KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 1dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
Sistematika penulisan penyusunan bahan ajar matakuliah
1. Bagian Awal a. Halaman Sampul b. Halaman pengesahan c. Prakata d. Deskripsi Matakuliah (mencakup CP CP Lulusan dan CP CP Matakuliah) Matakuliah) e. Daftar Isi
2. Bagian Isi Bagian ini berisi pokok-pokok bahasan matakuliah yang disajikan dalam bentuk Bab-Bab yang merujuk pada Rencana Pembelajaran Matakuliah (RPS) yang telah disusun. a. Judul Bab/Topik Pembelajaran b. Sub Capaian Pembelajaran Pembelajaran Mata kuliah c. Isi/Materi Topik Pembelajaran d. Rangkuman e. Lembar Pertanyaan/Diskusi Pertanyaan/Diskusi
3. Bagian Akhir a. Daftar Pustaka (yang digunakan digunakan dalam menulis menulis bahan ajar/diktat) sesuai dengan RPS.
Bagian awal, tengah/isi dan akhir ditulis dengan font Arial 11 dan spasi 1,5.
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 2dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
HANDOUT MATEMATIKA TEKNIK KIMIA II 15P02355 3 SKS
TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2017
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 3dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
VERIFIKASI BAHAN AJAR Pada hari ini Selasa tanggal 14 bulan Februari tahun 2017 Bahan Ajar Mata Kuliah Matematika Teknik Kimia 1, Program Studi Teknik Kimia, Fakultas Teknik telah diverifikasi oleh Ketua Jurusan/ Ketua Program Studi Teknik Kimia. Semarang, 14 Februari 2017 Ketua Jurusan Teknik Kimia
Tim Penulis
Dr. Wara Dyah Pita Rengga, S.T., M.T. NIP. 197405191999032001
Dhoni Hartanto, S.T., M.T., M.Sc. NIP. 198711112015041003
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 4dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
PRAKATA Mata kuliah Matematika Teknik Kimia II merupakan mata kuliah inti yang wajib diambil mahasiswa semester 4. Mata kuliah ini bertujuan agar mahasiswa dapat melakukan pemodelan pendekatan matematis untuk fenomena teknik kimia. Mata kuliah ini merupakan mata kuliah teori yang merupakan kelanjutan dari Matematika Teknik Kimia I. Dalam kuliah ini mahasiswa akan mempelajari proses penyelesaian pemodelan matematis baik secara analitis maupun numerik. Materi Matematika Teknik Kimia II antara lain : 1. Formulasi persamaan matematika (persamaan diferensial ordiner dan parsial). 2. Integrasi numerik. 3. Penyelesaian persamaan diferensial ordiner dan parsial secara numerik. 4. Penyusunan persamaan empiris.
Setelah mata kuliah ini, mahasiswa diharapkan mampu memiliki skill dalam membuat pemodelan dan menyelesaikan permasalahan Teknik Kimia secara matematis baik analitis maupun numerik.
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 5dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
DESKRIPSI MATAKULIAH
Capaian Pembelajaran Lulusan Menerapkan pemikiran logis, kritis, sistematis, dan inovatif dalam konteks pengembangan atau implementasi ilmu pengetahuan dan/atau teknologi sesuai dengan bidang teknik kimia
Capaian Pembelajaran Mata Kuliah Mahasiswa mampu menjelaskan fenomena pada suatu permasalahan teknik kimia kompleks dengan memformulasi menjadi persamaan matematis dan menyelesaikannya secara numerik dengan bantuan komputer.
