Matemática Aplicada I

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

Matemática Aplicada I

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009G APLICADA I Cópia não autorizada. Reservados todos osMATEMÁTICA direitos autorais. 3E

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s o d a v r e s e R . Monitor Editorial Ltda. a Editora d Rua dos Timbiras, 257/263 – São Paulo – SP – 01208-010 Aline Palhares a Tel.: (11) 33-35-1000 / Fax: (11) 33-35-1020 z i Desenvolvimento de conteúdo, [email protected] r mediação pedagógica eo www.institutomonitor.com.br t design gráfico u Equipe Técnico Pedagógica Impresso no Parque Gráfico do Instituto Monitor do Instituto Monitor a Rua Rio Bonito, 1746 – São Paulo – SP – 03023-000 Tel./Fax: (11) 33-15-8355 o ã [email protected] n Em caso de dúvidas referentes ao conteúdo, consulte o a i e-mail: [email protected] p ó C Todos os direitos reservados Lei nº 9.610 de 19/02/98 Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio, principalmente por sistemas gráficos, reprográficos, fotográficos, etc., bem como a memorização e/ou recuperação total ou parcial, ou inclusão deste trabalho em qualquer sistema ou arquivo de processamento de dados, sem prévia autorização escrita da editora. Os infratores estão sujeitos às penalidades da lei, respondendo solidariamente as empresas responsáveis pela produção de cópias.

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 3ª Edição - Novembro/2006

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Índice

s. i a r to u a Apresentação............................................................................................................. 7 s to i Lição 1 – Mínimo Múltiplo Comum re Introdução................................................................................................................. 9 i d 1.Calculando o mmc............................................................................................ 9 s 1.1 Regra Prática.............................................................................................. 9 o Exercícios Propostos............................................................................................... 11 s o d Lição 2 – Frações o t Introdução............................................................................................................... 13 s 1. Definição ....................................................................................................... 13 o d 14 2. Frações Equivalentes.................................................................................... a 3. Operações com Frações................................................................................. 15 v r 15 3.1 Adição e Subtração com Denominadores Iguais.................................. e s 3.2 Adição e Subtração com Denominadores Diferentes........................... 15 e 3.3 Multiplicação........................................................................................... 17 R . 18 3.4 Divisão...................................................................................................... a 3.5 Potenciação.............................................................................................. 19 d a 3.6 Raiz Quadrada......................................................................................... 19 z i Exercícios Propostos. r .............................................................................................. 20 o t u Lição 3 – Operações Aritméticas com Números Decimais a Introdução............................................................................................................... 25 o Decimais........................................................................................... 25 1. Frações ã 2. n Operações com Números Decimais ............................................................. 26 a i 2.1 Adição e Subtração.................................................................................. 26 p ó 2.2 Multiplicação........................................................................................... 26 2.3 Divisão...................................................................................................... 27 C 2.4 Potenciação.............................................................................................. 28 Exercícios Propostos . ............................................................................................ 29

Lição 4 – Sistema Métrico Decimal: as Medidas de Comprimento Introdução............................................................................................................... 33 1. Medidas de Comprimento............................................................................. 33 2. Mudança de Unidade.................................................................................... 34 Cópia Exercícios não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. Propostos............................................................................................... 39 009G/

Cópia Lição não5autorizada. todos os direitos autorais. – Números InteirosReservados Relativos Introdução .............................................................................................................. 41 1. Definição ....................................................................................................... 41 2. Operações com Números Inteiros Relativos ............................................... 41 2.1 Adição ...................................................................................................... 41 2.2 Multiplicação ........................................................................................... 43 2.3 Divisão ..................................................................................................... 43 2.4 Potenciação.............................................................................................. 43 3. Potência de 10 ............................................................................................... 45 Exercícios Propostos ............................................................................................. 47

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Lição 6 – Equações de 1º Grau com Uma Variável Introdução .............................................................................................................. 51 1. Resolvendo Equações ................................................................................... 51 Exercícios Propostos ............................................................................................. 53

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Lição 7 – Regra de Três Simples Introdução .............................................................................................................. 55 1. Utilizando a Regra de Três ........................................................................... 55 Exercícios Propostos ............................................................................................. 57

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s o d o t Lição 8 – Sistema de Equações de 1º Grau com Duas Variáveis s Introdução .............................................................................................................. 59 do 1. Cálculo pelo Método da Adição a ................................................................... 59 v Exercícios Propostos ............................................................................................. 61 r e s Lição 9 – Radiciação e Introdução .............................................................................................................. 63 R . 1. Propriedades ................................................................................................. 63 a d Exercícios Propostos ............................................................................................. 65 a izde 2º Grau com Uma Variável r Lição 10 – Equações o t Introdução .............................................................................................................. 67 u 1. Resolvendo Equações ................................................................................... 67 a Exercícios Propostos ............................................................................................. 70 o ã n Lição 11 – Sistemas de Equações do 2º Grau com Duas Variáveis a i Introdução .............................................................................................................. 73 p 1. Resolução ...................................................................................................... 73 ó C Exercícios Propostos ............................................................................................. 76 Respostas dos Exercícios Propostos ..................................................................... 78 Bibliografia ............................................................................................................. 86

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Apresentação

s. i a r to u Tudo é matemática. A afirmação pode parecer exagerada, mas não é. a é Todo conhecimento científico acumulado no decorrer de nossa história s permeado por ela. Por que as estrelas e o Sol brilham? Por que osopássaros t essas e voam e os rios correm para determinada direção? As respostas ipara e outras tantas perguntas passam obrigatoriamente pela matemática. Foram r conquistar i as ferramentas fornecidas por ela que possibilitaram ao homem o d espaço, compreender o átomo, construir aviões, etc. Essa ciência não é uma s um amon­toado de disciplina de escola que, normalmente, assume a forma ode fórmulas e teoremas. Nada mais falso. Matemática é,santes de tudo, raciocínio o e criatividade. d o Ela também não é só para cientistas outengenheiros; é para todos nós. s o tempo todo, e nem nos damos Usamos a matemática de maneira intuitiva o conta disso! Quando os índios constróem d uma oca, realizam uma obra-prima a de método matemático: formas perfeitas, estrutura sólida e funcional. Se v observarmos uma fotografia aérear de uma tribo, veremos que as ocas mane um grande equilíbrio na distribuição têm seu padrão de forma e apresentam s pela área da tribo. Isso é fruto e do domínio intuitivo de elementos de cálculo R e geometria. . a Outro exemplo é o dfutebol. Quando o jogador se prepara para receber um a lançamento, sem perceber, poucos segundos, realiza uma infinidade de iz analisaeaemvelocidade cálculos complexos: da bola, o vento, o espaço que tem r o para correr; determina onde a bola deverá cair e qual a velocidade que deve t atingir parauinterceptá-la. a o Mas esse conhecimento intuitivo não é suficiente para nossa vida profissional. nã Devemos ser capazes de empregar padrões e métodos compreendidos por pessoas. É aí que entra a matemática como disciplina teórica. Seu a outras i estudo, de forma rigorosa e padronizada, permite a troca de conhecimentos óp entre pessoas que sequer falam a mesma língua. A matemática é uma língua C universal. Estando a matemática tão presente em todas as áreas e atividades do conhecimento, seu domínio formal é condição imprescindível para o sucesso profissional, seja em que área for. Por isso, neste fascículo, estudaremos conceitos básicos dessa fascinante matéria.

Cópia

Caso você tenha ainda alguma dúvida sobre como a matemática pode ser encantadora, recomendamos o livro O Homem que Calculava, de Malba autorais. não autorizada. Reservados todos os direitos Tahan. 009G/

lição

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s. i a r Podemos escrever esta conclusão Introdução to de foru ma abreviada: a Nesta lição, vamos recordar mínimo múls mmc(4, 6) = 12 tiplo comum (mmc). Esse conhecimento é de to i fundamental importância para o cálculo de e adição e subtração de frações, matéria da li1.1 Regra Práticair d ção seguinte. s Há uma forma rápida e prática para calo cular o mmc. consiste na divisão sucessiva 1. Calculando o mmc s Ela pelos números primos, que são aqueles númeo d apenas dois divisores: o número 1 e ros com O mínimo múltiplo comum de dois ou mais o ele tmesmo. números é um valor, o menor possível, que dis vide os números considerados. o d O número 7, por exemplo, tem somente dois a divisores (1 e 7). Portanto, 7 é um número primo. Por exemplo, para determinar o mínimov r múltiplo comum dos números 4 e 6, vamos pene Os números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, sar em números que são múltiplos tanto s do 4 e 19, etc. quanto do 6. R . a Vamos ver agora o processo das divisões O número 36 é múltiplo de 4, d pois 4 multia sucessivas pelos números primos. plicado por 9 resulta em 36, ou 4 . 9 = 36; porz i tanto, 36 divide 4. O númeror36 é também múlo seja, 36 divide 6. Exemplo: para determinar o mínimo múltiplo ou tiplo de 6, pois 6 . 6 = 36, t u comum de 4 e 6, colocaremos os números um a ao lado do outro (separados por uma vírgula) e Além do 36, podemos pensar no número 24. o os dividiremos pelos números primos possíveis. Ele é múltiplo de ã 4, pois 4 . 6 = 24 e também é n mesma razão. múltiplo de 6, pela 4, 6 2 → número primo ia p 2, 3 Podemos, ó ainda, pensar no número 12; ele é múltiplo C de 4, pois 4 . 3 = 12 e também é múl○

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Mínimo Múltiplo Comum

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tiplo de 6, pois 6 . 2 = 12.

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Repare que o 4 e o 6 foram divididos pelo número primo 2 (4 : 2 = 2 e 6 : 2 = 3) e o resultado de cada divisão foi colocado embaixo de cada número. Vamos continuar, dividindo por 2:

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Já conseguimos relacionar os números 12, 24 e 36 como múltiplos comuns de 4 e 6. Poderíamos pensar em outros múltiplos acima do 4, 6 2 36, mas queremos o menor deles, e o menor é o 2, 3 2 12. Portanto, o mínimo múltiplo comum de 4 e não autorizada. Reservados1,todos 3 6Cópia é 12. ○

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os direitos autorais.

Instituto Monitor

Cópia não autorizada. direitos Observamos que 3Reservados não é divisível por todos 2 (divisão os exata); portan- autorais. to, repetimos o número 3. Agora podemos dividir pelo próximo número primo que, no caso, é o 3: 4, 6 2 2, 3 2 1, 3 3 1, 1

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s. i a Agora, efetuamos a multiplicação dos números primos 2, 2 e 3, r o ou seja, 2 . 2 . 3 = 12. Portanto, o mínimo múltiplo comum de 4 e 6 é t u 12, ou seja, mmc(4, 6) = 12. a s Para determinar o mmc de 5 e 20, vamos dividi-los pelos to núi meros primos: re i d 5, 20 2 s 5, 10 2 o 5, 15 5 s o 1, 11 2 . 2 . 5 = 20 d to Portanto, mmc(5, 20) = 20 s o dseguintes números: Vamos determinar o mmc dos a v r a) 4 e 30 e s e 4, 30 2 R . 2, 15 2 a d 1, 15 3 1, 15 5 za i 1, 11 2r. 2 . 3 . 5 = 60 o t u mmc(4, a 30) = 60 o b)ã8, 5 e 6 n 8, 5, 6 4, 5, 3 2, 5, 3 1, 5, 3 1, 5, 1 1, 1, 1

2 2 2 3 5 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 120

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Exercícios Propostos Determine o mmc dos seguintes números: a) 10 e 40

b) 8 e 3

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c) 5, 7 e 30

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Cópia nãod) autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 8e6

e) 10, 5 e 25

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s o d a v r e s e R . a d a iz f) 16 e 20 r o t au o ã n

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Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

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s. i a r o Introdução A parte sombreada indica atquantidade de u fatias que queremos consumir. a Este é um assunto sempre presente no cos Podemos indicar esta tidiano e no trabalho, já que por meio da frato quantidade pelo número fracionário 2l ; ie ele pode ser lido como ção representamos parte de um todo. Utilizare um meio ou simplesmente meio. mos frações desde operações bastante simples, i l de d como fazer um bolo ( l xícara de açúcar, 00 2 3 Na fraçãos 2l , o número 1 é o numerador e xícara de mel), até em cálculos de disciplinas o o 2 é o denominador. O denominador indica a das mais diferentes áreas, como engenharia, s quantidade de partes iguais em que foi dividieletrônica, economia, só para citar alguns o d e o numerador indica quantas desda a o pizza, exemplos. sas tpartes tomamos. s Quando realizamos uma determinada atio Considere agora outra pizza. Vamos divividade, podemos calcular a parte já finalizada d por meio de frações, por exemplo, 34 . Dessava di-la em 4 partes iguais, mas apenas 3 dessas r partes serão consumidas. forma, sabemos que só falta 14 para terminá-la e s por completo. Numa fábrica, podemos saber e se, se as metas de produção serão atingidas: R por exemplo, no dia 20 daquele mês. tivermos a 5 5/6 da produção pronta, sabemosdque só falta 6 1 a a meta. esperado para z atingir produzir1/6do 6 i or 1. Definição t au Considere uma pizza dividida em duas paro tes iguais: ã 3 n A fração que representa esta partição é 33 4 a (três quartos), onde 3 é o numerador e 4 é o i denominador. óp C ○

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Frações

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Façamos a leitura de outras frações:

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3
lê-se três sétimos 7

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1

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todos lê-se um oitavo Cópia não autorizada. Reservados os direitos autorais. 8 ○

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Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. Mas observamos que se trata da mesma ○

4
lê-se quatro quintos 5

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quantidade. Por isso, podemos escrever:

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7
lê-se sete nonos 9

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1 2 1 2 = , ou seja, é equivalente a . 2 4 2 4

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1
lê-se um décimo 10

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lê-se dois, trinta e um avos 31

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8
lê-se oito, quarenta e três avos 43

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1
lê-se um centésimo 100

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lê-se três milésimos 1.000

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Queremos dividir o numerador e o denominador da fração por um mesmo número. Vejamos, por exemplo, como obter a fração equivalente a 8 .

