Matematičke i trigonometrijske funkcije u Excelu, Adnan Kuč, Emin Hatunić, Harun Kuč

ABS Izračunava apsolutnu vrijednost broja. Apsolutna vrijednost broja je broj bez svog predznaka. Sintaksa ABS(number) Number je realan broj čija se apsolutna vrijednost želi izračunati.

Primjer 1. ABS(A1) jednako 5 (slika 1.).

Slika 1. Primjer 2. ABS(-5) jednako 5 (slika 2.).

Slika 2. Primjer 3.

Primjer 4.

SQRT(ABS(-25)) = 5

SQRT(ABS(-49)) = 7

| 25 |  5

| 49 |  7

Primjer 5. Za dvije date grupe podataka naći srednja apsolutna odstupanja u odnosu na medijanu i aritmetičku sredinu

Rješenje Aritmetička sredina i medijana prve grupe su jednake i iznose 44. Prema tome, srednje apsolutno odstupanje za prvu grupu i u odnosu na aritmetičku sredinu i u odnosu na medijanu možemo izračunati posredstvom funkcije AVEDEV. Srednje apsolutno odstupanje za drugu grupu u odnosu na aritmetičku sredinu iznosi 5,51; u odnosu na medijanu srednje apsolutno odstupanje za drugu grupu jednako je 5,43. Na slici 3. date su odgovarajuće sintakse.

Slika 3. U ovom primjeru je pokazano kako se funkcija ABS (u kombinaciji sa funkcijom SUM) može iskoristiti za izračunavanje srednjih apsolutnih odstupanja u odnosu na bilo koji broj. Primjer 6. Naći srednje apsolutno odstupanje za sljedeću statističku seriju:

Rješenje Srednje apsolutno odstupanje u odnosu na aritmetičku sredinu, iznosi 0,75 (slika 4.).

Slika 4.

ACOS Izračunava arkus-kosinus broja. Arkus-kosinus je ugao čiji je kosinus broj. Izračunati ugao izražen je u radijanima u opsegu od 0 (nula) do  (pi). Sintaksa ACOS(number) Number je kosinus željenog ugla i mora biti od -1 do 1. Napomena Ako se rezultat želi pretvoriti iz radijana u stepene, treba ga pomnožiti sa 180 / PI(). Primjer 1. ACOS(-0,5) jednako 2,094395 = 2/3 radijana (slika 1.).

Slika 1. Primjer 2. ACOS(0,75) = 0,7227 radijana = 41,40962211 stepeni (slika 2.).

Slika 2. Primjer 3. ACOS(SQRT(2)/2) = 0,78539816 radijana = 45 stepeni

ACOSH Izračunava inverzni hiperbolni kosinus broja. Broj mora biti veći ili jednak 1. Inverzni hiperbolni kosinus je vrijednost čiji hiperbolni kosinus je broj, tako da ACOSH (COSH (number) ) jednak tom broju. Sintaksa ACOSH(number) Number je bilo koji realan broj jednak ili veći od 1.

Primjer 1. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2. Primjeri 3 i 4.

ASIN Izračunava arkus-sinus zadatog broja. Arkus-sinus je ugao čiji je sinus broj. Izračunati ugao je izražen u radijanima u opsegu od -/2 do /2. Sintaksa ASIN(number) Number je sinus ugla i mora biti u opsegu od -1 do 1.

Napomena Množenjem rezultata sa 180 / PI( ) arkus-sinus se može izraziti u stepenima. Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Primjer 3.

Primjer 4.

ASINH Izračunava inverzni hiperbolni sinus broja. Inverzni hiperbolni sinus je vrijednost čiji hiperbolni sinus je broj, pa je ASINH(SINH(number)) jednak argumentu number. Sintaksa ASINH(number) Number je bilo koji realan broj.

Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2. Primjer 3.

Primjer 4.

ATAN Izračunava arkus-tangens broja. Arkus-tangens broja je ugao čiji tangens je broj. Izračunati ugao izražen je u radijanima u opsegu od-/2 do /2. Sintaksa ATAN(number) Number je tangens ugla. Napomena Kako bi se tangens izrazio u stepenima, rezultat treba pomnožiti sa 180/PI( ). Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Primjer 3. ATAN(1)*180/PI()=45 stepeni (slika 2.).

Slika 2.

ATAN2 Izračunava arkus-tangens u označenim x i y koordinatama. Arkus-tangens je ugao koji zatvara osa x sa pravcem koji prolazi kroz koordinatni početak (0, 0) i kroz tačku sa koordinatama (x_num, y_num). Ugao je izražen u radijanima u opsegu između - i , sa izuzetkom -. Sintaksa ATAN2(x_num; y_num) X_num je x-koordinata tačke. Y_num je y-koordinata tačke.

Napomene  Pozitivan rezultat predstavlja ugao sa osom-x u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu; negativan rezultat predstavlja ugao u smjeru kazaljke na satu.  ATAN2(a;b) jednako ATAN(b/a), s tom razlikom što a može biti jednak 0 u funkciji ATAN2.  Ako su i x_num i y_num 0, ATAN2 postavlja vrijednost greške #DIV/0!.  Da bi se arkus-tangens izrazio u stepenima, rezultat treba pomnožiti sa 180/PI( ). Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Primjer 3.

