt.te rü/,ju.n.t.D4 :
{ -9 } }
S1
B • {
7.
donde
P(A) íl P(B) •
•
P(A U B)
6.
,
U B) " n(A) + n(B)
A y B se define
como
DE EJERCICIOS PROPUESTOS
l.
's.
{ 4'
"
A UB
La relac16n siguiente que se cumple para cualq~ier par · de conjuntos
+
P( { -9 } )
N{A)
e1 NU~ERO DE ELE~ENTOS DE LA UNION
M • . { -9 }
M esU formado por los elementos de la forma-: a + b + c 2 entonces: Como x. = -9 e: M y -i " -81 ~ M { -x. I x. e: M -x. 2 e: M } =. -x.2 e: H } ] " = P [ M U { -x. / x. e: M
73
Conjllnto4
Ca.p. 'l _
Ca.p. 'l
Conju.ltt.o4
4.
+ { 4> )
A• } }
tre~.
+ •. 6
A•
6.
B
{ 4> }
.\
u 8)
•
n (A - 8) + n (A
que en la pr4ct1ca viene a ser la relación m4s utilizada pues equivale a representar la unión
*******
A UB
en un diagrama en zo-
nas disjunt as como en la figura adyacente :
n
B) + n (B - A)
(**)
. . . .. Ca.p. Z
Conju.n.tcJ:.
74 donde
" "
n(A - B) ,
n(B - A)
t •
y = n(A íl B) ,
9.1 PROBLEKA.-
n( Má.t. y Q:u..ún., pell.O 110 F.t4. ) • n( Má.t. pell.O no F.t4. ni QtWit. ) •
6) 7)
Una encuesta sobre 500 estudiantes inscritos en una ó más de las asignaturas de MATEMATICAS, FISICA y · QUI-
Conj1Ln.to1i
Ca.p. 2
9. 2·
PRUBLEKA . -
FISICA: 186 , MATEMATICAS y QUIMICA:
QUIMICA: 217 ,
295 , MATEMATICAS FISICA y QUIMICA: 63
¿ Cuán tos alumnos es ta rfo inscritos en
1) 3)
a
Los tres cursos Ftsica pero no M~temáticas
2) 4)
I = conjunto de personas que hablan Inglés F = conjunto de personas que hablan Francés A = conjunto de personas que hablan Alemán
SOLUCION.-
a + d + f b + d + e
Matemáticas o Qutmica, pero no Ftsica Matemáticas y Qutmica, pero no Ftsica 7) Matemáticas pero no F1sica ni Qutmica 1
e +e + f
Como
n(H
n
Q)
••
=
NOTA.-
329 • a + d + f + g a + (d + g) + (f + g) - g
4) 5)
55
J _2d +
[2] menos
=
n( personas que hablan dos de de los tres idiomas) ~ + ~ + f, + 5
a + b + c + (d + e + f + 5) = a + ~ + e + "
2e +
20 "'
75
(l] :
" •
30
=
a + ~ + e + 2,. " 85
n( ~" tlte.4 CWl.604 ) • g • 53 82 + 30 • 112 n ( MU. peM no Qu.ún.) " a + d 103 93 + 10 = b + e n( F.t4. pWJ no MU.) " 232 68 + 164 • c + f n ( QtWti. pello no F.t4. ) 314 a· + f + c n( MU. o Q.ul¡n. ,. pell.O no F.t4 ; )
.
. .
. .
[2}
Un club deportivo tiene 48 jugadores de fútbol, 25 de bÍlsquet y 30 de béi sbo 1. Si el to ta 1 de j_ugadores es de 68, y sólo 6 de ellos figuran en los tres deportes:
a • 82
[l]
Si nos hubiesen pedido calcular el número de p~rsona~ que hablan S.Q. lamente dos idiomas, éste habrta sido 25. i Porqué 1 •
u
a + 83 + 217 - 53
=
3)
(*)
Sumando las tres ecuacio~esr'de (*) : Resta.ndo
Procediendo en fonna similar con la gráfica, obtenemos: b •·93 ., c • 68 ademas, d + g • 83 d • 83 - 53 • 30 • As tmi smo, e • 10 , f • 164 • Por lo tanto, ya podemos responder las p~eguntas dadas: 1) 2)
•
a +b +c +
f" F íl Q) • . g • 53
n(H) •
" •
Como se tiene que: n(H
(329 + 186 + 29s) ·- 83 - 211 - 63 + n(H n F n Q) ==>
20 ) 27 28
Queremos ha 11 ar 329 186 295
M = conjunto de alumnos inscritos en Matemáticas F • conjunto de alumnos inscritos en Ftsica Q • conjunto de alumnos inscritos en Qutmica
Del diagrama de Venn tenemos que n ( H u F .u Q) " 500 • n(H) + n(F) + n(Q) - n(H n F) - n(F n Q) + n(H n F n Q) •
)
g=n(AílFíll)=5,
Según los datos:
MatemHicas· pero no Qutmica Qutmica pero no Ftsica
5) 6)
SOLUCION.-
164 82
sanas del grupo hablan dos de estos idiomas 1 •
los cursos indicados:
~
•
En un grupo de 55 personas, 25 hablan ing l és, 32 fra.!!. cés, 33 alemán, y 5 los tres idiomas . i Cuántas per-
MICA durante un semestre, reveló los siguientes números de estudiantes en MATEMATICAS: 329 y FISICA: 83 ,
f
a) y:uántos figuran exactamente en un deporte 7 b) ./! Cuántos figuran exactamente en dos deportes 7
SOLUCION. A: B: C:
fútbol básquet béisbol
..
"
Cap. 2 Conjun.to4
Dados los conjuntos A" { 1, ~ •. 3, 4, S, 6.} y B . { O, 1,, ~. 6, 7., 8, g ·} • Si h es el número de sub conjuntos no vacfos de A que son disjuntos con B, y k el número de subconjuntos no vados de B que son disjuntos con A, calcular h + k •
9.7
76
a+d+e+g b+e +f +g c+d+f+g
Da tos:
•
48
.. .• .. •
25 30 68 6
a +b +c +d +e +f +g g El número total de jugadores que figuran exactamente en un deporte es: y el de los que figuran exactamente en dos deportes es: a +b +c ' d + e + f
=
lt •
y •
h
lt
+ y •
x •
con lo que resulta:
EJERCtCIO.-
Si •
39
y nflt{A n 8)]
n[P(A)] • 128 ' n[P(B)] • 32 • hallar n[P(A U 8)] •
l.
s,
n(A) + n(8) - n(A n 8)
•
1+s-3•!
Por lo tanto, n [ P(A U 8)] •
9
2
•
512 •
+
Demuestre que si A, B y C son conjuntos fini tos entonces
m
terias 1 .
3. Si A es un conjunto que tiene Sn elementos, B un conjunto q>n Sn ~
z •
lementas, y se sabe que los dos tienen 2n -1 elementos en común, llar la suma de los números de elementos que tienen cada. uno de los guie.n tes conjuntos: (A íl B) n (A - B) y (A U B) íl (A - B) 4. · Siendo
X.
n(A) + n(8) + n(C} •
6} , 26 •
z • n(E) • 2
=
lt
+ z • 28
Si A , 8 y e son conjuntos no dilijuntos dos a dos, 9 .6 EJERCICIO.hallar una f6rmula para el n.úmeJLD de. el.einé.n.to4 de. (A b. 8) b. C • n((Ab.8) b.C) = n(A) +n{8) +n(C) - Zn(AílB) - 2n(AílC)fil.TA. - 2n(8ílC} + 3n(AílBílC).
5.
hasf-
A• { n2 /. O < n < 4 · } 3 . 2 < n < 6 } , C • { n2 - .!!.. +l / O < n ~ n
n un número natural y
B ,. { 2n - 5 /
Los :conjuntos A , que debe cumplirse que
n (A íl C) -
estudiantes del último ciclo cursen Hatem.Hicas, Contabilidad 6 Economta. Si se sabe que de 600 de estos estudiantes, 400. cursan Matemáticas, 300 Contabilidad, 250 Economta, 240 Economh i Matemáticas,' 90 Contabilidad y Matemáticas, y 50 Contabilidad y Economta. ¿Cuc1ntos cursan las tres m!
8
sea x el número m!ximo de elementos de. A U 8 U C • Y sea z el nOmero m!ximo de elementos de · D"Enf¡ 2 n(A) • ~. n{8) • 7, n(C) • 10 ó . n(l>) • 4, n(E) • • lt
...
2~ En cierto tnstituto de Ciencias Administrativas se requiere que todos los
EJERCICIO.-
Si se sabe que
"' ls
22 .
n (A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n (A íl B) - n (B n C) + n (A n s n C) •
Ast obtenemos el siguiente resultado:
•
24 - l
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
A
n(A U 8)
k ..
68 - g .. 62 •
SOLUCIOK . De los datos, n[P(A)) • 128 .. z1 ====> n(A) • 7 • n[P(B)). 32. zS = n(B) . 5. n[P(AílB)) . 8 . zl = n(A n B) • 3
1
23
Y •
•
3 2 - l •
h + k = 7 + 15 ..
Por 1o tanto,
x + 2y • 85
mient ras que la cuarta ecuaci6n indica que:
9•5
Del dato tenemos que h resulta ser el número de subconjuntos no vac tos del conjunto A - B , y k el número de subconjuntos no vacfos del conjunto B - A • Y como A - B "' { 2, 3, 5} y B - A= {O, 7, 8, 9 } , entonces
RPTA, -
Sumando las tres primeras ecuaciones de los Datos :
x + 2y + 3g " 103
9 14 •
EJERCICIO.-
determi nar por extensi6n cada uno de estos conjuntos.
Dados tres conjuntos A , 8 , C con n , 3n y (n - l) elementos, respectivamente, donde A y B tienen n/2 elementos comunes; A y C ti! nen n/4 , y donde B y C tienen dos. Si hay un único elemento común a lo~ tres conjuntos, hallar' el número de elementos del conjunto: [(A
u B)
- (A
n
B)] -
c
Ca.p. 2
Co11junt.01.
78
alumnos están .inscritos en Inglés pero no en Ftsica, sabiendo que: 1050 están inscritos en Inglés, 750 en Ftsica, 650 en Inglés y MatemHicas, . 1350 en Ftsica e Inglés, 300 ~n MatemHicas
Ca.p. 2
6. ¿ Cu!ntos de los 2 000
y Ftsica,
1150 en Matem!ticas, y
200 llevan las tres materias 1 .
tas a realizar las tres excursione~. l Cu!ntas indicaron que no realizarin ningún viaje?
a) b) c)
¿ Cu!ntas no mostraron interés por el viaje a !quitos? l Cu!ntas desean hacer dos excursiones siempre que ninguna sea al Cuz-
d) e}
co? • •.. C. Cuintas están dispuestas a realizar sólo dos viajes distintos? l Cuintas viajadan al Cuzco si y sólo si no lo hartan a Iquitos ni a Trujillo 1 •
8.
Una empresa con 420 empleados, 240 obtuvieron un aumento, 115 obtuvieron UJl ascenso y 60 obtuvieron .ambas cosas. l Cuintos empleados ni asee~ dieron ni obtuvieron un ~-eensi> 1 •
' 9.
Una organización de investigac~ón de mercados afirma que de un grupo de 200 ejecutivos encuestados 124 leen regularmente la revista de cambio' , 106 le~n regularmente 'Actualidad Económica' , 35 regularmente ambos, y 23 no leen ninguna de las d~s revistas en forma regular. l Son
'Í
..
estas cifras compatibles, ó son contradictorias 1 •
10. Entre los alumnos de una Universidad se realizó una encuesta espec1fica de la cual se obtuvieron los siguientes resultados : El 55 ~ de los encuestados aprobaron Ftsica I , el 30 % de los encuestados aprobaron Matem!ticas I , el 50 % de los encuestados aprob! ron Economta , el 10 % de los encuestados aprobaron fos tres cursos; el 40 % de los que aprobaron F1sica no aprobaron ningún otro de los tres cur~os, mientras que ·el 20 % de los que aprobaron F1sica también aprobaron Matem!ticas I pero no Etonomfa . El 14 % de los encuestados no aprobó ~inguno de los tres cursos. sabe que
2~6 de los encuestados a.probaron Matem!ticas I
determinar: a)
¿ Cu!ntos aprobaron los t~es cursos ?.
y
Si se
Economta,
¿ Cu!ntos aprobaron
c)
¿ Cu!ntos aprobaron solamente dos cursos ?.
CLAVE DE RESPUESTAS 2.
Una agencia de Turismo realiza una· encuesta entre 5000 personas para ver las preferencias en materia de viajes al CUZCO, IQUITOS y TRUJILLO; 2 400 personas desean viajar por lo menos al Cuzco, 3 000 por lo menos a Trujillo, 2100 por lo menos a. Iquitos, 1000 a Iquitos y Trujillo, 800 al Cuzco y a Iquitos.. 1500 a Trujillo y al Cuzco,_y 500 están dispues-
7.
Matem!ticas I o Economh pero no Ftsica ? •
b)
30
3.
c ,. { i 6.
700
7.
a)
8.
125
10.
}
300
9.
(6n + 1) 5; lln/4
4.
A• { 1, 4, 9 } ,
b)
c)
500
2 900
;
d)
1 800
B={l,3,5},
e)
2 900
Contradictorias.
a) b}
160 aprobaron los tres cursos 496
aprobaron MatemHicas l o Economfa, pero no Ftsica
c)
464
solamente dos cursos •
* * * ** * ** ** * *
•
Cap.
.
Cap. 3
3
IJI
80
6eJte.n-te. de.
O , ta 1 que:
para todo a e: IR a.1 .. a = i.a
3
MS.
AXIOMA VE EXISTENCIA Y UNICIVAV VEL INVERSO MULTIPLICATIVO: -Para cada a / O en IR , existe uno Y. sól_o un elemento en IR, denotado por a.- 1 tal que, a. a- 1 ,. 1 .. a- 1 • a
D.
LEYES VISTRIBUTIVAS 'ta,b,ce:IR:
NúUteros Reales
01.
LEY VE TRZCOTOMIA : Wl4
sigui~ntes
de las
a{b + e) '" ab + ac (a + b)c '" ac + be Dados .a y b e: IR , entonces relaciones se cumple.: b <
a < b ,
a
1
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES El s.i..h.te.ma. de. l.IJ11· Nú.meJWl> Re.al.el>
~s un conjunto IR con dos
Q
peraciones: suma (+) y multiplicación (.) , y una relació!' de orden '< '. que se lee " menor que " y que s'atisfacen el siguiente conjunto de AXIOMAS
·ve A2.
A3. A4.
'ta,be:IR,.
a + b e: IR
't a , b e: IR'. ,
a + b· .. b + a
't a, b, c e: IR,
(a + b) + e = á + (b +e)
a e: IR :
Si
a < b
entonces
04.
Si
a
y
s.
AXTOi!A VEL SUPREMO {AXIOMA VE LA MENOR COTA SUPERIOR) fodo conjunto de números reales A 1 ~ (no vac1o) , acotado ;up• • riormente, .ti.e.ne. UNA MENOR COTA SUPERIOR, llamada también SUPREMO VE -~ •
por
1
-a '
ab e: IR
't a,b,ce:IR
= ba {a~)c = a{bc)
' 't a, b e: IR •
· 1.2
ab
{L~y
de.
Cliut.6Wt.4)
(Le.y Co~v4l (Le.y Al.oc.úxti.v4)
AXIOMA VE EXISTENCIA Y UNICIVAV VEL ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO: y solamente uno, denotado por • 1 ' • ~ Existe un el emento ~n IR '
y
e.ntonces
b< e
a+c O
entonces
Al inverso multiplicativo ó por
'tce:IR
ac < be
a-l
también se le denota por :
1
a
DEN.
existe .un elemento en 1ll, y sólo uno, denotada
't a, b e: IR
a < b
Si
Los cinco primeros axiomas se refieren a 1~ ADICION {SUMA), los cinco _s iguientes a la MULTIPLICACION_, el Axioma D rel! ciona la Suma con la Multip11cación, mientras que los cuatro axiomas· 01, 02, 03 y 04 se refieren a la RELACION DE O_R
a + O = a "' O + a • •
que satisface la relación
< b
l/a
(Ltq A4oc.úxti.v4)
a + (-a) • . O '" (-a) +a Ml. M2. M3. M4.
1.1 NOTA.-
AXIOMA VE EXISTENCIA Y UNZCZVAV VEL ELEMENTO INVERSO AVITIVO: Para cada a e: IR
a < e
03 •.
Existe un elemento en IR , y solamente uno, denotado por 'O' tal pa1W. .todo
a
LEY TRANSITIVA :
AXIOMA VE EXISTENCIA Y UNICZVAV VEL ELEMENTO NEIIfRO AVITIVO: que:
AS.
(le.y Conmu.ta.ti.v4)
y 11olame.n.te.
02.
LOS NU/.IEROS REALES :
Al.
W14
NOTA.-
En las propiedades de 1os nOmeros rea 1es, que si:r!n presen.t ! das a continuación, tomaremos en consi-deración el hecho que cuando se escriba una igualdad como 2 + 6 .. 5 + 3 lo que se est! haciendo es dar nombres distintos a un mismo número rea 1
1.3 OBSERVACIONES.-
8 = " 2+6 "
= " 5+3 •
De estos axiomas se deduce que IR contiene a IN , Z y Q , es decir, a los números racionales en
Ca.p. 3
NúmeAo4 Rea.leA
82
genera 1 l. De M4 se obtiene la existencia del número 1 dentro de IR • 2. De Al se. ti ene que 1 + 1 & IR , es decir que 2 & IR ; as, mismo se tiene que 2 + 1 & IR , es decir que 3 e IR • Inductivamente se prueba por lo tanto que IN e IR • 3. De A4 se tiene la existencia del número O dentro de IR • 4. De AS resulta que; -1 , -2 , - 3 , •• también son nQmeros reales, de modo que Z • { • • , -2 , -1 , O , 1 , 2 , 3 • • } e IR 5.
Para cada entero m e IR , con m ;. O , se sigue que decir, qu_e 1/m e IR y por Ml se sigue que: n . (l/m) = IR ,
es decir que
m-1 e IR , es
Ca.p. 3
IJ:J
• En cualquier proposi ci 6n concerniente a los números reáles todo número real puede ser reemplazado por su igual sin al~ terar el valor ver itativo de t al proposic:ión . 11
1.5 . INTERPRETACION GEO"ETRICA .La correspondencia bi unfvoca entre los números reales y los una recta puede ser ut ilizada para i lustrar geométricamente la relac1on de orden < La relación a < b establece que al graficar en se encuentra a l a izquierda de 1 número b • una recta, e l número a punto~_s o b re
n/m e IR
IR
para todo entero n • Y como todo racional es de la forma n/m n y m enteros, m;. O , entonces se concluye q'ue Q e IR •
a
con
e
b
......
Adem¡s, desde el axioma Al hasta el axioma D se puede verificar que los números racionales también los satisfacen; sin embargo, seda imposible de'mostrar con estos axiomas_solamente que los números irracionales como 13 6 r5' son números 1'._eales, a meno~ que utilicemos el últi mo de los axiomas de io~ n'ü:r~rcs reales, es decir el AXIOMA DEL SUPREMO . De aquf la gran impor tancia de este axioma en el AnSlisis Matem&tico. ·
l.~
AXIO"AS DE LA RELACION DE IGUALDAD DE LOS HUMEROS REALES
Enunciamos los siguientes axiomas sobre la IGUALVAV VE NU /.IEROS REALES, y que son fundamentales para fonnalizar la teoda de los Números Reales:
..
(1)
PROPIEDAD REFLEXIVA VE LA IGUALDAD VE NUMEROS REALES
(2)
Todo ·número real es i gua 1 a s f mismo. PROPIEDAD SIMETRICA_ V~ LA IGUALVAV VE NUMEROS REALES Si un número real es igual a otro, entonces el segundo es igual al
(3)
primero. PROPI EVA'O TRANSITIVA. VE LA IGUALVAV VE NIJMEROS REALES Si un número real es igual a otro, y este otro es igual a un tercero, entonces el primero es igual al t ercero.
Ad i cional mente a estos t res axiomas consi deraremos el siguiente Axioma de Su!
IR
o
-2
5
2
2 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES En base a los axiomas del Sistema de l os Números Reales deduciremos algunas propiedades importantes de l os. Números Real es .
2.1 PR INC.IPIO DE SUSTITUCIÓN DE LA AD !C IO N DE NUttEROS REALES Si
PR UEBA. -
y
a· = b
c
=d
entonces
Siendo a , b , c y a +c
d
a+c = b+ d
números reales, (Ley de Clausura )
r IR
=
a +c • a+c
(Propiedad· Re flexiva de ia Igualdad)
=
a+ c
(Por hipótesis y por el Pr inci pio de Susti tución de R )
b+d
2.2 PR fNCIPIO DE SUSTITUCION DE LA MUL TIPLICACION EN Si
a • b
y
c =d
entonces
ac .. bd •
.La prueba es an~loga a {2.1).,
tituci 6n 6 Pr inci pi o de Sustitución . (4)
'PR INCIPIO VE SUSTITUC10N DE LOS NUMEROS REALES
2. 3 COROLARI O. -
Para todo número rea l
c
m
C.ip. 3
84 (1)
Si
a • b
entonces
a+c" b+c
(2)
Si
a
=b
entonces
ac • be
C.ip. 3
SOLUC l 01 •-
Demostrar que:
EJERCICIO.-
SOLUCIOrt.-
-O " O •
o 2.5
EJERCICIO.-
SOLUCION.-
2.10
Demostrar que :
o
b
a +b • a
si
b" O
entonces
a. O
Demostrar que:
a. O "
...
.o
2.12
SOLUCION . -
A4 y AS
condi ci6n:
2. 8
M4 .
a + (-1).a • l . a + (-l)·a • (1 + (-l)]·a
o
si fuese
Si
por M4 por MS
(pues a· l . a • 1 , par a cada a ; O )
a ; O
Si
entonces probar que :
a 1 O
a· 1
existe por MS :
2.13
a. a- 1 •
tal que
l • a · a- 1 •
•
1 • O
EJERCICIO.-
SOLUCION.-
a 1 O-
Si
Denotando por 1 (por MS) ,
el único número
b- 1
tal que
1 ;
es deci r a- 1 ; O.
a. O • O O entonces 1 r O • Luego, lo cual es absurdo pues por M4 :
a- 1
y M2
AS
EJERCICl.O 2.6
a.(-b)
Para todo
entonces
(-l)·a •
2. l'I
-a
a(-b) ..
a , b e: IR ;
- (ab) •
a •
probar que
b•a
entonces
• a- 1 • a •
y como el inverso muÜiplicativo de b es 1 1 b . b- 1 • 1 ent onces a.• b- • (a- )-l.
(- 1) . [a . b]
..
y en forma anatoga se puede_ probar que:
r Jl:RC I CJO.
Demos t rar que
TEOREftA •-
( '-a)b
a
Sean
y
ab •O
b
números r ea l'es,
entonces
[ a • O
-
v
b•O]
EJERCICIO 2. 7
a._[ (- 1) • b ]
M3 y
[ a •.(-1) ]. b " [(-1).a]·b
2.9
ab
AXIOMA AS el inverso aditivo del número a es único con la a + (-a) " O
EJERCICIO . -
SOLUCJOrt.-
- [-( ab)] "
(-1) .a
o.a • ª'º o y como por el
EJERCICIO. -
SOL11CIOlt .-
o
por AS
ab
A3
que Demostrar que:
-(a )(-b) •
¡-1' .. ¡-1 . 1
SOLUCION
AS
a.(o+O) + (- a · O) o a. O + (-a . O)
EJERCICIO.-
(-a)(-b) •
a, b e: IR :
A4 ·
+
2.7
••
exi ste un único elemento deentonces en ( a) :
-(-a)
1
a.o + o a. O + [a . O + (-a . O)] a· O) + (-a • O) (a. O
-a "
O
Pr obar que: 1- 1 • 1 Es decir, que el inver so multiplicati vo del número 1 es el mismo 1 •
EJERCICIO.-
AS
por hipótesis y
(-a) + a .. O
SOLUC 1OH.-
2.11
entonces
Con los dos Ejercicios anteriore s: (-a)(-b) •
A3
=
a
Para todo
AS
(-a) + (a + b) ·
EJERC I C.I O.-
SOLUCION.-
por A4
+ b
[(-a) + a] + b
2.6
es decir
EJERCICIO . -
b e: IR )
para cada b e: IR b + ( - b) • O
ta 1 que:
-b
a • (-b)
por A4 por AS
(-O) + O
-O •
(-a) + a •
AS , también,
not ado por
=
= -a
b
b+ a =
(a) y c~ por
2.4
Denotando por
- ab
(-a)b •
pa r a. t odo
M2
M3 y EJERC. 2. 7
a
-(ab) • e IR :
- (-a) •
a
PRUEBA.-
(=)
Para el número real l i dades:
a •O
a
ó
exi sten sol amente dos posi bj_
a
ro
•
i}
si
a • O
el Teorema estarta probado.
ii)
si
a ;. O ,
en fo rma aná loga para
b
:
86
.{
o o
b • b;
(=)
2.15
2.16
Si o si NOTA.-
lo cual veremos que es un absurdo, pues siendo a f. o se tiene que a·l ; o • y de la hi p6tes 1.s: (a- 1 • a) b • a· 1 • O ab " O = b • o 1. b • o = b f. o• lo cual es absurdo pues
EJERCICIO.-
Oem. que:
b
EJERCICIO.-
SOLUCION.-
i)
a f. O
lo tanto,
=
Dem. que:
entonces
0
(-a) + (a + c)
AJ
O+ e
AS
e
A4
ac" be
y
NO ESTÁ DEF I NIDA,
2.21
entonce~
e f. O
=
(ac) c· 1 •
a (c c· 1 ) • a.1 • a
(be) c· 1 b
(c c· 1 )
a + ((-a) + b] + (- b)
AJ
" [a + (-a)] + [b + (·b)]
A2
.. o + o • o
AS y
b
PROBLEPIA . -
{ab) - 1 •
SOLUCION.-
..
DfFINICION .- (SUSTRACCION)
PARA TOVO a, b
a- b • 2. 19
DEFINICION.- (DIVISION)
b • Tambtl!n s e denota
a/b " a b- 1 . •
R
t
IR ,
•
y como el inverso mul t iplicativo de
c-1
..
a- 1 b- 1
, es decir
se define
.
a (b a· 1¡ b- 1
HS y H4
c ; o es único ( por MS), entonces a-1 b-1 (ab)- 1
..
.
2, 2q
PROBLERA .-
para t odo
b
Demostrar que:
d·
•
{-arl • Sea
b •
-a •
{-arl •
ad + be bd
a f. O
•
b{ ·a· 1) • 1
a a- 1 •
1
se tiene que
- a-1
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS Demostrar en base a los Axiomas de los Números Reales que : l.
a - (b -
e) •
(a - -b) + e
en IR :
- {a- 1) •
entonces
{-a) {-a- 1 )
y por l a uni cidad en M5 de
_M2 y HJ
1
a + ~
SOLUC ION . -
M3
(aa- 1)( b b- 1¡
PROBLEPIA .- Demostrar que:
= con b ; O
en tonces
2 . 23
a + (- b)
PARA TOVO a , b
a
&
1. 1
A4
a-1 • b-1
Sea c ,. ab : {ab) (a- 1 • b- 1 ) e {a- 1 • b-1)
b {- a- 1 )
2. 18
ab ; O
Demostrar que si
M3
MS H4
bol
:
DEF. 2.18
•
a • b.
..
e • a +b
(a + b) + { -a - b ) • (a + b) + {-a) + (-b)
e + ( -a - b ) ª
2. 22
-a - b " -( a + b )
Demos t rar que:
Sea
SOLUC IO N. -
=
be
PROBLEIM . -
a (a· 1 b) b- 1
b ~ q por Si a = O entonces: be • O a .. b • O• el Teorema 2. 14 pues e f. O. Luego, be f. o i entonces como · e ; O : ac ; O , luego 1 ademh ,. tambi·l!n como e ~ O , existe c:- f. o y por
ac •
Desde que no se ha defi nido el inverso multi pl icat ivo del lliimero O en los axi omas de R es que la div isi6n por O
e.
b •
,.....-
[ ( -~) + a ) + e
si
NOTA.-
•
(-a) + (a .., b) "
=
a+b = a+c O +· b "
Si
.o .o
a + b • a + c.
si
[ (-a) + a ) + b •
1i)
ab • Q. b ab " a.o
entonces entonces
Este teorema tiene una ap11caci6n importante en la resolución de ecuaciones como veremos m5s adelante.
SOLUCION. -
2. 17
2 .20
con lo que el teorema estarfa probado ,
a .. O b • o
íl7
Cap. 3
Clz.p. 3
NwneAo4 Real.u.
- a·l
.88
..
2.
lt -
X.
4.
Sf
b ;.
5.
a(b - e)
o o
..
6.
(!)(~) ,.
7.
(!)/(~) b d
8.
a (-b) "
9.
C11p. 3
N(uneJt.o.6 Rea.leA
b
d
ª2 - b2
3.
d;
y
a
o:
e
"
d
bd ;
o
íi
Cctp. 4
(a + b)(a - b)
4
ad = be ;
=
ab - ae ae
si
bd ad be (-a) b
=
si - {! )
b
Ecuaciones
bed ; o •.. si
b ;.
Polinómica~
o
ECUACIONES LINEALES TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS con a ;. O Para todo a• b. lt E IR - ba -l ) ( - -ba X. " ax. + b " o
=
..
1 ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE
* • * * * **** ** *• * * ** *
ax+ b • O
Estas ecuaciones tienen ' la forma general:
donde a y b son constantes, a ; O • y siendo x la incógnita, por lo cual son tambf!n llamadas ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA y que debl • dÓ a las Propiedades de los Números. Bea1es se resuelve de la siguiente manera: :t ~ lt • e==;> o u t b a
.
1
1.1
..
EJUl>LOS.-
a)
2x. + 3
.
b}
3i - 5
.. ·o
e)
1.2
-4x. - 16 •
o
X.
3
-z
•
X. .•
o
Resolver la ecuación:
EJEMPLO.-
3 -x 2
-
X
3 + 5
5
2
"'
. 12 .
¡X
~
~·
1.9
NOTA.-
1 X
o
X
=
1 "
X•
x. 0
ro
"'
1 2
= - 10, '
X
1
La siguiente ecuación no tiene solución pues como debe ser
3
3 - 4 -2
5
= =
f 0
\
1.4 EJEftPLO.- Resolver la ecua~ión: SOLUCIOH.- Restamos 2x a ambos lados
1.5
3
UllA ECUACION QUE HO TIENE SOLUCION .-
OPERACIONES QUE ORl6IHAN ECUACIONES EQUIVAlEftTES.-
1.3
X '"
X
o
entonces
·=
1
=o
(ABSUP.00)
2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS
SOLUCIOll.3 -x 2
!
4
X
-
-
2 5
.
/;X
3
> + -x 5 4
•
10 3 + 5 5
= =
y multiplicando por 4 ambos miecnbros:
3
ZX
5
-
¡
X.
.
3 +.2 5
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales simult~ neas con dos inc5gnitas
X
4 X
,.
.
5
52
s
2x + 3y .. 5 3x + .S!f •
EJEMPLO.- Resolver :
SOLUCIOM.-
Desarrollando el cuadrado de1 binOlliO :
4x2 + ZO( + 25 - (4x2·- Sx) • 100 4x2 + ZOt + 25 - 4x2 + Sx = 100
(*)
4
multiplicarnos ahor:a la primera ecuación por · 3 y la segunda ecuaci5n por -2 (en ambos miembros}:
}.6
x , y :
·13
" ( 3) " (-2}
=
{
2x + 3y
•
5
Jx + By
4
6x + 9y
15 -8
-6x. - 16y
(**)
fcuaci..o11eA Polln6mica6 -~==-~~~~~~~~~9~J
Cá.p. 4
Cap. 4
con lo cual obtenemos el sistema equivalente siguiente
92
sumamos algebraicamente ambas ecuaciones de (**) y obtenemos -71}
"
14y - 7z
!/ .. -1
7
para hallar el valor de x , . es decir x = 4 • Por lo tanto, la solución del sistema {*) es : 2.1
y " -1
6!1
-42
1J
-4
3x +
SOLUCIOH .-
(*)
.,
4x - 6y 18x + 6y
zzx "
2.2
5
•
-Zl
(c'}
resulta
cf6n del sistema original (*) es:
X •
3.1
Resolver el sistema:
-EJEllPLO . -
.. ..,,...,,. -3
lt
•
Zx - 41}
SOLUCIOI.-
1x
+
IJ _ 6 z
9
(a}
•
IJ + 4z
5
(b}
4
(c )
X
9
18
201} ' •
-60
...
(*)
IJ = 7
•
(*) resul -
y reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones de ta x • 8 • As{, la so1uci6n del sistemá es: x • 8 ,
IJ •
z .,...
(2) x (a}
y X
(e)
+
6z
9
(a' )
- 2y + lOz
.. 4
(b ' }
Sy - 13z
22
(c ' )
+
1J -
'
Resolviendo el subsistetaa formado por las ecuaciones (b') Y (e') resulta x • ·a . . Por lo IJ • 1 • z • 1 • Y reetnplazando en (a') : !( • 7 ' z• 1 • lt • 8 ' tanto, la ~ol~ci6n del siste111a "(*) es :
3.2
-42
(b)
+
se obtiene el sistema equivalente
• - 12
•
•
'
Efectuando ·las operacidhes elementales siguient es
(-1} x (a)
V" s.
-3
..
SOLUCIOH.- Multiplicando la primera ecuaci6n por 2 y la segunda por 5 obtenemos el sistema equivalente :
-6!1
=2
IJ
3y - ·2x
=
-lOx + 14!1
luego, la solu z • -1
3 •
X •
3 ,
(*)
- Sx + 7!1
lOx
z • -1
2
IJ •
-24
•
-66
Resolver el sistema
sumando ambas ecuaciones :
-71} + 7z
• ' -42
As{, la so1uci6n del sistema (*) es :
EJEl\PLO . -
( b, }
Y reeinplazando estos valores en (b'}
sumando ambas ecuaciones Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones de (*) resulta : lj •
-7
71} .. 14
Multiplicando 1a segunda ecuación por 6¡ obtenemos el sistema equivalente
•
Resolviendo el subs1stema · formado por las ecuaciones (a ' } y {c'}
x• 4
4x
Resolver el sistema
EJE"PLO .-
(a ' }
41} + 2z
x -
que al reemplazar en cualquiera de las ecuaciones de {**) 6 ele (*) sirve
35
7 •
Resolver el sistema siguiente
PROBlEftA.1 ... 1 - + .X IJ
1 12
!
•
IJ u •
Hacemos
SOLUC 1011. -
+ 1
z 1 .X
-l
1
20 V
X
•
! IJ
+
1 z IO
•
1 15
• !z
y transfonDal?Os al nuevo sistema equivalente
3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES COH TRES IHCOGNITAS z 3Jt + 2!1 4!1 + 2z lt -
Resolveremos el sistema: (*)
\
Efec tuaremos las siguientes operaciones :
.. -2Jt + -3
X
•
'i
c.t
14
(a)
-.7
(b}
-7
(c)
!I + 3z
(b} + (a) ,
2
X
(b} + (c)
+
~
(tt) [
.u
•
V
l/12
+
111
1/20
+
111
1/15
Pasando al sistema equivalente (L qu~ pasos se hici eron 1 ) siguiente :
(*)
Ca.p. 4
94
¡ y
U.
+
1/12
V
-v
w
+
= -1/60
cuación
u •
riginal es:
!/ .. -l
1
= -u. = 20 •
= 30
V
z
•
X lj
" 6
3x
Sx + 4y
!J z
"
8
1
6
3y + Sz
+ 2z
·~
SOLUCION .-
1
3t + 2z
X !/
6
llZ
.. -8l
3!1 + Sz
l
!/ z
6
..
Oesarrol 1,ando las fracciones ~ + 4 !/
Haciendo
X
3 + ~ X • z
l
" 6 u. •
l/x
V "
S w
l/!/
=
l/z
1/6 + 3w
1/8
Sv + 3w
1/6
obtenemos el sistema
}
7 - 2x - . 1 - 3x 7
d)
(x + S)(x + 2)
e)
(3x - 1) 2 - S(Zx + 1)
f)
(x + 2) 3 - (x - 2)
g)
Bx • 5 2x + 5
h)
6u.
.
5 lt
X+
2
-
3(4x - 3)
3
2
+'
2x .: 1 3 •
(5 • x.)2
1)
3(a - 4x)
j)
a+x b.
•
a)
2
12(x - x) - 8
•
-
•
lt
•
(1/6) + (1/8)
Sv + 3w
•
(1/6)
+ 7(2x - a) x-b
a
3:1.. + ~ .. 5~
b)
+ 3w
(« - 1)2
(6x - 3)(2x + 1)
_ 3x + 7 3x + 2
+ 2
2 -
• .2 -
• 2
-
5(3x + Za)
para
ª· 'I
o
•
+ a b
2. Resolver los stgµtentes sistemas de ecuaciones lineales stmult!neas
(*)
tercera obtenemos sucesivamente :
sv
36
3x - 3 ~ 7x
c).
En este sistema, si sumamos las dos primeras ecuaciones y restamos luego la
6u. +
•
ecuaciones
l
4u. + Sv 2u.
~iguientes
x - 7 - 9x •
Invirtiendo las ecuaciones
Sx + 4y
l
w
b)
=
3.3 PROBLEM .- Resolver el sistema siguiente xz
Resolver 'las a)
Por lo tanto, de (*) la solución del sistema Q
1/20 X
l.
Reemplazando estos valores en la pdmera e-
1/30' •
v =
z •
60
V
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
resolviendo el subsistema formado por las dos últimas ecuaciones obtenemos: w .. 1/60 ,
l
IJ • - . •
48 •
u
1/20
+ W
V
X •
- 3y
9
3m + Zn •
13
-6m + 4n • c)
!/
2
3x - Zy •
9
2x+y•ll
9
3x - !/ •
f)
14
á
X •
e)
13
g)
o,s a
+ 0,2 b
0,3a
-
o,54
0,7b
"
4x - 6!1 ..
32
15x + 6!1 ·=
6
(l/8)
de donde:
u. • 1/48 Al reemplazar este valor en la primera ecuacHin de (*) rnulta v • 1/60 , y de la tercera ecuación de (*) : w = 1/36. Por lo tanto, la solución del sist~ma ~rig1nal es :
d)
4x + 3y + 4 "
O
6x + Sy + 7 "
O
h)
22x + 16!1 =
6
33x - 24y
9
•
3. Resolver cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones
0,16
Cap. 4
96
4
a)
6
-
lj
-3X b)
= o
+ -
lt
-4lj
-
4x
+ (2/IJ)
]'X.
+ (J/y)
J -
·17
7
6
3 -
2
+ --
2
lj -
X
3
97
4 POLINOMIOS Una expres10n algebraica de la forma :
4
fJ - ?
X
a x.n + a
5
=
n
3(2lt - Sy) 5x - 2.y
e)
3
7y
(12/lt) +
c)
d)
..
1
1
Cap. 4
- 24
I
J
4(5lt + 2y)
1
3( ~ + 5y)
53
n-1
xn· l +
~·)
donde n es un entero ::!: O y los coeficientes a 0 , a , • • • , ªn son 1 números arbitrarios, es llamada un POLINOMIO OE GRADO- a en la variable x.
y siempre que el coeficiente ªn llamado COEFICIENTE PRINCIPAL sea difere_!! te de cero.
( 18/i) - 13/j = -85
/
~·
Resol ver los siguientes sistemas de ecuaciones ~)
6y + z
5lt
c}
s
.x + y
•
2
+ z
"
4
lj Z
+
X
92
=
. 4x. + 7!J - z
"
. 37x. ·, 14x.
b)
-4
3x + 2y + z " .
-32 .
22!1
-91
1l z
' -9lt + lly - lOz "~ 1
- 67
y - 4z 5y .- · lt - z
2x. +
d)
•
14
Puesto que en todo este capftulo trataremos sobre POLINOMIOS los denotaremos en las formas P(.i;) , Q(lt) , R(x). , H(x.) , etc. Al coefici ente
a
Por ejemplo,,
P(lt) •
0
en .(*)
1
-
13
2x. - 4y + 5z
9
,.
23y + 17z
Un POLINOMIO DE GRADO CERO es cualquier número constante distinto de cero. El número CERO es el único polinomio para el cual el gr! do NO ESTA DEFINIDO •
también se le llama TERMINO INDEPENDI ENTE
2x2 - 3x + 1 ;
JI.
x
&
(**"}
IR
,
es un pol 1..
Ínio dé segundo grado (grado dos) en la variable x • e)
f)
5x + 7y lt + y 2
3
+ -
..
1
4
!/
X
3 ( z - lt) •. 1 lt"'- !/+ Z
6
..
2x + 3y - z
3
,·
!/
4 5 + - .. z lt
1 20
4 + - •
z
• 4
Se calcula el va l or del polinomio P(lt)
( lt/ 2) + 3
cular di! la variable reemplazando en 33
10
r.a la var1abla x por este valor particular • Por eje_mpl o, 1)
CLAVE DE JESPUESTAS . l. a) f)
lt "
-1 •
b)
lt ..
-2
g)
...
lt • - 30 • c} lt • 5 , d) lt : • 5/13 • h) 'X. • 8 ; i)
lt .. 6/5 • 'X. ~.. - a
x" b - a
b)
b) m • 1 , n • 5 c) x = 5 , y • 3 x• 3 , y • 2 e¡ x • 4 • y • 3 f) a = 1 , b • 0,2 d) lt • 1/2 • !/ • -2 h) lt •.3/11 • !/. o. g) lt • 2 • !/ • -4 c) lt = 3 !/ " 7 3. a) lt • - 2 • lj " 3 . b) X • 1/2 , !/ • 2 d) .t·2. y • 3 e) X " 1/6 , lj • 1/3 •
2.
4.
Pari
x
2 :
Para
x • 1
c)
x • 7/2 ,
e)
lt •
8 •
y• - 11 ,
z=6
y" -3/2 , lj •
s •
b)
.. z'" 11/2
z .. 12.
lt •
n
"d)
'X..
X• 2 ,
8 • /j
lj
=2
= -~
•
z. 1 z=5 •
P(x) •
3
x " 2 es 3
2x2 .- 3x + 1 .2(1) 2 - 3(1) + l " O
x " 1 es O • M~s aún, en este caso se dice que el polinomio P(x) SE ANULA PARA x = l (se h! ce CERO para x = l ) , y que x • l es UNA RAIZ DEL POLINOMIO P(x) •
y se dice que El VALOR DEL POLINOMIO P(x) para
e)
-1
e
P(l) •
a)
a) lt • 4 ,
2x2 ~ 3x + 1 P(2) •. 2(2) 2 - 3(2) + 1 ª P( x)
y se dice que EL VALOR DEL POLINOMIO ~(x) para
e} lt • - 1/3
• j}
para un valor part.!.
(**) , en ambos mi embros, ·donde aparez-
Para
x • O
aquf vemQs que P(x)
P(O) •
2(0) 2 - 3(0) + l = 1
NO SE ANULA para x ,. O •
>
/
.d)
e)
x = -3
Para
P(-3) ,.
Para
)
P( ! 2
)
..
2(-3) 2 - 3(-3) + 1 .. 2( !2 >2
- '3( !2 ) •+ 1
.
1
2
-
X"
1
2 '
2 + 1
2
i
x + 1
=
O
-1
En general, un valor particu1a·r P(x
del POLINOMIO P(x) si LA para x " x0 •
0
)
= O •
x .. x0
meros reales
P(x) " x2 + 1 •
==
P(x) • (x - i}(x
mio
~.2
= x2 + l
..
J/. x
?.
x2 + l
o ?.
P(x}
?: l
P(x)
> O
E
para todo
x
E
IR
1
para todo
x
&
IR
> O· ,
para todo
x
E
IR
para todo
x
E
IR
R , . no tiene
tenemos que el polinomio P(x) nunca tomar& el valor cero (y mucho menos un
P(x)
=U
P(x) " x2
+ 1
si
.x = i
x2 - (-1} = +
,.2
"
-
.2 .(.
i}
x = -i .
,
-1
.(.
Ast, resulta que el polinQ
tiene DOS RAICES COMPLEJAS (IMAGINARIAS) •
OPERACIONES CON
POLJNO~JOS.-
Se dice que do~ polinomios P(x} y Q(x) son dos POLINOMIOS IGUALES _cuando sus coeficientes correspondientes a términos del mismo grado . son iguales (coinciden}. Según esto, definiremos lo que es un POLINOMIO CERO llamado también POLINOMIO IDENTICAMEHTE CERO, cbmo aquel que después de haber sido ordenado en pot encias de orden creciente (6 en forma decreciente} r~ sulta que TODOS SUS COEFICIENTES SON CEROS. Es decir, .si
P(x) pues debido ·a las propiedades de · los núm! ninguna ratz real del hecho que 2
(* )
En todo ~ste Capftulo, nuestro objetivo ser& el de estudiar SQ lamente las RAICES REALES DE POLINOMIOS •
DOS RAICES , lo que fue verificado en los c!lculos (b} y
x
=
De (*} tenemos que para
Luego,
pr_evios •
NOTA . - El polinomio
.
.(.
.2
=
UNIDAD IMAGINARIA =
Este ejemplo nos ha servido para ilustrar la estrecha relación que existe entre la posibilidad de FACTORIZAR UN POLINOMIO y el CALCU· LO DE SUS RAICES , por lo que el objetivo de este capttulo ser! el de encontrar algunas técnicas para factorizar un polinomio, asf como algunos criterios para conocer la naturaleza di AUA /t.11.tc~ ~e.a.l.eA .4 .1
-+
Es decir, si es que P(x) SE ANU-
de.donde se observa que el polinomio P(x) se ANULARÁ si x toma cualquie1 de aqut vemos que este ra de los dos valores : X = 1 Ó X " 2 (e)
r:t
donde si recordamos nuestros conocimientos escolares de los números imaginarios el número imaginario i se define como
se llama RAIZ
Un polinomio, dependiendo de su grado, puede tener una ó varias ratees, ó nin gun.a. En el caso del polinomio P(x) .. 2x2 - Jx· + 1 al ser factorizado se tiene P(x) " 2x2 - 3x t 1 = ( x - l )( 2x - 1}
. polinomio tiene
t
X
es otra RAIZ del polinomio P(x) •
!1'
~eal.e.1
En cambio, si consideram0s al polinomio P(x) .. x2 + 1 SQ bre el campo C de los números .i.mo.g.úuuúoA tJ complijo;, entonces st existi r!n dos ratees imaginarias para P(x) ; en efecto
3
de modo que x •
91
valor negativo) y por lo tan to no te.ndlt.á. Jt.11.tce.1
18 + 9 + 1 .. 28
o
vemos que P(x) también SE ANULA PARA
1
¡·
P( !
2
=
\
Cap. 4
Cap. 4
98
'P(x)
a xn + a n
n-1
xn- l
+
• •• +
entonces P(x} -es IDENTICAMENTE CERO
ª1" · +
ªo
(6 idln.ti.came.Jtte. nulo) '
si es que
y
En ta 1 caso, se denota: . 4.3 ¿
DEFINIClOll
P(x) _
O
con a0 f O , ent onces P(x} recibe el nombre de POLINOMIO CONSTAN
S1
P( x) •
a0 , J/. x E IR
,
Ca.p. 4
Ca.p. 4
Ecu.a.cÁ.one.6 Po.f.- bajimos el primer coeficiente 4 a la última fila, lo ll.ilt.i.pUcamo4 po11. 2 y al resultado 8 lo colocamos debajo del 1 y hacemos la suma algebraica 1+ 8 " 9 que es colocada en la última ffla, y repetimos los mismos pasos a continuaci6n 4
2 4
..
+9
+ 18
~amo
+
DIVISOR
+
COCIENTE
sigue:
6
- Al término -2 del DIVISOR le cambiamos de signo y lo colocamos a la izquierda en un casillero
+6 (RESIDUO}
+
Si nos fijamos en los drculos del esqueina P.revio vemos que se puede ocupar menos espacio disponiendo el esquema como sigue, donde el úl
[grado uno]
2
(x - 2)(4.t2 + 9x + 18}
1
o
- 30
8
18
3.6
9
18
+6
es decir, al segundo coeficiente 9 lo mu.lti.plicanró4 po1t. 2 y al resultado 18 lo colocamos debajo del O c?n el cual hacemos la_suma algebraica resultando 18 ¡ este 18 va en la última fila. Este tercer coeficiente es también mU.i.p!icado poJL e.l 2 del casillero izquie.r, do, y al resultado 36 se le coloca debajo del -30 con el cual se ~uma algebraicamente y se obtiene 6 • Este último valor siempre. indica el RESIDUO de la dfvfsi6n entre Al co111e.nza11. .l4 4.lguien.te. p4g.ina. .tuemo4 e.l e.4quemci compld.o
@
- 30
-18
+ 36
0+
4e.. C.On4tJwye. ll.6.i.gnattd.o lo4 c.oe.6ic..i.e.n.te.A
Q(x) = RESIDUO ·
4x 2 + 9x + 18
Res1duo
R " 6-
Ut
x- 2 •
donde. Q(x)
Cap. 4
Ecua.c..i.o nu Po.U.nómi.CM
Cap. 4
Ec.uac.i.one.6 Poü.nóm.lc.a.6
o
- 30
18
36
l
4
8
2
9
4
Q(x.) P( x) ..
Por lo tanto, si P(x.)
..
4x3 + x.2
-4
+-
x
que anula a
x- 2 ,
-
entonces
{x - 2)(4l + 9x. + 18)
b)
a) b) c) d)
P{x) P{x) P( x) P(x)
.
.
.
+
6 {*)
P(x) "
-7
29
-16
es dedr:.
X.=
x.
para un 'nuevo'
2
=2
en {*) ,
P(x.) -
entre
4 2x + 5
entre
2x - 3
entre
4 - 3x
X
RESIDUO
..
Coc i en~e·
-
16
+ R
2 (x + +
R
•
~ ) Q(x)
(x. +
+ R
t )K(x)
K(x) .. ZQ(x)
+
R
Q{x) ,.
Í
K(x)
4x.3 + 20x.2 + llx - 35
- 5/2 4
20
11
-10
-25
35
10
-14
....__o
-
35
__
+-
RESIDUO (6 RESTO)
,y---'
K(x.)
+
En el casillero i zqu ierdo se colqca el v~lor de x. que hace C! ro al Di visor ax + b· , es decir: x = -b/ a x. + 4 es x " -4 y se f l valor de x que hace cero al Divisor El esquema de la División Sincoloca en el casi ll ero de la i zquierda , lética se encuentra a continuación :
COCIENTE
Í) ( 2 Q(x} ]
4
aplicaci6n de la Division Sintética (REGLA DE RUFFlNl), cal cul ar el Cociente y el Restduo (Rést Q,) de divi dir entre
+-
Ahora apl icamos el Algoritmo a P(x) con -5/2 en el casillero izquierd~ , Y obtendremos otro 'Cociente' K(x} al cual dividiremos e~ tre ·2 para obtener el COCIENTE Q(y) ~ En cambio, el RESIDUO permanece .úuLU:ell.IJ.b!.e. : 5 i endo
resulta
Como
Jx3 + sx.2 + x + 100 2 4x3 + 20x + llx - 35 6x.3 17x.2 t 17 2 6x.3 - 17x + 15x. - 6'
+-
(2x + 5) Q(x) (x +
SOLUCI ON.-
a)
-116
DIVIDENDO
El Al goritmo de la División Sintética se aplica a divi sores de la forma: (x - r) • Y en este caso de 2x + 5 eso no se cumple todavta pero con el siguiente ar t ificio sf ser! posible :
P(x) entre x. - 2 • que es precisamente el RESIDUO de la división de como sigue : Si se desea ver ificar esto, se puede evaluar P(2) 6 2 32+4 - 30 P{2) = 4(2) 3 + (2) - 30 EJEMPLO.-
28
-
P(x) = 3x3 + 5x2 '+ x + 100 = (x + 4)(3x2 - 7x + 29)
Por l o tanto,
30
Adem!s, si evaluamos P{x.) para y por 1o tanto o + 6 P(2) ª P(2) = 6
6. 2
- 12
Restduo (constante)
Note que el -2 del Divisor ~ - 2 fue cambiado de signo : 2 Y con este valor colocado en el casillero izquierdo se trabajó el esquema final de la DIVISION SINTETICA. En realidad , en el casillero izquierd'a·S:- coloca el valor de
100
'(
COCIENTE (grado 2)
30
l
Q(x)
4x.3 + x.2 + Ox.
-
5
3
+ 6
18
3 Dividendo (grado 3)
+...
l(J;
c)
Luego ,
4x.3 + 2Dx.2 + llx. - .35 •
Ast,
2x:2 + 5x. - 7
Q(x.) •
{x +
~ ) {4x2 + lOx.
