Matematica Basica 2 Vectores y Matrices - Ricardo Figueroa. G.
April 29, 2017 | Author: Garin Miguel Morales Cruz | Category: N/A
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MATEMÁTICA BÁSICA 2
VECTORES Y MATRICES CON N Ú M ERO S CO M PLEJO S 0
3
3
X
0
3
QUINTA EDICIÓN 2005 D a d a la gran a co gid a qu e le d isp e n sa ro n los estu d ian tes a la e d icio n e s prelim inares de e sta obra, explica la aparición de esta © Impreso en: E d ic io n e s
n ue va edición am pliada a n ue ve capítulos, en la qu e se han h e cho las m od ificacion e s n e c e sa ria s con el p ropósito de h ace r m á s a se q u ib le s u lectura, p u e s la obra proporciona una excelente
Jr. Loreto 1696 Breña Telefax: 423-8469 e-mail: e d ic io n e s_ 2 @ h otm a il.co m
p reparación para el e stud io de c u r so s su p e rio re s c o m o el A n á lisis M atem ático y so b re todo, el A lg e b ra Lineal. El
estudiante
q ue
ha
llegado
a
este
c u rso
ya
tiene
co n ocim ien tos del A lge b ra y la G e o m e tría elem ental E s a s i que en el prim er capítulo se d esarrolla la relación q u e existe entre e s to s d o s g ra n d e s c a m p o s de la m atemática, esto es, el estudio de la técnica de los ve ctore s en el plano (siste m a bidim ensional). E n este capitulo, an te s de definir un vector bidim ensional, se Todos los derechos reservados conforme al Decreto Ley N° 26905
p resenta el e sp a c io num érico b id im ensional d en o tad o por R J E n los cap ítulos 2 y 3 se estudian, por se p a ra d o, las rectas en el plano y s u s aplicaciones, respectivam ente
E n el capítulo 4
el
sistem a b idim ensional s e extiende al tridim ensional, el cual se H E C H O E L D E P Ó S IT O L E G A L N° 1501052001-3466 R A Z Ó N S O C IA L : R IC A R D O F IG U E R O A G A R C IA D O M I C I L I O : Jr. Loreto 1696 Breña
denota por R : L o s cap ítulos 5 y 6 p rop orcionan una introducción vectorial a la geom etría analítica sólida al estu d iar rectas y p la n os en R 3 E n el capítulo 7 s e introduce el e stud io de los n ú m e ro s com plejos, qu e si bien e s cierto, tienen gran se m e ja n za con los vectores en R \ no s e d eb e confundir con e sto s d o s conjuntos de
Prohibida su reproducción por cualquier medio, total o parcialmente, sin el previo permiso escrito del autor.
p a re s
o rd e n a d o s
m atrices
que
tienen
naturaleza
cualitativamente
E n el capitulo 8 s e hace referencia al estudio de las
diferentes
de
acu e rd o
co n
su
d im e n sió n
o
tam año
y
su s
a plicacion e s a la solu ción de e c u a c io n e s lineales. Finalmente, en el capítulo 9 s e e xp o n e la teoría de los determ inantes de particular im portancia aplicacion e s
en
la teoría
de
las
m atrices
y
su s
n u m e ro sa s
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IN
V
P ró lo g o
Con
este
c a p a c id a d
del
libro s e
tiene
la intensión
e stu d ia n te
y
en
cre a
él
de
d esarrollar la
h á b ito s
de
rutina
m atem ática; e sto es, la e xp o sició n teórica e s a c o m p a ñ a d a de n u m e ro s o s e jem plos ilustrativos y ejercicios co n s u s re sp u e sta s d a d a s al final del libro, lo s cuales, indudablem ente, a y u d a rá n al
C O N T EN ID O
estudiante a adquirir d estre za y afirm ar el dom in io de la materia. P o r ello, s e re co m ie nd a qu e lo s ejercicios p ro p u e sto s s e re su e lva n sistem áticam ente, toda v e z que s u so lu c ió n o b e d e c e a un criterio de aprendizaje progresivo. Mi tuvieron
reconocim iento a to d o s la
gentileza
o b s e r v a c io n e s
a
la s
de
h acerm e
e d ic io n e s
lo s
a m ig o s
llegar
p ro fe so re s
su s
p re lim in a re s.
que
s u g e re n c ia s Sus
y
Q
c rít ic a s
co n stru ctiva s hicieron posible corregir, m ejorar y am pliar e sta nueva
e d ic ió n .
A sí
m is m o
d ese o
e x p re sa r
un
e s p e c ia l
V E C T O R E S EN E L PLA N O
1
1.1 1 .2
C o o rd e n a d a s re ctangulare s
1
R J c o m o e sp a c io vectorial
5
1.3
R e p re se n ta ció n geom étrica de un vector en el plano
1.4
M a gnitu d y dirección de un vector en el plano
e sfu e rz o s para resolver la s dificultades in he re n te s a la publicación
1.5
A d ición de ve cto re s en el plano
16
del texto.
1.5.1
17
1.6
R e p re se n ta ció n gráfica de la s u m a de ve ctore s en el plano M ultiplicación de un e sc a la r por un vector
20
1.7
V e cto re s parale los
29
1.8
P roducto e sc a la r de ve ctore s
36
1.9
A n g u lo entre d o s vectores
51
1.10 1.11 1.12
D e sc o m p o sic ió n de vectores
59
P roye cción orotogonal
66
A re a del p arale logra m o y del triángulo
82
1.13
D e p e n d e n c ia e inde p en d e ncia lineal de vectores
90
1.14
L o s vectores y la geom etría elem ental
106
1.15
L o s vectores y la física
116
reconocim iento a E d ic io n e s R F G c u y o p e rso n a l n o ha e sca tim a d o
El autor
G
9
12
R E C T A S EN E L PLA N O
125
2.1 2.2
Re cta que p a s a por d o s p u ntos
125
S e g m e n to s de recta
127 129
2.3
D ivisión de un se gm e n to en una razón d ada
2.4
P u n to s q ue e stá n so b re una recta
133
2.5
Pendiente de una recta
137
2.6
F orm a ge n e ral de la e cu a ción de una recta
148
2.7
F orm a punto pendiente
150
2.8
F orm a pendiente y o rd e n a d a al origen
151
2.9
F orm a a b sc isa y o rd e n a d a al origen
151
2 .10
F orm a sim étrica
152
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Contenido
VII
7.2
R c o m o su bconjun to de C
308
7.3
F orm a ca rte sia n a de un núm ero com plejo
309
7.4
R e p re se n ta c ió n geom étrica de los n ú m e ro s com plejos
311
7.4.1
R e p re se n ta c ió n gráfica de la su m a y diferencia
311
171
7.5
M ó d u lo d e un n úm ero com plejo
3 12
180
7.5.1
P ro p ie d a d e s del m ódulo d e un n úm ero com plejo
3 23
7.6
La raíz cu a d ra d a de un núm ero com plejo
3 28
7.7
L u g a re s ge o m é tric o s en C
332
7.7.1
La línea recta
332
7.7.2
La circunferencia
333
A P L IC A C IO N E S D E LA R E C T A
163
3.1
Distancia d e un punto a una recta d ad a
163
3.2
Intersección de rectas
3.3
A n g u lo entre d o s rectas
V E C T O R E S EN E L E S P A C IO
Contenido
193
4.1
El e sp a c io tridim ensional
193
7.7.3
La p arábola
4.2
V e ctore s en el e sp a c io
194
334
7.7.4
La elipse
4.3
D irección de un vector en el e sp a c io
199
336
7.7.5
La hipérbola
4.4
Producto e sc a la r de d o s ve ctore s en ele sp a c io
202
337
7.8
4.4.1
A n g u lo entre d o s ve cto re s en R 1
204
4.5
P roye cción ortogonal y co m p o n e n te s
212
7.9 7.10
F orm a polar de un n úm e ro com plejo Poten ciació n de n ú m e ro s com plejos
345 351
R a d ic a ció n de n ú m e ro s com plejos
3 55
4.6
C o m b in a ció n lineal de ve ctore s en R '
218
7.10.1
E c u a c io n e s cu a d rá tica s con coeficientes com plejos
3 57
4.7
El producto vectorial
223
7.10.2
R a íc e s primitivas de la unidad
3 54
4.8
El producto mixto de ve cto re s
238
7.11
La e xp one n cial com pleja
361
4.8.1
P ro p ie d a d e s del producto mixto de ve cto re s
239
4.8.2
Interpretación geom étrica del producto mixto
240
M A T R IC E S ___________________________________
379
8.1 8.2
Introducción
379
Definición
379
R E C T A S EN E L E S P A C IO
249
5.1
E c u a c ió n vectorial de una recta en el e sp a c io
249
8.3
O rd e n de u n a matriz
5.2
P o sic io n e s relativas d e ve ctore s en el e sp a c io
254
380
8.4
Igu ald ad de m atrices
5.3
A p lica cio n e s d e la recta en el e sp a c io
262
381
8.5
T ip o s de m atrices
382
8.6
S u m a de m atrices
383
8.7
P rod ucto de un e sca la r por una matriz
3 85
8.8
M ultiplicación de m atrices
3 87
8.9
P ro p ie d a d e s de la multiplicación de m atrices
3 92
8.10 8 .10 .1 8 .10.2
M atrice s c u a d ra d a s e sp e c ia le s
404
M atrice s sim étricas
404
Matriz antisimétrica
405
8.10.3
Matriz identidad
406
8.10.4
Matriz dia go n a l
409
8.10.5
Matriz e sca la r
409
8 .10.6
Matriz triangular superior
410
P LA N O S EN E L E S P A C IO
269
6.1
E c u a c ió n vectorial de un plano
269
6.2
D istancia de un punto a un plano
277
6.3
In te rse ccio n es de p la n o s
281
6.4
Fam ilia de p la n o s q ue p a sa n por la intersección de d o s p la n o s
6.5
In te rse ccio n es de rectas y p la n o s
L O S N U M ER O S C O M P L E J O S 7.1
285 290
___________________________301
El conjunto de los núm eros complejos
301
8.10.7
M atriz triangular inferior
410
8 .10.8
M atriz periódica
410
8.10.9
Matriz tran sp u e sta
4 14
8 .1 0 .10
M atriz herm itiana
416
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vni
□
Contenido M atriz inversa
417
In ve rsa de una matriz triangular
419
T ra n sfo rm a c io n e s elem entales
427
T ra nsfo rm ació n elem ental fila 0 colum na
427
Matriz e sc a lo n a d a
428
8.11.3
M a trice s e quivalentes
429
8.11.4
R a n g o de una matriz
430
8.11.5
M a trice s elem entales
431
8 .11 . 6
In ve rsa de una matriz por el m étodo de las m atrices
8 .1 0 . 1 1 8 .1 0 . 1 2 8 .11 8 .1 1 . 1 8 .1 1 . 2
elem entales (M é tod o de G a u s s - Jo rd á n )
434
8 .12
S is te m a s de e c u a c io n e s lineales
440
8.13
R a n g o de un siste m a de e c u a c io n e s lineales
449
8.14
S is te m a s h o m o g é n e o s de e c u a c io n e s lineales
456
D E T E R M IN A N T E S
VECTORES Eíl El PUMO
A]
' o—
^
465
( l . 1 j C O O R D E N A D A S R E C T A N G U L A R E S ____________________ 9.1
Definición
465
9.2
P ro p ie d a d e s de los determ inantes
466
9.3
Existe ncia de los determ inantes
473
elem entos, introducir u n a notación para representar tales p a re s y definir y estudiar
9.3.1
M e n o r de una com p onente
474
o p e ra c io n e s a lg e b ra ic a s so b re
9.3.2
C ofactor de una com p on e nte
475
9.4
C á lcu lo de determ inantes de cualquier orden
479
9.5
O tra s a p lic ac io n e s y p ro p ie d a d e s de lo s d eterm inantes
499
9.5.1
R e g la de S a rru s C á lcu lo de determ inates m ediante la reducción a la form a
499
e sc a lo n a d a
501
P ro p ie d a d e s multiplicativas
511
9.5.4
R a n g o de una matriz
516
9.5.5
Adjunta d e una matriz
523
9.5.6
In ve rsa d e una matriz
525
9.5.7
538
9.5.8
M atrices no sin g u la re s R e so lu c ió n de siste m a s de e c u a c io n e s en d o s variab le s
9.5.9
R e so lu c ió n de siste m a s de e c u a c io n e s de tres variab le s
5 44
R e s p u e s t a s a lo s e je rc ic io s p r o p u e s t o s
552
B ib lio g ra fía
572
9.5.2 9.5.3
El p ropósito de e sta se c c ió n e s el de definir el concepto
de par ordenado de
pares ordenados de n ú m e ro s reales. E m p e c e m o s
e n to n ce s a definir el producto carte sian o de d o s conjuntos.
DEFINICION 1.1 E l producto cartesiano de dos conjuntos S i A y B s o n d o s conjuntos dad os, e n to n ce s el
543
producto car
tesiano de A y B , d en otad o por A x B , e s el conjunto de to d as las p o sib le s parejas o rd e n a d a s {a , b) p ara las c u a le s la prim era com p one n te e s un elem ento de A y la s e g u n d a co m p one n te e s un elem ento de B. E n sím b o lo s e scrib im os :
A x B = { (a , b )\a e A , b e B }
_________________________________
V
P o r ejem plo , s i A = { 2 , 3 , 5 } y B = { a , & } , e n to nce s A x B = { (2 , a ) , (2 , b ) , (3 . a ) , (3 , b ) , (5 , a ) , (5 ,
b )}
El producto carte sian o co n el que tratarem os en este libro e s R x R, denota do m ediante R 2, que s e define c o m o el conjunto infinito de parejas o rd e n a d a s de n ú m e ro s reales. E n sím b o lo s : R x R = { (x , y) | x e R . y e
R}
A s í c o m o el conjunto R de los n ú m e ro s reales e s rep resentado geom étricam ente por una
recta real, el conjunto R 2 s e representa geom étricam ente m ediante un plano plano real.
llam ado
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Capítulo I: Vectores en el plano
ejes de coordenadas, y s u punto de intersección O s e llam a origen de coordenadas. L a s cuatro re gio n e s en los q ue los ejes de c o o rd e n a d a s dividen al plano s e llam an cua drantes, y s e n u m e ran I , II, III y IV c o m o s e m uestra en la Figu ra 1.1. El plano real c o n sta de d o s rectas p erpe n d iculare s entre si, lla m a d o s
L a s d istan cia s d e sd e O a los p u ntos so b re lo s ejes s o n
DEFINICION 1.2 Igualdad de pares ordenados L a igualdad d e p a re s (a , b) y (c , d) s e define co n
{a ,b ) - { c ,d ) a = c y b = d v_
distancias dirigidas,
e s decir p ositiva s a la d erecha y n e ga tivas a la izquierda so b re el eje X y p ositivas hacia arriba y n e ga tiv a s h acia abajo so b re el eje Y. La F igu ra 1.1 m uestra lo s s ig n o s
Ejemplo
1^
P a ra q u é valor o va lo re s de x s e tiene qu e (2 x 2 - 7 x + 1 . 3 x - 1) = (-2 , 8 )
de los c o m p o n e n te s de c a d a par (x , y) en los cuatro cuadrantes.
