Matemática B 10 Ano Volume 2

Matemática B 10 . o ano

Ana Arede Soveral

Carmen Viegas Silva

Revisão científica Professor Doutor Jaime Carvalho e Silva (Universidade de Coimbra)

volume 2

Matemática B 10 . o ano Ana Arede Soveral

Carmen Viegas Silva

Revisão científica Professor Doutor Jaime Carvalho e Silva (Universidade de Coimbra)

volume 2

Índice

VOL. 1

MÓDULO INICIAL GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO FUNÇÕES E GRÁFICOS – GENERALIDADES. FUNÇÕES POLINOMIAIS

VOL. 2

ESTATÍSTICA Estatística – generalidades ......................

6

Objecto da estatística e breve nota histórica...........................................................

6

Variáveis discretas ....................................... Variáveis contínuas ...................................... Separador de frequências .........................

24 27 31

Medidas de localização de uma amostra...... Moda e classe modal.................................... Média aritmética ........................................... Mediana e classe mediana......................... Quartis ...............................................................

32 32 34 36 39 41 41 41 44

População e amostra. Recenseamento e sondagem. Variável estatística ..................... População e amostra .................................. Recenseamento e sondagem ................. Variável estatística .....................................

7 7 8 9

Estatística descritiva e estatística indutiva.......

10

Resumindo..............................................................

11

A vida da matemática......................................

12

Medidas de dispersão de uma amosta ........... Amplitude total ............................................ Variância e desvio padrão .......................... Amplitude interquartis ..............................

Actividades práticas E1-E2 ...........................

13

Diagrama de extremos e quartis ......................

44

Exercícios resolvidos .......................................

16

Discussão das limitações estatísticas............

46

Exercícios propostos........................................

17

Resumindo..............................................................

48

A vida da matemática......................................

49

Actividades práticas E3-E5 ..........................

50

Exercícios resolvidos .......................................

58

Exercícios propostos........................................

61

Referência às distribuições bidimensionais ..................................................

66

Diagrama de dispersão.........................................

66

Coeficiente de correlação linear e sua variação no intervalo [–1, 1] ................................

69

Organização e interpretação de caracteres estatísticos ......................... Análise gráfica de atributos qualitativos. Determinação da moda........................................ Tabelas de frequências .............................. Representações gráficas ........................... Determinação da moda .............................. Análise gráfica de atributos quantitativos. Variáveis discretas e variáveis contínuas. Função cumulativa ..............................................

20 20 20 21 23

24

Centro de gravidade de um conjunto finito de pontos e sua interpretação física...............

70

Ideia intuitiva de recta de regressão. Sua interpretação e limitações.........................

71

Resumindo..............................................................

73

A vida da matemática......................................

74

Actividades práticas E6-E7 ..........................

75

Exercícios resolvidos .......................................

78

Exercícios propostos........................................

80

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Movimentos periódicos. Funções trigonométricas .......................... Resolução de problemas que envolvam triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relações entre as razões trigonométricas de uma mesma amplitude de ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relações entre as razões trigonométricas de ângulos complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes 30o, 45o e 60o* . . . . . . . . . . Resumindo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86 86

94

Resumindo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

A vida da matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

Actividades práticas T5-T6 . . . . . . . . . . . . .

127

Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

Redução ao 1.o quadrante . . . . . . . . . . . . .

134

Equações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 96 97 99

A vida da matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Actividades práticas T1-T4 . . . . . . . . . . . . . .

102

Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

Coordenadas polares* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Conversão de coordenadas cartesianas em coordenadas polares e vice-versa* . . 148 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152

Resumindo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 A vida da matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

Actividades práticas T7-T10 . . . . . . . . . . . .

163

Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174

Calculadoras CASIO FX-9860GII ou FX-9860GII SD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Unidades de medida de ângulos e de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Generalização das noções de ângulo e de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Referencial polar no plano . . . . . . . . . . . . 119 Círculo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . 119

*Facultativo

188

ESTATÍSTICA

6

ESTATÍSTICA

ESTATÍSTICA – GENERALIDADES OBJECTO DA ESTATÍSTICA E BREVE NOTA HISTÓRICA Para alguns autores a palavra «estatística» teve origem no termo «statistik» (em grego significa «verificar»). Este termo foi usado pela primeira vez por Godofredo Achenwall (1719-1772). A estatística aparece desde sempre ligada ao Estado e à necessidade de verificar determinadas características de uma população. Desde o início da civilização que se realizam inquéritos. Fig. 1 A análise estatística do número de sismos ocorridos em determinada região permite aos engenheiros e arquitectos projectar cidades mais seguras.

O censo mais antigo que se conhece data de 2200 a.C. e foi realizado por ordem do imperador chinês Yao. Na Babilónia, Nabucodonosor mandou registar em placas de argila todos os seus bens agrícolas. No antigo Egipto, devido às cheias periódicas provocadas pelo rio Nilo, era necessário efectuar registos de propriedades e de bens. Na Grécia antiga efectuavam-se inquéritos com o fim de lançar impostos. O Império Romano foi o primeiro «estado» a reunir dados organizados sobre a população e os bens do Império. Em Portugal, no reinado de D. Afonso III (1260-1279) realizou-se um dos primeiros inquéritos «estatísticos», conhecido pelo «Rol dos Besteiros do Couto».

Fig. 2 É através dos meios de comunicação social que são divulgados os resultados das sondagens à opinião pública.

À data da elaboração deste manual (2010), o último levantamento estatístico (XIV Recenseamento Geral da População), o Censos 2001, foi realizado pelo Instituto Nacional de Estatística.

ESTATÍSTICA – GENERALIDADES

7

Os dados recolhidos são muito importantes, pois têm influência nas decisões dos governantes em assuntos de interesse nacional e local, ao nível da educação, da saúde, do emprego, da economia, etc. A estatística é a ciência que dispõe de processos próprios para recolher, organizar, classificar, apresentar e interpretar conjuntos de dados. Surge actualmente como um ramo da matemática aplicada, que tem por objectivo extrair informações dos dados recolhidos para obter uma melhor compreensão das situações sob análise. A palavra «informação» é uma das mais usadas na sociedade actual e a interpretação dessa informação é indispensável para compreender as mudanças no mundo. É cada vez mais importante distinguir a informação correcta e imparcial daquela a que se pode chamar poluição informativa. Exemplo de um estudo estatístico:

Quanto vale o surf É uma indústria poderosa, com crescimentos na ordem dos 10% nos últimos cinco anos. A crise afectou o mercado das roupas, calçado e acessórios, mas o material técnico (pranchas, fatos, etc.) continuou em alta. € 5 mil milhões é quanto vale o mercado dos desportos aquáticos com prancha nos EUA, de acordo com a SIMA (Surf Industry Manufacturers Association). € 1691 milhões é o valor do mercado europeu, em 2008, de produtos relacionados com surf, bodyboard, windsurf, wakeboard, kiteboard e skimboard, de acordo com a empresa de estudos de mercado NPD. € 304 milhões Equipamentos técnicos. € 677 milhões Calçado. € 710 milhões Roupa e acessórios. in Visão , n.o 857, 2009

POPULAÇÃO E AMOSTRA. RECENSEAMENTO E SONDAGEM. VARIÁVEL ESTATÍSTICA População e amostra Em estatística, definimos população, ou universo estatístico, como o conjunto de elementos (seres, objectos, etc.) com uma ou mais características em comum acerca das quais pretendemos efectuar um estudo. A população, sendo um conjunto de elementos, pode ser finita ou infinita. Quando é finita, chama-se dimensão da população ao número de elementos que a constitui; unidade estatística é a designação dada a cada elemento que constitui a população.

NOTA Ao realizar um estudo estatístico estamos a: • informar; • descrever; • prever; • prevenir.

8

ESTATÍSTICA

Pode não ser possível estudar todas as unidades estatísticas de uma população; por exemplo, num estudo sobre as compras que os europeus efectuam na Internet não seria possível analisar todos os elementos da população, pois a sua dimensão é muito grande! Em casos como estes é mais vantajoso recorrer a uma amostra – um subconjunto finito da população a estudar. As conclusões resultantes da amostra são extensíveis a toda a população. Pelo contrário, quando se pretende realizar um censo, a amostra é toda a população.

Recenseamento e sondagem Recenseamento ou censo é um estudo estatístico realizado sobre toda a população. Num recenseamento tem-se o propósito de recolher dados sobre todos os elementos da população e fazer juízos quantitativos acerca das características estudadas. No caso de, por diversas razões, não se justificar o recenseamento, então tem sentido aplicar uma sondagem. Sondagem é um estudo estatístico realizado a partir de uma amostra. EXERCÍCIO 1 Pretende fazer-se um estudo sobre o número de irmãos dos alunos do 10.o ano de escolaridade de uma determinada escola secundária. Indique:

1.1. a população em estudo. 1.2. a unidade estatística.

Utilizar uma amostra tem algumas vantagens, tais como: • mais económico – um estudo sobre toda a população teria custos elevados e é esse o motivo pelo qual se escolhe uma amostra quando se pretende saber, por exemplo, se determinado produto de consumo está a ser bem aceite pelo mercado ou não;

EXERCÍCIO 2

• mais rápido – em certos casos, estudar toda a população faria com que se perdesse a actualidade. Imagine-se um estudo sobre a preferência televisiva dos portugueses; quando o estudo terminasse poderiam ser referidos programas que ainda não eram exibidos no início do estudo e outros que já não estariam sequer em exibição;

Dê um exemplo de um estudo estatístico no qual deva ser utilizada:

• prático – se a dimensão da população for muito grande e for possível obter uma amostra representativa, não se justifica estudar toda a população;

2.1. apenas uma amostra. 2.2. uma amostra ou o universo

• operacional – quando se pretende estudar, por exemplo, o grau de resistência de um tijolo não se devem testar todos os tijolos!

EXERCÍCIO 3 Todos os dias, jornais, revistas e televisão apresentam estudos estatísticos.

As desvantagens da utilização de amostras são poucas e resumem-se, essencialmente, ao modo como é «escolhida» a amostra. Se esta for escolhida de uma forma incorrecta, os dados analisados não poderão ser generalizados a toda a população.

Escolha um desses artigos e indique a população estudada.

Existem vários critérios para a formação adequada de uma amostra representativa da população em estudo, como:

NOTA

• imparcialidade – todos os elementos da população devem ter alguma probabilidade de serem seleccionados;

estatístico.

A escolha de uma amostra obedece a técnicas específicas que constituem o objecto de estudo da teoria de amostragem.

Caderno de Exercícios

Exercícios 1 a 10. Página 48.

• representatividade – tem de ser definida no início do estudo e ser proporcional às características, tanto qualitativas como quantitativas, da população; • dimensão – o número de elementos escolhidos para representar a população deve ser o suficiente e necessário para que seja possível abranger toda a variedade de subgrupos da população; • aleatoriedade – a escolha da amostra tem de ser aleatória.

ESTATÍSTICA – GENERALIDADES

9

Tendo em conta estes critérios, utilizam-se normalmente dois tipos de amostragem:

EXERCÍCIO 4

Amostragem aleatória simples ou sistemática

Justifique se as amostras que foram usadas nas seguintes situações são «boas» ou «más».

A amostragem simples consiste em extrair ao acaso, da população, o número de elementos necessários para constituir a amostra. Por exemplo, numa fábrica com 210 operários pretende fazer-se um estudo sobre o funcionamento do respectivo refeitório. Escolhem-se, ao acaso, 21 elementos para responderem ao inquérito. A amostragem sistemática consiste em escolher aleatoriamente os elementos da amostra segundo uma certa ordem. No exemplo da fábrica, escolhe-se o primeiro operário que frequentou o refeitório num determinado dia, em seguida só se escolhe o quinto, depois o décimo, e assim sucessivamente até se obter a amostra pretendida.

4.1. Para saber o que se pensa-

va sobre o desenvolvimento da indústria de calçado em Portugal, auscultou-se a opinião das empresas com maior volume de vendas no último ano.

4.2. Um canal televisivo pediu aos telespectadores que no fim de um debate telefonassem para uma de duas linhas telefónicas, consoante concordassem com o convidado A ou com o convidado B. EXERCÍCIO 5

Amostragem estratificada Utiliza-se quando se sabe previamente que a população está dividida em subpopulações. Por exemplo, num estudo sobre o bom ou mau funcionamento dos serviços administrativos de uma escola, não faria sentido ter em conta só as opiniões dos professores sem ter em conta, também, as dos alunos e pais.

Classifique cada uma das seguintes variáveis estatísticas como qualitativa ou quantitativa.

5.1. Cor dos olhos. 5.2. Peso de um bebé recém-nascido.

5.3. Local de trabalho. 5.4. Sexo. 5.5. Rendimento mensal de

uma família portuguesa.

Variável estatística A propriedade ou característica que se pretende estudar é designada por variável estatística, carácter estatístico ou atributo estatístico. Numa população podem ser estudados vários atributos. Por exemplo, num inquérito aos alunos de uma turma podemos estudar: a idade, o número de irmãos, o tempo gasto no percurso casa-escola, o tipo de música preferida, etc.

EXERCÍCIO 6 Das seguintes variáveis estatísticas, indique as que são discretas e as que são contínuas.

6.1. Peso dos jogadores de uma equipa de futebol. 6.2. Número de espectadores de um concerto de rock. 6.3. Altura dos alunos do 10.o ano.

Podemos, então, considerar vários tipos de variáveis que depois de observadas vão constituir os dados estatísticos:

6.4. Número de golos marca-

• variáveis qualitativas são as que exprimem uma qualidade, não podendo ser mensuráveis. Exemplos: o tipo de leitura preferido; o desporto favorito;

6.5. Número de exemplares vendidos da revista «Educação e Matemática».

dos no escalão principal do campeonato nacional de futebol.

• variáveis quantitativas são as mensuráveis e podem ser: – discretas: assumem um número finito ou infinito numerável de valores. Exemplos: a idade ou o número de irmãos; – contínuas: variáveis estatísticas que assumem um número infinito não numerável de valores. Exemplo: o tempo gasto desde sair de casa até chegar à escola.

Actividade prática

E1

Exercícios propostos Exercícios 1 a 3, 5 a 7 e 9 a 12. Páginas 17 a 19.

10

ESTATÍSTICA

ESTATÍSTICA DESCRITIVA E ESTATÍSTICA INDUTIVA Num estudo estatístico podemos considerar duas fases: • a estatística descritiva, onde se procura descrever a amostra pondo em evidência as características principais; • a estatística indutiva, que procura inferir conclusões para todo o universo, ou população em estudo, a partir das conclusões obtidas pela estatística descritiva. Salienta-se a importância de quantificar o erro cometido ao fazer esta inferência. A estatística descritiva é constituída por várias etapas. Começa-se pela identificação do problema, para ser possível definir o tipo de dados pertinentes para o estudo. Segue-se a recolha dos dados, que pode ser efectuada por diversos processos, como: observação directa, entrevistas, preenchimento de inquéritos, questionários por telefone ou por correio, etc. EXERCÍCIO 7 Comente as seguintes afirmações: 7.1. «Há três espécies de mentiras: as mentiras, as mentiras abomináveis e as mentiras estatísticas.»

Depois de recolhidos os dados é feita uma análise para excluir valores estranhos que possam conduzir a conclusões erradas, isto é, faz-se a crítica dos dados. Passa-se à organização e apresentação dos dados. Por fim, temos a análise e interpretação dos dados e resultados obtidos. Por exemplo, ao realizar-se um estudo sobre as fontes de emissão de gases com efeito de estufa, e após o tratamento de dados, obteve-se o seguinte gráfico:

Mark Twain

7.2. «As estatísticas mostram que a maior parte dos acidentes de automóvel ocorre a velocidades moderadas e que muito poucos acidentes se dão a velocidades superiores a 150 km/h. Significará isto que é mais seguro conduzir a alta velocidade?»

Energia e transportes mais poluentes Resíduos Agricultura Processos industriais

Transportes

Em 2005, o sector da energia (por exemplo, a sua produção e transformação) e os transportes somaram 72% das emissões de dióxido de carbono, metano e óxidos de azoto em Portugal

8% 10% 10%

48%

Energia

24%

7.3. «Um estudo mostra que

numa certa cidade europeia se notou um forte crescimento da população e, simultaneamente, registou-se um notável incremento de ninhos de cegonhas. Apoiará este estudo a conhecida crença de que são as cegonhas que trazem os bebés?» in Martin Gardner, Apanhei-te!, Gradiva (adaptado)

E2

Actividade prática

Exercícios propostos Exercícios 4, 8 e 13. Páginas 17 a 19.

Fonte: «Relatório do do Estado do Ambiente», 2006 in Relatório de Estado Ambiente, 2006

Podemos concluir que o sector da energia é o sector com mais responsabilidade quanto ao aquecimento global. Na estatística indutiva inferimos para toda a população as conclusões retiradas do estudo da amostra. A necessidade de inferência das conclusões deu um novo rumo à estatística indutiva, que, com base na teoria das probabilidades, permite a tomada de decisões prevendo a evolução dos acontecimentos. Por exemplo, segundo a Comissão Europeia, Portugal terá, em 2050, o maior corte no valor das pensões. Previsão das variações em pensões Previsão das variações de pensões

Portugal

Irlanda

Espanha

Reino Unido

-2 -10

Caderno de Exercícios

Exercício 11. Página 49.

+20

Comparação entre 2008 e 2050, em %

-20

+2 Alemanha

+5 Holanda Dinamarca

-8 Fonte: Comissão Europeia, 2009

ESTATÍSTICA – GENERALIDADES

11

RESUMINDO Estatística – generalidades

• População ou universo estatístico é o conjunto de elementos com uma ou mais características comuns, acerca da(s) qual(quais) se pretende efectuar um estudo. • Amostra é um subconjunto finito da população. • Unidade estatística é a designação dada a cada elemento que constitui a população. • Dimensão de uma população finita é o número de elementos da população. • Censo é um estudo estatístico realizado sobre toda a população. • Sondagem é um estudo estatístico realizado a partir de uma amostra. • Variável estatística, carácter estatístico ou atributo estatístico é a propriedade ou a característica sobre a qual se pretende fazer o estudo. Qualitativas

Variáveis estatísticas

Discretas

Quantitativas

Contínuas

• A estatística descritiva baseia-se essencialmente na recolha, organização, apresentação e interpretação de dados. Etapas de um estudo estatístico:

Identificação do problema

Recolha de dados

Crítica dos dados

Organização e apresentação dos dados

Análise e interpretação dos dados

• A estatística indutiva tem como objectivo a inferência de conclusões para toda a população a partir do estudo da amostra.

População

Produção de dados

Características populacionais

Estatística indutiva

Amostra

Estatística descritiva

Estudo da amostra Características amostrais

12

ESTATÍSTICA

A VIDA DA MATEMÁTICA «Estatística é o nome da ciência e da arte que trata a inferência incerta, que usa os números para obter algum conhecimento acerca da natureza e da experiência.» Warren Weaver (matemático norte-americano)

Muitos estados ordenaram estudos estatísticos para melhor conhecerem a sua população, com o objectivo de lançar impostos ou, também, de conhecer o número de homens de que disporiam caso entrassem em guerra. Edmond Halley [1656-1742]

Em Londres, John Graunt (1620-1674) faz a primeira recolha organizada de informação sobre a natalidade e a mortalidade na sua cidade. William Petty (1623-1687) procura igualmente leis quantitativas que traduzam fenómenos sociais e políticos. Em 1693, Edmond Halley, famoso astrónomo inglês que desenvolvera um grande interesse pela estatística, publica o livro Cálculo dos graus de mortalidade da humanidade, deduzidos de curiosas tabelas dos nascimentos e mortes da cidade de Breslaw , com a intenção de estabelecer o custo das anuidades dos seguros de vida.

Adolphe Quételet [1796–1874]

Francis Galton [1822-1911]

Utilizou métodos de medição das capacidades físicas e mentais dos indivíduos e desenvolveu técnicas estatísticas para analisar os dados recolhidos.

Os trabalhos realizados por Graunt, Petty e Halley são a base dos trabalhos estatísticos realizados hoje em dia pelas companhias de seguros. É o belga Adolphe Quételet quem organiza no seu país natal aquele que é considerado como o primeiro censo de carácter verdadeiramente estatístico. Estabelece o sistema de recenseamento de 10 em 10 anos, adoptado posteriormente por vários países e ainda hoje utilizado. É ele também que cria, em 1834, a Statistical Society em Londres e quem organiza, em Bruxelas, a primeira conferência internacional de estatística, no ano de 1853. Destaquemos ainda, entre outros estatísticos, Karl Pearson (1857-1936), que aplicou a análise estatística ao estudo da hereditariedade e da evolução, e Sir Ronald Fisher (1890-1962), seguidor de Pearson, que deu uma nova dimensão à estatística, sendo considerado um dos fundadores da estatística moderna. Francis Galton utiliza métodos estatísticos diferentes e inicia a estatística indutiva. Embora Alexandre Herculano (1810-1877) refira, na obra História de Portugal, que foram efectuados vários recenseamentos na Península Ibérica durante a Idade Média, só em 1775 é fundada em Portugal uma instituição com o objectivo de produzir estatísticas oficiais, a que foi dada a designação de Superintendência Geral dos Contrabandos e Descaminhos dos Reais Direitos nestes Reinos e seus Domínios. Em 1798, por ordem de Pina Manique (1733-1805), é feita uma avaliação populacional importante, mas o primeiro recenseamento geral da população só é realizado em 1864. O Instituto Nacional de Estatística (INE) surge em 1935 e, desde então, assegura o levantamento estatístico em Portugal.

Foi Galton quem demonstrou que as impressões digitais de cada pessoa são únicas.

www.matematicaB.TE.pt

Links : Instituto Nacional de Estatística • Estatística divertida

ESTATÍSTICA – GENERALIDADES

13

E1 Actividade prática «O cidadão comum é de tal modo bombardeado com dados, que vão desde o estado da economia até à eficácia de marcas de pastas dentífricas, que, se não possuir noções elementares de estatística, torna-se incapaz de tomar decisões acertadas.» Martin Gardner (escritor norte-americano)

OBJECTIVOS Pretende-se com esta actividade aplicar os conhecimentos de estatística a situações da vida real e criticar os resultados de estudos estatísticos apresentados por diferentes órgãos de comunicação social.

MATERIAIS Notícias (de jornais, de revistas, etc.). EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE 1. A turma deve ser dividida em grupos de dois ou três alunos. 2. Cada grupo deve apresentar uma notícia por si escolhida para ser comentada. 3. Os trabalhos serão divulgados à turma e depois discutidos. 4. Cada grupo deverá ter em conta os seguintes aspectos:

• identificação do problema em estudo; • população a que se refere o estudo; • se se trata de uma sondagem ou de um censo; • qual a unidade estatística em causa; • análise do gráfico apresentado: – se é de fácil leitura; – se é elucidativo; – se os valores apresentados levam ou não a uma leitura incorrecta. 5. Os

trabalhos poderão ser apresentados sob a forma de cartaz, para posterior discussão com a turma.

14

ESTATÍSTICA

E2 Actividade prática «A matemática é cada vez mais vital para a ciência, a tecnologia e a própria sociedade.» Peter Lax (matemático húngaro)

OBJECTIVOS Pretende-se com esta actividade que o aluno aplique todos os conceitos de estatística numa situação do quotidiano. Esta actividade pode ir sendo trabalhada ao longo do tema e à medida que os diversos conceitos vão sendo estudados. EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE Para fazer um estudo estatístico é necessário construir um instrumento de recolha de informação. O questionário da página seguinte é disso um exemplo. Depois de fotocopiado, deve ser preenchido pelos alunos da turma. Outra estratégia possível passa por formar grupos de trabalho dentro da turma, grupos estes que, numa segunda fase, escolhem uma amostra significativa de alunos dos diferentes anos de escolaridade da escola para, assim, fazerem uma recolha e posterior tratamento de dados mais abrangente. Após o preenchimento do questionário e da recolha de dados, os alunos devem estudar cada uma das variáveis apresentadas no questionário, focando os seguintes pontos: • população e amostra em estudo; • classificação da variável escolhida; • tabelas de frequências relativas; • representação gráfica; • caso seja possível, calcular as medidas de localização e de dispersão; • estudar a existência ou não de correlação linear entre as variáveis. No final é apresentado um trabalho conjunto com a caracterização da turma.

ESTATÍSTICA – GENERALIDADES

H

15

Actividade prática E2 Questionário Nome: ______________________________________________________________________ N.o : _________ Ano: _________ Turma: _________ Data de nascimento: ________________________________________ Idade: _________ Morada: _______________________________________________________________________________________________________________________ E-mail: _______________________________________________________________________________________ Telefone ____________________ 1. Em que escola estudou durante o ano lectivo anterior? _______________________________________ 2. Vê bem?

Sim _____________ Não _____________

3. Tem problemas de saúde?

Ouve bem? Sim _____________ Não _____________

Sim _____________ Não _____________ Se sim, diga quais. _______________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Quais são as suas disciplinas preferidas? ______________________________________________________________________ 5. Quais são as disciplinas em que tem mais dificuldade? ___________________________________________________ 6. Já

reprovou alguma vez? Se sim, em que anos escolares? ____________________________________________

7. Se teve alguma(s) negativa(s) no ano lectivo anterior, indique a que disciplina(s).

_________________________________________________________________________________________________________________________________ 8. Quanto tempo demora no trajecto escola-casa? ___________________________________________________________ 9. Onde costuma estudar? Casa _____________

Escola _____________

10. Tem quem o ajude nos estudos? _____________

Se sim, quem o ajuda? ________________________________

11. Quantos minutos por dia dedica ao estudo?

[0, 30[ _____________ [30, 60[ _____________ [60, 90[ _____________ [90, 120[ _____________ [120, 150[ _____________ 12. Tem Internet?

Sim _____________Não _____________

13. Se tem Internet, quantos minutos por dia costuma estar «ligado»?

[0, 30[ _____________ [30, 60[ _____________ [60, 90[ _____________ [90, 120[ _____________ [120, 150[ _____________ 14. Qual o valor correspondente à soma das suas avaliações nas disciplinas do 3.o período no

último ano lectivo? _____________ 15. Considera ter um comportamento correcto em sala de aula e no resto do recinto escolar?

Sim ________ Não ________ Caso tenha respondido que não, tente explicar o seu comportamento: ________________________________________________________________________________________________________________________________ 16. Considera que a sua turma tem um comportamento correcto na aula? Sim ________ Não ________

Caso tenha respondido que não, apresente sugestões para se evitar a indisciplina: ________________________________________________________________________________________________________________________________ As questões seguintes devem ser respondidas apenas pelos alunos que se encontram no Ensino Secundário. 1. Qual a razão pela qual escolheu o curso que está a frequentar? _______________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________ 2. Corresponde às suas expectativas? Sim _____________ Não _____________ Porquê? __________________________ 3. Gostaria de frequentar um curso superior? _________________ Qual? _________________________________________ 4. Que profissão gostaria de ter? ______________________________________________________________________________________

16

ESTATÍSTICA

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Segundo

um estudo efectuado pela DECO a 2314 portugueses, entre os 65 e os 79 anos, as respostas desta população à questão de «Quem gostaria de ter como apoio?» estão representadas no seguinte gráfico.

Apoio mais desejado Cônjuge ou companheiro

8,8

Filhos

8,5 6,7

Outros familiares Amigos

Indique: 1.1. a população em estudo. 1.2. a unidade estatística.

6,2

Padre

5,5

Vizinhos

5,5

Colegas de trabalho

1.3. a variável estatística.

5,2

(% de inquiridos)

in Proteste , n.o 289, Março de 2008

Resolução 1. 1.1. A população em estudo é «a população portuguesa», formada por 2314 indivíduos com idades entre 65 e 79 anos. 1.2. A unidade estatística é cada um dos elementos da população de 2314 indivíduos. 1.3. A variável estatística é a indicação de que apoio desejaria cada um dos indivíduos que constituem a população.

2. Justifique por que motivo são falsas as seguintes observações. 2.1. Utiliza-se toda a população para se estudar a percentagem de vitamina C nas embalagens de uma determinada

marca de sumo de frutas. 2.2. É a estatística descritiva que nos permite prever a evolução da população numa determinada cidade. 2.3. O número de moradores por apartamento é uma variável quantitativa contínua. 2.4. A quantidade de água existente no solo por m2 é uma variável qualitativa.

Resolução 2. 2.1. Porque

não é economicamente viável testar toda a produção da fábrica de sumos, por questões de tempo e de desperdício do material produzido.

2.2. Porque a estatística descritiva apenas recolhe, organiza e apresenta os dados do estudo estatístico. 2.3. Porque o número de moradores por apartamento é representado por um número inteiro, logo é uma variável

quantitativa discreta. a quantidade de água no solo por m2 é uma variável que toma valores num intervalo de números reais, logo é uma variável quantitativa contínua.

2.4. Porque

ESTATÍSTICA – GENERALIDADES

17

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nos exercícios 1 a 4, de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.

1. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? A. Num censo são inquiridos todos os indivíduos da população. B. O consumo de água de um agregado familiar é uma variável qualitativa. C. O número de livros existente numa biblioteca é uma variável quantitativa contínua. D. A nacionalidade dos turistas que gozam férias no Algarve é uma variável quantitativa discreta.

2. Qual das seguintes variáveis pode ser classificada como variável quantitativa contínua? A. Número de filhos de um casal.

C. Tempo de duração de pilhas alcalinas.

B. Clube de futebol preferido.

D. Série televisiva preferida.

3. Um

centro de saúde pretende saber que percentagem da população da sua região consome, usualmente, medicamentos sem receita médica. Qual das amostras seria mais aconselhável?

A. 30 pessoas entrevistadas à entrada do centro de saúde. B. 30 jovens que frequentam a escola secundária abrangida pelo centro de saúde. C. 30 pessoas entrevistadas ao acaso num determinado local e num determinado dia. D. 30 pessoas inquiridas à porta das farmácias da zona, em diferentes dias e em diferentes horas.

4. Das seguintes situações, indique em qual delas se recorreu à estatística indutiva. A. Volume de importações no ano 2010. B. Despesa pública com a educação em Portugal. C. Previsão acerca da necessidade de sangue nos hospitais. D. Número de óbitos por acidente rodoviário no primeiro trimestre do ano de 2010.

5. Para

cada um dos seguintes estudos indique se seria mais correcto estudar toda a população ou apenas uma amostra.

5.1. Resistência de uma peça de vidro ao calor. 5.2. Idade dos professores do distrito de Lisboa. 5.3. Tipo de transporte utilizado nas férias pelos portugueses. 5.4. Número de casamentos celebrados em 2010.

18

ESTATÍSTICA

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 6. Num rastreio médico feito numa faculdade pesaram-se os alunos do curso de Direito. 6.1. Qual a população e qual a unidade estatística? 6.2. Indique a variável estudada e classifique-a.

7. Uma editora decidiu fazer um levantamento sobre as preferências literárias dos jovens.

Foram escolhidas 10 escolas do distrito de Coimbra e em cada escola foram inquiridos 20 alunos. 7.1. Como se chama este tipo de estudo? 7.2. Qual a população e a amostra em estudo? 7.3. Qual o atributo estudado? 7.4. Podem

tirar-se conclusões sobre a preferência literária dos jovens portugueses com base neste estudo? Justifique a sua resposta. Se a resposta foi negativa, diga como procederia.

8. O

administrador de uma empresa estava descontente com a produtividade dos colaboradores e marcou uma reunião para discutir o problema. Na reunião, o representante dos operários referiu: «Os colaboradores tiveram um bom desempenho, a produtividade aumentou 100%.» O administrador continuou, no entanto, insatisfeito. Comente a situação.

9. Muitas vezes, é pedido aos espectadores de uma determinada estação televisiva que telefonem para uma de duas

linhas telefónicas, consoante concordem ou não com determinada opinião. 9.1. Trata-se de um processo fiável, para tirar conclusões credíveis? Porquê? 9.2. Indique um processo de recolha de dados que pudesse levar a resultados mais credíveis.

10. Segundo um estudo estatístico efectuado pela Gfk Metris a 1042 indivíduos portugueses, as respostas à questão

«Até que ponto acha que será mais feliz daqui a 10 anos?» estão representadas no seguinte gráfico. «Até que ponto acha que será mais feliz daqui a 10 anos?» Menos feliz

5% Mais feliz

20%

31%

Não sabe/ /Não Responde

44% Muito mais feliz

in Visão, n.o 834, 2009

10.1. Indique a unidade estatística e a variável em estudo. 10.2. Classifique a variável estudada. 10.3. Quantos indivíduos optaram pela resposta «muito mais feliz»? E quantos não responderam ou não sabiam?

ESTATÍSTICA – GENERALIDADES

19

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 11. Observe o seguinte estudo, que envolveu 1039 indivíduos de ambos os sexos, com 15 ou mais anos, residentes em

Portugal, e responda às questões que se seguem.

Se compararmos com Portugal, em que países há mais liberdade? Igual 13,7%

Inglaterra 25,4% Portugal 22,9% Portugal 15,6% Suécia 26,1% Igual 10,0%

NS/NR 38,0% Portugal 25,2% Brasil 33,5% Igual 9,5%

NS/NR 48,3%

NS/NR 38,0%

Portugal 17,3% NS/NR 37,0%

EUA 36,1% Igual 9,6%

in Visão , n.o 842, 2009

11.1. Este estudo refere-se a um censo ou a uma sondagem? Justifique a sua resposta. 11.2. Qual a unidade estatística e qual a variável em estudo? 11.3. Classifique a variável estudada.

12. Considere a informação dada no seguinte gráfico.

Evolução da taxa de desemprego Portugal Zona Euro (média)

10,2% 9,3,%

9%

9,1% 8,8%

8,1%

7,7,% 7,5,% 2005

2006

2007

2008

2009

2010

in Dinheiro & Direitos , Março/Abril 2009

12.1. Classifique a variável em estudo. 12.2. No decorrer de que anos a taxa de desemprego na Zona Euro foi superior à de Portugal?

13. Elabore um pequeno texto sobre a importância da estatística no nosso dia-a-dia, realçando o recurso ao censo ou

à sondagem.

20

ESTATÍSTICA

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS ANÁLISE GRÁFICA DE ATRIBUTOS QUALITATIVOS. DETERMINAÇÃO DA MODA E3

Actividade prática

Tabelas de frequências Numa determinada editora realizou-se um estudo com o objectivo de analisar a distribuição de vendas das suas revistas temáticas. Obteve-se a seguinte tabela de frequências absolutas e de frequências relativas:

RECORDAR Frequência absoluta (ou efectivo) de um valor x i é o número de vezes que esse valor xi se regista quando se realiza um determinado estudo estatístico numa população. Designa-se por fi . A soma de todos os efectivos é igual à dimensão finita, N , da população:

N = f1 + f2 + … + fk Sendo fi a frequência absoluta do valor da variável xi , e sendo N a dimensão da população, a frequência relativa de x i é dada pelo quociente: fi fri = ᎏᎏ N

Distribuição de 269 244 exemplares Número de exemplares xi

Frequência absoluta fi

Frequência relativa fri (%)

Surfágua

55 719

21

Surf Júnior

81 002

30

Passeatas

30 331

11

Ecofin

47 279

18

Pequenotes

37 976

14

Beleza & Moda

16 937

36

N = 269 244

O valor de N é o número total de efectivos, isto é, é a soma dos valores de fi , quando i varia desde 1 até k . k

NOTA O símbolo Σ é a maiúscula da letra «sigma» do alfabeto grego.

Escreve-se: N = Σ fi (lê-se «somatório de índice i dos valores de fi , quando i i =1

varia desde 1 até k »).

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

21

Para construir uma tabela de frequências relativas, basta dividir a frequência absoluta do valor da variável pelo número total de efectivos. Assim, como o somatório das frequências absolutas é igual à dimensão da população, também a soma das frequências relativas é igual a 1 ou a 100%, consoante sejam determinadas na forma decimal ou percentual.

EXERCÍCIO 1* Calcule o valor de: 4

1.1. iΣ (i + 2) =0 3

1.2.mΣ (m – 1) = –2

Representações gráficas Torna-se mais fácil compreender e interpretar uma distribuição se apresentarmos os dados graficamente. Considerando ainda o exemplo relativo à distribuição dos exemplares vendidos pelas revistas, temos as seguintes representações gráficas: Gráficos de barras

No eixo horizontal assinalam-se os dados estatísticos e no eixo vertical as respectivas frequências absolutas ou relativas, conforme o caso. Desenham-se as barras com a altura directamente proporcional ao efectivo ou à frequência relativa. As barras têm todas a mesma largura e podem ser construídas tanto na vertical, como na horizontal, tendo em atenção a escala dos eixos. Distribuição de 269 244 exemplares por seis revistas

81 002

80 000

EXERCÍCIO 2 55 719

47 279

40 000

37 976

30 331 16 937

Pequenotes

Ecofin

Surf Júnior

Passeatas

20 000

Beleza e Moda

60 000

Surfágua

Número de exemplares vendidos

100 000

Revistas

Distribuição de 269 244 exemplares por seis revistas Revistas

Beleza e Moda Pequenotes Ecofin Passeatas Surf Júnior Surfágua

Numa escola, foi pedido aos 95 alunos de Desporto do 10.o ano que indicassem a modalidade desportiva que praticam (apenas uma), obtendo-se a seguinte tabela: Modalidades

Número de alunos

Futebol

41

Basquetebol

17

Andebol

9

Hóquei

12

Ginástica

16

16 937 37 976 47 279 30 331

2.1. Elabore uma tabela de frequências relativas.

81 002 55 719

2.2. Represente as frequências relativas através de um gráfico de barras.

Número de exemplares vendidos *Facultativo

22

EXERCÍCIO 3 Com as classificações obtidas num teste de Matemática pelos 28 alunos de uma turma, o professor construiu o seguinte gráfico de barras:

ESTATÍSTICA

Gráficos circulares A amplitude (ai ) de cada sector circular é directamente proporcional ao valor da frequência absoluta ( fi ) ou da frequência relativa ( fri ) e determina-se do seguinte modo: N —— 360o

Classificação no teste de Matemática

xi Insuf.

ou seja

fi —— ai

fi ai = ᎏᎏ × 360o N

18

Suf.

46

Bom

Distribuição de 269 244 exemplares por seis revistas

25

Beleza e Moda 6%

11

M. Bom 0

20

40

60 fri(%)

3.1. Elabore uma tabela de frequências absolutas.

Pequenotes 14%

a1 = 0,21 × 360  76o Surfágua 21%

a2 = 0,30 × 360  108o a3 = 0,11 × 360  40o

Ecofin 18%

a4 = 0,18 × 360  65o

3.2. Construa um gráfico circular.

Passeatas 11%

Surf Júnior 30%

a5 = 0,14 × 360  50o a6 = 0,06 × 360  21o

EXERCÍCIO 4 Segundo o INE, o número de edifícios concluídos entre 2004 e 2007 são os que constam na seguinte tabela:

Ano

Número de edifícios construídos

2004

44 647

2005

45 308

2006

40 966

2007

36 576

Pictogramas Num pictograma faz-se corresponder um símbolo a um certo número de efectivos, que é repetido tantas vezes quantas as necessárias para representar as frequências respectivas.

Distribuição de 269 244 exemplares por seis revistas

Surfágua

Escolha um símbolo sugestivo e construa um pictograma relativo à distribuição dada. Este tipo de representação é o mais adequado a esta distribuição? Justifique a sua resposta.

Surf Júnior

Exercícios propostos Exercícios 6, 7 e 8. Página 62.

Pequenotes

Caderno de Exercícios

Exercícios 1, 3, 4 e 7. Página 53.

Passeatas Ecofin

Beleza e Moda

Representa 15 000 exemplares

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

23

Determinação da moda Se observarmos com atenção as tabelas de frequências dadas no exemplo sobre a distribuição dos exemplares vendidos pelas revistas (pág. 20), notamos que a Surf Júnior tem a maior frequência, ou seja, é a moda da distribuição.

A moda, Mo , é o dado estatístico que ocorre mais vezes numa distribuição, ou seja, é aquele que tem maior frequência.

EXERCÍCIO 5 Indique a moda de cada uma das seguintes distribuições.

5.1. • Se ocorrem duas modas, a distribuição diz-se bimodal. • Se existirem mais do que duas modas, diz-se multimodal ou plurimodal.

Naturalidade

Efectivos

Coimbra

31

Lisboa

72

Porto

50

Setúbal

42

• Se não existir moda, a distribuição diz-se amodal (todas os valores da variável têm a mesma frequência).

Por exemplo, num estudo feito sobre atendimento ao consumidor obtiveram-se os seguintes gráficos:

5.2. Clubes de futebol

Efectivos

Benfica

8

Braga

4

Porto

8

Sporting

6

Atendimento ao consumidor 25 grandes superfícies

30 lojas do tipo tradicional

Muito bom Bom

Mau

Bom

3

5

9 3

Classificação de um teste

Médio

15

7 3 Medíocre

Mau

5.3.

9

Médio

Medíocre

Número de alunos

1

8 6 4 2 0 Bom Suf.

Insuf.

in Proteste , n.o 293, Julho/Agosto 2008

Em relação às grandes superfícies, a moda é «mau». No estudo feito com incidência em lojas do tipo tradicional, temos duas modas: «mau» e «medíocre».

Caderno de Exercícios

Exercício 2. Página 53.

24

ESTATÍSTICA

ANÁLISE GRÁFICA DE ATRIBUTOS QUANTITATIVOS. VARIÁVEIS DISCRETAS E VARIÁVEIS CONTÍNUAS. FUNÇÃO CUMULATIVA Como já foi referido, as variáveis quantitativas podem ser discretas ou contínuas. Para cada tipo é necessário aprofundar um pouco os nossos conhecimentos. NOTA Em alguns casos, as variáveis discretas podem ser analisadas agrupando os dados, nomeadamente se se apresentarem sem valores repetidos ou com muitos valores.

