MATEMÁTICA - Apostila FGV de Matemática Financeira.pdf

FGV Management

Gestão Empresarial

Matemática Financeira  Prof.  Prof. Carl Carlos os Alexa Alexandr ndree Sá [email protected] 

Realização Fundação Getulio Vargas FGV Management

odos os direitos reser!ados " Fundação Getulio Vargas #á$ %arlos &lexandre Matemática Financeira ' ( a Rio de )aneiro* FGV Management ' %ursos de Educação %ontinuada. +,p. -ibliograia (. Matemática Matemática Financeira /. &dministração 0. 1tulo %oordenação Executi!a Executi!a do FGV Management* 2ro. Ricardo #pinelli de %ar!al3o %oordenador Geral da %entral de 4ualidade* 2ro. %arlos 5ongo %oordenadores de 6rea* 2roa. #7l!ia %onstant Vergara.

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Sumário

MATEMÁ MAT EMÁTIC TICA A FIN FINANC ANCEIR EIRA A......................................................................................................... ........ .......... 1

1. PROGRA PROGRAMA MA DA DISCIPL DISCIPLINA INA............................................................................................................... 3 ............................................................................................................... 3 1.1 EMENTA......................................................................................................................................................3 1.2 CARGA HORÁRIA TOTAL.................................................................................................................................3 1.3 OBJETIVOS...................................................................................................................................................3 1. CONTE!DO PROGRAMÁTICO ............................................................................................................................3 1." METODOLOGIA............................................................................................................................................. 1.# CRIT$RIOS DE AVALIA%&O .............................................................................................................................. 1.' BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA ......................................................................................................................... C(RRIC(L(M RES(MIDO DO PROFESSOR .................................................................................................................. .................................................................................................................. 2. PRINCI PRINCIPAI PAIS S CONCEI CONCEITOS TOS...................................................................................................................... #  # E)ERC*CIOS .......................................................................................................................................................  ....................................................................................................................................................... +  + 3. J(ROS J(ROS SIMPLE SIMPLES S............................................................................................................................ ......... ........ . ,  , 3.1 F-RM(LAS GEN$RICAS ..................................................................................................................................  .................................................................................................................................. ,  , 3.2 TA)AS PROPORCIONAIS ................................................................................................................................  ................................................................................................................................ 1  1 3.3 F-RM(LAS DERIVADAS ................................................................................................................................  ................................................................................................................................ 11  11 3. DESCONTO DE T*T(LOS E D(PLICATAS ...........................................................................................................  ........................................................................................................... 11  11 3." (SANDO A CALC(LADORA  FINANCEIRA ...........................................................................................................  ........................................................................................................... 13  13 E)ERC*CIOS /.................................................................................................................................................... 1" .................................................................................................................................................... 1" . J(ROS J(ROS COMPOST COMPOSTOS OS............................................................................................................................ ............................................................................................................................ 1'  1' .1 F-RM(LAS GEN$RICAS ................................................................................................................................  ................................................................................................................................ 1'  1' .2 TA)AS E0(IVALENTES ................................................................................................................................. 1+   ................................................................................................................................. 1+ .3 F-RM(LAS DERIVADAS ................................................................................................................................  ................................................................................................................................ 1,  1, . (SANDO A CALC(LADORA  FINANCEIRA ...........................................................................................................  ........................................................................................................... 2  2 ." J(ROS SIMPLES VS. J(ROS COMPOSTOS ..........................................................................................................  .......................................................................................................... 21  21 E)ERC*CIOS /.................................................................................................................................................... 22 .................................................................................................................................................... 22 ". FL()O FL()O DE CAI)A CAI)A..................................................................................................... ................................................................................................................................. ............................ 2  2

