Matemática 11 a a - Testes

8

CADERNO DE APOIO AO PROFESSOR

TESTE DIAGNÓSTICO

3.

Parte I A Parte I deste teste é constituída por cinco perguntas de “escolha múltipla”. Na resposta, indique apenas a letra que corresponde à opção certa.

1.

As variáveis t e d referem-se a grandezas inversamente proporcionais.

Observe a seguinte sequência de figuras.

2.

(B) 4n + 2

(C) 6n

Número de trabalhadores (t)

100

50

25

Número de dias que leva a apanha da uva (d)

1

2

4

Qual a expressão analítica que define a relação entre o número de trabalhadores (t) e o número de dias (d) necessário para apanhar a uva, na quinta de Alzubar?

A expressão do termo geral da sequência do número de retângulos de cada figura é: (A) 4n – 2

Para planear a apanha da uva, na quinta de Alzubar, construiu-se a tabela apresentada abaixo:

(A) 100 t = d

(D) 6n + 4

(B) t + d = 1

(C)

t = 100 d

(D) t * d = 100 GAVE Banco de Itens (adaptado)

Na figura está representado um triângulo retângulo em que:

4. b c

a

Considere as retas r, s e t representadas no referencial o.m. O xy e designemos os seus declives, respetivamente por mr, ms e mt. Das seguintes afirmações, apenas uma é falsa. Indique-a:

x

(A) mt * ms > 0

• a, b e c são as medidas de comprimento dos seus lados, em cm.

(B) mr * ms > 0

• x é a medida de amplitude de um dos seus ângulos, em graus.

(C) mt < mr

Apresentam-se em seguida quatro igualdades. Apenas uma está correta. Qual?

b (A) sen x = a

a (B) sen x = b

b (C) sen x = c

c (D) sen x = a

y

r

t

O

(D) mr > ms s

x

MATEMÁTICAA11

5.

No referencial da figura estão definidas graficamente duas funções quadráticas, f e g. y 4 f 2

–2

–1

O

1

2

x

–2

7.

Para determinar a altura (h) de uma antena cilíndrica, o Paulo aplicou o que aprendeu nas aulas de Matemática, porque não conseguia chegar ao ponto mais alto dessa antena. No momento em que a amplitude do ângulo que os raios solares faziam com o chão era de 43º, parte da sombra da antena estava projetada sobre um terreno irregular e, por isso, não podia ser medida. Nesse instante, o Paulo colocou uma vara perpendicularmente ao chão, de forma que as extremidades das sombras da vara e da antena coincidissem. A vara, com 1,8 m de altura, estava a 14 m de distância da antena.

g –4

Qual dos seguintes conjuntos pode ser a solução da condição f (x) * g(x) ≤ 0? (A) ]– ?, – 2] ∂ [2, + ?[

(B) [– 2, 2]

(C) [– 2, – 1]

(D) R – ]– 2, – 1[

Parte II

h

1,8 m

43º

14 m

Responda às questões da Parte II com frases completas, apresentando os cálculos, as justificações e os raciocínios que utilizou na resolução. Na figura acima, que não está desenhada à escala, pode ver um esquema que pretende ilustrar a situação descrita.

6. 6.1.

No mesmo referencial, desenhe gráficos de:

Qual é a altura (h) da antena?

a) uma proporcionalidade direta de constante 2;

Na sua resposta, indique o resultado arredondado às unidades e a unidade de medida. Apresente todos os cálculos que efetuar. Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

b) uma proporcionalidade inversa de constante 3. 6.2.

Escreva expressões analíticas que definam cada uma das funções.

Exame Nacional de Matemática A, 1.ª fase, 2.ª chamada, 2007

9

10

CADERNO DE APOIO AO PROFESSOR

8.

— — [ABCD] é um retângulo de lados AB = 7 cm e AD = 5 cm Sobre cada lado do retângulo, considerem-se os pontos M, N, P e Q — — — — tais que AM = BN = CP = DQ = x, em que 0 < x < 5. A

M

9.1.

Determine as coordenadas dos pontos C e H.

9.2.

Utilizando as letras assinaladas na figura, indique: » 9.2.1. D – FB

B

» + OA » 9.2.2. EG » + OB » 9.2.3. OA

N

9.3.