STAT 1: Edit

Variáveis discretas A directora de uma turma do 10.o ano resolveu fazer um estudo estatístico sobre o número de faltas dadas pelos alunos durante o 1.o período. 0

0

1

2

1

4

3

2

0

4

0

2

1

0

1

1

2

2

1

3

4

2

1

2

2

1

5

1

3

Construiu a faltas respectiva tabela de frequências absolutas e relativas: Freq. absoluta Freq. relativa N.o de fi

xi

2nd

Número de faltas 0 xi

Frequência absoluta 5f i

Frequência relativa 17 fri (%)

0

5 9

17

1

9

31

2

88

28

3

10

4

3 3 3

5

31

4

Y = 1: Plot1 ENTER

ON

ENTER

Type

1 2

X List : L1

2nd

Freq. : L2

2nd 2

1

ZOOM 9: ZoomStat

3 4

GRAPH

Estas instruções, bem como todas as outras que oportunamente surgirão, referem-se à utilização da calculadora Texas TI-84 Plus Silver Edition. Nas páginas 181 a 187 é apresentado um conjunto de procedimentos relativos à utilização das calculadoras Casio FX-9860GII ou FX-9860GII SD.

Calculadoras Casio Página 181.

fri (%)

5

31 28 10

10

N = 29 1

10 4

N = 29

Para apresentar os dados de um modo mais sugestivo elaborou os seguintes gráficos: Número de faltas dos alunos de uma turma de 10.º ano

fi 10 8 6 4 2 0

0

1 2 3 4 5 Número de faltas

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

25

Frequências acumuladas e função cumulativa

Para responder a questões do tipo: «Quantos alunos faltaram menos de três vezes?» ou «Qual a percentagem de alunos que faltaram quatro vezes ou mais?» torna-se útil estudar a frequência absoluta acumulada, Fi , ou a frequência relativa acumulada, Fri . Exemplifiquemos, em primeiro lugar, utilizando as frequências absolutas. O cálculo é feito da seguinte maneira: F1 = f1

F4 = f1 + f2 + f3 + f4

F2 = f1 + f2

F5 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5

F3 = f1 + f2 + f3

F6 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 = N

STAT 1: Edit

Para a frequência acumulada:

Define-se a frequência absoluta acumulada, Fi , como a soma dos efectivos correspondentes aos valores da variável desde o primeiro até ao valor de ordem i . Número de faltas xi

Frequência absoluta fi

Frequência relativa fri (%)

0

5

5

1

9

14

2

8

22

3

3

25

4

3

28

5

1

29

N = 29

Gráfico de barras das frequências absolutas acumuladas: Fi 35 30 25 20 15 10 5 0

Para a frequência relativa:

0

1

2 3 4 Número de faltas

5

Do mesmo modo se calculam as frequências relativas acumuladas, conforme se verifica na tabela seguinte: xi

fri (%)

Fri (%)

0

17

17

1

31

48

2

28

76

3

10

86

4

10

96

5

4

100

Calculadoras Casio Página 181.

26

EXERCÍCIO 6 No stand de carros usados «Ancar», estão à venda 45 automóveis de anos diferentes. Organizaram-se os dados do seguinte modo: Número de anos

fi

1

2

3

4

5

8 15 10 7

5

ESTATÍSTICA

Podemos agora responder às questões atrás colocadas. • Quantos alunos faltaram menos de três vezes? R: 22 alunos (5 + 9 + 8), o que corresponde ao valor F2 . • Qual a percentagem de alunos que faltaram quatro vezes ou mais? R: 14% (100 – 86), que corresponde à diferença para 100% da frequência relativa acumulada em 3 (F3). Tendo em conta as frequências absolutas acumuladas do exemplo anterior, pode-se definir uma função F : IR → IR , do seguinte modo:

Defina a função cumulativa e represente-a graficamente.

⎧ 0 se x  0 ⎪ 5 se 0  x  1 ⎪ 14 se 1  x  2 F(x) = ⎨ 22 se 2  x  3 ⎪ 25 se 3  x  4 ⎪ 28 se 4  x  5 ⎩ 29 se x  5 Esta função F denomina-se função cumulativa. Repare-se que a cada valor da variável, xi , corresponde a respectiva frequência acumulada. Recorrendo à calculadora gráfica, representemos esta função:

EXERCÍCIO 7 O gerente de um clube de aluguer de filmes, com o objectivo de saber se ao longo de um mês o número de DVD alugados se alternava significativamente, organizou os dados relativos ao mês anterior do seguinte modo: Semana

fi

Fi

1.a

634

634

2.a

582

1216

3.a

503

1719

4.a

554

2273

A função cumulativa pode ser definida tanto com frequências absolutas acumuladas como com frequências relativas. Generalizando:

N = 2273

7.1. Quantos DVD foram alugados nas primeiras duas semanas?

Dada uma variável estatística que toma os valores x 1 , x 2 , ..., xk , com as respectivas frequências absolutas acumuladas F 1 , F 2 , ..., Fk , chama-se função cumulativa F à função real de variável real assim definida:

7.2. Qual a percentagem de DVD que foram alugados nas primeiras três semanas? 7.3. Alugaram-se mais DVD na primeira quinzena ou na segunda quinzena?

Exercícios propostos Exercícios 10 e 12. Páginas 63 e 64.

F (x ) =

⎧ 0 se x  x1 ⎪ F 1 se x 1  x  x 2 ⎪ F 2 se x 2  x  x 3 ⎪ ⎨· ⎪ ·· ⎪ ⎪ Fk – 1 se xk – 1  x  xk ⎩ Fk se x  xk

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

27

Variáveis contínuas

Actividade prática

E4

Tendo em vista mostrar aos alunos como é importante possuírem uma boa estimativa do peso de um objecto, a professora de Matemática resolveu levar para a aula os objectos da fotografia em baixo: um abre-cartas e um pisa-papéis.

Cada aluno pegou nos objectos e estimou o respectivo peso em gramas. A variável estatística «peso» é uma variável contínua e, face aos diferentes valores estimados pelos alunos, foi necessário agrupar os dados em classes. A dimensão da amostra foi de 58 valores, sendo o menor valor de 200 gramas e o mais elevado de 595 gramas. Existem várias fórmulas de determinação do número de classes a considerar, embora não haja consenso entre os especialistas. Na nota ao lado são apresentados alguns exemplos. Ao longo do desenvolvimento deste tema, utilizaremos a fórmula apresentada por Velleman. Então, de acordo com esta fórmula, sendo N = 58 o número de classes será 8  7,6 , isto é, 8 classes; a professora decidiu-se pelas seguintes classes: 5 [200, 250[ , [250, 300[ , [300, 350[ , [350, 400[ , [400, 450[ , [450, 500[ , [500, 550[ , [550, 600[ Ao fazê-lo deste modo, teve em conta os seguintes aspectos: • as classes são representadas por intervalos em que o extremo esquerdo é fechado e o direito aberto (existem outras opções); • as classes têm a mesma amplitude (à diferença entre os extremos dos intervalos dá-se o nome de amplitude da classe); • a reunião de todas as classes abrange todos os valores da amostra; • o número de classes depende do valor mínimo e do valor máximo das observações efectuadas.

NOTA* Seja N o número de observações e k o número de classes a considerar. • Truman L. Kelley construiu a seguinte tabela: N

K

5

2

10

4

25

6

50

8

100

10

200

12

500

15

1000

15

• Velleman sugere a fórmula:

k =  N se N ⱖ 25 e k = 5 se N ⬍ 25 • Sturges sugere N ⬎ 2k Como se verifica, as opiniões dividem-se! *Facultativo

28

Histograma:

ESTATÍSTICA

À média dos extremos de cada classe chama-se marca da classe. Esta é o representante da classe, um elemento necessário para o uso da calculadora e para a construção de tabelas. A professora construiu então a seguinte tabela de frequências absolutas e relativas: Classes

Marca da classe

Frequência absoluta

Frequência relativa

[200, 250[

225

2

0,03

[250, 300[

275

8

0,14

[300, 350[

325

17

0,29

[350, 400[

375

14

0,24

[400, 450[

425

9

0,16

[450, 500[

475

5

0,09

[500, 550[

525

2

0,03

[550, 600[

575

1

0,02

N = 58

Para melhor interpretar os resultados utilizam-se diferentes tipos de gráficos, como o gráfico circular (pouco usado neste tipo de variáveis) ou o histograma. Estimativa do peso de dois objectos

Calculadoras Casio Página 181.

NOTA No âmbito do Programa, só estudamos distribuições em que as classes têm a mesma amplitude.

Histograma Quando se estuda uma variável contínua é frequente representar os dados através de um histograma. O histograma é constituído por rectângulos, tantos quantas as classes definidas, em que a base corresponde à amplitude da classe e a altura é proporcional à frequência da respectiva classe. Não há espaços entre os rectângulos. Estimativa do peso de dois objectos

NOTA No gráfico ao lado, o símbolo introduzido no eixo horizontal significa que a parte omitida do gráfico foi eliminada por não conter nada de relevante.

Número de alunos

20 17

14

15 10

8

5

9 14

5 9

2

2

1

0 200

250

300

350 400 Peso (g)

450

500

550

600

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

29

Se assinalarmos o ponto médio do lado superior de cada rectângulo e os unirmos sequencialmente através de segmentos de recta, obtemos uma linha poligonal: o polígono de frequências. Estimativa do peso de dois objectos

Número de alunos

20

17

5

5 0

9

8

10

2 200

2 250

300

350

400 450 Peso (g)

É habitual considerar-se uma classe de igual amplitude e com frequência zero, no início e no final, para completar o polígono, pois, assim, a área compreendida entre o polígono e o eixo das abcissas é igual à soma das áreas das barras. Não é necessário representar o histograma para desenhar o polígono, pois basta unir os pontos cuja abcissa corresponde à marca da classe e a ordenada à frequência da classe respectiva.

14

15

NOTA

500

1 550

EXERCÍCIO 8 Um treinador resolveu registar o tempo, em segundos, que os seus 26 atletas demoraram a percorrer duas pistas de atletismo.

600

Obteve os seguintes valores:

Frequências acumuladas e função cumulativa

Assim como para as variáveis discretas, também para as variáveis contínuas têm muito interesse as frequências acumuladas, tanto as absolutas como as relativas. Determinam-se utilizando um processo semelhante ao já apresentado para as variáveis discretas.

Frequência absoluta

Frequência absoluta acumulada

Frequência relativa (%)

Frequência relativa acumulada (%)

[200, 250[

2

2

3

3

[250, 300[

8

10

14

17

[300, 350[

17

27

29

46

[350, 400[

14

41

24

70

[400, 450[

9

50

16

86

[450, 500[

5

55

9

95

[500, 550[

2

57

3

98

[550, 600[

1

58

2

100

Classes

Observando com atenção a tabela (designada por tabela de frequências absolutas e relativas, simples e acumuladas), podemos afirmar que, por exemplo, 70% dos alunos estimaram o peso dos objectos em menos de 400 g, ou que apenas 5% dos alunos estimaram o peso em 500 g ou mais. O peso real dos objectos era de 300 g!

295 215 176 176 220 221 220

280 199 260 228 178 155 175

272 190 261 226 210 179

270 185 260 181 180 205

8.1. Depois de organizar os

dados em classes, com limite inferior de 150 e amplitude 25, construa uma tabela de frequências absolutas e relativas.

8.2. Represente a distribuição através de um histograma.

Caderno de Exercícios

Exercício 11. Página 56.

30

ESTATÍSTICA

O polígono de frequências absolutas acumuladas obtém-se unindo os vértices superiores direitos dos rectângulos que formam o histograma correspondente às frequências acumuladas. Estimativa do peso de dois objectos

NOTA O processo indicado para a construção da função cumulativa é um exemplo. Existem outros.

EXERCÍCIO 9 Uma fábrica produz tubos de PVC com 10 cm de diâmetro. Para controlar o bom funcionamento da máquina são efectuadas com regularidade medições do diâmetro de 28 tubos, seleccionados ao longo do dia, aceitando-se uma margem de erro de 0,5 mm. Num determinado dia, os resultados, em milímetros, foram os seguintes: 101,8

100,3

99,3

99,4

101,1

100,2

100,4

99,7

100,5

100,0

99,9

99,8

100,3

99,4

99,8

100,2

99,3

101,1

101,3

99,7

99,8

100,2

99,9

100,0

100,5

99,3

100,5

100,1

Estamos agora em condições de definir a função cumulativa, utilizando a tabela de frequências absolutas ou relativas acumuladas. Para tal, é preciso considerar que: • antes do limite inferior da primeira classe, a frequência acumulada é 0, logo podemos considerar o ponto (200, 0) ; • no limite inferior da segunda classe, a frequência acumulada é a frequência acumulada da classe anterior e corresponde ao ponto (250, 2) ; • no limite inferior da terceira classe, a frequência acumulada é a frequência acumulada da segunda classe, logo, o ponto (300, 10) pertence ao gráfico da função, e assim sucessivamente. Temos, assim, determinados os seguintes pontos: (200, 0) ; (250, 2) ; (300, 10) ; (350, 27) ; (400, 41) ; (450, 50) ; (500, 55) ; (550, 57) ; (600, 58) . Marcamos os pontos num sistema de eixos e em seguida unimo-los. A partir do ponto (600, 58) continua-se com uma linha horizontal, pois 58 é o valor máximo da frequência acumulada no presente caso. Antes de se atingir o ponto (200, 0) procedemos de forma semelhante, pois a frequência acumulada é 0 . Função cumulativa

9.1. Organize os dados em seis classes, considerando o limite inferior da primeira classe 99,0 e a amplitude 0,5. Construa a tabela de frequências relativas (simples e acumuladas) e o gráfico da respectiva função cumulativa. 9.2. Indique a percentagem de tubos cujo diâmetro é inferior a 10 cm. 9.3. Tendo em conta os resultados obtidos, considera que a máquina precisa de uma afinação ou que está em boas condições de funcionamento?

O gráfico construído a partir das frequências relativas acumuladas teria um aspecto idêntico.

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

31

Separador de frequências Além das tabelas já estudadas existe outra forma de apresentar os dados, conhecida como separador de frequências ou, usando o termo inglês, stem and leaf (caule-e-folhas). Vejamos como se procede. A seguir encontram-se listadas as idades de 30 compradores de um determinado modelo de automóvel: 35 38 24 27 50

28 20 42 54 32

31 35 27 28 21

25 33 34 23 43

32 41 36 24 27

43 41 38 29 25

Os dados podem ser ordenados da seguinte forma: 20 21 23 24 24 25 25 27 27 27 28 28 29 31 32 32 33 34 35 35 36 38 38 41 41 42 43 43 50 54 O caule representa o dígito (ou dígitos) da ordem de maior grandeza, no presente caso, o algarismo das dezenas. As folhas representam o algarismo das unidades. Podem escrever-se por ordem crescente ou decrescente. Na primeira linha temos o 2 como algarismo das dezenas e 0, 1, 3, 4, 5, 7, 8 e 9 como algarismos das unidades, ou seja, os valores: 20, 21, 23, 24, 24, 25, 25, 27, 27, 27, 28, 28 e 29. Continua-se com o mesmo processo para as restantes linhas. Caule

EXERCÍCIO 10

Folhas

2

0

1

3

4

4

5

5

7

7

7

3

1

2

2

3

4

5

5

6

8

8

4

1

1

2

3

3

5

0

4

8

8

9

Esta tabela permite: • uma melhor percepção do aspecto global dos dados sem perda de informação, contrariamente ao que acontece nas classes; • imaginar facilmente o gráfico representativo da distribuição; • verificar até que ponto a distribuição é simétrica; • verificar se existem concentrações ou lacunas de dados.

Com os resultados do último teste de Matemática efectuado pela turma e numa escala de 0 a 20:

10.1. desenhe um diagrama de caule-e-folhas dos resultados obtidos. 10.2. divida os valores obtidos em classes e desenhe o respectivo histograma. 10.3. represente graficamente a respectiva função cumulativa.

32

ESTATÍSTICA

MEDIDAS DE LOCALIZAÇÃO DE UMA AMOSTRA As medidas de localização são valores ou parâmetros estatísticos da amostra que, por si só, dão indicações importantes sobre as características da distribuição em estudo. De entre as medidas de localização, destacam-se as que representam os dados pelos seus valores centrais, designadas por medidas de tendência central, das quais estudaremos: a moda, a média e a mediana. É de salientar que o estudo destas medidas já foi iniciado em anos anteriores.

EXERCÍCIO 11 Indique a moda de cada uma das seguintes distribuições.

11.1. xi

10

12

13

14

15

fi

4

5

8

10

6

Moda e classe modal Como já foi referido aquando do estudo das variáveis qualitativas, a moda, Mo , designa o dado estatístico mais frequente da distribuição. Nas variáveis quantitativas surge a necessidade de considerar se os dados estão ou não agrupados por classes. No caso de não estarem agrupados por classes, o processo para determinar a moda mantém-se.

11.2. xi

45

47

50

53

54

fi

3

10

7

10

3

Exemplo 1 Para a distribuição que relaciona o número de faltas dadas pelos alunos de uma turma durante o 1.o período, representada na tabela seguinte, indique o valor da moda.

EXERCÍCIO 12

Número de faltas xi

Frequência absoluta fi

0

5

1

9

2

8

3

3

4

3

5

1

Observando o seguinte gráfico, relativo ao número de televisores por residência dos alunos de uma turma do 10.o ano, indique a respectiva moda.

Resolução

Número de televisores por residência

A moda é «1 falta», pois é o dado mais frequente.

4 3 2 1 0

N = 29

Se os dados se apresentam agrupados por classes, define-se classe modal como sendo aquela que aparece com maior frequência. 5 10 15 Número de alunos

20

Na distribuição que considera a estimativa do peso de dois objectos (pág. 28), a classe modal é o intervalo [300, 350[ , pois é a classe que tem maior frequência.

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

Exemplo 2

33

NOTA*

A tabela seguinte representa o tempo, em minutos, que 28 alunos de uma turma do 10. o ano gastaram na utilização do computador durante um certo fim-de-semana. 2.1. Indique a respectiva classe modal. 2.2. Estime, geometricamente, o valor da moda. Classes (tempo em min)

Frequência absoluta

[90, 120[

2

[120, 150[

5

[150, 180[

6

[180, 210[

12

[210, 240[

3

N = 28

Existe uma fórmula para determinar a moda quando os dados estão agrupados por classes. Apesar de não fazer parte do Programa, apresentamo-la por curiosidade:

di – 1 Mo = li +  ×a di + 1 + di – 1 em que: li → limite inferior da classe modal; di + 1 → diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe seguinte à classe modal; di – 1 → diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe anterior à classe modal; a → amplitude da classe modal. No exemplo 2:

Resolução 2.1. A classe modal é o intervalo [180, 210[ , pois é a classe com maior frequência absoluta. 2.2. Com uma razoável aproximação, o valor da moda pode ser estimado geometricamente do

seguinte modo:

li = 180 ; di

+ 1 = 12 – 3 = 9

di – 1 = 12 – 6 = 6 ; a = 210 – 180 = 30 Assim:

• constrói-se o histograma relativo à distribuição; • determina-se a classe modal; • unem-se os vértices superiores do rectângulo representativo da classe modal com os vértices das classes contíguas, de forma a encontrar o ponto de intersecção; • baixa-se a perpendicular do ponto encontrado para o eixo horizontal, determinando-se assim, aproximadamente, o valor da moda. Tempo gasto no computador

6 Mo = 180 +   × 30 ⇔ 9 +6 ⇔ Mo  192

EXERCÍCIO 13 Durante uma semana registaram-se os pesos, em quilogramas, dos bebés nascidos numa clínica: 3,4 2,1 4,0 2,7 2,8 2,6 3,0 3,1 2,7 3,5 2,6 3,8 3,2 2,4 2,5 3,2

13.1. Agrupe os dados em qua-

tro classes e construa uma tabela de frequências absolutas.

13.2. Indique a classe modal.

Neste exemplo, o valor da moda está entre 180 e 195.

Exercícios propostos Exercício 2. Página 61.

A determinação da moda é importante, pois indica o dado estatístico ou classe de maior frequência, o que é pertinente, por exemplo, para estudos de mercado. No entanto, é uma medida limitativa. Por si só, não dá muita informação sobre a distribuição na sua globalidade.

Caderno de Exercícios

Exercício 6. Página 54. *Facultativo

34

ESTATÍSTICA

Média aritmética NOTA Só para variáveis quantitativas faz sentido determinar a média x .

Das três medidas de tendência central, a mais utilizada é a média aritmética, ou valor médio, x . Esta medida tem em conta todos os valores observados e determina-se de duas formas: 1. Caso os dados x1 , x2 , …, xN (N dados) não estejam agrupados por classes: N

Σ xi

x1 + x2 + … + xN i =1 =ᎏ x = ᎏᎏ N N

NOTA Se utilizarmos a frequência relativa temos que:

Caso os dados se repitam, a expressão anterior é equivalente a: m

m

Σ

Σ xi fi

x1 f1 + x2 f2 + … + xm fm i =1 =ᎏ x = ᎏᎏᎏ N N

x = fri xi i =1

em que cada fi é a frequência absoluta do valor xi . NOTA

2. Para os dados agrupados por classes, considera-se: m

A média pode tomar um valor diferente de todos os valores observados na distribuição.

Σ xi fi

i =1 x = ᎏ N

em que x i é a marca da classe de ordem i e fi a respectiva frequência absoluta. Exemplo 3 Num ginásio registou-se o número de praticantes de aeróbica durante duas semanas: 41; 38; 42; 35; 35; 35; 36; 38; 36; 42; 35; 36. Determine a média de praticantes.

Resolução Organizam-se os dados:

EXERCÍCIO 14

Número de praticantes

Efectivos

Indique a média de cada uma das seguintes distribuições.

35

4

36

3

14.1.

38

2

xi

10

12

13

14

15

41

1

fi

4

5

8

10

6

42

2

Calcula-se a respectiva média:

14.2. xi

45

47

50

53

54

fi

3

10

7

10

3

35 × 4 + 36 × 3 + 38 × 2 + 41 + 42 × 2 x = ᎏᎏᎏᎏᎏ  37,4 12 A média é de, aproximadamente, 37 praticantes por sessão.

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

35

Exemplo 4 A tabela ao lado representa a distância, em metros, alcançada por um atleta de alta competição no lançamento do dardo, ao longo de uma semana de treino. Determine a distância média alcançada pelo atleta.

Classes

Marca Efectivos da classe

[78, 82[

80

4

[82, 86[

84

27

[86, 90[

88

20

[90, 94[

92

18

[94, 98[

96

6

N = 75

Resolução A média aritmética dos lançamentos do atleta é dada por:

→

80 × 4 + 84 × 27 + 88 × 20 + 92 × 18 + 96 × 6 x = ᎏᎏᎏᎏᎏᎏ  87,7 75 O atleta atingiu nos seus lançamentos a distância média de aproximadamente 87,7 metros.

Algumas considerações sobre a média

• A média é uma medida influenciada por qualquer alteração num dos valores observados, sendo muito sensível a valores externos (altos ou baixos).

Calculadoras Casio Página 181.

Por exemplo, ao efectuar a média das seguintes idades: 30, 25, 33, 45 e 60, obtemos: 25 + 30 + 33 + 45 + 60 x = ᎏᎏᎏ = 38,6 5 Basta alterar substancialmente apenas um destes valores para a média sofrer também uma grande alteração. Mude-se, por exemplo, o valor 25 para 85, e a média alterar-se-á para x = 50,6 . • A média de dois conjuntos de dados pode ser semelhante, não reflectindo distribuições idênticas. É preciso ter cuidado, pois pode dar uma informação incorrecta em relação aos dados observados. Por exemplo: numa cidade, A , registaram-se as seguintes temperaturas máximas (em °C) ao longo de uma semana: 25, 26, 24, 25, 27, 26 e 28 24 + 25 × 2 + 26 × 2 + 27 + 28 A média é x = ᎏᎏᎏᎏ  25,9 7 Na cidade A , a média da temperatura máxima é de, aproximadamente, 26 ºC. Numa outra cidade, B , registaram-se as temperaturas máximas (em °C) de: 18, 21, 22, 33, 19, 34, 36 A média das temperaturas nesta cidade é dada por: 18 + 19 + 21 + 22 + 33 + 34 + 36 x = ᎏᎏᎏᎏ  26,1 7 ou seja, aproximadamente 26 ºC, como na cidade A . As duas cidades têm as mesmas características meteorológicas? Claro que não, pois as amplitudes térmicas são muito diferentes.

EXERCÍCIO 15 Num agregado familiar de três pessoas, o rendimento mensal é constituído pelos salários (em euros): 1345, 796 e 595.

15.1. Determine o salário médio. 15.2. Imagine que todos os salá-

rios são sujeitos a um aumento de 8%. Qual passará a ser a média? Que conclusão pode tirar deste exemplo?

Nota: Considere-se uma distribuição de média x– . Se multiplicarmos por k todos os valores observados, a média desta nova distribuição, x–f , é tal que x–f = k x– .

Exercícios propostos Exercícios 1, 4 e 13. Páginas 61 e 64.

36

ESTATÍSTICA

Mediana e classe mediana Tal como a média, a mediana só se utiliza para atributos quantitativos. É uma medida de tendência central que nos informa sobre o valor central da distribuição. O seu cálculo, por se tratar de um parâmetro de ordem, exige a ordenação de todos os valores da variável, o que normalmente se faz por ordem crescente (em sentido lato).

Caderno de Exercícios

Exercícios 5 e 12. Página 54.

~ Chama-se mediana, Me , ou x , ao valor que ocupa o lugar central da distribuição quando os valores da variável estão ordenados por ordem crescente ou decrescente.

Dados não agrupados por classes

A mediana é o valor que divide a distribuição dos valores da variável ao meio, ou seja, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os restantes 50% são maiores ou iguais. • No caso do número de dados ser ímpar, existe um valor central que é a mediana x~ . • Se o número de dados é par, toma-se a média aritmética dos dois valores centrais para a mediana. Esquematizando:

… xN – 1 xN

x 1 x 2 … xp

xp + 1… xN – 1 xN

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

xp

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

x 1 x2 …

N é par

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

N é ímpar

N –1 ᎏ ᎏ dados 2

N ᎏᎏ dados 2

N ᎏᎏ dados 2

N –1 ᎏ ᎏ dados 2

xp + xp + 1 x=ᎏ ᎏ 2

⬃

⬃

x

EXERCÍCIO 16 Indique a mediana de cada uma das seguintes distribuições.

16.1. 10, 9, 10, 11, 10, 8, 12 16.2. 23, 27, 24, 25, 27, 28, 24, 27

Exemplo 5 5.1. Calcule a mediana relativa às idades, em anos, de um agregado familiar de cinco pessoas cujas

idades são 28, 32, 1, 5 e 57. 5.2. Ao longo de duas semanas, o Daniel registou o número de «cestos» que conseguiu no seu treino

de basquetebol: 18, 23, 27, 20, 24, 28, 27, 30, 24, 25, 18, 28, 27, 30 EXERCÍCIO 17 Lançou-se um dado 100 vezes e registaram-se os resultados obtidos na seguinte tabela: xi fi

1

2

3

4

5

6

20 25

12

15

16

12

17.1. Indique o valor da moda, da média e da mediana.

17.2. Lance 15 vezes um dado e indique a moda, a média e a mediana correspondentes aos resultados obtidos.

Indique o valor da mediana. 5.3. A tabela seguinte representa a verba (em euros) que os 28 alunos do 12.o ano gastaram na escola

durante uma semana. Despesa (euros)

Frequência absoluta

17 18 19 20

10 13 3 2 N = 28

Frequência absoluta acumulada

Frequência relativa (%)

Frequência relativa acumulada (%)

10 23 26 28

36 46 11 7

36 82 93 100

Determine, geometricamente, o valor aproximado da mediana, utilizando as frequências relativas acumuladas e a função cumulativa.

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

37

NOTA Resolução

Em relação ao exemplo ao lado, seria fácil utilizar a tabela de caule-e-folhas:

5.1.

2 dados 2 dados

1 88

⎧ ⎨ ⎩

⎧ ⎨ ⎩

1 ; 5 ; 28 ; 32 ; 57 ↓ Me

2 0344577788 3 00

Verificamos que a mediana corresponde ao terceiro valor da variável, ou seja, é 28 anos.

7.o valor 8.o valor (25) (27)

5.2. Organizaram-se os 14 dados na tabela de caule e folhas apresentada na nota ao lado.

Determina-se a mediana por simples observação da tabela de frequências absolutas. Como o número de dados é par (14) , temos dois valores centrais, cujas ordens são: 14 14 ᎏᎏ = 7 e ᎏᎏ + 1 = 8 2 2 A mediana é, como já foi referido, a média aritmética do número de cestos correspondentes à sétima e à oitava posição. 25 + 27 ᎏ ⇔ x~ = 26 Ou seja, x~ = ᎏ 2 EXERCÍCIO 18

A mediana é 26 cestos. 5.3. O gráfico de barras construído a partir das frequências relativas acumuladas está representado

em baixo. A mediana corresponde ao valor de 50% da frequência relativa acumulada.

Número de idas a concertos de Julho a Setembro Número de jovens

Despesa feita pelos alunos ao longo de uma semana

O gráfico seguinte representa os dados de um inquérito feito a um grupo de jovens sobre o número de idas a concertos de música rock durante os meses de Julho, Agosto e Setembro.

A mediana é 18 euros. Em relação à função cumulativa, temos:

40 30 20

35 23 10

10 0

0

1

2

17 5 3 4 ou mais

Número de idas a concertos

18.1. Construa a respectiva tabela de frequências absolutas e frequências relativas, simples e acumuladas. 18.2. Calcule, se possível, a média, a moda e a mediana. 18.3. Depois de definir a função cumulativa das frequências relativas e de a representar num sistema de eixos, identifique a mediana.

O valor da mediana é 18 euros.

Exercícios propostos Exercícios 3 e 5. Página 61.

38

ESTATÍSTICA

Dados agrupados por classes Cálculo da mediana: STATS

CALC 1: 1–Var Stats ENTER 1–Var Stats L1, L2

Quando, numa distribuição estatística, os dados estão agrupados por classes, a mediana, x~ , é o valor que corresponde à frequência relativa acumulada de 50%. À classe estatística a que pertence o valor x~ chama-se classe mediana. Considere a tabela referente ao lançamento do dardo (da pág. 35) que se completa com as restantes frequências.

ENTER

→

Classes

Marca da classe

Efectivos

Frequência absoluta acumulada

Frequência relativa (%)

Frequência relativa acumulada (%)

[78, 82[

80

4

4

5

5

[82, 86[

84

27

31

36

41

[86, 90[

88

20

51

27

68

[90, 94[

92

18

69

24

92

[94, 98[

96

6

75

8

100

N = 75

Calculadoras Casio Página 181.

EXERCÍCIO 19 Na reserva de La Camargue, junto ao rio Ródano, França registou-se o peso, em kg, de 55 flamingos rosa: Peso (kg)

fi

[2; 2,5[

5

[2,5; 3[

15

[3; 3,5[

24

[3,5; 4[

7

[4; 4,5[

4

19.1. Indique a classe mediana. 19.2. Determine o peso médio

dos flamingos.

Observando os valores da frequência relativa acumulada, verifica-se que até à classe [82, 86[ apenas há 41% da frequência relativa acumulada, enquanto que até à classe seguinte [86, 90[ já há 68% da frequência relativa acumulada; logo, a mediana pertence ao intervalo [86, 90[ , pois é nesta classe que se localiza a frequência relativa acumulada de 50%. Introduzindo os dados na calculadora gráfica podemos determinar um valor aproximado para a mediana. Algumas considerações sobre a mediana

• É uma medida de posição, não faz intervir todos os valores. Exemplo Observando os seguintes conjuntos de dados estatísticos, já ordenados,

19.3. Construa o respectivo his-

tograma e determine, geometricamente, a mediana.

19.4. Que percentagem de fla-

mingos tem peso igual ou superior a 3,5 kg?

1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7

e

2, 2, 3, 4, 5, 5, 6

verifica-se que em ambos a mediana é 4. • A mediana é um parâmetro forte, não sendo influenciado por alterações dos extremos. Exemplo Observando os seguintes registos de temperaturas (°C), já ordenadas, de uma localidade, 23, 23, 27, 28, 28, 29, 30 verifica-se que a mediana é 28 °C.

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

39

Supondo que tinha ocorrido um erro e que afinal o último registo teria sido de 32 °C, o novo conjunto de dados 23, 23, 27, 28, 29, 32 continua a manter uma mediana de 28 °C.

Exercícios propostos Exercícios 9 e 11. Página 63.

• Como a mediana permite situar um dado na metade inferior ou superior da população ou da amostra, usa-se, em geral, quando as distribuições são muito desequilibradas num dos extremos.

Quartis Existem outras medidas, para além da moda, da mediana e da média, que nos dão a localização de valores da variável. São os quantis, dos quais estudaremos apenas os quartis. Como o nome indica, os quartis são os valores que dividem a distribuição de frequências em quatro partes iguais, correspondendo cada uma delas a 25% do total dos dados ordenados. Considerando os dados ordenados por ordem crescente, podemos usar o seguinte esquema para uma melhor compreensão desta medida.

NOTA Para determinar os quartis com a calculadora gráfica, utiliza-se um processo idêntico ao que se usa para a mediana.

Em que: • Q1 representa o 1.o quartil, separando os primeiros 25% dos dados, ordenados por ordem crescente, dos restantes 75%; • Q2 representa o 2.o quartil, que coincide com a mediana; • Q3 , o 3.o quartil, divide a distribuição em duas partes, em que 75% dos dados são menores ou iguais a Q3 e os restantes 25% são maiores ou iguais a Q3 . O processo utilizado para determinar os quartis é idêntico ao que se utiliza para o cálculo da mediana.

NOTA Existe uma regra prática que facilita o processo de determinação da posição de cada quartil para populações discretas. • Seja N , a dimensão da população total da distribuição, um número ímpar: posição do 1.o quartil:

↓

N +1 p1 = ᎏ ᎏ 4 posição do 3.o quartil:

Exemplo 6 6.1. Determine os quartis da distribuição das classificações dos testes de avaliação da Marta no

1.o período:

↓

3(N + 1) p3 = ᎏ ᎏ 4 • Se N for par:

8, 11, 12, 12, 13, 14, 12, 14, 15, 14, 8, 11, 12 6.2. Considere a tabela seguinte, que nos indica o número de litros de combustível gastos pelos

posição do 1.o quartil:

↓

empregados de uma empresa ao longo de um mês. Localize os quartis. Classes (litros)

[50, 60[

[60, 70[

[70, 80[

[80, 90[

[90, 100[

[100, 110]

Frequência absoluta

2

3

2

6

2

2

N +2 p1 = ᎏ ᎏ 4 o posição do 3. quartil: N = 17

↓

3N + 2 p3 = ᎏ ᎏ 4

40

EXERCÍCIO 20 Localize os 1.o e 3.o quartis das seguintes distribuições:

20.1.

ESTATÍSTICA

Resolução 6.1. Ordenando os dados, temos:

12 9 8 13 10 10 10 11 9 11 12 8

8 8 11 11 12 12 12 12 13 14 14 14 15

20.2. xi

50

52

55

60

fi

6

3

7

3

Q1

x~

Q3

A dimensão da amostra é N = 13 , número ímpar. • Posição do 1.o quartil: 13 + 1 p1 = ᎏ ᎏ ⇔ p 1 = 3,5 , logo, o 1.o quartil é dado pela média dos termos de ordem 3 e 4 : 4 11 + 11 Q1 = ᎏ ᎏ ⇔ Q 1 = 11 2 • Posição do 3.o quartil: 3(13 + 1) p3 = ᎏ ᎏ ⇔ p 3 = 10,5 , o 3.o quartil é a média dos termos de ordem 10 e 11: 4 14 + 14 Q3 = ᎏ ᎏ ⇔ Q 3 = 14 2

A Marta pode então afirmar que, por exemplo: • pelo menos, 25% das classificações são inferiores ou iguais a 11; • pelo menos, 25% das classificações são iguais ou superiores a 14; • pelo menos, 50% das classificações variam entre 12 e 15. Cálculo de parâmetros estatísticos: CALC 1:

6.2. Como se trata de uma variável contínua, é preferível optar pelas frequências relativas

acumuladas Assim, o 1.o quartil corresponde aos 25%, ou seja, pertence ao intervalo [60, 70[ . O 2.o quartil (mediana) corresponde a 50%, ou seja, pertence ao intervalo [80, 90[ . O 3.o quartil corresponde aos 75%, ou seja, pertence ao intervalo [80, 90[ .

Podemos também recorrer ao polígono de frequências relativas acumuladas para obter geometricamente um valor aproximado dos quartis, partindo do princípio que a distribuição é linear dentro de cada classe. Número de litros de gasolina gastos por uma empresa Calculadoras Casio Página 181.

EXERCÍCIO 21 Com base na tabela apresentada no Exercício 19, localize os 1.o e 3.o quartis.

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

41

MEDIDAS DE DISPERSÃO DE UMA AMOSTRA Um factor muito importante para a interpretação de um conjunto de dados é a maior ou menor dispersão dos dados em torno dos valores centrais. Para tal, vamos estudar as seguintes medidas de dispersão: amplitude total, variância, desvio padrão e amplitude interquartis.

Amplitude total À diferença entre o maior e o menor valor da distribuição chamamos amplitude total, ou simplesmente amplitude: A = xmáx – xmín Consideremos os dados da tabela seguinte, referentes aos anos de serviço dos trabalhadores de uma empresa de construção civil.

Anos de serviço

Número de trabalhadores

3

8

4

6

5

13

6

6

7

4

8

3

N = 40

Determinemos a amplitude da distribuição relativamente ao número de anos de serviço: Amplitude = 8 – 3 = 5 anos Note-se que esta medida é insensível às alterações dos valores intermédios; no seu cálculo só intervêm os extremos, não fornecendo assim, por si só, informação muito relevante sobre a distribuição.

Variância e desvio padrão Considerando o exemplo anterior, vejamos como os dados relativos aos anos de serviço se afastam da respectiva média (5 anos). Note-se que, para se obter melhores valores aproximados, usaremos um valor da média com aproximação às milésimas, x苶 ⬇ 5,025 .

NOTA A amplitude, a variância, o desvio padrão e a amplitude interquartis só se determinam para atributos quantitativos.

42

ESTATÍSTICA

Chama-se desvio de valor xi em relação à média –x , à diferença xi – –x .

NOTA ␴ é a letra «sigma» minúscula do alfabeto grego. A maiúscula é Σ.

EXERCÍCIO 22 Considere os dados indicados (em percentagem) relativos às audiências diárias de três estações televisivas numa determinada semana.

Anos de serviço xi

Número de trabalhadores fi

Desvio xi – x苶

3

8

–2,025

– 16,2

32,805

4

6

–1,025

– 6,15

6,304

5

13

– 0,025

– 0,325

0,008

6

6

0,975

5,85

5,704

7

4

1,975

7,9

15,603

8

3

2,975

8,925

26,552

Total

40

0

86,976

fi (xi – x苶 )

fi (xi – x苶 )2

A soma dos desvios é sempre igual a zero. Este valor surge porque existem valores positivos e negativos que se compensam. Por este motivo, determinam-se os quadrados ou os valores absolutos dos desvios. Optámos por calcular o quadrado dos desvios. À média aritmética dos quadrados dos desvios chama-se variância. Dados x 1 , x 2 , … , x N , N valores distintos de média x苶 , a variância V ou ␴ 2 é a média dos quadrados dos desvios: N

Data

Estações TV1

TV2

TV3

18/3

26,3

21,5

30,5

19/3

24,7

26,1

29,6

20/3

22,6

24,7

31,3

21/3

19,5

32,5

24,6

22/3

20,6

28,5

26,0

23/3

25,8

21,7

30,3

24/3

24,8

22,5

29,6

22.1. Indique a amplitude de cada uma das distribuições relativas à percentagem de audiências de cada uma das estações televisivas.

Σ

(xi – x苶 )2 (x1 – x苶 )2 + (x2 – x苶 )2 + … + (xN – x苶 )2 i =1 2 V = ␴ = ᎏᎏᎏᎏ = ᎏᎏ N N

86,976 No caso citado, temos: V = ␴ 2 ⬇ ᎏᎏ ⬇ 2,174 40 Quanto mais afastados da média estiverem os dados, maior será a variância. Como o cálculo da variância é feito a partir da média dos quadrados dos desvios, o seu resultado vem expresso na unidade dos dados mas ao quadrado, o que dificulta a sua interpretação. Através do cálculo da raiz quadrada da variância obtém-se um valor que, em virtude de ser representado na unidade dos dados, facilita a sua interpretação: o desvio padrão.

22.2. Determine a média de

audiências de cada uma das estações durante a semana considerada.

EXERCÍCIO 23 Recolha as idades dos encarregados de educação dos seus colegas de turma e calcule a média e o desvio padrão dessa distribuição.

O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância (dados agrupados numa tabela de frequência):

冑苴苴苴 k

␴=

冱fi (xi –x– )2 i =1

ᎏᎏ N

em que k é o número de valores distintos observados.

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

43

Assim, no exemplo, o desvio padrão é de:

␴  2 ,17 4  1,474 No caso do cálculo do desvio padrão de uma distribuição com dados agrupados por classes, o raciocínio é análogo, ou seja, determinam-se as marcas das classes, que se representam por x i , sendo k o número de classes.

Exemplo 7 Tendo em conta a tabela seguinte, referente à distribuição dos vencimentos numa empresa de construção civil, calcule o respectivo desvio padrão.

Vencimentos (em euros)

Número de trabalhadores

[500, 700[

5

[700, 900[

10

[900, 1100[

15

[1100, 1300[

6

[1300, 1500[

3

[1500, 1700[

1

N = 40

Resolução Recorrendo à calculadora gráfica, determina-se a média e o desvio padrão. WWW

Calculadoras Casio Página 181. STAT

ENTER

STAT

CALC

→ → EXERCÍCIO 24

Temos, então, x– = 975 e ␴  237, 43 .

