Matematica Aplicada A La Electronica

 

La Transformada de Laplace Jaime S. Cazas Vela

´ Indice 1. Introducc Introducci´ i´ on on

 

3

2. Transformadas integrales integrales

 

4

3. La Transf Transforma ormada da de Laplace Laplace

 

5

4. Existenci Existencia a de la Transformad ransformada a de Laplace

 

5. Funciones Discontinuas Discontinuas

6

 

6

5.1. Funci´ unci´ on on salto unidad o escal´on on unitario de Heaviside   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Transforma ransformadas das de Laplace Laplace y su inversa inversa

 

7 10

6.1. M´ etodo etodo de la tabla ta bla   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Un M´etodo etodo de Diagramas Teoremas importantes   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. M´ etodo etodo de Fracciones parciales.  parciales.   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 11 17

6.4. Convolu Convoluci´ ci´ oon n  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Ecuaci Ecuaci´on ´on Integral   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 18

7. Funciones unciones peri´ odicas odicas

 

20

7.1. La transformad transformadaa de Laplace de las funcione funcioness impulso  impulso   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Ecuacione Ecuacioness diferenciales diferenciales y Laplace Laplace

8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5.

Ecuaciones Ecuaciones con coeficien coeficientes tes constante constantess   . . . . . . Ecuaciones Ecuaciones diferen diferenciales ciales y Heaviside Heaviside   . . . . . . . Ecuaciones Ecuaciones integrointegro-difer diferencial enciales es   . . . . . . . . . . Sistemas Sistemas de ecuacione ecuacioness diferenciale diferencialess   . . . . . . . Ecuaciones Ecuaciones diferencial diferenciales es con coeficiente coeficiente variable variable   .

9. Aplicacion Aplicaciones es

 

. . . . .  

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

23 23

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

23 25 26 26 29 31

1

Introducci´ o on n Durante el siglo XIX estuvo de moda para cient´ cient´ıficos e ingenieros, encabezados y motivados por el ingeniero electricista ingl´es es Oliver Heaviside (1850 – 1925), en estos m´etodos etodos los operadores fueron tratados como s´ımbolos ımbolos algebraicos algebraicos y las ecuaciones ecuaciones resultan resultantes tes fueron fueron manipuladas manipuladas de acuerdo acuerdo a las reglas del ´algebra (vea, como muestra, el Ejemplo ilustrativo   19 algebra 19,, de la p´agina agina   24). 24). Admirablemente, Admirab lemente, los m´etodos etod os condujeron conduje ron a respuestas respuest as correcta c orrectas. s. Estos E stos ´exitos exitos motivaron a cient ci ent´´ıficos e ingeniero in genieross a usar los m´etodos etod os a´ au un ´n m´as, as, e incitaron a la ret´oorica rica de parte de algunos matem´aticos aticos quienes no gustaban de ver tales ciegas manipulaciones matem´aaticas ticas gratificadas gratifi cadas con el ´eexito. xito. Algunos aticos aticos viendoalguna que las manipulaciones s´ı conduc´ conduc ıanuna a resultados corre correctos ctos matem´ razonaron queinquietos, deber´ deber´ıa haber manera maner a de colocar algebraicas tales procedimien procedim ientos tos ´en base matem´atica atica rigurosa. La investigaci´oon n sobre el problema continu´o por muchos a˜nos nos antes de que finalmente fuere reconocido que la transformaci´on on integral desarrollada por el matem´atico atico franc´es es Pierre Simon de

 

4

 

2

TRANS TRANSFOR FORMADA MADAS S INTEGRALES INTEGRALES

Laplace(1749-1827) casi un siglo antes proporcionaba los fundamentes te´oricos oricos del trabajo de Heaveside. Tambi´ ambi´en en fue reconocido reconocido que el uso de esa transforma transformaci´ ci´ on on integral proporcionaba una alternativa m´as as sistem´atica atica para la investigaci´on on de ecuaciones diferenciales que el m´etodo etodo propuesto por p or Heaveside. Es este tratamiento alternativo del tema a base del  m´ e etodo todo de la transformada de Laplace. La atracci´oon n de la transformada de Laplace es que transforma ecuaciones diferenciales en el dominio   t (tiempo) en ecuaciones algebraicas en el dominio  s  (frecuencia). La resoluci´on on de ecuaciones diferenciales en el dominio t dominio  t,, por tanto, se reduce a resolver ecuaciones algebraicas en el dominio  s.  s . Habiendo hecho lo anterior para las inc´ognitas ognitas deseadas, sus valores como funciones en el tiempo pueden ser encontrados al tomar la transformaci´on on inversa. Otra ventaja al usar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales es que las condiciones iniciales juegan un papel esencial en el proceso de la transformaci´on, as´ı es est´ t´an an autom´aticamente aticamente incorporadas en la soluci´on on final, por tanto la transformada de Laplace es una herramienta ideal para resolver problemas con valores iniciales como los que aparecen en la investigaci´oon n de circuito ci rcuitoss el´ectricos ectrico s y vibraciones vibraci ones mec´anicas. anicas. Con una visi´on on hacia tales aplicaciones, aplicaciones, dirigimos nuestra atenci´on on a la definici´on on y ejemplos de la transformada de Laplace. 2

Transformadas integrales Definici´ on 1.  Una gran cantidad de importantes funciones del An´ alisis matem´aticos alisis aticos pueden expresarse

        

mediante integrales de la forma ∞

g (x) =

ˆ  K (x, y) · f (x)dx

−∞

una funci´ funci´oon n   g   definida de esta forma (en donde la variable   y   puede ser real o compleja) de llama Transformada Integral de   f  La funci´oon  n   K   se denomina  N´  N ucleo u ´ cleo de la Transformada. Alguna de las transformadas m´as as frecuentes son: ∞

Transformada exponencial de Fourier:

´  e

ixy

−

f (x)dx. dx.

−∞ ∞

´ cos( cos(xy xy))f (x)dx. dx.

Transformada coseno de Fourier:

0

∞

´ sen( sen(xy xy))f (x)dx dx..

Transformada seno de Fourier:

0

∞

Transformada de Laplace:

´ e

xy

−

f (x)dx. dx.

0

Notemos que como e como  e −xy = cos(xy cos(xy)) isen( sen(xy xy), ), las transformadas de seno y coseno son casos particulares de la transformada exponencial de Fourier en las que la funci´on on se anula en el eje negativo. Del misma manera la transformada de Laplace est´a relacionada con al transformada de Fourier como un caso particular, pues si consideramos el valor complejo de   y,   y  =  u + con   u, v R  entonces es posible  u  + iv  iv   con escribir

−

 ∈

∞

∞

∞

ˆ 

ˆ 

ˆ 

0

0

 = e−xy f (x)dx dx =

 = e−ixv e−xuf (x)dx dx =

·

e−ixv φu (x)dx

0

xu

−

f (x) . donde  φ u (x) = e donde φ Una ecuaci´on on del tipo  tipo   g (x) =

∞

´  K (x, y) · f (x)dxdx puede  puede escribirse en la forma   g  =  T (  T (f ) o´  g  =  T f   f   donde

−∞

T  representa T  representa el operador que convierte  convierte   f  f    en en   g , as as´´ı el operador oper ador   T  se T  se designa con el nombre del operador La transformada de Laplace

 

5 integral. De esta forma, el operador definido para la transformada de Fourier se representa por   y el definido para la transformada de Laplace por . Las transformadas integrales se utilizan para convertir alg´un un problema que involucra a la funci´oon f  n f  en   en otro problema, proble ma, en ocasiones ocasiones m´ as as sencillo, que involucra a F  a  F .. Adicionalmente, son una herramienta sumamente util u ´ til para la resoluci´oon n de algunas ecuaciones ecuaciones diferencial diferenciales. es.

 F 

 L

3

La Transformada de Laplace En el caso de la transformada de Laplace el n´ucleo ucleo de la transformada es es e  e −st Definici´ on 2.   Sea f  Sea  f ((t) una funci´on on definida en [0, [0, + [ . Se define la transformada de Laplace de  f (  f (t) a la funci´oon F  n  F ((s) ´o (f (t)) (s) definida por la integral:

∞

        

 L

∞

F ( F (s) =

ˆ 

e−st f (t)dt

0

para aquellos valores de s de  s

∈ R  (o   C) para los que est´e definida la integral.

