Matemáticas Avanzadas Para Ingeniería, Vol 2 - Vectorial, Fourier , Complejo - Dennis Zill, Dewar- 3ed

M a t e m á t ic a s

a v a n z a d a s

p a r a

in g e n ie r ía

2

C á l c u l o v e c t o r ia l , ANÁLISIS DE FOURIER Y ANÁLISIS COMPLEJO ™ ¡ uSM

DENN1S G. Z1LL JACQEIELIINE M. U E W A R Tercera edición

El v o lu m e n de M a te m á tic a s a v a n z a d a s p a ra in g e n ie ría 2 tra ta los te m a s rela cion ado s con el cá lc u lo ve c to ria l, las fu n c io n e s o rto g o n a le s , las series de Fourier y el análisis c o m p le jo .

Características sobresalientes de esta obra: • Aborda las ecuaciones diferenciales parciales, lo que perm ite que este versátil texto pueda ser utilizado prácticam ente en cualquier curso de m atem áticas avanzadas o cálculo avanzado. • Supera a cualquier otro libro sobre el tem a no sólo por la claridad con la que los autores exponen los conceptos, sino por los recursos pedagógicos empleados, entre los cuales se tienen: ►Secciones introductorias de cada capítulo. ►Ejercicios por sección. ►Ejercicios de repaso general, ►Una serie de proyectos de ingeniería y ciencia relacionados con los temas del texto aportados por im portantes m atem áticos. • Un m étodo distinto para la resolución de problem as de valores en la frontera no homogéneos. • Problemas añadidos. • Grupos de ejercicios que enfatizan la creación de conceptos y le dan continuidad a los desarrollos teóricos presentados en las secciones y facilitan la asignación de tareas.

V i McGraw-Hill n Interamericana

lw McGraw-Hill Congiuri

IS B N -13: 9 78 -970-10-6510-5 ISBN-10: 970-10-6510-7

978970106510500000 Visite nuestra página WEB www.nicgraw-hill-educacion.com

M

a t e m á t ic a s a v a n z a d a s pa r a in g e n ie r ía

2:

C á lc u lo w ecto íiial, a n á l is is de F o u r ie r Y ANÁLISIS COMPLEJO f

M

a t e m á t ic a s a v a n z a d a s pa r a in g e n ie r ía

C á lc u lo

v e c t o r ia l / a n á l is is de

2:

F o u r ie r

Y ANÁLISIS COMPLEJO 'X-L.

-VTV-.

V .*

Tercera edición j j p

># r

Æ ^m

Dennis G. Zill

x

Loyola Marymount University

Michael R. Cullen (finado) Loyola Marymount University

Traducción técnica: Dr. Em ilio Sordo Zabay

Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Azcapotzalco

Revisión técnica: Juan Carlos del V alle Sotelo

H e rib erto A g u ilar Juárez

Departamento de Física y Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México

División de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Nacional Autónoma de México

Ignacio R am írez Vargas

José M a rtín Villegas G onzález

Departamento de Ingeniería Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Hidalgo

Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías (CUCEI), Universidad de Guadalajara

Me G ra w MEXICO • BOGOTA • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA MADRID • NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO • AUCKLAND LONDRES • MILÄN • MONTREAL • NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SÄO PAULO SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO

Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayón Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez Editora de desarrollo: Lorena Campa Rojas Supervisor de producción: Zeferino García García Traductor: Carlos Roberto Cordero Pedraza MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍA 2: CÁLCULO VECTORIAL, ANÁLISIS DE FOURIER Y ANÁLISIS COMPLEJO Tercera edición Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

KM McGraw-Hill m u Interamericana DERECHOS RESERVADOS © 2008 respecto a la primera edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary o f The McGraw-Hill Companies, Inc. Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D. F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN-10: 970-10-6510-7 ISBN-13: 978-970-10-6510-5 Traducido de la tercera edición en inglés de la obra ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS, by Dennis G. Zill and Michael R. Cullen. Copyright © 2006 by Jones and Bartlett Publishers, Inc., págs i-xiv, xviii-xxxiii, 299-566, 651-929, app-9-app-14, ans-14-ans-21, ans-30-ans-49, i-l-i-23. All rights reserved. ISBN-10: 0-7637-4591-X ISBN-13: 978-0-7637-4591-2 1234567890

09765432108

Impreso en México Impreso por Litografica Ingramex

The McGraw-Hill Companies

Printed in Mexico Printed by Litografica Ingramex

W m m

Prefacio a la tercera edición en inglés A diferencia de un curso de “cálculo” o de “ecuaciones diferenciales”, donde el con­ tenido del curso está muy estandarizado, el contenido de un curso titulado “matemáticas para ingeniería” algunas veces varía de forma considerable entre dos instituciones aca­ démicas distintas. Por lo tanto, un texto sobre matemáticas avanzadas para ingeniería es un compendio de muchos temás matemáticos, todos los cuales están relacionados en términos generales por la conveniencia de su necesidad o su utilidad en cursos y carreras subsiguientes de ciencia e ingeniería. En realidad, no hay un límite para la cantidad de temas que se pueden incluir en un texto como el que ahora nos ocupa. En consecuencia, este libro representa la opinión de los autores, en este momento, acerca de lo que consti­ tuyen “las matemáticas de ingeniería”.

C ontenido d e l te x to El presente tomo fue dividido en tres partes, en las cuales sigue manifiesta nuestra creencia de que la columna vertebral de las matemáticas relacionadas con la ciencia y la ingeniería es la teoría y las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

Parte I: C álculo vectorial (cap ítulos 1 a 3) El capítulo 1,Vectores, y el 3, Cálculo vectorial, incluyen muchos de los temas que se cubren en el tercer semestre de una secuencia de cálculo: vectores geométricos, funciones vectoriales, derivadas direccionales, integrales de línea, integrales dobles y triples, inte­ grales de1superficie, y los teoremas de Green, Stokes y de la divergencia. El capítulo 2, Matrices, es una introducción a los sistemas de ecuaciones algebraicas, los determinantes y el álgebra matricial con énfasis especial en aquellos tipos de matrices útiles en la reso­ lución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Las secciones sobre criptografía, códigos para la,corrección de errores, el método de los mínimos cuadrados y los modelos compartimentales discretos se presentan como aplicaciones del álgebra matricial.

Parte II: Análisis de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales (capítulos 4 a 8 ) En esta sección se presenta el material medular de las series de Fourier y de los proble­ mas sobre valores en la frontera. En el capítulo 4, Funciones ortogonales y series de

Fourier, se presentan los temas fundamentales de los conjuntos de funciones ortogonales y la expansión de funciones en términos de una serie infinita de funciones ortogonales. Estos temas se utilizan más adelante en los capítulos 5 y 6, donde se resuelven proble­ mas de valor en la frontera en distintos sistemas de coordenadas: rectangulares, polares, cilindricas y esféricas, mediante la aplicación del método de separación de variables. En el capítulo 7, Método de la transformada integral, los problemas de valor en la frontera se resuelven por medio de las transformadas integrales de Laplace y Fourier.

Parte III: Análisis co m p lejo (capítulos 9 a 12) Los capítulos 9, 10, 11 y 12 cubren los temas elementales de los números complejos a través de la aplicación de transformaciones conformes en la solución del problema de Dirichlet. Este material en sí mismo puede cubrir fácilmente un curso trimestrál de intro­ ducción a variables complejas.

P rincipales características de Matemáticas avanzadas I I • Todo el texto se modernizó a fondo para preparar a los ingenieros y científicos con las habilidades matemáticas requeridas para estar a la altura de los desafíos tecnológicos actuales. • Se han agregado, al inicio del libro, nuevos proyectos de ciencia e ingeniería aportados por importantes matemáticos. Estos proyectos están relacionados con los temas del texto. • Se han añadido muchos problemas. Además, fueron reorganizados muchos grupos de ejercicios y, en algunos casos, se reescribieron por completo para seguir el flujo del de­ sarrollo presentado en la sección y facilitar más la asignación de tareas. Los grupos de ejercicios también enfatizan la elaboración de conceptos. • Hay un gran énfasis tanto en las ecuaciones diferenciales como en los modelos matemáti­ cos. La noción de un modelo matemático está entretejida a lo largo de todo el texto, y se analiza la construcción y las desventajas de diferentes modelos. • En la sección 5.6 se agregó otro método para resolver problemas de valor en la frontera no homogéneos. • En los capítulos 5 y 6 se concede mayor énfasis al problema de Neumann. • A lo largo de los capítulos 4, 5 y 6, la confusa mezcla, de símbolos como A2 y V —A en la solución de problemas de valor en la frontera de dos puntos se ha reemplazado por el uso consistente de A. A lo largo del análisis se hace énfasis en los tres casos A = a 2, A = 0 y A= —a 2.

D iseño del texto El texto cuenta con un formato más amplio y un diseño atractivo, lo cual hace que sea placentero leer y aprender de él. Todas las figuras cuentan con textos explicativos. Se han agregado más comentarios y anotaciones al margen en todo el libro. Cada capítulo tiene una página de presentación que incluye una tabla de contenidos y una breve introducción al material que se estudia­ rá. Al final de cada capítulo se incluyen ejercicios de revisión. Después de los apéndices se proporcionan respuestas a los problemas impares seleccionados.

PREFACIO A LA TERCERA EDICIÓN EN INGLÉS

A g radecim ientos Deseo agradecer a las siguientes personas que generosamente destinaron tiempo de sus ocupadas agendas para proporcionar los proyectos incluidos en el texto: Antón M. Jopko, Departamento de Física y Astronomía, McMaster University. Warren S. Wright, Departamento de Matemáticas, Loyola Marymount University. Gareth Williams, Departamento de Matemáticas y Ciencias Computacionales, Stetson University. Jeff Dodd, Departamento de Computación y Ciencias de la Información, Jacksonville State University. Matheus Grasselli, Departamento de Matemáticas y Estadística, McMaster Uni­ versity. Dmitry Pelinovsky, Departamento de Matemáticas y Estadística, McMaster Uni­ versity. También es un gusto poder agradecer a las siguientes personas por sus comenta­ rios y sugerencias de mejora: Sonia Henckel, Lawrence Technological University. Donald Hartig, California Polytechnic State University, San Luis Obispo. Jeff Dodd, Jacksonville State University. Víctor Elias, University of Western Ontario. Cecilia Knoll, Florida Institute of Technology. William Crimínale, University of Washington. Stan Freidlander, Bronx Community College. Hermán Gollwitzer, Drexel University. Robert Hunt, Humboldt State University. Ronald Guenther, Oregon State University. Noel Harbertson, California State University. Gary Stoudt, Indiana University of Pennsylvania. La tarea de compilar un texto de esta magnitud fue, en pocas palabras, larga y difícil. A lo largo del proceso de pasar cientos de páginas manuscritas por muchas manos, es indudable que se nos pudieron haber escapado algunos errores, por lo cual me disculpo de antemano. Dennis G. Zill Los Angeles

PREFACIO A LA TERCERA EDICIÓN EN INGLÉS

v ii

Prólogo a la edición en español Para que la selección de temas pudiera ser flexible, el texto original en inglés fue divi­ dido en cinco partes o subdivisiones principales. Para la edición en español, se optó por dividir el texto en dos volúmenes que se pueden manejar de manera independiente. El primero aborda principalmente las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. En este segundo tomo se reúnen los temas relacionados con el cálculo vectorial, sin dejar a un lado el análisis de Fourier y las ecuaciones en derivadas parciales. Esto es lo que hace que, aunque los dos tomos se complementen perfectamente, también puedan funcionar de manera independiente de acuerdo con las características y necesidades del curso. Queremos agradecer de manera especial las valiosas aportaciones y comentarios de los siguientes profesores, que sin duda alguna han enriquecido esta edición: Ángel Varela, ITEC Arturo Patrón, ITEC Aureliano Castro, UAS, Escuela de Ingeniería Eduardo Soberanes, ITESM Culiacán José Calderón Lamas, ITEC José Carlos Aragón Hernández, ITEC José Humberto Jacobo Escobar, UAS, Facultad de Ciencias Químico Biológicas Juan Castañeda, VAS, Facultad de Ciencias Químico Biológicas Juana Murillo Castro, UAS, Escuela de Ingeniería Luis Felipe Flores, ITLM Manuel Ramón Apodaca Sánchez, ITLM Marcial Arrambi Díaz, ITC Marco Antonio Rodríguez Rodríguez, ITLM Oscar Guerrero, ITESM Culiacán Ramón Duarte, UAS, Escuela de Ingeniería Raúl Soto López, UDO Culiacán

Contenido Prefacio a la tercera edición en inglés Prólogo a la edición en español Proyecto para la sección 2.1 Gareth Williams, Ph.D.

v

ix

Red de dos puertos en circuitos eléctricos xv

Proyecto para la sección 2.2 Gareth Williams, Ph.D.

Flujo de tráfico

xvii

Proyecto para la sección 2.15 Dependencia de la resistividad Anton M. Jopko, Ph.D. en la temperatura xix Proyecto para la sección 3.16 Superficies mínimas Jeff Dodd, Ph.D. Proyecto para la sección 6.3 Matheus Grasselli, Ph.D.

El átomo de hidrógeno

xx xxii

Proyecto para la sección 7.4 La desigualdad de Jeff Dodd, Ph.D. incertidumbre en el procesamiento de señales Proyecto para la sección 7.4 Anton M. Jopko, Ph.D.

