Matematica Aplicada

 

Unidade I

MATEMÁ MA TEMÁTICA TICA APLICA APLICADA DA

Prof. Luiz Felix  

Sistemas de numeração 





A vida do homem, há milhares de anos, era muito diferente da atual. Ele não tinha necessidade de contar, uma vez que não comprava, não vendia, não usava dinheiro. Com o passar dos anos, os costumes foram mudando, e o homem passou a cultivar a terra, a criar animais, a construir casas e a comercializar. Foi então que surgiu a necessidade de . Com o progresso das civilizações, apareceu a necessidade de aprimorar os processos de contagem e de registrá-los.

 

Sistemas de numeração 





Foram criados, então, símbolos e regras que resultaram nos diferentes sistemas de numeração. O sistema de numeração normalmente utilizamos. decimal é o que Conhecido como indo-arábico porque foi criado pelos hindus e divulgado pelos árabes, esse sistema utiliza dez símbolos dife di fere rent ntes es – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – pa para ra expressar os algarismos com os quais contamos unidades, dezenas, centenas, milhares e demais quantidades e, obviamente, com os quais realizamos todo tipo de cálculo.

 

Expressões numéricas Uma expressão numérica é uma sequência sequê ncia de núme números ros assoc associados iados por operações. Essas operações devem ser efetuadas respeitando-se a seguinte ordem: 1. po pote tenc ncia iaçõ ções es e rad radic icia iaçõ ções es;; 2. mu mult ltip ipli lica caçõ ções es e di divi visõ sões es;;



3. adiç ad içõe ões s e subt su btra raçõ ções es. . 2 2 Exemplo: 10 ÷ 5 + 51 . 23 – 50 = 100 ÷ 25 + 5 . 8 – 1 = 4 + 40 – 1 = 

44 – 1 = 43

 

Expressões numéricas 



Em expressões numéricas com sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves), inicialmente devem ser efetuadas as operações dentro dos parênteses, depois as que estão dentro , , dentro das chaves, respeitando-se, ainda, a prioridade das operações: 37 + 2. 2.{2 {255 + [ 18 18 – (5 – 2). ).3] 3]}} = 37 + 2.{ 2.{ 25 + [18 [18 – 3. 3.3] 3]}} = 37 + 2.{ 2.{25 25 + [18 [18 – 9] 9]}} = 37 + 2.{25 + 9} = 37 +2.34 = 37 + 68 = 105

 

Expressões algébricas 

Chamamos de expressões algébricas aquelas que envolvem números, letras e operações indicadas entre eles.



As letras, em qualquer uma expressão representam númeroalgébrica, real. Elas são chamadas de incógnitas. Exemplos: 

X + 7 em que X é(valor a incógnita, um número qualquer desconhecido).  . , número qualquer (valor desconhecido).

 

Expressões algébricas simplificação x + x = 2x 3k – 5k = – 2k Nos exemplos acima, os monômios são





semelhantes (as letras são iguais e os seus ex oentes também . 3 (x (x + 2) – 7 . x 3x + 6 – 7x 

 – 4x + 6

 

Razão 



Chama-se razão qualquer relação numérica entre grandezas feita através de uma divisão. Dá-se o nome de razão entre números racionais a e b, comos b ≠dois  0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por: a ou a : b b   7 = antecedente. 8

consequente.

 

Razã Ra zão o - exe exemp mplo lo 



Em um salão de festas, há 20 mesas e 80 cadeiras. Encontre a razão entre o número de mesas e o número de cadeiras (lembrando que razão é divisão): 20 = 1 Indica que para cada mesa 80 4 existem 4 cadeiras. Lê-se “1 está para 4” ou “1 para 4” Qual a razão entre o número de cadeiras e o n mero de mesas? 80 = 4 = 4 Indica que para 4 cadeiras 20

1

existe uma mesa.

 

Razões inversas 





4 e 8 8 4 O produto das duas razões é igual a 1, isto é, 4 x 8 = 1   Dizemos, então, que as razões são inversas quando o antecedente de uma é o conseq consequen uente te da outra outra e vicevice-ver versa. sa.

 

Interatividade Calcule o valor da seguinte expressão: 24 + 2 . (42 ÷ 8 – 1) a) 8 b) 18 d) 55 e) 162

 

Proporção 



 a igualdade entre razões. Exemplo: meu carro faz 13 km por litro de combustível. Então, para 26 km, preciso de para 39 km, preciso de 3L e assim por2L; diante. R1 = 26 = 13

R2 = 39 = 13

2

3

Logo, R1 = R2

1

1

 

Prop Pr opor orçã ção o - prop propri ried edad ades es Grandezas diretamente proporcionais: O aumento de uma implica o aumento da outra. 





A redução de uma implica a redução da outra. Ex.: número de biscoitos e quantidade de trigo.

