Matemática aplicada

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

1

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

1

Esta publicación goza de la protección de los derechos de propiedad intelectual en virtud de la Convención Universal sobre Derechos de Autor. Las solicitudes de autorización para la reproducción, traducción o adaptación parcial o total de su contenido, deben dirigirse al Instituto Técnico de Capacitación y  Productividad INTECAP de Guatemala. El Instituto dictamina favorablemente dichas solicitudes en beneficio de la Formación Profesional de los interesados. Extractos breves de esta publicación pueden reproducirse sin autorización, a condición de que se mencione la fuente.

Código: MT.1.5.0-4133/05 Edición 01 Las denominaciones empleadas en las publicaciones del Instituto Técnico de Capacitación y Productividad y la forma en que aparecen presentados los datos, contenidos y gráficas, no implican juicio alguno por parte del INTECAP ni de sus autoridades. La responsabilidad de las opiniones en los artículos, estudios y otras colaboraciones, incumbe exclusivamente a sus autores. La serie es resultado del trabajo en equipo del Departamento de Programas Generales de la División Técnica, con el asesoramiento metodológico del Departamento de Tecnología de la Formación bajo la dirección de la jefatura de División Técnica. Este manual ha sido impreso en el Centro de Reproducción Digital por  Demanda Variable del INTECAP -CRDDVILas publicaciones del Instituto Técnico de Capacitación y Productividad, así  como el catálogo lista y precios de los mismos, pueden obtenerse solicitando a la siguiente dirección:

 www.intecap.org.gt

2

[email protected]

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

Índice Presentación Prerrequisitos Objetivo del manual Diagrama de contenidos

5 7 7 7

Tema 1 OBJETIVOS

9 1.1 Espacio ................................. ................ .................................. .................................. .................................. ........................ ....... 10 1.2 Campos de la geometría........................... geometría................................................... ................................................ .............................. ......11 11 1.3 Trazo de figuras geométricas ................................ ................ ................................. ......................... ........ 14 1.4 Cálculo de áreas y perímetros..................... perímetros...................................... .................................. ................... 15 1.5 El volumen......................... volumen........ ................................... ................................... ................................... .......................... ........ 17  Actividad................. .................................. ................. .................................. ................................... .............................. ............ 19 RESUMEN........................ RESUMEN...... .................................... ................................... ................................... ................................... ................... 19 Evaluación …………………………………………………………....... 20

OBJETIVOS

21 2.1 La calculadora .................................. ................ ................................... ................................... ................................ .............. 22 2.2 Funciones................. ................................... ................. .................................... ................................... .................... ... 23 2.3 Memorias......................... Memorias....... ................................... ................................... .................................... .............................. ............ 24 2.4 Clases de calculadoras ................................. ............... ................................... .................................. .................... ... 24  Actividades ................................. ................ ................................... ................................... .................................. .......................... ......... 26 RESUMEN........................ RESUMEN...... .................................... ................................... ................................... ................................... ................... 27 Evaluación……………………………………… Evaluación…………………………………………………………............27 …………………............27

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

3

OBJETIVOS

29 3.1 Conjuntos Conjuntos y subconju subconjuntos ntos ................... ............................ .................. .................. .................. .................. ......... 30 3.2 Operaciones Operaciones fundamentales con conjuntos................ ...................... ................ ...... 32 3.3 Conjuntos Conjuntos de números números .................. ........................... ................... ................... .................. .................. .............. ..... 33 3.4 Pares Pares cartesiano cartesianoss .................. ........................... .................. .................. .................. .................. ................... ............... ..... 35  Actividades........... .................................. ................. .................................. .................................. ................................ ............... 36 RESUMEN RESUMEN .................. ........................... .................. .................. .................. .................. .................. ................... ................... ............ ... 36 Evaluación ……………………………………………………………....37

OBJETIVOS

39 4.1 Definición Definición de ángulo ángulo .................. ........................... ................... ................... .................. .................. .................. ......... 40 4.2 Clasificación de los ángulos........................ ángulos........ ................................. ................................. ...................... ...... 40 4.3 Medición de los ángulos........................ ángulos........ ................................ ................................. ............................ ........... 43 4.4 Problemas de trigonometría.......................... trigonometría......... ................................. ................................ ................... ... 44  Actividades........... .................................. ................. .................................. .................................. ................................ ............... 45 Resumen Resumen ................... ............................ .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. ............... ...... 45 Evaluación................. Evaluación.......................... .................. .................. .................. ................... ................... .................. .................. .............. ..... 46

Glosario........................... ................................... Glosario............................................ ................................... ................................... .................... .. 47 Bibliografí Bibliografíaa .................. ........................... ................... ................... .................. ................... ................... .................. ................... ............ 51