Solución. f 11
(2 x: - 7x + 1 = -2) Yi k
I (+.+)
D e la Definición 1.2 , s e sig u e que :
-\
c
Yii
3
Sección 1.1: Coordenadas rectangulares
yy
h________
¡ 1 1 u b s c i s i J ________ ^
de d o n d e : (2 x 3 - 7x + 3 = 0)
a
a
(3x - 1 =
8)
(3x - 9 = 0) (x = 3 ó x = 1/2)
a
(x = 3)
El n úm ero q ue b u sc a m o s e s la solu ció n co m ú n , esto es, x = 3 f
■
• >')
1
1 F A
o( III
Ejemplo
2
J
Hallar los ele m e n tos del conjunto A = { (x , y) I (2 x 2 + 7 x , 4 y 2 - 1 9y) = (x , -12) }
¡ i
IV (+. -)
Solución. o
V
X
V
F IG U R A 1.1
J
F IG U R A 1.2
S e g ú n la Definición 1.2, s e d eb e cum plir que
:
(2 x: + 7x = x)
a
(4y: - 19y = -12)
(2 x 2 + 6x = 0)
a
(4y: - 19y + 12 = 0) (x = 0 ó x = -3)
P o r lo tanto :
a
(y = 3/4 ó y = 4)
A = { (0 , 3/4) , (0 . 4 ). (-3 , 3/4) , ( - 3 , 4 ) }
■
U n a propiedad importante qu e d eb e recordarse e s q u e si s e e m p le a una E sta b le z c a m o s ah ora u na co rre sp o n d e n c ia b iu n ívo ca entre los p u ntos P d e l
m ism a e sc a la en a m b o s ejes co o rd e n a d o s, e n to n ce s la d istancia qu e se p a ra a d o s
plano y los ele m e ntos (x , y) de R :. El a so c ia r a ca d a p ar ord e n a d o (x , y) un punto P
p untos A ( x , , y,) y B ( x , , y :) en el plano es. por definición, la longitud del se g m e n to de
s e lleva a ca b o c o m o sig u e :
recta q ue los une. El siguiente teorem a establece u n a fórm ula de la distancia en
1.
térm inos de la s c o o rd e n a d a s de los d o s puntos.
P o r el punto q ue co rre sp o n d a al núm ero x so b re el eje horizontal (eje de a b s c i s a s ) s e traza u na recta paralela al eje vertical.
2.
P o r el punto qu e c o rre sp o n d a al n ú m e ro y so b re el eje vertical (eje d e o rd e n a d a s) s e traza u n a recta paralela al eje horizontal.
3.
Al punto de intersección P de e sta s rectas s e le a so c ia n las c o o rd e n a d a s (x , y).
TEOREMA 1.1 Fórmula de la distancia D a d o s d o s p untos A ( x ( , y,) y B ( x . , y,) en el plano, la distancia entre lo s d o s p untos viene d a d a por la fórm ula d ( A , B ) = V(x, - x,): + ( y , - y , ) :
P se llam a “la gráfica de (x , y )” o sim plem ente “el punto (x , y )”. O b s é rv e s e que todo P del plano determ ina un par (x , y) de n ú m e ro s reales, que s o n su a b s c is a y s u ordenada, y recíprocam ente, todo par (x , y) determ ina un punto P (F igu ra 1.2). E ste m edio de establecer una co rre sp o n d e n c ia u n o a u n o (biunívoca) s e llam a
.________________________________________________________________ D em ostración. L a d em ostración s e b a s a en el teorem a de P itágoras. E n efecto, en el triángulo rectángulo A C B de la F igu ra 1.3 I A"B I -’ = I Á C I - + I C B I
sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas.
= I x 2 - x, 1 2 + 1 y, - y , | 2
D e b id o a que existe esta co rre sp o n d e n c ia uno a uno, si d o s p a re s o rd e n a d o s c o rresp on d e n al m ism o punto, los p are s d eb en se r iguales. T e n e m o s e n to n ce s la s i guiente definición.
y de a q u í o b te n e m o s :
d{ A , B) = V(x, - x,)- + (y, - y ,)2
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4
Capitulo 1: Vectores en el plano
E je m p lo
3
)
D e m u e stre que el triángulo A B C co n vértices A (1 , -3), B (3 , 2)
9.
10 .
Dem ostración. L a fórm ula de la distancia da
D e te rm ín e se gráficam ente las c o o rd e n a d a s del punto I de intersección de la recta qu e p a s a por A (2 , 3) y B (-1 , 4) y la recta q ue p a s a por C(-1 , 0) y D(-2 , 3).
I A B I = V(3 - 1 ): + (2 + 3)-’ = \Í29 I B C | = V(3 + 2)’ + (2 - 4)- = V29
11.
A C j = V (1 + 2): + (-3 - 4)- = V58
12.
D a d o q ue I A B I = j B C I , q u e d a p rob ado que el triángulo A B C e s isó sce le s. C o m o I A B I -’ + I B C 12 = I A C 1 2 , la
S e a n lo s p a re s o rd e n a d o s A = (2x + y - 3 , 5 y - x - 8 ) y B = (x + 3 y - 11 , 2 x + 3 y + 4); si A = B, encontrar el valor de S = 4 x + 5 y
y C (-2 , 4) e s un triángulo isó sce le s.
I
5
Sección 1.2: R: como espacio vectorial
D e m u e stre que los p u ntos A (-4 , 4), B (-2 , -4) y C (6 , -2) s o n los vértices de un triángulo isó sce le s.
recíproca del teorem a de P itá go ra s im plica a d e
m á s q ue A B C e s un triángulo rectángulo.
Hallar x de m od o que la distancia de A (2 , -1) a B (x , 2) s e a 5.
■
13.
P ro b a r q ue lo s p untos A (4 , 0), B (2 , 1) y C(-1 , -5) s o n vértices de un triángulo rectángulo.
14.
U sa r la fórmula de la distancia para determinar q ue los puntos A(-2 , -5), B(1 , -1) y C (4 , 3) e stán so b re u na recta.
15.
D e m u e stre que M m o s s o n lo s p untos
I^ T )
R2
^
t,
e s punto m edio del se gm e n to c u y o s extre
A(a , b) y B(c , d)
C O M O E S P A C IO V E C T O R IA L ________________________
T o m a n d o al conjunto R de n ú m e ro s re ale s h e m o s construido el producto carte sia n o R x R, al cual sim b o liza m o s por R- = { (x , y) I x e R , y € R } Un h e ch o de fundam ental im portancia en este conjunto e s que p o d e m o s definir en él d o s op e ra cio n e s entre s u s ele m e n tos sim ila re s a la adición y multiplica
E JE R C IC IO S : Grupo
1
ción de n ú m e ro s reales. E ste h e ch o h a c e q u e tal conjunto te n ga u n a estructura alge b raica llam ada
espacio vectorial y que, por tanto, n o s p o d a m o s referir a él no
so lo c o m o el “el conjunto R 2”, sin o c o m o el “e sp a c io R :”. L a s o p e ra cio n e s que defini E n los ejercicios 1 - 6 , determ ine para qu é n ú m e ro s reales la e cu a ció n e s válida. S i
m o s en R 2 s o n :
no existe solución, indíquelo.
DEFINICION 1.3 Adición de pares ordenados de núm eros reales
1 . (x - 2 y , 2 x + y) = (-1 , 3)
4.
(x 2 + 2 x , 2 x 2 + 3x) = (-1 , - 1 )
2 . (2x + 3 y , x + 4 y ) = ( 3 , - 1 )
5.
(x 2 - y 2 , 4) = (12 , x y * y 2)
3.
(x 2 - 2 x , x 2 - x) = (3 , 6 )
6 . (x 2 - x y , 3) = (12 , x y - y 2)
7.
H allar los elem entos del conjunto S = {(x , y) I (x 2 + 2 x y , 3 x 2 + 2 y 2) = (16 , 4 x y + 6 )}
S i A = (a, , a:) y B = definim os s u
(bl , b2) s o n d o s p a re s o rd e n a d o s en R 2,
sum a co m o A + B = (tf, + 6 , , a z , b2)
A la operación que a ca d a p ar le h a ce c o rre sp o n d e r s u s u m a la llam are m os
adición de p a re s ordenados.
8 . H allar los elem entos del conjunto
S = {(x , y) I (x3 - y3 , 6) = (19 , x2y - xy2)}
P o r ejemplo, si A = (3 , 5) y B (l , - 8) , e n to n ce s : A + B = ( 3 + l , 5 + (- 8)) = (4 , -3)
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6
Capítulo I: Vectores en el plano
DEFINICION 1.4 M ultiplicación de un núm ero real por un pa r ordenado Si A =
7
Sección 1.2: R: como espacio vectorial
DEFINICION 1.5 E l espacio vectorial El espacio vectorial V e s un conjunto de elem entos, llam ados vectores , junto co n un conjunto de elem entos, lla m a d o s escalares, con d o s o p e ra cio n e s lla m a d a s adición vectorial y multiplicación cscalar\a\es q ue para cad a
(at , a,) e s un elem ento de R 2 , y r e s un núm ero real
(llam ado escalar), definim os s u producto c o m o rA = ( r a , , rtí,) A la op eración que h a ce co rre sp o n d e r a c a d a nú m e ro real y ca d a p ar ord e n a d o
p ar d e ve cto re s A y B en V y para todo e sca la r r, un vector A + B y un vector i A
m ultiplicación d e un núm ero real por un par
está n d efinidos de tal form a que la s p ro p ie d a d e s del T e o re m a 1.2 s e satisfacen.
s u producto e sca la r la llam arem os ordenado.
El T e o re m a 1.2 n o s d em uestra que el conjunto R 2 e s un e sp a c io vectorial so b re R. d eno tad o por V,. P o r tanto a lo s p a re s re p re sen ta d o s por ( x , y) tam bién los
P o r ejemplo, si A = (-2 , 6) y r = 3/2 , e n to n ce s :
lla m a re m o s vectores.
r A = y (-2 , 6) = ( y (2 ), y (6)) = (-1,9)
DEFINICION 1.6 Vectores en el plano
O b s é rv e s e que, s e g ú n e sta s definiciones, tanto la s u m a de p a re s c o m o la multiplicación de un e sc a la r por un par ordenado, s o n n u e vam en te ele m e ntos de R 2. P o r ello s e dice qu e e sta s o p e ra cio n e s s o n
U n vector en el plano e s un p ar ord e n a d o de n ú m e ro s reales
cerradas en R 2.
de la form a A + B = B + A A, B, C € R 2 (A + B) + C = A + (B + C )
D a d o d o s ve cto re s en V ,, A = (x, , y,> y B = ( x , , y , ) , p o d e m o s definir
(x, = x,)
(C onm utatividad)
1.
Si A = B
(A sociativid ad )
2.
A + B = (x, + x , , y, + y,)
(Definición 1.3)
3.
r A = (r x, , r x,)
(Definición 1.4)
A 4 :P rop ie da d del elem ento identidad para laadición de p a re s 3 ! 0 e R 2 |A + 0 = 0 + A = A , V A e R :
a, b, c, r, s, t, x, y, z, c o m o contraste co n los vectores. a
(y, = y,)
(Ig u a ld a d de vectores)
(0 = (0 ,0))
A s : P rop ie da d del elem ento inverso para la adición de p a re s 3
M, : S i r g R y A e R 2 r A e R 2 M 2 : 3 l e R I lA = A , VA e R2 D,
Ejemplo
! - A 6 R 2 1A + (-A) = (-A) + A = 9 , V A e R 2 (C la u su ra )
1 ]
(Le y distributiva)
D 3 :r(sA ) = (rs)A , V r , s e
(Le y distributiva)
R, VA e R2
S e deja al lector la d em ostración de c a d a u na de e sta s p ro p ie d a d e s hacie ndo u so de la s p ro p ie d a d e s respectivas de los n ú m e ro s reales.
, 3) y B
= (4
, -1), hallar el vector V
= (-4 + 1 2 ,6 -3 )
(Le y distributiva)
D 2 :(r + s )A = rA + s A , V r , s e R , V A e R 2
= (-2
Solución. S i V = 2(-2 , 3 ) + 3(4 , - 1 ) V = (-4 , 6) + (12 , -3)
(E x iste n c ia del elem ento neutro)
:r (A + B) = r A + r B , V r e R , V A , B e R 2
Si A
= 2A + 3B (D e f. 1.4) (Def. 1.3)
= (8 , 3)
1 Ejemplo
2
j
Hallar el vector x en la ecu ación 2(-1 , 2) + 3 x = (4 , -5)
Solución. S u p o n g a m o s que x = (x, , x,), e n to n ce s en la e cu a ción d ad a :
■
8
Capítulo l: Vectores en el plano 2
(-2 , 4) +
Luego, s e g ú n la fórm ula (3 ):
S e a n lo s p u ntos P(5/2 , 5 ) , Q(1/3 , 13/4) , R(-16/5 , 7/2) y S ( x , y). S i P Q y R S representan el m ism o vector, calcular el valor de 3 0 x + 80y.
N3:
V re
N4 :
V A ,B e R : , |
R . V A e R - , 11 r A 11 = I r 1. 11 A11 a
+ B | | < | | a || + 11 B 11
(D e sig u a ld a d triangular)
V________________________________________________________________ D em ostración de N 1: E n efecto, si A = (x , y> ! A 11 = \ ’x : + Si x * 0
y *
c=> 11 A 11
y2
0
S a b e m o s q u e si existe la raíz cu a d ra d a de un núm ero, ésta e s positiva, por 11.
S e a V = (7 , - 6 ) el vector localizado del se g m e n to A B y C(5/3 , 3) el punto de trisección m á s ce rc an o de B, de dicho se gm e n to. H allar las c o o rd e n a d a s de A y B.
D em ostración d e N2 : x = y = 0 , esto e s , A = (0 ,0 ) = O (H
S e a n A (a , -2) , B (2 , 4 ) , C (8 , -3) y
S i A = O t=> A = (0 , 0) 11A 11 = \'0 : + 0 2 = 0 P o r co n siguie n te : I A ! I = 0
D = { (x , y) I y = 2 x + 1} S i A B = C D , hallar el valor de
tanto, 1 1 A 11 > 0
(■=>) S i II A II = 0 => 11 A 11 = vx - + y : = 0 . L a iguald ad s e cum ple si
1 2 . E n la Figu ra 1.10 s e tiene : O P = x 3 , O Q = 6 - x Hallar a , si b = (9 x y - y 3 , y) y a = b. 13.
lo
A = O
D em ostración de N3 :
a-x
E n efecto , si A = (x , y ) ■=> r A = (rx , ry) y 11 rA 11 = V(rx): + (ry): = \ r:(x 2 + y :) = \ r 2 . V x : + y : 11 rA11 = I r I V x : + y :
1.4 ) M A G N IT U D Y D IR E C C IO N D E U N V E C T O R E N R2 P a ra ca d a vector V e
R - , V = (x , y ) , existe un e sc a la r o núm ero llam ado
DEFINICION 1.8 Dirección de un vector en R : A ca d a vector no nulo , V = (x , y) e R 2 , le c o rre sp o n d e una
norma . módulo o magnitud de V, denotado por 11V 11, tal que :
dirección d a d a p or la m edida del á n gu lo a (án gu lo de dirección de V) que form a
II V||
=
V x2+ y:
el vector co n el sem ieje positivo de las X, p ara el cual
(3)
Sena = — 11 V 11
L a fórm ula (3) e s coincidente co n la noción intuitiva de longitud de un se gm e n to deriva del teorem a de
V.\- + v 2
,
C o s a = — -L— = ■ ■ ,x : 11 V 11 V x : + y
(4)
y 0 o < m (a) < 360°
P itágoras. L a F igu ra 1 . 1 1 ilustra esta propiedad.
D e la s e c u a c io n e s (4) s e sig u e que V = (x , y ) = 11 V 11 ( C o s a , S e n a )
FIGURA 1.11
(5)
14
Capítulo 1: Vectores en el plano
P o r tanto, un vector en
R: q u e d a
15
Sección 1.4: Magnitud v dirección de un vector en R ' Luego, m (a) = 360° - 60° = 300°
determ inado por s u m agnitud y dirección.
