Matemática - 3° Básico (GDD)

Guía

te n e c o didáctica del d

3°

Matemática BÁSICO

Edición Especial para el Ministerio de Educación. Prohibida su Comercialización. 1

Datos de catalogación Autores: Randall I. Charles, Janet H. Caldwell, Mary Cavanagh, Dinah Chancellor, Juanita V. Copley, Warren D. Crown, Francis (Skip) Fennell, Alma B. Ramirez, Kay B. Sammons, Jane F. Schielack, William Tate, John A. Van de Walle. Matemática 3º Educación Básica Guía didáctica del docente - 1ª Edición Pearson Educación de Chile Ltda. 2012 ISBN: 978-956-343-343-2 Formato: 21 x 27,5 cm

Páginas: 280

Teacher’s Book Grade 3 Guía didáctica del docente Nivel 3

Especialistas en Matemática responsables de los contenidos y su revisión técnico-pedagógica:

Spanish language edition published by Pearson Educación de Chile Ltda., Copyright © 2012 Pearson Education, Inc. or its affiliates. Authorized adaptation from the U.S. Spanish language edition, entitled: Scott Foresman-Addison Wesley enVisionMATHTM en español, Guía del maestro Grado 3, Copyright © 2009 by Pearson Education, Inc. or its affiliates. Used by permission. All Rights Reserved.

Obra original: Randall I. Charles, Janet H. Caldwell, Mary Cavanagh, Dinah Chancellor, Juanita V. Copley, Warren D. Crown, Francis (Skip) Fennell, Alma B. Ramirez, Kay B. Sammons, Jane F. Schielack, William Tate, John A. Van de Walle. Adaptación: María Brunilda Rodríguez Revisor didáctico: Ximena Carreño.

Pearson, Scott Foresman, and enVisionMATH are trademarks, in the U.S. and/ or other countries, of Pearson Education, Inc. or its affiliates. This publication is protected by copyright, and prior to any prohibited reproduction, storage in a retrieval system, or transmission in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or likewise, permission should be obtained from Pearson Education, Inc., Rights Management & Contracts, One Lake Street, Upper Saddle River, N.J. 07458 U.S.A. Edición en español publicada por Pearson Educación de Chile Ltda., Copyright © 2012. Adaptación autorizada de la edición en español, titulada: Scott ForesmanAddison Wesley enVisionMATHTM en español, Guía del maestro Grado 3, Copyright © 2009 publicada por Pearson Education, Inc. o sus filiales. Autorización de publicación. Todos los derechos reservados. Pearson, Scott Foresman y enVisionMATH son marcas registradas de Pearson Education, Inc. o sus filiales, en U.S.A. y/o en otros países. Esta publicación está protegida por derechos de propiedad intelectual. Queda estrictamente prohibida su reproducción total o parcial por ningún medio, ya sea por algún medio electrónico o mecánico incluyendo fotocopiado, grabación o cualquier otro sistema de almacenamiento de datos sin la previa autorización del Departamento de Administración de Derechos y Contratos de Pearson Education, Inc., One Lake Street, Upper Saddle River, N.J. 07458 U.S.A.

Matemática 3° básico

Guía didáctica del docente El proyecto didáctico Matemática 3° básico es una obra colectiva creada por encargo de la Editorial Pearson Chile, por un equipo de profesionales en distintas áreas, que trabajaron siguiendo los lineamientos y estructuras establecidos por el departamento pedagógico de Pearson Chile.

Edición y Arte Gerente Editorial: Cynthia Díaz Edición: Lissette Vaillant E-mail de contacto: [email protected] Corrección de estilo y ortotipográfica: Equipo editorial Diseño: Equipo de diseño y editorial Pearson Chile Diagramación: Francisca Urzúa / José Luis Grez Bancos fotográficos: © Latinstock; Corbis, Science Photo Library Ilustración: Estefani Rodríguez / Álvaro Martínez PRIMERA EDICIÓN, 2012 D.R. © 2012 por Pearson Educación de Chile Ltda. José Ananías 505, Macul Santiago de Chile Nº de registro propiedad intelectual: 221.311 Número de inscripción ISBN: 978-956-343-343-2 Impreso en Chile en RR Donnelley “Se terminó de imprimir esta 1ª edición de 11.000 ejemplares, en el mes de diciembre del año 2012.” Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

En un mundo globalizado como el de hoy, que cambia a gran velocidad, buscamos nuevas experiencias que den sentido a nuestra vida. Sin embargo, es en nuestra propia experiencia de aprendizaje donde descubrimos la grandeza del ser humano. Tienen ante ustedes el Texto del estudiante y la Guía didáctica del docente, que luego de acuciosas investigaciones, entrega a nuestros niños un material donde podrán explorar significativas experiencias de aprendizaje interactivo, convirtiéndolos en protagonistas de la aventura de adquirir nuevos conocimientos de manera lúdica y profunda. El aprendizaje significativo, simple y lúdico facilita la adquisición y desarrollo de habilidades y estrategias que les permitirá comprender mejor el mundo en el que vivimos y, en consecuencia, colaborar en su mejoramiento.

ÍNDICE Propuesta didáctica ......................................................................6

Planificación unidad 3 ....................................92

Guía de implementación y síntesis.......................................... 14

Unidad 3 Multiplicación .................................94

Estructura del texto .................................................................... 18

Lección 3.1: Matrices o arreglos bidimensionales .......................96

Manual de resolución de problemas ....................................... 20

Hacia el mundo digital ....................................99 Planificación unidad 1 ....................................28 Unidad 1 Numeración ....................................30 Lección 1.1: Formar 1 000 ...........................32 Lección 1.2: Contar centenas, decenas y unidades ..................34

Lección 3.2: Usar la multiplicación para comparar........................100 Lección 3.3: Escribir cuentos sobre multiplicación .........................102 Lección 3.4: El 2 y el 5 como factores ........104

Lección 1.3: Leer y escribir números hasta 1 000.............................36

Lección 3.5: El 10 como factor ...................106

Lección 1.4: Cambiar números .....................38

Lección 3.7:

Lección 1.5: Patrones en una tabla ..............40

Lección 3.8: El 6 y el 7 como factores ........112

Lección 1.6: Comparar números ...................42

Lección 3.9: El 8 como factor .....................114

Lección 1.7:

Antes, después, entre ..............44

Lección 3.10: El 11 y el 12 como factores ....116

Lección 1.8: Ordenar números .....................46

Lección 3.11: Resolución de problemas: Problemas de varios pasos .....118

Lección 3.6: El 9 como factor .....................108 El 3 y el 4 como factores ........110

Lección 1.9: Resolución de problemas: Buscar un patrón ......................48

Enlace con Álgebra .......................................120

Enlace con Álgebra .........................................50

Conectándonos con otras asignaturas............121

Conectándonos con otras asignaturas.............. 51

¡Cuánto aprendí! ..........................................122

¡Cuánto aprendí! ............................................52 Planificación unidad 4 ..................................124 Planificación unidad 2 ....................................54

Unidad 4 División ........................................126

Unidad 2 Cálculo mental................................56

Lección 4.1: La división como repartición....128

Lección 2.1: Usar dobles .............................58

Lección 4.2: La división como resta repetida ........................130

Lección 2.2: Adición de decenas y unidades ..60 Lección 2.3: Sustracción de decenas ...........62 Lección 2.4: Sumar para restar ....................64 Lección 2.5: Significado y propiedades de la adición ............................66 Lección 2.6: Cálculo mental .........................68 Lección 2.7:

Modelos para sumar números de tres dígitos .......................... 70

Lección 2.8: Sumar números de tres dígitos .. 72 Lección 2.9: Cálculo mental: maneras de encontrar las partes que faltan .. 76 Lección 2.10: Estimar diferencias ................... 78 Lección 2.11: Modelos para restar números de tres dígitos ............80 Lección 2.12: Restar números de tres dígitos ..82 Lección 2.13: Resolución de problemas: ¿Es razonable? .........................86 Enlace con álgebra .........................................88 Conectándonos con otras asignaturas..............89 ¡Cuánto aprendí! ............................................90 4

Índice

Lección 4.3: Escribir cuentos sobre división ..................................132 Lección 4.4: Relacionar la multiplicación y la división ............................134 Lección 4.5: Familias de operaciones con 2, 3, 4 y 5 ..............................136 Lección 4.6: Familias de operaciones con 6, 7, 8 y 9 ..............................138 Lección 4.7:

Resolución de problemas: Hacer un dibujo y escribir una oración numérica .............140

Enlace con Álgebra ....................................... 142 Conectándonos con otras asignaturas............143 ¡Cuánto aprendí! ..........................................144

Planificación unidad 5 ..................................146

Planificación unidad 8 ..................................212

Unidad 5 Patrones y relaciones....................148

Unidad 8 Fracciones .................................... 214

Lección 5.1: Patrones que se repiten ..........150 Lección 5.2: Secuencias numéricas ............152

Lección 8.1: Dividir regiones en partes iguales ........................ 216

Lección 5.3: Ampliar tablas ........................154

Lección 8.2: Fracciones y regiones .............218

Lección 5.4: Traducir palabras a expresiones ........................156

Lección 8.3: Fracciones y conjuntos ...........220

Lección 5.5: Igual o desigual ......................158

Lección 8.4: Usar modelos para comparar fracciones ...............222

Lección 5.6: Resolución de problemas: Representarlo y razonar ..........160

Lección 8.5: Comparar fracciones con igual denominador ..................224

Lección 5.7:

Lección 8.6: Resolución de problemas: Hacer una tabla y buscar un patrón ...............................226

Patrones geométricos .............162

Conectándonos con otras asignaturas............165 ¡Cuánto aprendí! ..........................................166 Planificación unidad 6 ..................................168 Unidad 6 Geometría ..................................... 170 Lección 6.1: Relacionar cuerpos y figuras ... 172 Lección 6.2: Figuras 3D ............................. 174 Lección 6.3: Vistas de los cuerpos geométricos: modelos planos .. 176

Ampliación ..................................................228 Conectándonos con otras asignaturas............229 ¡Cuánto aprendí! ..........................................230 Planificación unidad 9 ..................................232 Unidad 9 Datos y gráficos ............................234 Lección 9.1:

Datos de encuestas ...............236

Lección 6.4: Movimientos de las figuras ..... 178

Lección 9.2: Organizar datos ......................238

Lección 6.5: Simetría .................................180

Lección 9.3: Interpretar gráficos .................240

Lección 6.6: Resolución de problemas: Usar objetos ..........................182

Lección 9.4:

Haz un alto y practica ...................................184

Lección 9.5: Hacer pictogramas .................244

Conectándonos con otras asignaturas............185

Lección 9.6:

Hacer gráficos de barras.........246

¡Cuánto aprendí! ..........................................186

Lección 9.7:

Diagramas de puntos .............248

Leer pictogramas y gráficos de barras ................ 242

Planificación unidad 7 ..................................188

Lección 9.8: Resolución de problemas: Usar tablas y gráficos para sacar conclusiones .........250

Unidad 7 Medición ......................................190

Ampliación ..................................................252

Lección 7.1:

Hora, media hora y cuarto de hora ..................................192

Conectándonos con otras asignaturas............253

Lección 7.2:

Unidades de tiempo ...............194

Lección 7.3:

Medir tiempo en un calendario ..............................196

Lección 7.4:

Unidades de peso ..................198

Lección 7.5:

Usar centímetros y decímetros .............................200

Lección 7.6:

Perímetro ...............................202

Lección 7.7:

Perímetro de figuras comunes..204

Lección 7.8:

Resolución de problemas: Intentar, revisar y corregir .......206

¡Cuánto aprendí! ..........................................254 Pruebas fotocopiables .............................................................256 Solucionario pruebas fotocopiables ...................................... 274 Solucionario de resolución de ejercicios variados .............. 276 Hoja de resolución de problemas ..........................................278 Sitios web ..................................................................................279

Hacia el mundo digital ..................................208 Conectándonos con otras asignaturas............209 ¡Cuánto aprendí! .......................................... 210

Índice

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Propuesta didáctica El texto de matemática que aquí presentamos, ha sido elaborado a partir de las últimas propuestas realizadas por el Ministerio de Educación de Chile (Mineduc). En relación con el marco de la buena enseñanza, la evaluación para el aprendizaje, el ajuste curricular, y en el propósito formativo de esta asignatura. Por todos estos antecedentes, resulta fundamental que el y la docente considere este texto como un apoyo para los procesos de enseñanza-aprendizaje de sus alumnos y no solamente como un manual de ejercicios descontextualizados. En el texto, el papel del docente como mediador de los aprendizajes es clave para el logro de los objetivos planteados en cada unidad. De esta manera, antes de empezar a usar el texto con los estudiantes, los invitamos a leer y reflexionar detenidamente en la propuesta didáctica.

MARCO PARA LA BUENA ENSEÑANZA El Marco para la Buena Enseñanza es un documento elaborado por el Mineduc, con la colaboración de la Asociación Chilena de Municipalidades y del colegio de profesores, y que sirve para optimizar los procesos de enseñanza-aprendizaje dentro del aula. El marco recoge diversas investigaciones basadas en experiencias concretas dentro de la clase, que sirven como elementos de reflexión y de guía específica para mejorar los procesos de enseñanza-aprendizaje de los y las estudiantes.

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y toma decisiones coherentes con sus palabras y acciones, y una de las cosas más importantes en esta dimensión es que trabaja con todos los alumnos, no solo con los mejores. Esto último es fundamental, ya que los docentes muchas veces no ven a gran parte de sus estudiantes, haciéndolos “invisibles” ante sí mismos (lo que genera problemas de autoestima). Así, el profesor debe estar atento a todos sus estudiantes conscientemente, especialmente a aquellos con mayores problemas, más tímidos o de capacidad media.

 Interacción dialógica Es importante que exista una interacción constante en la clase, ya sea entre pares de alumnos, en grupos pequeños de alumnos y a nivel de grupo curso, promoviendo continuamente la interacción: estudiante-estudiante, profesor-estudiante; estudiante-contenido. Es importante resaltar el binomio estudiante-estudiante, ya que es uno de los más olvidados por los docentes y que, paradójicamente, promueve la motivación y el aprendizaje más profundo y significativo según la investigación pedagógica (Cazden, 1990; Wells, 2001).

En el presente texto del estudiante, se han considerado principalmente aquellos aspectos que son fundamentales para el sector de matemática. Por ello, destacamos que lo desarrollado aquí, está basado en el Marco Curricular, pero también en nuestra propia experiencia docente y sus reflexiones derivadas, así como investigación y teoría pedagógica complementaria.

En relación con la importancia de la interacción, resaltamos la propuesta dialógica entregada por el ajuste en relación con el sector. Esto significa que los y las estudiantes elaboran discursos extensos y que buscan una respuesta activa del otro sobre lo que hacen. Esta perspectiva dialógica es clave para el logro de los objetivos del texto, ya que es común que la interacción en la sala de clases es normalmente limitada, donde los estudiantes responden a coro, con respuestas cerradas o de corta extensión (Candela, 2001). Frente a esta realidad, el docente puede promover la interacción auténtica mediante discursos extendidos por parte de los y las estudiantes, ya que así se desarrolla el pensamiento matemático, a la vez que se potencia la dimensión ética del diálogo y el respeto al otro.

 Clima del aula

 Aprovechamiento pedagógico

Es relevante que el docente sea consciente que sus expectativas y palabras calan fuerte en los y las estudiantes, por eso, los profesores deben confiar en las capacidades de los alumnos para crear un ambiente afectivo que posea reglas claras y simples. Para crear un clima de aula adecuado, el docente se centra más en las fortalezas que en las debilidades, escucha atentamente las dudas, creencias y requerimientos de los alumnos

Es relevante crear situaciones interesantes y productivas que aprovechen el tiempo en forma efectiva. Para lograr que los y las estudiantes participen activamente en las actividades de la clase, el docente tiene que involucrarse en lo que está enseñando y explicitar los objetivos de aprendizaje y los procedimientos para el desarrollo de las actividades. Esto significa poner en práctica una estructura clara de inicio, desarrollo y cierre.

Propuesta didáctica

Por otra parte, el aprovechamiento pedagógico tiene relación con la capacidad de planificar en función de la realidad y del diagnóstico de los y las estudiantes, saber distribuir adecuadamente a los y las estudiantes en la sala, identificar claramente a los y las estudiantes que tienen problemas de aprendizaje y saber cuáles son estos problemas para actuar en consecuencia.

 Desarrollo de habilidades de pensamiento El desarrollo de habilidades es uno de los aspectos clave en la propuesta del ajuste curricular. Esto significa que el clima de aula, la estructura de la clase y la interacción dialógica potencian esta dimensión. Para lograr plenamente el desarrollo de habilidades, el docente tiene que reflexionar continuamente sobre qué está enseñando y cómo lo está haciendo, preguntándose si lo que enseña es realmente relevante para el alumno, para su realidad y para el desarrollo de competencias transversales como: analizar, reflexionar, resolver problemas, plantear soluciones, comprender globalmente, comparar procesos o procedimientos, pensar crítica y autónomamente, entre otras habilidades propias del sector de matemática y que se relacionan con lo propuesto para los Objetivos de Aprendizaje Transversales (OAT).

LA EVALUACIÓN PARA EL APRENDIZAJE La evaluación para el aprendizaje es parte de la perspectiva constructivista de la educación, que considera que la enseñanza y aprendizaje de conceptos y habilidades está indisolublemente unido a la evaluación. De este modo, la evaluación es parte del aprendizaje, en cuanto lo retroalimenta y sirve para entender los avances de los estudiantes.

LA PROPUESTA DE AJUSTE CURRICULAR PARA MATEMÁTICA El propósito formativo de esta asignatura es enriquecer la comprensión de la realidad, facilitar la selección de estrategias para resolver problemas y contribuir al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo en todos los estudiantes, sean cuales sean sus opciones de vida y de estudios al final de la experiencia escolar. La matemática proporciona herramientas conceptuales para analizar la

información cuantitativa presente en las noticias, opiniones, publicidad y diversos textos, aportando al desarrollo de las capacidades de comunicación, razonamiento y abstracción e impulsando el desarrollo del pensamiento intuitivo y la reflexión sistemática. La matemática contribuye a que los alumnos valoren su capacidad para analizar, confrontar y construir estrategias personales para resolver problemas y analizar situaciones concretas, incorporando formas habituales de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la aplicación y el ajuste de modelos, la flexibilidad para modificar puntos de vista ante evidencias, la precisión en el lenguaje y la perseverancia en la búsqueda de caminos y soluciones. La matemática es en sí misma un aspecto importante de la cultura humana: es una disciplina cuya construcción empírica e inductiva surge de la necesidad y el deseo de responder y resolver situaciones provenientes de los más variados ámbitos. Además, aprender matemática es fundamental para la formación de ciudadanos críticos y adaptables; capaces de analizar, sintetizar, interpretar y enfrentar situaciones cada vez más complejas; dispuestos a resolver problemas de diversos tipos, ya que les permite desarrollar capacidades para darle sentido al mundo y actuar en él. La matemática les ayudará a resolver problemas cotidianos, a participar responsablemente en la dinámica social y cívica, y les suministrará una base necesaria para su formación técnica o profesional. Su aprendizaje involucra desarrollar capacidades cognitivas clave, como visualizar, representar, modelar y resolver problemas, simular y conjeturar, reconocer estructuras y procesos. Asimismo, amplía el pensamiento intuitivo y forma el deductivo y lógico. La matemática constituye un dominio privilegiado para perfeccionar y practicar el sentido común, el espíritu crítico, la capacidad de argumentación, la perseverancia y el trabajo colaborativo. Está siempre presente, en la vida cotidiana, explícita o implícitamente, y juega un papel fundamental en la toma de decisiones. Es una herramienta imprescindible en las ciencias naturales, la tecnología, la medicina y las ciencias sociales, entre otras. Es, asimismo, un lenguaje universal que trasciende fronteras y abre puertas para comunicarse con el mundo. Propuesta didáctica

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La matemática, no es un cuerpo fijo e inmutable de conocimientos, hechos y procedimientos, que se aprenden a recitar. Hacer matemáticas no consiste simplemente en calcular las respuestas a problemas propuestos, usando un repertorio específico de técnicas probadas. En otras palabras, es una ciencia que exige explorar y experimentar, descubriendo patrones, configuraciones, estructuras y dinámicas. Se trata de una disciplina creativa, multifacética en sus aspectos cognitivos, afectivos y sociales, que es accesible a los niños desde la educación básica; que puede brindar momentos de entusiasmo al estudiante cuando se enfrenta a un desafío, de alegría y sorpresa cuando descubre una solución a simple vista, o de triunfo cuando logra resolver una situación difícil.

las cantidades y de esta manera, comprender mejor lo que son y lo que se hace con ellas. Así se construye una base sólida para comprender los conceptos de número y su operatoria y también los conceptos relacionados con geometría, medición y datos.

Los estudiantes de todas las edades necesitan dar sentido a los contenidos matemáticos que aprenden, para que puedan construir su propio significado de la matemática. Especialmente en los primeros niveles, esto se logra de mejor manera cuando los estudiantes exploran y trabajan primero manipulando una variedad de materiales concretos y didácticos. La formación de conceptos abstractos comienza a partir de las experiencias y acciones concretas con objetos. Por ejemplo, en el caso de las operaciones, el uso de material concreto facilita la comprensión de las relaciones reversibles entre otros, dándose la oportunidad de comprobar numerosas veces la permanencia de algunos hechos. El tránsito hacia la representación simbólica es más sólido si luego se permite una etapa en que lo concreto se representa icónicamente, con imágenes y representaciones “pictóricas”, para más tarde avanzar progresivamente hacia un pensamiento simbólico-abstracto. Las metáforas, las representaciones y las analogías juegan un rol clave en este proceso de aprendizaje que da al alumno la posibilidad de construir sus propios conceptos matemáticos. De esta manera, la matemática se vuelve accesible para todos. Los Objetivos de Aprendizaje de Matemática mantienen permanentemente esa progresión de lo concreto a lo pictórico (icónico) y a lo simbólico (abstracto) en ambos sentidos que se denomina con la sigla COPISI.

Resolver problemas da al estudiante la ocasión de enfrentarse a situaciones desafiantes que requieren, para su resolución variadas habilidades, destrezas y conocimientos que no siguen esquemas prefijados y de esta manera contribuye a desarrollar confianza en las capacidades propias de aprender y de enfrentar situaciones, lo que genera, actitudes positivas hacia el aprendizaje. La resolución de problemas permite, además, que el profesor perciba el tipo de pensamiento matemático de sus alumnos cuando ellos seleccionan diversas estrategias cognitivas y las comunican. De este modo, obtiene evidencia muy relevante para apoyar y ajustar la enseñanza a las necesidades de ellos. Los Objetivos de Aprendizaje se orientan también a desarrollar en los estudiantes las destrezas de cálculo. A pesar de que existen hoy métodos automáticos para calcular, las destrezas de cálculo, particularmente el cálculo mental, son altamente relevantes en la enseñanza básica, pues constituyen un medio eficaz para el desarrollo de la atención, la concentración y la memoria, y originan una familiaridad progresiva con los números, que permite que los alumnos puedan luego “jugar” con ellos. Además, a medida que los estudiantes progresan en sus estrategias de cálculo, son capaces de aplicarlas flexiblemente a la solución de situaciones numéricas, y luego comparar, discutir y compartir las estrategias que cada uno utilizó para llegar al resultado. La comprensión de los algoritmos y la aplicación de operaciones para resolver problemas se facilitan y se hacen más sólidas cuando se ha tenido la oportunidad de ejercitar destrezas de cálculo mental.

Para desarrollar los conceptos y habilidades básicas en matemática, es necesario que el alumno los descubra, explorando y trabajando primeramente en ámbitos numéricos pequeños, siempre con material concreto. Mantenerse dentro de un ámbito numérico más bajo hace posible visualizar 8

Propuesta didáctica

La resolución de problemas es el foco de la enseñanza de la matemática. Se busca promover el desarrollo de formas de pensamiento y de acción que posibiliten a los estudiantes procesar información proveniente de la realidad y así profundizar su comprensión acerca de ella y de los conceptos aprendidos. Contextualizar el aprendizaje mediante problemas reales relaciona la matemática con situaciones concretas, y facilita así un aprendizaje significativo de contenidos matemáticos fundamentales.

En la educación básica, las herramientas tecnológicas (calculadoras y computadores) contribuyen

al ambiente de aprendizaje, ya que permiten explorar y crear patrones, examinar relaciones en configuraciones geométricas y ecuaciones simples, ensayar respuestas, testear conjeturas, organizar y mostrar datos y abreviar la duración de cálculos laboriosos necesarios para resolver ciertos tipos de problemas. Sin embargo, aunque la tecnología se puede usar de 1° a 4° básico para enriquecer el aprendizaje, se espera que los estudiantes comprendan y apliquen los conceptos involucrados antes de usar estos medios.

vamente deducciones que les permitirán hacer predicciones eficaces en variadas situaciones concretas. Se espera, además, que desarrollen la capacidad de verbalizar sus intuiciones y concluir correctamente, y también de detectar afirmaciones erróneas.

ORGANIZACIÓN CURRICULAR

El objetivo de esta habilidad es lograr que el estudiante construya una versión simplificada y abstracta de un sistema, usualmente más complejo, pero que capture los patrones claves y los exprese mediante lenguaje matemático. A través del modelamiento matemático los estudiantes aprenden a usar una variedad de representaciones de datos y a seleccionar y aplicar métodos matemáticos apropiados y herramientas para resolver problemas del mundo real.

 A. HABILIDADES En la educación básica se busca desarrollar el pensamiento matemático. En este desarrollo, están involucradas cuatro habilidades interrelacionadas: resolver problemas, representar, modelar y argumentar y comunicar. Todas ellas tienen un rol importante en la adquisición de nuevas destrezas y conceptos y en la aplicación de conocimientos para resolver los problemas propios de la matemática (rutinarios y no rutinarios) y de otros ámbitos.

Resolver problemas Resolver problemas es tanto un medio como un fin para lograr una buena educación matemática. Se habla de resolver problemas, en lugar de simples ejercicios, cuando el estudiante logra solucionar una situación problemática dada, contextualizada o no, sin que se le haya indicado un procedimiento a seguir. A través de estos desafíos, los alumnos experimentan, escogen o inventan. Aplican diferentes estrategias (ensayo y error, transferencia desde problemas similares ya resueltos, etc.), comparan diferentes vías de solución, y evalúan las respuestas obtenidas y su pertinencia.

Argumentar y comunicar La habilidad de argumentar se aplica al tratar de convencer a otros de la validez de los resultados obtenidos. La argumentación y discusión colectiva sobre la solución de problemas, escuchar y corregirse mutuamente, la estimulación a utilizar un amplio abanico de formas de comunicación de ideas, metáforas y representaciones, favorece el aprendizaje matemático. En la enseñanza básica, se apunta principalmente a que los alumnos establezcan progresi-

Modelar Modelar es el proceso de utilizar y aplicar modelos, seleccionarlos, modificarlos y construir modelos matemáticos identificando patrones característicos de situaciones, objetos o fenómenos que se desea estudiar o resolver, para finalmente evaluarlos.

Aunque construir modelos suele requerir el manejo de conceptos y métodos matemáticos avanzados, en este currículum se propone comenzar por actividades de modelación tan básicas como formular una ecuación que involucra adiciones para expresar una situación de la vida cotidiana del tipo: “Invitamos 11 amigos, 7 ya llegaron, ¿cuántos faltan?” Un modelo posible sería 7 + = 11. La complejidad de las situaciones a modelar dependerá del nivel en que se encuentren los estudiantes.

Representar Al metaforizar, el estudiante transporta experiencias y objetos de un ámbito concreto y familiar a otro más abstracto y nuevo, en que habitan los conceptos que está recién construyendo o aprendiendo. Por ejemplo: “Los números son cantidades”, “los números son posiciones en la recta numérica”, “sumar es juntar, restar es quitar”, “sumar es avanzar, restar es retroceder”, “dividir es repartir en partes iguales”. En tanto, el alumno “representa” para entender mejor y operar con conceptos y objetos ya construidos. Por ejemplo, cuando representa las fracciones con puntos en una recta numérica, o una ecuación como x + 2 = 5 por medio de una balanza en equilibrio con una caja de peso desconocido x y 2 kg en un platillo y 5 kg en el otro. Propuesta didáctica

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Manejar una variedad de representaciones matemáticas de un mismo concepto y transitar fluidamente entre ellas, permitirá a los estudiantes lograr un aprendizaje significativo y desarrollar su capacidad de pensar matemáticamente. Durante la educación básica, se espera que aprendan a usar representaciones pictóricas como diagramas, esquemas y gráficos, para comunicar cantidades, operaciones y relaciones, y que luego conozcan y utilicen el lenguaje simbólico y el vocabulario propio de la disciplina. Fuente: www.mineduc.cl

Los patrones (observables en secuencias de objetos, imágenes o números que presentan regularidades) pueden ser representados en forma concreta, pictórica y simbólica, y los estudiantes deben ser capaces de transportarlos de una forma de representación a otra, extenderlos, usarlos y crearlos. La percepción de los patrones les permite predecir y también fundamentar su razonamiento al momento de resolver problemas. Una base sólida en patrones facilita el desarrollo de un pensamiento matemático más abstracto en los niveles superiores, como es el pensamiento algebraico

Geometría  B. EJES TEMÁTICOS La presente propuesta de estructura recoge los principales elementos del espíritu que anima al ajuste curricular. A lo largo de sus unidades, mediante el desarrollo de un proyecto concreto, de corte comunicativo y práctico, se pretende movilizar estrategias y habilidades de los diversos ejes del sector. Los conceptos se presentan en cinco ejes temáticos:

Números y operaciones Este eje abarca tanto el desarrollo del concepto de número como también la destreza en el cálculo mental y el uso de algoritmos. Una vez que los alumnos asimilan y construyen los conceptos básicos, con ayuda de metáforas y representaciones, aprenden los algoritmos de la adición, sustracción, multiplicación y división, incluyendo el sistema posicional de escritura de los números. Se espera que desarrollen las estrategias de cálculo mental, comenzando con ámbitos numéricos pequeños y ampliando estos en los cursos superiores, y que se aproximen a los números racionales (como fracciones, decimales y porcentajes) y sus operaciones.

Medición

En todos los ejes, y en especial en el de Números, el aprendizaje debe iniciarse haciendo a los alumnos manipular material concreto o didáctico, pasando luego a una representación pictórica que finalmente se reemplaza por símbolos.

Datos y probabilidades

Patrones y álgebra En este eje se pretende que los estudiantes expliquen y describan relaciones de todo tipo, como parte del estudio de la matemática. Los estudiantes buscarán relaciones entre números, formas, objetos y conceptos, lo que los facultará para investigar las formas, las cantidades y el cambio de una cantidad en relación con otra. 10

En este eje se espera que los estudiantes aprendan a reconocer, visualizar y dibujar figuras, y a describir las características y propiedades de figuras 3D y figuras 2D en situaciones estáticas y dinámicas. Se entregan conceptos para entender la estructura del espacio y describir con un lenguaje más preciso lo que ya conocen en su entorno. El estudio del movimiento de los objetos —la reflexión, la traslación y la rotación— busca desarrollar tempranamente el pensamiento espacial de los alumnos.

Propuesta didáctica

Este eje pretende que los estudiantes sean capaces de identificar las características de los objetos y cuantificarlos, para poder compararlos y ordenarlos. Las características de los objetos –ancho, largo, alto, peso, volumen, etc.– permiten determinar medidas no estandarizadas. Una vez que los alumnos han desarrollado la habilidad de hacer estas mediciones, se espera que conozcan y dominen las unidades de medida estandarizadas. Se pretende que sean capaces de seleccionar y usar la unidad apropiada para medir tiempo, capacidad, distancia y peso, usando las herramientas específicas de acuerdo con lo que se está midiendo. Este eje responde a la necesidad de que todos los estudiantes registren, clasifiquen y lean información dispuesta en tablas y gráficos, y que se inicien en temas relacionados con el azar. Estos conocimientos les permitirán reconocer gráficos y tablas en su vida cotidiana. Para lograr este aprendizaje, es necesario que conozcan y apliquen encuestas y cuestionarios por medio de la formulación de preguntas relevantes, basadas en sus experiencias e intereses, y después registren lo obtenido y hagan predicciones a partir de ellos. Fuente: www.mineduc.cl

 C. ACTITUDES Los Objetivos de Aprendizaje de Matemática promueven un conjunto de actitudes para todo el ciclo básico, que derivan de los Objetivos de Aprendizaje Transversales (OAT). Dada su relevancia para el aprendizaje en el contexto de cada disciplina, estas se deben desarrollar de manera integrada con los conocimientos y habilidades propios de la asignatura. Las actitudes aquí definidas son Objetivos de Aprendizaje, que deben ser promovidos para la formación integral de los estudiantes en la asignatura. Los establecimientos pueden planificar, organizar, desarrollar y complementar las actitudes propuestas según sean las necesidades de su propio proyecto y su realidad educativa. Las actitudes a desarrollar en la asignatura de matemática son las siguientes: • Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico El desarrollo de los objetivos de aprendizaje requiere de un trabajo meticuloso con los datos e información, para poder operar con ellos de forma adecuada. Esto tiene que comenzar desde los primeros niveles, sin contraponerlo con la creatividad y flexibilidad.

asignatura, se debe incentivar la confianza en las propias capacidades, al constatar y valorar los logros personales en el aprendizaje. Esto fomenta en el alumno una actitud activa hacia el aprendizaje, que se traduce en elaborar preguntas y buscar respuestas. Asimismo, da seguridad para participar en clases, pues refuerza sus conocimientos y aclara dudas. • Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia Las bases curriculares requieren que los estudiantes cultiven el esfuerzo y la perseverancia, conscientes de que el logro de ciertos aprendizajes puede implicar mayor dedicación y esfuerzo. Por otra parte, es relevante que el alumno aprenda a reconocer errores y a utilizarlos como fuente de aprendizaje, desarrollando la capacidad de autocrítica y de superación. Esto lo ayudará a alcanzar los aprendizajes de la asignatura y a enriquecer su vida personal. • Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa Se espera que los estudiantes presenten y escuchen opiniones y juicios de manera adecuada para enriquecer los propios conocimientos y aprendizajes y los de sus compañeros. Fuente: www.mineduc.cl

• Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas Desde los Objetivos de Aprendizaje se ofrecen oportunidades para desarrollar la flexibilidad y la creatividad por medio de la búsqueda de soluciones a problemas; entre ellas, explorar diversas estrategias, escuchar el razonamiento de los demás y usar el material concreto de diversas maneras. • Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas Esta actitud se debe promover por medio del trabajo que se realice para alcanzar los objetivos de la asignatura. Dicho trabajo debe poner el acento en el interés por las matemáticas, tanto por su valor en tanto forma de conocer la realidad, como por su relevancia para enfrentar diversas situaciones y problemas. • Manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades Las bases promueven una actitud de confianza en sí mismo que aliente la búsqueda de soluciones, la comunicación de los propios razonamientos y la formulación de dudas y observaciones. A lo largo del desarrollo de la

ORGANIZACIÓN DEL TEXTO DEL ESTUDIANTE  Visión global El texto del estudiante de Matemática para tercero básico, se estructura en nueve unidades integradas a lo largo de las cuales se propone cubrir los objetivos de aprendizaje verticales y transversales establecidos para este sector y nivel. Esta propuesta se basa en mostrar al alumno los contenidos de manera cercana a través de problemas resueltos y aplicaciones, sin perder la rigurosidad matemática que permite la correcta escritura y comunicación de ideas y resultados. Además cada lección del texto, y por consecuencia cada contenido tratado, tiene una amplia variedad tanto de ejercicios como de problemas y aplicaciones, con el fin de promover una practica continua en el estudiante. El texto presenta cinco unidades destinadas al desarrollo del eje números y operaciones; una unidad para el eje de patrones y álgebra, una unidad para el eje de geometría, una unidad para el desarrollo del eje de medición y una unidad para el desarrollo del eje de datos y probabilidades. Propuesta didáctica

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Cada unidad se compone de una secuencia de cuatro secciones claramente identificables. Aprendizaje visual, Práctica guiada, Práctica independiente y Resolución de problemas. En ese contexto, la exposición del contenido y las actividades son motivadas por las necesidades propias del objetivo a lograr.

Conectándonos con la realidad

 Estructura de las unidades Macro lecciones

La metacognición es un elemento presente a lo largo del texto. Continuamente se plantean preguntas sobre el conocimiento (¿qué conozco del tema?, ¿qué conclusiones puedo sacar?, etc.); sobre el proceso (¿qué habilidades he desarrollado? ¿qué pasos debo seguir para?, etc.) sobre las actitudes (¿en qué soy sistemático? ¿cuánto interés tengo en la tarea?, ¿cumplí con los tiempos?). Esto se visualiza concretamente en la sección ¡Cuánto aprendí! en donde se invita a los estudiantes a reflexionar acerca de cómo aprender a aprender.

1. Introducción de la Unidad En las dos primeras páginas se presenta el título de la unidad, imágenes que plantean preguntas relacionadas con el tema a tratar cuyo propósito didáctico es el de motivar a los estudiantes y actividades breves de repaso cuyo objetivo es el de activar conocimientos previos y detectar necesidades de refuerzo de los estudiantes. 2. Lecciones, presentadas en páginas binarias, están formadas por: Aprendizaje visual, puente de aprendizaje interactivo que presenta el contenido de la lección. Otro ejemplo presenta un ejemplo adicional al del puente de aprendizaje visual o bien presenta una estrategia adicional relacionada con el aprendizaje visual.  Práctica guiada que plantea ejercicios resueltos de aplicación del contenido presentado en el puente de aprendizaje visual.  Práctica independiente que plantea ejercicios adicionales de aplicación del contenido presentado en el puente de aprendizaje visual.  Resolución de problemas que presenta problemas para ser resueltos utilizando variadas destrezas matemáticas.

Micro lecciones Entre lecciones, aparecen otras lecciones que son: Enlace con álgebra Proveen más refuerzo algebraico y práctica con andamiaje. Estas lecciones proveen una base sólida para desarrollar conceptos algebraicos. Ampliación Entrega un contenido complementario al de la unidad. Haz un alto y practica Presenta actividades adicionales de ejercitación. Hacia el mundo digital Presenta ejercicios para ser resuelto usando algún medio digital (calculadora, programa Excel, etools, etc.)

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Propuesta didáctica

Presenta situaciones en varios ámbitos de la vida real para aplicar los conocimientos adquiridos, 3. ¡Cuánto aprendí! que presenta ejercicios, en formato de Simce destinados a comprobar el logro de aprendizajes y destrezas.

ORGANIZACIÓN DEL CUADERNO DE EJERCITACIÓN Este cuaderno presenta ejercicios y problemas adicionales y paralelos al contenido presentado en el Texto para el estudiante.

ORGANIZACIÓN DE LA GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE La guía didáctica del profesor es un instrumento que sirve para: a) situar al docente en una perspectiva global en relación al enfoque utilizado en el texto para el estudiante, en relación con el ajuste curricular y con el propio enfoque propuesto por la autora; b) guiar metodológicamente el proceso de enseñanza y aprendizaje; c) dar las pautas y guías para el proceso evaluativo; d) y entregar instrumentos de evaluación complementarios. Esta guía está realizada de la siguiente manera: 1. Guía de implementación y síntesis Breve guía que explica en detalle el objetivo y forma de trabajar cada sección de esta propuesta didáctica. 2. Propuesta de planificación Se presenta un cuadro sinóptico de la unidad, con el objetivo de situar al profesor rápidamente sobre qué trata la unidad, el eje central de la misma, los objetivos de aprendizaje verticales y transversales, recursos utilizados para la clase y para la evaluación y tiempos aproximados para el desarrollo de la misma.

3. Objetivos Se plantea el objetivo de aprendizaje para cada lección. 4. Contexto matemático Provee de una breve ampliación del contenido, provee conclusiones provenientes de investigaciones matemáticas.

las respuestas y las rúbricas o indicadores para las respuestas abiertas de las actividades propuestas, considerando la evaluación como parte del proceso de aprendizaje. 6. Evaluación final Cada unidad presenta una evaluación final con preguntas cerradas, con formato Simce.

5. Sugerencias metodológicas Se integran las indicaciones acerca de qué tratan las secciones en la que está organizado el texto,

Propuesta didáctica

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Guía de implementación y síntesis INVESTIGACIÓN

Matemática 3° básico provee:

Una base de investigación que asegura que el programa “funcione” para todos los estudiantes. El programa de Matemática 3° básico, está adaptado de enVisionMATH está basado en la investigación sobre el aprendizaje de las matemáticas y sobre datos recolectados en la clase que validan la confiabilidad del programa. En el desarrollo del programa se integraron cuatro fases de investigación diferentes. 1. Investigación continua 2. Base de investigación científica 3. Investigación formativa 4. Investigación resumen

Una manera de enseñar todos los estándares mediante lecciones que pueden ser enseñadas al ritmo de una por clase.

ESTRUCTURA DE LA ENSEÑANZA  Conocimientos esenciales La investigación dice que la enseñanza para el conocimiento resulta en un mejor desempeño que es más perdurable en el tiempo (Pesek and Kirshner, 2000)

Matemática 3° básico provee:

CURRICULUM PERSONALIZADO  Enfocado Unidades organizadas para ayudar a los docentes a enseñar lo que quieran en el momento que quieran. La investigación dice que es mejor enseñar los contenidos nuevos conectándolos a conocimientos previos con un foco permanente en el tiempo (Empson, 2003)

Matemática 3° básico provee: 11 unidades temáticas coherentes y presentadas en grupos de lecciones digeribles que comparten foco común.

 Flexible La investigación dice que la información del desempeño del estudiante puede influir las decisiones de enseñanza tales como decisiones acerca de cómo secuenciar el contenido (Cotton, 2001)

Matemática 3° básico provee: Una secuencia flexible con temas que están organizados e identificados con un código de color que son los suficientemente cortas para que el docente las reorganice en un currículum que se asemeje a la secuencia preferida de acuerdo al nivelo de su clase, escuela o ambiente.

 Con diferentes ritmos La investigación dice que el ritmo con el cual se presenta el contenido nuevo puede ser un factor importante en cuán bien los estudiantes aprendan el contenido (Shavelson, 1983)

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Guía de implementación y síntesis

Conocimientos esenciales enunciados explícitamente en la Guía para el profesor, en la sección “Cierre y evaluación” que son la base conceptual del programa y mantienen la consistencia conceptual a los largo de las lecciones, unidades y niveles.

 Repaso en espiral diario La investigación dice que la práctica distribuida (repaso en el tiempo) conduce a dominar el mejoramiento y la mantención del nivel de aprendizaje (Cotton, 2001)

Matemática 3° básico provee:  Problema del día que permite el dominio de la práctica continua mediante una variedad de tipos de problemas.

 Aprendizaje visual La investigación dice que los estudiantes obtienen mejor provecho al ver las ideas matemáticas demostradas con imágenes (Schwartz and Heiser, 2006). La instrucción efectiva se enfoca en ideas al mismo tiempo que muestra las conexiones entre las ideas (Hiebert and Lindquist, 1990). Una buena estrategia instruccional incluye que el profesor realice preguntas guía (Carpenter and Fennema, 1992). Las imágenes son útiles cuando proveen representaciones visuales de conceptos matemáticos o ilustran relaciones en el contexto de un problema. (Mayer, 1989)

Matemática 3° básico provee:

Matemática 3° básico provee:

 Puente de aprendizaje visual que es un puente pictórico que ayuda a los estudiantes a enfocarse en solo una idea a la vez a la vez que presenta las conexiones entre las ideas dentro de una secuencia. Esto es especialmente útil para los niños visuales.

 ¿Sabes cómo?, ¿comprendes? en las lecciones del Texto para el estudiante que le ayudan a evaluar no solo las destrezas sino también la comprensión conceptual.  Comprobación rápida al final de cada lección con ítemes de opción múltiple y escritura para explicar que le ayudan a monitorear el progreso de los estudiantes.  Rúbricas para determinar el nivel de los estudiantes.

 Preguntas guía escritas en cursivas que le ayudan a guiar a los estudiantes a través de los ejemplos y le dan a usted una oportunidad de revisar la comprensión de los estudiantes.  Imágenes con un propósito en todas las lecciones que ilustran los conceptos matemáticos y muestran información de problemas matemáticos en contextos del mundo real.

 Diagramas de barras La investigación dice que un diagrama de barras puede ser clave para el éxito en la resolución de problemas. Los diagramas de barras ayudan a los estudiantes a comprender las relaciones entre las cantidades involucradas en el problema y esto ayuda a los estudiantes a elegir la operación correcta para resolver el problema (Diezmann and English, 2001)

Matemática 3° básico provee:  Una introducción a los diagramas de barra que se puede encontrar en el Manual de Resolución de problemas.  Instrucción focalizada en los diagramas de barra en lecciones de resolución de problemas con encabezados como “Haz un dibujo! y “Escribe una oración numérica”.  Refuerzo con diagramas de barra en lecciones regulares donde los diagramas de barra facilitan el apoyo del Puente de aprendizaje visual y en los ejercicios de práctica. 12 banderas en total

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?

 Evaluación y sugerencias La investigación dice que la evaluación continua previene los conceptos erróneos y provee información valiosa para guiar la instrucción orientada a la información (Vye et al.,1998)

 Sugerencias para la instrucción diferenciada.

 Instrucción diferenciada La investigación dice que dar acceso a todos los estudiantes al mismo contenido pero se debe nivelar la instrucción de acuerdo a cuánto apoyo necesita cada uno de los estudiantes (Cotton, 2001)

Matemática 3° básico provee:  Actividades niveladas incluyendo tareas de nivel de Refuerzo que deben ser dirigidas y un nivel de tareas de Ampliación que puede ser realizadas sin la dirección del docente.

ENSEÑANZA DIFERENCIADA  Tareas niveladas La investigación dice que los estudiantes aprenden mejor cuando ellos están interesados en lo que están haciendo y se involucran en actividades con otros estudiantes (Schwartz et al., 1999)

Matemática 3° básico provee:  Actividades de intervención (refuerzo), al nivel (práctica) y avanzado (ampliación) que se encuentran disponibles en el CD Rom. Estas actividades son: independientes para cada lección; niveladas, de tal manera que todos los estudiantes pueden realizar la misma actividad en diferente nivel al mismo tiempo, se pueden realizar con o sin la ayuda del profesor, motivan a los estudiantes a comunicar sus resultados a sus compañeros, requieren de materiales simples, pueden volver a realizarse en el tiempo, pueden ser utilizadas como repaso constante y pueden ser utilizadas más tarde en el tiempo ya que los estudiantes no escriben sobre ellas.  Actividades complementarias cuya realización requiere de materiales simples y que permiten el trabajo individual, en pares y grupos y que

Guía de implementación y síntesis

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pueden ser utilizadas cuando lo estime conveniente. Este tipo de actividades incluye entre otros: Usar dibujos, fotografías, organizadores, redes de palabras y/o números; respuesta física total y uso de la pantomima; enlace con contextos familiares y conocimientos previos.

 Planea y resuelve  ¿Qué estrategia o estrategias debo usar?  ¿Puedo mostrar el problema?  ¿Cómo puedo resolver el problema?  ¿Cuál es la respuesta?

 Vuelve atrás y comprueba

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y EL ÁLGEBRA  Proceso de resolución de problemas La investigación dice que la instrucción explícita en procesos matemáticos ayuda a los estudiantes a resolver problemas eficientemente. (Mayer and Wittrock, 1996)

Matemática 3° básico provee:  Habilidades y Estrategias de resolución de problemas enseñadas en lecciones de resolución de problemas: Información que falta o que sobra Problemas de dos preguntas Problemas de varios pasos ¿Es razonable? Hacer generalizaciones y comprobarlas Escribir para explicar Mostrar cuál es el problema Hacer un dibujo Hacer una lista organizada Hacer una tabla Hacer un gráfico Representar/usar objetos Buscar un patrón Intentar, revisar, corregir Escribir una oración numérica Razonar Empezar por el final Resolver un problema más sencillo  Fases en un proceso de resolución de problemas que se enseñan en las lecciones de resolución de problemas.

 Lee y comprende  ¿Qué me piden que encuentre?  ¿Qué sé?

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Guía de implementación y síntesis

 ¿Comprobé mi trabajo?  ¿Es razonable mi respuesta?  Diagramas de barra que ayudan a los estudiantes a mostrar las representaciones de las relaciones cuantitativas para una variedad de problemas.  Manual de resolución de problemas que se encuentra al inicio del texto para el estudiante y que es un recurso al cual se puede consultar durante el año. Incluye:  Proceso de resolución de problemas  Usar de diagramas  Estrategia de resolución de problemas  Escribir para explicar  Resolución de problemas: Hoja de anotaciones

 Práctica de resolución de problemas La investigación dice que los estudiantes necesitan práctica con una variedad de tipos de problemas (Nesher, 1988)

Matemática 3° básico provee:  Ejercicios de práctica de resolución de problemas en todo el texto, incluyendo: - Pensar en el proceso - ¿Es razonable? - Escribir para explicar - Dibújalo - Escribe un problema - Enfoque en la estrategia  Resolución de problemas: Hoja de anotaciones que ayuda a los estudiantes a llevar un registro de sus respuestas.

 Álgebra La investigación dice que el buen desarrollo conceptual en álgebra resulta en un mejor desempeño en álgebra a futuro. (Behr, Harel, Post, and Lesh, 1992)

Matemática 3° básico provee:  Conexiones con álgebra, páginas que entregan más oportunidades de refuerzo y práctica con andamiaje.

 Unidades y lecciones de álgebra que proveen sólidas bases para los conceptos algebraicos.  Ejercicios de álgebra integrados a las lecciones regulares que conectan el álgebra a otros ejes y refuerzan el pensamiento algebraico.

Matemática 3° básico provee: Monitoreo frecuente continuo. Recursos para la evaluación continua y para la intervención. Evaluación frecuente: oportunidades de evaluación como las siguientes:  Al inicio de cada unidad:

EVALUACIÓN E INTERVENCIÓN La investigación dice que el monitoreo frecuente del progreso provee a los estudiantes de valiosa retroalimentación y correcciones inmediatas, al mismo tiempo, provee al profesor de información acerca de los estudiantes que pueden ayudarle a guiar su proceso de enseñanza. (Black and Black, 1998)

 Repasa lo que sabes  Durante la lección:  ¿Lo entiendes?  Explícalo  Al final de cada unidad:  ¡Cuánto aprendí!  Prueba fotocopiable

Guía de implementación y síntesis

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Estructura del texto Introducción

Propuesta didáctica El texto de matemática que aquí presentamos, ha sido elaborado a partir de las últimas propuestas realizadas por el Ministerio de Educación de Chile (Mineduc). En relación con el marco de la buena enseñanza, la evaluación para el aprendizaje, el ajuste curricular, y en el propósito formativo de esta asignatura.

Explicación de esta propuesta didáctica de este proyecto que da cuenta de los lineamientos entregados por el Ministerio de Educación.

y toma decisiones coherentes con sus palabras y acciones, y una de las cosas más importantes en esta dimensión es que trabaja con todos los alumnos, no solo con los mejores. Esto último es fundamental, ya que los docentes muchas veces no ven a gran parte de sus estudiantes, haciéndolos “invisibles” ante sí mismos (lo que genera problemas de autoestima). Así, el profesor debe estar atento a todos sus estudiantes conscientemente, especialmente a aquellos con mayores problemas, más tímidos o de capacidad media.

Por todos estos antecedentes, resulta fundamental que el y la docente considere este texto como un apoyo para los procesos de enseñanza-ap rendizaje de sus alumnos y no solamente como un manual de ejercicios descontextualizados. En el texto, el papel del docente como mediador de los aprendizajes es clave para el logro de los objetivos planteados en cada unidad. De esta manera, antes de empezar a usar el texto con los estudiantes, los invitamos a leer y reflexionar detenidamente en la propuesta didáctica.

§ Interacción dialógica

Es importante que exista una interacción constante en la clase, ya sea entre pares de alumnos, en grupos pequeños de alumnos y a nivel de grupo curso, promoviendo continuament e la interacción: estudiante-estudiante, profesor-estu diante; estudiante-contenido. Es importante resaltar el binomio estudiante-estudiante, ya que es uno de los más olvidados por los docentes y que, paradójicamente, promueve la motivación y el aprendizaje más profundo y significativo según la investigación pedagógica (Cazden, 1990; Wells, 2001). En relación con la importancia de la interacción, resaltamos la propuesta dialógica entregada por el ajuste en relación con el sector. Esto significa que los y las estudiantes elaboran discursos extensos y que buscan una respuesta activa del otro sobre lo que hacen. Esta perspectiva dialógica es clave para el logro de los objetivos del texto, ya que es común que la interacción en la sala de clases es normalmente limitada, donde los estudiantes responden a coro, con respuestas cerradas o de corta extensión (Candela, 2001). Frente a esta realidad, el docente puede promover la interacción auténtica mediante discursos extendidos por parte de los y las estudiantes, ya que así se desarrolla el pensamiento matemático, a la vez que se potencia la dimensión ética del diálogo y el respeto al otro.

MARCO PARA LA BUENA ENSEÑANZA

El Marco para la Buena Enseñanza es un documento elaborado por el Mineduc, con la colaboración de la Asociación Chilena de Municipalidad es y del colegio de profesores, y que sirve para optimizar los procesos de enseñanza-aprendizaje dentro del aula. El marco recoge diversas investigaciones basadas en experiencias concretas dentro de la clase, que sirven como elementos de reflexión y de guía específica para mejorar los procesos de enseñanza-aprendizaje de los y las estudiantes. En el presente texto del estudiante, se han considerado principalmente aquellos aspectos que son fundamentales para el sector de matemática. Por ello, destacamos que lo desarrollado aquí, está basado en el Marco Curricular, pero también en nuestra propia experiencia docente y sus reflexiones derivadas, así como investigación y teoría pedagógica complementaria.

§ Clima del aula Es relevante que el docente sea consciente que sus expectativas y palabras calan fuerte en los y las estudiantes, por eso, los profesores deben confiar en las capacidades de los alumnos para crear un ambiente afectivo que posea reglas claras y simples. Para crear un clima de aula adecuado, el docente se centra más en las fortalezas que en las debilidades, escucha atentamente las dudas, creencias y requerimientos de los alumnos 6

§ Aprovechamiento pedagógico

Es relevante crear situaciones interesantes y productivas que aprovechen el tiempo en forma efectiva. Para lograr que los y las estudiantes participen activamente en las actividades de la clase, el docente tiene que involucrarse en lo que está enseñando y explicitar los objetivos de aprendizaje y los procedimientos para el desarrollo de las actividades. Esto significa poner en práctica una estructura clara de inicio, desarrollo y cierre.

Propuesta didáctica

Por otra parte, el aprovechamie nto pedagógico tiene relación con la capacidad de planificar en función de la realidad y del diagnóstico de los y las estudiantes, saber distribuir adecuadamen te a los y las estudiantes en la sala, identificar claramente a los y las estudiantes que tienen problemas de aprendizaje y saber cuáles son estos problemas para actuar en consecuencia.

§ Desarrollo de habilidades de pensamiento

El desarrollo de habilidades es uno de los aspectos clave en la propuesta del ajuste curricular. Esto significa que el clima de aula, la estructura de la clase y la interacción dialógica potencian esta dimensión. Para lograr plenamente el desarrollo de habilidades, el docente tiene que reflexionar continuamente sobre qué está enseñando y cómo lo está haciendo, preguntándose si lo que enseña es realmente relevante para el alumno, para su realidad y para el desarrollo de competencias transversales como: analizar, reflexionar, resolver problemas, plantear soluciones, comprender globalmente, comparar procesos o procedimientos, pensar crítica y autónomamente, entre otras habilidades propias del sector de matemática y que se relacionan con lo propuesto para los Objetivos de Aprendizaje Transversales (OAT).

LA EVALUACIÓN PARA EL APRENDIZAJE

La evaluación para el aprendizaje es parte de la perspectiva constructivista de la educación, que considera que la enseñanza y aprendizaje de conceptos y habilidades está indisolubleme nte unido a la evaluación. De este modo, la evaluación es parte del aprendizaje, en cuanto lo retroalimenta y sirve para entender los avances de los estudiantes.

LA PROPUESTA DE AJUSTE CURRICULAR PARA MATEMÁTICA El propósito formativo de esta asignatura es enriquecer la comprensión de la realidad, facilitar la selección de estrategias para resolver problemas y contribuir al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo en todos los estudiantes, sean cuales sean sus opciones de vida y de estudios al final de la experiencia escolar. La matemática proporpropor ciona herramientas conceptuales para analizar la

información cuantitativa presente en las noticias, opiniones, publicidad y diversos textos, aportando al desarrollo de las capacidades de comunicación , razonamiento y abstracción e impulsando el desarrollo del pensamiento intuitivo y la reflexión sistemática. La matemática contribuye a que los alumnos valoren su capacidad para analizar, confrontar y construir estrategias personales para resolver problemas y analizar situaciones concretas, incorporando forfor mas habituales de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la aplicación y el ajuste de modelos, la flexibilidad para modificar puntos de vista ante evidencias, la precisión en el lenguaje y la perseverancia en la búsqueda de caminos y soluciones. La matemática es en sí misma un aspecto importante de la cultura humana: es una disciplina cuya construcción empírica e inductiva surge de la necesidad y el deseo de responder y resolver situaciones provenientes de los más variados ámbitos. Además, aprender matemática es fundamental para la formación de ciudadanos críticos y adaptables; capaces de analizar, sintetizar, interpretar y enfrentar situaciones cada vez más complejas; dispuestos a resolver problemas de diversos tipos, ya que les permite desarrollar capacidades para darle sentido al mundo y actuar en él. La matemática les ayudará a resolver problemas cotidianos, a participar responsablem ente en la dinámica social y cívica, y les suministrará una base necesaria para su formación técnica o profesional. Su aprendizaje involucra desarrollar capacidades cognitivas clave, como visualizar, representar, modelar y resolver problemas, simular y conjeturar, reconocer estructuras y procesos. Asimismo, amplía el pensamiento intuitivo y forma el deductivo y lógico. La matemática constituye un dominio privilegiado para perfeccionar y practicar el sentido común, el espíritu crítico, la capacidad de argumentación, la perseverancia y el trabajo colaborativo. Está siempre presente, en la vida cotidiana, explícita o implícitament e, y juega un papel fundamental en la toma de decisiones. Es una herramienta imprescindible en las ciencias naturales, la tecnología, la medicina y las ciencias sociales, entre otras. Es, asimismo, un lenguaje universal que trasciende fronteras y abre puertas para comunicarse con el mundo.

Propuesta didáctica

Guía de implementación y síntesis INVESTIGACIÓN

asegura que el Una base de investigación que los estudiantes. programa “funcione” para todos está adapEl programa de Matemática 3° básico, en la investitado de enVisionMATH está basado matemáticas y las de gación sobre el aprendizaje que validan sobre datos recolectados en la clase la confiabilidad del programa. cuatro En el desarrollo del programa se integraron fases de investigación diferentes. 1. Investigación continua 2. Base de investigación científica 3. Investigación formativa 4. Investigación resumen

Matemática 3° básico provee:

los estándares Una manera de enseñar todos ser enseñadas mediante lecciones que pueden al ritmo de una por clase.

ESTRUCTURA DE LA ENSEÑANZA § Conocimientos esenciales

para el La investigación dice que la enseñanza desempeño conocimiento resulta en un mejor (Pesek and que es más perdurable en el tiempo Kirshner, 2000)

Matemática 3° básico provee:

CURRICULUM PERSONALIZADO § Enfocado

a los docentes a Unidades organizadas para ayudar que quieran. enseñar lo que quieran en el momento enseñar los La investigación dice que es mejor s a conocimiencontenidos nuevos conectándolo en el tiempo tos previos con un foco permanente (Empson, 2003)

Matemática 3° básico provee:

y presentadas 11 unidades temáticas coherentes que comparten en grupos de lecciones digeribles foco común.

§ Flexible

del desLa investigación dice que la información las decisiones empeño del estudiante puede influir acerca de de enseñanza tales como decisiones 2001) cómo secuenciar el contenido (Cotton,

Matemática 3° básico provee:

orque están or Una secuencia flexible con temas código de color ganizados e identificados con un para que el que son los suficientemente cortas que se docente las reorganice en un currículum de acuerdo al asemeje a la secuencia preferida nivelo de su clase, escuela o ambiente.

§ Con diferentes ritmos

con el cual se La investigación dice que el ritmo ser un factor presenta el contenido nuevo puede aprendan importante en cuán bien los estudiantes el contenido (Shavelson, 1983)

explícitaConocimientos esenciales enunciados en la sección mente en la Guía para el profesor, base conceptual “Cierre y evaluación” que son la concepdel programa y mantienen la consistencia y niveles. unidades tual a los largo de las lecciones,

§ Repaso en espiral diario

distribuida La investigación dice que la práctica dominar el mejo(repaso en el tiempo) conduce a de aprendizaje ramiento y la mantención del nivel (Cotton, 2001)

Matemática 3° básico provee:

el dominio de la x Problema del día que permite de tipos práctica continua mediante una variedad de problemas.

§ Aprendizaje visual

obtieLa investigación dice que los estudiantes matemáticas nen mejor provecho al ver las ideas and Heiser, demostradas con imágenes (Schwartz enfoca en ideas 2006). La instrucción efectiva se conexiones entre al mismo tiempo que muestra las Una buena las ideas (Hiebert and Lindquist, 1990). que el profesor estrategia instruccional incluye and Fennema, realice preguntas guía (Carpenter cuando proveen 1992). Las imágenes son útiles matemárepresentaciones visuales de conceptos contexto de un ticos o ilustran relaciones en el problema. (Mayer, 1989)

es un puente x Puente de aprendizaje visual que a enfocarse pictórico que ayuda a los estudiantes que presenta en solo una idea a la vez a la vez dentro de una las conexiones entre las ideas e útil para los especialment es Esto secuencia. niños visuales. que le ayudan x Preguntas guía escritas en cursivas de los ejemplos a guiar a los estudiantes a través de revisar la y le dan a usted una oportunidad comprensión de los estudiantes. las lecciotodas en x Imágenes con un propósito matemáticos y nes que ilustran los conceptos matemáticos muestran información de problemas en contextos del mundo real.

§ Instrucción diferenciada

a todos los La investigación dice que dar acceso se debe nivelar estudiantes al mismo contenido pero apoyo necesita la instrucción de acuerdo a cuánto 2001) cada uno de los estudiantes (Cotton,

Matemática 3° básico provee:

tareas de nivel x Actividades niveladas incluyendo y un nivel de de Refuerzo que deben ser dirigidas ser realizadas tareas de Ampliación que puede sin la dirección del docente.

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ENSEÑANZA DIFERENCIADA § Tareas niveladas

aprenden La investigación dice que los estudiantes en lo que mejor cuando ellos están interesados actividades con están haciendo y se involucran en 1999) otros estudiantes (Schwartz et al.,

Matemática 3° básico provee:

de barra que x Una introducción a los diagramas de Resolución se puede encontrar en el Manual de problemas. de barra x Instrucción focalizada en los diagramas problemas con en lecciones de resolución de y “Escribe encabezados como “Haz un dibujo! una oración numérica”. en lecciones x Refuerzo con diagramas de barra barra facilitan regulares donde los diagramas de visual y en el apoyo del Puente de aprendizaje los ejercicios de práctica.

Matemática 3° básico provee:

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§ Evaluación y sugerencias

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Guía de implementación y síntesis 14

Breve pauta para trabajar cada una de las secciones de esta propuesta.

en las lecciones x ¿Sabes cómo?, ¿comprendes? le ayudan a del Texto para el estudiante que también la evaluar no solo las destrezas sino comprensión conceptual. cada lección de final al x Comprobación rápida escritura para con ítemes de opción múltiple y el progreso explicar que le ayudan a monitorear de los estudiantes. de los estux Rúbricas para determinar el nivel diantes. diferenciada. x Sugerencias para la instrucción

§ Diagramas de barras

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Guía de implementación y síntesis

Matemática 3° básico provee:

Matemática 3° básico provee:

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Guía de implementación y síntesis

Unidad

Numeración

1

Propuesta de planificación de la unidad

Planificación de la unidad

Sinopsis de la unidad detallando los objetivos de aprendizaje verticales y transversales, recursos, tipos de evaluación, tiempo estimado para su desarrollo y para la evaluación.

Eje central

Objetivos de aprendizaje

Números y operaciones

Habilidades

 Contar números del 0 al 1 000 de 5 en 5, de 10 en 10, de 100 en 100: - empezando por cualquier número natural menor que 1 000. - de 3 en 3, de 4 en 4… empezando por cualquier múltiplo del número correspondiente.  Leer números hasta 1 000 y representarl os en forma concreta, pictórica y simbólica.  Comparar y ordenar números naturales hasta 1 000, utilizando la recta numérica o la tabla posicional de manera manual y/o por medio de software educativo.  Identificar y describir las unidades, decenas y centenas en números del 0 al 1 000, representando las cantidades de acuerdo a su valor posicional, con material concreto, pictórico y simbólico.  Resolver problemas rutinarios en contextos cotidianos, que incluyan dinero e involucren las cuatro operaciones (no combinadas).

Cuaderno de ejercitación CD Rom Refuerzo Práctica Ampliación

Recursos, evaluación y tiempo Para evaluar

Tiempo estimado

 Evaluación diagnóstica Repasa lo que sabes (Texto para el estudiante)  Evaluación formativa ¡Cuánto aprendí! (Texto para el estudiante)

Para la unidad 16 a 18 horas Para la prueba sumativa 2 horas

 Evaluación sumativa Pruebas fotocopiables (Guía didáctica del docente)

Resolver problemas

 Resolver problemas dados o creados.  Emplear diversas estrategias para resolver problemas y alcanzar respuestas adecuadas, como la estrategia de los 4 pasos: entender, planificar, hacer y comprobar.  Transferir los procedimientos utilizados en situaciones ya resueltas a problemas similares.

Argumentar y comunicar

Objetivos de aprendizaje transversales y actitudes

Para trabajar Texto para el estudiante pp. 22-45

 Formular preguntas para profundizar el conocimiento y la comprensión .  Descubrir regularidades matemáticas –la estructura de las operaciones inversas, el valor posicional en el sistema decimal, patrones como los múltiplos– y comunicarlas a otros.  Hacer deducciones matemáticas de manera concreta.  Describir una situación del entorno con una expresión matemática, con una ecuación o con una representaci ón pictórica.  Escuchar el razonamiento de otros para enriquecerse y para corregir errores.  Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.  Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.  Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas .

Modelar

 Aplicar, seleccionar y evaluar modelos que involucren las cuatro operaciones recta numérica y en el plano. y la ubicación en la  Expresar, a partir de representaci ones pictóricas y explicaciones dadas, acciones y situaciones cotidianas en lenguaje matemático.  Identificar regularidades en expresiones numéricas y geométricas. Representar  Utilizar formas de representaci ón adecuadas, como esquemas y tablas, con un lenguaje técnico específico y con los símbolos matemáticos correctos.  Crear un problema real a partir de una expresión matemática, una ecuación o una representación.  Transferir una situación de un nivel de representación a otro (por ejemplo: de lo concreto a lo pictórico y de lo pictórico a lo simbólico, y viceversa).

 Manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades .  Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia.  Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa. Fuente: www.mineduc.cl

28

Unidad 1 - Numeración Planificación de la unidad

29

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03-01-13 11:22

18

Estructura del texto

Presentación de la unidad

Unidad

1

Contexto matemático Valor de posición • El sistema de numeración indoarábigo Un sistema de numeración es una estructura que se desarrolla para leer y escribir números. El sistema de numeración empleado en la mayoría de los países occidentales es el sistema indo-arábigo. Este sistema tiene los siguientes atributos: se basa en grupos de diez; se usan diez dígitos, 0 al 9; la posición de un dígito dentro de un número, llamado su lugar, indica el valor del dígito. Este último atributo es la razón por la cual usamos el valor de posición al describir la cantidad representada por un número dado.

Presenta el objetivo, indicaciones y respuestas de Repasa lo que sabes y presenta el contexto matemático de la unidad.

Numeración

periodo de miles CM DM UM 6 1 8

periodo de unidades C D U 2 4 9

Los estudiantes en este curso estudiarán los números hasta el lugar de las centenas de mil inclusive. Sin embargo, el patrón continúa hacia la izquierda por el periodo de los millones, el periodo de los miles de millones y más allá.

30

Ordenar números es una ampliación de la comparación. Se puede ordenar, como comparar, usando bloques de valor de posición, una tabla de valor de posición o una recta numérica.

Escoge el mejor término del recuadro . • centenas • unidades • números • decenas

¿Cuánto pesaba la calabaza más grande del mundo? Lo averiguarás en la Lección 1 .1 .

3

a) El número 49 tiene 4 b) El número 490 tiene 4 c) El número 54 tiene 4

¿Qué altura tiene la Gran pirámide de Egipto? Lo averiguarás en la Lección 1 .4 . 2

.

• El dinero y el sistema de numeración

. .

Valor de posición

Nuestro sistema monetario de monedas y billetes está relacionado con nuestro sistema de numeración. El valor de un grupo de monedas y billetes se escribe usando las convenciones del sistema de numeración y muchas de las monedas y billetes siguen el patrón de “grupos de 10”. Por ejemplo, un grupo de 10 monedas de $1 se puede cambiar por 1 moneda de $10, un grupo de 10 monedas de $10, por una moneda de $100, un grupo de 10 monedas de $100, por un billete de $1 000, y así sucesivamente. • Contar dinero La destreza para contar dinero ayuda a adquirir facilidad con los números. Por ejemplo, cuando los estudiantes encuentran distintas maneras de representar una cantidad dada de dinero, están construyendo representaciones equivalentes de esa cantidad. Este concepto de equivalencia se repite al estudiar temas como fracciones equivalentes, decimales, porcentajes, expresiones y ecuaciones.

Escribe los números . a) 3 decenas 5 unidades . b) 9 decenas . c) Cuarenta y seis . d) Noventa y ocho . Dinero

3

Escribe el valor de las monedas .

4

Cuenta alternado para encontrar las cantidades que faltan . a) $5, $10, , , $25 b) $10, , $30, $40,

a)

• Patrones en el sistema de numeración La fuerza del sistema de numeración indo-arábigo se debe en gran parte, a los muchos patrones que hay en la manera de representar los números. Aunque no todos estos patrones se presentan al estudiante en los primeros cursos, es importante que los profesores reconozcan la naturaleza de los patrones. La siguiente tabla de valor de posición ilustra el patrón fundamental de la manera como se forman los números. Comenzando por la derecha, cada grupo de tres dígitos forma un periodo, y dentro de cada periodo se distinguen los lugares como unidades, decenas y centenas.

• Ordenar números

Vocabulario

1

1

2

5

¿Cuál es la masa del oso pardo? Lo averiguarás en la Lección 1 .8 .

6

22

También continúa hacia la derecha, con valores de posición de decimales: décimas, centésimas y así sucesivamente. Hay muchas maneras de representar un número. Las siguientes son tres de las más básicas: forma estándar: 618 249; en palabras: seiscientos dieciocho mil doscientos cuarenta y nueve; forma desarrollada: 600 000 + 10 000 + 8 000 + 200+ 40 + 9. Comparar y ordenar números La capacidad de comparar y ordenar números será crítica para el éxito de los estudiantes en todo su estudio de las matemáticas. También es una importante destreza para la vida diaria. La tarea de comparar u ordenar se realiza de diferentes maneras, según como estén representados los números. • Usar bloques de valor de posición El tamaño relativo de los números enteros es acaso más fácil de visualizar cuando los números están representados de una manera de posición. Además, los bloques demuestran concreta usando bloques de valor la razón de comparar los números lugar por lugar, comenzando con el lugar mayor.

b)

c)

Comparar números

Escribir para explicar. ¿Qué número es mayor, 95 o 59? ¿Cómo lo sabes? Escribe estos números en orden de menor a mayor mayor . 14 54 41 23

Repasa lo que sabes Objetivo Determinar el nivel de preparación de los estudiantes evaluando su dominio de los conocimientos requeridos. Respuestas 1. a) decenas; b) centenas; c) unidades 2. a) 35; b) 90; c) 46; d) 98 3. a) $10; b) $100; c) $500 4. a) 15_20; b) 20_50 5. 95; 9 decenas es mayor que 5 decenas, por lo tanto 95 es mayor que 59. 6. 14_41_54

Sugerencias metodológicas

La comparación se hace del lugar mayor al lugar menor, de izquierda a derecha. Por ejemplo, para comparar 241 y 237, diga: Empiecen con las centenas y si no: Empiecen por la izquierda.

Conexión al Mineduc Los objetivos de aprendizaje de esta unidad pueden ser complementados revisando el Programa de Estudios del Mineduc en www.curriculumenlinea.cl o www.curriculumnacional.cl

Unidad 1 - Numeración Numeración

Contar centenas, decenas y unidades

Lección

1.2

Objetivo

Usar modelos de valor de posición para mostrar números hasta 1 000.

Contexto matemático

¡Lo entenderás! Las centenas, decenas y unidades pueden agruparse y contarse separadamente para encontrar números.

Representar los números con bloques de valor de posición da a los estudian tes una representación concreta de los conceptos y relaciones del valor de posición. Por ejemplo, cuando se representa el número 235, mostrar 2 placas de centenas ilustra el valor del dígito 2 como 200 unidades o 20 de cenas. Dar a los estudiantes muchas oportunidades de trabajar con bloques de valor de posición puede ayudarlos a mejorar su comprensión de los números enteros y del valor de posición.

§ Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que comiencen con las centenas (si las hay) cuando escriban un número, después las decenas y, por último, las unidades.

Decenas

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

Unidades

Práctica independiente Práctica guiada

Escribe los números

3

b)

a)

1

b)

a)

Centenas

Centenas

Decenas

Unidades

Centenas

Decenas

Decenas

§ Refuerzo En el pizarrón, dibuje bloques de valor de posición para representar 420, 192 y 876. ¿Qué número tiene 2 decenas? [420]. Pida a voluntarios que señalen el modelo correcto y expliquen cómo lo saben.

d)

d)

c)

Centenas

Decenas

Unidades

2 ¿Lo entiendes?

¿Cuántas centenas hay en 395?

26

Unidades

Unidades

c)

Centenas

Decenas

Centenas

Unidades

Centenas

Decenas

Decenas

Centenas

Unidades

Decenas

Unidades

Unidades

4

Propuesta de indicaciones para facilitar la presentación de contenidos y actividades de la lección. Estas incluyen la presentación de: objetivo de aprendizaje, contexto matemático, posibles errores y dificultades, sugerencias metodológicas paso a paso para guiar a los estudiantes, respuestas a los ejercicios y problemas, actividad de refuerzo, cierre y propuesta de actividad complementaria.

Respuestas 3. a) 6 centenas, 7 decenas, 4 unidades; 674 b) 6 centenas, 2 decenas, 3 unidades; 623 c) 3 centenas, 0 decena, 9 unidades; 309 d) 9 centenas, 0 decena, 0 unidad; 900 4. 562. Explicaciones variarán

¡259!

Sugerencias metodológicas § Aprendizaje visual (1) Sostenga en alto una placa de centenas. ¿Qué número muestra? [100] ¿Cuántas unidades hay en 100? [100] ¿Cuántas decenas hay en 100? [10]. (2) ¿Cuántas centenas hay en el número? [2] ¿Dónde muestran eso en la tabla de valor de posición? [En la posición de las centenas]. (3) ¿Cuántas decenas hay en el número? [5] ¿Dónde muestran eso en la tabla de valor de posición? [En la posición de las decenas]. (4) ¿Cuántas unidades hay en el número? [9] ¿Dónde muestran eso en la tabla de valor de posición? [En la posición de las unidades]. ¿Cuál es el número? [259].

Centenas Decenas

Presentación de la lección

§ Práctica independiente Para los ejercicios 3.c) y d), recuerde a los estudiantes que tienen que escribir un cero en la posición de las decenas o de las unidades si no hay barras de decenas o cubos de unidades.