4

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

PRESENTACIÓN En el presente manual se estudiaran conceptos de Matemática Básica. Se analizarán y aplicarán diferentes técnicas matemáticas para la resolución de problemas dada la variedad de ocupaciones que existen, además encontrará ejemplos que pueden ser desarrollados y aplicados por los participantes de los eventos de FIJO. El primer tema pretende desarrollar destrezas en cálculos de área, perímetro y volumen, de acuerdo a las necesidades de la ocupación que desarrollará el participante. Desarrolla un esquema desde el punto, pasando a la línea recta, el plano y el esquema tridimensional para poder obtener cálculos de área, perímetro y volumen de las figuras  geométricas. Como una aplicación de la tecnología en el tema dos, se resolverán problemas utilizando la calculadora electrónica, de acuerdo a las necesidades de la ocupación, se espera dar una orientación sobre cómo utilizar la calculadora debido a que no todos los participantes han  tenido la oportunidad de trabajar con una máquina calculadora, se propone que el participante utilice de manera eficiente la calculadora y  le proporcione mantenimiento y cuidados, por tratarse de una herramienta útil a su servicio. El tercer tema consiste en clasificar y ordenar productos, materiales, documentos, insumos y otros, de acuerdo a principios relacionados con matemáticas de conjuntos, es un tema que pretende el desarrollo de habilidades matemáticas que pueden relacionarse con el manejo de materiales y equipos mediante el desarrollo de lógica elemental. Finalmente el cuarto tema procura el aplicar cálculos trigonométricos en la resolución de problemas de ángulos, de acuerdo a las necesidades de la ocupación, a la que se le ha dedicado un poco más de tiempo de acuerdo a lo abstracto del tema. Se espera que a nivel de participante de este documento, encuentre la información básica para desarrollar las diferentes actividades en cada unidad de enseñanza. Que este documento sea de orientación básica  y apoyo a la capacitación de los participantes y que en un futuro ayuden a e ecutar un traba o roductivo en las em resas.

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

5

6

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

PRERREQUISITOS

DIAGRAMA DE CONTENIDOS

Esta unidad modular va dirigida a jóvenes que deseen formarse en una ocupación para desarrollar la aplicación de la matemática en una actividad de formación específica que contribuya a la actividad laboral en los distintos sectores económicos del país.

TEMA 1

Escolaridad: 6º. Grado de Educación Primaria aprobado.

TEMA 2

Edad: Jóvenes de 14 a 18 años. Se aceptan participantes hasta los 20 años, siempre y cuando se analice su integración al grupo. Además pueden aceptarse personas menores de 14 años, siempre y cuando no existan impedimentos legales al momento de realizar las prácticas profesionales. Estas excepciones serán aprobadas por el Técnico Pedagógico del Centro de Capacitación.

TEMA 3

Objetivo del manual

TEMA 4

El estudio de este manual contribuirá a que usted, adquiera las competencias para resolver problemas de matemática básica, de acuerdo a criterios y valores numéricos acordes a la ocupación objeto de formación.

Tiempo aproximado de estudio: 40 horas. La estimación del tiempo para el estudio del presente módulo depende del ritmo individual de aprendizaje y del grado de profundización sobre la materia.

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

7

OPERAR LOS CÁLCULOS DE ÁREA, PERÍMETRO Y VOLUMEN, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

TEMA 1

Coadyuvar al competencias: •

•

•

desarrollo

de

las

siguientes

El estudio de este tema contribuirá a que usted, adquiera competencias para: Identificar las figuras geométricas, de acuerdo a  teoría Calcular el área y perímetro de las principales figuras  geométricas, de acuerdo a fórmulas y procedimientos establecidos

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

9

OPERAR LOS CÁLCULOS DE ÁREA, PERÍMETRO Y VOLUMEN, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

Este tipo de geometría empírica, que floreció en el  Antiguo Egipto, Sumeria, Babilonia y en Guatemala los grupos mayenses.

1.1 Se puede decir que es la inmensidad. Esto es, una extensión que no tiene ni puede tener fin ni término  y que contiene toda la materia que existe. Entonces el espacio también considera lo que está caracterizado por la cualidad de la extensión, que puede ser la distancia entre dos cuerpos. Durante muchos años se consideró que el espacio  tenía tres dimensiones: el largo, el ancho y el alto. Este tipo de espacio, que puede medirse según las reglas de la geometría de Euclides, es igual a la experiencia diaria que se tiene con todas las formas habituales de medida de tamaños y distancias. El estudio del espacio se realiza con la ayuda de la Geometría que es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio.

La geometría se ocupa de las propiedades del espacio, en una forma más sencilla, la geometría se ocupa de problemas de medición, como el cálculo del área y diámetro de figuras planas, de la superficie  y volumen de cuerpos sólidos.