Difracción de Fraunhofer a través de una abertura circular xxvii

Proyecto para la sección 8.2 Inestabilidades en métodos Dmitry Pelinovsky, Ph.D. numéricos xxix

Parte 1 Vectores, matrices y cálculo vectorial C ap ítu lo 1 Vectores 1.1

3

4

Vectores en el espacio 2D

5

1.2

Vectores en el espacio 3D 11

1.3

Producto escalar

1.4

Producto vectorial

1.5

Líneas y planos en el espacio 3D

16 23 28

1.6

Espacios vectoriales

1.7

Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

35

Ejercicios de repaso del capítulo 1

49

44

xxv

C ap ítu lo 2 Matrices

51

2.1

Álgebra matricial

2.2 2.3

Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales Rango de una matriz 72

2.4

Determinantes

2.5 2.6

52 61

77

Propiedades de los determinantes 82 Inversa de una matriz 89 2.6.1

Cálculo de la inversa

89

2.6.2

2.7

Utilización de la inversa para resolver sistem as 95 Regla de Cramer 99

2.8

El problema del valor propio

2.9

Potencias de las matrices

2.10 2.11

Matrices ortogonales

112

Aproximación de valores propios

2.12 Diagonalización

119

126

2.13

Criptografía

2.14

Código corrector de errores

2.15 2.16

102

108

135 138

Método de los mínimos cuadrados 144 Modelos discretos de compartimiento 147 Ejercicios de repaso del capítulo 2

C ap ítu lo 3 Cálculo vectorial

Parte 2

155

3.1 3.2

Funciones vectoriales 156 Movimiento sobre una curva

3.3 3.4

Curvatura y componentes de la aceleración Derivadas parciales 171

3.5

Derivada direccional

3.6 3.7 3.8

Planos tangentes y líneas normales Divergencia y rotacional 187 Integrales de línea 193

3.9 3.10

Independencia de la trayectoria Integrales dobles 209

3.11 3.12

Integrales dobles en coordenadas polares Teorema de Green 223

3.13 3.14 3.15

Integrales de superficie 228 Teorema de Stokes 237 Integrales triples 243

3.16

Teorema de la divergencia

3.17

Cambio de variables en integrales m últiples Ejercicios de repaso del capítulo 3 267

162 167

178 184

202 218

254 260

Series de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales 271

C ap ítu lo 4 Funciones ortogonales y series de Fourier 272

CONTENIDO

151

4.1

Funciones ortogonales

4.2

Series de Fourier

278

273

4.3

Series de Fourier de cosenos y senos

4.4

Series

complejas de Fourier

290

4.5

Problema de Sturm-Liouville

294

4.6

Series de Bessel y de Legendre

283

301

4 .6 .1

Serie de Fourier-Bessel

302

4 .6 .2

Serie de Fourier-Legendre

305

Ejercicios de repaso del capítulo 4

308

C ap ítu lo 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares 309 5.1

Ecuaciones diferenciales parciales separables

310

5.2

Ecuaciones clásicas y problemas de valores en la frontera 314

5.3

La ecuación de calor

319

5.4

La ecuación de onda

322

5.5

La ecuación de Laplace

5.6

Problemas de valores en la frontera no homogéneos 332

5.7

Desarrollos en series ortogonales

5.8

Serie de Fourier con dos variables

343

Ejercicios de repaso del capítulo 5

346

327

339

C ap ítu lo 6 Problemas de valores en la frontera en otros sistemas coordenados 348 6.1

Problemas en coordenadas polares

349

6.2

Problemas en coordenadas polares y cilindricas: funciones de Bessel 354

6.3

Problemas en coordenadas esféricas: polinomios de Legendre 360 Ejercicios de repaso del capítulo 6

363

C ap ítu lo 7 Método de la transformada integral 7.1 7.2

Función de error

365

366

Aplicaciones de la transformada de Laplace

7.3

Integral de Fourier

7.4

Transformadas de Fourier

7.5

Transformada rápida de Fourier

367

375 380 386

Ejercicios de repaso del capítulo 7

395

C ap ítu lo 8 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales 397 8.1

La ecuación de Laplace

8.2

La ecuación de calor

403

398

8.3

La ecuación de onda

409

Ejercicios de repaso del capítulo 8

412 CONTENIDO

x iii

Parte 3

Análisis complejo

415

Capítulo 9 Funciones de una variable compleja

416

9.1

Números complejos

9.2

Potencias y raíces

417

9.3

Conjuntos en el plano complejo

9.4

Funciones de una variable compleja

9.5

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

9.6

Funciones exponenciales y logarítmicas

9.7

Funciones trigonométricas e hiperbólicas

9.8

Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas 449

421 425 428

434

Ejercicios de repaso del capítulo 9

Integrales de contorno

10.2

Teorema de Cauchy-Goursat

10.3

Independencia de la trayectoria

10.4

459

Fórmulas integrales de Cauchy

464 470 475

477

11.1

Sucesiones y series

11.2

Serie de Taylor

11.3

Series de Laurent

11.4

Ceros y polos

478

483 489

497

11.5

Residuos y teorema del residuo

11.6

Cálculo de integrales reales

500

506

Ejercicios de repaso capítulo 11

C ap ítu lo 12 Transformaciones conformes 12.1

453

454

Ejercicios de repaso del capítulo 10

C ap ítu lo 11 Series y residuos

445

452

C ap ítu lo 10 Integración en el plano complejo 10.1

439

512

514

Funciones complejas como transformaciones

12.2

Transformaciones conformes

12.3

Transformaciones racionales lineales

12.4

Transformaciones de Schwarz-Christoffel

12.5

Fórmulas integrales de Poisson

12.6

Aplicaciones

519 526 532

537

541

Ejercicios de repaso del capítulo 12

Apéndice

548

Transformaciones conformes

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar RESP-1 índice

x iv

CONTENIDO

l-l

515

AP-1

■

Matemáticas avanzadas para ingeniería II: ■

1 '

Cálculo vectorial, análisis de Fourier y análisis complejo

-fo r Dayet

■

►►PROYECTO PARA LA SECCIÓN

2.1

Red de dos puertos en circuitos eléctricos Gareth Williams, Ph.D.

Departamento de M atemáticas y Ciencias Computacionales, Stetson University Muchas redes eléctricas están diseñadas para aceptar señales en ciertos puntos y producir una versión modifi­ cada de éstas. El arreglo general se ilustra en la figura 1.

una forma lineal y determinan la matriz de transmisión. Nuestro método será construir dos ecuaciones:; una que exprese a V2 en términos de Vt e /,, y la otra qi)e exprese a I2 en términos de V, e /,. Posteriormente combinare­ mos estas dos ecuaciones en una sola ecuación matricial. Utilizamos la siguiente ley: Ley de Ohm: La caída de voltaje a través de una re­ sistencia es equivalente a la corriente multiplicada por la resistencia. jj La caída de voltaje a través de la resistencia será V, — V2. La corriente a través de la resistencia es /,. Por tanto, la ley de Ohm establece que V[ — V2 = /,/t. La corriente /, pasa a través de la resistencia R y exis­ te como 7,. De esta forma, I2 = 7,. Primero escribimos estas dos ecuaciones en la forma estándar, V2 = V, - 7771

A

A

r 1

y luego como una ecuación matricial,

, i

t

A

Red elé ctrica

a \\

a l2

a2\

a22

a La matriz de coeficientes ( | se denomina ma^a2\ a22¿ triz de transmisión del puerto. La matriz define a la red de dos puertos. En la figura 2 se presenta un ejemplo de una red de dos puertos. La parte interior consiste en una resistencia R conectada como se muestra. Podemos demostrar que las corrientes y los voltajes en efecto se comportan de

1 - R ''

. De esta vO 1, forma si R equivale a 2 ohms y el voltaje y corriente de entrada son V, = 5 volts e 7, = 1 ampere, réspectivamente, obtenemos La matriz de transm isión es

Una comente /, a un voltaje Vt se envía sobre una red de dos puertos, y ésta determina de alguna forma la corriente de salida I2 al voltaje V2. En la práctica, la re­ lación entre las comentes y voltajes de entrada y salida por lo general es lineal, y se encuentran relacionadas por una ecuación matricial:

|

'V,

A

A

Figura 1

I2 = OU, + 7 ,

Red de dos puertos

Vj

:

El voltaje y la corriente de salida serán 3 volts y 1 am­ pere respectivamente. En la práctica, se colocan en serie variasj redes de dos puertos estándar como la que se describió arriba para obtener un cambio de voltaje y corriente deseado. Considere las tres redes de dos puertos de la figura 3, cuyas matrices de transmisión son A, B y C . Al considerar cada red de forma independiente, te­ nemos que = A

A/

B

= c

Al sustituir | ^ ) de la primera ecuación en la ;segunda obtenemos

Figura 2

Red de dos puertos

Figura 3

Dós puertos en serie

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 2.1 Red de dos puertos en c irc u ito s eléctricos

ì) - <

xv

Al sustituir la última matriz

2. La corriente a través de 7?, es 7, — 72. La caída de vol­ taje a través de R t es V,. La corriente a través de R2 es 72. La caída de voltaje a través de R2 es V, — V2.

en la tercera ecua-

ción obtenemos

¡\

i >

t ’ Vi 1

De este modo las tres redes de dos puertos serán equi­ valentes a una sola. La matriz de transmisión de esta red de dos puertos será el producto CBA de los puertos individuales. Observe que la ubicación de cada puerto en la secuencia es relevante debido a que las matrices no son conmutativas bajo la multiplicación.

h

v v v *2

t

1

%

í h

h Figura 5

Red de dos puertos para e l problem a 2

3. La corriente a través de R, es /,. La caída de voltaje a través de R, es V¡ — V2. La corriente a través de R2 es 7, - 72. La caída de voltaje a través de R2 es V2.

Problemas relacionados h

En los problemas 1-3, determine las matrices de trans­ misión de las redes de dos puertos que se muestran en la figura.

t 1 ( ,

Vi

1. V¡ = V2 debido a que las terminales se conectan de forma directa. La corriente a través de la resistencia R es 7| — I2. La caída de voltaje a través de R será Vj.

h f 1 V i \ h Figura 4

¡2

Red de dos puertos para e l problem a 1

t

,

h

.

xvi

>

V 2 ,

1

h

Red de dos puertos para e l problem a 3

h

a)

¿Cuál es la matriz de transmisión de la red de dos puertos compuesta?

b)

Si el voltaje de entrada equivale a 3 volts y la co­ rriente a 2 amperes, determine el voltaje y la co­ rriente de salida. h

í h

f

<

4. La red de dos puertos de la figura 7 consiste de tres redes de dos puertos colocadas en serie. Las matrices de transmisión son las que se muestran.

J2

1 2 volts

Figura 7

Figura 6

t

amperes

h l

I]

h ^ R

4 A a V V V

V

,

h

(i?) <

13

h 1 " Í

u í Ü

<

.

h

h

t4

Redes de dos puertos en serie para e l problem a 4

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 2.1 Red de dos puertos en c ircu ito s eléctricos

Intersección B\ Tráfico de entrada = 350 + 125. Tráfico de salida = Aj + x4. Por tanto, a, + a 4 = 475.

2.2

►►►PROYECTO PARA LA SECCIÓN

Intersección C: Tráfico de entrada = x3 + x4. Tráfico de salida = 600 + 300. Por tanto, x3, + x4 = 900.

Flujo de tráfico Gareth Williams, Ph.D.

Intersección D: Tráfico de entrada = 800 + 25Q. T ráfico de salid a = x2 + x3. P or tan to x2 + x3 =1 050. j! ‘

Departamento de M atemáticas y Ciencias Computacionales, Stetson University )

X| + x2

= 625

a,

+ x4 = 475 , x3 + x4 = 900 ; x2 + a 3

= 1 050

/1

1 0

0

625 \

1

475

Operaciones de renglones

900

=4>

1 0

0

0 0

11

\0

1 1 0 1050/

/I 0 0 0 1 0 0 0

Calle Duval

Calle Hogan

X\

oo o fo <

>

^

v 1 2 Calle Monroe

D

x 3, k250 vph

125 vph

B

0

()/

El sistema de ecuaciones que corresponde con qsta forma reducida escalonada por renglón es a,

+ x4 = 475 x2

- x4 =

150 900.

¿

Al expresar cada variable principal en términos! de la variable, restante, obtenemos a, = —x4 + 475

C3 5 ^ v4 u u

1

0 0

\0

1 ! 415 \ —1 150 o o

400 vph

'3 5 0 vph

a ÍJTa

j: ■

Puede em plearse el método de elim inación de Gauss-Jordan para resolver este sistema de ecuaciones. La matriz aumentada y la forma reducida escalonada por renglón son las siguientes:

x3 + x4 = i 1225 vph

^

GV

El análisis de redes, como lo observamos en el análisis de las reglas de nodo y lazo de Kirchhoff en la sección 2.2, juega un papel importante en la ingeniería eléctrica. En años recientes, los conceptos y herramientas de este análisis de redes han resultado útiles en, muchos otros campos, como en la teoría de la información y el estu­ dio de sistemas de transporte. El siguiente análisis del flujo de tráfico a través de una red de caminos durante las horas pico ilustra cómo en la práctica pueden surgir sistemas de ecuaciones lineales con muchas soluciones. Considere la red típica de calles de la figura 1. Re­ presenta un área del centro de la ciudad de Jacksonville, Florida. Las calles son de un solo sentido, las flechas indican la dirección del flujo del tráfico. El flujo del tráfico de entrada y salida de la red se mide en términos de vehículos por hora (vph). Las cifras que se propor­ cionan se basan en las horas de tráfico pico de mitad de semana, de 7 a 9 a . m . y de 4 a 6 p . m . Se deberá per­ mitir un incremento de 2 por ciento en el flujo general durante la tarde del viernes' Construyamos un modelo matemático que pueda utilizarse para analizar esta red.

Estas restricciones sobre el tráfico se describen em­ pleando el siguiente sistema de ecuaciones lineales:;

x2 =

x3 = —x4 + 900.

300 vph

C 600 vph

Figura 1 Centro de la ciudad de Ja ckso n ville , Florida Suponga que se aplican las siguientes leyes de trá­ fico: Todo el tráfico que ingresa a una intersección debe abandonarla. Esta restricción de la conservación del flujo (com­ párela con la regla de nodos de Kirchhoff) nos lleva a un sistema de ecuaciones lineales: Intersección A: Tráfico de entrada = x¡ + x 2. Tráfico de salida = 400 + 225. Por tanto, Aq + a 2 = 625.

a4 + 150

Como podría esperarse, el sistema de ecuaciones cuenta con varias soluciones, por lo que es posible tener vários flujos de tráfico. Un conductor cuenta con, una cierta cantidad de opciones en las intersecciones. Ahora utilicemos este modelo matemático para obtener más información sobre el flujo de tráfico. Suponga que se requiere realizar trabajos de mantenimiento en el seg­ mento DC de Calle Monroe. Es deseable contkr con un flujo de tráfico x3 lo más pequeño posible pára este segmento de calle. Los flujos pueden controlarse a lo largo de diversas bifurcaciones por medio de semáforos. ¿Cuál sería el valor mínimo de x3 sobre DC que ñb oca­ sione una congestión de tráfico? Para resolver esta pre­ gunta, emplearemos el sistema de ecuaciones anterior. Los flujos de tráfico no deben ser negativos (un flujo negativo podría interpretarse como tráfico que se des­ plaza en la dirección incorrecta en una calle de un solo

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 2.2 Flujo de trá fic o

sentido). La tercera ecuación en el sistema nos indica que X3 será un mínimo cuando x4 sea lo más grande posible, siempre que no exceda de 900. El valor más grande que x4 puede llegar a tener sin ocasionar valores negativos de x x o de x2 es 475. De este modo, el valor más pequeño de x3 será —475 + 900, o 425. Todo tra­ bajo de mantenimiento sobre la Calle Monroe deberá permitir un volumen de tráfico de al menos 425 vph. En la práctica, las redes son mucho más vastas que la analizada aquí, llevando a sistemas de ecuaciones lineales más grandes, que son manipuladas median­ te computadoras. Es posible ingresar diversos valores para las variables en una computadora con el fin de crear escenarios distintos.

momento? (Las unidades de flujo están dadas en ve­ hículos por hora.) 3. La figura 4 representa el tráfico que ingresa y sale de otro tipo de glorieta usada en Europa continental. Tales glorietas aseguran el flujo continuo de tráfico en las intersecciones de calles. Construya ecuaciones lineales que describan el flujo del tráfico sobre las distintas bifurcaciones. Utilice estas ecuaciones para determinar el flujo mínimo posible sobre x¡. ¿Cuáles son los demás flujos en este momento? (No es nece­ sario calcular la forma reducida escalonada por ren­ glones. Utilice el hecho de que el flujo de tráfico no puede ser negativo.)

Problemas relacionados 100

90

1. Construya un modelo matemático que describa el flujo de tráfico en la red de calles señalada en la figura 2. Todas las avenidas son calles de un solo sentido en las direcciones indicadas. Las unidades están dadas en vehículos por hora (vph). Proporcione dos flujos de tráfico posibles. ¿Cuál es el flujo mínimo posible que puede esperarse sobre el tramo AB1

-v2

Y 130

- 110

V

A

K

XY

Y x4 N

155

120

x6

80

> -1 5 0

Figura 4

75

Flujo de trá fic o del problem a 3

4. La figura 5 describe un flujo de tráfico, con las unida­ des en vehículos por hora (vph).

100

Figura 2 Flujo de trá fic o del problem a 1

«)

Construya un sistema de ecuaciones lineales que describa este flujo.

b)

El tiempo total que toma a los vehículos reco­ rrer cualquier segmento de calle es proporcional al tráfico sobre dicho segmento. Por ejemplo, el tiempo total que toma a x¡ vehículos recorrer AB serán kx¡ minutos. Suponiendo que la constante es la misma para todas las secciones de calles, el tiempo total para que 200 vehículos recorran esta red será Lr, T 2kx2 + kx3 + 2fcc4 + kx5. ¿Cuál será el tiempo total si k = 4? Proporcione un tiem­ po promedio para cada automóvil.

2. La figura 3 representa el tráfico que ingresa y sale de una glorieta. Tales intersecciones son muy comu­ nes en Europa. Construya un modelo matemático que describa el flujo del tráfico sobre las diversas bifurca­ ciones. ¿Cuál es el flujo mínimo posible teórico sobre la rama SC? ¿Cuáles son los otros flujos en dicho 50

100—►-

> f

..

t L D

; K

B

150

A

200

Figura 3

x v iii

Flujo de trá fic o del problem a 2

Figura 5

Flujo de trá fic o para e l problem a 4

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 2.2 Flujo de trá fic o

L

PROYECTO PARA LA SECCIÓN

Problemas relacionados

2.15

Deseamos ajustar puntos de información (x¡, y¡) utili­ zando la ecuación cuadrática general y = ctx2 + bx + c en el sentido de mínimos cuadrados. Con tan splo tres puntos de información no sería necesario el procedi­ miento de mínimos cuadrados. En nuestro caso, conta­ mos con siete puntos de información.

Dependencia de la resisti­ vidad en la temperatura Antón M. Jopko, Ph.D.

/

Departamento de Física y Astronomía, McMaster University

y*

1. Construya el vector columna Y = J \

Un conductor de longitud L y área transversal uniforme A tiene una resistencia R dada por R = pL/A , pues el conductor está hecho de un material con resistividad p. Sin embargo, la resistividad no es constante para todas las temperaturas del conductor. Cuando la corriente fluye a través del conductor, se genera calor, lo que eleva su temperatura. A este proceso se le conoce como calen­ tamiento de Joule.. En general, mientras más alta sea la temperatura, más alta será la resistividad y en última ins­ tancia la resistencia. Esto significa que debe conocerse la resistividad a la temperatura de trabajo del conductor. Modelamos la resistividad a la temperatura 7j. del con­ ductor por medio de la función cuadrática dada por p(T c) = p0 + a (T c - T0) + (3(Tc - T0f donde Tc representa la temperatura del conductor en grados Celsius, T0 es la temperatura ambiente y p0 es la resistividad a temperatura ambiente. Los coeficientes p0, a y ¡3 se determinan por medio de la experimenta­ ción. El tungsteno es un conductor con un punto de fusión muy ele­ vado, que se utiliza para fabricar los filamentos de las lámparas in­ candescentes. Suponga que la in­ formación en la tabla está medida para la resistividad del tungste­ no. En los problemas siguientes, presentam os un procedim iento de mínimos cuadrados para en­ contrar los valores de p0, a y /3. Asumiremos que T0 = 20°C. Tc (°C)

Resistividad (íl-m ) X 10 8

20

5.6Q

40

5.65

80

5.70

200

7.82

500

11.1

700

20.2

1000

30.5

A =

/ *i x\

*i

i\

*2

*

*7

1/

III :y la matriz .•

dh)

i ||.

/

2. Haga que el vector columna X ’ =

\n

Ia V V e J

contenga

los coeficientes mínimos cuadrados. Calcóle el vector X* = (A 7A) ~ 1A rY. 3. Utilizando la ecuación cuadrática de mínimbs cuadra­ dos, prediga la resistividad del tungsteno a300°C. 4. Si un conductor de tungsteno a temperatura ambiente tiene una resistencia de 5 ohms, utilice el resultado del problema 3 para predecir su resistencia a una tem­ peratura de 300°C. 5. Encuentre el error RMS(raíz cuadrada de la media de los cuadrados) de laecuación cuadrática cíe mínimos cuadrados, i.

Vi ± oo. Demuestre que e Cr, donde 2 mE c = J — T¡ 2r 1 (7) es una solución de esta ecuación limitante. Con base en el ejercicio anterior, considere una so­ lución general de la forma R(r) = f ( r ) e ~ ° pa(a una función analítica/(r). Mediante procedimientos'!analí­ ticos, la función/(r) posee una expansión de series / ( r ) = aQ + a¡r + a2i2 + ••• Sustituya esta serie en la ecuación (6) (con k = 0) y deduzca que los coeficientes a¡ satisfacen la relación recursiva j; ¡C - B aj = 27 Ü T ^ ' - " donde B

:: j = i ’ 2’ -

’1

(8)

me 2 AtteJ i 1

7. Demuestre que el límite de la ecuación (8) para 2C ■! valores grandes de j es a, = -------- a ¡-\> que. es lia sene, 7 + 1 de potencia para la función e2Cr. Concluya que la única forma de hacer que la función R(r) disminuya a cero a medida que r se vuelve más grande'es que la serie de potencias para /(/-) termine después de un número finito de términos. Por último, observe que esto sucede si y sólo si nC - B para algún entero n. Nuestra problema final en este proyecto será ge­ nerar los niveles de energía del átomo de hidrógeno como una consecuencia del trabajo realizado- hasta aquí. Deberá observar que la existencia de niveles de energía cuantizados no necesitan ser postulados, sino más bien deducidos a partir del análisis matemático de la ecuación de Schrödinger. Mientras que los pasos

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 6.3 El átom o de hidrógeno

x x iii

de deducción son más complicados que los seguidos por Bohr, debe ser evidente que la eliminación de los axiomas de cuantización específicos de Bohr fue un logro importante alcanzado por Schrödinger, razón por la cual recibió el Premio Nobel de física en 1933. 8. Utilice la condición expresada en el ejercicio previo y las fórmulas obtenidas para C y B para concluir que

x x iv

las energías permitidas para el átomo de hidrógeno en un estado con momento angular cero son „4

"

(4/7re 0)22ñ2n2

^

que deben coincidir con los niveles de energía que en­ contró para el átomo de Bohr del problema 2.

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 6.3 El átom o de hidrógeno

I

►►► > PROYECTO PARA LA SECCIÓN

7.4

La desigualdad de incertidumbre en el procesamiento de señales

De manera que recorrer una señal en el tiempo no afecta a los valores de |/ ( a ) | en el dominio de las frecuencias. Tomando en cuenta estos hechos, ahora se proce­ de a considerar el efecto de estrechar o ampliar una señal en el dominio del tiempo simplemente éscalañdo la variable temporal. 3. Si c es un número positivo, considérese que/r(x)-f(c x ). Muestre que

Jeff Dodd, Ph.D.

Departamento de Matemáticas, Computación y Ciencias de la Inform ación, Jacksonville State University _____________________________________________J Los ingenieros en comunicaciones interpretan a la trans­ formada de Fourier como la descomposición de una señal fix) que lleva información, donde x representa al tiempo, en una superposición de “tonos” sinusoidales puros que tienen frecuencias representadas por una variable real. De hecho, los ingenieros usualmente consideran la re­ presentación en el “dominio de la frecuencia” resultan­ te, tanto o más que la representación en el “dominio del tiempo” (esto es, ¡la señal misma!). Un aspecto funda­ mental del procesamiento de señales eS que cuanto más estrecha es una señal en el dominio del tiempo, más am­ plia es en el dominio de la frecuencia. También, cuanto más estrecha es una señal en el dominio de la frecuen­ cia, más amplia es en el dominio del tiempo. Este efec­ to es importante porque, en la práctica, una señal debe enviarse en un tiempo limitado y utilizando un interva­ lo limitado o “banda” de frecuencias. En este proyecto se describe e investiga este equilibrio entre duración y ancho de banda, tanto cualitativa como cuantitativa­ mente. Los resultados de esta investigación respaldan una regla práctica comúnmente citada: una cierta banda de frecuencias es proporcional al producto de la dura­ ción en tiempo por el ancho de la banda de frecuencias.

Problemas relacionados Se emplean la forma compleja de la transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier, dadas en (5) y (6) de la sección 7.4. Se utiliza la notación f ( a ) para denotar la transformada de Fourier de una función f(x ) en una forma compacta que explícita su dependencia de /, esto es, / ( a ) = F { f(x )}. Se considera que f e s una función real, y se comienza revisando dos propie­ dades simples de / . 1. M ostrar que si a > 0, entonces / ( —a ) = /(«)■ Así, para cualquier a, | / ( —a )| = |/ ( a ) |. (Aquí, las nota­ ciones z y |z| representan el conjugado y el módulo de un número complejo z, respectivamente.) 2. Si k es un número real, supóngase que f k(x) = f ( x — k ) . Mostrar que /* (« ) = eiakf { o )

De forma que al estrechar la función señal / e p el do­ minio del tiempo (c> 1), se ensancha su transformada en el dominio de la frecuencia, y al ampliar la función s e ñ a l/e n el dominio del tiempo (c < 1), se estrecha su transformada en el dominio de la frecuencia. Para cuantificar el efecto que se observa en el pro­ blema 3, se necesita establecer una medida del “ancho” de la gráfica de una función. La medida más común­ mente utilizada es el ancho de la raíz cuadrada de la media de los cuadrados, que cuando se aplica a una se ñ a l/e n los dominios del tiempo y de la frecuencia, conduce a un valor cuadrático medio (o faíz cuadrada de la media de los cuadrados) de duración D (f) y un valor cuadrático medio de ancho de banda B ( f), dados por x 2[ f{ x )] 2 dx 2 _

[f(x)fdx -oo

« 2

| / ( a

) |2

doí

W )V

De manera que el ancho de banda y la duración se calculan en relación a los “centros” de a = 0 y x = 0 debido a que, según los problemas 1 y 2, la gráfica de | / ( a )|2 es simétrica con respecto a a = 0 en el domi­ nio de la frecuencia, y la señal puede recorrerse ho­ rizontalmente en el dominio del tiempo sin' afectar la gráfica de |/ ( a :)|2 en el dominio de las frecuencias. 4. Muestre que para una familia de funciones f.(x ) definida en el problema 3, D (fc) • B (fc) es independiente de c. 5. Muestre que para la familia de funciones f c(x) = V2 D ( fc) • /?(/.) = — . [Sugerencia: Según el:problema 4, f( x ) = / (x). La integral de Fourier necesaria puede obtenerse rápidamente del ejemplo 3 de la sec­ ción 7.3. Para calcular las integrales para D{f) y B(f), considere la integración por partes y por fracciones parciales, respectivamente.] La duración y el ancho de banda de una señal son en. cierta forma inversamente proporcionales entre sí cuando se escala la variable de tiempo. ¿Qué se puede

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 7.4 La desigualdad de in ce rtid u m b re en el procesam iento de señales

XXV

decir al respecto de la constante de proporcionalidad? ¿Qué tan pequeño puede ser D ( f ) ■B ( f ) l Es de des­ tacar que existe un límite inferior para este producto.

ba la segunda integral que aparece en el lado de­ recho de la desigualdad, utilizando la propiedad operacional (11) de la sección 7.4 y la fórmula de Parseval.]

6. Deducir la desigualdad de la incertidumbre: si 7. a) \ f(a)\2 da < oo,

[ / ( * ) ] 2 dx < o o ,

Mostrar que si/proporciona el valor mínimo po­ sible de D ( f ) ■B( f ), entonces f ’(x) = cxf(x)

lím

X— >± OO

|a | [ / ( a ) ] 2 =

I

entonces D ( f ) • / ? ( / ) S: a)

O,

donde c es una constante. Resuelva esta ecuación diferencial para mostrar que / ( a ) = decx!2 para c < 0 y d = a constante. (Dicha función se deno­ mina función gaussiana. Las funciones gaussianas juegan un papel importante en la teoría de probabilidad.)

Seguir estos pasos.

Establezca la fórmula de Parseval: I 2-77 .

b)

[Sugerencia: Aplique el teorema de convolución dado en el problema 20, ejercicios 7.4 con g(x) = / ( - a ).]

Específicamente, aplique la fórmula para la transformada inversa de Fourier dada en (6) de la sección 7,4, y muestre que g (a ) = f ( a ) , y en­ tonces fije a = 0.] b)

Establezca la desigualdad de Schwartz: para fun­ ciones reales h t y h2,

Utilice la transformada de Fourier que está a am­ bos lados de la ecuación diferencial de la parte a) para obtener una ecuación diferencial para / ( a ) y mostrar que f ( a ) = / ( 0)ea ,{2c\ donde c es la misma que en la parte a). Se necesita conocer la siguiente información: / ( a ) eiax dx ■= O

— / ( x ) e iCLXdx

da

K’

ix f(x )e iax dx = ixj{x) li\{s)h2{s)ds

'

« A i f r ,. (Del problema 35 de los ejercicios 3.11, se tiene que dx = \ Í tt. De esta expresión puede

donde la igualdad existe únicamente cuando h2 = ch¡, donde c es una constante [Sugerencia: Escribir

[A /7 ,( í) -

/72( ^ ) ] 2 ds

como una expresión cuadrática AÀ2 + B \ + C de la variable real À. Observe que la cuadrática es no negativa para toda À y considere el discri­ minante B2 — 4AC.] c) Establezca la desigualdad de la incertidumbre. [Sugerencia: En primer lugar, aplique la des­ igualdad de Schwartz como sigue: * /( * ) /'( * ) dx

[ xf ( x) ]2dx

[f(x)fdx

deducir que / (O) = s / 2 tt/\ c\ • d.) Así es que el valor mínimo posible de D ( f ) ■B ( f ) se alcanza para una función gaussiana, cuya transforma­ da de Fourier ¡es otra función gaussiana! La palabra “incertidumbre” se asocia con la desigual­ dad presentada en el problema 6 dado que, desde un punto de vista más abstracto, es m atem áticam en­ te análogo al famoso principio de incertidumbre de Heisenberg de la mecánica cuántica. (La interpretación de este principio de mecánica cuántica es un tema sutil, pero comúnmente se entiende como “mientras mayor sea la precisión con la que se determine la posición de una partícula, su momentum se conoce con menor pre­ cisión, y viceversa”.)

Utilice la integración por partes para mostrar que l - oox f \ x ) f ( x ) d x = ~ 2J co00[ f( x ) ] 1dx. Reescri-

xxvi

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 7.4 La desigualdad de in ce rtid u m b re en el procesam iento de señales

PROYECTO PARA LA SECCIÓN

7.4

Difracción de Fraunhofer a través de una abertura circular Anton M. Jopko, Ph.D.

Departamento de Física y Astronom ía, McMaster Universíty

Las estrellas del firmamento se encuentran a una dis­ tancia enorme de nosotros, de forma que pueden con­ siderarse como fuentes puntuales de luz. Si se observa una de estas estrellas a través de un telescopio, se es­ peraría ver únicamente otro punto de luz, aunque uno mucho más brillante. Sin embargo, éste no es el caso. Dado que es una onda, la luz se refracta al pasar a tra­ vés de la abertura circular del telescopio, de forma que la luz se extiende sobre una pequeña región difusa que se denomina patrón de difracción. Este proyecto inves­ tiga la forma del patrón de difracción para la luz que pasa a través de una abertura circular de radio R. Por simplicidad, se considera que la luz tiene una longitud de onda única A, o color. Esta luz tiene la forma de un frente de ondas esférico cerca de la estrella, pero cuando nos alcanza, llega como un frente de ondas plano. Todos los puntos del frente de ondas tienen la misma fase. A continuación, se apunta el telescopio con su abertura circular directamente hacia la estrella, de manera que los frentes de ondas planas inciden desde la izquierda, como se muestra en la figura 1.

coordenadas LM está en el plano focal del lente,| y su origen está donde toda la luz de la estrella aparecería en ausencia de difracción. Debido a la difracción, sin embargo, algo de luz también aparece en P. El punto P es un punto general, pero muy cercano a O, únicamen­ te a arco-segundos de distancia! En la figura 2, se han unido la abertura y el lente, dado que en la práctica el borde del lente también defi­ ne la abertura. Debido a la simetría circular del lente y al patrón de difracción, es muy deseable utilizar coor­ denadas polares. Suponga que una onda es emitida en un punto S del lente con coordenadas (X , y) o (p, 6) y que llega a P con coordenadas (L, M) o coordenadas angulares (w, \¡i). Entonces X = p eos 9 ,Y = p sen 9, y L —'W eos i/j y M = w sen «/r. Aquí, p es la distan­ cia radial del centro del lente a la fuente S de la onda emitida y 9 es su ángulo polar; w es el radio angular de P y t// es su ángulo polar. Las ondas emitidas en la abertura están en fase y tienen la misma amplitud, pero todas ellas viajan dis­ tancias diferentes hacia el punto P, de forma que llegan ahí desfasadas. La intensidad de la luz en P es propor­ cional al cuadrado de la amplitud resultante de todas las ondas que llegan. Ahora se necesita calcular esta amplitud resultante tomando en cuenta las diférencias de fase de las ondas. Se define el número de onda de las ondas inciden­ tes y emitidas como k = 2 tt/ A. Entonces, de acuerdo a Principies ofOptics, séptima edición, de Bom y Wolf, la amplitud resultante en P de todas las ondas emitidas en la abertura es sólo la transformada de Fourier de la abertura: - ik ( L X + M Y )

dXdY

U(P) = C abertura

Figura 1

D ifracción de la luz

A partir del principio de Huygen, cada punto de la abertura circular emite una onda en todas las direc­ ciones. La difracción de Fraunhofer requiere que las ondas abandonen la abertura en un conjunto casi para­ lelo que viaja hacia un punto muy distante P. El único propósito del lente es formar una imagen puntual de este conjunto paralelo a una distancia mucho más cer­ cana a la abertura. La difracción ocurriría incluso sin el lente. La línea discontinua que une los dos orígenes es también el eje de abertura y del lente. El sistema de

¡;

donde C es una constante, proporcional en paite a la brillantez de la estrella. La intensidad de P viene en­ tonces dada por \U{P)\2. Éste es el patrón de difracción para la estrella en función del radio angular w. ,¡-

Problemas relacionados l . Muestre que la amplitud resultante en P utilizando los dos sistemas de coordenadas polares puede escribirse como U{P) = C

0 —ik p w e o s ( 0 -

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 7.4 D ifracción de Fraunhofer a través de una abertura circula r

rtpdddp

x x v ii

2.

Utilizando la identidad i

r 2tt e ix cos c e ¡na d a = j

2 tt 0 donde J„ es la función de Bessel de primer tipo, mues­ tre que la amplitud resultante se reduce a U{P) = 2i t C

J0(kpw)p dp

para cualquier i//. Se elige = 0. (Esta expresión es también conocida como transformación de Haitkel de una abertura circular.) 3.

Utilizando la relación de recurrencia ^ - [ u " +' j n+i(u)] = du muestre que

4.

2J,{kRw ) 8. Dibujar una gráfica d e ------------- en función de kRw kRw así como de la intensidad, que es su cuadrado. El pa­ trón de difracción de la estrella consiste en un disco central brillante rodeado por varios anillos concéntri­ cos delgados tenues. Este disco se denomina el disco de Airy en honor de G. B. Airy, quien fue el prime­ ro en calcular el patrón de difracción de una abertura circular en 1826. 9. ¿Qué sucede con el ancho angular del patrón de di­ fracción si el radio R de la abertura se duplica? 10. ¿Qué sucede con el ancho angular del patrón de di­ fracción si la longitud de onda \ de la luz se dupli­ ca? 11. ¿Qué sucede con el ancho angular del patrón de di­ fracción si la longitud focal del lente se duplica?

, 2JAkRw) Muestre que U(P) = CsRr — rr- :— • Por tanto, la kRw intensidad viene dada por

\U(P)\2 =

27j (kRw) kRw

2 JA kRw) 5. ¿Qué es l í m --------------? iv—lo kRw 6. ¿Cuál es el significado físico de /0? 7. ¿Cuál es el valor de la raíz no nula más pequeña de 7,? Utilizando A = 550 nm, R = 10 cm y la raíz más

x x v iii

pequeña que se acaba de encontrar, calcular el radio angular w (en arco-segundos) del disco central de di­ fracción.

12. Suponga que una abertura circular tiene forma de ani­ llo con radio interno a y radio externo b. Encuentre U(P). (Este resultado es de importancia práctica, dado que los telescopios de reflexión casi siempre tienen una obstrucción en la parte central de la abertura.) 13. Suponga que el anillo del problema 12 es muy es­ trecho, de forma que b = a + A a, donde A a es pe­ queño pero no infinitesimal. Muestre entonces que la amplitud resultante aproximada viene dada por U(P) = C(2.iraha)J0(kwa). [Sugerencia: Interpretar el resultado U(P) del problema 12 como aproximacion para

d (u J x{u )) du

= uJQ{u) con u = kwa.]

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 7.4 D ifracción de Fraunhofer a través de una abertura circula r

PROYECTO PARA LA SECCIÓN

8.2

Inestabilidades en métodos numéricos Dmitry Pelinovsky, Ph.D.

Departamento de M atemáticas y Estadística, McMaster University

Los métodos de diferencias finitas para la solución nu­ mérica de ecuaciones diferenciales parciales pueden ser sorpresivamente inadecuados para aproximaciones numéricas. El problema principal con los métodos de diferencias finitas (especialmente aquellos con esque­ mas de iteración explícita) es que pueden amplificar el ruido de redondeo numérico debido a inestabilidades intrínsecas. Dichas inestabilidades aparecen muy fre­ cuentemente en el trabajo de investigación. Un ingenie­ ro debería estar preparado para esta situación. Después de emplear muchas horas en el desarrollo de un nuevo método numérico para el modelado de un problema y en la escritura cuidadosa del método en un lenguaje de computadora, el programa de computadora puede lle­ gar a volverse inútil debido a sus inestabilidades diná­ micas. La figura 1 ilustra una solución numérica de la ecuación de calor con un método explícito de diferen­ cias finitas, donde el paso k del tiempo excede la mitad del tamaño del paso cuadrado h (ver ejemplo 1 de la sección 8.2). Es de esperarse que una solución de la ecuación de calor para una barra de longitud finita con temperaturas de cero en los puntos extremos debería exhibir un decaimiento suave de una distribución ini­ cial de calor hacia el nivel constante de temperaturas cero. Sin embargo, la superficie de la figura 1 mues­ tra que el decaimiento suave esperado se rompe por el

ruido que crece rápidamente debido a inestabilidades dinámicas del método explícito. Las inestabilidades de los métodos numéricos de di­ ferencias finitas pueden entenderse mediantejla aplica­ ción elemental de la transformada discreta de Fourier, que se estudia en la sección 7.5. El principip de su­ perposición lineal y la transformada discreta de Fourier permiten separar variables en un método numérico de diferencias finitas, y estudiar la evolución individual en el tiempo (iteraciones) de cada modo de Foujríer de la solución numérica. Por simplicidad, se considera el método explícito de diferencias finitas para la ecuación del calor u, = uxx en el intervalo 0 < x < a sujeto a condiciones de frontera nulas en los puntos extremos x = 0 y x = a y una condi­ ción inicial no nula en el instante t = 0. La discretización numérica conduce al esquema de iteración explícito: i1 ui J + 1 = Au¡-lwj + (1 - 2A)u ¡j + Xm;+i,j , ( 1) Donde u¡ j es una aproximación numérica de la so­ lución u(x, t) en el punto de la retícula x = x¡ y en el instante t = t¿, mientras que A = k /h 2 es el parámetro de discretización. Si se observa el instante de tiem­ po t = tj, j ^ 0 y se expande el vector numérico (u0 j, U\ j, . . . , un j) definido en la malla igualmente espaciada x¡ = ih, i = 0, 1 donde nlv= a, en la transformada sinusoidal de Fourier discreta:

"

í ir il\

u¡j = 2 j °I, i sen

;,r 1 = °> 11>

>n

(2)

Las condiciones de frontera u0 ¡ - 1, j = 0 se satisfa­ cen para cualquier j > 0. Debido al principio; de super­ posición lineal, se considera cada término de la suma de la ecuación (2) por separado. Entonces se sustituye u¡ j = a ¡j sen ( k ¡í ), k¡ = irl/n en el método:explícito ( 1) y se obtiene j:1 al¡J+1 sen (k,í) = (1 — 2A)a ¡j sen (k,¿) + ; Aa, J sen (k,(í + 1)) + sen (k,(í —■1)) J.

(3)

Utilizando la identidad trigonométrica, sen ( ki( í + 1)) + sen (k,(¿ sen (k;í),

1)) = 2 eos (/q)

el factor sen (k,í) se cancela en la ecuación; (3), y se obtiene una fórmula de iteración simple para al ¡. ai,j+1 = Qiai,ji donde

i Q, = 1 - 2A + 2Acos (k,) ;

(4)

Dado que el factor Q¡ es independiente de j, es claro que la amplitud a, j del modo de Fourier sen ( k ¡í ) cambia en j & 0, de acuerdo con la potencia del factor Qf. aij = Qim.o, o o Figura 1

S uperficie de la so lu ció n num érica

7 —0

La amplitud a, j crece en j si | U y está acotada o decae si |£)/| — 1- Por tanto, la estabilidad del método

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 8.2 In e sta b ilid a d e s en m étodos num éricos

x x ix

de iteración explícito se define a partir de la condi­ ción \Qi\ ^ I, para todo l = 1, 2, . . . , n

(5)

Dado que Q¡ < 1 para A > 0, la restricción para la estabilidad (5) puede reescribirse como 1 — 4Asen2f y - J s —1, / = 1, 2, . . . , n

(6)

que resulta en la estabilidad condicional del método explícito para 0 < A < 0.5. Cuando A > 0.5, el primer modo de Fourier inestable corresponde a I = n, que es el responsable de un patrón de secuencia alternativa en el espacio creciente en el tiempo de u¡j. Este patrón se observa claramente en la figura 1. Así, se pueden estudiar las inestabilidades de los métodos de diferencias finitas utilizando la transfor­ mada discreta de Fourier, el principio de superposición lineal, y los factores de iteración explícita en el tiempo. El mismo método puede aplicarse a otros métodos de diferencias finitas para ecuaciones de calor y de onda, y en general a una discretización de cualquier ecuación diferencial parcial lineal con coeficientes constantes.

Utilizando el esquema de iteración explícito (4), en­ cuentre una ecuación cuadrática para Q, y resuélvala con la fórmula cuadrática (puede consultar el ejemplo 1 de la sección 9.2 del tomo I). Demuestre que el mé­ todo explícito de diferencias centrales (8) es incondi­ cionalmente inestable para cualquier A > 0. 3. Considere el método explícito de diferencias centrales para la ecuación de onda u„ = c2u„ (ver ejemplo 1 de la sección 8.3 del presente libro): + 2(1 - A2)u¡j + A2i/Í+ ¡j - tiij-y,

«íj+ i =

( 10)

donde A = ck/h es el número de Courant. Utilizando el mismo algoritmo que en el problema 2, encuentre y resuelva la ecuación cuadrática para Q,. Demuestre que ¡’¡2,| = 1 cuando ambas raíces de la ecuación cua­ drática son complejas. Demuestre que la constricción para la estabilidad (5) se viola cuando ambas raí­ ces de la ecuación cuadrática son distintas y reales. Demuestre que el método explícito de diferencias centrales (10) es estable para 0 < A2 S 1 e inestable para A2 > 1. 4. Considere el método de retroceso en el espacio y avance en el tiempo para la ecuación de transporte ii, + cux = 0 :

Problemas relacionados 1. Considere el método implícito de Crank-Nicholson para la ecuación de calor u, = uxx (ver ejemplo 2 de la sección 8.2):

(1 1 )

donde A = ck/h. Considere la transformada discreta de Fourier compleja con el modo, de Fourier,

~ M/-i,y+i + a u í,j+1 — u¡+\,j'+i = u¡-i,j - [3uu + ui+1J

u¡,j+1 = ( I “ A ) k Uj + A w ,_ u

(7)

dondea = 2(1 + l/A ),/3 = 2(1 — 1/ A), y A = k /h 2.

u¡ j = a , je 'K,\

donde k

=

ttI/h , i

=

V

—T

Encuentre la fórmula explícita para Q¡ en la ecuación (4) y demuestre que el método implícito de CrankNicholson (7) es estable incondicionalmente para cualquier A > 0.

y encuentre el factor complejo Q, en el esquema de iteración de un paso (4). Pruebe que el método de re­ troceso de espacio y avance en el tiempo (11) es esta­ ble para 0 < A í l e inestable para A > 1.

2. Considere el método explícito de diferencias centrales para la ecuación de calor u, = uxx.

5. Considere el método espacio central y retroceso en el tiempo para la ecuación de transporte u, + cux = 0 :

u¡,j+1 = 2K ut-i.j ~ 2u¡.j + u¡+i,j) + Uu - 1- (8) Utilizando el mismo algoritmo que en el problema 1, reduzca la ecuación (8) a un esquema de iteración en dos pasos: i =r 4A(cos ( k ¡) - 1)au + a , ^ x.

X XX

(9)

A«í+i,y+i "F 2iijj+ , — Au,_1; + | = 2u¡ j

(12)

Utilizando el mismo algoritmo que en el problema 4, demuestre que el método de espacio central y retro­ ceso en el tiempo ( 12) es incondicionalmente estable para cualquier A > 0.

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 8.2 Inesta b ilid a d e s en m étodos num éricos

Por bayet

Por Dayet

'

1 2 3

Vectores Matrices Cálculo vectorial

^

3

CAPÍ TULO

1

Vectores Estructura del capítulo

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Vectores en el espacio 2D Vectores en el espacio 3D Producto escalar Producto vectorial Líneas y planos en el espacio 3D Espacios vectoriales Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt Ejercicios de repaso del capítulo 1

El c o n c e p to de v e c to r suele a bordarse en p rá c tic a m e n te to d o s los cursos de c á lc u lo , así com o en los de fís ic a e in g e n ie ría . Para la m ay o ría de los le c to re s e s te c a p ítu lo re p re s e n ta , por lo ta n to , un repaso de te m a s fa m ilia re s com o los productos e sc a la r y v e c to ria l. De c u a lq u ie r fo rm a , en la sección 1 .6 se p la n te a e l c o n c e p to a b s tra c to de v e c to r.

4

1.1

Vectores en e l espacio 2D

0 Introducción En ciencias, matemáticas e ingeniería, se distinguen dos cantidades importantes: los escalares y los vectores. Un escalar es simplemente un número real o una cantidad que tiene magnitud. Por ejemplo, la longitud, la temperatura y la presión sanguínea se representan con números como 80 m, 20°C y la relación sistólica/diastólica 120/80. Por su paite, un vector se describe generalmente como una cantidad que tiene tanto magnitud como dirección.

M Vectores geométricos Geométricamente, un vector se representa por medio de un segmento de línea dirigido —esto es, por una flecha— y se denota con un símbolo en ne­ gritas o mediante un símbolo con una flecha encima, por ejemplo: v, u o A B . La figura 1 .1 muestra ejemplos de cantidades vectoriales como el peso w, la velocidad v y la fuerza retar­ dante de fricción Fy.

a)

Figura 1.1

b)

c)

C

A

Figura 1.2

Vectores igualas

Figura 1.3

Vectores paralelos

Ejemplos de cantidades v e cto ria le s

II Notación y term inología

B

Un vector cuyo punto inicial (u origen) es A y cuyo punto

terminal (o destino) es B se escribe AB . La magnitud de un vector se escribe || AB ||. Cuando dos vectores tienen la misma magnitud y la misma dirección se dice que son iguales. Así, en la figura 1.2, se tiene que AB = CD . Los vectores son libres, lo cual significa que un vector puede moverse de una posición a otra siempre y cuando su mag­ nitud y dirección no varíen. El negativo de un vector AB , denotado como - A B , es un vector que tiene la misma magnitud que AB pero posee dirección opuesta. Si Z: A 0 es un escalar, el múltiplo escalar de un vector, k A B , es un vector que es \k\ veces más largo que AB . Si k > 0, entonces kA B tiene la misma dirección que el vector AB ; si k < 0, entonces kA B tiene dirección opuesta a la de AB . Cuando k = 0, se dice que 0 AB = 0 es el vector cero.* Dos vectores son paralelos si, y sólo si, entre ellos son múltiplos es­ calares diferentes de cero. Véase la figura 1.3.

a)

H Suma y resta Dos vectores pueden compartir un punto inicial común, como el punto A de la figura 1 Aa). Así, si los vectores no paralelos AB y AC son los lados de un paralelogramo como el de la figura 1 Ab), se dice que el vector que se halla en la diagonal princi­ pal, o A D , es la suma de AB y A C . Se escribe AD = AB + A C . b)

La diferencia entre los vectores AB y AC se define como AB - A C = AB + ( - A C ) .

Figura 1.4

El v e c to r AD es la

suma de AB y AC

1

*Cuando se pregunta cuál es la dirección de 0 normalmente se responde que al vector cero se le puede asig­ nar cualquier dirección. Específicam ente, se necesita el 0 para poder tener un álgebra vectorial.

1.1 Vectores en el espacio 2D

¿

5

a)

Como se ve en la figura 1.5a), la resta AB - A C se inteipreta como la diagonal principal del paralelogramo cuyos lados son ÁB y - A C . Sin embargo, como se muestra en la fi­ gura 1.5¿>), también es posible interpretar la misma resta vectorial como el tercer lado del triángulo con lados AB y A C . En esta segunda interpretación, se observa que la resta vectorial CB = AB - A C apunta hacia el punto terminal del vector del cual se está restando el segundo vector. Si AB = A C entonces AB - A C = 0 .

b)

ü Vectores en un plano coordenado Para describir analíticamente ün vector, su­ póngase —para el resto de esta sección— que los vectores considerados se encuentran en un plano coordenado bidimensional o 2D. Al conjunto de todos los vectores en el plano se le denomina R2. El vector mostrado en la figura 1.6, con punto inicial en el origen O y punto terminal P(x¡, yj), se denomina el vector de posición del punto P y se escribe como

Figura 1.5 El v e cto r CB es la resta de AB menos AC

O P = ( x u y l).

ü Componentes reales,

En general, un vector a en R2 es cualquier par ordenado de números

a = (a u a 2). Los números a { y a2 se conocen como los componentes del vector a. Como se mostrará en el primer ejemplo, el vector a no es necesariamente un vector de posición.

Ejemplo 1

Vector de posición

El desplazamiento entre los puntos (*, y) y (x + 4, y + 3) de la figura 1J a ) se escribe (4, 3). Como se ve en la figura 1.7¿>), el vector de posición de (4, 3) es el vector que inicia en el origen y termina en el punto P(4, 3). □ Tanto la suma y resta de vectores, como la multiplicación de vectores por escalares, etc., se definqn en función de sus componentes.

D E F I N I C I Ó N 1.1

Suma, m ultiplicación escalar, igualdad

Sean a = ( a u a2) y b = (b u b2) vectores en R2. i) Suma: a + b = (a^ + b¡, a2 + b2) b) Los vectores en a) y b) son los mismos

Figura 1.7

ii) iii )

(1)

Multiplicación escalar: ka = (k a h ka2) Igualdad: a = b

■ Resta

si, y sólo si,

a, = b u a2

(2) = b2

(3)

Utilizando (2), se define el negativo de un vector b como

- b = ( - l) b = ( - b l, - b 2). La resta o diferencia de dos vectores se define entonces como

a - b = a + (—b) = (a¡ - b u a2 - b2).

CAPITULO 1 Vectores

(4)

En la figura 1.8a) se ilustra la suma de los vectores OPt y OP2 . En la figura 1.8¿>), el vector P\P2 , con punto inicial P, y punto terminal P2, es la resta de los vectores de posi­ ción

'

P tP2 = OP2 - OP, = {x2 - x u y 2- y i). Como se muestra en la figura 1.8¿>), el vector P¡P2 puede dibujarse comenzando por el punto terminal de OP, y finalizando en el punto terminal de OP2, o también como el vector de posición OP cuyo punto terminal tiene coordenadas (x2- x ¡ ,y 2- y l). Recuérdese que OP y P\P2 se consideran iguales, puesto que tienen la misma magnitud y la misma dirección.

Ejemplo 2

Suma y resta de dos vectores

Si a = (1, 4) y b = ( - 6, 3), encuentre a + b, a - b y 2a + 3b.

Solución

y,)

Se utilizan (1), (2) y (4). a + b = ( 1 4 ( - 6), 4 + 3) = . Así, un vector uni­ tario con la misma dirección que a es el múltiplo escalar

u =:v la=

v

^ 2 ,~ ^ (

v t

v f)'

Un vector unitario con la dirección opuesta a a es el negativo de u:

V s 'V s / ’

□

Si a y b son vectores y cq y c2 son escalares, entonces la expresión c,a + c2b se de­ nomina una combinación lineal de a y b. Como se muestra a Continuación, cualquier vector en R2 puede escribirse como una combinación lineal de dos vectores especiales. I Vectores i, j Teniendo presentes (1) y (2), cualquier vector a = (a¡, a2) puede escri­ birse como una suma:

y ( a h a2) = (a¡, 0) + ( 0, a2) = a ^ l , 0) + a 2.

(5)

A los vectores unitarios ( 1, 0) y (0, 1) usualmente se les asignan los símbolos especiales i y j. Véase la figura 1.10«). Así, si

j i

i =

y

j = ,

a) Entonces (5) se convierte en

a = a ¡i + a2j.

(6)

Se dice que los vectores unitarios i y j forman una base para el sistema de vectores bidimensionales, puesto que cualquier vector a puede escribirse como una combinación lineal única de i y j. Si a = «¡i + a2j es un vector de posición, entonces la figura 1.10b) muestra que a es la suma de los vectores ¿qi y a2j, que tienen al origen como punto inicial común y se halla sobre los ejes x y y, respectivamente. El escalar a, se llama la componente hori­ zontal de a, y el escalar a2 se denomina lá componente vertical de a. Figura 1.10

i y j form an una base

para R2

Ejemplo 4

Operaciones vectoriales utilizando i y j

a) , b = (0, -5> 4- a = é i —¿ j, b = 2 i + 6 J 5.

a = -3 i

6.

a = (1 ,3 ), b = -5 a

7.

a = -b ,

b = 2i - 9j

8.

a = (7,

10), b = (1, 2)

En los problemas 23 y 24, encuentre a + (b + c) para los vecto­ res dados. ■ ;

+ 2j, b = 7j

23. a = (5, 1), b = (-2 , 4), c = (3, 10)

j!1

24. a = (1, 1), b = (4 ,3), c = ( 0 ,-2 )

En los problemas 9-14, encuentre a) 4a - 2b y b) - 3a - 5b. 9. a = (1 ,-3 ), b = ( - 1 ,1 )

En los problemas 25-28, encuentre un vector unitario a) con la misma dirección que a, y b) con dirección opuesta a a. 25.

10.

a=

i + j, b = 3i - 2j11.a = i - j, b = -3 i + 4j

12.

a=

(2 ,0 ), b = (0, -3 ) 13.a = ), se considera que el peso del semáforo se representa por w y las fuerzas en los dos cables por Fj y F2. De la figura 1.19c), se observa que una condición de equilibrio es Figura 1.14

V ector x del

problem a 37

Figura 1.15

w + Fj + F 2 — 0.

V ector x del

problem a 38

(7)

Observe el problema 39. Si w = - 200j

En los problemas 39 y 40, utilice la figura correspondiente para demostrar el resultado proporcionado. 39. a + b + c = 0

F, = (||F,|| eos 20°)i + (||F,|| sen 20°)j F2 = —(||F2|| eos 15°)i + (||F2|| sen 15°)j,

40. a + b + c + d = 0

utilice (7) para determinar las magnitudes de F, y F 2. [Sugerencia: Vuelva a leer el inciso iií) de la definición 1. 1 .]

Figura 1.16

Vectores

para el problem a 39

Figura 1.17

Vectores para

e l problem a 40

En los problemas 41 y 42, exprese al vector a = 2i + 3j como una combinación lineal de los vectores b y c proporcionados. 41. b = i + j , c = i - j 42. b — -2 i + 4j, c = 5i + 7j Se dice que un vector es tangente a una curva en un punto si es paralelo a la tangente en el punto. Enlosproblemas 43 y 44, encuentre un vector unitario tangentea la curvaproporcionada en el punto indicado. 43. y = jjc2 + 1, (2, 2) 44. y = - x 2 + 3x, (0, 0) 45. Al caminal-, el pie de una persona golpea el suelo con una fuerza F formando un ángulo 6 con respecto a la vertical. En la figura 1.18, el vector F se descompone en sus com­ ponentes vectoriales Fg, que es paralela al terreno, y F„, que es perpendicular al mismo. Con el propósito de que el pie no se deslice, la fuerza F,; debe contrarrestarse con la fuerza opuesta de fricción F^; esto es, Fy = - F r

10

CAPÍTULO 1 Vectores

b)

t> . c) Figura 1.19 47.

Tres vectores de fuerza d el problem a 46

Una carga eléctrica Q se distribuye uniformemente a lo largo del eje y entre y = - a y y = a. Vea la figura 1.20.

La fuerza total ejercida sobre la carga q en el eje x debida a la carga Q es F = Fxi + Fy j donde

49. Utilizando vectores, muestre que el segmento de línea que se encuentra entre los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud. I:

L dy

F = M .

47re0 . _a 2a(L2 + y2)3' 2

F 31

50. Un avión sale de un aeropuerto localizado en el origen O y vuela 150 millas en la dirección 20° norte, desde el este, hacia la ciudad A. Desde A, el aeroplano vuela entonces 200 millas en la dirección 23° oeste, desde el norte, hacia la ciudad B. Desde B, el avión vuela 240 millas en la dirección 10° sur, desde el oeste, hqJcia la ciudad C. Exprese la ubicación de la ciudad C.corno un vector r tal como se muestra en la figura 1.21. Encuentre la distancia desde O hasta C.

ydy 47780 _a 2a(L2 + y2)3' 2'

Determine F.

.. Q

N

L

Figura 1.20

48.

I

q

Carga sobre e l eje x d el problem a 47

Utilizando vectores, muestre que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí. [Sugerencia: Suponga que M es el punto medio, de una diagonal y N, el punto medio de la otra.]

1.2

1

Figura 1.21

A vión d el problem a 50

Vectores en e l espacio 3D

■ Introducción En el plano, o espacio 2D, una forma de describir la posición de un punto P es asignarle coordenadas relativas a dos ejes mutuamente ortogonales, o per­ pendiculares, llamados los ejes y y x. Si P es el punto de intersección entre la línea x = a (perpendicular al eje x) y la línea y - b (perpendicular- al eje y), se dice entonces que el par ordenado (a, b) son las coordenadas cartesianas o rectangulares del punto. Véase la figura 1.22. En esta sección se amplían los conceptos de coordenadas cartesianas y vectores a tres dimensiones. ■ 5istem a coordenado rectangular en el espacio 3D E ntres dimensiones, o es­ pacio 3D, un sistema coordenado rectangular se construye utilizando tres ejes mutua­ mente ortogonales. El punto en el que estos ejes se intersecan se denomina el origen O. Estos ejes, mostrados en la figura 1.23«), se nombran de acuerdo con la llamada regla

Figura 1.22

Coordenadas ||: rectangulares en e l espacio 2D

plano !

b) Figura 1.23

Coordenadas rectangulares en e l espacio 3D

1.2 Vectores en e l espacio 3D

i:

11

de la mano derecha: si los dedos de la mano derecha — apuntando en la dirección del eje x positivo— se doblan hacia el eje y positivo, entonces el pulgar apuntará en la direc­ ción de un nuevo eje perpendicular al plano de los ejes x y y. Este nuevo eje se nombra como eje z. Las líneas punteadas de la figura 1.23«) representan al eje negativo. Ahora, si x = a,

y = b,

z = c

son planos perpendiculares al eje x, eje y y eje z, respectivamente. Entonces, el punto P en el que estos planos se intersecan se representa por una tripleta ordenada de números (a, b, c) conocidos como las coordenadas cartesianas o rectangulares del punto. Los números a ,b y c son, a su vez, llamados las coordenadas x, y y z de P(a, b, c). Vea la figura 1.23b).

Figura 1 .2 4

Octantes

Líl Octantes Cada par de ejes coordenados determina un plano coordenado. Como se muestra en la figura 1.24, los ejes x y y determinan al plano xy, los ejes x y z determinan al plano xz, etc. Los planos coordenados dividen al espacio 3D en ocho partes conocidas como octantes. El octante en el cual las tres coordenadas de un punto son positivas se denomina el primer octante. No existe consenso para la denominación de los otros siete octantes. La siguiente tabla resume las coordenadas de un punto, ya sea en un eje coordenado o en un plano coordenado. Como se ve en la tabla, se describe también, por ejemplo, el plano xy a través de la sencilla ecuación z = 0. Análogamente, el plano xz es y = 0 y el plano yz es x = 0.

Ejemplo 1

Ejes

Coordenadas

Plano

Coordenadas

x

(a, 0, 0)

xy

(a, b, 0)

y z

(0 , b, 0)

XZ

(a, 0 , c)

(0, 0, c)

yz

(0, b, c)

Gráficas de tres puntos

Grafique los puntos (4, 5, 6), (3, -3, -1 ) y (-2, -2, 0). Figura 1.25

Puntos del eje m p lo 1

Solución De los tres puntos mostrados en la figura 1.25, únicamente (4, 5, 6) se encuen­ tra en el primer octante. El punto (-2, -2, 0) se encuentra en el plano xy. O ü Fórmula de la distancia Para hallar la distancia entre dos puntos P|(x,, y,, z¡) y P2(x2, y2, Z¡) del espacio 3D, considérese su proyección sobre el plano xy. Como se muestra en la figura 1.26, la distancia entre (x¡, y!, 0) y (x2, y2, 0) se deduce a partir de la conocida fórmula de la distancia en el plano, y es igual a \ /'(x2 — Xj)2 + (y2 — yi)2. Si las coordenadas de P3 son (x2, y2, Zj), entonces el teorema de Pitágoras aplicado al trián­ gulo rectángulo P\P2P3 lleva a

D istancia d entre dos puntos del espacio 3D

Figura 1.26

[d{Px,P 2) f = [ V ( x 2 - x ,)2 + (y2 - y ,)2]2 + Iz2 ~ Z¡¡2 o

Ejemplo 2

d(P h P2) = V ( x 2 - x¡)2 + (y2 - y ,)2 + (z2 ~ z t)2.

(i)

Distancia entre dos puntos

Encuentre la distancia entre (2, -3 , 6) y (-1, -7, 4). Solución

Al seleccionar P2 como (2, -3 , 6) y P¡ como (-1, -7, 4), la fórmula (1) da d = V ( 2 - ( - 1))2 + ( - 3 - ( —7))2 + (6 - 4)2 = V 2 9 .

'

□

II Fórmula del punto medio La fórmula para determinar el punto medio de un seg­ mento de línea entre dos puntos del espacio 3D se desarrolla de forma análoga a la del 12

CAPÍTULO 1 Vectores

espacio 2D. Si P,{x,, y u Z]) y P2(x2, y2, z2) son dos puntos distintos, entonces las coordena­ das del punto medio del segmento de línea que existe entre ellos son x, + x2 y¡ + y2 z, + z2

Ejemplo 3

(2)

Coordenadas de un punto medio

Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de línea entre los dos puntos del ejemplo 2. De (2) se obtiene

Solución

'2 + ( - 1 ) - 3 + ( - 7 ) 6 + 4 2’ ■ Vectores en el espacio 3D nada de números reales

’5 ,5 .

□

Un vector a en el espacio 3D es cualquier tripleta orde­

a =l (fll> a2>^ 3), donde a,, a2 y a3 son las componentes del vector. El conjunto de todos los vectores del espacio 3D se denota por el símbolo R3. El vector de posición de un punto P(x¡, y,, Zj) en el espacio es el vector OP = (jq, y¡, z¡) cuyo punto inicial es el origen O y cuyo punto terminal es P. Ver la figura 1.27. Las definiciones por componentes de la suma, resta, multiplicación escalar, etc', son generalizaciones naturales de aquéllas para vectores en R2.

D E F I N I C I O N 1. 2

Definiciones por componentes en el espacio 3D

Sea a = (a,, a2, a 3) y b = (bh b2, b3) vectores en R2. i) Suma: a + b = (a, + b u a2 + b2, a3 + b3) ii) Multiplicación escalar: ka = (ka,, ka2, ka2) iii) Igualdad: a = b si, y sólo si, a¡ = b¡, a2 = b2, a3 = b3 iv) Negativo: - b = ( - l ) b = (-¿>,, - b 2, - b 3) v) Resta: a - b = a + (-b ) = {al - b u a2 - b2, a3 - b3) vi) Vector cero: 0 = ,(*, 2, 3), P2(2, 1, 1); d(Px, P2) = V 2T

32. P x(x, x , 1), P2(0, 3, 5); d(Pu P2) = 5

1.2 Vectores en el espacio 3D

En los problemas 33 y 34, encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de línea queúnealos puntos proporcionados. 33. (1,3, {), (7 ,-2 , f )

a

47.

a

b + 5 INI

34. (0, 5, - 8), (4, 1, - 6) 48. ||b||a + ||a||b

35. Las coordenadas del punto medio del segmento de línea que une a P x(xu y lt z¡) y P2(2, 3, 6) son (-1, -4 , 8). Encuentre las coordenadas de P¡.

49. Encuentre un vector unitario cuya dirección sea opuesta a a = . 50. Encuentre un vector unitario con la misma dirección que a = i - 3j + 2k.

36. Sea P3 el punto medio del segmento de línea entre P i(-3 , 4, 1) y P2(-5, 8, 3). Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de línea que une a los puntos a) P ¡y P3y b) Py y P2.

51. Encuentre un vector b que sea 4 veces más largo que a = i - j + k y tenga su misma dirección. 52. Encuentre un vector b para el cual ||b|| = 2 y sea para­ lelo a a = ( - 6, 3, -2 ) pero con dirección opuesta.

En los problemas 37-40, encuentre el vector P¡P2 ■ 37. />,(3, 4, 5), P2(0, -2 , 6)

53. Utilizando los vectores a y b que se muestran en la figu­ ra 1.31, dibuje el “vector promedio” \ (a + b).

38. P ,(-2, 4, 0), P2(6, | , 8) 39. / y o , - 1, 0). P2(2, 0, 1) 40. / y U , 5 ) , P 2( - f , - f , 1 2 ) En los problemas 41-48, a = (1, -3 , 2), b = (-1 , 1, 1) y c = (2, 6, 9). Encuentre el vector o el escalar indicados. 41. a + (b + c)

42.