• (2x. + 5) (2x:2 + 5x y el ·restduo R.= O •
Otvfd111ndo · P(x) ... 6x.3 - 17x2 + ¡.¡ entre 2x. - 3 el valor dr x que hace cero al Divisor 2x - 3 es cual va al casillero de la izquierda
14) +
o
7)
. ")
)( = 3/2
el
. Cap. 4
Ec.u.ac..tone.6 Po.li.nórn.i.ea.6
106 6 +
3/2 6
g)
- 17
o
17
9
-12
-18
-8
-12
- 1
h)
12 ) (6.t2
Por lo tanto,
el Cociente es
=
Q(x)
2 3it - 4x - 6 •
P(x) = 6x3 - 17x2 ·+ lSx - 6
d)
División de El valor de x que hace cero al Divisor se coloca en el casillero izquierdo 6
- 17
15
-6
8
- 12
4
-9
3
-Z
4/3 6
entre 4 - 3x
f)
Q( x) •
d)
y e 1 Residuo es
4 - 3x es x = 4/3
-1 •
g)
que
'Q(it) •
7 .1
RESIDUO
+
z 2
R • -2 ,
TEQREllA .-
d) e) f)
4x3 + Sx 2 - 2x + 3 4 3 2 21J - y + 2y - 3y - 5 - 4lx 2 + 24x - 8 2 x4 + x3 · x - 2it - 2 l~x
J
/2
rJ )z
R• O
R= 0
+ /3
•
R • -4
m > n , entonces
z
l( -
entre
lt
entre
2x - 1
entre
IJ +
entre
2 - Sx
entre
X+
+
í'f
es un polinomio de grildO
Si m = n , entonces f(x) + g(it) es un po 1i nomio de grado lo más, 6 bien es id~nticamente nulo •
+
Por ejeniplo, sean , para todo x real f(x) • -zx5 + 4x3 - l 2 g(x) • 2x4 - x3 + 3x - 7it + 4
=
f(x) + g(x)
Por ejemplo,
1
z
g(x)
b)
7.2 TEOREflA.-
entre
f(x)
Si
respectivamente •
..
Sean f(x) y g(x) dos polinomios de grados rn y n :
a)
Aplicando la División Sintética hallar el Cociente y el Residuo de las
c)
-
2x - l ,
7 TEOREMA DEL RESIDUO Y TEOREMA DEL FACTOR
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS siguientes divisiones. x3 + x2 - Sx - 2 a) Jx3 + Sit 2 + x - 1 b)
/Z ) x2 + ( 1 - ' /1 ) X
Q{z) ,. 2z3 + (3 + 2 / j ) z2 + ( l + 3 Q(w) • 2w2 + 3aw - a2 , R• O
+
*****
de la última expresión vemos que el Cociente y el Residuo buscados son -2x2 + 3x - 1 ,
h)
x3 + (l -
•
( 4 - 3x) ( -2x~ + 3x - 1 ) - 2 y
entre
e)
c)
1
2 (x - ~ ) (6x - 9x + 3) {3x - 4) (2x2 - 3x + 1)
6x 3 - 17x 2 + 15x - 6 =
entonces
1
- & - 12)
(2x - 3) (3x2 - 4x - 6)
z - ./3 w + Ja .
entre
2 Q(x) • x2 + lx + 1 , R • O ; b) Q(x) • Jx Q(x) • 2x2 + (7/Z)x + (3/4) , R • 15/4 Q(y) ~ Zy3 - Sy2 + 12y - 27 R • 49 Q{x) • -3x2 + 7x - 2 , R • -4
a) (x -
2z4 + 3z 3 - Sz2 - 9z - 7 2w3 + 9aw2 + aa 2w - 3a3
CLAVE DE RESPUESTAS
RESIDUO
+
~
luego,
~
f{ll'.) u(x)
m• m a
: [ de grado 5 ] [ de grado 4 ]
-zx5 + 2x4 + 3x3 + Jx2 - 7x + 3
entonces
tiene GRADO .. 5
Sean f(x) y g(x) dos pol f~omios de grados m y n , entonces el producto f(x) g{x) es un polinomio de G~ DO,. m+n.
[ de grado 2 ] zx2 - 3x + l entonces [ de grado 5 ] Jx5 - sx3 - 2it g(x) 6x7 - 9x6 - 7x 5 + 1Sx4 - 9x3 + 6x2 - 2x ,[ de grado 7 ]
f(x) •
A continuación presentamos el TEOREMA DEL RESIDUO llamado tam·
Ca.p. 4
Ecu.ac..lonu Po.UnómlcaA
108
bién TEOR.EMA t>EL RESTO ,
7 .6
ast como sus apllcacio_nes
EJERCICIO.- . Hallar el ResTduo
R de la división del polinomio
P(x) = 2x2 - 4x + 5
7.3 TEOREMA DEL RESIDUO
polinomio P( x) es DIVISIBLE por el polinomio D( x) si existe un po1inomio Q(x) tal que P(x) = Q(x) D(x) , para todo x· ; es decir, si la divisi6n de P(x) entre D(x) · tiene como RESIDUO · al polinomi o. IDENTICAMENTE CERO. En tal caso, al producto Q(x) D(.t) se le llama una FACTORIZACION de P(x) , y tanto a Q(x) como . a D{ic) se les
y
de la forma:
S .
-------------------
P(x0 )
Mediante el procedimiento usual .de Div is i i5n de Pol i nomios se obti ene el Res t duo de la di vi sii5n de P(x) entre Q(x)
7
+
tales que:
Q{x) = x2 - 2kx + k ab en térmi nos de k •
hallar
\
tales que
= x0
Tambi !n se. les llama l os CEROS de P(x) , y vienen a constituir exactamente las soluciones de l a e.c.u.a.ción: P(x) • O •
( 8) P(-4) • -1 (x + 4) Q2(x) 1 Asi 111 i smo, al dividir P(x) entre el producto (x-l}(x+4) por el ALGORII MO DE LA DIVISION se obtiene como cocie_n te un polinomio Q3(x) Y como RE-
P(x) •
x
cir, a aquellos valores
P(x) •
(x
) Q{x)
d donde rc5ulta que
+ O
(x - a)
==>
tal que, P{x) =
es un FACTOR de
para todo x real ( x - a) Q(x)
P(x) •
Ca.p. 4
.
Ecuac entre b) P(J} es: (x - 3} entre c) P(4) = entre ( x - 4) es : d)
..
(x-
da resto
3 , y por
o+
o+ o+ o+
z(-1.) 3 - 5( - 1) 2 + 7 2(-2)3 - 5(-2) 2 + 7 Z(3) 3 - 5(3) 2 + 2{4)3 - 5(4) 2 +
..
tales que
o
Como hay tres incógnitas y solamente dos en tAnnino!> de una de las incógnitas, •
Jb + e
•
2 - lZa 1 - 9a
J
Ast, 1• \ po l i nomi o de ter cer grado P(x)
u.3'+ ( Za -
.l. 15
l o por
SOLUCI ON . •~ ·
15
{ B)
=
2/9 ,
= -2 - a - b
c 3a - 3b 12a + 6b
= b "
3
-Z
c = -13/9
-7 / 9 -2 . Xz 9
R(x)
l
9
Q
X-
9
a - (1/15)
=
Jx •
(ax+ b.) (x - z) 3
+ . Jx •
• • • ( ..,º)
•
o~sarro 11 an
2
P(x) ent re (x - 1) resulta (veri f i car) : 2 2 [ ax + (b - 4a)x + (3a - 4b) ] (x - 2x + 1) + + ~ (2a + 3b + J):i.: - (Ja + 4b ) ] +Re..&1.duo R(xi = 2x (dato) 'R(x)
Za + 3b + J ( Ja + 4b)
[
sistema :
a
• Z = O
=
4 ,
=
J
=
(Za + lb + 3) x - (Ja + 4b)
=
b ,. - 3 ,
=
2a + ,lb = - l Ja + 4b • O P(x) ..
zx
,
y resol viendo el
( 4x .• J)( x _ z)3 + 3x
-------- - ------ ~ --------- - -'
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS ,
con
Por
Hallar el polf nomio de cuarto grado que al dividirlo por (x - 1) 2 dé com entre b) P(J) es: (x. - 3) entre e) P(4) = entre ( x. - 4) es : d)
..
EJERCICIO.-
7 .29
da resto
3 , y por
o o o o
+ 2(-1.) 3 - 5(-1) 2 + 7 + 2(-2)3 - 5(-2) 2 + 7 + 2(3) 3 - 5(3) 2 + 7
.. =
o
en tAnn1nos de una de 1 as i nc6gni tas , &b + Je . 3b + e
l
• •
2 - 12a 1 - 9a
J
P(x.)
ax.3'+ ( Za -
.l. )x.2 15
-1
P(4}
SOL UC I OH . ~
+ (-5a + .
( B) P( x ) •
15
r esolvere11111s el si s tema
+ (ax2 + bx + c)
a ,.
-2 - a - b
3
3a - Jb 12a + 6b
=
-2
c = -13/9
b = -7 / 9
2/9 '
=
e
Ha lla r el polinomio de cuarto grado que al dividirlo Zx , y al dividirpor (x. : 1) 2 d~ comci res fduo Jx •
(ax+ b) (x. - 2) 3 P(x.)
+ · Jx ,
(x - 1) 2
ent re
••• (B )
R{ x) • 2 = o
a
=
4 •
=
J
b .. -3 '
=
Desarrollan
resu l ta (veri f i car) :
( 2a + Jb + 3)x - (Ja + 4b) Za + ,3b Ja + 4b
•
= •
-1 O
..
con
a f O;
l.
zx. ,
y resol viendo el
___________________________ , 3 P(x) "' ( 4x ·- 3)( x - z) + Jx
Hallar los va1v 1·es i ndicados del polinomio dado por dos métodos: la Olvf s16n Sintética ,
-
R(x.i " 2x (dato)
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
,
Por
R(t)
2 [ ax. 2 + (b - 4a)x. + (Ja - 4b) ] (x - Zx + 1) + + [( 2a + Jb + 3) x. - (Ja + 4b }] Rei.Uuo
2a + 3b + 3 ( 3a + 4b)
[
s.1ste111a :
a - ( 1/15)
) x. + (-6a + . 2.) 5
Y di vidiendo
1 po11. el da.to:
buscado t i ene la f orma : (verificar)
.!.!.
J
dé como restduo
P(x) "'
1
di gamos ! , como s i,9ue : e " ·-6a + (4/5)
P( x.)
( x. - 2) 3
1
3(4a + Zb + c) + 1
ecuaciones~
= O + a + b +e "' O + 4a : 2b +e O + 16a + 4b + e
EJERCICIO. -
l o por
-2.(9a - Jb + c) + l
b •
As1, PI pol inomio de ter cer grado
P(l) P( -2)
do
como hay t r es inc6gnitas y solament e dos
(x - l )(x + 2}(x - 4) Q(x)
--------------------------
-1 • . 4 Todos los polinomios ast con!
3 ,. P( 2) - 1 "' P( - 3) •
=
55
Por el Algoritmo de Divisi6n y el primer dato: .. 2 P(x.) " (ax + bx. + c)(x. + 1) + 1 = P( - 1) •
y por el Teorema del Resto:
[
-2 " 1 "'
7 .31
da resto
P{x)
le tanto , el r estduo buscado es:
trutdos, tienen las mismas ratees 1
SOLUCICHL-
tal es que
y resol vi endo .el si s tema:
-29
Hallar un polinomio de tercer grado P(x) tal que al dividirlo por (x + 1) da resto 1 , por (x - Z)
(:
= ·o .
(/To )2 •
l(
Resolve~ la
1.2 • Sx - 36 " •
(1. -
=
3 ! 2
3 - 2 IS
x.2 - 51.
ecuaci6n: 2 .( X. -
20 ..
Z{
25
zx 5)
)2 -
+
~4
As1,
Sx. - 36
11
O
*
1.2 + 2( 3.)
+ 4
2
..
3
./j
±
(
X.
36
~ )2
EJEPIPLO .-
(x + 2) ~
..
15
2
- 36 ..
(
3
7 9
)2
.
4
+
~
c.s.
• Luego,·
3
l 3
9
* 7 9
9 X.
2 3
+
{ -2+17
-+'
/7
-
3
-2 -
3
3
/7
}
x. 2 + 4x + 7 • O ?
l Tiene rafees reales la ecuaci6n:
= ~3
=
( .i.
13 ) 2
donde
=
( .l
/3 )2
x.+2
c. s. = {
= ! .é./J
-2 + .i.
~2 - i.
13 •
13 }
Como sus dos rafees son complejas, entonces la ecuaci6n dada n~ .ti.e.ne IUX.tce.6 2 . Esto quiere decir que la expresión x. + 4x + 7 NUNCA PUEVE SE.R CERO e.n IR • Analizaremos estas situaciones con mayor atenci 6n_en e l Capftulo 7 : LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO •
~ea.i.eA.
.. O (
3.
+
3
pues Jos únicos números cuyos cuadrados son negativos son los complejos imag¡ narios. 'Luego, se obtiene:
} -
+
-==-
~) 2
1. -
2
12.10 ]
-
36
25 )2. ===>'
1.2 •
1.
.o
(2 /5)2
{ 3 + 215
c.s. •
12.7 EJE"PLO.- · SOLUCIOM.-
O
1.2 + J4 X +
.SOLUCION.-' Luego de completar cuadrados obtenemos :
EJEMPLO (12.3] 6x. - 11
o .
4 + 1)
O
2 (1. - 3) . -
! 2 15.
(1. - 3)
1
(1.
r
Por lo tanto,
=
(x. + 2) 2 x.2
(x. - 9}(x + 4)
3x.2 + 4x. - 1 =
Relolver la ecuaci6n:
"' o
v2 :.. 2t.3)(X') + J.i -· 32 J - .ll 2'( 1.2 ·-~sx.·- 11 .. [ .. \ - 20 '( x.2 - 6x. + 9) - 9 - 11 " (X. - 3)
SOLUCION.-
===>
=
(x. _ S)(x. - 3)
2 x -.St - 36
- l x.2 - Bx. + 15
-4 )
Note que este resultado ta!!!
3
('l - 4 - l) (1.
que ya conocfamos del
3
1. ..
=
(1. - 4)2 - l
x.2. - 8~ + 15
V
3x2 + 4x
[ ...v2 • 2(4}(x.} + 42] • 42 + l~ ..
Por lo tanto,
l1. _ 4)
Completando cuadrados •. resolver:
1.2 - 81. + 15
SOLUCION.-
2
=
X.
V
SOLUCIOM.-
adecu~
dlculos.correspondientes en· forma
EJEl\PLO.-
9
X "
-4 }
4
que .no se altere la expresi6n original. . 1 cuadluido peA6e.áO y el .tlJun,úto 1.nde.pe.nd.i.e.n-
3º
9
bién _pudo ·h allarse factorizando
8
d ..
(
c.s. " {
~
Por. lo tanto;
niéndose asf el valor de .. d Bx. .=
13 2
se le toma la mitad obte-
x. • en este caso 8 •
2(d)(x.)
.5 ! 2 .
"
139
-
'
..ill 4
EJERCICIO.-
SOLUCIOff 2 x - l
X.
" o
-
1 X.
Resolver la ecuac16n:
.o = % ;
o
luego, el Conjunto Solución es
x2 - 1 X.
=
c.s:
~ =
..
1
X. -
±1
{ 1 •
..
~
X.
o
-
. -1
l
o
.
12.11
Si P(x) • u + bx + c • con a ' O ·, tiene las ra t ces m y n' , encontrar e1 valor de 1t
para que el polinomio
Q(x) que tenga como únicas ratees tenga como. coeficiente de x al cero. !!! y
Como
~:
SOLUCIOH .-
como:
Si definimos un polinomio ' Q(x)
= =
Q(m + k) Q(q + k)
(
=
P(.x) •
Q(x) = P(x - k)
o
Q(111 + k) =
por (*)
=
Q(n + k) = O
P(n) " O
(m + k·)
tiene como únicas dos rafees a:
y
=
12.12
=
O
k
=
Sean .
ax. 2 + 2x -
a" o •
RESPUESTA,-
2
tienen
l.
p " a= 1
c
8
4
a
[ de las dos ecuaciones dadas]
=
s+
x1 " -4 , p "
(-2) + (-8)
x2 "
=
2
S ª -2 x.2 + 2Jt - 8 " entonces
t
p • -8
..
2, 3, 4 } ,
SUMA
1+ 2 +
"
2.
(X + 4){X - 2) .•
c. s. • {
-4 •
!' + 4
" 10 •
EJERCICIOS PROPUESTOS
2.x.2 +
b)
e)
3.x.2
c)
x : 4x - 21
=O
f}
2
2
}
respec~., tales
=o =o
O
e)
5.x.2 + 4x - 1 .. ~O
b)
i. + 5x - 5 • O
f)
2x - 2x - l " O
c)
.,.z
g)
+ 2.x·- 4 " o 2 2x - 6x - 1 11 O
i)
+ l
X
:,Í.Qx2 U.,4.x + 5:
h)
x
2
~
+ 4 " O
0
"
X.
2
CLAVE DE RESPUESTAS l.
EJERCICIO.- Dados los polinomios P(.x) • .x.2 - 5x + • , Q(.x) " x2 - 7.x + 2m , hallar el valor de !!! si se sabe que una rafz del polinomio Q(x) es e-1 .doble de una rah del polin0111io P(.x) •
6.x + 3 J.x.2 + .x - 10
2
x - 6x + 6
0 2
.
1= Q
X -
-
Resolver .en R ., completando cuadrados
d)
-10 •
Sean x y i las raf.ces de Q(.x) y P(x) que x" 2 i . Por hip6tes1s, tenemos que
DE
d)
(*)
12.13
SOLUCION .-
= { 1,
x_2 -· 11.X + 28 = 0 2 x + 4x - 45 e o
a)
c
Y como la ecuación generada es:
=
• entonces
[ de las dos ecuaciones dadas]
= -32
=
36 - Be !: O
Resolver las siguientes ecuaciones, vfa factorizacfón : a)
son la suma y· el producto de S + P , ast como el Conjunto
- -a
-¡
.x. 2 -
A :: O
c e (o, 9/2 J n z
P
tales soluciones comunes
X2
8
s =
=
y
.Xl
=
EJERCICIO. Si las rafees del polinomio P(x) • zx2 _ 6x +e son reales positivos, encontrar la suma de los posibles V_! lores enteros de f .
Solución común.
SO(.UC ION. -
2x = o
_
t
EJERCICIO.- Si las ecuaciones:
el mismo fonjunto Solución , y si S y las soluciones, respectivamente, hallar
i2
m = Ji
12.14
b/(2a)
o •
=
(*)
v { i "' 2 ===> m • 6 ) • Luego, m = o ó ~ • S.x "' x(.x - 5) , Q(x) = .x.2 _ 7x = ~(.x _ 7) P{x) = x2 - Sx + 6 • ~(;ic - J) y Q(.x) = x2 - 7.x + 12 • 1!..:...il(x - 3) • P{.x) •
m" 6 :
SERIE
'4x2 + ax + .c =
x2 -
(n + k)
por ser adem~s un polinomio también de grado 2• . Y como el coeficiente del término en x de Q(x) debe ser CERO tenemos que:
b - 2ak
4i - 14i + 2m " o si + m • o
===> m = O )
O
Si m " O':
, entonces
=
2
Reemplazando en cualquiera de las ecuaciones de (*) :
Si
(*)
P(n) • O
y
·
P(m + k - k) '" P(m) " O . por (*) P(n + k· - k)
Q(x)
=O
y
(i ;
son las úni~as dos rafees de
.!!. P(m)
entonces
(m + k)
41
141
x2 - 7x + 2m • ·o { i 2 - Si + 11 • O
2
EJERCICIO.-
(n + k) ,
Cap. 4
Cap. 4
EcWl.ei.oneA Pollnóm.ic.aA
140
a) d)
2. a)
{ 4 • 7 } -:..¡
{í . X" .
3 !
e}
/J
. lll d) {1+ 2 . 2 g)
b) }
•
{ -9
3
-
{ - S/4 • -1/4 } ; h)
5 }
{ 1}
s -2 :!' 12 ¡5
b)
2
t
IIT J 2
,_•
; e)
{
; l
5•
e}
{ 7 • -3
e}
{"-~ 3 •
c)
-1
-2
± /5 ;
-1 }· ; f)
(rafees complejas:
}
± u. J
Í0±11) ;
i)
•
Ca.p. 4
Ccr.p. 4
143
142
SER 1E DE EJERC.IC IOS PROPUESTOS
13 ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR Resolver en dos:
una ecuación polinómica .d~ grado mayor que
IR.
Resol~er los 4 primeros E" . de la SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS de la Seécilín 11 E t Jerc i c1os • n o ras palabras, hallar sus Conjuntos Solución
P(x.) • O
CLAVE DE. RESPUESTAS
consiste en hallar todas sus ratees reales del polinomio P(x.) del primer miembro (de grado mayor que dos). Por ejemplo, para resolver la ecuación: .
1
hallamos sus ra1ces :
x.3 + x.2 - 2x. .. o x.(x., 2 +
(x.=O) ( ":x. (
=o )
o)
X. ..
V
( (x. + 2)(x. - l)
V
[ X. ..
13.l EJEftPLO.SOLU'c 1 Olt. :x.3
V V
" o) X. ..
( X. "
l )
e:::==>
l )
- 13x. + 12
~
X.
(x. - l)(x. + 4)(x. - 3) .. o :X."
SOLUC 1ON • -
=3
1
o
e==;.
X.
• -4 • 3 }
1
o
3ª 0 )
V
(
..
3
•
o
2 x. + 4 • 0 )
( x. • 3 ) v F X..
c.s.•
{
d)
c.s.•
{. -3
F :
fa 1so, t
Esta es la única sol.!!.
x.2 + 4 nunca se hace cero en IR ; ci6n en IR , pues no tiene soluciones reales x.2 + 4 .. o
{
j ,
-4 }
7 • -2
• 4
2.
• }
. 4• .
5
a)
es decir ,
que
C. S. =
{
2 • -2 '
c)
c.s. .. { - 31 • - 32 •
e)
C. s.•
Si k • 6 :
c.S. ,.
nnnnnnn
Por lo tanto ,
)
"" ( X. -
b)
{
si k • -6 : c.s. .. { -1 • ~2 • 3 } .
o
o
Resolver en 1R , la ecuacilín: x.3 - 3x.2 + 4x. - 12 •
Factori zando:
(x. - 3)(x.2 + 4) ..
X.
V
c.s. = { 1
el Conjunto Solución es:
EJERCICIO.~
-4
2.
3.
}
• -2
.
V
13.2
..
x.2 - 13 + ll X.
y utilizando la División Sintética :
=
1
x.3 - 13x. + 12 ... O·
.. o
.
c.s. = ..( o ,
se tiene 1a ecuación equivalente
rO
x.
c.s. "'
~
Resolver la ecuación:
Como
X.
-2
( x."= -2)
V
=o
x.(x.+ 2)(x.-1)
o
2) =
X. -
1 3 • 3 • -1
l.
Í }
..
6
{ 2 • - 1 • -3 { 1 • '!' • -3 } •
y
.
~
Cttp. 4
Ca.p. 4
143
142
SERIE DE EJERCHIOS PROPUESTOS
13 ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR Resolver en dos:
una ecuación polinómica .d' grado mayor que
IR.
P{x.)
•
Resol-ver los 4 11primeros Ejercicios de 1a SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS de la SeécHín E t • n o ras palabras, hallar sus Conjuntos Sol ución
O
CLAVE DE. RESPUESTAS
consiste en hallar todas sus ratees reales del polinomio P(x.) del primer miembro (de grado mayor que dos). Por ejemplo, para resolver la ecuación: 1
=o
x.3 + x.2 - 2x. x.(x.2 +
,
(
X.
{ • X.
V
(
=0
V
( X.
{X.= 0)
13.l
V (
= -2
=o
1)
-
· X.
=1 )
=
x.3 - 13x + 12
x.3 -
"' o
.
... ~
X.
(x - l)(x. + 4)(x - 3) • O
( x.•l
V
EJERCICIO. ~
SOLUC 1ON . -
b}
c.s.•
{
d)
c.s. •
{. - 3 • 4 }
X. "
X.
V
c.s. " { 1
=3
X.
1
o
"' ( X. •
e=>
• -4 • 3 }
... •
o
2 3 • 0 } V ( x. + 4 • 0 )
( x. • 3 ) v F X •
Por lo tanto ,
)
3
F : falso, • Esta es la única sol.!!,
x2 + 4 nunca se hace cero en IR ; c16n en IR , pues no tiene soluciones reales • '.(. 2 ~ 4 • o
{
j .
-4 }
a)
es decir ,
que
C.S.
;
2.
7 • -2 • 5 }
c}
C.S. •
e)
c.s. •
;
- 4• .
c.s.· = {
}
Si k • 6 : C.S. " -1 •
~2 • 3 } '
nnnnnnn
o
Resolver en tR , la ecuación: x.3 - Jx.2 + 4x. - 12 •
Factori zando:
{x. - 3)(x2 + 4) ,. O
-4
/
3.
si k • -6 :
'
el Conjunto Solución es: 13.2
2.
{
o
13x + 12 .'" O·
y utilizando la División Sintética :
= =
l • -2 }
se tiene 1a ecuación equivalente
o
x. /
c.s. "' { o •
x.2 - 13 + .lXl "'
Resolver la ecuación:
Como
X
V
x. ' = -2) V (X.= 1)
EJEPIPLO· .-
SOLUCION.-
x.(x. + 2)( X.
:
c.s. "
(x. + 2){x. - 1) " 0 )
= 0 )
)
=
o
2) =
X. -
ra~ces
hallamos sus
1 3 , 3 • -1
l.
= {
2 •
2 , _2
,
!4 }
•
-1 • -3
{ 1 • '!" . -3 } •
y
144
Cap. S
Cae_. 5
1netLJ.ac..(.pneA
'
Hacemos p
5
_,.,;
INECUACIONES
=
-
q
• ('l. p)
( "-(X e:
-
[ X e:
q
b =
1.4
.
2)
3)
y
4)
a 5)
a <
(
5 b
V
b
( :! ) La relación ' MAYOR 6 IGUAL QUE ' [ a > b
A5
=
<
(-a) + b
o+
( -b)
<
[(-a) + b ] + {'-b)
-b
< -a
+ [ b + ( -b) ]
-b
<
c
<
b
+
-b <
J
2 }
1.5 TEOREMA.-
Sean
03
=
-a + O
(por A4) •
-a
(
O < (-a) + b
.;::=:: )
es
an~loga
• Ejercicio para el lector.
" s.¿ " • 4e camf>.ú¡ de .lgno a. ambol> , útil camb.i..a. de "e.n.túJD " •
m.i.e.mblto4 de wut du • ualda.d
b = e ))
d
-b
En palabras este TEOREMA afirma que· . O
y
~
d
e < d
e: R
1i)
Si
a > O
y
1i i)
Si
a
y
.
(a < O
b > O
b <
b < O)
Dados
(1)
Si
ab > O
(2)
Si
ab < O
: (1) ,
(2)
ac • O , y como e " O · entonces bd > O • ac entonces ac < bd ac < be , y como e > O entonces entonces be < bd b > o por la LEY TRANSITIVA (02) luego ac < bd
< O
y
1.11 TEOREl'IA . -
entonces ac < bd
ó
y
b < O)
entonces
=
(a > O
PRUEBA .-
entonces
b > O)
o
entonces
= ( 2)
entonces
.-
'lae:IR
e ,
b
Oados
a
~~---t~--------------------'
1.8
8 < 6
Si
-- ~ a < O , TRICOTOMIA
a e: IR , entonces a2. ~
i [ pues si no
(1)
(1)
lo cual es una contradicción, de modo que nuestra suposición es errada , y por lo tanto, a no puede ser cero ( a f O )
1.7 COROLARIO--
<
(2)
PRUE~A
o
ª2 >
Si
~
=/=>
entonces
.te pa4.ltivo • PRUEBA .-
Esta propiedad previa que se cumple para la multip11caci6n no ../le Clllllple con la. cLi.v.ll..ión. , en. gen.Vt.a.l • Por ejemplo,
be
En palabras, este Teorema afirma lo siguiente:
1.6
14/
ó
a y
(a < O
y
a•b ab
>
¡. O
>
O
a-b >a.o ab > O b > O)
Ej ercicio .
b e: IR :
entonces entonces
a
b
y
a Y b
tienen el mismo signo. tienen signos di fe rentes.•
· Sea
ab > O , en t onces si suponemos que a y b tienen signos diferentes , entonces ab ~ o (por el Teorema 1.10) , lo cua.1 serh una contradicción. Por lo tanto a y b tienen el mismo signo
Anatogo a (1) • (Ejercicio).
Resumiendo estos dos teoremas previos obtenemos la siguiente LOS SIGNOS. REGLA DE
2 2.1 (1)
LA REGLA DE LOS SIGNOS TEOREMA CREGLA DE LOS SIGNOS).ab > O ab < O
a y a y
b b
tienen el mismo signo. tienen signos diferentes. ·
I rie.c.uac..lo1:~..6
TEORE.1A ~-
i.2
Si
ces
a
1' > O l
12 > O ( e's dec 1r
1 = 1 '/.
Como a.a- 1 = l
PRUEBA .-
Cap. i
i~L-ª-·_1 __t ,_·e_n_e_e_i_m_i_s_mo_s_i_gn_o_qu_é__ª _ ·__,]
148
=
> O)
=
a • a·l > O
2)
Si
b
pues
a 2 > b2 ( > O)
=
a > O
" {a - b){a + b) > O
a - b
a + b > O
entonces
entonces 2
2
{a + b) y {a - b)
y como
-1
a
y
a ?; O ,
=
. t!nto_!!
a y
o
>
tienen el mismo s igno
pues
a?;O
y
y por lo tanto:
a - b > O
,
b ?;O a > b
tienen e1 mismo signo.
3.2
2.3
TEOREl'IA.-
y
i\
b
< b
3.3 ( -~ )
PRUEBA .-
Si
a
y
[2.2)
b
=
{a-lb- 1 )a
< (a-lb- 1 )b
(a~ 1 a)b-l
< a- 1 {b- 1 b)
=
)
An~logc:i.
SOLUCION.-
1 • b- 1 b-1
< 18
(04) ]
< a -l • 1
Luego,
< a·l
-2x > -18
.!. 2x
<
C.S.
•
2
E:
entonces se presentan .dos casos:
=
a > O• b
o o
o
b ?;
~
entonces
=
a >O
a.a>b·a>b· b
1)
b ?;
con
Si Si
b • O y como
ª2
o
> b2 •
a
2
> O
PRUEBA .-
o
l)
{por transitividad) ,
2)
ª2 > b2 "
=
ª2
> b2
Si
[ a > lb
> b
Consideremos los dos casos:
a > O
entonces
a ?; O
ª2 > b •
a ?; O . entonces
=
Si
a < O
entonces
(-a) 2 ..
•
.a >
4==;>
lb
(-a) > O
a2 > b " (
y
¡¡; )2
(-a)
>
lb
a < - lb por los Teoremas
a f O
a > O • b (TRICOTOM.)
a < O :
ó
TEO: I
se presentan dos casos:
o
o
NOTA •
La pal¡ibra
' ó '
(3.1)
y
(1.4) ,
respectivamente •
representa el conectivo. de UNION
(lógica) ' v
... Ca.p. S
150
Cap. 5
151
{x -
3.5 TEOREMA III Si.
b>O
-,lb
< b
< a
2
..!.
[(x >
PRUEBA .1)
Si
Consideremos los dos casos: a ::. O ,
siendo
b > O
ª2 -
< b = (lb )2
ª2
(
Si
(a + ,lb )
y
< O
a
a
2
< b =
>
- lb
- lb
(,lb )
(-a -
lb )(-a + lb )
(-a -
lb )
· (-a - lb)
y
lb < a < lb
3. 7 NOTA . -
3.8
EJEMPLO.-
x2 -
6 > 0
+
lb
> O,
-
C.S.
.
U a
=
1
CD )
iii.
<
Lue.go,
u
se convierten en otros teoremas
v~lidos al sustituir , donde aparezcan , los stmbolos < respectivamente. ó . > , por ~ ó ::.
Resolveremos la inecuación :
x2 - 9x + 18
x2 -
X -
6 l
>
<
3 <
X
< 6 •
< O
x-x+¡>6+¡
- 9x
<
-18
{X -
·12
X
<
/14
2
<
2
1 4
(por el TEOREMA I I I [ 3.5) )
.1 - 1
<
1 )2
1
(sumando
2
a la cadena)
2
e.l Conjtlnt:o Solu.ci.ón
Por el Corolario [1.7]
SOL UC ION "l
IR - { 3 } • Luego,
(x. - 4) 2
o
C.S.
6 + 6it - x.2
cual indica que la única solución para esta desigualdad e~: e)
<
C.S.
cual indica que esta desigualdad. NUNCA SE CUMPLE .EN los núm. reales . x.2
2 5) + 4
PRUEBA . -
3.13
o
C,$,
c
-7
luego, ?:
CD>
o
COROLARiO [1.7]
l/-
x:2
=X.e;
x2 + a ?: a
y por lo tanto,
a)
O
n/
.s o
-9
m)
?;
pues ?:
1
111 UC ION. -
REAL es
M
=
15 •
mayor nu·mero real x.2 - 4x: + 41
m , t a1 que se cump 14: PARA TOOO
x. R..EAL •
.. Cap. 5
Ine.cu.o.uo n ~
154
¿t
(x - 2) 2 + 37
x.2 - l\x + 41
~
155
Cap. 5
PARA TOVO x. REAL ,
37
or implica que todos son iguales a l •
m •
e.A
3.15
x+y+z
b)
X!/ •
=
=
X + !/
~
> 0 ,
!/ >
=
X
(y como por dato: xy X
+ !/ = 2
x,2
=
l
+
..
2x
= =
=
=
l] +
X
Jt
(x - 1) 2
X+!/
..
l
.¡-;y
+ !f ~ 2
2
•
Cuando se tiene una inecuación de la fonna
X!/ = l
pues
= ..
=o
~ 2
~r-x
REGLA GRAFICA DE LOS SIGNOS PARA RESOLVER INECUACIONES
=
l "y
(x. - 4)(x. ~
PROBLEMA . -
x.yi.
:11
SOLUCION .-
a)
al)
x >
=
1
o,
y >-O ,
z >
O ,
demostrar que
x+y+z~J
x· + y+ z = 3 )
XIJZ ,. l
b)
Si
=
=
Utiliza remos los resultados del
(x. - 4)(x. - 6) .> O
entonces, según la REGLA OE LOS SIGNOS [TEOR. (1.10 (l))] ... se resuelve mo sigue:
Obvio.
=)
a)
entonces por (a2] :
( = ) Obvio q
/
3 .16
,
2
a)
(= )
entonces
o
=
2)
X + !/
SOLUC ION.-
x
Demostrar que si
PROBLEMA.Xlj
> 3
1
que contradice al dato x + y + z " 3
Por lo tanto, al menos uno de ellos es 1 , con lo cual estamos en el caso [bl] •
37 •
a)
b)
Si todos son diferentes de
bZ)
y por •upuesto que la expresión dada también será, con mayor ,razón, mayor que 35 , 26 , 20 , 12 , etc. ; pero EL /:lAYOR VE TOVOS ESTOS MUMEROS m
C.Q.
.6l > o
{
V
[
(x - 4)
>
[
(x - 4)
<
[(x.>4
o o
(x. - 6) > O ]
(a)
o ]
( B)
(x. - 6) <
A
(x >6)] v [(x. O, (*) x.+y-xy>l (y - l)(x - l) < O lo que implica que además, [ya que Luego,
b)
wz ( w+z
= =
x+y +z
xyz ) " 1 =2 implkarfa que
=
(**)
w+ z > 2
w • z " 1 , absurdo)
(w + z) + x. + IJ - w (w + z) + x + IJ - xy > 2 + l
• 3
debido a(**) y(*) AsT, x+y+z > 3 . bl) Si al menos uno ~e ellos es l , el problema anteri-
=
X
E:
4. 1 REGLA GRAFICA DE LOS SIGNOS .lº
Se hall~n las rafees de cada factor l ineal y se l es ordena en una recta real en forma creciente, en 'este caso 4 y 6 ; estos valores r.eci ben el nombre de VALORES CRITICOS . ó PUNTOS CRITICOS •
2º
Se trazan rectas horizontales, una para cada factor lineal (en las que se indicar~n los signos del factor correspondiente , por zonas} y una últi ma (recta horizontal) para el producto d~ todos los factores lineales.
3°
Se trazan segmentos verticales,
X
X
•
®
+ + + + + + + +
+ + + + + ++ +
(x' - a) , a la 4° Para cada factor locan los signos + , pues para [valores positivos de (x - a:) ] co se colocan los signos ( - ) , o
.
x
X
- - - -- - - - - - -- +++ + + + +
?
(x - 4)(.x - 6)
--~~
(x - 6)
X ª 6
(+)
o
Xt
(·"'•
.. c.s.
4) U [6,m)
~
o
X
t
X
t
(4, 6)
c...s.
(4,
c.s.
(-)
o
+ 14x - 5
(3x - l ){X + 5)
..
+ + + +
(+)
~
0
-5
y
1/3
escri t os
1/ 3
-5
- .-
• y en
3x2 + l4x - 5 ? o
donde como podemos ver, los valores cr fticos son : tn orden creciente. Pasando al esquema grafico:
(x - 4}(x - 6)
Por µ1timo y dependiendo del sent ido de la desigualdad de la 1necudc10n , se eligen los intervalos que conformaran el CONJUNTO SOLUCIOH
±
la rah es X " -a/ e ex + a En el caso del factor lineal X el ·caso de rafz es la ex - a " a/e Esta REGLA GRAFICA est! basado' en la multiplicación de Signos : (-) X ( - ) (+) 'x (+) = (+) , (+) X (-) ., (-)
SOLUCION .-
7
+ + ++ + + +
o
q,2 OBSERVACION.-
x > a se tiene : (x - a) > O a la izquierda de este valor crítisea los $ignos negativos, lo que d!
©
(x - 4)(x - 6) <
(x - 4)(x - 6)
derecha del valor crft1co a
para los que
5
Resolveremos l as siguientes inecuaciones utiÍizando el fico anterior mismo gr!
(x - 4)(x - 6)
..
,
-9)
U ( 2
t
.. (x. - 2)(x. - 4){x. + 3)
tlOTA .-
6 '
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
--- - - -
·- - -
4.6
159
+ + + + +
(x.• - 3)
+
... (x. - 2) .. (x ,+.7) .. (X. ~ 6)
(i ".' J){x - 2) (x + 7)(x - 6)
+
tanto~ ~
(+}
o
~
X.
u
-7
•
[2
3]
U ( 6 , oo)
- c.s. x. = 6
EJERCICIO.-
dS -
·Resolver:
X+
ni a
x = -7
x.)
(*)
7
El factor (·s ·- x·¡ . debe ser transformádo a la forma normal (x - 5) para poder aplicar directamente la REGLA DE LOS.SIGNOS~ para lo cual cambiamos de signo. ambos miembros de (*} • Y la •desigualdad ~ambiar& de sentido : SOLUCION.-
C.S.
4)
X (5
Debido a que el resultado de OIV1D1R SIGNOS es el mismo que el de MULTIPLICAR SIGNOS • e..t.t.a. rn.iAma. REGLA .i.e. u:tl-
lüa. ti:unb.ll.n paM. COCIENTES ,
3
~
No.te que lo4 4.(.g110.i. .6ÜJ11plt.e.
<
(positiva) . en todos los
o
INTERVALOS ABIERTOS donde el signo
( +) · aparezca • (negativa) en tod¡s los INTERVA_LOS ABIERTOS donde aparezca
o
el signo (-) • 4°
-1) U ( 2 , 5] U ( 9 , oo)
00 ,
ordenlindolos en forma creciente.
NAVAMElffE VE VERECHA A. IZQ.UIERVA ,
3°
X
~
;. o
.
(x - 2)(x + 3) > O
-3) U ( 2, "') ) ..- { 4 }
(•CD , 6 ) -
E
(x - 4) 8 (x _, 2)
0
U ( 3 , "" ) ) -
(-5, l}
o
?:
(x + 3)(x - 7)
{4}
U (3, 4) U (4, m)
.;==;>
{4} •
X
?:
(x + 3)(x - 7)
8)
pero por estar en el denomi. de modo que [
-5
, entonces
. a2n b
f 4
c.s.
U ( 2 , 7) ) - { 4 }
?: o
Valores Cr1ticos:
,. X
(entero positivo)
0
Como nador entonces debe considerarse (x - l){x - 3)
o
z+
n e
1)
o
SOLUCION .a)
Sea
TEOREMA.-
+CD
+.
Resolver:
PROBLEMA .-
4
2
+
5, 6
5.7
4 -7 • -5 • O • 2 •
Valores Cdticos:
163
Este problema [5.6] es uno de los casos especiales en el que ALGUN FACTOR SE REPITE UN NUMERO PAR VE VECES • y que está contemplado den tro d!l siguiente TEOREMA , ~1 cual resulta muy útil en estos casos.
it(x + 7)
y factorizando el numerador :
Zne.cuac..lonu
Ca.p. S
x3 - x2 - 22x + 40
X
"
o 4
c.s.
V
X •
4
'~
Ca.p. 5
Inecu.aúane.6
164 (x - 3)'2 {x - 1)
d)
=
2 )(X.
(X -
e)
a2n + l
5)
{x - 2){x. + l)(x - 3)
~
ji
4)
2
2n + l
o
1)
165
Inec.u.aúonu
Debido a los res u1ta dos sj gu i entes ·,
TEOREMA.-
.:
} - {3} 3) u
c.s. 28x - 4 + 4x
~
14x (1 - x) 4(8x- · l)
.o
o
(l?) •
i)
14x (x -
o
[cuyos VALORES CR!i'.ICOS so.n:
O
E
U [ 1/8
Q
1 ]
e
c.s.
1)
1
8
=
l
Resolver:
(Ver 5.12) Por el
SOLUCION·4
(x + 4) (x + 1) 6 ·ex - 3) 5 (x + 2)
U ( -1 •
o
>
X+ 1
<
+ l
+
l
...
+ 6¡
14x
l(
X (X -
j.17
l(
4
14.t (1 - x)
(5.13 (6)]
f 1
X
=
o
32x - 4
..
3x - 2 - 4x. - 4
=
o
<
0
2 La equivalencia (*) se cumple debido a que el numerador 2(x. - 1) + 3 es SIEMPRE POSITIVO ( > O ) , .paJl4 :todo X & IR • Por lo tanto, · . X E
C.~. •
5.19
=
•
2
~
e:
X.
(-
X. -;..
2x - 1 X• 1
o
~
+ 2x
Jx.2 - 4x - 1
5
-2x
•
obtenemos
x.2 - 2x ~ 1 + 2x.(x - 1) X- 1
SOLUCION .-
>. O
(Verificar)
~
5
X
:
·
l
=
X
Ji -
de
! .( 2 - 17 )
;¡
3
X. -
~
(2 -
± . /16
"
4
- 4(3)(-1)
ª3 + b3 > a 2b + b2a
=
a b2
b ª2
+
-
(2 +
!
3
(2 -
son :
Multiplicando ~ (2+
17) ]
1 a
>
,
1 •
/7 )
;¡
i.54
+
U ( 1 •
l
J
-
(/a - lb
ra
lb
a 2 b + b2 a . a2b2
c+a
>
2rcra
la~
>
se sigue que
, y
>
·ª (ra )
2
(
Sean 'a , b, x.. tintos , tales que
/li )
2
y
(
rc )2
8
abe
númer.os positivos, todos
rl "'
1
ax. + by · < 1 . + x.2
> 2ax.
>
b2 +
> 2by
> 2ax + 2by 1 > ax. + by
=
2(ax + by)
y2
C.S.
RIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
6 PROBLEMAS DE APLICACION SOBRE DESIGUALDADES 6. 1 PROBLEMA.-
Si
a
y
b. son números positivos distintos.
Si demo
a
y
:
desigualdades tenemos que
{a 2 + b2 ) + (x.2 + ,/) 1+1
an~logamente
>o
2
-=>
8 abe
>.
)2 >- O
o
2/'b/C >O
(a +'b)(b + c)(c + a)
entonces
x tales que
(2 + 17) ]
> .(a + b)ab
son números positivos todos. disti.u
x. +
(±)
3
2ab
1 b
+
>
SOLUCI ON .- Como . a2
! (2 + /7)
>
7iT
b+c
demostrar que: ·
~ (2 _ 17) ]
ª3 + b3
=
> 2
..
Por 1o tanto, el Conjunto Soluci6n es el conjunto de los ( _m
ª2 + b2 >
(a + b)(a 2 - ab + b2 )
a + b
( Yeri ficar)
1
/7)
entonces
De la relaci6n
6 /
X2 ,.
~
o
)
.
b
Sf a , b y e tos. demostrar que
6.3 PROBLEMA.-
17) ] ( · X.
1
=
=
± 2/'7
.6
4x - 1
>
~ 2 - ab + b2 > ab
SOLUCION.-
cuyos valores cr1ticos son
e:
2
1 + a
(a + b)(b + c)(e: + a)
-0,21
X -
x
(a - b)
Como
6.2 PROBLEllA.-
(*) :
ahora factorizamos en 3(
>
(*)
o
4
Jx.2 - 4x. - 1 = O ra~ces
b ª2
171
o
donde el DISCRIMINANTE del numerador ~O ES NEGATIVO • Y por. lo tanto existen ratees reales las cuales· son calculadas cocno sigue
las
luego,
+
1
X -
Luego.
a b2
l
al primer miembro
7 2x
2'
X -
x.2-zx-l
Resolver:
Pasando
SOLUCION.-
,.. c.s.
-2) U ( 3 • m)
m •
5.25 EJERCICIO.-
(x. + 2)(x - 3)
o
>
1ne.ClJ.a.c.lotte.4
trar que:
Por lo tanto. (x. + 2)(x. - 3)(2x - 3x + 2) .
~· 5
b
son números positivos desiguales, demostrar que
a +b
2
< a /b
+
2
b /a
di~
... Cap• .s
173
I ne.Cllitc.lonu
Cap. S
172
2.
Si
b y
a ,
(a + b + c)
Si
3.
a
2
3 (a
<
(a 3 + b3 )(a + b)
4.
Si
a
+ b
2
>
(a
e)
+ b )
13.
x
Si
(x4 + . y4) (x2 +
6.
x , y , z ,
Si
' xy(x + y)
j)
7.
Determinar Tos valores de
B.
e· , d ,
Sean
a
b
9.
Sea o
a , b
e·
>
b ,
e
1
=
6 x.gz x3 + 1
>
+
X.2
a b
IJ
e d
x. 2 +
j
2 + z ~ 1
•
o
2
2x - 3
X+ 2
4x - 1
X-
j)
1
e)
X +
o
d)
2 -
4
2
>
e)
(x. + 4)(x + S) - 6 ? 6
f)
X
z·
+ -
• g),
:t -
2
X -
1
10
. X
4
+1
- 2
1 • X
Demostrar que
..
a) ..
d
1
>
le
_ 3c
donde
4d
b)
donde
6
o•
d >
e)
ll.
Sean a , b , mostrar que Si
a ,
b
y
e ,
x ,
y ,
números positivos distint os. >
e
>
b)
3x - 2
<
2
f)
3
X + 1
x2 - lh: + 28
~
o
•
3 abe
Resolver : a)
(ax + by + cz)
Ded)
son números positivos distintos, demostrar que
3 a3 + b3 + c
12.
z ,
g)
x2 + lOX
+
16
>
x-1 7x - 5
ax+ 3
>
e)
10
3
2
X -
h)
3a
• Sb
b)
5
(x - J}(x - 4)
1 e)
Sb 3a
2
>
li
+
2
l -
Jt
X
>
2
Zd
2
+
si
X
> 0 ,
IJ >
o•
X
Sf
a > O,
b >
o•
3a
6
l ·
3 X+
2x - zx. 2 + 7x. + s
3
>
X+ J
-
>
! Je
f 0
Para cualesquier números reales a , b , e , d (ab + cd) 2 ~ (a 2 + c 2)(b2 ·"" d2)
15. Resolver : 1 a) X+ 1
4
{x - l}(x - .2)
+
11¡
X -
e)
X-
X
e > O
ax· + by + cz < 1 10.
X - J
>
1 < ..2
S + x2
h)
-J
>
X-
>
:t
14. Demostrar la validez de las siguientes desigualdades
números positivos distintos tales
z
l
>
Sx + 4
1
X •
"~
a +e > -b + d
>
lx - 5
números positivos· distintos . Si se tiene
X '
a2 + b2 + c 2
que
>
x para los cuales:
'demostrar que:
d
a
+ zx(z + x)
f
x. + Jx + 2
b) .
son números positivos disti ntos, demostrar que
+ yz(y + z)
l
2
X -
(x3 + ,/)2
>
3
Resolver :
son números distintos, demostrar que
y
y
x.2 -
~
1
x.2 - Jx + 2
a)
>
s.
2 2x - 6x
i)
2
2 2
2
x(x.~ - ·1x 2 + 12) > O
+ c )
son números distintos , demostrar que
b
y
2
d)
son números positivos distintos, demostré}r que
b
y
son números positivos distintos , demostrar que
e
X+
2
7
--
<
x2 + 6x +
·s
X+ 2
o
f IJ
~
Sb •
.... 174 d)
-x.4 - 2h:2 - 20-x.
e)
('X. -
a)
o
<
! ¡2 + 4(-x. - ! ) + 3 4
<
. 4
o b)
16. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones 2 a) { -x. 2 - 2-x. - 3 > O b) { 4x - 1 > O 2 -x.2 - llx + 28 ? O -2-x. + 5~ - 3 > O ~)
17.
5
x
<
-
x. 2 + Jx + 2
a)
8-x.
+
25
e)
3-x.-l
e)
3-x.3
g)
·x.3
2 -+ 2 X -
<
2
'X. -
-(x. - 4)
9x.2 + 11-x. ~
X. -
'X.
> -
X.
b)
~
5
e)
(2x.2 - 8x. + B)(x + 3) X. + 6 2
~
2)
X +
10
o• o
x.2 + Sx + 24 X. + 2
b)
d)
Jx. 3 - 24x2 + 63x - 54 3x. + 15 3
f)
X+ 2
x3 .- 2 "2 + l
h)
~
>
:?:
o
4 x - x + x - x5 + 9 (1 - x.) 2 (1 + x) 2
l + x.3
>
(1 - x.2 )(1 - x)
+2
X•
2
:?:
:?:
o
~
6
X+
lt
> l
e)
o
< X < 1
d)
a
~
X.
+ 5
..
<
--"3 - 4 x2 + 2
x.2
a)
o
< d
b)
o
~
d < e
e)
lt
>
o•
+2
--¿
<
X
o
=
< 1
b
< l/a lt2
< x2 < X < 1
a - 2
::¡:i::::::>
2 < l/b2
b- 2 b- 1
~
a- 1
22. Demostrár que :
= >
lj
c3
=
< e
o•
3
o
< a
~
b
6 (b - a} 3 ?
z >
o 1
dJ
3
-
y el
Jb a + a b
= o
-
d3(c - d) . <
(X/lj }(y/ Z}(.z/ X)
SUG:
SUG:
Resolver :
o
=
b)
d)
Jx2 - 4
=
o
·a < b <
6
o
> X
e)
? 8
a~
x.2 - 2x. + 1 x. ·- 1
2
X•
5 ~ .
d)
19. Resolver : 2 2 (x2 + 7)(x2 + 25)(x - 4)(x + 3) a) b)
o
21. Demostrar que : -
(x. - 1)(2x.2 - 12x. + 19) <
X. ~
>
X.
a)
g)
<
4x. - 12)(x2 - X - 12) (x.2 - 9)(x.2· - 4)
-
2x X+
e)
Resolver :
e)
( X2
e)
18
<
(4x + 2) 2(x2 + 2) 3(2x - 8) 9 (x. + 1)2(2x. + 5)13
:
~esolver
18.
2
17S
Cap. S
Cttp. S
Inec.ua.cione.&
=
> . d2(c - ·d)
c4 4
- . é4 X lj
Probl~
~
(b - a) :?:
b2 ª2
o ;
3 < ·c (c - d) +
1.. z
+
(3.16] + 3
z X.
:?: 3 ~
/
cap.
Ine.cuaU.on~
176
s
2 3 Dados los polinomios P(x) = x. + 3x. - 2x.. + 4 .H(x) • Zx - a , Q(x.) = x3 + 2x. 2 + 2x + 1 • Si el reslduo de dhtidir P(x) ·entre . H(x.) es menor que el res~dua de dividir Q(x.) entre. H(x.) , . hallar
23.
. r.~p.
s
18.
a)
f)
h)
(-2 ·, O) U (O,"')
d)
.
Hallar el menor de los núm(lrOS
·24.
PARA
rovo x e:
a)
. 4 + 6x. - 3x.
4x. - 2x
b)
25.
Hallar el ' PARA
IR
e: IR
X.
~ 2x.2
m ~ x.2 - lOx
+ 32
e)
m <
d)
m '.f
x.(x. - 2) . - 3
i - 6x. ....,.....&-
[-1. 5 >u
12. -e)
[ 6,
- .¡)U
(-1_, l) u (5,
~)
(-4, -1? U (O , 5)
d)
(-m , -l)U(3. 4) U [7,m)-
(-co~ -2)U(0,2 )
(17).a)
(O , l)U.(3, m)
e)
(2 • 3
d)
(-4, 6] '
f)
- {o }
d)
•
11>, -
u
a)
M = 7
d)
M
..
a)
m
= o
-
>U { -2 }
•4
\)
., >
e)
d)
m que cumplen la condici6n de que :
- 4x. + 2
b)
13.
20.
•
m
7. ·
.19. a)
'.f M 2
d)
'.f M
mayor de los números
rovo
~x. 2
e)
~ M
a)
C~AVE
M que cumplen la condi_;ilin de que :
•
2
2
a •
rne.cua.c.ionu
con
Si las raíces de x2- +. mx + n = o son las recíprocas de las de la ecuación 4x2 + Sx - 5 = o • hallar el valor del producto mn • la ecuación cuadrática mero'S Jt.ea..l.e-6
mx2 - 3x + q
/a
=o
por raíces a los nút 1ene ·
ia
y
/a-
la + /a+m
ha llar
/a-m
el valor de a
14.
x + kx = 2
(k + Z)x • 2
Y = x2 - 2x - 15 Y = m(x+S)
Si una raíz es el doble de la otra, entonces
Si las raíces del polinomio P(x) = 2x 2 :.. 6x + c son 1t.eale.& po.i..ltivo.i., ;encontrar la suma de 'los posib l e valores e.iiteJLO.t. de E. • Expresar en intervalos el conjunto A = { a e: IR ¡ soluc,ón de - ax2 - 6:it + a2 > 2ax - 3x2 - 1 } .
