Matemática - 03 Geometria Plana

Plana 1. a)

8.

Três polígonos convexos tem lados expressos por três números consecutivos. Sendo 2700º a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos, determine o número de diagonais de cada um deles.

9.

Determine a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e ED de um polígono regular A, B, C, D ... de 20 lados.

Nas figuras abaixo, as retas r e s são paralelas. Encontre a medida dos ângulos x em cada caso. x r 

10. Qual polígono cujo número de diagonais é igual ao número de lados?

2x s

b)

11. Determine o número de diagonais que se pode traçar por um dos vértices de um icoságono.

110º r 

12. Determine o gênero do polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados.

80º x

13. Na figura abaixo determine a medida do ângulo x , em função de dos ângulos a, b e c.

150º s

2. a) b) c) d) e)

a

Na figura abaixo podemos dizer que: α=β+θ θ=β+α α + β + θ = 180 180 - θ = α - β n.r.a

b

c

x

14. Na figura abaixo AB =AC e BC =CD =DE =EF =FA . Calcule a medida do ângulo α.

q

B

D

F

a

b

a

C

3.

Determine a medida do ângulo externo de um vértice de um triângulo ABC com relação aos ângulos internos.

4.

Na figura ao lado, AÔB e BÔC são dois ângulos adjacentes. OX e OY são as bissetrizes desses ângulos. Sabendo-se que  AÔY = 65º e XÔC = 70º, calcule XÔY. O

15.   As bissetrizes de dois ângulos de lados respectivamente perpendiculares são : a) semi-retas opostas b) semi-retas coincidentes c) semi-retas paralelas ou perpendiculares d) semi-retas que formam um ângulo de 270º

C

16. Nas figuras abaixo determine a soma de todos os ângulos assinalados.

 Y a

B A

5.

6.

e

X

Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às: a) 12 horas e 15 minutos b) 3 horas e 20 minutos c) 4 horas e 42 minutos

b

d

c c

d

Determine a soma de todos os ângulos assinalados na figura abaixo.

e

b a

7.

A

E

Calcular o número de diagonais de um pentadecágono.

1

f 

17. Dado O triângulo ABC, abaixo indicado, construímos a poligonal L =. Determine comprimento de L.

x A

Q

A 60º

c

b

P

60º

60º

C

60º 60º

60º

O

B

a

22. Em um triângulo ABC, a base BC mede 10cm, M b e Mc são pontos médios de AC e AB respectivamente. Determine a medida do segmento MbMc.

18. Se P é um ponto qualquer da base BC de um triângulo isósceles ABC, a soma das distâncias de P aos lados congruentes é constante e igual a : a) à medida da base BC b) à altura relativa a um dos lados congruentes c) a um dos lados congruentes d) não é constante e) distância do baricentro ao vértice A.

23. Na figura abaixo, Q é o ponto médio de AB. QP é paralelo a BC. Sendo AC = 30cm e BC = 20cm, determine a medida de PQ e PO. 24. Suponhamos que três pontos A, B e C do plano representem as posições de três casas construídas numa área de um condomínio. Um posto policial estará localizado num ponto P situado à mesma distância das três casas. Em geometria, o ponto P é conhecido como : a) Baricentro b) Ortocentro c) Circuncentro d) Incentro e) n.r.a

19. Na figura a seguir, I é o incentro do triângulo ABC e PQ é para parallelo elo a BC . Se Sendo ndo AC = 18cm 18cm e AB = 10cm 10cm , calcule a medida do perímetro do triângulo APQ. A

I

P

y

B

25. Num triângulo ABC, a altura AS forma com a mediana um ângulo de 22º. Calcule a medida dos ângulos Bˆ e Cˆ .

Q

A

B

C 22º

20. O triângulo ABC da figura abaixo é retângulo em Â, AH é altura , AD e AE são bissetrizes dos ângulos ∠HAB e ∠HAC. Considere as seguintes afirmações: 1) ∠DAE = 45º. 2) ∆ ADE é isósceles. 3) ∆ BAE é isósceles. 4) ∆ CAD é isósceles. Quantas estão certas? a) nenhuma b) uma c) duas d) três e) todas

B

M

26. (UFF) O hexágono regular abaixo representado possui lado igual a L. M 1 M 2 M M

H E

L

N4

4

N5

5 M 6 M

D

N 1 N 2 N3

M 3

B

N 6 N

7 M 8 M

A

C

S

7

N8 9

N9

Sabendo-se que os 9 segmentos M1N1, M2N2, M3N3, ....., M9N9 são todos paralelos e dividem o segmento M1N9 em 8 partes iguais, pode-se afirmar que a soma M1N1 + M2N2 + ... + M 9N9 é igual a: a) 11 L b) 12 L c) 13 L d) 14 L e) 15 L

C

21. Um ponto A qualquer é considerado sobre o lado Ox do ângulo ∠xOy da figura. Traçamos então: 1)  AB ⊥ Oy 2)  AQ // Oy 3) OPQ tal que PQ = 2.AO Se ∠POB = 26º, ∠xOy mede: a) 61º b) 66º c) 72º d) 78º

2

27. (UFRJ) Um poste têm uma lâmpada colocada a 4m de altura. Um homem de 2m de altura caminha a partir do poste , em linha reta, em direção à porta de um edifício que está a uma distância de 28m o poste. Calcule o comprimento da sombra do homem que é projetada sobre a porta do edifício, no instante em que ele está a 10,5m dessa porta. Sua resposta deve vir acompanhada de um desenho ilustrativo da situação descrita.

32. (UFF) Na figura abaixo, o vértice Q do retângulo PQRC foi obtido pela interseção do arco AM de centro em C e raio CA, com a hipotenusa BC do triângulo retângulo ABC. Sabendo que PQ mede 12cm e QR mede 9cm, determine as medidas dos lados do triângulo ABC. A

B

P

28. (UERJ) Num cartão retangular, cujo comprimento é igual ao dobro de sua altura, foram feitos dois vincos AC e BF, que formam, entre si, um ângulo reto. Observe a figura, em que BFA = CAB.

