Matematica 3- Libro Santillan

3

Matemáticas

Matemáticas 3

Matemáticas 3

Eduardo Mancera Martínez

DISTRIBUCIÓN GRATUITA PROHIBIDA SU VENTA

Matematicas 3 Secundaria Ateneo 1 1

5/22/08 12:15:55 PM

Nombre del alumno (a)

Escuela

Grupo

Querido alumno (a) de secundaria: Este libro se entrega gratuitamente para tu formación, y es parte del esfuerzo que estamos haciendo el Gobierno Federal y los Gobiernos de los Estados para convertir la educación en la llave de las oportunidades y el éxito para ti y tu familia. Este libro es tuyo. Aprovéchalo y cuídalo.

DISTRIBUCIÓN GRATUITA, PROHIBIDA SU VENTA

English 3 Santillana Integral co2 2

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Matemáticas

3

Eduardo Mancera Martínez

El libro Matemáticas 3 es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Clemente Merodio López.

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El libro Matemáticas 3. Santillana Ateneo fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo: Edición: José Luis Acosta

Editor en Jefe de Secundaria: Roxana Martín-Lunas Rodríguez

Colaboración: Claudia Navarro Castillo, Javier Esquivel

Gerencia de Investigación y Desarrollo: Armando Sánchez Martínez

Coordinación editorial: Armando Sánchez Martínez Revisión técnica: Raúl Zamora, José Luis Córdova Frunz Corrección de estilo: José Luis Acosta, Alberto de la Fuente

Gerencia de Procesos Editoriales: Laura Milena Valencia Escobar Gerencia de Diseño: Mauricio Gómez Morin Fuentes Coordinación de Arte y Diseño: Francisco Ibarra Meza

Diseño de interiores: José Luis Acosta

Coordinación de Sistemas Electrónicos: Victor Manuel Vallejo Paquini

Diseño de portada: Francisco Ibarra Meza

Fotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Manuel Zea Atenco, Benito Sayago Luna

Ilustración: Sergio Bourguet, Eliud Monroy, Abelardo Culebro Bahena, Augusto Mora, Astrid Stoopen, Naandeyé García Diagramación: Sergio Bourguet, Eliud Monroy, Cristóbal Henestrosa, Martha Covarrubias, Astrid Stoopen, Naandeyé García

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 3. Santillana Ateneo son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor. © 2008 Eduardo Mancera Martínez D. R. © 2008 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V. Av. Universidad 767 03100, México, D. F. ISBN: 978-970-29-2227-8 Primera edición actualizada: junio, 2008 Primera reimpresión: febrero, 2009 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México

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Presentación O

riginalmente ateneo significaba institución literaria o científica. La palabra viene del griego Athenaion, que era el templo de Atenea en Atenas, donde los poetas, oradores y filósofos compartían sus obras. En la Roma antigua, el ateneo era el lugar destinado al estudio de las artes y las técnicas. Por extensión, en la actualidad ateneo significa institución donde se cultiva el conocimiento y el aprecio de las artes. Atenea era la diosa griega de la paz, la serenidad, la inteligencia y la sabiduría. Su imagen representaba, entre otras cosas, la prudencia. De ahí que la palabra ateneo hasta nuestros días se asocie con el progreso intelectual y espiritual del ser humano. Si entendemos la educación como arte moral, razonamiento científico y sabiduría práctica que extiende los límites de la libertad y permite a las personas enriquecerse y enriquecer a quienes las rodean, entonces, el objetivo de la serie Ateneo seguirá siendo transformar a las personas para que ellas transformen el mundo de manera favorable. Desde los primeros ateneos se sabía que el ser humano nunca está completamente hecho, sino en continua marcha, perfeccionándose de un modo inacabable. El sujeto de la educación es una construcción por hacer, para alcanzar más altos niveles de existencia y satisfacer todas las necesidades de su espíritu. Sin embargo, la persona se perfecciona en comunidad; se ve en sus semejantes y en ellos y con ellos descubre su destino. Al mismo tiempo, la comunidad social también se perfecciona en el respeto del individuo. La valoración de la persona es indispensable para equilibrar las partes con el todo. El presente libro de la serie Ateneo tiene como objetivo ofrecerte oportunidades para la construcción del conocimiento matemático, de acuerdo con los planes y programas de estudio vigentes. Se apoya el libro en secuencias didácticas obtenidas de diversas fuentes como la historia de la disciplina y algunos resultados de la investigación y desarrollo educativo, además de que se fomenta el trabajo colegiado con tus compañeros. Para tu maestro este libro ofrece una herramienta de trabajo flexible, con la información básica para cultivar el conocimiento matemático y el aprecio por esta asignatura. Por lo mismo, en el desarrollo de los contenidos se recuperan prácticas del Ateneo, consideradas también en los planes y programas de estudio de la asignatura de matemáticas para la educación secundaria, como son la reflexión, la formulación de argumentaciones y la exploración de diferentes vías para aproximarse al conocimiento y resolver problemas. El enfoque planteado recupera las experiencias en la resolución de problemas, el trabajo colegiado e induce la reflexión sobre temas nodales de la asignatura. También se adelanta a prever la generación de errores a partir de preguntas frecuentes y actividades formuladas para ese propósito. En la medida en que tú estudies y te prepares, serás más capaz de elegir quién quieres ser y de transformar favorablemente el mundo en que te tocó vivir. Por ello, en este texto de la serie para la educación secundaria, queremos revivir el espíritu del Ateneo y participar con estos materiales en una formación que te permita alcanzar las metas que te fijes como ser humano y como ciudadano de un país que necesita personas como tú, en un mundo cuya complejidad exigirá que siempre estés muy preparado y atento. La inauguración de una nueva escuela, como promueven las más recientes tendencias educativas, es una excelente oportunidad para avanzar en lo antes expuesto, así que, bienvenido al ateneo.

3

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Contenido 1

Bloque

Bloque

1

2

Las letras se multiplican • Símbolos o palabras • Letras y números que quieren multiplicarse

12 14 15

• Los rectángulos y las letras que se multiplican • Cambios de signo • Productos notables

2

3

4

Triángulos en cuadriláteros

con lados congruentes • Propiedades de cuadriláteros

47 53

De ángulos y circunferencias • Nuevos nombres • Relación entre ángulos centrales e inscritos en una circunferencia • Triángulos inscritos

6

42 44

• De secantes a tangentes 5

36

• Triángulos congruentes • Curiosidades sobre triángulos

Entre rectas y circunferencias

Arcos y coronas, pero… no para una reina

60 62

68 70

70 74

78

8

80

Las razones del cambio

88

Exploraciones en la información • Una investigación de campo

• ¿Calcular cubos con cuadrados? • Conocida el área de un cuadrado, ¿se puede obtener la longitud de su lado? • Para quedar de acuerdo en algunos términos • Ecuaciones con términos cuadráticos o cúbicos

113 114

115 118 120

10 El mundo de las cuadráticas 126

• De cuadráticas a productos de dos factores

• Cuadrados y raíces iguales • Cuadrados incompletos • Aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado

128 130 132 139

11 De triángulos chicos a grandes

y de grandes a chicos • Ampliaciones y reducciones • Convenciones para establecer

144

la semejanza de triángulos

147 149

146

12 Criterios de semejanza

a partir de los lados • Criterio LLL • Criterio LAL

154 156 158

13 Semejantes polígonos o

circulares

• Cambio en tiempo

110 • Las ecuaciones según al-Jwarizmi 112 • Calcular un cuadrado es construir

• Dibuja, mide y compara

• Coronas, sectores y segmentos 7

Cuadrados y cubos en las ecuaciones

un cuadrado 23 27 28

Factorización de expresiones algebraicas 34 • Letras que se desmultiplican

9

90

polígonos semejantes • Más lados, ¿misma semejanza? 14 Mediciones indirectas

102

168

174

• Errores en las mediciones indirectas

100

166

15 Lo que indican los índices

• Números que indican • Indicadores e índices 16 Simulación y probabilidad

• Simular la probabilidad

176

180 182 182

188 190

4

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Bloque

Bloque

Bloque

3

4

5

17 Dependencia entre

variables • Los teoremas de Tales de Mileto • Funciones y fotocopias • Una función conocida

25 ¿Quién genera

198 200 201 202

18 Haciendo la vida

de cuadráticas • La fórmula general • Terrenos y cuadráticas • Autobuses y cuadráticas 19 Tales proporciones

208 210 216 216

220

• Rectas y proporciones • Una aplicación conocida

222

y el teorema de Tales

226

20 ¿Qué es la homotecia?

• Homotecias adelante y atrás

232 234

21 Lo que no cambia…

en las homotecias • Cosas que no cambian a pesar de los cambios • Va de nuez, homotecias repetidas

240 242 245

250

• Recipientes y modelos matemáticos • Modelos y sus curvas

252 255

23 Dime cómo es tu forma alge-

braica y te diré quién eres

260

• Cuatro funciones fundamentales 262 • Gráficas que se estrechan • • • • • •

y alargan Que sube y que baja Para adelante y para atrás Las distintas caras de las parábolas ¿Qué dicen las canónicas? ¿Qué dicen las generalas? ¿Qué dicen las rectas de las parábolas?

294

• Pitágoras, el fundador • Ecuaciones y sucesiones • Quien no se arriesga…

296 297 298

26 Teorema de Pitágoras

304

• De cómo dos cuadrados llenan un cuadrado • Recíproco del teorema de Pitágoras

306 309

27 Las razones de los

triángulos rectángulos • Razones constantes • Las razones del seno, coseno y tangente

314 316 318

28 Cálculo de lados mediante

razones • Empleo de las razones trigonométricas en el cálculo de los lados

326

263 271 273 277 278 279

32 Sácale jugo a los problemas • Arquitectura y geometría • Varios caminos conducen a Roma • En realidad… ¿cuántos problemas se resolvieron? • Variaciones sobre un tema conocido

360

33 La danza de las figuras • Giros y traslados • Si doblas, ¿qué ocurre? • Si cortas, ¿qué ocurre? • ¿Y las medidas de los cortes?

372

de conos y cilindros?

de prismas y pirámides 35 Conociendo más

29 Encontrar medidas sin medir 332

• Si el radio es fijo… • Si la altura es fija…

de los conos y cilindros

334

30 ¿Cómo se mide

el crecimiento? • Crecimiento aritmético o lineal • Crecimiento geométrico o exponencial

340

365 367

374 376 380 382

386

389 389

392 394 396

36 ¿Usar bigotes para analizar

datos? 338

363

• Historia de pirámides y prismas 388 • Cilindros y conos parientes

328

en mediciones

362

34 ¿Cómo calcularás volúmenes

• Historias reales

• Aplicación de la trigonometría

22 Comportamientosrectos

y no tan rectos

a los números?

• Un intento sin bigotes • Ahora con mostacho • A mover el bigote

402 404 405 408

343

31 Mismo fenómeno,

distintos datos

Bibliografía general

412

348

• Representaciones diferentes, nueva información

350

280

24 Los mensajes ocultos

en las gráficas 284 • Gráficas con segmentos de rectas 286

5

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Índice temático En este índice se muestra la correlación entre los temas del nuevo programa de estudios, organizados en tres ejes principales, y las lecciones donde se desarrollan dichos temas en la obra. Eje

Sentido numérico y pensamiento algebraico

T E MA

Subtema

Lección

Página

Significado y uso de las operaciones

Operaciones combinadas

1

12

2

34

Lección

Página

25

294

9

110

10

126

18

208

32

360

17

198

Lección

Página

4

60

5

68

Cuerpos geométricos

33

372

Figuras planas

3

42

11

144

12

154

13

166

14

174

19

220

T E MA

Subtema

Significado y uso de las literales

Patrones y fórmulas

Ecuaciones

Relación funcional

Eje T E MA

Forma, espacio y medida Subtema

Formas geométricas Rectas y ángulos

Semejanza

6

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Subtema

T E MA Medida

Lección

Página

6

78

26

304

27

314

28

326

29

332

35

392

34

386

Lección

Página

20

232

21

240

Lección

Página

Estimar, medir y calcular

Justificación de fórmulas Subtema

T E MA Transformaciones

Movimientos en el plano

Eje

Manejo de la información

T E MA

Subtema

Análisis de la información

Noción de probabilidad

16

188

Porcentajes

15

180

Lección

Página

7

88

8

100

22

250

23

260

24

284

30

338

31

348

36

402

T E MA

Subtema

Representacìón de la información

Gráficas

Medidas de tendencia central y de dispersión

7

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Estructura de la obra Entrada de bloque

Bloque 1 “La frase más excitante que se puede oír en ciencia, la que anuncia nuevos descubrimientos, no es ‘¡Eureka!’ (‘¡Lo encontré!’), sino ‘Es extraño…’ ” Isaac Asimov

En este bloque: Efectuarás algunos cálculos que impliquen transformar expresiones algebraicas en otras equivalentes. Justificarás algunas propiedades de figuras geométricas aplicando los criterios de congruencia de triángulos. Encontrarás la solución de problemas que impliquen relacionar ángulos inscritos y centrales de una circunferencia. Resolverás problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla algebraicamente y representarla gráficamente.

10

11

En cada entrada de bloque se incluyen los propósitos señalados en los programas de estudio, resaltando la importancia de éstos para el estudiante.

Las entradas de lección se componen de tres apartados: • Mis Retos informa al estudiante los conocimientos que se espera que adquiera o amplíe al terminar la lección. • ¿Qué sé? recuerda al estudiante los contenidos trabajados en cursos anteriores que están relacionados con el desarrollo de la lección que inicia. • ¿Qué lograré aprender? plantea cuestiones específicas al estudiante que lo ayudarán a determinar su dominio de los contenidos al terminar la lección.

Entrada de lección

12

“Algo de lo que me enseñaron”

Criterios de semejanza a partir de los lados

ALGO DE LO QUE ME ENSEÑARON 1 Dados los siguientes triángulos semejantes estable una correspondencia entre sus vértices para determinar los ángulos congruentes de un triángulo con los del otro triángulo y la proporcionalidad entre los lados.

Mis retos Abordarás otras maneras de asegurar la semejanza de dos triángulos a partir de la revisión de algunos elementos de dos triángulos, como algunos lados o ángulos. Determinarás las correspondencias que deben establecerse entre los vértices para identificar partes homólogas y poder establecer la semejanza de triángulos.

(a)

(b)

B B

E D

A

¿Qué sé? Ya conoces cómo operan los criterios de congruencia de triángulos En la lección anterior revisaste el criterio de semejanza AAA, el cual puede denotarse como AA también. También conociste como reconocer las partes homologas para establecer la proporcionalidad de los lados y la igualdad de ángulos.

¿Qué lograré aprender? Determinarás otros criterios para establecer la semejanza de triángulos. Analizarás las relaciones que puedes establecer entre lados y ángulos de dos triángulos a fin de encontrar los elementos que son necesarios para asegurar la semejanza de dos triángulos.

D

C

F A

C

E

F

2 ¿Habrá algún tipo de triángulo para el cual cualquier correspondencia entre los vértices sería la adecuada para establecer la semejanza entre dos triángulos de ese tipo? 3 ¿Habrá algún tipo de triángulo para el cual a lo más dos correspondencias entre los vértices serían las adecuadas para establecer la semejanza entre dos triángulos de ese tipo? 4 Dados los datos considerados en los triángulos, encuentra los demás datos faltantes para tener todas las medidas de sus ángulos y la longitud de sus lados: 8.38

(a) .42

cm

cm

11

35°

6.62 cm 35° 3.18 cm

“Algo de lo que me enseñaron” propone actividades sobre contenidos que es conveniente tener claros antes de abordar los temas de la lección. También sirve como evaluación diagnóstica.

(b)

2.19 cm 20.9° 5.74 cm 20.11 cm

154

155

8

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Apertura de lección

Desarrollo de lección

Al final de cada lección se incluyen las siguientes dos secciones:

LECCIÓN 7 t LAS RAZONES DEL CAMBIO

Las ecuaciones

según al-Jwarizmi

¼·x

¼·x

¼·x x

Distancia 65 350 (km) 65 250

1+4

1

2

4

= 1+4

1

1

65 200 65 150 15:00

Figura 1

Así pues, partiendo de dicha suposición, ¿cuál es la razón de cambio del movimiento del automóvil en el intervalo de tiempo que va de las 15:00 a las 17:00 horas? La obtendrás mediante el cociente de la distancia recorrida entre el tiempo empleado: Distancia (km) = . = Tiempo (horas)

5

 16  = 1 + 4 = 4 = 1.25.

t ¿Cuál es la razón de cambio en el intervalo de las 15:00 a las 16:00 horas? ¿En el de las 15:30 a las 16:45 horas? t ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil cada media hora? Si en un plano cartesiano trazas la recta que pasa por los puntos dados de la gráfica de la figura 1, ¿qué valor tendría su pendiente? ¡Encuentra la expresión algebraica correspondiente a la recta!

Habiendo transformado así nuestra ecuación original, aplicamos el procedimiento de reducción de al-Jwarizmi para obtener el valor de x:

=

17:00

Tiempo (horas)

Figura B

¿Qué longitud tendrá un lado de ese cuadrado?, esto es, ¿qué número multiplicado por sí mismo da 1.25? Para saberlo, extraemos su raíz cuadrada y obtenemos que es aproximadamente 1.118. Ahora bien, por la figura B también sabemos que la longitud de dicho lado puede expresarse como x + 0.25 + 0.25 = x + 0.5, con lo que se llega a la igualdad x + 0.5 = 1.118.

y=

x+

91

112

Este apartado, específico de la primera lección de cada bloque, explora algunas situaciones didácticas indicadas en los planes y programas de estudio.