Recolha os valores das alturas, em centímetros, dos colegas da turma e determine a média e o desvio padrão dessa distribuição.

44

NOTA Se o desvio padrão for um valor muito elevado podemos estar perante, pelo menos, uma das seguintes situações: • a amostra é muito dispersa; • existem valores desproporcionais em relação aos restantes dados.

ESTATÍSTICA

O desvio padrão, ␴ , é a medida de dispersão mais usada, pois tem em conta todos os dados. Note-se que o seu valor nunca é negativo. Quanto maior for o desvio padrão, maior será a dispersão dos valores em relação à média. É uma medida sensível a alterações nos valores da variável.

Amplitude interquartis Em alguns casos tem interesse utilizar outra medida de dispersão, a amplitude interquartis, que se representa por Aq e que é dada pela diferença entre os 3.o e 1.o quartis. No exemplo dos anos de serviço dos trabalhadores (pág. 41), e com a ajuda da calculadora, temos que: 1.º quartil: Q1 = 4

EXERCÍCIO 25 Determine a amplitude interquartis da seguinte distribuição. Número de telemóveis por família

fi

1

33

2

28

3

15

4

7

e

3.º quartil: Q3 = 6

logo, Aq = 6 – 4 = 2 • se o valor da amplitude interquartis for pequena, os dados estão concentrados em torno dos valores centrais; • se o valor da amplitude interquartis for grande, a dispersão em torno dos valores centrais é grande. A amplitude interquartis não é sensível a alterações nos valores extremos, é uma medida robusta.

DIAGRAMA DE EXTREMOS E QUARTIS Para facilitar a comparação entre distribuições, recorre-se frequentemente a um diagrama de extremos e quartis. Neste diagrama representam-se os valores máximo e mínimo da distribuição, e os valores dos respectivos quartis. Começa-se por desenhar um eixo, horizontal ou vertical, e, com uma escala adequada aos dados, marcam-se os extremos e os quartis. Seguidamente, construímos rectângulos entre os quartis.

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

45

Vejamos a situação do exemplo 7 (pág. 43), onde, recorrendo à calculadora gráfica, se determinaram os quartis relativos aos vencimentos dos trabalhadores da empresa de construção civil. Apresenta-se o respectivo diagrama de extremos e quartis:

Diagrama de extremos e quartis: 2nd

Y=

ENTER

Observando o diagrama podemos concluir que existe uma maior concentração de dados entre o 2.º e o 3.º quartis e que a maior dispersão é entre o 3.º quartil e o valor máximo. Exemplo 8

Calculadoras Casio Página 181.

Com a calculadora gráfica determinaram-se os quartis relativos às distribuições das idades das equipas de andebol do Imparcial e do Atlético e, em seguida, construiu-se o seguinte diagrama de extremos e quartis: 32 29 28

IMPARCIAL

Máximo ATLÉTICO 3.º Quartil

3.º Quartil

26 24,5 23,5

2.º Quartil

21,5 21

1.º Quartil

19 18

Máximo

Mínimo

2.º Quartil 1.º Quartil Mínimo

Faça um breve comentário comparativo das duas distribuições.

EXERCÍCIO 26 Com a ajuda da calculadora gráfica, desenhe o diagrama de extremos e quartis referente à distribuição das alturas dos jogadores da equipa de andebol do Imparcial. Altura dos jogadores do Imparcial Classes (cm)

Frequência absoluta fi

[174, 180[

3

[180, 186[

3

[186, 192[

6

[192, 198[

2

[198, 204[

2

Resolução Estes diagramas permitem-nos tirar várias conclusões: • na equipa do Imparcial existe pelo menos um jogador com 32 anos e o mais novo tem 19 anos, enquanto na equipa do Atlético o máximo é de 29 anos e o mínimo de 18 anos;

Exercícios propostos Exercícios 14 e 15. Páginas 64 e 65.

• a maior concentração de idades na equipa do Imparcial está entre os 19 e 21,5 anos, aproximadamente. Entre os 2.o e 3.o quartis, e entre o 3.o quartil e o valor máximo, a concentração é semelhante; • no caso da equipa do Atlético, pode afirmar-se que estamos perante uma distribuição uniforme.

Caderno de Exercícios

Exercícios 8 a 10. Página 55.

46

ESTATÍSTICA

DISCUSSÃO DAS LIMITAÇÕES ESTATÍSTICAS Num estudo estatístico não se pode ter em conta apenas as medidas de tendência central, ou seja, a média, a moda e a mediana. Para tirar conclusões mais correctas devem estudar-se também as medidas de dispersão. Actividade prática

E5

Apesar de a média ser muito usada na comparação de distribuições, esta deve ser analisada conjuntamente com a amplitude da distribuição e com o desvio padrão. É uma medida influenciada por qualquer alteração num dos valores observados. Ao contrário da média, a mediana não é afectada pelos valores extremos, como se exemplifica nas seguintes distribuições.

EXERCÍCIO 27 Fez-se um inquérito aos alunos do 9. o ano de uma escola do Ensino Básico, referente ao respectivo número de irmãos. Registou-se a seguinte tabela: Número de irmãos

9.o A fi

9.o B fi

0

3

6

1

9

12

2

8

5

3

4

3

4

2

1

5

2

0

Total

28

27

27.1. Determine o número médio de irmãos para cada turma. 27.2. Desenhe um gráfico de barras para cada distribuição.

A mediana é uma medida de posição que permite localizar os dados na metade superior ou inferior da distribuição. Embora a moda seja uma medida de cálculo fácil, é utilizada tanto em variáveis qualitativas como quantitativas. É contudo uma medida limitativa. Isoladamente, estas medidas não nos dão muitas informações úteis. No entanto, em conjunto permitem-nos analisar e interpretar correctamente a distribuição em estudo. Os quartis, tal como a mediana, permitem-nos localizar os dados na distribuição, dando-nos uma ideia do grau de dispersão/concentração dos mesmos.

Distribuição «uniforme»

Concentração nos extremos

Concentração na zona central

Concentração no extremo inferior

27.3. Localize os 1.o e 3.o quartis de cada turma.

27.4. A partir dos respectivos diagramas de extremos e quartis, compare as duas distribuições.

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

47

Quanto às medidas de dispersão, a amplitude não é sensível a alterações dos valores intermédios, o que por vezes é uma desvantagem. O desvio padrão permite comparar distribuições com medidas de tendência central aproximadas ou mesmo iguais. Tem como grande vantagem o facto de nos informar sobre o grau de afastamento dos dados em relação à média. Nas distribuições simétricas, as medidas de localização central são aproximadamente iguais. Nas distribuições assimétricas, a média desloca-se no sentido da «cauda» mais comprida da distribuição.

Distribuição simétrica

Distribuição assimétrica positiva

Distribuição assimétrica negativa

Exercícios propostos Exercício 16. Página 65.

48

ESTATÍSTICA

RESUMINDO

Função cumulativa

Moda Mediana

F (x ) =

⎧ 0 se x  x1 ⎪ F1 se x1  x  x2 ⎪ F2 se x2  x  x3 ⎨ F3 se x3  x  x4 ⎪. ⎪. ⎪. ⎩ Fk se x  xk

F1 , F2 , …, Fk Frequência acumulada

Dado estatístico que ocorre mais vezes na distribuição. • Se N é ímpar, a mediana é o valor da variável que ocupa a posição central. • Se N é par, a mediana é a média aritmética dos valores centrais. N

Média

k

Σx

Σf x

i

i=1

i =1

x = ⎯ N

i i

k

Σ

; x =  ou x = fri xi N i=1

N +1 P1 =  4

• Se N é ímpar – posição de Q 1 : – posição de Q 3 :

3(N + 1) P3 =  4

– posição de Q 1 :

N +2 P1 =  4

– posição de Q 3 :

3N + 2 P3 =  4

Quartis

• Se N é par

Diagrama de extremos e quartis

Q1

Q2

25% Amplitude total Amplitude interquartis

Q3

25%

25%

Diferença entre os valores extremos da distribuição. Diferença entre os valores correspondentes a Q 3 e a Q 1 . N

k

Σ (x – x )

Variância

i =1

Σf (x – x )

2

i

i

i

2

i =1  2 =  ou  2 =  N N

Σ   N

k

Σ(x – x )

Desvio padrão

i

=

i

2

=1 

N

ou  =

fi (xi – x )2 i =1  N

25%

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

49

A VIDA DA MATEMÁTICA A criptografia e a estatística A criptografia permite escrever, por meio de abreviaturas ou sinais convencionais, uma mensagem que se pretende ser secreta. Normalmente, utilizam-se números ou símbolos, aos quais se dá arbitrariamente um novo significado. A estatística pode ajudar a decifrar estas mensagens, observando a frequência com que as letras do alfabeto surgem na língua em que a mensagem está escrita. Por exemplo, no alfabeto inglês, em 1000 letras de um texto, a letra «E» é a mais frequente, aparecendo, em média, 131 vezes; segue-se a letra «T», 90 vezes, e depois a letra «O», 82 vezes, também em média. Assim, basta observar o símbolo mais frequente numa mensagem deste género e, a partir da frequência relativa, comparar com o respectivo alfabeto, fazendo a correspondência devida com a letra. No livro O Escaravelho de Ouro, Edgar Allan Poe utiliza a frequência relativa para decifrar mensagens. Também em A Aventura dos Bailarinos, Sherlock Holmes, o famoso detective criado pelo escritor britânico Arthur Conan Doyle, decifra mensagens sucessivas do criminoso utilizando este método, acabando mesmo por enganá-lo ao enviar-lhe uma mensagem no código utilizado:

Ao longo dos tempos utilizaram-se várias formas de registo de dados estatísticos. Uma das mais originais e curiosas foi utilizada pelos Incas. Os quippus, cordões com nós, marcavam a cifra utilizando a cor e a posição. Todos os dados estatísticos estavam registados nos diferentes quippus, desde o número de soldados até aos recursos do tesouro do império, permitindo assim aos governantes terem uma ideia geral das condições das suas províncias.

in Alice Fairbanks Mettos, Manual de Estatística (adaptado) e Teresa Vergari, O Zero e os Infinitos, Editora Minerva, 1991 (adaptado)

É curioso saber que a população inca estava tão habituada ao sistema dos quippus que, mesmo depois de se converter ao Cristianismo, levava ao confessor o número de pecados cometidos marcados neste sistema. www.matematicaB.TE.pt

Links : ALEA-Noções de estatística • Cartoons estatística: Matemática em geral

50

ESTATÍSTICA

E3 Actividade prática «Há cada vez mais necessidade de compreender a forma como a informação é processada e traduzida em conhecimento utilizável.» Martin Gardner (escritor norte-americano)

OBJECTIVOS WWW

Pretende-se com esta actividade aplicar os conhecimentos de estatística a situações da vida real e criticar os resultados.

MATERIAIS Inquérito, computador, folha de cálculo. EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE Ocupação dos tempos livres Após a realização do inquérito, apresentado em seguida, por todos os alunos da turma, recolha e organize os dados obtidos em tabelas de frequência e apresente-os, graficamente, do seguinte modo: • variável qualitativa – diagrama circular; • variável quantitativa discreta – gráfico de barras; • variável quantitativa contínua – histograma. Como conclusão, faça uma pequena análise dos resultados obtidos na sua turma.

Inquérito Responda, no seu caderno, a cada uma das questões assinalando apenas uma opção. 1. Qual o desporto que pratica mais frequentemente? A. Futebol

C. Basquetebol

E. Artes marciais

G. Outros

B. Voleibol

D. Natação

F. Ginástica

H. Nenhum

2. Quantos livros lê mensalmente? A. 0 livros

C. 2 livros

B. 1 livro

D. 3 livros

E. 4 ou mais livros

3. Quantas vezes por mês vai ao cinema? A. 0 vezes

C. 2 vezes

B. 1 vez

D. 3 vezes

E. 4 ou mais vezes

4. Quantas horas por dia utiliza o computador (jogos, Internet…)? A. 0 a 2 horas

C. 4 a 6 horas

B. 2 a 4 horas

D. 6 a 8 horas

E. 8 a 10 horas

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

H

51

Actividade prática E3 Instruções para a folha de cálculo* 1. Abra uma folha. 2. Crie uma tabela com as diversas modalidades desportivas. 3. Construa o gráfico circular.

• Seleccione as colunas A e B e clique na Barra de Ferramentas em . • Escolha o tipo de gráfico:

A

B

Modalidade

fi

Futebol

2

Voleibol Basquetebol Natação …

Pie

…

Next

N =…

Title – «Desporto praticado» Data Label – Show percent Finish 4. Crie

uma nova tabela com o número de livros que lê e as respectivas frequências.

5. Seleccione as colunas A e B e clique na Barra de Ferramentas

em

.

Escolha o tipo de gráfico:

A

B

Número de livros

fi

0

3

1 2

Column

3

Next

4

Next

N =…

Title – «Número de livros lido num mês» Legend – (não seleccionar) Finish 6. Repita os passos anteriores para fazer um gráfico relativo

ao número de vezes que vai ao cinema. 7. Crie uma tabela com o número de horas que despende no

computador e as respectivas frequências. 8. Seleccione

mentas em

as colunas A e B e clique na Barra de Ferrae seleccione o tipo de gráfico:

Column Next

A

B

Horas

fi

0–2

3

2–4 4–6 6–8 8 – 10

N =…

Title – «Número de horas despendidas no computador» X – Tempo, em horas Y – fi Legend – (não seleccionar) Next Finish * Nesta actividade utilizamos a folha de cálculo Microsoft Office Excel. Existem, no entanto, outras folhas de cálculo, como a do Open Office (freeware ), que têm as mesmas características e potencialidades.

52

H

ESTATÍSTICA

continuação Actividade prática E3 Clique sobre as barras do gráfico com o botão esquerdo do rato. Clique no botão direito do rato. Aparece uma pasta FORMAT DATA SERIE. Escolha Options e ponha a zeros Over lap (sobreposição) e Gap width (as barras juntam-se, formando um histograma). 9. Preencha a tabela de frequências de todas as variáveis.

A

B

C

D

E

Modalidade

fi

Fi

fri

Fri

Para calcular o valor de N : • seleccione a coluna B (B2 a B5) e clique na Barra de Ferramentas em Σ . Para completar a tabela de frequências: • na coluna C, copie o valor da coluna anterior (B2) e na célula seguinte escreva =B3+C2 ; • em seguida, na Barra de Ferramentas clique no EDIT (editar), depois no FILL (preencher) e por fim copie para baixo (DOWN); • na coluna D, na primeira célula escreva =C2/30 e copie para baixo; • na coluna E, repita o primeiro valor da coluna D e na célula seguinte escreva =D3+E2 e copie para baixo, repetindo os passos efectuados na coluna C.

Para as frequências relativas aparecerem em percentagem, basta seleccionar a coluna respectiva e clicar na Barra de Ferramentas em %.

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

53

E4 Actividade prática «(…) Permitir que o ensino da estatística não seja apenas instrução (…) mas formação. Formação que será útil ao aluno quer nos estudos ulteriores, quer na sua vida quotidiana. Maria Beatriz F. Matias (matemática portuguesa)

OBJECTIVOS Pretende-se com esta actividade recolher, organizar e apresentar dados de um inquérito. MATERIAIS Folha de cálculo ou calculadora gráfica.

EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE Trajecto escola-casa Relativamente à turma, realizar um inquérito que permita responder às seguintes questões: A. Quanto tempo gastam os alunos no trajecto escola-casa? B. Será que a escola serve apenas os alunos da área em que está inserida ou serve também os que vivem nos arredores? 1. Recolha dados relativos à turma. 2. Introduza os dados no computador (ver instruções na página seguinte). 3. Determine a moda, a mediana e a média. 4. Construa a tabela de frequências absolutas e relativas, e as frequências acumuladas. 5. Desenhe

o histograma das frequências absolutas e o polígono de frequências relativas acumuladas.

6. Faça

um pequeno comentário sobre a situação dos alunos desta escola. Vivem perto ou longe da escola? Será possível, com os dados recolhidos, fazer uma generalização?

54

H

ESTATÍSTICA

continuação Actividade prática E4 Instruções para a folha de cálulo* 1. Abra uma folha. 2. Introduza os dados obtidos na coluna A. 3. Crie uma tabela, a meio da folha.

Moda Mediana Média

4. Na tabela criada, coloque o cursor em frente da célula Moda.

Clique na Barra de Ferramentas em fx . FUNCTION CATEGORY: STATISTICAL FUNCTION NAME: MODE (Moda) ou AVERAGE (Média) ou MEDIAN (Mediana). Seleccione a coluna A. 5. Seleccione a coluna A e clique na Barra de Ferramentas no comando A/Z↓ (ordenar valores

por ordem crescente). 6. Construa a tabela de frequências utilizando as colunas seguintes da folha do Excel (como os

valores devem ser muito dispersos, será melhor agrupá-los em classes com amplitude 10, por exemplo).

B

C

D

Classes

xi

fi

[0, 10[

5

7

[ 10, 20[

15

13

…

…

…

Para calcular o valor de N , seleccione a coluna D e clique na Barra de Ferramentas no comando ∑ .

D

E

F

G

fi

Fi

fri (%)

Fri (%)

7

7

23

23

13

20

43

67

…

…

…

…

N

30

* Nesta actividade utilizamos a folha de cálculo Microsoft Office Excel. Existem, no entanto, outras folhas de cálculo, como a do Open Office (freeware ), que têm as mesmas características e potencialidades.

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

H

55

Actividade prática E4 Para os valores de Fi , na coluna E, escreva o primeiro valor da coluna D; na segunda célula da coluna E, escreva =D3+E2 . Em seguida, na barra de menus, clique em EDIT, seleccione FILL e por fim DOWN. Para os valores de fri , na coluna F, escreva na primeira célula =D2/30 e copie para baixo, como foi indicado anteriormente. Para os valores de Fri , na coluna G, copie o primeiro valor da coluna F e na célula abaixo escreva =G2+F3; copie para baixo repetindo os mesmos passos anteriores. Para as frequências relativas aparecerem em percentagem, basta seleccionar a coluna respectiva e na Barra de Ferramentas clicar no comando %. 7. Desenhe o histograma. Seleccione a coluna das classes. Pressionando a tecla CTRL, seleccione com o rato a coluna referente à frequência absoluta. Na Barra de Ferramentas clique no

e em seguida em COLUMN;

Serie Next Serie 2 Remove Next … TITLE: escreva «Trajecto Escola-Casa» CATEGORY (X) AXIS: escreva «Tempo, em minutos». VALUE (Y) AXIS: escreva «fi »; Next; Finish. Clique com o botão direito do rato sobre as barras do gráfico. No menu que aparece, seleccione FORMAT DATA SERIES e em OPTIONS ponha a zeros o OVERLAP e o GAP WIDTH. 8. Desenhe o polígono de frequências. Repita os mesmos passos para desenhar o histograma, mas no CHART WIZARD, no passo 1, siga a sequência STANDARD TYPES: CHART TYPE: LINE.

56

ESTATÍSTICA

E5 Actividade prática «Mais importante do que saber calcular uma média ou desvio padrão é perceber o seu significado.» Estatística e calculadoras gráficas, APM (1999)

OBJECTIVOS Pretende-se com esta actividade concluir algumas relações entre as medidas de tendência central e as medidas de dispersão, assim como as respectivas representações gráficas.

MATERIAIS Calculadora gráfica. EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE Comparação de medidas de tendência central e de dispersão 1. Posição relativa da moda, mediana e média de uma distribuição

Compare as medidas de tendência central (moda, mediana e média) em cada uma das seguintes distribuições.

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

H

57

Actividade prática E5 2. Comparação entre a média e o desvio padrão 2.1. Considere as duas distribuições

A e B , que têm a mesma média, a mesma mediana e

os mesmos extremos. Os seus diagramas de extremos e quartis são os seguintes.

Qual das distribuições tem maior desvio padrão? Justifique a resposta. 2.2. Considere

as quatro distribuições seguintes, que correspondem aos golos marcados por quatro equipas de futebol.

Dos seguintes pares (média, desvio padrão), qual é o que corresponde a cada equipa? Justifique a resposta.

1

2

3

4

x = 2 e ␴ = 1,94

x = 2,64 e ␴ = 1,23

x = 1,36 e ␴ = 1,39

x = 3,57 e ␴ = 1,40

58

ESTATÍSTICA

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Considere os seguintes dados:

10 21 33 33

WWW

26 10 22 22

53 46 46 18

33 11 25 55

24 23 15 12

31 35 32 17

42 43 14 45

14 51 50 51

1.1. Construa uma tabela do tipo separador de frequências. 1.2. Construa uma tabela de frequências com os dados agrupados em classes. 1.3. Calcule as medidas de tendência central. 1.4. Calcule o desvio padrão. 1.5. Construa o polígono de frequências relativas acumuladas. 1.6. Determine os quartis e desenhe o respectivo diagrama de extremos e quartis. 1.7. Faça uma análise do diagrama de extremos e quartis, referindo a concentração ou dispersão dos dados.

Resolução 1. 1.1.

1

0

0

1

2

4

4

5

2

1

2

2

3

4

5

6

3

1

2

3

3

3

5

4

2

3

5

6

6

5

0

1

1

3

5

7

8

1.2. Sendo 32 o total dos dados e atendendo à fórmula de Velleman (pág. 27), o número de classes é seis, pois:

2 = 5,6  6 3 As classes devem ter de amplitude 8, pois 55 – 10 = 45 e 45 : 6 = 7,5 . Como 8 é par, facilita os cálculos do valor médio.

Classes

Marca da classe

[10, 18[

14

[18, 26[

22

[26, 34[

30

[34, 42[

38

[42, 50[

46

[50, 58[

54

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

59

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS A marca da classe é a média dos extremos da classe: 10 + 18 18 + 26 ᎏ ᎏ = 14 ; ᎏ ᎏ = 22;… 2 2 Para determinar a frequência de cada classe, podemos recorrer ao separador de frequências: • de 10 a 18 (exclusive) são todos os valores da primeira linha, excepto o último; • de 18 a 26 (exclusive) são todos os valores da segunda linha, excepto o último, e incluindo o último da primeira linha, e assim sucessivamente.

Classes

Marca da classe

fi

Fi

fri

Fri

[10, 18[

14

8

8

0,25

0,25

[18, 26[

22

7

15

0,22

0,47

[26, 34[

30

6

21

0,18

0,65

[34, 42[

38

1

22

0,03

0,68

[42, 50[

46

5

27

0,16

0,84

[50, 58[

54

5

32

0,16

1,00

1.3. A classe modal é o intervalo

[10, 18[ , porque é o intervalo que tem maior frequência.

A classe mediana é o intervalo [26, 34[ , porque é o intervalo que contém os 16.o e 17.o valores da variável. A média é dada por: 14 × 8 + 22 × 7 + 30 × 6 + 38 × 1 + 46 × 5 + 54 × 5 = 30,75 x苶 = ᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏ 32 1.4. Para calcular o desvio padrão, utilizamos a calculadora gráfica.

Calculadoras Casio Página 181.

Logo, ␴ 艐 14,47 .

60

ESTATÍSTICA

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1.5. Para

construir o polígono de frequências acumuladas, devemos construir inicialmente o histograma respectivo e, em seguida, unir os cantos superiores direitos de cada barra.

1.6.

Calculadoras Casio Página 181.

1.7. Analisando

o diagrama de extremos e quartis, podemos concluir que existe maior concentração entre o mínimo e o 1.o quartil, tendo pelo menos 25% dos valores entre 10 e aproximadamente 18. A maior dispersão verifica-se entre os 2.o e 3.o quartis, ou seja, aproximadamente entre os valores 27 e 46.

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

61

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nos exercícios 1 a 5, de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.

1. Considere o gráfico ao lado.

A média aritmética desta distribuição é: A. 2,3

C. 4,3

B. 3,2

D. 3,4

2. Considere a distribuição representada pelo gráfico.

A moda desta distribuição é: A. 15

C. 5

B. 6

D. 3

3. Considere a seguinte distribuição.

xi

1

2

3

4

5

fi

10

5

1

3

5

A mediana é: A. 5

B. 4

4. O valor real de A. k

=5

C. 3

D. 2

k , de modo que a média dos valores 4 ; 5 ; 8 ; k ; 2 ; 13 seja 7 é: B. k

5. Sabendo

= 10

C. k

= 15

D. k

= 20

que uma certa distribuição tem o gráfico que se segue, indique quais os valores possíveis da moda, da mediana e da média. A. Mo = 2 ;

x⬃ = 3 ; x苶 ⬇ 3,5

B. Mo = 2 ;

x⬃ = 4 ; x苶 ⬇ 3

C. Mo = 4 ;

x⬃ = 2 ; x苶 ⬇ 3

D. Mo = 3 ;

x⬃ = 2 ; x苶 ⬇ 4

62

ESTATÍSTICA

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 6. Foi

realizado um inquérito a todos os trabalhadores de uma fábrica quanto ao seu nível de escolaridade e obtiveram-se os dados que constam na tabela ao lado.

Habilitações

Número de respostas

1.o Ciclo

99

2.o Ciclo

80

3.o Ciclo

40

Secundário

55

Curso médio

11

Curso superior

15

Total

300

6.1. O estudo efectuado refere-se a uma sondagem ou a um recensea-

mento? 6.2. Indique qual a variável em estudo e classifique-a. 6.3. Represente graficamente esta distribuição.

7. Num

bairro habitacional de Lisboa, onde se tem verificado um crescente descontentamento por parte dos habitantes nas suas relações de vizinhança, foi realizado um inquérito a uma amostra de 120 moradores. Uma das questões colocadas pretendia que os indivíduos apontassem qual era, na sua opinião, a principal origem dos conflitos. As razões apontadas foram: A – Grandes diferenças educacionais. B – No bairro vive muita gente. Qual a principal origem dos conflitos

C – Pouca disponibilidade para estabelecer relações com os vizinhos. D – Outras respostas.

Os dados recolhidos foram apresentados no gráfico circular ao lado. 7.1. Indique a variável em estudo e classifique-a. 7.2. Que outro tipo de representação poderia ser usada para esta distribuição? 7.3. Construa a tabela de frequências desta distribuição.

8. Foi

realizado um inquérito a várias agências de viagem e obtiveram-se os seguintes resultados, provenientes de 20 000 respostas. De onde vêm os turistas A Alemanha e o Reino Unido são os principais mercados exteriores a procurar o turismo em espaço rural no nosso país. Ainda assim, os turistas portugueses representam mais de metade do total da procura.

Outros O 4% 4% 5% 6%

13%

Espanha Es Holanda Ho 52%

França Fra Reino Unido Re

16%

Alemanha Al Portugal Po in Focus, n.o 359, 2006 (adaptado)

8.1. Classifique a variável estatística. 8.2. Construa uma tabela de frequências absolutas. 8.3. Utilizando outro tipo de gráfico, represente graficamente esta distribuição.

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

63

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9. Numa sondagem acerca da tendência de voto para a Associação de Listas

Número de respostas

A

15

B

55

C

15

Não decidiu

10

Decidiu não votar

5

Estudantes de uma escola, inquiriram-se 100 alunos, sendo solicitado que indicassem em qual das listas pensavam votar. Com base nas respostas apuradas construiu-se o quadro ao lado. 9.1. Classifique a variável. Justifique a resposta. 9.2. Calcule as medidas de tendência central. 9.3. Represente graficamente a distribuição.

10. Fez-se um inquérito acerca do número de telemóveis existentes em cada agregado familiar de uma determinada

cidade do litoral. Obteve-se a tabela que se segue.

Número de telemóveis

Frequência absoluta

0

18

1

21

2

28

3

35

4

38

10.1. Determine as frequências absolutas acumuladas. 10.2. Quantos agregados familiares possuem menos de três telemóveis?

11. Num concerto musical esteve presente um conjunto de pessoas com a seguinte distribuição de idades:

WWW

Idade

[14, 21[

[21, 28[

[28, 35[

[35, 42[

[42, 49[

[49, 56[

[56, 63[

[63, 70[

Número de pessoas

10

8

6

3

3

7

10

3

11.1. Construa a tabela de frequências desta distribuição. 11.2. Quantas pessoas com menos de 49 anos assistiram ao concerto? 11.3. Calcule a idade média. 11.4. Construa o histograma e o polígono de frequências relativas acumuladas. 11.5. Indique a classe modal e a classe mediana.

64

ESTATÍSTICA

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 12. Lançou-se um dado um certo número de vezes. Registou-se numa tabela o número de vezes que saiu cada uma

das faces. WWW

Face

1

2

3

4

5

6

Número de vezes

3

4

6

7

10

10

12.1. Indique o número de vezes que se lançou o dado. 12.2. Elabore uma tabela de frequências absolutas e de frequências relativas simples e acumuladas. 12.3. Quantas vezes saiu uma face com um número inferior a 3? 12.4. Quantas vezes saiu uma face com um número de pintas entre 2 e 5, exclusive?

–

x , se adicionarmos uma constante k a todos os valores – – – observados, a média desta nova distribuição, x F , é tal que: x F = x + k .

13. Prova-se que ao considerar uma distribuição de média,

Para financiar uma viagem, o João, o Rui e o Henrique depositaram numa conta comum as suas poupanças, respectivamente de 720, 800 e 910 euros. 13.1. Qual a quantia média dos depósitos? 13.2. O pai do Rui decidiu ajudar e deu a cada um deles 250 euros. Nesta nova situação, qual será a quantia média

depositada? 13.3. Para que a quantia média fosse de 1100 euros, quanto deveria ter sido a oferta do pai do Rui a cada um dos jovens?

14. A

baga de sabugueiro há muito que é reconhecida como sendo eficaz na prevenção e combate aos vírus que afectam as vias respiratórias.

A Declaração de Helsínquia (uma organização mundial que regulamenta as pesquisas envolvendo seres humanos) autorizou uma cientista a experimentar um suplemento terapêutico durante uma epidemia de gripe pela estirpe B/Panamá. A um grupo de 30 doentes foi administrado o suplemento terapêutico e a outros 30 doentes um placebo. Obtiveram-se os resultados que se seguem: Placebo

Suplemento terapêutico

Grupo de estudo (%)

Cura completa Nos doentes tratados com o suplemento terapêutico, a cura foi completa em 86,7% dos casos ao fim do segundo dia.

Dias após início do tratamento

in Focus, n.o 47, 2000 (adaptado)

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

65

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 14.1. Construa a tabela de frequências absolutas e relativas (simples e acumuladas) para cada um dos fármacos. 14.2. Calcule a média, a moda e a mediana de cada uma das distribuições. 14.3. Determine os quartis e desenhe o respectivo diagrama de extremos e quartis de cada uma das distribuições. 14.4. Quantos doentes ficaram curados no primeiro dia com o suplemento terapêutico? E quantos ficaram curados

depois do 3.o dia com o placebo?

15. Para investigar o período de latência de um vírus, inocularam-se 100 cobaias e anotou-se o número de dias que

decorreram até aparecerem os primeiros sintomas. Os resultados foram os seguintes:

Número de dias

[4, 6[

[6, 8[

[8, 10[

[10, 12[

[12, 14[

Número de cobaias

8

12

25

20

35

15.1. Determine o período médio de latência. 15.2. Localize a mediana da distribuição. 15.3. Localize o 1.o quartil e o 3.o quartil. 15.4. Indique a percentagem de cobaias que apresentaram sintomas antes de 8 dias de latência. 15.5. Calcule o número de cobaias que apresentaram sintomas depois de 12 dias de latência.

16. Para avaliar o fenómeno do absentismo na empresa Lisarte, estudou-se uma amostra de 143 indivíduos de ambos

os sexos e avaliou-se o número de horas de ausência.

Número de horas em falta

Frequência absoluta

[0, 15[

30

[15, 30[

90

[30, 45[

11

[45, 60[

12

16.1. Classifique a variável em estudo. 16.2. Calcule as medidas de tendência central. 16.3. Calcule um valor aproximado para o 3.o quartil e interprete o resultado. 16.4. Calcule a variância e o desvio padrão, indicando qual destas medidas é a mais utilizada e porquê.

66

ESTATÍSTICA

REFERÊNCIA ÀS DISTRIBUIÇÕES BIDIMENSIONAIS NOTA Pode estudar-se a relação entre três ou mais variáveis. Trata-se de correlação múltipla.

Depois de terem sido estudadas as variáveis estatísticas isoladamente – distribuições unidimensionais – vamos agora estudar duas variáveis em conjunto e verificar se existe ou não alguma relação entre elas – distribuições bidimensionais. Por exemplo, será que existe alguma relação entre: • a taxa de desemprego e o produto nacional bruto (PNB) de um país? • a temperatura de um lugar e a altitude a que este se situa? • a idade de uma mulher e a sua tensão arterial?

DIAGRAMA DE DISPERSÃO Num estudo efectuado no âmbito da disciplina de Português, pretendeu determinar-se a relação entre o número de anos de estudo completos (x) e o número de erros de ortografia ( y) cometidos num ditado. Para tal, foram escolhidos aleatoriamente 10 alunos de graus de escolaridade diferentes e elaborou-se a seguinte tabela:

x

10

3

12

11

6

8

14

17

10

2

y

1

7

2

3

5

4

1

2

3

10

REFERÊNCIA ÀS DISTRIBUIÇÕES BIDIMENSIONAIS

67

Vamos representar os pares (x, y) num sistema de eixos coordenados.

EXERCÍCIO 1 Desenhe o diagrama de dispersão de cada uma das seguintes distribuições:

1.1. x

3

4

5

2

1

y

7

8

11

6

1

x

1

5

2

3

4

y

6

3

5

3

3

1.2.

1.3. x

10 20 15

5

12

10

y

3

2

6

11

4

1

À representação das variáveis x e y num referencial cartesiano chamamos diagrama de dispersão ou nuvem de pontos. Este diagrama permite-nos visualizar se existe, ou não, relação entre as variáveis e identificar qual a condição mais apropriada para descrever esta relação ou correlação. Se todos os pontos do diagrama se localizarem na proximidade de uma recta, a correlação denomina-se linear.

Correlações lineares

Negativa

Se y aumentar quando x aumenta, então a correlação é positiva; se y diminuir quando x aumenta, a correlação é negativa.

Positiva

Neste exemplo, como o número de erros diminui à medida que o número de anos de escolaridade aumenta, trata-se de uma correlação linear negativa.

Correlação não linear

Pode ainda acontecer que a linha que melhor se ajusta ao conjunto de pontos seja uma linha curva. Então, a correlação denomina-se não linear. As correlações não lineares podem ser quadráticas, cúbicas exponenciais, logarítmicas, potenciais, etc.

68

EXERCÍCIO 2 Classifique quanto à correlação cada uma das distribuições do Exercício 1 (página anterior).

ESTATÍSTICA

Exemplo 1 Que tipo de relação poderá existir entre os seguintes pares de variáveis? A – Venda de combustível e venda de automóveis. B – Venda de discos e venda de livros. C – Idade de um indivíduo e número de horas de sono.

EXERCÍCIO 3

Resolução

Classifique o tipo de correlação que pode existir em cada um dos seguintes casos:

A – É provável que aumentando o número de vendas de automóveis aumente a venda de combustível;

3.1. Potência do motor de um automóvel e o seu preço.

B – Não parece haver nenhuma relação entre a venda de discos e a venda de livros, logo, não há

3.2. Temperatura do ar e a velocidade de propagação do som.

3.3. Rendimento do agregado familiar «per capita » e o possível valor de uma bolsa, atribuída pelo Estado, a um dos membros deste agregado familiar.

logo pode existir uma correlação linear positiva. correlação linear entre as variáveis. C – À medida que o indivíduo se aproxima da meia idade, o número de horas de sono tem tendência a diminuir. O número de horas de sono de um bebé é superior ao número de horas de sono de um adulto; logo, a correlação será negativa.

Exemplo 2 A seguinte tabela indica a idade de 12 mulheres e as respectivas tensões arteriais (sistólicas): x

56

42

72

36

63

47

55

49

38

42

68

60

y

147

125

160

118

149

128

150

145

115

140

152

155

2.1. Represente as variáveis x e y num diagrama de dispersão. 2.2. Que tipo de relação existe entre as duas variáveis?

Resolução 2.1.

2.2. Existe uma correlação linear positiva. À medida que a idade aumenta, também aumenta a tensão

arterial.

REFERÊNCIA ÀS DISTRIBUIÇÕES BIDIMENSIONAIS

69

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR E SUA VARIAÇÃO NO INTERVALO [–1, 1] Para medir o grau de associação linear entre duas variáveis, utiliza-se o coeficiente de correlação linear ou coeficiente de correlação de Pearson. A determinação analítica deste coeficiente está fora do âmbito do Programa do 10.o ano. Este valor, que se representa por r , varia entre –1 e 1 . O seu cálculo é feito recorrendo à calculadora gráfica. Quando a correlação é perfeita e negativa, o coeficiente toma o valor –1 ; se a correlação é perfeita e positiva, o coeficiente toma o valor 1.

NOTA Antes de determinar o coeficiente de correlação, verifique se a opção está activa na calculadora. 2nd

0 CATALOG

Diagnostic On ENTER ENTER

EXERCÍCIO 4 Associe a cada diagrama de dispersão o respectivo coeficiente:

A valores próximos de zero, corresponde uma correlação fraca.

A.

Correlação perfeita negativa

B.

Correlação forte negativa

Correlação perfeita positiva

C.

Correlação forte positiva I r = –0,2 II r = 0,95 III r = –0,8

Utilizando uma escala, temos: Correlação perfeita –1

forte

Correlação perfeita fraca

0

fraca

forte

1

Exercícios propostos Exercícios 1, 3 e 4. Página 80.

Caderno de Exercícios

Exercícios 1 e 4. Página 58.

70

ESTATÍSTICA

CENTRO DE GRAVIDADE DE UM CONJUNTO FINITO DE PONTOS Introduzir os dados na calculadora:

E SUA INTERPRETAÇÃO FÍSICA Chamamos centro de gravidade de uma nuvem de pontos ao ponto de coordenadas (x, y) , em que x e y correspondem às médias aritméticas dos valores das variáveis x e y , respectivamente. Consideremos, de novo, o estudo efectuado sobre o número de erros ortográficos num ditado de Português (pág. 66). Calculemos as médias x e y :

Determinar as coordenadas do centro de gravidade:

10 + 3 + 12 + 11 + 6 + 8 + 14 + 17 + 10 + 2 x = ᎏᎏᎏᎏᎏᎏ = 9,3 10 1 + 7 + 2 + 3 + 5 + 4 + 1 + 2 + 3 + 10 y = ᎏᎏᎏᎏᎏ = 3,8 10 Vamos assinalar no diagrama de dispersão o ponto de coordenadas (9,3; 3,8) , que corresponde ao centro de gravidade da nuvem.

→

Se considerarmos duas rectas paralelas aos eixos coordenados que passam por x e y , a nuvem fica dividida em quatro partes, a que chamamos quadrantes. A distribuição dos pontos pelos quadrantes permite visualizar se existe correlação linear positiva ou negativa.

→ Diagrama de dispersão:

Neste caso, os pontos distribuem-se pelos 2.o e 4.o quadrantes, logo a correlação linear é negativa. Pode ainda acontecer que os pontos se distribuam principalmente nos 1.o e 3.o quadrantes. Então, a correlação linear é positiva.

Ou, então, que os pontos se distribuam uniformemente pelos quatro quadrantes. Neste caso, não existe correlação. Calculadoras Casio Página 181. Exercícios propostos Exercício 2. Página 80.

Considera-se o centro de gravidade como o representante da nuvem de pontos, podendo ainda imaginar-se que toda a nuvem se encontra apoiada e em equilíbrio sobre esse ponto.

REFERÊNCIA ÀS DISTRIBUIÇÕES BIDIMENSIONAIS

71

IDEIA INTUITIVA DE RECTA DE REGRESSÃO. SUA INTERPRETAÇÃO E LIMITAÇÕES Existindo uma correlação linear entre duas variáveis, como podemos chegar à recta que melhor se ajusta à nuvem de pontos? Existem vários métodos para obter essa recta. O método mais simples consiste em desenhar uma recta com a ajuda de uma régua, realizando o melhor ajuste possível do seguinte modo: 1. desenhar o diagrama de dispersão; 2. marcar o centro de gravidade ( x苶, y苶 ) ; 3. desenhar a recta que passa por ( x苶, y苶 ) de modo que os pontos se distribuam igualmente ao longo da recta, abaixo e acima. Este método é muito subjectivo, havendo por isso vários ajustamentos possíveis. No entanto, será o processo utilizado neste livro. Considere a seguinte tabela, onde estão registadas as altitudes de algumas estações meteorológicas e as respectivas temperaturas médias anuais. Altitude (m)

Temperatura (°C)

720

11,6

90

14

140

15,7

54

16,6

77

16,6

270

16,2

36

17,7

35

17,4

15

18,4

1380

8,9

408

15,3

310

15,6

443

13

O diagrama de dispersão desta distribuição é o seguinte:

Actividade prática

E6

72

ESTATÍSTICA

Depois de determinarmos as coordenadas do centro de gravidade C(306; 15,15) , representamo-lo no diagrama. Após introduzir os valores na calculadora e seguindo os passos descritos na página 70: Recta de regressão

Com o auxílio de uma régua, traçamos uma recta que passe pelo centro de gravidade, de tal modo que os pares ordenados se distribuam de forma uniforme ao longo da recta, acima e abaixo.

