Matemática 10° Comercio
February 9, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Matemáca 10° Comercio - Material Gratuito- Prohibida su Venta
2020 – 2021 FASE DE VALIDACIÓN
Matemáca 10° Comercio - Material Gratuito- Prohibida su Venta
Matemáca 10° Comercio - Material Gratuito- Prohibida su Venta
Autoridades Autoridades S. E. Maruja Gorday de Villalobos Ministra de Educación S. E. Zonia Gallardo de Smith Viceministra Académica S. E. José Pío Castillero Viceministro Administrativo S. E. Ricardo Sánchez Viceministro de Infraestructura
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Equipo Directivo Directivo
Dirección General
Directores Nacionales Académicos
Guillermo legría
Isis Núñez Directora Nacional de Educación Media Académica
Director General de Educación
Victoria Tello
Subdirectora General de Educación Académica
nayka De La Espada Subdirectora General Técnico Administrava
Carlos González Director Nacional de Educación Media Profesional y Técnica Agnes de Cotes Cotes Directora Nacional de Jóvenes y Adultos
Carmen Reyes Directora Nacional de Currículo y Tecnología Educava
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Dirección Nacional de Educación Media Académica Dirección Nacional de Educación Media Profesional y Técnica Dirección Nacional de Jóvenes y Adultos
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Equipo coordinador
Isis Núñez Directora Nacional de Educación Media Académica Especialistas de la Asignatura: Eduvigis Mercedes Rodríguez Iglesias Coordinadora
Lenin Hernández Apoyo Técnico Curricular 10
Diseño y Diagramación Aracelly Agudo Javier Spence (U.P.)
Ilustraciones: Free vectors
El contenido de este módulo es es con fines estrictamente educativos, ha sido ajustado al currículo priorizado del Ministerio de Educación de la República de Panamá. Este material está disponible para el uso de todos los docentes y alumnos de nuestro país como una una herramienta herramienta de apoyo apoyo en el desarrollo desarrollo de los contenidos del grado.
Este documento es gratuito, se prohíbe su venta y promoción de cualquier empresa sin autorización.
Matemática Comercial 10°
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Matemática Comercial 10°
Contenido AUTORIDADES MEDIDAS PREVENTIVAS CONTRA EL COVID-19 CRÉDITOS MENSAJE PARA LOS ESTUDIANTES 1│ ARITMÉTICA .......................................................................................................................................... 12 TEMA 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES. ........................................................................... 12 ACTIVIDAD N°1. ......................................................................................................................................... 13 TEMA 2. LOS NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA NUMÉRICA ................................................................ 14 ACTIVIDAD N°2. ......................................................................................................................................... 15 TEMA 3. APLICACIÓN DE LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES ................................................................ 16 ACTIVIDAD N°3.1 ....................................................................................................................................... 19 ACTIVIDAD N°3.2 ....................................................................................................................................... 23 KHAN ACADEMY ........................................................................................................................................ 25 CURSOS GRATUITOS DE GEOGEBRA ........................................................................................................... 25 TEMA 4: LA POTENCIACIÓN ....................................................................................................................... 26 ACTIVIDAD N° 4 ......................................................................................................................................... 30 TEMA 5. RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES ..................................................................................... 31 ACTIVIDAD N°5 .......................................................................................................................................... 34 TEMA 6. RAZÓN Y PROPORCIÓN ................................................................................................................ 36 ACTIVIDAD N°6.1 ....................................................................................................................................... 39 ACTIVIDAD N°6.2 ....................................................................................................................................... 20 TEMA 7. TANTO POR CIENTO ..................................................................................................................... 21 ACTIVIDAD N°7 .......................................................................................................................................... 26 TEMA 8. APLICACIONES DE TANTO POR CIENTO ........................................................................................ 27 ACTIVIDAD N°8 .......................................................................................................................................... 32 AUTOEVALUACIÓN A-1 .............................................................................................................................. 33 2│ MATEMÁTICA FINANCIERA ................................................................................................................... 34 TEMA 9. INTERÉS SIMPLE ........................................................................................................................... 34 ACTIVIDAD N°9 .......................................................................................................................................... 37 3│ ALGEBRA ............................................................................................................................................... 38 TEMA 10. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA......................................................... 38 ACTIVIDAD N°10.1 ..................................................................................................................................... 41 ACTIVIDAD N°10.2 ..................................................................................................................................... 51 4│ ESTADÍSTICA.......................................................................................................................................... 54 TEMA 11. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ......................................................................................................... 54 ACTIVIDAD N°11. ....................................................................................................................................... 57 AUTOEVALUACIÓN A-2 .............................................................................................................................. 58 ACTIVIDAD N°1 .......................................................................................................................................... 60 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................................ 62
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Matemática Comercial 10°
UNID D 1: RITMÉTIC
OBJETIVOS DE PRENDIZ JE Aplica las operaciones básicas de números racionales en situaciones reales del área comercial. Uliza las razones, proporciones y tanto por ciento para resolver problemas po comercial. Calcular el tanto por ciento por medio de la fórmula directa y la regla de tres simple. Aplicar el tanto por ciento, para resolver situaciones de la vida codiana.
INDIC DORES DE LOGRO Construye el conjunto de los números racionales, a parr de su denición. Idenca con precisión el signo del número racional. Realiza representaciones grácas del conjunto de los números racionales. Ubica correctamente los números racionales en la recta numérica. Resuelve situaciones reales del área comercial aplicando las operaciones básicas de números racionales. Idenca correctamente en problemas los elementos del tanto por ciento. Construye una proporción correcta para determinar el elemento desconocido en problemas de tanto por ciento. Resuelve problemas de po comercial, aplicando la regla de tres.
UNID D 2: M TEMÁTIC TEMÁTIC FIN NCIER
OBJETIVOS DE PRENDIZ JE Aplica las fórmulas del Interés Simple e Interés Compuesto para resolver diversas situaciones comerciales.
INDIC DORES DE LOGRO Calcula con precisión empos exactos y aproximados. Resuelve problemas de po comercial aplicando las fórmulas de interés simple. i nterés simple. Calcula el empo exacto y aproximado en problemas de interés Realiza análisis de los datos y los resultados obtenidos en el cálculo del interés simple para la
toma de decisiones pernentes.
UNID D 3: LGEBR
OBJETIVOS DE PRENDIZ JE Aplica disntos métodos de solución, como estrategia para determinar las raíces de ecuaciones cuadrácas, con radicales, logarítmicas y exponenciales.
INDIC DORES DE LOGRO Indica sin dicultad las caracteríscas de una ecuación cuadráca. Uliza correctamente los métodos de solución de las ecuaciones cuadrácas para determinar sus raíces. Uliza correctamente los métodos de solución de las ecuaciones cuadrácas para determinar sus raíces.
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Matemática Comercial 10°
UNID D 4: EST DÍSTIC
OBJETIVOS DE PRENDIZ JE i nterpretar datos estadíscos. Uliza la Estadísca Descripva para representar e interpretar Resuelve situaciones de su entorno aplicando los procesos de la Estadísca Descripva para la adecuada toma de decisiones.
INDIC DORES DE LOGRO Establece la delimitación de la situación a invesgar. Construye apropiadamente el instrumento que aplicará para recoger los datos. mostrando veracidad en la información recogida. Presenta los resultados de las invesgaciones mostrando
COMPETENCI S M TEMÁ T EMÁTIC TIC S Aprender a aprender: Muestra capacidad permanente para obtener y aplicar nuevos
conocimientos y adquirir destrezas. conocimientos Desarrolla la habilidad para ulizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemáco, tanto para producir e interpretar disntos pos de información.
Matemáticas: Resuelve operaciones fundamentales en el campo de los números racionales
mediante la aplicación de los conceptos matemáticos en la solución de situaciones de su entorno. Tratamiento de la información y competencia digital: Participa en proyectos innovadores mediante la aplicación de estrategias diversas con miras a la solución de situaciones de su entorno. Autonomía e iniciativa personal: Manifiesta actitud perseverante hasta lograr las metas que se ha propuesto.
RECURSOS DIDÁCTICOS
Lápiz, borrador cuaderno, regla para imprimir i mprimir en anexos. Calculadora Microso Oce-Excel
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Matemática Comercial 10°
PRESENT CIÓN El COVID-19 nos ha cambiado la vida, ahora debemos estar en casa y no en las escuelas como estamos acostumbrados, de esta manera evitamos un mayor contagio en las comunidades, en nuestras familias y amigos. Para que continúe estudiando en su casa, un grupo de docentes hemos elaborado este módulo con el fin de que nuestros estudiantes sean competentes y descubran la importancia de la matemática y sus aplicaciones en la naturaleza, naturaleza, en la vida di diaria aria y en el mundo. El propósito fundamen fundamental tal es mejorar la calidad en los procesos de enseñanza. Las temáticas presentadas corresponden corresponden al currículo priorizado del Bachiller en e n Comercio 10°. En los talleres que hemos seleccionado s eleccionado está considerada la problemática que existe en esta área y el papel fundamental de la visualización en el desarrollo de problemas matemáticos. La relación con la naturaleza, el comercio, contexto y la relación con otras ciencias, permiten que el estudiante desarrolle la visualización explorando y observando lo que sucede con los objetos que existen en su medio, que se valore a sí mismo y aborde problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue e integre los conocimientos tecnológicos, humanísticos y científicos que faciliten el establecimiento de relaciones entre los diferentes campos del saber humano. A continuación, presentamos los conceptos básicos mediante una secuencia de actividades (Introducción-I, (Introducción-I, Temas-T, Autoevaluación-A); que corresponden co rresponden al año lectivo 2020, las mismas pueden ser desarrolladas en este cuadernillo o en su portafolio de actividades.
Bienvenidos al “Mundo Maravilloso de la Matemática”. #aprendoencasa, ¡Juntos ¡Juntos lo lograremos! l ograremos! Docentes del Mundo Maravilloso de la Matemática.
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Matemática Comercial 10°
1│ RITMÉTIC
SABÍAS QUE…
TEM 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS R CION LES.
Las fracciones las podemos representar grácamente.
denotación y conjunto Denición, El conjunto de los números racionales conenen a los números enteros, porque todo número entero se puede escribir como el cociente de dos enteros. El conjunto de los números racionales se denota por la letra
ℚ
.
Un número racional es posivo, si los términos de la fracción que lo representa enen igu igual al si signo. gno. El conju conjunto nto de todos ellos se representa por
ℚ+
.
Un número es negavo, los términos fracción queracional lo representa enensi disnto signo. de la El conjunto de todos ellos se representa por
ℚ−
.
La unión del conjunto de los números racionales negavos, neg avos, el cero y los números racionales posivos, forman el conjunto de los Números Racionales, es decir:
ℚ = ℚ− ∪ {0} ∪ ℚ+ ℕ⊂ℚ , ℤ⊂ℚ
Los números naturales y los números enteros son subconjunto subconjun to de los números racionales, es decir:
Todo número racional puede representarse como un decimal periódico. j mplos:
13 =0,3333…; 14 =0,25000…;
Si observamos, hemos repardo la unidad en 15 partes iguales que representa el denominador de la fracción. Por lo cual el área sombreada representa la fracción:
12 =0,5000…; 17 =0,142857142857…
=
Cuando convermos una fracción en un número decimal, podemos clasicarlos en nitos o innitos. La clásica fracción ½ al representarla como un número decimal, es nito.