Cada contenido planteado en el programa de estudios constituye un tema o subtema de la lección, los cuales se resaltan para su mejor identificación.

Secciones particulares

Para curiosos “Para curiosos” es una sección que invita a los estudiantes a trabajar en equipo para buscar respuestas a preguntas frecuentes sobre el tema tratado, lo cual los involucra en situaciones que los ayudan a desarrollar su pensamiento crítico.

EL ATEN

EO

EN

Es una evaluación sumaria en la que se integran los diversos contenidos estudiados en la lección. El maestro encontrará aquí actividades con las cuales puede plantear tareas o construir exámenes de acuerdo con sus necesidades.

“Conéctate”

.

Se están poniendo a prueba tres materiales como aislantes térmicos para ser utilizados en techos de construcciones. Se desea saber si alguno de ellos se calienta más conforme pasa el tiempo.

x = 0.618.

¼·x

65 243

x

¼ ¼

El área del nuevo cuadrado será

1

¼·x

x2

¼

 4  x = 1.

x2

65 423 65 400

¼·x ¼·x

x

Figura A

Movimiento del automóvil 65 450

¼

¼·x

¼ ¼

“Demuestro lo que sé y hago”

Si sabes que la velocidad de tu recorrido se mantuvo constante, lo podrías graficar como se muestra en la figura 1.

El área de la figura asociada es igual a 1. Vamos a completar la figura para convertirla en un cuadrado, añadiendo 4 pequeños cuadrados en sus extremos, cada uno de ¼ de lado.

Para una mejor comprensión de las técnicas algebraicas que usamos en la actualidad conviene echar una mirada al pasado. Podemos preguntarnos, por ejemplo, ¿qué procedimientos conocían los antiguos para resolver ecuaciones, antes de que se inventaran las técnicas que ahora usamos, y antes del surgimiento de la notación moderna? Un trabajo precursor en este sentido fue el del matemático y astrónomo persa Mohammed ibn Musa al-Jwarizmi, quien alrededor del año 820 de nuestra era ideó un sistema que consistía en reducir cualquier ecuación de primer o segundo grado a una de seis formas básicas posibles, para las cuales estableció métodos específicos de resolución, siempre basados en el uso de construcciones geométricas. Así pues, vamos resolver la ecuación x 2 + x - 1 = 0 siguiendo los pasos de al-Jwarizmi. Comencemos por reducirla a una de las formas básicas, para evitar el uso de coeficientes negativos, de esta manera: x 2 + x = 1. A partir de aquí procedemos geométricamente para hallar la solución. La ecuación anterior podemos escribirla como x2 + 4

En un viaje en automóvil observas que el marcador de kilometraje indica 65 243 cuando el reloj marca las 15:00 hr y posteriormente, a las 17:00 hr, el kilometraje es de 65 423.

“En el ateneo” es un espacio dedicado al planteamiento de actividades que se recomienda que el alumno realice en grupo para posteriormente redactar en su cuaderno las respuestas y los procedimientos para llegar a ellas. Aquí también se invita a la reflexión y se hace hincapié en las partes operativas cuando se considera necesario. En esta sección hay algo más que solamente “ejercicios”.

Esta sección presenta opciones de consulta en Internet o en libros que permiten profundizar en algunos contenidos. Considerando que los contenidos de Internet cambian o desaparecen sin previo aviso, las direcciones que se ofrecen sólo son un ejemplo de lo que se puede encontrar en este medio de información. Se recomienda utilizar un “motor de búsqueda” para hallar otras páginas sobre el tema de interés. Por otra parte, aun cuando algunas referencias bibliográficas que se sugieren son publicadas por editoriales extranjeras, son parte de las fuentes que se pueden obtener en idioma español y se han detectado en bibliotecas de varias instituciones o en librerías. Se pueden obtener artículos sobre la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en revistas especializadas, como las incluidas en el índice de revistas de excelencia sobre investigación del CO N A C Y T . También se cuenta con revistas digitalizadas de distribución gratuita, como la revista Uno, y otras publicaciones periódicas en hemerotecas de servicio gratuito en línea, como Redalyc.

9

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Bloque 1 “La frase más excitante que se puede oír en ciencia, la que anuncia nuevos descubrimientos, no es ‘¡Eureka!’ (‘¡Lo encontré!’), sino ‘Es extraño…’ ” Isaac Asimov

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En este bloque: Efectuarás algunos cálculos que impliquen transformar expresiones algebraicas en otras equivalentes. Justificarás algunas propiedades de figuras geométricas aplicando los criterios de congruencia de triángulos. Encontrarás la solución de problemas que impliquen relacionar ángulos inscritos y centrales de una circunferencia. Resolverás problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla algebraicamente y representarla gráficamente.

11

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1

Las letras se multiplican Mis retos En esta lección vas a deducir y utilizar un conjunto de fórmulas que te permitirán obtener con soltura productos de multiplicaciones (algebraicas y numéricas) que se presentan con suma frecuencia. Para ello utilizarás representaciones geométricas asociadas al producto de números.

¿Qué sé? En el curso anterior aprendiste a sumar y restar algunas expresiones algebraicas de la forma ax + b. Para ello, utilizaste algunas representaciones geométricas que te ayudaron a determinar los procedimientos para llevar a cabo operaciones con este tipo de expresiones. En algunas ocasiones las literales denotaron números supuestamente conocidos, mientras que en otras (ecuaciones de primer grado) denotaron números desconocidos que se deseaba determinar. De esta manera ampliaste tus conocimientos sobre el manejo de las literales.

¿Qué lograré aprender? Interpretarás las literales en las expresiones algebraicas como números cuyo valor no se especifica, y realizarás operaciones con dichas expresiones. Explorarás algunos procedimientos para realizar multiplicaciones de expresiones algebraicas como (x + a)2, (x + a)(x + b) o (x + a)(x - a), y simplificarás los resultados.

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ALGO DE LO QUE ME ENSEÑARON 1 Encuentra los términos o factores que faltan en las siguientes expresiones. • 3¥

= - 12

• 5¥

= -15x

• 5+

= -7

• 4+

= -7x

• 2.6 ¥

• 0.7x ¥

= -8.32x

• -5x + (2 ¥

) = -7x

•

2 x+ 5

= -0.3x 3 =- x 7

1 ¥ 3 1 • - + 2 3 • ¥ 4 1 • - x+ 2 •

= -4 =-

1 5

5 =- x 8 4 =- x 9

2 Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba tus resultados. 2 1 • 5x - 3 = -7 • x-3=- x+5 • 2.3x + 4.2 = -3.2 + 5.1x 3 5 2 4 2 1 3 1 3 1 • - x=• - 0.4w = -3 • u- =- u+ 5 7 7 5 4 4 2 2 3 Proporciona ecuaciones de primer grado cuyas soluciones sean las que se indican. 2 • x = -3 • r = 2.2 • y= • m=4 3 4 Dadas las siguientes expresiones algebraicas, encuentra una expresión que satisfaga la igualdad. • 2x 2 - 5x + 1 +

= x2 + 3

• -u2 - 3u - 4 + 1 1 1 • -5p2 - 7p - 3 + = 6p2 + 3p - 5 • y 2 + y + + 2 4 3 2 2 • 2.3w - 4.3w + 1.7 + = 5.2w + 1.7w - 2

= -4u + 3 = y2 + y - 1

5 Con las piezas que se muestran forma un rectángulo y encuentra su área multiplicando la longitud de sus lados y sumando las áreas de las partes. 1 cm 4 cm 1 cm

1 cm

4 cm

4 cm

13

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BLOQUE 1

Ya sabes que las letras no solamente sirven para construir palabras, también se han usado para representar números. Pero eso no sucedió de un momento a otro, fue el resultado de un largo proceso. En la Grecia antigua, Diofanto de Alejandría fue uno de los primeros matemáticos en hacer uso de una notación especial para las expresiones matemáticas. Por ejemplo, en su tratado Aritmética introdujo el uso de determinadas letras griegas para representar la incógnita de una ecuación y sus potencias. En la siguiente tabla puedes observar una relación comparativa entre dicha notación de Diofanto y la que emplearon para el mismo propósito matemáticos de épocas posteriores.

Símbolos o palabras

Distintas representaciones de la incógnita de una ecuación Notación actual

Diofanto

Brahmagupta

Leonardo Pisano

Pacioli

Bombelli

x

V

ya

cosa (o chosa)

co

1

x2

DU

va

censo

ce o Z

2

x3

KU

gha

chubo

cu o C

3

x4

DU D

vava

censo di censo

ce ce

4

x5

DU K

ghagha

chubo di censi

pº rº

5

Organízate con tus compañeros para responder las siguientes preguntas: • ¿Quiénes fueron Diofanto, Brahmagupta, Leonardo Pisano, Pacioli y Bombelli? • ¿En qué época vivieron? • ¿Cuáles fueron sus principales contribuciones matemáticas?

Es decir, desarrolla la solución a manera de texto: no puedes referirte a “x”, tienes que darle un nombre como “la cosa”, y no puedes usar términos como “más” o “menos” sino “añadir” o “quitar”; tampoco puedes usar la palabra “igualdad”, en vez de ella te debes referir a “el resultado es”. También elabora un texto para indicar cómo resolver la ecuación -3x + 7 = 2. ¿Qué puedes concluir del experimento anterior? Discútelo con tus compañeros. ¡Disfruta unos minutos en la antigüedad! pero ¡no te quedes ahí!

En la tabla anterior también podrás notar que las incógnitas no siempre se expresaron mediante símbolos, sino también con palabras, de tal modo que en estos casos los procedimientos algebraicos cobraban prácticamente la apariencia de textos. Intenta con tus compañeros un experimento. Resta 2x - 3 de 5x + 4, como lo haría un calculista antiguo.

14

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LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N

Letras y números que quieren multiplicarse En el curso anterior se realizaron algunas operaciones de multiplicación de expresiones algebraicas. Es posible relacionar operaciones de multiplicación de expresiones algebraicas con algunos arreglos de figuras geométricas sencillas. Para ello, utilizaremos la serie de piezas que se muestran en la figura 1, y que puedes elaborar con diferentes materiales. Recorta varias piezas de cada elemento mostrado utilizando las medidas que se indican. 1 cm

1 cm

3.3 cm

1 cm

1 cm

1 cm

3.3 cm

Figura 1

1 cm

A cada tipo de pieza asociaremos una expresión, como se muestra en la figura 2. Las piezas de color azul tendrán asignado un valor positivo y las de color amarillo un valor negativo.

Figura 2 x

1

-x

-1

Bajo estas convenciones, al juntar tres rectángulos azules y dos cuadrados azules, tendrías un arreglo como el de la figura 3, al cual es posible asociar una expresión algebraica. Escríbela completando los espacios en el texto bajo la figura.

x+

.

Figura 3

Cuando se utilizan piezas que representan valores negativos la expresión algebraica puede derivarse de varias maneras. Por ejemplo, a la configuración de la figura 4 se le pueden asociar dos expresiones equivalentes. Anótalas.

x+(

), o bien

x-

.

Figura 4

15

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BLOQUE 1

Lo anterior conduce a la siguiente igualdad algebraica: x+ (

)=

x-

.

Modifiquemos los colores de la configuración anterior, usando esta vez tres rectángulos amarillos y dos cuadrados azules (figura 5). Completa bajo la figura las expresiones simbólicas correspondientes.

(

Figura 5

x) +

, o bien -

x+

.

Así pues, se puede afirmar que ( x) + =x+ . Otro arreglo posible es el de tres rectángulos amarillos y dos cuadrados amarillos, como se ve en la figura 6.

Figura 6

(

x) + (

), o bien -

x-

.

Escribe sus posibles representaciones algebraicas, así como la igualdad correspondiente: ( x) + ( )=x. Trabajemos ahora con las piezas para analizar la multiplicación de expresiones algebraicas. Observa el arreglo de la figura 7 y escribe su representación algebraica.

x+

Figura 7

.

Si se añaden tantas piezas como las que se tenían (figura 8), ¿cuál sería la expresión algebraica correspondiente al nuevo arreglo de cuatro piezas?

x+

Figura 8

.

Observa que también puedes acomodar esas mismas cuatro piezas formando un rectángulo como el de la figura 9, cuyas dimensiones (base y altura) aparecen ahí indicadas. 2

Figura 9 x+1

16

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LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N

Entonces el área de dicho rectángulo se puede expresar con números y literales de la siguiente manera: (x +

).

Así, tenemos dos expresiones algebraicas asociadas a la misma configuración de piezas, con lo que podemos establecer la siguiente igualdad: x+

=

(x +

),

que también se puede escribir así: (x +

)=

x+

.

Esto se ilustra en la figura 10.

es lo mismo que

es lo mismo que Figura 10

Para curiosos Discute con tus compañeros lo siguiente. ¿Se puede afirmar que 6(x + 1) = 6x + 6 ó que 6(x + 1) = 6x + 1? ¿Las dos expresiones son correctas? ¿Por qué? ¿Cuál es la expresión correcta: 4(x + 5) = 4x + 20 ó 4(x + 5) = 4x + 5? ¿Por qué? ¿Cuál de las tres expresiones es correcta y por qué? • -5(x + 7) = -5x - 35 • -5(x + 7) = -5x + 7 • -5(x + 7) = -5x - 7 Si se utilizan fracciones o decimales u otras letras, ¿cómo se procede? Escribe una expresión equivalente a cada una de las siguientes: •

2 (2t - 1) 3

• -0.33 (0.45z + 0.5)

冊 1 • -0.75 冉 r + 4冊 5 • -

冉

3 1 4 - u+ 4 5 5

17

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5/14/08 3:47:48 PM

BLOQUE 1

¿Cuáles serían las expresiones algebraicas asociadas a los arreglos de las figuras 11 a 14? ¿Qué igualdades se pueden establecer con ellas? Figura 11

A

= x+

=

(

x+

),

o también:

(

x+

)=

x+

.

Figura 12

B

= x+

=

(

x+

),

o también:

(

x+

)=

x+

.

Figura 13

C

= x+

=

(

x+

),

o también:

(

x+

)=

x+

.

Figura 14

D

= x+(

)=

[

x+(

)],

o también:

[

x+(

)] =

x+(

).

Se puede representar la multiplicación por un número negativo mediante un cambio de color de las piezas empleadas. Con ayuda de tus compañeros realiza las siguientes operaciones con y sin signo negativo en el primer factor. Apóyate en las correspondientes representaciones con piezas de las figuras 15 a 17.

18

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LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N

Figura 15

2(-x + 1) =

-2(-x + 1) =

3[-2x + (-3)] = 3(-2x - 3) =

-3[-2x + (-3)] = -3(-2x - 3) = Figura 16

4[5x + (-7)] = 4(5x - 7) =

-4[5x + (-7)] = -4(5x - 7) = Figura 17

Para curiosos Plantea con tus compañeros otros ejemplos parecidos a los anteriores y escribe cómo realizarías una operación como las que se han visto hasta ahora, pero sin usar las piezas, solamente con símbolos. Por ejemplo, en los siguientes casos, ¿qué instrucciones escritas le darías a un compañero para que realice la operación indicada? • 2(3x + 5)

• 3(x - 7)

• -5(2x + 4)

• -(x + 9)

Discute con tus compañeros lo que sucedería si hubiera cantidades decimales implicadas. ¿Cómo se resolverían las siguientes multiplicaciones? • 4(3.12x + 1)

• -2(12.3x - 2.7)

冉

3 2 • 6 - x+ 5 7

冊

Las instrucciones que redactaste en la primera pregunta, ¿sirven para resolver las operaciones anteriores? Si no es así, ¿cómo las modificarías?

19

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5/14/08 3:47:49 PM

BLOQUE 1

El procedimiento que hemos venido analizando podemos expresarlo de manera general como “la multiplicación de un número cualquiera por la suma de dos números cualesquiera”, el cual representamos simbólicamente con: a ¥ (x + b), en donde a, x y b representan números cualesquiera. Con esta notación podemos ver que las igualdades que hemos construido, con el apoyo visual de las piezas, son el desarrollo de dicha multiplicación, la cual podemos expresar como a (x + b) = a ¥ x + a ¥ b. Cuando no haya confusión pueden omitirse los signos de multiplicación, por lo que la expresión puede escribirse como a (x + b) = ax + ab.

La expresión a(x + b) = ax + ab puede ser útil para realizar cálculos numéricos también. Por ejemplo, calcula mentalmente la operación 4 ¥ 67, anota los resultados y compáralos con los de tus compañeros. ¿Recurrieron todos al mismo procedimiento?: 67 ¥ 4 268 En este caso es más fácil multiplicar mentalmente 4 ¥ 60 = 240 y 4 ¥ 7 = 28 y sumar los resultados: 240 + 28 = 268. Discute con tus compañeros cómo se aplica en este último procedimiento la expresión a(x + b) = ax + ab.

Para curiosos Intenta calcular mentalmente 7 ¥ 53 y 8 ¥ 107. Si un mago te dice que pienses un número del 1 al 9, pero que no se lo digas, y te pide el resultado de multiplicarlo por 55, para que inmediatamente te diga el número que pensaste, ¿cómo le hizo? ¿Aplicó también a(x + b) = ax + ab?

20

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EL ATEN

EO

EN

LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N

1

Escribe la identidad algebraica que se obtiene al construir con las siguientes piezas un rectángulo.