Q

C

R M

33. (UFF) Na figura abaixo, os segmentos de reta  AB,BC,CD e DE são tais que AB ⊥BC, BC ⊥ CD e CD ⊥DE .E

Considerando AF = 16 cm e CB = 9 cm, determine:  A) as dimensões do cartão; B) o comprimento do vinco AC.

C.

29. (CESGRANRIO) Considere um quadrilátero ABCD. Sendo M o ponto médio do lado AD e O o ponto de interseção com o segmento MC com a diagonal BD, determine a razão DO/OB. 30. (UFRJ) A figura a seguir representa um retângulo MNPQ inscrito num triângulo ABC. O lado BC mede 12cm e a altura relativa a esse lado mede 8cm. Seja x e z os comprimentos de MN e MQ, respectivamente.

. B

  As medidas  AB,BC,CD e DE de são, respectivamente, 3m, 4m, 1m e 4m. Determine a medida do segmento  AE . 34. (UNICAMP) Um observador O, na mediatriz de um segmento AB e a uma distância d de AB, vê esse segmento sob um ângulo α. O observador afasta-se do segmento ao longo da mediatriz até uma nova posição O’ de onde vê o segmento sob o ângulo α/2. /2. Expresse a distância x = OO’ em termos de α e d.

A

P

Q

. A

.D

35. (UFMG) Observe a figura: B

a) b)

C

N

M

Q

A

B

exprima a altura z do triângulo em função da base x. calcule os valores de x e z para as quais a área do retângulo é a maior possível.

R

31. (UFF) A figura abaixo representa um quadrado MNPQ de lado L. Sabendo-se que J e K são os pontos médios de OM e ON, se prolongarmos os segmentos QJ e PK de modo que se encontrem no ponto T, a medida do segmento RS será: a) L/4 d) 4L/3 b) L/3 e) 3L/2 c) 2L/3

P D

R

S

C

Nessa figura ABCD representa um quadrado de lado 11 e AP = AS = CR = CQ . O perímetro do quadrilátero PQRS é:

T

M

S

N

a)

11 3

b) c) d)

22 3 11 2 22 2

36. (UFF) Na figura abaixo, os triângulos ABC e DEF são eqüiláteros.

L

B

. .E

Q

P

C

D

F

Sabendo que  AB,CD e BE medem, respectivamente, 6m, 4m e 4m, calcule a medida de BE .

3

37.   A figura abaixo representa um quadrado ABCD e dois triângulos eqüiláteros equivalentes. Se cada lado desses triângulos mede 2 cm, calcule o lado do quadrado ABCD.

42. (Vunesp-SP) Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens opostas de um rio, nos pontos A pontos  A e B, um observador que se encontra junto a A a  A afasta-se 20m da margem, na direção da reta AB, até o ponto C e depois caminha em linha reta até o ponto D a 40m de C, do qual ainda pode ver as árvores. Tendo verificado que os ângulos DCB e BDC medem, respectivamente, cerca de 15º e 120º, que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, se usou a aproximação 6 ≅ 2, 4 . B

38. (UERJ) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.

D A

C

Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120 cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e 52 cm. De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor: valor: a) 10º b) 12º c) 13º d) 14º

43. Um observador está em um ponto A do aterro do Flamengo e vê o Pão de Açúcar segundo um ângulo de 10º com o plano horizontal (medido com o teodolito). Ele anda em direção ao seu objetivo até um ponto B distante 650m de A e agora vê o Pão de Açúcar segundo um ângulo de 14º. Qual é a altura do Pão de Açúcar em relação ao plano de observação? (tg 14º = 0,249, tg 10º = 0,176)

39. (UERJ) Um triângulo acutângulo ABC tem 4 cm2 de área e seus lados AB e AC medem, respectivamente, 2 cm e 5 cm. Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se o ângulo interno Â, calcule o aumento percentual de sua área. [Dica: use sen(2x) = 2⋅sen(x)⋅cos(x)] cos(x)] 40. Para combater um incêndio, os bombeiros utilizaram duas escadas AD e BE, que formavam entre si um ângulo de 45º, 7 conforme mostra a figura ao lado. Considere tgα  = e as 17 distâncias AC = 17 e BC = 5m. Determine: a) O comprimento CD b)  A altura CE do prédio.

44.   As diagonais de um trapézio retângulo medem respectivamente 9 cm e 12 cm. Calcule o perímetro do quadrilátero convexo cujos vértices são os pontos médios dos lados do trapézio.

45. Calcule o valor de x no trapézio abaixo. 2 2L

L

41. (UFF) Na figura abaixo QRS é equilátero e está inscrito no quadrado MNPQ, de lado L. Pode-se afirmar que o lado do triângulo mede: N

R

14

M

46. (CESGRANRIO) Assinale a alternativa que contêm a propriedade diferenciadora do quadrado em relação aos demais quadriláteros. a) Todos os ângulos são retos b) Os lados são todos iguais c)  As diagonais são iguais e perpendiculares entre si. d)  As diagonais se cortam ao meio. e) Os lados opostos são paralelos e iguais.

S

P

a)

L 2 2

b)

Q

L 3 L 6 c) d) L ( 2 + 6 ) e) L ( 6 − 2 ) 3 2

4

47. (UERJ) Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos os seus ângulos internos são iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada: a) losango b) trapézio c) retângulo d) quadrado

52. (UFF) A figura abaixo representa uma circunferência de centro O diâmetro PQ = 4 3 cm. M P

Q

O

48. Decida, em cada item, se as condições dadas são suficientes para que ABCD seja um quadrilátero do tipo indicado.

N

(a) Paralelogramo. i. Dois pares de lados congruentes; ii. Dois lados opostos congruentes e os outros paralelos; iii. Dois ângulos adjacentes, Aˆ e Dˆ suplementar suplementares es e AB = BD ; iv. Dois ângulos opostos iguais; v. Todos os pares de ângulos adjacentes suplementares;

Se MN é o lado o hexágono regular inscrito na circunferência e MN é perpendicular a PQ, a medida do segmento PM, em cm é: a)

2 3 (2 + 3 )

b)

2 3 (2 − 3 )

(b) Retângulo i. Dois ângulos retos; ii. Três ângulos congruentes;

c)

3 (12 − 3 )

d)

3 (12 + 3 )

(c) Losango i. Diagonais perpendiculares cortando-se ao meio; ii. Três lados congruentes;

e)

2 (12 + 3 )

53. (UFRRJ) ABCDEFGH é um polígono regular convexo. Sabendo que PE é tangente ao círculo , qual a medida, em graus, do ângulo α?

