mate Bac

April 1, 2017 | Author: Bleg Oak | Category: N/A

Short Description

Download mate Bac...

Description

BACALAUREAT 1998 SESIUNEA IUNIE Varianta 1 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I Se consider˘ a funct, ia f : D → R, f (x) =

p p x(x − 1) + x(x + 1).

1.

S˘ a se determina domeniul maxim de definit, ie D, domeniul de continuitate s, i domeniul de derivabilitate pentru funct, ia f .

2.

S˘ a se reprezinte grafic funct, ia f (f˘ ar˘ a derivata de ordinul al doilea).

3.

S˘ a se afle aria subgraficului funct, iei f pe intervalul [2, 3]. SUBIECTUL II (

x

y

4 y · 4 x = 32 log3 (x − y) = 1 − log3 (x + y)

.

1.

S˘ a se rezolve sistemul

2.

Se consider˘ a G = (−1, ∞). Pentru x, y ∈ G se defines, te legea x ⋆ y = xy + ax + by, unde a, b ∈ R. S˘ a se determine a, b ∈ R astfel ˆıncˆ at ”⋆” s˘afie lege de compozit, ie pe G s, i (G, ⋆) s˘a fie grup abelian.

3.

S˘ a se rezolve ecuat, ia 6x4 + 35x3 + 62x2 + 35x + 6 = 0. SUBIECTUL III

Se consider˘ a punctele A(1, 1), B(2, 3) s, i dreapta d : x − 4y + 7 = 0. S˘ a se determine coordonatele punctului C ∈ d, astfel ˆıncˆ at triunghiul △ABC s˘a fie isoscel cu baza (AB). S˘ a se scrie ecuat, ia ˆın˘alt, imii din C.

1

Varianta 2 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1.

2.

x1 3 2 Se consider˘ a x1 , x2 , x3 r˘ad˘acinile ecuat, iei x + 3x − 9x + m = 0, m ∈ R, s, i determinantul ∆ = x2 x3

x2 x3 x3 x1 . x1 x2 √ S˘ a se calculeze determinantul ∆ ˆın funct, ie de parametrul real m. S˘ a se determine m astfel ˆıncˆ at m+1+ m + 1 = 1 ∆. 18      1−x 0 x  1 . Se consider˘ a mult, imea M = Ax =  0 0 0  x ∈ R\  2  x 0 1−x S˘ a se demonstreze c˘ a ˆınmult, irea matricelor este lege de compozit, ie intern˘a pe M s, i c˘ a (M, ·) este grup abelian.

SUBIECTUL II 1.

2.

2x · 1 + x2 S˘ a se determine domeniul maxim de definit, ie D s, i domeniul de derivabilitate pentru funct, ia f . S˘ a se precizeze dac˘a exist˘a intervale pe care f este constant˘ a (precizat, i constanta). √ 3 Se consider˘ a funct, ia f : −∞, → R, f (x) = x 3 − 2x. 2 √ 3 → R, F (x) = (ax2 + bx + c) 3 − 2x s˘a fie o S˘ a se determine numerele a, b, c astfel ˆıncˆ at funct, ia F : −∞, 2 primitiv˘a a funct, iei f . Se consider˘ a funct, ia f definit˘ a prin f (x) = 2 arctan x − arcsin

SUBIECTUL III Se consider˘ a cercul de ecuat, ie x2 + y 2 − 6x + 3y − 5 = 0. S˘ a se determine coordonatele centrului s, i raza acestui cerc. S˘ a se scrie ecuat, ia tangentei la cerc ˆın punctul A(−1, −2). S˘ a se precizeze pozit, ia punctului B(0, −4) fat, ˘a de cerc.

2

Varianta 3 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1.

Diferent, a dintre coeficientul binomial n al celui de al treilea termen s, i coeficientul binomial al celui de al doilea 1 + xlg x este 27. Pentru ce valori ale lui x, al doilea termen este 900? termen al dezvolt˘ arii √ 8 x

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. S˘ a se precizeze dac˘a exist˘a s, i sunt unici coeficient, ii a, b, c, d, e astfel ˆıncˆ at s˘a fie ˆındeplinite condit, iile: – graficul s˘a treac˘ a prin punctele O(0, 0), A(1, 0), B(−1, −6), C(2, 12); – tangenta la grafic ˆın punctul A s˘a aib˘ a panta egal˘a cu −5.

În caz afirmativ, s˘a se determine aces, ti coeficint, i. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : D → R, f (x) = −2x +

p 3(x2 − 1).

a) S˘ a se determine domeniul maxim de definit, ie D s, i s˘a se studieze monotonia funct, iei f .

2.

b) S˘ a se afle asimptotele la graficul funct, iei. Z a x dx. S˘ a se calculeze I(a) s, i lim I(a). Pentru a > 0 se noteaz˘ a I(a) = 2 + 4) a→∞ (x + 1)(x 0 SUBIECTUL III Se consider˘ a triunghiul △ABC determinat de urm˘atoarele drepte: (AB) : x + 2y − 4 = 0

(BC) : 3x + y − 2 = 0 (AC) : x − 3y − 4 = 0. a) S˘ a se determine coordonatele punctului A. b) S˘ a se scrie ecuat, ia ˆın˘alt, imii din A. c) S˘ a se afle aria triunghiului ABC.

3

Varianta 4 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R\{1} → R, f (x) =

x2 + ax + b · x−1

a) S˘ a se determine a s, i b astfel ˆıncˆ at funct, ia s˘a admit˘ a un extrem egal cu 1 ˆın punctul de abscis˘a 0. b) Pentru a = 1 s, i b = −1, reprezentat, i graficul funct, iei g = f ′ . 2.

a) S˘ a se demonstreze c˘ a ex ≥ x + 1, pentru orice x ∈ R. Z 1 2 π 1 e−x dx ≤ · b) Ar˘atat, i c˘ a ≤ e 4 0 SUBIECTUL II

1.

2.

(

3lg x = 4lg y . (4x)lg 4 = (3y)lg 3  0 Se consider˘ a matricea A ∈ M3 (C), A = m 1 S˘ a se rezolve sistemul

m −2 −1

 1 0 . m

a) Pentru ce valori complexe ale lui m matricea A este inversabil˘ a?

b) Pentru m = 2 s˘a se determine inversa matricei A. c) S˘ a se demonstreze c˘ a, dac˘ a m = 0, atunci Ak 6= O3 , pentru orice k ∈ N∗ . 3.

Pe R se defines, te legea x ⋆ y = ax + ay + bxy + c, a, b, c ∈ R. S˘ a se determine a, b s, i c pentru care e = −4 este element neutru s, i orice x 6= −5 este simetrizabil. SUBIECTUL III S˘ a se determine simetricul punctului A(1, 2) fat, ˘a de dreapta de ecuat, ie 2x = y + 4.

4

Varianta 5 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I

1.



  2 −1 −1 1 Se consider˘ a matricele A, B ∈ M3 (R), A = −1 2 −1, B = 1 −1 −1 2 1 S˘ a se demonstreze c˘ a A2 = 3A s, i AB = BA.

2.

S˘ a se determine An s, i B n pentru orice n ∈ N∗ .

3.

Dac˘ a C = 3A − 3B, s˘a se calculeze C 3 .

 1 1 1 1. 1 1

SUBIECTUL II Se consider˘ a familia de funct, ii fm : R\{m} → R, fm (x) =

Se noteaz˘ a cu Hm graficul funct, iei fm .

(2m − 1)x + m , unde m este un parametru real nenul. x−m

1.

S˘ a se reprezinte graficul funct, iei f1 .

2.

S˘ a se demonstreze c˘ a, pentru orice m, graficele Hm trec printr-un punct fix.

3.

S˘ a se arate c˘ a, pentru orice m, exist˘a un punct situat pe Hm a c˘ arui tangent˘ a este paralel˘ a cu tangenta la grafic ˆın A(0, −1). SUBIECTUL III

Se consider˘ a polinomul f ∈ R[X], f = X 3 + X 2 + aX + b. S˘ a se determine a s, i b, s, tiind c˘ a restul ˆımp˘art, irii polinomului f (X − 3) la X − 1 este −4 s, i r˘ad˘acinile ecuat, iei f (x) = 0 satisfac relat, ia x31 + x32 + x33 = 9. SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct, iile f : R → R, f (x) = −x2 + 5 s, i g : R∗ → R, g(x) =

4 · x2

1.

S˘ a se determine punctele de intersect, ie ale graficelor celor dou˘a funct, ii s, i s˘a se rezolve inecuat, ia g(x) ≤ f (x).

2.

S˘ a se calculeze aria suprafet, ei cuprinse ˆıntre graficele celor dou˘a funct, ii s, i dreptele x = 1, x = 2.

5

Varianta 6 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia 4x + 2x+1 · 3x = 3 · 9x .

2.

Se consider˘ a mult, imea G = (2, ∞) pe care se defines, te legea x ⋆ y = xy − 2x − 2y + 6, pentru orice x, y ∈ G. S˘ a se demonstreze c˘ a ”⋆” este lege de compozit, ie pe G s, i c˘ a (G, ⋆) este grup abelian. S˘ a se arate c˘ a funct, ia f : R → (2, +∞), f (x) = ex + 2, este un izomorfism ˆıntre grupurile (R, +) s, i (G, ⋆).

3.

S˘ a se discute dup˘a parametrul real m s, i s˘a se rezolve sistemul de ecuat, ii:    x + y + mz = 1 x + my + z = 1 .   mx + y + z = 1 SUBIECTUL II

1.

Se consider˘ a funct, ia definit˘ a prin f (x) =

p 3

x2 + (m − 2)x − m + 2, unde m este un parametru real.

a) Se cere s˘a se determine mult, imea valorilor lui m pentru care domeniul de definit, ie al funct, iei coincide cu domeniul de derivabilitate.

2.

b) Pentru m = 3 s˘a se reprezinte grafic funct, ia obt, inut˘a. Z π2 cos2n x dx, n ∈ N∗ . Se consider˘ a s, irul an = 0

a) F˘ar˘a a calcula integrala, s˘a se arate c˘ a s, irul (an )n≥1 este monoton s, i m˘arginit. 2n − 1 b) S˘ a se arate, folosind integrarea prin p˘ art, i, c˘ a an = an−1 , pentru orice n ∈ N, n ≥ 2. 2n c) S˘ a se calculeze I3 . SUBIECTUL III S˘ a se determine ecuat, ia cercului ce trece prin punctele A(−1, 5), B(−2, −2) s, i C(5, 5), precizând coordonatele centrului s, i lungimea razei acestui cerc.

6

Varianta 7 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I

1.

2.

  + mz = 0  x Se consider˘ a sistemul 2x + y + 3z = 0 ˆın necunoscutele x, y, z, unde m este un parametru real. S˘ a se   2x − y + 2z = 0 determine m astfel ˆıncˆ at sistemul s˘a admit˘ a numai solut, ia banal˘a. 5 1 2 0 1 m 3 Se consider˘ a matricele A, B, C ∈ M2 (R), A = , B = , C = , unde m 6= . S˘ a se 2 0 −1 0 2 0 4 demonstreze c˘ a, pentru x1 , x2 , x3 ∈ R, avem x1 A + x2 B + x3 C = O2 dac˘a s, i numai dac˘a x1 = x2 = x3 = 0. SUBIECTUL II

În mult, imea numerelor complexe se consider˘ a urm˘atoarele ecuat, ii: z 3 − 3iz 2 − 3z + 8 + i = 0

(1)

z3 + 8 = 0

(2)

s, i 1.

Ar˘atat, i c˘ a z0 este solut, ia ecuat, iei (1) dac˘ a s, i numai dac˘a z0 − i este solut, ia ecuat, iei (2).

2.

S˘ a se rezolve ecuat, iile date. SUBIECTUL III

Se consider˘ a sistemul cartezian de coordonate xOy s, i punctele A(3, 0), B(0, 2), M (3, −3), respectiv N (−2, 2). S˘ a se demonstreze c˘ a dreptele AN , BM s, i perpendiculara din O pe AB sunt concurente. SUBIECTUL IV S˘ a se calculeze integrala

Z

1

ln(1 + x2 ) dx s, i limita s, irului

0

1 an = n

n−1 X k=1

!

ln(k 2 + n2 ) − 2(n − 1) ln n , n ∈ N∗ .

SUBIECTUL V Se consider˘ a funct, ia f : [0, 1] → R, f (x) =

ex · x+2

1.

S˘ a se determine funct, iile f ′ s, i f ′′ .

2.

S˘ a se demonstreze c˘ a, pentru orice x ∈ [0, 1], f ′′ (x) > 0 s, i f ′ (x) ≤

3.

S˘ a se arate c˘ a ecuat, ia f (x) = x are solut, ie unic˘ a pe intervalul [0, 1].

7

2 e. 9

Varianta 8 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I

1. 2.

Se consider˘ a sistemul (S) cu a, b, c parametri reali:   x + y + z = 0 (S) (b + c)x + (a + c)y + (a + b)z = 0   bcx + acy + abz = 0

.

S˘ a se determine condit, ia ca (S) s˘a admit˘ a numai solut, ia banal˘a.

Fie polinoamele f , g, h ∈ R[X], f = (X − b)(X − c), g = (X − c)(X − a) s, i h = (X − a)(X − b), unde a, b, c sunt constante reale distincte ˆıntre ele. Ar˘ atat, i c˘ a, pentru x1 , x2 , x3 ∈ R, polinomul x1 f + x2 g + x3 h este egal cu polinomul nul dac˘ a s, i numai dac˘ a x1 = x2 = x3 = 0. SUBIECTUL II S˘ a se rezolve ˆın mult, imea numerelor complexe ecuat, ia √ √ √ z 3 − (2 3 + 3i)z 2 + (1 + 4 3i)z − 3i − 6 3 = 0,

s, tiind c˘ a admite solut, ii de forma bi, unde b ∈ R. SUBIECTUL III S˘ a se scrie ecuat, ia cercului tangent axei Ox, având centrul pe prima bisectoare s, i care trece prin punctul A(−2, 1). SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct, ia f : (−∞, 0]\{−1} → R, f (x) = ln |x + 1| +

x · x+1

1.

S˘ a se calculeze limitele funct, iei ˆın capetele domeniului.

2.

S˘ a se stabileasc˘a monotonia funct, iei.

3.

S˘ a se demonstreze c˘ a ecuat, ia f (x) = 0 are solut, ie unic˘ a pe (−∞, −1). SUBIECTUL V

Se consider˘ a funct, ia f : [0, 2] → R, f (x) = 2x − x2 . S˘ a se determine m ∈ R, astfel ˆıncˆ at dreapta de ecuat, ie y = mx s˘a ˆımpart˘a subgraficul funct, iei ˆın dou˘a mult, imi de arii egale.

8

BACALAUREAT 1998 SESIUNEA IUNIE Varianta 1 Profilul economic

SUBIECTUL I 1.

2.

3.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = (m − 2)x2 − 2mx + 2m − 3, m ∈ R\{2}. S˘ a se determine m, astfel ˆıncˆ at inegalitatea f (x) ≤ 0 s˘a fie adev˘arat˘a pentru orice x ∈ R. 6 1 1 S˘ a se determine x ∈ R, s, tiind c˘ a al patrulea termen al dezvolt˘ arii x 2(1+lg x) + x 12 este egal cu 200.

2X −2X X2 Se consider˘ a polinomul P (X) = 1 − X 2 −2X − a + 2 X + a polinomul admite r˘ad˘acin˘a dubl˘ a ˆıntreag˘ a.

1 −1 . S˘ a se determine parametrul real a pentru care X − 2

SUBIECTUL II Se consider˘ a funct, ia f : D → R, f (x) =

ax2 + bx + c , unde D este domeniul maxim de definit, ie. x+d

1.

S˘ a se determine a, b, c, d ∈ R, astfel ˆıncˆ at graficul funct, iei s˘a admit˘ a asimptotele x = 3 s, i y = x + 2, iar punctul A(1, 1) s˘a se afle pe grafic.

2.

Pentru a = −1, b = −1, c = −2, d = −3 s˘a se reprezinte grafic funct, ia obt, inut˘a. S˘ a se discute num˘arul r˘ad˘acinilor ecuat, iei f (x) = m. SUBIECTUL III

S˘ a se afle coordonatele punctelor de intersect, ie ale cercului de ecuat, ie x2 + y 2 = 16 cu parabola de ecuat, ie y 2 = 6x. S˘ a se afle aria fiec˘arei regiuni determinat˘ a de parabol˘a ˆın interiorul cercului.

9

Varianta 2 Profilul economic

SUBIECTUL I 1.

2.

S˘ a se determine valorile parametrului real a s, i s˘a se rezolve ecuat, ia 3x3 − 12x2 + ax − 6 = 0, s, tiind c˘ a r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 satisfac relat, ia x1 + x2 = x3 .   ax + y + 2z = 0 Se consider˘ a sistemul x + ay + z = 0 , unde a este un parametru real.   2x + 2y + az = 0 a) Pentru ce valori ale lui a sistemul are doar solut, ia banal˘a?

b) S˘ a se rezolve sistemul pentru a = 1. 3.

Se consider˘ a polinomul f ∈ Z3 [X], f = (a2 + a + ˆ1)X 3 + (a + ˆ2)X + a. a) Discutat, i, ˆın raport cu a ∈ Z3 , gradul polinomului f . b) Pentru a = ˆ 2, descompunet, i f ˆın factori ireductibili peste Z3 . SUBIECTUL II

1.

S˘ a se arate c˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = primitiv˘a.

2.

 x xe ,   

x≤0

2    x , x>0 x+1

Se consider˘ a funct, ia f : D → R, f (x) = x − b ∈ R, a > 0.

admite primitive s, i s˘a se determine o astfel de

√ ax2 + bx + 1, unde D este domeniul maxim de definit, ie, iar a,

1 a) S˘ a se determine a, b, astfel ˆıncˆ at lim f (x) = − · x→∞ 2 b) Pentru a = b = 1 s˘a se determine asimptotele la graficul funct, iei obt, inute. Z c) S˘ a se calculeze (x − f (x)) dx pe intervalul I = R. SUBIECTUL III S˘ a se calculeze aria triunghiului ABC, s, tiind c˘ a A(0, 1), B(4, 2), C(2, 3).

10

Varianta 3 Profilul economic

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a dezvoltarea

n 1 √ y+ √ , unde y ∈ R, y > 0 s, i n ∈ N∗ . 24y

a) S˘ a se determine n pentru care coeficient, ii primului, celui de al doilea s, i respectiv celui de al treilea termen al dezvolt˘ arii formeaz˘ a o progresie aritmetic˘a.

2.

b) Pentru n = 8 s˘a se g˘ aseasc˘a termenii dezvolt˘ arii astfel ˆıncˆ at puterea lui y s˘a fie num˘ar natural. a b Se consider˘ a mult, imea de matrice G = A = a, b ∈ Z . S˘ a se demonstreze c˘ a G este parte stabil˘a a 5b a lui M2 (Z) ˆın raport cu adunarea, respectiv ˆınmult, irea matricelor.

S˘ a se arate c˘ a G, ˆımpreun˘ a cu operat, iile induse, formeaz˘a o structur˘ a de inel comutativ f˘ar˘a divizori ai lui zero. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R\{1} → R, f (x) =

ax2 + bx + 2 , unde a, b ∈ R. x−1

a) S˘ a se determine a s, i b astfel ˆıncˆ at graficul funct, iei s˘a admit˘ a asimptota oblic˘ a dreapta y = x + 2. b) Pentru a = b = 1 s˘a se studieze variat, ia s, i s˘a se reprezinte grafic funct, ia obt, inut˘a. c) Pentru a = b = 1 s˘a se calculeze aria m˘arginit˘ a de graficul funct, iei, asimptota oblic˘ a s, i dreptele x = 2, x = 3. 2.

S˘ a se calculeze lim x(π − 2 arctan x) x→∞

SUBIECTUL III S˘ a se determine centrul s, i raza cercului de ecuat, ie x2 + y 2 − 4x + 6y − 12 = 0. S˘ a se scrie ecuat, ia tangentei ˆın punctele cercului care au ordonata nul˘a.

11

Varianta 4 Profilul economic

SUBIECTUL I 1.

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = ax3 + bx2 + cx + d. S˘ a se precizeze dac˘a exist˘a s, i sunt unici coeficient, ii a, b, c, d, astfel ˆıncˆ at graficul s˘a treac˘ a prin punctele O(0, 0), A(1, 0), B(−1, −6), iar la tangenta la grafic ˆın punctul A s˘a aib˘ a panta egal˘a cu −5. În caz afirmativ, s˘a se afle coeficient, ii a, b, c, d. 

1

 Se consider˘ a mult, imea G a matricelor de forma M (a) = −a 0

 a 2 a 1 − , a ∈ R. 2 0 1 0

S˘ a se demonstreze c˘ a G este parte stabil˘a a lui M3 (R) ˆın raport cu ˆınmult, irea matricelor s, i c˘ a legea indus˘a determin˘a pe G o structur˘ a de grup comutativ. SUBIECTUL II 1.

S˘ a se determine x ∈ R astfel ˆıncˆ at S˘ a se determine x > 0 astfel ˆıncˆ at

Z

x

0 Z x e2

2.

et (2et − 3) dt = 0. 1 (2 ln t − 3) dt = 0. t

Se consider˘ a funct, iile f : R → R, f (x) = x2 − 4x s, i g : R\{1} → R, g(x) =

4x · x−1

a) Studiat, i variat, ia s, i reprezentat, i graficul fiec˘arei funct, ii (ˆın acelas, i reper cartezian). b) Aflat, i coordonatele punctelor de intersect, ie ale celor dou˘a grafice s, i scriet, i ecuat, iile tangentelor la graficul funct, iei f , respectiv g, ˆın punctele de intersect, ie. SUBIECTUL III Într-un reper cartezian se consider˘ a punctele A(2, 3), B(−5, 1), C(1, −3). S˘ a se scrie ecuat, ia perpendicularei d duse din C pe AB. S˘ a se afle coordonatele punctului de intersect, ie a dreptei d cu AB.

12

Varianta 5 Profilul economic

SUBIECTUL I 1. 2.

S˘ a se rezolve ecuat, ia

2 lg x = 1. lg(5x − 4)

x y Se consider˘ a mult, imea matricelor M = A = x, y ∈ Z . −y x

a) S˘ a se demonstreze c˘ a M este parte stabil˘a a lui M2 (Z) ˆın raport cu adunarea s, i cu ˆınmult, irea matricelor.

b) S˘ a se demonstreze c˘ a M ˆımpreun˘ a cu legile induse formeaz˘a o structur˘ a de inel comutativ.

3.

c) Are inelul M divizori ai lui zero? 4 − x 1 4 2−x 2 = 0. S˘ a se rezolve ecuat, ia 1 2 4 1 − x

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : D → R, f (x) =

1 , a, b ∈ R. x2 + ax + b

a) S˘ a se determine a s, i b pentru care graficul funct, iei admite ca asimptot˘a vertical˘ a dreapta x = −2 s, i funct, ia are un maxim ˆın punctul x = 2. b) Pentru a = −4 s, i b = −12 s˘a se studieze variat, ia s, i s˘a se construiasc˘a graficul funct, iei obt, inute.

c) Pentru a = −4 s, i b = −12 s˘a se calculeze aria suprafet, ei plane m˘arginit˘ a de graficul funct, iei, axa Ox s, i dreptele x = 4, x = 5.

2.

S˘ a se demonstreze c˘ a, pentru orice x ≥ 1, are loc inegalitatea

2(x − 1) ≤ ln x. x+1

SUBIECTUL III S˘ a se determine coordonatele ortocentrului triunghiului format de punctele A(1, 4), B(3, −1), C(8, −2).

13

Varianta 6 Profilul economic

SUBIECTUL I √ √ 3 2x − 1 + 3 x − 1 = 1.

1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia

2.

S˘ a se rezolve inecuat, ia log2 (9 − 2x ) > 3 − x.   1 a+1 0 1 a + 1 ∈ M3 (R). Se consider˘ a matricea A =  0 a+1 0 1

3.

a) S˘ a se determine parametrul real a astfel ˆıncˆ at matricea A s˘a fie inversabil˘ a.

b) Pentru a = 1 s˘a se determine inversa matricei A. c) S˘ a se rezolve ecuat, ia matriceal˘a

 1 X · 0 2

precizând ˆın prealabil tipul matricei X.

 2 0 2 1 1 2 = −1 3 0 1

0 , 2

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R\{0} → R, f (x) =

x3 − 3x2 + m , unde m este un parametru real. x2

a) S˘ a se determine m astfel ˆıncˆ at funct, ia s˘a aib˘ a un extrem local ˆın x = 2. b) Pentru m = 4, s˘a se studieze variat, ia s, i s˘a se reprezinte grafic funct, ia obt, inut˘a. c) S˘ a se discute num˘ arul r˘ad˘acinilor reale ale ecuat, iei x3 − λx2 − 3x + 4 = 0 dup˘a valorile parametrului real λ. 2.

S˘ a se calculeze primitivele funct, iei f : (1, ∞) → R, f (x) =

1 · x(1 + ln x)

S˘ a se determine primitiva F cu prorpietatea F (ee−1 ) = 2. SUBIECTUL III S˘ a se scrie ecuat, ia cercului care trece prin punctele A(1, 2), B(2, 0) s, i are centrul pe dreapta de ecuat, ie y = x − 3.

14

Varianta 7 Profilul economic

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se determine valorile parametrului real m pentru care ecuat, ia mx2 − 2(m − 2)x − m − 10 = 0

2.

are dou˘a r˘ad˘acini de semne contrare.   −1 1 1 1. Se consider˘ a matricea A =  1 −1 1 1 −1

a) S˘ a se demonstreze c˘ a matricea A este inversabil˘ a s, i s˘a se calculeze inversa ei.     1 x b) S˘ a se rezolve ecuat, ia matriceal˘a A · X = B, unde B = 2 s, i X = y . 0 z

3.

x+y xy · 1+ 4 S˘ a se demonstreze c˘ a ”⋆” este lege de compozit, ie intern˘a pe M s, i c˘ a (M, ⋆) este grup abelian.

Se consider˘ a mult, imea M = (−2, 2). Pentru x, y ∈ M se defines, te legea x ⋆ y =

SUBIECTUL II Se consider˘ a funct, ia f : D → R, f (x) =

x2 + ax , a, b ∈ N. bx − 2

1.

S˘ a se stabileasc˘a domeniul maxim de definit, ie D al funct, iei.

2.

S˘ a se determine a s, i b astfel ˆıncˆ at funct, ia s˘a aib˘ a puncte de extrem ˆın x = −2 s, i x = 6.

3.

Fie a = 6 s, i b = 1. a) S˘ a se studieze variat, ia s, i s˘a se reprezinte grafic funct, ia obt, inut˘a. b) S˘ a se scrie ecuat, ia tangentei la grafic ˆın punctul de abscis˘a −2.

c) S˘ a se afle aria suprafet, ei plane limitate de graficul funct, iei, axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = −6, x = 0.

SUBIECTUL III S˘ a se scrie ecuat, ia ˆın˘alt, imii din A ˆın triunghiul ABC, determinat de dreptele: AB : BC : AC :

x − y + 2 = 0, 3x − y + 1 = 0, x + 2y + 2 = 0.

15

Varianta 8 Profilul economic

SUBIECTUL I ln(2x2 − 3x + 1) ≤ 0. x2 − 3x

1.

S˘ a se rezolve inecuat, ia

2.

S˘ a se rezolve ecuat, ia x3 − ax2 + bx − c = 0, s, tiind c˘ a a, b, c sunt r˘ad˘acinile sale.   2x − y + z − t = 1 Se consider˘ a sistemul x + y + az + t = −1 .   x − y + z + bt = c

3.

S˘ a se determine a, b, c astfel ˆıncˆ at matricea sistemului s˘a aib˘ a rangul 2 s, i sistemul s˘a fie compatibil. Pentru valorile aflate s˘a se rezolve sistemul. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : D → R, f (x) =

ln x 1 + + ax + b, unde a, b ∈ R. x x

a) S˘ a se determine a s, i b, astfel ˆıncˆ at dreapta de ecuat, ie y = x s˘a fie asimptot˘a a graficului funct, iei f . b) Fie a = 1 s, i b = 0. S˘ a se determine coordonatele punctului de intersect, ie a graficului cu asimptota oblic˘ aa funct, iei obt, inute. Z e n+1 2 S˘ a se calculeze In = n (f (x) − x) dx, n ∈ N∗ . e2

S˘ a se demonstreze c˘ a s, irul (In )n≥1 este o progresie aritmetic˘a.

2.

S˘ a se calculeze volumul corpului de rotat, ie determinat de funct, ia f : [0, 3] → R, f (x) =

r

x(x − 3) · x−4

SUBIECTUL III S˘ a se determine coordonatele punctului de intersect, ie a mediatoarelor segmentelor [AB] s, i [AC], unde A(2, 5), B(5, 1), C(−2, 2).

16

BACALAUREAT 1998 SESIUNEA IUNIE, ORAL Biletul nr. 1 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1. 2.

2 x = a + a + 1 , a ∈ R = (−∞, −3] ∪ [1, ∞). a+1 √ x2 + 4 S˘ a se determine asimptotele funct, iei f : D → R, f (x) = (D fiind domeniul maxim de definit, ie) s, i s˘a se 3x − 5 precizeze intervalele sale de monotonie. S˘ a se arate c˘ a

x∈R

Biletul nr. 2 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

S˘ a se rezolve inecuat, ia |x − 2| + |x − 1| > 1.

2.

S˘ a se afle a, b, c ∈ R astfel ˆıncˆ at lim n(an − n→∞

p −2 + bn + cn2 ) = 1.

Biletul nr. 3

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

S˘ a se determine funct, ia de gradul al doilea f : R → R, f (x) = ax2 + bx + c, s, tiind c˘ a admite un minim egal cu 9 s, i c˘ a graficul funct, iei trece prin punctele A(−1; 13) s, i B(2; 10). 2x + 1 · S˘ a se construiasc˘a graficul funct, iei f : R → R, f (x) = √ x2 + 1 Biletul nr. 4

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

Pentru ce valori reale ale lui m inecuat, ia (m − 1)x2 − (m + 1)x + m + 1 > 0

2.

este verificat˘a pentru orice x ∈ R? 1 2 Calculat, i: lim − cot x . x→0 x2 Biletul nr. 5

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real x2 + 3x + 2 ≤ 2. x2 − 4x + 3

1.

S˘ a se rezolve: −1 <

2.

S˘ a se studieze convergent, a s, irului: 1 1 1 an = 1 − 2 · 1 − 2 · . . . · 1 − 2 , n ∈ N, n ≥ 2. 2 3 n

17

Biletul nr. 6 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

 x2 + y 2 = 8 S˘ a se rezolve sistemul 1 1  + =1 x y

.

S˘ a se construiasc˘a graficul funct, iei f : R → R, f (x) =

|x| · x2 + 1

Biletul nr. 7 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real (

5x2 − 6xy + 5y 2 = 29 7x2 − 8xy + 7y 2 = 43

1.

S˘ a se rezolve sistemul

2.

S˘ a se construiasc˘a graficul funct, iei f : D → R, f (x) = x +

. √ x2 + 2x, D fiind domeniul maxim de definit, ie.

Biletul nr. 8 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real √ √ 3 x + 45 − 3 x − 16 = 1.

1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia:

2.

S˘ a se construiasc˘a graficul funct, iei f : D → R, f (x) = x2 +

8 , D fiind domeniul maxim de definit, ie. x

Biletul nr. 9 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real √ √ 4 − x + 5 + x = 3.

1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia:

2.

S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a a + b + c = 0, atunci √ √ √ lim (a n + 1 + b n + 2 + c n + 3) = 0 n→0

s, i lim (a ln(3 + n) + b ln(2 + n) + c ln(1 + n)) = 0.

n→0

Biletul nr. 10 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1. 2.

S˘ a se determine toate numerele complexe z cu proprietatea z 2 = i. Z Calculat, i xex sin x dx pe intervalul I = R.

18

Biletul nr. 11 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

S˘ a se rezolve sistemul:

(

x2 − xy = 28 y 2 − xy = 12

.

x2 + 1 , a fiind un parametru real strict pozitiv. S˘ a se x2 + ax + a determine a astfel ˆıncˆ at graficul lui f s˘a aib˘ a o singur˘a asimptot˘a vertical˘ a s, i s˘a se reprezinte graficul funct, iei f pentru a astfel g˘ asit. Se consider˘ a funct, ia definit˘ a prin expresia f (x) =

Biletul nr. 12 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1. 2.

S˘ a se determine x, y ∈ R astfel ˆıncˆ at

x−2 y−3 − = 1 − 3i. 1−i 1+i

x+k Se consider˘ a f : (0, ∞) → R, f (x) = √ , unde k ∈ R este un parametru real. S˘ a se determine parametrul k k astfel ˆıncˆ at f (1) = −1 s, i apoi s˘a se reprezinte grafic funct, ia f . Biletul nr. 13

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1. 2.

√ p x S˘ a se rezolve ecuat, ia: 16 (0, 25)5− 4 = 2 x+1 . Z 4 p x x2 + 9 dx. Calculat, i: 0

Biletul nr. 14

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia: 5lg x − 3lg x−1 = 3lg x+1 − 5lg x−1 .

2.

S˘ a se determine asimptotele funct, iei f : R\{0} → R, f (x) = xe x2 .

1

Biletul nr. 15 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia: logx 2 − logx 3 = 2.

2.

S˘ a se determine num˘ arul r˘ad˘acinilor reale ale ecuat, iei 1 + x = arctan x. Biletul nr. 16

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia: 2 lg2 x3 − 3 lg x − 1 = 0.

2.

S˘ a se afle a, b ∈ R astfel ˆıncˆ at f (x) =

intersecteze asimptota orizontal˘ a.

ax2 + 6x + 2 s˘a aib˘ a o unic˘ a asimptot˘a vertical˘ a, iar graficul lui f s˘a nu x2 + 2x + b

19

Biletul nr. 17 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1. 2.

S˘ a se rezolve inecuat, ia: lg2 x − 2 lg x − 8 ≤ 0.

√ S˘ a se reprezinte grafic funct, ia f : D → R, f (x) = ln 1 + x2 − arctan x, unde D este domeniul maxim de definit, ie. Biletul nr. 18

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

S˘ a se rezolve inecuat, ia: log2 (9 − 2x ) > 3 − x.

2.

S˘ a se afle numerele reale a s, i b dac˘ a dreapta y = 2x + 3 este asimptot˘a spre +∞ pentru funct, ia f : D → R, 4x2 + ax + 1 , unde D este domeniul maxim de definit, ie. Pentru a, b aflat, i, s˘a se construiasc˘a graficul f (x) = bx + 1 funct, iei. Biletul nr. 19

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

S˘ a se discute s, i s˘a se rezolve ecuat, ia: loga x − loga2 x + loga4 x ≥

2.

3 · 4

Calculat, i: limπ (cot x)tan 2x . x→ 4

Biletul nr. 20 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia: lg 2 + lg(4x−2 + 9) ≤ 1 + lg(2x−2 + 1).

2.

S˘ a se studieze monotonia s, i m˘arginirea s, irului (an )n≥1 definit prin a1 = de convergent, ˘a, s˘a se calculeze limita.

√

2, an+1 =

√ 2 + an , ∀ n ∈ N∗ . În caz

Biletul nr. 21 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

S˘ a se demonstreze c˘ a, pentru n ∈ N∗ , avem: 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + · · · + n · (n + 1) · (n + 2) =

2.

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) · 4

√ S˘ a se reprezinte grafic funct, ia f : D → R, f (x) = (2 + x) 1 − x, unde D este domeniul maxim de definit, ie.

20

Biletul nr. 22 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , avem: 1 1 1 1 n + + + ··· + = · 1 · 5 5 · 9 9 · 13 (4n − 3)(4n + 1) 4n + 1

2.

S˘ a se reprezinte grafic f : D → R, f (x) = ln

1+x , unde D este domeniul maxim de definit, ie. 1−x Biletul nr. 23

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real (

Ayx = 7Axy−1 6Cxy = 5Cxy+1

1.

S˘ a se rezolve sistemul:

2.

S˘ a se reprezinte grafic f : R → R, f (x) = 1 −

. p |x2 − 1|.

Biletul nr. 24 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real n √ 1 , suma coeficient, ilor binomiali de rang par este egal˘a cu 128. S˘ a se g˘ aseasc˘a a4a+ √ a termenul care cont, ine pe a3 . Z 1 Calculat, i: x2 arctan x dx.

1. În dezvoltarea

2.

0

Biletul nr. 25 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1. 2.

S˘ a se demonstreze egalitatea: Cn1 + 2Cn2 + · · · + nCnn = n · 2n−1 , ∀ n ∈ N∗ . √ Determinat, i primitivele funct, iei f : (1, 2) → R, f (x) = −x2 + 3x − 2. Biletul nr. 26

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

S˘ a se g˘ aseasc˘a rangul celui mai mare termen din dezvoltarea

2.

S˘ a se calculeze: lim

3 1 + 4 4

100

.

cos 2x − cos 4x · x→0 x2 Biletul nr. 27

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1. 2.

S˘ a se determine polinomul f = X 4 + aX 3 + bX 2 + cX + d, astfel ˆıncˆ at ˆımp˘art, it la X 2 − 3X + 1 s˘a dea restul 2 2X + 1 s, i ˆımp˘art, it la X − 1 s˘a dea restul 2X + 2. √ 1 Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = (ax + 1 + a2 x2 ) a , unde a 6= 0 este o constant˘ a real˘a. S˘ a se arate c˘ a: (1 + a2 x2 )f ′′ (x) + a2 xf ′ (x) − f (x) = 0, ∀ x ∈ R. 21

Biletul nr. 28 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

S˘ a se g˘ aseasc˘a primul termen s, i rat, ia unei progresii geometrice dac˘a:  7   a + a1 =   4 16 .   7   a3 − a2 + a1 = 8 S˘ a se arate c˘ a pentru orice x ≥ 0 au loc inegalit˘at, ile:

x ≤ ln(1 + x) ≤ x. x+1 Biletul nr. 29 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1. 2.

S˘ a se g˘ aseasc˘a suma primilor 20 de termeni ai unei progresii aritmetice (an )n≥1 , dac˘a a6 + a9 + a12 + a15 = 20. r x S˘ a se determine asimptotele funct, iei f : D → R, f (x) = x , unde D este domeniul maxim de definit, ie. x+1 Biletul nr. 30

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

S˘ a se determine a s, i b astfel ˆıncˆ at polinomul aX 4 + bX 3 − 3 s˘a fie divizibil cu (X − 1)2 .

2.

S˘ a se studieze continuitatea funct, iei f : R → R, f (x) = lim

1 + xenx · n→∞ 1 + enx

Biletul nr. 31 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

S˘ a se determine A s, i B astfel ˆıncˆ at polinomul AX n+2 + BX n + 2 s˘a fie divizibil cu (X − 1)2 .

2.

S˘ a se discute dup˘a parametrul real m num˘ arul de solut, ii reale ale ecuat, iei 2 ln x + x2 − 4x + m = 0. Biletul nr. 32

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1. 2.

S˘ a se arate c˘ a polinomul (X + 1)6n+1 + X 6n+2 se divide cu X 2 + X + 1. ln x S˘ a se determine intervalele de monotonie ale funct, iei f : (0, ∞) → R, f (x) = √ s, i, folosind rezultatul obt, inut, x √ √ s˘a se decid˘a care din numerele a = 3 5 s, i b = 5 3 este mai mare.

22

Biletul nr. 33 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

Fie ecuat, ia x3 + ax2 + bx + c = 0 având r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 . S˘ a se determine ecuat, ia care are r˘ad˘acinile y1 = −x1 + x2 + x3 , y2 = x1 − x2 + x3 , y3 = x1 + x2 − x3 .

2.

S˘ a se determine asimptotele funct, iei f : D → R, f (x) =

x2 , unde D este domeniul maxim de definit, ie. |x − 1|

Biletul nr. 34 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia x4 − 4x3 + 5x2 − 2x − 6 = 0, s, tiind c˘ a suma a dou˘a r˘ad˘acini este egal˘a cu suma celorlalte dou˘a.

2.

S˘ a se demonstreze c˘ a: ln(x + 1) ≥

2x , dac˘a x ≥ 0. x+2 Biletul nr. 35

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1. 2.

S˘ a se determine matricele A ∈ M2 (R) cu proprietatea A2 = I2 , unde I2 este matricea unitate. Z Calculat, i: e2x cos 3x dx pe intervalul I = R. Biletul nr. 36

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

S˘ a se determine parametrul m astfel ˆıncˆ at o r˘ad˘acin˘a a ecuat, iei x3 − 28x + m = 0 s˘a fie dublul altei r˘ad˘acini s, i apoi s˘a se rezolve. ( 2x2 + b, dac˘a x ≤ 2 S˘ a se determine constantele a, b ∈ R astfel ˆıncˆ at funct, ia f : R → R, f (x) = s˘a fie 2ax3 + 11a, dac˘a x > 2 derivabil˘a pe R. Biletul nr. 37

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

Dac˘ a x1 , x2 , x3 sunt r˘ad˘acinile polinomului X 3 − 2X 2 + 3X + 4, s˘a se calculeze x21 + x22 + x23 s, i x31 + x32 + x33 .

2.

S˘ a se demonstreze c˘ a x ≤ ex − 1 ≤ xex , pentru orice x ∈ R. Biletul nr. 38

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1. 2.

S˘ a se rezolve ˆın mult, imea C ecuat, ia: 2x4 + 7x3 + 9x2 + 7x + 2 = 0. S˘ a se determine constantele a, b ∈ R astfel ˆıncˆ at funct, ia f : R → R, f (x) = derivabil˘a pe R.

23

(

xex , dac˘a x ≤ 1 s˘a fie ax + b, dac˘a x > 1

Biletul nr. 39 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1. 2.

S˘ a se determine natura r˘ad˘acinilor ecuat, iei x2 (2x2 + 5) − m(x2 + 3) = 3, unde m este un parametru real. Z 1p Calculat, i: 4 − x2 dx. 0

Biletul nr. 40

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

S˘ a se determine a, b ∈ R s, i apoi s˘a se rezolve ecuat, ia x4 − 7x3 + 21x2 + ax + b = 0, s, tiind c˘ a 1 + 2i este r˘ad˘acin˘a a ecuat, iei.

2.

S˘ a se determine parametrul real m astfel ˆıncˆ at funct, ia f : R → R, f (x) = mx − ln(x2 + 1) s˘a fie monoton descresc˘atoare pe R. Biletul nr. 41

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

S˘ a se determine m, n ∈ R s, i apoi s˘a se rezolve ecuat, ia x4 − x3 + mx2 + 2x + n = 0, s, tiind c˘ a ecuat, ia admite r˘ad˘acina 1 + i. Z π2 Calculat, i: sin3 x cos2 x dx. 0

Biletul nr. 42 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

2

1 12 . −4 1

1.

S˘ a se determine matricele X ∈ M2 (R), astfel ˆıncˆ at X =

2.

Interiorul cercului de ecuat, ie x2 + y 2 = 16 este ˆımp˘art, it de parabola de ecuat, ie y 2 = 6x ˆın dou˘a regiuni. S˘ a se calculeze aria fiec˘ areia dintre ele. Biletul nr. 43

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

2 1 S˘ a se calculeze determinantul: ∆ = 1 1

1 2 1 1

1 1 2 1

1 1 . 1 2

S˘ a se calculeze volumul corpului de rotat, ie determinat de funct, ia f : [0, π] → R, f (x) = sin x.

24

Biletul nr. 44 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

−1 −1 S˘ a se calculeze determinantul: ∆ = 0 4

2 4 2 3

4 1 1 2

5 2 . −2 1

1 S˘ a se calculeze volumul corpului de rotat, ie determinat de funct, ia f : 0, → R, f (x) = arcsin x. 2 Biletul nr. 45

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

S˘ a se verifice egalitatea:

3 a 2 a a 1

3a2 3a 2 a + 2a 2a + 1 2a + 1 a + 2 3 3

1 1 = (a − 1)6 . 1 1

S˘ a se calculeze aria mult, imii plane cuprinse ˆıntre parabolele de ecuat, ii y 2 = 3x, respectiv x2 = 3y. Biletul nr. 46

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.



 2 a −2 2 S˘ a se calculeze rangul matricei A = 4 −1 2a 5 pentru diferite valori alu lui a ∈ C. 2 10 −12 1 Z π2 sin2 x cos3 x dx. Calculat, i: 0

Biletul nr. 47 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

 1 S˘ a se precizeze dac˘ a matricea A = 1 1 Z π2 Calculat, i: ex sin 2x dx.

 1 1 2 3 este inversabil˘ a s, i, ˆın caz afirmativ, s˘a se g˘ aseasc˘a inversa ei. 3 6

0

Biletul nr. 48 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

S˘ a se precizeze tipul matricei X s, i apoi s˘a se determine matricea X s, tiind c˘ a:     1 2 3 −1 5 3 X ·  0 1 2 =  2 1 −1 . −1 2 1 −3 4 −5

2.

S˘ a se determine primitivele funct, iei f : (0, 1) → R, f (x) =

25

arcsin x · x2

Biletul nr. 49 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.



 1 1 1 1 −1 este inversabil˘ S˘ a se precizeze dac˘ a matricea A = 1 a s, i, ˆın caz afirmativ, s˘a se calculeze inversa ei. 1 −1 1 Z 4 x +1 S˘ a se calculeze dx pe intervalul I ⊂ (−1, ∞). x3 + 1 Biletul nr. 50

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

Folosind regula lui Cramer, s˘a se rezolve sistemul:  6x + 4y + z + 2t = 3     6x + 5y + 3z + 5t = 6  12x + 8y + z + 5t = 8    6x + 5y + 3z + 7t = 8

.

√ Determinat, i primitivele funct, iei f : (−3, 3) → R, f (x) = x 9 − x2 . Biletul nr. 51

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

  2x − y + z + 2t = 1 S˘ a se rezolve sistemul: x + y + 2z + t = 2 .   3x − 2y + z + 3t = 1 Z 3 x + x2 + x + 1 dx pe intervalul I = (−∞, 0). Calculat, i x3 − x2 + x − 1 Biletul nr. 52

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

S˘ a se determine a, b, c astfel at matricea sistemului s˘a fie de rang 2, iar sistemul s˘a fie compatibil. În acest  ˆıncˆ  2x − y+ z− t= 1  caz s˘a se rezolve sistemul x + y + az + t = −1 .   x − y + z + bt = c Determinat, i primitivele funct, iei f : (0, ∞) → R, f (x) =

1 · + 1)

x(x2

Biletul nr. 53 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

  ax + y + z = 1 S˘ a se rezolve sistemul: x + ay + z = 1   x + y + az = 1 Calculat, i:

Z

(discut, ie dup˘a parametrul a ∈ R).

1

e2x sin 3x dx.

0

26

Biletul nr. 54 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

S˘ a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆ at sistemul s˘a aib˘ a s, i solut, ii nenule, iar ˆın acest caz s˘a se rezolve:  x − 2y + z − t = 0    2x − y + 3z − 3t = 0  x+y+z+t=0    2x + (a − 1)y + 2z + at = 0

.

√ Calculat, i primitivele funct, iei f : R → R, f (x) = x x2 + 1.

Biletul nr. 55 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

Se defines, te legea de compozit, ie ⋆ : R × R → R, (x, y) 7→ x ⋆ y = x + y + xy. Ar˘atat, i c˘ a aceast˘a lege este asociativ˘ a, comutativ˘a s, i cu element neutru. Demonstrat, i c˘ a intervalul [−1, ∞) este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu legea ”⋆”. 1+x 2 Calculat, i: lim x − x ln . x→∞ x Biletul nr. 56

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

Se defines, te legea de compozit, ie ⋆ : R × R → R, (x, y) 7→ x ⋆ y = xy + 2ax + by. Determinat, i a, b ∈ R astfel ˆıncˆ at legea ”⋆” s˘a fie comutativ˘a s, i asociativ˘ a. Are legea astfel obt, inut˘a element neutru? ( x2 − x + 1, dac˘a x ≤ 0 S˘ a se determine constantele a, b ∈ R astfel ˆıncˆ at funct, ia f : R → R, f (x) = s˘a a sin x + b cos x, dac˘a x > 0 fie derivabil˘a pe R. Biletul nr. 57

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real x+y este lege de compozit, ie intern˘a pe G = (−1, 1) s, i (G, ⋆) este grup abelian. 1 + xy

1.

Demonstrat, i c˘ a (x, y) 7→ x⋆ y =

2.

S˘ a se calculeze derivata de ordin n (n > 1) a funct, iei f : E → R, f (x) =

punctelor unde f este de n ori derivabil˘a.

1 , precizând mult, imea E a x+a

Biletul nr. 58 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

Not˘ am M = {a+bi | a, b ∈ Z}. Demonstrat, i c˘ a M este parte stabil˘a a mult, imii C a numerelor complexe ˆın raport cu ˆınmult, irea numerelor complexe s, i c˘ a formeaz˘a monoid comutativ ˆın raport cu operat, ia indus˘a. Determinat, i elementele simetrizabile ale monoidului M .

2.

S˘ a se calculeze lim

1

xe− x · x→0 tan2 x x>0

27

Biletul nr. 59 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1. 2.

Fie G = (0, ∞)\{1} s, i legea definit˘ a prin (x, y) 7→ x ⋆ y = xln y . Ar˘atat, i c˘ a ”⋆” este lege de compozit, ie pe G s, i (G, ⋆) este grup comutativ. p Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = |x2 − 1|. S˘ a se calculeze derivatele laterale ˆın 0, 1 s, i −1. Biletul nr. 60

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1. 2.

Pe Z se defines, te legea de compozit, ie Z × Z → Z, (x, y) 7→ x△y = x + y − 1. Demonstrat, i c˘ a (Z, △) este grup comutativ. 3x + 1 S˘ a se determine punctele critice pentru f : D → R, f (x) = arctan √ (se vor afla domeniul maxim de x2 − 1 definit, ie D s, i domeniul de derivabilitate). Biletul nr. 61

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

√ 1 3 Fie ε = − + i s, i G = {1, ε, ε2 } ⊂ C. Demonstrat, i c˘ a G este parte stabil˘a a lui C ˆın raport cu ˆınmult, irea 2 2 numerelor complexe s, i alc˘ atuit, i tabla operat, iei induse. Deducet, i c˘ a (G, ·) este grup comutativ. √  3 1 − x − 2x − 1 , dac˘a x 6= 0 S˘ a se studieze continuitatea funct, iei f : R → R, f (x) = . x 1, dac˘a x = 0 Biletul nr. 62

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

Pe mult, imea Z a numerelor ˆıntregi definim legile de compozit, ie x⊥y = x + y + 3 s, i x⊤y = xy + 3x + 3y + 6, ∀ x, y ∈ Z. Demonstrat, i c˘ a (Z, ⊥, ⊤) este un inel comutativ. arcsin x S˘ a se calculeze derivata funct, iei f : D → R, f (x) = √ ˆın punctul x0 = 0 (se va preciza domeniul maxim 1 − x2 de definit, ie D s, i domeniul de derivabilitate ale funct, iei f ). Biletul nr. 63

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

a b a, b ∈ Z . Ar˘ atat, i c˘ a A este parte stabil˘a a lui M2 (Z) ˆın raport cu adunarea s, i ˆınmult, irea 5b a matricelor s, i c˘ a formeaz˘ a un inel comutativ ˆın raport cu operat, iile induse. ( x2 − 3x + 2, dac˘a x > 0 Fie f : R → R, f (x) = . S˘ a se studieze derivabilitatea lui f s, i s˘a se determine 0, dac˘a x ≤ 0 punctele unde tangenta la graficul funct, iei trece prin origine. Fie A =

28

Biletul nr. 64 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real (

ˆ 3x + ˆ 2y = ˆ 4 ˆ ˆ ˆ 2x + 3y = 1

1.

Rezolvat, i ˆın Z12 sistemul:

2.

S˘ a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆ at funct, ia

.

f : R\{1} → R, f (x) = s˘a aib˘ a limit˘a ˆın punctul x0 = 1.

  a ln(3 − x),   x   2 − 2, x−1

dac˘a x < 1 dac˘a x > 1

Biletul nr. 65 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

Fie f , g ∈ Z5 [X], f = ˆ 3X 5 + ˆ 2X 3 + ˆ 2X + ˆ4, g = ˆ2X 3 + ˆ3X 2 + ˆ1. Aflat, i cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii lui f la g.

2.

S˘ a se studieze continuitatea s, i s˘a se traseze graficul funct, iei f : R → R, f (x) = lim

enx · n→∞ 1 + enx

Biletul nr. 66 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

a 2b Fie K = a, b ∈ Q . Ar˘ atat, i c˘ a K este parte stabil˘a a lui M2 (Q) ˆın raport cu adunarea s, i ˆınmult, irea b a matricelor s, i c˘ a formeaz˘ a un corp ˆın raport cu operat, iile induse. √ x−1 · Calculat, i: lim √ x→1 3 x − 1

Biletul nr. 67 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

2.

Definim pe R legea de compozit, ie (x, y) 7→ x ⋆ y = x + y + xy s, i fie G = [−1, ∞) s, i H = (−1, ∞). Ar˘atat, i c˘ aG s, i H sunt p˘ art, i stabile ale lui R ˆın raport cu legea ”⋆” s, i c˘ a formeaz˘a monoizi comutativi ˆın raport cu operat, ia indus˘a. Care din cei doi monoizi este grup? p Calculat, i: lim (x − x2 − 2x). x→∞

Biletul nr. 68

Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

Rezolvat, i ˆın Z12 sistemul:

2.

S˘ a se arate c˘ a s, irul an =

(

ˆ ˆ 3x + ˆ 4y = 11 ˆ ˆ ˆ 4x + 9y = 10

.

2n , ∀ n ∈ N∗ , este monoton, m˘arginit s, i convergent. Aflat, i limita sa. (n!)2

29

Biletul nr. 69 Profilul fizic˘a-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizic˘a-real

1.

Definim pe R legea de compozit, ie (x, y) 7→ x ⋆ y = xy − x − y + 2. Studiat, i propriet˘ at, ile acestei legi.

2.

S˘ a se determine constantele reale a s, i b astfel ˆıncˆ at funct, ia ( x2 + a, dac˘a x ≤ 2 f : R → R, f (x) = ax + b, dac˘a x > 2 s˘a fie continu˘ a pe R s, i, ˆın plus, s˘a existe lim

x→2

f (x) − f (2) · x−2

30

BACALAUREAT 1998 SESIUNEA AUGUST Varianta 1 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1. 2. 3.

√ S˘ a se rezolve inecuat, ia 2 − x < x. ( 4x − 5 · 9y = −1 S˘ a se rezolve sistemul 4x + 2x · 3y = 6

.

Pentru x, y ∈ Q se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = x + y − 5xy. S˘ a se cerceteze dac˘ a exist˘a a ∈ Q astfel ˆıncˆ at (Q\{a}, ⋆) s˘a fie grup comutativ. SUBIECTUL II

1.

Fie funct, ia f : R → R, f (x) = (x2 + ax + 1)ex , unde a ∈ R. a) S˘ a se determine parametrul a pentru care funct, ia este cresc˘ atoare pe R. b) Pentru a = 0 determinat, i ecuat, ia tangentei la graficul funct, iei ˆın punctul de intersect, ie cu axa Oy.

2.

c) S˘ a se demonstreze c˘ a g : R → (0, ∞), g(x) = (x2 + 1)ex este bijectiv˘ a, cu inversa derivabil˘a ˆın punctul x0 = 1 s, i s˘a se calculeze derivata inversei ˆın punctul x0 = 1. Z 1 x2 arctan x dx. S˘ a se calculeze integrala 0

SUBIECTUL III Se d˘ a hiperbola H de ecuat, ie

x2 y2 − − 1 = 0. 4 9

√ a) S˘ a se afle ecuat, ia tangentei la hiperbol˘ a ˆın punctul T (2 2, 3). b) S˘ a se calculeze aria triunghiului format de asimptotele hiperbolei H s, i dreapta de ecuat, ie 9x + 2y − 24 = 0.

31

Varianta 2 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I p p √ √ x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2.

1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia

2.

S˘ a se discute, ˆın funct, ie de parametrul real a, s, i s˘a se rezolve, urm˘atorul sistem:   1  x − y + az = 2x − ay + 2z = − 1 .   x + ay + az = a − 6

3.

S˘ a se rezolve urm˘atorul sistem:

(

Ayx = 7Axy−1 6Cxy = 5Cxy+1

.

SUBIECTUL II 1.

S˘ a se calculeze urm˘atoarea limit˘ a: q p √ 2 4 n + n +1−n 2 . lim n 2

n→∞

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) =

ax + b , unde a, b ∈ R. x2 + 1

1 · 2 b) Pentru a = 1 s, i b = 0 s˘a se studieze variat, ia s, i s˘a se reprezinte grafic funct, ia, folosind s, i derivata a doua. a) S˘ a se determine a, b, s, tiind c˘ a funct, ia admite ˆın x = 1 un extrem egal cu

c) Pentru a = 1 s, i b = 0 se noteaz˘ a cu A(u) aria mult, imii cuprinse ˆıntre axa Ox, axa Oy, graficul funct, iei s, i 1 dreapta x = u (u > 0). S˘ a se determine u > pentru care A(u) < ln(2u − 1). 2 SUBIECTUL III Se d˘ a cercul de ecuat, ie x2 + y 2 − 4x + 2y = 0. S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin centrul cercului dat s, i este perependicular˘a pe dreapta de ecuat, ie 2x + 3y − 4 = 0.

32

Varianta 3 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1.

Fie x1 , x2 , x3 r˘ad˘acinile polinomului f ∈ R[X], f = X 3 + (m + 1)X 2 + 2X + m. S˘ a se calculeze ˆın funct, ie de m: x21 + x22 + x23 s, i x31 + x32 + x33 , apoi s˘a se rezolve inecuat, ia x31 + x32 + x33 ≥ 5 − 2x1 x2 x3 .

2.

Definim pe Z legile de compozit, ie x⊕ y = x+ y + 3 s, i x⊗ y = xy + 3x+ 3y + 6. S˘ a se demonstreze c˘ a (Z, ⊕, ⊗) este un inel comutativ. Verificat, i dac˘ a inelul are divizori ai lui zero. Determinat, i elementele inversabile ale acestui inel.

3.

S˘ a se g˘ aseasc˘a suma primilor dou˘azeci de termeni ai unei progresii aritmetice, dac˘a a6 + a9 + a12 + a15 = 20. SUBIECTUL II

1.

Se d˘ a funct, ia f : R → R, f (x) =

(

xex , dac˘a x ≤ 1 . ax + b, dac˘a x > 1

a) S˘ a se determine constantele reale a s, i b astfel ˆıncˆ at funct, ia s˘a fie continu˘ a s, i derivabil˘a pe R. b) Pentru a = 2e s, i b = −e s˘a se determine o primitiv˘a a lui f pe R. 2.

S˘ a se demonstreze c˘ a, pentru orice x ≥ 0, au loc inegalit˘at, ile: x ≤ ln(1 + x) ≤ x. x+1 SUBIECTUL III S˘ a se determine aria triunghiului ABC determinat de dreptele de ecuat, ii: AB : BC : AC :

x − 2y + 4 = 0, 2x + y + 1 = 0, x + y + 2 = 0.

33

Varianta 4 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1.

2.

n √ √ S˘ a se determine n astfel ˆıncˆ at ˆın dezvoltarea 2x + 21−x (n ∈ N∗ ) suma coeficient, ilor binomiali ai ultimilor trei termeni s˘a fie egal˘a cu 22. Pentru n = 6 s˘a se determine x s, tiind c˘ a suma termenilor T3 s, i T5 este egal˘a cu 135. Se consider˘ a matricea X cu proprietatea 

 −3 4 0 2 1 0 X · 1 1 −2 = . −1 3 −2 −2 −1 3

Precizat, i tipul matricei X s, i apoi determinat, i aceast˘a matrice. 3.

Rezolvat, i ˆın Z8 :

(

x + ˆ2y = ˆ1 ˆ3x + ˆ4y = ˆ1

.

SUBIECTUL II 1.

S˘ a se determine a, b ∈ R astfel ˆıncˆ at lim

x→∞

2.

p √ 2x2 + 4x + 1 − ax − b = 2 2.

Pentru n ∈ N se consider˘ a integralele In =

Z

π 4

xn cos 2x dx s, i Jn =

0

Z

π 4

xn dx.

0

a) S˘ a se calculeze I0 s, i I1 . b) F˘ar˘a a calcula integrala In , s˘a se precizeze monotonia s, irului (In )n∈N . c) Comparat, i integrala In cu integrala Jn . S˘ a se precizeze dac˘a s, irul (In )n∈N este convergent s, i, ˆın caz afirmativ, s˘a se determine limita sa. SUBIECTUL III S˘ a se scrie ecuat, ia cercului circumscris triunghiului ABC, unde vârfurile triunghiului au coordonatele A(2, 5), B(5, 1) s, i C(−2, 2).

34

Varianta 5 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1.

x2 + (m + 1)x + m + 2 · x2 + x + m S˘ a se determine parametrul real m astfel ˆıncˆ at E(x) s˘a aib˘ a sens s, i s˘a fie strict pozitiv˘ a pentru orice x ∈ R. Se d˘ a expresia E(x) =

2.

S˘ a se rezolve ecuat, ia 2 lg2 (x3 ) − 3 lg x − 1 = 0.

3.

Fie G = (−3, 3). Pentru x, y ∈ G definim: x⋆y =

9(x + y) · 9 + xy

S˘ a se demonstreze c˘ a ”⋆” este lege de compozit, ie pe G s, i c˘ a (G, ⋆) este grup comutativ. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : [−2, ∞) → R, f (x) = |x − 1|e−|x+1|. a) S˘ a se expliciteze funct, ia f s, i s˘a se studieze derivabilitatea ei. b) S˘ a se determine extremele locale ale funct, iei.

2.

1 S˘ a se calculeze volumul corpului de rotat, ie determinat de funct, ia f : 0, → R, f (x) = arcsin x. 2 SUBIECTUL III

11 . Se s, tie c˘ a punctul Paralelogramul ABCD are vârfurile consecutive A s, i B de coordonate A(−3, −1) s, i B 2, 4 1 Q 3, este intersect, ia diagonalelor paralelogramului. S˘ a se afle coordonatele vârfurilor C s, i D s, i ecuat, ia dreptei 2 BC.

35

BACALAUREAT 1998 SESIUNEA AUGUST Varianta 1 Profilul economic

SUBIECTUL I (

Ayx = 7Axy−1 . 6Cxy = 5Cxy+1    1 −2 −2 1 2. Se consider˘ a matricele A = 3 1 p s, i B = 3 3 −1 1 3 ˆıncˆ at cele dou˘a matrice s˘a aib˘ a acelas, i rang. 1.

3.

S˘ a se rezolve sistemul

 −2 −2 4 1 1 p. S˘ a se afle numerele reale p s, i q astfel −1 1 q

Pentru x, y ∈ R definim legea de compozit, ie x ⋆ y = xy − x − y + 2. Demonstrat, i c˘ a G = (1, ∞) este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu operat, ia ”⋆” s, i c˘ a G ˆımpreun˘a cu operat, ia indus˘a are o structur˘ a de grup comutativ. Demonstrat, i c˘ a funct, ia f : R → G, f (x) = 2x + 1 este un izomorfism ˆıntre grupurile (R, +) s, i (G, ⋆). SUBIECTUL II Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = (x − 1)e−x .

a) S˘ a se studieze variat, ia s, i s˘a se reprezinte grafic funct, ia f , folosind s, i derivata a doua. b) S˘ a se calculeze lim A(u), unde A(u) reprezint˘ a aria mult, imii plane m˘arginite de graficul funct, iei f , axa Ox s, i u→∞

dreptele de ecuat, ii x = 1 s, i x = u (u > 1). SUBIECTUL III S˘ a se scrie ecuat, ia simetricei dreptei de ecuat, ie 3x + y − 1 = 0 fat, ˘a de punctul A(4, −2).

36

Varianta 2 Profilul economic

SUBIECTUL I 1. 2. 3.

√ p x S˘ a se rezolve ecuat, ia 16 (0, 25)5− 4 = 2 x+1 .

ˆ Descompunet, i ˆın factori ireductibili peste Z5 polinomul f = X 4 + X 3 + ˆ2X 2 + X + 1. 2−x 1−x Pentru fiecare x ∈ R, x 6= 0 se consider˘ a matricea A(x) = si mult, imea E = {A(x) | x ∈ R∗ }. 2(x − 1) 2x − 1 , a) Demonstrat, i c˘ a pentru orice x, y ∈ R∗ avem relat, ia A(x) · A(y) = A(xy).

b) Calculat, i (A(x))n pentru A(x) ∈ E.

c) Demonstrat, i c˘ a ˆınmult, irea matricelor este lege de compozit, ie pe E s, i c˘ a E, ˆımpreun˘a cu legea indus˘a, are o structur˘ a de grup abelian.

SUBIECTUL II Se consider˘ a funct, ia f : R\{1} → R, f (x) =

x2 + mx + n , unde m, n ∈ R. x−1

a) S˘ a se determine m s, i n astfel ˆıncˆ at funct, ia f s˘a admit˘ a un extrem egal cu 1 ˆın punctul x = 0. b) Pentru m = 1 s, i n = −1, s˘a se studieze variat, ia s, i s˘a se reprezinte grafic funct, ia f , folosind s, i derivata a doua. c) S˘ a se scrie ecuat, ia tangentei la graficul funct, iei de la punctul b) ˆın punctul de abscis˘a 3. d) S˘ a se calculeze aria suprafet, ei plane limitate de graficul funct, iei de la punctul b), axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = 2, x = 5. SUBIECTUL III S˘ a se g˘ aseasc˘a ecuat, ia cercului de diametru [AB], s, tiind c˘ a A(3, 2) s, i B(−1, 6). S˘ a se scrie ecuat, ia tangentei la cerc ˆın punctul A.

37

Varianta 3 Profilul economic

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se determine suma primilor 20 de termeni ai unei progresii aritmetice (an )n≥1 dac˘a a6 + a9 + a12 + a15 = 20.

2.

3.

  =0 4x + my Se consider˘ a sistemul y − z = 0 . Pentru ce valori ale parametrului real m sistemul are s, i solut, ii   2x + y + z = 0 diferite de solut, ia nul˘a? S˘ a se rezolve sistemul ˆın acest caz. Fie K un corp comutativ s, i polinomul f ∈ K[X]. a) Dac˘ a a, b ∈ K s, i a 6= b, demonstrat, i c˘ a restul ˆımp˘art, irii polinomului f la (X −a)(X −b) este

af (b) − bf (a) · a−b b) Demonstrat, i c˘ a dac˘ a a 6= b, X − a | f s, i X − b | f , atunci (X − a)(X − b) | f .

f (a) − f (b) X+ a−b

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R\{−1; 3} → R, f (x) =

x2 + ax · (x + 3)2

a) S˘ a se determine a ∈ R pentru care tangenta la graficul funct, iei ˆın punctul de abscis˘a 1 este paralel˘ a cu axa Ox. b) Pentru a = −3 s˘a se studieze variat, ia s, i s˘a se reprezinte grafic funct, ia, folosind s, i derivata a doua. 2.

S˘ a se calculeze volumul corpului de rotat, ie generat de funct, ia f : [1, e] → R, f (x) =

ln x · x

SUBIECTUL III Se d˘ a dreapta d de ecuat, ie 2x − y + 4 = 0. S˘ a se cerceteze dac˘a punctele A(−5, 3) s, i B fat, ˘ a de dreapta d.

38

11 3 ,− 5 5

sunt simetrice

Varianta 4 Profilul economic

SUBIECTUL I √ x2 −5

− 12 · 2x−1−

√ x2 −5

1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia 4x−

2.

S˘ a se determine valorile parametrului real m pentru care ecuat, ia

+ 8 = 0.

4mx2 + 4(1 − 2m)x + 3(m − 1) = 0

3.

are r˘ad˘acini reale strict pozitive.   2 1 1 Fie matricea A = 1 2 1. 1 1 2

a) S˘ a se demonstreze c˘ a exist˘a x, y ∈ R astfel ˆıncˆ at A2 = xA + yI3 , unde I3 este matricea unitate. b) Este matricea A inversabil˘ a? În caz afirmativ, s˘a se calculeze A−1 .

SUBIECTUL II x − 1  , x ∈ (−∞, 1]    ex

1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) =

2.

S, tiind c˘ a a + b + 1 = 0, s˘a se calculeze limita √ √ √ lim (a n + 1 + b n + 2 + n + 3).

.  2   ln x  , x ∈ (1, ∞) x S˘ a se demonstreze c˘ a funct, ia f are primitive pe R s, i s˘a se afle o primitiv˘a a sa.

n→∞

SUBIECTUL III S, tiind c˘ a A(1, 2) este piciorul perpendicularei duse din origine pe dreapta d, s˘a se scrie ecuat, ia dreptei d.

39

Varianta 5 Profilul economic

SUBIECTUL I 1. 2.

2 x − 5x + 4 ≤ 1. S˘ a se rezolve inecuat, ia x2 − 4

S˘ a se determine m ∈ R s, i s˘a se rezolve ecuat, ia x3 + mx2 − x − 3 = 0, s, tiind c˘ a r˘ad˘acinile sale sunt ˆın progresie aritmetic˘a.

3.

S˘ a se rezolve s, i s˘a se discute dup˘a parametrul real m urm˘atorul sistem de ecuat, ii:    x − my + z = 2m x − 2y + z = −1 .   mx + m2 y − 2z = 2 SUBIECTUL II Fie funct, ia f : R\{c} → R, f (x) =

x2 + ax + b · x+c

a) S˘ a se determine a, b, c, astfel ˆıncˆ at graficul funct, iei s˘a aib˘ a ca asimptote dreptele de ecuat, ii x = 1 s, i y = x + 2, iar P (2, 6) s˘a fie un punct al graficului. b) Pentru a = 1, b = 0 s, i c = −1 s˘a se studieze variat, ia s, i s˘a se reprezinte grafic funct, ia f , folosind derivata a doua. c) S˘ a se scrie ecuat, ia tangentei la graficul de la punctul b), ˆın punctul de abscis˘a −1. d) S˘ a se calculeze aria mult, imii plane m˘arginite de graficul funct, iei, axa Oy, asimptota oblic˘ a s, i dreapta de ecuat, ie x = −1. SUBIECTUL III S˘ a se precizeze dac˘ a cercul de centru C(4, 0), tangent la dreapta de ecuat, ie d : 4x + 3y − 6 = 0, taie sau nu dreapta de ecuat, ie 4x − 3y − 6 = 0.

40

BACALAUREAT 1998 SESIUNEA AUGUST Varianta 1 Profilul umanist

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se determine X ∈ M2 (Z) care satisface relat, ia: 3 1 1 0 ·X = . 5 2 0 1

2.

Pe R definim legea de compozit, ie

1 (x + y − xy + 1). 2 S˘ a se cerceteze dac˘ a aceast˘a lege este asociativ˘ a, comutativ˘a s, i are element neutru. Dac˘ a exist˘a element neutru, determinat, i elementele simetrizabile fat, ˘ a de legea ”⋆”. x⋆y =

SUBIECTUL II 1.

Determinat, i primitivele funct, iilor: 2 √ 1 − x + 3 sin x + 2 ; x x +1 b) f : (0, ∞) → R, f (x) = x2 + ln x. a) f : (0, ∞) → R, f (x) = −3x4 +

2.

S˘ a se calculeze urm˘atoarele integrale: Z 1 xe−x dx; a) 0

b)

Z

π 2

cos2 x dx.

0

3.

Se consider˘ a funct, iile f , g : R → R, f (x) = x2 + 4x s, i g(x) = x + 4. a) S˘ a se rezolve inecuat, ia f (x) ≤ g(x).

b) S˘ a se calculeze aria mult, imii plane cuprinse ˆıntre graficele funct, iilor f s, i g s, i dreptele de ecuat, ii x = −4, x = 1.

41

Varianta 2 Profilul umanist

SUBIECTUL I 1. Fie H = A ∈ M2 (R)

A = a 0

b , a, b ∈ R, a 6= 0 . Demonstrat, i c˘ a: 1

a) Dac˘ a A, B ∈ H, atunci A · B ∈ H.

1 b) Oricare ar fi A ∈ H, exist˘a X ∈ H astfel ˆıncˆ at A · X = I2 , unde I2 = 0 2.

0 . 1

Pentru numerele reale x s, i y definim operat, ia x ⋆ y = xy − 5x − 5y + 30. a) Demonstrat, i c˘ a ”⋆” este lege de compozit, ie pe mult, imea G = (5, +∞). b) Verificat, i dac˘ a (G, ⋆) este grup abelian. c) Rezolvat, i ˆın G ecuat, ia x ⋆ x = 9. SUBIECTUL II

1.

Determinat, i primitivele funct, iilor: a) f : R∗ → R, f (x) = (x2 − 4)(x + 1) +

1 √ − 3 x. x

b) f : R∗ → R, f (x) = x2 cos x. 2.

Fie f : [0, ∞) → R, f (x) =

x3 · x+1

1 a) S˘ a se arate c˘ a exist˘a a, b, c ∈ R astfel ˆıncˆ at f (x) = ax2 + bx + c − , pentru orice x ∈ [0, ∞). x+1 Z 3 b) S˘ a se calculeze integrala f (x) dx. 1

3.

ln x a se calculeze aria limitat˘a de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele Fie funct, ia f : (0, ∞) → R, f (x) = 2 . S˘ x de ecuat, ii x = 1 s, i x = e.

42

Varianta 3 Profilul umanist

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a matricele A = egalitatea A · X = B.

2.

1 0

1 2 s, i B = 2 1

1 . S˘ a se determine matricea X ∈ M2 (R) care verific˘ a 0

a b Fie M mult, imea matricelor de forma A = cu a, b ∈ Z. Demonstrat, i c˘ a adunarea s, i ˆınmult, irea 5b a matricelor sunt legi de compozit, ie pe M s, i verificat, i dac˘a (M, +, ·) este inel comutativ. SUBIECTUL II

1.

Determinat, i primitivele funct, iilor: a) f : R → R, f (x) = (2x + 1)2 (x − 1) +

2.

x2

1 · +9

b) f : (0, ∞) → R, f (x) = x ln2 x. Z π2 ex sin 2x dx. a) S˘ a se calculeze integrala 0 Z a b) S˘ a se determine a > 0 astfel ˆıncˆ at (2 − 4x + 3x2 ) dx = a. 0

3.

Se consider˘ a funct, iile f , g : R → R, f (x) = x3 − 2x − 3 s, i g(x) = 2x2 − x − 3. a) S˘ a se rezolve inecuat, ia f (x) ≥ g(x).

b) Calculat, i aria mult, imii plane cuprinse ˆıntre graficele celor dou˘a funct, ii s, i dreptele de ecuat, ii x = 0 s, i x = 1.

43

Varianta 4 Profilul umanist

SUBIECTUL I 1.

Pentru orice a ∈ R definim matricea Ua ∈ M2 (R), Ua = matrice.