ATANH Izračunava inverzni hiperbolni tangens broja. Broj mora biti između -1 i 1 (izuzev -1 i 1). Inverzni hiperbolni tangens je vrijednost čiji je hiperbolni tangens broj, pa je ATANH ( TANH (number) ) jednak argumentu number. Sintaksa ATANH(number) Number je bilo koji realan broj između 1 i -1.

Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2.

Slika 3.

CEILING Izračunava broj, zaokružen na vrijednost udaljeniju od nule koja je najbliži višekratnik argumenta significance. Zaokruživanje na broj udaljeniji od nule znači da se za pozitivne brojeve zaokružuje na vrijednost veću od zadate, a za negativne na manju vrijednost. Sintaksa CEILING(number; significance) Number je vrijednost koja se želi zaokružiti. Significance je višekratnik na koji se želi zaokružiti.

Napomena  Ako neki argument nije broj, CEILING postavlja vrijednost greške #VALUE!.  Bez obzira na predznak broja, vrijednost je zaokružena na broj udaljeniji od nule. Ako je broj višekratnik argumenta significance (značajnost), nema zaokruživanja.  Ako number i significance imaju različite predznake, CEILING postavlja vrijednost greške #NUM!. Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2.

COMBIN Izračunava broj kombinacija za dati broj stavki. Funkciju COMBIN treba koristiti kako bi se odredio ukupni mogući broj skupova za dati broj stavki. Sintaksa COMBIN(number; number_chosen) Number je broj stavki. Number_chosen je broj stavki u svakoj kombinaciji.

Napomene     

Brojčanim argumentima se odbacuju decimale kako bi postali cijeli brojevi. Ako neki argument nije broj, COMBIN postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je number < 0, number_chosen < 0, ili number < number_chosen, COMBIN postavlja vrijednost greške #NUM!. Kombinacija je svaki skup ili podskup stavki, bez obzira na njihov unutrašnji poredak. Kombinacije se razlikuju od permutacija, za koje je važan unutrašnji poredak. Broj kombinacija je kako slijedi, gdje je number = n a number_chosen = k:

n!  n  Pk,n     k! k!(n  k)! k  gdje je:

n! P  k,n (n  k)! Primjer 1. Pretpostavimo da od 10 kandidata želimo formirati dvočlani tim, i želimo saznati koliko je timova moguće formirati. Rješenje: 45 dvočlanih timova.

Slika 1.

COS Izračunava kosinus zadatog ugla. Sintaksa COS(number) Number je ugao u radijanima za koji se želi izračunati kosinus. Ako je ugao izražen u stepenima, treba ga pomnožiti s PI() / 180 kako bi stepene pretvorili u radijane. Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2. Primjer 3.

Slika 3.

COSH Izračunava hiperbolni kosinus od broja. Sintaksa COSH(number) Formula za hiperbolni kosinus je:

Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2. Primjer 3.

Slika 3.

COUNTIF Broji ćelije unutar opsega koje ispunjavaju zadati kriterij. Sintaksa COUNTIF(range; criteria) Range je opseg ćelija u kojem se žele prebrojiti ćelije. Criteria je kriterij u obliku broja, izraza ili teksta koji određuje koje ćelije će biti prebrojene. Na primjer, kriterij može biti izražen kao 56, "56", ">56", "keks". Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2. Primjer 3.

Slika 3.

DEGREES Pretvara radijane u stepene. Sintaksa DEGREES (angle) Angle je ugao (zadat u radijanima) koji se želi pretvoriti u stepene.

Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2. Primjer 3.

Slika 3.

EVEN Postavlja broj zaokružen na najbliži veći parni cijeli broj. Ova funkcija se može koristiti za obradu stavki koje dolaze u parovima. Na primjer, u kutiju stanu redovi od jedne ili dvije stavke. Kutija je puna kada se broj stavki, zaokružen na najbliži veći par slaže s kapacitetom kutije. Sintaksa EVEN(number) Number je vrijednost koja se zaokružuje.

Napomene  Ako argument number nije broj, EVEN postavlja vrijednost greške #VALUE!.  Bez obzira na predznak broja, vrijednost se zaokružuje na dalje od nule. Ako je broj parni cijeli broj, nema zaokruživanja. Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2.

EXP Izračunava e na potenciju broja. Konstanta e jednako 2,71828182845904, predstavlja bazu prirodnog logaritma. Sintaksa EXP(number) Number je eksponent primijenjen na bazu e.

Napomene  

Za izračunavanje potencija ostalih baza, može se koristiti eksponencijalni operator (^). EXP je inverzna funkcija od LN, prirodnog logaritma broja.

Primjer 1.

e1,25  3,490342957 Slika 1. Primjer 2.

eLN(5)  5 Slika 2. Primjer 3.

e10  22026,46579

FACT Izračunava faktorijel broja. Sintaksa FACT(number) Number je pozitivan broj čiji faktorijel se želi izračunati. Ako argument number nije cijeli broj, decimale se odbacuju.