12 =0,5 13 =0,333…
Sin embargo 1/3, al dividirlo es un número decimal innito cuyo periodo es el número 3.
Observe que las fracciones enen cifras que se repiten indenidamente indenidamen te y en el mismo orden. 12
Matemática Comercial 10°
CTIVID D N°1. Observe la siguiente figura TANGRAM) El TANGRAM es un cuadrado que se divide en siete polígonos. 1. Si el cuadrado del TANGRAM equivale a 1/8. ¿Qué fracción representan los 6 polígonos restantes? 2. Escriba dentro de cada uno de esos polígonos la fracción que corresponde a su tamaño, considerando el cuadrado completo como una unidad. En todos los casos escriba la fracción de dos maneras: simplicada y con denominador 64.
1/8
3. Dibuje los polígonos del Tangram en el cuadrado dividido en 64 partes iguales. Ulícelos como referencia para calcular la fracción que representa de cada uno.
4. Completa la tabla Fracción 1/15 7/10 11/12 1/8
Expresión Decimal 0.666
Decimal nito No
Decimal innito Sí
Periodo 6
¡GENI L! Ha culminado el Tema 1. 13
Matemática Comercial 10°
TEM 2. LOS NÚMEROS R CION LES EN L RECT NUMÉRIC Representación de los Números Racionales en la Recta Numérica
Para ubicar la fracción en la recta numérica, se divide cada unidad en el número de partes que indica el denominador de nominador y se toman las partes que indica el numerador .
Todo número racional se puede asociar con un punto en la recta numérica.
Ejemplo 1: localice en la recta numérica el número . Solución:
5
3
Se divide la unidad en partes iguales y se toman de las partes
Ejemplo 2: grafique la fracción Solución:
en la recta numérica.
Paso 1: Se convierte la fracción mixta a fracción impropia
2 =
.
Paso2: luego se divide en cuatro partes iguales las unidades que se encuentran a la izquierda del cero. Paso 3: se toman 11 de estas divisiones.
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CTIVID D N°2. I- Represente en la recta numérica las siguientes fracciones. Utilice la sección de cuadritos 1. 2. 3. 4. 5.
Resuelva aquí
6.
3411223 15 58 76
7. 8. 9. 10.
2 4725 53 116 2 12
¡GENI L! Ha culminado el Tema 2. 15
Matemática Comercial 10°
TEM 3. PLIC CIÓN DE L S OPER CIONES FUND MENT LES
Adición de números racionales
Para sumar dos o más fracciones homogéneas se coloca coloc a el mismo denominador y se suman los numeradores
= , ≠0
Ejemplo 1: efectúe la siguiente operación
Solución: Se coloca el mimo denominador, los numeradores se suman y la fracción resultante se simplica:
3 1 31 4 4 4 = 4 =4=1
Ejemplo 2: efectúe la siguiente operación
Solución: Se coloca el mismo denominador y se suman los numeradores:
8 39 19 49 = 314 = 9 9
Sustracción de números racionales
Para restar dos fracciones homogéneas se coloca el mismo denominador y se restan los numeradores
= , ≠0
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Matemática Comercial 10°
Ejemplo 2: efectúe la operación
Solución: Se coloca el mimo denominador, los numeradores se restan y la fracción resultante se simplica:
78 58 = 7 8 5 = 28 = 14
Ejemplo 4: efectúe la operación
Solución: Se coloca el mismo denominador y los l os numeradores se restan.
57 37 = 537 = 27
Ejemplo 5: efectúe la siguiente operación
Solución: Se transforman los números mixtos en fracciones impropias y se efectúan las operaciones:
3 2 4 1 1 = 17 4 6 = 1746 = 234 = 19 = 3 4 55 5 555 5 5 5 5
Adición y sustracción de fracciones heterogéneas
En En general general, , para para su sumar mar o restar restar fraccio fracciones nes het hetero erogé génea neas s sedetermina sedetermina elmínimo elmínimo común común múltip múl tiplo lo (m.c.m. (m.c.m.) ) de de los denomin denominado adores. res. Recue Recuerde, rde, este este se se divide divide entre entre cad cada a uno uno de los
± = ∙±∙ ∙ , ≠ , ≠
denominadoresyloscocientesresultantessemultiplicanporsusnumeradoresrespectivos.
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Matemática Comercial 10°
Ejemplo 6: efectúe
Solución: Primero se determina el mínimo común múlplo de los denominadores.
23 56 12 = 22 .16.53, 63,2=61 = 453 6 = 126 = 2
Ejemplo 7: realice
Solución: Primero se determina el mínimo común múlplo de los denominadores.
. .. 2,5 = 10 12 15 = 5110 21=5102=10130
Ejemplos 8: efectúe
Solución: Se transforman los números mixtos en fracciones impropias y se determina el mínimo común múlplo de los denominadores.
.. 6,2,3 = 6 1 1 1 19 3 1 11919 33 21 1992 219 12 3 6 1 2 3 = 26 2 3= 6 = 6 = 6 = 6
Ejemplos 9: resuelva
Solución: Se transforman los números mixtos en fracciones impropias y se determina el mínimo común múlplo de los denominadores.
.. 6,2,3 = 6 1 1 2 13 13 5 39261220 33 11 3 3 4 2 6 11 3 = 4 6 1 3 = 12 = 1212== 4 = 2 4
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CTIVID D N°3.1 I – Resuelva las siguientes operaciones de adición y sustracción con fracciones homogéneas. 1.
2.
3.
4.
5.
2347 537 45 25 35 16 56 36
6.
7.
8.
9.
942 3854 5824 1 78 107 3 101 1 109 813 131 1113 135
10.
11.
12.
4227 4537 235217 115657 25 159 3 157 151 712 5 121 4 1112 121
II – Efectúe las siguientes operaciones de adición y sustracción con fracciones heterogéneas. 1.
2.
3.
4.
34 12 23 14 12 56 34 23
5.
6.
7.
13 56 79 12
4 58 34 3 12 2 118 3 12 225 23 3 45 4 56 1315
9.
10.
11.
8.
12.
3 59 23 2 56
III – Resuelva los siguientes problemas de aplicación.1
1. Ernesto viajó en carro
, caminó
2 12 34 1 23 910 2 2130 3 1720 25 23 1 34 121 32 1 7 1 4 3 2 2 1 12
. ¿Cuánto recorrió en total?
2. Miguel perdió de su dinero y prestó . ¿Qué parte d dee su dinero llee queda queda??
3. Orlando se comió el martes de pizza y, el miércoles más. ¿Qué fracción de pizza se comió Orlando en dos días?
1 Los problemas de aplicación de los apartados son recopilados de Arturo Aguilar, Fabián Bravo, Herman
Gallegos, Miguel Cerón y Ricardo Reyes (2009). Matemácas Simplicadas. Editorial Pearson
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Matemática Comercial 10°
3 40 5 50
4. Fidel compró
de fresa en Boquete y su hermana compró
fracción de libras han comprado entre los dos? 5. Miguel pesa
y Rosa pesa
6. Para una receta se requieren
2 3
de fresa. ¿Qué
. ¿Cuánto más pesa Rosa q que ue Miguel?
d dee harin harina. a. Si ya se agregaro agregaron n
falta por agregar?
. ¿Cuánta harina
7. Soa se comió de un dulce de marañón, Elida y Josena del mismo dulce. ¿Qué
fracción del dulce se han comido entre las tres? 8. Estela pintó
pintar?
de las las paredes de su recámara. ¿Qué parte de las paredes le falta por
Resuelva aquí
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Matemática Comercial 10°
Mulplicación de Números Racionales
Para mulplicar dos o más fracciones, es necesario:
Mulplicar los numeradores y los denominadores. En caso de que existan fracciones mixtas, se deben converr a fracciones impropias
y posteriormente se realizan los productos, simplicando el resultado.
Se aplica la ley de los signos de la mulplicación de los enteros.
∙ = ∙∙ , ≠ , ≠
Ejemplo 1: resuelva Solución:
Se aplica el procedimiento descrito y se simplica el resultado:
== =
Se multiplican los numeradores y los denominadores Se
se mulplican los signos y se si simplica mplica
Ejemplo 2: ¿Cuál es el resultado de Solución:
?
Se convierten las fracciones mixtas a impropias, se observa que existen ex isten factores iguales en el numerador y denominador, por lo tanto, es recomendable simplicar la expresión para obtener el resultado:
34 16 1 13 22 = 34 16 43 22 = 34164321 = 13
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Ejemplo 3: ¿Cuál es el resultado de
?
Solución: Se convierten las fracciones mixtas a fracciones impropias y se efectúa el producto:
113353 3118 = 85 25258 = 8522585 = 5
División de Números Racionales
Para dividir dos fracciones se resuelve mulplicando la fracción del dividendo por la fracción inversa del divisor.
Ejemplo 1: resuelva
÷ = = = ∙∙ ÷ 23 ÷ 45 = 23 54 = 2354 = 56
Solución: Se aplica el procedimiento descrito y se simplica el resultado:
Ejemplo 2: resuelva
÷
Solución: Se convierten las fracciones mixtas a impropias y se efectúa la división:
2 25 ÷3= 125 ÷3= 125 13 = 1125231 = 45
Ejemplo 3: determine el resultado de
÷
Solución: Se convierten las fracciones mixtas a impropias y se efectúa la división:
44225 ÷ 2 34 = 225 ÷ 114 = 22 225 11141 = 5222211141 = 85 = 11335
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CTIVID D N°3.2 I – Resuelva las siguientes operaciones de multiplicación con números racionales. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
4589 18184 33 45 1016 86 27 1 13 74 1 12 111313 33393 263
2233 1437202 12113962 13 3 12 45 1100 143
7.
8.
29 1 45 3 34 13
9.
10.
154 1100 16 162020 5 54
II – Resuelva los siguientes problemas de aplicación sobre multiplicación de fracciones.2 1. En un grupo hay 40 alumnos, de ellos las tres quintas partes son mujeres. ¿Cuántas mujeres hay en el grupo? 2. La tercera parte de una población de es afectada por cierto virus. ¿Cuántos habitantes habitantes no padecen el vi virus? rus? 3. En una caja hay 120 pelotas: verdes, rojas y azules, si las pelotas rojas son la tercera parte del total y las azules azules equivalen a la sexta parte. ¿Cuántas hay de cada color? 4. La recomendación de un doctor a un enfermo de gripe es que se tome pasllas de ácido acelsalicílico (aspirina) durante días cada horas, para contrarrestar los malestares de esta enfermedad infecciosa. Si el paciente sigue cabalmente las indicaciones del del doctor. ¿Cuántas p pasllas asllas d dee aspirina tomará?
2 100 ℎ 4 8
1
2 Arturo Aguilar, Fabián Bravo, Herman Gallegos, Miguel Cerón y Ricardo Reyes (2009). Matemácas
Simplicadas. Editorial Pearson
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Matemática Comercial 10°
III – Resuelva las siguientes operaciones de división con números racionales. 1.
2.
3.
4.
5 .
34 ÷ 169 5 3 4 278 ÷73124= 78 ÷ 1 165 =
6.
7.
8.
9.
12 ÷ 3 14 =
10.
34÷2 56 = 5 3 53 14 8÷26÷ 3 4 2 23 ÷ 154
119 ÷ 3 23
IV – Resuelva los siguientes problemas de aplicación sobre división de 3
fracciones.