→

A recta que acabámos de desenhar chama-se recta de regressão. E7

Actividade prática

O coeficiente de regressão (declive da recta) tem apenas o mesmo sinal do coeficiente de correlação (no ecrã ao lado: r 艐 – 0,91)

EXERCÍCIO 5 Considere a seguinte distribuição: x

y

0

760

100

674

200

600

500

443

1000

268

1100

201

1500

112

Outro método, este mais objectivo, consiste em determinar a recta que melhor se aproxime dos valores observados, de tal modo que seja mínima a soma dos quadrados das distâncias entre os valores observados e os correspondentes na recta. A vantagem de se conhecer a recta de regressão é a possibilidade de prever o comportamento da variável dependente y , conhecendo o valor da variável independente x . A equação da recta de regressão pode ser afectada por pontos atípicos, pelo que é melhor ignorá-los. Se a dimensão da amostra for suficientemente grande, a exclusão destes valores não é significativa. Por exemplo, a recta B. traduz mais correctamente a relação entre as seguintes variáveis.

5.1. Represente a nuvem de pontos. 5.2. Determine o centro de gravidade da distribuição.

A.

5.3. Utilizando a calculadora, obtenha a equação da recta de regressão.

5.4. Estime um valor para x = 800 .

Exercícios propostos Exercícios 5 a 10. Páginas 81 a 83.

B.

Caderno de Exercícios

Exercícios 2, 3, 5 e 6. Página 58.

Efeito de dois valores atípicos

REFERÊNCIA ÀS DISTRIBUIÇÕES BIDIMENSIONAIS

73

RESUMINDO Diagrama de dispersão e recta de regressão

Correlação perfeita negativa

Correlação forte negativa

Correlação perfeita positiva

Correlação forte positiva

Não existe correlação

Coeficiente de correlação de Pearson

Coeficiente, r , que mede o grau de correlação linear entre duas variáveis. –1 ⱕ r ⱕ 1

Centro de gravidade

Centro da nuvem de pontos, ( x苶, y苶 ) , em que x苶 e y苶 são respectivamente as médias aritméticas das variáveis x e y .

74

ESTATÍSTICA

A VIDA DA MATEMÁTICA Por volta de 1880, três famosos matemáticos – Karl Pearson, Francis Galton e Francis Edgeworth – foram os protagonistas de uma «revolução estatística na Europa». Destes, Karl Pearson, graças à sua determinação e capacidade de trabalho, é considerado um dos criadores da estatística aplicada. Apesar de ter estudado Direito e exercido advocacia durante alguns anos, Pearson interessou-se pelos métodos estatísticos ao explorar os problemas biológicos da hereditariedade e da evolução. Entre 1893 e 1912, escreveu artigos que no seu conjunto integraram a obra Mathematical Contribution to the Theory of Evolution. Nestes artigos, as suas contribuições quanto à análise da regressão e ao coeficiente de correlação são imensas. Foi também co-fundador do jornal estatístico Biometrika, cuja publicação tanto ajudou o desenvolvimento da estatística. Pearson criou o «método dos momentos» e o sistema de «curvas de frequências», ainda hoje utilizados para a descrição matemática dos fenómenos naturais. Segundo este autor, deve renunciar-se à ideia de estudar casos isolados sem primeiro começar por um estudo em massa, estabelecendo-se, depois, classes mais limitadas.

A abordagem de Pearson ao problema da hereditariedade permitiu construir o método estatístico. Também a biologia e a biometria (ramo da ciência que estuda, com métodos exactos, os aspectos quantitativos dos fenómenos vitais) devem a Pearson contribuições fundamentais. Pearson foi membro da Royal Society e recebeu várias homenagens, tendo visto o seu trabalho reconhecido ainda em vida.

Karl Pearson [1857–1936]

Fervoroso cultivador da verdade, em todos os seus trabalhos acompanha a exposição teórica com a aplicação prática, como se temesse afastar-se demasiado do mundo sensível, perdendo o apoio da realidade. in Sérgio Macias Marques, Galeria de Matemáticos, jornal «Matemática Elementar», ed. de autor

www.matematicaB.TE.pt

Não podemos, também, deixar de salientar a enorme e fundamental contribuição de Sir Ronald Aylmer Fisher no desenvolvimento da estatística no século XX. Nasceu em Londres, em 1890, e iniciou a sua carreira como professor de Matemática em 1919, na Rothamsted Agricultural Experiment Station, onde investigou a distribuição estatística e o coeficiente de correlação, tendo vindo a desenvolver a metodologia da biometria moderna. Em 1922 deu uma nova definição à estatística, na qual era especificada a natureza da população, estimativa e distribuição. Combinando a genética com a matemática, Fisher demonstrou a realidade dos efeitos de selecção natural e para os avaliar desenvolveu métodos estatísticos apropriados. Tal como Pearson, também o seu trabalho foi amplamente reconhecido, tendo sido membro da Royal Society e recebido várias medalhas de mérito ao longo da sua vida. Faleceu em Adelaide, Austrália, em 1962.

Links : Dicionário estatístico • Correlação e regressão

REFERÊNCIA ÀS DISTRIBUIÇÕES BIDIMENSIONAIS

75

E6 Actividade prática «O efeito positivo ou negativo das tecnologias é uma questão em aberto, dependendo muito da acção consciente que venha a ser feita pelos seus utilizadores.» Seymourt Papert (matemático norte-americano)

OBJECTIVOS Pretende-se com esta actividade definir a recta de regressão e identificar os tipos de correlação. MATERIAIS Folha de cálculo ou calculadora gráfica. EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE Altura e número de calçado Relativamente à turma, realize um estudo estatístico que permita responder à questão: WWW

Existirá alguma relação entre a altura de uma pessoa e o número de calçado utilizado?

1. Recolha os dados relativos à turma. 2. Introduza os dados no computador. 3. Calcule as coordenadas do centro de gravidade. 4. Desenhe o diagrama de dispersão. 5. Desenhe a recta de regressão. 6. Preveja a altura de uma pessoa quando o número de calçado for … 7. Preveja o número de calçado de uma pessoa quando a altura for …

76

H

ESTATÍSTICA

continuação Actividade prática E6 Instruções para a folha de cálculo* 1. Abra uma folha. 2. Introduza

os dados referentes à altura na coluna A e os dados referentes ao número de calçado na coluna B.

3. Para determinar as coordenadas do centro de gravidade:

– seleccione a coluna da Altura; – clique na barra de ferramentas no comando ∑ (soma dos valores da coluna); – repita os mesmos passos para a coluna B; – calcule a média de x e de y escrevendo numa célula, por exemplo: =A20/15 (A20 é a célula do somatório da coluna A e 15 o valor de N ). Repita os passos anteriores para a coluna B, mas escrevendo =B20/15. 4. Para desenhar o gráfico de dispersão:

– seleccione a coluna A e a coluna B; – na barra de ferramentas clique no comando CHART WIZARD e seleccione: Step 1 – STANDARD TYPES: CHART TYPE: XY (SCATTER) Step 3 – Escreva o título e as variáveis representadas pelos eixos. 5. Para desenhar a recta de regressão:

– clique sobre os pontos do gráfico com o botão direito do rato; – no menu que aparece escolha as opções: ADD TRENDLINE: TYPE: LINEAR; – no mesmo menu, em OPTIONS seleccione: (3) DISPLAY EQUATION ON CHART e (3) DISPLAY R-SQUARED VALUE. 6. Para determinar o valor do coeficiente de correlação:

– seleccione na barra de ferramentas o comando fx ; – no menu que aparece escolha: FUNCTION CATEGORY: MATH&TRIG FUNCTION NAME: SQRT; – seleccione as colunas A e B. 7. Construa a tabela para as previsões.

Exemplo: D

1

E Previsões

2

Altura

Número de calçado

3

100

24,8715

4

168

37,0979

5

164

36,3787

Na coluna referente ao número de calçado escreva a equação da recta de regressão adoptada: =0,1798* D3+6,8915 (por exemplo). Preencha para baixo. Atribuindo valores na coluna D aparecem os respectivos valores na coluna E. * Nesta actividade utilizamos a folha de cálculo Microsoft Office Excel. Existem, no entanto, outras folhas de cálculo, como a do Open Office (freeware ), que têm as mesmas características e potencialidades.

REFERÊNCIA ÀS DISTRIBUIÇÕES BIDIMENSIONAIS

77

E7 Actividade prática «O poder matemático refere-se à capacidade de um indivíduo para explorar, conjecturar e raciocinar.» in Addenda Series, National Council of Teachers of Mathematics. Tradução portuguesa, APM, 1993

OBJECTIVOS Pretende-se com esta actividade aplicar os conhecimentos de estatística a um problema de física. MATERIAIS Mola, objectos de pesos diferentes, régua, folha de cálculo ou calculadora gráfica. EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE Alongamento de uma mola 1. Pendure os vários objectos na mola e registe, no seu caderno, os respectivos alongamentos

numa tabela como a que se segue.

Peso (g) Alongamento (cm)

2. Introduza os dados na calculadora gráfica. 3. Calcule o peso médio e o alongamento médio. 4. Desenhe o diagrama de dispersão. 5. Estude que tipo de correlação linear existe entre as variáveis. 6. Desenhe a recta de regressão e escreva a equação que a define.

78

ESTATÍSTICA

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Num inquérito a um grupo de trabalhadores de uma mina, sobre o número de anos de trabalho na mina

(x )

WWW

e o número de dias de doença no último ano ( y ) , obtiveram-se os seguintes resultados: Número de anos de trabalho (x )

14

9,5

15,5

12,5

18,5

5

15

20

8

Número de dias de doença ( y )

11,5

10

12

10

15

0

11

15

10

1.1. Apresente o diagrama de dispersão correspondente à distribuição e conclua se existe alguma correlação. 1.2. Determine o centro de gravidade. 1.3. Obtenha a equação da recta de regressão, recorrendo à calculadora gráfica. 1.4. Estime o número de dias de doença, no último ano, para um trabalhador com 25 anos de trabalho.

Resolução 1. 1.1. Comecemos por introduzir na calculadora os valores das duas variáveis. STAT

䉴 EDIT

ENTER

Para obtermos o diagrama de dispersão na calculadora gráfica devemos seguir os seguintes passos: 9: ZoomStat

ZOOM 2nd

Y=

1: Plot

ENTER

Observando o diagrama, verificamos que existe uma correlação linear positiva entre as variáveis.

REFERÊNCIA ÀS DISTRIBUIÇÕES BIDIMENSIONAIS

79

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1.2. Para

calcular as coordenadas do centro de gravidade, temos de determinar o número médio de anos de trabalho e o número médio de dias de doença no último ano. STAT

䉴 CALC 䉲 2: 2–Var Stats

ENTER

2: 2 – Var Stats L1, L2 ENTER

→

x = 13,111 ……

→

n =9 y = 10,5 As coordenadas do centro de gravidade são (13,1; 10,5) .

1.3. Para obter a equação da recta de regressão retomamos o Menu CALC, mas agora na opção 4: LinReg (ax + b).

2nd

Y=

VARS

GRAPH

A recta de regressão é dada por y = 0,78 x + 0,22 .

1.4. Devemos recorrer à opção TABLE do seguinte modo: 2nd WINDOW

(TABLE SETUP)

Indpnt: Auto Ask

ENTER

2nd GRAPH

Um trabalhador com 25 anos de actividade deverá ter estado doente no último ano durante aproximadamente 20 dias.

80

ESTATÍSTICA

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nos exercícios 1 a 4, de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.

1. O diagrama de dispersão tem como objectivo principal: A. determinar o coeficiente de correlação. B. determinar a equação exacta da recta de regressão. C. ajudar a determinar o tipo de correlação existente entre as variáveis. D. apenas a representação gráfica da distribuição.

2. A recta de regressão permite-nos: A. concluir que não existe correlação entre as variáveis. B. concluir que a correlação não é linear. C. prever um valor para a variável dependente, conhecendo o valor da variável independente. D. determinar o centro de gravidade da distribuição.

3. Os diagramas de dispersão A, B e C representam distribuições bidimensionais. A

B

C

Das afirmações seguintes, III. No diagrama A a correlação entre as variáveis é forte. III. No diagrama B a correlação entre as variáveis é positiva. III. No diagrama C não existe correlação entre as variáveis. são verdadeiras: A. I.

e II.

B. II.

e III.

C. I.

e III.

D. I., II.

e III.

4. O coeficiente de correlação da distribuição bidimensional, representada ao lado,

pode tomar o valor: A. r

= 0,8

B. r

= – 0,7

C. r

= 0,3

D. r

= – 0,3

REFERÊNCIA ÀS DISTRIBUIÇÕES BIDIMENSIONAIS

81

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 5. Considere

os resultados dos alunos de uma escola secundária obtidos nos trabalhos de laboratório e em fichas teóricas na disciplina de Biologia. Obtiveram-se os seguintes resultados: Laboratório (x )

8

3

9

2

7

10

4

6

1

5

Teórica (y )

9

5

10

1

8

7

3

4

2

6

5.1. Construa o diagrama de dispersão. 5.2. Verifique se existe ou não correlação linear entre as variáveis. 5.3. Recorrendo à calculadora gráfica, determine a equação da recta de regressão desta distribuição. 5.4. Para um aluno que tenha classificação de 16 num trabalho de laboratório, que classificação será esperada na

ficha teórica?

6. Um tema actualmente muito discutido no campo da moderna Biologia diz respeito à previsão dos efeitos

mutagénicos das radiações atómicas sobre o Homem e os seres vivos em geral. A este respeito, há indicações nítidas de que o efeito mutagénico cresce linearmente com a dose de radiação recebida, quando esta se encontra acima de determinados níveis. in M. A. Piteira Segurado, Biomatemática

O gráfico seguinte refere-se à relação entre as doses de radiação e o número de mutações genéticas.

Número de mutações

y 75 50 25

0 5

20 40 60 80 100 x Dose de radiação (unidades relativas)

6.1. Podemos afirmar que existe uma forte correlação linear entre as variáveis? Porquê? 6.2. Escreva a equação da recta de regressão representada no gráfico. 6.3. Supondo

que um indivíduo esteve sujeito a uma dose de radiação de 55 unidades, qual será o número de mutações genéticas a que poderá estar sujeito?

82

ESTATÍSTICA

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7. Evolução da estatura e do peso de um lactente

O gráfico representa a relação entre a estatura e o peso de bebés de ambos os sexos.

Evolução da estatura e do peso

Estatura

75 74 76 68 66 70 68 71 70 72 72 74 73 62 61 64 63 66 65 59 59 50 50 52 56 56

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 Meses

Peso

Nascença 3,4 3,3

4,4 4,7 5,1 5,4 5,8

Rapariga

6,7 6,4 6,8 7 7,2 7,4 7,8 7,7 8,2 8 8,5 8,2 8,8 8,5

Rapaz

9 8,8 9,4 9,1 9,7

Relativamente ao sexo feminino: 7.1. represente a nuvem de pontos e determine o centro de gravidade. 7.2. usando a calculadora, obtenha a equação da recta de regressão. 7.3. estime o peso de um bebé cuja estatura é 48 centímetros.

8. Composição nutritiva da carne

A tabela seguinte indica-nos as quantidades de proteínas e lípidos existentes em vários tipos de carne.

Proteínas (%)

Lípidos (%)

15,5

35

16

34

15

31

15

29,5

18

14,5

17

21

8.1. Apresente o diagrama de dispersão correspondente à distribuição. 8.2. Determine o centro de gravidade e determine se existe alguma correlação linear positiva ou negativa. 8.3. Obtenha a equação da recta de regressão, recorrendo à calculadora gráfica. 8.4. Que percentagem de lípidos terá um determinado tipo de carne, sabendo que tem 19% de proteínas?

REFERÊNCIA ÀS DISTRIBUIÇÕES BIDIMENSIONAIS

83

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9. Reciclar comportamentos na estrada

A condução adoptada pelo automobilista é um dos factores responsáveis pela variação do consumo de combustível e, consequentemente, pela quantidade de gases poluentes produzidos pelo carro. Por exemplo, num trajecto urbano e com um motor a gasolina, um condutor agressivo pode ver aumentado o gasto de combustível e de emissões de dióxido de carbono em 82%, face a uma condução económica e segura. Consumo médio (l/100 km)

in Proteste, n.o 272, Setembro 2006

Considere os valores médios de consumo de combustível automóvel na cidade e na auto-estrada apresentados no esquema acima. 9.1. Apresente o diagrama de dispersão correspondente à distribuição. 9.2. Determine

as coordenadas do centro de gravidade e determine se existe correlação linear positiva ou

negativa. 9.3. Escreva a equação da recta de regressão, recorrendo à calculadora gráfica. 9.4. Se um automobilísta cujo veículo consome 8,5 l de combustível aos 100 km conduzir na auto-estrada, qual

será o consumo do mesmo veículo na cidade?

10. Observe a tabela ao lado. 10.1. Apresente

o diagrama de dispersão correspondente à distribuição.

Tempo de resposta de um monitor (ms) Marca e modelo

Anunciado

Medido

A

8

4,8

10.2. Escreva as coordenadas do centro de gravidade.

B

12

5

10.3. Indique

C

16

17,5

D

8

6,4

E

8

6,7

10.4. Escreva a equação da recta de regressão.

F

8

4,3

10.5. Para

G

n.i.

20,3

H

12

8

I

8

3,5

J

16

6,3

o valor do coeficiente de correlação. Podemos afirmar que existe uma forte correlação entre os valores anunciados e os valores medidos?

a marca G não foi anunciado nenhum valor para o tempo de resposta. Indique um valor possível, tendo em conta que as características se mantêm.

MOVIMENTOS PERIÓDICOS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

86

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS QUE ENVOLVAM TRIÂNGULOS Do ponto de vista etimológico, a palavra trigonometria significa «medida dos triângulos», sendo «tri» três, «gonos» ângulo e «metron» medir. Actualmente, a trigonometria estuda os triângulos, relacionando os comprimentos dos lados com a amplitude dos ângulos. Vamos rever as razões trigonométricas já abordadas no 9.º ano, pois estas são importantes para o nosso estudo.

Fig. 1 Astrolábio náutico Sacramento B (c. 1650), de fabrico português.

Exemplo 1 Uma antena de rádio está fixa ao chão, como se pode observar na imagem. A antena está colocada perpendicularmente em relação ao plano do chão e os cabos designados na figura por [AC ] e por [BD ] são paralelos. A distância do ponto O ao ponto A é de 7 metros, a distância de A a B é de 10 metros e a amplitude do ângulo OAC é de 55o. 1.1. Qual o comprimento do cabo

representado pelo segmento [AC ] ? 1.2. A que altura do chão está o

referido cabo preso à antena? 1.3. Determine a altura da antena.

T1

Actividade prática

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

87

NOTA Resolução Para determinar as medidas pedidas, vamos considerar o triângulo [AOC ] , rectângulo em O .

Para simplificar a escrita, por vezes usa-se «ângulo ␣ » em vez de «ângulo de amplitude ␣ ».

1.1. São dados do problema a medida do cateto adjacente ao ângulo de amplitude 55o. Assim,

podemos recorrer às razões trigonométricas para resolver o nosso problema. Recordemos: Em qualquer triângulo rectângulo, se designarmos por ␣ a amplitude de um ângulo agudo, chamamos co-seno de ␣ à razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Pelo que no presente caso,  OA  7 cos 55o = ᎏ ⇔ A  C=ᎏ ⇔A  C  12,2 cos 55o  C A O cabo mede, aproximadamente, 12,2 metros. 1.2. A altura pretendida pode ser calculada a partir da razão entre a medida do cateto oposto ao

ângulo OAC e a medida da hipotenusa. Em qualquer triângulo rectângulo, se designarmos por ␣ a amplitude de um ângulo agudo, chamamos seno de ␣ à razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

RECORDAR Critérios de semelhança de triângulos • Dois triângulos são semelhantes se e só se os comprimentos dos três lados de um dos triângulos forem proporcionais aos comprimentos dos três lados do outro triângulo. • Dois triângulos são semelhantes se e só se os comprimentos de dois lados de um dos triângulos forem proporcionais ao comprimento de dois lados do outro triângulo e as amplitudes dos ângulos por eles formados forem iguais. • Dois triângulos são semelhantes se e só se as amplitudes de dois ângulos de um dos triângulos forem iguais às amplitudes de dois ângulos do outro triângulo.

Em relação ao triângulo [AOC ] , temos:  OC   OC   C = 12,2 × sen 55o ⇔ O  C  10 sen 55o = ᎏ ⇔ sen 55o = ᎏ ⇔ O 12,2 A  C O cabo está preso a uma altura de aproximadamente 10 metros. 1.3. Como os triângulos [AOC ] e [BOD ] são semelhantes, pois as amplitudes de dois ângulos de um

dos triângulos são iguais às amplitudes de dois ângulos do outro triângulo, podemos concluir que: — 10  OA   OC  7 ᎏ = ᎏ ⇔ ᎏ = ᎏ ⇔ OD  24,3 17  OD O B   OD A antena mede, aproximadamente, 24,3 metros. Também se pode calcular a altura da antena recorrendo à razão trigonométrica que relaciona a medida do cateto oposto a um ângulo com a medida do cateto adjacente. Em qualquer triângulo rectângulo, se designarmos por ␣ a amplitude de um ângulo agudo, chamamos tangente de ␣ à razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

B  C sen ␣ = ᎏ A  C A B  cos ␣ = ᎏ A  C B  C tg ␣ = ᎏ A B 

Actividade prática

T2

Exercícios propostos Exercícios 1, 2, 4 e 5. Página 110.

Assim, e em relação ao triângulo rectângulo [BOD ] , temos:  O D O D = O B × tg 55o ⇔  O D = 17 × tg 55o ⇔  O D  24,3 tg 55o = ᎏ ⇔  O B 

Caderno de Exercícios

Exercícios 1 a 6. Página 67.

88

EXERCÍCIO 1 Num triângulo [ABC ] , rectângulo em C , sabe-se que a hipote^ nusa mede 8 cm e que B = 20o . Determine um valor aproximado às centésimas para as medidas dos catetos do triângulo.

Fig. 2 Quadrante. Para se medir um ângulo com a ajuda de um quadrante, coloca-se a palhinha ao nível dos olhos e inclina-se o quadrante até se ver o topo do objecto a medir. A amplitude do ângulo pretendida é dada pela posição do fio na escala do quadrante.

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Exemplo 2 Uma pessoa com 1,80 metros de altura, colocada a 15 metros de distância de uma árvore, mediu, com a ajuda de um quadrante, a amplitude do ângulo ␣ , tendo obtido 38o, conforme a figura ilustra.

Calcule a altura da árvore com um valor aproximado às décimas.

Resolução Esquematizando a situação, temos:

T3

Actividade prática

A razão trigonométrica que relaciona as medidas dos catetos é a tangente de ␣ , logo:

Exercícios propostos Exercícios 10 e 12. Página 111.

苶 AB 苶 苶 AB 苶 tg 38o = ᎏ ⇔ tg 38o = ᎏ ⇔ A 苶B 苶 = 15 tg 38o 15 B 苶苶 C Com a ajuda da calculadora, e verificando se a mesma está em

MODE

Degree, concluímos que:

A 苶B 苶 ⬇ 15 × 0,78 ⇔ A 苶B 苶 ⬇ 11,7 苶B 苶 a altura da pessoa. Para calcular a altura da árvore, basta somar à distância A

Caderno de Exercícios

Exercícios 7 a 12. Página 68.

Logo,

A 苶苶 D=A 苶B 苶 +B 苶苶 D ⬇ 11,7 + 1,8 = 13,5

A árvore tem, aproximadamente, 13,5 metros de altura.

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

89

Exemplo 3 Ao visitar o monumento a Cristo-rei, em Almada, um jovem, com a ajuda de um instrumento de medição de ângulos, olhou para o topo do monumento, segundo um ângulo de 74,8o, e para a base da imagem do Cristo-rei, segundo um ângulo de 70o. Sabendo que a distância a que o jovem se encontrava da base do monumento era de 30 metros, qual é a altura da imagem do Cristo-rei? Apresente a altura em metros, arredondando às unidades. Fig. 3 Esquema do uso do quadrante in The Marine Magazine, 1669.

EXERCÍCIO 2

Resolução Comecemos por esquematizar a situação apresentada:

Trata-se de dois triângulos rectângulos, em que se pretende relacionar a altura do monumento com a distância do observador ao ponto C . Tendo em atenção os dados recolhidos, o modo mais simples de determinar a altura da imagem consiste em recorrer à tangente.

A 苶苶 C 苶苶 C = O苶C苶 tg 74,8o ⇔ A 苶苶 C = 30 tg 74,8o tg 74,8o = ᎏᎏ ⇔ A 苶 O苶 C ⇔A 苶苶 C ⬇ 110,42

B 苶苶 C 苶苶 C = O苶C苶 tg 70o ⇔ B 苶苶 C = 30 tg 70o tg 70o = ᎏᎏ ⇔ B 苶 O苶 C ⇔B 苶苶 C ⬇ 82,42 Logo,

Nas encostas do vulcão Rano-Raraku, na ilha da Páscoa, encontram-se imensas cabeças de pedra de grandes dimensões. Um turista, com 1,75 m de altura, colocou-se num plano horizontal com a base de uma estátua e, com a ajuda de um instrumento de medição de ângulos, olhou para o topo da cabeça dessa estátua, segundo um ângulo de 16o; deslocou-se, rectilineamente, 3 metros na direcção da estátua e olhou novamente para o topo da sua cabeça, segundo um ângulo de 20o. Qual era a altura da cabeça de pedra observada pelo turista? Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas. Exercícios propostos Exercícios 9 e 18. Páginas 111 e 113.

A 苶B 苶 =A 苶苶 C–B 苶苶 C ⬇ 28

A imagem mede, aproximadamente, 28 metros.

Caderno de Exercícios

Exercícios 13 e 14. Página 69.

90

EXERCÍCIO 3

130º

1,5 m

Uma lanterna produz um cone de luz, de modo que, ao ser colocada na vertical, projecta no chão uma área iluminada em forma de círculo. Sabendo que a lanterna está situada a 1,5 metros do chão e que a amplitude do ângulo formado por duas geratrizes diametralmente opostas é de 130o, determine a área do círculo projectado. Apresente o resultado em m2, arredondado às décimas.

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Exemplo 4 Num mapa do arquipélago dos Açores, ao observar mais pormenorizadamente a ilha Terceira, podemos considerar o triângulo formado pelas localidades de Ponta do Queimado, Praia da Vitória e Angra do Heroísmo, acerca do qual temos os dados apresentados na figura abaixo. Determine, com aproximação às décimas, a distância de Angra do Heroísmo a cada uma das outras duas localidades.

Resolução Comecemos por representar esquematicamente esta situação, traçando a altura do triângulo relativamente ao vértice A para obtermos dois triângulos rectângulos:

NOTA Ao ângulo que a linha de visão, a , do observador faz com a horizontal, chama-se ângulo de elevação. Ao ângulo formado pela horizontal e a linha de visão, b , do observador, chama-se ângulo de depressão.

a Ângulo de elevação Ângulo de depressão

b

Horizontal

Aplicando as razões trigonométricas, temos:

⎧ ⎧ ⎧ A苶P苶 苶 A苶P o o tg 32o = ᎏ ᎏ — ⎪ ⎪ tg 32 = ᎏ ⎪ 苶AP苶 = (27,5 – P苶V苶 ) tg 32 27,5 – P苶V 苶 QP ⎪ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ 苶 AP 苶 ⎪ P苶苶V tg 40o = 苶AP苶 ⎪ tg 40o = ᎏ ⎪ P苶苶V tg 40o = (27,5 – P苶苶V ) tg 32o ⎩ ⎩ ⎩ P苶V 苶 ____________________

⎧ ⇔⎨ ⎩ P苶V苶 tg 40o = 27,5 tg 32o – P苶V苶 tg 32o

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

91

EXERCÍCIO 4

⎧

____________________

⇔⎨

⎩ PV (tg 40o + tg 32o) = 27,5 tg 32o

⎧ ____________________ ⎧ P  9,85 ⎪ ⎪A ⇔⎨ ⇔ ⎨ 27,5 tg 32o ⎪ PV = ᎏᎏ ⎪ PV  11,74 ⎩ ⎩ tg 40o + tg 32o  AP  AP   sen 32o = ᎏ ⇔ x = ᎏ ⇔ x  18,6 x sen 32o  AP   AP  ⇔ y  15,3 sen 40o = ᎏ ⇔ y = ᎏ sen 40o y A distância entre Angra do Heroísmo e Ponta do Queimado é, aproximadamente, de 18,6 km e a distância entre Angra do Heroísmo e Praia da Vitória é, aproximadamente, de 15,3 km.

38º B

A 22º 4592 m

Uma serra separa duas aldeias, A e B. Um marco geodésico vê-se da aldeia A , com um ângulo de elevação de 22o, e da aldeia B com um ângulo de elevação de 38o. Sabendo que a distância em linha recta, entre as duas aldeias é de 4592 metros, qual a altitude da serra? Apresente o resultado arredondado às unidades.

Exercícios propostos Exercícios 8 e 17. Páginas 111 e 113.

Caderno de Exercícios

Exemplo 5

Exercício 15. Página 69.

No caminho para a escola, três amigos atravessam um viaduto sobre a auto-estrada do Sul (A2).

EXERCÍCIO 5 A nave Mariner X explorou o planeta Mercúrio em Março de 1974.

Observando os pilares vermelhos resolvem estimar a altura destes. Após alguns minutos de discussão sobre qual o melhor método de resolução, um dos rapazes lembra-se que construiu, no 9.o ano, um quadrante para a disciplina de Matemática. Depois de ir a casa buscar o instrumento e uma fita métrica, e fazer as medições necessárias, resolve o problema.

Na figura seguinte encontram-se representados o planeta Mercúrio e a nave Mariner X , quando esta se encontrava a uma distância de 28 763 km da superfície do planeta e o observava segundo um ângulo de 8o 54’ 50’’.

Explique um dos métodos que o jovem pode ter utilizado. 28 763 km 8º54'50''

Mariner X

Resolução Em primeiro lugar é necessário observar a posição do pilar em relação à estrada onde os rapazes se encontram. O pilar está na perpendicular em relação à estrada e esta encontra-se num plano horizontal.

Calcule um valor, aproximado ao quilómetro, para o raio do planeta Mercúrio.

92

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Num certo ponto P do corrimão, paralelo à estrada, é fácil medir o ângulo de elevação e o ângulo de depressão. Seguidamente, com a ajuda da fita métrica, mede-se a distância que separa o ponto P do pilar. Esquematizando a situação para uma melhor interpretação,

verifica-se que:

x tg 34o = ᎏᎏ ⇔ x = 23 × tg 34o ⇔ x ⬇ 15,5 23 y tg 23o = ᎏᎏ ⇔ y = 23 × tg 23o ⇔ y ⬇ 9,8 23 x + y ⬇ 15,5 + 9,8 = 25,3 O pilar tem, aproximadamente, 25,3 metros de altura.

Exemplo 6 Uma aplicação à óptica: «Uma moeda dentro de água» Coloca-se uma moeda dentro de um recipiente com água. Para uma determinada quantidade de água, a moeda torna-se visível e parece estar mais próxima da superfície do líquido do que está na realidade.

Ar

Qual é a altura de água (arredondando às centésimas) necessária para que a moeda comece a estar visível? Água

Considerações gerais: • o observador está 21 cm acima do rebordo do recipiente cilíndrico e 12 cm à esquerda do bordo esquerdo do recipiente; • o recipiente tem 8 cm de altura e no seu interior encontra-se uma moeda centrada no fundo do recipiente; o bordo direito da moeda está a 4 cm do lado esquerdo do recipiente. in brochura Geometria – 11.o ano, ME-DES (adaptado)

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

93

Resolução Para a resolução deste problema, não esquecer a relação obtida pelo geómetra holandês Willebrord Snel (século XVII ) entre o ângulo de incidência i e o ângulo de refracção r : sen i = n sen r , onde n é uma constante, chamada índice de refracção, que depende dos dois meios que a luz atravessa. O ângulo de incidência i no ar corresponde ao ângulo de refracção r na água e, reciprocamente, ao ângulo de incidência r na água corresponde o ângulo de refracção i no ar.

No caso da água, em comparação com o ar (trajectória água-ar), o valor de n é 1,33. 1 1 Como n = 1,33 quando a trajectória é água-ar, logo,  =  quando a trajectória é ar-água, pois n 1,33 sen r 1  = . sen i n Tendo em atenção a figura, podemos determinar a amplitude de  :

EXERCÍCIO 6 Atendendo à situação apresentada no exemplo 6 e utilizando a relação de Snel, determine n , arredondando às milésimas, para:

6.1. i = 25° e r = 10° 6.2. i = 0,2  e r = 0,13  21 tg  =  ⇔ tg  = 1,75 12 ⇔  ⬇ 60,26o logo,

r = 90o – 60,26o ⇔ r = 29, 74o 1 1 sen i =  sen r ⇔ sen i =  sen 29,74o 1,33 1,33 ⇔ sen i ⬇ 0,37 ⇔ i ⬇ 21,72o logo, tg i ⬇ 0,40 4–y 8–x Temos ainda que tg  =  e tg i =  : y x ⎧ 8–x 1 8 ⎪ tg  =  ⎧ y =– ⎧ 1,75y = 8 – x x +  y ⎪ ⎪ ⎪ 1,75 1,75 ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎪ ⎪ 0,40x = 4 – y ⎪ y 4 – ⎩ y = –0,4x + 4 ⎩ ⎪ tg i =  ⎩ x

Utilizando a calculadora gráfica, determinemos a solução do sistema. A solução, com valores arredondados às centésimas, é o par (3,3; 2,67).

Exercícios propostos Exercícios 11, 13 a 16 e 19. Páginas 111 a 113.

De onde se conclui que o nível da água deve estar a 3,33 cm de altura, aproximadamente. Caderno de Exercícios

Exercícios 16 a 21 Página 70.

94

EXERCÍCIO 7 Calcule o valor exacto de tg  , sabendo que: 2 2兹苶 1 sen  =  e cos  =  3 3

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Relações entre as razões trigonométricas de uma mesma amplitude de ângulo Consideremos o seguinte triângulo rectângulo, em que a , b e h são as medidas, em determinada unidade, dos comprimentos dos lados.

Em relação ao ângulo de amplitude  , temos: a b sen  =  e cos  =  h h Dividindo sen  por cos  , obtemos: a  sen  a h  =  =  = tg  b cos  b  h logo, sen   = tg  cos 

EXERCÍCIO 8 Sabendo que tg  = 0,75 e que sen  = 0,6 , determine por dois processos diferentes o valor, arredondando às décimas, de cos  .

EXERCÍCIO 9 Num triângulo rectângulo, em relação à amplitude x de um dos ângulos agudos sabe-se que: 1 sen x =  8

9.1. Indique os valores de cos x e tg x .

9.2. Indique as dimensões

dos lados de um triângulo que obedeça às condições dadas.

EXERCÍCIO 10 Sabendo que cos2 θ 1 –  = 0,3 1 + sen θ calcule cos θ , com θ ∈ [0, 90o[ . Apresente o valor arredondado às centésimas.

Visto que o triângulo é rectângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, ou seja, a 2 + b 2 = h 2 . Dividindo ambos os membros da igualdade por h2 , obtemos: h2 a2 b2 a2 2 + 2 = 2 ⇔ 2 + h h h h 2 ⇔ (sen ) + (cos )2

b2 a 2 b 2 2 = 1 ⇔  +  = 1 ⇔ h h h 2 2 = 1 ⇔ sen  + cos  = 1

冢冣 冢冣

A este resultado chamamos: Fórmula Fundamental da Trigonometria sen2  + cos2  = 1 Se dividirmos ambos os membros da igualdade sen2  + cos2  = 1 por cos2  (para valores em que cos ≠ 0 ), obtemos: sen2  + cos2  sen2 cos2 1 1 ⇔  = ⇔ + =     2 2 2 2 cos  cos  cos  cos2  cos  sen x ⇔  cos x

冢

冣

2

1 +1= ⇔ cos2 x 1 ⇔ tg2  + 1 =  cos2

1 tg2 + 1 =  cos2

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Exemplo 7

95

EXERCÍCIO 11

1 – tg2 ␣ Sabendo que ᎏ ᎏ = 0 e ␣ 僆 [0o, 90o[ , determine o valor, arredondado às centésimas, de cos ␣ . 1 + tg2 ␣

2 Sabendo que cos ␣ = ᎏᎏ , calcule 5 sen2 ␣ + tg2 ␣ , apresentando o resultado arredondado às centésimas.

Resolução sen ␣ Atendendo a que tg ␣ = ᎏ , simplifiquemos a expressão dada, cos ␣ cos2 ␣ – sen2 ␣ sen2 ␣ ᎏ ᎏ ᎏ ᎏ 1 – cos2 ␣ 1 – tg2 ␣ cos2 ␣ ⇔ =0 ⇔ = 0 ⇔ = 0 ᎏᎏᎏ ᎏ ᎏᎏ cos2 ␣ + sen2 ␣ sen2 ␣ 1 + tg2 ␣ ᎏ ᎏ 1 + ᎏᎏ cos2 ␣ cos2 ␣ cos 2 ␣ – sen2 ␣ ᎏ = 0 ⇔ cos2 ␣ – sen2 ␣ = 0 ⇔ᎏ cos2 ␣ + sen2 ␣ Como sen2 ␣ + cos2 ␣ = 1 ⇔ sen2 ␣ = 1 – cos2 ␣ , temos : cos2 ␣ – sen2 ␣ = 0 ⇔ cos2 ␣ – (1 – cos2 ␣) = 0 ⇔ ⇔ cos2 ␣ – 1 + cos2 ␣ = 0 ⇔ 2 cos2 ␣ = 1 ⇔



1 1 ⇔ cos2 ␣ = ᎏᎏ ⇔ cos ␣ = ± ᎏᎏ 2 2



1 Como ␣ 僆 [0o, 90o[ , então, cos ␣ = ᎏᎏ ⇔ cos ␣  0,71 . 2

EXERCÍCIO 12 Determine, com uma apro xi mação ao minuto, a amplitude θ de um ângulo agudo, de modo que:

Exemplo 8

cos2 θ – sen2 θ = 0,4

Sabendo que sen2 a – cos2 a = – 0,629 , calcule sen a , arredondado às milésimas, e o valor aproximado da amplitude do ângulo agudo a , em graus, minutos e segundos.

Resolução Atendendo a que cos2 a = 1 – sen2 a e visto que se pretende determinar o valor de sen a , simplifiquemos a condição dada: sen2 a – cos2 a = – 0,629 ⇔ sen2a – (1 – sen2 a ) = – 0,629 ⇔

Para determinar a amplitude de um ângulo em graus, minutos e segundos, podemos utilizar a seguinte opção da calculadora gráfica: 2nd

APPS

4: DMS ENTER

⇔ 2 sen2 a = – 0,629 + 1 ⇔ sen a = ± 0 ,1 8 5 5 Como a é um ângulo agudo, temos que sen a =  0 ,1 8 5 5 ⇔ sen a  0,431 . Para determinar a amplitude de ângulo a e recorrendo à calculadora, no MODE Degree, temos que a  sen–1 (0,431) ⇔ a  25,531 . Usando o procedimento indicado na margem, a  25° 31’ 52’’.

Calculadoras Casio Página 182. Exercícios propostos Exercícios 3, 7 e 20 a 23. Páginas 110 e 113.

96

RECORDAR Diz-se que dois ângulos são complementares quando a soma das suas amplitudes,  e  , é 90o:  +  = 90o Diz-se que dois ângulos são suplementares quando a soma das suas amplitudes,  e θ , é 180o:

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Relações entre as razões trigonométricas de ângulos complementares Considere-se o triângulo [ABC] , rectângulo em B . As medidas dos comprimentos dos lados, em certa unidade de medida, são a , b e c , conforme ilustra a figura seguinte:

 + θ = 180o

Visto tratar-se de um triângulo rectângulo, os ângulos  e  são ângulos complementares, ou seja:  +  = 90o ⇔  = 90o –  Em relação aos ângulos  e  , podemos definir as seguintes razões trigonométricas: EXERCÍCIO 13 Quais das seguintes afirmações são verdadeiras? A. sen 10o = sen 80o B. cos 10o = sen 80o

a sen  =  b

e

c cos  =  b

c sen  =  b

e

a cos  =  b

C. cos 40o = sen 60o D. sen 75o = cos 15o

Comparando as expressões obtidas, podemos concluir que:

E. sen 45o = cos 45o

sen  = cos 

e

cos  = sen 

Surge assim o nome «co-seno»: seno do complementar. Substituindo  por 90o –  , obtemos:

sen  = cos (90o – ) cos  = sen (90o – )

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

97

Razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes 30°, 45° e 60° * Consideremos um triângulo rectângulo isósceles, cuja hipotenusa tem por medida 1 unidade.

Como o triângulo é isósceles, tem dois ângulos iguais, medindo cada um deles 45º. De acordo com a figura:

x sen 45o = ᎏᎏ 1

e

x cos 45o = ᎏᎏ 1

Determinemos a medida x , aplicando o teorema de Pitágoras:

冪莦

1 1 x2 + x2 = 12 ⇔ 2x2 = 1 ⇔ x2 = ᎏᎏ ⇔ x = ± ᎏᎏ ⇔ 2 2 1 2 兹苶 ⇔ x = ±ᎏ ⇔ x = ± ᎏ 2 2 兹苶 2 兹苶 Como x se trata de uma medida, x > 0 , então x = ᎏ e: 2 2 兹苶 sen 45o = ᎏ 2

e

2 兹苶 cos 45o = ᎏ 2

sen 45o e como tg 45o = ᎏo ⇔ tg 45o = cos 45

2 兹苶 ᎏ

2 ⇔ tg 45o = 1 2 兹苶 ᎏ 2

Para determinarmos as razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes 30o e 60o, vamos considerar um triângulo equilátero com 1 unidade de lado.