Si desde la antigüedad los hombres se han ocupado del espacio esto nos lleva a pensar que las diferentes ocupaciones de las personas se realizan en el espacio y con el espacio. En la actualidad por ejemplo, el jardinero se ocupa de crear espacios en el que se cultivan plantas con fines ornamentales. El panadero elabora los panes en forma redonda, alargada. El carpintero dará forma a la madera para crear muebles de diferentes formas, considerando el espacio que ocupan. La dimensión es una de las propiedades del espacio. La unidad menor es el punto, el cual es la señal de dimensiones pequeñas, ordinariamente circular, que, por contraste de color o de relieve, es perceptible en una superficie. Un punto dibujado con la punta de un lápiz fino se puede ver cuando el papel está cerca, pero a medida que lo alejamos de la vista, hay un momento en que  ya no se ve. Pero si lo observamos nuevamente con una lupa, se agranda y si lo viéramos en un microscopio resulta una mancha de gran tamaño, esto indica que dependiendo la distancia que se vea el punto va a variar y por lo tanto se puede concluir que depende del lugar de referencia la idea del punto.

La geometría se preocupa de problemas de medidas como calcular el área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos.

 Y si se dibuja una fila continua y larga de puntos en la sola dimensión de la longitud da por resultado una línea. Una línea es un espacio unidimensional, o sea en una dimensión como sucede con la línea recta que es línea directa más corta que une dos puntos.

La geometría es una descripción precisa del  trabajo de los geómetras de la antigüedad.

10

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

OPERAR LOS CÁLCULOS DE ÁREA, PERÍMETRO Y VOLUMEN, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

 A

B

La porción de recta comprendida entre dos de sus puntos que se llaman extremos se llama segmento rectilíneo o solamente segmento. A Extremo A

Segmento de recta

B Extremo B

Pueden tener dirección y por eso se dice: Que la líneas pueden ir hacia la derecha, hacia la izquierda, hacia arriba, hacia abajo, hacia delante, hacia atrás. Las líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es decir, sin formar ángulos, se conoce como curva, tal y como sucede en las carreteras, que hay partes rectas y curvas. Si cada uno de los puntos de la línea se reemplaza por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, da lugar a un espacio  tridimensional, y si el espacio, es tridimensional este posee tres medidas. Por ello para definir un  volumen se necesitan tres medidas (dimensiones): longitud, anchura y altura. La representación esquemática, en dos direcciones, da origen al plano. Esto, ya no es una sola línea con una dirección sino dos líneas con dos direcciones diferentes. Un ejemplo sucede con una mesa, al ponerle una hoja de papel encima, todas las esquinas están niveladas, a la misma altura y se ve como si la hoja estuviera

estirada, a esa forma de ver las cosas se le llama plano, porque ninguna de la puntas de la hoja está más alta o baja. Entonces surge la idea de un plano  vertical como son las paredes y un plano horizontal como es el piso.  Y la dimensión que expresa la extensión de un cuerpo en dos dimensiones, largo y ancho se conoce como superficie.

1.2 Otros campos de la geometría son:  es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras  geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes  y coordenadas. : considera las figuras cuyos puntos no están todos en un mismo plano. : resuelve problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano y representa en él las figuras de los sólidos. : estudia ciertas propiedades de las figuras geométricas. Se le llama a menudo  geometría de la cinta elástica, de la lámina elástica o del espacio elástico, pues se preocupa de aquellas propiedades de las figuras geométricas del espacio que no varían cuando el espacio se dobla, da la  vuelta, estira o deforma de alguna manera. es la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Esto representa que la geometría se utiliza ampliamente en las diferentes ocupaciones y profesiones

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

11

OPERAR LOS CÁLCULOS DE ÁREA, PERÍMETRO Y VOLUMEN, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

La Geometría plana estudia las propiedades de superficies y figuras planas, y sus figuras principales: el  triángulo y el círculo. la geometría plana, considera las figuras cuyos puntos están todos en un plano.

Es una parte de un plano limitado por una línea poligonal cerrada. Por lo tanto es una porción de plano limitada por líneas rectas. La palabra polígono se puede descomponer en:

Una porción de plano limitada por líneas rectas se conoce como polígono, siendo esta una figura cerrada.  Veamos unos ejemplos de tipos de figuras  geométricas regulares, considerando que cada una de sus líneas es del mismo tamaño:

Poli que significa muchos. Y gono que significa ángulo. Un es la unión de 2 líneas que no tienen la misma dirección.

A

Por esa razón un polígono queda determinado por sus lados, y por sus ángulos, que son los que forman dos lados consecutivos, que son los segmentos de la poligonal. El perímetro de un polígono, es la suma de las longitudes de todos sus lados.