94
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 6dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
DAFTAR PUSTAKA
Prakata
4
Daftar Isi
6
Bab I Persamaan Differensial Parsial (PDP)
8
Deskripsi Singkat
8
Capaian pembelajaran pertemuan
8
Isi Materi Kuliah: Metode penyelesaian differensial parsial:
9
A. Transformasi Laplace
9
B. Metode Pemisahan Variabel
9
C. Metode Kombinasi Variabel
9
Rangkuman
10
Pertanyaan/Diskusi
10
Bab II Persamaan Differensial Ordiner (PDO) dan Persamaan Differensial Parsial
11
(PDP) dengan Metode Numerik Deskripsi Singkat
11
Capaian pembelajaran pertemuan
11
Isi Materi Kuliah: Metode penyelesaian differensial parsial Metode PDP secara numerik:
12
A. Transformasi Laplace
12
B. Metode Pemisahan Variabel
12
C. Metode PDO secara numerik
13
Rangkuman
13
Pertanyaan/Diskusi
14
Bab III Integrasi Numerik
15
Deskripsi Singkat
15
Capaian pembelajaran pertemuan
16
Isi Materi Kuliah: Metode penyelesaian integral dengan cara numerik:
16
A. Metode trapezoidal
16
B. Aturan Simpson
16
Rangkuman
17
Pertanyaan/Diskusi
17
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
Bab IV
No. Revisi 02
Hal 7dari 21
Penyusunan Persamaan Empiris
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
18
Deskripsi Singkat
18
Capaian pembelajaran pertemuan
19
Isi Materi Kuliah: Model matematika
19
Rangkuman
20
Pertanyaan/Diskusi
20
Daftar Pustaka
21
Glosarium
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 8dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
BAB I Persamaan Differensial Parsial (PDP)
A. Deskripsi singkat Pada bab ini, mahasiswa akan mempelajari penyelesaian persamaan differensial parsial. Persamaan differensial parsial dapat diselesaikan dengan metode transformasi Laplace, metode pemisahan variabel, dan metode kombinasi variabel. Pada bab ini, mahasiswa diharapkan mampu menyelesaikan dengan cara analitis.
B. Capaian pembelajaran matakuliah Aspek Kognitif Mahasiswa dapat mengaplikasikan teknik penyelesaian persamaan differensial parsial dengan cara analitis.
Aspek Proses Mahasiswa
mempresentasikan ide, melakukan diskusi,
menjelaskan
kembali, berargumentasi, menyempurnakan gagasan, dan menganalisis permasalahan persamaan differensial parsial.
Aspek Skills Mahasiswa
memiliki
keterampilan
membuat
paparan
presentasi,
menyampaikan gagasan, berargumentasi, menyampaikan pertanyaan, dan menyelesaikan masalah persamaan differensial parsial.
Aspek Sikap Mahasiswa menunjukkan sikap bertanggungjawab, cerdas, dan peduli dalam
mempresentasikan
dan
mendiskusikan
perkembangan
pengetahuan terkait.
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 9dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
C. Isi Materi perkuliahan Metode penyelesaian differensial parsial
Transformasi Laplace Metode Transformasi Laplace digunakan untuk menyelesaikan persoalan nilai awal. Selain itu, persamaan differensial parsial yang dapat diselesaikan harus linier. Tahap penyelesaiannya terdiri dari : a) Operasikan transformasi laplace pada PDP dan kondisi batas dengan menggunakan kondisi awal. Operasi ini menghasilkan
persamaan
differensial
biasa
dengan
variabel dependen dalam domain laplace b) Selesaikan
persamaan
tersebut
untuk
mendapatkan
pernyataan dari variabel dependen untuk domain laplace c) Operasikan invers transform pada hasil yang diperoleh sehingga dihasilkan pernyataan dari variabel dependen dalam domain waktu.
Metode Pemisahan Variabel Syarat penggunaan metode ini adalah persoalan nilai batas, persamaan differensial harus linier dan homogen, serta kondisi batas harus homogen. Tahapan metode pemisahan variabel : a) Lakukan pemisahan variabel untuk memperoleh dua persamaan differensial biasa b) Selesaikan dengan kondisi batas untuk mendapatkan penyelesaian parsial c) Mendapatkan penyelesaian total yang memenuhi kondisi awal.