*Facultativo

Actividade prática

T4

98

EXERCÍCIO 14

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Observando a figura, concluímos que:

Simplifique as expressões:

1  1 y 2  =  e cos 30o =  sen 30o =  2 1 1

14.1. sen 30 o – 3 tg 30 o + +cos2 30o

14.2. cos 45 o + sen 30 o – – 2 sen 45o + tg 45o

14.3. cos 2 30 o + sen 60 o ·

Para calcular o valor de y , vamos aplicar novamente o teorema de Pitágoras:

· tg 30o – tg2 45o

14.4. sen 60 o – cos 60 o ·

冢冣

1 1 =  2

· cos 30o + sen2 30o · cos2 30o

2

3 3 兹苶 + y 2 ⇔ y 2 =  ⇔ y = ±  2 4

Como y > 0 , temos: 3 3 兹苶 兹苶 y =  , então, cos 30° =  . 2 2

1  1 2 3 sen 30o 兹苶 2 =  Logo, tg 30° = o =  ==  3 cos 30 3 2兹苶 3 兹苶 3 兹 苶  2 Uma vez que sen  = cos (90º – ) e cos  = sen (90º – ) , em relação ao ângulo de amplitude 60º , obtemos: 3 1 兹苶 sen 60° = cos 30° =  e cos 60° = sen 30° =  2 2

3 兹 苶  2兹苶 3 sen 60° 2 tg 60° =  =  =  = 兹苶 3 1 2 cos 60°  2

EXERCÍCIO 15 Calcule o valor exacto das seguintes expressões, apresentando o resultado com o denominador racionalizado: o

o

cos 30 + tg 45 15.1.  o sen 45

cos 60o + sen 45o 15.2.  o o

Em resumo

tg 30 – tg 60 o

30o

45o

60o

1 + cos 30 15.3.  o o

sen

1  2

2 兹苶  2

3 兹苶  2

sen 30o · sen 45o 15.4.  o o

cos

3 兹苶  2

2 兹苶  2

1  2

tg

3 兹苶  3

1

3 兹苶

sen 60 – tg 30

cos 60 + tg 60

Exercícios propostos Exercício 6. Página 110.

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

RESUMINDO

Razões trigonométricas de um ângulo agudo

b • sen ␣ = ᎏᎏ c a • cos ␣ = ᎏᎏ c b sen ␣ • tg ␣ = ᎏᎏ ; tg ␣ = ᎏᎏ a cos␣

Fórmula fundamental da trigonometria

• sen2 ␣ + cos2 ␣ = 1 Relações entre as razões trigonométricas de ângulos complementares

• sen (90º – ␣) = cos ␣ • cos (90º – ␣) = sen ␣ Razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes 30o, 45o e 60o *

*Facultativo

30o

45o

60o

sen

1 ᎏᎏ 2

2 兹苶 ᎏ 2

3 兹苶 ᎏ 2

cos

3 兹苶 ᎏ 2

2 兹苶 ᎏ 2

1 ᎏᎏ 2

tg

3 兹苶 ᎏ 3

1

3 兹苶

99

100

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

A VIDA DA MATEMÁTICA Os Babilónios, assim como os Egípcios, já usavam relações entre medidas de lados e amplitudes de ângulos como propriedades de triângulos, mas foram os Gregos que, a partir de 430 a.C., aproximadamente, começaram a estudar com mais rigor as relações entre arcos e ângulos ao centro. Hiparco de Niceia, no século II a.C., introduziu a divisão do círculo em 360 partes. Hiparco de Niceia [c . 190-120 a.C.]

Ptolomeu (século II d.C.), no seu tratado de astronomia Almagesto, escrito por volta de 150 d.C., apresentou cada uma das 360 partes da circunferência dividida em sessenta partes – minutae primae – e cada uma destas também dividida em sessenta partes – minutae secundae. Daqui se desenvolveram os termos «minuto» e «segundo». Este astrónomo grego desenvolveu vários estudos importantes baseados na relação entre cordas e arcos correspondentes, devendo-se também a ele uma grande parte dos actuais teoremas sobre este tema. Os árabes al-Battani e Abúl-Wefa desenvolveram os estudos anteriores e avançaram para a relação entre «a metade da corda e a metade do arco ou do ângulo ao centro sustentado pela corda total». A primeira trigonometria foi esférica e não plana, sendo as razões trigonométricas utilizadas na resolução de problemas com triângulos rectângulos planos apenas a partir do século XIII.

Fig. 4 Estudo da geometria. Iluminura persa, século XVI.

Foi o contributo de Regiomontanus, ao apresentar em 1464, no seu livro De Triangulis Omnimodis , resultados tanto ao nível da trigonometria esférica como plana, que permitiu o desenvolvimento desta última. Enunciou vários teoremas como, por exemplo, o actual teorema dos senos: dado um triângulo qualquer [ABC ] [como, por exemplo, o da figura seguinte], tem-se que:

b a c ᎏ ^ = ᎏ ^ = ᎏ ^ sen A senB sen C

No período do Renascimento, com os Descobrimentos, surgiram várias situações problemáticas que exigiram resolução rápida. Na astronomia, a teoria de Copérnico também obrigou a novas reflexões. Esta conjuntura fomentou novamente o interesse pela trigonometria, desenvolvendo o seu estudo. No entanto, foi só com Leonhard Euler (1707-1783) que se introduziram as notações apropriadas para o desenvolvimento deste ramo da Matemática. Johann Müller Regiomontanus [ 1436–1476]

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

101

A VIDA DA MATEMÁTICA O desenvolvimento das populações humanas levou à criação de vários instrumentos de medição para levantamentos topográficos, navegação, divisão de terras, etc. Não podemos deixar de salientar, entre outros desses instrumentos, a linha trave usada pelos Gregos por volta de 325 a.C., o astrolábio introduzido também pelos Gregos no século II a.C. e desenvolvido pelos Portugueses na época dos Descobrimentos, assim como os sextantes e os quadrantes. Nos séculos XVI e XVII foram introduzidos os grafómetros. Estes instrumentos medem ângulos sobre o terreno e, quando colocados na vertical, medem alturas e profundidades.

Fig. 5 Utilização do sextante.

Fig. 6 Grafómetro de Philippe Danfrie, 1597.

O grego Heron de Alexandria construiu, no século I d.C., o que se pensa ser o mais antigo teodolito. Este instrumento é usado especialmente em topografia e tem sido constantemente modificado, acompanhando o desenvolvimento tecnológico. Hoje em dia, em topografia e cartografia, utiliza-se um sistema de posicionamento global geodésico e cartográfico – o GPS.

Fig. 7 Teodolito de Ertel & John, 1880.

www.matematicaB.TE.pt

Fig. 8 Teodolito actual.

Links : Graus, minutos e segundos • História da matemática

Fig. 9 GPS (em português, Sistema de Posicionamento Global).

102

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

T1 Actividade prática «A cultura matemática de hoje será válida também para o Homem de amanhã se for transmitida de uma forma construtiva.» Emma Castelnuovo (matemática italiana)

OBJECTIVOS Pretende-se com esta actividade determinar medidas inacessíveis através da semelhança de triângulos. MATERIAIS Vara, fita métrica. EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE Medidas inacessíveis Medição da altura do edifício da escola: 1. Escolha um local que permita medir a sombra do edifício. 2. Meça

o comprimento da vara e, depois de colocar a vara perpendicularmente ao chão, meça a respectiva sombra.

3. Atendendo à semelhança de triângulos, calcule a altura do edifício. 4. Apresente as medições através de um esquema.

Compare os seus resultados com os de outros colegas que fizeram as medições com varas de diferentes comprimentos.

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

103

T2 Actividade prática «Para compreender a Matemática é preciso fazer funcionar o cérebro, e isto exige sempre um certo esforço.» Lucio Lombardo Radice (matemático italiano)

OBJECTIVOS Pretende-se com esta actividade deduzir as razões trigonométricas. MATERIAIS Computador. Programa de geometria dinâmica GeoGebra. EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE A escada do pedreiro Para maior segurança, a distância da base de uma escada de pedreiro à parede deve ser igual a um quarto do comprimento da escada. Qual é o ângulo que uma escada, nesta posição, faz com o chão? Será que depende do comprimento da escada? in brochura Geometria – 11.o ano, ME–DES

Construa um modelo desta situação, de acordo com as seguintes instruções. 1. Desenhe um segmento de recta

[AB ] , na horizontal, com a ajuda do botão

.

Atribua letras aos extremos do segmento de recta, com o auxílio do botão

.

uma recta perpendicular ao segmento de recta [AB ] , passando pelo ponto A , com o auxílio do botão .

2. Desenhe

3. Marque um ponto

C no segmento de recta [AB ] , com o auxílio do botão

Clique no ponto A e seleccione o ponto C ; escolha a opção Obtém o ponto C ’ . 4. Desenhe uma circunferência de centro

auxílio do botão 5. Marque o ponto

.

; Homotetia 4 / 1.

A e que passe por C ’ (transformado de C ), com o

.

D , da intersecção da circunferência com a recta vertical, com o botão

6. Esconda a circunferência e o ponto

C ’ , com o auxílio do botão

.

7. Una os pontos

D e C , com o botão

8. Una os pontos

D , C e A para medir a amplitude do ângulo ACD , com o auxílio do botão

9. Determine a distância de

.

.

A a C ; de A a D ; de C a D , com o auxílio do botão

.

.

104

continuação Actividade prática T2 10. Anime o ponto

C sobre o segmento de recta [AB ] , de modo a obter triângulos de dimensões

diferentes. Seleccione o ponto C com o botão

.

11. Com a calculadora, determine a razão entre as medidas dos segmentos

[AD ] e [AC ] .

as seguintes tabelas para o seu caderno e complete-as, considerando ␣ como a amplitude do ângulo ACD .

12. Copie

Triângulos

T1

T2

T3

Comprimento da escada ([CD ] – hipotenusa) Distância da escada à parede ([AC ] – cateto adjacente) Distância do topo da escada ao chão ( [AD ] – cateto oposto)

苶 A苶 C ᎏ 苶 C苶 D

苶 A苶 D ᎏ 苶 C苶 D

苶 A苶 D ᎏ 苶 A苶 C

cos ␣

sen ␣

tg ␣

T1 Triângulos

H

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

T2

T3

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

105

T3 Actividade prática «A única forma de se certificar de que um conceito foi compreendido é verificar a sua utilização numa situação concreta.» António St. Aubyn (matemático português)

OBJECTIVOS Pretende-se com esta actividade determinar medidas inacessíveis, utilizando o quadrante e as razões trigonométricas. MATERIAIS Tesoura, uma palhinha de refresco, linha e agulha, um peso e uma cartolina grossa. Fita métrica. EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE Construção de um quadrante Com o quadrante vai poder efectuar as medições necessárias para calcular a altura da sua escola. o quadrante disponível no site de apoio a este manual (www.matematicaB.TE.pt/), recorte-o, cole-o na cartolina e dobre as abas.

1. Imprima

2. Depois

de recortar os círculos desenhados nas abas do quadrante, introduza uma palhinha de refresco.

3. Com uma agulha, faça passar uma linha de coser pelo ponto que está

marcado no quadrante. Ate as duas pontas da linha, de modo que o quadrante passe pela argola de linha. 4. Na

outra extremidade da linha, prenda um peso, de modo que a linha fique esticada.

Medição da altura do edifício da escola Escolha um local não muito distante, que permita ver o topo do edifício da sua escola. Nota: Para se medir a amplitude de um ângulo com a ajuda de um quadrante, coloca-se a

palhinha ao nível dos olhos e inclina-se o quadrante até se ver o topo do edifício. O valor da amplitude do ângulo pretendido é dado pela posição do fio na escala. 1. Meça a distância do edifício ao local das medições. 2. Meça a altura do observador até ao nível dos olhos. 3. Meça o ângulo de elevação, com a ajuda do quadrante. 4. Recolha os dados e efectue os cálculos necessários.

Compare com os dados dos outros colegas que tenham feito as medições a outras distâncias.

106

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

T4* Actividade prática «Um matemático dirá que, dentro da própria Matemática, um corpo matemático é útil quando for aplicável a um outro corpo matemático.» Philip Davis e Reuben Hersh (matemáticos norte-americanos)

OBJECTIVOS Pretende-se, com esta actividade, deduzir os valores aproximados das razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes 30o, 45o e 60o.

MATERIAIS Computador. Programa de geometria dinâmica GeoGebra.

EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE

WWW

Razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes 30o, 45o e 60o 1. Para desenhar um triângulo equilátero:

Desenhe um segmento de recta [AB ] , na horizontal, com a ajuda do botão

.

Atribua letras aos extremos do segmento de recta, com o auxílio do botão

.

Com o auxílo do botão faça rodar o segmento [AB ] 60o, seleccionando o objecto, em seguida o centro A e depois a amplitude do ângulo de rotação. Marque o terceiro vértice e atribua-lhe a letra C . 2. Para traçar a bissectriz do ângulo

ACB :

Trace uma perpendicular ao segmento [AB ] que passe por C , com o auxílio do botão

.

Marque o ponto de intersecção do segmento [AB ] com a bissectriz do ângulo ACB com a . letra D , utilizando o botão Esconda a perpendicular, com o auxílio do botão 3. Meça os comprimentos de

.

[AD ] , [CD ] e [AC ] , com o auxílio do botão

4. Determine as amplitudes dos ângulos

DAC e ACD , com o auxílio do botão

5. Calcule as razões seguintes, no seu caderno:

C苶 D ^ 苶 ^ A 苶苶 D sen A = ᎏ = _________ e cos A = ᎏ = _________ A 苶苶 C A 苶苶 C *Facultativo

. .

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Actividade prática T4 6. Desloque o ponto

B , de modo a obter triângulos de dimensões diferentes.

Copie para o seu caderno a tabela seguinte e registe os diferentes comprimentos das alturas e das bases dos vários triângulos.

苶 A苶 D (base do triângulo)

苶 C苶 D (altura do triângulo)

A 苶苶 C (lado do triângulo)

^ sen A

^ cos A

^ tg A

T1 Triângulos

H

107

T2 T3 T4 T5

7. Compare os resultados com os dos seus colegas. 8. Com um triângulo rectângulo e isósceles, tente chegar aos valores das razões trigonométricas

do ângulo de amplitude 45o. Sugestão: Considere o comprimento dos catetos igual a uma unidade. 9. Registe no seu caderno as conclusões a que chegou.

Depois, copie a seguinte tabela e complete-a.

30o

45o

60o

seno co-seno tangente

Nota: Tenha em conta a relação entre as razões trigonométricas de ângulos complementares.

108

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Observe a figura seguinte.

Sabendo que: • o relvado tem uma inclinação de 23o; • a distância entre o caminho e a base da torre, medida sobre a relva, é aproximadamente de 5 m; • uma pessoa deitada junto à árvore, a 2,5 m do relvado, avista o topo da torre segundo um ângulo de 53o com a horizontal. Determine a altura (em metros) da referida torre com aproximação às centésimas.

Resolução 1. Comecemos

por fazer um esquema, que descreva a situação dada, sobre a figura anterior. Sabemos que a inclinação do relvado é de 23o e que a distância do caminho à base da torre é de 5 m. Conhecemos, então, a amplitude do ângulo e a hipotenusa de um triângulo rectângulo e pretendemos saber o comprimento do cateto oposto ao ângulo, logo:

a sen 23o = ᎏᎏ ⇔ a = 5 sen 23o ⇔ a ⬇ 1,95 5 Para calcular o comprimento do cateto adjacente, temos:

c cos 23o = ᎏᎏ ⇔ c = 5 cos 23o ⇔ c ⬇ 4,6 5 Consideremos agora o triângulo rectângulo [OCT ] , que nos vai permitir calcular a distância do topo da torre ao solo. O cateto adjacente mede: 2,5 + c ⬇ 2,5 + 4,6 = 7,1 O cateto oposto mede: h + a ⬇ h + 1,95 Relacionando a medida do cateto oposto ao ângulo com a medida do cateto adjacente a esse ângulo, vem:

h + 1,95 tg 53o ⬇ ᎏ ⇔ 7,1 tg 53o ⬇ h + 1,95 ⇔ 7,1 ⇔ h ⬇ –1,95 + 7,1 tg 53o ⇔ h ⬇ 7,47 A torre mede, aproximadamente, 7,47 metros.

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

109

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. Molde para fabrico de «pinos»

C

Pretende fazer-se um molde para o fabrico de sinalizadores de trânsito, como o que se encontra representado ao lado. Sabe-se que: • o diâmetro da base [AB ] mede 25 cm; • o comprimento de [AC ] é 40 cm, encontrando-se o ponto C no cimo do «pino»; • o círculo superior que limita o «pino» tem 4 cm de raio.

A

B

Qual é a amplitude do ângulo formado por duas geratrizes diametralmente opostas?

Resolução 2. Comecemos por representar esquematicamente um corte vertical do «pino», obtendo-se um triângulo de base

[AB ] e outro, cujo comprimento da base é 8 cm. Atendendo à semelhança de triângulos, determinemos o comprimento de [AO ] : 8 x  =  ⇔ 320 + 8x = 25x ⇔ 25 40 + x ⇔ 17x = 320 320 ⇔ x =  ⇔ x ⬇ 18,8 17 Temos, então, que:

A 苶苶 O ⬇ 40 + 18,8 ⇔ A 苶苶 O ⬇ 58,8 Designando por  a amplitude do ângulo definido por duas geratrizes diame tralmente opostas e por  a amplitude do ângulo definido por uma geratriz e 2 pela altura, temos:    12,5 12,5 sen  ⬇  ⇔  ⬇ sen–1  ⇔  ⬇ 12,27o ⇔ 2 2 2 58,8 58,8

冢冣

冢

冣

⇔  ⬇ 24,55o ⇔  ⬇ 24o 33’ Logo, a amplitude do ângulo definido por duas geratrizes diametralmente opostas é aproximadamente igual a 24o 33’.

110

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nos exercícios 1 a 7, de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas. 1. Atendendo à figura ao lado, podemos afirmar que:

5 ᎏᎏ 10 5 B. cos ␣ = ᎏᎏ 10

5 ᎏᎏ 10 10 D. tg ␣ = ᎏᎏ 5

A. sen ␣ =

C. tg ␣ =

2. Sabendo que a árvore pequena tem 3 m de altura e a sua sombra tem 4 m de

comprimento, a altura da árvore grande, que se encontra a 2 m da árvore pequena, é: A. 4 m

C. 5 m

B. 4,5 m

D. 6 m

3. Sabendo que A.

1 ᎏᎏ 3

1 sen ␣ = ᎏᎏ , então cos2␣ – 1 é igual a: 3 1 B. ᎏᎏ 9

1 9

C. – ᎏᎏ

que a diagonal d mede 7,3 m e que a amplitude do ângulo ␣ é então o comprimento do lado maior do rectângulo, arredondado às unidades, é:

4. Sabendo

15,6o,

A. 5 m

C. 7 m

B. 6 m

D. 8 m

r e s são tangentes à circunferência e fazem um ângulo de amplitude 60o entre si, e que a distância do centro da circunferência ao ponto de intersecção das duas rectas é 7 cm, então, o comprimento do raio é:

5. Sabendo que as rectas

A. 2 cm

C. 3,5 cm

B. 3 cm

D. 4 cm

6. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? A. sen 30o + cos 60o = 1

C. 2 tg 30o = 1

B. sen 45o + cos 45o = 1

D.

7. A expressão

cos 60o =1 ᎏ sen 60o

(sen ␣ + cos ␣)2 é equivalente a:

A. sen2 ␣ + cos2 ␣

C. 1 + 2 sen ␣ · cos ␣

B. sen2 ␣ – cos2 ␣

D. 2 sen ␣ · cos ␣

2 3

D. ᎏᎏ

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

111

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 8. Um

navio é puxado para o porto por dois rebocadores. Para tal, usam-se dois cabos de 20 m cada. Sabendo que a distância entre os rebocadores é de 10 m, qual é a amplitude do ângulo formado pelos cabos? Apresente o resultado arredondado às unidades.

cimo da torre do Bugio, um faroleiro vê aproximar-se um barco, segundo um ângulo de 83o. Passado algum tempo, vê o mesmo barco, segundo um ângulo de 36o. Observou ainda que a trajectória do barco foi rectilínea e na direcção da torre. Quantos metros se deslocou o barco entre as duas observações, sabendo-se que a torre tem 14 metros de altura?

9. Do

10. Pretende construir-se uma ponte sobre uma lagoa.

Sabendo que uma pessoa colocada no ponto A estará a 162 m de um dos extremos da futura ponte e avistará o outro extremo segundo um ângulo de 33o, qual será o comprimento da ponte? Apresente o resultado arredondado às décimas.

11. Pretende unir-se dois pilares de uma ponte com um tabuleiro.

Sabe-se que os pilares têm 16 m de altura em relação ao nível médio das águas. Uma pessoa, num barco colocado entre os dois pilares, avista o topo de um deles segundo um ângulo de 70o, e o outro topo segundo um ângulo de 50o. Qual deve ser o comprimento do tabuleiro? Apresente o resultado arredondado às centésimas.

12. Sabe-se

que a superfície iluminada por um candeeiro, colocado sobre uma mesa, tem a forma de um círculo. O candeeiro tem de altura 45 cm e os raios luminosos incidem na mesa com uma inclinação de 50o em relação à vertical, conforme a figura. Calcule, com valor arredondado às centésimas, a área da superfície da mesa iluminada pelo candeeiro.

112

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13. Sabendo que os dados indicados na figura ao lado se encontram expressos em centímetros,

calcule a capacidade do bidão, em litros. Apresente o resultado arredondado às décimas. Nota: O volume de um tronco de cone é dado pela expressão: 1 V = ᎏᎏ (R 2 + r 2 + Rr )␲h 3 onde R corresponde à medida do raio maior, r à medida do raio menor e h à medida da altura do tronco de cone.

14. Ao

longo das estradas surgem, com alguma frequência, separadores como os da figura ao lado. Para maior facilidade de transporte, estes separadores são ocos e feitos de plástico, mas ao serem colocados nas estradas são enchidos com água para ficarem mais pesados. Atendendo aos dados da figura abaixo, e não considerando a parte inferior, calcule: 14.1. a

capacidade de um separador, em litros (ignore as ranhuras laterais).

14.2. a área total (em m2) arredondada às décimas, de um separador.

15. A figura representa um corte vertical num cesto de base

quadrada. Atendendo aos dados indicados, calcule a capacidade do cesto em litros, arredondando o resultado às unidades.

16. Pretende construir-se um papagaio com a estrutura em madeira, como mostra a

figura, e cobri-lo de papel colorido. 16.1. Calcule

o comprimento, em metros, de friso de madeira necessário para construir o papagaio.

16.2. Qual a área de papel, em cm2, necessária para cobrir o papagaio? (Apresente

o resultado arredondado às unidades.)

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

113

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 17. Dois amigos avistam um parapente, segundo os ângulos de amplitudes 88o e 70o,

respectivamente. A que altura, em metros, se encontra o parapente? Nota: Considere que os dois amigos e o parapente se encontram num plano vertical.

18. Atendendo aos dados da figura, calcule a altura (em metros)

do edifício mais alto. Apresente o resultado arredondado às décimas.

4,8 m

11° 41°

x

3m

19. Na figura pode observar-se uma cratera existente no deserto do Arizona que é a mais impressionante marca de

meteorito existente na Terra. Com o objectivo de calcular aproximadamente, em metros, o diâmetro da cratera, um jovem curioso resolve efectuar algumas medições e anotar os valores num esquema. Qual o valor encontrado, arredondando às unidades?

1 ^ [ABC ] , rectângulo em C . Seja  = BA C , A 苶苶 C = 8 e sen  =  . 3 Calcule o comprimento de [BC ] arredondado às décimas.

20. Considere o triângulo

21. Sabendo que

1  é um ângulo agudo e que sen  =  , calcule cos  , arredondado às centésimas. 3

4  é um ângulo agudo e que tg  =  , calcule sen  e cos  . 3 Apresente os resultados arredondados às décimas.

22. Sabendo que

1 que  é um ângulo agudo e que cos  =  , calcule o valor de sen  + tg  , arredondado às 5 centésimas.

23. Sabendo

114

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS E DE ARCOS NOTA Chamam-se tábuas naturais às tabelas que nos fornecem directamente os valores das razões trigonométricas. Antes do aparecimento das calculadoras, este era o único meio que existia para determinar as referidas razões. Por se considerar interessante, apresenta-se um pequeníssimo excerto de uma tábua.

Como já foi referido na rubrica «A Vida da Matemática», que se encontra nas páginas 100-101, Hiparco de Niceia, por volta do século II a.C., dividiu a circunferência em 360 partes e definiu o grau como a amplitude de cada uma dessas partes. A partir daí, surgiu o sistema sexagesimal – unidade de medida da amplitude de ângulos que ainda hoje usamos. Neste sistema: • a 1 grau correspondem 60 minutos do grau: 1º = 60’ • a 1 minuto do grau correspondem 60 segundos do grau: 1’ = 60’’ Para além do sistema sexagesimal, existem outros sistemas utilizados na medição de ângulos e de arcos, tais como o sistema centesimal e o sistema circular. Actualmente, o sistema centesimal, cuja unidade é o grado (g), é pouco utilizado, salientando-se, no entanto, que alguns instrumentos de topografia e geodesia contêm escalas graduadas nas unidades deste sistema. A correspondência entre o sistema sexagesimal e o sistema centesimal é fácil, pois a 90º correspondem 100g. O sistema circular é, sem dúvida, o sistema de maior interesse teórico e surge de um modo natural em termos de simplificação de certas fórmulas e resultados matemáticos e físicos. No sistema circular, a unidade de medida é o radiano. Um radiano é a amplitude de um ângulo ao centro que corresponde a um arco de circunferência, cujo comprimento é igual ao comprimento do raio dessa circunferência. Representa-se por rad .

Fig. 1 in Pedro de Campos Tavares, Álgebra e Trigonometria, Edições Marânus, 1946.

T5

Actividade prática

Para deduzir o valor, em graus, de um radiano, torna-se necessário construir um ângulo cuja medida seja um radiano. Numa tampa circular e com o auxílio da régua e do esquadro, comecemos por desenhar duas cordas, conforme se ilustra na figura ao lado.

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS E DE ARCOS

Seguidamente, traçam-se as mediatrizes das referidas cordas, obtendo-se o ponto de intersecção C , que é o centro da tampa.

115

RECORDAR

C

Para determinar o centro de uma circunferência previamente traçada, basta encontrar o ponto de intersecção das mediatrizes de duas cordas da circunferência dada.

Com um fio, mede-se o comprimento do raio da tampa. C

Seguidamente, ajusta-se o fio à borda da tampa e marcam-se os extremos de um arco de circunferência, cuja medida seja igual ao comprimento do raio.

Unindo cada um dos extremos ao centro da tampa, obtemos um ângulo agudo de amplitude 1 radiano (rad). Com o auxílio do transferidor pode concluir-se que:

C

57º < 1 rad < 58º

A amplitude de um radiano não depende do raio da circunferência, pois o comprimento da circunferência (2r) aumenta na mesma proporção que o raio (r), e assim o ângulo correspondente a um arco de comprimento igual ao raio é sempre o mesmo. É agora fácil exprimir, no sistema sexagesimal, a medida de um radiano, pois sabemos que a amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco de circunferência compreendido entre os seus lados. Então, podemos estabelecer que: medida de um radiano comprimento do arco AB  =  medida de um ângulo giro comprimento da circunferência Como a amplitude de um ângulo giro é de 360o, vem: r 2r × 1 rad 1 rad   =  ⇔ 360º =  ⇔ r 2 r 360°

NOTA Define-se ângulo giro, ou de volta inteira, como um ângulo de amplitude 360o.

⇔ 360º = 2 rad 360º = 2 rad Assim, fica estabelecida a passagem do sistema circular para o sistema sexagesimal e vice-versa. A partir da igualdade anterior, podemos concluir que: 360 º 1 rad =  ⬇ 57º 17’ 45’’ 2

冢 冣

Tendo em conta que: 360º = 2 rad

180º =  rad

 90º =  rad , 2

a conversão de um sistema para o outro não oferece dificuldades.

NOTA Por ser mais simples, pode escrever-se 2 ,  ou  , em vez de 2 rad ,  rad ou  rad , respectivamente.

116

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Exemplo 1 Radian 30 2nd

MODE

APPS (Angle) 1:o ENTER

0,52359… :



Indique, no sistema circular, as amplitudes dos ângulos: 1.1. 30o

1.2. 45o

1.3. 60o

ENTER

0,16666…

Resolução

1 6

MATH 1: Frac 

1.1. A relação dada anteriormente permite escrever que:

180o _______  Calculadoras Casio Páginas 182-183.

EXERCÍCIO 1 Copie para o seu caderno a seguinte tabela e complete-a: Graus

30o _______ x

  × 30o x =  ⇔ x = 6 180o

1.2. 180o _______ 

45o _______ y

  × 45o y =  ⇔ y = 4 180o

1.3. 180o _______ 

Radianos

360o

60o _______ z

270o 200o

  × 60o z =  ⇔ z = 3 180o

Tendo em conta os resultados obtidos e relembrando as razões trigonométricas de 30o, 45o e 60o*, podemos escrever:

2  3 50o



 6



 4



30o

45o

60o

sen

1  2

2 兹苶  2

cos

3 兹苶  2

2 兹苶  2

3 兹苶  2 1  2

tg

3 兹苶  3

1



 12 10o



冢5冣

MODE Degree 

2nd

(Angle) 3:r

APPS

ENTER 36

EXERCÍCIO 2 Calcule, arredondando o resultado às centésimas.  4

 3

2.1. cos  – 2 sen   4

 3

 6

2.2. 1 tg  – sen  – cos  2

 3

 3

2.3. sen2  – tg2  Exercícios propostos Exercício 1, 2, 9 e 10. Página 132.

Exemplo 2 Converta as seguintes amplitudes para o sistema sexagesimal:  5  2.1.  2.2.  2.3.  8 3 5 Resolução 2.1.  _______ 180o

  _______  5 2.2.  _______ 180o

5  _______  3 2.3.  _______

Caderno de Exercícios

Exercícios 1, 8 e 9. Página 73.

 180 ×  180 5  = ⇔  =  ⇔  = 36o  5

180o

  _______  8 *Facultativo

 =

5 5 × 180 3 ⇔ =  ⇔  = 300o

180 ×  

3

 180 ×  180 8  = ⇔  =  ⇔  = 22,5o  8

 3

3 兹苶

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS E DE ARCOS

117

Generalização das noções de ângulo e de arco Como sabemos, nos aeroportos existem radares para detectar os aviões que se aproximam da pista. Os dados recolhidos pelo radar são visualizados na torre de controlo em diversos monitores, como os apresentados na figura ao lado. Entre outras informações, o radar indica-nos em que direcção (rota) se aproxima o avião. O «raio» deste círculo gira sem interrupções, marcando no ecrã os pontos aos quais correspondem as posições dos aviões. Exemplificando esta situação num esquema:

RECORDAR Ângulos orientados

Temos o ponto P que pertence à circunferência e se desloca sobre esta no sentido positivo. O ponto P vai tomando diferentes posições sobre a circunferência:

Ângulo positivo é o ângulo gerado por uma semi-recta que roda em torno do ponto O (vértice do ângulo) no sentido contrário ao movimento dos ponteiros do relógio (sentido directo ou positivo).

• quando o ponto P está coincidente com o ponto A , terá percorrido um arco de ␲ amplitude ᎏ a partir da posição inicial indicada na figura. Como a amplitude do 5 arco é igual à amplitude do ângulo ao centro, dizemos que o ângulo descrito tem de ␲ amplitude ᎏ ; 5 • quando o ponto P está coincidente com o ponto B , terá percorrido um arco de ␲ amplitude ᎏᎏ a partir da posição inicial indicada na figura e o ângulo descrito 2 ␲ terá de amplitude ᎏᎏ . 2 Se o ponto P descrever uma volta completa, formará um ângulo de amplitude 2␲ ou 360º , o que nos leva a concluir que quando estiver alinhado novamente com o ␲ ponto A , terá descrito um ângulo de amplitude ᎏ + 2␲ . 5 Do mesmo modo, se o ponto P descrever k voltas até coincidir com o ponto A , ␲ descreverá um ângulo de amplitude ᎏ + k × 2␲ . 5 • • Diz-se que as semi-rectas OP e OA representam uma família de amplitudes de ângulos de vértice O .

Ângulo negativo é o ângulo gerado por uma semi-recta que roda em torno do ponto O (vértice do ângulo) no sentido do movimento dos ponteiros do relógio (sentido negativo).

Por exemplo:

118

EXERCÍCIO 3 Considere a figura seguinte, na qual o círculo está dividido em oito partes iguais.

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Generalizando: A amplitude de um ângulo qualquer a pode ser expressa como a adição de um ângulo  , pertencente ao intervalo [0, 2[ , com um múltiplo, positivo ou negativo, de 2 : a =  + 2k  com k 僆 ZZ e  僆 [0, 2[ ou no sistema sexagesimal:

a =  + 360ok com k 僆 ZZ e  僆 [0o, 360o[

Chama-se amplitude principal de um ângulo à amplitude que pertence ao intervalo [– , [ ou [–180º, 180º[ . Indique uma expressão geral, no sistema circular, que permita obter a amplitude de todos os • ângulos com origem em OA e extremidade em: • 3.1. OF • • • 3.2. OC ou OE ou OG • • 3.3. OD ou OH

De forma análoga se generaliza a amplitude de um arco de circunferência. Exemplo 3 Observando uma criança a andar de triciclo, verificou-se que os raios das rodas têm de comprimento 8 e 11 centímetros. Escolhido um ponto em cada uma das rodas, calcule a amplitude da rotação e o número de voltas de cada um desses pontos para as distâncias percorridas de 10, 50 e 100 metros.

Resolução A medida do perímetro da roda de 8 cm é dada por:

P = 2 × 0,08 ⇔ P ⬇ 0,503 m Logo, podemos utilizar a seguinte correspondência: 360o ________ 0,503  ________ 10 EXERCÍCIO 4

4.1. Determine a área de um

sector circular, em que o ângulo ao centro que o define tem de amplitude 1,5 rad e o raio do círculo mede 8 cm.

4.2. Deduza uma fórmula que

permita determinar a área de um sector circular de raio r e cujo ângulo ao centro que o define tenha de amplitude  radianos.

Exercícios propostos Exercícios 3 a 5, 11, 15 e 16. Páginas 132 e 133.

Caderno de Exercícios

Exercícios 2, 10, 12, 14, 16, 18 e 19. Página 73.

360o × 10  =  ⇔  ⬇ 7157,1o 0,503

ou seja, a roda de 8 cm de raio efectua 19 voltas completas quando percorre uma distância de 10 metros, pois: 7157,1o ⬇ 19,9  360o Utilizando um raciocínio análogo, podemos preencher a seguinte tabela, sendo r a medida do raio e d a distância percorrida: r = 8 cm

r = 11 cm

d = 10 m

360o × 10  =  ⇔  ⬇ 7157,1o 2 × 0,08 número de voltas: 19

360o × 10  =  ⇔  ⬇ 5208,7o 2 × 0,11 número de voltas: 14

d = 50 m

360o × 50  =  ⇔  ⬇ 35 785,3o 2 × 0,08 número de voltas: 99

360o × 50  =  ⇔  ⬇ 26 043,5o 2 × 0,11 número de voltas: 72

d = 100 m

360o × 100  =  ⇔  ⬇ 71 570,6o 2 × 0,08 número de voltas: 198

360o × 100  =  ⇔  ⬇ 52 087,1o 2 × 0,11 número de voltas: 144

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS E DE ARCOS

119

Referencial polar no plano Ao desenhar um referencial ortogonal e monométrico (ortonormado), o plano fica dividido em quatro quadrantes. Para representar um ângulo de amplitude  num referencial polar devemos ter em conta que: • o vértice do ângulo deve coincidir com a origem do referencial; • o lado origem do ângulo deve coincidir com o semieixo positivo do eixo Ox ; • o lado extremidade do ângulo deve estar marcado no referencial consoante a amplitude e o sentido do ângulo. Um ângulo pertence ao 1.o, 2.º, 3.º ou 4.º quadrante conforme o lado extremidade pertença respectivamente ao 1.º, 2.º, 3.º ou 4.º quadrante. Assim, temos, por exemplo:

a  1.º Q. b  2.º Q. c  3.º Q. d  4.º Q.

a  4.o Q. b  3.o Q. c  2.o Q. d  1.o Q.

Círculo trigonométrico Em muitas situações, torna-se imperativo estudar as razões trigonométricas de um ângulo que não seja necessariamente agudo. Para facilitar este estudo recorre-se habitualmente a um círculo cujo raio tenha comprimento 1 e centro na origem do referencial polar, que se designa por círculo trigonométrico.

Exercícios propostos Exercícios 6 e 12. Páginas 132 e 133.

Caderno de Exercícios

Exercícios 11 e 13. Página 75.

120

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Sejam (x, y) as coordenadas do ponto P e  a amplitude do ângulo agudo com • lado origem coincidente com o semieixo positivo do eixo Ox e lado extremidade OP :

EXERCÍCIO 5 Observe atentamente a seguinte figura:

Observando a figura anterior, podemos concluir que: — y • sen  =  — ⇔ sen  = y , pois OP = 1 unidade OP Identifica-se o seno de  como sendo a ordenada do ponto P . x • cos  =  — ⇔ cos  = x OP Identifica-se o co-seno de  como sendo a abcissa do ponto P . Ou seja, P 哭 (cos , sen )

Indique o valor de:

5.1. sen  5.2. cos  5.3. sen (–) 5.4. cos (–)

Em relação à tangente de  , a sua visualização não é tão simples. A figura seguinte representa um ângulo de amplitude  , do 1.º quadrante, no círculo trigonométrico.

NOTA O eixo Oy toma a designação de eixo dos senos. O eixo Ox toma a designação de eixo dos co-senos. A recta t , que tem a mesma direcção e a mesma unidade de medida que o eixo Oy , designa-se por eixo das tangentes.

y Eixo dos senos

O

t Eixo das tangentes

x Eixo dos co-senos

Assim, podemos considerar o triângulo rectângulo [OAT] , em que t é uma recta tangente ao círculo no ponto A . _ _ AT medida do cateto oposto ao ângulo  tg  =  =  = AT 1 medida do cateto adjacente ao ângulo  Identifica-se a tangente de  como sendo a ordenada do ponto T .

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS E DE ARCOS

121

Exemplo 4 Indique as razões trigonométricas dos ângulos com amplitudes: 3  0 ;  ;  ;   e 2 2 2

Resolução Comecemos por desenhar um círculo trigonométrico e assinalar os pontos A , B , C , D e E , associados  respectivamente aos ângulos de amplitudes 0 , ,  , 2 3   e 2 , ou seja, aos ângulos cujos lados extremidade 2

y B (0,1) C (-1,0)

A (1,0) o

E (1,0) x

D (0,-1) Caderno de Exercícios

coincidem com um dos semieixos coordenados.

Exercício 17. Página 76.

sen  Recordando que tg  =  , preenche-se o seguinte quadro: cos  EXERCÍCIO 6 Determine o valor de: 0

  2

0o sen



3  3

2

90o

180o

270o

360o

0

1

0

–1

0

cos

1

0

–1

0

1

tg

0

Não existe

0

Não existe

0

Sinal das razões trigonométricas

 6.1. sen  + 2 cos 8 – 2 tg 4 2

6.2.

3 cos2  – sen2   2

6.3. tg 3 – 3 cos 5 + 11 + sen3   2

Actividade prática

T6

Explorando o círculo trigonométrico podemos concluir o seguinte: • Se o ângulo pertence ao 1.º quadrante:

sen   0 cos   0 tg   0

NOTA Ilustramos as situações com ângulos com amplitudes positivas. No entanto, podíamos tê-lo feito com amplitudes negativas, sendo indiferente para este estudo.

122

NOTA

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

• Se o ângulo pertence ao 2.º quadrante:

Para determinar a tangente de um ângulo do 2.o quadrante ou 3.o quadrante é necessário prolongar o lado extremidade do ângulo até que este intersecte o eixo das tangentes.

sen   0 cos   0 tg   0

• Se o ângulo pertence ao 3.º quadrante:

sen   0 cos   0 tg   0

EXERCÍCIO 7 Indique, usando o círculo trigonométrico, o quadrante a que pertence e o sinal das razões trigonométricas de cada um dos ângulos com as seguintes amplitudes:

7.1. 108o

7.4. – 5

7.2.

7.5.

–910o

7.3. 2080o

3 23  12

7.6. 10 rad

Exercícios propostos Exercícios 7, 8 e 13. Páginas 132 e 133.

• Se o ângulo pertence ao 4.º quadrante:

sen   0 cos   0 tg   0

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS E DE ARCOS

123

Variação das razões trigonométricas

EXERCÍCIO 8

Explorando o círculo trigonométrico podemos concluir o seguinte:

Indique, usando o círculo trigonométrico, um intervalo ]a, b [ tal que:

• No 1.o quadrante: sejam  e  amplitudes de dois ângulos quaisquer, tais que    . Então:

 ∈ ]a, b [ ]a, b [ 傺 [0, 2[ e que verifique cada uma das seguintes condições:

sen   sen  , logo, o seno é crescente; cos   cos  , logo, o co-seno é decrescente;

8.1. cos  · sen   0 8.2. tg  + sen   0 8.3. cos  – sen   0 8.4. tg  · cos   0

tg   tg  , logo, a tangente é crescente.

• No 2.º quadrante: sejam  e  amplitudes de dois ângulos quaisquer, tais que    . Então:

sen   sen  , logo, o seno é decrescente; cos   cos  , logo, o co-seno é decrescente; tg   tg  , logo, a tangente é crescente.

• No 3.º quadrante: sejam  e  amplitudes de dois ângulos quaisquer, tais que    . Então:

EXERCÍCIO 9 Indique, em radianos e arredondada às centésimas, a amplitude de um ângulo do 1.o quadrante que verifique cada uma das seguintes condições:

9.1. cos  = 0,8 9.2. sen2  + cos2 = 1 9.3. 0,3 sen  = 1

EXERCÍCIO 10 Indique, usando o círculo trigonométrico o valor lógico das seguintes afirmações:

sen   sen  , logo, o seno é decrescente; cos   cos  , logo, o co-seno é crescente; tg   tg  , logo, a tangente é crescente.