Es la figura que tiene todos sus lados de igual  tamaño y todos sus ángulos de igual amplitud.

Circunferencia 

Centro de la circunferencia

Círculo

12

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

OPERAR LOS CÁLCULOS DE ÁREA, PERÍMETRO Y VOLUMEN, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

Se puede decir que las figuras planas de la geometría  tienen lados y ángulos, los ángulos son las uniones de las líneas rectas. También existe la circunferencia que es una curva plana cerrada, en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia. Y la circunferencia es la delimitación del círculo, no hay que confundir con el círculo que es una superficie, con la circunferencia que es la curva de la figura plana, que lo delimita. El círculo no tiene ni lados ni ángulos, sino es una línea curva cerrada llamada circunferencia. El  es la línea recta que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia, un radio es un segmento que va desde el centro hasta la circunferencia.

Radio

El es la línea recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Entonces se tiene que cualquier segmento rectilíneo que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia se denomina

Utilizando el hilo, se divide la tapa de la lata en dos partes iguales y se mide la longitud. Se divide el valor medido de la circunferencia (C) por el del diámetro (D); si se repite varias veces esta operación con distintos objetos circulares, se obtiene siempre un cociente C :D con un valor alrededor de 3:1, sean los círculos  grandes o pequeños. Este cociente se representa con el símbolo pi.   es el cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. es aproximadamente 3,141592, aunque considerar 3,1416, o incluso 3,14, es suficiente para la mayor Las figuras geométricas pueden ayudar en la construcción, en la identificación de piezas, y en la fabricación al darles forma. Un ejemplo; es una casa  tiene ventanas que pueden ser redondas, cuadradas. Las paredes puede que sean cuadradas o rectangulares.

Es la figura que tiene al menos uno de sus lados y sus ángulos diferente. Esta clase de figuras es frecuente en la forma de los terrenos, porque no siempre tienen todos los lados iguales.

Diámetro

 Al experimentar con las propiedades de la circunferencia, se ata un hilo alrededor de una botella cilíndrica y se mide la longitud del hilo (longitud de la circunferencia). APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

13

OPERAR LOS CÁLCULOS DE ÁREA, PERÍMETRO Y VOLUMEN, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

El triángulo de 3 lados iguales se conoce como  triángulo equilátero.

1.3

Pero existen también el triángulo

La importancia de aprender a trazar las figuras  geométricas es porque en las diferentes ocupaciones a veces es necesario cortar materiales o darles forma y para ello se utilizan figuras geométricas como cuadrados, triángulos, hexágonos. Veamos algunos trazos.

, tiene solamente dos ángulos y dos lados iguales

C a

Es aquel triángulo que tiene su tres lados iguales, y por lo tanto sus ángulos también son iguales: 1. 2. 3.

Con la medida del radio de la circunferencia  trazar cada segmento Unir los puntos de la circunferencia en forma alterna con líneas rectas Borrar las líneas base

 y el

b

B

 A c

Los lados  y  son iguales entre sí, los ángulos  y son iguales también entre sí. Y   es menor. Igualmente  es diferente a los ángulos  y . : Es el triángulo que tiene los tres lados desiguales.

B

c

a  A

C b

Los lados ,  y  son iguales entre sí, los ángulos ,  y son iguales también entre sí.

Es una figura plana, cerrada por cuatro líneas rectas iguales que forman otros tantos ángulos rectos. Cada ángulo por ser recto tiene 90 grados. 1. Trace un círculo con el compás 2. Trace una línea Horizontal que pase sobre el diámetro de la circunferencia 14

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

OPERAR LOS CÁLCULOS DE ÁREA, PERÍMETRO Y VOLUMEN, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

3. Trace otra línea que pase por el centro y que sea perpendicular a la anterior trazando las mediatrices con el compás. 4. Divida nuevamente trazando las mediatrices con el compás para tener 8 secciones 5. Trace en forma alterna 1-3, 3-5, 5-7 y 7-1. 6. Borre todas las líneas auxiliares se tiene el cuadrado

1.4 Para el cálculo de área, se tiene que el espacio comprendido entre los límites del cuadrado va a ser igual a multiplicar el largo por el ancho del cuadrado. De esta manera el área de la figura cuadrada va a ser: 2 centímetros

1

1

1

1

2 centímetros

El cuadro de la izquierda es exactamente igual al de la derecha con la diferencia de que se ha dividido en 4 cuadritos de un centímetro, porque la figura sigue  teniendo 2 centímetros de largo y 2 centímetros de ancho. 2 centímetros

También se puede decir que es el polígono de . Pero también existen otras figuras que tienen 4 lados, como: el rombo y el paralelogramo.