(d) Quadrado i. Três lados iguais e um ângulo reto; ii. Diagonais perpendiculares cortando-se ao meio; iii. Diagonais iguais e perpendiculares; iv. Diagonais iguais perpendiculares e cortando-se ao meio. (e) Trapézio isósceles i. Diagonais iguais; ii. Trapézio com diagonais iguais;

C

t B O

C

F

A

P E

Q

D

51. (UERJ) Na figura abaixo, AB e AC são, respectivamente, lados do triângulo equilátero e do quadrado inscritos na circunferência de raio R. Com centro em A, traçam-se os arcos de circunferências BB’ e CC’, que interceptam a reta t em B’ e C’.

55. (UFF) A figura abaixo representa um triângulo equilátero FHN de lado L e um hexágono regular . Sabendo que I é o ponto médio do lado HN e pertence ao segmento GL, assinale a alternativa que representa o perímetro do quadrilátero FGLM: H

B C

G

F C'

A

P

54. (UFRJ) Na figura a seguir:  AB é o lado de um octógono regular inscrito. t é tangente. Qual a medida de α?

N

R

a

E

B

S

D

F

50. Os pontos M, N, P, Q, R E S são médios dos lados AB, BC, CD, ... do hexágono regular ABCDEF. Se AB = 4 cm, ache o raio do círculo inscrito no hexágono MNPQRS. M

B

G

49. Seja ABCD um trapézio retângulo tal que P é o ponto de encontro das diagonais. Determine a distância de P ao lado perpendicular as bases, sabendo que as bases medem 3cm e 6cm.

A

A

H

B'

a) b) c) d) e)

  A medida que está mais próxima do comprimento do segmento B’C’ é: a) o perímetro do quadrado de lado AC. b) o comprimento da semicircunferência de raio r. c) o dobro do diâmetro da circunferência de raio r. d) o semiperímetro do triângulo equilátero de lado AB. 5

7L 6L 5L 4L 3L

J

K

I

L

N

M

59. (UERJ) Um triângulo acutângulo ABC tem 4 cm2 de área e seus lados AB e AC medem, respectivamente, 2 cm e 5 cm. Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se o ângulo interno Â, calcule o aumento percentual de sua área.

56. (UFF) A (UFF) A figura figura abaixo representa o quadrado MNPQ de lado  = 4cm . Sabendo que os retângulos NXYZ e JKLQ são congruentes, o valor da medida do segmento YK é: 3 (A) (D) 2cm cm 2 (B) 2 3 cm (E) 2 2cm 2 (C) cm 2 P

X Y

Z

1 cm

2 cm K 

M

60. (UERJ) O decágono da figura abaixo foi dividido em 9 partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2 triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao do quadrado, e mais 4 outros triângulos. Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono é equivalente a: (A) 14 T + 3 Q (B) 14 T + 2 Q (C) 18 T + 3 Q (D) 18 T + 2 Q

J

cm LA = 4 cm

Q

57. (UFF) A máquina a vapor foi constantemente aperfeiçoada durante a Revolução Industrial, constituindo fator fundamental para o progresso da indústria e dos meios de transporte. Posteriormente, surgiram máquinas com motores de combustão interna que utilizam o mecanismo chamado  “biela-manivela” – tal mecanismo transforma o movimento de rotação de uma polia em movimento de translação de um pistão (vaivém) ou vice-versa. Observe as duas configurações distintas desse mecanismo representadas a seguir. Sabendo que OQ1 = OQ 2 = r e Q1P1 = Q 2P2, onde r é o raio da polia, determine em (II), a distância entre P1 e P2 em função de r. r. Q

61. (ITA-SP) A (ITA-SP) A diagonal menor de um paralelogramo divide um dos ângulos internos em dois outros α e 2α. Determine a razão entre o lado menor e o maior do paralelogramo. 62. Os postes de energia variam de altura de acordo com a quantidade e espessura dos cabos de transporte de energia. Este ano, nas prévias da eleição, a prefeitura do Rio em acordo com a Light, empresa que distribui energia para cidade, adequou 25% dos postes da zona leste. Em uma pesquisa prévia feita pela Light, um de seus funcionários verificou que certa rua necessitava de uma mudança de postes, mas esta era toda arborizada. Na esperança de poder fazer a troca dos postes, sem a poda fora do tempo, o funcionário fez as seguintes medidas para estimar a altura do maior poste possível. Distante 6 metros do mais baixo galho de todas as árvores mediu o ângulo de 22º 30’com o chão. Determine a maior altura de um poste para que não toque o galh galhoo mai maiss bai baixo xo da árvo árvore re.. Con Consi side dere re 2 = 1, 41.

60º

P1

Pistao

Polia (I)

Q

60º

Q P1

c os x Dica use: tg  x  = ± 1 − co + 2 1 cos x  

Pistao

Polia

63. Um corredor A está sobre uma reta r e corre sobre ela no sentido AX. Um corredor B não está em r e, correndo em linha reta, pretende alcançar A (Figura). Considere BAX = 110º, velocidade de A igual a 8 m/s e velocidade de B igual a 9 m/s. Determine o ângulo que a trajetória de B deve fazer com a reta BA para que o encontro seja possível.

( II )

58. (UFF) Duas réguas de madeira, MN e PQ , com 8 cm cada, estão ligadas em suas extremidades por dois fios, formando o retângulo MNQP (fig. 1). Mantendo-se fixa a régua MN e girando-se 180° a régua régua PQ em torno torno do seu ponto médio, sem alterar os comprimentos dos fios, obtêm-se dois triângulos congruentes MNO e QPO (fig. 2).