A. O seno decresce e é positivo no 3.o quadrante. B. A tangente é crescente e positiva em todos os quadrantes. C. No 4.o quadrante, o co-seno cresce e é positivo. D. Nos 2.o e 3.o quadrantes, o co-seno é negativo e crescente. E. O seno é negativo e crescente em todos os quadrantes.

124

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

• No 4.º quadrante: sejam  e  amplitudes de dois ângulos quaisquer, tais que    . Então:

sen   sen  , logo, o seno é crescente; cos   cos  , logo, o co-seno é crescente; tg   tg  , logo, a tangente é crescente.

EXERCÍCIO 11 Sem recorrer à calculadora, usando o círculo trigonométrico complete, no seu caderno, com ,  ou =.

11.1. sen 50o ________ sen 370o 11.2. cos 70o ________ cos 410o 11.3. tg 210o ________ tg 400o 3 11.4. cos 7 ________ cos 3 5 5 5 15 11.5. sen 2 ________ cos  4

4

9 40 11.6. tg 1 ________ tg  6 6

2nd

Analisando a variação das razões trigonométricas, podemos concluir que, para qualquer amplitude  , temos: –1  sen   1

e

–1  cos   1

Se, com a ajuda da calculadora (em graus), se tentar determinar a amplitude  de um ângulo em que, por exemplo, sen  = 2 ou sen  = –1,2 , a calculadora dará a correcta mensagem de erro, pois como foi referido as razões trigonométricas sen  e cos  variam entre –1 e 1.

sin sin–1 (2)

ENTER ERR: DOMAIN 2nd

tan tan–1 (100)

89,42706…

Calculadoras Casio Página 183.

NOTA Ao usarmos as funções sen–1 , cos–1 e tg–1 , a calculadora só nos indica a amplitude pertencente ao intervalo: [–90o, 90o] ou – ,  2 2

冤

冥

Exercícios propostos Exercício 14. Página 133.

Quanto à tangente, esta pode tomar todos os valores reais, ou seja: tg   ]– , +[

Caderno de Exercícios

Exercícios 3 a 7, 15, 20 e 21. Página 73.

Determinando, por exemplo,  tal que tg  = 100 , obteremos  ⬇ 89°.

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS E DE ARCOS

125

RESUMINDO Medidas de ângulos

• Sistema sexagesimal – unidade: grau (º). • Sistema circular – unidade: radiano (rad). 1 rad ⬇ 57º 17’ 45’’

• Conversão de unidades entre os sistemas sexagesimal e circular:  rad ________ 180º x rad ________ º

Generalização de ângulo

• sen ( + 2k) = sen  , k  ⺪ • cos ( + 2k) = cos  , k  ⺪ • tg ( + 2k) = tg  , k  ⺪ mas, também, tg ( + k) = tg  , k  ⺪

Variação das razões trigonométricas

• –1  sen   1 • –1  cos   1 • tg   ]– , +[

1.o Q.

2.o Q.

3.o Q.

4.o Q.

1.o Q.

sen

+

+

–

–

sen

cos

+

–

–

+

cos

tg

+

–

+

–

tg

2.o Q.

3.o Q.

4.o Q.

126

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

A VIDA DA MATEMÁTICA Para a maioria das pessoas, a única unidade conhecida para a medição de ângulos é o grau, que, como já sabemos, é obtido pela divisão da circunferência em 360 partes iguais. Este sistema é muito prático, pois há vantagens muito significativas quando se trabalha com fracções sexagesimais. No entanto, existem outros sistemas de medição, como o sistema centesimal. Presume-se que foi Henry Briggs (1561-1630), geómetra inglês, quem utilizou a subdivisão centesimal na construção de uma tábua trigonométrica. A unidade deste sistema é o grado (g), que corresponde à centésima parte do ângulo recto, ou seja, a 100 grados correspondem 90 graus. Neste sistema, temos ainda que a 1 grado correspondem 100 minutos do grado (’) e, por sua vez, a 1 minuto do grado correspondem 100 segundos do grado (’’).

Actualmente, apesar de muito defendido por alguns matemáticos, este sistema quase não é utilizado em cálculos, existindo apenas alguns instrumentos de topografia, de geodesia e de óptica que contêm escalas graduadas neste sistema.

Por volta de 1873, em trabalhos independentes realizados por Thomas Muir e James O. Thomson, demonstrou-se a necessidade de uma nova unidade angular. Thomas Muir [1844-1934]

Esta nova medida, sendo mais «natural», foi obtida através da simples construção de um ângulo com a amplitude de um radiano.

A este sistema, cuja unidade é o radiano, chamou-se sistema circular e, desde então, simplificaram-se consideravelmente certas fórmulas e resultados matemáticos e físicos. Este sistema também é utilizado para graduar instrumentos de medição.

Fig. 1 Micrómetro, c. 1930. Este aparelho óptico, usado para medir pequenas distâncias angulares ou lineares, apresenta uma escala no sistema centesimal (grados). www.matematicaB.TE.pt

Fig. 2 Micrómetro de Repsold, 1911. Este instrumento apresenta uma escala no sistema circular (radianos).

Links : O radiano • Radianos e graus • Micrómetros • Instrumentos de medição

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS E DE ARCOS

127

T5 Actividade prática «Quando podemos medir aquilo de que falamos e exprimi-lo por meio de números, sabemos alguma coisa sobre o assunto.» Lord Kelvin (físico e matemático irlandês)

OBJECTIVOS Pretende-se com esta actividade definir radiano e deduzir o seu valor aproximado em graus.

MATERIAIS Programa de geometria dinâmica GeoGebra.

EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE Radiano 1. Desenhe um segmento de recta

[AB ] , na horizontal, com a ajuda do botão

.

Atribua letras aos extremos do segmento de recta, com o auxílio do botão 2. Marque um ponto

C no segmento de recta [AB ] , com o auxílio do botão

3. Desenhe uma circunferência de centro 4. Marque um ponto

[AC ] , unindo os pontos A e C , com o botão

CAD , com o auxílio dos botões

.

. .

CD . Seleccione os pontos C e D , com o auxílio do botão

7. Determine o comprimento do raio

.

A e que passe por C , com o auxílio do botão

D sobre a circunferência, com o auxílio do botão

5. Obtenha o segmento 6. Defina o arco

.

.

[AC ] , o comprimento do arco CD e a amplitude do ângulo e .

128

continuação Actividade prática T5 8. Copie para o seu caderno a tabela que se segue e complete-a após ter efectuado as seguintes

medições: • desloque o ponto D , de modo que o comprimento do arco CD seja igual ao comprimento do raio [AC ] e registe a amplitude do ângulo respectivo; • seguidamente, desloque o ponto C sobre o segmento [AB ] , desloque o ponto D de modo a que o comprimento do arco CD seja igual ao comprimento do raio [AC ] e registe, novamente, a amplitude do ângulo respectivo. Altere o raio da circunferência e efectue novas medições, repetindo as instruções anteriores.

Comprimento do raio AC

Comprimento do arco CD

Amplitude do ângulo CAD

C1 Circunferências

H

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

C2 C3 C4 C5

Em cada um dos casos, a amplitude do ângulo varia entre que valores? Determine agora o valor exacto da amplitude desse ângulo. Nota: Sabe-se que 360o correspondem ao comprimento da circunferência.

Definição Um radiano é a amplitude de um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência. Qualquer que seja a circunferência, um radiano corresponde sempre a um ângulo de amplitude aproximadamente igual a 57o 17’ 45’’ .

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS E DE ARCOS

129

T6 Actividade prática «Até realizarmos as observações, não temos nada sobre que pensar.» Philip J. Davis e Reuben Hersh (matemáticos norte-americanos)

OBJECTIVOS Pretende-se com esta actividade estudar o sinal e a variação das razões trigonométricas, recorrendo ao círculo trigonométrico. MATERIAIS Calculadora gráfica. EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE

WWW

Variação das razões trigonométricas Calculadora gráfica Texas TI-84 Plus Na opção MODE , escolha o tipo de gráfico para coordenadas polares, a unidade angular radiano e gráfico por pontos. Seguidamente, escolha a janela conveniente para a visualização, WINDOW .

Definir as coordenadas polares em Y = . Seguidamente, desenhe o gráfico, prima pressione TRACE para visualizar as coordenadas dos pontos.

GRAPH

e

Calculadoras Casio Página 183.

130

H

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

continuação Actividade prática T6 Copie para o seu caderno as tabelas seguintes e complete-as com o auxílio da calculadora gráfica.

Sinal das razões trigonométricas 1.o Q.

2.o Q.

3.o Q.

4.o Q.

sen cos

Variação das razões trigonométricas 1.o Q. sen cos

2.o Q.

3.o Q.

4.o Q.

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS E DE ARCOS

131

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Localize o quadrante em que se encontra cada um dos ângulos com as amplitudes seguintes: 1.1.

 = 2020o

24 5

1.2.  =  

Resolução 1. 1.1. Para saber a que quadrante pertence o ângulo de amplitude 2020o, temos de determinar o número de voltas

inteiras (360o) contidas em 2020o. Para tal, dividimos 2020o por 360o e consideramos apenas a parte inteira do quociente.

2020o : 360o ⬇ 5,6111 Temos que: 360o × 5 = 1800o e 2020o – 1800o = 220o

Logo, podemos escrever que: 2020o = 5 × 360o + 220o O lado extremidade do ângulo de amplitude 2020o coincide com o do ângulo de amplitude 220o, que pertence ao 3.o quadrante, logo, 2020o pertence ao 3.o quadrante. 24 24   , temos de decompor a fracção  . 5 5 Determinemos o múltiplo do denominador mais próximo do numerador:

1.2. Para saber a que quadrante pertence o ângulo

 24 25 1   =   –  = 5  –  5 5 5 5

Como 5 é múltiplo ímpar de  , o lado extremidade do ângulo de amplitude 5 coincide com o lado extremi 24 dade do ângulo de amplitude  e, como subtraímos  , o ângulo de amplitude  pertencerá ao 2.o quadrante. 5 5

132

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nos exercícios 1 a 8, de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.

1. Um ângulo tem de amplitude 200o. Qual é a sua amplitude no sistema circular?

10 9

9 10

A.  

B.  

2. Um ângulo tem de amplitude A. 7o

C. 1,1

D. 3,5

  rad . Qual o valor aproximado da sua amplitude no sistema sexagesimal? 24

B. 8o

C. 0,13o

D. 7o 30’

C. 30o

D. –30o

3. A amplitude principal do ângulo de amplitude 1230o é: A. 150o

B. –150o

4. A amplitude principal do ângulo de amplitude – 600o é: A. 240o

B. 120o

C. –120o

5. A amplitude principal do ângulo de amplitude

 5

6 5

A. 

D. 60o

16  é: 5 4 5

B.  

6 5

C. – 

D. –  

C. 3.o Q.

D. 4.o Q.

6. O ângulo de amplitude –1120o pertence ao: A. 1.o Q.

B. 2.o Q.

7. A que quadrantes poderá pertencer um ângulo, de amplitude A. 1.o Q. ou 2.o Q.

B. 2.o Q. ou 3.o Q.

 , sabendo que sen   0 ?

C. 3.o Q. ou 4.o Q.

8. A que intervalo pertence necessariamente o ângulo de amplitude A.



冥0, 2 冤

B. ]0, [

C.

D. 1.o Q. ou 4.o Q.

 , sabendo que cos   ]–1, 0[ ?

 3

冥 2 , 2 冤

D. ], 2[

9. Converta, para radianos, as amplitudes de cada um dos seguintes ângulos: 9.1. 210o

9.2. 1o

9.3. 120o

9.4. – 1860o

9.5. 3510o

9.6. – 1000o

10. Converta, para graus, as amplitudes de cada um dos seguintes ângulos: 10.1. 1 rad

10.2. 110 rad

10.3. 3 rad

10.4.

  5

10.5.

  10

10.6.

2  3

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS E DE ARCOS

133

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 11. Indique a amplitude principal de cada um dos ângulos com as seguintes amplitudes: 11.1. 1520o

11.2. 730o

11.3. –545o

11.4. –620o

11.5. 2004o

11.6. –2501o

12. Indique a que quadrante pertence cada um dos ângulos com as seguintes amplitudes: 12.1. 2315o

12.2. –1050o

12.3. –930o

13. Entre que valores pode variar a amplitude do ângulo

12.4.

17␲ ᎏ 3

12.5.

13.3. sen2

13.2. sen ␣ + 3 ⬎ 0

13.4. 0 ⬍ cos ␣ · tg ␣ ⬍ 1

14. Determine o intervalo de números reais a que pertence

2m + 1 = ᎏᎏ , ␣ ∈ [0, 90o[ 3

11␲ 6

12.6. – ᎏ

␣ ∈ ]0, 2␲[ , sabendo que:

13.1. sen ␣ · cos ␣ ⬍ 0

14.1. sen ␣

21␲ ᎏ 4

␣ · tg ␣ ⬍ 0

m , tal que:

14.2. cos ␣ = m 2 –m , ␣ ∈

冤–␲, ᎏ2 ␲冥 3

15. Os raios das rodas de uma bicicleta do século XIX medem, respectivamente,

45 cm e 25 cm. Sabendo que a bicicleta percorreu 300 m, calcule valores aproximados para o número de voltas que cada roda deu e a amplitude de rotação de cada roda.

16. Numa

máquina de costura, o grande volante com 35 cm de diâmetro, solidário com o pedal, é uma roldana que impulsiona a roldana motriz da máquina, de 5 cm de diâmetro. A máquina dá um ponto por cada volta da sua roldana. Suponhamos que o volante dá uma volta por segundo. Num minuto, quantos pontos serão dados pela máquina? A máquina de costura foi modernizada, eliminando-se o pedal e adicionando-se um motor dotado de uma roldana com 1,25 cm de diâmetro, ligada por uma corrente à roldana com 5 cm de diâmetro, já anteriormente existente. A que velocidade deverá funcionar o motor para que a máquina cosa à mesma velocidade que anteriormente? Numa pequena composição, explique como determinou o número de pontos que a máquina dá por minuto e qual deverá ser a velocidade do motor.

Roldana motriz

Roldana volante

in Brian Bolt, Matemáquinas, Gradiva.

134

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

REDUÇÃO AO 1.O QUADRANTE* Reduzir um ângulo ao 1.º quadrante consiste em determinar um ângulo de amplitude  pertencente ao intervalo 0,  e cujas razões trigonométricas tenham, em valor 2 absoluto, valores iguais às razões trigonométricas do ângulo dado.

冥

冤

Relações entre as razões trigonométricas de ângulos suplementares

Consideremos, no círculo trigonométrico, os ângulos de amplitudes  e  –  :

NOTA  + ( – ) =  Logo, os ângulos de amplitudes  e  –  são ângulos suplementares.

Ao observar com atenção esta figura, que representa dois ângulos suplementares, podemos concluir que: sen ( – ) = sen 

NOTA Ao simplificar uma expressão, considerou-se sempre que o ângulo de amplitude  pertencia ao 1.o quadrante. No entanto, estas relações são válidas seja qual for a amplitude do ângulo.

cos ( – ) = –cos  tg ( – ) = –tg  *Facultativo

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

135

Relações entre as razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes  e  + 

EXERCÍCIO 1

Representemos os ângulos de amplitudes  e  +  no círculo trigonométrico:

Simplifique:

1.1. sen ( – ) + sen ( + ) – – cos ( – )

1.2. cos ( + ) + cos ( – ) + + tg ( – ) + tg ( + )

1.3. 3 sen ( + ) + cos ( – ) + + 2 sen ( – )

1.4. sen ( – ) · sen ( + ) – – cos ( – ) · cos ( + ) + + tg ( – )

Comparando as razões trigonométricas, podemos concluir que: sen ( + ) = –sen  cos ( + ) = –cos  tg ( + ) = tg  Relações entre as razões trigonométricas de ângulos simétricos

Considerando os ângulos de amplitudes  e –  , representados na figura seguinte, podemos concluir que: EXERCÍCIO 2

sen (–) = – sen  cos (–) = cos  tg (–) = – tg 

Simplifique e calcule o valor exacto de:

2.1. sen –  + cos –  +

冢 4冣

 + tg – 4

冢 冣

冢 4冣

2.2. sen  –  + cos – +

冢

3

冣

冢 6冣

 + cos  +  4

冢

Relações entre as razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes  e 2 – 

Os resultados seguintes são idênticos aos da situação anterior, logo:

sen (2 – ) = – sen 

冣

2.3. tg  +  + tg –  –

冢

3

冣

冢 6冣

 – sen  +  6

冢

冣

2.4. sen – – cos  –  +

冢 4冣

cos (2 – ) = cos 

 + tg – +  3

tg (2 – ) = – tg 

2.5. cos  – –

冢

冢

冣

冢6 冣

  – sen  –  · tg –  6 3

冢

冣 冢 冣

4

冣

136

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Relações entre as razões trigonométricas de ângulos complementares  Consideremos os ângulos complementares de amplitudes  e  –  no círculo trigo2 nométrico:

NOTA    +  –  =  2 2

冢

冣

Logo, os ângulos de amplitudes   e  –  são ângulos com2 plementares.

Como os triângulos rectângulos [OPM ] e [OP’M’ ] são geometricamente iguais, temos:  y’ x  x’ y sen  –  =  =  = cos  e cos  –  =  =  = sen  2 1 1 2 1 1

冢

冣

冢

冢

冣

 –  = cos  sen  2

EXERCÍCIO 3 Simplifique:

冣

冢

冣

 –  = sen  cos  2

 3.1. sen  2 –  + cos ( – ) –

冢

冣

+ – sen ( – ) + cos  2

冢

 Relações entre as razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes  e  +  2  Consideremos os ângulos de amplitudes  e  +  no círculo trigonométrico 2 representado na figura.

冣

 3.2. cos  – – 2

冢

冣

 – sen  +  – cos ( + ) + 2

冢

冣

Observamos que:

+ sen (– )   3.3. sen  –  ·sen  +  – 2 2

冢

冣 冢

冣

– cos ( – ) + cos (– )

Exercícios propostos Exercício 1. Página 174.

 sen  +  = y’ = x 2

冢

冣

 cos  +  = x’ = –y 2

冢

冣

Concluímos que: Caderno de Exercícios

Exercício 3. Página 80.

 sen  +  = cos  2

冢

冣

 +  = –sen  cos  2

冢

冣

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

137

3 Relações entre as razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes  e  –  2 Observando a figura seguinte, concluímos que:

冢

冣

冢

冣

sen 3  –  = y’ = –x 2 cos 3  –  = x’ = – y 2

冢

冣

sen 3  –  = – cos  2

冢

冣

cos 3  –  = –sen  2

3 Relações entre as razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes  e  +  2 Observando a figura seguinte concluímos que:

EXERCÍCIO 4 Prove que:

4.1. 2 cos 3 –  +

冢2 冣

 3 + sen  +  + cos  +  + 2 2

冢

冢 冣

冣

sen 3  +  = y’ = –x 2

冢

冢

冣

+ sen( – ) = cos 

4.2. sen2  –  +

冢2 冣

冣

cos 3  +  = x’ = y 2

 3 + cos2  +  + sen   –  – 2 2

冢

冣

冢

– cos (3 + ) = 1

冢

冣

sen 3  +  = – cos  2

冢

冣

cos 3  +  = sen  2

Exemplo 1 Indique o valor exacto de: 1.1. sen 210o + cos 150o + tg 300o

15 2

4 3

19 6

冢

2 3

1.2. sen  – sen  · tg 

7 6

冣

37 6

1.3. cos  + sen – + tg 

Caderno de Exercícios

Exercícios 1, 2, 5 e 6. Páginas 79 e 80.

冣

138

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Resolução 1.1. 210o 僆 3.o Q. , logo:

1 sen 210o = sen (180o + 30o) = –sen 30o = – 2 150o 僆 2.o Q. , então:

3 兹苶 cos 150o = cos (180o – 30o) = –cos 30o = –  2

300o 僆 4.o Q. , então: tg 300o = tg (360o – 60o) = –tg 60o = – 兹苶 3 Podemos agora calcular o valor pedido: 1 sen 210o + cos 150o + tg 300o = –  – 2 RECORDAR A amplitude a de um qualquer ângulo pode ser expressa como a adição da amplitude  , pertencente ao intervalo [0, 2[ , com um múltiplo, positivo ou negativo, de 2 :

15 2

 2

冢

3 3 –1 – 3 兹苶 兹苶 – 兹苶 3 =   2 2



冣

冢 2冣

1.2. sen   = sen 8 –  = sen –  = –1

  Ao ângulo de amplitude 8 – correspondem as razões trigonométricas de –  , pois ao ângulo 2 2 de amplitude 8 correspondem quatro voltas completas no círculo trigonométrico.

a =  + 2k  com k 僆 Z

3 兹苶  4  sen  = sen  +  = –sen  = –  2 3 3 3

e  僆 [0, 2[

冢

冣

 2  3 tg  = tg  –  = –tg  = – 兹苶 3 3 3

冢

冣

Então: 3 兹苶 15 4 2 3 5 3 ) = –1 –  = –  sen  – sen  · tg  = –1 – –  · (–兹苶 2 2 3 3 2 2

冢

EXERCÍCIO 5 Indique o valor exacto de:

19 6

冢

1.3. cos   = cos 3 +

冣

兹苶  = cos  +  = –cos  = –   6

冣

 6

冢

冣

 6

3 2

5.1. 2 cos 240o – sen 135o + + tg 405o

1 7 5.2. tg 7 + cos 1 – sen  6 6 3

冢4 冣

5.3. cos 5  – sen – 5 · 6

5 · sen  4

1   7 sen –  = sen – –  = sen  =  2 6 6 6

冢

冣

冢

冣

  37 tg   = tg 6 +  = tg  = 6 6 6

冢

冣

3 兹苶  3

Calculemos o valor exacto pedido:

5.4.

冢 冣 冢 冣 冢 冣 冢 冣

22 37 5 sen   – tg   · tg   3 6 3  34 2 cos   3

3 19 37 7 1 兹苶 cos   + sen –  + tg   = –  +  + 6 6 6 2 2

冢

冣

3 3 3 – 兹苶 兹苶 =  6 3

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

139

Exemplo 2

EXERCÍCIO 6 Determine o valor de sen x e de cos x , sabendo que x pertence ao 4.o quadrante e que:

Simplifique as seguintes expressões:

冢

冢

15

冢2

冣

冢

冣

冣

冢

17 2

冣

9 1 sen  – x =  2 3

7 13 2.1. tg (5 – x ) + sen  + x + 2 sen  – x + cos (9 – x ) 2 2

冣

2.2. sen  + x + sen (–x + 2) + cos (4 – x ) + cos –x + 

Resolução 2.1. tg (5 – x ) = tg (–x ) = – tg x

7 3 3 sen   + x = sen 2 +   + x = sen   + x = –cos x 2 2 2

冢

冣

冢

冣

冢

冣

EXERCÍCIO 7 Determine o valor exacto da expressão A (x ) = 8 sen x + cos x , sabendo que x ∈ 1.o quadrante e que: 1 tg (x – 7) =  5

13   sen   – x = sen 6 +  – x = sen  – x = cos x 2 2 2

冢

冣

冢

冣

冢

冣

cos (9 – x ) = cos (8 +  – x ) = cos ( – x ) = –cos x

Então:

EXERCÍCIO 8

7 13 tg (5 – x ) + sen  + x + 2 sen   – x + cos (9 – x ) = –tg x – cos x + 2 cos x – cos x = –tg x 2 2

冢

冣

冢

冣

Simplifique cada uma das expressões seguintes:

8.1. sen (5 + x ) –

冢

冣

3 – cos   – x + cos (3 – x) 2

15

冢2

冣

3 2

冢

3

冣

冢2

冣

2.2. sen  + x = sen 6 +  + x = sen  + x = –cos x

8.2. tg (6 – x) –

冢

冣

5 – cos  + x – tg (3 – x ) – 2

sen (–x + 2) = sen (–x ) = –sen x

– sen (–x )

冢2

  17 cos –x +   = cos –x + 8 +  = cos –x +  = sen x 2 2 2

冢

冣

冢

冣

8.3. sen 7  + x –

cos (4 – x ) = cos (–x ) = cos x

冣

冢

– sen (10 + x ) + cos (–x )

冣

Exercícios propostos Exercícios 10 a 13. Página 175.

Voltemos à expressão inicial: 15 17 sen  + x + sen (–x + 2) + cos (4 – x ) + cos –x +   = –cos x – sen x + cos x + sen x = 0 2 2

冢

冣

冢

冣

Caderno de Exercícios

Exercícios 10 a 13 e 15 a 17. Página 81.

140

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Equações com a tangente

Ao caminhar pelo centro de Lisboa observou-se um candeeiro da cidade, com 9,5 metros de altura. Verificou-se ainda que o comprimento da sombra do candeeiro no plano horizontal era de 10 metros. Qual a inclinação (em graus) aproximada dos raios solares naquele instante? Tendo em atenção o esquema seguinte:

esta questão pode traduzir-se pela condição: 9,5 tg x =  ∧ 0º  x  90º ⇔ tg x = 0,95 ∧ 0º  x  90º . 10 Se recorrermos à calculadora, podemos encontrar a solução. Usando a função tg –1 , obtemos: x = tg –1 0,95 ou seja x ⬇ 43,5º Concluímos que o ângulo formado pelos raios solares com o solo tem de amplitude, aproximadamente, 44º. Esta questão também podia ter sido resolvida através do círculo trigonométrico, marcando 0,95 no eixo das tangentes e medindo a amplitude do ângulo correspondente a essa tangente.

T7

Actividade prática

Com a ajuda de um transferidor, iríamos obter 44º para valor aproximado de x . No contexto do problema, a solução da equação tg x = 0,95 é x ⬇ 44º .

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

141

No entanto, se a equação anterior resultasse de um outro problema, em que x pertencesse ao intervalo [0, 2] , qual seria a solução? Mais uma vez, usando a calculadora em MODE Rad e tendo em atenção o círculo trigonométrico, concluímos que: x ⬇ 0,76 rad ∨ x ⬇ 3,90 rad

EXERCÍCIO 9

E se pretendêssemos, no conjunto das amplitudes, determinar as amplitudes de todos os ângulos cuja tangente tem o valor de 0,95? Também esta equação não tem uma solução única e, como os ângulos que têm por tangente o valor 0,95 diferem de  ou de múltiplos de  , podemos concluir que: x ⬇ 0,76 rad + k , k 僆 ⺪ ou seja, tg x = tg  ⇔ x =  + k , k 僆 ⺪ Exemplo 3 Resolva as seguintes equações: 3.1. tg x = 1, em IR 3.2. 兹苶 3 + tg x = 0, no intervalo ]90o, 180o[

Resolução 3.1. Usando a calculadora em MODE Rad:

tg x = 1 ⇔ x = tg–1 (1) ⇔ x ⬇ 0,79 + k  , k 僆 ZZ Obtemos, assim, a expressão geral das soluções da equação dada. 3.2. 兹苶 3 + tg x = 0 ⇔ tg x = –兹苶 3

Com a calculadora em MODE Degree: tg x = –兹苶 3 ⇔ x = tg–1 (–兹苶 3 ) ⇔ x = –60o Como x 僆 ]90o, 180o[ , então x = –60o + 180o, ou seja, x = 120°.

Resolva, em IR , as seguintes equações:

9.1. tg x = –1 3 兹苶 9.2. tg x =  3

9.3. tg (2x ) = 兹苶 3 Exercícios propostos Exercício 14. Página 175.

142

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Equações com o seno

Pretende construir-se um cone, em acrílico, com um raio da base de 6 cm e uma área lateral de 437 cm2. Para tal, precisamos de conhecer a amplitude do ângulo que a geratriz do cone faz com o eixo. Para resolver este problema, recordemos que a área lateral (Al) de um cone é dada por: Al =  · r · g onde r representa o comprimento do raio da base e g o comprimento da geratriz. Em relação ao comprimento g , basta resolver a seguinte equação: 437 437 =  · 6 · g ⇔ g =  ⇔ g ⬇ 23,184 cm 6 Seguidamente, para determinar a amplitude  do referido ângulo, tal que 0º    90º , basta resolver a equação: 6 sen  ⬇  ⬇ 0,259 23,184 Recorrendo à calculadora em MODE Degree, obtemos um valor aproximado para a amplitude  do ângulo:  = sen–1 0,259 ⬇ 15º Podemos, então, com todos os dados obtidos construir o referido cone. Generalizemos esta situação à determinação das amplitudes, em radianos, de todos os ângulos cujo seno é 0,259. Isto é, vamos determinar todas as soluções da equação: sen x = 0,259 Recorrendo à calculadora em MODE Rad e calculando o valor sen–1 (0,259) obtemos uma solução que é, aproximadamente, 0,262 (o que no sistema sexagesimal corresponde a aproximadamente 15º). Mas observando o círculo trignométrico ao lado encontra-se uma outra y 1 solução, que é, aproximadamente,  – 0,262 ⬇ 2,880 . Notamos ainda que as amplitudes dos ângulos que procuramos se obtêm se somarmos ou subtrairmos múltiplos de 2 a qualquer um destes valores. Assim, as soluções são:

-0,262

0,259

o

x ⬇ 0,262 + 2k  ∨ x ⬇ 2,880 + 2k , k 僆 ⺪ Em conclusão, com  em radianos: sen x = sen  ⇔ x =  + 2k ∨ x = ( – ) + 2k , k 僆 ⺪

0,262 x

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

143

Exemplo 4

EXERCÍCIO 10

Resolva recorrendo à calculadora (em MODE Degree) as seguintes equações:

10.1. 1 – 2 sen x = 0 10.2. 3 – sen x = 0 10.3. sen x + 2 = 1 10.4. 2 + 3 sen x = 1

3 兹苶 + 兹苶 2 = 0 , no intervalo ]–90o, 90o[

4.1. 2 sen x = 4.2. 2 sen x

Resolução 4.1. 2 sen x = 兹苶 3 ⇔ sen x =

3 3 兹苶 兹苶 ⇔ x = sen–1 ᎏ ⇔ x = 60o ᎏ

冢

2

2

冣

A solução da equação não é única, como se pode concluir pela observação do círculo trigonométrico representado em seguida.

A expressão geral das soluções desta equação é a seguinte:

x = 60o + 360o k ∨ x = 120o + 360o k , k 僆 ZZ 4.2. 2 sen x + 兹苶 2 =0⇔

2 兹苶 ⇔ ⇔ sen x = – ᎏ

2

2 兹苶 ⇔ x = –45o ⇔ x = sen–1 – ᎏ

冢

2

Resolva, em IR , as seguintes equações:

冣

então x = –45o + 360o k ∨ x = 225o + 360o k , k 僆 ZZ vamos atribuir valores inteiros ao parâmetro k de modo a determinar as soluções pertencentes ao intervalo ]–90o, 90o[ . • Para k = –1:

x = –45o – 360o ∨ x = 225o – 360o ⇔ ⇔ x = –405o ∨ x = –135o mas –405o 僆 ]–90o, 90o[ e –135o 僆 ]–90o, 90o[ . Para valores inteiros de k menores do que –1 , obtemos amplitudes que não pertencem ao intervalo ]–90o, 90o[ .

144

EXERCÍCIO 11 Resolva as seguintes equações no intervalo ]–␲, ␲[ :

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

• Para k = 0:

x = –45o ∨ x = 225o

␲ 11.1.  2 sen x – ᎏᎏ = 1





3

–45o僆 ]–90o, 90o[ mas 225o 僆 ]–90o, 90o[ .

␲ 11.2.  3 + 2 sen x + ᎏᎏ = 0



4



• Para k = 1 :

11.3. 50 sen (2x ) = 13

x = –45o + 360o ∨ x = 225o + 360o ⇔

11.4. 2 sen ᎏxᎏ + ␲ ᎏᎏ =  2

⇔ x = 315o ∨ x = 585o

3 6

mas 315o 僆 ]–90o, 90o[ e 585o 僆 ]–90o, 90o[ . Exercícios propostos Exercício 4. Página 174.

Para qualquer valor inteiro de k , maior do que 1, obtemos amplitudes que não pertencem ao intervalo ]–90o, 90o[ . No intervalo ]–90o, 90o[ , o conjunto solução da equação é {–45o}.

Caderno de Exercícios

Exercício 7. Página 80.

Equações com o co-seno

Um jovem pretende determinar a amplitude do ângulo que a torre de Pisa faz com a horizontal. O jovem sabe que a altura da torre é de aproximadamente 55 metros e que, ao meio-dia, os raios solares são perpendiculares ao solo em certos dias do ano. Para resolver o problema, num desses dias, decide medir a sombra da torre e fazer o seguinte esquema.

Resolvendo a equação: 5,3 cos x = ᎏᎏ ⇔ cos x  0,096 55 determinará a amplitude pretendida. Recorrendo à calculadora em MODE Degree e não esquecendo que 0º ⬍ x ⬍ 90º , obtém: x  cos–1 0,096 ⇔ x  84,5º Fig. 1 Torre de Pisa, Itália, construída entre os séculos XII e XIV.

A torre faz com a horizontal um ângulo de amplitude aproximadamente igual a 84,5º.

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

145

Se, como nos casos anteriores do seno e da tangente, se pretender determinar as amplitudes de todos os ângulos tal que cos x  0,096 , também esta equação não terá solução única. Como já vimos, uma solução é, aproximadamente, 84,5º ou 1,47 rad . No entanto, se recorrermos ao círculo trigonométrico, representado em seguida, observamos que –1,47 rad é ainda solução desta equação, bem como todas as amplitudes do tipo:

EXERCÍCIO 12 Resolva, em IR , as seguintes equações:

12.1. 4 cos 2x –  = 2



4



2



12.2. 10 sen 7  – 3x = 0

2



12.3. sen 7  + x · · cos (2x + 11) = 0

2



1 12.4. cos 1 –x – – sen (x – 3) = 0

12.5. cos x – sen x · cos x = 0 x  ±1,47 + 2k , k  ⺪

Em conclusão, com  em radianos: cos x = cos  ⇔ x = ±  + 2k , k  ⺪

Exemplo 5 Resolva as seguintes equações: 5.1. cos x = 0,985 , em IR . 5.2. 1 + 2 cos x = 0 , no intervalo ]0, 2[ .

Resolução 5.1. Recorrendo à calculadora em MODE Rad e utilizando a função cos–1 , obtemos:

x = cos–1 0,985  0,173 rad então, a expressão geral das soluções da equação cos x = 0,985 é

x  ±0,173 + 2k  , k  ZZ 1 2

 2 1

5.2. 1 + 2 cos x = 0 ⇔ cos x = –  , logo temos que x = cos–1 –   1,05

Recorrendo ao círculo trigonométrico, representado ao lado, temos:

Exercícios propostos Exercícios 3, 15 e 16. Páginas 174 a 176.

x   – 1,05 ou x   + 1,05 , pois x  ]0, 2[ ou seja, x  2,09 ou x  4,19 . O conjunto solução é {2,09; 4,19} .

Caderno de Exercícios

Exercícios 4, 9, 14 e 18. Página 80.

146

NOTA O sistema de coordenadas polares foi utilizado pela primeira vez por dois grandes matemáticos, Isaac Newton (1643-1727) e Jacques Bernoulli (1654-1705). A notação actual foi apresentada por Euler (1707-1783). Outros sistemas de coordenadas foram propostos, mas o sistema de coordenadas polares prevalece como um dos mais práticos e de mais fácil manipulação.

T8

Actividade prática

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

COORDENADAS POLARES* Já sabemos localizar um ponto no plano e no espaço usando coordenadas rectangulares ou cartesianas. Também é possível localizar um ponto no plano usando um sistema de coordenadas chamado polar. Para introduzir este sistema de coordenadas polares, fixemos um ponto O , chamado pólo, e uma semi-recta com origem em O , chamada eixo polar. Para facilitar a comparação entre os sistemas vamos considerar um referencial cartesiano e fixemos o ponto O , pólo, na origem do referencial, e para eixo polar tomemos o semi-eixo positivo Ox . A qualquer ponto P do plano associamos um par de elementos, em que o primeiro é a distância, r , do ponto P ao pólo, e o segundo é o ângulo θ, formado pelo eixo polar e pela semi-recta de origem O que passa por P e cuja amplitude pode ser expressa em graus ou radianos.

Assim, dizemos que P tem coordenadas polares (r, θ) , onde r designa a coordenada radial e θ a coordenada angular. Para localizar o ponto P numa grelha polar, traçamos o lado extremidade do ângulo θ , com vértice no pólo e medido no sentido positivo (contrário ao movimento dos ponteiros do relógio). Sobre o lado extremidade do ângulo marcamos um segmento de comprimento r .

Note-se que o ângulo θ pode ser negativo (ou seja, medido no sentido negativo).

NOTA O pólo tem coordenadas polares (0, θ) , sendo θ um ângulo qualquer.

Assim, podemos afirmar que (r, θ) e (r, θ + 2k␲) , k 僆 ⺪ , representam o mesmo ponto. A um ponto pode corresponder uma infinidade de pares ordenados de coordenadas polares. Por exemplo, o ponto P da figura pode ser representado por (2, 45o) , (2, 405o) ou (2, –315o) . Podemos concluir então que cada par de coordenadas polares está associado a um único ponto do plano, mas um ponto do plano está associado a um conjunto infinito de pares de coordenadas polares. *Facultativo

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

0o

147

No entanto, por conveniência na resolução dos exercícios, vamos considerar ⭐ θ ⭐ 360o .

Estabeleceu-se assim uma correspondência entre um ponto do plano, P , com o · ângulo θ , formado pelo semieixo positivo Ox (eixo polar) e pela semi-recta OP . Coordenadas cartesianas ↔ Coordenadas polares P (x, y) ↔ P (r, θ) Vamos generalizar as coordenadas polares de modo a incluir valores negativos para a primeira coordenada polar do ponto P , que antes só representava uma distância do ponto P ao pólo. Para este valor negativo consideramos que, na semi-recta oposta à semi-recta de origem O e que faz um ângulo θ com o semieixo positivo Ox, deve ser marcada uma distância de valor igual ao simétrico da primeira coordenada polar do ponto P .

NOTA Designa-se o par de coordenadas polares de um ponto P (r, θ) , com r ⬎ 0 e 0o ⭐ θ ⭐ 360o, como conjunto principal do ponto P .

EXERCÍCIO 13 Complete a tabela, no seu caderno, atendendo aos dados da figura.

Ponto

Coord. Coord. cartesianas polares

A B

C

Considera-se que (– r, θ) e (r, θ + ␲) representam o mesmo ponto.

D

EXERCÍCIO 14

Exemplo 6 Represente numa grelha polar os pontos A , B , C , D e E , de coordenadas polares, respectivamente: ␲ 2␲ 5␲ (1, 60o) ; (4, 210o) , 2, ᎏᎏ , 3, – ᎏᎏ e –3, ᎏᎏ 6 3 6

冢 冣冢

冣 冢

冣

Considere o ponto P , de coor3 denadas polares 1, – ᎏᎏ ␲ . 4 Designe o ponto P pelas respectivas coordenadas polares mas atendendo às seguintes condições:

冢

冣

14.1. r ⬎ 0 ⵩ 0 ⭐ θ ⬍ 2␲ 14.2. r ⬍ 0 ⵩ 0 ⭐ θ ⬍ 2␲ Resolução Atendendo às coordenadas radiais dos pontos, optou-se por uma grelha formada com circunferências de raio 1, 2, 3 e 4. Visto as coordenadas angulares serem múltiplos ou submúltiplos de 30o ou 60o, dividiram-se as circunferências em 12 partes iguais. Assim, temos:

EXERCÍCIO 15 Considere uma grelha polar como a apresentada na resolução do exemplo 6 e represente os pontos A , B , C , D e E de coordenadas polares, respectivamente: ␲

冢3, ᎏ4ᎏ冣 , 冢1, ᎏ4ᎏ ␲冣 , (–2, ␲) 3

冢2, – ᎏ6ᎏ ␲冣 e 冢4, ᎏ3ᎏ ␲冣 5

4

Exercícios propostos Exercício 19. Página 176.

148

EXERCÍCIO 16 Escreva as coordenadas polares, sendo que r  0 ⵩ 0  θ   2 , dos seguintes pontos expressos em coordenadas cartesianas.

16.1. (2, –2) 16.2. (–3, 兹苶 3) 3 兹苶 16.3. 1, 

冢2

2

冣

16.4. (2兹3苶, 2)

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Conversão de coordenadas cartesianas em coordenadas polares e vice-versa* De coordenadas cartesianas para coordenadas polares

Seja P um ponto de coordenadas (x, y). Em função de θ temos: x x cos θ =  e sen θ =  r r ou seja, x = r cos θ e y = r sen θ , logo, as coordenadas cartesianas do ponto P em função de θ são (r cos θ, r sen θ) .

De coordenadas cartesianas para coordenadas polares.

x2苶 + 苶y苶2 . Aplicando o teorema de Pitágoras, x2 + y 2 = r 2 , obtemos r = 兹苶 y y Observando a figura verificamos que tg θ =  , pelo que θ = tg–1  . x x

冢 冣

y Visto que 0o  θ  360o , existem dois valores de θ cuja tangente é dada por  . x Assim, temos de verificar a que quadrante pertence o ponto para determinar o valor de θ . Exemplo 7 Indique as coordenadas polares dos pontos A e B cujas coordenadas cartesianas são, respectivamente, (1, 兹苶 3 ) e (–4兹苶 3 , – 4) .

