Matema - Tica Ba - Sica - A360 2.0 PDF
September 15, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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MATEMÁTICA
BÁSICA
SISTEMA DE ENSINO
SUMÁRIO MA MATEMÁTICA TEMÁTICA BÁSIC BÁSICA A O ALICERCE DAS MATEMÁTICAS
CAPÍTULO CAPÍT ULO 01 - EQUAÇÕES ELEMENTARES .......................................................................10 A Equação como uma Armação da Idendade
..................................................................... 24
CAPÍTULO 02 - POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO.................................................................26 O Innito .................................................................................................................................. 48
CAPÍTULO 03 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS .......................................................................50 Xadrez & Notação Algébrica ..................................................................................................... 60
CAPÍTULO 04 - MÚLTIPLOS E DIVISORES .........................................................................62 As Cigarras e os Números Primos ............................................................................................. 78
CAPÍTULO 05 - GRANDEZAS PROPORCIONAIS ................................................................80 E se todo o Nosso Planeta fosse Reduzido a uma Aldeia com Apenas 100 Habitantes? ... ...... ... 98
CAPÍTULO 06 - TRIGONOMETRIA NOS TRIÂNGULOS ....................................................100 Um Teorema Teorema Importante Decorrente da Lei dos Cossenos .................................................... 120
MATEMÁTICA BÁSICA 01 - EQUAÇÕES ELEM E LEMENT ENTARES ARES 02 - POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO RA DICIAÇÃO 03 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS A LGÉBRICAS 04 - MÚLTIP MÚLTIPLOS LOS E DIVISOR DIVI SORES ES 05 - GRANDEZAS PROPORCIONAI PROPO RCIONAISS
m o c . k c o t s r e u h S
O ALICERCE DAS MATEMÁTICAS Por Cristano Siqueira
"A Matemáca é a rainha das ciências; a Aritméca é a rainha da Matemáca". Carl Friedrich Gauss - conhecido como o "Príncipe dos Matemácos".
Es Esta ta unid unidade ade abo abord rdar aráá a Mat Matemá emác caa Básica. A nossa nalidade é mostrar a você, querido aluno, que a matemáca pode ser trabalhada a parr do seu codiano. A Mat Matemá emác caa Bási Básica ca é a es essên sência cia da álgebra e da geometria. Com ela aprendemos os fundamentos necessários para raciocinar de forma harmônica, lógica e fundamentada. Então vamos lá? Leia o text texto o abaixo com basta bas tant ntee at atenç enção. ão. Dep Depois ois re reit ita. a. É mui muito to importante que você desenvolva a sua capacidade de observação e o seu espírito críco. É um texto diverdo. Aproveite! Aproveite! Ha Havia via uma cid cidade ade ond ondee todo todoss os os seus seus habitantes estavam endividados. Ninguém nha dinheiro para absolutamente nada! Os bolsos estavam literalmente vazios. Nessa mesma época, em um feriado prolongado, chega um estrangeiro. Ele se dirigiu até o hotell co hote com m o in intu tuit ito o de pe pern rnoi oittar e se segu guir ir vi viaagem no dia seguinte. Lá che chega gando ndo,, o re recep cepcio cionis nista ta mostrou-l tr ou-lhe he as aco acomod modaçõ ações es e as dep depen endências do hotel. O estrangeiro aceitou pagar R$ 100,00 pela suíte de luxo. Por esse preço, estava também incluído o café da manhã. Depois de fazer o pagamento adiantado, pediu para que o ajudassem com as malas e foi repousar. repousar.