IR es el conjunto
CLAVE DE RESPUESTAS
hallar la ecuación cuadrUica cuyo conjunto sol!!_
e i ón es · { l/ r , -1/ s } • Hallar el conjunto de valores de les en la ecuación
c)
13.
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS k
j
sistema, hallar la suma de los posibles valores de ~ Dado el trinomio: a:it2 + bx + c , demostrar que : a) s1· 1a suma de sus raí ces es igual su producto, entonces b + c b) Si una raíz es la nega tiva de la otra, entonces b = O •
o
o
3 a3x2 - (3abc - b )x + c3
1
"Oado el sistema:
e~
2 . 19 - EJERClCIO .- Dada la ec. cuadrática: ax. + bx + c = O , a 'f O , .con raíces I y ~ , ha l lar (sin resolver la ecua 3 3 ción) la ecuación cuadrH"ica cuyas rafees son r y s • SQLUCION .-
admita dos raíces iguales.
l
V.
(k+l)x2 _ 2(k+l):it + k
ftallar el valor de! para que la ecuación
=o
-S(x+ 1) + ll 5 5 5 4 2x - sx2 ~ 8 • V. xe:IR, tonces el menor número real B ta'l que: 5( 2;) = 17. lOA - 5B = 10(12.) 5 es 8 = ~ para x = - l5 • Luego, ~ 4-2x-5x2
Y como:
187
La Ec.uauón de. Se.9u.11do G.lt4do
Cap. 6
B el menor número real tal que
y
Completando cuadrados. Como: 4 + 2x + 5x 5(x + 5_) -1: 5 ~ 1; l/- x e: iR , en ton ces e 1 mayor nú~ero rea·l A
SOLUCIOH·ta 1 que:
A,
~
f.. Sx
= -2
2
k• l •
:it2
3.
t.~O,
(-"",O]U(S,m);
5.
m e: { 3 , 5 } ;
10.
-{ 1/a) /a 2 - 4ac
13.
t.~ O:
5.
14.
2.
A = 12
.!l·
==
.
+ 2x - 15 = O ';
l.
32/25
1· J...
(-4, 4
>
k = 1/3
g.
a =· 3/2
-ª·
108/li
(positivo) •
35-Bc ~o c _< 9/2, asi·, c e (o, 29 ] n • { 1 , 2 , 3 , 4 } , SUMA = (1 + 2 + 3 + 4) = 1O • IR es el conjunto solución de: (a+ 3)x2- 2(a + 3)x + (a2+1) > 0 [ (a+ 3) > O t. < O ] v ( (a + 3) = O " (a2 + 1) > o ] . A" ( (-3, -1) U (2, =)) U { - 3 } = [-3 , -1) U (2, oo) A
.°
z =
=
=
... Ca.p.
La. Ec.wiuón de. Se.gundo g1U1do
188
6
3.3
3 ECUACIONES REDUCIBLES ALA FORf'.lA CUADRATICA
donde
es una función de
w
,
x4 + 2x2 - 24
haciendo
=
o
(w + 6)(w - 4)
x2 =
es decir,
x
V
-6
2
O
2
M~
/ 3.4
(a)
x3
Haciendo SOLUC I OH :equivalente en la-ecuación
sw2
X
= 3. 2
- 21Sw
=
- l
Haciendo
modo que
se transforma en
=
+
2)
+
llw - 10
(Jw - l)(w + 4)
~
- 10 =
.,
=
O
.. O
3
{w . Luego·,
..
entonces ( a)
se transfor-
"
111
•
3
±
=
9
2 3
Por· 10 tanto ,
li.
312
3+
= O
3-
3
12
2
2
}
3x4 + 2x2 - l .. O 6x8 - sx6 - 2x4 .+ x2
+
9
= o
En la ecuación: 2x 2 - (m2 + l)x + (m2 + 3) = o , ¿qué valor debe darse a m para que las ratees di
?
ax2 + bx + e = o , la diferen En la ecuación general cia de las ratees es igual a: -i ¡ b2 - 4ac a m4 - 6m2 - 27 .. o ,/(m2 + 1) 2 - B(m2 + 3) = a = 2 =
=
(a}
o
resulta
SOLUCIOH .-
3(w2
X.
pues
J
Hallar las ratees reales de la ecuación: Jll'. + 11
a)
EJERCICIO.l
(B)
Se llaman. ECUACIONES BICUAORADAS a aquellas que solamente contienen potencias pares de la variable,
b)
fieran en
.
O
+ 9 "
SOLUCION .-
2
EJE,.PLO .-
(a)
o
(Bw + l)(w - 27)
= 27
X "
V
"
5
7
......
8
,.
V
2 ' 2 '
DEFIHICIOH .-
= O
3.5
= w
{
,.
2
(4w - 1)(2w - 9)
V
2
la ecuación se transforma en forma
w
o
27
1
w •
=
3 8x6 - 215x - 27
Resolver:
±
como por ejemplo,
dos imaginarias complejas y dos reales , respectivamente. EJERCICIO.-
3
=
o·
(ll'. - 3)2
4
é.' S,
De esta forma hemos hallado todas las rafees de la ecuación original
3.1
" ..
w = ( x. - 3) 2 ,
Hacemos ma en:
4
•· .4 = !
X
V
=
w
V
w ..
1
(a)
= o
w2 + 2w - 24 "
w .. -6
==>
---
aw2 - Jsw + 9 =
x
en:
\
w = f(x)
, donde
Por ejemplo, la ecuación se transforma
SOLUCIO!í .-
(*)
o es decir,
Hallar las ratees reales de la ecuación·
EJERCICIO.-
8(x - 3) 4 - 38(ll'. - 3)
Son aquellas ecuaciones que tienen la forma general:
ó las que pueden transformarse a esta forma (*)
189
Se.gundo gllado
La. Ec.u.a.c..(.ón de.
Cap. 6
ul
?
o
de
l
3
se descarta pues debe ser w .. -4 donde la 'solución' 2 x " w2 + 2 • (1/3} + 2 • 19/9 • go,
111 •
-4
w ? O•
Lu~
V
a)
para
b)
para
m2
•
9 -3
/3 } 2
x
-
Verificando:
Sx + 6 " O
2x 2 + 2x • O
4 ECUACIONES RECIPROCAS
'JNl- + llw - 4 • O
w •
! ¿
Dado un polinomio
P(x)
,
.a la ecuación(*):
P(x) .. o
se le l'iama una ECUACION RECI PROCA si la ec uación dada se transforma en un11
. Cap. 6
La Ecuaúón de. Se.gundo gJUld.o
190 ecuac16n idéntica a1 reemplazar
por su reéfproco
lt
En estas ecuaciones rectprocas, el polinomio nombre de
Por ejemplo, u
Wl4
P{it)
POLINOMIO RECIPROCO. 2it2
la ecuaci6n
se obtiene
recibe el
por su rectproco
Jt
-1
.:
o
2 =
pues al reemplazar
Ec.uaclón Re.c,tpJr.oca.,
5Jt
2
+ 2it
x2
"" 3
=o
;
2 .
x "
2x2
De la definición dada se sigue que si una Ecujc1AP Redproca tiene como una ratz -x., entonces también tiene como ratz II}
l ltt
~lt
=o
pues
-
2){2Jt - 1) • • .2
•
lt •
o
P(it) • O
1. ' 2
(x + l)(it - 2)(2x - 1) = o x =
-1
z·,
x = 1/2 .
{x -
3x2 - 3Jt + 2
t
t
•
tu de. l..o4 tx.Vi.e.mo4.
+ -
13it 2 + 13Jt - 3
o
l)(it - 3)(3x - 1) = O
c.s. :
En este caso (II) 1>.i la. e.cu.aci..ón lle.úp1toc.a: mino intermedio estS fuera de regla.
{ 1 ' e..6
3 '
l
3
}
de. gllil.do PAR, el tér-
OBSERVACIONES.-
a)
Si P{x) "' O es una ecuaci6n Rectproca de la clase (I} y es de GRADO IMPAR entonces tiene como una ratz al número -1 •
b)
Si P{.t) " O es una ecuaci6n Recfproca de la clase (II) y es deo GRADO IMPAR , entonces tiene por 1o menos la ratz: l
O tflun.úw4 e.qu.ld.U.tan-
el término inter-
Sx + 2 • O
hallamos el Conjunto Soluci6n:
4.3
.¡.
,
Factorizando, por el Método de Ruffini ,
Cuando 1os co;fi~ientes de los términos extremos .de P(it) son idénticos (incluso en el signo), ast como los coeficientes de los términos!
.¡.
Luego ,
.téJun.úto.6 e.quii:U.6 .tan.tu de. .lo.6 extllerno.6 •
tien~n sus coefic!
Por ejemplo,
•
También se tiene una Ecuación Redproca P(it} = O cuando los co~ f icientes de -1os términos equidistantes de los extremos (ast como éstos) de P(x~ son iguales en magnitud pero de signos opuestos. Por ejemplo, 3x3 '
Las Ecuaciones Rectprocas entes que satisfacen a1gunas caractertsticas interesantes, result_:ndo estas ! cuaciones solamente de uno de los dos tipos siguientes:
quidistantes de los extremos.
-
.¡.
CARACTERlSTlCAS DE LAS ECUACIONES ~ECIPROCAS .-
2it3
o
..:2
caso (I) 1>.
u [5,
[ -3 , 1]
=
r;-:;J
Lue90;- resolv iendo· la ecuación dentro del Universo hall ado: Cuando en una so1a · ~cu aci6n existen ces se deben calcular los Universos Relativos u1 , ra cada radical, GENERAL
k radicales , entonu2 • .• • Uk , P!
los cuales al ser intersectados const ituir!n el
U
u =
u 1 n u2 n
..
1 l
V X
J
= 5
. c.s .
:1:
o
o
+3
V
X "'
- 3.
( las tres soluciones válidas).
RP.so l ver en IR :
IJFRC ll 10
+
(*)
/x2 - 6x + 10
= 4
SOIUC ION. ·
PASO
=
~nivers o
x2 - 6x X
relativo del radical
+ .5 ::: o
(x. - l)(lOx. + 5)
=
9x2 - llx - 14. (
= 2
X
V
X.
= 2
EJERC ICIO.-
(x + 3) O •
U'"
(9x. + 7)(x - 2} ;¡
=
X.
V
2
-7/9
]
-6 -
a) 11
4. a)
o
O,
b)
g)
(4
I CD>
±3
b)
5. a). { 4 • 5 } f) :!: 2
b)
c) [-1 • 4] c)
d)
4'
e)
3
2,
9
c) :!:
3
d)
b)
7
c)
6
d) { 3 ,
1 + 16
6. a)
5/2
6. b)
4 /
1
d)
[ 3 • "')
53
• f)
e) -1/3 }
{ -2 •
5 }
f) 8 e) :!: 1
{ -19 • 15 }
Ca.p. 7
204 6 . c)
{ 4 , ' -11/13
{ 3 •
f)
8.
a)
1/3
7. a)
l }
9
X•
9.
- d)
16 b}
9
•
9
c 2 - 4d
d "' 16 4·
c)
•
d)
c)
7. b} 4 •
{ 5 ' -1 }
c = 9
2.'4
3
(*}
2 INECUACIONES COK RADICALES Sean
LEM .-
1o '
números reales
Y •
x ,
entonces
fi. .,
s ( /µ o < li s ly
o s ( /i
PRUEBA.-
)2
· si Este último resultado es de b,.do a1 teorema que dice que: b ~ o , entonces a2 s b2 a S b 2.2
NOTA -
Sean ·x •
os
Y •
números
r~ales
~
a
S
<
IJ
SOLUCION.-
l
Resolver:
EJERCICIO.-
(
X.
X & [ 0 ....
::
>n
2 Zx. S x - 3
< >
Por lo tanto, el Conjunto Solución es:·
2
- 4x + 3
2 x - 4x + 3
[
<
x2 - 7x + 12
~ O
x
2
- 4x + 3
=
t & ( ( - ... ,l]U[J,co))íl(-"'
e;::=:;>
X &
(-
co , 1 )
•
2 x - 7x + 12
3)
C. S.
2. 6
TEORE,.A • -
e)
<
Jx
2.11
3
(x. -
[ (x +
V
-6
EJERCICTO . -
SOlUCIOfl.-
~
- l)(x
l){x + l){x - l)(x + 4)(x - 3) (x + 4)(x - 2)(x + 6)(x + 4)
entonces
es un .entero posítivo IMPAR .,
;¡ "
a)
:!
como
. (x 2 - 1)
(x -
(-6. -4
o
o
!:
tiene 5 tiene el y (x + .4) mismo signo que (x + 4) • Efntonces la .inecuación dada resulta equivalente a la inecuación : 2
2
lb )2
3 (x - 13x + 12) 5 (x + 4) (x3 + Bx2 + 4x - 48)
el m~smo si gno que
c.s.
a +b
~
~
Resolver:
EJERCICIO -
(x - Z)(x + 6)
a
Demostrar que , si
EJERCICIO.-
TIENE EL MISMO SIGUO que.
SOLUCIOfl .- , Utilizaremos la NOTA (2.11]
( -1 , 2]
u
n,rx
(x + 4)(x3 + 8x2 + 4x - 48)
El Universo es U " (-i,co)íl(-m~2] .. ~-1,2] !: o , entonces Como una suma de dos radicales pares es ;> -6 PARA TOVO x e.n 4u UttlveJt.40 c.omú.n con mayor razón es
t.s.
es IMPAR , entonces
-6 .
SOLUCION .-
por lo tanto,
n
(x
.rz:--;
Resolver:
EJERCICIO .-
llO
C.S.
207
--..._,
X •
2.12
= -1
X
e. Zne.euac.ione.4 c.on Rad.i.c.a.lu
Ee.
dfcan que si
(5, co) •
Puesto Ql!e
b)
Cap. 7
o
X
&
U
)
donde
. Cap. 1 '
Ec.. e. 1ne.c.uac.fone.4 .con Rad.lc.aleA
208
tienen los mismos signos que
y
te ,
4 - X X+ 6
=
X
De (a)
A y
y
c.s. "'
o
>
X+ 6
un
11 ~
/ 4x (x + 1)
< 4 - 2x
T€-OR&IA { Z.16) tenemos
4x (x + 1)
b "
4 - 2x
luego resol vemos las sigui entes inecuacfones a ·?
O
-:==>
4x(:.:t J.J ~O
=
te: ( - "', -1] U (O, m)
.... Ca.p. 7
Ec. e 1necuac.iotte.4 con Ra.cüca.le.4
210 b >
=
o
4 - 2x. >
2
4x. (X. + 1)
<
( 4 - 2:1'.)
4x. 2 + 4x.
<
16 - 16x. + 4x.
a < b
2
(b
2 •
<
~-<
9
= t.s.
X
6
·l
~l.
X
e:
[ -2
=
< 3
e:
<
< 10 t
oo
=
3 -
[ -:l •
"'>
b
y
( -2 • "') íl (3 ===>
.~
donde
por e1 TEOR • [2.16) :
¡;-:;z )2 X
?;
1
Luego resolvemos las siguientes inecua~iones:
1x: + 2
3x2 -
Resolver:
a "
a • 6x. + l
o
x. e:
Equivalentemente,
2x. - 3
Identificamos con el TEOREMA [2.16] •
6x. .¡. 1 2:
=
EJERCICIO.-
Identificando con el
f
=
(x. - z) 3
>
a 2:
(b·2: 0
V
D
>
SOLUCION.-
·{ a 2: O
b
2
(*) es equivalente·a:
Luego,
2:21
'ª .
• (*)
2
X. -
considerando
(3x. - l)(x - 2) > O
o
>
Por ser un radical de orden IMPAR • se resuelve según el T~ X -
números reales
b <
[
. 4] ) } [ -i· , 4] • c.s.
Resolver: - ' ~ x3 - 3x.2 + 5x. - '6
EJERCIC~O.-
SOLUCION .-
a 2: O
> b
n [i
m)
n
)
C.S.
b
([~ ,
.3,.-------
2.20
e: ( (-m, -1] U [O, m)} íl (- m, 2) íl u
n { (-"'.
2
Por lo tanto, del TEOREMA [2 ..16] obtenemos: /4x.(x.+l)
"'>
e: [ -1/6 •
X.
X
< 4/5
X.
.
a > O
o
211
e. 1ne.c.uac.ione.6 con Ra.cU.ca.lu
Ec.
Cap. 1
b >o
'ª
< b a < b2
)
+X+ 2
~ 36
>
.-
25 9
.. Ec.. e htecua.úone.6 con R11d.i.caleA
>n
e ( -1 , ..
JC.
( -2 •
7
>n
[ -2 •
>•
[ -1 • ;
; )
:
c.s. Poi' lo
Resolver:
2.22 EJERCICIO.SOLUCIOH.-
l - / 1 - 4x
,.
<
! ]
-l2
[-
e:
2.23
Luego,' resolviendo en · U ,
==
>
o
lt
donde
(b) ]
V
( 1 - 3x)
/ l - 4x
¡1 -
>
lt
( 1 - 3JC.)
>
4x2
X e;
U
(b) ]
,
obten/mos el Conjunto Solución
l
•
U [-2, O) Resolver:
X •
u •
2 /i69 - x
>
X•
/
[-
169 • x2
(-13 •
2 1 - 4x
(a1 • >
e. s. ,. u • [-13 •
2.24
1 - 4JC.2
(1 - 3JC.)
>
2
> (1 - 3JC.)
2
EJERCICIO.-
=
• (*}
}
(al)
lt
-1
e: [- 2 , !2 {
V
lt
..;::=:>
Ast, (b)
(a) :
X
lt
--
e:
2
lt
[
e:
== n
X •
•
(*)
17
<
(x -
?.
c.s.
17) 2
J
> O
n ( (-m, 5) u (12,
co))
No hay soluciones reales.
,1;77'
+
¡;-=-s n
?. / 2x + 18
(-9, . ..,) · = [5, m)
U , obtenemos: 8
lt
y otra vez al cuadrado:
e: u
7)(x - S)
X E U ?. 64 2 x + 2it - 99 .. (x + 11) (x - 9)
+
O !:
Z.26
.•
(17, m)
u,
Resolviendo en
169 - x2
u• [-7, m) íl [5, m)
Universo:
¡;:-:;-¡ .r;:::s-
lC. E
n
Resolver:
Elevando al cuadrado en
(x
(o. .!.2 ] o
<
[-13 , 13]
(x - 17 > O)
e: [-13, 13)
6
t
'· ..
14 )(X.
(X. -
> n ( u )
l + /
/
x4 - x
e:
lt
u { o} u [ 1 > CZJ)
,- 1]
>
.,.,
e: U
X
( (x-·l < 0)
(x-
{ci)
V
2 4 1 + / x. - x
l ?: O )
(x - 1)
>
2
(a)
2 x
=
x(x - 2) <
[
e: u "
X.
x4 - 4x3 + 4x2 >
X
E
[
U
{
V
lt
X e: U " X E
Por lo tanto, (*)
=
>
45 ]
•
X.
e:
)
e: (- «>
previ~nte la
2x~. .. + x' -
1 / x
lt
e: u
[ ·(x + 7) (x + 1) < O
2
.!.
- 1
~
(x2 +
ax
"
..
o
+ 7)
X
{
lt
X E U
A
'
'[
X
e: ( -7 , -1) X
A
(
V
f
x e: (-7 , -1) U ( - .,.
21 (x
=
+ 7)(it + 1)
5 4
Xf 0 } )
C.S.
5
a
( - "' • - ¡ ]
X
u { o } u [ 1.
e: (1, m) } ] a>)
• c.s.
X. e;
(-
1
~7]
ij
[
5, m)
' U { -1 } U, [ 5 , .,. )
Resolver: X
b)
} ]
} ]
U { -1 } u [ 5 , ... )
DE EJERCICIOS PROPUESTOS
>
2
m , -7] U [-1 , co)
**************
•)
?: O
Soluc16n de (a)
(l. m)
xe:U"
lt e;
a>
V
U (2, m)
e: (O, 2)
U [ • l 1 CD)
.¡5 ]
X E
lt
2 2 (2x + x - l)(x. - 1)
I x4 -
=
(•CD
a
:
(a)
o
(2x - l)(x + 1) ?:
}
(a)
Resolviendo
¡ x. - 1
Como todo~ los ténninos radicales son no negativos , elevamos al cuadrado en u , y, resulta:·
luego ,
=
?: O
l )( 4.x + 5)
/ 4x2 + 9x + 5
(x +
=
1 ..
Universo:
SOLUCION.-
_(*)
4x.2 + 9x + 5 2 x - 1 ?: O X. :
5
Como
u 2
~
/ 4x2 + 9x + 5
2x.2 + '
Resolver:
EJERCIC,10 .-
c. s.
Resolver:
EJERCICIO.-
2.28
SOLUtIOH .-
=
X.
215
Ec. e. I ne.c.uA.c.lonu con Ra.cü.ca.liu
Cap. 1
/ x.2 -
6x.
)
. Ca.p. 7
Ec. e. Inecua.wne.6 c..on Racli.ca.le.ó
216
~~O
e)
1
e)
./X. 9) •
2.
I
~
14
X. -
a)
c)
5.
3x. + 2"'
2 - x.
>
<
?
o
4/525 -
x.2
b)
:s o
~
b)
1~· + 2 X. -
o
. +
¡
b).
>
o
<
o
2
5
~
6x. + s
+
e)
!x.2
6x. + 5
+ / x. - 1x. + io
7.
o
;>
d)
2x. - 8 X. - 1
f)
/
- 7x. + 10
2
> ~
a}
b)
1
ífx.2 ·-
3x. - 4
/jTi - H-::4
j
lx.2 -
Sean A " { x e: IR /
x.(8 - :t)2 x.3 + x.2
3x. - 4
/21 - ;;.r:4
~
5
-2 } , hallar él conjunto
~
·1 04
2 -
Oly
> -
+2
X -
4
2 B -- { :t e: IR / /x - 16x + 68
B - Aíl B)c .
..
2
CLAVE DE RESPUESTAS
+
./i. +
>
l.
o
¡g X.
? o
+ 3
¡-;:::z
>
2.
o
o
o
o
a)
[-3/2 , 3)
d)
h) ~ 3 ,.
.. 4.
00 )
b)
(-2 , O)
e)
(-1 , 1) U
d)
(
f)
• 5
> 6.
• -2 ]
a ) (-5, -3]
u. [.4
u [4,
5)
• 5 ,
> b)
41
A .. (- "'• -1) U (O, m) , B = IR , B - {A íl B)c = (-"', -i)U (O,"') ~
X. -
5
n íl n n n n n n n n n n
... Cap.
218
~
Con mayor razón, si x es mayor ó es i gua 1 a c·ero (x ::: O), entonces
2. -
lx 1 es positivó ó mien cero, respectivamente.~ pues en tales casos:
8
1xi
X
si
101
o
por (6)
Así, hemos probado
Valor Absoluto y
1.4
TEOREPIA . -
Si
ll\ ¡;
por:
1.2
DEF 1N1 CION .- Se llama VALOR ABSOLUTO de un número rea 1 x a1 número no negativo denotado por lxl y d~finido por:
(6) (y)
Si
X
pues
•
l-51
3 .. -(-5) 5
1o1
o
112- 21.
3
o.
en (a)
rz
pues
2
>rz
=
1X1
1.6
(1)
Para todo
(2)
lx 1
o
=
=
lx 1
{_: .•
o
x· = O
/=>
es el número real no-negativo definido
si
X ?: 0
si
X< 0
'
Resolveremos las siguientes ecuaciones:
= o
(1)
12x - . 1 1
(2)
l2x +Sx-12l-(x+l)
2
2
2
1 x. - 2x + 2 I · (x
..-
"O
- x - 6)
O
=
Del TEOREMA 1.4-(2) 1 2x - 1 1
o
en (y)
OBSERVACIONES.En el caso en que x sea negativo ( x O y por 1o tan resulta po4Wvo l> O) pues : x < O = lxl= -x = lxl> -0 to:
Como
·2x2 + 5x - 12 =
1( 2x - 3 )( x + 4) I · (x + 1) 1(2x - 3){x + 4) 1
= o
(2x - 3){x + 4)
o
[ 2x - 3 X
= 3/2
= o
ó ó
= O
2x - l X
12-2 O]
X
=0
,
entonces
-x =
Si
X
O
1(-x) 1
1xi '"
(-x.)
=
'
y por lo tanto
o
Si
or:
[pues [pues
-x
pn5fbl~s
!xyl · "'
lxl \!11
(-x) >0] x b ó a = b 1 xi ?:: ·X a) Demostraremos solamente la relación: al)
COROLARIO .-
Demostrar que se cumplen las dos relaciones siguientes
EJERCICIO.·
lx 1
225
Val.c!r. Ab.\oluto
Cap. B
Cap. 8
Va.lo/!. AbAOi.u-tO
224
Estableceremos ,dos desigual da des previamente : 1 Y+ {x • y) 1
~
1!f1 + 1 X
IY 1
~
1 X • IJ
+ (y • x) j
~
lx 1 + j IJ • Xj
1X1 1X
1xi
:S
+
l+lx·!fl
IY 1 - lx 1 :s 1 X • IJ 1 - CI X 1 - 1!1 I) :s 1 X • !f 1
l 1x 1 - 1!f 1 1x +Y1
~ (1)
j
I
:S
...
(2)
De {l) , (2) y el EJERCICIO 1.17 ,
TEOREl'IA CLA DESIGUALDAD TRIANGULAR) - Para todo x. , y EIR
[Desigual dad Tri angu.l ar]
!f 1
-
concluimos que
1 x • !/ 1
1Y1
APLICAtlONES .1.19
Del TEOREMA 1.11 :
PRUEBA.-
..
y2 :s (.:.: + y)2 = 1 (x + y) ¡2 (del Ejercicio l.15) x2 + 2 1xy1 +
1X + y ¡2
l
:s
1.:.:1
2
+ 2 lx l IY 1 + 1!!1
=
~
2
..
{ 1X1 + 1!1 I )
Y 12
:S
( 1 xi + 1Y1 )
1X + !1 I
:s
1X1 + 1 YI
1.:.:
Por lo tanto,
EJERCICIO.-
x.2 + 2xy +
Si
a , b , c e: IR ,
lal-lbl·lcl
SOLUCION .- Utilizando 1.15 , d~s veces :
2
2
.. 1.20
alt~rnadamente
el · COROLARIO 1.18 y el EJERCICIO
l 1a -
b 1 - 1c 1
lla l·lbll . ·lcl?::
?::
debido a un Teorema de los Números Reales [ Si a ?:: O y b ?:: O a2 < b2 .;=:::;> a :S b ] , con lo cual concluye la prueba.
Ja·b·cl
:S
1 (a. - bl · e 1 ?::
1 a • b, - c' 1 =
demostrar que
EJERCICIO.-
Demostrar que ,
si
a
EJERCICIO.-
Considerando los dos casos :
SOIUCION. · (1)
(2)
SI ') 1
a
Si se cumplen las dos desigualdades: probar que ello implica que 1a1 ~ z •
?::
a <
o o
1ª1
= a
1a1 = - a
y como y como
a ?:: o a~
-a
~
z
z_
y
a < entonces entonces
(=
Si
X=
0 y !/ .. o :
- b 1 • 1e 1 ?::
x y .. y e: IR : X
z ~O.
-a :S z
y
z
~
Sea
?:: • 1!I
lal·lbl·lcl
l'x 1 + 1YI = O
1.11
I
1 xi + 1YI
.
f
0
Y
1al 1a1
~
z
~
z.
entonces (= Si lxl = - 1!1 I xi+ 1 YI = o y como y -ly 1 ~ o entonces o ~ 1 xi 1 xi.~ O
=
o~
jx 1
~
o =
(por(*)) • Por 1o tanto,
1 xi
• O
0
y
X•
= !/ =
=0
101 + 101 = o+ o = o
!
o
!/
X= 0
o.
(*) -1 !11
=
~
o !/ =
o
.... Cap. 6
Va1.01t. Ab1>ofuto
226
1.21
EJERCICIO.-
SOLUCIOM .x
Si
a)
· y de
..L )
x < O
y de
2
/"i
!X. ) ?.
( ¡-::;: -
( hacÍ endo
"pallil .todo
cumplir.! para
?,0
{por (*))
?.
_l_ ) 2
x + {l/x) <
1 (-x) - 2 + (-x)
=
o
l::X:
y
l/x. < O
=
a)
lx
b)
x2 +
1)
1i)
1X1 < r
,
pa.!l4 todo
llfl =
x.
=O
a4 + b4
? 2 a2b2
a 4 + b4 +
c4 + é
?
\ X.IJ ::
o b
a
e:IR-{O}
Si ~a , b , c , . d son números reales positivos, 2 {a + ! / + (b + ! ¡2 ? ! [ (a + b) + 4 a b 2 {a + b)
a , b , c , d e IR :
Elevando al cuadrado ambos miembros y cancelando términos iguales se obtiene: X!/ ?, 0 = XIJ lxlfl ==> lx + YI = lxl + 1YI
b)
De
{ l x 1-1 Y I )2
=
?. O
Y del dato resulta que
Y12
F .
:: plica que:
(X + IJ) z
1 ?
= x2
1+ 1
2
¡ x + YI ::
rz .
{*)
x2 + 1/2 ?. 2jxy1
2lxy1
+ 2 X!/ +
l
2 x.y
?.
= (x2
Es decir,
1
+
además ,
l} + 2x.y 2
x. + y 1
:: 2
=
1 + 2Xlj
lo cual im
c) d)
Ejercicio. Pasar el denominador del segundo miembro al n~merador del primer miembro, desarrollar el cuadrado y utilizar (*} de (b) dando común denominador al otro factor. Con este proceso se demuestra (d} .
e)
Ejercicio. Ejercicio. [ Desarrollar los cuadrados del primer miembro, y utilizar (e}
4 1abcd 1
luego,
12
SOLUCIO,N .... .- '
1 X. +
..
.
b e IR
a}
2 < 1
2 { 1xi ~ 1yl) ? O , verdadera, para todo x, SOL UC I Olt .2 {*) IJ t.~ , O; es decir,
debe cumplirse que
An ~logamente,
+
J para
f)
r > Q· ,
De la relación
ii)
lx l
=
lo cual es un absurdo. Luego, nuestra suposición original no es válida, y por
1.23
YI y2
e: IR: ·
? O
= lo tanto,
+
d)
--"'~
Demostrar que si tonces x = O
Í lxl
'
Q (#)
(por (H))
?. 2
r > O 1>e cumple. que · r =
= ab
EJERCICIO.- Demostrar que para todo x. , y
1.24
SOLUCION •.- Por reducción al absurdo: supongamos que x f O , entonces lx.I >O , y por lo tanto Í [xi > . 0 · también . Como el dato ase·gu~a que
X
4 jabcd l
2 [ 2 l(ab)(cd) l ] y = cd en {*).}
{*)
+ { l/x.) > 0
X
-x > O ,
X
EJERCICIO.-
Ó
e-)
-(x.+!)?,2
1.22
X
=
2
entonces
,
x>O
x.-2+ l
o
?
X <
2 2 .[ (ab) 2 + {cd) ]
?
~ 1 ? 2.
+
X.
?.
Considerando los dos casos posibles: y l/x. .> o O , entonces
(x. +
Si
x. 1 O
Para todo
( fi -
= b)
~
probar que
227
Va1.o1t. Abl>olu.to
C.:olu-to
22B
.•
Usaremos e 1 EJERCICIO
s
El miembro izquierdo denotado por 1ª1 (
1~ 1+ 1% 1)
111 (
lil
1ª +b +e 1 x. +
1.21 :
i
1 ?: 2 .
2Ia1 + 1bac 1
( 1)
1ª~1
:::
21 bl + 1abe 1
(2)
~
2Ie1 + 1ª:
I~ 1)
+
1e1 \ 1¡1 +
I~ 1l
+ 1acb I·
3S 2S
::: :::
=
2 J·a + b + e 1
+
s
:::
s :::
t .
s
=
la+b+cl 3.
1.26
Si
EJERCICIO.9
l
-
5
-
+
+
1 bl
1a1
la 1 + lb 1 + le 1
SOLUCIOH.-
1
Utilizando nuevamente el
1 ¡;¡
+
1 lbl
1
4 +2+2+1
=
1a - b 1 + 1b - e 1 + 1e1
g)
l la 1 -
Utilizar
h)
/ 'ª2 - b21
5
1bl1
(e)
con cada signo,
(a)
1a - b 1 5
multi~lic:rlos =
Demostrar que para todo a)
1al. + 1b1
b)
(a ± .!!2 ) 2
Oads._s
o
~
1a1 + 1b1
y tomar r aí z.
I~a 1
•
t < l
;
luego , di vi -
...
/TbT ª2 :!: ab + b2
=:;>
a,b,c.e:IR
/a 1
/
a , b e: IR :
2~
:::
o<
~
o
.demostrar que
l :::
9 1abe 1
)
de 1a re 1a e i ón 2+2
=
a2.
=
{a 2: + b2 t c 2 -) ?:
4,
..
Si alguno de ellos es cero, la relación se cump·l e. Si ninguno .d~ ellos es c~ro, entonces abe ~ o . Utilizar: 2 2 + c2 ?: 2 lacl a 2 .+ b2 ?: 2 labj b +. c ?: - 2 lbcl i) ii)
bros por
1ab1 + 1be 1 + 1ac1 · •
Luego, divi dir ambos miem-
1abe1 , y us-ar e 1 res u1ta do de 1 EJERCICIO
o entonces >o entonces
4.
Demostrar que, si
b :::
5.
Demostrar que, si
b
l. 26 (resue l t o) .
1x. i + b :::
o
para t odo
X.
e: IR.
1x. I + b >
o
para todo
X.
e: IR.
0000000000000 0
+ 1
2
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
9
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS Demos trar que :
1a - e 1 5
SUG.-
le 1
1e1
Pasando a di vidir ( la I"' lb 1+ le 1) s e concluye el Ejercicio.
l.
(1 - t) 1 bl
2 ( 1ar + lbL + ,,· , )(~ 2 + b + c 2
-
1 + ( ..L:l • ( la 1 + lb 1 )( ...!.... + - ) + ( l=1 + l!.l) lb 1 1e1 1a1 1b1 i al ~
1a 1 <
1b - a 1
1
EJERCICIO 1.21
+ -
1 a - b1
f)
probar que
+ 1
(!al+ lbl + lcl)(
==:k
1a1
TbT
1 =
d)
1 a :!: bl
5
dir los extremos entre !a 1
2 1 a· + b + e 1
a ' b , e e:IR-{0}
I
~
(3)
N 'f~
2(ial+lbl+lci)
- 1b1
1
tb
SUG {g)
2.
(1) + (2) + (3) :
Sumando
b)
1a - b 1 <
RPTA
1
l
¡a¡
1
e)
se convierte sucesfvamente en ~
!
. l 1a1
e)
"! o
Jf X.
+ 1bac1
+
1
/
•
229
Va-loJt AbtJ o.e.ita
a)
1bac 1 + 1a~ 1 + 1a: 1 ?:
SOLUC ION . -
Ca.p. g
al último miembro de la desigualdad
2.1 TEOREftA 1 1x.I
=
b
=
¡
( b ::: o)
y
[
X.
= b
ó
X. "
-b )
... Cap. 8
Vo.i.olt. Ab6olu.to
230
2.2
E~te teorema establece que el UNIVERSO dentro del cual se ha
NOTA
l l(I
de resolver la ecuaci6n:
= b
231
2.4
EJEMPLO
La ecuación:
está determinado por la
condi ción: b ?: o l a cual debe ser resuelta previamente. El conectivo l ógico "y 11 que aparece en e l Teorema indica .út.telL6ecc.)
{ 2 } •
C1 UNIVERSO u está determinado
por la soluc\6n de:
o
la recta real en la forma siguiente, con el fin de eliminar las barras de los X.
l 2>
Ast, el Conjunto Solución consiste de un solo elemento: 2.10
.¡.
X.
= (O, co) íl { 2 , -2 + 2 /2 , -2 - 2 .f2 }
..
)
2
- 4(x. - l)
2x. - 3 = -(5 -· 2x.) ]
= 2
"
.¡. 1
2
X.
=
p
y
o
4
x. ..
1 2x - 3 1 = 5 - 2x.
ó
X.
X.
2
x. e: ....c.s. '
-2x. = 1 2x. - 3 1 - 5
5-2x.
o
..")
o
x,2 - 4x. + 4 = 2
X..¡.
(x. + 2) · = 8
o] y
2x-3=
con
y el Conjunto Solución estará dado por ~
SOLUC10H . - la ecuación dada es equivalente a
{
(2)
1 ]
(conjunto vacío)
Resolver la ecuación
[ 5 - 2x. ~
X.
1
tenemos
=
estos valores probables en la ecuación original.
EJERCICIO.-
X. -
por separ..1do y luego reuniendo las soluciones debido
Por 10 tanto, el Conjunto Solución es: C.S. = $ No existe ningún número real que satisfaga esta ecuación, pues los únicos probabtt!'" no caen dentro de 1 UNIVERSO u =. [ 6 , "') Verifique es te hecho reemp 1azando
2.9
4 ]
X.
ó
X.
(1)
X..
1 }
{-4
6) ]
-(X. -
X.
4 1
X. -
al conectivo lógico •o'
6
=
ó
X. -
[
X. -
x.- 6
=
3x. + 2
Así,
x:-6
2 1=
+
U = (O, oo)
X.
(
Resolviendo (1} y (2)
va 1ores ha 11 a dos . para x. • Resolver la ecuación
así, sobre
= U
hdllemos a continuación, lo intersectaremos al final con el lo cual l'quivale a ele.gir aquel (o aquellos) valor(es) que se
(1)
Si (*)
x. e:
(-
-===>
°" ,
1)
=
x. < 1 < 3 < 6 x. - 1 < O , x. - 3 < O , x. - 6 < O , entonces·
-(x. - 6) - [-(x. - 3)]
-(x - 1)
-=====:>
.
•
Ca.p. 8
Va.lo11. Ab6olu-to
234
= válido pues Si
(2)
+6 + X (m , l) = -2 e:
X
1
e: [ 1 , 3)
X
=
3
- X
+6 +
=
+l
«o
=
.
3
X •
X -
,.
x - l
=
X -
2 .13
• 1a1 ':' PRUEBA.-
e: ( 3, 6) :
X
X •
=
(*) •
-(x - 6)
3 ::: 0 ,
= X -
1
(x - 3)
(
~)
SÍ
x.
=
(*)
.. ~lido)
1.0/3 ; 3_.33...
,
SOLUCION .-
entonces
( *)
[ 6, a:.)
•
Por lo tanto, reuniendo todas estas soluciones parciales obtenemos el CONJUN-
2.12
EJERCICIO .-
SOLUClOH. lente a:
1X
(lx
=
{ - 2 ,
o
a
=
! b ¡2
=
-b ]
b2 .
[ 6x - 3 = X + 17
[
= - 2 ]
X = 4
ó
X
es :
c.s.
= {
~OLUCION
6X - 3 = -(X + 17) )
ó
..
4 ,
- 2 }
[
-...
1 10 - Jx +
Del TEOREMA 11 (2.13): 10 - 3-t + x2 = :x.2 + x· - 6' X
= 4
2( (x -
Ó
ó
.!. )2 2
2
1 X.2 +
x. 1
10 -3x + x2 = -(x2 + x - 6) ]
+ ]_) = 0 4
Así, el CONJUNTO SOLUCION es C.S. = { 4} (cuadrática) no tiene soluciones reales ( ~)
(*)
X - 6
,
=
)
l(
( i · 4 ) 2 - 2 1X
Resolver :
-
3 _INEC9ACIONES CON VALOR ABSOLUTO
4 I · 15 '" 0
TEOREl'IA 111
(1)
1X1 ::
1x.I
'
de donde
y como se cumple:
"
tonces
(= )
"
)
debido al EJE_!!
~ ~
~
it
o
- 4
CICIO 1.17 (resuelto). IR :
(-::
• - 4) u [ 4,
.\'. e:
237
5 -4
á
(4, co)
>:: €.
PRUEBA DEL TEOREMA lll (1)
it
ó
=
IR
a
o
-a
1>::\ ~
a
i dent ifi camos
Por el TEOREMA Ill (2)
SOLUCIOll . -
.
(
Va.lOlt. AbMlu.tO
Cap. 8
19
IR
-
~2 1 ?:
7
~eso 1ver
1a inecuación:
1
i
9 -
1
> 7
Por el TEOREMA III (2) ;
=
[ (9 - it2) ?: 7
ó
( 9 - it2) 5 - 7
J
=
x.2 5 2
ó
it2 ?: 16
]
=
-12
s .X
=
it
[-12,
€.
5
rz
ó
Jt'?: 4
rzyub.,m)
u
ó
>::
•'
5 - 4
(-co,-4) =
c.s.
... Ca.p. 8
Va.lolL Ab1> olu-to
SOLUCION •. -
3.7
Dados
TEOREMA.-
(1)
~
1a1
1 bj
1a1 :::: 1 bj
(2)
PRUEBA.-
(1)
Se sigue de :
(a + b)(a - b) ::::
=
1a 1 ~ 1 b 1
~
o o
(a· + b)(a - b) . ~
·= =
La inecuación es equivalente a :
b e: IR :
a y
b2
~
ª2
=
.
1 2x. - 3 1 > 1
[ . 2x. - 3 > 1 [ X. > 2 ó (2, m) U X. e:
e:
X.
a 2 -b 2 ~o
=
o
SOLUCIQN . -
(*)
SOLUCION . - •
Según e1 COROLARIO 3.!l ( 1) :
5 1 > 1 2x. + 3 1
pues los
1 X.
2
A = { x. e: R. /
Si 1
Resolver la inecuación:
3/2
1
j 2x. - 3 j 3.9
239
l porqué ?
1 3/2
X.
//l/llll 3.8 'COROLARIO.-
~
Val.011. Ab4olu,to
Ca.p. 1
Resol ver l a inecuación:
1 1 2x. - 3 j
////////lllllll I < 1
-4
'\\\\\\\\\\\\\\\'j¡}f 77777 777777 777 777
o
2
Jl
Cap. g
Vo.1.01t. Ab6oluto
240
'1.4
=
=
=
(*)
[ como
X
> (-x)
( 1 .\'. - l I + :t)2
so
=
(
=
- ( l(
l(
=
X E
-
>
s
X - l
entonces
1) + ii:)2
y
> -X
nu
(-1, a>)
X E U
u
X E
0
X E
=
(*)
-
l2
(verdadero)
~1< 2
2.
l( -
(*)
2
[ .:...:__
l( + 3
>
o ] y . [ ' - -l( - .-2
!...:.-1
Ha 11 ando. e 1 Universo u
J(
2 X + 3
l(
X -
b)
l( + 3
(2) :
Resolviendo
2x2 + 7 > (ll - Z){x + 3)
<
>
+ 3
X -
2
4.10
ll -
2
lt -
+1 -- < x-2
e)
l!c ">olviendo
2
lt -
l(+3
El
( - oo ,
-3 ) U (
=
x-2
.
'¡ S
,
(-)
u 2 íl ( ( -
(+)
U
2
- >: 1 - 4
1)(1
4 -
+ 1
2>
CONJUNTO SOLUC!ON s e obtiene intersectando
=
2
Y (c)
(
X
( +)
Ó)
O) U (5, CD) ) =
X
[
)(
e: ( (· ó
( 5, CD) (1)
>
o
1 6l(
~- -
=
2
>: 1 - 4
-
(
x
E; 00 ,
t:
t
7)
6x 1 - l>: I
<
y
l
o
i,
entonces
·resulta la
EJERCICIO . - .- Resolver la inecuación:
x + J -3,
¡
lt
u2 = (O, m)
(-5,
ll+l_~ U
o =
[a
o y
~
o]
b >
o y
ó [a >
b ~
o]
tenemos que la inecuación (*) es equivalente a :
[lxt21~3
(
(X +
X
Ó
( (x >
Ó
y
9/5
y
EJEltC 1CIO .-
4 .15
Ó
+ 1 1 ~1>1
Resolver la inecuación:
1 2x - 5 1 > 1 X + 1 j X ¡;
51 )
X
1) U (2, m)
Por 1o tanto, e1 CONJUNTO SOLUCION es U dado por:
Ó
c.s.
1, 9) U (1, 9)
EJERCICIO.-
SOLUCIOH.-
[ (3x - 6) ~ O
[1, 2):
1x - 1 1 = (x - 1)
2
o
=
l(
(*)
-
~
o
l(
-
2
1 x - 2 I = -(x - . 2) · ;
alu.to
248
x2
=
( (l )
+
=
4.t - 5 >O
>
(.\'. + 5)(.1'. - 1) =
·x e:(-"', -5) U(l, oo)
o
=
( .\'.
=
e: ( -
e: ( 0,
">, oo) ) y ( X
249
Cap. 8
y
x e: ( 1, oo)
= C.S.
)(E
00
(-
4°¡Jtl
)
> 3.t
,
c.s. = ( [o, 4.22
es
C.S. =
(-"",
2)
radicales, las cuales pue'den encontrarse claramente clasificada'.Sd"'explicadas en el CAP. 8 : ECUACIONES e INECUACIONES CON RADICALES , en las páginas:
4.20
259 •
2 y = 1x - 8 1 ,
I
-8
.\'. e: (-4, 5 2
:; x
palUt tDdo
4.21
>
- 8 < 17 2
1X:
y=
-4 <
entonces
o ::
= -
81
X
1x
u = [O,
(
0 , 64 )
(8 - ./x) -
(•)
Sulu1;10n (11) b)
Si
- { 2} :
X l
( 64 ,
/x ~
00
)
1 r..2
/-X. - s1. - 1-x. ~o X 1
< 17
-2 :: _l_ ::
=
-13
X -
11..z• ~
=
-
./x
/X e: (8,
o
~
- 4I ,
4 I :'. O ,
::
con
x e: u ,
[O, 8) - { 2}
=
/x :;
= =
4
"'
/i -
~]
[0,2)U(2,16)
=
::
l + ( _7_) X:.. 2
1 !:13
Si
::
'·
me/Lo~
=
/i -
=
16
(O, 2) U (2, 16) 8 ~ O ; luego,
J ) 2
14
l - 3
11
-3
SÍ
entonces
X E
(
l
por
(*)
13
(*)
3
l , l ) :; 14
2 1x + 2x + ,.3
,
:; 14.1 , el. me.nolL de. todo~ M = 13 •
¡+
2 1x -
q
< 6
:; 14.2 utD~ nú
(.*)
SOl!JClON .-
=
X ::
2 '
máx { 1~13 I ' ,_1311}
EJERCICIO.- Resolver:
x 1 :t 2 •
0 '.:
[ l
e:
-14 ::
cdando x e: [ 1/2 · , 3/2 ] ; de modo qu~ ma.yolLU ó .igua.lu que. 13 u p1Le.wame.n.te.
4.23
8 .
es la reunión de las tres soluciones parci!
Resolver las siguientes etuaciones: 2 b) a) lx - 4 /Z. X+ 8 1 = 32 e),
-l
[o, i)
=
X -
tota~
X ~
y
-1) U (-1,
(-"',
:'.: o
1
X. -
( [ -1, 1). U [ 5 , "' ) )
Luego, eT CONJUNTO SOLUCION les (1) , (2) y (3) :
:
5 :'.: 0
x[-(x. - 4)] - -5 ~ ~
i> n u
CD) ;
X. -
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
}s • m)
h> u (-4 J.s. 3] u (3, 4 -
X..+
e: U2 = [O, 4) :
X E
x2 - 4x - 5
~o
-x - 1
So 1 uc i ón ( 3) :
X E
X.
'e')'
lx -
> -1
f)
g)
l 11: 2 + Zx - 4 1 > 4
1 X. + 1 1 5 o . . 2 1 x. + Sx. 1 - 2x. > 10
- -·
h)
?: 2 + X.
+ 2
l~ Jx.J ..:3 -
=
1 b)
l.x. - 3 I <
. c)
lx -
d)
1x., -
e)
r¡
X
ll s¡
< 2
=
< 1
=
e: ( -5, 4)
lx. -
lx -
JI JI
·=
< 1
5., i
=
=
=
h)
0 x. .}
hallar la constante: A
c)
SUG:
e: IR I
1 x.
-
Complete cuadrados en:
x. 2 +
x. .' IJ e: IR • Si
<
5
_91 1 <
, pero no la reciproca.
l!. 18
7
t x. + 4
e)
l x.
g)
/¡ 3 -
h)
- 5 1 5 20 _..-
x.+4
1X
A = { x e: ti /
a> · 1x.2
_j_)/
4 '
J( -
e: IR I
X
2 1 < 3 7, 35
l
1
ax. + b
>
}
x. 2 •
lx. + YI 5' 12.
demostrar que:
·= 1 ,
~
17. Hallar los Conjuntos Solución de (Resolvér) las inecuaciones siguientes :
jx.+91 + !x-21
1X.
2 <
¡x.
2
-
l
2
I
-'
lC -
< 2
l
,
+ 3)
f)
(x.
-
4 I :::
-zx
~
6
+ 3)
15 2
- 5
J x.
+ 4
+ 3J+6 . < O
X
d)
e)
l 4x + l 1 S l x
g)
1 §_Jt
3
3
SUG: (e)
--! + J(
!11
1 :: 12
3I)(1
l 3)( - 9 I
{ 2 +
¡x _:_14 1 X+
/
)(
E
l 12 - 3xl
h)
l 3"2 - 1 1 > -6
IJ(x + 1) 1 ~ 14"+ ll
2
-
E
IR
lx - l l + 4
+ x2 + lOx + 27
5
o
7
1 -\ < \ 2 x 1} x + 1 x + 2x + 1
hallar
,
X
4
+
1-
I
}
lxl >
Y
A íl B •
'l.
+
/4-lx-11
~
~
O
/21x-lj+S
-/s.-lx-41)(/¡)(-ll-3 + /s-jx-4 1 )5
l itl - 6
·11 X + 4 I + {it + 5) 1
.r:;-:.5
>
•
2 x - Sx - 14 \ > O )( - 1
f)
>
1
CLAVE DE RESPUESTAS l.
2
)( / -1
A = { x
f)
;
.< )( + 1
IYI X -
3 2
- -X2 + 1
b)
-1
f)
23. 1xpri•s4r en tl!rminos de intervalos el conjunto A •
(it ' - 2)
(x - 2) 2 - 2lx - 21 - 24
d)
a)
lit - l I
l~-31 3 + 2(x-J) 2 -slx-3l -6
a)
lxl
>
J(
26. Hallar los Conjuntos Solución de las siguientes inecuaciones:
X - 6
22 . Resolver las siguientes inecuaciones:
12.
>
o
5
- 3)( +
2
~
>
+ 1 )(1
I) )(
'd)
2 x - 3it + 4
B={xER/
>
o
(x + 5) 2 + 2
25. Dados los conjuntos:
~ 3it + 10
11
1·x - 12
x2 + lOx + 27
~
I
x2 + 3x + 11 1 5 3 X - 2 ·
J(
-2 I itl 2 + lx - xi ! 1 5 it2 - Sx + 6
2x + 4
21. Hallar.los Conjuntos Solución de las siguientes inecuaciones: a)
2
SUG. (d)
f 4 ]
J(
/ )(2
'e)
1x - 2 I - 6
13 - 3x 1 > 2 )( - 1
j2x -
d)
'
:: o
- 6x
2
J(
SUG (a)
1)
l x - 2x - 48 I ( 1x - 2x 1
b)
c)
b)
:: 1
IX
-
2
x - 6
20. Resolver las siguientes inecuaciones: a)
l x - x2 I • ( li
ª'
2
) ~
lx - 2I
255
Cap. 8
'
)(
/ -1/4
.
h)
2. 6.
{ .rz
46/5 a}
+l 3.
' /2 -
b)
b)
.
.
A = (-"" , U o ((a+ 5 =O) y a{a-4) ~O) ó ((a+S >O) y OISCRIMINANTE . 4 O)
=
=
l(
2)
6.
(-2, 2) íl
2.
...
Jw - 1
= C.S.
(4, "')
A 4 B = { -1, O, l } U (2, 18)
M= 4 ,
O
(·m • -1] U (O, m)
€
que
•
~
w ~ 1/3
A= (
18)
X
Solución (bl)
Así, el CONJUNTO SOLUCION de (b)
d)
ó
2/i - 1 O)
(x :!: O
ó
=
s
X.
X
x 2 ,-.2x-3
[
[ x2 - 6x. + 8 ?. -1
y
?_ 0 )
X
0:
2x > 2
~
lt E ' (
=
1, . oo) =
U .•
l . O ,
c.s.
e: (-m, -3] U (3, m) U (-/6, /6)
/xx.-1 < lx, x.2-x+l >O
X E
U
x e: U
= (1 ,
)
X
- l <
o
[ X. ] ' <
.= =
o •
X
,
< 0
lf
X.
E
X. - [ X.]
"'(x.EIR
0
y
y
X E
~
-l
=
2 +
4[
X. +
+ 2 - 11 [
X. ]
+4 5 0 5 0 25
[X.] = 2 ¿ porqué ?
1 ]
,
[ x . + l ] = [x.] +l
De X ]
2 [
Resolver:
~JERCICIO.-
SOLUCIOH .- Como [X] < 0)
y X
< O)
u
[l,
o) )
a>>
fx/(2 - x)
lJl kClCIO .-· Resolver:
X. ]
=
2
- 11 [
5 -4
X. ]
tenemos que
=
2 [X. ] 2 - 7 [ X] + 6 5 0
=
[X.]
X.
< 3
E ( 3/ 2 , 2)
c.s.
:
Hallar el conjunto de valores que puede tomar W:
x2 - [ x] lx.l - (3/4)
= c.s. 5
[ 3x ]
=
=
n
x2 [
=
o
(*)
-
Si
n
=O :
0 <
-
Si
n
=1
~ 5
-
Si
n
=2
Por 1o tanto.