P o r lo que, s e g ú n la e cu a ció n (5 ): I O B S E R V A C I O N 1.2
La dirección m (a) del vector V s e obtiene de la m ane ra
V = 6( C o s
300°, S e n 300°)
siguiente M ed iante un á n gu lo de referencia a, y hacie n do
DEFINICION 1.9 Vector unitario
u so de una tabla de va lore s s e halla el valor de
D a d o un vector no nulo
con 0o < m ía,) < 90° para el cual T g a, = |y| Si x > 0 , y > 0 o
.
un vector u que tiene la m ism a dirección
x *0
m (a) = m (a,)
u=
V
/
i i vil
(Cuad. I)
V = !_ \
i i vti
a
iivir
o bien
x < 0 , y > 0 «=* m (a) = 180° - m (a,) (Cuad. II)
u = (C o sa , Se n a )
x < 0 , y < 0 => m (a) = 180° -t- m(a,) (Cuad. III)
(7)
x > 0 , y < 0 t=> m (a) = 36(T - m (a () (Cuad. IV ) D e s d e luego, si x = 0 pero y * 0, e n to n ce s m (a) = 90° ó m (a) = 270° respectivam ente p ara y > 0 ó y < 0 .
Ejemplo
4J
H allar un vector unitario qu e tiene la m ism a dirección y sentido del vector
Ejemplo
2
J
Hallar la m agnitud y dirección del vector V
Solución.
= x = (a + b) + c
6t
S i (3 , -2) = tx + r(-2 , 1 ), hallar el valor de 3r +
J FIGURA 1.23
(2)
P o r lo tanto, de (1) y (2) s e sig u e que : (a + b) + c = a + (b +
c)
(2 , 2) = x Luego, si
(3 , -2) = t + r = ( 2 t , 2 t) +
I
Ejemplo
6^ j
S e a n los v e c to re s A = (-2 , 3) y B = (4 ,-3). U n se gm e n to diriO I ... g id o q u e re p re se n ta a - | A B tie n e p o r p u n t o in ic ia l O O
(Adición de ve cto re s)
D e la igualdad de vectores s e sig u e que : 3 = 2t - 2r y -2 = 2t + r R e so lv ie n d o el sistem a ob ten e m os :
S ( 5 , -3/2), hallar el punto final.
r =-5/ 3 , t= - 1/6
—>
3r + 6t = -6
■
Solución. S e a T (x , y) el punto final del se g m e n to S T
S i S T = | A - 1 B => T - S = -I (-2 , 3> - 1 (4 , -3> = (-2 , 5/2) 3 6 3 6 E je m p lo
4
j
Resolviendo una ecuación vectorial
*
D a d o s : A = , resolver la ecuación 3 A - 2 [3 (B - 2 C ) + 2 A j + 3 X = 2 C + X
Solución.
E nton ce s, si : ( x - 5 , y +
S = (-2 , -y)
r xX - 5 = -2 t=> = x = 3 o
-1^
^
^
5
y + -f = ?2 ■=> y = i P o r tanto el punto final e s T(3 , 1).
R e sta n d o 2C + X a c a d a extrem o de la e cu a ción d ad a s e tiene : 3 A - 6(B - 2C) - 4 A + 3 X - ( 2C + X ) = (2 C + X) - (2 C + X)
(3 - 4)A - 6 B + 12 C + (3 - 1)X - 2 C = O
Ejemplo
=> -(A + 6 B - 10C) + 2 X = O
7
J
S e t ie n e : 2(2 , -3) + C = (3 , -5) + (a , 7 ) y C e stá so b re la recta
J ’ : y = x + 2. S i A (3 , 5) y B (-2 , 6 ) , hallar el punto P tal que C
(A + 6B - 10C) - (A + 6 B - 10C) + 2 X = (A + 6B - 10C)
P C = -A B .
■=> 2 X = A + 6B - 10 C = (-2 , 2) + 6(3 , -2) - 10
Solución. S e a C = ( x , y ) y s i C e W- : y = x + 2 e=> C = ( x , x + 2)
= (-2 , 2 ) + (18 , - 12 ) + (10 , - 10 )
E n la e cu a ción d ad a : 2(2 , -3) + (x , x + 2) = (3 , -5> + (a , 7)
24
Capitulo I: Vectores en el plano
de d on d e : (x , x + 2 ) = Luego
(a - 1 , 8)o
-f X ü ' ^ x + 2 = 8=>
Ejemplo
S e a el e x á g o n o regular de lado
a , m ostrad o en la Figu ra 1.25. Al su m a r lo s s e g m e n to s orientados BA, A C , D C y —► A E s e obtiene un vector S, hallar la norm a de S.
. C = . S i P = ( x , , y,) y K ! = - A B => C - P = -(B - A ) = A - B ==> y, = 9
cunscrita al e x á g o n o regular, entonces :
P o r tanto, el punto b u sc a d o e s : P(1 ,9 )
f:b = r = a y t } = r V3 , esto e s , 11 A C 11 = 11 A E 11 = "
P = 1 ( 2 P , + P,) y Q = 1 ( P , + 2 P ,)
j
C = 11 C 11 (C o s P , S e n p ) = VTÔ ( 1 /VTÔ, 3/VÏÏj) => C = (1 , 3) Luego, si m(3 , 0) + 3(-6 , -2) = n(I , 3)
(
/
S i T g a = 1/3 y T g p = 3, hallar el valor de m de m od o que
=
Demostración. E n efecto, si P y Q so n los puntos —> de trisección de P,P2, entonces:
1. f } =
ip ) ,
c* 3 (P -P ,) = P ; -P , => 3 P - 3 P , = P ; - P ,
de d ond e : P = -L (2P, + P,)
—7
9
P,Q= 3 P,P: =>
3(Q - P,) = 2 (P , - P.)
=> 3 Q - 3 P , = 2 P : - 2 P , c * Q = 1 ( P , + 2 P :)
FIGURA 1.26
26
Capítulo I: Vectores en el plano
E je m p lo
12^
EJERCICIOS ; :
E n la F ig u ra 1.27, el trián g u lo
Ejemplo
27
Grupo 5
14]
E n el ro m b o de d ia g o n a le s D
O A B e s isó sc e le s con O A = A B
y d e s tal co m o
y P H e s perpendicular a O B y mide 6 unidades. S i
s e indica en la Figu ra 1.29, hallar la norm a
11AQ 11 = 2 11Q B 11, hallar el m ódulo de PQ .
del vector
v = v 1+ v 2 + v 3 + v 4
Solución. S e a O H = x P(x , 6)
=>
d on d e lo s vectores V, , V 2 , V 3 y V 4 llegan a
OM
AM PH
A O M A = AOHP
OH
8 2 t6 ~ x
los p u ntos m e d io s de los la d os del rombo. 3
=* x = 42
Solución. C o n s id e ra n d o un siste m a carte
-
sia n o co n s u s ejes X e Y so b re —) —> la s d ia g o n a le s P R y SQ , respectivam ente, te
Luego, si P(3/2 , 6) e n to n ce s : P A = A - P = = (1/2 , 2) A d e m á s : Á B = B - A = (4 , 0) * (2 , 8) = P o r lo que ,s i : 11 A Q 11 = 2 11 Q B 11
(2 , -8)
F IG U R A 1.27
nem os :
A B = -=- (2 , - 8)
AQ =
1 C o m o : P Q = P A + A Q = (1/2 , 2> + 42^/-> ( 2 , - 8) = 1 _ov (11—, -20)
o
i
=* IIp a II = ¿ - V (ll)2+ (-20)- =
V52I
V, = R F = F - R
=
v,=
p
=
< § . 4 > - < - f '° >
V, = Q E = E - Q
=
(0 , | > = < £ , - j d )
d) => 11V11 = d
E n la Figura 1.28, si P e s tal que
E JE R C IC IO S : Grupo
doble del áre a del triángulo C P B , hallar 11 C P 11.
5
P o r la geom etría plana s e sa b e qu e : a (A A P C ) = A P x P C a (A C P B )
C om o,
,£ )
. -| > -< 0 , 4> = < - f '
V = V, + V, + V, + V 4 = ( 0 , -
el áre a del triángulo A P C e s el
Solución.
-
,0 ) = (-| D
PB x PC
a (A A P C ) = 2 a (A C P B )
E n los ejercicios 1 al 5, si A. B, y C s o n ve ctore s en R :, dem u e stre la validez de
_ AP
c a d a afirmación.
PB
(A 2 : P ro p ie d a d conm utativa)
1. A + B = B + A
= 2
2 . A + (-A) = (-A) + A = O
(A s : In ve rso aditivo)
de d on d e : A P = 2 P B => P - A = 2(B - P) c=> (x + 4 , y - 2) = 2 (2 - x , 10 - y ) « J
í
x + 4 = 2(2 - x) «=> x = 0
l y - 2 = 2 ( 1 0 - y ) = > y = 22/3
L u e g o : C P = P - C = (0 , 22/3) - (2 , 2) = -| (-3 . 8)
II C P II = ¿ V ( - 3 ) : + 8- = | V 7 3
3.
Si A + B = C
A = C - B
4.
S i A + B = B A = O
5.
Si A + B = O
*=> A = -B
(U n icid ad del idéntico aditivo) (U nicidad del inverso aditivo)
6 . M e diante se g m e n to s orientados d em uestre la propiedad A 2 : A + B = B + A 7.
S e a P Q una representación del vector A. Q R u n a representación del vector B y —> —> —> —> R P una representación del vector C. P ro b a r que si P Q , Q R y R P s o n los lad os de un triángulo, e n to n ce s A + B + C = O
28
Capítulo l: Vectores en el plano
8 . D a d o s los vectores A = (5 , 2 ) , B = (-3 , 4) y C = (7 , 4), re solve r la e cu a ción
los la d o s O A , A B , B C y C D respectivam ente. Hallar 11 S T + B H 11 si T e s punto
2X + 5A - 3B = 4C 9.
S e a x un vector en R : tal que : (-5 , 2) = 2 x + , hallar x - y de m odo q ue : 2 S = 1 A - 2 B o o O
16.
E n la F igu ra 1.31, A B C D E F e s un e x á g o n o re gu lar de lado a , hallar la norm a
o
de S, sa b ie n d o qu e : S = ^ (A D + 17.
( 1.7 J V E C T O R E S P A R A L E L O S
1
~*
DE) +
1
— > EB
D a d o el e x á g o n o re gu lar A B C D E F (F ig u ra 1.32) , h a lla r el v a lo r d e p + 3 q , —> —> j —>—) —) sa b ie n d o que : B C + C F + ± E F = p A B + q E F
D o s vectores A y B, no nulos, s o n parale los o prop orcionale s si y só lo si uno de ellos e s un múltiplo e sc a la r del otro, esto e s A || B A = r B I O B S E R V A C IO N E S a)
, V r e R
1.5
S i r > 0 y B * O = > A y r B tienen la m ism a dirección y sentido. S ir < 0
y B * O => A y r B tienen la m ism a dirección y se n tid o s op uestos. B
b)
B
A = r B
A = r B
r> 0
r< 0
E s conveniente establecer que el vector nulo O e s paralelo a todo vector, esto es: 0|| A ó A l l O , V A e E n efecto, si O 11 A O = r A = 0 A
18.
E n la Figu ra 1.33, P e s un punto tal que el triángulo de áre a A, e s tres v e c e s el á re a del triángulo de áre a
19.
Hallar la norm a del vector V.
E n la F igu ra 1.34 , O A B C e s un cuadrado, P , Q , R y S s o n p u ntos m e d io s de
c)
R:
,0 e R
T o d o vector e s paralelo a si m ism o. E n efecto, si l e R
■=> A = l A . por lo que A
A , V A e R-
^2__________________ __________________________ Capítulo I: Vectores en el p lano
Sección 1.7: Vectores paralelos
f--------------{ EJEM PLO S ILUSTRATIVOS )--------------- *
í Ejemplo
3 J
31
=B +C
D e m o stra r que s i D
-------------------------
y B
Dem ostración.
() D e m o stra re m o s que si D
A C ! A
E n efecto, si D 11 A Br e R ¡
Ejemplo
1 ^
Determ inar si los ve cto re s d a d o s s o n parale los
P o r hipótesis, B | | A = > 3 s e R
1.
A = < 4 ,-1 ) , B = (-1 2 ,3 )
Luego, si C = D - B = r A - s A = (r - s )A => C
2.
A = + s (1 , 4>
Solución. S i B 11 => B = ^ = s
-2 = s - 3r = 3 = 4s - r
c=> (-2 , 3) = s (1 , 4) - r (3 , 1)
C || => C = p ( l , -3) S i A = B + C «=* ( 3 , 0 ) = s —> A M = M B
R e so lv ie n d o el siste m a de e cu a cio n e s obtenem os, s = 1 y p = - I
J
r
E je m p lo
L u e g o : B - M = r (3 , 1) «=> B = (2 , 5) + r (3 , 1)
>
FIGURA 1.37
M e s punto m edio d e A B
L u e g o : B = (4 , -3) ■=> 11 B 11 = V(4): + (-3)- = 5 C = - = ||C II = V (-l)2 + (3)2 = V IO
c=> M - A = B - M => A = 2 M - B
■
=> A = 2(2 , 5> - (5 , 6) = (-1 , 4> c * A ( -l , 4) P e s punto m edio d e C B
Ejemplo
8 J
C P = P B => P - C = B - P C = 2 P - B >=> C = 2(4 , 2) - (5 , 6) = (3 , -2) = * C (3 , -2)
E n la F igu ra 1.36 s e tiene un e x á g o n o re gu lar c u y o
lado m ide a unidades. S i II V, II =|| V 2I| = || V 3|| = 11 V 4 11 = 11 V s 11 =
!
a , hallar 11S11, d o n d e . S =
Ejemplo
10
J
El punto P (-3 , 1) e s un vértice del rom bo P Q R S , tal que P Q = (4 , 2) y el lado P S s e h a obtenido del lado P Q m ediante un giro
V 1 + V 2 + V J + V 4 + V 5.
de 6 0 9 en el sentido antihorario. Hallar los d e m á s vértices del rombo.
Solución. V, = V 4 y V 2 = V, p or se r p a ra le lo s y Solución. S i a e s el á n gu lo de dirección del vector
de la m ism a m agnitud, dirección y
— »
sentido. E n to n c e s : S = 2 V, + 2 V, + V £
P Q = (4 , 2 ), e n to n ce s , T g a =
o 4
i
= —
L
de d on d e s e tiene : S e n a = 1V5 y C o s a = 2/V5
FIGURA 1.36 T ra sla d a n d o e sto s vectores a un siste m a d e ejes rectangulares (F igu ra 1.36a) se tiene
a (C o s
90°, S e n 90°) =
a Q = (-3 , 1) + (4 , 2) = (1 ,3 )
:
V, =
e s el vector de p osición del punto Q, por lo qu e : Q(1 ,3 ) P o r se r la d o s de un rom bo :
11 PS 11= 11 PQ 11 = V(4y + (2)2 = 2 V5
—> S e a u un vector unitario en la dirección de P S c u y o á n gu lo
a (-1 , 0)
2a (0 , 1> + a (1 , V3) + a (-1 ,0 ) a (0 , 2 + V3> => 11 S11 = a(2 + \Í3)
S i P Q = Q - P = (4 , 2) ■=> Q = P + (4 , 2)
de dirección e s a + 60°, e n to n ce s : ■
FIGURA 1.38
u = ( C o s ( a + 60°), S e n ( a + 60°)>
Cos(a + 60°) = Cosa CosftO" - Sena Sen60”= A )(4 ) ' (^=)(^r) = -jf (2- V3)
(1)
34
Capitulo 1: Vectores en el plano
S e n ( a + 60°) = S e n a C os60° + C o s a S e n 6 0 " = (J L ) (JL) +
Luego, en (1 ):
u = ( ^ ( 2 - V3) ,
^
=
b) A = (3 , 2 ) , B = (2 , 4/3)
(i + 2 V3 )
(1 + 2 \Í3 ))
35
EJERCICIOS : Grupo 6
2.
D e m o stra r que s i A Ü C , B i C y C ? t O
3.