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2. Frações Equivalentes

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s o 6 d a Se dividirmos o numerador por 2, obtev r mos 8 : 2 = 4. Dividindo o denominador tame bém por 2, obtemos 6 : 2 = 3. Por isso, podees mos dizer que a fração 86 é equivalente a 43 , R 8 4 ou seja, 8 = , e, como em 43 não é possível = . 6 3 a fazer nenhuma outra divisão pelo mesmo núd a mero, a fração se tornou irredutível. Esse z i processo recebe o nome de simplificação de r o fração. t u a ○

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Vamos considerar agora duas pizzas do mesmo tamanho:

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½

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Exemplos: simplifique as frações.

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2/4




Dividimos numerador e denominador por 2

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16 8 = 18 9

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25 5 Dividimos numerador e =
denominador por 5 35 7

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Dividimos numerador e 20 10 denominador pelo número 2. =
Mas ainda é possível dividir 40 20 novamente por 2.

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Na primeira pizza, consideramos para a a parte sombreada a fração 1 e, na segunda, a 2 2 Cópia fração . não autorizada. Reservados 4 ○

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todos os direitos autorais.

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autorais.

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Cópia não autorizada. os direitos Dividimos novamente oReservados todos 10 5 2 1 3 = Então, + =
numerador e o denominador 20 10 4 4 4 por 2 ○

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Ao subtrair, também conservamos o denominador e subtraímos apenas os numeradores:

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Dividimos agora numerador e denominador por 5

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5 1 = 10 2

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. s i 2 1 1 a − = 20 r 4 4 4 Mas podemos também, na fração 40 , dito vidir numerador e denominador pelo númeu a Vejamos mais alguns exemplos. ro 20, e chegar diretamente ao mesmo resul1 s tado . 2 Repare toque adicionamos os i 7 2 9 e + =
numeradores e conservamos r 20 1 4 4 4 i = o denominador 4. Então, d 40 2 os Subtraímos os numeradores e 7 2 os5 − =
conservamos o denominador 4. d 4 4 4 o Antes de prosseguir t seu estudo, faça o s exercício 1 14 o O resultado 10 foi simd desta lição. a plificado, resultando 75 , v 8 6 14 7 r + = =
ou seja, dividimos nue 10 10 10 5 merador e denominas e dor pelo número 2. 3. Operações com Frações R . a d 3.1 Adição e Subtração com Denominadores Iguais za ri o t das pizzas, queObservando os exemplos Antes de prosseguir seu 2 1 u rendo adicionar + a obtemos 34 , ou seja, estudo, faça o exercício 4 4 2 desta lição. adicionamos tão-somente os numeradores, o ã conservando o denominador 4. n a i p ó C

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3.2 Adição e Subtração com Denominadores Diferentes

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Cópia não autorizada.

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Para realizarmos adição ou subtração de frações com denominadores diferentes, será necessário frações equivalentes Reservados todosencontrar os direitos autorais. ○

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os direitos autorais.

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Cópia não todos àquelas dadas, masautorizada. com denominadoresReservados iguais. Exemplos: Depois disso, efetuamos a adição ou subtração 5 1 1) − normalmente. Vejamos um exemplo: 7 4 1

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5

Como os denominadores são diferentes, vamos calcular o mínimo múltiplo comum entre 7 e 4.

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Para efetuarmos a soma de 6 + 4 será necessário encontrar denominadores iguais. Para isso, existe um processo, que é o de calcular o mínimo múltiplo comum entre 6 e 4.

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7, 4 7, 2 7, 1 1, 1

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2 2 3 2 . 2 . 3 = 12

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Assim, 6, 4 3, 2 3, 1 1, 1

2 2 7 2 . 2 . 7 = 28

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s o it O resultado (12) será o novo denominae dor das frações. Depois disso, temos de obter ir d Agora é necessário encontrar a nova fraos novos numeradores; faremos isso com os ção: dividindo seguintes passos: os 28 pelo denominador 7, o resultado és4; em seguida multiplicamos 4 pelo 5 o 5, e obtemos 20. Obtemos a franumerador 1º) Para a fração 6 , faremos 12 dividido pelo d 20 çãoo , equivalente a 5 . denominador 6, resultando 2. t 28 7 s 2º) Multiplicamos este resultado (2) pelo nuo d merador 5, resultando 10. o mesmo processo para a fração a 11 . Temos v 28 dividido pelo denominador 4, resulta 4 r 10 3º) Daí obtemos , que é uma fração equivaem 7; multiplicamos 7 pelo numerador 1 e e 12 s 7 lente a 56 . obtemos 7. Obtemos a fração 28 equivalente e 1 a . R 4 . para a Faremos o mesmo procedimento a d Retomando a fração 14 : 20 7 13 5 1 a − = − = operação dada: z 28 28 28 7 4 ri 1º) 12 : 4 = 3. o t 5 3 u 2) + = 2º) 3 . 1 = 3 a 4 5 o 3 1 3º) Assim, a fraçãoã 12 4, 5 2 n é equivalente a 4 . 2, 5 2 a i 1, 5 5 5 1 Retomando óp a adição: 6 + 4 = 1, 1 2 . 2 . 5 = 20 C ○

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mmc(7, 4) = 28. Este será o novo denominador das frações.

5 25 = 4 20

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Uma vez encontrados 10 3 13 denominadores iguais, + =
efetuamos normalmente a 12 12 12 adição.

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3 12 = 5 20

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25 12 37 +todos = Cópia não autorizada. Reservados os direitos autorais. 20 20 20 ○

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Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 3)

5 1 − = 8 4 8, 4 4, 2 2, 1 1, 1

2 2 2 2.2.2 =8

5 5 = 8 8 1 2 = 4 8 5 2 3 = 8 8 8

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Vejamos um exemplo como podemos aplicar na vida prática esse estudo de fração.

s o d 1 o Um funcionário executa 4 de seu trabalho pela manhã; à tart de, mais 14 . Qual a fração que corresponde ao trabalho executado? s o d a 1 1 2 1 v + = = r 4 4 4 2 e s e Ou seja, metade doR trabalho foi executado. . a 3.3 Multiplicaçãod za i r Na multiplicação de frao t ções, multiplicamos numerador por aunumerador e denominador o por denominador. ã n

a Exemplos: i óp C

Multiplicamos os numeradores entre si e, em seguida, multiplicamos os denominadores 7 2 14 7
também entre si. O resultado 14 foi simplifi1) . = = 24 8 3 24 12 cado, ou seja, dividimos o numerador e denominador por 2, resultando 7 . 12

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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Cópia todos direitos autorais. Vamos efetuaros as seguintes divisões: 7 . 1 7não autorizada. Reservados ○

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= 4 8 32

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2)

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1)

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3 . 2 6 3 3) = = 10 8 80 40

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5 . 5 25 = 9 3 27

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3 de 200 corresponde a qual valor? 4

2)

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4)

5: 3 = 9 5

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○

○

Para resolver este problema, basta multiplicar 34 por 200, lembrando que o denominador do 200 é l.

8: 6= 3

O denominador do número 6 é 1, e o inverso é 16 . O 8 8. 1 8 4 = =
resultado 18 foi simplifica3 6 18 9 do: dividimos numerador e denominador por 2, resul4 . tando 11

○

○

s o it 9 e ir d Quando estudamos a associação de resisPortanto, l50 é o valor correspondente a s 3 tências emoparalelo e estamos interessados 3 de 200. 4 no cálculo s da resistência total R, encontramos o expressões do tipo: d to 1 R= s 1 1 1 o + + d 4 3 2 a Antes de prosseguir v seu estudo, faça os r Veja que, para calcular esta expressão, exercícios 5 e 6 e s iremos recorrer às operações estudadas até desta lição. e o momento. R . a Iniciaremos calculando a soma das d a frações no denominador. Para tanto, vamos 3.4 Divisão iz determinar o mmc entre 4, 3 e 2, que é 12. r o Teremos então: t A divisão de frações é feita multiplicanu do a primeira pelo inverso a da segunda. 1 R= o ã 3 4 6 Exemplo: + + n Observe que repeti12 12 12 a i mos a primeira fração e a multiplicaóp C Como os denominadores são iguais, mos pelo inverso da ○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

3. 600 200 = = 150 4 4

podemos efetuar a soma normalmente, conservando o denominador 12 e somando os numeradores 3, 4 e 6.

○

○

○

○

○

○

○

segunda fração. O 5 : 3 5 . 4 20 5 = = = 20 8 4 8 3 24 6
resultado 24 foi simplificado, ou seja, dividimos numerador e denominador pelo número 4, resultando 5 .

○

○

○

○

R=

1 13 12

○

○

○

6 Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/18

Instituto Monitor

○

○

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. Agora efetuamos a divisão de 1 por 13 : Exemplos: ○

○

12

2

○

R = 1 : 13 12

○

○

○

○

1 1 1 ⎛ 1⎞ 1) ⎜ ⎟ = ⋅ = ⎝ 3⎠ 3 3 9

○

○

R = 1 . 12 13

○

3

○

5 5 5 125 ⎛ 5⎞ 2) ⎜ ⎟ = ⋅ ⋅ = ⎝ 6⎠ 6 6 6 216

○

○

○

○

○

R = 12 13

○

○

○

○

○

○

○

○

○

Sua calculadora científica pode ser usada neste cálculo. Basta localizar a tecla da função inversa, que dependendo do modelo, pode ter a aparência:

○

○

1 ou 1/x ou x-1 x

○

○

○

s o d o t

○

○

○

Antes de prosseguir seu estudo, faça o exercício 7 desta lição.

os

s. i a r to u a

sAntes de prosseguir o it seu estudo, faça o e exercício 8 r i desta lição. d

○

○

○

○

s3.6 Raiz Quadrada o d a Em potenciação, vimos que 5 = 5 . 5 = 25. v r A raiz quadrada é a operação inversa da e potenciação. No caso considerado, é √25 = 5, 3.5 Potenciação es pois 5 = 25; e ainda, como 6 = 6 . 6, temos que R √36 = 6, pois 6 = 36. . Observe: a d 2 2 2 2 16 æ 2ö Ao considerar a raiz quadrada da fração a ç ÷ = × × × = z 25 3 3 3 3 3 81 è ø i cc , temos 25 = 5 , porque 5 = 25 e 6 = 36. r 36 √ 36 6 o t Exemplos: 2 Em 111, lemos: dois 3 au terços elevados à quarta potência. o ã n 1) 1 = √1 = 1 Onde: √ 4 √4 2 a i p 2 ó é a base. 3 2) 81 = √81 = 9 C √ 100 √100 10 ○

○

○

○

○

2

○

2

2

○

○

○

2

○

○

4

2

○

○

○

○

2

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

4

○

○

○

○

4 é o expoente.

○

○

○

○

○

16 é a potência. 81

○

○

○

Obs.: todonão número elevado a 0 é igual 1. Cópia autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/19

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

Exercícios Propostos

○

○

○

○

○

○

○

○

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○

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○

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○

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○

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○

○

○

○

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○

○

○

○

○

○

○

s. i a r 1 - Simplifique as seguintes frações: 2 - Efetue as operações indicadas. to Depois de u chegar ao resultado, simplifique as frações 4 a sempre que possível. a) = s 6 to i 10 3 e + a) =ir 26 30 30 d = b) 40 os s 56 o = c) d 44 o t 26 21 − s = b) 28 28 o 28 d = d) a 30 v r e 7 2 s 50 − = c) e = e) 9 9 R 40 . a d a 1 6 2 iz 36 = d) + − r = f) 5 5 5 o 84 t u a 44 o = g) 88 nã 11 5 1 + − = e) a i 7 7 7 p 14 h) Có= 21 ○

10 = 30

○

○

f)

4 1 − = 15 15

○ ○

○

autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

36 = 100 não Cópia j)

○

○

○

○

i)

○

○

○

○

○

009G/20

○

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 10 2 + = 16 5

e)

2 5 5 + − = 3 7 4

○

1 2 + = 100 100

○

h)

d)

○

6 1 2 − + = 14 14 14

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

g)

○

○

○

7 2 − = 41 41

○

○

○

i)

○

○

f)

○

○

○

3 2 − = 8 8

○

○

○

○

○

○

j)

10 2 − 8 6

○

s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au

8

2 1 + = 16 4

○

○

○

○

3 - Efetue as operações indicadas:

s o d o t g) 3 +

os

s o it e = r di

s. i a r to u a

○

○

○

5 1 + = 8 10

○

○

a)

5 1 3 − + = 10 4 8

i)

3 1 3 + + = 10 5 2

j)

7 +5 = 4

15

10

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

=

○

+

○

ia p ó C 3 6

o ã n

○

○

○

○

○

○

○

○

c)

3 2 − = 7 14

○

b)

○

○

○

○

○

○

○

○

h)

○

○

○

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/21

direitos autorais.