O recepcionist recepcionistaa não perdeu tempo! Pas-
sou mão nos reais e correu para pa gar aa quem ele cem devia: o dono do bar. Então começou um ciclo de pagamentos em série que parecia não ter mais m. O dono do bar
pagou o seu fo pagou forne rneced cedor or de re refri frige gera rant ntes es que, por sua vez, pagou o gerente do supermercado que pagou o português da padaria que liquidou sua dívida com o Carlinhos do açougue e que, nalmente, nalmente, acertou a sua dívida com a Flora da oricultura. Flor Flora, a, fe feliz liz que est estava ava,, tamb também ém fe fezz a sua parte. Ela devia Ela devia cem reais para Augus to, o recepcionista do hotel. Então, mais que depressa, foi ao hotel para livrar-se do débito que tanto a incomodava. “Pronto! Ufa! Já não te devo mais...” - Foi o que dis se Flora a Augusto ao encontrá-lo na re cepção do hotel. No entanto, olha o que aconteceu! Pouco depois de o recepcionis recepcionista ta receber “seu” dinheiro dinhe iro,, o est estran rangeir geiro o apar aparece ece dize dizendo ndo que por movo dos inúmeros pernilongos em seu quarto, ele preferiria ir dormir no carr ca rro. o. Ex Exig igiu iu,, en entã tão, o, o se seu u di dinh nhei eiro ro de vo volt lta. a. Augusto, sem graça, acabou por devolver o que o gringo havia lhe pagado. Ressarcido, o es estr tran ange geir iro o fo foii em embo bora ra co com m a su suaa ce cent nten enaa de reais. Veja só que curioso! Ao nal, ninguém da cidade ganhou um só centavo, entretanto agora todos estavam com as suas dívidas saldadas. Como você explica isso? Você consegue esclarecer este fato? Repare que o prob problema lema env envolve olve apena apenass fer ferram rament entas as rudimentares da matemáca básica (adição e subt su btra raçã ção o de R$ 100 100,0 ,00) 0) ap aplilica cada dass à co cont ntab abiilidade dos cidadãos. Ou não seria tão básica assim? Pense a respeito...
m o c . k c o t s r e u h S
01
EQUAÇÕES EQUA ÇÕES ELE ELEMENT MENTARES ARES
INTRODUÇÃO Segundo alguns historiador historiadores, es, os tradicionais bolos de aniversá aniversário rio surgiram surgiram na civilização grega, quando adoradores de Ártemis, deusa da caça, ofereceram em seu templo um preparado de mel e pão no formato de lua. As velas velas colocadas colocadas em cima cima do bolo também também surgi surgiram ram na idade idade anga. anga. As pessoa pessoass dessa época época acreditavam que a fumaça das velas levava suas preces ao céu e protegia o aniversariante de maus espíritos. Dentro dessa tradição, Karina e sua lha Bianca comemoram hoje os seus aniversários aniversários.. Karina faz faz 38 anos e Bianca faz 16. Daqui a quantos anos a idade de Karina será o dobro da idade de Bianca?
Podemos esquemazar tal problema através da tabela a seguir: Idades daqui a x anos
Idades atuais
Karina
38
38 + x
Bianca
16
16 + x
Assim, daqui a x anos, temos que: 38 + x = 2.(x + 16)
Esse é um exemplo exemplo de equação na variável x e sua solução, também também chamada de raiz, é a resposta resposta do problema proposto.
Matemáca Básica 11
EQUAÇÃO POLINOMIAL POLINOMIA L DO 1º GRAU Equação polinomi polinomial al do 1º grau na variável variável x é toda equação reduvel à forma ax + b = 0, sendo a e b números reais e a ! 0.
A raiz de ax + b = 0 com a ! 0 é obda isolando a variável x, ou seja: x =-
b a
Assim, essa equação tem como conjunto solução (ou verdade), S
=
$
-
b a
..
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Resolva as equações a seguir:
02. Dada a equação 3. ^2x - 5 h + k. ^x - 4h = k, na variável x, determine o valor numérico da constante k de modo que x = 2 seja solução dessa equação.
a) 7x + 8 = 4x - 3
Resolução: 7x + 8 = 4x - 3 3x = - 11
&
&
x =-
Resolução:
=- 3 - 8 7x - 4x =-
11 3
`
S =
$
-
11 3
Solução ou raiz de uma equação na variável x é o valor de x que torna a igualdade verdadeira. Assim, para x = 2, temos que:
.
b) 6x - 12 = -3 (-2x + 4)
^
h
^
h
3. 2.2 - 5 + k. 2 - 4 = k
Resolução:
- 3 - 2k = k
6x - 1 2 = - 3 ^- 2x + 4h
&
&-
2k - k = 3
real diferente de zero.