Escreva uma equação das retas AC e FB.

9.4.

Escreva uma equação do plano

Q D

G

C

8.1.

Demonstre que [MNPQ] é um paralelogramo.

8.2.

Exprima em função de x, a área A(x) de [MNPQ] e verifique que

9.4.1. BFH. 9.4.2. que passa em B e é paralelo ao plano ACE. 9.5.

Determine o perímetro do quadrado obtido por interseção do prisma com o plano z = 2.

9.6.

Calcule a área da secção produzida no prisma pelo plano BCH.

2

A(x) = 2(x – 3) + 17 8.3.

Mostre que 17 é o valor mínimo da função definida por A(x). Qual é o valor máximo?

8.4.

Que valor atribuir a x para que A(x) = 19?

9.

O referencial o.n. (O, i , j , k ) tem origem no centro da base [ABCD] do prisma quadrangular regular.

» »

»

H

z

G

E (1,0,3)

F

C

D O (1,0,0) A x

B y

Questões

1. a 5.

6.1.

6.2.

7.

8.1.

8.2.

8.3.

8.4.

9.1.

9.2.

9.3.

9.4.

9.5.

9.6. Total

Cotação

5 * 10

15

10

15

10

15

10

15

10

10

10

10

10

10

200

MATEMÁTICA A 11

TESTE 1

TEMA 1 Parte I

4.

A Parte I deste teste é constituída por perguntas de “escolha múltipla”. Indique apenas a letra que corresponde à resposta certa (mas certifiquese que saberia justificar a sua escolha se tal lhe fosse solicitado).

1.

O arco AB de uma circunferência tem de comprimento 13 cm e é definido por um ângulo ao centro de 2 rad. (B) 26 cm

(C) 6,5 cm

(D) 2 p cm

(A) sen a.cos a

2.

Das afirmações seguintes, apenas uma é falsa. Qual é? (C)

(A) O seno do dobro de um ângulo é o dobro do seno desse ângulo. (B) Sendo a do terceiro quadrante, sen a . cos a > O. (C) Sendo a < b, então tg a < tg b, quaisquer que sejam os ângulos a e b pertencentes a [0º, 90º[.

5.

Um ponto P do plano fica determinado quando se conhece a distância • de P à origem O do referencial, e o ângulo b de lado origem Ox e lado • extremidade OP. 5 As coordenadas (x, y) do ponto P, quando OP = 3 e b = p, são: 4 "2 "2 b 3 3 (A) a,(B) a- "2, "2b 2 2 2 2 (C) a-

"2 "2 b , 2 2

(D) a-

3 3 "2, - "2b 2 2

P α O

R x

(B) 2.sen a.cos a 11 + cos a2 . sen a (D) 2

1 + sen a . cos a 2

Indique as soluções da equação 3 – 2 sen x = 4 que pertencem ao intervalo [0, 2p]. (A)

(D) Há ângulos cuja tangente é maior do que 1.

3.

y

Sendo a a amplitude, em radianos, do ângulo ROP, qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [OPR], em função de a?

O comprimento do raio dessa circunferência é: (A) 13 cm

Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [OPR]. O ponto P desloca-se ao longo da circunferência, no primeiro quadrante. O ponto R desloca-se ao longo do eixo Ox, de tal modo que o triângulo [OPR] é sempre isósceles.

p p e4 3 3

(B)

p p e5 6 6

(C)

p 7 7 11 p e pπ (D) 5 e pπ 6 6 6 6

Parte II Responda às questões da Parte II com frases completas, apresentando os cálculos, as justificações e os raciocínios que utilizou na resolução.

6.

Uma gaivota de cima de um rochedo R vê um peixe no mar. Num voo em linha reta, apaR nha-o em P e, em seguida e também em linha reta, vai 120º para cima da falésia F onde o 90º 25º come. A altura da falésia BF é A P de 100 m. 1 km

F

90º B

21

22

CADERNO DE APOIO AO PROFESSOR

TEMA 1 6.1.

A que distância PB da falésia a gaivota apanha o peixe?

6.2.

Qual foi a distância percorrida pela gaivota desde que parte para apanhar o peixe e o momento em que para para o comer?