Luego, cuenta las decenas

Primero cuenta las centenas .

¿Qué número muestran los modelos?

Razonamiento Trabaja en pares 5y7 de las decenas es un número entre 4 y mayor que 1 número par que es menor que 27

¿Cuántas decenas?

Unidad 1

Cierre Ejercicio 1 Errores e intervención en posiciones incorrectas en la tabla de Si los estudiantes escriben los números comiencen emparejando los modelos con valor de posición, entonces, pídales que en un círculo las centenas. Ahora tracen la tabla de valor de posición. Encierren de las centenas en la tabla de valor una línea desde el modelo hasta la posición y las unidades. decenas las de posición. Repita la actividad con

cuántos hay. Nuestro sistema numérico Los números se pueden usar para decir se llega a 10 en un valor de posición, se se basa en grupos de diez. Siempre que sigue. Diga: En esta lección, aprendieron pasa al valor de posición mayor que le los números hasta 1 000. que pueden usar modelos para mostrar

§ ¿Lo entiendes? con bloques de valor de posición. ¿Cuántas Pida a los estudiantes que formen 395 centenas hay en 395? [3] placas de centenas usaron? [3] ¿Cuántas Respuestas 1. a) 7 decenas, 0 unidad; 70 b) 4 centenas, 3 decenas, 0 unidad; 430 c) 5 decenas, 8 unidades; 58 516 d) 5 centenas, 1 decena, 6 unidades; 2. 3 centenas, 9 decenas

Lección 1.2

34

31

35

Unidad 1 - Numeración

Pruebas fotocopiables

Prueba Unidad 1

Al final del texto se presenta una propuesta de una prueba por unidad (sumativa).

Nombre: ___________________________

_______________ Puntaje: _________

1. Mateo usó bloques de valor de posición para mostrar un número. ¿Qué número puede escribir Mateo para los bloques de valor de posición?

A. B. C. D.

3 500 3 005 350 305

2. El puntaje de Verónica en un juego de video fue de 2 437 puntos. Miguel obtuvo 2 397 puntos y Julio 2 347. Selecciona el puntaje ordenado de menor a mayor. A. B. C. D.

2 347; 2 397; 2 437 2 437; 2 347; 2 397 2 347; 2 437; 2 397 2 397; 2 437; 2 347

3. Sara puso esta cantidad de dinero en su alcancía. ¿Cuánto dinero ahorró Sara? A. $ 6560 B. $ 6960 C. $ 6460 D. $ 7060 256

7. ¿Cómo puede Carla escribir el número 807 375 en palabras? A. Ochenta y siete cien mil trescientos setenta. B. Ochocientos siete mil trescientos setenta y cinco. C. Ochocientos setenta mil trescientos cinco. D. Ochocientos mil siete trescientos setenta y cinco.

4. Constanza escribe el número 361 892 en el pizarrón. ¿Cuál es el valor del 3 en ese número? A. B. C. D.

300 3 000 30 000 300 000

5. La tabla de valor de posición muestra la cantidad de personas que asistieron a un concierto. ¿De qué otra manera se puede escribir este número? Unidades de mil Centenas Decenas Unidades 2

A. B. C. D.

4

0

7

200 + 400 + 70 2 000 + 40 + 7 2 000 + 400 + 7 2 000 + 400 + 70

6. ¿Cuál es el número que tiene en la centena un número que es par menor que 2, la unidad de mil es un número impar que va entre 3 y 7, la decena y la unidad tienen el mismo número? A. B. C. D.

3 200 5 211 5 011 3 011

8. ¿Cuál de estos números: 7 048; 7 089; 7 408; 7 804 es menor que 7 084? A. B. C. D.

7 048 7 048 7 408 7 804

9. ¿Cuál es el número ordinal de 52? A. B. C. D.

Cincuenta y dos. Quincuagésimo segundo. Cinco y dos. Cincuenta y segundo.

10. ¿Qué número está entre 5 918 y 6 5 918

A. B. C. D.

5 891 6 035 5 917 6 000

6 034

034?

11. ¿Cuál de éstas respuestas es otra manera de escribir 4 000 + 500 + 90? A. B. C. D.

40 590 40 509 4 590 4 509

12. ¿Cuál es la forma estándar de 800 + 60 + 3? A. B. C. D.

8 063 863 836 368

13. El helado de yogur viene en tres sabores: vainilla, chocolate y frutilla. Ana pide dos cucharadas de helado en un barquillo. ¿Cuántas combinaciones diferentes de sabores puede elegir Ana? A. B. C. D.

1 2 6 4

14. ¿Qué número es el sucesor de 1 532 + 2 604? A. B. C. D.

4 130 4 136 4 137 4 135

Pruebas fotocopiables Prueba unidad 1

257

Estructura del texto

19

Manual de resolución de problemas

Según la investigación: para que la resolución de problemas tenga éxito, es esencial que el ambiente de la clase sirva de apoyo.  Se espera que los estudiantes:  desarrollen una solución personalmente significativa.  expliquen su razonamiento y lo justifiquen ante sus compañeros y el profesor.  escuchen las explicaciones y las justificaciones de los demás, y traten de entenderlas y  hagan preguntas y presenten objeciones si no entienden o están en desacuerdo. (Rasmussen, Chris, Erna Yakel y Karen King, Social and Sociomathematical Norms in the Mathematics Classroom. En H. Schoen y R. Charles (Eds.) (2003) Teaching Mathematics Through Problem Solving. Reston, VA: NCTM, pp. 143–154.)  Recuerde lo siguiente  Es útil pensar en la resolución de problemas de manera sistemática. El proceso que se presenta aquí ofrece una forma sistemática de pensar en la resolución de problemas.  No piense en este proceso como si fueran “pasos”. Los pasos sugieren que, cuando usted está en uno, no está en el otro, y esto no es cierto. Por el contrario, véalo como “fases” en la resolución de problemas. Las lecciones de resolución de problemas de matemática 3° básico resaltan estas fases.  El proceso de resolución de problemas no es un algoritmo para resolver problemas; el cumplimiento de estas fases no garantiza que se llegue a una respuesta correcta. No hay algoritmos para resolver problemas como sí los hay para multiplicar.

20

Manual de resolución de problemas

Usa este Manual de resolución de problemas a lo largo del año como ayuda para resolver problemas .

Lee y comprende

hay más ¡Casi siempre resolver e d a de una maner ma! le b ro un p

?

¿Qué trato de encontrar? • Decir qué información pide la pregunta pregunta .

?

¿Qué sé? • Decir el problema en mis propias palabras . • Identificar hechos y detalles clave .

¡Todos podemos tener un buen dominio de la resolución de problemas!

Planea y resuelve ?

¿Qué estrategia o estrategias debo probar?

?

¿Puedo representar el problema? • Tratar de hacer un dibujo . • Tratar de hacer una lista, una tabla o una gráfica . • Tratar de representarlo o usar objetos .

?

¿Cómo resolveré el problema?

?

¿Cuál es la respuesta? • Decir la respuesta en una oración completa .

• Mostrar lo que sabes • Hacer un dibujo • Hacer una lista organizada • Hacer una tabla • Hacer una gráfica • Representarlo/Usar objetos • Buscar un patrón • Intentar, revisar y corregir • Escribir una ecuación • Razonar • Empezar por el final • Resolver un problema más sencillo

Vuelve atrás y comprueba ?

¿Revisé mi trabajo? • Comparar mi trabajo con la información del problema . • Estar seguro de que todos los cálculos son correctos .

?

¿Es razonable mi respuesta? • Hacer una estimación para ver si mi respuesta tiene sentido . . • Estar seguro de que se respondió a la pregunta .

¡No te rindas!

14 14 Manual de resolución de problemas

Sugerencias metodológicas Use el proceso de resolución de problemas para ayudar a los estudiantes cuando están en aprietos.  En las situaciones apropiadas, anime a los estudiantes a estimar las soluciones antes de encontrar una solución exacta.  Antes de empezar a escribir, recuerde a los estudiantes que deben determinar si un problema necesita una respuesta exacta o si es suficiente una estimación.  A menudo, los estudiantes se olvidan de volver atrás y comprobar. Esta fase de la resolución de problemas frecuentemente necesita ser reforzada.  Los estudiantes necesitan adquirir pautas útiles sobre la resolución de problemas y necesitan verse a sí mismos como personas que tienen un buen dominio de la resolución de problemas.

Usar diagramas de barras Usa un diagrama de barras para mostrar cómo se encontrar . relaciona lo que sabes con lo que quieres encontrar Luego, escoge una operación para resolver el problema . Problema 1

Problema 2

Carmen ayuda en la florería de su familia durante el verano . Lleva un registro de cuántos clientes entraron a la tienda . ¿Cuántos clientes en total entraron a la tienda el lunes y el miércoles? Clientes Días

Clientes

Lunes

124

Martes

163

Miércoles

151

Jueves

206

Viernes

259

Diagrama de barras TOTAL: Número total de horas que trabajó

¡Las ilu str me ayu aciones da entend n a er!

Juan está ahorrando para comprar un polerón . Tiene $3 600 . ¿Cuánto dinero más necesita para comprar el polerón?

$6 4 0 0

16

$

Diagrama de barras

? 124

151

PARTE: PARTE: Clientes Clientes el lunes el miércoles

TOTAL: Costo el polerón

6 400 3 600

?

PARTE: PARTE: Cantidad Cantidad que tiene que necesita

124 1 151 5 ■

6 400 2 3 600 5 ■

Puedo sumar para encontrar el total .

Puedo restar para encontrar la parte que falta . Manual de resolución de problemas

15 15

Sugerencias metodológicas  No apresure a los estudiantes para que empiecen a crear sus propios diagramas de barras. Los estudiantes diferirán en la cantidad de ejemplos que necesitan antes de crear diagramas de barras por sí solos.  El ancho de las partes de los diagramas de barras para ejercicios como los Problemas 1 y 2, se puede mostrar proporcionalmente. No es esencial que los estudiantes muestren las partes proporcionalmente cuando crean diagramas de barras, pero se debe comentar esta idea.

Según la investigación: si se alienta a los estudiantes a comprender y a representar significativamente problemas verbales matemáticos antes que a traducir directamente los elementos de los problemas a las correspondientes operaciones matemáticas, pueden resolver con mayor éxito estos problemas y pueden comprender mejor los conceptos matemáticos que tienen incorporados (S. J. Pape (2004). Middle school children’s problem-solving behavior: A cognitive analysis from a Redding comprehension perspective. Journal for Research in Mathematics Education, 35, 187–219.). Se obtiene un mejor desempeño en la resolución de problemas si se les enseña a los niños el proceso de usar diagramas para resolver problemas, que si se les enseña cualquier otra estrategia (Yancey, A. V., Thompson, C. S. y Yancey, J. S. (1989). Children must learn to draw diagrams. Arithmetic Teacher, 36 (7), 15–23.).  Recuerde lo siguiente  Matemática 3° básico tiene “diagramas de barras” para mostrar a los estudiantes cómo se relacionan las cantidades que aparecen en los problemas verbales y qué operación u operaciones se pueden usar.  Todos los diagramas de barras incluyen “partes” y un “total”. Lo conocido y lo desconocido, y la relación entre las cantidades determinan la operación u operaciones apropiadas.  Los problemas verbales tienen “estructuras” diferentes que dependen de la situación y de lo conocido y lo desconocido. Por ejemplo, el problema 2 es diferente de una simple situación de restar.  Matemática 3° básico expone a los estudiantes a una variedad de estructuras de problemas.

Manual de resolución de problemas

21

Según la investigación: cuando a los niños se les dan instrucciones explícitas sobre las estrategias de resolución de problemas, pueden aprender cómo y cuándo usarlas para resolver problemas satisfactoriamente. (Randall I. Charles y Frank K. Lester, Jr. “An Evaluation of a Process-Oriented Mathematical Problem-Solving Instructional Program in Grades 5 and 7,” Journal for Research in Mathematics Education 15, n.º 1 (1984), pp. 15–34.).  Recuerde lo siguiente:  Matemática 3° Básico ayuda a los estudiantes a comprender cómo usar las estrategias de resolución de problemas y cuándo usarlas.  Las estrategias de resolución de problemas forman parte del lenguaje de las matemáticas y se deben usar en las lecciones de conceptos y destrezas, no solo en las lecciones de resolución de problemas.  Algunas estrategias son particularmente buenas para ayudar a los estudiantes a comprender los problemas, mostrando lo conocido y lo desconocido, y cómo se relaciona la información que hay en el problema. Las estrategias de representar el problema incluyen hacer un dibujo, hacer una tabla, hacer una lista organizada, representarlo o usar objetos, y hacer un gráfico.

22

Manual de resolución de problemas

Estrategias de resolución de problemas Estrategia Hacer un dibujo

Ejemplo

Cuándo usarla

La carrera era de 5 kilómetros. Había marcadores en la salida y en la meta . meta Los marcadores indicaban cada kilómetro de la carrera . Encuentra el número de carrera marcadores que se usaron . usaron Salida

Trata de hacer un dibujo cuando te ayude a visualizar el problema o cuando se incluyan relaciones como unir o separar separar .

Meta

Salida 1 km 2 km 3 km 4 km Meta

Hacer una tabla

Buscar un patrón

Felipe y Marcela pasaron todo el sábado en Fantasilandia . Fantasilandia Felipe dio 3 vueltas en los juegos mecánicos cada media hora y Marcela dio 2 vueltas cada media hora . hora ¿Cuántas vueltas había dado Marcela cuando Felipe había dado 24 vueltas? Vueltas de Felipe

3

6

9

12

15

18

21

24

Vueltas de Marcela

2

4

6

8

10

12

14

16

Los números de las casas de la calle La Fuente cambian de manera planificada . planificada Describe el patrón . Di cuáles deben ser los patrón dos siguientes números de las casas . casas

16 16 Manual de resolución de problemas

Trata de hacer una tabla cuando: • haya 2 o más cantidades, • las cantidades cambien según un patrón.

Busca un patrón cuando algo se repita de manera predecible . predecible

Sugerencias metodológicas Estrategia Hacer una lista organizada

Ejemplo

 Publique una lista de estrategias en la clase y remítase a ellas siempre que sea posible, no solo durante las lecciones de resolución de problemas.  Anime a los estudiantes a usar estrategias cuando escriban sobre matemáticas.

Cuándo usarla

¿De cuántas maneras diferentes puedes calcular el vuelto para una moneda de $500 usando monedas de $100 y de $50?

1 moneda de $500 =

Haz una lista organizada cuando se te pida que encuentres combinaciones de dos o más elementos elementos .

4 monedas de $100 + 2 monedas de $50 3 monedas de $100 + 4 monedas de $50 2 monedas de $100 + 6 monedas de $50 1 monedas de $100 + 8 monedas de $50

Intentar, revisar y corregir

Susana gastó $2 700 aproximadamente en artículos para perros perros . Compró dos unidades de un artículo y una unidad de otro artículo artículo . ¿Qué compró? $800 1 $800 1 $1 500 5 $3 100 $700 1 $700 1 $1 200 5 $2 600 $600 1 $600 1 $1 500 5 $2 700

Escribir una ecuación

El nuevo reproductor de CD de María puede contener 6 discos a la vez vez . Si ella tiene 54 CD, ¿cuántas veces se puede llenar el reproductor de CD sin repetir ningún CD?

Usa Intentar, revisar y corregir cuando se combinen cantidades para encontrar un total, pero no sepas qué cantidades son exactamente . exactamente ¡Gran venta de artículo s para perros!

Correa ..................... .........$800 Collar...... r ..........................$600 Plato ............................ ..... $700 Camita... ita ........................... $1 500 Juguetes ..................... .....$1 200

Escribe una ecuación cuando el problema describa una situación que use una o varias operaciones . operaciones

Encuentra 54 : 6 5 n. Manual de resolución de problemas

17 17

Manual de resolución de problemas

23

Según la investigación: los estudios hechos en casi todos los campos de las matemáticas han demostrado que la resolución de problemas ofrece un contexto importante en el cual los estudiantes pueden aprender sobre números y otros temas matemáticos. (Kilpatrick, Jeremy; Jane Swafford y Findell Bradford (Eds.). Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. Washington, D.C.: National Academy Press, 2001, p. 240).  Recuerde lo siguiente  Enfatice e identifique las estrategias de resolución de problemas cuando facilite el trabajo del estudiante para resolver problemas en esta parte de las lecciones.  Casi todos los problemas se pueden resolver usando estrategias diferentes y muchos problemas se pueden resolver usando más de una estrategia.

Más estrategias Estrategia

Ejemplo

Representarlo

¿De cuántas maneras pueden darse la mano 3 estudiantes?

Piensa en representar un problema cuando los números sean pequeños y, en el problema, haya una acción que puedas hacer . hacer

Razonar

Beatriz recogió algunas conchas marinas, rocas y vidrios gastados mar . por el mar

Razona cuando puedas usar la información conocida para hacer un razonamiento sobre la información desconocida . desconocida

Colección de Beatriz

2 rocas 3 veces más conchas marinas que rocas 12 objetos en total ¿Cuántos objetos de cada tipo hay en la colección? Empezar por el final

Teresa tiene práctica de coro a las 10:15 a.m. Tarda 20 minutos en ir desde su casa a la práctica y 5 minutos en hacer sus ejercicios vocales . vocales ¿A qué hora debe salir de su casa para llegar a tiempo a la práctica? Hora a la 20 minutos Hora a la que 5 minutos Hora a la que Teresa empieza el que empieza sale de su ejercicio vocal: la práctica: casa: 10:15 ?

18 18 Manual de resolución de problemas

24

Manual de resolución de problemas

Cuándo usarla

Trata de empezar por el final cuando: • conozcas el resultado final de una serie de pasos, • quieras saber lo que sucedió al principio.

Puedo decidir cuándo usar cada estrategia.

Estrategia Resolver un problema más sencillo

Ejemplo

Cuándo usarla

Cada lado de cada triángulo de la figura de la izquierda mide un centímetro . Si hay 12 triángulos centímetro uno junto al otro, ¿cuál es el perímetro de la figura?

Trata de resolver un problema más sencillo cuando puedas crear un caso y usarlo como modelo que sea resolver . más fácil resolver

Miro 1 triángulo, luego 2 triángulos, luego 3 triángulos triángulos .

Sugerencias metodológicas  Siempre pida maneras alternativas de resolver un problema, aun cuando la primera solución compartida sea correcta. Busque enfoques poco usuales para resolver problemas e invite a los estudiantes a comentarlos.  Anuncie reglas para el trabajo en grupos. Algunas reglas posibles son: - Incluyan a todos en el grupo. - Comenten ideas. - Hablen solo a su grupo. - Participen. - Cooperen. - Presten atención. - Escuchen. - Sigan las instrucciones. - Hablen en voz baja. - Digan “No estoy de acuerdo”, en lugar de “Estás equivocado”.

perímetro 5 3 cm perímetro 5 4 cm perímetro 5 5 cm

Marisol fue a una competencia de saltar cuerda cuerda . . ¿Cómo cambió su número de saltos a lo largo de los cinco días de la competencia? Resultados de Marisol en la competencia de saltar cuerda

Haz un gráfico cuando: • se den los datos de un evento, • la pregunta se pueda responder leyendo el gráfico.

70 60

Número de saltos

Hacer un gráfico

50 40 30 20 10 0

Lun.

Mar.

Miér.

Días

Jue.

Vier.

Manual de resolución de problemas

19 19

Manual de resolución de problemas

25

Según la investigación: en matemáticas, la escritura desarrolla la comprensión de las ideas por parte de los estudiantes, permite que los profesores identifiquen conceptos incompletos y contribuye a establecer relaciones más interactivas entre los estudiantes y los profesores. Al escribir, descubrimos lo que sabemos y lo que pensamos. Escribir es una forma muy eficiente de acceder al conocimiento que no podemos explorar directamente (Smith, Frank. Writing and the Writer. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1982).  Recuerde lo siguiente  Matemática 3° Básico, “escribir” para explicar no se restringe a las palabras y las oraciones. En matemáticas, la escritura debe usar palabras, oraciones, dibujos, números y símbolos cuando sea necesario.  Los estudiantes necesitan aprender lo que constituye una buena explicación en matemáticas. Por tanto, no dude en evaluar formativamente las respuestas escritas de los estudiantes.

Escribir para explicar Esta es una buena explicación matemática .

Escribir para explicar ¿Qué sucede con el área del rectángulo si la longitud de sus lados se duplica?

1 = 4 de todo el rectángulo El área del rectángulo nuevo es 4 veces mayor que el área del rectángulo original.

ra escribir ejos pa Cons s explicaciones matemáticas na bue

...

Una buena explicación debe ser: • correcta • sencilla • completa • fácil de entender Las explicaciones matemáticas pueden usar: • palabras • dibujos • números • símbolos

20 20 Manual de resolución de problemas

Sugerencias metodológicas  Enfatice el escribir para explicar en el ambiente de la clase durante los primeros tres meses del año escolar. Los estudiantes necesitan sentirse cómodos compartiendo explicaciones, tanto correctas como incorrectas.  Muchos estudiantes, particularmente los talentosos y los que no desarrollan al máximo su potencial, pueden resistirse a escribir sobre lo que hicieron o lo que saben. A menudo, los estudiantes talentosos tienen saltos en su razonamiento y, por consiguiente, sus explicaciones escritas pueden parecer incompletas. Todos los estudiantes se benefician cuando escriben para explicar; por tanto, hacerlo debe ser un requisito para todos.  Use las características de las buenas explicaciones que se muestran aquí como un esquema para evaluar y comentar las explicaciones escritas de los estudiantes.

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Manual de resolución de problemas

Resolución de problemas: Hoja de anotaciones Nombre

Esta es una manera de organizar mi trabajo de resolución de problemas. Elemento didáctico 1

Benjamín

Resolución de problemas: Hoja de anotaciones Problema:

Supón que tu profesor te dice que abras tu libro de matemáticas en las páginas opuestas cuyos números sumen 85. ¿En qué dos páginas abrirías tu libro? ¿Qué debo hallar?

¿Qué se?

Los números de dos páginas opuestas

¿Qué estrategias uso?

Dos páginas. Opuesta una a la otra. La suma es 85.

Representar el problema  Hacer un dibujo Hacer una lista organizada Hacer una tabla Hacer una gráfica Representarlo/Usar objetos Buscar un patrón  Intentar, revisar y corregir  Escribir una ecuación Razonar Empezar por el final Resolver un problema más sencillo

¿Cómo represento el problema?

D

I

I + D = 85 I es 1 menos que D ¿Cuál es la respuesta?

Los números de página son 42 y 43.

¿Cómo lo soluciono?

Voy a probar con algunos números del medio. 40 + 41 = 81, muy bajo ¿Y qué pasa con 46 y 47? 46 + 47 = 93, muy alto Bien, ahora trato con 42 y 43. 42 + 43 = 85.

¿Se comprueba? ¿Es razonable?

Sumé correctamente. 42 + 43 es aproximadamente 40 + 40 = 80 80 se aproxima a 85. 42 y 43 es razonable. Manual de resolución de problemas

21 21

Sugerencias metodológicas  Antes de pedir a los estudiantes que completen la hoja de anotaciones, pídales que dejen los lápices por un momento cuando necesiten encontrar lo que saben y las estrategias que podrían usar.  Si los estudiantes tienen dificultades para pensar en qué estrategia o estrategias usar, pregunte si el problema que están tratando de resolver es parecido a otros que han resuelto antes y qué estrategias se usaron para esos problemas.  Algunos estudiantes pueden resistirse a escribir información en las casillas de la hoja de anotaciones. Exija a todos los estudiantes que lo hagan, particularmente cuando usan por primera vez la hoja. Exija a todos los estudiantes que escriban sus respuestas en oraciones completas.

Según la investigación: existe una variedad de formas útiles de analizar problemas pensando en las fases de resolución de problemas de manera sistemática (Polya, George. How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method, 2.ª ed. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1957).  Recuerde lo siguiente  Descomponer problemas ayuda a todos los estudiantes a comprenderlos mejor.  Escribir las respuestas en oraciones completas ayuda a los estudiantes a evaluar si sus respuestas son razonables.  Los estudiantes que tienen poca experiencia previa en el uso de estrategias de resolución de problemas podrían sugerir, al principio, estrategias inapropiadas para resolver un problema dado.  Cuando se comprueban estrategias, el objetivo no es identificar la estrategia o las estrategias que, con seguridad, se pueden usar para resolver el problema. Por el contrario, el objetivo es lograr que los estudiantes piensen en una o varias estrategias que puedan probar al principio. Si los estudiantes sugieren estrategias cuya utilidad a usted le parece poco probable, no evalúe sus ideas en ese punto de la resolución del problema. Esta página se encuentra disponible en la página 278 para ser fotocopiada.

Manual de resolución de problemas

27

Unidad

1

Numeración

Planificación de la unidad Eje central

Objetivos de aprendizaje

Números y operaciones

 Contar números del 0 al 1 000 de 5 en 5, de 10 en 10, de 100 en 100: - empezando por cualquier número natural menor que 1 000. - de 3 en 3, de 4 en 4… empezando por cualquier múltiplo del número correspondiente.  Leer números hasta 1 000 y representarlos en forma concreta, pictórica y simbólica.  Comparar y ordenar números naturales hasta 1 000, utilizando la recta numérica o la tabla posicional de manera manual y/o por medio de software educativo.  Identificar y describir las unidades, decenas y centenas en números del 0 al 1 000, representando las cantidades de acuerdo a su valor posicional, con material concreto, pictórico y simbólico.  Resolver problemas rutinarios en contextos cotidianos, que incluyan dinero e involucren las cuatro operaciones (no combinadas).

Habilidades

Resolver problemas

 Resolver problemas dados o creados.  Emplear diversas estrategias para resolver problemas y alcanzar respuestas adecuadas, como la estrategia de los 4 pasos: entender, planificar, hacer y comprobar.  Transferir los procedimientos utilizados en situaciones ya resueltas a problemas similares. Argumentar y comunicar

 Formular preguntas para profundizar el conocimiento y la comprensión.  Descubrir regularidades matemáticas –la estructura de las operaciones inversas, el valor posicional en el sistema decimal, patrones como los múltiplos– y comunicarlas a otros.  Hacer deducciones matemáticas de manera concreta.  Describir una situación del entorno con una expresión matemática, con una ecuación o con una representación pictórica.  Escuchar el razonamiento de otros para enriquecerse y para corregir errores. Objetivos de aprendizaje transversales y actitudes

28

Unidad 1 - Numeración

 Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.  Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.  Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.

Para trabajar Texto para el estudiante pp. 22-45 Cuaderno de ejercitación

Recursos, evaluación y tiempo Para evaluar  Evaluación diagnóstica Repasa lo que sabes (Texto para el estudiante)  Evaluación formativa ¡Cuánto aprendí! (Texto para el estudiante)

Tiempo estimado Para la unidad 16 a 18 horas Para la prueba sumativa 2 horas

 Evaluación sumativa Pruebas fotocopiables (Guía didáctica del docente)

Modelar

 Aplicar, seleccionar y evaluar modelos que involucren las cuatro operaciones y la ubicación en la recta numérica y en el plano.  Expresar, a partir de representaciones pictóricas y explicaciones dadas, acciones y situaciones cotidianas en lenguaje matemático.  Identificar regularidades en expresiones numéricas y geométricas. Representar

 Utilizar formas de representación adecuadas, como esquemas y tablas, con un lenguaje técnico específico y con los símbolos matemáticos correctos.  Crear un problema real a partir de una expresión matemática, una ecuación o una representación.  Transferir una situación de un nivel de representación a otro (por ejemplo: de lo concreto a lo pictórico y de lo pictórico a lo simbólico, y viceversa).

 Manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades.  Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia.  Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa. Fuente: www.mineduc.cl

Planificación de la unidad

29

Unidad

1

Contexto matemático Valor de posición • El sistema de numeración indoarábigo Un sistema de numeración es una estructura que se desarrolla para leer y escribir números. El sistema de numeración empleado en la mayoría de los países occidentales es el sistema indo-arábigo. Este sistema tiene los siguientes atributos: se basa en grupos de diez; se usan diez dígitos, 0 al 9; la posición de un dígito dentro de un número, llamado su lugar, indica el valor del dígito. Este último atributo es la razón por la cual usamos el valor de posición al describir la cantidad representada por un número dado. • Patrones en el sistema de numeración La fuerza del sistema de numeración indo-arábigo se debe en gran parte, a los muchos patrones que hay en la manera de representar los números. Aunque no todos estos patrones se presentan al estudiante en los primeros cursos, es importante que los profesores reconozcan la naturaleza de los patrones. La siguiente tabla de valor de posición ilustra el patrón fundamental de la manera como se forman los números. Comenzando por la derecha, cada grupo de tres dígitos forma un periodo, y dentro de cada periodo se distinguen los lugares como unidades, decenas y centenas. periodo de miles CM DM UM 6 1 8

periodo de unidades C D U 2 4 9

Los estudiantes en este curso estudiarán los números hasta el lugar de las centenas de mil inclusive. Sin embargo, el patrón continúa hacia la izquierda por el periodo de los millones, el periodo de los miles de millones y más allá.

30

Unidad 1 - Numeración

Numeración

1 ¿Cuánto pesaba la calabaza más grande del mundo? Lo averiguarás en la Lección 1 .1 .

2

¿Cuál es la masa del oso pardo? Lo averiguarás en la Lección 1 .8 .

22

También continúa hacia la derecha, con valores de posición de decimales: décimas, centésimas y así sucesivamente. Hay muchas maneras de representar un número. Las siguientes son tres de las más básicas: forma estándar: 618 249; en palabras: seiscientos dieciocho mil doscientos cuarenta y nueve; forma desarrollada: 600 000 + 10 000 + 8 000 + 200+ 40 + 9. Comparar y ordenar números La capacidad de comparar y ordenar números será crítica para el éxito de los estudiantes en todo su estudio de las matemáticas. También es una importante destreza para la vida diaria. La tarea de comparar u ordenar se realiza de diferentes maneras, según como estén representados los números. • Usar bloques de valor de posición El tamaño relativo de los números enteros es acaso más fácil de visualizar cuando los números están representados de una manera concreta usando bloques de valor de posición. Además, los bloques demuestran la razón de comparar los números lugar por lugar, comenzando con el lugar mayor.

• Ordenar números Ordenar números es una ampliación de la comparación. Se puede ordenar, como comparar, usando bloques de valor de posición, una tabla de valor de posición o una recta numérica.

Vocabulario

1

3

Escoge el mejor término del recuadro . • centenas • unidades • números • decenas a) El número 49 tiene 4 b) El número 490 tiene 4 c) El número 54 tiene 4

¿Qué altura tiene la Gran pirámide de Egipto? Lo averiguarás en la Lección 1 .4 .

.

• El dinero y el sistema de numeración Nuestro sistema monetario de monedas y billetes está relacionado con nuestro sistema de numeración. El valor de un grupo de monedas y billetes se escribe usando las convenciones del sistema de numeración y muchas de las monedas y billetes siguen el patrón de “grupos de 10”. Por ejemplo, un grupo de 10 monedas de $1 se puede cambiar por 1 moneda de $10, un grupo de 10 monedas de $10, por una moneda de $100, un grupo de 10 monedas de $100, por un billete de $1 000, y así sucesivamente.

. .

Valor de posición

2

Escribe los números . a) b) c) d)

3 decenas 5 unidades . 9 decenas . Cuarenta y seis . Noventa y ocho . Dinero

3

Escribe el valor de las monedas . a)

4

b)

c)

Cuenta alternado para encontrar las cantidades que faltan . , , $25 a) $5, $10, b) $10, , $30, $40, Comparar números

5

Escribir para explicar. ¿Qué número es mayor, 95 o 59? ¿Cómo lo sabes?

6

Escribe estos números en orden mayor . de menor a mayor 14

54

41 23

Repasa lo que sabes Objetivo Determinar el nivel de preparación de los estudiantes evaluando su dominio de los conocimientos requeridos. Respuestas 1. a) decenas; b) centenas; c) unidades 2. a) 35; b) 90; c) 46; d) 98 3. a) $10; b) $100; c) $500 4. a) 15_20; b) 20_50 5. 95; 9 decenas es mayor que 5 decenas, por lo tanto 95 es mayor que 59. 6. 14_41_54

• Contar dinero La destreza para contar dinero ayuda a adquirir facilidad con los números. Por ejemplo, cuando los estudiantes encuentran distintas maneras de representar una cantidad dada de dinero, están construyendo representaciones equivalentes de esa cantidad. Este concepto de equivalencia se repite al estudiar temas como fracciones equivalentes, decimales, porcentajes, expresiones y ecuaciones.

Sugerencias metodológicas La comparación se hace del lugar mayor al lugar menor, de izquierda a derecha. Por ejemplo, para comparar 241 y 237, diga: Empiecen con las centenas y si no: Empiecen por la izquierda.

Conexión al Mineduc Los objetivos de aprendizaje de esta unidad pueden ser complementados revisando el Programa de Estudios del Mineduc en www.curriculumenlinea.cl o www.curriculumnacional.cl

Numeración

31

Lección

1.1

Objetivo Contar de 100 en 100 hasta 1 000.

¡Lo entenderás! Se puede contar de cien en cien hasta 1 000.

Formar 1 000 10 decenas forman 1 centena . centena

Puedes contar de cien en cien hasta 1 000 .

Contexto matemático La investigación dice: Llegar a comprender el sistema de numeración en base 10 no solamente ayuda a los estudiantes a leer y escribir números, sino que también los ayuda a calcular correctamente con números de varios dígitos (National Research Council, 2001). En esta lección, los estudiantes amplían su comprensión del sistema de numeración en base 10 a medida que exploran las relaciones entre unidades, decenas, centenas y miles.

10 unidades forman 1 decena .

Práctica guiada 1

a) Encierra 300 en un círculo con lápiz rojo . b) Encierra 500 en un círculo con lápiz negro . c) Encierra 800 en un círculo con lápiz azul .

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cuántas unidades forman 1 decena? [10 unidades]. Recuerde a los estudiantes que 10 bloques de unidades equivalen a 1 barra de decenas. (2) ¿Cuántas decenas forman 1 centena? [10 decenas]. Recuerde a los estudiantes que 10 barras de decenas equivalen a 1 placa de centenas. (3) ¿Cuántas centenas forman 1 unidad de mil? [10 centenas]. Posibles errores y dificultades Es posible que algunos estudiantes no entiendan que el cubo de mil muestra 1,000. Muestre 10 placas de centenas apiladas para demostrar que el modelo representa 1 000. (4) ¿Cómo saben qué número se muestra? [Contando de cien en cien: 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900].  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que 10 centenas forman una unidad de mil.

32

Unidad 1 - Numeración

color . Sigue las instrucciones . Usa lápices de color

d) Encierra 1 000 en un círculo con lápiz anaranjado .

2 ¿Lo entiendes?

¿Puedes ver un patrón? Explica . 10 unidades forman 1 decena . 10 decenas forman 1 centena . 10 centenas forman 1 unidad de mil .

24

Unidad 1

Ejercicio 1 Errores e intervención Si los estudiantes tienen dificultades para determinar el número correcto de placas de centenas que deben encerrar en un círculo, entonces, pídales que marquen las placas de centenas con un crayón verde mientras cuentan de cien en cien hasta 500. Luego, pueden encerrar en un círculo las placas de centenas marcadas.  ¿Lo entiendes? Pida a los estudiantes que usen bloques de valor de posición para representar cada parte del patrón. ¿Cuántas unidades forman 1 decena? [10] ¿Cuántas decenas forman 1 centena? [10] ¿Cuántas centenas forman mil? [10] Respuestas 1. a) – d) Las respuestas variarán. Revise los círculos por color y por número. 2. Ejemplo de respuesta: 10 de cada número forma el siguiente conjunto.

10 centenas forman 1 unidad de mil o 1 000 .

¿Qué número es?

Cuenta de cien en cien para encontrar el total . 100 menos son

100 más son

 Práctica independiente Sugiera a los estudiantes que comiencen escribiendo la cantidad de centenas representadas en la primera columna. Luego, pídales que encuentren 100 menos y 100 más.

______ 900 800 ______ . 1000 ________ .

Respuestas 3. a) 200, 100, 300 b) 700, 600, 800 c) 500, 400, 600

Práctica independiente 3

Escribe cuánto es .

 Resolución de problemas

a) ________

100 menos son ______ .

100 más son ______ .

________

100 menos son ______ .

100 más son ______ .

________

100 menos son ______ .

100 más son ______ .

Respuestas 4. 8521 – 1258 5. Seiscientos setenta

b)

 Refuerzo Muestre a los niños un cubo de mil y explíqueles que muestra 1 mil. Luego, apile 10 placas de centenas para formar un cubo y colóquelo junto al cubo de mil. Pida a un voluntario que cuente el número de placas de centenas de la pila. ¿Cuántas centenas necesitan para formar 1 mil? [10]

c)

Resolución de problemas

4

Sentido numérico. Escribe el número más grande posible y el número más pequeño posible usando estos cuatro dígitos una sola vez: 5, 2, 8 y 1 .

5

La masa de la calabaza más grande del mundo en el año 2005 fue aproximadamente de 670 kilogramos. Escribe ese número en palabras . Numeración

25

Cierre Los números se pueden usar para decir cuántos hay. Diga: En esta lección, aprendieron a contar de 100 en 100 para formar mil.

Lección 1.1

33

Lección

Contar centenas, decenas y unidades

1.2

Objetivo Usar modelos de valor de posición para mostrar números hasta 1 000.

Contexto matemático

¡Lo entenderás! Las centenas, decenas y unidades pueden agruparse y contarse separadamente para encontrar números.

Representar los números con bloques de valor de posición da a los estudiantes una representación concreta de los conceptos y relaciones del valor de posición. Por ejemplo, cuando se representa el número 235, mostrar 2 placas de centenas ilustra el valor del dígito 2 como 200 unidades o 20 decenas. Dar a los estudiantes muchas oportunidades de trabajar con bloques de valor de posición puede ayudarlos a mejorar su comprensión de los números enteros y del valor de posición.

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que comiencen con las centenas (si las hay) cuando escriban un número, después las decenas y, por último, las unidades.

34

Unidad 1 - Numeración

Primero cuenta las centenas . centenas

Centenas

Decenas

Unidades

2

Práctica guiada 1

Escribe los números . Usa modelos y tu tablero si es necesario . a)

Centenas

b)

Decenas

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

______

______

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) Sostenga en alto una placa de centenas. ¿Qué número muestra? [100] ¿Cuántas unidades hay en 100? [100] ¿Cuántas decenas hay en 100? [10]. (2) ¿Cuántas centenas hay en el número? [2] ¿Dónde muestran eso en la tabla de valor de posición? [En la posición de las centenas]. (3) ¿Cuántas decenas hay en el número? [5] ¿Dónde muestran eso en la tabla de valor de posición? [En la posición de las decenas]. (4) ¿Cuántas unidades hay en el número? [9] ¿Dónde muestran eso en la tabla de valor de posición? [En la posición de las unidades]. ¿Cuál es el número? [259].

¿Qué número muestran los modelos?

d)

c)

Centenas

Decenas

Unidades

Centenas

Decenas

______

Unidades

______

2 ¿Lo entiendes?

¿Cuántas centenas hay en 395? ¿Cuántas decenas?

26

Unidad 1

Ejercicio 1 Errores e intervención Si los estudiantes escriben los números en posiciones incorrectas en la tabla de valor de posición, entonces, pídales que comiencen emparejando los modelos con la tabla de valor de posición. Encierren en un círculo las centenas. Ahora tracen una línea desde el modelo hasta la posición de las centenas en la tabla de valor de posición. Repita la actividad con las decenas y las unidades.  ¿Lo entiendes? Pida a los estudiantes que formen 395 con bloques de valor de posición. ¿Cuántas placas de centenas usaron? [3] ¿Cuántas centenas hay en 395? [3] Respuestas 1. a) 7 decenas, 0 unidad; 70 b) 4 centenas, 3 decenas, 0 unidad; 430 c) 5 decenas, 8 unidades; 58 d) 5 centenas, 1 decena, 6 unidades; 516 2. 3 centenas, 9 decenas

Luego, cuenta las decenas .

Centenas

Decenas

2

5

Unidades

Luego, cuenta las unidades . unidades

Centenas

Decenas

Unidades

2

5

9

 Práctica independiente Para los ejercicios 3.c) y d), recuerde a los estudiantes que tienen que escribir un cero en la posición de las decenas o de las unidades si no hay barras de decenas o cubos de unidades.

¡259!

Práctica independiente 3

Escribe los números Usa modelos y tu tablero si es necesario a)

Centenas

b)

Decenas

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

______ d)

c)

Centenas

Decenas

Unidades

Centenas

______ 4

______

Decenas

Unidades

______

Razonamiento Trabaja en pares . Adivina el número . Tiene 5 centenas . El dígito en el lugar de las decenas es un número entre 5 y 7 . El número de las unidades es un número par que es menor que 4 y mayor que 1 . ¿Cómo lo resolvieron? Numeración

Respuestas 3. a) 6 centenas, 7 decenas, 4 unidades; 674 b) 6 centenas, 2 decenas, 3 unidades; 623 c) 3 centenas, 0 decena, 9 unidades; 309 d) 9 centenas, 0 decena, 0 unidad; 900 4. 562. Explicaciones variarán  Refuerzo En el pizarrón, dibuje bloques de valor de posición para representar 420, 192 y 876. ¿Qué número tiene 2 decenas? [420]. Pida a voluntarios que señalen el modelo correcto y expliquen cómo lo saben.

27

Cierre Los números se pueden usar para decir cuántos hay. Nuestro sistema numérico se basa en grupos de diez. Siempre que se llega a 10 en un valor de posición, se pasa al valor de posición mayor que le sigue. Diga: En esta lección, aprendieron que pueden usar modelos para mostrar los números hasta 1 000.

Lección 1.2

35

Lección

Leer números hasta 1 000

1.3

Objetivo Identificar y anotar números de tres dígitos en forma desarrollada, en forma estándar y en palabras.

¡Lo entenderás! Un número se puede escribir de diferentes maneras.

Una manera de mostrar el número es usando la forma desarrollada:

Puedes escribir el número de diferentes maneras .

Contexto matemático En esta lección, los estudiantes amplían su comprensión de la estructura del sistema de valor de posición. La secuencia para enseñar la numeración empieza con la utilización de modelos, continúa con el uso de dibujos y culmina con el uso de símbolos únicamente. Comprender el valor de posición ayuda a los estudiantes a reconocer relaciones numéricas y a aprender procesos numéricos.

300 + 20 + 8

Práctica guiada 1

Lee el número en palabras . Escribe el número descomponiendo en sumandos . estándar . Luego, escríbelo en forma estándar

a) cuatrocientos veinticinco

____ + ____+ ____

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Qué modelos de valor de posición se muestran? [Centenas, decenas y unidades]. ¿Cuántas placas de centenas hay? [3] ¿Cuántas barras de decenas? [2] ¿Cuántos cubitos de uno? [8] (2) En la forma desarrollada, ¿qué indica el primer número? [Centenas]. ¿Qué indica el segundo número? [Decenas]. ¿Qué indica el tercer número? [Unidades]. (3) La forma estándar es la manera en que se escriben los números la mayoría de las veces. Explique a los estudiantes que la forma estándar es la forma que usan cuando trabajan con números. También pueden usar palabras para nombrar un número. (4) Enfatice que 1 000 es igual a 10 centenas. ¿Cómo pueden representar 1 000 usando placas de centenas? [Usando 10 placas de centenas].

¿Qué número muestran los modelos?

____

b) Usa los modelos para escribir el número descomponiendo en sumandos .

____ + ____+ ____ ____________________________________________________________ 2 ¿Lo entiendes?

¿Cuántas centenas, decenas y unidades tiene el número seiscientos cuarenta? Discutan en grupo ¿Obtuvieron todos la misma respuesta?

28

Unidad 1

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que cuando escriben un número de tres dígitos en forma estándar y desarrollada deben comenzar escribiendo primero las centenas, luego las decenas y por último las unidades. Ejercicio 1.b) Errores e intervención Si los estudiantes tienen dificultades para escribir el número en palabras, entonces, pídales que escriban primero la forma estándar, digan el número en voz alta y luego lo escriban.  ¿Lo entiendes? Pida a los niños que usen modelos de valor de posición para mostrar el número en forma desarrollada como ayuda para entender que no hay unidades. Respuestas 1. a) 400 + 20 + 5 = 425 b) 500 + 10 + 4 = 514, quinientos catorce 2. 6 centenas, 4 decenas, 0 unidades. Comparen y expliquen.

36

Unidad 1 - Numeración

Otra manera es la forma estándar: estándar

328

Las tres maneras muestran el mismo número .

El número en palabras para 1 000 es mil .

 Práctica independiente Si los estudiantes tienen dificultades para escribir el número en palabras, recuérdeles que pueden decir el número en voz alta y luego escribir lo que dicen. Respuestas 3. a) Trescientos ochenta y dos, 382. b) Doscientos seis, 206. c) Seiscientos noventa y cinco, 695. 4. 1 000

Práctica independiente 3

Escribe el número en palabras y en forma estándar

a) 300 + 80 + 2

 Refuerzo Demuestre cómo representar un número en forma desarrollada, en forma estándar y en palabras.Pida a los niños que demuestren los modelos junto a usted. Repita con otros números.

________ _________________________________________

b) 200 + 0 + 6

________

_________________________________________

c) 600 + 90 + 5 _________________________________________ 4

________

Razonamiento Adivina el número . Tiene un 1 en el lugar de las unidades de mil y 0 en el lugar de las centenas, de las decenas y de las unidades . ______

Numeración

29

Cierre Nuestro sistema numérico se basa en grupos de diez. Siempre que se llega a 10 en un valor de posición, se pasa al valor de posición mayor que le sigue. Diga: En esta lección, aprendieron que los números hasta 1 000 se pueden mostrar de diferentes maneras usando modelos, números y palabras.

Lección 1.3

37

Lección

Cambiar números

1.4

Objetivo Sumar y restar múltiplos de 10 o 100 a un número de tres dígitos sin reagrupar.

¡Lo entenderás! El cálculo mental se puede usar al sumar o restar decenas y centenas.

Empieza con 234 . ¿Qué número es 20 más?

Contexto matemático

Escribe la oración numérica . 234 + 300 = 534

Calcula mentalmente . 20 más 30 es 50 Por lo tanto, 20 más 234 es 254 .

En lecciones anteriores, los estudiantes estudiaron números de tres dígitos teniendo en cuenta conceptos de valor de posición. Descomponer números en representaciones en base diez refuerza los conceptos de valor de posición y promueve la flexibilidad al reflexionar sobre valores numéricos. En esta lección, los estudiantes aplican conceptos de valor de posición para sumar y restar centenas y decenas.

Empieza con 234 . 234 ¿Qué número es 300 más?

300 más 234 es 534 .

Práctica guiada 1

Usa modelos, dibujos o el cálculo mental para resolver los ejercicios . a) Empieza con 114 . 114 + 20 = _______

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Qué número muestra el modelo? [234] ¿Cuántas decenas hay? [3 decenas]. ¿Cómo pueden encontrar el número que es 20 más? [Contando saltado de diez en diez o de veinte en veinte]. (2) ¿Qué cambia si tienen 300 más? [El dígito de las centenas]. ¿Cómo pueden encontrar 300 más calculando mentalmente? [Contando hacia delante de centena en centena]. Pida a los estudiantes que cuenten hacia delante de centena en centena. (3) ¿Cómo pueden encontrar el número que es 30 menos que 234? [Calculando mentalmente para contar hacia atrás]. Posibles errores y dificultades Ayude a los estudiantes a entender el aumento o la disminución por centenas o decenas trabajando con modelos. (4) ¿Qué cambia en 234 si encuentran 200 menos? [El dígito de las centenas] ¿Con cuántas centenas comenzaron? [2] ¿Cómo pueden encontrar cuánto es 200 menos? [Contando hacia atrás 2 centenas]. ¿Cuántas centenas tendrán? [0 centenas].

38

Unidad 1 - Numeración

114 + 200 = _______ b) Empieza con 442 .

442 − 30 =_______ 442 − 300 =_______

2 ¿Lo entiendes?

Empieza con 336 . Si le sumas 20, ¿qué dígito cambia?

30

Unidad 1

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que sumar y restar decenas y centenas a números de tres dígitos es similar a sumar y restar unidades. Ejercicio 1.b) Errores e intervención Si los estudiantes tienen dificultades para sumar o restar, entonces, sugiérales que usen modelos de valor de posición como ayuda.  ¿Lo entiendes? Pida a los estudiantes que muestren con un modelo de valor de posición de 336 qué pasaría si sumaran dos barras de decenas más al modelo. Pídales que encierren en un círculo el 3 que está en la posición de las decenas. Comenten por qué ése fue el único dígito que cambió. Respuestas 1. a) 134, 314 b) 412, 142 2. El dígito de las decenas; el 3 se convierte en 5.

Empieza con 234 . ¿Qué número es 30 menos?

Escribe la oración numérica . 234 − 30 = 204

234 menos 30 es 204

Empieza con 234 . ¿Qué número es 200 menos?

Escribe la oración numérica . numérica 234 − 200 = 34 234 menos 200 es 34

 Resolución de problemas Respuestas 4. La Gran pirámide. Las explicaciones variarán.

Práctica independiente 3

Usa modelos, dibujos o el cálculo mental para resolver los ejercicios . a) Empieza con 413 . 30 más

_______

300 más

_______

 Práctica independiente Recuerde a los niños que usen el número original cada vez que suman o restan una cantidad, como hicieron en la práctica guiada. Respuestas 3. a) 443; 713 b) 305; 125

 Refuerzo Dé a los niños varios números de tres dígitos y dígales cuántas decenas tendrán que sumarles. Comenten qué cambia y por qué.

b) Empieza con 325 . 20 menos _______ 200 menos _______ Resolución de problemas

4

La gran pirámide de Egipto tiene una altura de 137 metros y la torre Entel mide 127 metros . ¿Cuál construcción es más alta? Explica cómo lo sabes .

Gran pirámide 137 metros de altura

Numeración

31

Cierre Sumar o restar centenas o decenas es similar a sumar o restar números de un solo dígito. Diga: En esta lección, aprendieron cómo sumar y restar decenas y centenas a números de tres dígitos.

Lección 1.4

39

Lección

1.5

Objetivo Buscar, identificar y aplicar patrones numéricos a números en una tabla de 100.

Contexto matemático Las actividades en las que se pide a los estudiantes que encuentren un número mayor que o menor que un número dado los ayudan a entender el tamaño relativo y el orden de los números. Las tablas de 100 son herramientas útiles para desarrollar este concepto. Permiten mostrar a los niños y niñas cómo ir hacia adelante y hacia atrás para buscar un número dado “mayor que” o “menor que” otro número.

¡Lo entenderás! ¿Qué patrón muestran los dígitos Los patrones de las unidades de izquierda a en tablas de 100 pueden derecha? identificarse al mirar los 31 32 33 34 35 36 37 38 39 dígitos de las 41 42 43 44 45 46 47 48 49 unidades, de las decenas 51 52 53 54 55 56 57 58 59 y de las centenas.

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que busquen patrones como ayuda para completar las tablas. Las tablas de la izquierda muestran patrones en los dígitos de las decenas y de las unidades. Las tablas de la derecha muestran patrones en los dígitos de las centenas y de las decenas.

40

Unidad 1 - Numeración

¿Qué patrón muestran los dígitos de las decenas de arriba hacia abajo? 40 50

43

44

45

46

60

53

54

55

56

63

64

65

66

73

74

75

76

83

84

85

86

93

94

95

96

Los dígitos de las unidades en cada fila aumentan de 1 en 1 .

Los dígitos de las decenas aumentan de 1 en 1 .

Práctica guiada 1

Escribe los números que faltan . faltan a)

b) 36

37

360

46 c)

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) Si comienzan en 31 y cuentan hasta 39, ¿qué pasa con el dígito de las unidades? [Aumenta de 1 en 1]. Si comienzan en 39 y cuentan hacia atrás hasta 31, ¿qué pasa con el dígito de las unidades? [Disminuye de 1 en 1]. (2) ¿Qué patrón ven en los dígitos de las decenas de abajo hacia arriba? [Los dígitos de las decenas disminuyen de 1 en 1]. (3) ¿Ven algún patrón en los dígitos de las centenas de abajo hacia arriba? [Los dígitos de las centenas disminuyen de 1 en 1 cada vez].

Patrones en una tabla

12

370

460

14

d)

22

120

140

220 33

e)

330

38 46

48

f)

380 460

58

480 580

2 ¿Lo entiendes?

Fíjate en el ejercicio b . ¿Cuál es el patrón numérico de las filas?

32

Unidad 1

Ejercicio 1 Errores e intervención Si los estudiantes tienen dificultades para completar las tablas, entonces, pídales que usen la estrategia de contar hacia adelante y contar hacia atrás de uno en uno para completar los números que faltan.  ¿Lo entiendes? Pida a los estudiantes que encierren en un círculo el dígito de las decenas de cada número de la tabla de la derecha. Comenten qué patrones pueden identificarse. Respuestas 1. a) 25, 26, 27; 35, 36, 37; 45, 46, 47 b) 250, 260, 270; 350, 360, 370; 450, 460, 470 c) 12, 13, 14; 22, 23, 24; 32, 33, 34 d) 120, 130, 140; 220, 230, 240; 320, 330, 340 e) 36, 37, 38; 46, 47, 48; 56, 57, 58 f) 360, 370, 380; 460, 470, 480; 560, 570, 580 2. En las filas de la segunda tabla los dígitos de las decenas aumentan de 10 en 10.

¿Qué patrón muestran los dígitos de las centenas de arriba hacia abajo?

110

Los dígitos de las centenas aumentan de 1 en 1 .

120

130

140

150

 Práctica independiente Pida a los estudiantes que busquen patrones de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.

160

210

220

230

240

250

260

310

320

330

340

350

360

410

420

430

440

450

460

510

520

530

540

550

560

610

620

630

640

650

660

Respuestas 3. a) 76, 77, 78; 86, 87, 88; 96, 97, 98 b) 760, 770, 780; 860, 870, 880; 960, 970, 980 c) 23, 24, 25; 33, 34, 35; 43, 44, 45 d) 230, 240, 250; 330, 340, 350; 430, 440, 450 e) 60, 61, 62; 70, 71, 72; 80, 81, 82 f) 600, 610, 620; 700, 710, 720; 800, 810, 820 4. Restar 100.

Práctica independiente 3

Escribe los números que faltan . a)

77

b)

78

770

87 98 c)

980 d)

25

35

33

250

350

330

45 e)

450 f)

60 71

 Refuerzo Pida a los niños que muestren cada número de la primera fila de la tabla de 100 usando la forma desarrollada y comenten los patrones que ven.

600

72

710

80 4

780

870

720

800

Sentido numérico ¿Cuál es la regla? Coméntalo en grupos . 230

130

430

330

630

530

_________________ Numeración

33

Cierre El conteo y los patrones de valor de posición se pueden ver en una tabla de 100. Diga: En esta lección, aprendieron a buscar y ampliar patrones en una tabla de números de tres dígitos.

Lección 1.5

41

Lección

Comparar números

Cuando se comparan números de tres dígitos, primero, se comparan las centenas, luego, las decenas y por último, las unidades.

Compara 214 y 129 .

1.6

Objetivo Comparar números de tres dígitos usando los símbolos < , > , = .

Contexto matemático En esta lección, los estudiantes refuerzan su comprensión del valor de posición comparando números hasta el 1 000. En las lecciones siguientes, los niños y niñas aplicarán su comprensión del valor de posición realizando cálculos matemáticos.  Aprendizaje visual (1) Al comparar dos números, ¿por qué se comparan primero los dígitos con el mayor valor de posición? [Porque si esos dígitos no son iguales, no hace falta mirar los demás dígitos]. (2) ¿Por qué miran las centenas primero? [Las centenas tienen el valor más alto].

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que, al comparar 2 números de tres dígitos, se empieza por el dígito con el mayor valor de posición, que es el dígito de las centenas.

42

Unidad 1 - Numeración

129

Primero compara las centenas . centenas

200 00 es mayor que 1 214

Por lo tanto, 129 .

Práctica guiada 1

Sugerencias metodológicas

Posibles errores y dificultades Explique que los símbolos “mayor que” y “menor que” parecen flechas que apuntan al número menor. (3) Saben que 358 es menor que 362. ¿Existe otra manera de decir lo mismo? [Sí, se puede decir que 362 es mayor que 358]. (4) ¿Qué pueden decir acerca de las centenas y las decenas? [Que son iguales]. ¿Cuál es otra manera de decir que 147 es mayor que 143? [143 es menor que 147].

214

Para comparar números, empieza por el dígito que tiene el mayor valor de posición .

Compara . Escribe mayor que, menor que o igual a . Luego, escribe >, < o = . a) 364 es _______________ 178 .

b) 572 es _______________ 577 .

364

572

178

577

c) 540 es _______________ 560 .

d) 256 es _______________ 243 .

540

256

560

243

e) 846 es _______________ 819 .

f) 343 es _______________ 343 .

846

343

819

343

2 ¿Lo entiendes?

¿Cómo compararías 326 y 89?

34

Unidad 1

Ejercicio 1.b) Errores e intervención Si los estudiantes no usan el símbolo correcto, entonces, pídales que usen modelos y encierren en un círculo el número menor antes de escribir el símbolo.  ¿Lo entiendes? Pida a los niños que expliquen qué hacen cuando comparan un número de dos dígitos con un número de tres dígitos. Respuestas 1. a) >, mayor que; b) , mayor que: f) =, igual a. 2. Ejemplo de respuesta: Empiezo por los dígitos de mayor valor de posición. 300 es mayor que 0 centenas y, por lo tanto, 326 > 89.

358

362

Si las centenas son iguales, compara las decenas .

50 es menor que 60 . Por lo tanto, 358

147

 Práctica independiente Los estudiantes podrían tener dificultades para decidir si un número es mayor que, menor que o igual a otro número. Pídales que formen los dos números que comparan usando placas de centenas, barras de decenas y cubitos de unidades.

143

Si las centenas y las decenas son iguales, compara las unidades

7 es mayor que 3 . Por lo tanto, 147

362 .

143 .

Respuestas 3. a) , mayor que. c) 567 y 567 < 829. Señale que el símbolo siempre apunta al número menor y se abre hacia el número mayor.

f) 117 es _____________ 171 . 117

171

Sentido numérico Escribe un número para completar la oración numérica . a) ______ < 412

b) 293 > ______ Numeración

35

Cierre El valor de posición se puede utilizar para comparar y ordenar números. Diga: En esta lección, aprendieron que para comparar números de tres dígitos se empieza por la posición de las centenas. Si las centenas son iguales, se comparan las decenas. Si las decenas y las centenas son iguales, se comparan las unidades.

Lección 1.6

43

Lección

1.7

Objetivo Identificar y escribir números que están uno antes, uno después o entre determinados números de tres dígitos.

Contexto matemático

¡Lo entenderás! El valor de 321 posición y las tablas numéricas se pueden usar para determinar qué números van antes, después y entre otros números.

La investigación dice: comprender las relaciones numéricas es importante para el desarrollo del sentido numérico de los estudiantes (Longman 1994). En esta lección, los niños y niñas identifican números que están antes, después y entre otros números.

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que imaginar una recta numérica o una tabla numérica puede ayudarlos a encontrar la respuesta. Ejercicio 1 Errores e intervención Si los estudiantes no identifican el número que falta, entonces, pídales que usen una tabla de 100 como ayuda.

44

Unidad 1 - Numeración

324 , 325 ____

322 323 324 325 326 327 328 329 330

“Puedes usar antes, después y entre para encontrar un número que falta” .

321 322 323 324 325 326 327 328 329 330

324 está uno antes de 325 .

Práctica guiada 1

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cuál es su definición de antes? ¿De después? ¿De entre? [Acepte todas las respuestas razonables]. Comente cada definición con toda la clase. (2) ¿Cómo saben que 324 está uno antes de 325? [Cuando cuento, digo 324 antes de 325]. (3) ¿Cómo saben que 326 está uno después de 325? [Cuando cuento, digo 326 después de 325]. Guíe a los niños para que comprendan que como 326 está uno después de 325, 325 está uno antes de 326. (4) 325 está entre 324 y 326. ¿325 está antes o después de 324? [Después]. ¿325 está antes o después de 326? [Antes].

Antes, después, entre

2

Escribe el número que está uno antes . a) ____ , 467

b) ____ , 845

c) ____ , 330

d) ____ , 188

e) ____ , 542

f) ____ , 998

Escribe el número que está uno después . a) 119, ____

b) 505, ____

c) 743, ____

d) 432, ____

e) 699, ____

f) 920, ____

3 Escribe el número que está entre los otros dos .

a) 421, ____ , 423

b) 878, ____ , 880

c) 259, ____ , 261

d) 616, ____ , 618

e) 103, ____ , 105

f) 966, ____ , 968

4 ¿Lo entiendes?

¿Entre qué dos números está 324?

36

Unidad 1

 ¿Lo entiendes? Pida a los estudiantes que demuestren sus conocimientos de antes, después y entre escribiendo los números del ejercicio en orden o haciendo un dibujo que muestre los números en orden secuencial. Respuestas 1. a) 466; b) 844; c) 329; d) 187; e) 541; f) 997 2. a) 120; b) 506; c) 744; d) 433; e) 700; f) 921 3. a) 422; b) 879; c) 260; d) 617; e) 104; f) 967 4. 323 y 325

326 325, ____

 Práctica independiente Recuerde a los estudiantes que deben concentrarse en el dígito de las unidades del número dado para encontrar el número que está uno antes o uno después y el número que está entre otros dos. Si los estudiantes tienen dificultades para encontrar un número que está después de los números que terminan en 9, pídales que estudien los últimos dos números de cada fila en una tabla de 100 para ver cómo cambian los números.

325 , 326 324, ____

326 está uno después de 325 .

321 322 323 324 325 326 327 328 329 330

321 322 323 324 325 326 327 328 329 330

325 está entre 324 y 326 .

Práctica independiente 5

6

7

Escribe el número que está uno antes . a) ____ , 619

b) ____ , 551

c) ____ , 882

d) ____ , 605

e) ____ , 991

f) ____ , 263

Respuestas 5. a) 618; b) 550; c) 881; d) 604; e) 990; f) 262 6. a) 440; b) 219; c) 200; d) 678; e) 291; f) 999 7. a) 395; b) 416; c) 790; d) 105; e) 629; f) 931 8. a) 770 - 790; b) 447 - 467

Escribe el número que está uno después . a) 439, ____

b) 218, ____

c) 199, ____

d) 677, ____

e) 290, ____

f) 998, ____

Escribe el número que está entre los otros dos . a) 394, ____ , 396

b) 415, ____ , 417

c) 789, ____ , 791

d) 104, ____ , 106

e) 628, ____ , 630

f) 930, ____ , 932

8 Sentido numérico

Escribe los números que están 10 antes y 10 después . a) ____ , 780, ____

b) ____ , 457, ____ Numeración

37

Cierre Las palabras de posición antes, después y entre se pueden usar para explicar relaciones numéricas. Diga: En esta lección, aprendieron a usar las palabras antes, después y entre para describir números de tres dígitos.

 Refuerzo Represente antes, después y entre pidiendo a tres niños que se paren al frente de la clase. Los niños se paran uno al lado del otro sosteniendo tarjetas de números que vayan en orden secuencial (por ejemplo, 501, 502, 503). Haga preguntas como: ¿Quién sostiene el número que está antes de 502? ¿Quién sostiene el número que está después de 502? ¿Quién sostiene el número que está entre 501 y 503?

Lección 1.7

45

Lección

Ordenar números

¡Lo entenderás! Para ordenar los números se comparan los dígitos de las centenas, de las decenas y de las unidades.

Escribe los números en orden mayor . de menor a mayor

1.8

Objetivo Ordenar tres números de tres dígitos de menor a mayor y de mayor a menor.

Contexto matemático

387

____ , ____ , ____

En la lección anterior, los estudiantes identificaron números de tres dígitos que van antes, después o entre otros números de tres dígitos analizando la posición de las centenas, las decenas y las unidades. En esta lección, los estudiantes amplían esa experiencia aplicando lo que saben sobre el sistema de numeración en base diez y comparando números para ordenar 3 números de tres dígitos. A medida que los estudiantes comparan y ordenan números, exploran las relaciones numéricas y la magnitud relativa.

menor

mayor

 Práctica guiada Recuerde a los niños y niñas que ordenar tres números es parecido a comparar dos números.

46

Unidad 1 - Numeración

4 centenas es mayor que 3 centenas .

____ , ____ , ____ 407 menor

mayor

Práctica guiada 1 Escribe los números en orden de menor a mayor mayor .

a)

560

356

439

____ , ____ , ____ menor

b)

628

547

692

c)

333

318

337

101

130

103

mayor

____ , ____ , ____ menor

d)

mayor

____ , ____ , ____ menor

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Pueden decir cuál de estos números es el mayor? ¿Cómo lo saben? Invite a los niños y niñas a explicarlo. [407 es el número mayor. Tiene 4 centenas. Los demás números tienen 3 centenas]. (2) ¿Por qué deben empezar comparando los dígitos de las centenas? [La posición de las centenas es la mayor posición de estos números]. El número mayor es 407. Ahora comparen los otros dos números. (3) Como pueden ver, en los números 387 y 389 los dígitos de las centenas y los dígitos de las decenas son iguales. ¿Qué deben hacer ahora? [Comparar los dígitos de las unidades]. (4) ¿Cuáles son los números en orden de menor a mayor? [387, 389, 407]

Primero compara los dígitos de las centenas . centenas

mayor

____ , ____ , ____ menor

mayor

2 ¿Lo entiendes?

Un número de 3 dígitos ¿es siempre mayor que un número de 2 dígitos? ¿Cómo lo sabes? ¿Qué respondieron tus compañeros?, ¿cómo lo supieron? 38

Unidad 1

Ejercicio 1.b) Errores e intervención Si los niños y niñas confunden el valor de posición al comparar dígitos, entonces, pídales que subrayen los dígitos en la posición de las centenas con rojo, los dígitos en la posición de las decenas con azul y los dígitos en la posición de las unidades con verde. Los códigos de color facilitarán la comparación de centenas con centenas, decenas con decenas y unidades con unidades.  ¿Lo entiendes? Pida a los niños y niñas que comparen un número de tres dígitos y un número de dos dígitos y que expliquen qué número es menor y qué número es mayor y por qué. Respuestas 1. a) 356; 439; 560 b) 547; 628; 692 c) 318; 333; 337 d) 101; 103; 130 2. Un número de 3 dígitos es siempre mayor porque tiene un dígito en el lugar de las centenas.

Luego, compara los dígitos de las decenas

¡Son iguales!

387

389

____ , ____ , ____ 407 menor

mayor

Compara los dígitos de las unidades .

7 es menor que 9 .

387

 Práctica independiente Es posible que los niños y niñas dificultades para ordenar los números con dígitos parecidos. Recuérdeles que comparen los dígitos de cada posición para ordenar los números.

389

Por lo tanto, 387 es menor que 389 .

____ , ____ , ____ 389 407 387 menor

mayor

Respuestas 3. a) 91; 109; 190 b) 563; 565; 568

Práctica independiente 3

Escribe los números en orden de menor a mayor mayor .

109

91

190

____ , ____ , ____ menor

568

565

563

 Resolución de problemas Respuestas 4. a) el oso 395 kg. b) oso, alce, dromedario, jirafa.

mayor

____ , ____ , ____ menor

 Refuerzo Use modelos de valor de posición para demostrar cómo comparar 3 números

mayor

Resolución de problemas

4

El peso del dromedario es de 690 kg.

Usa los dibujos .

El peso del oso pardo es de 250 kg.

a) ¿Qué animal tiene un peso menor que la del alce? ¿Cuánto menos?

El peso del alce es de 645 kg.

El peso de la jirafa es de 1 930 kg.

b) Escribe el nombre de los animales en el orden de su peso, de menor mayor . a mayor Numeración

39

de tres dígitos.

Cierre Ordenar tres números o más es similar a comparar dos números, porque cada número se debe comparar con cada uno de los demás. Diga: En esta lección, aprendieron a ordenar 3 números de tres dígitos de menor a mayor y de mayor a menor.

Lección 1.8

47

Lección

Buscar un patrón

1.9

Objetivo Resolver problemas encontrando patrones numéricos.

Resolución de problemas

¡Lo entenderás! Los números se pueden ordenar para identificar un patrón.

Contexto matemático

Posibles errores y dificultades Recuerde a los niños y niñas que encontrar los valores de posición que cambian facilita continuar el patrón mediante el conteo salteado.  Práctica guiada Recuerde a los niños y niñas que es probable que la regla del patrón que deben encontrar sea diferente en cada problema. Por lo tanto, deben examinar cuidadosamente los dígitos de las centenas, las decenas y las unidades en cada serie de números antes de escribir la respuesta final.

48

Unidad 1 - Numeración

324

524

Puedo ordenar los números de menor a mayor y buscar un patrón .

224

224

324

424

524

Práctica guiada 1

Busca un patrón numérico para resolver los problemas .

419

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Qué saben? [Los números de las camisetas del equipo]. ¿Qué necesitan averiguar? [El número que tendría la próxima camiseta]. (2) ¿Por qué deberían ordenar las camisetas de menor a mayor? [Ordenar los números de menor a mayor nos ayudará a encontrar patrones numéricos]. (3) ¿Cuáles son los números de las camisetas de menor a mayor? [224, 324, 424, 524] ¿Ven algún patrón? [Sí, los dígitos de las centenas aumentan de 1 en 1 y los números, de 100 en 100]. (4) ¿Tiene sentido su respuesta? [Sí. 624 se ajusta al patrón. 524 + 100 = 624].

El equipo necesita agrupar sus uniformes para prepararse para una carrera 424

En esta lección, los niños y niñas amplían su familiaridad con los números de tres dígitos al ordenar números de menor a mayor e identificar y ampliar un patrón numérico. A medida que los niños completen los ejercicios de esta lección, anímelos a identificar patrones en los valores de posición de los números.

Planea

Lee y comprende

439

409

429

218

418

518

318

a) Ordena de menor a mayor los números de las camisetas amarillas .

b) Ordena de menor a mayor los números de las camisetas azules .

____, ____, ____, ____

____, ____, ____, ____

¿Cuál es la regla del patrón?

____ ¿Cuál es el número de la próxima camiseta amarilla?

____

¿Cuál es la regla del patrón?

____ ¿Cuál es el número de la próxima camiseta azul?

____

2 ¿Lo entiendes?

¿Cómo cambian los números de las camisetas azules? ¿Qué muestra ese cambio?

40

Unidad 1

Ejercicio 1 Errores e intervención Si los niños y niñas no están seguros de cómo comprobar sus respuestas, entonces, demuestre cómo pueden usar oraciones numéricas para verificar la regla del patrón. Pueden usar oraciones numéricas para comprobar que los números de las camisetas siguen la regla del patrón que encontraron. Si la regla del patrón es + 10, entonces pueden escribir 409 + 10 = 419. Eso coincide con el segundo número que escribieron, 419. Ahora sumen 10 a 419 y comprueben si la respuesta coincide con el tercer número que escribieron.  ¿Lo entiendes? Pida a los niños y niñas que dibujen una camiseta azul con el número 118 justo antes de la camiseta 218. Pida a la clase que use la regla del patrón del ejercicio 2 para identificar si la nueva camiseta se ajusta al patrón Respuestas 1. a) 409, 419, 429, 439; + 10; 449; b) 218, 318, 418, 518; +100; 618 2. El dígito de las centenas cambia cada vez. El cambio muestra que los números aumentan de 100 en 100.

Resuelve

Vuelve atrás y comprueba

 Práctica independiente Cuando los niños y niñas hayan ordenado los números, anímelos a encerrar en un círculo el dígito que cambia en cada número para ayudarlos a determinar la regla del patrón. Respuestas 3. a) 810, 830, 850, 870; +20; 890 b) 175, 375, 575, 775; +200; 975

224, 324, 424, 524, 624 Los números forman un patrón . La regla del patrón es que aumenta de 100 en 100 . El próximo número es 624 .

624 se ajusta al patrón . El dígito de las centenas aumenta de 1 en 1 .

224

324

424

524

624

Práctica independiente

a) Ordena de menor a mayor los números de los libros de la biblioteca .

____, ____, ____, ____ ¿Cuál es la regla del patrón?

______ ¿Cuál es el número del próximo libro de la biblioteca?

______

 Refuerzo Dé a los niños dos secuencias de números para que ordenen según sus dígitos de las centenas, decenas o unidades, como 319, 119, 419, 219 y 625, 615, 645, 635. Pídales que expliquen cómo deben hacer para encontrar el patrón y el número siguiente en cada secuencia.

575

175

775

375

870 830

810

850

3 Busca un patrón numérico para resolver los problemas .

b) Ordena de menor a mayor los números de los libros de la biblioteca .

____, ____, ____, ____ ¿Cuál es la regla del patrón?

______ ¿Cuál es el número del próximo libro de la biblioteca?

______ Numeración

41

Cierre Algunos problemas se pueden resolver identificando elementos que se repiten de manera predecible. Diga: En esta lección, aprendieron que pueden encontrar y usar patrones numéricos para resolver problemas.

Lección 1.9

49

Contexto matemático

Patrones numéricos

Explique a los estudiantes que el contar saltado para encontrar un patrón, ayuda a leer los números en voz alta o en voz baja. Pida a los estudiantes que piensen en cómo cambiaron los números, de un número a otro. Señale cómo un patrón en que los números que aumentan por 2 cada vez, es como contar de dos en dos. Recuerde a los estudiantes que algunos patrones se encuentran contando saltado hacia atrás a partir de un número.

1

Ejercicio 1.k) Errores e intervención Si los estudiantes tienen dificultad para encontrar el patrón de contar saltado, entonces, dígales que coloreen los cuadrados en una tabla de 100 para los números dados. Los estudiantes pueden usar el patrón identificado en la tabla para encontrar el número que falta.

50

Unidad 1 - Numeración

b) 14,

, 18

Cuenta de dos en dos para obtener este patrón . 2, 4, 6, 8, 10, 12

, 18, 20, 22, 24 c) 20, 30,

, 50, 60, 70

d) 25, 50, 75, 100, 125,

e) 3, 8, 13, 18, 23,

f) 9, 19, 29,

g) 7, 9, 11,

h) 12,

i) 90, 80, 70,

, 15, 17

j) 22, 20, 18, 16,

2

¿Puedes contar saltado por un número determinado para obtener todos los números del patrón?

Escribe el número que complete los patrones . a) 3, 6, 9, 12,

Sugerencias metodológicas Ejercicio 1.i) Los números en el patrón, ¿se cuentan hacia adelante o hacia atrás? [Hacia atrás]. ¿Cuál es la diferencia entre los dos primeros números en el patrón? [10]. ¿Cuál es la diferencia entre los dos números siguientes en el patrón? [10]. ¿Cuál es la regla para este patrón de contar saltado? [Restar 10; contar hacia atrás 10]. ¿Cómo encuentran el número que falta en el patrón? [Los números se cuentan hacia atrás de 10 en 10 cada vez. Por lo tanto, intentaré contar hacia atrás de 10 en 10 desde 90 para completar el número que falta].

Ejemplo: 2, 4, 6, 8, ■, 12

Recuerda que se puede contar alternado para hacer un patrón numérico . Contar alternado también se puede usar para encontrar los números que faltan en un determinado patrón .

, 12

, 20, 24, 28

k) 86, 81,

, 71, 66, 61 l) 150,

, 49, 59 , 50, 40

, 100, 75, 50, 25

Completa cada patrón . Luego, usa los patrones como ayuda para resolver los problemas . a) Roberto vio que los números de las casas en una calle seguían un patrón . Primero Roberto vio el número 101 . Después vio los números 103, 105 y 107 . Luego faltaba el número de una casa y después venía el número 111 . ¿Cuál era el número que faltaba? 101, 103, 105, 107,

, 111

b) Bastián estaba contando alternado las bolitas que tenía . Los números que dijo eran: 90, 95, 100, 105, 110, 115 . Bastián tenía que decir un número más para terminar de contar todas las bolitas . ¿Cuántas bolitas tenía Bastián? 90, 95, 100, 105, 110, 115, 3

Escribe un problema. Copia y completa el siguiente patrón numérico . Escribe un problema de la vida diaria que siga ese patrón numérico . 5, 10, 15, 20, 25, 30,

42

Unidad 1

Respuestas 1. a) 15; b) 16; c) 40; d) 150; e) 28; f) 39; g) 13; h) 16; i) 60; j) 14; k) 76; l) 125 2. a) 109; b) 120 bolitas. 3. 35; los problemas variarán.