64. (Unb-DF) Os lado ladoss de um retâ retângu ngulo lo mede medem m 25m 25m e 25 3 m. Os ângulos formados pela interseção das diagonais são: a) 120º e 60º b) 150º e 30º c) 90º e 90º d) 100º e 80º e) 110º e 70º  A distância, em cm, cm, entre as duas réguas, nesta nova posição é: (A) 10 (C) 5 2 (E) 6 (B) 5 3 (D) 5 6

65. (Cefet-PR) Se na figura abaixo AB mede 9 cm, o segmento DF mede, em cm:

70. (FEI-SP) Na figura abaixo o raio da circunferência maior é o triplo do raio da menor. A reta s é tangente às duas circunferências. A reta t é tangente às duas circunferências, no mesmo ponto.  α  

Quanto vale cos   ? 2

a) 5

b) 4

c) 8

d) 7

e) 6

66. (UFPB) O ângulo, sob o qual um observador vê o topo de um prédio de 88 m de altura, duplica quando esse observador se aproxima 110 m do prédio, e triplica quando ele se aproxima mais 50 m. Neste instante, a distância entre o observador e o prédio é: a)

1 3

b)

1 2

c)

2 2

d)

3 2

e)

2 3

71. (UFRRJ) Na figura abaixo, sabendo-se que os ângulos  e Ê são ângulos retos, a área do quadrilátero ACED vale:

a) 50 m

b) 22 m c) 176 m d) 16 m e) 18 m

67. (UFMT) Para determinar a altura de um morro, um topógrafo adotou o seguinte procedimento: • Escolheu dois pontos A e B, situados no mesmo plano vertical que passa por C; • Mediu a distância AB encontrando 162 m; • Com auxílio de um teodolito mediu os ângulos α β ee γ γ  , encontrando, respectivamente, 60º, 90º e 30º.  A figura ilustra o procedimento descrito. Qual altura do morro (h), em metros, encontrada pelo topógrafo?

a) b) c) d) e)

25,2 cm2 30,5 cm2 40,5 cm2 52,5 cm2 65,5 cm2

72. (UFRRJ) Sendo S1 e S2 as áreas das figuras I e II, respectivamente, podemos afirmar que:

a) b) c) d)

68. (UFRJ) Os ponteiros de um relógio circular medem, do centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro, o das horas. Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas.

e)

S1 = S2 3 S1 = S2 4 S1 = 3S2 S1 = 2 S2 4 S1 = S2 3

73. (UERJ) Observe o paralelogramo ABCD. 2 2 a) Calcule  AC + BD em função de  AB = a e BC = b. b) Determine a razão entre as áreas dos triângulos ABM e MBC .

69. (UFRJ) O retângulo  ABCD está inscrito no retângulo WXYZ , como mostra a figura. Sabendo que AB = 2 e AD = 1, determine o ângulo θ para que a área de WXYZ  seja a maior possível.

7

74. (UFF 04) A figura a seguir esquematiza uma situação obtida por meio de um sistema de captação e tratamento de imagens, durante uma partida de vôlei.

77. (UFRJ 1998-2) Um arquiteto projetou um salão quadrangular 10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois ambientes I e II através de um segmento de reta passando pelo ponto B e paralelo a uma das diagonais do salão, conforme mostra a figura a seguir:

 A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambiente II. Calcule a distância entre os pontos A e B. 78. (UFF 03) As manifestações da Geometria na natureza vêm intrigando muitas pessoas ao longo do tempo. Nas proporções do corpo humano e na forma da concha do Nautilus, por exemplo, observa-se a chamada “razão áurea”, que pode ser obtida por meio da seguinte construção geométrica: No quadrado PQRS representado na figura abaixo, considere M o ponto médio do segmento PS. Construa um círculo com centro em M e raio MR, obtendo o ponto T no prolongamento de PS. O retângulo de lados PT e QP é áureo e a razão entre esses F PT I  lados G J  é a razão áurea. O valor desta razão é: H QP K 

Nos pontos M e N da figura estão localizados dois jogadores que estão olhando para a bola com um ângulo de visada de 30º, em relação ao solo. Sabe-se que a distância dos olhos (pontos P e Q) de cada jogador até o sol solo é igual a 2,0 m e PM = QN = 2,0 mj que a dis distâ tânc ncia ia entr entree os os jog jogad ador ores es é igu igual al a 1,5 1,5 m e MN = 1,5 mj e 3 . A distância (h) da bola (representada pelo ponto 4 R) até o chão (h = RT) é: a) 2,5 m b) 3,0 m c) 3,7 m d) 4,5 m e) 5,2 m que cos α  =

a) b)

75. (UENF-02) A extremidade A de uma planta aquática encontra-se 10 cm acima da superfície da água de um lago (fig.1). Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca a superfíci superfíciee da água no ponto ponto B, B, situado situado a 10 3 cm do local local em que sua projeção ortogonal C, sobre a água, se encontrava inicialmente (fig. 2). Considere OA, OB e BC segmentos de retas e o arco AB uma trajetória do movimento da planta.

c) d) e)

79. (UFF-01) Unindo-se os pontos médios dos lados de um hexágono regular de perímetro P, obtém-se um outro hexágono regular de perímetro p. A razão P/ p é igual a: a) 3 1 b) 2 c) 2 3 3 3 d) 2 e) 1

Determine: (A) a profundidade do lago no ponto O em que se encontra a raiz da planta; (B) o comprimento, em cm, do arco    AB . 76. (UFF 02) Uma folha de papel quadrada tem 2 dm de lado (figura I). Dobram-se os lados AB e AD da folha, fazendo-os coincidir com o segmento AG sobre a diagonal AC, formando-se o triângulo AEF (figura II).

a) b)

5 +1 5 +1 2 5 −1 2 5 +2 5 +3

Determine a medida de EF. Calcule tg(FÂC). 8

80. (UFF 01) Um pedaço de papel tem a forma do triângulo eqüilátero PQR, com 7 cm de lado, sendo M o ponto médio do lado PR :

84. (UERJ 03/2q) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura abaixo.