Formula za izračunavanje faktorijela, glasi:

Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2. Primjeri 3 i 4.

FACTDOUBLE Izračunava dvostruki faktorijel argumenta number. Sintaksa FACTDOUBLE(number) Number je vrijednost za koju se traži dvostruki faktorijel. Ako number nije cijeli broj, decimale se odbacuju.

Napomene  Ako argument number nije broj, FACTDOUBLE postavlja vrijednost greške #VALUE!.  Ako je number negativan, FACTDOUBLE postavlja vrijednost greške #NUM!.  Ako je argument number paran broj:



n! !  n (n  2) (n  4) 4 2

Ako je number neparan:

n! ! n (n  2) (n 4) 3 1 Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2.

FLOOR Zaokružuje argument number na vrijednost bližu nuli, na najbliži višekratnik argumenta significance. Vrijednost bliža nuli je za pozitivne brojeve manja, a za negativne veća vrijednost od zadate vrijednosti. Sintaksa FLOOR(number; significance) Number je broj koji se želi zaokružiti. Significance je višekratnik na koji želite zaokružiti.

Napomene  Ako neki argument nije broj, FLOOR postavlja vrijednost greške #VALUE!.  Ako number i significance imaju različite predznake, FLOOR postavlja vrijednost greške #NUM!.  Ako je number pozitivan zaokružuje se na manji broj, a ako je negativan, na veći broj. Ako je number upravo višekratnik argumenta significance, nema zaokruživanja. Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

GCD Postavlja najveći zajednički djelitelj dvaju ili više cijelih brojeva. Najveći zajednički djelitelj je najveći cijeli broj s kojim su djeljiva bez ostatka oba broja number1 i number2. Sintaksa GCD(number1; number2; ...) Number1, number2, ... su 1 do 29 vrijednosti. Ako bilo koja vrijednost nije cijeli broj, odbacuju se decimale.

Napomene  Ako neki argument nije broj, GCD postavlja vrijednost greške #VALUE!.  Ako je neki argument manji od nule, GCD vraća vrijednost greške #NUM!.  Svaki broj djeljiv je s jedan.  Primbroj je djeljiv samo sa samim sobom i sa 1. Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2.

INT Zaokružuje broj na najbliži manji cijeli broj. Sintaksa INT(number) Number je realni broj koji se želi zaokružiti na manji cijeli broj.

Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2. Primjer 3.

LCM Postavlja najmanji zajednički višekratnik cijelih brojeva. Najmanji zajednički višekratnik je najmanji pozitivni cijeli broj, koji je višekratnik svih zadatih cijelih brojeva. Funkciju LCM treba koristiti prilikom sabiranja razlomaka s različitim nazivnicima. Sintaksa LCM(number1; number2; ...) Number1, number2,... je 1 do najviše 29 vrijednosti, za koje se traži najmanji zajednički višekratnik. Ako vrijednost nije cijeli broj, decimale se odbacuju.

Napomene  Ako bilo koji argument nije broj, LCM postavlja vrijednost greške #VALUE!.  Ako je bilo koji argument manji od jedan, LCM postavlja vrijednost pogreške #NUM!. Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2.

LN Izračunava prirodni logaritam zadatog broja. Prirodni logaritam je logaritam čija je baza konstanta e (2,71828182845904). Sintaksa LN(number) Number je pozitivan realan broj, za koji se želi pronaći prirodni logaritam. Napomene Funkcija LN je inverzna funkciji EXP. Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2.

LOG Izračunava logaritam broja za zadatu bazu. Sintaksa LOG(number; base) Number je pozitivan realan broj, za koji se želi pronaći logaritam. Base je baza logaritma. Ako je baza izostavljena, podrazumijeva se da je 10. Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2. Primjer 3.

L O G 10 Izračunava logaritam zadatog broja za bazu 10. Sintaksa LOG10(number) Number je pozitivan realan broj za koji se želi izračunati logaritam s bazom 10.

Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2. Primjer 3.

Slika 3.

L O G 10 Izračunava logaritam zadatog broja za bazu 10. Sintaksa LOG10(number) Number je pozitivan realan broj za koji se želi izračunati logaritam s bazom 10.

Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2. Primjer 3.

Slika 3.

MDETERM Izračunava determinantu matrice zadatu poljem. Sintaksa MDETERM(array) Array je polje brojeva sa jednakim brojem redova i kolona. 

 

Polje može biti zadato kao opseg ćelija, na primjer: A1:C3; kao polje konstanti, na primjer: {1,2,3;4,5,6;7,8,9}; ili kao njihov naziv. Ako je bilo koja ćelija u polju prazna ili sadrži tekst, MDETERM postavlja vrijednost greške #VALUE!. MDETERM takođe postavlja vrijednost greške #VALUE! ako polje nema jednak broj redova i kolona.