Sugerencias metodológicas

Comprando útiles escolares En la vitrina de una librería están los siguientes útiles escolares:

En esta sección se presentan problemas con datos reales, para que los estudiantes apliquen lo aprendido en la unidad a situaciones de la “vida diaria”. Los estudiantes pueden emplear la estrategia de resolución que más les acomode. Lo importante es que la revisión sea hecha en voz alta y puedan compartir las distintas estrategias utilizadas. Si todos han usado el mismo método de resolución, anímelos a que en conjunto sugieran otras posibilidades. Respuestas 1. a) $3 460 b) Sacapuntas y goma. c) $3 000 d) No alcanza. Faltan $970. e) Las respuestas variarán. 2. Revise el trabajo de los estudiantes.

$ 990

$ 980

$ 750 1

$ 490 c/u

$ 250 c/u

De acuerdo con los datos entregados, responde . a) ¿Cuánto dinero gastarías si compraras todos los artículos? b) Nombra dos artículos que puedas comprar con menos de $1 000 c) ¿Cuánto dinero gastarías si compraras portaminas para ti y 3 amigos o amigas? d) Si compraras lápices de colores y marcadores con un billete de $1 000, ¿cuánto vuelto recibirías? Explica . e) Si compraras una goma de borrar para cada uno de tus compañeros(as), ¿cuánto dinero necesitarías?, ¿qué billetes usarías para pagar?

2

Llena las siguientes cajas de útiles dibujando los artículos que tú quieras . La única condición es que tienes que gastar entre $500 y $1 000 . Escribe en cada caja lo que gastaste .

$

$

$ Numeración

43

Actividad complementaria  Decir los números Tipo actividad 15 min Materiales: tarjetas enumeradas del 0 al 9, bloques de valor de posición, bolsa. Ponga las tarjetas en una bolsa. El jugador 1 saca dos tarjetas y usa los bloques de valor de posición para representar el número formado con los dígitos. El jugador 2 dice el número formado. Luego, saca dos tarjetas y usa bloques de valor de posición para representar el número formado con los dígitos. El jugador 1 dice el número que se formó. Se devuelven las tarjetas a la bolsa. Se repite el proceso para formar dos números de 3 dígitos y dos de 4 dígitos.

Conectándonos con otras asignaturas

51

¡C Objetivo

11 ¿Qué número muestran los modelos?

Evaluar, en formato de opción múltiple, la comprensión que tienen los niños y niñas de los conceptos y las destrezas de la unidad.

a

423

C

324

B

342

D

234

22 ¿Cuál es el número en palabras de la cantidad que se muestra?

Respuestas Ejercicio 1: C Ejercicio 2: B Ejercicio 3: C Ejercicio 4: C

a

456

B

446

C

400 + 40 + 6

D

446

33 ¿Cuál es la forma desarrollada de la cantidad que se muestra?

a

624

C

600 + 20 + 4

B

seiscientos veinticuatro

D

660

44 ¿Qué respuesta muestra los números

440

que faltan?

450 550

640

44

a

560, 440, 540

C

460, 540, 650

B

400, 500, 600

D

451, 549, 641

560 660

Unidad 1

Actividad complementaria  Dibujar desigualdades Tipo de actividad 15 min Materiales: Papel, lápices, lápices de colores o crayones. Escriba los términos “menor que” y “mayor que” en el pizarrón. Debajo, dibuje cinco círculos a la izquierda, escriba las palabras “menor que” y dibuje 6 círculos a la derecha. Debajo de su dibujo, escriba 5 < 6. Explique el dibujo a los niños. Luego, pídales que creen su propio dibujo original de “menor que” en una mitad de la hoja y un dibujo similar de “mayor que” en la otra mitad. Si tiene tiempo, pida a voluntarios que muestren sus dibujos y lean sus comparaciones de números al grupo.

52

Unidad 1 - Numeración

¿Tuviste tiempo suficiente para hacer todos los ejercicios?

Respuestas Ejercicio 5: a) C b) D Ejercicio 6: A Ejercicio 7: C

55 ¿Cuál de los números hace verdadera la comparación? a) 327 < ____ a

327

B

299

C

329

D

321

B

716

C

720

D

715

276

D

174

b) 716 > ____ a

805

86 ¿Qué número está uno antes? a

273

B

____, 274

275

C

7 Ordena los números de menor a mayor mayor . ¿Qué número sigue en el patrón? a

447

C

647

B

557

D

247

Recuerda que a veces se necesita el dígito 0 para mantener el lugar en un número .

447 147 347 247 547

Recuerda que para comparar y ordenar los números debes alinear los dígitos según su valor de posición y comparar de izquierda a derecha .

autoevaluación Numeración Unidad 1

45

Actividad complementaria  Entender los símbolos Tipo de actividad 15 min Materiales: Papel, lápices, lápices de colores. Escriba en el pizarrón varios pares de números de tres dígitos. Pida a los niños que copien todos los pares y que escojan un color para el signo “menor que” y otro color para el signo “mayor que”. Pídales que resuelvan los problemas usando el signo de desigualdad correcto. Luego, pídales que creen sus propios pares de números y escriban el signo de desigualdad correcto.

¡Cuánto aprendí!

53

Unidad

2

Cálculo mental

Planificación de la unidad Eje central

Objetivos de aprendizaje

Números y operaciones

 Describir y aplicar estrategias de cálculo mental para las adiciones y sustracciones hasta 100: - por descomposición. - completar hasta la decena más cercana. - usar dobles. - sumar en vez de restar. - aplicar la asociatividad..  Identificar y describir las unidades, decenas y centenas en números del 0 al 1 000, representando las cantidades de acuerdo a su valor posicional, con material concreto, pictórico y simbólico.  Demostrar que comprenden la adición y la sustracción de números del 0 al 1 000: - usando estrategias personales con y sin material concreto. - creando y resolviendo problemas de adición y sustracción que involucren operaciones combinadas, en forma concreta, pictórica y simbólica, de manera manual y/o por medio de software educativo. - aplicando los algoritmos con y sin reserva, progresivamente, en la adición de hasta cuatro sumandos y en la sustracción de hasta un sustraendo.  Demostrar que comprenden la relación entre la adición y la sustracción, usando la “familia de operaciones” en cálculos aritméticos y en la resolución de problemas. Resolver problemas  Emplear diversas estrategias para resolver problemas: a través de ensayo y error y aplicando conocimientos adquiridos  Comprobar enunciados, usando material concreto y gráfico. Argumentar y comunicar  Describir situaciones de la realidad con lenguaje matemático.  Comunicar el resultado de descubrimientos de relaciones, patrones y reglas, entre otros, empleando expresiones matemáticas.  Explicar las soluciones propias y los procedimientos utilizados.

Habilidades

Objetivos de aprendizaje transversales y actitudes

54

Unidad 2 - Cálculo mental

 Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.  Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.  Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.

Para trabajar Texto para el estudiante pp. 46-81

Recursos, evaluación y tiempo Para evaluar  Evaluación diagnóstica Repasa lo que sabes (Texto para el estudiante)

Cuaderno de ejercitación  Evaluación formativa ¡Cuánto aprendí! (Texto para el estudiante)

Tiempo estimado Para la unidad 14 a 16 horas Para la prueba sumativa 2 horas

 Evaluación sumativa Pruebas fotocopiables (Guía para el profesor)

Modelar  Aplicar y seleccionar modelos que involucren sumas, restas y orden de cantidades.  Expresar, a partir de representaciones pictóricas y explicaciones dadas, acciones y situaciones cotidianas en lenguaje matemático. Representar  Elegir y utilizar representaciones concretas, pictóricas y simbólicas para representar enunciados.  Crear un relato basado en una expresión matemática simple.

 Manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades.  Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia.  Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.

Fuente: www.mineduc.cl

Planificación de la unidad

55

Unidad

2

Contexto matemático  Significado y propiedades de la adición y sustracción Representar la adición Cuando las cantidades que se juntan en una adición son objetos diferentes, es posible representar la unión físicamente utilizando fichas. La adición también se puede considerar como “saltos” en una recta numérica. Por ejemplo, para representar 4+7, se comienza en el 0 y se saltan 4 espacios hacia la derecha. Desde ese punto, se saltan 7 espacios más hacia la derecha. El punto al que se llega después de los dos saltos, 11, es la suma.

Cálculo mental 1

¿Cuántas espinas tiene el pez león? Lo averiguarás en la Lección 2 .5 .

2

¿Cuánto más largo era un braquiosaurio que un tiranosaurio? Lo averiguarás en la Lección 2 .10 .

 Cálculo mental y estimación ¿Qué es el cálculo mental? Es el proceso mediante el cual se encuentra una respuesta exacta a un cálculo que se hace “en la cabeza”. Muchas de las técnicas de cálculo mental para la adición se basan en la capacidad de separar o descomponer números, de una manera que resulte apropiada para la situación, Por ejemplo, cuando se reemplaza 15 por una expresión como: 4 + 11, es una aplicación de equivalencia numérica. ¿Por qué estimar? Cuando se estima de una suma, se determina más o menos cuánto es. Se debe animar a los estudiantes a estimar las sumas antes de calcular. Esta práctica les ayuda a pensar en un número “aproximado” de la suma exacta a medida que trabajan. Luego, una vez que han hecho el cálculo, pueden revisar para ver si la respuesta es razonable.

46

 Redondear usando el valor de posición Redondear significa identificar el múltiplo de 10, 100, 1 000, etc. hasta el número más cercano. Para hacerlo, se debe identificar el dígito en el lugar de redondeo; si el dígito de la derecha es menor que 5, se deja el mismo dígito; si es 5 o mayor se suma 1 al dígito en el lugar de redondeo; finalmente se cambian todos los dígitos a la derecha del lugar de redondeo a 0.  Sumando lo que falta En una situación en la que falta un sumando generalmente se unen dos cantidades. Es importante recordar que cuando se trata de averiguar el resultado de la unión de dos o más cantidades es necesario sumar. En cambio, cuando se conoce el resultado de la unión, pero se trata de averiguar una de las cantidades que se han unido, es necesario restar.  Sumandos iguales La técnica de sumandos iguales también consta de tres pasos: (1) Cambiar el número que debe restarse sumándole una cantidad que lo transforme en un múltiplo de 10; (2) Reajustar el otro número de la resta sumándole la misma cantidad; (3) Restar. Esta técnica es similar a la de la compensación, pero aquí tanto el cambio como el reajuste, es decir, las dos sumas, se realizan antes de la resta. De ahí el nombre de sumandos iguales.

56

Unidad 2 - Cálculo mental

3

¿Qué velocidad alcanza un guepardo? Lo averiguarás en la Lección 2 .3 .

 Estimar diferencias Los métodos son parecidos a los métodos para estimar sumas.

Vocabulario

1

Escoge el mejor término del recuadro .

• centenas • unidades

 Redondear diferencias Al igual que con la adición, los dos números de la sustracción pueden redondearse. Luego, se estima restando los números redondeados. Por ejemplo, dada la sustracción 426 – 352, redondear a la centena más cercana y redondear a la decena más cercana dan resultados muy diferentes. Redondear a la centena más cercana. 426 → 400 - 352 → - 400 Aprox. 0 Redondear a la decena más cercana. 426 → 430 352 → - 350 Aprox. 80

• suma • decenas

a) En el número 259, el 2 está en el . lugar de las b) En el número 259, el 9 está en el . lugar de las

4

La Kingda Ka es la montaña rusa más alta del mundo . ¿Cuánto mide de altura? Lo averiguarás en la Lección 2 .8 .

c) La respuesta a un problema de . suma se llama Valor de posición

2

Completa . a) 35 5

decenas

unidades .

centenas b) 264 5 unidades . decenas c) 302 5 centenas unidades .

decenas

Operaciones de adición

3

Escribe las sumas . a) 3 1 5

b) 1 1 8

c) 6 1 4

d) 4 1 3

e) 8 1 2

f) 6 1 6

4

Julia compró 3 libros el lunes y 6 el martes . ¿Cuántos libros compró?

5

Escribir para explicar. Andrés tiene 4 globos rojos, 2 azules, 2 verdes, 2 amarillos y 2 anaranjados . Explica cómo puedes contar alternado para encontrar cuántos globos tiene en total .

 Algoritmos para la sustracción

47

Repasa lo que sabes Objetivo Determinar el nivel de preparación de los estudiantes evaluando su dominio de los conocimientos requeridos. Respuestas 1. a) Centenas; b) Unidades; c) Suma 2. a) 3; 5; b) 2; 6; 4; c) 3; 0; 2 3. a) 8; b) 9; c) 10; d) 7; e) 10; f) 12 4. 9 libros. 5. Empezar en 4 para los globos rojos. Luego, contar de dos en dos los globos verdes, amarillos y anaranjados. Tiene 12 globos.

Un algoritmo en forma desarrollada Este algoritmo en forma desarrollada coincide bastante con las sustracciones realizadas con bloques de valor de posición. Con los bloques de valor de posición es necesario reagrupar 1 decena como 10 unidades. Con la técnica de contar hacia atrás de este algoritmo no es necesario reagrupar. El algoritmo convencional Se basa en la idea de la equivalencia numérica. Por ejemplo, el número 61, que es igual a 6 decenas y 1 unidad, se reagrupa como 5 decenas y 11 unidades. El algoritmo convencional se parece a la sustracción con bloques de valor de posición.

Conexión al Mineduc Los objetivos de aprendizaje de esta unidad pueden ser complementados revisando el Programa de Estudios del Mineduc en www.curriculumenlinea.cl o www.curriculumnacional.cl

Cálculo mental

57

Lección

2.1

Objetivo Aprender operaciones de suma de dobles para dominar las operaciones de resta relacionadas.

Usar dobles

¡Lo entenderás! Se puede usar las operaciones de suma para hallar las operaciones relacionadas de resta.

3+3=6

Estos son dobles .

6

1, 3, 5, 7, 9, 11

Contexto matemático

Estos, no .

Recientemente los estudiantes aprendieron la estrategia de usar dobles para encontrar las sumas de casi dobles. En esta lección, los niños aprenderán una estrategia para usar dobles para restar. Por ejemplo, una operación doble como 6 + 6 = 12 se puede usar para encontrar 12 – 6 = 6. Esta conexión ayudará a los niños a desarrollar la comprensión de las relaciones inversas entre adición y sustracción.

Práctica guiada 1

Completa la adición . Luego, usa la adición para resolver la sustracción . a) 2 + 2 = ____

c) 5 + 5 = ____

b) 4 + 2 = ____

d) 10 + 5 = ____

e)

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cómo saben que 2, 4, 6, 8, 10 y 12 son dobles? [Se pueden mostrar todos en dos partes iguales]. ¿Por qué 1, 3, 5, 7, 9 y 11 no son dobles? [Estos números no se pueden mostrar como dos partes iguales]. (2) ¿El 6 es un doble? ¿Cómo lo saben? [Sí, 6 es un doble porque se puede mostrar en dos partes iguales]. ¿Cuáles son las dos partes iguales de 6? [3 y 3; los niños podrían indicar los dos conjuntos de 3 fichas en el modelo]. Observen la oración de adición. ¿Cuáles son las partes? [3 y 3] ¿Cuál es el todo? [6] (3) En una operación de sustracción, ¿qué número va primero? [El todo]. ¿Qué número se resta? [Una de las partes]. ¿Cuál es la respuesta? [La otra parte]. ¿En qué se parece la operación de sustracción a la operación de adición en el segundo recuadro? ¿En qué es diferente? [Tienen los mismos números pero están en orden invertido].

Conoces una adición para cada doble .

2, 4, 6, 8, 10, 12

2

48

6 + 6 ______

12 + 6 ______

f)

4 + 4 ______

8 + 4 ______

¿Lo entiendes? ¿Puedes usar una adición de dobles para resolver 10 ∙ 4? Explica tu respuesta .

Unidad 2

(4) ¿Por qué es útil pensar en dobles cuando restan? [Sé las operaciones de adición para los dobles, por tanto pensar en ella me ayuda a encontrar la operación de sustracción para los dobles]. ¿Cómo les ayuda saber 3 + 3 = 6 a encontrar 6 - 3? [Sé que 3 y 3 forman 6, y en la oración de sustracción una parte de 6 es 3; por lo tanto, la otra parte, es decir la respuesta debe también ser 3].  Práctica guiada Recuerde a los niños que las respuestas a las operaciones de adición los guían a las respuestas para los problemas de sustracción. Ejercicio 1 Errores e intervención Si los niños tienen dificultad para ver la relación entre la adición y la sustracción, entonces, pídales que usen fichas para encontrar la respuesta.  ¿Lo entiendes? Anime a los niños a explicar y mostrar que una operación de dobles debe tener partes iguales. Señale que en 10 - 4 = 6, las dos partes (4 y 6) no son iguales o las mismas.

58

Unidad 2 - Cálculo mental

Por lo tanto, también conoces una sustracción para cada doble . 6

6-3=3

Respuestas 1. a) 4; 2 b) 10; 5 c) 12; 6 d) 8; 4 2. No. Ejemplos de respuestas: 10 es el doble de 5, no el doble de 4; el doble de 4 es 8; 4 + 4 = 8.

Puedes pensar en una adición para resolver una sustracción . Los dobles te ayudan .

Conoces 3 + 3 = 6 . Por lo tanto, conoces 6 - 3 = 3 . 6 es el doble de 3 .

Práctica independiente 3

 Práctica independiente Es posible que los niños usen la operación equivocada. Dígales que encerrar en un círculo el signo de más o menos antes de empezar les ayudará a recordar si deben sumar o restar.

Completa la adición . Luego, usa la adición para resolver la sustracción . a) 6 + 6 = ____

c) 4 + 4 = ____

b) 12 + 6 = ____

d) 8 + 4 = ____

e)

6 + 3 ______

3 + 3 ______

f)

5 + 5 ______

Respuestas 3. a) 12; 6 b) 8; 4 c) 6; 3 d) 10; 5

10 + 5 ______

 Resolución de problemas Respuestas 4. a) 7 b) 7

Resolución de problemas

4

Álgebra. Escribe el número que falta en el Sol . a)

+ 7 = 14

b) 14 - 7 =

Cálculo mental

49

Cierre La suma y la resta tienen una relación inversa. La relación inversa entre la suma y la resta se puede usar para encontrar operaciones de resta; todas las operaciones de resta tienen una operación de suma relacionada. Diga a sus estudiantes: En esta lección, aprendieron a usar la suma con dobles como ayuda para restar.

 Refuerzo Use fichas para demostrar que 3 + 3 = 6 y que 6 - 3 = 3. Tres más tres es igual a seis y tres menos que seis es tres.

Lección 2.1

59

Lección

2.2

Objetivo Sumar un número de dos dígitos a un número de dos dígitos usando el cálculo mental.

Adición de decenas y unidades

¡Lo entenderás! Hay diferentes formas de encontrar el total cuando se está sumando mentalmente decenas y unidades .

Encuentra 27 + 35 .

Una manera de hacerlo es sumar las decenas . 20 + 30 = 50

Puedes usar el cálculo mental para encontrar la suma .

Luego, suma las unidades . unidades 7 + 5 = 12 Después, suma los totales . totales

Contexto matemático

50 + 12 = 62

La investigación dice: Los niños y niñas desarrollan una mejor comprensión de los números y las relaciones numéricas si se exploran estos conceptos antes de enseñar los métodos tradicionales de cálculo. Los niños y niñas que desarrollan sus propios métodos buscan y usan patrones y relaciones que más adelante tienen significado y les resultan útiles (Rivera, 2006). En esta lección, se consolida el cálculo mental y se desarrolla en los niños y niñas la comprensión del valor de posición y de las relaciones numéricas.

Así, 27 + 35 = 62 .

Práctica guiada 1

a) 17 + 42 = ________

c) 53 + 23 = ________

e) 43 + 22 = ________

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Qué maneras de sumar mentalmente han aprendido? Guíe a los niños y niñas para que expliquen las estrategias para sumar mentalmente decenas y unidades. (2) ¿De dónde vienen los números 20 y 30? [20 y 30 son las decenas de 27 y de 35]. ¿De dónde vienen los números 7 y 5? [7 y 5 son las unidades de 27 y de 35]. (3) ¿Pueden sumar las decenas de 27 a 35 y luego sumar las unidades que sobraron? Expliquen. [Sí. La suma sería la misma]. (4) En el pizarrón, escriba 44 + 42. ¿Cómo pueden encontrar la suma utilizando ambas estrategias? Anime a los niños y niñas a que expliquen cada estrategia. ¿Las sumas son las mismas de ambas maneras? [Sí].  Práctica guiada Recuerde a los niños y niñas que cuando suman sólo las decenas o un número a otro número, no deben olvidarse de sumar las unidades de ese número.

60

Unidad 2 - Cálculo mental

Suma usando el cálculo mental .

g) 51 + 47 = ________

2

50

b) 68 + 24 = ________

d) 25 + 32 = ________

f) 23 + 26 = ________

h) 39 + 43 = ________

¿Lo entiendes? Fíjate en el ejercicio e . Describe cómo encontraste la suma .

Unidad 2

Ejercicio 1.c) Errores e intervención Si los niños y niñas se confunden cuando separan las decenas o las unidades, entonces, explíqueles que pueden pensar en los dígitos de las unidades de cada número como si fuesen 0 cuando suman sólo las decenas. De la misma forma, anímelos a que piensen en las decenas de cada número como si fuesen 0 cuando suman sólo unidades.  ¿Lo entiendes? Pida a voluntarios que expliquen los pasos que siguieron para encontrar la suma en el ejercicio 1.e). Después escriba los mismos pasos en el pizarrón. Los niños y niñas pueden usar los pasos como referencia cuando trabajan en forma independiente. Respuestas 1. a) 59; b) 92; c) 76; d) 57; e) 65; f) 49; g) 98; h) 82 2. Ejemplo de respuesta: Primero, sumé los dígitos de las decenas para obtener 60. Luego, sumé los dígitos de las unidades para obtener 5. Por último, sumé 60 + 5 para encontrar la suma, 65.

Otra manera de hacerlo es sumar sólo las decenas del segundo número número . 27 + 30 = 57 Luego, suma las unidades del segundo número . número 57 + 5 = 62

 Práctica independiente Es posible que los niños y niñas tengan dificultades para determinar cuál es la mejor manera de comprobar su trabajo cuando hacen cálculos mentales. Anime a los estudiantes a que utilicen las dos estrategias de cálculo mental para confirmar sus respuestas.

Ambas maneras de calcular mentalmente dan la misma suma . suma

¡Puedes usar cualquiera de las dos maneras!

Así, 27 + 35 = 62 .

Respuestas 3. a) 67 b) 61 c) 71 d) 59

Práctica independiente 3

Suma usando el cálculo mental . a) 51 + 16 = ________

b) 44 + 17 = ________

c) 56 + 15 = ________

d) 34 + 25 = ________

 Resolución de problemas Respuestas 4. 39 – 17 5. 11

Resolución de problemas

4

Paola tiene 21 papas en un canasto y 18 papas en otro canasto . ¿Cuántas tiene en total? Paola usa 22 de las papas . ¿Cuántas hay ahora?

5

______ papas

 Refuerzo Escriba en el pizarrón al menos 10 números de dos dígitos (todos menores que 45). Pida a voluntarios que unan los números y encuentren la suma, mientras explican los pasos que siguieron durante el proceso de suma.

______ papas

Álgebra Un mismo número hace verdaderas ambas oraciones . Encuentra el número que falta . 17 +

= 28

28 +

= 39 Cálculo mental

51

Cierre Los números de dos dígitos se pueden descomponer usando decenas y unidades y se pueden sumar de distintas maneras. Diga: En esta lección, aprendieron que pueden calcular mentalmente para sumar 2 números de dos dígitos, ya sea sumando las decenas y las unidades por separado o sumando las decenas de un número a otro número, y luego sumando las unidades del primer número al otro número.

Lección 2.2

61

Lección

sustracción de decenas

2.3

Objetivo Restar múltiplos de 10 a números de dos dígitos usando el cálculo mental.

Contexto matemático

¡Lo entenderás! Cuando se restan decenas de números de dos dígitos, el dígito de las decenas cambiará, pero el dígito de las unidades permanecerá igual .

En lecciones anteriores, los estudiantes aprendieron estrategias para sumar decenas mentalmente. En esta lección, aplicarán su conocimiento de las operaciones básicas y el concepto de valor de posición para encontrar la diferencia entre grupos de decenas mentalmente. Tal como utilizarían la operación de sustracción 6 – 4 = 2 para encontrar cuánto es 6 manzanas menos 4 manzanas, o 6 libros menos 4 libros, los niños y niñas utilizan esa operación para descubrir que 6 decenas menos 4 decenas es igual a 2 decenas. Luego, los estudiantes hacen uso de la representación simbólica de las decenas, al escribir la oración numérica 60 – 40 = 20. En las siguientes lecciones, los niños y niñas restarán decenas como parte del proceso de restar cualquier número de dos dígitos.

Una manera de hacerlo es contar hacia atrás de diez en diez diez . Empieza en 63 . Cuenta hacia atrás 53, 43 .

Encuentra 63 − 20 .

63 − 20 = 43

Práctica guiada 1

Resta . Usa el cálculo mental o usa marcos de 10 . a)

38 − 20 = ________

2

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) Expliquen con sus palabras qué significa restar mentalmente. Si tienen dificultades, pídales que recuerden lo que hicieron para sumar mentalmente en las lecciones anteriores. (2) Algunos niños pueden intimidarse con el conteo hacia atrás de diez en diez. ¿Cómo contarían hacia adelante de diez en diez a partir del 10? [10, 20, 30, 40, 50] ¿Cómo contarían hacia atrás de diez en diez a partir del 50? [50, 40, 30, 20, 10] (3) Observen las dos maneras de restar mentalmente. ¿Son iguales las respuestas? [Sí] Señale que esto siempre será así. No importa el método que los niños utilicen; la respuesta es siempre la misma.

Puedes restar decenas mentalmente .

52

b) 64 − 30 = ________

c) 35 − 20 = ________

d) 29 − 10 = ________

e) 76 − 50 = ________

¿Lo entiendes? Explica por qué cambia solo el dígito de las decenas cuando restas 20 a 81 .

Unidad 2

Posibles errores y dificultades Los niños deben contar hacia atrás de diez en diez, no de uno en uno, cuando restan decenas a un número de dos dígitos. Animelos a usar marcos de 10 para representar la sustracción.  Práctica guiada Recuerde a los niños y niñas restar las decenas mentalmente, pueden contar hacia atrás de diez en diez. Ejercicio 1.b) Errores e intervención Si los niños no entienden cómo restar decenas, entonces, pídales que usen sus marcos de 10 para mostrar la resta.  ¿Lo entiendes? Pida a los niños que muestren que comprendieron que el dígito de las unidades no cambia, a través de una demostración con marcos de 10. Respuestas 1. a) 18; b) 34; c) 15; d) 19; e) 26 2. Cambia sólo el dígito de las decenas porque en el número 20 no hay unidades que restar.

62

Unidad 2 - Cálculo mental

El 3 no cambia . Por lo tanto, ¡63 – 20 = 43!

También puedes restar usando marcos de diez .

 Práctica independiente Los niños y niñas pueden reforzar la comprensión del valor de posición y hacer cálculos más simples al pensar en los números en función de la cantidad de decenas y de unidades que los componen.

Cuando restas decenas, las unidades no cambian .

Respuestas 3. a) 19 b) 33 c) 47

Práctica independiente 3

Resta . Usa el cálculo mental o usa marcos de 10 . a)

 Resolución de problemas Respuestas 4. 89 kilómetros por hora es más rápido.

49 − 30 = ________

b) 43 − 10 = ________

 Refuerzo Muestre cómo contar hacia atrás de diez en diez usando objetos de la clase, como clips.

c) 87 − 40 = ________

Resolución de problemas

4

En distancias cortas, un elefante puede correr hasta 24 kilómetros por hora . ¿Cuánto más rápido puede correr un guepardo que un elefante? Un guepardo puede correr hasta 113 Kilómetros por hora en distancias cortas .

Cálculo mental

53

Cierre Restar decenas es como restar unidades. Diga: En esta lección, aprendieron que cuando restan decenas a un número, el dígito de las unidades no cambia.

Lección 2.3

63

Lección

2.4

Objetivo Restar un número de dos dígitos de un número de dos dígitos mentalmente o con modelos.

sumar para restar

¡Lo entenderás! Cuando se restan números de dos dígitos, puede ser útil sumar hasta hacer corresponder el número de unidades y decenas.

restar . Puedes sumar para restar Encuentra 42 − 17 .

Suma a 17 hasta llegar al número de unidades que hay en 42 42 . 22 es el número más cercano .

Empieza en 17 .

Contexto matemático La investigación dice: Si se puede establecer la relación entre la adición y la sustracción, las operaciones de sustracción serán más fáciles. Cuando el concepto de pensar en la adición para restar está bien desarrollado, muchos niños y niñas usarán ese enfoque para las operaciones de sustracción (Van de Walle, 2004). En esta lección, los niños y niñas usan la estrategia de adición para restar 2 números de dos dígitos.

Sumé 5 unidades para llegar al número de unidades que hay en 42 .

Práctica guiada 1

Suma para encontrar la diferencia . a) Encuentra 35 − 18 .

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Qué número muestra el modelo? [17] (2) ¿Cuántas unidades necesitan para completar el marco y obtener las dos unidades que necesitan para llegar a 42? [5 unidades]. ¿Qué número muestra ahora el modelo? [22] (3) ¿Cuántas decenas necesitan sumarle a 22 para llegar a 42? [2 decenas]. (4) ¿Cuántas unidades sumaron? [5 unidades]. ¿Cuántas decenas sumaron? [2 decenas] ¿Qué número sumaron? [25] ¿Cuánto es 42 – 17? [25]  Práctica guiada Recuerde a los niños y niñas que deben pensar cuántas unidades y cuántas decenas sumar.

64

Unidad 2 - Cálculo mental

Empieza en 18 .

18 + ______ = 35

Suma unidades y decenas para obtener 35 .

35 − 18 = ______

Empieza en 13 .

13 + ______ = 28

Suma unidades y decenas para obtener 28 .

28 – 13 = ______

b) Encuentra 28 − 13 .

2

54

¿Lo entiendes? ¿Por qué obtienes la misma respuesta cuando sumas y cuando restas?

Unidad 2

Ejercicio 1.a) Errores e intervención Si los niños no entienden la relación entre la sustracción y la adición, entonces, demuéstreles el problema de sustracción usando marcos de 10.  ¿Lo entiendes? Proponga a los niños que inventen un problema de sustracción y demuestren la solución sumando y restando. Respuestas 1. a) 17 b) 15 2. Estoy buscando la diferencia entre los mismos dos números.

Sumé 5 y 20 . Eso es 25 .

Suma decenas para llegar a 42 42 .

 Práctica independiente Recuerde a los niños y niñas que deben sumar primero las unidades y después sumar las decenas para encontrar la diferencia.

17 + 25 = 42 Así, 42 − 17 = 25 .

Respuestas 3. a) 21 b) 66

Sumé dos decenas o 20 más .

 Resolución de problemas Respuestas 4. C 5. 25

Práctica independiente 3

Suma para encontrar la diferencia . a) 54 + _______ = 75

b) 25 + _______ = 91

75 − 54 = _______

91 − 25 = _______

 Refuerzo Demuestre cómo sumar para restar

Resolución de problemas

4

5

Eduardo encontró 15 hojas . Pedro encontró 20 hojas, ¿Cuántas hojas encontraron los dos en total? a

25 hojas

C

35 hojas

B

53 hojas

D

40 hojas

Álgebra Un número hace que sean verdaderas todas las oraciones numéricas . Encuentra el número que falta . 67 −

= 42

47 −

= 22

97 −

= 72

Cálculo mental

55

usando trenes de cubos conectables.

Cierre Se puede encontrar la diferencia entre dos números sumando del número más pequeño al número más grande. Diga: En esta lección, aprendieron que pueden sumar para encontrar la diferencia entre 2 números de dos dígitos.

Lección 2.4

65

Lección

2.5

Objetivo Usar materiales y conceptos concretos de la adición para hacer modelos de las propiedades conmutativa, asociativa y de identidad de la adición.

significado y propiedades de la adición

¡Lo entenderás! Las propiedades son reglas útiles que se pueden usar para resolver problemas de adición .

¿De qué maneras puedes pensar en la adición? Puedes usar la adición para juntar grupos . ? en total

7

Contexto matemático La investigación dice… al usar las propiedades de la adición, los estudiantes pueden aprender las operaciones básicas de adición más fácilmente (Rightsel & Thornton, 1985). En esta lección se presentan las propiedades conmutativa, asociativa y de identidad (o del cero) para ayudar a los estudiantes a resolver problemas de adición. Las propiedades conmutativa y asociativa se usan para sumar números usando el cálculo mental. Por ejemplo: (9 + 4) + 2 = Propiedad conmutativa 9+4=4+9 Propiedad asociativa (9 + 4 ) + 2 = 9 + (4 + 2) 11 + 2 = 9 + 6 15 = 15 Usando la propiedad de identidad, el 0 sumado a cualquier otro número es el mismo. n+0=n 0+n=n

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cuántos grupos hay? [2 grupos]. ¿Cuántos hay en el primer grupo? [7]. ¿Cuántos hay en el segundo grupo? [5]. ¿Por qué estamos sumando los grupos? [Queremos averiguar cuántos hay en total].

5

1 Sumandos: los números que se suman .

5 12 Suma: la respuesta sumar . que se obtiene al sumar

¿De qué otra manera puedes pensar en la adición?

Otro ejemplo

tens Marta tiene dos pedazos de cinta .hundreds Uno mide 4 metros de longitud y el otro mide 3 metros . ¿Cuántos metros de cinta tiene Marta en total? Puedes usar una recta numérica para pensar en la suma . 4

0

1

2

ones 3 metros

4 metros

3

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

41357

En total, Marta tiene 7 metros de cinta .

Práctica guiada Lo ENTIENDES? ?

1

2

¿Por qué tiene sentido que la propiedad conmutativa también se llame propiedad de orden?

3

Escribir para explicar. Rodolfo dice que se puede volver a escribir (4 + 5) + 2 como 9 + 2 . ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué sí o por qué no?

Escribe los números que faltan . a)

1

959

b) 4 1 6 5 6 1 c) (2 1

56

TECH

COMO hacerlo?

) 1 6 5 2 1 (3 1 6)

3

(place checkmark)

Unidad 2

(2) ¿Alguien se acuerda de lo que es la propiedad conmutativa? [Ejemplo de respuesta: La propiedad conmutativa dice que el orden en que se suma no afecta la suma. Por lo tanto, pueden cambiar el orden y la suma será la misma]. (3) ¿Alguien sabe lo que quiere decir la palabra asociar? [Ejemplo de respuesta: conectar o unir]. ¿Cómo puede ayudarles esto a recordar lo que es la propiedad asociativa? [Ejemplo de respuesta: la propiedad asociativa dice que cambiar la manera en que se agrupan o “unen” los sumandos no afecta la suma].  Otro ejemplo ¿De qué modo la recta numérica muestra 4 + 3 = 7? [La flecha roja comienza en cero y salta a 4. La flecha azul comienza en 4 y salta 3 más, finalizando en 7]. ¿De qué manera la propiedad conmutativa puede ayudarles a encontrar la respuesta de 3 + 4 sin sumar? [La propiedad conmutativa dice que pueden sumar los números en cualquier orden y la suma será la misma. Como 4 + 3 = 7, entonces 3 + 4 = 7].  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que deben pensar en las propiedades de la adición para que los ayude a encontrar los números que faltan.

66

Unidad 2 - Cálculo mental

Propiedad asociativa (o propiedad de agrupación) de la adición adición: puedes agrupar sumandos de cualquier manera y la suma será la misma misma .

Propiedad conmutativa (o propiedad de orden) de la adición adición: puedes sumar números en cualquier orden y la suma será la misma . 7+5=5+7

(3 1 4)

Propiedad de identidad (o Propiedad del cero) de la adición: la suma de cero y cualquier otro número es ese mismo número . 5+0=5

5

1

5

Respuestas 1. a) 0; b) 4; c) 3 2. La propiedad conmutativa dice que puedes sumar números en cualquier orden y que la suma será la misma. 3. Sí. Los paréntesis muestran qué números hay que sumar primero, y 4 + 5 = 9.

12

3

1 (4 1 5) 5 12 (3 1 4) 1 5 5 3 1 (4 1 5) Los paréntesis () indican qué se debe sumar primero .

 Práctica independiente Los estudiantes pueden tener dificultad para encontrar el número que falta cuando la expresión dentro del paréntesis se simplifica. En el ejercicio 4.e), ayude a los estudiantes a entender que (3 + _) a la izquierda ha sido reemplazado por 8 a la derecha del signo igual.

Práctica independiente 4

Escribe los números que faltan . a) 185812

b)

c) 19 1

d) (3 1

e) (3 1

5

19

1

25 5 25 ) 1 6 5 3 1 (4 1 6)

f) (6 1 2) 1

)12521

5

817

Resolución de problemas

5

Razonamiento. ¿Qué propiedad de la suma se muestra en la oración numérica 3 1 (6 1 5) 5 (6 1 5) 1 3? Explica .

6

¿Qué oración numérica representa el dibujo? a

3 1 8 5 11

B

11 1 0 5 11

Respuestas 4. a) 2; b) 0; c) 0; d) 4; e) 5; f) 7; g) 5; h) 0; i) 3; j) 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

C

11 2 8 5 3

D

11 2 3 5 8

7

Dibuja objetos de 2 colores diferentes para mostrar que 4 1 3 5 3 1 4 .

8

Un pez león tiene 13 espinas en la espalda, 2 en el medio de la parte inferior y 3 en la parte inferior, cerca de la cola . Escribe dos oraciones numéricas diferentes para encontrar cuántas espinas tiene el pez león en total . ¿Qué propiedad usaste? Cálculo mental

57

Cierre Algunos problemas de la vida diaria que involucran juntar, separar, parte-partetodo o comparación se pueden resolver usando la suma. Hay ciertas relaciones de la suma que siempre son verdaderas y se pueden usar para simplificar cálculos. Diga: En esta lección aprendieron diferentes maneras de demostrar sumas y usar propiedades de la suma para que nos ayuden a resolver problemas.

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos de los ejercicios 5 a TECH 8. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable. 3

(place checkmark)

Respuestas 5. La propiedad conmutativa; el orden de 3 y (6 + 5) cambió pero la agrupación es la misma. 6. A 7. Ejemplo de respuestas: 4+3=7 (dibujar 4 pelotas rojas y tres pelotas blancas); 3+4=7 (dibujar tres pelotas blancas y 4 pelotas rojas). 8. Ejemplo de respuesta: 13 + (2 + 3) = 18; (13 + 2) + 3 = 18; la propiedad asociativa de la adición; el pez león tiene 18 espinas en total.

Lección 2.5

67

Lección

2.6

Objetivo Sumar mentalmente números de tres dígitos sin reagrupar.

Contexto matemático

¡Lo entenderás! Cuando se suma un múltiplo de 100 a un número de tres dígitos, lo único que cambia es el dígito de la centena.

En la unidad 4, los estudiantes sumaron y restaron números de dos dígitos. En este tema, los niños y niñas amplían y aplican este conocimiento a medida que suman y restan números de tres dígitos. En esta lección, los niños y niñas usan su conocimiento de operaciones básicas y valor de posición para identificar patrones en las adiciones. Por ejemplo, los niños usan 5 + 3 y 50 + 30 para encontrar 500 + 300. Los niños y niñas saben que 5 unidades + 3 unidades = 8 unidades y 5 decenas + 3 decenas = 8 decenas, por lo tanto, pueden sacar la conclusión de que 5 centenas + 3 centenas = 8 centenas. Guíe a los estudiantes para que usen una operación básica para encocntrar la suma en la posición de las centenas. Luego, escriba ceros para demostrar que están sumando centenas.

Puedes usar el cálculo mental para sumar números de dos dígitos . Encuentra 24 + 20 ¿Cómo puedo sumar 20 mentalmente?

Práctica guiada 1

Suma usando el cálculo mental . Usa modelos si es necesario . a) b) y 30 25 30 = ______ 55 ______ + ______

2

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cómo los ayudan los bloques a comprender el número 24? [Muestran el valor de cada dígito del número]. ¿Cómo pueden representar 20 usando bloques de valor de posición? [Mostrando 2 placas de decenas]. (2) ¿Cuál es el dígito de las decenas del número 24? [2] ¿Cuál es el dígito de las decenas del número 20? [2] ¿Qué operación básica conocen que pueda ayudarlos a sumar 24 y 20? [2 + 2 = 4] (3) Cada vez que el segundo sumando aumenta una decena, ¿cómo cambian las sumas? [Las sumas aumentan una decena cada vez]. ¿Qué dígito cambia en cada suma? [El dígito de las decenas].

Cálculo mental

58

y 10

______ + ______ = ______

c) 16 + 20 = ________

d) 28 + 30 = ________

f) 34 + 40 = ________

e) 72 + 10 = ________

¿Lo entiendes? Explica cómo puedes usar el cálculo mental para sumar 10 a 56 .

Unidad 2

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que sumar centenas cambia solamente los dígitos de las centenas. Ejercicio 1.b) Errores e intervención Si los niños y niñas tienen dificultades para sumar centenas, entonces, pídales que cuenten el número representado en el modelo. Luego, pídales que dibujen bloques de centenas adicionales. ¿Qué número está representado con los bloques de valor de posición? [412] Dibujen otro bloque de centenas. ¿Qué número está representado ahora? [512]  ¿Lo entiendes? Recuerde a los niños y niñas que pueden usar operaciones básicas como ayuda para sumar. ¿Qué operación básica puede ayudarlos a sumar 56 + 100? [5 + 1 = 6] Respuestas 1. a) 55; b) 25; c) 36; d) 58; e) 74; f) 82 2. Ejemplo de respuesta: Sumo 1 al dígito de las decenas en 56 para obtener 66.

68

Unidad 2 - Cálculo mental

Sumar centenas cambia sólo el dígito de las decenas .

Suma estos números de dos dígitos dígitos . Recuerda que cambia sólo el dígito de las decenas .

Sé que 2 + 2 = 4 . Por lo tanto,

24

+ 30 = 54

24

+ 40 = 64

24

+ 50 = 74

 Práctica independiente Es posible que algunos estudiantes necesiten modelos visuales como ayuda para sumar los múltiplos de una centena escritos en el problema. Permita que los niños dibujen modelos de números de tres dígitos en los espacios dados.

24 + 20 = 44 .

Respuestas 3. a) 100 b) 78 c) 131 d) 90 e) 89 f) 100 4. 40

Práctica independiente 3

Suma usando el cálculo mental . Usa modelos si es necesario . a)

y 0

______ + ______ = ______

4

b)

y 40

______ + ______ = ______

c) 91 + 40 = ________

d) 80 + 10 = ________

e) 69 + 20 = ________

f) 60 + 40 = ________

Álgebra Encuentra el número que falta .

57 +

 Refuerzo Demuestre cómo sumar centenas a números de tres dígitos usando bloques de valor de posición.

= 97 Cálculo mental

59

Cierre Existe más de una manera de calcular mentalmente. Las técnicas para hacer cálculos mentales de suma y resta implican cambiar los números o la expresión para que sea más fácil calcular mentalmente. Diga: En esta lección, aprendieron que pueden sumar números mentalmente sumando solamente las centenas.

Lección 2.6

69

Modelos para sumar números de tres dígitos

Lección

2.7

Objetivo Escoger un método para ver si la adición de dos números de tres dígitos es suficiente para igualar o superar un número dado.

¡Lo entenderás! Los modelos pueden usarse como ayuda para sumar 2 números de tres dígitos.

En la Lección 4 .2 usaste modelos para sumar números de dos dígitos . También puedes usar modelos para sumar números de tres dígitos .

Encuentra 173 + 244 . Suma las unidades . unidades

1 2 1 2

Contexto matemático

7 4

7 4

3 4

3 4

7 ¡Reagrupa si es necesario!

Estimar significa transformar el problema en uno más fácil y calcular mentalmente para obtener un resultado cercano a la respuesta exacta. El uso de los números de la izquierda, el redondeo y los números sencillos (que terminan en cinco o compatibles) son estrategias que puede explorar o sugerir. Permita a los estudiantes estimar a su manera.

Práctica guiada 1

Resuelve . Reagrupa si es necesario . a)

b) 2 4

3 5

6 2

c) 3 1

2 2

8 4

1 4

6 7

5 3

2 2

7 5

3 9

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cuántas tarjetas tiene cada uno? [Ricardo tiene 156 tarjetas. Patricia tiene 284]. ¿Qué les pide el problema que encontrar? [Si tienen 500 tarjetas en total] (2) ¿Necesitan saber el número exacto de tarjetas? [No, solamente si hay más o menos de 500 tarjetas]. (3) Señale a los niños y niñas que también podrían sumar 100 a 284 y luego mirar las decenas y las unidades restantes de 156. (4) Enfatice que cualquier manera que escojan para estimar tendrá la misma respuesta.  Práctica guiada Recuerde a los niños y niñas que no están tratando de encontrar el número exacto de bolitas.

d)

e) 3 5

2

60

7 8

2 1

Unidad 2 - Cálculo mental

6 1

4 8

9 2

¿Lo entiendes? ¿Tienes que reagrupar para encontrar la suma de 268 + 351? Explica .

Unidad 2

Ejercicio 1.b) Errores e intervención Si los niños y niñas sólo suman las centenas (200 + 100), entonces, recuérdeles que también deben observar las decenas y las unidades al estimar. Aunque 200 + 100 suman 300, aún necesitan sumar las decenas y las unidades. ¿La suma de 93 + 65 es mayor que 100? [Sí].  ¿Lo entiendes? Pida a voluntarios que demuestren ambas maneras de estimar usando un ejemplo, como 184 + 372. Respuestas 1. a) Más; b) Más; c) Menos. 2. Las respuestas variarán.

70

f)

Suma las decenas .

1 2

7 4 1

 Práctica independiente Los niños y niñas pueden desarrollar una manera propia de estimar que sea una combinación de los dos métodos descritos. Si pueden explicar su método, anímelos a usarlo.

Suma las centenas .

7

1 2

7 4

3 4

4

1

7

Por lo tanto,

¡Reagrupa si es necesario!

Respuestas 3) a) menos b) más c) menos 4) 291 boletos; 291 + 268 es más que 500.

173 + 244 = 417 .

Práctica independiente 3

Resuelve . Reagrupa si es necesario . a)

b) 1 2

6 3

5 2

d)

2 1

4 3

3 9

e) 3 2

4

c)

5 6

7 3

7 1

0 8

9 6

4 3

8 4

1 9

 Refuerzo Pregunte a los niños si la suma de 265 y 415 es mayor o menor que 600. Demuestre ambos métodos de estimación usando bloques de valor de posición.

f) 2 4

7 9

5 3

¿Es razonable? Benito dijo que la suma de 157 y 197 es 254 . Marcela dijo que Benito olvidó reagrupar reagrupar . ¿Quién tiene razón? Explica . Cálculo mental

61

Cierre Existe más de una manera de estimar una suma. Redondear es una manera de estimar sumas. Diga: En esta lección, aprendieron a estimar la suma de números de tres dígitos.

Lección 2.7

71

Lección

2.8

Objetivo Usar papel y lápiz para sumar dos números de tres dígitos con reagrupamiento.

sumar números de tres dígitos

¡Lo entenderás! Cuando se suman números de tres dígitos, hay que recordar reagrupar si es necesario.

Encuentra 115 + 299 . Usa la plantilla como ayuda sumar . Primero, para sumar Reagrupa 10 suma las unidades . .

Luego, suma las decenas . Reagrupa 10 decenas en 1 centena si es necesario .

unidades en 1 decena si es necesario .

Contexto matemático

1

En la lección anterior, los niños y niñas usaron bloques de valor de posición para sumar 2 números de tres dígitos con y sin reagrupamiento. En esta lección, los niños y niñas pasan de usar modelos a usar algoritmos escritos o secuencias de pasos para resolver una adición. Esta transición debe resultar fluida para la mayoría de los estudiantes porque ya han usado modelos concretos y han visto modelos gráficos en las lecciones anteriores.

1 2

1 9

5 9

1

1

1 2

1 9

5 9

1

4

4

Práctica guiada 1

Resuelve . Reagrupa si es necesario . a)

b)

c)

6

1

8

2

5

6

3

5

9

2

3

7

4

8

3

2

7

6

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Para qué es el recuadro de la columna de las decenas? [Para la decena reagrupada]. ¿Siempre completan este recuadro al sumar? [No, no siempre necesito reagrupar]. (2) ¿Por qué escriben el número reagrupado en la columna de las centenas? [Porque reagrupé 10 decenas en 1 centena]. (3) ¿Reagruparon para encontrar la suma de 115 y 299? [Sí] ¿Reagruparon las decenas, las unidades o ambas? [Ambas].  Práctica guiada Recuerde a los niños y niñas que si la suma de dos números es mayor que 10, deben reagrupar. Ejercicio 1 Errores e intervención Si los niños y niñas olvidan escribir un 1 en el recuadro de las decenas o centenas reagrupadas, entonces, pídales que usen bloques de valor de posición para representar el reagrupamiento. Recuerde a los niños que deben anotar el reagrupamiento. Si reagruparon 10 unidades en 1 decena, deben escribir un 1 en el recuadro de la columna de las decenas. Si reagruparon 10 decenas en 1 centena, tienen que escribir un 1 en el recuadro de la columna de las centenas. 72

Unidad 2 - Cálculo mental

d)

2

62

e)

f)

5

1

6

4

3

2

7

2

7

4

7

8

3

9

4

2

2

4

¿Lo entiendes? ¿Debes reagrupar 10 decenas para formar 1 centena para encontrar la suma de 417 + 273? Explica .

Unidad 2

 ¿Lo entiendes? Pida a los niños y niñas que expliquen cómo saben cuándo deben reagrupar 10 unidades en 1 decena o 10 decenas en 1 centena en un problema de suma. Respuestas 1. a) 855 b) 739 c) 635 d) 994 e) 826 f) 951 2. No, hay que reagrupar 10 unidades para formar 1 decena, pero el total de decenas es 9, entonces no se necesita reagrupar decenas.

Luego, suma las centenas . 1

1

1 2

1 9

5 9

4

1

4

 Práctica independiente Es posible que los niños y niñas tengan dificultades para mantener alineadas las columnas de valor de posición en los problemas de suma verticales. Pida a los niños y niñas que los copien en papel cuadriculado antes de resolverlos.

Algunas veces, necesitas reagrupar unidades, decenas o ambas . Otras veces, ¡no necesitas reagrupar nada!

Por lo tanto, 115

+ 299 = 414 .

Práctica independiente 3

Respuestas 3. a) 687 b) 790 c) 852 d) 639 e) 862 f) 987 g) 693 h) 729

Resuelve . Reagrupa si es necesario . a)

281 + 406 ________

b)

367 + 423 ________

c)

714 + 138 ________

d)

168 + 471 ________

e)

266 + 596 ________

f)

474 + 513 ________

g)

529 + 164 ________

h)

567 + 162 ________

Resolución de problemas

4

5

La montaña rusa más alta del mundo se llama Kingda Ka . Es 60 metros más alta que la primera rueda de Chicago . ¿Cuál es la altura de Kingda Ka?

 Resolución de problemas Respuestas 4. 140 metros. 5. Olvidó reagrupar 10 unidades en 1 decena.

La primera rueda de Chicago fue construida en 1893 por George Ferris . ¡Tenía 80 metros de altura!

Razonamiento. Melisa encontró la suma de 127 y 345 . Evalúa su resultado . Explica .

127 + 345 ________ 462 Cálculo mental

63

Actividad complementaria  El niño maestro Tipo de actividad 10 min Materiales: Pizarrón, tiza (o plumón). Ayude a los niños a pensar en los pasos que se deben seguir cuando se restan números de tres dígitos pidiéndoles que le enseñen a usted cómo hacerlo. Escriba un problema en el pizarrón y pida a un “niño profesor” que le explique qué hacer. El “niño profesor” puede pedir ayuda a otros niños si es necesario. Siga las instrucciones literalmente para forzar a los niños a aclarar los detalles pequeños en su propia mente. Cuando las instrucciones no sean claras, cometa un error que los niños cometan habitualmente y pida al “niño profesor” que lo corrija. Use una variedad de problemas, incluso algunos con un cero en el minuendo.

Lección 2.8

73

Resolución de problemas

 Resolución de problemas Trabajar con las matemáticas incluye una variedad de procesos, entre ellos la resolución de problemas, el razonamiento, la comunicación, la relación y la representación. Algunos problemas se pueden resolver haciendo, leyendo y analizando un gráfico.

5

Ejercicio 5 Recuerde a los niños que el término en total significa “en conjunto”. ¿Qué operación necesitan para resolver el problema? [Suma]. ¿Necesitan encontrar una respuesta exacta? ¿Cómo lo saben? [No; necesito averiguar si la suma de 217 y 346 es mayor o menor que 600]. Ejercicio 6 Anime a los niños a estimar cada suma para comprobar si las respuestas son razonables. ¿Cómo pueden estimar la suma de 231 +418? [Puedo sumar las centenas de ambos números y luego mirar las decenas. 200 + 400 son 600, que es menor que 700, por tanto, esta respuesta no es correcta]. Luego debe ver si la suma de las decenas forma otra centena. Por ejemplo: 251 + 466 y 200 + 400 = 600 (menor que 700) pero: 50 + 60 = 110, hay una centena más, por lo tanto el número es mayor que 700.

74

Unidad 2 - Cálculo mental

6

7

64

Resuelve los siguientes problemas . a) Hay 217 pelotas en una caja . 346 pelotas están fuera de la caja . ¿Hay 600 pelotas en total? Explica .

b) Julia tiene 182 estampillas . Rosa tiene 256 estampillas . ¿Tienen más de 400 estampillas en total? Explica .

__________________________

__________________________

__________________________

__________________________

__________________________

__________________________

¿Qué suma da un total mayor que 700? a) 231 + 418

c) 478 + 293

b) 329 + 327

d) 546 + 132

Diario Escribe 2 números de tres dígitos cuyo total sea mayor que 500 . Explica cómo lo sabes .

Unidad 2

Ejercicio 7 Ayude a los niños y niñas a dibujar el problema como una manera de reformular operaciones y detalles del texto para aclarar y organizar ideas visualmente. Pregunte: ¿Cómo pueden dibujar una cantidad sin dibujar el objeto u objetos? [Usando bloques de valor de posición para representar la primera cantidad]. Respuestas 5. a) No, sumé 300 a 217. 517 y 46 es menos que 600. b) Sí, sumé 200 a 182. 382 y 56 es más que 400. 6. C 7. Ejemplo de respuesta: 312 y 389. Sé que el total es mayor que 500 porque la suma de las centenas es 600.

8

Ejercicio 8 Anime a los niños a usar bloques de valor de posición para sumar. ¿Necesitan reagrupar? ¿Cómo lo saben? [Sí; al sumar las decenas obtengo 10 decenas. Por lo tanto, necesito reagrupar]. ¿Cómo muestran el reagrupamiento con bloques de valor de posición? [5 decenas + 5 decenas son 10 decenas, que es igual a una centena. Cambio 10 barras de decenas por 1 placa de centenas].

354 personas fueron a la feria . Al día siguiente, fueron 551 personas . ¿Cuántas personas fueron a la feria en total?

____ personas 9

Juanita tiene 262 mostacillas . Marcela tiene 479 mostacillas . ¿Qué suma muestra el total de mostacillas que tienen? a

B

1 1 262 + 479 _______

1 1 262 + 479 _______

631

641

C

D

1 1 262 + 479 _______

1 1 262 + 479 _______

740

741

Ejercicio 9 Pida a los niños que primero sumen los dígitos en la posición de las unidades, luego las decenas y finalmente las centenas. Mientras suman, anímelos a eliminar las respuestas incorrectas. ¿Cuál es la suma de las unidades? [11] Miren las opciones de respuesta. ¿El total de qué problema no tiene un 1 en la suma de las unidades? [C]

10 Diario

Escribe un cuento de suma . Usa 2 números de tres dígitos entre 100 y 400 . Luego, resuelve el problema .

Cálculo mental

65

Cierre

Respuestas 8. 905 9. D 10. Ejemplo de respuesta: 131 personas fueron al concierto de la tarde en el parque. 309 personas fueron al concierto de la noche. ¿Cuántas personas fueron al concierto en total?

El algoritmo estándar de suma para números de tres dígitos descompone el cálculo en cálculos más sencillos usando el valor de posición, comenzando por las unidades, luego las decenas y finalmente las centenas. Diga: En esta lección, aprendieron a usar papel y lápiz para sumar dos números de tres dígitos.

Lección 2.8

75

Cálculo mental: maneras de encontrar las partes que faltan

Lección

2 .9

Objetivo Encontrar la parte que falta contando hacia adelante o hacia atrás, dadas una cantidad y una de sus partes.

¡Lo entenderás! Para encontrar la parte que falta, cuenta hacia adelante desde el número menor o cuenta hacia atrás desde el número mayor.

Contexto matemático

Encuentra la parte que falta .

Cuenta hacia adelante o hacia atrás para encontrar la parte que falta .

66

44

La investigación dice: La fluidez para calcular mejora no sólo con la comprensión y el dominio de las operaciones básicas, sino también con el desarrollo de relaciones coherentes entre las operaciones. En 2° básico, la relación entre la adición y la sustracción se usa ampliamente para ayudar a los niños y niñas a dominar las operaciones de sustracción y para desarrollar estrategias de cálculo mental (Carraher, Schliemann, Brizuela y Earnest, 2006). En esta lección, los niños y niñas amplían sus conocimientos sobre la adición y la sustracción para encontrar una parte que falta contando hacia adelante o hacia atrás.

Cuenta hacia adelante desde 44 hasta 66 .

44 + ____ = 66

?

10

10

1

44, 54, 64,

1

65, 66

Contaste hacia adelante 22 . + 22 = 66

Práctica guiada 1

Cuenta hacia adelante o hacia atrás para encontrar la parte que falta . Escribe el número . b) _____ + 18 = 32 a) 27 + _____ = 48 48

27

32

21

18

d) 25 + _____ = 80

c) 50 + _____ = 61 61

80

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Qué número es el todo? ¿Qué número es la parte conocida? [66 es el todo. 44 es la parte conocida]. (2) Cuando cuentan hacia adelante, ¿empiezan en el todo o en la parte conocida? [En la parte conocida. Se puede contar hacia adelante hasta el todo]. (3) ¿En qué se diferencian contar hacia atrás y contar hacia adelante? [Cuando se cuenta hacia atrás, se empieza en el todo y se cuenta hacia atrás hasta la parte conocida. Cuando se cuenta hacia adelante, se empieza en la parte conocida y se cuenta hacia adelante hasta el todo]. (4) ¿Obtienen la misma respuesta si cuentan hacia adelante o hacia atrás? [Sí; de cualquier manera se cuenta el mismo número de decenas y unidades].

76

Unidad 2 - Cálculo mental

50

66

25

Unidad 2

 Práctica guiada Recuerde a los niños y niñas que deben contar hacia delante desde la parte conocida o contar hacia atrás desde el todo para encontrar la parte que falta. Ejercicio 1.c) Errores e intervención Si los niños y niñas tienen dificultades para encontrar la parte que falta, entonces, demuestre cómo contar salteado usando una recta numérica. Guíe a los niños y niñas para que dibujen flechas de 180 a 280, de 280 a 290, de 290 a 300, de 300 a 310 y de 310 a 320. Pídales que escriban el número por el que están contando saltado arriba de la flecha. Respuestas 1. a) 21; b) 14; c) 11; d) 55

¡La parte que falta es 22!

Cuenta hacia atrás desde 66 hasta 44 . 10

10

66, 56, 46,

1

 Práctica independiente Es posible que los niños y niñas tengan dificultades al cambiar de contar saltado de 100 en 100 a contar saltado de 10 en 10. Pida a los niños y niñas que escriban el número en el que se detuvieron antes de que cambien su estrategia de conteo saltado.

66

1

45, 44

Contaste hacia atrás 22 .

44

22

44 + 22 = 66

Respuestas 2. a) 12 b) 3 c) 37 d) 30

Práctica independiente 2

Cuenta hacia adelante o hacia atrás para encontrar la parte que falta . Escribe el número . a) 60 + _____ = 72

b) _____ + 80 = 83

72

83

60

 Refuerzo Use un modelo de parte-parte-todo para mostrar un todo y una parte conocida. Luego, use bloques de valor de posición para contar hacia adelante o hacia atrás para encontrar la parte que falta.

80

c) _____ + 40 = 70

d) 30 + _____ = 60

57

60

40

30

Cálculo mental

67

Cierre Existe más de una manera de calcular mentalmente. Las técnicas para las sumas o restas en el cálculo mental implican cambiar los números o la expresión de manera que el cálculo sea fácil de hacer mentalmente. Diga: En esta lección, aprendieron que pueden encontrar la parte que falta contando hacia adelante desde la parte conocida o contando hacia atrás desde el todo.

Lección 2.9

77

Lección

2 .10 Objetivo Usar la estimación para seleccionar dos números que tienen una diferencia dada.

¡Lo entenderás! Cuando se estima una diferencia, no es necesario encontrar la respuesta exacta.

Estimar diferencias

Día

Contexto matemático En esta lección, los niños y niñas estiman la diferencia entre dos números de tres dígitos. Para estimar, el uso de los números de la izquierda, el redondeo y los números sencillos (que terminan en cinco o compatibles) son estrategias que podría explorar. Inicialmente, puede pedir a los niños y niñas que escojan la “mejor estimación” en múltiplos de 10 o de 100 sin ofrecerles el método para hacer la estimación.

Puedes estimar la diferencia encontrando la centena más cercana .

Encuentra la diferencia entre el número de niños que van al museo el sábado y el domingo .

Número Estimación de niños

Viernes

408

Sábado

894

Domingo

608

Número de niños

Estimación

Viernes

408

400

Sábado

894

900

Domingo

608

600

Día

Práctica guiada 1

Encierra en un círculo la operación que corresponde a la estimación . a) Aproximadamente 300

615 – 533

o

785 – 492

b) Aproximadamente 600

812 – 206

o

924 – 436

c) Aproximadamente 100

431 – 298

o

672 – 394

d) Aproximadamente 400

728 – 176

o

588 – 192

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) Miren la tabla. ¿Cuántos estudiantes fueron al museo el sábado? [894] ¿Cuántos estudiantes fueron al museo el domingo? [608] (2) ¿Cuál es la centena más cercana a 894? [900] ¿Cuál es la centena más cercana a 608? [600] (3) ¿Qué necesitan hacer para encontrar una diferencia de aproximadamente 200? [Restar el número estimado de niños y niñas que fueron al museo el viernes al número estimado de estudiantes que fueron el domingo].  Práctica guiada Recuerde a los niños y niñas que deben redondear hacia arriba a la centena más cercana cuando hay 50 o más decenas y redondear hacia abajo cuando hay 49 o menos decenas.

2

68

¿Lo entiendes? ¿Por qué encontrar la centena más cercana es una buena manera de estimar una resta?

Unidad 2

Ejercicio 1.b) Errores e intervención Si los niños y niñas tienen dificultades para estimar las diferencias, entonces, recuérdeles que deben estimar la diferencia de un problema a la vez. ¿Cuáles son las centenas más cercanas en la primera resta? [800 y 200] ¿Su diferencia es aproximadamente 600? [Sí].  ¿Lo entiendes? Pida a los niños y niñas que estimen la diferencia de 415 - 190. Diga a los niños y niñas la diferencia real. Luego, comenten cuán cerca está la estimación de la diferencia real. Respuestas 1. a) 785 – 492 b) 812 – 206 c) 431 – 298 d) 588 – 192 2. Al restar la centena más cercana se obtiene una respuesta muy cercana a la diferencia exacta.

78

Unidad 2 - Cálculo mental

 Práctica independiente Es posible que los niños y niñas tengan dificultades al restar mentalmente las centenas más cercanas. Muéstreles que restar centenas es parecido a las operaciones básicas de resta. Pueden pensar que 600 - 500 es similar a 6 - 5. ¿Cuánto es 6 - 5? [1] Por lo tanto, 600 - 500 = 100.

El sábado van aproximadamente 900 niños al museo . El domingo van aproximadamente 600 niños . 900 – 600 = 300

Por lo tanto, 894 – 608 es aproximadamente 300 .

Había aproximadamente 300 niños menos el domingo que el sábado .

Práctica independiente 3

Respuestas 3. a) 687 – 591 b) 902 – 214 c) 726 – 503 d) 814 – 420

Encierra en un círculo la operación que corresponde a la estimación . a) Aproximadamente 100

432 – 193

o

687 – 591

b) Aproximadamente 700

902 – 214

o

879 – 542

Resolución de problemas

4

Escribir para explicar. Aproximadamente, ¿de cuántos metros más largo era un braquiosaurio que un tiranosaurio?

Braquiosaurio 81 metros

5

Razonamiento . Escoge un par de números para obtener la diferencia . a) La diferencia aproximada es 400 ____ y ____ b) La diferencia aproximada es 500 ____ y ____

 Resolución de problemas Respuestas 4. a) 931 y 492 b) 685 y 210  Refuerzo Presente dos problemas de resta en los cuales los niños deban encontrar las centenas más cercanas para estimar su diferencia.

Tiranosaurio 39 metros

210 685 931 492 Cálculo mental

69

Cierre Existe más de una manera de estimar una diferencia. Redondear es una manera de estimar diferencias. Diga: En esta lección, aprendieron que pueden estimar la diferencia entre dos números redondeándolos a la centena más cercana y restando.

Lección 2.10

79

Modelos para restar números de tres dígitos

Lección

2 .11 Objetivo Usar modelos para restar números de tres dígitos con reagrupamiento.

¡Lo entenderás! Los modelos pueden usarse como ayuda para restar 2 números de tres dígitos.

Usa modelos para encontrar 328 – 133 .

3 1

Contexto matemático En esta lección, los estudiantes restan números de tres dígitos. Usan modelos de centenas, decenas y unidades para resolver cada problema. En cada problema, los niños y niñas reagrupan una sola vez, ya sea 1 decena en 10 unidades o 1 centena en 10 decenas. El uso de bloques de valor de posición para representar el reagrupamiento implica en realidad un intercambio de objetos. El reagrupamiento de una centena en decenas implica intercambiar 1 placa de centenas por 10 barras de decenas.

 Práctica guiada Recuerde a los niños y niñas que deben escribir el número correcto de centenas o decenas en el recuadro de reagrupamiento después de reagrupar.

2 3

3 1

2 3

8 3 5

Práctica guiada 1

Resuelve . Reagrupa si es necesario . a)

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Qué dos números están restando? [328 y 133] (2) ¿Necesitan reagrupar las unidades? ¿Cómo lo saben? [No; hay suficientes unidades para restar 3 a 8]. ¿Cómo representan la resta los modelos? [Hay 3 bloques de unidades tachados]. (3) ¿Por qué el recuadro de reagrupamiento de la columna de las decenas muestra 12 decenas? [1 centena de 328 se reagrupó como 10 decenas y se agregó a las 2 decenas]. (4) ¿Cómo representan la diferencia los bloques de valor de posición? [Quedan 1 placa de centenas, 9 barras de decenas y 5 cubitos o bloques de unidades].

Resta las unidades .

b) 5

2

8

3

6

4

5

4

6

2

7

5

1

2

7

2

7

1

d)

2

70

c)

e)

f)

3

1

4

6

5

3

4

3

8

1

5

2

4

5

9

1

6

2

¿Lo entiendes? ¿Necesitas reagrupar para restar 759 – 328? ¿Por qué?

Unidad 2

Ejercicio 1 Errores e intervención Si los niños y niñas tienen dificultades para representar el reagrupamiento de 1 centena como 10 unidades, entonces, represente 546 y 271 con bloques de valor de posición. Pida a los niños y niñas que lo guíen para restar las unidades. ¿Pueden restar 7 decenas a 4 decenas? ¿Por qué o por qué no? [No; no hay suficientes decenas]. ¿Cómo pueden obtener más decenas? [Reagrupando 1 centena en 10 decenas]. Demuestre el intercambio de 1 placa de centenas por 10 barras de decenas. ¿Cuántas decenas hay ahora? [14] ¿Cuántas centenas? [4]  ¿Lo entiendes? Pida a los niños y niñas que usen bloques de valor de posición para representar dos números de tres dígitos. Miren los bloques de unidades en 759. ¿Hay más en este número que en 328? [Sí]. Entonces no es necesario reagrupar 1 decena como 10 unidades. Continúe con las barras de decenas y las placas de centenas. Respuestas 1. a) 253; b) 237; c) 275; d) 162; e) 194; f) 276 2. No necesito reagrupar porque puedo restar 8 unidades de 9 unidades, 2 decenas de 5 decenas y 3 centenas de 7 centenas.

80

Unidad 2 - Cálculo mental

Reagrupa 1 centena como 10 decenas .

 Práctica independiente Es posible que los niños y niñas no reconozcan cuando un dígito más grande se resta de un dígito menor. Pida a los niños que resalten o encierren en un círculo el dígito más grande de cada columna de los problemas para ayudarlos a reconocer cuándo tienen que reagrupar.

Resta las decenas y las centenas .

2

12

2

12

3 1

2 3

3 1

2 3

8 3

1

9

5

5

Por lo tanto, 328 – 133 = 195 .

Práctica independiente 3

a)

b)

c)

6

3

2

2

7

6

5

4

9

4

8

0

1

2

9

3

1

6

d)

4

Respuestas 3. a) 152 b) 147 c) 233 d) 394 e) 132 f) 275 4. 3; 1; 3; 1. Cuando se suma la diferencia a la cantidad que se restó, se obtiene la cantidad con la que se empezó.

Resuelve . Reagrupa si es necesario .

e)

f)

7

9

2

3

0

6

4

2

8

3

9

8

1

7

4

1

5

3

Álgebra . Encuentra los números que faltan . ¿Cómo están relacionados estos ejercicios?

7 – 4 _____

6 – 5 _____

+ 4 _____ 7

 Refuerzo Use bloques de valor de posición para representar problemas de resta en los que haya que reagrupar las decenas y las centenas.

+ 5 _____ 6 Cálculo mental

71

Cierre El algoritmo estándar de resta para números de tres dígitos descompone el cálculo en cálculos más sencillos usando el valor de posición, comenzando por las unidades, luego las decenas y finalmente las centenas. Diga: En esta lección, aprendieron que cuando restan pueden obtener más decenas reagrupando 1 centena en 10 decenas.

Lección 2.11

81

Lección

2 .12 Objetivo Restar números de tres dígitos usando un algoritmo convencional.

¡Lo entenderás! Cuando se restan números de tres dígitos, hay que recordar reagrupar si es necesario.

Contexto matemático

Restar números de tres dígitos Encuentra 849 − 475 . Usa el cuadro como ayuda para restar . Primero, resta las unidades . restar

8 4

En el unidad 4, los niños y niñas usaron el algoritmo estándar y papel y lápiz para restar números de dos dígitos. En la lección anterior, usaron modelos para restar números de tres dígitos. En esta lección, los niños y niñas restan números de tres dígitos usando el algoritmo estándar de resta y papel y lápiz. Reagrupan 1 decena en 10 unidades o 1 centena en 10 decenas, según sea necesario.

4 7

9 5

Luego, resta las decenas .

Reagrupa 1 decena en 10 unidades si es necesario .

4

14

8 4

4 7

9 5

7

4 Reagrupa 1 centena en 10 decenas si es necesario .

Práctica guiada 1

Resuelve . Reagrupa si es necesario . a)

b)

c)

6

7

3

5

6

9

7

1

6

2

1

5

1

8

7

5

9

3

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) Cuando restan las unidades, ¿necesitan reagrupar? ¿Por qué si o por qué no? [No; hay suficientes unidades para restar]. (2) ¿Cómo anotaron el reagrupamiento de 849? [Taché 8 y escribí 7 en el recuadro de arriba. Luego, taché 4 y escribí 14 arriba]. (3) ¿Cuál es la diferencia entre 849 y 475? [374] (4) ¿Reagruparon para restar 849 475? [Sí] ¿Qué reagruparon? [1 centena en 10 decenas].

Práctica guiada Ejercicio 1 Errores e intervención Si los niños y niñas olvidan escribir 4 en el recuadro de reagrupamiento de la posición de las centenas, entonces, pídales que representen el problema. Recuérdeles que las decenas se cambiaron por una centena.

82

Unidad 2 - Cálculo mental

d)

2

72

e)

f)

5

4

8

3

7

7

5

7

2

3

7

2

1

5

6

2

1

3

¿Lo entiendes? ¿Cómo encontrarías 527 – 452? Explica .

Unidad 2

 ¿Lo entiendes? Pida a los niños y niñas que expliquen cómo saben si necesitan reagrupar para restar. Respuestas 1. a) 458 b) 382 c) 123 d) 176 e) 221 f) 359 2. Ejemplo de respuesta: Empezaría por restar las unidades. Luego, tendría que reagrupar 1 centena en 10 decenas. Después, restaría las decenas, luego las centenas.

 Práctica independiente Recuerde a los niños y niñas que no siempre es necesario reagrupar. Anímelos a encerrar en un círculo los problemas en los que no hay que reagrupar. Respuestas 3. a) 527 b) 427 c) 154 d) 705 e) 122 f) 271 g) 682 h) 208 i) 194 j) 201 k) 318 l) 294 4. Olvidó que había reagrupado 1 centena en 10 decenas. Restó a 7 centenas en vez de a 6 centenas.

Luego, resta las centenas . 7

14

8 4

4 7

9 5

3

7

4

Algunas veces necesitas reagrupar decenas o centenas . Otras veces, no necesitas reagrupar nada .

Por lo tanto, 849 − 475 = 374 .

Práctica independiente 3

Resuelve . Reagrupa si es necesario . a)

–

635 108

b)

________ e) –

356 234

–

557 363

________ 4

490 63

c)

________ f) –

________ i)

–

839 568

–

466 265

g) –

d)

718 36

k) –

845 527

________

–

981 276

________ h) –

________

________

Razonamiento. Jaime restó 443 a 728 . ¿Cuál fue su error? Explica .

639 485

________

________ j)

–

320 112

________ l) –

789 495

________

6 12 728 – 443 ______ 385 Cálculo mental

73

Actividad complementaria  ¿Qué queda? 10 min Tipo de actividad Materiales: 10 billetes de juguete (de $1 000, $5 000 y $10 000), tarjetas o tarjetones de cartulina (10 por pareja). Cree dos conjuntos de 5 tarjetas para cada pareja de niños. En el primer conjunto, escriba: “Tienen $ ___, ___, ___” y en los espacios en blanco, escriba diversos números de tres dígitos entre $5 000 y $9 999. En el otro conjunto, escriba: “Gastaron $ ___, ___, ___” y en los espacios en blanco, escriba diversos números de tres dígitos entre $100 y $4 999. Pida a los niños que imaginen que van de compras. La primera tarjeta indica con cuánto dinero empiezan y la segunda cuánto dinero gastan. Su tarea es averiguar cuánto dinero les queda. Un niño toma una tarjeta de cada conjunto y forma la primera cantidad utilizando dinero de juguete. Ese niño usará el dinero de juguete para demostrar cómo restar la cantidad que se muestra en la otra tarjeta, explicando el proceso al otro niño. Quizás necesiten cambiar un billete de $1 000 por 10 unidades o un billete de $10 000 por 10 decenas. Luego, los dos niños intercambian roles y continúan la actividad.