Dobra-se o papel de modo que os pontos Q e M coincidam, conforme ilustrado a seguir. (Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo et alii. Matemática e Vida. São Paulo: Ática, 1990.)

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30º com a direção AB.  Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60º com a mesma direção AB. Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros, a: a) 500 b) 500 3 c) 1000 d) 1000 3

O perímetro do trapézio PSTR, em cm, é igual a: a) 9 b) 17,5 c) 24,5 d) 28 e) 49 81. (UFRJ 05) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal.

85. (UERJ 01)

Determine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que 10 m. 82. (UFRJ-02) O objetivo desta questão é que você demonstre a lei dos cossenos. Mais especificamente, considerando o triângulo da figura abaixo, mostre que 2 2 2 a = b + c − 2bc ⋅ co cos θ   , C

  A figura acima representa um quadrado ABCD e dois triângulos eqüiláteros equivalentes. Se cada lado desses triângulos mede 2 cm, calcule o lado do quadrado ABCD. a

b

86. (UERJ 04) Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100 m, como mostra o esquema abaixo.

θ

A

c

B

83. (UER 03/2q) José deseja construir, com tijolos, um muro de   jardim com a forma de uma espiral de dois centros, como mostra a figura abaixo.

 A altura da torre, em metros, equivale a: (A) 96 (B) 98 (C) 100 (D) 102 Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento. Considerando π = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é: (A) 100 (B) 110 (C) 120 (D) 130

9

1.2.2 Triângulos Particulares

1. Áreas

Triângulos Retângulos

1.1 Quadriláteros Quadrados

A c L

C b

h

B L

C

a

A

c

Área: a⋅h

 Área: L2

Retângulos

a

b

B

Área: b⋅c

Triângulos Equiláteros

Altura (h)

L

L

h

h

h=

L

L 3 2

Base (B)

 Área: B⋅h

Paralelogramos

Altura (h)

L 2

L

 Área:

h

=

1.3 Triângulos Inscritos

b

Base (b)

 Área é igual a área do retângulo. ∴ Área: B⋅h

A

c

Trapézios ha

b Base (b)

b

1 x 2

=

h

B

O

C

B

E

b

 Área é igual a área do paralelogramo. ∴ Área: B⋅h

 A ABC

Losangos

=

a ⋅ ha 2

Como ∆AD ADC ~ ∆ABE,⇒ D 2

D 2 D

⇒ ha =

=

=

d

 Área:

ha c

b⋅c . Logo A ABC 2R a⋅b⋅ c  A ABC = 4R 

=

b 2R  a⋅b⋅c 4R =

 

1.4 Triângulos Circunscritos

d

d

B

a D

h

Base (B)

L2 3 4

D⋅d 2

A

1.2 Triláteros Triângulos

c

r 

1 x 2

=

 Área é igual a metade da área de um paralelogramo. paralelogramo. b⋅h  Área: 2 1.2.2 Fórmula trigonométrica

C

a

A AB C

= ABOC + A AOC + A AOB a ⋅ r b ⋅ r c ⋅ r (a + b + c) ⋅ r + + =  A ABC =

2 2 2 (a + b + c ) Como p= ∴ A ABC 2

A

2

= p⋅r

1.5 Fórmula de Heron

b

a ⋅ c ⋅ senBˆ h = c.senBˆ ⇒ Área: 2

h

B

b

r 

r  B

c

O

A = p ( p − a) (p − b ) (p − c )

C a

10

Segmento Circular

1.6 Polígonos Regulares Convexos L

h

L

L

a r 

L

C1

L

a

 Área: Área do setor – Área do triângulo isósceles  ⋅ r r ⋅ h r (  − h) − = S= 2 2 2

L

 Área = p⋅a  Aplicações: A  Aplicações: A fórmula da área dos polígonos regulares convexos S = p⋅a, tem três aplicações: (i) (ii) (iii)

Expressão trigonométrica da área do segmento r (  − r ⋅ se senα ) Como h = r ⋅ senα  ⇒ S = 2 Coroa Circular

Cálculo da área em função do lado; Cálculo da área em função do raio; Cálculo da área em função do apótema;

Ex1. No caso do hexágono regular, p=3L e a =

R 3 2

∴S =

3L2 3 2

Ex2. No caso do decágono regular, temos: R ( 5 − 1) p = 5L = 5 ⋅ 2 R 10 + 2 5 5R2 10 − 2 5 a= ∴S = 4 4

C2

 Área:

1.6.1 Expressão trigonométrica da área dos polígonos regulares

π   R 2 − r 2

(

C1

)

2

Trapézio circular

Temos a fórmula: (ver 7.3)

(1) S = p⋅a Supondo n o número de lados do polígono, sabemos que

Ln

=

2R ⋅ sen

r 

180 n

donde, p=

n ⋅ 2R ⋅ sen (180 2 ) 2

C2 =

nR ⋅ sen

180 n

(2)

 Área:

π   R 2 − r2

(

C1

)α 

(α  em graus ) 360° 1.8 Relação entre as áreas de polígonos semelhantes

e, 180 n Substituindo (2) e (3) em (1), temos para um polígono regular de n lados , a fórmula geral:  180   180  Sn = n ⋅ R 2 ⋅  sen ⋅ c os n   n   1.7 Círculos an = R cos

B

B' C

A

C'

A' D

E'

D'

E

  As áreas de duas figuras planas semelhantes são proporcionais ao quadrado da ração de semelhança. S = r2 S' O resultado vale para quaisquer figuras planas semelhantes, todavia vamos demonstrar aqui somente o caso particular referente aos polígonos semelhantes.

r  O C1

 Área: π  r2

Dem.: Observemos inicialmente que todo polígono pode ser decomposto em triângulos. Portanto, basta demonstrarmos o resultado somente para triângulos. a b c h Seja r = = = = a' b' c ' h' Pela fórmula da área do triângulo a razão entre as áreas S e S’ é dada por: b ⋅h S b ⋅h b h 2 = 2 = = ⋅ =r S ' b '⋅ h ' b '⋅ h ' b ' h ' 2 S Portanto, = r2 . S'

Setor Circular

a r  C1

 Área:

r2 36 0

απ

=

α π  

r r ⋅ 180 2

=

 ⋅r

2

(α  em graus ) 11

1.8.1 O Teorema de Pitágoras

Exercícios

  A área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é equivalente a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

1.