540 6
1. ¿Cuántas bolsas de de kilogramos se pueden llenar con 2. Un modista emplea
?
de agua por minuto. ¿Cuánto empo emplea empleará rá en llenar un
88 120 ó 6160 6 depósito de
de galletas?
para para hacer u un n vesdo. ¿Cuántos de eso esoss vesdos se
pueden hacer con 3. Si una llave vierte
20
de capacidad?
4. ¿Cuál es la velocidad por hora de un automóvil que en ?
5. Una familia de integrantes consume diariamente
2 ℎ
recorre
de leche, si todos ingieren
1
la misma candad. ¿Cuánto toma cada uno? 6. Javier reparó de arroz entre un grupo de personas, de tal forma que a cada una le tocaran
. ¿Cuántas personas eran?
¡EXCELENTE! Ha culminado el Tema 3. 3 Arturo Aguilar, Fabián Bravo, Herman Gallegos, Miguel Cerón y Ricardo Reyes (2009). Matemácas
Simplicadas. Editorial Pearson
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KHAN ACADEMY
prendemos, reforzamos y atendemos a la diversidad
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INTRODUCCIÓN: Escribir fracciones como decimales periódicos
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TEMA 1: Los números racionales en la recta numérica
hps://es.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/cc-6th-negave-numbe hps://es.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-m ath/cc-6th-negave-number-topic/cc-6thr-topic/cc-6thneg-dec-frac-number-line/e/fracons_on_the_ neg-dec-frac-number-line/e/ fracons_on_the_number_line number_line_3 _3
TEMA 2: Haz esmaciones para sumar y restar fracciones que enen denominadores
diferentes. diferentes. hps://es.khanacademy.org/math/cc-h-grade-ma hps://es.khanacadem y.org/math/cc-h-grade-math/imp-fracons-3/imp-vis th/imp-fracons-3/imp-visually-addingually-addingand-subtracng-fracons-with-unlike-denomi and-subtracng-fraco ns-with-unlike-denominators/e/esmate-to-add-and-sub nators/e/esmate-to-add-and-subtract-fraconstract-fraconswith-dierent-denominators
TEMA 3: Relaciona división de fracciones con mulplicación de fracciones
hps://es.khanacademy.org/math/arithmec/fracon-arithmec/arith-review-fraco hps://es.khanacademy.org/math/arithmec /fracon-arithmec/arith-review-fracons-asns-asdivision/e/relate-fracon-division-to-fracon-mulplicaon Has culminado tus actividades de Khan Academy.
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Matemática Comercial 10°
TEM 4: L POTENCI CIÓN
Introducción
La potenciación era conocida ya desde la antigüedad, los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la multiplicación. Los griegos por su parte tenían predilección por los cuadrados y los cubos. La potenciación es el producto de varios factores iguales. Para abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite y en la parte superior derecha del mismo se coloca el número de veces que se multiplica.
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Matemática Comercial 10°
Propiedad
Ejemplo
= 1
Potencia de exponente cero.
n
1
exponente. Potencia de exponente negativo. Potencia de una potencia.
Toda base cuyo exponente es cero, la potencia es igual a uno.
1
Toda base cuyo exponente es el número uno, la potencia es igual a la misma base.
1
=
n
1
Si la base es el número uno y el exponente es cualquier número natural, la potencia es uno.
1
∙ = + 3 ∙ 3=3+ ==273 − 2 = 2− = 2 = 2 = 2 ∙ 3 = 6 = 36 ∙ = ∙ 2 ∙ 3 ==4⋅92 ∙ 3
Cociente de bases iguales.
Cociente de bases diferentes e igual
151=15
Producto de bases iguales.
Multiplicación de bases diferentes con el mismo exponente.
0
Potencia de exponente uno. Potencias de base uno.
7
Descripción
Al dividir dos bases iguales, los exponentes se restan.
Las bases se elevan al mismo exponente y se halla la potencia, también se puede mulplicar las bases y calcular la potencia.
= 36 2 = 2 = 16 = 3 3 81 ∗∗= 3 3 3 =
n
a
n
1 a
n
1
n
a
n
a
2
3
2
1 1 3 3
=
Se elevan las bases al mismo exponente y se dividen las bases, se calcula la potencia.
1
=729
2
Al mulplicar dos o más bases iguales, los exponentes se suman.
La potencia será su inverso elevado a la 1 misma potencia. 9
Se mulplican los exponentes y se calcula la potencia.
Si bien la palabra exponente pasó a signicar cosas diferentes, el primer uso moderno registrado de exponente en matemácas fue en un libro llamado "Integra Arithemeca", escrito en 1544 por el autor inglés y matemáco Michael Sfel. Pero él simplemente estaba trabajando con una base de dos, de modo que, por ejemplo, el exponente 3 signicaba la
27
Matemática Comercial 10°
candad de números 2 que tendrías que mulplicar para obtener 8. Lo que se vería así: 2 ³ = 8.
Potencia de exponente natural
Una potencia es el producto de factores iguales, es decir, n
a
a
a
a
Si
a
a
a
........
n veces a como factor
= ∙ ∙ ∙ ∙ =
es un númer número o racional, el p producto roducto de por si mismo n veces, es un unaa potencia, es
decir, una potencia es un producto de varios factores iguales:
Propiedades de las potencias
Donde;
c =an y d=bn
Signo de una potencia
La potencia de exponente par es siempre posiva.
La potencia de exponente impar tendrá el mismo signo de la base.
232= =168116 3 81
23 == 272878 3 27
Ejemplos 1: desarrolle Solución:
Al ser el exponente ex ponente y la base se debe mulplicar veces ella misma:
2
2
28
Matemática Comercial 10°
13 = 13 13 = 19
Ejemplos 2: ¿Cuál es el resultado de
?
Solución: La fracción debe mulplicarse veces por ella misma:
3 12 = 12 12 12 = 18
Ejemplos 3: desarrolle
−
Solución: Se aplica la propiedad correspondiente y luego se desarrolla la potencia:
3 − 1 1 4 64 10 4 = 34 = 43=3=−2727==−2 27 25 25− 25− = 25−− = 25− = 25 = 25 25 = 254
Ejemplos 4: realice la simplificación de Solución:
Se aplica la propiedad correspondiente y luego se desarrolla la potencia:
Ejemplos 5: simplifique la siguiente expresión
Solución: Se aplican las propiedades correspondientes y luego se desarrolla la potencia:
34 12 = 34−− = 341 = 1691 = 169 21 = 1816 = 98 34 12 12 2 2
29
Matemática Comercial 10°
Ejemplos 6: simplifique la expresión
−
Solución:
321− = 231− = 1323− = [312]− = 3−−12−−−− 3 3 1 − − 1 3 2 9 1 16 6 1 = − − = = = =144 3 2 −31−21 1 1
Se aplican las propiedades correspondientes y luego se desarrolla la potencia:
Ejemplos 7: simplifique
Solución: Se aplican las propiedades correspondientes y luego se desarrolla la potencia:
− − − − 1 1 1 1 − − − 2 2 2 2 2 2 2− 2− = 1 1 = 1 1 = 1 = 1 = 2 = 2−2−−2= 2 = 4 4 8 8 2
CTIVID D N° 4
I – Resuelva las siguientes operaciones de potenciación de números racionales. 1.
2.
37 37 4 48
6.
7.
711
−
14 ÷ 12
30
Matemática Comercial 10°
3.
4.
5.
34 5
8.
5 2−−633÷−− 6
9.
10.
25 ÷ 25− 2 1 22 1 1 ∙ 3 3 [23453]]4−− ∙ 25−2335−
II. Observe el siguiente video «Viaje hacia el macrocosmos» Link del video video hps://youtu.be/aznd1NEf5Oc
1- Realice una síntesis del video en hoja tamaño carta que lleve una secuencia en el desarrollo de esta, donde resalte ¿quiénes son los autores del video? ¿qué contenidos matemácos se observan?, ¿qué he aprendido?, a prendido?, entre otras preguntas.
¡Genial! Ha culminado el Tema 4. TEM 5. R DIC CIÓN DE NÚMEROS R CION LES La radicación es la operación inversa de la potenciación. La raíz cuadrada de un número racional es:
= = 35 , 35 = 259 = ± 3 3 9 5 , 5 = 25
Ejemplo 1: El número racional
Se representa así:
tiene dos raíces cuadradas:
31
Matemática Comercial 10°
opuestas uestas entre sí sí.. En general, todo número racional posivo ene dos raíces cuadradas op Los números racionales negavos no enen raíz cuadrada, porque cualquier número elevado al cuadrado da un resultado posivo.
Ejemplo 2: Demuestre que Solución:
= y =
, queda demostrado que no existe la raíz de un
número racional negavo.
potencia tencia da otro tro número que elevado a la po La raíz enésima de un número racional es o
como resultado .
= ⇒ =
Índice
Radical
Raíz
Base
Raíces cuadradas exactas
¿Cuáles son las raíces cuadradas exactas
√ √ √ 11 √ √ 24 √ √ 39 √ √ 41616 √255 √ √ 63636 √ √ 74499 √ √ 86644 √ √ 98811 √ √ 10100100 √ √ 11121121 √ √ 12144144
Raíz
…
Las raíces cuadradas exactas son innitas, recuerda que la radicación es la operación inversa de la potenciación. Por lo cual; si (la raíz cuadrada de 4 es 2)
√ √ 4 = 2
32
…
Matemática Comercial 10°
es por qué si elevamos la raíz al cuadrado, obtenemos el radicando,
22 = (2) (2) = 4 Reglas de los signos
a) Cuando el índice es un número impar, la raíz ra íz ene el mismo signo de la base. b) Cuando el índice es un número par y la base es negava, no ene solución en el campo de los números racionales. c) Cuando el índice es un número par y la base es posiva, hay dos resultados que enen el mismo valor absoluto y disnto signo.
∙∙ = √ √ ∙ √ √ ∙ √ √ √ √ ∙∙ = √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ===⁄√ √ √ √ ⁄ √ √ =
Propiedades de los radicales
Ejemplos 1: aplique las propiedades de los radicales y calcula
Solución: Se descompone la base en factores primos y se s e extrae a raíz: raíz:
1 9 = 13 = 13 = 13 = 13
Ejemplos 2: encuentre la raíz quinta de Solución: Se descompone
en factores primo primoss y se aplican las propiedad propiedades: es:
33
Matemática Comercial 10°
2 2 2 32 3 2 32 243 = 243 = 3 = 3 = 3 = 23
Ejemplos 3: ¿Cuál es el resultado de
?
Solución: Se descompone la base en factores primos y se s e aplican las propiedades: propiedades:
1 1 1 1 1 64 = 2 = 2 = 2 = 2 = 12
÷ − 321 ÷ 18 = 12 ÷ 12 = 12 ÷ 12 = 12 = 12 = 12
Ejemplos 4: ¿Cuál es el resultado de
?
Solución: Se descomponen las bases en factores primos y se aplican las propiedades:
CTIVID D N°5 I – Resuelva las siguientes operaciones de radicación de fracciones en su cuaderno de matemáticas.
1.
116256
5.
√25∙ 1251
34
Matemática Comercial 10°
2.
3.
4.
18 642525÷64 ÷ 1649 6464 729
6.
7.
8.