Lección 2.12

83

Resolución de problemas

 Resolución de problemas Trabajar con las matemáticas incluye una variedad de procesos, entre ellos la resolución de problemas, el razonamiento, la comunicación, la relación y la representación.

5

Ejercicio 5 Recuerde a los niños que los datos proporcionan información importante. ¿Qué información saben al mirar los datos? [El número de páginas leídas y el número total de páginas] ¿De qué manera esta información los ayuda a resolver el problema? [Laura tiene que leer aproximadamente 100 páginas para terminar su libro; por tanto, necesito hallar el libro que tenga una diferencia de aproximadamente 100 páginas]. Ejercicio 6 Anime a los niños a convertir la pregunta en un enunciado. ¿Qué necesitan encontrar? [Necesito hallar aproximadamente cuántas páginas le falta leer a Elena]. ¿Cómo pueden encontrar la respuesta? [Encontrando las centenas más cercanas y restando para encontrar la diferencia]. Ejercicio 7 Ayude a los niños y niñas a dibujar el problema como una manera de reformular operaciones y detalles del texto para aclarar y organizar ideas visualmente. ¿Cómo pueden dibujar una cantidad sin dibujar el objeto u objetos? [Usando bloques de valor de posición para representar la primera cantidad]. Respuestas 5. Libro naranjo. 6. C 7. Las respuestas variarán.

84

Unidad 2 - Cálculo mental

6

Laura tiene que leer aproximadamente 100 páginas para terminar su libro . Encierra en un círculo el libro que está leyendo Laura .

74

Número de

Total de páginas: 543

Total de páginas: 367

páginas leídas: 274

Elena leyó 103 páginas . El libro que está leyendo tiene 478 páginas en total . Aproximadamente, ¿cuántas páginas le falta leer?

a

7

Número de páginas leídas: 214

100

B

300

C

400

D

500

Diario Resta 2 números de tres dígitos . Los números deberían tener una diferencia de aproximadamente 400 .

Unidad 2

8

El viernes, 517 personas fueron al teatro . El sábado 384 personas fueron al teatro . ¿Cuántas personas más fueron al teatro el viernes?

5

1

7

3

8

4

Ejercicio 8 ¿Cómo saben qué deben restar en este ejercicio? [La palabra más me indica que debo comparar los números].

____ personas más 9

Había 627 semillas de flores . Se volaron 184 de las semillas . ¿Cuál de las respuestas muestra cuántas semillas quedaron?

a

10

Ejercicio 9 Pida a los niños que busquen palabras clave. Las palabras cuántas quedaron son generalmente una pista de que hay que restar.

563

B

Respuestas 8. 133 9. D 10. Las respuestas variarán; 337

543

 Refuerzo Ayude a los niños a resolver problemas de resta con números de tres dígitos en el pizarrón. Permítales escoger los dígitos para restar.

Diario Escribe un cuento sobre 543 – 206 . Luego, resuelve el problema .

5

4

3

2

0

6

Cálculo mental

75

Cierre El algoritmo estándar de resta para números de tres dígitos descompone el cálculo en cálculos más sencillos usando el valor de posición, comenzando por las unidades, luego las decenas y finalmente las centenas. Diga: En esta lección, aprendieron a hacer intercambios parejos para restar. Han reagrupado una decena en 10 unidades o una centena en 10 decenas.

Lección 2.12

85

Lección

2.13 Objetivo Resolver problemas verbales y comprobar si sus respuestas son razonables.

¡Lo entenderás! Se deben comprobar las respuestas para ver si tienen sentido .

Contexto matemático La mayoría de los estudiantes resuelven los problemas verbales e inmediatamente después anotan la respuesta. Muchos no se toman el tiempo para revisar su trabajo o comprobar si sus respuestas son razonables. Es importante observar que las respuestas razonables no son solo respuestas posibles sino también apropiadas. Una respuesta razonable puede no ser la correcta, pero una respuesta no razonable casi seguramente será incorrecta. Los estudiantes pueden comprobar incluso si cada etapa de la resolución de un problema es razonable.

86

Unidad 2 - Cálculo mental

53 bolitas

Resolución de problemas

Alejandro tenía las bolitas que se muestran a la derecha . Le dio 18 a su hermano . ¿Cuántas bolitas le quedan a Alejandro? Después de resolver un problema, pregúntate: 53 bolitas en total • ¿Es razonable la respuesta? 18 bolitas ? • ¿Respondí la pregunta correcta?

Práctica guiada COMO hacerlo? 1

Lo ENTIENDES? ?

Rosita está leyendo un libro que tiene 65 páginas . Le quedan 27 leer . ¿Cuántas páginas ha por leer leído ya? 65 páginas en total ?

27

2

Escribir para explicar. Explica cómo puedes comprobar que tu respuesta es razonable y que has respondido la pregunta correcta .

3

Escribe un problema. Escribe y resuelve un problema . Comprueba que tu respuesta sea razonable .

Práctica independiente 4

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cómo representa el problema el diagrama? [Muestra que el todo es 53 bolitas y que la parte que Alejandro le dio a su hermano es 18 bolitas. La otra parte es lo que le quedó]. ¿Qué operación se necesita para encontrar la respuesta? [Una sustracción]. ¿Qué significa que la respuesta sea razonable? [Que responde la pregunta y que tiene sentido en relación con la información que se da]. (2) ¿Por qué la respuesta de Jorge no responde la pregunta? [El problema pregunta cuántas bolitas le quedaron a Alejandro, no cuántas bolitas tiene su hermano]. (3) ¿Qué error cometió Trinidad? [No reagrupó]. (4) Si una respuesta es razonable, ¿significa entonces que es definitivamente la respuesta correcta? [No, significa que es probable que sea correcta].

¿Es razonable?

Resuelve . Luego, comprueba que tu respuesta sea razonable . a) Esteban está leyendo un libro que tiene 85 páginas . Leyó 35 páginas ayer y 24 hoy . ¿Cuántas páginas leyó Esteban en los dos días? • ¿Qué sé? ? páginas en total 35

24

b) César tenía 56 autitos diferentes . Le dio 36 a su hermano . ¿Cuántos autitos tiene César ahora?

76

• ¿Qué me piden que encuentre? • ¿Qué diagrama puede ayudarme a entender el problema? • ¿Puedo usar suma, resta, multiplicación o división? • ¿Está correcto todo mi trabajo? • ¿Respondí la pregunta que correspondía? • ¿Es razonable mi respuesta?

Unidad 2

 Práctica guiada Ejercicio 1 Errores e intervención Si los estudiantes tienen dificultad para comprobar si sus respuestas son razonables, entonces, ayúdelos a pensar el proceso paso por paso. ¿Tiene sentido su respuesta? ¿Por qué? [Sí. Si se suma 38 a 27, se obtiene 65. Eso coincide con el número de páginas del libro]. ¿Respondieron la pregunta correcta? ¿Por qué? [Sí. Rosita ya leyó 38 páginas]. Respuestas 1. 38 páginas. 2. Ejemplo de respuesta: Puedo comprobar que mi respuesta es razonable redondeando y estimando. Puedo comprobar que respondí la pregunta correcta volviendo atrás y leyendo el problema otra vez. 3. Los problemas variarán.

Respuesta de Jorge.

Respuesta de Trinidad.

53 2 18 5 35 El hermano de Alejandro tiene 35 bolitas . 53 2 18 es aproximadamente 50 2 20, es decir 30 . 35 está cerca de 30; por lo tanto, 35 es razonable .

53 2 18 5 45 A Alejandro le quedan 45 bolitas .

Trinidad respondió la pregunta correcta pero el número 45 no es razonable .

53 2 18 es aproximadamente 50 2 20, es decir 30 . 35 está cerca de 30; por lo tanto, 35 es razonable .

El número 35 es razonable y Pablo respondió la pregunta correcta .

Puntos anotados en total

? puntos en total 68

74

b) En la primera mitad del partido 1 se anotaron 39 puntos . ¿Cuántos puntos se anotaron en la segunda mitad? 39

Partidos

Puntos

Partido 1

68

Partido 2

74

Partido 3

89

Respuestas 4. a) 59 páginas; b) 20 autitos Ejercicio 5.a) Anime a los estudiantes a escribir una oración numérica que los ayude a resolver el problema. ¿Qué tienen que averiguar? [Cuántos puntos obtuvieron en los partidos 1 y 2]. ¿Qué operación deben usar para encontrar un total? [La adición]. Entonces, ¿qué oración numérica podrían usar? [68 + 74 = ?].

c) Estimación. ¿Aproximadamente cuántos puntos se anotaron en total en los tres partidos? ? puntos en total

68 puntos en total

70

70

90

?

Gaspar practica el piano 45 minutos cada día . Hoy practicó 15 minutos después de la escuela y 10 minutos antes de la cena . ¿Cuánto tiempo más tiene que practicar? a 70 minutos C 35 minutos B

7

 Práctica independiente Recuerde a los estudiantes que deben usar procesos implícitos e instrumentos matemáticos para comprobar si sus respuestas son razonables usando el redondeo y la estimación. En los ejercicios 4 a 7, recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

Usa la tabla para resolver resolver . Primero haz una estimación, luego comprueba que tu respuesta sea razonable . a) ¿Cuántos puntos se anotaron en total en los partidos 1 y 2?

6

53 2 18 5 35 A Alejandro le quedan 35 bolitas .

53 2 18 es aproximadamente 50 2 20, es decir 30 . 45 no está cerca de 30; por lo tanto, 45 no es razonable .

El número 35 es razonable, pero Jorge no respondió la pregunta correcta . 5

Respuesta de Pablo.

60 minutos

D

20 minutos

Paz tiene 15 monedas de $10 . Su hermano tiene 10 monedas de $10 más que Paz . ¿Cuántas monedas de $10 tienen en total? a 40 C 10 B

25

D

5 Cálculo mental

77

Cierre Todas las respuestas a problemas deben comprobarse para ver si son razonables, lo cual puede hacerse de distintas maneras. Dos de esas maneras son: usar la estimación siempre que sea apropiado y cotejar la respuesta contra la pregunta y las condiciones que describe el problema. Diga: En esta lección aprendieron a comprobar si una respuesta es razonable usando la estimación y determinando si respondimos la pregunta correcta.

Ejercicio 5.b) Use el diagrama para ayudar a los estudiantes a comprender la relación entre los distintos puntajes que presenta el problema. ¿Qué muestra el diagrama sobre los 39 puntos? [Que es una parte del puntaje]. ¿Qué muestra el diagrama sobre los 68 puntos? [Que es el puntaje final de todo el juego]. Entonces, si conocen el todo y una parte, ¿qué operación pueden usar para encontrar la parte que falta? [Una sustracción]. Respuestas 5. a) 142 puntos; b) 29 puntos; c) Aproximadamente 230 puntos. 6. D 7. A

Lección 2.13

87

Objetivo

Usar propiedades para completar oraciones numéricas

Repasar las propiedades de la adición.

Las propiedades de la adición te pueden ayudar a encontrar los números que faltan . Propiedad conmutativa (o de orden) de la adición: puedes sumar los números en cualquier orden y el resultado será el mismo . Ejemplo: 4 1 3 5 3 1 4 Propiedad de identidad (o del elemento neutro) de la adición: la suma de cualquier número y cero es ese mismo número . Ejemplo: 9 1 0 5 9 Propiedad asociativa (o de agrupación) de la adición: puedes agrupar sumandos de cualquier manera y la suma será la misma . Ejemplo:(5 1 2) 1 3 5 5 1 (2 1 3)

Sugerencias metodológicas Pídales que nombren la propiedad que usarían para responder el ejercicio 1. Por ejemplo, en el ejercicio 1.a) se aplica la propiedad del elemento neutro o identidad, por lo tanto el número que falta es 0. Ejercicio 1.c) Errores e intervención Si los estudiantes tienen dificultad para identificar la propiedad, entonces, pregunte: ¿Cuáles son los 3 sumandos de la oración numérica? [28, 17 y 32]. ¿Cambió el orden de los sumandos a cada lado del signo igual? [No]. ¿Cambió la manera de agrupar los sumandos? [Sí]. ¿Qué propiedad dice que se pueden agrupar los sumandos de cualquier manera y la suma seguirá siendo la misma? [La propiedad asociativa]. Ejercicio 1.e) ¿Qué cambia a cada lado del signo igual? [El orden de los sumandos]. ¿Qué propiedad se muestra? [La propiedad conmutativa]. ¿Cómo los ayuda saber eso para encontrar el número que falta? [Como solo cambia el orden de los sumandos, el sumando que falta a la izquierda del signo igual es 49].

1

Escribe el número que falta . a) 19 1 5 19 c) 28 1 (17 1 32) 5 (28 1 e) g) (

2

1

Puedes usar la propiedad de identidad . 26 1 0 5 26 Ejemplo: 36 1 (14 1 12) 5 (36 + ■) 1 12 ¿Qué número hace que los dos lados sean iguales?

Usa la propiedad asociativa . 36 1 (14 1 12) 5 (36 1 14) 1 12

d) f)

9) 1 72 5 96 1 (9 1 72)

h)

1

27 5 27

(16 1 14) 1 1

Unidad 2 - Cálculo mental

5

16 1 (14 1 53)

473 5 473

Completa la oración numérica . Úsala como ayuda para resolver el problema . b) Durante el juego, Rocío anotó a) Vicente caminó 9 cuadras 7 puntos en cada uno de sus dos desde su casa hasta la lanzamientos . Luego, hizo un biblioteca . Caminó 5 cuadras lanzamiento más . Obtuvo el mismo más hasta la tienda . Luego, hizo puntaje total que Bastián . Bastián el mismo camino de regreso a anotó 8 puntos en un lanzamiento la biblioteca . ¿Cuántas cuadras y 7 puntos en cada uno de los más debe caminar hasta su otros dos lanzamientos . ¿Cuántos casa? puntos anotó Rocío en su último 915551 lanzamiento? cuadras . 7171 581717 puntos .

78

Unidad 2

Ejercicio 2.a) Dibuja el recorrido de Vicente desde su casa hasta la biblioteca y a la tienda y luego, de vuelta a su casa. ¿Sabemos el número de cuadras que caminó Vicente para volver a su casa? [Sí. Primero debe de haber caminado 5 cuadras de la tienda a la biblioteca y luego, 9 cuadras de la biblioteca a su casa]. ¿Qué propiedad dice que se pueden sumar números en cualquier orden y que la suma seguirá siendo la misma? [La propiedad conmutativa]. Respuestas 1. a) 0; b) 15; c) 17; d) 0; e) 49; f) 53; g) 96; h) 0 2. a) 9; b) 8

88

26 1 ■ 5 26

¿26 más qué número es igual a 26?

b) 15 1 32 5 32 1 ) 1 32

8 5 8 1 49

1

Ejemplo:

Sugerencias metodológicas

Planetas La duración de un año en un planeta es el tiempo total que tarda el planeta en dar una vuelta completa alrededor del Sol. 1

2

Planeta

¿Aproximadamente cuántos días terrestres menos dura un año en Mercurio que un año en la Tierra?

Mercurio

¿Aproximadamente cuántos días terrestres más dura un año en Marte que un año en la Tierra? 365 días

En esta sección se presentan problemas con datos reales, para que los estudiantes apliquen lo aprendido en la unidad a situaciones de la “vida diaria”. Los estudiantes pueden emplear la estrategia de resolución que más les acomode. Lo importante es que la revisión sea hecha en voz alta y puedan compartir las distintas estrategias utilizadas. Si todos han usado el mismo método de resolución, anímelos a que en conjunto sugieran otras posibilidades.

Duración del año Duración del año (en días terrestres) 88

Venus

225

Tierra

365

Marte

687

88 días

687 días

3

¿Qué planeta tiene un dígito 6 con valor de sesenta en la duración de su año?

4

¿Qué cuerpo celeste de la tabla de la derecha tiene el promedio de temperatura más cercano al de Mercurio?

5

Escribe el promedio de las temperaturas en la superficie en mayor . orden de menor a mayor

6

Cuerpo celeste

TECH Promedio de la temperatura en la superficie

Mercurio

167 °C

Tierra

15 °C

Luna

107 °C

Venus 3

457 (place checkmark)

°C

Enfoque en la estrategia. Resuelve . Usa la estrategia Hacer una lista organizada . El planeta favorito de Victoria tiene 5 letras en su nombre . La duración de su año es menor que 365 días terrestres . Haz una lista de todos los planetas que concuerden con estas pistas .

Cálculo mental

79 79

Actividad complementaria  Compras divertidas Tipo de actividad 20 min Materiales: etiquetas, billetes (por pareja). Pida a los estudiantes que trabajen en parejas y que rotulen seis etiquetas de precios con las siguientes cantidades: $270, $130, $180, $90, $220 y $70. El compañero 1 hace de vendedor de una tienda. El compañero 2 hace de cliente. El compañero 2 escoge una etiqueta y paga con una moneda de $500. El compañero 1 determina cuánto es el cambio contando hacia adelante a partir del precio. Juntos, los compañeros escriben una oración de resta que muestre la transacción. Los jugadores cambian de papeles y juegan de nuevo. Continúan jugando hasta haber usado todas las etiquetas de precios.

Respuestas 1. Las estimaciones variarán. Ejemplo de respuesta: Aproximadamente 280 días. 2. Las estimaciones variarán. Ejemplo de respuesta: Aproximadamente 320 días. 3. Neptuno 4. Saturno 5. Luna 6. 15º C, 107º C, 167º C, 457º C 7. Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter.  Refuerzo Escriba ___ + 0 = ___ en el pizarrón. ¿Qué escribirían en cada espacio en blanco? [Los estudiantes deben entender que cualquier número que aparece a la izquierda debe ser igual al número de la derecha]. Pregunte: ¿Obtenemos una respuesta más cerca de la respuesta exacta redondeando a la decena más cercana o a la centena más cercana? [A la decena más cercana].

Conectándonos con otras asignaturas

89

¡C Objetivo

1

Evaluar, en formato de opción múltiple, la comprensión que tienen los niños de los conceptos y las destrezas de la unidad. Después que el alumno realice su autoevaluación, es importante que lea Para revisar tu autoevaluación y revise solo sus respuestas, antes de ser corregido por el profesor o en forma colectiva.

3

Escribe los números que faltan . a) (2 1 3) 1 5 5 2 1 (3 1 )

b)

sumar . Usa una tabla de 100 para sumar a) 37 1 20

b) 52 1 17

restar . Usa una tabla de 100 para restar a) 66 2 43

b) 72 2 16

1

1

1)

12 1

056

Encuentra cada suma usando el cálculo mental . b) 31 1 5 a) 56 1 14

7

Encuentra las diferencias usando el cálculo mental . b) 29 2 7 a) 58 2 24

8

Redondea a la centena más cercana para resolver resolver . a) 367 1 319 b) 732 1 110

9

resolver . Redondea a la decena más cercana para resolver a) 98 1 42 b) 459 1 213

10 Encuentra las sumas . Usa bloques de valor de posición o haz un dibujo

como ayuda . a) 265 1 116

Ejercicio 4: a) 57; b) 69 Ejercicio 5: a) 23; b) 56 Ejercicio 6: a) 70; b) 36

5

6

Respuestas

Ejercicio 3: a) 5; b) 6

b) (8 1 3) 1 1 5 8 1 (

Usa la propiedad conmutativa de la adición . a) 7 1 5617 b) 7 1

5

Ejercicio 2: a) 6; b) 12; 7

Usa la propiedad asociativa de la adición . a) (2 1 ) 1 1 5 2 1 (5 1 1)

2

4

Ejercicio 1: a) 5; b) 8 + (3 + 1)

!

b) 125 1 168

11 Encuentra las sumas

a)

80

718 56 1 214

hundreds

tens

ones

b)

139 209 1 55

Unidad 2

Ejercicio 7: a) 34; b) 22 Ejercicio 8: a) 686; b) 842 Ejercicio 9: a) 140; b) 672 Ejercicio 10: a) 381; b) 293 Ejercicio 11: a) 988; b) 403

90

Unidad 2 - Cálculo mental

Actividad complementaria

TECH TE

TECH

 Nombra ese número Tipo de actividad 20 min Materiales: tabla de 100, lápices de color amarillo y morado. 3

(place checkmark)

En la tabla de 100, pida a los estudiantes que encierren 10 en un círculo con amarillo. ¿Qué números menores que 10 se redondean a 10? [5, 6, 7, 8, 9]. Pídales que los sombreen con amarillo. ¿Qué números mayores que 10 se redondean a 10? [11, 12, 13, 14]. Pídales que los sombreen con amarillo. Pida a los estudiantes que encierren 20 en un círculo con morado. ¿Qué números menores que 20 se redondean a 20? [15, 16, 17, 18, 19]. ¿Qué números mayores que 20 se redondean a 20? [21, 22, 23, 24]. Pídales que los sombreen con morado. Pida a los estudiantes que encierren en un círculo un múltiplo de 10 con un color y luego sombreen los números que se redondean hasta ese múltiplo usando el mismo color.

3

(place (place chec 3 checkmark)

n tus oras co ¿Colab en las s o er ñ a comp s? signada tareas a

12 Encuentra las diferencias .

a)

308 2 125

b)

105 2 47

Ejercicio 12: a) 183; b) 58

13 Resuelve . Luego, comprueba que tu respuesta sea razonable .

a) José tenía 35 láminas para intercambiar intercambiar . Luego, compró 27 más . ¿Cuántas tiene ahora en total? b) Sofía tiene 45 tulipanes . 27 son rojos . Los demás son amarillos . ¿Cuántos tulipanes amarillos tiene Sofía? c) Juanita tenía 13 flores . Le dio una flor a cada una de sus amigas . Le quedaron 4 flores . ¿Cuántas les dio a sus amigas? d) Alonso tenía 43 juguetes . Le dio 27 a Héctor Héctor . ¿Cuántos juguetes tiene Alonso ahora?

Recuerda que la propiedad del elemento neutro o identidad de la adición dice que la adición de cualquier número y cero es ese mismo número .

Recuerda que puedes reagrupar 1 decena en 10 unidades .

Recuerda que puedes descomponer sumandos para usar el cálculo mental .

Recuerda que a veces tienes que reagrupar dos veces .

Recuerda que primero debes sumar las unidades . Reagrupa, si es necesario . Luego, suma las decenas . Haz una estimación . Luego, encuentra las sumas . Recuerda que puedes restar para saber cuánto queda, para comparar o para encontrar un sumando que falte .

Respuestas

Ejercicio 13: a) 62 tarjetas; b) 18 tulipanes amarillos; c) 9 flores; d) 16 juguetes

Recuerda que debes restar las unidades, luego las decenas y por último las centenas .

Recuerda que cuando necesitas reagrupar decenas, pero tienes 0 decenas, debes reagrupar las centenas primero . Recuerda que puedes usar una estimación para comprobar si tu respuesta es razonable .

Cálculo mental Autoevaluación Unidad 2

81

Actividad complementaria  El cálculo mental Tipo de actividad 20 min Materiales: tarjetas enumeradas del 0 a 9, bloques de valor de posición. Pida a los estudiantes que mezclen las tarjetas numéricas y coloquen las tarjetas boca abajo en una pila. El primer estudiante saca dos tarjetas y forma un número de 2 dígitos. El segundo estudiante usa bloques de valor de posición para representar el número. El tercer estudiante saca dos tarjetas más y forma otro número de 2 dígitos. El cuarto estudiante usa bloques de valor de posición para representar el número. Los estudiantes combinan todos los bloques de decenas y encuentran el resultado. Luego, combinan todos los bloques de unidades y encuentran el resultado. Los estudiantes pueden escribir y resolver una nueva suma representada por los bloques.

¡Cuánto aprendí!

91

Unidad

3

Multiplicación

Planificación de la unidad Eje central

Objetivos de aprendizaje

Números y operaciones

 Demostrar que comprenden las tablas de multiplicar hasta 10 de manera progresiva: - usando representaciones concretas y pictóricas. - expresando una multiplicación como una adición de sumandos iguales. - usando la distributividad como estrategia para construir las tablas hasta el 10. - aplicando los resultados de las tablas de multiplicación hasta 10 • 10, sin realizar cálculos. - resolviendo problemas que involucren las tablas aprendidas hasta el 10.  Resolver problemas rutinarios en contextos cotidianos, que incluyan dinero e involucren las cuatro operaciones (no combinadas).

Habilidades

Resolver problemas

 Resolver problemas dados o creados.  Emplear diversas estrategias para resolver problemas y alcanzar respuestas adecuadas, como la estrategia de los 4 pasos: entender, planificar, hacer y comprobar.  Transferir los procedimientos utilizados en situaciones ya resueltas a problemas similares. Argumentar y comunicar

 Formular preguntas para profundizar el conocimiento y la comprensión.  Descubrir regularidades matemáticas –la estructura de las operaciones inversas, el valor posicional en el sistema decimal, patrones como los múltiplos– y comunicarlas a otros.  Hacer deducciones matemáticas de manera concreta.  Describir una situación del entorno con una expresión matemática, con una ecuación o con una representación pictórica.  Escuchar el razonamiento de otros para enriquecerse y para corregir errores. Objetivos de aprendizaje transversales y actitudes

92

Unidad 3 - Multiplicación

 Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.  Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.  Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.

Para trabajar Texto para el estudiante pp. 82-111 Cuaderno de ejercitación

Recursos, evaluación y tiempo Para evaluar  Evaluación diagnóstica Repasa lo que sabes (Texto para el estudiante)  Evaluación formativa ¡Cuánto aprendí! (Texto para el estudiante)

Tiempo estimado

Para la unidad 16 a 18 horas

Para la prueba sumativa 2 horas

 Evaluación sumativa Pruebas fotocopiables (Guía didáctica del docente) Modelar

 Aplicar, seleccionar y evaluar modelos que involucren las cuatro operaciones y la ubicación en la recta numérica y en el plano.  Expresar, a partir de representaciones pictóricas y explicaciones dadas, acciones y situaciones cotidianas en lenguaje matemático.  Identificar regularidades en expresiones numéricas y geométricas. Representar

 Utilizar formas de representación adecuadas, como esquemas y tablas, con un lenguaje técnico específico y con los símbolos matemáticos correctos.  Crear un problema real a partir de una expresión matemática, una ecuación o una representación.  Transferir una situación de un nivel de representación a otro (por ejemplo: de lo concreto a lo pictórico y de lo pictórico a lo simbólico, y viceversa).

 Manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades.  Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia.  Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa. Fuente: www.mineduc.cl

Multiplicación

93

Unidad

Contexto matemático  Significados de la multiplicación La multiplicación como suma repetida Se enseña como una suma con los sumandos iguales. En 5 • 3 = 15, los números 5 y 3 son los factores, y 15 es el producto. En esta interpretación el 3 es el sumando repetido y el 5 es el número de veces que se repite.

3

Multiplicación

1

3

2 2

Matrices y multiplicación Otra manera de representar la multiplicación es con una matriz o arreglo bidimensional. Una multiplicación se visualiza como filas de objetos, con el mismo número de elementos en cada fila. El primer factor de la multiplicación corresponde al número de filas. El segundo factor corresponde al número de elementos en cada fila. La multiplicación para comparar Una comparación abarca una relación de “tantas veces más” entre dos cantidades. Un problema de comparación para 5 • 3: Javier tiene 3 bolitas. Carlos tiene 5 veces más. ¿Cuántas bolitas tiene Carlos? Multiplicación en una recta numérica Se puede enseñar como “saltos” en una recta numérica. El primer factor es el número de saltos. El segundo, la longitud de cada uno. Por ejemplo 5 • 3, desde 0 haga 5 saltos de una longitud de 3 unidades cada uno.

94

Unidad 3 - Multiplicación

82 82Unidad 3

Área y multiplicación El modelo de área se basa en la relación entre la longitud y el ancho. Por ejemplo, si la longitud de un rectángulo es de 5 unidades y su ancho es de 3 unidades, el producto 5 • 3, o sea 15, es el área del rectángulo en unidades cuadradas. Patrones entre los dígitos de las unidades El múltiplo de un número es el producto de ese número por un número entero. En las operaciones de multiplicación de un número n, todos los productos son múltiplos de n. Cuando los múltiplos de un número se listan en orden, se repite un patrón en los dígitos de las unidades.  Para los múltiplos de 2, el patrón que se repite en los dígitos de las unidades es 2: 0, 2, 4, 6…  Para los múltiplos de 5, los dígitos de las unidades se alternan entre 5 y 0. Ejemplo: 0, 5, 10…  Para los múltiplos de 9, el patrón repetido en los dígitos de las unidades es 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Ejemplo: 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, …  Para los múltiplos de 10, los dígitos de las unidades son siempre 0. Ejemplo: 0, 10, 20…

 Descomponer operaciones Esta unidad trata de las operaciones de multiplicación con los factores 3, 4, 6, 7, 8, 11 y 12. Una estrategia muy útil para aprender estas operaciones es la estrategia de operaciones conocidas.

Vocabulario

1

Escoge el mejor término del recuadro . • contar alternado • grupos iguales

3

• sumar • restar

a) Cuando combinas grupos para encontrar cuántos hay en total, . se llama

4

Cómo se usa la estrategia En general, el objetivo de la estrategia de operaciones conocidas es descomponer una operación en multiplicaciones, por ejemplo, del 2, del 5 o en ambas. Luego, los estudiantes pueden sumar para combinar los resultados de las operaciones.

tienen el mismo b) Los número de objetos . c) Cuando dices los números . 2, 4, 6, 8, se llama Grupos iguales

2

4

¿Son iguales los grupos? Escribe sí o no . a)

Demostrar y justificar la estrategia de operaciones conocidas Para visualizar el proceso de descomposición, se puede usar un modelo de matricesTECH o un modelo de áreas. Al descomponer 3 • 8 en 2 • 8 y 1 • 8 (se obtiene 16TECH y 8) Entonces, 3 • 8 es igual a 16 + 8 = 24.

b)

8

Suma

3

Encuentra las sumas . a) 5 1 5 1 5

b) 7 1 7

c) 3 1 3 1 3

d) 2 1 2 1 2 1 2

e) 6 1 6 1 6

f) 9 1 9 1 9

3

Suma repetida

4

Escribir para explicar. Haz un dibujo para mostrar cómo resolver . Luego, copia y 818185 completa la oración numérica .

Multiplicación

Multiplicar con 3 factores Si no hay paréntesis, el orden de las operaciones dicta que se multipliquen los dos primeros factores y que luego, ese producto se multiplique por el tercer factor (3 • 5) • 2. 3

83

Repasa lo que sabes Objetivo Determinar el nivel de preparación de los estudiantes evaluando su dominio de los conocimientos requeridos.

(place checkmark)

(place checkmark)

 Usar las propiedades asociativa y conmutativa La propiedad asociativa de la multiplicación (agrupación) dice que se puede cambiar la agrupación de los factores y el producto seguirá igual.

Respuestas 1. a) Sumar; b) Grupos iguales; c) Contar saltado o alternado. 2. a) No, b) Sí 3. a) 15; b) 14; c) 9; d) 8; e) 18; f) 27 4. 24. Revise los dibujos de los estudiantes. Conexión al Mineduc Los objetivos de aprendizaje de esta unidad pueden ser complementados revisando el Programa de Estudios del Mineduc en www.curriculumenlinea.cl o www.curriculumnacional.cl

Multiplicación

95

Lección

3.1

Objetivo Escribir multiplicaciones para matrices o arreglos bidimensionales, usar matrices para encontrar productos y usar la propiedad conmutativa de la multiplicación.

¡Lo entenderás! Una matriz o arreglo bidimensional es un tipo especial de ordenación de grupos iguales . La multiplicación se puede usar para encontrar el total en una matriz .

Contexto matemático La propiedad conmutativa (o de orden) de la multiplicación establece que dos factores se pueden multiplicar en cualquier orden sin alterar el producto. La comprensión de esta propiedad puede ser muy útil para los estudiantes que aprenden a multiplicar ya que reduce el número de datos que hay que memorizar. Después de aprender que 3 por 4 es igual a 12, han aprendido que 4 por 3 es igual a 12. Las matrices son una buena manera de ilustrar la propiedad conmutativa de la multiplicación. El número total de objetos se puede encontrar multiplicando el número de filas y el número de objetos en cada fila. Para todas las matrices, excepto las que muestran dobles, como 3 • 3 = 9, girar la matriz cambia el número de filas y el número de objetos en cada fila.

Matrices o arreglos bidimensionales ¿De qué manera una matriz o arreglo bidimensional representa una multiplicación? María guarda toda su colección de CD en un portadiscos de pared . El portadiscos tiene 4 filas . Cada fila contiene 5 CD . ¿Cuántos CD hay en la colección de María? Los CD están en una matriz . Una matriz representa los objetos en filas iguales .

Otro ejemplo

¿Importa el orden cuando multiplicas?

Tanto Viviana como Patricia piensan que su cartel tiene más calcomanías . ¿Quién tiene razón?

4 1 4 1 4 5 12 3 • 4 5 12 El cartel de Viviana tiene 12 calcomanías .

3 1 3 1 3 1 3 5 12 4 • 3 5 12 El cartel de Patricia tiene 12 calcomanías .

Ambos carteles tienen el mismo número de calcomanías . 3 • 4 5 12 y 4 • 3 5 12 La propiedad conmutativa (o de orden) de la multiplicación dice que puedes multiplicar números en cualquier orden y el producto será el mismo . mismo Por lo tanto, 3 • 4 5 4 • 3 . Explícalo

84

1.

Miguel tiene 5 filas de calcomanías . En cada fila hay 3 calcomanías . Escribe una adición y una multiplicación para mostrar cuántas calcomanías tiene .

2.

Muestra la propiedad conmutativa de la multiplicación dibujando dos matrices . Cada matriz debe tener por lo menos 2 filas y mostrar un producto de 6 .

Unidad 3

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cómo muestra una matriz o arreglo bidimensional grupos iguales? [Una matriz es una ordenación de objetos en filas iguales. Cada fila en una matriz tiene un número igual de objetos]. Posibles errores y dificultades Quizá los estudiantes no vean que tanto las filas como las columnas en una matriz deben ser iguales para multiplicar. Una matriz debe tener la forma de un rectángulo o de un cuadrado, por lo que es fácil de ver que se puede multiplicar. (2) ¿Por qué suman 5 cuatro veces? [Porque hay 4 filas de 5 fichas]. ¿Cómo cambiaría la adición si la matriz tuviera otra fila? [Tendría otro sumando; 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25].

96

Unidad 3 - Multiplicación

(3) Señale a los estudiantes que cuando trabajan con matrices el número de filas es siempre el primer factor y el número que hay en cada fila es el segundo factor. ¿Cómo se vería la matriz si la multiplicación fuera 5 • 4 = 20? [5 filas de 4 fichas].  Otro ejemplo ¿Qué ocurre con el producto cuando una matriz se gira a un lado? [El producto se mantiene igual]. ¿Los factores son iguales en las dos matrices? [Sí]. ¿Cambió el orden de los factores? [Sí]. ¿Qué propiedad muestra esto? [Propiedad conmutativa (o de orden) de la multiplicación].  Explícalo Para el ejercicio 1 los estudiantes deben entender que van a escribir una oración de suma repetida para mostrar cuántas calcomanías tiene Miguel. Respuestas 1. 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15; 5 • 3 = 15 2. Los estudiantes deberán dibujar una matriz que muestre 3 filas de 2 y otra que muestre 2 filas de 3.

Las fichas muestran 4 filas de 5 CD CD .

Lo que dices

4 por 5 es igual a 20 . 20

Lo que escribes 4 Cada fila es un grupo . Puedes sumar para encontrar el total . 5 1 5 1 5 1 5 5 20

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que una matriz puede representar dos multiplicaciones, por ejemplo 3 • 4 = 12 y 4 • 3 = 12.

También puedes multiplicar para encontrar el total en una matriz matriz .

•

número de filas

5

5

20

número en cada fila .

Hay 20 CD en la colección de María . TECH

Práctica guiada COMO hacerlo?

Lo ENTIENDES? ?

1

4

Mira el ejemplo arriba . (place checkmark) ¿Qué 3 de te indica el primer factor de la multiplicación sobre la matriz?

5

Escribir para explicar. ¿Por qué la propiedad conmutativa de la multiplicación también se llama a veces la propiedad de orden? Comenta en grupo tus explicaciones .

6

TECH Manuel ordenó algunas TECH calcomanías en filas . Formó 6 filas con 5 calcomanías en cada fila . Si puso la misma cantidad de calcomanías en 5 filas iguales, 3 3 ¿cuántas calcomanías habrá en cada fila? ¿Cómo lo hizo tu compañero o compañera?

Escribe una multiplicación para las matrices . b)

a)

2

Dibuja una matriz para representar las multiplicaciones . . Escribe el producto . b) 5 • 4

a) 3 • 6 3

Completa las multiplicaciones . Usa fichas o dibuja una matriz como ayuda .

Ejercicio 5 Errores e intervención Si los estudiantes tienen problemas para contestar la pregunta, entonces, pregunte: ¿Qué es la propiedad conmutativa de la multiplicación? [Dice que se pueden multiplicar los factores en cualquier orden y el producto es el mismo]. Escriban una oración de multiplicación que muestre la propiedad conmutativa de la multiplicación. [Respuesta posible: 4 • 5 = 5 • 4]. ¿Qué notan en el orden de los factores? [El orden cambió].

(place checkmark)

Respuestas 1. a) 2 • 4 = 8; b) 5 • 3 = 15 2. a) Los dibujos de los estudiantes Práctica independiente deben mostrar 3 filas de 6; 18. 7 Escribe una multiplicación para las matrices . b) Los dibujos de los estudiantes b) c) a) deben mostrar 5 filas de 4; 20. 3. a) 2; 5; b) 12; 4 Multiplicación 85 4. El número de filas en la matriz. 5. La propiedad conmutativa dice que TECH los factores seTECHpueden multiplicar TECH  Práctica independiente en cualquier orden y el producto Es posible que a los estudiantes les resulte difícil mostrar una matriz cuando falta será el mismo. un factor en una multiplicación. Recuérdeles que una matriz debe tener el mismo 6. 6 calcomanías. número de objetos en cada fila. a) 5 • 2 •

5 10 5 10

b) 4 • 3 5 3 • 5 12

(place checkmark)

3

(place checkmark)

3

(place checkmark)

3

(place checkmark)

Respuestas 7. a) 3 • 6 = 18; b) 4 • 4 = 16; c) 1 • 7 = 7

Lección 3.1

97

Práctica guiada

Use el ejercicio 9.c) como ejemplo. Miren la primera multiplicación. Comiencen con 40 fichas. ¿Cuántas filas tendrá su matriz? [5 filas]. Pongan 1 ficha en cada una de las 5 filas hasta que no haya más fichas. ¿Cuántas fichas hay en cada fila? [8 fichas]. Ahora que saben que 5 • 8 = 40, usen la propiedad conmutativa de la multiplicación para encontrar el número que falta en la segunda multiplicación.

Unidad 3 - Multiplicación

9

Completa las multiplicaciones . Usa fichas o dibuja una matriz como ayuda .

•

a) 4 • 2 •

b) 5 • 6

3

58 58

d) 3 • 9 5 27 9 • 35

c) 1 • 8

d) 4 • 3

e) 2 • 9

b) 6 • 4 5 4 • 5 24

c) 5 •

e) 7 • 6 5 42 6 • 75

f) 9 • 8 5 72 8 • 95

5 40 • 5 5 40

Resolución de problemas

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 10 a 14. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

98

Dibuja una matriz o arreglo bidimensional para representar las multiplicaciones . Escribe el producto . a) 3

Respuestas 8. Los dibujos de los estudiantes deben mostrar: a) 3 filas de 3; 9; b) 5 filas de 6; 30; c) 1 fila de 8; 8; d) 4 filas de 3; 12; e) 2 filas de 9; 18. 9. a) 2; 4; b) 24; 6; c) 8; 8; d) 27; e) 42; f) 72

Respuestas 10. 3 • 7 = 21; 7 • 3 = 21; las matrices muestran que el producto es el mismo sin importar el orden de los factores. 11. Representa una cantidad igual de objetos en cada fila. 12. Sí, la propiedad conmutativa de la multiplicación dice que se pueden multiplicar números en cualquier orden y el producto será el mismo. 13. No, las únicas dos matrices posibles son: 1 fila de 23 dibujos o 23 filas de 1 dibujo. 14. B

8

86

10

Escribir para explicar. ¿Cómo muestran las matrices de la derecha la propiedad conmutativa de la multiplicación?

11

Sentido numérico. ¿Cómo representa una matriz grupos iguales?

12

Rodrigo dice que el producto de 7 • 2 es igual al producto de 2 • 7 . ¿Tiene razón? Explica tu respuesta .

13

Razonamiento. Marcela tiene 23 dibujos . ¿Puede usar todos los dibujos para hacer una matriz con dos filas iguales? ¿Por qué sí o por qué no?

14

Daniel compró las estampillas que aparecen a la derecha . ¿Qué oración numérica muestra una manera de encontrar cuántas estampillas compró Daniel? a

4155■

C

5145■

B

5

D

5 2 45■

•

45■

TECH

3

(place checkmark)

Unidad 3 TECH

Cierre Algunos problemas de la vida diaria que incluyen juntar o separar grupos iguales o comparar se pueden resolver usando la multiplicación. Una matriz consiste en juntar grupos iguales y es una manera de pensar en la multiplicación. Dos números se pueden multiplicar en cualquier orden. Diga: En esta lección aprendieron a formar y usar matrices para multiplicar, y aprendieron que pueden multiplicar los factores en cualquier orden y el producto será igual. 3

(place checkmark)

Sugerencias metodológicas

Uso de la calculadora.

√

7 4 1 0 1

% 8 5 2 .

+/-

÷ x -

9 6 3 =

Explique a los estudiantes que es bueno saber usar la calculadora, pues es una herramienta que ayuda a ahorrar tiempo. Pero que no es “magia”, ya que se debe escoger tanto una operación como un método para calcular. ¿Usarían ustedes una calculadora para sumar 3 + 3? Expliquen. [No. Se puede sumar 3 + 3 más rápido usando el cálculo mental que con una calculadora]. ¿Para qué tipo de problemas es más rápido usar una calculadora que el cálculo mental o papel y lápiz? [Es más rápido y fácil usar una calculadora para resolver problemas con números de muchos dígitos o que requieren muchos pasos para resolver con papel y lápiz]. Amplíe la actividad escribiendo distintos problemas y pidiendo a los estudiantes que indiquen el método que usarían para resolver cada problema. Recuerde a los estudiantes que es posible usar más de un método apropiado en la resolución de un problema.

off on

+

Sigue las instrucciones y registra lo que aparece en la pantalla de tu calculadora . a) Presiona on

c) Presiona

5 c

d) Presiona

7

b) Presiona

+

3

=

e) Presiona on f) Presiona

2

x

9

=

g) Presiona

7

x

8

=

-

5

0

=

h) Presiona off

Práctica 2

- x Presiona cada tecla que se muestra en los ejercicios . Presiona + para la tecla en blanco . Mira el total para comprobar tu trabajo . Dibuja para mostrar la tecla que usaste en cada caso . a)

4 ___ 3

=

12

b)

3 ___ 6

=

9

c)

4 ___ 4

=

0

d)

6 ___ 4

=

10

e)

5 ___ 3

=

2

f)

2 ___ 4

=

8 Multiplicación

87

Respuestas 1. a) 0; b) 5; c) 0; d) 10; e) 0; f) 18; g) 6; h) Se apaga. 2. a) x; b) +; c) -; d) +; e) -; f) x

Actividad complementaria  Matrices de color 20 min Tipo de actividad Materiales: Papel cuadriculado, lápices de color o crayones (por estudiante). Pida a los estudiantes que sigan estas instrucciones: Comenzar en la columna superior izquierda. Pintar de amarillo 2 filas de 7 cuadrados, y de rojo 2 filas de 3 cuadrados. Pintar de azul 8 filas de 4 cuadrados, y de verde 8 filas de 6 cuadrados. ¿De qué color es la matriz que muestra 8 • 6 ? [Verde]. ¿Cuál es el producto de 8 • 6 ? [48]. ¿Qué multiplicación muestra el número de cuadrados en la matriz amarilla? [2 • 7 = 14]. ¿En la roja? [2 • 3 = 6]. ¿En la azul? [8 • 4 = 32]. Pídales que hagan girar el papel 90°. Luego, pídales que escriban la multiplicación que muestra cada color y que escriban cada producto. Si el tiempo lo permite pida a los estudiantes que creen y pinten un nuevo patrón de 100 cuadrados y que escriban y resuelvan cuatro operaciones de multiplicación para las nuevas matrices.

Hacia el mundo digital

99

Lección

Usar la multiplicación para comparar

3.2

Objetivo Usar modelos y escribir oraciones de multiplicación para comparar cantidades.

¡Lo entenderás! Se puede usar la multiplicación para comparar el tamaño de dos grupos .

¿Cómo usas la multiplicación para comparar? Miguel tiene 5 monedas de $100 . Claudia tiene dos veces ese número o el doble que Miguel . ¿Cuántas monedas de $100 tiene Claudia? Escoge una operación. Multiplica para calcular el doble: 2 • 5 5 ■

Contexto matemático

Monedas de $100 de Miguel . Miguel .

Los estudiantes aprendieron que la multiplicación se puede usar para contar objetos ordenados en grupos iguales. La palabra “veces” se usa y se comenta a través de la lección. “5 veces 6” significa lo mismo que “5 grupos de 6”, “6 + 6 + 6 + 6 + 6” y “5 • 6”. La multiplicación compara las cantidades “6” y “5 veces”. Los factores son 5 y 6 y el producto es 30. Los estudiantes también aprenderán a reconocer frases similares en problemas de palabras. Por ejemplo, si Josefa tiene 3 manzanas y Sofía tiene el doble que Josefa, ¿cuántas manzanas tiene Sofía? “El doble” significa “dos veces más”, lo que significa que Sofía tiene 2 grupos de 3 manzanas (2 • 3), o 6 manzanas.

Práctica guiada

100

Unidad 3 - Multiplicación

Lo ENTIENDES? ? 2

Sentido numérico. Bruno dice que puedes sumar 5 + 5 para encontrar cuántas monedas de $100 tiene Claudia . ¿Tiene razón? ¿Por qué o por qué no?

3

Claudia tiene 4 billetes de $1 000 . Miguel tiene el doble que Claudia . ¿Cuántos billetes de $1 000 tiene Miguel?

Encuentra las cantidades . Puedes usar dibujos o fichas como ayuda . a) 3 veces el número 3 b) 2 veces el número 6 c) El doble del número 3 ¿Cómo fueron los resultados de tus compañeros?

Práctica independiente 4

5

Encuentra las cantidades . Puedes usar dibujos o fichas como ayuda . a) 2 veces el número 7

b) 3 veces el número 8

d) 4 veces el número 5

e) El doble del número 9 f) 5 veces el número 4

c) el doble del número 6

¿Qué moneda corresponde a cada valor? a) 2 veces el valor de 1 moneda de $5 . b) 10 veces el valor de 1 moneda de $10 . c) 5 veces el valor de 1 moneda de $100 .

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cómo saben que pueden multiplicar para resolver el problema? [La multiplicación se puede usar para encontrar cuántas veces más]. ¿Hay otra operación que pueden usar para resolver el problema? [Sí, podría sumar]. (2) ¿Qué significa dos veces más? [Significa que por cada moneda de $100 que Miguel tiene, Claudia tiene 2]. (3) Miren las dos maneras de escribir la multiplicación. ¿En qué se parecen? [Las dos usan los mismos factores y tienen el mismo producto]. ¿Qué representa el 2 en cada problema? [2 veces más]. ¿Qué representa el 5? [El número de monedas de $100 que Miguel tiene].

COMO hacerlo? 1

moneda moneda de $1 de $5

moneda de $10

moneda de $50

moneda de $100

moneda de $500

d) 10 veces el valor de 1 moneda de $5 . 84

Unidad 3

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que una frase como “3 veces más que 5” significa lo mismo que “5 + 5 + 5”, “3 grupos de 5” o “3 • 5”. Ejercicio 3 Errores e intervención Si a los estudiantes les resulta difícil resolver el problema, entonces, pregunte: ¿Qué significa “Miguel tiene el doble que Claudia”? [Miguel tiene dos veces más que Claudia]. Dibujen una matriz para mostrar cuántos billetes de $1 000 tiene Miguel. ¿Qué multiplicación pueden usar para resolver el problema? [2 • 4 = ?]. Respuestas 1. a) 9; b) 12; c) 6 2. Sí, 2 • 5 es igual a 5 + 5. 3. 8 billetes.

Lo que piensas

Lo que escribes

Miguel tiene 5 monedas de $100 $100 .

 Práctica independiente Repase el valor de las monedas.

2 • 5 5 10

Claudia tiene 2 veces ese número .

factores

Respuestas 4. a) 14; b) 24; c) 12; d) 20; e) 18; f) 20 5. a) $10; b) $100; c) $500; d) $ 50

producto o

Claudia tiene 10 monedas de $100 . 2 veces ese número es igual a 10 . Resolución de problemas

6

TECH

Completa . a) 6 es el doble de ___ .

b) 8 es ocho veces el

TECH número

___ .

7

Razonamiento. Carolina tiene 4 muñecas . Su hermana tiene el doble . ¿Cuántas muñecas tienen en total?

8

Escribir para explicar. ¿Cómo puede este dibujo ayudarte a resolver el ejercicio 7?

9

10

hermana de Carolina

4

Carolina

4

Un total de 254 personas compiten en una carrera de bicicletas . Hasta ahora, 135 personas han terminado la carrera . ¿Cuántas personas siguen en la carrera?

(place checkmark)

3

(place checkmark)

Ejercicio 7 Recuerde a los estudiantes que se aseguren de entender la información que se les presenta y las preguntas que se les hacen. ¿Cuántas muñecas tiene Carolina? [4 muñecas]. ¿Cuántas muñecas tiene la hermana de Carolina? [El doble de 4 es 8 muñecas]. ¿Cuántas muñecas tienen Carolina y su hermana en total? [12 muñecas].

el doble

4

254 personas en total 135

?

? horas en total

Un caballo necesita unas 3 horas de sueño por día . Un armadillo necesita 6 veces más horas de sueño que un caballo . Aproximadamente, ¿cuántas horas de sueño necesita un armadillo? 11

3

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos, deben comprobar si el resultado es razonable.

armadillo

3

caballo

3

3

3

3

3

3

6 veces más horas

¿Qué oración numérica muestra cómo encontrar el doble de bolitas? a

818185■

C

2

•

85■

B

1

D

3

•

85

•

85■

■ Multiplicación

85

Cierre Algunos problemas de la vida real que incluyen juntar o separar grupos iguales o comparar se pueden resolver usando la multiplicación. Una comparación de tipo “tantas veces más” es una manera de pensar en la multiplicación. Diga: En esta lección aprendieron a multiplicar para comparar el tamaño de dos grupos.

Ejercicio 11 Anime a los estudiantes a recopilar información a partir del texto. ¿Qué significa “el doble de bolitas”? [2 veces el número de bolitas]. ¿Cuántas bolitas se muestran? [8 bolitas]. ¿Qué operación pueden usar para encontrar 2 veces más que 8? [La multiplicación]. TECH Respuestas 6. a) 3; b) 1 7. 12 muñecas 8. Muestra cuántas muñecas tenía cada niña. 9. 119 personas 10. 18 horas 11. C 3

(place checkmark)

Lección 3.2

101

Lección

Escribir cuentos sobre multiplicación

3.3

Objetivo Escribir cuentos de matemáticas sobre multiplicación.

¡Lo entenderás! Se pueden usar los diferentes significados de la multiplicación para escribir cuentos que describan multiplicaciones .

Contexto matemático En esta lección los estudiantes reconocen situaciones donde se puede usar la multiplicación para juntar grupos iguales, contar objetos en una matriz o comparar dos cantidades. Las matrices son una clase especial de ordenación de grupos iguales y la multiplicación se puede usar para encontrar el total. Aprender a representar la multiplicación abarca el lenguaje oral y el lenguaje simbólico de las matemáticas.

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que los cuentos sobre multiplicación pueden ser sobre grupos iguales, matrices o una comparación.

Se pueden escribir cuentos para describir multiplicaciones . Escribe un cuento sobre multiplicación para 3 • 6 5 ■ .

Práctica guiada COMO hacerlo? 1

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cómo saben qué números usar en un cuento sobre multiplicación? [Se usan los factores de la multiplicación. Por lo tanto, se usan el 3 y el 6]. ¿Qué muestran las fichas? [3 grupos de 6]. (2) ¿Cómo saben que el cuento de Felipe es sobre grupos iguales? [El cuento es sobre 3 paquetes de 6 botones cada uno]. (3) ¿Cómo saben que el cuento es sobre una matriz? [El cuento es sobre filas de un número igual de objetos en cada fila]. (4) ¿Para qué se usa la multiplicación de este cuento? [Se usa para comparar el número de zanahorias que tiene Juan con el número de zanahorias que tiene Catalina].

¿Cómo puedes describir una multiplicación?

Lo ENTIENDES? ?

Escribe un cuento sobre multiplicación para cada problema . Haz un dibujo o usa objetos para encontrar los productos . a) 2

•

6

b) 3

•

5

c) 4

•

2

d) 3

•

8

2

¿Cómo cambiaría el cuento sobre Felipe si la multiplicación fuera ? 2 • 65

3

¿Cómo cambiaría el cuento sobre Elisa si la multiplicación fuera ? 3 • 55

4

Sentido numérico. El cuento sobre las zanahorias, ¿podría ser también un cuento sobre adición? Explica tu respuesta, en tu grupo .

Práctica independiente 5

Escribe un cuento sobre multiplicación para los problemas . Luego haz un dibujo o usa objetos para encontrar los productos .

6

Escribe un cuento sobre multiplicación para los dibujos . Usa el dibujo para encontrar el producto .

a) 7

a)

84

•

3

b)

2

•

c)

9

4

•

5

b)

Unidad 3

TECH

Ejercicio 4 Errores e intervención Si a los estudiantes les resulta difícil pensar en un cuento de multiplicación como un cuento de adición, entonces, pregunte: ¿Qué oración de multiplicación les ayudará a resolver el problema? [Juan tiene 3 veces un grupo de 6 zanahorias; 3 • 6]. ¿Pueden sumar los grupos iguales de Juan para encontrar la respuesta? [Sí, 6 + 6 + 6 = 18]. 3

(place checkmark)

Respuestas 1. Revise los cuentos y dibujos de los estudiantes. a) 12; b) 15; c) 8; d) 24 2. La cantidad de paquetes cambiaría de 3 paquetes a 2 paquetes. Tendría 12 botones. 3. La cantidad de lirios en cada fila cambiaría de 6 a 5. Tendría 15 lirios. 4. Sí, 3 grupos de 6 es igual a 6 + 6 + 6 = 18.  Práctica independiente Para ayudar a los estudiantes a pensar en cuentos sobre multiplicación, use como ejemplo el ejercicio 5.a). Pida a los estudiantes que piensen en objetos que aparecen en grupos o contienen un cierto número de objetos. Si el primer factor representa el número de autos, ¿cuántos habrá? [7]. ¿Qué pueden contener o llevar estos autos? [Ejemplo de respuesta: 3 personas].

102

Unidad 3 - Multiplicación

TECH

3

(place checkmar

Grupos iguales

Respuestas 5. Revise los cuentos y dibujos de los estudiantes. a) 21; b) 18; c) 20 6. Revise los cuentos de los estudiantes. a) 24; b) 20

“Cuántas veces la cantidad”

Una matriz o arreglo bidimensional Elisa plantó 6 lirios en cada una de las 3 filas . ¿Cuántos lirios plantó?

Felipe tiene 3 paquetes de 6 botones botones . ¿Cuántos botones tiene?

Catalina tiene 6 zanahorias zanahorias . Juan tiene 3 veces esa cantidad . ¿Cuántas zanahorias tiene Juan? ? zanahorias en total Juan

6

Catalina

6

3 • 6 5 18 Felipe tiene 18 botones .

3 • 6 5 18 Elisa plantó 18 lirios .

6

6

 Resolución de problemas Los estudiantes deben comprobar si el resultado es razonable.

3 • 6 5 18 Juan tiene 18 zanahorias .

TECH

Resolución de problemas

7

TECH

Señala si cada cuento es un cuento sobre adición, un cuento sobre sustracción o un cuento sobre multiplicación . 3

(place checkmark)

a) Camila tiene 6 lápices . Regala 4 a su amiga, ¿cuántos lápices le quedan a Camila? _________________

3

(place checkmark)

b) Camila tiene 6 lápices . Compra 4 lápices más en la tienda de la escuela, ¿cuántos lápices tiene Camila ahora? _________________ c) Camila tiene 6 bolsas de lápices . En cada bolsa hay 2 lápices, ¿cuántos lápices tiene Camila? _________________ 8

Un equipo de fútbol viajó a un partido en 4 buses . Los cuatro buses iban completos . Cada bus tenía capacidad para 7 jugadores, ¿cuántos jugadores fueron al partido? a

9

10

47

B

28

C

24

D

11

Álgebra. Lucas tiene algunos paquetes de globos . Hay 8 globos en cada paquete . En total tiene 24 globos . Haz un dibujo para encontrar cuántos paquetes de globos tiene Lucas . Un grupo de 12 mariposas monarca se está preparando para migrar, ¿cuántas alas se estarán moviendo cuando el grupo salga volando?

Cada mariposa monarca tiene 4 alas de color anaranjado brillante y 6 patas . patas .

Multiplicación

85

Cierre Algunos problemas que incluyen juntar o separar grupos iguales o comparar se pueden resolver usando la multiplicación. Una comparación tipo “veces más que” es una manera de pensar en la multiplicación. Diga: En esta lección aprendieron a escribir y resolver problemas de multiplicación.

Ejercicio 8 Usando un método para calcular ¿qué les pide el problema que encuentren? [El número total de jugadores que fueron al partido]. ¿Cuántos grupos de jugadores había? [4 grupos (microbuses)]. ¿Cuántos jugadores había en cada grupo? [7 jugadores en cada grupo (microbús)]. ¿Qué operación usarán para encontrar el número total? [La suma (7 + 7 + 7 + 7) o la multiplicación (4 • 7)]. Respuestas 7. a) Cuento sobre sustracción; 2. b) Cuento sobre adición; 10. c) Cuento sobre adición o sobre multiplicación; 12. 8. B 9. Revise los dibujos de los estudiantes; 3 paquetes. 10. 48 alas.  Refuerzo ¿Cómo escribir y resolver tres cuentos sobre multiplicación diferentes para 2 • 8. 1) Grupos iguales: Julio compró 2 paquetes de gorros de cumpleaños. Cada paquete tiene 4 gorros. ¿Cuántos gorros compró Julio? 2) Matriz: una cubeta tiene 2 filas de 8 cubos de hielo. ¿Cuántos cubos de hielo hay en la cubeta? 3) Comparar: Gabriel tiene 8 libros. Ana tiene dos veces más libros que él. ¿Cuántos tiene?

TOPIC 6 27276_125f 1st pass 9-27-06 LKell

Lección 3.3

103

Lección

El 2 y el 5 como factores

3.4

Objetivo Usar patrones para multiplicar con los factores 2 y 5.

¡Lo entenderás! Se puede contar alternado y usar patrones para multiplicar por 2 y por 5 .

¿Cómo usas los patrones para multiplicar por 2 y por 5? ¿Cuántos calcetines hay en 7 pares? Encuentra 7 • 2 . 1 par 2 • 1 2

Contexto matemático

3 pares 2 • 3 6

4 pares 2 • 4 8

5 pares 2 • 10

6 pares

7 pares

Hay 14 calcetines en 7 pares .

La investigación dice… utilizar patrones ayuda a los estudiantes a aprender las tablas de multiplicación (Mathematical Learning Study Committee, 2001). Los estudiantes ya han aprendido a pensar en la multiplicación como en una suma repetida. Una manera lógica de encontrar el producto de 7 • 2 es contar de 2 en 2, siete veces. Asimismo, para encontrar un producto con factor 5, como 3 • 5, es lógico contar de 5 en 5. Cuando los estudiantes cuentan de 2 en 2, otro patrón debe surgir: si un número es múltiplo de 2, los dígitos de las unidades deben ser 0, 2, 4, 6 u 8. Contar de 5 en 5 revela otro patrón: si un número es múltiplo de 5, los dígitos de las unidades deben ser 0 ó 5.

Otros ejemplos

¿Cuáles son los patrones de los múltiplos de 2 y de 5?

Los productos de las operaciones de multiplicación de 2 son múltiplos de 2 . Los productos de las operaciones de multiplicación de 5 son múltiplos de 5 . Los múltiplos son los productos de un número y otros números enteros . Operaciones de multiplicación del 2

Operaciones de multiplicación del 5

5 • 2 5 10

5 • 5 5 25

1 • 2 5 2

6 • 2 5 12

1 • 5 5 5

6 • 5 5 30

2 • 2 5 4

7 • 2 5 14

2 • 5 5 10

7 • 5 5 35

3 • 2 5 6

8 • 2 5 16

3 • 5 5 15

8 • 5 5 40

4 • 2 5 8

9 • 2 5 18

4 • 5 5 20

9 • 5 5 45

Patrón de operaciones de multiplicación del 2 • Los múltiplos de 2 son los números pares . Los múltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6 u 8 . • Cada múltiplo de 2 es 2 más anterior . que el anterior

TOPIC 7-1 27276_138b 1st pass 9-7-06 LKell

Patrón de operaciones de multiplicación del 5

TOPIC 7-1 27276_138b 1st pass 9-7-06 LKell

1

• Los múltiplos de 5 terminan en 0 o en 5 . • Cada múltiplo de 5 es 5 más que el anterior anterior .

84

Lo ENTIENDES? ? 2

Encuentra los productos . a) 2

•

6

b) 2

•

3

c) 7

•

2

d) 5

•

3

e) 5

•

5

f) 6

•

5

Sentido numérico. Berta dice que 2 • 8 es 15 . ¿Cómo usas los patrones para saber que la respuesta no es correcta?

Unidad 3

Otros ejemplos Estos ejemplos proveen tablas organizadas de las multiplicaciones del 2 y del 5 e identifican patrones que pueden ayudar a los estudiantes a aprender estas tablas. Los estudiantes también pueden usar estas tablas como referencia al practicar operaciones. Aquí se presenta el concepto de múltiplo de un número. Explícalo. Pida a los estudiantes que presten atención a la tabla del 2. Miren las multiplicaciones. ¿Qué patrón ven en los factores? [Los factores empiezan en 0, aumentan en 1 y terminan en 9. El segundo factor siempre es 2]. Si agregan 10 • 2 a esta tabla, ¿dónde lo escribirán? [Debajo de 9 • 2]. ¿Qué patrón ven en los productos? [Los productos empiezan en 0, aumentan de a 2 y terminan en 18]. ¿Cuál sería el siguiente producto después de 18? [2 más que 18, o 20]. ¿Qué nombre tienen los números que son múltiplos de 2? [Números pares]. Si un número no es múltiplo de 2, ¿qué sabemos sobre ese número? [Es un número impar].  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que pueden usar patrones como ayuda para encontrar cada producto.

104

Unidad 3 - Multiplicación

TOPIC 727276_1 1st pass 9-7-06 LKell

TOPIC 7-1 27276_138b 1st pass 9-7-06 LKell TOPIC 7-1 27276_138b 1st pass 9-7-06 LKell

Práctica guiada COMO hacerlo?

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cómo saben que se puede multiplicar para resolver este problema? [Son grupos iguales porque hay dos calcetines en cada par de calcetines]. ¿Podemos usar otra operación para resolver el problema? [Sí, podemos sumar el número 2 siete veces]. (2) ¿Qué representan el 7 y el 5 en la multiplicación? [El 7 representa el número de guantes. El 5 representa el número de dedos en cada guante]. (3) ¿Cómo podemos usar la adición para resolver este problema? [Podemos sumar el número 5 siete veces].

2 pares 2 • 2 4

TO 27 1s 9LK TOPIC 7-1 27276_138b 1st pass 9-7-06 LKell

5 5 5 5 5 5 5

¿Cuántos dedos hay en 7 guantes?

• 15

5

Respuestas 1. a) 12; b) 6; c) 14; d) 15; e) 25; f) 30 2. Los múltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6 u 8. Como 15 termina en 5, no puede ser la respuesta correcta.

• 2 5 10 • 3 5 15 • 4 5 20 • 5 5 25 • 6 5 30 • 7 5 35

Hay 35 dedos en 7 guantes .

Escoge una operación. Encuentra 7 • 5 .

 Práctica independiente Si los estudiantes cuentan en voz alta para encontrar un producto, es posible que cuenten muy pocos o demasiados.

Práctica independiente 3

4

Encuentra los productos . a) 2

•

2

b) 5

•

2

c) 3

•

5

d)

8

•

2

e) 9

•

5

f)

•

5

g) 6

•

2

h)

2

•

5

7

Álgebra. Compara . Usa

,, .

Respuestas 3. a) 4; b) 10; c) 15; d) 16; e) 45; f) 35; g) 12; h) 10 4. a) =; b) ; d) >; e) =; f) <

o 5 .

a) 2

•

5s5

•

2

b) 4

•

5s4

•

6

d) 6

•

5s5

•

5

e) 9

•

5s5

•

9

Resolución de problemas

c)

2

•

5s2

•

4

f)

7

•

2s2

•

9

TOPIC 7 27276_139b 1st pass 9-18-06 de $50 . Dice LKell

5

Escribir para explicar. Eric tiene algunas monedas que tiene exactamente 340 pesos . ¿Puedes decir si tiene razón o no? ¿Por qué sí o por qué no?

6

Álgebra. ¿Cuáles son los dos factores de 1 dígito que podrías multiplicar para obtener un producto de 30?

7

Jaime fue a jugar a los bolos . En la primera jugada, botó 2 pinos . En la segunda, botó el doble . Hasta ahora, ¿cuántos pinos ha botado en total?

8

Usa el dibujo que se muestra abajo . ¿Cuántos corazones hay en 3 lombrices?

 Resolución de problemas Los estudiantes deben resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

Una lombriz tiene 5 corazones .

Multiplicación

85

Cierre Existen patrones en los productos de las tablas del 2 y del 5. Diga: En esta lección aprendieron a usar patrones para multiplicar con los factores 2 y 5. Contaron saltado y observaron los patrones que aparecen en las unidades de los productos.

Ejercicio 7 Los estudiantes comprenden que hacen falta dos pasos para resolver este problema. ¿Cómo pueden encontrar el número de pinos que Jaime botó en la segunda jugada? [Multiplicando 2 • 2]. Pero no es resultado a la pregunta del problema, ¿por qué? [Solo da el número de pinos que Jaime botó en su segunda jugada. Hay que encontrar cuántos pinos botó en la primera y segunda jugadas]. Respuestas 5. No puede tener razón porque sus dos últimos dígitos terminan en 40 y no en 50. 6. 5 y 6; 7. 6 pinos; 8. 15 corazones

Lección 3.4

105

Lección

El 10 como factor

3.5

Objetivo Usar patrones para multiplicar con 10 como factor.

¡Lo entenderás! Se pueden usar patrones para multiplicar por 10 .

¿Cuáles son los patrones en los múltiplos de 10? Andrés quiere entrenarse para una carrera que tendrá lugar en 10 semanas . La tabla muestra su horario de entrenamiento . ¿Cuántos kilómetros correrá Andrés para entrenarse para la carrera?

Contexto matemático

Encuentra 10 • 10 .

Multiplicar con 10 es una destreza que los estudiantes usarán con frecuencia cuando multipliquen números más grandes, tanto para encontrar productos estimados como para comprender el algoritmo para encontrar productos exactos. Cuando se cuenta saltado de 10 en 10 a partir de 10, los múltiplos de 10 son 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 y así sucesivamente. Examinando estos múltiplos, surge un patrón bastante simple: Para multiplicar un número por 10, se le agrega un 0 a la derecha de los dígitos del otro factor. Por lo tanto, 1 • 10 = 10; 2 • 10 = 20; 3 • 10 = 30, y así sucesivamente..

Posibles errores y dificultades Recuerde a los estudiantes la propiedad conmutativa de la multiplicación. Si sabemos que 7 • 10 = 70, sabemos también cuál es el producto de 10 • 7. ¿Cuál es el producto de 10 • 7? [70].

kilómetros

Nadar

4 kilómetros

Correr

10 kilómetros

Andar en bicicleta

9 kilómetros

Práctica guiada COMO hacerlo? 1

Lo ENTIENDES? ?

Encuentra cada producto . a) 2

•

b)

10

6

c) 10

•

1

d) 10

e) 10

•

7

f)

5

10

• • •

3 10

2

Escribir para explicar. ¿Es 91 un múltiplo de 10? Explícalo .

3

¿Cuántos kilómetros recorrerá Andrés en bicicleta en 10 semanas? Represéntalo en grupo y comenta con el curso .

Práctica independiente 4

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) Miren la tabla. ¿Qué muestra? [El número de kilómetros que Andrés va a nadar, correr y andar en bicicleta cada semana]. ¿Cuántos kilómetros nadará Andrés en una semana? ¿Y en dos semanas? [4 km; 8 km]. (2) ¿Qué patrón ven en la tabla de las operaciones de 10? [El dígito de las decenas en el producto es el factor que multiplicamos por 10, y el dígito de las unidades es cero. El producto aumenta de 10 en 10 cada vez. ¿Cuál es el producto que falta en la tabla? [100].

Horario semanal Actividad

84

Encuentra los productos . a) 4 • 10

b) 9 • 10

c)

10 • 6

d)

5 • 5

e) 10 • 10

f)

5 • 10

g)

8 • 2

h)

10 • 7

i) 2 • 5

j)

6 • 10

k)

10 • 10

l)

2 • 10

m)5 • 9

n) 3 • 10

ñ)

10 • 8

o)

6 • 5

p) 10 • 1

q) 10 • 9

r)

2 • 9

s)

10 • 5

Unidad 3

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que revisen que el lugar de las decenas de su producto coincida con el factor que multiplicaron por 10. Ejercicio 3 Errores e intervención Si los estudiantes tienen dificultad para saber qué tienen que escribir en el lugar de las decenas del producto, entonces, pregunte: ¿Qué están multiplicando? [9 • 10]. ¿Qué número es igual a 9 decenas? [90]. Entonces, ¿cuál es el producto de 9 • 10? [90]. Respuestas 1. a) 20; b) 60; c) 10; d) 30; e) 70; f) 50 2. No, los múltiplos de 10 tienen un 0 en el lugar de las unidades. 3. 90 km  Práctica independiente Anime a los estudiantes a mirar la tabla del Aprendizaje Visual como ayuda para recordar el patrón. Los estudiantes también pueden copiar la tabla y escribir ellos mismos el patrón.

106

Unidad 3 - Multiplicación

Respuestas 4. a) 40; b) 90; c) 60; d) 25; e) 100; f) 50; g) 16; h) 70; i) 10; j) 60; k) 100; l) 20; m) 45; n) 30; ñ) 80; o) 30; p) 10; q) 90; r) 18; s) 50

Usa patrones para encontrar el producto. Operaciones de multiplicación del 10 10 • 5 5 50 10 • 1 5 10

10 • 6 5 60

10 • 2 5 20

10 • 7 5 70

10 • 3 5 30

10 • 8 5 80

10 • 4 5 40

10 • 9 5 90 10 • 10 5 ■

• Escribe el factor que estás multiplicando por 10 . • Escribe un cero a la derecha de factor . Un múltiplo de 10 tendrá ese factor siempre un cero en el lugar de las unidades .

10 • 10 5 100 Andrés recorrerá 100 kilómetros.

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos y deben comprobar si el resultado es razonable.

Resolución de problemas

5

Usa la tabla de la derecha . La tabla muestra los alimentos que se compraron para un picnic para 70 estudiantes de 3º básico . a) Encuentra la cantidad total de cada alimento que se compró .

Cantidad de paquetes

Cantidad por paquete

Barras de cereal

8

10

Pancitos

10

9

Envases de jugo

7

10

Alimento

6

Enfoque en la estrategia. Resuelve . Usa la estrategia Hacer un dibujo . Pía tiene 3 paquetes de plumones . Hay 10 plumones en cada paquete . Pía le regala 5 plumones a Esteban . ¿Cuántos plumones le quedan?

Escribir para explicar. Observa la tabla que aparece en la parte de arriba de la página 86 . Andrés multiplicó 5 • 10 para saber cuántos kilómetros más recorrió en bicicleta que las que nadó durante las 10 semanas . ¿Tiene sentido? ¿Por qué sí o por qué no?

8

Ángela compró 7 boletos para una rifa . Cada boleto costo $100 . ¿Cuál será el precio total de los boletos que Ángela compró?

Sentido numérico. Raúl sólo tiene monedas de $10 en su bolsillo . ¿Puede tener exactamente 45 pesos? Explícalo .

10

• Barras de cereal • Pancitos • Envases de jugo

b) ¿Cuántos envases adicionales de jugo se compraron? 7

9

Ejercicio 5.b) Tal vez los estudiantes no comprendan qué significa “cuántos... adicionales”. Relacione la frase con el concepto de “cuántos quedan”. Si cada estudiante de 3º básico recibiera 1 envase de jugo, ¿cuántos envases de jugo “quedarían”? [0 envases de jugo]. Anime a los estudiantes a dibujar un diagrama como ayuda.

Precio total $100

$100

$100

$100

$100

$100

$100

Precio por boleto

¿Qué signo hace verdadera la oración numérica? 8 ■ 5 5 40 a 1

B 2

C

•

D

:

Multiplicación

85

Cierre Hay patrones que pueden usarse para resolver operaciones de multiplicación. Diga: En esta lección aprendieron a usar un patrón para encontrar los productos de las multiplicaciones con el 10 como factor.

Respuestas 5. a) 80 barras de cereal; 90 pancitos; 70 envases de jugo. b) 0 envases de jugos adicionales. 6. 25 plumones; revise los dibujos de los estudiantes. 7. Sí, cada semana recorrió en bicicleta 5 km más que las que nadó. En 10 semanas recorrió en bicicleta 5 • 10 km más que las que nadó. 8. $700 9. No, 45 no tiene un cero en el lugar de las unidades; por lo tanto, no puede ser un múltiplo de 1. 10. C  Refuerzo Muestre el patrón escribiendo en palabras cada una de las multiplicaciones de la tabla: 0 grupos de 10 es 0, 0 • 10 = 0; 1 grupo de 10 es 10, 1 • 10 = 10; 2 grupos de 10 es 20, 2 • 10 = 20; 3 grupos de 10 es 30; 3 • 10 = 30.

Lección 3.5

107

Lección

El 9 como factor

3.6

Objetivo Usar patrones para multiplicar por el 9 como factor.

¡Lo entenderás! Se pueden usar patrones como ayuda para recordar las operaciones de multiplicación del 9 .

Contexto matemático Así como con los múltiplos de 2 y de 5, se puede contar saltado para encontrar los múltiplos de 9. Asimismo, también surgen patrones cuando se analizan los resultados de la cuenta saltada.  Empezando con 9 (que también se puede considerar 09), los dígitos de las decenas de los múltiplos que no son cero aumentan en 1: 09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. Al mismo tiempo, los dígitos de las unidades disminuyen en 1: 09, 18, 27, 36, 45,54, 63, 72, 81, 90.  El dígito de la decena de cada producto es uno menos que el factor que se multiplica. Por ejemplo, para encontrar el producto de 4 • 9, el dígito de las decenas del producto es 4 - 1, o 3.  La suma de los dígitos de cada producto es 9. En múltiplos de 9 mayores que 10 • 9, el único patrón es que la suma de los dígitos es un múltiplo de 9.

Operaciones de multiplicación del 9

¿Cómo usas los patrones para encontrar las operaciones de multiplicación del 9?

9 • 1 5 9

El dueño de una florería pone 9 rosas en cada paquete . ¿Cuántas rosas hay en 8 paquetes? Usa los patrones para encontrar 8 • 9 .

9 • 2 5 18 9 • 3 5 27 9 • 4 5 36 9 • 5 5 45 9 • 6 5 54 9 • 7 5 63 9 • 8 5 ■ 9 • 9 5 ■

Práctica guiada COMO hacerlo?