:
:
~ < 3 -
3x. - 1 ]
[ 3x. - 1 ]
= [
n 5 3x
n+ l
el CONJUNTO SOLUCION total estará constitui-
,
w ~O
y
SOIUCIOM.-
< 0
EJERCICIO.-
6.14
ó (x-[x.]=O
u z·
e: (-/3 /2' ñ /2
l
(1, m)
[l, co)
(-m, 0) - l
[x]
X E E
•2[
U (-3, -2) U 1-teJto
Ca.p. 8
268
X
X. X
W ~
< 1/3 ,
< 2/3 . < 1
n
si
e:
o
=
x e {3 }
.
12
x =3 •
-
b)
[
-x ]
=
- [ )( ]
c)
[x+[x]]=2[x.]
e)
{V)
Es decir,
=
u {
[l.·2> u { 3}
3 }
b)
[ Jx ]
j +3
]
=
2
5
2x + Z
Z
X i;:
=
- 1
=
aSb
d)
>O
>
-X. ]
s [
[a]
i::IR-Z
X
·a , b e R
b]
Probar con un ejemplo que el recíprocq de (d)
para
x. e [O, 6] ,
b)
(ZX + 3)/(x + 2)
(- m, 9)
X e
2x~+3] 2
X +
x e (-7/4, O]
para
Z - [ l/(x + 2)]
..
1T2
7. Halla-r el conjunto de valores que puede tomar:
a) i>ara·
no se cumple . ·
[
6. Hallar el conjunto de valores que puede tomar:
a)
4>
[
[X]
[
SUG:
>u
x+ 2
a)
ciones parciales, [l, 2
=
[ Jx. ]
Luego, el CONJUNTO SOLUC!ON estará constituido por la reunión ~~tas solu-
' c.s.
1X - 2
g)
5. Demostrar que,
entonces
[x]-2 =O
•
~] X+ 2
4. Resolver las ecuaciones:
i
(FALSO)
X
=
( **)
1xi <
=
< O
n [2, 3 >
4>
e { 3·}
X
1 - l
1-
[
f)
-1 < O , entonces
[x]-2
. (-2, 2) íl [l, 2)
Solución (1): (2)
[x]=l
=
(**)
-1).> O
b)
•
para
[
•
-4/5 ] .
8. Demostrar que,
SERIE DE EJERCICIQS PROPUESTOS
a)
l. Enc~ntrar los va.lores que puede tomar
b)
' si 2 si [ x /2 ]
c)
[
d)
[ sen x. ] [ cos 2 x ]
a)
e)
i. (·~·'
4
:J. 111111111
si
)(
..
si
e [O, 3 lT) X
ºe ( - 1T /2 , 2lT)
11
11 'l
7~
• 1
D•
,, 1
uh .a
Il
-1
.
¡;¡ 1
1
2 - li
lxl
]
=
para x e (-1, l]
-1
~ [x.3]
~
d)
1[
x2 ]
e)
[
)( - 1 ] 2
rx. -
e)
9.
[ 1xi
Demo~trar
- 2x ]
SUG:
a)
[ nx ] - n [ x]
b)
[ nx]
=
[ x3 ] = n
=
o
d)
=
o
n[x]
[ x2 - 4]
~o
s -1
~· e
n S x3 < n + l
3 /ñ !: X!:
.
i::{0,1 .. 2,
=
p
2
b)
n- 1 }
X i;: (
,.
n- l
,
[ x.2 - i
e)
D
>
o
E
k +
n
•
para todo
[ - x. ]
< O·
b)
1 [ -x] - l 1 < 2 .
[
/3 -
Zx ]
k '+
p+ 1)
le
z.
&
n
[ x2 - 1 D
. c)
11. Encontrar los Conjuntos Solución de las inecuaciones:
a)
lxl
(-1/3, O]
entonces
p = O, 1, 2,
10. Resolver: a) [.x2-1] 3
- l 1
=
n e Z+
que si
donde
In\ Conjuntos Solución de las ecuaciones siguientes:
h)
1
.
, si xi:: 1
[x.] .]
e)
Má.x..i.mo EnÍeJLo
Cap. 8
X
u [2,
[O, l]
u
?: 0 m)
y
X.
?: o
[4, )
A =
d)
A=
e)
15. a)
4.
(-1/2, 2)
(-2 ,' -1 )•U [O, ·3)
,
5.
6.
c)
d)
1J
=
IR
E
y =
x - [ x]
,
{ -1.
A=
x
2}
,
l.
j 6 - x1-1 . ]
{ / 8n + 6
/
,l,2,3,
•.. }
, -6) U (6, m)
(o' 1 >u
B- A [O, l)
..
(O. 1) .
=
B - A =
(o.
!l
... Ca.p. 9
Ce. e 1necua.U.onu Exponenc.iAl.e-&
278
=
(2)
9
1
(3)
Inecuaciones
( 5 2 ) x2 5
{ 5 Jx. 2
- 7x. +. 3
2(x2 - 7-x. + 3) 2 . 4{x - 7x. + 3)
(3x.2 - 12x - 3)/2
3x2 - 12x - 3
ó
SOLUCIO) .- ' 2
=
= 9b
4a
Nótese que puede expresarse como
=
Estos dos tipos de ecuaciones exponenciales se resuelven en base a l~s dos sigu~entes.
TlOREM.-
Er; c11•c lr,
1
.2 1.4
Sea a > O • expresión ax
[
x es una variable real, entonces la
es 11.i.ernp!te. po4.lti.va.,
a > O , entonces
paltO.
3125 pa114
todo
-2
Resolver:
EJERCICIO.-
55 •
= ;,6
15625
x e: IR
(1)
zX
= Q{x)
=
= - 2b ] 1u.ta. 1>egunda.
2 2
·( - ) 3
4011
X
•
=
x+2~
o
s-V:n25 .. ·•
;
3
1.5
EJERCICJO .- Resolver en R :
po11.lti.vo11) • Lu.e.go,
(por el TEOREMA 1.2 ) •
-2
a > O , entonces P{x)
b
a
3X
6(!.!1)
(res o1viendo:) Sea
2x. •
a y b
1.1
x+3
rl ORI PIA .-
= v
4a " 9b
X.=
o
18( 3ZX)
a
=
=
2
=
o
= { 1 • 15 } .
SOLUCIOH .-
x e: IR •
todo
-94
a
{~)
~) l(
(
-
[ haciendo
O
b
=
c. s.
Resolver:
4( 22X.) • { ?.\'.)'et)
4a 2 - ab - 18b
[por O un número real positivo arbitrario, y sean P(x) y Q(x) funciones arbitrarias de la variable real x , · ento~ ces llamaremos una ECUACION EXPONENCIAL a una ecuáción de los tipos:
Si
.toda. ex.p1tu.i.ó1t
µx -
3x2 -
5
2(x. 2 - 7x. + 3)
1 ECUACIONES EXPONENCIALES
teoremas
/
x.2 - 7x + 3
{x. - l)(x. - 15)
/(x)
pa1t4
= O
primero transformamos ambos miembros a expresiones que tengan la misma base:
Exponenciaies
1
P(x)
Por ejemplo, para resolver la ecuación
25
/(x)
279
fCIJJl. e I ne.ctutc-ioneA Expone.nc.iAl.u
Ca.p. 9
6lt + 7 x+2
=
6(x."+2) --X.+ 3
.
(/2 l
1~ 2 - 3x. +
SOi UC ION.-
Ec.u.a.c.. e Inec.ua.clo11u Exponencia.f.u
9
21
=
X. ~
2
A
X.
=
X > 2
A
X. E
Pasando a la misma base 12 se tiene que la ecuación es equivalente a:
1 x2
[ x.2 - 3x + 2
~O
2(x+l)
Ca.p.
Cap. 9
Ec.ua. e Inec.uacionu Ex.pone.nc.i.ale.b
280
~
- 3X.
+ 21 =
2 (X. t l)
[ x.2 - Sx = O
2( X + l) - 2(x: + 1)
x_2 ·- Jx. + 2
V
2 x. - " + 4 =
V
{b) Resolviendo: la ·part e (a): ]
,r;}:5
=
X. -
u
=l
=
X. -
~
( X.
[ x.(x- 5) =O .
-1
' o
X. ..
1.6
V
EJERCICIO.-
e. s.
Luego,
5
X "
x e:
. v·
X.
7
reemp 1a.zando en ~a primera :
14 ( 3x.f 2 ) + 49 )
[ 3X -
"
1.7
=1
Resol ver:.
EJERCICIO .-
4 SOLUCION .-
u=
Haciendo
1 2U (d)
• 6( .,
2u) +
2
..
4 { • 22 }
Ruolvlendo: U •
(
X
/
V
X.
2
3 -
-
b)
2x. - 2x.- 2
2
{
2u
2
U
-
- 4 )(
2- 5 ~ O }
f;_r-::5 ,
750
2x.+2 - 2x.-l
d)
3
2
7x. - 4x.+6
e)
z'! =
7
2{8l x.) = 36x. + 3(16)x.
2.
2u - 2 )
=o
(
s.
8 =
o
7.
U
o
= 2 y {a) {*)
/S , m)
28
343
l
1
12{ 3 2x. ) - 3 :t
3.
(2) 1/2; (3) {
= 27
i , t };
i }.
(4) { O,
53 x. - 2 1J
3125
116:t-' 7y
14641
u
=1
6.
31
3IJ X.
=
8.
312
3:1'. 4'1
3981312
21J 5X.
400 000
!:!:!.
IJ x.-1
l
:t-¡ :t + IJ
2
{:t+IJ) 3X
279936 .
10.
{3x. +
=
16
=
64
y)x.-y
=
9
x.-y, 324 " 18x. 2 + 12x.y + 2,/ •
Reso lver l as siguientes ecuaciones exponenciales:
==>
sobre el Universo U= U (
3
Re so 1ver 1o·s sigui en.tes sistemas de ecuaciones exponen ti a l es:,
=
9.
+ 8
= =
4
{x., y) = (4, l}
~) 2
(-co , - /5 )
¡ '
= 3
RPTAS: a) 3 ; b) 2 ; e) 1 ; d) 3 ; e)' { l , 3 } .
RPTAS:
=
2 x.-1 - .f"iC5 12{ .. ) +
12 (
9
=
X
PROPUESTOS
6
x:Y
2U = 2 {= 21 } )
u• 2 = x.ic
r;:r-::s
==>
O ==>
8
5X.+l + 5X.
x.-rxi-:s:
0
( 2u l 2
X-
a)
. c)
77 + 49
x./2
EJERCICIO~
Resolver las siguientes ecuaciones:
Por lo tanto, la solución del sistema es:
.
y que
,
·
y reemplazando este valor en la se9unda ecuación: 1J
3X/ 2 - 7
77
==>
=
c. s.
e:
1
l. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:
77
SOLUCION.-
X.
=
2x. = 6
A
1•
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones simulUneas:
z'! =
u de .
sobre el mismo Universo
u
e:
Por lo tanto , de (a) y (b) en (*) :
SERIE DE
~e la segunda ecuación tenemos:
~
=
4x. = 9
< O)
e o, s
=
x.2 -s '"\(x.-2)2= x. 2.:. 4x. + 4]
[
l
o
(vado)·)
9
A
fTS.
A
(V.l4CJWn.i.n.
e: u
281
)
4/iro + 3 lx.
-
cY'liii - 3 >x.
11.
{
12.
( / 3 + / 8 )X + ( / 3 -
{b)
/S )-X
.. 12110
RPT:
x
=8
•
= 34 ,
RPT:
x.
=!
4 •
(5) (x., !! ) = (3, 2); (6) 15, 7); {7) (27, 4), (81, 3) ; (8) (3, 4}, (-1/2, l/4096); (9) (7. 121) ; (10) (5/4, -3/4.), (-1/4, -9/4)
RESPUESTAS:
... Cap.
Ecu.ac. e lnecu.ac-i.011u Exponenclaleh
2B2
9
Ecu11c. e Inecu11clonu Exponenclalu
Cap. 9
o<
Si
11)
2 !NI CllACIONES EXPONENCIALES
a 1
=
P(x)
<
(2)
/M
?:: 1
=
P(x)
~
(3)
/(x)
< 1
P( lf.)
>
(4)
/(lC)
=
P(x)
?::
son de los tipos siguientes: .P(x)
u
>
l
/(x)
'
/ ( l()
?:: 1 '
/ ( x) ~ l , con
< 1 •
a > O;
o más generalmente: /(x)
y
<
~
,
2.3
respectivamente.
La resolución d~ estas inecuaciones tienen como base los siguientes teoremas, donde además debemos recordar que en general:
a
> 1
.
(2)
JI)
Si
a
> 1 ,
O< a < 1 ,
TEOREl'IA.-
= =
/(x) > aQ(x) /(x) ? aQ(x)
et. 1ie1i.tido de
.e.a
/(x) > aQ(x)
(2)
/(x) ? aQ(x)
Sea
51
o o
a < b
a ex
bª
=
a
~
=
º·:
a ex
bª
1
(3)
Si
(l
<
o:
a ex <
b(l
a ex
bª
= =
(2)
/(x) ? 1
(3)
/(lC)
(4)
/(lC)
> 1
2.4
EJERCICIO . -
< 1 ~
1
Resolver:
>
P(x)
?::
P(x)
<
=
( 1)
x +9
P(x)
~
= = = 2.5
2
2
> (0.3)x -Jx+4 ~
16 /2
Usando el Teorema (2.1)
.,
(..
o o oo
a ? b
2x2- i . 7x+l7.5
ii)
P(x) ~ Q(JC)
P(x)
a > b
(0.3)x+9
i)
P(x) < Q(lC)
= = = =
b
estos teoremas.
<
x2 - 7. 7x +
17:5
x2 - 7. 7Jt + 17. 5 10x2 - 77.it + 130 " l(
E
EJERCICIO . -
x2 - 4x - 5 > O
x2 - 3x + 4
(x-S)(x+l) > 0
O ,
a > 1
y
b(l
Si
P(x) ?:: Q(x)
entonces
o•
a ex <
P(x) > Q(x)
du.i.gu.a..t.dad 1ie nia.n.ti.ene.
(1)
b >
(2)
( i i) : 1)
o:
a >
> U
Et. decM., que en ute C/l.40, f.o. du.i.gua.lcútd c.a,mb.la de 1ie.nü¡lo.
2.2
Si
(1)
o•
a >
entonces (1)
E1i decM., 1i.i.
V
Sean
TEOREl'IA. -
a > O
Sea
TEOREftA .-
Si
..
l x +l ] " - 4 [ ( 9)
-
Esta inecuación es equivalente a l a i necuación : < .(.t + l){x.2 - 4)
2(x. - l}(.t + 2)(x. + 1)
o
<
2
( x. -l){x.+2) J (:x. +l)
( 81 )
[
- 5( 5
1i +:.: + . 2 2 + 2rx.
Resolver la inecuaci ón
17 - 1212
..;::.,,..
2
(-"',
- 2) U (-1, 0)
'"
===>
x.(.t + l)(:x. ·+ 2) <
o
C.S.
entonces tenemos:
=
o
s
_
a multiplicamos ambos miembros por : todos los términos al primer miembro:
2(x + 5)
c.s.,
lx-2
+ 2
a 2 - 34 a + 1 :: O
•
~ 9-·~
>
2X
lt
22 + rx + lt
..:.
:: rx
/ 8 >x12
(3 +
.;:::=:::>
~ ( :i" )
5a
=
l , 5)
li
SOLUCION , -
= 2 2x ~+ r
{x - 5') 3(x - 1){2x + 5)
o
<
5/2) U
SOi UC ION.r.
>
/4it(X. - 1) - (1/2) . ,
lt
'.:
[O, 25)
11.
,
=> ,
1/4
1
-1 '.: X '.: 3 20. (-"'. -5]
V- x > O , con x -;. 1 :
=1
22.
6.
(o, l) u [9,
13.
º· "') .
•J/2] U (1/2,
,
(1 -
(- =. O) U (5, =) ,
,
12.
X
( -1 , 2 ) ,
{ 0} U ( 1/9 , '°
5.
;
>u < s: >
23 .
25.
21f
lt
X
u (o, 3] _ , (o, l)U(l, "")
< 2
•
e: ( 9/4, 3]
3 '
•1] U [ l
t
m)
U
(•l.
1)
"
(•DO
t
[Expres16n en IJ ~
:ic ]
[Expresión en x ]
entonces la gráf!
.Cap. 10
308
309
Cap. 10
en de la r~y16n est~ acotada por la curva del borde determinada por la ecuac;i 6n:
(*)
IJ = [ Expresi6n en x. ]
Ademh, (t) corresponde a la parte del plano acotada inferionnente por el borde (*),
..
pero sin incluirlo. (li) corresponde a la grHica de (a) incluyendo el borde (*) .
b) Esta grafica de y ~ 1x. I corresponder~ al complemento de la grHica de (a) , incluyendo la curva-borde pues:
1X1
~ !/
y ( o } s •
la región corresponde a la parte del plano limitada superiormente-por la cur va-borde (*) y denotada por (i 1 ) , e incluyendo a la curva-borde en el C_! so ( i f 1) •
SOLUCJOI .a)
g
~ x
{ (:x., y)
I
X
~ y < x.3 •
Y.
< o }
R corresponde a la intersección de las tres regiones: b)
y >
x.3
e)
x. > .O
S corresponde a la intersección de las tres regiones:
3./
l!.lfRCICIO .- Graficar las relaciones deff ni das por b) y ?: 1X. 1 a) y ~ 1X. 1
al)
Ver la figura
b1)
!/ < x.3
el)
FIG. (1) de la p~gina siguiente.
x.
< O
Note que el origen
no se incluye en ninguno de los dos casos.
SOl llC ION •• ,t)
g ?: x.
[
lx. I ? y ~
que corresponde ,, la
[
X.
y
?: y ~ X.
V
X.
~
-y ]
V
y
~
-x. ]
UNION de las dos regiones:
y
3.9 ~ x.
y . y ~ - x..
EJERCICIO.- Graficar la región definida por la relación: S • { (x, y) I
l Y 1 ?: x2
1Y 1 ~ 1x.I
}
(Ó, O)
SOIUCION.'..
1 1J 1 :!
i)
tlondt!
Seslainterseccilinde: x
~
2
((x ~ O) A (y :5 x)
(Ver la Fig. 2)
~ x2
1J
v
2
~. ~
ltJl:5 lxl, 2
- x
Rang (R- 1 )
(x~ · oA lvl:5x)v(x • 8/z •
FORMULA DEL PUNTO KEDIO.-
En la recta real R • vemos que el punto medio M. entre los puntos ! y B. satisface la f6nnula:
,_
;
b - a -1 ~
::
..
P.• (x., y)
Probar que los puntos A(-4, 2), 8(4, -6) y C(O, -2) son colineales; es decir, que se encuentran en una mi~ ma recta.
d(I'¡ Q)
f.11
id
+ (y-6) 2
EJEJIPLOS .- Para los puntos:
= (3, 4),
I I
X
5.5
p
I
,,."' /
A(-2 1) ,,. ,,. t - --Elevando al cuadrad~ a~ •. • ~--d bos miembros y reducie~ do ténninos semejantes o. obtenemos la ecuación de una recta t : 12x + lOy " 47
1
:2 2 / (x2-xl) + (y2-Y1l
1)
,,.,• B(4,6)
,,. ,,. I ,,.
2
que
y
J
1 !12 - !11 I
= ./T7
Hallar una ecuación para los puntos P = (x, y) equidisten de A= (-2, l) y B = (4, 6)
SOLUCIOH .Por la condición d(P; A) = d(P; B)
= / (x -4)
T
Por lo tanto,
5.1
d(B; C)
/(x + 2)2 + (y-1)2
y
Y2
,
S •
* *** *** ** *** ~
315
igua1es verificamos que, en efecto, d(A; B) = 3 ./2 , d(A ; C) = /Ti
d(P; R)
a
•• [Desigualdad Triangular]
Probar que el tri~ngulo de vértices A= (2, 3) , B = ( l, O), C = (-2, 4) es isósceles.
l'ar.1 que 1J llo ocurra, dos de sus lados deben tener longitudes
H = a + 21 (.b - a)
a+b
= -2-
M
b
=
H•
R
a+b 2
(semisuma)
Utilizaremos este hecho en ambos Ejes X, Y para hallar l as
. La Recta y
316
4u.ó
Cap. 10
Ec.uac.ionu. .
~
317
Cap. 10
coorden~das
6.1 DEFINitION .-
Por el Teorema de Tales, si M es punto medio del segme_!!
Se llama PENDIENTE de la recta. L, al valor de la tangente de su ángulo de inclinación a , y se le denota con la letra m :
del punto M = (r, s) . qµe se encuentra en la mitad del segme.!!, to de r O (PENDIENTE POSITIVA) , ii) Si a "'O entonces m = tan O "' D (PENDIENTE NULA) L es HORIZONTAL , i i i) Si 90° < a < 180°, entonces m = tan a < O (PENDI!NTE NEGATIVA) .
=
Cualquier otro &ngulo se reduce a uno de los tres casos anteri ores para efef t~s del c&lculo de la pendiente m = ta~ •
m = 2
L
IJ - 4 .,. 2(x :. 3} ·
L
IJ .. 2x -
Z
--
6.4 ••• (*)
NOTA.-
m• 1
=
m = -1
=
/J - IJo = m(x - ~)
=
=
ta
ecuad~n
L:
a = 135° y
Verifiquemos que esta misma ecuación se obtiene si es que se hubiese consia! rado como PUNTO DE PASO al otro punto B = P0 = (5, .8). En tal caso, l :
a = 45°
tan a = 1 tan a = -1
tJ - a = 2(x - 5) !f=2x-2 .
IJ = -x + b
para una recta l en la forma IJ - !fo X
se denomina 1a FORMA PUNTO - PENDIENTE • Consideremos ahora como punto de paso al punto (D, b) en el cual L interce.pta al EJE Y , entonces y L : y - b = m(x - O)
o
X
Y si O < a < 90º , la pendiente m aumenta de va1ür conforme. el iingulo a va creciendo. En general _se tiene el siguiente bosquejo:
=
Esta forma proporciona directamente la PENDIENTE m c;omo el coeficiente de la varh hlP x , mientras que el U\r111l nu independiente b t11cllcl\ el punto en el EJE Y donde la recta l lo corta. µucde sor rvio, po6.i..tlvo ó negativo. Ast, por ejemplo, la ecuación
y
= 3x
na r •eta L con pv1cllv1.te. m = 3 , y pun.to de. pa60 PVL'\ cort.1 n 1 EJE Y en el valor y = -2 •
X
X
Este valor _!!
corresponde a .!! (O, b) • (o: -Z)
'
- Z
Dada la recta L : 2x + 4y = 4 , hallar su pe.n cllen.te, un pun.to de. pa.Ao, Y. su grHica. SOLUCIOH . - Para hallar algún punto de paso de L basta dar un valor cual
6.S EJERCICIO .-
. Cap. 10
320
no
dl des pejar y de la ecuación obtenemos
Si
m" _ l
de donde -vemos que la recta tambi én pasa por el punto e l EJE Y
Mn
1J ~ ~
321
Ecua.c..i.onu
vetLtlca.lu esto equivaJe a que sus pendient es sean iguales:
m1 " m2 =
m " tan u
ntngun~ de l as rectas t 1 y L2 es ve rtical , entonce s .L y L 1 2 PERPENDICULARES si y solo si a 2 - u 1 • 90° • Esto equivale a:
(coeficiente de x )
2
La Recta
Cap. 10
quler.i il ¡.,, variable x, y despejar el valor de /J correspondiente, ó vic! vr r'iA . Por· ejemplo, para y = O , se tiene x = 2 ; luego P0 = ( 2, O) es un PUNTO VE PASO (que obviamente no es el único) de l • Adenras,
=
~
tan a 2 = cot (- a 1 ) "
(O, b) = (O, 1)
en
y
=
- cot (a 1 ) •
son
- l/ tan (a 1)
(tan u 1 )(tan a 2 ) = -1
L1 y L2
Por lo tanto, ser~n
PERPENDICULARES si y solo el produf to de sus pendientes es igual a: - 1 ;
si
X
6.6
TEOREf'IA .-
Si. a y
X
b no son simulUneamente ceros, entonces
ª"
la ecuación + by·+ e = O pond~ a la ecuaci ón de una recta en el pl ano XY .
7.1
siempre corre!
liEOR~ftA.-
i)
PRUEBA .-
i)
Si
i;} si i ii) Si
a=O
.a
ro
ª'º·
ax +
1J =
b10 b =
" = - e/a
o.
b10 by + c "
- c/b
O
Q::=:>
, ( L HORIZONTAL) , . ( L VERTICAL)
IJ " (-
~
)
X
+ (-
~
ii)
)
. es una recta con pendiente m • - a/b • y que pasa por el punto (O, -c/b) del Eje Y.
L1 y
L2
· on PARAl ~LAS ( L1 //. L2) ~1
Lienen el 111 t •mu ft 111;11 1n di' 1ne l in! 1 lfln 1
11 y 1l11l11
L1 11 . l2
=
m¡
=
m2
J.. l2
=
m1 m2
=
l¡
7.2 EJEftPLOS.- Las rectas
el
nso 1111 r,.ct4i qul•
ll :
2x + 1J + l • O
(=
L2:
4x + 2y = -5
(=
m1 = - 2 ) mz .. -2 )
.
l2 :
4x + 6y - 7 =
son peJtpend..i.c.ulaJt.u pues
7.3 EJER-CICIO.l a recta
.
o
=
m1 m2
(3/2 )( - 2/3)
11.12
- 4/6 .. . - 2/ 3 )
.
-1 •
Hallar el valor de ! para que 1a recta t : ( 2 - k) x + ( k + 1) y .. ~ • sea parale la a 1
4x + 3y + 5 " O •
L2
SOLUCION. - Sean ~n
-1
sen paM.lelA& pues tienen sus pendien t es iguales . En cambio, l as re_f tas 3x - 2y + 1 .. o 3/2 ) m¡ = l1 :
7 RECTAS PARALELAS YPERPENDICULARES lloG r r.ctas
Sean l¡ y Lz dos rectas de pendi entes m1 y m2 respect ivamente. entonces
ml
m1 y m2 sus respectivas pendientes • •
k - 2 _k_+_l
4 3
• Y como
en ton
... -- ..
ces
recta
4
k - 2 I< + 1
323
Cap. 10
Cap; 10
322 k .. 2/7
=
3
L1
SOLUCION .-
'EJERCl~IO
7 .I&
.-
x. + y
=7
,
L1 :
- 2x. +
y " -2 •
·Y
· L2 :
y como (4. 2) e: L1 • entonces
indicar si son páralelas y hallar su
Por lo tanto, punto de interseccilin Q • SOLUCION.m = 2 ,.
m = -1 . . Como m1 /- m2 , entonces las 2 rectas no son paralelas, y por lo tanto tienen un punto de interseccilin Q ~
7.1
1
(a, b) e: L íl L . 2 1
Y puesto que
Q = (a, b) e: L1 : ~ Q = (a , b) e: L2 :
- 2a .+ b . =
-2
a + b "
7
-2x. + y
a " 3
=
Q
= -2
Y como
=
b = 4
= (a. =
n
7 .8
~)
(3, 4)
4/3
=o
n
\
para que las tres rectas:
=
L2 ; x. + 7y se corten en un mf SJnO punto. 7x. - 2y " 5 ,
{
Q • (x., y) " (1, 1) • Q"' (1, 1) e: L3 : 3nx. - ny • 12
=
Intersectando
k = 10 • .
=
o 8
,
y
7x - 2y = 5 X. + 7y " 8 •
..
EJERCICIO.·.::
1
!/
=
< l ,
Y
= -(X
X :;
si
X
ll -
y=lx-11-x. IJ = X = -1 =
Graficar la ecuscilin:
Si
IJ " lx. -
MOTA.- Cuando dos ecuaciones simultáneas de dos rectas no tienen ni!!.
3n(l) -. n( l) = 12
= 6.
(x. - 1) - .l) - X '" 1 - 2x.
r.uego,
X
7 .S
=
-4(4) + 3(2) + k
L1 con t 2. :
SOLUCION.-
7
. ,
m¡
= · s e obtiene
Resolviend·o este sist~
ma:
(4, 2) ,
m " -3/4
o =
Hallar el valor de
Jnx. - ny = 12
SOLUC 1OH· -
entonces las coordenadas de Q satisfacen ambas ecuaciones simulUneamente:
[
EJERCICIO.-
L3 :
=
-4x. + 3·y + lQ =
l1 :
L1 ;
-2x. + y = -2 x. + y = 7
que pase por el punto
Jx. .+ 4y = 2 -4x. + 3y + k
L : L¡;
Dadas las rectas
L, y
perpendicular a
X
=
-2x. + 1
={
IJ
-1
=
si
X <
Si
X _::
-1 . y =. -2x. + 1
1 1
=
guna solucilin, ello signif.i ca que ambas rectas son paralelas y están separadas, como en el caso de .
L¡ : L2:
-x. + 2y
=
=
4
=
-2x. + 4y " 16
m¡ = 1/2 1/2 m2
y
[ L2: L2: L1 :
-x. + Zy = 8 ) )
•
X."
-x. + 2y • 8
X
1
y".! -1
-x. + 2y = 4
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS l. X
7.6
EJERCICIO··
Si
L
3x. + 4y
2
,
hallar la ecuación de la
Graffcar la ecuacilin
1 " - 2x 1 • 4 - zx - y • R "' { (x., 11) e R2 I 1x. - l
I = lY - l I 2. Graficar la relación 3. ·Hal lar las pendientes de las rectas que. pasan por los puntos: a) e)
{2, 1) y {3, 4) (6, -3) y {-2, 1)
b) d}
(O·, 1) y {l, 2) y
(-1, O) (1, -2)
}•
• Ca.p. 1o
324
325
Cap. 11
astm1smo, indicar el valor y • b por donde estas rectas interceptan al
11
Eje Y, si existen. 4.
Hallar las ecuaciories de las rectas indicadas en el Problema (3) pre~io.
S.
Una recta L con pendiente negativa pasa por (-1, 1) y df~ta IS unidades del punto A " l4, 1). Hallar la pendiente y la ecuaci6n de L. Ha 1lar las ecuaciones de las rectas L1 y L2 que pasan por (5, 6), t! les que L sea paralela a: Zx + y • 5 , y L2 sea perpendicular a: ·
6.
Gráficas de Relaciones
1
3x. + 2y - 7 .. o . 7. Una recta que pasa por el origen corta a las rectas lt - y s 3, y• ' ' . 2x + 4 en los puntos A y B respect. Si el origen es punto medio del segmento AB 1 hallar las coordenadas del punto A • 8. Sea P • (a, b) un punto tal que la recta OP que lo une con el origen tenga pendiente -3 , y que la recta HP trazada po~ los puntos ~ y M= (3, 1) tenga pendiente 2 • Calcular el valor de:'Yo':'a + b
.. 1
CLAVE DE RESPUESTAS l.
· y• -2x + 4.\
Ya hemos visto que la grAfica de la ecuaci6n de primer grado de 1a forma ax. + by + c • O era una recta. Ahora encontraremos l as gr~ficas de las ecuaciones de segundo grado de la forma
2.
y \
4
GRAFICA DE LA PARABCl.A
\
z
\
y
\ (1, 2)
y•2
\
o
\
l
X
X
\
\
u 2 + bx + c
Y que mediante el método de completar cuadrados siempre se puede trans.forma r a la forma
\
¡.
\
lt •
l \
e) m· • -1/Z , b • a) m" 3, b • -5 ; b) m• 1 , b • 1 ; • 4. a) y•3it-5 d) No existe pendiente, ni existe .!!. d) X • 1 , c) y• - l2 X 4. b) y•x+l,
3.
5.
m • - l/Z •
6.
L1 :
1.
A•
R.
=
\
x + Zy
.
2x + y • 16 •
.
1
Lz:
-Zit + 3y • 8 •
o;
y
a(x -
(1) + (-3) •
-Z
•
************
+ k
donde h y k son ciertas constantes que dependen de que pueden tomar cualesquier valor real .
GRAFICA DE LAS PARABOLAS Para
y• x2 :
y • (x - 3)
IJ • x2
: 1-: 1-:
( 1, -z) •
a +b •
h)~
2
a , b y c ,
y • (x - 3)
1-~ 1 ~ 1 ~ 1 :
2
•
1: 1
:1: 1: 1~1: 1: 1: 1: l
las gr&ficas correspondientes se muestran en las siguiente p&gina :
y
. Cap. 11
326
~
327
Cap. J 1
y " -x2
Observe que la grHica de y
r~bola
--¡
4
alH se reflejara
I
I I
y • (x - 3)
1
I
y
=
x2 •
2
1.2 DESPLAZAMIEHTOf VERTICALES.-
IJ • x2
: 1-:
-2
!IOTA.-
la forma de la gr~fica de la ecuaci6n IJ = Observemos que ·"'x2 a (x - 3)2 es la misma que la de la ecuac1on IJ • la cual se le ha desplazado en 3 unidades HACIA LA DERECHA. ·
\
En general, la grHica de: que la de: [ IJ. = ax HACIA:
a) b)
2
)
(x
IJ "' a
h)2
-
Por lo tanto, la grlifica 'de: -3 • es como sigue
HORIZONTALMEHTE
1. -~ 1: l 1: I· 1
y = x2 + 1
Aqut, notamos que la gr~fica de
la de
l.
IJ
~ x2
y
.l el. Ele X actuara como un ESPEJO y
/ /
-2
I I
-1
o
l
X
2
~~+-~1--~L-_....~.......~~/__.1--~~-x
2
-2
o y
-1
,,
GRAFlCAS DE: I
f/ • -x2
I
l
''
1.3
ROTA.-
'\
En general. la gr!flca de
2
y• a(x - h) + k
misma forma que la de 1 !/. a(x - h)
2
I
". Como
I
/
I
y• -x2 / h • 3
>O
'" desp 1aza 1J" - (¿ 3 un 1dadl!S HAC 1A
LA DlRECllA.
I
,_ I
I
!
ha desplazado VERTICALMENTE en a}
b}
ARRIBA , ABAJO . ,
si si
1k1
unidades
k > O k < O
HACIA :
.
¡
tiene la
ª la cual
se le
... Ca.p. 11
328
y •
la p .o) · uniDERECHA Y luego pe 1= 2 unidades HACIA ABAJO (pues k = -2).
de la grafica de dades HACIA LA
y -
,-,
I 1 1 1 1 1- - _1
1
1 1
2 \
I
1 1 1
-1
-
~
3
IJ • x.2\
y= (x.-4)2
-- ,, - 1'•' 1\
4
1 1
Cap. 11
/, l
I
'\
MAS ANGOSTA que la de
b)
MAS ANCHA que la de
y
= x.2
1J " x.2
si si
1 aj > l O < 1a 1 < 1 •
1.5 VERTICE Y EJE DE LA PARABOLA.Con respecto a la par.1bola al completar cuadrados se transfonna en 2 1J = · a(x. - h) + k
2
y = ax. ·'f. bx + c
I \
, que
(*)
al punto V• (h, k) se llama el VERTICE de la parábola. el siguiente esquema para la gráfica de (*) y y
1
, __ IJ" (x.-4) 2 - 2 \
a)
......_
/:t /
329
\
Asf, tenemos
..
-2 1
k
1V
k : V.
Analicemos ahora la ·mayor o menor abertura de las par.1bolas , mediante las gr&ficas de: tJ • x.2
tJ =
i x.2
...
h
X
X
A la recta vertical
X."' h se le llama EJE DE LA PARABOLA. Además, se puede probar completando cuadrados en y = ax. 2 + bx. + e que las coorden! das del vértice son: b b2 - 4ac k = h =- 2a ' 4a
y
tJ . . zx.2
8
o
o1
..
1.6
EJEMPLOS.-
Bosquejar las grHiéas de las par.!bolas: 2 a) tJ = 2x + 12x. + 17, b) 2y .. 2x. - x.2 + 3
Completando cuadrados : IJ ..
1 x.2
2 a) . tJ .. 2(it + 3) - l
2
b)
tJ • -í(x.-1)2 + 2
= · = y
-2
-l
o
V • (h. k) " (-3, -~).
VERTICE. V • (h, le) .. (1, 2)_.
a • 2 a • -
l
2
>.O O , S!!
PRAClltO
e l umlplano inferior (EJE X)
Y
se le denota
t
~
O,
tal
c~
X
EJEMPLOS,, 3)2 • 25 (. 52) corresponde a una clrcun 1. La ecuación: (x - 2) 2 + (11ferenci a con centro C " (h, k} ,. (2, 3) , y radio r .. 5. 2. La ecuación: (x + 1) 2 + (t¡- 4) 2 • 6 corresponde a una circunferencia ' con centro e e (h, k) .. (-1, 4) , y radio 16.
3.1
EJERCICIO.-.
SOLUCIO!t .-
Especificar qu~ tipo de grHica tiene la ecuaCi6n: 1Zi:: - 4y + 2"2 + + 13 = o •
2l
Comp1etan do cuadrados en cada variable:
Cap. 11
=
2 .
2 {x+3) +(!{-1) "7/2, 2(!{-1) - 2 + 13 =O c = (-3, 1) y radio I 7/2 • que corresponde a una circunferencia de centro '
2(xt :l) 1
1
2
s, 2
18
t
NOTA.- l)
De la relación se.sigue que:
2 ("): (x - h) 2 + (y - k) =O
a~ + b2
=o =
a=Q
,.;
!/ - k ..
o
b' = o
Cap. 11
cuya grÚica corresponde a la .!!!!:te de la· circunferencia de Centro (2, O) r '" 2 que se encuentra en el semiplano superior y ? O :
Y ra'dfo
y
=
IJ
2
=k
que tiene como única solución la intersección de las rectas x.= h Y !/ M k , es decir el punto de coordenadas (h, k) es el único punto que sa-
o
tisfac~
la ecuación (*) dada. 2 ( )2 2 Il) Una ecuación del tipo (x - -h) + IJ - k " - r • con r > ,0, no ti~ne representaCión grlfica en el plano XY pues una suma de cuadrados de números reales nunca puede ser qegativa en R ; su conjunto ( I)
3.3
y ( 1l) son considerados "CJUo~ e.ópeu.a!u ,,· de ci rcunf~
-2
x2 + y2 + Dx + Ey + F = O Toda ecuación de la forma: representa una circunferencia ó uno de sus casos especi!
TEOREl1A .-
EJERCÍCIO .-
Hallar el Centro y el radio de la circunferencia que pasa por . A = (3, 3), B = (8, -2), y C = ( 6, 2). x2
~
r. •
(3, 3) : (8,-2): (6, 2)
EJERCICIO.-
:
• =
30 + JE + F
64 + 4 + 80 - 2E + F = O 36 + 4 + 60 + 2E + F =· O
80 - 2E + F = -68 60 + 2E + F = -40
a f el CENTRO C = (3, -2) y el radio
3. S 1 ,JI RCI CJO.. SOLUCIUH ••
F=
r = 5.
c.raficar la ecuación
(sta ecuc1ción considera que
Observemos que 2
j
" 9 - (x + 2) 2
tJ :S 2
IJ • 2 - / 5 - 4x - x2
j ; adem!s, se tiene que (x + 2) 2 + (y - 2) 2 ~ 9
-- -
I
-- -
.
- -·2 2 :y" 2 .- /9 - (x+2) y:S 2 ' ~...._____....~-=----~,,_.,._.,._..,__..¡,.c......_~~~'
X
¡
-18
=
1l
Graficar la ecuación:
-l
· 9 + 9 + 30 + 3E + F =O
Rcsulviundo este sistema de ecuaciones simulUneas: D = -6, E = 4, · 12, y r 'l'mplazando en (*) : 2 2 ll 2 + 6t t 4y - 12 "' O (x - 3) + (y + 2) = 25 obt nleruto
- - - -
/ y " - / 4 - (x - z)2
de modo::que, la gr&fi~a buscada corresponde a la parte de la circunferenci~I de ·centro· (-2, 2) y 1 y radio : • 3 , P! .......... ro en la re.gi6n ,. ,,,"" Y" 2 + /g - (x+2)2 / y :s 2 I \_./
+
cen esta ecuación, y por lo tanto para:
X
I
I /
SOLUCtON . -
SOLUCION.- Sea y2, + Ox + Ey + F = O (*) , su ecuaci5n. Como los puntos A, B y C pertenecen a esta circunferencia entonces satisf! A B
--' '
(y - 2)
les .
3.4
2
\
''
3.6
., ~
solución es vaúo. Ambos casos rencias.
333
mente), y asf, en fonna equivalente: · y2 " 4 - (x - 2) 2 , y ~ O
1J? O (s~miplano s'uperior sol!
3.7
EJERCICIO.- Graficar
SOLUCIOH.-
tJ "
1 2 - / 9 - (x + 2)
2
1 •
Se sigue el mismo procedimiento que para tJ = 1 a(x - h) 2 + kl en el que el EJE X hace el papel de un ESPEJO para reflejar hacia el semiplano super ior y? O todo .lo que est! en el semiplano inferior y :S O. Asf, utilizando la grHica del EJERCICIO (3.6) previo, se ti~ n~ la gr!fica siguiente:
Ca.p. 11
334
Ca.p. 11
y
y = 1 2 - / 9 - ( x. + 2) 2 1 (curva gruesa contir.ua)
=
Este criterio se utiliza cuando se· desea hallar una recta Lr :
Gr,H 1u1 de:
_,_!!_"_2__
2 -
l
X
-1
EJERt:ICIO.R
= { (x,
SOLUCIOH .cía
y2
x2 + r/
$ 16 = r2
= 212 hasta IJ ~ o : ] xi $ 4
r
i i)
2
corresponde desde
a. ia
hasta
o$
IJ $ 4
=
~ y
o·: 1x.I s Y+ 4 = -4 $ IJ $o
=
l(
+
r~ = 16, e~'.' (3m - '4)(4m + 3) =O dos ' soluciones m1 "' 4/3 , m2 = -3/4 • Asf, existen dos rectas que pasando por el punto (2, 7) son TAKGENTES a la
=
circunferencia dada, a saber: L : 1
4
"'!J - 7 =
1(x - 2) ,
y - 7 = (- 24 )(x - 2) .
L2:
5 SIMETRIA DE GRAf ICAS . . . Sea L una recta, y Q un punto cualquiera, entonces se d1ce que el punto Q' es el SIMETRICO de Q con respecto a la recta L
GRAFICAS DE ALGUNAS HIPERBOLAS En e~ta sección presentamos las gr~ficas. de las hipérbolas tj
.
k
= •X-l •
l
tj = X
IJ "
X-
(k I O}
•
si
.i.)
L
Y si .U)
L
..1.
QQ'
•
intercepta a
( QQi
QQi
es el s_egmento que va de Q a Q' )
en su punto medio M.
a
X
±1
±2
±3
::!: 4
± 1/2
± 1/3
::!: 1/4
IJ
±1
± 1/2
± 1/3
:!: 1/4
±2
±3
::!: 4
La recta L es 11 amada EJE DE SIMETRIA de los dos puntos Q Y Q' , y actúa como un ESPEJO. Se dice ade~s que dos puntos P y Q son SIMETR~COS (ENTRE SÍ) CON RESPECTO A UN PUNTO M s1 M es el punto medio del · segmento PQ •
y y
2
X
lk -lk 1/2
lE
X
X
P~.
Este p~nto M es llamado CENTRO ~E SIMETRIA.
-/k
-1
Q
5.1 SlftETRIA RESPECTO Al EJE X.Noto que .. 1 IJ[ Y (~•O)
to ta vert ka l.
=
es una asfotota vertical.
En la t>t•gunda de las do~ gráficas siguientes la recta
1
La grHica de una relaci6n R en el plano es SIHETRI CA RESPECTO AL EJE X si: · (it,' y) e R (:t, -y) e R • Es decir, si la relación R est1 definida por una ecuación, entonces esta ecua:t • a
es una asfo-
c Hin NO VARÍA a1 reemp1azar
y
por
-y •
... 339
Cap. 11
338
.
Por 1•Jcmplo, X.
~
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
.
en la ecuación
.x.=_,;
y2
(-y)
2
=
l
EJE ll.
-y
\
5.1 SIMETRIA nESPECTO Al EJE y.Esta simetrh ocurre si:
(x, y) e R
=
(-x., y) e R.
• - X
o
7.
Esto se presenta si:
(x., y) e R
Es decir,· si la relación R 'stuv1era definida por una 1 uacHln en la cual se su1 tttuyc \lmulUneamente ' por - x { 11 por - y , ésta NO VARÍA. y
,jl •
•
(-x, -y) eR
9. (x, y)
c)
X ª
b)
x " Zy - ,j1- + 6
d)
X •
l
~
2y2 - 12y + 10 2 18 - By - 2y
ade~s
(b),
Bosqueje las gráficas de:
ªl.::.-
y .. -2 - /16 - 6x. - x.2
b)
X.'=
-4· + li6
+ 4y - ,;
1-x.2 + 6x. -16;7
c)
!/ .. l +
d)
X. ..
SUG: Las gráficas corresponden a una parte de una de las gráficas del Problema [5]; la cuál?. Bosqueje las gráficas del Problema [6] incluyendo el lado derecho dentro de un valor absoluto. Bosqueje las gráficas de a) • Y = - ¡--;:-:T
c)
y,. 3 + I~
b)
d)
lj •
lj "
-
/
4 -
X
-4 - l 2x
6
Bosqueje las gráficas del- Problema [5] incl.uyendo el Zº miembro dentro de un valor absoluto.
10. Hallar el punto de tangencia de la recta x. + 2y u 10 rencia x2 + y2 - 2x - 4y = O • Rpta: (2, 4) 11. Se sabe que la recta
con la circunf!
es tangente ~ la curva Hallar a , b y c.
y u .2x - 5
y
u
2 x •
2x ~
+a en el punto P = (b, c} . Rpta: . a ~ -1 , b = 2 , · c ,. -1 • (-x,-y)
•
=
y
.16 :
( :l'.)2 ~ (•1()2 • 16
la ecuac10n NO VARIA.
8
Bosqueje, si es posible, las gráficas de: a) x2 + y 2 - 6x + 4y - 12 • O d) ~2 + y2 - 6 O 2 b) 2x.2 + + l6x - 8y • 0 . e) x. + y2 - 2 j X j - 6y - 15 "' 0 2 2 c} x.2 + ,/ + 6x - 2y + 1 = O f) 4(x + 1) + 4(y- 1) = 100 •
8.
16
X=
5.
5.3 SIMETRIA RESPECTO Al .ORIGEN.-
x.1 t y2 •
l - 6!f -
a)
Bosqueje la gr!fica de: a) x "' y2 - 6y - 8 ¡. Grafique (c) y (d) del Problema [3] con esta modificación.
X
X.
obteniéndo asf la ecuación original.
x2 +
+ 10 18 - Sx - 2x 2
4.
6.
!/: (-x.)2 = x.2
n
=
Bosquejar las gráficas de:
= x.2
h111plo,
= 2x 2 - 12x
3.
Por ejemplo, en la ecuación
Pur
d)
y y
Bosquejar las gr!ficas de (1) cuando se reemplazan los_ segundos mief bros por sus valores at:solutos.
- X •
=
c)
x.2+6x.+8 2 2x - x. + 6
21
Es decir, si la relación. R estuviera. definida por una ecuación, ésta NO DEBE VARIAR al reemplazar x. por
y
!/·"' y ª
2. X
vemos que la ecuación original NO VARIA. luego, la gr! fica es simétrica respecto al
Bosquejar las gráficas de: aí b)
IJ
si reemplazamos !/ por -y: X"'
l.
2 12. La recta 4x ~ y + 2 • O es tangen~e a la curva y • x. + px + q Rpta: p "': Z-, q,. 3 . el punto (l. 6). Hallar p , q •
en
.. Pevt.áboltu. (PMpúdadu ·de Ec.uac.lonu Cua.~iu 1
340
Ca.p. 11 ·
2 13. Hallando' la ecuaci6n de la recta tangente a U curva !J'" kx + 3(k-l)i + 3 en el punto dé abscisa x = 1 , determine el valor de ! de mo-
do que dicha tangente pase por el origen.
Rpta:
k = ·3. 4
14. Hallar el punto Q que es simétrico al punto P " (-5, 7) con respecto alarecta 2x-y.-3=0. Rpta: Q .= (11, -1) *** **** * *** *
341
Gll.á.6.{.CA.ó de. Re.la.ci.onu
Ca.p. 11
- si a > O - si a < o
=
de (*) :
=
de (*) :
y
ax2 + bx + c >
y
ax2 + bx + c <
=
o o '
Jf
X E
IR
Jf
X E
IR
lo que implica que ax2 + bx + c nunca se hace CERO, para ningún número r~ al x • Esto implica que y ;. O , y que no existe intersección con el EJE X. y
y
h :V
k
6 LA PARABOLA
X
En esta secci6n estudiaremos el caso de la parábola definf 1
k
da por la ecuación·
y = ax 2 + bx. + c
asl como el caso de la pariibola6.1
y ,. ax2 + bi. + c
b )2 y = a [(x + 2a
_
2
~e
donde a la expresión ts. · ción {'*) : . Ya sab·emos que la recta lC.
= - -
=b
¡I
O)
- 4ac
b2 -
, con a -f. O 2)
4ac J __
4a2
•
r ·
o X
Los i nterceptos x1 , x2 , s1 existen, de la parábola con ul EJE X son los valores tl11 .1t para los cuales se tiene 1 ' ~' In ecuación y .. o Y
OHIO
le
:
'•1
entonces ( b )2 y=ax+- =O
3)
- 2a
=O ,
de modo que vienen a ser las rat(a) ax 2 + bx + c " O
· _b ) 2 _ b2 - ·4ac ] y • u 2 + bx + c· = a [(x + 2a 4a 2
:!. ., ·O)
O , entonces hay dos punto~ de intersección con el EJE X. En efecto, y
y
x.2 - 2x. - 3 (x. - 3)(x. + 1)
y
=
y
=
-1
X.1
o
para
.
X.2 =
..
X
6.fl
de donde el VERTICE resulta ~~r el punto V
= (1,
6.2
(y -
-4)
•
EJERCICIO.-
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones simulUneas e interpretarlo geométricamente:. {
lj .. X.
SOLUCION.- . 7 - X.
=
X.~
[
-
X X.
Reemp l a:zando
4x. + 3 =4 + = -1 +
=
x.2 - 4x +
a
+ y .,. 7 •
y = 7 - x en la primera de las ecuaciones: x.2 - 3x. - 4 .. o = (x. - 4)(x. + l) ..
IJ • 3
•
y
o
X.
=
.2
?). "
"'
X -
1
'
¡-;-:-¡:- .
y
(y - 2) 2 + 1
2
es decir, es aquella parte de esta par~bQ la que se encuentra en la zona y~ 2
X
7 ECUACION DE LA ELIPSE y.
La ecuación (standard) de una elipse tiene la for ma general: x.2
fllJCl re~olver
·este 1nter-
qulvnl«' ~ t11 la JMrllhola IJ • 4x + 3 con le ref -1 -1 h x • y • 7 , obteniendo los dos puntos P y Q de intersección. t.1114
y= 2-
Graficar:
IJ = 8
res u1tando as f dos punto : p • (4, 1). Q .. (-1, '8) Notc mo
EJERCICIO.-
SOlUCIOH .- Notemos que x. ~ 1 , y~ 2 • La gráf ica de: y " 2- ~ corresponde a una parte de la gráfica de: (elevando al cuadrado ) ,
3
a2
y2
+
b2
.
l
..
1
(Fig.l)
(a > b > Ol
b
a
-a
X
ó 4
X
; a2
x.2 +
b2
-b (Flg. 2)
(Fig. 1)
... 345
Cap. 11
Cap. 11
344
Por lo t anto . las rec t as tangentes buscadas son
·Y
AL ORIGEN $e'le llama el CE.!!._ TRO de estas elipses. Al se,g llll'nto l-a, a] se le llama EJE MAYOR, y il segmento [-b, b] EJE MENOR. Cuando la elipse es trasladada de forma que su CENTRO se ubique en el punto de coordenada·s e • (h, k) , las ecuaciones se transforinan e_n:
a
Lr..¿__ y
8 ECUACION DE LA HIPERBOLA Las ecuaciones standard de una hipérbola tienen la forma
\
genera 1 X
b
-b
=
ó
1
\
/
(Fig. 2)
-a (y - k)2
,
\
respectivamente.
,, . , a :
ª2
~~~~-1-~....:.;..-=--i.-~~~-~
7 ,l
EJERCICIO.-
SOLUCION.9 (X
-
Q ',
Hallar el centro de la elipse: 9x2 ·+ 4y2 - 36x + By + 4 " O
, >l¡''' '
i~."..
1 ••.
:.lt
X
~.='~
Completando cuadrados en cada variable:
2 ) 2 + 4 { !J + 1)
2
(x - 2) 2
36
=
4
+
'
(y + 1)2
1
...'
9
donde
y el CENTRO corresponde al
.e =
-b..
-b
De 1a última ecuaci6n tenemris que : a=3 , b=2,
punto
X
.
' .
(h, k) ..
y • ! ~ x a
a • b > O . Las rectas
'
se llaman ASINTOTAS de la
a
primera hipérbola, y las rectas con ecuaciones y = ! bx ASINTOTAS de l a segunda hipérbola. En el caso en que a = b l as hipérbolas se llaman EQUILATERAS. Al Ori gen se le llama el CENTRO de la hfpérbola. Cuando la hipérbola es trasladada de modo que su Ceotro se ubique en el punto C • (h, k) entonces las ecuaci o-
X
(2, -1)
nes
anteri~res
(x - h)
se transforman en
2
•
..
ó
1 •
1
ª2
7 .2
SOlllCIUN.dec.h, &e.
2
1 JrRCICIO.-
11 ..
Hallar las rectas tangentes a la elipse: 9x + 4y2 que sean paralel as a la recta 3x - 2y " 8.
=
36
Sea Lr tal recta tangente: y = mx + b , cuya pendiente debe ser igual a la pendiente de la recta 3x - 2y" 8 ., es 3/2 . Luego, Lr : y" x + b ; reemplazando en la eli,E
9x 2 .. 4(
respectivamente.
8.1
EJERCICIO.-
Í
t
J.