321 ÷ √ √ 2 5121 (√ √ 664)4) 727752 2881212
¡Felicidades! Culmin Culminamos amos el Tema 5. 5 .
35
Matemática Comercial 10°
SABÍAS QUE..
TEM 6. R ZÓN Y PROPORCIÓN Concepto de razón y proporción
Razón
Una razón es una comparación entre dos o más candades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las candades a comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como:
: , ⁄ ó " "
Donde “a”, es el antecedente y “b” es el consecuente.
El estudio de las razones y proporciones se inicia como solución de problemas de repartos proporcionales, el cobro de impuestos, el cambio de moneda y también aspectos geométricos relacionados con la medición y semejanza de guras ulizadas para la construcción de edicios templos.
Ejemplo 1: en¿Qué una relación sala de clases hayexiste 10 mujeres y 20 hombres. numérica entre el número de mujeres y el número de hombres? Solución: La relación entre el número de mujeres y el número de hombres es de “10 es a 20”. El término 10 es el antecedente de la razón y el 20, el consecuente.
→ = .. óó
El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón:
Que se interpreta como: “por cada mujer hay dos varones”.
36
Matemática Comercial 10°
Mapa de conceptos
Definición
Simbología Razón
Es el cociente indicado entre dos cantidades.
ó
::
Antecedente (a) Partes de una razón
Magnitudes Directamente proporcionales
Igualdad
La igualdad de dos razones se llama proporción.
Consecuente (b)
Aplicaciones
Magnitudes Inversamente Proporcionales
Aplicación de la razón
Las razones se ulizan en la prácca para determinar cómo está variando una candad con respecto a otra. Dos o más razones son equivalentes cuando enen igual valor.
Ejemplo 2: se compra en una empresa constructora 27 sacos de cemento y 18 sacos de arena. Halle la razón de mezcla de sacos de cemento en comparación con los sacos de arena. Solución: Los datos son los siguientes: Saco de cemento 27 Saco de arena: 18 Luego,
27∶18= 2718 = 32 3 ∶ 2 ¨3 2¨
Por cada 3 sacos de cemento se deben mezclar 2 sacos de arena. arena.
Ejemplo 3: en un colegio hay 300 señoritas y 200 varones. Determine las siguientes razones. 37
Matemática Comercial 10°
a) Razón entre las señoritas y el total de alumnos. b) Razón entre los varones y el total de alumnos.
Solución: La candad total de alumno es 500:
300500 = 53 200500 = 25
a) Razón entre las señoritas y el total de alumnos es:
b) Razón entre los varones y el total de alumnos es:
Ejemplo 4: En un parqueadero de un centro comercial hay 160 automóviles y 80 motos. Determine las siguientes razones. a) Razón entre el número de motos y los automóviles. b) Razón entre el número de automóviles y el número total de vehículos. c) Razón entre el número de motos m otos y el número total de vehículos.
Solución a) La razón entre el número de motos y los automóviles es: por cada moto hay 2 autos.
80 = 1 160160 = 22 240 3 80240 = 13
b) La razón entre el número de automóviles y el número total de vehículos es: por cada 2 autos hay 3 vehículos.
c) La razón entre el número de motos m otos y el número total de vehículos es: por cada moto hay tres vehículos.
38
Matemática Comercial 10°
CTIVID D N°6.1 Instrucciones: Idenque 12 palabra escondidas entre el conjunto de letras del recuadro, las palabras son relavas a la temáca razón y proporción. Antecedente Directa Consecuente
Comparación Numero Igualdad
Razón Cociente Magnitud
Inversa Compuesta Proporción
39
Matemática Comercial 10°
Proporción
Una proporción es una igualdad entre dos razones; El símbolo de razón es : : y se lee ¨como¨ y representa un igual. Los términos de una proporción son los extremos y los medios.
Simbología
/ = ⁄ ó : ∶ : " " " "
Partes de una proporción
Propiedad fundamental
En toda proporción se cumple que el producto de los medios es igual al de los extremos.
Para demostrar que dos razones forman una proporción debe cumplir que las razones sean equivalentes. Este principio se conoce como propiedad fundamental de las proporciones . ¨En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios¨. Si tenemos la proporción:
=
Y le aplicamos la propiedad fundamental fundamental señalada queda: 3 • 20 = 4 • 15, es decir, 60 = 60 Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos candades presentadas como proporción lo son verdaderamente. v erdaderamente. 40
Matemática Comercial 10°
Propiedad de los Extremos y Medios de las Proporciones.
De la propiedad fundamental de las proporciones se desprenden dos propiedades más: En toda proporción un extremo es igual al producto de los medios dividido entre
el otro extremo.
En toda proporción un medio es igual al producto de los medios dividido entre
el otro medio.
Ejemplo 1: Dada la siguiente proporción
=
, determine el valor de x.
Solución: Mulplicando en forma de cruz por las propiedades tenemos:
2=2==205 ⋅ 4 2 ∶ ∷ ∶ =10 10= =12022006 =1210 7 ∶ 6 ∷ 56∶6∶ 7=7=48 = 336755666
Ejemplo 2: Dada la siguiente proporción Solución:
, determine el valor de x.
Ejemplo 3: Dada la siguiente proporción Solución:
, determine el valor de x.
, = =
Ejemplos 4: Dada las siguientes proporciones, determine el valor de x. a) b)
41
Matemática Comercial 10°
Solución:
5∙=2,2,25,588 = 5 =4
Aplicaciones de las proporciones
5∙ 3 =120∙5 ∙ 3 = 120 = 1208115
Magnitud: propied propiedad ad o cualidad medible de un cuerpo: longitud, capacidad, masa, empo, entre otros.
Magnitudes directamente proporcionales.
Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales si al mulplicar o
dividir una de ellas por un número, la otra queda mulplicada o dividida por el mismo número. Poseen una constante de proporcionalidad directa.
Aplique sus conocimientos:
Si para empaquetar 720 huevos se necesitan 20 cajas, ¿Cuántas cajas se
necesitan para 2160 huevos? Solución: Note que,
Huevos
Cajas
720 2160
20 x
7202160 = 20 720∙=20∙20∙21602160 = 720 =60
¿Cuántas cajas se necesitan para 3600 huevos? Resuelvaaquí↙
Resp.: 100 cajas
42
Matemática Comercial 10°
Un automóvil recorrió 272 kilómetros en 4 horas y 15 minutos ¿cuántos
kilómetros recorrió en una hora?
Recorrido
Horas
272 km
4 horas 15 minutos
x
1 hora
¿Cuántos kilómetros recorrió en dos horas? Resuelva aquí ↙
Solución: Se convierte 4 horas y 15 minutos =4,25 h.
272 = 4,125ℎℎ 272 ∙ 1 ℎ = ∙ 427272,252ℎ ∙ 1 ℎ = 4,25 ℎ =64
km
R: 128 km
Magnitudes Inversamente Proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al mulplicar una por un
número, la otra queda dividida por el mismo número. Aplique sus conocimientos:
Una persona ene 30 vacas y ene alimento para 16 días. Si vende 18 vacas
¿Cuántos días puede alimentar las vacas que le quedan?
Vacas
Tiempo/alimento
30
16 días
Y si vende 2 vacas más, ¿Cuántos días
12
x
puede alimentar las vacas que le quedan? Resuelva aquí ↙
= 30∙ 1 6=12∙ = 30∙1216 =40
Solución:
invierte
días
R: 48 días
43
Matemática Comercial 10°
CTIVID D N°6.2 I- Establezca la razón en las siguientes situaciones que se describen a connuación. 1. En un curso de música se matriculan 16 niñas y 14 niños. Determinar la razón de niñas a niños. 2. Un pastelero uliza cinco tazas de harina y 10 paquetes de polvo para hornear al hacer un pastel mediano. ¿En qué razón el pastelero combina la harina con respecto al polvo para hornear? 3. El colegio organiza un paseo a la playa y en el bus hay 20 mujeres y 12 hombres. Determine cuál es la razón de hombres a mujeres. 4. En un salón de clases hay 20 estudiantes, al nal del trimestre aprobaron 15 estudiantes y reprobaron 5. ¿Cuál fue la razón de aprobados y reprobados en el salón? II- Verique si las siguientes expresiones son una proporción, en caso contrario explique.
= = ∷ 8∶24 2∶ ∶ ∷ 6∶2
=
a)
b)
c)
=
III- Encontrar el valor del término desconocido en las siguientes proporciones. a) b) c)
60 40
12 4
8 32
7 70
IV-Escribe la razón entre cada par de números. a) b) c) d) V- Escribe la razón que representa cada una de las siguientes situaciones. a) Teresa recibe generalmente B/. 25.00 y su hermana B/.60.00, determine la relación entre las candades de dinero que reciben las dos. b) Con 10 naranjas se hacen 4 vasos de jugos, jugos , ¿cuál es la razón entre naranjas y vasos? VI- Verique que el siguiente par de razones forman una proporción ulizando la propiedad fundamental de las proporciones. a)
= y
b)
15:5∷6:2 =
d)
9:2∷18:4 = :3 ∷5:1 5 e) y
VII- Encuentre el término desconocido en las siguientes proporciones, ulice la propiedad de extremos y medios. a)
b)
c)
e)
¡EXCELENTE! Ha culminado el Tema 6.
20
Matemática Comercial 10°
TEM 7. T NTO POR CIENTO La palabra por ciento viene del lan “per centum”, que signica por cien, o sea el número de unidades que se toman de cada cien. El signo que se usa para indicar el por ciento es %. Se puede considerar el por ciento como un decimal que ocupa el lugar de los centésimos. Todo por ciento se puede indicar en forma decimal o en forma de fracción con denominador 100. El tanto por ciento o porcentaje es una expresión que indica una parte de un todo.
Ejemplos: a) b)
Equivale a 29% y se lee veinnueve por ciento. equivale a 63% y se lee sesenta y tres por ciento.
Reducción del tanto por ciento a su forma decimal
Regla: para expresar un tanto por ciento en forma decimal, se suprime o elimina el símbolo de “%” y se mueve el punto decimal dos lugares hacia la izquierda, o lo que es lo mismo, m ismo, se divide entre 100. Ejemplos: a) b)
25%=0,25 1,5%=0,015
25%= =0,25 1,5%= . =0,015
También se puede obtener dividiendo entre 100, es decir También al dividirlo entre 100, tenemos que
Reducción de un decimal a tanto por ciento
Regla: Para converr un decimal a tanto por ciento, se mueve el punto decimal, dos lugares hacia a derecha y se coloca el símbolo de %. Ejemplos:
a 0,27 = 27% b 0,039 = 3,9% c 0,845= 84,5%
21
Matemática Comercial 10°
Cálculo del tanto por ciento por medio de la fórmula fór mula directa Los términos o elementos en todo tanto por ciento cient o son:
La Base (B): es el número o candad sobre la cual se va a efectuar la operación para
obtener el por ciento. Fórmula:
=∙ 100 = 100100 100100 =
El tanto por ciento o tasa (T): es el por ciento o número de unidades que se toman de
cada cien. Fórmula:
El porcentaje (P): es la candad que resulta de tomar
1 100
(un centésimo) de otra
candad, cierto número de veces. Fórmula:
Ejemplo 1: El 24% de una ciudad conformada por 5250 habitantes ha contratado el servicio de TV por cable ¿Cuántos habitantes enen TV por cable? Solución: Datos: B= 5250
T=24%
Luego, reemplazamos en:
=∙ 100 =5250∙ 10024 =5250∙0,24 =1260
De donde 1260 personas han contratado el servicio de TV por cable. 22
Matemática Comercial 10°
Ejemplo 2: Si en un Colegio de 1245 estudiantes, estud iantes, 315 son graduandos ¿Qué porcentaje de los estudiantes son graduandos? Solución: Datos: B=1245 P=315
= 315100100100100 = 1245 = 31500 1245 =25,3%
El 25,3% son estudiantes graduandos
Ejemplo 3: Si 450 libros que representan un 30% de una biblioteca, fueron donados ¿cuántos libros ene la biblioteca? Solución: Datos: P=450 T=30%
= 100100 = 45030100100 =1500 = 4500030
La biblioteca ene 1500 libros
Regla de tres simple Directa
Cuando las magnitudes que intervienen en el problema son directamente proporcionales. Pasos Nombra la candad desconocida con una variable. Se elabora una tabla con las magnitudes (esquema). Se elaboran las proporciones.