Lo ENTIENDES? ?

1

2

Escribir para explicar. Usa el patrón que aparece arriba para encontrar 9 • 9. Luego, explica cómo encontraste el producto .

3

Sentido numérico. Pablo cree que 3 • 9 es 24. Usa el patrón del 9 para demostrar que está equivocado .

Encuentra los productos . a) 9 • 2

b) 5 • 9

c) 7 • 9

d) 4 • 9

e) 2 • 8

f) 6 • 9

g) 3 • 9

h) 5 • 5

i) 8 • 9

Práctica independiente 4

84

Encuentra los productos. a) 9 • 0

b)

5 • 8

c) 9 • 4

d) 8 • 9

e) 9 • 9

f)

1 • 9

g) 5 • 9

h) 2 • 9

i) 7 • 9

j)

5 • 2

k) 6 • 5

l) 9 • 1

m)6 • 9

n)

9 • 5

ñ) 9 • 7

o) 9 • 2

p) 7 • 9

q)

8 • 2

r) 0 • 9

s) 2 • 3

Unidad 3

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Necesitan saber cuántas rosas hay en cada paquete para resolver el problema? [Sí, porque necesito averiguar cuántas rosas hay en 8 paquetes]. ¿Qué propiedad dice que alterar el orden de los factoresnoalteraelproducto?[Propiedad conmutativa de la multiplicación]. (2) ¿Cómo pueden usar los patrones para encontrar 5 • 9? [El dígito de las unidades es 1 menos que 5, es decir, 4. El dígito de las decenas será 1 más que 4, es decir 5. Entonces, 5 • 9 = 45]. (3) ¿Cómo saben que en el producto el dígito de las unidades tiene que ser 2? [Los dos dígitos del producto deben sumar 9. Como el dígito de las decenas es 7, el dígito de las unidades tiene que ser 2].

108

Unidad 3 - Multiplicación

 Práctica guiada Ejercicio 1 Errores e intervención Si tratan de aplicar los patrones del 9 en todos los ejercicios, entonces, pregúnteles: ¿Cuáles ejercicios no tienen 9 como factor? [Ejercicios e y h]. ¿Cómo pueden encontrar el producto en el ejercicio e? [Respuesta posible: se puede usar la suma repetida: 8 + 8 = 16]. ¿Cómo pueden encontrar el producto en el ejercicio h? [Respuesta posible: Se puede empezar en 0 y contar de 5 en 5 cinco veces]. Respuestas 1. a) 18; b) 45; c) 63; d) 36; e) 16; f) 54; g) 27; h) 25; i) 72 2. Ejemplo de respuesta: Como 8 • 9 = 72, el dígito de las decenas en el producto de 9 • 9 será 1 más que 7 y el dígito de las unidades será 1 menos que 2; por lo tanto, el producto es 81. 3. Ejemplo de respuesta: la suma de los dígitos en 24 no es 9; por lo tanto, 24 no puede ser múltiplo de 9.

Una manera

Otra manera Usa estos patrones para encontrar el producto producto . 82157 El dígito de las decenas es 1 menos que el factor que se 8 • 9 5 72 multiplica por 9 . Los dígitos del producto 7 1 2 59 suman 9 . 8 • 9 5 72 Hay 72 rosas en 8 paquetes .

Usa estos patrones . Comienza con 1 • 9 5 9 . El dígito de las unidades disminuye 1 cada vez; por lo tanto, el dígito de las unidades en el producto después de 63 es 2 . El dígito de las decenas aumenta 1 cada vez; por lo tanto, el dígito de las decenas en el producto después de 63 es 7 . 8 • 9 5 72 Hay 72 rosas en 8 paquetes . 5

 Práctica independiente Los estudiantes deben darse cuenta de que, en algunos casos, puede haber dos patrones de multiplicación que los ayuden a encontrar el producto. Respuestas 4. a) 0; b) 40; c) 36; d) 72; e) 81; f) 9; g) 45; h) 18; i) 63; j) 10; k) 30; l) 9; m) 54; n) 45; ñ) 63; o) 18; p) 63; q) 16; r) 0; s) 6

Álgebra. Completa . Usa 1, 2 o • . a) 2 • 6 5 10

2

b) 5 • 7 5 45

d) 20 2 2 5 2

9

e) 9

10

3 5 30 2 3

c) 9 • 9 5 80

1

f) 9

5

152

Respuestas 5. a) +; b) -; c) +; d) •; e) •; f) +; •

Resolución de problemas

6

La biblioteca organizó una gran venta de libros usados . Usa la tabla para responder responder . a) ¿Cuánto cuestan 4 libros de tapa dura? b) ¿Cuánto más gastaría Sebastián si comprara 3 libros en CD en lugar de 3 libros de tapa dura? c) Belén compró solamente libros de tapa blanda . El encargado le dijo que debía $155 . ¿Cómo sabe Belén que el encargado se equivocó?

7

 Resolución de problemas Los estudiantes comprueban si el resultado es razonable.

Gran venta de libros de la biblioteca Libros de tapa blanda

$20

Libros de tapa dura

$50

Libros en CD

$90

Ejercicio 6.b) Si yo quisiera comparar la cantidad de dinero que gasté en libros con la cantidad que gasté en otra cosa, ¿qué operación realizaría? [Sustracción]. ¿Qué palabra en el ejercicio les indica que comparen? [Más].

d) Escribir para explicar. León compró 2 libros en CD y 9 libros de tapa blanda . ¿Gastó más en los CD o en los libros de tapa blanda? Explica cómo lo sabes .

El dueño de una florería contó las flores en grupos de 9 . ¿Qué lista muestra los números que nombró? a

9, 19, 29, 39, 49, 59

B

6, 12, 18, 24, 36, 42

C

18, 27, 36, 45, 56, 65

D

9, 18, 27, 36, 45, 54

9 girasoles en cada florero .

Multiplicación

85

Cierre Hay patrones en los productos de las operaciones de multiplicación con 9 como factor. Diga: En esta lección aprendieron a usar patrones para multiplicar por el factor 9. Vieron cómo cambian los dígitos del producto al aumentar los múltiplos y aprendieron que la suma de los dígitos en los múltiplos de 2 dígitos es 9.

Ejercicio 7 ¿Qué patrón numérico usó el dueño para contar las flores? [Múltiplos de 9]. Si un número de dos dígitos es múltiplo de 9, ¿qué saben sobre la suma de sus dígitos? [La suma es un múltiplo de 9]. Basándose en eso, ¿qué opciones pueden eliminar? [A, B, C]. Respuestas 6 a) $200; b) $120 c) 155 no es número par; por lo tanto, 155 no puede ser múltiplo de 2. d) Gastó la misma cantidad en los dos. 9 • $20 = $180 y 2 • $90 = $180. 7. D

Lección 3.6

109

Lección

El 3 y el 4 como factores

3.7

Objetivo Usar operaciones conocidas para encontrar productos con el 3 y el 4 como factores.

¡Lo entenderás! Se pueden utilizar las operaciones de multiplicación del 1 y del 2 para encontrar las operaciones de multiplicación del 3 .

La investigación dice… frecuentemente los niños usan multiplicaciones ya conocidas como ayuda para encontrar operaciones que no conocen (Smith, 2001). En esta lección los estudiantes multiplican por 3 usando las multiplicaciones del 2 y del 1 que aprendieron en lecciones anteriores. La técnica para multiplicar con el 3 se ilustra concretamente usando el modelo de matrices para la multiplicación. Para multiplicar 3 • 6, por ejemplo, comience con una matriz de 3 filas, con 6 en cada fila. Después, descompóngala en una matriz de dos filas y una matriz de una fila. Usando la propiedad conmutativa, 6 • 3 = 18.

Otro ejemplo

¿Cómo usas dobles para multiplicar por 4?

Ana pintó alcancías para vender vender . Pintó una alcancía por día, los siete días de la semana durante 4 semanas . ¿Cuántas alcancías pintó en total? Lo que muestras

Lo que piensas

Encuentra 4 • 7. Para multiplicar por 4, piensa en una operación de multiplicación del 2, luego duplica el producto . Puedes hacer matrices .

4 • 7 equivale a 4 filas de 7. Es decir, 2 veces siete más 2 veces siete siete . 2 veces siete es 14 . 14 1 14 5 28 Por lo tanto, 4 • 7 5 28 . Ana pintó 28 alcancías en total . total

7 • 2 5 14 7 • 2 5 14 14 1 14 5 28

Práctica guiada COMO hacerlo?

Lo ENTIENDES? ? TECH

1

2

Multiplica . Usa fichas o haz un dibujo como ayuda . a) 3 • 6

b) 5 • 4

c) 4 • 9

d) 1 • 3

TECH

Además de la manera que se muestra arriba, ¿de qué otra manera puedes descomponer 4 • 7 usando las operaciones que 3 3 conoces? Si sabes que 2 • 8 5 16, ¿cómo puedes encontrar 4 • 8? (place checkmark)

Sugerencias metodológicas

Posibles errores y dificultades Los estudiantes deben reconocer que el número de fichas no ha cambiado. Las filas solo se han separado. (3) La descomposición de la matriz, ¿cómo ayuda? [Podemos ver matrices de operaciones que ya conocemos como ayuda para encontrar el total].

Las canoas están almacenadas en 3 filas . Hay 6 canoas en cada fila . ¿Cuál es el número total de canoas? Encuentra 3 • 6. Escoge una operación. Multiplica para encontrar el total de una matriz o arreglo bedimensional

Contexto matemático

 Aprendizaje visual (1) Miren la matriz de 3 • 6. ¿Cómo describirían esa matriz? [Hay 3 filas con 6 en cada fila]. ¿Cómo ayuda una matriz a multiplicar? [Una matriz pone los elementos en filas iguales, de modo que es más fácil encontrar el número total]. (2) Miren cómo se descompuso la matriz de 3 • 6 para ayudar a multiplicar. ¿Por qué está bien descomponer la matriz? [El número de elementos no cambia].

¿Cómo descompones matrices para multiplicar por 3?

(place checkmark)

3

Práctica independiente 4

Encuentra los productos . Puedes hacer dibujos como ayuda . a) 4 • 8

84

b) 3 • 8

c) 4 • 3

d) 6 • 4

e) 3 • 4

Unidad 3

 Otro ejemplo ¿Por qué se multiplica para encontrar el total de la matriz? [Porque hay grupos iguales de alcancías]. Cuando escriben multiplicaciones con el 2 como ayuda para multiplicar 4 • 7, ¿qué factor en 4 • 7 no cambia? [El 7 no cambia]. Cuando usan multiplicaciones por 2 como ayuda para multiplicar por 4, pueden pensar en las multiplicaciones del 4 como un “doble doble”. ¿Por qué describe esta frase este método? [Se duplica un número y luego se duplica la respuesta].  Práctica guiada Los estudiantes usan las operaciones del 1 y del 2 como ayuda para multiplicar por 3 y para multiplicar por 4, piensan en una operación del 2 y la duplican. Respuestas 1. a) 18; b) 20; c) 36; d) 3 2. Ejemplo de respuesta: usa 1 • 7 más 3 • 7. 3. Duplico el producto de 2 • 8.; 16 + 16 = 32; por lo tanto, 4 • 8 = 32.  Práctica independiente Recuerde a los estudiantes que, en algunos casos, quizá sepan dos estrategias de multiplicación que les pueden ayudar a encontrar o a comprobar un producto.

110

Unidad 3 - Multiplicación

Lo que muestras

Lo que piensas

Encuentra 3 • 6. Usa las operaciones de multiplicación del 1 y del 2 como ayuda para multiplicar por 3 . Haz una matriz para cada multiplicación .

3 • 6 equivale a 3 filas de 6, es decir, 2 veces seis, más 6 6 . 2 veces seis es 12 12 . 1 vez seis es 6 .

6 • 156 12 1 6 5 18

g) 5 • 9

Hay 18 canoas en total .

h) 1 • 3

i)

Resolución de problemas

5

1 • 4

j)

3 • 10

TECH TECH

¿Cuál de estas opciones describe mejor todos los números de las camisetas? a B C D

Todos son números pares . Todos son múltiplos de 3 . Todos son mayores que 10 . Todos son números de 2 dígitos .

3 3

Sentido numérico. Imagina que tienes que encontrar 3 • 9 . a) ¿Qué dos operaciones de b) ¿Cómo puedes usar 3 • 9 multiplicación te pueden como ayuda para calcular ayudar para encontrar 3 • 9? 9 • 3?

7

El Sr Sr . Torres tenía bandejas de tomates en el mostrador mostrador . Cada bandeja tenía 3 tomates . Marca la alternativa que indica cómo las puede contar contar . a B C D

Ejercicio 8 Anime a los estudiantes a convertir la pregunta en un enunciado. ¿De qué trata el problema? [El tiempo que tarda el cometa Encke en dar una vuelta alrededor del Sol]. ¿Cuánto tarda una vuelta? [Aproximadamente 3 años]. Escriba en el pizarrón: “Necesito averiguar” y deje un espacio en blanco a la derecha. ¿Cómo pueden completar esta oración? [Ejemplo de respuesta: Aproximadamente cuánto tardan 5 vueltas].

(place checkmark) (place checkmark)

6

8

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 5 a 8. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

12 1 6 5 18 3 • 6 5 18

6 • 2 5 12

f) 4 • 4

Respuestas 4. a) 32; b) 24; c) 12; d) 24; e) 0; f) 16; g) 45; h) 3; i) 0; j) 30

TOPIC 8-2 27276_161b 1st pass 9-6-06 LKell

6, 12, 16, 19 3, 6, 9, 12 3, 6, 10, 13 3, 7, 11, 15

El cometa Encke tarda aproximadamente 3 años en dar la vuelta alrededor del Sol. ¿Cuánto tardará aproximadamente el cometa Encke en dar 5 vueltas alrededor del Sol? C 15 años a 5 años D 20 años B 10 años Multiplicación

85

Cierre Las multiplicaciones básicas con el 3 y el 4 como factor se resuelven descomponiendo las operaciones desconocidas en operaciones conocidas. Las respuestas a las operaciones conocidas se suman para encontrar el producto final. Diga: En esta lección aprendieron a usar matrices y operaciones que estudiaron antes para multiplicar con el 3 y con el 4 como factor. Aprendieron a hacer una multiplicación por 3 y 4 combinando operaciones con el 2 y el 1.

Respuestas 5. B 6. a) 2 • 9 y 1 • 9; b) El producto es el mismo para ambas operaciones debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación. 7. B 8. C

Lección 3.7

111

Lección

3.8

Objetivo Usar operaciones conocidas para encontrar productos con el 6 y el 7 como factores.

¡Lo entenderás! Se pueden utilizar las operaciones de multiplicación del 5 para encontrar las operaciones de multiplicación del 6 y del 7 .

Contexto matemático En esta lección, la técnica de descomponer matrices se aplica a multiplicaciones que incluyen el 6 y el 7. Como los estudiantes generalmente dominan las operaciones con el 5, el texto ilustra cómo descomponer una matriz de forma tal que una de las partes tenga 5 filas. Hay otras maneras válidas de separar matrices. Al multiplicar por 6, por ejemplo, algunos estudiantes se sentirán más cómodos usando dobles. También es posible separar la matriz en más de dos partes.

Posibles errores y dificultades Recuerde a los estudiantes que están descomponiendo un solo factor. El otro factor no cambia. (3) ¿Por qué es necesario sumar los productos para encontrar el total? [Porque cada producto muestra una parte de la matriz descompuesta].

¿Cómo descompones matrices para multiplicar? Los músicos de la banda marchan en 6 filas iguales . Hay 8 músicos en cada fila . ¿Cuántos músicos hay en la banda? Encuentra 6 • 8. Escoge una operación Multiplica para encontrar el total de una matriz o arreglo bidimensional .

Otro ejemplo ¿Cómo descompones matrices para multiplicar por 7? Los cantantes del coro están parados en filas iguales . Hay 8 cantantes en cada fila . Hay 7 filas . ¿Cuántos cantantes hay en el coro? Lo que muestras

Lo que piensas

Encuentra 7 • 8. Usa las operaciones de multiplicación del 5 y del 2 para multiplicar por 7 . Haz una matriz para cada multiplicación .

7 • 8 equivale a 7 filas de 8, es decir, 5 veces ocho más 2 veces ocho . 5 veces ocho es 40 . 2 veces ocho es 16 .

8 • 5 5 40

40 1 16 5 56 Por lo tanto, 7 • 8 5 56 . En el coro hay 56 cantantes .

8 • 2 5 16

TECH TECH

Práctica guiada

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Qué operación conocen que puede ayudar con las operaciones del 6 y del 7? [Respuestas posibles: operaciones del 1, 2, 3 y 5]. (2) ¿Qué factor descomponen? ¿Qué factor no cambia? [Descompongan 6 en 5 + 1. No cambien el 8. Entonces pueden resolver 5 • 8 y 1 • 8].

El 6 y el 7 como factores

COMO hacerlo? 1 Multiplica . Haz dibujos o usa fichas como ayuda . a) 6 • 10

b) 7 • 6

c) Encuentra 4 veces 7 . d) Multiplica 6 por 5 .

84

Lo ENTIENDES? ? 3 Escribir para explicar. Dibuja dos 3 matrices que muestren que 6 • 9 es igual a 5 • 9 más 1 • 9 . Explica tu dibujo .

2

3

(place checkmark) (place checkmark)

Los estudiantes que se gradúan están parados en 7 filas iguales . Hay 9 estudiantes en cada fila . ¿Cuántos estudiantes se gradúan?

Unidad 3

 Otro ejemplo ¿Qué les piden que encuentren? [El número total de cantantes en el coro]. ¿Qué información tienen? [Hay 8 cantantes en cada fila. Hay 7 filas]. ¿Por qué se necesita la multiplicación? [La multiplicación se usa para encontrar un total cuando hay grupos iguales]. La figura muestra 7 filas de 8. Las filas están divididas en dos partes. ¿Cuántas filas hay en cada parte? [5 filas en la parte de arriba; 2 filas en la parte de abajo]. ¿Por qué están divididas las filas de esa manera? [Para encontrar el total en la parte de arriba se multiplica 5 • 8. Es una operación del 5. Para encontrar el total en la parte de abajo se multiplica 2 • 8. Es una operación del 2].  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que usen operaciones del 5 y del 1 como ayuda para multiplicar con el 6, y que usen operaciones del 5 y del 2 como ayuda para multiplicar con el 7. Respuestas 1. a) 60; b) 42; c) 28; d) 30 2. Revise los dibujos de los estudiantes. Ejemplo de respuesta: 6 filas de 9 se pueden descomponer en dos grupos: 5 filas de 9 y 1 fila de 9. 3. 63 estudiantes

112

Unidad 3 - Multiplicación

TOPIC 7-1 27276_162b 1st pass 9-6-06 LKell

Lo que muestras Encuentra 6 • 8 . Usa las operaciones de multiplicación del 5 y del 1 1 . Haz una matriz para cada multiplicación .

Lo que piensas

 Práctica independiente Es posible que los estudiantes necesiten ayuda para decidir cómo dibujar matrices apropiadas para las estrategias del 6 y el 7 presentadas en esta lección. Use el ejercicio 4e como un ejemplo. Los factores en este problema de multiplicación son 6 y 4. Acaban de aprender una estrategia para multiplicar por 6. Pueden descomponer el número de filas en 5 filas y 1 fila.

6 • 8 equivale a 6 filas de 8, es decir, 5 veces ocho y 1 ocho más más . 5 veces ocho es 40 . 8 más es 48 . 40 1 8 5 48

8 • 5 5 40

Por lo tanto, 6 • 8 5 48 . En la banda hay 48 músicos .

8 • 158 TECH

TECH Práctica independiente

4

Encuentra los productos . Haz dibujos como ayuda . a) 6 • 7

b) 7 • 9

c) 9 • 6

d) 8 • 7

e) 6 • 4

f) 6 • 6

g) 10 • 7

h) 8 • 6

i)

j)

3 3

(place checkmark) (place checkmark)

7 • 7

Respuestas 4. a) 42; b) 63; c) 54; d) 56; e) 24; f) 36; g) 70; h) 48; i) 49; j) 21

7 • 3

Resolución de problemas

5

6

El Museo Nacional de Trenes de Juguete de Estados Unidos tiene 5 grandes circuitos de trenes . Un día cada circuito tenía el mismo número de trenes . Usa la ilustración de la derecha para encontrar cuántos trenes había en el museo ese día .

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 5 y 6. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

6 trenes en cada circuito .

responder . Usa los dibujos de los trenes de abajo para responder a) Un grupo de turistas necesita b) Estimación. Redondea a la 7 filas de asientos en el vagón 5 del decena más cercana para tren “Rápido” . ¿Cuántos asientos calcular aproximadamente necesitará el grupo? ¿Cuántos cuántos asientos hay en total en asientos quedan en este tren para los los trenes “Rápido” y “Veloz” . demás pasajeros?

“Rápido” 377 asientos en total . “Veloz” 345 asientos en total .

3 asientos en 3 asientos en cada fila . fila . cada fila . fila .

3 asientos en cada fila . fila .

4 asientos en cada fila . fila .

4 asientos en cada fila . fila .

3 asientos en 3 asientos en cada fila . fila . cada fila . fila .

3 asientos en cada fila . fila .

4 asientos en cada fila . fila .

4 asientos en cada fila . fila .

Multiplicación

85

Cierre Las multiplicaciones básicas con el 6 o el 7 se resuelven descomponiendo las operaciones desconocidas en operaciones conocidas. Las respuestas a las operaciones conocidas se suman para encontrar el producto final. Diga: En esta lección aprendieron a usar matrices y multiplicaciones que habíamos estudiado antes, para multiplicar con el 6 y el 7 como factores. Aprendieron a encontrar multiplicaciones del 6 combinando una multiplicación del 5 y una multiplicación del 1, y aprendieron a obtener operaciones con el 7 combinando una multiplicación del 5 y una multiplicación del 2.

Ejercicio 6 Los estudiantes deben interpretar la ilustración a fin de localizar la información necesaria para resolver el problema. Miren la foto de los trenes en la parte de abajo de la página. ¿Dónde se encuentran los nombres de los trenes? [A la izquierda de la ilustración, en cada locomotora]. ¿Qué información está debajo del nombre de los trenes? [El número total de asientos del tren]. Respuestas 5. 30 trenes 6. a) 28 asientos; 349 asientos; b) Aproximadamente 730 asientos.

Lección 3.8

113

Lección

El 8 como factor

3.9

Objetivo Usar operaciones conocidas y dobles para encontrar productos con el 8 como factor.

¡Lo entenderás! Se pueden utilizar las operaciones de multiplicación del 2 y del 4 para encontrar las operaciones de multiplicación del 8 .

Contexto matemático La única multiplicación básica que no se ha cubierto en las lecciones anteriores es 8 • 8. La parte superior de esta página ilustra dos métodos diferentes para encontrar este producto. Usar una multiplicación del 2 2 • 8 = 16 → 16 + 16 + 16 + 16 = 64 Usar una multiplicación del 4 4 • 8 = 32 → 32 + 32 = 64 8 • 8 = 64 Si no recuerdan una estrategia para una operación con el 6 para encontrar 6 • 8, es posible cambiar el orden de los factores y aplicar cualquiera de las estrategias del 8 para 8 • 6.

Posibles errores y dificultades Recuerde a los estudiantes que estos métodos de multiplicar con 8 son estrategias de ayuda para encontrar el producto. Señale que están usando operaciones que ya conocen para que les ayuden con operaciones nuevas. (3) ¿Cómo describen las 2 maneras que usaron para encontrar 8 • 8? [Respuesta posible: Hice 4 grupos de 16 y luego 2 grupos de 32].

114

Unidad 3 - Multiplicación

Los estudiantes tratan de embocar una pelota de tenis en un tazón . Hay 8 filas de tazones . Hay 8 tazones en cada fila . fila ¿Cuántos tazones hay en total? Escoge una operación. Multiplica para encontrar el total de una matriz o arreglo bidimensional. Encuentra 8 • 8.

Práctica guiada COMO hacerlo? 1 Multiplica . a) 8 • 7

b) 8 • 4

c) 6 • 8

d) 10 • 8

e) 9 • 8

f)

8 • 3

Lo ENTIENDES? ? 2 ¿Cómo puede 5 • 8 5 40 ayudarte a calcular cuánto es 8 • 8? 3

¿Cómo puedes usar 4 • 7 para calcular 8 • 7?

4

La Sra . Reyes necesita comprar ladrillos para el jardín . Necesita 8 filas de ladrillos . Cada fila tendrá 7 ladrillos . ¿Cuántos ladrillos en total tiene que comprar la Sra . Reyes? Compara tus resultados con los de tu compañero .

Práctica independiente 5

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) Observen la matriz de 8 • 8. ¿Cómo describirían esta matriz? [Hay 8 filas con 8 en cada fila]. ¿Qué operaciones les ayudarían a encontrar el producto? [Respuesta posible: multiplicaciones del 2 y del 4, porque 2 + 2 + 2 + 2 = 8 y 4 + 4 = 8]. (2) ¿Por qué suman 16 cuatro veces para encontrar el producto? [Respuesta posible: Porque en 8 • 8 hay cuatro grupos de 16].

¿Cómo usas dobles para multiplicar por 8?

Encuentra los productos . a) 8 • 4

b) 1 • 8

c) 2 • 9

d) 5 • 7

e) 8 • 2

f) 8 • 6

g) 5 • 9

h) 8 • 5

i) 8 • 1

j) 4 • 9

k) 10 • 8

l) 3 • 7

m) 8 • 8

n) 2 • 4

ñ) 9 • 8

o) 8 • 3

p) Encuentra 6 veces 9 . 84

q) Multiplica 8 • 1 .

r) Encuentra 9 veces 8 .

Unidad 3

 Práctica guiada Ejercicio 1 Errores e intervención Supongan que quieren multiplicar 6 • 4. [Escriba 6 • 4 en el pizarrón]. ¿Cómo usan una multiplicación del 2 para encontrar el producto? [Sabemos que 6 • 2 = 12; por lo tanto, duplicamos el producto: 6 • 4 = 12 + 12 = 24]. Respuestas 1. a) 56; b) 32; c) 48; d) 80; e) 72; f) 24 2. Usa 5 • 8 más 3 • 8. 3. Duplica el producto de 4 • 7. 4. 56 ladrillos  Práctica independiente Ya han aprendido estrategias para todas las multiplicaciones básicas. Este grupo de ejercicios provee práctica variada. Pueden usar la estrategia que les resulte más fácil.

Una manera

Otra manera Duplica una operación de multiplicación del 4 para encontrar 8 • 8.

Usa las operaciones de multiplicación del 2 para encontrar 8 • 8. 8 • 8 equivale a 4 grupos de 2 veces ocho.

8 • 8 es 4 veces ocho más 4 veces ocho.

8 • 2 5 16

8 • 4 5 32

8 • 2 5 16 8 • 2 5 16 TECH 8 • 2 5 16 16 1 16 1 16 1 16 5 64

8 • 4 5 32 Duplica el producto . 32 1 32 5 64 TECH Por lo tanto, 8 • 8 5 64 . Hay 64 tazones en total . 3

3

6

(place checkmark)

9 azulejos en cada caja

Respuestas 6. a) 64 azulejos a cuadros. b) 42 azulejos amarillos. c) 63 azulejos verdes. 7. No, si duplica 2 • 8, encontrará cuánto es 4 • 8. Para encontrar 8 • 8, debería calcular 4 • 8, y duplicarlo. 8. D 9. D

7 azulejos en cada caja

7

Escribir para explicar. Sofía dice: “Para encontrar 8 • 8, puedo calcular 2 • 8, y duplicarlo” . ¿Estás de acuerdo? Explica .

8

La Srta . Verónica tenía cajas de crayones en un armario . Cada caja tenía 8 crayones . Si la Srta . Verónica contara los crayones en grupos de 8, ¿qué lista mostraría los números que contó?

9

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 6 a 9. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

(place checkmark)

Encuentra el número total de azulejos . a) Mónica compró 8 cajas de azulejos 8 azulejos anaranjados . en cada caja b) Vicente compró 6 cajas de azulejos amarillos . c) Luz compró 7 cajas de azulejos verdes .

a

8, 16, 28, 32, 40, 48

C

16, 20, 24, 28, 32, 36

B

8, 14, 18, 24, 32, 40

D

8, 16, 24, 32, 40, 48

Miguel tenía canastos de naranjas . Cada uno contenía 6 naranjas . Si Miguel contó las naranjas en grupos de 6, ¿qué lista mostraría los números que contó? a 6, 12, 21, 26, 32 B

6, 11, 16, 21, 26

C

12, 16, 20, 24, 28

D

6, 12, 18, 24, 30 Multiplicación

Respuestas 5. a) 32; b) 8; c) 18; d) 35; e) 16; f) 48; g) 45; h) 40; i) 0; j) 36; k) 80; l) 21; m) 64; n) 8; ñ) 72; o) 24; p) 54; q) 8; r) 72

85

Cierre Las operaciones de multiplicación básicas con el 8 como factor se resuelven descomponiendo la operación desconocida en operaciones conocidas. Las respuestas a las operaciones conocidas se suman para obtener el producto final. DIga: En esta lección aprendieron a usar matrices y operaciones que estudiaron antes para multiplicar con el 8 como factor. Aprendieron a resolver una multiplicación del 8 sumando una multiplicación del 2 cuatro veces o duplicando una multiplicación del 4.

 Refuerzo Guíe a los estudiantes para que usen matrices para resolver el producto 3 • 8. Guíe a los estudiantes para que usen matrices para calcular el producto de 4 • 8. Guíe a los estudiantes para que usen matrices para calcular el producto 8 • 9.

Lección 3.9

115

Lección

3.10 Objetivo Usar patrones para multiplicar con 11 y 12 como factores.

¡Lo entenderás! Se pueden usar patrones para recordar las operaciones de multiplicación del 11 y del 12 .

Contexto matemático Multiplicar por 11 y por 12 son destrezas que se pueden dominar usando patrones. Los factores de 11 pueden encontrarse usando el patrón de multiplicar el factor por 10 y luego sumarle el factor al producto. Por ejemplo, 6 grupos de 11 pueden calcularse encontrando 6 grupos de 10 y sumando 6 más. Este patrón funciona porque la multiplicación por 11 puede descomponerse en una multiplicación por 10 y una multiplicación por 1. Del mismo modo, los factores de 12 pueden encontrarse usando el patrón de multiplicar el factor por 10 y luego por 2. Por ejemplo, 7 grupos de 12 pueden calcularse encontrando 7 grupos de 10 más 7 grupos de 2. Este patrón funciona porque la multiplicación por 12 puede descomponerse en una multiplicación por 10 y una multiplicación por 2.

¿Cuáles son los patrones en los múltiplos del 11 y del 12? El horario de entrenamiento de Eduardo es para una competencia que tendrá lugar en 11 semanas. ¿Cuántos kilómetros más nadará Eduardo para entrenarse para la competencia? Usa el patrón para encontrar 8 • 11.

Otro ejemplo

Horario semanal Actividad

kilómetros

Nadar

8 kilómetros

Correr

7 kilómetros

Andar en bicicleta

9 kilómetros

¿Cuáles son los patrones en los múltiplos de 12?

■ 8=■ 9=■ 10 = ■ 11 = ■ 12 = ■

12 • 7 = 12 • 1 = 12

12 •

12 • 2 = 24

12 •

12 • 3 = 36

12 •

12 • 4 = 48

12 •

12 • 5 = 60

12 •

Para multiplicar cualquier factor por 12, primero multiplica ese factor por 10 . Luego, multiplica ese factor por 2 y suma los dos productos . Ejemplo: 3 • 12 5 (3 • 10) 1 (3 • 2) Encuentra: 7 • 12. 7 • 10 5 70 y 7 • 2 5 14 70 1 14 5 84

12 • 6 = 72

Por lo tanto, 7 • 12 5 84 .

Práctica guiada COMO hacerlo?

Lo ENTIENDES? ?

1

2

Escribir para explicar ¿Cómo puedes usar el patrón para encontrar 12 • 11?

3

¿Cuántos kilómetros tendrá Eduardo que andar en bicicleta en 12 semanas?

Usa los patrones para encontrar cada producto . a) 8 • 12

b) 9 • 12

c) 9 • 11

d

11 • 11

Práctica independiente 4

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Por qué se puede multiplicar para resolver este problema? [Eduardo nadó el mismo número de kilómetros cada semana. Estamos juntando grupos iguales]. (2) Para multiplicar por 11, ¿por qué pueden sumar el factor después de haberlo multiplicado por 10? [11 = 10 + 1. Cuando se multiplica el factor por 10, se encuentra cuántos hay en 10 grupos. El factor es el número en 1 grupo].

Ve más lejos: el 11 y el 12 como factores

84

Usa patrones para encontrar los productos . a) 7 • 11

b)

11 • 9

c) 6 • 11

d) 10 • 10

e) 8 • 11

f)

9 • 12

g) 10 • 12

h) 11 • 5

i) 10 • 11

j)

12 • 10

k) 11 • 4

l) 12 • 9

Unidad 3

Posibles errores y dificultades Algunos estudiantes que multipliquen por 11 usando el patrón de escribir el factor en el lugar tanto de las decenas como de las unidades pueden confundirse al multiplicar por 10, 11 y 12. Señale que este patrón solo funciona cuando el producto tiene dos dígitos. Pueden sumarle 11 al producto anterior para obtener el producto siguiente.  Otro ejemplo Señale que se utiliza el mismo método que para multiplicar por 11.  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que comprueben si las dos operaciones de multiplicación que están usando en lugar de la operación por 12 incluyen una multiplicación por 10 y otra por 2. Respuestas 1. a) 96; b) 108; c) 99; d) 121 2. Ejemplo de respuesta: Calculo 12 • 10. Sumo 12. 120 + 12 = 132. 3. 108 kilómetros

116

Unidad 3 - Multiplicación

11 • 6 = 66 11 • 1 = 11

11 • 7 = 77

11 • 2 = 22

11 • 8 =

11 • 3 = 33

11 • 9 =

11 • 4 = 44

11 •

11 • 5 = 55

11 •

■ ■ 10 = ■ 11 = ■

 Práctica independiente Se están descomponiendo 11 (o 12) y luego, multiplicando el factor por cada parte, como ayuda para resolver las multiplicaciones por 11 (o 12).

Observa los patrones de la tabla . 11 • 2 5 20 1 2 10 • 2 11 • 3 5 3 30 1 3 10 • 3

Para multiplicar cualquier factor por 11, multiplica primero ese factor por 10 . Luego suma ese factor al producto . 80 1 8 5 88 8 • 11 5 88 8 • 10 5 80 Eduardo nadará 88 kilómetros.

Ejercicio 4b Cómo pueden descomponer 11? [10 y 1]. ¿Qué dos operaciones pueden usar con 10 y con 1 para encontrar 11 • 9? [10 • 9 y 1 • 9]. ¿Cómo pueden descomponer 12? [10 y 2]. ¿Qué dos operaciones pueden usar con 10 y con 2 para encontrar 12 • 9? [10 • 9 y 2 • 9].

Resolución de problemas

5

La tabla muestra los alimentos que compraron 96 estudiantes del 3º básico para un desayuno escolar escolar . Número de Número en a) Encuentra el número total de Alimento paquetes cada paquete cada alimento que compraron . • Manzanas • Quequitos • Envases de leche



b) ¿Cuántos envases de jugo adicionales compraron? 6

8

Escribir para explicar. Eduardo multiplicó 2 • 11 para calcular cuántos kilómetros más anduvo en bicicleta de los que corrió en 11 semanas . ¿Tiene sentido? ¿Por qué sí o por qué no?

8

Quequitos

12

9

Envases de leche

12

11

7

12

1

B

2

C

•

D

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 5 a 9. Al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

:

Escribir para explicar. Nancy hizo las matrices que se muestran para encontrar 6 • 3 . Explica cómo modificar las matrices o arreglos bidimensionales para encontrar 7 • 3 . Encuentra objetos y haz un dibujo . Multiplicación

Cierre

Respuestas 4. a) 77; b) 99; c) 66; d) 132; e) 88; f) 132; g) 120; h) 55; i) 110; j) 144; k) 44; l) 108

Sentido numérico. Raúl tiene sólo monedas de $100 en su bolsillo . ¿Es posible que tenga exactamente $450 pesos? Explícalo .

Álgebra. ¿Qué símbolo hace que la oración numérica sea verdadera? 8 h 5 5 40 a

9

Manzanas

85

TECH

Se pueden usar patrones para encontrar productos de operaciones con 11 o 12 como factor. Diga: En esta lección, han aprendido a usar patrones para encontrar productos de multiplicaciones con 11 o 12 como factor. 3

(place checkmark)

Respuestas 5. a) 96 manzanas; 108 quequitos; 132 envases de leche. b) 0 envases de jugo. Esta es una pregunta distractora. El estudiante debe notar que los envases de jugo no están mencionados en el ejercicio. 6. Sí, anduvo en bicicleta 2 km más cada semana de lo que corrió. En 11 semanas recorrió en bicicleta 2 • 11 km más de lo que corrió. 7. No, para tener $450, tendría que tener monedas de $50 o más pequeñas, y solo tiene de $100. 8. C 9. Revise los dibujos de los estudiantes. Ejemplo de respuesta: podría agregar una fila de 3 a la segunda matriz. Luego, encontraría 5 • 3 y 2 • 3; 15 + 6 = 21, por lo tanto 7 • 3 = 21.

Lección 3.10

117

Lección

Problemas de varios pasos

3.11 Objetivo Resolver problemas de varios pasos.

Resolución de problemas

¡Lo entenderás! Los problemas verbales indican lo que se sabe y lo que hay que averiguar . averiguar

Valentina quiere hacer 3 títeres . Francisca hará 3 veces la cantidad de títeres que Valentina . Se necesitan 2 botones para los ojos de cada títere . ¿Cuántos botones necesitará Francisca?

Contexto matemático Como la mayoría de los estudiantes han ido de compras alguna vez, les es más fácil reconocer los pasos necesarios para resolver problemas relacionados con el consumidor. Por ejemplo, si compran dos artículos y calculan el vuelto que queda de esa compra, tendrán que deducir el costo de cada artículo que se pagó. El escenario de compra y vuelto también ilustra otro aspecto de algunos problemas de varios pasos: muchas veces no hay una sola forma “correcta” de resolver el problema. Por ejemplo, para calcular el vuelto, muchas personas sumarían el costo de los artículos y le restarían esta suma a la cantidad entregada. Otros podrían restar el costo de un artículo a la cantidad pagada y luego restarle a esa diferencia el costo del siguiente artículo.

Práctica guiada COMO hacerlo?

Lo ENTIENDES? ?

1

2

Valentina compró 12 lentejuelas a $5 cada una, para decorar su títere . Pagó con una moneda de $100 . ¿Cuánto vuelto recibió? La pregunta escondida es “¿Cuál es el valor total de las lentejuelas?”

Práctica independiente 3

En la biblioteca hay 4 videos y algunos libros sobre dinosaurios . Hay 5 veces más libros que videos . Después de que se prestaron 3 libros, ¿cuántos libros quedaron? Usa el diagrama siguiente para responder la pregunta escondida . Haz un diagrama y resuelve el problema .

Videos

4

Libros

4

4

4

Unidad 3 - Multiplicación

4

5 veces más

106 Unidad 3

Posibles errores y dificultades Recuerde a los estudiantes que algunos problemas tienen más de una pregunta escondida.  Práctica guiada En algunos problemas se necesita más de un paso para encontrar la solución. Ejercicio 1 Errores e intervención Si los estudiantes tienen dificultad para resolver este problema de varios pasos, entonces, ayúdeles a identificar los pasos del problema. ¿Cuál es la pregunta escondida en este problema? [¿Cuál es la cantidad total que Valentina pagó por las lentejuelas?]. ¿Cómo usan esa información para resolver el problema? [Se resta esa cantidad a $100]. Respuestas 1. $40 2. Los problemas variarán.

118

4

• ¿Qué sé? • ¿Qué me piden que encuentre? • ¿Qué diagrama puede ayudarme a entender el problema? • ¿Puedo usar suma, resta, multiplicación o división? • ¿Está correcto todo mi trabajo? • ¿Respondí la pregunta que correspondía? • ¿Es razonable mi respuesta?

? libros en total

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cuál es la pregunta escondida que tienen que contestar? [¿Cuántos títeres quiere hacer Francisca?]. ¿Qué saben sobre cuántos títeres piensa hacer Francisca? [3 veces la cantidad de títeres de Valentina]. ¿Saben cuántos títeres piensa hacer Valentina? [3 títeres]. (2) ¿Por qué se dice que esta pregunta es una “pregunta escondida”? [Respuesta posible: No se pregunta en el problema; la pregunta la tiene que hacer uno mismo]. (3) ¿Qué otra oración numérica podrían escribir para resolver el problema? [2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18].

Escribe un problema. Escribe un problema que tenga una pregunta escondida . Luego, resuelve el problema .

¿Cuántos títeres hará Francisca? Valentina Francisca

¿Cuántos botones necesitará Francisca? ? botones en total

3 3

3

3 veces más

3

2

? títeres

2

2

2

2

2

2

2

2

Ejercicio 3 En el diagrama, ¿qué representa una de las partes con el número 4? [El número de videos sobre dinosaurios que hay en la biblioteca]. ¿Por qué hay 5 grupos de 4 en el diagrama? [Hay 5 veces más libros que videos]. Entonces, ¿cuántos libros sobre dinosaurios hay en la biblioteca? [20 libros].

Botones para cada títere

3 • 3 títeres 5 9 títeres . Francisca hará 9 títeres . 4

 Práctica independiente Recuerden que deben encontrar la pregunta escondida y usar esa respuesta para resolver el problema.

Usa la respuesta a la pregunta escondida para resolver el problema.

Encuentra y resuelve la pregunta escondida.

9 • 2 botones 5 18 botones . Francisca necesitará 18 botones .

Usa las ilustraciones . a) Camilo compró 2 bolsas de naranjas . Se comió 3 naranjas, ¿cuántas le quedan?

9 duraznos por bolsa: $300

10 naranjas por bolsa: $400

Primero calcula cuántas naranjas compró Camilo.

5 limones por bolsa: $300

? naranjas en total 10 20 3

?

d) La Sra . Soto compró 2 bolsas de naranjas y 2 bolsas de limones . ¿Cuántas frutas compró?

c) Daniela compró 2 bolsas de limones y 3 bolsas de duraznos . ¿Cuántas frutas compró? 5

6

Respuestas 3. 17 4. a) 17; b) 0; c) 37; d) 30 5. 10 limones; 10 naranjas cuestan $400 y 10 limones (2 bolsas) cuestan $600 (2 • $300). 6. D

b) Joaquín compró una bolsa de duraznos, una de naranjas y una de limones . Pagó con un billete de $1 000 . ¿Cuánto vuelto debe recibir?

10

Escribir para explicar. ¿Qué cuestan más, 10 naranjas o 10 limones? ¿Cuánto más? Explica cómo encontraste tu respuesta .

José tiene 4 figuras de acción . Su hermano tiene 3 veces más que él . ¿Qué oración numérica muestra cuántas figuras tienen los niños en total? a

4135■

B

4 • 35■

C

4235■

D

4 1 (3 • 4) 5 ■ Multiplicación

107

Cierre Hay problemas que pueden ser resueltos encontrando y resolviendo primero uno o más subproblema(s) y usando luego esa(s) respuesta(s) para resolver el problema original. Diga: En esta lección aprendieron a resolver problemas de varios pasos encontrando respuestas a preguntas escondidas y usando esas respuestas para resolver los problemas.

 Refuerzo Escriba (2 • ___) • 3 = 24 en el pizarrón. Pida a los estudiantes que digan qué factor debe escribirse en la línea para completar la multiplicación. [4]. Luego, anímelos a que digan qué otro par de factores se pueden escribir entre el paréntesis para formar el mismo producto. [8 y 1]. Pida a voluntarios que vayan al pizarrón y muestren cómo se agrupan estos factores de diferentes maneras para formar el mismo producto. Si hay tiempo, pida a los estudiantes que encuentren otros tríos de factores cuyo producto sea 24.

Lección 3.11

119

Contexto matemático Una ecuación es una oración numérica que estipula que dos números o expresiones son iguales. Las ecuaciones contienen números o variables, y suelen tener signos de operación. Una ecuación siempre tiene el signo igual (=). Los estudiantes ya han trabajado con ecuaciones en las cuales falta un número. En esta página aprenderán a usar su razonamiento para encontrar el signo de operación que falta en una ecuación.

Sugerencias metodológicas Ejercicio 1.a) En esta ecuación, 9 más, menos o multiplicado por un número es igual a 45. Pensemos en la multiplicación primero. ¿Qué operación de multiplicación tiene 9 y 45? [9 • 5 = 45]. Entonces, ¿el símbolo que falta puede ser el de la multiplicación? [No, si fuera una multiplicación, la ecuación sería: 9 • 36 = 45, y eso no es correcto]. ¿Piensan que el signo que falta puede ser el de la sustracción? [No, porque 36 es mayor que 9]. Entonces el signo que falta debe ser el de la adición. Sumen 36 y 9 y comprueben si la adición es la operación correcta. Ejercicio 1.f) Errores e intervención Si los estudiantes eligen la sustracción en lugar de la adición, entonces, escriba 50 - 12 = 38 en el pizarrón y pregunte: ¿Es ésta una ecuación verdadera? [Sí]. Comparen esta ecuación con la ecuación del ejercicio 1.f). ¿Está en el mismo lugar el signo igual? [No, en el ejercicio 1.f) el signo igual está entre el 50 y el 12, y no entre el 12 y el 38]. Borre el signo de sustracción y el signo igual a 50 - 12 = 38. Escriba el signo igual entre el 50 y el 12. ¿Qué signo debo colocar entre el 12 y el 38 para que sea una ecuación verdadera? [El signo más].

120

Unidad 3 - Multiplicación

Operaciones que faltan En una oración numérica el símbolo 5, indica que los dos lados de la oración valor . numérica deben tener el mismo valor Un signo de operación como 1, 2 o • te dice cómo encontrar ese valor. El razonamiento te puede ayudar a decidir qué signo de operación falta . 1

Completa . Escribe 1, 2 o • en la línea . Comprueba tus respuestas . a) 9

36 5 45

b) 24

24

e)

7

g) 18 5 9

2

h)

64

k)

63 5 9

37 5 84

c) 16 5 2

17 5 7

d) 8 5 32

j) 47 2

Ejemplo: 72 5 8 ■ 9 ¿Es 72 igual a 8 (más, menos o multiplicado por) 9? Ya que 8 • 9 5 72, escribe “ • ”. 72 = 8 • 9

5 5 35 36 5 28 7

8

f)

50 5 12

i)

30 5 6

l)

12

38 5

1 5 12

Completa la oración numérica debajo de cada problema . Úsala como ayuda para encontrar tu respuesta . a) A Paola le quedaron algunos lápices después de regalar 27 lápices a sus amigas . Al principio tenía 36 lápices . ¿Qué operación puedes usar para encontrar el número de lápices que le quedan a Lisa? 9 5 36 ■ 27

9 de cada botón

b) La ilustración muestra cuántos botones de cada tipo hay en un paquete . ¿Qué operación puedes usar para encontrar el número total de botones en un paquete? 45 5 5 ■ 9 3

Escribe un problema. Escribe un problema usando la siguiente oración numérica: 48 5 26 1 22

108 Unidad 3

Ejercicio 2.b) Este problema nos pide que encontremos el número total. ¿Qué operaciones pueden usar para encontrar un total? [Adición y multiplicación]. Miren la ecuación debajo del problema. ¿Qué número representa el número total de botones? [45]. ¿Qué representa el número 5? [Que hay 5 tipos diferentes de botones en cada paquete]. ¿Qué representa el número 9? [Que hay 9 botones de cada tipo]. Entonces hay 5 tipos de botones y 9 botones de cada tipo. ¿Qué signo de operación deben escribir entre el 5 y el 9? [El signo de multiplicación]. Respuestas 1. a) +; b) -; c) •; d) -; e) •; f) +; g) •; h) -; i) •; j) +; k) •; l) • 2. a) Puedo restar: 36 - 27 = 9; b) Puedo multiplicar: 5 • 9 = 45; 3. Los problemas variarán.

Crías de mamíferos

Sugerencias metodológicas En esta sección se presentan problemas con datos reales, para que los estudiantes apliquen lo aprendido en la unidad a situaciones de la “vida diaria”. Los estudiantes pueden emplear la estrategia de resolución que más les acomode. Lo importante es que la revisión sea hecha en voz alta y puedan compartir las distintas estrategias utilizadas. Si todos han usado el mismo método de resolución, anímelos a que en conjunto sugieran otras posibilidades.

Reproducción en mamíferos Período de gestación

Número de crías

Rata

22 días

5a7

Gato

2 meses

4a6

Perro

2 meses

2a4

Ciervo

2 meses

1a3

Humano

9 meses

1

Ballena

10 a 12 meses

1

Jirafa

15 meses

1

Elefante

24 meses

1

Especie

1

¿Cuántas crías podría tener un elefante en 1 año? ¿Y en 5 años? Explica .

2

Si un ciervo tiene 3 crías cada vez, ¿cuántas podría tener en 6 meses?

3

¿Cuál es la cantidad máxima de crías que podría tener un perro en 4 meses? ¿Cómo lo sabes?

4

¿Cuántas crías más podría tener una ballena que una jirafa en 3 años?

5

Si una rata tuviera 6 crías cada mes durante un año, ¿cuántas crías habría tenido al cabo de 1 año?

6

¿Cuál es la cantidad máxima de crías que podría tener un gato en 1 año?

7

En 8 años, ¿cuántos humanos podrían nacer de la misma madre? ¿Y cuántos elefantes?

8

¿Qué relación podrías establecer entre el tamaño del animal y su periodo de gestación o número de crías? Multiplicación

109 109

Actividad complementaria

Respuestas 1. 0; 2. Las explicaciones variarán. Ejemplo de respuesta: porque el periodo de gestación es de 24 meses. 2. 9 3. 8; cada 2 meses podría tener 4 crías, 2 • 4 = 8. 4. 1 más; la ballena puede tener 3 crías en 3 años y la jirafa solo 2. 5. 72 6. 36 7. 10; 4 8. Mientras más grande el mamífero, más largo su periodo de gestación. Mientras más pequeño el mamífero mayor número de crías.

 Cuentos de desayuno Tipo de actividad 15 min Materiales: Papel, marcadores o crayones (por estudiante). Pida a cada estudiante que dibuje 4 tazones de cereal con una cuchara al lado de cada uno. Pida a los estudiantes que dibujen 3 fresas y 6 arándanos en cada tazón. Pregúnteles: ¿Qué multiplicación puedo usar para encontrar cuántos arándanos hay en total? [4 • 6 = 24]. Pídales que escriban y resuelvan la multiplicación debajo de los dibujos. Anime a los estudiantes a crear cuentos sobre multiplicación similares a partir de sus dibujos.

Conectándonos con otras asignaturas

121

¡C Objetivo

1

Evaluar, en formato de opción múltiple, la comprensión que tienen los niños de los conceptos y las destrezas de la unidad. Después que el alumno realice su autoevaluación, es importante que lea Para revisar tu autoevaluación y revise solo sus respuestas, antes de ser corregido por el profesor o en forma colectiva.

2

4

Ejercicio 3: a) 20; b) 14; c) 0; d) 50 6

Ejercicio 4: Revise los cuentos y explicaciones de los estudiantes. a) 27; b) 30; c) 14

a) 5 veces el número 4

b) el doble del número 7

c) 6 veces 0

d) 10 veces el valor de una moneda de $5 .

Escribe un cuento sobre multiplicación para cada problema . Resuelve . Explica cómo encontraste la respuesta . b) 5 • 6

c) 7 • 2

b) 5 • 4

c) 5 • 9

d) 10 • 4

e) 9 • 4

f) 9 • 10

g) 7 • 0

h) 1 • 10

i)

0 • 9

j) 3 • 1

k) 7 • 0

l)

1 • 5

m) 3 • 8

n) 6 • 3

o) 4 • 10

p) 3 • 4

ñ) 4 • 3 q) 63 • 4

r) 7 • 9

s) 8 • 7

t) 6 • 9

u) 3 • 2 • 5

v) 5 • 3 • 4

w) 1 • 9 • 8

Calcula los productos .

86

TECH

(place checkmark)

Usa patrones para encontrar los productos . a) 11 • 4 12 • 4

7

c) 4 • 4

Encuentra cada cantidad . Puedes usar dibujos o fichas como ayuda .

a) 2 • 4

Ejercicio 2: Revise el trabajo de los estudiantes. a) 8; b) 15; c) 16

Ejercicio 7: a) 3; b) 6; c) 0; d) 23; e) 11; 2; f) 3; 8

b) 3 • 5

a) 3 • 9 5

5 5

Dibuja una matriz para representar cada operación . Escribe el producto . a) 2 • 4

3

Ejercicio 1: 5; 5; 10; 5; 10

Ejercicio 6: a) 44; 48; b) 77; 84

Completa de acuerdo al modelo . modelo 2 grupos de a) 51 2 •

Respuestas

Ejercicio 5: a) 8; b) 20; c) 45; d) 40; e) 36; f) 90; g) 0; h) 10; i) 0; j) 3; k) 0; l) 5; m) 24; n) 18; ñ) 12; o) 40; p) 12; q) 24; r) 63; s) 56; t) 54; u) 30; v) 60; w) 72

!

b) 11 • 7 12 • 7

Completa para que la oración numérica sea verdadera: a)

• 4 = 12

b) 2 •

d)

• 1 = 23

e)

= 12 •

= 22

c) 8 • f) (

=0 •

) • 2 = 48

Unidad 3

Actividad complementaria  Descomponer colores Tipo de actividad 20 min Materiales: Papel cuadriculado en centímetros, crayones o lápices de colores (por estudiante). Pida a los estudiantes que coloreen de rojo 5 filas de 6 cuadrados. Pídales que, directamente debajo de los cuadrados rojos, coloreen de azul 2 filas de 6 cuadrados. Pregunte: ¿Qué multiplicación está representada por las matrices rojas? [5 • 6 = 30]. ¿Qué multiplicación está representada por las matrices azules? [2 • 6 = 12]. ¿Cuánto es la suma de los cuadrados rojos y azules? [30 + 12 = 42]. ¿Qué les dice eso sobre 7 • 6? [7 • 6 = 42]. Repita con operaciones del 6 y del 7.

122

Unidad 3 - Multiplicación

8

Resuelve .

Respuestas

a) José está colocando mesas para una fiesta . Cada mesa tiene 6 sillas . ¿Cuántas sillas necesita para 10 mesas? Explica cómo encontraste la respuesta .

Ejercicio 8: a) 60; b) 5 personas; c) 22 boletos

b) Una familia compuesta por dos adultos y tres niños fue a un espectáculo de acrobacias aéreas . ¿Cuántos miembros de la familia fueron al espectáculo? Resuelve . c) En la feria, Beatriz quiere comprar 2 anillos y 1 lápiz . Cada anillo cuesta 8 boletos y cada lápiz cuesta 6 boletos . ¿Cuántos boletos necesita en total?

¿Qué dificultades has encontrado?, ¿cómo las resolviste?

Recuerda que la multiplicación es una manera rápida de juntar grupos iguales o comparar grupos . Usa la propiedad conmutativa (o de orden) de la multiplicación .

Recuerda que al escribir una explicación quien la lea deberá entender lo que quisiste decir, por lo tanto debes ser muy claro para explicar . explicar

Recuerda que puedes hacer una tabla y usar un patrón como ayuda para multiplicar por 2, 5, 9 ó 10 .

Recuerda que puedes usar operaciones conocidas como multiplicar . ayuda para multiplicar

Recuerda que puedes pensar en una matriz con 1 fila cuando multiplicas por 1 .

Recuerda que puedes dibujar matrices para resolver operaciones de multiplicación .

Recuerda que la Propiedad del elemento neutro de la multiplicación señala que cuando se multiplica un número por 1, el producto es el mismo número .

Recuerda que debes leer atentamente los problemas, ya que algunos tienen preguntas escondidas que debes responder para poder resolver el problema .

Recuerda que la Propiedad del elemento absorbente de la multiplicación señala que cuando se multiplica un número por 0, el producto es 0 .

Recuerda que puedes hacer un dibujo como ayuda para multiplicar 3 factores .

autoevaluación utoevaluación Unidad 3

111

Actividad complementaria  Ocho ordenaciones Tipo de actividad: curso completo 10 min Escriba la siguiente información en el pizarrón: Una florista tiene que hacer 8 arreglos florales. Cada arreglo debe tener 3 margaritas anaranjadas, 5 rosas amarillas y 7 tulipanes rosados. Pida a los estudiantes que determinen el número de margaritas, rosas y tulipanes que usará la diseñadora. [24 margaritas, 40 rosas, 56 tulipanes]. Anime a los estudiantes a describir otra agrupación de margaritas, rosas y tulipanes que dé 15 flores en cada arreglo. Luego, pídales que encuentren el número total de flores necesarias para hacer 8 de sus arreglos.

¡Cuánto aprendí!

123

Unidad

4

División

Planificación de la unidad Eje central

Objetivos de aprendizaje

Números y operaciones

 Demostrar que comprenden la división en el contexto de las tablas de hasta 10 x 10: - representando y explicando la división como repartición y agrupación en partes iguales, con material concreto y pictórico. - creando y resolviendo problemas en contextos que incluyan la repartición y la agrupación. - expresando la división como una sustracción repetida. - describiendo y aplicando la relación inversa entre la división y la multiplicación. - aplicando los resultados de las tablas de multiplicación hasta 10 x 10, sin realizar cálculos.  Resolver problemas rutinarios en contextos cotidianos, que incluyan dinero e involucren las cuatro operaciones (no combinadas).

Habilidades

Resolver problemas

 Resolver problemas dados o creados.  Emplear diversas estrategias para resolver problemas y alcanzar respuestas adecuadas, como la estrategia de los 4 pasos: entender, planificar, hacer y comprobar.  Transferir los procedimientos utilizados en situaciones ya resueltas a problemas similares. Argumentar y comunicar

 Formular preguntas para profundizar el conocimiento y la comprensión.  Descubrir regularidades matemáticas –la estructura de las operaciones inversas, el valor posicional en el sistema decimal, patrones como los múltiplos– y comunicarlas a otros.  Hacer deducciones matemáticas de manera concreta.  Describir una situación del entorno con una expresión matemática, con una ecuación o con una representación pictórica.  Escuchar el razonamiento de otros para enriquecerse y para corregir errores. Objetivos de aprendizaje transversales y actitudes

124

Unidad 4 - División

 Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.  Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.  Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.

Para trabajar Texto para el estudiante pp. 112-131 Cuaderno de ejercitación

Recursos, evaluación y tiempo Para evaluar  Evaluación diagnóstica Repasa lo que sabes (Texto para el estudiante)  Evaluación formativa ¡Cuánto aprendí! (Texto para el estudiante)

Tiempo estimado Para la unidad 16 a 18 horas Para la prueba sumativa 2 horas

 Evaluación sumativa Pruebas fotocopiables (Guía didáctica del docente)

Modelar

 Aplicar, seleccionar y evaluar modelos que involucren las cuatro operaciones y la ubicación en la recta numérica y en el plano.  Expresar, a partir de representaciones pictóricas y explicaciones dadas, acciones y situaciones cotidianas en lenguaje matemático.  Identificar regularidades en expresiones numéricas y geométricas. Representar

 Utilizar formas de representación adecuadas, como esquemas y tablas, con un lenguaje técnico específico y con los símbolos matemáticos correctos.  Crear un problema real a partir de una expresión matemática, una ecuación o una representación.  Transferir una situación de un nivel de representación a otro (por ejemplo: de lo concreto a lo pictórico y de lo pictórico a lo simbólico, y viceversa).

 Manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades.  Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia.  Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa. Fuente: www.mineduc.cl

Planificación de la unidad

125

Unidad

4

Contexto matemático  Significados de la división La división como repartición Se presenta como la repartición. Es decir, se les da un número total y un número de grupos; la meta es encontrar el número que hay en cada grupo, de manera que en todos los grupos haya la misma cantidad. Esto se puede representar separando un número de fichas en grupos iguales.

1

La división como resta repetida Se da un número total y la cantidad que hay en cada grupo. La meta es encontrar el número de grupos. La resta repetida se demuestra con fichas que se quitan en cantidades iguales a una cantidad inicial, hasta que no quede ninguna ficha. También se demuestra con una recta numérica.  Restos o residuos Algunas de las divisiones de este unidad tienen resto. Los estudiantes aprenden a visualizar el resto demostrando las divisiones con arreglos bidimensionales o matrices de fichas. Hacer las restas repetidas ayuda a entender cómo el tamaño del divisor se relaciona con el tamaño del resto y cómo el resto siempre debe ser menor que el divisor. Cuando se resuelven problemas verbales, los estudiantes deben tener en cuenta el significado del resto en el contexto del problema.  Diagramas de barras para la división Diagramas de partes iguales Un diagrama de partes iguales para la división se parece mucho a un diagrama de partes iguales para la multiplicación.

126

Unidad 4 - División

División

Estos tres astronautas orbitaron la Luna en el Apolo 11 . ¿Cuántos astronautas en total orbitaron la Luna en las misiones de Apolo? Lo averiguarás en la Lección 4 .1 .

112

Diagramas de resta repetida Un diagrama de resta repetida es levemente distinto a cualquier otro diagrama de barras. En un problema de resta repetida no se conoce el número de grupos. Por lo tanto, cuando se hace un diagrama de resta repetida, solo se puede mostrar una sección de la barra.  Relacionar la multiplicación y la división Operaciones inversas Al igual que la adición y la sustracción, la multiplicación y la división son operaciones inversas. Las operaciones inversas se “cancelan” una a la otra. Así, por ejemplo, si se multiplica un número por 5 y luego, el resultado se divide por 5, se vuelve al número inicial. La división invirtió o “canceló” la multiplicación. La relación inversa entre la multiplicación y la división puede expresarse algebraicamente así. Si a : b = c, donde b ≠ 0, entonces b • c = a. Si b • c = a, donde b ≠ 0, entonces a : b = c.

Familias de operaciones Así como hay familias de operaciones de adición y de sustracción, también hay familias de operaciones de multiplicación y de división. 8 • 3 = 24; 24 : 8 = 3; 3 • 8 = 24; 24 : 3 = 8 Una familia de operaciones de multiplicación/división generalmente tiene cuatro operaciones relacionadas. Sin embargo, cuando los dos factores en la multiplicación son iguales, solo hay dos operaciones en la familia. 5 • 5 = 25; 25 : 5 = 5. El uso de familias de operaciones es generalmente la estrategia más eficaz para aprender operaciones de división.

Vocabulario

1

Escoge el mejor término del recuadro . • sumandos • diferencia

• factor • producto

a) El resultado de la multiplicación . es el

2

3

b) En 3 • 5 5 15, el 5 es un

¿Cuánta agua usas cuando te lavas los dientes? Lo averiguarás en la Lección 4 .5 . Un mosaico es un tipo de obra de arte hecha con azulejos . o teselas ¿Cómo representa el mosaico la multiplicación y la división? Lo averiguarás en la Lección 4 .4 .

.

c) La respuesta a un problema de . resta es la Resta

2

Resta . a) 21 2 7 14 2 7 727

b) 15 2 5 10 2 5 525

c) 27 2 9 18 2 9 929

Operaciones de multiplicación

3

Encuentra el producto . a) 5 • 4

b) 7 • 3

c) 3 • 8

d) 9 • 2

e) 6 • 5

f) 4 • 7

g) 6 • 7

h) 8 • 4

i) 5 • 9

 Casos especiales de la división

Grupos iguales

4

Escribir para explicar. En el dibujo hay 9 fichas . Explica por qué el dibujo no muestra grupos iguales . Luego, muestra cómo se puede modificar el dibujo para que muestre grupos iguales .

113

Familias de operaciones con 1 Las familias de operaciones con 1 proveen dos reglas generales de la división: cualquier número dividido por 1 es ese número y cualquier número (menos el 0) dividido por sí mismo es 1. De acuerdo con la propiedad de identidad o elemento neutro de la multiplicación y la propiedad conmutativa de la multiplicación, sabemos que 4 • 1 = 4 y 1 • 4 = 4. TECH

Repasa lo que sabes Objetivo Determinar el nivel de preparación de los estudiantes evaluando su dominio de los conocimientos requeridos.

Familias de operaciones con 0 Las familias de operaciones con 0 proveen dos reglas generales de la división: cualquier número dividido por 0 (excepto 0) es 0 y la división por 0 es indefinida. 3

(place checkmark)

Respuestas 1. a) Producto; b) Factor; c) Diferencia 2. a) 14; 7; 0; b) 10; 5; 0; c) 18; 9; 0 3. a) 20; b) 21; c) 24; d) 18; e) 30; f) 28; g) 42; h) 32; i) 45 4. Revise los dibujos de los estudiantes. Conexión al Mineduc Los objetivos de aprendizaje de esta unidad pueden ser complementados revisando el Programa de Estudios del Mineduc en www.curriculumenlinea.cl o www.curriculumnacional.cl

División

127

Lección

La división como repartición

4.1

Objetivo Utilizar modelos para resolver problemas de división como repartición y anotar las soluciones utilizando oraciones numéricas de división.

¡Lo entenderás! Una manera de pensar en la división es como una repartición por igual .

Contexto matemático La investigación dice… la enseñanza que usa ejemplos de la vida diaria ayuda a los niños a comprender mejor la división (Kouba & Franklin, 1993). En esta lección los niños trabajarán con ejemplos de división basados en la vida diaria. Repartir es una manera de pensar en la división como repartición. Se les da un número total de objetos y un número igual de grupos. Cinco amigos comparten 40 galletas por igual. ¿Cuántas galletas le tocan a cada amigo? [Hay 8 en cada grupo, 40 : 5 = 8. Cada amigo recibe 8 galletas].

¿Cuántos hay en cada grupo? Tres amigos tienen 12 juguetes para compartir por igual . ¿Cuántos juguetes recibirá cada uno? Piensa en colocar los 12 juguetes en 3 grupos iguales . La división es una operación que se usa para averiguar cuántos grupos iguales hay o cuántos hay en cada grupo . grupo Práctica guiada

COMO hacerlo?

Lo ENTIENDES? ?

1

2

Usa fichas o haz un dibujo para resolver . resolver Si hay 15 plátanos y 3 cajas, ¿cuántos plátanos hay en cada caja?

en total total . grupos de

plátanos . plátanos

Completa la división . Usa el dibujo para ayudarte .

8 : 4

Práctica independiente 3

resolver . Usa fichas o haz un dibujo para resolver a) Si hay 18 bolitas y 6 bolsas, b) Si hay 16 crayones y 2 personas, ¿cuántas canicas hay en cada ¿cuántos crayones hay para cada bolsa? persona?

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Por qué se necesitan 3 grupos iguales? [Porque son 3 amigos los que quieren compartir los juguetes por igual]. (2) ¿Cuál es el número total de juguetes? [12]. ¿Qué parte del dibujo muestra el total? [La línea sobre la barra]. ¿Por qué está dividida la barra en tres partes iguales? [Muestra los 3 amigos que comparten los juguetes]. (3) ¿En qué se diferencia la división de la multiplicación? [La división separa un total en grupos iguales. La multiplicación combina grupos iguales para formar un total].

en total . total grupos de

bolitas . bolitas

en total . total grupos de

crayones . crayones

114 Unidad 4

Posibles errores y dificultades Explique que dividir un total por un número no siempre resulta en grupos iguales. Como ejemplo, pida a los estudiantes que intenten representar 12 dividido en 2, 4 y 5 grupos iguales.  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que compartir por igual significa que cada persona o grupo recibe la misma cantidad de objetos. Respuestas 1. 5 plátanos. 2. 2 flores.  Práctica independiente Es posible que los estudiantes tengan dificultad para demostrar un problema de división correctamente. Ayúdelos a completar el ejercicio 3.a). Usen 18 fichas para representar bolitas. Dibujen 6 cajas para representar las bolsas. Pongan el mismo número de fichas en cada caja. Hay tres fichas en cada caja o 3 bolitas en cada bolsa. Respuestas 3. a) 3 bolitas; b) 8 crayones.

128

Unidad 4 - División

Lo que piensas

Coloca los juguetes uno por uno en cada grupo grupo . 12

Lo que escribes

Total Juguetes para cada amigo

Cuando todos los juguetes estén agrupados, habrá 4 en cada grupo . 4

Respuestas 4. a) 2; b) 4

Puedes escribir una división para calcular el número en cada grupo . 12 : 3 = 4 Número de grupos iguales

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 5 a 7. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

Número en cada grupo

Cada amigo recibirá 4 juguetes .

Completa la división . Usa los dibujos para ayudarte . a) 12 : 6 = b) 20 : 5 =

Ejercicio 7 Recuerde a los estudiantes que escojan un método para calcular. ¿Qué pregunta el problema? [¿Qué debe hacer Max para poner 14 calcomanías en 2 carteles de manera que cada cartel tenga la misma cantidad de calcomanías?]. ¿Qué operación debe usar Max para repartir 14 calcomanías entre 2 grupos iguales? [División].

Resolución de problemas

5

Escribir para explicar. Jaime está separando 18 lápices en grupos iguales . Dice que habrá más lápices en cada uno de 2 grupos iguales que en cada uno de 3 grupos iguales . ¿Tiene razón? Explícalo .

6

Había tres astronautas en cada una de las naves Apolo . ¿Cuántos astronautas había en total en las nueve naves Apolo que orbitaron la Luna?

7

Max tiene las calcomanías que se muestran . Quiere colocar la misma cantidad de calcomanías en 2 carteles . ¿Qué oración numérica muestra cómo encontrar el número de calcomanías que tendría que colocar Max en cada cartel? a

14 1 2 5 ■

C

14 2 2 5 ■

B

14 • 2 5 ■

D

14 : 2 5 ■

Respuestas 5. Sí, si hay menos grupos, habrá más en cada grupo. 18 : 2 = 9; 18 : 3 = 6 6. 27 astronautas 7. D División

115

Cierre

 Refuerzo Muestre a los estudiantes cómo repartir 24 lápices por igual entre 6 estudiantes. Pregúnteles cuántos lápices tiene cada estudiante.

Algunos problemas de la vida diaria en los que es necesario unir o separar se solucionan con la división. Repartir o compartir consiste en separar en grupos iguales y es una manera de pensar en la división. Diga: En esta lección aprendieron cómo usar la división para mostrar grupos iguales en situaciones en las que se comparte.

Lección 4.1

129

La división como resta repetida

Lección

4.2

Objetivo Utilizar modelos para resolver problemas de división como resta repetida y anotar las soluciones utilizando oraciones numéricas de división.

¡Lo entenderás! Una manera de pensar en la división es como una resta repetida .

¿Cómo divides usando la resta? Bernardo tiene 8 huesos . Él come 2 huesos cada día . ¿Para cuántos días le alcanzan los huesos?

Contexto matemático La resta repetida es otra manera de pensar en la división. Se da un número total de objetos y el número de objetos que hay en cada grupo. Para demostrar la división, los estudiantes restan repetidamente un grupo de objetos y luego, los cuentan para encontrar el número de grupos. Por ejemplo: Lucía tiene 28 bloques. Necesita 7 bloques para construir una pared. ¿Cuántas paredes puede construir? Una manera de resolver este problema es restándole grupos de 7 a 28 hasta llegar a 0. Hay 4 grupos de 7 en 28, por lo que 28 : 7 = 4.

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cuántos huesos tiene el perro? [8]. ¿Cuántos huesos por día come el perro? [2]. (2) ¿Por qué empiezan a restar desde 8? [El perro tiene 8 huesos antes de empezar a comerlos]. En la resta del Día 1, ¿qué representa cada número? [8 es el número de huesos que tiene el perro; 2 es el número de huesos que come el Día 1; 6 es el número de huesos que le quedan]. Repita para los Días 2 a 4. ¿Cuántos grupos de 2 huesos se restaron? [4]. Posibles errores y dificultades Algunos niños podrían confundir el número de grupos con el número en cada grupo. Pídales que cuenten los grupos y los huesos individuales de un grupo para comprobar los números.

¿Cuántos grupos iguales? Julia va a servir 10 frutillas a sus invitados . Si cada invitado come 2 frutillas, ¿a cuántos invitados puede servir Julia?

Unidad 4 - División

2

? invitados

frutillas para cada invitado

Otra manera

Una manera

Puedes usar la resta repetida para encontrar cuántos grupos de 2 hay en 10 . 10 2 2 5 8 8 2 2 5 6 Puedes restar 2, cinco 6 2 2 5 4 veces . Hay cinco grupos de 2 en 10 . 42252 2 2 2 5 0 No queda ninguna frutilla . Julia puede servir a 5 invitados .

Puedes escribir una división para encontrar la cantidad de grupos . Escribe: 10 : 2 5 5 Lee: Diez dividido por 2 es igual a 5 . Julia puede servir a 5 invitados .

Práctica guiada COMO hacerlo? 1

Resta una y otra vez . Escribe los números . Santiago tiene 6 zanahorias, come 2 por día . ¿Durante cuántos días puede comer 2 zanahorias hasta que no puede ninguna? 6 – 2 = 4 días – = – = 0

Lo ENTIENDES? ? 2

Tamara tienen 20 animales de peluche . Juega con 5 cada día . ¿Durante cuántos días puede jugar con sus peluches, sin repetirlos? Usar la misma estructura del ejercicio 1 . ¿Obtuvo tu compañero el mismo resultado? ¿Les resultó difícil resolver el problema?

114 Unidad 4

 Otro ejemplo ¿Cuál es el número total de frutillas? [10]. ¿Qué parte del diagrama muestra el total? [La línea sobre la barra]. ¿Por qué hay un 2 en la caja? [Este muestra que cada persona recibe 2 fresas]. ¿Qué representa la flecha? [La flecha muestra el número de personas que recibirán 2 fresas]. ¿Cómo saben cuándo deben parar de restar? [Se para cuando se llega a 0. Entonces se sabe que no quedan más grupos de 2 por restar]. Posibles errores y dificultades Es posible que algunos estudiantes paren después de la primera resta. Recalque que la resta repetida es una estrategia y que el número de veces que se resta es la solución.  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que, con la resta repetida del número de objetos o cosas que hay en cada grupo, encontrarán el número de grupos. Respuestas 1. 3 días 2. 4 días

130

10 frutillas

Otro ejemplo

 Práctica independiente Anime a los estudiantes a hacer un dibujo o a usar fichas para resolver estos problemas.

Resta la cantidad de huesos que come cada día . Empieza con 8 . Resta hasta que no queden huesos . huesos

Día 3

Día 4

8–2=6 6–2=4 4–2=2 Bernardo puede comer 2 huesos durante 4 días . Por lo tanto, 8 : 2 = 4

Día 1

Día 2

2–2=0

Respuestas 3. a) 4 meses; b) 7 días  Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 4 a 9. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

Práctica independiente 3

resolver . Resta una y otra vez, para resolver a) La mamá de Mateo compra 12 lápices para el año . Si Mateo usa 3 lápices cada mes, ¿cuántos meses durarán los lápices que le compró su mamá?

b) Federico tiene 28 cartas . Si al jugar pierde 4 diarias, ¿en cuántos días se quedaría sin cartas?

Resolución de problemas

5

4

Julia tenía 12 frutillas y cada invitado comió 2 frutillas . ¿A cuántos invitados pudo servir? Usa fichas o haz un dibujo para resolver . resolver

6

7 Sentido numérico. José quiere Razonamiento. María y Tomás tienen 16 libros cada uno . María exhibir 16 modelos de aviones . lee 4 libros al mes . Tomás lee 2 al ¿Necesitará más estantes si pone mes . ¿Quién terminará antes de 8 modelos en cada estante o si leer los libros? ¿Cuántos meses pone 4 en cada estante? Explica . tardará cada uno? Sentido numérico. Muestra cómo puedes usar la resta repetida para encontrar cuántos grupos de 4 hay en 20 . Luego, escribe la división para el problema .