2 centímetros

2 centímetros

2 centímetros

Es un paralelepípedo que tiene ángulos rectos. El Rectángulo tiene los cuatro ángulos rectos y los lados contiguos desiguales. a b

De esta manera se puede proceder a calcular el área del cuadrado, que es igual a:  Área =  L arg o ×  Ancho

 Así se tiene que el cuadrado de un número es el resultado de multiplicar dicho número por sí mismo: a · a = a2

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

15

OPERAR LOS CÁLCULOS DE ÁREA, PERÍMETRO Y VOLUMEN, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

 Ahora démosle valores: Si se tiene 2 centímetros de largo y 2 centímetros de ancho, el área según la fórmula es:  Área

=

2centímetro s × 2centímetro s

=

 Área del triángulo = L X h 2

4centímetros 2

h

que es igual al número de cuadritos de la figura original. L

2 centímetros

1 3

2 4

2    c   e  n   t    í    m  e   t    r    o   s 

Se calcula considerando la relación de p x el radio del círculo elevado al cuadrado.  Área del círculo = p x r 2

En el dibujo anterior del triángulo si la longitud de la base (L) fuera 8 centímetros y la altura (h) 12 centímetros, el área del triángulo sería:

 Área del triángulo = = L X h 2 El es la distancia que existe entre el centro de un polígono regular y la mediatriz de cualquiera de sus lados. La superficie de una figura, considera solamente 2 dimensiones en el límite de una figura, como son el largo y el ancho como se vio. Y sus dimensiones son unidades cuadradas. Por esa razón se habla de metros cuadrados que se representa por m2 o yardas cuadradas (yardas2) o varas cuadradas (varas2).

r 

Si el radio es de 5 centímetros, el área del círculo es:  Área del círculo = p x r 2  Área del círculo = 3.1416 x 52  Área del círculo = 78.54 centímetros2

El triángulo tiene 3 lados y por lo tanto es necesario proceder multiplicando la longitud de la base por la altura como si fuera la misma situación del cuadrado, solamente que se divide por dos.

16

Es la línea que rodea al cuadrado, se le conoce como perímetro, el es la medida del contorno de la figura y se expresa en unidades lineales. En un cuadrado, este tiene 4 lados del mismo  tamaño, por lo tanto el perímetro es igual a sumar cada uno de los valores de sus lados. Entonces se dice que:   = 2 centímetros + 2 centímetros +2 centímetros +2 centímetros = 8 centímetros.

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

OPERAR LOS CÁLCULOS DE ÁREA, PERÍMETRO Y VOLUMEN, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

Esto es sumar cada uno de sus lados, en este caso los lados pueden resumirse haciendo una multiplicación porque cada uno es igual a los otros 3 lados. Por ello se puede hacer de una forma abreviada:   = 4 lados iguales X 2 centímetros = 8 centímetros.

El prisma es un cuerpo limitado por dos polígonos planos, paralelos e iguales que se llaman bases, y por  tantos paralelogramos cuantos lados tenga cada base. Si estas son triángulos, el prisma se llama  triangular; si pentágonos, pentagonal, etc.

Porque la multiplicación es una suma abreviada. Se puede decir que el perímetro es la medida del contorno y se halla por la suma de las longitudes de los lados, de la siguiente manera:

El prisma está formado por dos polígonos iguales, llamados bases, que están situados en planos paralelos, y por varios paralelogramos, llamados caras laterales. La base de los prismas pueden se triangulares, cuadrangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc.

=  x Donde  es el perímetro  es el número de lados  y  es la longitud de cada lado.

 Veamos un ejemplo de un prisma de bases cuadradas y paralelepípedos rectangulares.

Para el caso del rectángulo será: 2   c   e n  t   í   m  e  t   r   o  s 

4 centímetros

Otro ejemplo es el cubo

P = 2 centímetros + 4 centímetros + 2 centímetros + 4 centímetros = 12 centímetros

El perímetro es la medida del contorno de la figura y se utiliza para calcular el material necesario que puede colocarse en la orilla según la figura.

1.5 Es la magnitud física que expresa la extensión de un cuerpo en tres dimensiones: largo, ancho y alto.

 es el que tiene sus caras laterales perpendiculares a las bases. Como en el caso del cubo del ejemplo anterior.

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

17

OPERAR LOS CÁLCULOS DE ÁREA, PERÍMETRO Y VOLUMEN, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

En el prisma recto, las caras laterales son todas ellas rectángulos. Si sus bases son polígonos regulares, el prisma se llama regular. es el que tiene sus aristas laterales oblicuas a los planos de las bases. Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llaman En un paralelepípedo, sus seis caras son paralelogramos.