D e m o stra r que p ara ve cto re s no n u lo s A , A , , B y B, A
Ahora, si P S = 11 P S 11 u
=> S - P = 2>/5 ( y | ( 2 => S
+ 2 nÍ3)>
2 + 2V 3 )
vértice S = (-! - V3 , 2 + 2V3>
e s el vector d e p osición del C om o SR = PQ = (4 ,2 )
- V3) , ^y¡5 -(1
d) A = (4 , -2 ), B = (-1
=
II
A11 + 11 B 11
A y B s e a n paralelos.
- S = (4 , 2)
■=> R = (-1 - >/3 , 2 + 2V3) + (4 , 2) = (3 - V3 , 4 + 2\Í3) P o r lo que : R (3 - \Í3 , 4 + 2V 3 )
6. 7.
S i A = (m , 5) + (3 , 3 ) , B = 4(-m , -3) - 2(1 , 2 ) y A 11 B , hallar el valor de m. D a d o s los ve cto re s A = (a , 3m ) y B = (-2m , b) , hallar a
+ b tales q ue A + B =
(8 , -4) y s e a A 11 B.
ejemplo
11J
S i M ( 1 1/2 , 7/2), N (8 , 6) . P(9/2 ,13/2) y Q (2 , 4) s o n lo s p u ntos
8.
m ed ios de los la d os del trapecio A B C D y 11 DC11 = vT o , hallar 9.
los vértices del trapecio.
S e a n los ve cto re s A y B, tales que : A =
(a , 2a ) , A - B = (2a , p) , A
B y la
n orm a de A - B e s \ 112. Hallar la norm a de B. El vector A = (x , y) e s paralelo al vector B = (2 , 4), tal que u = (x/ \5 , y/\ 5) e s un vector unitario paralelo a a m b os. H allar el vector A.
Solución. Q N = N - Q = (8 , 6) - (2 , 4) = (6 , 2)
10. S e a n A y B d o s ve ctore s en R 2, tales que B e s el in ve rso aditivo de A. S i B tiene
U n vector unitario en la dirección de
el m ism o sentido que el vector C = (-1/3 , 1/4) y 11 A 11 = 5 , hallar X = A + 2 B , de Q N e s
u=
QN
(6 ,2 )
(3 ,1 )
I I q n II
V3o
Vio
11.
Hallar la n orm a de la s u m a de los ve cto re s unitarios u y v . s i u
C o m o D C II Q N ==> D C = 11 D C 11 11 = ( 3 , 1 )
12.
L o s v e c to re s A y B s o n ta le s q u e A e s del m ism o se n tid o q u e B = (1 , 3) y
D P = 1 D C «=> P - D = (3/2 , 1/2)
A
A
«=> D = P - (3/2 , 1/2) = (3 , 6) 13.
D Q = Q A ■=> Q - D = A - Q A = 2 Q - D A n á lo g a m e n t e :
F IG U R A 1.39 A M = M B c=> B = 2 M - A = 2(11/2 , 7/2) - ( 1 , 2 ) = (10 , 5)
P o r lo tanto, los vértices del trapecio s o n :
14.
15.
Determ ine si lo s sig u ie n te s p ares de vectores s o n paralelos. C u á le s tienen el m ism o sentido y cu á le s sentido opuesto. a) A = (-8 , -7 ), B = (32 , 2 8)
c) A = (-3/2 , 3 ), B = (1/3 , -2/3)
\.
m II m . a| tio ln r Ov _ J ; U hallar el valor de 2 x - \ y 2
El punto P (2 , -3) e s extrem o del vector P R , el punto Q(1 , -2) alineado co n P y
Si A =
(a , b) y B = (1/2, - 4/3) so n d o s ve cto re s en R \ hallar a + b sa b ie n d o que
El vector C = (2 , -1) e s e x p re sa d o c o m o C = A + B , d o n d e los vectores A y B s o n paralelos a X = (3m , 4m ) e Y = (-3n , -n), respectivam ente, sie n d o m # 0 y n
6
Y
V40
11A11 = V73/3 y que A y B tiene se ntid o s op u e stos.
A(1 , 2) , B(10 , 5) , C (6 , 7) y D(3 , 6)
EJER C IC IO S : Grupo
_ / X = (-]==■, V40
R, dista de P la quinta parte de 11 P R 11. Hallar R.
Ñ C = B N «=» C = 2N - B = 2(8 , 6) - (10 , 5) = (6 , 7)
1.
A y v i B
sa b ie n d o q ue A = (4 , -3) y B = (-5 , 0)
16.
17.
* 0. Hallar A - B.
D a d o s lo s vé rtice s c o n se c u t iv o s de un p a ra le lo g ra m o A ( 7 , -1) , B (-3 , 1) y —> C (-5 , 5 ); determ inar el cuarto vértice y la longitud de la diagonal BD . E n la F igu ra 1.40, s e a O la intersección de las d ia g o n a le s de un cu a d ra d o A B C D . S i O e s el baricentro del triángulo isó s c e le s A P D co n 11AP 11 = 11 P D 11, —> hallar el vector NQ .
36
Capítulo 1: Vectores en el plano
18. S i M (9 / 2 , -3 ), N (2 , 6 ) , P(-7/2 ,9 ) y Q(-1 , -1) s o n lo s p u ntos m e d ios de lo s la d o s
TEOREMA 1.6 PROPIEDADES DEI. PRODUCTO ESCAIAR
del trapecio A B C D y 11AD 11 = \ 52, hallar lo s vértices del trapecio. 19.
20.
S i A, B y C s o n ve cto re s en R J y r e R e s un escalar, e nto n ce s
E n la F igu ra 1.41, A B C D e s un cu a d ra d o de lado 3a y A ' B ’ C ’ D ’ e s un cu a d ra d o
s e cu m plen las sig u ie n te s p ro p ie d a d e s :
de lado a , si la norm a de D 'D e s a, hallar el vector B ’P.
I’E, : A • B = B • A
—> S e a el triángulo A B C y s e a n M(1 , 9) y N (6 , 2) p u n to s m e d ios de los la d o s A B
P E , : r(A • B) = (rA) ♦ B
— ►
—)
~>
—> ..
-> , i
C onm utatividad A so cia tivid ad e sca la r
P E . : C • (A + B ) = C • A + C • B
y B C respectivam ente. S i A B M , si A11 B I C, calcular
P .E C
c.
:
A
• A =0 «
A
M a g n itu d re sp e cto al producto e sca la r
=O
L a p ru e ba de e sta s p ro p ie d a d e s s o n m uy sim p le s, p or lo que d em ostrare m o s la prim era y la cuarta, dejando c o m o ejercicio las d e m o stra cio n e s restantes. la prim era propiedad, s e a n A = (a, , a,) y B =
P a ra d em ostra r
A • B =
(bt , 6,)
a p t + a,b2 = b xa x + b,a^ = B • A
P a ra la cuarta propiedad, s e a A = (a, , a , > , e n to n ce s A • A = • ( a , , a 2> = (a,)2 +
(a2)2
a 22)2 = 11A 112
= (Va,2 +
IN T E R P R E T A C IO N G E O M E T R IC A D E L P R O D U C T O E S C A L A R E N R : S e a n A y B d o s vectores y A - B (el vector que v a de B a A). S i A e s perpendicular a B , ocurre que la representación geom étrica de los vectores A , B
y
A - B e s un triángulo rectángulo, para los cuales, por aplicación del teorem a de P itá go ra s s e tiene que : ||a -
1.8 ) P R O D U C T O E S C A L A R D E V E C T O R E S
||2 = ||a ||2 + | I b I| j
b
=> (A - B ) • (A - B ) = 11 A 112 + 11 B 112 D a d o s los vectores A = ( a , , a,} y B = =
a p {+ a p :
( 10 )
I O B S E R V A C I O N E S 1.6 1.
*
a
-
a
*
b
-
b
*
a
+
b
-
b
= | I a ||2 + ||b I|2 (p ||b I|2
e
,)
(p e 4)
de d o n d e : -2 A • B = 0 ■=> A • B = 0 C o m o h e m o s establecido la condición de ortogonalid ad para A y B. e n to n ce s p o d e m o s dar la siguiente definición.
El producto e sc a la r de vectores e s u na op e ració n cu y o resultado e s u na e sca la r
DEFINICION 1.12 VECTORES ORTOGONALES
y no un vector. P o r ejem plo , si A = (2 , -3) y B = (4 , 1), e n to n ce s s e g ú n (10) A • B = (2) (4) + (-3)(1) = 8 - 3 = 5 2.
a
= * I| a ||2 - 2 A * b + ||b ||2 = ||a I I 2 +
A y B s e denota por A • B y s e define p o r : A • B = (a ,, a ) •
(P E J
S i A , B e R " , e n to n ce s
D o s vectores A y B s o n o rto go n a le s si y s ó lo si A • B = 0 (El vector nulo O s e co n sid e ra ortogonal al cualquier vector) S i e s el c a s o qu e A y B s o n a m b o s n o nulos, e n to n ce s s e dice que los vectores s o n orto go n ale s y a n o ta re m o s : A l
B A • B = 0
(11)
38
Capítulo I: Vectores en el plano
39
Sección 1.8: Producto escalar de vectores
P o r ejemplo, si A = =* A • A x = 0 A • A x = (al , a :) • : ♦ (A • A) (B -B )
= ( B . B ) ( r + A l | ) ‘ + ( A - A ) ( B - B ) - . ( A - B ); v 7V B •B / B •B o- u / v Si hacem os ( g = -
TEOREMA 1.7 D a d o s los vectores A = (al , a } y B = (b] , b ,),a m b o s diferentes de O, s e tiene que :
A •B ,/ , => / ( g = i ------------
(A • B )(B • B ) - (A • B ) 2/ox -------
bT~¿
C o m o / (r()) > 0 y B * B = | | B | | 2 > 0 , implica que
A 1 B => A l l B 1
(A • A ) ( B • B ) - (A • B ) 2 > 0 =>
(13)
(A • B ) 2 < (A • A ) (B • B )
I A • B |2 < 11 A 112 11 B 112
D em ostración. E n efecto, si B = (6, , b,) , B * O c=> S u p o n g a m o s que b{* 0
* o y
=> I A - B | <
b ,* 0 2.
I A - B I = 11 A 11 II B || P ro b a re m o s que
A 1 B l l B i l <
IIBII
II A - B || + | | -A - II A || < || A - B
Multiplicando por -1 s e tiene : H a | | - | | B | | > - | | A - B | |
D e (1) y (2) se s ig u e que : -1 < A - B
^
Ejemplo
16
^
||
Solución. E n el A D E F : D F = D E + E F
||
^ A ^ - 11 B| I > A- B
X >
V.
13
FIGURA 1.45
E n to n c e s : D E = 3 u = ( y j . -j-^) E F = "> u 1 = 2 /- — . — \ = /- — —) ¿ \ 13 1 3 ' ' 13 ’ 1 3 ' P o r lo tanto , en (1 ): D F = ( | | . | | )
Ejemplo
^
Solución. T ra sla d a m o s los se g m e n to s A B , C D y E F so b re un siste m a cartesiano de m od o que s u s puntos iniciales coincidan co n el origen. E n to n c e s A B = 11 A B 11 ( C o s 0o , S e n 0°) = 3 (1 , 0)
A
+ (-
, ||)
= (2 , 3>
IlÉ F il = 5
S i S = A B + C D + E F y U = ( 2 , 2v3> , hallar S • U
— ^ ^
F A. 2
(1)
I l Ó A l l = V (5 )- + (12)’ = 13 —) U n vector unitario en el sentido d e O A e s :
—> C D y E F s o n ta n g e n te s a la circu n fe re n cia ta le s q u e IIC D ll = 4 ,
k
m o s e m uestra en la Figu ra 1.45. Hallar el vector D F
E n la F ig u ra 1 .4 4 , A . C y E s o n p u n to s c o rre s p o n d ie n te s a
_J|A B || = 3 ,
r
tra so b re un plano inclinado c o
= 11 (A - B ) + (-A) 11
||B||
. ,
U n triángulo D E F de e n c u e n
18J
E n la F igu ra 1.46 , m ( P S = 2 —) —^ O C = O A + A C , pero co m o A C = O B , e nto n ce s
2.
O C = O A + O B = A + B A + B = (5 , 3> (2)
3.
D e (1) y (2) o b te n e m o s :
—) —> S i A B C e s un triángulo tal q u e A C = (4 , 1 ), A B = (-4 , -3 ), hallar el c o se n o del á n gu lo que form a el vector B C co n el vector unitario j = (0 , 1). “4 -4 E n un triángulo A B C s e tiene : A C = 11 A + B 11 = 11 - (C + D ) 11 c=> a = 11 C + D 11 E le v a n d o al cu a d ra d o s e tiene : a2 = 11 C 1 1 2 + 2 C • D + 11 D 112
C o m p BA = - 11 P ro y BAl I
2.
C o m p B(rA ) = r C o m p BA
a 2 = b2 + 2 C • D + c2 , de d on d e : C • D = \ (a2 - b2 + c2)
L u e go ,
P R O P IE D A D E S D E L A C O M P O N E N T E E S C A L A R C o m p c(A + B ) = C o m p cA + C o m p cB
S i A + B + C + D = 0 ,| | A + B | | = a ,| | C | | = 6 y | | D | | = c , hallar la C o m p cD
L a norm a de la p royección ortogonal e s : 11 P ro y BA I i = V(-4/5): + (2/5)- = — j -
1.
69
• '• C o m p ' D = ^
------------- f EJEM PLO S ILU STR A TIV O S]------------- ^
Ejemplo
4]
= ¿
(a ;- i: + c ! )
■
S i el vector B form a un á n g u lo de 3 0 9 co n el sem ieje positivo de las x , 11 B 11 = 2 , C o m p BA = -2 y C o m p B A = 2 ^ 3 ; hallar el
rector A.
Solución. S i B = 11 B 11 < C o s 30°, S e n 30°) = * B = ( V I , 1) P o r la e cu a ción (2 1 ): A = P ro yBA + P ro y B± A E je m p lo
1^)
-----------------------
L o s la d o s de un trián gu lo s o n lo s v e c to re s A , B y A - B. S i || A II = 5 ,
II B II =
3 y C o m p BA = -5/2, hallar la longitud del
A = ( C o mp BA
)
+ (C o m p BlA )
+ ( 2VT)
TT^TT = * 7
’ de d o n d e
1 A = (-2V3 , 2)
A . B = - 15/2
y s i | | A - B ||2 = I I a | | 2 - 2 A - B + M b ||2 = (5 )2 - 2(-15/2) + (3) = 49 11 A - B 11- = 7
( Ejemplo
2 ]
-----------------------
Si A
= (-2 , \ 12) y
S e a el vector C = P r o y B A =
*
L o s la d o s de un triángu lo s o n lo s v e c to re s A , B y A + B. S i ||aII =
5 , 11 B 11 = 2 V2 y 11A + B 11 = n 53 , h a lla r:
0
2 C o m p BA - C o m p A(A + B )
Solución. S i I ! A + B l =: V53 V53 < => II A 112 + 2 A • B + 1 1B i I = 5 .-1
- ¿9 —
(A + B ) * A | [A | —
Si A
2 C om p A - C om pA(A + B) = 5V2 - 7
(
Bx
II B x ||2 *
U y C 11V , e n to n ce s : U = y V = (1 , V3>
Cos 9 =
(jm
AII-+B-A = ---------- 5
hallar el á n gu lo form ado por los
c °[—
U ~V
Ilullllvll
Ml B ll) C o m p A(A + B ) =
= (-3 , \ 3 ),
El án gu lo entre U y V e s el m ism o entre A y C , por lo que :
c=£ (5 y + 2 A • /A-
B
vectores A y P ro y Bi A
Solución.
Ejemplo
5 ]
■
_ 25+10 _ 7 5 -
ije m p lo
6 )
= < - '■ >5) - (I ■ V3) = 1
(2) (2 )
2
^
~
9 = 60-
.