Resolução 2 então r = • A → (1, 兹苶 3 ) como r = 兹苶 x 2苶 +苶y苶 3苶 )2 ⇔ r = 2 兹苶 兹苶1苶2 苶+苶( 苶

3  兹苶 e A ∈ 1.o Q. , logo, θ =  . θ = tg–1  3 1

冢

冣

 Portanto, o ponto A tem como coordenadas polares 2,  . 3

冢 冣

3 , –4) • B → (–4 兹苶

r =

(– 4 3苶 )2苶 +苶(苶–苶 4苶 )2 ⇔ r = 8 兹苶 兹苶 苶苶

–4 3 兹苶 ∧ B ∈ 3.o Q. , logo, θ = tg–1  ⇔ θ = tg–1  –4兹苶 3 3

冢

冢

冣

 7 θ =  +  ⇔ θ =  . 6 6

Calculadoras Casio Página 184. Exercícios propostos Exercícios 7 e 17. Páginas 175 e 176.

冣

7 O ponto B tem como coordenadas polares 8,  . 6

冢

*Facultativo

冣

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

149

De coordenadas polares para coordenadas cartesianas

EXERCÍCIO 17

Observando novamente a figura, seja P um ponto de coordenadas polares (r, θ) .

Indique as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos, expressos em coordenadas polares.

2 4 

17.1. ᎏ1ᎏ, ᎏ5ᎏ␲



6



3



17.2. 3, – ᎏ1ᎏ1 ␲

Podemos deduzir as coordenadas cartesianas (x, y) a partir das coordenadas polares: x y — OP = r , donde cos θ = ᎏ e sen θ = ᎏ r r

⎧ x = r cos θ ⎪ portanto ⎨ ⎪ y = r sen θ ⎩

17.3. –3, ᎏ2ᎏ ␲



17.4. –1, – ᎏ␲ᎏ



4



De coordenadas polares para coordenadas cartesianas.

Exemplo 8 Indique as coordenadas cartesianas dos pontos C e D cujas coordenadas polares são, respectiva␲ 5␲ mente 2, ᎏᎏ e –1, ᎏᎏ . 6 4

  



Resolução ␲ • Se C tem coordenadas polares 2, ᎏᎏ , então: 6

 

3 ␲  x = 2 cos ᎏᎏ ⇔ x = 2 × ᎏ ⇔ x =  3 6 2 ␲ 1 y = 2 sen ᎏᎏ ⇔ y = 2 × ᎏᎏ ⇔ y = 1 6 2

C tem como coordenadas cartesianas ( 3 , 1) . 5␲ • Se D tem coordenadas polares –1, ᎏᎏ , então: 4





2 2 5␲   x = –1 cos ᎏᎏ ⇔ x = –1 × – ᎏ ⇔x = ᎏ 4 2 2





2 2 5␲   y = –1 sen ᎏᎏ ⇔ y = –1 × – ᎏ ⇔ y =ᎏ 4 2 2





Calculadoras Casio Página 184.

2 2   D tem como coordenadas cartesianas ᎏ , ᎏ . 2 2





Exercícios propostos Exercícios 8, 9 e 18. Páginas 175 e 176.

150

NOTA Para este exemplo é necessário configurar a janela de visualização:

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Alguns lugares geométricos WWW

Apresentamos a título de exemplo algumas representações gráficas de equações polares, ou seja, equações em que as variáveis são r e θ .

Circunferência Exemplos para r = a cos θ e r = a sen θ

NOTA Outras curvas… • Cardióide

Caracóis Exemplos para r = a + b cos θ e r = a + b sen θ

Rosas • Espirais (a ⬎ 0)

Exemplos para r = a cos (nθ) e r = a sen (nθ)

a Exemplos para r = a θ e r = ᎏ θ

Lemniscatas (de Bernoulli) Exemplos para r 2 = a 2 cos 2θ e r 2 = a 2 sen 2θ

Calculadoras Casio Página 185.

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

151

Funções periódicas

Muitas situações ou fenómenos do nosso dia-a-dia são periódicos, isto é, de tempos em tempos repetem-se. Por exemplo, todos os dias acontece o «nascer-do-sol» e o «pôr-do-sol», a cada 28 dias a Lua estará na mesma fase, do ponto de vista de um observador fixo na Terra. As funções periódicas surgem numa grande variedade de problemas físicos: vibrações de uma corda de um instrumento musical, movimento dos planetas ao redor do Sol, rotação da Terra em torno do seu eixo, movimento de um pêndulo, marés e movimento ondulatório em geral, entre outros. Ao analisarmos uma representação gráfica de algumas destas funções verificamos que têm um comportamento especial, pois as linhas desenhadas apresentam as mesmas características em intervalos consecutivos. Para melhor entendermos esta situação apresentamos alguns exemplos:

A primeira representação gráfica é relativa à função real de variável real que a cada valor x faz corresponder a sua parte decimal, em valor absoluto (designada por função mantissa); a segunda representação relaciona a variável tempo com a temperatura de um congelador (cuja porta não é aberta).

Uma função f , real de variável real, diz-se períodica, de período p (real positivo), se para todo o x do domínio da função, tal que x + p ainda pertence ao domínio da função, se tem f (x ) = f (x + p) .

NOTA Conhecendo o gráfico de uma função periódica num determinado intervalo do seu domínio (que inclua um período mínimo, se existir), ficamos a conhecer qualquer representação gráfica definida em qualquer intervalo do domínio.

152

T9

Actividade prática

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS As razões trigonométricas podem ser interpretadas, não só como relações entre os comprimentos dos lados e as amplitudes dos ângulos de triângulos rectângulos, mas também como correspondências unívocas, em que a cada amplitude x (em radianos) de um ângulo corresponde uma razão trigonométrica dessa amplitude x . Neste caso, dizemos que estamos perante funções trigonométricas. Como as amplitudes, em radianos, bem como os valores correspondentes das razões trigonométricas, são números reais, estamos a definir funções reais de variável real.

Função seno

Seja f a função real de variável real definida por: f: IR → IR x 哭 sen x Com o auxílio da calculadora gráfica ou do círculo trigonométrico, vamos esboçar o gráfico desta função no intervalo [0, 2␲[ : y 2 3 Calculadoras Casio Páginas 185-186.

1

2

5 6

P

3 6

7 6

11 6 4 3

3 2

6

3

2

2 3

5 6

7 6

4 3

3 2

5 3

11 6

2

x

5 3 -1

Para cada valor de x 僆 [0, 2␲[ , sen x é a ordenada de um ponto obtido pela intersecção do lado extremidade do ângulo x com o círculo trigonométrico. Temos P (x, sen x) . Recorrendo à calculadora gráfica podemos obter as coordenadas de pontos que pertençam ao gráfico desta função. Para visualizar uma representação gráfica da função y = sen x , introduzimos a expressão que define a função na calculadora, no MODE rad e com a janela («window») apresentada em baixo. Em seguida, selecciona-se a opção TBLSET e obtemos, a partir da seguinte tabela, as coordenadas de pontos que pertencem ao gráfico da função seno, conforme se observa na margem. Estamos em condições de esboçar uma representação gráfica da função y = sen x , no intervalo [0, 2␲[ .

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

153

Podemos continuar este estudo para ângulos cujas amplitudes sejam maiores ou iguais a 2 e para amplitudes negativas, mas tal não é necessário, pois a função seno é periódica. Atendendo à generalização de ângulo e ao estudo já efectuado sobre a variação das razões trigonométricas, podemos concluir que para a função f : x 哭 y = sen x

RECORDAR O gráfico de uma função ímpar é simétrico relativamente à origem.

• Df = IR • D’f = [–1, 1] • é uma função ímpar, pois, sen (–x) = – sen x ,  x  IR • é uma função periódica, pois: sen (2k + x) = sen x ,  x  IR , k  ⺪ Para k = 1 obtém-se 2 ; este é o período mínimo da função.

NOTA

• A expressão geral dos zeros é x = k , k  ⺪ .  • A função tem máximos relativos para x =  + 2k , k  ⺪ . 2 • A função tem mínimos relativos para:

Uma função é periódica, de período p , positivo, se:

x = 3  + 2k , k  ⺪ . 2 O gráfico da função seno define uma sinusóide. Exemplo 9 A água que sai de uma torneira produz ondas na superfície de um tanque. Essas ondas são geradas periodicamente e seguem o seguinte modelo matemático: WWW

Y = 1,25 sen (0,8 x ) , x em segundos

9.1. Recorrendo à calculadora gráfica, esboçe um gráfico que represente este modelo no intervalo

[0, 5] . 9.2. Qual é o intervalo de tempo entre duas cristas sucessivas de onda?

Resolução 9.1. Com a calculadora em MODE rad, e tendo em conta o intervalo dado, considerou-se a janela

apresentada na figura 2. Obteve-se o gráfico apresentado na figura 3.

Fig. 2

Fig. 3

f (x + p ) = f (x ) ,  x , x + p  Df

154

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

9.2. Calcular o intervalo de tempo entre duas cristas sucessivas de onda é determinar o período da função. Pois, como se observa no gráfico, a função tem um único máximo absoluto cujo valor se repete periodicamente, definindo assim o período da função.

Para determinar o valor do período podemos determinar as abcissas de dois máximos consecutivos e depois calcular a diferença entre ambas. Recorrendo à calculadora, obtemos as abcissas x 1 ⬇ 0,625 e x 2 ⬇ 3,125 . Calculando a sua diferença: x 2 – x 1 = 3,125 – 0,625 = 2,5 Logo, o período da função é 2,5, ou seja, de 2,5 segundos em 2,5 segundos forma-se uma crista.

Exemplo 10 Com instrumentos apropriados, construiu-se a tabela ao lado, relativa ao movimento circular de uma partícula, relacionando cada instante, t (em segundos), com a distância, y (em centíWWW metros), a que a partícula se encontra do eixo Ox nesse mesmo instante.

10.1. Utilizando a opção MODE

STAT

y (cm)

0,00

9,93

0,10

17,04

0,20

19,97

0,30

18,02

0,40

11,65

0,50

2,43

0,60

–7,39

0,70

–15,39

0,80

–19,63

0,90

–19,06

1,00

–13,82

da calculadora gráfica, escreva uma expressão, definida por

uma função do tipo Calculadoras Casio Páginas 185-186.

t (s)

y = a sen (bt + c ) + d que modele a situação dada. 10.2. Esboce o gráfico da função durante o primeiro segundo. 10.3. Determine a medida do raio da trajectória circular. 10.4. Indique a amplitude do ângulo  no instante t = 0 .

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

155

Resolução 10.1. Na calculadora gráfica, efectuam-se os seguintes passos.

• Introduzir os valores dados na tabela em • Ainda em

STAT

STAT

1: Edit

, mas na opção Calc e escolhendo C: SinReg , obtém-se:

Atenção, a letra x representa a variável t .

• Por aproximação dos valores a , b , c e d , pode definir-se a função como:

y ⬇ 20 sen (5t + 0,52) + 0 ou introduzir na calculadora os valores obtidos, do seguinte modo: Y=

VARS

5: statistics 䉴 EQ 1: RegEQ

ENTER

• Escolher a janela de visualização mais adequada através da tabela de valores, tendo em atenção o contexto do exemplo. A seguir, apresenta-se uma opção.

• Verificar que os pontos marcados na opção LIST estão sobre o gráfico da função. 10.2.

EXERCÍCIO 18 Considere a função real de variável real definida por:

f (x ) = –4 + 2 sen x

18.1. Verifique que a função nunca se anula.

10.3. Observando na página anterior a representação do movimento circular uniforme verificamos

para t = 0,2 , y tem o valor máximo e coincide com o raio da trajectória. Assim, a medida do raio da trajectória é dada pelo máximo da função, ou seja, y ⬇ 20 . O raio tem de comprimento, aproximadamente, 20 cm. 10.4. No instante t = 0 temos y ⬇ 20 sen 0,52 , ou seja, a amplitude é de 0,52 rad .

18.2. Calcule:

冢 冣 冢

冣

21 5 f ᎏᎏ␲ – f – ᎏᎏ␲ 4 3

18.3. Determine x , tal que: ␲ 5 x 僆 0, ᎏᎏ e f (x ) = – ᎏᎏ 2 2

冥 冤

156

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Função co-seno

Seja g a função, real de variável real, definida por: g: IR → IR x 哭 cos x Utilizando o método de trabalho semelhante ao do estudo da função y = sen x , obtemos, a partir da calculadora gráfica ou do círculo trigonométrico, a seguinte representação gráfica:

6

0

y 11 1 6

3

5 3 4 0 3

2 2 3 5 6

6

3

2

2 3

5 6

7 6

4 3

3 2

5 3

7 6 -1

de onde podemos concluir: • Dg = IR • D’g = [–1, 1] RECORDAR O gráfico de uma função par é simétrico relativamente ao eixo Oy .

• É uma função par, pois: cos x = cos (–x) ,  x 僆 IR • É uma função periódica, pois: cos (2k + x) = cos x ,  x 僆 IR , k 僆 ⺪ Para k = 1 , obtém-se 2 ; este é o período mínimo da função. • A expressão geral dos zeros é:  x =  + k , k 僆 ⺪ 2 • A função tem máximos relativos para: x = 2k , k 僆 ⺪

EXERCÍCIO 19 Sabendo que  ∈ [0, 2[ , indique os valores reais k tais que: 4k – 1 cos  =  5

• A função tem mínimos relativos para: x =  + 2k , k 僆 ⺪ O gráfico da função co-seno define uma co-sinusóide.

11 6

2

x

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

157

Exemplo 11 Em Janeiro, um gestor de uma empresa apresentou a relação entre a despesa d (em euros) de electricidade, consumida pelo aquecimento central, e o tempo, t (em meses), no decorrer do último ano:

d (t ) = 200 cos (0,6t ) + 450 WWW

Note-se que t = 0 corresponde ao último dia do mês de Janeiro do ano em estudo.

11.1. Esboce o gráfico que representa a despesa ao longo do ano. 11.2. Determine a despesa relativa ao mês de Março. 11.3. Qual é o valor mínimo da despesa? E o máximo? 11.4. Mantendo-se as mesmas condições para o ano seguinte ao deste estudo, ao fim de quantos

meses a despesa atingirá o valor máximo? Com base no resultado obtido, justifique se o modelo apresentado é o adequado para o ano seguinte.

Resolução 11.1. Utilizando a calculadora gráfica, é necessário encontrar uma janela de visualização adequada,

como, por exemplo, a que apresentamos na margem. Verifique se a calculadora está em MODE Radian, Seq., Dot e siga os seguintes passos: Y = u (n ) = 200 cos (0,6n ) + 450 GRAPH . Utilizou-se esta opção pois o domínio da função é o conjunto dos últimos dias de cada mês.

Calculadoras Casio Páginas 186-187.

Assim, obtemos o gráfico apresentado ao lado:

11.2. O mês de Março corresponde a t = 2 , logo:

d (2) = 200 cos (0,6 × 2) + 450  522,5 A despesa no mês de Março foi, aproximadamente, 522 euros e 50 cêntimos. 11.3. Usando a opção TRACE .

Obtemos para mínimo d  252 euros (em 30 de Junho) e para o máximo, d  642 euros , no dia 30 de Novembro. 11.4. Para resolver a questão podemos determinar o período da

função.

2␲ 2␲ Como d (t ) = d t + ᎏ um período é ᎏ ; observando o gráfico facilmente se conclui 0,6 0,6





2␲ que ᎏ  10,47 é o período mínimo. 0,6

Exercícios propostos Exercícios 5, 6 e 20 a 23. Páginas 174, 176 e 177.

No último dia do mês de Setembro, a despesa volta a atingir o valor máximo. Tendo em conta o valor encontrado e as características do clima em Portugal, o modelo não é adequado, pois não é provável que no mês de Setembro a despesa em aquecimento atinja o valor máximo.

Caderno de Exercícios Exercícios 19 a 23. Página 82.

158

EXERCÍCIO 20 Dada a função, real de variável real, definida por:

g (x ) = cos (2x ) – 3

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Função tangente

Com o auxílio da calculadora gráfica e do círculo trigonométrico, vamos traçar o gráfico de t(x) = tg x .

20.1. Calcule:



y

 



10 19 g  – g  6 3

20.2. Com a ajuda da calculadora gráfica, indique:

• o contradomínio da função; • um intervalo em que a função seja crescente.

2 3

2

5 6

7 6

3

7 18

3 6 11 0 6 4 3

3 2

7 3 18 2

6

2 3

5 6

5 6

4 3

3 2

5 3

11 6

2

x

5 3 3

T10

Actividade prática

Verificamos que o gráfico não apresenta um traço «contínuo», tendo várias interrupções devido à tangente ser definida pelo quociente entre o valor da ordenada e o valor da abcissa do ponto onde o lado extremidade do ângulo intersecta o eixo das tangentes. Este quociente só tem significado se a abcissa for diferente de zero, ou seja, por exemplo, no intervalo em estudo [0, 2] , a tangente só está definida para os ângulos  3  . x tais que x   ,  2 2





Podemos concluir que:  • Dt = IR\  + k , k  ⺪ 2 • D’t = IR



EXERCÍCIO 21 Dada a função, real de variável real, definida por:



x h (x ) = tg  + 1 2

21.1. Indique o domínio e o contradomínio da função. 21.2. Calcule o valor arredondado às centésimas de:

   

7 5 h   – h   2 3

21.3. Indique o período mínimo da função h . 21.4. Determine x , sabendo que: x  ]–, [ e h (x ) = 0 .



• É uma função ímpar, pois: tg (–x) = – tg x ,  x  Dt • É uma função periódica, pois: tg (k + x) = tg x ,  x  Dt , k  ⺪ Para k = 1 , obtém-se o período mínimo  • A expressão geral dos zeros é: x = k , k  ⺪ • A função é crescente em qualquer intervalo do tipo: 



– 2 + k, 2 + k , k  ⺪ • O gráfico da função é simétrico em relação à origem. O gráfico da função tangente define uma tangentóide.

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

159

Exemplo 12 Quatro aldeias situam-se nos quatro vértices de um quadrado, de lado 1 quilómetro. A operadora de telecomunicações vai fazer uma nova instalação de cabos, ligando as quatro aldeias. Apresentam-se, ao lado, vários esquemas possíveis. Determine o comprimento mínimo do cabo correspondente à solução mais económica. Apresente o resultado em quilómetros, arredondando às centésimas. Nota: O comprimento do cabo de ligação (em quilómetros), em função da amplitude  (em radianos) do ângulo, é dado por:  2 C () =  + 1 – tg  com  僆 0,  cos  4

冤

冥

in Modelação no Ensino da Matemática, Calculadora CBL e CBR, APM, Lisboa, 1999 (adaptado)

Resolução 2 Utilizando a expressão dada: C () =  + 1 – tg  cos  inserimo-la na calculadora gráfica. Para encontrar uma janela de visualização adequada (não esquecer que a calculadora deve estar em rad), consulte-se a tabela de valores (TABLE). Uma janela possível é a indicada na margem: E a representação gráfica da função é:

Fig. 4

Fig. 5

Depois, calculamos o mínimo da função, que é:

C ⬇ 2,7320508 para  ⬇ 0,52359937

O comprimento mínimo de cabo necessário será, aproximadamente, de 2,73 quilómetros.

Caderno de Exercícios

Exercício 8. Página 80.

160

EXERCÍCIO 22 Considere a seguinte função, real de variável real:

h (x ) = sen x · tg x

22.1. Determine a expressão

geral dos zeros.

22.2. Calcule o valor, arredondado às centésimas, de:

冢 冣

冢

冣

17 5 4h   + 2h   4 3

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Exemplo 13 Na figura está representada a Terra e uma nave espacial, N . Considere que a Terra é uma esfera de centro C e raio r . A área da superfície da terra visível da nave, representada a sombreado na figura, é dada, em função do ângulo  , por  f () = 2 r 2 (1 – sen )   0,  2

冢

冥 冤冣

A

22.3. Prove que: 1 h (x ) + cos x =  cos x

r C

r

N

h

EXERCÍCIO 23 Considere a expressão:

B

f (x ) = a + b sen2x Sempre que se atribui um valor real a a e um valor real a b , obtemos uma função de domínio IR .

23.1. Considere a = 2 e b = –5 . 1 Sabe-se que tg  =  . Sem 2 recorrer à calculadora, calcule f () .

13.1. Determine o valor de  para o qual é visível, da nave, a quarta parte da superfície terrestre. 13.2. Designando por h a distância da nave à Terra, mostre que a área da superfície da Terra visível

2 r 2h da nave é dada, em função de h , por g (h ) =  . r +h Exame Nacional, in Matemática, Questões de Exame 12.o Ano, 1997-2003, 2003, EME (adaptado)

23.2. Para um certo valor de a

e um certo valor de b , a função f tem parte do seu gráfico representado na figura seguinte.

Resolução 13.1. A área de uma superfície esférica é dada por A = 4r 2.

Se só é visível da nave a quarta parte da superfície terrestre, então, a área desta é dada por A 1 = r 2 . O valor de  para o qual é visível, da nave, a zona referida é a solução da equação f () = r 2 . Então: Conforme esta figura sugere: • D ’f = [–3, 1] • 0 e  são maximizantes.   • –  e  são minimizantes. 2 2 Determine a e b . in Exame Nacional, 2003 (adaptado)

Exercícios propostos Exercícios 24 a 28. Páginas 178 a 180.

Caderno de Exercícios

Exercícios 24 e 25. Página 84.

2r 2(1 – sen ) = r 2 ⇔ 2(1 – sen ) = 1 ⇔ 1 ⇔ 2 – 2 sen  = 1 ⇔ –2 sen  = –1 ⇔ sen  =  2   Como  ∈ 0,  , o valor pretendido é  =  . 6 2

冥

冤

r r 苶 C苶 N r +h Como a área da superfície terrestre visível é dada por 2r 2 (1 – sen ) , logo, substituindo nesta r expressão sen  por  , obtemos: r +h r +h –r 2r 2h r 2 2 2r (1 – sen ) = 2r 1 –  = 2r 2  =  r +h r +h r +h

13.2. Observando a figura temos: sen  =   ⇔ sen  = 

冢

2r 2h ou seja, g (h) =  . r +h

冣

冢

冣

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

RESUMINDO Redução ao 1.o quadrante*  • sen  –  = cos  2

 • sen  +  = cos  2

 • cos  –  = sen  2

 • cos  +  = –sen  2

• sen ( – ) = sen 

• sen ( + ) = –sen 

• cos ( – ) = – cos 

• cos ( + ) = –cos 

• tg ( – ) = –tg 

• tg ( + ) = tg 

冢

冢

冣

冣

冢

冢

冣

冣

冢

冣

3 • sen  +  = –cos  2

3 • cos  –  = –sen  2

冢

冣

3 • cos  +  = sen  2

• sen (2 – ) = –sen 

• sen (– ) = –sen 

• cos (2 – ) = cos 

• cos (– ) = cos 

• tg (2 – ) = –tg 

• tg (– ) = –tg 

• sen 3  –  = – cos  2

冢

冣

冢

冣

Equações trigonométricas

Considere  em radianos: • sen x = sen  ⇔ x =  + 2 k ∨ x = ( – ) + 2 k , k  ⺪ • cos x = cos  ⇔ x = ±  + 2 k , k  ⺪ • tg x = tg  ⇔ x =  + k , k  ⺪

*Facultativo

161

162

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

A VIDA DA MATEMÁTICA As funções periódicas, como as funções seno e co-seno, têm inúmeras aplicações. Desde a física, a engenharia, a cartografia, a navegação, até à zoologia, surgem fenómenos que se repetem periodicamente, com movimentos ondulatórios ou vibratórios. O simples acto de sintonizar um determinado canal no nosso televisor não é mais do que captar um determinado comprimento de onda.

O movimento vibratório de uma corda musical também é analisado com base nas funções trigonométricas, tendo sido Brook Taylor (1685-1731) quem assim o considerou pela primeira vez.

Christiaan Huygens [1629-1695]

Fig. 6 Onda sonora.

A luz, o som, a electricidade,... são igualmente fenómenos periódicos. No século XVII, Christiaan Huygens formulou a teoria ondulatória da luz e estudou várias curvas relacionadas com funções trigonométricas. Mais tarde, Augustin Fresnel (1788-1827), físico francês, explicou os fenómenos relativos à teoria ondulatória da luz como parte de ondas sinusoidais, mas foi Thomas Young (1773-1829) quem provou que a luz se propaga por ondas e que a cada cor corresponde um respectivo comprimento de onda. Joseph Fourier [1768-1830]

As marés são fenómenos naturais periódicos causados pela mútua atracção entre a Terra e a Lua, e pelo movimento de rotação da Terra. É de salientar a contribuição de Joseph Fourier para o estudo destes fenómenos. É também notável a contribuição dada por Nicolau Copérnico, matemático e astrónomo, que conseguiu a aceitação, por parte da sociedade científica, da teoria sobre o movimento da Terra em torno do Sol, já que na sua obra De lateribus angulis triangulorum definiu vários conceitos que, juntamente com a obra De triangulis e tabulae directorum, do matemático Regiomontanus, permitiram o desenvolvimento da trigonometria.

Nicolau Copérnico [1473-1543]

No entanto, foi só com François Viète (1540-1603) que a trigonometria se transformou num ramo independente da Matemática. Em Canon mathematicus, escrito em 1579, apresentou as primeiras tábuas naturais das funções trigonométricas para amplitudes de ângulos de minuto a minuto e concluiu a periocidade destas funções. «Como é difícil para um investigador interpretar os seus resultados sem ajuda da matemática…» Lord Rayleigh (físico britânico)

www.matematicaB.TE.pt

Links : Funções trigonométricas • Assuntos diversos relacionados com a trigonometria

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

163

T7 Actividade prática «A matemática produz um impulso, de tal maneira que qualquer resultado novo aponta imediatamente para um outro.» Alfred Adler (psicólogo austríaco)

OBJECTIVOS Pretende-se com esta actividade determinar uma expressão geral das soluções de equações trigonométricas. MATERIAIS Calculadora gráfica Texas TI-84 Plus. EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE

WWW

Equações trigonométricas sen x = c Calcule as soluções da equação sen x = c , no intervalo [0o, 360o[ . Antes de iniciar a actividade, verifique se a unidade angular se encontra definida em graus e defina a janela conveniente para a visualização das soluções. sen x = 0,8 Introduza na calculadora gráfica as expressões sen x e 0,8 em Y1 e Y2 , respectivamente, e esboçe os gráficos respectivos. Determine as abcissas dos pontos de intersecção das duas linhas, utilizando a opção Intersect (1). Repita os passos anteriores, para determinar as soluções das equações, arredondadas às centésimas: 1. sen x

= 1,5

3. sen x

= 0,5

5. sen x

= – 0,3

2. sen x

=1

4. sen x

=0

6. sen x

= –1

7. sen x

= –1,8

Copie para o seu caderno as tabelas e as expressões por preencher que se seguem e complete-as. Número de soluções

sen x

␣1

Soluções ␣2

␣1 + ␣2

0,8 1,5 1,5 0,5 0,0 –0,3,0 –1,03 –1,3,0

Que relação existe entre as soluções de cada equação?

(1) Nas calculadoras Casio FX-9860GII ou FX-9860GII SD, depois de desenhar o gráfico (pressionando F6), prima F5 (G-SOLV) e utilize

a opção ISECT.

164

H

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

continuação Actividade prática T7 Sabendo que a função seno admite período mínimo 360o, podemos escrever que a expressão geral das soluções da equação sen x = c é:

sen x = c ⇔ sen x = sen ␣ ⇔ x = _________________________ ∨ x = _________________________ , k 僆 ZZ Faça um estudo semelhante para as equações cos x = c e tg x = c e apresente as conclusões. cos x = c Número de soluções

cos x

␣1

Soluções ␣2

␣1 + ␣2

0,8 1,5 1,5 0,5 0,0 –0,3,0 –1,03 –1,3,0

Que relação existe entre as soluções de cada equação? Sabendo que a função co-seno admite período mínimo 360o, podemos escrever que a expressão geral das soluções da equação cos x = c é dada por: cos x = c ⇔ cos x = cos ␣ ⇔ x = _________________________ ∨ x = _________________________ , k 僆 ZZ tg x = c

Número de soluções

tg x

␣1

Soluções ␣2

␣1 + ␣2

0,8 1,5 1,5 0,5 0,0 –0,3,0 –1,03 –1,3,0

Que relação existe entre as soluções de cada equação? Sabendo que a função tangente de x admite período mínimo 180o, podemos escrever que a expressão geral das soluções da equação tg x = c é: tg x = c ⇔ tg x = tg ␣ ⇔ x = _________________________ , k 僆 ZZ

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

165

T8* Actividade prática «O último esforço da razão é reconhecer que existe uma infinidade de coisas que a ultrapassam.» Blaise Pascal (físico e matemático francês)

OBJECTIVOS Pretende-se com esta actividade relacionar as coordenadas rectangulares com as coordenadas polares. EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE Coordenadas polares [OAP ] e o ângulo θ . — Seja OP = 2 . Escreva, em função de θ , o comprimento dos segmentos [AP ] e [AO ] .

1. Considere o triângulo rectângulo

agora o triângulo [OAP ] num referencial polar, de modo que o vértice O coincida com a origem do referencial e o ponto A pertença ao semi-eixo positivo Ox . Tendo em conta a questão 1, escreva as coordenadas do ponto P em função do ângulo θ .

2. Considere

3. Considere um ponto qualquer, Q , pertencente ao 1.o quadrante.

Escreva as coordenadas de Q em função do ângulo θ (ângulo formado por o semi-eixo · · positivo Ox e a semi-recta OQ ) e em função de r (comprimento de [OQ ] ). y — Nota: Tenha em conta que OQ = r = 兹苶 x 2苶+苶 y 苶2 e θ = tg–1 ᎏᎏ x

冢 冣

*Facultativo

166

H

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

continuação Actividade prática T8 Já são nossas conhecidas as coordenadas cartesianas, introduzidas por René Descartes e Pierre de Fermat. Acabámos de estabelecer uma correspondência entre um ponto do plano, Q , com o ângulo · · θ , formado pelo semi-eixo positivo Ox e pela semi-recta OQ . Chamamos a estas novas coordenadas coordenadas polares. Coordenadas cartesianas ↔ Coordenadas polares

P (x, y ) ↔ P (r, θ) x = r cos θ y = r sen θ 4. Considere as três circunferências representadas com raios 1, 2 e 3 unidades. Sabendo que as

circunferências estão divididas em doze partes iguais, escreva as coordenadas polares dos pontos A , B , C , D , E e F .

5. Considere as coordenadas polares dos seguintes pontos:

5␲ 5␲ 3␲ P 2, ᎏᎏ , Q 0,5; ᎏᎏ e R 1,5; –ᎏᎏ 4 6 2

冢 冣 冢

冣 冢

5.1. Represente no seguinte referencial os pontos

冣

P, Q e R.

5.2. Determine as coordenadas rectangulares dos pontos P ,

Q e R.

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

167

T9 Actividade prática «Nenhuma investigação merece o nome de Ciência se não passa pela demonstração matemática.» Leonardo da Vinci (cientista italiano)

OBJECTIVOS Pretende-se, com esta actividade, modelar o movimento de um pêndulo. MATERIAIS Calculadora gráfica. Sensor CBR. Pêndulo.

EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE Funções trigonométricas

f (x ) = a sen (bx + c ) + d

Calculadora Texas TI-84 Plus Passos: 1. Ligue o sensor à calculadora gráfica. 2. Prima

a tecla Start Now

APPS ENTER

2: CBL/CBR .

ENTER

3: Ranger

3. Ponha o pêndulo a oscilar na direcção do sensor ENTER 4. Quando o gráfico terminar, prima ENTER

ENTER

1: setup/sample

ENTER

.

1: show plot .

5. Escolha

a parte do gráfico que melhor represente uma sinusoidal. Para isso, deve fazer ENTER 2: Select Domain e, com as setas , escolher o valor da esquerda e o valor da direita do domínio que achar conveniente. ENTER 5 : Quit .

6. Surgem no ecrã as seguintes listas:

L1 tempo L2 distância L3 velocidade L4 aceleração 7. Prima as teclas STAT



CALC

ENTER

C: SinReg

8. Obtém-se a função trigonométrica do tipo

ENTER

.

f (x ) = A sen (bx + c ) + d .

168

H

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

continuação Actividade prática T9 Calculadoras Casio FX-9860GII ou FX-9860GII SD Passos: 1. Ligue

o analisador à calculadora pelo cabo SB-62 e o sensor de movimento ao analisador de dados EA-200 (na porta SONIC).

2. Na calculadora, entre no aplicativo ECON2 e pressione F1

(SET UP) e escolha a opção 2

(Advan). Na primeira opção (Channel), active a porta SONIC. Na segunda opção (Sample), seleccione o intervalo de tempo (por exemplo, 0,2 segundos) e o número de contagens (por exemplo, 30). Quando a experiência estiver pronta, pressione

F1

(STRT).

3. Coloque o sensor de movimento a 50 cm do pêndulo. Coloque o pêndulo a oscilar. Pressione EXE

.

4. Quando a recolha estiver feita é exibido um gráfico. 5. Com

o gráfico desenhado, prima OPTN seguido de F4 (CALC). Rode o menu F6 até encontrar em F1 a regressão Sin. Movendo o cursor, seleccione o valor inicial e o final. Para validar a escolha, pressione a tecla EXE . A expressão é exibida. Para desenhar prima F6 e para copiar a expressão para o editor de funções, prima F5 (COPY). O valor d apresentado é o ponto inicial.

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

169

T10 Actividade prática «A capacidade de persistir, reflectir, investigar e trazer à memória outras experiências é a chave para uma conclusão bem sucedida.» Brian Bolt (matemático norte-americano)

OBJECTIVOS Pretende-se com esta actividade consolidar os conhecimentos e aplicações das funções trigonométricas. MATERIAIS Vídeo do DES – «Projecto Matemática em Acção; Senos e Co-senos», Parte I. EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE Movimentos circulares e ondas sinusoidais

Com base no vídeo que lhe foi apresentado, complete, no seu caderno, as seguintes afirmações: 1. Um radiano corresponde a __________________________________________________________________________________ . 2. A palavra radiano é a abreviatura de ________________________________________ . 3. Um ângulo de 360o corresponde a ________________________________________ radianos. 4. A função seno varia entre ____________ e ______________ . 5. Considerando o intervalo

[0, 2␲] , a variação de sinal do seno é _______________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________ . 6. A função seno tem ________________________________________ por período mínimo.

170

H

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

continuação Actividade prática T10 7. Quanto à paridade, a função seno é ________________________________________ . 8. A abreviatura da palavra co-seno corresponde a ________________________________________ . 9. O gráfico do co-seno pode obter-se do gráfico do seno, desde que se desloque este último

________________________________________ radianos. 10. As

coordenadas de um ponto sobre o círculo trigonométrico podem ser expressas em função das razões trigonométricas do ângulo cujo lado extremidade intersecta o círculo nesse ponto do seguinte modo: ________________________________________ .

11. Todas as notas musicais correspondem a um gráfico sinusoidal? _______________ . 12. Duas notas musicais diferentes têm ________________________________________ diferentes. 13. A amplitude de uma nota musical varia com ________________________________________ . 14. Um gráfico de um som mais complexo pode ser obtido como _____________________________________ .

_____________________________________________________________________________________________________________________ . 15. ________________________________________ foi

o matemático que, no início do século XIX, afirmou que «qualquer onda periódica é uma combinação de ondas de senos e co-senos com amplitudes e frequências apropriadas».

TRABALHO DE GRUPO Constitua um grupo de trabalho. Com a ajuda de um sensor de som – CBL, uma calculadora gráfica Texas TI-Nspire e um instrumento que produza som (apito, flauta, sino, etc.), obtenha um gráfico de uma função trigonométrica. (1) Estude essa função quanto ao período, à amplitude e à existência de máximos e mínimos. Apresente as conclusões na forma de um relatório.

(1)

No caso das calculadoras Casio FX-9860GII ou FX-9860GII SD (com o aplicativo ECON 2), deverá utilizar-se o analisador de dados Casio EA-200 com o sensor de som.

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

171

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Resolva, no intervalo

[0, 2] , a equação tg x = 3 .

Resolução 1. Recorrendo à calculadora gráfica, determinamos um valor aproximado para uma amplitude de um ângulo cuja

tangente é 3. Primeiro, devemos verificar se a calculadora está em

MODE

Rad.

x = tg–1 3 ⬇ 1,249045772 Por conveniência de cálculos, devemos escrever este valor em função de  . Para tal, basta dividir o valor obtido por  .

x ⬇ 0,40 Para esta aproximação, podemos então escrever: tg x = 3 ⇔ tg x ⬇ tg 0,40 ⇔ ⇔ x ⬇ 0,40 + k , k 僆 Z Como se pretendem apenas as soluções pertencentes ao intervalo [0, 2] , temos de atribuir valores inteiros a k , de modo a determinar essas soluções. • Se k = 0 , x = 0,40 • Se k = 1 , x = 0,40 +  ⇔ x = 1,40 • Se k = –1 , x = 0,40 –  ⇔ x = –0,60 Como a solução para k = –1 não pertence ao intervalo [0, 2] , não é necessário atribuir a k valores inferiores a –1 . • Se k = 2 , x = 0,40 + 2 ⇔ x = 2,40 Como a solução é superior a 2 , não é necessário atribuir a k valores inteiros superiores a 2. As soluções são aproximadamente iguais a 0,40 e 1,40 . O conjunto solução é:

S = {0,40; 1,40}

172

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. Um ponto material, de massa 200 g, está animado de movimento circular uniforme e efectua 120 voltas por minuto.

O espaço linear percorrido em 5,0 segundos é 6,28 metros. 2.1. Sabendo que a equação da elongação de um movimento vibratório simples é dada pela expressão:

y = A sen (t) ( y em metros) em que: 2 • frequência angular,  =  ; T intervalo de tempo (posição corresponde ao número de voltas dadas no intervalo de tempo); • período T =  posição s • A = R sendo, R =  , onde  s é a variação do espaço percorrido; t escreva a equação da elongação do movimento vibratório simples que se obtém projectando este movimento circular sobre o diâmetro da circunferência. 2.2. Calcule o valor da elongação ao fim de 12,2 segundos.

Resolução 2. 2.1. Atendendo que

intervalo de tempo T =  , e se a partícula efectua 120 voltas por minuto (60 segundos) temos que posição

60 T =  ⇔ T = 0,5 . 120 2 2 E como  =  , então,  =  ⇔  = 4 . T 0,5 s 6,28 Sabendo que A = R e R =  , então, R =  ⇔ R ⬇ 0,0999 ⇔ R ⬇ 0,1 t 4 × 5 logo, A ⬇ 0,1 . Então, a equação deste movimento é:

y = 0,1 sen (4t) 2.2. Substituindo a variável

t por 12,2, obtemos: y (12,2) = 0,1 sen (4 × 12,2) ⬇ 0,0588

Ao fim de 12,2 segundos, a elongação é, aproximadamente, 0,06 metros.

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

173

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS *3. O que se pode concluir acerca da veracidade da afirmação:

 «O ponto A de coordenadas cartesianas (1, 1) corresponde ao ponto de coordenadas polares 兹苶 2 ,  .» 4

冢

冣

Resolução 3. Para verificar a veracidade da afirmação anterior, temos de verificar se o ponto

A pertence à circunferência de

2 . Para tal vamos recorrer ao teorema de Pitágoras. raio 兹苶 12 + 12 = r 2 ⇔ r 2 = 2 ⇔ r = 兹苶 2 (r > 0)

· ·  Em seguida, verificamos se o ângulo formado pela semi-recta OA e o semieixo positivo Ox tem amplitude  . 4 Recorrendo às razões trigonométricas, temos que:  1 tg θ =  , ou seja , θ = tg–1 (1) ⇔ θ =  , θ 僆 [0, 2[ 4 1 Logo, podemos concluir que a afirmação é verdadeira.

*4. Seja

 B o ponto de coordenadas polares 2,  . Determine as coordenadas cartesianas do ponto B . 3

冢 冣

Resolução 4. Atendendo à relação entre as coordenadas polares e as coordenadas cartesianas, temos que:

x = r cos θ e y = r sen θ 3   1 兹苶 ⇔ y = 兹苶 3. Então, x = 2 cos  ⇔ x = 2 ·  ⇔ x = 1 e y = 2 sen  ⇔ y = 2  2 3 3 2 3). Logo, as coordenadas do ponto B são (1, 兹苶

*5. Escreva as coordenadas cartesianas do ponto

 C cujas coordenadas polares são –3,  . 4

冢

冣

Resolução o valor de r é negativo, devemos somar  rad à amplitude do ângulo. Assim, o ponto está sobre a  5 circunferência de raio 3 e θ =  +  =  . 4 4 O ponto pertence ao 3.o Q. e as suas coordenadas cartesianas são expressas por:

*5. Como

5

5

3兹苶 2

3兹苶 2

, –冣 冢3 cos 4 , 3 sen 4冣 = 冢–  2 2 *Facultativo

174

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nos exercícios 1 a 9, de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.

1. Se

2 ␲ sen ᎏ + ␣ = ᎏ , então, cos ␣ é igual a: 3 2

冢

冣

2 3

2 3

A. ᎏ

B. – ᎏ

C.

5 兹苶 ᎏ 3

5 兹苶

D. – ᎏ

3

2. Considere as seguintes afirmações:

I A função seno é crescente no 1.o Q. II A função co-seno é decrescente e positiva no 2.o Q. III A função tangente é apenas crescente no 2.o Q. Quais são as afirmações verdadeiras? A. I e II.

B. II e III.

3. O conjunto solução da equação

A.

␲ ␲

冦–ᎏ3 , ᎏ3 冧

4. A equação

A.

B.

C. I e III.

1 cos x = – ᎏ , no intervalo [–␲, ␲] , é: 2

冦–ᎏ3 , ᎏ3 冧 2␲ 2␲

␲ ␲

冦– ᎏ3 , ᎏ3 冧

␲ ᎏ 2

冥

B.

B.

6. Sabendo que

A. f (x ) =

C.