 Matemá  Matemática tica Financ Financeira eira

/ ".1 VALOR  AT(AL DE (M FL()O DE CAI)A ......................................................................................................... 2 ".2 A TA)A INTERNA DE R ETORNO ..................................................................................................................... 2" ".3 S$RIES (NIFORMES  .................................................................................................................................... 2' .................................................................................................................................................................... 2+ .................................................................................................................................................................... 2+ ". E0(IVALNCIA DE FL()OS DE CAI)A ............................................................................................................. 2, "." (SANDO A CALC(LADORA  FINANCEIRA ........................................................................................................... 3 ..................................................................................................................................................................... 32 E)ERC*CIOS ..................................................................................................................................................... 33 #. SISTEMAS DE AMORTIA%&O.................................................................................................... .... 3" #.1 O SISTEMA PRICE ....................................................................................................................................... 3" .................................................................................................................................................................... 3# .................................................................................................................................................................... 3' #.2 SAC  SISTEMA DE AMORTIA%4ES CONSTANTES ........................................................................................... 3' .................................................................................................................................................................... 3, #.3 CASOS PARTIC(LARES  ................................................................................................................................. 3, ....................................................................................................................................................................  .................................................................................................................................................................... 1 .................................................................................................................................................................... 2 E)ERC*CIOS ..................................................................................................................................................... 2 '. SOL(%&O DOS E)ERC*CIOS............................................................................................................. 3 CAP*T(LO 2..................................................................................................................................................... 3 CAP*T(LO 3..................................................................................................................................................... 3 CAP*T(LO ..................................................................................................................................................... # .................................................................................................................................................................... # .................................................................................................................................................................... ' .................................................................................................................................................................... , .................................................................................................................................................................... " CAP*T(LO "..................................................................................................................................................... " .................................................................................................................................................................... "

 Matemática Financeira

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1. Pro5r6m6 76 7i89i:;io>6; /, 3oras aula

1.3 O@=>io8 Expor os undamentos da matemática inanceira. Estudar as principais caracter1sticas dos sistemas de 8uros simples e dos 8uros compostos e suas principais aplicaçi9o 2rincipais %onceitos )uros #imples  Fórmulas Genéricas Taxas Proporcionais  Fórmulas Derivadas  Desconto de Títulos e Duplicatas )uros %ompostos  Fórmulas Genéricas Taxas Equivalentes  Fórmulas Derivadas  Matemática Financeira

,  Juros Simples vs Juros !ompostos Fluxo de %aixa "alor #tual de um Fluxo de !aixa  # Taxa $nterna de %etorno Séries &ni'ormes  Equival(ncia de Fluxos de !aixa #istemas de &mortização ) Sistema Price S#! * Sistema de #morti+a,-es !onstantes

1." M=>o7o;o5i6 &ps um cap1tulo introdutrio onde são expostos os principais conceitos :ue serão desen!ol!idos ao longo do curso$ o programa se di!ide em :uatro tpicos :ue se interligam em ordem crescente de complexidade$ cada um ser!indo de base ao :ue será exposto no cap1tulo seguinte. #empre :ue poss1!el$ A exposto como os problemas concernentes ao assunto abordado A resol!ido analiticamente e como a calculadora pode ser utilizada para resol!er o mesmo  problema. 4uando a solução anal1tica A muito complexa e en!ol!e problemas complicados de potenciação$ logaritmos ou interpolaçR)$ %urso de &dministração de Empresas pela DFER)$ %urso de administração industrial pela Dni!ersidade da =olanda$ 9iretor #uperintendente da Metalab 0ndustria e %omercio$ 9iretor #uperintendente da Reinaria de #al 0ta Grupo Boralage$ 9iretor Financeiro da #5>#istemas de ransportes 5tda. Grupo -ozano #imonsen$ 9iretor Financeiro da =iborn do -rasil produtos 5illo$ 9iretor Financeiro da Montana 2articipaç 0nstituto -rasileiro de Empresas do Mercado de %apitais$ #cio da Cash Flow Solutions Consultoria.$ 2roessor con!idado da Fundação GetHlio Vargas.

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2. Priuro %3amamos de montante " soma do principal mais 8uros. Bo exemplo acima$ o montante recebido pelo aplicador oi RK ((L$ ou se8a$ a soma do principal de RK (LL com os 8uros de RK (L.