"
D a d o lo s p u n to s A (-1 , 3 ) , B (5 , 6 ) y C (7 , 5 ) ; si P d ivide al se gm e n to A B en la razón A P : P B = 2 , hallar la proyección del
vector A P so b re el vector BC.
Capítulo 1: Vectores en el plano
70
Solución. S e a el punto
P (x , y). S i
^
Ejemplo
= 2 ■=> A P = 2 P B
8
J
«=> P - A = 2 (B - P)
r « < x + l, y - 3 > = 2 < 5 -x ,6 -y > L u e g o , P(3 , 5) =>
o
|
= (k
, -2) y B
= (2 k
,k
+ 2 ),
d o n d e k e R.
d o s opuestos.
x = 3 y = 5
Solución. S i P ro y BA y B tienen se n tid o s o p u e s t o s , e n to n ce s C o m p BA < 0 , esto es, A- B
, -1 >
P ro y BCÁ P = ( A P * B C = ( (4 ’ 2)_ L Í - 2 ’ /BC M l B C l l 2' ' (V 4 T T ) j
S e a n lo s vectores A
Hallar los va lo re s de k de m od o que P ro y BA y B tengan senti
A P = P - A = 0 , implica qu e : A . B < 0
IIB L ue go :
(2 , -1)
(k ,
-2) • 2k- - 2(k + 2) < 0 k: - k - 2 < 0
=> (k + 1)(k - 2)
'
< 0«
(k + 1 < 0
k - 2 > 0) v ( k + l > 0
a
ak
- 2 < 0)
(k < • 1 a k > 2) v (k > -1 a k < 2 ) P ro y B-cA P
[
E je m p lo
7J
= f< 2 ,-l>
S i A. B y C s o n vectores no parale los co n a) 11 P ro y c(A + B ) 11 <
■
C * O, d em ostra r que
[ E je m p lo
C = (-^ C
_ /A • C + B • C \
llcll
) C ♦ ( J ^ )
(0 ) v (-1 < k < 2) k e < -1 , 2 >
■
S e a n los ve ctore s no nu lo s A. B e R : y r * 0. Estab le ce r el valor de verdad de las sig u ie n te s afirm aciones
*0
1.
E n efecto, de la definición de proyección ortogonal s e sig u e q u e :
a) P ro y c (A + B , =
9^]
i C o m p cA I + I C o m p cB !
b) P roy sC(rA + B ) = r P ro y cA + P ro yc B , V r , s e R , s
Solución.
»
C
C
1 l i e II
11 A x + B 11 = I I a -
b
MI
2.
P royA(P ro y BA ) = P ro y B(P ro y AB ) .=> A 11 B 1
3.
|C o m p A(A x + B) | < 11 B 11
4.
S i r > 0 ■=>C o m p g iA = - C o m p ^ A -1
5.
S i A + B 1 = A 1 + B «=> A = B
ó
11 A 11 = 11 B 11
Solución.
O b s é rv e s e que el p arénte sis del s e g u n d o m iem bro e s un nú m e ro real y q u e e s coeficiente de un vector unitario; luego, si n o rm a liza m os a m b o s m ie m b ro s de
1.
D a d o q u e 11 A 11 = 11 A x 11 •=>
11 A 1 + B 11 = 11 ( A 1 + B )1 !! =
e sta igualdad ob ten d re m os :
11 (A A)X + B x 11
= I I - A + B M I = ll( - l) (A - B x) 11 11
P ro y c A •B *0
=
O
P o r tanto , la afirm ación de
c + ( ^ ) c
= r P ro ycA + P ro y cB
■
3.
A 1 B =* A||BX A = B , lu e go 11A11 = || B iI
verdadera.
P o r la d e sig u a ld a d de C a u c h y - Sch w a rtz s e s a b e qu e :
7
°] B
f ( B . A ) ( A ; B)l B
La igu ald ad (1) s e cum ple si y só lo si
»
^
1 1 a 1 1 2 1 1 b 11-
Capítulo 1: Vectores en el plano
72
73
Sección 1.11: Proyección ortogonal
B E = 11 B E 11 ( C o s 300°, S e n 300°) = A • B I < I I a I I 11 B 11 «
J A lB j Il A l l
< || B 11
' A - A ^ A - B l
L u e g o . P ro y .-F C = ( ^
A • ( A 1 + B)
a
< 11 B i I
/BE
#
)
' 11 B E I I 2'
4.
C o m p Bi A = B
jy ~TT\ II B x II
B E = ( a ) a A - B =
12
S i A + V = A x , hallar la C o m p vC.
A x • (r B) 11 r B j y
C o m p 0i A = - C o m p iBA x
Si A +
a
Ai . R L u e g o : C o m p B A = -t c o m o r > 0 => C o m p B A = -
5.
BE =
\ C o m p A( A x + B ) |< 11B 11
I I A II L u e g o , la afirm ación e s
2a (1/2 , - \Í3/2)
< | |B
y
Cos a =
2V7
S i C = ( C o s a , S e n a ) c=> C = ^ | (A - B ) • (A - B ) = (A - B ) • ( A x - B x) o
(A - B ) • (A - B ) = (A - B ) • (A
- B )x (A •A x = 0)
=> (A - B ) • (A - B ) = 0
(A • A = 0 A = O ) C o s 75° = C os(45° + 30°) = C o s 45° C o s 30° - S e n 45° S e n 30° = ^
A - B = O c=> A = B L u e g o , la afirm ación e s
S e n 75° = Sen(45° + 30°) = S e n 45° C o s 30° + S e n 30° C o s 45° = ^ ( 1 + V3)
verdadera.
■
(\Í3 - 1)
t=> A = 11 A 11 ( C o s 75° , S e n 75°) = ^ | I A 1 1 V = r (-VJ - 1 , V3 - 1) - r (-4 , 2) = P ro y BA + (-3 , 3) c=> P ro y BA = D a d o que . C o m p BA = ± 11 P ro y BA C o m p BA = ±
I , e n to nce s :
+ ( *l); = ± >/2
E n la Figura 1.78 s e o b se rva que B y P ro y BA tienen Prov„ se ntid o s o p u e sto s , por lo q ue : C o m p 0A = - V2
E je m p lo
11 }
■
D a d o el e x á g o n o regular de lado
A
FIGURA 1.78
a (F igura 1.79), hallar la pro
yección ortogonal de F C so b re B E.
Ejemplo
2a (1/2 , V3/2) = a (1 . V3>
E n la F igura 1.81 s e tiene : 11 A11 = 2 , A • B = \ 2 11 B 1 1 . S e a V un vector tal qu e B x + V = B y a el á n gu lo entre A y B. Hallar
Solución. F C = 11 r c 11 < C o s6 0 ° , Sen60°) =
1 3 ]
ProyvA.
Sección l . l l : Proyección ortogonal
Capítulo I: Vectores en el plano
74
Solución. A = 11 A I ! ( C o s 60°, S e n 60°) = B = V2 llB | | (1 - V 3 , 1 + V 3 > Í L || B II (-1 - V 3 , 1 - V3>
D|| = C o m p C = Il A l l
L u e g o , si V = B - B 1 => V =
. ”
P ro yA = K r°VvA
^
f-^ V -W l||v||-/
Il B II /3> = ^
Il B II (1 , V3> = r (1 , V3)
O ■ r(l
= (< l ' ^ >m i , ^ )r < l,V 3 > V r: (V1 (V 1 + + 3)2 1 3)*
14 J
= . B i =
á
A = (5 , 12) y C = (-2 , 3). Hallar s u área.
V2 11 B 11 = 2 1! B 11 C o s a , de d o n d e ,
=
A
r
S i A • B = 11A 11 11 B 11 C o s a , e nto n ce s
Cos a
75
1 6 ) El triángulo A B C e s is ó s c e le s , s ie n d o A ( 4 ,
E n el paralelogram o de la F ig u r a 1 .8 2 s e tie n e :
Solución.
el lado
desigual. S i P ro y e-cB A = (3 , -1) y P ro y A-cÁ B = f (1 , -7) , hallar 5
los vértices B y C.
D E = É C , m (3 B A D ) = 6 0 9. L a altura relativa a
10) y B C
S i P ro y -cÁ B =
j (l , -7) A C 11 (I , -7 ),
la b a s e Á D e s h. S i el vector M = A B + A E - B D esto e s , 3 r e R | A C = r ( I ,-7 )
y V = P ro y Al M , hallar la norm a de V en función
c=> C - A = r ( l , -7)
de h.
Solución.
FIGURA 1.82
E n la Figu ra 1.82 s e tiene :
C om o B C = 2 B H «=> C - B = (6 , -2)
AE = AD + DE y BD = AD - AB
A B = B - A = (-2 , Adem ás :
= 2 Á B + D É = 2 Á B + -y A B = j Á B 5 /AB • A D \ II A D l l ~ 2 ' IIÁ D lr M •AD
/Il A B II
5
2\
II A D l l C o s 60°\ || A D l l
'
11
B = (4 , 10) + r ( l , -1) - (6 , -2)
E n el
(2)
12) + r ( I , -7) - (4 , 10) = (r - 6 , 2 -7r)
A B ll = | | A C 11
\( r - 6)2 + (2 - 7 r)J = r V i + 49
de donde , r = 1 , que sustituido en (1) y (2) o b te n e m o s : C(5 , 3) y B(-1 , 5)
de d o n d e ob te n e m o s :
(1 )
c * B C = 2 P r o y - B A = 2(3 , - I)
=> 8 = (-2 , I2 ) + r ( l , -7)
E
L u e g o , si M = A B + A E - B D «=> M = A B + ( A D + D E ) - (A D - A B )
C = (4 , 10) + r (l , -7)
■
11V11 = -j 11 A B 11
A D H C : h = 11DC 11 S e n 60° = 11 A B 11 S e n 60°
••• l l v l l = t ( 2 r ) h = 5 r
=
h
AB
II =
e je m p lo
1 7 7 ) S e a n A (-3 , 2 ) , B , C (-1, 13) y D lo s vértices d e un rectángulo
tal que A C e s una de s u s d ia go n a le s y Á B e s ortogonal a (4 , -3). Hallar los vértices B y D.
Solución. S i A B 1 (4 , -3) implica que A B 11 ( 3 , 4 ) , e n to n ce s un vector unitario en
Sección I. / 1: Proyección ortogonal
Capimio I: Vectores en el plano
76
ÁB (3 , 4> la dirección y sentido de A B es: u = ■■■ _ - = — ^— * II A B II 5 A d e m á s , si A C = C - A
77
r(3 , 2) = 2 (B - M ) B = 1 2 N = B + C
«=> Â C = (-1 , 13) - Â B =
' l l u l l 27
u = (Â C ‘
r I6 = 3r + 6 t - 8 => r + 2t = 8
L u e g o : Â B = « 2 , 11) • (3/5 , 4/5» (3/5 , 4/5) = ( 6 , 8 ) Com o
3 t e R |Á M = t (2 , 1 ) (2)
=> t 3 r e R I Á Ñ = r(4 , -1)
De (1) y (2) s e sig u e q u e :
(3 , 2) *=> Á B 11 (3 , 2 ), lu e go 3 r e R I A B = r 3 s e R l D M = s ( l ,4 )
Si P ro y -Á B =
Por lo que , M - A = t(2 , 1) = * A = (-l , 6 ) - t ( 2 , 1)
Hallar los vértices del cuadrilátero.
Solución. S i P ro y -BD N =
Solución.
) r (3 , 2)
\\
l' 1/
4Ÿ
de d o n d e ob te n e m o s s = 2 , luego en (1) :
%
\
N e s punto m edio de B C => N =
\ (B + C)
= * C = 2 N - B = 2 (7 , 1) - (3 , 8) = (11 , -6)
D = (-4 , -4)
C om o M e s punto medio de A B A B = 2 M B
°
[)
J
V.
FIGURA 1.86
Por lo tanto , lo s vértices del triángulo s o n : A ( - 5 , 4 ) , B(3 , 8) y C ( 1 1 ,-6 )
■
Capítulo I: Vectores en el plano
78
EJERCICIOS ; 2
--------------------------A D = 3 A N
_c
R
a) Hallar r y s tales que : M N = r A D j f s A B m an un á n gu lo de 120c y I ! A D 11 = 2jJ B A 11 , hallar la proyección ortogonal de M N so b re
r
/
5.
S e a n A y B d o s ve c to re s tales q u e A = M D = j B D = j ( A D - A B )
y si A D = 3 A N N D = - j A D
9. «
(1)
M N = ^ A D - ¿
P o r lo que : r = 2/15 y s = - 4/5
b)
Por
la igualdad (1 ) :
P r o y aT>MN
=^
P r o y lT>A"í>
_ J_ a d " 1 5 A P e ro : Á B • Á D =
II Á B II II ÁD 11
f
L o s la d o s de un triángulo s o n lo s vectores A .B y A - B, si 11A11 = 10 , 11 B 11 =
\
II Á D II
ÁD -
11 Á
D
y C o m p BA = -5. H allar la longitud de A - B.
L o s la d o s de un triángulo s o n A , B y A + B , tales q u e 11 A
S i II A - B II = 4 , II B II = 3 y C o m p B(A - B) = 22/3 , hallar la norm a de A. S i D = A + B + C , 11 A 11 = p , 11 B 11 = q , 11 C 11 = r , A * B = p q , A * C = p r y C o m p BC = r ; hallar la n orm a de D.
(2)
12. 13.
11 ( X ) = i - l I A D 11
14.
S i P ro y BA = A = B
b) S ¡ A * 0 , B * 0 y P royBA = P ro y AB => C o m p BA + C o m p AB = 2 11 B I i (P ro y BA)-L = P r o y ^ A 1
d) C o m p Bi (P ro y BA ) = 0 16.
S i A = (5 , -2 ) y P ro y Bi A = r = -2/3
(-7 , k + 2) • (-1 , 1 - 2 k) = 0 •=> 7 + (k + 2) (1 - 2 k) = 0
es :
a) A = r B r = 3/5 .1 —
B
/ . L a afirm ación e s verdadera.
E x p re s a r el vector C
= (4 , -5) co m o com b in ación lineal de los
vectores A = (-2 , 3 ) y B = (3 , - 1 ) , lue go hallar P ro y(A
D e b e m o s hallar n ú m e ro s s y t , q u e no s e a n sim ultáneam ente cero, de
p r°y(8.A)C y co m p ro b a r la ecu a ción (30).
m odo que s i : s(3 A - 2 B) + t(k A + 4 B) = 0 (3 s + k t)A + ( 4 1 - 2 s)B = O
Solución. H a lle m o s las c o o rd e n a d a s (s , t) de C s e g ú n la b a s e { A A p lica n d o la ecuación (28) s e
S e g ú n la Definición 1.14 , la d ep e n d e n cia lineal de A y B implica que 3s + k t= 0 y 4 i- 2 s = 0
S=
D e la s e g u n d a e cu a ción , s = 2 t , y sustituye ndo en la prim era e cu a ció n s e tiene : 6 1 + k t = 0 t (6 + k) = 0 o
* A
^ ’ 3> * = (1 ,3 ).(-2 ,3 )
t = 0 ó k = -6
Bj
tiene : . ’
.
A x • C _ (-3 , -2) • A-l . B ~ ( - '3 , - 2 ) .
D a d o q u e : P ro y (A
B)C = s A = - ü (-2 , 3)
3j
su scep tib le s de form ar u n a b ase. D e m o stra r q u e C = 3 A + 2 B
Ejemplo
6 )
Sean =
E n efecto , co m p ro b a re m o s que C y D s o n linealm ente inde p en dientes aplicando la Definición 1.14
Si s C + t D = O
=>
s(3 A + 2 B) + t(2 A - 5 B ) = 0
c = - y - (-2 , 3) + y (3 , -1) = (4 , -5)
Ejemplo
B .
/. C = s A + t B = - y - (-2 , 3) + y (3 , - 1)
C o m o s y t no deben se r a m b o s cero , e n to n ce s lo s vectores C y D s o n linealmente indep end ientes si k = -6.