El cilindro consta de dos bases circulares y una superficie lateral que, al desarrollarse, da lugar a un rectángulo. La distancia entre las bases es la altura del cilindro. Las rectas contenidas en la superficie lateral, perpendiculares a las bases, se llaman  generatrices.

Un prisma recto es el que tiene sus caras laterales perpendiculares a las bases: En el prisma recto, las caras laterales son todas ellas rectángulos, si sus bases son polígonos regulares, el prisma se llama regular. Un prisma oblicuo es el que tiene sus aristas laterales oblicuas a los planos de las bases.  A la unión de las caras del prisma se le llama Arista

.

En el estudio de cálculo de los volúmenes se planteará las figuras básicas. La dimensión para el cálculo de volumen es en unidades de medida cúbicas, que pueden ser metros cúbicos, yardas cúbicas, pies cúbicos, etcétera. En el cálculo del área se estudió las áreas y perímetros de las figuras planas. En el caso de los cuerpos se tiene que tienen 3 dimensiones: largo, ancho y altura. El cálculo del volumen está dado por el área de la figura plana llamada también por la que tiene el cuerpo geométrico.

18

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

OPERAR LOS CÁLCULOS DE ÁREA, PERÍMETRO Y VOLUMEN, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

   N    E    M    U    S    E    R

1 UNIDAD

El cubo anterior tiene 2 metros de largo, 2 metros de ancho, 2 metros de altura. Su volumen es igual a:  V = 2 metros x 2 metros x 2 metros = 8 metros 3

El espacio es una extensión que no tiene ni puede tener fin ni término y que contiene toda la materia existente.

1.

Investigar la forma de dibujar un heptágono, un octógono y un eneágono o nonágono.

2.

De un Hexágono que tiene 5 kilómetros por lado. Calcular el alambre necesario para cercarlo.

3.

Hallar el área lateral de un prisma Hexagonal de 4 centímetros de alto, 2.5 centímetros de lado y 2.16 centímetros de apotema.

4. 5.

Calcular el volumen del Hexágono del ejemplo anterior. Calcular el área lateral, el área total y  volumen de un cubo de 6 metros por lado.

Geometría que es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. La geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos.  Área es el número que indica la porción de plano que ocupa dentro del perímetro de la figura, esto es, lo que hay internamente dentro del contorno de una superficie. Y se expresa en unidades de superficie.  Apotema es distancia que existe entre el centro de un polígono regular y la mediatriz de cualquiera de sus lados. La línea que rodea al cuadrado se conoce como el perímetro. La magnitud física que expresa la extensión de un cuerpo en tres dimensiones: largo, ancho y alto, es el volumen.

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

19

OPERAR LOS CÁLCULOS DE ÁREA, PERÍMETRO Y VOLUMEN, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

En la próxima unidad estudiará:

4. La suma de todos los lados de un polígono, se llama:

Resolver problemas utilizando la calculadora electrónica, de acuerdo a las necesidades de la ocupación. El cubo: Tiene de base un cuadrado y la altura es un cuadrado.

 A) B) C) D)

5. Magnitud física que expresa la extensión de un cuerpo en tres dimensiones:  A) B) C) D)

1. Parte de las ciencias matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio:  A) B) C) D)

Geometría Trigonometría Aritmética Álgebra

2. La porción de recta comprendida entre dos puntos conocidos como extremos, se llama:  A) Sección B) Semirrecta C) Segmento D) Cota 3. Es la porción de plano limitado por líneas rectas:  A) B) C) D)

20

Área Perímetro Volumen Contorno

Gráfica Elipse Parábola Polígono

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

Volumen Área Tridimensional Ortogonal

TEMA 2

•

•

Identificar las partes y funciones de la calculadora electrónica, de acuerdo a especificaciones del fabricante. Desarrollar habilidades en la operación de la calculadora electrónica, de acuerdo a procedimientos.

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

21

UTILIZAR LA CALCULADORA ELECTRÓNICA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

2.1 El hombre, durante la historia de la humanidad, se ocupó primeramente como agricultor. luego empezó a vender, por lo que pudo dedicarse al comercio y tuvo que aprender a contar. Contaba con sus dedos hasta diez y para ayudarse con los cálculos difíciles disponía de piedras, conchas, etc.  A medida que la ciencia evolucionó se necesitaron nuevos instrumentos para medir el mundo natural. Las computadoras electrónicas no aparecieron sino hasta 1946. Y en 1971, una compañía estadounidense logró concentrar los circuitos electrónicos necesarios para una calculadora en un solo chip. A los pocos meses, las calculadoras de bolsillo, capaces de sumar, restar, multiplicar y dividir, empezaron a fabricarse en serie, como la ropa de maquila, en cantidades grandes, lo que permitió mejorar el trabajo y ser más productivos.