Napomene 

 

Determinanta matrice je broj izveden iz vrijednosti polja. Za polje od tri reda i tri kolone, A1:C3, determinanta se određuje kao: MDETERM(A1:C3) jednako A1*(B2*C3-B3*C2) + A2*(B3*C1-B1*C3) + A3*(B1*C2-B2*C1) Determinanta matrice se uopšteno koristi za rješavanje sistema matematičkih jednačina sa više nepoznatih. MDETERM se izračunava s tačnošću na 16 cifara, što može dovesti do male greške u broju u slučaju da izračunavanje nije potpuno. Na primjer, determinanta singularne matrice može se razlikovati od nule za 1E-16.

Primjer 1.

Slika 1.

Primjer 2.

Slika 2. Primjer 3. Izračunavanje matrične determinante 10*10 (slika 3.).

Slika 3. Primjer 4. Izračunavanje matrične determinante 5*5 (slika 4.).

Slika 4.

Primjer 5. Riješiti sistem 2x+4y = 3 , 3x-2y = -3. Rješenje sistema od dvije jednačine sa dvije nepoznate dato je na slici 5.

Slika 5. Primjer 6. Riješiti sistem x+3y = 3 , 2x+9y = 5. Rješenje je dato na slici 6.

Slika 6. Primjer 7. Riješiti sistem x+y+z = 10 , x-y -z = 0 , 2x-y-3z = 1 . Rješenje je dato na slici 7.

Slika 7.

Primjer 8. Riješiti sistem 2x-3y = 3 , x+4z = 10 , y+2z = 5 . Rješenje je dato na slici 8.

Slika 8. Primjer 9. Pokazati da je

3

5

2

2

5

2

2 0

2

2 0 0

2 0 0 0 Rješenje je dato na slici 9.

Slika 9. Primjer 10.

Slika 10.

 2 4  16

MINVERSE izračunava inverznu matricu u odnosu na matricu zadatu poljem. Sintaksa MINVERSE(array) Array je polje brojeva sa jednakim brojem redova i kolona.

  

Polje može biti zadato kao opseg ćelija, na primjer: A1:C3; kao polje konstanti, na primjer: {1\2\3;4\5\6;7\8\9}; ili kao njihov naziv. Sadrži li polje prazne ćelije ili tekst, MINVERSE postavlja vrijednost greške #VALUE!. MINVERSE takođe postavlja vrijednost greške #VALUE! ako polje nema jednak broj redova i kolona.

Napomene  Formule, koje postavljaju polje, moraju biti unesene kao formule polja.  Inverzne matrice, kao i determinante, oupšteno se koriste za rješavanje sistema matematičkih jednačina s više nepoznatih. Proizvod matrice i njezine inverzne matrice je jedinična matrica - polje kvadratnog oblika koje na dijagonali ima vrijednosti 1, a na svim ostalim mjestima 0.  Za primjer izračunavanja matrice, koja ima dva reda i dvije kolone, pretpostavimo da opseg A1:B2 sadrži slova a, b, c, i d, koja predstavljaju bilo koja četiri broja. Sljedeća tablica prikazuje inverznu matricu matrici A1:B2.

 

MINVERSE se izračunava s tačnošću na približno 16 cifara, što može dovesti do male greške u broju. Neke se kvadratne matrice ne mogu invertirati pa funkcija MINVERSE postavlja vrijednost greške #NUM!. Determinanta neinvertibilnih matrica je 0.

Primjer 1.

Primjer 2. Inverzna matrica matrici {4\-1;2\0} izračunata je na slici 1.

Slika 1. Primjer 3. Inverzna matrica matrici u polju A1:C3 izračunata je na slici 2.

Slika 2.

MMULT Postavlja matrični proizvod dvaju polja. Rezultat je polje s jednakim brojem redova kao polje1 i jednakim brojem kolona kao polje2. Sintaksa MMULT(array1; array2) Array1, array2 su polja koja se žele pomnožiti.  Broj kolona u array1 mora biti jednak broju redova u array2 i oba moraju sadržati samo brojeve.  Array1 i array2 mogu biti zadati kao opseg ćelija, polje konstanti 

ili reference. Ako je bilo koja ćelija prazna ili sadrži tekst, odnosno ako je broj kolona u array1 različit od broja redova u array2, MMULT postavlja vrijednost greške #VALUE!.

Napomene  Array a, proizvod dviju matrica predstavljenih sa array b i array c, jednak je:

a  ij

n

 bi k  c kj

k 1

gdje je i broj reda, a j broj kolone.  Formule, koje postavljaju polje, moraju biti unesene kao formule polja. Primjer 1. Proizvod matrica u poljima A1:B2 i D1:E2 daje jediničnu matricu (slika 1.).

Slika 1. Rezultat u polju ćelija G1:H2, dobili smo posredstvom formule polja: {=MMULT(A1:B2;D1:E2)}.

Primjer 2. Date su dvije kvadratne matrice  1 2  2  3 5  4     A   0 1 2  i B  4 3 4   1 0 1   5 - 5  3  Izračunati proizvode AB i BA, i pokazati da su ovi proizvodi različiti. Rješenje Neka se matrice A i B nalaze u polju ćelija, kao na slici 2.