Notese que la integral que aparece es una integral impropia, que est´a definida por A

∞

ˆ e

st

−

0

ˆ  f (t)dt dt   = l´ım ım e

st

−

A→∞

f (t)dt

0

siempre que el l´ımite exista. exista . Como la transformad transformadaa de Laplace est´ a involucrada con integraci´oon, n, es natural que la transformada herede propiedades de la integral, una de esas propiedades es la linealidad. Sean   f   f   y   g   dos funciones cuyas transformada transf ormadass de Laplace Laplace existen existen para  para  s > a1   y  s > a2 , respectivamente; entonces, para s para  s >  m´aax x a1 , a2 se tiene

{

}

∞

L (αf (t) + βg( βg (t)) (s) =

ˆ 

e−st (αf (t) + βg( βg (t)) dt

0 ∞

∞

ˆ  =  α e

st

−

0

ˆ  f (t)dt + β  e

st g (t)dt

−

0

=  α (f (t)) (s) + β  (g (t))

L

L

para todo α todo  α  y   β   en   R; lo que acabamos de probar es el Teorema 1.   Si   α   y   β  son   son constantes, entonces 

L (αf (t) + βg( βg (t)) (s) = α L (f (t)) (s) + β L (g (t)) para todo  todo   s  tal que las transformadas tanto de   f  f    y   g  existan. Haciendo el uso de la linealidad de la Transformada de Laplace es posible encontrar la transformada de funciones como el seno y el coseno hiperb´olicos, olicos, las cuales se definen mediante   eat e−at   eat + e−at   ,   senh(at senh(at)) = cosh(at cosh( at)) = 2 2

−

Jaime Cazas

 

6

 

5

FUNCIONES FUNCIONES DISCONTINU DISCONTINUAS AS

Usando la linealidad de la Transformada de Laplace, resulta que  1  1 L [cosh( [cosh(at at)] )] (s) = L(eat)(s )(s) + L(e 2 2



 1   1   1 =  + 2 s a s+a   s = 2 s a2

−

at

)( )(ss)

at

)( )(ss)

−



−

y

 1  1 )(s) − L(e L [senh( [senh(at at)] )] (s) = L(eat)(s 2 2  1   1   1 =  − 2 s−a s+a



=

  a s2 a2

−



−

4

Existencia de la Transformada de Laplace Hasta el momen Hasta momento to se ha asumid asumidoo la existe existenci nciaa de la Transfo ransforma rmada da de Laplac Laplacee de cada cada fun funci´ ci´ on o n que utilizamos utiliza mos pero p ero es pertinente pertinente asegurarnos asegurarnos de ¿Cu´ ando ando una funci´on on tiene Transformada de Laplace? No es necesarioimpulsoras) que la funci´ oon f  n f ( (t) sea continua. Esto es de pr´actica ade ctica ya que las entradas discontinuas (fuerzas son justamente aquellas para lasimportancia que el m´etodo etodo la transformada de Laplace resulta de particular utilidad. Basta requerir que   f (t) sea continua por trozos en cada intervalo finito de rango t 0. Definici´ on 3.   Sea f  Sea  f    : [0, [0, [ R continua. Decimos que f  que  f  es  es de orden exponencial o admisible si existe −at M >  0 y  a R  tal que f (t) Me .

≥

        

∈

∞→  | | ≤

∞[→   R   continua por   L (f (t)) (s)  existe  secciones en todo intervalo finito del semieje   semieje   t ≥   0  y de orden exponencial. Entonces  L Teorema 2  (Teorema de existencia de la Transformada de Laplace).   Sea   f   f   : [0, [0,

para todo  todo   s > a.

Podemos aprovechar estas situaciones para enunciar Teorema 3.  El operador 

L es inyectivo; es decir si   f  f   y   g son g  son continuas en  [0,  [0 , ∞[  y  L(f (t))() ))()ss  = L(g (t))( ))(ss)

entonces    f (t) = g( entonces   g (t), excepto quiz´  as para un n´  umero finito de discontinuidades para   f   f   y   g . Definici´ on 4.  Usando este teorema podemos definir el operador

        

L

1

−

(φ(s))( ))(tt) = f   f ((t)

1

−

 L

de la siguiente forma:

⇐⇒ L(f (t))( ))(ss) =  φ(  φ (s)

Teorema 4.   La transformada inversa de Laplace es lineal i.e.

L 1 {aF  aF ((s) + bG bG((s)} (t) =  aL −

para    a, b para 

1

−

(F ( F (s))( ))(tt) + b

L

1

−

(G(s))( ))(tt)

∈ R.

5

Funciones Discontinuas Definici´ on 5.   f  f    : [0 [0,,

∞[→   R   se dice continua por partes (por trozos) si   f  f   tiene un n´umero umero finito de puntos de discontinuidad en [0, [0, ∞] y estas son de tipo salto.

        

La transformada de Laplace

 

5.1 5.1

5. 5.1. 1.

Fun unci ci´ o ´ on n salto unidad o escal´ o on n unitario de Heaviside

 

7

Funci unci´ on o n salto unidad o escal´ ´ on on unitario de Heaviside

Una funci´ funcion ´on continua por partes es u(t) =



0 si t si  t  0  u  u((t u(t

− a) =



− a) entonces la anterior funci´on on equivale a 0 si si   t < a 1 si si   a < t

tiene salto en  en   t  = a  =  a.. Esta es la llamada Funci´oon n escal´on on de Heaviside.1 La funci´on on producto  producto   f (t)u(t toma los valores 0 si t si  t < a f (t)u(t a) = f (t) si t si  t > a

− a)



−

−

as´ı la funci´ func i´oon n   u(t a) puede ser interpretada como una mecanismo para encender la funci´oon n   f (t) en t   =   a. De esta manera, la funci´on on escal´oon n unitario puede ser usada para escribir de una manera simple una funci´on on continua por trozos para t para  t 0. Para ilustrar esto sea

≥

f (t) =

 

f 1 (t) si 0 f 2 (t) si  si   t1 f 3 (t) si  si   t2

≤ t < t1  ≤ t < t2 t<

 ≤

∞

Figura 1: Funci´on on continua por trozos Paraa construir Par construir esta funci´ on on podemos usar las siguientes operaciones: 1. encender encender la funci´ funci´oon f  n  f 1 (t) en en t  t =  = 0 2. encender encender la funci´ funci´oon f  n  f 2 (t) en en t  t =  = t  t 1  y al mismo tiempo apagar la funci´oon  n   f 1 (t) 3. encender encender la funci´ funci´oon f  n  f 3 (t) en en t  t =  = t  t 2  y al mismo tiempo apagar la funci´oon  n   f 2 (t). luego f  luego  f ((t) puede ser escrita usando la funci´on on escal´on on unitario de la siguiente forma: f (t) = f 1 (t)u(t) + [f  [ f 2 (t)

− f 1(t)]u )]u(t − t1 ) + [f  [ f 3 (t) − f 2 (t)] )]u u(t − t2 )

Ejemplo 1.  Expres  Expresee en t´erminos ermino s de funciones funcion es escal´ es cal´on on unitario la funci´on on continua por trozos

3 f (t) = 1

− −

si 0  < t <  3 2 si 3 t 5 4 si 5  < t <

≤ ≤

∞

on de Heaviside. En otras lecturas se puede apreciar que   u(t − a) =  u a (t) =  u t (a) para denotar la funci´on Jaime Cazas

 

8

 

5

FUNCIONES FUNCIONES DISCONTINU DISCONTINUAS AS

Soluci´on.on.-

− − 3)u 3)u(t − 3) + (−4 − (−2)) 2))u u(t − 5) = 3 − 5u(t − 3) − 2u(t − 5)

f (t) = 3 + ( 2

[0,, Teorema 5.   Sea   f   : [0

∞[→ R  una funci´ on continua. Entonces para   a > 0  se tiene  L (f (t − a)u(t − a)) = e asL (f (t)) (s) −

Demostraci´  on.

