matef
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Descripción: matematicas...
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Solucionario del Taller Final Matemática-FC 1.
Comunicación matemática
a) Carlos afirma que la segunda derivada de la función f ( x) e2 x es por qué la afirmación de Carlos es incorrecta Resolución f ( x) e2 x ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
.Explique
( )
Respuesta es La afirmación es incorrecta
b) Mateo indica que la ecuación de la recta normal a la función definida por : ( ) , en es , lo cual es incorrecto. Explique por qué Mateo se equivoca. Resolución ( ) ( ) ( )
( )
Pendiente de la recta tangente Pendiente de la recta normal Si
( )
entonces (
Ecuación será Respuesta es:
(
entonces el
)
) , por lo tanto Mateo se equivoca
Margarita es una estudiante de Matemática y según ella la ecuación de la recta tangente a ( ) en , es , determine porque Margarita esta en lo correcto. Resolución ( ) ( ) (
(
)
)
(
)
, pendiente de la recta tangente Si
(
entonces
Ecuación será
(
)
) (
( (
) ))
(
)
(
)
(
)
por lo tanto margarita esta en lo correcto.
La ecuación de la recta tangente será:
c) Daniel y Williams están resolviendo un ejercicio de aplicación de la derivada donde le piden calcular el punto de inflexión de la función ( ) .Si Daniel afirma que el ) y Williams afirma que el punto de inflexión es ( punto de inflexión es ( ) .Determine y justifique quien de los dos está en lo correcto Resolución ( ) ( ) ( ) (
) ( )
Si
( )
Por lo tanto el punto de inflexión será: (
)
d) Luisa es una estudiante de Pre grado de la USIL y ella afirma que el dominio de la función ( ) [Explique porque la afirmación de Luisa es incorrecta ( )es ] Resolución ( ) ( ) ( )( )
Respuesta: El dominio de la función es ]
[
]
[ por lo tanto su afirmación es incorrecta
2. Considerando la siguiente función por tramos:
x3 2 x 2 x f ( x) x 2 4 3 2
x 3 3 x 2 2 x5 5 x
Modele la ecuación de recta tangente que pasa por el punto de abscisa x 4 Resolución
( ) ( )
( )
( )
, pendiente de la recta tangente Si
( )
entonces
Ecuación será
(
)
( ) (
(
)
)
Respuesta:
3. Una fábrica de muebles fabrica dos tipos de sillones , S1 y S2 .La fábrica cuenta con dos secciones ; carpintería y tapicería .Hacer un sillón de tipo S1 requiere 1 hora de carpintería y 2 horas de tapicería , mientras que uno de tipo S 2 requiere de 3 horas de carpintería y 1 de tapicería .El personal de tapicería trabaja un total de 80 horas , y el de carpintería 90 y además las ganancias por las ventas de S1 y S2 (unidad) son , 60 y 30 soles . [ ] Modele La función objetivo, la gráfica de la región factible [ ] Modele las restricciones Resolución a) Precio 1 mueble La función beneficio a maximizar será: ( )
x=cantidad de muebles y= cantidad de muebles ,
función objetivo.
b) Reordenar los datos del problema y escribir las inecuaciones correspondientes. En este paso es conveniente el uso de tablas:
Luego: las restricciones
x 3 y 90 2 x y 80 x0 y0 4. Las funciones costo total ( ) y utilidad ( ) de una empresa al producir y vender cierto producto se modelan mediante las siguientes reglas de correspondencia: ( ) ( ) La variable representa al número de productos que se producen y venden.