Slika 2. Iz dobijenih rezultata neposredno vidimo da je AB  BA. Primjer 3. Izračunati proizvode AB i BA za date kvadratne matrice na slici 3. Rješenje je takođe, dato na slici 3.

Slika 3.

Primjer 4. U jednom ispitnom roku na A odsjeku Ekonomskog fakulteta polagalo je finansijsku matematiku 85 kandidata, matematiku 65 kandidata i statistiku 100 kandidata. Na B odsjeku polagalo je finansijsku matematiku 210 kandidata, matematiku 135 kandidata i statistiku 220 kandidata. Za svakog kandidata A odsjeka bilo je u prosjeku potrebno 13 minuta za pregledanje njegovog pismenog zadatka, a 18 minuta za usmeni ispit. Na svakog kandidata B odsjeka bilo je prosječno utrošeno 22 minute za pregledanje njegovog pismenog zadatka, a 12 minuta za usmeni ispit. Dati pregled ukupno utrošenog vremena na pregledanju pismenih zadataka i na usmeni ispit za svaki predmet. Ovdje su nam date dvije matrice. Prva X daje raspored kandidata po odsjecima i predmetima , a druga Y daje pregled prosječnog vremena za pismeni i usmeni ispit kandidata A i B odsjeka. Matrica X je reda (3;2), a matrica Y reda (2;2). Traženi pregled ukupnog utrošenog vremena na pismene i usmene ispite predstavljaće jednu matricu Z reda (3;2). Lako je zapaziti da je tražena matrica proizvod matrica X i Y, to jest Z = XY. Posredstvom funkcije MMULT (čija sintaksa je prikazana na slici 4.) dobijamo matricu Z (u polju ćelija F6:G8). Elementi matrice Z iskazani su u minutima. Podaci iskazani u časovima iskazani su u polju ćelija F11:G13.

Slika 4. Primjer 5. I postavka i rješenje, u ovom primjeru, dati su na slici 5.

Slika 5.

Primjer 6. Na slici 6. je pokazano kako se funkcija MMULT može iskoristiti za matrična izračunavanja AA, AAA, AAAA, i AAAAA.

Slika 6. Naravno, možemo i direktno izračunati, primjera radi, matricu A5 kako je pokazano na slici 7.

Slika 7. Pretpostavimo, da smo trebali izračunati A -2A4+3A3-A2+A. Sada veoma jednostavno korištenjem formule polja i običnih operatora "+" i "-" možemo izračunati gornju matricu, kao na slici 8. 5

Slika 8. Matrica A10 i A20 su izračunate na slici 9.

Slika 9.

MOD Postavlja ostatak nakon dijeljenja broja s djeliteljem. Rezultat ima isti predznak kao djelitelj. Sintaksa MOD(number; divisor) Number je broj za koji se traži ostatak nakon dijeljenja. Divisor je broj kojim se dijeli zadati broj. Ako je djelitelj jednak 0, MOD postavlja vrijednost greške #DIV/0!.

Napomene Funkcija MOD može biti izražena pomoću funkcije INT:

n MOD (nd) ;  n  d  INT( ) d Primjer 1.

Slika 1. Primjeri 2, 3, 4, 5, i 6.

MROUND Zaokružuje broj na višekratnik vrijednosti zadate drugim argumentom funkcije MROUND. Sintaksa MROUND(number; multiple) Number je vrijednost koja se zaokružuje. Multiple je vrijednost na čiji višekratnik, najbliži zadatom broju, se zaokružuje broj.

Napomene MROUND zaokružuje na broj udaljeniji od nule, ako je ostatak dijeljenja broja s višekratnikom veći ili jednak polovini vrijednosti višekratnika. Broj udaljeniji od nule ima veću vrijednost od zadate ako se radi o pozitivnim brojevima, odnosno manju vrijednost, ako se radi o negativnim brojevima. Primjer 1.

Slika 1. Primjeri 2, 3, 4, 5, i 6.

MULTINOMIAL Postavlja količnik faktorijela zbira vrijednosti i proizvoda faktorijela. Sintaksa MULTINOMIAL(number1; number2; ...) Number1, number2, ... je niz od 1 do najviše 29 vrijednosti, za koje se traži odnos faktorijela sume i proizvoda faktorijela.

Napomene  Ako bilo koji argument nije broj, funkcija MULTINOMIAL postavlja vrijednost greške #VALUE!.  Ako je bilo koji argument manji od 1, MULTINOMIAL postavlja vrijednost greške #NUM!.  Formula za izračunavanje funkcije MULTINOMIAL je:

MULTI NOMI A L(a;b; c)  a  number1 ; b  number2; c  number3; Primjer 1.

Slika 1.

(a  b  c)! a! b! c!

ODD Postavlja broj zaokružen na najbliži veći neparni cijeli broj. Sintaksa ODD(number) Number je vrijednost koja se zaokružuje.

Napomene  Ako argument broj nije broj, funkcija ODD postavlja vrijednost greške #VALUE!.  Bez obzira na predznak, broj se zaokružuje na vrijednost udaljeniju od nule. To znači, ako je broj pozitivan, zaokružuje se na najbližu veću neparnu vrijednost, a ako je negativan, na najbližu manju neparnu vrijednost. Ako je broj neparni cijeli broj, ne zaokružuje se. Primjer 1.