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T66 7= Juro8 %3amamos de taxa de 8uros " relação entre os 8uros recebidos ou pagos em um determinado per1odo de tempo e o principal : eu deu origem a estes 8uros. &ssim$ se um in!estidor aplicou RK (LL em uma aplicação de renda ixa e recebeu 8uros de RK (L ao inal de um ano$ a taxa de 8uros deste in!estimento oi (L ao ano. V;>se assim :ue a taxa de 8uros está sempre relacionada a um per1odo$ se8a ele o dia$ o m;s$ o ano$ etc. & taxa de  8uros pode ser expressa em notação percentual (L ao ano$ por exemplo ou em notação decimal L$(L ao ano$ por exemplo. Estas duas expresso8  Bo regime de 8uros compostos$ ao inal de cada per1odo de capitalização$ os 8uros se incorporam ao principal e passam a render 8uros tambAm. P=ro7o 7= C6:i>6;iK6o  %3amamos de per1odo de capitalização ao tempo :ue$ uma !ez decorrido$ az com :ue os  8uros se8am de!idos ou incorporados ao principal e passem$ por sua !ez$ a render 8uros tambAm. & taxa de 8uros A sempre relacionada a um determinado per1odo de capitalização. &ssim$ :uando uma taxa A anual (L a.a.$ por exemplo$ o per1odo de capitalização A o anoC :uando a taxa A mensal ( a.m.$ por exemplo$ o per1odo de capitalização A o m;s$ e assim por diante. 4uando o per1odo a :ue se reere a taxa de 8uros A dierente do per1odo de capitalização$ isto de!e ser mencionado$ tal como na expressão Itaxa de (L ao ano$ capitalizados mensalmenteJ$ e assim por diante. T66 E=>i6 %3amamos de taxa eeti!a ":uela cu8o per1odo de capitalização A igual " unidade de tempo na :ual está expresso o per1odo da operação. #ão exemplos de taxas eeti!as (/ ao ano capitalizados anualmente$ ? ao m;s capitalizados mensalmente$ e assim por diante. T66 Nomiu;o8 = Du:;i96>68 &tualmente no -rasil o regime de 8uros simples A utilizado principalmente em tr;s situaçlo transerindo para a instituição inanceira seus direitos credit1cios. &pesar desta transer;ncia de direitos credit1cios$ a empresa emitente continua responsá!el pela li:uidez do t1tulo negociado de tal orma :ue não pagando o sacado$ a instituição inanceira poderá debitar seu !alor na conta corrente do emitente. P !alor :ue consta no t1tulo$ e pelo :ual ele será li:uidado na data de seu !encimento$ A c3amado de !alor de ace do t1tulo. )á o !alor pelo :ual o t1tulo oi negociado A denominado !alor de mercado. V;>se$ portanto$ :ue o !alor de mercado A igual ao !alor de ace menos os  8uros calculados com base na taxa de desconto.  Exemplos: 1.  o dia KLHL55 uma empresa descontou uma duplicata de %4 555755 de valor de 'ace7 com vencimento para o dia 5HL5L557 a uma taxa de desconto de H8 ao m(s !alcular o valor líquido rece i@n ; /55555 x ?/ > 576@ 57/IIK ; %4 /5HI576H  Matemática Financeira

(W  Decompondo a expressCo ?/ > 576@ 6 L /6 7 o 575@ K L H5 * / A ; 5755O6 ou =?/ > 575@ K L H5 * / A x /55 ; 57O6 8

.3 Frmu;68 D=ri6768 & partir da rmula dos 8uros compostos$ podemos deduzir as seguintes rmulas deri!adas*

Pri i@n ; /55555 x ?/ > 57/5@ 57  %4 /5BB5 ≈  

) a P 6 > P H ; 0 /O667H > 6B7I * 6I/75 ; /76K 

".2 A T66 I=ror

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