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

nãoconseguiu autorizada. todos os 4Cópia - Uma equipe realizar 25Reservados de um 3 3 7 trabalho; no dia seguinte, a mesma equipe e) ⋅ ⋅ = 8 2 4 realizou mais 35 do trabalho. Pergunta-se: a equipe conseguiu concluir a tarefa? 7 = 5

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

f) 1 ⋅

○

○

8 = g) 3 ⋅ 5

○

○

○

○

5 - Efetue as multiplicações abaixo:

os

○

○

○

○

10 1 ⋅ = 11 4

○

○

○

○

a)

7

=

○

○

○

○

○

s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au

s o d o t h) 6 ⋅ 5

s o it e r di

s. i a r to u a

○

○

○

1 3 ⋅ = 4 8

○

○

b)

8 1 ⋅ = 6 4

j)

3 1 ⋅ = 7 9

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

ia p ó C 8 5

o ã n

○

○

⋅ = 3 6

6-

5 de 300 corresponde a que valor? 6

○

○

○

○

○

○

○

○

d)

5 1 3 ⋅ ⋅ = 6 2 8

○

c)

○

○

○

○

○

○

○

○

i)

○

○

○

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/22

Reservados todos os direitos autorais. 7 ○

○

i) 7 :

○

○

○

3 1 : = 5 4

○

○

○

○

a)

=

6

○

○

não autorizada. 7Cópia - Efetue as divisões abaixo:

○

○

j)

○

○

○

4 3 : = 6 8

○

○

○

○

○

○

b)

21 3 : = 4 9

○

8 - Determine a potência:

○

○

○

3 1 : = 8 7

a)

7 4

2

=

○

○

○

c)

○ ○ ○

○

○

○

b)

s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au

c)

○

○

○

1 9 : = 8 4

os

s o d o t 3 3= 3

1 = 10

4

○

○

○

d)

s o it e r di

s. i a r to u a

=

5 7

1

e)

=

5 8

2

f)

=

7 9

2

g)

=

1 2

5

h)

=

4 2

2

i)

=

5 3

0

j)

=

○

○

4 5

3

d)

○

○

○

○

○

○

○

○

6 3 e) : = 5 4

○

○

○

10 5 : = 25 3

○ ○ ○ ○

ia p ó C

○

○

○

○

○

2 :5= 3

○

○

○

○

g)

o ã n

○

○

○

f)

○

○

○

2 = 3

○

○

○

○

h) 6 :

○

○

○

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/23

Cópia não9 -autorizada. Reservados Extraia a raiz quadrada dos números:todos os direitos autorais.

ia p ó C

a)

1 = 49

b)

36 = 49

c)

16 = 25

d)

9 = 16

s o 64 d e) = a 25 v r e s e R . a 9 f) = ad 64 iz r o t au100 og) 121 = ã n

h)

s o d o t

os

s o it e r di

s. i a r to u a

4 = 25

1

= i) Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 36 ○

○

○

○

○

009G/24

lição

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

3

Operações Aritméticas com Números Decimais

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

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○

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○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

s. i a r 0,9 tem uma casa após a vírgula, Introdução to que corresu ponde ao zero do número 10. a Os números decimais têm origem nas fras ções decimais. Por exemplo, a fração 5/10 equio 9 = 0,09
lê-seitnove centésimos vale ao número decimal 0,5. Em nossa vida 100 re cotidiana, tais números estão sempre preseni d tes; se vamos ao supermercado e compramos 0,09 tem duasscasas após a vírgula, que corresalgo no valor de R$ 6,40, é importante saber pondem aosodois zeros do número 100. que se pagarmos com uma nota de R$ 10,00, s nosso troco deverá ser de R$ 3,60. Nesta lição, o d9 vamos ver como se fazem operações com os núo t1.000 = 0,009
lê-se nove milésimos meros decimais. s o d 0,009 tem três casas após a vírgula, que corres1. Frações Decimais a v 9 pondem = 0,9 aos três zeros do número 1.000. r Dentre as frações estudadas, temos aque10 e las cujos denominadores são 10, ou potência Exemplos: esFrade 10. Por exemplo, 100, 1.000, 10.000, etc. R . ções com esta característica são chamadas de a 73 frações decimais. d = 7,3
lê-se sete inteiros e três décimos a 10 iz Exemplos: r o t 3 u = 0,3
lê-se três décimos 4 a 10
lê-se quatro décimos o 10 ã n 71 = 0,71
lê-se setenta e um centésimos a i 6 100
lê-se 100 óp seis centésimos C

○

○

○

○

○

○

73
lê-se setenta e três milésimos 1.000

Antes de continuar seu estudo, faça o exercício 1 desta lição.

○

○

○

○

Podemos escrever as frações decimais como números decimais:

○

○

○

Cópia não autorizada.
lê-se nove décimos Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/25

Instituto Monitor

○

○

○

○

Cópia nãocom autorizada. Reservados todos os direitos 2. Operações Números Decimais 2) Para efetuar a subtração 7,45 autorais. - 2,1: 7,45 − 2,10 5,35

○

○

○

○

○

○

○

Encontramos situações no dia-a-dia que envolvem operações com números decimais. Por exemplo, se eu fizer uma compra no valor de R$ 34,5 e outra no valor de R$ 56,25. Qual o total geral gasto? Para isso é importante saber efetuar as várias operações com números decimais.

s. i a r 2.1 Adição e Subtração to u Para verificar se o resultado está cora reto, basta adicionar o subtraendo à difePara somar ou subtrair dois números des rença que o resultado deverá ser o cimais, é preciso colocá-los de tal forma que to i minuendo. Vejamos: a vírgula de um fique exatamente embaixo re da vírgula do outro. Assim: i d 2,10 s 34,50 + 5,35o + 56,25 7,s 45 o d Para efetuar a adição de 34,5 + 56,25: o t Portanto, a subtração está correta. s 34,50 o 3) Temos, para a subtração 8,6 - 3,14: + d 56,25 a v 90,75 r 8,60 minuendo e s − 3,14 subtraendo Os números 34,5 e 56,25 são denominae 5,46 diferença dos parcelas e o resultado 90,75 é a soma ou R . total. a d Obs.: vírgula fica embaixo de vírgula za e comi r pletamos com zero para igualar as casas o t decimais. au Exemplos: o Antes de continuar ã seus estudos, faça o n exercício 2 1) Para somar 23 + 1,41 + 3,1: a desta lição. i ó00p parcela , 23 C1,41 parcela ○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

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○

○

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○

○

○

○

○

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○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

O número decimal 7,45 é denominado minuendo; 2,1 é o subtraendo e o resultado 5,35 é a diferença.

○

○

○

parcela soma ou total

2.2 Multiplicação

○

○

○

+ 3,10 27,51

Obs.: o número 23 é inteiro e, por isso, devemos acrescentar dois zeros para igualar as casas decimais.

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Cópia não autorizada.

A multiplicação é uma forma abreviada de escrever a adição com parcelas iguais.Vejamos alguns exemplos. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/26

Instituto Monitor ○

Cópia não somar autorizada. Reservados Se queremos 1,5 + 1,5 + 1,5, pode2.3 todos Divisão os direitos autorais. ○

○

○

mos escrever 3 . 1,5 = 4,5.

○

Para dividirmos dois números decimais, é necessário igualar o número de casas demais.

○

○

○

○

A montagem desta multiplicação ficará:

○

1,5
uma casa após a vírgula 3 4,5
uma casa após a vírgula

○

○

○

○

Para efetuar a divisão 6,804 : 3,24, procedemos da seguinte forma: igualamos o número de casas decimais e temos 6,804 : 3,240 . Dessa forma, podemos omitir as vírgulas. Assim, a divisão será entre 6,804 e 3,240. Ao montarmos a operação, teremos:

○

○

×

○

○

○

○

○

○

Fazemos a multiplicação normalmente, ou seja, fizemos 3 . 5 e 3 . 1; no resultado final, contamos o total de casas decimais.

○

6.804 3.240 – 6.480 2 324

○

○

A nomenclatura é:

○

○

○

fator fator produto

○

s o d o t

○ ○

○

○

Para efetuar a multiplicação de 4,63 . 4, fazemos:

os

Temos o resultado 2 e o resto 324. Para continuarmos a divisão, colocamos uma vírgula à direita do número 2 e acrescentamos um 0 (zero) ao lado do resto 324.

○

1,5 3 4,5

○

×

s o it e r di

s. i a r to u a

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

s 6.804 3.240 o d 4,63
duas casas decimais – 6.480 2,1 a × 4 v 3.240 r 18,52
duas casas decimais – 3.240 e s 0 e R Para efetuar a multiplicação de 26,4 . 3,1: . O número 6,804 é chamado de dividendo, a d 3,24 é o divisor, o resultado 2,1 é o quociente a 26,4
uma casa decimal e 0 (zero) é o resto da divisão. iz × 3,1
uma casa decimal r o 264 t Exemplos: u 792 + a 81,84
duasocasas decimal 1) 17,464 : 2,36 ã n Igualando a quantidade de casas decimais Na multiplicação de 4,612 . 3,23: a i e omitindo as vírgulas, temos: p 4,ó6 1 2
3 casas decimais C 3,2 3
2 casas decimais 17.464 2.360 × ○

– 16.520 944

7

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

13836 9224+ 1 3 8 3 6+ 1 4,8 9 6 7 6
5 casas decimais

○

○

○

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/27

Instituto Monitor

Cópia não autorizada. Reservados todos vírgula os direitos Querendo continuar o cálculo, acrescentamos no quo- autorais. ciente 7, e 0 (zero) no resto 944. Temos então: 17.464 2.360 – 16.520 7,4 9.440 – 9.440 0 2) 32 : 5 32 5 – 30 6,4 20 – 20 0 2.4 Potenciação

s o d o t

os

s. i a r Antes de prosseguir to seus estudos, faça osu exercícios a lição. 3 e 4 desta s to i re i d

A potenciação com os números decimais segue o mesmo princípio visto na lição sobre frações. Vejamos alguns exemplos.

s o d a v 2 é o expoente e o resultado 0,25 é Onde 0,5 é denominado base, r denominado potência. e s e Obs.: o expoente indica a quantidade de vezes que devemos reR . petir a base. a d a = 0,09 2) (0,3)2 = 0,3 .z0,3 i r o 3 t 3) (0,2) = 0,2 . 0,2 . 0,2 = 0,008 au o ã n 1) (0,5)2 = 0,5 . 0,5 = 0,25

a i óp C

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/28

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

Exercícios Propostos

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

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○

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○

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○

○

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○

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○

○

○

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○

○

○

○

○

○

○

s. i a r 1 - Escrever as frações decimais na forma de2 - Efetue as seguintes operações: to u cimal: a a) 3,241 + 1,48 = 23 s a) = 10 to i e r i b) 3,89 + 16,22 1 d = b) = 10 os s o c) 4,71 – 3,2 = 314 d c) = 100 to s o d) 3,4 – 2,71 = 76 d d) = a 1.000 v r e s 25 e) 11 + 3,4 + 6,12 = e e) = 100 R . a d 32 f) 22 + 4,8 – 1,84 = a f) = z 100 ri o t u 471 g) 0,21 + 1,3 + 0,093 = g) = a 1.000 o ã n 25 h) 6,28 – 1,4 + 5,32 = h) = a 10 pi ó C ○

83 = 1.000

○

i)

i) 23,8 – 11,43 =

○

26 = 100

○

○

○

i)

○

○

○

○

○

j) 1,43 + 0,018 =

○

○

○

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/29

Instituto Monitor

autorais.