2 + 3bl + b 2 )
y apl I 1.111do la Cond1ci6n de Tangencia: 2 36b 2 - 4{9)(2b - 18) •
o
=
SOLUCION .-
= 36 DISCRIMINANTE = CERO
Reemplazando la 2il. en la x2 - 6x + 8 • O
=
b = ! 3,12
Resolver el sistell'.a de ecuaciones simulUneas siguiente 2 e interpretarlo geométricamente:. { x2 - y + 8 • O rf = 6x •
[x " 4 ,
-y2 = 24
+
IJ .. !
1il. ecuac i 6n: (X - 4}(X - 2) = 0
.e==
2,16
i
X
ª 2 ,
y2 "
12
+
y=±2 /'3 )
Ca.p. 11
347
Ca.p. 11
34¡,
TEMA DE COORDENADAS
( 4' '!' 2 16 ) y
As f. e>tlsten 4 puntos solución: 1 tos son los puntos du Intersección entre la hipérbola '.12
( 2,, '!'
2/J )
.fonna es:
pues =
._2
-8 - -8
X' Y' esta curva
l
= "i-.
IJ
x'2 y'2 -----=l (12)2 (/2)2
corre5pon~e
tiene una ecuación cuya IJ' 2
x'2
es decir,
2
-
2
= 1
a una hipérbola con Centro el Origen, y con semiejes
a =b
i2.
9 GRAFICAS DE INECUACIONES (B)
y la parábola
X
9.1
,/ = 6it •
EJERClCIO.-
SOLUCION .V
x2 - 2 5 l y - 2 I
Graficar la relación: 2 - 2 5
[
/J ~ 2 :
x
(
IJ < 2
x2 - 2 5 -(y - 2)
(Ffg.1)
y - 2
= =
x2 ] 2 IJ 5 - x + 4
IJ
~
IJ =x2
8.2
EJERCICIO.-
(ii:2ta 2 )
(,//4) = l
x - 'tJ + 1 =O
es tangente->lffl hipérbola
(Fig. 1) y= 2
Q • Encontrar Q • (a > O)
en el punto
y = x+ l
Reemplazando
/5
\
li; ...
1
SOLUCIOH.-
/
~---''---~~~_¡..:.~~~~'--~~~~-· /
/
x.y
{·¡xi 1 xi
/
'
''
Graficar la relación:
xy < O
y
.,v·
EJERCIC l.O .-
Q = (-5, -4) .
de este Capitulo presentamos la curva
(4)
(Fig. 2)
y= -x2 + 4
Aqu1 aplicamos la Condición de Tangencia: DISCRIMINANTE = CERO = · 4a 2 + 20(4 - a 2 ) = O = a 2 = 5 . Resolvi!rndo la ecuación · (*) la cu-
al s~ reduce a: o = it 2 + lOit + 25 a (it + 5) = Así tenemos que el punto de tangencia Q es el punto
X
'
,..
1,,. I
,¡ 4
-y2
,~,~
!: - 1
-'ñ:-
1--
-15
I I
+ 2
,¡ - z.
--- -í I
/ / /
o
I
X
•
349
Ca.p. 11 Ca.p. 11
348
Dom'" (o, 3),
De la 9rHlca vemos que:
9.4
Intersectando los · bordes:
(9, 1)
y
,
(x > O)
X
+ y • 10
,
a) . x 2 - 2 2:
x >o,
1y - Z 1 ,
1y - 1 j 2:
b)
s ... { (X, y)
= 3.
y
2 y 2: x - 4x + 3
E R2 I
X+ y < 7 }
Graficar la relación: R=
x2 + 3 =y
{ (x,
y)
E
2 IR /
2 IJ ~ x - 2x ,
X .2:
4. Graficar la relación
= { (X.
T
5. 1
J.
"Q.
9
6.
X
(Fig.
(Fig. 4)
9.5
Graficar la relación:
EJERCICIO.-
l .x 1 + 1 y - 3
¡· s
12 }. •
S = { (x, y)
IR2 /
E
7.
Graficar la relación: 2 s = { (X, y) E JR I 1X + y 1 + e indicar su Dominio y Rango . \ y SOLUCION.- Si \ :
1J < - X
:
1J > -2x + 2
!! < -2
lntursectando la recta V -?x + 2 Lon x2 + 1/ • 1 , se uhttcncn lo\ puntos ( 1, O)
X >
x2 + y2 S 1 }
2.
y
( ~l
.;
4 )
2
',' .
~
',y= -x
Rang(S) • (o. 4/5)
x2 +
y2
2: 4
,
.
+ y - 2 2: 0
X -
lj 5 0 )
.
V (
+ IJ - 2 5 0
X -
IJ 2: 0)
8.
Graficar la relación descrita por la inecuaci ón: x2 - y - 2x+2y 5 O • SUG: Factorizando, se obtiéne la desigualdad del Problema {7) anterior.
9.
Graficar la relaci6n
descr~ta
por la inecuación: (y - h - l)(y - l) 2:
SUG:: Factpri zarido, se obtiene:
y2
o•
+ XIJ + X + lj 2: 0 •
Factorizando,
lx 1+
1
< l •
\x 1 - 2
(y - 2x - l)(x + y) S O
lj
5
y
l( '
~
x2 - 2
¡g::-;z.
SUG: Note que la región ta~ y 5 12. Graficar la relaci6n: bién incluye toda la franja en el semiplano inferior y < O para los
s l
X
\, \
X E
(-3, 3) •
\
\ \
-1
X
11. Graficar la intersección de las relaciones:
'' "
.
,
2
SUG:
\'y=-2x+2
Vemos que: Oom(S) • (3/!i. l) y
X
2x2 -
...
\
\
2: x2 - 9
10. GrafJcar la relación descrita por la inecuación:
\
X
y 5 x •
,
y2 - 2xy - 2y + 2x + 1 ?: O •
EJERCICIO.-
IJ 2: -
x2 + y2 2: 9
~
Graficar la relación definida por la inecuación: Jx +y - Z)(x - y) S O • SUG: Aplicar. la Regla de l os Signos: (
9.6
2y + x2 < O
y - 2x + 6 2: O .
/
}
Los bordes de las _dos primeras relaciones son tangentes en cuatro puntos. Graficar la intersección de las relaciones determinadas por: 1J
e indicar su Dominio y Rango.
SOLUCION.-Intersectando (en el primer cuadrante) los bordes: [t + y - 3 = 12 y = x2 + 3 ] = (x, y) = (3, 12~ • (Fig . 5) Vemos que: Dom (S) = [-12, 12] , Rang(S) =. [-9, 12]
2
11t
2y
Graficar la intersección de las relaciones definidas por:
5)
x2 + 3 > - y,
E:
y2 •
SUG:
X O
y)
1xi + 1Y 1 S 6 ,
(12, 3)
(-12, 3) 1
2 + x
2. Grafic.ar la relación :
X!J' '" 9
A
Graficar las relaciones definidas por las 'i-iiecuaciones:
l.
S :' { (x, y) E tR 2 ¡ x + y < 10 } ( Fig. 4).
xy > 9 ,
(1, 9)
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
~
y
~
/ 14 - x2
El bordé de la primera relaci6n es una parte de una hipérbola, y el
. 350
~
Fu.nclonu
Cap. 11
351
h segunda es una parte de una ci rcunferencfa.
bur
14. Cr1flc1r la intersección de las relaciones: ~ 6 •
l lt 1- 1!/1
IJ -
x2 <
o •
!/ +
5
::
12
o •
15. Graficar la relación: S .. { ( x, y)
t
R2 /
lt2 + ,; ~ 10
lt!/ > 3
}
•
16. Graficar la intersección de las relaciones: lt 2 ~ 4y2 :: 16 • lt2 + y2 < 7 •
ff"".:9 .
17. Graficar la relación definida por la inecuación: IJ < ~ SUG: La región incluye también las .dos franjas (no acotadas) en el semiplano inferior lj ~ 0 para lt f; -3) u [ 3, cu) 18. Dados los conjuntos
y
2 ltJ - 3x - x + 3" O}
{ (lt, !f) /
RPTA:
A = { (lt, y) /
[-3 - 21Tci ,
-3 +
,
+ 6y - 8lt ~ 7}, y
2
hallar
B
=
Rang(AnB).
...
UTci ]
19. Sea A { 1, 2, 3, 4, 5 } y R una relación definida e~~x ·A tal que cumple: i )' .Ji. lt e: A' (x., lt) t R. ii) Si (lt, y) e; R Si R está formada ( IJ' x.) t R. de la siguiente manera !
=
R=
{ (1, 1), (3, 2), (2, 2), (5, 5), (4, 2), (4, 4), (3, 4), (3, x), (y,
(z, x), (z ,
lt),
y) } ,
¿es
R una relación de Equivalen-
cía?
RPTA:·
lt
=3
,
IJ
=4 , z
= 2,.
La relación R sí es una Relación
de Equivalencia. 20. Dadas las relaciones
R y S de un conjunto A en un conjunto Rang (R) t:. Rang {S) e Rang ( R a S) •
mostrar que
B, de-
21. Sea A .. Z + U{O) , y R una relacilin definida por R = {•(lt, y) t , Ax A / lt + 2y ~ 8 } , determinar el conjunto Dom (R) t:. Rang (R). ·
RPTA:
5 , 6, 7, 8 } . · 1+12
22. 'Graflcar la relación lt
UG
2
2llt · ll + l l - Y I
Note que
'I
y2 - y
1 FUNCIONES : DOMINI01 RANGO Y GRAFICA Uno de los m.1s importantes conceptos de las Matemáticas se r:efiere a un tipo especial de relaciones entre elementos de dos con- · duntos A y B, llamadas FUNCIONES DE A EN .B. Una FUNCION expresa la i dea de una cantidad que depe!l de de otra, o que es tá determinada por ésta. Por ejemplo, el área de un círc~ lo depende de la medida de su radio ; s i se conoce la medi da de la longitud del radio, su área está comple~amente determinada. Así , se dice que el AREA de un cir~ul o es una 6uncló1t de la. longltu.d de ¿u JUJ.d.i.o.
1.1
DEFINICION. -
Una función de A en B es una rel ac ión f e A x B que hace corresponder· a cada el emen t o ! del conjunto A .a lo más un elemento ~ del conjunto B, denotado por !/ = f{ lt)
E
8 •
y : lt=
1
Al conjunto A se le llama el CONJUNTO de PARTIDA, y al conjunto B Conjunto de
LLEGADA.
:: O
( • , O) U [2, ao)
o 1-
/2
\
FUNCIONES
A
f
B
. Ca.p. 1Z
352
( il
lo más un elemento
y
f(lt)
=
y e: .B
[IX.
tal que
y) e: f
y se le llama
1
,.
f
353
Ca.p. l'l
Con estas definiciones a la función
f
se le puede representar por el con-
junto de pares ordenados
todo lt e: A , existe (lt, y) e: f .
es una FUNCION de A en B si
Ax B
Cuando un par ordenado nota
l)n subconjunto de pares ordenados
tt•FtHIClOH EQUIVALENTE.-
1.Z
~
pa;ut
f
a la segunda componente se le d!
e.n x •
e.l va.tell. de. la. 6unci.ón f
=
(x, f(lt))
e: A x 13
x e: Dom f '--c
/
A }
l,\si ,'el DOMINIO de f viene a ser el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de f , mientras que el RAAGO (ó RECO RRIOO) de f viene a ser el conjunto de todas las segundas componentes.
y = f ( x) = .imagen de. lt me.cli.alLte. f , y al " = cotWt.a..üna.ge.n (á atite.ce.de.n.te.) de. y= f(x).
En es te caso también se denomina elemento
f
A
B I
es único para cada valor x • El valor . y = f(lt) }!_ e: B puede tener UNO á VARIOS antecedentes lJ{l valor cualquiera en A , ó NINGUNO , en cuyo caso se tiene que (x, }!_)
x
JI. X E A •
f
/:.
· Rang (f)
Un valor cualquiera x e: A puede tener A LO MAS UNA IMAGEN y= f(,!) á n.tnguno .. en cuyo· caso se tiene que (~, y) f. f , ~ ,.~ e: B •
-
A
f
El rango de f , que es el conjunto de todas las imágenes de f
no nec!
sariamente cubre a todo B• ...:.· f.l conjunto de llegada B también es denominado CODOMINIO de f •
1.4
_.. ----- -
EJEMPLO.-
Sean A= { 1, 2, 3, 4} y B = { a, b, c, d } • Si f.= { (1, a), (2, b), (3, b) } , entonces Dom f
1.5 1.3
DOPllfHO Y. RANGO DE UNA FUl!CJOH .-
Se llama DOM!NiO de una función f al c~njunto de todos sus antecedentes (primens componentes), y se le denota por
:J
Dom f
!/
E
B I
3 IJ
E
B
I
e: f
(x, y)
= f(lc)
1J
]
]
J
e
A
} e
A
Se llama RANGO ó RECORRIDO de la función f al onJ11nt11 i1., las imágenes de todos los elementos de A , v'ía f ; y se le d! nula Ran ( f) O Rf Es decir, Rf
• l
• !
B "
1
f(x)
e
I
[ J B /
X E
A/
IJ =
x~C
)
f(lt)
A
]
} e
e
B
B
EJEMPLO,-
= { l , 2, 3 } ,
Rf = { a , b }
Si A es el . conjunto de todas las ciudades de América del Sur, y B el conjunto de todos los paises del mun-
do, definimos una función f de A en B como aquella que asigna a cada ci_!! dad x de A el país f(x) [en B] del cual la ciudad x es su ci udad capital: - si X - si it - si X
Así, ~enemos que , por ejemplo
=
=
lima , entonces Caracas, entonces Truji 110, "
f(Li ma) • PERU f(x) f(Caraces) = VENEZUELA f(x) • f(Trujillo) = NO EXISTE (No está definido) ,
f(x)
de modo que algunos pares ordenados de f
son :
(Lima, PERU) e: f
,
(Caracas, VENEZUELA) e f ; mi entras que ( Truj i 11.o, IJ ) t f , V. país y e: B. Con ayuda. de un mapa geográfico de AMERICA DEL SUR, se puede· v~ rificar que:
... Cap. 12
-
2. :i.
4.
5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12.
Rango de f
f
Oom f l.
355
Func..
entonces
E .U 1
(-m, -2]
=
f(x)"' 2x/(x+4)
ento_!!
.
~
Ca.p. 1Z
2
¡¡
' ~
.l'.-2
f(¡¡)
2 2 f = { (1,8). (2, -3), (l,a +b ), (-1,a+b), (a 2+ b, a), (b+a 2 , b) } g = { (4,3), (-5,-3), (4,a 2-b2 ). (-5,a+b), (a 2+b,a), (~ 2 +b 2 ,b)}
x+4
(.\'. - '/a)(x X+
-
x
E (
J u [ - ia
(-= • -4
Por lo tanto,
de
(bl)
.
18 J l n u2
v (b2) :
(o.
=
18>
+
~ 0 , .\'. E U2
4
7.
is J (o, /8 ]
M = (-"'. -2] U
8.
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS l.
Indicar cuáles de las siguientes relaciones son funciones . En cada caso, o~tener la gráfica, y dar su dominio y su recorrido (rango) : 2 A = { .(.\'.; y) E IR 2 / , / = 36>.'.} , E = { (x, y) E IR / .\'. = fY } 8 = { ( .\'., y) E IR 2 / y = -2.t + l } , F = { (u, v). E IR:! / u = v2 } e = { (.\'., y) 0 = { (.I'., y)
2.
2
/ y = 4/.1'. } 2 2 IR /' .l'. + ,/ = 16 },
IR
E E
G = { (x, y)
E
H = { (.I'., y)
E
IR
2
/
2
'il. ,,~
= 4x
2
}
= { (.\'.,
y)
E
A x'A /
X
= 2 }
R = .{ (.I'., y) 3
E
Ax A /
.\'. + /J
•
=5 },
=2 } '
Rz = { (x, y)
E
AX A /
y
= { (x,
E
AX A /
.\'. =
R4
y)
{(3, 3), (2,4), (c, d)} .
g(l) = 3
y
Sea
,
Si
Ji
X E
{ O, 1 }
/
O, { 1 ,
f(.1'.) =
probar que: I) I I) III) IV) '·
•
Ji
lC
Ji x
J x Ji
IN • J- y IN , Ji y
E
E
IN IN
E
lC E.
/
IN I
E
IN
,
f(x) f(.I'.) ~
f : 'Ji -
E
11)
111) f1,
10.
f(7•)
t
f(3y)
=o
f( ) 1(11) • - l •
ll
11
1
IN /
=
JtlC,!fE
f(a.1'.)
12.
a = b a 1 b
111)
Si
f(a)
l •
= f(b)
E E
2 IR / 2 1R
"..
= -6 ,
,
8 = { ( .I'., y)
E
(x~ y)
E
0 = {
2 IR / IR2 /
y -5 y > )(2
.}
!!. y _!! •
.
Da.da la función
f(x) = mx + b ,
1,
f (- 3) = 6 ,
Sea
A= { p /
f(x) + f(S) ,
x es impar
Proba~ que:
Ji
,
e IR ,
ic
med i ante
B(p
V
o,
Se define una
fu~
si p es Verdadera s 1 p es Falsa
q) = a(p) + B(q) - a (p) B(q)
B("-p) =. 1 -
B(p)
= 1 -
e(Pl a ( "'q)
La gráfica de la función
es par
X en los puntos:
si
X
es impar
Hallar 15.
IR ,
si se sabe que f(3} =
.. { 1 ,
B(p)
•
E
m+ b •
ha 11 ar IR
Ji :ic
f(15 ) = 3 f(5)
c)
p es una proposici ón lógica } •
~
.\'. es par
lln 1111 1o vn 1ur ·~ de a y _!! para que cada uno de 1os conjuntos de P!!. n·~ u1 d 11a1los 1•a una runc i ón, y detrmina~ l~-fu=' .en cada caso:
}
f(.I'. + 5) Si ,.f es una función tal que ¿ cuáles son verdaderas ? b) f(-5) = - f(5) a) f(O) = O ,
si
lC E IN
1y 1
:ic2 + y2 = 49 } ,
hallar
lC
Jt
=b
a
Dada la función f(.1'.) = u + b , .\'. E IR , donde !!. y b son constantes reales, si f(:ic + y) = f(.I'.) + f(y) · , Ji .\'. , !f E IR , y si
si
y es il!lpar
f(a) = f(b) f(a) 1 f(b)
entonces
x =
.f
si
es par
= a f(x)
entonces entonces
lCuáles de los siguientes conj untos determinan funciones de IR en IR ? :
ción : a :
14. -1
X
Si Si
a ( [ "'P J v q l
{
f( x)
11.
13.
f(.1'.+2) f(x + 2)
/
l) 11)
f(-2)
Rang (f) 1 B.
•
f (X + y) = f ( .\'.) + f (y) f(x) f(y) f(.l'.y)
L u& 1e1 \on verdaderas ? : 1)
X
es una f unción , l cuá le s son verdaderas ?
f
E= {(0,0), ('1,2), (2,2), (4,5)}
l }.
(b- a) + (.c - d) •
hallar el valor de
f: IN -
f(x) 1
A.
Si
C = ( (x, y) .
y = I 4:.. x }
2
3 Dado el pol fnomio P(.1'.) = x + (a+ l)i + :ic , se define fa función f con Oomi ni o { O, 1, 2, 3, 5) , por: f (a) ::: Ruto de. la d.lv.ú..lón de. P(x) 'e.n.tlte. .(.\'.+a) • Calcular f(2) + f(3) •
A = { ( .\'., y)
--
3. · Para A = { 1, 2, 3 }, · B.= { 3, 4, 5}, sean f y g dos aplicaci2 nes· de A en B tales que: f = { (1, 3),·(2, 4), (a, b)} , y g =
4.
9.
Sea A = { .\'. E IN / O < x ~ 5 } , ¿cuántos de los siguientes conjÚntos son func.iones de ·A en A? , ¿cuántos son Aplicaciones de A en A? Rl
369
Ca.p. 1Z
Fu11uonv..
368
tJ
(-?·O ) y
= f(.I'.)
"
l - f3.·(p) + B(p) B(q)
.. ~
(5, O) ,
ic
2 +bit+. c
intersecta al Eje
y al Eje Y en e l punto
(O, k).
(b + .e+ k) •
Dadas las funciones f y g definidas por las fórmulas 4 f(x) Jx2 - 6x - 9 , . -2 g(:t) = .\'.2 - 4x , y sean los conjuntos: A = { .\'. e IR l
f(.1'.) > O
B = { .\'.
E
IR /
A- B • Hallar el complemento del ' domin io de la función
g(x) ~ O } , f
ha llar
descrita por:
y = Jx3
f • l l it , y) E IR 2 /
tes po~itivas, ¿ es
,
donde
• y". una funci6n de
A • { 2, 4, 6, 8, 10 } ,
Sean
y ~ 5 }
+ ll:t.
St , B) S61 o si it > a , C) S61 o s 1 x > a ó x < -a ,
A) O)
18.
2
2 (x2ta 2 ) + (y2/b ) " 1
(n la ecuacHin
17.
- 9it
a
y
b
15/4 ,
?
lt
f(S)
x2
No , E) S61 o si
" < a.•
¿ cu~les de
B " { a, b, c, d, e } , A en
los siguientes conjuntos definen aplicaciones de
ha ll ar
En las si guientes f unciones , hal l ar l os i nterva l os (s i exi s t en ) en los que l as funci ones no son negativas ( y ~ O ) : 4 3 - x .+ 2x . a) f( :t) = · x2 - 5it + 4 , b) f(x ) 2 X - 8 c) f (:t) - (x + l){:t - 2)(x - 9) f(x ) d) ·x + 6
26.
son constan
f (x)
e)
B? :
Sea
f ( x) = :t 2 + l ,
~ • { (6, b), (4, a), (8, d), (10, e)}
f(A)
y
F • { (2, b) , (4, e), (6, a) } G .. { (10, b), (8, b). (4, b), (2, b), (6, b) }
c)
f : X son verdaderas
20.
?:
(it + 2)/(lt + 1)
f(x) •
IR a) c)
27 .
c.x • { 1 }
•
b)
lt, E
Rf •
¿ cu~les
IR ,
CJyl.J
l.
¿ Cu~ntas de estas funciones existen ? •
•
Dar un ejemplo de una funci6n ra dos subconjuntos no vados
22.
23.
A y B del Dominio de- f • Grafique
Para cada (x, y) n E
SUG:
Z•
E
=
.:l
Demostrar que
fn: IR - - R /
f11ra de radio
E
IR x IR I R > O
1J •
tir o 1;0mo una f unc16n de su altura
SI
f ( Jt) •
= IJ
A '"'en A es 3. (- 1), pues
=
lll( 2 + bx +-c ,
it + n ,
n
5. 6.
para algún
Expr esar el volumen
Z }
n
E
1
f(l) = 8 ,
R2 • a = 3,
=
SólÓ
b = 4,
a = 3 •
9
A = [-2, 10) = M
b)
5> = M
=
f ,
Rang(B) ;
Dom (C) =
Rang {E) ;
IR - {O}
y por último :
Rang(G) •[O, m) • R2 , ~ 3
d = 3 .
c: 1,
La única Aplicaci6n de
R4 •
y
En efecto,
Só l o puede ocurrir que
=B ,
pero s1
pues (a, b) = (3, 3)
--=:>
=
g(l ) "' 3
Dom f =
como
b • 3 ó
b = 3
l o cual no es posib l e pues Además, · de
(I H ) :
b = 4
e: A •
V "
f(x.) ;
x,
c • 1,
d "" 3 .
=
a
1 • f = { ( 1, 8) , (2, -3), (-1, 4), (6, 2) } (1) • a = 2 , b = 2 , g = { (4 , 3) , (-5, -3), (3, -2 ), (5, -1)} (2) a = - 2 , b = -1 , Por el
= [ 22
S6 l o (l ) ;
9.
Como
- 2] + [ J
Todas
12.
8/3 ;
2
14.
J
~
=
a2 - a
s.
= 2 .+ G
f(O) + f(O) •
f (O ) = a(O) + b = b
SUG :
- 3
S61o B y E •
f (O) = f(O + O) "
f( - 2) = -Za = - 6
11 .
f(a) = P(-a)
Teorema de l Res'i duo:
f( Zl + f ( 3 )
V del · cil i!!.
f(-1) + f(l/2) ..
(-m,
A=
A en A s61o
b = 4
y como
Z }
x • Indi car su Dominio.
f( - 1) • Q ,
7.
8. E
( - m, 4 ) ,
3_" f(3 )
Luego ,
10. para a lgún
=
Son fu ncione s de
2.
para algún
,
lleva inscrito un cilindro cuyo eje cen-
ltll l pu• por e l Centro de la esfera .
25.
fn(it)
Oom (G)
f •
S e s una relaci6n de equival encia.
Pruebe que se puede expresar: S • { (it, y) E R x IR / fn(it) • y , • { ( it, !I)
Un•
~ ,
E
S
d)
,
A = [1 , 3) = M ,
Dom E = IR+ U {O} =
Rang ( f ) 1 {3, 4, 5 }
Z (fijo), sea f 0 : IR R tal que., f 0 (x) • . Dada la relación S e R x R. definida por: n
a)
Dom B = IR
1,
P!
f(A) íl f(B) 1 f(A íl B)
tal que
~ ,
Son funciones :
{ 1, 2, 3 }
Dado un conjunto de 4 elementos A • { 1, 2, 3, 4 } , hallar todas _las funciones f tales que · f" AxB, eligiendo como B un subconjunto no vado particular de A para· cada ·funci6n . Graflquelas. SUG: Si B tuviera más de dos elementos , Ax B. no seda funci6n . (l?)
x + n •
4
f
x. e: Dom f = [ -1, m)
para :
A= [-1, 1) = M ,
" Rang (C) ;
Dar un ejemplo de una funci6n f (como conjunto de pares ordenados) que f tiene 8 elementos , f(it) ~ cumpla los siguientes 4 requisitos: .. x2 • Dom f z • Rang ( f) e B .. { 2m I o ~ m ~ 36 • . m E z }
,-
-
4 - x2 hal lar los conjuntos
CLAVE DE RESPUESTAS
X y Rf son disjuntos.
e
21.
f-l (M)
x2
f (x)
f)
C • ( (2, a), (4, c), {10, c), (B, e), (6, e) } O • { (10, a), (6, b), (2, a), (6, e), (4, d) }
19. Sea
371
FunCÁ.one.4
Cap. 12
Cap. 12
FunCÁ.DneA
310
=
=
a " 3 .
2f(O)
=
b = O•
Así ,
Luego,
f(O) = O ,
f(x.)
=
a = 3 '· b = O •
ax
,
.
f ( 5) = f ( O + 5) • f ( O) + f (5 ) = f (O) = D • Ademas, o= f(O) .. f(-5 + 5) = f(-5) + f(S) -46/3 ,
pues
b = -2 ,
c = k = - 20/3 •
Ca.p. 12
Funci.onu ·
312
Rf "' { f{x) /
15 , IR.
16. (l. m) A• 8 • (3, 4) ; S6 lo C y G; 19. Ninguna •
20.
Existen 9 de estas funciqnes, y dos de ellas son : '1 • { (2,4). (-2,4). (4,16). (-4,16), (6,36), (-6,36), (8,64) , (-8,64)
Sólo
17.
;
(C).
= x.2
f(x) • {O.}
22.
24. 25.
26.
Dom f '" IR ,
+ l ,
f(A íl 8) = ( 1 } ;.
,
f(A) = [O, · 1]
=
8 "' [O, 1) ,
5.1
a) . (-m, l] U [4, m) d). (-m. -6) [8, m)' ;
f(B)
b) { 0, l} ; c) [-3, -1] U [2, 3] e) [-5, 1) - {-1}
f)
[-3, -2) u (2, 3] ;
a)
f( [l, 3]) = (2, 10],
b)
f( (-2, · 10)) .. (1, 101). f-l ( [-2, 10))" f( (-1, 1)) = · (1, 2) , f- 1 (-[~l; 1)) =
c)
d)
f1
- 1·
X <
-1
-1
/
/
IR - { -1 } ,
1
-1
., "' ... ,
:
'
-2 ',, \
(-m, -2)U [1, co)
~
l .llRCICID' PROPUESTOS
f ( x + 4) • x. 2 + 3:1: ,
Halldr el rango de
ha 11 ar
f (a + 1) •
f(l!.) • x -1,ir..- 21
,
l( e: IR.
)
..
:1:3 + 2x2 + l!. ' • X - 2
A.
B
2.5
4.5
X
+
X.
8
2 , g(x) ·=
~/(ir. - 2)
C[Rang(f) - Oóm(g)]. f(l!.) • / (x2
10. Hallar eT dominio de la función
\
11
"
/
AB •
Dadas las funciones f(x) = 3x2 + 6x hallar
11
{ -(x2 + 1)
SIRll
,,. 2.
+
+
)(2 + 1
110111
Ran•1
1)
=
•
e
o 9.
(X + 1) ( )(2 + l)
=
f(x)
SDl!. + 24
+ 1I
Podemos expresar f en la sigui'ente for.ma:
lx
-
y
indicando su dominio y su rango.
+
2
f(x) = 1/ [ x]
- 4
- 4
cuyas gráficas son las secciQ nes de parábolas de la figura adyacentes.
x2 (x
3
1Dl( + 3Sx
-
x2 - 4>:: + 3
f(x)
(x + 1)
SOLUCION .-
f(x) = x
b)
Dada la fun~ión f(x) = (4x2 - 9)/12x + 31, hallar su dominio, su rarr go y la gráfica. ha5. Dadas las funciones f(x) = -l!.2 + 3)( + 1 , g(x.) = 3)(2 + 2x + 1 llar Rang (f) íl Rang (g) .
X
f(x) ,= [(-x) - 1 ]
5~14
4
2
x + 7x. + 14:i:. + 8 x2 + 6x + 8
a)
4.
D :
X <
=
y
a'.>
(>:: - 1)
Hallar el dominio, el rango y la gráfica de las funciones:
como
y
= IR
-4
[-4,
3.
3
Dom f
( l l( 1 - 1 ) 2 - 4 ~ -4
.. ""'
Hallar su dominio, su
381
Fu.nci.o nu
Ca.p. 12
• Hallar
el rango y la gráfica de la función f :
f(x) •
{
-
1)/ l l( - 2 I
¡~
X ~
:1:2 + 2:1: - 3
X.
e:
i (-1, 1)
12. Hallar el dominio, el rango y la gráfica de las funciones: 2 x3 -x2 -13x-3 (:1: 2 +3x - 4)(x -5x+6) a) f(x) " b) f(x) • 2 X +3 (:1: - Jx + 2)( ~ - 3) e)
f(x)
=
2
x4 - Jx3 - llx
+ 23x + 6
x2 + X - 6
2 2 13. ·Hallar el Dominio y el Rango de la función f(x) = x /(:1: - 2) • 14. Si f(x) = 4 + /(x + 6) 2 - 9 , Dom f = (-m,-11], y g(:1:):a ~ (x +3) 2 - 3 , Dom g "' co) , hallar Rang (f) íl ~ang (g) .
* * * * * .. * * * * *
Rang f = [O, co) .. ~ver Fig. (e) [Fig.(c)J
6 FUNCIONES ESPECIALES
y
6.1 FUNCION IDENTIDAD .-
''
4.
5. 6.
7.
ll.
-3
X
-1
Dom f" IR - {-3/2} , Rang f = [-6, 00 ) f(x) " (2x - 3) [(2x + 3)/ j2x + 31] = Dom f = IR - i-3/2} , Rang f = [-6, Rang f = [-3/5, l] [x] = n = x,e: [n, n+l) Dom f = IR - [ O, 1) Rang f "
( -m, O] u(2, _m)
f( x) •
l~/2
" - 2
,
11 •
,
X
' -1
/
/
1
X
Es denotada por I : IR IR , tiene Dom I = IR y regla de correspondencia y= I(x). = x ; ~ e donde vemos que su gráfica es una recta de pendiente 1 , que pasa por el or igen. Si la función Identidad ha ~e t ener un domin io entonces como ya sabemos , se le denota iA . , es decir
00
I A( x) "
)
JI
x e: A
y se dice'
Dom f · Rang
a( :it- :it ){:it - :it2 ) • 1 a = 2, b = 4, c = - 6
tiene
R , y con vértice
·:i? O ,i
V = (h, k) i)
o
= IR f = (k,
i i)
Si
Rang
ii)
o
a <
Dom f
m)
LA ECUACION VE 22 GRAVO, Pág . 180,
Cuando esto se .pre senta ya sabemos de
= IR f = (-m,
[O k]
=
f(it) sea,
en 6oltm4
k
t:i. •
y ·vemos que se pue de factori za_t t i ene una so la r aí z lt¡
= Xz . =]
.
X0
.ta.nge~e a.
Jt
= :it0
= - -2ab
Esto s ignifi ca que la grHica de
y
y
Que
Por ejemplo,
2 b - 4ac •
f(x) ·
en la forma: 2
+ 4it - 6 .
16 - 4(-12) = 40 2(x- l)( Jt + 3) •
(ratz de multipli cidad 2):
o
l:i. •
f
f(it)
f(it ) = 2:it
corta a l Eje X e.n un ~olo pwt.t.o·,
u.t'e Eje. y
y
X
k h
.
X
it0
Y romo
1:i.
=
b2 - 4ac
(OISCRIMINANTE )
Cuando esto se presenta, entonce s
VO PERFECTO: cntum;c5 se pr sentan los siguientes casos:
1)
f(:it)
tiene r.ikes r eal es si y solo si
te caso, . existen va l ores real es de
:it
Es dec i r, que en e~
l:i. :?; O •
para los cual es
Geométticaruente, esto signifi c;a que l a gráf ica de
f
f (x) = O •
coll.ttt- al Eje X ,
X
= -b/(2a)
f( x) = a ( x +
Por ejemplo, pues t i ene
f(x) a
= 3,
=
.2.. )2 2a
f(:it) "
a( x - x )
3it2 - 12x + 12
b = -12,
c
siempre r es ulta se r UN CUAV~ ~
= 12 =
2
·º
2 J(:it - 4x + 4) = l:i.
=
3(x - 2)
144 - 4( 36) = O •
2
. Cap. 12
Fundo nel> Cl\SU
f ( x)
2)
110
tiene
JttÚ.C.M Jteal.U ¡,.(. 1J
" o.lamente ¡,,¿
~
Funci.oneA
Cap. 12
~
Un pol inomio de grado n .ti.ene a lo má..I ces contando sus multipli c idades . As t por ejemplo :- el polinomi o
r:, < O •
2
Por ejemplo, f(x) = 2x2 - 4x + 5 " 2(x-1) + 3 no se hace CERO para ningún va'lor real de x . . En efecto , se cumpJe· q1,1e en 4 . este ejemplo, donde a = 2, b = -4, c = 5 r:, = -24 < O.
= .
raf
\
f(x) = 3( x - 1) 2 (x + 4) 3 (x2 + l ) es un polinomio de grado n = 7 con dos rafees : r = 1 de mult i pli cidad 2 y r = -4 de multiplicidad 3 . Mi ent r as que el .polinomio· .9(x) :
y
y
389
- x 4 (x + 1) 3 (x - 5)
g{x) =
X
(x6
2
+· 4)
es un polinomio de grado n = 15 con t r es ra íces: r =O (de multip l ici dad 4), r = -1 (de multiplic i dad 3), y r = 5 (de multi plicidad 2).
6.12
FUNCIOH SENO. f(x) = s~n( x )
X
donde Ja variable.\'. E: >
e: [5, 6)
X
•
-
l
ó
1
n = -2.
2]
n = -1
1) ,
n
1) , 1) ,
n
= =
O
1 n = 2
6.21
EJERCICIO.-
Hallar el rango y la gráfica de la funci ón:
Como
[ x]
y=
f(x) "
f( x) = X - [X] n , Ji x e [n, n + 1 ) x- n ,
i \.
---0
Rang (f) •
n=l
Jj
E
f(x) = / [ ; ]
X.
1
X.
X
~-
f(x)=
n e Z
= JJ.
= /if7] -:: f(x) =
x. e [n, n + 1)
X E [-3, -2)
-x + 2 • -x + l ' X
-X -
=
.
n
X -
f(x) .Asi,
< o
X
U2 = [O, "') f( x.) X - [X] f ( x.) =
f(x)
o>
1X1 - [ -x - n
f(x.) " f(x.)
! x ! - [. x ]
X e: (-m, -2) U [2, m) ii: e: (-2, 2) Luego por la definición
«====>
g(ii:) = u(x 2 -4)•
X
1\
l(
u(it 2 - 4)
FUNCION ESCALON UNITARIO
' ' '/ ,.
:-3
=
=
> 4
"2
=
g(it)
e: (-"'· -2)U(2, m) (a) (f!) e: (,-2. 2 } = f(x) = (ó) l( e: -2, 2 SIGNO , si su argumento (x2 - 4) es POSITI VO , entonces f(x) es 1 , si su argumento es CERO , entonces f(x) " O , y si su argumento es NEGATIVO , entonces f(x) es igual a. -1 , como en (a) , (f!) y (o), respectivamente. b) · xZ - 4 x2 - 4
en la regi6n 1J ~ O (semiplano superior). Rang (f) " [~. "')
>
sgn(x2 - 4)
X ~
si
=
o "2 - 4 " o "2 - 4 < o
a)
b)
•
/ 1x + 3 I 1x - l I
f(x) =
1J =
Hallar el rango y la gráfica de las funciones:
> •
O
O
= =
x2 - 4 < O = A = ( x3 - 4x + l x2 - 4 1 ) , entonces : JI
X E
U,
= (-m, -2) U(2, m):
<
.CD •2] U (2 CD> e: { -2, 2 } " u2 l E ( -2, 2) e u3
l(
E
t
t
X
=
a
º1
. Fu.nc.i.onu
404
o• =o • < o• >
(x 2 - 4)(x + 1) ( >O)
A (ll)
"
{
( - 2.2>: ' A
=
2 . (x - 4)(x - 1) {
( U< 2, -2, 2, 1}
405
(-m, 2)
" e: { -2. 2.. 1 } x e: (-co, -2) U(l, 2)
A = x - 4x: +
Func.i.onu
Cap. 12
A= O
x e: (-"', -2) U(l, 2)
3
.f(x) • ,- 3'90 (A) •
> -1
J(
(e):
Si
, si • si , si
'9" (A) • ·{ _:
>=
,
o , si
<
donde
(b) y
J(
2 x - 4 = O 2 1X - 4 I = -
{ - 2, 2}
(e)
si si si
Cap. 12
~
(x - 2)
2
2 - 1J
•
¡9 ,
1J 2: O,
es un~ parte de la rama derecha· de esta hipérbola equil!tera con centro . (1/2~ O), . en el semi plano superior IJ 2: O •
-3
6 , 'I'!
b)
EJE RCl Cl O• -
u.11lar el dominio de
:.u1 IJCI OH .-
a)
0 h)
a) Ha 11 ar B = { x
[ )(]
V
.
o
f(.t) =
!/1- [ x ]
O = .t [ 2x - 1 ] - 2x 0 = X ( [ 2x ] - 3 ) (3 !S 2x < 4) ~
=
IR /
E
[x] !S 1
.t [ 2x - 1 ] - 2x:. • O }
·/ (x[2x-1] - 2x:)
•
x ( [ 2x ] - 1 - 2 ) = G n (EJE X) = { (r, O). (s, O) }
a+b+c+d = 8 . 2 Hallar el punto sobre la gráfica de f(x) = 2 + Sx - x en el que el ángulo de inclinación de la recta tangente es de 45º , asi como la~
(-u .
si
e = O ek > ek <
Hallar la gráfica y el rango de
U< 3, CD>
J(
X E (-2, l)U(J, m) J( • -2
si
1
e:
si
a) b) e)
407
2 5. · Seap f(x) = (x/2) - 4 , g(x) " x - 2x - 3 , tales que sus gráficas se cortan en los puntos (x0 , !{0 ) y (x 1 , y1 ) Hallar la ecu! ción c1tadrática cuyas ratees son l/x0 y l/x 1 •
(x - J)(x - l)
"
Fw1uonu
Ca.p. 12
Ca.p. 12
406
~
f(x)
o.
s o•
Probar
f(x) = [x] + /[x] - x
Sea
f(x) =
a)
Dom f = IR ,
c) ·d)
~ (p , q) e: f _Ji- (p, q) e: f
/
e)"
.f:t , 'P,
/
[
[x] ]
q) e: f
se; f(x) = (
- x b)
,
,
/x2 - 4
Dom f íl Rang f,
hallar
¿Cuáles son verdaderas ?
Rang f • (-1, ·O]
/ ·p > O
p < O
q > O q > O
p < O
q < O
/(1 + x) 61(1+ x)2
]
3
,
hallar
[ 2x - 4] (x 2 + 2) ,
Sea f(x) = hallar el rango de
f ,
si f : [l, 3] y graficar la funci6n.
Dada la función { f , hallar ) Oom(f) n Ran(f).f(x =
f(g9) + f(l9) •
IR •
-
1X1
:..3
~
X
< 0
[x]
0 1
~
X
~
X
< 1 < 2
X - 1 2 { r, s} es el conjunto de las ratees de P(x) " x + 3x + e • Si y si r2 t s 2 = m , lcuá 1es s on verdaderas? B) m - 9 = Je , C) m - 8 = 2c • A) m + 9 = 2c ,
O)
m + 8 = 2c ,
Si
a y b son constantes reales para las cuales los poli nomi os cuadr:'i
E)
m - 9 .. -2c •
... Cap. 12
408 tlcos P(x) = (7a-2)x2 -(5a-3)x+l, Hallar el rango y la grSftca de
20.
Hallar el rango de Graficar f • ·
Zl.
Hallar el rango x E ( -.5/2, 2)
"
f(x) = Dom f .
Rang( f )= [- 12,5] y
11 - x
li + 21 - 2 l 3 - x 1 ,
f(x)
de
f(x) = l2x -
20 .
[-1/2, CD)
Rang (f)
a y b .•
t tenen las mismas ratees, hallar los valores de
19.
19.
Q(x) = 8bx2-(4b+2)x+2
409
Cap. 12
l
x E [-4, 10).
'I
t[
Z lx + l l ] (!xi - 1) Graficar f.
~
X
para
1
X
CLAVE DE RESPUESTAS l.
Dom f = O
HACIA LA 1ZQUZERVA
si
h <
entonces
f( x - 4)
f(x
+ 3)
o =
(x - 4)
(x
+ 3)
2 2 donde , en el caso de j(x) " (x + 3) • [ x - (-J) ] h • -3 .( < O) que " Tenemos la gráfica corresp~ndiente a continuación:
.
se obt iene c.omb.lnando
...
1
y=(x-7)2
1
2
g(x} = j(x) se tiene
I
·'
1
I
\
"'
I
\
\
'
'\
I
o
X
I I I
I I
'- 3
I I
~--
La gráfica de
-
-
(7 ' -3)
g( x)
= - f (x)
la gráfica de y = f(x) como VOBLE ESPEJO •
2
X
l
1
1
\
2a)
-
I
IJ .. x2 - 3 '
•
en h un.ida.de.& :
HACIA LA VERECHA
f(x) =· x2 •
f(x - h) + k
6
5
I
1
h(x) • f( x) - 2
.
4
3
se obtiene por 1t..e.6le.uón de
se obtiene duplaza.ndo HORI -
f (x - h)
ZONTAU.IEllTE la. g.11.46.ic.4 de.
I
'
X
=
I
1
•
1
g(x)
1
IJ = f(x) = x2 / \
1
1
(lb) La gráfica de
y
1 1 1
1
1
2
(la) y (lb) ·en cua lquier orden.
1
1
=
g(x)
La gráfica de
o
-1
\
y
HACIA ARRIBA. si
i)
le)
-2
-3
-4
1
I
' -5
¡
= x2
f (x)
IJ = f(x) ' ]
(TODAS EN BASE· A LA GRAFICA DE
411
Todo lo que está encima del Eje X pasa abajo; y v! ceversa.
~ob1t..e. el
consideran~ o
EJE X '
a est e eje
y
-f_,,.·-·, .IJ = - f (x)
,,
.I'
'
'
! X
. Ca.p. 12
412
~
413
Ca.p. 12 Note que pudimos haber graficado esta parábola directamente, cla \ o.
?.u)
se obtiene por 1te.6lex.i.ón de
l11 gráfica de
como
=
y
la gráfica de
EJE Y , considerando a este eje
óobJr.e. el
f(x)
OOBLE ESPEJO .
y
Todo lo que está encima del Eje Y pasa abajo; y v.i ceversa.
y=; f(-x) ii)
I
____
f(x)
f(-x) __ ,,/ .,.
,1
a Si
,
si a > 1 O < a < 1
X
a > O,
a f(x)
,
y
=
se obtiene \
VERTICALMENTE
f(x)
con base en e 1 Eje X • encogiendo la gráfica de
en un 6ac-to1t
en un 6ac-to1t
y = f(x)
VERTI
a•
[7.2] )
Ver el ejemplo
1
=
Estirando la gráfica de
CALMENTE
• 1
o
- X
1 y
Lá gráfica de i}
y = f(x)
.1
3a)
y =
La gráfica de
a > O ,
f(ax)
se obtiene :
/ /
i)
/
• 2c)
y
La gráfica de
',,,..
ii)
se obtiene · c.omb-Uta.ndo
-f(-x)
a
Como ilustración de los resultados anteriores hallar~
7.1 EJliftPLO.-
Sea
SOLUClON .-
=
f(x)
=
(x ·+ 2)
g{ic) 2
- 1
-(x - 2) 2
1 - ,1
I
f ( x)\= (x + 2) - 1 1
( Ver el . ejemplo
·soLUClON .-
,' l
Hallar las gráficas de las funciones : a) g(x) = 2senx b) h(x) • Es tas corre.spond.en a 1 caso y
( 3a) :
I
2
f(- ic) " ·(-x + 2) - l 2 (x - 2) - 1
I
/-1 o
' ' .... _.....__ / 1
'
.'y=
-1
X
- (" - 2) 2 + l
EJEftPLO .-
= - f(- x)
Hallar las grSficas de las func iones: a)
f(x) = sen (2x)
ambas para
-3
en un 6a.c.to1t
[7. 3) )
I
-2 ¡
Y•
..
!1
I I
2
_3,
con base en e 1 Eje
entonces
--,.,
I \
i\
-4
,
+ 1
y
3
\
a > 1
f(- x) = [ (- x) + 2) 2 - 1 = (x - 2) 2 - 1 -(x - 2) 2 + 1 • Luego IJ = g(x) = - f(- x) .
-f(-x)
'
si
HORIZONTALMENTE la gráfica de y= fii(x) a , si O < a < l •
mas la gráfica de lj •
,
Estirando
EJEftPLO.-
(2a) y (2b).
HORIZONTALMENTE la gráfica de y= f(x) en un 6a..s_
Encogiendo .tcJt
x
e [O,
b)
f ( x)
2 ir]
Estas gráficas corresponden ~1 caso
(3b).
~senic
Cap. 12
FunU.onu
Cap. 12
415
GRAFICA VEL EJERCICIO [7. 4]
y
\
y = sen ( ZX:)
sen x
y
{b)
{a)
\--.-;-. _. ! -\,... . ,,,,.
/.
~·
,
1 "·'·,
/.·
.
r
·,_
'-.
'
'·.
\
'-.
I
1 ' , ,
I
-Tr/4
I
-3Tr"
T '·.\
-Tr/2
·.
\
Tr/2 311/4
·' I
/
lj
'° '
\
X I
,. 211
311/2
: 9Tr
1-
.
4
I
"-12
, ·,
,/ 1
··-
. -::...... ~.-:·......
-2 y
1 ¡" 1
711/4
•'
= COS X entonces la gráfica de y" íf{i;) 1 se encontrará completamente en ei' semiplano superior y ? O y se obtiene a partir'de la gráfica de la func.i ón 1J = f(x) · : REFLEJANDO HACIA ARRIBA VEt EJE X TODO LO Q~E ESTE VESAJQ VE ESTE::.!JE, QUEVANVO If.ITACTA LA PARTE VE LA GRAFlCA VE 1J s f{x) QUE OR.!, "GINALMEWTE YA SE ENCOWTRABA ARRJBA ó EN EL MISMO EJE X (es de~ir, en la ZQ na y ? O) • Esta técnica es la misma de la presentada en la pig. 330 • SECCl
2 • CAPlTÚLO 11 .
EJEftPLO.7 .4
Grifica de
EJEMPLO.-
Graficar ia función f definida por : ·f(x) = 2 sen ( .! - x ) x e: [o. 2Tr] 4 ... SOLUCION.Como f(x) = 2sen(¡ - x) = -2sen{x entonces graficamos sig'uiendo el or_den siguiente: a) y = 2 sen x , b) y = 2 sen ( x c) y = -2 sen ( x)
fl.
f)
y
1J"
lcosxl IJ •
COS X
1J •
leos xi
f -
{Ver la gráfica correspondiente al inicio de la página siguiente). ti) CiRAF 1CA DE
1J = 1 f(x) 1
I
\
-
Desde que IJ
= 1 f( ¡;) 1
(
- f(x)
si
f(x) < O
f{x)
si
f(x)
~
O
=
1 f{x) 1 ? O
I \
1
-"-~
I I
4 lli
Fune-i.onu
7.6 , f:JERCICIO .-
Ca.p. 12
Graficar las funciones: a) g{x) ~
g(x)
b)
=
,J___ _
[-x]
SOLUCION.a)
Si se toma como base ]a fu nción entonces : · g(x)
.rx
f( x)
=
7.7 EJEPIPLO.-
o
-1
Ini"cialmente consideramos f(x) = [x·] g(x) = [ -x ] = f (-x) EJE Y : _ac'túa como ESPEJO VOBLE.
-
4
l
X
o
[x] [ - x]
-3
-2
-1
o
·----11
/
· - - __ :-- - -o
I 1 I
::1
/
1
2
o
•
1
o
•
3
...
/
1
y=
•
1
b
.1(
X
(curva punteada: -----) ,
la gr!
----,--- -/:
f
/
1\
•
\
J \
/
•1 \
.1
/ir.-1
/
1
~
o-e --
.. !' . . . _,,,.. ,,,.."" :
o X.
1, I 1
-1
~
'·
7 .8
•
EJERCICIO.-
Dada la función
[ f(x)]
Recordando que para ne: Z , si n !: f(x) < n + l entonces [ f(.I()] = n ; esta situación estii bosquejada en el dibujo de la siguiente pagina. Toda la sección AC ·de la gráfica de y= f(.I() que se encuentra en la franja (sombreada): n !: f( .1() < n + 1 .Y. H [a, b) es proyectada verticalmente h~cia el segmento de recta horizontal AB canfor mando una sección de la gráfica de. la' función y = [ f(.I() ] .
f(x) •
6, -1
sen .1(
.1(
,
[ Slln ~ ]
verifique que la función · g(x) ,. [ f(ic)] tiene como regla de correspondencia . g(ic) = [ser x] = [
S> GRAFICA DE
·--------- ..
X
1
1
1' 1
/~ 1
1
l
t" oB
-y --......,,,,.--- -,,, /~ 2 1 I
I
•- --- o ----o
1/
·Ji
·=- . [ f ]
· - -.:._o
.2
1
1 1
fica de la función [ f] es aquella constituida por los segmentos de recta horizontales (Hneas contin.uas) de la figura adyacente.
·---•
\ - - -- -- - -[ f(x)]
Dada la función f
entoneé'!f""'"'
f(x) g(x)
o
Ae· /
----
a
/
-4
o /e/
/:
f( x)
/
,,--
1,
---------./{ l
f(x)
"'>
f(x)
-
[ f(x) ] · "' n
f(- x) EJE y :
actúa cómo ES PEJO VOBLE.
b)
[O,
e:
y
r:7" =
.1(
417
Func..
-f______
y
EJE Y • Así tenemos que las 2 funciones f(x) = x
l/x
1
se llama
XEDomf f(-x) = f(x)
f(x)
~-05--------...;..~~2~~-:-~l--y~~~:.....
11
g(x) = [ sen x]
8 FUNCIONES PARES, IMPARES Y PERIODICAS Una función
~
,
<
'
EJErtPLO .-
8.1 . FUNC ION PAR.-
f(x) = sen x
b)
419
Una función que es a la vez PAR e IMPAR es, por ejemp.]o: f(x) " 0 , JJ. X E -5, -2) U (2, 5 '
r
Fu.nc..loniu.
Cap. 72
y•
Rang (g}
~
rñ - : n ~ O , luego
=(*) Si Si
rñ ( l"ñ - 1 ) 0
~ n ~
~
n =O n ·= 1
1 ,
=-
O lx1 < 1 1 ~ l x 1 < /Z
=
~ O
=-
o ~ In
nE l
nE {0, l}
xe
-1, 1
f(x) =
~
n)
1
~
xi:
z
k e:
Y. Vemos que el periodo mínimo es
T
=ir
•
Asimismo s.e puede verificar que
f
es una función PAR.
8.11
EJERCICIO.-
Si a es el período de f, y b es el periodo de
g, hallar 4 11 f(x) = sec (- + i ir x) 3 2
SOLUCION.-
De
sec(u)
cos [ .!. + 14 11 ( x + T) ] J . 2
=
2TT
s
1411T / 3
=
a + b , donde 211 1 g(x) " tan { x • )
-2
4•·
l/cos{u) ,
2
3
T • 3/7
2
•
3
a
la FUNCION TANGENTE tiene .período mín~mo ir : tan [ 2TT (x + T) - l ] tan(z+11) = tan(z) 4 tan( 211 x - 1 ) si 11T/2 = 11 {** ) • tan [ 211 x - l + .!. T ] 4 4 2
Sabiendo
EJERCICIO.-
2
3
4
6
5
Rang(t) •
[O, l] •
Hallar el dominio, el r ango y la gráfi ca de f{x) = [x] + / x - [ x]
par a n E ~ Dom f = IR ;. además , si X e: [n, n+l ) f (x) = ¡~
~ue
=
l
f . tiene período mínimo T = 2 ,
y
- sen ( 14 11 (x + T)) " - sen ( 14 ir it + 1411 T¡ J J J -sen ( -14 11- X) , para 2ir .. 14irT/J 3 COS ( .!_ • ( • 14 1T X)) = COS ( .!_ + l h X)
=
o
-1
f( x}
=
f
-1 + ~
r;:
l(
e: (-1 ,
o>
x e: (0, l )
l
'
( [x]
= n) '
(n
= -1 )
(n
=
O)
..