 

Prop Pr opor orçã ção o - Prop Propri ried edad ades es Grandezas inversamente proporcionais: O aumento de uma implica a redução da outra. 





A redução de uma implica o aumento da outra. Ex.: velocidade média de um automóvel e tempo de viagem.

 

Porcentagem 



5%

= _5_ = 0,05 100 30% = 30 30 = 0, 0 ,3 100

Calcule: 30% de 80

30 . 80 = 0,3 . 80 = 24 100

e

 

_ _. 100

= ,

.

=

 

Porc Po rcen enta tage gem m - exem exempl plo o Uma televisão custa R$ 1.500,00, mas a loja está oferecendo um desconto de 15%. Quanto o cliente deverá pagar por esta televisão? 15% de 1500 15 .1500 = 0,15 . 1500= 225 100 

15000 – 225 = 127 150 12755

R$ 1.2 1.275, 75,00 00

 

Porc Po rcen enta tage gem m - exem exempl plo o 

Um automóvel foi comprado por R$18.000,00. Após uma reforma e a inclusão de vários acessórios, teve uma valorização (acréscimo no valor) de 10% em seu preço. Quanto ficou o

10% de 18000

10 .180 .18000 00 = 0,1.1 0,1.18000= 8000=1800 1800 100  

.

,

 

Regra de três simples 







Seu gerente precisa cortar 20% dos gastos do departamento. Quanto representa isso? O valor é alto ou baixo? Supondo que as despesas do departamento são de R$ 2.000,00, para determinar quanto é 20% de 2.000, vamos fazer uma regra de três. R$ 2.000,00 é o total, ou seja, é 100% Queremos saber quanto vale 20% (x)   , estão envolvidas.

 

Regra de três simples 2.000 x

→ 

100% →  20%

100 . x = 20 . 2000 x = 20 . 2000 = 40000 = 400 

100 100 O departamento deverá reduzir suas , , despesas totais passarão dos atuais R$ 2.000,00 para R$ 1.600,00.

 

Regra de três simples Numa receita de macarrão caseiro, lê-se: misturar 110g de farinha de trigo para cada ovo. Quantos ovos devemos adicionar à massa para 550g de farinha de trigo? 110g →  1 550g →  x 110 . x = 1 . 550



x = 1 . 550 = 550 = 5 110 110 Deverão ser usados 5 ovos para 550g de farinha de trigo.

 

Grandezas proporcionais 

Você deve usar esse raciocínio raciocínio para grandezas diretamente proporcionais (quanto mais farinha, mais ovos; assim, quanto menos água, menos suco).

 

Interatividade Em um supermercado, um produto custa R$ 150,00. Ele foi vendido com um lucro de R$ 36,00. De quantos por cento foi o lucro sobre o preço de venda? a) 15% b) 19% c) 24% d) 28% e) 33%

 

Grandezas inversamente proporcionais 





Observe que algumas proporções (relação entre grandezas) se apresentam de forma diferente, isto é, as proporções são grandezas inversamente proporcionais, de forma que, para , regra de três simples. Inversamente proporcional significa que enquanto uma grandeza cresce, a outra diminui. Para a proporção de grandezas inversamente proporcionais, o modo de calcular é diferente.

 

Grandezas inversamente proporcionais 



Em uma obra de construção, se 6 operários levantam um muro em 10 dias, quantos operários serão necessários para levantar o mesmo muro em 4 dias? Note que as grandezas são inversamente proporcionais, pois quanto mais operários forem contratados, menor será o tempo necessário para a conclusão do trabalho.

 

Grandezas inversamente proporcionais Inicialmente, organizamos as grandezas em colunas; são os dias e os operários: dias operários 10   →  6   Atenção: como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter uma das colunas e, então, multiplicar em cruz: dias oper rios 10   →  x 4 . x = 10 . 6 4

→ 

6

x = 60 = 15 4

 

Regra de três composta 

Uma regra de três é composta quando há mais de duas grandezas envolvidas no problema.

 

Regra de três composta 

12 tecelões, em 90 dias de trabalho, com uma jornada de 8 horas diárias, produzem 36m de tecido. Quantos dias levarão 15 tecelões para fazer 12m de tecido com o dobro da largura,

operários dias horas/dia metros 12 90 8 36 15 x 6 24   tecido, e não 24. Para facilitar o cálculo, foi dobrado o comprimento. Assim, não se acrescentou umaa nova um nova gran grandez dezaa – a largu largura. ra. 

 

Regra de três composta operários dias horas/dia metros 12 90 8 36 15 x 6 24 Determinação da proporcionalidade direta e inversa: a primeira providência é estabelecer a direção de proporcionalidade entre cada grandeza e a grandeza a ser determinada. 