○

○

○

autorizada. Reservados todos os direitos 3Cópia - Efetue não as seguintes multiplicações: 4 - Efetue as divisões: ○

a) 4,7 . 16 =

:

2 =

○

○

○

○

○

○

○

a) 12,8

b) 14,4 : 4 =

○

○

○

○

○

○

○

b) 3,1 . 6 =

○

c) 18,864 : 5,24 =

○

○

○

○

○

○

○

c) 3,04 . 21 =

○ ○

s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au ○

f) 3,36 : 2,8 =

○

g) 8 : 5 =

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○

○

i) 23 : 4 =

○

ia p ó C

○

i) 4,17 . 6,2

o ã n =

h) 36 : 5 =

○

○

h) 0,3 . 0,1 =

○

○

○

○

○

g) 0,4 . 0,2 =

○

○

○

○

○

○

f) 2,413 . 3,5 =

○

○

○

○

○

e) 10,41 . 2 =

○

○

○

○

○

○

○

d) 2,7 . 9 =

s o it e ir d d) 15,072 : 4,71 = os s o d e) 5,44 : 3,4 = o t

s. i a r to u a

○

j) 0,41 . 3 =

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

j) 1 : 2 =

○

○

○

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/30

Instituto Monitor

autorizada. 5Cópia - Calculenão as potências:

Reservados todos os direitos autorais.

a) (0,1)2 =

b) (0,5)3 =

c) (0,2)4 =

d) (1,1)2 =

e) (1,2)2 =

f) (3,12)2 =

g) (4,2)1 =

h) (3,02)1 =

i) (5,6)2 =

ia p ó C = j) (2,3)

o ã n

s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au

s o d o t

os

s o it e r di

s. i a r to u a

2

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/31

lição

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

4

Sistema Métrico Decimal: as Medidas de Comprimento Introdução Durante muito tempo usaram-se medidas imprecisas, como pé, palmo; elas podiam variar, afinal o palmo depende do tamanho da mão de quem está fazendo a medição. Assim, o sistema métrico decimal foi criado para que houvesse unidade de medidas, ou seja, seria usada uma constante. As três primeiras unidades criadas foram o metro, o litro e o quilograma. Nesta lição, estudaremos as medidas de comprimento.

s o d o t

a i óp C

os

s o it e r di

s. i a r to u a

s o d a v r 1. Medidas de Comprimento e s edas medidas de comprimento é o metro, A unidade principal R . do metro, podemos identificar seus múltiindicado por m. A partir a plos e submúltiplos. d a iz do metro são: quilômetro (km), hectômetro (hm) e Os múltiplos r o (dam). Os submúltiplos são: decímetro (dm), centímeo decâmetro t tro (cm)ue o milímetro (mm). a o • 1 quilômetro (km) corresponde a 1.000 m. nã • 1 hectômetro (hm) corresponde a 100 m.

• 1 decâmetro (dam) corresponde a 10 m. • 1 decímetro (dm) corresponde a 0,1 m. • 1 centímetro (cm) corresponde a 0,01 m. • 1 milímetro (mm) corresponde a 0,001 m.

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/33

Instituto Monitor

Cópia não2.autorizada. Reservados todos os direitos autorais. Mudança de Unidade Cada unidade de comprimento citada é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Para fixar essas transformações de unidades, vamos exemplificar. • Para transformar 12 km em metros, faremos: 12 multiplicado por 1.000: 12 . 1.000 = 12.000 12 km = 12.000 m

s o it e r di

s. i a r to u a

• Para transformar 12.000 metros em quilômetros, faremos o processo contrário: 12.000 dividido por 1.000:

os

12.000 : 1.000 = 12 12.000 m = 12 km

s o d • Para transformar 2,54 quilômetros em metros: o t s 2,54 . 1.000 = 2.540 o 2,54 km = 2.540 m d a v r em decímetros: • Para transformar 15 metros e es 15 . 10 = 150 R 15 m = 150 dm . a d • Para transformar a 0,087 hectômetro em metros: z ri= 8,7 0,087 . 100 o t 0,087uhm = 8,7 m a o •ã Para transformar 80 centímetros em metros: n

ia 80 : 100 = 0,80 p 80 cm = 0,80 m ó C • Para transformar 882 centímetros em decímetros: 882 : 10 = 88,2 882 cm = 88,2 dm • Para transformar 178 centímetros em metros:

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 178 : 100 = 1,78 178 cm = 1,78 m ○

○

○

○

○

009G/34

Instituto Monitor

Cópia não autorizada. Reservados todos osdedireitos Existe um esquema muito utilizado para a aplicação múltiplos autorais. e submúltiplos. Trata-se de uma “escada”. Observe:

x

km (103) hm (102) dam (10)

s. i a cm (10 ) r : mm (10 ) o t u a s Multiplicamos ou dividimos de 10 em 10 a cada degrau. to i re Exemplos: i d • Transformar 13 km em metros. s o s Colocamos o número 13 no degrau km, o e acrescentamos o algarismo 0 até chegar no degrau m (metros). d to 13 s o km d 0 a hm v r 0 e dam s 0 e m R . dm a d cm za i r mm o t au Observamos que estamos efetuando a multiplicação de 13 por o 1.000 metros. nã m (100)

dm (10-1)

-2

-3

a Dessa forma temos que 13 km é igual a i óp C • Transformar 2,45 km em metros.

13.000 m.

Colocamos a parte inteira 2 no degrau do km e os demais algarismos nos degraus seguintes completando com o algarismo 0.

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/35

Instituto Monitor

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 2 km

4 hm 5 dam 0 m

s. i cm a r mm to u a s Assim 2,45 km é igual a 2.450 m. to Ou seja, multiplicamos 2,45 por 1000 metros. i re i • Transformar 95 cm em metro. d s Neste caso vamos “subir a escada” colocando o o último algarismo s 5 no degrau cm e o restante nos demais degraus com o acompletando o algarismo 0. No degrau de chegada colocamos vírgula. d to s o km d a hm v r e dam s 0, e m R 9 . dm a d 5 a cm iz r mm o t au 95 cm corresponde a 0,95 m. Assim, oOu seja, na subida, usamos a divisão; neste caso fizemos 95 : 100. ã n dm

a Outras Medidas i óp No estudo de Potência Elétrica, temos: C

• GW (gigawatt) = 1.000.000.000 W = 1,0 . 109 W • MW (megawatt) = 1.000.000 W = 1,0 . 106W • KW (quilowatt) = 1.000 W = 1,0 . 103W • W (watt) = 1 W = 1,0 . 10oW -3

(miliwatt) = 0,001W = 1,0 . 10 W todos os direitos autorais. Cópia não• mW autorizada. Reservados ○

○

○

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009G/36

Instituto Monitor

Cópia não• µW autorizada. Reservados os direitos autorais. (microwatt) = 0,000001W = 1,0 . 10-6todos W • nW (nanowatt) = 0,000000001 W = 1,0 . 10-9W • pW (picowatt) = 0,000000000001W = 1.0 . 10-12W

x

Giga (G=109) 6

s. i Unidade 10 a r mili (m=10 ) to Micro (µ=10 ) u a : nano (η=10 ) s pico (p=10 ) to i e Neste caso, multiplicamos (descida) ou dividimosir(subida) de d 1.000 em 1.000 cada “degrau”. s o s o Por exemplo: d to Transformar 2,2 KW em W. s o d 2,2 KW . 1.000 = 2.200 W a v r Ao estudarmos em Eletrônica e os capacitores, que servem para s armazenar cargas elétricas, utilizamos a unidade de capacidade e medida em farad (símbolo R F). . a1 farad = 1 coulomb d 1 volt za i r o O farad é t uma unidade muito grande; utiliza-sem com freqüênu cia os a submúltiplos: o microfarad (µF) = 10 F ã n Mega (M=10 )

Kilo (K=103)

0

-3

-9

-6

-12

-6

ia p ó C

nanofarad (ηF) = 10-9 F picofarad (pF) = 10-12 F É mais prático escrever que um capacitor, por exemplo, tem o valor de 22 pF, ou seja, 22 .10-12, em vez de escrever 0,000000000022 F.

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/37

Instituto Monitor

Cópia não autorizada. Reservados os adireitos Os múltiplos e submúltiplos mais todos usados para corrente autorais. elétrica são: quiloampère (KA) ampère (A) miliampère (mA) microampère (µA)

= = = =

103 A 1A 10-3 A 10-6 A

No cálculo da tensão elétrica, os mais usados são: quilovolt (KV) volt (V) milivolt (mV) microvolt (µV)

= = = =

103 V 1V 10-3 V 10-6 V

Na resistência da corrente elétrica, temos: megaohm (M Ω) quiloohm (KΩ) ohm (Ω) miliohm (mΩ)

ia p ó C

o ã n

= = = =

106 Ω 103 Ω 1Ω 10-3 Ω

s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au

s o d o t

os

s o it e r di

s. i a r to u a

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/38

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

Exercícios Propostos 1 - Transformar 8,4 quilômetros em metros.

s o d o t

2 - Transformar 539 centímetros em decímetros.

s o d a v r e s 3 - Transformar 7,4 metros em centímetros. e R . a d a iz r o t u a 4 - Transformar 1.487 metros em quilômetros. o ã n ia p ó C

os

s o it e r di

s. i a r to u a

5 - Transformar 0,4 quilômetros em metros.

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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○

○

009G/39

Cópia6 -não autorizada. todos os direitos autorais. Transformar 30000Ω paraReservados KΩ.

7 - Transformar 22KΩ para Ω.

8 - Transformar 22000pF para ηF.

s o d a v r e s e R . a d para pF. 9 - Transformar 0,0022 µF a iz r o t au o ã n ia p ó C10 - Transformar 1500mA para A.

s o d o t

os

s o it e r di

s. i a r to u a

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/40

lição

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

5

s. i a r Introdução to u a Trabalhar com números inteiros relativos tornou-se freqüente s no cotidiano. Por exemplo, quando verificamos o saldo deonossa it Nesconta bancária, podemos ter um número positivo ou negativo. e r de exerta lição, vamos conhecer esses números e também, através di de forma cícios e resolução de problemas, aprender a utilizá-los prática. os s 1. Definição o d o Os números inteiros relativos são ttodos os números inteiros s positivos ou negativos, incluindo o o zero. d a r v 0 + 1 + 2 + 3 + 4 ... ... – 5 – 4 – 3 – 2 –e1 esficam à esquerda do zero, enquanto os Os números negativos R . positivos ficam à direita do zero. Os números positivos podem ser a escritos sem o sinal ( + ), mas os negativos devem, obrigatoriamente d a ser escritos com o sinal ( ). iz r o t ... – 5 u – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 ... a oEstudaremos agora as operações com os números inteiros reã n

Números Inteiros Relativos

lativos, dando ênfase às propriedades da potenciação.

a i óp 2. Operações com Números Inteiros Relativos C 2.1 Adição

1º caso) Dois números com sinais iguais. • Ambos positivos
(+ 2) + (+ 2) = + 2 + 2 = 4 • Ambos negativos
(- 2) + (– 2) = - 2 - 2 = - 4

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/41

Instituto Monitor

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Cópia não todos os fácil direitos Obs.: uma forma de efetuarautorais. o cálculo é Vejamos comoautorizada. podemos aplicar, Reservados na prápensar em “saldo bancário”, onde crédito é positivo e débito é negativo.

○

○

○

tica, esse conceito:

○

○

a) Rogério tem no banco um saldo positivo de R$ 150,00 e deposita mais R$ 60,00. Qual é seu novo saldo?

○

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○

○

○

2.1.1 Adição Algébrica Sem os Parênteses

○

(+ R$ 150,00) + (+ R$ 60,00) = + R$ 150,00 + R$ 60,00 = R$ 210,00

○ ○ ○ ○ ○

○

O saldo é positivo: + R$ 210,00.

s. i a r to u a

Podemos ter expressões envolvendo a adição algébrica sem os parênteses. Exemplificando, temos:

○

a) + 2 + 4 + 8 = 14

s o b) – 3 – 4 – 10 = – 17 it re i c) + 4 + 7 = 11 d (– R$ 30,00) + (– R$ 60,00) = s – R$ 30,00 – R$ 60,00 = – R$ 90,00 d) – 2 + 5 =o 3 s o O saldo é negativo: – R$ 90,00. e) + 2d– 5 = – 3 to 2º caso) Dois números com sinais diferentes. sf) + 4 + 3 – 1 – 6 + 9 = 9 o d Exemplos: a Quando temos vários fatores (como no v (+ 40) + (– 30) = + 40 – 30 = 10 r exemplo (f)), uma forma de simplificar esses e cálculos é adicionar todos os números positis (+ 30) + (– 40) = + 30 – 40 = –10 e vos e, em seguida, todos os negativos. Os núR meros positivos são 4, 3 e 9. Adicionando-os, . Vamos aplicar esse conceito em dois proa temos + 16 como resultado. Faremos, em seblemas: d a guida, o mesmo com os negativos. Os núz i meros negativos são –1 e – 6. Adicionandoa) Alfredo tem na conta bancária um saldo r o os, temos – 7 como resultado. negativo de R$ 30,00 et deposita R$ 50,00. Qual é o seu novo saldo? au Retomando a expressão inicial, temos: o50,00) = (– R$ 30,00) + (+ R$ ã n = + R$ 20,00 – R$ 30,00 + R$ 50,00 + 4 + 3 – 1 – 6 + 9 = 16 – 7 = 9 a i O saldo ópé positivo: + R$ 20,00. 2.1.2 Como Usar o Sinal Negativo C entre Parênteses ○

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○

b) Mariana tem, na conta bancária, um saldo negativo de R$ 30,00 e retira R$ 60,00. Qual é seu novo saldo?