Finalmente se encuentra el valor de la variable (Propiedad fundamental de las proporciones).
23
Matemática Comercial 10°
Regla de tres simple inversa
Cuando las magnitudes que interviene en el problema son magnitudes inversamente proporcionales.
Pasos
Se nombra la candad desconocida con una variable. Se elabora una tabla de candades o magnitudes que intervienen. Se plantea las proporciones de acuerdo con el concepto de magnitudes inversamente
proporcionales. Se busca el término desconocido.
Regla de tres compuesta
Pasos
Se realiza una tabla o esquema con los datos ordenado ordenados. s. Se asigna una variable al dato desconocido y se compara con las otras magnitudes
para determinar el po de proporcionalidad que hay entre ellas. l as propiedades fundamentales de Se plantean las proporciones teniendo en cuenta las la proporcionalidad compuesta.
La proporcionalidad compuesta es cuando intervienen más de dos magnitudes.
Pueden darse tres casos fundamentales, donde surgen tres propiedades
fundamentales.
Magnitud A m n
Magnitud B p q
= ∙
Magnitud C r t
Caso 1. A es directamente proporcional a B y a C.
Caso 2. A es inversamente proporcional a B y a C.
= ∙
24
Matemática Comercial 10°
Caso 3. A es directamente proporcional proporcional a B y A es inversamente proporcional a C.
= ∙
Cálculo del tanto por ciento por el método de la regla de tres simple
Los problemas de tanto por ciento con regla de tres se resuelven mediante comparaciones, estableciendo previamente cada una de las unidades.
Ejemplo 1: De qué número es 35 el 4%. Solución:
Núm35eros → Porc1e40n0tajes 4=35∙ 1 00 4=3500 = 35004 =875
Luego, se mulplica en forma de equis:
Por lo cual, el 4% de 875 es 35.
Ejemplo 2: Determine el 7% de 215. Solución:
Nú2m1e5ros → Porc1e0n0tajes → 7
25
Matemática Comercial 10°
100=215∙ 7 100=1505 1505 =15, = 10005
Luego, se mulplica en forma de equis:
Por lo cual, el 7% de 215 es 15,05
CTIVID D N°7 1. Transforme de porcentaje a decimal. a. 65%, 40%, 12%, 5%, 15%, 99%. 2. Transforme de decimal a porcentaje. a) 0,31 b) 0,73 c) 0,045
d) 0,064
e)0,91
f) 0,84.
3. Resuelva por el método directo. a) El 51% de una ciudad conformada por 3298 habitantes ha contratado el servicio de internet. ¿Cuántos habitantes enen internet? b) Si en un colegio de 2941 estudiantes, 1127 son damas. ¿Qué porcentaje de los estudiantes son damas? c) El 36% de una ciudad conformada por 4134 habitantes ha contratado el servicio de internet y TV por cable. ¿Cuántos habitantes enen internet y TV por cable? d) Si 720 estudiantes representan un 32% de un colegio. ¿Cuántos estudiantes ene el colegio? 4. Resuelva por el método de la regla de tres simple. a) De qué número es 187 el 37%. b) Determine el 43% de 447. 5. Resuelva por el método de la regla de tres simple. a) De qué número es 271 el 44%. b) Determine el 54% de 567.
¡Felicidades! Culmin Culminamos amos el Tema 7 26
Matemática Comercial 10°
TEM 8. PLIC CIONES DE T NTO POR CIENTO
Los descuentos comerciales
Descuento: es una reducción en el precio de venta de un arculo, o en el total de una cuenta o factura. Precio lista: es el precio original de un arculo. Precio neto: es el precio de lista menos el descuento. Ejemplo 1: Una motocicleta ene el precio de lista de B/.1315. 00 y es vendida con el 15% de descuento, determine el precio neto a pagar. Solución: Precio neto = precio de lista – descuento. Calculemos primero el descuento:
Nú1m31e5ros → Porc1e0n50tajes 100=1315∙15 100=19725 =197, = 19725 10025
Luego, se mulplica en forma de equis:
Luego, el descuento es de
B/.197, 25
Donde,
Precio neto = precio de lista – descuento. Precio neto =
00
B/.1315. - B/.197,25 = B/. 1 117,75
27
Matemática Comercial 10°
Impuestos del consumidor (I.T.B.M.S)
Impuesto: es el porcentaje sobre un capital o servicio público, que debe pagar cada persona al Estado. En panamá actualmente se paga el 5% de I.T.B.M.S. 00
Ejemplos 2: Un estudiante compró una computadora por B/.857. ¿Cuánto pagó de impuesto I.T.B.M.S?
Nú8m5e7ros → Porc1e0n0tajes → 7
Solución:
Luego, se mulplica en forma de equis:
B/.59,99 100=857∙ 7 ⟹100=5999⟹=5999 ⟹100=5999⟹= 5999100100 ⟹=59,99
Luego, el impuesto a pagar es
Ejemplo 3: Un joven compró un equipo de sonido en B/. 362, 00; si tuvo que pagar el 7% de impuestos ¿Cuánto pagó en total? Solución: Primero hay que calcular el impuesto y este resultado se le suma al costo y así obtener el total a pagar.
Nú3m6e2ros → Porc1e0n0tajes → 7 2534 100=362∙ 7 ⟹100=2534⟹= 100 ⟹=25,34
Luego, se mulplica en forma de equis:
Luego, el impuesto a pagar es
B/.25,34
Por consiguiente, el total a pagar es:
00
.
B/. 362, B/.25,34= B/.387,34
28
Matemática Comercial 10°
Comisiones
Concepto: la comisión es la candad que ha de pagarse a la persona que efectúa compras o ventas por cuenta de otro. Ingreso bruto: es el dinero que recibe el agente con desno a su patrón. Ingreso neto: es el ingreso bruto menos la comisión. Ejemplo 1: Un agente de ventas vende un terreno en B/.12 654.00, su comisión por la venta es del 12% ¿cuánto dinero le corresponde por la venta? Solución:
N1ú2m6e5r4os → Porc1e0n0tajes → 12
Luego, se mulplica en forma de equis:
100 = 11512 65684858484 ∙ 12 100=151 = 100 = 1 515188,48
Por lo cual, la comisión que le corresponde al vendedor es B/.1 518,48.
Ejemplos 2: Un corredor de seguros ha vendido una póliza para un automóvil en B/.2 786. 00; si la comisión es del 4% ¿qué candad le corresponde? Solución:
Nú2m7e8r6os →→ Porc1e04n0tajes 11000000==112 718446 ∙ 4 = 11100144 =111,44
Luego, se mulplica en forma de equis:
Luego, la comisión que le corresponde al corredor es B/.111,44 29
Matemática Comercial 10°
Cuota del seguro social
El pago del Seguro Social es obligatorio para todo empleado público o de la empresa privada. La cuota establecida es la siguiente: Los obreros o trabajadores pagan el 8% de su salario mensual.
Los patrones pagan el 11,5% del salario mensual del trabajador.
Ejemplo 1: Una secretaria de un banco ene un salario mensual de B/.715,00. a) ¿Cuánto debe pagar mensualmente de Seguro Social? S ocial? b) ¿Cuánto debe pagar su patrón mensualmente al Seguro S eguro Social? Solución:
Nú7m1e5ros → Porc1e0n0tajes → 8 100=715∙ 100=572057208 = 100 =57,20
Luego, se mulplica en forma de equis
La secretaria debe pagar mensualmente al Seguro Social B/.57,20
Nú7m1100=715∙ e5ros → Po1r1,c1e10n5,05tajes 101000== 8 222,2,22 5 = 8 100222,5 =82,22
Luego, se mulplica en forma de equis:
El patrón debe pagar mensualmente al Seguro Social B/.82,22 30
Matemática Comercial 10°
Pago del seguro educativo
El pago del Seguro Educavo es obligatorio para todo empleado público o de la empresa privada. La cuota establecida es la siguiente: Los obreros o trabajadores pagan el 1,25% de su salario s alario mensual. Los patrones pagan el 1,50% del salario mensual del trabajador.
Ejemplo 1: Un médico de la empresa em presa privada ene un salario mensual de B/.983, 00. a) ¿Cuánto debe pagar mensualmente de Seguro Educavo? b) ¿Cuánto debe pagar su patrón mensualmente al Seguro S eguro Educavo? Solución:
Nú9m8e3ros → Porc1e0n0tajes → 1,25
Luego, se mulplica en forma de equis: equis :
100=983∙ 101000== 11 2228228,28,1,77255 = 100 =12,28
El médico debe pagar mensualmente al Seguro Educavo B/.12,28.
Nú9m8e3ros → Porc1e,05n0tajes 100=983∙1,50 101000== 1 474,4,47 5 = 1 100474,5 =14,74
Luego, se mulplica en forma de equis: e quis:
El patrón del médico debe pagar mensualmente al Seguro Educavo B/.14,74 31
Matemática Comercial 10°
CTIVID D N°8 Resolver aplicando el tanto por ciento. 1. Una moto acuáca ene el precio de lista de B/.2 476,00 y es vendida con el 9% de descuento, determine el precio neto a pagar. 2. Un chica compró un celular en B/.291,00 si tuvo que pagar el 5% de impuestos. ¿Cuánto pagó en total? 3. Un agente de ventas vende un apartamento en B/.9 873, 00 su comisión por la venta es del 17%; ¿cuánto dinero le corresponde por la venta? 4. Una contable de una sociedad anónima ene un salario mensual de B/.835, B/.835 ,00. a) ¿Cuánto debe pagar mensualmente de Seguro Social? b) ¿Cuánto debe pagar su patrón mensualmente al Seguro S eguro Social? 5. Una vendedora de electrodoméscos ene un salario mensual de B/.519, 00. a) ¿Cuánto debe pagar mensualmente de Seguro Educavo? b) ¿Cuánto debe pagar su patrón mensualmente al Seguro S eguro Educavo? 6. Una paneta ene el precio de lista de B/.156,00 y es vendida con el 4% de descuento, determine el precio neto a pagar. 7. Un vaquero compró unas botas en B/.74,00 si tuvo que pagar el 5% de impuestos. ¿Cuánto pagó en total? 8. Un agente de ventas vende una casa en B/.17411,00 su comisión por la venta es del 7% ¿cuánto dinero le corresponde por la venta?. 9. Una asesora de ventas ene un salario mensual de B/.1143, B/.1143 ,00. a) ¿Cuánto debe pagar mensualmente de Seguro Social? b) ¿Cuánto debe pagar su patrón mensualmente al Seguro S eguro Social? 10. Un abogado ene un salario mensual de B/.912, 00 a) ¿Cuánto debe pagar mensualmente de Seguro Educavo? b) ¿Cuánto debe pagar su patrón mensualmente al Seguro S eguro Educavo?