Metode Kombinasi Variabel Metode ini digunakan bila keadaan fisik persoalan menunjukkan bahwa dua variabel dapat digabung menjadi satu variabel bebas. Metode ini dapat digunakan untuk penyelesaian initial value problem sebagaimana metode transformasi laplace. Contoh
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 10dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
aplikasinya adalag untuk problem perpindahan panas pada dinding semi infinite.
D. Rangkuman PDP adalah suatu persamaan differensial yang mengandung fungsi yang tak diketahui (atau variabel bergantung) dan beberapa variabel bebas. PDP meliputi turunan-turunan parsial. Persamaan ini sangat penting dalam bidang teknik karena variabel penting dalam bidang teknik seringkali merupakan fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas, dan pernyataan diferrensial dasar untuk hukum-hukum alam merupakan PDP. Suatu PDP dikatakan linier bila pangkat variabel dependen (juga turunannya) adalah satu dan tak ada perkalian antar dua atau lebih variabel dependen. Bila semua suku memiliki pangkat yang sama maka persamaan ini disebut homogen. Cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan PDP adalah transformasi laplace, metode pemisahan variabel, dan metode kombinasi variabel.
E. Pertanyaan/Diskusi Selesaikan soal berikut menggunakan metode penyelesaian PDP. 1. Suatu papan yang sangat tebal (mendekati tak hingga) mula-mula pada suhu seragam T 0. Tiba-tiba salah satu permukaan papan dikontakkan dengan cairan panas pada suhu T s. Tentukan distribusi suhu di dalam papan. 2. Suatu batang dengan sisi samping terisolasi mempunyai suhu awal : T(x,0) = f(x). Tiba-tiba (saat t = 0), kedua ujung batang dikontakkan dengan air es (hingga kedua ujung memiliki suhu 0 o C. Tentukan suhu di dalam batang sebagai fungsi x dan t.
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 11dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
BAB II Persamaan Differensial Ordiner (PDO) dan Persamaan Differensial Parsial (PDP) dengan Metode Numerik
A. Deskripsi singkat Pada bab ini, mahasiswa akan mempelajari penyelesaian PDO dan PDP secara numerik. Persamaan differensial parsial dapat diselesaikan dengan metode transformasi Laplace, metode pemisahan variabel, dan metode
kombinasi
variabel.
PDO
dapat
diselesaikan
dengan
menggunakan metode deret dan fungsi khusus. Pada bab ini, mahasiswa diharapkan mampu menyelesaikan dengan cara numerik menggunakan bantuan komputer.
B. Capaian pembelajaran matakuliah Aspek Kognitif Mahasiswa dapat mengaplikasikan teknik penyelesaian PDO dan PDP dengan cara analitis dan numerik menggunakan bantuan komputer.
Aspek Proses Mahasiswa
mempresentasikan ide, melakukan diskusi,
menjelaskan
kembali, berargumentasi, menyempurnakan gagasan, dan menganalisis permasalahan PDP dan PDO secara numerik.
Aspek Skills Mahasiswa
memiliki
keterampilan
membuat
paparan
presentasi,
menyampaikan gagasan, berargumentasi, menyampaikan pertanyaan, dan menyelesaikan masalah PDP dan PDO secara numerik.
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 12dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
Aspek Sikap Mahasiswa menunjukkan sikap bertanggungjawab, cerdas, dan peduli dalam
mempresentasikan
dan
mendiskusikan
perkembangan
pengetahuan terkait.