○

○

○

b) Amélia tem um saldo negativo de R$ 65,00 e deposita R$ 20,00. Qual é o seu novo saldo?

○

○

Exemplos:

○

(– R$ 65,00) + (+ R$ 20,00) = – R$ 65,00 + R$ 20,00 = – R$ 45,00

○

○

○

○

(+ 3) – (+2) = + 3 – 2 = 1 (– 2) – (– 4) = – 2 + 4 = 2

○

O saldo é negativo: – R$ 45,00.

○

○

○

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/42

Instituto Monitor

Cópia não autorizada. todos autorais. Para determinar qual o sinal queReservados deverá c) (+11) . (– 11)os = – direitos 121

permanecer, é imprescindível seguir a regra de sinais:

d) (– 5) . (+ 8) = – 40 e) (– 2) . (–3) . (– 1) . (– 4) = + 24

( + ) com ( + ) dá ( + ) ( – ) com ( + ) dá ( – ) ( + ) com ( – ) dá ( – ) ( – ) com ( – ) dá ( + )

Neste caso, multiplicam-se dois a dois: (–2) . (–3) = + 6 (–1) . (–4) = + 4 6 . 4 = 24

Exemplo: – (– 7) + (– 2) – (+ 3) + (+ 5) = +7–2–3+5= 12 – 5 = 7

2.3 Divisão

s. i a r to u a

s o Na divisão de dois it números inteiros ree lativos, seguem-se r as regras: i d a) se os doissnúmeros têm sinais iguais o resultado o da divisão será sempre positivo; Antes de prosseguir seu s estudo, faça os o b) seddois números têm sinais diferentes, o exercícios 1 a 5 o desta lição. da divisão será negativo. tresultado s o d Obs.: vale aqui o uso da regra de sinais. a v Vejamos alguns exemplos: r e es a) (+ 36) : (+ 6) = + 6 R . b) (– 49) : (– 7) = + 7 2.2 Multiplicação a d c) (+ 12) : (– 6) = – 2 Na multiplicação de números za inteiros i r regra: relativos, usamos a seguinte d) (– 5) : (+ 5) = – 1 o t a) se os dois números autêm sinais iguais, o resultado da multiplicação será sempre o ã positivo; Antes de prosseguir seus estudos, n faça os exercícios 6 e 7 a b) se dois números têm sinais diferentes, o i desta lição. p resultado da multiplicação será sempre ó negativo. C 2.4 Potenciação Obs.: vale aqui o uso da regra de sinais. Vejamos, por meio de exemplos, como efetuar tais operações:

A potenciação resulta da multiplicação de fatores iguais. Exemplos:

a) (+ 2) . (+ 11) = + 22

a) (+todos 2)3 = (+ 2)os . (+ direitos 2) . (+ 2) = + 8autorais. Cópia não autorizada. Reservados

b) (– 21) . (– 9) = + 189

009G/43

Instituto Monitor 5 -1 direitos autorais. Cópia autorizada. Reservados os Onde + 2 énão a base, 3 é o expoente (indica a c) 10todos . 10-6 = 10 quantidade de vezes que devemos repetir a Somamos os expoentes 5 + (-6) = -1 e conbase), e o resultado + 8 é a potência. servamos a base 10

b) (+ 4)2 = (+ 4) . (+ 4) = + 16

2ª propriedade) Na divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

c) (+ 4)3 = (+ 4) . (+ 4) . (+ 4) = + 64 d) (– 4)3 = (– 4) . (– 4) . (– 4) = – 64

Exemplos:

Obs.: com relação aos sinais, a potência (resultado) só será negativa quando a base for um número negativo e o expoente for um número ímpar.

a) 56 : 54 = 52

s o it e r di

s. i a r to u a

Subtraímos os expoentes 6 – 4 = 2 e conservamos a base 5 b) 74 : 78 = 7-4

os

Subtraímos os expoentes 4 – 8 = – 4 e conservamos a base 7

s o d o tSubtraímos os expoentes 3 – (– 5) = 3 + 5

c) 23 : 2-5 = 28

Antes de continuar seu estudo, faça o exercício 8 desta lição.

s =8 o d e conservamos a base 2 a v d) 7 : 7 = 7 r e s Subtraímos os expoentes 3 – 5 = – 2 2.4.1 Propriedades da Potenciação e e conservamos a base 7 R . 1ª propriedade) Na multiplicação a de potên3ª propriedade) Em potência de potência, d cias de mesma base, conservamos a base e a conservamos a base e multiplicamos os exsomamos os expoentes. iz r poentes. o t Exemplos: u Exemplos: a a) 2 . 2 . 2 = 2 o ã a) (2 ) = 2 Somamos os n expoentes 3 + 4 + 5 = 12 e Multiplicamos os expoentes 5 . 2 = 10 conservamos ia a base 2 p e conservamos a base 2 b) 3 . 3 =ó3 C b) (3 ) = 3 3

3

4

4

5

5

-2

12

5 2

10

5 3

15

5

Somamos os expoentes 4 + 1 = 5 (1 é expoente do segundo 3) e conservamos a base 3

Multiplicamos os expoentes 5 . 3 = 15 e conservamos a base 3

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 009G/44

Instituto Monitor

○

○

Cópia não autorizada. Reservados direitos autorais. rior todos 8,41 . 10-2os 3. Potência de 10 já está escrito em notação cien○

○

tífica.

○

Exemplos:

○

Agora, o número 35,4 . 103 não está escrito em notação científica. Sua representação será 3,54 . 104.

○

○

1) Escrever o número 3.450 em potência de 10.

○

○

○

Observamos que 3.450 = 3,45 . 1000 = 3,45 . 103

○

s. i aA notação r 1) Consideremos o número 86.000. Observamos que 8531 = 8,531 . 1000 = científica será 8,6 . 10 . to 8,531 . 10 u a 2) Vamos escrever agora o número 95.000.000 s 3) Escrever o número 745 em potência de 10. em notação científica: 9,5 . 10 . to i Observamos que 745 = 7,45 . 100 = Outros casos: re 7,45 . 10 i 0,01 = 1,0 . 10 d s 4) Escrever o número 0,00753 em potência 0,02 = 2,0 . o 10 de 10. s= 4,4 . 10 0,00044 o Observamos que 0,00753 = 7,53 : 1000 = d o 7,53 . 10 t Observe que o expoente negativo do 10 é s quantidade de casas que a vírgula se o adeslocou. 5) Escrever o número 0,0841 em potência de 10. d a Observamos que 0,0841 = 8,41 : 100 = v r 8,41 . 10 Mais exemplos: e s e Observação: Efetue: (4,8 . 10 ) . (3,4 . 10 ) R . a Notação Científica Multiplicando os números decimais d a 4,8 por 3,4 obtemos 16,32. iz A notação científica é caracterizada por r o ter na parte inteira um algarismo de 1 a 9, mulMultiplicando as potências 10 e 10 , neste t de 10. tiplicado por uma potência u caso usamos as propriedades da potenciação, a conservamos a base e somamos os expoentes. o O expoente daãbase 10 é a quantidade de Daí, obtemos 10 . casas decimais n obtidas após a colocação da a vírgula. Assim (4,8 . 10 ) . (3,4 . 10 ) = 16,32 . 10 . i p Escrevendo em notação científica, obtemos ó Assim, 1,632 x 10 . C o resultado obtido no exemplo ante○

Exemplos:

○

○

○

○

2) Escrever o número 853 em potência de 10.

4

○

○

○

○

3

○

○

○

7

○

○

2

○

○

○

-2

○

○

-2

○

○

-4

○

○

○

○

○

○

○

○

-3

○

○

○

-2

4

○

○

○

○

○

○

○

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5

4

○

○

○

○

○

5

○

○

○

○

9

4

9

○

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5

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○

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○

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○

○

○

○

10

○

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○

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/45

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

Exercícios Propostos i) (+ 17) + (+ 40) =

○

○

○

1 - Efetue as seguintes adições algébricas:

○

○

s o it j) 0 + (+ 20) = e r di os s as adições algébricas: 2 - Efetue o d o a) t – 4 – 10 – 14 = s b) – 8 – 10 – 11 = o d c) + 70 + 40 + 30 = a v r d) + 1 + 1 + 1 + 1 = e e) – 1 – 1 – 1 = es R f) + 7 + 4 = . a g) 8 + 10 = d a h) – 4 – 8 – 11 = iz r o i) + 20 + 15 = t j) + 3 + 7 = au ○ ○ ○

○

○

○

○

○

○

e) (+ 21) + (+ 31) =

○

○

○

○

○

○

d) (– 9) + (– 7) =

○

○

○

○

○

○

c) (– 3) + (– 7) =

○

○

○

○

○

○

○

○

b) (+ 5) + (+ 8) =

○

○

○

○

○

○

a) (+ 2) + (+3) =

s. i a r to u a

o ã n

○

○

f) (– 100) + (– 150) =

○

○

3 - Efetue as somas algébricas: a) (+ 2) + (– 3) =

○

○

○

ia p ó g) (+C8) + (+14) =

○

○

○

b) (+ 4) + (– 3) =

○

○

○

c) (– 30) + (+ 40) =

○

○

d) (+ 50) + (– 40) =

○

○

e) (– 21) + (+ 30) =

○

h) (–16) + (– 23) =

○

○

○

f) (– 4) + (+ 7) =

○

○

○

(– 4) + (+os 1) = direitos autorais. Cópia não autorizada. Reservados g)todos ○

○

○

○

○

009G/47

○

○

○

Cópia todos (+ 8) . (+ os 10) =direitos autorais. h) (+ 2) +não (– 7) =autorizada. Reservados d) e) (+ 1). (+ 1) . (+1) =

○

○

○

i) (+ 10) + (– 35) =

f) (– 1) . (– 1). (–1). (– 1) =

○

○

j) 0 + (– 3) =

○

g) (– 32) . (– 11) =

○

○

4 - Efetue as adições algébricas:

s. i i) (+4) . (– 3) . 0 . (+ 10) = b) – 3 + 1 = a r j) (– 5) . (– 6) = to c) + 4 – 3 = u a d) + 1 + 2 + 7 = 7 - Efetue as divisões: s o a) (+44) : (+ 11) = it e) – 7 + 20 = re f) + 8 + 10 – 14 = i d g) + 8 – 0 + 7 – 3 = s b) (– 36)o: (+ 2) = s h) – 5 + 17 = o d i) + 20 – 36 = o t c) (+ 100) : (– 10) = s j) + 6 – 10 – 4 = o d a 5 - Efetue as adições algébricas: v r a) – 10 – (– 21) = e d) (+ 18) : (+ 9) = s e b) – 6 – (– 3) = R . c) + 4 – (– 5) = a d e) (– 6) : (– 6) = a d) + 6 – (– 11) = z ri e) – 11 – (– 40) = o t u f) + 13 – (– 20) = a f) 0 : (+ 5) = o g) + 6 – (+ 15) =ã n h) – 6 – (+ia 16) = g) (– 121) : (– 11) = p i) 19 –ó(+ 14) = C h) (+ 4) . (– 6) =

○

○

○

○

○

○

○

○

○

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○

○

a) – 2 + 4 =

○

○

j) 15 – (+4) =

○

h) (+ 64) : (– 2) =

○

○

○

6 - Efetue as multiplicações:

○

○

a) (+ 2) . (– 3) =

i) (+ 1.000) : (– 100) =

○

○

○

b) (– 4) . (– 5) =

○

○

Reservados todos os direitos autorais. ○

c) (– 3) .não (+ 5) = autorizada. Cópia

○

○

○

○

○

009G/48

○

○

Cópia todos as os direitos j) (– 24) não : (– 3) =autorizada. Reservados 9 - Aplicando propriedades da autorais. potenciação, ○

○

○

○

faça os cálculos abaixo e apresente o resultado na forma de uma única potência.