a) Encuentre el número de unidades que maximice el ingreso. b) Determine el ingreso máximo. Resolución a) Sabemos que ( ) Reemplazamos en (1) ( ) Derivamos ( )
( )
( )
es un máximo
q=45 (45 unidades maximizan el ingreso) ( ) b) Reemplazamos q=45 en ( )
(
)
(
)
soles
5. Dos fábricas de cemento, F1 y F2, producen respectivamente 3 000 y 4000 sacos de cemento al día. Hay que enviar ese cemento a tres centros de ventas C1, C2 y C3 en cantidades de 3000, 2500 y 1500 sacos respectivamente. Los costes de transporte de cada fabrica a los puntos de venta vienen dados, en soles por cada saco, por: Envíos
Hasta C1
Hasta C2
Hasta C3
Desde F1
2
2,5
2
DesdeF2
1,5
3
1
] Modele la función objetivo a) [ ]Modele las restricciones b) [ [ ] c) Determine como hay que distribuir la producción para que el transporte resulte lo más económico posible. Resolución Para este ejercicio necesitaremos una nueva variable. Sea
de F1 a C1 ,
de F1 a C1 y
de F1 a C1
Tiene que verificarse entonces que Si desde F1 a C1 se envían x unidades, como en C1 necesitan 3000, desde F2 a C1 se enviaran Razonando del mismo modo tenemos la siguiente tabla: Envios Desde F1 Desde F2
Hasta C1
Hasta C2
x
y
Hasta C3
(
)
Hemos sustituido Z por , porque así transformamos las 3 incógnitas en solo 2. Para obtener las restricciones imponemos que cada cantidad ha de ser mayor o igual que cero, es decir: b) Restricciones
a) Función objetivo ( )
(
) (
(
)
(
)
c) Grafica para determinar el mínimo
(
( ( ( (
) ) ) )
)
Respuesta: El mínimo se da en E Envios
Hasta C1
Hasta C2
Hasta C3
)
(
)
Desde F1
500
2500
0
Desde F2
6. Un fabricante de mototaxis estima que el producir q unidades tendrá un costo total de: 1 C (q) q 2 3q 98 (miles de soles ) , si se vende cada unidad a un precio de : 8 1 P(q) (75 q) ,sabiendo que se vende todas las unidades . 3 ] Modele la función utilidad. a) [ b) [ ] Determine la cantidad que maximiza la utilidad. c) [ ] Calcule la utilidad máxima Resolución a) Sabemos que: (
)
(
)
( ) b) Derivamos para hallar el máximo ( ) Cuando
se obtiene la máxima utilidad
c) La máxima utilidad será
(
)
(
)
(
)
7. [ ] Se desea cercar un terreno donde uno de sus lados colinda con un río, este lado no se piensa cercar (véase la figura) .Si se dispone de 1200 metros lineales de cerca. Determine las dimensiones del terreno a fin de maximizar el área del terreno.
Resolución Como se dispone de 1200 metros lineales de cerca entonces
A x. y Área : A x(1200 2 x)
A 1200 x 2 x 2 Calculamos el punto crítico
2 x y 1200 y 1200 2 x
A´ 1200 4 x 0 entonces x 300 A´´( x) 4 0 si se obtieneun m á x imo
Si
entonces
(
)
Respuesta: Las dimensiones son: 600 m de largo y 300 m de ancho. 8. Sea la función f , cuya regla de correspondencia está definida por f x x 4 4 x3 a) Determine los intervalos de crecimiento, decrecimiento y los puntos críticos. b) Determine los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. c) Grafique en el plano cartesiano la función Resolución a) Sea la función: f x x 4 4 x3 Criterio de la primera derivada ( ) ( )
=0 (
)
Calculo de los puntos críticos: (
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
+
+ 0
Intervalos de decrecimiento: ] [ b) Criterio de la segunda derivada ( ) ( ) (
)
( )
3 Máximo (3;27)
Intervalos de crecimiento: ] [
Calculo de los puntos críticos:
( )
( )
Inervalos de concavidad: Cóncava hacia abajo ] [ ] [ Cóncava hacia arriba ] [ Puntos de inflexión:
( (
) )
c) Gráfica
9. Modele la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva f ( x) x3 2 x 5 en x 2 Resolución Derivamos la función ( ) reemplazamos en
( ) ( ) para determinar la pendiente
(
)
Calculamos la pendiente de la recta normal para ello sabemos que:
Calcularemos el valor de y , para ello sabemos ( ) ( ) ( ) a) La recta tangente tendrá como ecuación : ( ) b) La recta norma tendrá como ecuación :
reemplazamos en ( ) ( (
) reemplazando ) reemplazando
(
)
(
)
10. Dada a la siguiente función f x x 4 2x 2 . Determine: a) [E.C] Determine el punto mínimo relativo y el punto máximo relativo de la función f b) [E.C]Determine Los puntos críticos, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los máximos y mínimos relativos. c) [E.C] Determine Los puntos de inflexión e intervalos de concavidad y la gráfica de la función Resolución Sea la función: f x x 4 2x 2 Criterio de la primera derivada Calculo de los puntos críticos: ( )
( )
=0 (
)
(
(
)
(
)
(
)
( )
(
(
)
-
)(
)
)
(
)
(
)
+ 0 máximo
en ( )
b) Intervalos de crecimiento: Intervalos de decrecimiento:
( )
]
( )
( )
1 mínimo
( en ( ) ( ) en ( )
a) Mínimo relativo: reemplazamos
( )
) =
-
-1 mínimo
Máximo relativo :
(
( )
( )
[
]
] [
Criterio de la segunda derivada
( ) ( )
) ( ( ) (
[ ]
) ( )
[
)
(
)
( (
)
)
√
(
)
(
( )
)
√
( )
( )
+
-
+
√
√
Intervalos de concavidad √
Concava hacia arriba : ] Concava hacia abajo ]
√
√
[ ]
√
[
[
c) Puntos de inflexion : reemplazamos √
en f x x 4 2x 2
√
en f x x 4 2x 2
Grafica de la función
( (
√ √
)
)
( (
√
√
)
)
√
( (
√
( )
)
)
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