L [f (t − a)u(t − a)] (s) =

∞

∞

ˆ 

ˆ 

f (t

0

st

−

− a)u(t − a)e

dt dt =  =

f (t

a

− a)e

st

−

dt

∞

x=t−a

=

ˆ 

f (x)e−s(x+a) dx

0 ∞

=  e −as

ˆ 

f (x)e−sx dx

0

=

as

−

L (f ) e

 

Una forma de reforzar el teorema   5  es representarla en forma de diagrama conmutativo f (t)

    

 

   

   

u(t

F  F ((s)

− a)f (t − a)

    

 

e−as F  F ((s)

Corolario 5.1.  La transformada de Laplace de la funci´  on de Heaviside es 

L(u(t −

  e−as a))( ))(ss) = s

Ahora veamos algunos ejemplos ilustrativos: Ejemplo 2.  Calcular la transformada de Laplace de

 − 3

g (t) =

si  si   t <  2 1 si 2  < t <  5 7 si 5 t <

≤

∞+

Soluci´on.on.- La funci´oon  n   g (t) en t´erminos erminos de la funci´on on de Heaviside se puede escribir g (t) = 3

− 4u(t − 2) + 8u 8u(t − 5)

usando el corolario (5.1 (5.1), ), su transformada de Laplace ser´a

L

(g (t))( ))(ss) = 3 (1)( (1)(ss) 4 (u(t 2))( 2))(ss) + 8 (u(t   3   4 −2s  8 −5s e + e = s s s

L −

− L

−

L

5))

−

Ejemplo 3.  Obtenga la transformada de Laplace de la funci´ oon n La transformada de Laplace

 

5.1 5.1

 

Fun unci ci´ o ´ on n salto unidad o escal´ o on n unitario de Heaviside

f (t) =

 

2t2 t+4 9

9

0  < t <  3 3  < t <  5 5  < t <

∞

Soluci´on on .-La funci´on on anterior puede ser expresada como f (t) = 2t2 + (t (t + 4

− 2t2)u(t − 3) + (9 − (t + 4)) u(t − 5)

o f (t) = 2t2 + (t (t + 4

− 2t2)u(t − 3) − (t − 5) u(t − 5)

antes de encontrar (f (t)), la funci´oon n 2t2 + t  t +  + 4 debe expresarse en como una funci´on on de  de   t se puede lograr f´acilmente acilmente de la manera siguiente: sea sea z  z  =  t 3, entonces

 L

 −

−

−2t2 + t + 4 = − =− =− =− aplicando la transformada de Laplace F ( F (s) = (2 (2tt2 )(s )(s)

L



−t−4 2(z 2(z + 3) 2 − (z + 3) − 4 2z 2 + 11z 11z + 11 2(t 2(t

3)2 + 11(t 11(t

2(t 2(t

− L 

2t2

   

−



− 3)2 + 11(t 11(t − 3) + 11



3) + 11 u(t

−

usando la linealidad e la T.L. se tiene



− 3. Esto



3) (s)

−

[( [(tt

5) u(t

−L −



5)](ss) 5)](

−

− L (t − 3)2u(t − 3)( 3)(ss) −11L [(t [(t − 3)u 3)u(t − 3)]( 3)](ss)−11L [u(t − 3)]( 3)](ss)−L [( [(tt − 5) u(t − 5)]( 5)](ss)

F ( F (s) = 2 (t2 )( )(ss) 2

L





el teorema (5 (5) nos dice que

 2  2  1 2e−3 3 11 11ee−3s 2 3 s s s  4  4  11   11 = 3 e−3s  + 2 + s s3 s s

F ( F (s) = 2

 −  −

 −



1  − 11e 11e 3s  − e s 5s −  e s2 −



5s   1 s2

−

−

Observa que podemos considerar directamente

L



si consideramos a 2(t 2(t

2(t 2(t

− 3)2 + 11(t 11(t − 3) + 11



u(t

− 3)



 1 1 (s) = e −3s  43   +  112   +  11 s s s

− 3)2 + 11(t 11(t − 3) + 11 sin la traslaci´on on 3.





Ejemplo 4.  Calcular la transformada de Laplace de la funci´ on on

f (t) =



sen(t) si 0 t 2π sen(t 0 si 2π < t

≤ ≤

Soluci´on.on.- La anterior funci´on on en t´ermino ermino de la funci´on on de Heaviside se escribe como f (t) = sen(t sen(t)

− sen sentt u(t − 2π)

sabemos (por trigonometr´ trigonometr´ıa elemental) que la funci´ on on sen es peri´odica odica con periodo igual 2π 2π  es as´ı que sent  = sen(t sent sen(t 2π ), lo cual nos permite escribir

−

f (t) = sen(t sen(t)

− sen( sen(tt − 2π ) u(t − 2π) Jaime Cazas

 

10

 

6

TRANS TRANSFOR FORMADA MADAS S DE LAPLA LAPLACE CE Y SU INVER INVERSA SA

de esta forma es inmediato calcular la transformada de Laplace usando el teorema  5  i.e.

L(f (t))( ))(ss) = L (sen( (sen(tt) − sen( sen(tt − 2π) u(t − 2π )) = L(sen( (sen(tt))( ))(ss) − L (sen( (sen(tt − 2π) u(t − 2π )) (s)   1 = 2  − e 2πs · L(sen (sentt) s +1   1   1  − = 2 e 2πs · 2 s +1 s +1 −

−

2πs

−

= 1

e s2 + 1

−

 Ejercicios 1.  Calcular la transformada de Laplace de

 − 1

1.   g (t) = 2. .  

si 0  < t <  1 1 si 1 t <  2 0 si 2 t

≤ ≤



4.   h(t) =



5.   f (t) =



6.   g (t) =









3. .

0 (t

− 2)3

si 0 si 2

≤ t  0 2

t2

s3 s

Soluci´on.on.-

· eat   



t2 eat

Esto es

L[eatt2] = (s  −2 a)3

Consideremos ahora el siguiente problema

Ejemplo 6.   Hallar

1

−

 L



  1 (s + 1)2

(s

−→ s − a 2

− a)3



Soluci´on.on.-

 

t

1

s2

t

−

·e   



1 (s+1)2

De este modo, el resultado es

L 1

−

 L

Ejemplo 7.   Hallar



  s2

−

1 2s + 10

1

−





  1 = te −t 2 (s + 1)



Soluci´ on on. El denominador se puede escribir

s2

− 2s + 10 = (s(s − 1)2 + 9

El diagrama en este caso es de la forma: 1 sen(3tt) 3 sen(3

 

1

s2 +9

· eat

s

  

−→ s − 1



1 (s−1)2 +9

Por tanto, el resultado es

L

1

−



  s2

−



1  1 = et sen(3 sen(3tt) 2s + 10 3

Teorema 7  (Primer teorema de diferenciaci´ on) on).  Dada una funci´  on de orden exponencial   f (t)  se cumple: n

L (t con   n

f (t)) (s) = (

n n d F  F ((s) 1) dsn

−

∈N La transformada de Laplace

 

6.2

 

Un M´ eetodo todo de Diagramas T Teoremas eoremas importantes

13

Demostraci´  on.   Por inducci´oon n sobre sobre n  n ∞

(i) Si  Si   n = 1  F (  F (s) =

´ e

st

−

f (t)dt dt entonces  entonces

0

dF (s)   d dF (   = ds ds

∞

∞

ˆ 

ˆ  ∂  

e−st f (t)dt dt =  =

∞

∂x

e−st f (t) dt dt =  =



0

0

ˆ  0

− te

st

−

f (t)dt

∞

ˆ 

e−st (tf (t)) ))dt dt

=

−

=

−L0 (tf (t)) (s)

L (tf (t)) (s) = −  dsd F F ((s) (ii) Supongamos que cumple el teorema para  para   n =  = k  k − 1 entonces ∴

L

k−1

t



f (t) = (

veamos que se cumple para n para  n  =  = k  k

−

(

k k−1 d s 1)  ( dsk

L

 d [f (t)(s )(s)]) = ds

k−1 k−1   d  ( 1) dsk−1

−

k−1 k−1   d  ( 1) dsk−1

− (

L [f (t)] (s))

L [f (t)] (s))

    ˆ  ˆ    =

  d k−1 t f (t) ds ∞

 d = ds

tk−1 f (t)e−st dt

0

∞

∂  k−1 t f (t)e−st dt ∂s

=

0

∞

= = es decir:

tk f (t)( )(ss)   = ( 1)k

dk s

k queda demostrado el teorema. ds

 L 



−

−

ˆ 

tk f ( f (t)e−st dt

0

 −L

k



t f (t)( )(ss)

  ( [f (t)(s )(s)]). Por el teorema de inducci´on on matem´atica atica y por (i) y (ii)

L

 

 

Un caso particular del anterior teorema est´a dada cuando cuando   n = 1. Teorema 8   (Segundo teorema de diferenciaci´ on) on).   Sea   f (t)  una funci´  on de orden exponencial y suponga 

que, tanto  tanto   f (t)  como  como   tf (t)  tienen transformada de Laplace. Entonces 

L[tf (t)] = −  dsd L[f (t)] Ejemplo 8.   Hallar

L

1

−

Soluci´on.on.- Aplicando la propiedad de logaritmos ln

ln



 s + 1 s



 s + 1   = ln(s ln(s + 1) s

− ln s Jaime Cazas

 

14

 

6

TRANS TRANSFOR FORMADA MADAS S DE LAPLA LAPLACE CE Y SU INVER INVERSA SA

Aplicando el teorema 3 y planteando un diagrama, tenemos ln(ss + 1) ln   s+1 s   = ln(

f (t)