Resolução: 4x - 62x - ^x - 5h@ = 3x + 9
Resolução: x+a a
4x - 62x - x + 5@ = 3x + 9
3x - 5 = 3x + 9 0x = 14
d)
`
3x - 4 2
&
4x - x - 5 = 3x + 9
3x - 3x = 9 + 5
3k = 3
&
k =- 1
-a x+a x + = 4 a 4a
+
x - a = 4a 4
&
4. (x + a) + (x - a) 4a
=
16a 4a
4x + 4a + x - a = 16a & 4x + x = 16 a - 4a + a 13a 13a 5x = 13a & x = 5 ` S = 5
$
.
04. Numa sala de aula, um terço dos alunos são
S = Q
+
^ h
variável x sabendo-se que a é um número
c) 4x - [2x - (x - 5)] = 3x + 9
&
&-
03. Resolva a equação literal na
^ h
3. - 1 + k. - 2 = k
6x - 1 2 = 6 x - 12
0x = 6x - 6 x = 1 2 - 12 & 0 ` S = IR
4x - 6x + 5@ = 3x + 9
&
- 4x 1
3
homens e 14 são mulheres. Quantos são os alunos dessa sala?
= 6
Resolução: Resolução: -
3x 2 4
+
-
1 3 4x
=
3. (3x - 4) + 2. (1 - 4 x) 6 6 &
9x - 12 + 2 - 8x = 36 & 9x - 8x = 36 + 12 12 - 2
Sendo x a quandade de alunos dessa sala, temos que: =
36 6
x + 42 x 3x + = 14 = x & 3 3 3 - 2 x = - 42 & x = 21
&
x - 3x = - 42
S E R A T N E M E L E S E Õ Ç A U Q E | 1 0 O L U T Í P A C
x = 46 ` S = "46 ,
Portanto,, essa sala tem 21 alunos. Portanto
12 Matemáca Básica S E R A T 05. Resolva o sistema: 3x + y = 6 5x + 2y = 17 N E M Resolução: E Vamos resolver esse sistema ulizando três L E S processos diferentes: E Õ Ç 1º processo: Por substuição. A U Isolando y na primeira equação, temos: Q E y = 6 - 3x | 1 Substuindo na segunda equação, temos: 0 O 5x + 2 6 - 3x = 17 5x + 12 - 6 x = 17 L U - x = 5 5x - 6 x = 1 7 - 12 x =- 5 T Í P A Substuindo na primeira equação, temos: C
'
•
^
h
&
&
^ h
3. - 5 y = 21
+ y = `
&
6 & - 15 15 + y S = (- 5, 21)
#
-
=
6
y
&
= 6 +
15
2º processo: Por comparação.
•
Substuindo em uma das equações do siste ma inicial, temos:
3. y
^ 5h -
=
+ y =
21 ` S
6 & - 15 15 + y
= (-
#
5, 21)
=
6
y
&
+ = 6
15
-
06. No páo de uma delegacia há carros e motos num total de 30 veículos e 86 rodas. Quantas motos e quantos carros temos nesse páo? Resolução: Sendo x a quandade de carros e y a quan dade de motos, temos que:
' 4xx
+ +
y = 30 2 y = 86
Dividindo a segunda equação por tendo a primeira equação, temos:
'
-2 e man-
x + y = 30 - 2x - y = - 43
Isolando y na primeira equação, temos:
Adicionando membro a membro as duas do novo sistema, temos:
y
x + y - 2x - y
=
6 - 3x
=
- 5x 17 2
13 + y
Igualando essas novas equações, temos: - 5x 6 - 3x = 17 2
&
- 6x + 5 x = 1 7 - 12
x = 5
&
x =- 5
Substuindo em uma das equações, temos:
3. y •
^ 5h -
=
21
+ y = `
S
6 & - 15 15 + y
#
= (-
5, 21)
-
=
6
&
y
= 6 +
- 6x -
'
15
2y
5x + 2 y
==
12
17
x
=-
13
&
x
=
13
=
30
&
y
=
30 - 13
&
y
=
17
07. Há 8 anos a idade de um pai era o triplo da idade do lho. Daqui a 12 anos a idade do pai será o dobro da idade do lho. Quais são suas idades atuais? Resolução: Sendo x e y as idades do pai e do lho, respec vamente, temos que:
3º processo: Por adição.