. Cap. 12
Furic
4 ~ o}
(1 , .. íl (4, "")"' (4, "")
O } = (-"", 1) U (4, m)
Como los dominios no coinciden , entonces
..
f ; g
SUMA DE FUNCIONES Recordemos que una función esta completamente defini da cuan40 se específica su Dominio y su Regla de Correspondencia.
....
'
Si f y g tienen dominios Dom f y Dom g , se d~ fine una nueva función llamada FUNC10N SUMA
DEFINICION .tal que
DOtll (f + g) "' Dom f íl Dom g (f'+ g)(x) • f(x) + g(x) •·
i) ii)
tenemos que el valor de la funci6n suma "f + g" en el p11nto · x, es igual a l·a suma de las imagenes .f + 9
= {( x,
f(x) + g(x) )
f(x) + g(x) .
I
X E
Es decir :
n
Dom f
Dom g }
y
X
f(x) + g(x)
(x. [f+g](x))
f
. -· ---·-
g(x) f(x)
9 ALGEBRA DE FUNCIONES 9. 1
IGUALDAD DE FUNCIONES.- Dos funciones i) i i)
Dom f = Dom g f (X). = 9(X)
"
f
y
X E
g son Dom f
IGUALES si: ( " Dom g ) ;
f(x)
g(x) '
I '
' ',,
g
/ ,/
' ....... ___ ~'
I
X
Cap. 12
Func.io11e.4
432
Por eJemplo, dadas las· funciones : ( ( l , 3) , ( 2 , 6) , ( 4, 8) , ( 6 , 2) } { (" • f ( ") ) I " E Dom f} g • { (O, l). , ( l, 2) , ( 2 , -1) '. ( 4, 5) , ( 7 , O)} = { (" • 9 ( ") ) / X E O~m g }
¡
eap. ! 2
f---g~~{~(~~.-f-(-l)---g-(l_)_}_.~(2-.-f-(-2)---g-(2_)_)_.~(4-.-f-(4_)_--g(-4)~):::::'. } { ( ~ 3-2). (2, 6-(-1)). (4, 8-5)}
f •
. 6 }. Dom g = { O, 1, 2 , 4, 7 } ; Dom f = { 1, 2 • 4 , • Dom ( f + g) " Dom f . íl Dom g = {l, 2 • 4 }
=
(x, (f, + g)(x) )
y como todo elemento
(x., f(x} + g(x)) ,
la forma si si si
X= X= X ,.
= 9.5
l 2 4
=
de la funci6n SUMA lf x
entonces:
E
= (1, 3 + 2) (2, f(2) +g(2)) = (2, 6+(-1)) (4, f(4) + g(4)) = (4, 8 + 5)
=
f+g " { (1,5), (2,5), (4,13)}
"
E
(2, 5) (4, 13)
E
E
f(x) = .mx + b
,
x
E
IR
La gráfic·a de cualquier fuñción lineal• por su reg,la de cor:espondencia, vi~ ne a ser una recta con pendiente m y que intersecta·al EJe Y en el punto (0, b) .
ciones V1FERENCIA a)
" f - g
i) i i)
b)
f2 cf =
11
9.~
f - g
fg
{ (x, f(x) g(x) ~
/
= Dom (fg)
f - g , · fg , Dom f 2 "
{-3, -2 , O, 1, 2, 4}
x
E
Dom f íl Dom g
xtDomfílDomg
}
l .
= Dom f íl Dom g =
{ 1, 2 '. 4 }
2 IT,
"
f2 y
Dom f •
,
[ O, "') halla r las
! 2 - 3g •
[O, "') ,
Dom f O Dom g •
·;
E
{O, 1, 2, 4}
:
0
f +g "
{(Jt, f(Jt) +g(Jt)) / X E Dom f íl Dom g • {O, 1, 2, 4} } · {(O, 210+ 2) ~ti. 21T.f.,5), (2, 212+ 3). 14, 2/4+ (-2))}
+' g fg f2
Por ejemplo, dadas las funciones f(x) " { (1, 3) , (2, 6), (4, 8), (6, 2) } g(x.)" { (1, 2), (2, -1), (O, 1), (4, 5), (7, O) } Dom ( f - g)
'f + g ,
{ (O, 2). , (l, 7}, {2, 2 IZ + 3) , (4, 2) . l
= { (o. = { (o.
-2) ' (1, -3) • ( 2. o) ' ( 1, 10) • ( 2.
{ (Jt, 2 fi. 21i) / { (it, 4x) /
/
f{Jt) •
g = { (,.J, 6), (-2, 1), (O, 2), (1, 5), (2, 3), (4, - 2) }
f(x)g(x)
= { (x .. f( x) - g(x) )
t iene
Así,
Dadas las funciones
. .
f - •g
..
f •
f
{ (x, f(x).f(x.) ) / x. i:: Dom f } { (x, c f(x) ·) / x i:: Dom f } , para cua lquier cons-
EJERCfCIO.-
f
11
(fg)(x)
La multiplicación de una función por sí misma : fn = f. f ... f , Cn veces ) , n E IN f 2 .. f. f · ;
tante rea 1 e •
11
Dom ( f - g) = Dom f íl Dom g (f - g)(x) f(x) - g(x)
(4, 40) }
·
donde Dom (fn} = (Dom f) íl {Dom f) íl .. .. íl (Dom f } = Dom f Por lo tanto, el dominio de cualquier potencia entera positiva de
Dom g
y Dom g , se definen las fu!!.
Dom f
MULTIPLICÁCION fg i) Dom(fg) = Dom f íl Dom 9
ii)
=
NOTACION .-
SOLUCION .-
9.6 RESTA YMULTIPLICACION DE FUNCIONES f y g tienen dominios
(2, -6) • ~
• funcio~1s
Si
¡} '
el mismo dominio de la funci6n
.
\
f(l) g(l)} • (2, f(2) g(2)} (4, f (4) 9( 4)) • (2, (6)( - 1)) (4, (8)(5)) }
tiene·
f + 9 f + 9 f + 9
(4, 3)}
{ (1, (3)(2}} { (1,
f + g"
(1, 5)
= { (1,
fg
(2, 7) •
{ (1, 1) •
1uego ,
Dadas las constante"5 m ;. O y b , reales, se llama. FUNCION LINEAL a la func~definida por:
DEFIHICIOH .-
..
Dom (f + g) = { 1, 2, 4 } •
(1, f(l) + g(l))
=
11
433
Func.ionu
x.
i::
"
212 - 3) • {4' 6 12 ) • (4. -8) E-
[O,
[O,..,)} =>
co )
6) } }
}
t'2(x) • 4JC ,
:Y. u
[O, "') (*)
= { (Jt, 3g(Jt)) /"E Dom g • {-3, -2, O, 1, 2. 4}}
3g •
{ (-3, 3(6)), (-2, 3(1)), (O, 3(2)), (1, 3(5)). (2, 3(3)), (4, 3(-2))}
• { (-3,
ie),
(-2, 3), (O, 6), (1, 15), (2, ·9), (4, ·6) }
- 3g) • Dom t 2 n Dom g • { o, 1, 2, 4} f2 - .3g • { (x, f 2(it) - Jg(x)) ¡ x i:: { o, 1, 2, 4 l • { (x., 4x - 3g{Jt) / X E { 0, 1, 2, 4 } }
?
ocim (f2
. .. Ver (*)
434 •
C_a~p.-;;.12:--;;·~~~-=--;-:f-(~~· ~~F~un~u~·o~ne.4~--------------------~4~35 (
Cap. 12
Fu11ci.011ei.
Dom (f + g) = (-1, O) U [O, 31T/2] 1
{ (O, 4(0) - 6). (1, 4(1) -15), (2, 4(2) - 9). (4, 4(4) + 6)
•
{ (O, -6), ( 1, -11), (2, -1}. (4, 22) }
L9
si - 2x
f ( x) =
EJERCICIO.- Si
1
g(x) =
=
[e.os x]
X
,
X
3fi
e: e:
(-2.
8] (1, 10]
....
•
(f + g)(x) "
f(x) =
r 3x + 1 •
X.
Sx
X
l"
•
Hallar
f +•g ,
>
e: [ -1, 1 e: 1, 6]
<
"
g
f - g ,
fg ,
y
.{... X.
e: (1, 8]
(x.
(3 - 2x.). •..• (x +
COS X. ]
~· ·1)2
i/ ... X e:
COS X
•
2 + ~l) + COS X " 3 + COSX 2 + (0) + cos X 2 + cos X. = 1 + cos X. 2 + (-1) + cos
(f + g)(x.) ,.
para
[O, 3 lf/2]
xe:(-1,0) X• 0'
4 ,
"'
o>
[-1,
xe: (O, 1T/2] U {31T/2} ' xe: (lr/2, 3lf/2)
___ _._ -1
( ) = r 2 rx - 1 l 2
x. e: (O, 3) X. e: [3, 5] u [6, 8
•
X -
X.
~· ~
x2 • 2 +[
Dom f íl Oom g = ( 1, 8] = Dom (f + g) = Dom ( f g) , f(x) + g(x.) = (5x_2 - 2x.) + 3 fi x. e: (1, 8] (f+g)(x) 2 f(x.)g(x.) = (5x.2 - 2x.)(3 ~ ) = 15x fi - 6:dX: , (fg)(x) =
EJERCICIO.-
e: ( 0, 11 /2) U { 31T/2 } _. 1T /2 .< X < 3 Y/2
X
•l
{
=
9.10
X= Q
o
{
Sabemos que ,
> f
SOLUCION .-
Cuando se trata de funciones que tienen varias reglas de corres ponde.ne i a, como en es te ca so, 6e. cada. de. loó domln.lo.5 pM.ci.ale.6 de. un.a. de. W 6unci.onei. con loó de. la o:tM 6unc.lón, cg, mo sigue. Es aconsejable mantener la separación resultante de los interva •
.ln1~cta.
un~
----,--- -
..
Ratig (f + g) = [O, 1) U (1, 4]
.
1 1
1
1 1
1
~,' /
los para todas las ·operaciones_ pedidas: Dom f íl Dom g = ( (-1 , l U ( 1, 6] ) íl ( (O, 3 ) U ( 3, 5] U ( 6', 8 ) )
>
o -1
1
'11' ' ,
2 .. ,
1T
,.
)Ir
X
,"""" ªT
-- --- - - __ -:,~.... ..!.. -: __ - -·-
= (0,-•l) U ( l, 3) U (3, S] U { 6 }
' l"• l'" l Dom
(f+g)(x) =
(f- g)(x.) =
(fg)(x) =
(f + g)
= Dom (f - g)
X
5.x(x. - 2)
f(x) •
x.2 - 2 { [ 2 + COS
SOLUClON.Dom(f+g)=
Hallar y graficar la función ,
X ]
,
-1 :: x. < O , X ~ 0 .
[2+cosx]
=
xe:(l,3) )( e:•[3, 5] u { 6}
> >
e: ['O, 1 e: ·(.1, 3 )( e: [3, 5]
X
g(x) =
2+[cosx]
f+g ..
Hallar
f + g •
f(x) •
ri--:-;.z
y
f - g
g(x) •
{ (1, O). (-l, O) }
•
fg
para:
¡;z:¡
f- g
.
l Porqué? •
fg
x e: (O, 1 )
3x. - 2 /i + 2 • Sx - 2 l i + 1 , · 4x + 2
(3' • 11(2 /"i - ll 5x(2 IX. - 1)
EJERCICIO.-
e:. (O, 1) xe:(l,3) [3~ 5] u { 6 } X e:
X
6x - 2
1 - (2 r;:' 11 5x - (2 fi - 1) 5x - (x - 2)
EJERCICIO.-
Dom (fg)
3x + 2 /i Sx + 2 IX. • l ,
l • (21 l x .. 1 X. < 1
1 , O• -1 •
O• 1 ) U { 1 } U ( 1, "')
l
Ca.p. 12
FuncioneA
436 Corno
ll)
sgn [ x. + l] = sgn ( [ x.] + l} "' entonces
l (
X
E
o ,
X.
e: { -1 , 1 }
-1 ' ,
X.
E
(l}(l}
(
(1)(-1} (Q}(-1}
=
~ 1
o
-1
X.
(-1, 0)
X.
•
&
(-c:o. -1
lx.I = i
l
r~-
Dadas las funciones
T "' es
Hallar el período mínimo de las funciones siguientes:
c)
T "'
-1
-1
a)
=
(=
1}
relacilin:
E
X
EJERCICIO .-
lx I »
(f + g)(x}
f
1
9.15
(=
tenemos que:
,
b)
.
-:--
X
o ..
>
(1, c:o) x.•l x. e: [O, 1)
-1 0
(-1}(1)
(-1,Q) e: (-c:o. -1
E
de donde el período mínimo de g(x.} es Verificar que el perfodo mínimo de h(x.)
e)
X E:
O
(0)(0)
a)
X.
-1, 1)
~ =
(l)(O}
9.14
,
U
,
g(x.) = sgn [ x. + 1] sgn ( 1 xi - 1)
y siendo
a)
-1
X.
0
sgn ( l x. 1 - 1) =
g(x)
[
x. e: (0, m)
1 , O 1
La condición (i) exige que el dominio· de
Dom {f/g) f/g
no debe con.tenell to~ val.o-
-¡
•
. Cap. 12 .
438 ~-
de.
lt.eA
• f /g
{
•
de
Esast,. que :
439
Cap. 12
.x: e: Dom ( f / g)
/
g(.x:}
x e: • Dom g /
(a ) y (b)
Dom (f/g)
~)
(x:,
o.
g ( x:)
que. hagan que.
~
=
}
(Dom f íl Dom g) - { x. e: Bom g /
g(x.) = O }
{ ([- s. -11 u [ 1, 4)) n ((o, 3 > u (3, 6])} - [2, 3) [ l, 2)U [ 3, 4]
((1, 3)U [ 3, 4]) - [2, 3) "'
9 .18 f
g
EJEl'IPLO .-
= { (1 , = { ( o,
Hallaremos la función
Dom f
= { 1,
Dom ( f / g)
g \ x:) : O } = ( 2, 4 }
por lo tanto,
1, 2, 3, 4, 5 } - { 2. 4 } =
.
f/g
(
3
9(xf ) / ·
f(3) ) g{3) '
'
{ (1, 4/3), (3, 6/7),
EJERCICIO.-
4 ::
x.2
< 5
==>
f JERCI CIO .-
[
2x: ,
X
f(S)) g(S)
1e:
.,~
}
( -
= [ x. ] ¡5, - 2) U [2, /5' )
.
De
( *) :
f/g
=
O
=
,
g(x) = {
~
IGUALDAD DE POLI N011IOS . f y g son IGUALES si 1os coefi Por ejemplo, si son
~ien tes'i!e los t érmi nos del mi smo grado son iguales.
ª3
Por lo t anto ,
:r
o•
2
P(x ) = a 3.x:3 + 5x - 2x Q(x.) = - b2x.2 + bl.x: - 7
b
2
,. 5 ,
2
b
1
a0
= -2 ;
lf
x. e: IR
,
- 7
"
.
lf
P(x) = 5.x: - 2x. - 7 .. Q(x. )
9.23
EJERC I CIO.-
Hallar los valores de
-3 <
(1 ) 2 - 4(1 )(1)" ~2
{ x. e: Dom g /
[0 , 3 )
X
E
X
e: [3 , 6)
x.
e: IR
x. 2 + 1 - Kx .x:2 +
X.
tales que:
k
lf x. e: IR
(*)
< 3
+1
x e: [ 3, 6]
•• (FALSO,
X
e: (2 , 3)
$ ) .
Luega,
-3 •
De esto resulta que (PARA TOVO x. REAL).
-3(x. 2 +x.+1) < (.x:2+1-Kx.)< 3(x.2 +.x.+1).
===>
=
=
x.2 + x. + 1 > O
..
- 4x. 2 + ( 3 - K) X + 4
g{x) = O }
O :: x - 2 < l x. e: [O, 3) . 2 :: x. < 3 x. e: (0 , 3) =· •
{
>u [ IS. "")
para
[ xy- 2 ] ,
A
a toda fu nc i ón que es el Por ejemplo ,
I
u [/5, co)
=
x. = O
e: [3, 4]
SOLU CIO N.-. · El denominador de esta funcHin r~cional nunca se hace CERO 2 en IR ', pues su DISCRIMINANTE es NEGATIVO: !>. = b - 4a~
C~lcu l o de l conju nto
2 ] " O
"'
(*)
[ .x:2 - 4] Hallar
X.
2/x.
es una f unción racional cuyo dominio es el conjun t o de 1QS x tal es que e 1 denomi nadar no se anux. e: IR ¡ (x.2 - 3x. + 2) = ( .x: - 2 )( x. - l) ~ O } = IR - { 1, 2 }
•
1. 2
x.e: (1,.2)
-2x.
x. + 3x - 12 .x:2 - 3x. + 2
= 4
>
[
=
Se llama FUNCION RACIONAL Cociente de dos poli nomios .
iguales l os poli nomios :
)
=
2 3
"'
4
o
X
.•
l -1
1
o
1
2
3
4,
y
14.
= { (1, 12)' (2, 13). (3, 4) }
o
x2+,/
cuya gráfica consiste de dos arcos de la circunferencia más el centro • Graficarla
CLAVE DE RESPUESTAS l.
pues
f(x)={
º
Dom(g/f) y Dom(f/g).
443
Func.i.onu
Ca.p. 12
Ca.p. 12
fo11c.i.orteA
442
~
,~~~~~l-1-~~~~-~~~.-.~ '-Lt-1 -11~/iº
i
7.
l
1T
6.
g es par ;
h
18.
)(
19. y
9.
T = 1T/2
-
311
[x] X
,.. X
o
X E
2
X E X E
Dom f = (-4, 6],
Dom g " [x]2
1 f'iL\L
-2
1T /2
11
31T/2
2w
Luego,
~
.
o
::: V
Dom g =
O
[x] f-
=
>
[x] ::: l IR •
l/2
,
{ :!: l , :!: 2
X
< 1
}
Problema [28]) •
ll
[x] ( [x] - Í ) ==>
X
Dom (f/g) • (-1, 1/3) u [l, 2) Rang (f/g) "
(-1, -1/3) [-1/3, 1/3 (l, 5/J) [5/J, 2)
(Pág. 461 · ,
3
• •
Oom(f/g) = [-5/2, -2)U (-2, m)
Note que
IR [x]
2
Dom(f/g)" [O, l) U [4, 6)
Dom(g/f) = (-2, m)
y
-o--...i..--.----___,.. O1 11 21T
X t
Ver la SERIE DE EJERC. PROP.
o
-2
)(
-1
{
(f/g)(x)
es iJllpar •
4
2
.
x e: IR • En efecto,,,
::: V
=
O X
!:: 1 .
... Cap. 12
444
445
Cap. 12
g
10 COMPOSICION DE FUNCIONES
= {
(7, -1). (1, 2), (4, 3)
SOLUCION .-
Dada una función Dom f
,
f
como
1 + fi ,
f(ll'.) '"
ll'. e [O, "') =
sabemos que también pÓdemos representarla como u e [O, "')
f(u) = 1 + fU Consideremos ahora dos funciones
f y g ,
y si en, la forma (L
para
(*)
=
g(ll'.)
como por ejemplo :
" e [O, "')
f(ll'.) .. 1 + f i g(x:) = )( - 6
= Dom f = Dom g
" e (2, 15)
f ,
(*)
= Dom f
••• (a)
••• (b)
reemplazáramos en particular
Dom f = { 2, 3, O, l } Dom g = { 1, 4, 7 } donde g ( 1) = 2 , g( 4) • 3 , g ( 7) = -1 , queremos evaluar (fo g)(x) = f( g(x)) para aquellos valores x: e Dom g = { l, 4, 7
1
(fo g)(l) (fo g)(4) " (fo g)(7) Dom g
)( - 6
donde ésto sea posible
.. ..
f ( g( 1) ) f(g(4)) f( g(7))
=A
=
(fo g)(l) = 9 f(2) = 9 (f o g)(4) = 6 ==> f(3) .. 6 f(-1) que no esta definido, pues -1
-
f
Dom f • B
g
r.
Dom f.
e
obtenemos la expresión = 1 +
f( g(ll'.) )
/g(ll'.)
1 +
=
(**)
/;:-:-&
Ran(g)
que representa una nueva operación entre dos funciones f y g llamada " f COMPUESTA CON g " ó también " COMPOSICION VE f Pó'R~" , y se denota " fo g " , cuya regla de correspondencia es, precisamente,
=
(fo g)(ll'.)
f( g(ll'.))
=
1+
f'9'W"
=
1 +
¡-;-:-¡;-
(**)'
o
donde la variable " es tomada como " e Dom g , pero donde 110 .todo1; lol> ll'. e Dom, g 1;on ne.culllUame.n.te. e.leme.n.tol> del Vom.úúo de. la nueva ÓlLltci.ón f o g ; como podemos ver en (**)' :
"= 2 pues si as f fuera , ( f o g )( 2)
=
e
Dom g,
s1n embargo
"" 2
r.
Observamos que la nueva función
Dom(fog)
1 +
/9(2)
= l +
12-6
=
1 +
{ x e Dom g / g(x) e Dom f { x e (2, 15] / x: - 6 e [O, "') } = { x e (2, 15] / x e (6, "') }
n (6,
"'>
f('g(x)) =
1+
/9(7}"
En general, se tiene que
La función compuesta i)
Dom ( f o g) ..
ii)
(fo g)(x:) f o g
f o g
es aquella función tal que
{ x e Dom g / g ( x) e Doin f . } Dom g n '{ X I g( x:) ¡; Dom f } f( g(x)) es su regla de correspondencia. { (x, f( g(x:) )
x: e Dom ( f o g) }
/
•
(6, 15]
EJERCICIO.-
Y por lo tanto, tenemos la función compuesta : = 1 +
fX-::6 ,
Dom (fo g)
:Y.
e
Encontrar f o g para : f • { (2, 9}, (3, 6), (O, 5), (1, 2)
Hallar
(f o g)
y
(g o f)
para
f = { (x, I~ ) / x: e [l; "') } g = { (2, -5), (O, 1), (-4, 6), (8, -3), (-7, 10)
x e: (6, 15]
Dom g i)
EJERCICIO.-.
~
DEFINICION FORftAL .-
(2, 15]
10.l
'I
existirá siempre que
¡:¡-
Debido a la regla de co~·respondenc.ia de fo g : (fo g)(ll'.) f( g(ll'.)) los " que pertenecen al Dominio de fo g son aquellos x e .Dom g tales que el valor g(x) e Dom f ; es decir
(fo g)(x) ,.
f o g
Rang (g) íl Dom f
1 o cual no está definido.
Dom (fo g)
f o g = { (1, 9) • ( 4, 6) } .
y
{ 1, 4 } •
entonces
f ( g( 2) ) ..
g
Dom g = {
f o g
o,
donde
2, -4, 8, -7 }
f(x) =
i'"'X7T ,
x: e (1, "') •
es finito, se paede observar rápida·
Cap. 12
Func.ioneA
446 ml'n Lr para
Dom f o g
que 1os
Dom ( f o g) = { D, -4, -7 } Y fo g := {(O, f(g(O)) ·), (-4, f(g(-4)) ), (-7, f(g(-7}))
{·(O,
(-4,
/(i)-1),
f(6) ) , (-7, f(lO))
(-4,
i(6f:lJ,
g ó f
i i)
=
{
}
10.6
{ X. E
17=1 = o = i7=T = 2 = i7=T = 8 .=
~
2, O, -4, 8, -7 } }
E {
no hay tal
¡(
=. l ;
=
=
X.
= 5 ;
= -7
no hay tal
X
/x-:-1
X.
= 65
luego ,
{ (x., g(f(x.))) /
x.
E
g(O)),
f o g
10.4
EJERCICIO.-
llar una funci.ón
A)
S) C)
f
= { 1,
f o 9
=
f(g(-1)) =
h(-1)
SOLUCIOff .-
f(g~)) • De
¿Cuáles son verdaderas ?
h •
f(g{2))
h(2)
•
l(g{3)) - h(3) As,, la alternativa ternat iva
• h
(S)
= =
(C)
f(4) = -6 f{l) = -2 f{3) =
9·
es correcta.
RPTA:
= =
=
10 •.8
= { -1,
2, 3 } ,
f
f
X
Sea
f.(x) = -3x.2 + 5x • 8
•
Si
h
1 O , evaluar:
2
- 7h ]
~ 12x
+
~
,
=
=
l2x. - 3 g( i.:) = ( x-2)
x •
u = g(x.)
3
(Zx - 3)
I
2
- l Zx. - 3 1
+ 7(x.-z)
2
+ 17(x-2) + 15' " - l = u ,
~
2
=
(u + 2)(u2 + 2u + 2)
{g o f}(x} ., x + 2 , hallar 2 3 f(x.) = " + 6x + 12x. + 8 • f(x) =
,
g_( u) =
(x ·+ 2) 3
g( f(x)} =
3/ü
=
regresando al s'imbolo x •
,
Si
3 / f(x.-)
=
=
f()() .
(x.-2) = (u-1)
Como
tal
(*)
= =
g(x.)
haciendo
f(g(x.)) •
1g(x)1
,f(i.:- 1)
x < O, hallar 2 4x. - 12x + 9 •
=
.. 2)
-x + 1
g(x)
b)
o
=
9
±(x
g(x.) + 1 =
=
+ 1
x - 3 ,
<
(por(*)),
s.i
tal que
•. (dato)
Factorizando por 1a regla de Ruffi ni, haciendo
2 =
u = f(x)
también. l Porqu.é ? ) •
I
2
o ,
u <
,
(x + 2)(x2 + 2x. + 2)
+
[-3h
g(x.)
hallar
s
- 4x. +
/
u= g(i.:)
'
2
EJERCICIO.-
de la al · f o 9 "
4i.:
- 3
SOLUCION. -
Sin embargo, la función
2
2
(f o g)(x)
2
2
t
+ 4(x. - 2) + 5 ] [(ll - l) + 3 ][(u -1} 2 + 4(u -1) + 5) •
=
~
=
f :
x.
f(i.:) =
[()( - 2) + 3 ][ '" - 2)
f(x-1) =
- 7h - 10
- 4x. + 5
g( x) =
hallar
10.9
( 1, ·2) E f (3, 9) e: f
2
2
= (x - 2)
Si
EJERCICIO.-
f(x)
, 2
- 7h -10) - (-10)]
x. + 2x. x.
=
a)
(2x - 3)2
= l2x
f( u) =
también es correcta. (Verifique que en este caso :
EJERCICIO.-
[ g(x.)]
(f o g)(x) =
s fmbolo
10.5
=
SOLUC ION.-
(S)- Y (C) •
(4, -6 ) E
+ l
f(u) =
•
y como debe ser: Jf x. E Dom h
f(g(x.)) = ti(x)· ,
=
+ l ]
EJERCICIO . -
-g(x)
Dom h = { -1, 2, 3 } ;
= h
2
';¡u~
5, .65}
go f
fo g "'
=
+ Zg(x) + 2
(Dos soluciones)
[g( x.) ]2 "
f = {..(1, 2), (3, 9), (4, -6)} f = { (1, -2), (3, 9), (4, -6), (12, 7) . } f = { (4, -6); (3, 9), (1, -2) l. .
SOLUCION .-
[ g(x)
2
{ 1, 5, 65 }
Dom (g o f)
Dadas las funciones g = { (1, O), (3, 3). (-1 •. 4), (2, 1)}, h = { (-1, -6), (2, -2), {3, 9) }·, hatal que
2
f(x.) =
De la definición de
[g(i.:)]
=
10.,7
"'~
(5, 9(2)), (65, 9(8)) } ~
=
=
{ ( 1, 1) , ( 5, -5 ) • ( 65, -3) } Observamos que:
Si
EJERCICIO.-
f(g(x.))
{ (1, g(f(l_)) ), (5, g(f{5)) ), (65, g(f(65))) }
{ (1,
[(-3h
-3h
=
•
SOLUCION .-
Dom g
= -4
X.
~
[f(2 + h) - _f(2)]
f(g(x))
¡;::-¡
= [ 1, "') íl { 1, 5, 65 } =
Dom ( g o f) g o f
=>
[l,
E
= -10
a
}
f(x.)
I
f(2) = -3(2) + 5(2) - 8 2 -3(2 + h) + 5(2 + h) -
=
-3h - ..,
/~(l-0)---1)}
(-7,
I
Dom f
X E
2
f(2 + h)
~
447
f(2 + h) - f(2) ]
h
SOLUC I Off. A=
{(o, 0),(-4, /S), (-7, 3) l Dom g o f
.!. [
A=
válidos son a que 11 as primeras compone!!
x.
tes de los elemen.tos de la función g cuyas segundas componentes se encuentren en el Dom f ': [l, "') ; es decir, que no son < 1 . Entonces,
{ (O, f(l) ),
Funcl.onu
Cap. 12
,
y
3
g(x} = 3¡-;
====:>
tal que )
g(f(i)} = x+ 2
)( + 2 = ) f{ i.:)
=
g(x}
= ' haciendo
regresando al
-
. Ca p. 12
Func.lone-6
448
10.IU
· g( x - a) f(x -2) = x2 -x+ l hallar el valor de ~ de modo que (fo g)(2) = (g o f)(a - 2) •
IJl RCICIO . -
SOLUCIOH.-
Si
Se verifica que
=
f(x)
2
x + 3x + 3
,
g{x)
=
=x
,
9(f(a - 2)) = f(a - 2) +a = a 2 - a + 1 +a De la condición : a 2 + 7a + 13 = a2 + 1
= a
2
=
Dom (f o g 1 ) = { x E Dom g1 / g1{x) e: Dom f } = 00 00 " { .'( e: • -2 I 1 - X e: -2. 20 = { X e: • -2 > /' - X e: -3. 19 >} " {.'(e: ( -m, - 2 ) I .'( E (-19, 3)} = (-co' -2 ) n ( - 19, 3) = (-1 9, -2) i)
>
b • 2
=
X
X
2
• tales
f(x)
X
ro '
~
:
por 1o tanto,
,
- 3x + 2
x
[ lxl3 -
2 ]_: -1, .lf
X E
(-1, 1).
X
SOLUCIOH .-
Dom f 2 }
Si
}
V ( ERDADERO) } =
ver-ifi car que
g(x.) = l(x.
•
X
ii)
(Conjunto Vacío)
(fo f)(u) ·= m(mu + b) + b = m2·u + b(m+ 1), haciendo: m2 9 - 4x . l ) 9 - 4 ( f o f) (X: = -,- + b(m+ 1)
Dom f l }
e: [O, 2]
Dom (fo g)
f(x) e: Dom g ~ { 1, 4, 9 } .. (X - 2) 2 e: { 1, .4, 9 } } ,
Dom f /
{ x e: IR /
~
Ca.p. 12
( 4, 8]
X
e: (-1,
x t (-1, o-)
=
o) :· 1xi
=
= -
·X • X
-5/(x - 3) t
2
3 • X
"'
1 -
5 3 - .t
(-5/3, -5/4) e
adema s,
(-2, -1)
·=
... 1\52
u I~ ]
5 = [ i - - - ] = i + [ 3-x 3;-x .\'. - 2
2- ]
3- .1'.
IJ)
Si
3- X
=
)(e: (0, 1)
=
=[
2 ] 3-x
10 . 22
-l + _l_] 3-x
'
l
por el
)(e: (-1, 1
/x 2 + 2x
xe:(l,2)
3-
X
EJERCICIO (10.21) , -1
f(x)
i)
=
I
{
Dom ( f
o g ) = { 1
1
- 2-
donde ( - 2-
x-1
x-1
e==:
1
Análogamente, ;i) Dom (f' o 1 iv) Dom (f o 2
o g)(x) =
3 f(4) - (25 - 4)
-1 .
• )( e:
2 x-1
10,2q
EJERCICIO . -
SOL UC1ON. -
f y g :
f(x) "
[-2, -1)
3(8) - 21
Si
{ f
1
( x) =
f 2 (x) "
f(x) =
xz _ l
x +2
2 { x - 1 , x + 2 ,
3 X
~ Q
x. > O ; ha11ar f o f .
Dom f 1
(f 1 )
, x e: (O , "')• Domf2
(f 2)
x e: (-m , O] •
• xe: (O, 3)
(1, 2)
~ e: ( -2 , -1 ) /
2 - - e: ( -1, t) } X - 1 2 -1 < - < 1
(*)
x-1
2-1 x-1
< O)
=
(
x:I"
1
x-1
>
O
0x - 1
A
> O)
1
) =
g )
2
=
g2) _= {
-1) U (3, "')
. Luego,
en (*) :
(-2, -l)íl ( (-"', -1) U(3, "'))
(O, 2)
=
•
Dom (f o g1) = 2 Por lo tanto, iii)
,
[2 , 3)
( - 2, -1) 4>
(VACIO)
x e: ( - 2, -~)U (O, 2)
·~ ·.¡ l(2 - 1
X
e: (2, 3)
se puede verificar rápidamente que:
(9 o f)(x)
10, 23
g(x) =
g ) (2)
xe:( ( -"',-l)U(l,"'))íl( (-"',l)U(3,"') ) =
.Dom (f o g
Tambi~n
l
(-1) + (O) =
1/3
A "' [ f (2) g(5) - (-64) + 2(1) ] 1/ 3 • ( (5)(3 ) + 64 + 2 J 1/3 = ( 81 )1/3 = 3
. .Por lo tanto,
=
J
se tiene que:
e: < - 1, 1) -
= (-"',
(f
o
f)(S ) - (f2 -
SOLUCIOH.-
3-xe:(2,3]
lx-lj
X E
•
>o
+ 1
3
= [ (f o g){l ) (g o f)(2 ) - f (o) + 2 f (-2)
xe:(-1,1)
•
(x + 1) 2 - 1
además,
3 -X
-1 + [ _l_] 3-x
>
[~]
llar: A
g(5)(f
1
-1 + -
=
Dadas l as funciones siguientes
EJERCICIO.-
f(x) =
=
= 1 + (-2J
=
-xe: (-1,0)
1/(3 - x) e: (1/3, 1/2) e (O , 1 )
[ lx 1 -
y
--
e: (O, 1)
X
-1 • (¿ ?)
453
Fu11úo11e.ó
Ca.p. 12
Cap. 12
FunúoneA
"
¡ 1-- r;.r:l 1
EJERCICIO.-.
x4 - 2x2 •
X
l(2 + 1
)( e: (-m , -1)
X X E
+ 4
x
·e:
(-1 , O)
e: ( O, m)
(1, 2)
Si
f = { (O, -4) , (- 2, 1) , (5, 4) , (2 , 5), (4, 8) }
y
g " { ( 2 , 4) , ( 5, 3) , ( 1, Z) , ( 3, -3) } ,
ha -
ontinuación veremos otras pr iedades adicionales de la COMPOSICION.
!
... Ca.p. 12
454
=
10.2'> PROPIEDADES DE LA COMPDSICION DE FUNCIONES
455
Ca.p. 12
{(O, _g(h(O))), (-1, g{h(-1))), (l. g(h(l)))
g o h
{ (O, g(2)), (-1, g(3)), (1, g(3)) } { (O , 1), (-1, -2), (1, -2)} .
Dadas las funciones 1)
(fo g) o h = fo (g oh)
2)
Si
l
f,
(f + g) o h
4)
(fg) o h
h,
I (Identidad)
[ASOCIATIVA)
es la función identidad : f 'o I = f
3)
g,
8)
(.f o h) + (g o h) (f o h) • (g o h) en genera 1.. f o g f g o h z+ nm· n, m, e: ln o Im = 1 .n . n e: z+ I o (f + g) = (f + g)" para n PAR e: ¡,l/n o l"
9)
I l/n o In
5) 6)
7)
10.29
\
f4nc ión compuesta
=
SOLUClOH .-
=
1 1
11
1° o 1 "
=
n e:
l
(g o h)(x)
z+
EJEMflO.-
Si f= entonces
f{g(h(x)))
SOLUCIOft .-
=
=
/g{h(x))
g(x2) = [ /2(x2) - 1 ]2
haciendo
10.28
Si (fo g o h)(x) "' [ f(x) • .,r;: h(x:) = x2
x:2
=u
.
EJERCICIO.-
funció n compuesta
Luego,
g{x)
=
;
= g(u.) = 2 = [ /zx:-1]
donde g{x) • 2 [ h x: - 1]
[
/Zu"=l
]2.
:
{
.1(.
e: Dom ( g o h) · /
( g o h)( x)
{
x: e: {O, 1, -1} /
(g o h)(x)
Si g = { (-2, O), (-1. 3), (2, 1) , (3, -2), (4, 2), ( 5, O) } · , h( x:) = x2 + 2 , e: Z , ha 11 ar la
x
g o h •
Dom h = z • Dom g = { -2, -1, 2, 3', 4, 5 } SOLUCI ON .e: . Dom g} h( x:) Dom ( g o h) = { X: e: Dom h I donde { -2 , -1, 2, 3, 4, 5 } } = { X: e: z / x:2 + 2 )( = ! 1 )(2 + 2 " -2 (no hay ta 1 X: ) ; . x:2 + 2 = 3 )( = ! 12. x2 + 2 .·4 )(2 + 2 = -1 (no hay ta 1 X: ) ; )( ·= :! 13 . )(2 + 2 = 5 )(2 + 2 = 2 X:" o ; ! 11}} = {D, -1 , l} Dom(goh)'' { )( e: z / X: e: { luego,
.
. !1,·uz.
}
Z } " {O, l , - 1}
r
(O, O)'; (1, 3), (-1, 3) } .
10 .30
Si
EJERCICIO .-
f(x) = x2
SOLUCl OH . -
CALCULO DE h(O) :
g(x) •
,
/3X+l / [x
+ 2] ,
,r¡::x , ha 1lar
[ h o g o f ]( x) (g o h)( O) .
vemos que
O = g(l), 1 = f(l) ==> h(O) = h(g(l)) = h(g( f(l))) = Por lo tanto (h o g o f)(l) = h(l) + 1/[ (l)+2] = · 213 ·. (g o h)(O) = g(h(O)) = g(2/3) Observe qile t~mbién
1 =. f(-1) ,
[
)(
.
. -1 •
)(e:(-"" · 1) X
= /1 pero
-1
(2/3)
=
1/ IJ
.
t/. Dom (h o g o f)
Dadas las funciones
e: (1, m)
)(2 - 8 '
g(.I(.) -
,.
[
[x] · •
)( <
o
)(
o
~
comprobar que :
o>
Dom ( f 2 o g~) " ( _..,, -3) Dom (f 2 o g 2) = [2, m) .
(-3, [O, 2)
=
=
Dom f
r t
{ (O, f(g o h(O))), (1, f(g o h(l))), (-1, f(g o h(-1))) } .
EJERCICIO.-
•
=
hallar la
{ (O, f(l)), (1, f(-2)), (-1, f(-2)) } { (O, (1) 2 -1), (1, (-2) 2 - 1), ( -1 , (-2)2-1) }
hallar
2 '/g{x )
x: e: . Z ,
f o g o h •
=
~
f2x2-=l ] ,
10.27- EJERCICIO .-
x2 - 1 ,
=
Dom f o ( g o h) =
IMPAR .
.. 2
f(.I(.)
f o g oh = fo (g oh) ; sabiendo que g oh = { (O , 1) , 0, -2), (-1, - 2) } , entonces vemos que las t r es imágenes son números enteros. Luego,
fo (g oh)
z+
21 2 -51+3, g= 1 +21-6, 2 fo g = (21 2 - 51 + 3)· o (1 + 21 - 6) = 212 o (li + 21- . 6) - SI o (1 2 + 21 - 6) +' 3 o (I 2 + 21 - 6) " 2 ( 12 + 21 ~ 6) 2 - 5 (! 2 .+ 2I - 6) + 3 "2I4 + ~13 - 211 2 - 581 + 105 •
10.26
EJERCICIO .- . Si g y h son las funciones del EJERCICIO [10 . 28] previo, y si
función f : I o f = f
J/.
)(2 - 8
{ f o g){
)( e: [-3, )( e: (-, -3) U [2, m) )( e: [O, 2) .
. )
... 457 Cap. 12
Y por lo tanto, 4c;6
}0.32 f (X.) •
Dadas 1as funciones
UERCIClO.-
f
\x.2 - l 1
X. < 3
•
l &:1 .
g(x) =
"
X
/[x]2 - l
X
J4x2:l
\
Dom (fo g) ,
g(x.)
¡-;;---; sen (f{x.) + l) ; haciendo u= 2 ( x.) = sen ( x. + l ) • g( f(x.)) = sen I x. + l = 9 9(u) = sen (u + l) . Por 10 tanto,
•
Dadas 1as funcio nes rea1es definidas en IR ' f(x. - l) 3x.2 +ax.+ 12 • 9(x. + 1) Sx: + 7 • (f 0 9 )(-2) = -4a • ha11ar e1 va1or de a ta 1 que SOLUC.IOH.(-2) • g((-3) + l) = 5(-3) + 7 = -15 + 7 = -.8 • ~erifique que 9(x.) " 5x. + 2 • Luego, = -4a = f(-8) = 3(-8)2 + a(-8) + 12 = -4a f(g{-Z)) = = a= 51 . 204 = 4a f para las funciones Si existe, ha11ar 9 0 es entero par (en Z) • Zx. + l si x. (en Z) • Zx si x es entero impar
io.311 EJERCICIO.-
g(x.)
[x] ( [x] - 1) ?:
SOLUCION .X.
e;:=:;>
=
X.
1)
?: 1
Dom g = IR •
l
x. no es entero •
f[x] 2 - [x]
Zx. e: zx. + l
z e:
z
< l
o
Además,
.=
=
[x.] ?: 1
ó
[x] ~ O
x. e: (-"'' 1) U (1; "") = IR
z
entonces
[Zx. (Zx.) [Zx. + .l] =- (Zx. + l)
Dom (g o f) ,
x. es entero par
f
4x.2 - Zx. ,
si
x. es entero impar
si
x.
asf como
,
f o g
9(x.) = 2x. - 3 ,
f y g definidas por
Sean g(x}
= nx. + e , n ; O •
a)
f(.t
b) e)
no es
~ntero
•
+ x. ) = f(x. 1) + f(x. 2 ) 2 1 \fg)('x) " x. 2 + (b + c)x. + be (f + 9)(x) = b +e , V x.
Zx - 1 • Sean . f(x.} = zx2 - 1
.
(fo g)(x + 1)
hallar a ; O,
b ; O.
ha 11 ar
Si
f ( ( x. - l) 2 ) - 69 ( x.) .
f .o g . = g o f .
a)
=
b •
=
m/n • l • m • -n •
real
fo g ,
g(x.) •
f(x.) = 1/(1- x.)
9 o f
y
f(x.) = mx. + b , m ; O , l cuáles son verdaderas ?
d) f(g(x.)) = mnx. +me . Hallar el dominio y el rango de
..
si
si
g( x.) = X. - b • Sean f(x.) = ax. + 2 , b(a - 1) • fo g .. g o f , hallar 2 g (X. + 1) = x.2 Sean f(x.) = x. +- 2it ,
f(x.) .
SOLUCIOH .-
4x2 + 2x. '
O
f(x. + l) = 3x + 1 ,
Si
e: (-ai, -3/21
sen~ #~ar
o
I (Zx.) 2 -o (Zx.)
/
Sean f = { (O, l) , ( l, 2) , ( 2, 3) , ( 4, 3). ( 5, 2) , (O, l) } g = { ( 6, 7) , ( 5, 4), ( 4, 3), ( 2, 4). ( 1, 4), (O, 7) } , _ ha 11 ar e 1
e: (4, "')
' (9 o f){x:) = = ~ -1 • f(x.) ta1 que f(x.) + l , entonces
Si
¡o.33 EJERCICIO.-
=
x. e: (-3/Z, O)
14x:2 - l 1
l
a
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
(4, co) Dom ( f 2 o 91) (-"'. -3/21 Dom (f 2 o 92) =
(-3/2, 01
( f o 9) (X.) =
=
\x\ - x.
x. ~ O •
para
'
~
Oom (f 1 o 91)
\
{g o f)(x.)
3
:'.,
-Zx.
\'xi - X
comprobar que Dom ( f 1 o 92 l
X
X. ::. 4
2 /(zx. + 1) - (Zx. + 1)
o•
=
donde
~x 3 - 3x •
f(x} • X.
e: IR .
¿ Cu~l es el dominio de f
f3;. ,
g(x.)
=
Probar que ?
f o f y de f o f o f ? ¿ Cuá 1 es e 1 dominio de Probar que ( f o f o f)(x.) = x. , V x. e Dom ( f o f o f) Si • Sea
f(x} = zx + l ,
calcular el valor de x. para el cual l.f o f){x)
f(x. + 7) = f(x.) + f(7} ,
falsas ? f(-7)
=
-f(7) • f{63)/f(7} " 9
b)
X f(x) = 14'+'7 , f o g y g o f
f(x.l
f(O} " O ,
V x real.
f{35) " f{l4) + 3 f(7} si f(7) f o g(x) "' x.2 + E: [O, 6) ,
= rx. x. ::. o •
9(x) "
z
4.
¿ cuáles son
X
·.
e: (-1, 3) •
[x.] , x. e: IR , lcuáles son verda·
.....
... ,, )
llom fo g = Dom g o f
3
e)
13.
14 .
Sean
=
<
o
"2 - 1
X
?:
o
17.
/
18.
{
(
f(x) =
Sean
(fo g)
Ha 11 ar f (X)
{
Sean
t
23.
3
X >
{ .
2 h(x) =
y graficarla.
f o g
g(;c) =
,
x- 5
-x
X
2lt
;( ::: 4
,
< 2
hallar el valor
(g o f) ,
si existen,
1/(x-1),
X E
(-1, 1)
1 ;(2 + l I
X t
(l, 2)
,
g(x) =
f(x)
Sean
g(:c)
{ *['7] ,
=
¡-;¡----: 2 /x -l ,
E
l(
:CE
(0,
l)
[l, 3) ha llar
3/(x - · [ x])
([/i/121]
f(x)
lit 1 .................
{
g(x)
20.
x2 [ x2] - 2lx l it[ l it-31]+2
si
-1 <
X
si
X
:!:
si
- ¡'[ ·<
si
2 <
hallar g o f 2 Dadas las funciones f(x) = x + 2x + 3 , 2 h(x) = 2x + x , evaluar A
= (
< 1
X ~
Si
X
g( x) = x - S
t
1(
Si X) -
-~:_;___..:...._-=.:.~ ] ( f
,
, y 1a f unc1on ·•
g(>::) = - "2
y
F(x)
=
"2
b)
f(x)
=
X +
=
x2 + 1
f(.x)
>
f(x)
= ~.
Jx - 2 2:
o•
X. ?:
l
:t
o
l ..
f3
ax 2 + b
a i O.
x2
/ a2
o.
a >
F(it)
= F • donde (1 - .l.. )2
y
F(x)
ª2"2 + [ l/(a2;c2)]
y
F( :t)
(2x3 - 1)
f o g
x4
2
+ l
2 para las cuales g( x) hallar dos funciones f(x) = x + l , 2 (f{g(x)) = 4x - 12:t + 12 • 2 / g(x) = x3 , Sean (g o f)(;c) = :t3 - 3:c + 3x - 1 , tia llar f(x). · • 25b. g{x) = /2x. 2 .,. 7 , hallar una funci ón 25c. Si.~ f(~d = ~. h(x.) tal que (fo h)(x) = .g(x) Si
g = { (8, 7), (4, 4). (5, -1), (3, 5), (-2, - 1), (-3/ 4, 6)} , y
(
rx:r . ,
:t
E
(1 - x) / 4 ,
:t
e: [ -3, a]
h-2 [
[
Sean.•
(l, 6)
f o g
l:t-21+4x lC
g(x)·" f(x) =
2
3x - x
¡;r::-¡ ,
g o f
y
2
2
f(:t) =
y
-
x
t
si existen •
2
<
l
IR - [-3, -1)
g(xi =
,
- x - 2 -].
s1
~
gla de correspondencia de la función (fo g o h)(x) =
...
l(
y
g tal que
f(x)
1 + X
( - x)
o f )(o)
X
F(x) •
c)
(h o f)(-1)
9(x) "' )(2
y
F(x)
a)
F ' así como el domi-
donde
hallar las funciones compuestas
,
o
< :t < 2
hallar
g o f
hallar el dominio y la
r~
h definida por:
!AVE DE RESPUESTAS g(x) = )(2
o}
.
;
si
Ran9 ( 9) = { >::
y si el dominio de
f
E
IR
I
es el conjunto
fo g
.. { (5,3), (2,3), (1,3)}
. f
h(x) ,. f(x+ 2)/ (2g(x) - f(x)]
f2xi-=l
h(l) + h(2)
hallar 22.
(fo 9)(3) + (h o 9)(2)
17
F ,
y
f(x) =
< 4
X
•
( f o g)( 3) + ( g o f )( l) ( f ·º h )( -1) - ( h o g)( 4)
f( x) =-
f o g
de manera que
g(x) = x2
Sean
21.
f
/x2 - lOx + 25 ·(x - 4) ::: o }
25a. Si
26.
o
.-1
1-
(fo g o h)(O) -(h o fo g)(4)
B • [
-
b)
c)
donde
Dom (f o g) 19.
/¡ x2 - 18x + 81
•
Hallar una función
24.
[ h o f o ( g + h)] ( ~) = O y
g(x:)' =
a)
ha 11 ar
g(x) = 3x
ta 1 que
f o 9
Hallar una función
[-1,2),
)( <
g o f f(x) = :c 2 ,
~
2 X -X
ha llar
x?: 1/2 , ha-
(2x + l)/x ,
R /
nio más grande posible de X
.
= { x e:
Dom f
(f o g)(x) = y
/
x ?: 3
g) = [O, "')
RaÓg (fo
g(x) =
X
Sean
de
e: [O, "')
f( x). = 11+7 [x]
ha 11 ar 16.
ic
f(x) = l/(x - 2) , Si f o g y g o f llar
g(x) 15.
1r
y > O /"
b)
459
Func.i.onu
Cap. 12
Cap. 12
458 ~-~
go f
{ (O, 4), (1, 4), (5, 4),
.... Fu.nc.i.onú
)
f(g(h(x.))) = / g(h(x))
= /[h(x)]2
Ca.p. l'l Fundonú
460
(6, 4) } . f(x) = 3x - 2 ,
2.
f(g{x + 1)) = f(2x - l) = 6x - 5 2 4. (x - 1) (x - 3) (x + 1) •
b(a - l) = O .
J.
Sólo
s.
(a) y (c)
6.
f( f( f( x))) = x -1
X•
9.
Dom f o g "
11.
/-;z.:-6 ,·
(fo g)(x.) = Sólo
13.
(g o f)(x.) "
14.
(f o g){x)
16.
17
X
X
=
l
( ( • ')(,) • o f)(x) =
=
(g o f){x) = X+ 6,
-x.2• 2x2 x.3
~
X
X
e: ( 1/2, l]
X
e: e:
X
t
X
•
:, si para cada x1 , x2 r. Dom f :
DEFIHICIOH FORMAL
(-2 f 4) e: f
o sea que f(-2)
=
=4
A
f
(
2, 4) e: f
f
satisface: f(2) = 4 •
-2 O equivalentemente,
f
Para demostrar que una función sis:
b)
EJEMPLOS.-
La función·
2
X l
r. Dom f :
11.3
o
es INYECTIVA . si para cada par de elementos
_a ) La función f = { (l,l), (2,4), (3,5), (4 ,6)}. es inyec:tiva.
f = { (1, 1), (2, 4), (3, 5),· (4, 5)}
no u .i.nyectlva. pues
1
'.(x 1) =
f(x 2 ~
1
f es INYECTIVA , ·se parte de la hi póte- • con x , x2 r. Dom f , y mediante la de1 finición de f y de algunas operaciones
adecuadas 6e debe UegaJt a lo. .i.gw•t.dad:
... X.1 =
Por ejemplo, la función f(x) = x3 - 5 , pues partiendo de la igualdad
]
x e: IR , es
·=
x.3 - 5
x32
=
y¿ xi
3/¿ "2
l
INYECTIVA, x.3
=
5
-
l .
Xz
resultando así que f es inyectiva sobre ( -m , O] •
x.3 2
=
465 y
464
f{xi) = f(x 2)
Fwic..i.onu
Ca.p. 12
Ca.p. 12
I
I I ,/
'• I
=
-m
"1 = "2
I
2
X
I I
I I
X 5 -1 . f(x) = l - / x.2 - 4x - 5 , 2 Completando cuadrados : f{x) = 1 - /{~-2) -9 :.¡. xi , x e: Dom f = (-m, -1] :
SOLUCION -
2
=
f(x.i) = f(x ) 2
1 -
1
[y como por
(*):
= .
\x. 1 -21= lx2-21
ZI
ser~
Q , y '
= 2 - X2
)
=
=
corresponde a una
1a con vérti ce en el punto (2, 1) • Ast, f
=
1)(2 -
Hallar un dominio de la función de la función -- x2· - 4ic+ 5, en el que f sea inyectiva.
EJERCICIO .-
SOLUCION.-
·~
Xl - 2 5 -J <
x2 5 -1 = 1 Xl - 2 I = 2 - Xl
=
=
= 2
{xi-2) -9 = {x.2 -2) -9.