Slika 1. Primjeri 2, 3, 4, 5, 6, 7.

PI Postavlja broj 3,14159265358979, vrijednost matematičke konstante , s tačnošću na 15 cifara. Sintaksa PI( )

Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2. Primjer 3.

Slika 3.

POWER Izračunava rezultat stepenovanja broja na zadati stepen. Sintaksa POWER(number; power) Number je baza. Može biti bilo koji realni broj. Power je eksponent na koji se stepenuje baza.

Napomena Operator "^" može se koristiti umjesto argumenta POWER. Primjer 1. Koja konformna kamatna stopa za 74 dana odgovara godišnjoj kamatnoj stopi 113,4 %?

Slika 1. Primjer 2. Kolika je konformna kamatna stopa za 29 dana jula 1994. godine ako je mjesečna kamatna stopa 52,8 %?

Slika 2.

Primjer 3. Kolika je konformna kamatna stopa za 16 dana augusta 1992. godine ako je mjesečna kamatna stopa 24 %?

Slika 3. Primjer 4. Koja godišnja kamatna stopa odgovara konformnoj kamatnoj stopi 16,611339 % za 74 dana?

Slika 4. Primjer 5. Koja mjesečna kamatna stopa odgovara konformnoj kamatnoj stopi 48,677 % za 29 dana jula mjeseca 1994. godine?

Primjer 6. Koja mjesečna kamatna stopa odgovara konformnoj kamatnoj stopi 11,7423 % za 16 dana augusta mjeseca 1992. godine?

Primjer 7. 9598,76 NJ (slika 5.).

Slika 5. Zatezna kamata za 104 dana iznosi: 4,5241371 %. Do ovog iznosa, mogli smo doći i posredstvom finansijskih funkcija RATE (slika 6.) i FV (slika 7.).

Slika 6.

OK

Slika 7.

Primjer 8. Izračunati konformni koeficijent za 1, 5, 15, 25, 111, 158, 180, 222, 268, 312 i 365 dana ako kamatna stopa na godišnjem nivou iznosi: 48 % uz pomoć funkcije POWER. Pokazati kako se do istog rezultata dolazi posredstvom finansijskih funkcija RATE i FV. Rješenje je dato na slici 8.

Slika 8. Konformni koeficijent za 111 dana dat je na slici 9.

Slika 9. Posredstvom finansijskih funkcija FV i RATE dolazimo do istih rezultata prema sintaksama na slikama 10 i 11.

Slika 10.

Slika 11.

Primjer 9. Izračunati konformni koeficijent za 1, 2, 5, 7, 10, 15, 25, 28, 110, 156, 185, 228, 288, 319 i 365 dana ako kamatna stopa na godišnjem nivou iznosi 48 % , posredstvom funkcije POWER. Funkciju POWER koristiti kao formulu polja i pokazati kako se na najlakši i najbrži način mogu izračunati konformni koeficijenti za 1 do 365 dana. Rješenje Posredstvom funkcije POWER, koju smo koristili kao formulu polja, u jednom potezu izračunali smo odgovarajuće konformne koeficijente (slika 12.).

Slika 12. Konformne koeficijente za 1 do 365 dana izračunavamo tako, da prvo upišemo dane (polje A1:A365) a zatim selektujemo područje ćelija gdje će biti smješteni odgovarajući rezultati koji odgovaraju konformnim koeficijentima ( polje B1:B365), koje izračunavamo posredstvom funkcije POWER prema sintaksi {=POWER(1,48;A1:A365/365)-1}, kao na slici 13.

Slika 13.

Primjer 10.

Rješenje 

Geometrijska sredina za grupisane podatke, izračunava se prema obrascu:

G  N x f 1  x f 2  x f 3  ...  xnf n 2 3 1

n

f i 1

i

N

U našem primjeru do rezultata za ponderisanu geometrijsku sredinu dolazimo na način prikazan na slici 14. Očito je, da se ovdje koristi formula polja koja se aktivira istovremenim pritiskom na kombinaciju tipki : Ctrl + Shift + Enter

Slika 14.

PRODUCT Množi sve brojeve koji su zadati kao argumenti funkcije i izračunava njihov proizvod. Sintaksa PRODUCT(number1; number2; ...) Number1, number2, ... je 1 do najviše 30 brojeva koje treba pomnožiti.

Napomene  

Argumenti koji su brojevi, logičke vrijednost ili tekstualni prikaz brojeva, uzimaju se u obzir; argumenti koji su vrijednosti greške ili tekst koji ne može biti preveden u brojeve, uzrokuje greške. Ako je argument polje ili referenca, samo se brojevi u polju ili referenci uzimaju u obzir. Prazne ćelije, logičke vrijednosti, tekst ili vrijednosti greške u polju ili referenci se zanemaruju.

Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Primjer 3.

Primjer 4.