·t

− dsd

 

  

Del diagrama vemos que

1



1 − s  +1  +   1s

t

−

−e

− ln s

tf (t) = 1 de manera que

L

1

−



−e



 s + 1 ln s

t

−

=

 1

t

−

−e t

Teorema 9  (Primer teorema de integraci´ on) on).   Sea   f  f ((t)  Una funci´  on de orden exponencial. Suponga que 

f (t)  se define para   t

≥ 0, y que   f (t)  es integrable en el intervalo   [0, [0, t]  para cualquier   t ≥ 0. Entonces   t

L ˆ 



f (τ ) τ )dτ  (s) =

0

Demostraci´  on.   Sea

  F  F ((s) s

t

g (t) =

ˆ  f (τ )τ )dτ  0



se tiene entonces que  que   g (t) = f   f ((t) y  g  g(0 (0)) = 0, as´ı

as´ı es decir



 L [g (t)] (s) = L [f (t)] (s) luego sG((s) − g (0) = F  sG =  F ((s) L [g(t)] (s) =   F F (s(s) t

ˆ  L

 

f (τ ) τ )dτ  (s) =

0

  F  F ((s) s  

Este teorema se puede emplear para encontrar cierto tipo de inversas. El aspecto de su diagrama es de la forma: L[f (t)] f (t) t

·   1s

´  0

t

Ejemplo 9.   Hallar

  

s L[f (t)]

0

1

−

L Soluci´on.on.-



1

´ f (t)dt



  1 s(s2 + 1)  

sen t sen  t t

´  0

  

 1

s2 +1

·   1s 

1

s(s2 +1) La transformada de Laplace

 

6.2

 

Un M´ eetodo todo de Diagramas T Teoremas eoremas importantes

Del diagrama se concluye que:

15

 t

ˆ 

sin tdt tdt =  = 1

0

esto es 1

−

L



− cos t



  1 =1 s(s2 + 1)

− cos t

Teorema 10  (Segundo teorema de integraci´ on) on).   Sea   f (t)  una funci´  on de orden exponencial y suponga 

que, tanto  tanto   f (t)  como

  f (t)   tienen transformadas transformadas de Laplace. Laplace. Entonces  t

L 

f (t) (s) = t

  ∞

ˆ 

F  F ((η )dη

s

Demostraci´  on. ∞

ˆ 

ˆ  ˆ 

F ( F (η )dη dη =  =

s

s

 

∞

∞



0

∞

=

ˆ 



f (t)

−

f (t)

dt

f (t)

f (t)

·  e t   dt

1   e−st   l´ım e−At + t t A→∞

∞

=

∞

s

0

ˆ 

e−ηt t

  −

∞

=

e−ηt dη dt

s

0

ˆ 

ˆ  

∞

∞

=

f (t)e−ηt dη dt

s

0

ˆ 

   

∞

∞

f (t)e−ηt dt dη = dη  =

0

ˆ  ˆ 



dt

st

−

0 ∞

=

ˆ   f (t) 

e−st dt

  L

(s)

t

0

=

f (t) t

 

Ejemplo 10.   Hallar 1

−

L



  s (s2 + 1)2



Soluci´on.on.- Determinamos primeramente la integral   ∞

ˆ  s

η   1 dη dη =  = (η 2 + 1)2 2(s 2(s2 + 1)

Por el teorema tenemos el diagrama s

f (t)

(s2 +1)2 ∞

 1

·t   

1 sen t  t 2 sen

´ dη s



1 2(s2 +1) Jaime Cazas

 

16

 

6

TRANS TRANSFOR FORMADA MADAS S DE LAPLA LAPLACE CE Y SU INVER INVERSA SA

L

1

−





 1   s = tsen sentt 2 2 2 (s + 1)

Aprovechando el ejemplo anterior podemos hallar la inversa de 1/ 1/(s2 + 1)2 Ejemplo 11.   Hallar 1

−

L



  1 (s2 + 1)2



1 tsen sen t  t 2

(s2

s + 1)2

t

·   1s

´  0

  

  

1 (s2 + 1)2

f (t) Integrando por partes, calculamos f  calculamos  f ((t), esto es  t

ˆ  1

f (t) =

0

Por tanto

L

1

−



 1 τ  sin  sin τ dτ   = (sent (sent 2 2



  1  1 = (sentt (sen (s2 + 1)2 2

− t cos t)

− t cos t)

Podemoss hacer Podemo ha cer tambi´en en una u na combinaci´ combinaci on ´on de los anteriores teoremas, tal como muestra el siguiente t

´ τ   ·· e

Ejemplo 12.  Hallar la Transformada de Laplace de f  de  f ((t) =

τ 

0

· cos( cos(τ  τ ))dτ 

Soluci´on.on.- Usando una combinaci´on on de diagramas es posible obtener: cos(tt) cos(

    

 

s s2 +1

t

−

·

 d ds

   

   

cos(tt) t cos(

·

−

s2 +1−s(2s)   (s2 +1)2

=

  s2 −1 (s2 +1)2

s→s−1

et

·

   

    −

2

2

2

−

  s −2s 2   s −2s+1−1 2 (s 1) 1 2 ((s−1)2 +1)   = (s2 −2s+1+1)   = (s2 −2s+2)

t et cos( cos(tt)

· ·

t

   

t

´ τ   ·· e 0

τ 

´ dτ 

·

0

s

   

· cos( cos(τ  τ ))dτ   

       1

 ·

 

s

t

∴

1

 L ´    ··

τ  e

0

τ 

  s2 −2s   = (s  2 −s2−s2+2)2 (s2 −2s+2)2

}

· cos( cos(τ  τ ))dτ 

(s) =

  s−2 (s2 −2s+2)2

 Ejercicios 2.  Realiza las operaciones que se piden usando solo diagramas: 1. Encontrar Encontrar

 L

Sol.-   21 t2 e4t .

  1

1

−



(s

−

(t) 4)3



2. Encon Encontrar trar

 L

Sol. tsen2 sen2tt

−

  4s

1

−

−

(s2

+ 4)2

(t)



3. Demos Demostrar: trar: La transformada de Laplace

 

6.3

b) c ) 6.3.

10t

−

  L(te

a )

)( )(ss) =

  1 (s + 10)2

d ) d )

 L

  s2 4 (t cos2 cos2tt)( )(ss) = 2 (s + 4)2

 L

  6s2 + 2 (t senh senhtt)( )(ss) = 2 1)3 (s

 

M´ eetodo todo de F Fracciones racciones parciales.

−

4.

2

5.

−

1

 L

−

 L

−

1

17

  12s 12s − 24   L(te2t sen6 sen6tt)( )(ss) = [( [(ss − 2)2 + 36]2

  −   −    1 s2 (s2 2s + 2) s2 9 s2 + 1

ln

(t)

(t)

M´ etodo etodo de Fracciones Fracciones parciales.

El uso eficiente eficiente de la transformada transformada de Laplace Laplace requiere requiere de un m´ etodo etodo algebraico algebraico llamado fracciones fracciones parciales. La idea general es descomponer una fracci´on on como una suma de fracciones, esto con el objeto de aplicar la transformada de Laplace inversa a cada sumando. de  F ((s) = Ejemplo 13.  Hallar la transformada de Laplace inversa de F 

 

−

(s

7s 1 3)(ss + 2)(s 3)( 2)(s

−

− 1)

Soluci´on.on.1

−

L



  (s

−

7s 1 3)(ss + 2)(s 3)( 2)(s

−

− 1)



(t) =

L



1

−

=  A

L

1

−

3t



 A   B   C   +  + (t) s 3 s+2 s 1  1  1 (t) + B −1 s 3 s+2

−

−

L

−

=  Ae + Be

2t

−

+ Ce

se uso fracciones parciales; como se tiene en el denominador ra´ ra´ıces ıces distintas en (s

−

−

7s 1 3)(ss + 2)(s 3)( 2)(s

− 1)

 =

 1 s 1

−

 

t

1

−

L

+ C 

  A   B   C   +  + s 3 s+2 s 1

−

−

para hallar el coeficiente A coeficiente  A,, eliminamos de la fracci´on on (lado izquierdo de la igualdad) el factor correspondiente a   A  y en la parte restante sustituimos a  a   s  por la ra´ ra´ız asociada a este factor; lo mismo hacemos para los coeficientes  coeficientes   B   y  C   C  esto  esto es: A =

 7(3) 1   7( 2) 1   = 2;   B  =  = (5)(2) ( 5)( 3)