Xi 5 -1 ,
X2 - 2 5 - J < 0
11.9
•. {*)
2
=
=
Entonces
2 = 1 - / (x2 - 2) - 9
2 / (x 1 - 2) - 9
/(x -2) 2 - 9 = /{x 2 -2) 2 -9 1 (x -2) 2 " (x2 -2) 2
=
es inyectiva
f
EJERCICIO.- Demostrar que la función
11.6
I
\
1
inyectiva para:
1
f = ( _.., ,
\
\
2]
EJERCICIO.-
SOlltC 1OH
f(it) =
-
11.8
3 .
---
.
3
X2 + 2
"i + 2
lCi
.
o
=
·
Xi+ 2
3 3 -Xi+ 2
1 .. -X2+ z.
'==:::>
11.10 Entonces
it+ 2
1 -
==:
f{x 2 )
1 -
=
"-
"z e: Dom
Sean
=
=
2
E~ERCICIO .-
SOLUC 1O.H ~-
Xz + 2
Xl + 2 -=
y
.x2 +
z
f
= (-°' , O] 2
=
2
f(g(x 1 )) = f(g{ic 2)) f(g{~ 2 ))
f 1.11
NOTA.-
o
g
=
=
l(l
===-
W¡
=
.
. Wz X2
•• (*) • : ( **)
g(x1l'• g(ic2)
=
implica que x1 • x2 ser inyectiva· también •
Haciendo de {**) de { *) •
, y por lo t anto, r~
Cuando se desea demostrar que una función f es INYECf1VA EN EL CASO en que f sea la unión de varias funciones pár ciales como:
2
xi - 3 = x2 - J ic 1 ic2 l xi! =· !x 21 -ici = -x2 (por(*))
=
g(it1) • g(xz) f{w 1 ) = f(w2 )
f(g(xi)) '"
(*) ,
y g 4on .i.nr¡e.c..t.i.vlll>, y 4.i. e.UA.te. fo g de.moi..tltaA que. f o g e..6 .i.nye.c..t.i.va .t.amb.i.bt •
Se:. f
f y g inyectivas implican que:
3
xe:(-m,O],
Oemostrar ·que .es inyectiva.
X
2
X ; -2 ,
Por lo tanto, f resulta ser inyectiva.
i.:2
EJERCICIO.-
SOLUCIOH.-
..
x+2-2-l l( + 2
X- 1 l(+ 2
X- 1 X+ 2
f(x)
Demostrar que la función es inyectiva.
f(lti) ..
(; -2) "l' "2
=
'
2
1
:.¡.
\
1
x1 = x2 , para to Ast, hémos yerificado que: f(x 1) • f(x 2) una función inyectiva. f es do x , x e: Dom f , y que por lo tanto
11.7
(b)
\
Dom f • [2·, "') ópa~Dom
par~bo-
y
a)
b.)
f(x)
...
ftx} =
l
.
fz(x.} f (x} 3
do 11de. lo4 dom.i.ni.o4
=
x e: Ai = Dom f l x e: A2 = Dom f 2.
f 1 (x}
•o~
Al • A2 • A3
" "
.1:
Rang ( f 1) = ( O, 1 ) , Rang (f2 } " (-"', O) , tales que su intersección es· VACIA , entonces , por la NOTA (11.11) , f resulta ser una función inyectiva.
·1·wito4 e.lltlte. 4.Í.,
se procede de l!
UM>
siguiente manera: lº} se prueba que cada función parcial
11.13 EJERCICIO.-
= 1,
f¡ , l
2, 3
Demostrar que la f unción 4x2 + 1 _x_2_ X < 0
es inyecti
,
va sobre su dominio correspondiente. Luego, como en el caso de la figura, SE VESE VERIFICAR QUE LO: ~ GOS VE LAS FUNCIONES f , f 2 , f 3 NO SE INTERSECTEN ENTRE SI •
2º}
Y como podemos verificar además, en forma rápida,
que:
e: A3 = Dom f3
X
467
Cap. 72
Cap. 12
466
4x - x..
f(x) "
1
2-
X
X -
2
(Es decir, ·que 1os ra 0gos deben ser VISJUNTOS VOS A VOS}. La gráfica de la función f de la figura corresponde a una FU! CION INYECTIVA , pues note que:
_ J~·--
n fz
Rf
íl Rf
Rf
3
O Rf -
2
3
110 e.4
a)
f 1 es INYECTIVA:
4t
=
4t
f 1 (x 2 )
sean
Xi '
=
4 + (l/xi)
4u6.ici.e.nte. que. 4 e. cwn -
ti)
(x1 por (**):
..
Verificando que f 1 y
SOLUCIOH.a)
~
X1•
Xz
e: '(4. m)
211~ .. 21/Y:~ b)
~
{
xi , x 2 2 - xl ª
&-
(-"" ,
2
- x2
=
f es · inyectiva: e: ( 4, "') ~
X
Sean
2-
x1
2) "
=
l~ .. tx 2
=
x1
(x2 - 2)
·2 -
x2
O) ' 4 + (l/x;)
{*}
-m '
=
l/x~ • l/x22
=
lxd = lx2I
=
'Y por (*):
=
2
==;:::>
Ran'g (f 2 ) •
-
l
-1 - - - .. -1 - - X.1 • 3 Xz • 3
=
= (3, .
-
lx1 - 21 • lx 2 - 21 = x1 = - xi = .1t 1 • x2 •
[O, 4) .
m).:
=
AdemAs, se prueba que el rango de f
las
= "2 · =
= f 2 (x 2 ) ·? lx¡I " 1x2 I J=,;.
f (x 1) 2
O] .. Dom f 2 : · 2 2 "1 "- x2
=
"
x. 1 , x2 e: Dom (f4 ) l
• Dom fi:
e: (
-cx-2l=-[l+-1-J .. _ 1 _ x. 3 x. _ J
0
f 2 son inyectivas
Xz
se prueba fácilmente que es INYECTIVA sobre su Dominio (2, 3],_ y que su Rang (f 3) • (-1,.0) .
tituidas por la unión de dos, tres o más funciones parciales .
f(x) "
(f4)
=
2
AdernAs, se verifica que:
X
> J
(fz) (f3)
=
Este criterio (lº y 2º) se aplica análogamente a funciones que están cons-
2//X ,
X
..
= . - x1 = -x2 x1 • .1t 2 • AdemAs,se prue'ba qOe: Rang (f 1) = (4, m) f 2 (x) = 4 - (x - 2) 2 es INYECTIVA: sean xl' x2 e [O, 2] . • • (**) 2 2 f 2 (x1 ) " f 2 (x2 ) = 4 ~ (x 1 - 2) "' 4 - (x. 2 - 2)
Rf íl Rf íl Rf 3 = 4' 2 1 pa.114 qttt. f U.4 .útye.ctlva.
Demostrar que la función
e: (0, 2] e:( 2, 3)
2 2 xi= Xz
"
pJ..a. que.
11.12 EJERCICIO.-
X
X
SOLUCION.f 1 (xil =
A4.í., vemo4 de. !..a. gll.ci6. l y x2 > l . Por lo tanto, s6 lo es válida la pi'Oposici6n: -
x e (O, 2]
Rang (f ) = [O, 2],
f(l) •
=
+I
f1 U f2 U f3 ,
creciente, f creciente, y t 3 decreciente , entonces las 2 1 tres funciones parciales son inyectivas, y donde sus rangos .son:
que por ser
IX~
"2 +
=
inyectivas, y si
Por ejemplo,
•
st
Si una funci6n esU constitutda por la uni6n de dos 6 más
no e.4 41L6.i.de.nte q1Le la. .i.YLteMe.cdó1t conju.n.ta. de. lo6 TRES RANGOS Ha. va.ci.a. pa11.4 qiLe. la. 61.mdón f 6 ea. .i.nr;ecti.va. .1.i.no q1Le de.ben te.neA l NTERSECCI ON V~ CIA lo4 11.a.11906 toma.do.\ VE VOS EN VOS • Es decir, si f 1 , f 2 y f 3 son
1
Entonces,
• ( 1 , "')
~
x > 1 , es
resulta ser inyectiva.
61.01c. .i.nr;ecti.vaA, por ejemp 1o,
Rang (f )
¡;r-.;:¡,
Probar que f(it) • x + una funci6n inyectiva .
EJERCICIO.-
$
-1) -1)
11.15
$
(4, co) íl [O, 4] (4, co) íl [-1, O) (4, -2 \.
b) lf x e f(x}
y (b) , f
2) :
-
21 -
1X
l -
-2
"»
)
EJERCICIO.-
• tomo
f( f -l (B))
SOLUCION .( = ) Suponiendo que f es suryectiva: Sea y e: f{f- 1(8)) = y = f(z) , para algún z e: f- 1(8) e X ~
Luego,
•
~
'n(8) ~ n(A) f es suryectiva.
Sea f: X - - Y . Demostrar que f es SURYEC TI VA si y so 1o si , paJta c.ua.lqu. -1
(x - 2} - x = -2
tenemos que el
RESPUESTA:
8
x = (2 - x) - x = 2( 1 - x) e: (-2,
(2. co) :
=
IR f(x) = lx-
f:
IR= (-a>, 2)U (2, m)
SOLUCION.a)
Si que
473
Sean A= { 1, 2, 3 }, 8 = { 1, 2, 3, 4}. Si f = { (3, 1), (x, 3), (2, 3) } es una función de A g = { (3, 1), (y, z), (1, 3)} es una función inyectiva de A en A,
en A ,
Como vemos, para comprobar que una función f : A B es suryectiva, basta hallar el rango de f , y ver si coincide con e1 con -
FuncJ.oneA
EJERCICIO .-
11.26 en 8,
(-cc, O] = y e: ( ( -co, O] U ( 1, ~) ) íl (-°' , 1) f es sur~ectiva . y e: (-co,, O]= Rang (f) = 8. Luego,
~
Ca.p. 1Z
f
si es que
FUNCION
Hallar el conjunto A para que la función 2 .f : A - - [3, co) tal que f(x) 9/(4 - x ),, sea biyectiva·. (Dos soluciones).
EJERCICIO . -
f(a)
b "'
se llama Una función f: A B es a la vez inyectiva y suryectiva.
8
f(A) = Rang (f) " 8 , entonces suryectiva: ·9 9 - -2 ~ 3 e: B = [3, co) = f(.t) 2 4 - x 4 - x
Por ser f f(A) = B
3 4 - x2 - l
~
O .
x e: . f(x 2) ..
J
Una función f se llama MONÓTONA , sf es que f de los 4 tipos antes mencionados.
corresponde a alguno
!
si pase llama CRECIENTE (6 ESTRICTAMENTE CRECIENTE),
Una función f .ra l(l ' Xz e: Dom f : lt¡
<
itz
11.32
=
f(it¡) <
TEOREftA.-
es CRECIEN.TE , entonces f
es ~
rtlva.le.nte. (.útyec.ti.va.)
f(x 2)
Las graficas de es tas funcio.nes se encuentran a continuación.
Si una función f
Sean
x. , x2 e Dom f , ta les que 1
x1 ;
x2 ,
ent onces se
... SOLUCIOtl.-
pued1 n 11 ,.... entar los siguientes dos casos: al lt¡ .: x f(x ) < f(x 2 ) [f creciente] 2
b)
V
l > Xz
= =
=
1
< X¡
Xz
f(x ) < f(x )
=
2
1
f( X¡ ) r~ f(v~z ) en ambos casos concluimos que inyectiva por la definición equivalente [11.2].
f(x 1 ) /
=
f(xz)
f(x)
f
es
1
Si
f
es una función
Por analogía : [11.33].
DECRECIENTE , entonces
f
t"1
La función f 1 (x 1 )
si
11.33 TEOREl'IA .-
/¡-:-; ¡-¡-:-;
f(x 1) .1 f(xz)
lo cual prueba que
•
477
Cap. 12
Ca.p. · 12
476
rx:3 ,
6
xe:[3,7/2)
7 ¡;:J
-8
es
>
(fz)
x=4
resulta inyectiva. En efecto,
= f 1(x2 )
(7/2, 4
X E
=
14-x1
=
/ 4 - x1
6 /~ -3 •
1
I
-
4 - x2
(f3)
x1 , x2 e: [3, 7/2): .
sean
..
6[
6 /x2 -3
-
/4-x 2
I x1 - 3
I x2 - 3 J
-
univalente (inyectiva).
=
11.34 CALCULO DE RANGOS DE FUNCIONES INYECTIVAS l'IONOTONAS .Esta técnica es sumamente útil para encontrar los ra~
Dom f = [a, b) N~ a • be: IR.
Su gráfica consiste ·de una sol a 1í nea o curva can.ti.nua., de u.n "2 lo J:/w..ZO. .&.út 1:.aU:oó bl!.u.óCOó veJLti.clLleA .
Entonces su RANGO se halla calculando solamente los valores f(a) Y f(b) en los extremos del Dominio de f "' [a, b] , y estableciendo dicho RANGO en la forma siguiente: i)
(f(a), f(b))
Ran (f)
[t(b), f(a)]
i i)
ó (.i.)
Ran (f) •
f(b)
f(a)
....e:
....
f(a)
f(b)
e:
"'
a:
a: "'
-
f(a) < f(b)
si
f(a) >
l/( ~ +
i') 6
11')
Ran ( f) Ran (f) •
Dom f
= (a,
y si existe " f(a)"
b] ,.
si
f(a) < f(b)
[ f(b), f(a)) · ;
si
f(a) > f(b)
( f(a); f(b)]
> O (positivo),
mientras que el
2 2 miembro es
Por lo tanto. solo pro~ede la posibilidad ~--
x1 =
=
O
x1 = x2 •
Análogame'nte,. se prueba que
11.36
f2 y
f3
¡¡-::; - [ 2x] .r;:::J
< O (negativo).
(a) ;
~uego,
f 1 es inyectiva.
son inyectiva"
Y util Izando la tés_
EJERCICIO.-
Demostrar que la función
f(x) "'
X
X E
l + x2 '
[-1, 1) , • es inyectiva, y hallar su rango .
SOLUCION .-
x1 , x2 e: (-1, 1)
Sean
entonces
a)
(x 1 -
Xil = O
-1
x e: (3, 4] •
{
< X¡ xi
xz
:tz "'
=
(X¡ • Xz) (
"1 + xl xi "' "2 + x~ x2 l • X¡ X2)
(l - X¡ x2 ) = 0
=
0
=:>
Pero , de la rel!
< l l
•
=
. 1
x1 < 1
~
-1
ción:
6 b)
(*)
Dom f
11
1 +"!22
X
. b
Probar que la siguiente función es inyectiva: f(x) •
/723 )
[11.34] , encontramos los rangos de .l as funciones parciales:
ó
11.35 EJERCICIO.-
= _ 6/( ~ .. +
/4- x2 )
==>
Y en el caso en que
entonces :
3 + ~
Ran (f 1)" ( - 5/12, l ] . Ran' (f2 )" (-7, -312], Ran (f3 ) • {-8} los cuales son disjuntos por pares (dos a dos). Por la. tanto, la función dada f resulta ser inyectiva •
f(b)
-'-~ a
X
b
a
si
X1 -
lo cual es imposible pues por la forma que tienen , el 1 ~ miembro es
nica
y
(U)
y
,
I
xz
+ / 4-
se obtendria:
La función f es inyectiva • Su dominio es un INTERVALO:
(3)
X¡
x2 - x 1 = O , ó b) x2 - x1 t- O pero, la posibilidad (b) ~o procede. pues si asf fuera, al cancelar la expresión . (x2. t¡) ;. o
a)
gos de aquellas funciones inyectfvas que satisfacen los siguientes tres requ.!, sitos : . ( l) (2)
/ 4-
( X¡ = -1 ,
xz "' -1 ]
(=
X¡
=
Xz)
478
X. /
l
;. o ===> o
l -
1 -
µor lo tanto, en ambos casos
X.¡, X.¡
(a)
y
"
Xz
(-1, 1),
E
la técnica de
[11.34] , ·y sabiendo que
entonces
Ran ( f) = [ - 1/2 • 1/2)
h(x.)
f: [O, 6). -
f(-1) = -1/2 ,
" f(l) "
a) b) c)
1./2
Oadas las funciones f , g y h ~on dominios A• { 2, 4, 6, 8 l , y corijuntos de llegada B =. { 2. 3, 5, 8} • Si f • { (2, 3). (4, 5)., (8, 8). (6, 3)}. g = { (2, 2), (6, 3), {4,8), (8, 5)}. h .. { (4, 5),
.
..
probar que sólo
.
g es inyectiva· {y biyectiva), ~
y sólo h es suryectiva. Demostrar que las siguientes funciones son univalentes: a) f(x)= 3x.-2. d) f(x.)'" senx.,
2.
x.~2
b)
f(x.)
(x.-h) 2
~ k,
x? h;
e)
f(x.) ..
e)
f(x.)
2 - x.3
,
IR
f)
f(x.) •
X. &
en forma analttica y gr&fica. Probar que la funcilln f(x.) •
3.
a(x.· - h)
2
Probar que la función
5.
Si
6.
que g(x.) .. (h o f) (x) Sean A = { a, b, c } . vas
7.
Si
f(x) =
/7f ,
f: A f ( x.) "
¡g+;.í ,
a)
e) 8.
9.
x.
~
[-q/(2p), m) ((-q - 6p)/(2p),
p > O,
m)
•
. f(x.) "
[O, 6) ,
entonces
Ran ( 1f 1 ) •
Ran (h)
12.
Hallar B pa ra que la función f: IR - { 5} 2 (x. - 25 )/(x. - 5) ·, sea biyectiva.
13.
Sea
f: JR -
( iR _ M) ,
es ~uryectiva,
/. f
14.
16.
A= ( a, b, \:• d} ?.
de
b) d)
x e IR ,
A -
hallar
8
Sean -:-.
-f:
H)
g'o f
suryectiva
(2)
g o f
inyectiva
'
g:
= =
ta 1 que
B
3 {
x. /(x - 4)
Ran (f)
Y el conjunto
B -
C ,
f(x)
si
x. .. 4
si
x / 4
M•
demostrar que:
g suryectiva f
inyeCtiva •
f ,
la función
f
será
inye~
((lOp - q)/(2p), m) (-"', -q/(2p))
3x + 2lx
1;
a)
f: (-1, O] -
B ,
f(x) = (x + l)/(x.2 _ l)
b)
f: (1, 2] -
B. ,
f(x)
Ha11Jr a f(x)
Y b para que la funci!ln
.= x.2 -
g(x.) ,. (x + l)/(x- 2) ,
=
(x + l)/(x.2 _ l) f: [2, 8) -
(a, b)
I
4 ~ + 1 • sea bfyectiva. (Complete cuadrados).
Hallar · a y b para que la función f(~) "' 3;;-:-l , sea biyectiva •
f: (a, b] ...... (-1, 5]
¡
. Dada la función f ·• [2 • 5] --.+ [ 2 , 5] , .. determinar los valores de a Y b • si existen, para que f sea biyectiva donde:
l. para cuá 1es de
B una apl icaci!ln. Si f(x) " 2x. - 1 , y C " Sea f: A 2/(x. - 3) < -1 } e B , hallar el conjuntó PREIMAGEN (xelR/ f- 1 (C) •
Dadas las funciones reales:
E
-4
H~~lar ~oslfunciones univalentes diferentes cuyo producto sea una fun · · no sea un conjunto unitario. c1on un1va ente • cuyo dom1n10
+ k , . a / O , es Inyectiva
A 1 • ·¿ Cu&l es dicho número si
Ó~~in1~
x.
X
15. Hallar B para que 1~ función f sea sur.yectiva:
.. ¿ Cuál es él nfimero m&ximo de funciones biyect! con
o
11.
1
x./{l + x), xe (-1; "'>•es inyecti-va. g(x.) • [ x2 + x ] , hallar una función h(x) tal
los siguientes intervalos del t1va ?:
x.e(·- -1·~]
f(ic.) •
px.2 + qx. + r ,
4
(-4, 4]
f(x) •
l/x
sobre cada uno de los siguientes dominios: a) Dom f = [h , m) , b) Dom f • (- m• ti]
4.
l cu¡les son inyecti-
y
f es biyectiva lf 1 no es biyectiva. Si h(x) = f(x) + 4 , ~
(2, 8), (6, 5), (8, 2)} ,
p(x) • x + 2lxl
3x + 7
est& dada. ¿Cuáles son verdaderas ? :
utilizando
(-1, 1) :
X. E
SERIE DE EJERCICIOS PROPUEST(}S l.
=
10. La gráfica de la funci!ln
se concluye que
resultando así que la función f es inyectiva. 2 CALCULO DEL RANGO DE f(x) = X /(1 + x. ) '
2
479
vas? •
Xz = -1 ,
(b)
Fu.nci.onu
Ca.p. 1Z
Ca.p. 1t
-\ · &I •\~I •
Hallar a y
\ax+ b + 1)/(ax. + b} • I
b para que
f.· [b, -2] -
f(x) = l/(6x + 6) • va, donde Hallar a Y b para que f: (1, 4) donde
f(x)
(-2, 5] ,
=
(ax + b + l)/(ax + b) • f,: (o; 5) Hallar una función suryectiva.
[a, - 1/24] , sea biyecti
(o, 1) ,
qu~
sea biyectiva, sea inyectiva y
. )
Ca.p. 1Z
480 7.2 .
Dadas las funciones:
l
f(x.) =
hallar
o
o •
X.
x.2 •
x.
E
·X.
> 2
1T
•
<
(O, 2)
g(x.) =
l 4~
<
X.
x.
-1
o (0, "1]
.E
X.
< O, 1 ) ,
a)
5. 6. 7. 8. 9.
Sólo
C=
b)
que y que l a podemos
10. 12. 14 .
(1)
g o f :
24 (d).
C b
=
• s iendo g o f (g o f )(a) • c
=
f (a )
b e 8
,
g : 8 ---
C
x. , x. e Dom f , 2 1
existe
17 . 19. 21.
[ - 1, -1/2
( fo g)(x.) ..
>
t
s uryectiva: V- c g(f(a)) = c
/
g(b)
E
=c
C , Ento!! .
l
Sin embar go, para una función
RELACION INVERSA f -l
f
dada, NO SIEMPRE LA
RESULTA SER UNA FUNCION { { f{x.), x. )
Por
=
(g o f)(x. 2 )
Asf,
f
=
/
X. E
A
A•Domf,
como en el ejemplo anterior, para el cual la re l ación inver sa
=
es inyectiva.
•
f - l ..
{ (7, 1), (8, 2), (8, 3)
}
NO ES UNA FllNCION,
pues se ti~men dos pares 'o rd! nados di st1ntos con la mi s ma
X.
4 16x.2
~
•
X
o
<
X. E E
[O, 1/2) ( 1/2, 1)
Recordamos aquf que a la relación i nversa de cualqui~r R -l o como R.* (Ver RELACIONES
> 1
R se le denota ya sea como P~g.
y como la primera función parcial no es univa l e nte , entonces t oda la f u!!
a)
8
ff camente como
f(x. 1) " f(x. 2 )
tales que
8 '" [1, CD )
b)
X.
23.
f
x/ 5 •
22 .
c ión
(1, 7), (2, 8), (3, 8)
en l a fi gura ad-
b = 39 •· Pruebe primero que f es inyectiva. a,. o , b = 126 18. (a, b) • (1/4, -1/4) ó ( .,1/4, 3/2) a = -1/6 , b = - 5 • 20. Tales valor es de a y b no exis ten. f( x.) "
6, 7, a} :
re sulta ser suryectiva .
=
a) 8 : a =3 ,
= {
1, 2
g(f( x. )) • g(f(x. )) (g o f)(x. 1 ) 2 1 [por ser g o f suryectiva] x. 1 = x. 2 • 16.
8
y
junt a.
A /
E
lo tanto ,
15.
1, 2, 3 }
Oom f ,
Compl ete cuadrados .
A -
ces denotando
Sean
A•
A=
f
h .
e.x..ú..te. a
(2)
x. e A }
/
A
Grafique la función p( x.) , en ~ icu l ar. Sólo (a) y (b) . .ll.· f(x.) = x.3 , g( x.) ª l/ x. , x. > O • 8 = IR - { 10} • 13. Ran (f) "' ( IR - { 1}) U {3 }" IR- { l } , M "{l}. y
(x., f(x)) para
={
f
l a f unc i ón
decreciente .
=
f- (C)=
f , g
={
Y que puede ser por e jemplo, a < b ,
con
h(x.) ... [ x.4/ 3 + x_2/3 ] •
'
1
1,3
Dada la funcHln f: A 8 , sabemos que (subconjunto de A x 8) quo se puede expresar como:
r epresentar gr á-
[ z4/3 + . z213 ]
3! • 6 ; 4! Solo (a) , (b) y
RELAClON
1
;>
CLAVE DE RESPUESTAS h(z) "
es una
f
Hallar una función . f : )
Dom f* •
g{x:l)
Dada la función g • { ( x, ~) / hallar la función g* , si existe •
EJERCIC IO. -
SOLUCIOH .-
EJERCICIO·-
SOLU CION .Luego,
,
i (!( + 7) $ 5
-7 < !/ $ 3
12.9
12.10
x en t~rmlnos de !f :
i {y + 7)
x " 3°)
-1
, ' IJ •
,
- - -....l '
1
(cS)] ~·----------'---------=,
[de
,
f*
, "' ,,
[·l. "") = Dom f*
Ademh,
despejando r. de :
que
Ran (g) = (1, 3) = Dom g*
g*(!f)
=
4 - y2 ,
g*{.t} = 4 • x2 ,
12.11
EJERCICIO··
,
entonces la función inversa
ll y e (1, 3 ~ = Dom g* Jf
ll E
g* es:
y regresando al ~.únbola
;
! :
t
(1, 3) = Dom 9* •
Dadas las funciones g" { (x, f o (g*) •
/¡:';) /
2 { (x, x )/ /i(x- 3) ?D}
f • x
E
(-5, 3]} ,
hallar, si
489
z
Cap. 12
Cap. 1
1
furtcÁ.O lte..6
488 Como
SOLUCIOll. CICIO
f(x) = x2 ,
(12.10]
luego,
/X. (x -
Dom
fo (g*)
= {x
(1. 3
=
/
g*(x)
4-x2
(1, 3)/
>n ( (-1.
1]
00 )
•
entonces
& Dom f
12.1'1
}
EJERCICIO . -
u { ±2 l )
f(x) = ·
l 1• 2 l
=
Hallar la func1ón
SOLUCIOlt .-
f(x),.
(
5-x+l+xl~
Luego,
00
4,
·
3 < -2 , (o.)
t
de
si (x¡ + z)2 • (xz + 2)2 ( a }:
z =
& -(x + 2) x. 1 + 2 • x2 + 2 1 Luego , existe la fu nci6n i nversa f * . Como s e puede pr!!
• x 2
bar que
f(x)•
\x + 2\ ..
=
4\ •
Halla r l á funcl6n inversa, s i existe, para h fu nc i ón f(x)• l 2 •41t l . lt(-4,-3) (6)
Comp. cuad .:
y=
l y6
-x
=
1
tambiéri ,y
~.
es uni valente en su domi nio : sean x.1 , l 2 f(x1) = f (xz) (x1+2 )2 - 5 " (x.z + 2)2 - 5
x
Ran(f)=(O , ..,)
x-1
x2 + 1 ==>
(B)
••
o
=
y > O , de (a } J = y > 1 + ./Z l + ./2, "") " Ran ( f) = Dom f * . Por lo tanto,
o
( 11 - l) - 2 >
y
=
.. (a) ]
= !12 - l 2y
ic. =
~
1j - X '"
e_!
101C:>
r.2 +t.
ti.
t
=
+l
(y2 -
f *(y) f * (r.) ..
(r.
2
=
[pues
l)/(2y)
- l)/(2x.)
,
y
E (
x.
E (
EJERCICIO.-
SOLUCION.-
(-6 +./TI, 4+18)
"
y= 2x+
¡¡-;;r
i(41}
(y-2x) 2 - 4+x2
=
±
tenemos :
b)
* (x.) = .! [ 3
Ver
(12.3) ,
X
2 x + 2x
1r.I
~(
± /1¡2
2y
f
,
;
XE
Sf
XE
SOLUCION.-
f¡(r.) ..
1[
4
J(
E
(-6 +
Dpm f* • Domf 1
(a)'
±4
=
]
debemos
lIT •
·4 +
Is > .
+ ./13 •
(-3. 2)
4 +
18 >
.
d)\ gt
(
sgn ( r.2 + 1),
r.
E
(r.+1)
(x)
{
( .lC.
SOLUCfON.-
g(:t) •
r.
E
oa da
17+2 .+
=(
=
2
!I > 4
=
Despejando •!
x1 "
x E Dom f : '
!/
en
E
(-1, 5 ) '
•l •
{ . 2x.-1
X. E
(-1, 1)
,r._c(:!,4]
(
(4,
(a) :
.
=
g*.
r.~
"'>
3, 7)
r. +
f
•
~
r. + 2
Expresando
, !I •
r. > 2 ,
ha 11 ar f*
en 1a forma:
f( x)
.!J2. 2
2 es univalente, es decir que:
, para
r. 1 ,
2
E Dom f
.. (a}
4
• (2, "')
X+ 2 > 4 2 9 25 + .! J > - 2 2 4 4 4
= Ran ( f)
+
r.
h +2
~
-1]
!I'" f(r.) "[¡;;z +
f
y •. [
.
4
Dom f*
¡;-;-.9"4
.! • 2
=
í;;T' - .!2 )2 .. -2 + !I + 24 + .!4 - ;-;;-;-Fy + 2 4 4 = r. = t (2y + 1 - ¡¡y:;g) Por lo tanto, la inversa se expresa como: f *(y) " t (2y + 1 - ¡;;y-;g ) y 4 , "') = Dom f * r. "
-2 + (
E (
Expresándola con el sfmbolo !
¡;:;:¡,
X E
r. > 2
=
2
(-1 - (2,
f( )
2, "')
/;;z -
.! > í .2
X E
r. • si existe.
Dom f
~ = f(x)"" (ic + 2) +
1
-
+ 1) /2
EJERCICIO.-
12.32
2
:
f • (x) =
(-3, -1)
d)
~: i·,': ,'?
,::. 1)/2 •
Sean ,
(fog)*,
~
+ 12 )
••
c)
r.2+2r.= (x+l)2-l, r. E [ -3, -1) vemos que f 1 no u .útye.c..ti.va: f(-3/2) = f(-1/2) = - 3/4 . Luego, f DO ti ene inversa, as i que no eti..6.te. f * . Sin embargo, existe f o g : r. .. -1 b) Como f ~ no existe, e!! a) ( f o g)(x) = ( XE 6
(x2 - 1) 2 + 4 ,
(g*)]( x)
(f*
12.
25/!•l ;
- / ( ¡¡ - 6) / 3
f *(it) "
23 . H*,
A
11. 13.
*.
hall ar su función inversa
,
( /2JC + 6 - 2 )/ ( 13 +X+ z,/2;"+b)J
22.
g* o f
f * o f = Id.
(g o f *)(ic) •
,
} ,
2·
;
10.
21.
como
=
(12.29), pág. 494).
( - 2, 0)
- 1
(x • 1)2
~
7.
• 6.
20. (Ver
X E
X
P = 1/4 , 4p + 7 = B ; A· $t lo 4 ()lo (1) g no ~s inye ctiva, no se cumpl e (II) ; 1/( 1) , b " 4, f( x) " (x - 8)/2 f(lO)/f '(lo) 1/ 8 . Sólo H y h ; _!!. a) g* ( x ) " l /(2x 'i) 1 b) g*(x) •
f* :
lt
•
2~
es un i va l ente, y h lhr
Dada la fun ción
~ are cos x , &-[:tt.-,.- "211] ,
f)
f (x) ~
para
'
[12. 33].
CLAVE DE RESPUESTAS
lente, 1 ha llar f * •
JB.
f( x) •
Ran (g) ,
y hallarla :
t ales que :
7)/(x - 2) ,
y hallar
f(:t) = x/(l +!xi)
f(x)=
f* , si ex i ste, para
l.
35.
Sea
Hallar
•
Hall'ar todas las funcio nes l i nea l es
37.
43.
g* ;
X <
34.
Sea
(l/f) *
si existe, de la funció n
probar que exis te
.r;::z
g*(x) ·
probar que existe
-1 < 0 <
' X
X+
~
g* , si existe,
. X
b)
tos (12.32] y
f ( Jt ) •
46.
f* .
X < -4
.r;.
X -
p~r•
47 .
E
Ver los EJERCICIOS re suel -
f * , si exist 4
X.
< -6
--
-Jt+b
, X. E ' [5/2, J.) (-1/2, 0) U (0, 1/2) . Jt e IR ; 38. f* ( x) " x I (l - 1x 1 ) , l x 1 > l. ·
f*(x) f* ( x)
= x/(l - !xi) ,
=
e)
1
/
De las grUicas
l/ 11
•X
9
211
I
)( > 1
,
(f - f*) (x) = 1 - (l/(x.-2)) + (l/(x.-3)]
t•~x) •
,
,
/
36. J 7.
40.
2
x e (O, 1) U(l, ai)
35.
=
9- (3 - 1i")
1
=X
l( < -1
33.
a
x e [O, 5).
• 2 - l( )
= (4 + 7x.2 )/(1 )* ( ) { l/ X.
g*(x.)
(l/f
2
IJ
', f '
11 1
8.
o o
<
l+[l/(l+h+.l)j,
f*(x)= 46.
)/3
X ~
f* ( l() • 1
En la forma: f(x.) . "' [(2 - ~)/(x 1) 1 prueba que f es univalente. Ad1m! , 1 2 IJ e f(x) = ( -1 + - - ) - 1 X- 1
/y= x.
Y
2
f*(y)
-1, O, 1 } •
{
1
45.
{-1, O, 1},
x. e: [n, n + 1)
con
.
rango como la regla
f(x.)"'
para
2 +
X. -
(-2)[
==
2¡ 2 ] + ¡7 .
r-::'
(
44.
b = 6 •
n + ;;-:-;., x. 2 f*(x.) = n + (x.-n) ,
29.
[
=
f(x.)
t*(l(l
3 •
~
X.
f (l() "
1
i··. f .........11/2 • •. l ~;:<
-- -,..o 9
1
,
11
1
1
-1 .. " O 1 "· "· : / '
.·-1 _____ ...
1
2 11
.,.~-----
--
1
-·~ ... ~
pr~vias, vemos que:
**•***
r = -1
y
s • 2ir •
X
l~
Cap.
FuncJ.onM
502
Jt
í-UNCIONES EXPONENCIALES YLOGARITMICAS Muchos fenómenos naturales - como por-ejemplo,
( 1!.:
OSITIVO y n un número ' ·eal cualquiera, entonces la expresión a" es un \ nún~ro real bien definido. l Estos resultados nos permiten defi nir la función [XPONENCIAL de BASE ! •/ cuyo dominio es todo IR
~1 crecimiento rle una población de bacterias o la desintegración de un elemento radiactivo - presentan patrones de crecimiento y decaimiento que son descritos por funciones exponenciales. En esta sección estudiaremos las propiedades de talrs funciones así como de una clase muy relacionada de funciones llama-
503
Funúoncu
12
!/ = f(x) = aX
con
a > O
y
Esta función también es denotada como
x e: iR
exp a (x)
Las Funciones Exponenciales juegan un rol muy importante en el y debido a sus caracterfsticas especi ales son encontra das en vir~lmente todo campo donde las matem~ticas se aplican.
dds lds FUNCIONES LOGARITMICAS.
An~lisis Matem~tico,
13.l . LEYES DE LOS EXPONENTES.Recordemos las LEYES VE EXPONENTES. Si a Y b e: IR+ (son númeJto4 po4.ui.vo4}., y si x e IJ. son númeM4 11.ea.lu aJLbLt:Jut-
Mo4, entonces : ax alJ aX alJ
ax+ IJ
III)
(aX)!/
aXY
IV}
(ab)l(
V)
aº
l} I I)
·"~
13,4
aX- lj
a
Comencemo nuestra interpretación de las funciones exponenci ales sus grHic s.
EJEMPLO,-
SOLUCION. -
1 •
La expresión
oº
no est& definida.
f(x) = 2x.
.....
lt
al( bK.
1J =
Sabemos que Dom f = lR • Para hallar el rango de f consideremos la siguiente tabla de valores :
.-
.
Bosquejar la gráfféa de
estudiand~
IJ = zX
-3
-2
-1
o
1
2
3
_!_
l
16
8
l 4
1 2
1
2
4
8
-5
-4
1
32
Por ejemplo : a')
b)
8 5/3
...
8 5/3 - (-1/3)
..
[(16)(81)] -1/4
13.2
=
(16 -1/4)(81 -1/4)
=.
EJERCICIO.- Resolver la ecuación
SOLUCION.-
=
z3X- ll
e
x " 5
"
24(5/4)
=
5 2 .. 32
De estos cálculos vemos que
82 = 64
-1/J
8 c)
167/4-1/2
167/4 • 16 -1/2
16 " 24
===>
, ¡>uesto que
l
16 1~4. 811/4
3 2 x- ll
3x - 11
ax
=
a!I
2x · decrece y se aproxima a O mientras x tiende a - "' , y que zX crece sin Hmite hacia +"" mientras x también crece sin límite. Ast , el rango de f(x) = zX es (o, m) y
..• 1.1 .. l 2 3
. 6
• 15
=4 =
3x .. 15
x = /J •
13.3 LA FUNClON EXPONENCIAL ' Como ~emos, siempre que !. sea un número real
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
X
... Cap. 12
504
SOLUCIOfl.-
Dom g
: 1 ;: 1 ;: 1 :
IR
Funuonu \
,
¡ -: 1 ~·
1 : 1
i
1; 1; 1
505
y
\
= g(x) = (l/2)x
y
Bosquejar la gráfica de
13.S EJEAPLO.-
Cap. 12
\
.IJ = ax
f. ¡
\
\
(O < a < -1)
'
\
1
'\ '\
'' '
y
'
=1
(a .. l)
--- ---
o
X
13.7~ROPIEDADES DE LA FUNCION EXPONENCIAL.~· .
-4
-3
-2
-1
o
2
3
4
X
Vemos que (l/2f~ " l/2x crece sin HmHe cuando x decrece hada -"' , y que (l/2)x decrece y se aproxima a O cuando x crece sin limite. Ast el rango de g(x) = (1/2)x es el intervalo (O, m) .
a > O•
En resumen, la Función Exponencial IJ satisface las siguientes propiedades:
a I 1 ,
Tiene
Dominio
Tiene
Rango =
PRE 1'6SIT1VO:
::r
(-cio, m) "
< º· CD>O • ax >
IR
•
es decir que el valor de Jixe:IR.
Su gráfica intersecta al Eje Y en
es SIEM
y " 1
Es una función UNZVALENTE (.inyectiva) , y su gráfica consiste de un solo trazo continuo sobre su Dominio IR •
13.6 6RAFICA DE LA FUNCION EXPONENCIAL.Las funciones y .. zx y y • (l/z)x cuyas gráficas fueron estudiadas en los E.JEMPLOS 1_3.4 y 13. 5 son casos especiales de la Función Exponencial f(x) ~ ax obtenidas haciendo a = 2 y a = .1/2 respectivamente. En general, la Función Exponencial y• aX con a> 1 es una función creciente con una gráfica similar a y z zx , mientras que la Función Exponencial y = ax con O< a < 1 es una función decreciente cuya gráfica es similar a y = (l/2)x. Cuando a " 1 , la función y = aX se reduce a 1a func1 ón constante 1J : 1
..
Para.tener un esquema de comparación, las gráfi cas de estas tres clases de funciones· exponenciales .están bosquejadas a continuación.
Si la base !
es
a > 1 ,_ la función
Si la base !
es
O< a < l ,
FUNeJ'ON EXPOllEHC 1AL DE BASE
y .. ax
la funci!!n
u
y = ax
-CRECZEWTE.
u
VECRECZEWTE.
e
La Función Exponencial IJ = ex de base er nQ es un número irracional trascendente cuyo valor es: e
= 2:7182818 •••
muy importa~te en los aspectos tanto teóricos .como aplicados. puede demostrar que, aunque no lo haremos aquf, e
=
(1+ n-+
CD
J. }n n
-1
... Ca.p. 1Z
506
507
Cap. 12
13.10 EJERCICIO."'\ Resolver
Sin embargo el estudiante debe convencerse de . · · • del nu·mero e examinando la siguiente tabla que se puede ll~l.i def 101c1on • reconstruir con la ayuda de una calculadora de bolsillo. n 10 100 1,000 10,000 100,000 1'000,000 10'000,000 100°000,000
2.5g37424 2.7048138 2.7169239 2.7181459 2.7182682 2.7182804 2.7182816 2.7182818
a)
JI. lj lj
=
ex
-1
-2
0.05
b)
lj
=
o
1
2
3
1
2.72
7.39
20.09
7.39
2.72
1
0.37
0. 14
o.os
e
7
\
IJ
=
4 \ \
3
\ ·2
'l
-3
-2
-1
.....
o
0
X ,.
V
X •
o
-3/4
e. s. • < o . -3/ 4
}
( 3X) 2 - 12 (3.X) + 27 " (3X - 9)(3.X - 3) < 0 2 1 3 O,
x = Log a z
y viene a ser el exponente a1 cua 1 número z Asi tenemos la relación
13;1~
al-1.
se debe elevar l a J>ase !
mayor frecuencia son: a) El sistema de LOGARITMOS COMUNES, que tiene como BASE de Logaritmos al número 10 • b) El sistema de LOGARITMOS NATURALES (o Neperianos), que tiene como BASE al numero trascendental e" 2.7182818 .••
para obtener el
~
a¡ll
sas de Una
de un logaritmo debe cumplir la condición que a > Note que toda base ! ~o~emplo, a ¡1- 1 . No puede ser negativa. cero, ni el niimero uno. 34 = 81 pues l) .Log 3 81 " 4 1000 10 3 pues 3 Log 10 1000 2) 1 1 2-5 1 pues -5. 3) Log2 ( 32) 32 25 pues
Log 7 7 = 1
71
•
LOGARITftOS \COftUNES Y LOGARITftOS NATURALES.Los dos sistemas de Logaritmos que se utilizan con
a>O.
4)
509
Fu.nc.lonu
a 1 1
> O
es un valor conocido y x es la incógnita por conocer. El número -x es llamado el LOGARITMO VE z EN LA BASE ! •
es denotado por:
Cap. 12
o•
Actualmente se tienen tablas logarHmicas exten e han sido calculadas utilizando estas bases . Alternativamente, uno pu~ lizar un calculador electrónico de bolsillo.
t
tación standard para estos sistemas es la siguiente:
a) A la expresión b)
A la expresión
Log 10 z
se le denota simplemente como
~g
Log e z
se 1e denota si mp 1emente como
ln z
E1 sistema de los Logaritmos Naturales es espe cíalmente utilizado en trabajos teóricos y lleva con mucha frecuencia a ex presiones m!s simples.
...
13.15 LEYES DE LOS L06ARITftOS,-
7
a > O•
Si r y s Re~olvPr para x , las siguientes ecuaciones: c) Log x 125 = 3 a) ~og 3_x = 2 l 3 d) Log x B • b) Log 16 4 • x
13.13
a 1 1 , entonces
z
SOLUCIOlt.a)
Log 3 x
b)
Log 16 4
e)
.d)
=
..
lt
3
Log X 125 Log x l8
lt • 32
=
2
1
2
.
=
9
X
=
2x 4 = 16 lt • ( 42) X = 4
=
42x/ 41 • - l
..
42lt - 1
=
= = = = ~
125 .. 53
lt3 x3
lt3/2
= 8
x3/2
1
X,.,
43/2 4
"-
= =
X :
= 1
1
z
fl
zl ( J_ )3/2 4
L~g a (rs)
II)
Log a (-) • s
r
5
111)
Log a (r
)
=
Lo~
ar
"t
Log 4 s
=
Logar
-
Log as
..
s ( Logar
41
42x
IV)
Log a i
o
Zx- l
=o
V)
Log a a
1
VI)
aLog ax
X
1/2
X = 5
1
1)
1
(41/2)3
.
[aqut. s es cualquier núm. real]
Log e e
..
ln e
.
1
.
X > 0
JI.
Las pruebas de cada una de ·es tas Leyes de Logaritmos se realiza en base a 1as Leyes de los Exponentes [13.1) . Sean r
= au
U + V
..
u ..
s = aV Log a ( rs)
Logar
=
=
.
V "
Lóg as aU+ V
entonces
=
aU aV rs Logar + Log as " Log a (rs)
Cap. l Z
-
510 Log
PRUEBA DE ( l Il) : -
su /
Cap. 12
Funclo11eA ·
=O
s
Si
au I s
u ,.· -Log a (rs) Log ax a
VI
Log
Log 2 15 Log -(_2) 2 8
b)
Log
e)
3
13.17 a)
=
Jf
X
2
X
>
3
( pues
13.19
'- Log
a
a
x
a)
10
= =
Log
log LO 50
.. Log 10 50
"'
~
10
= 3 Log10 5
3x
Log 10 10 " 1 )
Loge ( eo.oak)
=
Log 10 5 = 0. 69897
X •
para k •
n ambo mi mbros :
Loge 9
0.08k ( Lo
Log b a
0.69897 + 0.47712 .. 1.17609 Log lO ((5 X 3)/2]
( 15/2)
L 3 4 og 10 ..
=
((25) ( 2 )]
2(Log 10 S ) +
l
2
Log
=
( II)
1
Log a b
Log b a
0.87506
4(0.47712)
a
•
1.90848 •
l og 10 (52 X 2) ·,. log 10 52 +
0910
Log lO [ 10 X 5 )
"
Log 10 2
0.69897 + 0.47712 - 0. 30103 ,.
4 Log 10 3
3Log 10 !i
(5 3)
13.20 FOR11ULAS DE CAMBIO DE BASE
Log LO 5 + Log 10 3 -
Log 10 81
..
Log 10
•
k. 2.19722/0.08 .. 27.465 Estos valores han sido tomados de una calculadora de b 1 lllo
!. Log (17) 3
(17_1/2)
Log 10 15 ,.
=
= 125
EJERCICIO.- Resolver :
-
= x
Log 10 3 2 = 0.30103 , 10 o. 47712 • y Log 10 5 a 0: 69897 , evaluar e) Log 81 d) Log 10 50 • Log LO 7.5 10
b)
Log 10 15
Log 10
3 (lo x)
SOLUCION.- Tomando Logaritmos en base e
Log 2 8
Sob1endo que:
EJERCICIO. -
=5
-3.x Log 10 10
o :
Log 2 5 + Log 2 3
(pues
o
1
-
Log
d)
au
=
=
(5 xJ)
Log
SOLUCIOK . -
c)
s
3
103.x
= = rs
• con lo cual concluye la prueba.
=
Log 2 5
f'fi
Log 4 1
d)
= Logar
s
3
10 x
EJERCICIO.- Resolver la ccuac16n
SOLUCION.-
EJEMPLOS.~
13.16 a)
r
=
u = Log ax
sea
s ( Log a r )
= u "' s (l og a r ) S .. (a uI s)
= r
= PRUEBA DE
=
la Ley se cumple autom!ticamente. u
o , . sea
s -¡.
Si
,
( rs)
a
13.18
"'
Z(0 . 69897) + 0. 30103 -1.69897 • Otra forma es:
10 + Log 10 5 10 l + 0. 69897 .. 1. 69897
Haciendo u • Log a e = au • e tomando logaritmo en ambos miembros :
PRUEBA VE (I)
LoglO 2
Lf gbau = Log bc
T \
u=
"
=
u.(Logba) • Logbc
(Logbc)/(Log ba)
'" " " ' ' " ' " ' " d•
=
(l) •
L. q. q. d.
""''"' '
'
• b .
... Cap. IZ
Funeú>ne-6
51Z
Como consecuencia tenemos que cualquier Logaritmo se puede expresar en tér-
Cap. 12
513
Log ab
:raVb
minos del Logaritmo Hatural (b.ue e), como sigue:
Lo~
ac
Logec
.btc
Log e a
.bt a
tº9 ab 'la -
Log ab
1l
5l
l
3
Log ab (a) -
.!
.3
13.21 PROPIEDADES ADICIONALES JI: LOS LOGARITMOS 13.2.}- EJERCICIO.-
1) ~
2)
x = e xlogea ..
e
ax = (ex) ln a
= Si
5
3 + -(4) 20
ab
Log ab {b)
.!
•
4 3
{a-3/4)
3
29
1 "
+
5
15
Calcular los valores de: A•
L"og 49 ( ¡7) 5 -
B•
(Log
49
(4911 ~ )~
n e::
IR '
n
1O
xlna
~
lt E
IR
.
SOLUCION.-
A
-~
=
Log
4
0.25) Log
- . Log
7
312
(-3) Log
:
(
~)
[( ~
312
a
13.24 n e:: IR ,
n '
o
Si
n e::
IR '
Hallar el valor de
Log ab [ 2 Log ab
!
Log n ( x) a
5)
EJERCICIO.-
log
n
a
Log
(X)
xl/n
O. 5 Log ;a¡; (b) ]
3
]
5
Log ab [ Log ab (a) - Log
..
=
/ab
=
4 +3
a
{ x")
=
,
si se cumple que:
2 = Log ab a
-
2
Log ab b •
[13.21]
lb J =
(Log ab a. rt- Log ab b) (Log ab a - Log ab b)
Log l/n ( x) a Log ab [ Log ab (a/b) ]
13.22
EJERCICIO.- Si
a. b evaluar
&
R+ - { 1} •
\
L
4
SOLUCIOlt.-
Y si
a = (ab) = Del dato, b a-3/4 luego, tenemos que:
Log abª
4 '
! b
..
..
1 · Log ab (a/b)
(ab)a/b
Log b ( ! ) a b
=
! b
y tomando LoglllLUmo6 en ba.6 e · ! :
Log a ( ~) = ~ Log a {ab) {a + b) Log a b =
=
1 - Log a b ~ · !b { 1 + Log a b )
=
( b_ - a)
=
Log a b
4
5
Log ab [ Log ab (a) - Log ab {b)] .. Log ab (ab) • Log ab (a/b) Log
17
3
Debido a las Propiedades (3), (4) y (5) de
a
n1O
la -
Logab
f
•
( ~)
3
n Log n ( x) a
Log n ( x" )
Log ax
Si
y
Log 1. !i { 2ª1 )
{-1)[l - 2]
4)
3 5l {-¡) Logab {a)
a > O : a
3)
! Log
(4) -
Yb
b- a a
b +
.. Ca.p. 12
514
EJERCICIO.-
13.25
Simplificar: Jr=:; 2/ Log 7 4 t32 •
b)
Log
Como
4
4
Pues to que
(Log
(Log
27
4
(5
"
54/7
::
417 )
"
5 )(Log
=
25
Log 22 72 " (2 Log2 7 )5/3
(Log
2 (3 ) ]
9)
27
5) [ Log
52
Log
22
=
•
=
-----
(54/7 )
1 = Log
"
Log a (Log b c)
13.28
EJERCICIO.-
= Log
=
7 5/3
Log 33 (3)
=
porlotanto,
Log H Log a ( _ _b_ ) " Log c N
1 ( -- ) ... a Log c b
Log
Log c Lag a(--"-) Log N b
( l) = a a
-l
.
Demostrar que si se cumple que:
Log c+b (a) + Log c-b (a) entonces a • b y e
Log 27 3 "'
Log a b (--) a Log a c
Logcb " ' a ;
log a Log b N - Log a Log c N "
~
(Log 27 5 )(Log 5 3)
¡
Del d~to:
SOLUCIOft.-
Log 2 7
2(5/3) Log2 7
L:og a Log b N - L_99 a Lag e N •
lar:
5) (Log 25 9) 27
Log 52/7 2
Z/ Log 7 4 - = 2 Log 4 ¡- =
Y3z (2/l,og 7 4) c)
c)
(5)
2712
Log
Log s/2 (5)
= b)
4
Debido a (13.21] •
SOLUCION.a)
Log S lf (5)
a)
515
Fu.nclonu
Ca.p. 12
= 2 (Log c+b (a)) Log·c-b (a)
pueden ser los lados de un triángulo rectángulo.
Mediante las Fórmulas de Cambio de Base, el dato es equiva-
SOLUCIOH.-
lente a la relaci6n:
1
l
3
2
l
+
y dándole
Log a (c - b)
EJERCICIO.-
13.26 a) b)
A
=
Simplificar:
común denominador e igualando los numeradores obtenemos la igualdad:
(Log 3)(Log 4)(1og4 5) ... (Log 14 15)(Log_15 16) • 3 2 c) Log a N (Log 2 Log 2 N2 )/ (1 + Log 2 log 2 N) • C = Log ab N
B"
SOLUCION.-
Aplicando la Propiedad:
(Log a b)(Log b c)
=
Log a e
Log a ( c - b) + log a ( c + b) " 2 (c - b)(c + b) " Por lo tanto, ! y y f su hipotenusa.
b)
A ,.
Observemos que:
===>
e)
13.29 4 •
Log Log N2 • Log 2 (2 Log 2 N) 2 2 = Log 2 + Log log N "' 2 2 2
e•
pueden ser lo• catetos de un triángulo rectángulo,
Toman; logaritmos en Base 10 : l + log 2 Log 2 K •
Log A"
\ =
Log a ab
=
c2 = ª2 + b2 . .
EJERCICIO.-
B=l.
Por la Propiedad (13.20]( Il) :
=
-e;.
=
Sabiendo que Log 2 "' 0.30103 , calcular el número de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa de la siguiente potencia:
Log 2 lit
(Log 4)(Log 5) ••. (Log 14 15)(Log 15 16) 4 2 = Log 2 (24 ) • 4 (Log 2 2)
~
Log a [ (c - b )( c + b)] " 2
• V!
rias veces: a)
a2
=
=
1 + Log a b
10 - 17
~
-8.5 Log 80 "
-8.5 Log (10x23 )
-8.5 (l + 3 Log 2) -16. 17626 ' A < 10- 16
=
" -8.5( ·1.90309) A,.
lO ·16.17626
lo que implica que el número
e1 os que hay entre el punto decimal de A y su primera cifra significat.i
13.27
EJERCICIO.