El ser humano siempre ha necesitado realizar cálculos cada vez más rápidos y complejos. En tiempos muy remotos se utilizaron piedras, que en latín se conocieron con el nombre de calculus. Finalmente se creó la herramienta llamada . Esta es una calculadora sencilla. Hay otras con mayor número de funciones a las que se llama calculadoras científicas. ¿Cómo funciona la calculadora? Esta tiene un procesador que transforma todos los números en un lenguaje especial, conocido como lenguaje de máquinas o sistema binario. La energía para que trabajen sus circuitos integrados o chips, se obtiene de una batería o de la luz solar.

Visor Porcentajes

Tecla de encendido Teclas de memoria

Raíz cuadrada

Operadores matemáticos

Dígitos Signo igual Funciones de borrado Punto decimal

22

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

UTILIZAR LA CALCULADORA ELECTRÓNICA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

 A la derecha de las cifras que aparecen en el visor, se observa un símbolo " ", que indica que ha sobrepasado su capacidad. Comenzaremos por encender la calculadora. Buscar la tecla ON/OFF o POWER. Que puede estar al frente, como la de la ilustración anterior, o encontrarse en el costado derecho. Presione y encienda su interruptor, según corresponda. Para reconocer que está encendida, en el visor aparece el dígito 0. Si la calculadora es solar, no es necesario efectuar este paso, porque en el visor ya aparece el 0; solo que es necesario ubicarse en un lugar con buena iluminación.

Este símbolo también aparece cuando el resultado de una operación la sobrepasa y la calculadora no sigue operando.

2.2 calcula porcentajes para obtener la raíz cuadrada de un número.

Ubicar las teclas que llevan los dígitos (0-1-2-3-4-5-67-8-9); las cuales siempre tienen el mismo orden.

Para borrar se tiene 2 teclas que sirve para borrar los cálculos; y

que nos borra el último número

Las operaciones matemáticas básicas encuentran en las siguientes teclas:

se

para sumar

para restar La respuesta se puede obtener investigando, escribiendo los dígitos de mayor a menor.

para multiplicar

El número de dígitos varía según la calculadora; por lo  general aparecen entre 7 y 10 dígitos. ó ¿Si el visor no alcanza a mostrar todos los dígitos, qué se puede hacer? Escriba un total de dígitos mayor al que acepta su calculadora.

para dividir es el punto para números decimales, determinado internacionalmente  tecla que presionamos para obtener el resultado de una o eración.

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

23

UTILIZAR LA CALCULADORA ELECTRÓNICA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

2.3

 Y esta es una calculadora científica

En la calculadora de la figura hay 4 teclas de memoria. No todas las calculadoras tienen estas mismas teclas, por lo que solo se dará su significado:

para borrar la memoria.

para recuperar la memoria.

para almacenar un número en la memoria. para agregar un número a la memoria usada.

2.4 Esta calculadora se conoce como estándar 

Tiene adicionalmente a las características de la calculadora estándar:



Múltiples memorias (más de 1)



Elevación a potencias



Inverso del número (1/el número)  Valores de las funciones  trigonométricas (seno, coseno,  tangente y sus inversos)



La Tiene únicamente las 

Suma



Resta



Multiplicación



24

División

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

:

UTILIZAR LA CALCULADORA ELECTRÓNICA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

Las funciones que generalmente incluyen son:  

Cálculo de porcentaje Raíz cuadrada

•

25 – 12 = _____________

85 – 27 = _____________

La calculadora estándar es el tipo de máquina que se utiliza comercialmente y mientras la calculadora científica se utiliza para cálculos de ingeniería, investigación, etcétera. Existen también las calculadoras financieras que se utilizan en el cálculo de intereses, pagos a corto y largo plazo, y otros cálculos que realizan las personas que trabajan en asuntos administrativos, contables o bancos.

56 – 28 = _____________

256 – 129 = _____________

1985 – 578 = _____________

•

2 x 5 = _____________ Se recomienda que la calculadora no sea expuesta a la humedad y no esté a la intemperie. Use la calculadora y realice las siguientes operaciones: •

12 x 15 = _____________ 25 x 18 = _____________ 256 x 6930 = _____________ 984 x 15986

= _____________

689 x 2789 = _____________

4 + 3 + 18 + 22 = _____________

256 x 258 = _____________ 12+8+3.6 = _____________ •

25.3/4 _____________

12 + 12 + 12 + 12 = _____________

36/8 _____________ 45 + 500 + 638 +1000 = _____________ 3.1416/9 _____________ 9 + 8 + 12 + 5 + 12+1524 = _____________

849/3 _____________

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

25

UTILIZAR LA CALCULADORA ELECTRÓNICA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