8 9

Ejercicio 9 Anime a los estudiantes a convertir la pregunta en un enunciado. ¿Qué quieren encontrar? [Busco una oración numérica que muestre cuántos floreros necesita Antonio para poner 12 flores, si pone 4 flores en cada florero].

David tiene tomates . . Usa 3 diarios para el almuerzo . almuerzo ¿Cuántos días podrá hacer ensalada de tomates?

Antonio tiene 6 tulipanes y 6 margaritas . Quiere colocar 4 flores en cada florero . ¿Qué oración numérica representa los floreros que necesita? a

12 1 4 5 16

B

12 2 4 5 8

C

6 • 4 5 24

D

12 : 4 5 3 División

115

Cierre Algunos problemas de la vida diaria en los que es necesario unir o separar grupos iguales o hacer comparaciones se solucionan con la división. La resta repetida consiste en separar en grupos iguales y es una manera de pensar en la división. Diga: En esta lección aprendieron cómo usar la resta repetida y la división para encontrar el número de grupos iguales.

Respuestas 4. 6 invitados. 5. Ejemplo de respuesta: No se puede hacer porque falta información. 6. María; María tardará 4 meses y Tomás tardará 8 meses 7. 4 en un estante; 16 : 8 = 2 y 16 : 4 = 4. 8. 5 9. D  Refuerzo Muestre a los estudiantes cómo usar la resta repetida para resolver el siguiente problema: Simón tiene 27 huevos duros para servir en un picnic. Si sirve 3 huevos a cada persona, ¿a cuántas personas les podrá servir?

Lección 4.2

131

Lección

Escribir cuentos sobre división

4.3

Objetivo Escribir y resolver cuentos numéricos sobre división.

¡Lo entenderás! Se puede usar la división para encontrar el número en cada grupo o los números de grupos iguales .

Contexto matemático Los estudiantes reconocen situaciones en las que se usa la división para encontrar el número de grupos iguales o el número que hay en cada grupo. A medida que los estudiantes escriben un cuento sobre división, demuestran su comprensión del significado de la división. Pida a los estudiantes que piensen por qué pueden resolver los problemas usando la división.

¿Cuál es la idea principal de un cuento sobre división? La profesora pidió a sus estudiantes que escribieran un cuento sobre división para 15 : 3 5 ■ . Manuel y Laura decidieron escribir cuentos sobre colocar rosas en floreros .

Práctica guiada 1

Escribe un cuento sobre división para cada una de las oraciones numéricas . Luego, usa fichas o haz un dibujo para resolverlas . a) 10 : 2 5 b) 14 : 7 5

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) Presten atención a la oración numérica. ¿Qué debe representar el 15? [15 es el número total de rosas]. ¿Qué podría representar el 3 en los cuentos? [El 3 podría ser el número de floreros o cuántas rosas se van a poner en cada florero]. (2) Expliquen cómo muestra el diagrama de barras el cuento de Manuel. [La línea muestra que hay un total de 15 rosas. Cada una de las tres partes de la barra muestra los 3 floreros. El 5 en cada parte muestra que hay 5 rosas en cada florero]. (3) Expliquen cómo muestra el diagrama de barras el cuento de Laura. [La línea muestra que hay un total de 15 rosas. El 3 en la barra pequeña muestra que se pondrán 3 rosas en cada florero. La flecha de la derecha muestra que para todas las rosas se necesitan 5 floreros con 3 rosas en cada uno].

2

¿En qué se parecen los cuentos de Manuel y de Laura? ¿En qué se diferencian los dos cuentos?

3

Escribir para explicar. Cuando escribes un cuento sobre división, ¿qué información necesitas incluir? ¿Qué tipo de información necesitas pedir?

Práctica independiente 4

Escribe un cuento sobre división para cada una de las oraciones numéricas . Luego, usa fichas o haz un dibujo para resolver resolver . a) 25 : 5 5 b) 16 : 4 5 c) 30 : 6 5

5

Sentido numérico. Escoge dos de los cuentos que escribiste para los ejercicios de arriba . En cada uno, indica si encontraste el número de objetos en cada grupo o el número de grupos iguales .

114 Unidad 4

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que un número se puede dividir por el número de grupos o por el número de objetos que hay en cada grupo. Respuestas 1. Revise los cuentos de los estudiantes. a) 5; b) 2 2. Se parecen: Ambos se resuelven dividiendo 15 por 3. Se diferencian: El cuento de Manuel muestra la repartición, el cuento de Laura la resta repetida. 3. El número total y también el número en cada grupo o el número de grupos.  Práctica independiente Es posible que los estudiantes tengan dificultad para escribir cuentos sobre división. Comente situaciones en las que usted quizá quiera formar grupos iguales, tal como un grupo igual de personas en cada equipo deportivo o compartir algo por igual con sus amigos, como juguetes o calcomanías. Use el ejercicio 4.a) como ejemplo. ¿Qué representaría el 25 en un cuento sobre división? [El número total]. ¿Qué representaría el 5? [El número en cada grupo o el número de grupos].

132

Unidad 4 - División

Rosas en cada florero

Respuestas 4. Revise los cuentos de los estudiantes. a) 5; b) 4; c) 5 5. Las respuestas variarán.

El cuento de Laura

El cuento de Manuel

Tengo que poner 15 rosas en floreros . Quiero poner 3 rosas en cada florero . ¿Cuántos floreros necesitaré? Idea principal: 15 rosas ¿Cuántos 5 floreros 3 grupos hay?

Tengo 15 rosas rosas . Quiero tener el mismo número de rosas en cada uno de los 3 floreros . ¿Cuántas rosas debo poner en cada florero? 15 rosas Idea principal: ¿Cuántas en 5 5 5 cada grupo? 15 : 3 = 5

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 6 a 8. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

15 : 3 = 5

Rosas en cada florero

Necesitaré 5 floreros .

Debo poner 5 rosas en cada florero . Resolución de problemas

6

7

8

La tabla muestra el número de jugadores que se necesita para cada tipo de equipo de deportes . Hay 36 estudiantes de 3º básico en el campamento de deportes que quieren jugar en diferentes equipos .

Equipo de deportes

Número

Fútbol

11 jugadores

Basquetbol

5 jugadores

Tenis

2 jugadores

a) Si todos quieren jugar al fútbol, ¿cuántos equipos habrá?

b) Escribir para explicar. ¿Podrían jugar al basquetbol todos al mismo tiempo? ¿Por qué sí o por qué no?

c) Veinte de los estudiantes de 3º nadar . El resto básico fueron a nadar jugó tenis dobles . ¿Cuántos equipos de tenis dobles había?

d) Dos equipos de fútbol y dos equipos de basquetbol están jugando un partido al mismo tiempo . El resto de los campistas están jugando al tenis . ¿Cuántos campistas están jugando al tenis?

Ejercicio 6.b) Es posible que los estudiantes tengan dificultad para comprender por qué no todos pueden jugar basquetbol a la vez. ¿Cuántos equipos completos de basquetbol se pueden formar con 36 jugadores? [7 equipos]. ¿Cuántos jugadores sobrarían? [1 jugador].

Carmen va en bicicleta a la escuela de 3 a 5 veces por semana . ¿Aproximadamente, cuántas veces irá en bicicleta a la escuela en 4 semanas? a

Más de 28

C

De 14 a 28

B

De 12 a 20

D

Menos de 12

En una entrada, cada pelota de béisbol fue usada para 7 lanzamientos . Escribe una oración numérica que muestre el número de lanzamientos durante esa entrada .

Se usaron 4 pelotas de béisbol en cada entrada . entrada

División

115

Cierre Algunos problemas de la vida diaria en los que es necesario unir o separar o hacer comparaciones pueden resolverse con la división. La repartición y la resta repetida consisten en separar grupos iguales y son dos maneras de pensar en la división. Diga: En esta lección aprendieron cómo escribir y resolver cuentos sobre división.

Ejercicio 6.c) Si los estudiantes tienen dificultad con este problema, pregunte: ¿Cuántos estudiantes de 3º básico no fueron a nadar? [16 estudiantes]. ¿Cuántos equipos de tenis se pueden formar con 16 jugadores? [8 equipos]. Respuestas 6. a) 4 equipos; b) No, 36 no se puede dividir en grupos iguales de 5.; c) 8 equipos; d) 18 campistas. 7. B 8. 4 • 7 = 28 lanzamientos.  Refuerzo Cuente dos cuentos distintos sobre división para 24 : 8 = ? Uno debe mostrar la repartición y el otro la resta repetida. Luego, use cada método para resolver el problema.

Lección 4.3

133

Relacionar la multiplicación y la división

Lección

4.4

Objetivo Dar una operación de multiplicación, enunciar una división relacionada y viceversa.

¡Lo entenderás! Las familias de operaciones muestran cómo se relacionan la multiplicación y la división .

Contexto matemático La investigación dice… a los estudiantes les son útiles las experiencias que les ayudan a relacionar la multiplicación con la división (Mulligan & Mitchelmore, 1997). La multiplicación y la división tienen una relación inversa. La multiplicación reúne grupos equivalentes y la división separa grupos equivalentes a partir de un número dado de objetos. Las matrices ilustran con claridad la relación que existe entre la multiplicación y la división. Los estudiantes pueden ver que el número total de objetos es igual al producto de la(s) oración(es) de multiplicación y el dividendo de la(s) oración(es) de división relacionadas. Pueden ver también que el número de objetos en cada fila y columna son tanto los factores como el divisor y el cuociente. El uso de material concreto para demostrar operaciones de multiplicación y división con matrices puede promover la comprensión de la relación entre las dos operaciones.

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cuántas pelotas tiene Mariana? [12]. ¿Cuántas pelotas caben en cada tarro? [3]. ¿Qué respuesta debo encontrar? [¿Cuántos tarros necesita?]. (2) ¿Qué operación me sirve para encontrar la respuesta? [División]. (3) ¿Por qué necesita 4 tarros? [Porque 12 pelotas, repartidas en grupos de 3, me da 4].

134

Unidad 4 - División

¿Cómo pueden ayudarte a dividir las operaciones de multiplicación? Mariana tiene 12 pelotas para guardar en tarros . En cada tarro caben 3 pelotas de tenis . ¿Cuántos tarros necesita?

¿Cómo dividimos usando matrices o arreglos bidimensionales? División Multiplicación 30 tambores en 5 filas iguales 5 filas de 6 tambores 30 : 5 5 6 5 • 6 5 30 30 tambores 6 tambores en cada fila

Otro ejemplo

Una familia de operaciones muestra cómo se relacionan la multiplicación y la división . El dividendo es el número de Familia de operaciones para 5, 6 y 30: dividir . objetos que se van a dividir 5 • 6 5 30 30 : 5 5 6 El divisor es el número por el cual 6 • 5 5 30 30 : 6 5 5 se divide otro número . El cuociente (o cociente) es el cuociente resultado de un problema de división . dividendo divisor Práctica guiada ENTIENDES 1

2

5 36 5 28 b) 6 • a) 4 • 36 : 6 5 28 : 4 5

Sentido numérico. ¿Qué operación de multiplicación puede ayudarte a encontrar 54 : 6?

3

5 18 d) 8 • 5 32 c) 2 • 18 : 2 5 32 : 8 5

Mira la familia de operaciones para 5, 6 y 30 . ¿Qué observas en los productos y en los dividendos?

4

Escribir para explicar. ¿Es 4 • 6 5 24 parte de la familia de operaciones para 3, 8 y 24? Explícalo a tu grupo de trabajo .

Usa fichas o haz un dibujo como ayuda .

114 Unidad 4

 Otro ejemplo Describan la matriz. [La matriz muestra 5 filas de tambores con 6 tambores en cada fila]. ¿En qué se parecen las cuatro oraciones numéricas? [Todas tienen los mismos números: 5, 6 y 30]. ¿En qué se diferencian? [Dos oraciones son oraciones de multiplicación y dos son oraciones de división. Los números aparecen en orden distinto en cada oración]. ¿Qué notan en el producto y el dividendo? [Son el mismo número]. ¿Por qué son iguales? [Tanto el producto como el dividendo muestran el número total de objetos].  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que la multiplicación y la división son operaciones inversas. El producto de una operación de multiplicación es el dividendo relacionado de una operación de división. También los factores son el cuociente y el dividendo. Respuestas 1. a) 7; 7; b) 6; 6; c) 9; 9; d) 4; 4 2. 6 • 9 = 54 3. Son el mismo número. 4. No, la familia de operaciones para 3, 8 y 24 usa solamente los números 3, 8 y 24.

 Práctica independiente Si los estudiantes tienen dificultad para completar las oraciones de multiplicación y división, pídales que hagan una matriz.

3 • 4 = 12 Por lo tanto, 12 : 3 = 4 Mariana necesita 4 tarros .

Puedes usar la multiplicación como ayuda para dividir dividir . Hay 12 pelotas . Hay que poner 3 pelotas en cada tarro . ¿3 multiplicado por qué número es 12? 3 • ■ = 12

Respuestas 5. a) 2; 2; b) 7; 7; c) 8; 8; d) 4; 4; e) 9; 9; f) 7; 7 6. 5 • 8 = 40; 8 • 5 = 40; 40 : 5 = 8; 40 : 8 = 5

Práctica independiente 5

Completa . Usa fichas o haz un dibujo como ayuda . 5 16 5 35 b) 5 • a) 8 • 16 : 8 5 35 : 5 5 5 36 d) 9 • 36 : 9 5

6

e)

5 27 3 • 27 : 3 5

5 48 c) 6 • 48 : 6 5

f)

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los Ejercicios 7 a 10. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

5 56 8 • 56 : 8 5

Escribe la familia de operaciones para 5, 8 y 40 .

Resolución de problemas

7

9

Escribir para explicar. ¿Por qué la familia de operaciones para 2 • 2 5 4 tiene solamente dos operaciones?

8

Hay 3 filas de payasos en un desfile . Cada fila tiene 8 payasos . Hacia el final del desfile necesitaron ir 3 payasos . ¿Cuántos payasos quedaron en el desfile?

¿Qué número falta para que esta oración numérica sea verdadera?

■ : 359 a

10

3

B

12

C

18

D

27

Escribe una familia de operaciones para describir esta matriz de azulejos .

División

115

Cierre y evaluación La multiplicación y la división tienen una relación inversa. Diga: En esta lección aprendieron cómo escribir oraciones de multiplicación y división relacionadas de la misma familia.

Ejercicio 7 Es posible que algunos estudiantes tengan dificultad para explicar por qué solo hay dos operaciones en la familia de operaciones. Pídales que hagan una matriz para ayudarse a explicar. ¿Cuántas filas hay y cuántas fichas hay en cada fila? [Hay 2 filas con 2 fichas en cada fila]. ¿Hay una segunda oración de multiplicación que se puede escribir para la matriz 2 • 2? [No, los factores son iguales]. ¿Cuántas oraciones de división se pueden escribir sobre esa matriz? ¿Por qué? [Hay una oración de división porque el divisor y el cuociente son iguales]. ¿Cómo les ayuda esto a encontrar el número que falta? [El producto es igual al dividendo]. Respuestas 7. Porque los dos factores son el mismo número. 8. 21 payasos 9. D 10. 8 • 8 = 64; 64: 8 = 8

Lección 4.4

135

Familias de operaciones con 2, 3, 4 y 5

Lección

4.5

Objetivo Dar los cuocientes para operaciones de división básicas con los divisores 2, 3, 4 y 5.

¡Lo entenderás! Las operaciones de multiplicación pueden ser útiles para resolver problemas de división .

¿Qué operaciones de multiplicación puedes usar? Paula tiene 14 pitos serpiente . Pone el mismo número de ellos en 2 mesas . ¿Cuántos habrá en cada mesa? Lo que piensas

Contexto matemático Pensar en la operación de multiplicación relacionada es la estrategia más eficaz para encontrar operaciones de división. 42 : 6 = ? Piensa: ¿Qué número multiplicado por 6 es igual a 42? La relación inversa entre la multiplicación y la división puede ilustrarse con matrices y familias de operaciones. Seis filas de 7 columnas pueden describirse usando una de estas cuatro operaciones.

14 : 2 5 7 Habrá 7 pitos serpiente en cada mesa .

2 • 7 5 14

Práctica guiada COMO 1

Completa cada familia de operaciones . a) 2 • 7 5 14 14 : 2 5 7 b) 5 • 8 5 40 40 : 5 5 8

2

Encuentra los cuocientes . a) 27 : 3

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿De qué manera les ayuda a dividir pensar que 2 multiplicado por qué número es 14? [Es una operación de multiplicación relacionada]. ¿Qué operación de división pueden escribir? [14 : 2 = 7]. ¿Cómo saben que 2 • 7 = 14 y 14 : 2 = 7 están en la misma familia de operaciones? [Tienen los tres mismos números]. (2) ¿Qué operación de multiplicación puede ayudar a resolver este problema? [5 • 8 = 40]. ¿Cuál es la operación de división relacionada? [40 : 5 = 8]. (3) ¿Qué matriz pueden dibujar para ayudarse a resolver el problema? [Se podrían dibujar 15 vasos en 3 filas iguales. Luego se podrían contar los vasos que hay en cada fila].

Lo que escribes

¿2 veces qué número es 14?

b) 16 : 4

c) 40 : 4

3

Identifica el dividendo, el divisor y el cuociente en el ejercicio 2c .

4

Sentido numérico. ¿Cómo puedes decir que 15 : 3 es mayor que 15 : 5 sin hacer la división?

5

¿Cómo puedes usar la multiplicación para encontrar 36 dividido por 4? ¿Qué opina tu compañero sobre tu resultado?

Práctica independiente 6

Encuentra los cuocientes . a) 10 : 2

b) 25 : 5

e) 12 dividido por 2 .

f)

c) 21 : 3 Divide 20 por 5 .

d) 45 : 5 g) 32 dividido por 4 .

114 Unidad 4

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que piensen en una oración de multiplicación relacionada para encontrar el cuociente. Procure que en los problemas de división vertical los estudiantes alineen los cuocientes, según el valor de posición, sobre los dividendos. Respuestas 1. a) 7 • 2 = 14; 14 : 7 = 2; b) 8 • 5 = 40; 40 : 8 = 5 2. a) 9; b) 4; c) 10 3. Dividendo: 40, divisor: 4, cuociente: 10 4. Ejemplo de respuesta: Cuando aumenta la cantidad de objetos en cada grupo, disminuye la cantidad de grupos. 5. ¿4 veces qué número es igual a 36? 4 • 9 = 36; por lo tanto, el cuociente es 9.  Práctica independiente Es posible que los estudiantes tengan dificultad para pensar en las oraciones de multiplicación relacionadas. Pídales que rellenen los espacios en blanco de una oración para que se ayuden. Use el ejercicio 6.a) como un ejemplo: ¿Qué número es el divisor? [2]. ¿Qué número es el dividendo? [10]. ¿2 multiplicado por qué número es 10? [5].

136

Unidad 4 - División

Paula tiene 40 calcomanías calcomanías .Coloca 5 calcomanías en cada bolsa . ¿Cuántas bolsas puede decorar? Lo que escribes

Lo que piensas

40 : 5 5 8

¿3 veces qué número es 15?

Lo que piensas

¿5 veces qué número es 40?

Paula puede decorar 8 bolsas .

5 • 8 5 40

7

Lo que escribes

15 : 3 5 5

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 9 a 15. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

Paula colocará 5 vasos en cada fila .

3 • 5 5 15

Álgebra. Encuentra los números que faltan . a) 2 •

5

8

d) 7 • 4 5 8

Respuestas 6. a) 5; b) 5; c) 7; d) 9; e) 6; f) 4; g) 8 7. a) 4; b) 5; c) 6 ; d) 28; e) 8; f) 4 8. a) > ; b) > ; c) <

Paula quiere colocar 15 vasos en 3 filas sobre la mesa mesa . ¿Cuántos vasos colocará en cada fila?

b)

c)

15 : 3 5

e)

f)

• 5 5 40

:352

32 :

5

8

Sentido numérico. Escribe , o . para comparar comparar . a) 4 • 2 s 4 : 2

b)

c) 5 1 8 s 5 • 8

2 • 3s6:2

Ejercicio 13 Si los estudiantes tienen dificultad para resolver este problema de varios pasos, anímelos a separar el problema en partes más pequeñas. ¿Cuánto es 15 monedas de $1 y 3 monedas de $10? [45 pesos]. ¿Cuántas monedas de $5 son 45 pesos? [9 monedas de $5].

Resolución de problemas

9

Escribir para explicar. Gabriel dice: “No puedo resolver 8 : 2 usando la operación 2 • 8 5 16” . ¿Estás de acuerdo? Explica .

10

Marcelo quiere comprar un autito que vale $490 y 3 motos de juguete de $10 . ¿Cuánto gastará en total?

11

Cuándo te lavas los dientes ocupas: ¿2 litros de agua o 1 taza? ¿Por qué?

12

13

Clemente tiene 15 monedas de $1 y 3 monedas de $10 . Francisco tiene la misma cantidad de dinero, pero solo tiene monedas de $5 . ¿Cuántas monedas tiene?

Ana quiere hacer una matriz con 2 filas de 8 fichas y otra matriz con 3 filas de 5 fichas . ¿Cuántas fichas necesita en total?

14

Martín compró 3 bolsas de bolitas con 5 bolitas en cada bolsa . Le dio 4 bolitas a Marcia . ¿Cuántas bolitas le quedaron a Martín? a

15

11

B

15

C

19

D

21

Angélica ayudó a su amiga a colocar 40 sillas para una reunión . Colocaron las sillas en 5 filas iguales . Escribe una división para mostrar el número de sillas en cada fila . ¿Qué operación de multiplicación podrías usar para ayudarte a dividir? División

115

Cierre La relación inversa entre la multiplicación y la división puede ser usada para encontrar operaciones de división: cada operación de división tiene una operación de multiplicación relacionada. Diga: En esta lección aprendieron cómo usar operaciones de multiplicación relacionadas en familias de operaciones para dividir por 2, 3, 4 y 5.

Respuestas 9. Sí; Gabriel debería pensar: “¿2 veces qué número es igual a 8?” 2 • 4 = 8; por lo tanto, 8 : 2 = 4. 10. $520 11. A diez tazas. 12. 31 fichas cuadradas. 13. 9 monedas de $5. 14. A 15. 40 : 5 = 8; 5 • 8 = 40  Refuerzo Pida a los estudiantes que escriban en un trozo grande de cartulina gruesa o en una hoja de cartelón la familia de operaciones de 3, 4 y 12. Luego pídales que rotulen esas oraciones numéricas con las siguientes palabras de vocabulario: factor, producto, dividendo, divisor y cuociente.

Lección 4.5

137

Familias de operaciones con 6, 7,8 y 9

Lección

4.6

Objetivo Dar los cuocientes para operaciones de división básicas con los divisores 6, 7, 8 y 9.

¡Lo entenderás! Se pueden usar las operaciones de multiplicación con 6, 7 ,8 y 9 para dividir .

Contexto matemático Recuerde a los estudiantes que conocer una operación de división relacionada con una familia de operaciones también puede ayudarlos a encontrar una operación de división desconocida. Por ejemplo, si los estudiantes saben que 28 : 4 = 7, pueden usar esa operación para encontrar 28 : 7. Continúe enfatizando la relación entre las operaciones de multiplicación y de división. Para encontrar el cuociente de casi todas las operaciones de división que tienen 8 y 9 de divisor, pueden usar las operaciones relacionadas con divisores hasta 7. A partir de ahí, solo necesitarán aprender 3 familias de operaciones de división: la familia de operaciones para 64 : 8 = 8, para 72 : 8 = 9 y para 81 : 9 = 9.

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Por qué dividen para resolver un problema? [Se sabe el número total de perros y el número de perros que hay en cada grupo. Se divide para encontrar cuántos grupos iguales habrá]. (2) ¿Cómo ayuda saber una operación de multiplicación para dividir? [Cada operación de multiplicación pertenece a una familia de operaciones que también tiene operaciones de división. Si se sabe el total y el número de grupos iguales, se puede encontrar cuántos hay en cada grupo]. (3) ¿Por qué hay menos grupos cuando entra otro perro? [Si el número en cada grupo aumenta, no puede haber tantos grupos].

138

Unidad 4 - División

¿Cómo divides por 6 y 7? 48 perros participan en una exhibición de perros . El juez quiere que haya 6 perros en cada grupo . ¿Cuántos grupos habrá? Escoge una operación. Divide para encontrar cuántos grupos .

Práctica guiada COMO hacerlo?

Lo ENTIENDES? ?

1

3

Sentido numérico. ¿Cómo puedes decir sin dividir que 42 : 6 será mayor que 42 : 7?

4

Escribe la familia de operaciones para 7, 8 y 56 .

5

Hay 54 niños en 6 cursos de ballet . Cada curso tiene el mismo número de niños . ¿Cuántos niños hay en cada curso?

Completa la familia de operaciones . 8 • 6 5 48 48 : 6 5 8

2

Encuentra los cuocientes . a) 12 : 6

b) 32 : 8

c) 42 : 6

d) 14 : 7

e) 77 : 7

f)

63 : 9

Práctica independiente 6

7

Encuentra los cuocientes . a) 32 : 8

b) 28 : 7

c) 18 : 9

d) 48 : 8

e) 81 : 9

f) 27 : 9

g) 45 : 5

h) 54 : 9

i) 54 : 6

j)

k) 56 : 8

l)

28 : 4

40 : 8

m) 90 dividido por 9 .

n) Divide 40 por 8 .

ñ) 56 dividido por 8 .

o) 81 dividido por 9 .

p) Divide 45 por 9 .

q) 88 dividido por 8 .

Escribe las familias de operaciones de los números en los ejercicios o y p. ¿En qué se diferencian las familias de operaciones?

114 Unidad 4

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que piensen en operaciones relacionadas en una familia de operaciones para encontrar el cuociente. Respuestas 1. 6 • 8 = 48; 48 : 8 = 6 2. a) 2; b) 4; c) 7; d) 2 ; e) 11 ; f) 7 3. Ejemplo de respuesta: Cuando aumenta la cantidad de objetos en cada grupo, disminuye la cantidad de grupos. 4. 7 · 8 = 56, 8 • 7 = 56, 56 : 7 = 8, 56 : 8 = 7 5. 9 niños  Práctica independiente Es posible que los estudiantes tengan dificultad para encontrar y escribir cuocientes de dos dígitos. Recuérdeles que piensen en las operaciones de multiplicación relacionadas que conocen.

Encuentra 48 : 6 . Lo que piensas

Lo que escribes

¿Qué número multiplicado por 6 es igual a 48? 8 • 6 5 48

48 : 6 5 8

participar . Entra otro perro a participar Ahora hay 7 perros en cada grupo . ¿Cuántos grupos habrá ahora? Encuentra 49 : 7 . Lo que piensas

Habrá 8 grupos . grupos

Lo que escribes

¿Qué número multiplicado por 7 es igual a 49? 7 • 7 5 49

Respuestas 6. a) 4; b) 4; c) 2; d) 6; e) 9; f) 3; g) 9; h) 6; i) 9; j) 7; k) 7; l) 5; m) 10; n) 5; ñ) 7; o) 9; p) 5; q) 11 7. 81 : 9 = 9; 9 • 9 = 81; 45 : 5 = 9; 45 : 9 = 5; 9 • 5 = 45; 5 • 9 = 45

49 : 7 5 7

Habrá 7 grupos .

Resolución de problemas

8

Álgebra. Escribe , o . para comparar comparar . b) 65 s 8 • 8 a) 36 : 9 s 9

9

Usa la tabla para responder responder . a) Pedro ganó 50 tickets y quiere canjearlos por algo igual para él y sus dos hermanos . ¿Qué puede llevar? b) Florencia quiere un llavero, pero le faltan 9 tickets. ¿Cuántos tickets tiene? c) ¿Cuántos tickets se necesitan para canjear 5 silbatos? d) Elisa ha ganado la misma cantidad de tickets en 4 juegos. Si tiene 32 tickets, ¿cuántos ganó cada vez?

c)

63 : 9 s 8

Canje de premios Premio

Cantidad de tickets

Yoyó

16

Pelota saltarina

10

Figura articulada

40

Anillo o colgante

9

Silbato

8

Llavero

27

Ejercicio 11 Recuerde a los estudiantes que deben escoger un método de cálculo. ¿Qué operación sugieren las 6 balsas que llevan 8 personas? [Multiplicación]. ¿Cuál de las respuestas es una oración numérica relacionada de la misma familia de operaciones? [48 : 6 = 8].

10

En las últimas 2 horas en la tienda de canje recibieron 81 tickets sólo por anillos o colgantes . ¿Cuántos anillos o colgantes se canjearon?

11

Hay 6 balsas en el río . Cada balsa lleva 8 personas . ¿Qué oración numérica está en la familia de operaciones de estos números?

12

El auditorio de la escuela tiene 182 asientos . Hay personas sentadas en 56 de esos asientos . ¿Cuál es la mejor estimación del número de asientos en los que no hay personas sentadas?

a

a

48 – 6 = 42

20

B

B

48 : 6 = 8

120

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 8 a 12. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

C

C

48 + 6 = 54

240

D

D

48 – 8 = 40

250 División

115

Cierre La relación inversa entre la multiplicación y la división puede usarse para encontrar operaciones de división; cada operación de división tiene una operación de multiplicación relacionada. Diga: En esta lección aprendieron cómo las familias de operaciones pueden ayudar a dividir por 6, 7, 8 y 9.

Respuestas 8. a) ; c) < 9. a) Puede llevar uno de estos grupos: 3 yoyó, 3 pelotas saltarinas, 3 anillos o colgantes o 3 silbatos; b) 18; c) 40; d) 8 10. 9 11. B 12. B  Refuerzo Pida a parejas de estudiantes que jueguen este juego. Use 16 tarjetas de fichero rotuladas 6, 7, 12, 14, 18, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 48, 49, 54, 56 y 63. Mézclelas y muéstrelas una a la vez. El compañero 1 toma tarjetas con números divisibles por 6, sin residuo. El compañero 2 toma tarjetas con números divisibles por 7, sin residuo. El primer jugador que reúna 8 tarjetas gana.

Lección 4.6

139

Hacer un dibujo y escribir una oración numérica

Lección

4.7

Objetivo Resolver problemas de división que involucren la repartición y la resta repetida, haciendo un dibujo y escribiendo una oración numérica.

¡Lo entenderás! Un dibujo puede mostrar información que puede ser usada para escribir una oración numérica .

Resolución de problemas

Alicia está ordenando sus juguetes . Tiene 48 juguetes . Va a colocar 8 juguetes en cada fila . ¿Cuántas filas puede hacer?

Contexto matemático Hacer dibujos y escribir oraciones numéricas son dos maneras de representar lo que sabemos y lo que necesitamos encontrar en un problema verbal. Los estudiantes han completado oraciones numéricas en las lecciones anteriores. Una oración numérica tiene un signo de relación ( o =) y números. Suele tener al menos una operación. Es posible que tenga un símbolo que represente un valor desconocido. En esta lección, las oraciones numéricas mostrarán una igualdad. Antes de que los estudiantes puedan escribir oraciones numéricas, deben leer y comprender el problema. Hacer un dibujo puede ayudarlos a que visualicen lo que saben, lo que necesitan encontrar y qué operación (operaciones) usarán para encontrar la respuesta. Algunos estudiantes encontrarán de utilidad decir cómo resolverían el problema y escribir el proceso con palabras antes de escribirlo con símbolos.

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cuántos juguetes hay en total? [48]. ¿Cuántos juguetes van a colocar en cada fila? [8 juguetes]. (2) ¿Qué parte del modelo muestra cuántos juguetes hay? [El segmento de recta que está sobre el rectángulo]. ¿Por qué el rectángulo que está debajo del segmento de recta está dividido en 8 partes iguales? [Para mostrar las 8 filas].

140

Unidad 4 - División

Práctica guiada COMO hacerlo?

Lo ENTIENDES? ?

1

2

Explica a tu grupo cómo puedes comprobar el cuociente de la división usando la multiplicación o la adición .

3

Escribe un problema. Escribe un problema de la vida diaria que puedas resolver restando . Dibuja un diagrama . Escribe una oración numérica y resuélvela . Comparte con tu curso .

Lorena y Patricia hicieron 18 letreros . Cada uno hizo la misma cantidad . ¿Cuántos letreros hizo cada una? Escribe una oración numérica y resuelve . 18 letreros

? Lorena

? Patricia

Práctica independiente 4

5

Dibuja un diagrama para mostrar lo que sabes . Luego, escribe una oración numérica y resuélvela . a) Hay 8 carros en una montaña rusa . En cada carro caben 3 personas . ¿Cuántas personas pueden subirse a la montaña rusa al mismo tiempo?

• ¿Qué sé? • ¿Qué me piden que encuentre? • ¿Qué diagrama puede ayudarme a entender el problema?

b) Hay 24 niños en una carrera de relevo . Hay 6 equipos en total . ¿Cuántos niños hay en cada equipo?

• ¿Puedo usar suma, resta, multiplicación o división?

Agustín tiene 8 años . Graciela es dos veces mayor que Agustín . ¿Cuántos años tiene Graciela?

• ¿Es razonable mi respuesta?

• ¿Está correcto todo mi trabajo? • ¿Respondí a la pregunta que correspondía?

126 Unidad 4

(3) ¿Cómo saben que necesitan dividir para resolver el problema? [Sabemos el número total de juguetes y cuántas partes iguales hay. Hay que dividir para encontrar cuántos juguetes hay en cada parte]. (4) ¿Cómo saben qué número usar en la oración de multiplicación? [El divisor y el cuociente se multiplican. Si el producto es igual al dividendo, entonces el cuociente está correcto].  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que cuando se les pide hacer un dibujo y escribir una oración numérica para resolver un problema, el dibujo y la oración numérica son parte de la respuesta. Respuestas 1. 9 carteles 2. Puedo comprobar el cuociente usando la operación de multiplicación que está en la misma familia de operaciones que la operación de división; también puedo usar la suma repetida para comprobar que la suma corresponda al dividendo de la división 3. Los problemas variarán. Revisar el trabajo de los estudiantes

Planea y resuelve

Usa un diagrama para mostrar lo que sabes sabes . 48 juguetes ? filas

8

Responde

Comprueba

 Práctica independiente Recuerde a los estudiantes que pueden usar operaciones relacionadas de familias de operaciones para comprobar si sus respuestas son razonables.

Asegúrate de que la respuesta sea razonable razonable . Usa la multiplicación o la suma repetida para comprobar comprobar . 6 • 8 5 48 es decir, 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 5 48

Escribe una oración numérica . numérica 48 : 8 5 6 Alicia puede hacer 6 filas .

Premios en cada fila

Respuestas 4. a) 24 personas; b) 4 niños 5. 16 años 6. a) 4 horas; b) 4 horas 7. A 8. D

Práctica independiente 6

Usa las imágenes para responder . responder Escribe una oración numérica y resuélvela .

Los koala están despiertos aproximadamente 28 horas por semana .

a) Aproximadamente, ¿cuántas horas está despierto un hurón por día? Hay 24 horas en un día.

b) Aproximadamente, ¿cuántas horas está despierto un koala por día?

Los hurones duermen aproximadamente 20 horas por día . día

Hay 7 días en una semana.

7

¿Cuál de las siguientes opciones se puede usar para encontrar cuántos días hay en 8 semanas? a

8

B

8:2

C

817

D

822

•

7

8

Eugenia compró 28 marcos de foto . Estos venían distribuidos en 4 cajas, que contenían la misma cantidad de marcos . ¿Qué oración numérica muestra cómo calcular la cantidad de marcos que contenía cada caja? a

28 2 4 5 ■

C

28

B

28 1 4 5 ■

D

28 : 4 5 ■

•

45■

División

127

Cierre La información de un problema puede mostrarse frecuentemente con un dibujo o diagrama y usarse para comprender y resolver el problema. Algunos problemas pueden resolverse escribiendo y completando una oración numérica o ecuación. Diga: En esta lección aprendieron cómo hacer un dibujo y escribir una oración numérica para resolver problemas.

 Refuerzo Demuestre cómo hacer una matriz que muestre la familia de operaciones para 3, 7 y 21. Recalque cómo aparecen los factores, productos, dividendos, divisores y cuocientes en la matriz. Suponga que hay 42 perros en una exhibición y el juez decide que quiere 7 perros en cada grupo. Muestre a los estudiantes cómo encontrar el número de grupos que habrá. Pida a los estudiantes que expliquen cómo usarían fichas para resolver el siguiente problema: Encuentren 42 dividido por 7. Muestre 42 fichas. Póngalas en grupos de 7 y cuente el número de grupos. [6]. Escriba una familia de operaciones con 1 y un número distinto de 0; y de 0 y un número distinto de 0. Señale las cuatro reglas que muestran las familias de operaciones.

Lección 4.7

141

Contexto matemático Aunque se pueden simplificar una o ambas expresiones, puede ser más fácil usar la estimación o el razonamiento para comparar. Ayúdelos a comprender que las expresiones numéricas no siempre se simplifican antes de que se use uno de estos tres símbolos. En el ejemplo se pueden comparar las expresiones usando el razonamiento.

División y oraciones numéricas Recuerda que los dos lados de una oración numérica pueden ser iguales o desiguales . Los símbolos ., , o 5 se usan para comparar los lados . La estimación o el razonamiento te ayudan a saber si un lado es mayor sin hacer cálculos . . significa es mayor que , significa es menor que 5 significa es igual a

1

Sugerencias metodológicas Ejercicio 1.a) ¿Qué es igual en ambos lados de la oración numérica? [Un número entero se divide por 5]. ¿Cómo se pueden comparar los dos lados usando la estimación o el razonamiento? [Puesto que ambos números se dividen por 5, el dividendo mayor tendrá el cuociente mayor. Puedo comparar 20 y 25 para encontrar la respuesta]. Ejercicio 1 Errores e intervención Si los estudiantes tienen dificultad para comparar usando la estimación o el razonamiento, entonces, dígales que se fijen en lo que cambia en ambos lados de la oración numérica. Recuerde a los estudiantes que piensen en los significados de las operaciones, las propiedades de las operaciones y la estimación para comparar los dos lados.

Ejemplo: 10 : 2 s 8 : 2 Cada número se divide en dos grupos iguales . El entero mayor tendrá un número más grande de objetos en cada grupo . Como 10 es mayor que 8, el mayor . cuociente de la izquierda es mayor Escribe el símbolo . . 10 : 2 s 8 : 2

Completa escribiendo ., , o 5 . a) 20 : 5 s 25 : 5

b) 12 : 3 s 12 : 4

d) 24 : 2 s 8

e) 19 1 19 s 2

g) 1

•

53 s 1

•

43

j) 16 : 2 s 1 1 9

c) 3 • 18 s 3

•

f)

100 s 5

30

h) 9 s 36 : 4

i)

9 : 3 s 18 : 3

k) 35 : 5 s 2 1 3

l)

24 : 4 s 24 : 2

•

19

•

21

2 Completa la oración numérica debajo de cada problema . Úsala como

ayuda para explicar tu respuesta . a) Macarena y Patricio tienen que leer 40 páginas cada uno . Macarena leerá 4 páginas por día y Patricio 5 páginas por día . ¿Quién necesita más días para leer las 40 páginas? Patricio

Macarena

b)

Sergio tenía una tabla que medía 12 metros de longitud y la cortó en 3 partes iguales . Elena tenía una tabla que medía 18 metros de longitud y la cortó en 3 partes iguales . ¿Quién tenía las partes más largas? Sergio

: 3

s

:

:

Elena

s

:

Escribe un problema. Escribe un problema descrito por 16 : 2 . 14 : 2 .

128 Unidad 46

Ejercicio 2.a) Anime a los estudiantes a resolver el problema pensando en el significado de la división. Los estudiantes deben rellenar el dividendo y el divisor de Macarena y de Patricio y, luego, compararlos. ¿Cómo saben quién necesitará más días para completar la lectura, sin dividir? [Puesto que Macarena lee menos páginas por día, necesitará más días para completar la lectura]. Ejercicio 2.b) Los estudiantes pueden hacer un dibujo para ayudarse a visualizar el problema. ¿Cómo saben quién tenía las partes más largas, sin dividir? [Cada tabla se cortó en 3 partes iguales, así que la tabla más larga tendrá las partes más largas]. Respuestas 1. a) ; c) < ; d) >; e) =; f) ; h) =; i) , < o =; muestra los números y la operación que hay que usar para obtener una respuesta].

En un concurso de lectura, Karina leyó 5 libros más que Joaquín . ¿Qué expresión numérica muestra el número de libros que leyó Karina? Una expresión numérica está formada por números y por lo menos un signo de operación .

c) la suma de 24, 16 y 32 “mitad” significa 2 grupos iguales

Práctica independiente 4

Escribe una expresión numérica para las frases en palabras . a) 7 veces 8

b) el producto de 9 y 8

c) la diferencia entre 56 y 48

d) la suma de 15, 24 y 18

140 Unidad 5

 Otro ejemplo En esta lección, ustedes leerán frases en palabras y escribirán las palabras usando números y al menos un signo de operación matemático.  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que están escribiendo una expresión numérica que incluye sumas, restas, multiplicaciones o divisiones. Respuestas 1. a) 7; b) 7; c) 72 2. 8 + 7 = 15 3. No, Ejemplo de respuesta: si se sabe uno de los números y la diferencia, se debe sumar.  Práctica independiente Recuerde a los estudiantes que busquen las palabras clave en cada frase en palabras para que les dé una pista sobre qué signo de operación deben usar en la frase numérica. Para el ejercicio 4.b), ¿cómo saben que usarán el signo de multiplicación cuando escriban la expresión numérica? [La palabra “producto” indica que se va a multiplicar].

Lo que piensas

Lo que escribes

Frase en palabras:

Respuestas 4. a) 56; b) 72; c) 8; d) 57

Para mostrar el número de libros que leyó Karina, escribe “la adición de 8 y 5” como una expresión numérica .

“5 libros más que los 8 libros que leyó Joaquín” Para encontrar 5 más que un número, utiliza la adición . adición

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 5 a 8. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

Expresión numérica: 8+5

Resolución de problemas

5

6

7

8

Escribe una expresión numérica para cada frase en palabras . a) Se quitan 8 puntos de b) 28 jugadores separados en 16 puntos . 4 equipos iguales . c) $35 menos $15 .

d) 4 veces más largo que 9 metros .

e) Dos veces mayor que 7 años .

f) 24 uvas compartidas en partes iguales entre 4 personas .

g) El total de 18 niños y 13 adultos .

h) 45 centímetros más corto que 120 centímetros .

Ejercicio 8 Recuerde a los estudiantes que busquen las palabras importantes para resolver el problema. Las palabras “empacados en partes iguales” significa que están formando grupos iguales. Encontrar los grupos iguales significa que necesitan dividir.

En un estacionamiento hay 10 autos . Escribe la expresión numérica del número de autos descrito en cada frase en palabras . a) 7 autos menos .

b) La mitad del número de autos .

c) 5 veces el número de autos .

d) 12 autos más .

Geometría. Juana tiene un bloque de madera que mide 12 centímetros de longitud . Juana cortó el bloque en 6 piezas del mismo tamaño . ¿Cuál es la longitud de cada pieza?

12 centímetros

Santiago compró 16 pastelitos envasados en partes iguales en 4 cajas . ¿Qué oración numérica muestra la forma de saber el número de pastelitos que hay en cada caja? TECH a

16 : 4

B

16 2 4

C

16 • 4

D

16 1 4

Patrones y relaciones

3

141

(place checkmark)

Cierre Las relaciones matemáticas entre números pueden mostrarse usando signos. Diga: En esta lección aprendieron que pueden escribir frases en palabras usando números y signos de operación.

Respuestas 5. a) 16 – 8 = 8; b) 28 : 4 = 7; c) 35 – 15 = 20; d) 4 por 9 = 36; e) 2 por 7 = 14; f) 24 : 4 = 6; g) 18 + 13 = 31; h) 120 – 45 = 75 6. a) 10 – 7; b) 10 : 2; c) 10 por 5; d) 10 + 12 7. 2 cm 8. A  Refuerzo Ayude a los estudiantes a visualizar frases en palabras dándoles fichas para ello. Escriba la frase 15 menos 7 en el pizarrón. ¿Con qué número deben empezar? [15]. ¿Cómo encuentran 15 menos que 7? [Restar]. Repita el procedimiento usando las frases 5 veces 3, y 9 en 3 grupos iguales.

Lección 5.4

157

Lección

Igual o desigual

5.5

Objetivo Comparar expresiones para determinar si son iguales o desiguales.

Max: 6 libros

¡Lo entenderás! La expresiones se pueden comparar usando ., 5 y , .

Contexto matemático Si las expresiones son desiguales, se usa < o > para comparar. Los estudiantes trabajarán con expresiones numéricas, como 6 + 2, que formen parte de los enunciados comparativos. Una expresión numérica está formada por números y al menos una operación. También verán ejemplos con más de una respuesta correcta. Por ejemplo, 5 + ? > 10. Los conceptos de esta lección ayudarán a los estudiantes cuando aprendan más sobre álgebra en próximas lecciones y grados. Ayude a que los estudiantes se sientan cómodos tanto al comparar expresiones matemáticas como al usar símbolos (>, < o =) para expresar las relaciones entre expresiones.

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) Den algunos ejemplos de expresión numérica. [Ejemplos de respuesta: 2 + 3, 5 - 1]. ¿En qué se diferencia una expresión numérica de una oración numérica? [Una expresión numérica no tiene el símbolo de igual, desigual, mayor o menor]. (2) ¿Por qué la expresión para Max tiene un signo de suma? [Max obtuvo más libros, por lo tanto se suma para encontrar el número total de libros que tiene]. ¿Por qué la expresión para Julieta tiene un signo de sustracción? [Julieta regaló libros, por lo tanto hay que restar para encontrar cuántos libros le quedan]. ¿Cómo se comparan 8 y 9? [8 es menos que 9]. (3) Usen palabras para leer la oración numérica. [Seis más dos es menor que doce menos tres]. En una oración numérica, ¿hacia qué valor apunta el signo de menor o mayor que? [Hacia el menor valor].

158

Unidad 5 - Patrones y relaciones

¿Cómo puedes comparar dos expresiones? Max y Julieta tienen cada uno el número de libros que se muestra en el estante . Si Max obtiene 2 libros más y Julieta regala 3 de sus libros, ¿cómo se pueden comparar los números de libros que tendrán? Una expresión numérica contiene números y por lo menos una operación . Julieta: 12 libros

Otros ejemplos Una igualdad es una oración numérica que 5 1 3 5 10 2 2 dice que dos expresiones son iguales . 8 5 8 Una desigualdad es una oración numérica que usa , o . . Una 5 1 1 , 10 2 1 3 1 4 1 1 . 12 2 6 desigualdad muestra que dos 9 8 . 6 6 , expresiones no son iguales . Bernardita, Iván y Érica trataron separadamente de encontrar un número que haría la desigualdad 5 1 ■ . 10 verdadera . ¿Quién tiene el número correcto? Bernardita 5 1 6 . 10 11 . 10 verdadero

Iván 5 1 8 . 10 13 . 10 verdadero

Érica 5 1 3 . 10 8 . 10 falso

Los números de Bernardita y de Iván son correctos . Práctica guiada ENTIENDES 1

Escribe ,, ., o 5 a)

20 2 2

b) 46 1 10 s 50 c) 27 + 8 s 6 + 29

2

Encuentra un tercer número que haga ■ 10 verdadera .

3

Andrés tenía 9 piedras y luego consiguió 3 más . Enrique tenía 11 piedras pero perdió 2 . Escribe una oración numérica para comparar su número de piedras .

142 Unidad 5

 Otro ejemplo Recalque la diferencia entre ecuación y desigualdad. Especialmente el hecho que en las desigualdades, normalmente hay más de una opción de respuesta.  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que hagan la operación para cada expresión para poder compararla. Respuestas 1. a) ; c) = 2. Considere correctas las respuestas que tengan un número mayor o igual a 6. 3. 9 + 3 > 11 - 2

Paso 1

Paso 2

Escribe una expresión para el número de libros de cada persona .

Max 612

Paso 3

Haz la operación para cada expresión para encontrar cómo se comparan ambas .

Julieta

Max

Julieta

12 2 3

612

12 2 3

8

9

Usa ,, ., o 5 para comparar las expresiones .

 Práctica independiente Es probable que los estudiantes tengan dificultad con el concepto de que más de un número puede completar correctamente una desigualdad. Dígales que piensen en una balanza y que recuerden que, si los dos platillos siguen desparejos cuando usan respuestas distintas, el enunciado sigue siendo verdadero. Use el ejercicio 5.b) como ejemplo. Supongan que tenemos 16 fichas en el lado izquierdo de una balanza y 10 fichas en el lado derecho. ¿Qué pasa si sacamos una de las 16 fichas? ¿No seguirá estando el platillo de la izquierda más abajo que el de la derecha? [Sí]. ¿Y si sacamos dos fichas? ¿Seguirá estando más abajo el platillo de la izquierda? [Sí].

8 , 9 por lo tanto, 6 1 2 , 12 2 3

Práctica independiente 4

Compara . Escribe ,, ., o 5 en cada s . a) 34 1 17 s 45

5

b) 18 1 9 s 6 1 21

c) 41 1 7 s 53 2 4

Escribe un número que hace cada oración numérica verdadera . a) 4 1

5

b) 16 2

12

.

c) 5 1

10

,

18

Resolución de problemas

6

La tabla muestra el número de piedras que cada amigo tenía en su colección el mes pasado . a) ¿Cuántas piedras más que Ana tenía Sara? b) Este mes, Cristián obtuvo 7 piedras más y Ana regaló 3 piedras . Escribe una oración numérica para comparar el número de piedras .

Colecciones de piedras Nombre

Número de piedras

Ana

29

Julio

32

Cristián

27

Sara

45

7

Estimación. Andrés puso 18 limones en un estante y 34 en otro . Aproximadamente, ¿cuántos limones puso en los estantes?

8

¿Qué símbolo hace la oración numérica verdadera? 34 2 17 s 5 1 11 a 1

B

5

Respuestas 4. a) >; b) =; c) < 5. a) 8; b) Cualquier número menor que 6; c) Cualquier número menor que 13.

c) Este mes, Sara regaló 6 piedras y Julio consiguió 8 piedras más . Escribe una oración numérica para comparar el número de piedras .

C

,

D

.

Patrones y relaciones

143

Cierre Las expresiones numéricas están formadas por números y al menos una operación. Pueden compararse usando , =. Diga: En esta lección aprendieron a comparar expresiones para averiguar si son iguales o desiguales.

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos y comprueban si el resultado es razonable. Respuestas 6. a) 16 piedras más; b) 27 + 7 > 29 - 3 o 34 > 26; c) 45 - 6 < 32 + 8 o 39 < 40 7. Aproximadamente 50 limones. 8. D  Refuerzo Muestre cómo usar fichas para resolver cada operación: 4 + 3 y 8 - 2. Pida a los estudiantes que comparen las fichas.

Lección 5.5

159

Lección

Representarlo y razonar

5.6

Objetivo Usar las estrategias Representarlo y Razonar para resolver problemas.

Contexto matemático La estrategia Representar ayuda a los estudiantes a comprender un problema que puede parecer complejo. Los niños pueden usar los objetos u otros objetos (fichas, cubos, etc.) que representan los elementos que se describen en el problema. Representar permite a los estudiantes incorporar imagen, movimiento y sonido a una situación estática. Una vez que esto ocurre, se puede Razonar como estrategia complementaria. Es decir, los estudiantes sacan conclusiones de “sentido común” sobre un problema, lo que puede llevar a su solución.

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) Miren el dibujo ¿Qué nos muestra del problema? [Juana tiene tres tipos de monedas en su colección]. ¿Cómo pueden usar objetos para ayudarse a resolver este problema? [Se pueden usar objetos de diferentes colores como fichas para mostrar cuántas monedas de cada tipo puede haber]. (2) ¿Qué representan las dos fichas amarillas en la caja? [Las dos monedas de $10 de la colección]. ¿Qué necesitan averiguar? [Cuántas monedas de $10 y de $5 hay en la colección]. (3) ¿Cómo pueden comprobar si la respuesta es correcta? [Sumo el número de monedas y compruebo si el total es 10 monedas].

Resolución de problemas

¡Lo entenderás! A veces puedes usar objetos para representar un problema y luego usar el razonamiento para encontrar la respuesta .

La colección de Juana 2 monedas de $1 2 monedas menos de $5 que de $10 10 monedas en total

Juana colecciona monedas antiguas de $1, de $5 y de $10 . Su colección tiene por lo menos una moneda de cada tipo . moneda

de $5 ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene Juana?

moneda de $1

moneda de $10

Práctica guiada 1

Encuentra el número de cada tipo de estampilla en una

2

¿Cómo encontraste el número de estampillas de inventores de la colección de Ricardo?

Ricardo tiene 9 estampillas en total . Él tiene 2 estampillas de países y 3 estampillas más de inventores que de flores . Estampillas de países 5 Estampillas de inventores 5 Estampillas de flores 5

3

Escribe un problema. Escribe un problema sobre colecciones de monedas que puedas resolver usando el razonamiento lógico .

Práctica independiente 4

Encuentra el número de cada tipo de objeto en la colección de Amanda . Usa fichas o haz dibujos como ayuda . La colección de minerales, piedras preciosas y piedras de amanda. 6 minerales 3 piedras preciosas menos que piedras 15 objetos en total Minerales 5 Piedras preciosas 5 Piedras 5

• ¿Qué sé? • ¿Qué me piden que encuentre? • ¿Qué diagrama puede ayudarme a entender el problema? • ¿Puedo usar suma, resta, multiplicación o división? • ¿Está correcto todo mi trabajo? • ¿Respondí la pregunta que correspondía? • ¿Es razonable mi respuesta?

144 Unidad 5

Posibles errores y dificultades Anime a los estudiantes a volver al problema original y asegurarse de haber contestado la pregunta planteada en el problema y que su respuesta funcione como la solución al problema.  Práctica guiada Asegure a los estudiantes que está bien si los primeros números que prueban no son los números correctos. Recuérdeles la técnica sistemática Intentar, revisar y corregir: Usen números razonables en el primer intento, comprueben los números usando las relaciones dadas en el problema y revisen los números si es necesario. Respuestas 1. 2; 5; 2 2. Ejemplo de respuesta: Como hay 2 estampillas de países, hay 7 estampillas de inventores y de flores en total. Hay 3 más de inventores que de flores. Intenta: 2 estampillas de flores y 5 de inventores. Como 2 + 2 + 5 = 9, esto es correcto. 3. Las respuestas variarán.

160

Unidad 5 - Patrones y relaciones

Lee y Comprende

Usa objetos para mostrar lo que sabes .

5

Los estudiantes del 3º B votaron para averiguar qué tipo de colección les gustaría tener en el curso . El gráfico muestra los resultados . Usa el gráfico . a) ¿Qué colección obtuvo cinco votos? b) ¿Qué colección obtuvo el mayor número de votos? c) ¿Cuántos votos más obtuvo la colección con el mayor número de votos que la colección con el menor número de votos?

6

7

Usa la siguiente tabla . ¿Cuántos huevos ponen 4 avestruces en un año? ¿5 avestruces?

 Práctica independiente Recuerde a los niños que en algunos problemas pueden usar objetos para mostrar lo que saben.

Intenta con 1 moneda de $5 y 7 de $10 . 2 1 1 1 7 5 10, pero 1 moneda de $5 no es 2 menos que 7 . Intenta con 3 monedas de $5 y 5 de $10 . Como 2 1 3 1 5 5 10, esto es correcto .

Ejercicio 4 Anime a los estudiantes a comprobar que sus soluciones cumplan todas las condiciones del problema. La lista les muestra tres datos importantes sobre la colección de Amanda. Después de resolver el problema, asegúrense de comprobar que la respuesta coincide con esta información.

Hay 2 monedas de $1, 3 de $5 y 5 de $10 en la colección de Juana . Juana

Voto para la colección de la clase Plantas

Tipo de colección

¿Qué sé?Juana tiene 10 monedas en total y 2 de las monedas son de $1 . Hay 2 monedas menos de $5 que de $10 $10 .

Planea y resuelve Razona para sacar conclusiones conclusiones . Ella tiene 2 monedas de $1; por lo tanto, hay 8 monedas de $5 y de $10 en total total .

Piedras Conchas marinas

Respuestas 4. 6; 3; 6 5. a) Conchas marinas; b) Estampillas; c) 4 más votos 6. Peces ángel: 4; Peces molly: 5; Peces tetras: 1 7. A

Estampillas 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Número de votos

Número de avestruces

1

Número de huevos en un año

50 100

5

En la exhibición de mascotas del pueblo, María vio 48 mascotas . Había 6 pájaros y 7 gatos . El resto de las mascotas eran perros . ¿Qué oración numérica muestra una manera de encontrar el número de mascotas que eran perros? a

48 2 6 2 7 5 ■

C

48 2 6

B

48 1 6 : 7 5 ■

D

6

•

7

• •

75■ 48 5 ■

Patrones y relaciones

145

Cierre

 Refuerzo Trabaje con los estudiantes para encontrar los próximos tres números en un patrón numérico, tal como 3, 7, 2, 2, 3, 7, 2, 2, 3, 7, 2. Trabaje con los estudiantes para encontrar la regla y los próximos tres números en un patrón de resta, tal como 58, 55, 52, 49, , , .

Algunos problemas se pueden resolver usando objetos para representar las acciones del problema. Algunos problemas se pueden resolver razonando sobre las condiciones del problema. Diga: En esta lección aprendieron a resolver un problema usando objetos para representarlo y razonando para llegar a una conclusión.

Lección 5.6

161

Lección

Patrones geométricos

5.7

Objetivo Ampliar patrones de cubos o azulejos.

¡Lo entenderás! Se pueden usar patrones para hacer predicciones .

Contexto matemático Algunos patrones geométricos son patrones de aumento. Muchos patrones matemáticos pueden describirse usando la idea de recursión. La recursión es un proceso en el cual cada paso de un patrón, depende del paso o de los pasos anteriores.

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) Miren el dibujo. ¿En qué se parecen los bloques a torres o edificios? [Tienen pisos]. ¿Cómo comparan las torres? [Cuento el número de bloques]. (2) Miren las torres. ¿Cómo construyen la cuarta torre? [Se construye una torre con un piso más que la tercera torre]. ¿Cómo construyen la quinta torre? [Se construye una torre con un piso más que la cuarta torre]. ¿Cuántos cubos usan para cada piso? [4 cubos]. (3) ¿Cómo ayuda la tabla a mostrar el patrón? [Los números de la tabla muestran que se puede multiplicar el número de pisos por 4 para obtener el número de cubos]. ¿Cómo pueden encontrar el número de cubos de una torre de 9 pisos? [Multiplico 9 por 4 = 36 cubos].  Otro ejemplo Miren los números en la fila de arriba de la tabla. ¿Pueden usar una regla de “sumar” para obtener los números de la fila de abajo? [No]. ¿Por qué no? [No hay una suma que sirva para los tres pares de números]. ¿Pueden usar una regla de “restar”? [No]. ¿Pueden usar una regla de “multiplicar”? [No]. Comparen estas torres con las torres del ejemplo de la parte superior de la página 143. ¿En qué se diferencian estas torres? [Ejemplo de respuesta: las torres de la página 143 tienen el mismo número de cubos en cada piso. Estas torres tienen un número diferente de cubos en cada piso].

162

Unidad 5 - Patrones y relaciones

¿Cómo describes torres de cubos? Martina construyó tres torres de cubos . Ella anotó el patrón . Si continúa con ese patrón, ¿cuántos cubos tendrá una torre de 10 pisos? ¿Una de 100 pisos?

Pisos:

1

2

3

Cubos: 4

8

12

Construir otra torre de cubos

Otro ejemplo

Luis construyó otras tres torres de cubos . Él anotó su patrón . Si continúa con ese patrón, ¿cuántos cubos tendrá una torre de 5 pisos? Número de pisos

1

2

3

Número de cubos

1

3

6

Construye las dos torres que siguen . Número de pisos

1

2

3

4

5

Número de cubos

1

3

6

?

?

Una torre de 4 pisos tendrá 10 cubos y una de 5 pisos tendrá 15 cubos .

T

3

(place ch

Explícalo

1. ¿Cuántos cubos necesitará Luis para una torre de 6 pisos? Explícalo . 2. ¿Cuántos pisos tiene una torre de 36 cubos? 3

Unidad 5

Explícalo Anime a los estudiantes a analizar los dibujos junto con la información de las tablas. Comente el patrón formado por el aumento de cubos en las columnas. ¿Cuál es la diferencia entre las torres? [Cada torre aumenta un cubo por columna. Cada columna tiene un cubo más que la anterior]. ¿Cuántos cubos tendrá la torre de 6 pisos? [21 cubos; 15 cubos de la torre anterior y una columna de 6 cubos; 15 + 6 = 21]. Respuestas 1. 21 cubos; Ejemplo de respuesta: usé el patrón, “sumar 2, sumar 3, sumar 4, y así sucesivamente” para describir cómo cambia el número de cubos. 2. 8 pisos

(plac

Construye las dos torres que siguen siguen . Número de pisos

1

2

3

4

Número de cubos

4

8

12

■ ■

El patrón de la tabla es “multiplicar por 4” 4” .

5

5 • 4 5 20 10 • 4 5 40 100 • 4 5 400 Una torre de 10 pisos tendrá 40 cubos .

1 piso 4 cubos

2 pisos 8 cubos

Una torre de 100 pisos tendrá 400 cubos .

3 pisos 4 pisos 5 pisos 12 cubos 16 cubos 20 cubos

Práctica guiada

TECH

COMO 1

Dibuja las dos torres que siguen en el patrón . Usa papel cuadriculado . Encuentra los números que faltan en cada tabla . a)

b)

Número de pisos

1

2

3

Número de cubos

2

4

6

4

Número de pisos

1

2

3

4

Número de cubos

2

3

4

5

5

2

En el ejemplo de arriba, ¿por qué sirve la multiplicación para ir del primer al segundo número en un par de números? (place checkmark) 3

3

En el ejercicio a, ¿cuántos cubos tendrá una torre de 10 pisos?

4

Leonardo construyó las tres siguientes torres de cubos . Si él continúa ese patrón, ¿cuántos cubos tendrá una torre de 100 pisos?

5

Escribir para explicar. ¿CuántosTECH cubos necesitarías para construir una torre de 15 pisos en el ejercicio b? Explica cómo lo sabes .

5 7

3

(place checkmark)

TECHy relaciones Patrones

27276_T273b.EPS

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que el número de cubos de las torres que dibujen debe coincidir con el número que obtienen en la tabla cuando aplican la regla. Ejercicio 4 Errores e intervención Si los estudiantes tienen dificultad en saber por dónde empezar, entonces, pregunte: ¿Qué tienen que encontrar? [El número de cubos en una torre de 100 pisos]. ¿Cuántos pisos tienen las torres de los dibujos? [1, 2 y 3 pisos]. Eso significa que pueden contar el número de cubos en una torre de 1 piso, 2 pisos y 3 pisos. Por lo tanto, ¿tienen que dibujar una torre de 100 pisos y contar los cubos? [No, se puede hacer una tabla que muestre la información sobre las torres de 1 piso, 2 pisos y 3 pisos, y buscar la regla]. Respuestas 1. a) 8; 10 b) 6; 6 TECH 2. Cada piso tiene 4 cubos. Juntas grupos iguales; por lo tanto, debes multiplicar. 3. 20 cubos3 4. 300 cubos 5. 16 cubos; la regla es “sumar 1 al número de pisos”, y 15 + 1 = 16. (place checkmark)

Actividad complementaria

3

(place checkmark)

 Patrones que se repiten Tipo de actividad 10 min Pida a los estudiantes que trabajen en parejas para dibujar patrones hechos con figuras y escribir un patrón hecho con números. Luego pídales que intercambien sus hojas con otra pareja, que identifiquen la regla utilizada para cada patrón y los tres términos siguientes de cada patrón.

Lección 5.7

163

Práctica independiente

 Práctica independiente Los estudiantes que quieran aplicar las reglas para completar los pares de números pueden tener dificultades porque algunas de las relaciones son un poco diferentes a las relaciones que encontraron en las lecciones anteriores. Anímelos a pensar en distintos tipos de relaciones. Use el ejercicio 6.d) como ejemplo. Miren la fila de números de arriba de la tabla. Para obtener la segunda fila, no pueden sumar, restar, multiplicar ni dividir por el mismo número cada vez. A veces tienen que buscar un patrón diferente. Prueben esto: 1 por 1 = 1, 2 por 2 = 4, 3 por 3 = 9. Dibujen la cuarta y la quinta figura para ver si pueden continuar el patrón. Respuestas 6. a) 12; 9 b) 16; 20. Revisar dibujos de los estudiantes. c) 9; 11. Revisar dibujos de los estudiantes. d) 16; 25. Revisar dibujos de los estudiantes.  Resolución de problemas Respuestas 7. Dividir por 3. 8. Revisar los dibujos de los estudiantes.

6

Usa patrones para dibujar las dos figuras que siguen en papel cuadriculado como ayuda . Puedes encontrar los números que faltan en cada tabla . a)

c)

Número de pisos

7

6

5

Número de cubos

21

18

15

Número de filas

2

3

4

Número de cuadrados

3

5

4

5

3

6

7

b)

d)

Número de pisos

1

2

3

Número de cubos

4

8

12

4

5

Número de filas

1

2

3

Número de triángulos pequeños

1

4

9

4

5

TECH

3

Resolución de problemas

7

8

José usó 15 cubos para construir una torre . Luego usó 12 cubos para construir una torre y luego 9 cubos para construir una torre . Si continúa el patrón, ¿qué regla podría usar para esta tabla?

3

(place checkmark)

TECH

Número de cubos

15

12

9

6

Número de pisos

5

4

33

2(place checkmark) 1

3

Stonehenge es un antiguo monumento en Inglaterra formado por un patrón de rocas que se ve como se muestra: Dibuja la figura que sigue en este patrón .

148 Unidad 5

Actividad complementaria  Saltos en una recta numérica Tipo de actividad 10 min Materiales: papel mural. Construya una recta numérica larga usando un rollo de papel mural. Escriba los números de 0 a 25 en cuadrados en el papel, conectándolos con una recta. Diga a los estudiantes que van a encontrar qué número sigue en el patrón. Haga que 4 estudiantes se paren sobre los números 3, 6, 9 y 12 y que digan los números en voz alta. ¿Cuál es el número que sigue? [15]. ¿Cómo lo saben? [El patrón numérico aumenta de 3 en 3]. Pida a un estudiante que se pare sobre el 15. Luego, repita la actividad para los dos próximos números en el patrón. Anime a los estudiantes a encontrar diferentes patrones parándose sobre los números y contando de 2 en 2, de 4 en 4 y de 5 en 5.

164

Unidad 5 - Patrones y relaciones

27276_T274e.EPS

Sugerencias metodológicas

Inventos En los siglos IX al XC muchos inventos ayudaron a cambiar la vida en el mundo . La línea cronológica muestra las fechas de algunos de estos inventos y descubrimientos . 650 Aparecen los primeros molinos de viento en Persia

105 Ts’ai Lun inventa el papel

100

 Conectándonos con la realidad En esta sección se presentan problemas con datos reales, para que los estudiantes apliquen lo aprendido en la unidad a situaciones de la “vida diaria”. Los estudiantes pueden emplear la estrategia de resolución que más les acomode. TECH Lo importante es que la revisión sea hecha en voz alta y puedan compartir las distintas estrategias utilizadas. Si todos han usado el mismo método de resolución, anímelos a que en conjunto sugieran otras posibilidades.

850 En China comienzan a utilizar la brújula

600

1 000

840 Alhacén inventa la cámara oscura

1

¿Qué se inventó aproximadamente 10 años antes que en China empezaran a utilizar la brújula?

2

¿Cuántos años después del origen del papel aparecieron los primeros molinos de viento en Persia?

3

¿Qué invento o descubrimiento se hizo antes del 700 pero después del 600?

4

Usa la tabla para responder responder . ¿Cuántos años pasaron entre los primeros molinos de viento en Persia y la cámara oscura?

3

Años

5

(place checkmark)

Invento

650

Molinos de viento

840

Cámara oscura

850

Brújula

Enfoque en la estrategia . Resuelve el problema . Usa la estrategia . Hacer una tabla. Un molino de viento puede moler granos gracias a la energía del viento . Puede hacer el trabajo de 5 personas . ¿Cuántos molinos de viento se necesitan para hacer el trabajo de 20 personas?

6

Si fueras un inventor, ¿qué inventarías? ¿Por qué?

7

Averigua qué inventaron tus compañeros y por qué . Patrones y relaciones

Respuestas 1. La segadora 2. 130 años 3. La pasteurización 4. Compruebe las respuestas de los estudiantes. 5. a) 133 años b) Revise las respuestas de los estudiantes. 6. 4 segadoras

149

Ejercicios 1 - 4 Los estudiantes deberán reconocer que las líneas cronológicas proveen información importante. ¿Qué información da la línea cronológica? [Los años en que algunos descubrimientos e inventos importantes fueron realizados y los nombres de las personas que los hicieron]. ¿Cuál es el primer año que está rotulado? [1820]. ¿Cuál es el último año? [2000]. ¿Qué otros años están rotulados? [1831, 1839, 1862 y 1995]. Ejercicio 6 Ayude a los estudiantes a hacer un diagrama de barras para visualizar el problema. ¿El problema les dice el número total? [Sí, 20 personas]. ¿Qué otra cantidad conocen? [El número de personas que hacen el trabajo de una segadora]. ¿Qué están tratando de encontrar? [El número de segadoras].

Conectándonos con otras asignaturas

165

¡C Objetivo Evaluar, en formato de opción múltiple, la comprensión que tienen los niños de los conceptos y las destrezas de la unidad. Después que el alumno realice su autoevaluación, es importante que lea Para revisar tu autoevaluación y revise solo sus respuestas, antes de ser corregido por el profesor o en forma colectiva.

1 Dibuja las tres figuras o números que siguen en el patrón .

a) b) 3, 5, 7, 9, 3, 5, 7, 9, 3, 5, 7

2 Escribe una regla y continúa el patrón .

a) 5, 7, 9,

Ejercicio 4: a) 12; 16; Multiplica el número de autos por 4. b) 24; 30. Revise los dibujos de los estudiantes. Ejercicio 5: 16 :

166

Unidad 5 - Patrones y relaciones

,

,

b) 22, 18, 14,

,

,

c) 24, 21, 18, 15,

,

TECH

3

(place checkmark)

, 3

3

Si Samuel continúa el patrón, ¿cuántos cubos tendría una torre de 5 pisos? ¿Y una torre de 10 pisos?

(place checkmark)

Pisos

1

2

3

Cubos

3

6

9

TE

4 Escribe los números que faltan y la regla .

a)

Ejercicio 2: a) Suma 2 ; 11, 13, 15 b) Resta 4 ; 10, 6, 2 c) Resta 3; 12, 9 y 6. Ejercicio 3: El patrón de la tabla es “Multiplicar por 3”. Por lo tanto, se usa 5 • 3 para encontrar el número de cubos en una torre de 5 pisos. 5 • 3 = 15. Hay 15 cubos en una torre de 5 pisos. Una torre de 10 pisos tendría 3 o 30 cubos.

TECH

c)

Respuestas Ejercicio 1: a) Dos flechas hacia arriba y una hacia el lado. b) 9; 3; 5 c) Círculo rojo, triángulo amarillo, cuadrado verde.

!

Autos

1

2

ruedas

4

8

3

4 3

b) Dibuja las dos figuras siguientes del patrón . Usa papel cuadriculado .

5

Pisos

1

2

3

Cubos

6

12

18

4

5

Imagina que ■ representa el número de amigos que compartirán 16 duraznos por igual . Escribe una expresión numérica para mostrar cuántos duraznos recibirá cada amigo . TECH

150 Unidad 5

Actividad complementaria

3

(place checkmark)

 Patrones en cadenas de papel Tipo de actividad 15 min Materiales: cartulina cortada en tiras. Construya cadenas de cartulina usando colores para mostrar patrones. Enumere los eslabones en la cadena de cartulina para que los estudiantes puedan ver y contar el patrón. Para comenzar, pida a los estudiantes que “canten” el color del patrón: amarillo, amarillo, rojo, amarillo, amarillo, rojo. Luego, pida a los estudiantes que cuenten el patrón numérico. [1, 2, 3, 4, 5, 6]. Ayude a los estudiantes a tocar el eslabón correcto en la cadena de cartulina mientras recitan el patrón. Pida a los estudiantes que nombren el patrón, tal como contar de 3 en 3, después de que cuenten saltado.

(place chec

Respuestas

6 Unos amigos hicieron carteles para una noche musical . Catalina hizo

Ejercicio 6: 3•

3 veces el número de carteles que hizo René . Imagina que ■ representa el número de carteles que hizo René . Escribe una expresión numérica para mostrar cuántos carteles hizo Catalina .

7 Usa >, < o = para comparar comparar .

a) 18 2 11 s 7 1 1

Ejercicio 7: a) < b) =

b) 25 1 9 s 46 2 12

8 Escribe un número que haga verdadera la oración numérica .

a) 13 2

.

b)

9

c) 21 – 11 ≥

+ 8 < 14

d) 3 •

Ejercicio 8: a) 0, 1, 2 o 3 b) 0, 1, 2, 3, 4 o 5 c) 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 o 0 d) 0 o 1

≤6

9 Resuelve . Encuentra el número de cada tipo de calcomanía en la

colección de Darío .

Colección de calcomanías de Darío • 3 tipos de calcomanías con 17 calcomanías en total. • 6 calcomanías de estrellas. • 3 calcomanías menos de caritas sonrientes que calcomanías de planetas.

Ejercicio 9: Calcomanías de estrellas: 6; Calcomanías de planetas = 7; Calcomanías de caritas sonrientes = 4.

ara iciste p ¿Qué h s? ejercicio s lo er resolv

Recuerda que primero tienes que encontrar la parte del patrón que se repite . Recuerda que debes comprobar que la regla funcione con todos los números dados . Recuerda que ■ representa el valor de un problema .

Recuerda que puedes representar un problema con objetos o dibujos y luego usar el razonamiento para responder Recuerda que debes hacer cada operación . Recuerda que si hay más de una operación debes hacer cada responder . operación antes de responder

Patrones Unidad y relaciones autoevaluación utoevaluación 5

151

Actividad complementaria  ¿Cuál es el patrón? Tipo de actividad 15 min Materiales: bloques de patrones. Dé a los estudiantes la siguiente tabla. Pida a los estudiantes que usen los Bloques de patrones bloques de patrones para represenNúmero de Número de tar el patrón que se muestra. Luego, triángulos cuadrados pídales que nombren una regla para 1 3 este patrón. 2 6 Desafíe a los estudiantes a usar 3 9 bloques de patrones para crear pa4 12 trones que se repiten. Pídales que 5 15 nombren la regla y que elaboren una 6 18 tabla para demostrar el patrón.

¡Cuánto aprendí!

167

Unidad

6

Geometría

Planificación de la unidad Eje central

Objetivos de aprendizaje

Geometría

 Describir la localización de un objeto en un mapa simple o cuadrícula.  Demostrar que comprenden la relación que existe entre figuras 3D y figuras 2D: - construyendo una figura 3D a partir de una red (plantilla). - desplegando la figura 3D.  Describir cubos, paralelepípedos, esferas, conos, cilindros y pirámides de acuerdo a la forma de sus caras y el número de aristas y vértices.  Reconocer en el entorno figuras 2D que están trasladadas, reflejadas y rotadas.  Demostrar que comprenden el concepto de ángulo: - identificando ejemplos de ángulos en el entorno. - estimando la medida de ángulos, usando como referente ángulos de 45º y de 90º.  Resolver problemas rutinarios en contextos cotidianos, que incluyan dinero e involucren las cuatro operaciones (no combinadas).