Si
Log á Log a b -
Log a Log a e "
l •
calcu
n "
16
•
... Cap. 12
FwicioneA
$1 RIE DE, EJERCICIOS PROPUESTOS
9.
De las siguientes funciones exponenciales: ¿Cuáles son crecientes Y cu!
J.
les son decr ec ientes?:
2. lCómo es el número positivo tes casos ? a2/S > ª5/2 (1) ª0.3 > 1
(4)
(3)
ª2/3 > a
(2)
ª3/4 < ª4/5
(5)
3
-5/6 < ª7 /6
a)
a) d)
4.
·
2 2/3 (5)
b)
(-5 )3/4 3
3 - 4/5 ( 2)
e)
(0.21)0.l
c)
Log 729. 3
=
b)
6
e)
5.
6.
igualdades~
3(4
Log 112
1 Log 10 ( --=. )
-l
d)
Log a /a /ara
J.
f)
2
10 /10
( /j) -1.2
f)
Determinar la validez de .las siguientes a)
( 1. )-6/7 2
c)
8
= -3
Log a a
2 3-
Lag 1296
d)
Log ' 49
2
3
'
1lf7
l Log 2 ( 16)
b) e)
Log /
2l
"./a
3
:r-
f)
l 16
- Lag
8
Log Log {l6) 4 2
.
Calcular: a)
25 Log 5 3
d)
49
. ·-Log 5 10 25
c)
b)
0.5 Log 7 (0.25)
e)
·3r.:-: 1 BLog 2 "121 + 3 .
f)
7.
b)
Calcular: e)
Log
Log a tan 40º Log a tan 41 º Log a tan 42
5
- 2Log 5 3
,
• • • Lag a tan 50º
Demostrar que:
Log
l/a
N
" · - Log
a
N
=
(Lag 2 x '> - 3 Log 2 x + 5
a)
Log
b)
Log
c)
Log
X
d)
Log
X
5
-
3 Log 5
X
Lag x N
b)
Q. = N
O
=
x
t Log
= ~
2 Log 25 + Log 4
-
5 10
Log
1
2 +
2
- Log 4).
Log (a+ b) - -2 ( 2 Log a + 3
14. Calcular el valor de
Log 6 16
15. Simpl i~car1 c)
5
( Log 2 + Log a
Lag
112
( 4¡ 125
a)
~ Log b)
si se' sabe que
28
Lag 2 = a • 7
si se sabe que
) 3/ Log 3 5
Log 12 27 = a .
2 Log 212 (5)
b)
(Lag 5 ) ( Log 27 ) 9 25 Lag a tan 1° + Lag a tan 2° + Log a tan 3º +
d)
CLAVE DE
.
-
3-
Log ab (/a . lb ) . si se sabe que
+ Log a tan 89º •
•••
Lag ab a
=
3
,
R~SPUESTAS
l.
a) Y·c)
2.
(l}
o<
(4)
a > l
a)-
< 1
f)
< 1
son crecientes a 1 c)
> l
> l
.
•
d)
a
i>
a > 1
d)
< 1
e)
< 1
f)
242 •
Todas son verdaderas . b)
a)
4
e)
- 3/10 ' g • b)
a) B.
1/2
es igual a
2 Log 3 x - 12 = O
2
16:· Calcular
Log l I 7 f'49
c)
. 5 - ,· 164
(9 3 : " -
13. Calcular el valor de
-~3
•
=
(1/2)
2
Calcular: .a)
¡{.og
a)
~
12. Resolver. las siguientes ecuaciones:
Compare las sigui entes potencias con respecto al número 1 :
3.
si :
ve~ rúfent~s ecu:ciones:
8
b)
a-0.7 > a-4/5
(6)
517
Hallar el número cuyo Logaritmo en la Base
10. Hallar x
comparado con el número 1 , en los siguie_!!
'ª'
Fu.nc-i.onu
11. Resol
c)
b}
a)
Ca.p. 12
n)
2
•
.
b)
-4
f) 8
-2
•
. -
• o
c)
e)
1/100
c)
o
- 2/3
.
d) . 1/4
- 1/6
'
e)
• 75
.
,. pues está la expresión: tan 45° = l.
•
.. a)
10.-
'J.
bb
11.
a)
9
12.
c)
X
14.
Del dato:
b)
t
12.- a)
32
= (a/2)3/4 a=
Log
2
d)
6
a)
9
4¡3 •
c). Log
lb
b) X 413 a ]
5/12
"
13.-
.
2a + l ---ª-.
=
Log 3 2 = !(~) 2 a
4/ Log ( 2 X 3) 2
~)
B.31
y = Log a x = 4/ ( 1 + Log 2 3)
Es decir,
2 3 5/
1
t
"
(Un~)(tan 88º l } · · ·
ª
· · ...
89º)]
Log a [ { ( cot 89º )(tan 89º) } { ( cot 88° j (tan ... { (cot 47º}(tan 47º)} { (cot 46º)(tan 46º)} (tan 45º)
16.
JI X >
[ { 1 } { 1 } . . . { 1 } { 1 } ( 1) ]
"
Log a (1) =
O
lj ..
o•
Log a (.x)
5/6
tiene
Oom (ax) = IR ,
Dom ( Log a )
"
oe nuestro estudio previo de los LOGARIT i) a > 1 ~
(1)
No están definidos los Logaritmos de números negativos,
del cero.
(2)
Solamente existen
(3)
s1n embargo, el valor de un Logaritmo (de u.n l!Ún!ell.O po4.l.Clvo, poli. 4_!!: puu.to) puede ser ya sea un número negativo, un número positivo ó
LogaJLi.,t)no4 de.Núme/l.04 Po4.l.Clvo4.
Log
10
(1/100)
Log 10 /10
=
función
y
ij)
(- "' ,
10
1 =
a ; 1
(O, '"')
(loi.
"!)
entonces por ser la
i~versa
l!Úmell.04
de
lj
ax
,
Fu~.
resul-
poi.Lelvo4 )
(.todo IR)
por
Y
/
.. y = x
= ax//
lj
reflexión con respecto a la recta lj = X
/
/ /
..
/
este caso,
y = Log ax
ulta ser una función conINYECTIVA y CRECIENTE.
Ud,
/
a > 1
o •
Con estas referencias, las propiedades de los logaritmos ya conocidas, y con las propiedades de los Exponentes.
..
Analizando la gráfica de y= ax para los casos O< a 1
t
• X
a
<
2
Note que, en este caso, al tomar la función Exponencial en estas bases
o función
.. ! ,WlC.ÁÍJn
a"
a > 1
.= IR
En este caso (ii),
y=
Siendo · tonces
\. \
x' a \.
\
ta. de6.i.Bu.a.ldad.
y
\
521
Cap. 12
Cap. 12
! • el ¿en.ti.do de la. du.i.gualdad .tambibt .se con4Vtva.
la
4.- Por ser la función
Lag ax.
VECRECIENTE J'llA4 el c.Mo en que
y= loga(x)
O < a < l
result~ ser continua,
INYECTIVA Y VECRECIENTE.
•'
O< a < l
13.32 RESU~EH DE PROPIEnADES DE 1.-
La Función LogarHmíca valores de la base !
2.-
y=
Lag ax
que satisfacen que: e.4
La Función Logarítmica
Observe en este caso que al tomar Logaritmos en estas bases, el ¿en.U
solamente está definida para los
do de
O , a f. 1 • INYECTIVA (wt.i.va.le.n.te), lo
a
>
4'~
ta.
du.i.gua.ldad SE INVIERTE.
Siendo
IJ
~
2')
a;'l
X
l
=
l
X2
ax , con a > Asimismo, por ser .la Función .Exponencial tJ = a 1 .1 , u.na. 6wt.ción INYECTIVA (tutiva.le.n.te) , entonces lf "1
.
E
IR ..
'
x.2
,
wut
ÓWl.C.ÁÍJn VECRECIENTE pa1t4 el
O< a < 1,
ca.60
.x.2 e: . R " (- oo, .,,)
O< a < l
a X2
>
En este, caso también, al tomar ta Exponencial en estas bases !
, el.
6e.n.t,i.do de. t4 du.i.gualdad SE INVIERTE.
SI
>.
a>O,
a
>
1
o
Loga (x)
>
L g a {x)
< O
=.·
X
> 1.
afl:
3.- Por ser entonces
•
o,
ax
il :x. 1
entonces
cual implica que,
a>O,
=
> 1
1J
=
lf x
,
Lag a (x) 1
, x2
E
UJUt
IR+ =
6wic.i.ón CRECIENTE
palt4 el. CIU>O
a > 1, Para a prueba basta expresar :
(O, "') •
~~x-1 ~
X
< 0
. >
fonci.onu
Cap.12
Cap. 12
Func..lonU>
522
c. s.
Por lo tanto, el Conjunto S~ción es 6. -
O < a < 1
Si
Loga (x)
> O
0 <
Log a (x)
o
X
<
X
< 1
>
1 > 0
i)
o
>
1
< ax
<
1
X
<
0
X
>
0
Sea
son una inversa de la otra.
1
f(x:) = exp a (x) = a"
g( x)
=
, f
Loga fx )
,
Todas estas propiedades seran utilizadas cuando se tengan
NOTAC I ON,-
13.33
x: + log 4 x. + log /i x. 112
b)
Log x. + Log
c)
(log x. 2)(Log x:/l 6 2)
2
b)
log z X + Log 2 x:
(- )
pues
2
Log
Log 2 x.
=
(Log
2
2
log
2
x. "
1
(Log
x:) - 6
3
zX =
2
V
Log
2
it
zx:
l og 2 (2 + ¡])
3
=
=
Log : ( x ) = expa (x)
,
EXPONENCIAL de BASE !
> 0
X
cmt.i.log a (x)
=
=
X
a •
l(
E
IR
tambi én se l e ll ama la
ANTILOGARITMO de BASE ! , y se l e
Log a éxp ax
=
ax = exp a (.t)
Log a (a.n.t..U.og ax:)
a.n.t..U.og a (log a x) = exp a (Log a x) "
Log 2 64
,
r~resenta
por:
x e: R
l og a ax a Log ax:
Jj
X
e: IR
Jf
X
> 0
Hall ar el valor de l a expres i ón:
e..6
A=
ne.ga..tlva)
. l [ exp 27 ( 6 ) CXP:i (
1 -2) ]
log 1/2
( l )
¡
SOLUC I ON.•
2
,.
Hallar el domini o de l a fu n~ión f , y la regla de corr spondencia de l a función inversa f *, si exisln (1 - ) + 2 •
EJERCICIO.23
" 8
Log2 x Log 2
.
, donde
lt
=
f(x)
( 1 - x) >
16
[ (L 9 2 x) - 3 ][ (Log 2 x) - 2] 2 • 4 3 X :: 2 V X " 2 '" 8 =. 2]
=
EJERC I CIO,-
2±17
X. "
X.
..
13.35
=
= 15/2
x.) [ (Lo 2 x) - 4 ]
=
o
Expone.nc..la.l nunca
Log (x/64) 2
(x./16)
exp : (x)
nemos que:
=
/i. + Log 2 x:2.
(Log x.) 2 - Slog 2 x + 6 = O 2 [ Log
± ¡'f
X: "
1
1
- 4(2") - 3
W1J1
=
=
2
2
2
/7
"
y debido a l as propiedades de l a Composic i ón de funciones te15/2
b) (2")
-1 + Log
.ll
5 2 Log 2 x
c)
2 +
"
• a)
± /16 - 4(-3)]
zX. ::
,
=
Es dec.i r ,
2" :
=
4 ( 2x )
(se de sea rta el signo
=
1J
Log :t/ 64 2
SOLUCION.a) Mul ti pli ca ndo l a ecvat10 n por
.zx. = ~ [4
= 4
2x. - 3( 2-x.)
a)
(2x.) 2 - 3
ecuaciones ~~~
Resolver las s i guientes
EJEl'IPLO • ..:
g(x) "' Log a(x) ,
x > O
A l a función f unci ón
entonces las fu ncior.es exponencial
x e R
* ( x)
g * (x)
que resol ver e.c.ua.ci.onU> e .lne.c.u.ac..lonU> e.x.pone.nc..lalu. IJ logaJL.Um.(.ca.6 •
= { 8. 4 } •
x e IR , y Logarftmica
,
= ii)
a 11 ;
a > O,
f(x) " ax X
a:t
!IOTA.-
13.34
523
1 ,
es la intersección de ambos; ·
b)
!I
X
= =
f(x)
= Log 3 (x.2
* (g) =
f
f *(x)=
=
- 1)
hY.....: 1.
4.
Resolver la ecuación:
2
x. - l
X
=
exp * NOTACION :
Dom f =
3'1
=
f(x)
EJERCICIO.-
{
2x. - 5 x.2 - 1
X
<
2
X
~
2
g(x) =
{
o
~ 2x
x.
3X
g , si existe:
. .
..
?( ~ 2 .. 2x) - 5 2
(x - 2x}
(fo g)(x} {
2
- 1
lC E
(1 - /3 , 1)
X E
(-"' ,
13.39 EJERCICIO.- Demuestre que las funciones 2 (log ax)
=
110
a) Bosquejar la gráfica de las funciones:
X
< 1
X
~
Como
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1
l.
Simplificar:
Log 3 exp 2 Log 3 8. 4
.
h(x) =
X
1
y
j Log 112 1x l j
Descomponer en factores: 4
3
2
a(Log t) + lOa {l9g x) + 23a (log x) - lOa (Log x) + a .
1
8,,
Resoi\er la ecuación
Log (x + 2) Log
5
o/ 5x + 10
1
¿ Cuáles son verdaderas ?
9.
a) Toda recta de pendiente negativa intersecta a la gráfica de la fun-
/J )
ción
2
f(x) = J-oga x. ,
·y = L_ og S/Z x
en un solo punto.
b) Lá~ gráficas de las funciones: se intersectan en un solo punto.
y
~Oll igual.eh.
du la func.i6n Exponencial, tenemos que:
SOLUCIOll.~.
.
f
2
-52
+ 2)
Bosquejar la gráfica de la función
= ·~
Hallar la función composición
exp h) •
(Jt
5.
El signo (-) se descartó debido al Oolllinio de f ... ~ 13.• 38
7' Sx + 10·
exp *
> -1
luego, el dominio de
es decir
f*(x)
3.
I 3- + 1
respectivamente. x. > 1 ,
re~
, probar
Log 3 (x+l) + Log 3 (x-l)
f(x)
"'
y f
~x)
~3x+l , > Los dominios de cada función sumando son:
1, hallar el va lor de: Log x 9 • Hallar, Si-n__calcular expllcitamente las ratees, la suma s de las raíces de la ecuacHin Log ( x + 6) - 21 Log {Zx - 3.) = 2 - Log 25 Verifique ·su respuesta hallando cada una de las raíces.
2.
=
IJ - 2 = 1n (1 - x) luego, la l-e!l- 2 . x- 2 l - e
=
IJ' = f(x) = 1n ( 1 - x.) + 2
Ca.p. 12
10.
= log r.;
1J =
es una curva decreciente.
c) la gráfica de
y
Explique porqué
.lgu.a.leA las funciones.
=
2 Log
a
Mlt
1xi
"2/2
Jt
Log 3 x ,
°i'(x) = Log x.2 a
g(x)
LAVE DE RESPUESTAS
IS •
(2).
Sumando ambas ecuaciones .se obtiene Log Jt 9 = 3/2 • La ecuación es equivalente a: x2 ·- 20x + 84 = O :::::::::> S= x + t = 20 ; x .. 14 , t2 = 6 1 2 1
X=
3
•
... (5).
Ca.p. 12
Funci.on"-6
526
( 1/2 )n
f(x)
•
X E
Cap. 12
[ n, n + 1)
(6).
n e: Z
/
Fu.nci.onu
527
a) Gráfica de h(x)
-2
-1 ' ' \ - -21
l
2
,'
1
2
I
X
\
(6).
Note que
a)
f(x)- = g(x} , y que
Dom f =
Oorir~=
IR +
1Log 112 xi
f(x)
= ) Log 2 X1
= o
g(x)
X
2
" .... ....
-1
I
I 1 1
y=
I
Log a ( z)
ó
Loga [ f(x)]
en primera instancia se debe encontrar el UNIVERSO de valores de la varia ble, dentro del cual se han de realizar las operaciones adecuadas para ha llar las soluciones. Para esto, siempre se debe considerar las dos
1J = Log l / 2 X
Log 2 x
:.¡.
h(x) = 1 Log 2 l x 1I
.
x e: Dom h =
PRl"ERA CONDICION.La aparición, en una ecuación ó inecuación, de la expresión
IR -
(8),
X"
(9) .
Todas •
il
2
,
·automáti-
camente obliga a. Jtuolve-t ta. .i.necr.utei.ón f(x} ;. O
gina. a [ (Log x)2 + 5 (Log x) _ l ]
Log a ( f(x) ]
{O}
La gráfica de esta función h se encuentra en la siguiente pa(7).
,
ndiciones \iguientes:
I
b)
Cuando se resuelve una ecuación o una inecuación LOGARJ.-TMIGA, en la que aparecen una o varias expresiones de la forma :
1
--' -' ·.
I
14 ECUACIONES E INECUACIONES LOGARITMICAS YEXPONENCIALES
por la regla de la doble aspa.
2 SEGUNDA CONDICIOH.La expresión
Log a [f(x)l
ca· la condición • qu.e de.be. a > O
además implf
4Vl Jtel>ud.t.tt :
a f- 1
Cap. 12
529
Ca.p. 12
X.2 - 3x. =
= La .útteJl..6tc.CÁ.Ón de. loh c.onjtHt.t.oh de. va!oll.e.h x · halladoh VI e.h.ta.6 doh c.ottcli.CÁ.One.h p11.0poll.CÁ.Otta e.l UNIVERSO u de.
ta vaJt.lable. de.nt/LO de.l e.u.al Ae.
val..011.e.h de.
La 1.-
t~cnica
EJERC re 1o,.-
14.7
SOLUCIOll.-
res~
HOT A, -
c.s.
x. = 3 • Luego,
V
x.(x.-3) •
u n ( o.
=
o
l ,. ( 0 , 3 l
3
------...
11.e.a.f.iz Q ,
X
7/2
42/3, 2 } •
Tomar Logaritmos (en una base fija, por supuesto) en ambos miembros
2.-
SOLUClON,-
Resolver las ecuaciones siguientes: a)
Logx.4
=
SOLUCION.-
b)
2 ,
a)
3lnx. - ln32
Como la base
=
Log x. 4
La variable
=
2ln(X'.!1."f°
x. debe satisfacer:. x.
=
2
x.2
=
4
por (*))
(-)
[se descarta el signo b)
X.
x - debe satisfacer la condición:
2 ln { x.3 /32) • ln {x. /4) "2 (x • 8) • o
~
, y como
=
x3/32 "
x2/4
X1
=
0
>
O,
>
x.;
1
(*) ±2
=
X.
=
=
X
= 2
o
l.
(9x) + 7
x-l Log 2 ( 9 + 7) 3X.-l + 1
=
1(3") + 4
( 3x - 9)(3x. - 3) = )( = 2
V
)( =
2
=
x.3
X "
=
X
(z - S)lz + l)
La posible solución
=
=
8
3x. •
-1
14. 6 EJERCICIO, -
Resolver:
Universos parciales: UNIVERSO
u "'
2
3X "
- 12 (3") + 27
9 = 32
C- s. ..
Luego,
1
14.9
EJERCICIO.-
Resol ver:
eorno ninguna .
SOLUCION.-
3X.
V
(2
Z
•
3X
5
=
Log 3 ( )( + 3) = Log 9 (X + l) + 1 • U1:
U1 n Uz =
x > -3
x - 40
x " 48
-
Resolver l a ecuac ión:
+ Log x. a - 2 ]
=
= bx2 =
la expresión dentro de l a segunda
(_* )
pues no pertenece al Universo. 100 Lag
Resolver:
Universo U :
=
..
40
(
SOLUCIO'ft.-
-
1 + .;-;+l'
= Lag ( x - 40)
Se des carta l a posi ble solucilin
1'1.14
~x
Notemos queel Univers~ es U: x > La ecuac ión dada· es equl al ente a:
rx+J: ) o = x2 -
=
= 3X
.¡ [ Log a·°(ax)
rx+i)
Log (1 +
213
n
32X + l Resolve r : 2 3 (3x) - 5 (3") - 2 = o
SOLUCION. -
) •
Resolver:
z
(*), /
fi6.:l2)
_ 1_ ( 4 +
.
=
= -1 ]
=
se transforma en:
(*)
Reso l ver :
Log bn
l!f.• 17 'tJERtICIO . = 1
X
EJERCICIO .-
(para
. en
entonces
bl+3+5+ •• . +(2x- l)
SOLUC ION.-
=
.. o 2
x.
/J , 1//3
EJERCICIO.-
x2 =
14.16
(1 + Log ax.)
i)
e: C. $. " {
=
•
( 1 - Lag ·ax)( 1 + Log a x) •• (* )
1 - Lag a x
.... . , 10 Lag 10 x
SOLUCI°ON .-
Log ax. (a/x) + Log
( Lag a (a/x) / Log a (ax) ] + Log
SOLUCION.-
en X
Log c+b a + Log c-b a
Resolver:
10 Lag x
10 Log x.2
X.
13 x. - ·4x + 13 ~ o
(Log c+b a)(Log c-b a)
Log c+b .a
ii)
10 2. Log
X
2
Log c+b a + Log c-b a
1
100 Lag
==>
2 =. Loga(c-b) + Log a (c+b)
+
i)
=
Por el Teorema de Pit6goras : a2 ,. c 2 - b2 = (c-b){c+b)
ambos miembros:
=
expresar como s uma de Loga ri tinos
.A = 2 (Log c+b a)(Log c-b a)
SOLUCION. -
2
c + b ;. 1 ,
y
otra res t ricción: Si
Log ax ~ 1 en (a)
que
=
(a )
Log ax > O x= a
se obtiene:
a
,
=1
que al reemp l azar (ab6Wldo ) •
Cap. 1Z
Ine.cu.ac1.onei. LogaJ!Ltm.lctt.4
532
o
Si
CASO (B)
< Log a :t
< 1
,
entonces
Log a :t Si
l/a
•
a
=::
2
14.20
EJERCICIO.Tomando
2a / Log a :t l/a 2 • = a
•
(a)
=
(a2)
X
c.s.
a
I
se transforma en:
aª2
{ al/a2 '
=
EJERCICIO.-
14.21
EJERCICIO.-
4 - X ) " (Log Log n ·- 1l Log :t 10 , ---¡o
:t (
en
determinarlas
= o
x y n deben satisfacer:
de
entonces expresando 1 como ma en: x 2 - 4:t + Log n • Si
a)
=
Si
Si
:t
=
(4 - Log n) =
± /
o:
4 -
(4 - Log n) <
o;
wut
es: A = 4(4 - Log n)
n
cliA.túttl14
=
<
1. 10,000
>
.
"º~
en este caso
10,000
JUÚ.z Jle.a.l.:
=
X=
2
SOLUCION,:..
n > 10,000
/3 ( e2x
=
z -= Log
.. 2 + /3
=
2x .. ln (2 + 13)
3
3
:t >
o•
la ecuaci6n se convierte
==>
Log 3 :t •
:t)
(Log 3 x)
= 1 + Log "3
-(Log 3 :t)-1
2
=
i (1 ±.is )
Log " ( 3:t) 2
=
z - z - 1 • O
O
=
z
=
~or lo tahto;
14.22
EJERCICIO.-
Resolver el sistema de ecuaciones: el( {
e2x =
=
..
, y reempl. en la otra: 2
it
-
2
4e:t + 4e
=
(it -
e2 . •
2
2e) = O
t/ e(4 + ln 2 y)
4:t
ln (e") = ln (ye)
=
4x • e [ 4 + (:t2/e 2 ) ]
=
De la primera ecuac16n:
=
x •
Luego, la solución es:
=
2e (x, y)
z
ln y = 2 (
2e ,
e2 )
Note que:
A=
( /3
Simplificar la expresi6n: Ae
11
=
213
=
3
=
Log 3 " =
y
IJ( ex - e-x)
- 1) = e2x + 1
Log
Log :t (3:t)
EJERCICIO.-
Resolver:
Operando:
:t ..
=
Log 3 3 ) = 1 ·
Resolver:
_1_
EJERClCIO.-
=
z
3
en cuyo caso no
ex..ll>te. nútguna JUÚ.z Jle.al.
14.19
Log 3 2 -
. . [por (*)]
Log 10 n
=
:t (
+ Jx Log
, 1a ecuación dada se trans fo!
< n < 10 000
l
•• (*) ,
n > 1 .:.-----
< 4 •
ex,4ten VOS RAICES REALES
2
n > O, Log n > O , Luego, los valores
cuyo DISCRIM.
mente ex..ll>te
c)
<
Lo9 x :t
O
( 4 - Log n) > O
:t =
b)
l •
> 1
n
3
:t =
(y haciendo
O < x < 4 ,
Restricciones:
=
Log 3 :t "
analizar en funci6n de n el número de ra~ces, Y
SOLUCION.-
= (x + 5)
Dentro del UNIVERSO:
Dada la ecuaci6n: l + Log
en ambos miembros:
3
( 3 - x) + Sx Log 3 Z
SOLUCION .-
111.18
Log
1
entonces
2
y (C) :
(A) , (B)
Resolver:
=
X
e===>
> 1
Log a :t
Log a :t De los CASOS
se convierte en:
533
SOLUCION. -
( Log a :t + 1) + ( 1 - Log a x)
CASO (C)
(a)
Ca.p. 12
Y2 8 A =
Y2 v32 ~2 j~ A > O
, y que
A=
·9 ,. A
+ 1) / (13 - 1) •
x= 11n(2+11) 2
EJERCICIO.-
Resolver el sistema de ecuaciones:
7'2
V 32 (A)
=
A= 2 •
Cap. 12
1ne.cuac.i.oneA LogaJLU;micll.6
534
(Yz
3~
t;°2 3/2
t~cnica
Siguiendo la
x "'
1[(l
Debido a
y.=
=
)IJ
2 y+ l
. 3 x-1
SOLUC ION. -
1
( lt,
del EJERCICIO anterior vemos que el
y)
l/x
en ambas ecuaciones:
2 A
2
x
(
x - 1) Log 2 3 "
Y
EJERCICIO.-
= .IJ
Log
SOLUCIOK.-
(x. y) "
X
9
Como
324 •
(3x + y)
!! = 2
cuya solución es:
( X"
EJERCICIO.-
2
Log a 12 =
De la
.. lra.
l/f324 •
( Log
a b , Log b a )
x"' Logab•
V
•
(y como y como
(81)(4)
,
de la
2da.
.
4
X. -
=2 V
ec. tenemos: 2
X.=
_! 4
~
=
!3 {l?)
IJ
=
Log b ( l/y) ecuación:
.!4 )
=
X"
Log
(.t2)
..
=
1 + Log a b
=
Log b {l/!1)
!! >
o•
tj
=
l/b
= (X, tj)
X "'
( l/a
=
l/a l/b )- •
Reso 1ver el s 1• s t ema de ecuaciones: · (x + y)lt + !!
B - (x + y)x
(I)
(.t+y)lt ·f!"'
B-16(x+y)!f•X
(II)
son números enteros (II) :
= (x. + r¡}x.- !! ,
?: 0 •
(x+y)x-!f,.
=
(x + y}x - r¡ "' 4
=
8-(16/(x+y)x-y]
=·
z2 - B:z: + . 16 = O
=
(z _ 4)2 = 0
Y debido a que
z .. 4 deben ser núme -
x e !!
?: O • entonces solo puede ocurrir que:
=
(x + y)"-!I :it+r¡•2
=
•
obtenemos:
b)(Log a)
[(x. + y)x.-y )2 - 8(.t+y )x-r¡ + 16 = O :z;
!/ > O
(Log b)(Log b + Log y)
- log b
(a)
= ( - log
x. e !/
dendo
x > O,
b > O,
(Log b) 2 - (log a) 2
Log IJ
vo·lviendo a
En
(a)
l/!f
X+ !f Log a b
2
b
b 1 l"
•
Log l/b !/ • Log /á b
=
=
b )
EJERCICIO.-
=
Restricciones: a > O, b > O, x. > O , b 11 Eh la segunda ecuación: a ' 1 , 2 Log b (l/y) Log a b
=
+ Log x)
Por lo tanto, la solución es el punto
Resolver el sistema de ecuaciones: 2 Log a x •
a > 0•
(Log x)(Log b) = (Log y)(Log a) l209 x y reemplazamos en la primera ecuación: (a)
(log x)(Log b)
zl
3 3x. + !/
A
{
a 1b.
y
=
zX·!f !!
a r.,
b Log x = a l og !!
(by) Log b
(log y) [ (log a) - (log b)2 ] (Log b)
18x2 + 12X!/ +
!! .. - 3/4 )
5/4
ab
SOLUCIOK .:-
2da. : De aquf despejamos
tog 312 2 )
( Log 312 3 •
= =
2X•!f(9)2
(81)(4)
Log b .t
l
X"
o
Reso l ver el sistema de ecuac1·ones simultáneas:
Restricciones:
Y de la
Log 312 3
(2{3x+ ·y) 2]X•!f" 2X•!f((3x+!f)X·!f]
324•
14.26
=
1 l - Log a b 1 ]
(x, y) "'
(Log a)(Log a
Resolver el sistema de ecuaciones:
ª
{3x + !f) X - !/
=
Log 312 2 Log 2 3
3
2
EJERCICIO.-
324 .•
SOlUCIOH, -
1J + 1
(Log 2 3 + 1)
Por lo tanto. la solución:
14 . 25
- (1 + Log b)x + Log b a a
es ~ue obtenemos l as dos soluciones del sistema:
( l, 1)
a 1 1, b 1 1
para Log
q Log 3
X. -
Log a b) :t
(ax) Log a "'
y tomando x•
+
. 12
535
sistema es equivalente al siguiente sistema:
14.27
l
=
lt + i Log a b "' 1 + log a b
. {/6 / 676"::.
) x+IJ
1ne.CJ.Lllc.i.oneA LoglVÜ.tinlc.ct6
Cap • 1Z
de (a) :
"+ IJ
.. 4
=
22
ó
(:it + y)x- !/
:it-y= X. -
!! ..
2
l
=
=
"
luego :
41 lt"
2
"" 12
lj '" lj •
o 1 2
I ne.cu.ac.i.oneA Log~
Cap. 12
Cap. 12
537
536 1) pero por el dato sólo procede la Solución
Log
113
(a) :
A continuación resolveremos algunas
(x2 + 2it)
SOLUCIOH.-
INECUACIONES LOGARITMZCAS
o•
>
2)
Log
1)
a)
2 x + 2t >
~
b)
.; + 2.t < 1
y cualquiera de los procedimientos que utilicemos estara basado en los resu!
115
o =
2 (2x + 5x + 1)
<
°' 1 -2 2 x + 2x - 1 <
X E:
=
o .
< U
CD>
0,
o
tados presentados en [ 13.32) , por lo cual se recomienda repasar dichos puntos ast como las consideraciones indicadas al inicio de esta SECCION [14). 2
14 ,29
EJERCICIO.-
Log l / 3 ( 2ll + 5) >
=
(b)
exp 1/3
tonces al tomar la exponencial
- 2
.en la base 1/3
Lu.e.go, el.
CONJUNTO SOLUCION
c.s.
es decir:
14.30
=
.,........
111$
2)
a)
X -
4
> o
b)
X :.
4
< 2
2x2 - 3x + 5
b)
es !J. = - 31 < O • x.2 + 2x. + 1 > O =
>
o
Por lo tanto,
X
e:
4
X
< 6
n
(b)
(x.2
.(x ~ 1)
<
4,
2
Si
DI~CRIMINAMTE
Solución
(e)
C.S.
EJERCICIO.
Resolver
la~
=
e:
(-5/4' 6/5) 5it
=
> X
o •
+ 2it + 1) • .
w)
(a) íl (b) íl (c) 1
(a}
: UNIVERSO,
pues su
-5/2) U (O,
Resolver la inecuación:
(b)
Luego, el
1) U
" (-ao
SOLUCIOll.-
- 0.2
x(2.t + 5) > O
< 2
o
log 115
X
Por ser la base: O < 1/5 < 1 2 2 2 x - 5x + 4 2it - 3x + 5 > x. + 2it + 1 =
=
EJERCICIO.-
=
< l
2)
a)
c)
(x. - 4)
Log l/S (2x2 - 3x + 5) <
X
(a) íl (b)
C.S. •
lne::uaciones siguientes:
Log
to
.(
Luego,
(-5/2, 2)
1)
2
=
= 9
. ao) n
-2.25
ll
(-m,
2x + 5x. + 1 > 1
b)
.(
tirse el sentid? de la desigualdad: (2.ll + 5) <
> O xe:
> . - 5/2 · (UNIVERSO) , O < 1/3 < .1 , e,!l Por satisfacer la base que:
2:t+5 >0
(a)
SOLUCION.-
2x + 5it + l
Resolver ia inecuación siguiente:
> 0 ,
a)
X
b)
3 - 2x 1 - lt
( 3 - 2it } < 1 1 - X
>
X
'I 1 ,
o
=
=
( 3 - 2x ) 1 - X.
X
el} :
e:
<
.•
(-m, Si
1
1) U (3/2,
o <
X
< 1
m)
Ca.p. 12
538
x
c2)
Si
(1, 2Jn(o. 1) ..
E
> 1 :
X
X
,
(el) U (c2)
resolviendo tenemos:
e)
14.34
(a)
=
n (b) n (e)
EJERCICIO.-
=
l(
,
y resolviendo tenemos:
.
c2)
[2, ao)
Luego, 1
>
i
3 - Log X
=1
Si
x
b)
Si
O 2 .)
y que
1/8) .
..
=
x
,,
EJERCICIO.-
SOLUCION. -
a) b)
(-6,
'E
= (-m,
XE
1 < x2 X E (
-6)U (2,ao) (2,ao)
(o, 2) ~ (2,
..-::..,•
v
2
x2
=
O
2)n 1
+ 3)(Log 2 X - 1) X
s~
al
tomnndo Log x
2 Lug 2 X
X -
>
b}
intersectando con la condición 0 < X < 1 3 - Log 22 x - 2 Log 2 x > X > 1 : Si X
l(
donde
> 1
"v/2
olu.c i..15n.
,
Log 2 x < - 3
(Log
Pasando
:
X E
(o, 2) u (2, "') - { 3 }
o .
~
{UNIVERSO) •
(el):
X> 2
LA SOLUCION
Restricción: gundo miembro, y .multiplicando por
SOLUCION.-
.
s1·
en
X
>
0 < X < 2
SOLUCION
i x - Log2 cx2)
l(
1x - 3 I >
SOLUCIQN
Resolver la inecuación: 2 - Log
O < x/2 < 1 :
(x2~ 4x 1:_lpt{2 + 4x - 12) < (x + 6}(x - 2) < O =
[2, ... )
l(
Si
el)
Por lo tanto, el Conjunto Solución esU dado por:
c.s.
539
( verificar)
ip
(verificar)
{e):
> x
2x - 3 < l( - 1
1 ~
[ 2, «>)
E
Solución
Luego,
2x - 3 l( - 1
1 >
O O O < x2-x-5
O < tan x < 1 :
o
< rr/4
X
Cap. 1Z
l )2
< (x -
-
2
.ll 4
~~s
ahora
~
x 'e
(
X
>
Tr
C.S . . = (a) U {b)
Por lo tanto,
=
xe: (3,
~ U O • (ií)
a ; 1 •
( i)
UNIVERSO:
J(Logax) 2 + 2(Logax) - 1 2 (Log ax) - 1
(Jz - l)(z+l)
< O ,
pa·ra
(*) =
< a < 1
> 1
UNIVERSO U "'
(X < a·l)
(*) =
14.40
<
0 1 CD>
y que
resulta:
l/a. co)
( al/3 < X < ª1/2 )
V
c.s. ..
(o,
l/a)
Sea
f(x)
=
EJERCICIO.-
3/a
u(
• y que resulta:
, /a)
e -x/ 10
-11 <
< 0
X
•
a) Expresar f como una composición de funciones. Demostrar.que f es inyectiva, y hallar su rango. c' Hallar la función inversa f * . ·1 a) SOLUCION.f(x) = [ exp ( - - I )"](x) e 10 b)
=
Jf
X2 e:
Xl ' f(~1'> •
Dom f : e·X1/10
=
f(x2)
-x/-10
>
Por lo tanto, versa.
f
:
Jf
(*) -11 <
<
0,
< 0
X
1 <
f(x)
..
e
f
·Xz/10
-x2/10
=
exp e º (-
= =
xl
f{x)
z = Lóg a,x ,
(2z - 1)
•
=
= Xz '
x e: Dom f ,. = (-11 , O) >
==>
O < - x/10
<
eº
< ell/10
< ell/10
< e·x/10
11/10 , y toma(ldo (pues
e·x/10
= =
RANG (f) = ' ( 1 , f
e > 1 )
ell/lO) 3.0
*:
Log e y • X,.
exp e:
. )
=
CAL-CULO DE LA FUNC 1ON 1NVERSA y=
I )
(por 13.7-8)
¡¡
=
l
10
resulta INYECTIVA, de modo que existe su función fo -
CALCULO DEL RANGO DE f
1 3
ª1/2 )
al intersectar con e 1 UNIVERSO U = (O, ~
b)
e:
X
a > 1 •
> 1 •
X
( al/3 >
V
=
(9/4) ... 2
Log a (atx )
SOLUC ION. -
X
·=
(9/4)
2 (Log ax ) . 2
> 1
=
-1 < Log 112 (2x - 2) < 2 .
(2x - 2) > ( l )2 2
X
.• (*)
considerando los dos casos siguientes:
(X > a·l¡
Si
2 > - •
)
\ ' .
a)
,
c.s. " (ra. 31a) u ( SEGUNDO CASO:
X
expa
=
{*)
m)
( 1/3 < Log ax < 1/2 )
al intersectar con el
Resolver:
EJERCICIO.-
14.38
=
x 2 ·-ii:-6 = (x-3){ii:+2) >O].
/4
o
Si
x2-x-5 >l
tan x > 1.
v
( Log ax . < ·- ) )
PRIMER CASO ': (b) · Si
Cap. 12
543
Ca.p . 12
542 Dom f * f
-10 ln x.
* (x.)
~
14.41 EJERCICIO.-
. SOLUCIOH.z
~
5
Resol ver: 2
z + z l o que implica que
2 lx. -
=
X.
l\
e:
l x. - 11
( 1 - _Log 2 5 ,
1 + Log 2 5 ]
c.s. =
SOLUCIOK.-
=
<
X.
X.
.
o
=
<
X
SOLUCION ta):
o
X.
X
A
+ l
<
-=
< 0
=
-1
X
X
e:
y como
x
<
2
x.
3
tra inecuaci6n de
= (a)
y
(b)
=
x > o
(***) se redu ce a : x e:
SOLUCION (b): tenemos
14.43 EJERCICIO. -
C. S. ..
O
=
.
x. > 1 • S1
y
X [
log
t
~)
X. (
•
9.
+
14641
X
]
ca lcul ar Log a
hallar
2 exp (x) - exp (-x) + 1 • 3 3
Log X
log ( x
X.r;-:--.¡
l/ n
i (Log =
3 Log a x - (1/ Log x a )
11 . Resol ver :
(1 + Log ax)/(l.
12 . Resol v~r:
Log /3 (Log x) Log x [ x. ] 2 Log ./3 x.
2
:
cal cular el valor de:
•
= O
B Log x a
Logx.a )
~
5 .
9
=
•
-1
•
2 - Lag 31s
2
Resol ver:
279,936
Resolver los siguientes s i stemas de ecuaciones' simu l táneas :
lra. ecuaci6n:
7 " X
0. 125
b)
= 65 , x2 + t/ = 425
c)
log
a)
2da .
.¡
Log x + Log y • 3 •
x + /f
X
+ log
lj
3
=3
+ Log y • ?.
Log
Jt
,
5x2 - 3y2 '" 11300 •
15. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones s imultáneas:
121
(7, 121)
•
a)
x4 + y4
b)
Log x. - log y 2 4
=
641 ,
=
]3'.
O•
" x
n)
X
10. Res olver :
-x r::-:-::::"
+ 1)
resol ver l a etuaci 6n
) + Log x2 - 4 log 2 4
-1
Log 8 30
Y[ a ( 12.
Hall ar el 'menor va l or de x que sati sface la ecuaci6n:
.. 1 .
pues
®--3)x. > .º (**)
(x. - l)(x. +
(**) se reduce a: De· {** ),
Oe
o
x. Log 2 3
>
(a) :
donde
(a) U (b)
=
> 3X
2x.
o .
>
(2x. - 3X.) >
(a): y como
=
Log 2 5
~
=
5
~
(z= zlx.-11
>o)
es siempre
z
3() . .
Resolver':
EJERCICIO.-
14.42
~o'
(z + 6)(z - 5)
3o
=
SERIE DE EJERCI CIOS PROPUESTOS
,
2 Log x. + 2 Log y = 2 2 2 O , x - Sy + 4 ª O
... Cap. 11
545
544 28.
x2
+ lj = 12 • 2 • . . IJ • • ·stemas de ecuaciones simulUneas. Resolver los s19u1entes s1 2 2 - 2 X. - lj • ) "' 1 • a) Log 2 (x. + y) - Log 3 (x. - !/
c) 16.
Log
x + Log x. IJ
Log IJ ) x.( lj J(
b)
=
,.
!I
5/2
(log 4 x.) . log x (x. - 3y) " 1
•
2 4!{ 2 21 + X + 2 3+ 4rJ 2
4Z
.+
Hallar el mayqr valor de
19.
( Log
3
x) + !/
=
,.
32
41 + z
x.lf
7 •
=
312
Resolv'er el sistema de ecuaciones: 20.
(2x)x.+rj
n.
=
gzx.+r¡ •
22.
Lag
·meros reales Encontrar todos los nu
f(x.}
"'
l
x /
Hallar la función inversa
•
para
X ~
x2 + 6x. + 6 •
Resolver:
(tan 1113 )
26.
Resolver:
l og 1/9 log
27.
Resolver:
0.5
X
J( -
2
(9
l
- 20 (tan n/3 ( l - :t)
<
+ 7) )•X.
X
~
X.
25.
31
/(x + 1) )
J
x.)
> 1
~ -1
[(4x - ll)/(2x2 - 4x. - 6))
Resolver:
30.
Graficar las regiones def in i das por las relaci ones sigu ientes:
Log
2
Log x (Log r¡x.) > O
31.
Resolver la inecuación:
32.
Resolver : Log
Log x.!12 > 1
b)
(Log x a) - 1 <
lx2 + 4x. I + 3 2
5
x +
Resolver la inecuación:
Log
34 .
Resolver la inecuación:
Log
2
Log
Log Cx/a) a
112
(x. 2 - 3x. + 2)
4x. - 5
~
:t4 ( ¡-;-:zj"" )
a > l .
..
o
~
lx - SI
33.
~ 1
<
.
(1).
-54
(5).
27/20
1
•
(2).
W.
,
(3).
x. " - Log 3 2
A = : x (xx + 1) •
(9) .
(11).
{ a 5',
( 12). {
c) (15). b)
l/a }
(x, y) = (50, 20) • (x, y) e: { (l. 1),
=
~ 1
l
4
[O, 1) U (3, 4],
(22) .
•
x. "
( 4) •
1/ ( 3 - 3a - 3b)
Log a+b (a - b) •
c.s. a2', V3 • (1/ V3) } • (13). -3
0.0001
(4, 2) } , •
x. = 81
( 7).
(10).
(15). a)
(3/2. 1/2) •
(x, y, z} = (2, 1, 3)
l + 1) •
•
(x, y) e: { ( 40, 25), (25, 40)},
(x. y} J( -
y • 2
x. =3.
(8).
(14) . a)
< 0
< 2 + Log 2 (3
O
Log 5 Log 0.3 (x.. o.-7)
-
o
J(
.
Log x [ j2x -
3
< 2
29.
•ll
-11 <
,
Log
re
x/~ 1)
log 1/2 (
f • • si existe,
e-x./10
24.
d)
l og(x. - 4 )(3- x)
b)
CLAVE DE RESPUESTAS
para los que la siguiente exp •
4 _ ¡;-"-2_+_1..:...2~-+-21""'·_..
Resolver la inecuación:
< [ 1/(1 - Log
,
~ -1
(x.2 - 4x + 3) 1/3 .
sión sea un número real,
23•
1 - Log x..-3
> 0
(
(2xtJ)!I • (2x./y)IJ
Resolver la inecuaci6n :
e)
-156
;o
que verifique el siguiente sistema:
x.
2 log O.. 7 ( 6 - x. - x )
a)
istema de ecuaciones simult~neas: Resolver e l s · . 112 23 + 2x. + 24rJ
18.
a)
2
't del número e en los sistemas de base b, b • h Se halla el logar1 'nmo 2 y se suman estos logari~s. Después se ~ce 8 4 b , b • . •• • b • 5 • Hallar ~ • . 't Y el resultado es igual a tender n al inf 1n1 o,
17.
Resol ver las siguientes inecuaciones:
b)
b)
a
l/a2 •
(x, y) e: { (20, 5) , (5, 20) }
(x, y) e: { (5, 2). (~. 5) } , (15). c)' (x, y) "
(x. y} • (16, 4) ,
(19).
{
x" 81,
(20).
(l-/?., O) U [l
(3. 3)
(17) .
•
2 b .. e ' 5 •
(x, y) = (1/2, 1)
+/2, m)
(-m, 2log 3 5), (26). (1/2, 1) (27) •. (0.1.1), (28).a) (-3,Í(-l-ffl))U(ÍC-1+121 ). 2 ) . (28). b) ~. c) (1, 3), d) (t{l2I- 3), l) . (29). (2, 11/4) U (4, m), (30). (VER LA PAGINA 550) (cont inúa .. ) (24).
(1, 2),
(25).
1
•
... (.l)
(U)
APENVICE:
546
[ APENDICE
547
SOLUCION,-
l
Como
=
l.
aZ + b2 ?:
a , b e: IR ,
Sean
demostrar que: Como · (a - b) 2 ?: O ,
SOLUCION.-
=
a 2 - 2ab + b'Z ?: O 2.
a y b
Si
7.
2 ab •
a
2
~
+
SOLUCION.-
SOLUC 1ON. 2(a 2 + b2 )
De :::
./Z ::: /(a
2ab + (a 2 + b2 )
+ b) 2
=
x(r + s)
entonces
=
2(1) ?:
(a+ b)
2
~
=
O
X
r
{ a , b, , e, d } e IR ,
Si
SOLUCIQN,-
entonces haciendo (ad) 2 + (bc) 2 :::
.. 4.
Si
2 ladl jbc 1
a , b , e
Sean
demostrar que 2 2 2 2 2abcd S 2 j abcd 1 S a d + b c
=
(jxl- IYI ) 2 ?: O
De
x•
2
x ·+ y2?:
y
ad ,
2
e: IR
m,n,p
a b c - < < m n p
Zlxl!YI
SOLUCJ ON •.-
be
a m
2Iabcd 1 ?: 2(abcd)
O,
~
s < s
demostrar que:
V
"
+
lX
)-
a,
1 di ,
•
e: IR+,
p
=
P e p
a < a+b+c m+ n + p
c
< -
p
demostrar que:
Utilizando la propiedad:
.!. a
lJ.
.! )
+
.!
X
> Q ,
b.
+
e
.!.X . >- 2
X+
! + ! + .!. ) ,. a
b
c
3+(!+~)+(! b a e + ~a ?:
2
c
<
< (a + b) + e (m + n) + p <
[l+~;~]+[i+l+ !e ]
respectivamente.
6.
11,.+
n
(a + b + c)(
demostrar que : jacl + 1bd1
SOLUCION . -
x+y
r
~ < c
-ECRECI ENTE, 476
258
• PROPIEDAD FUNDAMENTAL,
• CON MAX 1HO ENTERO, 378
507 507
M
431
IHPLICACIOK LOCICA, INCLUSIOtl,
S07
• NEPERIANOS,
"32
ICUALDAD DE FUNCIONES, 430 ICUALDAD DE POLINOMIOS, 439 110
507
• LEYES DE LOS,
383
1NECUAC1 CHES, • CON FACTORES CUADl!ATICOS IRREOOCIBLES,
475
• ESCALON UNITAR IO, - EXPONENCIAL, 502
LOCARITHO,
23 23 23
• F\JNCION, 518 LOCAR ITHOS
502
• CON VARIAS REGLAS DE CORRESPONDENCIA, - COSENO, 390 • CRECIENTE,
385
CRAFICA DE UNA FUNCION,
HIPERBOLA,
• CONSTANTE, .383
390
• EJ\ I S'rENCIAL,
10
FACTORES DE uN POLINOMIO, FUNC 1ON, 351
.\9-
• SILOGISMO DISYUNTIVO, - SILOGISMO HIPOTETICO,
H•
F
CONJUNTOS: - COMPARABLES,
188
EJE DE LA PAAABOLA._ 329 '
22
- KODUS TOLLENOO TOLLENS,
G
• LOCARITMICAS, 527 - RECIPROCAS, 189
363
24
- O1LEMA CONSTRUCT 1VO ,., 24
- MODUS PONENOO PONENS,
437
- COMPOSICION DE, - ESPECIALES,
24
LEYES DEL • ALCESRA DE CON.JUNTOS, 60 - ALCEBRA PROPOS 1C1ONAL, 11 , 12
42
- - HULTIPLICACION OE ,
89
481
LEYES DE SINPLIFICACION,
- VALOR ABSOLUTO,
• 81 CUADRADAS,
41
LEY OE LA ADICION, 420
- ~ENO , 389 • ~ICNO, 384 '¡" SURYECT IVA , 471 • UNIYALENTE, 462
297
40
L
• RACIONAL, 439 - RA 1Z CUADRADA, 385
E
4
385
- PROPOSICIONAL,
OISYUNCION EXCLUSIVA, li~ DOMINIO DE UNA FUNCION, 352
41
- CERRADOS,
- FUNCION CllHPOSICION, 490 INYECTIVA, FUNCION, 462
'i POLINOMIO, 388
110
- ABIERTOS,
• FUNCION,
518
- HAX 1HO ENTERO, - HONOTONA, H4
314
40
INVERSA,
490
462
- PAR, 418 - PERIOOICA,
- EN PARALELO, 31 - Q¡" SERIE, 31 CIRCUNFERENCIA, 331 COCIENTE O~ FUNCIONES, 437 COHl'LEMENTO DE UN CONJUNTO, 52 COHPLETACION OE CUADRADOS, 137 COKPOSICION DE FUNCIONES, 444 CONE~T 1VOS
148
·•
102
DIV ISORES DE UN POLINOMIO, OISYUNCION, . 3
30
INYECTIVA,
52
INTERVALOS,
• SEl11ABIERTOS,
481
- LINEAL, 432 • LOCARITMICA,
D1FERENC1 A DE CONJUNTOS, 53 DIFERENCIA SIHETRICA, 6, 54 DISCRIMINANTE, 178 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS,
SICONDICJONAL, S BIYECTIVA, FUNCION,
¡4
DES 1CUALDAO TR 1ANCULAR, 224 OESICUAL!lADES LINEALES Y CUAORATICAS,
80
383
• INVERSA DE lJNA COMPOSICION,
DECRECIENTE, FUNCION, 101
INTERSECCION,
418
• 1NVERSA,
553
317
MATEMATICA SASH'A
554
POLINOl'llOS, 97, 388 - CONSTANTES, 99 - OIVISIBLES, 110 PRINCIPIO DE SUSTITUCION - DE LA AOICION, 83 - DE LA l'IULTIPLICACIOH, 83 PROPOSICIONES LOCICAS, COl'IPUESTAS, 2, 6 - LOC 1CAHENTE EOU 1Vl\LEllTES,
- PROPIOS, 49 St..MA OE FUNCIONES, ..31 SURYECTIVA, FUNCION, ..71
T Tl\UTOLOCIA, 9 TEOREMA, - DEL FACTOR, 111 - DEL RESIOUO, 108 - FUNDAMENTAL DEL ALCEBRA, 121 TRAZADO DE CRAF 1CAS ESPEC 1ALES,
1O
- SIMPLES, 2 PRODUCTO CAR TES 1ANO, 289 PUNTO HEOIO (FORMULA)_, 315
R
RAIZ, 111 - MULTIPLICIDAD DE UNA,
131
UMION DE CONJUHTOS, 51 UNIV&LENTE, FUNCION, ..62
...
V 112
RANCO DE UNA FUNC 1ON, 352 AANCO DE UNA RELAC 1ON, 297
VALOR VERITATIVO, VALOR ...SSOLUTO, 218 V"Rl ...CIONES EN SICHO, 121t VERTI CE DE UNA PARAOOLA, 329
321
- TANCENTES, 3n RECLA DE CORRESPONDENCIA,
356 RECLA DE LOS SIGNOS, 123, H7 REGLA CRAFICA DE LOS SIGNOS, 156
1"
RELACION DE ORDEN, RELACIONES, 291· - DOMINIO DE, 297'· - DE EQUIVALENCIA, 295 -
41 O
u
RAICES DE UNA EC. CUAORATICA, 178 RA 1CES' RAC 1OHALES, 127 RAICES Y COEílCIENTES, RELACIONES ENTRE,
RAYOS, ltl RECT...S, 316 - PARALELAS, 320 - PERPENDI OJLARES,
(
SUBCONJUNTOS, lt8 - COHl'ARABLES, 49
INVERS...S, 310 AANCO DE, 297 REFLEXIVAS., 293 SIMETRICAS, 29>. TRANSITIVAS, 2~
RESTA DE F\N:IONES, lt32 RUFFINI, RECLA DE, l!il<
s SEllO, 389 SIHETRl"5, 337 - RESPECTO AL EJE X, 337 - RESPECTO AL EJE Y, 338 - RESPECTO AL OR 1CEN, 338 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, • C0."1 DOS' INCOCNITAS, 91 • CON TRES INCOCNITAS, 92
,/¡J1MA "-k-: - &!!~~~ FIN
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