2

Realiza las siguientes multiplicaciones. • 4 (x + 7)

• 3 (x - 9)

• -7 (5x + 3)

• -8 (2x - 5)

• -5 (-x - 7)

•

• -

冉

3 2 1 x+ 4 5 7

冊

冊

• -0.35 (2.34x - 1.2)

冉

冊

2 • -0.35 - x + 5 7

• -1.7 (-3.5x - 4.3) 3

冉

2 1 x+2 3 6

Encuentra números que hagan las siguientes igualdades ciertas. Comprueba tus resultados realizando el producto. • 15 ( • •

x + 11) = 10.5x + (0.5x +

4 5

冉

x+

• -9 (5x -

冉 14 冊 冉

• -

) = 0.2x + 0.36

冊

3 4 = x+ 4 15 )= x-

x + 18

冊 = 141 x + 163 21

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BLOQUE 1

4

Calcula el área de los siguientes rectángulos. (a )

(b )

( c) 3 7 2x + 5

12 0.9x + 2 3

(d) 4 9 1 x - 0.5 2

-3x + 7

5

Encuentra las dimensiones de los siguientes rectángulos cuya área está representada por las expresiones algebraicas escritas en su interior. ¿La respuesta es única en todos los casos?

-

6

(b )

6x + 8

-10x + 36

( c)

(d )

3 1 x4 2

0.28x + 0.63

Escribe las siguientes sumas como producto de un número por la suma de otros dos números. • 49x + 28 = • -

7

( a)

(

2 1 x+ = 48 4

x+ (

)

x+

• 253x + 385 =

(

x+

)

)

Plantea una expresión algebraica que represente las siguientes situaciones. • T es la edad de Pedro. Juan tiene la misma edad de Pedro más tres años. • R es el área de un terreno; otro terreno tiene el doble de área que él menos 100 m2. • Juan tiene una cantidad de dinero F y pierde esa misma cantidad más $234.

8

Resuelve las siguientes operaciones haciendo uso de la igualdad a (x + b) = ax + ab. • 2 ¥ 37 =

(

+

)=

• 5 ¥ 49 =

(

+

)=

• 9 ¥ 18 =

(

+

)=

• 11 ¥ 23 =

(

+

)=

22

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LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N

Los rectángulos y las letras que se multiplican Si tienes un terreno rectangular de 14 m ¥ 19 m (figura 18), ¿cómo calculas su área?; ¿cuál es su valor? (Puedes omitir las unidades).

14 m

Figura 18

19 m

Si las dimensiones se expresan como 10 + 4 y 10 + 9, ¿cambia el área del terreno? Esto induce a pensar que el terreno puede ser subdividido en partes que tienen un área fácil de calcular, como se observa en la figura 19.

4

10 + 4 10

10

9

Figura 19

10 + 9

Discute con tus compañeros una forma de calcular el área del terreno sin multiplicar 14 ¥ 19. Podemos ampliar la situación anterior al caso en que las medidas del terreno sean representadas con literales. Considera por ejemplo que las dimensiones del terreno son x + 4 y x + 9, es decir un lado mide x m más 4 m y el otro los mismos x m más 9 m.

x+4

x+9

Área del terreno: ( ( )()() Área del terreno:

)

Figura 20

23

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BLOQUE 1

En este caso el área no sería un número específico, sin embargo se puede representar por una expresión algebraica. ¿Cuál sería? Escríbela en el espacio correspondiente de la figura 20. Ahora bien, considerando la forma en que están expresadas las dimensiones del terreno, podemos subdividirlo como se muestra en la figura 21. Así, el área del terreno puede escribirse también como la suma de varias partes. ¿Cuál sería la expresión algebraica de dicha área? Complétala en los espacios indicados en la figura 21. x

9

4

4x

36

4

x

xx22

9x

x

x

9

4

x+4 x

x

9 x+9

Figura 21

2 Área del terreno: Área del terreno:+( )( )

+

De este modo, hemos expresado el área del terreno de dimensiones x + 4 y x + 9 de dos maneras (figuras 20 y 21). Esto nos conduce a una igualdad; escríbela a continuación: 2 ( + )( + )= + + . Los ejemplos anteriores serán de utilidad para representar la multiplicación de expresiones algebraicas sencillas. Para esto vamos a emplear las piezas que se muestran en la figura 22.

1 cm

3.3 cm

1 cm

1 cm

1 cm

3.3 cm

3.3 cm

Figura 22

1 cm

1 cm

3.3 cm

3.3 cm

3.3 cm

24

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LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N

Algunas de ellas ya las tienes pues se usaron en la sección anterior, solamente te faltan los cuadrados grandes. Bastará con que recortes 10 cuadrados grandes de cada color. Nuevamente, cada tipo de pieza tendrá asignada una expresión, como se indica en la figura 23. También en este caso las piezas azules se consideran “positivas” y las amarillas “negativas”.

x

1

-x

x2

-1

Figura 23

-x 2

Ahora, discute con tus compañeros la forma de representar algebraicamente cada una de las áreas de los arreglos rectangulares que se presentan en las figuras 24 a 27. (Cabe mencionar que hay dos maneras de hacerlo: una es expresando el área del rectángulo como el producto de la base por la altura y la otra es mediante la suma de las partes.)

Área: (

)(

+

+

)=

2

+

Área: (

+

+

)(

Figura 24

Área: (

+

)(

+

)=

+

)=

2

+

+

2

+

+

Figura 25

2

+

Área: (

+

Figura 26

+

)(

+

)=

Figura 27

25

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BLOQUE 1

Después de haber realizado lo anterior, analiza con tus compañeros los siguientes procedimientos (figuras 28 a 30). • (x + 4)(x + 3) = x (x + 3) + 4 (x + 3) = x2 + 3x + 4x + 12 = x2 + 7x + 12.

Figura 28

• (x - 4)(x + 3) = x (x + 3) - 4 (x + 3) = x2 + 3x - 4x - 12 = x2 - x - 12.

Figura 29

Para llegar al resultado en este caso se eliminaron algunas piezas. Recuerda que un número de piezas de un color se “equilibran” o cancelan con el mismo número de piezas de otro color, siempre y cuando sean del mismo tipo. Observa también, en las figuras 29 y 30, que el color de los cuadrados pequeños es amarillo porque indican el producto de un negativo por un positivo. • (x + 4)(x - 3) = x (x - 3) + 4 (x - 3) = x2 - 3x + 4x - 12 = x2 + x - 12.

Figura 30

26

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LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N

• (x - 4)(x - 3) = x (x - 3) - 4 (x - 3) = x2 - 3x - 4x + 12 = x2 - 7x + 12.

Figura 31

Observa que el color de los cuadrados pequeños es azul porque indican el producto de un negativo por otro negativo.

Cambios de signo Un cambio de color en las piezas implica un cambio de signo en la expresión algebraica asociada. Considera los siguientes ejemplos. • Al aplicar un signo menos a la expresión x + 2 tenemos que - (x + 2) = -x - 2 , lo cual se representa cambiando el color a las piezas correspondientes (figura 32).

x+2

-(x + 2) = -x - 2

Figura 32

• Si aplicamos un signo menos a la expresión x - 2 obtenemos: - (x - 2) = -x + 2 , como se ilustra en la figura 33.

x-2

-(x - 2) = -x + 2

Figura 33

Para curiosos Discute con tus compañeros cómo obtener el resultado de las siguientes expresiones algebraicas. • -(37x + 53)

• -(49x - 97)

• -4 (0.7x + 0.3)

• -8

冉 12 x - 14 冊

• -(-59x + 79)

• -(-81x - 9)

• -0.9(-4x + 1.4)

4 • - (-0.2x - 0.9) 5

27

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BLOQUE 1

Discute con tus compañeros la relación que existe entre las siguientes expresiones algebraicas: (-x - 2) (x + 3) = -x2 - 5x - 6 • -(x + 2)(x + 3) = (x + 2) (-x - 3) = -x2 - 5x - 6

(x + 2) (x + 3) = x2 + 5x + 6 -[(-x - 2) (x + 3)] = (-x -2)(-x - 3) = x2 + 5x + 6 • -[-(x + 2)(x + 3)] = (-x -2)(-x - 3) = x2 + 5x + 6 -[(x + 2) (-x - 3)] = (x + 2) (x + 3) = x2 + 5x + 6

Productos notables Para descubrir relaciones entre expresiones algebraicas es importante aguzar los sentidos y ser muy observadores. Por ejemplo, hay una regla que salta a la vista al multiplicar expresiones algebraicas del tipo (x + a)(x + b). Observa los siguientes desarrollos y junto con tus compañeros obtén conclusiones.

(x + 4)(x + 3) = x2 + 7x + 12

(x - 4)(x + 3) = x2 - x - 12

(x + 4)(x - 3) = x2 + x - 12

(x - 4)(x - 3) = x2 - 7x + 12

28

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LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N

Observa las regularidades que se presentan en las cuatro multiplicaciones anteriores: • • • •

¿Cuántos términos tiene siempre el resultado? ¿Siempre habrá un término con x 2 (término cuadrático)? El coeficiente de x (término lineal), ¿cómo se calcula en términos de a y b? El término restante (la constante), ¿cómo se calcula en términos de a y b?

Observa las siguientes secuencias para encontrar una forma de hacer las multiplicaciones del tipo (x + a)(x + b).

1

Figura 34

(x + 1)(x + 2):

(x + 1)(x + 2)

x (x + 2) + 1(x + 2)

x2 + 3x + 2

Esto es: (x + 1)(x + 2) = x (x + 2) + 1 (x + 2) = (x2 + 2x) + (x + 2) = x2 + 3x + 2.

2

(x + 3)(x - 4):

(x + 3)(x - 4)

Figura 35

(x2 - 4x) + (3x - 12)

x (x - 4) + 3(x - 4)

x2 - x - 12 Es decir: (x + 3)(x - 4) = x (x - 4) + 3 (x - 4) = (x2 - 4x) + (3x - 12) = x2 - x - 12.

29

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BLOQUE 1

Para curiosos Discute con tus compañeros la forma de proceder si solamente se usan literales en el tipo de multiplicación que estamos revisando. Esto es, si a, b, c y x son números positivos, ¿cuál es el resultado de las siguientes multiplicaciones? • (a + b)(a + c).

• (x + a)(x - b).

• (x - a)(x - b).

c

ac

bc

a

ax

ab

a

ax

ab

a

a2

ab

x

x2

bx

x

x2

bx

a

b

x

b

x

b

Consideremos ahora un conjunto de productos de particular importancia, a los cuales se les denomina productos notables debido a que se presentan con mucha frecuencia en manipulaciones algebraicas de toda índole. Conocerlos te permitirá abreviar procedimientos. Apoyándote en construcciones con piezas resuelve los tres productos notables que se ilustran en las figuras 36 a 38. Considera que las literales representan números positivos. b

b

b

a

a

a

a

a

b

(a + b)2 =

b

(a - b)2 =

Figura 36

Figura 37

a

b

(a + b)(a - b) = Figura 38

Así pues, es posible afirmar de manera general que • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 • (a + b)(a - b) = a2 - b2 • (a + b)(a + c) = a2 + (b + c) a + bc

30

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LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N

Discute con tus compañeros cómo utilizar estos productos para realizar mentalmente las siguientes operaciones: • 12 ¥ 15.

• 19 ¥ 19.

• 24 ¥ 24.

• 22 ¥ 18.

Para curiosos Imagina que tienes una calculadora con la tecla del 5 dañada. Discute con tus compañeros cómo realizarías las siguientes operaciones con dicha calculadora. • 25 ¥ 17

• 25 ¥ 35

1

Encuentra el resultado de la multiplicación (x - 5)(x - 7) haciendo uso del arreglo de piezas que se muestra. • (2x - 5)(3x - 7)

2

3

EL ATEN

EO

EN

• 32 ¥ 5

• (3x + 2)(4x - 1)

• (-2x + 1)(3x - 2)

Realiza las siguientes multiplicaciones. • (x + 3)(x + 9)

• (x + 5)(x - 12)

• (2x + 3)(4x + 9)

• (x - 4)(x - 6)

• (-2x + 1)(4x - 3)

Generaliza el procedimiento anterior y efectúa las siguientes multiplicaciones. • -

冉 12 x - 13 冊冉- 14 x + 15 冊

• (-2.3x + 3.7)(-5.2x - 3.2)

•

冉 25 x - 17 冊冉- 12 x + 18 冊

• (-0.7x + 3)(3x - 0.5)

31

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BLOQUE 1

4

Encuentra números tales que hagan ciertas las siguientes igualdades. • (x +

)(x +

) = x2 + 6x + 9

• (s +

)(s +

) = s2 - 10s + 25

• (p +

)(p -

• (r + 2.3)(r + • (w -

) = r 2 + 4.6r +

冉 14 冊 = w 2

) w-

• (x + 7)(x 5

) = p2 - 81

)=

w+

1 16

- 49

Resuelve los siguientes productos notables. Llega al resultado en un paso y verifícalo desarrollando el producto. • (2x + 5)2 • (t - 12)2 • (r + 11)(r - 11)

6

El manejo de las literales debe hacerse con mucho cuidado. Discute con tus compañeros lo siguiente y responde considerando todas las posibilidades. • R es un número que sumado con cualquier número P da el mismo número P (esto es: P + R = P). ¿Qué puedes decir del valor de R? • Si te dicen que un número Z sumado con otro número T da cero (Z + T = 0), ¿qué puedes decir del valor de T? • Si te dicen que al multiplicar un número H por otro número D el resultado es 0 (H ¥ D = 0), ¿qué puedes decir del valor de H? • Si te dicen que un número E dividido entre el número S, el cual no es cero, da 1 (es E decir = 1), ¿qué puedes decir del valor de S? ¿Es necesario pedir que S π 0? S

7

Resuelve las siguientes operaciones, sin aplicar inicialmente el algoritmo de la multiplicación. • 103 ¥ 97 • 31 ¥ 32 • 152 ¥ 15

8

En tus libros de física y química identifica los temas donde se utilizan expresiones algebraicas similares a las que estudiaste en esta lección y haz un listado de ellos.

32

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LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N

Demuestro lo que sé y hago 1 Realiza las siguientes operaciones. • -

冉

4 1 1 x+ 9 5 3

冊

4 Plantea una expresión algebraica que represente las siguientes situaciones.

• -3.7 (-2.4x - 5.7)

• - (-x + 4.7)(x - 7.3)

冉

1 1 • - x5 7

冊冉

1 1 - x+ 7 5

• El equipaje de Pedro pesa W kilos y el de Juan pesa lo mismo menos 3 kilos. ¿Cuál es la expresión que representa el peso del equipaje de Juan? • Armando obtuvo la misma calificación que Roberto más 17 puntos. ¿Cuál es la calificación de Roberto si la de Armando es x? • Un terreno cuadrado de G metros de lado se extenderá 12 metros de un lado y 7 metros del otro. ¿Cuál es la expresión algebraica del área del terreno con los lados extendidos? ¿Hay otra forma de expresarla?

冊

• (-4x + 5.6)(-3.2x - 7.3) 2 Encuentra números que hagan las siguientes igualdades ciertas. Comprueba tus resultados efectuando la multiplicación. • 1.5 (

x + 11) = 8.85x + 16.5

冉 27 冊(

• -

x-

)=-

4 32 x+ 21 21

• (x +

)(x +

) = x 2 + 24x + 44

• (s -

)(s -

) = s2 - 14s + 49

• (p -

)(p +

5 Resuelve las siguientes operaciones sin recurrir inicialmente al algoritmo de la multiplicación. • 5 ¥ 94

) = p 2 - 256

• 12 ¥ 16

3 Resuelve los siguientes productos notables. •

• 105 ¥ 95

冉 35 x + 118 冊

• 41 ¥ 43

2

• 23 ¥ 23

• (5p - 13)2 • (r + 1.4)(r - 1.4)

Conéctate Sobre historia del álgebra puedes consultar los siguientes sitios:

También puedes apoyarte en el sigiuente texto: • Ricardo Moreno Castillo y José Manuel Vegas

Una historia de las matemáticas para jóvenes. Desde la Antigüedad hasta el Renacimiento Nivola, Madrid, 2006.

• http://www.insa-col.org/sites/url/melissa/ • http://html.rincondelvago.com/origen-del-algebra.html

Para revisar conceptos y procedimientos básicos del álgebra: • http://student_star.galeon.com/conten.htm

33

01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 33

5/14/08 3:47:55 PM

2

Factorización de expresiones algebraicas Mis retos Ahora conocerás el procedimiento de la factorización, mediante el cual las sumas y restas de expresiones algebraicas se pueden escribir como productos. Este procedimiento suele ser muy útil en la resolución de ecuaciones. Utilizarás modelos geométricos para representar factorizaciones.

¿Qué sé? Ya trabajaste con productos del tipo x (ax + b), (x + a)2 y (x + a)(x - a), los cuales conducen a expresiones de las formas ax 2 + bx, x 2 + 2ax + a2 y x 2 - a2, respectivamente.

¿Qué lograré aprender? En la lección anterior estudiaste la multiplicación de expresiones algebraicas. Ahora vas a realizar el procedimiento inverso; es decir, conociendo el resultado de la multiplicación (el producto), podrás encontrar las expresiones algebraicas que al multiplicarse conducen al resultado dado. Para llevar a cabo la factorización establecerás relaciones entre los coeficientes de los productos y los factores en que éstos se descomponen.