• a distância (em metros), da extremidade do ponteiro dos minutos à barra, é dada por p m(t) = 1 + 7 cos a 10

1800

tb

(Apresente resultados aproximados a dm.)

7.

p Seja f a função, de domínio T p , S, definida 3 2 por f (x) = sen x (1 – cos x) e seja [ABCD] um

A

trapézio isósceles em que AB = BC = CD = 1 e

Nota: tanto em h como em m, o argumento da função cosseno está expresso em radianos.

D

1

7.2.

p Mostre que para cada a å T p , S, a área do 3 2 trapézio é igual a f (a).

C

1

8.

5 e – p < a < 0 determine o valor exato de 13 2 cos Q p + aR – sen (3p + a) + tg (p – a) 2

9.

Na figura está representado um relógio de uma estação de caminho de ferro. O mostrador é um círculo e está apoiado numa barra.

Sendo cos a =

11 12

1

10

2 3

9

h(t) = 1 + 5 cos a 10

p tb 21 600

9.2.

Mostre que 3600 é período da função m e interprete este valor no contexto da situação apresentada.

9.3.

Seja A a extremidade do ponteiro das horas e seja B a extremidade do ponteiro dos minutos.

α B

Determine f a p b e interprete geometricamente o resultado obtido, 2 p caracterizando o quadrilátero que se obtém para a = . 2

Sabe-se que, t segundos após as zero horas, • a distância (em metros), da extremidade do ponteiro das horas à barra, é dada por

Verifique que o ponteiro dos minutos tem mais 20 cm do que o ponteiro das horas.

1

a é a amplitude do ângulo ABC Qa å T p , p SR. 3 2 7.1.

9.1.

A

B

Tal como a figura junta ilustra, passado pouco tempo das zero horas, a reta AB é paralela à barra na qual o relógio está apoiado. Pouco antes da 1 hora (da manhã), há outro instante em que isso acontece. Determine-o, apresentando o resultado em horas, minutos e segundos (segundos arredondados às unidades). Sugestão: equacione o problema e, recorrendo à sua calculadora, resolva graficamente a equação obtida.

4

8 7

6

Teste Intermédio de Matemática B, 11.º ano, maio, 2006

5

FIM Questões

1. a 5.

6.1.

6.2.

7.1.

7.2.

8.

9.1.

9.2

9.3

Total

Cotação

5 * 10

15

20

20

20

20

15

20

20

200

MATEMÁTICA A 11

TESTE 2

TEMA 1 • um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1.

Parte I

• uma semirreta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto (1, 0).

A Parte I deste teste é constituída por perguntas de “escolha múltipla”. Indique apenas a letra que corresponde à resposta certa (mas certifiquese que saberia justificar a sua escolha se tal lhe fosse solicitado).

1.

• um ponto A pertencente a esta semirreta. •

• um ângulo de amplitude a, cujo lado origem é o semieixo Ox, e cujo • lado extremidade é a semirreta OA.

Considere as seguintes afirmações:

Qual das expressões seguintes representa a área da região sombreada, em função de a?

(I) Sendo a e b dois ângulos quaisquer, se a < b então tg a < tg b.

2.

23

(II) Sendo a e b dois ângulos quaisquer se a < b e sen a > sen b então a e b pertencem ao 3.º ou 4.º quadrantes.

(A) p +

(III) Qualquer que seja a amplitude a de um ângulo existe uma amplitude b tal que sen a + cos b = 0.

(C)

(A) São todas falsas.

(B) São todas verdadeiras.

(C) Só a primeira é falsa.

(D) Só a terceira é verdadeira.

3.

tg a 2

(B) p +

p tg a + 2 4

(D)

2 tg a

p 2 + 4 tg a

Considere num referencial o.n. xOy as retas p e q, definidas respetivamente por:

p: y = - 2 x - 3

q: (x, y) = (8, 5) + k(- 2, 4), k å R

Na figura estão representados em referencial o.m. xOy: Qual é a amplitude, em graus, do ângulo formado pelas duas retas:

(A) 0º

y

(B) 180º

(C) 90º

(D) 45º

A

4.