○

○

○

a) 2–7 . 24 . 29 =

○

○

8 - Determine as potências:

○

○

a) (– 2)4 =

○

○

○

○

b) (26)3 =

○

b) (– 3)4 =

○

○

○

○

○

○

c) 37 : 38 =

○

c) (+ 3)3 =

○

○

○

○

○

○

d) 54 : 52 =

○

d) (+ 5)3 =

s o e)d6 : 6 o t

○

○

○

3

4

=

○

○

s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au

os

s o it e r di

s. i a r to u a

f) 74 : 76 =

○

○

○

○

○

○

○

e) (– 7)3 =

g) 310 : 38 =

○

○

○

○

○

○

f) (+ 2)5 =

h)105 . 106 =

○ ○ ○ ○

○

i) 107 : 108 =

○

ia p ó= i) (– C 21)

o ã n

○

h) (– 12)2 =

○

○

○

○

○

○

○

g) (+ 11)2 =

○

○

○

○

1

○

j) 1023 : 10–19 =

○

3

○

○

○

○

○

○

○

j) (– 10) =

○

○

○

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/49

○

○

Reservados todos d) 4,1 . 103 = os direitos autorais. ○

Cópia autorizada. 10Escrevanão em notação científica

○

○

a) 46.000.000 =

○

○

b) 38.000 =

e) 5,4 . 102 =

○

○

○

c) 78.000.000.000 =

○

○

d) 77.000.000 =

○

e) 5.200 =

-3

○

f) 3,5 . 10 =

○

○

○

f) 4.000 =

○

○

g) 0,00001 =

○

h) 0,055 =

○

g) 4,2 . 10-3 =

○

○

○

○

i) 0,000064 =

○

○

11- Qual o valor original de cada número abaixo que está escrito em notação científica?

h) 7,6 . 10-3 =

○

○

os

s o d o a)t(1,5 . 10 ) . (3 . 10 ) = s o d a v b) (2,7 . 10 ) . (5 . 10 ) = r e es R . a d za i r o t u a ○

a) 7 . 104 =

s o it e r di

s. i a r to u a

○

○

○

○

○

12 – Efetue as operações, expressando os resultados em notação científica: -4

-5

-3

-4

○

○

○

○

○

○

○

b) 3,48 . 105 =

-3

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

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ia p ó C

o ã n

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○

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○

c) 1,8 . 10 =

○

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Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/50

lição

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

6

Equações de 1° Grau com Uma Variável c) 3x + 1 = 10 3x = 10 – 1 9 x= 3 x=3

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Introdução

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○

A equação de 1° grau permite que determinemos o valor de uma variável quando conhecidos os demais termos. Por exemplo, num circuito elétrico, se conhecemos o valor da resistência e a intensidade da corrente que está percorrendo o circuito, podemos montar uma equação e determinar o valor da voltagem.

○

○

○

d) 6x – 5 = 31 6x = 31 + 5 36 x= 6 x=6

○

○

○

s o d o t

○

○

○

1. Resolvendo Equações

s o it e r di

s. i a r to u a

os

○

e)s5x + 4 = 8 – 3x o d a Neste caso, vamos deixar as variáveis anv r tes do sinal de igualdade (=); os números, dee s pois do sinal de igualdade (=). É importante e lembrar que quando mudamos os números, os R . a) 3x = 15 sinais deverão ser trocados. a d a Nesse caso, o número 3 está multiplicando 5x + 4 = 8 – 3x z i a variável x. Vamos isolar essa 5x + 3x = 8 - 4 r variável usando a operação inversa, outo seja, a divisão. Pas8x = 4 u saremos o número 3 para depois do sinal de 4 x= a igual (=), dividindo-o pelo número 15. 8 o 1 ã x= n 2 3x = 15 a i 15 f) 4x – 3 = 2x – 7 x = óp 3 4x – 2x = – 7 + 3 C x=5 ○

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Em geral, o valor do termo desconhecido é simbolizado pela letra x. Usando o processo prático de resolução, vamos examinar vários tipos de equações de 1° grau com uma variável.

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2x = – 4 –4 x= 2 x=–2

○

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b) 5x = 20 20 x= 5 x=4

○

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Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/51

Instituto Monitor

Cópia nãoExercícios autorizada. Reservados todos os direitos autorais. Resolvidos 1) 2 (3x + 1) = 4 Nesse caso, aplicaremos a propriedade distributiva para eliminar os parênteses; para isso, multiplicamos o número 2 por todos os termos do interior dos parênteses.

2) 3 (2x + 4) = 4 (x + 5)

ia p ó C

o ã n

s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au

s o d o t

os

s o it e r di

s. i a r to u a

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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○

○

009G/52

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

Exercícios Propostos j) 4x = 8

○

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○

1 - Calcule o valor de x para:

○

s o it e r de x para: 2 - Calcule o valor di a) 6x + 4 s o= 18 s o d o t s o d b) 3x – 10 = 20 a v r e s e R . a c) 8x + 4 = 5 d a iz r o t au ○

○

○

○

○

a) 3x = 18

s. i a r to u a

○

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○

b) 5x = 30

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○

○

○

○

○

○

c)10x = 100

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○

○

d) 6x = –30

○

○

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○

e) 7x = –70

○ ○

○

○

○

○

○

○

d) 10x – 28 = 2

○

○

ia p ó h) 5x C= 40

o ã n

○

g) 3x = 7

○

○

○

○

○

○

f) 9x = 18

○

○

○

e) 2x + 4 = 16

○

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○

○

○

i) 2x = 10

○

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○

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/53

○

○

Cópia autorizada. Reservados todos os direitos autorais. f) x + 4 =não 8

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d) 9x – 6 = 3x + 12

e) 7x + 4 = – 3x – 16

○

○

○

○

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○

○

○

g) 2x + 8 = – 16

○

f) 4x + 18 = 2x + 6

s. i a r to u a

○

s o it e r 4 - Calcule o valor di de x para: s a) 3(x +o4) = 8 i) 5x – 10 = – 5 s o d o t s o b) 2(x + 7) = – 8 d a v j) 3x – 14 = –7 r e es c) 6(2x – 4) = 2(4x – 6) R . a d 3 - Calcule o valor de x para: za ri o t d) – 5(2x – 4) = – 3(4x – 6) a) 3x + 8 = 2x + 4 u a o nã ia– 3x + 20 e) 6(2x + 4) = 2(4x – 2) b) 8x – 5 = p ó C ○

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h) 3x + 4 = 11

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c) 6x – 4 = 10 – x

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f) 8(x + 2) = 24

○

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Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/54

lição

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

7

s. i a r o Introdução O consumo de energia de 6taparelhos será u de 150 kWh. a A regra de três serve para obtermos um valor s quando conhecemos outros três. Por exemplo, Podemos, ainda, ter toproblemas de regra de i se em 1 hora conseguimos estudar 5 páginas de três com grandezas inversamente proporcionais. re uma determinada matéria, quantas páginas Isso ocorre quandoiuma coluna aumenta e outra d conseguiremos estudar em 3 horas. Aprenderediminui. Nessescaso, temos de inverter uma das mos, nesta lição, como fazer esses cálculos. colunas e, a partir o daí, multiplicar em cruz normalmentespara formar a equação. 1. Utilizando a Regra de Três o d to um trabalho é realizado por 6 pesExemplo: O consumo de energia mensal de 2 apares em 10 horas. Quantas horas são necessásoas lhos é de 50 kWh. Se desejarmos saber o consuo mo de energia de 6 aparelhos idênticos aos 2 pri- d rias para executar o mesmo trabalho com 4 meiros, precisaremos aplicar a regra de três.va pessoas? r Abaixo, montamos um esquema para resolvê-lo. e nº de pessoas Horas nº de aparelhos Consumo (kWh) es R 6
10 2
50 . a 4
x d 6
x za i Neste exemplo, diminuindo o número de Onde x é o consumo de renergia (em kWh) pessoas, aumentará a quantidade de horas para o t para 6 aparelhos. a execução da tarefa. Assim, teremos grandeu a zas inversamente proporcionais e será preciso Obs.: como o número de aparelhos aumentou, o inverter uma das colunas. Escolhemos a seã também aumentará. o consumo de energia gunda: n Podemos dizer que, neste caso, as grandezas, a aparelhospei kWh, são diretamente propor6
x cionais. ó 4
10 C ○

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Regra de Três Simples

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Multiplicando em cruz temos:

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autorizada.

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4 . x = 6 . 10 4x = 60 60 x= 4 Reservadosxtodos os = 15 ○

2 . x = 6 . 50 2x = 300 300 x= Cópia2 não x = 150

○

Assim, multiplicamos em cruz: 2 multiplicado por x e 6 multiplicado por 50; e montamos a equação:

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○

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009G/55

direitos autorais.

Instituto Monitor

Cópia não autorizada. Reservados todosdeos direitos Veremos agora alguns exemplos de resolução problemas de autorais. proporcionalidade, aplicando a regra de três no campo da Eletrônica. 1) Com relação à corrente elétrica, temos que todo fio condutor oferece algum tipo de resistência à passagem da corrente. Essa resistência é expressa em ohm.

s. i a r o Desta forma, se um fio com 12 metros de comprimento tem t u resistência de 6 ohms, então a resistência de 30 metros do mesmo a fio será obtida fazendo s to i ohms Metros re 6 12 i d x 30 s o Como neste caso as grandezas são diretamente proporcionais, s o basta multiplicarmos em cruz: d o t 12 . x = 30 . 6 s 12x = 180 o d a x = 180 v 12 r e x = 15 es R . Então, a resistência corresponde a 15 ohms. a d a 2) O elétron tem negativa de 1,602 . 10 Coulomb (a carga iz carga elétrica é rmedida em Coulomb). o t Nestas au condições, quantos elétrons conterá 1 Coulomb? o Número de elétrons Carga elétrica ã n 1 1,602 . 10 E ainda, a resistência de um fio é diretamente proporcional ao seu comprimento (importante lei da Resistividade).

-19

ia p ó C

-19

1

x

São grandezas diretamente proporcionais, basta multiplicar em cruz: 1,602 . 10-19 . x = 1 x=

1 1,602 . 10-19

x = 6,24 . 1018

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/56

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

Exercícios Propostos

s. i a r 1 - Doze homens executam um trabalho em 5 horas. Quantas horas levarão to 10 u homens para fazerem o mesmo trabalho? a s to i re i d s o s o d to s o d de energia consumirão 4 chuveiros? 2 - Cinco chuveiros consomem 40 kWh. Quanto a v r e s e R . a d a iz r o t au o atende 4 clientes em 20 minutos. Para atender 9 clientes, quantos 3 - Uma empresa ã n gastará? minutos ia p ó C

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/57

Cópia autorizada. todos direitos autorais. 4 -não Um determinado trabalhoReservados é realizado por 4 homens emos 9 dias. Quantos dias 6 homens gastarão para fazer o mesmo trabalho?

s. i a r to u a Quantos 5 - Um carro com velocidade de 25 km/h percorre 5 metros após brecar. s metros o carro vai andar após brecar se a velocidade for de 75 km/h? to i re i d s o s o d to s o d duas cidades em 8 horas, à uma veloci6 - Uma carga é transportada de carro entre a dade média de 75 km/h. Qual deverá r v ser a velocidade do carro para que o transporte seja executado em 6 e horas? es R . a d za i r o t u a o ã 7 - Umanequipe composta de 8 pessoas consegue fazer os atendimentos previstos ema9 horas. Para fazer os mesmos atendimentos em 6 horas, qual deverá ser o i número de pessoas na equipe? p ó C

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/58

lição

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

8

Sistema de Equações de 1º Grau com Duas Variáveis

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s. i a r tre os termos semelhantes, a variável Introdução to x se anuu lará. Observe: a Nesta lição, vamos aprender a resolver pros – 2x – 4y = – 22 blemas de equações do 1º grau com duas variáto 2x – 3y = 1 i veis. Esse sistema tem muitas aplicações. Em e – 7y = – 21ir eletrônica, por exemplo, quando encontramos d circuitos combinados de grande complexidaA escolhasdo número (– 2) para multiplide, o cálculo do valor da resistência e da ino não foi arbitrária, nem tampouco car a equação tensidade da corrente elétrica que passa pelo s a escolha circuito é facilitado pela aplicação desse siso da primeira equação para se fazer a d multiplicação. Foram escolhas estratégicas, de tema de equações. o t tal forma que se anula uma das variáveis. No s caso, x. nosso 1. Cálculo pelo Método da Adição o d a - 7y = - 21 Resolver um sistema de equações signifi-v r 7y = 21 ca determinar os valores de x e de y, de forma e 21 que satisfaçam as equações dadas.Vamossrey= e com 7 solver sistemas de equações do 1º grau R . y=3 duas variáveis, aplicando o método da adição. a d a Já sabemos o valor de y, falta agora deterx + 2y = 11 z i minar o valor de x. Para obtê-lo, podemos es2x – 3y = 1 r o colher qualquer uma das equações. Tomaret mos a primeira do sistema original: Vamos escrever umunovo sistema equivaa lente a este dado, resultado da multiplicação o equação: x + 2y = 11 de (– 2) pela primeira ã n Como y = 3, substituímos esse valor na x + 2y =ia 11 . (- 2) p equação: 2x – 3y ó =1 C x + 2y = 11 x + 2 . 3 = 11 x + 6 = 11 x = 11 - 6 x=5

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- 2x – 4y = - 22 2x – 3y = 1

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Estes dois sistemas são equivalentes e com a vantagem de que, ao efetuarmos a adição en-

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Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/59

Instituto Monitor

Cópia não autorizada. todos os direitos autorais. Assim, x = 5 e y =Reservados 3 Outro exemplo: 4x – 2y = 0 x + 3y = 7

s. i a r to u a

Vamos obter um sistema equivalente a este multiplicando a segunda equação por (– 4). 4x – 2y = 0 x + 3y = 7 . (– 4) 4x – 2y = 0 – 4x – 12y = – 28 14y = – 28 - 14y = - 28 14y = 28 28 y= 14 y=2

ia p ó C

s o d o t

os

s o it e r di

s o ddeterminar o valor de x. Para Achamos o valor de y, falta a v calculá-lo, podemos escolher qualquer uma das equações. Tomar remos, então, a segunda equação e do sistema original. s e x + 3y = 7 R . a d Como y = 2, faremos a substituição de y por 2. a iz r x + 3y = 7 o x + 3 .t2 = 7 x +a6u= 7 ox = 7 - 6 ã n x=1 Portanto, x = 1 e y = 2.