11 7
B>C y
Solución.
{A,
,
‘
A2}
, { B , , B J b a s e s de R : y
B, - 3 B r S i
C o m o (m , n) s o n la s c o o rd e n a d a s de A s e g ú n la b a se (A. , A,} , halla re m o s las c o o rd e n a d a s de B, y B, s e g ú n e sta m ism a base, esto es, s i : A, = B, - 2 B , B , = - Í A , t
^
A¡
3 s + 2 t = 0 y 2 s - 5 t = 0 c=> s = 0 , t = 0
P o r lo tanto , C y D so n linealmente independientes.
A =2
. A j = 3 B t + (1/2)BZ y A = m A t + n A 2 , hallar m - n.
■
Su stituye n d o (2) en (1) ob ten e m os :
B |= 1
A : + p A,
(2)
Capítulo I: Vectores en el plano
96
A h o ra .S ¡:A = 2 B , - 3 B ; «
A = 2 ( - Ì A , - f A s) - 3 (. A A , + ¿
Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores
97 ■>
S i U y V form an un a b a s e de R 2, m o stra re m o s que: c
A ;)
i) U y V s o n vectores linealmente independientes. A=— A + — A 13 ' 13 -
sU + t V = 0
(m , n) = (20/13 . 2/13) => m - n =
18/13
t=> s (-4 , 2) + t (-2 , -5) = O
(-4 s - 2 1 , 2 s - 5 t) = O o
{
^fc>Q
-4 s - 2 1 = 0
/
2s-5t = 0 R e so lv ie n d o el siste m a ob te n e m o s , s = t = 0 ,
Ejemplo
7J
= 3 B, - 5 B 2 , y determ ine la s c o o rd e n a d a s del vector A
respecto de la b a s e P’ = { B, , B 2} , si respecto de la b a s e p = {A , , A 2} s o n (2 , -1).
Solución.
R e so lv ie n d o el sistem a de e cu a c io n e s para B, y B, o b te n e m o s la s fór m u la s del cam bio de b a s e , esto e s : R - — A - 1 A ' “ 2 1 2
2
ü)
U y V g e n e ra n a R 2
I
F i g u r a 1.114
=> B . t e R I C = s U + 1 V
Com o x . y e
2
S i (2 , -1) s o n las c o o rd e n a d a s de A respecto de la b a s e p = { A I , A ,} A = 2 A, - A,
12
b) S i A = r U + t V (1 , 5) = r (-4 , 2) + t (-2 , -5} =
2 A, - A , = -y (5 s + 3 t)A, - y (s + l) A, -J L
r l.= - 4 r - 2 n
(x , y> = s(-4 , 2) + t { X 4S ” l } ly = 2s-5tJ
B = — A - — A ’ 2_ 2 1 2
s 5 s + 3 t = 4
24 ’
12
- jj< -2 .-5 >
-1 = - -i- (s + t) => s + t = 2
t = 3 , luego (-1 ,3 ) s o n la s c o o rd e n a d a s del vector
A respecto de la b a s e p’ = { B t , B,}.
[ C je m p lo
■
9 ]
El vector A = (-5 , 2 ) s e d e sc o m p o n e en A , I I X y A ? |[ Y. El vector B = (-5 , 2) = m
F IG U R A 1.115
i A B + 4 ( 4 A B +■ B C + y C D ) = 4 3
^ DC - ¿ AD
= S e g ú n (1 ):
s DC + t AD = I
DC - | AD «
(s -
D C + (t + | ) A D = O
D a d o q ue D C y Á D s o n linealmente indep end ientes , e n to n ce s : s - 1/8 = 0 y t + 5/8 = 0
- | A B + ^ B C + -2-CD ¿ O
ó
Lue go , s i : m A B + n B C + r C D = 4 a B +
s = 1/8 , t = - 5/8 => s + t = - 1/2
11 ]
En el paralelogram o de la Figura 1.116 : A E = - ^ A C , D F = -^-DC
\ B C + -^ C D
= * (m - 2/3)Á B + (n - 1/2)BC + (r - 1/6)CD = O C om o A B , B C y C D
[ Ejemplo
\ Á B + \ ÉF
BD
= - y Á D - l ( - D B ) = - - y Á D + | ( Á B - Á í>) C o m o A B = C D ■=> P Q =
99
Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores
s o n linealm ente indep end ientes , en to nce s
m - 2/3 = 0 ,
n - 1/2 = 0 , r - 1/16 = 0 m = 2/3 , n = 1/2 , r = 1/6 m + n + r = 4/3
S i É F = m Á B + n Á D , hallar el valor de m + n.
Solución.
E n el cuadrilátero A D F E s e tiene :
Ejemplo
13 J
E n el p arale logram o de la Figu ra
1.118 , P
y Q s o n p untos m e
d io s de B C y A B respectivam ente , R D = 3 A R . S i R C s e expre sa co m o u n a co m b inació n lineal de P Q y P A , hallar el producto de lo s escalares.
Solución. S e a n m , n e R los e sc a la re s tales que R C = m PQ + n PA En el A R D C s e tiene : RC = RD + D C = 4 Á D + DC = 4 BC + Á B 4 4 ■=> m A B + n A D = j A B + -j A D «=* (m - l/4)ÁB + (n - 3/4)ÁD = O
=
-J- (2 BP) + 2 Á Q = y (Q P - Q B ) + 2 Á Q
=
| (Q P - Á Q ) + 2 Á Q = | Q P + ± Á Q
C o m o Á B y Á D s o n linealmente in dependientes ■=> m - 1/4 = 0 y n - 3/4 = 0 m + n = 1
= - 4 PQ + t (PÁ + PQ) = - PQ + T PÁ L u e go , s i :
m PQ + n P A = - PQ + y P A
1 00
Capítulo I: Vectores en el plano
Solución. S i A C = A B + B C A B = A C - B C
=> ( m + l)P Q + ( n - 1/2)PA = O Com o
P Q jfP A
Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores
>=> m + 1 = 0 y n -l/ 2 = U e s m = -I
, n = 1/2
(1) (2)
E n el A B D C : B C = D C - D B = -i-Á C - D B
m n = -1/2
101
I Com o el A A B C e s equilátero , el punto H e s tam bién su baricentro , por lo qu e :
Ejemplo 14 J
S e a A B C D un p a ra le lo g ra m o
, M un p unto s o b re el lado BC.
S i el área del A A B M e s igual a la mitad del áre a del
HB = ¿ DB
c=> D B = 4 H B
cuadriláte Lue go , en (2 ):
ro A M C D y A M = r D C + t A D , hallar el valor de r + 3 1.
Solución. S i área ( A M C D ) = 2 áre a ( A A B M )
BC =
A C - HB
Sustituyendo en (1) s e tiene :
t=> área ( A B C D ) = 3 áre a ( A A B M ) áb
L u e g o , (B C ) h = | ( B M ) h
=> a + c = b+ d \ ( a
+ c) =
4(b + d)
Por lo tanto , m = n , esto es : M = N
■
b-a /
aj
a/
A ■
c
v--------------------------------------------------------
FIGURA 1.137
z'
*
2 J
D e m o stra r que el se g m e n to de recta q ue un e lo s p u n to s m e dio s de los la d o s de un triángulo e s paralelo al tercer lado , y su
\
/ O
Ejemplo
\
C
longitud e s la mitad de la longitud del tercer lado.
Dem ostración. Hipótesis.
--------------------------- J FIGURA 1.136
E s oportuno resaltar qu e cu a n d o s e u sa n m étod os vectoriales para la d e
S e a el A A B C , d on d e M y N s o n p u ntos m e d io s de la la d o s A B y B C re sp e c tiv a
mente.
Tesis.
P ro b a re m o s que MN11 A C y 11 MÑ11 = -A-I |A C 11
m ostración de teorem as, no e s importante ubicar la figura en un a determ inada p o si ción en el siste m a coordenado; sin e m b a rgo e s re co m e nd able tener en c o n sid e ra
En efecto, A B = 2 A M => b - a = 2(m - a) m = 4 (a + b)
F|GURA 1.139
108
Capítulo I: Vectores en el plano
2B Ñ
A n á lo ga m e n te : B C = D a d o qu e
MN =
n-m
=>
c - b = 2(n - b)
M N = 4
(b + c) -
co
n = -L(b + c)
-ÿ(a +
Tesis. S e va a d em ostrar que : M Ñ = -i- ( Á D - B C )
b)
En efecto , si
M N = -J¡-(c - a) M N = Í A C P o r lo tanto , M Ñ
11Á C
y
IIMÑ il = \\I
ÁC
3
]
AM = BÑ =
11
|AC
m =
y B D ■=> n =
l(b +
A h ora , M N = n - m «=> M N = 4 "(b + M Ñ = -i-
Ejemplo
109
Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental
(d - a)
d) -
\{a + c)
d) 4p(a + c)
- i - (c - b) = i (Á D ) - | (B C )
D e m o stra r q ue los p untos m e d io s de los la d o s de un cuadrilá M N = -i- ( Á D - B C )
tero s o n los vértices de un paralelogram o.
D em ostración. Hipótesis. A B C D e s un cuadrilátero , M , N , T y S
Ejemplo
5 JS e a n
s o n p u ntos m e d io s de los lados.
Tesis.
P ro b a re m o s qu e M N 11 S T y M S 11 N T
E n efecto, A M = BN
=
\ A B ■=> m = \ (a + 4 BC
M , N y R lo s p u n to s m e d io s de los la d o s de un A A B C y
s e a P un punto exterior al triángulo. D e m o stra r que
:
PM + PÑ + PR = PÁ + PB + PC
b)
Demostración.
n _= \I (b + c)
Hipótesis. S e a el A A B C , M , N y R p untos m ed ios de s u s la d os y P un punto exterior. En ton ce s :
MN
= n - m = \ (b + c) - -JL(a + b) = ÿ (c - a)
L u e g o , M Ñ = 4 -A C «=> M Ñ I I Á C A s í m ism o : Á S = -i- A D s = -i- (a + d) y com o : S T =
t- s
=
|(c
m = -±-(a + b) , n = ^ -(b + c) , (1)
; CT
PM + PN + PR = = y CD
t
+ d ) - -^-(a + d) = i ( c - a) = ± Á C
=
\ (c + d) S T lIÁ C
= (2)
(n -
p) + (r - p)
- p) + ( b + C .p ) + ( a ^ c , p )
FIGURA 1.142
= i.(a-p + b-p) + -±.(b-p + c-p) + ¿(a - p + c - p)
D e (1) y (2) s e d e d u ce que : M Ñ 11 S T y 11 M Ñ 11 = 11 S T 11 A n á lo ga m e n te s e dem u e stra q u e : M S l i N T y 11 M S 11 = II N T
(m - p) +
r = \ { a + c)
= (a -
p) +
11
(b -
p) +
(c -
p)
/. P M + P Ñ + P R = P Á + P B + r c
■
P o r lo tanto , el cuadrilátero M N T S e s un paralelogram o.
Ejemplo ! Ejemplo
4j
6 j
res.
D e m o stra r que en todo trapecio el se gm e n to de recta que une los p untos m ed ios de las d ia g o n a le s , e s igual a la sem idiferen-
D e m ostrar que las d iagonale s de un rom bo so n perpendicula
D em ostración.
cia de las b a se s.
Hipótesis.
D em ostración.
Tesis.
Hipótesis. A B C D e s un trapecio , M y N s o n p untos m e d io s de las d ia g o n a le s A C y
En efecto , en el A A B C :
B D respectivam ente.
S e a el rom bo A B C D
P ro b a re m o s que A C 1 B D ÁC = ÁB + BC
y en el A B C D : B D = B C + C D => B D = B C - D C
(1)
Capítulo ¡ : Vectores en el plano
110
C o m o D C = A B (la d o s o p u e sto s de un r o m b o ), e n to n ce s : BD = BC - ÁB
111
Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental
En efecto , si Á M = m - a Á M = - i (b + c) - a =
(b + c - 2a)
(2) B N = n - b B N = -J¡- (a + c) - b = J_(a + 'c - -b )
M ultiplicando e scalarm e n te la s e c u a c io n e s (1) y (2) s e tiene: Á C • B D = (B C + Á B ) • (B C - Á B )
CP = p -
C P = ± (a + b) - c = i (a + b - 2c)
c =>
= 11 B C 112 - 11 Á B 112 ; pero , 11 B C 11 = 11 Á B 11 P o r lo tanto , A C • B D = 0 «=> Á C ± B D
Sean :
■
= r , AM
— -= s BN
y
— CP
= i , e n to n ce s la -
expresión vectorial q ue define al baricentro para ca d a m ediana e s
AG
Ejemplo
7 J
D e m o stra r por m étod os vectoriales , que un triángulo inscrito
= r AM g = a + r ÁM = a +
(b + c - 2a)
(1)
BG = sBÑg = b + sBÑ = b + -y(a + c-2b)
(2)
en un se m icírcu lo e s un triángulo rectángulo.
CG
D em ostración. Hipótesis. S e a el ABA C inscrito en el sem icírculo
A h ora , de
= tC P => g = c + tC P = c+ 4-(a + b-2c)
(1) = (2 ),
: a + -y (b + c - 2a)=b +
s e sig u e que
(3) (a
+ c - 2b)
de centro O (F igu ra 1.144) (2 - 2 r - s)a + (r + 2 s - 2 )b + (r - s)c =
Tesis. P o r d em ostrar que B A C e s un triángulo rec
Com o a . b y c
s o n linealmente indep end ientes , e n to n ce s :
tángulo. B a sta rá probar qu e A B 1 A C
2 - 2 r- s = 0 , r + 2s - 2 = 0 , r - s= 0
E n efecto , en el A A O B : A B = A O + O B
de d o n d e o b te n e m o s : r = s = 2/3
(1)
A n á lo ga m en te , de (1) = (3) s e obtiene : r = i = 2/3
y en el A A O C : A C = A O + O C , pero Ó C = - Ó B « = > Á C = Á b - Ó B
O
m e d ia n a s s e interceptan en el punto G a 2/3 de Á M ,B Ñ y CP.
Por tanto , la s
(2)
Multiplicando e scalarm e n te (1) en (2) s e tiene :
I Nota.
Á B • Á C = (Á O + O B ) • (Á 6 - O B )
■
Si sustituimos los valores de r , s ó t en las ecuaciones (1), (2) ó (3),respectivamente, se obtiene la ecuación vectorial que define al baricentro de un triángulo , esto es :
= ÁÓ • Á O - Á O •Ó B + Ó B • Á Ó - ÓB •ÓB
g =
j (a + b + c)
= 11 Á Ó 112 - 11 Ó B 112 P e ro , 11 Á Ó 11 = 11 O B 11 por se r radios del sem icírculo .-. Á B • Á C = O => Á B ± Á C
*
■
Ejemplo
9 j
A B C y A ' B ’ C ’ s o n d o s triángulos , G y G ’ s o n s u s baricentros. D e m o stra r que : A A ’ + B B ’ + C C ’ = 3 G G ’
f Ejemplo
8 J
D e m o stra r q ue la s m e d ia n a s de un triángulo
s e cortan en un
punto cu y a distancia a ca d a vértice e s los d o s tercios de la distancia que s e p a ra a la m ed ian a de dicho vértice.
Demostración.
E n efecto ,
AA’ = BB’ =
CC’ = c’- c S u m a n d o s e tiene : A A ’ + B B ’ + C C ’ =
D em ostración. Hipótesis. S e a n Á M , B Ñ y C P m e d ia n a s del A A B C
a’- a b' - b
(a’ + b’+
Por la nota h e ch a en el ejemplo 8 : A A ’ + B B ’ +
c ’) -
(a + b +
CC = 3 g ’ - 3 g
Á Á ’ + B B ’ + C C ’ = 3 (g ’ - g) = 3 G G ’
Tesis.