“El éxito consiste en obtener lo que se desea. La felicidad, en disfrutar di sfrutar lo que se obtiene”
¡Felicidades! Hem os desarrollado desarrollado 8 tem as y culminamos la Unidad 1 de ritmética. 32
Matemática Comercial 10°
UTOEV LU CIÓN -1 Esmados Alumnos(as): con el propósito de favorecer el desarrollo del módulo, le presentamos la autoevaluación de la unidad 1. La autoevaluación induce a que “los alumnos desarrollen el hábito de la reexión, y la idencación de los propios errores, cuesón fundamental cuando se trata de formar personas con capacidad para aprender de forma forma autónoma”. (Valero-García, M., & de Cerio,
L. M. D. 2005, p.27) La siguiente tabla, debe ser completada al culminar todos los temas, evalúese y propóngase nuevas metas en el aprendizaje. Las preguntas van conectadas a una escala que usted considerará según el trabajo realizado hasta el momento. Esta evaluación es cualitava.
Al completar la unidad 1, usted se autoevaluar autoevaluaráá según la siguiente escala de logros:
Lo he logrado 5
Lo estoy logrando
Estoy lograrlo
4
intentando No lo he Logrado 3
AL CONCLUIR LA UNIDAD 1 DEL MÓDULO CONSIDERO QUE: En la asimilación de todos los conceptos
2
COLOQUE UN NÚMERO SEGÚN LA ESCALA
En la actud posiva ante los retos al desarrollar los ejercicios En incrementar mi curiosidad por invesgar y descubrir cosas nuevas En mejorar mi capacidad para resolver problemas En hacer buen uso de las TIC’s para profundizar e invesgar con las diferentes plataform plataformas as educavas En seguir las indicaciones y sugerencias del módulo m ódulo En hacer buen uso del empo para resolver las tareas En conectar los temas con la vida v ida diaria
TOTAL →
33
Matemática Comercial 10°
2│ M
TEMÁTIC TEMÁ TIC FIN NCIER
TEM 9. INTERÉS SIMPLE El interés simple es la candad ca ndad que se paga sobre una suma de dinero (préstamo) y que no varía durante un periodo especíco de empo.
=∙∙
Fórmula para calcular el interés simple:
::: : :
Donde,
interés simple, interés capital, capital,
tasa de interés anual, tasa empo.
Capital: la candad de dineroproducida que se presta o ahorra, sobre cual empo, se cargaque el interés. 00 en Tasa de es interés: es la candad por B/.100. un la cierto por lo
general es un año. Tiempo: es el periodo durante el cual dura la transacción, puede estar expresado en años, meses o días.
Recuerde que: 1 año = 12 meses = 24 quincenas = 52 semanas = 365 días. Ejemplos 1: Calcule el interés sobre B/.600.00 por un año al 11%.
=600, =11%, =1 =∙∙ =600 1 11% 1% 1 =6001001111 1 1 =600 100 =600 0 0, , 1 1 1 =66
Solución: Datos:
. Luego, reemplazamos en la fórmula:
Luego, el interés sobre B/.600.00 por un año al 11% es B/.66.00.
34
Matemática Comercial 10°
Ejemplo 2: Calcule el interés sobre B/.1 453. 00 por 8 meses al 12% Solución: Como el empo está dado en meses, hay que transformarlo a su equivalente en años, para eso se divide la candad de meses entre 12 meses que ene el e l año. Datos:
= 1453, = 12%, = 8 =∙∙ =1453 12%1122% 128 =1453100 0,0,66 =14530,0,120,0,66 =115,08
Luego, el interés sobre B/.1 453. 00 por un 8 mes al 12% es B/.115,08
Interés simple ordinario o bancario con tiempo exacto
Cálculo de empo exacto: se calcula ulizando ul izando la siguiente tabla con las candades de días por mes. Enero = 31 Abril = 30 Julio = 31 Octubre = 31 Febrero = 28
Mayo = 31
Agosto = 31
Noviembre = 30
Marzo = 31
Junio = 30
Sepembre = 30
Diciembre = 31
Observemos que, para calcular los días exactos entre una fecha y otra, no se cuenta el día inicial, pero si se cuenta el nal.
Ejemplo 3: calcule el empo exacto desde el 10 de junio hasta el 4 de octubre. Solución: Contemos la candad de días por mes: del 10 de junio al 30 de junio hay 20 días, el mes de julio ene 31 días, agosto ene 31 días, sepembre 30 días, y del 1 al 4 de octubre hay 4 días. Luego sumamos, 20 + 31 + 31 + 30 + 4= 116 días lo cual quiere decir que desde el 10 de junio hasta el 4 de octubre hay 116 días. 35
Matemática Comercial 10°
Fórmula para calcular el interés simple ordinario o bancario con empo exacto.
= ∙360∙días
Ejemplo 4: Calcule el interés simple ordinario con empo exacto para un préstamo de B/.5 294.00 al 4% del 15 de febrero al 20 de abril del mismo año. Solución: Calculemos primero los días exactos del 15 de febrero al 20 de abril: Del 15 de febrero al 28 de febrero hay 13 días, marzo ene 31 días, y del 1 de abril al 20 de abril hay 20 días. Luego sumamos, 13+31+20= 64 de donde del 15 de febrero al 20 de abril hay 64 días.
= ∙360∙días = 5294 52943603604%40,0%,04464 = 13 360552,64 =37,64
.0000
Luego, el interés simple ordinario con empo exacto ex acto para un préstamo de B/.5294 al 4% del 15 de febrero al 20 de abril del mismo año es de B/.37,64
Ejemplo 5: Calcule el interés simple ordinario con empo exacto para un préstamo de B/.25 486.00 al 6% del 14 de abril al 19 de sepembre del mismo año. Solución: Calculemos primero los días exactos del 14 de abril al 19 de sepembre: Del 14 al 30 de abril hay 16 días, mayo ene 31, junio 30, julio 31, agosto 31, y del 1 de sepembre al 19 de sepembre hay 19 días. días. Luego, del 14 de abril al 19 de sep sepembre embre hay 158 días. De donde,
= ∙360∙días
36
Matemática Comercial 10°
= 25 486 3606%6%158 2486 0,0,06158 = 241360607,36028 =671,13
El interés simple ordinario con empo exacto para un préstamo de B/.25 486. 00 al 6% del 14 de abril al 19 de sepembre del mismo año es de B/.671,13
CTIVID D N°9 Analice, resuelva y responda. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Calcule el interés sobre B/.1139.00 por un año al 14% Calcule el interés sobre B/.4293.00 por 7 meses al 17% Calcule el interés sobre B/.361.00 por 5 meses al 20% Calcule el interés simple ordinario con empo exacto para un préstamo de B/.7 148.00 al 8% del 25 de marzo al 15 de junio del de l mismo año. Calcule el interés simple ordinario con empo exacto para un préstamo de B/.12 552.00 al 7% del 27 de abril al 5 de sepembre del mismo año. Calcule el interés sobre B/.3 628.00 por un año al 15% Calcule el interés sobre B/.744.00 por 5 meses al 5% Calcule el interés sobre B/.1 236.00 por 7 meses al 20%
9. Calcule el interés simple ordinario con empo exacto para un préstamo de B/.9 471.00 al 12% del 18 de mayo al 11 de agosto del mismo año. 10. Calcule el interés simple ordinario con empo exacto para un préstamo de B/.4 260.00 al 11% del 28 de sepembre al 21 de diciembre del mismo año.
¡Felicidades! Ha culm culminado inado la la Unidad 2 de Matemática Financiera
37
Matemática Comercial 10°
3│ LGEBR
TEM 10. ECU CIONES DE SEGUNDO GR DO CON UN INCÓGNIT Ecuación de segundo grado es toda ecuación en la l a cual, una vez simplicada, el mayor
3 4 7 = 0; 5 = 0; 44 25=0 = 0 815=0 3 =2
exponente de la incógnita es 2. Así, las ecuaciones de segundo grado.
son ecuación
Ecuaciones Completas de segundo grado son ecuaciones de la forma
.
Así, grado.
son ecuaciones completas de segundo
Ecuaciones Incompletas de segundo grado son ecuaciones de la forma
o . Así, incompletas de segundo grado.
son ecuaciones
=0 =0 9=0 3 5=0 =0 328=0 =7 = 4
Solución de una Ecuación Cuadráca
Resolver una ecuación cuadráca es hallar el valor de la incógnita que sasfacen la ecuación, es decir, los valores de que hacen que . A estos valores se les llama solución o raíces de la ecuación y como la ecuación es de segundo grado, grado, ene dos raíces iguales o diferentes según sea el caso. Así, las raíces de la ecuación son ; ambos valores sasfacen la ecuación.
Solución de una ecuación incompleta A. Ecuación de la forma
= 16=0
Ejemplo 1: Hallar las raíces de la ecuación
16=0 =√ √ 16√ √ 1616 = 4 = 4 =±4 Solución:
.
despejando x
=
extrayendo la raíz cuadrada en ambo amboss miembros
y
38
Matemática Comercial 10°
Ejemplo 2: Hallar las raíces de la ecuación
==±64√ √ 6464 =±4 =±8 44 9=0 = 99 =4 = ± 23 =± ==±9√ √ 9 =±3 99 25=0 = 2525 =9 = ± 5 = ±3 Solución:
= 64
.
ambo s miembros extrayendo la raíz cuadrada en ambos
Ejemplo 3: Hallar las raíces de la ecuación Solución:
4 9=0
.
ambos os miembros extrayendo la raíz cuadrada en amb
Ejemplo 4: Hallar las raíces de la ecuación Solución:
= 9
.
extrayendo la raíz cuadrada en ambo amboss miembros
Ejemplo 5: Hallar las raíces de la ecuación Solución:
.
9 25=0
ambo s miembros extrayendo la raíz cuadrada en ambos
39
Matemática Comercial 10°
= 7=0
B. Ecuación de la forma Ejemplo 1: Hallar las raíces de la ecuación Solución:
;77=0 =07=0 7= 0 =0
=0 =7 =
Solución:
.
luego factorizando, igualando cada factor a cero tenemos: las raíces de la ecuación son:
Ejemplo 2: Hallar las raíces de la ecuación
=0 = 1 = 0 =0 ; 1=0 1 =0 4=0 4 = 0 =0 ; 4=0 4 =0
.
pasamos al primer miembro la x luego factorizando, igualando cada factor a cero tenemos: las raíces de la ecuación son:
=0 4=0 =1
Ejemplo 3: Hallar las raíces de la ecuación Solución:
.
luego factorizando, igualando cada factor a cero tenemos: las raíces de la ecuación son:
=0 =4 5 3=0 = 06 =2 = 35
Ejemplo 4: Hallar las raíces de la ecuación
3=0 553 5 =30 ; 53= =30 = 0 Solución:
luego factorizando, igualando cada factor a cero tenemos: las raíces de la ecuación son:
Ejemplo 5: Hallar las raíces de la ecuación Solución:
26231 32=0 =2 1 = 0
.