Rješenje 

Geometrijska sredina za grupisane podatke, izračunava se prema obrascu: n

f

f

f

f

G  N x 1 1  x 2 2  x 3 3  ...  x n n

f  N i

i 1

U našem primjeru do rezultata za ponderisanu geometrijsku sredinu dolazimo na način prikazan na slici 2. Očito je, da se ovdje koristi formula polja koja se aktivira istovremenim pritiskom na kombinaciju tipki : Ctrl + Shift + Enter

Slika 2.

G

100

58 7  62 15  66 28  70 24  74 16  78 10  68,0582973

QUOTIENT Postavlja cijeli dio broja dobijenog kao rezultat dijeljenja. Ovu funkciju treba koristiti kada se želi odbaciti ostatak dijeljenja. Sintaksa QUOTIENT(numerator; denominator) Numerator je dijeljenik. Denominator je djelilac.

Napomena Ako je bilo koji argument nenumerički podatak, QUOTIENT postavlja vrijednost greške #VALUE!. Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2.

RADIANS Pretvara stepene u radijane. Sintaksa RADIANS(angle) Angle je ugao u stepenima koji se želi pretvoriti u radijane.

Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

0,785398163 radijana 45 stepeni Slika 2. Primjer 3.

Slika 3.

RAND Postavlja jednoliko raspodijeljen slučajni broj, veći ili jednak 0 i manji od 1. Nakon svakog izračunavanja radnog lista, postavlja se novi slučajni broj. Sintaksa RAND( ) Napomene  Da bi se generirao slučajni realni broj između vrijednosti a i b, treba upotrijebiti:



RAND()*(b-a)+a Ako se želi RAND koristiti za generisanje slučajnog broja, ali se ne želi broj mijenjati nakon svakog izračunavanja ćelije, može se unijeti =RAND() u traku formule i zatim pritisnuti F9 kako bi se formula promijenila u slučajni broj.

Primjer 1. Generisanje slučajnog broja koji je veći ili jednak 0, ali manji od 99: RAND()*99 Primjer 2.

Primjer 3.

RANDBETWEEN Postavlja slučajni broj u opsegu koji se izabere. Svaki puta kada se računa radni list postavlja se novi slučajni broj. Sintaksa RANDBETWEEN(bottom; top) Bottom je najmanji cijeli broj koji će postaviti funkcija RANDBETWEEN. Top je najveći cijeli broj koji će postaviti RANDBETWEEN.

Primjer 1.

Primjer 2.

ROMAN Pretvara arapski broj u rimski, kao tekst. Sintaksa ROMAN(number; form)

Form 0 ili izostavljen 1 2 3 4 TRUE (ISTINA) FALSE (LAŽ)

Number je arapski broj koji se želi pretvoriti. Form je broj koji određuje koja vrsta rimskog broja se želi. Stil rimskog broja je u opsegu od klasičnog (Classic) do pojednostavljenog (Simplified), postajući sve sažetiji kako se vrijednost oblika povećava. Type Klasični Sažetiji Sažetiji Sažetiji Pojednostavljeni Klasični Pojednostavljeni

Napomene  Ako je broj negativan, postavlja se vrijednost greške #VALUE!.  Ako je broj veći od 3999, postavlja se vrijednost greške #VALUE!. Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

ROUND Zaokružuje broj na zadati broj cifara. Sintaksa ROUND(number; num_digits)

 

Number je broj koji se želi zaokružiti. Num_digits navodi broj cifara na koji se želi zaokružiti argument number.  Ako je num_digits veći od 0 (nula), tada se broj zaokružuje na navedeni broj decimalnih mjesta. Ako je num_digits jednak 0, tada se broj zaokružuje na najbliži cijeli broj. Ako je num_digits manji od 0, broj se zaokružuje nalijevo od decimalnog zareza.

Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

ROUNDDOWN Zaokružuje zadati broj na broj bliži nuli. To znači da će pozitivni brojevi biti zaokruženi na manji broj, a negativni na veći broj. Sintaksa ROUNDDOWN(number; num_digits) Number je bilo koji realni broj koji se želi zaokružiti prema niže. Num_digits je broj cifara na koji se želi zaokružiti argument number.

Napomena  ROUNDDOWN se ponaša kao funkcija ROUND, s tom razlikom što uvijek zaokružuje na broj čija je apsolutna vrijednost manja od vrijednosti zadatog broja.  Ako je num_digits veći od 0 (nula), broj se zaokružuje naniže na navedeni broj decimalnih mjesta.  Ako je num_digits jednak 0 ili je ispušten, broj se zaokružuje naniže do najbližeg cijelog broja.  Ako je num_digits manji od 0, broj se zaokružuje naniže na navedeni broj mjesta s lijeve strane decimalne tačke. Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

ROUNDUP Zaokružuje na broj udaljeniji od 0 (nule). To znači da će pozitivan broj biti zaokružen na veći broj, a negativan na manji broj. Sintaksa ROUNDUP(number; num_digits) Number je bilo koji realni broj koji se želi zaokružiti. Num_digits je broj cifara na koji se želi zaokružiti argument number.