−

− −

− −

por lo tanto 1

−

L

 Ejercicios 3.   Hallar L

1

−



− −

6.4.. 6.4

−

(s

−

−

7s 1 3)(ss + 2)(s 3)( 2)(s

− 1)



(t) = 2e 2 e3t

− e 2t − et −

usando fracciones parciales

  s2 7s + 24 1.   F ( F (s) = (s 4)( 4)(ss2 3s + 2) Sol.: 2e 2e4t 7e2t + 6e 6et   2 2.   G(s) = s(s2 + 2s 2s + 2)

−

 

− 1   = −1 −1;   C   =   7(1) ( 2)(3) −

Sol.: 1

−e

t

−

cos t

−e

t

−

sentt sen

1 (s2 + 1)(s 1)(s2 + 4)  1  1 Sol.: sen sentt sen2tt sen2 3 6

3.   H (s) =

 

−

Convo Convoluc luci´ i´ on on

La convoluci´on on es un concepto que tiene muchas aplicaciones en varios campos, se la puede usar para obtener la respuesta de un sistema lineal a cualquier entrada en t´erminos erminos de la respuesta al impulso Jaime Cazas

 

18

 

6

TRANS TRANSFOR FORMADA MADAS S DE LAPLA LAPLACE CE Y SU INVER INVERSA SA

∞[→ R   continuas por partes, la convoluci´on on de las funciones  funciones   f (t) y   g (t),  ∗ g, y que se define por es una nueva funci´on, on, que se denota por f  por  f  ∗ Definici´ on 6.   Sean  Sean   f, g  : [0, [0,

        

t

(f  g )(t )(t) =

 ∗ ∗

ˆ 

f (t

0

− v)g(v)dv

Teorema 11.  (Propiedades de convoluci´  on)

1. Conmutativ Conmutatividad: idad: f   f  g  =  = g  g f . 2. Distributiv Distributividad idad de  respecto de la suma :f  : f  (g  + h) =  f  g  + f  h

 ∗ ∗  ∗

∗

 ∗ ∗ ∗

 ∗ ∗

  ∗∗

  ∗∗

 ∗ ∗ ∗

3. Asociatividad: Asociatividad: f   f  (g h) = (f  g ) h 4.   f  0 = 0 para la funci´on on 0.

  ∗∗

∞[→ R  continuas por parte y de orden exponencial   α. Entonces  L ((f  ((f  ∗  ∗ g)(t )(t)) (s) = L (f (t)) (s) · L (g (t)) (s) o equivalentemente si   F ( F (s) = L (f (t)) (s)   y   G(s) = L (g (t)) (s), entonces  Teorema 12.   Sean   f, g  : [0, [0,

1

−

Ejemplo 14.   Calcular

 L

Soluci´on.on.- Notemos que

L

1

−



  (s

−

1



  (s

−

1 2)(ss 2)(

·

L

veamos el siguiente ejemplo: −

(F ( F (s) G(s)) (t) = (f  g )( )(tt)

  (s

−

1 2)(ss 2)(

− 3)

1 2)(ss 2)(

− 3)



− 3)

 =

(t) =



 ∗

(t)

  1   1  por lo tanto s 2 s 3

L

−  · − 1

−



 1   1 s 2 s 3

−  · −



t

(t) = e 2t e3t =

∗

ˆ 

e2(t−v) e3v dv

0 t

=

2t+v

ˆ e ˆ 

dv

0

t

=  e 2t

ev dv

0 2t

=  e (et =  e 3t 6. 6.5. 5.

− 1)

− e2t

Ecua Ecuaci ci´ on o ´n Integral

Sean   f (x), k (x) funciones dadas que tienen transformada de Laplace La ecuaci´oon n Definici´ on 7.   Sean 

        

x

f (x) =  y(  y (x) +

ˆ k(x − t)y(t)dt 0

donde   y(x) es la funci´on donde on inc´ognita, ognita, se llama  ecuaci´ o on n integral La transformada de Laplace

 

 

6.5 Ec Ecua uaci ci´ on o ´n Integral

19

Aplicando transformada de Laplace a ambos lados obtenemos

L (f (x)) (s) = L (y(x)) (s) + L ((((kk ∗ y)()(xx)) (s) esto es

L (f (x)) (s) = L (y(x)) (s) + L ((k ((k )( )(x x)) (s) · L (y (x)) (s) como y como  y (x) es la funci´on on incognita entonces

aplicando

1

−

 L

  L (f (x)) (s) L(y(x))( ))(ss) = 1 + (k(x)) (s) L   L (f (x)) (s) (x) y (x) = L 1 1 + L (k(x)) (s)

se tiene

−





Ejemplo 15.   Resuelve la ecuaci´ oon n integral t

ˆ 

x(t

0

− τ ) τ ) [x(τ ) τ ) − 1 − eτ ] dτ   = 1 − et

para t para  t > 0

Soluci´oon.n.- Aprovechando la linealidad de la integral, t

t

t τ 

t

ˆ  x(t − τ )τ )x(τ )τ )dτ  − ˆ  x(t − τ )τ )dτ  − ˆ  x(t − τ )τ )e dτ   = 1 − e 0

0

0

la definici´on on de producto convolutivo y la la transformada de Laplace no permite obtener

·

X (s) X (s) o lo que es lo mismo escribir 2

X  (s)



por aspa simple se tiene X (s) x(t) =  u  u((t), o   x(t) = e

t

 Ejercicios 4.   Calcular L

− 1

−

1.   F ( F (s) =

  s2

1 + 3s 3s

−4

 1 s

−

·

 1  1   1  X ((s) −  X    − X (s)   =  − s s−1 s s−1





1   1   1 X (s)   + +  = 0 s s 1 s(s 1) X (s)

−

−



  1  1   1  = 0 entonces  entonces   X (s) =   o   X (s) =  de donde s 1 s s 1

− −

−

de :

  sol.

 1 t e 5

−  15 e

4t

−

2. Despeje aa   y(t), ),   t >  0 si t

y(t) = cos t +

ˆ 

e−(t−τ ) y(τ ) τ )dτ 

0

Sol.-yy(t) = cos t + sent Sol.sent 3. Despeje a  a   x  para  para   t >  0 si t 

x (t) + x(t) +

ˆ  x(τ )τ )e

τ −t

dτ   = 0

0

si si x  x(0) (0) = 1 Sol.-x Sol.x(t) =  e −t cos t

Jaime Cazas

 

20

 

7

´ FUNCIO FUNCIONES NES PERI PERIODICAS

7

Funciones peri´ o odicas dicas A continuaci´on on estudiarem estudiaremos os funciones funciones que aparecen aparecen con cierta frecuencia, frecuencia, especialmen especialmente te en aplicaciones aplicaciones ligadas a circuitos el´ectricos ectricos con la presencia de una fuerza externa peri´odica. odica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escal´on, on, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas. Definici´ on 8.  Una funci´ oon  n   f (t) se dice peri´odica odica de con periodo  periodo   T   T   (T >  0) si para todo  todo   t  se cumple f (t + T ) T ) =  f   f ((t).         

Teorema 13  (Transformada de una funci´ on on peri´odica) odica).   Sea   f (t)  una funci´  on continua por tramos para 

t

≥ 0  de orden exponencial. si   f (t)  es peri´ odica con periodo  periodo   T , T , entonces: L

  1 (f (t)) (s) = 1 e−sT 

−

T 

ˆ 

e−st f (t)dt

0

Demostraci´  on.  Una funci´on on peri´odica  odica   f (t) puede representarse como en la figura 3 figura  3  

 

 

 

 

Figura 3: Funci´on on peri´odica f  odica  f ((t) con periodo T  periodo  T  f (t) es continua a pedazos sobre un intervalo de longitud  T ,  T , entonces su transformada de Laplace existe y puede ser desarrollada como una serie de integrales sobre periodos sucesivos, esto es: ∞

L (f (t)) (s) =

ˆ 

f (t)e−st dt

0 3T 

2T 

T 

···+

ˆ  dt + f (t)e

f (t)e−st dt +

dt +

2T 

T 

nT 

−

−

ˆ  dt + f (t)e

0

st

st

st

−

ˆ  = f (t)e ˆ 

···

···

(n−1)T 

si en integrales integrales sucesivas sucesivas hacemos hacemos las sustitucione sustitucioness   t  =  = τ   τ  +  + nT  nT    , entonces ∞

L (f (t)) (s) =

T 

ˆ 

n=0 0

s(τ −nT )

−

 −  − nT  nT ))e

f (τ 

dτ 

como f  como  f ((t) es peri´odica odica con periodo T  periodo  T  se  se observa que  que   f (τ   + nT  nT )) =  f (  f (τ ) τ ) para n para  n  = 0, 1, 2, 3 . . .  , as´ı ∞