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/60

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

Exercícios Propostos

s. i a r Resolver os seguintes sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis:to u a 2x - y = 2 1) s x + 2y = - 9 o it e r di os s o d o t s o d a 3x + 2y = 8 v 2) r 6x - 4y = 8 e es R . a d za i r o t u a o ã x +n3y = 7 3) a 4x i - 5y = - 6 p ó C

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/61

Cópia não Reservados todos os direitos autorais. 2x + yautorizada. =6 4)

5)

6)

x + 2y = 9

x + y = 12 x-y=0

x+y=-7 3x - 2y = 4

s o d a v r e s e R . x+y=7 a 7) d 2x - y = 2 a iz r o t au o ã n ia p x+y=1 8)ó C - 2x - 3y = - 4

s o d o t

os

s o it e r di

s. i a r to u a

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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○

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○

009G/62

lição

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

9

s. i a r Introdução 1. Propriedades to u a do radical for A radiciação, operação inversa da poten­ 1ª Propriedade) Se o índice s o ciação, é aquela que permite obter a raiz igual ao expoente do tradicando, a raiz será i quadrada de um número ou expressão. Nesta igual à base da potência que está formando e r lição, vamos conhecer suas propriedades. o radicando. di os √a = a Na Lição 5, já estudas o Exemplos: mos que √64 = 8, d o porque 8 = 64. t s o d a v r e es R . 2ª Propriedade) Podemos desmembrar o ra­ a d dical em tantos quantos forem os fatores do a z radical. i r Em termos genéricos,to têm-se: u a √a = b  b = a o Exemplos: nã Onde: √a é o radical ia p n é o índice ó (n inteiro e maior que 1) a é o radicando C Radiciação

n

n

2

n

n

n

b é a raiz

No radical dice é 2.

o radicando é 64 e o ín­

No radical , 8 é o radicando e 3 e o ín­ dice. = 2 porque 23 = 8.

Obs.: podemos ter a aplicação das duas propriedades num mesmo radical.

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 009G/63

Instituto Monitor

Cópia nãoExemplos: autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 3

2 . 33 = 3 2 . 3 33 =

3

2 . 3 = 33 2

s. i a r to u a

3ª Propriedade) Quando o radicando indicar um quociente, podemos desmembrar o radical num quociente de radicais. a = b

n

n

a

n

b

Exemplos: 2 = 3

5

a i óp C

3 = 4

o ã n

2 3 5

3

5

4

s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au

s o d o t

os

s o it e r di

Anotações e Dicas

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/64

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

Exercícios Propostos

○

○

○

s. i a r 3 - Transforme os radicais num 1 - Calcule o valor dos radiciais: toquociente de u radicais: a a) √3 = s to 7 i b) √78 = = a) 6 re i d s c) √24 . 22 = o s o d d) √46 = to s b) 3 = o 4 2 4 d e) √10 . 10 . 10 = a v r e s f) √23 = e R . a adproduto de 2 - Transforme os radicais em z um 3 i radicais: r c) 8 = o t a) √2 . 3 = au o ã b) √5 . 6 = n ia p ó 7 c) √3C. 11 = = d) ○

6

○

○

6

○

○

○

○

○

8

○

○

○

○

○

6

○

○

○

○

6

○

3

○

○

○

○

○

7

○

○

○

○

○

○

○

○

○

3

○

○

○

5

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

7

○

○

8

○

○

○

10

○

○

○

○

○

○

○

○

d) √10 . 7 =

○

○

○

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/65

lição

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

10

Equações de 2º Grau com Uma Variável

s. i a r Introdução to u a Nesta lição, vamos estudar a equação de 2º grau com uma variás vel, e como encontrar o valor da incógnita. Podemos utilizar to essa i equação para calcular, por exemplo, os elementos da trajetória de e r uma pedra que é jogada para cima. di 1. Resolvendo Equações os s apresenta-se da seToda equação do 2º grau com uma variável o d guinte forma: o t s ax + bx + c = 0 o d a com a diferente de zero. Onde a, b e c são números quaisquer, v r e s uma equação significa encontrar o Lembre-se de que resolver eforma valor da incógnita, de tal que satisfaça a igualdade da equaR . ção. Para resolver uma equação de 2º grau, aplicamos a seguinte a fórmula: d za i r b± b −4.a.c −o t x = 2.a au o ã Onde: n 2

2

do x a ab éé oo coeficiente i coeficiente de x óp c é o termo independente C 2

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/67

Instituto Monitor

Cópia nãoExemplos: autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 1) x2 – 5x + 6 = 0 a = 1; b = – 5 e c = 6 Aplicando estes valores na fórmula temos:

x=

x=

−b±

b2 − 4 . a . c 2.a

− (− 5) ±

(− 5)

2

− 4.1.6

2.1

Resolvendo as operações indicadas:

x=

a i óp C

5±

s o d o t

25 − 24 2

os

s o it e r di

s. i a r to u a

s o d a 5± 1 v x= r 2 e s e Extraindo a raiz quadrada: R . a d 5±1 a x= 2 iz or t Desmembrando o sinal de mais ou menos ( + ), temos, x1 e x2: au o 5+1 6 ã x = = =3 n 2 2 1

x=

5±1 2

5−1 4 = =2 2 2

x2 =

Portanto, os valores de x são 3 e 2.

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/68

Instituto Monitor

Cópia não2) autorizada. Reservados todos os direitos autorais. x2 – 6x + 8 = 0 a = 1; b = – 6 e c = 8

x=

x=

x=

−b±

b2 − 4 . a . c 2.a

− (− 6) ±

(− 6)2

− 4.1.8

2.1

6 ± 36 − 32 2

6± 4 x= 2

s o d o t

os

s o it e r di

s. i a r to u a

s o d a v ou menos ( ± ), temos x1 e x2: Desdobrando o sinal de mais r e s e 6+2 8 R x = = =4 . 2 2 a d 6±2 a x= z 2 ri o t 6−2 4 u x = = =2 a 2 2 o nã x=

6±2 2

1

2

a i óp C

Portanto, os valores de x são 4 e 2.

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/69

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

Exercícios Propostos Resolva as equações do 2º grau: 1) x2 – x – 6 = 0

s o d a v r e s e R . 2) x – 4x – 12 = 0 a d a iz r o t au o ã n ia p ó C

s o d o t

os

s o it e r di

s. i a r to u a

2

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/70

2 Cópia Reservados todos os direitos autorais. 3) xnão + 4x autorizada. +3=0

s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au

4) 2x2 + 4x – 6 = 0

ia p ó C

o ã n

s o d o t

os

s o it e r di

s. i a r to u a

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/71

lição

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

11

Equações do 2º Grau com Duas Variáveis

s. i a r Inicialmente, escrevemos ato equação do 1º Introdução u grau isolando a variável x: a Assim como na lição anterior, estudares x – y = 1  x = 1o+ y mos a equação de 2º grau, mas agora com duas it incógnitas. e A partir da igualdade conseguida: x = 1 + ir d y, substituimos na equação do 2º grau o valor 1. Resolução de x: (x + y =s25). o s x +oy = 25  (1 + y) + y = 25 Já vimos sistemas de d equação com duas variáo veis na Lição 8. No tcálculo de (1 + y) , fazemos: (1 + y). (1 + Agora vamos estudar os s aplicando a propriedade distributiva. É y), o sistemas do 2º grau, d só multiplicar e somar conforme indicam as em que uma das a equações é de 2º grau v setas: r e a outra é de 1º grau. e s (1 + y) = (1 + y) . (1 + y) = 1+ y + y + y e R . Retomando a equação: a d a (1 + y) + y = 25 z i (1 + y). (1 + y) + y = 25 r o 1 + y + y + y + y = 25 O processo para a resolução de sistemas t u de equações de 2º grauaserá o método da subsEstamos diante de uma equação do 2º tituição. Vejamos como o fazer isso. grau. A fim de que ela se apresente como na ã n lição 10 devemos passar o número 25 para x + y = 25 a antes do sinal de igual, com sinal negativo. x – y = 1i p ó 1 + y + y + y + y – 25 = 0 C 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 009G/73

Instituto Monitor

Cópia não autorizada. Reservados todos osobtemos: direitos autorais. Reduzindo os termos semelhantes desta equação 2y2 + 2y – 24 = 0 Agora, vamos resolver a equação de 2º grau: 2y2 + 2y – 24 = 0 a = 2; b = 2 e c = –24 A fórmula resolutiva é:

y=

y=

_b±

− (2) ±

b2 − 4 . a . c 2.a

(2)2

− 4 . 2 . ( − 24)

s o d o t

2.2

os

s o it e r di

s. i a r to u a

s o d a v r e − 2 ± 196 s y= e 4 R . a d − 2 + 14 12 a y = = =3 z 4 4 i or± 14 −t2 y =u a 4 o − 2 − 14 − 16 ã y = = =−4 n 4 4 y=

−2±

4 + 192 4

1

a i óp C

2

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/74

Instituto Monitor

Cópia não autorizada. Reservados osdois direitos Considerando a variável y do sistema,todos ela assume valores: autorais. 3 e – 4. Passemos, agora, para o cálculo de x. Da equação: x = 1 + y, vamos substituir y por 3, pois y = 3; também faremos a substituição de y por – 4, pois y = – 4. x=1+y x=1+3 x=4 e x=1+y x = 1 + (– 4) x=1–4 x = –3

os

s o it e r di

s. i a r to u a

Assim, x assume dois valores: 4 e – 3. Por isso podemos dizer que x é igual a 4 e y é igual a 3; e podemos dizer ainda que x é igual a –3 e y é igual a – 4.

a i óp C

o ã n

s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au

s o d o t

Anotações e Dicas

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/75

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

Exercícios Propostos Resolva os seguintes sistemas do 2º grau: 1)

x2 + y2 = 41 x–y=1

ia p ó C

o ã n

s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au

s o d o t

os

s o it e r di

s. i a r to u a

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/76

Cópia não Reservados todos os direitos autorais. = 20 x2 + y2autorizada. 2) x – y = 2

ia p ó C

o ã n

s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au

s o d o t

os

s o it e r di

s. i a r to u a

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/77

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

Respostas dos Exercícios Propostos ○

Lição 1

1 3

○

○

○

i)

○

a) mmc (10, 40) = 40

○

9 j) 25

○

○

b) mmc (8, 3) = 24

○

○

c) mmc (5, 7, 30) = 210

○

2-

○

○

d) mmc (8, 6) = 24

○

e) mmc (10, 5, 25) = 50

○

a)

○

○

○

○

f) mmc (16, 20) = 80

b) s28 o d a v c) 5 r 9 e s e d) 1 R . a 15 d e) a 7 z i r o 1 t f) u 5 a ○

○

○

○

Lição 2

s o d o 5t

13 30

os

s o it e r di

s. i a r to u a

13 20

c)

14 11

d)

14 15

e)

5 4

f)

3 7

○

b)

○

2 3

○ ○ ○

1 2

h)

3 100

○

○

○

○

○

○

g)

○

○

ia p ó C

o ã n

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

a)

○

○

○

1-

5 41

j)

1 8

○

○

○

○

i)

1 2 2 h) 3 Cópia

○

○

○

○

○

g)

○

○

○

não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/78

Instituto Monitor ○

não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 3 32

c)

5 32

○

○

○

○

○

○

29 40

a)

b)

○ ○

3Cópia -

○

○

○

○

2 b) 7

○

○

20 d) 9

○

○

○

○

4 5

c)

63 64

f)

7 5

○

○

e)

○

○

○

○

○

○

41 d) 40

○

○

11 e) 84

○

○

s o d o t

3 4

h)

5 8

○

g)

s o d h) 30 a 7 v r e s 1 e i) R 3 . a d 1 za j) i r 21 o t u a ○

11 12

○

○

○

24 g) 5

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

f)

os

s o it e r di

s. i a r to u a

○ ○ ○

o ã n

○ ○ ○

○

○

712 a) 5

○

○

○

5

○

○

5

○

ia p ó Cpois 2 + 3 = 5 = 1 , ou seja, o total 4 - Sim, 5 do trabalho.

6 - 250, pois dividimos 250 por 5 = 50; multiplicamos 50 por 5 = 250.