(PUC) Se E é o ponto médio do lado AB do quadrado ABCD da figura abaixo, e se AB = 12, então a área do triângulo BDE vale: E

A

B

S 2 b

c

S 3 D

a)

a

2. S 1

30

C

b) 32

c) 34

e) 38

(UNI-RIO) Uma fábrica quer imprimir o seu logotipo em todas as folhas de papel que usa, conforme o modelo abaixo, no qual as medidas estão expressas em centímetros. A área do papel ocupada pelo logotipo será de: 1

S1

d) 36

2 1

= S2 + S3

4

Generalização. Se, sobre os lados do um triângulo retângulo constroem-se figuras semelhantes, a área figura construída sobre a hipotenusa é equivalente a soma das áreas das outras duas figuras.

1 1 2

1 S 2 c

b

1

S 3

a) b) c)

a S 1

3.

Dem.: De acordo com as relações entre as áreas, temos: S 2 b2 S3 c 2 = = S1 a2 S1 a2 Somando, membro a membro, temos: S 2 + S3 b 2 + c 2 = S1 a2 S +S b2 + c2 a2 como a2 = b2 + c2 ⇒ 2 3 = = =1 S1 a2 a2 ∴ S1 = S2 + S3

d) 18 cm2 e) 19 cm2

(UNI-RIO) Uma placa de cerâmica com uma decoração simétrica, cujo desenho está na figura acima, é usada apara revestir a parede de um banheiro. Sabendo-se que cada placa é um quadrado de 30 cm de lado, a área da região hachurada é:

a) b) c) d) e) 4.

Pelo que acabamos de ver S1 = S2 + S3 . Denotemos por ST a área do triângulo.  Vamos dar um a demonstração visual: L1 L2

S 3

1

5cm

Exemplo Resolvido Construindo-se semicircunferências sobre os lados de um triângulo retângulo, a soma das áreas de duas lúnulas é igual a área do triângulo.

S 2

15 cm2 16 cm2 17 cm2

1

900 − 125π   900 ( 4 − π  ) 500π  − 900 500π  − 225 225 ( 4 − π  )

(UNIFICADO) ABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio do lado AB. As retas CM e BD dividem o paralelogramo em quatro partes. Se a área do paralelogramo é 24, as áreas de I, II, III e IV são, respectivamente, iguais a: a) 10, 8, 4 e 2. b) 10, 9, 3 e 2. c) 12, 6, 4 e 2. d) 16, 4, 3 e 1. e) 17, 4, 2 e 1.

ST

D

C II

(S2 + S3 ) + S T

( S2 + S3 ) + St − S1 S1 + S t − S1 = St

I

=

III IV

A

12

M

B

5.

d

(UFF) Considere uma folha de papel em forma de retângulo RSTU, como na figura 1. São feitas, sucessivamente, 2 dobras nessa folha. A primeira é feita de modo que o ponto S caia sobre o segmento MN, sendo M e N, respectivamente, pontos médios de RS e UT, de acordo com a figura 2. A Segunda é feita de modo que o ponto P também caia sobre o segmento MN, conforme figura 3. R

12cm S

R

S

1ª dobra

30cm

M

c a

M

R P 2ª dobra

T

U

N

T

U

N

Determine as medidas dos ângulos a, b, c, e d. Calcule a razão entre a área sombreada e a área do quadrado.

9.

(PUC) Um pentágono é formado de um quadrado e de um triângulo isósceles de base coincidente com um lado do quadrado. Sabendo que o perímetro do pentágono é 140dm e o lado do triângulo é 5/6 do lado do quadrado calcule a área do pentágono.

T

10. (UERJ) Observe a figura abaixo (ABCD), que sugere um quadrado de lado a, onde M e N são respectivamente os pontos médios dos segmentos CD e AD, e F a interseção dos segmentos AM e BN. Utilizando os dados resolva os itens a e b.

 A área do triângulo MPQ é: b) 30 cm2 a) 18 2 cm2 c) 45 cm2 d) 36 2 cm2 e) 45 3 cm2 6.

a) b) P Q

U

b

M

D

(UERJ 03) Uma folha de papel retangular, como a da figura 1, de dimensões 8cm x 14cm, é dobrada como indicado na figura 2.

C

a

N F A

a) b)

Demonstra que o ângulo AFN é reto. Calcule a área do triângulo AFN em função de a.

11. (PUC) Os pontos A, B, C, D, E, E dividem em seis partes iguais o círculo de raio R. Determine a área achurada.

Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, em cm2, é igual a: (A) 112 (B) 88 (C) 64 (D) 24 7.

A

(CESGRANRIO) A reta EF, inclinada 30º relativamente ao lado DC, divide o quadrado ABCD da figura em dois trapézios de mesma área. A

B

F

B

E

C

B F

D

12. (FUVEST) Na figura são dados: AB = BC = CD = DE = 1 e EF = FG = 2. Calcule a área hachurada.

E 30º

D

Então a razão DE é igual a :  AE 3− 3 6 a) 3−2 3 3 c) 3 6 e) 8.

C

A

b) d)

2− 3 2 2− 3 2

C B

D E

F

G

13. (UFRJ) A figura ao lado mostra dois arcos de circunferência de centro O, raios raios R e 2R, e três ângulos ângulos iguais. Calcule a razão entre as áreas das regiões hachuradas e não hachuradas.

(UFRJ) Um pedaço de papel quadrado é dobrado duas vezes de forma que dois lados adjacentes se sobreponham sobre a diagonal correspondente. Ao desdobrarmos o papel, vemos os quatro ângulos assinalados na figura.