34

02 L2-BL1 Factorizacion de expresiones.indd 34

5/14/08 3:48:08 PM

ALGO DE LO QUE ME ENSEÑARON 1 Encuentra números que hacen válidas las siguientes igualdades. •

(7 - 3) = -32

• (8 +

)(

- 9) = -30

- 4)2 = 25

• (

2 Para cada una de las siguientes expresiones determina los números con los que se satisface la igualdad. •

(2x - 3) = -12x +

•

(5x +

) = -15x + 21

• (

x + 3)(5x -

• (

x - 9)2 = 4x 2 -

) = 10x 2 + x - 21 x+

3 Efectúa las siguientes multiplicaciones. •

冉

4 5 -x 7 9

冊

冉 58 冊

• x-

• (3x - 1)(3x + 1)

冉

冊

1 • - x + 0.46 (2x - 0.5) 2

2

• (3x + 2.7)2

• -2.34(7.05x - 4.76)

4 Una forma de comprobar si un desarrollo algebraico es correcto consiste en asignar valores numéricos a las literales y verificar si la igualdad resultante es verdadera. Basta con que en un caso no se cumpla la igualdad numérica para saber que la igualdad algebraica originalmente planteada no es válida, aun cuando existan algunos casos en que sí se cumpla la igualdad. Ejemplo: Verificar si la igualdad (x - 3)2 = x 2 + 9 es verdadera. • Al tomar x = 0: el primer miembro resulta (0 - 3)2 = 9; y el segundo, 02 + 9 = 9. Por tanto, con x = 0 la igualdad se cumple. Sin embargo: • Al tomar x = 1: el primer miembro es (1 - 3)2 = 4, pero el segundo miembro es 12 + 9 = 10. De ahí se concluye que la igualdad (x - 3)2 = x 2 + 9 no es verdadera. Utilizando este procedimiento determina cuáles de las siguientes igualdades algebraicas son válidas. • -7(-x - 4) = -7x - 28

冉 34 冊 = x - 34 x - 169

• x-

2

2

• -

冉

冊

1 3 3 6x = - 3x 2 4 8

• (2x - 7)(2x + 7) = 4x 2 - 49

35

02 L2-BL1 Factorizacion de expresiones.indd 35

5/14/08 3:48:09 PM

BLOQUE 1

Letras que se desmultiplican Discute con tus compañeros cómo escribir los siguientes números como productos de dos números: • 45 =

¥

• 36 =

¥

• 43 =

¥

• 55 =

¥

• 152 =

¥

• 276 =

¥

Algo similar se puede hacer con las expresiones algebraicas: En la lección anterior se estudiaron multiplicaciones como producto

2(3x + 1) = 6x + 2. factores

Si invertimos los miembros de la igualdad anterior obtenemos que producto

6x + 2 = 2(3x + 1) . factores

Esto nos lleva a preguntarnos cómo es que, dado un producto, pueden obtenerse sus factores, lo que equivale a realizar el procedimiento opuesto a la multiplicación. Con tus compañeros analiza los siguientes casos: • x 2 + 2x = x(x + 2) .

=

x

x+2

Figura 1

x 2 + 2x

x (x + 2)

• x 2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) .

x+1

= x+2

Figura 2

x 2 + 3x + 2

(x + 1)(x + 2)

36

02 L2-BL1 Factorizacion de expresiones.indd 36

5/14/08 3:48:09 PM

LECCIÓN 2 • FAC TORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

• x 2 + 4x + 4 = (x + 2)2 .

=

x+2

x+2 x 2 + 4x + 4

(x + 2)2

Figura 3

• x 2 - 4 = (x + 2)(x - 2) .

=

x+2

x-2 x2 - 4

(x + 2)(x - 2)

Figura 4

Con base en las conclusiones que obtuviste con tus compañeros, discute con ellos alguna forma de encontrar los factores que se piden en cada uno de los siguientes casos. • Caso 1: 8x - 2 = ( • Caso 2: x2 + 5x = (

)(

).

)(

).

• Caso 3: x 2 + 7x + 12 = (

)(

).

• Caso 4: x 2 - 3x - 10 = (

)(

).

• Caso 5: x2 - 6x + 9 = ( • Caso 6: x2 - 9 = (

)( )(

). ).

Seguramente te habrás dado cuenta de que para identificar los factores de un producto puede ayudar construir un rectángulo con las piezas que representan dicho producto. En cada caso las dimensiones del rectángulo serán los factores buscados. Junto con tus compañeros redacta algunas instrucciones que se deban seguir para encontrar los factores en cada uno de los casos modelo que se presentarán a continuación. Elabora las instrucciones de tal manera que solamente hagan referencia a la

37

02 L2-BL1 Factorizacion de expresiones.indd 37

5/14/08 3:48:09 PM

BLOQUE 1

manipulación de los coeficientes y no al uso de las piezas. Después aplica tu procedimiento para hallar los factores de los casos similares al modelo. (Si bien cada caso modelo se ilustra mediante construcciones con piezas, éstas no te servirán en los casos similares, debido a las cantidades empleadas en ellos; de ahí la necesidad de que tus instrucciones no estén planteadas en función de piezas.)

Caso 1

Caso 2

x2 + 8x = x(x + 8) .

6x - 4 = (2 ¥ 3)x - (2 ¥ 2) = 2(3x - 2) .

(2 ¥ 3) x

2

2¥2

x2

x

8x

3x - 2 x+8

Casos similares: Casos similares:

• 66x - 506 =

• x 2 - 7x =

3 7 • x- = 4 4

• 4x2 + 8x =

• 10.8x - 6 = •

4 2 2 x + x= 9 3

Caso 3

Caso 4

x2 + 6x + 5 = x 2 + (5 + 1)x + (5 ¥ 1)

x2 - 5x - 14 = x 2 + (-7 + 2)x + (-7 ¥ 2)

= (x + 1)(x + 5) .

= (x + 2)(x - 7) .

x¥1

5¥1

x2

5x

x+1

2x

-7 ¥ 2

x2

-7x

x+2

x+5 x-7

Casos similares: Casos similares:

• x 2 + 22x + 120 =

• x 2 + 5x - 14 = • x2 + 20x + 99 = •

x2

• x2 - 3x - 180 =

5 1 + x+ = 6 6

• x2 -

2 1 x= 15 15

38

02 L2-BL1 Factorizacion de expresiones.indd 38

5/14/08 3:48:10 PM

LECCIÓN 2 • FAC TORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Caso 5

Caso 6

x2 - 8x + 16 = (x - 4)2 .

x2 - 4 = (x + 2)(x - 2).

4

-2 ¥ 2

2x

4¥4

-4x

x+2

x-4 x2 x2

x2

-2 x

-4x x-2 x-4

Casos similares:

Casos similares:

• x 2 - 24x + 144 =

• x 2 - 121 =

• x2 + 46x + 529 =

• x2 - 529 =

• x2 +

4 4 x+ = 3 9

• x2 -

4 = 49

Este procedimiento de descomponer en factores la expresión algebraica de un producto se denomina factorizar.

Para curiosos Si en la expresión del producto se utiliza otra letra en lugar de x, ¿los números en la factorización resultante cambian?

1

EL ATEN

EO

EN

Por ejemplo, si tenemos que -4x + 8 = -4(x - 2), ¿cuál será el resultado de factorizar -4w + 8?

Encuentra números con los cuales las siguientes igualdades sean ciertas. Comprueba tus resultados realizando la multiplicación. • x2 + •

x2 +

x + 54 = (x + 6)(x + x + 169 = (x +

• x 2 - 289 = (x +

)(x -

) )2

• x2 + •

x - 273 = (x +

x 2 - 30x +

= (x -

)(x - 13) )2

)

39

02 L2-BL1 Factorizacion de expresiones.indd 39

5/14/08 3:48:10 PM

BLOQUE 1

2

Intenta construir rectángulos con los siguientes conjuntos de piezas. En los casos en que sea posible esa construcción, anota los factores resultantes. (a)

(b)

(c)

x 2 + 5x + 4

3

x 2 + 6x + 4

x 2 + 7x + 10

Comprueba las siguientes factorizaciones realizando la multiplicación. • x 2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5) • x 2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)

4

Una vez que encuentras unos factores (en otras palabras, que logras armar un rectángulo), ¿puedes construir otro rectángulo diferente, es decir, usando diferentes dimensiones, con las mismas piezas? ¿Siempre será posible construir un rectángulo independientemente de la cantidad de piezas consideradas?

5

Seguramente ya te habrás dado cuenta que para factorizar se requiere, en algunos casos, encontrar dos números cuya suma sea el coeficiente de x y cuyo producto sea la constante. Observa los siguientes ejemplos: • x 2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)

• x 2 - x - 12 = x 2 + (-1)x - 12 = (x - 4)(x + 3)

3+4=7 3 ¥ 4 = 12

-4 + 3 = -1 -4 ¥ 3 = -12

Con base en este procedimiento factoriza las siguientes expresiones. • x 2 + x - 12 • x 2 - 7x + 12 6

También hay casos de factorización cuya forma corresponde con el desarrollo de determinados productos notables. Por ejemplo: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 - b2 = (a + b) (a - b)

• x 2 + 6x + 9 = x 2 + 2(3)x + (3)2 = (x + 3)2 .

• x 2 - 9 = x 2 - (3)2 = (x + 3)(x - 3) .

Factoriza las siguientes expresiones e identifica el producto notable del que provienen. • x 2 - 6x + 9

• x 2 + 6x + 9

• x 2 - 64

• x2 -

25 49

40

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LECCIÓN 2 • FAC TORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Demuestro lo que sé y hago 1 Se va a construir un mueble con base en el diseño que se muestra en la figura. Las secciones cuadradas pequeñas medirán 7 cm de lado y la secciones cuadradas grandes pueden hacerse de cualquier magnitud.

2 Factoriza las siguientes expresiones algebraicas; comprueba tus resultados realizando la multiplicación. • x 2 + 5x - 24

• x 2 - 16x + 64 • 9x 2 + 30x + 25 49 • 315x 2 - 630x • 13x 2 + 39 • x2 81 3 En otras asignaturas encontrarás expresiones algebraicas como las que has estudiado hasta el momento. Las siguientes ecuaciones son conocidas en la f ísica; investiga para qué se usan y qué representa cada uno de sus términos. 1 1 • d = vi t + at 2 • ec = mv 2 2 2

• Si se van a producir tres modelos del mueble, cada uno de distinto tamaño, calcula el área frontal que cada modelo habrá de cubrir si el lado de los cuadrados grandes tiene las siguientes magnitudes: a) 25 cm b) 40 cm c) 90 cm • Deduce una fórmula para calcular el área frontal que abarcaría el mueble para diferentes magnitudes del lado del cuadrado grande.

Conéctate Para conocer más sobre el tema se pueden consultar páginas como

Unos textos para apoyar la enseñanza y aprendizaje del estos temas son

• http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/algebra.htm • http://www.galeon.com/student_star/factor01.html

• Grupo Azarquiel

Ideas y actividades para enseñar álgebra Colección Cultura y Aprendizaje Síntesis, Madrid, 1993. • Arnulfo Andrade Antecedentes de álgebra elemental Trillas, México, 1995. 41

02 L2-BL1 Factorizacion de expresiones.indd 41

5/14/08 3:48:11 PM

3

Triángulos en cuadriláteros Mis retos Descubrirás propiedades de objetos geométricos a partir de propiedades de los triángulos. Aplicarás los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros.

¿Qué sé? Conoces varios tipos de triángulos, así como algunas de sus propiedades. Has estudiado los criterios de congruencia de triángulos. También conoces las relaciones de congruencia entre los ángulos que se forman al intersecarse dos rectas o al cortar una recta a dos paralelas.

¿Qué lograré aprender? Profundizarás en el conocimiento de algunas propiedades de los cuadriláteros. Identificarás la congruencia de lados y ángulos de algunas figuras a partir de las propiedades de congruencia de triángulos, que se pueden identificar o trazar en ellas.

42

03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 42

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ALGO DE LO QUE ME ENSEÑARON 1 ¿Cuándo se dice que dos triángulos son congruentes? 2 Si 䉭 ABC @ 䉭 QPR, escribe las partes correspondientes que son congruentes. Q

C P

B R

A

• AB @

•

@ PR

• ü ABC @ ü

• ü

@ ü PRQ

• AC @ • ü BAC @ ü

3 Si dos triángulos son congruentes, ¿las alturas correspondientes a lados congruentes también lo son? Dibuja ejemplos para explicar las conclusiones. 4 ¿Serán congruentes dos triángulos en los cuales un par de lados de uno son congruentes con un par de lados del otro? Dibuja ejemplos para explicar las conclusiones. 5 Dados los siguientes triángulos, traza tres triángulos congruentes con cada uno ellos, en posiciones diferentes.

6 ¿En qué consisten los criterios de congruencia de triángulos LLL, LAL y ALA? 7 En la siguiente figura indica todos los ángulos que se forman y la medida de cada uno de ellos. 51∞

43

03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 43

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BLOQUE 1

Triángulos congruentes Con tus compañeros, trabajando en equipo, traza en un papel un cuadrado, un rectángulo, un rombo, un paralelogramo, tres trapecios (uno de ellos isósceles y los otros de distintas formas) y un cuadrilátero irregular (figura 1).

Figura 1

Recorta cada figura y dóblala por alguna de sus diagonales; con ello se puede saber si es posible hacer coincidir las partes. Si no hay tal coincidencia recorta el cuadrilátero por la diagonal e intenta hacer coincidir las dos partes resultantes. Este procedimiento se ilustra en la figura 2.

Figura 2

Con lo anterior estarás verificando si los triángulos que se obtienen al recortar los cuadriláteros por las diagonales son o no congruentes. ¿Con qué cuadriláteros es posible formar triángulos congruentes al trazar una diagonal? Recuerda que hay una simbología para indicar que dos triángulos son congruentes (como sabemos, esto quiere decir que se pueden hacer coincidir todos sus lados y ángulos). Así, se puede expresar con símbolos la congruencia de dos triángulos estableciendo una correspondencia entre los vértices, a partir de lo cual se indican los lados y ángulos congruentes. Observa la figura 3. 44

03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 44

5/14/08 4:20:45 PM

LECCIÓN 3 • TRIÁNGULOS EN CUADRILÁTEROS

Correspondencia entre vértices

Lados correspondientes

Ángulos correspondientes congruentes

A´D

AB @ DE

ÐÐÐü ABC @ ü DEF

B´E

BC @ EF

ÐÐÐü BCA @ ü EFA

C´F

CA @ FD

ÐÐÐü CAB @ ü FDE

D

C

E

A

B

F

Figura 3

¿El orden en que se escriben las letras para simbolizar la congruencia de lados o ángulos es importante? ¿Por qué?

Esto significa que para corroborar que dos triángulos son congruentes se debe asegurar la congruencia de todos los lados de uno con todos los lados correspondientes del otro y la congruencia de todos los ángulos de uno con todos los ángulos correspondientes del otro.

Cuando hay partes congruentes en distintas figuras, se señalan con pequeñas marcas. Éstas facilitan el análisis de las figuras, pues al ver las mismas marcas en figuras diferentes se sobreentiende que son congruentes. A continuación exponemos tres criterios para determinar la congruencia de triángulos. • Criterio de congruencia LLL: F A C

AB @ DE AC @ DF BC @ EF D

B

F

E

A C

ü BAC @ ü FDE ü CBA @ ü DEF ü ACB @ ü EFD D

B

䉭 ABC @ 䉭 DEF

E

Figura 4

Basta con que tres lados de un triángulo sean congruentes con los tres lados correspondientes de otro para que, automáticamente, se pueda afirmar que los ángulos de

45

03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 45

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BLOQUE 1

uno son congruentes con los del otro y, por lo tanto, que los triángulos son congruentes (figura 4). ¡Esto reduce el trabajo de comprobar la congruencia de dos triángulos! • Criterio de congruencia LAL: F A C

AB @ DE AC @ DF ü BAC @ ü EDF D

B

F A C

Figura 5

BC @ EF ü CBA @ ü FED ü ACB @ ü DFE D

䉭 ABC @ 䉭 DEF

B

E

E

Es suficiente con que dos lados de un triángulo y el ángulo entre ellos sean congruentes con los correspondientes lados y ángulo en otro triángulo para que, automáticamente, el lado y ángulos restantes correspondientes en ambos triángulos también sean congruentes, de todo lo cual se deduce que los triángulos son congruentes (figura 5). • Criterio de congruencia ALA: F A C

AC @ DF ü BAC @ ü EDF ü ACB @ ü DFE D

B

F A C

Figura 6

䉭 ABC @ 䉭 DEF

B

E

AB @ DE BC @ EF ü CBA @ ü FED D E

Con base en la figura 6 escribe un texto en el que se explique este criterio, haciendo referencia a la manera en que ayuda a simplificar el trabajo de comprobación de la congruencia de dos triángulos.

Para curiosos Discute con tus compañeros si hay más posibles criterios de congruencia de triángulos. Por analogía con los tres anteriores, podrían ser AAL, LLA o AAA. ¿Serán válidos para cualquier tipo de triángulos dichos criterios?; ¿algunos serán válidos para algún tipo de triángulos solamente? ¿Pueden establecerse criterios de congruencia para cuadriláteros, análogos a los establecidos para determinar la congruencia de triángulos? ¿Por qué?

46

03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 46

5/14/08 4:20:45 PM

EL ATEN

EO

EN

LECCIÓN 3 • TRIÁNGULOS EN CUADRILÁTEROS

1

En las siguientes figuras marca los triángulos que son congruentes e identifica sus elementos congruentes; indica los criterios de congruencia que puedes utilizar para identificar dichos triángulos.