C. Isi Materi perkuliahan Metode PDP secara numerik :
Transformasi Laplace Metode Transformasi Laplace digunakan untuk menyelesaikan persoalan nilai awal. Selain itu, persamaan differensial parsial yang dapat diselesaikan harus linier. Tahap penyelesaiannya terdiri dari : d) Operasikan transformasi laplace pada PDP dan kondisi batas dengan menggunakan kondisi awal. Operasi ini menghasilkan
persamaan
differensial
biasa
dengan
variabel dependen dalam domain laplace e) Selesaikan
persamaan
tersebut
untuk
mendapatkan
pernyataan dari variabel dependen untuk domain laplace f) Operasikan invers transform pada hasil yang diperoleh sehingga dihasilkan pernyataan dari variabel dependen dalam domain waktu.
Metode Pemisahan Variabel Syarat penggunaan metode ini adalah persoalan nilai batas, persamaan differensial harus linier dan homogen, serta kondisi batas harus homogen. Tahapan metode pemisahan variabel : d) Lakukan pemisahan variabel untuk memperoleh dua persamaan differensial biasa e) Selesaikan dengan kondisi batas untuk mendapatkan penyelesaian parsial f)
Mendapatkan penyelesaian total yang memenuhi kondisi awal.
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 13dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
Metode Kombinasi Variabel
Metode ini digunakan bila keadaan fisik persoalan menunjukkan bahwa dua variabel dapat digabung menjadi satu variabel bebas. Metode ini dapat digunakan untuk penyelesaian initial value problem sebagaimana metode transformasi laplace. Contoh aplikasinya adalag untuk problem perpindahan panas pada dinding semi infinite. Metode PDO secara numerik : Penyelesaian secara deret
Sebagian besar penyelesaian differensial diperoleh dalam bentuk deret tak berhingga. Salah satunya adalah deret pangkat. Deret ini disebut konvergen bila nilainya mendekati suatu harga berhingga ketika n mendekati harga tak berhingga. Deret lain yang bisa dipakai adalah deret Taylor. Metode Frobenius
Metode ini digunakan untuk mencari penyelesaian deret pangkat persamaan differensial linier orde dua dengan koefisien tidak konstan yang valid di sekitas x = 0. Persamaan Bessel
Merupakan fungsi khusus untuk menyelesaikan persamaan differensial linier orde dua. Fungsi Legendre, Fungsi Gamma, Fungsi Beta dan fungsi khusus
yang lain.
D. Rangkuman PDO adalah persamaan yang mengandung beberapa turunan dari suatu fungsi. F(x,y,y’,y’’.....y(n)) PDP adalah suatu persamaan differensial yang mengandung fungsi yang tak diketahui (atau variabel bergantung) dan beberapa variabel bebas.
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 14dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
PDP meliputi turunan-turunan parsial. Persamaan ini sangat penting dalam bidang teknik karena variabel penting dalam bidang teknik seringkali merupakan fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas, dan pernyataan diferrensial dasar untuk hukum-hukum alam merupakan PDP. Suatu PDP dikatakan linier bila pangkat variabel dependen (juga turunannya) adalah satu dan tak ada perkalian antar dua atau lebih variabel dependen. Bila semua suku memiliki pangkat yang sama maka persamaan ini disebut homogen. Cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan PDP adalah transformasi laplace, metode pemisahan variabel, dan metode kombinasi variabel. Kedua jenis persamaan tersebut dapat diselesaikan baik dengan menggunakan metode analitis dan numerik menggunakan bantuan komputer.
E. Pertanyaan/Diskusi 1. Tentukan penyelesaian umum persamaan differensial berikut yang valid di sekitar x = 0.
d 2 y dx 2
dy dx
y 0
2. Dengan metode Frobenius, tentukan penyelesaian umum persamaan differensial berikut yang valid di sekitar x = 0
2 x
Dibuat oleh :
d 2 y dx
2
(1 2 x)
dy dx
y 0
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 15dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
BAB III Integrasi Numerik
A. Deskripsi singkat Pada bab ini, mahasiswa akan mempelajari penyelesaian persamaan integral secara numerik menggunakan bantuan komputer. Persamaan integral dapat diselesaikan dengan metode trapezoidal, Simpson, RungeKutta, integrasi Gauss, dll.