L (f (t)) (s) =

T 

ˆ 

f (τ ) τ )e−sτ e−snT dτ   =

n=0 0

T 

  ˆ   ∞

  ∞

f (τ ) τ )e−sτ dτ 

e−snT 

n=0

n=0 0

La transformada de Laplace

 

21 ∞

la serie



e−snT  = 1 +  e−sT  + e −2sT  + e −3sT  +

· · ·   es una progresi´on on geom´etrica etrica infinita cuyo primer 1 sT  , luego su suma esta dada por 1 − e sT  as´ı ten tenemo emoss que

n=0



t´eermino rmino es 1 la raz´on on com´ un un es  es   e−

L

  1 (f (t)) (s) = 1 e−sT 

−

T 

ˆ 

−



−

f (τ ) τ )e−sτ dτ 

0

notemos que dentro de la integral   τ   τ   es una variable   “muda”   por tanto la podemos reemplazar por la  variable  t  t,, lo cual culmina a la prueba el teorema.    Ejemplo 16.   Calcula Calcula la transformad transformadaa de Laplace Laplace de la funci´ on on en cuesti´on on es la funci´on on peri´odica odica diente

de sierra que se muestra en la figura

Soluci´on.on.- Usando

T 

  1

sτ 

−

L (f (t)) (s) = 1 − e

sT 

−

= = = =

dτ 

0

se tiene

L (f (t)) (s)

ˆ f (τ )τ )e

 2   1 e−st f (t)dt 1 e2s 0  1  2   1 −st te dy dy +  + (2 t)e−st dt −2s 1 e 0 1 −s −s   1  1  e   e−s  e −s  e −2s  e  + 2  + s s2 s s2 s 1 e−2s s2   1  1  e −2s   2e−s  + 2 s2 s 1 e−2s s2

−

−

−

−

ˆ 

ˆ    − 

ˆ 



−

 −

 −



 −



Las funciones peri´odicas odicas pueden representarse como series infinitas de t´erminos erminos que involucran involucran funciones escalonadas; una vez expresadas en tal forma, se pueden obtener su transformada de Laplace. Observemos que, en t´erminos erminos de la l a ffunci´ unci´on on escal´on on de Heaveside el teorema  teorema   13 puede 13  puede expresarse como sigue: Si   f (t), definida para todo   t  positivo, es una funci´  on peri´  odica con periodo  periodo   T   T   si  f 1 (t) =  f   f ((t) (u(t)

− u(t − T )) T ))

entonces 



sT 

−

L (f (t)) (s) = 1 − e



1

−

L (f 1(t))

(1)

Esta formulaci´on on se sigue del hecho de que   f (t) es peri´odica odica y   f 1 (t) = 0 para   t > T .Para T .Para la funci´oon n peri´ odica  odica   f (t) ilustrada en la figura la funci´on on correspondiente  correspondiente   f 1 (t) se muestra en la figura   4. Veremos 4.  Veremos que esta formulaci´ formulaci´ on on simplifica el proceso para obtener la transformada de Laplace de las funciones peri´ odicas. odicas. Ejemplo 17.  Resolver el anterior ejemplo usando funciones de Heaveside

Soluci´on.-Considerando on.-Considerando Jaime Cazas

 

22

 

´ FUNCIO FUNCIONES NES PERI PERIODICAS

7

 

 

Figura 4: Gr´afica afica de una funci´on on peri´odica odica dentro de un periodo  periodo   T . T .

Claramente la gr´afica afica describe la funci´oon  n   f 1 (t) = funci´ on on de Heaveside se puede escribir como f 1 (t) = t + (2 de donde es f´acil acil obtener obtener

  − t 2 0

  0  < t <  1 on en t´erminos erminos de la t   1  < t <  2 luego la funci´on 2  < t <

∞

− 2t)u(t − 1) − (2 − t)u(t − 2) = t − 2(t 2(t − 1) + (t (t − 2)u 2)u(t − 2)  1 e s  e 2s L (f 1(t)) (s) = s2 − 2 s2   + s2 −

−

Ahora obtener la T.L. de

es sencillo pues s´olo olo tendremos que tomar en cuenta ((11) pues tendremos

L (f (t)) (s) =

2s

−

1

e

1

−

− 

L

  1 (f 1 (t)) = 1 e−2s

−

  ·

 1 s2

 −

e−s  e −2s 2 2 + 2 s s



 Ejercicios 5.  Halle la transformada de Laplace de.       

       





   

































       



 

 







La transformada de Laplace

 

7.1

7.1.. 7.1

La trans transformada formada de de Laplac Laplacee de las funcione funcioness impulso impulso

 

23

La transfo transforma rmada da de Laplace Laplace de las las funcione funcioness impulso impulso

Por la definici´on on de transformada de Laplace, tenemos que para cualquier   a > 0 ∞

L (δ (t − a)) =

ˆ 

δ (t

0

− a)e

st

−

dt

la cual, usando la propiedad de filtrado, da el importante resultado as

−

L (δ (t − a)) = e

o en t´erminos erminos de la transformada inversa inversa

L considerando a considerando  a  = 0 se tiene

1

−

e−as (t) =  δ (t

 

− a)

L [δ (t)] (s) = 1 o en forma inversa

L

1

−

(1)(tt) = δ (t) (1)(

8

Ecuaciones diferenciales y Laplace Una de las principales aplicaciones de la Transformada de Laplace es la soluci´on de problemas de ecuaciones diferenciales con valores iniciales que nos permiten: La no necesidad de encontrar previamente la soluci´on on general de la ecuaci´on. on. Permite manejar ecuaciones que involucran funciones continuas por trozos. Permite manejar ma nejar tambi´ ta mbi´en en ecuaciones ecuaci ones integro-difer integ ro-diferencial enciales. es. Podemos describir un algoritmo simple para resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes aplicando TL: Paso 1: Aplicar transformada de Laplace en ambos miembros de la ecuaci´oon n planteada. Paso 2: Aplicar las condiciones iniciales de la ecuaci´on. on. Paso 3: Despejar la TL de la variable dependiente en la ecuaci´on on diferencial. Paso 4: Encontrar la TL inversa de la expresi´on on despejada en el paso 3 El prop´oosito sito es crear un nuevo dominio en el cual se m´as as f´acil acil de tratar el problema a ser investigado. Una vez obtenidos los resultados en el nuevo dominio (dominio s (dominio  s), ), pueden ser transformados inversamente para dar los resultados deseados en el domino original (dominio   t). 8.1.. 8.1

Ecuaci Ecuacione oness con coeficien coeficientes tes const constan antes tes

Ejemplo 18.

Resolver la ecuaci´on on usando el m´etodo etodo de transformada de Laplace. y + 2ay 2ay + by = by  = f   f  (x  ( x) con las condiciones iniciales  iniciales   y (0) = y =  y  (0) = 0 Jaime Cazas

 

24

 

8

ECUACIONE ECUACIONES S DIFERENCI DIFERENCIALES ALES Y LAPLACE LAPLACE

Soluci´on.on.Aplicando la transformada de Laplace de toda la ecuaci´oon n

L





y  + 2ay 2ay + by =

L [f  (x  ( x)]

Por la linealidad de la transformada de Laplace, tenemos

L pero

y + 2a 2a

y  + b [y ] =

L

L

     L − L  − − y =

y

y =

L [f  (x  ( x)]

L

y (0) + s [y]

y (0)

sy (0) + s2 [y]

L

as´ı que la ecuaci´ ecua ci´on on diferencial se transforma en la ecuaci´oon n alge al gebra´ bra´ııca ca

−y (0) − sy (0) + s2L [y] − 2ay (0) + 2as 2asL [y ] + bL [y] = L [f  (x  ( x)] 

Usando las condiciones iniciales, obtenemos s2 [y ] + 2as 2 as [y] + b [y ] =

L

L

L

L [f  (x  ( x)]

o´ sea  (x  ( x)] L [y] = s  2L+[f 2as 2as + b entonces y (x) =

1

−

L

 L

[f  (x  ( x)] s2 + 2as 2as + b



Ejemplo 19.   Resolver  Resolver   y + y  =  = e  e −t dado dado y  y(0) (0) = 5.