2

Traza otra diagonal en las figuras anteriores e identifica triángulos congruente; indica el criterio de congruencia que puedes aplicar en cada caso.

C

Curiosidades sobre triángulos con lados congruentes En matemáticas y en otras ciencias se busca asegurar, por medio del razonamiento, que ciertas propiedades de los objetos de la teoría sean válidas en general, no solamente constatando que sucede lo que se plantea en casos particulares. Por ejemplo, considera la propiedad que afirma que en todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes también son congruentes. Observa la figura 7. Es posible verificar que un triángulo isósceles cumple con esta propiedad, doblando una figura que se puede dibujar en papel. Pero ¿será válida para otros triángulos isósceles?: se tendrían que dibujar muchos de estos triángulos en varias posiciones y de distintos tamaños de los lados y ángulos, doblarlos y corroborar si se cumple o no la propiedad enunciada. ¿Cuándo terminaríamos? Cada vez que se realiza el doblado de un triángulo y se constata la propiedad de los ángulos opuestos a los lados congruentes que se enunció, se tiene más confianza en que se cumple, pero faltarían aún muchos casos por analizar. Por ello se recurre al razonamiento deductivo, en el que iniciamos enunciando dos cosas: de dónde se parte (hipótesis) y a dónde se desea llegar (tesis). Por medio de un proceso secuencial de argumentos, partiendo de la hipótesis se logra establecer que la tesis debe cumplirse. A este proceso se le denomina demostración.

A

B AC @ BC ü CAB @ ü ABC

Figura 7 ü CAB es el ángulo opuesto al lado BC; ü ABC es el ángulo opuesto al lado A C

47

03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 47

5/14/08 4:20:45 PM

BLOQUE 1

Retomemos la propiedad de triángulos isósceles antes mencionada: “En todo triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados congruentes también son congruentes”. ¿Cuál es la hipótesis?, ¿de dónde debemos partir?; ¿y cuál la tesis?, ¿a dónde debemos llegar? Seguramente te habrás dado cuenta de que para empezar solamente tenemos un triángulo isósceles, es decir, un triángulo con dos lados congruentes, y debemos concluir que los ángulos opuestos a dichos lados congruentes son también congruentes (figura 8).

fi

Lados congruentes

Figura 8

Ángulos congruentes

La demostración puede redactarse de la siguiente manera: Figura

Hipótesis

Tesis

C

• 䉭 ABC es isósceles • AC @ BC

A

• ü CAR @ ü CBR

B

R

Pasos

Argumentos

Se determina R como el punto medio de AB

Todo segmento tiene un punto medio

Se traza la mediana CR

Se une R con C; por definición es la mediana respecto al lado AB

AC @ BC

Por ser los lados congruentes del triángulo isósceles

AR @ BR

Por ser R el punto medio del segmento AB

RC @ RC

RC es un lado común a los dos triángulos que se forman al trazar la mediana 䉭 ARC y 䉭 BRC

䉭 ARC @ 䉭 BRC

Por el criterio de congruencia de triángulos LLL

ü ACR @ ü BCR ü CRA @ ü CRB ü CAR @ ü CBR

Los ángulos correspondientes de los triángulos 䉭 ARC y 䉭 BRC son también congruentes

ü CAR @ ü CBR

¡Que es justamente lo que queríamos obtener!

48

03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 48

5/14/08 4:20:45 PM

LECCIÓN 3 • TRIÁNGULOS EN CUADRILÁTEROS

En efecto, se ha deducido que los ángulos opuestos a los lados congruentes de un triángulo isósceles también son congruentes: ü CAR @ ü CBR. ¿Es necesario mencionar las otras congruencias de ángulos obtenidas: ü ACR @ ü BCR y ü CRA @ ü CRB? ¿Afecta en algo el razonamiento si no se mencionan?

Para curiosos Discute con tus compañeros si las relaciones de congruencia entre ángulos que se obtuvieron adicionalmente: ü ACR @ ü BCR y ü CRA @ ü CRB indican algunas propiedades de bisectrices, alturas, medianas o mediatrices del triángulo isósceles. Es decir, ¿qué se obtiene de la congruencia de los ángulos ü ACR @ ü BCR?

Concluye la siguiente línea de razonamiento llenando los espacios vacíos: Figura

Hipótesis

Tesis

C

• 䉭 ABC es isósceles • AC @ BC

A

• ü ACR @ ü BCR

B

R

Pasos

Argumentos

Se determina R como el punto medio de AB

Se traza la mediana CR

AC @ BC

AR @ BR

RC @ RC 䉭 ARC @ 䉭 BRC ü ACR @ ü BCR

¿Qué se obtiene de la congruencia de los ángulos ü CRA @ ü CRB?

49

03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 49

5/14/08 4:20:46 PM

1

EL ATEN

EO

EN

BLOQUE 1

Trabajando en conjunto con tus compañeros, redacta una demostración de cada una de las siguientes afirmaciones sobre triángulos isósceles. a La mediana del lado desigual (es decir, el lado que no es ninguno de los lados congruentes) y la altura de ese mismo lado coinciden. Figura

Hipótesis

Pasos

Tesis

Argumentos

b La mediana y la mediatriz del lado desigual coinciden. Figura

Hipótesis

Pasos

Tesis

Argumentos

50

03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 50

5/14/08 4:20:46 PM

LECCIÓN 3 • TRIÁNGULOS EN CUADRILÁTEROS

c La mediana del lado desigual y la bisectriz del ángulo opuesto a dicho lado coinciden. Figura

Hipótesis

Tesis

Pasos

2

Argumentos

Si 䉭 ABC es un triángulo equilátero: AB @ BC @ CA y ü ABC @ ü BCA @ ü CAB. Traza sus medianas, mediatrices y alturas. ¿Cuál es el mínimo número de segmentos que debes trazar? C

B

A

51

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BLOQUE 1

3

Redacta una demostración de las siguientes afirmaciones sobre triángulos equiláteros. a La altura con respecto a cualquier lado coincide con la mediatriz del mismo lado. Figura

Hipótesis

Pasos

Tesis

Argumentos

b La altura con respecto a cualquier lado coincide con la mediana del mismo lado. Figura

Hipótesis

Pasos

Tesis

Argumentos

52

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LECCIÓN 3 • TRIÁNGULOS EN CUADRILÁTEROS

c La altura con respecto a cualquier lado coincide con la bisectriz del ángulo opuesto a dicho lado. Figura

Hipótesis

Pasos

4

Tesis

Argumentos

¿Hay otro tipo de triángulos, que no sean isósceles o equiláteros, en los que coincidan elementos como las medianas con las mediatrices, alturas o bisectrices?

Propiedades de cuadriláteros Considera un cuadrado cualquiera ABCD en el cual se hubieran trazado las diagonales AC y BD. ¿Se puede afirmar que las diagonales son congruentes? Identifica la hipótesis y la tesis correspondientes; también completa la siguiente demostración. 53

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BLOQUE 1

Figura

Hipótesis

D

C

A

B

Pasos

Para curiosos

Tesis

Argumentos

Se trazan las diagonales AC y BD

Discute con tus compañeros lo siguiente. En la demostración de la derecha, ¿podrían utilizarse los criterios de congruencia de triángulos ALA y LLL? ¿En qué otros cuadriláteros se cumple que sus diagonales son congruentes?

AD @ DA ü ADC @ ü BAD AB @ DC 䉭 ADC @ 䉭 BAD BD @ AC

Ahora considera un paralelogramo cualquiera LMNO. ¿Se puede afirmar que sus lados opuestos son congruentes? Discute con tus compañeros la siguiente demostración. Figura

Hipótesis

M

Tesis

N

L

O

Pasos

Argumentos

En el paralelogramo LMNO se traza la diagonal MO

Dados dos puntos siempre se puede trazar el segmento de recta que los une.

ü MOL @ ü OMN

Siendo MN paralelo a LO los ángulos ü MOL y ü OMN son alternos internos y por lo tanto son congruentes.

ü LMO @ ü NOM

Siendo LM paralelo a ON los ángulos ü LMO y ü NOM son alternos internos y por lo tanto son congruentes.

MO @ OM

Es la diagonal y es un lado común de los triángulos 䉭 LMO y 䉭 NOM.

䉭 LOM @ 䉭 NMO

Son congruentes por el criterio de congruencia de triángulos ALA.

LO @ MN y LM @ ON

Son los lados opuestos congruentes, y por tanto se ha demostrado lo que se quería.

54

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LECCIÓN 3 • TRIÁNGULOS EN CUADRILÁTEROS

Para curiosos

1

EL ATEN

EO

EN

Discute con tus compañeros qué hubiera sucedido si en vez de utilizar la diagonal MO se hubiera trabajado con la diagonal LN. ¿Cómo se tendría que modificar la demostración?

Demuestra que las diagonales de un rectángulo son congruentes. Figura

Hipótesis

M

Tesis

N

R

L

O

Pasos

2

Argumentos

¿Hay cuadriláteros cuyas diagonales no sean congruentes? Si los hay, da tres ejemplos.

55

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BLOQUE 1

3

Demuestra que las diagonales de un rombo son perpendiculares. Figura

Hipótesis

Tesis

M

L

R

N

O

Pasos

4

Argumentos

¿Hay cuadriláteros cuyas diagonales no sean perpendiculares? Si los hay, da tres ejemplos.

56

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LECCIÓN 3 • TRIÁNGULOS EN CUADRILÁTEROS

Demuestro lo que sé y hago 1 Demuestra que si dos segmentos no congruentes se cortan en sus puntos medios y son perpendiculares, el cuadrilátero que se forma uniendo los extremos de los segmentos es un rombo. Figura

Hipótesis

Pasos

Tesis

Argumentos

57

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BLOQUE 1

2 Demuestra que si dos segmentos congruentes, sean perpendiculares o no, se cortan en sus puntos medios, el cuadrilátero que se forma uniendo los extremos de los segmentos es un paralelogramo. Figura

Hipótesis

Pasos

Tesis

Argumentos

3 Demuestra que las diagonales de un cuadrado son perpendiculares. Figura

Hipótesis

Pasos

Tesis

Argumentos

58

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LECCIÓN 3 • TRIÁNGULOS EN CUADRILÁTEROS

4 Demuestra que si dos segmentos congruentes se cortan en sus puntos medios y son perpendiculares, el cuadrilátero que se forma uniendo los extremos de los segmentos es un cuadrado. Figura

Hipótesis

Pasos

Tesis

Argumentos

Conéctate Para profundizar en el manejo de algunas relaciones geométricas se recomienda:

También será de utilidad consultar partes de los siguientes libros.

• http://www.comenius.usach.cl/

• José María Chamoso y William Rawson

Contando la geometría Colección Diálogos de matemáticas Nivola, Madrid, 2004. • Ana Millán Gasca Euclides. La fuerza del razonamiento matemático Colección La matemática y sus personajes Nivola, Madrid, 2004.

• http://www.geometriadinamica.cl/

default.asp?dir=guias&sub=

59

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4

Entre rectas y circunferencias Mis retos Utilizarás construcciones geométricas para conocer algunas propiedades de la circunferencia.

¿Qué sé? En grados anteriores has estudiado los elementos de una circunferencia, como son cuerda, diámetro y radio. También conoces las relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas. Puedes trazar circunferencias conociendo el centro y el radio, o bien conociendo tres puntos por donde pasa. También sabes que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180∞.

¿Qué lograré aprender? Analizarás propiedades de rectas relacionadas con una circunferencia. Caracterizarás rectas, como las secantes y las tangentes, que desempeñan un papel importante en el estudio de la circunferencia.

60

04 L4-BL1 - Entre rectas y circunferencias.indd 60

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ALGO DE LO QUE ME ENSEÑARON 1 Encuentra la medida de los ángulos que se indican en las siguientes figuras. (b)

(a)

Q ?

A ?

8.67 cm B

24.9°

8.67 cm

35.3°

R

66.9°

C

m (ü CAB) =

m (ü RPQ) = m (ü PQR) =

?

;

P

(c)

A ?

35.1° 132.5°

?

C

B

m (ü ACB) = m (ü CAB) =

;

2 Realiza las siguientes construcciones con regla y compás. • Dado un punto fuera de una recta, traza una paralela a dicha recta que pase por el punto dado. • Dada una recta y un punto en ella, traza una perpendicular a la recta que pase por el punto dado. • Dada una recta y un punto fuera de ella, traza una perpendicular a la recta que pase por el punto dado. • Dado un segmento de recta, traza una perpendicular a dicho segmento que pase por uno de los extremos del segmento. • Dado un punto como centro y un segmento que mida lo mismo que el diámetro, traza la circunferencia con ese centro y ese diámetro. • Traza una circunferencia que pase por tres puntos dados. • Dado el radio y dos puntos, traza una circunferencia que pase por los dos puntos. • Traza una circunferencia que corresponda al siguiente arco de circunferencia.

61

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BLOQUE 1

De secantes a tangentes Es importante dar a conocer la nomenclatura que utilizaremos, la cual tal vez conozcas.

Considera dos puntos en una circunferencia; si trazas el segmento de recta que los une obtendrás lo que se denomina cuerda.

Figura 1

Si trazas la recta que contiene a una cuerda, tendrás lo que se denomina recta secante.

Figura 2

Si trazas una recta que toque a la circunferencia en un solo punto, obtendrás lo que se denomina recta tangente, y el punto en el que toca a la circunferencia se llama punto de tangencia.

Figura 3

Con tus compañeros analiza la siguiente situación. Dada una circunferencia, traza varias cuerdas paralelas, como en la figura 4.

62

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LECCIÓN 4 • ENTRE REC TAS Y CIRCUNFERENCIAS

Figura 4

Traza la mediatriz de una de las cuerdas; luego traza la mediatriz de otra de las cuerdas. • ¿Qué observas? • ¿Qué sucedería si trazaras la mediatriz de todas las cuerdas? • ¿Los puntos medios de todas las cuerdas tienen alguna posición “especial”? ¿Todos pertenecen a una misma línea? ¿Cuál? Vamos a aprovechar lo anterior para obtener un resultado importante. Reflexiona sobre la situación que se ilustra en la figura 5. Si se traza un diámetro en una circunferencia y luego se trazan varias cuerdas paralelas a él, indicando en ellas el punto medio, constatarás una vez más que los puntos medios pertenecen a una misma línea recta, que es la mediatriz de cualquiera de las cuerdas paralelas.

Mediatriz

Figura 5

• ¿Las longitudes de cada cuerda son iguales? • Si no es así, describe en qué condiciones aumenta o disminuye la longitud de la cuerda. • ¿La longitud de la cuerda puede ser cero? De ser así, ¿en qué caso ocurriría? ¿Los extremos de la cuerda pueden ser puntos diferentes? Ahora consideremos a las rectas secantes que contienen a cada una de las cuerdas paralelas (observa la figura 6). A medida que las secantes se alejan del diámetro, los puntos de intersección con la circunferencia se van “acercando” entre sí hasta que coinciden. La recta que pasa por este punto es tangente a la circunferencia.

63

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BLOQUE 1

Si se considera la mediatriz de cualquiera de las secantes, ésta contiene a los puntos medios de las cuerdas paralelas.

Figura 6

Se puede observar que esta mediatriz debe ser perpendicular a la tangente. ¿Por qué? ¿Qué posición tendría entonces, respecto a la tangente, el radio que tiene como extremo el punto de tangencia?

Radio Tangente

Tangente

Mediatriz

Figura 7

El resultado anterior puede expresarse de la siguiente manera:

Dada una circunferencia y una tangente a ella, el radio que tiene como extremo el punto de tangencia es perpendicular a la tangente.

Como la distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular que se traza del punto a la recta, entonces la distancia del centro de una circunferencia al punto de tangencia es igual a la longitud del radio. Con tus compañeros redacta instrucciones para trazar una tangente a una circunferencia que pase por un punto dado de la circunferencia.

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LECCIÓN 4 • ENTRE REC TAS Y CIRCUNFERENCIAS

Para curiosos Discute con tus compañeros lo siguiente. Si trazas dos tangentes a una circunferencia por dos puntos dados de la circunferencia, ¿siempre se intersecarán? ¿Por qué?

¿Es posible que en una construcción como la siguiente, donde se trazaron dos rectas tangentes a una circunferencia, el cuadrilátero ABCD sea un rombo? ¿Por qué? A B

D C

Se dice que dos circunferencias son tangentes si se cortan en un solo punto.

1

EL ATEN

EO

EN

• Traza una recta que sea tangente a las dos circunferencias tangentes que se muestran a continuación. ¿El punto de tangencia está alineado con los centros de las circunferencias? ¿Por qué?

Si trazas dos cuerdas paralelas no congruentes, al unir sus extremos como se muestra en la figura se forma un cuadrilátero inscrito.

• ¿Qué tipo de cuadrilátero es? • ¿La figura podría ser un rectángulo, un cuadrado o un rombo? • Si no es así, ¿cómo deberían ser las cuerdas para que el cuadrilátero sea un rectángulo, un cuadrado o un rombo? 2

Dada una circunferencia y un punto exterior a ella, ¿cuántas circunferencias tangentes a la circunferencia dada que pasen por el punto señalado se podrán trazar?

65

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BLOQUE 1

3

Dada la recta AB traza dos circunferencias del mismo radio MN que sean tangentes a la recta en los puntos C y D. A M

N

C

Longitud del radio

D B

4

Dada una circunferencia y una recta secante a ella, construye cuatro circunferencias tangentes a la circunferencia dada de tal modo que los puntos extremos de la cuerda sean los puntos de tangencia.