Considere num referencial o.n. Oxyz, dois planos concorrentes a e b de equações a: x - y + 3z = 1 e b: x + y - 4z = 7

α O

1

x

Seja r a reta de interseção dos dois planos. Qual dos pontos seguintes pertence a r? (A) (4, 3, 0)

(B) (5, 5, 0)

(C) (1, 0, 0)

(D) (0, 0, - 1)

24

CADERNO DE APOIO AO PROFESSOR

TEMA 1

5.

Os pontos A e B são os pontos de interseção da circunferência com o semieixo positivo Ox e com o semieixo negativo Oy, respetivamente. Considere que um ponto Q se desloca ao longo do arco AB, nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B.

Na figura junta está representada a região admissível de um problema de Programação Linear. Esta região corresponde ao sistema: y

ax≥ 0 d dy≥0 d bx ≤ 5 d dy≤6 d c 2x + y ≤ 12

Para cada posição do ponto Q, sabe-se que: • o ponto P é o ponto do eixo Oy tal que QO = QP • a reta s é a mediatriz do segmento [OP] • o ponto S é o ponto de interseção da reta s com o eixo Oy p • a é a amplitude, em radianos, do ângulo AOQ Qa å T- , 0S R 2

x

O

Qual é o valor máximo que a função objetivo, definida por z = x + y, pode alcançar nesta região? (A) 7

(B) 9

(C) 11

Seja g a função, de domínio T -

(D) 13

g(x) = - 169 sen x cos x

Teste intermédio de matemática A, 11.º ano, maio 2007

Parte II Responda às questões da Parte II com frases completas, apresentando os cálculos, as justificações e os raciocínios que utilizou na resolução.

6.

Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora. 6.1.

Mostre que a área do triângulo [OPQ] é dada por g(a).

6.2.

p Determine o valor de a, pertencente ao intervalo T- , 0S, para o qual 2 2 se tem g(a) = 169 sen a

6.3.

p Seja q um número real, pertencente ao intervalo T- , 0S, tal que g(q) = 13. 2 2 Determine o valor de (sen q + cos q) .

y

Na figura, está representada, em referencial o.n. xOy, a circunferência de centro 0 e raio 13.

6.4.

O A

α s B P

p , 0S, definida por 2

Q

x

Considere agora o caso em que a abcissa do ponto Q é 12. Determine a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto Q.

MATEMÁTICA A 11

TEMA 1

7.

Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, um octaedro [ABCDEF], dual do cubo [PQRSOTUV].

8.

Na figura está representado num referencial o.n. O xy o quadrado [ABCO].

z

y S

P

6 B 5 AE 4 H 3 2 1 F G C O 1 2 3 4 5 6 x

A R

Q E

D

B OC T

V

y

F

x

U

Sabe-se que:

• As coordenadas do vértice A são (0, 5);

• O vértice B tem coordenadas (1, 0, 1);

• AE = BH = CG = OF = 1.

• O vértice E tem coordenadas (0, 1, 1);

Mostre, recorrendo às propriedades que conhece sobre vetores, que [EFGH] é também um quadrado.

• O vértice F pertence ao plano xOy; • O vértice A tem coordenadas (1, 1, 2).

7.1.

Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos, escreva a(s) equação(ões) cartesiana(s) que o define(m):

FIM

a) Plano ACD; b) Plano perpendicular ao plano ACD e que passa por B; c) Reta paralela a CD e que passa no ponto F; d) Superfície esférica que passa nos vértices do octaedro. 7.2.

Determine o volume do octaedro dado.

7.3.

Considere um ponto X pertencente à aresta UR do cubo do qual se » . OX » = 6. Determine as coordenadas de X. sabe que OS

Questões 1. a 5. Cotação

5 * 10

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

10

15

15

15

7.1.1. 7.1.2. 7.1.3. 7.1.4. 10

15

10

15

7.2.

7.3.

8.

Total

15

15

15

200

25

34

CADERNO DE APOIO AO PROFESSOR

TESTE 3

TEMA 2

5.

Parte I A Parte I deste teste é constituída por perguntas de “escolha múltipla”. Indique apenas a letra que corresponde à resposta certa (mas certifiquese que saberia justificar a sua escolha se tal lhe fosse solicitado).