Soluci´on.on.- Aplicamos la Transformada de Laplace a la ecuaci´on on planteada e−t (s)

y + y (s) =

L

 

L

 

como la transformada de Laplace es lineal y por la f´ormula ormula de la derivada se tiene sY ((s) sY 

  1 − y(0) + Y ( Y (s) = s+1

que usando el hecho de y de  y (0) = 5 obtenemos sY ((s) sY 

  1 − 5 + Y ( Y (s) = s+1

despejando Y  despejando  Y ((s) se tiene Y ( Y (s) =

  1  1   + 5 (s + 1)2 s+1

ahora bien aplicando aplicando la transformad transformadaa de Laplace Laplace inversa, inversa, obtenemos obtenemos la soluci soluci´on o´n de la ecuaci´on on planteada y(t) =  te −t + 5e 5e−t La transformada de Laplace

 

8.2

8.2.. 8.2

 

Ecuac Ecuaciones iones difere diferenciale ncialess y Hea Heaviside viside

25

Ecuaci Ecuacione oness diferen diferencia ciales les y Heavis Heaviside ide

 L (f (t − a)u(t − a)) = e asL (f (t)) (s) entonces L 1 e asL (f (t)) (s) = f (  f (t − a)u(t − a) −

Remarca: Es conveniente notar que si −

1

−

 L

Ejercicio: Calcular





−

(F ( F (s)) con  con   F ( F (s) =  e−8s

  4 s2 + 4







Ejemplo 20.   Resolver: y Resolver:  y + y  =  f   f ((t) donde  donde   y(0) = 0 ; y ;  y (0) = 1 y f  y  f ((t) =

1 para 0 0 para   π2

≤ t <   π2  ≤ t < ∞

Soluci´oon.-Aplicando n.-Aplicando la Transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuaci´on on obtenemos: − s 2   1  e s2 Y ( Y (s) sy sy(0) (0) y (0) + Y ( Y (s) = s s aplicando los valores iniciales y factorizando a  a   Y ( Y (s), la anterior igualdad se convierte en π

−

−

 −

π

 1 (s + 1)Y  1)Y ((s) = s 2

 −

 e − 2 s   +1 s

as´ı   1   1 Y ( Y (s) =  + 2 2 s(s + 1) s + 1

π

 −

  e− 2 s s(s2 + 1)   1   la anterior s(s2 + 1)

note que escribiendo (para abreviar un poco y tener mas claras las ideas)   H (s) = igualdad se escribe como π

Y ( Y (s) = H   H ((s) +  2 1 s +1

 − e sH (s)   1 ya hemos calculado con anterioridad que  L 1 (H (s))( ))(tt) = L 1 s(s2 + 1)  π caso  a  =   y  f  aplicando L 1 (note que en nuestro caso a  f ((t) =  h  h((t) ) se tiene 2 −2

−

−

−

y (t) =

1

−

L

=1

(H (s))( ))(tt) +



  L −L  − − − 1

−

− cos( cos(tt) + sen(t sen(t)

  1 s2 + 1

1

cos(t cos(t

1

−

(t)

 π )u(t 2



(t) = 1

− cos( cos(tt); ahora bien

π

(e− 2 H (s))

−   π2 )

 Ejercicios 6.  Resolver los problemas con valor inicial:

≤t  > 0  0 tal que f (t) M 1 e para todo t todo  t [0, [0, T ] T ] y como f  como  f ((t) es de orden exponencial γt para   t T  se para T  se tiene que f (t) M 2 e donde donde M   M 2 0 y  γ   γ  son  son constantes. todo   t 0, luego Sea   M   = m´aax Sea x M 1 , M 2  y sea  sea   α = m´aax x 0, γ   por lo tanto f (t) M eαt para todo 

≥

 | | ≤

 | | ≤

{

}

 ˆ  ≤

∞

|F ( F (s)| =

 ≥

{ }

ˆ  

∈

∞

e−st f (t)dt

0



≤

e−st f (t) dt

0

|

| ≤

≥



∞

ˆ 

e−st M eαtdt

0 ∞

ˆ 

= M  e−(s−α)t dt 0

  1 = e−(s−α) (s α)   M  s>α = (0 1) s α   M 

− −  − −

=s

−

−a

entonces

| ≤  sl´ım s M  − α = 0

l´ım F ( F (s)

s→∞

|

→∞

lo cual nos dice l´ıms→∞ F ( F (s) = 0

 

 

Ejemplo 25.  Resuelva usando transformadas de Laplace:

y + ty Soluci´on.on.- Sea Y  Sea  Y ((s) =

L

− y  = 0,

y(0) = 0, 0,

y (0) = 1

L (y(t)) (s). Entonces

 

ty  (t) (s) =

L

−  dsd L

 

y (t) (s) =

y  (t) (s) =  s 2 Y ( Y (s)

 

−  dsd  [sY   [ sY ((s) − y(0)] = −Y ( Y (s) − sY  (s) 

− sy sy(0) (0) − y (0) = s = s 2 Y ( Y (s) − 1 

Luego aplicando la transformada de Laplace y las condiciones iniciales a nuestra ecuaci´on tenemos: tenemos: s2 Y ( Y (s)



− 1 − Y ( Y (s) = 0 Y (s) − sY  (s) − Y (

que claramente resulta ser una ecuaci´on on lineal de primer orden 

Y  (s) +

  −  2 s

s Y ( Y (s) =

− 1s

La transformada de Laplace

 

31 cuya soluci´on on ser´aa::

− ˆ  ´    ˆ  −



2  1   e ( −s)dx ds + c Y ( Y (s) = e s  2 2 2  1 2 − ln(s )− 2   eln(s )− 2 = e ds + c s 2  1  1 2 = 2e 2   s2 e − 2 ds + c s s 2  1 2 = s2 e 2   s e− 2  ds + c 2  1 2 = e 2 e− 2   + c s  1  c 2 = 2 + 2 e 2 s s −

´ (

2 s

s)ds

−

s

s

s

s

·

s

s

·

− ˆ    ·  − ˆ  ·   



s

s

s

s

Finalmente como: l´ım

s→∞

L (y(t)) (s) = 0

1 2 e 2 = s→∞ s2

y

s

l´ım

∞

debemos tener entonces necesariamente que  c  c =  = 0. As´ı Y ( Y (s) =

 1 s2

y por lo tanto y(t) =

1

−

L

  1 s2

(t) =  t

 Ejercicios 9.  Hallar la soluci´on on de 1.   y  + ty 2y  = 7 de tal forma que  que   y (0) = 0, y 0,  y(0) (0) = 0 2 Sol.:yy(t) = 2t Sol.:

3.   ty  + (1 2t)y 2y  = 0 tal que y que  y (0) = 1 y  y   y (0) = 2 Sol.:   y(t) =  C e2t Sol.:

2.   ty  y  = t 2 tal que y que  y (0) = 0 y  y   y (0) = 0 t3 t2 Sol.:   y(t) = 2   + C  Sol.: 3! 2!

(4t + 9)y 9)y  = 0 4.   ty  + (3t (3t 1)y 1)y (4t  tal que y que  y (0) = 0 y  y   y (0) = 0   C  Sol.: −1 (t) 3 (s 1)

−

−

−

−

−

−

 L

9



−



Aplicaciones Habiendo dominado la forma de obtener la transformada de Laplace y su inversa, ya est´a preparado para emplearla en el an´alisis alisis de circuitos. En general, este trabajo incluye 1. Transformar ransformar el circuito del dominio temporal t temporal  t  al dominio  dominio   s. 2. Resolver Resolver el circuito circuito usando el an´alisis alisis nodal, el an´aalisis lisis de mallas, la transformaci´on on de fuentes, la superposici´on on o cualquier otra t´ecnica ecnica del an´alisis alisis de circuito con la l a que se est´e familiarizado. 3. Calcular Calcular la transformada transformada inversa inversa de la soluci´ solucion ´on y obtener ob tener as´ as´ı la soluci soluci´on o´n en el dominio temporal. Comencemos con el elemento de resistencia. Aplicando la ley de Ohm v (t) = Ri  Ri((t)

Jaime Cazas

 

32

 

9

APLICA APLICACIO CIONES NES

puestoo que  puest que  R  es una constante la T.L. es V ( V (s) =  RI   RI ((s) Para un inductor

di di((t) dt considerando que  que   L  es constante la T.L. en ambos lados reproduce v (t) =  L

V ( V (s) = L [sI (s)

i(0)] = sLI  =  sLI (s)

−

esto es

Li Li((0)

(2)

−

despejando I  despejando  I ((s) de la relaci´on on (2) se obtiene I (s) =

 L  i(0)  i (0) V ( V (s) + sL s

Notemos que los equivalentes en el dominio  dominio   s, la condici´on on inicial se modela como una fuente de tensi´oon n o de corriente. Ahora para un capacitor, dv dv((t) i(t) = C  dt el cual se transforma en el dominio   s  como I (s) =  C  [sV   [sV ((s)

− v(0)] = sC =  sC V ( V (s) − Cv( Cv (0)

i.e.

la relaci´on on (3) afirma que V ( V (s) = i.e.