 

Regra de três composta operários dias horas/dia metros 12 90 8 36 15 x 6 24 Com o aumento do número de operários, . , trata-se de uma relação inversamente proporcional. Portanto, você deve 

inverter a coluna dos operários. Temos, assim, provisoriamente: 15

90

8

36

12

x

6

24

 

Regra de três composta operários dias horas/dia metros 15 90 8 36 12 x 6 24 Agora, Agor a, a colu coluna na das das horas/ horas/dia dia - quant quanto o , dias serão necessários. Logo, você deve inverter a coluna das horas/dia. Temos, 

assim, provisoriamente: Operários dias horas/dia 15 90 6 12 x 8

metros 36 24

 

Regra de três composta dias horas/dia metros operários 15 90 6 36 12 x 8 24 Agora, Ago ra, a colun colunaa metros metros - qua quanto nto mais mais , produzidos. Ou seja, as duas grandezas são diretamente proporcionais. Portanto, 

não mexemos na última coluna. operários dias horas/dia metros 15 90 6 36 12 x 8 24

 

Regra de três composta operários 15 12 operários 15 12

dias horas/dia metros 90 6 36 x 8 24 dias 90 x = 90 . 12 x 15

d i a s h o r a s / d i a 90 6 x dias metros

x = 90 . 8

90 x

x = 90 . 24 36

36 24

 

Regra de três composta x = 90 . 24 x = 90 . 12 x = 90 . 8 15 6 36 Nas equações acima, podemos identificar que 90, 12, 8 e 24 pertencem ao numerador. Também verificamos os números que fazem parte do denominador, que são 15, 6 e 36. Dessa forma, montamos a expressão: x = 90 . 12 . 8 . 24 = 207360 = 64  . . Os trabalhadores precisarão de 64 dias 



de trabalho para fazer a quantidade de tecido solicitada.

 

Interatividade Seis galinhas botam 30 ovos em 5 dias. 20 galinhas botarão quantos ovos em 10 dias? a) 100 b) 150 d) 250 e) 300

 

Conjuntos Designa-se conjunto uma representação de objetos, podendo ser representado de três modos: 





Representação ordinária A =   0 1 2 3 4 Representação abstrata A = x  Z 0  x  4 Repres Rep resent entaçã ação o por diagr diagrama amass de Venn 0

1 2

3

4

A

 

Operações entre conjuntos 





Interseção: elementos comuns. Dados os conjuntos A= 0,4,9 e B= 4,8 , A  B = 4 União: composição de todos os . Dados os conjuntos A= 1,4,8 e B= 7,8 , A  B = 1,4,7,8 Diferença entre A e B: elementos de A ue não ertencem a B. Dados os conjuntos A= 2,3,5 e B= 2,4 , A – B = 3,5

 

Cardinalidade de conjuntos 



Define-se a cardinalidade de um conjunto A como o número de elementos que pertencem ao conjunto A.

Denotamos a cardinalidade de um conjunto A por card(A) ou n(A), e se lê “cardinalidade de A” ou “número de elementos de A”. Exemplo: A = -1, 3, 8, 9   n(A) = 4 

 

Plano cartesiano 



O plano cartesiano é constituído por dois eixos, x (eixo das abscissas) e y (eixo das ordenadas), perpendiculares perpendiculares entre si, que se cruzam na origem. Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números indicados entre parênteses: a abscissa e a ordenada, respectivamente. Esse par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

 

Plano cartesiano

 

Produto cartesiano 

Conjunto de todos os pares (x,y), tais que x pertence a A e y pertence a B, indicado pela expressão A x B:

A x B =  x

/ x   A e     B

Exemplo: A = 1,2,3 e B = 1,2,5 AxB= 11 12 15 21 (3,1), (3,2), (3,5)

22

25

 

Relação binária: domínio, contradomínio e conjunto imagem 







Qualquer subconjunto do produto cartesiano A X B é chamado de relação de A em B. A relaçãocartesiano específicade que envolve o é produto dois conjuntos chamada de relação binária. Representa-se a relação binária por R: A → B O conjunto A é chamado de domínio da rela ão e o con unto B é chamado de contradomínio da relação.

 

Relação binária: domínio, contradomínio e conjunto imagem Sendo A = -2, -1, 0, 1 e B = 2, 3, 4, 5, 7, vamos criar a relação f: A B A B



-2

3 2

-1 0

7

1 5







Domínio: A = -2, -1, 0, 1 Contradomínio: B =  2 3 4 5 7 Conjunto imagem: é composto por todos os elementos em que as flechas de relacionamento chegam, ou seja,

C = 3, 4, 5  

Interatividade Observando o 2º quadrante do plano cartesiano, podemos afirmar que: a) x > 0 e y > 0 b) x < 0 e y < 0   d) x < 0 e y > 0 e) x = 0 e y = 0

 

ATÉ A PRÓXIMA!