Na figura, a curva C representa a função derivada de uma função f. Então, podemos concluir que, no intervalo [- 2, 1], a função f y 2

1.

c

Considere a função g, real de variável real, definida por g(x) = cos(x + p) - 1. O contradomínio de g é (A) [- 2, 0]

(B) [- 1 + p, 1 + p]

(C) [- 1, 1]

(D) ]- 2, 0[

1

–2

–1

O

1

2 x

–1

2.

3.

4.

Considere, num referencial o.n. do espaço, o vetor » v (2, 1, - 4), o ponto A(1, 1, 1) e a família de planos a: - kx + 2y + 3z + 1 = 0, com k å R. Então, para que A + »v pertença a um plano daquela família, terá de ser 3 4 4 1 (A) k = (B) k = (C) k = (D) k = 3 4 3 3 +2 ≤ 0 é, em R, x+5

O conjunto-solução da condição

x

(A) [- 5, - 2]

(B) ]- ?, - 5[∂[- 2, + ?[

(C) ]- 5, - 2[

(D) ]- 5, - 2] 2

Seja h a função definida, em R, por h(x) = 5 - 2 x e t a reta tangente ao gráfico de h no 1 ponto de abcissa . Então, a inclinação da reta t é 4 3p p 2p (A) p rad (B) rad (C) rad (D) rad 4 4 3

(A) é positiva.

(B) é constante.

(C) tem dois zeros.

(D) é crescente.

Parte II Responda às questões da Parte II com frases completas, apresentando os cálculos, as justificações e os raciocínios que utilizou na resolução.

6.

Considere a função real de variável real definida por 2

f ( x) =

x - 3x + 2 3 3x - x

Determine, analiticamente, os intervalos em que o gráfico da função se situa abaixo do eixo Ox.

MATEMÁTICA A 11

TEMA 2

7.

Um derrame de crude, de grandes proporções, causado pelo encalhamento de um petroleiro, vai ser combatido com envolvimento de todos os meios disponíveis para tentar evitar sérios danos económicos e ambientais. Suponha que o custo C da remoção de x % do crude derramado é dado, em milhões de €, pela seguinte fórmula: C(x) =

- 0,5x x - 100

7.1.

Qual o domínio de C(x)?

7.2.

Qual o custo da remoção de 50% do crude derramado? E de 60%? E de 90%?

7.3.

Comente a possibilidade de ser removida a totalidade do crude derramado (recorra à calculadora para fundamentar a sua resposta).

7.4.

Supondo que a verba disponibilizada pelas autoridades para a operação não ultrapassaria 1,5 milhões de €, que percentagem de crude poderia ser removida? (Use processos exclusivamente analíticos.)

7.5.

Recorrendo à calculadora, obtenha os valores de C'(70), C'(80) e C'(95) e interprete-os no contexto do problema.

8. 8.1.

Considere o plano a definido pela equação x + y - z - 4 = 0, a reta r defix + 1 nida pelas equações cartesianas = 2 – y = z e o ponto P (2, - 1, 3). 2 Indique dois pontos distintos da reta r e outros dois do plano a.

8.2.

Diga, justificando, qual é a posição relativa da reta em relação ao plano.

8.3.

Defina, por uma equação cartesiana, o plano paralelo ao plano xOz a que pertence o ponto P.

8.4.

Determine o ângulo formado pelos vetores OP» e »v = (- 2, - 1, 0) (apresente o resultado em graus, arredondado às unidades). FIM

Questões 1. a 5.

6.

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

8.1.

8.2.

8.3.

8.4.

Total

5 * 10

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

200

Cotação

35

36

CADERNO DE APOIO AO PROFESSOR

TESTE 4

TEMA 2

y 1

A Parte I deste teste é constituída por perguntas de “escolha múltipla”. Indique apenas a letra que corresponde à resposta certa (mas certifiquese que saberia justificar a sua escolha se tal lhe fosse solicitado).

1.

Numa certa unidade, a área do quadrado, de centro O, [ABCD] tem área a.

D

–6 –2

O

–1

1

y 4 2

2x

6 O2 4

–1

–4

–2

–8

–3

– 12

x

C

» é: Em função de a o valor de AB».OD

O

(B) - a

(A) a a (C) 2

2.