5

En cada uno de los siguientes casos explica cómo se trazó la circunferencia marcada en rojo, que es tangente a las otras dos circunferencias.

(a)

6

(b)

En las siguientes figuras indica si la recta es tangente a la circunferencia.

57.7° 26.5°

r

(a)

7

r

62.4° 27.6°

(b)

En la siguiente figura se muestra una circunferencia y una recta tangente a ella. Calcula la medida del ángulo ABO.

O 73° ? A

B

66

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LECCIÓN 4 • ENTRE REC TAS Y CIRCUNFERENCIAS

Demuestro lo que sé y hago 1 Dada la recta MN traza circunferencias de radios AB, CD y EF que sean tangentes a la recta dada en los puntos P, Q y R respectivamente.

4 La recta RS es tangente a la circunferencia. S

N A

R

B D

C E

?

Q

O

P

F

N

39.6°

?

M

M

2 Explica cómo se trazó la circunferencia tangente a las otras dos circunferencias en cada uno de los siguientes casos.

R

(a)

• Calcula la medida de los ángulos MNO y OMN.

O ?

3 ¿Cuánto debe medir el ángulo OQP para que la recta AB sea tangente a la circunferencia? R B ?

? C 17.9°

Q

O

D

61.5°

S

(b) P

• Calcula la medida de los ángulos COD y OCD.

A

Conéctate Para revisar propiedades de las tangentes y las circunferencias consulta:

Se recomienda consultar libros como: • José María Chamoso y William Rawson

Contando la geometría Colección Diálogos de matemáticas Nivola, Madrid, 2004. • Ana Millán Gasca Euclides. La fuerza del razonamiento matemático Colección La matemática y sus personajes Nivola, Madrid, 2004. • Secretaría de Educación Pública “Tangentes”, en Geometría Dinámica (emat) sep, México, 2000, páginas 136 y 137.

• http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.

php?id=tangencia4

67

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5

De ángulos y circunferencias Mis retos Establecerás una relación entre las magnitudes de ángulos con vértice en una circunferencia (inscritos) y ángulos con vértice en el centro de una circunferencia (centrales). Conocerás procedimientos para calcular la medida de algunos ángulos relacionados con la circunferencia.

¿Qué sé? Conoces resultados referentes a ángulos, como las relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas o los correspondientes a dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Sabes la relación que existe entre los ángulos interiores de un triángulo y conoces procedimientos para determinar la suma de los ángulos interiores de un polígono. Has estudiado varias propiedades de los triángulos isósceles y las demostraciones de algunas de ellas.

¿Qué lograré aprender? Utilizarás las relaciones entre ángulos inscritos y centrales para conocer más acerca de esa fascinante figura geométrica: la circunferencia. Conocerás procedimientos para construir ángulos rectos sin recurrir al trazo de perpendiculares. Conocerás también otros procedimientos para trazar tangentes a una o varias circunferencias, lo cual se utiliza en el diseño de máquinas, el arte y otras actividades.

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ALGO DE LO QUE ME ENSEÑARON 1 Sabes que una manera de denotar un ángulo es mediante tres letras • ¿Qué representa la letra que se escribe en medio? • Denota de tres formas distintas el ángulo que se muestra a continuación: A P T

R

Q

2 ¿Qué se representa mediante la notación m(ü AQR )? 3 Has aprendido que en matemáticas suele haber más de una forma de nombrar o denotar a los objetos matemáticos. A veces, en geometría, se hace referencia a un ángulo simplemente con una letra griega, por ejemplo, a (alfa). • En este caso, ¿qué representa a? ¿El ángulo? ¿La medida del ángulo? • ¿Qué ventajas encuentras en esta notación? • ¿Qué errores puede provocar el mal uso de esta notación? 4 Encuentra la medida de los ángulos que se representan con letras griegas. En cada caso, ¿hay solamente una solución?

161.6°

s

j

33.2° a

l

b

r

g

e d

(a)

b

(b)

b g a

b 12°

(d) a

72°

(c)

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BLOQUE 1

Nuevos nombres Analiza con tus compañeros las siguientes definiciones

El ángulo que tiene vértice en el centro de una circunferencia se denomina ángulo central.

El ángulo que tiene vértice en un punto de la circunferencia y sus lados son cuerdas se denomina ángulo inscrito.

A

A C B

O

O B

Figura 1

Figura 2

En la circunferencia de la figura 3 identifica los ángulos centrales y los ángulos inscritos. A H B C O G D

Figura 3

F

E

Relación entre ángulos centrales e inscritos en una circunferencia Observa la construcción de la figura 4 en la cual se ha trazado la bisectriz å del ángulo AOB. Describe cada paso de dicha construcción mediante regla y compás.

A

Œ

O

Figura 4

B

70

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LECCIÓN 5 • DE ÁNGULOS Y CIRCUNFERENCIAS

Utiliza la construcción anterior para realizar la siguiente actividad. En la figura 5 hay tres circunferencias: en cada una de ellas construye la bisectriz del ángulo central üPOQ ; después traza un ángulo inscrito que tenga la misma medida de los que resultaron de bisecar üPOQ. Ubica el vértice del ángulo inscrito en el punto R de la circunferencia y traza los lados de manera que uno pase por Q y el otro quede por encima de la cuerda RQ . ¿Por qué punto de cada circunferencia pasó el otro lado del ángulo?

P

P

R

R

O

O

Q

Q

Circunferencia 1 RQ pasa por el centro O y coincide con el diámetro

Circunferencia 2 RQ queda por debajo del centro O

R

P

O Q

Figura 5

Circunferencia 3 RQ queda por encima del centro O

Las construcciones anteriores sugieren un resultado importante:

En cualquier circunferencia, dada una cuerda, la medida del ángulo central que pasa por los extremos de la cuerda es el doble de la medida del ángulo inscrito que pasa por los extremos de la cuerda.

71

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BLOQUE 1

Para comprobar esta afirmación en algunos casos, traza varias circunferencias y mide con un transportador los ángulos centrales e inscritos correspondientes a la misma cuerda, como en los ejemplos de la figura 6. R 24°

P

P R

O

48°

24° 48°

O Q

Q P

P

R

24°

O

48°

O

48°

Q

Q 24° R

Figura 6

Es posible demostrar que esta relación entre la magnitud de un ángulo central y uno inscrito que pasan por los extremos de una misma cuerda siempre se cumple. Dividamos la demostración en tres casos. Complétala escribiendo los argumentos para cada paso. Primer caso: El centro está en uno de los lados del ángulo Figura

Hipótesis

Tesis

• Sea la circunferencia que pasa por los puntos S, T y A.

T A P

• üTPS es un ángulo central.

S

• m (üTPS) = 2 ¥ m (üPAT )

• üTAS es un ángulo inscrito.

Pasos

Argumentos

TAP es isósceles m (üTPS ) + m (üTPA) = 180∞

m (üPAT ) + m (üATP) + m (üTPA) = 180∞

m (üTPS ) = m (üATP ) + m (üPAT )

m (üTPS ) = 2 ¥ m (üPAT )

72

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LECCIÓN 5 • DE ÁNGULOS Y CIRCUNFERENCIAS

Segundo caso: El centro está en el interior del ángulo Figura

Hipótesis

T Z

P

A

S

Tesis

• Sea la circunferencia que pasa por los puntos S, T y A. • üTPS es un ángulo central.

• m (üTPS) = 2 ¥ m (üTAS )

• üTAS es un ángulo inscrito. Se traza el diámetro auxiliar AZ Pasos

Argumentos

m (üTPZ ) = 2 ¥ m (üTAZ )

m (üZPS ) = 2 ¥ m (üZAS )

m (üTPS ) = m (üTPZ ) + m (üZPS )

m (üTAS ) = m (üTAZ ) + m (üZAS )

m (üTPS ) = 2 ¥ m (üTAS )

Tercer caso: El centro es exterior al ángulo Figura

Hipótesis

Tesis

A

• Sea la circunferencia que pasa por los puntos S, T y A.

T P S

• üTPS es un ángulo central.

• m (üTPS) = 2 ¥ m (üTAS )

Z

• üTAS es un ángulo inscrito. Se traza el diámetro auxiliar AZ Pasos

Argumentos

m (üTPZ ) = 2 ¥ m (üTAP)

m (üZPS ) = 2 ¥ m (üZAS )

m (üTPS ) = m (üTPZ ) - m (üZPS )

m (üTAS ) = m (üTAZ ) - m (üZAS )

m (üTPS ) = 2 ¥ m (üTAS )

73

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BLOQUE 1

Para curiosos Discute con tus compañeros la demostración anterior y redacta otra demostración de cada uno de los tres casos anteriores utilizando letras griegas para denotar los ángulos. • ¿Será necesario nombrar algunos puntos a pesar de usar solamente una letra para identificar a los ángulos? • ¿Las demostraciones se pueden escribir en distinto orden o de distinta manera? • ¿Es necesario seguir los mismos pasos siempre? En la siguiente circunferencia el ángulo central obviamente no mide el doble del ángulo inscrito, ¿por qué? A

B O

C

Triángulo inscritos De la relación entre el ángulo central y el inscrito en una circunferencia se deduce un resultado importante. Considera la circunferencia de la figura 7.

C

A O

B

Figura 7

Discute con tus compañeros: ¿cuánto miden el ángulo central AOB y el ángulo inscrito ACB ? ¿De qué tipo es el triángulo ACB que se forma en la circunferencia de la figura 7? En las circunferencias de la figura 8, ¿la medida de los ángulos inscritos üBCA, üPQR y üXYZ es diferente?

74

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5/14/08 4:21:17 PM

LECCIÓN 5 • DE ÁNGULOS Y CIRCUNFERENCIAS

Q

Y C A

R

O

B

Z

O

P

O

X

¿De que tipo son los triángulos inscritos BCA, PQR y XYZ en la figura 8? Vamos a expresar lo que hemos venido observando en las figuras anteriores de la siguiente manera:

Figura 8

Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un triángulo rectángulo.

Podemos usar este resultado para trazar una tangente a una circunferencia que pase por un punto fuera de ella. Analiza con tus compañeros la construcción de la figura 9 y explica cómo se usó el resultado anterior. B

Tangente r

Punto fuera de la circunferencia dada A

O

Figura 9

1

EL ATEN

EO

EN

Circunferencia dada

¿Cuánto miden los siguientes ángulos que se piden en los triángulos inscritos? C ?

C

C

O 54.8°

O

44.9°

52.6°

?

93.1°

O

?

? ?

B

?

A

B

?

A

135.3°

?

B

A

75

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BLOQUE 1

2

Plantea varios casos en los cuales, con dos datos, se pueda calcular la medida de un ángulo interno faltante de un triángulo inscrito en una circunferencia. Uno de los datos sería la medida de un ángulo central y el otro podría ser la medida de un ángulo central o inscrito.

3

Traza varios polígonos regulares y encuentra las medidas de sus ángulos centrales y las de los ángulos inscritos que se forman al trazar todas sus diagonales.

O

O

4

Traza una perpendicular al extremo de un segmento utilizando el hecho de que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto

5

En un hexágono regular traza un triángulo rectángulo inscrito y un triángulo equilátero inscrito.

6

Con tus compañeros indaga sobre la construcción de algunos motores y máquinas con poleas y engranes. Haz una lista de las situaciones en las cuales hay que trabajar con secantes y tangentes de circunferencias.

Demuestro lo que sé y hago 1 Calcula la medida de los siguientes ángulos.

? ? ? 76.3° 61.5°

?

?

?

76

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LECCIÓN 5 • DE ÁNGULOS Y CIRCUNFERENCIAS

2 Traza un rectángulo y un cuadrado inscritos en la siguiente semicircunferencia

3 De cada centro de las circunferencias traza una tangente a la otra circunferencia.

• ¿Cuántas tangentes a cada circunferencia puedes trazar desde el centro de la otra?

Conéctate Para investigar más sobre las relaciones entre ángulo central e inscrito puedes visitar el siguiente sitio:

Algunos libros que pueden ser útiles para complementar la información son:

• http://html.rincondelvago.com/geometria_7.html

• Claudi Alsina, Carme Burgués, y Josep María

Fortuny Materiales para construir la geometría Síntesis, Madrid, 1988. • Claudi Alsina, Carme Burgués, y Josep María Fortuny Invitación a la didáctica de la geometría Síntesis, Madrid, 1988.

También puedes consultar con tus compañeros: • “Ángulos inscritos en una circunferencia”,

en Geometría dinámica (emat) sep, México, 2000, páginas 138 y 139.

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6

Arcos y coronas, pero… no para una reina Mis retos Ahora abordaremos el problema de medir partes de una circunferencia o de un círculo. Utilizarás los conocimientos adquiridos hasta ahora para calcular áreas o perímetros de figuras cuyos bordes no son todos segmentos rectilíneos.

¿Qué sé? Ya conoces la relación entre ángulos inscritos y centrales en una circunferencia. Sabes calcular áreas de círculos y perímetros de circunferencias.

¿Qué lograré aprender? En disciplinas como el diseño gráfico o la arquitectura se presenta la necesidad de calcular longitudes de arcos o de áreas parciales de círculos. En la antigüedad, los ciclos de las estrellas se determinaron usando, entre otros métodos, aproximaciones obtenidas con arcos de circunferencias o con sectores circulares. Los temas que abordarás en esta lección te permitirán conocer algunos de estos importantes métodos.

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ALGO DE LO QUE ME ENSEÑARON 1 Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras. 12.20 cm

cm 4.16

2 Calcula las medidas de los ángulos marcados con un signo de interrogación en las figuras. (Recuerda cuál es la suma de los ángulos internos de un triángulo.) (a)

(c)

(b)

? ? ? 16.3° ?

?

O2

?

O1

21.8°

? ?

? ?

3 Se elaboran discos de plástico de 17 cm de radio. • ¿Cuál es el área de esos discos? • Si se desea elaborar discos del doble de radio, ¿tendrán el doble de área? • ¿Qué radio deben tener los discos para que su área sea el triple del área de los discos de 17 cm de radio? 4 Si en un pastel circular se cortan rebanadas, tratando de que cada una forme un ángulo central de 60∞, ¿cuántas rebanadas se obtendrán? Si en otro pastel más grande también se cortan rebanadas que formen el mismo ángulo, ¿cuántas rebanadas se obtendrán? • Si se necesitaran 12 rebanadas de ambos pasteles, ¿cuánto debería medir el ángulo central? • ¿Cuánto debe medir el ángulo central si se requieren 10 rebanadas del mismo tamaño?

79

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BLOQUE 1

Coronas, sectores y segmentos circulares Imagina que tú o alguno de tus compañeros va a participar en un bailable con un penacho como el que usan los voladores de Papantla y se te asigna a ti la tarea de confeccionarlo con las características y dimensiones que se muestran en la figura 1.

Área de bordado

Tira de tela

Figura 1

Para preparar un presupuesto de materiales se requiere hacer varios cálculos, entre ellos, el del área que debe cubrir el bordado de la parte frontal de la figura y la longitud de la tira de color blanco que se coserá en el borde exterior. Comencemos por trazar un diagrama del penacho y asignar medidas (figura 2). Figura 2

Área por medir

5 cm

Longitud por medir

25 cm 60°

R=

1.8

cm

r = 1 cm

Figura 3

En principio parece que debe calcularse un área entre dos círculos con el mismo centro (concéntricos) y diferentes radios. ¿Cómo la calcularías? Considera un caso similar, pero más sencillo: ¿cómo calculas el área entre los dos círculos concéntricos de la figura 3? Dicha figura se denomina corona circular, y se la define como la porción del plano comprendida entre dos círculos concéntricos.

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LECCIÓN 6 • ARCOS Y CORONAS

Denotemos con C el área de la corona circular, con K el área del círculo con mayor radio y con Q el área del círculo con radio menor. Escribe una fórmula para calcular C: C= .

Para curiosos Discute con tus compañeros lo siguiente: El área de la corona circular es diferente del área comprendida entre dos círculos que, aunque tengan los mismos radios que los de la corona circular, no son concéntricos, o cuando uno de los círculos, el de menor radio, es tangente al otro círculo, el de mayor radio. Traten de verificarlo.

1.8 cm 1.8 cm 1 cm 1 cm

¿Cuál es el perímetro de la corona circular de la figura 3? Si una corona circular tiene un área de 90 cm2, ¿cuánto medirá el radio de los círculos que la componen? ¿Es única la solución? ¿Cuántas soluciones hay?

Ahora analiza con tus compañeros cómo obtener el área de una parte del círculo. Responde lo que se pide para cada una de las siguientes figuras.

r = 6.6 cm

r=

120°

4.5

3c

180°

m

Figura 4

Figura 5

• Área del círculo = • Fracción del área del círculo que es la sección sombreada = • Cálculo del área sombreada = • Longitud de la porción de circunferencia considerada =

• Área del círculo = • Fracción del área del círculo que es la sección sombreada = • Cálculo del área sombreada = • Longitud de la porción de circunferencia considerada =

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BLOQUE 1

r=

4.8

90°

7c

r = 6.32 cm

m

60°

Figura 6

Figura 7

• Área del círculo = • Fracción del área del círculo que es la sección sombreada = • Cálculo del área sombreada = • Longitud de la porción de circunferencia considerada =

• Área del círculo = • Fracción del área del círculo que es la sección sombreada = • Cálculo del área sombreada = • Longitud de la porción de circunferencia considerada =

30° 45°

r = 4.6 cm

r = 4.55 cm

Figura 8

Figura 9

• Área del círculo = • Fracción del área del círculo que es la sección sombreada = • Cálculo del área sombreada = • Longitud de la porción de circunferencia considerada =

• Área del círculo = • Fracción del área del círculo que es la sección sombreada = • Cálculo del área sombreada = • Longitud de la porción de circunferencia considerada =

20°

10°

r = 5.76 cm

r = 5 cm

Figura 10

Figura 11

• Área del círculo = • Fracción del área del círculo que es la sección sombreada = • Cálculo del área sombreada = • Longitud de la porción de circunferencia considerada =

• Área del círculo = • Fraccións del área del círculo que es la sección sombreada = • Cálculo del área sombreada = • Longitud de la porción de circunferencia considerada =

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LECCIÓN 6 • ARCOS Y CORONAS

Conozcamos las denominaciones de las partes de la circunferencia y del círculo que hemos estudiado (figura 12). La porción continua de circunferencia que abarca los extremos de los radios considerados se denomina arco de circunferencia. La parte del círculo comprendida entre dos radios y un arco se llama sector circular. Existen fórmulas para calcular las áreas que hemos venido analizando. Completa la siguiente tabla. Discute con tus compañeros lo que representa cada una de las literales y a qué tipo de área corresponde cada fórmula.

Arc o Secto rc

ular irc

Círculo

Fórmula

Interpretación de las literales

Tipo de área Figura 12

A: A = pR 2 - pr 2

p: R: r: A:

A = pr 2

p: r: A:

A = p(R2 - r 2 )

p: R: r: A: p:

A = a pr 2 360

r: a: 360 se incluye porque

En realidad, si comprendes lo que sucede, no requieres memorizar las fórmulas, ya que podrías deducirlas. Incluso puedes construir algunas propias. Discute con tus compañeros sobre los elementos que deben aparecer en una fórmula para calcular la longitud del arco que corresponde a un sector circular dado: escríbela en tu cuaderno y compárala con la de tus compañeros. También realiza cálculos de longitudes de algunos arcos con tu fórmula, a fin de ver si funciona.

Para curiosos Discute con tus compañeros sobre la forma de calcular el área sombreada en los círculos.

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BLOQUE 1

Con la información hasta ahora obtenida podemos resolver nuestro problema inicial sobre la confección del penacho.

1

Encuentra las áreas de los sectores circulares sombreados y las longitudes de los arcos correspondientes. (a)

(b)

(c)

121.2°

66.8° r = 12.7 cm

2

(d)

155.5°

309.8°

r = 22 cm

r = 32.5 cm

r = 15 cm

Calcula el área sombreada en las siguientes figuras. 4.1

6

3

EL ATEN

EO

EN

• ¿Cuál es el área que debe cubrirse con el bordado? • ¿Qué longitud tiene la tira que se coserá al borde exterior?

6.1

2c

cm

m

Un perro está atado con una cuerda de 2 metros de longitud a un poste en una de las esquinas exteriores del jardín de una casa, el cual tiene forma cuadrada y mide 4 metros de lado.

2m

2m

84

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LECCIÓN 6 • ARCOS Y CORONAS

• ¿Qué parte del jardín puede maltratar el perro? • Si la cuerda tuviera 3 m de largo, ¿cuál sería la parte de jardín que se maltrataría? • ¿Qué longitud debería tener la cuerda para que el perro solamente maltrate la cuarta parte del jardín? • Si el jardín tuviera la forma de un cuarto de circunferencia de 4 m de radio, ¿qué parte del jardín maltrataría el perro con una cuerda de 2 m? 2m

4

Calcula el área de las partes sombreadas en cada círculo. Si necesitas un dato adicional realiza las mediciones correspondientes. (a)

(b)

72° r = 4.07 cm

(c)

160°

r=

6.64

cm

(d)

r = 15 cm

85

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BLOQUE 1

5

En una discusión sobre futbol, una persona afirmaba que el ángulo de tiro era siempre mayor cuanto más cerca se encontrara el jugador de la portería. Otra persona sostenía que era imprecisa la afirmación y dibujó el diagrama que se muestra en la figura. ¿Se puede usar este diagrama para refutar la afirmación inicial?

Demuestro lo que sé y hago

6c

m

1 Calcula el área de los sectores circulares que aparecen sombreados en los círculos; además, calcula la longitud de los arcos correspondientes a dichos sectores.

2.6

78.1°

5.80 cm

m

4.41 c

125.4°

125.4°

125.4° 4.85 cm

m

5.62 c

3.12 cm 72.1°

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LECCIÓN 6 • ARCOS Y CORONAS

• ¿En qué área podrá alimentarse la cabra si el corral tiene la forma de un hexágono regular con las dimensiones que se muestran en la figura?

2 En una de las esquinas de un corral en forma de paralelogramo, cuyas dimensiones se muestran en la figura, se ató una cabra con una cuerda de 2.58 m. Si se distribuye uniformemente pastura en el corral, ¿qué área tendrá la cabra para comer la pastura? (Si es necesario que hagas mediciones adicionales para tus cálculos, usa las figuras y convierte la escala.)

3.11 m

2.58 m 4.19 m

3 Para trazar un diseño en un muro se comenzó por dibujar una circunferencia y se trazó un arco de un punto P dado a otro punto Q de la circunferencia de tal modo que el ángulo central fuera de 100∞, pero se olvidó marcar el centro y no se sabe cómo localizar el punto Q sin el centro de la circunferencia. ¿Cómo encontrarías el punto Q localizando el centro? ¿Cómo encontrarías el punto Q sin localizar el centro?

• Si el corral tuviera forma rectangular, ¿en qué área podrá comer pastura la cabra?

2.58 m

• Si la circunferencia tiene un radio de 1.25 m y se quieren trazar dos sectores circulares con ángulos centrales de 20∞, ¿cómo trazarías los arcos usando P y Q con el centro de la circunferencia localizado? ¿Cómo trazarías los arcos usando P y Q, sin localizar el centro de la circunferencia?

4.19 m

Conéctate En las páginas de Internet siguientes encontrarás ideas adicionales sobre arcos de circunferencia y sectores circulares.

También puedes consultar las siguientes obras: • R. Torija Herrera

Arquímedes: Alrededor del círculo Colección La Matemática en sus Personajes Nivola, Madrid, 2003. • Carlos Dorce Ptolomeo: El astrónomo de los círculos Colección La Matemática en sus Personajes Nivola, Madrid, 2006.

• http://w3.cnice.mec.es/recursos/secundaria/

matematicas/secmat.htm • http://www.vitutor.com/geo/eso/ac_1.html • http://www.vitutor.com/geo/eso/ac_2.html

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7

Las razones del cambio Mis retos Aprenderás a utilizar la noción de razón para abordar problemas relacionados con fenómenos de cambio. Conocerás la utilidad de la pendiente de una recta al estudiar la razón de cambio de un proceso o al analizar un modelo que utiliza una función lineal.

¿Qué sé? Sabes que al graficar una expresión algebraica de la forma y = mx + b se obtiene una recta. Conoces la interpretación del coeficiente m como un cuantificador de la inclinación de la recta respecto al eje X. También sabes que la constante b representa el número donde la recta corta al eje Y. Pudiste asociar varios fenómenos vinculados a proporcionalidad directa con expresiones del tipo y = mx, las cuales se representan gráficamente por rectas que pasan por el origen de coordenadas.

¿Qué lograré aprender? En este grado se avanzará en el estudio de las funciones lineales relacionándolas con la noción de razón de cambio. El concepto de razón de cambio es utilizado para modelar fenómenos en campos como la economía, la física y la biología, entre otros.

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ALGO DE LO QUE ME ENSEÑARON 1 Dadas las siguientes ecuaciones de rectas determina, sin graficar, si su inclinación respecto al eje X (eje de las abscisas) corresponde a un ángulo entre 0∞ y 45∞, 45∞ y 90∞, o 90∞ y 180∞. Explica tu respuesta. 2 5 • y = 5x - 3 • y = 2.3x + 8 • y = -5.34x + 8 • y = x + 9 4 5 • y = -7x + 3 • y = -2x - 9 • y= x-4 • y = 4x - 4.7 3 2 Escribe el valor del término faltante para que la recta tenga la propiedad que se indica. • La recta y = 4.7x • La recta y =

x-

• La recta y =

x-

pasa por el punto (0, -3) 2 es paralela a y = x + 1 y pasa por el punto (0, -7) 3 12 13 es simétrica de la recta y = xcon 37 23

respecto al eje Y.

3 Encuentra la ecuación de las rectas que corresponden a las siguientes gráficas. (a)

(b)

Y 5 4

5

2

4

1

3

0

-4 -3 -2 -1

Y

3

1

2

3

4

5

2

X

-1

1

-2

-4 -3 -2 -1

0

-3

-1

-4

-2

1

2

3

4

5

6

X

4 Determina cuáles de las siguientes funciones son relaciones de proporcionalidad directa y en su caso determina la constante de proporcionalidad. • y = 7x - 3

• y = 3.3x + 8

• y = -2x

• y = 2x 2

• y = 3.54x 5 • y= x 3

5 Resuelve los siguientes problemas. • Si un automóvil recorre 120 kilómetros en 2 horas con velocidad constante, ¿cuántos kilómetros recorrió en una hora? ¿Cuántos en 15 minutos? • La moneda de un país perdió en un año 13 unidades respecto al dólar. ¿Cuántas unidades perdió en un mes si la depreciación fue constante a lo largo del año? ¿Cuántas en medio año?

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BLOQUE 1

Cambio en tiempo Con tus compañeros analiza las siguientes situaciones. En un laboratorio se desea registrar la distancia con respecto al tiempo que recorre un deportista en una caminadora a paso veloz y constante. La siguiente tabla muestra algunos valores tomados en momentos específicos de la prueba. Completa los datos faltantes y responde las preguntas que a continuación se plantean.

Distancia (metros)

50

Tiempo (minutos)

1

75

100

120

140

170

200

214

3.2

255

270

4.6

6

• De los 100 a los 214 metros, ¿qué distancia se recorrió?, ¿en cuánto tiempo? • De los 75 a los 255 metros, ¿qué distancia se recorrió?, ¿en cuánto tiempo? Denominaremos razón de cambio del movimiento al cociente Distancia recorrida . Tiempo empleado • ¿Cuál es la razón de cambio que se puede encontrar con los datos en la tabla? • ¿Puedes calcular más de una razón de cambio con los datos de la tabla?

Para curiosos Con tus compañeros discute la siguiente situación: En general, cuando uno camina, varía el ritmo y la zancada, incluso el tiempo en el que se da cada paso. Considera el siguiente registro de distancia contra tiempo al caminar

Distancia (metros)

50

75

100

120

140

150

170

200

214

Tiempo (minutos)

1

2

3.5

4

6

6.5

8

10

12

• De los 100 a los 214 metros, ¿cuál es la razón de cambio? • De los 75 a los 200 metros, ¿cuál es la razón de cambio? • ¿Difiere valor de cada una de las nueve razones de cambio que se pueden calcular con los datos de la tabla? ¿Por qué? • Identifica los intervalos de tiempo donde se caminó con mayor lentitud y con mayor rapidez.

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LECCIÓN 7 • LAS RAZONES DEL CAMBIO

En un viaje en automóvil observas que el marcador de kilometraje indica 65 243 cuando el reloj marca las 15:00 hr y posteriormente, a las 17:00 hr, el kilometraje es de 65 423.

Si sabes que la velocidad de tu recorrido se mantuvo constante, lo podrías graficar como se muestra en la figura 1. Movimiento del automóvil 65 450 65 423 65 400

Distancia 65 350 (km) 65 250

65 243

65 200 65 150 15:00

17:00

Tiempo (horas)

Figura 1

Así pues, partiendo de dicha suposición, ¿cuál es la razón de cambio del movimiento del automóvil en el intervalo de tiempo que va de las 15:00 a las 17:00 horas? La obtendrás mediante el cociente de la distancia recorrida entre el tiempo empleado: Distancia (km) = . = Tiempo (horas) • ¿Cuál es la razón de cambio en el intervalo de las 15:00 a las 16:00 horas? ¿En el de las 15:30 a las 16:45 horas? • ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil cada media hora? Si en un plano cartesiano trazas la recta que pasa por los puntos dados de la gráfica de la figura 1, ¿qué valor tendría su pendiente? ¡Encuentra la expresión algebraica correspondiente a la recta! y=

x+

.

Se están poniendo a prueba tres materiales como aislantes térmicos para ser utilizados en techos de construcciones. Se desea saber si alguno de ellos se calienta más conforme pasa el tiempo. 91

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BLOQUE 1

Para hacer la prueba, se aplica a los materiales una temperatura constante de 35 ∞C y se inicia la medición de los cambios de temperatura que sufre cada material por minuto. La gráfica de la figura 2 muestra dicho comportamiento. 7° 6°

Material B

Temperatura 5° del material 4° (grados Celsius)

Material A

3°

Material C

2° 1°

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Tiempo (minutos)

Figura 2

Utiliza una regla para hacer las mediciones necesarias en la gráfica y completa la tabla que a continuación se presenta. Cambio de temperatura (grados Celsius) Tiempo (minutos)

Material A

Material B

Material C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Calcula la razón de cambio de las temperaturas de cada material respecto a los intervalos de tiempo indicados en la siguiente tabla.

92

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LECCIÓN 7 • LAS RAZONES DEL CAMBIO

Razones de cambio por cada material Intervalo

Material A

Material B

Material C

2 a 5 minutos 6 a 12 minutos

Discute con tus compañeros cuál material se calienta más rápido y cuál se calienta menos rápido. Obtén las ecuaciones de las rectas de cada material y discute con tus compañeros la relación de las pendientes de cada recta con las razones de cambio calculadas.

Material A Ecuación

y=

Pendiente de la recta

m=

x+

Material B y=

Material C

x+

y=

m=

x+

m=

Razón de cambio

Las razones de cambio se asocian con frecuencia a las variaciones de posición, temperatura, longitud y otras variables con respecto al tiempo. Si en el tiempo t una variable que depende del tiempo tiene un valor v y posteriormente, en el tiempo T, la variable tiene un valor V, la razón de cambio de la variable respecto al tiempo se puede calcular por la fórmula V-v . T-t

Para curiosos Discute con tus compañeros si la razón de cambio también se puede calcular por alguna de las siguientes expresiones (utiliza algunos ejemplos): v-V , t-T

V-v , t-T

v-V , T-t

t-T , v-V

T-t . V-v

Para ilustrar el concepto de razón de cambio hemos recurrido a ejemplos en los que ese cambio se da en función de la variable tiempo. Sin embargo, en términos generales las razones de cambio sirven para comparar la variación de una variable respecto a otra, sea del tipo que sea. Esto significa que es posible aplicarlas también en el estudio de fenómenos en los que el cambio no está referido al tiempo. Considera la siguiente situación, en la que se establece una tarifa por viaje en autobús en función de la distancia recorrida, como se muestra en la tabla.

93

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BLOQUE 1

Tarifa

Distancia

$75

50

$135

95

Con los datos anteriores calcula la razón de cambio correspondiente: .

Razón =

1

EL ATEN

EO

EN

• ¿Cuánto costará el pasaje para un recorrido de 70 km? • ¿Cuántos kilómetros se recorrerán si se paga una tarifa de $100?

Una persona viajó de la ciudad de México a Xalapa en 4 horas y 30 minutos. Si entre las dos ciudades hay una distancia aproximada, por carretera, de 320 km: • ¿Cuál es la razón de cambio de ese recorrido? • ¿Cuál es la velocidad promedio que el vehículo desarrolló? (Recuerda que velocidad es distancia entre tiempo). • De acuerdo con lo anterior: tras dos horas de iniciado el recorrido, ¿a qué distancia de la ciudad de México se encontraba el viajante? • Si a las tres horas de viaje el vehículo se encontraba a 200 km de la ciudad de México, y a las tres horas y media se encontraba a 275 km, ¿cuál es la razón de cambio? ¿Tu resultado es consistente con el de las respuestas anteriores?

2

Como se mencionó en el desarrollo de la lección, cuando dos variables están vinculadas mediante una relación funcional, es posible analizar el cambio relativo de una de las variables con respecto a la otra. Algunas de las razones asociadas a dichos cambios de los valores de las variables se han denominado de manera especial. Calcula las siguientes cinco de ellas, ilustradas mediante ejemplos. a Tasa de crecimiento: la razón de cambio de la estatura de una persona con respecto al tiempo. Estatura

Tiempo

2 cm

2 meses

4 cm

8.5 meses

Razón =

.

94

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LECCIÓN 7 • LAS RAZONES DEL CAMBIO

b Velocidad de enfriamiento: la razón de cambio de la temperatura de un líquido respecto al tiempo. Temperatura

Tiempo

12 ∞C

12 minutos

7 ∞C

39 minutos

Razón =

.

c Velocidad de calentamiento: la razón de cambio de la temperatura de un líquido en función del tiempo se llama velocidad de calentamiento. Temperatura

Tiempo

15 ∞C

23 minutos

37 ∞C

135 minutos

Razón =

.

d Velocidad: la razón de cambio de la distancia con relación al tiempo. Distancia

Tiempo

43 km

45 minutos

129 km

139 minutos

Razón =

.

e Aceleración: la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Velocidad

Tiempo

75 km/s

37 minutos

110 km/s

72 minutos

Razón =

.