876/4 _____________

 

-36/4 _____________

 

-40/5 _____________



265 x 365 = 15 x 18 x 25 = 12 x 12 x 30 = 12555 x 0.003 = 45 x 125 x 0.8 =

100/10 _____________ 

70/6 _____________

 

90/4 _____________

 

64 ÷ 8 = 199987 ÷ 125 = 3658 ÷ 1589 = 754658 ÷ 2568.4 = 5868 ÷ 36 =





Utilizando una calculadora resuelva las siguientes operaciones matemáticas

   

    

26

4+5+8= 12 + 12 + 350 = 1988 + 3522 = 58+52+158+13.5+18.3 =

499 – 323 = 2586 – 63= 2586 – 256 1998 – 1948 = 0.25 – 0.012 =

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

Si Juan nació el 12 diciembre de 1963, que edad tiene al día de hoy? Necesitamos llenar un depósito de agua de 2000, litros, si éste tiene ¾ de su capacidad de agua, cuánta agua necesitamos para llenarlo?

UTILIZAR LA CALCULADORA ELECTRÓNICA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

   N    E    M    U    S    E    R

2

1.

TEMA

Símbolo que aparece en el visor de las calculadoras y que indica que se ha sobrepasado su capacidad:  A) B) C) D)

2.

Las calculadoras de bolsillo son capaces de sumar, restar, multiplicar y dividir, son de bajo precio y gran efectividad. La calculadora electrónica tiene un procesador que transforma todos los números en un lenguaje especial, conocido como lenguaje de máquinas o sistema binario.

C CE Del CA

3. Tecla de la calculadora que se utiliza para borrar la memoria:  A) B) C) D)

AC MS MR MT

4. Tecla de la calculadora que se utiliza para recuperar la memoria.

El número de dígitos varía según la calculadora; por lo general aparecen entre 7 y 10 dígitos.

 A) B) C) D)

En la próxima unidad estudiará como: Clasificar y ordenar productos, materiales documentos, insumos y otros, de acuerdo a principios relacionados con matemáticas de conjuntos.

Tecla de la calculadora que sirve para borrar el último número ingresado:  A) B) C) D)

La energía para que trabajen sus circuitos integrados o chips, se obtiene de una batería o de la luz solar. Para reconocer que está encendida, en el visor aparece el dígito 0.

E X S I

5.

MS MT AC MR

Tecla de la calculadora que se utiliza para almacenar un número en la memoria:  A) B) C) D)

EC M+ AC MS

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

27

UTILIZAR LA CALCULADORA ELECTRÓNICA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

28

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

REALIZAR OPERACIONES DE CONJUNTOS EN LA CLASIFICACIÓN Y ORDENAMIENTO DE PRODUCTOS, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

TEMA 3

•

Identificar los tipos de conjuntos, su simbología o representación gráfica y sus principales diferencias, de acuerdo a teoría.

•

 Aplicar las propiedades de los conjuntos en operaciones matemáticas, de acuerdo a las necesidades de la ocupación

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA

29

REALIZAR OPERACIONES DE CONJUNTOS EN LA CLASIFICACIÓN Y ORDENAMIENTO DE PRODUCTOS, DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE LA OCUPACIÓN

Descriptiva: K =

3.1

 x/x

a las 5 primeras letras del abecedario

La expresión de conjuntos nos lleva a pensar en colección, grupo, reunión, agrupación. Pero se puede decir que es una colección de objetos de tal manera que el mismo conjunto les asigna una identificación por medio de una condición. Los conjuntos se denotan con las letras Mayúsculas  A, B, C,....M, ... W. Y Los elementos de los conjuntos son nombrados con las letras minúsculas a, b, c, d,....  A =

Para escribir la forma descriptiva de los conjuntos se utiliza los siguientes símbolos: Se lee

/ & < > ∈ ∉ ≥ ≤

a, b, c, d, e

≠

= 0 ⊂ ⇒

  enumera los elementos de los conjuntos entre llaves. A = a, b, c, d, e   es cuando define un conjunto enunciando propiedades que debe tener. Ejemplo: El conjunto de las vocales se representa así:  A =

⇔

U I ⊄ ±

 –

x/x es una vocal

 tal que  Y menor que mayor que Pertenece a no pertenece a mayor o igual que menor o igual que no igual a igual a conjunto vacío está contenido en Entonces sí, y solo sí Unión Intersección no es subconjunto de ó no está contenido más menos Menos

 Y podemos leerlo como:

El conjunto de las 5 primeras letras del abecedario.

Es el número de elementos que conforman un conjunto. Ejemplo:

Enumerativa: K =

K=

30

a, b, c, d, e

x/x ∈  es vocal

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA