MATEMÁTICA.temas e metas vol 3

MATEMÁTICA: TEMAS E METAS, VOL 3; SISTEMAS LINEARES E COMBINATÓRIA CAPÍTULO - 2

TEORIA DAS MATRIZES

1. NOÇÃO DE MATRIZ E REPRESENTAÇÃO 01. Associe cada matriz A, B, C, D e E ao seu tipo m x n (de I a IV): 3 2     4 2  1      6 2 0 8  4 − 1  , C =  A =  − 1 3  , B =  , D =  4 e E = ( 3 2 7)  0 1  0 0 1 0  5 − 2  0       5 7    (I) 1 x 3 (II) 2 x 3 (III) 3 x 1 (IV) 3 x 2 (V) 2 x 4 02. Quantos elementos possui uma matriz 3 x 4? E uma matriz quadrada de ordem 6 ? 03. Quais podem ser os tipos das matrizes que possuem 4 elementos? E das que possuem 12 elementos ?  0 1 2 3    4 5 6 7 04. Na matriz A =  dê o valor de: 8 9 10 11    12 13 14 15   a) a22 b) a31 c) a13 d) a42 e) a34 g) todos os elementos da diagonal principal h) todos os elementos da diagonal secundária.

f) a12

05. Forme a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 2i + j - 1 06. Forme a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = i ² + j² 07. Forme a matriz A = (aij)2x3 definida por aij = 2ij – 1 i + j,se i = j 08. Forme a matriz A = (aij)3x3 definida por aij =   ij,se i ≠ j 1,se i = j 09. Forme a matriz A = (aij) 3x3 definida por aij =  0,se i ≠ j 10. Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = (aij)4x4 onde aij = (- 1) i + (-1 )  i,se i ≥ j 11. Calcule o produto dos elementos da 2ª linha da matriz A = (aij)4x3 onde aij =   j,se i < j 12. Calcule a soma dos elementos da 3ª coluna da matriz A = (aij) 3x3 onde aij = 2i – 2j. 13. Dada a matriz A = (aij)2x2 em que aij = (i + j) ² - 1 calcule o valor da expressão a11a22 – a12a21. i + j,se i ≥ j em que aij =  calcule a diferença entre o produto dos  0,se i < j elementos da diagonal principal e o da diagonal secundária. 14. Dada a matriz A = (aij)

3x3

2. IGUALDADE 15. Calcule a, b, c e d para que seja válida a igualdade de matrizes  3a b+ 1  6 5   =    c + d c − d  2 0

j

 x² − y   0     16. Calcule x e y para que seja verdadeira a igualdade  2x + y =  3  2xy   2      x² y²   1 1  =   . 17. Verifique se existem valores de x e y que tornam verdadeira a igualdade   2x y + 2  − 2 3  x + y x − y 10 0    x  =  . . 18. Verifique se existem valores de x e y que tornam verdadeira a igualdade  xy  5 1     y   y   − a − 2 − a − b  a+ 2 x  =   , qual é o valor da soma x + y ? 19. Se  − b− 1 b   − x b+ 1 − y  a  a a + b a + b+ c  1 3 5     20. Se  0 d + e d + e + f  =  0 3 5 , qual o valor da expressão abc + def ? 0 0 e + f   0 0 5  21. Forme todas as matrizes quadradas de ordem 2, distintas, em que dois elementos são iguais a 1 e outros dois iguais a 2. 22. Forme todas as matrizes quadradas de ordem 3, distintas, onde em cada linha e em cada coluna um elemento é igual a 1 e os demais são iguais a zero. 3. MATRIZ TRANSPOSTA 23. Forme a matriz transposta de cada matriz dada.  3 4   A = a)  7 5  2 8  

 1 0 0   B = b)  2 3 0  4 5 6  

 1   C = c)  2  3  

 1 − 1  d) D =  −1 6 

24. Obtenha a matriz transposta de a) A = ( aij ) 3x2 comaij = i² − j²

b) B = ( bij ) 3x2 combij =

i+ j 2

 3 6 10  , qual é a matriz transposta da matriz transposta de A ? 25. Se A =   − 2 − 2 − 2  10 10 10  . 26. Determine a matriz A sabendo que A t =   0 1 1 27. Dada A t = (bij)3x4 com bij = i – j, determine a matriz A.  1+ a b   3 − 1  e B =   , calcule a, b,c e d para que se tenha A = Bt 28. Dadas as matrizes A =   2c 2+ d 2 4   a b  , qual é a condição que a,b,c e d devem satisfazer para que se tenha At = A. 29. Se A =   c d 4. ADIÇÃO DE MATRIZES 3 30. Dadas as matrizes A =  −1 a) A + B b) B + C c)

2 1 3   0 2  1 − 1 2  , B =   , C =   e D =   , calcule, se existir: 4  2 − 2  5 8  0 3 1 C–A d) A + D e) B – C f) D – C

1 2   3 − 1  6 5       31. Dadas as matrizes A =  3 − 1 , B =  4 0  e C =  2 4 , calcule: 2 5  1 1  0 0       a) A + B + C b) A + B – C c) A – B – C d) A – B + C  1 2 0 −1 −1 2      32. Dadas as matrizes A =  1 3 4 e B =  0 1 3  , calcule:  0 2 1  4 2 − 2     a) B – A b) At + B c) A + Bt d) At - Bt  1 2    1 1 1  e B =  2 1 , calcule se existir: 33. Dadas as matrizes A =   2 3 4  3 3   t a) A + B b) A + B c) A + Bt d) At + Bt  1 2 3  4 − 2 2  e B =   , 34. Dadas as matrizes A =  2 − 1 1    5 2 0 a) calcule A + B, (A + B)t e At + Bt e verifique que (A + B)t = At + Bt; b) calcule A - B, (A - B)t e At - Bt e verifique que (A - B)t = At - Bt.  10 3   − 5 − 2  e B =   , determine a matriz X em cada equação. 35. Dadas as matrizes A =   − 15 12  1 − 3 a) X – At = 0 c) X + A = B b) X + At = 0 d) X – B = A t 3 36. Dadas as matrizes A =  2 a) X + A = 0 b) X + B = A  3  1 37. Se A =  −  2  1  t a) X + A = 0

1 3  − 1 2 0  e B =   , determine a matriz X nos casos: 4 2  4 − 3 1 c) X + At = Bt d) X + A + B = 0

7  2  , determine X nos casos:  2 b) Xt – A = 0

1  −1   3 1 2  , determine as matrizes X e Y em cada caso.  e B =  38. Dadas as matrizes A =   1 2  2 7   2   X − At = B a)  t Y − A = B

 X t = A− B b)  t Y + A+ B = 0

 1 − 1 − 2   39. Se A =  − 3 0 1  , determine X nos casos:  4 −2 0    t a) X + A = A b) X – A = A 40. Resolva a equação A – X = B sendo dadas A = (aij)2x2 com aij = i² + 2i – j e B =(bij)2x2 com bij = aji. 5. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO POR MATRIZ  2 −1 0 8  , determine as matrizes: 41. Dada a matriz A =   12 0 − 3 10

a) 2A

b) -3A

c)

1 A 2

d) −

1 A 10

e) 3At

f) -2At

  2 6    42. Dada a matriz A =  1 4  calcule as matrizes 10A, (10A)t e 10.At e verifique que (10A)t = 10.At. 1 0 −  2   3 − 1  2 2  e B =   calcule as matrizes: 43. Dadas as matrizes A =  2 4    0 4 b) At – 2B

a) 2A + 3B

c)

1 1 B− A 4 2

1 d) 3A− Bt 2

 3  − 1  5       44. Se A =  0 , B =  2  e C =  − 2 calcule as matrizes:  2  1  2       1 a) A + 2B + 3C b) 3A – 2B – C c) 2A− B + C 2

d)

1 ( A+ B + C) 3

45. Se A = ( 1 -1), B = (3 0) e C = (-2 4), calcule as matrizes: a) 3(A - B) + 2C

b) 5(2A - 3B + C) – 3(B - A)

 2 1 1   46. Dada A =  − 1 3 1 , calcule a 5(2A)t – 3(-A).  − 1 − 1 4    − 1  1     47. Resolva a equação 2X + A = 3B, sendo dadas as matrizes A =  0  e B =  1 .  2  4      1 1  1 2  e B =  . 48. Resolva a equação 2A – 5X = Bt sendo dadas as matrizes A =  1 9    − 2 0 1 49. Calcule os números a, b, c e y que tornam verdadeira a igualdade a y  1 0  − 1 2  e B =   , calcule as matrizes X e Y em 50. Dadas as matrizes A =   1 1  2 2 X + Y = A a)  X − Y = B

x  − 1 y  0 1  + b = . 0  − x 1  − 1 2 cada sistema:

 X + 2Y = 7A− 2B b)   2X − Y = 4A+ B

6. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 51. Calcule os seguintes produtos:  4   c) ( − 2 − 2 5)  − 1  1  

 2 a) ( 3 10)    5

Matri zA 2x3 5x2 3x3 2x4 5x3 3x5 1x3

Matri zB 3x4 2x2 3x1 3x4 3x5 5x3 2x5

Matriz AB

 2   b) ( 8 4 − 1)  0  3  

 − 6 d) ( 5 6)    5

52. Copie e complete o quadro colocando o tipo mxn da cada matriz(se existir)

1x4 3x5

53. Calcule o produto indicado em cada caso.  1 3 − 1  c) ( 4 2)   0 2 − 2

 2 5  a) ( 3 8)   1 3

b)

(1

5 1    2 − 1)  0 2   3 − 2  

d)

(6

 1 2 3   5 − 2)  4 5 6  7 8 9  

54. Calcule o produto indicado em cada caso.  4 5 5   a)   2 2 2

 3 1 4 7    b)  2 2 5 2  − 1 1 0 3   

 2 1    3 4 2   55. Calcule AB e BA sendo dadas A =   e B =  4 3 1 0 5    5 6    1 − 1  3 7  e B =   . 56. Calcule AB e BA sendo A =  2 4   10 2 5   1 2 3 −1 2   , B =   , C =  − 1 57. Dadas as matrizes A =   − 2 − 1  0 4 − 2 0  a) AB d) BA g) CA b) AC e) BC h) CB c) AD f) BD i) CD

2  1 1 2    0 e D =  1 2 2 , calcule:  2 2 2 3   j) DA l) DB m) DC

 1 1    3 2  , calcule se existir: 58. Dadas as matrizes A = ( 2 −1 3) , B =  − 1 1 e A =   1 5  2 0   a) AB d) CB c) BtC j) BB b) AC e) CBt h) BtAt l) BBt c) BC f) CtBt i) CC m) AAt  5 4  1 1  0 1  , B =   e C =   , calcule se existir 59. Dadas as matrizes A =   1 2  1 2  1 1 a) AB c) AC e) BC g) AtC b) BA d) CA f) CB h) CCt  2 5  4 0  − 2 − 1  5 − 3  , B =   , C =   e D =   , calcule: 60. Dadas as matrizes A =   − 1 3  1 1  1 − 2 − 3 5  a) AB + CD b) BC – AD c) AC + CA d) BD – DB

 1 0 0   61. Sendo A =  1 2 0 , determine  1 2 3   a) A.A b) At.At

c) A.At

d) At.A

Propriedades I. Propriedade comutativa  3 1  5 −1 62.Verifique se A =   e B=   são matrizes comutáveis. 2 2    −1 6  63. Verifique se são matrizes comutáveis:  2 5  0 1  1 2  2 1 a) A =  b) B =   , B=    e N=    5 8  1 4  1 2  2 1  1 2 3  0 1 0     c) P =  2 1 3 e B =  1 0 0  4 4 5  0 0 1    

 1 1 0  0 1 1     d) A =  0 1 0 e B =  1 0 1  0 1 1  1 1 0      1 1  −1 2 64. Para quais valores de x e y as matrizes A =   eB =   são comutáveis? 0 3    x y  2 3 t t 65. Dada A =   , calcule a e b para se tenha A.A = A .A.  a b 2 66. Verifique que as matrizes A =  2 1 67. Verifique que as matrizes A =  0