Habilidades

Resolver problemas

 Resolver problemas dados o creados.  Emplear diversas estrategias para resolver problemas y alcanzar respuestas adecuadas, como la estrategia de los 4 pasos: entender, planificar, hacer y comprobar.  Transferir los procedimientos utilizados en situaciones ya resueltas a problemas similares. Argumentar y comunicar

 Formular preguntas para profundizar el conocimiento y la comprensión.  Descubrir regularidades matemáticas –la estructura de las operaciones inversas, el valor posicional en el sistema decimal, patrones como los múltiplos– y comunicarlas a otros.  Hacer deducciones matemáticas de manera concreta.  Describir una situación del entorno con una expresión matemática, con una ecuación o con una representación pictórica.  Escuchar el razonamiento de otros para enriquecerse y para corregir errores. Objetivos de aprendizaje transversales y actitudes

168

Unidad 6 - Geometría

 Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.  Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.  Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.

Para trabajar Texto para el Estudiante pp. 152-169 Cuaderno de ejercitación

Recursos, evaluación y tiempo Para evaluar  Evaluación diagnóstica Repasa lo que sabes (Texto para el estudiante)  Evaluación formativa ¡Cuánto aprendí! (Texto para el estudiante)

Tiempo estimado Para la unidad 16 a 18 horas Para la prueba sumativa 2 horas

 Evaluación sumativa Pruebas fotocopiables (Guía didáctica del docente)

Modelar

 Aplicar, seleccionar y evaluar modelos que involucren las cuatro operaciones y la ubicación en la recta numérica y en el plano.  Expresar, a partir de representaciones pictóricas y explicaciones dadas, acciones y situaciones cotidianas en lenguaje matemático.  Identificar regularidades en expresiones numéricas y geométricas. Representar

 Utilizar formas de representación adecuadas, como esquemas y tablas, con un lenguaje técnico específico y con los símbolos matemáticos correctos.  Crear un problema real a partir de una expresión matemática, una ecuación o una representación.  Transferir una situación de un nivel de representación a otro (por ejemplo: de lo concreto a lo pictórico y de lo pictórico a lo simbólico, y viceversa).

 Manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades.  Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia.  Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa. Fuente: www.mineduc.cl

Geometría

169

Unidad

6

Contexto matemático  Cuerpos y figuras geométricos Un cuerpo geométrico, ocupa una porción de espacio y está encerrado por todos los lados. Se pueden describir distintos tipos de cuerpos geométricos analizando sus superficies.

1 5

Prismas y pirámides Un prisma es un cuerpo geométrico con dos bases paralelas que son regiones poligonales congruentes y con caras laterales que unen los lados correspondientes de las bases. Si las caras laterales forman ángulos rectos con las bases, entonces el prisma se llama un prisma rectangular y todas las caras laterales son regiones rectangulares. Un prisma toma nombre de la forma de sus bases. Una pirámide es un cuerpo geométrico con una base que es una región poligonal y con caras laterales triangulares que se encuentran en un punto. La pirámide, como el prisma, toma su nombre de la forma de su base. Cilindros, conos y esferas Todas las superficies de los prismas y las pirámides son planas. En cambio, los cilindros, los conos y las esferas tienen una superficie curva que les permite rodar. Un cilindro es un cuerpo geométrico con dos bases paralelas que son regiones circulares congruentes y una superficie lateral curva que conecta las aristas de las bases. Un cono es un cuerpo geométrico con una base que es una región circular y una superficie lateral curva que conecta todos los puntos en la arista de la base con un punto que no está en la base. Una esfera es un cuerpo geométrico que está encerrado por el conjunto de todos los puntos que están a una distancia dada de un punto fijo, llamado el centro de la esfera.

170

Unidad 6 - Geometría

Geometría

2

Lección 6 .2 .

152

TOPIC 15 27276 .3 _3 1st pa 39x ss 9-11-0 6 LKell

• Polígonos Un polígono es una figura plana cerrada formada por tres o más segmentos de recta. Los segmentos de recta se llaman con frecuencia los lados del polígono. Un polígono toma su nombre del número de sus lados. Si todos los lados de un polígono son congruentes y todos sus ángulos son congruentes, es un polígono regular. Figuras congruentes y simétricas Las simetrías de una figura son uno de sus más importantes atributos. Reconocer las simetrías es fundamental para el éxito de los estudiantes a medida que avanzan no solo en el estudio de la geometría, sino también en otras áreas de las matemáticas y las ciencias. Sin embargo, para que los estudiantes reconozcan las simetrías, necesitan primero comprender el concepto subyacente de la congruencia. Si dos figuras tienen el mismo tamaño y forma, entonces son figuras congruentes. Se puede mostrar que dos figuras son congruentes deslizándolas, invirtiéndolas o girándolas para que coincidan una con la otra, o usando alguna combinación de estos movimientos.

3

¿Dónde está el eje de simetría en la foto de una montaña y de su reflejo? Lo averiguarás en la Lección 6 .4 .

Simetría axial Una figura tiene simetría axial si la cruza una recta de modo que cada parte es congruente con la otra (imagen especular de la otra). La recta se llama eje de simetría. Al doblar la figura por el eje de simetría, las partes coinciden perfectamente. Una figura puede tener: uno, varios o ningún eje de simetría.

Vocabulario

1

Escoge el mejor término del recuadro . • círculo • cubo

• cuadrado • triángulo

a) Una figura que tiene 4 lados de . la misma longitud se llama b) Un sólido que tiene seis caras . cuadradas se llama c) Una figura que tiene 3 lados . se llama

Simetría rotacional Una figura tiene simetría rotacional si se le hace girar media vuelta o menos alrededor de un punto y coincide exactamente con la posición inicial. El punto se llama centro de simetría.

Nombrar sólidos y figuras

2

4

Escribe el nombre de cada figura . a)

b)

c)

d)

en la Lección 6 .5 .

Traslaciones TECH TECH Transformación de una figura, consiste en el cambio o transformación de esta TECH TECH La figura en otra. inicial es la preimagen y la figura transformada, la imagen.

Figuras

3

Escribe el número de lados que tiene cada figura . a)

b) 3

c)

(place checkmark)

d) 3

4

Escribir para explicar. ¿Qué sólido puede rodar: un cono o un cubo? Explica por qué rueda .

(place checkmark)

TECH

153

Repasa lo que sabes

3

3

Objetivo Determinar el nivel de preparación de los estudiantes evaluando su dominio de los conocimientos requeridos. Respuestas 1. a) Cuadrado; b) Cubo; c) Triángulo 2. a) Cono, b) Rectángulo; c) Triángulo; d) Cilindro 3. a) 3; b) 5; c) 4; d) 6 4. Un cono, porque tiene una superficie curva. Conexión al Mineduc Los objetivos de aprendizaje de esta unidad pueden ser complementados revisando el Programa de Estudios del Mineduc en www.curriculumenlinea.cl o www.curriculumnacional.cl

3

(place checkmark)

Identificar traslaciones Una traslación o deslizamiento es una 3 transformación que mueve cada punto TECH de TECH la figura en la misma distancia y en la misma dirección. (place checkmark)

TECH

Dibujar traslaciones El uso de3 una cuadrícula ayuda a dibujar la traslación de una figura. Al contar los recuadros, es posible cerciorarse 3 que es trasladada en la misma distancia y misma dirección.

(place checkmark)

(place checkmark)

(place checkmark)

(place checkmark)

Reflexiones Reflexión o inversión, es una transformación que invierte la figura por encima de una recta llamada recta de reflexión. La figura nueva, imagen especular de la inicial. Una cuadrícula es un instrumento útil para dibujar reflexiones. Los recuadros de la cuadrícula sirven para cerciorarse de que la imagen está a la misma distancia de la recta de reflexión que el punto de la preimagen.

Geometría

171

Lección

Relacionar figuras 2D y 3D

6.1

Objetivo Identificar figuras relacionadas con cuerpos dados.

¡Lo entenderás! Se puede describir una figura 3D refiriéndose a sus partes .

Algunas figuras 3D tienen caras, vértices y aristas .

Contexto matemático El término dimensión se refiere al alcance mensurable de una figura. Por ejemplo, una figura que tenga solamente longitud, como una recta o un segmento de recta, se considera de una dimensión. Las figuras que tengan longitud y ancho, como los triángulos y los cuadrados, son bidimensionales. Los cuerpos geométricos tienen longitud, ancho y altura (o profundidad); por lo tanto, son figuras tridimensionales. Cuando todas las superficies de un cuerpo geométrico son polígonos, cada superficie se llama cara. Nótese que si bien un cuerpo geométrico es tridimensional, sus caras son bidimensionales. El lugar donde dos caras adyacentes de un cuerpo geométrico se intersectan, o se encuentran, se llama arista. Una arista se prolonga solamente a lo largo de una línea; por lo tanto, es de una dimensión. El lugar donde se intersectan tres o más aristas de un cuerpo geométrico se llama vértice. Un vértice es simplemente un punto, no es mensurable. Por lo tanto, se considera que un vértice no tiene dimensión.

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Tiene un prisma rectangular alguna superficie curva? [No, solamente superficies planas]. ¿Cuántas superficies planas tiene un prisma rectangular? [6]. (2)¿Cómo pueden encontrar el número de aristas de un cuerpo geométrico? [Contando el número de lugares donde se encuentran dos caras]. (3) ¿Cómo encontrarían el número de vértices de un cuerpo geométrico? [Contando el número de esquinas en el cuerpo geométrico].

172

Unidad 6 - Geometría

¿Cómo describes las partes de las figuras 3D?

Otro ejemplo

Cada superficie plana es una cara .

Un paralelepípedo tiene 6 caras . La figura que forma cada cara es un rectángulo .

TECH

¿Tienen todos ls figuras 3D caras, aristas y vértices?

Las superficies planas de las figuras 3D que pueden rodar no se llaman caras . Un cilindro tiene dos superficies planas .

rodar . Pero un cilindro puede rodar

Por lo tanto, las superficies planas de un cilindro no son caras . Recuerda que una arista es el lugar donde se encuentran TECH 2 caras . Por lo tanto, un cilindro no tiene aristas . Un cono no tiene ni caras ni aristas . Tiene un vértice .

3

vértice TECH

3 3

(place checkmark)

(place checkmark)

(place checkmark)

Práctica guiada COMO hacerlo? Usa el cubo y el cono .

Lo ENTIENDES? ? Usa las siguientes figuras 3D .

1

2

a) ¿Cuántas caras tiene un cubo? y ¿el cono? b) ¿Cuántas aristas tiene el cubo? y ¿el cono? c) ¿Cuántos vértices tiene el cubo? y ¿el cono? 3 3

3

a) ¿Qué dos figuras 3D tienen el mismo número de aristas?

TECH TECH

TEC

b) ¿Cuáles de estas figuras 3D no tienen caras?

(place checkmark) (place checkmark)

3

Posibles errores y dificultades Es posible que los estudiantes confundan los términos cara, arista y vértice. Sugiera que visualicen los términos en relación con la clase: Una cara es como una pared, piso o techo; una arista es como el lugar donde se encuentran dos paredes o donde una pared se encuentra con el techo o el piso; un vértice es como una esquina donde se encuentran 2 paredes con un piso o un techo.  Otro ejemplo ¿Cuál es la forma de cada superficie plana del cilindro? [Círculo]. Cuando el cilindro está apoyado en una de esas superficies planas, ¿rueda? [No]. ¿En qué posición rodará el cilindro? [Si se pone el cilindro sobre la superficie curva, sí rodará].  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que las superficies planas de los cuerpos geométricos que ruedan se llaman bases.

3

(place (place checkm

3 3

(pla

Respuestas 1. a) 6; 0 (tiene superficies planas); b) 12; 0; c) 8; 1 2. a) El prisma rectangular y el cubo; b) El cilindro, el cono y la esfera.

La esquina donde se encuentran 3 o más aristas se llama vértice .

Una arista es donde se encuentran 2 caras .

Un paralelepípedo tiene 12 aristas .

Un paralelepípedo tiene 8 vértices .

TECH

TECH

Práctica independiente 3

Usa la pirámide para responder responder . a) ¿Cuántas aristas tiene esta pirámide? 3

(place checkmark) 3 b) ¿Cuántos vértices tiene esta pirámide?

c) ¿Cuántas caras tiene esta pirámide? d) ¿Qué figuras forman las caras? ¿Cuántas caras de cada figura hay? Resolución de problemas

4

Escribir para explicar. ¿Por qué un cubo tiene el mismo número de caras, aristas y vértices que un paralelepípedo?

5

Tomás compró una bolsa de 24 calcomanías . Piensa pegar una calcomanía en cada una de las caras de este cubo . ¿Cuántas calcomanías le sobrarán? a

6

12

B

16

C

18

D

21

TECH

3

(place checkmark)

Este trozo de queso se parece a una figura 3D llamada pirámide. a) ¿Cuántas caras tiene una pirámide? b) ¿Qué figura forman las caras? c) ¿Cuántos vértices tiene una pirámide? d) ¿Cuántas aristas tiene una pirámide?

Cierre Podemos usar figuras para describir algunos atributos de algunos sólidos. Diga: En esta lección aprendieron que podemos describir algunos cuerpos geométricos describiendo sus caras, aristas y vértices.

 Práctica independiente Es posible que los estudiantes tengan dificultad para visualizar todas las caras, aristas y vértices. Asegúrese de que sepan que las líneas discontinuas indican aristas que no se pueden ver, use el ejercicio 3.a) como ejemplo. Miren el dibujo de la pirámide. Hay cinco segmentos indicados con línea continua. Esas son las aristas que se ven en el frente de la pirámide. Hay tres segmentos con líneas discontinuas. Esas son las aristas que están escondidas atrás. Por lo tanto, hay ocho aristas en total.

(place checkmark)

Respuestas 3. a) 8 aristas; b) 5 vértices; c) 5 caras; d) Cuadrado y triánguTECH los; 1 cuadrado, 4 triángulos.  Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implí3 citos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 4 a 6. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable. (place checkmark)

Respuestas 4. Ejemplo de respuesta: si se toma un prisma rectangular y se hacen todas sus caras del mismo tamaño y forma, se obtiene un cubo. Por lo tanto, el cubo tendrá el mismo número de caras, aristas y vértices que el prisma rectangular. 5. C 6. a) 5 caras; b) 3 son rectángulos; 2 son triángulos; c) 6 vértices; d) 9 aristas.

Lección 6.1

173

Lección

Figuras 3D

6.2

Objetivo Aprender a describir y clasificar cuerpos geométricos. Contexto matemático Un sólido es una figura tridimensional: tiene longitud, ancho y altura. Un cuerpo geométrico que se compone de caras delineadas por polígonos es un poliedro. Un poliedro tiene caras, vértices y aristas. Los prismas y las pirámides son tipos de poliedros que reciben su nombre por la forma de sus bases, por ejemplo: el prisma triangular tiene 2 bases paralelas triangulares y 3 caras rectangulares que se conectan en las bases. Igualmente, un prisma rectangular tiene 2 bases rectangulares paralelas. Un prisma rectangular cuyas 6 caras son congruentes, se denomina cubo. Una pirámide rectangular tiene una base rectangular y una pirámide cuadrangular tiene una base cuadrada. Los cilindros, los conos y las esferas no tienen caras poligonales, por lo tanto, no son poliedros.

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Es un sólido también un polígono? [No, un polígono tiene solo 2 dimensiones]. ¿Tiene caras una esfera? [No, no hay superficies planas en una esfera]. ¿Tiene aristas un cono? [No, no hay dos caras que se encuentran en un segmento de recta]. (2) ¿Cuál es la diferencia entre un prisma rectangular y un cubo? [Un cubo es un tipo especial de prisma rectangular compuesto por 6 caras cuadradas]. (3) ¿Por qué tienen diferentes nombres las dos pirámides de este panel? [El nombre de cada una dice cuál es la forma de la cara de abajo]. ¿En qué se diferencia una pirámide rectangular de un prisma rectangular? [Una cara de una pirámide rectangular es un cuadrado, y todas las demás caras son triángulos. Todas las caras de un prisma rectangular son rectángulos].

174

Unidad 6 - Geometría

¡Lo entenderás! Una figura 3D se puede describir por las superficies curvas o planas que tiene .

¿Cómo puedes describir y clasificar los sólidos? Una figura 3D tiene tres dimensiones: longitud, ancho y altura . altura Los sólidos pueden tener superficies curvas . Esfera

Cilindro

Cono

Otro ejemplo

¿Cómo puedes construir una figura 3D? Un modelo plano es un patrón que se puede usar para hacer un sólido . sólido Este es un modelo plano de un cubo . Cada cara está unida a, por lo menos, una cara más .

Este es un modelo plano de una pirámide .

Práctica guiada COMO hacerlo? Identifica cada figura 3D .

1

a)

c)

b)

d)

Lo ENTIENDES? ? ¿Qué figura 3D tiene cuatro caras triangulares y una cara cuadrada?

2

3

¿Por qué un cubo es una clase especial de paralelepípedo?

4

¿Tiene una esfera alguna arista o algún vértice? Explícalo . Comenta con tu compañero .

Posibles errores y dificultades Es posible que sea difícil para los estudiantes diferenciar entre prisma y una pirámide. Permítales construir los modelos planos para ambos y guíelos para que observen que las pirámides tienen solo una base. Los prismas, dos.  Otro ejemplo Observen con atención los dos modelos planos. ¿Qué figuras más pequeñas ven en cada uno? [Cuadrados en uno y triángulos en el otro]. ¿Qué figura compuesta por caras cuadradas conocen? [El cubo]. ¿Qué figura contiene 2 caras triangulares y 3 caras rectangulares? [Un prisma rectangular].  Práctica guiada Los estudiantes deben darse cuenta de que los sólidos tienen tres dimensiones: longitud, ancho y altura.

Algunas figuras 3D tienen todas las superficies planas planas . . Reciben su nombre de acuerdo con sus caras caras .

Ejercicio 1b) cubo 6 caras cuadradas

cara superficie plana de cara: un cuerpo geométrico .

pirámide 2 caras triangulares 3 caras rectangulares

vértice: punto donde se encuentran 3 aristas o más . (plural: vértices) arista: segmento de recta donde se encuentran 2 caras .

pirámide 1 cara rectangular 4 caras triangulares

paralelepípedo 6 caras rectangulares

pirámide 1 cara cuadrada 4 caras triangulares

Práctica independiente 5

Completa la tabla . Figura 3D

Caras

a)

Paralelepípedo

b)

Cubo

c)

Esfera

aristas

Figura(s) de las caras

Vértices

6 rectángulos 6 0

Resolución de problemas

6

¿Cuántas aristas tiene este cubo? a

6

C

10

B

8

D

12

7

Una pirámide cuadrangular es una clase especial de pirámide . Tiene 1 cara cuadrada y 5 vértices . ¿Cuántas caras triangulares tiene una pirámide cuadrangular?

8

Eartha está ubicada en Yarmouth, Maine . Identifica el sólido que describe mejor a Eartha .

Cierre Las figuras tridimensionales o cuerpos geométricos tienen longitud, ancho y altura. Muchos pueden describirse, clasificarse y analizarse por sus caras, aristas y vértices. Muchos objetos de la vida cotidiana son muy similares a cuerpos geométricos convencionales. Diga: En esta lección, aprendieron sobre la clasificación de los sólidos.

Errores e intervención Si los estudiantes tienen dificultades para responder que esto es un prisma rectangular, entonces, pídales que hagan el modelo plano para la figura incorrecta que eligieron. Deben observar que todos los prismas tienen 2 bases. Esta figura también tiene 6 lados rectangulares. Respuestas 1. a) Pirámide cuadrangular; b) Prisma rectangular; c) Cono; d) Cilindro 2. Pirámide cuadrangular. 3. Un cubo tiene 6 caras rectangulares igual que un prisma rectangular, pero las caras de un cubo son cuadrados, una clase especial de rectángulos. 4. No, una esfera no tiene caras; por lo tanto, no puede tener aristas ni vértices.  Práctica independiente Es posible que sea difícil para algunos estudiantes escribir todos los nombres de los sólidos. Pueden usar la tabla de referencia como ayuda para encontrar los nombres asociados a un sólido. Respuestas 5. a) 6; 12; 8; b) 6; 12; 8; 6 cuadrados; c) 0; 0; 0. No tiene caras.  Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos deben comprobar si el resultado es razonable. Respuestas 6. D 7. 4 caras triangulares. 8. Una esfera.

Lección 6.2

175

Vistas de las figuras 3D: modelos planos

Lección

6.3

Objetivo Usar una figura bidimensional para representar un objeto tridimensional.

¡Lo entenderás! Hay una conexión única entre las figuras 3D y las figuras planas .

¿Cómo puedes usar una figura 2D para representar una figura 3D tridimensional? Puedes abrir una figura 3D para mostrar un patrón . patrón Este patrón se llama un modelo plano . plano El modelo plano muestra las caras o superficies planas de una figura 3D .

Contexto matemático Todas las figuras de tres dimensiones se componen de figuras planas bidimensionales interconectadas. Una figura tridimensional, al abrirse y aplanarse, forma un patrón bidimensional, o modelo plano, que muestra todas las caras del cuerpo geométrico. Al usar modelos planos, los estudiantes pueden identificar las figuras planas que componen cada cuerpo geométrico.

Práctica guiada COMO hacerlo? 1

Lo ENTIENDES? ?

Identifica cuántas caras tiene cada figura 3D . a)

b)

c)

d)

2

¿En qué se parece un cubo a un paralelepípedo?

3

Nombra un cuerpo geométrico que tenga exactamente 3 caras rectangulares .

4

Dibuja un modelo plano diferente anterior . para el cubo del ejemplo anterior Preséntalo y explícalo a tu curso .

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Por qué se necesitaría una representación bidimensional de una figura tridimensional? [Para ver cómo se ve la figura plana y ver qué figuras componen el cuerpo geométrico]. Un modelo plano se usa para formar un cuerpo geométrico. ¿En qué se diferencia de un sólido? [Un modelo plano es plano, mientras que un sólido es tridimensional]. Posibles errores y dificultades (2) Es posible que algunos estudiantes no puedan relacionar las partes del modelo plano con las caras del sólido. Pídales que corten una caja y la aplanen con el menor número posible de cortes. También es útil armar sólidos a partir de modelos planos. Coloree cada cara y la parte que la acompaña sobre el modelo plano. Cuando dos caras se encuentran, forman una arista. ¿Este cubo tiene más caras o más aristas? Expliquen. [Más aristas. Ejemplo de respuesta: porque cada cara tiene 4 aristas que la rodean]. (3) ¿En qué se diferencia un vértice de una arista? [Ejemplo de respuesta: Un vértice es como un punto en una esquina de una figura bidimensional, mientras que una arista es un lado (segmento de recta) de una figura bidimensional].

176

Unidad 6 - Geometría

Cara

Práctica independiente 5

formar . Nombra el cuerpo geométrico que se puede formar a)

b)

c)

d)

 Práctica guiada Repase la definición de caras, vértices y aristas. Recuerde a los estudiantes que las bases también son caras. Ejercicios 2 y 3 Errores e intervención Si los estudiantes tienen dificultades para recordar los atributos de un cuadrado y un rectángulo, entonces, muestre un dibujo ampliado de los dos cuadriláteros. Pida a los estudiantes que comenten en qué se parecen y en qué se diferencian las figuras. Respuestas 1. a) Ninguna; b) 5 caras; c) 6 caras; d) 5 caras 2. Un cubo es un prisma rectangular con todas las caras cuadradas. 3. Ejemplo de respuesta: Pirámide triangular. 4. Revisar el trabajo de los estudiantes.

Cuando dos o más aristas se encuentran, forman un vértice de una figura 3D 3D .

Cuando dos caras se encuentran, forman una arista . arista

Vértice

FPO Arista

e)

f)

g)

Resolución de problemas

6

Dibuja un modelo plano para la siguiente figura .

7

¿El modelo plano de qué figura se ve a continuación?

8

Martín tiene banderines colgados en las 4 paredes de su habitación . En cada pared hay 7 banderines . ¿Cuántos banderines hay en total?

9

Un auto viaja a 120 kilómetros por hora. Tarda 4 horas en ir de Santiago a Chillán . ¿Cuál es la distancia aproximada entre las dos ciudades?

Cierre y evaluación Algunos sólidos pueden representarse como una figura plana compuesta de otras figuras. La figura plana puede doblarse para construir un sólido. Diga: En esta lección, identificaron los atributos de los objetos tridimensionales y nombraron las figuras planas que componen las caras de un cuerpo geométrico.

 Práctica independiente Recuerde a los estudiantes que una arista es un segmento de recta en el que se encuentran dos o más caras. Respuestas 5. a) Prisma rectangular; b) Pirámide rectangular; c) Prisma triangular; d) Cubo; e) Cono; f) Cilindro; g) Pirámide cuadrangular.  Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 6 a 10. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable. Ejercicio 10 Recuerde a los estudiantes que deben pensar en las definiciones de paralelogramo, rombo y rectángulo. Pídales que miren el dibujo para ver si la figura coincide con alguna de las descripciones. Respuestas 6. Revisar el trabajo de los estudiantes. 7. Cilindro 8. 28 banderines 9. 480 kilómetros  Refuerzo Muestre dibujos de un cubo, un cono, un cilindro, un prisma rectangular, una esfera, una pirámide cuadrangular y un prisma triangular. Pida a los estudiantes que hagan una lista del número de caras, de aristas y de vértices de cada sólido. Recopile la información para mostrarla en una tabla.

Lección 6.3

177

Lección

Movimientos de las figuras

6.4

Objetivo Reconocer y aplicar traslaciones, reflexiones y rotaciones a los cuerpos geométricos.

Puedes mover una figura de diferentes maneras para cambiar su apariencia .

¡Lo entenderás! Puedes mover las figuras de diferentes maneras y describir esos movimientos.

Puedes deslizar una figura para mostrar una traslación .

Contexto matemático Las transformaciones son maneras de mover figuras de un lugar a otro sin cambiar su forma o tamaño. En esta lección se tratan tres transformaciones: traslaciones o deslizamientos, reflexiones o inversiones y rotaciones o giros. A medida que los niños y niñas realizan deslizamientos, inversiones y giros, continúan desarrollando su comprensión de las propiedades de las figuras.

Práctica guiada 1

Usa la plantilla para mostrar una traslación, una reflexión y una rotación . Dibuja la figura en su posición nueva .

traslación

reflexión

rotación

a)

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) Hay muchas maneras de mover una figura sin cambiar su tamaño ni su forma. Mientras repasa los paneles, pida a los niños y niñas que usen los bloques de patrón para mostrar los movimientos. (2) ¿Cómo pueden mostrar una traslación? [Deslizando la figura hacia una nueva ubicación]. Cada punto de la figura se desliza la misma distancia. (3) ¿Cómo pueden mostrar una reflexión? [Invirtiendo la figura. La figura reflejada está del lado opuesto]. (4) ¿Cómo pueden mostrar una rotación? [Girando la figura alrededor de un punto]. ¿Dónde está el punto? [En la esquina inferior derecha de la figura original]. El giro puede ser en sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj.  Práctica guiada Recuerde a los niños y niñas que pueden deslizar figuras para mostrar una traslación, invertir figuras para mostrar una reflexión y girar figuras para mostrar una rotación.

178

Unidad 6 - Geometría

b)

2

¿Lo entiendes?

¿Es esto una reflexión o una traslación? Explica .

Ejercicio 1 Errores e intervención Si los niños y niñas no usan el nuevo vocabulario correctamente, entonces, pídales que escriban palabras clave debajo del nuevo vocabulario en la fila de arriba. ¿Qué pueden escribir debajo de traslación para recordar cómo mover la figura? [Deslizar]. ¿Qué pueden escribir debajo de reflexión para recordar cómo mover la figura? [Invertir]. ¿Qué pueden escribir debajo de rotación para recordar cómo mover la figura? [Girar].  ¿Lo entiendes? Pida a los niños y niñas que usen un rombo azul de los materiales manipulables de bloques de patrón para mostrar una reflexión y una traslación. Pregúnteles qué movimiento coincide con el del problema. Respuestas 1. a) y b) Revisar dibujos de los estudiantes. 2. Ejemplo de respuesta: Reflexión; La segunda figura parece mirada a través de un espejo.

Puedes invertir una figura para demostrar una reflexión .

Puedes girar una figura para mostrar una rotación .

 Práctica independiente Es posible que los niños y niñas tengan dificultades para identificar el movimiento de las figuras dadas. Anímelos a mover figuras reales de bloques de patrón para ayudarlos a completar cada ejercicio. Respuestas 3. a) Rotación. b) Traslación.

Práctica independiente 3

¿Es una traslación, una reflexión o una rotación? Encierra en un círculo la respuesta . a)

 Resolución de problemas Respuestas 4. Las respuestas variarán. 5. Contraria a la de arriba, revisar trabajo de los estudiantes.

b)

traslación

reflexión

rotación

traslación

reflexión

rotación

Resolución de problemas

4

Calca este dibujo de la montaña y de su reflejo . En grupos comenten qué fenómeno visual se produjo .

5

Razonamiento Éste es un patrón de rotación . Haz un dibujo de la figura en su posición siguiente .

Gire la figura para mostrar una rotación.

Cierre

 Refuerzo Muestre cómo mover figuras de bloques de patrón de diferentes maneras y describa los movimientos. Deslice la figura para mostrar una traslación. Invierta la figura para mostrar una reflexión.

TOPIC 15 27276_339e 1st pass 9-20-06 LKell

Las figuras en el plano pueden trasladarse (deslizarse), rotarse (girarse) o reflejarse de un lado a otro de una línea (invertirse). Diga: En esta lección, aprendieron a mover figuras usando traslaciones, reflexiones y rotaciones.

Lección 6.4

179

Lección

simetría

6.5

Objetivo Identificar objetos que tienen simetría y dibujar ejes de simetría.

¡Lo entenderás! Una figura tiene simetría cuando puede doblarse por una línea y mostrar dos partes que coinciden.

¿Tienen simetría estas figuras?

Esta muestra un eje de simetría .

Si doblas la figura por la línea, habrá dos partes que coinciden .

Contexto matemático Un eje de simetría divide una figura en dos partes que tienen exactamente el mismo tamaño y la misma forma. Algunas figuras tienen más de un eje de simetría. Por ejemplo, un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría y un círculo tiene un número infinito de ejes de simetría.

Práctica guiada 1

¿Tiene la figura un eje de simetría? Encierra en un círculo sí o no . Si es sí, dibuja un eje de simetría . a)

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Qué pueden decir sobre estas dos figuras? [Ejemplo de respuesta: la primera tiene 4 lados, la segunda tiene 3 lados] Aprenderán a averiguar si las figuras tienen simetría. (2) ¿La línea punteada es un eje de simetría? [Sí, ambas partes coinciden cuando doblamos la figura sobre el eje]. ¿Esta figura tiene simetría? [Sí]. (3) ¿La línea punteada es un eje de simetría? [No, las partes no coincidirán cuando doble la figura por la línea]. ¿Esta figura tiene simetría? [No]. (4) Pida a los niños y niñas que tapen la parte punteada de la figura. ¿Cómo pueden formar una figura que tenga simetría? [Ejemplo de respuesta: Dibujando la parte que coincide del otro lado del eje de simetría].  Práctica guiada Recuerde a los niños y niñas que un eje de simetría puede dibujarse en cualquier dirección. Una figura es simétrica cuando puede doblarse sobre un eje para mostrar dos partes que coinciden.

b) sí

sí

no

no

c)

2

d) sí

sí

no

no

¿Lo entiendes?

¿Puede una figura tener más de un eje de simetría? Explica .

Ejercicio 1.b) Errores e intervención Si los niños y niñas identifican figuras sin simetría como simétricas, entonces, recuérdeles que una figura que es simétrica puede doblarse sobre un eje para mostrar dos partes que coinciden. Si doblan esta figura sobre un eje, no pueden formar dos partes que coinciden. Esta figura no tiene simetría.  ¿Lo entiendes? Pida a los niños y niñas que doblen un pedazo de papel común para mostrar varios ejes de simetría. Pídales que hagan un doblez que forme dos partes que coinciden. Pídales que hagan otro doblez que forme dos nuevas partes que coinciden. Pregunte si hay otros dobleces que mostrarían ejes de simetría. Respuestas 1. a) Sí; b) No; c) Sí; d) Sí. 2. Ejemplo de respuesta: Sí; Por ejemplo, un rectángulo tiene 2 ejes de simetría.

180

Unidad 6 - Geometría

Este no es un eje de simetría .

Puedes dibujar una parte que coincida para formar una figura con simetría .

Si doblas la figura por la línea, las dos partes no coincidirán .

 Práctica independiente Es posible que los niños y niñas tengan dificultades para dibujar la parte correspondiente. Entrégueles papel y pídales que tracen las figuras y los ejes de simetría con lápiz oscuro. Pídales que doblen por el eje de simetría y miren a través del papel para ver la parte que coincide.

Práctica independiente 3

Respuestas 3. a y b) Revisar el trabajo de los estudiantes.

Dibuja la parte que coincida para formar una figura con simetría . a)

b)

 Resolución de problemas Respuestas 4. Revise el trabajo de los estudiantes. 5. Los dibujos variarán. 12 ejes de simetría.

Resolución de problemas

4

El dibujo muestra una rodaja de naranja y el esquema de una parte de las secciones de la naranja . Calca el esquema en una hoja de papel . Complétalo de manera que la línea punteada sea un eje de simetría .

5

Un copo de nieve perfectamente formado tiene 6 lados y es simétrico . Dibuja tu propio copo de nieve . Colorea los ejes de simetría de tu dibujo . ¿Cuántos ejes de simetría tiene?

 Refuerzo Demuestre cómo encontrar figuras simétricas dibujando un eje de simetría. Trace una figura con bloques de patrón y use un borde recto para formar un eje, de modo que si se doblara la figura, mostraría dos partes que coinciden. TECH

3

(place checkmark)

Cierre Algunas figuras pueden reflejarse de un lado a otro, por una o más líneas que atraviesan la figura, de modo que la figura se dobla perfectamente sobre sí misma. Diga: En esta lección, aprendieron cómo distinguir si las figuras tienen simetría. TOPIC 15.3 27276_339x 1st pass 9-11-06 LKell

Lección 6.5

181

Lección

Usar objetos

A veces la forma más sencilla de resolver un problema es usar objetos para encontrar una solución. En esta lección se usan tangramas para formar otras figuras con ciertos atributos. Es más rápido para los estudiantes manipular los tangramas que dibujar 1 cuadrado y 2 triángulos en configuraciones diferentes para encontrar una solución. Una vez que los estudiantes han resuelto el problema, pueden calcar o dibujar las figuras en un papel para mostrar su respuesta. Esta lección también ayuda a los estudiantes con el razonamiento espacial. Observarán cómo las figuras más pequeñas se ajustan para formar figuras más grandes y cómo las figuras más grandes se pueden dividir en figuras más pequeñas.  Aprendizaje visual (1) ¿Hay figuras congruentes en este tangrama? ¿Cómo lo saben? [Sí. Los dos triángulos grandes son congruentes y los dos triángulos pequeños son congruentes, porque tienen el mismo tamaño y la misma forma]. (2) Cuando forman las dos figuras, ¿cuántas figuras de tangrama necesitan para cada figura? [Tres]. ¿Se puede usar cualquier conjunto de tres figuras del tangrama para resolver el problema? [No. Hay que usar los dos triángulos pequeños y el triángulo mediano]. (3) Observen el rectángulo. ¿Cómo se puede convertir en un paralelogramo moviendo solo una figura? [Se desliza el triángulo pequeño de la izquierda hasta que quede al lado del triángulo pequeño de la derecha]. ¿Cómo pueden comprobar la simetría de cada figura? [Calcando las figuras y comprobando si las dos partes coinciden exactamente cuando se doblan].

182

Unidad 6 - Geometría

triángulo pequeño triángulo grande

paralelogramo

triángulo pequeño

Contexto matemático

Un tangrama es un cuadrado formado por siete figuras más pequeñas . Algunas o todas las figuras más pequeñas pueden usarse para formar otras figuras .

triángulo grande

Utilizar un tangrama para resolver problemas.

Resolución de problemas

¡Lo entenderás! Las figuras se pueden separar o unir de maneras diferentes .

do ra ad cu

Objetivo

lo gu no án ia tri ed m

6.6

Práctica guiada ENTIENDES 1

Usa las piezas del tangrama para formar las figuras que se describen . Dibuja la figura que formes . Usa el paralelogramo triángulo pequeño . Forma una figura que tenga al menos un eje de simetría . Luego, forma una figura sin ningún eje de simetría .

2

Observa el problema de arriba y a) ¿Dónde están los dos ejes de simetría del rectángulo? b) Escribe un problema. Escribe un problema que puedas resolver formando una figura con las piezas del tangram .

Práctica independiente 3

Usa las piezas del tangrama para formar las figuras que se describen . Dibuja las figuras que formes . a) Usa el paralelogramo y el triángulo mediano . Forma una figura que tenga al menos un eje de simetría . Luego, forma una figura sin ningún eje de simetría . b) Usa el paralelogramo, un triángulo pequeño y el triángulo mediano . Forma una figura que tenga al menos un eje de simetría . Luego, forma una figura sin ningún eje de simetría .

• ¿Qué sé? • ¿Qué me piden que halle? • ¿Qué diagrama puede ayudarme a entender el problema? • ¿Puedo usar suma, resta, multiplicación o división? • ¿Está correcto todo mi trabajo? • ¿Respondí la pregunta que correspondía? • ¿Es razonable mi respuesta?

Posibles errores y dificultades Es posible que los estudiantes piensen en la orientación original del tangrama y por lo mismo puede que no vean cómo se puede combinar con otras figuras para formar la figura deseada. Repase las tres maneras de mover figuras que han aprendido: deslizamientos, inversiones y giros.  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que deben comprobar que en la solución hayan usado las figuras del tangrama correctas y que hayan puesto el número correcto de ejes de simetría.

TE

3

(place check

Lee y comprende

Planea y resuelve Esta figura es un rectángulo rectángulo . Tiene dos ejes de simetría simetría . tr pe ián qu gu eñ lo o

• Forma una figura que tenga al menos un eje de simetría .

Respuestas 1.

lo gu ño án e tri equ p

Forma dos figuras diferentes usando los dos triángulos pequeños y el triángulo mediano mediano .

triángulo mediano

• Forma la otra figura sin ningún eje de simetría .

Esta figura es un paralelogramo . No tiene ningún eje de simetría . lo gu ño án e tri equ p

tr pe ián qu gu eñ lo o

2. a)

triángulo mediano

4

8

b) un triángulo

(place checkmark)

c) un paralelogramo

Usa los dos triángulos pequeños, el paralelogramo y el cuadrado . Usa las cuatro piezas en cada figura . Luego, dibuja las figuras que formaste . a) un rectángulo

6

 Práctica independiente Los estudiantes usan procesos implícitos e 3instrumentos matemáticos en los ejercicios 3 a 10. TECH

Usa los dos triángulos pequeños y el paralelogramo para formar cada figura . Usa las tres piezas en cada figura . Luego, dibuja las figuras que formaste . a) un rectángulo

5

b) Los problemas variarán. Revise TECH el trabajo de los estudiantes.

b) un paralelogramo

Escribir para explicar. Muestra y explica cómo puedes formar un triángulo y dos tipos de cuadriláteros usando sólo dos triángulos pequeños .

7

Javier vendió algunos boletos para la obra de teatro de la escuela . Los boletos estaban numerados en orden . Los números empezaban en el 16 y terminaban en el 45 . ¿Cuántos boletos vendió Javier?

9

Respuestas 3. a)

c) un hexágono

Usa los cinco triángulos de un tangrama . Forma al menos tres figuras diferentes . Dibuja las figuras que formaste . Ignacia está en una fila de 10 personas . El número de personas que están delante de ella es dos veces más que las que están detrás . ¿Cuántas personas están delante de Ignacia en la fila?

10 La madre de David llevó 24 envases de jugo de naranja y de uva para el

picnic de la clase . Había dos veces más envases de jugo de naranja que de jugo de uva . ¿Cuántos envases había de cada tipo? a

12 de naranja, 6 de uva

C

16 de naranja, 8 de uva

B

12 de uva, 6 de naranja

D

16 de uva, 8 de naranja

b)

3

(place checkmark)

Es posible que los estudiantes tengan dificultad para hacer todas las figuras geométricas de la lección. Repase los nombres y las propiedades de las figuras de dos dimensiones. Use el ejercicio 5.c) como ejemplo. ¿Cuántos lados tiene un hexágono? [6 lados]. Respuestas 4. a) b) c)

Cierre

5. a) b)

Algunos problemas pueden resolverse usando objetos para representar lo que ocurre en el problema. Diga: En esta lección aprendieron cómo usar objetos para representar problemas.

c) 6. 7. Revisar los trabajos de los estudiantes . 8. 30 boletos 9. 6 personas 10. C

Lección 6.6

183

1

Sugerencias metodológicas

Una superficie curva y una plana .

Ejercicios 1 a 4 Repaso de los contenidos de las Lecciones 6.1, 6.2 y Ampliación. Ejercicios 1 y 2 Repase las características de los cuerpos geométricos, enfatizando las diferencias de prismas y pirámides con conos, cilindros y esferas. Ejercicios 3 y 4 Revise las indicaciones que se dan para la Ampliación. Respuestas 1. a) Cono b) Cilindro c) Pirámide 2. Revise las respuestas de los estudiantes. Ejemplos de respuesta: a) Pelota b) Basurero c) Pisapapeles d) Caja e) Libro f) Pantalla de lámpara 3. a) Pirámide de base pentagonal b) Cono c) Prisma rectangular 4. Revise los dibujos de los estudiantes.

Une cada cuerpo con la descripción dada:

Una superficie curva y dos superficies planas .

Cinco superficies planas . 2

3

Nombra un objeto de la sala o de tu casa cuya forma sea igual a la de la figura 3D que se indica . a) Esfera

b) Cilindro

c) Pirámide

d) Cubo

e) Paralelepípedo

f) Cono

Escribe qué cuerpo se forma a partir de los siguientes modelos planos .

________________ 4

________________

________________

Dibuja un modelo plano para cada una de estas figuras . a)

b)

Actividad complementaria  Deslizamientos, inversiones y giros Tipo de actividad 10 min Materiales: cartulina. Dé a los estudiantes recortes de varias letras no simétricas, tales como G, J, Q o R. Escriba las palabras traslación, rotación y reflexión en el pizarrón. Diga a los estudiantes que una traslación es un deslizamiento; luego, demuéstrelo con una de las letras. Pida a los estudiantes que demuestren una traslación. Luego, diga a los estudiantes que una rotación es un giro; demuéstrelo con una de las letras. Pida a los estudiantes que demuestren una rotación. Finalmente, diga a los estudiantes que una reflexión es una inversión; demuéstrelo con una de las letras. Pida a los estudiantes que demuestren una reflexión.

184

Unidad 6 - Geometría

Edificios y geometría Observa atentamente las siguientes imágenes .

Burma

Sugerencias metodológicas

Japón

España

Brasil

Irlanda China

Egipto

Francia a partir de las imágenes responde. 1

Todas las construcciones tienen forma de ________________________ .

2

¿Qué construcción(es) tiene(n) forma de cilindro?

3

¿Qué construcción(es) tiene(n) forma de cono?

4

¿Qué construcción(es) tiene(n) forma de cubo?

5

¿Qué construcción(es) tiene(n) forma de pirámide?

6

¿Hay alguna construcción(es) que esté formada por más de un cuerpo? ¿Cuál(es)? Explica

7

Inventa tu propia construcción que combine al menos tres figuras 3D .

En esta sección se presentan problemas con datos reales, para que los estudiantes apliquen lo aprendido en la unidad a situaciones de la “vida diaria”. Los estudiantes pueden emplear la estrategia de resolución que más les acomode. Lo importante es que la revisión sea hecha en voz alta y puedan compartir las distintas estrategias utilizadas. Si todos han usado el mismo método de resolución, anímelos a que en conjunto sugieran otras posibilidades. Respuestas 1. Cuerpos geométricos 2. Brasil, Japón 3. Burma, España 4. Prisma rectangular (Japón) 5. Francia, Egipto 6. Burma: cono y la base cilindro Japón: cilindro y prisma rectangular Brasil: cilindro y prisma rectangular Irlanda: esfera y cilindro China: esfera y cilindro 7. Revise el trabajo de los estudiantes.

Actividad complementaria  Simetría en la naturaleza Tipo de actividad 11 min Materiales: revistas viejas, tijeras, pegamento, papel para carteles. Dé revistas viejas a los estudiantes. Pídales que busquen en la naturaleza ejemplos de objetos simétricos, tales como flores, copos de nieve, mariposas o el cuerpo de otros animales. Los estudiantes pueden recortar las ilustraciones o hacer dibujos de los objetos y pegarlos en un letrero rotulado “La simetría en la naturaleza”. Los estudiantes deben dibujar ejes de simetría en las ilustraciones. Muestre los letreros en un diario mural.

Conectándonos con otras asignaturas

185

¡C Objetivo Evaluar, en formato de opción múltiple, la comprensión que tienen los niños de los conceptos y las destrezas de la unidad. Después que el alumno realice su autoevaluación, es importante que lea Para revisar tu autoevaluación y revise solo sus respuestas, antes de ser corregido por el profesor o en forma colectiva.

1

Nombra la figura 3D . a)

2

!

b)

c)

d)

Usa la figura 3D correspondiente . a) ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene este cubo?

b) Describe la forma de cada cara .

c) ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene esta pirámide?

d) Describe la forma de cada cara . TECH

Respuestas Ejercicio 1: a) Cilindro b) Prisma rectangular c) Pirámide de base triangular d) Cono Ejercicio 2: a) 6; 12; 8 b) 6 caras cuadradas c) 5; 8; 5 d) 4 caras triangulares y 1 cara cuadrada Ejercicio 3: a) Sí, octágono b) No, una parte es curva. c) Sí, triángulo d) No, círculo Ejercicio 4: a) Sí, reflexión b) Sí, rotación Ejercicio 5: a) No b) Sí c) Sí d) Sí

186

Unidad 6 - Geometría

3

¿La figura es un polígono? Si lo es, escribe el nombre . Si no lo es, explica por qué . a)

4

b)

c)

(place checkmark)

d)

¿Son congruentes las figuras? Escribe sí o no . Si la respuesta es sí, escribe traslación, rotación o reflexión para cada una .

3 Indica si cada figura es simétrica . Escribe sí o no .

a)

TECH

b)

a)

5

3

e)

(place checkmark)

c)

TECH

3

(place checkmark)

d)

TECH TECH

168 Unidad 6 3

(place checkmark)

3

(place checkmark)

TECH

Actividad complementaria  Tangramas Tipo de actividad 3 15 min Materiales: cartulina, regla, papel de calcar, bloques de patrones (opcionales). (place checkmark)

Entregue la cartulina a las parejas y pídales que dibujen un patrón de triángulos y cuadriláteros para formar un tangrama. Puede proveerles bloques de patrones para calcar las figuras. Pida a los estudiantes que usen el papel de calcar para calcar el contorno de sus tangramas. Luego, las parejas pueden recortar sus rompecabezas e intercambiarlos con otra pareja de estudiantes. Las parejas tratan de armar el rompecabezas en su forma original usando los contornos calcados como plantilla. Los estudiantes identifican cada una de las figuras que conforman el tangrama.

6

Respuestas

Escribe traslación, reflexión o rotación, para cada par de figuras congruentes .

Ejercicio 6:

a)

b)

a) Reflexión b) Rotación c) Traslación

TECH

rio necesa os ¿U s ejercici lo r ce a para h do para o apura o lo hag ? r rápido a in rm te

tiempo TECH tilizo el

c) 3

(place checkmark)

TECH 3

Recuerda que algunos cuerpos geométricos pueden rodar y otros no . Recuerda que una figura simétrica tiene por lo menos 1 eje de simetría, mostrando dos partes que coinciden exactamente .

3

(place checkmark)

(place checkmark)

Recuerda que un vértice es la unión de tres o más aristas . Recuerda que las figuras tienen que tener la misma forma y el mismo tamaño para ser congruentes .

Recuerda que al usar objetos para realizar las figuras pedidas, debes comprobar que correspondan a las instrucciones dadas . Recuerda que un polígono está formado por segmentos de recta . Recuerda que cada parte de la figura debe coincidir exactamente . Para dibujar una figura simétrica, dibuja la primera parte de la figura de un lado de un segmento de recta . Geometría autoevaluación utoevaluación Unidad 6

169

Actividad complementaria  Móviles Tipo de actividad 15 min Materiales: cartulina, cordel, gancho de ropa de alambre. Pida a los estudiantes que dibujen varios triángulos, cuadriláteros y otros polígonos en la cartulina. Pídales que recorten las figuras y rotulen cada una con el nombre de la figura. En el dorso de cada figura, los estudiantes pueden describir los atributos, como 4 lados, 4 ángulos rectos. Los estudiantes pueden levantar la figura para mostrársela a un compañero. El compañero describe algunos atributos de la figura. Los estudiantes pueden usar las figuras para hacer un móvil de alambre. Ayúdelos a perforar agujeros en las formas y atarlas a un gancho de ropa de alambre.

¡Cuánto aprendí!

187

Unidad

7

Medición

Planificación de la unidad Eje central

Objetivos de aprendizaje

Medición

 Leer e interpretar líneas de tiempo y calendarios.  Leer y registrar el tiempo en horas, medias horas, cuartos de hora y minutos en relojes análogos y digitales.  Demostrar que comprenden el perímetro de una figura regular e irregular: - midiendo y registrando el perímetro de figuras del entorno en el contexto de resolución de problemas. - determinando el perímetro de un cuadrado y de un rectángulo.  Demostrar que comprende la medición del peso (g y kg): - comparando y ordenando dos o más objetos a partir de su peso de manera informal. - usando modelos para explicar la relación que existe entre gramos y kilogramos. - estimando el peso de objetos de uso cotidiano, usando referentes. - midiendo y registrando el peso de objetos en números y en fracciones de uso común, en el contexto de la resolución de problemas.  Resolver problemas rutinarios en contextos cotidianos, que involucren las cuatro operaciones (no combinadas).

Habilidades

Resolver problemas

 Resolver problemas dados o creados.  Emplear diversas estrategias para resolver problemas y alcanzar respuestas adecuadas, como la estrategia de los 4 pasos: entender, planificar, hacer y comprobar.  Transferir los procedimientos utilizados en situaciones ya resueltas a problemas similares. Argumentar y comunicar

 Formular preguntas para profundizar el conocimiento y la comprensión.  Descubrir regularidades matemáticas –la estructura de las operaciones inversas, el valor posicional en el sistema decimal, patrones como los múltiplos– y comunicarlas a otros.  Hacer deducciones matemáticas de manera concreta.  Describir una situación del entorno con una expresión matemática, con una ecuación o con una representación pictórica.  Escuchar el razonamiento de otros para enriquecerse y para corregir errores. Objetivos de aprendizaje transversales y actitudes

188

Unidad 7 - Medición

 Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.  Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.  Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.

Para trabajar Texto para el estudiante pp. 170-191 Cuaderno de ejercitación

Recursos, evaluación y tiempo Para evaluar  Evaluación diagnóstica Repasa lo que sabes (Texto para el estudiante)  Evaluación formativa ¡Cuánto aprendí! (Texto para el estudiante)

Tiempo estimado Para la unidad 16 a 18 horas Para la prueba sumativa 2 horas

 Evaluación sumativa Pruebas fotocopiables (Guía didáctica del docente)

Modelar

 Aplicar, seleccionar y evaluar modelos que involucren las cuatro operaciones y la ubicación en la recta numérica y en el plano.  Expresar, a partir de representaciones pictóricas y explicaciones dadas, acciones y situaciones cotidianas en lenguaje matemático.  Identificar regularidades en expresiones numéricas y geométricas. Representar

 Utilizar formas de representación adecuadas, como esquemas y tablas, con un lenguaje técnico específico y con los símbolos matemáticos correctos.  Crear un problema real a partir de una expresión matemática, una ecuación o una representación.  Transferir una situación de un nivel de representación a otro (por ejemplo: de lo concreto a lo pictórico y de lo pictórico a lo simbólico, y viceversa).

 Manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades.  Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia.  Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa. Fuente: www.mineduc.cl

Medición

189

Unidad

7

Contexto matemático  Conceptos de tiempo El tiempo es la duración de un evento, desde su comienzo hasta el final. El tiempo puede medirse en unidades estándares como segundos, minutos, horas y días. El tiempo también puede medirse en unidades no estándares que se repiten de manera predecible como el balanceo de un péndulo.

Medición 1

¿Cuánto tendrás que caminar para dar una vuelta alrededor de este laberinto en Williamsburg, Virginia en Estados Unidos? Lo averiguarás en la Lección 7.6.

Hora y fracciones Los términos media hora y cuarto de hora pueden entenderse si se considera la esfera de un reloj análogo como un círculo dividido en partes fraccionarias. Leer la hora en un reloj análogo Para leer la hora en un reloj análogo es necesario entender el movimiento de las manecillas del reloj. Las manecillas del reloj no se mueven a la misma velocidad. El minutero se mueve 12 veces más rápido que la manecilla de la hora. Por ejemplo, cuando el tiempo pasa desde las 5:00 a 5:15, el minutero se mueve un cuarto de camino alrededor del reloj, pero la manecilla de la hora solo se mueve un cuarto de distancia desde el 5 al 6. Relojes análogos y digitales Ambos relojes tienen ventajas y desventajas específicas. Los relojes digitales muestran la hora numéricamente, por lo tanto dan un medio numérico para calcular el paso del tiempo. Con el reloj digital, una simple resta mental nos lleva a la conclusión de que pasaron 15 minutos. Pero el reloj análogo, aunque es más difícil de leer, da a entender el concepto del transcurso de 15 minutos al ser visible el movimiento de las manecillas. Usar un reloj análogo para desarrollar el sentido del transcurso del tiempo en realidad ayuda a leer el reloj digital. Cuando por ejemplo se lee en un reloj digital 7:56, la idea del reloj análogo ayuda a entender que esa hora significa “casi las 8”.

190

Unidad 7 - Medición

2

¿Sabes cuántos granos de arena hay en 1 gramo? Lo averiguarás en la Lección 7.4.

170

 Unidades métricas de longitud El sistema métrico de medición se basa en potencias de 10, como nuestro sistema de numeración. La unidad básica de longitud en el sistema métrico es el metro. El prefijo que se coloca delante de “metro“ indica el múltiplo de la unidad básica, como se muestra en la tabla siguiente. Convertir unidades métricas de longitud Para convertir una unidad más grande a una unidad más pequeña, se multiplica por una potencia de 10. Para convertir una unidad más pequeña a una unidad más grande, se divide por una potencia de 10. La potencia de 10 se determina por el número de filas que se mueven en la tabla: 10 para 1 fila, 102 o 100 para 2 filas, 103 o 1 000 para 3 filas, y así sucesivamente.  Unidades de masa Las unidades métricas de masa están basadas en potencias de 10. La unidad básica de masa es el gramo. El prefijo que se agrega delante de la unidad básica indica los múltiplos de la unidad. En este nivel, las únicas unidades de masa serán el gramo y el kilogramo.

1

 Perímetro El perímetro de una figura es la distancia alrededor de ella. Si la figura es un polígono, entonces el perímetro se encuentra sumando las longitudes de sus lados. El perímetro de cualquier rectángulo puede encontrarse usando la fórmula P = 2l + 2a, donde l es el largo y a es el ancho de la figura. Del mismo modo, como los cuatro lados de un cuadrado son congruentes, la fórmula es P = 4l.

Escoge el mejor término del recuadro . • hora • minuto

• en punto • metros

a) Luz miró la hora y vio que . eran las nueve b) A Anita le lleva aproximadamente un atarse los zapatos . c) La longitud la puedes medir ? en La hora

3

2

a)

4

¿Cuál es la longitud del caballito de mar más pequeño del mundo? Lo averiguarás en la Lección 7.5.

Contar las unidades en una cuadrícula Cuando se dibuja un polígono en una cuadrícula, y todos sus lados están en líneas de la cuadrícula, entonces es posible encontrar el perímetro contando simplemente unidades alrededor de él. En algunos casos, una escala sobre la TECH cuadrícula indicaTECH qué unidad de medida representa cada cuadrícula. De otro modo, el perímetro se da solo como un número de “unidades”.

Escribe la hora . 11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5

b)

11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5

Comparar medidas

3

Escoge la cantidad mayor mayor . a) 3 centímetros o 3 milímetros b) 20 minutos o 1 hora c) 70 centímetros o 7 metros d) Un cuarto de hora o media hora

4

Escribir para explicar. Dibuja la esfera de un reloj con la manecilla de la hora en el 8 y el minutero en el 12 . Escribe qué hora es . Explica cómo se lee la hora en un reloj

3

171

Repasa lo que sabes Objetivo

(place checkmark)

3

(place checkmark)

Sumar longitudes dadas Cuando un polígono no está en la cuadrícula, el perímetro se encuentra al sumar las longitudes de sus lados. Para algunos polígonos, todas las longitudes están rotuladas. Para otros, las longitudes que parecen “faltar” pueden determinarse usando las propiedades de la figura.

Determinar el nivel de preparación de los estudiantes evaluando su dominio de los conocimientos requeridos. Respuestas 1. a) En punto; b) Minuto; c) Metro 2. a) 5:00; b) 10:00 3. a) 3 centímetros; b) 1 hora; c) 7 metros; d) Media hora 4. 8:00. Revise las respuestas de los estudiantes. Conexión al Mineduc Los objetivos de aprendizaje de esta unidad pueden ser complementados revisando el Programa de Estudios del Mineduc en www.curriculumenlinea.cl o www.curriculumnacional.cl

Medición

191

Hora, media hora y cuarto de hora

Lección

7.1

Objetivo Decir la hora a la media hora y el cuarto de hora más cercanos usando relojes análogos y digitales e identificar las horas como A.M. o P.M.

¡Lo entenderás! La hora se puede medir en media hora y en cuartos de hora .

 Aprendizaje visual (1) Miren los dibujos de las esferas de los relojes. ¿Dónde señala el minutero en cada reloj? [Al 6, al 9]. ¿Qué representan el 6 y el 9? [30 minutos y 45 minutos]. ¿De qué manera los minutos son diferentes? [Hay 15 minutos de diferencia]. (2) ¿Por qué piensan que el nombre de fracción “media” se utiliza para nombrar la hora cuando el minutero está en el 6? [Porque el minutero está a mitad de camino alrededor del reloj].

1 día = 24 horas 1 hora = 60 minutos

¿Cómo dices la hora a la media hora o al cuarto de hora más cercanos?

1 media hora = 30 minutos 1 cuarto de hora = 15 minutos

Los relojes marcan la hora de llegada y de salida de la micro todos Llegada del autobús los días . 11 12 1 10 9 8

Contexto matemático La investigación dice… indican que los niños de 5 años comparan tiempo, velocidad y distancia con el punto de parada relativo de los objetos en movimiento (Richard & Siegler, 1979). El concepto de tiempo al parecer se domina en algún momento entre los 11 años y la edad adulta. Los estudiantes necesitan varios tipos de experiencias con conceptos de tiempo. En las siguientes lecciones los estudiantes tendrán la oportunidad de decir la hora y medir el tiempo en diferentes unidades. A.M. es la abreviatura del término latino ante meridiem, que significa “antes de la mitad del día” o “antes del mediodía”, y P.M. es la abreviatura de post meridiem, que significa “después de la mitad del día” o “después del mediodía”.

Unidades de tiempo

Otro ejemplo

7 6 5

2 3 4

1 minuto = 60 segundos

Salida del autobús 11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5

8:30

¿Cómo sabes si la hora es a.m. o p.m.?

2:45

TECH

TECH

TECH

3

(place checkmark)

3

(place checkmark)

¿Qué será más probable: que el autobús llegue a la escuela a las 8:30 a.m. o a las 8:30 p.m.?

¿Qué será más probable: que el autobús salga de la escuela a las 2:45 a.m. o a las 2:45 p.m?

8:30 p.m. es en la noche . Probablemente el autobús no llegue a la escuela de noche .8:30 a.m. es en la mañana .

2:45 a.m. es en el medio de la noche . No es probable que el autobús salga de la escuela a esa hora .2:45 p.m. es en la tarde .

Es más probable que el autobús llegue a la escuela a las 8:30 a.m.

Es más probable que el autobús salga de la escuela a las 2:45 p.m.

3

(place checkmark)

Práctica guiada COMO hacerlo?

Lo ENTIENDES? ?

1

2

Escribe de dos maneras distintas la hora que marca cada reloj . a)

172 Unidad 7

11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5

b)

12:15

En el ejemplo de arriba, ¿por qué crees que se usa la palabra “cuarto” cuando el minutero señala el 9? Comenten las explicaciones dadas .

ART FILE:

27276_T S

TECH

TECH

Posibles errores y dificultades 3 (3) Ayude a los estudiantes que tengan dificultad para aprender las diferentes 3 maneras de decir la misma hora haciendo una tabla para mostrarles las distintas maneras. Horas antes de la hora Horas después de la hora 7:45 Un cuarto para las 8 8:15 8 y cuarto 15 minutos para las 8 8 y 15 minutos 8:30 8 y media (place checkmark)

(place checkmark)

 Otro ejemplo ¿Qué palabra o palabras en el primer problema dicen si la hora era en la mañana o en la tarde? [Las palabras “llega a”; la hora tiene que ser en la mañana porque es cuando el autobús llega a la escuela]. ¿Qué palabra o palabras en el segundo problema dice si la hora era en la mañana o en la tarde? [La palabra “salga”; la hora tiene que ser en la tarde porque es cuando el autobús sale de la escuela].  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que deben leer una hora como “y cuarto” o “y media” cuando se pasa la hora anterior o un cuarto para la próxima hora.

192

Unidad 7 - Medición

TECH

Las horas del día entre la medianoche y el mediodía son a.m. Las horas entre el mediodía y la medianoche son p.m. 3

(place checkmark)

Di la hora a la que el autobús sale de la escuela .

Di la hora a la que el autobús llega a la escuela . Escribe 8:30 de otras dos maneras .

Escribe 2:45 de otras tres maneras .

Cuando el minutero señala el 6, puedes decir que es “media hora” después de la hora en punto punto .

Cuando el minutero señala el 9, puedes decir que es “un cuarto” o “15 minutos” para la hora hora .

El autobús llega a la escuela a las ocho y media o a las ocho y 30 minutos.

El autobús sale de la escuela a las dos y cuarenta y cinco o a 15 minutos para las tres o a un cuarto para las tres.

Respuestas 1. Ejemplos de respuesta: a) 6:45, un cuarto para las 7; b) doce y 15 minutos; 12 y cuarto 2. Si empiezas arriba y divides el reloj en cuartos, una de las rectas pasa por el número 9.

Práctica independiente 3

 Práctica independiente Cuando el minutero señala el 9, se puede decir “15 minutos para” o “un cuarto para”. Use el ejercicio 3.c) como un ejemplo. ¿Cuál es la hora anterior? [3:00]. ¿Cuántos minutos después de la hora? [45 minutos].TECH ¿Cuántos minutos para la próxima hora? [15 minutos]. Escriban la hora de dos maneras. [3:45, 15 minutos para las 4].

Escribe de dos maneras la hora que marca cada reloj . a)

b)

11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5

c)

10:45

11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5

Resolución de problemas

4

Los siguientes relojes marcan las horas en que un TECH museo abre y cierra todos los días . ¿A qué horas abre y cierra el museo? Abre

Cierra

11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5

TECH

11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5

3

3

(place checkmark)

5

Escribir para explicar El Sr Sr . Fernández les dio a sus estudiantes una prueba de matemáticas a las 10:45 . Explica por qué es más probable que esa TECH hora sea a.m.

6

Ronaldo entrega el periódico en la casa de la familia Pérez todos los días entre las 7:00 a.m. y las 8:00 a.m. ¿Qué reloj muestra la hora entre las 7:00 a.m. y las 8:00 a.m.? a

11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5

B

11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5

C

3

Respuestas 3 3. Ejemplos de respuesta: a) 9:15; las 9 y 15 TECH b) Diez y cuarenta y cinco; un cuarto para las 11. c) 3:45; 15 minutos para las 4. (place checkmark)

(place checkmark)

12 1 checkmark) 11 (place 10 2 9 3 8 4 7 6 5

D

11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5

3

Medición

TECH

(place checkmark)

173

TECH

Cierre La hora puede darse a la media hora más cercana o al cuarto antes o después 3 3 de la hora. La hora puede expresarse usando diferentes 3unidades que están relacionadas una con otra. A.M. y P.M. se usan para designar ciertos periodos de tiempo. Diga: En esta lección aprendieron a decir la hora, a la media o al cuarto de hora más cercanos y a usar el razonamiento para determinar el uso de A.M. o P.M. después de una hora dada. (place checkmark)

(place checkmark)

 Resolución de problemas Los estudiantes deben comprobar que los resultados sean razonables. TECH TECH Ejercicio 5 Para distinguir entre A.M. y P.M. dígales solo que “A” precede a “P” en el alfabeto, A.M. precede a P.M. en 3 el día. ¿Qué palabras en el problema indican que el tiempo dado es un tiempo A.M.? [“Estudiantes” y “prueba de matemáticas” indican que es durante el horario escolar].

(place checkmark)

(place checkmark)

Respuestas 4. 11:00; 9:00 5. Ejemplo de respuesta: 10:45 P.M. sería en la noche. Lo más probable es que la prueba haya sido en la mañana, durante el horario escolar. 6. A

Lección 7.1

193

Lección

Unidades de tiempo

7.2

Objetivo Efectuar conversiones sencillas de unidades de tiempo.

¡Lo entenderás! Hay relaciones que hacen posible la conversión entre cualquier dos unidades de tiempo .

Contexto matemático Los estudiantes usarán el mismo concepto para convertir unidades de tiempo que para las unidades de longitud: las unidades de tiempo más grandes se convierten a unidades de tiempo más pequeñas por medio de la multiplicación. Para convertir unidades correctamente, los estudiantes deben conocer las relaciones básicas entre las unidades de tiempo: 1 semana = 7 días. Para convertir 3 semanas a días, se multiplica 3 • 7, que da 21 días.

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cuántos días hay en una semana? [7 días]. ¿Qué necesitan encontrar? [Cuántos días hay en 5 semanas]. Miren las unidades de tiempo en la tabla. ¿Qué otras unidades de tiempo recuerdan? [Respuestas posibles: segundo, mes, año]. (2) ¿Qué operación se usa para convertir semanas a días? [Multiplicación]. Si hay 35 días en 5 semanas, ¿cuántos días hay en 6 semanas? [6 • 7 = 42 días]. Posibles errores y dificultades Si los estudiantes no entienden el método para convertir semanas a días, dígales que usen un calendario y que cuenten los días. (3) ¿Qué patrón ven en la tabla? [A medida que el número de días se incrementa en 1, el número de horas se incrementa en 24]. ¿Cómo usarían la suma para encontrar el número de horas que hay en 10 días? [10 es tres más que 7; por tanto, se suma 24 a 168 tres veces; 240 horas].

¿Cómo conviertes las unidades de tiempo? 8 días de La clase está cultivando una planta a partir de germinación una semilla . El proyecto durará 5 semanas . ¿Cuántos días hay en 5 semanas? La ilustración muestra cuánto Relación entre unidades de tiempo tiempo ha tardado la 1 semana (sem) 5 7 días germinar . semilla en germinar 1 día (d) 5 24 horas ¿Cuántas horas es esto?

1 hora (h) 5 60 minutos

Práctica guiada COMO hacerlo?

Lo ENTIENDES? ?

1

2

En el ejemplo de arriba, ¿por qué multiplicas la cantidad de semanas por 7?

3

Al final de la primera semana, la clase había trabajado 6 horas en el experimento de ciencias . ¿Cuántos minutos trabajó la clase en el experimento?

Completa para convertir las unidades . a) 8 semanas 5 b) 2 días 5

días

horas

c) ¿Cuántos días hay en 2 semanas y 4 días?

Comparte tus respuestas en tu grupo . Práctica independiente 4

Completa para convertir las unidades . a) 3 horas 5

minutos

b) 5 días 5

c) 4 horas 5

minutos

d) 7 semanas 5

e) 3 semanas 5

días

Unidad 7 - Medición

7 días 5

días

horas

g) ¿Cuántas horas hay en 3 días 5 horas?

h) ¿Cuántos minutos hay en 5 horas 10 minutos?

i)

j)

¿Cuántos días hay en 10 semanas

¿Cuántas horas hay en 9 días?

174 Unidad 7

 Práctica guiada Señale a los estudiantes que están convirtiendo de unidades más grandes a unidades más pequeñas, por ejemplo cuando convierten cierto número de semanas a días. Respuestas 1. a) 56 días; b) 48 horas; c) 18 días 2. Hay 7 días en cada semana. 3. 360 minutos  Práctica independiente Recuerde a los estudiantes que pueden consultar el cuadro en el Puente de aprendizaje visual para convertir unidades de tiempo. Es posible que algunos estudiantes no entiendan que necesitan multiplicar para convertir de una unidad más grande a una más pequeña. Guíe a los estudiantes a ver la relación ayudándolos a hacer una tabla de conversión como la de abajo. Número de semanas Número de días

194

f)

horas

1 7

2 14

3 4 21 28

Hacer una tabla para calcular la cantidad de horas en 8 días .

Como hay 7 días en una semana, el número de días en 5 semanas es 5 · 7 . 5 · 7 días 5 ■ días 7 ∙5 35

Número de días

1

2

3

4

Número de horas

24

48

72

96

5

6

7

Respuestas 4. a) 180 minutos ; b) 120 horas; c) 240 minutos; d) 49 días; e) 21 días; f) 168 horas; g) 77 horas ; h) 310 minutos ; i) 70 días ; j) 216 horas.

8

120 144 168 192

Hay 192 horas en 8 días . 35 días 5 5 semanas

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 5 a 10. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

Resolución de problemas

5

En 30 minutos más la Estación Espacial Internacional completará una órbita . Ha estado 1 hora en esta órbita . ¿En cuántos minutos la Estación Espacial Internacional completa 1 órbita?

6

Un grupo de estudiantes de una escuela secundaria preparó muestras de materiales para enviarlas a la Estación Espacial Internacional en el año 2001 . Las muestras se enviaron de regreso a la Tierra desde el espacio después de 4 años . ¿En qué año regresaron las muestras?

7

Usa la tabla de la derecha para responder . responder a) Los astronautas realizaron ciertas tareas fuera de la estación . Completaron sus tareas en menos tiempo del previsto . ¿Cuántos minutos de tiempo real necesitaron los astronautas?

6 horas 20 minutos

Tiempo real

5 horas 54 minutos

b) Escribir para explicar. ¿Cuántos minutos menos del tiempo previsto necesitaron los astronautas? Explica cómo calculaste la respuesta .

8

Sentido numérico. Un pez vela puede nadar a una velocidad de 109 kilómetros por hora. En 1 minuto, ¿puede un pez vela nadar una distancia de 1 kilómetro? Explica tu respuesta.

9

¿Qué fracción de una hora es 20 minutos? Escribe tu respuesta en su mínima expresión .

10

¿Cuántos días hay en 6 semanas? a

42

B

36

Ejercicio 7.a) Los estudiantes pueden olvidarse de sumar los minutos después de convertir 6 horas y 5 horas a minutos. Recuérdeles que deben sumar los minutos adicionales al total para encontrar los tiempos previsto y real.

Caminata espacial Tiempo previsto

C

13

D

Ejercicio 9 Recuerde a los estudiantes que busquen palabras importantes. ¿Qué unidades de medida están convirtiendo? [Semanas a días].

7

Medición

175

Cierre Hay diferentes unidades para medir el tiempo. Muchos tiempos se pueden expresar en más de una forma. Diga: En esta lección aprendieron que pueden convertir unidades de tiempo.

Respuestas 5. 90 minutos 6. 2005 7. a) 354 minutos; b) 26 minutos; Ejemplo de respuesta: Sé que 1 h = 60 min por lo tanto convertí 6 horas, 20 minutos en 5 horas, 80 minutos y resté: 5 - 5 = 0 y 80 - 54 = 26. 8. Sí, una velocidad de 109 kph significa que el pez vela puede nadar 109 kilómetros en 60 minutos o más de 1 km en 1 minuto. 1 9. 3

10. A

Lección 7.2

195

Lección

Medir tiempo en un calendario

7.3

Objetivo Leer y usar un calendario.

¡Lo entenderás! Un calendario se puede usar para hablar sobre días, semanas, meses y años.

Contexto matemático El calendario es una tabla que lleva la cuenta de los días, las semanas y los meses como unidades de tiempo. Cada semana es un patrón repetitivo. Los niños necesitan muchas experiencias para establecer la conexión de cómo los días de la semana se relacionan unos con otros y con los números en el calendario. El hacer preguntas sobre estas relaciones ayuda a los estudiantes a desarrollar la comprensión de los días, las semanas y los meses.

Un calendario nos ayuda a llevar la cuenta de los días días, semanas semanas, meses y años .

Junio Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Práctica guiada Escribe las fechas para este mes .

Septiembre Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cuánto dura una semana? [7 días]. ¿Cuáles son los días de la semana en un calendario? [Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo]. ¿Cuánto dura un mes? [Respuesta posible: Aproximadamente 30 días]. ¿Cuánto dura un año? [12 meses]. (2) ¿Cómo saben que hay 30 días en este mes? [Los días están numerados del 1 al 30]. Explique a los estudiantes que no todos los meses tienen 30 días. Posibles errores y dificultades Es posible que los estudiantes confundan día y fecha. Pídales que encierren en un círculo los nombres de los días en el calendario. Luego, pídales que cuenten las fechas. (3) ¿Cómo saben que el último día del mes es jueves? [El último día está en la columna del jueves].  Práctica guiada Recuerde a los niños que usen las columnas del calendario para responder las preguntas.

196

Unidad 7 - Medición

a) ¿Cuál es el primer día de este mes? _____________ b) ¿Cuál es el último día de este mes? _____________ 2

¿Lo entiendes? Nombra un mes que tenga 30 días . Luego, nombra un mes que tenga 31 días . Coméntalo y pregunta al curso si hay meses con menos días .

176 Unidad 7

Ejercicio 1 Errores e intervención Si los niños tienen dificultad para localizar días en un calendario, entonces, pídales que coloreen cada columna de días de diferente color.  ¿Lo entiendes? Pida a los niños que hagan una lista con los meses que tienen 30 días y otra con los que tienen 31 días. Comparen las dos listas. ¿Qué mes no está incluido en ninguna lista? [Febrero]. Respuestas 1. Completar el calendario (del 1 al 30). a) Lunes. b) Martes. 2. Ejemplo de respuesta: Abril tiene 30 días y marzo tiene 31 días.

Junio tiene 30 días .

El último día del mes es un jueves .

Junio Lunes

Martes

Miércoles

 Práctica independiente Explique que el calendario muestra 12 meses (un año). En voz alta, diga con la clase los nombres de los meses en orden.

Junio

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

1

2

3

4

5

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

27

28

29

30

Respuestas 3. a) Febrero. b) Domingo. c) Enero y marzo. d) Enero. 4. Febrero.

Práctica independiente 3

Usa este calendario para responder a las preguntas . Enero Lunes

5

Martes

6

Miércoles

7

Febrero

Jueves

Viernes

Sábado

1

2

3

Domingo

4

8

9

10

11

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Marzo Viernes

Sábado

Domingo

Lunes

Martes

2

3

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

5

6

7

1 2

3

4

5

6

7

8

Domingo

1 4

 Refuerzo Demuestre cómo llenar una cuadrícula de calendario para el mes de octubre.

7

12

13

14

15

16

17

18

9

10

11

12

13

14

15

9

10

11

12

13

14

14

19

20

21

22

23

24

25

16

17

18

19

20

21

22

16

17

18

19

20

21

21

26

27

28

29

30

31

23

24

25

26

27

28

23

24

25

26

27

28

28

30

31

a) ¿Qué mes viene justo después de enero? _____________ b) ¿Cuál es el primer día de febrero en este calendario? ___________ c) ¿Cuáles de estos meses tienen 31 días? _____________ d) ¿Qué mes viene justo antes de febrero? _____________

4

Razonamiento ¿Qué mes tiene menos de 30 días? ________

Medición

177

Cierre Los días, las semanas y los meses son unidades de tiempo y se muestran en un calendario. Diga a sus estudiantes: En esta lección, aprendieron cómo leer y usar un calendario.