P ro b a re m o s que
-
AG
BG CG 2 =— = — = -
c)
■
112
Capítulo I: Vectores en el plano
E je m p lo
10 J
Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental
D e m o stra r q ue en un tetraedro , las lín e a s q u e u n e n lo s puntos
Ejemplo
12 J
m ed ios de los la d os o p u e sto s s e b ise c a n m utuam ente.
D e m o stra r que las tres alturas de un triángulo s e interceptan en un punto llam ado
D em ostración.
Demostración.
ortocentro.
C o n s id e re m o s el triángulo A B C
Hipótesis. S e a el tetraedro O A B C y s e a n PQ y R T
en el cual tra za m o s la s alturas
d o s lín e a s que unen los p u ntos m e d io s
correspondientes a lo s vértices A y C los c u a le s
de d o s la d os op u e stos.
se interceptan en el punto O. P a ra facilitar los cá l
Tesis.
culos s u p o n e m o s que este punto e s el origen de
P ro b a re m o s que M = N
E n efecto , tom and o el vértice O co m o origen , la
coordenadas. Al unir O con el vértice B , la p rop o
e xp re sió n vectorial que define el punto m edio de
sición q u e d a rá d em ostra d a si p ro b a m o s q ue Ó B
M de PQ e s :
es p erpendicular a AC .
m = 1 (Ó P + Ó Q ) = i
En efecto , si O A 1 B C
a • (c - b) = 0
(1)
Ó C1ÁB
=> c - ( b - a ) = 0
(2)
[ i (Ó Á + Ó B ) + I ó C ]
FIGURA 1.146
1 m = -L (Ó Á + Ó B + Ó C )
Ahora , s u m a n d o (1) y (2) n o s da
(1)
a *c -a *b + c *b -c *a A s í m ism o s , p ara el punto m edio N de R T s e tiene : n = I (Ó R + Ó T ) = 1
[ ~ (Ó B + Ó C ) + I
D e (1) y (2) s e s ig u e que :
Ó Á ] => n = 1 (Ó Á + Ó B + Ó C )
m = n M = N.
113
b • (c - a) = 0 ==> Ó B • Á C = 0 »
Ó B 1 ÁC.
■
(2) ■
I
Ejemplo
13 j
D e m o stra r q ue las m e d ia t i c e s de los la d o s de un trián
gulo s e cortan en un punto llam ado E je m p lo
11 }
D e m o stra r que la su m a de los c u a d ra d o s de la s d ia g o n a le s de
D em ostración.
un p aralelogram o e s igual a la s u m a de los c u a d ra d o s d e s u s
excentro.
E n el A A B C tr a z a m o s la s m ediatrices de lo s la d o s A B y BC ,
lados.
las cu a le s s e interceptan en el punto O. U n im o s O
D em ostración. S e a el p aralelogram o A B C D
con P , punto m edio de Á C . P a ra d em ostra r la pro
Si B D = Á D - Á B
posición b astará probar que O P e s perpendicular
Il B D II = 11 Á D - Á B II
a ÁC.
c=> || B D 112 = 11 Á D I I 2 + 11 A B 112 - 2 Á D • Á B
En efecto , por definición de mediatriz.
(1)
Ó Ñ1BC
y si : Á C = Á D + D C = B C + D C c=> | | á
c
I|2= I |b
c
||2= ||d
c
II: + 2 B C * d c
(2 )
11 B D 112 + 11 Á C 112 = 11 Á D 112 + 11 Á B 112 + 11 B C 112 + 11 D C I I2 + 2 (B C • D C - Á D *'Á B )
■
(1)
En el A O N P : Ó P = Ó Ñ - PÑ Ó P * B C = Ó Ñ * B C - P Ñ * B C
D a d o que : Á B = D C y Á D = B C (lados o p u e sto s del p aralelogram o) Il B D I I 2 + II Ä C l M = I I Ä D II1 + I I Ä B l l * + Il B C 111 + U D O I I 2
Ó M * Á B = 0
= * Ó P • Á B = Ó M • Á B + N ÍP • Á B Ó P • Á B = M P • Á B
S u m a n d o (1) y (2) s e tiene :
«
■=> Ó Ñ • B C = 0 y Ó Ñ 1 1 A B
En el A O M P : Ó P = Ó M + M P
■=> Ó P * B C = -P Ñ • B C
(2)
La s u m a de (1) y (2) da : Ó P • (Á B + B C ) = M P • Á B - P Ñ • B C D ado qu e , M P = y B C
y P N = 4 A B , (Ejem plo 2 ) , e n tonces
Ó P . Á C = i - ( B C . Á B ) - i - ( Á B . B C ) = 0 => Ó P 1 Á C
■
Capítulo I: Vectores en el plano
114 E je m p lo
1 4 ]
S ¡ A , B , C y D s o n vértices de un cuadrilátero , d em ostrar que
Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental De (1) y (2) s e sig u e que :
(2 - 1) (d - c) + t(a - c) = r(a -
115 c) + 2 r ( d - c)
(2 - 1 - 2 r) (d - c) + (t - r) (a - c) = O —> —> y D ado que los vectores C D y C A s o n linealmente inde p en d ie n te s
Á B + Á D + C B + C D = 4 PM de d o n d e P y M s o n p u n to s m e d io s de las
=> (2 - 1 - 2 r = 0)
d ia g o n a le s A C y BD . R e solvie n do
a
(t - r) = 0
el siste m a ob te n e m o s : t = r = 2/3
■
D em ostración. E n efecto , PM = PÀ + ÁB + BM
E JE R C IC IO S : Grupo 13
PM = PÀ + Á D + D M PM = PC + C B + B M
1.
D e m o stra r que las d ia g o n a le s de un rectángulo s o n de la m ism a longitud.
S u m a n d o o rd e n a d a m e n te e s ta s cuatro
2.
D e m o stra r qu e las d ia g o n a le s de un cu a d ra d o s o n perpendiculares.
igu a ld a d e s o b te n e m o s :
3.
PM = PC + C D + D M
4PM = ÁB + ÁD + CB + CD + 2(PÀ + PC) + 2 (BM + DM)
D e m o s tra r q u e el p unto m ed io de la h ip o te n u sa d e un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices del triángulo.
4.
A h o ra , c o m o : P C = - P Â y D M = - B M , e n to n ce s 4PM = ÁB + ÁD + CB + CD
D e m o stra r q u e la s d ia g o n a le s d e un trape cio y la recta q u e u n e lo s p u n to s m ed ios de los la d o s paralelos, s e cortan en un m ism o punto.
5. D e m o stra r q ue el se g m e n to de recta que une los p u ntos m e d io s de los la d o s no
Ejemplo
parale los de un trapecio e s paralelo a las b a s e s , y s u longitud e s igual a la
1^)
S e a n los puntos no co lin e ales A , B , C y D. S e a O un punto tal que Ó A = a , Ó B = b , O C = c , O D = d. S i s e verifica que b - a =
2 (d - c ) , d em ostrar que el punto de intersección de los s e g m e n t o s A D y B C e s punto
mitad de la s u m a de la s longitudes de las b a se s.
6. D e m o stra r que las m e d ia n a s de los la d os igu a le s de un triángulo isó sc e le s so n de la m ism a longitud.
de trisección de e sto s se gm e n tos. 7.
D em ostración. Hipótesis. Tesis.
A , B , C y D s o n p u ntos no co line ales y b - a = 2 (d - c)
8. D e m o stra r que si las rectas que contienen a d o s la d o s o p u e sto s de un cuadri
P ro b a re m o s que s i : r =
PB CB
l= y
AP AD
látero s e interceptan en un punto S , y las rectas qu e contienen a los otros d o s ^
la d o s del cuadrilátero s e interceptan en un punto T , e n to n ce s el punto m edio
r = t = -
=
(b - a) - 1 (d - a) 2 (d - c) - 1 (d - a)
drilátero. (Su g . C o lo q u e el origen en uno de lo s vértices del cuadrilátero).
\
r-
9.
Z\ d\
(Hipótesis)
P o r el artificio de su m a r y restar t c se tiene :
= 2 (d - c) - 1(d - a) + (t c - 1c) = 2 (d - c) - 1 (d - c) + t(a - c) = (2 - 1) (d * c) + t(a - c) S i PB = r C B P B = r(b - c) = rb - r e , de la h ipótesis : b = a + 2d-2c
del se g m e n to S T e s colineal con los p untos m e d io s de las d ia g o n a le s del c u a
c
E n efecto , en el A A P B : PB = A B - A P = A B - t A D c=> p b =
D e m o stra r q ue lo s p u n to s m e d io s de d o s la d o s o p u e sto s de un cuadrilátero y los p u ntos m e d ios de s u s d ia g o n a le s so n vértices de un paralelogram o.
D e m o stra r q u e la s u m a de los c u a d ra d o s de las d istan c ia s d e un punto cua l quiera del plano a d o s vértices o p u e sto s de un rectángulo e s igual a la s u m a de los c u a d ra d o s d e la s d istan cia s del punto a los otros d o s vértices.
PB
/b (1)
10.
D e m o stra r la iguald ad vectorial O A + ( ^ + Ó C = Ó P + Ó Q + O R , sie n d o O un punto cualquiera interior al A A B C y P , Q y R los p u ntos m e d io s de los la d o s A B,
i
A
B C y C A , respectivam ente.
11.
FIGURA 1.151
«=> PB = r(a + 2d - 2c) - re = r(a - c) + 2 r(d - c)
(2)
D e m o stra r que la su m a de los c u a d ra d o s de los la d o s de cualquier cuadrilátero e xce d e a la s u m a de los cu a d ra d o s de las d ia g o n a le s en cuatro v e c e s el c u a drado de la línea que une los p untos m ed ios de la s diago n ale s.
116
Capítulo I: Vectores en el plano
12.
D a d o s lo s p u ntos A , B , C , D , E y F ; s i P , Q , R y S s o n lo s baricentros de los
Sección 1.15: Los vectores y la Física la su m a vectorial de los vectores de velocidad de c a d a m ovim iento.
triángulos A B C , A B D , D E F y C E F , d em ostrar q u e P , Q , R y S s o n los vértices de un paralelogram o. 13.
Otra aplicación s e refiere a las fuerza que actúan so b re u na partícula en el e spacio ; en este c a s o , a las d iv e rsa s fu e rza s q ue actúan so b re u na partícula s e les
D e m o stra r q u e la s tres bisectrices de los á n g u lo s de un triángulo s e intersecan en un punto llam ado
incentro.
representa m ediante vectores : F , , F 2 , F 3 ........... F n , e n to n ce s la s e g u n d a ley de Newton , establece que el m ovim iento de un a partícula e stá descrita por la ecuación
14. D e m o stra r q ue la s u m a de los c u a d ra d o s de la s longitud es de las tres m e d ia n a s
vectorial m a = F, + F 2 + F 3 + ......... + F n
de cualquier triángulo e s 3/4 de la s u m a de lo s c u a d ra d o s de lo s tres lados. 15.
16.
117
S i en la F ig u ra 1.152 , A B C D e s un p a ra le lo g ra m o , d o n d e M y N s o n p u ntos
donde m e s la m a s a de la partícula y a la aceleración. E n e sta ecuación la m a s a m
m e d io s de A B y B C respectivam ente , probar q ue lo s se g m e n t o s D M y D N
e s un e s c a la r , en tanto que la aceleración a e s un vector.
trisecan a la d iago nal A C .
S i e s el c a s o de qu e la partícula e stá en re p o so la s u m a de los vectores de las
E n la F igu ra 1 .15 3 , A B C D e s un p a ra le lo g ra m o , tal qu e P , Q , R y S s o n puntos
fuerzas e s cero , esto e s Fi + F2 + F 3 . . . . + Fn = 0
q ue dividen a los la d o s Á B , B C , C D y D A , respectivam ente , en la razón 2/1. D e m o stra r qu e P , Q , R y S so n vértices de un paralelogram o.
,--------------- EJEM PLO S ILUSTRATIVOS )-------------- , I
[ E je m p lo
1^]
U n h om b re sa lta d e s d e un au tom óvil en m a rc h a de m a n e ra que si el co ch e h u b ie se e sta d o quieto , s u velocidad habría
tenido m agnitud 10 km/h y habría form ado un á n gu lo de 6 0 2 con la dirección al frente 17.
18.
D a d o un triángulo cualquiera , dem ostrar q u e existe otro triángulo c u y o s la d os
del automóvil. S i el c o ch e a v a n z a a 3 0 km/h , con qué velocidad sa le el hom bre del
s o n igu a le s y parale los a la s m e d ian a s de aquel.
automóvil.
E n el triángulo A B C , s e a D el punto m edio de B C . D em ostrar, u s a n d o vectores,
Solución. S e a V, , el vector ve locid ad del c o
q u e : 11 A B 112 + 11 A C 112 = 2 11AD 112 + ±
11 B C 112
ch e y V , , el vector velocidad que le co rre sp o n d e ría al hom bre si el c o c h e h u b ie se estado quieto.
(1.15) LOS V E C T O R E S Y LA FISIC A _____________________ .____________
E n to n ce s la velocidad real del hom bre e s :
El em pleo de vectores en la F ísica e s frecuente , la fuerza , la aceleración y
L u e g o , V, = 30 < C o s 0o , S e n 0o) = 30 = 5 (7 , -V3>
e s igual a la m agnitud física , en las u n id a d e s aprop iad as.
e s el vector velocidad que d e s e a tener y cu y a m agnitud e s
C u a n d o s e trabaja con ve locid ad e s d e b e m o s tener en cu e nta q u e , en un m ovim iento q u e e s la co m p osición de va rio s m ovim ientos , el vector d e velocid ad e s
II V|| = 5 V49 + 3 = 10 VTJkm/h.
■
Capitulo 1: Vectores en el plano
lis
Ejemplo
2j
U n a e rop lan o vue la h acia el n oreste co n u na ve locid ad de 400 millas/h y el viento hacia el su re ste a u n a ve locid ad de 100
millas/h. C u á l e s la velocidad resultante del a e rop la n o , co n respecto a la tierra , y
Sección 1.15: Los vectores y la Física
119
Por lo tanto , el c u rso que d eb e se g u ir el piloto e s : Norte 6o 46 ’ Oeste. Si I !V
= = p V (V 2 ): + (12 + \ 2): = 25 ^ 3 7 + 6V2 = 25(6.7) km/h , el tiem po q ue tardará
en llegar a s u destino e s :
qu e c u rso d eb e se g u ir el piloto.
200
t=
Solución. R e p re se n te m o s por V, el vector velocidad
II V i l
25(6.7)
8
= — = 1.2 h o ra s 6.7
d ad del ae rop la n o y por V, el vector ve lo cidad del viento.
Cjemplo
L a velocidad resultante del a e rop lan o co n respecto a la tierra e s :
4]
Noreste. R e p re se n ta r y hallar el d esp lazam ie n to resultante del
V = V, + V, recorrido.
L u e g o , si V, = 400 (C o s 45°, S e n 45°) = 200\Í2 0 , 1)
Solución.
V , = 100 (C o s 315° , S e n 315°) = 50\/2 (1 , -l> ==> V = 50
E n la F igu ra 1.157 : —> A P = a representa el d esp la za m ie n to de 3
L a dirección de la velocidad resultante e s _ _V_
km hacia el norte. P Q = b representa el d esp lazam ie n to de 5 km hacia el
= (5 ,3 )
I I V || "
U n autom óvil recorre 3 km h acia el Norte y luego 5 km hacia el
\/34
noreste —> A Q = c representa el desplazam iento resultante del re
e sto e s , si T g a = j = °-6 = * a = 31°
corrido , e s d e c ir : E n c o n se c u e n c ia , el vector velocidad resultante form a un á n gu lo co n la dirección E ste de 31°, e s d e c ir , s u dirección y se ntido resultan definidos p o r : E ste 31° Norte , c u rso que d eb e se g u ir el piloto.
c = a + b
L a s c o m p o n e n te s de ca d a vector s o n : a = 3 ( C o s 90°, S e n 90°) = 3(0 , 1) = (0 , 3)
® b = 5 ( C o s 45° , S e n 45°) = -| (>/2 , S2)
Ejemplo
3 ]
'
U n a avioneta p e q u e ñ a v u e la a 1 50 km/h si h a y quietud en
el
aire. Q u é c u rso tendrá q u e se g u ir elpiloto c u a n d o h a y viento
de 2 5 km/h que so p la d e sd e el su ro e ste , y que tiem po tardará en llegar a s u destino situado a 200 km al norte.