.
pasamos al primer miembro -2x luego factorizando, igualando cada factor a cero tenemos: 40
Matemática Comercial 10°
2==0; ; 33=1 1= 1 = 0
=0 = 13 4 =12
las raíces de la ecuación son:
Ejemplo 6: Hallar las raíces de la ecuación Solución:
44 12=0 =12 44= 0 ;33 =03 = 0 = ; =3
.
luego factorizando, igualando cada factor a cero tenemos:
=0 =3
las raíces de la ecuación son:
CTIVID D N°10.1
=0 1=0 4=0
I – Determine las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas de la forma , ulizando el método de factorización.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
100=0 = 25 36=0 = 64 16=0
169=0
=±1 =±2
=±5 =±10 =±6 =±8 =±4 =±13
41
Matemática Comercial 10°
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
= 49 9=0 4 144=0 = 81 25 64=0 9 100=0
=±7 =±3 =±12 =±92⁄ =±85⁄ =±103⁄
= 49 4 =0 6=0 2=0 =5 7=0 8=0 =10 =0 3 6=0
=±72⁄ = 0; = = 6 =0=0;; ==22 = 0; = = 5 ==0=0;0;; ===8= 8 7 =0; =10 = 0; = = 1 =0=0;; ==22
II - Determine las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas de la forma , ulizando el método de factorización.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
42
Matemática Comercial 10°
9.
= 3 18=0 45 2=0 =10 3 =0 2 14=0 6 =54
10. 11. 12. 13. 14.
15.
=0=0;; ==11 =0=0;; ==66 =0; =1/2 = 0; = = 2 =0; =1/3 =0=0;; ==77 =0=0;; ==99 = 815=0
Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado completas
B. Ecuación de la forma I. Método de Factorización
Ejemplo 1: resolver la ecuación Solución:
luego factorizando,
5=0 815=0 5 ;33=0 =0
igualando cada factor a cero tenemos: las raíces de la ecuación son:
Ejemplo 2: resolver la ecuación Solución:
328=0 7 4 = 0
.
=5 =3 328=0
.
luego factorizando, igualando cada factor a cero tenemos:
43
Matemática Comercial 10°
7=0 ; 4=0 =7 =4 1336=0 1336=0 9=0 9 ;44=0 =0 =9 =4 2 6=0
las raíces de la ecuación son:
Ejemplo 3: resolver la ecuación
.
Solución:
luego factorizando, igualando cada factor a cero tenemos:
las raíces de la ecuación son:
Ejemplo 4: resolver la ecuación
.
Solución:
luego factorizando,
224 2246=0 2223 23 12 = 0
= 0 2 2 2223 2 3 = 0 2=0 =0 223 2 3; 23=0
igualando cada factor a cero tenemos: las raíces de la ecuación son:
=2 = 32 3331110=0 3 1133 30 = 0 1110=0 3 36 3 6335 3 5 = 0 3 2335 3 5 = 0 2=0 =0 235 3 5; 35=0 =2 =5 = 53
Ejemplo 5: resolver la ecuación
.
Solución:
luego factorizando,
igualando cada factor a cero tenemos: las raíces de la ecuación son:
44
Matemática Comercial 10°
8 221=0
Ejemplo 6: resolver la ecuación
.
Solución:
8 221=0 847 23 28814 4147 288488812 2123168 ===00 47=0 =0 4 723 47 2 3; 23=0 4=7; 2=3
luego factorizando,
igualando cada factor a cero tenemos:
= 74 = 32 −±√ √ −± − , = 310=0
las raíces de la ecuación son:
II. Método de Fórmula Cuadráca o Fórmula Ge General neral
Este método consiste en que, dada una ecuación de segundo grado, se debe sustuir los valores de los coecientes en la formula general para obtener las dos raíces de la ecuación. Ejemplo 1: resolver la ecuación Solución
.
=1310=0 , =3 , =1 =10 = 33±3± ±√ √ 29940 40321 411010 ±2√ √ 4949 = 33± = 3±7 2 = 372 ; = 372 ==242 ; = 5 102
Sustituyendo estos valores en la fórmula f órmula general tenemos:
45
Matemática Comercial 10°
Ejemplo 2: hallar las raíces de la ecuación Solución
248=0
.
248=0 =144814848 ===12 ±, 2√ √ 2=4192 42192 ± 2 ,22=4 = 22±14± 2√ √ 196196 = 2142 214 =8= 1622 ; ;= =6=122 2 3 72=0 3==3 72=0 3 , = = 7 , =2 =2 = 7 ±7√ √ 74924 46924 ± 2737 432 = 77±6√ √ 52525 7 5 = 126 ; 2= 6 = 6 ; = 6 =2 ; = 13
Sustituyendo estos valores en la fórmula f órmula general tenemos:
Ejemplo 3: resolver la ecuación
.
Solución
Sustituyendo estos valores en la fórmula f órmula general tenemos:
46
Matemática Comercial 10°
69=0
Ejemplo 4: resolver la ecuación
.
==1 69=0 1 , = = 6 , =9 = 9 == 6 ±6√ √ 63636 32636 ± 2616 419 = 66 ±2 0 =3= 2 Solución
Sustituyendo estos valores en la fórmula general tenemos:
Entonces ene un solo valor y es ; las dos raíces son iguales.
3 2=2 53=0 ,5=5 ± , 5=3 423 = 2 2 2524 = 55±± √ √ 42524 = 5±1 55±51±4 √ √ 1 51 = 44 ; 6 = 4 = 4 ; = 43 =1 ; = 2
Ejemplo 5: hallar las raíces de la ecuación Solución
.
2 53=0 = = 3 .
Sustituyendo estos valores en la fórmula f órmula general tenemos:
47
Matemática Comercial 10°
III. Método de Completar Cuadrado
=0 =1 4 445=0 445=0 = 45 4 44=445 = 49 2 2=±√ √ 2=± 49 4 9 =2±7 =27 = 5 = =27 9 67=0 67=0 69=97 6 = 7 6 =3±√ √ =3± 3 =16161616 3=±√ √ 3=± ==347 =34 = 1 712=0
Para aplicar el método de completar el cuadrado a una ecuación de la forma , es necesario que el coeciente .
Ejemplo 1: hallar las raíces de la ecuación
.
Solución
completando el cuadrado tenemos que:
luego factorizando,
Ejemplo 2: hallar las raíces de la ecuación
.
Solución:
completando el cuadrado tenemos que:
luego factorizando,
ambo s miembros tenemos: al extraer la raíz cuadrada en ambos
Ejemplo 3: resolver la ecuación
.
Solución
712=0
completando el cuadrado tenemos que:
48
48
Matemática Comercial 10°
= 12 7 7 7 2 = 494 12 72= ±= 14 = 727± 121 7 1 == 42 2 ==32 2
luego factorizando,
al extraer la raíz cuadrada en ambos miembros tenemos:
Ejemplo 4: resolver la ecuación
3 28=0 =0 = Solución
3 28=0
.
Dividiendo entre tres cada término de la ecuación tenemos:
completando el cuadrado tenemos que:
= =
13 = ± 25295 = 131± 535 1 5 = 3 3 ; =4 3 3 =2 ; = 3
factorizamos, al extraer la raíz cuadrada en ambos miembros tenemos:
49
Matemática Comercial 10°
5 72=0
Ejemplo 5: resolver la ecuación Solución
5 72=0 = 0 = 7 10 = 10049 25 =
.
Dividiendo cada término de la ecuación entre cinco, cinc o, tenemos:
completando el cuadrado tenemos que: factorizamos,
al extraer la raíz cuadrada en ambos miembros tenemos:
10=1770 = ±3 9 1009 = 107± 103 7 3 = 10 10 ; 2 = 10 10 =1 ; = 5 45=0 45=0 = 5 4 4 44=45 =9 2 2=±√ √ 2=± 9 =2±3 =23 = 1 = =23 5
Ejemplo 6: hallar las raíces de la ecuación Solución
.
completando el cuadrado tenemos que:
factorizamos,
al extraer la raíz cuadrada en ambos miembros tenemos:
50
Matemática Comercial 10°
CTIVID D N°10.2 Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado por el método indicado. I. Método Factorización
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
32=0 310=0 918=0 68=0 67=0 2 20 542=0=0 4 1310=0 1448=0
10. 11. 12. 13. 14.
15.
== 25; ; = 6 ; = 4 ; == 477/;;2 ; = 5/4 ; = 8 ;
6 370=0 114=0 920=0 15 432=0 1433=0 1024=0
== 12 = 3 = 2 == 516 = 2 = 6
= 7 = 104/; 3 ; =1/2 = 5 ; = 4 = 4/3 ; =8/5 = 11 ; = 3 = 12 ; = 2
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II. Método de Fórmula General
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14. 15.
1663=0
= 9 ; = 7
1124=0 20=0 1556=0 56=0 712=0 1220=0 23=0 1877=0 3 1710=0
24 3=0 113=0 2096=0 2 137=0 6 3135=0
= 5 8; ; = 34 = 8 ; = 7 = 6 ; = 1 = 4 ; = 3 = 10 ; = 2 = 3 ; = 1 = 11 ; = 7 =23⁄ ; = 5 =1 =32 ⁄ ; =14⁄ ; = 3 = 12 ; = 8 =12⁄ ; = 7 = 5⁄3 ; = 7⁄2
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III. Método de Completar Cuadrado
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
89=0
2 432=0 4042=0 918=0 235=0 712=0 32 23=0 52=0 2154=0 4 715=0 640=0
14. 15.
== 186 ;; = 7 ; = 4 ;
===13 39⁄;2⁄ ; ; = 5⁄4 ; = 10 ; ==14 2 ; ⁄ ; =13⁄ ; = 4⁄3 ;
4 32=0 113=0 6 73=0 3 2528=0
=21 == 43 = 5 = 3
12. 13.
= 9 ; = 1
== 162 = 3 = 4 = 13 = 3 ⁄2 = 7
¡EXCELENTE! Ha culminado el Tema 10.
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4│ EST
DÍSTIC
TEM 11. EST DÍSTIC DESCRIPTIV Objevos de la estadísca
La estadísca es una ciencia, que ayuda al individuo a tomar decisiones. Parte de una problemáca a la que aspiramos dar respuesta. Puede conectarse con acvidades que se apliquen en el área cienca, en el área humanísca y en el área tecnológica, en el comercio, la industria, la salud, entre otros. En el siguiente gráco hemos resumido los componentes que desarrollamos, mediante el uso de estadísca en nuestras clases, donde Tauber (2020) muestra que la estadísca ene como objevos: impulsar la reexión y el pensamiento críco. Así mismo, observamos que inducen a los alumnos a interpretar, comprender, indagar, invesgar, generalizar entre otros según los niveles educavos.
NIVEL DE EDUCACIÓN SUPERIOR: Pensamiento Crítico - Evaluación de ResultadosResul tados- Inves Investigaci tigación ón - Mod ModeloselosGeneralización. NIVEL DE EDUCACIÓN MEDIA: Razonamiento, Indagación, Reconocimiento de la variación, Indagación, Inferencias informales. NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA: Comprensión, Simbología, Comprensión Lectora, Conceptos básicos, Interpretación.