○

27 4

○

j)

○

○

○

○

○

i) 2

b)

16 9

c)

21 8

○

○

5-

○

○

○

5 22

○

a)

○

○

○

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

○

○

○

○

009G/79

Instituto Monitor

○

○

Cópia não autorizada. Reservados 9 - todos os direitos autorais. 1 a)

1 7

b)

6 7

c)

4 5

d)

3 4

○

18

○

○

d)

○

○

○

○

○

8 5

e)

○

○

○

6 25

○

○

f)

○

○

○

2 15

○

○

g)

○

○

h) 9

○

8 e) 5

○

○

63 4

3 f) 8

○

s o d o t10

○

○

j)

○

○

○

○

i) 6

○

○

8-

49 16

b)

1 1.000

c)

27 64

d)

64 125

○

a)

os

s o it e r di

s. i a r to u a

49 81

○ ○ ○ ○ ○

○

○

b) 0,l

○

c) 3,14 d) 0,076 e) 0,25

○

○

g)

ia p ó C

○

25 64

1a) 2,3

○

f)

o ã n

○

5 7

○

e)

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

sg) o d 11 a v r 2 e h) s 5 e R . a 1 d i) 6 za i r o Lição 3 t u a

f) 0,32

○

○

1 32

○

g) 0,471

○

○

h)

h) 2,5

○

○

i) 4

○

i) 0,26

○

não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

j) 0,083

○

j)Cópia 1

○

○

○

○

○

009G/80

Instituto Monitor

○

○

não autorizada. Reservados 5 - todos os direitos autorais. ○

2Cópia -

a) 0,01

○

○

a) 4,721

b) 0,125

○

○

b) 20,11

c) 0,0016

○

○

○

c) 1,51

d) 1,21

○

○

d) 0,69

e) 1,44

○

○

e) 20,52

f) 9,7344

○

○

○

f) 24,96

g) 4,2

○

○

g) 1,603

h) 3,02

○

○

h) 10,2

i) 31,36

○

○

○

i) 12,37

j) 5,29

○

○

○

j) 1,448

Lição 4

○

○

3-

s o d dm 2-o 53,9 t 3 - 740 cm s o 4 - 1,487 km d a 5 - 400 m v r e 6 - 30 KΩ es 7 - 22000 Ω R . 8 - 22 ηF a d 9 - 2200 pF za i r 10 - 1,5 A o t Lição 5 au ○

a) 75,2

○

○

1 - 8.400 m

○

○

b) 18,6

os

s o it e r di

s. i a r to u a

○

○

c) 63,84

○

○

○

d) 24,3

○

○

e) 20,82

○

○

f) 8,4455

○

○

○

g) 0,08

○

○

h) 0,03

○

○

○

i) 25,854

○

○

○

j) 1,23

○ ○ ○ ○ ○ ○

c) – 10 d) –16

○

e) 1,6

b) 13

○

d) 3,2

ia p ó C

○

c) 3,6

1a) 5

○

b) 3,6

o ã n

○

a) 6,4

○

○

○

4-

○

f) 1,2

○

○

e) 52

○

g) 1,6

○

f) – 250

○

h) 7,2

○ ○

h) – todos 39 não autorizada. Reservados os direitos autorais. ○

j)Cópia 0,5

○

○

g) 22

○

i) 5,75

○

○

○

○

○

009G/81

Instituto Monitor

○

○

não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. i) –16 j) – 8

○

i)Cópia 57

○

○

j) 20

○

5-

○

○

2a) – 28

○

○

a) 11 b) – 3

○

○

b) – 29

c) 9

○

○

○

c) 140

d) 17

○

○

d) 4

e) 29

○

○

e) –3

f) 33

○

○

○

f) 11

g) – 9

○

○

g) 18

h) – 22

○

○

h) – 23

i) 5

○

○

○

i) 35

j) 11

s o 6- d o a)t–6 sb) 20 o d c) – 15 a v r d) 80 e e) 1 es R f) 1 . a g) 352 d a h) – 24 iz r o i) 0 t u j) 30 a

os

○

○

○

j) 10

s o it e r di

s. i a r to u a

○

○

○

○

3a) – 1

○

○

b) 1

○

○

○

c) 10

○

○

d) 10

○

○

e) 9

○

○

○

f) 3

○

○

g) – 3

○

○

○

h) –5

○

○

i) – 25

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○

b) – 18 c) – 10

○

c) 1

ia p ó C

7a) 4

○

b) – 2

o ã n

○

4a) 2

○

j) –3

d) 2

○

○

d) 10

e) 1

○

○

○

e) 13

f) 0

○

○

f) 4

g) 11

○

○

h) – todos 32 não autorizada. Reservados os direitos autorais. ○

h) 12 Cópia

○

○

○

g) 12

○

○

○

○

○

009G/82

Instituto Monitor

○

○

○

não autorizada. Reservados 11- todos os direitos autorais. a) 70.000

○

○

i)Cópia – 10 j) 8

b) 348.000

○

○

8a) 16

○

○

c) 0,0018

○

b) 81

○

○

d) 4.100 e) 540

○

○

c) 27

f) 0,0035

○

○

d) 125

○

e) – 343

○

○

g) 0,0042 h) 0,0076

○

○

f) 32

○

g) 121

○

12-

○

○

h) 144

○

a) 4,5 . 10-9

○

i) – 21

○ ○

○

Lição o 6s

d o t

○

○

○

9a) 26

○

1a) 6

s o d b) 6 a v c) 10 r e d) –5 es e) – 10 R . a f) 2 d za 7 i r g) 3 o t h) 8 au ○

○

○

b) 218

os

b) 1,35 . 10-6

○

j) – 1.000

s o it e r di

s. i a r to u a

-1

○

○

c) 3

○

○

d) 52

○

○

○

e) 6-1

○

○

f) 7-2

○

○

g) 32

○

○

○

h) 1011

○

○

i) 10-1

○

○

○

i) 5 j) 2

○

ia p ó C c) 7,8 . 10 a) 4,6 . 107

o ã n

○

10 –

○

○

○

j) 1042

2-

○

○

b) 3,8 . 104

○

7 3 b) 10

10

○

○

a)

○

○

d) 7,7 . 107

○

e) 5,2 . 103

○

1 8 d) 3 e) 6 Reservados f) 4todos ○

c)

○

○

f) 4,0 . 103

○

autorizada.

○

h) 5,5 . 10-2 não Cópia

○

○

○

g) 1,0 . 10-5

○

i) 6,4 . 10-5 ○

○

○

○

○

009G/83

os direitos autorais.

Instituto Monitor

○

○

não autorizada. Reservados todos 5 - 15 metros os direitos autorais. ○

Cópia g) – 12

○

6 - 100 km/h

○

7 h) 3

○

○

○

7 - 12 pessoas

○

○

Lição 8

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i) 1

2- x=2ey=1

○

○

7 3

○

3-x=1ey=2

○

○

j)

○

○

1 - x = –1 e y = – 4

4-x=1ey=4

s o t 6 - x = –2 e y = – 5 ei ir 7 - x = 3 e y = 4d 8 - x = - 1 eoys= 2 s Lição o9 d o 1 -t s o a) 3 d a b) 7 v r c) 2 e s d) 4 e R e) 10 . a d f) 2 a iz r 2o t a) u a ○

○

3a) – 4

s. i a r to u a

○

○

○

25 11

○

○

b)

○

○

○

○

5-x=6ey=6

○

○

○

c) 2

○

○

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d) 3

○

○

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e) – 2

○

○

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f) – 6

○

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4-

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−4 3

○

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a)

○

○

○

b) –11

○

○

c) 3

○ ○ ○ ○ ○

○

○

c)

○

d) 3-

○

f) 1

ia p ó C

b)

○

e) – 7

o ã n

○

d) – 1

○

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Lição 7

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a)

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1 - 6 horas

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2 - 32 kWh

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b)

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3 - 45 minutos

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Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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4 - 6 dias

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009G/84

Instituto Monitor

Cópia nãoc) autorizada. Reservados todos os direitos autorais. d)

Lição 10 1a) 3 e – 2 c) 6 e – 2 b) – 1 e – 3 d) 1 e – 3

Lição 11 1a) x1 = 5, y1 = 4 e x2 = –4, y2 = – 5

s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au

b) x1 = 4 , y1 = 2 e x2 = – 2, y2 = – 4

ia p ó C

o ã n

s o d o t

os

s o it e r di

s. i a r to u a

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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○

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009G/85

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

Bibliografia BIANCHINI, Edwaldo Matemática 5ª série, 3ª edição São Paulo: Editora Moderna, 1995 BIANCHINI, Edwaldo Matemática 6ª série, 3ª edição São Paulo: Editora Moderna, 1995 BIANCHINI, Edwaldo Matemática 7ª série, 3ª edição São Paulo: Editora Moderna, 1994 BIANCHINI, Edwaldo Matemática 8ª série, 3ª edição São Paulo: Editora Moderna, 1993

s o d a v GIOVANNI, José Ruy r e CASTRUCCI, Benedito s e GIOVANNI JR, José Ruy A Conquista da Matemática.5,REd. Renovada a São Paulo: Editora FTD, 1994 d GIOVANNI, José Ruyza ri CASTRUCCI, Benedito o t Ruy GIOVANNI JR, José u A Conquista da Matemática 6, Ed. Renovada a São Paulo: o Editora FTD, 1996 nã José Ruy GIOVANNI, CASTRUCCI, Benedito ia p GIOVANNI JR, José Ruy ó CA Conquista da Matemática 7, Ed. Renovada

s o d o t

os

s o it e r di

s. i a r to u a

São Paulo: Editora FTD, 1994

GIOVANNI, José Ruy CASTRUCCI, Benedito GIOVANNI JR, José Ruy A Conquista da Matemática 8, Ed. Renovada São Paulo: Editora FTD, 1994

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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009G/86

Pesquisa de Avaliação

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 009G - Matemática Aplicada I Caro Aluno:

. s i Para que possamos aprimorar cada vez mais os nossos serviços, oferecendo um a r material didático de qualidade e eficiente, é muito importante a sua avaliação. to Sua identificação não é obrigatória. Responda as perguntas a seguir assinalandou a a alternativa que melhor corresponda à sua opinião (assinale apenas UMA s alternativa). Você também pode fazer sugestões e comentários por escrito to no i verso desta folha. re Na próxima correspondência que enviar à Escola, lembre-se deijuntar sua(s) d pesquisa(s) respondida(s). s o O Instituto Monitor agradece a sua colaboração. s o A Editora. d o t Nome (campo não obrigatório): _______________________________________________________________ s o N de matrícula (campo não obrigatório): _____________________ d a Curso Técnico em: v r Eletrônica Secretariado Gestão de Negócios e s Transações Imobiliárias Informática Telecomunicações e Contabilidade R . QUANTO AO CONTEÚDO a d a 1) A linguagem dos textos é: iz muito a compreensão da matéria estudada. a) sempre clara e precisa, facilitando r o e precisa, ajudando na compreensão da matéria estudada. b) na maioria das vezes clara t c) um pouco difícil, dificultando a compreensão da matéria estudada. au d) muito difícil, dificultando muito a compreensão da matéria estudada. o e) outros: ______________________________________________________ ã n 2) Os temas abordados nas lições são: a a) atuais eiimportantes para a formação do profissional. p b) atuais, ó mas sua importância nem sempre fica clara para o profissional. C c) atuais, mas sem importância para o profissional. Queremos saber a sua opinião a respeito deste fascículo que você acaba de estudar.

o

d) ultrapassados e sem nenhuma importância para o profissional. e) outros: ______________________________________________________ 3) As lições são: a) muito extensas, dificultando a compreensão do conteúdo. b) bem divididas, permitindo que o conteúdo seja assimilado pouco a pouco. c) a divisão das lições não influencia Na compreensão do conteúdo. d) muito curtas e pouco aprofundadas. e) outros: ______________________________________________________

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

QUANTO AOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 4) Os exercícios propostos são: a) muito simples, exigindo apenas que se decore o conteúdo. b) bem elaborados, misturando assuntos simples e complexos. c) um pouco difíceis, mas abordando o que se viu na lição. d) muito difíceis, uma vez que não abordam o que foi visto na lição. e) outros: ______________________________________________________

s. i a r to u a

5) A linguagem dos exercícios propostos é: a) bastante clara e precisa. b) algumas vezes um pouco complexa, dificultando a resolução do problema proposto. c) difícil, tornando mais difícil compreender a pergunta do que respondê-la. d) muito complexa, nunca consigo resolver os exercícios. e) outros: ______________________________________________________

s o it e 6) O material é: r a) bem cuidado, o texto e as imagens são de fácil leitura e visualização, tornando di o estudo bastante agradável. b) a letra é muito pequena, dificultando a visualização. os c) bem cuidado, mas a disposição das imagens e do texto dificulta a compreensão do mesmo. s d) confuso e mal distribuído, as informações não seguem uma seqüência lógica. o e) outros: ______________________________________________________ d to 7) As ilustrações são: s do texto. a) bonitas e bem feitas, auxiliando na compreensão e fixação o d do texto. b) bonitas, mas sem nenhuma utilidade para a compreensão a c) malfeitas, mas necessárias para a compreensão v e fixação do texto. r d) malfeitas e totalmente inúteis. e s e) outros: ______________________________________________________ e R Lembre-se: você pode fazer seus comentários e sugestões, bem como apontar . algum problema específico a encontrado no fascículo. Sinta-se à vontade! d za i PAMD1 r o Sugestões e comentáriosut a o nã ia p ó C QUANTO À APRESENTAÇÃO GRÁFICA

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Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○

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