 1   v(0) I (s) + sC  s

(3)

La transformada de Laplace

 

33

Los equivalentes en el dominio   s   las condiciones iniciales son parte de la transformaci´on, o n, esta es una ventaja de usar la T.L. en al an´alisis alisis de circuitos.Otra ventaja es que se obtiene una respuesta completa, transitoria y de estado estable, de una red. Ejemplo 26.   Encuentre  Encuentre   v0 (t) en el circuito suponiendo las condiciones iniciales nulas.

Soluci´on.on.- Primero se transforma el circuito del dominio temporal al dominio de  s

⇒   1s 1H ⇒ sL sL =  = s  s 1  1  3 F⇒  = 3 sC  s

u(t)

el circuito del dominio s dominio  s  resultante se encuentra

Aplicamos ahora el an´alisis alisis de mallas: para la malla 1 1 = s para la malla 2 0= es decir

  1+

 3 s

I 1

 3 I 2 s

 1 2 s + 5s 5s + 3 I 2 3

−  3s I 2  reproduce 1  = s

multiplicando por 3s 3s  se obtiene

I 1

3  3 I 1  + s + 5 + I 2 s s

I 1   =  1 esta relaci´ relaci´on on en   = s

1 +  3 s

  −   −  

1+

 3 s

1 2 5s + 3 I 2 s + 5s 3

   



−   3s I 2

3 ⇒ I 2  = s3 +  8s 8s2 + 18s 18s

3 = s3 + 8s 8s2 + 18s 18s I 2  =

Jaime Cazas

 

34

 

9

APLICA APLICACIO CIONES NES

luego  

√ 

3  3 2 V 0 (s) = sI 2  = 2  = s + 8s 8s + 18 2 (s + 4)2 +

√ 

el c´alculo alculo de la transformada inversa reproduce v0 (t) =

√   2

2

√ 

  3 −4t e sen 2t V 2

√ 

Ejemplo 27.   Encuentre  Encuentre   v0 (t) en el circuito de la figura, suponga que  v 0 (0) = 5V

Soluci´on.on.- Se transforma el circuito al dominio  dominio   s

La condici´on on inicial est´a incluida en la forma de fuente de corriente corriente C  C v0 (0) = 0, 0,1 (5) = 0, 0,5 A. Aplicando an´alisis alisis nodal en el nodo superior reproduce

·

10

 − V  0 + 2 + 0,5 =   V 0  +   V 0

s+1

10 o sea

10

10 s

1   2V 0   sV 0   1   + 2, 2,5 =  +   = V 0 (s + 2) s+1 10 10 10

multiplicando por 10

10

 + 25 = V  =  V 0 (s + 2)

s+1

es decir

V 0  =

  25 25ss + 35 (s + 1)(s 1)(s + 2)

usandoo fracciones usand fracciones parciales luego de plantear plantear V 0  =

  25 25ss + 35   A   B  =  + (s + 1)(s 1)(s + 2) s+1 s+2

se obtiene  obtiene   A = 10 y  y   B  = 15, por lo tanto V 0 (s) =

  10   15  + s+1 s+2

calculando la transformada inversa de Laplace, se obtiene v0 (t) = 10e 10e−t + 15e 15e−2t V Ejemplo 28.  Encontrar  Encontrar   v  para  para   t >  0 usando el m´etodo etodo del circuito transformado si   v (0) = 10V.

La transformada de Laplace

 

35 



  



 



   

  

 

Soluci´on.on.     





 

 

  

 





Aplicando la ley de Kirchhoff para corrientes se tiene





 1  s  2   1 s+1 V ( V (s)  + = 1 +  + 10 10 s 10 (s + 1)2 + 4   10(s 10(s + 2)   1  + s(s + 1) (s + 1)2 + 2 aplicando la T.L. inversa se llega a

  20

V ( V (s) =

v(t) = 20

− 10 10ee

  10

 +

 ≡ s   − s + 1 t

−

 1

2

2 (s + 1)2 + 22

 1 + e−t sen 2t 2t V 2

Ejemplo Ejemp lo 29.  Encontrar el voltage   v (t), para  para   t >  0, entre las terminales del circuito  circuito   RLC  RLC  en  en paralelo,

excitado por una fuente de corriente   ig (t) =   e−2t A, usand usandoo el m´ etodo etodo del circuito circuito transformado transformado.. Los  1 elementos pasivos son  son   R   = 4Ω,   L  = 5H y   C  C    = F; la corriente del inductor inicial es   iL (0) = 1A; y 20 v (0) = 2V. (La corriente i corriente  i g  est´a dirigida hacia la terminal positiva, y la corriente corriente i  i L  est´a dirigid dirigidaa saliendo saliendo de la terminal positiva de v de  v). ). Soluci´on.on. 



  

 





 

 

  

Aplicando la ley de Kirchhoff para corrientes se tiene



1  1  s  +  + 4 5s 20



V ( V (s) =

  1 s+2

 −  1s   +  101

de donde V ( V (s) = entonces   v(t) = entonces

t

−

−14 14ee

+ 20e 20e−2t

  2s2 + 4s 4s 40 14   20 4  =  +  + (s + 1)(s 1)(s + 2)(s 2)(s + 4) s+1 s+2 s+4

−

4t

−

− 4e

V.

 −

 −

Jaime Cazas

 

36

 

9

APLICA APLICACIO CIONES NES

 Ejercicios 10.  Resolver: Sol.- i Sol. i((t) = 2 + 10e 10 e−t

1. Despeje a  a   x  para  para   t >  0: x + x + y + y  = 1



  − 2x + y − y  = 0

para   x(0) = 0,  para  0,   y(0) = 1 −t 1 Sol.- x Sol. x =  = e  e

−

 

2.   y  + y  =  t y(0) = 1y 1y (0) = 2 Sol.-yy(t) = t + cos t 3sen Sol.3sentt

−

 



−

−

− 4.   y − 2y + 5y 5y  = −8e t y(0) = 2;  2;   y (0) = 12 t t Sol.-yy(t) = −e + 3e Sol.3e cos(2 cos(2tt) + 4e 4 et sen(2 sen(2tt) 0   y(0) = 1  =  te t y (0) = 0  4y − 5y  = te 5.   y + 4y  1  1  181  18 1 t   35 5t Sol.   y(t) = t2 et − tet + Sol. e + e 12 36 216 216 



−

A, t A,  t >  0.

  



 









     



−

Sol.- v Sol. v  = 2

5t

−

− 8e

+ 6e 6e−8t V,  V,   t >  0.







4t

−

9. Mediante la ecuaci´oon n descriptiva y transformadas de Laplace encontrar   v   para   t >   0 si i1 (0) = 1 A, e i e  i 2 (0) = 0.

−

2y  = 12 12ee4t y (0) = 1  3.   y  3y + 2y 1   y (0) = 0 Sol.- y Sol. y (t) = 2e 2 e4t 7e2t + 6e 6 et

− 10e 10e

−

10. Calcular a   i, para   t >   0, usando el circuito transformado si v si  v(0) (0) = 4 V e  e   i(0) = 2A.  

   

6. Resolver Resolver los siguiente siguiente para t para  t > 0  t  t

´  x x((τ )τ )dτ   = 5   x(0) = 1 3sen  t x(0) = 4 b )   x + 4x 4x + 4  x ´  x((τ )τ )dτ  = = 3sen t

a )   x + 4x 4x + 3

0

 



 

 

 t



0

7. Mediante la ecuaci´on on descriptiva y transformadas de Laplace encuentrese v encuentrese  v  para  para t  t >  0 si −t a) a)   ig   = 2u(t) A y b) i b)  i g   = 2e u(t) A.   

 

 

  

 

 

Sol.- a)   v   = 8 2e−2t (4cos t  + 3sent 3sent)u(t) b) −t −2t v  = 15 15ee 5e (3cos t + sent sent) V ,  t > 0.

−

 

Sol.- i Sol. i((t) =  e−t (2 + t



  

  

−

8. Mediante la ecuaci´on on descriptiva y transformadas de Laplace encontrar a   i  para  para   t >  0 si el circuito est´a en estado permanente cuando t  = 0−.

  



 

−   21 t2) A

11. Demuestr Demuestree por medio del teorema de convoluconvoluci´on on que

L

1

−





 t   s (t) = sen(at sen( at)) 2 2 2 2a (s + a )

Use este este resulta resultado do para para enc encon ontra trarr a   i   para t > 0 en el circuito inicialmente relajado

   

 

 

    

     

 

 

Sol.- t Sol. tsen(3 sen(3tt)

  