Lección 7.3

197

Lección

Unidades de peso

7.4

Objetivo Elegir una unidad y un instrumento apropiados, estimarán y medirán en gramos y kilogramos. Identificar objetos con una masa de aproximadamente un gramo o un kilogramo.

¡Lo entenderás! El gramo y el kilogramo son unidades métricas de peso . Se usan para determinar la masa aproximada de un objeto .

El peso es una medida de la cantidad de materia que tiene un objeto . Los gramos y los kilogramos son dos unidades métricas de peso . ¿Cuál es el peso de esta manzana? 1 gramo (g)

Contexto matemático El gramo, como el metro y el litro, es una unidad básica de un sistema de medidas desarrollado en Francia a fines del siglo XVIII. En ese entonces, se lo definió como la masa de un centímetro cúbico de agua pura. Con el paso del tiempo, surgió la necesidad de una definición de gramo más precisa. Hoy en día se lo define a partir del kilogramo. El kilogramo se ha estandarizado como la masa de un cilindro de platino-iridio que se guarda en una cámara acorazada en Sèvres, Francia. El gramo es una milésima parte de esa masa. Note que gramo y kilogramo son unidades de masa y no unidades de peso. La masa se puede considerar como la cantidad de materia en un objeto. La masa de un objeto es constante, el peso se ve afectado por la fuerza de la gravedad.

1 kilogramo (kg)

¿Qué unidades métricas describen el peso?

Práctica guiada 1

Escoge la mejor estimación . estimación . a)

b)

Lo ENTIENDES? ? Escribir para explicar. En la balanza de platillos de arriba hay 10 pesas . ¿Por qué el peso de la manzana no es de 10 gramos?

2

3

5 gramos o 5 kilogramos

40 gramos o 4 kilogramos

Encuentra un objeto que, en tu opinión, tiene un peso de más de un kilogramo y otro que tiene un peso de menos de un kilogramo. Luego, usa una balanza para ver si has acertado .

Práctica independiente 4

Escoge la mejor estimación . a)

b)

c)

d)

100 g o 10 kg

15 g o 15 kg

4 g o 400 g

400 g o 4 kg

e) bicicleta

f) pluma

g) caballo

h) moneda de $1

2 kg o 12 kg

1 g o 1 kg

5 kg o 550 kg

3 g o 300 g

178 Unidad 7

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Qué notan acerca de las dos unidades métricas de masa? [El término “kilogramo” incluye la palabra “gramo”]. (2) ¿Cómo saben que la unidad kilogramo es demasiado grande? [Parece que la manzana tiene menos masa que un melón, por lo que usaríamos una fracción de kilogramo para describir su masa. Sería más fácil describir la masa de la manzana en gramos]. (3) ¿Cuántas manzanas necesitarían para tener aproximadamente 1 kilogramo de masa? [4 manzanas como estas serían aproximadamente 1 kilogramo].

198

Unidad 7 - Medición

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que pueden estimar masas comparando con objetos familiares cuyas masas conozcan, como la uva o el melón que se muestran en la parte superior de la página. Respuestas 1. a) 5 g ; b) 4 kg 2. Las pesas no tienen la misma masa. Hay dos pesas de 100 gramos, seis pesas de 10 gramos y dos pesas de 1 gramo. Por lo tanto, la masa total es 200 + 60 + 2, o sea 262 gramos. 3. Revise el trabajo de los estudiantes.  Práctica independiente Los estudiantes pueden tener dificultad para elegir entre dos mediciones dadas en la misma unidad. Anímelos a pensar en las masas de referencia que aparecen en la parte superior de la página.

Paso 1

Paso 2 Mide el peso de la manzana .

Escoge una unidad y haz una estimación .

Dos pesas de 100 gramos, seis pesas de 10 gramos y dos pesas de 1 gramo hacen equilibrio con la manzana manzana .

Unidades de peso

Respuestas 4. a) 100 g; b) 15 kg; c) 400 g; d) 4 kg; e) 12 kg; f) 1 g; g) 550 kg; h) 3g

1 000 gramos 5 1 kilogramo

La unidad de kilogramo es demasiado grande . Utiliza los gramos . El peso de la manzana es menor que 1 kilogramo pero mayor que 1 gramo.

La manzana tiene un peso de 262 gramos .

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 5 a 9. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

Resolución de problemas

5

e

Escoge el mejor instrumento para medir los objetos . a) la capacidad de un vaso

a

b

b) la temperatura del agua

Ejercicio 8 Los estudiantes deben reconocer que los “errores” se refieren a las unidades. El primer ítem es 2 litros de manzanas. Cuando miden en litros, ¿qué están midiendo? [La capacidad de un contenedor]. ¿Se mide la “capacidad” de las manzanas? [No, se mide la masa].

c

c) la longitud de una caja d) el peso de una pera e) el tiempo que duermes

d

6

¿Cuál es la masa de la naranja?

7

En una bolsa hay 500 gramos de arena . ¿Aproximadamente cuántos granos de arena hay en la bolsa?

En 1 gramo de arena hay aproximadamente 1 000 granos . granos .

Dos pesas de 100 gramos, cuatro pesas de 10 gramos y dos pesas de 1 gramo hacen equilibrio con la naranja .

8

Corrige los errores de la lista de compras . Lista de compras 2 L de manzanas 3 kg de leche 5 cm de harina

9

¿Qué medida describe mejor el peso de un conejo? a

2 gramos

B

2 kilogramos

C

2 litros

D

2 metros Medición

179

Cierre La masa es la medida de la cantidad de materia de un objeto. El peso y la masa son diferentes. Diga: En esta lección aprendieron a estimar la masa de un objeto en gramos y kilogramos, y a elegir la mejor unidad para medir la masa de un objeto.

Ejercicio 9 Anime a los estudiantes a eliminar las respuestas que no sean razonables. La pregunta habla de la “masa” de un conejo. ¿Qué unidades de masa estudiaron? [Gramos y kilogramos]. Miren las unidades de las respuestas. ¿Qué opciones pueden eliminar? [C y D, porque las unidades son litros y metros]. Respuestas 5. a) c; b) b; c) e; d) d; e) a 6. 242 gramos 7. Aproximadamente 500 000 granos. 8. Ejemplo de respuesta: Cambio los litros a kilogramos, cambio los kilogramos a litros y cambio los centímetros a kilogramos. 9. B

Lección 7.4

199

Lección

Usar centímetros

7.5

Objetivo Estimar y medir longitudes en centímetros.

¡Lo entenderás! Los centímetros y los decímetros son unidades métricas que se usan para describir objetos pequeños y distancias cortas .

¿Cómo estimas y mides unidades métricas? ¿Cuál es la longitud del ají al centímetro más cercano?

Contexto matemático El centímetro, así como el decímetro y el milímetro son unidades de medida en el sistema métrico de medición. Las raíces de este sistema se remontan a 1790, cuando se le pidió a la Academia Francesa de Ciencias Francesa que desarrollara un sistema simplificado de medición que pudiera convertirse en un estándar en todo el mundo. Estableció el metro como la unidad de longitud estándar, definiéndola como una diez-millonésima parte de la distancia del polo norte al ecuador a lo largo del meridiano que pasa cerca de Dunkerque en Francia y Barcelona en España. El sistema métrico es un sistema decimal porque todas las unidades se relacionan entre ellas en potencias de 10. Por ejemplo: 1 metro = 10 decímetros = 100 centímetros = 1 000 milímetros

1 2 3 CENTÍMETROS

4

5

6

7

8

9

Otros ejemplos Otra unidad métrica de longitud es el milímetro (mm) . (mm) 10 milímetros 5 1 centímetro 10 mm 5 1 cm

grosor . Una moneda de $10 mide 1 mm de grosor

3

1 mm

Práctica guiada COMO hacerlo?

Lo ENTIENDES?

1

2

Un poroto verde mide 6 cm más que el ají que aparece arriba . Dibuja un segmento de recta que tenga la misma longitud que el poroto verde .

3

¿Cuál es la longitud de la concha de almeja al centímetro más cercano?

Haz una estimación de la longitud . Luego, mide usando longitud una regla . regla a)

b)

180 Unidad 7

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Las unidades de la regla parecen más grandes o más pequeñas que las pulgadas? [Más pequeñas]. ¿Cómo alinean algo para medir con una regla? [Se alinea el borde izquierdo del objeto con la marca del 0 de la regla]. (2) ¿Cómo pueden usar el ancho de su dedo índice para estimar una longitud en centímetros? [Cuente el número de veces que el dedo entra a lo largo de un objeto. El ancho de cada dedo es aproximadamente 1 centímetro, el número de veces que entra un dedo es aproximadamente igual a la longitud en centímetros].

Posibles errores y dificultades Quizá los estudiantes se olviden de rotular las unidades de medida. Señale que el sistema usual es diferente al sistema métrico y las unidades tienen longitudes diferentes. (3) ¿Una estimación y una medida serán siempre iguales? ¿Cómo lo saben? [No. Respuesta posible: una estimación generalmente será diferente de la medida exacta ya que no se usa un instrumento de medición, o regla, para estimar]. Otro ejemplo Este ejemplo presenta una unidad de medida para medir longitudes pequeñas: el milímetro. El ejemplo ofrece a los estudiantes un objeto común que pueden usar como punto de referencia para visualizar la medida aproximada o estimación.  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que 1 centímetro es aproximadamente el ancho de uno de sus dedos, y 10 centímetros es aproximadamente la longitud de la llave inglesa que se muestra en Otros ejemplos. Respuestas

200

Unidad 7 - Medición

(place

El centímetro (cm) es una unidad métrica utilizada para medir la longitud . Tu dedo mide aproximadamente 1 cm de ancho . Usa el ancho de tu ancho dedo como ayuda para estimar longitudes .

medir . Usa la regla en centímetros para medir

1 2 3 CENTÍMETROS

4

5

6

7

8

1. Las estimaciones variarán, 6 ó 7 cm. a) 5 cm; b) 3 cm 2. Revise los dibujos de los estudiantes. 3. 4 cm

9

El ají mide 8 centímetros aproximadamente aproximadamente .

 Práctica independiente Quizá los estudiantes siempre den la longitud con el número mayor de TECH los dos números entre los cuales se encuentra la punta del objeto. Recuérdeles que el objetivo es nombrar la medida más cercana. Use el ejercicio 3 4.c) como ejemplo. La punta derecha del maní está entre las marcas de centímetro 4 y 5. Pero está mucho más cerca de los 4 centímetros que de los 5 centímetros. Por lo tanto, a pesar de que la longitud es de más de 4 centímetros, el número “más cercano” de centímetros es 4.

1 cm

Práctica independiente 4

Estima las longitudes . Luego, mide al centímetro más cercano . a)

b)

c)

(place checkmark)

Resolución de problemas

5

¿Cuál es la longitud de la flor al centímetro más cercano?

6

¿Cuál es la longitud del caballito de mar más pequeño del mundo al centímetro más cercano?, ¿y al milímetro?

7

Álgebra. Completa las oraciones numéricas . a) 36 5 9 •

8

b)

7•

5

c) 60 5

56

•

Respuestas 4. Las estimaciones variarán. a) 2 cm; b) 4 cm; c) 4cm

10

¿Cuál es la longitud del siguiente lápiz? Usa una regla en centímetros medir . para medir

a

11 cm

B

40 cm

C

8 cm

D

1 dm Medición

181

Los centímetros y los decímetros son unidades estándares para medir la longitud y se relacionan entre ellas. Diga: En esta lección aprendieron a estimar y medir longitudes en centímetros y aprendieron los decímetros.

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 8 a 13. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable. Respuestas 5. 8 cm 6. 2 cm; 20 mm 7. a) 4; b) 8; c) 6 8. C  Refuerzo Dé a los estudiantes dos objetos, como un clip y un lápiz. Pídales que estimen la longitud de cada uno en centímetros, luego midan la longitud al centímetro más cercano.

Cierre

Lección 7.5

201

Lección

Perímetro

7.6

Objetivo Usar unidades estándar para encontrar el perímetro de una figura.

¡Lo entenderás! El perímetro de una figura es la suma de las longitudes de sus lados .

Contexto matemático La distancia alrededor de una figura plana se llama perímetro. Si la figura es un polígono, entonces su perímetro es la suma de las longitudes de todos sus lados. A pesar de que los polígonos son figuras bidimensionales, el perímetro es una medida unidimensional. Esto significa que el perímetro de un polígono se mide en unidades lineales, como centímetros y metros en el sistema métrico. Algunos de los polígonos en esta lección están dibujados en cuadrículas. Para estos polígonos, los estudiantes encuentran el perímetro contando segmentos de unidades. Una escala en el dibujo indica qué unidad de longitud representa cada segmento. Otros polígonos en esta lección no están dibujados en cuadrículas, pero las longitudes de todos los lados están rotuladas.

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) Miren las figuras de los corrales. ¿En qué se diferencian entre sí? [El primer corral está en una cuadrícula. Las longitudes no están rotuladas. El segundo corral tiene las longitudes rotuladas]. (2) Miren el dibujo. ¿Cómo pueden encontrar el perímetro del primer corral? [Contando todos los segmentos dentro del corral]. Posibles errores y dificultades Los estudiantes podrían contar los segmentos incorrectamente. Podrían saltar un segmento o terminar el conteo incorrectamente. Pídales que copien la figura en papel cuadriculado y que numeren cada segmento a medida que los cuentan.

202

Unidad 7 - Medición

¿Cómo calculas el perímetro? Gustavo quiere hacer un corral para su perro y rodearlo con una cerca . Dibujó dos corrales distintos . ¿Cuál es el perímetro del corral en cada dibujo? La distancia alrededor de una figura es su perímetro .

6 cm

3 cm 7 cm

3 cm 9 cm 1 cm representa 1 m ART FILE: 27282_T368a

Práctica guiada

CUSTOMER: ScottForesman JOB NUMBER:

CS CREATED BY: DATE: 2-09-07 27282_T368b ART FILE: BY: MF EDITED DATE: 3-14-07TE CUSTOMER: ScottForesman JOB NUMBER: 5 min 10 TIME: ¿cómo CS 2-09-07 CREATED BY: DATE: created @ NETS only altered @ NET

ENTIENDES 1

2

Calcula el perímetro .

3 escala

b)

== 1 cm

En el ejemplo de arriba, sabes qué unidad usó Gustavo EDITED BY: REVISION: para el primer corral? simple

created @ NETS blackline

¿Cuál es el perímetro del jardín REVISION: que aparece en el siguiente simple diagrama?

(place c

(place che

mod.

complex

greyscale

v. c color

9 mm 8 mm 8 mm

TECH

escala = 1 =m

16 mm

Práctica independiente Calcula el perímetro de cada polígono . a)

b)

3

c) 11 cm

14 cm escala = 1 m

TECH

TE

(place checkmark)

14 cm 11 cm

5

5 min TIME:complex

only altered @ NETS greyscale colo

blackline

7 mm

4

DATE:

mod.

3

4m 4m 6m

8m (place checkmark)

6m

3

6m

=

TECH

Dibuja una figura con el perímetro dado . Usa papel cuadriculado . a) 14 unidades

b) 8 unidades

(place chec

c) 20 unidades

TECH

182 Unidad 7 3

(3) Miren de nuevo el problema. ¿Por qué Gustavo necesita saber el perímetro 3 de cada corral? [Porque quiere poner una cerca alrededor del corral]. Entonces, ¿cómo puede usar Gustavo la solución para ayudarse? [El puede usar la distancia alrededor del corral para averiguar cuánta reja usar].

(place checkmark)

(place checkmark)

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que deben incluir las unidades de longitud apropiadas —centímetros, metros, etcétera— cuando dan sus respuestas. Respuestas 1. a) 16 cm; b) 48 mm 2. La escala muestra que la unidad es el metro. 3. 18 m  Práctica independiente Cuando un polígono está dibujado en un papel cuadriculado, los estudiantes pueden tener dificultad para llevar la cuenta de qué segmentos de unidad han contado. Sugiérales que comiencen siempre por el mismo lugar y se muevan en la misma dirección.

3

(plac

Una manera

Otra manera

Puedes calcular el perímetro contando los segmentos de unidades .

Suma las longitudes de los lados para calcular el perímetro . 3 cm 7 cm

Respuestas 4. a) 38 m; b) 50 cm; c) 34 m 5. Revise los dibujos de los estudiantes.

6 cm 3 cm

9 cm

3 1 9 1 7 1 3 1 6 5 28

escala = 1 m

El perímetro de este corral es 34 metros .

El perímetro del dibujo es 28 cm . El perímetro de este corral es 28 metros .

 TECH Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 6 a 10. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si la respuesta es razonable.

TECH

Resolución de problemas

6

7

8

9

Jorge necesita calcular el perímetro del parque para construir una cerca . ¿Cuál es el perímetro del parque?

3

7m

(place checkmark)

Miguel necesita calcular el perímetro de la piscina para saber cuántos azulejos colocar alrededor del borde . ¿Cuál es el perímetro de la piscina?

9m

3

(place checkmark)

14 m

10 m 18 m 7m

Ejercicio 9 TECH Anime a los estudiantes a convertir la pregunta en un enunciado. Escriba en el pizarrón: “Necesito encontrar ______.” TECH La pregunta es por el “perímetro” del imán. Por lo tanto, ¿qué necesitan encontrar? [La distancia alrededor del imán].

7m 18 m

metros

La distancia alrededor de este laberinto de Williamsburg, Virginia, es la misma que el perímetro de un rectángulo . El dibujo muestra las longitudes de los lados del rectángulo . ¿Cuál es el perímetro del laberinto?

3

(place checkmark)

27 metros 3

Blanca tiene el siguiente imán . ¿Cuál es el perímetro del imán de Blanca al centímetro más cercano? medir . Usa una regla para medir a

10

14 m

10 cm

B

12 cm

C

8 cm

D

6 cm

Escribir para explicar. Roberto tiene un imán que mide el doble de la longitud y el doble del ancho del imán de Blanca en el Problema 9. Calcula el perímetro del imán de Roberto . Explica tu trabajo . Medición

Lesson 17.1 27276_377e 1st pass

183 10-24-06 LKell

Cierre La distancia alrededor de una figura es su perímetro. Para encontrar el perímetro de un polígono, se suman las longitudes de los lados. Diga: En esta lección aprendieron a encontrar el perímetro de un polígono contando segmentos de unidades y sumando las longitudes dadas de los lados.

Ejercicio 10 Los estudiantes pueden ayudarse haciendo un dibujo de los dos imanes y rotulándolos. Dibujen un rectángulo para mostrar el imán de Blanca. Escriban la longitud al lado de cada lado. Ahora dibujen un rectángulo para mostrar el imán de Roberto. ¿Cómo saben qué longitud escribir al lado de cada lado? [Duplicando la longitud de cada lado del rectángulo más grande]. (place checkmark)

Respuestas 6. 54 m 7. 50 m 8. 112 m 9. B 10. Multiplica por 2 la longitud y el ancho del imán de Blanca y suma las longitudes y los anchos nuevos.  Refuerzo En la pizarra, dibuje diferentes polígonos y rotule las medidas de sus lados. Guíe a los estudiantes para que encuentren el perímetro de cada uno.

Lección 7.6

203

Lección

Perímetros de figuras comunes

7.7

Objetivo Usar unidades estándar para encontrar el perímetro de una figura.

Contexto matemático En la lección anterior, los estudiantes encontraron perímetros de polígonos que estaban dibujados en una cuadrícula o tenían rotulada la longitud de todos sus lados. En esta lección, verán que es posible encontrar un perímetro aun cuando algunas longitudes de los lados falten. Para hacerlo, se aplican las definiciones y propiedades de ciertos polígonos, como las siguientes:  Los lados opuestos de un paralelogramo (y de un rectángulo) tienen la misma longitud.  Los cuatro lados de un cuadrado tienen la misma longitud.  Los tres lados de un triángulo equilátero tienen la misma longitud. Esto significa que es posible encontrar el perímetro de un cuadrado con tener solo un lado.

¡Lo entenderás! En algunos polígonos, saber la longitud de sólo uno o dos de sus lados es suficiente información para calcular el perímetro .

¿Cómo calculas el perímetro de figuras comunes?

6 metros

Gonzalo necesita calcular el perímetro de dos diseños de piscinas . Una piscina tiene forma de rectángulo . La otra piscina tiene forma de cuadrado . ¿Cuál es el perímetro de cada piscina?

10 metros

9 metros

Práctica guiada

TECH

COMO hacerlo?

Lo ENTIENDES?

1

2

Explica cómo encontrar las longitudes que faltan en los ejemplos de arriba .

3

Camila dibujó un triángulo equilátero . Cada lado medía 9 milímetros de longitud . ¿Cuál era el perímetro del triángulo? Comenta y explíca .

Calcula el perímetro . a) Rectángulo

b) Cuadrado 5 cm

8 mm

4 mm

Práctica independiente 4

Usa una regla de centímetros para medir la longitud de los lados del TECH TECH polígono . Calcula el perímetro . b) Rectángulo a) Cuadrado

3

5

(place checkmark)

3

(place checkmark)

Calcula el perímetro de cada polígono . a) Rectángulo

b)

Triángulo equilátero

15 m 3m

4 cm

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) Miren los dibujos de las piscinas. ¿Por qué la piscina cuadrada tiene solo un lado marcado con su longitud? [Los 4 lados del cuadrado tienen la misma longitud. Si se sabe la longitud de 1 lado, se saben las longitudes de los 4 lados]. (2) ¿Cómo conocen las otras longitudes del rectángulo? [En un rectángulo, los lados opuestos tienen la misma longitud]. ¿Por qué necesitan saber las longitudes de todos los lados? [Porque hay que sumar las longitudes de todos los lados para encontrar el perímetro].

204

Unidad 7 - Medición

184 Unidad 7 TECH

Posibles errores y dificultades Podrían sumar solo las longitudes rotuladas cuando tratan de encontrar el perímetro. Enfatice que cada longitud de lado debe estar incluida en el total. 3 (3) ¿Por qué todos los lados de la segunda piscina tienen la misma longitud? [Porque la piscina es un cuadrado]. ¿De qué otra forma puede encontrar el perímetro de un cuadrado? [Multiplicando por 4 en vez de sumar la misma cantidad 4 veces]. (place checkmark)

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que los lados opuestos de un rectángulo son de la misma longitud, y que los cuatro lados de un cuadrado tienen la misma longitud. Respuestas 1. a) 24 mm; b) 20 cm 2. Los lados opuestos de un rectángulo tienen las mismas longitudes. Por lo tanto, cada una que falta, es igual a la longitud que se da. Todos los lados de un cuadrado tienen la misma longitud. 3. 27 mm

3

(place checkmark

Calcula el perímetro de la piscina que tiene forma de rectángulo .

Calcula el perímetro de la piscina que tiene forma de cuadrado .

Recuerda: los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud .

Recuerda: los cuatro lados de un cuadrado tienen la misma longitud .

6 metros

 Práctica independiente Los estudiantes pueden preguntarse cómo pueden encontrar el perímetro cuando el polígono no está en una cuadrícula y las longitudes no están marcadas.

9 metros

10 metros 9 metros

6 metros

9 metros 9 metros

10 metros

10 1 6 1 10 1 6 5 32 El perímetro de esta piscina es 32 metros .

9 1 9 1 9 1 9 5 36 El perímetro de esta piscina es 36 metros .

TECH Respuestas 4. a) 12; b) 14 5. a) 36; b) 12

TECH

Resolución de problemas

6

7

8

Escribir para explicar. Sofía usa cinta para hacer lazos de tres tamaños distintos . ¿Cuánta cinta más necesita para hacer 2 lazos grandes que para hacer 2 lazos pequeños? Explica cómo encontraste tu respuesta . La base de la Casa de Vidrio de Philip Johnson en New Canaan, Connecticut, es un rectángulo . ¿Cuál es el perímetro de la base de la Casa de Vidrio?

El dormitorio de Anita es de forma cuadrada . ¿Cuál es el perímetro del dormitorio?

Tamaño del lazo 3

Longitud de la cinta

(place checkmark)

Pequeño

3

Mediano

36 cm

Grande

49 cm

La base de la Casa de Vidrio mide 56 pies de longitud y 32 pies de ancho . ancho

10 metros

17 metros

Dormitorio de Anita

4 metros

6 cm

9

¿Cuál es el perímetro del retazo de tela? a

96 cm

C

38 cm

B

40 cm

D

32 cm

6 cm 2 cm

12 cm

6 cm 8 cm Medición

(place checkmark)

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos matemáticos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 6 a 9. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

27 cm

185

Ejercicio 6 Los estudiantes deben reconocer que la tabla da más información de la que se necesita para resolver el problema. ¿Sobre qué clase de lazos pregunta el problema? [Grandes y pequeños]. ¿Qué clases de lazos se mencionan en la tabla? [Pequeño, mediano y grande]. ¿Qué información de la tabla no se necesita para resolver el problema? [La longitud de la cinta que se necesita para un lazo mediano].

Ejercicio 9 TECH Anime a los estudiantes a pensar en el Cierre perímetro y qué operación a menudo La distancia alrededor de una figura es su perímetro. Para encontrar el períme- está relacionada con él. El problema tro de un polígono, se suman las longitudes de sus lados. Diga: En esta lección es acerca de encontrar el perímetro del 3 aprendieron a encontrar los perímetros de polígonos comunes midiendo y usando retazo. ¿En qué operación piensan cuansus propiedades. do piensan en un perímetro? [Suma]. (place checkmark)

Respuestas 6. 44 centímetros; Ejemplo de respuesta: 27 + 27 = 54; 49 + 49 = 98; 98 - 54 = 44 7. 54 metros; 2640 cm 8. 16 metros 9. B

Lección 7.7

205

Lección

Intentar, revisar y corregir

7.8

Objetivo Resolver un problema a través del proceso de Intentar, revisar y corregir.

¡Lo entenderás! La estrategia INTENTAR, REVISAR y CORREGIR puede ayudar a resolver problemas .

Contexto matemático Resolver problemas usando la estrategia de Intentar, revisar y corregir se basa en varios intentos de encontrar una solución. Una vez que los estudiantes entienden el problema, hacen un primer intento razonable para encontrar la solución. Si este intento falla, revisan y hacen un segundo intento para resolver el problema, basados en la información que obtuvieron durante su primer intento.

Mismo número

3 más que andrea

Práctica guiada ENTIENDES 1

Paula y Fernanda comparten Fernanda tiene 10 crayones más que Paula . ¿Cuántos crayones tiene cada una? 64 crayones

Paula: ?

Fernanda: ?

2

Mira el diagrama del problema 1 . ¿Por qué no son iguales las dos partes del rectángulo?

3

Escribe un problema. Escribe un problema que se pueda resolver usando el razonamiento para hacer intentos razonables . Preséntalo al curso y coméntalo .

10 más que Paula

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Qué información muestra el diagrama de este panel? [El rectángulo tiene tres secciones. Las secciones de Hernán y Andrea son del mismo tamaño, porque hicieron el mismo número de carteles. La sección de Paz es un poco más larga porque hizo 3 carteles más que Andrea. El segmento de recta encima del rectángulo muestra que se hicieron 36 carteles en total]. (2) ¿Qué significa “Usen el razonamiento para hacer buenos intentos”? [Pensar acerca de la información dada e intentar una respuesta que podría resolver el problema]. ¿Por qué 10 es un buen intento para el número de carteles de Hernán y Andrea? [Hay 36 carteles en total y Paz tiene solo 3 carteles más que Hernán y Andrea]. (3) ¿Qué significa “Revisen usando lo que saben”? [Cambias tu respuesta usando la información del problema y también lo que aprendiste de tus intentos].

Resolución de problemas

Hernán, Andrea y Paz hicieron 36 carteles en total . Paz hizo 3 carteles más que Andrea . 36 carteles en total Hernán y Andrea hicieron el mismo número de Hernán: ? andrea: ? Paz: ? carteles . ¿Cuántos carteles hizo Paz?

Práctica independiente 4

5

Los rectángulos A y B tienen el mismo perímetro pero distintos lados . El rectángulo A mide 5 centímetros de longitud y 3 centímetros de ancho . El rectángulo B es 6 centímetros más largo que ancho . ¿Cuáles son la longitud y el ancho del rectángulo B? Rafael tiene 6 monedas que valen $50 en total . Algunas de las monedas son de $5 y otras son de $10 ¿Qué monedas tiene Rafael?

• ¿Qué sé? • ¿Qué me piden que encuentre? • ¿Qué diagrama puede ayudarme a entender el problema? • ¿Puedo usar suma, resta, multiplicación o división? • ¿Está correcto todo mi trabajo? • ¿Respondí la pregunta que correspondía? • ¿Es razonable mi respuesta?

186 Unidad 7

Posibles errores y dificultades Es posible que algunos estudiantes no entiendan cómo revisar sus intentos por medio del análisis de sus revisiones. Sugiera el uso de una tabla para comprobar los números usados en cada intento.  Práctica guiada La estrategia de Intentar, revisar y corregir para resolver problemas es una manera de usar la información del problema, junto con el razonamiento, para hacer un intento de la solución del problema. Para revisar esta estrategia, refiera a los estudiantes al Manual de resolución de problemas. Respuestas 1. Paula: 27 crayones; Fernanda: 37 crayones. 2. Fernanda tiene 10 crayones más que Paula; por lo tanto, la sección del rectángulo que corresponde a Fernanda es más grande. 3. Los problemas variarán.  Práctica independiente Los estudiantes deben revisar si sus intentos son muy altos o muy bajos.

206

Unidad 7 - Medición

Planea

Resuelve

Usa el razonamiento para hacer intentos razonables . Luego, comprueba .

Corrige usando lo que sabes . Intenta: 11 1 11 1 14 5 36 Comprueba: 36 5 36 Éste es correcto .

Intenta: 10 1 10 1 13 5 33 Comprueba: 33 , 36 Muy bajo; necesito 3 más .

Paz hizo 14 carteles .

Intenta: 12 1 12 1 15 5 39 Comprueba: 39 . 36 Muy alto; necesito 3 menos . 6

Respuestas 4. 7 centímetros de longitud, 1 centímetro de ancho. 5. 4 monedas de $10 y 2 monedas de $5.  Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos y deben comprobar si la respuesta es razonable.

Usa los dibujos de la derecha . a) El dependiente de la florería coloca todas las rosas en dos floreros . Un florero tiene 2 rosas más que el otro . ¿Cuántas rosas hay en cada florero?

26 claveles

Ejercicio 6.b) Anime a los estudiantes a hacer una lista organizada del número de claveles que probablemente cada uno compró. ¿Con cuántos claveles pueden empezar en el caso de Carla y Pia? [1 clavel cada una]. ¿Cuántos claveles habría en el caso de Ema? [3 claveles]. ¿Eso llega a un total de 26? [No].

36 rosas

?

? 36 rosas

12 girasoles

2 más

b) Ema, Pía y Carla compraron todos los claveles de la florería . Ema compró 2 más que Pía . Carla y Pía compraron el mismo número . ¿Cuántos claveles compró Ema? 7

Eduardo compró un girasol por $1 250 y 3 rosas por $3 000 cada una . ¿Cuánto pagó Eduardo por las rosas?

8

Camilo compró un girasol por $1 250 . Pagó con 6 monedas . ¿Qué monedas usó?

9

Claudio leyó que hay 22 tipos de cocodrilos y de caimanes en total . Hay 6 tipos más de cocodrilos que de caimanes . ¿Cuántos tipos de cocodrilos hay? ¿Cuántos tipos de caimanes hay?

10

Un rectángulo tiene un perímetro de 48 centímetros . ¿Cuál de los siguientes pares de números podrían ser la longitud y el ancho del rectángulo? a

12 centímetros y 10 centímetros

C

20 centímetros y 4 centímetros

B

8 centímetros y 6 centímetros

D

15 centímetros y 5 centímetros Medición

Ejercicio 7 ¿Qué se les pidió encontrar? [Cuánto gastó Eduardo en rosas]. ¿Qué información no necesitan? [Cuánto gastó en un girasol].

187

Cierre Algunos problemas pueden ser resueltos haciendo un primer intento razonable de lo que la respuesta debería ser y luego, a través de razonamiento adicional, llegar a la respuesta correcta. Diga: En esta lección aprendieron cómo resolver un problema utilizando la estrategia de Intentar, revisar y corregir.

Respuestas 6. a) 19; 17; b) 10 claveles. 7. $10 250 8. 2 monedas de $500, una moneda de $100 y 3 monedas de $50. 9. 14 tipos de cocodrilos; 8 tipos de caimanes. 10. C  Refuerzo Pida a los estudiantes que dibujen un cuadrado de 6 cm por 6 cm en papel cuadriculado. Pídales que rotulen las longitudes de los lados. Debajo del cuadrado, pida a los estudiantes que escriban una oración que explique cómo encontrar su perímetro y otra oración que explique cómo encontrar su área. Luego pida a los estudiantes que sigan sus instrucciones para calcular cada uno.

Lección 7.8

207

?

Mode Unit Unit

n

Simp

d

Mode

Sugerencias metodológicas Explique a los estudiantes que una calculadora es un instrumento útil cuando hay que convertir unidades. Cuando convierten una unidad en otra, a veces multiplican y a veces suman. Por lo lo tanto, pueden usar una calculadora para hacer las operaciones. Pero deben tener mucho cuidado de ingresar las operaciones correctas, en orden correcto. Comenten el ejemplo. ¿Por qué multiplican 2 x 100? [Hay 2 metros en la medida, y cada metro tiene 100 centímetros]. ¿Por qué suman 45? [Hay 45 centímetros más que 2 metros]. ¿Pueden sumar 45 primero, y después multiplicar ese número por 100? [No, eso significaría que se piensa en 45 como un número de metros]. Respuestas 1. 39 decímetro 2. 274 centímetros 3. 86 milímetros 4. 4 200 metros 5. 5 metros 6. 50 metros 7. 500 metros

Unit

n

Simp

d

Fix 1000. 100.

FixU n

d

1000. F

n

n

Ud

Fix F

n d

D

?

1000. Op1 %

n d

Frac

%100.

d

% %

π

F Frac

Fac

M

M Op2

Op1

MR/MC

Int

Op2

(

(

Int

)

)

10.

%

n d

n d

n Frac Unit 0.1 U Hay 1. 100 centímetros en un metro . Para calcular cuántos centímetros hay en M ( 45 centímetros, ) 2πmetros Simp Fac multiplica 2 3 100 y luego suma 45 . D d 0.01 F

0.1

MR/MC

0.001Op % Presiona: 21

0.01 Fix

100

Op2

245

+

45

Int

ENTER

=

) π ?( Mode 100. 2 metros 45 centímetros 5 245 centímetros n

Unit

Simp

Fac

MR/MC

% Pantalla: 0.001 1000.

0.001

D

Op1 Op2 Mode % ? en 2 metros 45 centímetros? 1. ¿Cuántos centímetros hay Int

1. 0.1

Frac

π 10. MR/MC Convertir unidades métricas 100.

10.

0.01

n d

M

Fac

D

?

Mode

Simp

n

Ud

n 10. U d

n d

Frac

M

Fac 1. F D metros ¿A dcuántos equivalen 80 decímetros? MR/MC

Fix 1000.

Op1 Op2 Hay%0.1 10 decímetros en un metro . Para encontrar cuantos metros equivalen a 80 Int decímetros metros, divide 80 : 10 %0.01

( ) 80 π0.001 Presiona

100.

Pantalla: 8

10. 1.

10

ENTER

=

8

80 decímetros equivalen a 8 metros

0.1 0.01

Práctica

0.001

1

¿Cuántos decímetros hay en 3 metros 9 decímetros?

2

¿Cuántos centímetros hay en 2 metros 74 centímetros?

3

¿Cuántos milímetros hay en 7 centímetros 16 milímetros

4

¿Cuántos metros hay en 4 kilómetros 2 metros?

5

¿A cuántos metros equivalen 5 000 milímetros?

6

¿A cuántos metros equivalen 5 000 centímetros?

7

¿A cuántos metros equivalen 5 000 decímetros?

188 Unidad 7

Actividad complementaria  A buscar milímetros, centímetros y metros Tipo de actividad 10 min Materiales: papel para carteles, materiales para pintar, regla. Cree un cuadro grande con columnas rotuladas “Milímetro, Centímetro y Metro”. Para cada medición, incluya una figura de referencia que represente la longitud de la medida. Pida a los estudiantes que busquen objetos para medir en la clase usando milímetros, centímetros y decímetros. Los estudiantes harán un dibujo y/o escribirán el nombre del objeto. Luego, medirán el objeto y escribirán la medida. Pregunte a los estudiantes acerca del letrero. Haga preguntas como: ¿Qué objetos midieron en decímetros? ¿Cuántos metros mide el pizarrón de la clase?

208

Unidad 7 - Medición

Sugerencias metodológicas

¡No vemos la hora! Lee el cuento y luego responde las preguntas .

En esta sección se presentan problemas con datos reales, para que los estudiantes apliquen lo aprendido en la unidad a situaciones de la “vida diaria”. Los estudiantes pueden emplear la estrategia de resolución que más les acomode. Lo importante es que la revisión sea hecha en voz alta y puedan compartir las distintas estrategias utilizadas. Si todos han usado el mismo método de resolución, anímelos a que en conjunto sugieran otras posibilidades.

Jaime y sus hermanas estaban mirando por la ventana de su casa . Estaban hablando de todos los cuentos magníficos que su abuela siempre les cuenta cuando los visita . Hacía apenas unos 10 minutos, su papá, que había ido al aeropuerto a buscar a la abuela, había llamado a casa . Había dicho que estaban exactamente a 26 cuadras de distancia . Tenían que hacer una parada más, 12 cuadras más lejos . Luego iría directamente a casa . Cuando el papá por fin llegó a la esquina, las hermanas saltaron del sofá y corrieron a recibirlo . El papá llegó a la puerta con algunas bolsas del mercado, una maleta y una visitante muy especial . Muy pronto la familia estaría escuchando muchos cuentos magníficos . 1

¿Qué conclusión puedes sacar del relato?

2

Cuando las hermanas estaban mirando por la ventana, el papá había llamado hacía unos 10 minutos . Escribe un número de minutos que pueda redondearse a 10 minutos .

3

Redondeadas a la decena de cuadras más cercana, ¿aproximadamente a cuántas cuadras de distancia estaba el papá de las niñas cuando llamó?

4

Redondeadas a la decena de cuadras más cercana, ¿aproximadamente cuántas cuadras recorrió el papá de las niñas desde su última parada hasta la casa?

5

Mira la siguiente tabla . Escribe las distancias, en orden mayor . de menor a mayor Lugar

Distancia de la casa

Panadería

38 cuadras

Banco

12 cuadras

Mercado

21 cuadras

Juguetería

26 cuadras

6

Respuestas 1. La abuela de Jaime venía a visitarlos. 2. Respuestas correctas: desde 5 hasta 14 minutos. 3. Aproximadamente a 30 cuadras. 4. Aproximadamente 40 cuadras. 5. 12 cuadras, 21 cuadras, 26 cuadras, 38 cuadras. 6. Ejemplo de respuesta: 2 monedas de $100 y 1 de $500; 7 monedas de $100.

Enfoque en la estrategia. Resuelve el problema . Usa la estrategia Hacer una lista organizada . Jaime ganó dinero haciendo mandados . Ahora quiere poner $700 en su alcancía . ¿De qué dos maneras distintas puede usar monedas para formar $700?

Geometría Medición

189

Actividad complementaria  Mostrar la hora Tipo de actividad 10 min Materiales: reloj análogo. Muestre una hora en el reloj. Pida a los estudiantes que identifiquen el minutero y la manecilla de la hora. Repase los números alrededor del reloj a medida que los estudiantes cuentan con usted. Hable sobre las horas en que ciertas actividades ocurren durante el día. Haga preguntas como: ¿A qué hora sales para la escuela en la mañana? ¿A qué hora almuerzas? ¿A qué hora te vas a dormir en la noche? Pida a los estudiantes que por turnos muestren las horas en el reloj. Diga las horas en voz alta y pida a los estudiantes que repitan después de usted.

Conectándonos con otras asignaturas

209

¡C Objetivo Evaluar, en formato de opción múltiple, la comprensión que tienen los niños de los conceptos y las destrezas de la unidad. Después que el alumno realice su autoevaluación, es importante que lea Para revisar tu autoevaluación y revise solo sus respuestas, antes de ser corregido por el profesor o en forma colectiva. Respuestas Ejercicio 1: a) Seis cuarenta y cinco; un cuarto para las siete. b) Ocho quince; ocho y cuarto.

1

!

Escribe de dos maneras la hora que marca cada reloj . a)

b)

11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5

6 :45

2

¿A qué hora es más probable que esté oscuro afuera: a las 11:00 a .m . o a las 11:00 p .m .?

3

Calcula . a) 6 horas 5 c) 3 días 5

4

días

horas

Encuentra el tiempo transcurrido . a) Hora inicial: 9:00 a.m. Hora final: 12:15 p.m.

5

¿Puedes usar las palabras de vo 3 (place checkmark) cabulario correctamente ?

minutos

b) 2 semanas 5

b)

Ejercicio 4: a) 3:15 b) 4:50 Ejercicio 5: a) 15 g b) 2 kg Ejercicio 6: Estimación variará, 4cm. Ejercicio 7: a) 5 cm b) 400 centímetros

210

Unidad 7 - Medición

Hora inicial: 5:00 p.m. Hora final: 9:50 p.m.

Escoge la mejor estimación . a)

b)

Ejercicio 2: 11:00 P.M. Ejercicio 3: a) 360 minutos b) 14 días c) 72 horas

TECH

Harina

15 g o 15 kg

2 g o 2 kg

6

Estima la longitud . Luego, mide al centímetro más cercano .

7

Escoge la mejor estimación . a) La longitud de una goma 1 cm o 5 cm

b)

La altura de una casa 4 centímetros o 400 centímetros

190 Unidad 7

Actividad complementaria  Estimar la masa Tipo de actividad 15 min Materiales: balanza, masas de 1 gramo y de 1 kilogramo, objetos de la clase. Muestre varios objetos de la clase con unas masas aproximadas de 1 kilogramo y de 1 gramo. Pida a un estudiante que elija uno de los objetos. ¿Crees que la masa del objeto es más o menos que un kilogramo? ¿Más o menos que un gramo? Pida a los estudiantes que usen la balanza de platillos para verificar sus estimaciones. Repita la actividad usando varios objetos.

8

Respuestas

Encuentra el perímetro . a)

b)

8 cm

5 cm

8 cm

5 cm 5 cm

9

TECH

Encuentra el perímetro . 8 cm

a)

b) 6 cm

10 cm

TECH

9m 5m

6 cm 4 cm

3

(place checkmark)

3

(place checkmark)

10 Dibuja dos figuras diferentes que tengan un perímetro de 16 unidades .

Usa papel cuadriculado .

EjercicioTECH 11: a) Rosa 17; Tomás 15 b) Niñas 16; niños 12

11 Usa la estrategia Intentar, revisar y corregir para resolver resolver .

Recuerda que las horas entre la medianoche y el mediodía son horas a .m . Las horas entre el mediodía y la medianoche son horas p .m . Recuerda que puedes usar los ejemplos de un gramo y un kilogramo como ayuda para hacer la estimación . Recuerda que para medir correctamente debes alinear el objeto con la marca del 0 en la regla .

b)

Ejercicio 9: a) 48 cm b) 28 m Ejercicio 10: Revise los dibujos de los estudiantes.

14 cm

a) Rosa y Tomás tienen 32 marcadores . Rosa tiene 2 marcadores más que Tomás . ¿Cuántos marcadores tiene cada niño?

Ejercicio 8: a) 32 cm b) 15 cm

El club de fútbol tiene 28 miembros . Hay 4 niñas más que niños . ¿Cuántos niños hay en el club de fútbol? TECH

3

(place checkmark)

Recuerda que puedes convertir unidades de3 longitud multiplicando o (place checkmark) dividiendo . Recuerda que diferentes figuras pueden tener el mismo perímetro . Recuerda que al usar la estrategia Intentar, revisar y corregir, debes usar el razonamiento, revisar cada intento y corregir hasta encontrar la respuesta .

Geometría autoevaluación utoevaluación Unidad 7

191

Actividad complementaria  Encontrar el perímetro Tipo de actividad 10 min Materiales: figuras de cartulina, clips. Dé a cada dos estudiantes recortes de figuras como rectángulos, cuadrados y triángulos, y un suministro de clips. Asegúrese de que las figuras estén recortadas para que los clips puedan alinearse en cada lado sin encimarse. Pida a los estudiantes que cuenten las aristas de la figura. Luego, pida a los estudiantes que pongan clips alrededor de la figura, contando en voz alta cuando ponen cada clip. Diga: La distancia alrededor de la figura es de 10 clips. El perímetro es 10. Pida a los estudiantes que repitan en voz alta después de usted. Anime a los estudiantes a medir las figuras con los clips y a describir el perímetro.

¡Cuánto aprendí!

211

Unidad

8

Fracciones

Planificación de la unidad Eje central

Objetivos de aprendizaje

Números y Operaciones

 Demostrar que comprenden las fracciones de uso común: 14 , 13 , 12 , 23 , 34 : - explicando que una fracción representa la parte de un todo, de manera concreta, pictórica, simbólica, de forma manual y/o con software educativo. - describiendo situaciones, en las cuales se puede usar fracciones. - comparando fracciones de un mismo todo, de igual denominador.  Resolver problemas rutinarios en contextos cotidianos, que involucren las cuatro operaciones (no combinadas).

Habilidades

Resolver problemas

 Resolver problemas dados o creados.  Emplear diversas estrategias para resolver problemas y alcanzar respuestas adecuadas, como la estrategia de los 4 pasos: entender, planificar, hacer y comprobar.  Transferir los procedimientos utilizados en situaciones ya resueltas a problemas similares. Argumentar y comunicar

 Formular preguntas para profundizar el conocimiento y la comprensión.  Descubrir regularidades matemáticas –la estructura de las operaciones inversas, el valor posicional en el sistema decimal, patrones como los múltiplos– y comunicarlas a otros.  Hacer deducciones matemáticas de manera concreta.  Describir una situación del entorno con una expresión matemática, con una ecuación o con una representación pictórica.  Escuchar el razonamiento de otros para enriquecerse y para corregir errores. Objetivos de aprendizaje transversales y actitudes

212

Unidad 8 - Fracciones

 Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.  Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.  Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.

Para trabajar Texto para el estudiante pp. 192-209 Cuaderno de ejercitación

Recursos, evaluación y tiempo Para evaluar  Evaluación diagnóstica Repasa lo que sabes (Texto para el estudiante)  Evaluación formativa ¡Cuánto aprendí! (Texto para el estudiante)

Tiempo estimado Para la unidad 16 a 18 horas Para la prueba sumativa 2 horas

 Evaluación sumativa Pruebas fotocopiables (Guía didáctica del docente)

Modelar

 Aplicar, seleccionar y evaluar modelos que involucren las cuatro operaciones y la ubicación en la recta numérica y en el plano.  Expresar, a partir de representaciones pictóricas y explicaciones dadas, acciones y situaciones cotidianas en lenguaje matemático.  Identificar regularidades en expresiones numéricas y geométricas. Representar

 Utilizar formas de representación adecuadas, como esquemas y tablas, con un lenguaje técnico específico y con los símbolos matemáticos correctos.  Crear un problema real a partir de una expresión matemática, una ecuación o una representación.  Transferir una situación de un nivel de representación a otro (por ejemplo: de lo concreto a lo pictórico y de lo pictórico a lo simbólico, y viceversa).

 Manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades.  Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia.  Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa. Fuente: www.mineduc.cl

Fracciones

213

Unidad

8

Contexto matemático  Comprender fracciones Las aplicaciones de las fracciones ocurren en la medición, la geometría, la probabilidad y la estadística, y en otras ramas de las ciencias.

Fracciones

1

Fracciones y números enteros Comprender fracciones es más complejo que comprender números enteros ya que hay “conflictos de concepto” con los números enteros. Por ejemplo, los estudiantes entienden intuitivamente que el 8 es mayor que el 5, pero luego deben reconciliar esto con el hecho de 1 es menor que 15 . 8

¿Qué fracción de la Tierra es desierto? Lo averiguarás en la Lección 8 .2 .

Si se cuentan 4 manzanas o 4 camisetas, la cantidad es igual. Sin embargo, con las fracciones, 14 de un pastel puede que no sea la misma cantidad que 14 de otro pastel. Modelos de fracciones Para que los estudiantes comprendan las fracciones, es fundamental que participen en actividades exploratorias con representaciones concretas. Trabajarán con dos modelos— regiones y grupos.  Fracciones equivalentes Fracciones y equivalencia numérica El número 18, por ejemplo, se puede representar no solo por la forma desarrollada 10 + 8, sino también por una variedad de expresiones operacionales como 9 + 9, 24 – 6, 3 • 6, y 36 : 2.

192

Generar fracciones equivalentes A este nivel los estudiantes encuentran fracciones equivalentes principalmente haciendo modelos con tiras de fracciones. Por ejemplo, los estudiantes observarán que tres tiras de 15 representan la misma

1 6 cantidad que seis tiras de 10 . La conclusión de que 35 y 10 son fracciones equi3 6 valentes. Es decir, 5 = 10.

Los estudiantes aprenderán también a generar fracciones equivalentes usando el siguiente principio. Para encontrar una fracción equivalente, multipliquen o dividan el numerador y el denominador de la fracción por el mismo número, distinto de cero. Por qué funciona Las técnicas numéricas para encontrar fracciones equivalentes se justifican con propiedades de números y operaciones. El elemento clave de las justificaciones es la propiedad del elemento neutro o de identidad de la multiplicación: cuando se multiplica un número por 1, el producto es ese número.

214

Unidad 8 - Fracciones

 Comparar fracciones Los estudiantes compararán fracciones visualmente usando tiras de fracciones. En cursos posteriores aprenderán a comparar usando una recta numérica y métodos numéricos.

Vocabulario

1

Escoge el mejor término del recuadro . • comparar • mayor

• menor • multiplicar

a) El número 219 es número 392 . b) El número 38 es número 19 .

que el

Denominadores comunes o numeradores comunes El método numérico más común para comparar fracciones es expresarlas con un denominador común. Las fracciones se comparan en el mismo orden que los numeradores: la fracción con el numerador mayor es la fracción más grande. Otra manera de comparar fracciones, menos usada, es la del numerador común. Las fracciones se comparan en el orden inverso de los denominadores: la fracción con el denominador más grande es la fracción menor.

que el

c) Para determinar si 15 tiene más o menos decenas que 24, tienes los dos números . números que

3

3

¿Qué fracción de los huesos de tu cuerpo están en los pies? Lo averiguarás en la Lección 8 .5 .

Matrices o arreglos bidimensionales

2

Encuentra el producto de cada matriz . a)

La bandera de Nigeria, ¿está formada por partes iguales? Lo averiguarás en la Lección 8 .1 .

b)

Comparar números

3

Compara . Escribe ,, . o 5 . a) 427 s 583 b) 910 s 906 c) 139 s 136 d) 4 500 s 4 500 e) 693 s 734 f) 1 050 s 1 005

4

Escribir para explicar. ¿Qué número es mayor, 595 o 565? Explica qué dígitos usaste para decidirlo .

193

Repasa lo que sabes Objetivo Determinar el nivel de preparación de los estudiantes evaluando su dominio de los conocimientos requeridos.  Repaso del vocabulario Ecuación: oración numérica en la que se emplea el signo igual (=) para mostrar que dos expresiones tienen el mismo valor. Redondeo: reemplazar un número por otro que indica aproximadamente cuánto o cuántos hay. Números compatibles: números con los cuales es fácil calcular mentalmente. Inverso: lo contrario. Múltiplo: el producto de cualquier número entero dado y cualquier otro número.

Productos cruzados Dos fracciones también se pueden comparar usando las siguientes reglas de productos cruzados. Si ad = bc, entonces, a = c b d Si ad > bc, entonces, a > c b d Si ad < bc, entonces, a < c b d Conexión al Mineduc Los objetivos de aprendizaje de esta unidad pueden ser complementados revisando el Programa de Estudios del Mineduc en www.curriculumenlinea.cl o www.curriculumnacional.cl

Respuestas 1. a) Menor; b) Mayor; c) Comparar 2. a) 6; b) 12 3. a) ; c) >; d) =; e) 4. 595 es mayor. Los dos números tienen un 5 en el lugar de las centenas; por lo tanto, comparé las decenas. Como 9 decenas > 6 decenas, 595 > 565.

Fracciones

215

Lección

Dividir regiones en partes iguales

8.1

Objetivo Identificar regiones que se dividieron en partes iguales y dividir regiones en partes iguales.

¡Lo entenderás! Se puede dividir un entero en partes iguales de diferentes maneras .

Contexto matemático Los planteamientos de la enseñanza que se concentran en la abstracción y la manipulación prematura de símbolos hace que los estudiantes tengan gran dificultad en comprender y usar los símbolos que se utilizan para representar números racionales (Behr, Wachsmuth, Post & Lesh, 1984). En esta lección, y en las siguientes, los estudiantes usan modelos concretos y pictóricos para construir conceptos de fracciones significativos. Un significado de fracción es un número que representa una parte de un entero. El nombre de la fracción, que se muestra en el denominador, se determina por el número de partes en un entero (mitades por dos partes, tercios por tres partes, y así sucesivamente). Cuando una fracción se usa para describir una parte de una región, es importante que el entero se divida en partes iguales. Cuando se divide una región en partes iguales, no es necesario que las partes tengan la misma forma, siempre que tengan la misma área.

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) ¿Cómo saben que cada región se divide en dos partes iguales? [Cada una de las dos partes de la región está compuesta del mismo número de cuadrados pequeños. Algunos cuadrados están divididos en dos triángulos. Dos triángulos juntos son del mismo tamaño que 1 cuadrado].

¿Cómo divides un entero en partes iguales? Muestra dos maneras de dividir el papel cuadriculado en partes iguales . Cuando una región se divide en dos partes iguales, las partes se llaman mitades o medios .

Práctica guiada COMO hacerlo?

Lo ENTIENDES? ?

1

2

En los ejemplos de papel cuadriculado que aparecen arriba, explica cómo sabes que las dos partes son iguales .

3

Usa papel cuadriculado . Haz un dibujo para mostrar sextos .

4

Agustín dividió su jardín en áreas iguales, como se muestra abajo . ¿Cómo se llaman esas partes iguales del entero?

Señala si las figuras muestran partes iguales o desiguales . Si las partes son iguales, escribe su nombre . a)

c)

b)

d)

Práctica independiente 5

Señala si las figuras muestran partes iguales o desiguales . Si las partes son iguales, escribe el nombre . a)

b)

c)

d)

194 Unidad 8

Posibles errores y dificultades Los estudiantes pueden pensar que cualquier región dividida en 2 partes está dividida en mitades. Ponga énfasis diciendo que una mitad es una de dos partes iguales. Dibuje diferentes regiones divididas en dos partes iguales o dos partes desiguales. Pregunte si cada una muestra la mitad y por qué sí o por qué no. (2) ¿En qué se parecen las regiones? [Todas tienen partes iguales]. ¿En qué se diferencian las regiones? [Cada una tiene una forma diferente; cada una tiene un número diferente de partes iguales]. ¿Qué patrón ven en los nombres de las partes? [Para los tercios y cuartos la primera parte del nombre es similar al nombre del número ordinal].  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que si las partes no son iguales, no pueden usar palabras como mitades, tercios y cuartos para describirlas. Respuestas 1. a) Iguales; tercios ; b) Desiguales; c) Iguales; cuartos ; d) Iguales; mitades 2. Cada mitad está formada por 8 unidades. 3. Los dibujos de los estudiantes representan una región con 6 partes iguales. 4. Cuartos

216

Unidad 8 - Fracciones

Estos son algunos nombres de las partes iguales de un entero .

2 partes iguales mitades o medios

3 partes iguales tercios

3 partes iguales pinto 2 dos tercios 6

 Práctica independiente Recuerde a los estudiantes que cuando dibujen una región en papel cuadriculado, pueden contar las cuadrículas para asegurarse de que las partes son iguales.

4 partes iguales cuartos

4 partes iguales pinto 3 tres cuartos

Respuestas 5. a) Iguales; medios; b) Desiguales; c) Iguales; cuartos; d) Iguales; tercios 6. Revise los dibujos de los estudiantes.

Usa papel cuadriculado . Dibuja una región que muestre las partes iguales que se indican . a) cuartos

b) mitades

c) tercios

Resolución de problemas

7

Usa la tabla de las banderas responder . para responder a) Razonamiento. La bandera de este país tiene más de dos partes . Las partes son iguales . ¿Cuál es el país?

8

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 7 a 8. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

Banderas de distintos países País

Bandera

Mauricio

b) La bandera de Nigeria está formada por partes iguales . ¿Cuál es el nombre de las partes de esta bandera?

Nigeria

c) ¿Qué bandera no está dividida en partes iguales?

Seychelles

Polonia

Ejercicio 8 Recuerde a los estudiantes que busquen palabras importantes. ¿Se pregunta qué figura muestra partes iguales? [No, se pregunta qué figura “no” muestra partes iguales].

¿Qué figura no muestra partes iguales? a

B

C

D

Fracciones

195

Cierre Una región puede dividirse en partes iguales de maneras diferentes. Las partes iguales de una región tienen la misma área pero no necesariamente la misma forma. Diga: En esta lección aprendieron a dividir una región entera en partes iguales. Aprendieron nombres especiales para las partes según el número de partes.

Respuestas 7. a) Nigeria; b) Tercios; c) Seychelles 8. A  Refuerzo Trabaje con los estudiantes para encontrar diferentes maneras de dividir un cuadrado de 8 cuadrículas por 8 en mitades, cuartos y octavos.

Lección 8.1

217

Lección

Fracciones y regiones

8.2

Objetivo Asociar el modelo, el símbolo y las palabras que se usan para describir una parte fraccionaria de una región de un entero.

¡Lo entenderás! Se puede usar una fracción para describir las partes iguales de un entero .

1

Una fracción transmite dos datos importantes. El denominador, el número debajo de la barra de fracción, indica el número de partes iguales en que se dividió el entero. El numerador, el número arriba de la barra de fracción, indica cuántas partes iguales la fracción representa. Por lo tanto, en la fracción 38 el estudiante sabe que el entero se dividió en 8 partes iguales. La fracción representa 3 de esas partes. Los estudiantes deben aprender a usar las palabras correctas para describir fracciones. Es posible que quieran usar una ayuda memoria, tal como asociar el término denominador con el número que va debajo de la barra de fracción.

Unidad 8 - Fracciones

2

Práctica guiada 1

2

Escribe qué fracción de cada figura es anaranjada .

3

a)

En el ejemplo de arriba, ¿qué fracción nombra todas las partes de la bandeja de barras?

4

Valentín compró una pizza . El dibujo muestra la parte que se comió . ¿Qué fracción de la pizza se comió? ¿Qué fracción de la pizza le quedó?

b)

Haz un dibujo para mostrar cada fracción . a) 3 4

b)

2 3

TECH

Práctica independiente 5

Escribe la fracción de cada figura que es verde . a)

Sugerencias metodológicas

218

Mónica hizo una bandeja de barras de cereal . Sirvió parte de la bandeja de barras a sus amigos . ¿Qué parte del entero sirvió? ¿Qué parte le quedó? Una fracción es un símbolo, como 2 o 3 , que se usa para nombrar partes iguales de un entero .

Contexto matemático

 Aprendizaje visual (1) En esta situación, ¿cuál es el entero? [La bandeja entera de barras de cereal]. ¿En cuántas partes iguales cortó Mónica la bandeja entera de barras de cereal? [4]. ¿Qué nombre se le da a cada parte? ¿Por qué? [Cuartos, porque hay 4 partes iguales]. ¿Qué partes de ambas fracciones son iguales? ¿Por qué? [Los denominadores, para ambas situaciones el número de partes en total es el mismo]. (2) ¿Qué partes son diferentes? ¿Por qué? [Los numeradores son diferentes porque indican de cuántas partes estamos hablando]. (3) ¿Por qué se usa “cuartos” al leer los denominadores en vez de “cuatro”? [Cuartos es el nombre de todas las partes iguales del entero].

¿Cómo muestras y nombras las partes de una región?

6

b)

c)

Haz un dibujo para mostrar cada fracción . a) 1 b) 2 c) 1 3 3 4

194 Unidad 8

d) 3

d)

3 4

(place checkmark)

e) 2 2 TECH

Posibles errores y dificultades Tal vez los estudiantes inviertan el numerador y el denominador. Pídales que des3 criban una situación diciendo “____ de____ partes iguales”. Luego, pídales que escriban los números en el mismo orden, de arriba hacia abajo, en una fracción. (place checkmark)

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que el denominador de una fracción indica el número total de partes iguales de la región, y el numerador indica cuántas partes iguales hay. Respuestas 1. a) 24 ; b) 12 2. Revise los dibujos de los estudiantes. 3. 44

4. Se comió 14 . Le quedó 34  Práctica independiente Al hacer los dibujos, los estudiantes pueden crear partes iguales y olvidar pintar partes para mostrar la fracción. Señale que la fracción tiene dos partes, numerador y denominador, por lo tanto hacer el dibujo exige dos pasos.

Lo que escribes

Lo que dices

Numerador 3 quedaron 3 partes iguales Denominador 4 había 4 partes iguales en total Numerador se sirvieron 1 parte igual 1 Denominador había 4 partes iguales en total 4 El numerador indica cuántas partes iguales hay hay . Es el número que está arriba de la barra de fracción . El denominador indica el total de partes iguales . Es el número que está debajo de la barra de fracción .

Quedaron tres cuartos en la bandeja de barras de cereal cereal . Se sirvieron un cuarto de la bandeja de barras de cereal .

Respuestas 5. a) 44 ; b) 13 ; c) 14 ; d) 12 6. Revise los dibujos de los estudiantes.

$3 500

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 7 a 9. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

$5 500

Respuestas 7. a) 14 ; b) 44

Resolución de problemas

7

Usa la lista de precios para responder responder . a) Felipe y sus amigos pidieron una pizza mediana . Felipe comió 1 trozo de pizza . ¿Qué fracción de la pizza comió? b) La familia de Clara compró una pizza mediana . La familia comió 4 trozos de pizza . ¿Qué fracción de la pizza les quedó?

Tamaño de la pizza

Pequeña

Mediana

c) La familia de Tamara compró 3 pizzas pequeñas . La familia de Leonardo compró 2 pizzas medianas . ¿Qué familia gastó más?, ¿cuánto? 8

9

Precio

c) La familia de Leonardo gastó $500 más que la familia de Tamara. 8. C 9. B

Mira la cuadrícula de la derecha . ¿Qué fracción de la cuadrícula es blanca? 1 4 2 2 a B C D 4 4 4 2

¡Desafío! ¿Qué fracción de la Tierra es desierto? Usa el dibujo . 6 2 2 2 a B C D 2 6 3 4

 Refuerzo Pida a los estudiantes que supongan que solo 2 de las barras de fruta se sirvieron. Guíelos para que escriban fracciones para la parte de la bandeja que se sirvió y para la parte que quedó

Aproximadamente dos sextos de la superficie de la Tierra es desierto .

Fracciones

TECH

195

3

(place checkmark)

Cierre Una fracción describe la división de un entero (región, grupo, segmento) en partes iguales. El número de abajo de una fracción indica en cuántas partes iguales está dividido el entero. El número de arriba indica cuántas partes iguales se muestran. Una fracción es relativa al tamaño del entero. Diga: En esta lección aprendieron a escribir una fracción para describir una parte de una región. El numerador de la fracción indica cuántas partes describe la fracción, y el denominador indica el número total de partes iguales de la región.

Lección 8.2

219

Lección

Fracciones y conjuntos

8.3

Objetivo Asociar el modelo, el símbolo y las palabras que se usan para describir una parte fraccionaria de un conjunto.

¡Lo entenderás! Se puede usar una fracción para describir las partes de un grupo .

Contexto matemático En la lección anterior, el entero se representó como una región continua que se dividía en partes iguales. Esta lección presenta un segundo modelo, en el que el entero es un grupo de objetos diferentes. Estos dos modelos de fracciones son iguales en muchos aspectos. Sin embargo, por lo menos en un aspecto, el modelo del conjunto para una fracción es significativamente diferente del modelo de la región. Cuando se usa una fracción para nombrar partes de un grupo de objetos, los objetos no tienen que ser “iguales”.

Sugerencias metodológicas  Aprendizaje visual (1) Ustedes ya usaron una fracción para nombrar una parte de un entero. En esta situación, ¿cuál es el entero? [El grupo de gente que espera en la fila]. ¿Cuántas partes hay en este grupo entero? [4]. ¿Cuál es el nombre de estas partes? [Cuartos]. (2) ¿Qué información nos dan los numeradores? [El número de personas de las que hablamos en cada pregunta]. ¿Qué información nos dan los denominadores? [El número de personas en total]. (3) Supongan que 34 de las personas llevan puesto algo verde. ¿Cómo luciría el grupo de personas? [3 personas llevarían algo verde y 1 persona no llevaría nada verde].

¿Cómo representa una fracción una parte de un grupo? Un grupo de 4 personas está en la fila para comprar entradas para una película . ¿Qué fracción del grupo de personas llevan puesto algo rojo? ¿Qué fracción de las personas no llevan nada rojo? Una fracción nombra partes de un conjunto, o de un grupo, de objetos o personas . 3 personas llevan algo rojo .

Práctica guiada COMO hacerlo?

Lo ENTIENDES? ?

1

3

En el ejemplo de arriba, ¿por qué el denominador es igual para la TECH algo rojo parte del grupo que lleva como para la parte del grupo que no lleva nada rojo?

4

Un grupo de 3 estudiantes está esperando la micro . (place Dos checkmark) de 3 ellos llevan una chaqueta . ¿Qué fracción de los estudiantes del grupo llevan chaqueta? ¿Qué TECH fracción de los estudiantes no llevan chaqueta?

Escribe qué fracción de las fichas son rojas . a)

2

b)

Dibuja fichas para mostrar la fracción dada . a) 1 b) 3 3 4

Práctica independiente 5

3

(place checkmark)

(place checkmark)

Escribe qué fracción de las fichas son amarillas . a)

6

3

TECH

b)

c)

Haz un dibujo del conjunto que se describe . a) 4 figuras, 3 de 4 ellas son círculos

b) 3 figuras, 2 de 3 ellas son triángulos

c) 2 figuras, 1 de 2 ellas son cuadrados TECH

TECH

194 Unidad 8

3

(place checkmark)

3

Posibles errores y dificultades Quizá los estudiantes escriban el número de partes de las que no estamos hablando como el denominador. Pídales que expliquen por qué 84 no describe la parte del grupo que lleva algo rojo.  Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que el denominador indica el número total de objetos en el conjunto y el numerador indica cuántos objetos hay en cierta parte del conjunto. Respuestas 1. a) 13 ; b) 23 2. Se dan ejemplos de respuestas. a) 3 fichas, 1 de un color; b) 4 fichas, 3 son del mismo color. 3. El denominador es el mismo porque el número total de personas en los dos casos es 4. 4. Con chaqueta: 23 ; sin chaqueta: 13

220

Unidad 8 - Fracciones

(place checkmark)

Lo que escribes

3 4

Número de personas que llevan algo rojo Número total de personas

1 4

Número de personas que no llevan nada rojo Número total de personas

Lo que dices Tres cuartos de las personas llevan algo rojo . rojo

 Práctica independiente Quizá los estudiantes necesiten guía para dibujar figuras. Use el ejercicio 6.a) como ejemplo. La fracción 35 representa 3 círculos de 5 figuras. Por lo tanto, 3 de las figuras deben ser círculos. Pero las otras figuras pueden ser cualquier otra cosa —triángulos, cuadrados, rectángulos— siempre que no sean círculos.

Un cuarto de las personas no llevan nada rojo .

Resolución de problemas

7

Escribe la fracción del grupo de botones que se describe . a) Botones rosados b) Botones azules

Respuestas 5. a) 14 ; b) 24 ; c) 23

c) Botones con sólo dos agujeros 8

Haz un dibujo para mostrar cada fracción de un conjunto . a) Flores: 3 son amarillas b) Manzanas: 1 son verdes 4 2

9

La ilustración de la derecha muestra cuatro estatuas de niños y niñas . ¿Cuántas son estatuas de niños?

10

11

6. Ejemplo de respuesta: a) 1 cuadrado y 3 círculos; b) 2 triángulos y 1 cuadrado; c) 1 círculo y 1 cuadrado.  Resolución de problemas Los estudiantes, deben comprobar si el resultado es razonable.

Sentido numérico. Una familia de 3 personas está comprando boletos para un concierto . Si 13 de los boletos que compran son para adultos, ¿cuántos boletos de adultos necesita la familia?

Ejercicio 11 Recuerde a los estudiantes que a veces es posible empezar al revés, a partir de las opciones de respuestas. ¿Cuál es el número total de pétalos de flor? [10]. ¿Hay respuestas con 10 como denominador? [Sí, C y D].

¿Qué fracción de los pétalos se ha caído de la flor? 1 a 3 C 4 2 B

2 3

D

1 4 Fracciones

195

Cierre Una fracción describe la división de un entero (región, conjunto, segmento) en partes iguales. El número de abajo de una fracción indica en cuántas partes iguales está dividido el entero. El número de arriba indica cuántas partes iguales se muestran. Una fracción es relativa al tamaño del entero. Diga: En esta lección aprendieron a escribir una fracción para describir una parte de un conjunto o grupo de objetos. El numerador de la fracción indica cuántos objetos describe la fracción, y el denominador indica el número total de objetos en el conjunto.

Respuestas 7. a) 34 ; b) 14 ; c) 14 8. a) y b) Revise los dibujos de los estudiantes. 9. 1 es estatua de niño. 10. 1 boleto de adulto. 11. D  Refuerzo Pida a los estudiantes que supongan que hay 8 personas en total, 3 llevan algo rojo y 5 algo amarillo. Guíelos para que escriban fracciones para las personas que llevan algo rojo y las que llevan amarillo.

Lección 8.3

221

Usar modelos para comparar fracciones

Lección

8.4

Objetivo Usar modelos para comparar fracciones.

¡Lo entenderás! Hay distintas maneras de comparar fracciones .

Natalia y Eduardo están pintando dos paneles del mismo tamaño y de la misma forma . ¿Cuál de los dos pintó una porción más grande: Natalia o Eduardo?

Contexto matemático En esta lección, los estudiantes comparan fracciones utilizando tiras de fracciones. Este método concreto de comparación permite a los estudiantes desarrollar un sentido innato de la relación entre fracciones. Cuando dos fracciones tienen el mismo denomina7 5 y 12 , muchos estudiantes dor, como 12 intuitivamente comparan las fracciones, comparando los numeradores. Las tiras de fracciones sirven para confirmar que el razonamiento es válido.

Natalia pintó 1_2_ de un panel .

¿Cómo comparas fracciones?

Compara 1 y 1 .

2

Eduardo pintó 1_4_ del otro panel .

4

Práctica guiada COMO hacerlo?

Lo ENTIENDES? ?

1

2

En el problema de arriba que trata de Cecilia y de Nicolás, ¿puedes decir quién pintó un área mayor del panel? Explica .

3

Agustín e Irene están pintando dos paredes del mismo tamaño y de la misma forma . Irene pintó 23 de una pared . Agustín pintó 34 de la otra . ¿Cuál de los dos pintó un área más grande?

Escribe ., , o 5 . Usa tiras de fracciones como ayuda . a)

1 4

1 4

1 3

1 4 b)

1 3

2 3

s

1 8

1 8

1 6

4 8

Sugerencias metodológicas

1 3

1 8

1 8

1 6

s

1 6

3 6

2 3

3 4

 Aprendizaje visual (1) ¿Cómo pueden usar el dibujo para comparar 12 y 14 ? [El panel con la 12 pintada tiene más área pintada, que el panel con 14 pintados. Por lo tanto, 1 es mayor que 14 ]. 2 (2) ¿Cómo demuestran el problema las tiras de fracciones? [La tira de 1 entero muestra la longitud de todo el panel. La tira de 12 representa la 12 del panel que Natalia pintó. Las dos tiras de 14 representan los 24 del panel que Eduardo pintó]. Posibles errores y dificultades (3) Es posible que los estudiantes tengan dificultad para comprender que 1 de una cantidad puede ser mayor 2 o menor que 12 de otra cantidad. Dé ejemplos: la 12 de un sándwich regular es menor que 12 de una hamburguesa, 1 del dinero de mi cuenta de ahorro 2 es menor que 12 del dinero del banco.

222

Unidad 8 - Fracciones

Práctica independiente 4

Compara . Escribe ., , o 5 . Usa tiras de fracciones como ayuda . a)

1 2

1 2

b)

1 3

1 4

1 2

1 3

c)

1 3

1 6

s

1 4

3 3

s

1 6 1 2

1 4

1 4

2 6

s

1 2

194 Unidad 8

 Práctica guiada Recuerde a los estudiantes que el grupo más largo de tiras de fracciones o el área más grande representa la fracción mayor. Respuestas 1. a) ; b) =; c) <

panel Nicolás Cecilia pintó 12 de un panel . 1 pintó 2 de un panel con un área diferente .¿Es la mitad de lo que pintó Cecilia igual a la mitad de lo que pintó Nicilás?

Puedes usar tiras de fracciones . 1 1 2 1 4

Haz un dibujo .

Compara las tiras de fracciones . 1 2

1 2

es mayor que .

1 4

 Resolución de problemas Los estudiantes usan procesos implícitos e instrumentos matemáticos en los ejercicios 5 a 8. Recuerde a los estudiantes que, al resolver cada problema, deben comprobar si el resultado es razonable.

Pintaron 1_2_ de cada panel .

.

1 4

Los paneles tienen distintas áreas . La mitad de lo que pintó Cecilia no es igual a la mitad de lo que pintó Nicolás .

Natalia pintó una porción más grande .

Ejercicio 7 Los estudiantes pueden resolver este problema usando una variedad de estrategias. Si los estudiantes tienen dificultad para decidir cómo empezar, sugiera que representen el problema en grupos pequeños. Supongan que uno de Uds. es Joaquín, uno es el hámster y un tercero es el conejo. Usemos fichas para representar los trozos de zanahoria. Empiecen con Joaquín dándole 2 trozos de zanahoria al hámster. ¿Qué debe hacer Joaquín a continuación? [Darle al conejo 3 pedazos de zanahoria]. Pídanle a Joaquín que siga repartiendo los trozos de zanahoria de esa manera hasta que hayan representado el problema entero.

Resolución de problemas

5

Las tiras de fracciones de la derecha representan tres panes que Andrea cortó en rebanadas para una comida . La tira del 1 representa un pan entero . Las otras tiras muestran cuánto de cada pan quedó después de la comida .

1 1 3 1 8

1 8

1 3 1 8

Completa las oraciones numéricas para saber de cual pan quedó más . a) El pan cortado en octavos o el pan cortado en tercios b) El pan cortado en mitad o el pan cortado en tercios

3 8 1 2

s s

2 3 2 3

6 Escribir para explicar. Andrés comió 1 de un sándwich . Jesús comió 1 de 3

otro sándwich . Jesús comió más que Andrés . ¿Cómo es posible?

3

7

Joaquín alimentó a su hámster y a su conejo . Al conejo le dio 3 trozos de hámster . Si el hámster comió zanahoria por cada 2 trozos que le dio al hámster 8 trozos de zanahoria, ¿cuántos trozos comió el conejo?

8

¿En qué grupo están sombreadas más de a

C

B

D

3 4

de las figuras?

Fracciones

195

Cierre Para comparar dos fracciones, el entero debe ser igual. La fracción que representa la parte mayor del entero es la mayor. En esta lección aprendieron a usar modelos para comparar fracciones. Aprendieron que cuando el entero es del mismo tamaño, la fracción que describe la parte mayor del entero es la fracción mayor.

Respuestas 5. a)