1  1 x  eB =   não são comutáveis, ∀x∈ R . 2  x 0 0  a 0  eB =   são comutáveis, ∀a,b ∈ R 2  0 b

 1 0 1  a 0 b     68. Prove que as matrizes A =  0 1 0 e B =  0 2 0 são comutáveis se, e somente se, a = d e b =  1 0 1  c 0 d     c II. Propriedade associativa III. Propriedade distributiva IV. Anulamento do produto. Lei do Cancelamento.  3 2  1 −1  4 −2 69. Dadas as matrizes A =  , B =   eC =    1 6 3 8 1 9 a) verifique que (AB)C = A(BC) b) verifique que A(B + C) = AB + AC  1 2 3  −1 1 3   1 2  −1 −3 70. Dadas as matrizes A =  , B =  , C =   eD=   , calcule se existir:  4 0 2  2 1 −3  4 5  3 9 a) C(A + B) c)(A + B)D b) (C + D)(B – A) d)(A + B)tD  −2 0 4 71. Dadas A =  , B =   0 3 2 a) A.B.C b)C.B.A

1  6 2  eC =   calcule 3  −2 1 c) (A + B).(A + C) d)A.(B + C).(B – C)

 a b  x y t t t 72. Se A =   eB =   , prove que vale a igualdade (A.B) = B .A  c d z t 73. Calcule x e y para que se verifique a igualdade:  1 −1  x y  0 0   . =   −3 3   4 5  0 0  1 0  a b  4 5 74. Se A =  , B =   eC =   , calcule a e b de modo que se tenha AB = AC.  2 0  2 3  6 7  1 1  1 2 0 1  75. Se A =  , B =   eC =   , calcule x 3 3 3 6      x 1+ y 0 76. Calcule x e y de modo que as matrizes A =  x multiplicação. 77. 1  2 0 

e y para que se verifique a igualdade AC – AC = 0 1  1 0  eB =   sejam comutativas em relação à 0  0 y

Calcule x, y, e z de modo que se verifique a igualdade 0 1 x  1      1 0 y =  10    1 1  z   5 

78. Calcule a, b, c e d de modo que se verifique a igualdade  2 1  a b  1 6    = .  3 −1 c d  4 −1  1 0  7 6 79. Dadas A =   eB =   , determine a matriz X que satisfaz à equação A.X = B.  3 2  12 −4  1 1 1  13     80. Se A =  2 1 1 e B =  14 , determine a matriz X na equação A.X = B  3 2 1  15     7. MATRIZES QUADRADAS Matriz diagonal, matriz simétrica e matriz anti-simétrica 81. Dentre as matrizes dadas abaixo, diga a) quais são matrizes diagonais; b) quais são matrizes simétricas; c) quais são matrizes anti-simétricas.  1 2  3 1  10 0   0 2 0 A=  , B =   eC =  , D=  , E =   3 1  1 2  0 −10  2 0 3 1 0 0   0 4 2  0 −1 −1 0 0        F =  0 3 0  , G =  4 0 1 , H =  1 0 −1 e I =  0 0  0 0 −3  2 1 0 1 1 0 0 0       

−3  0 0 .  0 0

 1 1+ x 2    4 y − 1 seja uma matriz simétrica. 82. Calcule x, y e z de modo que a matriz A =  3  5z 6 7  

b c  1+ x   83. Sabe-se que a matriz M =  −1 2− y a  é uma matriz anti-simétrica. Calcule o valor da  0 2 3z   expressão (x + y + z).(a + b + c ). 84. Quantas são as matrizes diagonais de ordem 3 onde os elementos da diagonal principal são números inteiros positivos cujo produto é igual a 8? 0 1 1 0 0    85. Dadas as matrizes A =  1 −2 2  e P =  0 1  1 2 −1 x 2    diagonal onde a soma de todos os elementos é Matriz inversível e matriz inversa 86.

2  −3 , calcule x de modo que PtAP seja uma matriz −4 igual a -28.