(D)

(C)

Parte I

(D) -

a 2

4. A

B

A taxa de variação média de uma função g no intervalo [a, b] é nula, então pode concluir-se que:

3 1 A condição cos x = - tem no intervalo T - p, p S 2 2 (A) 2 soluções. (B) 4 soluções.

(B) g(a) = b e g(b) = a

(C) 3 soluções.

(C) g(a) = g(b) = 0

(A) g é constante em [a, b]

(D) um número infinito de soluções.

(D) g toma o mesmo valor nos extremos do intervalo.

3.

A figura representa o gráfico da função f

y

5.

2 1 –3

Qual dos seguintes poderá representar o gráfico da função definida por f (2x)?

–1 –2

O 1 2 x

(B)

(A)

Na figura está representada parte do gráfico de uma função f derivável em R e a reta tangente à curva no ponto de abcissa 0. f 1h2 - f 102 Qual pode ser o valor de h quando h tende para zero? 1 f102

y

y

(A)

1

1

(C) - 5

–1

O 1 2

x –1

O 1

x

(B) f (2) (D) 5

y 5 4 3 2 1

c

–4–3–2–1 O 1 2 –1 4 –2 –3

3x

MATEMÁTICA A 11

TEMA 2

8.

Parte II Responda às questões da Parte II com frases completas, apresentando os cálculos, as justificações e os raciocínios que utilizou na resolução.

6.

7.

Um peça metálica tem a forma de um trapézio em que AB = BC = AD = 2 dm A

B

Seja a um ângulo no círculo trigonométrico e A o ponto de interseção do lado extremidade do ângulo a com a circunferência que delimita o círculo. Mostre que, quando a 0 kp, k å Z, a tangente à referida circunferência cos a 1 no ponto A tem equação y = – x+ . sen a sen a

8.1.

Prove que a área A(a) do triângulo é dada em dm por A(a) = 4 sen a (1 + cos a)

O sinal de uma função cúbica f, definida em R é dado pelo seguinte quadro:

8.2.

Sabendo que cosa p - ab = 0,4, determine o valor exato de A(a). 2

8.3.

Determine o valor de a para o qual A(a) = Aa p - ab. 2

x sinal de f(x)

–?

–3 –

0

0 +

0

3 –

0

7.1.

Pronuncie-se sobre a existência da função inversa de f.

7.2.

Determine o domínio das funções g e h definidas por

g(x) = "f 1x2 e h(x) =

+?

α C

D

Designe por a a medida da amplitude, em radianos, do ângulo agudo BCD. 2

+

1 f 1x2

7.3.

Determine a equação das assíntotas da função h.

7.4.

Proponha um gráfico para a função |f |.

7.5.

Sabendo que f (1) = 8, escreva a expressão algébrica f (x).

7.6.

Por via exclusivamente analítica, determine os extremos relativos da função f. (Ao caso de não ter determinado, na alínea anterior, a expressão f (x) 2 considere f (x) = - 2x(x - 4).)

FIM

Questões 1. a 5.

6.

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

7.6.

8.1.

8.2.

8.3.

Total

5 * 10

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

200

Cotação

37

MATEMÁTICA A 11

TESTE 5

TEMA 3

4.

Parte I A Parte I deste teste é constituída por perguntas de “escolha múltipla”. Indique apenas a letra que corresponde à resposta certa (mas certifiquese que saberia justificar a sua escolha se tal lhe fosse solicitado).

1.

Seja f a função cujo gráfico está representado na figura. 2 Seja g a função de domínio R, definida por g(x) = x - x. y 4

2 "2 (A) 3

2 "2 (B) 3

"2 (C) 4

2

"2 (D) 4

1

a O

–2 –1

2.

B

3

1 e a å 4.º Q. Qual é o valor de tg(a)? Se cos a p + ab = 2 3

1

2

3

4

5

6

–1

Considere um referencial o.n. O xyz do espaço. Seja a o plano de equação x + 4y + z = 6 e a reta r, definida por y = 4x + 3 ‹ y - 3 = 4z.

x

C

–2

(A) r é paralela ao plano a.