13

14. (PUC) Calcule a área da região limitada pela circunferência de raio r e pelas tangentes à circunferência.

19. (UFF)   A figura representa uma circunferência de raio 2cm. Sabendo que os segmentos congruentes PM e QN são perpendiculares ao diâmetro AB e que a medida de OM é 1cm determine a área da região assinalada.

B

P

Q

O P 60º

A A

15. (ASSOCIADO) Na figura abaixo, os três círculos têm raio 1 e são tangentes dois a dois. Calcule a área delimitada pelos arcos AB, BC e CA.

M

N

B

O

A

20. (UFRJ) C

4cm

B

2 2 cm 45º

16. (UENF) Considere o teorema de Pitágoras: em todo triângulo retângulo , a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. Observe a figura abaixo, onde as indicações com os traços determinam os lados que têm as mesmas medidas:

T3

13cm

Calcule a área e a altura do trapézio representado acima. (UFRJ 03) Na figura abaixo, os círculos C 1, 1, C 2 e C 3 estão inscritos nos quadrados  ABCD , DEFG  e GHIA, respectivamente. Sabendo-se que o ângulo  AG ˆD é reto e que a área de C 1 é igual a 1, calcule a soma das áreas de C 2 e de C 3. 3.

T1

T2

Baseando-se no teorema de Pitágoras, demonstre que a soma das áreas dos triângulos T1 e T2 é igual a área do triângulo T3. 17. (UFRJ) O retângulo ABCD, da figura abaixo, está subdividido em 100 quadrados elementares iguais. 21. (UFRJ 04)   A figura a seguir representa a planta de um terreno plano, em forma de pentágono convexo, de lados 40m, 50m, 35m, 45m, e 40m. em toda volta deste terreno foi construída uma calçada de 2m de largura (ou seja: a distância de qualquer ponto da borda desta calçada ao terreno é exatamente 2m)

Determine a área sombreada correspondente as letras da sigla UFRJ se: a) a área da letra U é a unidade de área. b)  A área do retângulo ABCD é igual a uma unidade de área. 18. (UFRJ) No círculo abaixo, a figura é formada a partir de semicircunferências e AC = CD = DE = EB. Determine S1 /S  /S2, a razão entre as áreas hachuradas. S 2

Determine a área total da calçada. A

C

D

E

B

S 1

14

(UERJ-2003) O logotipo de uma empresa é formado por duas circunferências concêntricas e tangentes a uma elipse, como mostra a figura abaixo. A elipse tem excentricidade 0,6 e seu eixo menor mede 8 unidades. A área da região por ela limitada é dada por πab, em que a e b são as medidas dos deus semi-eixos. Calcule a área da região definida pela cor cinza.

90. (UFF 01) As circunferências de centro O e O’ possuem, ambas, 1cm de raio e se interceptam nos pontos P e P’, conforme mostra a figura.

Determine a área da região hachurada. 91. (UFF 97) Determine a área da região hachurada na figura abaixo, sabendo que todas as circunferências têm raio r. 87. (UFF 01) Para a encenação de uma peça teatral, os patrocinadores financiaram a construção de uma arena circular com 10 m de raio. O palco ocupará a região representada pela parte hachurada na figura a seguir:

Se O indica o centro da arena e se h mede 5m, então, a área do palco, em m2 , vale: 75 3 + 50π   a) 3 25 3π   b) 2 50 2 + π   c) 2 5 2 + 10π   d) 3 e) 100π  

(UERJ 04) Na tirinha abaixo, considere A1 a área inscrita na circunferência que representa o acelerador americano e A2 a área inscrita naquela que representa o suíço. Observe que A1 é menor do que A2.

88. (UFF 02) Os lados MQ e NP do quadrado MQPN estão divididos em três partes iguais, medindo 1cm cada um dos segmentos MU, UT,TQ, NR, RS e SP. Unindo-se os pontos N e T, R e Q, S e M, P e U por segmentos de reta, obtém-se a figura: N

M

R

U

S

T

(Adaptado de CARUSO, F. & DAOU, L. Tirinhas de física, vol. 6. Rio de Janeiro, 2002.)

De acordo com os dados da tirinha,  A1 corresponde, aproximadamente, a:  A 2 (A) 0,16 0,1677 (B) (B) 0,06 0,0600 (C) (C) 0,0 0,046 (D) (D) 0,02 0,0233

P

a

razão

92. (UERJ 01/2q) Um fertilizante de larga utilização é o nitrato de amônio, amônio, de fórmul fórmulaa NH4 NO3. Para uma determinada cultura, o fabricante recomenda a aplicação de 1 L de solução de nitrato nitrato de amônio de concentração 0, 5mol ⋅ L−1 por m2 de plantação. A figura abaixo indica as dimensões do terreno que o agricultor utilizará para o plantio.

Q

Calcule a área da região sombreada na figura acima. 89. (UFF) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas, distando 30 cm uma da outra e a reta t é perpendicular às duas, distando 25 cm do ponto M.

Determine a área do retângulo MNPQ em função de (0 < α < 45º).

  A massa de nitrato de amônio, em quilogramas, que o agricultor deverá empregar para fertilizar sua cultura, de acordo com a recomendação do fabricante, é igual a: (A) 120 (B) 150 (C) 180 (D) 200

α

15

93. (UERJ 02/2q) Um professor de matemática fez, com sua turma, a seguinte demonstração: - colocou um CD sobre uma mesa e envolveu-o completamente com um pedaço de barbante, de modo que o comprimento do barbante coincidisse com o perímetro do CD; - em seguida, emendando ao barbante um outro pedaço, de 1 metro de comprimento, formou uma circunferência maior que a primeira, concêntrica com o CD.  Veja as figuras abaixo.