冦ᎏ3 , ᎏ3 冧 2␲ 4␲

D. {0,

␲}

3 ␲ ␲ 兹苶 sen x = ᎏ , no intervalo – ᎏ , ᎏ , tem como conjunto solução: 2 2 2

f (–x )

冤

␲ 2␲

冦 ᎏ3 , ᎏ3 冧

5. O período mínimo da função definida por

A.

D. Apenas I.

C.

冦 ᎏ3 冧 2␲

D.

␲

冦 ᎏ3 冧

␲ f (x ) = 4 + 3 cos 4x + ᎏ é: 3

␲ ᎏᎏ 6

冢

冣

C. 2␲

D. 4␲

f (x ) = sen (2x ) + cos x , podemos afirmar que:

B. f (x ) =

f (␲ – x )

C. f (x ) =

–f (␲ – x )

D. f (x ) =

␲ f ᎏ –x 2

冢

冣

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

175

EXERCÍCIOS PROPOSTOS *7. O ponto de coordenadas cartesianas

A.



冢兹苶3苶2 , 4 冣

B.

冢–兹苶3苶2 ,  4 冣 3

*8. O ponto de coordenadas polares

A. (兹苶 3 , 1)

C.

A. 1.o Q.

冢4兹苶2 ,  4 冣 3

D.



冢4兹苶2 , – 4 冣



冢–2, 6 冣 corresponde ao ponto de coordenadas cartesianas:

B. (1, 兹苶 3)

*9. O ponto de coordenadas

10. Sendo

(–4, 4) tem como coordenadas polares:

C. (兹苶 3 , 1)

D. (–1, 兹苶 3)

C. 3.o Q.

D. 4.o Q.

冢–2, 3 冣 pertence ao: 4

B. 2.o Q.

5 tg  =  e cos  < 0 , calcule o valor arredondado às centésimas, da seguinte expressão: sen2  – 3 cos  . 4  1   3.o Q. e que cos  +  =  , calcule o valor arredondado às centésimas da expressão: 2 3

冢

11. Sabendo que

冣

sen ( – ) + cos (2 + ) + tg 

12. Sabendo que

  2.o Q. e que tg ( + ) = –3 , calcule: 3  sen  –  + cos  +  + tg  2 2

冢

13.

冣

冢

冣

1 2 兹苶 Sabendo que  e  pertencem ao 1.o Q. e que sen  =  e cos  =  , calcule o valor arredondado às 4 2 centésimas da seguinte expressão: cos  + sen  + tg  · sen 

14. Resolva, em

14.1. tg x

3 兹苶 = 3

15. Resolva, em

15.1. sen (2x )

*Facultativo

IR , as seguintes equações: 14.2. tg (2x )

=1

14.3. tg



冢x + 3 冣 = 兹苶3

14.4. tg



冢2x – 6 冣 = 0

IR , as seguintes equações: 2 兹苶 = 2

15.2. cos

兹苶 冢x + 3 冣 =  2 

3

15.3. cos (3x )

1 = – 2

15.4. 2 sen x

– 1= 0

176

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

EXERCÍCIOS PROPOSTOS [–, [ , as seguintes equações:

*16. Resolva, em

3 兹苶 = – 2

16.1. sen x

16.2. cos

兹苶 冢x + 5 冣 =  2 

2

16.3. tg (2x ) = 兹苶 3

*17. Escreva as coordenadas polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas são: 17.3. C (3, – 3 兹苶 3)

17.1. A (–8, 8) 17.2. B (兹苶1苶 8,

6) 兹苶

17.4. D (–2, – 兹苶1苶 2)

*18. Escreva as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos expressos em coordenadas polares.



18.1. P

冢2, – 3 冣

18.3. R

冢兹苶2 , – 2 冣

18.2. Q

冢1, 4 冣

18.4. S

冢4, –  6 冣

5

3

7

*19. Represente num referencial polar os seguintes pontos:

I. A

II. B

冣

III. C

冢

冢

冢–1, – 4 冣

IV. D

冢4, – 3 冣

4 1,  3 

5 3, –  6

冣

5

*20. A pedido de um cliente, um fabricante tem de construir peças metálicas de área máxima com a forma de um

trapézio, em que:

A 苶B 苶 =B 苶苶 C =苶 C苶 D = 2 dm

Designando por  a amplitude (em radianos) do ângulo ADC :

20.1. Exprima a altura

h do trapézio e o comprimento da base maior, em função de  .

20.2. Prove que a área

A () do trapézio é dada, em dm2, por: A () = 4 sen  + 4 sen  · cos 

20.3. Com o auxílio da calculadora gráfica, determine, em dm2 e com aproximação às décimas, a área máxima da

peça. in Exame Nacional, 1994 (adaptado)

*Facultativo

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

177

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 21. Para iluminar uma região circular de 2 m de raio, coloca-se um foco da luz sobre a vertical que passa pelo centro

dessa região. A intensidade luminosa do foco F , em certa unidade, é dada por: sen  I = h2 + 4 sendo h a altura, em metros, a que se coloca o foco e  a amplitude do ângulo assinalado na figura que se segue. 21.1. Mostre que

I é dada por: 1 I () =  cos2  · sen  4

21.2. Com o auxílio da calculadora gráfica, determine, em radianos, um valor

arredondado às centésimas para a amplitude  , de modo que a intensidade seja máxima. in Exame Nacional, 1995 (adaptado)

22. Uma partícula oscila com MHS (movimento harmónico simples), sendo a equação da elongação dada por:

 2 y (t ) = 6,0 × 10–2 sin  t +  6 3

冢

冣

Determine: 22.1. O período das oscilações. 22.2. A elongação no instante inicial. 22.3. A elongação ao fim de 2 segundos.

Apresente os resultados arredondados às centésimas.

Fig. 7 Metrónomo.

23. As marés são fenómenos periódicos, que podem ser modelados por uma função do tipo:

Y = a + b sen (ct + d ) em que Y é o nível da água, em metros, e t o tempo, em horas. Numa praia da costa portuguesa, em determinado dia, foram feitas várias medições que permitiram chegar à seguinte função: t Y = 3 + 2 sen  2

冢冣

23.1. Com o auxílio da calculadora gráfica, esboce o gráfico da função, durante o período de um dia. 23.2. Às oito horas da tarde, qual era o nível da água? 23.3. Em que momentos a água atingiu o nível de quatro metros?

178

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

EXERCÍCIOS PROPOSTOS figura que se segue encontram-se representações gráficas de duas funções, f e g , de domínio [0, 2␲] , definidas por:

24. Na

f (x ) = sen (2x )

冢

5␲ g (x ) = cos 2x – ᎏ 6

冣

onde P1 , P2 , P3 e P4 são os pontos de intersecção dos gráficos de f e de g . ␲ A abcissa de P1 é ᎏ . 3 24.1. Determine as coordenadas de

P2 .

24.2. Defina por condições, a região sombreada, incluindo a fronteira. in Exame Nacional, 1999 (adaptado)

satélite S tem uma órbita elíptica em torno da Terra, tal como se representa na figura. Tenha em atenção que os elementos nela desenhados não estão na mesma escala. Na elipse, estão assinalados dois pontos:

25. O

• o apogeu, que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra; • o perigeu, que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra.

O ângulo de amplitude x , assinalado na figura, tem o vértice no centro da Terra; o seu lado origem passa no perigeu, o seu lado extremidade passa no satélite e a sua amplitude está compreendida entre 0 e 360 graus. 7820 A distância d , em km, do satélite ao centro da Terra, é dada por d = ᎏ ᎏ. 1 + 0,07 cos x Considere que a Terra é uma esfera de raio 6378 km. 25.1. Determine

a altitude do satélite (distância à superfície da Terra) quando este se encontra no apogeu. Apresente o resultado em km, arredondando às unidades.

25.2. Num certo instante, o satélite está na posição indicada na figura.

A distância do satélite ao centro da Terra é, então, de 8200 km. Determine o valor de x , em graus, arredondado às unidades. in Exame Nacional, 2000 (adaptado)

REDUÇÃO AO 1. O QUADRANTE

179

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 26. No ano 2000, em Lisboa, o tempo que decorreu entre o «nascer» e o «pôr-do-sol», no dia de ordem

n do ano, foi

dado em horas, aproximadamente, por: ␲(n – 81) f (n ) = 12,2 + 2,64 sen ᎏᎏ 183

n 僆 {1, 2, 3, …, 366}

(O argumento da função seno está expresso em radianos.)

Por exemplo: no dia 3 de Fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre o «nascer» e o «pôr-do-sol» foi de f (34) ⬇ 10,3 horas.

26.1. No

dia 24 de Março, Dia Nacional do Estudante, o sol «nasceu» às seis e meia da manhã. Em que instante ocorreu o «pôr-do-sol»? Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).

Notas • Recorde que, no ano 2000, o mês de Fevereiro teve 29 dias. • Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

26.2. Em alguns dias do ano, o tempo que decorreu entre o «nascer» e o «pôr-do-sol» foi superior a 14,7 horas. Recor-

rendo à sua calculadora, determine em quantos dias do ano é que isso aconteceu. Indique como procedeu. in Exame Nacional, 2001 (adaptado)

27. Num

certo dia de Verão, as temperaturas, em graus Celsius, fora e dentro de uma determinada habitação, são dadas, respectivamente, por: ␲(t + 10) f (t ) = 25 + 10 cos ᎏᎏ 12 e ␲(t + 9) d (t ) = 21,5 + 3,5 cos ᎏ 12 (t designa o tempo, em horas, contado a partir das 0 horas desse dia.)

180

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, recolha os dados que lhe permitam calcular: • a amplitude térmica (diferença entre o valor da temperatura máxima e o valor da temperatura mínima) dentro de casa; • a amplitude térmica fora de casa; • o desfasamento térmico (tempo que decorre entre as ocorrências das temperaturas máximas, fora e dentro de casa). Transcreva os gráficos obtidos, bem como os valores encontrados. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, refira o que se pode concluir acerca das condições de isolamento da referida habitação (admita que uma habitação se considera bem isolada se a amplitude térmica dentro de casa for inferior à terça parte da amplitude térmica fora de casa, e se o desfasamento térmico for superior a uma hora e meia). in Exame Nacional, 2003 (adaptado) 28. A Rita está a participar num concurso de lançamentos de papagaios de

papel. No regulamento do concurso, estão as condições de apuramento para a final, que se reproduzem a seguir. Após um certo instante, indicado pelo júri: • o papagaio não pode permanecer no ar mais do que um minuto; • o papagaio tem de permanecer, pelo menos durante doze segundos seguidos, a uma altura superior a dez metros; • o papagaio tem de ultrapassar os vinte metros de altura. Admita que a distância, em metros, do papagaio da Rita ao solo, t segundos após o instante indicado pelo júri, é dada por:

t2 t d (t ) = 9,5 + 7 sen ᎏᎏ + 5 cos ᎏᎏ 200 4

冢 冣

冢冣

(Os argumentos das funções seno e co-seno estão expressos em radianos.) Note-se que, a partir do instante em que o papagaio atinge o solo, a sua distância ao solo deixa de ser dada por esta expressão, uma vez que passa a ser (naturalmente) igual a zero.

Deverá a Rita ser apurada para a final? Utilize a calculadora para investigar esta questão. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Inclua, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas). in Exame Nacional, 2.a fase, 2003 (adaptado)

CASIO FX-9860GII OU FX-9860GII SG

181

CALCULADORAS CASIO FX-9860GII OU FX-9860GII SD Gráficos estatísticos (Páginas 24, 28, 45 e 70) Introduza os valores nas Lista 1 e Lista 2. Para desenhar um gráfico estatístico pressione F1 (GRPH). Deve seleccionar o tipo de gráfico, assim como as listas que vão ser representadas no respectivo gráfico. Pressione F6 (SET) para efectuar essa configuração. Coloque o cursor em cima da opção «Graph Type» e seleccione o tipo de gráfico. Rode o menu (F6) para ter acesso a mais tipos de gráficos. No caso de escolher o histograma, pressione F1 (Hist). Nota: No caso de pretender a representação gráfica do diagrama de extremos e quartis, pressione

F2

(box).

Regresse ao ecrã anterior EXIT e peça o desenho do gráfico (F1 – GPH1). Defina o valor inicial da amplitude. Pressione EXE para desenhar. No caso de desejar visualizar os diversos parâmetros estatísticos para esta amostra, pressione F1 (1Var).

Cálculo das frequências acumuladas (Página 25) Coloque o cursor sobre a Lista 3 e pressione OPTN . A barra de ferramentas altera. Pressione F1 para ter acesso às opções da LIST. Pressione F6 o número de vezes necessárias para encontrar as frequências acumuladas (CumL) e pressione F3 . Para escrever a palavra «List» utilize o atalho do teclado SHIFT 1 . Introduza o número da lista, neste caso 2. Pressione EXE e o resultado é exibido. Cálculo das frequências relativas Coloque o cursor sobre a Lista 4 e pressione OPTN . Repita os passos anteriores até encontrar as frequências relativas em (%) e pressione F4 . Siga os passos como anteriormente e o resultado é exibido. Pressione EXE e o resultado é exibido. Se for necessário apagar uma linha completa, pressione EXIT para recuar nos menus e utilize a tecla F4 (DEL-A). Parâmetros estatísticos (Páginas 35, 38, 40, 43, 59, 60 e 70) Introduza os valores nas listas. Pressione F2 (calc) e defina as listas que vão ser utilizadas no cálculo em F6 (SET). Depois de efectuar a definição, regresse ao ecrã anterior (EXIT) e pressione F1 (1VAR). Para visualizar os restantes valores, utilize o cursor.

182

CALCULADORAS CASIO

Determinar a amplitude de um ângulo em graus, minutos e segundos (Página 95) Defina o SET UP da máquina (SHIFT MENU), na unidade angular Introduza o valor, pressione EXE . Pressione OPTN , seguido de F5 para converter o valor em graus, minutos e segundos.

GRAUS F6

(F1).

. Escolha a opção

F5

(ANGL). Escolha a opção

Converter graus em radianos (Página 116) O SET UP (SHIFT MENU) deverá estar em radianos:

Escreva «30», pressione OPTN , seguido de F6 (rodar a barra de ferramentas). Pressione F1 (o). Ao pressionar EXE é exibido o resultado.

F5

(ANGL). Pressione

F5

(ANGL). Pressione

Converter radianos em graus (Página 116) O SET UP (SHIFT MENU) deverá estar em graus:

␲ Escreva « ᎏ », pressione OPTN , seguido de F6 (rodar a barra de ferramentas). Pressione 5 F2 (r). Ao pressionar EXE é exibido o resultado.

CASIO FX-9860GII OU FX-9860GII SG

183

Em ambas as conversões, pode utilizar o catálogo da máquina (SHIFT 4) e com as setas do cursor encontrar o símbolo «o» ou «r».

Escrita de funções trigonométricas (Página 124) Defina o SET UP da máquina (SHIFT MENU), na unidade angular GRAUS (F1) Para introduzir sin-1, deve utilizar SHIFT SIN, seguido do número e

EXE

.

Para introduzir tg-1, deve utilizar SHIFT TAN, seguido do número e

EXE

.

Círculo trigonométrico (Página 129) No menu gráfico, escolha as coordenadas polares, pressionando

F3

(TYPE), seguido novamente de

F3

(Param).

␲ ␲ Escolha a janela de visualização (SHIFT F3) [– ␲; ␲] × – ᎏ ; ᎏ . 2 2

冤

冥

Deve configurar a unidade angular para radianos. No SET UP (SHIFT MENU) ande com as setas do cursor para baixo até encontrar a opção «Angle». Pressione F2 (Rad) para seleccionar «radianos».

No editor de funções, escreva a função co-seno em Xt1 e seno em Yt1. Pressione

F6

(Draw) para desenhar o gráfico.

184

CALCULADORAS CASIO

Conversão de coordenadas cartesianas em coordenadas polares e vice-versa Coordenas cartesianas para polares (Página 148) No menu RUN , pressione a tecla OPTN , rode o menu pressionando Pressione esta tecla. Rode o menu, pressionando F6 . Encontra em coordenadas cartesianas em polares.

Introduza as coordenadas separadas por uma vírgula. Ao pressionar ␲ mos que r = 2 e … = ᎏ . 3

F1

até encontrar em F5 a opção ANGL . (Pol) a opção que lhe permite converter

EXE

o resultado é exibido. Neste caso sabe-

F6

Se pretender saber o resultado na forma decimal (neste caso, só o valor de …), pressione a tecla

F–D

.

Coordenas polares para cartesianas (Página 149) O processo é idêntico ao anterior (conversão de coordenadas cartesianas em polares). Para converter de coordenadas polares em cartesianas, pressione F2 (Rec).

Introduza as coordenadas separadas por uma vírgula. Ao pressionar 3 e y =1. mos que x = 兹苶

EXE

o resultado é exibido. Neste caso sabe-

CASIO FX-9860GII OU FX-9860GII SG

185

Alguns lugares geométricos (Página 150) Altere o tipo de coordenas para polares, pressionando dade angular é «graus».

F3

(TYPE) seguido de

F2

(r=). Introduza a expressão. A uni-

Utilize a seguinte janela de visualização. A unidade angular, para esta janela de visualização, deve ser em graus.

Regressão sinusoidal (Páginas 152 e 154) No menu STAT, introduza os dados nas listas 1 e 2.

a) Para desenhar o gráfico dos pontos pressione F1 (GRPH), mas antes de efectuar o esboço deve ter em atenção a forma como definiu os dados de saída. Pressione F6 (SET) e verifique se a máquina está definida desta forma. Regresse ao ecrã anterior (EXIT) e pressione F1 (GPH1). O gráfico de pontos é apresentado.

Escolha a regressão pretendida. Neste caso, regressão sinusoidal. Pressione F1 , seguido de opção «sin» em F5 . Pressione esta tecla e são exibidos os vários parâmetros da regressão.

Por aproximação, pode definir-se a função da seguinte forma:

y = 20 sen (5x + 052)

F6

, até encontrar a

186

CALCULADORAS CASIO

b) Para desenhar o gráfico, pressione

F6

(Draw). Não se esqueça de ter a unidade angular em radianos.

Para copiar a equação para o menu gráfico pressione

F5

(copy). Pressione

EXE

para gravar.

c) No menu GRAPH vamos calcular o máximo. Com o gráfico desenhado no ecrã, pressione a opção Max ( F2 ). O máximo é exibido automaticamente.

Nota: Para desenhar o gráfico de uma função pressione

F6

F5

(G-SOLV) e escolha

(Draw).

Verifique se a função está activa para ser desenhada. Se o sinal de «=» não estiver como mostra a imagem anterior, coloque o cursor sobre Y1 e pressione F1 (SEL). Sucessões (Página 157) Vamos utilizar o menu das sucessões (RECUR). Seleccione o tipo de sucessão que pretende estudar, pressionando an que se encontra em F1 .

Escreva a expressão. Utilize o n que se encontra em

F1

.

F3

(TYPE). Neste caso vamos utilizar a sucessão

CASIO FX-9860GII OU FX-9860GII SG

Deverá efectuar a definição da tabela pressionando

F5

187

(SET).

A janela de visualização (SHIFT F3) utilizada é a seguinte. Depois de configurada, pressione

EXIT

.

Para desenhar o gráfico deverá gerar previamente a tabela e só depois de a visualizar é que poderá escolher o tipo de gráfico que pretende. Visualize a tabela pressionando F6 .

Para visualizar um gráfico de pontos pressione

F6

.

Utilize a opção TRACE (F1), percorra o gráfico, utilizando as teclas do cursor, até visualizar o mínimo da expressão.

188

SOLUÇÕES

Soluções Páginas 8-10 1.1. Alunos do 10.o ano de uma escola secundária. 1.2. Cada aluno. 2.1. Estudo sobre a produção de peças de uma fábrica. 2.2. Inquérito sobre ocupação de tempos livres aos alunos de uma escola secundária. 4.1. Má amostra, porque a opinião das empresas com maior volume de vendas será satisfatório. 4.2. Má amostra, porque a amostra não foi escolhida de modo a abranger um grupo variado de espectadores. 5.1. Variável qualitativa. 5.2. Variável quantitativa. 5.3. Variável qualitativa. 5.4. Variável qualitativa. 5.5. Variável quantitativa. 6.1. Variável quantitativa contínua. 6.2. Variável quantitativa discreta. 6.3. Variável quantitativa contínua. 6.4. Variável quantitativa discreta. 6.5. Variável quantitativa discreta.

Páginas 17-19 1. A 2. C 3. D 4. C 5.1. Amostra. 5.3. Amostra. 5.2. População. 5.4. População. 6.1. População: alunos do curso de Direito. Unidade estatística: cada aluno do curso de Direito. 6.2. Peso dos alunos: variável quantitativa contínua. Unidade: cada aluno desse curso. 7.1. Sondagem. 7.2. População: jovens portugueses. Amostra: 20 alunos por escola em 10 escolas do distrito de Coimbra. 7.3. Atributo: preferência literária. 7.4. Não, porque a amostra foi recolhida apenas num distrito e não em todo o país. 8. O aumento de 100% de produtividade não era significativo, pois a produção inicial deveria ser baixa. 9.1. Não, porque a amostra não foi escolhida de modo a abranger um grupo variado de espectadores. 9.2. Por exemplo, a estação televisiva deveria escolher uma amostra adequada e entrar em contacto com os espectadores. 10.1. Cada um dos 1042 indivíduos. 10.2. Variável qualitativa. 10.3. 459; 323. 11.1. Cada um dos 1039 indivíduos. 11.2. Variável estatística: país com mais liberdade. Unidade estatística: cada indivíduo. 11.3. Variável qualitativa. 12.1. Variável qualitativa. 12.2. De 2005 até meados de 2006 e de meados de 2008 até, possivelmente, 2010.

Páginas 21-46 1.1. 20 1.2. –3

8.2.

2.1.

Distribuição dos tempos gastos pelo atleta

fi

Modalidades

fri

Futebol

0,43

Basquetebol

0,18

Andebol

0,09

Hóquei

0,13

Ginástica

0,17

10

5

0

150 175 200 225 250 275 300 Tempo

(s)

9.1.

2.2.

Classes diâmetro (mm)

fi

fri

Fri

[99,0 ; 99,5[

5

0,18

0,18

[99,5 ; 100,0[

7

0,25

0,43

[100,0 ; 100,5[

9

0,32

0,75

[100,5 ; 101,0[

3

0,11

0,86

[101,0 ; 101,5[

3

0,11

0,97

[101,5 ; 102[

1

0,03

1

3.1. Distribuição dos diâmetros dos tubos

Classificação

fi

Fri (%) 100

Insuficiente

5

90

Suficiente

13

70

Bom

7

Muito bom

3

40 20

3.2. Insuficiente → 65o Suficiente →166o Bom → 90o Muito bom → 39o 5.1. Lisboa. 5.2. Benfica; Porto (bimodal). 5.3. Amodal. 6. ⎧ 0 se x  1 ⎪ 8 se 1  x  2 23 se 2  x  3 F (x ) = ⎨ 33 se 3  x  4 ⎪ 40 se 4  x  5 ⎩ 45 se x  5

99 99,5100100,5101101,5102 Diâmetro (mm)

9.2. 43% têm diâmetro inferior a 10 cm. 9.3. Necessita de afinação, pois pouco mais do que 50% dos tubos tem o diâmetro pretendido. 11.1. Mo = 14 11.2. Mo : 47 e 53 (bimodal). 12. Mo = 2 13.1. Classes

fi

[2,1 ; 2,6[

3

[2,6 ; 3,1[

6

[3,1 ; 3,6[

5

[3,6 ; 4,1[

2

13.2. [2,6; 3,1[ 14.1. x苶 艐 13,15 14.2. x苶 艐 49,91 15.1. x苶 = !912 15.2. x苶1 = !984,96 . A média aumenta 8%. 16.1. x = 10 16.2. ⬃ x = 26 17.1. Mo = 2 ; ⬃ x = 3 ; x苶 = 3,18 18.1.

7.1. 1216. 7.2. 75,6% 7.3. Na primeira quinzena. 8.1. Tempo (seg.)

fi

Fi

fri

Fri

[150, 175[

1

1

0,04

0,04

[175, 200[

10

11

0,38

0,42

[200, 225[

6

17

0,23

0,65

[225, 250[

2

19

0,08

[250, 275[

5

24

[275, 300[

2

26

Número de idas a concertos

fi

Fi

fri

Fri

0

23

23

0,26

0,26

1

35

58

0,39

0,65

0,73

2

10

68

0,11

0,76

0,19

0,92

3

17

85

0,19

0,95

0,08

1

4

5

90

0,05

1

SOLUÇÕES

18.2.  x = 1 ; Mo = 1; x = 1,4 18.3. ⎧ 0 se ⎪ 0,26 se 0,65 se F (x ) = ⎨ 0,76 se ⎪ 0,95 se ⎩ 1 se

x0 0  x1 1  x2 2  x3 3  x4 x4

No 9.o B temos uma concentração no extremo inferior. 75% dos alunos têm no máximo dois irmãos.

Páginas 61-65 1. A 2. D 3. D 4. B 5. A 6.1. Recenseamento. 6.2. Nível de escolaridade: variável qualitativa. 6.3.

19.1. Classe mediana: [3; 3,5[ 19.2. x  3,16 19.3.

189

11.1. Idade (anos)

Valor central

fi

Fi

fri

Fri

[14, 21[

17,5

10

10

0,20

0,20

[21, 28[

24,5

8

18

0,16

0,36

[28, 35[

31,5

6

24

0,12

0,48

[35, 42[

38,5

3

27

0,06

0,54

[42, 49[

45,5

3

30

0,06

0,60

[49, 56[

52,5

7

37

0,14

0,74

[56, 63[

59,5

10

47

0,20

0,94

[63, 70[

66,5

3

50

0,06

1

11.3. x = 39,48 anos

11.2. 30 pessoas. 11.4. 7.1. Origem dos conflitos: variável qualitativa. 7.2. Gráfico de barras. 7.3.

19.4. 20% 20.1. Q 1 = 9 ; Q 3 = 11,5 20.2. Q 1 = 50 ; Q 3 = 55 21. Q 1 僆 [2,5; 3[ ; Q 3 僆 [3; 3,5[ 22.1. TV1: 6,8. TV2: 11. TV3: 6,7. 22.2. xTV1  23,5. xTV2  25,4. xTV3  28,8. 25. Q 1 = 1 ; Q 3 = 3 ; Amp. = 3 – 1 = 2 26. Q 1 = 183 ; Q 2 =  x = 189 ; Q 3 = 192 27.1. xA  2 ; xB  1,3 27.2. Número de irmãos fi

dos alunos do 9º A

9 6 3

0

1

2

3

4

5 Número de irmãos

Número de irmãos dos alunos do 9.º B

fi

Razões

fi

Fi

fr %

Fri %

A

48

48

40

40

B

42

90

35

75

C

24

114

20

95

D

6

120

5

100

Fases

fi

Fi

fri

Fri

1

3

3

0,075

0,075

2

4

7

0,1

0,175

fi

8.1. Variável qualitativa. 8.2. Países

fri (%)

3

6

13

0,15

0,325

Espanha

4

800

4

7

20

0,175

0,5

Holanda

4

800

5

10

30

0,25

0,75

França

5

1000

Reino Unido

6

1200

6

10

40

0,25

1

Alemanha

16

3200

Portugal

52

10 400

Outros

13

2600

12

fi

Fi

fri

Fri

1

5

5

0,167

0,167

2

5

10

0,167

0,334

3

5

15

0,167

0,501

Fi

4

13

28

0,433

0,934

0

18

5

2

30

0,066

1,00

1

39

2

67

3

102

4

140

9.1. Tendência de voto: variável qualitativa. 9.2. Mo = B 10.1. 0

1

2

3

4

5

Número de irmãos

27.3. 9.o A : Q 1 = 1 ; Q 3 = 3 9.o B : Q 1 = 1 ; Q 3 = 2 27.4.

Número de telémoveis

No 9.o A, o número de irmãos distribui-se quase uniformemente.

12.3. 7 vezes. 12.4. 13 vezes. 13.1. x = 810 euros. 13.2. 1060 euros. 13.3. 290 euros. 14.1. Placebo Número de dias

6

2

11.5. Classe modal: [14, 21[ e [56, 63[. Classe mediana: [35, 42[. 12.1. 40 12.2.

10.2. 67 famílias.

Suplemento terapêutico Número de dias

fi

Fi

fri

Fri

1

12

12

0,40

0,40

2

14

26

0,467

0,867

3

4

30

0,133

1,00

190

SOLUÇÕES

 14.2. Placebo: x  3,07 ; Mo = 4 ; x = 3  Suplemento: x  1,73 ; Mo = 2 ; x = 2 14.3.

Placebo: Q 1 = 2 ; Q 2 = 3 ; Q 3 = 4 Suplemento: Q 1 = 1 ; Q 2 = 2 ; Q 3 = 2 14.4. 1.o dia de suplemento: 12 doentes. Depois do 3.o dia de placebo: 15 doentes.  15.1. x = 10,24 15.2. x 僆 [10, 12[ 15.3. Q1 僆 [8, 10[ e Q3 僆 [12, 14[ 15.4. 20% 15.5. 35 cobaias. 16.1. Variável quantitativa contínua. 16.2. x  23 ; Classe modal: [15, 30[ Classe mediana: [15, 30[ 16.3. Q 3  22,5 (pelo menos 25% dos funcionários da empresa faltam mais de 22,5 h). 16.4. σ  11,8 ; var  139,24 A variância não é tão utilizada porque vem expressa no quadrado das unidades dadas.

Páginas 67-72 1.1. 1.2.

5.2. 5.3. 5.4. 6.1.

Existe correlação positiva. y = 0,85 x + 0,8 Aproximadamente 14,4 valores. Sim, porque os pontos da nuvem de pontos estão muito próximos da recta. 4 6.2. Por exemplo: (25; 25) e (75; 65) ; y = x + 5 5 6.3. y = 49 7.1.

C (63,77; 6,91) 7.2. y = 0,225 x – 7,44 7.3. Aproximadamente 3,36 kg. 8.1.

1.3.

8.2. x = 16,08 ; y = 27,5 C (16,08 ; 27,5). Correlação negativa. 8.3. y = –5,79 x + 120,65 8.4. y = 10,64 9.1. 2.

1 – Correlação positiva. 2 – Correlação negativa. 3 – Não existe correlação. 3.1. Correlação positiva. 3.2. Correlação positiva. 3.3. Correlação negativa. 4. A – I B – III C – II 5.1.

5.2. x = 628,57 ; y = 436,86 5.3. y = –0,429x + 706,7

Páginas 80-83 1. C 2. C 3. C 5.1.

4. B

7 3 7  9.1. cos x =  ; tg x =  21 8 7 ; hipotenusa 8. 9.2. Por exemplo: catetos 1 e 3 10. 0,95 11. 6,09 12.   33o 12’ 13. B ; D e E. 5 14.1.  – 4

3 

3 –  2 14.2.  2

1 14.3.  4

3 +3 4 14.4.  16

6 + 2 2  15.1.  2

3 +  6  15.2. –  4

3 +3 15.3. 2

2 6 –  2 15.4.  22

Páginas 110-113 1. A 2. B 3. C 4. C 5. C 6. A 7. C 8. 29o 9. Aproximadamente, 104 m 10. 105,2 m 11. 19,25 m 12. A  9035,41 cm2 13. V  49,3681 dm3 ; C  49,4 ᐉ 14.1. V  151,29 dm3 ; C  151 ᐉ 14.2. A  2,2 m2 15. V  80,481 dm3 ; C  80 ᐉ 16.1. 302,8 cm  303 cm 16.2. 1866,7 cm2  1887 cm2 17. Aproximadamente, 1254 m 18. 6,8 m (2 + 4,8) 19. 1191 m 20. B  C  2,8 21. cos   0,94 22. cos  = 0,6 ; sen  = 0,8 23. Aproximadamente, 5,88

9.2. C (9,16; 6,30). Correlação positiva. 9.3. y = 0,197x + 4,49 9.4. x = 20,36 l 10.1.

5.4. y = 363,5

10.3. r  0,65 10.5. x = 27,59

10.2. C (10,67; 6,94) 10.4. y = 0,789 x – 1,470

Páginas 88-98 1. c 1  2,74 ; c 2  7,52 2. a  5,8 m 3. A䊊  32,5 m2 4. 1223 m 5. r  2424 km 6.1. n  2,434 6.2. n  1,480 2  7.  4

8. 0,8

Páginas 116-124 1. Graus

Radianos

360o

2

270o

3   2

200o

10   9

120o

2   3

50o

5   18

15o

  12

10o

  18

2.1. –1,02 2.2. –0,71 2.3. –2,25 5 3.1.   + 2k  , k 僆 Z 4

SOLUÇÕES

 3.2.  + 2k  , k  Z ∨ 2  + 2k  , k  Z ∨ 3   + 2k  , k  Z 2 3 3.3.   + 2k  , k  Z ∨ 4 7   + 2k  , k  Z ; 4 3 ou simplesmente  + k  , k ∈ZZ 4 4.1. x

r2 4.2. A =   2

= 48 cm2

3  5.1. sen  =  2

5.3.

1 5.2. cos  = –  2

 

 

5 tg –   0 3

 

23 23 7.5.    4.o Q. ; sen    0 12 12

 

23 23 cos    0 ; tg    0 12 12 7.6. 10 rad  3.o Q. sen 10  0 ; cos 10  0 tg 10  0 3  8.2. 0,  p.e. 8.1. ,   p.e. 2 2 8.3.



 

  



3 8.4. ,   p.e. 2

9.1. 0,64 9.2. Qualquer ângulo. 9.3. Impossível. 10. A. Falsa. B. Falsa. C. Verdadeira. D. Falsa. E. Falsa. 11.1. > 11.2. < 11.3. < 11.4. = 11.5. = 11.6. >

Páginas 132-133 1. B 2. D 3. A 5. C 6. D 7. A 7 1 9.2.   9.1.   6 180

4. B 8. C 2 9.3.   3



13.2. ]0, 2[  3 13.3.  ,  ∪  , 2 2 2





 

6.1. 3 6.2. 0 6.3. 2 7.1. 108o  2.o Q. sen 108o  0 ; cos 108o  0 tg 108o  0 7.2. –910o  2.o Q.: sen (–910o)  0 ; cos (–910o)  0 tg (–910o)  0 7.3. 2080o  4.o Q.: sen 2080o  0 ; cos 2080o  0 tg 2080o  0 5 7.4. –    1.o Q.: 3 5 5 sen –   0 ; cos –   0 3 3

  ,  p.e. 2



1 14.1. m  –, 1 2

1 5.4. cos (–) = –  2





 

2

 

 3 13.1.  ,  ∪   , 2 2 2

  13.4. 0,  ∪  ,  2 2

3  sen (–) = – 

 

31 39 50 9.4. –   9.5.   9.6. –   3 2 9 10.2. 6302o 32’ 9” 10.1. 57o 17’ 45” 10.3. 171o 53’ 14” 10.4. 36o 10.5. 18o 10.6. 120o 11.1. 80o 11.2. 10o 11.3. 175o 11.4. 100o 11.5. –156o 11.6. 19o 12.1. 2.o Q. 12.2. 1.o Q 12.3. 2.o Q. 12.4. 4.o Q 12.5. 3.o Q 12.6. 1.o Q



 14.2. m  [0, 1]

15. A roda maior dá cerca de 106 voltas e a amplitude de rotação é cerca de 38 197 o . A roda menor dá 191 voltas e a amplitude de rotação é de 68 755o.

11.1. x  1,83 + 2k  ∨ ∨ x  3,40 + 2k  , k  Z S = {–2,88; 1,83} 11.2. x  –1,83 + 2 k  ∨ ∨ x  3,40 + 2 k , k  Z S = {–2,88; –1,83} 11.3. x = 0,04 + k  ∨ ∨ x = 0,46 + k  , k  Z S = {–0,96; –0,54; 0,04; 0,46} 11.4. x  0,79 + 6k  ∨ ∨ x  5,5 + 6k  , k  Z S = {0,79} 12.1. x  0,92 + k  ∨ ∨ x  –0,13 + k  , k  Z 2 12.2. x  3,66 +  k  ∨ 3 2 ∨ x  2,62 +  k  , k  Z 3   k 12.3. x =  + k  ∨ x =  +  , k  Z 2 4 2 12.4. IR (condição universal).  12.5. x =  + k , k  Z 2 13. Ponto

Coord. cartesianas

Coord. polares

A

(2, 0)

(2, 0)

B

(0, 1)

1, 2 

C

(–2, 0)

(2, )

D

(0, –1)

1, 23  

Páginas 135-160 1.1. cos  1.2. –2 cos  1.3. – sen  – cos  1.4. – 1 – tg  2.1. – 1 1 2 3 2.3.  + 2 3

2  2.2.  3 – 2

2.4.  3 2.5. 0 3.1. – 2 sen  3.2. 0 3.3. – cos2 + 2 cos  2  5.1. –  2

3  5.2.  3

–  3 +1 5.3.  2

3  5.4.  –1 2

2 2 1 6. sen x = –  ; cos x =  3 3 6 2  7.  26 8.1. – cos x 8.2. 2 sen x 8.3. – sen x  9.1. x = – + k  , k  Z 4  9.2. x =  + k  , k  Z 6   9.3. x =  + k  , k  Z 6 2  5 10.1. x =  + 2k  ∨ x =   + 2k  , k  Z 6 6 10.2. Impossível.  10.3. x = –  + 2k  , k  Z 2 10.4. x  – 0,11 + 2k  ∨ ∨ x  1,11 + 2k  , k  Z

191



5 14.1. P 1,   4





 14.2. –1,  4



15.

22 , 47 

5 16.2. 2 3,  6

 16.3. 1,  3

 

 16.4. 4,  6

2 2   17.1. –  ,– 4 4



16.1.





 



3 3 3 17.3. , –  2 2





3 3 3 17.2. ,  2 2



2 2   17.4. –  , 2 2







18.2. Aproximadamente, –3,15 18.3. x = 0,27 + 2k  ∨ ∨ x = 0,73 + 2k  , k  Z S = {0,27}



3 19. k  – 1,  2



192

SOLUÇÕES

20.1. 1 20.2. D’g = [–4 , –2]  f crescente em ,  , por exemplo 2

冤 冥

21.1. D = IR\{ + 2k , k 僆 Z } ; D ’ = IR 21.2. Aproximadamente, –0,42 21.3. p = 2  21.4. x = –  2 22.1. x = k  , k 僆 Z 22.2. –2兹苶 2 + 3 ⬇ 0,17 23.1. f () = 1 23.2. a = 1 e b = –4

Páginas 174-180 1. A 2. D 3. B 5. A 6. C 7. C 9. A 10. 2,48 11. –0,92 12. –2,37 13. 1,86  14.1. x =  + k  , k 僆 Z ⇔ 6

4. D 8. A

⇔ x ⬇ 0,52 + k  , k 僆 Z  k 14.2. x =  +  , k 僆 Z ⇔ 8 2

k ⇔ x ⬇ 0,39 +  , k 僆 Z 2 14.3. x = k  , k 僆 Z  k 14.4. x =  +  , k 僆 Z ⇔ 12 2

k 2

⇔ x ⬇ 0,26 +  , k 僆 Z  15.1. x =  + k  ∨ 8 3 x =   + k  , k 僆 Z ⇔ 8 ⇔ x ⬇ 0,39 + k  ∨ ∨ x ⬇ 1,18 + k  , k 僆 Z  15.2. x = –  + 2k  ∨ 6

5 ∨ x =   + 2k  , k 僆 Z ⇔ 6 ⇔ x ⬇ 0,52 + 2k  ∨ ∨ x ⬇ 2,62 + 2k  , k 僆 Z  16.1. x = –  + 2k  ∨ 3 4 ∨ x = +   + 2k  , k 僆 Z 3 x 僆 [–, ]  2 S = –  , –  3 3

冦

20.3.

冧

21.2.

 16.2. x =  + 2k  20 9 ∨ x = –   + 2k  , k 僆 Z 20 x 僆 [–, ]  9 S = –  ,  20 20

冦

冧

  16.3. x =  + k  , k 僆 Z 6 2

x 僆 [–, ]   2 5 S = –  , –  ,  ,   3 6 3 6

冦

冢

3 17.1. A 8兹苶 2 ,  4

冢

 17.2. B 2兹苶 6 , 6  17.3. C 6, –  3

冢

冣

冢

冣

冧

冣

冣 23.2. Aprox. 1,9 m 23.3. t ⬇ 1h 03m ; t ⬇ 5h 14m ; t ⬇ 13h 37m ; t ⬇ 17h 48m

4 17.4. D 4,   3

18.1. P (1, – 兹苶 3) 18.2. Q

2 2 兹苶 兹苶 – ,–

冢

2

2

冣

18.3. R (0, 兹苶 2) 3 , 2) 18.4. S (–2 兹苶 19.

 x = –  + 2k  , k 僆 Z ⇔ 2 ⇔ x ⬇ –0,52 + 2k  ∨ ∨ x ⬇ –1,57 + 2k  , k 僆 Z 2 2 15.3. x =    +  k  , k 僆 Z ⇔ 9 3 2 ⇔ x ⬇ –0,7 +  k  , k 僆 Z 3  15.4. x =  + 2k  ∨ 6

 ⬇ 0,615 rad 22.1. p = 3 22.2. y (0) = 0,03 22.3. y (2) = –0,06 23.1.

24.1. P2

3 5 兹苶   , –  哭 6 2

冢

冣

 24.2.0 ≤ x ≤  3

冢

冣

5 cos 2x –   ≤ y ≤ sen (2x ) 6 25.1. Aproximadamente, 2031 km 25.2. x ⬇ 229o 26.1. 18h 50m 26.2.38 dias.

20.1. h = 2 sen  ; A苶苶 D = 2 + 4 cos  20.2. x ⬇ 1,05 ; y ⬇ 5,196 ; A ⬇ 5,2 dm2