A

–3

(B) r é perpendicular ao plano a. (C) r é oblíqua em relação ao plano a.

Qual é o valor de gof (4)? (O símbolo o designa a composição de funções.)

(D) r interseta o plano no ponto (0, 3, 0).

(A) 3

3.

Num certo problema de programação linear pretende-se minimizar a função objetivo, a qual é definida por L = 3x + y. Na figura está representada a região admissível.

y C = (0, 5) 5

Qual é a solução desse problema?

4

(A) x = 1 e y = 1

3

(B) x = 0 e y = 3

O

Seja (xn) a sucessão de termo geral xn = a1 +

(D) não existe 1b n

n

g

Seja (yn) a sucessão de termo geral yn = 1 + xn onde e é número de Neper. Qual é o valor de lim yn?

B = (0, 3)

(A) 1 + e

2

1

(C) - 1

D = (3, 5)

(C) x = 0 e y = 5 (D) x = 3 e y = 5

5.

(B) 0

A = (1, 1) x

(B) 1

(C) 2

(D) 0

45

46

CADERNO DE APOIO AO PROFESSOR

TEMA 3 • O ponto A(6, 0, 0)

Parte II

• O ponto B(0, 0, 5)

Responda às questões da Parte II com frases completas, apresentando os cálculos, as justificações e os raciocínios que utilizou na resolução.

• O ponto C(1, 2, 3) • A reta AC

6.

Considere, num referencial o.n. Oxyz , a superfície esférica E, de equação

• A reta AB 7.1.

Justifique que as retas AC e BC são complanares e mostre que o plano a por elas definido, admite como equação 10x + 7y + 12z = 60.

Para um certo valor de a pertencente ao intervalo T , p S , o ponto T, 2 de coordenadas

7.2.

Determine uma equação vetorial da reta interseção do plano a com o plano xOy.

(3tg a + 3; sen a; - 1 + cosa) pertence à superfície esférica E.

7.3.

Determine o volume da pirâmide [OBAC].

Determine os valores numéricos das coordenadas do ponto T.

7.4.

Determine, com aproximação às décimas, o ângulo das retas AC e BC em radianos.

8.

Suponha que o valor das vendas diárias (em dólares) t dias após o término de uma campanha publicitária seja dado por

2

2

2

(x - 3) + y + (z + 1) = 28.

p

7.

Considere num referencial 0.n. Oxyz: z

5

V(t) = 1000 +

B

8.1.

Determine, analiticamente, para que valores de t, o valor das vendas é superior a 1100 dólares.

8.2.

Qual é a taxa de variação do valor das vendas no terceiro dia?

8.3.

Que lhe parece que acontecerá ao valor das vendas passado muitos e muitos dias após o término da campanha publicitária.

C O = (0, 0) O

A x

1

2

400 com t ≥ 0 t+1

y

MATEMÁTICA A 11

TEMA 3

9.

9.3.

Considere:

3 • a função f, de domínio R\{3} definida por f (x) = 2 + . x 3 2 • a função g, de domínio R, definida por g(x) = x - 4x . Resolva os itens 4.1 e 4.2, usando exclusivamente métodos analíticos. Nota: a calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos.

9.1.

Seja P, o ponto do gráfico da função f que tem abcissa igual a 3. Seja r, a reta tangente ao gráfico da função f no ponto P. Determine a equação reduzida da reta r.

9.2.

Na figura está representado num referencial o.n. parte do gráfico da função g. As abcissas dos pontos O e B são os zeros de g e a ordenada de A é o mínimo relativo de g. Determine a área do triângulo [OAB].

A equação f (x) - g(x) = 0 tem exatamente duas soluções, uma positiva outra negativa. Determine a solução positiva, utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora. Apresente essa solução arredondada às centésimas. Apresente o(s) gráfico(s) visualizados na calculadora e assinale o ponto relevante para a resolução do problema. FIM

y 4

2 a

O –1

O

1

2

3

B 4

5

x

–2

-4 c g

–6

–8

– 10

A

Questões 1. a 5.

6.

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

8.1.

8.2.

9.1.

9.2.

9.3.

Total

5 * 10

20

20

10

10

10

15

15

10

20

10

10

200

Cotação

47