Mulplicando a primeira equação por mantendo a segunda equação, temos:
&-
Portanto, nesse páo temos 13 carros e 17 motos.
12 - 6 x = 17 - 5 x &-
3 0 - 43
Substuindo em uma das equações do siste ma inicial, temos:
Isolando y na segunda equação, e quação, temos: y
=
-2 e
)
x-8
=
x + 12
^ h 2. ^y 12h
3. y - 8
=
+
&
)
x - 3y
=-
x - 2y
=
16
12
Mulplicando a primeira equação por -1 e adicionando à segunda equação membro a membro, temos:
Adicionando membro a membro as duas do novo sistema, temos: - 6x - 2y + 5x + 2y == - 12 + 17
&- x =
5 &x
=- 5
y = 28 e x = 68 Portanto, a idade atual do pai é 68 anos e a do Portanto, lho é 28 anos.
Matemáca Básica 13
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 06. Pedro nha 5 anos quando Beatriz nasceu.
01. Resolva as equações a seguir:
Hoje, a soma das idades de Pedro e Beatriz é 45 anos. Qual é a idade atual de Pedro?
a) 7x + 4 = 2x + 34 b) 13x - (6x + 6) = 22
07. Resolva as equações a seguir:
c) 2x - [5 + 3.(x + 8) - 11] = 5x d) 5.(7x - 2) - 10x = 46 + 2(x - 5) 02. Determine o valor de k para que x
= -2
seja solução da equação polinomial na variável x a seguir:
a)
3x 3 -2 = x8 4
c)
-3 2x - 1 x = 1 10 4
b)
x 1 2x 1 = 2 6 3 4
d)
3x 7 12 -
2x =
-
6
3
x -
-
1
8
08. Determine um número que subtraindo dele
(k + 1).x - 3(x + 6) = 5k
sua terça parte obtém-se a quinta parte desse
03. Patrícia e Mariana passaram no vesbular e
resolveram fazer churrascos em suas casas para comemorar. O número de pessoas que compareceram ao churrasco de Patrícia foi o dobro do número de pessoas que compare ceram ao de Mariana. Se esses dois eventos juntos veram 81 pessoas, quantas pessoas compareceram ao churrasco de Patrícia?
mesmo número aumentado de 7 unidades. 09. Dos alunos do ensino médio matriculados na Es-
cola ABC,
1 3
são do primeiro ano,
1 4
do segundo
ano e 150 são do terceiro ano. Assim, quantos alunos de ensino médio tem a escola ABC? 10. (UFGO) Uma agência de turismo vende pacotes
familiares de passeios turíscos, cobrando para 2
04. A casa do Sr. Marcos tem 1.020 m de área construída e possui 4 suítes de mesmo tama-
nho. Calcule a área de cada suíte sabendo que o derestante 740 m2?da casa tem uma área construída
crianças o equivalente a
2 3
do valor para adul-
tos. Uma família de cinco pessoas, sendo três adultos e duas crianças, comprou um pacote turísco e pagou o valor total de R$ 8.125,00. Com base nessas informações, calcule o valor que a agência cobrou de um adulto e de uma criança para realizar esse passeio. 11. Resolva as equações fracionárias seguir:
a) m o c . k c o t s r e u h S
05. Maria vai dividir entre seus lhos, João, Jonas e
b)
5 1 7 = 6 x 12
3x
x
= 2 x+2 x+1
c)
d)
1 2 3 + = x-1 x-3 x-2
x
x
12
= 2 x-3 x+3 x - 9
12. José e Antônio, trabalhando juntos, zeram a
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Joaquim, a quana de R$ 3.000,00. Sabendo-se que João e Jonas receberão a mesma quana e Joaquim R$ 600,00 a mais que cada um dos outros dois, calcule a quana que João e Jonas receberão.
terça parte de um muro em 6 dias. a outra terça parte foi feita por José que, sozinho, gastou 10 dias. A úlma terça parte cou para ser feita por Antônio. Quantos dias ele gastará?
14 Matemáca Básica S E R A T N E M E L E S E Õ Ç A U Q E | 1 0 O L U T Í P A C
13. Dois carros A e B possuem a mesma velo cidade média. O carro A percorre 2.400 km em x horas, enquanto um carro B percorre 3.200 km em 6 horas a mais. Nessas condi ções, determine o valor de x.