2a - (b - c)

43. b + 2(a - 3c)

44.

4(a + 2c) - 6b

45. ||a + c||

46.

||c|| ||2b|| Figura 1.31

1.3

Vectores para e l problem a 53

Producto escalar

H Introducción En esta sección y la siguiente, se, consideran dos tipos de producto entre vectores, consecuencia del estudio de la mecánica y también la electricidad y el magnetismo. El primero de estos productos se conoce como producto escalar, producto punto o producto interior. 11 Una definición El producto escalar entre dos vectores a y b resulta ser un escalar y se denota comúnmente como a • b.

D E F I N I C I Ó N 1.3

b)

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores a y b es el escalar a • b = ||a||||b|| eos 9,

b

a

( 1)

donde 9 es el ángulo entre los vectores, de forma que 0 s 0 < tt.

c)

Figura 1.32

Ángulo

8

en (1)

La figura 1.32 ilustra el ángulo 6 en tres casos. Si los vectores a y b no son paralelos, entonces 6 es el más pequeño de los dos ángulos posibles entre ellos.

Ejemplo 1

Producto escalar utilizando (1)

De (1) se obtiene i • i = 1, Puesto que ||i|| = ||j|| = 16

CAPÍTULO 1 Vectores

j • j = 1,

k k = 1,

j| = 1, y, en cada caso, eos 0 = 1 .

(2 )

□

■ Formulación por componentes del producto escalar El producto escalar puede expresarse en función de los componentes de dos vectores. Suponga que 0 es el ángulo comprendido entre los vectores a = a,i + a2j + q k y b = b,i + ¿2j + b3k. Entonces el vector c = b - a = (¿>, - a,)i + (b2 - a2)j + (b3 - a 3)k es el tercer lado del triángulo indicado en la figura 1.33. Por la ley de cosenos, se escribe

Figura 1.33

V ector c U tilizado

para la deducción de (4)

||c||2 = ||b||2+||a||2 - 2||a|| ||b|| eos 6

||a|| ||b|| eos 6 = ¡ (||b||2 + ||a|í2 - ||c||2).

o

(3)

Utilizando||a||2 = a,2 + a2 + a 3 , ||b||2 = b¡ + b2 + ¿>32, ||b - a||2 = (b] - a , ) 2 + ( b2 - a 2) 2 + (b) - a 3)2, se simplifica el lado derecho de la segunda ecuación en (3) para obtener :, b2,. .., b,¡), entonces la suma y la multiplicación escalar en el espacio n se definen como a+

b

= (a, + b u a2 + b2, ■■., a„ + b„)

ka = (kau ka2, . . . , ka„).

y

(1)

El vector cero en R" es (0, 0 ,..., 0). La noción de longitud de un vector a = a2,..., a„) en el espacio n es únicamente una extensión del concepto para el espacio 2D y 3D: MI = V a ,

+ a] + ■■■+ al.

La longitud de un vector tam bién se denom ina su norm a. Un vector unitario es uno cuya norma es 1. Para un vector no nulo a, al proceso de construir un vector 1 unitario u m ultiplicando a por el recíproco de su norma, esto es, u = jrrya, se le conoce com o n orm alizar a a. Por ejem plo, si a = (3, 1, 2, —1), entonces ||a|| = \ / 3 2 + l 2 + 22 + (—l)2 = \ / Í 5 y un vector unitario es 1

/

3

1

2

1

u~ VIS a \ Vis* Vis Vis

\

vnr

El producto interior estándar, también conocido como el producto interior euclidiano o producto escalar o producto punto de dos vectores n a = (a,, a2, . .., a„) y b = (b¡, b2, . .., b„) es el número real definido por a • b = (a„ a2, . .., an) ■(bu b2„ .. , b,¡) = a tb , + a2b2 + • • ■ + anb„.

(2)

Se dice que los dos vectores no nulos a y b en R" son ortogonales si, y sólo si, a • b = 0. Por ejemplo, a = (3, 4, 1, -6 ) y b = (1, j , 1, 1) son ortogonales en /?4 puesto que a - b = 3- l+ 4- j + l- l + (- 6 ) - 1 = 0 . 11 Espacio vectorial Incluso, es factible ir más allá de la noción de un vector como una n upla ordenada en R". Un vector puede definirse como cualquier cosa que se quiera: una n upla ordenada, un número, un arreglo de números o incluso una función. Empero, se está particularmente interesado en vectores que sean elementos de un conjunto especial llamado espacio vectorial. Existen dos tipos de objetos fundamentalés para la noción de espacio vectorial: los vectores y los escalares, así como dos operaciones algebraicas análogas a las proporcionadas en (1). Para un conjunto de vectores se desea poder sumar dos vectores en este conjunto y obtener otro vector del mismo conjunto; de igual mane­ ra, se desea poder multiplicar un vector por un escalar y obtener otro vector del mismo conjunto. Para determinar si un conjunto de objetos es un espacio vectorial se debe ve­ rificar que el conjunto posea estas dos operaciones algebraicas junto con otras propieda­ des. Estas propiedades, los axiomas de un espacio vectorial, se indican a continuación. :

D E F I N I C I Ó N 1. 5

\

Espado vectorial

Sea V un conjunto de elementos sobre el cual se definen dos operaciones llamadas suma vectorial y multiplicación escalar. Entonces, se dice que V es un espacio vectorial si se satisfacen las siguientes diez propiedades. Axiomas para la suma vectorial: i) Si x y y se encuentran en V, entonces x + y está en V. ii) Para todos los x, y en V, x + y = y + x. (ley conmutativa) iii) Para todos los x, y, z en V, x + (y + z) = (x + y) + z. (ley asociativa) í'v) Existe un vector único 0 en V tal que 0 + x = x + 0 = 0. (vector cero) v) Para cada x en V, existe un vector - x tal que x + (-x) = (-x) + x = 0. (negativo de un vector)

CAPÍTULO 1 Vectores

Axiomas para la multiplicación escalar: ví)

Si k es cualquier escalar y x está en V, entonces kx está en V.

vii) k(x + y) = kx + ky

(ley distributiva)

viii) (kt + k2)x = k{x + k2x

(ley distributiva)

ix) k Y(k2x) = (k lk2)x x) lx = x / En esta breve introducción a los vectores abstractos, se consideran los escalares de la definición 1.5 como números reales. En este caso, V se refiere a un espacio vectorial real, aunque no se sobreutilizará este término. Cuando los escalares pueden ser números com­ plejos, se tiene un espacio vectorial complejo. Como las propiedades i)-viii) de la página 7 son los prototipos para los axiomas de la definición 1.5, es claro que R2 es un espacio vectorial. Es más, como los vectores en R3 y R" tienen estas mismas propiedades, se con­ cluye que R3 y R" también son espacios vectoriales. Los axiomas i) y v¡) se denominan axiomas de clausura, y se dice que un espacio vectorial V está cerrado bajo la suma vec­ torial y la multiplicación escalar. Obsérvese, también, que conceptos tales como longitud y producto interior no son parte de la estructura axiomática de un espacio vectorial.

Ejemplo 1

Comprobación de Los axiomas de clausura

Determine si los conjuntos f l ) y = { l } y ¿ > ) E = { 0 } son espacios vectoriales bajo suma ordinaria y multiplicación por números reales. Solución a) Para este sistema que consta de un solo elemento, muchos de los axiomas dados en la definición 1.5 se violan. En particular, los axiomas i) y vi) de clausura no se satisfacen. Ni la suma 1 + 1 = 2 ni el múltiplo escalar k • 1 = k, para k + 1, están en V. Por consiguiente, V no es un espacio vectorial. b) En este caso, los axiomas de clausura se satisfacen puesto que 0 + 0 = 0 y & -0 = 0 para cualquier número real k. Los axiomas conmutativos y asociativos se satisfacen, puesto que 0 + 0 = 0 + 0 y 0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0. Es fácil verificar que los axiomas restantes también se satisfacen. Por lo tanto, V es un espacio vectorial. O Al espacio vectorial V = {0} se le llama comúnmente espacio vectorial cero o trivial. Cuando se tiene el primer contacto con la noción de un vector abstracto, se debe tener la precaución de no considerar los nombres suma vectorial y multiplicación escalar muy literalmente. Estas operaciones se definen, y como tales se deben aceptar como son, aun cuando no tengan ninguna semejanza con el uso común de la suma ordinaria y multipli­ cación en, digamos, R, R2, R3 o R". Por ejemplo, la suma de dos vectores x y y podría ser x - y. Tras esta advertencia, considérese el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2

Un ejem plo de un espacio vectorial

Considérese el conjunto V de números reales positivos. Si x y ydenotan números reales positivos, entonces se escriben vectores en V como x = x y y = y. Ahora, la suma de vectores se define como x + y = xy y la multiplicación escalar se define como kx = x*. Determine si V es un espacio vectorial. Solución

A continuación se analizan los diez axiomas.

i) Para x = x > 0 y y = y > 0 , x + y = xy > 0. Así, la suma x +y se encuentra en V\ V está cerrada bajo la suma. ii) Como la multiplicación de números reales positivos es conmutativa, se tiene que para todos los x = x y y = y en V, x + y = xy = yx = y + x. Así, la suma es conmutativa.

1.6 Espacios vectoriales

iii)

Para todos los x = x, y = y, z = z en V, x + (y + z) = x(yz) = (xy)z = (x + y) + z.

Así, la suma es asociativa. í'v) Como l + x = lx = x = x y x + l = x l = x = x, el vector 0 es 1 = 1. v) Si se define - x = —, entonces x x + (-x) = cc-^ = l = l = 0 y (-x) + x = —x = l = l = 0. Por lo tanto, el negativo de un vector es su recíproco. vi) Si k es cualquier escalar y x = x > 0 es cualquier vector, entonces kx = xk > 0. Así, V está cerrado bajo la multiplicación escalar. vil) Si k es cualquier escalar, entonces k(x + y) = (xy)k = x*yk = kx + lcy. viii)

Para los escalares k¡ y k2, (ki + k2)x = x ik'+k2> = x*'x*2 = k xx + k2x.

ix) Para los escalares k x y k2, k x{k 2x) = (x*2)*1 = X*’*2 = (A:i/c2)x x) lx = x 1 = x = x. Puesto que todos los axiomas de la definición 1.5 se satisfacen, se concluye que V es un espacio vectorial. O A continuación se mencionan algunos espacios vectoriales importantes; se han mencionado ya algunos de estos anteriormente. Las operaciones de suma vectorial y mul­ tiplicación escalar son las operaciones usuales asociadas con el conjunto. • El conjunto R de números reales • El conjunto R2 de pares ordenados • El conjunto R3 de tripletas ordenadas • El conjunto R" de n-uplas ordenadas • El conjunto P„ de polinomios de grado menor o igual a n • El conjunto P de todos los polinomios • El conjunto de funciones/definidas sobre la línea real completa • El conjunto C[a, b\ de funciones reales/continuas en el intervalo cerrado.« < x < b • El conjunto C(-°°, °°) de funciones reales/continuas sobre la línea real completa • El conjunto C"[a, b] de todas las funciones reales/p ara las cuales e x is te n /,/',/" ,..., / ('° y son continuas en el intervalo [a, b] I Subespacio Puede suceder que un subconjunto de vectores W de un espacio vecto­ rial V sea en sí mismo un espacio vectorial.

D E F I N I C I Ó N 1. 6

Subespacio

Si un subconjunto W de un espacio vectorial V es en sí mismo un espacio vectorial bajo las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar definidas en V, en­ tonces W se denomina un subespacio de V. ,

:

J

Cada espacio vectorial V tiene por lo menos dos subespacios: el mismo V y el subespacio cero {0}; {0} es un subespacio ya que el vector cero debe ser un elemento en cualquier espacio vectorial. 38

CAPÍTULO 1 Vectores

Para mostrar que un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio, no es preciso demostrar que los diez axiomas de la definición 1.5 se satisfacen. Como todos los vectores de W están también en V, deben satisfacer axiomas tales como ii) y iii). En otras palabras, W hereda de V la mayoría de las propiedades de un espacio vectorial. Como lo indica el próximo teorema, únicamente se necesitan comprobar los dos axiomas de clausura para demostrar que un subconjunto W es un subespacio de V.

T E O R E M A 1. 4

Criterios para un subespacio

Un subconjunto no vacío W de un espacio vectorial V es un subespacio de V si, y sólo si, W está cerrado bajo la suma vectorial y la multiplicación escalar definidas en V: i) Si x y y están en W, entonces x + y está en W. ii) Si x está en W y k es cualquier escalar, entonces kx está en W. )

Ejemplo 3

Subespacio

Supóngase que f y g son funciones continuas reales definidas en la línea real completa. Entonces se sabe, a partir del cálculo, que f + g y kf, para cualquier número real k, son funciones continuas reales. De esto se puede concluir que C(-°°, °°) es un subespacio del espacio vectorial de funciones reales definidas en la línea real completa. □

Ejemplo 4

Subespacio

El conjunto P„ de polinomios de grado menor o igual a n es un subespacio de C(-°°, °°), es decir, el conjunto de funciones reales continuas sobre la línea real completa, □ Siempre es una buena idea tener visualizaciones concretas de los espacios vectoriales y los subespacios. Los subespacios del espacio vectorial R3 de vectores tridimensionales pueden visualizarse fácilmente pensando en un vector como un punto («], a2, fl3). Desde luego, {0} y el mismo R3 son subespacios; otros subespacios son todas las líneas que pasan por el origen, y todos los planos que también pasan por el origen. Las líneas y los planos deben pasar por el origen ya que 0 = (0, 0, 0) tiene que ser un elemento de cualquier subespacio. De manerá semejante a como se puede éstablecer un criterio para las soluciones linealmente independientes de una función, es posible definir los vectores linealmente independientes.

D E F I N I C I Ó N 1. 7

Independencia Lineal

Se dice que un conjunto de vectores {*,, x 2 *„} es linealm ente independiente si las únicas constantes que satisfacen la ecuación &,X| + k2x 2 + ■■■ + k„xn = 0

(3)

son k¡ = k2 = • • • = k„ = 0. Si el conjunto de vectores no es linealmente indepen­ diente, entonces se dice que es linealm ente dependiente. i ) En R 3, los vectores i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0} y k = (0, 0, 1} son linealmente indepen­ dientes puesto que la ecuación fcp + k2j + k3k = 0 es la misma que *1< l,0,0> + *2 + *3. .., x„} de un espacio vectorial V, entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores x h x2;. .., x„ en S, {kíx i + k 2x 2 + --- + k nx„}, donde k¡, i = 1 , 2 , . . . , « son escalares, se denomina claro de los vectores y se escribe Claro(S) o Claro(x,, x2,..., x„). Se deja como ejercicio demostrar que Claro(S) es un subespacio del espacio vectorial V. Véase el problema 33 en los ejercicios 1.6. Se dice que Claro(S) es un subespacio del claro de los vectores x,, x2)..., x„. Si V = Claro(S), en­ tonces se dice que S es un conjunto puente para el espacio vectorial V, o que S funciona como claro de V. Por ejemplo, cada uno de los tres conjuntos (i, j, k },

{i, i + j, i + j + k}

e

{i, j, k, i + j, i + j + k}

1.6 Espacios vectoriales

son conjuntos puente para el espacio vectorial R 3. Obsérvese sin embargo que los pri­ meros dos conjuntos son linealmente independientes, mientras que el tercer conjunto es dependiente. Con estos nuevos conceptos, se pueden replantear las definiciones 1.8 y 1.9 de la siguiente forma: Un conjunto S de vectores {x b x2, ..., x„} de un espacio vectorial V es una base para V si S es linealmente independiente, y además es un conjunto puente para V. El nú­ mero de vectores de este conjunto puente S es la dim ensión del espacio V.

Comentarios i) Supóngase que V es un espacio vectorial real arbitrario. Si existe un producto interior definido sobre V, no necesita parecerse en lo más mínimo al producto interior estándar, o euclidiano, definido sobre Rn. Por ejemplo, en el capítulo 4 se trabajará con un producto interior que es una integral definida. Un producto interior que no es el euclidiano se deno­ ta a través del símbolo (u, v). Véanse los problemas 30, 31 y 38¿>) en los ejercicios 1.6. ii) Un espacio vectorial V sobre el cual se ha definido un producto interior se denomina un espacio con producto interior. Un espacio vectorial V puede tener más de un pro­ ducto interior definido en él. Por ejemplo, un producto interior no euclidiano definido sobre R2 sería (u, v) = u¡v¡ + 4u2v2, donde u = (u¡, u2) y v = (vb v2). Véanse los proble­ mas 37 y 38a) en los ejercicios 1.6. iii) Gran parte de los desarrollos en los últimos capítulos de este texto se realizan en un espacio vectorial de dimensión infinita. Como tal, se necesita ampliar la definición de independencia lineal de un conjunto finito de vectores S = {xb x2, . .., x„} dada en la definición 1.7 para un conjunto infinito: Se dice que un conjunto infinito de vectores S = {xb x2, . ..} es linealm ente independiente si todos los subconjuntos finitos del conjunto S son linealmente independientes. Si el conjunto S no es linealmente independiente entonces es li­ nealm ente dependiente. Se observa que si S contiene un subconjunto linealmente dependiente, entonces todo el conjunto S es linealmente dependiente. El espacio vectorial P de todos los polinomios tiene la base estándar B = {1, x, x2, ...} la cual es un conjunto infinito linealmente independiente.

EJER C IC IO S 1 .6

■ Las respuestas a los problemas Impares seleccionados comienzan en la página RESP-3.

En los problemas 1-10, determine si el conjunto proporciona­ do es un espacio vectorial. Si no, mencione por lo menos un axioma que no se satisfaga. Considere que la suma vectorial y la multiplicación escalar son las operaciones ordinarias defini­ das en cada conjunto, a menos que se indique lo contrario. 1. El conjunto de vectores (ab a2), donde

a, > 0, í¡2 ^ 0

2. El conjunto de vectores (ax, a2), donde a2 = 3a,+1 3. El conjunto de vectores (a b a2), donde la multiplica­ ción escalar se define como k(ax, a2) = (kax, 0) 4. El conjunto de vectores (ab a2), donde a, + a2 = 0 5. El conjunto de vectores (a b a2, 0) 6. El conjunto de vectores ( a b a2), donde la suma y la multiplicación escalar se definen como k(ax, a2) = {kax + k - 1, ka2+ k - 1) 42

CAPÍTULO 1 Vectores

7. El conjunto de números reales, con la suma definida como x + y = x - y 8. El conjunto de números complejos a + bi, donde i2 = -1, donde la suma y la multiplicación escalar se definen como (a, + b xi) + (a2 + b2i) = (a, + a 2) + (b x + b2)i k(a + bi) = ka + kbi, donde k es un número real 9.

El conjunto de arreglos de números reales

f a \i

«12

xa2i

a 22y

donde la suma y la multiplicación escalar se definen como a ll

a l2

a 2\

«22

+

bn ,b2\

^12 J = ( a i2 + b 12 b22) \«22 + Í>22

«11

« iz \ == ( kUil \k a 2X «22/

.«21

ka ka

10. El conjunto de todos los polinomios de grado 2. En los problemas 11-16, determine si el conjunto proporcio­ nado es un subespacio del espacio vectorial C (-oo, oo).

30. Un espacio vectorial V sobre el cual se ha definido un producto interior, o producto escalar, se denorpina espacio con producto interior. Un producto interior para el espacio vectorial C[a, b] está dado por ■

11. Todas las funciones/ tales q u e /( l) = 0

13. Todas las funciones no negativas/

f(x)g(x) dx.

(/> 8) =

12. Todas las funciones/tales que /(O) = 1

Calcule C[0, 2-77] en (x, sen x).

14. Todas las funciones/tales que f( - x ) = /(x ) 15. Todas las funciones/diferenciables 16. Todas las funciones/que tengan la forma f(x ) = c¡e' + c2xe* En los problemas 17-20, determine si el conjunto proporcio­ nado es un subespacio del espacio vectorial indicado.

31. La norm a de un vector en un espacio con producto in­ terior se define en función de éste. Para el producto in­ terior proporcionado en el problema 30, la norma de un vector está dada por ||/ || = V ( / , / ) . En C[0, 2-jt] cal­ cule ||x|| y ||sen x||. 32 Encuentre una base para el espacio de soluciones de 0 si u + 0

v + w) = (u, v) + (u, w).

Muestre que (u, v) = m1v1 + 4u2v2, donde u = (uu u2) y v = (y,, v2), es un producto interior sobre R2. 38. a) Encuentre un par de vectores no nulos u y v eh R2 que no sean ortogonales con respecto al producto interior euclidiano o estándar u • v, pero que sean ortogonales con respecto al producto interior (u, v) del problema 37.

26. (1, 1), (0, 1), (2, 5) o R2

29. Explique por qué/(x) =

i) (u, v) = (v, u)

es un vector en

tí) Encuentre un par de funciones no n u la s /y g en C[0, 27t] que sean ortogonales con respecto al pro­ ducto interior (f, g) dado en el problema 30. 1.6 Espacios vectoriales

1.7

■\

Proceso de o rto g o n a liza c ió n de G ram -S chm idt

J

H Introducción En la sección 1.6 se plantea que un espacio vectorial V puede tener muchas bases diferentes. Conviene recordar que las características que definen a cualquier base B = {x1; x2>..., x„) de un espacio vectorial V son • el conjunto tí es linealmente independiente, y • el conjunto 5 funciona cómo claro para el espacio. En este contexto, la palabra claro significa que todos los vectores del espacio se expresan como una combinación lineal de los vectores x,, x2,..., x„. Por ejemplo, cada vector u en R" se escribe como una combinación lineal de los vectores de la base estándar tí = {e,, e2,..., e„}, donde e, = ( 1 ,0 ,0 ,..., 0>,

e2 = (0, 1 ,0 ,..., 0),

...,

e„ = . .., v„} para cualquier base dada B = {u ,, u2i. .., u„) para R". Entonces, se genera una base ortonormal B" = {w ,, w2,..., w„} mediante la normalización de los vectores de la base ortogonal B '. La idea fundamental en el proceso de ortogonali­ zación es la proyección vectorial y, por ende, se sugiere la revisión de dicho concepto en la sección 1.3. Asimismo, para lograr cierta visión geométrica del proceso, se comienza con R2 y R3. ■ Construcción de una base ortogonal para R2 El proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt para R" es una secuencia de pasos; en cada paso se construye un vector v, que es ortogonal al vector del paso precedente. La transformación de una base B = {u ,, u 2} para R2 en una base ortogonal B' = {vb v2} consta de dos pasos. Véase la figura 1.64«), El primer paso es simple: únicamente se elige uno de los vec­ tores de 5, digamos u,, y se renombra como v b A continuación, como se muestra en 1.7

Proceso de orto g o n a liza ció n de G ram -Schm idt

la figura 1.64b), se proyecta el vector restante u 2 de B sobre el vector V[ y se define un segundo vector que es v2 = u 2 - proyv u2. Recuérdese de (12) de la sección 1.3 que / u2 ■Vi \ proyv u2 1 — (vj. Como se ve en la figura 1.64c), los vectores V , • V, V,

= u.

a) Vectores u t y u2 linealmente independientes

> 2 • vA — Vj

V2 = U2 -

(3)

V, • V,

son ortogonales. Para verificar esto, se sugiere revisar la ortogonalidad de v, y v2 demos­ trando que Vj • v2 = 0. b) Proyección de u2 sobre v(

Ejemplo 3

Proceso de Gram -Schmidt en R 2

El conjunto B = {Uj, u2}, donde u, = (3, 1), u 2 = (1,1), es una base para R2. Transforme B en una base ortonormal B" = {w ,, \v2}. v2 = u2-proyVl

FluJrVi'

Solución Se selecciona \ x como up v, = ( 3 ,1). Entonces, a partir de la segunda ecuación de (3), con u2 • v, = 4 y obtiene

• v, = 10, se

c) y i y v2,son ortogonales

Figura 1.64 Los vectores ortogonales Vj y v2 se definen en té rm in o s de Uj y u2. El conjunto B' = {Vj, v2¡ = {(3, 1), ( — f )} es una base ortogonal para R2. El último paso consiste en normalizar los vectores v, y v2: /

IN |V|

\

3

P=.

1

\

)

\ V io ’ V io /

V

y

W, =

1

T,— ñ V , =

Wz 'IN I^

/

(

1

3

= . — =

\

)

\ V io ’ V io /

La base B se muestra en la figura 1.65a), y la nueva base ortonormal B" = { w h w2} se muestra con las flechas en la figura 1.65b). □

En el ejemplo 3 se puede seleccionar cualquier vector de B = {u ,, u2} como el vector v¡. Sin embargo, eligiendo Vj = ,u2 = (1,1), se obtiene una base ortonormal diferente; esto es, b)BaseB" Figura 1.65

Las dos bases del

B" = {wj, w2}, donde w, = (1/ V 2 , 1/V 2 ) y w2 = (1 /V 2 , - 1 / V 2 ) . Véase los pro­ blemas 5-8 de los ejercicios 1.7.

e jem plo 3

13 Construcción de una base ortogonal para R3 Ahora supóngase que B = {uh u2,u 3} es una base para R3. Entonces, el conjunto B' = {v1; v2, v3}, donde v t = u,

Es una base ortogonal para R3. De nuevo, si esto no se ve claramente, calcúlese Vj • v2, Vi • ,v3 y v2 • v3. Puesto que los vectores v, y v2 de la lista (4) son ortogonales por la forma en que se generaron, el conjunto {v b v2 } debe ser linealmente independiente (véase el problema 46

CAPÍTULO 1 Vectores

36 de los ejercicios 1.6). Así, W2 = Sg(vb v2) es necesariamente un subespacio bidi, /u 3 • vA / u3 • v2\ mensional de R . Ahora, el vector x = v, + —------ v2 es un vector en W2, \ v 2 • v2, porque es una combinación lineal de V[ y,v2. Al vector x se le denomina la proyección ortogonal de u3 sobre el subespacio W2 y se denota generalmente como x = proy,,, u 3. En la figura 1.66, x es el vector negro remarcado. Obsérvese, también, que x es la suma de dos proyecciones. Utilizando (12) de la sección 1.3, se escribe p r°yV[u 3

Figura 1.66 Los vectores v1( y 2, v3 o b te n id o s del proceso de Grqlín-

proyV2u 3

/____ *

i

(

A

S ch m id t

* ' proi»'u» ’ ( u 4 ) V| + ( u 4 ) ’ 2

(5)

La diferencia v3 = u 3 — x es ortogonal a x. En efecto, v3 es ortogonal a v, y v2 y a todos los vectores en W2. Esta es precisamente la misma idea de (3). En ese contexto, v2 = u 2 — x, donde x es la proyección de u2 sobre el subespacio unidimensional W¡ = Sg(v,) de R2. Análogamente a (5), se tiene

¡ p r o jw iij =

Ejemplo 4

proy», “ 2

A 2

,

V,

- — — v,.

(6)

Proceso de Gram -Schmidt en R3

El conjunto B = fu,, u2, u3}, donde u, =