Áreas de la Estadísca.
La metodología estadísca se divide en dos áreas como:
1. Estadísca descripva: esta área se imparte en los grados de la educación básica de nuestro sistema educavo. Se encarga de representar, analizar e interpretar las caracteríscas de una población, mediante las presentacion presentaciones es estadíscas. 2. Estadísca Inferencial o inducva: esma con base a la probabilidad de un evento, inere hace predicciones y permite obtener conclusiones de una muestra o población estudiada. Esta área se imparte en los l os grados de la educación media y superior.
SABÍAS QUE… La estadísca como herramienta para el análisis e interpretación. Promover la mirada a la enseñanza y aprendizaje de la estadísca, es muy relevante. Está conectada a los procesos o diseños de invesgación que nos arrojan los indicadores que permiten hacer análisis e interpretaciones ulizando recursos tecnológicos al alcance de los alumnos. La enseñanza de la estadísca en nuestras aulas ha tomado relevancia r elevancia desde que se implementa la planicación por competencias en nuestro país; como ciencia interdisciplinar induce al desarrollo de las visualización y comprensión lectora de los alumnos, entre otros y sus acvidades promueven la atención a la diversidad.
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Conceptos elementales de la estadísca
Los indicadores que recabamos mediante los l os diferentes instrumentos de recolección de datos, nos sirven para medir a un país o a un sector, tanto en el comercio o en las iinvesgaciones nvesgaciones de mercados o los que aplicamos procesos de inteligencia comercial.
Los datos e indicadores miden el producto de unay empresa, un mercado o un departamento nos permiten analizar que desde diversos enfoques según ladenecesidad podríamos medir las exportaciones o importaciones de una empresa y proponer mediante las estadíscas, estrategias estrategi as de mercados. Por lo cual podemos realizar el análisis de un producto, análisis de un mercado, análisis de una empresa, en análisis de un sector económico, entre otros. a) Población estadísca: En estadísca, el término “población” se reere al conjunto de elementos que se quiere invesgar, estos elementos pueden ser objetos, acontecimientos, situaciones o grupo de personas. b) Muestra: En estadísca, una muestra es un subconjunto de casos o individuos de una población. En diversas aplicaciones interesa que una muestra sea, representava y para ello debe escogerse una técnica de muestra adecuada, que produzca una muestra aleatoria adecuada. También es un subconjunto subconjunto de la población, y para ser representava, debe tener las mismas caracteríscas de la población.
Población Censo: estudio que se realiza a la población.
Muestra
Muestreo: estudio que realiza a una parte de la población.
c) Tipos de presentaciones estadíscas: En los análisis estadíscos, es frecuente ulizar representaciones visuales complementarias de las tablas que resumen los datos de estudio. Con estas representaciones, adaptadas en cada caso a la nalidad informava que se persigue, se transmiten los resultados de los análisis de forma rápida, directa y comprensible para un conjunto amplio de personas.
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d) Tipos de representaciones grácas : Cuando se muestran los datos estadíscos a través de representaciones grácas, se ha de adaptar el contenido a la información visual que se pretende transmir. Para ello, se barajan múlples formas de representación: Diagramas de barras: muestran los valores de las frecuencias absolutas sobre un sistema de ejes cartesianos, cuando la variable es discreta o cualitava. Histogramas : formas especiales de diagramas de barras para distribuciones cuantavas connuas. Polígonos de frecuencias: formados por líneas poligonales abiertas sobre un sistema de ejes cartesianos. Grácos de sectores: circulares o de tarta, dividen un círculo en porciones proporcionales según el valor de las frecuencias relavas. Pictogramas: o representaciones visuales guravas. En realidad, son diagramas de barras en los que las barras se sustuyen con dibujos alusivos a la variable. Cartogramas : expresiones grácas a modo de mapa. Pirámides de población : para clasicaciones de grupos de población por sexo y edad.
e) Variables cualitavas: Es aquel po de variable estadísca que describe cualidades, caracteríscas y/o circunstancias de algún objeto, persona o eventualidad, sin el uso de números, es decir expresa una categoría no numérica, por ejemplo, el sexo (femenino o masculino) de un individuo. También se les conoce como variables categóricas, y en palabras más simples son variables que no apalean un sendo natural de orden, se miden mi den bajo una escala nominal. Variable cualitava ordinal o variable cuasi cuantava: La variable puede tomar disntos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve, moderado, fuerte. Variable cualitava nominal: En esta variable los valores no pueden ser somedos a un criterio de orden, como por ejemplo los colores o el lugar de registro.
f) Variable cuantava c uantava:: son las que enen la capacidad de adoptar valores numéricos, cualquier po de cifra, brindando un mayor entendimiento a los resultados de las estadíscas, ya que dan un valor bastante exacto. Dentro de las variables cuantavas se pueden encontrar a su vez diferentes pos que se determinan dependiendo de la precisión del instrumento empleado para medirlo.
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CTIVID D N°11. I. Cuesonario. Responda las siguientes preguntas en un trípco creavo de estadísca. Instrucciones: Use hoja blanca o de color y con letra legible responda las laspreguntas preguntas.de Recuerde confeccionar confeccionar una portada portad ay responda forma de forma ordenada y con mucha creavidad. 1. ¿Qué es la estadísca? 2 ¿Cómo se aplica la estadísca en el comercio? De un ejemplo. 3. Busque en youtube o mire este este VIDEO DE ¿cómo representar los datos? datos? y realice una síntesis de una página pági na de: a) ¿Qué instrumentos ulizamos para recoger datos? b) ¿Cómo podemos representar los datos? c) ¿Cuáles son las medidas de tendencia central? 4
II. Glosario. Dena e ilustre en su cuaderno los siguientes conceptos . Busque en diferentes textos en línea. a) Población estadísca b) Muestra c) Tipos de presentaciones estadíscas o Diagramas de barras o Histogramas o Polígonos de frecuencias Grácos de sectores o Pictogramas o Cartogramas o de población Pirámides Variables cualitavas Variable cualitava ordinal o variable cuasi cuantava Variable cualitava nominal Variable cuantava. Caracteríscas de las variables cuantavas variables cuantava de categoría variables cuantava discretas variables cuantava connua o
d) e) f) g) h) i) j) k)
Felicidades! Culminamos todas las unidades ¡Felicidades! 4
de la guía de autoaprendizaje.
hp://www.azatrade.info/nocias /wp-content/uploads/2019 /2019/05/2_Estad%C3 /05/2_Estad%C3%ADscaAplicad %ADscaAplicada.pdf a.pdf hp://www.azatrade.info/nocias/wp-content/uploads
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AUTOEVALUACIÓN A-2 El siguiente cuesonario es para que se complete al culminar todos los temas, evalué y proponga nuevas metas en el aprendizaje. Las preguntas deben ser respondidas con la mayor claridad y agregarlas al nal del portafolio que recoja r ecoja todas las acvidades propuestas en este módulo. 1. De los temas abordados seleccione: a) Dos ejemplos, que le hayan ayudado a comprender los conceptos. Escríbalos
b) Dos contenidos que le hayan resultado importante y ayudado a analizar los problemas de aplicación de la Acvidad T-2 y T-3. Explique brevemente.
c) Dos preguntas, problemas o cuesones que usted pudo responder con facilidad a lo largo de la unidad. Explique.
d) Dos preguntas, problemas o cuesones que aún le cuestan aprender.
e) ¿En qué medida considera que las temácas abordadas en la unidad le resultaron o resultan de aprovechamiento para el desarrollo de su formación académica?
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f) ¿Cuáles fueron las clases, temas y/o propuestas que más le interesaron y/o gustaron? Explique brevemente.
g) ¿Considera que la bibliograa, plataforma Khan Academy, lugares recomendados le sirvió para profundizar los temas abordados? Explique brevemente.
h) Relate brevemente su proceso de aprendizaje durante la unidad. Tenga en cuenta el grado de interés, temas que más le gustaron, g ustaron, temas que menos le interesaron, lectura, comprensión, dicultades, momentos de ruptura, de conexión, la realización de talleres, entre otros.
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RESPUESTA DE ALGUNAS ACTIVIDADES Hemos colocado algunas respuestas, sin embargo, las acvidades las debaremos en
el aula.
ACTIVIDAD N°1 1.
Solución de ejercicio 1, 2, 3
= =
2.
=
Solución de ejercicio 4.
Fracción 1/15 7/10 11/12 1/8
Expresión Decimal 0,666666 0,7 0,9166666 0,125
Decimal nito No Si No Si
Decimal innito Sí
Periodo
Si
6
RESPUESTA DE ACTIVIDAD N°3.1. III – Resuelva los siguientes problemas de aplicación 1. 2.
1
6
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3. 4.
5. 6. 7. 8.
6 102
RESPUESTA DE ACTIVIDAD N° 3.2. II – Resuelva los siguientes problemas de aplicación sobre multiplicación de fracciones.
241400mujhabieretsantes 40 rojas,2020 azules y 60 verdes 18 pastil as 1.1.2.2. 327 vesboltisdaoss 3.3.4.4. 4814 km/h minutos 5.5. ¼ litro 6.6. 24 personas 1.
2.
3.
4.
IV – Resuelva los siguientes problemas de aplicación sobre división de fracciones.
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BIBLIOGR FÍ Baldor, A. (1997). Aritméca, Ed. Publicaciones Cultural, México. Diana de Lajón (2013) Matemáca para el comercio 10. Editorial Sibauste S.A. Arturo Matemácas Aguilar, Fabián Bravo, Herman Gallegos, Miguel Cerón y Ricardo Reyes (2009). Simp Simplicadas. licadas. Editorial Pearson. Bolívar, A. (2018). Autoevaluación instucional para la mejora interna. Valero-García, M., & de Cerio, L. M. D. (2005, September). Autoevaluación y co-evaluación: estrategias para facilitar la evaluación connuada. In Actas Actas del Simposio Simposio Nacional Nacional de Docencia en Informáca Informáca (SINDI), Granada Granada (pp. 25-32). Portal Educavo (s.f.). Razones y Proporciones. Recuperado el 27 de julio de 2020. hps://www.portaleducavo.net/sep avo.net/sepmo-basico/2 mo-basico/293/Razones-propo 93/Razones-proporciones rciones Disponible en en hps://www.portaleduc
INFOGRAFÍA hp://recursosc.educacion.e sc.educacion.es/descartes/web s/descartes/web/materiales_didac /materiales_didaccos/EDAD_3eso_nu cos/EDAD_3eso_numeros_r meros_r hp://recurso
acionales/cuadernos/3eso_cuaderno_1_cas.pdf acionales/cuadernos/3eso_cuade rno_1_cas.pdf hps://es.khanacademy.org/ hps://verobolanos2009.les.wordpress.com/2014/06/autoevaluacion.pdf hp://matepoten hp://matepotenciacionbasica.b ciacionbasica.blogspot.com/20 logspot.com/2014/03/historia-de-la 14/03/historia-de-la-potenciacion.htm -potenciacion.htmll hps://www hps://www.educ.ar/re .educ.ar/recursos/15121 cursos/151217/funciones-y-e 7/funciones-y-ecuaciones-ex cuaciones-exponenciales-yponenciales-ylogaritmicas?from=150926 hps://www.educ.ar/recursos/132100/potencias-de-10-ceros-atomos-y-el-tamano-de-todas-lascosas?coleccion=132148
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