18. Resolva os sistemas a seguir ulizando o processo indicado.
' 2xx 5x b) ' 7x x c) ' x
3 y = 8 pelo método da substuição. + 2y = 5
-
a)
-
-
14. Um tanque é abastecido por duas torneiras A e B. A torneira A sozinha enche esse tanque em 2 horas. A torneira B sozinha enche esse tanque em 3 horas. Assim, após quanto tem po as duas torneiras juntas enchem o mesmo tanque inicialmente vazio? 3
15. Em uma fábrica, o número de mulheres é 5 do número de homens. Se fossem contratadas mais 10 mulheres, o número de homens e mulheres caria igual. Quantos homens trabalham na fábrica? 16. O dono de uma loja distribuiu a quantia de x reais aos seus três funcionários da seguin te maneira:
-
2y = 16 pelo método da comparação. + 3y = 12 +
6 y - 7y
-
+
==
4
3
pelo método da adição.
19. Resolva os sistemas a seguir: a)
*
x 4
+
x-
y
=
7 2
y = 1 3
b)
*
x-y x+y + = 4 3 5 x + 9y = 100
20. A soma de dois números é 193 e a diferença entre eles é 89. Quais são esses números? 21. Mariana e Marília foram comprar roupas em uma mesma loja do Shopping de sua cidade. Mariana pagou por 5 calças e 4 blusas R$ 420,00. Marília pagou por 3 calças e 2 blusas R$ 240,00. Saben do-se que Mariana e Marília pagaram o mesmo preço por cada calça e cada blusa, calcule esses preços.
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2
• O primeiro recebeu
5 do total mais R$ 500,00.
• O segundo recebeu
3 do total total mais 7
R$ 700,00.
• O terceiro recebeu R$ 900,00.
Calcule o valor de x, em reais. 17. Resolva as equações literais do 1º grau, na variável x, a seguir: a) b)
3.(2x + a) = 4x - 9a 1+x
=
a - x
, co com ma! 0
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22. (FUVEST-SP) João diz a Pedro: se você me der 1 5
do dinheiro que possui eu carei com uma
quana igual ao dobro do que lhe restará. Por
outro lado, se eu lhe der R$ 6.000,00 do meu dinheiro, nós caremos com quanas iguais. Quanto dinheiro possui cada um? 23. Considere uma prova em que os alunos devem responder um total de 30 questões. Cada ques-
2
a
tão respondida de forma correta o aluno ganha 5 pontos e para cada questão respondida de forma errada o aluno perde 3 pontos. Nessas con dições, determine o número de acertos e erros de um aluno que, ao responder todas as questões, obteve um total de 62 pontos.
-a x+a x x + = 5 10 3
c)
^
2
a x -1
d)
x
2
h
a+ +
x
1 x
= a
Matemáca Básica 15 24. (UFGO) Deseja-se distribuir uma quandade
25. (UFV-MG) Em uma urna vazia são coloca-
de maçãs para algumas crianças. Se fossem distribuídas 3 maçãs para cada criança, duas cariam sem ganhar maçã. Se fosse distribuída
das 20 bolas nas cores vermelha e branca. Se acrescentássemos uma bola vermelha à urna, o número de bolas brancas passaria a
uma maçã para cada criança, sobrariam 6 ma çãs. Determine o número de maçãs que devem ser distribuídas para cada criança de modo que todas recebam o mesmo número de maçãs.
ser igual à metade do número de bolas ver melhas. Quantas bolas vermelhas e quantas bolas brancas existem na urna?
EQUAÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Equação polinomial do 2º grau grau na variável x é toda equação reduvel à forma forma ax2 + bx + c = 0, sendo a, b e c números reais e a ! 0.
As raízes de ax2 + bx + c = 0 com a Bhaskara, ou seja:
! 0
são obdas isolando a variável x através da fórmula de
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x=
-b ! D 2a
Assim, essa equação tem como conjunto solução (ou verdade), S =
'
-b +
D -b -
2a
2a
,
D
1.
O termo D = b2 - 4ac é chamado de discriminante da equação polinomial do 2º grau ax 2 + bx + c = 0. Assim, temos que: •
Se D > 0,
•
Se D = 0, a
•
Se D
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