B. Capaian pembelajaran matakuliah Aspek Kognitif Mahasiswa dapat mengaplikasikan teknik penyelesaian persamaan integral dengan cara numerik.
Aspek Proses Mahasiswa
mempresentasikan ide, melakukan diskusi,
menjelaskan
kembali, berargumentasi, menyempurnakan gagasan, dan menganalisis permasalahan persamaan integral dengan cara numerik.
Aspek Skills Mahasiswa
memiliki
keterampilan
membuat
paparan
presentasi,
menyampaikan gagasan, berargumentasi, menyampaikan pertanyaan, dan menyelesaikan masalah persamaan integral dengan cara numerik.
Aspek Sikap Mahasiswa menunjukkan sikap bertanggungjawab, cerdas, dan peduli dalam
mempresentasikan
dan
mendiskusikan
perkembangan
pengetahuan terkait.
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 16dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
C. Isi Materi perkuliahan Metode penyelesaian integral dengan cara numerik
Metode trapezoidal Persamaan metode trapezoidal :
b
a
f ( x )dx
1
c f ( x ) c f ( x ) c f ( x ) i
i
0
0
1
1
i 0
h
f ( x0 ) f ( x1 ) 2
Aturan komposisi trapezoidal : b
a
f ( x )dx
x1
x0
f ( x )dx
x2
x1
f ( x )dx
xn
x n1
h
h
h
2 h
2
2
f ( x )dx
f ( x 0 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x n 1 ) f ( x n ) f ( x 0 ) 2f ( x1 ) 2f ( x i ) 2 f ( xn 1 ) f ( xn ) 2
Aturan Simpson Aturan Simpson 1/3 (Aproksimasi fungsi parabola)
b
a
f ( x)dx
2
c f ( x ) c f ( x ) c f ( x ) c f ( x ) i
i
0
0
1
1
2
2
i 0
h
f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 ) 3
Aturan Simpson 3/8 (Aproksimasi fungsi kubik)
b
a
f ( x)dx
c f ( x ) c f ( x ) c f (x ) c f (x i
i
0
0
1
1
2
2
) c3f ( x 3 )
i 0
Dibuat oleh :
3
3h 8
f ( x0 ) 3 f ( x1 ) 3 f ( x2 ) f ( x3 )
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 17dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
D. Rangkuman Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative). Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat atau sulit diselesaikan secara analitik.
Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang
digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar
E. Pertanyaan/Diskusi 1
Bandingkan penyelesaian integral
x dx secara analitis dan numerik 2
0
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 18dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
BAB IV Penyusunan Persamaan Empiris
A. Deskripsi singkat Pada bab ini, mahasiswa akan mempelajari proses sintesis persamaan empiris dari suatu fenomena yang berhubungan dengan Teknik Kimia yang berhubungan dengan persamaan differensial dan integral untuk kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode analitik dan atau numerik.
B. Capaian pembelajaran matakuliah Aspek Kognitif Mahasiswa dapat mensintesis persamaan empiris dari suatu fenomena yang berhubungan dengan Teknik Kimia yang berhubungan dengan persamaan differensial dan integral dan menyelesaikan persamaan tersebut
Aspek Proses Mahasiswa
mempresentasikan ide, melakukan diskusi,
menjelaskan
kembali, berargumentasi, menyempurnakan gagasan, dan menganalisis permasalahan proses sintesis persamaan empiris.
Aspek Skills Mahasiswa
memiliki
keterampilan
membuat
paparan
presentasi,
menyampaikan gagasan, berargumentasi, menyampaikan pertanyaan, dan menyelesaikan masalah proses sintesis persamaan empiris.
Aspek Sikap
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 19dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
Mahasiswa menunjukkan sikap bertanggungjawab, cerdas, dan peduli dalam
mempresentasikan
dan
mendiskusikan
perkembangan
pengetahuan terkait.