95

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BLOQUE 1

3

La siguiente gráfica muestra el costo de un servicio de mensajería de acuerdo con la distancia recorrida y el tipo de transporte empleado. 450

Transporte B

Transporte A

400 350 300 250

Costo ($)

200 150 100 50 0

5

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Distancia (km)

• ¿Cuál es el costo por kilómetro en cada transporte? • ¿Son distintos los incrementos en el costo de mensajería por kilómetro recorrido en cada transporte? • Encuentra la ecuación de la recta y la razón de cambio para cada uno de los transportes. Transporte

4

Ecuación

Razón de cambio

La siguiente gráfica muestra el costo por servicio de mensajería que se cobra en dos compañías en función de la distancia recorrida para las entregas. 450 400

Compañía A

350 300

Costo ($)

250 200

Compañía B

150 100 50 0

5

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Distancia (km)

96

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LECCIÓN 7 • LAS RAZONES DEL CAMBIO

• ¿Son distintos los incrementos en el costo de mensajería de una a otra compañía? • ¿Hay alguna distancia para la cual el costo de mensajería en las dos compañías sea el mismo? • ¿Cuál es el incremento en el costo de 10 a 40 km en la compañía A? ¿Y en la B? • ¿Cuál es el incremento por cada kilómetro en cada compañía? • En la compañía A, ¿el incremento en el costo de 15 a 30 kilómetros es el mismo que de 25 a 45 kilómetros?

Compañía

Ecuación

Razón de cambio

Demuestro lo que sé y hago 1 En una caminata un competidor avanza con velocidad constante, sin variación en la extensión de sus pasos ni en el tiempo empleado en dar cada paso. • El registro del número de pasos por unidad de tiempo está incompleto. Calcula los valores que faltan en la siguiente tabla. Pasos 35

Minutos 1

70 110 120 150

• Calcula la razón de cambio en función del tiempo. • Encuentra la ecuación de la recta que represente el desempeño del competidor.

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BLOQUE 1

2 En un laboratorio se somete a prueba la resistencia de tres distintos materiales. Los resultados se representan en la gráfica. 400

350 Material A 300

Material B

250

Índice de resistencia

200 Material C 150

100

50

0

5

10

15

20

30

25

35

40

45

50

Peso aplicado (kg)

• Completa la siguiente tabla (de ser necesario haz mediciones en la gráfica). Material A Ecuación Pendiente de la recta

y=

Material B

x+

y=

m=

x+

Material C y=

m=

x+ m=

Razón de cambio

• ¿Cuál es el material más resistente? ¿Cuál es el menos resistente? 3 Una persona viajará por una línea de autobús a varias ciudades y solamente conoce la tarifa por viajes a destinos a 120 km, que es de $350. Si suponemos que no varía el precio por kilómetro en esa línea de autobuses, calcula el costo del itinerario que se propone recorrer la persona, quien debe ir de la ciudad de México hacia Querétaro, a Pachuca, posteriormente a Veracruz y finalmente a Tampico. • Investiga las distancias por carretera entre dichas ciudades y calcula el costo de cada traslado con los datos que recabes. • Haz una gráfica del costo del pasaje en relación con la distancia y encuentra la ecuación de la recta correspondiente. • ¿Cuál es el valor de la razón de cambio que relaciona el costo del pasaje con la distancia?

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LECCIÓN 7 • LAS RAZONES DEL CAMBIO

4 La siguiente gráfica muestra la variación, respecto al tiempo, del costo por litro de tres tipos de combustible.

10

Combustibles:

9

A C B

8 7 6

Precio 5 ($) 4 3 2 1 0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Tiempo (meses)

• ¿Son distintos los incrementos en el costo de cada combustible? • ¿Hay algún momento en el que coincida el costo de algunos de los combustibles? • Estima los valores en la gráfica y completa la tabla. Combustible

Ecuación

Razón de cambio

A B C

Conéctate Para conocer algo más sobre el manejo de datos y la utilidad del concepto de razón de cambio puedes consultar:

También pueden consultarse la siguiente página en Internet: • http://www.fceia.unr.edu.ar/fceia1/publicaciones/nu-

mero8/articulo3/pendiente.htm

• José María Chamoso, y otros

Organizando la Estadística Colección Diálogos de Matemáticas Nivola, Madrid, 2007. 99

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Exploraciones en la información Mis retos Aplicarás los conocimientos adquiridos en grados anteriores relacionados con la organización de la información. Elaborarás gráficas y tablas numéricas para representar el comportamiento de algunos fenómenos a partir de conjuntos de datos. Analizarás alguna problemática de tu entorno usando información gráfica y numérica.

¿Qué sé? En los grados anteriores conociste la forma de elaborar algunas tablas de frecuencias en las que se establecieron relaciones entre los datos. También construiste gráficas para presentar datos de manera sintética. Conociste diversas representaciones gráficas como los histogramas, los pictogramas y las gráficas circulares, entre otras.

¿Qué lograré aprender? Podrás dar respuesta a varias preguntas sobre el comportamiento de algunas problemáticas con base en información gráfica y numérica elaborada por ti o contenida en diversos medios de información.

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ALGO DE LO QUE ME ENSEÑARON 1 Se realizó una encuesta en un barrio de la ciudad sobre la calidad del servicio de recolección de basura, se pidió a varios vecinos que calificaran el servicio en una escala del 0 al 10. Se obtuvieron los siguientes datos: 7 4 2 5 4 5 7

5 8 5 8 2 6 5

• • • • •

6 4 5 5 4 5 5

8 3 6 3 6 5 1

6 4 5 6 4 5 5

5 3 4 5 4 4 8

9 5 3 1 4 3 5 6 6 7 6 6 9 10

8 4 5 3 5 5 5

6 5 5 4 8 7 0

5 6 9 2 5 3 4

7 5 4 4 7 2 8

5 8 3 1 6 4 9

5 5 5 3 5 4 5

4 4 6 6 6 7 6

5 7 7 3 5 4 5

8 4 6 1 7 2 7

5 3 6 2 5 1 5

4 5 7 4 6 8 6

2 3 7 4 4 2 4

6 4 5 6 5 7 5

6 9 2 2 4 4 4

4 4 5 4 1 5 1

6 2 6 7 6 5 6

¿Cuántas personas fueron encuestadas? ¿Cuántas personas dieron una calificación entre 0 y 5? ¿Cuántas personas dieron una calificación entre 6 y 10? ¿Cuál es la frecuencia absoluta y la relativa de cada una de las puntuaciones? A partir de los datos elabora una gráfica de barras, una gráfica circular y un histograma de 3 clases.

2 Se ha entrevistado a varios estudiantes sobre el tiempo que dedican a ver televisión en sus horas libres. Los datos recabados se muestran en la tabla: Horas

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Alumnos

15

23

45

28

12

34

42

12

56

8

• ¿Cuántos alumnos fueron entrevistados? • Elabora una gráfica a partir de la información que se presenta en la tabla. • Elabora una gráfica sobre la cantidad de alumnos que ven televisión en horas completas; es decir, 1, 2, 3, 4 y 5 horas. • ¿Cuántos ven menos de 3 horas? 3 Al terminar un curso sobre sexualidad se realizó una evaluación para conocer el número de preguntas acertadas a ciertas preguntas importantes; la siguiente tabla muestra las respuestas obtenidas: Respuestas acertadas Alumnos

0-10

11-15

16-20

21-23

24-25

26-30

31-40

19

27

66

108

74

33

19

• ¿Cuántos alumnos fueron evaluados? • Si se considera que el alumno sabe la información básica si responde correctamente la mitad de las preguntas, ¿cuántos alumnos están en esta categoría? • ¿Cuál es la mayor frecuencia del número de respuestas acertadas?

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BLOQUE 1

Una investigación de campo Con tus compañeros realiza una encuesta sobre los siguientes temas: 1) Tipo de actividad f ísica que se realiza fuera de la escuela. 2) Conocimientos generales sobre el cuidado de la salud. 3) Conocimiento de los problemas de salud causados por el consumo de sustancias prohibidas. 4) Valores que más se conocen y fomentan. 5) Conocimiento sobre los derechos y obligaciones de los adolescentes. 6) Inclinaciones hacia el desarrollo profesional. 7) Preferencias deportivas. 8) Problemáticas familiares. 9) Opinión sobre la seguridad en la comunidad donde viven. 10) Opinión sobre el servicio de transporte público. 11) Horas dedicas al estudio. 12) Uso del tiempo libre. Primero formarás un equipo con tus compañeros. Pueden llevar a cabo su investigación de la siguiente manera: a) El equipo elaborará un cuestionario con preguntas relacionadas con los temas anteriores. Pueden añadir otros temas de su interés. b) Cada compañero del equipo encuestará a por lo menos 5 estudiantes de primer o segundo grado de la escuela. c) Se reunirán para juntar los datos. d) Con los datos elaborarán tablas de frecuencias absolutas y relativas. e)

También elaborarán las gráficas de barras e histogramas que consideren pertinentes.

f)

Posteriormente construirán gráficas circulares y pictogramas. Con tus compañeros analiza las siguientes preguntas.

• ¿Siempre es posible elaborar una tabla de frecuencias, independientemente de la forma en que se planteen las preguntas a los encuestados? • ¿Los datos siempre se pueden representar indistintamente con gráficas de barras e histogramas, independientemente de la manera en que se elaboren las preguntas? • Si la forma de plantear determinadas preguntas produjo datos que sólo se pudieron representar mediante gráficas de barras, ¿sería posible reformularlas para que los datos resultantes permitan elaborar histogramas?

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LECCIÓN 8 • EXPLORACIONES EN LA INFORMACIÓN

Para curiosos Discute con tus compañeros si las conclusiones alcanzadas coinciden con lo que ellos piensan sobre las problemáticas que se abordaron. ¿Obtuvieron información que cambio su percepción de algunos hechos? ¿Se plantearon dudas o inquietudes para profundizar en el estudio de alguna problemática? ¿Los datos recopilados fueron suficientes para obtener una idea aproximada de la problemática? ¿Qué tipo de propuestas pueden hacerse, a la luz de las conclusiones, para mejorar la situación que se detectó?

Para curiosos Sobre los mismos temas planteados en esta lección, y otros de tu interés, con tu equipo de trabajo recopila datos de peródicos y revistas recientes (del último mes) y compáralos con los que obtuviste.

En los medios de comunicación impresos, ¿qué temas suelen ilustrarse mediante gráficas como las que elaboraste en tu investigación?

1

¿Qué utilidad tiene la información que puedes recabar sobre una problemática?

EL ATEN

EO

EN

• ¿Emplean los mismos tipos de gráficas que ustedes? • ¿Dan a conocer todos los datos o utilizan cantidades representativas del conjunto de datos? • ¿Abordan los temas que investigó tu equipo? • ¿Qué concordancias hay entre los datos que recabaron en el equipo y los que se presentan en periódicos y revistas recientes? • En periódicos y revistas menos recientes (de más de un año), ¿se presenta información similar a la que obtuvo el equipo o ésta ha variado en diversas épocas?

En las siguientes gráficas, ¿cuál es la variable bajo estudio?, ¿entre qué valores se encuentran los datos? a Variación del tipo de cambio en algún país. Valor frente al dólar (2000-2005) 3 200 3 000 2 800 2 600 Tipo de cambio 2 400 2 200 2 000 1 800 Mar. 2000 Dic 1999

Sept. 2000 Jun. 2000

Dic. 2000

Mar. 2001

Sept. 2001 Jun. 2001

Dic 2001

Mar. 2002

Sept. 2002 Jun. 2002

Mar. 2003

Dic. 2002

Sept. 2003 Jun. 2003

Dic. 2003

Mar. 2004

Sept. 2004 Jun. 2004

Dic. 2004

Mar. 2005 Jun. 2005

Sept. 2005

Dic. 2005

Mes

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BLOQUE 1

b Calentamiento global. El gráfico muestra la concentración de bióxido de carbono en la atmósfera terrestre (línea azul) y la temperatura media global (línea roja) en los últimos 1 000 años. Calentamiento global 390 14.4 380 14.3 370 360 14.2 350 14.1 340 Temperatura 330 CO2 media 14 320 (ppm/v) (°C) 13.9 310 300 13.8 290 13.7 280 270 13.6 260 F UENTE : Wikipedia. 250 13.5 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000

Año

c Problemas de salud pública. El caso del dengue. Casos de dengue en Colombia (1998 a 2002) 90 000 80 000 70 000 60 000 Número de casos 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000 0

Dengue clásico Dengue hemorrágico F UENTE : Gobierno de Colombia, Ministerio de Salud. Boletines epidemiológicos SIVIGILA (1998-2002) y Programa ETV . 1998

1999

2000

2001

2002

Año

d Crecimiento poblacional en México. Población total, 1895 a 2005 110

103.3 97.5

100 91.2

90 81.2

80 70

66.8

Millones 60 de habitantes

48.2

50 40

34.9

30 20 10

25.8 19.7 15.2 14.3 16.6 12.6 13.6

F UENTE : INEGI , Censos de Población y Vivienda, 1895 a 2000. INEGI , Conteos de Población y Vivienda, 1995, 2005.

0 1895 1910 1930 1950 1970 1990 2000 1900 1921 1940 1960 1980 1995 2005

Año

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LECCIÓN 8 • EXPLORACIONES EN LA INFORMACIÓN

2

Con los datos de las tablas que se presentan a continuación elabora una gráfica de barras o un histograma según corresponda. En cada caso aclara si con los datos se puede elaborar indistintamente una gráfica de barras o un histograma. • Se informa de las calificaciones obtenidas en la materia de inglés en un grupo de tercer grado de una escuela: Calificación

5

6

7

8

9

10

Número de alumnos

12

34

19

40

22

11

• Se proporcionan datos sobre las preferencias deportivas en una comunidad: Deporte

Fútbol

Voleibol

Béisbol

Baloncesto

36

21

15

25

Número de aficionados

Demuestro lo que sé y hago 1 Dada la siguiente gráfica, responde las preguntas que se plantean. • ¿En qué país se observa que las cifras económicas distan más entre sí; es decir, son valores más dispersos? • ¿En qué país se tienen cifras más cercanas entre sí? • ¿A partir de la gráfica puede deducirse que la inflación aumenta a medida que lo hacen los salarios? • Cuando el aumento del salario fue pequeño, ¿la inflación también lo fue? Variables económicas 20% 18.9

18% 16%

14.4

14% 12% Porcentaje 10%

11

12.3

13

12 10 9.9

6% 4.5 4.9 4.8

4%

6.6

6.1 5 4.8

5 3.7

4.9 4.5

2%

4.3

4.2

Argentina Bolivia

Brasil

4

2.7 1.5

0

0%

Inflación 2005 Inflación 2006

8% 6.8

Incremento salarial 2006

Chile Colombia Ecuador

2.3

Perú

Uruguay Venezuela

Países

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BLOQUE 1

2 Dadas las siguientes tablas completa los datos faltantes o completa la representación gráfica adjunta. • En una empresa se ha compilado un registro del sueldo actual y el sueldo inicial, en pesos, de 10 empleados. Empleado

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Sexo

H

H

M

M

H

H

H

M

M

M

Sueldo actual ($) 57 000

40 200

21 450

21 900

32 100

36 000

21 900

27 900

24 000

312 745

27 000

18 750

12 000

13 200

13 500

18 750

9 750

13500

160 200

Sueldo inicial ($)

21 000

Total

• Se encuestó a varias personas sobre el problema más importante que tuvieron en los últimos 12 meses. Los datos recabados se presentan en la tabla. Completa la gráfica de barras. Problemas más importantes en los últimos 12 meses

Pérdida de servicios básicos

Salud

Financieros

Familia Personal Legal

Frecuencia

34

62

21

18

Porcentaje

21.25

38.75

13.125

11.25

Otros

Total

1

21

160

0.625

13.125

70 60 50

Frecuencia

40 30 20 10 0 Salud

Financieros Servicios básicos

Familia

Personal

Legal

Otros

Tipo de problema

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LECCIÓN 8 • EXPLORACIONES EN LA INFORMACIÓN

3 Encuentra los errores cometidos en las siguientes representaciones numéricas o gráficas. • Durante una semana se le preguntó a los clientes de un centro comercial la cantidad de dinero gastado ese día en el establecimiento. Los datos se muestran en la siguiente tabla: Intervalo (Miles de pesos)

0-5

5-10

10-20

20-50

50-100

Frecuencia

1 000

1 100

1 600

1 000

300

Frecuencia relativa

0.2000

0.2156

0.3200

0.2000

0.6000

• En un lote de autos hay varios modelos de años diferentes, cuya distribución de frecuencias se muestra en la tabla y la gráfica siguientes: Modelo

1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982

Total

Frecuencia

34

29

28

40

27

30

34

28

36

29

29

30

31

405

Porcentaje

8.4

7.1

6.9

10.1

6.7

7.4

8.4

6.9

8.9

7.1

7.1

7.4

8.6

100

40

30 Frecuencia 20

10

0 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982

Modelo

Conéctate Se puede consultar más sobre la información gráfica en las siguientes páginas de internet:

También se puede recurrir al siguiente libro: • José María Chamoso y otros

Organizando la estadística Colección Diálogos de Matemáticas Nivola, Madrid, 2007.

• http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/01/ texto3.html • http://www.inegi.gob.mx/inegi/default.aspx

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Matemáticas

Matemáticas 3

Matemáticas 3

Eduardo Mancera Martínez

DISTRIBUCIÓN GRATUITA PROHIBIDA SU VENTA

Matematicas 3 Secundaria Ateneo 1 1

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