Napomene  ROUNDUP se ponaša kao ROUND, s tom razlikom što uvijek zaokružuje broj na veću vrijednost (po apsolutnoj vrijednosti broja).  Ako je argument num_digits veći od 0 (nula), broj se zaokružuje naviše na navedeni broj decimalnih mjesta.  Ako je num_digits jednak 0 ili je ispušten, broj se zaokružuje naviše na najbliži cijeli broj.  Ako je num_digits manji od 0, broj se zaokružuje naviše na navedeni broj mjesta s lijeve strane decimalne tačke. Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

SERIESSUM Izračunava sumu niza stepeni, baziranu na formuli: SERIESS(x; n;m;α)

 a xn a

1

2

 x n m  a

3

 x n 2 m      a  x

j

n (j 1)m

Mnoge funkcije mogu se aproksimirati razvojem u stepene redove. Sintaksa SERIESSUM(x; n; m; coefficients) X je ulazna vrijednost za niz stepeni ili potencija. N je početni stepen ili potencija na koju se želi stepenovati x. M je korak kojim se povećava n za svaki član niza. Coefficients je skup koeficijenata kojima se množi potencija od x. Broj vrijednosti u argumentu koeficijenti određuje broj članova u nizu potencija. Na primjer, ako su među koeficijentima tri vrijednosti, tada će stepeni niz imati tri člana. Napomena Ako neki argument nije broj, SERIESSUM postavlja vrijednost greške #VALUE!. Primjer 1. SERIESSUM(A2;0;2;B2:B5)=0,707103215 (slika 1.).

Slika 1.

Primjer 2. Izračunati gubitak prema prvoj Erlangovoj formuli za n (broj vodova) = 5 i

x (ponuđeni saobraćaj) od 3,0 Erlanga pomoću funkcije SERIESSUM (slika 2.). Rješenje

Slika 2. Primjer 3. Izračunati gubitak prema prvoj Erlangovoj formuli za n (broj vodova) = 13 i

x (ponuđeni saobraćaj) od 10,0 Erlanga pomoću funkcije SERIESSUM (slika 3.). Rješenje

Slika 3.

xn E 1 (n ; x)  nn ! k x k! k 0



Primjer 4. Izračunati gubitak prema prvoj Erlangovoj formuli za n (broj vodova) = 20 i

x (ponuđeni saobraćaj) od 9,41 Erlanga pomoću funkcije SERIESSUM. Rješenje (slika 4.).

9,41 2 0 E 1 (2 0;9,41 ) 2 0 2 0! k  0,1 % 9,41 k! k 0



Slika 4.

xn E 1 (n ; x)  nn ! k  x k! k 0





SE RI E SSU Mx;( n ;0;1 / FACT (n )) ; SE RI E SSU Mx;0;1 ( ;A2 : A2 2 )

SE RI E SSU M9,4 ( 1 ;2 0;0; 1 / FACT(2 0) )  SE RI E SSU M9,4 ( 1 ;0;1A2 ; : A2 2 ) 9,4 1 2 0 1 2 ,1 80577   0,1 %  2 0 2 0! k 1 2 2 00,53 01 84 9,4 1 k! k 0

E 1 (2 0;9,4 1 )



Primjer 5. Izračunati gubitak za n (broj vodova) = 20 i dostupnost k = 5

za x (ponuđeni saobraćaj) od 1,98388 Erlanga pomoću funkcije SERIESSUM. Rješenje (slika 5.).

Slika 5.

xn n! n xk k! E 1 (n ; x)  k 0n-k  x E 1 (n - k; x) (n - k)! n- k xk k! k 0

 

1 ,983881 0 1 0! 10 1 ,98388k k! E 1 (1 0;1 ,9838) 8  k 0  0,1 % 1 ,983885 E 1 (5;1 ,983 88 ) 5! 5 1 ,98388k k! k 0

 

SIGN Utvrđuje predznak broja. Postavlja 1 ako je broj pozitivan, nula (0) ako je broj jednak 0 i -1 ako je broj negativan. Sintaksa SIGN(number) Number je bilo koji realan broj.

Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Primjer 3.

Primjer 4.

Slika 2.

SIN Izračunava sinus zadatog ugla. Sintaksa SIN(number) Number je ugao zadat u radijanima, za koji se želi izračunati sinus. Ako je argument number dat u stepenima, treba ga pomnožiti sa PI()/180 kako bi stepene pretvorili u radijane. Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Primjer 3. Sin(45 stepeni)=0,707106781 (slika 2.).

Slika 2.

SINH Izračunava hiperbolni sinus zadatog broja. Sintaksa SINH(number) Number je bilo koji realan broj. Formula za izračunavanje hiperbolnog sinusa je:

Primjer 1.

Slika 1. Primjer 2.

Slika 2. Funkciju za izračunavanje hiperbolnog sinusa može se koristiti za procjenu kumulativne raspodjele vjerovatnoće. Pretpostavimo da vrijednosti rezultata laboratorijskog testa variraju između 0 i 10 sekundi. Empirijska analiza prikupljenih prikaza eksperimenata pokazuje da je vjerovatnoća postizanja rezultata x, koji je manji od t sekundi, procijenjena sljedećom jednačinom: P(x