C. Isi Materi perkuliahan Model matematika: didefinisikan secara luas sebagai rumus atau persamaan yang menyatakan ciri pokok sistem fisik atau proses dalam bahasa matematika. Model dapat diwakili sebagai hubungan fungsional berbentuk:
fungsi variabel , parameter, f tak bebas bebas penggerak Variabel
Variabel tak bebas: karakteristik yang biasanya mencerminkan perilaku atau keadaan sistem Variabel bebas: biasanya dimensi, seperti waktu dan ruang, sepanjang mana perilaku sistem ditentukan Parameter: merupakan cerminan sifat-sifat atau komposisi sistem Fungsi penggerak: pengaruh luar yang bekerja pada sistem. Model matematika menggambarkan proses alam atau sistem dalam bahasa matematikaModel matematika mewakili idealisasi dan simplifikasi realitas. Yakni, model tersebut mengabaikan detail dari proses alam dan menfokuskan pada manifestasi intinya. Jadi, hukum Newton II tidak memasukkan
pengaruh
relativitas
yang
pengaruhnya
kecil
ketika
dikenakan pada benda dan gaya yang berinteraksi pada atau disekitar permukaan bumi pada kecepatan dan pada skala yang tampak mata manusia. Model matematika menghasilkan hasil yang dapat diulangi, dan sebagai akibatnya, dapat digunakan untuk tujuan prediksi. Sebagai contoh, jika gaya pada benda dan massanya diketahui, persamaan diatas dapat digunakan untuk menghitung percepatan.
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 20dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
D. Rangkuman Model yang sering digunakan dalam teknik kimia: a. Model fisik : realisasi fisik seperti apa adanya tetapi berukuran lebih kecil dan konstruksinya lebih sederhana dibandingkan dengan prototipe yang dimodelkan dan yang diwakili. b. M o d e l k o n s e p t u al : saran atau usulan pernyataan realisasi fisik yang dinyatakan dalam bahasa yang sesuai dimana dalam teknik bahasa yang paling sering digunakan adalah bahasa matematika yang umumnya disebut persamaan atau model matematika. Model matematika hanyalah merupakan suatu pendekatan dari suatu proses nyata yang tidak dapat menggambarkan secara rinci fenomena fisika, baik makroskopis maupun mikroskopis, yang menyertai proses tersebut. Uji plant tetap dibutuhkan untuk mengkonfirmasi validitas model dan membuktikan ide dan rekomendasi penting yang timbul dari studi model.
E. Pertanyaan/Diskusi Jawab benar atau salah dan diskusikan jawaban anda: a. Saat ini perhatian dapat lebih diberikan kepada masalah formulasi matematika proses teknik kimia dan interpretasinya karena komputer
dan
metoda
numerik
menfasilitasi
penyelesaian
problema teknik kimia. b. Hukum kedua Newton merupakan contoh yang bagus dari fakta bahwa sebagian besar hukum-hukum fisika didasarkan pada laju perubahan besaran daripada pada besarnya besaran. c. Model matematika seharusnya tidak pernah digunakan untuk tujuan prediksi.
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail:
[email protected]
FORMULIR MUTU
BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07
No. Revisi 02
Hal 21dari 21
Tanggal Terbit 27 Februari 2017
Daftar Pustaka
1. Constantinides, A. & Navid Mostoufi.1999. Numerical Methods for Chemical Engineers with MATLAB Application.Prentice Hall. 2. Finlayson,
B.A.2006.
Introduction
To
Chemical
Engineering
Computing.John Wiley & Sons. 3. Raman, R. 1985.Chemical Process Computations. Elsevier Applied Science Publishers 4. Rice, R.G. & Do, D.D.1995.Applied Mathematics and Modelling for Chemical Engineers. John W iley & Sons
Dibuat oleh :
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES
Diperiksa oleh :