Solución. S e a V I
el vector velocidad de la a vioneta y
C = ( ¿ V2 , 3 + 4 \ 2 ) =
\
(5V2 , 6 + 5^2)
=> 11 c 11 = i - V ( 5 \2 ) : + (6 + 5V2 )2 = V 3 4 + 15V2 = 7.43 km. La dirección de la resultante está d ad a por T g a = -6 * 5V2 Lu e go , la dirección del vector c q u e d a definido p o r :
V, el vector velocidad del viento . E n to n c e s :
Este.61° 35’ Norte.
= 1.846 *=> a = 61° 35’
■
V , = 1 5 0 (0 , 1 ) = 2 5 ( 0 , 6 > V, = 25 (C o s 45° , S e n 45°)
^2)
Cjemplo
5 ^
V = V, + V, = ^
(\2 , 12 + V2)
A un m aratonista que recorre h a cia el S u r-E s t e a 2 0 km/h , le parece que el viento so p la hacia el E ste ; pero a un ciclista que
L a velocidad resultante de la avioneta e s
va hacia el E ste a 4 0 km/h , le p arece qu e el viento so p la hacia el Sur. Hallar la com ponente de la velocidad del viento en la dirección de un vector que se ñ a la la
12 + \ 2 y s u dirección : T g a = — -j=— -= 9.46 => a = 63° 14’
trayectoria del m aratonista.
Solución. L u e g o , p = 90° - 63° 14’ = 6o 46 ’
L a s re p re sen ta cione s de las ve lo cid a d e s s e ilustra en la Figura 1.158 , donde
Capítulo I: Vectores en el plano
120 V
Sección 1.15: Los vectores y la Física
= (x , y) e s la velocid ad del viento
Solución. A B = B - A = (-3 , 8> - (1 , 5) = (-4 , 3) c=> 11 Á B 11 = 5
V m = V e lo cidad del m aratonista
C D = D - C = (2 , 7) - (-3 , -5) = (5
V c = V e lo cidad del ciclista
F 2 = t C D l l F j l = 1 1| C D 11
V c = 40 ( C o s 0o , S e n 0°) = (40 , 0)
FIGURA 1.158
L u e g o : C o m p V(nV =
+
V aparon«e
=>
(x , y) = y = -10V2 V e
r = 10
Por lo que : R = F, + F, = 10(-4 , 3) + 5
A h o ra , teniendo en cuenta q u e : V = V m + V «=> 11CD 1 1 = 1 3
Lu e go , si F, = r Á B «=> 11 F, 11 = r||ÁB|| 50 = r (5) «
E n to n c e s V m = 20 ( C o s 45°, - S e n 45°) = ') = (40 , 0) + I I B C || (0 , -1 )
V .V m
11T 11 (V3/2 , 1/2) + 11T 11 (-V3/2 , 1/2) = -100 (0 , -1)
t=> 11 R 11 = 50(3 + 2V3) = 323 kg.
de d o n d e : 11T11 (0 . 1 ) = 100 (0 , 1 )
C o m o se puede o b s e r v a r , el sentido de R e s el m is
I|T|| = lOOkg.
m o que F, ; luego la fuerza qu e s e d eb e aplicar al
FIGURA 1.159
sólid o puntual para m antenerlo en re p o so e s - R . e s d e c ir , el vector op ue sto a R o a F,
[
Ejemplo
■
9
]
S o b re un cuerpo que d e s c a n s a en un p lan o inclina
do , actúan tres fue rza s : la gra v e d a d G , una fuerza N de reacción que e s p erpendicular al pla
Ejemplo
7^)
S e da el siguiente siste m a de fuerza
:
F, de 5 0 kg. qu e actúa
no y una fuerza F de fricción que s e dirige hacia
de A(1 , 5) a B (-3 , 8 ) y F 2 de 6 5 kg. q ue actúa de C (-3 , -5) a
arriba en la dirección del plano. S e define coefi
D (2 , 7). Hallar la resultante R del siste m a y el trabajo realizado por R al d e sp la za rse
ciente de fricción u , c o m o la razón de 1 1 F 11 a
de P (4 , 3) a Q (9 , 5).
i N
I c u a n d o el á n g u lo \\i de in clin a ción e s tal
FIGURA 1.161
■
122
Capí mio 1: Vectores en el plano
que cuerp o está a punto de deslizarse. D e m o stra r qu e : u = T g
D em ostración.
. EJERCICIOS ;
E JE R C IC IO S : Grupo 14
\\i
E n efecto , u sa n d o la b a s e ortonorm al {5 = {i
, j } , con i en la
dirección del plano inclinado , s e tiene :
1. U n avión recorre 2 0 0 km. hacia el O e ste y luego 150 km. O e ste 60° Norte. Hallar
N = 11 N 11 ( C o s 90° , S e n 90°) = 11 N 11 ( 0 , 1 )
el d esp la za m ie n to resultante , gráfica y analíticam ente.
F = 11 F 11 (C o s 180°, S e n 180°) = 11 F11 (-1 , 0)
2.
A q u é d ista n c ia y en q u é d ire c ció n del p u nto d e p artida s e e n c u e n tra u n a p e rso n a qu e recorre 20m . hacia el E ste 30° S u r , 50m . hacia el O e ste ; 40m .
G = 11G 11 (C os(270° + y ) , Se n(270° + y ))
hacia el N oreste , y 30m . hacia el O e ste 60° Sur.
= 11 G 11 (S e n y , -Cosvy)
--
F
3
■
FIGURA 2.7
\a
m
\ r* _ 3 / -> _ a\ . 2 /c t \ _ /
^ x p,
v
n
E JE R C IC IO S : Grupo 15
i \ i \ O ) 1 iV ) I
= -2 < 3 , - I ) + 3 (1 ,2 ) = (-3 , 8) P o r lo que el punto b u sc a d o e s : P(-3 , 8)
■=> m = 2 y n = 3
Lu e go , h a cie n d o u s o de la ecua ción (5) s e tiene :
Yi k ----------»
1.
H allar la e cu a ció n param étrica vectorial y el siste m a de e c u a c io n e s paramétric a s c a rte sia n a s de la recta que contiene a los p untos d a d o s P, y P 2. a) P, (4 , - 2) , P 2 (4 , 3)
b) P, (-7 , 2) , P 2 (-3 , -1)
132
Capítulo 2: Rectas en el plano
2.
H allar la s c o o r d e n a d a s de lo s p u n to s de trise cción del s e g m e n to c u y o s extre
15. E n un triá n g u lo A B C , el p u nto P(4/5 , 5) d iv id e al s e g m e n t o A B en la ra zó n
m o s s o n los p u nto s d a d o s P, y P ? . a) P, (-3 , 6 ) , P 2 (12 , -15)
A P : P B = 2 : 3. El p u nto Q (2 7 / 5 , 22/5) d ivid e al s e g m e n t o B C en la ra zó n b) P, (-3 , 7) , P 2 ( 4 , 1 )
B Q : Q C = 2 : 3. El p u nto R (1 4 / 5 , 3/5) d ivid e al s e g m e n t o A C en la ra zó n
3. Hallar la e cu a ción vectorial del se g m e n to q ue une a P,(2 , 5) c o n el punto m edio del se g m e n to c u y o s extrem os s o n A (5 , 1) y B (7
A R : R C = 3 : 2. H a lla r lo s v é rtic e s del triángulo.
-3) 16.
4.
133
Sección 2.4: Puntos que están sobre una recta
Hallar la e cu a ción vectorial del se g m e n to que une el punto m edio del se gm e n to
D o s vértices de un triángulo A B C s o n A (2 ,1 ) y B (5 , 3). H allar las co o rd e n a d a s del tercer vértice C si la intersección de las m e d ia n a s e s G (3 . 4).
de extre m os A (-5 , 2) y B(1 , 6 ) co n el punto q ue e stá a 1/3 d e la d istancia que se p a ra a R (-2 , 6 ) y T(1 , 9). 5.
O b te n e r la e cu a ción param étrica vectorial del se g m e n to qu e une al punto que
¿ 2.4 J P U N T O S Q U E E S T A N S O B R E U N A R E C T A _____________
está a 2/3 de la distancia que s e p a ra a los p u ntos A ( 8 , -2) y B (2 ,7 ) co n el punto que e stá a u n a cuarta parte de la distancia que se p a ra a los p untos C(1 , 6 ) y D (9 , 10).
6 . D e m o stra r que las c o o rd e n a d a s (x , y) y ( x * , y ’) de los p u ntos q u e trisecan el se g m e n to de e xtrem os P,(x, , y,) y P 2(x2 , y 2) e stá n d a d a s p o r : x = ^ - ( 2 x, + x 2) , y =
E n la S e c c ió n 2.1 s e vió q ue la ecu a ción vectorial , o q ue el siste m a de e cu a cion e s param étricas c a rte sia n a s , de u n a recta
W q u e d a determ inada si s e
r£ . E s t a s e c u a c io n e s tam bién s e pueden c£ y un vector de dirección de 7:
conocen la s c o o rd e n a d a s de d o s p untos d e determinar si s e c o n o ce n un punto de
Efectivam ente , c o n sid e re m o s la recta
- i ( 2 y, + y 2) ; x ’ = -^ (x , + 2 x2) , y ’ = -|-(yl + 2 y 2)
que p a s a por el punto P ^ x , , y,) y q ue e s paralela 7.
D a d o s lo s p u n to s P ,(-3 , 8 ) y P 2( 12 , -32) , hallar lo s p u n to s q u e d ivid e n al
al vector no nulo a = (h , k ) , (F igu ra 2.10). A h o r a ,
se g m e n to P tP 2 en cinco partes iguales.
s a b e m o s que un punto cualquiera P (x , y) está
8 . S e a n los p u ntos P ,(3 , -2) y P 2(-7 . 8 ), hallar el punto P que divide al se gm e n to P , P 2 la razón 2 : 3.
sob re
SB si y só lo si el vector P - P, e s paralelo al
vector a , esto e s , P - P. = t a
9.
D a d o s los p u ntos P , ( - 7 , 6 ) y P 2(1 , 5 ), hallar el punto P q ue divide al se gm e n to
o bien
P ,P , en la razón (-2 ): 1. 10.
se g m e n to P ,P . e n la razón 3 : (-4). 11. El se g m e n to d e e xtrem os A ( - 2 , -4) y B(1 .0 ) e s dividido por P y Q en la s ra zo n e s (-3 ): 2 y (-2 ): 3 respectivam ente. Hallar la norm a de P Q . 12.
? = { P (x , y) e R 2 1P = P, + t a }
S i P ,(2 , -3) y P ?(5 , -7) , hallar la s c o o r d e n a d a s del p u nto P q u e d ivide al
U n triá n g u lo tiene p o r v é rtic e s A(-1 , -3) , B (3 , 5) y C ( 5 , -1). P o r el p u nto
La ecu ación (6 ) recibe el nom bre de
(6)
F IG U R A 2.10
ecuación vectorial ordinaria de la recta que
p a sa por P, y e s paralela al vector a. D a d o que la e cu a ción ( 6 ) s e p u ed e escribir en la form a
& : (x , y) = el siste m a de e cu a cio n e s param étricas ca rte sia n a s co rre sp o n d ie n te s p ara
■=>
S e a S T la representación geom étrica del vector a. E sto e s , s i :
135
Sección 2.4: Puntos que están sobre una recta
S - P, = (8 , 5) - (4 , -1) = .(4 , 6) ( S - P ^ • a 1 = (4 , 6> *(-3 , 2> = -12 + 12 = 0
Por lo tanto , ( S - P,) 11 a y e n to n ce s el punto S e stá so b re la recta
a = S T «=> a = T - S = (-I , 4) - (3 , -1) = (-4 , 5> L u e g o , s e g ú n ( 6 ), la ecu ación vectorial de la rec
=*
ta e s
f£.
T - P, = (-2 f 2) - (4 , -1) = (-6 , 3)
Para el punto T :
(T - P ) • a 1 = (-6 , 3) •
ecuación normal de TEOREMA 2.1
si y só lo
^
vector a , e n to n ce s , s i : P , e St (P, - P,) I ! a ' ------------ !_________________________________________________________________________ /
D em ostración. E n efecto , si f£ tiene por ecua ción vectorial % : P = P, + t a , l e R , e n to n ce s
C o r o la rio .
Si
Hallar la ecu a ción norm al de la recta
9- : / \ y = 2 -4 1
Solución. La ecuación vectorial de la recta dad a e s , 7 : P = (1 ,2 ) + 1 (3 , -4 ), t e R S i a = , k * 0 ; hallar los valore s de k tales que el punto B (5 k , k2 - 6 ) esté sob re
C jo m p lo
2
)
Determ inar si los p u ntos S (8 , 5) y T(-2 , 2) e stá n so b re la recta «.
r x = 4 + 2t
te R
y = -1 + 3 t
Solución.
P o r sim ple inspección. 2 ' : (x , y ) =
Solución. S e a n = v el vector norm al de 2?, e n to n ce s si B e r£ (B - A ) • n = 0 Lu e go , (P, - P,) 11 a , por ( 1 ) im plica que
(P - P,) 11 a » A h o ra
C
(P - P,) 11 a
(2)
Solución. S i a, = m = -y
( P - P , ) l i a , y p or (2)
n
= (3
,
S \ y t 11 &2 = * a, •
(P - P,) 11 a => p € á ?2
vector norm al de 5?,.
= 0 (2 , b) • (3 , -2b) = 0
c=> 6 - 2b: = 0 b = V3
E n c o n se c u e n c ia : ) S i
-2b) e s el n
$ . = $ 2 => P, e £ . . Trivial
■
ó
b = -V3
S£x , e le gim o s b = V3
En c o n se c u e n c ia , la pendiente de las rectas 2?, y
& 2 e s , m = V3/2
■
TEOREMA 2.4 S e a n las rectas 2', : P = P ( + t a , t e R y 2?, : P = P 2 + s b , s e R , e n to n ce s :
E j e m p lo
f£ x = 2*, P 2 e 2', y a : b
5
J
Determ inar el valor de m + n para q ue la s rectas ^
^ 0) + t ( m , 1)1 t e R } y
2?z = {(1/m , 0) + s ( - 2 , n)| s e R }
se an coincidentes.
D em ostración. ( P . e l ' ,
y
Solución. P o r el T e o re m a 2.4 , si & x = = r a, => a 211 a,
ó x = -1/5
4 x 2 (x + 1 ) (x - 1 ) = 0 ; c o m o x * 0 y x * -1 ^
verdadera
2. S i i2P, = {(1 , l) + t(l . -1 )} y
a, • a / = 0
S i (P. - P,) • a,x = 0 => (x + 1 , - 6x + 2) • (- 2 x 2 - 2x , - 2 x 2> = 0
de d o n d e o b te n e m o s :
S¡C\ = {{1 , 2) + r (k , 3 )} y
1. D a d o que «2?, e s un a recta vertical , e n to n ce s p ara q ue .2?, s e a paralela a .2?, e s
S u p o n g a m o s que ¿2?, y
de d on d e : x (x - 1) (5x + 1) = 0 ; c o m o x * 0
2, = 2,
Solución.
y 2>
a, * 0 * < 0 , 0>, implica q u e : x * 0 O s e a , n o existen
a>, = « 3 , - 1 ) + s < - 2 , 2 » =>
S í\ = {(7 , 5) + s
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