Trigonometria 1. Enquanto um edifício projeta uma sombra de 18 m, um bastão de comprimento 1 m, colocado verticalmente ao lado do edifício, projeta uma sombra de 30 cm. Determine a altura do edifício. 2. (Unesp) Um obelisco de 12 m de altura projeta, em certo momento, uma sombra de 4,8 m de extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80 m de altura poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra. 3. Dê o produto das tangentes de dois ângulos internos de um triângulo retângulo. 4.

Considerando o triângulo ABC retângulo em A, com os dados tgBˆ + tgC tgCˆ . Dê a resposta na que estão na figura calcule a soma tgB forma de numeral decimal. B 5

Calculou, então, a diferença entre as medidas do raio da circunferência maior e do raio do CD, chamando-a de x. Logo após, imaginando um CD com medida do raio idêntica à do raio da Terra, repetiu, teoricamente, as etapas anteriores, chamando de y a diferença encontrada. Assim, demonstrou a seguinte relação entre essas diferenças, x e y: (A) x + y = π  −1 (B) x + y = π  −2 (C) y − x = π  −2 (D) y − x = π  −1

A

C

13

5. Uma rampa faz um ângulo α com a horizontal. É dada tg α = 0,8. Para um carrinho atingir altura de 4m em relação ao solo , quanto deve caminhar sobre a rampa, a Partir de O?

94. (UFF 2000-G) Paulo deve colorir um painel quadrado, com um círculo centrado, usando as cores azul, verde e cinza, conforme indica a figura. Azul

Verde

Cinza

Verde

. 6.

No quadrilátero ABCD os ângulos A e B são retos e é dada 5 tgCˆ = 6 . Os lados AB e BC têm medida a e 2a . Obtenha a área e o perímetro do quadrilátero em função de a.

B Azul

.

A

Sabe-se que a medida do lado do quadrado é 2m e que a do segmento AB é 1m.Determine: a) o raio do círculo; b) a área, em m2, a ser colorida de azul.

C

95. (UERJ 04) Unindo-se os pontos médios dos lados do triângulo ABC, obtém-se um novo triângulo A’B’C’ , como mostra a figura.

D

2a

A

B

a

7. Na figura as retas r e s passam pela origem O(0,0). Qual o valor de cos(α+γ ) - senβ? y

Se S e S’ são, respectivamente, as áreas de ABC e A’B’C’, a razão S equivale a: S′ a) 4 b) 2 c) 3 3 d) 2

b a

g 

x

16

8. No triângulo ABC retângulo em A, a hipotenusa mede 6cm, cos B = 3/5 e cos C = 4/5. Determine as medidas dos lados b e c.

15. No triângulo retângulo ABC da figura, BC mede 52m, M é ponto médio de AC e a medida de B é 30º. Calcule a área do retângulo destacado.

B

C 6 c

M

A

b

C

B

A

9. Um disco voador foi visto na vertical sobre o centro da cidade de Garça(SP). No mesmo instante, o objeto foi visto da cidade de Gália (SP), a 12 Km de Garça, sob um ângulo de 37º. A que altura do solo, aproximadamente, estava o disco voador? São dados sen 37º = 0,6 e cos 37º = 0,8.

16. No triângulo ABC da figura, os segmentos AD e AB são congruentes e têm medida igual a 6cm. Calcule: a) a área do trapézio ABED. b)  A área do triângulo ABC. C D 30º

A 37º Garça

12Km

E

B

17. De acordo com a figura, responda: a) Qual o valor de tg α? b) O triângulo ABC é equilátero? c) Qual o valor de senα - cosα?

Galia

10.  A média aritmética de tg 30º e tg 60º é menor ou maior que tg 45º?

2

11. Determine o valor da expressão tg45º tg45º ⋅ cos45º − sen30º sen30º⋅ cos60º cos60º

1

cos cos2 30º + cos cos2 60º 60º + cos cos2 45º

1 a 2

-2 -1

12. Qual a medida do ângulo α assinalado na figura?

-2 ( 0,3 )

18. Para medir a largura AC de um rio, um técnico usou o seguinte procedimento: localizou um ponto B de onde podia ver a margem na margem oposta do rio o coqueiro C, de forma que o ângulo ABC fosse de 60º, determinou o ponto D no prolongamento de CA de forma que o ângulo CBD fosse de 90º. Medindo AD obteve 40m e pôde achar a largura do rio. Determine essa largura. (Admita AB e DC perpendiculares)

a

(3

3 ,0)

13. Na figura o segmento BC mede 5cm, obtenha a medida do segmento AD.

D

A B

D

60º

45º C

A

B

14. De acordo com as indicações que estão na figura ao lado, obtenha o valor de y. C y

C

M 30º A

1 3

B

17

19. Calcule x indicado na figura abaixo. abaixo.

23. (UFRJ 03) Determine, em função de θ, o perímetro da figura ABD , obtida retirando-se do triângulo retângulo ABC o setor circular BCD (de centro em C , raio 1 e ângulo θ). x

60º

30º 100m

20. (UFF) Considerando que as semi-retas r e s da figura são perpendiculares, qual o valor da expressão sen( a + c ) sen( b + c ) + cos ( b + d) cos ( a + d) s

d b

c a

r 

21. Um avião está voando em reta horizontal à altura 1 em relação a um observador O, situado na projeção horizontal da trajetória. No instante to, é visto sob ângulo α de 30° e, no instante t1, sob ângulo β de 60°.

1

β α O

?

 A distância percorrida entre os instantes to e t1 é a)

3

c)

3

b)

3

−1

d)

2 3 3 3

−1

2

22. (UERJ 01/2q) Em um parque de diversões há um brinquedo que tem como modelo um avião. Esse brinquedo está ligado, por um braço AC, a um eixo central giratório CD, como ilustra a figura abaixo:

Enquanto o eixo gira com uma velocidade angular de módulo constante, o piloto dispõe de um comando que pode expandir ou contrair o cilindro hidráulico BD, fazendo o ângulo θ variar, para que o avião suba ou desça.

 A medida do raio r da trajetória descrita pelo ponto A ponto A,, em função do ângulo θ, equivale a: (A) 6 sen θ (B) 4 sen θ (C) 3 sen θ (D) 2 sen θ 18