1 a si not˘am cu G mult, imea tuturor acestor 0 1 ,

a) Ar˘atat, i c˘ a pentru orice a, b ∈ R sunt satisf˘acute relat, iile Ua · Ub = Ua+b s, i Ua · U−a = I2 , unde I2 = Deducet, i c˘ a ˆınmult, irea matricelor este lege de compozit, ie pe G.

1 0

0 . 1

b) Precizat, i dac˘ a matricea I2 face parte din G s, i verificat, i dac˘a elementele din G sunt simetrizabile fat, ˘a de ˆınmult, irea matricelor. 2.

Pentru x, y ∈ R definim urm˘atoarea lege de compozit, ie: x ⋆ y = xy − 3x − 3y + 12. a) Verificat, i dac˘ a legea ?⋆? este asociativ˘ a s, i comutativ˘a. b) Fie G = (3, ∞). Demonstrat, i c˘ a, dac˘ a x ∈ G s, i y ∈ G, atunci x ⋆ y ∈ G.

c) Cercetat, i dac˘ a exist˘a e ∈ G astfel ˆıncˆ at pentru orice x ∈ G s˘a avem x ⋆ e = e ⋆ x = x.

d) Verificat, i dac˘ a (G, ⋆) este grup abelian. SUBIECTUL II 1.

2.

2 1 x2 − x + 1 √ + 2 · − x+1 x +1 4 x x+1 · b) S˘ a se determine o funct, ie a c˘ arei primitiv˘a este F : R → R, F (x) = 2 x +1 a) S˘ a se determine primitivele funct, iei f : (0, ∞) → R, f (x) =

S˘ a se calculeze integralele: Z π2 ex cos 2x dx. a) 0 Z e b) ln2 x dx. 1

3.

Se consider˘ a funct, iile f , g : R, f (x) = x2 − 2x − 2, g(x) = 2 − 4x − x2 . a) S˘ a se determine x ∈ R astfel ˆıncˆ at f (x) ≤ g(x).

b) S˘ a se calculeze aria mult, imii plane cuprinse ˆıntre graficele funct, iilor f s, i g s, i dreptele de ecuat, ii x = 0 s, i x = 3.

44

Varianta 5 Profilul umanist

SUBIECTUL I 1.

Se dau matricele A = A · X = B.

2.

1 2

1 2 1 s, i B = . S˘ a se determine matricea X ∈ M2 (R) care verific˘ a egalitatea 1 0 3

Pe mult, imea Q se definesc legile de compozit, ie x ⊕ y = x + y + 2 s, i x ⊗ y = 2xy + 4x + 4y + 6. a) Demonstrat, i c˘ a (Q, ⊕) este grup abelian.

b) Demonstrat, i c˘ a (Q, ⊗) este monoid comutativ.

c) Este legea de compozit, ie ”⊗” distributiv˘ a fat, ˘a de legea ”⊕”? Ce concluzie se poate trage?

SUBIECTUL II 1.

Determinat, i primitivele funct, iilor: a) f : (0, 1) → R, f (x) = 2x2 − 5x + b) f : R → R, f (x) = e2x sin x.

2.

a) Fie f : R → R, f (x) =

√ 1 1 · −x x+ √ x 1 − x2

x2 + 2x . Demonstrat, i c˘ a funct, ia f admite o primitiv˘a F : R → R de forma + x + 1)2

(x2

ax + b . Constantele a s, i b se vor determina. x2 + x + 1 Z π b) S˘ a se calculeze integrala x2 cos x dx. F (x) =

0

3.

Determinat, i aria subgraficului funct, iei f : [1, 2] → R, f (x) = (x2 − x)ex .

45

BACALAUREAT 1998 SESIUNEA AUGUST Varianta 1 Profilul pedagogic

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se determine cifrele a s, i b astfel ˆıncˆ at num˘arul N = a23b s˘a fie divizibil cu 18.

2.

La o serbare s, colar˘ a s-au vândut bilete a cˆ ate 4000 lei s, i a cˆ ate 5000 lei bucata. În total s-au vândut 700 de bilete pe care s-au ˆıncasat 3000000 lei. Cˆ ate bilete de fiecare fel s-au vândut?

3.

5 obt, inem acelas, i rezultat ca s, i atunci cˆ and Suma a trei numere este 60. Dac˘ a ˆınmult, im al doilea num˘ar cu 4 ad˘aug˘am 5. S, tiind c˘ a al treilea num˘ ar este cu 6 mai mare decât primul, s˘a se afle numerele. SUBIECTUL II

1.

Se consider˘ a familia de funct, ii de gradul al doilea fm (x) = x2 − 2(m − 1)x + m, unde m este un parametru real. a) S˘ a se determine curba pe care o descriu vârfurile parabolelor asociate funct, iilor din familie, cˆ and m variaz˘ a. b) S˘ a se arate c˘ a toate parabolele familiei trec printr-un punct fix.

2.

S˘ a se rezolve ˆın mult, imea claselor de resturi modulo 12 urm˘atorul sistem de ecuat, ii: ( ˆ5x + ˆ4y = ˆ4 . ˆ2x + ˆ3y = c 11

SUBIECTUL III

1. Într-un paralelogram ABCD se dau: BC = 45 cm, AC = 17 cm s, i ˆın˘alt, imea CE = 8 cm (E ∈ AD). Se prelunges, te CE pˆ an˘a intersecteaz˘ a prelungirea laturii AB ˆın punctul N . Se cere s˘a se calculeze aria triunghiului AEN . 2.

Laturile bazelor unui trunchi de piramid˘ a triunghiular˘a regulat˘a sunt de 3 cm s, i respectiv 12 cm. Fet, ele laterale formeaz˘a cu planul bazei unghiuri de 60◦ . S˘ a se calculeze volumul trunchiului de piramid˘ a s, i ˆın˘alt, imea piramidei din care provine trunchiul.

46

Varianta 2 Profilul pedagogic

SUBIECTUL I 1. 2.

3.

S˘ a se g˘ aseasc˘a toate perechile de numere naturale a c˘ aror sum˘a este 87 s, i pentru care 87 este divizibil cu diferent, a lor. 1 5 O ferm˘a a vândut din cantitatea de ros, ii recoltat˘a cu pret, ul de 7000 lei/kg, din cantitate cu 6000 lei/kg 4 12 1 s, i din cantitate cu pret, ul de 5000 lei/kg, iar restul de 7125 kg cu pret, ul de 50400 lei/chintal. 16% din banii 8 ˆıncasat, i se folosesc pentru investit, ii. Ce sum˘a s-a folosit pentru investit, ii? La un concurs de matematic˘a, Silviu a obt, inut 10 puncte. S, tiind c˘ a avea de rezolvat 8 probleme, iar pentru o problem˘ a rezolvat˘a corect a primit 3 puncte s, i pentru o problem˘ a nerezolvat˘a i s-au sc˘azut 4 puncte, aflat, i cˆ ate probleme a rezolvat Silviu. SUBIECTUL II

1.

S˘ a se arate c˘ a numerele de forma 10n + 18n − 28 (n ∈ N) sunt divizibile cu 27.

2.

Pentru x, y ∈ R definim legea de compozit, ie x ⋆ y = ax + by − xy. Determinat, i numerele reale a s, i b astfel ˆıncˆ at legea de compozit, ie s˘a fie comutativ˘a s, i asociativ˘ a. Pentru valorile aflate, admite legea de compozit, ie element neutru? Dac˘ a da, care sunt elementele simetrizabile? SUBIECTUL III

1.

\ = 90◦ s, i Se d˘ a p˘ atratul ABCD de latur˘ a a. Se iau punctele E ∈ (BC) s, i H ∈ (CD) astfel ˆıncˆ at m(AEH) \ = 30◦ . S˘ \ m(HAE) a se calculeze distant, a EC s, i m(ADE).

2.

Se d˘ a prisma triunghiular˘ a ABCA′ B ′ C ′ , ˆın care triunghiul ABC este echilateral de latur˘ a a, iar muchia AA′ de lungime b, formeaz˘ a cu muchiile AB s, i AC unghiuri de m˘asur˘a 45◦ . Not˘ am cu D proiect, ia lui A′ pe planul (ABC). Demonstrat, i c˘ a [AD este bisectoare a triunghiului ABC s, i aflat, i aria lateral˘ a a prismei.

47

Varianta 3 Profilul pedagogic

SUBIECTUL I al are 46 ani, iar fiul s˘au are 19 ani. Cu cˆ at, i ani ˆın urm˘a tat˘ al era de 4 ori mai ˆın vârst˘a decât 1. Într-o familie, tat˘ fiul s˘au? 2.

O echip˘a format˘a din 10 muncitori poate termina o lucrare ˆın 20 de zile. Dup˘a ce echipa lucreaz˘a 10 zile, 6 muncitori sunt trimis, i s˘a lucreze ˆın alt˘ a parte. În cˆ at timp vor termina lucrarea muncitorii r˘amas, i?

3.

Un elev are un num˘ ar de fotografii. Vrând s˘a le lipeasc˘a pe filele unui album, constat˘a c˘ a, dac˘a le lipes, te cˆ ate dou˘a sau cˆ ate cinci sau cˆ ate s, apte, pe ultima fil˘a a albumului r˘amˆ an dou˘a fotografii. S˘ a se afle care este num˘arul acestor fotografii, s, tiind c˘ a el este cel mai mic num˘ar cu aceste propriet˘ at, i. SUBIECTUL II

1.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 − aX 3 + bX 2 + cX + d, f ∈ R[X]. S˘ a se determine a, b, c, d astfel ˆıncˆ at f ˆımp˘art, it la X 2 − 3X − 1 s˘a dea restul 2X + 1 s, i, ˆımp˘art, it la X 2 − 1, s˘a dea restul −2X + 2.

2.

S˘ a se determine matricea X care satisface egalitatea:    1 2 3 −1 5 X ·  0 1 2 =  2 1 −1 2 1 −3 4

 3 −1 . −3

SUBIECTUL III 1.

Pe laturile triunghiului ABC se consider˘ a punctele M ∈ (BC) s, i P ∈ (AB), astfel ˆıncˆ at M B = 2M C s, i P A = P B. Dac˘ a O este intersect, ia dreptelor AM s, i CP , demonstrat, i c˘ a OP = OC s, i OA = 3OM .

2.

Sect, iunea axial˘a a unui trunchi de con este un trapez isoscel cu bazele de 20 cm s, i 12 cm, având diagonalele perpendiculare. Calculat, i aria lateral˘ a s, i volumul trunchiului de con, precum s, i volumul din care provine trunchiul.

48

Varianta 4 Profilul pedagogic

SUBIECTUL I 1.

Determinat, i bazele de numerat, ie x s, i y, s, tiind c˘ a suma lor este 11 s, i c˘ a 231x + 356y = 14135 .

a se 2. Împ˘art, ind numerele 1774, 2780 s, i 4687 cu acelas, i num˘ar natural n, obt, inem respectiv resturile 10, 8 s, i 7. S˘ determine num˘ arul n. 3.

Trei frat, i depun la o banc˘ a 40000000 lei. Jum˘atate din suma depus˘a de fratele cel mare este egal˘a cu o treime din suma depus˘a de fratele mijlociu s, i egal˘a cu o cincime din suma depus˘a de fratele cel mic. S˘ a se afle suma depus˘a de fiecare frate. SUBIECTUL II

1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia 2 lg2 (x2 ) − 3 lg x − 11 = 0.

2.

S˘ a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆ at urm˘atorul sistem s˘a admit˘ a s, i solut, ii diferite de solut, ia nul˘a s, i ˆın acest caz s˘a se rezolve:   y+z =0 (m + 1)x + x + 2(m − 1)y − z = 0 .   (m − 1)x − y+z =0

SUBIECTUL III 1.

Diagonalele trapezului ABCD (AB k CD) se intersecteaz˘ a ˆın O. a) S˘ a se arate c˘ a triunghiurile AOD s, i BOC au aceeas, i arie. b) Paralela prin O la latura AB intersecteaz˘ a laturile AD s, i BC ˆın M s, i respectiv N . Demonstrat, i c˘ a M O = N O.

2.

S˘ a se determine aria s, i volumul unui tetraedru regulat cu muchia de 10 cm.

49

Varianta 5 Profilul pedagogic

SUBIECTUL I 1. 2.

3.

S˘ a se afle dou˘a numere naturale a s, i b, s, tiind c˘ a suma lor este 180 s, i c˘ a cel mai mare divizor comun al lor este 18. 3 1 Dou˘ a robinete curgând ˆımpreun˘ a, pot umple dintr-un bazin ˆın 5 ore. Primul robinet, curgând singur, umple 4 4 2 din bazin ˆın 4 ore. În cˆ at timp va umple bazinul robinetul al doilea curgând singur? 5 1 1 m trebuie s˘a fie t˘ aiat˘a ˆın trei buc˘at, i astfel ˆıncˆ at bucata a doua s˘a fie de 3 ori 2 2 1 mai mare decât prima, iar cea de-a treia de 2 ori mai mare decât prima. S˘ a se afle lungimea fiec˘arei buc˘at, i de 4 sfoar˘a. O sfoar˘a cu lungimea de 22

SUBIECTUL II 1. 2.

√ √ 2x + 1 = 2 x − x − 3. x 3y Fie G mult, imea matricelor de forma A = , unde x, y ∈ Q, x 6= 0 sau y 6= 0. y x S˘ a se rezolve ecuat, ia

√

Ar˘atat, i c˘ a ˆınmult, irea matricelor este lege de compozit, ie pe G s, i verificat, i dac˘a, ˆımpreun˘a cu operat, ia indus˘a, G este grup abelian. SUBIECTUL III 1. 2.

ˆ = 60◦ , circumscris unui cerc de raz˘ Se consider˘ a trapezul isoscel ABCD având m(A) a R. S˘ a se calculeze perimetrul s, i aria trapezului ˆın funct, ie de R. √ Aria total˘ a a unui paralelipiped dreptunghic este de 142 cm2 , iar diagonala paralelipipedului este de 83 cm. S˘ a se calculeze dimensiunile paralelipipedului, s, tiind c˘ a ele sunt ˆın progresie aritmetic˘a.

50

BACALAUREAT 1999 Sesiunea IUNIE Varianta 1 Profilurile matematic˘a-fizic˘a, informatic˘ a s, i metrologie

SUBIECTUL I 1.

1 Se consider˘ a expresia E(x) = log2 (2x2 ) + log2 x(1 + log2 x) + (log4 x4 )2 + (log2 x)3 . 2 a) S˘ a se stabileasc˘a domeniul de existent, a˘ al expresiei s, i s˘a se arate c˘ a E(x) = (1 + log2 x)3 .

2.

b) S˘ a se rezolve ecuat, ia E(x) = −8.  6 9 5 8 12 7 Se consider˘ a matricea A =  2 3 1 4 6 3

 6 m , unde m este un parametru real. 2 4

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A.

3.

    x 7 y  9    . b) Pentru m = 8 s˘a se rezolve ecuat, ia matriceal˘a A · X =  , unde X =   z 3 t 5 √ −1 + i 3 Se consider˘ aw= ∈ C s, i mult, imea Q(w) = {z = a + bw | a, b ∈ Q}. 2 a) S˘ a se arate c˘ a pentru z1 , z2 ∈ Q(w), z1 = a1 + b1 w, z2 = a2 + b2 w, este adev˘arat˘a echivalent, a: z1 = z2 dac˘ a s, i numai dac˘ a a1 = a2 s, i b1 = b2 . b) S˘ a se verifice c˘ a w2 + w + 1 = 0 s, i w3 = 1. c) S˘ a se demonstreze c˘ a Q(w) este parte stabil˘a a lui C fat, ˘a de operat, ia de ˆınmult, ire a numerelor complexe s, i Q(w), ˆımpreun˘ a cu operat, ia indus˘a, formeaz˘a o structur˘ a de monoid comutativ. SUBIECTUL II

1. 2.

S˘ a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆ at ecuat, ia x ln x − m = 0 s˘a eib˘ a solut, ii reale. Z 2n x fn (x) dx. Pentru n ∈ N se definesc funct, iile fn : R → R, fn (x) = 2n x ; fie In = e 0 a) S˘ a se calculeze I0 . b) S˘ a se verifice relat, ia fn+1 (x) =

1 fn (2x), ∀ x ∈ R, n ∈ N. 2

1 In , ∀ n ∈ N. 4 d) Determinat, i termenul general al s, irului sn = I0 + I1 + · · · + In s, i calculat, i limita sa. c) S˘ a se arate c˘ a In+1 =

SUBIECTUL III √ În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(0, 2 3), B(−2, 0), C(2, 0). a) S˘ a se reprezinte punctele s, i s˘a se arate c˘ a triunghiul ABC este echilateral. b) S˘ a se determine coordonatele punctului D, simetricul lui C fat, ˘a de dreapta AB. c) S˘ a se scrie ecuat, ia cercului de centru D s, i care trece prin A.

1

Varianta 2 Profilurile matematic˘a-fizic˘a, informatic˘ a s, i metrologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a dezvoltarea

√ √ !n 16 2x 32 √ + √ , n ∈ N∗ , x ∈ R. 16 8 2x

Cn1 Cn2 , s˘a fie termeni succesivi ai unei progresii aritmetice. 2 4 b) Pentru n = 8, verificat, i dac˘ a exist˘a valori ale lui x astfel ˆıncˆ at diferent, a dintre termenii al s, aselea s, i al patrulea ai dezvolt˘ arii s˘a fie 56. a) Determinat, i n astfel ˆıncˆ at Cn0 ,

2.

Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor complexe ecuat, iile (solut, ii sub form˘a algebric˘a): a) z 3 + z 2 + z + 1 = 0. 3 2 3z + 1 3z + 1 3z + 1 b) + 1 = 0. + + z−i z−i z−i

3.

Se consider˘ a mult, imea matricelor p˘ atratice de ordinul trei peste R s, i submult, imea     1 0 0   x 1 0 x ∈ R . G = A(x) =    2x + 2x2 4x 1 a) S˘ a se arate c˘ a A(x1 ) · A(x2 ) = A(x1 + x2 ), ∀ x1 , x2 ∈ R.

b) S˘ a se demonstreze c˘ a G este parte stabil˘a a lui M3 (R) fat, ˘a de operat, ia de ˆınmult, ire a matricelor s, i G, ˆımpreun˘a cu operat, ia indus˘a, formeaz˘ a o structur˘ a de grup comutativ. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = x arctan x − ln(1 + x2 ). a) S˘ a se arate c˘ a derivata funct, iei f este o funct, ie cresc˘ atoare.

2.

b) S˘ a se stabileasc˘a monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei f . Rezolvat, i inecuat, ia f (x) > 0. Z a a) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a funct, ia f : [−a, a] → R, a > 0, este continu˘ a s, i impar˘a, atunci f (x) dx = 0. −a

b) S˘ a se arate c˘ a

Z

1 2

− 12

ln

1+x dx = 0 s, i 1−x

Z

π 4

x2 sin x dx = 0.

−π 4

c) Care este aria suprafet, ei plane limitate de graficul funct, iei f : R → R, f (x) = x2 sin x, axa Ox s, i dreptele π π de ecuat, ii x = − s, i x = ? 4 4 SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(0, 3) s, i B(−6, 0). a) Scriet, i ecuat, iile medianelor duse din A s, i B s, i determinat, i coordonatele lui G, centrul de greutate al triunghiului AOB. Reprezentat, i punctele s, i dreptele. b) Care este pozit, ia centrului cercului circumscris; dar a ortocentrului triunghiului AOB? Demonstrat, i c˘ a aceste dou˘a puncte s, i G sunt coliniare.

2

Varianta 3 Profilurile matematic˘a-fizic˘a, informatic˘ a s, i metrologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a s, irul an = an =

2.

1 + 2n , ∀ n ∈ N∗ . 1 − 2n

4 4 4 4 · 1− · 1− · ... · 1 − , n ∈ N∗ . S˘ a se demonstreze c˘ a 1− 1 9 25 (2n − 1)2

Se consider˘ a polinomul f ∈ R[X], f = X 4 + 2X 3 + aX 2 + bX + c, a, b, c parametri. a) S˘ a se determine ˆın funct, ie de coeficient, i suma p˘ atratelor r˘ad˘acinilor polinomului f . b) Pentru a = 3, s˘a se arate c˘ a pentru orice b, c ∈ R polinomul f nu poate avea toate r˘ad˘acinile reale.

√ c) S˘ a se determine a, b, c ∈ Q, s, tiind c˘ a restul ˆımp˘art, irii lui f la X − 1 este egal cu 3 s, i f are r˘ad˘acina −1 + 2. Pentru a, b, c determinat, i, rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor complexe ecuat, ia f (x) = 0.

3.

Se consider˘ a M2 (Z) mult, imea matricelor p˘ atratice de ordinul doi peste Z, submult, imea G = {A ∈ M2 (Z) | det A = 1 sau det A = −1} s, i legea de compozit, ie ˆınmult, irea matricelor. Admitem c˘ a G este parte stabil˘a a lui M2 (Z) fat, ˘a de operat, ia de ˆınmult, ire a matricelor. a) Precizat, i s, i justificat, i valoarea de adev˘ar a urm˘atoarelor propozit, ii: (1) (M2 (Z), ·) are o structur˘ a de grup; (2) (G, ·) are o structur˘ a de grup.

b) Dac˘ a A, B ∈ M2 (Z) sunt inversabile, s˘a se arate c˘ a este adev˘arat˘a echivalent, a: A−1 · B = B · A−1 ⇔ A−1 · B −1 = B −1 · A−1 . SUBIECTUL II 2

1.

S˘ a se reprezinte grafic funct, ia definit˘ a prin legea f (x) = x · e x .

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = a cos

x x + b sin , unde a, b ∈ R. 3 3

a) S˘ a se verifice c˘ a 9f ′ (x) + f (x) = 0, ∀ x ∈ R. Z Z π2 f (x) dx = 0 s, i b) S˘ a se determine a s, i b astfel ˆıncˆ at 0

π

f (x) dx = 3.

0

SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(3, 0) s, i B(0, 2). a) S˘ a se determine coordonatele punctului D, mijlocul segmentului [AB]. Scriet, i ecuat, ia mediatoarei d a segmentului [AB]. b) S˘ a se determine coordonatele urm˘atoarelor puncte: {E} = d ∩ OB, {F } = d ∩ OA, M mijlocul segmentului [AE] s, i N mijlocul segmentului [BF ]. S˘ a se verifice dac˘ a dreptele M D s, i N D sunt perpendiculare. Dar dreptele M O s, i N O?

3

Varianta 4 Profilurile matematic˘a-fizic˘a, informatic˘ a s, i metrologie

SUBIECTUL I 1.

2.

S˘ a se rezolve urm˘atoarele ecuat, ii: √ √ 11 x+4 x−4 a) √ ; +2· √ = 3 x−4 x+4 r r 11 x+4 x−4 +2· = . b) x−4 x+4 3 n 2 Se consider˘ a dezvoltarea x2 − , x ∈ R∗ , n ∈ N∗ . x a) S˘ a se determine n astfel ˆıncˆ at suma coeficient, ilor primilor trei termeni ai dezvolt˘ arii s˘a fie 97.

3.

b) Pentru n = 8, verificat, i dac˘ a exist˘a un termen care cont, ine pe x4 . Justificat, i r˘aspunsul.  x + 2y + z + t = 0    2x + y + z + 2t = 0 S˘ a se rezolve sistemul (S) .  x + 2y + 2z + t = 0    x+ y+ z+ t=0

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, iile f , g : (0, ∞) → R, f (x) = log 12 (x2 + 1) − log 21 x, g(x) = 2x3 − 3x2 . a) S˘ a se stabileasc˘a monotonia funct, iilor f s, g. b) Determinat, i num˘ arul de solut, ii reale ale ecuat, iei f (x) = g(x).

2.

a) S˘ a se demonstreze c˘ a suma a dou˘a funct, ii convexe f , g : I → R, unde I este un interval deschis, este o funct, ie convex˘ a. b) S˘ a se arate c˘ a urm˘atoarele funct, ii sunt convexe: f : R → R, f (x) = ax4 + bx2 + cx + d, a, b, c, d ∈ R, a, b > 0; g : (0, ∞) → R, g(x) = 4x4 + 3x2 − 5x + 7 + log 51 x.

3.

Se consider˘ a s, irul In =

Z

0

1

4x2

xn dx, n ∈ N. + 2x + 1

a) S˘ a se arate c˘ a In ≥ 0, s˘a se stabileasc˘a monotonia s, irului s, i s˘a se precizeze dac˘a s, irul este convergent. 1 ≤ a, ∀ x ∈ R. Ar˘atat, i c˘ a lim In = 0. b) Determinat, i a ∈ R astfel ˆıncˆ at 2 n→∞ 4x + 2x + 1 SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a elipsele de ecuat, ii y2 x2 y2 x2 + = 1 s, i + = 1. 16 9 16 4 a) Pentru fiecare elips˘ a s˘a se scrie ecuat, ia tangentei ˆın punctul de abscis˘a 2 s, i ordonat˘a pozitiv˘ a. b) S˘ a se arate c˘ a cele dou˘a tangente se intersecteaz˘ a ˆıntr-un punct situat pe axa Ox. c) Reprezentat, i grafic elipsele s, i tangentele.

4

Varianta 5 Profilurile matematic˘a-fizic˘a, informatic˘ a s, i metrologie

SUBIECTUL I 1.

2.

p 1 . log3 (9x − 3) ≤ log3 x − 3 2 x1 x22 x23 a) Calculat, i determinantul ∆ = x1 x2 x3 , scriind rezultatul ca produs de factori. 1 1 1

S˘ a se rezolve inecuat, ia

b) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a polinomul f ∈ C[X], f = aX 2 + bX + c (a, b, c parametri) are trei r˘ad˘acini distincte, atunci a = b = c = 0. c) S˘ a se determine valorile parametrului m pentru care ecuat, ia (m2 − 3m + 2)x2 − (m2 − 5m + 4)x + m − m2 = 0 are cel put, in trei r˘ad˘acini distincte. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a expresia f (x) = ln

1+x · 1−x

a) S˘ a se determine domeniul de definit, ie s, i domeniul de derivabilitate al funct, iei f definit˘a prin legea f (x). b) S˘ a se stabileasc˘a monotonia s, i punctele de inflexiune ale funct, iei f .

2.

c) Precizat, i semnul funct, iei f s, i calculat, i aria suprafet, ei plane limitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele 1 1 de ecuat, ii x = − s, i x = . 2 2 Z π4 (tan x)n dx, n ∈ N, n ≥ 2. Se consider˘ a s, irul In = 0

a) S˘ a se calculeze I2 s, i s˘a se demonstreze c˘ a In + In+2 =

1 , ∀ n ∈ N, n ≥ 2. n+1

b) S˘ a se arate c˘ a In ≥ 0, s˘a se stabileasc˘a monotonia s, irului s, i s˘a se precizeze dac˘a s, irul este convergent. 1 , ∀ n ∈ N s, i calculat, i limita s, irului (In )n≥2 . c) Demonstrat, i c˘ a In+2 ≤ n+1 SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a elipsele de ecuat, ii x2 y2 x2 y2 + = 1 s, i + = 1. 25 9 25 4 a) Pentru fiecare elips˘ a s˘a se scrie ecuat, ia tangentei ˆın punctul de abscis˘a 3 s, i ordonat˘a negativ˘ a. b) S˘ a se arate c˘ a cele dou˘a tangente se intersecteaz˘ a ˆıntr-un punct situat pe axa Ox. c) Reprezentat, i grafic elipsele s, i tangentele.

5

Varianta 1 Profilurile economic, fizic˘a-chimie s, i chimie-biologie

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se rezolve inecuat, ia log 21 x2 ≥ log 21 (x + 2).

2.

2 x+1 Se consider˘ a ecuat, ia x = 2 − , x 6= 7. S˘ a se rezolve ecuat, ia ˆın mult, imea numerelor complexe, s, tiind c˘ a x−7 admite solut, ia z = 3 + 4i.

3.

Se consider˘ a M3 (R) mult, imea matricelor p˘ atratice   a1  B = A=0  0

de ordin trei peste R s, i submult, imea sa   0 0  a2 0  a1 , a2 , a3 ∈ R .  0 a3

a) S˘ a se demonstreze c˘ a B este parte stabil˘a a lui M3 (R) fat, ˘a de operat, iile de adunare s, i de ˆınmult, ire a matricelor.

b) S˘ a se demonstreze c˘ a (B, +, ·) formeaz˘a o structur˘ a de inel comutativ. c) Inelul (B, , ·) are divizori ai lui zero? Justificat, i r˘aspunsul.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a s, irurile definite astfel: an = 3−n , bn = ln(an ), ∀ n ∈ N∗ . a) S˘ a se arate c˘ a s, irul (an )n≥1 este o progresie geometric˘ a, iar (bn )n≥1 o progresie aritmetic˘a. Determinat, i primul termen s, i rat, ia fiec˘ arei progresii. b) S˘ a se calculeze limitele s, irurilor sn = a1 + a2 + · · · + an s, i tn = b1 + b2 + · · · + bn , n ∈ N∗ .

2.

Se consider˘ a funct, ia f : I → R (I interval deschis), derivabil˘a de dou˘aori pe I. a) Enunt, at, i teorema lui Rolle. S˘ a se arate c˘ a ˆıntre dou˘a puncte de extrem succesive exist˘a cel put, in un zerou al derivatei de ordinul al doilea. b) Pentru funct, ia f : (−2, 1) → R, f (x) = (2x2 − 3x+ 2)ex , s˘a se determine punctele de extrem s, i de inflexiune.

3.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = x2 + 3. S˘ a se calculeze aria suprafet, ei plane limitate de graficul funct, iei f , tangenta la grafic ˆın punctul de abscis˘a 2 s, i dreptele de ecuat, ii x = 0, x = 2. SUBIECTUL III

În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(0, 4), B(−2, 0) s, i C(3, 0). a) Reprezentat, i punctele s, i calculat, i distant, ele BC s, i AC. b) S˘ a se scrie ecuat, iile mediatoarelor segmentelor [AB] s, i [BC]. c) Determinat, i centrul s, i raza cercului circumscris triunghiului ABC.

6

Varianta 2 Profilurile economic, fizic˘a-chimie s, i chimie-biologie

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia logx

2.

Se consider˘ a dezvoltarea

√

5 + logx (5x) =

√ 2 9 + logx 5 . 4

n √ 1 x x + 4 , x ∈ R, x > 0, n ∈ N∗ , n ≥ 2. x

a) S˘ a se determine n astfel ˆıncˆ at Cn2 = Cn1 + 44.

3.

b) Pentru n = 11, verificat, i dac˘ a exist˘a un termen al dezvolt˘ arii care nu cont, ine pe x. Justificat, i r˘aspunsul.   1 w w2 w3 √  w w2 w3 1  −1 + i 3 . ∈ C s, i matricea A =  Se consider˘ aw= w 2 w 3 1 w 2 w3 1 w w2 a) S˘ a se verifice c˘ a w2 + w + 1 = 0 s, i w3 = 1.   1 1 −2 1  1 1 1 −2 . b) S˘ a se arate c˘ a A2 =  −2 1 1 1 1 −2 1 1

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = 3−2x − 2 · 3−x . a) S˘ a se calculeze limitele funct, iei spre +∞ s, i −∞.

b) S˘ a se stabileasc˘a domeniul de derivabilitate s, i s˘a se calculeze derivata funct, iei f . Precizat, i monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei f .

2.

c) S˘ a se determine punctele de inflexiune ale funct, iei f . Z 2 m2 + (4 − 4m)x + 4x3 dx, unde m este un parametru real. Se consider˘ a integrala I = 1

a) S˘ a se calculeze integrala.

b) S˘ a se determine m astfel ca I ≤ 12. SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctul M (2, 3) s, i dreptele de ecuat, ii d1 : x + y − 2 = 0 s, i d2 : 3x − 2y + 1 = 0. Se noteaz˘ a cu A punctul de intersect, ie al dreptelor d1 s, i d2 . a) S˘ a se determine coorodnatele punctului A. S˘ a se reprezinte grafic dreptele d1 s, i d2 . b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei AM . c) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin A s, i este paralel˘ a cu prima bisectoare.

7

Varianta 3 Profilurile economic, fizic˘a-chimie s, i chimie-biologie

SUBIECTUL I 2x2 + 2x + 3 ≤ a s˘a fie adev˘arat˘a pentru orice x ∈ R. x2 + x + 1

1.

S˘ a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆ at inegalitatea

2.

Se consider˘ a ecuat, ia cu coeficient, i reali x4 − 7x3 + 21x2 + ax + b = 0, a, b ∈ R. Dac˘ a z = 1 + 2i este o r˘ad˘acin˘a a ecuat, iei, s˘a se determine parametri reali a s, i b, s, i s˘a se rezolve ecuat, ia. 5 4 Se consider˘ a M2 (R) mult, imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste R, matricea A = si submult, imea −4 −3 , G = {B = aA + bI2 | a, b ∈ R}.

3.

a) S˘ a se arate c˘ a A2 = 2A − I2 .

b) S˘ a se demonstreze c˘ a G este parte stabil˘a a lui M2 (R) ˆın raport cu operat, ia de ˆınmult, ire a matricelor s, i c˘ a (G, ·) are o structur˘ a de monoid. Legea este comutativ˘a pe G? Justificat, i r˘aspunsul. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a progresia geometric˘ a (bn )n≥1 cu b1 > 0, cu rat, ia q ∈ (0, 1) s, i sumele Sn = b1 + b2 + · · · + bn s, i Tn = b31 + b32 + · · · + b3n . a) S˘ a se calculeze Sn s, i Tn ˆın funct, ie de b1 s, i q. 108 b) S, tiind c˘ a lim Sn = 3 s, i lim Tn = , s˘a se afle primul termen b1 s, i rat, ia q. n→∞ n→∞ 13

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = 7 + 2x ln 25 − 5x−1 − 52−x . a) S˘ a se stabileasc˘a domeniul de derivabilitate al funct, iei s, i s˘a se calculeze derivata funct, iei f . Precizat, i monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei f . b) Determinat, i num˘ arul punctelor de inflexiune.

3.

Se consider˘ a funct, ia f : (0, ∞) → R, f (x) = 1 −

ln x 1 − . x x

a) S˘ a se rezolve inecuat, ia f (x) ≥ 1. b) Calculat, i aria suprafet, ei plane limitate de graficul funct, iei f , dreptele y = 1, x =

1 1 s, i x = . x2 e

SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a cercul C de ecuat, ie x2 + (y − 4)2 = 16. a) Precizat, i centrul s, i raza cercului C ; reprezentat, i cercul. b) S˘ a se verifice, prin calcul, c˘ a punctul A(0, −2) nu apart, ine cercului.

S˘ a se determine coordonatele punctelor B situate pe cerc, astfel ˆıncˆ at tangenta ˆın B la cerc s˘a treac˘ a prin A.

c) Scriet, i ecuat, iile tangentelor la cerc. Determinat, i pantele tangentelor.

8

Varianta 4 Profilurile economic, fizic˘a-chimie s, i chimie-biologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a dezvoltarea

n 1 x2 + , n ∈ N∗ . x

a) S˘ a se determine n, s, tiind c˘ a suma primilor trei coeficient, i ai dezvolt˘ arii este 46. b) Pentru n = 9, verificat, i dac˘ a exist˘a un termen al dezvolt˘ arii care nu cont, ine pe x. 2.

Se consider˘ a relat, ia x2 + 2tx − 3t2 = 0. a) Determinat, i x ˆın funct, ie de t. b) Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor complexe ecuat, ia (z 2 + 2x + 1)2 + 2z(z 2 + 2z + 1) − 3z 2 = 0.

3.

Se consider˘ a sistemul (S)

  3x + 4y + z + 2t = 3 6x + 8y + 2z + 5t = 7   9x + 12y + 3z + 10t = 13

.

a) Sistemul admite solut, iile x = −1, y = 1, z = 0, t = 1, respectiv x = 1, y = 0, z = −2, t = 1? Justificat, i r˘aspunsul. b) S˘ a se rezolve sistemul. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a expresia f (x) =

x3 + 4 · x2

a) S˘ a se reprezinte grafic funct, ia f definit˘a prin legea f . b) S˘ a se discute ˆın funct, ie de parametrul real m num˘arul solut, iilor reale ale ecuat, iei f (x) = m. 2.

a) Se consider˘ a funct, ia f : [−a, a] → R, unde a > 0, continu˘ a. Justificat, i urm˘atoarele afirmat, ii: Z a Z a f (x) dx; f (x) dx = 2 · (1) Dac˘ a f este funct, ie par˘ a, atunci 0 −a Z a (2) Dac˘ a f este funct, ie impar˘a, atunci f (x) dx = 0. −a

b) S˘ a se calculeze urm˘atoarele integrale:

I=

Z

2

2 |x|

x e

−2

dx s, i J =

Z

2

x3 e|x| dx.

−2

SUBIECTUL III y2 x2 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ + = 1. a punctul M (5, 0) s, i elipsa de ecuat, ie 16 9 a) Reprezentat, i elipsa s, i precizat, i, prin calcul, pozit, ia punctului M fat, ˘a de elips˘ a. b) S˘ a se determine coordonatele punctelor P situate pe elips˘ a, astfel ˆıncˆ at tangenta ˆın P la elips˘ a s˘a treac˘ a prin M. c) Scriet, i ecuat, iile tangentelor la elips˘ a. Determinat, i pantele tangentelor.

9

Varianta 5 Profilurile economic, fizic˘a-chimie s, i chimie-biologie

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia 3 logx 4 + 2 log4x 4 + 3 log16x 4 = 0.

2.

S˘ a se rezolve inecuat, ia a2 − 9x+1 − 8 · 3x · a > 0, unde a este parametru real, a > 0.   2x − y + 5z + 7t = 0 Se consider˘ a sistemul (S) 4x − 2y + 7z + 5t = 0 .   2x − y + z − 5t = 0

3.

a) Sistemul admite solut, iile x = −8, y = 8, z = −3, t = 1, respectiv x = 4, y = 8, z = 0, t = 0? Justificat, i r˘aspunsul.

b) S˘ a se rezolve sistemul. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = m2 x3 + mx2 − x − 3, m parametru real nenul. a) S˘ a se arate c˘ a pentru orice m ∈ R∗ , funct, ia are dou˘a puncte de extrem. 1 b) Pentru m = − , reprezentat, i grafic funct, ia obt, inut˘a. 3

2.

Se consider˘ a s, irurile (In )n≥1 s, i (Jn )n≥1 definite astfel: Z Z e xn ln x dx s, i Jn = In =

e

xn (ln x)2 dx.

1

1

a) S˘ a se determine In . S˘ a se stabileasc˘a o relat, ie ˆıntre In s, i Jn . In − Jn . b) S˘ a se calculeze lim n→∞ en+1 SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(−1, 2) s, i B(1, 4). a) S˘ a se determine ecuat, ia cercului C de centru A s, i care trece prin B. Reprezentat, i cercul C . b) S˘ a se scrie ecuat, iile tangentelor la cerc ˆın punctele care au abscisa x = −1. c) S˘ a se arate c˘ a tangentele sunt paralele cu axa Ox.

10

Varianta 1 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv-real

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = x2 + ax + b, a s, i b parametri reali. S˘ a se determine a s, i b astfel ˆıncˆ at s˘a fie ˆındeplinite simultan urm˘atoarele condit, ii: – graficul funct, iei s˘a intersecteze dreapta y = 3x − 4 ˆın punctul de abscis˘a 1;

– ordonata vârfului parabolei s˘a fie egal˘a cu 1. 2.

3.

Se consider˘ a a, b, c s, i x numere reale strict pozitive s, i diferite de 1. S˘ a se demonstreze c˘ a urm˘atoarea echivalent, ˘a este adev˘arat˘a: 1 1 1 , s, i sunt termenii a, b, c sunt termeni succesivi ai unei progresii geometrice dac˘a s, i numai dac˘a loga x logb x logc x succesivi ai unei progresii aritmetice. 1 − x x2 x x −x . Se consider˘ a determinantul ∆(x) = x 1 + x2 x2 −x2 a) S˘ a se arate c˘ a ∆(−1) = 0.

b) S˘ a se rezolve ecuat, ia ∆(x) = 0. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a expresia f (x) =

√ x2 − 4x + 3.

a) S˘ a se determine domeniul funct, iei f definit˘a prin legea f (x). b) S˘ a se stabileasc˘a domeniul de derivabilitate s, i s˘a se calculeze derivata funct, iei f . Precizat, i monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei f . c) Stabilit, i intervalele de convexitate (concavitate) ale funct, iei. 2.

S˘ a se determine primitivele urm˘atoarelor funct, ii: 4x − 10 ; x2 − 5x + 4 4 ln x − 10 b) f : (e4 , ∞) → R, f (x) = . 2 x(ln x − 5 ln x + 4) a) f : (4, ∞) → R, f (x) =

SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a triunghiul care are laturile pe dreptele AB : 2x + 3y − 7 = 0, BC : x − 4y + 13 = 0 s, i AC : 4x − 5y − 3 = 0. a) Determinat, i coordonatele vârfurilor triunghiului. Reprezentat, i triunghiul ABC. b) Scriet, i ecuat, iile mediatoarelor segmentelor [AB] s, i [BC]. c) Determinat, i coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC.

11

Varianta 2 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv-real

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se rezolve ˆın mult, imea numerelor complexe ecuat, iile: a) t2 − 7t + 6 = 0;

b) (−x2 + 2x)2 − 7(−x2 + 2x) + 6 = 0. 2.

S˘ a se rezolve ecuat, iile:

3.

2

−1

2

− 36 · 3x −3 + 3 = 0; √ √ b) logx 5 + logx (5x) − 2, 25 = (logx 5)2 . 1 2 3 4 2 3 4 1 . S˘ a se calculeze determinantul 3 4 1 2 4 1 2 3 a) 9x

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = e−x (x2 + x − 5). a) Calculat, i limitele funct, iei spre −∞ s, i ∞.

b) S˘ a se stabileasc˘a domeniul de derivabilitate s, i s˘a se calculeze derivata funct, iei f .

2. 3.

c) Precizat, i monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei f . Alc˘ atuit, i tabelul de variat, ie al funct, iei. √ 3 8 + 3x − 2 S˘ a se calculeze limita lim √ · 4 x→0 16 + 5x − 2 Z 4 5−x dx. S˘ a se calculeze integrala I = ln 4x 1 SUBIECTUL III

În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a cercul C de ecuat, ie x2 + y 2 = 16 s, i punctul A(1, 2). a) Determinat, i centrul s, i raza cercului. Precizat, i, prin calcul, pozit, ia punctului A fat, ˘a de cerc. Reprezentat, i cercul. b) Scriet, i ecuat, ia dreptei d care trece prin A s, i centrul cercului. c) Fie M (a, b) un punct pe cerc. Determinat, i punctul M astfel ˆıncˆ at tangenta la cerc ˆın M s˘a fie paralel˘ a cu dreapta d.

12

Varianta 3 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv-real

SUBIECTUL I

1.

S˘ a se rezolve sistemul

 1   +y =2   x + 2y    

.

y = −3 x + 2y

2.

S˘ a se rezolve ecuat, ia 1 + 2 logx+2 5 = log5 (x + 2).

3.

Se consider˘ a M2 (R) mult, imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste R s, i submult, imea a+b 4b G = M (a, b) M (a, b) = , a, b ∈ R . −b a − b

a) S˘ a se demonstreze c˘ a G este parte stabil˘a a lui M2 (R) fat, ˘a de operat, ia de adunare a matricelor.

b) S˘ a se arate c˘ a (G, +) este grup comutativ. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : (−1, 1) → R, f (x) = ln(1 − x2 ). a) S˘ a se calculeze limitele la capetele domeniului de definit, ie. b) S˘ a se stabileasc˘a domeniul de derivabilitate s, i s˘a se calculeze derivata funct, iei f . Precizat, i monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei f .

2. 3.

c) S˘ a se stabileasc˘a intervalele de convexitate (concavitate). 2 x x + 5x + 4 S˘ a se calculeze limita lim . x→∞ x2 − 3x + 7 Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = e−x (x + 1). a) S˘ a se stabileasc˘a semnul funct, iei f . b) S˘ a se calculeze aria suprafet, ei plane limitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = −2 s, i x = 0. SUBIECTUL III

În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(5, 0), B(1, 4) s, i dreapta d de ecuat, ie x + y − 3 = 0. a) Reprezentat, i dreapta s, i punctele. b) Scriet, i ecuat, ia mediatoarei segmentului [AB] s, i determinat, i intersect, ia ei cu dreapta d. c) S˘ a se stabileasc˘a ecuat, ia cercului care trece prin A, B s, i are centrul pe dreapta d.

13

Varianta 4 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv-real

SUBIECTUL I 3

−3x2 −4x+9

1 · 27

1.

S˘ a se determine solut, iile reale ale ecuat, iei 3x

2.

Se consider˘ a s, irul (an )n≥1 progresie geometric˘ a cu rat, ia q ∈ (0, 1) s, i a1 6= 0.

=

a) S˘ a se determine ˆın funct, ie de a1 s, i q suma Sn = a1 + a2 + · · · + an s, i s˘a se calculeze limita sa.

b) S˘ a se determine rat, ia progresiei, s, tiind c˘ a lim Sn = 3 · S3 . n→∞

3.

  2x − y + z − t = 1 Se consider˘ a sistemul x + y + az + t = −1   x−y+ z−t= b

, a s, i b parametri reali.

a) S˘ a se determine a s, i b astfel ˆıncˆ at matricea sistemului s˘a fie de rang 2, iar sistemul s˘a fie compatibil.

b) Pentru a = −1 s, i b = 1 s˘a se rezolve sistemul. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : (0, ∞) → R, f (x) = 2 ln x + x2 − 4x + m, m parametru real. a) S˘ a se stabileasc˘a domeniul de derivabilitate al funct, iei s, i s˘a se rezolve ecuat, ia f ′ (x) = 0. b) S˘ a se discute, ˆın funct, ie de parametrul real m, num˘arul de solut, ii reale ale ecuat, iei f (x) = 0.

2.

S˘ a se determine primitivele urm˘atoarelor funct, ii: a) f : R → R, f (x) = ex (3x2 − 2x − 5). 1 · b) f : (−1, ∞) → R, f (x) = 2 x + 3x + 2 SUBIECTUL III

În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a dreapta d de ecuat, ie 4x + 3y − 12 = 0. a) Determinat, i coordonatele punctelor A s, i B, intersect, iile dreptei d cu axele Ox, respectiv Oy. Reprezentat, i dreapta. Precizat, i panta dreptei AB. b) S, tiind c˘ a [AB] este latura unui trapez dreptunghic ABCD, cu m(∢A) = 90◦ s, i BC k AD, având toate vârfurile pe axele de coordonate, scriet, i ecuat, iile dreptelor BC s, i CD. c) Determinat, i coordonatele punctelor C s, i D.

14

Varianta 5 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv-real

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a dezvoltarea (x + xlg x )5 , x ∈ R, x > 0. S˘ a se determine x, s, tiind c˘ a al treilea termen al dezvolt˘ arii 6 este 10 .

2.

Se consider˘ a ecuat, ia x3 − 2x2 + x − 2 = 0 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 . a) S˘ a se rezolve ecuat, ia ˆın mult, imea numerelor complexe.

3.

b) S˘ a se determine ecuat, ia de gradul al treilea care are r˘ad˘acinile: y1 = x2 + x3 + 2x1 , y2 = x1 + x3 + 2x2 , y3 = x1 + x2 + 2x3 .   1 5 4 Se consider˘ a matricea A = 2 10 8 . 3 15 12 a) S˘ a se determine rangul matricei A.

b) S˘ a se studieze compatibilitatea sistemului (S)

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R\{−3} → R, f (x) =

   x + 5y + 4z = 1 2x + 10y + 8z = 3   3x + 15y + 12z = 5

.

x2 + ax , a parametru real. (x + 3)2

a) S˘ a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆ at tangenta la graficul funct, iei f ˆın punctul de abscis˘a 1 s˘a fie paralel˘ a cu axa Ox. b) Pentru a = −3, s˘a se reprezinte grafic funct, ia f (folosind derivata a II-a). 2.

Se consider˘ a funct, iile f , g : R → R, f (x) =

ex − 1 , g(x) = 2 ln(1 + ex ) − x. ex + 1

a) S˘ a se arate c˘ a funct, ia g este o primitiv˘a a funct, iei f . b) S˘ a se stabileasc˘a semnul funct, iei f pe intervalul [−1, 1]. S˘ a se calculeze aria suprafet, ei plane limitate pe graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = −1 s, i x = 1. SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctul B(1, 4) s, i dreptele d1 , d2 de ecuat, ii d1 : x + y − 5 = 0, d2 : x − y − 1 = 0. a) S˘ a se determine coordonatele lui A, punctul de intersect, ie al celor dou˘a drepte. Reprezentat, i dreptele s, i calculat, i lungimea segmentului [AB]. b) Scriet, i ecuat, ia cercului de centru A s, i care trece prin B.

15

Varianta 1 Profilul uman

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se rezolve ecuat, iile: a) 22x−3 = 4x

2

−3x−1

.

b) lg(x − 3) + lg(x + 6) = lg 2 + lg 5. 2.

Se consider˘ a progresia aritmetic˘a (an )n≥1 ˆın care a9 = 5 · a2 s, i a13 = 2 · a6 + 5. a) S˘ a se determine primul termen s, i rat, ia progresiei. b) S˘ a se calculeze suma primilor 100 de termeni ai progresiei.

3.

Se consider˘ a submult, imea numerelor reale G = [2, ∞) s, i operat, ia x ⋆ y = xy − 2(x + y) + 6, (∀) x, y ∈ G. a) S˘ a se arate c˘ a operat, ia ”⋆” este lege de compozit, ie pe G. b) S˘ a se demonstreze c˘ a legea este asociativ˘ a s, i admite element neutru. Care sunt elementele simetrizabile ˆın raport cu aceast˘a lege? SUBIECTUL II

1.

Se consider˘ a funct, ia f : R\{0} → R, f (x) =

(x − 2)(2x + 1) . x2

a) S˘ a se stabileasc˘a monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei f . b) Graficul funct, iei f admite puncte de inflexiune? Justificat, i r˘aspunsul. 2.

S˘ a se calculeze urm˘atoarele limite: x2 − 7x + 10 · x→2 x2 − 8x + 12 x 2 +3 · b) lim x x→∞ 2 − 3 2x + 3 c) lim x · x→−∞ 2 − 3 a)

3.

lim

S ˘a se determine b ∈ R\{1} astfel ˆıncˆ at

Z

1

b

(b − 4x) dx = 6 − 5b.

SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctul M x + 6y + 5 = 0 s, i d2 : 3x − 2y + 1 = 0.

4 − , 1 s, i dreptele d1 s, i d2 de ecuat, ii d1 : 5

a) S˘ a se reprezinte dreptele. b) Determinat, i coordonatele punctului A, intersect, ia dreptelor d1 s, i d2 . c) Scriet, i ecuat, ia dreptei AM . Scriet, i ecuat, ia cercului de centru A s, i care trece prin M .

16

Varianta 2 Profilul uman

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se rezolve ˆın mult, imea numerelor reale urm˘atoarele ecuat, ii: 6 2 x+4 − =2− . x2 − 1 x − 1 x+1 b) 4x − 10 · 2x−1 = 24. a)

2.

3.

Se consider˘ a a, b ∈ R, a, b > 0, astfel ˆıncˆ at a2 + 4b2 = 12ab. S˘ a se arate c˘ a este adev˘arat˘a relat, ia 2 lg(a + 2b) − 4 lg 2 = lg a + lg b.    x+ y− z = 0 S˘ a se rezolve sistemul 2x − y + 3z = 9 .   −3x + 4y + 2z = 11

SUBIECTUL II 1.

S˘ a se calculeze urm˘atoarele limite: x + 2 2 − 3x2 . + 2 a) lim x→∞ x − 1 x +1 b)

x2 − 9 . lim √ x→3 x−2−1

2.

S˘ a se construiasc˘a graficul funct, iei f : R → R, f (x) = −3x3 + x + 4 (utilizˆ and derivata a doua).

3.

Se consider˘ a funct, ia f : (−∞, 3) → R, f (x) =

x2 2 − 3x + · 2 (x − 3)2

a) Determinat, i primitivele funct, iei f . b) Precizat, i primitiva F care verific˘ a egalitatea F (−1) = 0. SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(1, 2), B(3, 1), C(2, −1). a) Reprezentat, i punctele. Scriet, i ecuat, ia dreptei AB. Verificat, i, prin calcul, c˘ a punctele A, B, C sunt necoliniare. b) Calculat, i distant, ele AB, AC s, i BC. Demonstrat, i c˘ a triunghiul ABC este dreptunghic. c) Precizat, i coordonatele centrului s, i raza cercului circumscris triunghiului ABC.

17

Varianta 3 Profilul uman

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a dezvoltarea

√ !n 3 9x − √ , x ∈ R, x > 0 s, i n ∈ R, n ≥ 3. 3 x

a) S˘ a se determine n ∈ N∗ , astfel ˆıncˆ at coeficientul binomial al termenului al treilea s˘a fie 105.

b) Pentru n = 15, verificat, i dac˘ a exist˘a un termen al dezvolt˘ arii care cont, ine pe x5 . Justificat, i r˘aspunsul. 2.

Se consider˘ a ecuat, ia x4 + x3 + x2 − x − 2 = 0. a) S˘ a se determine r˘ad˘acinile rat, ionale ale ecuat, iei. b) S˘ a se rezolve ecuat, ia ˆın mult, imea numerelor complexe.

3.

S˘ a se discute ˆın funct, ie de parametrul real m s, i s˘a se rezolve sistemul

(

x + my = 1 mx − 3my = 2m + 3

.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) =

x2 − x + 1 · x2 + x + 1

a) S˘ a se stabileasc˘a monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei f . b) Calculat, i limitele funct, iei spre +∞ s, i −∞. 2.

Se consider˘ a s, irul (an )n≥1 definit astfel an = ln n − ln(n + 1), n ∈ N∗ . a) Calculat, i suma S = a1 + a2 + a3 + a4 . b) S˘ a se determine termenul general al s, irului (Sn )n≥1 , unde Sn = a1 + a2 + · · · + an , n ∈ N. Stabilit, i dac˘a s, irul are limit˘ a s, i, ˆın caz afirmativ, calculat, i aceast˘a limit˘a.

3.

Se consider˘ a funct, ia f : [1, 2] → R, f (x) = funct, iei f s, i axa Ox.

1 + 3x − 4x2 . S˘ a se calculeze aria suprafet, ei plane limitate de graficul x

SUBIECTUL III 5 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ s, i B(3, 1). a punctele A −2, 2 a) Scriet, i ecuat, ia cartezian˘a a dreptelor d1 s, i d2 care ˆındeplinesc condit, iile: 3 ; 5 5 – B ∈ d2 s, i are panta − . 3

– A ∈ d1 s, i are panta

b) Reprezentat, i dreptele d1 s, i d2 . c) Calculat, i lungimea segmentului [AB]. Scriet, i ecuat, ia cercului de centru A s, i care trece prin B.

18

Varianta 4 Profilul uman

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se rezolve urm˘atoarele ecuat, ii: 2 1 1 a) + 2 + − 10 = 0; x x

b) log4 (x + 3) − log4 (x − 1) = 2 − log4 8.

2.

a) S˘ a se determine numerele reale x s, i y care verific˘ a simultan relat, iile: x · y = 192, x · y − x = 189. b) Se consider˘ a progresia geometric˘ a (bn )n≥1 cu rat, ia q = 2. S˘ a se determine n ∈ N astfel ˆıncˆ at bn = 96 s, i suma primilor n termeni ai progresiei s˘a fie egal˘a cu 189.

3.

Se consider˘ a ecuat, ia x4 − 2x3 − x2 − 10x + 12 = 0. a) S˘ a se determine solut, iile rat, ionale ale ecuat, iei. b) S˘ a se rezolve ecuat, ia ˆın mult, imea numerelor complexe. SUBIECTUL II

1.

S˘ a se construiasc˘a graficul funct, iei f : R\{0} → R, f (x) =

2.

Z

S˘ a se calculeze integrala I =

2

1

−x2 + 3x − 2 · x2

(x2 − x)ex dx.

SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a dreptele d1 s, i d2 de ecuat, ii d1 : y = 2x + 4, respectiv 1 3 d2 : y = − x + . 2 2 a) Determinat, i coordonatele punctului A, intersect, ia dreptelor d1 s, i d2 . Reprezentat, i dreptele. Precizat, i pantele dreptelor. b) S˘ a se determine punctele B s, i C care ˆındeplinesc condit, iile: – B ∈ d1 s, i are abscisa −5;

– C ∈ d2 s, i are ordonata −1.

Calculat, i lungimea segmentului BC.

19

Varianta 5 Profilul uman

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se rezolve urm˘atoarele ecuat, ii: a) 15 · 2x+1 + 15 · 2−x+2 = 135.

b) 4(log3 x)2 − 17 log3 x + 4 = 0. 2.

a) S˘ ase determine funct, ia de gradul al doilea, s, tiind c˘ a graficul funct, iei trece prin punctele A(−1, 6), B(2, 3), 1 C − ,3 . 2

b) Considerând funct, ia f : R → R, f (x) = 2x2 − 3x + 1, s˘a se determine punctele de intersect, ie ale graficului funct, iei cu axele de coordonate. 3.

Se consider˘ a submult, imea numerelor reale G = (−1, ∞) s, i operat, ia x ⋆ y = xy + x + y, ∀ x, y ∈ G. a) S˘ a se arate c˘ a operat, ia ”⋆” este lege de compozit, ie pe G. b) S˘ a se demonstreze c˘ a (G, ⋆) formeaz˘ a o structur˘ a de grup comutativ. SUBIECTUL II

1.

Se consider˘ a funct, ia f : R\{1} → R, f (x) =

2x − 1 · x2 − 2x + 1

a) S˘ a se stabileasc˘a monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei f . b) S˘ a se calculeze limitele laterale ale funct, iei ˆın punctul x = 1. c) S˘ a se calculeze limitele funct, iei spre +∞ s, i −∞. 2.

Se consider˘ a funct, iile f , g : R → R, f (x) = x2 − 5x + 3 s, i g(x) = 3 + 3x − x2 . a) S˘ a se rezolve inecuat, ia f (x) ≤ g(x).

b) S˘ a se calculeze aria suprafet, ei plane cuprinse ˆıntre graficele celor dou˘a funct, ii s, i dreptele de ecuat, ii x = 0 s, i x = 4. SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(4, 6), B(4, 0), C(−4, 0). a) Reprezentat, i punctele s, i ar˘ atat, i c˘ a triunghiul ABC este dreptunghic. b) Scriet, i ecuat, ia cercului circumscris triunghiului ABC. Precizat, i centrul s, i raza cercului. Punctul E(−5, 2) apart, ine cercului? Justificat, i, prin calcul, r˘aspunsul.

20

Sesiunea AUGUST Varianta 1 Profilul uman

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a ecuat, iile: ax2 + bx + c = 0,

(1)

2a2 x2 + 2abx + b2 − 2ac = 0, a, b, c, ∈ R s, i a 6= 0.

(2)

a) S˘ a se arate c˘ a este adev˘arat˘a urm˘atoarea echivalent, ˘a: ecuat, ia (1) are r˘ad˘acini reale s, i distincte dac˘a s, i numai dac˘a ecuat, ia (2) are r˘ad˘acini complexe. b) S˘ a se rezolve ˆın C ecuat, iile: t2 − 5t + 4 = 0 s, i 2z 2 − 10z + 17 = 0. 2.

S˘ a se rezolve urm˘atoarele ecuat, ii: a) 15 · 2x+1 + 15 · 2−x+2 = 135.

b) 4(log3 x)2 − 17 log3 x + 4 = 0. 3.

Se consider˘ a mult, imea G = [3, ∞) pe care se defines, te operat, ia x ⋆ y = a) S˘ a se arate c˘ a operat, ia ”⋆” este lege de compozit, ie pe G.

p x2 + y 2 − 9, ∀ x, y ∈ G.

b) S˘ a se arate c˘ a legea este asociativ˘ a, comutativ˘a s, i admite element neutru. Care sunt elementele simetrizabile ˆın raport cu aceast˘a lege? SUBIECTUL II 1. 2.

S˘ a se construiasc˘a graficul funct, iei f definite prin legea f (x) =

1 , folosind s, i derivata a doua. x2 + 5x + 6

kx2 + ℓ + mx, k, ℓ, m parametri reali. S˘ a se determine k, ℓ, m ∈ R Se consider˘ a funct, ia f : R\{1} → R, f (x) = x−1 Z 0 37 astfel ˆıncˆ at f (2) = 23, f ′ (0) = 4 s, i (x − 1)f (x) dx = . 6 −1 SUBIECTUL III

În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(1, −1), B(−2, 1) s, i C(3, 5). a) Reprezentat, i punctele. Verificat, i prin calcul dac˘a triunghiul ABC este isoscel. b) S˘ a se determine panta dreptei BC. S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin A s, i are panta dreptei BC. c) S˘ a se scrie ecuat, ia cercului de centru C s, i care trece prin A.

21

Varianta 2 Profilul uman

SUBIECTUL I 1.

√ √ Se consider˘ a dezvoltarea ( 3 a + a a)n , n ∈ N∗ , a ∈ R, a > 0. a) S˘ a se determine n astfel ˆıncˆ at coeficientul binomial al termenului al treilea s˘a fie 36. b) Pentru n = 9, verificat, i dac˘ a exist˘a un termen al dezvolt˘ arii care cont, ine pe a3 .

2.

S˘ a se rezolve ˆın mult, imea numerelor reale ecuat, iile: 1 2 1 − 2x . − = x + 1 x2 − x + 1 1 + x2 x+1 1−x 3 3 b) + = 1, 2. 5 5 a)

3.

Se consider˘ a mult, imea numerelor reale pe care se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = xy − x − y + 2, ∀ x, y ∈ R. S˘ a se cerceteze dac˘ a legea este comutativ˘a, asociativ˘ a s, i dac˘a admite element neutru. Exist˘a elemente simetrizabile? SUBIECTUL II

1.

Se consider˘ a s, irul (an )n≥1 definit astfel: a1 = −2 s, i an+1 = 4an , n ≥ 1. Not˘ am cu Sn suma primilor n termeni. a) S˘ a se arate c˘ a s, irul este progresie geometric˘ a s, i s˘a se calculeze suma Sn ˆın funct, ie de n. Sn b) S˘ a se calculeze lim · n→∞ Sn+1

2.

Se consider˘ a expresia f (x) =

−8(x + 2) · x2 + 4x + 8

a) S˘ a se precizeze domeniul maxim al funct, iei definite prin expresia f (x).

3.

b) S˘ a se stabileasc˘a intervalele de convexitate (concavitate) s, i punctele de inflexiune ale funct, iei f . Z 2 2 (x − log2 a) dx = 2 log2 · S˘ a se determine valoarea num˘ arului real pozitiv a astfel ˆıncˆ at a 0 SUBIECTUL III

5 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A −2, s, i B(3, 1). 2 a) Scriet, i ecuat, ia cartezian˘a a dreptelor d1 s, i d2 care ˆındeplinesc condit, iile: 3 3 d1 are panta s, i A ∈ d1 ; d2 are panta − s, i B ∈ d2 . 5 5 b) Reprezentat, i dreptele d1 s, i d2 . c) Calculat, i lungimea segmentului [AB]. Scriet, i ecuat, ia cercului de centru A s, i care trece prin B.

22

Varianta 3 Profilul uman

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia log2 (9x−1 + 7) = 2 + log2 (3x−1 + 1).

2.

Se consider˘ a ecuat, ia 5x4 + 9x3 − 2x2 − 4x − 8 = 0. a) S˘ a se determine solut, iile rat, ionale ale ecuat, iei. b) S˘ a se rezolve ecuat, ia ˆın mult, imea numerelor complexe.

3.

a) S˘ ase determine funct, ia de gradul al doilea, s, tiind c˘ a graficul funct, iei trece prin punctele A(−1, 6), B(2, 3), 1 C − ,3 . 2

b) Considerând funct, ia f : R → R, f (x) = 2x2 − 3x + 1, s˘a se determine punctele de intersect, ie ale graficului funct, iei cu axele de coordonate. SUBIECTUL II 1.

S˘ a se calculeze urm˘atoarele limite: x2 − 7x + 10 · x→2 x2 − 8x + 12 5x + 3 b) lim x · x→∞ 5 − 3 5x + 3 · c) lim x x→−∞ 5 − 3 a)

2.

lim

Se consider˘ a funct, ia f : R\{1} → R, f (x) =

3x2 − 6x + 5 · (x − 1)2

a) S˘ a se determine a, b ∈ R astfel ˆıncˆ at f (x) = a +

b , pentru orice x 6= 1. (x − 1)2

b) S˘ a se stabileasc˘a intervalele de monotonie s, i s˘a se precizeze num˘arul punctelor de extrem ale funct, iei f . c) S˘ a se stabileasc˘a intervalele de convexitate (concavitate) s, i num˘arul punctelor de inflexiune ale funct, iei f . d) S˘ a se stabileasc˘a semnul funct, iei f . S˘ a se calculeze aria suprafet, ei plane limitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = 2, x = 4. SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(1, 2), B(3, 1), C(2, −1). a) Reprezentat, i punctele. Scriet, i ecuat, ia dreptei AB. Verificat, i prin calcul c˘ a punctele A, B, C sunt necoliniare. b) Calculat, i distant, ele AB, AC s, i BC. Demonstrat, i c˘ a triunghiul ABC este dreptunghic. Precizat, i coordonatele centrului s, i raza cercului circumscris triunghiului ABC.

23

Varianta 1 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv-real

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a ecuat, ia x2 − (m + 3)x + m2 = 0, m parametru real. a) S˘ a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆ at ecuat, ia s˘a admit˘ a r˘ad˘acini reale.

b) S˘ a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆ at s˘a fie adev˘arat˘a relat, ia

x1 (m2 − 3x1 ) + x2 (m2 − 3x2 ) = 0, unde x1 s, i x2 reprezint˘ a r˘ad˘acinile ecuat, iei. 2.

3.

S˘ a se rezolve ecuat, ia logx+2 (x + 5) = logx+2

Se consider˘ a sistemul (S)

16 · x+5

  2x − y + 5z + 7t = 0 4x − 2y + 7z + 5t = 0   2x − y + z − 5t = 0

.

a) Sistemul admite solut, iile x = −8, y = 8, z = −3, t = 1, respectiv x = 4, y = 8, z = 0, t = 0?

b) S˘ a se rezolve sistemul. SUBIECTUL II 1.

√ 9 − x2 − 3 . S˘ a se calculeze urm˘atoarele limite: Se consider˘ a funct, ia f : (0, 3) → R, f (x) = x a) lim f (x). x→0

x>0 1

b) lim (1 + f (x)) x . x→0

x>0

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R\{1} → R, f (x) =

x2 + ax + b · x−1

a) S˘ a se determine a s, i b astfel ˆıncˆ at funct, ia s˘a admit˘ a un extrem egal cu 1 ˆın punctul de abscis˘a 0. b) Pentru a = 1 s, i b = −1 reprezentat, i graficul funct, iei obt, inute, folosind s, i derivata a doua.

c) Pentru a = 1 s, i b = −1 s˘a se calculeze aria suprafet, ei plane limitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = 2, x = 4.

SUBIECTUL III √ În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(0, 3), B(−1, 0) s, i C(1, 0). a) S˘ a se reprezinte punctele. S˘ a se verifice prin calcul c˘ a triunghiul ABC este echilateral. b) S˘ a se determine coordonatele lui D, simetricul punctului C fat, ˘a de dreapta AB. c) S˘ a se scrie ecuat, ia cercului cu centrul ˆın D s, i care trece prin punctele A s, i B.

24

Varianta 2 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv-real

SUBIECTUL I 2

1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia |x − 3|10x

−1

= |x − 3|3x , x 6= 3.

2.

Exist˘a x num˘ar strict pozitiv astfel ˆıncˆ at lg 2, lg(2x − 1) s, i lg(2x + 3) s˘a fie termeni succesivi ai unei progresii aritmetice? Justificat, i r˘aspunsul.

3.

Se consider˘ a mult, imea G = (3, ∞) s, i operat, ia x ⋆ y = xy − 3x − 3y + 12, ∀ x, y ∈ G. a) S˘ a se arate c˘ a operat, ia ”⋆” este lege de compozit, ie pe G. b) S˘ a se demonstreze c˘ a (G, ⋆) formeaz˘ a o structur˘ a de grup comutativ. SUBIECTUL II

1.

Se consider˘ a funct, ia f : D → R (D domeniul maxim de definit, ie), f (x) =

ax2 + bx + c · x+d

a) S˘ a se determine a, b, c, d ∈ R, astfel ˆıncˆ at graficul funct, iei s˘a admit˘ a asimptotele x = 3 s, i y = x + 2, iar punctul A(1, 1) s˘a se afle pe grafic. b) Pentru a = 1, b = −1, c = −2, d = −3 s˘a se reprezinte grafic funct, ia obt, inut˘a, folosind s, i derivata a doua. c) Pentru a = 1, b = −1, c = −2, d = −3 s˘a se discute num˘arul r˘ad˘acinilor ecuat, iei f (x) = m.

2.

Se consider˘ a funct, iile f , g : R → R, f (x) =

ex − 1 , g(x) = 2 ln(1 + ex ) − x. ex + 1

a) S˘ a se arate c˘ a funct, ia g este o primitiv˘a a funct, iei f . b) S˘ a se stabileasc˘a semnul funct, iei f pe intervalul [−1, 1]. c) S˘ a se calculeze aria suprafet, ei plane limitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = −1 s, i x = 1. SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a cercul de ecuat, ie x2 +y 2 = 25. S˘ a se scrie ecuat, iile tangentelor la cerc care sunt paralele cu dreapta de ecuat, ie 2x − y + 1 = 0.

25

Varianta 3 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv-real

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a dezvoltarea

√ !n 3 9x − √ , x ∈ R, x > 0 s, i n ∈ N, n ≥ 3. 3 x

a) S˘ a se determine n astfel ˆıncˆ at coeficientul binomial al termenului al treilea s˘a fie 105. b) Pentru n = 15, verificat, i dac˘ a exist˘a un termen al dezvolt˘ arii care cont, ine pe x5 . Justificat, i r˘aspunsul. 2.

Se consider˘ a inegalitatea logb (x2 − x − 2) > logb (−x2 + 2x + 3), b > 0, b 6= 1. a) S˘ a se determine valorile lui x pentru care are sens inegalitatea. 9 b) S, tiind c˘ a inecuat, ia admite solut, ia x = , s˘a se determine b. 4 c) Pentru b ∈ (0, 1), s˘a se rezolve inecuat, ia.

3.

S˘ a se rezolve ecuat, ia matriceal˘a 

1 2 X · 0 1 2 0

precizând ˆın prealabil tipul matricei X.

 0 2 1  2 = −1 3 1

0 , 2

SUBIECTUL II ln(1 + x − 3x2 + 2x3 ) · x→1 ln(1 + 3x − 4x2 + x3 )

1.

S˘ a se calculeze lim

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = e2x − 3x − 5(ex − x + 3). a) S˘ a se stabileasc˘a intervalele de monotonie s, i punctele de extrem ale funct, iei f . b) S˘ a se stabileasc˘a punctele de inflexiune ale funct, iei f .

3.

kx2 + ℓ Se consider˘ a funct, ia f : R\{1} → R, f (x) = + mx, k, ℓ, m parametri reali. S˘ a se determine k, ℓ, m ∈ R x−1 Z 0 37 · astfel ˆıncˆ at f (2) = 23, f ′ (0) = 4 s, i (x − 1)f (x) dx = 6 −1 SUBIECTUL III

x2 y2 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a elipsa de ecuat, ie + = 1 s, i punctul C(0, 4). 16 9 a) S˘ a se reprezinte elipsa. b) S˘ a se scrie ecuat, iile tangentelor la elips˘ a care trec prin punctul C.

26

Varianta 1 Profilul pedagogic

SUBIECTUL I arbuni, iar ˆın altul 237 t. Din primul depozit s-au luat 15 t de c˘ arbuni pe zi, iar 1. Într-un depozit erau 185 t de c˘ 1 arbune decât din al doilea cˆ ate 18 t de c˘ arbuni. Dup˘ a cˆ ate zile a r˘amas ˆın al doilea depozit de 1 ori mai mult c˘ 2 ˆın primul depozit? 2.

S˘ a se rezolve ecuat, ia 23x · 32x = 746x , unde x reprezint˘ a baza de numerat, ie.

3. Într-o s, coal˘a sunt cel mult 200 de elevi. Împ˘art, ind aces, ti elevi, pe rând, ˆın grupe de 6, 7, respectiv 8 elevi, r˘amˆ ane mereu o grup˘ a incomplet˘ a de 5 elevi. Cât, i elevi sunt ˆın s, coal˘a? SUBIECTUL II 16 · x+5

1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia logx+2 (x + 5) = logx+2

2.

Se consider˘ a polinoamele f , g ∈ R[X], f = X 5 − 7X 4 + 19X 3 + aX 2 − 110X + b, g = X 3 − 3X 2 − 6X + c, a, b, c ∈ R. a) Determinat, i c ∈ R astfel ˆıncˆ at r˘ad˘acinile polinomului g s˘a fie ˆın progresie aritmetic˘a.

b) Pentru c = 8 determinat, i a s, i b astfel ˆıncˆ at polinomul f s˘a se divid˘ a cu polinomul g. 3.

S˘ a se rezolve ecuat, ia matriceal˘a 

1 2 X · 0 1 2 0

precizând ˆın prealabil tipul matricei X.

 0 2 1 2 = −1 3 1

0 , 2

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a triunghiul ABC, A1 s, i B1 mijloacele segmentelor [BC], respectiv [AC], iar G centrul de greutate al triunghiului. Dac˘ a CA1 GB1 este patrulater inscriptibil, s˘a se demonstreze c˘ a: a) △AGB1 ∼ △ACA1 .

b) 3AC 2 = 4AA21 . 2.

Se consider˘ a O, A, B, C patru puncte necoplanare astfel ˆıncˆ at triunghiurile OAB, OBC s, i OCA s˘a fie dreptunghice ˆın O s, i isoscele. Se fac urm˘atoarele notat, ii: K ortocentrul triunghiului ABC; R proiect, ia lui K pe planul (OBC). S˘ a se demonstreze c˘ a punctul R este centrul de greutate al triunghiului OBC.

27

Varianta 2 Profilul pedagogic

SUBIECTUL I 1.

Prin 10 robinete curg 24000 l de ap˘a ˆın 4 ore. Dac˘ a debitul este acelas, i, ˆın cˆ ate ore vor curge 21600 l ap˘a prin 12 robinete?

2. În cebaz˘a de numerat, ie, numerele 23, 32, respectiv 41 sunt pitagoreice? 3. Într-o tab˘ar˘a sunt mai put, ini de 500 de elevi. Dac˘ a s-ar grupa cˆ ate 2, cˆ ate 3, cˆ ate 4 sau cˆ ate 5, atunci, de fiecare dat˘a, ar r˘amˆ ane cˆ ate un singur elev. Dac˘ a s-ar grupa cˆ ate 7, nu ar mai r˘amˆ ane niciun elev singur. Cât, i elevi sunt ˆın tab˘ar˘a? SUBIECTUL II 2x2 + 2x + 3 ≤ a s˘a fie adev˘arat˘a pentru orice x ∈ R. x2 + x + 1

1.

S˘ a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆ at inegalitatea

2.

S˘ a se determine suma primilor 9 termeni ai unei progresii geometrice cu termeni pozitivi, pentru care termenii al treilea s, i al cincilea sunt cea mai mic˘a, respectiv cea mai mare r˘ad˘acin˘a a ecuat, iei √ 1 [1 + log4 (3x − 2)] = log4 1 + 10x − 11 . 2

3.

Pentru x, y ∈ (−2, 2) se defines, te x ⋆ y =

4(x + y) . S˘ a se demonstreze c˘ a ”⋆” este lege de compozit, ie pe xy + 4

G = (−2, 2) s, i c˘ a (G, ⋆) este grup abelian. SUBIECTUL III 1.

2.

Se consider˘ a triunghiul ABC cu m(∢A) = 90◦ , AB = AC + 6 s, i BC = 30; CD este bisectoarea unghiului ∢ACB s, i D ∈ (AB). S˘ a se determine lungimea segmentului [CD]. √ a 3 Se consider˘ a tetraedrul ABCD cu proprietatea AB = AC = AD = BC = BD = a s, i CD = , a > 0; E 2 mijlocul segmentului [AB]. a) S˘ a se demonstreze c˘ a AB ⊥ (CDE).

b) Dac˘ a CM ⊥ DE, M ∈ [DE], s˘a se arate c˘ a CM ⊥ (ABD). S˘ a se calculeze volumul tetraedrului.

28

Varianta 3 Profilul pedagogic

SUBIECTUL I 1.

Trei robinete pot umple un bazin astfel: – primul robinet ˆımpreun˘ a cu al doilea ˆın dou˘a ore s, i 24 minute; – primul robinet ˆımpreun˘ a cu al treilea ˆın trei ore; – al doilea robinet ˆımpreun˘ a cu al doilea ˆın patru ore. În cˆ at timp ar putea umple bazinul fiecare robinet ˆın parte?

2.

S˘ a se g˘ aseasc˘a numerele naturale cuprinse strict ˆıntre 900 s, i 1000, astfel ˆıncˆ at s˘a se ˆımpart˘a f˘ar˘a rest la 5 s, i suma cifrelor s˘a fie 16.

3.

Ana are azi de 5 ori vârsta pe care o avea ea, cˆ and fratele ei avea vârsta ei actual˘ a; cˆ and ea va avea vârsta de azi a fratelui ei, suma vârstelor va fi 88 de ani. Ce vârst˘a are azi fiecare din cei doi frat, i? SUBIECTUL II

1.

Se consider˘ a ecuat, iile: ax2 + bx + c = 0,

(3)

2a2 x2 + 2abx + b2 − 2ac = 0, a, b, c, ∈ R s, i a 6= 0.

(4)

a) S˘ a se arate c˘ a este adev˘arat˘a urm˘atoarea echivalent, ˘a: ecuat, ia (3) are r˘ad˘acini reale s, i distincte dac˘a s, i numai dac˘a ecuat, ia (4) are r˘ad˘acini complexe. b) S˘ a se rezolve ˆın C ecuat, iile: t2 − 5t + 4 = 0 s, i 2z 2 − 10z + 17 = 0. 2.

S˘ a se rezolve ecuat, ia log3 (9x + 9) = x − log 13 (28 − 2 · 3x ).

3.

S˘ a se discute dup˘a valorile parametrului real a s, i s˘a se rezolve sistemul    x − ay + z = 2a (S) x − 2y + z = −2 .   ax + a2 y − 2z = 2 SUBIECTUL III

1.

Se consider˘ a patrulaterul M N P Q ˆınscris ˆıntr-un cerc; diagonalele patrulaterului sunt perpendiculare s, i se ˆıntˆ alnesc ˆın punctul F . S˘ a se demonstreze c˘ a F R ⊥ M Q, unde R este mijlocul segmentului [N P ].

2.

Baza unei prisme este un triunghi echilateral de latur˘ a a. Muchiile laterale formeaz˘a cu planul bazei un unghi de m˘asur˘a 60◦ . Unul din vârfurile bazei se proiecteaz˘ a pe cealalt˘ a baz˘a ˆın centrul cercului circumscris acesteia. S˘ a se calculeze ˆın˘alt, imea prismei s, i aria sa total˘ a.

29

Varianta 1 Profilurile economic, fizic˘a-chimie s, i chimie-biologie

SUBIECTUL I √

5 + logx (5x) =

√ 2 9 + logx 5 . 4

1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia logx

2.

Se consider˘ a polinoamele f , g ∈ R[X], f = X 5 − 7X 4 + 19X 3 + aX 2 − 110X + b, g = X 3 − 3X 2 − 6X + c, a, b, c ∈ R. a) Determinat, i c ∈ R astfel ˆıncˆ at r˘ad˘acinile polinomului g s˘a fie ˆın progresie aritmetic˘a.

3.

b) Pentru c = 8 determinat, i a s, i b  6 9 8 12  Se consider˘ a matricea A =  2 3 4 6

astfel ˆıncˆ at polinomul f s˘a se divid˘ a cu polinomul g.  5 6 7 m , m parametru real. 1 2 3 4

a) S˘ a se determine rangul matricei A.

 6x + 9y + 5z + 6t = 7     8x + 12y + 7z + mt = 9 b) Pentru m = 8 s˘a se rezolve sistemul  2x + 3y + z + 2t = 3    4x + 6y + 3z + 4t = 5

.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R\{−1} → R, f (x) =

x2 − m x e , m parametru real. x+1

a) S˘ a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆ at funct, ia f s˘a aib˘ a trei puncte de extrem.

b) Pentru m = 2 s˘a se stabileasc˘a monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei obt, inute. 2.

a) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a funct, ia f : [−a, a] → R, a > 0, este continu˘ a s, i impar˘a, atunci b) S˘ a se arate c˘ a

Z

1 2

− 12

1+x ln dx = 0 s, i 1−x

Z

π 4

Z

a

f (x) dx = 0.

−a

x2 sin x dx = 0.

−π 4

c) Care este aria suprafet, ei plane limitate de graficul funct, iei f : R → R, f (x) = x2 sin x, axa Ox s, i dreptele π π de ecuat, ii x = − s, i x = ? 4 4 SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a cercul C : x2 + y 2 + 4x − 6y − 17 = 0 s, i dreapta d : 5x + 2y − 13 = 0. a) S˘ a se determine coordonatele centrului s, i raza cercului C . b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei d1 care trece prin centrul cercului C s, i este perpendicular˘a pe d. S˘ a se afle coordonatele punctului de intersect, ie al dreptelor d s, i d1 .

30

Varianta 2 Profilurile economic, fizic˘a-chimie s, i chimie-biologie

SUBIECTUL I 1. 2.

S˘ a se rezolve ecuat, ia 3 logx 4 + 2 log4x 4 + log16x 4 = 0. n 1 √ Se consider˘ a dezvoltarea y+ √ , y ∈ R, y > 0 s, i n ∈ N∗ . 24y a) S˘ a se determine n pentru care coeficient, ii termenilor 1, 2, respectiv 3 ai dezvolt˘ arii, formeaz˘a o progresie aritmetic˘a. b) Pentru n = 8, verificat, i dac˘ a exist˘a termeni ai dezvolt˘ arii astfel ˆıncˆ at puterea lui y s˘a fie num˘ar natural.

3.

Se consider˘ a submult, imea numerelor reale G = (2, ∞) − {3} pe care se defines, te operat, ia 1

x ⋆ y = (x − 2) 3 ln(y−2) + 2. a) S˘ a se demonstreze c˘ a operat, ia ”⋆” este lege de compozit, ie pe G. b) S˘ a se arate c˘ a (G, ⋆) este grup comutativ. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct, ia f : D → R (D domeniul maxim de definit, ie), f (x) = x −

√ ax2 + bx + 1, a, b ∈ R, a > 0.

1 a) S˘ a se determine a s, i b astfel ˆıncˆ at lim f (x) = − · x→∞ 2 b) Pentru a = b = 1 s˘a se determine asimptotele la graficul funct, iei obt, inute. 2.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = 51+x + 51−x + 25x + 25−x . a) S˘ a se stabileasc˘a monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei f . b) S˘ a se discute dup˘a valorile parametrului real m num˘arul de solut, ii reale ale ecuat, iei f (x) = m. SUBIECTUL III

În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(0, 4), B(−2, 0) s, i C(3, 0). a) S˘ a se reprezinte punctele s, i s˘a se calculeze distant, ele BC s, i AC. b) S˘ a se scrie ecuat, iile mediatoarelor segmentelor [AB] s, i [BC]. c) S˘ a se determine centrul s, i raza cercului circumscris triunghiului ABC.

31

Varianta 3 Profilurile economic, fizic˘a-chimie s, i chimie-biologie

SUBIECTUL I 1 x2 + 2 − 4 ≥ 1. x

1.

S˘ a se rezolve inecuat, ia logx+ x1

2.

Precizat, i dac˘a exist˘a un num˘ ar complex z care s˘a ˆındeplineasc˘a simultan condit, iile: |z − 1 − 2i| = 3 s, i Re z ≥ 5.

3.

 2x + y + z     x− y− z Se consider˘ a sistemul (S) 3x + y + 2z    x + my + z sistemul s˘a fie compatibil s, i, ˆın acest caz, s˘a

= 1 = m , m parametru real. S˘ a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆ at = −1 = m se rezolve.

SUBIECTUL II 1.

S˘ a se calculeze urm˘atoarele limite: x+1 3x − 4 3 a) lim . x→∞ 3x + 2 2x − 3x b) lim √ · x→0 x 1 − x2

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R\{2} → R, f (x) =

1 |x| e . x+2

a) S˘ a se stabileasc˘a domeniul de derivabilitate al funct, iei s, i s˘a se calculeze derivata funct, iei f . b) S˘ a se reprezinte grafic funct, ia f , folosind s, i derivata a doua. c) S˘ a se calculeze urm˘atoarea integral˘a: I=

Z

1

−1

f (x) · (x + 2) · x2 dx.

SUBIECTUL III x2 y2 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a dreapta d : x + 5 = 0 s, i elipsa E : + = 1. 20 4 a) Reprezentat, i grafic elipsa s, i dreapta. b) Fie B s, i C vârfurile situate pe semiaxa pozitiv˘ a Oy, respectiv semiaxa Ox negativ˘ a. Determinat, i coordonatele unui punct situat pe dreapta d, aflat la egal˘a distant, ˘a de punctele B s, i C.

32

Varianta 1 Profilurile matematic˘a-fizic˘a, informatic˘ a s, i metrologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a expresia P (x) = x2 − x loga t + 3 loga t − 8, unde a, t ∈ R, 0 < a < 1 s, i t > 0. a) S˘ a se determine t, astfel ˆıncˆ at P (x) > 0, pentru orice x real. b) S˘ a se determine t, astfel ˆıncˆ at ecuat, ia P (x) = 0 s˘a admit˘ a o r˘ad˘acin˘a dubl˘ a situat˘a ˆın intervalul (0, 3).

2.

3.

S˘ a se rezolve ecuat, ia x2 · 2x+1 + 2|x−3|+2 = x2 · 2|x−3|+4 + 2x−1 .   6 9 5 6 8 12 7 m  Se consider˘ a matricea A =  2 3 1 2 , m parametru real. 4 6 3 4 a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A.

    7 x 9 y     b) Pentru m = 8 s˘a se rezolve ecuat, ia matriceal˘a A · X =  3, unde X = z . 5 t SUBIECTUL II 1.

S˘ a se arate c˘ a pentru orice num˘ ar real x ≥ 0 este adev˘arat˘a relat, ia: 1−

2.

1 x ≤√ ≤ 1. 2 x+1

Se consider˘ a funct, ia f : D → R (D domeniul maxim de definit, ie), f (x) = arctan

a 6= 0.

a+x 1 √ − ln 1 + x2 , a ∈ R, 1 − ax a

a) S˘ a se determine a astfel ˆıncˆ at lim (−axf ′ (x))x = e2 . x→∞

b) Pentru a = −2 s˘a se determine domeniul de definit, ie s, i domeniul de derivabilitate ale funct, iei obt, inute. S˘ a se stabileasc˘a intervalele de monotonie ale funct, iei obt, inute. 3.

Se consider˘ a funct, ia f : (0, ∞) → R, f (x) = 1 −

ln x 1 − · x x

a) S˘ a se rezolve inecuat, ia f (x) ≥ 1. b) Calculat, i aria suprafet, ei plane limitate de graficul funct, iei f , dreptele y = 1, x =

1 1 s, i x = . e2 e

SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(3, 1), B(−1, 3) s, i dreapta d : 3x − y − 2 = 0. S˘ a se determine ecuat, ia cercului care are centrul pe dreapta d s, i trece prin punctele A s, i B.

33

Varianta 2 Profilurile matematic˘a-fizic˘a, informatic˘ a s, i metrologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a dezvoltarea

√ √ !n 16 2x 32 √ + √ , n ∈ N∗ , x ∈ R. 16 8 2x

Cn1 Cn2 , s˘a fie termeni succesivi ai unei progresii aritmetice. 2 4 b) Pentru n = 8, verificat, i dac˘ a exist˘a valori ale lui x astfel ˆıncˆ at diferent, a dintre termenii al a, selea s, i al patrulea ai dezvolt˘ arii s˘a fie 56. a) Determinat, i n astfel ˆıncˆ at Cn0 ,

2.

Se consider˘ a polinomul f ∈ R[X], f = X 4 + 2X 3 + aX 2 + bX + c, a, b, c parametri. a) S˘ a se determine ˆın funct, ie de coeficient, i suma p˘ atratelor r˘ad˘acinilor polinomului f . b) Pentru a = 3, s˘a se arate c˘ a pentru orice b, c ∈ R polinomul f nu poate avea toate r˘ad˘acinile reale.

√ c) S˘ a se determine a, b, c ∈ Q, s, tiind c˘ a restul ˆımp˘art, irii lui f la X − 1 este egal cu 3 s, i f are r˘ad˘acina −1 + 2. Pentru a, b, c determinat, i, rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor complexe ecuat, ia f (x) = 0.

3.

a) S˘ a se defineasc˘a inelul f˘ ar˘ a divizori ai lui zero s, i s˘a se dea un exemplu de inel f˘ar˘a divizori ai lui zero. b) Admitem c˘ a mult, imea A = {f | f : {0; 1} → R} ˆınzestrat˘a cu operat, ia de adunare s, i de ˆınmult, ire a funct, iilor, formeaz˘ a o structur˘ a de inel. Inelul (A, +·) are divizori ai lui zero? Justificat, i r˘aspunsul. SUBIECTUL II

1.

Se consider˘ a funct, ia f : D → R (D domeniul maxim de definit, ie), f (x) = ax + reali, a, b > 0.

√ bx2 + cx + 1, a, b, c parametri

a) S˘ a se determine a, b s, i c astfel ˆıncˆ at graficul funct, iei s˘a admit˘ a spre +∞ asimptot˘a paralel˘ a cu dreapta y = 4x − 2, iar spre −∞ asimptota orizontal˘ a y = −1.

b) Pentru a = 2, b = 4 s, i c = 4 s˘a se reprezinte grafic funct, ia obt, inut˘a. 2.

a) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a funct, ia f : [−a, a] → R, a > 0, este continu˘ a s, i impar˘a, atunci b) S˘ a se arate c˘ a

Z

1 2

− 12

1+x ln dx = 0 s, i 1−x

Z

π 4

Z

a

f (x) dx = 0.

−a

x2 sin x dx = 0.

−π 4

c) Care este aria suprafet, ei plane limitate de graficul funct, iei f : R → R, f (x) = x2 sin x, axa Ox s, i dreptele π π de ecuat, ii x = − s, i x = ? 4 4 SUBIECTUL III În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(0, 4), B(−2, 0) s, i C(3, 0). a) Reprezentat, i punctele s, i calculat, i distant, ele BC s, i AC. b) S˘ a se scrie ecuat, iile mediatoarelor segmentelor [AB] s, i [BC]. c) Determinat, i centrul s, i raza cercului circumscris triunghiului ABC.

34

Varianta 3 Profilurile matematic˘a-fizic˘a, informatic˘ a s, i metrologie

SUBIECTUL I 1.

3 > 0. S˘ a se rezolve inecuat, ia log2x−x2 x − 2

2.

Precizat, i dac˘a exist˘a un num˘ ar complex z care s˘a ˆındeplineasc˘a simultan condit, iile: |z − 1 − 2i| = 3 s, i Re z ≥ 5.

3.

2 x1 a) Calculat, i determinantul ∆ = x1 1

x22 x2 1

x23 x3 , scriind rezultatul ca produs de factori. 1

b) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a polinomul f ∈ C[X], f = aX 2 + bX + c (a, b, c parametri), are trei r˘ad˘acini distincte, atunci a = b = c = 1. c) S˘ a se determine valorile parametrului m pentru care ecuat, ia (m2 − 3m + 2)x2 − (m2 − 5m + 4)x + m − m2 = 0 are cel put, in trei r˘ad˘acini distincte. SUBIECTUL II 1.

2.

Se consider˘ a progresia geometric˘ a (bn )n≥1 cu b1 > 0, cu rat, ia q ∈ (0, 1) s, i sumele Sn = b1 + b2 + · · · + bn s, i Tn = b31 + b32 + · · · + b3n . a) S˘ a se calculeze Sn s, i Tn ˆın funct, ie de b1 s, i q. 108 , s˘a se afle primul termen b1 s, i rat, ia q. b) S, tiind c˘ a lim Sn = 3 s, i lim Tn = n→∞ n→∞ 13 p Se consider˘ a expresia definit˘ a prin f (x) = 3 x2 + (m − 2)x − m + 2, m parametru real.

a) S˘ a se determine mult, imea valorilor lui m pentru care domeniul de definit, ie al funct, iei coincide cu domeniul de derivabilitate.

3.

b) Pentru m = −2 s˘a se stabileasc˘a monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei obt, inute. 2 a + b · e x s˘a fie primitiva funct, iei Precizat, i dac˘a exist˘a numerele reale a s, i b astfel ˆıncˆ at funct, ia F (x) = x 1 2 f (x) = 3 e x pe (0, ∞). Justificat, i r˘aspunsul. x SUBIECTUL III

y2 x2 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ + = 1. a dreapta d : x + 5 = 0 s, i elipsa E : 20 4 a) Reprezentat, i grafic elipsa s, i dreapta. b) Fie B s, i C vârfurile situate pe semiaxa pozitiv˘ a Oy, respectiv semiaxa Ox negativ˘ a. Determinat, i coordonatele unui punct situat pe dreapta d, aflat la egal˘a distant, ˘a de punctele B s, i C.

35

BACALAUREAT 2000 SIMULARE - MARTIE Varianta 1 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie SUBIECTUL I Se dau funct¸iile f : R → R, f (x) = x3 + 8x2 − 8 ¸si g : (0, ∞) → R, g(x) = ln x. 3 1. S˘ a se calculeze (f + g) ¸si (f + g)(1). 4 2.

S˘ a se arate c˘ a f + g este strict cresc˘ atoare pe (0, ∞).

3.

S˘ a se deduc˘ a din 1. ¸si 2. c˘ a ecuat¸ia (f + g)(x) = 0 are o singur˘a r˘ad˘acin˘a ˆın intervalul

4.

Se noteaz˘ a cu x1 , x2 , x3 ∈ C r˘ad˘acinile ecuat¸iei f (x) = 0 ¸si cu Sn = xn1 + xn2 + xn3 , n ∈ N, n ≥ 1.

3 ,1 . 4

a) S˘ a se calculeze S1 , S2 ¸si S3 . b) S˘ a se arate c˘ a Sn ∈ Z, (∀) n ≥ 1. SUBIECTUL II  

1. 2.

1 x Se consider˘ a mult¸imea G = A(x) ∈ M3 (R) | A(x) = 0 1  0 0 S˘ a se arate c˘ a A(x) · A(y) = A(x + y), (∀) x, y ∈ R.

  0  0 , x ∈ R .  3x

Folosind eventual rezultatul de la 1., s˘a se arate c˘ a: a) b) c) d)

3.



A(x) · A(y) = A(y) · A(x), (∀) x, y ∈ R. A(x) · A(0) = A(x), (∀) x ∈ R. A(x) · A(−x) = A(0), (∀) x ∈ R. S˘ a se arate c˘ a (G, ·) este grup comutativ.

S˘ a se calculeze An (2), (∀) n ∈ N∗ . SUBIECTUL III

1.

Se d˘ a funct¸ia f : D → R, D ⊂ R, f (x) = S˘ a se determine D.

√ 4

2 − lg x, unde D este domeniul maxim de definit¸ie al funct¸iei.

2.

S˘ a se determine x ∈ D astfel ˆıncˆ at termenul al cincilea din dezvoltarea binomului (1 + xf (x) )6 s˘a fie 15.

3.

a) S˘ a se calculeze f ′ (x) pentru x ∈ (0, 100). b) S˘ a se scrie ecuat¸ia tangentei la graficul funct¸iei ˆın punctul A(10, f (10)). SUBIECTUL IV Se define¸ste ¸sirul (In )n≥0 prin: I0 =

Z

0

1

ex dx ¸si In =

Z

0

1

xn ex dx, (∀) n ≥ 1.

1.

S˘ a se calculeze I0 ¸si I1 .

2.

Utilizând integrarea prin p˘ art¸i, s˘a se demonstreze c˘ a In+1 = e − (n + 1)In , (∀) n ≥ 0.

3.

S˘ a se arate c˘ a ¸sirul (In )n≥0 este: a) descresc˘ator; b) convergent.

4.

S˘ a se calculeze: a) b)

lim In ;

n→∞

lim nIn .

n→∞

1

Varianta 2 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I

1.

  −ax + y + z = −1 Se consider˘ a sistemul x − ay + z = a   x+y−z =2

, unde a este parametru real.

S˘ a se determine valorile lui a pentru care sistemul are solut¸ie unic˘ a.

2.

S˘ a se rezolve sistemul pentru a = −1.

3.

S˘ a se arate c˘ a pentru a = 3 sistemul nu are solut¸ii. SUBIECTUL II Fie P (X) = X 2 − 4X + 3. Pentru orice n ∈ N, n ≥ 4, se define¸ste ¸sirul (an )n≥4 prin an =

... +

1 · P (n)

1.

S˘ a se demonstreze c˘ a ¸sirul (an )n≥4 este cresc˘ ator.

2.

S˘ a se arate c˘ a an =

3.

S˘ a se deduc˘ a lim an .

1 1 1 + + + P (4) P (5) P (6)

(n − 3)(3n − 4) , (∀) n ≥ 4. 4(n − 1)(n − 2)

n→∞

SUBIECTUL III Pentru fiecare n ∈ N se consider˘ a funct¸ia fn : R → R, fn (x) = (x2 − 4x + 3)2n+1 . 1.

S˘ a se arate c˘ a fn (x) ≥ fn (2), (∀) x ∈ R, (∀) n ∈ N.

2.

Dreapta y = a cu a > −1 intersecteaz˘ a graficul funct¸iei ˆın punctele A ¸si B. S˘ a se calculeze coordonatele mijlocului segmentului [AB].

3.

4.

a) S˘ a se determine num˘ arul r˘ad˘acinilor reale ale ecuat¸iei f2 (x) = 0. b) S˘ a se afle care dintre r˘ad˘acini sunt puncte de extrem ale funct¸iei f2 . Z dx S˘ a se calculeze , x ∈ (1, 3). f0 (x) SUBIECTUL IV Se d˘ a polinomul S(X) = (X 2 − 4X + 3)7 .

1.

a) S˘ a se afle toate r˘ad˘acinile xi , 1 ≤ i ≤ 14 ale polinomului dat. b) S˘ a se calculeze

14 X i=1

2.

xi ¸si

14 X 1 · x i=1 i

Forma algebric˘a a polinomului dat este S(X) = s˘a se deduc˘ a valorile coeficient¸ilor a13 ¸si a1 .

3.

14 X

ak Xk . Folosind eventual relat¸iile dintre r˘ad˘acini ¸si coeficient¸i,

k=0

√ √ S˘ a se demonstreze c˘ a exist˘a p, q ∈ N∗ astfel ˆıncˆ at S( 2) = p − q 2.

2

SIMULARE - MARTIE Varianta 1 Profilul economic, fizic˘a-chimie, chimie-biologie

SUBIECTUL I Fie a, b ∈ (0, ∞) ¸si funct¸ia f : R\{1} → R, f (x) = 1.

S˘ a se calculeze:

ax2 + b · x−1

f (x) · x→∞ x b) lim [f (x) − ax]. a)

lim

x→−∞

c) 2.

lim f (x) ¸si lim f (x). x→1 x1

a) S˘ a se calculeze f ′ (x), x ∈ R\{1}.

b) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f ′ are pe R\{1} dou˘a r˘ad˘acini distincte. c) S˘ a se determine punctul de maxim al funct¸iei f . SUBIECTUL II Fie ¸sirurile (an )n≥1 ¸si (bn )n≥1 1. 2.

n 1 ¸si bn = ln an , n ≥ 1. definite astfel: an = 3

S˘ a se arate c˘ a (∃) q ∈ R astfel ˆıncˆ at an+1 = qan , (∀) n ≥ 1. a) S˘ a se calculeze bn+1 − bn , n ≥ 1.

b) S˘ a se precizeze care dintre cele dou˘a ¸siruri este progresie aritmetic˘a. 3.

S˘ a se calculeze: a) a1 + a2 + . . . + an , n ∈ N∗ .

b) b1 + b2 + . . . + bn , n ∈ N∗ . n X c) lim ak . n→∞

k=1

n

d)

lim

n→∞

1 X − ak 2 k=1

!

·

n X

bk .

k=1

SUBIECTUL III x−2 1 Pentru x ∈ R se consider˘ a matricea A = . 1 x−2 1. 2.

S˘ a se determine valorile lui x pentru care det A = 0. a) S˘ a se calculeze A2 . b) S˘ a se demonstreze c˘ a A2 = (2x − 4)A − det A · I2 .

3. 4.

S˘ a se arate c˘ a A2 = (2x − 4)A dac˘ a ¸si numai dac˘a x ∈ {1; 3}. n−1 2 2n−1 n Dac˘ a x = 3, s˘a se demonstreze c˘ aA = , (∀) n ∈ N∗ . 2n−1 2n−1 SUBIECTUL IV

√ √ Se d˘ a funct¸ia f : [0, 3] → R, f (x) = (x 2 − 3)10 . Z 1. S˘ a se calculeze f (x) dx, x ∈ [0, 3]. 3

2.

Fie F : [0, 3] → R o primitiv˘a a lui f . a) S˘ a se studieze monotonia funct¸iei F . b) S˘ a se determine punctele de extrem ale funct¸iei F .

3. 4.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia F ′′ (x) < 0, x ∈ [0, 3].

√ √ S˘ a se demonstreze c˘ a tangentele la graficul funct¸iei F ˆın punctele A(0, F (0)) ¸si B( 6, F ( 6)) sunt paralele.

4

Varianta 2

SUBIECTUL I Se consider˘ a polinomul P (X) = X 2 (X − 2)2 + a, a ∈ R. 1.

S˘ a se calculeze P (1 − i).

2.

S˘ a se arate c˘ a P (1 − i) = P (1 + i).

3.

S˘ a se formeze o ecuat¸ie de gradul al doilea cu coeficient¸i reali care admite ca r˘ad˘acini numerele 1 + i ¸si 1 − i.

4.

Dac˘ a P (X) are r˘ad˘acina 1 + i, s˘a se rezolve ecuat¸ia P (x) = 0. SUBIECTUL II

1. 2. 3.

0 C Se consider˘ a f , g : N\{0, 1, 2} → R definite prin f (n) = n2 Cn S˘ a se arate c˘ a f (n) =

n − n3 ¸si g(n) = 2n − 2n2 , n ≥ 3. 3

0 An Cn1 2 , g(n) = 3 An Cn

A1n , n ≥ 3. A3n

f (n) f (n2 ) ¸si lim · n→∞ g(n) n→∞ g(n3 )

S˘ a se calculeze lim

1 A B = + , (∀) k ∈ N, k ≥ 3. f (k) (k − 1)k k(k + 1) n n X X 1 1 , pentru n ≥ 3 ¸si lim · b) S˘ a se calculeze n→∞ f (k) f (k) a) S˘ a se arate c˘ a exist˘a A, B ∈ R astfel ˆıncˆ at

k=1

k=3

SUBIECTUL III √ √ Pe R se define¸ste legea de compozit¸ie ”⋆” prin x ⋆ y = xy − (x + y) 2 + 2 + 2, x, y ∈ R. 1.

2.

a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este comutativ˘a. √ b) S˘ a se arate c˘ a intervalul [ 2, ∞) este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu legea ”⋆”. √ √ a) S˘ a se determine y ∈ [ 2, ∞) astfel ˆıncˆ at x ⋆ y = x, (∀) x ∈ [ 2, ∞). √ b) S˘ a se deduc˘ a existent¸a elementului neutru al legii ”⋆” pe [ 2, ∞). √ √ √ c) Pentru a ∈ ( 2, ∞) fixat, s˘a se determine y ∈ ( 2, ∞) care verific˘ a relat¸ia a ⋆ y = 1 + 2. SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : [0, 1] → R, f (x) = ex − 1 − cos x.

1.

a) S˘ a se calculeze f (0) ¸si f (1). b) S˘ a se demonstreze c˘ a f are cel put¸in o r˘ad˘acin˘a ˆın intervalul (0, 1).

2.

a) S˘ a se calculeze f ′ (x), x ∈ [0, 1].

b) S˘ a se demonstreze c˘ a f ′ are semn constant pe [0, 1]. c) S˘ a se demonstreze c˘ a f are o singur˘a r˘ad˘acin˘a ˆın intervalul (0, 1). 3.

S˘ a se calculeze: Z f (x) dx, x ∈ [0, 1]. a) b)

Z

1

f (x) dx

0

5

SIMULARE - MARTIE Varianta 1 Profilul industrial silvic, agricol, sportiv-real SUBIECTUL I Pentru a, b ∈ R se consider˘ a matricea A = 1.

a−1 −1

b2 + 1 . a

a) S˘ a se calculeze det A. b) S˘ a se arate c˘ a det A ≥ 0, (∀) a, b ∈ R.

c) S˘ a se arate c˘ a det A = 0 ⇔ a = 1 ¸si b = 0.

2.

Pentru a = b = 1 s˘a se calculeze: a) A2 ¸si A4 . b) A−1 folosind eventual 2. a). c) A2000 .

3.

S˘ a se determine a, b ∈ R astfel ˆıncˆ at A2 = −4I2 . SUBIECTUL II Fie f : D → R, f (x) = ln

1.

x , unde D este domeniul maxim de definit¸ie al funct¸iei. x+1

a) S˘ a se determine D. b) S˘ a se determine lim f (x) ¸si lim f (x). x→∞

2.

x→0

′

a) S˘ a se calculeze f (x), x ∈ D.

b) S˘ a se determine intervalele de monotonie ale funct¸iei f . c) S˘ a se arate c˘ a exist˘a A, B ∈ R astfel ˆıncˆ at f ′ (x) =

A B − , x ∈ D. x x+1

d) S˘ a se calculeze lim (f ′ (1) + f ′ (2) + . . . + f ′ (n)). n→∞

3.

S˘ a se scrie ecuat¸ia tangentei la graficul funct¸iei f ˆın punctul A(1, f (1)). SUBIECTUL III Pe R se define¸ste legea ”⋆” prin x ⋆ y = x + ay + 3, a ∈ R.

1.

S˘ a se arate c˘ a ”⋆” este comutativ˘a ⇔ a = 1.

2.

Fie I = [−3, ∞) ¸si a = 1. S˘ a se arate c˘ a: a) I este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu legea ”⋆”. b) ”⋆” are element neutru pe 1. c) I cont¸ine un singur element simetrizabil ˆın raport cu legea ”⋆”.

3.

Pentru a = 1 s˘a se rezolve ecuat¸ia x ⋆ x ⋆ x ⋆ x ⋆ x ⋆ x = 37. SUBIECTUL IV

Se d˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (2x − 3)5 . Z 1. S˘ a se calculeze f (x) dx. 2.

Fie F : R → R o primitiv˘a a funct¸iei f . S˘ a se calculeze F ′′ (x).

3.

S¸tiind c˘ a f (x) = a5 x5 + a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 , s˘a se calculeze a3 ¸si

6

a4 · a5

Varianta 2

SUBIECTUL I

1. 2.

  x + 2y = 3 Pentru m ∈ R se consider˘ a sistemul 2x − y = 1   3x + my = 5

.

S˘ a se rezolve sistemul pentru m = 2.

S˘ a se arate c˘ a pentru m 6= 2 sistemul nu are solut¸ii.

a dreptele d1 : x + 2y − 3 = 0, d2 : 2x − y − 1 = 0 ¸si 3. Într-un sistem cartezian de coordonate xOy se consider˘ dm : 3x + my − 5 = 0, m ∈ R. a) S˘ a se deduc˘ a din 1. c˘ a dreptele d1 ¸si d2 se intersecteaz˘ a ˆın A(1, 1). b) S˘ a se deduc˘ a din 1. ¸si 2. c˘ a A ∈ dm dac˘a ¸si numai dac˘a m = 2. SUBIECTUL II Fie f : D → R, f (x) =

√ x2 − 3x + 2 − x, unde D este domeniul maxim de definit¸ie.

1.

S˘ a se determine D.

2.

S˘ a se determine coordonatele punctului de intersect¸ie al graficului funct¸iei f cu axa Ox.

3.

S˘ a se calculeze: a) b)

lim f (x).

x→∞

lim f (x)

x→−∞

SUBIECTUL III Se consider˘ a mult¸imea G =

1 A(x) ∈ M2 (R) A(x) = 0

1.

S˘ a se arate c˘ a A(x)A(y) = A(x + y), (∀) x, y ∈ R.

2.

S˘ a se arate c˘ a:

x x∈R . 1

a) A(x)A(y) = A(y)A(x), (∀) x, y ∈ R.

b) A(x)A(0) = A(x), (∀) x ∈ R.

c) A(x)A(−x) = A(0), (∀) x ∈ R.

d) (G, ·) este grup comutativ. 3.

S˘ a se calculeze An (3), n ∈ N∗ . SUBIECTUL IV Fie f : (1, ∞) → R, f (x) =

x2 + ax + b , a, b ∈ R. x−1

1.

S˘ a se determine f ′ (x), x ∈ (1, ∞).

2.

S˘ a se determine a ¸si b astfel ˆıncˆ at f (2) = 1 ¸si f ′ (2) = 0.

3.

Dac˘ a a = −3 ¸si b = 3, se cere: a) S˘ a se stabileasc˘a semnul lui f ′ pe (1, ∞).

4.

b) S˘ a se determine intervalele de monotonie ale lui f . Z 3 2 Z 2 x − 3x + 3 x − 3x + 3 dx, x ∈ (1, ∞) ¸si dx. S˘ a se calculeze x−1 x−1 2

7

SIMULARE - MARTIE Varianta 1 Profilul pedagogic

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se demonstreze c˘ a suma S = ab4 + aba + a1b este divizibil˘a cu 7 (termenii sumei sunt numere naturale ˆın baza 10).

2.

Suma a trei numere naturale este 37. Dac˘ a se m˘are¸ste primul cu 150% din el, al doilea se miçsoreaz˘a cu 25% din el, iar al treilea se miçsoreaz˘a cu 5, atunci numerele obt¸inute sunt egale. S˘ a se afle numerele. SUBIECTUL II 6x + 9 3x + 2 ∈ Z

1.

Determinat¸i elementele mult¸imii A = x ∈ Z

2.

S˘ a se determine r˘ad˘acinile polinomului P (X) = 2X 3 − 7X 2 − 5X + 4, ¸stiind c˘ a P (X) este divizibil cu X + 1.

3.

S˘ a se rezolve ecuat¸iile: a) 9x

2

2

− 4 · 3x −1 + 3 = 0. x+5 b) log3 + 2 log9 (x + 1) = 1. x+3 −1

SUBIECTUL III 1.



 2 x 3 Fie matricea A = x −1 x . 1 2 m a) S˘ a se calculeze det A.

b) S˘ a se determine valorile parametrului real m astfel ˆıncˆ at matricea A s˘a fie inversabil˘ a pentru orice x ∈ R. 2.

Pe mult¸imea R definim legea de compozit¸ie x ⋆ y = xy + 3x + 3y + 6. a) S˘ a se arate c˘ a (R, ⋆) este monoid comutativ. b) S˘ a se g˘ aseasc˘a elementele inversabile ale monoidului. SUBIECTUL IV

1.

Fie un triunghi ABC, dreptunghic ˆın A, iar D mijlocul segmentului [BC]. Punctul E este simetricul lui B fat¸˘a de dreapta AD. S˘ a se arate c˘ a: a) EC k AD.

b) Punctele A, B, C, E sunt vârfurile unui patrulater inscriptibil. 2.

Se consider˘ a tetraedrul SABC ale c˘ arui muchii [SA], [SB], [SC] sunt dou˘a cˆ ate dou˘a perpendiculare ¸si BC = a, AC = b, AB = c. Se cere: a) S˘ a se calculeze lungimile muchiilor [SA], [SB], [SC]. b) S˘ a se calculeze volumul tetraedrului SABC. c) S˘ a se arate c˘ a proiect¸ia H a lui S pe planul (ABC) coincide cu punctul de concurent¸˘a al ˆın˘alt¸imilor triunghiului ABC. d) S˘ a se arate c˘ a aria triunghiului SBC este medie proport¸ional˘ a ˆıntre ariile triunghiurilor HBC ¸si ABC.

8

Varianta 2

SUBIECTUL I aiet¸i ¸si fete. Num˘ arul b˘ aiet¸ilor este cu 3 mai mare decât num˘arul fetelor. Dac˘ a ar mai veni 1. Într-o clas˘a sunt b˘ 4 b˘ aiet¸i ¸si ar pleca 4 fete, atunci num˘ arul b˘ aiet¸ilor ar fi de dou˘a ori mai mai mare decât num˘arul fetelor. S˘ a se afle cˆ a¸ti elevi sunt ˆın clas˘ a. 2.

S˘ a se afle z ∈ Z astfel ˆıncˆ at fract¸ia

3x + 5 s˘a reprezinte un num˘ar ˆıntreg. 2x − 3

SUBIECTUL II Fie ecuat¸ia x2 − mx + m − 1 = 0, unde m este parametru real ¸si x1 , x2 solut¸iile ei. a) S˘ a se determine valorile parametrului m pentru care are loc relat¸ia x21 + x22 > x1 + x2 . x1 + x2 10 b) S˘ a se determine m astfel ˆıncˆ at x10 1 + x2 = 2.

SUBIECTUL III 1. 2.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia log5 (x + 5) = 3 − log5 (x + 25). 1 2 u Fie matricea A = ∈ M2 (R) ¸si matricea B = 1 0 0 loc egalitatea AB = BA.

3.

Pe mult¸imea G = (3, ∞) se define¸ste legea ”⋆” prin x ⋆ y = xy − 3(x + y) + 12.

v 3

∈ M2 (R). Determinat¸i u, v ∈ R pentru care are

a) S˘ a se arate c˘ a (G, ⋆) este grup comutativ. b) S˘ a se rezolve ecuat¸ia x ⋆ 8 = 13. SUBIECTUL IV 1.

Se consider˘ a rombul ABCD ¸si un punct F ∈ (BC). Dreapta DF intersecteaz˘ a dreapta AB ˆın E. Not˘ am cu M mijlocul lui [DF ] ¸si cu G mijlocul lui [EF ]. S˘ a se arate c˘ a: a) triunghiurile BEG ¸si CDM sunt asemenea; b) CD · BG = CM · BE; c) AD2 = AE · CF .

2.

√ Un paralelipiped dreptunghic are lungimea diagonalei egal˘a cu 5 38 cm ¸si dimensiunile direct proport¸ionale cu numerele 2, 3 ¸si 5. a) S˘ a se calculeze dimensiunile paralelipipedului. b) S˘ a se calculeze aria aria total˘ a ¸si volumul paralelipipedului. c) Paralelipipedul este din lemn. Se vopsesc toate fet¸ele lui, apoi se taie cu plane paralele cu fet¸ele astfel ˆıncˆ at s˘a se obt¸in˘a cuburi cu muchia de 5 cm. (i) Câte t˘ aieturi se vor face ˆın total. (ii) Dintre cuburile obt¸inute cˆ ate au vopsite numai trei fet¸e? Dar numai o fat¸˘a?

9

SESIUNEA IUNIE Varianta 1 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ax5 + bx2 + c, a, b, c parametri reali. S˘ a se determine a, b ¸si c astfel ˆıncˆ at s˘a fie ˆındeplinite simultan urm˘atoarele condit¸ii: Z 1 f (0) = 1, f ′ (1) = 36, f (x) dx = 3. 0

2.



1 0 Se consider˘ a matricele I3 = 0 1 0 0

  0 0 1 0 ¸si A = 0 0 1 0 0

a) S˘ a se determine matricele A2 ¸si A3 .

 2 3. 0

b) S˘ a se determine matricea B = 6A5 − 3A2 + 6I2 . c) S˘ a se calculeze determinantul matricei B.

3.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia log2 (25x + 7) = 2 + log2 (5x + 1).

4. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(4, 5), B(−2, −3) ¸si C(5, 4). a) S˘ a se calculeze lungimile segmentelor [AB], [BC] ¸si [AC]. b) S˘ a se arate c˘ a triunghiul ABC este dreptunghic. c) S˘ a se determine coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − 3X 2 + aX − 5, a ∈ R. Pentru n ∈ N∗ , definim Sn = xn1 + xn2 + xn3 , unde x1 , x2 , x3 ∈ C sunt r˘ad˘acinile polinomului f . a) S˘ a se arate c˘ a S3 − 3S2 + aS1 − 15 = 0.

b) S˘ a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆ at S3 = −21. 2.

1 1 Se consider˘ a funct¸iile f , F : R → R, f (x) = e−x sin x, F (x) = − e−x sin x − e−x cos x ¸si In = 2 2 n ∈ N.

Z

(n+1)π

nπ

a) S˘ a se arate c˘ a F este o primitiv˘a a funct¸iei f . b) S˘ a se calculeze I0 ¸si s˘a se arate c˘ a Ik = (−1)k e−kπ I0 , pentru orice k ∈ N. SUBIECTUL III √ Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R ¸si submult¸imea sa G = {a + b 2 | a, b ∈ Z, a2 − 2b2 = 1}. √ √ a) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a a, b, c, d ∈ Z ¸si a + b 2 = c + d 2, atunci a = c ¸si b = d. b) S˘ a se demontreze c˘ a G este parte stabil˘a a lui R fat¸˘a de operat¸ia de ˆınmult¸ire a numerelor reale. √ 1 c) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a x = a + b 2 ¸si x ∈ G, atunci x 6= 0 ¸si ∈ G. x √ d) S˘ a se g˘ aseasc˘a un element x = a + b 2 ∈ G cu proprietatea c˘ a b 6= 0. e) S˘ a se arate c˘ a mult¸imea G are cel put¸in 200 de elemente. SUBIECTUL IV x x 4 3 + − 1 ¸si g(x) = f (x) − 1 + x. Se consider˘ a funct¸iile f , g : R → R, f (x) = 7 7 10

f (x) dx,

a) S˘ a se determine g ′ (x), pentru orice x ∈ R. b) S˘ a se stabileasc˘a semnul funct¸iei g ′′ ¸si s˘a se precizeze monotonia funct¸iei g ′ . c) Utilizând teorema lui Rolle pentru funct¸ia g s˘a se demonstreze c˘ a exist˘a c ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆ at g ′ (c) = 0. S˘ a se arate c˘ a punctul c este unic. d) Deducet¸i c˘ a funct¸ia g este strict descresc˘atoare pe (0, c) ¸si strict cresc˘ atoare pe (c, 1), unde c este definit la punctul c). e) S˘ a se arate c˘ a pentru orice x ∈ [0, 1], g(x) ≤ 1. f ) S˘ a se arate c˘ a aria suprafet¸ei plane limitate de graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 0, x = 1, 1 este mai mic˘a decˆ at · 2

11

Varianta 2 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = X 3 + 6X 2 + 11X + 6. a) S˘ a se calculeze f (−1). b) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘art¸irii polinomului f la X + 1. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0.

2.

S˘ a se rezolve inecuat¸ia Cn0 + Cn1 + . . . + Cnn ≥ 64, n ∈ N∗ .

3.

Se consider˘ a funct¸ia g : R\{0} → R, g(x) = graficul funct¸iei g.

6x5 + 3x2 + 1 . S˘ a se stabileasc˘a asimptota oblic˘ a spre +∞ la x4

a punctele A(3, 4), B(−3, −4) ¸si C(3, −4). 4. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se calculeze lungimile segmentelor [AB], [BC] ¸si [AC]. b) S˘ a se arate c˘ a triunghiul ABC este dreptunghic. c) S˘ a se determine coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = 2xy − 6x − 6y + 21, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a ¸si comutativ˘a. b) S˘ a se determine elementul neutru legii ”⋆”.

2.

c) Consider˘am mult¸imea G = (3, ∞). S˘ a se demonstreze c˘ a G este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu legea ”⋆”. Z 1 3k x dx. Se consider˘ a funct¸ia f : [0, ∞) → R, f (x) = ln(1 + x3x ). Pentru orice k ∈ N∗ se define¸ste Ik = k 2 0 1 + k3 x f (x) · 2x b) S˘ a se calculeze Ik , k ∈ N∗ . a) S˘ a se calculeze lim

x→∞

SUBIECTUL III 1 1. S˘ a se arate c˘ a x x2 2.

1 y y2

1 z = (y − x)(z − x)(z − y). z2

Se consider˘ a a, b, c, d numere reale distincte dou˘a cˆ ate dou˘a. Se definesc funct¸iile f , g : R → R, f (x) = (x − a)(x − b)(x − c)(x − d) ¸si g(x) = x2 + x + 1. a) S˘ a se arate c˘ a f ′ (x) = (a − b)(a − c)(a − d). 1 1 1 a b c b) S˘ a se demonstreze c˘ a ∆ = 2 2 2 a b c g(a) g(b) g(c)

1 d = 0. d2 g(d)

c) Dezvoltˆ and determinantul ∆ dup˘a ultima linie, deducet¸i identitatea g(a) g(b) g(c) g(d) + + + = 0. f ′ (a) f ′ (b) f ′ (c) f ′ (d)

SUBIECTUL IV x x 5 3 + − 1 ¸si g(x) = f (x) − 1 + x. Se consider˘ a funct¸iile f , g : R → R, f (x) = 8 8 12

a) S˘ a se determine g ′ (x), pentru orice x ∈ R. b) S˘ a se stabileasc˘a semnul funct¸iei g ′′ ¸si s˘a se precizeze monotonia funct¸iei g ′ . c) Utilizând teorema lui Rolle pentru funct¸ia g s˘a se demonstreze c˘ a exist˘a a ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆ at g ′ (a) = 0. S˘ a se arate c˘ a punctul a este unic. d) Deducet¸i c˘ a funct¸ia g este strict descresc˘atoare pe (0, a) ¸si strict cresc˘ atoare pe (a, 1), unde a este definit la punctul c). e) Deducet¸i c˘ a pentru orice x ∈ [0, 1], g(x) ≤ 0. f ) S˘ a se arate c˘ a aria suprafet¸ei plane limitate de graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 0, x = 1, 1 este mai mic˘a decˆ at · 2

13

Varianta 3 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = xex . a) S˘ a se determine f ′ (x), pentru orice x ∈ R.

b) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f ′ (x) = 0. Z 1 c) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

2.

Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = x + y + 4, pentru orice x, y ∈ R.

a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. b) S˘ a se arate c˘ a e = −4 este elementul neutru al legii ”⋆”. c) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice x ∈ R este adev˘arat˘a relat¸ia x ⋆ (−x − 8) = −4. ˆ 3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a cercul de ecuat¸ie (x + 3)2 + (y + 5)2 = 169. a) S˘ a se determine coordonatele centrului ¸si raza cercului. b) S˘ a se verifice c˘ a punctul P (2, 7) este situat pe cerc. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia tangentei la cerc ˆın punctul P (2, 7). SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul (1 + X + X 2 )10 cu forma sa algebric˘a f = a20 X 20 + . . . + a1 X + a0 .

a) S˘ a se determine a0 ¸si a1 . b) S˘ a se calculeze f (1), f (−1), f (i). c) S˘ a se calculeze suma coeficient¸ilor polinomului f . 1 d) S˘ a se arate c˘ a a0 + a4 + . . . + a16 + a20 = (f (1) + f (−1) + f (i) + f (−i)). 4 (x + 1)3 (x + 1)3 2. Se consider˘ a funct¸iile f , F : (−1, ∞) → R, f (x) = (x+1)2 ln(x+1) ¸si F (x) = ln(x+1)− + 3 9 1 · 9 a) S˘ a se arate c˘ a pentru orice x ∈ (−1, ∞), F ′ (x) = f (x). F (x) · b) S˘ a se calculeze lim x→0 x2 SUBIECTUL III 

  −4 2 2 2 Se consider˘ a matricele A =  2 −4 2 , B = 2 2 2 −4 2

 2 2 2 2 ¸si C = aA + bB, unde a, b sunt parametri reali. 2 2

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A ¸si s˘a se determine rangul ei.

b) S˘ a se demonstreze c˘ a rang(aA + bB) = 3 dac˘a ¸si numai dac˘a ab 6= 0. c) S˘ a se arate c˘ a A2 = −6A ¸si B 2 = 6B.

d) S˘ a se arate c˘ a AB = BA.

e) S˘ a se demonstreze prin induct¸ie c˘ a dac˘a matricea X ∈ M3 (R) astfel ˆıncˆ at X 2 = tX, t ∈ R, atunci pentru orice n ∈ N∗ avem X n = tn−1 X. f ) S˘ a se determine matricea C n , ∀ n ∈ N∗ .

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸iile f , F : (0, ∞) → R, f (x) =

definim ¸sirul an = f (1) + f (2) + . . . + f (n).

1 1 ¸si F (x) = x1−b , b ∈ R, b > 1. Pentru n ∈ N, n ≥ 1, b x 1−b 14

a) S˘ a se arate c˘ a F este o primitiv˘a a funct¸iei f . b) Utilizând teorema lui Lagrange s˘a se arate c˘ a pentru orice k ∈ N, k ≥ 1, exist˘a ck ∈ (k, k + 1) astfel ˆıncˆ at F (k + 1) − F (k) = f (ck ). c) S˘ a se arate c˘ a pentru orice k ∈ N, k ≥ 1, au loc inegalit˘a¸tile: 1 1 < F (k + 1) − F (k) < b · b (k + 1) k d) S˘ a se arate c˘ a ¸sirul (an )n≥1 este cresc˘ ator. e) Utilizând rezultatul de la punctul c), s˘a se demonstreze c˘ a an < f ) Deducet¸i c˘ a ¸sirul (an )n≥1 este convergent.

15

b , ∀ n ∈ N∗ . b−1

Varianta 4 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 + 4x + 1 + m, unde m este un parametru real. a) S˘ a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆ at pentru orice x ∈ R, f (x) ≥ 0. √ √ b) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice m ∈ R, avem f ( 7 − 2) = f (− 7 − 2). 2.

Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = x + y − 4, pentru orice x, y ∈ R.

a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. b) S˘ a se arate c˘ a e = 4 este elementul neutru al legii ”⋆”. c) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice x ∈ R este adev˘arat˘a relat¸ia x ⋆ (−x + 8) = 4. a punctele A(5, 6), B(−1, −2) ¸si C(6, 5). 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se calculeze lungimile segmentelor [AB], [BC] ¸si [AC]. b) S˘ a se arate c˘ a triunghiul ABC este dreptunghic. c) S˘ a se determine coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul (1 − X + X 2 )10 cu forma sa algebric˘a f = a20 X 20 + . . . + a1 X + a0 .

a) S˘ a se determine a0 ¸si a1 . b) S˘ a se calculeze f (1), f (−1), f (i). c) S˘ a se calculeze suma coeficient¸ilor polinomului f . 1 d) S˘ a se arate c˘ a a0 + a4 + . . . + a16 + a20 = (f (1) + f (−1) + f (i) + f (−i)). 4 2x · 2. Se consider˘ a funct¸ia f : R\{−1; 1} → R, f (x) = 2 x −1 a b a) S˘ a se determine a, b ∈ R cu proprietatea f (x) = + , ∀ x ∈ R\{−1; 1}. x+1 x−1 Z 3 f (x) dx. b) S˘ a se calculeze 2

SUBIECTUL III 

4 Se consider˘ a matricele A = −2 −2 reali.

   −2 −2 −2 −2 −2 4 −2, B = −2 −2 −2 ¸si C = aA + bB, unde a, b sunt parametri −2 4 −2 −2 −2

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A ¸si s˘a se determine rangul ei. b) S˘ a se demonstreze c˘ a rang(aA + bB) = 3 dac˘a ¸si numai dac˘a ab 6= 0. c) S˘ a se arate c˘ a A2 = 6A ¸si B 2 = −6B.

d) S˘ a se arate c˘ a AB = BA.

e) S˘ a se demonstreze prin induct¸ie c˘ a dac˘a matricea X ∈ M3 (R) astfel ˆıncˆ at X 2 = tX, t ∈ R, atunci pentru ∗ n n−1 orice n ∈ N avem X = t X. f ) S˘ a se determine matricea C n , ∀ n ∈ N∗ .

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸iile f , F : (1, ∞) → R, F (x) = ln(1 + ln x) ¸si f (x) = ¸sirul an = f (1) + f (2) + . . . + f (n). a) S˘ a se arate c˘ a F este o primitiv˘a a funct¸iei f . 16

1 · Pentru n ∈ N, n ≥ 2, definim x(1 + ln x)

b) Utilizând teorema lui Lagrange s˘a se arate c˘ a pentru orice k ∈ N, k ≥ 2, exist˘a ck ∈ (k, k + 1) astfel ˆıncˆ at F (k + 1) − F (k) = f (ck ). c) S˘ a se arate c˘ a pentru orice k ∈ N, k ≥ 2, au loc inegalit˘a¸tile: 1 1 < F (k + 1) − F (k) < · (k + 1)(1 + ln(k + 1)) k(1 + ln k) d) S˘ a se arate c˘ a ¸sirul (an )n≥2 este cresc˘ ator. e) Utilizând rezultatul de la punctul c), s˘a se demonstreze c˘ a an ≥ F (n + 1) − F (2), ∀ n ∈ N, n ≥ 2. f ) Deducet¸i c˘ a limita ¸sirului (an )n≥2 este +∞.

17

Varianta 5 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 + 2x + 1 + m, unde m este un parametru real. a) S˘ a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆ at pentru orice x ∈ R, f (x) ≥ 0. √ √ b) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice m ∈ R, avem f ( 5 − 1) = f (− 5 − 1).

2.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia log2 (9x + 7) = 2 + log2 (3x + 1).

3.

Se consider˘ a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = x3 ln x a) S˘ a se determine f ′ (x) pentru orice x ∈ (0, ∞).

b) S˘ a se determine primitiva F : (0, ∞) → R a funct¸iei f care are proprietatea F (1) = 0. a dreptele de ecuat¸ii: d1 : x + 2y − 3 = 0, d2 : 2x + y − 3 = 0 4. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ ¸si d3 : 3x + 2y − 5 = 0. a) S˘ a se determine punctul de intersect¸ie al dreptelor d1 ¸si d2 . b) S˘ a se arate c˘ a dreptele d1 , d2 ¸si d3 sunt concurente. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia cercului de centru O(0, 0) care trece prin punctul de concurent¸˘a al celor trei drepte. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 + X 2 + aX + 1, a ∈ R ¸si x1 , x2 , x3 ∈ C r˘ad˘acinile sale. Pentru n ∈ N∗ , definim n Sn = x1 + xn2 + xn3 . a) S˘ a se arate c˘ a S3 + S2 + aS1 + 3 = 0. b) S˘ a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆ at S3 = −1.

2.

Se consider˘ a funct¸iile f , F : R → R, f (x) = a sin x + b sin 3x + c sin 5x ¸si F (x) = −a cos x −

b c cos 3x − cos 5x. 3 5

a) S˘ a se arate c˘ a pentru orice x ∈ R, F ′ (x) = f (x). π b) S˘ a se calculeze F 2kπ + , pentru orice k ∈ Z. 2 c) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a f (x) ≥ 0 pentru orice x ∈ R, atunci F este identic zero. SUBIECTUL III a dac˘a z1 , z2 ∈ C, atunci a) În mult¸imea numerelor complexe C, s˘a se demonstreze c˘ z1 + z2 = z1 + z2 , z1 · z2 = z1 · z2 , z1 = z1 . Se noteaz˘ a cu z conjugatul lui z. Se consider˘ a M2 (C), mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste C, ¸si submult¸imea z w H = A= z, w ∈ C . −w z

b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice A, B ∈ H, matricea A · B ∈ H.

c) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a A ∈ H ¸si are determinantul zero, atunci A = O2 . d) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A ∈ H ¸si A 6= O2 , atunci A−1 ∈ H. e) S˘ a se g˘ aseasc˘a A, B ∈ H având proprietatea A · B 6= B · A. SUBIECTUL IV Z π3 h πi sinn x → R, fn (x) = , ¸si integrala In = fn (x) dx. Pentru orice n ∈ N , se consider˘ a funct¸ia fn : 0, 3 9 + cos2 x 0 ∗

18

a) S˘ a se calculeze I1 . h πi b) S˘ a se determine derivata fn′ (x), ∀ x ∈ 0, , n ∈ N∗ . 3

c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia fn este cresc˘ atoare. π h πi are loc relat¸ia 0 ≤ fn (x) ≤ fn , n ∈ N∗ . d) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru x ∈ 0, 3 3 π π e) S˘ a se arate c˘ a 0 ≤ In ≤ fn · , n ∈ N∗ . 3 3 f ) S˘ a se determine limita ¸sirului (In )n≥1 .

19

Varianta 6 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸iile f , g : R → R, f (x) = x2 − 8x + 1 ¸si g(x) = −x2 + 4x − 17. a) S˘ a se arate c˘ a f (x) − g(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ R.

b) S˘ a se calculeze aria suprafet¸ei plane limitate de graficele funct¸iilor f ¸si g, ¸si dreptele de ecuat¸ii x = −1, x = 0. 2.

Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = x + y − 10, pentru orice x, y ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este comutativ˘a. b) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. c) S˘ a se arate c˘ a e = 10 este elementul neutru al legii ”⋆”. d) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice x ∈ R este adev˘arat˘a relat¸ia x ⋆ (−x + 20) = 10.

a cercul de ecuat¸ie (x − 6)2 + (y − 3)2 = 25. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se determine coordonatele centrului ¸si raza cercului. b) S˘ a se verifice c˘ a punctul P (9, 7) este situat pe cerc. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia tangentei la cerc ˆın punctul P (9, 7). SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul (1 − 2X + X 2 )10 cu forma sa algebric˘a f = a20 X 20 + . . . + a1 X + a0 . a) S˘ a se determine a0 ¸si a1 . b) S˘ a se calculeze f (1), f (−1), f (i). c) S˘ a se calculeze suma coeficient¸ilor polinomului f . 1 d) S˘ a se arate c˘ a a0 + a4 + . . . + a16 + a20 = (f (1) + f (−1) + f (i) + f (−i)). 4

2.

Se consider˘ a funct¸iile f , F : R → R, f (x) = a cos x + b cos 2x + c cos 3x ¸si F (x) = a sin x + a) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia F este o primitiv˘a a funct¸iei f . b) S˘ a se calculeze F (kπ), pentru orice k ∈ Z.

c) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a f (x) ≥ 0 pentru orice x ∈ R, atunci F este identic zero.

SUBIECTUL III a dac˘a z1 , z2 ∈ C, atunci a) În mult¸imea numerelor complexe C, s˘a se demonstreze c˘ z1 + z2 = z1 + z2 , z1 · z2 = z1 · z2 , z1 = z1 . Se noteaz˘ a cu z conjugatul lui z. Se consider˘ a M2 (C), mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste C, ¸si submult¸imea z −w H = A= z, w ∈ C . w z

b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice A, B ∈ H, matricea A · B ∈ H.

c) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a A ∈ H ¸si are determinantul zero, atunci A = O2 . d) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A ∈ H ¸si A 6= O2 , atunci A−1 ∈ H. e) S˘ a se g˘ aseasc˘a A, B ∈ H având proprietatea A · B 6= B · A. 20

c b sin 2x + sin 3x. 2 3

SUBIECTUL IV Z Se consider˘ a I0 =

0

1

√ 1 − x dx ¸si Ik =

Z

0

1

xk ·

√ 1 − x dx, ∀ k ∈ N∗ .

a) S˘ a se calculeze I0 . 2k · Ik−1 . 2k + 3 √ √ √ c) Pentru x ∈ [0, 1) se define¸ste suma Sn (x) = 1 − x + x 1 − x + . . . + xn−1 1 − x, ∀ n ∈ N∗ . S˘ a se arate c˘ a 1 lim Sn (x) = √ · n→∞ 1−x

b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice k ∈ N∗ , Ik =

21

Varianta 7 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = 2X 3 − 3X 2 − 17X + 30. a) S˘ a se calculeze f (2). b) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘art¸irii polinomului f la X − 2. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0.

2. 3.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia 2e3x − 3e2x − 17ex + 30 = 0. Z x S˘ a se determine x ∈ R astfel ˆıncˆ at (6t2 − 6t − 17) dt + 30 = 0. 0

a punctele A(−3, 4), B(5, −2) ¸si C mijlocul segmentului 4. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ [AB]. a) S˘ a se determine coordonatele punctului C ¸si lungimea segmentului [AB]. b) S˘ a se scrie ecuat¸ia cercului de diametru [AB]. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia tangentei la cercul de diametru [AB] care trece prin punctul D(4, 5). SUBIECTUL II  1 atratice de ordinul trei peste C, se consider˘ a matricele I3 = 0 1. În mult, imea matricelor p˘ 0   0 3 2 0 0 1. 0 0 0

0 1 0

 0 0 ¸si A = 1

a) S˘ a se determine matricele A2 ¸si A3 .

b) S˘ a se arate c˘ a pentru orice z ∈ C determinantul matricei I3 + zA este egal cu 1. c) S˘ a se demonstreze c˘ a I3 = (I3 + A)(I3 − A + A2 ).

d) S˘ a se arate c˘ a matricea I3 + A este inversabil˘ a ¸si s˘a se precizeze inversa sa. 2.

a) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice x ∈ R, x 6= 1, are loc identitatea: x + x2 + . . . + xn =

xn+1 − x · x−1

b) Derivând ambii termeni ai identit˘ a¸tii de la punctul a), s˘a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , 1 + 2x + 3x2 + . . . + nxn−1 =

nxn+1 − (n + 1)xn + 1 · (x − 1)2

SUBIECTUL III Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = 2xy − 6x − 6y + 21, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a ¸si comutativ˘a. b) S˘ a se determine elementul neutru al legii ”⋆”. c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice x ∈ R are loc identitatea n−1 (x − 3)n + 3, ∀ n ∈ N∗ . x | ⋆ x ⋆{z. . . ⋆ x} = 2 de n ori

22

SUBIECTUL IV 1 ¸si se define¸ste ¸sirul (In ) astfel: I0 = Se consider˘ a funct¸ia f : [0, 1] → R, f (x) = 2 x + 2x + 2 Z 1 In = xn f (x) dx, n ∈ N, n ≥ 1. 0

a) S˘ a se calculeze I0 ¸si I1 . b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N, In+2 + 2In+1 + 2In =

1 · n+1

c) S˘ a se arate c˘ a pentru orice n ∈ N, In+1 ≤ In . d) Utilizând punctele b) ¸si c) s˘a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N, n ≥ 1, 5In+2 ≤ e) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N, n ≥ 2,

1 1 ≤ In ≤ · 5(n + 1) 5(n − 1)

f ) S˘ a se arate c˘ a lim nIn = f (1). n→∞

23

1 ≤ 5In . n+1

Z

0

1

f (x) dx ¸si

Varianta 8 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = 2X 3 − X 2 − 5X − 2. a) S˘ a se calculeze f (−1). b) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘art¸irii polinomului f la X + 1. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0.

2. 3.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia 2(ln x)3 − (ln x)2 − 5 ln x − 2 = 0, x > 0. Z x S˘ a se determine x ∈ R astfel ˆıncˆ at (6t2 − 2t − 5) dt − 2 = 0. 0

a punctele A(−3, 4), B(5, −4) ¸si C mijlocul segmentului 4. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ [AB]. a) S˘ a se determine coordonatele punctului C ¸si lungimea segmentului [AB]. b) S˘ a se scrie ecuat¸ia cercului de diametru [AB].

√ c) S˘ a se scrie ecuat¸ia tangentei la cercul de diametru [AB] care trece prin punctul D(6, 7).

SUBIECTUL II a polinomul f = (X + i)6 + (X − i)6 , cu 1. În C[X], mult¸imea polinoamelor cu coeficient¸i compleçsi, se consider˘ r˘ad˘acinile x1 , x2 , . . ., x6 ∈ C. a) S˘ a se calculeze f (0). b) Considerând forma algebric˘a a polinomului f = a6 X 6 + a5 X 5 + . . . + a1 X + a0 , determinat¸i coeficient¸ii a6 , a5 ¸si a4 . c) S˘ a se calculeze suma S = x1 + x2 + . . . + x6 . 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (1 + x)n , n ∈ N∗ . a) S˘ a se arate c˘ a pentru orice x ∈ R, f (x) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + . . . + Cnn xn , n ∈ N∗ .

b) Derivând cele dou˘a expresii ale lui f s˘a se demonstreze c˘ a pentru orice x ∈ R are loc identitatea: n(1 + x)n−1 = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x2 + . . . + nCnn xn−1 , ∀ n ∈ N∗ . SUBIECTUL III 1 1. S˘ a se arate c˘ a x x2 2.

1 y y2

1 z = (y − x)(z − x)(z − y). z2

Se consider˘ a a, b, c, d numere reale distincte dou˘a cˆ ate dou˘a. Se definesc funct¸iile f , g : R → R, f (x) = (x − a)(x − b)(x − c)(x − d) ¸si g(x) = x2 + x + 1. a) S˘ a se arate c˘ a f ′ (x) = (a − b)(a − c)(a − d). 1 1 1 a b c b) S˘ a se demonstreze c˘ a ∆ = 2 2 2 a b c g(a) g(b) g(c)

1 d = 0. d2 g(d)

c) Dezvoltˆ and determinantul ∆ dup˘a ultima linie, deducet¸i identitatea g(b) g(c) g(d) g(a) + + + = 0. f ′ (a) f ′ (b) f ′ (c) f ′ (d)

24

SUBIECTUL IV 1 ¸si se define¸ste ¸sirul (In ) astfel: I0 = Se consider˘ a funct¸ia f : [0, 1] → R, f (x) = 2 x + 4x + 5 Z 1 In = xn f (x) dx, n ∈ N, n ≥ 1.

Z

0

0

a) S˘ a se calculeze I0 ¸si I1 . b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N, In+2 + 4In+1 + 5In =

1 · n+1

c) S˘ a se arate c˘ a pentru orice n ∈ N, In+1 ≤ In . d) Utilizând punctele b) ¸si c) s˘a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N, n ≥ 1, 10In+2 ≤ e) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N, n ≥ 2,

1 1 ≤ In ≤ · 10(n + 1) 10(n − 1)

f ) S˘ a se arate c˘ a lim nIn = f (1). n→∞

25

1 ≤ 10In . n+1

1

f (x) dx ¸si

Varianta 9 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = X 3 − 2X 2 − 5X + 6. a) S˘ a se calculeze f (1). b) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘art¸irii polinomului f la X − 1. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0.

2. 3.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia (ln x)3 − 2(ln x)2 − 5 ln x + 6 = 0, x > 0. Z x S˘ a se determine x ∈ R astfel ˆıncˆ at (3t2 − 4t − 5) dt + 6 = 0. 0

a dreptele de ecuat¸ii: d1 : 3x − 2y = 0, d2 : x + 3y − 11 = 0 4. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ ¸si d3 : 2x − 3y + 5 = 0. a) S˘ a se determine punctul de intersect¸ie al dreptelor d1 ¸si d2 . b) S˘ a se arate c˘ a dreptele d1 , d2 ¸si d3 sunt concurente. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia cercului de centru O(0, 0) care trece prin punctul de concurent¸˘a al celor trei drepte. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − X 2 + aX − 1, a ∈ R. Pentru n ∈ N∗ , definim Sn = xn1 + xn2 + xn3 , unde x1 , x2 , x3 ∈ C sunt r˘ad˘acinile polinomului f . a) S˘ a se arate c˘ a S3 − S2 + aS1 − 3 = 0.

b) S˘ a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆ at S3 = 1. 2.

Pentru orice x ∈ [0, 1) se define¸ste suma √ √ √ Sn (x) = 1 − x + x 1 − x + · · · + xn−1 1 − x, ∀ n ∈ N∗ . a) S˘ a se arate c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , Sn = b) S˘ a se calculeze lim Sn (x). n→∞ Z 1 √ c) S˘ a se calculeze 1 − x dx.

√ 1 − xn , x ∈ [0, 1). 1−x· 1−x

0

SUBIECTUL III În M2 (R), mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordinul doi peste R, se consider˘ a matricea X(a) = a ∈ R.

1 + 5a −2a

10a , 1 − 4a

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei X(a). b) Pentru orice a, b ∈ R, s˘a se arate c˘ a X(a) · X(b) = X(ab + a + b). Se consider˘ a mult¸imea G = {X(a) | a ∈ (−1, ∞)}.

c) S˘ a se demonstreze c˘ a G este parte stabil˘a a lui M2 (R) ˆın raport cu operat¸ia de ˆınmult¸ire a matricelor. d) S˘ a se determine (X(1))2 . e) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct¸iei matematice, c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , (X(1))n = X(2n − 1). SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = cos x − 1 +

x2 · 2 26

a) S˘ a se determine f ′ ¸si f ′′ . b) S˘ a se arate c˘ a f ′ (x) > 0, ∀ x ∈ (0, ∞) ¸si f ′ (x) < 0, ∀ x ∈ (−∞, 0). c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice x ∈ R, f (x) ≥ 0. d) Pentru funct¸ia g : R → R, g(x) = cos x, s˘a se arate c˘ a aria suprafet¸ei plane limitate de graficul funct¸iei g, axa 5 Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 0, x = 1, este mai mare decât · 6

27

Varianta 10 Profilul matematic˘a - fizic˘a, informatic˘ a, metrologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = 6X 3 − 5X 2 − 2X + 1. a) S˘ a se calculeze f (1). b) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘art¸irii polinomului f la X − 1. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0.

2. 3.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia 6(ln x)3 − 5(ln x)2 − 2 ln x + 1 = 0, x > 0. Z x S˘ a se determine x ∈ R astfel ˆıncˆ at (3t2 − 4t − 5) dt + 6 = 0. 0

a dreptele de ecuat¸ii: d1 : x + 2y + 6 = 0, d2 : 2x + y + 6 = 0 4. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ ¸si d3 : 3x + 2y + 10 = 0. a) S˘ a se determine punctul de intersect¸ie al dreptelor d1 ¸si d2 . b) S˘ a se arate c˘ a dreptele d1 , d2 ¸si d3 sunt concurente. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia cercului de centru O(0, 0) care trece prin punctul de concurent¸˘a al celor trei drepte. SUBIECTUL II atratice de ordinul doi peste R, se consider˘ a matricea X(a) = 1. În M2 (R), mult¸imea matricelor p˘ a ∈ R.

1 + 2a a , −2a 1 − a

a) S˘ a se arate c˘ a pentru orice a, b ∈ R, X(a) · X(b) = X(ab + a + b). Se define¸ste mult¸imea G = {X(a) | a ∈ (−1, ∞)}.

b) S˘ a se demonstreze c˘ a G este parte stabil˘a a lui M2 (R) ˆın raport cu operat¸ia de ˆınmult¸ire a matricelor.

2.

c) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct¸iei matematice, c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , (X(1))n = X(2n − 1). Z 1 5k x Se consider˘ a funct¸ia f : [0, ∞) → R, f (x) = ln(1 + x5x ). Pentru orice k ∈ N∗ se define¸ste Ik = dx. k 2 0 1 + k5 x f (x) · 2x ∗ b) S˘ a se calculeze Ik , k ∈ N . a) S˘ a se calculeze lim

x→∞

SUBIECTUL III 1 1. S˘ a se arate c˘ a x x2 2.

1 y y2

1 z = (y − x)(z − x)(z − y). z2

Se consider˘ a a, b, c numere reale distincte dou˘a cˆ ate dou˘a. Se definesc funct¸iile f , g : R → R, f (x) = (x − a)(x − b)(x − c) ¸si g(x) = x2 − 3x + 2. a) S˘ a se arate c˘ a f ′ (x) = (a − b)(a − c). 1 1 1 b c = (b − a)(c − a)(c − b). b) S˘ a se demonstreze c˘ a ∆ = a g(a) g(b) g(c) c) Dezvoltˆ and determinantul ∆ dup˘a ultima linie, deducet¸i identitatea g(a) g(b) g(c) + + = 1. f ′ (a) f ′ (b) f ′ (c)

28

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = cos x − 1 +

x2 · 2

a) S˘ a se determine f ′ ¸si f ′′ . b) S˘ a se arate c˘ a f ′ (x) > 0, ∀ x ∈ (0, ∞) ¸si f ′ (x) < 0, ∀ x ∈ (−∞, 0). c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice x ∈ R, f (x) ≥ 0. d) Deducet¸i c˘ a pentru orice x ∈ R are loc inegalitatea cos(x2 ) ≥ 1 −

x4 · 2

e) Pentru funct, ia g : R → R, g(x) = cos(x2 ), s˘a se arate c˘ a aria suprafet¸ei plane limitate de graficul funct¸iei g, axa 9 Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 0, x = 1, este mai mare decât · 10

29

SESIUNEA IUNIE Varianta 1 Profilul economic, fizic˘a-chimie ¸si chimie-biologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ax5 + bx2 + c, unde a, b, c sunt parametri reali. S˘ a se determine a, b ¸si c astfel ˆıncˆ at s˘a fie ˆındeplinite simultan urm˘atoarele condit¸ii: Z 1 f (0) = 1, f ′ (1) = 36, f (x) dx = 3. 0

2.

Se consider˘ a matricele I2 =

1 0

0 4 8 ¸si A = . 1 −2 −4

a) S˘ a se determine matricea A2 . b) S˘ a se determine matricea B = 6A5 − 3A2 + 6I2 .

c) S˘ a se calculeze determinantul matricei B = 6A5 − 3A2 + 6I2 .

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(4, 5), B(−2, −3) ¸si C(5, 4). a) S˘ a se calculeze lungimile segmentelor [AB], [BC] ¸si [AC]. b) S˘ a se arate c˘ a triunghiul ABC este dreptunghic. c) S˘ a se determine coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − 3X 2 + aX − 5, a ∈ R. Pentru n ∈ N∗ , definim Sn = xn1 + xn2 + xn3 , unde x1 , x2 , x3 ∈ C sunt r˘ad˘acinile polinomului f . a) S˘ a se arate c˘ a S3 − 3S2 + aS1 − 15 = 0.

2.

b) S˘ a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆ at S3 = −21. Z t (cos x + 2 sin x) dx, t ∈ (0, ∞). Se consider˘ a I(t) = 0

a) S˘ a se determine I(t), t ∈ (0, ∞). I(t) · b) S˘ a se calculeze lim t→0 t SUBIECTUL III Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = xy − 4x − 4y + 20, oricare ar fi x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea este asociativ˘ a. b) S˘ a se determine e ∈ R astfel ˆıncˆ at x ⋆ e = x, ∀ x ∈ R. Fie mult¸imea G = (4, ∞).

c) S˘ a se arate c˘ a G este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu legea ”⋆”. d) S˘ a se rezolve ˆın G ecuat¸ia |x ⋆ x ⋆{z. . . ⋆ x} = 5. de 10 ori x

SUBIECTUL IV

1.

ax2 + bx + c , unde a, b, c parametri reali. S˘ a se determine a, b ¸si c x−3 astfel ˆıncˆ at graficul funct¸iei f s˘a admit˘ a asimptota y = x + 2, iar punctul A(1, 1) s˘a se afle pe grafic.

2.

Se consider˘ a funct¸ia g : R\{3} → R, g(x) =

Se consider˘ a funct¸ia f : R\{3} → R, f (x) =

x2 − x − 2 · x−3 30

a) S˘ a se stabileasc˘a intervalele de monotonie ale funct¸iei g. 4 , oricare ar fi x ∈ R\{3}. b) S˘ a se arate c˘ a g(x) = x + 2 + x−3 c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N, n ≥ 2, g (n) (x) = (−1)n (n!)

31

4 , ∀ x ∈ R\{3}. (x − 3)n+1

Varianta 2 Profilul economic, fizic˘a-chimie ¸si chimie-biologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = X 3 + 6X 2 + 11X + 6. a) S˘ a se calculeze f (−1). b) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘art¸irii lui f la X + 1. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0.

2.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia Cn0 + Cn1 + . . . + Cnn = 4, n ∈ N∗ .

a punctele A(3, 4), B(−3, −4) ¸si C(3, −4). 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se calculeze lungimile segmentelor [AB], [BC] ¸si [AC]. b) S˘ a se arate c˘ a triunghiul ABC este dreptunghic. c) S˘ a se determine coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = 4xy − 4x − 4y + 5, oricare ar fi x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a ¸si comutativ˘a. b) S˘ a se determine elementul neutru al legii ”⋆”. c) S˘ a se demonstreze c˘ a mult¸imea G = (1, ∞) este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu legea ”⋆”.

2.

Se consider˘ a funct¸ia g : R\{1} → R, g(x) = 4x − 1 + a) S˘ a se determine g ′ (x), pentru orice x ∈ R\{1}.

1 · x−1

b) S˘ a se stabileasc˘a asimptota oblic˘ a spre +∞ la graficul funct¸iei g. g(x) · c) S˘ a se calculeze lim x→0 x SUBIECTUL III 1 1. S˘ a se arate c˘ a x x2 2.

1 y y2

1 z = (y − z)(z − x)(z − y). z2

Se consider˘ a a, b, c numere reale distincte dou˘a cˆ ate dou˘a. Se definesc funct¸iile f , g : R → R, f (x) = (x − a)(x − b)(x − c) ¸si g(x) = x2 − 2x + 3. a) S˘ a se arate c˘ a f ′ (a) = (a − b)(a − c). 1 1 1 b c = (b − a)(c − a)(c − b). b) S˘ a se demonstreze c˘ a ∆ = a g(a) g(b) g(c) c) Dezvoltˆ and determinantul ∆ dup˘a ultima linie deducet¸i identitatea g(a) g(b) g(c) + + = 1. f ′ (a) f ′ (b) f ′ (c)

SUBIECTUL IV Se consider˘ a integralele I0 =

Z

0

1

1 dx ¸si In = 4 + x2

Z

0

1

xn dx, n ∈ N∗ . 4 + x2

a) S˘ a se calculeze I0 ¸si I1 . 32

b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N este adev˘arat˘a relat¸ia 4In + In+2 =

c) S˘ a se arate c˘ a pentru orice x ∈ [0, 1], 0 ≤

1 · n+1

xn ≤ xn , ∀ n ∈ N∗ . 4 + x2

d) S˘ a se determine limita ¸sirului (nIn )n≥1 .

33

Varianta 3 Profilul economic, fizic˘a-chimie ¸si chimie-biologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = x + y + 4, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. b) S˘ a se arate c˘ a e = −4 este elementul neutru al legii ”⋆”.

c) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice x ∈ R este adev˘arat˘a relat¸ia x ⋆ (−x − 8) = −4.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = xex . a) S˘ a se determine f ′ (x), pentru orice x ∈ R.

b) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f ′ (x) = 0. Z 1 c) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

a cercul de ecuat¸ie (x − 5)2 + (y − 4)2 = 25. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se determine coordonatele centrului ¸si raza cercului. b) S˘ a se verifice c˘ a punctul P (9, 7) este situat pe cerc. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia tangentei la cerc ˆın punctul P (9, 7). SUBIECTUL II 1. În C[X], mult¸imea polinoamelor cu coeficient¸i compleçsi, se consider˘ a polinomul f = (X + i)7 + (X − i)7 , cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , . . ., x7 ∈ C. a) S˘ a se calculeze f (0). b) Considerând forma algebric˘a a polinomului f = a7 X 7 + a6 X 6 + . . . + a1 X + a0 , determinat¸i coeficient¸ii a7 , a6 ¸si a5 . c) S˘ a se calculeze suma S = x1 + x2 + . . . + x7 . 2.

Se consider˘ a funct¸iile f , F : (−1, ∞) → R, f (x) = (x + 1)2 ln(x + 1) ¸si F (x) =

(x + 1)3 (x + 1)3 1 ln(x + 1) − + · 3 9 9

a) S˘ a se arate c˘ a F este o primitiv˘a a funct¸iei f . F (x) b) S˘ a se calculeze lim · x→0 x2 SUBIECTUL III În M2 (R), mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordinul doi peste R, se consider˘ a matricea A =

2 1 . −2 −1

a) S˘ a se calculeze A2 . x b) S˘ a se determine X ∈ M2 (R), X = 0

0 , astfel ˆıncˆ at determinantul matricei X + A s˘a fie egal cu 2. x

c) S˘ a se demonstreze c˘ a, pentru orice n ∈ N∗ , An = A. d) S˘ a se demonstreze c˘ a, pentru orice n ∈ N∗ , A + 2A2 + . . . + nAn = SUBIECTUL IV 2 3 Se consider˘ a funct¸iile f , F : (0, ∞) → R, f (x) = x− 2 ¸si F (x) = − √ · x Pentru n ∈ N, n ≥ 1, definim ¸sirul an = f (1) + f (2) + . . . + f (n). 34

n(n + 1) A. 2

a) S˘ a se arate c˘ a F este o primitiv˘a a funct¸iei f . b) Utilizând teorema lui Lagrange s˘a se arate c˘ a pentru orice k ∈ N, k ≥ 1, exist˘a ck ∈ (k, k + 1) astfel ˆıncˆ at F (k + 1) − F (k) = f (ck ). c) S˘ a se arate c˘ a pentru orice k ∈ N, k ≥ 1, au loc inegalit˘a¸tile: 3

3

(k + 1) 2 < F (k + 1) − F (k) < k 2 . d) S˘ a se arate c˘ a ¸sirul (an )n≥1 este cresc˘ ator. e) Utilizând rezultatul de la punctul c), s˘a se demonstreze c˘ a an < 3, ∀ n ∈ N, n ≥ 1. f ) Deducet¸i c˘ a ¸sirul (an )n≥1 este convergent.

35

Varianta 4 Profilul economic, fizic˘a-chimie ¸si chimie-biologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 + 4x + 1 + m, unde m este un parametru real. a) S˘ a se determine m ∈ R atfel ˆıncˆ at pentru orice x ∈ R, f (x) ≥ 0. √ √ b) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice m ∈ R, avem f ( 7 − 2) = f (− 7 − 2).

2.

Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = x + y − 4, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. b) S˘ a se arate c˘ a e = 4 este elementul neutru al legii ”⋆”. c) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice x ∈ R este adev˘arat˘a relat¸ia x ⋆ (−x + 8) = 4.

a punctele A(5, 6), B(−1, −2) ¸si C(6, 5). 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se calculeze lungimile segmentelor [AB], [BC] ¸si [AC]. b) S˘ a se arate c˘ a triunghiul ABC este dreptunghic. c) S˘ a se determine coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = (X + 1)5 + (X − 1)5 , cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , . . ., x5 ∈ C. a) S˘ a se calculeze f (0). b) Considerând forma algebric˘a a polinomului f = a5 X 5 + a4 X 4 + . . . + a1 X + a0 , determinat¸i coeficient¸ii a5 , a4 ¸si a3 . c) S˘ a se calculeze suma S = x1 + x2 + . . . + x5 . d) S˘ a se calculeze suma T = x21 + x22 + . . . + x25 .

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R\{−1; 1} → R, f (x) =

2x · −1

x2

b a + , ∀ x ∈ R\{−1, 1}. a) S˘ a se determine a, b ∈ R cu proprietatea c˘ a f (x) = x+1 x−1 Z 3 f (x) dx. b) S˘ a se calculeze 2

SUBIECTUL III    −4 2 2 2 Se consider˘ a matricele A =  2 −4 2 , B = 2 2 2 −4 2

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A.

 2 2 2 2 ¸si C = A + B. 2 2

b) S˘ a se demonstreze c˘ a rang(A + B) = 3. c) S˘ a se arate c˘ a A2 = −6A ¸si B 2 = 6B. d) S˘ a se arate c˘ a AB = BA. e) S˘ a se demonstreze prin induct¸ie c˘ a dac˘ a matricea X ∈ M3 (R) astfel ˆıncˆ at X 2 = tX, t ∈ R, atunci pentru orice ∗ n n−1 n ∈ N avem X = t X. f ) S˘ a se determine matricea C n , ∀ n ∈ N∗ .

36

SUBIECTUL IV Pentru orice x ∈ [0, 1) se define¸ste suma √ √ √ Sn (x) = 2 + x + x 2 + x + . . . + xn−1 2 + x, ∀ n ∈ N∗ . a) S˘ a se arate c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , Sn (x) =

√ 1 − xn 2+x· , x ∈ [0, 1). 1−x

b) S˘ a se calculeze lim Sn (x). n→∞

c) S˘ a se calculeze

Z

1

√ 2 + x dx.

0

37

Varianta 5 Profilul economic, fizic˘a-chimie ¸si chimie-biologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 + 2x + 1 + m, unde m este un parametru real. a) S˘ a se determine m ∈ R atfel ˆıncˆ at pentru orice x ∈ R, f (x) ≥ 0. √ √ b) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice m ∈ R, avem f ( 5 − 2) = f (− 5 − 2).

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = x3 ln x. a) S˘ a se determine f ′ (x) pentru orice x ∈ (0, ∞). Z b) S˘ a se determine primitivele funct¸iei f , f (x) dx, x ∈ (0, ∞).

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a dreptele de ecuat¸ii d1 : x + 2y − 3 = 0, d2 : 2x + y − 3 = 0 ¸si d3 : 3x + 2y − 5 = 0. a) S˘ a se determine punctul de intersect¸ie al dreptelor d1 ¸si d2 . b) S˘ a se arate c˘ a dreptele d1 , d2 ¸si d3 sunt concurente. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia cercului de centru O(0, 0) care trece prin punctul de concurent¸˘a al celor trei drepte. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 + X 2 + aX + 1, a ∈ R care are r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ C.

Pentru n ∈ N∗ , definim Sn = xn1 + xn2 + xn3 . a) S˘ a se arate c˘ a S3 + S2 + aS1 + 3 = 0.

b) S˘ a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆ at S3 = −1. 2.

Se consider˘ a funct¸iile f , F : R → R, f (x) = a sin x + b sin 3x + c sin 5x ¸si F (x) = −a cos x −

b c cos 3x − cos 5x. 3 5

a) S˘ a se arate c˘ a F ′ (x) = f (x), ∀ x ∈ R. π b) S˘ a se calculeze F 2kπ + , pentru orice k ∈ Z. 2 Z 5π 2 c) S˘ a se calculeze f (x) dx. π 2

SUBIECTUL III a dac˘a z1 , z2 ∈ C, atunci a) În mult¸imea numerelor complexe C, s˘a se demonstreze c˘ z1 + z2 = z1 + z2 . Se noteaz˘ a cu z conjugatul lui z. Se consider˘ a M2 (C), mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste C, ¸si submult¸imea z −w z, w ∈ C . H = A= w z

b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice A, B ∈ H, matricea A + B ∈ H. 0 0 c) S˘ a se verifice c˘ a matricea O2 = apart¸ine mult¸imii H. 0 0 d) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A ∈ H, atunci −A ∈ H.

e) S˘ a se arate c˘ a submult¸imea H a lui M2 (C), ˆımpreun˘a cu operat¸ia de adunare indus˘a, formeaz˘a o structur˘ a de grup comutativ. 38

f ) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a A ∈ H ¸si are determinantul zero, atunci A = O2 . SUBIECTUL IV Se define¸ste ¸sirul (In )n∈N astfel: I0 =

Z

0

1

1 dx ¸si In = x+3

Z

0

1

xn dx, n ∈ N, n ≥ 1. x+3

a) S˘ a se calculeze I0 ¸si I1 . b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N, avem In+1 + 3In =

1 · n+1

c) S˘ a se arate c˘ a pentru orice n ∈ N, avem In+1 ≤ In . d) Utilizând punctele b) ¸si c), s˘a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N, n ≥ 1, au loc inegalit˘a¸tile: 4In+1 ≤

1 ≤ 4In . n+1

e) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N, n ≥ 1, avem 1 1 ≤ In ≤ · 4(n + 1) 4n f ) S˘ a se arate c˘ a limita ¸sirului (nIn )n≥1 este egal˘a cu

1 · 4

39

Varianta 6 Profilul economic, fizic˘a-chimie ¸si chimie-biologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸iile f , g : R → R, f (x) = x2 − 8x + 1 ¸si g(x) = −x2 + 4x − 17. a) S˘ a se arate c˘ a f (x) − g(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ R.

b) S˘ a se calculeze aria suprafet¸ei plane limitate de graficele funct¸iilor f ¸si g, ¸si dreptele de ecuat¸ii x = −1, x = 0. 2.

Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = x + y − 10, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este comutativ˘a. b) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. c) S˘ a se arate c˘ a e = 10 este elementul neutru al legii ”⋆”. d) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice x ∈ R este adev˘arat˘a relat¸ia x ⋆ (−x + 20) = 10.

a cercul de ecuat¸ie (x + 3)2 + (y + 5)2 = 169. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se determine coordonatele centrului ¸si raza cercului. b) S˘ a se verifice c˘ a punctul P (2, 7) este situat pe cerc. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia tangentei la cerc ˆın punctul P (2, 7). SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = (1 + X + X 2 )10 cu forma sa algebric˘a f = a20 X 20 + . . . + a1 X + a0 . a) S˘ a se determine a0 ¸si a1 . b) S˘ a se calculeze f (1), f (−1) ¸si f (i). c) S˘ a se calculeze suma coeficient¸ilor polinomului f . 1 d) S˘ a se arate c˘ a a0 + a4 + . . . + a16 + a20 = (f (1) + f (−1) + f (i) + f (−i)). 4

2.

Se consider˘ a funct¸iile f , F : R → R, f (x) = a cos x + b cos 2x + c cos 3x ¸si F (x) = a sin x +

b c sin 2x + sin 3x. 2 3

a) S˘ a se arate c˘ a F este o primitiv˘a a funct¸iei f . b) S˘ a se calculeze F (kπ), pentru orice k ∈ Z. Z π c) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

SUBIECTUL III 1 1. S˘ a se arate c˘ a x x2 2.

1 y y2

1 z = (y − z)(z − x)(z − y). z2

Se consider˘ a a, b, c numere reale distincte dou˘a cˆ ate dou˘a. Se definesc funct¸iile f , g : R → R, f (x) = (x − a)(x − b)(x − c) ¸si g(x) = x2 + x + 1. a) S˘ a se arate c˘ a f ′ (a) = (a − b)(a − c). 1 1 1 b c = (b − a)(c − a)(c − b). b) S˘ a se demonstreze c˘ a ∆ = a g(a) g(b) g(c) c) S˘ a se demonstreze identitatea

g(a) g(b) g(c) + + = 1. f ′ (a) f ′ (b) f ′ (c) 40

SUBIECTUL IV Pentru orice x ∈ [0, 1) se define¸ste suma √ √ √ Sn (x) = 1 − x + x 1 − x + . . . + xn−1 1 − x, ∀ n ∈ N∗ . a) S˘ a se arate c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , Sn (x) =

√ 1 − xn 1−x· , x ∈ [0, 1). 1−x

b) S˘ a se calculeze lim Sn (x). n→∞

c) S˘ a se calculeze

Z

1 0

√ 1 − x dx.

41

Varianta 7 Profilul economic, fizic˘a-chimie ¸si chimie-biologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = 2X 3 − 3X 2 − 17X + 30. a) S˘ a se calculeze f (2). b) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘art¸irii lui f la X − 2. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0.

2.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia 2e3x − 3e2x − 17ex + 30 = 0.

a punctele A(−3, 4), B(5, −2) ¸si C mijlocul segmentului 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ [AB]. a) S˘ a se determine coordonatele punctului C ¸si lungimea segmentului [AB]. b) S˘ a se scrie ecuat¸ia cercului de diametru [AB]. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia tangentei la cercul de diametru [AB] care trece prin punctul D(4, 5). SUBIECTUL II

1.

  3x − 2y + z = 1 Se consider˘ a sistemul x + y + 2z = −2   mx − y + 3z = −1

, unde m este un parametru real, ¸si A matricea sistemului.

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A.

b) S˘ a se determine valorile lui m pentru care sistemul este compatibil determinat. c) Pentru m = 4 s˘a se rezolve sistemul. 2.

a) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice x ∈ R, x 6= 1, are loc identitatea: x + x2 + . . . + xn =

xn+1 − x , ∀ n ∈ N∗ . x−1

b) Derivând ambii membri ai identit˘ a¸tii de la punctul a), s˘a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ ¸si x ∈ R, x 6= 1, nxn+1 − (n + 1)xn + 1 · 1 + 2x + 3x2 + . . . + nxn−1 = (x − 1)2 SUBIECTUL III Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = 2xy − 6x − 6y + 21, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a ¸si comutativ˘a. b) S˘ a se determine elementul neutru al legii ”⋆”. c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice x ∈ R are loc identitatea: n−1 (x − 3)n + 3, ∀ n ∈ N∗ . x | ⋆ x ⋆ x{z⋆ . . . ⋆ x} = 2 de n ori x

SUBIECTUL IV 2x 1 1 Se consider˘ a funct¸iile f : R\{−1; 1} → R, f (x) = 2 → R, g(x) = ¸si g : R\ − · x −1 3 3x + 1

42

1 a) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct¸iei matematice, c˘ a pentru orice x ∈ R\ − , 3 g (n) (x) = (−1)n n!

b) S˘ a se determine a, b ∈ R cu proprietatea f (x) = c) S˘ a se calculeze

Z

3

3n · (3x + 1)n+1

a b + , ∀ x ∈ R\{−1; 1}. x+1 x−1

f (x) dx. 2

43

Varianta 8 Profilul economic, fizic˘a-chimie ¸si chimie-biologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = 2X 3 − X 2 − 5X − 2. a) S˘ a se calculeze f (−1). b) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘art¸irii lui f la X + 1. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0.

2.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia 2(ln x)3 − (ln x)2 − 5 ln x − 2 = 0, x > 0.

a punctele A(−3, 4), B(5, −4) ¸si C mijlocul segmentului 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ [AB]. a) S˘ a se determine coordonatele punctului C ¸si lungimea segmentului [AB]. b) S˘ a se scrie ecuat¸ia cercului de diametru [AB].

√ c) S˘ a se scrie ecuat¸ia tangentei la cercul de diametru [AB] care trece prin punctul D(6, 7).

SUBIECTUL II

1.

  −x − 2y + 3z = 1 Se consider˘ a sistemul 2x − y − z = 2   mx − 3y + 2z = 3

, unde m este un parametru real, ¸si A matricea sistemului.

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A.

b) S˘ a se determine valorile lui m pentru care sistemul este compatibil determinat. c) Pentru m = 1 s˘a se rezolve sistemul. 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (1 + x)n , n ∈ N∗ . a) S˘ a se arate c˘ a pentru orice x ∈ R, f (x) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + . . . + Cnn xn , n ∈ N∗ .

b) Derivând cele dou˘a expresii ale lui f s˘a se demonstreze c˘ a pentru orice x ∈ R are loc identitatea n(1 + x)n−1 = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x2 + . . . + nCnn xn−1 , ∀ n ∈ N∗ . SUBIECTUL III a dac˘a z1 , z2 ∈ C, atunci a) În mult¸imea numerelor complexe C, s˘a se demonstreze c˘ z1 + z2 = z1 + z2 . Se noteaz˘ a cu z conjugatul lui z. Se consider˘ a M2 (C), mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste C, ¸si submult¸imea z w z, w ∈ C . H = A= −w z

b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice A, B ∈ H, matricea A + B ∈ H. 0 0 c) S˘ a se verifice c˘ a matricea O2 = apart¸ine mult¸imii H. 0 0 d) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A ∈ H, atunci −A ∈ H.

e) S˘ a se arate c˘ a submult¸imea H a lui M2 (C), ˆımpreun˘a cu operat¸ia de adunare indus˘a, formeaz˘a o structur˘ a de grup comutativ. f ) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a A ∈ H ¸si are determinantul zero, atunci A = O2 . 44

SUBIECTUL IV Se define¸ste ¸sirul (In )n∈N astfel: I0 =

Z

0

1

1 dx ¸si In = x+2

Z

0

1

xn dx, n ∈ N, n ≥ 1. x+2

a) S˘ a se calculeze I0 ¸si I1 . b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N, avem In+1 + 2In =

1 · n+1

c) S˘ a se arate c˘ a pentru orice n ∈ N, avem In+1 ≤ In . d) Utilizând punctele b) ¸si c), s˘a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N, n ≥ 1, au loc inegalit˘a¸tile: 3In+1 ≤

1 ≤ 3In . n+1

e) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N, n ≥ 1, avem 1 1 ≤ In ≤ · 3(n + 1) 3n f ) S˘ a se arate c˘ a limita ¸sirului (nIn )n≥1 este egal˘a cu

1 · 3

45

Varianta 9 Profilul economic, fizic˘a-chimie ¸si chimie-biologie SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = X 3 − 2X 2 − 5X + 6. a) S˘ a se calculeze f (1). b) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘art¸irii lui f la X − 1. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0.

2.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia (ln x)3 − 2(ln x)2 − 5 ln x + 6 = 0, x > 0.

a dreptele de ecuat¸ii d1 : x + 2y − 6 = 0, d2 : 2x + y − 6 = 0 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ ¸si d3 : 3x + 2y − 10 = 0. a) S˘ a se determine punctul de intersect¸ie al dreptelor d1 ¸si d2 . b) S˘ a se arate c˘ a dreptele d1 , d2 ¸si d3 sunt concurente. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia cercului de centru O(0, 0) care trece prin punctul de concurent¸˘a al celor trei drepte. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − X 2 + aX − 1, a ∈ R care are r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ C.

Pentru n ∈ N∗ , definim Sn = xn1 + xn2 + xn3 . a) S˘ a se arate c˘ a S3 − S2 + aS1 − 3 = 0.

b) S˘ a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆ at S3 = 1. 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : [0, ∞) → R, f (x) = ln(1 + x5x ) ¸si pentru orice k ∈ N∗ se noteaz˘ a Ik = a) S˘ a se arate calculeze lim

x→∞ ∗

Z

0

1

5k x dx. 1 + k5k x

f (x) · 2x

b) S˘ a se calculeze Ik , k ∈ N . SUBIECTUL III În M2 (R), mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste R, se consider˘ a matricea X(a) = a ∈ R.

1 + 5a −2a

10a , 1 − 4a

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei X(a). b) Pentru orice a, b ∈ R, s˘a se arate c˘ a X(a) · X(b) = X(ab + a + b). c) S˘ a se determine (X(1))2 . d) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct¸iei matematice, c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , (X(1))n = X(2n − 1). SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = cos x − 1 +

x2 · 2

a) S˘ a se determine f ′ ¸si f ′′ . b) S˘ a se arate c˘ a f ′ (x) > 0, ∀ x > 0 ¸si f ′ (x) < 0, ∀ x < 0. c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice x ∈ R, avem f (x) ≥ 0. d) Pentru funct¸ia g : R → R, g(x) = cos x, s˘a se arate c˘ a aria suprafet¸ei plane limitate de graficul funct¸iei g, axa 5 Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 0, x = 1, este mai mare decât · 6

46

Varianta 10 Profilul economic, fizic˘a-chimie ¸si chimie-biologie SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = 6X 3 − 5X 2 − 2X + 1. a) S˘ a se calculeze f (1). b) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘art¸irii lui f la X − 1. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0.

2.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia 6(ln x)3 − 5(ln x)2 − 2 ln x + 1 = 0, x > 0.

a dreptele de ecuat¸ii d1 : x + 2y + 6 = 0, d2 : 2x + y + 6 = 0 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ ¸si d3 : 3x + 2y + 10 = 0. a) S˘ a se determine punctul de intersect¸ie al dreptelor d1 ¸si d2 . b) S˘ a se arate c˘ a dreptele d1 , d2 ¸si d3 sunt concurente. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia cercului de centru O(0, 0) care trece prin punctul de concurent¸˘a al celor trei drepte. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = 3xy − 6x − 6y + 14, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a ¸si comutativ˘a. b) S˘ a se determine elementul neutru al legii ”⋆”. c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice x ∈ R are loc identitatea: n−1 (x − 2)n + 2, ∀ n ∈ N∗ . x | ⋆ x ⋆ x{z⋆ . . . ⋆ x} = 3 de n ori x

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : (−1, ∞) → R, f (x) = (x + 1)2 ln(x + 1).

a) S˘ a se stabileasc˘a primitiva funct¸iei f , F : (−1, ∞) → R, care are proprietatea F (1) = 0. F (x) b) S˘ a se calculeze lim , unde F este primitiva determinat˘ a la punctul a). x→1 x − 1 SUBIECTUL III 

1 În mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordin trei peste R, se consider˘ a matricele I3 = 0 0

a) S˘ a se determine matricele A2 ¸si A3 .

b) S˘ a se arate c˘ a pentru orice z ∈ C determinantul matricei I3 + zA este egal cu 1. c) S˘ a se demonstreze c˘ a I3 = (I3 + A)(I3 − A + A2 ). d) S˘ a se arate c˘ a matricea I3 + A este inversabil˘ a ¸si s˘a se precizeze inversa. SUBIECTUL IV Se consider˘ a integralele I0 =

Z

1

0

1 dx s, i In = 1 + x2

Z

0

1

xn dx, n ∈ N∗ . 1 + x2

a) S˘ a se calculeze I0 s, i I1 . b) S˘ a se arate c˘ a pentru orice x ∈ [0, 1], 0 ≤ c) S˘ a se demonstreze c˘ a 0 ≤ In ≤

xn ≤ xn , ∀ n ∈ N∗ . 1 + x2

1 , ∀ n ∈ N∗ . n+1

d) S˘ a se determine limita s, irului (nIn )n≥1 .

47

  0 0 0 1 0 ¸si A = 0 0 1 0

 3 2 0 1. 0 0

SESIUNEA IUNIE Varianta 1 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv - real SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = ax5 + bx2 + c, unde a, b, c sunt parametri reali. S˘ a se determine a, b ¸si Z 1 c astfel ˆıncˆ at s˘a fie ˆındeplinite simultan urm˘atoarele condit, ii: f (0) = 1, f ′ (1) = 36, f (x) dx = 3. 0

2.

Se consider˘ a mult, imea numerelor reale R pe care se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = x + y + 5, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este comutativ˘a. b) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. c) S˘ a se arate c˘ a e = −5 este elementul neutru al legii ”⋆”.

3.

S˘ a se rezolve ˆın R inecuat, ia x2 − x − 2 > −x2 + 2x + 3.

a punctele A(4, 5), B(−2, −3) s, i C(5, 4). 4. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se calculeze lungimile segmentelor [AB], [BC] ¸si [AC]. b) S˘ a se arate c˘ a triunghiul ABC este dreptunghic. c) S˘ a se determine coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC. SUBIECTUL II 1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia log2 (9x + 7) = 2 + log2 (3x + 1).

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R\{−1} → R, f (x) =

x2 · x+1

a) S˘ a se calculeze lim f (x). x→∞

b) S˘ a se determine f ′ (x) pentru orice x ∈ R\{−1}. c) S˘ a se rezolve ecuat, ia f ′ (x) = 0.

d) S˘ a se stabileasc˘a intervalele de monotonie ale funct, iei f . SUBIECTUL III În M2 (R) se consider˘ a matricea A =

4 −6 . 2 −3

a) S˘ a se calculeze A2 . x 0 b) S˘ a se determine matricele X ∈ M2 (R), X = , astfel ˆıncˆ at determinantul matricei X + A s˘a fie egal cu 2. 0 x c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , An = A. d) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , A + 2A2 + · · · + nAn =

n(n + 1) A. 2

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = ex − e−x . a) S˘ a se rezolve ecuat, ia f (x) = 0. b) S˘ a se stabileasc˘a semnul funct, iei f . c) S˘ a se calculeze aria suprafet, ei limitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = −1, x = 2. d) S˘ a se determine f ′ (x) s, i f ′′ (x), pentru orice x ∈ R. e) S˘ a se calculeze suma S = f ′ (0) + f ′′ (0) + · · · + f (100) (0). 48

Varianta 2 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv - real SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient, i reali f = X 3 + 6X 2 + 11X + 6. a) S˘ a se calculeze f (−1). b) S˘ a se determine cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii lui f la X + 1. c) S˘ a se rezolve ecuat, ia f (x) = 0.

2.

S˘ a se rezolve Cn2 = 6, n ∈ N, n ≥ 2.

3.

Se consider˘ a funct, ia g : R∗ → R, g(x) = funct, iei g.

6x5 + 3x2 + 1 . S˘ a se stabileasc˘a asimptota oblic˘ a spre +∞ la graficul x4

a punctele A(3, 4), B(−3, −4) s, i C(3, −4). 4. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se calculeze lungimile segmentelor [AB], [BC] ¸si [AC]. b) S˘ a se arate c˘ a triunghiul ABC este dreptunghic. c) S˘ a se determine coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC. SUBIECTUL II 1.

  x − 2y + 3z = −3 Se consider˘ a sistemul 2x + y + z = 4   mx − y + 4z = 1

, unde m este un parametru real s, i A matricea sistemului.

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A.

b) S˘ a se determine valorile lui m pentru care sistemul este compatibil determinat. c) Pentru m = 3 s˘a se rezolve sistemul. 2.

Se consider˘ a funct, ia g : R\{1} → R, g(x) = 4x − 1 + a) S˘ a se determine g ′ .

1 · 1−x

b) S˘ a se stabileasc˘a intervalele de monotonie ale funct, iei g. n! c) S˘ a se demonstreze c˘ a g (n) (x) = , ∀ n ∈ N, n ≥ 2. (1 − x)n+1 SUBIECTUL III Se consider˘ a mult, imea numerelor reale R pe care se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = 2xy − 6x − 6y + 21, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a x ⋆ y = 2(x − 3)(y − 3) + 21, pentru orice x, y ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a ¸si comutativ˘a. c) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat, ia x | ⋆ x ⋆{z. . . ⋆ x} = 3. de 10 ori x

SUBIECTUL IV

Se defines, te s, irul (In ) astfel: I0 =

Z

0

1

1 dx s, i In = x+5

Z

1

0

xn dx, n ∈ N∗ . x+5

a) S˘ a se calculeze I0 s, i I1 . b) S˘ a demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , In+1 + 5In = c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , In+1 ≤ In . 49

1 · n+1

Varianta 3 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv - real SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct, iile f , g : R → R, f (x) = x2 − 4x + 5 s, i g(x) = −x2 + 8x − 13. a) S˘ a se arate c˘ a f (x) − g(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ R.

b) S˘ a se calculeze aria suprafet, ei plane limitate de graficele funct, iilor f s, i g, s, i dreptele de ecuat, ii x = −1, x = 0. 2.

Se consider˘ a mult, imea numerelor reale R pe care se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = x + y + 4, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. b) S˘ a se arate c˘ a e = −4 este elementul neutru al legii ”⋆”.

a cercul de ecuat, ie (x − 6)2 + (y − 3)2 = 25. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se determine coordonatele centrului s, i raza cercului. b) S˘ a se verifice c˘ a punctul P (9, 7) este situat pe cerc. c) S˘ a se scrie ecuat, ia tangentei la cerc ˆın punctul P (9, 7). SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = (X + i)5 + (X − i)5 , cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , . . ., x5 ∈ C. a) S˘ a se calculeze f (0). b) Considerând forma algebric˘a a polinomului f = a5 X 5 + a4 X 4 + · · · + a1 X + a0 , determinat, i coeficient, ii a5 , a4 s, i a3 . c) S˘ a se calculeze suma S = x1 + x2 + · · · + x5 .

2.

2x − 1 · x→0 x

S˘ a se calculeze lim SUBIECTUL III

   −4 2 2 2 Se consider˘ a matricele A =  2 −4 2 , B = 2 2 2 −4 2

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A.

 2 2 2 2 s, i C = A + B. 2 2

b) S˘ a se demonstreze c˘ a rang(A + B) = 3. c) S˘ a se arate c˘ a A2 = −6A s, i B 2 = 6B. d) S˘ a se arate c˘ a AB = BA. e) S˘ a se demonstreze prin induct, ie c˘ a dac˘ a matricea X ∈ M3 (R) astfel ˆıncˆ at X 2 = tX, t ∈ R, atunci pentru orice ∗ n n−1 n ∈ N avem X = t X. f ) S˘ a se calculeze matricea C 8 . SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct, iile f , F : (−1, ∞) → R, f (x) = (x + 1)2 ln(x + 1) s, i F (x) = a) S˘ a se arate c˘ a F este o primitiv˘a a funct, iei f . b) S˘ a se calculeze lim

x→0

c) S˘ a se calculeze

Z

F (x) · x2

1

f (x) dx. 0

50

(x + 1)3 (x + 1)3 1 ln(x + 1) − + . 3 9 9

Varianta 4 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv - real SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = x2 + 4x + 1 + m, unde m este un parametru real. a) S˘ a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆ at pentru orice x ∈ R, f (x) ≥ 0. √ √ b) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice m ∈ R, avem f ( 7 − 2) = f (− 7 − 2).

2.

Se consider˘ a mult, imea numerelor reale R pe care se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = x + y − 4, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. b) S˘ a se arate c˘ a e = 4 este elementul neutru al legii ”⋆”.

a punctele A(5, 6), B(−1, −2) s, i C(6, 5). 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se calculeze lungimile segmentelor [AB], [BC] ¸si [AC]. b) S˘ a se arate c˘ a triunghiul ABC este dreptunghic. c) S˘ a se determine coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = (X + 1)5 + (X − 1)5 , cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , . . ., x5 ∈ C. a) S˘ a se calculeze f (0). b) Considerând forma algebric˘a a polinomului f = a5 X 5 + a4 X 4 + · · · + a1 X + a0 , determinat, i coeficient, ii a5 s, i a4 . c) S˘ a se calculeze suma S = x1 + x2 + · · · + x5 .

2.

Se consider˘ a funct, ia g : R\{1} → R, g(x) = 4x − 1 + a) S˘ a se determine g ′ .

1 · 1−x

b) S˘ a se stabileasc˘a semnul funct, iei g ′ s, i s˘a se precizeze intervalele de monotonie ale funct, iei g. c) S˘ a se stabileasc˘a semnul funct, iei g. d) S˘ a se calculeze aria suprafet, ei plane limitate de graficul funct, iei g, axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = 0, 3 x= · 4 SUBIECTUL III În M2 (R) se consider˘ a matricea A =

2 −1 . 2 −1

a) S˘ a se calculeze A2 . b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , An = A. c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , A + 2A2 + · · · + nAn =

n(n + 1) A. 2

SUBIECTUL IV Se defines, te s, irul (In ) astfel: I0 =

Z

0

1

1 dx s, i In = x+1

Z

0

1

xn dx, n ∈ N∗ . x+1

a) S˘ a se calculeze I0 s, i I1 . b) S˘ a demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , In+1 + In =

1 · n+1

c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , In+1 ≤ In . 51

Varianta 5 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv - real SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = x2 + 2x + 1 + m, unde m este un parametru real. a) S˘ a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆ at pentru orice x ∈ R, f (x) ≥ 0. √ √ b) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice m ∈ R, avem f ( 5 − 1) = f (− 5 − 1).

2.

S˘ a se rezolve ecuat, ia log2 (9x + 7) = 2 + log2 (3x + 1).

3.

Se consider˘ a funct, ia f : (0, ∞) → R, f (x) = x3 ln x. a) S˘ a se determine f ′ (x) pentru orice x ∈ (0, ∞). b) S˘ a se rezolve ecuat, ia f ′ (x) = 0, x ∈ (0, ∞).

a dreptele de ecuat¸ii d1 : x + 2y − 3 = 0, d2 : 2x + y − 3 = 0 4. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ s, i d3 : 3x + 2y − 5 = 0. a) S˘ a se determine punctul de intersect, ie al dreptelor d1 s, i d2 . b) S˘ a se arate c˘ a dreptele d1 , d2 s, i d3 sunt concurente. c) S˘ a se scrie ecuat, ia cercului de centru O(0, 0) care trece prin punctul de concurent, ˘a al celor trei drepte. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 + X 2 + aX + 1, a ∈ R, care are r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ C.

Pentru n ∈ N∗ , definim Sn = xn1 + xn2 + xn3 .

a) S˘ a se arate c˘ a S3 + S2 + aS1 + 3 = 0. b) S˘ a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆ at S3 = −1. c) S˘ a se arate c˘ a pentru orice a ∈ Z num˘ ar par, polinomul f nu are r˘ad˘acini rat, ionale. 2.

Se consider˘ a funct, iile f , F : R → R, f (x) = a sin x + b sin 3x + c sin 5x s, i F (x) = −a cos x − a) S˘ a se arate c˘ a funct, ia F este o primitiv˘a a funct, iei f . Z 2π b) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

SUBIECTUL III a dac˘a z1 , z2 ∈ C, atunci a) În mult, imea numerelor complexe C, s˘a se demonstreze c˘ z1 + z2 = z1 + z2 . Se noteaz˘ a cu z conjugatul lui z. Se consider˘ a M2 (C), mult, imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste C, s, i submult, imea z −w H = A= z, w ∈ C . z w

b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice A, B ∈ H, avem A + B ∈ H. c) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A ∈ H, atunci −A ∈ H.

d) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a A ∈ H s, i are determinantul zero, atunci A = O2 . SUBIECTUL IV Se defines, te s, irul (In ) astfel: I0 =

Z

0

a) S˘ a se calculeze I0 s, i I1 .

1

1 dx s, i In = x+3

Z

b) S˘ a demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , In+1 + 3In = c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , In+1 ≤ In . 52

1

0

xn dx, n ∈ N∗ . x+3

1 · n+1

b c cos 3x − cos 5x. 3 5

Varianta 6 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv - real

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct, ia f , g : R → R, f (x) = x2 − 8x + 1 s, i g(x) = −x2 + 4x − 17. a) S˘ a se arate c˘ a f (x) − g(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ R.

b) S˘ a se calculeze aria suprafet, ei plane limitate de graficele funct, iilor f s, i g, s, i dreptele de ecuat, ii x = −1, x = 0. 2.

Se consider˘ a mult, imea numerelor reale R pe care se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = x + y − 10, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este comutativ˘a. b) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. c) S˘ a se arate c˘ a e = 10 este elementul neutru al legii ”⋆”. d) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice x ∈ R este adev˘arat˘a relat, ia x ⋆ (−x + 20) = 10.

a cercul de ecuat, ie (x − 5)2 + (y − 4)2 = 25. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se determine coordonatele centrului s, i raza cercului. b) S˘ a se verifice c˘ a punctul P (9, 7) este situat pe cerc. c) S˘ a se scrie ecuat, ia tangentei la cerc ˆın punctul P (9, 7). SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = (1 + X + X 2 )10 cu forma sa algebric˘a f = a20 X 20 + . . . + a1 X + a0 . a) S˘ a se determine a0 ¸si a1 . b) S˘ a se calculeze f (1), f (−1) ¸si f (i). c) S˘ a se calculeze suma coeficient¸ilor polinomului f . 1 d) S˘ a se arate c˘ a a0 + a4 + · · · + a16 + a20 = (f (1) + f (−1) + f (i) + f (−i)). 4

2.

Se consider˘ a funct¸iile f , F : R → R, f (x) = a cos x + b cos 2x + c cos 3x ¸si F (x) = a sin x + a) S˘ a se arate c˘ a F este o primitiv˘a a funct¸iei f . b) S˘ a se calculeze F (kπ), pentru orice k ∈ Z. Z π c) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

SUBIECTUL III a dac˘a z1 , z2 ∈ C, atunci a) În mult¸imea numerelor complexe C, s˘a se demonstreze c˘ z1 + z2 = z1 + z2 . Se noteaz˘ a cu z conjugatul lui z. Se consider˘ a M2 (C), mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste C, ¸si submult¸imea z w z, w ∈ C . H = A= −w z

b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice A, B ∈ H, matricea A + B ∈ H. 0 0 c) S˘ a se verifice c˘ a matricea O2 = apart¸ine mult¸imii H. 0 0 d) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A ∈ H, atunci −A ∈ H. 53

c b sin 2x + sin 3x. 2 3

e) S˘ a se arate c˘ a submult¸imea H a lui M2 (C), ˆımpreun˘a cu operat¸ia de adunare indus˘a, formeaz˘a o structur˘ a de grup comutativ. f ) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a A ∈ H ¸si are determinantul zero, atunci A = O2 . SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct, ia g : R\{0} → R, g(x) =

6x5 + 3x2 + 1 · x4

1.

S˘ a se arate c˘ a dreapta x = 0 este asimptot˘a vertical˘ a.

2.

S˘ a se stabileasc˘a asimptota oblic˘ a spre +∞ la graficul funct, iei g.

54

Varianta 7 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv - real SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = 2X 3 − 3X 2 − 17X + 30. a) S˘ a se calculeze f (2). b) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘art¸irii lui f la X − 2. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0.

2.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia 2e3x − 3e2x − 17ex + 30 = 0.

3.

Se consider˘ a funct, ia g : R → R, g(x) = x4 − 2x3 − 17x2 + 60x − 10. S˘ a se stabileasc˘a semnul funct, iei g ′ .

4. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(−3, 4), B(5, −2) ¸si C mijlocul segmentului [AB]. a) S˘ a se determine coordonatele punctului C s, i lungimea segmentului [AB]. b) S˘ a se scrie ecuat, ia cercului de diametru [AB]. c) S˘ a se verifice dac˘ a punctul D(4, 5) este situat pe cercul de diametru [AB]. SUBIECTUL II 1.

  3x − 2y + z = 1 Se consider˘ a sistemul x + y + 2z = −2   mx − y + 3z = −1

, unde m este un parametru real, ¸si A matricea sistemului.

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A. b) S˘ a se determine valorile lui m pentru care sistemul este compatibil determinat. c) Pentru m = 4 s˘a se rezolve sistemul.

2.

a) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice x ∈ R, x 6= 1, are loc identitatea: x + x2 + . . . + xn =

xn+1 − x , ∀ n ∈ N∗ . x−1

b) Derivând ambii membri ai identit˘ a¸tii de la punctul a), s˘a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ ¸si x ∈ R, x 6= 1, nxn+1 − (n + 1)xn + 1 · 1 + 2x + 3x2 + . . . + nxn−1 = (x − 1)2 SUBIECTUL III Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = 2xy − 6x − 6y + 21, oricare ar fi x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a ¸si comutativ˘a. b) S˘ a se determine elementul neutru al legii ”⋆”. c) S˘ a se demonstreze c˘ a mult¸imea G = (3, ∞) este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu legea ”⋆”. SUBIECTUL IV Se consider˘ a integralele I0 =

Z

1

0

a) S˘ a se calculeze I0 ¸si I1 .

1 dx ¸si In = 4 + x2

b) S˘ a se arate c˘ a pentru orice x ∈ [0, 1], ≤ c) S˘ a se demonstreze c˘ a 0 ≤ In ≤

Z

0

1

xn dx, n ∈ N∗ . 4 + x2

xn ≤ xn , ∀ n ∈ N∗ . 4 + x2

1 , ∀ n ∈ N∗ . n+1

d) S˘ a se determine limita ¸sirului (In )n≥1 .

55

Varianta 8 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv - real SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = 2X 3 − X 2 − 5X − 2. a) S˘ a se calculeze f (−1). b) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘art¸irii lui f la X + 1. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0.

2.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia 2(ln x)3 − (ln x)2 − 5 ln x − 2 = 0, x > 0.

a punctele A(−3, 4), B(5, −4) ¸si C mijlocul segmentului 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ [AB]. a) S˘ a se determine coordonatele punctului C s, i lungimea segmentului [AB]. b) S˘ a se scrie ecuat, ia cercului de diametru [AB]. √ c) S˘ a se verifice dac˘ a punctul D(6, 7) este situat pe cercul de diametru [AB]. SUBIECTUL II 1.

  −x − 2y + 3z = 1 Se consider˘ a sistemul 2x − y − z = 2   mx − 3y + 2z = 3

, unde m este un parametru real, ¸si A matricea sistemului.

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A. b) S˘ a se determine valorile lui m pentru care sistemul este compatibil determinat. c) Pentru m = 1 s˘a se rezolve sistemul.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (1 + x)n , n ∈ N∗ .

a) S˘ a se arate c˘ a pentru orice x ∈ R, f (x) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + · · · + Cnn xn , n ∈ N∗ . b) Derivând cele dou˘a expresii ale lui f s˘a se demonstreze c˘ a pentru orice x ∈ R are loc identitatea n(1 + x)n−1 = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x2 + · · · + nCnn xn−1 , ∀ n ∈ N∗ .

SUBIECTUL III Se consider˘ a mult, imea numerelor reale R pe care se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = xy + x + y, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se calculeze 7 ⋆ 5.

b) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat, ia x ⋆ x = 0. c) S˘ a se arate c˘ a x ⋆ y = y ⋆ x, pentru orice x, y ∈ R. d) S˘ a se determine e ∈ R astfel ˆıncˆ at x ⋆ e = x, ∀ x ∈ R. e) S˘ a se demonstreze c˘ a mult, imea G = (−1, ∞) este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu legea ”⋆”. SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct, ia f : R\{−1} → R, f (x) =

x2 + 3x + 3 · x+1

a) S˘ a se calculeze lim f (x). x→∞

b) S˘ a se determine f ′ (x) pentru orice x ∈ R\{−1}. c) S˘ a se rezolve ecuat, ia f ′ (x) = 0. d) S˘ a se arate c˘ a f (x) = e) S˘ a se calculeze

Z

1 + x + 2, ∀ x ∈ R\{−1}. x+1

3

f (x) dx. 0

56

Varianta 9 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv - real

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = X 3 − 2X 2 − 5X + 6. a) S˘ a se calculeze f (1). b) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘art¸irii lui f la X − 1. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0.

2.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia (ln x)3 − 2(ln x)2 − 5 ln x + 6 = 0, x > 0.

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a dreptele de ecuat¸ii d1 : x + 2y − 6 = 0, d2 : 2x + y − 6 = 0 ¸si d3 : 3x + 2y − 10 = 0. a) S˘ a se determine punctul de intersect¸ie al dreptelor d1 ¸si d2 . b) S˘ a se arate c˘ a dreptele d1 , d2 ¸si d3 sunt concurente. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia cercului de centru O(0, 0) care trece prin punctul de concurent¸˘a al celor trei drepte. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − X 2 + aX − 1, a ∈ R care are r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ C.

Pentru n ∈ N∗ , definim Sn = xn1 + xn2 + xn3 . a) S˘ a se arate c˘ a S3 − S2 + aS1 − 3 = 0.

b) S˘ a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆ at S3 = 1. 2.

Se consider˘ a funct, ia f : (0, ∞) → R, f (x) = 2x(1 + ln x). a) S˘ a se determine f ′ (x) pentru orice x ∈ (0, ∞). Z 4 b) S˘ a se calculeze f (x) dx. 1

SUBIECTUL III În M2 (R), mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste R, se consider˘ a matricea X(a) = a ∈ R. a) S˘ a se calculeze determinantul matricei X(a). b) Pentru orice a, b ∈ R, s˘a se arate c˘ a X(a) · X(b) = X(ab + a + b). c) S˘ a se determine (X(1))2 . d) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct¸iei matematice, c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , (X(1))n = X(2n − 1). SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct, iile f , F : R → R, f (x) = (x − 1)ex s, i F (x) = (x − 2)ex + e. a) S˘ a se arate c˘ a funct, ia F este o primitiv˘a a funct, iei f . F (x) · x→1 (x − 1)2

b) S˘ a se calculeze lim

F (x) · x→∞ xex

c) S˘ a se calculeze lim

57

1 + 5a −2a

10a , 1 − 4a

Varianta 10 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv - real SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = 6X 3 − 5X 2 − 2X + 1. a) S˘ a se calculeze f (1). b) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘art¸irii lui f la X − 1. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0.

2.

S˘ a se rezolve ecuat¸ia 6(ln x)3 − 5(ln x)2 − 2 ln x + 1 = 0, x > 0.

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a dreptele de ecuat¸ii d1 : x + 2y + 6 = 0, d2 : 2x + y + 6 = 0 ¸si d3 : 3x + 2y + 10 = 0. a) S˘ a se determine punctul de intersect¸ie al dreptelor d1 ¸si d2 . b) S˘ a se arate c˘ a dreptele d1 , d2 ¸si d3 sunt concurente. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia cercului de centru O(0, 0) care trece prin punctul de concurent¸˘a al celor trei drepte. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = 3xy − 6x − 6y + 14, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a ¸si comutativ˘a. b) S˘ a se determine elementul neutru al legii ”⋆”. c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice x ∈ R are loc identitatea: n−1 x (x − 2)n + 2, ∀ n ∈ N∗ . | ⋆ x ⋆ x{z⋆ . . . ⋆ x} = 3 de n ori x

2.

Se consider˘ a funct¸iile f , F : (−1, ∞) → R, f (x) = (x + 1)2 ln(x + 1) s, i f (x) = a) S˘ a se calculeze F (0). b) S˘ a se arate c˘ a funct, ia F este o primitiv˘a a funct, iei f . F (x) c) S˘ a se calculeze lim · x→0 x2 SUBIECTUL III 5 0 Se consider˘ a matricea A = . 0 1 ∗ Pentru orice n ∈ N se defines, te matricea Bn = A + A2 + A3 + · · · + An .

a) S˘ a se determine A2 s, i A3 .

b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , An =

n 5 0

0 . 1

c) S˘ a se determine matricea Bn , n ∈ N∗ . SUBIECTUL IV Se consider˘ a integralele I0 =

Z

1

0

a) S˘ a se calculeze I0 ¸si I1 .

1 dx ¸si In = 4 − x2

b) S˘ a se arate c˘ a pentru orice x ∈ [0, 1], 0 ≤ c) S˘ a se demonstreze c˘ a 0 ≤ In ≤

Z

0

1

xn dx, n ∈ N∗ . 4 − x2

xn ≤ xn , ∀ n ∈ N∗ . 4 − x2

1 , ∀ n ∈ N∗ . n+1

58

(x + 1)3 (x + 1)3 1 ln(x + 1) − + · 3 9 9

SESIUNEA IUNIE Varianta 1 Profil pedagogic

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se determine toate numerele scrise ˆın baza 10 de forma abbc, divizibile cu 45, s, tiind c˘ a a este cifr˘a par˘ a.

2.

Un elev are o sum˘a de bani. Dup˘ a ce dubleaz˘ a aceast˘a sum˘a, cheltuies, te 150000 de lei. Apoi dubleaz˘ a suma r˘amas˘ a s, i mai cheltuies, te ˆınc˘ a 200000 lei. Dup˘a ce dubleaz˘ a noul rest s, i cheltuies, te ˆınc˘ a 250000 lei, constat˘a c˘ a i-au r˘amas 100000 de lei. a) Care este suma init, ial˘a pe care a avut-o elevul? b) Care este suma pe care a avut-o elevul ˆınainte de a cheltui 250000 de lei? SUBIECTUL II

1.

Se consider˘ a binomul la putere (x − 2y)8 , x, y ∈ R. a) S˘ a se calculeze suma coeficient, ilor dezvolt˘ arii binomului. b) S˘ a se determine termenul din mijloc al dezvolt˘ arii.

atratice de ordinul doi peste R, se consider˘ a matricea A = 2. În M2 (R), mult, imea matricelor p˘

2 2 . −2 −1

a) S˘ a se calculeze A2 . b) S˘ a se determine X ∈ M2 (R), X =

x 0 astfel ˆıncˆ at determinantul matricei X + A s˘a fie egal cu 2. 0 x

c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , An = A.

d) S˘ a se demonstreze c˘ a, pentru orice n ∈ N∗ ,

A + 2A2 + · · · + nAn =

n(n + 1) A. 2

SUBIECTUL III Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = 3xy − 6x − 6y + 14, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a ¸si comutativ˘a. b) S˘ a se determine elementul neutru al legii ”⋆”. c) S˘ a se demonstreze c˘ a mult, imea G = (2, ∞) este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu legea ”⋆”. d) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a pentru orice x ∈ R are loc identitatea: n−1 (x − 2)n + 2, ∀ n ∈ N∗ . x | ⋆ x ⋆ x{z⋆ . . . ⋆ x} = 3 de n ori x

SUBIECTUL IV √ Se consider˘ a tetraedrul regulat ABCD de muchie 2 3 cm. a) S˘ a se calculeze volumul tetraedrului. b) S˘ a se demonstreze c˘ a dreptele AB s, i CD sunt perpendiculare.

59

Varianta 2 Profil pedagogic

SUBIECTUL I 1.

Numerele 294, 499 s, i 361 ˆımp˘art, ite la acelas, i num˘ar natural n dau resturile 14, 9, respectiv 11. S˘ a se determine num˘arul natural n.

2. În dou˘a magazii se afl˘a depozitate porumb s, i orez. a) Cantit˘ at, ile de porumb din cele dou˘a magazii sunt direct proport, ionale cu numerele 7 s, i 11, iar ˆın prima magazie sunt cu 840 t mai put, in decˆ at ˆın a doua. Care este cantitatea de porumb din a doua magazie? b) 20% din cantitatea de orez depozitat˘a ˆın prima magazie este egal˘a cu 60% din cantitatea de orez din a doua magazie. Dup˘ a ce se scot 400 t de orez din fiecare magazie, ˆın prima magazie r˘amˆ ane de 4 ori mai mult orez decât ˆın a doua. Ce cantitate de orez a fost depozitat˘a init, ial ˆın fiecare magazie? SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient, i reali f = X 3 + 2X 2 − 5X − 6. a) S˘ a se calculeze f (−1). b) S˘ a se determine cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii lui f la X + 1.

2.

c) S˘ a se rezolve ecuat, ia f (x) = 0.   x + 2y − 3z = 1 Se consider˘ a sistemul 2x − y + z = 2   mx + y − 2z = 3

, unde m este un parametru real s, i A matricea sistemului.

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A.

b) S˘ a se determine valorile lui m pentru care sistemul este compatibil nedeterminat. SUBIECTUL III Se consider˘ a mult, imea numerelor reale R s, i submult, imea sa √ G = {a + b 2 | a, b ∈ Z, a2 − 2b2 = 1}. √ √ a) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a a, b, c, d ∈ Z s, i a + b 2 = c + d 2, atunci a = c s, i b = d. b) S˘ a se demonstreze c˘ a G este parte stabil˘a a lui R fat, ˘a de operat, ia de ˆınmult, ire a numerelor reale. √ 1 c) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a x = a + b 2 s, i x ∈ G, atunci x 6= 0 s, i ∈ G. x SUBIECTUL IV Se consider˘ √ a triunghiul echilateral ABC cu AB = 3 cm s, i dreapta AM perpendicular˘a pe planul (ABC) astfel a punctele E s, i F astfel ˆıncˆ at AE = 2BE, respectiv CF = 2AF . ˆıncˆ at AM = 6 cm. Pe laturile [AB] s, i [AC] se fixeaz˘ a) S˘ a se calculeze perimetrul triunghiului AEF . b) S˘ a se demonstreze c˘ a planele (EF M ) s, i (AF M ) sunt perpendiculare.

60

Varianta 3 Profil pedagogic

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se determine toate numerele naturale scrise ˆın baza 10, de forma 27xxy, divizibile cu 45.

2.

Barbu are 57 de ani, vârsta lui Dan este media aritmetic˘a a vârstelor lui Barbu s, i Ion, iar Ion are 13 ani. a) Ce vârst˘a are Dan? b) Cu cˆ at, i ani ˆın urm˘a vârsta lui Barbu a fost de 12 ori mai mare decât vârsta lui Dan? c) Peste cˆ at, i ani vârstele lui Barbu, Dan s, i Ion vor fi direct proport, ionale cu numerele 7, 5 s, i respectiv 3? SUBIECTUL II

1.

S˘ a se rezolve ecuat, iile: a) Cn3 = 10, n ∈ N, n ≥ 3;

b) log2 (x + 2) + log2 x = 3, x ∈ (0, +∞). 2.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 + X 2 + aX + 1, a ∈ R.

Pentru n ∈ N∗ , definim Sn = xn1 + xn2 + xn3 , unde x1 , x2 , x3 ∈ C sunt r˘ad˘acinile polinomului f . a) S˘ a se arate c˘ a S3 + S2 + aS1 + 3 = 0. b) S˘ a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆ at S3 = −1. SUBIECTUL III În M2 (R), mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste R, se consider˘ a matricea X(a) = a ∈ R.

1−a a

−2a , 1 + 2a

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei X(a). b) Pentru orice a, b ∈ R, s˘a se arate c˘ a X(a) · X(b) = X(ab + a + b). c) S˘ a se determine (X(1))2 . d) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct¸iei matematice, c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , (X(1))n = X(2n − 1). SUBIECTUL IV Se consider˘ a trapezul ABCD cu proprietatea m(∢A) = m(∢D) = 90◦ , AB = 4 cm, AD = 8 cm s, i DC = 10 cm. În punctul B se ridic˘ a perpendiculara BP pe planul (ABC) astfel ˆıncˆ at BP = 3 cm. a) S˘ a se calculeze perimetrul trapezului. b) S˘ a se calculeze volumul piramidei P ABCD.

61

Varianta 4 Profil pedagogic

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se demonstreze c˘ a num˘ arul 102000 + 9998 este divizibil cu 18.

2. În prima lun˘a pret, ul unui produs a crescut cu 12%. În a doua lun˘a pret, ul produsului a sc˘azut cu 25%. S-a constatat c˘ a fat, ˘ a de pret, ul init, ial produsul cost˘a cu 100000 lei mai put, in. Care a fost pret, ul init, ial al produsului? SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient, i reali f = 2X 3 − X 2 − 5X − 2. a) S˘ a se arate calculeze f (2). b) S˘ a se determine cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii lui f la X − 2. c) S˘ a se rezolve ecuat, ia f (x) = 0.

2.

S˘ a se rezolve ecuat, iile: a) Cn2 = 6, n ∈ N, n ≥ 2;

b) 2e3x + 5e2x + ex − 2 = 0, x ∈ R. SUBIECTUL III În M2 (R), mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste R, se consider˘ a matricea X(a) = a ∈ R.

1 + 2a a , −2a 1 − a

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei X(a). b) Pentru orice a, b ∈ R, s˘a se arate c˘ a X(a) · X(b) = X(ab + a + b). c) S˘ a se determine (X(1))2 . d) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct¸iei matematice, c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , (X(1))n = X(2n − 1). SUBIECTUL IV Se consider˘ a V ABCD o piramid˘ a ˆın care baza ABCD este romb de latur˘ a a cm, m(∢BAD) = m(∢BV D) = 60◦ , O punctul de intersect, ie al diagonalelor rombului, iar dreapta V O este perpendicular˘a pe planul (ABC). a) S˘ a se calculeze perimetrul triunghiului BCD. b) S˘ a se calculeze volumul piramidei V ABCD.

62

Varianta 5 Profil pedagogic

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se determine x ∈ Z, x 6= −2, astfel ˆıncˆ at fract, ia

3x − 4 s˘a reprezinte un num˘ar natural. x+2

aini s, i iepuri, ˆın total 35 capete. 2. Într-o curte sunt g˘ a) Num˘ arul total de picioare poate fi 68? b) Dac˘ a num˘ arul total de picioare este 90, s˘a se determine num˘arul de iepuri. c) Dac˘ a num˘ arul de g˘ aini este cuprins ˆıntre 18 s, i 26, s˘a se determine ˆıntre ce valori este cuprins num˘arul total de picioare. SUBIECTUL II Se consider˘ a polinomul f = (X + 3)4 + (X − 3)4 , cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , . . ., x4 ∈ C. a) S˘ a se calculeze f (0). b) Considerând forma algebric˘a a polinomului f = a4 X 4 + a3 X 3 + . . . + a1 X + a0 , determinat¸i coeficient¸ii a4 , a3 ¸si a2 . c) S˘ a se calculeze suma S = x1 + x2 + · · · + x4 . d) S˘ a se calculeze suma T = x21 + x22 + · · · + x24 . SUBIECTUL III În M2 (R), mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste R, se consider˘ a matricea X(a) = a ∈ R.

1−a −2a

a , 1 + 2a

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei X(a). b) Pentru orice a, b ∈ R, s˘a se arate c˘ a X(a) · X(b) = X(ab + a + b). c) S˘ a se determine (X(1))2 . d) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct¸iei matematice, c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , (X(1))n = X(2n − 1). SUBIECTUL IV Se consider˘ a V ABCD o piramid˘ a patrulater˘ a regulat˘a cu baza √ ABCD, iar O este centrul bazei. Latura bazei este de lungime 6 cm, iar ˆın˘alt, imea piramidei V O este de lungime 6 2 cm. a) S˘ a se calculeze aria total˘ a a piramidei. b) Se fixeaz˘ a punctul P pe V O astfel ˆıncˆ at [P V ] ≡ [P A]. S˘ a se calculeze lungimea segmentului [P O].

63

Varianta 6 Profil pedagogic

SUBIECTUL I 1 . S˘ a se determine a2004 . 7

1.

Fie 0, a1 a2 a3 . . . scrierea zecimal˘a a num˘ arului

2.

Mergând pe jos 6 ore, c˘ al˘ atorind cu autobuzul 3 ore s, i cu trenul 2 ore un excursionist parcurge 528 km. Viteza cu care merge pe jos este de 14 ori mai mic˘a decât viteza autobuzului s, i de 20 de ori mai mic˘a decât viteza trenului. a) Care este viteza cu care merge pe jos excursionistul? b) Care este distant, a pe care o parcurge cu autobuzul? c) Care este distant, a pe care o parcurge cu trenul? SUBIECTUL II

1.

  x − 2y + 3z = −3 Se consider˘ a sistemul 2x + y + z = 4   mx − y + 4z = 1

, unde m este un parametru real, s, i A matricea sistemului.

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A.

b) S˘ a se determine valorile lui m pentru care sistemul este compatibil determinat. c) Pentru m = 3 s˘a se rezolve sistemul. 2.

S˘ a se rezolve ecuat, iile: a) 42x + 7 · 4x − 16 · 4−x − 10 = 0, x ∈ R.

b) (n − 3)! = 24, n ∈ N, n ≥ 3. SUBIECTUL III

Se consider˘ a mult, imea numerelor reale R s, i submult, imea sa √ G = {a + b 5 | a, b ∈ Z, a2 − 5b2 = 1}. √ √ a) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a a, b, c, d ∈ Z s, i a + b 5 = c + d 5, atunci a = c s, i b = d. b) S˘ a se demonstreze c˘ a G este parte stabil˘a a lui R fat, ˘a de operat, ia de ˆınmult, ire a numerelor reale. √ 1 c) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a x = a + b 5 s, i x ∈ G, atunci x 6= 0 s, i ∈ G. x SUBIECTUL IV Se consider˘ a paralelipipedul dreptunghic ABCDA′ B ′ C ′ D′ ˆın care diagonala AC ′ este de lungime 13 cm s, i suma tuturor muchiilor este de 76 cm. a) S˘ a se calculeze aria total˘ a a paralelipipedului. b) Dac˘ a lungimile AB, BC s, i AA′ sunt respectiv proport, ionale cu 6, 8 s, i 24 s˘a se determine distant, a de la B ′ la ′ AD .

64

Varianta 7 Profil pedagogic

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se determine numerele naturale x s, i y a c˘ aror sum˘a este 88, iar cel mai mare divizor comun al lor este 11.

2. Într-o curte sunt g˘ aini s, i iepuri, ˆın total 35 de capete. a) Dac˘ a num˘ arul total de picioare este 90, s˘a se determine num˘arul de iepuri. b) Dup˘a ce au fost adus, i 6 iepuri num˘ arul total de picioare este de 104. S˘ a se determine num˘arul de g˘ aini din curte. c) Dac˘ a num˘ arul de g˘ aini este cuprins ˆıntre 18 s, i 26, s˘a se determine ˆıntre ce valori este cuprins num˘arul total de picioare. SUBIECTUL II Se consider˘ a polinomul f = (X + 1)5 + (X − 1)5 , cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , . . ., x5 ∈ C. a) S˘ a se calculeze f (0). b) Considerând forma algebric˘a a polinomului f = a5 X 5 + a4 X 4 + . . . + a1 X + a0 , determinat, i coeficient, ii a5 , a4 s, i a3 . c) S˘ a se calculeze suma S = x1 + x2 + · · · + x5 . d) S˘ a se calculeze suma T = x21 + x22 + · · · + x25 . SUBIECTUL III În M2 (R), mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste R, se consider˘ a matricea X(a) = a ∈ R.

1 + 3a −a

6a , 1 − 2a

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei X(a). b) Pentru orice a, b ∈ R, s˘a se arate c˘ a X(a) · X(b) = X(ab + a + b). c) S˘ a se determine (X(1))2 . d) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , (X(1))n = X(2n − 1). SUBIECTUL IV Se consider˘ a prisma dreapt˘ a ABCDA′ B ′ C ′ D′ ˆın care ABCD este p˘ atrat de latur˘ a a, iar muchia lateral˘ a AA′ este ′ de lungime 2a. Se noteaz˘ a cu E mijlocul muchiei CC . 1.

S˘ a se calculeze aria total˘ a a prismei.

2.

S˘ a se demonstreze c˘ a triunghiul A′ EB este dreptunghic.

65

Varianta 8 Profil pedagogic

SUBIECTUL I 3x − 4 s˘a reprezinte un num˘ar natural. x+2

1.

S˘ a se determine x ∈ Z, x 6= −2, astfel ˆıncˆ at fract, ia

2.

Un cub omogen are muchia de 2 dm s, i cˆ ant˘ ares, te 560 g. Din acest cub se tai un cub cu muchia de 1 dm. Cât cˆ ant˘ ares, te acest cub?

3.

S˘ a se determine cel mai mic num˘ ar natural de trei cifre care ˆımp˘art, it la 3, 4 s, i 5 s˘a dea de fiecare dat˘a restul 1. SUBIECTUL II

1.

  x + 3y − 2z = 1 Se consider˘ a sistemul 3x − y + z = 3   mx + 2y − z = 4

, unde m este un parametru real, s, i A matricea sistemului.

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A.

b) S˘ a se determine valorile lui m pentru care sistemul este compatibil determinat. c) Pentru m = 4 s˘a se rezolve sistemul. 2.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − 3X 2 + aX − 5, a ∈ R.

Pentru n ∈ N∗ , definim Sn = xn1 + xn2 + xn3 , unde x1 , x2 , x3 ∈ C sunt r˘ad˘acinile polinomului f . a) S˘ a se arate c˘ a S3 − 3S2 + aS1 − 15 = 0.

b) S˘ a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆ at S3 = −21. SUBIECTUL III Se consider˘ a mult¸imea numerelor reale R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = 2xy − 6x − 6y + 21, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a ¸si comutativ˘a. b) S˘ a se determine elementul neutru al legii ”⋆”. c) S˘ a se demonstreze c˘ a mult, imea G = (3, ∞) este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu legea ”⋆”. d) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a pentru orice x ∈ R are loc identitatea: n−1 (x − 3)n + 3, ∀ n ∈ N∗ . x | ⋆ x ⋆ x{z⋆ . . . ⋆ x} = 2 de n ori x

SUBIECTUL IV Se consider˘ a SABCD o piramid˘ a patrulater˘ a regulat˘a cu baza ABCD, iar O este centrul bazei. Latura bazei are √ lungimea egal˘a cu 2 cm, iar muchia lateral˘ a are lungimea egal˘a cu 6 cm. a) S˘ a se calculeze volumul piramidei. b) S˘ a se calculeze aria lateral˘ a a piramidei.

66

Varianta 9 Profil pedagogic

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N, n ≥ 2, num˘arul A = 5n−1 · 2n + 5n · 2n−1 este divizibil cu 70.

2.

La prima edit, ie a unui cros au participat mai put, in de 1000 de sportivi, la a doua edit, ie au participat cu 15% mai mult, i sportivi decˆ at la prima edit, ie, iar la a treia edit, ie au participat cu 8% mai put, ini decât la a doua edit, ie. Cât, i sportivi au participat la fiecare din cele trei edit, ii? SUBIECTUL II

1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient, i reali f = 5X 3 + 14X 2 + 7X − 2. a) S˘ a se arate calculeze f (−2). b) S˘ a se determine cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii lui f la X + 2. c) S˘ a se rezolve ecuat, ia f (x) = 0.

2.

S˘ a se rezolve ecuat, iile: a) e3x − 2e2x − 13ex − 10 = 0, x ∈ R.

b) Cn0 + Cn1 + Cn2 + · · · + Cnn = 64, n ∈ N, n ≥ 1. SUBIECTUL III În M2 (R), mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste R, se consider˘ a matricea X(a) = a ∈ R.

1 − 3a −2a

6a , 1 + 4a

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei X(a). b) Pentru orice a, b ∈ R, s˘a se arate c˘ a X(a) · X(b) = X(ab + a + b). c) S˘ a se determine (X(1))2 . d) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct¸iei matematice, c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , (X(1))n = X(2n − 1). SUBIECTUL IV Se consider˘ a tetraedrul regulat ABCD de muchie 6 cm, O punctul de intersect, ie al mediatoarelor triunghiului BCD. a) S˘ a se calculeze volumul tetraedrului ABCD. b) Se fixeaz˘ a punctul H pe segmentul [AO] situat la distant, ˘a egal˘a de toate fet, ele tetraedrului. S˘ a se determine distant, a dintre punctele H s, i A.

67

Varianta 10 Profil pedagogic

SUBIECTUL I 1.

S˘ a se determine cel mai mic num˘ ar natural divizibil cu 9, format din cinci cifre distincte.

2.

O echip˘a format˘a din 6 lucr˘atori are de efectuat o lucrare. Lucrând individual oricare dintre doi angajat, i ar putea efectua lucrarea ˆın 36 ore, s, i oricare dintre urm˘atorii 4 ar pute efectua lucrarea ˆın 72 ore. a) În cˆ at timp ar efectua lucrarea primii doi angajat, i, dac˘a ar lucra ˆımpreun˘a? ˆ at timp ar efectua lucrarea ultimii patru angajat, i, dac˘a ar lucra ˆımpreun˘a? b) In cˆ ˆ at timp execut˘a lucrarea ˆıntreaga echip˘a? c) In cˆ SUBIECTUL II

1.

Se consider˘ a fract, ia

x2 + (m + 3)x + m + 11 , m ∈ R. x2 + 2x + m + 5

a) S˘ a se determine m astfel ˆıncˆ at fract, ia s˘a aib˘ a sens pentru orice x ∈ R.

2.

b) S˘ a se determine m astfel ˆıncˆ at fract, ia s˘a fie strict pozitiv˘ a pentru orice x ∈ R.   2x + y − 3z = 2 Se consider˘ a sistemul 3x − 2y + z = −1 , unde m este un parametru real, s, i A matricea sistemului.   mx − y − 2z = 1 a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A.

b) S˘ a se determine valorile lui m pentru care sistemul este compatibil nedeterminat. SUBIECTUL III Se consider˘ a mult, imea numerelor reale R pe care se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = xy − 4x − 4y + 20, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se calculeze 7 ⋆ 5. b) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat, ia x ⋆ x = 20. c) S˘ a se arate c˘ a x ⋆ y = y ⋆ x, pentru orice x, y ∈ R. d) S˘ a se determine e ∈ R astfel ˆıncˆ at x ⋆ e = x, ∀ x ∈ R. e) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a pentru orice x ∈ R are loc identitatea n ∗ x | ⋆ x ⋆{z. . . ⋆ x} = (x − 4) + 4, ∀ n ∈ N . de n ori x

SUBIECTUL IV Se consider˘ a un trunchi de con circular drept ˆın care sect, iunea axial˘a este trapezul ABCD ˆın care AC ⊥ BD, AB = 10 cm s, i CD = 6 cm. a) S˘ a se calculeze aria trapezului ABCD. b) S˘ a se calculeze volumul trunchiului de con.

68

SESIUNEA IUNIE Varianta 1 Profil uman

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = ax5 + bx2 + c, a, b, c parametri reali. S˘ a se determine a, b s, i c astfel ˆıncˆ at s˘a fie ˆındeplinite simultan condit, iile f (0) = 1,

f ′ (1) = 36,

Z

1

f (x) dx = 3.

0

2.

Se consider˘ a polinomul g = X 3 + X − 2. a) S˘ a se afle cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii polinomului la X − 1.

b) S˘ a se rezolve ˆın mult, imea numerelor complexe ecuat, ia g(x) = 0. a dreptele de ecuat, ii d1 : 3x − y − 2 = 0, d2 : x − y = 0. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se determine coordonatele punctului de intersect, ie al celor dou˘a drepte. b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctul A(1, 1) s, i are panta 2. SUBIECTUL II În M2 (R), mult, imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste R, se consider˘ a matricea A =

2 2

−1 . −1

a) S˘ a se calculeze A2 . b) S˘ a se determine X ∈ M2 (R), X =

x x

0 , astfel ˆıncˆ at determinantul matricei X + A s˘a fie egal cu 2. 0

c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , An = A. SUBIECTUL III Se consider˘ a funct, ia f : R\{3} → R, f (x) =

x2 − 4x + 7 · x−3

a) S˘ a se calculeze lim f (x). x→∞

b) S˘ a se determine f ′ (x) pentru orice x ∈ R\{3}. c) S˘ a se arate c˘ a f (x) = d) S˘ a se calculeze

Z

1

4 + x − 1, ∀ x ∈ R\{3}. x−3

f (x) dx. 0

SUBIECTUL IV Se consider˘ a mult, imea numerelor reale R pe care se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = 4xy − 4x − 4y + 5, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a s, i comutativ˘a. b) S˘ a se determine elementul neutru al legii ”⋆”. c) S˘ a se demonstreze c˘ a mult, imea G = (1, +∞) este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu legea ”⋆”.

69

Varianta 2 Profil uman

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient, i reali f = X 3 + aX 2 + bX + 6, a, b ∈ R. a) S˘ a se determine a s, i b astfel ˆıncˆ at f (1) = 0 s, i f (−2) + 30 = 0. b) Pentru a = −2 s, i b = −5 s˘a se afle cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii lui f la X 2 + 1. c) Pentru a = −2 s, i b = −5 s˘a se rezolve ecuat, ia f (x) = 0.

2.

S˘ a se rezolve ecuat, ia 42x − 2 · 4x + 6 · 4−x − 5 = 0.

a punctele A(−3, 3), B(5, −3) s, i C mijlocul segmentului 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ [AB]. a) S˘ a se determine panta dreptei AB. b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin C s, i are panta

4 · 3

SUBIECTUL II 1 Se consider˘ a matricea B = 2

2 . 4

a) S˘ a se arate c˘ a B 2 = 5B. b) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , B n = 5n−1 B. c) S˘ a se determine matricea A = B + B 2 + · · · + B 100 . SUBIECTUL III 1.

x4 Se consider˘ a funct, iile f , F : (0, ∞) → R, f (x) = x ln x s, i F (x) = 4 3

1 1 ln x − + · 4 16

a) S˘ a se calculeze F (1). b) S˘ a se arate c˘ a funct, ia F este o primitiv˘a a funct, iei f . Z e c) S˘ a se calculeze f (x) dx. 1

2.

x3 − 3x2 + 4 · x2 S˘ a se determine f ′ (x), pentru orice x ∈ R∗ . Se consider˘ a funct, ia f : R∗ → R, f (x) =

SUBIECTUL IV Se consider˘ a mult, imea numerelor reale R pe care se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = 2xy − 6x − 6y + 21, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a s, i comutativ˘a. b) S˘ a se determine elementul neutru al legii ”⋆”. c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice x ∈ R are loc identitatea n−1 x (x − 3)n + 3, ∀ n ∈ N∗ . | ⋆ x ⋆{z. . . ⋆ x} = 2 de n ori x

70

Varianta 3 Profil uman

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = ax7 + bx3 + c, a, b, c parametri reali. S˘ a se determine a, b s, i c astfel ˆıncˆ at s˘a fie ˆındeplinite simultan condit, iile f ′ (1) = 38,

f (0) = 1,

Z

1

f (x) dx = 3.

0

2.

S˘ a se rezolve ecuat, ia lg(3x2 + 12x + 19) − lg(3x + 4) = 1, x ∈ (0, ∞).

a punctele A(−3, 3), B(5, −3) s, i C mijlocul segmentului 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ [AB]. a) S˘ a se determine coordonatele punctului C s, i lungimea segmentului [AB]. b) S˘ a se scrie ecuat, ia cercului de diametru [AB]. SUBIECTUL II Se consider˘ a matricea A =

2 0

0 . 1

a) S˘ a se determine x, y, z, t ∈ R astfel ˆıncˆ at A ·

x z

y t

=

0 3

3 . 1

b) S˘ a se determine A2 s, i A3 . n 2 c) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N , A = 0 ∗

n

0 . 1

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct, ia f : (−∞, 5) − {2} → R, f (x) =

x2 + x − 6 · x2 − 7x + 10

a) S˘ a se calculeze lim f (x). x→2

2.

b) S˘ a se determine f ′ (x), x ∈ (−∞, 5) − {2}. Z e (x ln x − x) dx. S˘ a se calculeze 1

SUBIECTUL IV Se consider˘ a polinomul f = (X + 1)5 + (X − 1)5 , cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , . . ., x5 ∈ C. a) S˘ a se calculeze f (0). b) Considerând forma algebric˘a a polinomului f = a5 X 5 + a4 X 4 + . . . + a1 X + a0 , determinat, i coeficient, ii a5 , a4 s, i a3 . c) S˘ a se calculeze suma S = x1 + x2 + . . . + x5 . d) S˘ a se calculeze suma T = x21 + x22 + . . . + x25 .

71

Varianta 4 Profil uman

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = ax5 + bx2 + c, a, b, c parametri reali. S˘ a se determine a, b s, i c astfel ˆıncˆ at s˘a fie ˆındeplinite simultan condit, iile f (0) = 1,

2.

f ′ (1) = 7,

f ′′ (0) = 2.

Se consider˘ a polinomul g = 4X 3 + 3X 2 + 1. a) S˘ a se calculeze g(−1). b) S˘ a se afle cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii polinomului g la X 2 − 1.

a dreptele de ecuat, ii d1 : 3x + y + 2 = 0, d2 : x + y = 0. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se determine coordonatele punctului de intersect, ie al celor dou˘a drepte. b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctul A(2, 3) s, i are panta 2. SUBIECTUL II În mult, imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste R se consider˘ a matricea A =

1 1 . 0 1

a) S˘ a se calculeze A2 . b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , An =

1 0

n . 1

c) S˘ a se determine matricea A + A2 + · · · + A10 . SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct, ia g : R∗ → R, g(x) =

8x7 + 4x3 + 1 · x7

a) S˘ a se arate c˘ a dreapta x = 0 este asimptot˘a vertical˘ a la graficul funct, iei g. b) S˘ a se stabileasc˘a asimptota spre +∞ la graficul funct, iei g. 2.

Se consider˘ a funct, ia f : (0, ∞) → R, f (x) = 2x(1 − ln x). a) S˘ a se determine f ′ (x) pentru orice x ∈ (0, ∞). Z 1 b) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

SUBIECTUL IV Se consider˘ a mult, imea numerelor reale R pe care se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = x + y − 2, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este comutativ˘a. b) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. c) S˘ a se arate c˘ a e = 2 este elementul neutru al legii ”⋆”. d) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice x ∈ R este adev˘arat˘a relat, ia x ⋆ (−x + 4) = 2. e) S˘ a se rezolve ecuat, ia x | ⋆ x ⋆{z. . . ⋆ x} = −98. de 100 ori x

72

Varianta 5 Profil uman

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient, i reali f = X 3 + mX 2 + nX + 9, m, n ∈ R. a) S˘ a se determine m s, i n astfel ˆıncˆ at f (1) = 0 s, i f (2) + 21 = 0. b) S˘ a se determine cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii lui f la X 2 − 1.

c) S˘ a se rezolve ˆın mult, imea numerelor complexe ecuat, ia f (x) = 0.

2.

S˘ a se rezolve ecuat, ia 3x − 4 + 3 · 3−x = 0.

a punctele A(−4, 4), B(4, −2) s, i C mijlocul segmentului 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ [AB]. a) S˘ a se determine coordonatele punctului C. b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctele A s, i B. SUBIECTUL II Se consider˘ a matricele A =

4 8 1 0 si I = . −2 −4 , 2 0 1

a) S˘ a se calculeze A2 . b) S˘ a se determine matricea B = A + 2A2 + · · · + 100A100 . c) S˘ a se determine x ∈ R astfel ˆıncˆ at determinantul matricei A + xI2 s˘a fie egal cu zero. SUBIECTUL III Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = (x + 1)ex . a) S˘ a se determine f ′ (x) pentru orice x ∈ R. b) S˘ a se stabileasc˘a semnul funct, iei f ′ . c) S˘ a se precizeze intervalele de monotonie ale funct, iei f s, i s˘a se arate c˘ a x0 = −2 este punct de minim al lui f . Z 1 d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

SUBIECTUL IV Se consider˘ a mult, imea numerelor reale R pe care se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = xy + 4x + 4y + 12, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se calculeze 7 ⋆ (−2). b) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat, ia x ⋆ x = 12. c) S˘ a se arate c˘ a x⋆

−4x − 15 = −3, ∀ x ∈ R\{−4}. x+4

d) S˘ a se determine e ∈ R astfel ˆıncˆ at x ⋆ e = x, ∀ x ∈ R. e) S˘ a se demonstreze c˘ a mult, imea G = (−4, ∞) este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu legea ”⋆”

73

Varianta 6 Profil uman

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = ax3 + bx2 + c, a, b, c parametri reali. S˘ a se determine a, b s, i c astfel ˆıncˆ at s˘a fie ˆındeplinite simultan condit, iile f ′ (1) = 18,

f (0) = 1,

Z

1

f (x) dx = 3.

0

2.

Se consider˘ a matricele A =

2 1 1 0 si I = . −2 −1 , 2 0 1

a) S˘ a se calculeze A2 . b) S˘ a se determine matricea B = 4A3 + 3A2 + I2 . a dreptele de ecuat, ii d1 : 3x−8y−3 = 0 s, i d2 : 5x+2y−5 = 0. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se determine coordonatele punctului de intersect, ie al celor dou˘a drepte. b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctul A(1, 2) s, i are panta 3. SUBIECTUL II Se consider˘ a polinomul f = X 2 + X + 1 care are r˘ad˘acinile x1 , x2 ∈ C. a) S˘ a se calculeze x1 + x2 . b) S˘ a se arate c˘ a x31 = x32 = 1. 10 c) S˘ a se calculeze x10 1 + x2 .

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = x2 ex . a) S˘ a se determine derivata f ′ . b) S˘ a se rezolve ecuat, ia f ′ (x) = 0. c) S˘ a se demonstreze c˘ a exist˘a c ∈ (−2, 0) astfel ˆıncˆ at f ′′ (c) = 0.

2.

Se defines, te s, irul (In ) astfel: Z 1 n Z 1 x 1 dx s, i In = dx, n ∈ N, n ≥ 1. I0 = x + 1 x +1 0 0 a) S˘ a se calculeze I0 s, i I1 . b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N, In+1 + In =

1 · n+1

SUBIECTUL IV În M2 (R), mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste R, se consider˘ a matricea X(a) = a ∈ R. a) Pentru orice a, b ∈ R, s˘a se arate c˘ a X(a) · X(b) = X(ab + a + b). b) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct¸iei matematice, c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , (X(1))n = X(2n − 1).

74

1 + 2a a , −2a 1 − a

Varianta 7 Profil uman

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = ax4 + bx + c, a, b, c parametri reali. S˘ a se determine a, b s, i c astfel ˆıncˆ at s˘a fie ˆındeplinite simultan condit, iile f ′ (1) = 22,

f (0) = 1,

Z

1

f (x) dx = 3.

0

2.

Se consider˘ a matricele A =

3 2 1 0 si I = . −3 −2 , 2 0 1

a) S˘ a se calculeze A2 . b) S˘ a se determine matricea B = 5A4 + 2A + I2 . a dreptele de ecuat, ii d1 : 5x−2y+2 = 0 s, i d2 : 2x+3y−3 = 0. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se determine coordonatele punctului de intersect, ie al celor dou˘a drepte. b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctul A(2, 1) s, i are panta 5. SUBIECTUL II Se consider˘ a polinomul f = X 2 − X + 1 care are r˘ad˘acinile x1 , x2 ∈ C. a) S˘ a se calculeze x1 + x2 . b) S˘ a se arate c˘ a x31 = x32 = −1. 10 c) S˘ a se calculeze x10 1 + x2 .

SUBIECTUL III Se consider˘ a funct, ia f : R\{−1, −2} → R, f (x) =

2x + 3 · x2 + 3x + 2

a) S˘ a se calculeze lim f (x). x→∞

b) S˘ a se determine f ′ (x) pentru orice x ∈ R\{−1, −2}. c) S˘ a se arate c˘ a f (x) = d) S˘ a se calculeze

Z

1 1 + , ∀ x ∈ R\{−1, −2}. x+1 x+2

3

f (x) dx. 0

SUBIECTUL IV În M2 (R), mult¸imea matricelor p˘ atratice de ordin doi peste R, se consider˘ a matricea X(a) = a ∈ R. a) S˘ a se calculeze determinantul matricei X(a). b) Pentru orice a, b ∈ R, s˘a se arate c˘ a X(a) · X(b) = X(ab + a + b). c) S˘ a se determine (X(1))2 . d) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct¸iei matematice, c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , (X(1))n = X(2n − 1).

75

1 − 3a −2a

6a , 1 + 4a

Varianta 8 Profil uman

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = ax7 + bx3 + c, a, b, c parametri reali. S˘ a se determine a, b s, i c astfel ˆıncˆ at s˘a fie ˆındeplinite simultan condit, iile f (0) = 1,

2.

−1 1 1 Se consider˘ a matricele A = si I = −1 1 , 2 0

f ′ (1) = 7,

f ′′ (1) = 42.

0 . 1

a) S˘ a se calculeze A2 . b) S˘ a se determine matricea B = 8A7 + 4A3 + I2 . a dreptele de ecuat, ii d1 : 2x + y − 3 = 0 s, i d2 : 3x + y − 4 = 0. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se determine coordonatele punctului de intersect, ie al celor dou˘a drepte. b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctul A(1, 1) s, i are panta 5. SUBIECTUL II 1.

S˘ a se rezolve ecuat, iile: a) Cn2 = 10, n ∈ N, n ≥ 2.

b) log2 (x + 2) + log2 x = 3, x ∈ (0, ∞). 2.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 + X 2 + aX + 1, a ∈ R. Pentru n ∈ N∗ definim Sn = xn1 + xn2 + xn3 , unde x1 , x2 , x3 ∈ C sunt r˘ad˘acinile polinomului f . S˘ a se arate c˘ a S3 + S2 + aS1 + 3 = 0. SUBIECTUL III Se consider˘ a funct, ia g : R\{0} → R, g(x) =

6x5 + 3x2 + 1 · x5

a) S˘ a se arate c˘ a dreapta x = 0 este asimptot˘a vertical˘ a la graficul funct, iei g. b) S˘ a se stabileasc˘a asimptota spre +∞ la graficul funct, iei g. c) S˘ a se determine derivata g ′ . Z 2 d) S˘ a se calculeze g(x) dx. 1

SUBIECTUL IV Se consider˘ a mult, imea numerelor reale R pe care se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = x + y + 3, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este comutativ˘a. b) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. c) S˘ a se arate c˘ a e = −3 este elementul neutru al legii ”⋆”. d) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice x ∈ R este adev˘arat˘a relat, ia x ⋆ (−x − 6) = −3. e) S˘ a se rezolve ecuat, ia x | ⋆ x ⋆{z. . . ⋆ x} = 397. de 100 ori x

76

Varianta 9 Profil uman SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = ax5 + bx4 + c, a, b, c parametri reali. S˘ a se determine a, b s, i c astfel ˆıncˆ at s˘a fie ˆındeplinite simultan condit, iile Z 1 ′ f (0) = −1, f (1) = 50, f (x) dx = 1. 0

2.

Se consider˘ a matricele A =

2 1 1 0 s, i I2 = . −2 −1 0 1

a) S˘ a se calculeze A2 . b) S˘ a se determine matricea B = 6A5 + 5A4 − I2 .

a dreptele de ecuat, ii d1 : 2x + 3y = 0 s, i d2 : 5x + 8y = 0. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se determine coordonatele punctului de intersect, ie al celor dou˘a drepte. b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctul A(1, 1) s, i are panta 3. SUBIECTUL II Se consider˘ u polinomul cu coeficient, i reali f = 2X 3 − X 2 − 5X − 2. a) S˘ a se calculeze f (2). b) S˘ a se determine cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii lui f la X − 2. c) S˘ a se rezolve ecuat, ia f (x) = 0. d) S˘ a se rezolve ecuat, ia Cn2 = 6, n ∈ N, n ≥ 2. SUBIECTUL III Se consider˘ a funct, ia f : R\{−1} → R, f (x) =

x2 + 3x + 3 · x+1

a) S˘ a se calculeze lim f (x). x→∞

b) S˘ a se determine f ′ (x) pentru orice x ∈ R\{−1}. c) S˘ a se rezolve ecuat, ia f ′ (x) = 0, x ∈ R\{−1}. d) S˘ a se arate c˘ a f (x) = e) S˘ a se calculeze

Z

1 + x + 2, ∀ x ∈ R\{−1}. x+1

3

g(x) dx. 0

SUBIECTUL IV Se consider˘ a mult, imea numerelor reale R pe care se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = x + y − 4, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este comutativ˘a. b) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. c) S˘ a se arate c˘ a e = −4 este elementul neutru al legii ”⋆”. d) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice x ∈ R este adev˘arat˘a relat, ia x ⋆ (−x + 8) = 4. e) S˘ a se rezolve ecuat, ia x | ⋆ x ⋆{z. . . ⋆ x} = 4. de 100 ori x

77

Varianta 10 Profil uman

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ u polinomul cu coeficient, i reali f = X 3 − 6X 2 + 11X − 6. a) S˘ a se calculeze f (2). b) S˘ a se determine cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii lui f la X − 1. c) S˘ a se rezolve ecuat, ia f (x) = 0.

2.

S˘ a se rezolve ecuat, ia 32x − 6 · 3x − 6 · 3−x = −11.

a dreptele de ecuat, ii d1 : 3x−2y−1 = 0 s, i d2 : 2x−3y+1 = 0. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se determine coordonatele punctului de intersect, ie al celor dou˘a drepte. b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctul A(1, 1) s, i are panta −3. SUBIECTUL II Se consider˘ a matricea B =

−1 1 . 1 −1

a) S˘ a se arate c˘ a B 2 = −2B. b) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , B n = (−2)n−1 B. c) S˘ a se calculeze determinantul matricei B n . SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct, ia g : R\{0} → R, g(x) =

5x4 + 2x + 1 · x4

a) S˘ a se arate c˘ a dreapta x = 0 este asimptot˘a vertical˘ a la graficul funct, iei g. b) S˘ a se stabileasc˘a asimptota spre +∞ la graficul funct, iei g. c) S˘ a se determine derivata g ′ (x), pentru orice x ∈ R\{0}. 2.

Se defines, te s, irul (In ) astfel: Z 1 Z 1 xn 1 dx s, i In = dx, n ∈ N, n ≥ 1. I0 = 0 x + 10 0 x + 10 a) S˘ a se calculeze I0 s, i I1 . b) S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n ∈ N, In+1 + 10In =

1 · n+1

SUBIECTUL IV Se consider˘ a mult, imea numerelor reale R pe care se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = xy − 4x − 4y + 20, pentru orice x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. b) S˘ a se arate c˘ a x⋆

4x − 15 = 5, ∀ x ∈ R\{4}. x−4

c) S˘ a se determine e ∈ R astfel ˆıncˆ at x ⋆ e = x, ∀ x ∈ R. d) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a pentru orice n ∈ N∗ , n x | ⋆ x ⋆{z. . . ⋆ x} = (x − 4) + 4. de n ori x

78

SESIUNEA AUGUST Varianta 1 Profilurile matematic˘a-fizic˘a, informatic˘ a s, i metrologie

SUBIECTUL I 1.

a) Fie funct, ia f : R → R, f (x) = ax2 + bx + c, cu a, b, c ∈ R. S˘ a se determine a, b, c astfel ˆıncˆ at f (0) = 2, Z 1 1 f ′ (1) = 1 s, i f (x) dx = · 2 0 x b) S˘ a se rezolve ecuat, ia 3 · 4 − 5 · 6x + 2 · 9x = 0, x ∈ R.

2.

S˘ a se determine toate numerele naturale n pentru care Cn2 < 10.

3.

Se consider˘ a s, irurile (an )n≥1 , (bn )n≥1 definite prin: an = n + 2 s, i bn = 3n − 2, n ∈ N∗ . a) S˘ a se arate c˘ a cele dou˘a s, iruri sunt progresii aritmetice s, i s˘a se determine rat, ia fiec˘areia. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele An (an , bn ), n ≥ 1.

b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctele A1 s, i A2 .

c) S˘ a se demonstreze c˘ a punctele An (an , bn ) sunt situate pe dreapta A1 A2 , ∀ n ≥ 1. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinoamele f = X 9 + X 8 + · · · + X + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , . . . , x9 ∈ C s, i g = X 2 + X + 1 cu r˘ad˘acinile y1 , y2 ∈ C. a) S˘ a se arate c˘ a y13 = y23 = 1. b) S˘ a se arate c˘ a polinomul f divide polinomul X 10 − 1. c) S˘ a se deduc˘ a identitatea x10 k = 1, ∀ k ∈ {1, 2, . . . , 9}.

d) S˘ a se calculeze valoarea expresiei

A = (x1 − y1 )(x2 − y1 ) . . . (x9 − y1 )(x1 − y2 )(x2 − y2 ) . . . (x9 − y2 ). 2.

Fie funct, ia f : R → R, f (x) =

x3 + x2 + 1 · x2 + 1

a) S˘ a se calculeze f ′ (x), x ∈ R.

b) S˘ a se studieze monotonia funct, iei f . c) S˘ a se determine asimptota oblic˘ a la ramura c˘ atre +∞ a graficului funct, iei f . SUBIECTUL III În M2 (R) se consider˘ a mult, imea G = a) S˘ a se arate c˘ a I2 =

1 0 0 1

∈ G.

a b

2b 2 2 a, b ∈ Z, a − 2b = 1 . a

b) S˘ a se demonstreze c˘ a G este parte stabil˘a ˆın raport cu ˆınmult, irea matricelor. c) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A ∈ G, atunci A−1 ∈ G. a 2b d) S˘ a se g˘ aseasc˘a o matrice A = ∈ G cu b 6= 0. b a e) S˘ a se arate c˘ a mult, imea G cont, ine o infinitate de elemente. SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = 6x + αx − 14x − 15x , unde α ∈ R, α > 0. 79

a) S˘ a se calculeze f ′ (x). b) S˘ a se calculeze f (0) s, i f ′ (0). c) S˘ a se determine α astfel ˆıncˆ at f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R. Consider˘am α = 35.

d) S˘ a se calculeze aria cuprins˘a ˆıntre graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = 0 s, i x = 1. e) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a 0 < a < b < c < d s, i a + d = b + c, atunci an + dn > bn + cn , ∀ n ≥ 2. f ) Deducet, i c˘ a f (n) (0) > 0, ∀ n ≥ 2.

80

Varianta 2 Profilurile matematic˘a-fizic˘a, informatic˘ a s, i metrologie

SUBIECTUL I 1.

Fie funct, ia f : R → R, f (x) = x2 − 6x + 9 + m, unde m este un parametru real. a) S˘ a se determine valorile lui m pentru care f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R.

b) S˘ a se determine punctul de minim s, i minimul funct, iei f .

c) Pentru m = 0 s˘a se determine valorile reale ale lui x pentru care (f ◦ f )(x) = 0. 2. 3.

Fie polinomul f = X 3 + X + 1. S˘ a se determine cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii polinomului f la X + 2. n 1 s, i bn = 9n , ∀ n ∈ N∗ . Se consider˘ a s, irurile (an )n≥1 , (bn )n≥1 , unde an = 2 a) S˘ a se arate c˘ a cele dou˘a s, iruri sunt progresii geometrice s, i s˘a se determine rat, ia fiec˘areia. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele An (an , bn ), n ≥ 1.

b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctele A1 s, i A2 .

c) S˘ a se demonstreze c˘ a punctele An (an , bn ) sunt situate pe dreapta A1 A2 , ∀ n ≥ 1. SUBIECTUL II 1.

Pe mult, imea numerelor reale definim legea x ⋆ y = −xy + 5x + 5y − 20. a) S˘ a se arate c˘ a legea este asociativ˘ a. b) S˘ a se arate c˘ a x ⋆ 4 = x, ∀ x ∈ R.

c) S˘ a se demonstreze c˘ a mult, imea (−∞, 5) este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”⋆”.

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = e2x . a) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a f (n) (x) = 2n e2x , ∀ n ∈ N∗ , ∀ x ∈ R. f ′ (0) + f (2) (0) + · · · + f (n) (0) · n→∞ 2n

b) S˘ a se calculeze lim SUBIECTUL III



1 1 1 −2 −2 −2  Se consider˘ a matricele A =  −3 −3 −3 4 4 4

  1 0 1  −2  s, i I2 = 0 1 0 0 −3 0 0 4

0 0 1 0

a) S˘ a se calculeze determinantul s, i rangul matricei A.

 0 0 . Definim B = A + I4 . 0 1

b) S˘ a se calculeze A2 . c) S˘ a se arate c˘ a B 2 = 2B − I4 . d) S˘ a se demonstreze c˘ a B este inversabil˘ a s, i s˘a i se calculeze inversa. e) S˘ a se calculeze B n , ∀ n ≥ 1. SUBIECTUL IV Se defines, te s, irul (In )n≥0 astfel: I0 =

Z

0

1.

S˘ a se calculeze I0 s, i I1 .

2.

S˘ a se demonstreze c˘ a:

1

1 dx s, i In = 2 x + 6x + 10

81

Z

1 0

x2

xn dx, n ≥ 1. + 6x + 10

a) In+2 + 6In+1 + 10In =

1 , ∀ n ∈ N. n+1

b) In+1 ≤ In , ∀ n ∈ N. 1 ≤ 17In , ∀ n ∈ N∗ . c) 17In+2 ≤ n+1 1 1 ≤ In ≤ , ∀ n ≥ 2. d) 17(n + 1) 17(n − 1)

3.

S˘ a se calculeze lim na In , unde a ∈ R. n→∞

82

Varianta 3 Profilurile matematic˘a-fizic˘a, informatic˘ a s, i metrologie

SUBIECTUL I 1.

Fie polinoamele f = mX 2 + 2(m + 1)X + m, m ∈ R∗ s, i g = X 2 + X + 1. a) S˘ a se determine valorile lui m pentru care f are r˘ad˘acini egale. b) Dac˘ a y1 , y2 ∈ C sunt r˘ad˘acinile lui g, s˘a se arate c˘ a y13 = y23 = 1.

c) S˘ a se arate c˘ a f s, i g au cel put, in o r˘ad˘acin˘a comun˘ a dac˘a s, i numai dac˘a m = −2.

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = arctan x + cot−1 x. a) S˘ a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. b) Deducet, i c˘ a arctan x + cot−1 x =

π , ∀ x ∈ R. 2

a punctele A(0, 4), B(4, 0), C(6, 6). 3. În sistemul cartezian xOy se consider˘ a) S˘ a se determine punctul M (u, v) astfel ˆıncˆ at M A = M B = M C. b) S˘ a se calculeze lungimea segmentului [M A], unde M este punctul determinat la a). c) S˘ a sescrie ecuat, ia cercului care trece prin punctele A, B, C. SUBIECTUL II 1.

 −2 1 Fie matricele A =  1 −2 1 1

a) S˘ a se arate c˘ a AB = BA.

  1 1 1 1 s, i B = 1 1 −2 1 1

 1 1. 1

b) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a (A + B)n = An + B n , ∀ n ∈ N∗ . c) S˘ a se calculeze (A + B)n , unde n ∈ N∗ .

2.

a) S˘ a se arate c˘ a 1 − abc = 1 − a + a(1 − b) + ab(1 − c), ∀ a, b, c ∈ R. 1 − cos5 2x · x→0 x2 1 − cos5 2x · cos3 3x · cos2 5x · c) S˘ a se calculeze lim x→0 x2

b) S˘ a se calculeze lim

SUBIECTUL III √ Fie mult, imea de numere reale M = {a + b 3 | a, b ∈ Z, a2 − 3b2 = 1}. √ √ a) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a a + b 3 = c + d 3, cu a, b, c, d ∈ Z, atunci a = c s, i b = d. b) S˘ a se arate c˘ a 1 ∈ M. c) S˘ a se demonstreze c˘ a M este parte stabil˘a ˆın raport cu ˆınmult, irea numerelor reale. d) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a z ∈ M , atunci z 6= 0 s, i

1 ∈ M. z

SUBIECTUL IV 1.

S˘ a se determine a1 , a2 , a3 ∈ R astfel ˆıncˆ at a1 a2 a3 1 = + + , ∀ x > 0. (x + 1)(x + 2)(x + 3) x+1 x+2 x+3

2.

Fie funct, iile f , g : R → R, f (x) =

(ex

+

1)(ex

1 1 s, i g(x) = x , a > 0. x + 2)(e + 3) e +a 83

a) S˘ a se calculeze b) S˘ a se calculeze

Z Z

g(x) dx. 1

f (x) dx.

0

Consider˘am s, irul (sn )n≥1 c) S˘ a se calculeze lim sn .

1 1 3 2n − 1 definit prin sn = f +f + ··· + f . n 2n 2n 2n

n→∞

84

Varianta 1 Profilurile economic, fizic˘a-chimie s, i chimie-biologie SUBIECTUL I 1.

Fie polinoamele f = mX 2 + 2(m + 1)X + m, m ∈ R∗ s, i g = X 2 + 3X + 9. a) Dac˘ a y1 , y2 ∈ C sunt r˘ad˘acinile lui g, s˘a se arate c˘ a y13 = y23 = 27. b) S˘ a se arate c˘ a f s, i g nu au nicio r˘ad˘acin˘a comun˘ a , ∀ m ∈ R∗ .

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = arctan x + cot−1 x. a) S˘ a se arate c˘ a f ′ (x) = 0, x ∈ R.

b) Deducet, i c˘ a arctan x + cot−1 x =

π , ∀ x ∈ R. 2

a punctele A(0, 4), B(4, 0), C(6, 6). 3. În sistemul cartezian xOy se consider˘ a) S˘ a se determine punctul M (u, v) astfel ˆıncˆ at M A = M B = M C. b) S˘ a se calculeze lungimea segmentului [M A], unde M este punctul determinat la a). c) S˘ a se scrie ecuat, ia cercului care trece prin punctele A, B, C. SUBIECTUL II 1.

−1 1 1 Fie matricele A = si B = 1 −1 , 1

1 . 1

a) S˘ a se arate c˘ a AB = BA. b) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a (A + B)n = An + B n , ∀ n ∈ N∗ . 2000 c) S˘ a se calculeze (A + B) . 2.

a) S˘ a se arate c˘ a 1 − abc = 1 − a + a(1 − b) + ab(1 − c), ∀ a, b, c ∈ R. 1 − cos 2x b) S˘ a se calculeze lim · x→0 x2 1 − cos 2x · cos 3x · cos 5x c) S˘ a se calculeze lim · x→0 x2 SUBIECTUL III

√ Fie mult, imea de numere reale M = {a + b 3 | a, b ∈ Z, a2 − 3b2 = 1}. √ √ a) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a a + b 3 = c + d 3, cu a, b, c, d ∈ Z, atunci a = c s, i b = d. b) S˘ a se arate c˘ a 1 ∈ M. c) S˘ a se demonstreze c˘ a M este parte stabil˘a ˆın raport cu ˆınmult, irea numerelor reale. d) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a z ∈ M , atunci z 6= 0 s, i

1 ∈ M. z

√ e) S˘ a se g˘ aseasc˘a un element z ∈ M , z = a + b 3, ˆın care b 6= 0. SUBIECTUL IV

1.

S˘ a se determine a1 , a2 , a3 ∈ R astfel ˆıncˆ at

a1 a2 a3 1 = + + , ∀ x > 0. (x + 1)(x + 2)(x + 3) x+1 x+2 x+3

2.

Fie funct, iile f , g : R → R, f (x) = a) S˘ a se calculeze b) S˘ a se calculeze

Z Z

1 1 s, i g(x) = x , a > 0. (ex + 1)(ex + 2)(ex + 3) e +a

g(x) dx. 1

f (x) dx.

0

85

Varianta 2 Profilurile economic, fizic˘a-chimie s, i chimie-biologie SUBIECTUL I 1.

Fie funct, ia f : R → R, f (x) = ax2 + bx + c, cu a, b, c ∈ R. S˘ a se determine a, b, c astfel ˆıncˆ at f (0) = 2, f ′ (1) = 1 Z 1 1 s, i f (x) dx = · 2 0

2.

S˘ a se determine toate numerele naturale n pentru care Cn2 = 10.

3.

Se consider˘ a s, irurile (an )n≥1 , (bn )n≥1 definite prin: an = n + 2 s, i bn = 3n − 2, n ∈ N∗ . a) S˘ a se arate c˘ a cele dou˘a s, iruri sunt progresii aritmetice s, i s˘a se determine rat, ia fiec˘areia. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele An (an , bn ), n ≥ 1. b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctele A1 s, i A2 . c) S˘ a se demonstreze c˘ a punctele An (an , bn ) sunt situate pe dreapta A1 A2 , ∀ n ≥ 1. SUBIECTUL II

1.

Se consider˘ a polinoamele f = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C s, i g = X 2 + X + 1 cu r˘ad˘acinile y1 , y2 ∈ C. a) b) c) d)

S˘ a S˘ a S˘ a S˘ a

se se se se

arate c˘ a y13 = y23 = 1. arate c˘ a polinomul f divide polinomul X 5 − 1. deduc˘ a identitatea x5k = 1, ∀ k ∈ {1, 2, 3, 4}. calculeze valoarea expresiei A = (x1 − y1 )(x2 − y1 )(x3 − y1 )(x4 − y1 )(x1 − y2 )(x2 − y2 )(x3 − y2 )(x4 − y2 ).

2.

Fie funct, ia f : R → R, f (x) =

x3 + x2 + 1 · x2 + 1

a) S˘ a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. b) S˘ a se studieze monotonia funct, iei f . c) S˘ a se determine asimptota oblic˘ a la ramura c˘ atre +∞ a graficului funct, iei f . SUBIECTUL III În M2 (R) se consider˘ a mult, imea G = a) S˘ a se arate c˘ a I2 =

1 0 0 1

∈ G.

a b

2b 2 2 a, b ∈ Z, a − 2b = 1 . a

b) S˘ a se demonstreze c˘ a G este parte stabil˘a ˆın raport cu ˆınmult, irea matricelor. a 2b c) S˘ a se g˘ aseasc˘a o matrice A = ∈ G cu b 6= 0. b a d) S˘ a se arate c˘ a mult, imea G cont, ine o infinitate de elemente. SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = 6x + αx − 14x − 15x , unde α ∈ R, α > 0.

a) S˘ a se calculeze f ′ (x).

b) S˘ a se calculeze f (0) s, i f ′ (0). c) S˘ a se determine α astfel ˆıncˆ at f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R. Consider˘am α = 35.

d) S˘ a se calculeze aria cuprins˘a ˆıntre graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = 0 s, i x = 1.

86

Varianta 3 Profilurile economic, fizic˘a-chimie s, i chimie-biologie

SUBIECTUL I 1.

Fie funct, ia f : R → R, f (x) = x2 − 6x + 9 + m, unde m este un parametru real. a) S˘ a se determine valorile lui m pentru care f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R.

b) S˘ a se determine punctul de minim s, i minimul funct, iei f . 2. 3.

Fie polinomul f = X 3 + X + 1. S˘ a se determine cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii polinomului f la X + 2. n 1 Se consider˘ a s, irurile (an )n≥1 , (bn )n≥1 , unde an = s, i bn = 9n , ∀ n ∈ N∗ . 2 a) S˘ a se arate c˘ a cele dou˘a s, iruri sunt progresii geometrice s, i s˘a se determine rat, ia fiec˘areia. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele An (an , bn ), n ≥ 1.

b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctele A1 s, i A2 .

c) S˘ a se demonstreze c˘ a punctele An (an , bn ) sunt situate pe dreapta A1 A2 , ∀ n ≥ 1. SUBIECTUL II 1.

Pe mult, imea numerelor reale definim legea x ⋆ y = −xy + 5x + 5y − 20. a) S˘ a se arate c˘ a legea este asociativ˘ a. b) S˘ a se arate c˘ a x ⋆ 4 = x, ∀ x ∈ R.

c) S˘ a se demonstreze c˘ a mult, imea (−∞, 5) este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”⋆”.

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = e−x . a) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a f (n) (x) = (−1)n e−x , ∀ n ∈ N∗ , ∀ x ∈ R. f (2) (0) + f (4) (0) + · · · + f (2n) (0) · n→∞ n+1

b) S˘ a se calculeze lim SUBIECTUL III



  1 1 1 1 2 2 s, i I2 = 0 Se consider˘ a matricele A =  2 −3 −3 −3 0

a) S˘ a se calculeze determinantul s, i rangul matricei A.

 0 0 1 0. Definim B = A + I3 . 0 1

b) S˘ a se calculeze A2 . c) S˘ a se arate c˘ a B 2 = 2B − I3 . d) S˘ a se demonstreze c˘ a B este inversabil˘ a s, i s˘a i se calculeze inversa. e) S˘ a se calculeze B n , ∀ n ≥ 1. SUBIECTUL IV Se defines, te s, irul (In )n≥0 astfel: I0 =

Z

0

1.

S˘ a se calculeze I0 s, i I1 .

2.

S˘ a se demonstreze c˘ a: a) In+1 + In =

1

1 dx s, i In = x+1

1 , ∀ n ∈ N. n+1 87

Z

1 0

xn dx, n ≥ 1. x+1

3.

b) In+1 ≤ In , ∀ n ∈ N. 1 ≤ 2In , ∀ n ∈ N∗ . c) 2In+1 ≤ n+1 1 1 ≤ In ≤ , ∀ n ≥ 2. d) 2(n + 1) 2(n − 1) √ S˘ a se calculeze lim 3 nIn . n→∞

88

Varianta 1 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv-real SUBIECTUL I 1.

Fie funct, ia f : R → R, f (x) = x2 − 6x + 9 + m, unde m este un parametru real. a) S˘ a se determine valorile lui m pentru care f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R.

b) S˘ a se determine punctul de minim s, i minimul funct, iei f . 2. 3.

Fie polinomul f = X 3 + X + 1. S˘ a se determine cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii polinomului f la X + 2. n 1 Se consider˘ a s, irurile (an )n≥1 , (bn )n≥1 , unde an = s, i bn = 9n , ∀ n ∈ N∗ . 2 a) S˘ a se arate c˘ a cele dou˘a s, iruri sunt progresii geometrice s, i s˘a se determine rat, ia fiec˘areia. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele An (an , bn ), n ≥ 1.

b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctele A1 s, i A2 .

c) S˘ a se demonstreze c˘ a punctele An (an , bn ) sunt situate pe dreapta A1 A2 , ∀ n ≥ 1. SUBIECTUL II 1.

Pe mult, imea numerelor reale definim legea x ⋆ y = −xy + 5x + 5y − 20. a) S˘ a se arate c˘ a legea este asociativ˘ a. b) S˘ a se arate c˘ a x ⋆ 4 = x, ∀ x ∈ R.

c) S˘ a se demonstreze c˘ a mult, imea (−∞, 5) este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”⋆”.

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = e−x . a) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a f (n) (x) = (−1)n e−x , ∀ n ∈ N∗ , ∀ x ∈ R. f (2) (0) + f (4) (0) + · · · + f (2n) (0) · n→∞ n+1

b) S˘ a se calculeze lim SUBIECTUL III

Se consider˘ a matricele A =

1 1 1 0 s, i I2 = . Definim B = A + I2 . −1 −1 0 1

a) S˘ a se calculeze determinantul s, i rangul matricei A. b) S˘ a se calculeze A2 . c) S˘ a se arate c˘ a B 2 = 2B − I2 . d) S˘ a se demonstreze c˘ a B este inversabil˘ a s, i s˘a i se calculeze inversa. e) S˘ a se calculeze B n , ∀ n ≥ 1. SUBIECTUL IV Se defines, te s, irul (In )n≥0 astfel: Z 1 I0 = 0

1. 2.

1 dx s, i In = x2 + 6x + 10

Z

1 0

xn dx, n ≥ 1. x2 + 6x + 10

S˘ a se calculeze I0 s, i I1 . xn ≤ xn , ∀ n ∈ N, ∀ x ∈ [0, 1]. x2 + 6x + 10 1 , ∀ n ∈ N. b) S˘ a se arate c˘ a 0 ≤ In ≤ n+1 √ c) S˘ a se calculeze lim nIn . a) S˘ a se demonstreze c˘ a0≤

n→∞

89

Varianta 2 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv-real

SUBIECTUL I 1.

Fie polinoamele f = mX 2 + 2(m + 1)X + m, m ∈ R∗ s, i g = X 2 + 2X + 4. a) Dac˘ a y1 , y2 ∈ C sunt r˘ad˘acinile lui g, s˘a se arate c˘ a y13 = y23 = 8.

b) S˘ a se arate c˘ a f s, i g nu au nicio r˘ad˘acin˘a comun˘ a , ∀ m ∈ R∗ . 2.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = arctan x + cot−1 x. S˘ a se calculeze f ′′ (x), x ∈ R.

a punctele A(0, 4), B(4, 0), C(6, 6). 3. În sistemul cartezian xOy se consider˘ a) S˘ a se determine determine coordonatele punctului M , mijlocul segmentului [AB]. b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei CM . SUBIECTUL II 1.

−1 1 1 Fie matricele A = si B = 1 −1 , 1

1 . 1

a) S˘ a se calculeze determinantul s, i rangul matricei A. b) S˘ a se arate c˘ a AB = BA. c) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a (A + B)n = An + B n , ∀ n ∈ N∗ . 2.

Fie funct, ia f : R\{−1, −2} → R, f (x) =

1 1 − · x+1 x+2

a) S˘ a se determine asimptota spre +∞ la graficul funct, iei f . b) S˘ a se calculeze lim (f (1) + f (2) + · · · + f (n)). n→∞

SUBIECTUL III √ Fie mult, imea de numere reale M = {a + b 3 | a, b ∈ Z, a2 − 3b2 = 1}. √ √ a) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a a + b 3 = c + d 3, cu a, b, c, d ∈ Z, atunci a = c s, i b = d. b) S˘ a se arate c˘ a 1 ∈ M. c) S˘ a se demonstreze c˘ a M este parte stabil˘a ˆın raport cu ˆınmult, irea numerelor reale. d) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a z ∈ M , atunci z 6= 0 s, i

1 ∈ M. z

SUBIECTUL IV 1.

S˘ a se determine a1 , a2 ∈ R astfel ˆıncˆ at a1 a2 1 = + , ∀ x > 0. (x + 1)(x + 2) x+1 x+2

2.

Fie funct, iile f , g, F : R → R, f (x) =

ex

1 1 1 cu a > 0, g(x) = x s, i F (x) = (x − ln(ex + a)). x +a (e + 1)(e + 2) a

a) S˘ a se arate c˘ a F ′ (x) = f (x), ∀ x ∈ R. Z 1 g(x) dx. b) S˘ a se calculeze 0

90

Varianta 3 Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv-real

SUBIECTUL I 1.

Fie funct, ia f : R → R, f (x) = ax2 + bx + c, cu a, b, c ∈ R. S˘ a se determine a, b, c astfel ˆıncˆ at f (0) = 2, f ′ (1) = 1 Z 1 1 s, i f (x) dx = · 2 0

2.

S˘ a se rezolve ecuat, ia Cn2 = 10, n ∈ N∗ , n ≥ 2.

3.

Se consider˘ a s, irurile (an )n≥1 , (bn )n≥1 definite prin: an = n + 2 s, i bn = 3n − 2, n ∈ N∗ . a) S˘ a se arate c˘ a cele dou˘a s, iruri sunt progresii aritmetice s, i s˘a se determine rat, ia fiec˘areia. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele An (an , bn ), n ≥ 1.

b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctele A1 s, i A2 .

c) S˘ a se demonstreze c˘ a punctele An (an , bn ) sunt situate pe dreapta A1 A2 , ∀ n ≥ 1. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinoamele f = X 3 + X 2 + X + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ C s, i g = X 2 + 3X + 9 cu r˘ad˘acinile y1 , y2 ∈ C. a) S˘ a se arate c˘ a y13 = y23 = 27. b) S˘ a se determine x1 , x2 , x3 . d) S˘ a se calculeze A = (x1 − y1 )(x1 − y2 )(x2 − y1 )(x2 − y2 )(x3 − y1 )(x3 − y2 ).

2.

Fie funct, ia f : R → R, f (x) =

x2

x · +1

a) S˘ a se calculeze f ′ (x), x ∈ R.

b) S˘ a se studieze monotonia funct, iei f . c) S˘ a se determine asimptota spre +∞ la graficului funct, iei f . SUBIECTUL III În M2 (R) se consider˘ a mult, imea G = a) S˘ a se arate c˘ a I2 =

1 0 0 1

a b

∈ G.

2b 2 2 a, b ∈ Z, a − 2b = 1 . a

b) S˘ a se demonstreze c˘ a G este parte stabil˘a ˆın raport cu ˆınmult, irea matricelor. a 2b c) S˘ a se g˘ aseasc˘a o matrice A = ∈ G cu b 6= 0. b a SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = 6x + 35x − 14x − 15x . a) S˘ a se demonstreze c˘ a f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R. b) S˘ a se calculeze aria cuprins˘a ˆıntre graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = 0 s, i x = 1. c) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a f (n) (x) = (ln 6)n · 6x + (ln 35)n · 35x − (ln 14)n · 14x − (ln 15)n · 15x , ∀ n ∈ N∗ , ∀ x ∈ R.

91

Varianta 1 Profil pedagogic

SUBIECTUL I 1. 2.

S˘ a se determine cel mai mare num˘ ar natural de trei cifre care ˆımp˘art, it la 5, 7, 9 s˘a dea de fiecare dat˘a restul 3. a) Suma a cinci numere naturale consecutive este 145. S˘ a se determine numerele. b) Suma a x numere naturale consecutive este 7x + 14, x ≥ 2. S˘ a se determine numerele. SUBIECTUL II

1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 + aX 2 + bX − 5, cu a, b ∈ R. a) S˘ a se determine a s, i b astfel ˆıncˆ at X − 5 divide f s, i f (1) + 8 = 0.

2.

b) Pentru a = −5 s, i b = 1 s˘a se rezolve ecuat, ia f (x) = 0. 1 −1 1 1 Se consider˘ a matricele A = s, i B = . −1 1 1 1 a) S˘ a se arate c˘ a AB = BA.

b) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a (A + B)n = An + B n , n ∈ N∗ . SUBIECTUL III Pe mult, imea numerelor reale definim legea x ⋆ y = −xy + 5x + 5y − 20. a) S˘ a se arate c˘ a legea este asociativ˘ a. b) S˘ a se arate c˘ a x ⋆ 4 = x, ∀ x ∈ R. c) S˘ a se demonstreze c˘ a mult, imea (−∞, 5) este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”⋆”. d) S˘ a se rezolve ecuat, ia x | ⋆ x ⋆{z. . . ⋆ x} = 5. de 10 ori x

SUBIECTUL IV

Se consider˘ a un tetraedru regulat de muchie a. a) S˘ a se calculeze aria total˘ a a tetraedrului. b) S˘ a se calculeze cosinusul unghiului format de dou˘a fet, e ale tetraedrului. c) S˘ a se demonstreze c˘ a suma distant, elor de la un punct interior tetraedrului la cele patru fet, e ale lui este constant˘ a.

92

Varianta 2 Profil pedagogic

SUBIECTUL I 1.

Suma a dou˘a numere naturale a s, i b este 40, iar cel mai mare divizor comun al lor este 5. S˘ a se determine cele dou˘a numere, s, tiind c˘ a a ≤ b ≤ 2a.

2.

Num˘ arul 1000 se mics, oreaz˘ a cu 20%. Cu ce procent trebuie m˘arit num˘arul rezultat pentru a se obt, ine din nou 1000?

3.

Scrierea zecimal˘a a num˘ arului

1 este 0, a1 a2 . . . an . . .. S˘ a se determine a2000 . 13

SUBIECTUL II 1.

S˘ a se rezolve ecuat, ia log2 x + log3 x + log5 x = 0, x > 0.

2.

Se consider˘ a polinoamele f = (X + 1)6 + (X − 1)6 s, i g = 2(X 3 + 15X 2 + 15X + 1). a) S˘ a se arate c˘ a f (X) = g(X 2 ). b) S˘ a se calculeze g(−1). c) S˘ a se rezolve ecuat, ia g(x) = 0. d) S˘ a se determine r˘ad˘acinile polinomului f . SUBIECTUL III

În M2 (R) se consider˘ a mult, imea G = a) S˘ a se arate c˘ a I2 =

1 0 0 1

∈ G.

a b

2b 2 2 a, b ∈ Z, a − 2b = 1 . a

b) S˘ a se demonstreze c˘ a G este parte stabil˘a ˆın raport cu ˆınmult, irea matricelor. a 2b c) S˘ a se g˘ aseasc˘a o matrice A = ∈ G cu b 6= 0. b a d) S˘ a se arate c˘ a mult, imea G cont, ine o infinitate de elemente. SUBIECTUL IV Sect, iunea axial˘a a unui con circular drept este un triunghi isoscel V AB cu m(∢AV B) = 120◦ s, i V A = V B = 6 cm. a) S˘ a se calculeze raza conului. b) S˘ a se calculeze volumul conului. c) Fie M s, i N dou˘a puncte situate pe [AV ] astfel ˆıncˆ at V M = M N = N A = 2 cm s, i dou˘a plane paralele cu baza conului duse prin M s, i N . Calculat, i raportul volumelor trunchiurilor de con care au generatoarele egale cu M N , respectiv N A.

93

Varianta 3 Profil pedagogic

SUBIECTUL I 1.

Numerele naturale a, b s, i c sunt direct proport, ionale cu 2, 3 s, i respectiv 6, iar produsul lor este egal cu 4500. S˘ a se afle numerele.

2.

Cinci c˘ art, i s, i trei caiete cost˘a 245000 lei, iar trei c˘ art, i s, i cinci caiete cost˘a 195000 lei. a) Cât cost˘a un caiet s, i cˆ at cost˘a o carte? b) Câte c˘ art, i s, i cˆ ate caiete se pot cump˘ara cu 250000 lei, dac˘a se cump˘ar˘a ˆın total 10 buc˘at, i? SUBIECTUL II

1.

Se consider˘ a polinomul g = X 6 + X 2 + 1. a) S˘ a se calculeze (g(i))n , ∀ n ∈ N∗ .

b) S˘ a se afle cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii lui 1 a matricele A = 2. În M2 (R) se consider˘ 0

g la X 2 − 2. 0 x 0 s, i X = . 3 0 x

a) S˘ a se determine x ∈ R astfel ˆıncˆ at determinantul matricei A + X s˘a fie egal cu 15. 1 0 b) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a An = , ∀ n ∈ N∗ . 0 3n c) S˘ a se calculeze A + A2 + · · · + An , n ∈ N∗ .

SUBIECTUL III Pe mult, imea numerelor reale definim legea x ⋆ y = x + y − 3. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este comutativ˘a. b) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. c) S˘ a se arate c˘ a x ⋆ (6 − x) = 3, ∀ x ∈ R. d) S˘ a se rezolve ecuat, ia x | ⋆ x ⋆{z. . . ⋆ x} = 3. de 40 ori x

SUBIECTUL IV

Un trunchi de piramid˘ a patrulater˘ a are laturile bazelor de lungimi egale cu 6 cm, respectiv 10 cm s, i volumul egal cu 196 cm3 . S˘ a se calculeze: a) ˆın˘alt, imea trunchiului de piramid˘ a; b) aria lateral˘ a a trunchiului de piramid˘ a; c) sinusul unghiului format de planele a dou˘a fet, e laterale opuse.

94

Varianta 1 Profil uman

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 + aX 2 + bX − 5, cu a, b ∈ R. a) S˘ a se determine a s, i b astfel ˆıncˆ at X − 5 divide f s, i f (1) + 8 = 0.

b) Pentru a = −5 s, i b = 1 s˘a se afle cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii lui f la X 2 + 2. c) Pentru a = −5 s, i b = 1 s˘a se rezolve ecuat, ia f (x) = 0.

2.

Fie funct, ia f : R → R, f (x) = e−x . S˘ a se calculeze: a)

lim f (x).

x→∞

b) f (0) + f ′ (0) + f ′′ (0). 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a dreptele de ecuat¸ii d1 : 5x − y − 8 = 0, d2 : 3x + 2y − 10 = 0 ¸si d3 : x − 5y + 8 = 0. a) S˘ a se determine punctul de intersect¸ie al dreptelor d1 ¸si d2 . b) S˘ a se arate c˘ a dreapta d3 trece prin punctul de intersect, ie al dreptelor d1 ¸si d2 . SUBIECTUL II Se consider˘ a matricele A =

1 −1 1 si B = −1 1 , 1

1 . 1

a) S˘ a se arate c˘ a AB = BA. b) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ a (A + B)n = An + B n , n ∈ N∗ . SUBIECTUL III Fie funct, ia f : R\{−3; 2} → R, f (x) =

3x + 4 · x2 + x − 6

a) S˘ a se determine a, b ∈ R astfel ˆıncˆ at f (x) = b) S˘ a se calculeze

Z

b a + , x ∈ R\{−3; 2}. x+3 x−2

f (x) dx, x ∈ (2, ∞).

c) S˘ a se determine asimptota spre +∞ la graficul funct, iei f . SUBIECTUL IV Pe mult, imea numerelor reale definim legea de compozit, ie x ⋆ y = −xy + 5x + 5y − 20. b) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. c) S˘ a se arate c˘ a x ⋆ 4 = x, ∀ x ∈ R. d) S˘ a se rezolve ecuat, ia x ⋆ x ⋆ x ⋆ x = 5.

95

Varianta 2 Profil uman

SUBIECTUL I 1.

Fie funct, ia f : R → R, f (x) = ax2 + bx + c, cu a, b, c ∈ R. S˘ a se determine a, b, c astfel ˆıncˆ at f (0) = 1, f ′ (1) = 2 Z 1 s, i f (x) dx = 0. 0

2.

S˘ a se rezolve ecuat, ia log2 x + log3 x + log5 x = 0, x > 0.

a dreptele de ecuat¸ii d1 : 5x−3y−2 = 0, d2 : −3x+4y−1 = 0. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a) S˘ a se determine punctul de intersect¸ie al dreptelor d1 ¸si d2 . b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei de pant˘ a 2, care trece prin punctul de intersect¸ie al dreptelor d1 ¸si d2 . SUBIECTUL II Se consider˘ a polinoamele f = (X + 1)6 + (X − 1)6 s, i g = X 4 + 14X 2 + 1). a) S˘ a se arate c˘ a polinomul f se divide prin polinomul g. b) S˘ a se rezolve ecuat, ia g(x) = 0. c) S˘ a se determine r˘ad˘acinile polinomului f . SUBIECTUL III Fie funct, ia f : R → R, f (x) = e−x . a) S˘ a se arate c˘ a f ′ (x) + f ′′ (x) = 0, ∀ x ∈ R. b) S˘ a se calculeze lim [f (1) + f (2) + · · · + f (n)]. n→∞

c) S˘ a se calculeze

Z

1

xf (x) dx. 0

SUBIECTUL IV În M2 (R) se consider˘ a mult, imea G = a) S˘ a se arate c˘ a I2 =

1 0 0 1

∈ G.

a b

2b 2 2 a, b ∈ Z, a − 2b = 1 . a

b) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A, B ∈ G, atunci A · B ∈ G. a 2b c) S˘ a se g˘ aseasc˘a o matrice A = ∈ G cu b 6= 0. b a d) S˘ a se arate c˘ a mult, imea G cont, ine o infinitate de elemente.

96

Varianta 3 Profil uman

SUBIECTUL I 1.

Fie funct, ia f : R → R, f (x) = ax4 + bx2 + c, cu a, b, c ∈ R. S˘ a se determine a, b, c astfel ˆıncˆ at f (0) = 1, f ′ (1) = 6 s, i f ′′ (2) = 52.

2.

Se consider˘ a polinomul g = X 6 + X 2 + 1. a) S˘ a se calculeze (g(i))n , ∀ n ∈ N∗ .

b) S˘ a se afle cˆ atul s, i restul ˆımp˘art, irii lui g la X 2 − 2. a punctele A(−3, 3), B(5, 1), C(−4, 4). 3. În sistemul cartezian xOy se consider˘ a) S˘ a se determine determine coordonatele punctului M , mijlocul segmentului [AB]. b) S˘ a se scrie ecuat, ia dreptei CM . SUBIECTUL II În M2 (R) se consider˘ a matricele A =

1 0

0 x 0 si X = . 3 , 0 x

a) S˘ a se determine x ∈ R astfel ˆıncˆ at determinantul matricei A + X s˘a fie egal cu 15. 1 0 n b) S˘ a se demonstreze, utilizând metoda induct, iei matematice, c˘ aA = , ∀ n ∈ N∗ . 0 3n c) S˘ a se calculeze A + A2 + · · · + An , n ∈ N∗ . SUBIECTUL III Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = x2 + 2x + 1. a) S˘ a se calculeze lim

x→∞

f (x) . x2

b) S˘ a se calculeze cuprins˘a ˆıntre graficul funct, iei f s, i dreapta y = 4. c) S˘ a se determine a ∈ (−3, 1) astfel ˆıncˆ at dreapta x = a s˘a despart˘a suprafat, a de la punctul anterior ˆın dou˘a regiuni care au arii egale. SUBIECTUL IV Pe mult, imea numerelor reale definim legea x ⋆ y = x + y − 3. a) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este comutativ˘a. b) S˘ a se arate c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. c) S˘ a se arate c˘ a x ⋆ (6 − x) = 3, ∀ x ∈ R. d) S˘ a se rezolve ecuat, ia x | ⋆ x ⋆{z. . . ⋆ x} = 3. de 40 ori x

97

BACALAUREAT 2001 ˘ SESIUNEA SPECIALA Profilurile economic, fizic˘ a-chimie, chimie-biologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − X + 2 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ C ¸si polinomul g = X 2 − X + 1 cu r˘ ad˘ acinile y1 , y2 ∈ C. a) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘ art¸irii polinomului f la polinomul g. b) S˘ a se verifice c˘ a y13 = y23 = −1. c) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul a = f (y1 ) + f (y2 ) este natural. d) S˘ a se calculeze b = g(x1 ) + g(x2 ) + g(x3 ).

2.

1 1 1 = − pentru orice x > 0. x(x + 1) x x+1 1 1 1 Not˘ am cu sn = + + ... + , (∀) n ∈ N∗ . 1·2 2·3 n · (n + 1) n , (∀) n ∈ N∗ . b) S˘ a se arate c˘ a sn = n+1 c) S˘ a se calculeze lim sn . a) S˘ a se arate c˘ a

n→∞

d) S˘ a se calculeze lim snn . n→∞

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele B(−1, 1) ¸si An (2n + 1, 3n − 2), n ∈ N. a) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei A0 A1 . b) S˘ a se arate c˘ a punctul An se afl˘ a pe dreapta A0 A1 , (∀) n ∈ N. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei care trece prin punctul B ¸si are aceea¸si pant˘a cu dreapta A0 A1 .

SUBIECTUL II 1.

Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = x + y − 2. a) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se determine num˘ arul real e astfel ˆıncât x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R. c) S˘ a se stabileasc˘ a dac˘ a mult¸imea Q\Z este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”◦”. Justificat¸i r˘aspunsul.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R\{−2} → R, f (x) =

x2 + 6x + 12 · x+2

4 a) S˘ a se verifice identitatea f (x) = x + 4 + , (∀) x ∈ R\{−2}. x+2 Z 1 b) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

c) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R\{−2}. d) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f are un punct de maxim, un punct de minim ¸si s˘a se determine coordonatele lor.

SUBIECTUL III  2 2 Se consider˘ a matricele A = 4 4 6 6

  −2 1 −4 ¸si I3 = 0 −6 0

0 1 0

a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. b) S˘ a se calculeze A2 . 1

 0 0. 1

c) S˘ a se verifice identitatea I3 = (I3 − A)(I3 + A). d) S˘ a se arate c˘ a matricea I3 − A este inversabil˘a ¸si s˘a i se calculeze inversa. e) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a (I3 + A)n = I3 + nA, (∀) n ∈ N∗ . SUBIECTUL IV a b c 1 = + + , x > 0. (x + 1)(x + 2)(x + 3) x+1 x+2 x+3 1 Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x · (e + 1)(ex + 2)(ex + 3)

a) S˘ a se determine a, b, c ∈ R, pentru care

b) S˘ a se determine asimptotele la graficul funct¸iei f . Z 1 dx, x ∈ R, a > 0. c) S˘ a se calculeze ex + a d) S˘ a se calculeze aria suprafet¸ei plane cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 0 ¸si x = 1. Z x f (t) dt. S˘a se calculeze lim F (x). e) Fie funct¸ia F : R → R, F (x) = x→∞

0

2

SESIUNEA IUNIE-IULIE

Varianta 1 Profilurile matematic˘ a-fizic˘ a, informatic˘ a ¸si metrologie

SUBIECTUL I 1.

a) S˘ a se verifice identitatea (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = 2(x2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx), (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a x2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx, x, y, z ∈ R, atunci x = y = z. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia 4x + 92 + 25x = 6x + 10x + 15x , x ∈ R.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (x + 1)e−x . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se studieze semnul funct¸iei f . c) S˘ a se arate c˘ a f (x) ≤ 1, (∀) x ∈ R. Z 1 d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctul A(1, 1) ¸si dreapta d : 5x + 12y + 9 = 0. a) S˘ a se calculeze distant¸a de la punctul A la dreapta d. b) S˘ a se scrie ecuat¸ia cercului C cu centrul ˆın A ¸si care este tangent dreptei d. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei care trece prin punctul A ¸si este perpendicular˘a pe dreapta d.

SUBIECTUL II 1. În inelul Z6 [X], se consider˘ a polinomul f = X 3 − X. Not˘am cu A ⊂ Z6 mult¸imea r˘ad˘acinilor polinomului f . a) S˘ a se verifice c˘ a A = Z6 . b) S˘ a se g˘ aseasc˘ a un polinom nenul g ∈ Z6 [X], g 6= ±f , care s˘a aib˘a mai multe r˘ad˘acini decât gradul s˘ au. Not˘ am cu Sk = ˆ 1k + ˆ 2k + ˆ 3k + ˆ 4k + ˆ 5 k , k ∈ N∗ . c) S˘ a se calculeze S1 ¸si S2 . ˆ ˆ d) S˘ a se arate c˘ a Sk ∈ {1, 3}, (∀) k ∈ N∗ . 2.

x3 Se consider˘ a funct¸iile f, F : R → R, f (x) = 2 ¸si F (x) = x +1 a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = x −

x2

Z

x

f (t) dt. 0

x , (∀) x ∈ R. +1

b) S˘ a se determine F (x), x ∈ R. c) S˘ a se calculeze lim

x→∞

F (x) · xf (x)

SUBIECTUL III Se consider˘ a mult¸imea G = (0, ∞) × R pe care se define¸ste legea de compozit¸ie ”◦” prin (a1 , x1 ) ◦ (a2 , x2 ) = (a1 a2 , a1 x2 + a2 x1 ). a) S˘ a se arate c˘ a ((a1 , x1 ) ◦ (a2 , x2 )) ◦ (a3 , x3 ) = (a1 , x1 ) ◦ ((a2 , x2 ) ◦ (a3 , x3 )), (∀) (a1 , x1 ), (a2 , x2 ), (a3 , x3 ) ∈ G. b) S˘ a se verifice c˘ a (a, x) ◦ (1, 0) = (1, 0) ◦ (a, x) = (a, x), (∀) (a, x) ∈ G. 1 x 1 x c) S˘ a se verifice c˘ a (a, x) ◦ = ◦ (a, x) = (1, 0), (∀) (a, x) ∈ G. ,− ,− a a a a 3

d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a elemente (a1 , x1 ) ¸si (a2 , x2 ) din mult¸imea G pentru care (a1 , x1 )◦(a2 , x2 ) 6= (a2 , x2 )◦(a1 , x1 ). e) S˘ a se demonstreze c˘ a (∀) (a, x) ∈ G ¸si (∀) n ∈ N∗ , exist˘a (u, v) ∈ G astfel ˆıncât (u, v) ◦ (u, v) ◦ . . . ◦ (u, v) = (a, x). | {z } de n ori (u,v)

SUBIECTUL IV Se consider˘ a numerele reale a1 , a2 , . . . , an ¸si funct¸iile f, F : R → R, f (x) = a1 cos x + a2 cos 2x + . . . + an cos nx ¸si a2 an F (x) = a1 sin x + sin 2x + . . . + sin nx, unde n ∈ N, n ≥ 2. 2 n a) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia F este o primitiv˘ a a funct¸iei f pe R. b) S˘ a se verifice c˘ a funct¸ia F (kπ) = 0, (∀) k ∈ Z. c) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a f (x) ≥ 0, (∀) x ∈ R, atunci F (x) = 0, (∀) x ∈ R. d) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a F (x) = 0, (∀) x ∈ R, atunci f (x) = 0, (∀) x ∈ R. Z 2π cos px cos qx dx, (∀) p, q ∈ N∗ . Not˘ am cu J(p, q) = 0

e) Utilizˆ and formula 2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a − b), (∀) a, b ∈ R, s˘a se arate c˘a ( 0, dac˘a p 6= q, p, q ∈ N∗ J(p, q) = . π, (∀) p ∈ N∗ f ) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a f (x) ≥ 0, (∀) x ∈ R, atunci a1 = a2 = . . . = an = 0.

4

Varianta 2

SUBIECTUL I

1.

  1 1  Se consider˘ a matricele X =  1, Y = −1 1

1

2

 −1 1 2 −1 1 2 −2 ¸si A =  −1 1 2 −1 1 2

 −2 −2 . −2 −2

a) S˘ a se calculeze XY − A. b) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. c) S˘ a se calculeze A2 . 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = 1 − x3 . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este bijectiv˘ a. c) S˘ a se arate c˘ a exist˘ a un num˘ ar real unic c, astfel ˆıncât f (c) = c.

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 1), B(2, 0), C(3, −1) ¸si dreapta d : x − y = 0. a) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AB. b) S˘ a se arate c˘ a punctele A, B ¸si C sunt coliniare. c) S˘ a se calculeze distant¸a de la punctul C la dreapta d.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinoamele f = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C ¸si g = X 3 + X 2 + X + 1 cu r˘ ad˘ acinile y1 , y2 , y3 ∈ C. a) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘ art¸irii polinomului f la polinomul g. b) S˘ a se determine y1 , y2 ¸si y3 . c) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul a = g(x1 )g(x2 )g(x3 )g(x4 ) este natural. d) S˘ a se arate c˘ a f (x) > 0, (∀) x ∈ R.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = 3x + ax − 4x − 6x , unde a > 0, a ∈ R. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se calculeze f (0) ¸si f 0 (0). c) S˘ a se determine a > 0 astfel ˆıncˆ at f (x) ≥ 0, (∀) x ∈ R. Z 1 d) Pentru a = 8, s˘ a se calculeze f (x) dx. 0

SUBIECTUL III Se consider˘ a o funct¸ie f : Q → Q, cu proprietatea f (x + y) = f (x) + f (y), (∀) x, y ∈ Q. a) S˘ a se arate c˘ a f (0) = 0. b) S˘ a arate c˘ a f (−x) = −f (x), (∀) x ∈ Q. c) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a f (x1 + x2 + . . . + xn ) = f (x1 ) + f (x2 ) + . . . + f (xn ), (∀) n ∈ N∗ ¸si x1 , x2 , . . . , xn ∈ Q. d) S˘ a se deduc˘ a egalitatea f (nx) = nf (x), (∀) x ∈ Q, (∀) n ∈ N. e) Not˘ am a = f (1), a ∈ Q. S˘ a se arate c˘ a f (x) = ax, (∀) x ∈ Q. f ) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a (H, +) este subgrup al grupului (Q, +) ¸si este izomorf cu grupul (Q, +), atunci H = Q. 5

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸iile f : (0, ∞) → R, f (x) = x cos

h πi π → R, g(x) = cos x + x sin x. ¸si g : 0, x 2

h πi a) S˘ a se calculeze g 0 (x), x ∈ 0, . 2 b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ (0, ∞). π c) S˘ a se verifice c˘ a g 0 (x) > 0, (∀) x ∈ 0, . 2 π d) S˘ a se arate c˘ a g(x) > 1, (∀) x ∈ 0, . 2 e) Utilizˆ and teorema lui Lagrange pentru funct¸ia f , s˘a se demonstreze inegalitatea f (x + 1) − f (x) > 1, (∀) x > 2. f ) S˘ a se arate c˘ a f (n) > n − 2, (∀) n ≥ 3. f (1) + f (2) + . . . + f (n) · n→∞ n2

g) S˘ a se calculeze lim

6

Varianta 3

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 − 6X 3 + 13X 2 − 12X + 5. a) S˘ a se verifice c˘ a f = (X − 1)2 (X − 2)2 + 1. b) S˘ a se arate c˘ a polinomul f nu are r˘ ad˘ acini reale. c) S˘ a se demonstreze c˘ a polinomul f nu se poate descompune ˆın produs de dou˘a polinoame neconstante cu coeficient¸i ˆıntregi.

2.

Se consider˘ a funct¸ia g : R → R, g(x) =

2x + 1 · x2 + 1

a) S˘ a se calculeze g 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se determine asimptotele la graficul funct¸iei g. Z c) S˘ a se calculeze g(x) dx, x ∈ R. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(6, 0), B(0, 6), C(12, 12). a) S˘ a se determine aria triunghiului ABC. b) S˘ a se determine coordonatele punctului M (u, v), astfel ˆıncât M A = M B = M C. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia cercului care trece prin punctele A, B ¸si C.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinoamele cu coeficient¸i ˆın corpul Z3 , f = X 3 + ˆ2X ¸si g = X 5 + ˆ2X. a) S˘ a se determine r˘ ad˘ acinile polinomului f . b) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘ art¸irii polinomului g la polinomul f . c) Not˘ am cu x1 , x2 ¸si x3 ∈ Z3 r˘ ad˘ acinile polinomului f . S˘a se calculeze S = x31 + x32 + x33 ¸si T = x51 + x52 + x53 .

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : (0, ∞) → (0, ∞), f (x) = ln(x + 1) − ln x. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ (0, ∞). f (1) + f (2) + . . . + f (n) b) S˘ a se calculeze lim · n→∞ ln(n2 + 1) c) S˘ a se demonstreze c˘ a funct¸ia f este bijectiv˘a. d) Not˘ am cu g inversa funct¸iei f . S˘ a se calculeze g 0 (ln 2).

SUBIECTUL III Se consider˘ a numerele reale distincte a, b, c, d, funct¸iile f : R → R, g : R → R definite prin f (x) = (x − a)(x − 1 1 1 1 a b c d b)(x − c)(x − d), g(x) = x3 + x + 1 ¸si determinantul ∆ = 2 2 2 2 . a3 b3 c3 d3 a b c d 1 1 1 a) S˘ a verifice c˘ a x y z = (y − x)(z − x)(z − y), (∀) x, y, z ∈ R. x2 y 2 z 2 b) S˘ a arate c˘ a ∆ = (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c). c) S˘ a se verifice c˘ a f 0 (a) = (a − b)(a − c)(a − d). 1 1 1 1 a b c d d) Se consider˘ a determinantul A = 2 a se arate c˘a A = ∆. 2 2 2 . S˘ a b c d g(a) g(b) g(c) g(d) 7

e) Dezvoltˆ and determinantul A dup˘ a ultima linie, s˘a se arate c˘a

g(a) g(b) g(c) g(d) + + + = 1. f 0 (a) f 0 (b) f 0 (c) f 0 (d)

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex − 1 − x −

x2 x3 x4 − − · 2! 3! 4!

a) S˘ a se calculeze f 0 (x), f (2) (x), f (3) (x), f (4) (x). b) S˘ a se calculeze f 0 (0), f (2) (0), f (3) (0), f (4) (0). f (x) · x→0 x5

c) S˘ a se calculeze lim

d) S˘ a se arate c˘ a f 0 (x) ≥ 0, (∀) x ∈ R. e) S˘ a se deduc˘ a inegalitatea f (x) < 0, (∀) x < 0. 2

f ) Se consider˘ a funct¸ia g : R → R, g(x) = e−x . S˘a se demonstreze c˘a aria suprafet¸ei cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei g, axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 0 ¸si x = 1 este un num˘ar din intervalul (0, 74; 0, 75).

8

Varianta 4

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − X + 3, cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ C ¸si polinomul g = X 2 + X + 1, cu r˘ ad˘ acinile y1 , y2 ∈ C. a) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘ art¸irii polinomului f la polinomul g. b) S˘ a se verifice c˘ a y13 = y23 = 1. c) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul a = f (y1 ) + f (y2 ) este natural. d) S˘ a se calculeze b = g(x1 ) + g(x2 ) + g(x3 ).

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) =

2x · x2 + 1

a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se determine asimptotele la graficul funct¸iei f . Z 1 c) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(3, 0), B(0, 4), C(3, 4). a) S˘ a se determine aria triunghiului ABC. b) S˘ a se determine perimetrul triunghiului ABC. c) S˘ a se demonstreze c˘ a triunghiul ABC este dreptunghic.

SUBIECTUL II 1.

√ √ Se consider˘ a binomul a = ( 2 + 3)100 . a) S˘ a se determine num˘ arul de termeni rat¸ionali din dezvoltarea binomului. Not˘am cu S suma termenilor rat¸ionali ¸si cu T suma termenilor irat¸ionali ai binomului. √ √ b) S˘ a se arate c˘ a S − T = ( 2 − 3)100 . c) S˘ a se arate c˘ a S > T. d) S˘ a se arate c˘ a S−T <

1 3100

· Z

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, definit˘ a prin f (x) =

x

2

et dt.

0

a) S˘ a se arate c˘ a f (−x) = −f (x), (∀) x ∈ R. b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. c) S˘ a se calculeze lim f (x). x→∞

SUBIECTUL III   1 1  Se consider˘ a matricele X =  1, Y = 1 1 Definim B = aA + I4 , unde a ∈ R.

2

 1 0 −2 , I4 =  0 0

−1

a) S˘ a se calculeze matricea XY − A. b) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. c) S˘ a se calculeze A2 . d) S˘ a se verifice c˘ a 2B − B 2 = I4 . 9

0 1 0 0

0 0 1 0

  0 −1 −1 0  ¸si A =  −1 0 1 −1

2 2 2 2

−1 −1 −1 −1

 −2 −2 . −2 −2

e) S˘ a se arate c˘ a B este inversabil˘ a, (∀) a ∈ R ¸si s˘a se calculeze inversa sa. f ) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a B n = I4 + naA, (∀) n ∈ N∗ ¸si (∀) a ∈ R. SUBIECTUL IV a3 a5 a2n−1 Se consider˘ a num˘ arul real a ∈ (0, 1] ¸si ¸sirurile (xn )n≥1 , (In )n≥1 , xn = a − + + . . . + (−1)n−1 ¸si 3 5 2n − 1 Z a 2n x dx, (∀) n ∈ N∗ . In = 2 0 1+x a) S˘ a se demonstreze identitatea 1 − x2 + x4 + . . . + (−1)n−1 x2n−2 =

1 + (−1)n−1 x2n , (∀) n ∈ N∗ , (∀) x ∈ R. 1 + x2

b) Integrˆ and identitatea de la punctul a), s˘ a se arate c˘a xn = arctg a + (−1)n−1 In , (∀) n ∈ N∗ , a ∈ (0, 1]. c) S˘ a se arate c˘ a0≤

x2n ≤ x2n , (∀) x ∈ R, (∀) n ∈ N∗ . 1 + x2

d) S˘ a se arate c˘ a lim In = 0 ¸si lim xn = arctg a. n→∞

n→∞

e) S˘ a se calculeze lim

n→∞

4−

4 4 (−1)n 4 . + + ... + 3 5 2n + 1

10

Varianta 5

SUBIECTUL I 1. În mult¸imea permut˘ arilor cu cinci elemente S5 se consider˘a permut˘arile σ =

1 2

2 3

3 4

4 5

5 1 ¸si τ = 1 3

2 4

3 5

4 1

a) S˘ a se determine num˘ arul de inversiuni ale permut˘arii σ. b) S˘ a se determine τ −1 . c) S˘ a se rezolve ˆın S5 ecuat¸ia τ · σ = σ. 2.

a) S˘ a se verifice identitatea

1 1 2x + 1 = 2− , (∀) x > 0. x2 (x + 1)2 x (x + 1)2

3 5 2n + 1 n2 + 2n ∗ + + . . . + , n ∈ N . S˘ a se arate c˘ a a = , (∀) n ∈ N∗ . n 12 · 22 22 · 32 n2 · (n + 1)2 (n + 1)2 c) S˘ a se calculeze lim an .

b) Not˘ am cu an =

n→∞

2

d) S˘ a se calculeze lim (an )n . n→∞

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele An (2n, 3n + 2), n ∈ N. a) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei A0 A1 . b) S˘ a se arate c˘ a punctul An se afl˘ a pe dreapta A0 A1 , (∀) n ∈ N. c) S˘ a se arate c˘ a lungimea segmentului An An+1 n ∈ N, nu depinde de n. SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinoamele cu coeficient¸i ˆın Z3 , f = a ˆX + ˆb ¸si g = X 6 + X 3 + ˆ1. a) S˘ a se verifice c˘ a pentru orice a ˆ ∈ Z3 , avem a ˆ3 = a ˆ. b) S˘ a se arate c˘ a (f (X))3 = f (X 3 ). ˆ = (X + ˆ c) S˘ a se arate c˘ a X2 + X + 1 2)2 . d) S˘ a se descompun˘ a polinomul g ˆın factori ireductibili, ˆın inelul Z3 [X].

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = arctg(x + 2) − arctg x. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a x = −1 este punct de maxim local pentru funct¸ia f . c) S˘ a se determine asimptotele la graficul funct¸iei f . Z 1 d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

SUBIECTUL III   x + 2y + 3z = 0 Se consider˘ a sistemul 5x + 3y + z = 0   x + 3y + 5z = 0 sistemului.



1 ¸si matricele I3 = 0 0

0 1 0

  0 0 0, O3 = 0 1 0

a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. b) S˘ a se rezolve sistemul. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o matrice B ∈ M3 (R), B 6= O3 , astfel ˆıncât AB = O3 . d) S˘ a se arate c˘ a An = 6 I3 , (∀) n ∈ N∗ . 1 e) S˘ a se arate c˘ a det A + I3 6= 0, (∀) n ∈ N, n ≥ 2. n 11

0 0 0

 0 0. Not˘am cu A matricea 0

5 . 2

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = xa , unde a ∈ R. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) Folosind teorema lui Lagrange, s˘ a se arate c˘a exist˘a c(a), care depinde de a, c(a) ∈ (2, 3) ¸si d(a), care depinde de a, d(a) ∈ (4, 5), astfel ˆıncˆ at s˘ a avem 3a − 2a = a(c(a))a−1 ¸si 5a − 4a = a(d(a))a−1 . c) S˘ a se arate c˘ a pentru orice funct¸ii g : R → (2, 3) ¸si h : R → (4, 5), ecuat¸ia x(g(x))x−1 = x(h(x))x−1 are numai solut¸iile x = 0 ¸si x = 1. d) S˘ a se rezolve ecuat¸ia 3a + 4a = 2a + 5a , a ∈ R. e) S˘ a se demonstreze c˘ a 3x + 4x > 2x + 5x , (∀) x ∈ (0, 1). f ) S˘ a se demonstreze c˘ a

2 3 1 4 + > + · ln 3 ln 4 ln 2 ln 5

12

SESIUNEA IUNIE-IULIE

Varianta 1 Profilurile economic, fizic˘ a-chimie, chimie-biologie ¸si militar real

SUBIECTUL I 1.

b c a b , a, b, c ∈ C. c a

a Se consider˘ a determinantul d = c b

a) Dezvoltˆ and determinantul d, s˘ a se arate c˘a d = a3 + b3 + c3 − 3abc. b) Utilizˆ and propriet˘ a¸tile determinant¸ilor, s˘a se arate c˘a d = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca). 1 c) S˘ a se demonstreze identitatea a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 . 2 d) S˘ a se rezolve ecuat¸ia 8x + 27x + 125x = 3 · 30x , x ∈ R. 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = arctg x + arcctg x. a) S˘ a se calculeze f (0). b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. Z 1 c) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 1), B(2, 2) ¸si C(−2, 4). a) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AB. b) S˘ a se calculeze panta dreptei BC. c) S˘ a se calculeze perimetrul triunghiului ABC.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a ¸sirul (an )n≥1 , definit prin an = 2n − 1, (∀) n ∈ N∗ . a) S˘ a se arate c˘ a ¸sirul (an )n≥1 formeaz˘ a o progresie aritmetic˘a ¸si s˘a se calculeze rat¸ia progresiei. b) S˘ a se determine valoarea num˘ arului natural n pentru care a1 + a2 + . . . + an = 20012 . c) S˘ a se verifice c˘ a ¸sirul (bn )n≥1 , bn = 2an , (∀) n ∈ N∗ , formeaz˘a o progresie geometric˘a. d) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a an < bn , (∀) n ∈ N∗ .

2.

Se consider˘ a ¸sirul (an )n∈N∗ , an =

1 · 1! + 2 · 2! + . . . + n · n! , (∀) n ∈ N∗ . (n + 1)!

a) S˘ a se verifice identitatea k · k! = (k + 1)! − k!, (∀) k ∈ N. b) S˘ a se arate c˘ a 1 · 1! + 2 · 2! + . . . + n · n! = (n + 1)! − 1, (∀) n ∈ N∗ . c) S˘ a se calculeze lim an . n→∞

d) S˘ a se calculeze lim a(n+1)! . n n→∞

SUBIECTUL III Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = 2xy − 2x − 2y + 3. a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ y = 2(x − 1)(y − 1) + 1, (∀) x, y ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. c) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ 1 = 1 ◦ x = 1, (∀) x ∈ R. 13

d) S˘ a se stabileasc˘ a dac˘ a mult¸imea Q\Z este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”◦”. Justificat¸i r˘aspunsul. e) S˘ a se rezolve ecuat¸ia x ◦ x ◦ x ◦ x ◦ x = 1, x ∈ R. SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = x − e ln x. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ (0, ∞). b) S˘ a se determine intervalele de monotonie ale funct¸iei f . c) S˘ a se arate c˘ a f (x) ≥ 0, (∀) x ∈ (0, ∞). d) S˘ a se deduc˘ a inegalitatea ex ≥ xe , (∀) x ∈ (0, ∞). e) S˘ a se demonstreze c˘ a ex >

xe+1 + 1, (∀) x ∈ (0, ∞). e+1

14

Varianta 2

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − 3X + 2. a) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘ art¸irii polinomului f la polinomul X − 1. b) S˘ a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor complexe ecuat¸ia f (x) = 0. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia (log3 x)3 − log3 x3 + 2 = 0, x > 0.

2.

Se consider˘ a ¸sirul cu termenul general an = f (x) = x2 − x + 1. a) S˘ a se verifice identitatea

23 − 1 33 − 1 n3 − 1 · · . . . · , n ∈ N, n ≥ 2 ¸si funct¸ia f : R → R, 23 + 1 33 + 1 n3 + 1

x3 − 1 x − 1 f (x + 1) = · , (∀) x 6= −1. x3 + 1 x+1 f (x)

2(n2 + n + 1) , (∀) n ∈ N∗ . 3n(n + 1) c) S˘ a se calculeze lim an .

b) S˘ a se arate c˘ a an =

n→∞

d) S˘ a se calculeze lim

n→∞

3an 2

n2 .

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(2, 1), B(−1, −2) ¸si C(−1, 1). a) S˘ a se calculeze perimetrul triunghiului ABC. b) S˘ a se calculeze panta dreptei AC. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AB.

SUBIECTUL II 1. În mult¸imea M2 (Z5 ) se consider˘ a matricele A =

ˆ2 ˆ1

ˆ1 1ˆ ˆ2 ¸si I2 = ˆ0

0ˆ ˆ1 .

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A. b) S˘ a se calculeze A2 ¸si A4 . c) S˘ a se determine o matrice B ∈ M2 (Z5 ) pentru care AB = BA = I2 . d) S˘ a se calculeze A2001 . 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ax − sin x, unde a este parametru real. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se calculeze f (0) ¸si f 0 (0). c) Pentru a ≥ 1, s˘ a se arate c˘ a f (x) ≥ 0, (∀) x ≥ 0. Z 1 1 d) S˘ a se arate c˘ a sin(x2 ) dx ≤ · 3 0 SUBIECTUL III

√ Se consider˘ a mult¸imea de numere reale M = {a + b 2 | a, b ∈ Q ¸si a2 − 2b2 = 1}. √ √ a) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a a + b 2 = c + d 2 cu a, b, c, d ∈ Q, atunci a = c ¸si b = d. b) S˘ a verifice c˘ a 1 ∈ M. c) S˘ a se arate c˘ a M este parte stabil˘ a ˆın raport cu ˆınmult¸irea numerelor reale. d) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a z ∈ M , atunci z 6= 0 ¸si

1 ∈ M. z 15

e) S˘ a se g˘ aseasc˘ a un element z ∈ M astfel ˆıncˆ at 0 < z <

1 · 10

SUBIECTUL IV Z Se consider˘ a ¸sirul (In )n≥0 , definit prin I0 = 0

1

1 dx ¸si In = 2 x +1

Z 0

1

xn dx, n ∈ N∗ . x2 + 1

a) S˘ a se calculeze I0 ¸si I1 . b) S˘ a se verifice relat¸ia In+2 + In =

1 , n ∈ N∗ . n+1

c) S˘ a se arate c˘ a In ≥ In+1 , (∀) n ∈ N∗ . d) S˘ a se deduc˘ a inegalit˘ a¸tile

1 1 ≤ In ≤ , (∀) n ∈ N, n ≥ 2. 2(n + 1) 2(n − 1)

e) S˘ a se calculeze lim nIn . n→∞

f ) S˘ a se calculeze lim

n→∞

1 nIn − 2

ln n.

16

Varianta 3

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 − X + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. 2 2 1 1 1 2 a) S˘ a se verifice c˘ a f (X) = X − + X− + · 2 2 2 1 b) S˘ a se arate c˘ a f (x) ≥ , (∀) x ∈ R. 2 c) S˘ a se arate c˘ a polinomul f nu are r˘ ad˘ acini reale. d) S˘ a se calculeze S = x1 + x2 + x3 + x4 ¸si T = x21 + x22 + x23 + x24 .

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (x − 1)ex . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se determine intervalele de monotonie ale funct¸iei f . c) S˘ a se deduc˘ a inegalitatea f (x) ≥ −1, (∀) x ∈ R. Z 1 f (x) dx. d) S˘ a se calculeze 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 0), B(0, 1) ¸si C(−1, 0). a) S˘ a se calculeze perimetrul triunghiului ABC. b) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AB. c) S˘ a se verifice c˘ a OA = OB = OC, unde O(0, 0) este originea sistemului de coordonate.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a matricea A =

2 1

−6 . −3

a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. b) S˘ a se calculeze A2 . c) S˘ a se arate c˘ a A + 2A2 + . . . + 2001A2001 = 1001A. 2.

1 1 3x2 + 3x + 1 = 3− , (∀) x > 0. 3 3 x (x + 1) x (x + 1)3 3 · n2 + 3 · n + 1 3 · 12 + 3 · 1 + 1 3 · 22 + 3 · 2 + 1 + + . . . + , n ∈ N∗ . Not˘ am cu an = 13 · 23 23 · 33 n3 · (n + 1)3

a) S˘ a se verifice identitatea

b) S˘ a se arate c˘ a an =

(n + 1)3 − 1 , (∀) n ∈ N∗ . (n + 1)3

c) S˘ a se calculeze lim an . n→∞

3

d) S˘ a se calculeze lim ann . n→∞

SUBIECTUL III Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = 2xy + 6x + 6y + 15. a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ y = 2(x + 3)(y + 3) − 3, (∀) x, y ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. c) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ (−3) = (−3) ◦ x = −3, (∀) x ∈ R. d) S˘ a se arate c˘ a (−15) ◦ (−14) ◦ . . . ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 14 ◦ 15 < −1.

17

e) S˘ a se stabileasc˘ a dac˘ a mult¸imea Q\Z este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”◦”. Justificat¸i r˘aspunsul. SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = arctg x ¸si ¸sirul (an )n∈N∗ , an =

1 1 1 + + ... + , n ∈ N∗ . 1 + 12 1 + 22 1 + n2

a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f 0 este strict descresc˘atoare pe intervalul [0, ∞). c) Aplicˆ and teorema lui Lagrange, s˘ a se arate c˘a

1 1 < arctg(k + 1) − arctg k < , (∀) k ∈ N. 2 1 + (k + 1) 1 + k2

d) S˘ a se arate c˘ a ¸sirul (an )n∈N∗ este strict cresc˘ator. e) Utilizˆ and rezultatul de la punctul c), s˘ a se arate c˘a an <

18

π , (∀) n ∈ N∗ . 2

Varianta 4

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 − 2x + m, unde m este un parametru real. a) S˘ a se determine punctul de minim ¸si valoarea minim˘a a funct¸iei f . b) S˘ a se determine valorile lui m pentru care f (x) ≥ 2, (∀) x ∈ R. c) Pentru m = 1, s˘ a se rezolve ecuat¸ia (f ◦ f )(x) = 0.

2.

1 1 2x + 1 = 2− , (∀) x > 0. x2 (x + 1)2 x (x + 1)2 3 5 2n + 1 Not˘ am cu an = 2 2 + 2 2 + . . . + 2 , n ∈ N∗ . 1 ·2 2 ·3 n · (n + 1)2

a) S˘ a se verifice identitatea

b) S˘ a se arate c˘ a an =

n2 + 2n , (∀) n ∈ N∗ . (n + 1)2

c) S˘ a se calculeze lim an . n→∞

2

d) S˘ a se calculeze lim ann . n→∞

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(0, 1), B(2, 2), C(0, 4). a) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AB. b) S˘ a se determine panta dreptei AB. c) S˘ a se calculeze perimetrul triunghiului ABC.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − 3X + 1. a) S˘ a se calculeze f (−2), f (0), f (1) ¸si f (2). b) S˘ a se arate c˘ a polinomul f are toate r˘ ad˘acinile reale. c) S˘ a se demonstreze c˘ a r˘ ad˘ acinile polinomului f sunt numere irat¸ionale.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = 2x − ax − 1, unde a este parametru real. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se calculeze f (0) ¸si f 0 (0). c) S˘ a se determine valorile lui a pentru care f (x) ≥ 0, (∀) x ∈ R. Z 1 2 ln 2 d) S˘ a se deduc˘ a inegalitatea 2x dx ≥ 1 + · 3 0 SUBIECTUL III

În mult¸imea M2 (R) se consider˘ a matricele I2 =

1 0

0 4 ,A= 1 2

G = {X(a) | a ∈ R ¸si X(a) = I2 + aA}. a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. b) S˘ a se calculeze A2 . c) S˘ a se arate c˘ a I2 ∈ G. d) S˘ a se demonstreze c˘ a X(a) · X(b) = X(a + b + ab), (∀) a, b ∈ R. e) S˘ a se demonstreze c˘ a X(1) · X(2) · . . . · X(2001) = X(2002! − 1).

19

−6 , precum ¸si submult¸imea −3

SUBIECTUL IV Z Se consider˘ a ¸sirul (In )n≥0 definit prin I0 = 0

1

1 dx ¸si In = 2x + 3

a) S˘ a se calculeze I0 ¸si I1 . b) S˘ a se arate c˘ a 2In+1 + 3In =

1 , (∀) n ∈ N∗ . n+1

c) Dac˘ a x ∈ [0, 1], s˘ a se arate c˘ a xn ≥ xn+1 , (∀) n ∈ N∗ . d) S˘ a se arate c˘ a In ≥ In+1 , (∀) n ∈ N∗ . e) S˘ a se deduc˘ a inegalit˘ a¸tile

1 1 ≤ In ≤ , (∀) n ∈ N∗ . 5(n + 1) 5n

f ) S˘ a se calculeze lim nIn . n→∞

20

Z 0

1

xn dx, (∀) n ∈ N∗ . 2x + 3

Varianta 5

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 + 4X 2 − 20X − 48. a) S˘ a se calculeze f (−2). b) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0, x ∈ C. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia 8x + 4 · 4x − 20 · 2x − 48 = 0, x ∈ R.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex − x − 1. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se determine intervalele de monotonie ale funct¸iei f . c) S˘ a se deduc˘ a inegalitatea f (x) ≥ 0, (∀) x ∈ R. Z 1 2 2 d) S˘ a se arate c˘ a e−x dx ≥ · 3 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele An (n, n2 ), n ∈ N. a) S˘ a se determine coordonatele punctelor A0 , A1 , A2 . b) S˘ a se calculeze perimetrul triunghiului A0 A1 A2 . c) S˘ a se determine panta dreptei A7 A8 .

SUBIECTUL II 1. În mult¸imea M2 (Z) se consider˘ a submult¸imea G = 1 a) S˘ a se verifice c˘ a I2 = 0

0 1

a −b

b a, b ∈ Z . a

∈ G.

b) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A, B ∈ G, atunci A · B ∈ G. c) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A ∈ G ¸si rang(A) < 2, atunci A =

0 0

0 . 0

d) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A ∈ G ¸si det(A) = 1, atunci A4 = I2 . 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) =

(x2

x · + 1)(x2 + 4)

x a b a) S˘ a se determine a, b ∈ R, pentru care = + , (∀) x > 0. (x + 1)(x + 4) x+1 x+4 Z x b) S˘ a se calculeze dx, unde x ∈ R, α ∈ R∗ . 2 x + α2 c) S˘ a se calculeze aria suprafet¸ei plane cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 0 ¸si x = 1.

SUBIECTUL III Se consider˘ a polinomul f = (X + 1)2n+1 + (X − 1)2n+1 , n ∈ N∗ , cu forma algebric˘a f = a2n+1 X 2n+1 a2n X 2n + . . . + a1 X + a0 ¸si cu r˘ ad˘ acinile x1 , x2 , . . . , x2n+1 ∈ C. a) S˘ a se calculeze a0 . b) S˘ a se determine suma coeficient¸ilor polinomului f . c) S˘ a se calculeze a2n ¸si a2n−1 . d) S˘ a se calculeze S = x1 + x2 + . . . + x2n+1 ¸si T = x21 + x22 + . . . + x22n+1 . Consider˘ am z = a + ib o r˘ ad˘ acin˘ a complex˘ a a polinomului f , unde a, b ∈ R. 21

e) S˘ a se arate c˘ a |a + 1 + ib| = |a − 1 + ib|. f ) S˘ a se arate c˘ a a = 0.

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R\{1} → R, f (x) = a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = x + 2 +

x3 · (x − 1)2

3 1 , (∀) x ∈ R\{1}. + x − 1 (x − 1)2

b) S˘ a se determine asimptotele la graficul funct¸iei f . c) S˘ a se demonstreze, folosind metoda induct¸iei matematice, c˘a d) S˘ a se calculeze f (n) (x), x 6= 1, n ∈ N, n ≥ 2. Z n 1 e) S˘ a se calculeze lim 2 f (x) dx. n→∞ n 2

22

1 x−a

(n) =

(−1)n n! , (∀) n ∈ N∗ ¸si x 6= a. (x − a)n+1

SESIUNEA IUNIE-IULIE

Varianta 1 Profilurile industrial, agricol, silvic ¸si sportiv real

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − X + 1, cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ C ¸si polinomul g = X 2 + X + 1, cu r˘ ad˘ acinile y1 , y2 ∈ C. a) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘ art¸irii polinomului f la polinomul g. b) S˘ a se verifice c˘ a y13 = y23 = 1. c) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul a = f (y1 ) + f (y2 ) este natural. d) S˘ a se calculeze b = g(x1 ) + g(x2 ) + g(x3 ).

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex − x. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se determine intervalele de monotonie ale funct¸iei f . c) S˘ a se deduc˘ a inegalitatea f (x) ≥ 1, (∀) x ∈ R. Z 1 2 4 d) S˘ a se arate c˘ a ex dx ≥ · 3 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 1), B(−1, −1) ¸si C(1, −1). a) S˘ a se calculeze panta dreptei AB. b) S˘ a se calculeze perimetrul triunghiului ABC. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AC.

SUBIECTUL II 1.

Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = x + y +

√

2.

a) S˘ a se arate c˘ a S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se determine num˘ arul real e astfel ˆıncât x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R. c) S˘ a se precizeze dac˘ a mult¸imea R\Q este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”◦”. Justificat¸i r˘aspunsul. 2.

3x2 + 3x + 1 1 1 = 3− , (∀) x > 0. x3 (x + 1)3 x (x + 1)3 3 · 12 + 3 · 1 + 1 3 · 22 + 3 · 2 + 1 3 · n2 + 3 · n + 1 Not˘ am cu an = + + ... + , n ∈ N∗ . 3 3 3 3 1 ·2 2 ·3 n3 · (n + 1)3

a) S˘ a se verifice identitatea

b) S˘ a se arate c˘ a an =

(n + 1)3 − 1 , (∀) n ∈ N∗ . (n + 1)3

c) S˘ a se calculeze lim an . n→∞

3

d) S˘ a se calculeze lim ann . n→∞

SUBIECTUL III  1 Se consider˘ a matricele A = 2 3

1 2 3

  −1 1 −2 ¸si I3 = 0 −3 0

0 1 0

a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A.

23

 0 0. 1

b) S˘ a se calculeze A2 . c) S˘ a se verifice identitatea I3 = (I3 − A)(I3 + A). d) S˘ a se arate c˘ a matricea I3 − A este inversabil˘a ¸si s˘a se calculeze inversa ei. e) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a (I3 + A)n = I3 + nA, (∀) n ∈ N∗ . SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x − arctg x. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se calculeze f (0) ¸si f 0 (0). c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este strict cresc˘ atoare pe R. d) S˘ a se determine asimptota la ramura spre +∞ a graficului funct¸iei f . Z x 1 e) S˘ a se calculeze lim 2 f (t) dt. x→∞ x 0

24

Varianta 2

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a ecuat¸ia x2 − mx + m − 1 = 0, unde m este un parametru real. a) S˘ a se determine m astfel ˆıncˆ at ecuat¸ia s˘a aib˘a r˘ad˘acini reale. b) S˘ a se determine m astfel ˆıncˆ at ecuat¸ia s˘a aib˘a r˘ad˘acini opuse. c) S˘ a se determine m astfel ˆıncˆ at ecuat¸ia s˘a aib˘a r˘ad˘acini inverse.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (x + 1)4 − x4 . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este strict cresc˘atoare pe R. c) S˘ a se determine punctul de inflexiune al graficului funct¸iei f . Z 1 f (x) dx. d) S˘ a se calculeze 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 1), B(3, 3) ¸si C(−1, 2). a) S˘ a se calculeze perimetrul triunghiului ABC. b) S˘ a se calculeze panta dreptei AB. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei care trece prin punctul C ¸si are aceea¸si pant˘a cu dreapta AB.

SUBIECTUL II 1.

  x + y + z = 3 Se consider˘ a sistemul x + 2y + 3z = 6   x + 3y + 5z = 9

. Not˘am cu A matricea sistemului.

a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. b) S˘ a se arate c˘ a sistemul este compatibil nedeterminat. c) S˘ a se determine acele solut¸ii (x, y, z) ale sistemului pentru care x2 + y 2 + z 2 = 3. 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = 3x − ax − 1, unde a este parametru real. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se calculeze f (0) ¸si f 0 (0). c) S˘ a se determine a ∈ R, pentru care f (x) ≥ 0, (∀) x ∈ R. SUBIECTUL III

În mult¸imea M2 (R) se consider˘ a matricele I2 =

1 0

0 2 ,A= 1 −1

2 , precum ¸si submult¸imea −1

G = {X(a) | a ∈ R ¸si X(a) = I2 + aA}. a) S˘ a se calculeze A2 . b) S˘ a se verifice c˘ a I2 ∈ G. c) S˘ a se demonstreze c˘ a X(a) · X(b) = X(a + b + ab), (∀) a, b ∈ R. d) S˘ a se verifice c˘ a X(a) · X(−1) = X(−1), (∀) a ∈ R. e) S˘ a se determine num˘ arul t ∈ R pentru care X(−100) · X(−99) · . . . · X(99) · X(100) = X(t). SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸iile f, g : R → R, f (x) = arctg x − x + 25

x3 x3 x5 ¸si g(x) = arctg x − x + − · 3 3 5

a) S˘ a se calculeze f 0 (x) ¸si g 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se calculeze f (0) ¸si g(0) c) S˘ a se arate c˘ a f 0 (x) ≥ 0 ¸si g 0 (x) ≤ 0, (∀) x ∈ R. d) S˘ a se arate c˘ a f (x) > 0 ¸si g(x) < 0, (∀) x > 0. Z 1 2 31 e) S˘ a se demonstreze c˘ a < arctg(x2 ) dx < · 7 100 0

26

Varianta 3

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 + aX + b, cu a ¸si b parametri reali. a) S˘ a se determine a ¸si b, ¸stiind c˘ a polinomul f se divide cu X + 1 ¸si c˘a f (1) = 4. b) Pentru a = 1 ¸si b = 2 s˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0, x ∈ C. c) Pentru a = 1 ¸si b = 2 s˘ a se rezolve inecuat¸ia f (x) < 0, x ∈ R.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) =

x2 · +1

x2

a) S˘ a se verifice c˘ a f (−x) = f (x), (∀) x ∈ R. b) S˘ a se determine asimptotele la graficul funct¸iei f . Z 1 f (x) dx. c) S˘ a se calculeze 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(0, 3), B(3, 0) ¸si C(4, 4). a) S˘ a se calculeze panta dreptei AC. b) S˘ a se calculeze perimetrul triunghiului ABC. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AB.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a matricea A =

2 1

6 . 3

a) S˘ a se verifice c˘ a A2 = 5A. b) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a An = 5n−1 A, (∀) n ∈ N∗ . c) S˘ a se arate c˘ a matricea A − A2 + A3 + . . . + (−1)99 A100 are toate elementele strict negative. 2.

1 Se consider˘ a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = arctg x + arctg · x a) S˘ a se calculeze f (1). b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ (0, ∞). c) S˘ a se calculeze lim f (x). x→∞

SUBIECTUL III Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = xy + x + y. a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ y = (x + 1)(y + 1) − 1, (∀) x, y ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. c) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ (−1) = (−1) ◦ x = −1, (∀) x ∈ R. d) S˘ a se stabileasc˘ a dac˘ a mult¸imea Q\Z este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”◦”. Justificat¸i r˘aspunsul. e) S˘ a se rezolve ecuat¸ia x ◦ x ◦ x ◦ x = −1. SUBIECTUL IV Z Se consider˘ a funct¸iile fn : R → R, f0 (x) = 1 ¸si fn+1 (x) = 2

a) S˘ a se arate c˘ a f1 (x) = x − 2, (∀) x ∈ R. 27

x

fn (t) dt, (∀) x ∈ R ¸si (∀) n ∈ N∗ .

b) S˘ a se verifice c˘ a f2 (x) =

(x − 2)2 , (∀) x ∈ R. 2!

c) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a fn (x) = d) S˘ a se calculeze lim fn (100). n→∞

e) S˘ a se calculeze lim

n→∞

f0 (3) + f1 (3) + . . . + fn (3) · n

28

(x − 2)n , (∀) x ∈ R ¸si (∀) n ∈ N∗ . n!

Varianta 4

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 + X + m, unde m este un parametru real. a) S˘ a se determine num˘ arul real m, ¸stiind c˘a polinomul f se divide cu polinomul X + 1. b) Pentru m = 2 s˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0, x ∈ C. c) Pentru m = 2, s˘ a se rezolve inecuat¸ia f (x) < 0, x ∈ R.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = ln(x + 2) − ln x a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ (0, ∞). b) S˘ a se arate c˘ a f 0 (x) < 0 ¸si f (x) > 0, (∀) x > 0. c) S˘ a se determine asimptota spre +∞ la graficul funct¸iei f . Z e d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 1

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele An (n, n2 ), n ∈ N. a) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei A0 A1 . b) S˘ a se calculeze lungimea segmentului A0 A1 . c) S˘ a se arate c˘ a panta dreptei An An+1 este un num˘ar natural impar, (∀) n ∈ N.

SUBIECTUL II

1.

  ax + y + z = 1 Se consider˘ a sistemul x + ay + 3z = 1   x + y + az = 1

, unde a este parametru real.

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei sistemului. b) S˘ a se determine valorile lui a pentru care sistemul este compatibil determinat. c) S˘ a se stabileasc˘ a dac˘ a sistemul este compatibil pentru a = −2. Justificat¸i r˘aspunsul. 2.

Se consider˘ a ¸sirul (an )n∈N∗ , an =

1 · 1! + 2 · 2! + . . . + n · n! , (∀) n ∈ N∗ . (n + 1)!

a) S˘ a se verifice identitatea k · k! = (k + 1)! − k!, (∀) k ∈ N. b) S˘ a se arate c˘ a 1 · 1! + 2 · 2! + . . . + n · n! = (n + 1)! − 1, (∀) n ∈ N∗ . c) S˘ a se calculeze lim an . n→∞

d) S˘ a se calculeze lim a(n+1)! . n n→∞

SUBIECTUL III Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = x + y +

√

5.

a) S˘ a se arate c˘ a S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se determine num˘ arul real e pentru care x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R. √ c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia 2x ◦ 4x = 6 + 5, x ∈ R. d) S˘ a se stabileasc˘ a dac˘ a mult¸imea R\Q este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”◦”. Justificat¸i r˘aspunsul. √ √ √ √ √ e) Se consider˘ a num˘ arul a = 5 ◦ (−2 5) ◦ (3 5) ◦ . . . ◦ (19 5) ◦ (−20 5). S˘a se arate c˘a 20 < a < 21.

29

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x + 2x . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este strict cresc˘ atoare pe R. c) S˘ a se calculeze f 00 (x), x ∈ R. d) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este convex˘ a pe R. f (1) + f (2) + . . . + f (n) · n→∞ 2n

e) S˘ a se calculeze lim

30

Varianta 5

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 − 2x + 2. a) S˘ a se arate c˘ a f (x) ≥ 1, (∀) x ∈ R. b) S˘ a se rezolve ecuat¸ia (f ◦ f )(x) = f (x), x ∈ R. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a un num˘ ar irat¸ional a pentru care f (a) ∈ Q.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x − arctg x. a) S˘ a se calculeze f (0). b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. c) S˘ a se arate c˘ a f (x) ≥ 0, (∀) x ∈ R. d) S˘ a se arate c˘ a x ≥ arctg x, (∀) x ≥ 0.

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele An (4n − 3, 3n − 2), n ∈ N. a) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei A0 A1 . b) S˘ a se calculeze lungimea segmentului A0 A1 . c) S˘ a se arate c˘ a panta dreptei An An+1 nu depinde de n, (∀) n ∈ N.

SUBIECTUL II 1.

2 −2

Se consider˘ a matricea A =

1 . −1

a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. b) S˘ a se calculeze A2 . c) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a A + 22 A2 + . . . + n2 An = (∀) n ∈ N∗ . 2.

Se consider˘ a ¸sirul (an )n∈N∗ , an =

n(n + 1)(2n + 1) A, 6

2·1+1 2·2+1 2·n+1 + 2 2 + ... + 2 , n ∈ N∗ . 12 · 22 2 ·3 n · (n + 1)2

2k + 1 1 1 = 2− , (∀) k ∈ N∗ . k 2 (k + 1)2 k (k + 1)2 1 b) S˘ a se arate c˘ a an = 1 − , (∀) n ∈ N∗ . (n + 1)2 a) S˘ a se verifice identitatea

c) S˘ a se calculeze lim an . n→∞

2

d) S˘ a se calculeze lim ann . n→∞

SUBIECTUL III Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = −xy − x − y − 2. a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ y = −(x + 1)(y + 1) − 1, (∀) x, y ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. c) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ (−1) = (−1) ◦ x = −1, (∀) x ∈ R. d) S˘ a se arate c˘ a (−20) ◦ (−19) ◦ . . . ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 19 ◦ 20 < 0. e) S˘ a se stabileasc˘ a dac˘ a mult¸imea Q\Z este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”◦”. Justificat¸i r˘aspunsul.

31

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = a) S˘ a se determine a, b ∈ R, pentru care

1 · (x2 + 1)(x2 + 2) 1 a b = + , (∀) x > 0. (x + 1)(x + 2) x+1 x+2

b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. c) S˘ a se arate c˘ a 0 < f (x) ≤ Z d) S˘ a se calculeze

1 , (∀) x ∈ R. 2

1

f (x) dx. 0

e) S˘ a se determine asimptota spre +∞ la graficul funct¸iei f . √ √ √ f ) S˘ a se calculeze lim f ( 1) + f ( 2) + . . . + f ( n) . n→∞

32

SESIUNEA IUNIE-IULIE

Varianta 1 Profilul pedagogic

SUBIECTUL I 1.

Un autoturism A care consum˘ a motorin˘ a este cu 40000000 lei mai scump decât un autoturism B care consum˘ a benzin˘ a. Un litru de benzin˘ a cost˘ a 15000 lei, iar un litru de motorin˘a cost˘a 13000 lei. Un autoturism A consum˘ a 5 litri de motorin˘ a la 100 km, iar un autoturism B consum˘a 7 litri de benzin˘a la 100 km. a) S˘ a se determine cˆ at cost˘ a motorina consumat˘a de autoturismul A la 100 km. b) S˘ a se determine cˆ at cost˘ a benzina consumat˘a de autoturismul B la 100 km. c) S˘ a se afle dup˘ a cˆ a¸ti km pret¸ul autoturismului A adunat cu costul motorinei consumate de el este acela¸si cu pret¸ul autoturismului B adunat cu costul benzinei consumate de el.

2.

Num˘ arul 1000 se m˘ are¸ste cu 10% din valoarea sa ¸si se obt¸ine num˘arul a. Num˘arul a se miçsoreaz˘a cu 10% din valoarea sa ¸si se obt¸ine num˘ arul b. a) S˘ a se calculeze a. b) S˘ a se calculeze b. c) Cu ce procent trebuie miçsorat num˘ arul 1000, pentru a se obt¸ine num˘arul b?

3.

Scrierea zecimal˘ a a num˘ arului

1 este 0, a1 a2 . . . an . . .. 37

a) S˘ a se determine cifrele a1 ¸si a2 . b) S˘ a se determine cifra a2001 . c) S˘ a se calculeze S = a1 + a2 + . . . + a2001 .

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C ¸si polinomul g = X 2 + X + 1 cu r˘ ad˘ acinile y1 , y2 ∈ C. a) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘ art¸irii polinomului f la polinomul g. b) S˘ a se verifice c˘ a y13 = y23 = 1.

2.

c) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul A = g(x1 ) + g(x2 ) + g(x3 ) + g(x4 ) este ˆıntreg. √ Se consider˘ a binomul (1 + 2)100 . a) S˘ a se scrie termenul din mijloc al dezvolt˘arii binomului. b) S˘ a se determine num˘ arul de termeni rat¸ionali din dezvoltarea binomului. c) Not˘ am cu S suma termenilor rat¸ionali ¸si cu T suma termenilor irat¸ionali ai binomului. S˘a se demonstreze c˘ a S > T.

SUBIECTUL III 

1.

1 Se consider˘ a matricea A = 1 1

2 2 2

 3 3 3

a) S˘ a se verifice c˘ a A2 = 6A. b) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a An = 6n−1 A, (∀) n ∈ N∗ . c) S˘ a se arate c˘ a A + A2 + A3 + . . . + A2001 =

62001 − 1 A. 5 33

2.

√ a) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a 0 < x < 1, atunci avem inegalit˘a¸tile x < x < 1. √ b) S˘ a se determine primele 20 de zecimale ale num˘arului x, unde x = 1 −

1 · 1020

SUBIECTUL IV Piramida patrulater˘ a regulat˘ a cu vˆ arful V ¸si baza ABCD are V A = AB = a. a) S˘ a se calculeze apotema piramidei. b) S˘ a se calculeze aria lateral˘ a a piramidei. c) S˘ a se calculeze ˆın˘ alt¸imea piramidei. d) S˘ a se calculeze volumul piramidei. e) S˘ a se arate c˘ a muchiile V A ¸si V C sunt perpendiculare. f ) Fie punctul P ∈ (V C). S˘ a se determine lungimea segmentului P C, astfel ˆıncât perimetrul triunghiului BP D s˘ a fie minim.

34

Varianta 2

SUBIECTUL I 1.

Un copac cu ˆın˘ alt¸imea de 10 m cre¸ste ˆın fiecare lun˘a cu 4% din ˆın˘alt¸imea sa. a) Ce ˆın˘ alt¸ime va avea copacul dup˘ a o lun˘a? b) Ce ˆın˘ alt¸ime va avea copacul dup˘ a dou˘ a luni? c) S˘ a se arate c˘ a dup˘ a 20 de luni, copacul va avea o ˆın˘alt¸ime mai mare de 20 m.

2.

a) Care este cel mai mic num˘ ar natural care, scris ˆın baza zece, are 4 cifre? b) Care este cel mai mare num˘ ar natural care, scris ˆın baza zece, are 6 cifre?

3.

c) S˘ a se demonstreze c˘ a num˘ arul 2100 scris ˆın baza zece are exact 31 de cifre. 1 1 1 1 = − , (∀) x > 1. a) S˘ a se verifice identitatea 3 x −x 2 (x − 1)x x(x + 1) 1 1 , (∀) k > 1. b) S˘ a se arate c˘ a 3 < 3 k k −k 1 1 1 c) Not˘ am cu an = 3 + 3 + . . . + 3 , n ∈ N∗ . 1 2 n 5 S˘ a se demonstreze c˘ a 1 ≤ an < , (∀) n ∈ N∗ . 4 SUBIECTUL II

1.

Se consider˘ a matricea A =

4 8

2 . 4

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A. b) S˘ a se verifice c˘ a A2 = 8A. c) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a An = 8n−1 A, (∀) n ∈ N∗ . 2.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 − X 2 + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C ¸si polinomul g = X 2 − X + 1 cu r˘ ad˘ acinile y1 , y2 ∈ C. a) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘ art¸irii polinomului f la polinomul g. b) S˘ a se verifice c˘ a y13 = y23 = −1. c) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul B = g(x1 )g(x2 )g(x3 )g(x4 ) este ˆıntreg.

SUBIECTUL III 1.

Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = x + y + 1. a) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se determine num˘ arul real e pentru care x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R. c) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul 1 ◦ 2 ◦ 3 ◦ . . . ◦ 2001 nu este p˘atratul unui num˘ar natural. d) S˘ a se stabileasc˘ a dac˘ a mult¸imea Q\Z este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”◦”. Justificat¸i r˘aspunsul.

2.

S˘ a se arate c˘ a ˆın orice mult¸ime de patru numere ˆıntregi exist˘a dou˘a care au suma sau diferent¸a divizibil˘ a cu 5.

SUBIECTUL IV Cubul ABCDA0 B 0 C 0 D0 are muchia de lungime a. a) S˘ a se calculeze aria total˘ a a cubului. b) S˘ a se calculeze lungimea segmentului AC 0 . 35

c) S˘ a se calculeze volumul tetraedrului B 0 ABC. d) S˘ a se calculeze volumul tetraedrului ACB 0 D0 . e) S˘ a se calculeze distant¸a de la punctul A la planul (CD0 B 0 ). f ) Not˘ am cu O centrul fet¸ei BCC 0 B 0 . S˘ a se afle lungimea minim˘a pe care o are un drum dintre A ¸si O pe suprafat¸a cubului.

36

Varianta 3

SUBIECTUL I 1.

Trei tractori¸sti au de arat ˆımpreun˘ a o suprafat¸˘a de 130 de ha. Dup˘a ce primul a arat dou˘a treimi din suprafat¸a sa, al doilea a arat trei sferturi din suprafat¸a sa, iar al treilea a arat dou˘a cincimi din suprafat¸a sa, tot¸i au r˘ amas cu suprafet¸e egale de arat. a) Ce procent din suprafat¸a pe care trebuia s˘a o are al doilea tractorist reprezint˘a suprafat¸a pe care trebuia s˘ a o are primul tractorist? b) Ce suprafat¸˘ a trebuia s˘ a are fiecare tractorist? c) Ce suprafat¸˘ a a arat fiecare tractorist?

2.

Se consider˘ a num˘ arul a = 31 · 32 · 33 · . . . · 60. a) S˘ a se determine cel mai mare num˘ ar natural n pentru care 2n divide num˘arul a. b) Care este num˘ arul de zerouri cu care se termin˘a num˘arul a scris ˆın baza zece? c) S˘ a se demonstreze c˘ a num˘ arul a nu este p˘atrat perfect.

3.

Fie suma S =

1 1 1 + + ... + · 39 40 50

a) Cˆ a¸ti termeni are suma S? 6 4 b) S˘ a se arate c˘ a 2 ¸si q > 2 sunt numere prime consecutive, atunci num˘arul prim.

p+q este natural ¸si nu este 2

SUBIECTUL IV Se consider˘ a piramida regulat˘ a cu vˆ arful V ¸si baza ABC. Se ¸stie c˘a V A = 2a ¸si m(ÂV B) = 30◦ . 39

a) S˘ a se calculeze lungimea ˆın˘ alt¸imii din A a triunghiului AV B. b) S˘ a se calculeze lungimea segmentului AB. c) S˘ a se calculeze apotema piramidei. d) S˘ a se calculeze aria total˘ a a piramidei. e) Fie punctele M ∈ (V A), N ∈ (V B) ¸si P ∈ (V C), astfel ˆıncât V M = M A ¸si perimetrul triunghiului M N P s˘ a fie minim. S˘ a se calculeze perimetrul triunghiului M N P .

40

Varianta 5

SUBIECTUL I 1.

Trei muncitori A, B ¸si C efectueaz˘ a o lucrare. Dac˘a muncitorii A ¸si B lucreaz˘a ˆımpreun˘a, termin˘a lucrarea ˆın 12 zile, dac˘ a muncitorii B ¸si C lucreaz˘ a ˆımpreun˘a, termin˘a lucrarea ˆın 20 zile, iar dac˘a muncitorii A ¸si C lucreaz˘ a ˆımpreun˘ a, termin˘ a lucrarea ˆın 15 zile. a) În cˆ ate zile ar termina lucrarea fiecare muncitor dac˘a ar lucra singur? ˆ b) In cˆ ate zile ar termina lucrarea cei trei muncitori dac˘a ar lucra ˆımpreun˘a? c) Pentru o zi de munc˘ a lucrat˘ a ˆımpreun˘ a ei primesc ˆın total 600000 de lei. Ce sum˘a revine fiec˘arui muncitor zilnic, ¸stiind c˘ a ei sunt pl˘ atit¸i direct proport¸ional cu munca prestat˘a?

2.

3.

1 1 1 1 < + + ... + < 1. 2 10 11 19 1 1 1 a b) Dac˘ a + + ... + = , cu a, b ∈ N∗ prime ˆıntre ele, s˘a se arate c˘a b este par ¸si a este impar. 10 11 19 b c) S˘ a se arate c˘ a a se divide cu 29. a) S˘ a se arate c˘ a

Not˘ am cu A mult¸imea numerelor naturale de 4 cifre distincte, formate cu cifrele 2, 3, 5 ¸si 6. a) Cˆ ate elemente are mult¸imea A? b) Cˆ ate elemente ale mult¸imii A sunt numere pare? c) S˘ a se calculeze suma numerelor impare din mult¸imea A.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 9 + (X + 1)6 având forma algebric˘a f = a9 X 9 + a8 X 8 + . . . + a1 X + a0 ¸si polinomul 2 g = X + X + 1 cu r˘ ad˘ acinile y1 , y2 ∈ C. a) S˘ a se calculeze suma coeficient¸ilor polinomului f . b) S˘ a se verifice c˘ a y13 = y23 = 1. c) S˘ a se calculeze f (y1 ) ¸si f (y2 ). f (1) + f (y1 ) + f (y2 ) · 3 2 4 −2 ¸si B = . 4 −2 1

d) S˘ a se arate c˘ a a0 + a3 + a6 + a9 = 2.

Se consider˘ a matricele A =

1 2

a) S˘ a se verifice c˘ a AB = BA. b) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a (A − B)n = An + (−1)n B n , (∀) n ∈ N∗ . c) S˘ a se calculeze (A + B)n , n ∈ N∗ . SUBIECTUL III 1.

Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = −xy + x + y. a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ y = −(x − 1)(y − 1) + 1, (∀) x, y ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. c) S˘ a se arate c˘ a x ◦ 1 = 1 ◦ x = 1, (∀) x ∈ R. d) S˘ a se calculeze (−20) ◦ (−19) ◦ . . . ◦ 0 ◦ 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ 19 ◦ 20. e) S˘ a se stabileasc˘ a dac˘ a mult¸imea Q\Z este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”◦”. Justificat¸i r˘aspunsul.

2.

S˘ a se arate c˘ a un produs de trei numere naturale nenule consecutive nu este cub perfect.

SUBIECTUL IV √ Se consider˘ a piramida triunghiular˘ a regulat˘ a cu vârful A ¸si baza BCD. Se ¸stie c˘a AB = 5 ¸si BC = 5 2. 41

a) S˘ a se arate c˘ a AB este perpendicular˘ a pe dreapta AC. b) S˘ a se calculeze aria total˘ a a piramidei. c) S˘ a se calculeze volumul piramidei. Fie punctele M ∈ (AB), N ∈ (AC) ¸si P ∈ (AD), astfel ˆıncât AM = 1, AN = 2 ¸si AP = 3. d) S˘ a se calculeze perimetrul triunghiului M N P . e) S˘ a se calculeze volumul corpului M N P BCD.

42

SESIUNEA IUNIE-IULIE

Varianta 1 Profilul uman

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − X 2 + aX + b, unde a ¸si b sunt parametri reali. a) S˘ a se determine a ¸si b, ¸stiind c˘ a polinomul X − 1 divide pe f ¸si f (−1) = −4. b) Se consider˘ a polinomul g = X 3 − X 2 + X − 1. S˘a se rezolve ˆın C ecuat¸ia g(x) = 0. c) S˘ a se afle cˆ atul ¸si restul ˆımp˘ art¸irii polinomului g la polinomul X 2 + X. d) S˘ a se afle cˆ ate valori reale poate lua expresia E = x21 + x2 + x3 , unde x1 , x2 ¸si x3 sunt r˘ad˘acinile polinomului g, permutate ˆın toate modurile. e) S˘ a se rezolve ecuat¸ia g(2x ) = 0.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (x + 1)3 − x3 . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se studieze semnul funct¸iei f 0 . c) S˘ a se determine intervalele de monotonie ale funct¸iei f . d) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este convex˘ a pe R. f (0) + f (1) + . . . + f (n) · e) S˘ a se calculeze lim n→∞ n3 SUBIECTUL II Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = xy + 2x + 2y + 2.

a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ y = (x + 2)(y + 2) − 2, (∀) x, y ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. c) S˘ a se determine num˘ arul real e pentru care x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R. d) S˘ a se arate c˘ a x ◦ (−2) = (−2) ◦ x = −2, (∀) x ∈ R. e) S˘ a se stabileasc˘ a dac˘ a mult¸imea Q\Z este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”◦”. Justificat¸i r˘aspunsul. SUBIECTUL III Se consider˘ a funct¸ia f : R\{1, 2} → R, f (x) =

3x − 5 · x2 − 3x + 2

a) S˘ a se determine a, b ∈ R astfel ˆıncˆ at pentru orice x ∈ R\{1, 2} s˘a avem f (x) = b) S˘ a se determine primitivele funct¸iei f pe intervalul (2, ∞). c) S˘ a se determine asimptota spre +∞ la graficul funct¸iei f . d) S˘ a se determine asimptotele verticale la graficul funct¸iei f . Z 1 n e) S˘ a se calculeze lim f (x) dx. n→∞ n 3 SUBIECTUL IV În mult¸imea M2 (Z) se consider˘ a matricele A =

4 −8

1 −2 43

¸si I2 =

1 0

0 . 1

a b + · x−1 x−2

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A. b) S˘ a se verifice c˘ a A2 = 2A. c) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a An = 2n−1 A, (∀) n ∈ N∗ . d) S˘ a se arate c˘ a A + A2 + . . . + A2001 = (22001 − 1)A. e) S˘ a se calculeze (A − I2 )n , n ∈ N∗ .

44

Varianta 2

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 2 + 2X + 4 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 ∈ C. a) S˘ a se arate c˘ a polinomul f divide polinomul X 3 − 8. b) S˘ a se arate c˘ a x31 = x32 = 8. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o valoare a ∈ R\Q, pentru care f (a) ∈ N. d) Dac˘ a z este o r˘ ad˘ acin˘ a a polinomului f , s˘a se calculeze A = z 20 + 2z 19 + 22 z 18 + . . . + 219 z + 220 . e) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (2x ) = 7.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ax2 + bx + c, unde a, b ¸si c sunt parametri reali. a) S˘ a se determine a, b ¸si c astfel ˆıncˆ at s˘ a fie ˆındeplinite simultan urm˘atoarele condit¸ii: f (0) = 0, f 0 (1) = −2 Z 1 2 ¸si f (x) dx = · 3 0 Consider˘ am c˘ a a = −1, b = 2 ¸si c = 0. b) S˘ a se calculeze f 00 (x), x ∈ R. c) S˘ a se determine intervalele de monotonie ale funct¸iei f . f 0 (1) + f 0 (2) + . . . + f 0 (n) · n→∞ n2

d) S˘ a se calculeze lim

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a binomul (1 + x)n , x ∈ R, n ∈ N∗ . a) S˘ a se determine n ¸stiind c˘ a suma coeficient¸ilor binomiali este 64. b) Pentru n = 6 s˘ a se determine termenul din mijloc al dezvolt˘arii. c) S˘ a se determine x ∈ R, ¸stiind c˘ a n = 6 ¸si c˘a termenul care ˆıl cont¸ine pe x2 este egal cu 60.

2.

Se consider˘ a progresia aritmetic˘ a cu termenul general an = 3n + 2, n ∈ N∗ . a) S˘ a se determine rat¸ia progresiei. 1 1 1 1 = − , (∀) k ∈ N∗ . ak ak+1 3 ak ak+1 1 1 2000 1 + + ... + = · c) S˘ a se arate c˘ a a1 a2 a2 a3 a2000 a2001 a1 a2001

b) S˘ a se verifice identitatea

SUBIECTUL III Se consider˘ a funct¸ia f : R\{1} → R, f (x) = a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = x + 2 +

x2 + x + 1 · x−1

3 , (∀) x ∈ R\{1}. x−1

b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R\{1}. c) S˘ a se determine intervalele de convexitate ¸si de concavitate ale funct¸iei f . d) S˘ a se determine asimptota spre +∞ la graficul funct¸iei f . e) S˘ a se arate c˘ a x = 1 este asimptot˘ a vertical˘a la graficul funct¸iei f . Z 3 f ) S˘ a se calculeze f (x) dx. 2

45

SUBIECTUL IV În mult¸imea M2 (R) se consider˘ a matricele A =

−2 1

−2 1 , I2 = 1 0

0 , precum ¸si submult¸imea 1

G = {X(a) | a ∈ R ¸si X(a) = I2 + aA}. a) S˘ a se calculeze determinantul matricei X(a), a ∈ R. b) S˘ a se calculeze A2 . c) S˘ a se verifice c˘ a I2 ∈ G. d) S˘ a se arate c˘ a X(a) · X(b) = X(a + b − ab), (∀) a, b ∈ R. e) S˘ a se determine t ∈ Z, astfel ˆıncˆ at X(−10) · X(−9) · . . . · X(9) · X(10) = X(t).

46

Varianta 3

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = aX 3 + bX + c, unde a, b ¸si c sunt parametri reali. a) S˘ a se determine a, b ¸si c ¸stiind c˘ a polinomul X − 1 divide polinomul f ¸si c˘a polinomul f ˆımp˘art¸it la X 2 + 1 d˘ a restul −4X + 2. Se consider˘ a polinomul g = X 3 − 3X + 2. b) S˘ a se rezolve ecuat¸ia g(x) = 0, x ∈ C. c) S˘ a se determine valoarea maxim˘ a a expresiei E = x21 + x2 + x3 , unde x1 , x2 ¸si x3 sunt r˘ad˘acinile polinomului g, permutate ˆın toate modurile. d) S˘ a se rezolve ecuat¸ia g(3x ) = 0

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) =

2x · +1

x2

a) S˘ a se verifice c˘ a f (−x) = −f (x), (∀) x ∈ R. b) S˘ a se calculeze lim f (x). x→∞

c) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. Z 1 f (x) dx. d) S˘ a se calculeze −1

Z

2n

f (x) dx.

e) S˘ a se calculeze lim

n→∞

n

SUBIECTUL II Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = −xy + x + y. a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ y = −(x − 1)(y − 1) + 1, (∀) x, y ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. c) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ 1 = 1 ◦ x = 1, (∀) x ∈ R. d) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a x1 ◦ x2 ◦ . . . ◦ xn = (−1)n−1 (x1 − 1) · (x2 − 1) · . . . · (xn − 1) + 1, (∀) x1 , x2 , . . ., xn ∈ R, (∀) n ∈ N∗ . e) S˘ a se stabileasc˘ a dac˘ a mult¸imea Q\Z este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”◦”. Justificat¸i r˘aspunsul. SUBIECTUL III Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = −x3 + 4x − 3. a) S˘ a se verifice c˘ a f (2 − x) = f (2 + x), (∀) x ∈ R. b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este concav˘ a pe R. Z x+1 1 f (t) dt. d) S˘ a se calculeze lim x→∞ f (x) x e) S˘ a se determine a ∈ (1, 3) cu proprietatea c˘a dreapta x = a desparte suprafat¸a plan˘a cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f ¸si axa Ox ˆın dou˘ a regiuni de arii egale. SUBIECTUL IV  1 Se consider˘ a matricea A = 1 1

1 1 1

 1 1. 1 47

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A. b) S˘ a se verifice c˘ a A2 = 3A. c) S˘ a se arate c˘ a An = 3n−1 A, (∀) n ∈ N∗ . d) S˘ a se arate c˘ a A + A2 + A3 + . . . + A2001 =

32001 − 1 A. 2

e) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a avem trei progresii aritmetice de câte trei termeni: a, b, c, respectiv x, y, z, respectiv u, v,   a b c w, atunci determinantul matricei x y z  este egal cu 0. u v w

48

Varianta 4

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = (X + 1)20 + (X − 1)20 având forma algebric˘a f = a20 X 20 + a19 X 19 + . . . + a1 X + a0 . a) S˘ a se calculeze a0 , a1 ¸si a2 . b) S˘ a se calculeze f (1). c) S˘ a se verifice c˘ a f (−x) = f (x), (∀) x ∈ C. d) S˘ a se calculeze f (i). e) S˘ a se demonstreze c˘ a a0 + a4 + a8 + . . . + a20 =

2.

1 [f (1) + f (−1) + f (i) + f (−i)]. 4

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (x − 1)ex . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se determine intervalele de monotonie ale funct¸iei f . c) S˘ a se arate c˘ a f (x) ≥ −1, (∀) x ∈ R. Z 1 d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

e) S˘ a se determine intervalele de convexitate ¸si de concavitate ale funct¸iei f .

SUBIECTUL II Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = x + y +

√

2.

a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ y = y ◦ x, (∀) x, y ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. c) S˘ a se determine num˘ arul real e pentru care x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R. √ d) Se consider˘ a num˘ arul a = 1 ◦ 2 ◦ 3 ◦ . . . ◦ 2001 − 2000 2. S˘a se arate c˘a a este num˘ar ˆıntreg, dar nu este p˘ atratul unui num˘ ar natural. e) S˘ a se stabileasc˘ a dac˘ a mult¸imea R\Q este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”◦”. Justificat¸i r˘aspunsul. SUBIECTUL III Se consider˘ a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) =

2x + 1 · x2 (x + 1)2

1 1 − , (∀) x > 0. 2 x (x + 1)2

b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x > 0. c) S˘ a se arate c˘ a x = 0 este asimptot˘ a vertical˘a la graficul funct¸iei f . Z 2 d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 1

1 x→∞ f (x)

x+1

Z

e) S˘ a se calculeze lim

f (t) dt. x

f ) S˘ a se calculeze lim [f (1) + f (2) + . . . + f (n)]. n→∞

SUBIECTUL IV Se consider˘ a matricele A =

2 −2

−2 1 ¸si B = 2 1

1 . 1 49

a) S˘ a se arate c˘ a AB = BA. b) S˘ a se arate c˘ a A2 = 4A. c) S˘ a se arate c˘ a B 2 = 2B. d) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a (A + B)n = An + B n , (∀) n ∈ N∗ . e) S˘ a se arate c˘ a (A + B)n = 4n−1 A + 2n−1 B, (∀) n ∈ N∗ .

50

Varianta 5

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 2 + X + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 ∈ C. a) S˘ a se arate c˘ a polinomul f divide polinomul X 3 − 1. b) S˘ a se arate c˘ a x31 = x32 = 1. c) S˘ a se calculeze x2001 + x2001 . 1 2 d) Dac˘ a z este o r˘ ad˘ acin˘ a a polinomului f , atunci s˘a se calculeze z 20 + z 19 + . . . + z + 1. e) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o valoare a ∈ R\Q, pentru care f (a) ∈ N.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) =

x2

1 · +1

a) S˘ a se verifice c˘ a f (−x) = f (x), (∀) x ∈ R. b) S˘ a se determine asimptota spre −∞ la graficul funct¸iei f . c) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. f (x + 1) − f (x) · d) S˘ a se calculeze lim x→∞ f 0 (x) e) S˘ a se calculeze aria suprafet¸ei plane cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = −1 ¸si x = 1. Z x f ) S˘ a se calculeze lim f (t) dt. x→∞

−x

SUBIECTUL II Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = x + y + 1. a) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se determine num˘ arul real e pentru care x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R. c) S˘ a se stabileasc˘ a dac˘ a mult¸imea Q\Z este parte stabil˘a ˆın raport cu legea ”◦”. Justificat¸i r˘aspunsul. d) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul a = 1 ◦ 3 ◦ 5 ◦ . . . ◦ 2001 − 1000 este p˘atratul unui num˘ar natural. e) S˘ a se rezolve ecuat¸ia 2x ◦ 4x = 7, x ∈ R. SUBIECTUL III Se consider˘ a funct¸ia f : R\{−1, 0} → R, f (x) = a) S˘ a se verifice identitatea f (x) =

1 · x(x + 1)

1 1 − , (∀) x ∈ R\{−1, 0}. x x+1

b) S˘ a se arate c˘ a x = 0 este asimptot˘ a vertical˘a la graficul funct¸iei f . c) S˘ a se determine asimptota spre +∞ la graficul funct¸iei f . d) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R\{−1, 0}. Z 2 e) S˘ a se calculeze f (x) dx. 1

f ) S˘ a se calculeze lim [f (1) + f (2) + . . . + f (n)]. n→∞

SUBIECTUL IV Se consider˘ a ¸sirul cu termenul general an = 2n + 3, n ∈ N. 51

a) S˘ a se arate c˘ a ¸sirul (an )n≥0 formeaz˘ a o progresie aritmetic˘a ¸si s˘a se determine rat¸ia progresiei. 1 1 1 1 b) S˘ a se verifice identitatea = − , (∀) k ∈ N. ak ak+1 ak+2 4 ak ak+1 ak+1 ak+2 1 1 1 1 1 1 c) S˘ a se arate c˘ a + + ... + = − , (∀) n ∈ N∗ . a1 a2 a3 a2 a3 a4 an an+1 an+2 4 a1 a2 an+1 an+2 d) S˘ a se arate c˘ a pentru orice num˘ ar natural nenul n avem a1 + a2 + . . . + an 6= 2001. e) S˘ a se arate c˘ a ¸sirul cu termenul general bn = 2an , n ∈ N, formeaz˘a o progresie geometric˘a ¸si s˘a se determine rat¸ia sa. f ) S˘ a se calculeze b1 + b2 + . . . + bn , n ∈ N∗ .

52

SESIUNEA AUGUST

Varianta 1 Profilurile matematic˘ a-fizic˘ a, informatic˘ a ¸si metrologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinoamele cu coeficient¸i reali f = X 3 + aX + b ¸si g = X 3 − 3X + 2. a) S˘ a se determine parametri reali a ¸si b, ¸stiind c˘a polinomul f se divide cu X − 1 ¸si c˘a f (−1) = 4. b) S˘ a se rezolve ˆın C ecuat¸ia g(x) = 0. c) S˘ a se rezolve ˆın R inecuat¸ia g(x) < 0. d) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia g(2x ) = 0.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : [0, ∞) → [0, ∞), f (x) = xπ . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ≥ 0. xπ − eπ · b) S˘ a se calculeze lim x→e x − e c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este convex˘ a pe [0, ∞).

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(3, 4), B(−5, 0), C(4, −3) ¸si O(0, 0). a) S˘ a se calculeze aria triunghiului ABC. b) S˘ a se verifice c˘ a OA = OB = OC. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia cercului care trece prin punctele A, B, C.

SUBIECTUL II 1. În mult¸imea permut˘ arilor cu cinci elemente S5 se consider˘a permut˘arile σ = 1 2 3 4 5 ¸si e = . 1 2 3 4 5

1 2

2 3

3 1

5 1 ,τ = 4 2

4 5

2 1

3 4

4 5

a) S˘ a se determine num˘ arul de inversiuni ale permut˘arii σ. b) S˘ a se calculeze σ · τ ¸si τ · σ. c) S˘ a se rezolve ˆın S5 ecuat¸ia x · σ = τ . Z 2.

x

Se consider˘ a funct¸iile fn : R → R, n ∈ N, unde f0 (x) = x + 1, (∀) x ∈ R ¸si fn+1 (x) =

fn (t) dt, (∀) n ∈ N ¸si −1

x ∈ R. a) S˘ a se verifice c˘ a f1 (x) =

(x + 1)2 , (∀) x ∈ R. 2!

b) Utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, s˘a se arate c˘a fn (x) =

(x + 1)n+1 , (∀) n ∈ N ¸si x ∈ R. (n + 1)!

c) S˘ a se calculeze lim fn (1). n→∞

SUBIECTUL III În mult¸imea matricelor M2 (R) se consider˘ a submult¸imea G = a) S˘ a se verifice c˘ a matricea I2 =

1 0

0 ∈ G. 1

b) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A, B ∈ G, atunci A · B ∈ G. 53

a b a ∈ (0, ∞), b ∈ R . 0 1

5 3

c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A ∈ G, atunci exist˘ a B ∈ G, astfel ˆıncât A · B = B · A = I2 . d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a matrice A, B ∈ G pentru care A · B 6= B · A. e) S˘ a se demonstreze c˘ a, pentru orice matrice A ∈ G ¸si (∀) n ∈ N∗ , exist˘a o matrice X ∈ G, astfel ˆıncât X n = A. SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) =

√

1 + x2 .

a) S˘ a se determine asimptota spre +∞ la graficul funct¸iei f . b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f 0 este strict cresc˘ atoare. n 1 1 2 . d) S˘ a se calculeze lim f +f + ... + f n→∞ n n n n e) Utilizˆ and teorema lui Lagrange, s˘ a se arate c˘a pentru (∀) n ∈ N∗ ¸si k ∈ {1, 2, . . . , n}, avem inegalit˘a¸tile k k k k k−1 k−1 k f0 ≤ f (x) − f ≤ x− f0 , (∀) x ∈ . x− , n n n n n n n

54

Varianta 2

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinoamele cu coeficient¸i reali f = X 3 + aX + b ¸si g = X 3 − 3X − 2. a) S˘ a se determine parametri reali a ¸si b, ¸stiind c˘a polinomul f are r˘ad˘acina dubl˘a x = −1. b) S˘ a se rezolve ˆın C ecuat¸ia g(x) = 0. c) S˘ a se rezolve ˆın R inecuat¸ia g(x) > 0. d) S˘ a se rezolve ˆın (0, ∞) ecuat¸ia g(log2 x) = 0.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = π x . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. πx − πe b) S˘ a se calculeze lim · x→e x − e c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este convex˘ a pe R. Z 1 d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a cercul C de ecuat¸ie x2 + y 2 = 25. a) S˘ a se verifice c˘ a punctul A(3, 4) se afl˘ a pe cercul C . b) S˘ a se scrie ecuat¸ia tangentei la cercul C care trece prin punctul A(3, 4). c) S˘ a se calculeze aria triunghiului format de axele de coordonate ¸si tangenta la cerc care trece prin punctul A(3, 4).

SUBIECTUL II 1.

a) S˘ a se arate c˘ a pentru orice numere reale a, b, c, d este adev˘arat˘a identitatea 2 (a − b) + (b − c)2 + (c − d)2 + (d − a)2 = 2(a2 + b2 + c2 + d2 − ab − bc − cd − da). b) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a a, b, c, d ∈ R ¸si a2 + b2 + c2 + d2 = ab + bc + cd + da, atunci a = b = c = d. c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia 4x + 9x + 25x + 49x = 6x + 15x + 35x + 14x , x ∈ R.

2.

Se consider˘ a funct¸iile f, g : [0, ∞) → R, f (x) = x2n − nxn+1 + nxn−1 − 1, g(x) = 2xn+1 − (n + 1)x2 + n − 1, unde n ∈ N, n ≥ 2. a) S˘ a se verifice c˘ a f 0 (x) = nxn−2 g(x), x ≥ 0. b) S˘ a se calculeze g 0 (x), x ≥ 0. c) S˘ a se arate c˘ a g(x) ≥ 0, (∀) x ≥ 0. 1 1 d) S˘ a se arate c˘ a xn − n ≥ n x − , (∀) x ≥ 1, n ∈ N∗ , n ≥ 2. x x

SUBIECTUL III   ˆ1 În mult¸imea M3 (Z2 ) se consider˘ a submult¸imea G = ˆ0  ˆ 0

a ˆ ˆ1 ˆ0

   ˆb ˆ1  ˆ   ˆ ˆ, b, cˆ ∈ Z2 ¸si matricea I3 = 0 cˆ a  ˆ0 ˆ1

a) S˘ a se verifice c˘ a I3 ∈ G. b) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A, B ∈ G, atunci A · B ∈ G. c) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a A ∈ G, atunci exist˘a B ∈ G, astfel ˆıncât A · B = I3 . d) S˘ a se calculeze num˘ arul de elemente ale mult¸imii G. e) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a matrice A, B ∈ G pentru care A · B 6= B · A. 55

ˆ 0 ˆ 1 ˆ 0

 ˆ 0 ˆ 0. ˆ 1

f ) S˘ a se arate c˘ a, oricare ar fi matricea A ∈ G, avem A4 = I3 . SUBIECTUL IV Z Se consider˘ a ¸sirul (In )n∈N∗ definit prin In =

1

(x − x2 )n dx, (∀) n ∈ N∗ .

0

a) S˘ a se calculeze I1 . b) S˘ a se arate c˘ a 0 ≤ x − x2 ≤

1 , (∀) x ∈ [0, 1]. 4

c) S˘ a se deduc˘ a inegalit˘ a¸tile 0 ≤ In ≤

1 , (∀) n ∈ N∗ . 4n

d) Utilizˆ and metoda integr˘ arii prin p˘ art¸i, s˘ a se arate c˘a In = e) S˘ a se arate c˘ a0<

2 4 2n · · ... · < 3 5 2n + 1

r

1 2n · · In−1 , (∀) n ∈ N, n ≥ 2. 4 2n + 1

3 , (∀) n ∈ N∗ . 2n + 3

f ) S˘ a se arate c˘ a lim 4n In = 0. n→∞

56

Varianta 3

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − X 2 + X − 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ C. a) S˘ a se determine x1 , x2 , x3 . b) S˘ a se arate c˘ a x2001 + x2001 + x2001 este un num˘ar ˆıntreg. 1 2 3 c) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (2x ) = 0, x ∈ R.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ln(x2 + 1). a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. ln(x2 + 1) − ln(π 2 + 1) · x→π x−π c) S˘ a se determine intervalele de concavitate ¸si de convexitate ale funct¸iei f . Z 1 f (x) dx, x ∈ R. d) S˘ a se calculeze b) S˘ a se calculeze lim

−1

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a cercul C de ecuat¸ie x2 + y 2 = 100. a) S˘ a se verifice c˘ a punctul A(6, 8) se afl˘ a pe cercul C . b) S˘ a se scrie ecuat¸ia tangentei la cercul C care trece prin punctul A(6, 8). c) S˘ a se calculeze aria triunghiului format de axele de coordonate ¸si tangenta la cerc care trece prin punctul A(6, 8).

SUBIECTUL II 1. În mult¸imea numerelor complexe se consider˘a submult¸imea G = {z = a + ib | a, b ∈ Q, a2 + b2 = 1}. a) S˘ a se verifice c˘ a 1 ∈ G. b) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a z, w ∈ G, atunci z · w ∈ G. 1 c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a z ∈ G, atunci ∈ G. z d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a un element z ∈ G, z = a + ib, astfel ˆıncât a ∈ Q\Z. 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) =

2x+1 + 3x+1 · 2x + 3 x

a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se determine asimptotele la graficul funct¸iei f . c) S˘ a se demonstreze c˘ a funct¸ia f este strict cresc˘atoare pe R. d) S˘ a se arate c˘ a 2 < f (x) < 3, (∀) x ∈ R.

SUBIECTUL III

Se consider˘ a  0 O3 = 0 0

0 0 0

  x + 2y + 3z = 0 sistemul 2x + 3y + 4z = 0   3x + 4y + 5z = 0  0 0. 0



1 . Not˘am cu A matricea sistemului, cu I3 = 0 0

a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. b) S˘ a se rezolve sistemul. c) S˘ a se arate c˘ a An 6= I3 , (∀) n ∈ N∗ . 57

0 1 0

 0 0 ¸si cu 1

d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o matrice B ∈ M3 (R), B 6= O3 , pentru care A · B = O3 . e) S˘ a se arate c˘ a pentru orice r ∈ Q\Z avem det(A + rI3 ) 6= o. SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸iile f, g : R → R, f (x) = 1 + x + x2 + . . . + x2001 ¸si g(x) = 2001x2002 − 2002x2001 + 1. a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = b) S˘ a se arate c˘ a f 0 (x) =

x2002 − 1 , (∀) x ∈ R, x 6= 1. x−1

g(x) , (∀) x ∈ R, x 6= 1. (x − 1)2

c) S˘ a se calculeze g 0 (x), x ∈ R. d) S˘ a se arate c˘ a g(x) > 0, (∀) x ∈ R, x 6= 1. e) S˘ a se demonstreze c˘ a funct¸ia f este bijectiv˘a. Z f ) Not˘ am cu h : R → R inversa funct¸iei f . S˘ a se calculeze

h(x) dx. 1

58

2002

SESIUNEA AUGUST

Varianta 1 Profilurile economic, fizic˘ a-chimie, chimie-biologie ¸si militar real

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 + 2X 2 − 5X − 6. a) S˘ a se calculeze f (−1). b) S˘ a se rezolve ˆın C ecuat¸ia f (x) = 0. c) S˘ a se rezolve ˆın R inecuat¸ia f (x) ≥ 0. d) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia f (2x ) = 0.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = 2x . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. 2x − 2π b) S˘ a se calculeze lim · x→π x − π c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este convex˘ a pe R. Z 1 d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 1), B(−1, −1) ¸si C(1, −1). a) S˘ a se calculeze perimetrul triunghiului ABC. b) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AB. c) S˘ a se calculeze panta dreptei BC.

SUBIECTUL II 1.

Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = 2xy − 6x − 6y + 21. a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ y = 2(x − 3)(y − 3) + 3, (∀) x, y ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a elemente x, y ∈ Q\Z pentru care x ◦ y ∈ Z. d) S˘ a se rezolve ecuat¸ia x ◦ x ◦ x ◦ x ◦ x = 3, x ∈ R.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R\{1} → R, f (x) =

x2 + x + 2 · x−1

4 , (∀) x ∈ R\{1}. x−1 b) S˘ a se determine asimptotele la graficul funct¸iei f . Z x 1 c) S˘ a se calculeze lim 2 f (t) dt. x→∞ x 2 a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = x + 2 +

SUBIECTUL III   3 Se consider˘ a matricele X = 2, Y = 1 5 matricea B = aA + I3 .

1

 3 −1 , A = 2 5

a) S˘ a se calculeze A − XY . b) S˘ a se calculeze A2 . 59

3 2 5

  −3 1 −2, I3 = 0 −5 0

0 1 0

 0 0. Pentru a ∈ R definim 1

c) S˘ a se arate c˘ a 2B − B 2 = I3 . d) S˘ a se arate c˘ a matricea B este inversabil˘ a ¸si s˘a se calculeze inversa sa. e) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a B n = I3 + anA, (∀) n ∈ N∗ . SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸iile f, g : [0, ∞) → R, f (x) = ln(x + 1) − ln x ¸si g(x) = f (x) + a) S˘ a se calculeze f 0 (x) ¸si g 0 (x), x ∈ [0, ∞). b) S˘ a se calculeze f (0), g(0), f 0 (0) ¸si g 0 (0). c) S˘ a se arate c˘ a f 0 (x) < 0 ¸si g 0 (x) >, (∀) x > 0. d) S˘ a se deduc˘ a inegalitatea f (x) < 0 ¸si g(x) > 0, (∀) x > 0. Z 1 e) S˘ a se calculeze lim ln n ln(1 + xn ) dx. n→∞

0

60

x2 · 2

Varianta 2

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. a) S˘ a se verifice c˘ a f = (X 2 + 1)(X 2 + X + 1). b) S˘ a se arate c˘ a polinomul f nu are r˘ ad˘ acini reale. 3 c) S˘ a se arate c˘ a f (x) ≥ , (∀) x ∈ R. 4 d) S˘ a se calculeze S = x21 + x22 + x23 + x24 .

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : (0, ∞) → (0, ∞), f (x) = xe . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x > 0. xe − π e · b) S˘ a se calculeze lim x→π x − π c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este convex˘ a pe (0, ∞). Z 2 d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 1

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele An (n, −n), n ∈ N. a) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei A0 A1 . b) S˘ a se verifice c˘ a punctul An se afl˘ a pe dreapta A0 A1 , (∀) n ∈ N. c) S˘ a se calculeze lungimea segmentului An An+1 .

SUBIECTUL II

1.

  x + 2y + 3z = 0 Se consider˘ a sistemul 2x + 3y + 4z = 0   3x + 4y + 5z = 0

. Not˘am cu A matricea sistemului.

a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. b) S˘ a se rezolve sistemul. c) S˘ a se determine acele solut¸ii (x0 , y0 , z0 ) ale sistemului pentru care x20 + y02 + z02 = 6. 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (2x + 3x )(2−x + 3−x ). a) S˘ a se verifice c˘ a f (−x) = f (x), (∀) x ∈ R. b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. c) S˘ a se arate c˘ a f (x) ≥ f (0), (∀) x ∈ R. Z x 1 f (t) dt. d) S˘ a se arate c˘ a lim x→∞ f (x) 0 SUBIECTUL III

Se consider˘ a mult¸imea M2,1 (Z) ¸si matricea A = a1 f (x) = Ax, unde x = ∈ M2,1 (Z). a2

a c

b ∈ M2 (Z). Definim funct¸ia f : M2,1 (Z) → M2,1 (Z) prin d

a) S˘ a se verifice c˘ a f (x + y) = f (x) + f (y), (∀) x, y ∈ M2,1 (Z). b) S˘ a verifice c˘ a f (λx) = λf (x), (∀) x ∈ M2,1 (Z) ¸si λ ∈ Z. c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a det(A) 6= 0, atunci funct¸ia f este injectiv˘a. d) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a det(A) ∈ {1, −1}, atunci funct¸ia f este bijectiv˘a. 61

e) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a funct¸ia f este bijectiv˘ a, atunci det(A) ∈ {1, −1}.

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (x − 1)(x − 2) . . . (x − 5). a) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia f (x) = 0. b) Utilizˆ and teorema lui Rolle, s˘ a se arate c˘ a f 0 are patru r˘ad˘acini reale, distincte, situate ˆın intervalele (1, 2), (2, 3), (3, 4) ¸si (4, 5). f 0 (x) 1 1 1 = + + ... + , (∀) x ∈ R − A, unde A = {1, 2, 3, 4, 5}. f (x) x−1 x−2 x−5 1 1 f 00 (x)f (x) − (f 0 (x))2 d) Derivˆ and identitatea de la punctul c), s˘ a se arate c˘a + ... + , =− f 2 (x) (x − 1)2 (x − 5)2 c) S˘ a se verifice identitatea

(∀) x ∈ R − A. e) S˘ a se arate c˘ a (f 0 (x))2 > f (x)f 00 (x), (∀) x ∈ R.

62

Varianta 3

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − 2X 2 + X − 2. a) S˘ a se calculeze f (2). b) S˘ a se rezolve ˆın C ecuat¸ia f (x) = 0. c) S˘ a se rezolve ˆın R inecuat¸ia f (x) > 0. d) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia f (2x ) = 0.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = ln x. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x > 0. ln x − ln π b) S˘ a se calculeze lim · x→π x−π c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este concav˘ a pe (0, ∞). Z e f (x) dx. d) S˘ a se calculeze 1

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 1), B(−1, −1) ¸si C(4, 5). a) S˘ a se calculeze perimetrul triunghiului ABC. b) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AB. c) S˘ a se calculeze panta dreptei AC.

SUBIECTUL II 1.

Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = x + y + 11. a) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a elemente a, a ∈ Q\Z pentru care a ◦ b ∈ Z. c) S˘ a se determine cel mai mic num˘ ar natural nenul n, pentru care 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ n > 2001. d) S˘ a se determine cel mai mare num˘ ar natural n, pentru care 2 ◦ 22 ◦ . . . ◦ 2n < 2001.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 . x5 − 1 , (∀) x ∈ R\{1}. x−1 b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) =

c) S˘ a se arate c˘ a f (x) > 0, (∀) x ∈ R. Z x 1 d) S˘ a se calculeze lim 5 f (t) dt. x→∞ x 0 SUBIECTUL III  2 În mult¸imea M3 (R) se consider˘ a matricele A = 2 2

3 3 3

  −5 1 −5, I3 = 0 −5 0

0 1 0

 0 0 ¸si B = I3 + aA, unde a ∈ R. 1

a) S˘ a se calculeze A2 . b) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. c) S˘ a se verifice c˘ a 2B − B 2 = I3 . d) S˘ a se arate c˘ a matricea B este inversabil˘ a ¸si s˘a se determine inversa ei. e) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a B n = I3 + naA, (∀) n ∈ N∗ . 63

SUBIECTUL IV Z Se consider˘ a ¸sirul (In )n∈N∗ , definit prin In =

1

(1 − x2 )n dx, (∀) n ∈ N∗ .

0

a) S˘ a se calculeze I1 . b) S˘ a se arate c˘ a (1 − x2 )n ≥ (1 − x2 )n+1 , (∀) n ∈ N∗ , (∀) x ∈ [0, 1]. c) S˘ a se deduc˘ a inegalitatea In+1 ≤ In , (∀) n ∈ N∗ . d) S˘ a se arate c˘ a ¸sirul (In )n∈N∗ este convergent. e) S˘ a se arate c˘ a In =

2n In−1 , (∀) n ∈ N, n ≥ 2. 2n + 1

f ) S˘ a se calculeze lim In . n→∞

64

SESIUNEA AUGUST

Varianta 1 Profilurile industrial, agricol, silvic ¸si sportiv real

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = X 2 + aX + b ¸si polinomul g = X 2 + X + 1, cu r˘ad˘acinile x1 , x2 ∈ C. a) S˘ a se determine parametri reali a ¸si b, ¸stiind c˘a polinomul f ˆımp˘art¸it la X − 1 d˘a restul 3 ¸si f (−1) = 1. b) S˘ a se calculeze x31 + x32 . c) S˘ a se rezolve ˆın R inecuat¸ia g(x) < 3. d) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia g(2x ) = 3.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = 2−x + x. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R.

√

2−x + x − 2− 2 − √ b) S˘ a se calculeze lim √ x− 2 x→ 2 Z 1 c) S˘ a se arate c˘ a f (x) dx.

√

2

·

0

d) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este convex˘ a pe R. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 1), B(2, 2) ¸si C(π, π). a) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AB. b) S˘ a se arate c˘ a punctul C se afl˘ a pe dreapta AB. c) S˘ a se calculeze lungimea segmentului AB.

SUBIECTUL II 

1.

2 Se consider˘ a matricele A = 3 5

2 3 5

  2 1 3 ¸si I3 = 0 5 0

0 1 0

 0 0. 1

a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. b) S˘ a se arate c˘ a A2 = 10A. c) S˘ a se arate c˘ a A2001 6= I3 . 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 . x5 − 1 , (∀) x ∈ R\{1}. x−1 b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) =

c) S˘ a se arate c˘ a f (x) > 0, (∀) x ∈ R. Z x 1 d) S˘ a se calculeze lim 5 f (t) dt. x→∞ x 0 SUBIECTUL III Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = x + y − 1. a) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se determine num˘ arul real e astfel ˆıncˆ at x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R. 65

c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a elemente a, b ∈ Q\Z pentru care a ◦ b ∈ Z. d) S˘ a se determine cel mai mic num˘ ar natural nenul n, pentru care 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ n > 2001. e) S˘ a se determine cel mai mare num˘ ar natural nenul n, pentru care 2 ◦ 22 ◦ . . . ◦ 2n < 2001.

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : [0, ∞) → R, f (x) = a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = 3 −

x x+1 x+2 + + · x+1 x+2 x+3

1 1 1 − − , (∀) x ≥ 0. x+1 x+2 x+3

b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ≥ 0. c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este strict cresc˘ atoare pe [0, ∞). d) S˘ a se determine asimptota orizontal˘ a spre +∞ la graficul funct¸iei f . Z 1 xn f (x) dx. e) S˘ a se calculeze lim n→∞

0

Z f ) S˘ a se calculeze lim ln n · n→∞

1

xn f (x) dx .

0

66

Varianta 2

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 + X + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. 2 2 1 1 1 a) S˘ a se verifice c˘ a f (X) = X 2 − + X+ + · 2 2 2 1 b) S˘ a se arate c˘ a f (x) > , (∀) x ∈ R. 2 c) S˘ a se calculeze S = x1 + x2 + x3 + x4 ¸si T = x21 + x22 + x23 + x24 .

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = log3 x. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ (0, ∞). log3 x − log3 3 b) S˘ a se calculeze lim · x→3 x−3 Z 3 c) S˘ a se calculeze f (x) dx. 1

d) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este concav˘ a pe R. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(3, 4), B(4, 3) ¸si C(−3, −4). a) S˘ a se calculeze perimetrul triunghiului ABC. b) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AC. c) S˘ a se calculeze panta dreptei AB.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 + 2x. a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = (x + 1)2 − 1, (∀) x ∈ R. b) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia (f ◦ f )(x) = 0. n

c) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a (f ◦ f ◦ . . . ◦ f )(x) = (x+1)2 −1, (∀) n ∈ N∗ {z } | de n ori

¸si x ∈ R. 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x + e3x + 2. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este strict cresc˘atoare. c) S˘ a se determine asimptota spre −∞ la graficul funct¸iei f .

SUBIECTUL III În mult¸imea M2 (Z) se consider˘ a submult¸imea G =

a b

−b 1 a, b ∈ Z ¸si matricea I2 = a 0

a) S˘ a se verifice c˘ a I2 ∈ G. b) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A, B ∈ G, atunci a · B ∈ G. c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A, B ∈ G, atunci det(A · B) = det(A) · det(B). 0 0 d) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A ∈ G ¸si rang(A) < 2, atunci A = . 0 0 e) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A ∈ G este inversabil˘ a ¸si A−1 ∈ G, atunci det(A) = 1. f ) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A ∈ G ¸si det(A) = 1, atunci A4 = I2 . 67

0 . 1

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = 4 − x2 . a) S˘ a se verifice c˘ a f (−x) = f (x), (∀) x ∈ R. b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. c) S˘ a se determine a ∈ (−2, 2) cu proprietatea c˘a dreapta x = a desparte suprafat¸a plan˘a cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f ¸si axa Ox ˆın dou˘ a regiuni de arii egale. d) S˘ a se determine b ∈ (0, 4) cu proprietatea c˘a dreapta y = b desparte suprafat¸a plan˘a cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f ¸si axa Ox ˆın dou˘ a regiuni de arii egale. e) S˘ a se arate c˘ a dreptele x = a ¸si y = b, determinate anterior, despart suprafat¸a plan˘a cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f ¸si axa Ox ˆın patru regiuni de arii egale.

68

Varianta 3

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − X 2 − 3X − 1. a) S˘ a se determine restul ˆımp˘ art¸irii polinomului f la X + 1. b) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia f (x) = 0. c) S˘ a se rezolve ˆın R inecuat¸ia f (x) < 0. d) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia f (2x ) = 0.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2001 . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. x2001 − π 2001 · x→π x−π Z x f (t) dt. c) S˘ a se calculeze lim

b) S˘ a se calculeze lim

x→∞

−x

d) S˘ a se determine intervalele de convexitate ¸si de concavitate ale funct¸iei f . 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 2), B(3, 4) ¸si C(−1, −2). a) S˘ a se calculeze perimetrul triunghiului ABC. b) S˘ a se calculeze panta dreptei AB. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AC.

SUBIECTUL II 1.

a) S˘ a se verifice c˘ aa ˆ3 = a ˆ, (∀) a ˆ ∈ Z6 . În inelul Z6 se consider˘ a Sk = ˆ 1k + ˆ 2k + ˆ3k + ˆ4k + ˆ5k , (∀) k ∈ N∗ . b) S˘ a se calculeze S1 ¸si S2 . c) S˘ a se calculeze S2001 .

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (5x + 3x )(5−x + 3−x ). x −x 5 5 a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = 2 + + , (∀) x ∈ R. 3 3 b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. c) S˘ a se arate c˘ a f (x) ≥ 4, (∀) x ∈ R. d) Utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, s˘a se demonstreze c˘a f (n) (x) = (∀) n ∈ N∗ ¸si x ∈ R.

SUBIECTUL III 1 Se consider˘ a matricele A = 0

5 1 ,B= −1 2

0 1 ¸si I2 = −1 0

0 . 1

a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. b) S˘ a se verifice c˘ a A2 = B 2 = I2 . c) S˘ a se arate c˘ a matricea B este inversabil˘ a ¸si s˘a se determine inversa ei. d) S˘ a se arate c˘ a A · B 6= B · A. e) S˘ a se calculeze A2001 . f ) S˘ a se arate c˘ a (∀) n ∈ N∗ , (B · A)n 6= I2 . 69

x x x x 5 5 3 3 ln + ln , 3 3 5 5

SUBIECTUL IV Z Se consider˘ a ¸sirul (In )n∈N∗ , definit prin In =

1

xn e−x dx, (∀) n ∈ N∗ .

0

a) S˘ a se calculeze I1 . 1 b) Utilizˆ and metoda integr˘ arii prin p˘ art¸i, s˘ a se arate c˘a In = − + nIn−1 , (∀) n ∈ N, n ≥ 2. e c) S˘ a se arate c˘ a

xn ≤ xn e−x ≤ xn , (∀) x ∈ [0, 1], (∀) n ∈ N∗ . e

d) S˘ a se deduc˘ a inegalit˘ a¸tile

1 1 ≤ In ≤ , (∀) n ∈ N∗ . (n + 1)e n+1

3

e) S˘ a se calculeze lim n π · In . n→∞

70

SESIUNEA AUGUST

Varianta 1 Profilul pedagogic

SUBIECTUL I 1.

Not˘ am cu A mult¸imea numerelor naturale care se termin˘a cu cifra 2. a) S˘ a se arate c˘ a mult¸imea A nu cont¸ine niciun p˘atrat perfect. b) S˘ a se g˘ aseasc˘ a un element din mult¸imea A care este cub perfect. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o submult¸ime infinit˘ a a mult¸imii A care nu cont¸ine niciun cub perfect.

2.

Num˘ arul 1000 se m˘ are¸ste cu 20% din valoarea sa ¸si se obt¸ine num˘arul a. Num˘arul a se miçsoreaz˘a cu 20% din valoarea sa ¸si se obt¸ine num˘ arul b. Num˘ arul 1000 se miçsoreaz˘a cu 20% din valoarea sa ¸si se obt¸ine num˘ arul c. Num˘ arul c se m˘ are¸ste cu 20% din valoarea sa ¸si se obt¸ine num˘arul d. a) S˘ a se calculeze a ¸si b. b) S˘ a se calculeze c ¸si d. c) S˘ a se calculeze b − d.

3.

Scrierea zecimal˘ a a num˘ arului

17 este 0, a1 a2 . . . an . . .. 909

a) S˘ a se determine cifrele a1 ¸si a2 . b) S˘ a se determine cifra a2001 . c) S˘ a se calculeze S = a1 + a2 + . . . + a2001 .

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a matricea A =

1 2

1 . 2

a) S˘ a se verifice c˘ a A2 = 3A. b) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. c) S˘ a se arate c˘ a matricea A − A2 + A3 − A4 + . . . + A99 − A100 are toate elementele strict negative. 2.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. a) S˘ a se determine a, b ∈ R astfel ˆıncˆ at f = (X 2 + aX + 1)(X 2 + bX + 1). b) S˘ a se arate c˘ a polinomul f nu are r˘ ad˘ acini reale. c) S˘ a se calculeze S = x1 + x2 + x3 + x4 ¸si T = x21 + x22 + x23 + x24 . d) S˘ a se arate c˘ a x51 + x52 + x53 + x54 = 4.

SUBIECTUL III 1.

Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = x + y + 2. a) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se determine num˘ arul real e astfel ˆıncât x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a elemente a, b ∈ Q\Z pentru care a ◦ b ∈ Z. d) S˘ a se determine cel mai mic num˘ ar natural nenul n, pentru care 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ n < 2001. e) S˘ a se determine cel mai mare num˘ ar natural nenul n, pentru care 3 ◦ 32 ◦ . . . ◦ 3n > 2001.

2.

S˘ a se arate c˘ a 5 divide num˘ arul k 2 − k, (∀) k ∈ Z.

71

SUBIECTUL IV Piramida triunghiular˘ a regulat˘ a ABCD are cele ¸sase muchii egale cu a. a) S˘ a se calculeze aria total˘ a a piramidei. b) S˘ a se calculeze volumul piramidei. c) Fie un punct M situat pe ˆın˘ alt¸imea din vˆ arful A a piramidei. S˘a se determine lungimea segmentului AM , ¸stiind c˘ a AM = BM . d) S˘ a se arate c˘ a muchia AB este perpendicular˘a pe muchia CD. e) Fie punctul E situat ˆın interiorul triunghiului BCD. S˘a se arate c˘a AE < AB.

72

Varianta 2

SUBIECTUL I 1.

2.

1 1 1 + + · 2 3 6 1 1 1 1 b) S˘ a se calculeze + + + · 2 4 6 12 c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a cinci numere naturale nenule ¸si distincte astfel ˆıncât suma inverselor lor s˘a dea 1. a) S˘ a se calculeze

La un turneu de tenis particip˘ a 2001 de sportivi. Înaintea fiec˘arui tur, juc˘atorii r˘ama¸si ˆın turneu se ˆımpart ˆın grupe de cˆ ate doi, care joac˘ a ˆıntre ei. Dac˘a num˘arul de juc˘atori este impar, atunci un juc˘ator trece ˆın turul urm˘ ator f˘ ar˘ a s˘ a joace. Dup˘ a fiecare meci ˆıntre doi juc˘atori, cel ˆınvins p˘ar˘ase¸ste turneul. Turneul se termin˘ a cˆ and a r˘ amas un singur juc˘ ator. a) S˘ a se afle cˆ ate meciuri au fost ˆın primul tur. b) S˘ a se afle cˆ a¸ti juc˘ atori au p˘ ar˘ asit turneul dup˘a primele trei tururi. c) S˘ a se afle cˆ ate meciuri s-au jucat ˆın tot turneul.

3.

Se consider˘ a num˘ arul A = 30 + 31 + 32 + . . . + 3395 . S˘a se arate c˘a: a) A este un num˘ ar natural par. b) A este divizibil cu 13. c) A este divizibil cu 40.

SUBIECTUL II 1.

Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = −xy + x + y. a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ y = −(x − 1)(y − 1) + 1, (∀) x, y ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. c) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia 2x ◦ 3x ◦ 5x = 1.

2.

a) S˘ a se verifice c˘ aa ˆ3 = ˆ 3, (∀) a ˆ ∈ Z6 . b) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a a ˆ2n+1 = a ˆ, (∀) n ∈ N∗ , (∀) a ˆ ∈ Z6 . 2001 2001 2001 2001 2001 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ c) S˘ a se calculeze 1 +2 +3 +4 +5 , ˆın inelul Z6 .

SUBIECTUL III 1.

1 Se consider˘ a matricele A = 2

0 1 ,B= −1 0

2 1 ¸si I2 = −1 0

0 . 1

a) S˘ a se verifice c˘ a A2 = B 2 = I2 . b) S˘ a se arate c˘ a matricea A este inversabil˘a ¸si s˘a se calculeze inversa ei. c) S˘ a se arate c˘ a A · B 6= B · A d) S˘ a se calculeze A2001 . e) S˘ a se arate c˘ a (∀) n ∈ N∗ , (A · B)n 6= I2 . 2.

a) S˘ a se verifice identitatea 0

1

n−1

2

(1 − x)(1 + x2 )(1 + x2 )(1 + x2 ) . . . (1 + x2 n

n

) = 1 − x2 , (∀) x ∈ R, n ∈ N.

p

b) S˘ a se arate c˘ a numerele 22 + 1 ¸si 22 + 1 sunt prime ˆıntre ele, unde n, p ∈ N∗ , n 6= p.

SUBIECTUL IV Cubul ABCDA0 B 0 C 0 D0 are muchia de lungime a. a) S˘ a se calculeze aria total˘ a a cubului. 73

b) S˘ a se calculeze volumul cubului. c) S˘ a se calculeze lungimea segmentului AC 0 . d) S˘ a se calculeze m˘ asura unghiului dintre dreptele AC ¸si AD0 . e) Se consider˘ a un punct M pe fat¸a A0 B 0 C 0 D0 a cubului. S˘a se calculeze lungimea minim˘a ¸si lungimea maxim˘ aa segmentului AM .

74

Varianta 3

SUBIECTUL I 1.

Un elev are de rezolvat o tem˘ a de vacant¸˘ a care cont¸ine 400 de probleme. În prima zi elevul rezolv˘a o problem˘ a, ˆın a doua zi elevul rezolv˘ a trei probleme, ... , ˆın a n-a zi elevul rezolv˘a 2n − 1 probleme. a) S˘ a se afle cˆ ate probleme a rezolvat elevul dup˘a primele trei zile de lucru. b) S˘ a se afle cˆ ate probleme a rezolvat elevul ˆın a patra zi ¸si ˆın ziua a 5-a, ˆın total. c) S˘ a se afle dup˘ a cˆ ate zile termin˘ a elevul tema de vacant¸˘a.

2.

Not˘ am cu A mult¸imea numerelor de 4 cifre care se pot forma utilizând numai cifrele 5 ¸si 6. a) Cˆ ate elemente are mult¸imea A? b) S˘ a se afle suma elementelor mult¸imii A. c) Cˆ ate elemente din mult¸imea A sunt numere pare?

3.

Se consider˘ a numerele a = 1 · 2 · 3 · . . . · 20, b = 21 · 22 · 23 · . . . · 40 ¸si c = 41 · 42 · 43 · . . . · 60. a) S˘ a se demonstreze c˘ a num˘ arul a nu este p˘atrat perfect. b) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul a divide num˘ arul b. c) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul b nu divide num˘arul c.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 5 X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ C. a) S˘ a se verifice c˘ a f = (X 3 + 1)(X 2 + X + 1). b) S˘ a se calculeze S = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ¸si T = x21 + x22 + x23 + x24 + x25 .

2.

c) S˘ a se arate c˘ a x61 + x62 + x63 + x64 + x65 = 5. a b a, b, c, d ∈ Z ¸ s i abcd = 1 . Se consider˘ a mult¸imea M = c d a) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A ∈ M , atunci det(A) = 0. b) S˘ a se verifice c˘ a dac˘ a A ∈ M , atunci −A ∈ M . c) S˘ a se determine num˘ arul de elemente al mult¸imii M .

SUBIECTUL III 1. În mult¸imea M2 (Q) se consider˘ a submult¸imea G =

a b

−b 1 a, b ∈ Q ¸ s i matricea I = 2 a 0

a) S˘ a se verifice c˘ a I2 ∈ G. b) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A, B ∈ G, atunci A · B ∈ G. 0 0 . c) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A ∈ G ¸si rang(A) < 2, atunci A = 0 0 a −b d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o matrice A ∈ G, A = cu a, b ∈ Q\Z ¸si det(A) = 1. b a 2.

a) S˘ a se arate c˘ a exist˘ a a, b ∈ Z, astfel ˆıncât a2 + b2 = 29. b) S˘ a se arate c˘ a nu exist˘ a a, b ∈ Z, astfel ˆıncât a2 + b2 = 2003.

SUBIECTUL IV Piramida patrulater˘ a regulat˘ a cu vˆ arful V ¸si baza ABCD are V A = AB = a. 75

0 . 1

a) S˘ a se calculeze aria lateral˘ a a piramidei. b) S˘ a se calculeze ˆın˘ alt¸imea piramidei. c) S˘ a se calculeze volumul piramidei. d) S˘ a se arate c˘ a muchiile V A ¸si V C sunt perpendiculare. e) Fie punctul P situat ˆın interiorul p˘ atratului ABCD. S˘a se arate c˘a segmentul V P are lungimea mai mic˘ a decˆ at lungimea segmentului V C.

76

SESIUNEA AUGUST

Varianta 1 Profilul uman

SUBIECTUL I 1.

a Se consider˘ a determinantul d = c b

b c a b , a, b, c ∈ R. c a

a) Dezvoltˆ and determinantul d, s˘ a se arate c˘a d = a3 + b3 + c3 − 3abc. b) Utilizˆ and propriet˘ a¸tile determinant¸ilor, s˘a se arate c˘a d = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca). 1 c) S˘ a se demonstreze identitatea a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 . 2 d) S˘ a se rezolve ecuat¸ia 8x + 27x + 125x = 3 · 30x , x ∈ R. 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) =

1 · x2 + 1

a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. 1 1 1 − . b) S˘ a se calculeze lim x→π x − π x2 + 1 π 2 + 1 c) S˘ a se calculeze f 00 (x), x ∈ R. d) S˘ a se determine punctele de inflexiune ale graficului funct¸iei f . Z 1 e) S˘ a se calculeze f (x) dx. −1

SUBIECTUL II Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = x + y + 5. a) S˘ a se arate c˘ a S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se determine num˘ arul real e pentru care x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R. c) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia (x + 1) ◦ (x2 + 2) = 14. d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a elemente a, b ∈ Q\Z astfel ˆıncât a ◦ b ∈ Z. e) S˘ a se determine cel mai mic num˘ ar natural nenul n pentru care 1 ◦ 2 ◦ 2 ◦ . . . ◦ n > 2001.

SUBIECTUL III Se consider˘ a funct¸ia f : R\{−1, −2} → R, f (x) =

x+1 x − · x+1 x+2

a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R\{−1, −2}. b) S˘ a se verifice c˘ a f (x) =

1 1 − , (∀) x ∈ R\{−1, −2}. x+1 x+2

c) S˘ a se determine asimptotele spre la graficul funct¸iei f . d) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este strict cresc˘ atoare pe [0, ∞). Z x e) S˘ a se calculeze lim f (t) dt. x→∞

0

f ) S˘ a se calculeze lim [f (1) + f (2) + . . . + f (n)]. n→∞

77

SUBIECTUL IV 1 Se consider˘ a matricele A = 5

0 1 ,B= −1 0

7 1 ¸si I2 = −1 0

a) S˘ a se verifice c˘ a A2 = B 2 = I2 . b) S˘ a se calculeze A2001 . c) S˘ a se arate c˘ a A · B 6= B · A. d) S˘ a se arate c˘ a (∀) n ∈ N∗ , (A · B)n 6= I2 . e) S˘ a se calculeze A + A2 + A3 + . . . + A2001 .

78

0 . 1

Varianta 2

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a matricele A =

1 3

0 1 ,B= −1 0

4 −1

¸si I2 =

1 0

0 . 1

a) S˘ a se verifice c˘ a A2 = B 2 = I2 . b) S˘ a se calculeze A2001 . c) S˘ a se arate c˘ a A · B 6= B · A. d) S˘ a se arate c˘ a (A · B)2001 6= I2 . e) S˘ a se calculeze A + A2 + A3 + . . . + A2001 . 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x3 − 3x. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R.

√ x3 − 3x + 2 √ b) S˘ a se calculeze lim · √ x− 2 x→ 2 c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f are un punct de maxim local ¸si un punct de minim local. d) S˘ a se determine punctul de inflexiune al graficului funct¸iei f . Z 1 f (x) dx. e) S˘ a se calculeze −1

SUBIECTUL II Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = x + y + 5. a) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se determine num˘ arul real e astfel ˆıncˆ at x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a elemente a, b ∈ Q\Z pentru care a ◦ b ∈ Z. d) S˘ a se determine cel mai mic num˘ ar natural nenul n, pentru care 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ n > 2001. e) S˘ a se determine cel mai mare num˘ ar natural nenul n, pentru care 2 ◦ 22 ◦ . . . ◦ 2n < 2001. SUBIECTUL III Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = 1 − x2 . a) S˘ a se verifice c˘ a f (−x) = f (x), (∀) x ∈ R. b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. c) S˘ a se calculeze aria suprafet¸ei plane cuprinse ˆıntre graficul funct¸iei f ¸si axa Ox. d) S˘ a se determine a ∈ (−1, 1) cu proprietatea c˘a dreapta x = a desparte suprafat¸a plan˘a cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f ¸si axa Ox ˆın dou˘ a regiuni de arii egale. e) S˘ a se determine b ∈ (0, 1) cu proprietatea c˘a dreapta y = b desparte suprafat¸a plan˘a cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f ¸si axa Ox ˆın dou˘ a regiuni de arii egale. SUBIECTUL IV Se consider˘ a polinomul f = (X + 1)20 + (X − 1)20 având forma algebric˘a f = a20 X 20 + a19 X 19 + . . . + a1 X + a0 . a) S˘ a se calculeze f (0). b) S˘ a se determine a20 , a19 ¸si a18 . 79

c) S˘ a se calculeze suma coeficient¸ilor polinomului f . d) S˘ a se arate c˘ a a11 = 0. e) Consider˘ am z = a + ib, a, b ∈ R, o r˘ ad˘ acin˘ a a polinomului f . S˘a se arate c˘a |z + 1| = |z − 1|. f ) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a z = a + ib, a, b ∈ R este o r˘ad˘acin˘a a polinomului f , atunci a = 0.

80

Varianta 3

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1. a) S˘ a se arate c˘ a polinomul f divide polinomul X 5 − 1. 2 2 1 1 1 2 b) S˘ a se verifice c˘ af= X + X + X + 1 + X 2. 2 2 2 c) S˘ a se arate c˘ a f (x) ≥ 0, (∀) x ∈ R. d) S˘ a se arate c˘ a polinomul f nu are r˘ ad˘ acini reale.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : [0, ∞) → R, f (x) =

x+ x + · x+1 x+2

1 1 − , (∀) x ∈ [0, ∞). x+1 x+2 b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = 2 −

c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este strict cresc˘atoare pe [0, ∞). d) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este concav˘ a pe [0, ∞). Z 1 e) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

SUBIECTUL II În mult¸imea M2 (Z5 ) se consider˘ a matricele A =

ˆ2 ˆ1

ˆ1 1ˆ ˆ2 ¸si I2 = ˆ0

0ˆ ˆ1 .

a) S˘ a se calculeze determinantul matricei A. b) S˘ a se calculeze A2 . c) S˘ a se determine cel mai mic num˘ ar natural nenul n pentru care An = I2 . d) S˘ a se calculeze A2001 . e) S˘ a se calculeze A + A2 + A3 + . . . + A2001 .

SUBIECTUL III Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) =

(x2

1 · + 1)(x2 + 2)

a) S˘ a se verifice c˘ a f (−x) = f (x), (∀) x ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a f (x) =

1 1 − , (∀) x ∈ R. x2 + 1 x2 + 2

c) S˘ a se determine asimptotele la graficul funct¸iei f . Z 1 d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

√ √ √ e) S˘ a se calculeze lim [f ( 1) + f ( 2) + . . . + f ( n)]. n→∞

SUBIECTUL IV √ Fie mult¸imea de numere reale M = {a + b 2 | a, b ∈ Z, a2 − 2b2 = 1}. √ √ a) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a a + b 2 = c + d 2, cu a, b, c, d numere ˆıntregi, atunci a = c ¸si b = d. 81

b) S˘ a se arate c˘ a 1 ∈ M. c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a z, w ∈ M , atunci z · w ∈ M . d) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a z ∈ M , atunci

1 ∈ M. z

√ e) S˘ a se g˘ aseasc˘ a un element a + b 2 ∈ M cu b 6= 0.

82

BACALAUREAT 2002 ˘ SESIUNEA SPECIALA

Proba D Profilurile matematic˘ a-fizic˘ a, informatic˘ a ¸si metrologie

SUBIECTUL I 1.

a) S˘ a se verifice c˘ a (ax + by + cz)2 + (ay − bx)2 + (az − cx)2 + (bz − cy)2 = (a2 + b2 + c2 )(x2 + y 2 + z 2 ), (∀) x, y, z, a, b, c, ∈ C. b) S˘ a se deduc˘ a inegalitatea (a2 + b2 + c2 )(x2 + y 2 + z 2 ) ≥ (ax + by + cz)2 , (∀) a, b, c, x, y, z ∈ R. c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a (a2 + b2 + c2 )(x2 + y 2 + z 2 ) = (ax + by + cz)2 , unde a, b, c, x, y, z ∈ R∗ , atunci x y z = = · a b c

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = 2002x + 2002−x . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este convex˘ a pe R. Z 1 c) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 1) ¸si B(2, 2), precum ¸si dreapta d : y = 3. a) S˘ a se calculeze lungimea segmentului AB. b) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AB. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a un punct C pe dreapta d, cu proprietatea c˘a aria triunghiului ABC este egal˘a cu 1.

SUBIECTUL II 1. În mult¸imea permut˘ arilor cu trei elemente S3 , se consider˘a permut˘arile σ = a) b) c) d) 2.

1 3

2 2

3 1 ¸si τ = 1 1

2 3

3 . 2

S˘ a se calculeze στ ¸si τ σ. S˘ a se determine num˘ arul de inversiuni al permut˘arii σ. S˘ a se rezolve ecuat¸ia σx = τ . S˘ a se arate c˘ a ˆın orice submult¸ime H a lui S3 care are 5 permut˘ari, g˘asim dou˘a permut˘ari x ¸si y cu proprietatea c˘ a xy 6= yx.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) ¸si mult¸imea A = {1, 2, 3, 4}. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) Utilizˆ and teorema lui Rolle pentru funct¸ia f , s˘a se arate c˘a funct¸ia f 0 are câte o r˘ad˘acin˘a ˆın intervalele (1, 2), (2, 3) ¸si (3, 4). 1 1 1 1 f 0 (x) = + + + , (∀) x ∈ R\A. c) S˘ a se arate c˘ a f (x) x−1 x−2 x−3 x−4 d) Derivˆ and egalitatea de la punctul c), s˘a se arate c˘a (f 0 (x))2 > f (x)f 00 (x), (∀) x ∈ R\A.

SUBIECTUL III Se consider˘ a un num˘ ar prim p ≥ 3, iar ˆın corpul Zp se consider˘a submult¸imea G = Zp − {ˆ0}. Pentru un element a ˆ ∈ G, definim funct¸ia f : G → G, f (ˆ x) = a ˆ·x ˆ. a) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ ax ˆ, yˆ ∈ G, atunci x ˆ · yˆ ∈ G. b) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este injectiv˘ a. c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este bijectiv˘ a. 1

d) Din egalitatea ˆ 1·ˆ 2 · . . . · (p[ − 1) = f (ˆ 1) · f (ˆ2) · . . . · f (p[ − 1), s˘a se deduc˘a relat¸ia a ˆp−1 = ˆ1, (∀) a ˆ ∈ G. e) Consider˘ am polinoamele g, h ∈ Zp [X], definite prin g = X p−1 − ˆ1, h = (X − ˆ1)(X − ˆ2) . . . (X − (p[ − 1)). S˘ a se arate c˘ a g(ˆ x) = h(ˆ x) = ˆ 0, (∀) x ˆ ∈ G. f ) S˘ a se arate c˘ aˆ 1·ˆ 2 · . . . · (p[ − 1) + ˆ 1 = ˆ0.

SUBIECTUL IV Z

π 2

Z dx, In =

Se consider˘ a ¸sirul (In )n≥1 , definit prin I0 = 0

π 2

sinn x dx, n ≥ 1.

0

a) S˘ a se calculeze I0 ¸si I1 . b) Utilizˆ and metoda integr˘ arii prin p˘ art¸i, s˘a se arate c˘a In = c) Utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, s˘a se arate c˘a I2n Se consider˘ a cunoscut c˘ a I2n+1 = d) S˘ a se arate c˘ a1≤

2 4 2n 1 · · ... · · , (∀) n ∈ N∗ . 1 3 2n − 1 2n + 1

In n+1 ≤ , (∀) n ∈ N∗ . In+1 n

Se consider˘ a ¸sirul (wn )n≥1 , definit prin wn =

2n − 1 √ 1 3 · · ... · · 2n + 1, (∀) n ∈ N∗ . 2 4 2n

π = (wn )2 · , (∀) n ∈ N∗ . I2n+1 2 r 2 f ) S˘ a se arate c˘ a lim wn = . n→∞ π

e) S˘ a se verifice c˘ a

n−1 In−2 , (∀) n ∈ N, n ≥ 2. n 1 3 2n − 1 π = · · ... · · , (∀) n ∈ N∗ . 2 4 2n 2

I2n

2

˘ SESIUNEA SPECIALA

Proba D Profilurile economic, fizic˘ a-chimie, chimie-biologie, militar real, industrial, agricol, silvic, sportiv real

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 − 4x + 6. a) S˘ a se verifice c˘ a f (2 − x) = f (2 + x), (∀) x ∈ R. b) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia f (2x ) = 2. c) S˘ a se rezolve ˆın R inecuat¸ia f (x) ≤ 3.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. Z 1 b) S˘ a se calculeze f (x) dx. −1

c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este convex˘ a pe R. 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(5, 0), O(0, 0) ¸si B(3, −4). a) S˘ a se verifice c˘ a OA = OB. b) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AB. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a un punct C(a, b) cu a, b ∈ Z∗ , C 6= B ¸si C 6= A, cu proprietatea c˘a OC = OB. SUBIECTUL II 1. În M2 (Z3 ) se consider˘ a matricele A =

ˆ1 ˆ2

ˆ1 2ˆ ˆ1 oi I2 = ˆ0

ˆ0 ˆ1 .

a) S˘ a se calculeze A2 oi A3 . b) S˘ a se calculeze A2002 ¸si A2003 . c) S˘ a se arate c˘ a An 6= I2 , (∀) n ∈ N∗ . 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = 1 − x2 + x4 . x6 + 1 , (∀) x ∈ R. x2 + 1 1 b) S˘ a se arate c˘ a f (x) ≥ , (∀) x ∈ R. 1 + x2 a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) =

x3 x5 + ≥ arctg x, (∀) x ≥ 0. 3 5 xf (x) d) Not˘ am cu F : R → R o primitiv˘ a a funct¸iei f . S˘a se calculeze lim · x→∞ F (x) c) Integrˆ and inegalitatea de la punctul b), s˘a se arate c˘a x −

SUBIECTUL III     1 1 1 1 0 0 Se consider˘ a matricele A = 1 2 3 ¸si I3 = 0 1 0. Pentru orice x ∈ C, definim matricea B(x) = 3 2 1 0 0 1 A + xI3 ¸si funct¸ia polinomial˘ a f : C → C, f (x) = det B(x). a) S˘ a se determine determinantul ¸si rangul matricei A. b) S˘ a se arate c˘ a f (x) = x3 + 4x2 − 5x, (∀) x ∈ C. c) S˘ a se rezolve ˆın C ecuat¸ia f (x) = 0.     a 0 d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o matrice nenul˘ a U =  b  ∈ M3,1 (C) cu proprietatea AU = 0. c 0 3



0 e) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o matrice nenul˘ a C ∈ M3,3 (C) cu proprietatea AC = 0 0   x f ) S˘ a se arate c˘ a nu exist˘ a o matrice V = y  ∈ M3,1 (C) cu proprietatea z

 0 0. 0   1 AV = 0. 0 0 0 0

SUBIECTUL IV 1

Z

xq (1 − x)p dx.

Pentru oricare p ∈ N ¸si q ∈ N, not˘ am cu B(p, q) = 0

a) S˘ a se calculeze B(1, 1). 1 , (∀) n ∈ N. n+1 c) Efectuˆ and schimbarea de variabil˘ a x = 1 − t, s˘a se arate c˘a B(p, q) = B(q, p). p B(p − 1, q + 1). d) Utilizˆ and metoda integr˘ arii prin p˘ art¸i, s˘a se arate c˘a B(p, q) = q+1 n!q! e) S˘ a se arate c˘ a B(n, q) = B(0, n + q), (∀) n, q ∈ N. (q + n)! p!q! , (∀) p, q ∈ N. f ) S˘ a se arate c˘ a B(p, q) = (p + q + 1)!

b) S˘ a se arate c˘ a B(0, n) =

4

SESIUNEA IUNIE-IULIE Varianta 1

Proba D Profilurile matematic˘ a-fizic˘ a, informatic˘ a ¸si metrologie

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : C → C, f (z) = 3z − 2z, unde prin z not˘am conjugatul num˘arului complex z. a) S˘ a se verifice c˘ a f (z) = 3z − 2z, (∀) z ∈ C. b) S˘ a se arate c˘ a (f ◦ f )(z) = 13z − 12z, (∀) z ∈ C. c) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a 5n + 1 5n − 1 z, (∀) n ∈ N∗ ¸si (∀) z ∈ C. (f ◦ f ◦ . . . ◦ f )(z) = z− {z } | 2 2 de n ori f

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (x + 1)2002 . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. f (x) − f (0) b) S˘ a se calculeze lim · x→0 x c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este convex˘ a pe R. Z 1 d) S˘ a se calculeze f (x) dx. −1

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele An (2n + 1, 3n − 1), n ∈ N. a) S˘ a se calculeze lungimea segmentului [A0 A1 ]. b) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei A0 A1 . c) S˘ a se arate c˘ a punctul Ak este situat pe dreapta A0 A1 , (∀) k ∈ N. SUBIECTUL II 1.

Pe R se define¸ste legea de compozit¸ie ”◦” prin x ◦ y = x + y − 1. a) b) c) d)

2.

S˘ a S˘ a S˘ a S˘ a

se se se se

verifice c˘ a x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z, (∀) x, y, z ∈ R. rezolve ˆın R ecuat¸ia 2x ◦ 4x = 5. rezolve ˆın N∗ ecuat¸ia Cn0 ◦ Cn1 ◦ Cn2 = 44 + n. rezolve ˆın R inecuat¸ia x ◦ x2 ≤ 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x + arctg x. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este strict cresc˘atoare pe R. c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este bijectiv˘a. Z d) Not˘ am cu g : R → R inversa funct¸iei f . S˘a se calculeze

1+ π 4

g(x) dx. 0

SUBIECTUL III Se consider˘ a polinoamele f = a + bX + cX 2 + dX 3 ¸si g = X 4 + 1, unde a, x2 , x3 , x4 ∈ C.    a b c d 1 1 1 −d a  x1 x2 x3 b c   Se mai consider˘ a matricele A =   −c −d a b  ¸si V = x21 x22 x23 −b −c −d a x31 x32 x33 5

b, c, d ∈ Q, iar g are r˘ad˘acinile x1 ,  1 x4  . x24  x34

√ √ a) S˘ a se verifice c˘ a g = (X 2 − X 2 + 1)(X 2 + X 2 + 1). b) S˘ a se arate c˘ a det(V ) 6= 0.   f (x1 ) f (x2 ) f (x3 ) f (x4 ) x1 f (x1 ) x2 f (x2 ) x3 f (x3 ) x4 f (x4 )  c) S˘ a se arate c˘ a A·V = x21 f (x1 ) x22 f (x2 ) x23 f (x3 ) x24 f (x4 ). x31 f (x1 ) x32 f (x2 ) x33 f (x3 ) x34 f (x4 ) d) Utilizˆ and relat¸ia de la punctul c), s˘ a se arate c˘a det(A) = f (x1 )f (x2 )f (x3 )f (x4 ). e) S˘ a se arate c˘ a polinomul g este ireductibil ˆın Q[X]. f ) S˘ a se arate c˘ a a = b = c = d = 0 dac˘ a ¸si numai dac˘a det(A) = 0.

SUBIECTUL IV 1 1 1 1 + +...+ ¸si bn = an + , (∀) n ∈ N∗ . n! 2! n! n! · n este convergent c˘atre e.

Se consider˘ a ¸sirurile (an )n≥1 , (bn )n≥1 , definite prin an = 1 + Admitem cunoscut faptul c˘ a ¸sirul (an )n≥1

a) S˘ a se verifice c˘ a ¸sirul (an )n≥1 este strict cresc˘ator. b) S˘ a se arate c˘ a ¸sirul (bn )n≥1 este strict descresc˘ator. c) S˘ a se arate c˘ a an+1 < e < bn , (∀) n ∈ N∗ . d) Utilizˆ and inegalit˘ a¸tile de la punctul c), s˘a se arate c˘a

1 1 < e − an < , (∀) n ∈ N∗ . (n + 1)! n! · n

e) Utilizˆ and inegalit˘ a¸tile de la punctul d), s˘a se arate c˘a num˘arul e este irat¸ional. f ) S˘ a se arate c˘ a nu exist˘ a dou˘ a polinoame nenule f , g ∈ R[X], cu proprietatea c˘a an =

6

f (n) , (∀) n ∈ N∗ . g(n)

Varianta 2

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinoamele f = X 3 + X 2 + 1 ¸si g = X 4 + X 3 + X + 1. Not˘am cu x1 , x2 , x3 ∈ C r˘ ad˘ acinile polinomului f . a) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘ art¸irii polinomului f la polinomul g. b) S˘ a se arate c˘ a polinomul f nu are r˘ ad˘ acini rat¸ionale. c) S˘ a se arate c˘ a g(x1 ) + g(x2 ) + g(x3 ) ∈ Z.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x sin(x2 ). a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. f (x) b) S˘ a se calculeze lim · x→0 x Z 1 f (x) dx. c) S˘ a se calculeze 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele An (−n, n2 ), n ∈ N. a) S˘ a se scrie coordonatele punctelor A0 ¸si A1 . b) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei A0 A1 . c) S˘ a se arate c˘ a aria triunghiului An An+1 An+2 nu depinde de n ∈ N.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : C → C, f (z) = 8z − z, unde prin z not˘am conjugatul num˘arului complex z. a) S˘ a se verifice c˘ a f (x + iy) = 7x + 9yi, (∀) x, y ∈ R. b) S˘ a se rezolve ecuat¸ia f (z) = 0. c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este injectiv˘ a. d) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este surjectiv˘ a.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : [−3, 3] → R, f (x) = 9 − x2 . Not˘am cu S suprafat¸a plan˘a cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f ¸si axa Ox. a) S˘ a se calculeze aria suprafet¸ei S. b) S˘ a se arate c˘ a dreapta x = 0 desparte suprafat¸a S ˆın dou˘a regiuni de arii egale. 9 · desparte suprafat¸a S ˆın dou˘a regiuni de arii egale. c) S˘ a se arate c˘ a dreapta y = 9 − √ 3 4 SUBIECTUL III

În mult¸imea M2 (Z5 ) se consider˘ a submult¸imea G = a) S˘ a se verifice c˘ a I2 =

ˆ 1 ˆ 0

ˆ ˆ0 0 ∈ G ¸ s i O = 2 ˆ ˆ0 1

x ˆ yˆ x ˆ , y ˆ ∈ Z . 5 ˆ2ˆ y x ˆ

ˆ0 ˆ0 ∈ G.

b) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ ax ˆ, yˆ ∈ Z5 ¸si x ˆ2 − ˆ 2ˆ y 2 = ˆ0, atunci x ˆ = yˆ = ˆ0. c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A, B ∈ G atunci A + B ∈ G ¸si A · B ∈ G. d) S˘ a se determine num˘ arul de elemente din mult¸imea G. e) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A ∈ G ¸si A 6= O2 , atunci exist˘a B ∈ G astfel ˆıncât A · B = I2 . f ) S˘ a se dea un exemplu de structur˘ a de corp cu 25 de elemente. 7

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = 1 − x2002 . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este strict descresc˘ atoare pe intervalul [0, +∞). n 1 1 2 . c) S˘ a se calculeze lim f0 + f0 + . . . + f0 n→∞ n n n n k−1 k d) Utilizˆ and teorema lui Lagrange, s˘ a se arate c˘a pentru orice x ∈ , avem inegalit˘a¸tile n n k−1 k k k k · f0 ≤ f (x) − f ≤ x− · f0 , (∀) n ≥ 2 x− n n n n n ¸si k ∈ {1, 2, . . . , n}. e) Integrˆ and inegalit˘ a¸tile de la punctul d), s˘ a se arate c˘a 1 − 2 · f0 2n

k−1 n

Z

k n

≤ k−1 n

1 f (x) dx ≤ − 2 · f 0 2n

k , (∀) n ≥ 2 n

¸si k ∈ {1, 2, . . . , n}. f ) Adunˆ and inegalit˘ a¸tile de la punctul e), s˘ a se calculeze Z n→∞

1

f (x) dx −

lim n 0

1 n

n 1 2 f +f + ... + f . n n n

8

Varianta 3

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = (X 2 − 1)(X 2 − 4) − 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. a) S˘ a se verifice c˘ a f = X 4 − 5X 2 + 3. b) S˘ a se arate c˘ a polinomul f are toate r˘ ad˘acinile reale. c) S˘ a se arate c˘ a x2003 + x2003 + x2003 + x2003 ∈ N. 1 2 3 4

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (x + 1)5 − (x − 1)5 . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este convex˘ a pe R. Z 1 f (x) dx. c) S˘ a se calculeze 0

d) S˘ a se calculeze lim f (x). x→−∞

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele O(0, 0) ¸si An

n2 − 1 2n , , (∀) n ∈ N. n2 + 1 n2 + 1

a) S˘ a se verifice identitatea (x2 − 1)2 + (2x)2 = (x2 + 1)2 , (∀) x ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a OAn = 1, (∀) n ∈ N. c) S˘ a se arate c˘ a pe cercul de ecuat¸ie x2 + y 2 = 1 avem o infinitate de puncte cu ambele coordonate rat¸ionale.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a inelul Z6 ¸si funct¸ia f : Z6 → Z6 , f (ˆ x) = x ˆn , unde n ∈ N∗ . a) S˘ a se verifice c˘ aa ˆ3 = a ˆ, (∀) a ˆ ∈ Z6 . b) S˘ a se arate c˘ a (ˆ x + yˆ)3 = x ˆ3 + yˆ3 , (∀) x ˆ, yˆ ∈ Z6 . c) S˘ a se determine cel mai mic num˘ ar natural n ≥ 2 pentru care funct¸ia f este un izomorfism de inele.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ln(x2 + 4) − ln(x2 + 1). a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. f (x) − f (0) · x→0 x c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este strict cresc˘atoare pe intervalul (−∞, 0] ¸si strict descresc˘atoare pe intervalul [0, +∞).

b) S˘ a se calculeze lim

d) S˘ a se arate c˘ a 0 < f (x) ≤ ln 4, (∀) x ∈ R.

SUBIECTUL III  1 În mult¸imea M3 (C) se consider˘ a matricea A = 0 0

 0 0. 3

0 2 0

a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. b) S˘ a se arate c˘ a matricea A este inversabil˘ a ¸si s˘a se calculeze inversa ei. 

a 0 c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a Y ∈ M3 (C) ¸si Y A = AY , atunci exist˘a a, b, c ∈ C astfel ˆıncât Y = 0 b 0 0

9

 0 0. c

 a 0 d) Se consider˘ a matricea Z = 0 b 0 0  n  a 0 0 Z n =  0 bn 0 , (∀) n ∈ N∗ . 0 0 cn

 0 0, cu a, b, c ∈ C. S˘a se arate, folosind metoda induct¸iei matematice, c˘ a c

e) Se consider˘ a polinomul f = X n − α, unde α ∈ C∗ . S˘a se arate c˘a polinomul f nu are r˘ad˘acini multiple. f ) S˘ a se determine num˘ arul de solut¸ii X ∈ M3 (C) ale ecuat¸iei X 2002 = A. SUBIECTUL IV Z Se consider˘ a (In )n∈N , definit prin I0 =

1

e−x dx ¸si In =

0

Z

1

e−x xn dx, (∀) n ∈ N∗ .

0

a) S˘ a se calculeze I0 . 1 b) Utilizˆ and metoda integr˘ arii prin p˘ art¸i, s˘ a se arate c˘a In = − + n · In−1 , (∀) n ∈ N∗ . e n! 1 1 1 c) S˘ a se arate c˘ a In = e − 1 + + + ... + , (∀) n ∈ N∗ . e 1! 2! n! d) S˘ a se arate c˘ a

xn ≤ xn e−x ≤ xn , (∀) x ∈ [0, 1], (∀) n ∈ N∗ . e

e) Integrˆ and inegalit˘ a¸tile de la punctul d), s˘ a se arate c˘a

1 1 ≤ In ≤ , (∀) n ∈ N∗ . (n + 1)e n+1

f ) Utilizˆ and inegalit˘ a¸tile de la punctul e), s˘ a se arate c˘a e ∈ R\Q.

10

Varianta 4

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : C → C, f (x) = x2 + 2x. a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = (x + 1)2 − 1, (∀) x ∈ C. b) S˘ a se rezolve ˆın C ecuat¸ia (f ◦ f )(x) = 0. c) Utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, s˘a se arate c˘a (f ◦ f ◦ . . . ◦ f ), (∀) x ∈ C. | {z } de n ori f

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ln(x2 + 1). a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. f (x) − f (0) b) S˘ a se calculeze lim · x→0 x Z 1 f (x) dx. c) S˘ a se calculeze 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele An (n, −n), (∀) n ∈ N. a) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei A0 A1 . b) S˘ a se arate c˘ a lungimea segmentului An An+1 nu depinde de n, (∀) n ∈ N. c) S˘ a se arate c˘ a punctul An se afl˘ a pe dreapta A0 A1 , (∀) n ∈ N.

SUBIECTUL II

1.

  x − y + z = 0 Se consider˘ a sistemul x − 2y + 3z = 0   x − 3y + 5z = 0

, unde (x, y, z) ∈ R3 . Not˘am cu A matricea sistemului.

a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. b) S˘ a se rezolve sistemul. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o solut¸ie (x0 , y0 , z0 ) a sistemului pentru care x0 + 2y0 + 3z0 = 8. 2.

1 1 1 + 2 + . . . + 2 , (∀) n ∈ N∗ . Admitem cunoscut faptul c˘ a 12 2 n 1 1 ¸si (cn )n≥1 definite prin bn = an + , (∀) n ∈ N∗ ¸si cn = an + , n n+1

Se consider˘ a ¸sirul (an )n≥1 , definit prin an = π2 ¸si consider˘ am ¸sirurile (bn )n≥1 n→∞ 6 ∗ (∀) n ∈ N . lim an =

a) S˘ a se arate c˘ a ¸sirul (bn )n≥1 este strict descresc˘ator. b) S˘ a se arate c˘ a ¸sirul (cn )n≥1 este strict cresc˘ator. π2 c) S˘ a se arate c˘ a lim bn = lim cn = · n→∞ n→∞ 6 π2 d) S˘ a se arate c˘ a lim n an − = −1. n→∞ 6

SUBIECTUL III Pentru orice num˘ ar natural nenul n, se consider˘a mult¸imea de numere rat¸ionale Hn = a) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a x, y ∈ Hn , atunci x + y ∈ Hn . b) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a x, y ∈ Hn , atunci x · y ∈ Hn . c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a n < p ∈ N∗ , atunci Hn ⊂ Hp . 11

k k ∈ Z . n!

d) S˘ a se arate c˘ a pentru orice num˘ ar rat¸ional r, exist˘a n ∈ N∗ , astfel ˆıncât r ∈ Hn . e) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a (G, +) este un subgrup al grupului (Q, +) ¸si

1 ∈ G, n ∈ N∗ , atunci Hn ⊂ G. n!

f ) S˘ a se demonstreze c˘ a, dac˘ a G1 , G2 , . . . , G2002 sunt subgrupuri ale grupului (Q, +) ¸si Q = G1 ∪ G2 ∪ . . . ∪ G2002 , atunci exist˘ a i ∈ {1, 2, . . . , 2002} astfel ˆıncˆ at Gi = Q. SUBIECTUL IV Se consider˘ a numerele reale a1 , a2 , . . . , an ¸si funct¸iile f, F : R → R, f (x) = a1 sin x + a2 sin 2x + . . . + an sin nx ¸si a2 an F (x) = −a1 cos x − cos 2x − . . . − cos nx, unde n ∈ N, n ≥ 2. 2 n a) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia F este o primitiv˘ a a funct¸iei f pe R. b) S˘ a se verifice c˘ a F (x + 2kπ) = F (x), (∀) k ∈ Z, (∀) x ∈ R. c) Utilizˆ and rezultatul: ”Dac˘ a o funct¸ie g : R → R este periodic˘ a ¸si monoton˘ a, atunci funct¸ia g este constant˘ a ”, s˘ a se arate c˘ a dac˘ a f (x) ≥ 0, (∀) x ∈ R, atunci funct¸ia F este constant˘a. d) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a funct¸ia F este constant˘ a, atunci f (x) = 0, (∀) x ∈ R. Z 2π e) Not˘ am cu S(p, q) = sin px sin qx dx, (∀) p, q ∈ N∗ . 0

Utilizˆ and formula 2 sin a sin b = cos(a − b) − cos(a + b), (∀) a, b ∈ R, ( 0, s˘ a se arate c˘ a S(p, q) = π,

dac˘ a p 6= q, p, q ∈ N∗ (∀) p ∈ N∗

.

f ) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a f (x) ≥ 0, (∀) x ∈ R, atunci a1 = a2 = . . . = an = 0.

12

Varianta 5

SUBIECTUL I 1.

Pe R se define¸ste legea de compozit¸ie ”◦” prin x ◦ y = x + y + 2. a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z, (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se determine elementul e ∈ R pentru care x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R. c) Utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, s˘a se arate c˘a (∀) n ∈ N∗ , avem x0 ◦ x1 ◦ . . . ◦ xn = x0 + x1 + . . . + xn + 2n, (∀) x0 , x1 , . . . , xn ∈ R. d) S˘ a se rezolve ˆın N∗ ecuat¸ia Cn0 ◦ Cn1 ◦ Cn2 ◦ Cnn = 2n + 64.

2.

2

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = 2xex . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se determine intervalele de convexitate ¸si de concavitate ale funct¸iei f . Z 1 f (x) dx. c) S˘ a se calculeze 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele An (3n, 2n), (∀) n ∈ N. a) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei A0 A1 . b) S˘ a se calculeze lungimea segmentului A0 A1 . c) S˘ a se arate c˘ a pentru orice n ∈ N, punctul An se g˘ase¸ste pe dreapta A0 A1 .

SUBIECTUL II 1. În mult¸imea permut˘ arilor cu 4 elemente, S4 , consider˘am permut˘arile e = 1 2 3 4 τ= , precum ¸si submult¸imea H = {x ∈ S4 | x2 = e}. 3 2 1 4

1 1

2 2

3 3

4 1 ,σ= 4 2

2 1

3 3

4 , 4

a) S˘ a se verifice c˘ a e ∈ H. b) S˘ a se arate c˘ a σ ∈ H ¸si τ ∈ H. c) S˘ a se arate c˘ a στ ∈ H. 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = a cos x + b cos 2x + c cos 3x, unde a, b, c ∈ R. Z π a) S˘ a se calculeze f (x) dx. −π

b) S˘ a se verifice c˘ a f (x + 2nπ) = f (x), (∀) x ∈ R ¸si (∀) n ∈ N. c) Utilizˆ and rezultatul: ”Dac˘ a o funct¸ie periodic˘ a f : R → R are limit˘ a la infinit, atunci funct¸ia este constant˘ a ”, s˘ a se arate c˘ a dac˘ a lim f (x) = 0, atunci a = b = c = 0. x→∞

SUBIECTUL III Se consider˘ a polinoamele f = X 5 − 1 ¸si g = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1. a) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘ art¸irii polinomului f la polinomul g. √ √ 1− 5 1+ 5 2 2 ¸si b = · b) S˘ a se verifice c˘ a g = (X + aX + 1)(X + bX + 1), unde a = 2 2 c) S˘ a se arate c˘ a polinomul g este ireductibil ˆın Q[X]. d) Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i rat¸ionali h = X 2 + pX + q. S˘a se arate c˘a dac˘a polinoamele f ¸si h nu sunt prime ˆıntre ele, atunci ele au polinomul X − 1 ca cel mai mare divizor comun ˆın Q[X]. 13

e) În mult¸imea M2 (Q) se consider˘ a matricele I2 =

1 0

0 0 , O2 = 1 0

0 0

¸si A =

r s

t . S˘a se verifice c˘ a u

A2 − (r + u)A + (ru − st)I2 = O2 . f ) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A5 = I2 , atunci A = I2 . SUBIECTUL IV Se consider˘ a ¸sirul (an )n≥1 , definit prin an = 1 − a) S˘ a se verifice c˘ a

(−1)n 1 1 + + ... + , (∀) n ∈ N∗ . 3 5 2n + 1

1 an+1 = 1 + a + a2 + . . . + an + , (∀) n ∈ N∗ ¸si a ∈ R\{1}. 1−a 1−a

b) S˘ a se deduc˘ a relat¸ia 2(n+1) 1 2 4 n 2n n+1 x = 1 − x , (∀) x ∈ [0, 1], (∀) n ∈ N∗ . + x + . . . + (−1) x + (−1) 1 + x2 1 + x2

x2(n+1) ≤ x2(n+1) , (∀) x ∈ [0, 1], (∀) n ∈ N∗ . 1 + x2 Z 1 2(n+1) x d) Integrˆ and inegalit˘ a¸tile de la punctul c), s˘ a se arate c˘a lim dx = 0. n→∞ 0 1 + x2 Z 1 1 e) S˘ a se calculeze dx. 2 0 1+x c) S˘ a se arate c˘ a0≤

f ) Integrˆ and inegalit˘ a¸tile de la punctul b), s˘ a se arate c˘a lim an = n→∞

14

π · 4

SESIUNEA IUNIE-IULIE

Varianta 1 Profilurile economic, fizic˘ a-chimie, chimie-biologie, militar real, industrial, agricol, silvic, sportiv real

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 + X 2 + X + 1. a) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘ art¸irii polinomului f la polinomul X + 1. b) S˘ a se rezolve ˆın C ecuat¸ia f (x) = 0. c) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia f (2x ) = 0.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = sin 2x. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. f (x) − f (π) · b) S˘ a se calculeze lim x→π x−π Z 2π f (x) dx. c) S˘ a se calculeze 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 1), B(−1, −1) ¸si C(−1, 1). a) S˘ a se calculeze lungimea segmentului AB. b) S˘ a se determine panta dreptei AB. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AC.

SUBIECTUL II

1.

  x − y + z = 0 Se consider˘ a sistemul x − 2y + 3z = 0   3x − 2y + z = 0

, unde (x, y, z) ∈ R3 . Not˘am cu A matricea sistemului.

a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. b) S˘ a se rezolve sistemul. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o solut¸ie (x0 , y0 , z0 ) a sistemului, cu proprietatea ca x0 + y0 + z0 = 4. 2.

Se consider˘ a ¸sirul (an )n≥1 , an = f (x) = x2 − x + 1.

12 − 1 + 1 22 − 2 + 1 n2 − n + 1 · · . . . · , (∀) n ∈ N∗ ¸si funct¸ia f : R → R, 12 + 1 + 1 22 + 2 + 1 n2 + n + 1

a) S˘ a se verifice c˘ a f (x + 1) = x2 + x + 1, (∀) x ∈ R. b) Utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, s˘a se arate c˘a an =

n2

1 , (∀) n ∈ N∗ . +n+1

c) S˘ a se calculeze lim an . n→∞ Z n f (x) dx d) S˘ a se calculeze lim

n→∞

0

n3

·

SUBIECTUL III În mult¸imea M2 (R) se consider˘ a matricea I2 = a 0 G= a ∈ (0, ∞), b ∈ R . b 1

1 0

0 , precum ¸si submult¸imea 1

15

a) S˘ a se verifice c˘ a matricea I2 ∈ G. b) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A, B ∈ G, atunci AB ∈ G. c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a C ∈ G, atunci exist˘ a D ∈ G, astfel ˆıncât CD = DC = I2 . d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a matrice S, T ∈ G pentru care ST 6= T S. e) S˘ a se demonstreze c˘ a, pentru orice matrice A ∈ G ¸si (∀) n ∈ N∗ , exist˘a o matrice X ∈ G astfel ˆıncât X n = A. SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸iile f : R → R, f (x) = 1 − x − x2 − x3 + . . . + x8 ¸si g : R → R, g(x) = x9 + 1, (∀) x ∈ R. a) S˘ a se calculeze f (−1) ¸si g(−1). b) S˘ a se verifice c˘ a (x + 1)f (x) = g(x), (∀) x ∈ R. c) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a x < −1, atunci g(x) < 0 ¸si dac˘a x > −1, atunci g(x) > 0. d) S˘ a se arate c˘ a f (x) > 0, (∀) x ∈ R. e) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia F : R → R, F (x) = x −

x2 x3 x4 x9 + − + ... + este o primitiv˘a a funct¸iei f pe R. 2 3 4 9

f ) S˘ a se arate c˘ a F (x) > 0, (∀) x > 0.

16

Varianta 2

SUBIECTUL I 1.

2.

3 1 1 1 a− = a3 − 3 − 3 a − , (∀) a ∈ C∗ . a a a 1 b) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a a ∈ R, a ≥ 1, atunci a ≥ · a 1 1 3 c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a x ∈ R, x ≥ 1, atunci x − 3 ≥ 3 x − . x x a) S˘ a se verifice c˘ a

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = cos 4x. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. f (x) − f (0) b) S˘ a se calculeze lim · x→0 x Z π f (x) dx. c) S˘ a se calculeze 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, −1), B(2, −2) ¸si C(3, −3). a) S˘ a se calculeze lungimea segmentului AB. b) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AC. c) S˘ a se arate c˘ a punctul B se afl˘ a pe dreapta AC.

SUBIECTUL II 1. În mult¸imea M2 (Z3 ) se consider˘ a submult¸imea G = a) S˘ a se verifice c˘ a I2 =

ˆ 1 ˆ 0

ˆ 0 ˆ 1

∈ G ¸si T =

ˆ1 −ˆ2

a ˆ ˆb a, b ∈ Z 3 . −ˆb a ˆ ˆ2 ˆ1 ∈ G.

b) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A, B ∈ G, atunci AB ∈ G. c) S˘ a se determine num˘ arul de elemente ale mult¸imii G. d) S˘ a se determine cel mai mic num˘ ar natural nenul n, pentru care T n = I2 . 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) =

2002x2001 · x2002 + 1

a) S˘ a se verifice c˘ a funct¸ia F : R → R, F (x) = ln(x2002 + 1), este o primitiv˘a a funct¸iei f pe R. Z 1 b) S˘ a se calculeze f (x) dx. −1

c) S˘ a se determine asimptota c˘ atre −∞ la graficul funct¸iei f .

SUBIECTUL III Se consider˘ a polinoamele f = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C ¸si g = X 3 + X 2 + X + 1 cu r˘ ad˘ acinile y1 , y2 , y3 ∈ C. a) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘ art¸irii polinomului f la polinomul g. b) S˘ a se calculeze g(−1). c) S˘ a se determine y1 , y2 ¸si y3 . d) S˘ a se calculeze a = y12002 + y22002 + y32002 . e) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul b = g(x1 )g(x2 )g(x3 )g(x4 ) este natural.

17

f ) S˘ a se arate c˘ a f (y1 ) + f (y2 ) + f (y3 ) = 3. SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex (ax2 + bx + c), unde a, b, c ∈ R. a) S˘ a se calculeze f 0 (x) ¸si f 00 (x), x ∈ R. b) S˘ a se determine a, b, c ∈ R dac˘ a f (0) = 0, f 0 (0) = 1 ¸si f 00 (0) = 4. c) Consider˘ am funct¸ia g : R → R, g(x) = ex (x2 + x). Utilizând metoda induct¸iei matematice, s˘a se arate c˘ a g (n) (x) = ex (x2 + 2(n + 1)x + n2 ), (∀) x ∈ R, n ∈ N∗ . (Prin g (n) am notat derivata de ordinul n a funct¸iei g). d) S˘ a se arate c˘ a 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =

n(n + 1)(2n + 1) , (∀) n ∈ N∗ . 6

g 0 (0) + g 00 (0) + . . . + g (n) (0) · n→∞ n3 Z 1 f (x) dx. f ) S˘ a se calculeze

e) S˘ a se calculeze lim

0

18

Varianta 3

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 + x + 1. 3 , (∀) x ∈ R. 4 b) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia f (2x ) = 3. a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) ≥

c) S˘ a se rezolve ˆın intervalul (0, ∞) ecuat¸ia f (log2 x) = 3. 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = e2x . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este convex˘ a pe R. Z 1 c) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele An (n, 2n), (∀) n ∈ N. a) S˘ a se calculeze coordonatele punctelor A0 ¸si A1 . b) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei A0 A1 . c) S˘ a se arate c˘ a An se afl˘ a pe dreapta A0 A1 , (∀) n ∈ N.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 + 1 cu r˘ ad˘ acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. √ √ a) S˘ a se verifice identitatea f = (X 2 − 2X + 1)(X 2 + 2X + 1). b) S˘ a se arate c˘ a polinomul f nu are nicio r˘ad˘acin˘a real˘a. c) S˘ a se calculeze S = x1 + x2 + x3 + x4 ¸si T = x21 + x22 + x23 + x24 . d) S˘ a se arate c˘ a x41 + x42 + x43 + x44 = −4.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = x +

1 · x

a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x > 0. b) S˘ a se arate c˘ a x = 1 este punct de minim global. c) S˘ a se determine asimptotele la graficul funct¸iei f . √ √ 1 1 d) S˘ a se arate c˘ a2 2+ √ 0, b > 0, atunci B n 6= I2 , (∀) n ∈ N∗ . 2b a 19

f ) S˘ a se arate c˘ a mult¸imea G este infinit˘ a.

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸iile f : (−1, ∞) → R, f (x) = ln(x + 1) − x ¸si g : (−1, ∞) → R, g(x) = ln(x + 1) − x + a) S˘ a se verifice c˘ a f 0 (x) =

−x x2 ¸si g 0 (x) = , (∀) x > −1. x+1 x+1

b) S˘ a se calculeze f 0 (0) ¸si g 0 (0). c) S˘ a se arate c˘ a f (x) < 0 < g(x), (∀) x > 0. d) S˘ a se arate c˘ a 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 , (∀) n ∈ N∗ . e) Utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a 12 + 32 + 52 + . . . + (2n − 1)2 =

n(4n2 − 1) , (∀) n ∈ N∗ . 3

3 2n − 1 1 . f ) S˘ a se calculeze lim ln 1 + 2 + ln 1 + 2 + . . . + ln 1 + n→∞ n n n2

20

x2 · 2

Varianta 4

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 + 4x + 2. a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = (x + 2)2 − 2, (∀) x ∈ R. b) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia (f ◦ f )(x) = −2. c) S˘ a se rezolve ˆın intervalul R ecuat¸ia f (2x ) = 7.

2.

3

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. f (x) − f (0) · x c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este strict cresc˘atoare pe R. Z 1 d) S˘ a se calculeze f 0 (x) dx.

b) S˘ a se calculeze lim

x→0

0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(3, 4), B(4, 3), C(0, 5) ¸si O(0, 0). a) S˘ a se verifice c˘ a OA = OB = OC. b) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei OA. c) S˘ a se calculeze panta dreptei AB.

SUBIECTUL II 1.

Pe mult¸imea numerelor reale definim legea de compozit¸ie ”◦” prin x ◦ y = xy + 2x + 2y + 2, (∀) x, y ∈ R. a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ y = (x + 2)(y + 2) − 2, (∀) x, y ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a elemente a, b ∈ Q\Z astfel ˆıncât a ◦ b ∈ N. d) S˘ a se rezolve ˆın (0, ∞) ecuat¸ia (log2 x) ◦ (log3 x) = −2

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : [0, ∞) → R, f (x) =

1 · (x + 1)(x + 2)

1 1 − , (∀) x ∈ [0, ∞). x+1 x+2 1 1 b) S˘ a se arate c˘ a f (1) + f (2) + . . . + f (n) = − , (∀) n ∈ N∗ . 2 n+2 Z 1 c) S˘ a se calculeze f (x) dx. a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) =

0

d) S˘ a se calculeze lim (f (1) + f (2) + . . . + f (n)). n→∞

SUBIECTUL III În mult¸imea M2 (C) se consider˘ a matricele A =

a c

b e ,B= d g

f . h

a) S˘ a se calculeze AB ¸si BA. b) S˘ a se arate c˘ a suma elementelor de pe diagonala principal˘a a matricelor AB ¸si BA este aceea¸si. c) S˘ a se arate c˘ a det(A + B) + det(A − B) = 2(det(A) + det(B)). d) S˘ a se arate c˘ a det(AB) = det(A) · det(B).

21

e) Utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a det(A1 · A2 · . . . · An ) = det(A1 ) · det(A2 ) · . . . · det(An ), (∀) A1 , A2 , . . . , An ∈ M2 (C) ¸si (∀) n ∈ N∗ . f ) S˘ a se arate c˘ a det(An ) = detn (A), (∀) A ∈ M2 (C), (∀) n ∈ N∗ . SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸iile f : R → R, f (x) = 1 + x + x2 + . . . + x8 ¸si F : R → R, F (x) =

Z

f (t) dt, x ∈ R. 0

a) S˘ a se calculeze f (1). b) S˘ a se verifice c˘ a (x − 1)f (x) = x7 − 1, (∀) x ∈ R. c) S˘ a se arate c˘ a f (x) > 0, (∀) x ∈ R. d) S˘ a se arate c˘ a F 0 (x) = f (x), (∀) x ∈ R. e) S˘ a se rezolve ecuat¸ia F (x) = 1 +

1 1 + ... + · 2 7

f ) S˘ a se arate c˘ a F (x) < xf (x), (∀) x > 0.

22

x

Varianta 5

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 + 5X − 6. a) S˘ a se determine cˆ atul ¸si restul ˆımp˘ art¸irii polinomului f la polinomul X − 1. b) S˘ a se rezolve ˆın C ecuat¸ia f (x) = 0. c) S˘ a se rezolve ˆın R inecuat¸ia f (x) ≤ 0.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex (sin x + cos x). a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. f (x) − f (0) b) S˘ a se calculeze lim · x→0 x c) S˘ a se verifice c˘ a funct¸ia F : R → R, F (x0 = ex sin x este o primitiv˘a a funct¸iei f pe R. Z 2π d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 2), B(2, 1) ¸si C(3, 3). a) S˘ a se calculeze lungimea segmentului AB. b) S˘ a se determine panta dreptei AC. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AB.

SUBIECTUL II 1.

Pe R definim legea de compozit¸ie ”◦” prin x ◦ y = x + y + 10, (∀) x, y ∈ R. a) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia 2x ◦ 4x = 16. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a elemente a, b ∈ Q\Z astfel ˆıncât a ◦ b ∈ N. d) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia x2 ◦ x = 12.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) =

x2 + 4 · x2 + 1

3 a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = 1 + 2 , (∀) x ∈ R. x +1 Z 1 b) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

c) S˘ a se determine asimptotele la graficul funct¸iei f .

SUBIECTUL III În mult¸imea M2 (C) se consider˘ a matricele A =

0 i

i 1 , I2 = 0 0

0 , precum ¸si submult¸imea 1

G = {X ∈ M2 (C) | AX = XA}. a) S˘ a se verifice c˘ a A ∈ G ¸si I2 ∈ G. b) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o matrice T ∈ M2 (C) cu proprietatea T ∈ / G. c) S˘ a se verifice c˘ a A2 = −I2 . d) S˘ a se arate c˘ a A2 X = XA2 , (∀) X ∈ M2 (C). e) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a a, b ∈ C, atunci matricea B = aI2 + bA ∈ G. f ) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a X ∈ G, atunci exist˘ a a, b ∈ C astfel ˆıncât X = aI2 + bA. 23

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸iile f : (0, ∞) → R, f (x) = x ln a − a ln x, unde a ∈ R, a > 0. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x > 0. b) S˘ a se calculeze f (a) ¸si f 0 (a). c) Utilizˆ and teorema lui Fermat s˘ a se determine a > 0 cu proprietatea f (x) ≥ 0, (∀) x ∈ (0, ∞). d) S˘ a se arate c˘ a ex ≥ xe , (∀) x ∈ (0, ∞). e) S˘ a se arate c˘ a pentru x > 0, avem ex = xe dac˘a ¸si numai dac˘a x = e. f ) S˘ a se determine numerele reale c, b > 0 cu proprietatea c˘a cx + bx ≥ xc + xb , (∀) x ∈ (0, ∞).

24

SESIUNEA IUNIE-IULIE

Varianta 1 Profilul pedagogic

SUBIECTUL I 1.

O minge cade de la o ˆın˘ alt¸ime de 8 m. Dup˘ a fiecare c˘adere, mingea se ridic˘a la jum˘atate din ˆın˘alt¸imea de la care a c˘ azut. a) S˘ a se afle ce distant¸˘ a a parcurs mingea de la ˆınceput ¸si pân˘a a atins p˘amântul a doua oar˘a. b) S˘ a se afle la ce ˆın˘ alt¸ime se ridic˘ a mingea dup˘a ce a atins p˘amântul a treia oar˘a. c) S˘ a se demonstreze c˘ a, distant¸a parcurs˘a de minge de la ˆınceput ¸si pân˘a atinge p˘amântul a suta oar˘ a, este mai mic˘ a decˆ at 24 m.

2.

Se consider˘ a mult¸imea A format˘ a din toate numerele naturale, scrise ˆın baza 10, care se termin˘a cu cifra 7. a) S˘ a se g˘ aseasc˘ a un cub perfect ˆın mult¸imea A. b) S˘ a se arate c˘ a mult¸imea A nu cont¸ine niciun p˘atrat perfect. c) S˘ a se arate c˘ a mult¸imea A cont¸ine o infinitate de cuburi perfecte.

3.

Un num˘ ar a se m˘ are¸ste cu 10% din valoarea sa ¸si se obt¸ine num˘arul b. Num˘arul b se miçsoreaz˘a cu 10% din valoarea sa ¸si se obt¸ine num˘ arul c. a) S˘ a se arate c˘ a 10b = 11a. b) S˘ a se arate c˘ a 10c = 9b. c) S˘ a se determine numerele a, b ¸si c, ¸stiind c˘a a − c = 1.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a mult¸imea A = {x2 − y 2 | x, y ∈ Z}. a) S˘ a se verifice c˘ a 0 ∈ A ¸si 1 ∈ A. b) S˘ a se arate c˘ a2∈ / A.

2 2 x−1 x+1 − = x, (∀) x ∈ R. 2 2 d) S˘ a se arate c˘ a mult¸imea A cont¸ine toate numerele ˆıntregi impare. ˆ1 ˆ1 ˆ1 ˆ0 ˆ1 2. În mult¸imea M2 (Z3 ) se consider˘ a matricele ˆ ˆ , B = ˆ ˆ ¸si I2 = ˆ 0 0 2 1 2 G = {X ∈ M2 (Z3 ) | X 2 = I2 }.

c) S˘ a se verifice identitatea

ˆ0 ˆ1 , precum ¸si submult¸imea

a) S˘ a se verifice c˘ a I2 ∈ G. b) S˘ a se arate c˘ a A ∈ G ¸si B ∈ G. c) S˘ a se arate c˘ a AB ∈ / G. d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a cel mai mic num˘ ar natural n pentru care (AB)n = I2 .

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 − X 3 + X 2 − X + 1, cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. a) S˘ a se calculeze f (1) ¸si f (−1). b) S˘ a se determine a ∈ C astfel ˆıncˆ at s˘ a avem identitatea f (X) = a(X − x1 )(X − x2 )(X − x3 )(X − x4 ). c) S˘ a se arate c˘ a (1 − x1 )(1 − x2 )(1 − x3 )(1 − x4 ) = 1. d) S˘ a se arate c˘ a (1 + x1 )(1 + x2 )(1 + x3 )(1 + x4 ) = 5. 25

2.

Se consider˘ a fract¸ia

2 = 0, a1 a2 . . . an . . .. 11

a) S˘ a se calculeze a1 ¸si a2 . b) S˘ a se calculeze S = a2 + a4 + . . . + a2002 . c) S˘ a se calculeze T = a1 + a2 + . . . + a2002 .

SUBIECTUL IV Se consider˘ a un triunghi ABC ¸si M un punct situat ˆın interiorul sau pe laturile triunghiului ABC. Se duc perpendiculare din punctul M pe laturile AB, BC ¸si AC ˆın D, E respectiv F . Not˘am cu ha ≤ hb ≤ hc lungimile ˆın˘ alt¸imilor triunghiului ABC duse din A, B respectiv C. a) S˘ a se verifice c˘ a

SBM C SCM A SAM B + + = 1, unde prin SXY Z am notat aria triunghiului XY Z. SABC SABC SABC

b) S˘ a se deduc˘ a relat¸ia

MD ME MF + + = 1. hc ha hb

c) S˘ a se verifice egalitatea M D + M E + M F =

ME MF MD · hc + · ha + · hb . hc ha hb

d) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a x, y, z, a, b, c ∈ R, x ≤ y ≤ z ¸si a, b, c ∈ [0, 1] cu a + b + c = 1, atunci x ≤ ax + by + cz ≤ z. e) Utilizˆ and relat¸iile de la punctele b), c) ¸si d), s˘a se arate c˘a ha ≤ M D + M E + M F ≤ hc , pentru orice punct M situat ˆın interiorul sau pe laturile triunghiului ABC.

26

Varianta 2

SUBIECTUL I 1.

Matematicianul Sorin a hot˘ arˆ at s˘ a publice articole de matematic˘a. La vârsta de 21 de ani el public˘a un articol. Apoi, ˆın fiecare an el public˘ a un articol mai mult decât ˆın anul precedent. a) S˘ a se afle cˆ ate articole a publicat Sorin dup˘a trei ani. b) S˘ a se afle cˆ ate articole a publicat Sorin ˆın anul ˆın care a avut vârsta de 30 de ani. c) S˘ a se determine cel mai mic num˘ ar natural n, cu proprietatea c˘a, dup˘a n ani, Sorin a publicat mai multe articole decˆ at dublul vˆ arstei sale.

2.

Un num˘ ar natural n ≥ 2 se nume¸ste ”plin de putere” dac˘a fiecare factor prim din descompunerea sa apare la o putere strict mai mare decˆ at 1. (De exemplu, 72 = 23 · 32 este ”plin de putere”). a) S˘ a se verifice c˘ a numerele 8 ¸si 9 sunt ”pline de putere”. b) S˘ a se verifice identitatea 4n(n + 1) + 1 = (2n + 1)2 , (∀) n ∈ N. c) S˘ a se arate c˘ a produsul a dou˘ a numere ”pline de putere” este un num˘ar ”plin de putere”. d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a un num˘ ar natural n, n ≥ 10, cu proprietatea c˘a n ¸si n + 1 sunt numere ”pline de putere”.

3.

Trei urne A, B, C cont¸in bile. O bil˘ a din urna A cânt˘are¸ste 1 g, o bil˘a din urna B cânt˘are¸ste 2 g ¸si o bil˘ a din urna C cˆ ant˘ are¸ste 4 g. Se ¸stie c˘ a oricare dou˘a urne au ˆımpreun˘a de dou˘a ori mai multe bile decât ˆın urna r˘ amas˘ a. a) S˘ a se arate c˘ a suma num˘ arul bilelor din cele trei urne este de trei ori num˘arul bilelor din urna A. b) S˘ a se arate c˘ a ˆın fiecare urn˘ a avem acela¸si num˘ar de bile. c) Dac˘ a cˆ ant˘ arim trei bile ¸si obt¸inem 7 g, atunci s˘a se precizeze din ce urn˘a a provenit fiecare bil˘a cˆ ant˘ arit˘ a.

SUBIECTUL II 1.

Pe mult¸imea numerelor complexe se consider˘a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = x + y + 1. a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z, (∀) x, y, z ∈ C. b) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a elemente a, b ∈ C\R, pentru care a ◦ b ∈ R. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a cel mai mare num˘ ar natural n, pentru care 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ n < 2002. d) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia 2x ◦ 4x = 3.

2.

Se consider˘ a mult¸imea A = {4x + 5y | x, y ∈ N}. a) S˘ a se verifice c˘ a numerele 12, 13, 14, 15 apart¸in mult¸imii A. b) S˘ a se arate c˘ a 11 ∈ / A. c) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a n ∈ N, 12 ≤ n ≤ 2002, atunci n ∈ A.

SUBIECTUL III a ˆ 1. In mult¸imea M2 (Q) se consider˘ a submult¸imea G = { b

−b 1 a, b ∈ Q} ¸si matricea I2 = a 0

a) S˘ a se verifice c˘ a I2 ∈ G. b) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A, B ∈ G, atunci A · B ∈ G. c) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A, B ∈ G, atunci det(A · B) = det(A) · det(B). a −b d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a A ∈ G, A = , cu b ∈ Q\Z ¸si det(A) = 1. b a 2.

a) S˘ a se verifice identitatea (a2 − 1)2 + (2a)2 = (a2 + 1)2 , (∀) a ∈ R. b) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o solut¸ie (x, y) ∈ (Q\Z) × (Q\Z) a ecuat¸iei x2 + y 2 = 1. c) S˘ a se arate c˘ a ecuat¸ia x2 + y 2 = 1 are o infinitate de solut¸ii ˆın mult¸imea (Q\Z) × (Q\Z). 27

0 . 1

SUBIECTUL IV Se consider˘ a tetraedrul ABCD cu ˆın˘ alt¸imile din A, B, C, D egale cu hA ≤ hB ≤ hC ≤ hD . Dintr-un punct M situat ˆın interiorul sau pe fet¸ele tetraedrului ducem perpendiculare pe fet¸ele BCD, ACD, ABD ¸si ABC ˆın E, F , G respectiv H. a) S˘ a se verifice c˘ a XY ZT .

VM ABC VM ACD VM ABD VM BCD + + + = 1, unde prin VXY ZT am notat volumul tetraedrului VABCD VABCD VABCD VABCD

b) S˘ a se deduc˘ a relat¸ia

ME MF MG MH + + + = 1. hA hB hC hD

c) S˘ a se verifice egalitatea M E + M F + M G + M H =

ME MF MG MH · hA + · hB + · hC + · hD . hA hB hC hD

d) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a x, y, z, t, a, b, c, d ∈ R, x ≤ y ≤ z ≤ t ¸si a, b, c, d ∈ [0, 1] cu a + b + c + d = 1, atunci x ≤ ax + by + cz + dt ≤ t. e) Utilizˆ and relat¸iile de la punctele b), c) ¸si d), s˘a se arate c˘a hA ≤ M E + M F + M G + M H ≤ hD , pentru orice punct M situat ˆın interiorul tetraedrului ABCD.

28

Varianta 3

SUBIECTUL I 1.

Pentru efectuarea unor pl˘ a¸ti, un casier are numai bancnote de 3 euro ¸si de 5 euro ˆın num˘ar nelimitat. a) S˘ a se arate c˘ a nu poate achita exact 7 euro. b) S˘ a se arate c˘ a el poate achita exact 8 euro, 9 euro ¸si 10 euro. c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a n ∈ N, 8 ≤ n ≤ 2002, atunci casierul poate achita exact n euro.

2.

Un num˘ ar natural n ≥ 2 se nume¸ste compus dac˘a nu este num˘ar prim. a) S˘ a se arate c˘ a numerele 8 ¸si 9 sunt compuse. b) S˘ a se g˘ aseasc˘ a patru numere naturale consecutive mai mici decât 100 care sunt compuse. c) S˘ a se arate c˘ a numerele A1 = 2003!+2, A2 = 2003!+3, . . ., A2002 = 2003!+2003 sunt 2002 numere naturale consecutive compuse.

3.

Patru frat¸i A, B, C, D au ˆımpreun˘ a 20 de ani. Se ¸stie c˘a dublul vârstei lui B este suma vârstelor lui A ¸si C, iar dublul vˆ arstei lui C este suma vˆ arstelor lui B ¸si D. Se mai ¸stie c˘a A ¸si B au ˆımpreun˘a atâ¸tia ani cât are C. a) S˘ a se arate c˘ a suma vˆ arstelor lui A ¸si D este aceea¸si cu suma vârstelor lui B ¸si C. b) S˘ a se afle vˆ arsta lui B. c) S˘ a se afle vˆ arstele lui A, C ¸si D.

SUBIECTUL II 1. În mult¸imea M2 (C) se consider˘ a matricele A =

a c

b x ¸si B = d z

y . t

a) S˘ a se calculeze AB. b) S˘ a se calculeze det(A) ¸si det(B). c) S˘ a se verifice c˘ a det(A · B) = det(A) · det(B). d) Utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, s˘a se arate c˘a det(X1 · X2 · . . . · Xn ) = det(X1 ) · det(X2 ) · . . . · det(Xn ), (∀) n ∈ N∗ ¸si (∀) X1 , X2 , . . . , Xn ∈ M2 (C). 2.

a) S˘ a se verifice c˘ ax ˆ3 = x ˆ, (∀) x ∈ Z6 . b) S˘ a se arate c˘ ax ˆ2001 = x ˆ ¸si x ˆ2002 = x ˆ2 , (∀) x ∈ Z6 . c) S˘ a se arate c˘ a ecuat¸ia x ˆ2002 + x ˆ2001 + . . . + x ˆ2 + x ˆ + ˆ1 nu are solut¸ie ˆın inelul Z6 .

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 + 1, cu r˘ ad˘ acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. √ √ a) S˘ a se verifice c˘ a f = (X 2 − 2X + 1)(X 2 + 2X + 1). b) S˘ a se arate c˘ a polinomul f nu are r˘ ad˘ acini reale. c) S˘ a se calculeze S = x1 + x2 + x3 + x4 . d) S˘ a se arate c˘ a x41 + x42 + x43 + x44 = −4. e) S˘ a se arate c˘ a polinomul f este ireductibil ˆın Q[X].

2.

Se consider˘ a numerele an = 22n+1 + 1, n ∈ N. a) S˘ a se stabileasc˘ a dac˘ a num˘ arul a0 este prim. b) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul an nu este prim, (∀) n ∈ N∗ .

29

SUBIECTUL IV Pe planul dreptunghiului ABCD cu laturile AB = 4 ¸si BC = 3 se ridic˘a perpendicularele AA0 = 2, BB 0 = 4, CC 0 = 8 ¸si DD0 = 6. a) S˘ a se calculeze lungimile segmentelor A0 B 0 , B 0 C 0 , C 0 D0 , D0 A0 . b) S˘ a se verifice c˘ a AA0 + CC 0 = BB 0 + DD0 . c) S˘ a se calculeze lungimile liniilor mijlocii ˆın trapezele AA0 C 0 C ¸si BB 0 D0 D. d) S˘ a se arate c˘ a punctele A0 , B 0 , C 0 ¸si D0 sunt coplanare. e) S˘ a se arate c˘ a patrulaterul A0 B 0 C 0 D0 este paralelogram. f ) S˘ a se calculeze aria patrulaterului A0 B 0 C 0 D0 .

30

Varianta 4

SUBIECTUL I 1.

La un spectacol, 25% din spectatori sunt b˘ aiet¸i ¸si 75% sunt fete. Dintre b˘aiet¸i, 40% au ochi alba¸stri, iar dintre fete 20% au ochi alba¸stri. Se ¸stie c˘ a ˆın sala de spectacol sunt 300 de spectatori cu ochi alba¸stri. a) S˘ a se arate c˘ a 10% dintre spectatori sunt b˘aiet¸i care au ochi alba¸stri. b) S˘ a se arate c˘ a 15% dintre spectatori sunt fete care au ochi alba¸stri. c) S˘ a se afle num˘ arul total de spectatori.

2.

Not˘ am cu A mult¸imea numerelor naturale de trei cifre ¸si cu B mult¸imea numerelor naturale formate din trei cifre distincte. Preciz˘ am c˘ a toate numerele despre care se discut˘a ˆın problem˘a sunt scrise ˆın baza 10. a) S˘ a se determine num˘ arul elementelor mult¸imii A. b) S˘ a se determine num˘ arul elementelor mult¸imii B.

3.

La un turneu de tenis particip˘ a 128 de juc˘atori. Înaintea fiec˘arui tur, se ˆımpart juc˘atorii ˆın grupe de cˆ ate 2, ˆ care joac˘ a ˆıntre ei. Invinsul p˘ ar˘ ase¸ste turneul. Turneul se termin˘a când r˘amâne un singur juc˘ator. Pentru participarea la turneu, juc˘ atorii sunt premiat¸i cu câte 100 de euro pentru fiecare meci jucat ˆın turul 1, cˆ ate 200 de euro pentru fiecare meci jucat ˆın turul 2, câte 300 de euro pentru fiecare meci jucat ˆın turul 3, etc. a) S˘ a se afle cˆ a¸ti euro au fost pl˘ atit¸i de organizatori pentru meciurile din primul tur. b) Cˆ a¸ti euro a cˆ a¸stigat un juc˘ ator care p˘ ar˘ase¸ste turneul ˆın turul 3? c) Cˆ a¸ti euro prime¸ste cˆ a¸stig˘ atorul turneului, dac˘a pentru victoria final˘a mai prime¸ste 1000 de euro?

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a mult¸imea A = {±12 ± 22 ± . . . ± n2 | n ∈ N∗ }. De exemplu, 1 = 12 , 2 = −12 − 22 − 32 + 42 , deci 1 ∈ A ¸si 2 ∈ A. a) S˘ a se arate c˘ a 3 ∈ A ¸si 4 ∈ A. b) S˘ a se verifice c˘ a 4 = (x + 1)2 − (x + 2)2 − (x + 3)2 + (x + 4)2 , (∀) x ∈ R. c) S˘ a se arate c˘ a p ∈ A, (∀) p ∈ N∗ . d) S˘ a se arate c˘ a A = Z.

2.

Se consider˘ a polinomul f = (X + 1)(X − 1)(X − 2) + 1. a) S˘ a verifice c˘ a f = X 3 − 2X 2 − X + 3. b) S˘ a se arate c˘ a polinomul f nu are r˘ ad˘ acini rat¸ionale. c) S˘ a se arate c˘ a polinomul f este ireductibil ˆın Q[X].

SUBIECTUL III 1. În mult¸imea M2 (Z) se consider˘ a matricea A =

0 −1

1 ¸si submult¸imea G = {X ∈ M2 (Z) | AX = XA}. 0

a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. 1 0 2 b) S˘ a se verifice c˘ a A = −I2 , unde I2 = . 0 1 c) S˘ a se verifice c˘ a I2 ∈ G ¸si A ∈ G. d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o matrice B ∈ M2 (Z), cu proprietatea c˘a AB 6= BA. e) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a X ∈ G, atunci exist˘a a, b ∈ Z astfel ˆıncât X = aI2 + bA. 2.

a) S˘ a se scrie num˘ arul 4 ca o sum˘ a de dou˘a numere naturale prime nu neap˘arat diferite. b) S˘ a se scrie num˘ arul 8 ca o sum˘ a de trei numere naturale prime nu neap˘arat diferite. c) S˘ a se arate c˘ a orice num˘ ar natural n ≥ 4, se scrie ca o sum˘a de numere naturale prime, nu neap˘arat diferite. 31

SUBIECTUL IV Se consider˘ a triunghiul ABC ¸si M un punct ˆın planul s˘au, din care ducem perpendiculare pe latura AB ˆın D, pe latura BC ˆın E ¸si pe latura AC ˆın F . a) Utilizˆ and teorema lui Pitagora, s˘ a se arate c˘a AD2 − BD2 = M A2 − M B 2 . b) S˘ a se demonstreze c˘ a AD2 − BD2 + BE 2 − EC 2 + CF 2 − F A2 = 0. c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a X ¸si Y sunt dou˘ a puncte pe dreapta AB ¸si XA2 − XB 2 = Y A2 − Y B 2 , atunci X = Y . d) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a X ∈ AB, Y ∈ BC ¸si Z ∈ AC astfel ˆıncât XA2 − XB 2 + Y B 2 − Y C 2 + ZC 2 − ZA2 = 0, atunci perpendicularele duse ˆın X, Y respectiv Z pe laturile AB, BC respectiv AC sunt concurente. e) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a triunghiul ABC este echilateral, cu latura de lungime a ¸si punctul M se afl˘a ˆın interiorul 3a · triunghiului, atunci AD + BE + CF = 2

32

Varianta 5

SUBIECTUL I 1.

O insul˘ a vulcanic˘ a are ˆın˘ alt¸imea de 100 m. În fiecare an, datorit˘a activit˘a¸tii vulcanice, insula cre¸ste cu 5% din ˆın˘ alt¸imea sa. a) S˘ a se afle ˆın˘ alt¸imea insulei dup˘ a un an. b) S˘ a se afle ce ˆın˘ alt¸ime are insula dup˘ a 2 ani. c) S˘ a se arate c˘ a, dup˘ a 20 de ani, insula are cel put¸in 200 m ˆın˘alt¸ime.

2.

Trei bile a, b ¸si c cˆ ant˘ aresc ˆımpreun˘ a 300 g. Se ¸stie c˘a suma greut˘a¸tilor bilelor a ¸si b este egal˘a cu dublul greut˘ a¸tii bilei c ¸si c˘ a produsul greut˘ a¸tilor bilelor b ¸si c este egal˘a cu p˘atratul greut˘a¸tii bilei a. a) S˘ a se afle cˆ at cˆ ant˘ are¸ste bila c. b) S˘ a se afle cˆ at cˆ ant˘ are¸ste bila a. c) S˘ a se afle cˆ at cˆ ant˘ are¸ste bila b.

3.

La un stadion cu capacitatea de 10000 locuri, vin spectatorii. În primul minut vine un spectator, ˆın al doilea minut vin 3 spectatori, ... , ˆın al n-lea minut sosesc 2n − 1 spectatori. a) S˘ a se afle cˆ a¸ti spectatori au venit dup˘ a primele 5 minute. b) S˘ a se arate c˘ a 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 , (∀) n ∈ N∗ . c) S˘ a se determine cel mai mic num˘ ar natural n, cu proprietatea c˘a, dup˘a n minute, stadionul este plin.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a o mult¸ime A cu 10 elemente. a) S˘ a se determine num˘ arul submult¸imilor mult¸imii A care au cel mult un element. b) S˘ a se determine num˘ arul submult¸imilor mult¸imii A care au cel mult dou˘a elemente.

c) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul submult¸imilor mult¸imii A care au un num˘ar impar de elemente este egal cu num˘ arul submult¸imilor mult¸imii A care au un num˘ar par de elemente. 1 1 1 0 2. În mult¸imea M2 (C) se consider˘ a matricele A = , I2 = , precum ¸si submult¸imea −1 −1 0 1 G = {X ∈ M2 (C) | AX = XA}. a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. b) S˘ a se verifice c˘ a I2 ∈ G ¸si A ∈ G. c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a a, b ∈ C, atunci aI2 + bA ∈ G. d) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a X ∈ G, atunci exist˘a a, b ∈ C astfel ˆıncât X = aI2 + bA.

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a polinomul f = (X − 1)(X − 2)(X − 3)(X − 4) + 1. a) S˘ a se calculeze f (0). b) S˘ a se arate c˘ a f = (X 2 − 5X + 5)2 . c) S˘ a se arate c˘ a f (k) ≥ 1, (∀) k ∈ Z.

2.

Se consider˘ a numerele an = (n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4), (∀) n ∈ N∗ . a) S˘ a se verifice c˘ a a1 , a2 , a3 ¸si a4 sunt p˘atrate perfecte. b) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a n ≥ 5, atunci an nu este p˘atratul unui num˘ar natural.

33

SUBIECTUL IV Se consider˘ a piramida V ABC. Not˘ am cu G1 , G2 , G3 respectiv G4 centrele de greutate ale fet¸elor ABC, V BC, V AC respectiv V AB. Not˘ am cu D mijlocul segmentului BC. a) S˘ a se arate c˘ a dreptele V G1 ¸si AG2 sunt cont¸inute ˆın planul V AD. b) S˘ a se arate c˘ a dreptele G1 G2 ¸si V A sunt paralele ¸si G1 G2 =

VA · 3

c) S˘ a se arate c˘ a planele (G1 G2 G3 ) ¸si (V AB) sunt paralele. d) S˘ a se arate c˘ a raportul dintre aria triunghiului G1 G2 G3 ¸si aria triunghiului V AB este egal cu

1 · 9

e) S ¸ tiind c˘ a piramida V ABC are toate muchiile (laterale ¸si ale bazei) egale, s˘a se arate c˘a raportul dintre volumul 1 · piramidei G1 G2 G3 G4 ¸si volumul piramidei V ABC este egal cu 27

34

SESIUNEA IUNIE-IULIE

Varianta 3 Profilul uman

SUBIECTUL I 1. În mult¸imea M2 (Z3 ) se consider˘ a matricele A =

ˆ1 ˆ0

ˆ1 1ˆ ˆ2 , B == ˆ1

ˆ0 ˆ1 ˆ2 ¸si I2 = ˆ0

0ˆ ˆ1 , precum ¸si submult¸imea

G = {X ∈ M2 (Z3 ) | X 2 = I2 }. a) S˘ a se verifice c˘ a I2 ∈ G. b) S˘ a se arate c˘ a A ∈ G ¸si B ∈ G. c) S˘ a se calculeze AB. d) S˘ a se arate c˘ a AB ∈ / G. e) S˘ a se determine cel mai mic num˘ ar natural nenul n pentru care (AB)n = I2 . 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2002 + x + 1. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. f (x) − f (1) · b) S˘ a se calculeze lim x→1 x−1 c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este convex˘ a pe R. Z 1 d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0 Z x f (t) dt e) S˘ a se calculeze lim 0 2003 · x→∞ x SUBIECTUL II Pe mult¸imea numerelor complexe se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = xy + ix + iy − 1 − i.

a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ y = (x + i)(y + i) − i, (∀) x, y ∈ C. b) S˘ a se arate c˘ a x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z, (∀) x, y, z ∈ C. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a elemente a, b ∈ C\R astfel ˆıncât a ◦ b ∈ R. d) S˘ a se demonstreze, utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, c˘a x1 ◦ x2 ◦ . . . ◦ xn = (x1 + i) ◦ (x2 + i) ◦ . . . ◦ (xn + i) − i, (∀) n ∈ N∗ ¸si x1 , x2 , . . . , xn ∈ C. e) S˘ a se rezolve ˆın C ecuat¸ia x ◦ x ◦ x ◦ x = 1 − i. SUBIECTUL III Se consider˘ a funct¸iile f : R → R, f (x) = 1 + x + x2 + . . . + x6 , F : R → R, F (x) =

Z

f (t) dt ¸si g : R → R, 0

g(x) = x7 − 1. a) S˘ a se calculeze f (1) ¸si g(1). b) S˘ a se verifice c˘ a (x − 1)f (x) = x7 − 1, (∀) x ∈ R. c) S˘ a se calculeze g 0 (x), x ∈ R. d) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia g este strict cresc˘ atoare pe R. 35

x

e) S˘ a se arate c˘ a f (x) > 0, (∀) x ∈ R. f ) S˘ a se calculeze lim

n→∞

F (n) · nf (n)

SUBIECTUL IV Se consider˘ a polinomul f = X 4 − 14X 2 + 9, cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. √ √ √ √ √ √ a) S˘ a se verifice c˘ a ( 5 + 2)2 = 7 + 2 10 ¸si ( 5 − 2)2 = 7 − 2 10. b) S˘ a se verifice c˘ a f (−x) = f (x), (∀) x ∈ R. c) S˘ a se rezolve ˆın C ecuat¸ia f (x) = 0. √ √ √ √ √ √ √ √ d) S˘ a se arate c˘ a f = (X − 2 − 5)(X − 2 + 5)(X + 2 − 5)(X + 2 + 5). e) S˘ a se calculeze x1 + x2 + x3 + x4 . f ) S˘ a se arate c˘ a x2003 + x2003 + x2003 + x2003 = 0. 1 2 3 4

36

BACALAUREAT 2002 SESIUNEA AUGUST

Varianta 1 Profilurile matematic˘ a-fizic˘ a, informatic˘ a ¸si metrologie

SUBIECTUL I 1.

√ 1 3 Se consider˘ a funct¸ia f : C → C, f (z) = z + 1, unde = − + i · 2 2 a) S˘ a se verifice c˘ a 2 + + 1 = 0 ¸si c˘ a 3 = 1. b) S˘ a se arate c˘ a (f ◦ f ◦ f )(z) = z, (∀) z ∈ C. c) S˘ a se rezolve ˆın C ecuat¸ia (f ◦ f ◦ f )(z) = z 4 .

2.

Se consider˘ a ¸sirul (an )n≥1 , an = √

1 √ , (∀) n ∈ N∗ . n+1+ n

a) S˘ a se calculeze lim an . n→∞ √ √ b) S˘ a se verifice c˘ a an = n + 1 − n, (∀) n ∈ N∗ . √ c) S˘ a se arate c˘ a a1 + a2 + . . . + an = n + 1 − 1, (∀) n ∈ N∗ . an d) S˘ a se calculeze lim √ · n→∞ n 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(5, 12), B(12, 5), C(0, 13) ¸si O(0, 0). a) S˘ a se calculeze panta dreptei AB. b) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AC. c) S˘ a se verifice c˘ a OA = OB = OC.

SUBIECTUL II 1.

a) S˘ a se determine num˘ arul real a pentru care avem identitatea Cx2 =

ax(x − 1) , (∀) x ∈∈ N, x ≥ 2. 2

b) S˘ a se rezolve ˆın N inecuat¸ia Cn2 < 6, n ≥ 2. y+1 c) S˘ a se verifice identitatea Cxy = Cx+1 − Cxy+1 , (∀) x, y ∈ N, x > y ≥ 0. p p p p+1 d) Utilizˆ and relat¸ia de la punctul c), s˘ a se arate c˘a Cp+1 + Cp+2 + . . . + Cp+n = Cp+n+1 − 1, (∀) p, n ∈ N∗ .

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) =

ln x · x

a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x > 0. b) S˘ a se arate c˘ a f (x) ≤ f (e), (∀) x > 0. c) S˘ a se deduc˘ a inegalitatea xe ≤ ex , (∀) x > 0. Z e d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 1

SUBIECTUL III În mult¸imea M2 (Z5 ) se consider˘ a submult¸imea G = a) S˘ a se verifice c˘ a I2 =

ˆ 1 ˆ 0

ˆ ˆ0 0 ∈ G ¸si O2 = ˆ ˆ 1 0

x ˆ yˆ x ˆ , y ˆ ∈ Z 5 . ˆ2ˆ y x ˆ

0ˆ ˆ0 ∈ G.

b) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ ax ˆ, yˆ ∈ Z5 ¸si x ˆ2 − ˆ 2ˆ y 2 = ˆ0, atunci x ˆ = yˆ = ˆ0. 37

c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A, B ∈ G, atunci A + B ∈ G ¸si AB ∈ G. d) S˘ a se determine num˘ arul elementelor mult¸imii G. e) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A ∈ G ¸si A 6= O2 , atunci exist˘a B ∈ G astfel ˆıncât AB = I2 . f ) S˘ a se dea un exemplu de structur˘ a de corp cu 25 de elemente.

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸iile f : R → R, f (x) = 1 + x + x2 + . . . + x2002 ¸si F : R → R, F (x) =

x

Z

f (t) dt, (∀) x ∈ R. 0

a) S˘ a se calculeze f (1). b) S˘ a se verifice c˘ a (x − 1)f (x) = x2003 − 1, x ∈ R. c) S˘ a se arate c˘ a f (x) > 0, (∀) x ∈ R. d) S˘ a se arate c˘ a F 0 (x) = f (x), (∀) x ∈ R. e) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia F este bijectiv˘ a. 1 1 1 f ) Not˘ am cu g : R → R inversa funct¸iei F ¸si cu a = + + . . . + · S˘a se calculeze 1 2 2003

38

Z

a

g(x) dx. 0

Varianta 2

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 + 4 cu r˘ ad˘ acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. a) S˘ a se verifice identitatea f = (X 2 − 2X + 2)(X 2 + 2X + 2). b) S˘ a se arate c˘ a polinomul f nu are r˘ ad˘ acini reale. c) S˘ a se calculeze S = x1 + x2 + x3 + x4 . d) S˘ a se arate c˘ a x41 + x42 + x43 + x44 = −16.

2.

2

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = e−x . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. f (x) − f (0) · b) S˘ a se calculeze lim x→0 x c) S˘ a se determine intervalele de convexitate ¸si de concavitate ale funct¸iei f .

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a dreptele de ecuat¸ii: d1 : x + 2y + 3 = 0,

d2 : 2x + y + 3 = 0,

d3 : 3x + 4y + 7 = 0.

a) S˘ a se scrie determine coordonatele punctului de intersect¸ie al dreptelor d1 ¸si d2 . b) S˘ a se arate c˘ a dreptele d1 , d2 ¸si d3 sunt concurente. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia cercului cu centrul ˆın O(0, 0) ¸si care trece prin punctul de concurent¸˘a al celor trei drepte.

SUBIECTUL II 1.

a) S˘ a se determine num˘ arul real a pentru care avem identitatea A2x = ax(x − 1), (∀) x ≥ 2. b) S˘ a se rezolve ˆın N inecuat¸ia A2n < 12, n ≥ 2. y+1 c) S˘ a se verifice identitatea Cxy+1 = Cx+1 − Cxy , (∀) x, y ∈ N, x > y. r+1 r+n r+n + . . . + Cp+n = Cp+n+1 − Cpr−1 , (∀) p, r, n ∈ N∗ , d) Utilizˆ and relat¸ia de la punctul c), s˘ a se arate c˘a Cpr + Cp+1 p > r.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2003 + x + 1. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. Z 1 b) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este bijectiv˘ a. Z d) Not˘ am cu g : R → R inversa funct¸iei f . S˘a se calculeze

3

g(x) dx. 1

SUBIECTUL III   ˆ1 În mult¸imea M3 (Z3 ) se consider˘ a submult¸imea G = ˆ0  ˆ 0

a ˆ ˆ1 ˆ0

   ˆb ˆ1  ˆ ˆ, b, cˆ ∈ Z3 ¸si matricea I3 = ˆ0 cˆ a  ˆ0 1ˆ

ˆ 0 ˆ 1 ˆ 0

 ˆ 0 ˆ 0. ˆ 1

a) S˘ a se verifice c˘ a I3 ∈ G. b) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A, B ∈ G atunci A · B ∈ G. c) S˘ a se arate c˘ a, oricare ar fi matricea A ∈ G, avem A3 = I3 . d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a matrice A, B ∈ G pentru care AB 6= BA. e) S˘ a se dea un exemplu de structur˘ a de grup necomutativ cu 27 de elemente, (H, ·), ˆın care x3 = e, (∀) x ∈ H, unde e este elementul neutru al grupului H. 39

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = 2x + mx − 4x − 5x , unde m ∈ R, m > 0. a) S˘ a se determine f 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se calculeze f (0) ¸si f 0 (0). c) S˘ a se determine m > 0 astfel ˆıncˆ at f (x) ≥ 0, pentru orice x ∈ R. d) Pentru m = 10, s˘ a se calculeze aria suprafet¸ei cuprinse ˆıntre graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 0 ¸si x = 1. e) S˘ a se demonstreze c˘ a, dac˘ a a, b, c, d ∈ R, 0 < a < b < c < d ¸si a + d = b + c, atunci pentru orice n ∈ N, n ≥ 2, are loc relat¸ia an + dn > bn + cn . f ) Considerˆ and m = 10, s˘ a se arate c˘ a pentru orice n ∈ N, n ≥ 2, avem f (n) (0) > 0. (Am notat prin f (n) derivata de ordinul n a funct¸iei f ).

40

Varianta 3

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − 6X 2 + 11X − 6. a) S˘ a se determine restul ˆımp˘ art¸irii polinomului f la polinomul X − 1. b) S˘ a se rezolve ˆın C ecuat¸ia f (x) = 0. c) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia f (2x ) = 0.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (x + 1)5 + (x − 1)5 . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. f (x) − f (0) b) S˘ a se calculeze lim · x→0 x c) S˘ a se determine intervalele de convexitate ¸si de concavitate ale funct¸iei f . Z 1 d) S˘ a se calculeze f (x) dx. −1

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a cercul de ecuat¸ie x2 + y 2 = 25. a) S˘ a se scrie determine coordonatele centrului cercului ¸si raza cercului. b) S˘ a se verifice c˘ a punctul A(3, 4) se afl˘ a pe cerc. c) S˘ a se arate c˘ a dreapta de ecuat¸ie 3x + 4y − 25 = 0 este tangent˘a la cerc ˆın punctul A(3, 4).

SUBIECTUL II 1.

Pe mult¸imea R se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦”, definit˘a prin x ◦ y = x + y − 1. a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z, (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia 2x ◦ 4x = 5. c) S˘ a se rezolve ˆın N∗ ecuat¸ia Cn0 ◦ Cn1 ◦ Cn2 = 44 + n. d) S˘ a se rezolve ˆın R inecuat¸ia x ◦ x2 ≤ 1 .

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex − e−x . a) S˘ a se verifice c˘ a f (−x) = −f (x), (∀) x ∈ R. b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este bijectiv˘ a. d) Not˘ am cu g : R → R inversa funct¸iei f . S˘a se calculeze g 0 (0).

SUBIECTUL III Se consider˘ a polinoamele f = a + bX + cX 2 + dX 3 ¸si g = X 4 − 1, x3 , x4 ∈ C.    a b c d 1 1 d a b c   x1 x2   Se mai consider˘ a matricele A =   c d a b  ¸si V = x21 x22 x31 x32 b c d a a) S˘ a se verifice c˘ a g = (X 2 − 1)(X 2 + 1). b) S˘ a se arate c˘ a det(V ) 6= 0.   f (x1 ) f (x2 ) f (x3 ) f (x4 ) x1 f (x1 ) x2 f (x2 ) x3 f (x3 ) x4 f (x4 )  c) S˘ a se arate c˘ a AV =  x21 f (x1 ) x22 f (x2 ) x23 f (x3 ) x24 f (x4 ). x31 f (x1 ) x32 f (x2 ) x33 f (x3 ) x34 f (x4 ) 41

unde a, b, c, d ∈ C, iar g are r˘ad˘acinile x1 , x2 , 1 x3 x23 x33

 1 x4  . x24  x34

d) Utilizˆ and relat¸ia de la punctul c), s˘ a se arate c˘a det(A) = f (x1 )f (x2 )f (x3 )f (x4 ). e) Pentru a = c = d = 0 ¸si b = 1, s˘ a se calculeze A2 ¸si A4 . f ) Pentru a = c = d = 0 ¸si b = 1, s˘ a se arate c˘ a matricea A este inversabil˘a ¸si s˘a se calculeze inversa sa.

SUBIECTUL IV x x2 xn Se consider˘ a n ∈ N∗ ¸si funct¸iile f : [0, ∞) → R, f (x) = e−x xn , g : [0, ∞) → R, g(x) = 1−e−x 1 + + + ... + 1! 2! n! Z 1 x f (t) dt. ¸si h : [0, ∞) → R, h(x) = n! 0 a) S˘ a se calculeze g(0) ¸si h(0). b) S˘ a se verifice c˘ a g 0 (x) = h0 (x), (∀) x ≥ 0. c) S˘ a se arate c˘ a g(x) = h(x), (∀) x ≥ 0. d) S˘ a se arate c˘ a 0 ≤ g(x) ≤

e−x xn+1 , (∀) x ∈ [0, n]. n! xn+1 = 0. n→∞ n!

e) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a x ≥ 0, atunci lim

x2 xn x + ... + = ex , (∀) x ≥ 0. f ) S˘ a se demonstreze c˘ a lim 1 + + n→∞ 1! 2! n!

42

SESIUNEA AUGUST

Varianta 1 Profilurile economic, fizic˘ a-chimie, chimie-biologie, militar real, industrial, agricol, silvic, sportiv real

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 + 2x + m, unde m este un parametru real. a) S˘ a se determine valorile parametrului m, astfel ˆıncât f (x) ≥ 0, (∀) x ∈ R. b) Pentru m = 0, s˘ a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0. c) Pentru m = 0, s˘ a se rezolve ecuat¸ia f (2x ) = 8. d) Pentru m = 0, s˘ a se rezolve inecuat¸ia f (x) ≤ 0.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = arctg x. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. f (x) − f (0) b) S˘ a se calculeze lim · x→0 x c) S˘ a se determine intervalele de convexitate ¸si de concavitate ale funct¸iei f .

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 2), B(2, 1), C(3, 3). a) S˘ a se calculeze lungimea segmentului AB. b) S˘ a se determine panta dreptei AB. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei BC.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = (X + 1)10 , cu forma algebric˘a f = a10 X 10 + a9 X 9 + . . . + a1 X + a0 . a) S˘ a se calculeze f (0). b) S˘ a se calculeze suma coeficient¸ilor polinomului f . f (1) + f (−1) c) S˘ a se arate c˘ a a0 + a2 + a4 + . . . + a10 = · 2

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : [0, ∞) → R, f (x) =

x2 + x + 1 · x+1

1 , (∀) x ≥ 0. x+1 b) S˘ a se determine asimptotele la graficul funct¸iei f . Z 1 c) S˘ a se calculeze f (x) dx. a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = x +

0

SUBIECTUL III În mult¸imea M2 (C) se consider˘ a matricele A =

1 −1

1 1 , I2 = −1 0

G = {X ∈ M2 (C) | AX = XA}. a) S˘ a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A. b) S˘ a se verifice c˘ a I2 ∈ G ¸si A ∈ G. c) S˘ a se arate c˘ a XA2 = A2 X, (∀) X ∈ M2 (C). d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o matrice B ∈ M2 (C) cu proprietatea c˘a AB 6= BA. 43

0 , precum ¸si submult¸imea 1

e) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a a, b ∈ C, atunci aI2 + bA ∈ G. f ) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a X ∈ G, atunci exist˘ a x, y ∈ C astfel ˆıncât X = xI2 + yA. SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 ex . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. b) Utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a f (n) (x) = ex (x2 + 2nx + n(n − 1)), (∀) n ∈ N∗ , (∀) x ∈ R. (S-a notat prin f (n) derivata de ordinul n a funct¸iei f ). c) S˘ a se arate c˘ a 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + (n − 1) · n =

(n − 1)n(n + 1) , n ∈ N, n ≥ 2. 3

f 0 (0) + f 00 (0) + . . . + f (n) (0) · n→∞ n3 Z 1 e) S˘ a se calculeze f (x) dx.

d) S˘ a se calculeze lim

0

f ) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o funct¸ie g : R → R, indefinit derivabil˘a, cu proprietatea c˘a g (n) (0) = n(n + 1), (∀) n ∈ N∗ .

44

Varianta 2

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 + 1 cu r˘ ad˘ acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. √ √ a) S˘ a se verifice identitatea f = (X 2 − X 2 + 1)(X 2 + X 2 + 1). b) S˘ a se arate c˘ a polinomul f nu are r˘ ad˘ acini reale. c) S˘ a se calculeze S = x1 + x2 + x3 + x4 . d) S˘ a se arate c˘ a x41 + x42 + x43 + x44 = −4.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (x + 1)4 + (x − 1)4 . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. f (x) − f (0) · x→0 x c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este convex˘ a pe R. Z 1 f (x) dx. d) S˘ a se calculeze

b) S˘ a se calculeze lim

−1

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(6, 8), B(8, 6), C(0, 10). a) S˘ a se determine panta dreptei AB. b) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AC. c) S˘ a se verifice c˘ a OA = OB = OC.

SUBIECTUL II 1.

Pe mult¸imea R se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦”, definit˘a prin x ◦ y = x + y + 1. a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z, (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a elemente a, b ∈ Q\Z, cu proprietatea c˘a a ◦ b ∈ Z. c) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia x ◦ (2x) ◦ . . . ◦ (2002x) = 2001.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) =

2x + 9 · x2 + 1

a) S˘ a se determine asimptotele la graficul funct¸iei f . b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. Z 1 c) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

SUBIECTUL III În mult¸imea M2 (Z3 ) se consider˘ a matricele A =

ˆ1 ˆ0

ˆ1 ˆ1 ˆ2 , B = ˆ1

ˆ0 ˆ1 ˆ2 , I2 = ˆ0

0ˆ ˆ1 , precum ¸si submult¸imea

G = {X ∈ M2 (Z3 ) | X 2 = I2 }. a) S˘ a se verifice c˘ a I2 ∈ G. b) S˘ a se arate c˘ a A ∈ G ¸si B ∈ G. c) S˘ a se arate c˘ a AB 6= BA. d) S˘ a se arate c˘ a AB ∈ / G. e) S˘ a se determine cel mai mic num˘ ar natural nenul n, cu proprietatea c˘a (AB)n = I2 . f ) S˘ a se arate c˘ a mult¸imea G are cel put¸in 6 elemente. 45

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R\{−1} → R, f (x) =

1 · 1+x

a) S˘ a se determine asimptota vertical˘ a a graficului funct¸iei f . b) S˘ a se determine asimptota la +∞ a graficului funct¸iei f . c) S˘ a se arate c˘ a f (x) − 1 + x − x2 ≤ 0, (∀) x ≥ 0. d) S˘ a se arate c˘ a f (x) − 1 + x − x2 + x3 ≥ 0, (∀) x ≥ 0. e) S˘ a se deduc˘ a inegalit˘ a¸tile 1 − x + x2 − x3 ≤

1 ≤ 1 − x + x2 , (∀) x ≥ 0. 1+x

f ) S˘ a se arate c˘ a aria cuprins˘ a ˆıntre graficul funct¸iei g : [0, ∞) → R, g(x) = x = 1, este un num˘ ar real cuprins ˆın intervalul (0, 91; 0, 96).

46

1 , axa Ox ¸si dreptele x = 0 ¸si 1 + x9

Varianta 3

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 + 6x + 6. a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = (x + 3)2 − 3, (∀) x ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a f (x) ≥ −3, (∀) x ∈ R. c) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia f (2x ) = 22.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex + e−x . a) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. f (x) − f (0) b) S˘ a se calculeze lim · x→0 x Z 1 c) S˘ a se calculeze f (x) dx. −1

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 1), B(−1, −1), C(−1, 1). a) S˘ a se calculeze lungimea segmentului AB. b) S˘ a se determine panta dreptei AB. c) S˘ a se scrie ecuat¸ia dreptei AC.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a polinomul cu coeficient¸i reali f = (X + 1)10 + (X − 1)10 cu forma algebric˘a f = a10 X 10 + a9 X 9 + . . . + a1 X + a0 . a) S˘ a se calculeze f (0). b) S˘ a se calculeze suma coeficient¸ilor polinomului f . f (1) + f (−1) · c) S˘ a se arate c˘ a a0 + a2 + a4 + . . . + a10 = 2

2.

1 4x ¸si g : R → R, g(x) = · Se mai consider˘ a ¸sirul 4x4 + 1 2x2 − 2x + 1 ∗ (an )n≥1 , definit prin an = f (1) + f (2) + . . . + f (n), (∀) n ∈ N . Se consider˘ a funct¸iile f : R → R, f (x) =

a) S˘ a se arate c˘ a f (x) = g(x) − g(x + 1), (∀) x ∈ R. 1 b) S˘ a se arate c˘ a an = 1 − 2 , (∀) n ∈ N∗ . 2n + 2n + 1 c) S˘ a se calculeze lim an . n→∞ Z 1 d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

SUBIECTUL III În mult¸imea M2 (Q) se consider˘ a submult¸imea G = a) S˘ a se verifice c˘ a I2 =

1 0

a 3b

b 2 2 a − 3b = 1, a, b ∈ Q . a

0 ∈ G. 1

b) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A, B ∈ G, atunci AB ∈ G. a b a −b −1 c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a X ∈ G, X = , atunci X este matrice inversabil˘a ¸si X = 3b a −3b a a b d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o matrice A ∈ G, A = cu b 6= 0. 3b a 47

e) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a B ∈ G, B =

a 3b

b cu a > 0, b > 0, atunci B n 6= I2 , (∀) n ∈ N∗ . a

f ) S˘ a se arate c˘ a mult¸imea G este infinit˘ a.

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸iile f, g : R → R, f (x) = arctg x, g(x) = arctg x − x ¸si ¸sirul (an )n∈N , definit prin a0 = 1 ¸si an+1 = f (an ), (∀) n ∈ N. a) S˘ a se calculeze f 0 (x) ¸si g 0 (x), x ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este strict cresc˘ atoare pe R ¸si c˘a funct¸ia g este strict descresc˘atoare pe R. c) S˘ a se arate c˘ a g(x) = 0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a x = 0. d) S˘ a se arate c˘ a ¸sirul (an )n∈N este descresc˘ ator ¸si m˘arginit. e) S˘ a se calculeze lim an . n→∞

f ) S˘ a se calculeze lim

n→∞

an+1 · an

48

SESIUNEA AUGUST

Varianta 1 Profilul pedagogic

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a mult¸imea A compus˘ a din toate numerele de patru cifre distincte, scrise ˆın baza 10, formate cu cifrele 1, 2, 3 ¸si 4. a) S˘ a se determine num˘ arul elementelor mult¸imii A. Se ordoneaz˘ a cresc˘ ator elementele mult¸imii A. (Pe locul ˆıntâi este cel mai mic element, pe locul doi este urm˘ atorul, etc.). b) S˘ a se determine elementul din mult¸imea A, situat pe locul trei. c) S˘ a se afle pe ce loc se g˘ ase¸ste elementul 4132 ˆın mult¸imea A.

2.

Un c˘ al˘ ator are de parcurs o distant¸˘ a ˆıntre dou˘a ora¸se. În prima zi el a parcurs jum˘atate din distant¸˘ a ¸si ˆınc˘ a un kilometru. A doua zi el a parcurs jum˘ atate din distant¸a r˘amas˘a ¸si ˆınc˘a un kilometru. A treia zi a parcurs ultimii 30 de kilometri. a) S˘ a se determine distant¸a parcurs˘ a de c˘al˘ator ˆın ziua a doua. b) S˘ a se determine distant¸a parcurs˘ a de c˘al˘ator ˆın prima zi. c) S˘ a se afle cˆ ate zile ar fi durat c˘ al˘ atoria, dac˘a ˆın fiecare zi c˘al˘atorul ar fi parcurs jum˘atate din distant¸a r˘ amas˘ a ¸si ˆınc˘ a un kilometru.

3.

Se consider˘ a num˘ arul a = 2 · 4 · 6 · . . . · 50. a) S˘ a se determine num˘ arul de zerouri cu care se termin˘a num˘arul a ˆın scrierea zecimal˘a. b) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul a nu este p˘ atratul unui num˘ar natural. c) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul a nu este cubul unui num˘ar natural.

SUBIECTUL II 1. În mult¸imea M2 (C) se consider˘ a matricele A =

a c

b p ¸si B = d q

r . s

a) S˘ a se calculeze AB. b) S˘ a se calculeze det (A) ¸si det (B). c) S˘ a se verifice c˘ a det (AB) = det (A) · det (B). d) Utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, s˘a se arate c˘a det (X1 · X2 · . . . · Xn ) = det (X1 ) · det (X2 ) · . . . · det (Xn ), (∀) n ∈ N∗ ¸si (∀) X1 , X2 , . . ., Xn ∈ M2 (C). 2.

ad˘ acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. Se consider˘ a polinomul f = X 4 + 4, cu r˘ a) S˘ a se verifice c˘ a f = (X 2 − 2X + 2)(X 2 + 2X + 2). b) S˘ a se arate c˘ a polinomul f nu are r˘ ad˘ acini reale. c) S˘ a se calculeze S = x1 + x2 + x3 + x4 . 1 1 1 1 ++ + + · d) S˘ a se calculeze T = x1 x2 x3 x4 SUBIECTUL III

1.

Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦”, definit˘a prin x ◦ y = x + y − 1. a) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se determine num˘ arul real e, pentru care x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R. 49

c) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ 2002 nu este p˘atratul unui num˘ar natural. d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a elemente a, b ∈ R\Q, pentru care a ◦ b ∈ Q. 2.

a) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a numere naturale c ¸si d, cu proprietatea c˘a c2 + d2 = 41. b) S˘ a se arate c˘ a nu exist˘ a dou˘ a numere naturale x ¸si y, cu proprietatea c˘a x2 + y 2 = 43.

SUBIECTUL IV Pe planul dreptunghiului ABCD cu laturile AB = 8 ¸si BC = 6 se ridic˘a perpendicularele AA0 = 8, BB 0 = 4, CC 0 = 2 ¸si DD0 = 6. a) S˘ a se calculeze lungimile segmentelor A0 B 0 , B 0 C 0 , C 0 D0 ¸si A0 D0 . b) S˘ a se verifice c˘ a AA0 + CC 0 = BB 0 + DD0 . c) S˘ a se calculeze lungimile liniilor mijlocii ˆın trapezele AA0 C 0 C ¸si BB 0 D0 D. d) S˘ a se arate c˘ a punctele A0 , B 0 , C 0 ¸si D0 sunt coplanare. e) S˘ a se arate c˘ a patrulaterul A0 B 0 C 0 D0 este paralelogram. f ) S˘ a se calculeze aria patrulaterului A0 B 0 C 0 D0 .

50

Varianta 2

SUBIECTUL I 1. Într-o cofet˘ arie, o bomboan˘ a cost˘ a 2 euro ¸si o ciocolat˘a cost˘a 7 euro. Un copil are 45 euro ¸si cump˘ar˘a bomboane ¸si ciocolat˘ a. Numim ”combinat¸ie de bomboane ¸si ciocolate de 45 euro” un num˘ar de bomboane ¸si un num˘ ar de ciocolate care cost˘ a ˆımpreun˘ a 45 euro. De exemplu, 19 bomboane ¸si o ciocolat˘a constituie ”combinat¸ie de bomboane ¸si ciocolate de 45 euro”. a) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o alt˘ a ”combinat¸ie de bomboane ¸si ciocolate de 45 euro”. b) S˘ a se determine num˘ arul maxim de ciocolate pe care ˆıl poate cont¸ine o ”combinat¸ie de bomboane ¸si ciocolate de 45 euro”. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a num˘ arul total de ”combinat¸ii de bomboane ¸si ciocolate de 45 euro”. 2.

Un autoturism cost˘ a la lansarea pe piat¸˘ a 10000 euro. Dup˘a fiecare an, pret¸ul s˘au scade cu 20% din valoarea avut˘ a la ˆınceputul anului. a) S˘ a se afle cˆ at va costa autoturismul peste un an. b) S˘ a se determine pret¸ul autoturismului dup˘a trei ani. c) S˘ a se determine cel mai mic num˘ ar natural n, cu proprietatea c˘a dup˘a n ani autoturismul va costa mai put¸in de 5000 euro.

3.

Se consider˘ a num˘ arul natural a = 1 · 2 · 3 · 4 · 5. a) S˘ a se determine num˘ arul divizorilor naturali ai num˘arului a. b) S˘ a se calculeze suma tuturor divizorilor naturali ai num˘arului a. c) S˘ a se calculeze produsul tuturor divizorilor naturali ai num˘arului a.

SUBIECTUL II 1.

Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦”, definit˘a prin x ◦ y = x + y − 1. a) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. b) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a elemente a, b ∈ Q\Z, pentru care a ◦ b ∈ Z. c) S˘ a se determine cel mai mare num˘ ar natural n, pentru care 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ n < 2002. d) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia 2x ◦ 4x = 5.

2.

Se consider˘ a mult¸imea A = {3x + 4y | x, y ∈ N}. a) S˘ a se verifice c˘ a numerele 6, 7, 8 apart¸in mult¸imii A. b) S˘ a se arate c˘ a5∈ / A. c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a n ∈ A, atunci n + 3 ∈ A. d) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a n ∈ N, 6 ≤ n ≤ 2002, atunci n ∈ A.

SUBIECTUL III 1. În mult¸imea M2 (Z) se consider˘ a submult¸imea G =

a b

−b 1 a, b ∈ Z ¸si matricea I2 = a 0

a) S˘ a se verifice c˘ a I2 ∈ G. b) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A, B ∈ G, atunci A · B ∈ G. c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A, B ∈ G, atunci det (AB) = det (A) · det (B). d) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a A ∈ G ¸si det (A) = 1, atunci A4 = I2 . 2.

a) S˘ a se verifice identitatea (a2 − 1)2 + (2a)2 = (a2 + 1)2 , (∀) a ∈ R. b) S˘ a se g˘ aseasc˘ a o solut¸ie (x, y) ∈ (Q\Z) × (Q\Z) a ecuat¸iei x2 + y 2 = 1. c) S˘ a se arate c˘ a ecuat¸ia x2 + y 2 = 1 are o infinitate de solut¸ii ˆın mult¸imea (Q\Z) × (Q\Z). 51

0 . 1

SUBIECTUL IV Piramida patrulater˘ a regulat˘ a cu vˆ arful V ¸si baza ABCD are V A = AB = a. a) S˘ a se calculeze apotema piramidei. b) S˘ a se calculeze aria lateral˘ a a piramidei. c) S˘ a se calculeze ˆın˘ alt¸imea piramidei. d) S˘ a se calculeze volumul piramidei. e) S˘ a se arate c˘ a muchiile V A ¸si V C sunt perpendiculare. f ) Fie punctul P ∈ (V C). S˘ a se determine lungimea segmentului P C, astfel ˆıncât perimetrul triunghiului BP D s˘ a fie minim.

52

Varianta 3

SUBIECTUL I 1.

La examenul de bacalaureat, proba de limba ¸si literatura român˘a, o elev˘a a scris 15 pagini numerotate de la 1 la 15. a) S˘ a se afle de cˆ ate ori a folosit cifra 1 pentru numerotarea paginilor. b) S˘ a se afle suma numerelor tuturor paginilor. c) S˘ a se determine suma tuturor cifrelor folosite pentru numerotarea paginilor.

2. Într-o ferm˘ a sunt g˘ aini ¸si fiecare dintre ele face exact câte un ou la dou˘a zile. În prima zi fermierul a luat 23 de ou˘ a, iar a doua zi a luat 17 ou˘ a. a) S˘ a se afle cˆ ate g˘ aini sunt la ferm˘ a. b) S˘ a se afle cˆ ate ou˘ a a strˆ ans fermierul dup˘a 10 zile. c) S˘ a se afle cel mai mic num˘ ar natural nenul n, cu proprietatea c˘a la sfâr¸situl zilei n, fermierul a strˆ ans ˆın total cel put¸in 2002 ou˘ a. 3.

Se consider˘ a numerele rat¸ionale a1 , a2 , . . ., an , . . ., unde a1 = 2, a2 = 6 ¸si an+1 =

an , (∀) n ∈ N, n ≥ 2. an−1

a) S˘ a se determine numerele a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 . b) S˘ a se determine a2002 . c) S˘ a se calculeze S = a1 + a2 + . . . + a2002 .

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a mult¸imea M = {a2 − 2b2 | a, b ∈ Z}. a) S˘ a se verifice c˘ a 0 ∈ M ¸si 1 ∈ M . b) S˘ a se verifice identitatea (a2 − 2b2 )(c2 − 2d2 ) = (ac + 2bd)2 − 2(ad + bc)2 , (∀) a, b, c, d ∈ Z. c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a x, y ∈ M , atunci x · y ∈ M . d) S˘ a se arate c˘ a3∈ / M.

2. În mult¸imea M2 (Z3 ) se consider˘ a matricele A =

ˆ1 ˆ0

ˆ1 ˆ2 ˆ2 , B = ˆ2

ˆ1 0ˆ ˆ2 ¸si I2 = ˆ0

0ˆ ˆ1 , precum ¸si submult¸imea

G = {X ∈ M2 (Z3 ) | X 2 = I2 }. a) S˘ a se verifice c˘ a I2 ∈ G. b) S˘ a se arate c˘ a A ∈ G ¸si B ∈ G. c) S˘ a se arate c˘ a AB ∈ / G. d) S˘ a se afle cel mai mic num˘ ar natural nenul n, pentru care (AB)n = I2 .

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1, având r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. a) S˘ a se calculeze f (1) ¸si f (−1). b) S˘ a se determine a ∈ C astfel ˆıncˆ at s˘ a avem identitatea f = a(X − x1 )(X − x2 )(X − x3 )(X − x4 ). c) S˘ a se arate c˘ a (1 − x1 )(1 − x2 )(1 − x3 )(1 − x4 ) = 5. d) S˘ a se arate c˘ a (1 + x1 )(1 + x2 )(1 + x3 )(1 + x4 ) = 1.

2.

Se consider˘ a numerele a = 11 · 12 · . . . · 20, b = 1 · 2 · . . . · 10 ¸si c = 21 · 22 · . . . · 30. a) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul a nu este p˘ atratul unui num˘ar natural. b) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul b divide num˘ arul a. 53

c) S˘ a se arate c˘ a num˘ arul a nu divide num˘arul c.

SUBIECTUL IV Se consider˘ a un triunghi ABC ¸si M un punct situat ˆın interiorul sau pe laturile triunghiului ABC. Se duc perpendiculare din punctul M pe dreptele AB, BC ¸si AC ˆın D, E respectiv F . Not˘am cu ha ≤ hb ≤ hc lungimile ˆın˘ alt¸imilor triunghiului ABC duse din A, B respectiv C. a) S˘ a se verifice c˘ a b) S˘ a se arate c˘ a

SAM B SBM C SCM A + + = 1, unde prin SXY Z am notat aria triunghiului XY Z. SABC SABC SABC

SAM B MD = · SABC hc

c) S˘ a se deduc˘ a relat¸ia

MD ME MF + + = 1. hc ha hb

d) S˘ a se verifice egalitatea M D + M E + M F =

ME MF MD · hc + · ha + · hb . hc ha hb

e) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a x, y, z, a, b, c ∈ R, x ≤ y ≤ z ¸si a, b, c ∈ [0, 1] cu a + b + c = 1, atunci x ≤ ax + by + cz ≤ z. f ) Utilizˆ and relat¸iile de la punctele c), d) ¸si e), s˘a se arate c˘a ha ≤ M D + M E + M F ≤ hc , pentru orice punct M situat ˆın interiorul sau pe laturile triunghiului ABC.

54

SESIUNEA AUGUST

Varianta 1 Profilul uman

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 + X 3 + 1, cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. 2 2 X2 X2 X4 a) S˘ a se verifice c˘ a f = 1− + X+ + · 2 2 2 b) S˘ a se arate c˘ a f (x) > 0, (∀) x ∈ R. c) S˘ a se arate c˘ a polinomul f nu are r˘ ad˘ acini reale. d) S˘ a se determine a ∈ C pentru care avem identitatea f = a(X − x1 )(X − x2 )(X − x3 )(X − x4 ). e) S˘ a se arate c˘ a (1 − x1 )(1 − x2 )(1 − x3 )(1 − x4 ) = 3.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) =

2x + 1 · (x2 + 2)(x2 + 2x + 3)

1 1 − , (∀) x ∈ R. x2 + 2 (x + 1)2 + 2 determine asimptotele la graficul funct¸iei f . 1 1 , (∀) n ∈ N∗ . arate c˘ a f (1) + f (2) + . . . + f (n) = − 3 (n + 1)2 + 2 calculeze lim (f (1) + f (2) + . . . + f (n)). n→∞ 1 2 calculeze lim n f (1) + f (2) + . . . + f (n) − . n→∞ 3

a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = b) S˘ a se c) S˘ a se d) S˘ a se e) S˘ a se

SUBIECTUL II Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦”, definit˘a prin x ◦ y = 3xy + 3x + 3y + 2. a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ y = 3(x + 1)(y + 1) − 1, (∀) x, y ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. c) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ (−1) = (−1) ◦ x = −1, (∀) x ∈ R. d) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a elemente a, b ∈ Q − Z, pentru care a ◦ b ∈ Z. e) Utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a (∀) n ∈ N∗ , avem a1 ◦ a2 ◦ . . . ◦ an = 3n−1 · (a1 + 1) · (a2 + 1) · . . . · (an + 1) − 1, (∀) a1 , a2 , . . ., an ∈ R. f ) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia x ◦ x ◦ x ◦ x = −1. SUBIECTUL III În mult¸imea M2 (C) se consider˘ a matricele A =

−3 −2

5 1 ¸si I2 = 3 0

G = {X ∈ M2 (C) | AX = XA}. a) S˘ a se verifice c˘ a A ∈ G ¸si I2 ∈ G. b) S˘ a se calculeze determinantul matricei A. c) S˘ a se verifice c˘ a A2 = −I2 . d) S˘ a se arate c˘ a A2 X = XA2 , (∀) X ∈ M2 (C). e) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a a, b ∈ C, atunci matricea B = aI2 + bA ∈ G. 55

0 , precum ¸si submult¸imea 1

f ) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a X ∈ G, atunci exist˘ a x, y ∈ C astfel ˆıncât X = xI2 + yA. SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = 1 +

x2 + 2 · x2 + 1

1 , (∀) x ∈ R. x2 + 1

b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este strict cresc˘ atoare pe (−∞, 0] ¸si strict descresc˘atoare pe [0, ∞). Z 1 d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

e) S˘ a se calculeze lim f (x). x→∞

f ) S˘ a se calculeze lim n2 (f (n) − 1). n→∞

56

Varianta 2

SUBIECTUL I 1.

a) S˘ a se verifice c˘ a (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a), (∀) a, b, c ∈ C. b) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a a, b, c ∈ C ¸si (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 , atunci a + b = 0 sau b + c = 0 sau c + a = 0. c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a a, b, c ∈ C ¸si (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 , atunci (a + b + c)2003 = a2003 + b2003 + c2003 . d) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia (2x + 3x − 4x )3 = 23x + 33x − 43x . e) S˘ a se rezolve ˆın C ecuat¸ia (x2 + x + 1)3 = x6 + x3 + 1.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2002 + 1. a) S˘ a se calculeze f 0 (x), (∀) x ∈ R. f (x) − f (1) b) S˘ a se calculeze lim · x→1 x−1 c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f este convex˘ a pe R. Z 1 d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

xf 0 (x) · x→∞ f (x)

e) S˘ a se calculeze lim

SUBIECTUL II Se consider˘ a polinomul f = X 4 − X 3 + X 2 − X + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. ! ! √ √ 1− 5 1+ 5 2 2 X +1 X − X +1 . a) S˘ a se verifice c˘ af= X − 2 2 b) S˘ a se arate c˘ a polinomul f nu are r˘ ad˘ acini reale. c) S˘ a se arate c˘ a X 5 + 1 = (X + 1) · f . d) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a z ∈ C este r˘ ad˘ acina polinomului f , atunci z 5 = −1. 10 10 10 e) S˘ a se arate c˘ a x10 1 + x2 + x3 + x4 = 4.

f ) S˘ a se arate c˘ a

1 1 1 1 + 5 + 5 + 5 = −4. x51 x2 x3 x4

SUBIECTUL III 1 0

0 , precum ¸si submult¸imea 1

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 − x + 1 ¸si ¸sirul (an )n≥2 , definit prin an =

23 + 1 33 + 1 n3 + 1 · · . . . · , 23 − 1 33 − 1 n3 − 1

În mult¸imea M2 (Z) se consider˘ a matricele P =

1 0

10 1 ,Q= −1 3

0 −1

¸si I2 =

G = {A ∈ M2 (Z) | A2 = I2 }. a) S˘ a se verifice c˘ a I2 ∈ G. b) S˘ a se arate c˘ a P ∈ G ¸si Q ∈ G. c) S˘ a se calculeze P · Q. d) S˘ a se arate c˘ a P ·Q∈ / G. e) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a An =

1 n

0 , (∀) n ∈ Z, atunci An ∈ G, (∀) n ∈ Z. −1

f ) S˘ a se demonstreze c˘ a mult¸imea G este infinit˘a. SUBIECTUL IV

(∀) n ∈ N, n ≥ 2. 57

a) S˘ a se verifice c˘ a f (x + 1) = x2 + x + 1, (∀) x ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a

x3 + 1 x+1 f (x) = · , (∀) x > 1. x3 − 1 x − 1 f (x + 1)

c) Utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a an = d) S˘ a se calculeze lim an . n→∞

Z

n

f (x) dx e) S˘ a se calculeze lim

n→∞

0

n3

·

58

3n(n + 1) , (∀) n ∈ N, n ≥ 2. 2(n2 + n + 1)

Varianta 3

SUBIECTUL I 2.

Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦”, definit˘a prin x ◦ y = xy + 3x + 3y + 6. a) S˘ a se verifice c˘ a x ◦ y = (x + 3)(y + 3) − 3, (∀) x, y ∈ R. b) S˘ a se arate c˘ a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R. c) S˘ a se g˘ aseasc˘ a dou˘ a elemente a, b ∈ Q − Z, pentru care a ◦ b ∈ N. d) S˘ a se rezolve ˆın intervalul (0, ∞) ecuat¸ia (log2 x) ◦ (log3 x) = −3. e) S˘ a se rezolve ˆın R ecuat¸ia (x + 1) ◦ (x2 − 4) = −3.

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : [0, ∞) → R, f (x) =

1 . (x + 1)(x + 2)

1 1 − , (∀) x ∈ [0, ∞). x+1 x+2 b) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ [0, ∞). a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) =

c) S˘ a se determine asimptotele la graficul funct¸iei f . Z 1 d) S˘ a se calculeze f (x) dx. 0

1 1 − , (∀) n ∈ N∗ . 2 n+2 f ) S˘ a se calculeze lim (f (1) + f (2) + . . . + f (n)).

e) S˘ a se calculeze f (1) + f (2) + . . . + f (n) = n→∞

SUBIECTUL II a În mult¸imea M2 (C) se consider˘ a matricele A = c

b e ,B= d g

f . h

a) S˘ a se calculeze AB ¸si BA. b) S˘ a se arate c˘ a suma elementelor de pe diagonala principal˘a a matricelor AB ¸si BA este aceea¸si. c) S˘ a se arate c˘ a det (A + B) + det (A − B) = 2(det (A) + det (B)). d) S˘ a se demonstreze c˘ a det (AB) = det (A) det (B). e) Utilizˆ and metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a det (A1 · A2 · . . . · An ) = det (A1 ) · det (A2 ) · . . . · det (An ), (∀) n ∈ N∗ ¸si (∀) A1 , A2 , . . ., An ∈ M2 (C). f ) S˘ a se arate c˘ a det (An ) = detn (A), (∀) n ∈ N∗ ¸si A ∈ M2 (C). SUBIECTUL III Se consider˘ a mult¸imea M = {a2 − 2b2 | a, b ∈ Z}. a) S˘ a se verifice c˘ a 0 ∈ M ¸si 1 ∈ M . b) S˘ a se verifice identitatea (a2 − 2b2 )(c2 − 2d2 ) = (ac + 2bd)2 − 2(ad + bc)2 , (∀) a, b, c, d ∈ Z. c) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a x, y ∈ M , atunci x · y ∈ M . d) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ aa ˆ ∈ Z3 , atunci a ˆ2 ∈ {ˆ 0, ˆ1}. e) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ aa ˆ, ˆb ∈ Z3 ¸si a ˆ2 − ˆ 2ˆb2 = ˆ0, atunci a ˆ = ˆb = ˆ0. f ) S˘ a se arate c˘ a M 6= Z.

59

SUBIECTUL IV Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = 1 − x2 + x4 . a) S˘ a se verifice c˘ a f (x) = b) S˘ a se arate c˘ a f (x) ≥

x6 + 1 , (∀) x ∈ R. x2 + 1

1 , (∀) x ∈ R. 1 + x2

c) S˘ a se calculeze f 0 (x), x ∈ R. d) S˘ a se determine punctele de extrem local ale funct¸iei f . e) S˘ a se determine punctele de inflexiune ale funct¸iei f . xf (x) · x→∞ F (x)

f ) Not˘ am cu F : R → R o primitiv˘ a a funct¸iei f . S˘a se calculeze lim

60

BACALAUREAT 2003 ˘ SESIUNEA SPECIALA

M1

Filiera teoretic˘a, specializarea matematic˘a - informatic˘ a. Filiera vocat¸ional˘ a, profil Militar, specializarea matematic˘a - informatic˘ a.

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. În inelul M2 (Z2 ) se consider˘ a matricele I2 = 1.

b) 8;

c) 10;

d) 12.

c) 3;

d) 6.

Câte solut¸ii are ecuat¸ia X 2 = O2 ˆın M2 (Z2 )? a) 5;

3.

ˆ0 ˆ0 ˆ0 , O = 2 ˆ1 ˆ0 ˆ0 .

Câte elemente are mult¸imea M2 (Z2 )? a) 16;

2.

ˆ1 ˆ0

b) 4;

Câte elemente inversabile fat¸˘ a de ˆınmult¸ire are inelul M2 (Z2 )? a) 8;

b) 4;

c) 7;

d) 6.

matrice A, B ∈ M2 (Z2 ) avem AB 6= BA? ˆ0 ˆ1 ˆ ˆ0 ˆ0 0 b) A = , B = ; ˆ0 ˆ0 ˆ ˆ ˆ ; 1 1 0 ˆ1 ˆ0 d) A = O2 , B = ˆ ˆ . 0 0

4.

Pentru care din urm˘atoarele ˆ1 ˆ ˆ 0 0 a) A = ˆ ˆ , B = ˆ 0 0 0 ˆ 1 ˆ 1 c) A = I2 , B = ˆ ˆ ; 1 1

5.

Care din urm˘atoarele ecuat¸ii este verificat˘ a de toate elementele inelului M2 (Z2 )? a) X 4 = X 2 ;

b) X 6 = X 2 ;

c) X 8 = X 2 ;

d) X 4 = X.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 − 3X + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. 6.

Suma x1 + x2 + x3 + x4 este: a) 3;

7.

b) −5;

c) 1;

d) −1.

b) 2;

c) 0;

d) 1.

c) 4;

d) −4.

Suma x41 + x42 + x43 + x44 este: a) 16;

10.

d) 4.

Num˘ arul de r˘ad˘acini rat¸ionale ale polinomului f este: a) 4;

9.

c) −3;

Produsul f (1)f (−1) este: a) 5;

8.

b) 0;

b) 0;

Mult¸imea A = {x ∈ Q\Z | f (x) ∈ Z} este: a) b) c) d)

Format˘a dintr-un element; Infinit˘a; Finit˘a, având cel put¸in 2 elemente; Vid˘ a.

1

11.

Mult¸imea B = {x ∈ R\Q | f (x) ∈ N} este: a) b) c) d)

12.

Format˘a dintr-un element; Infinit˘a; Finit˘a, având cel put¸in 2 elemente; Vid˘ a.

Egalitatea (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a), unde a, b, c ∈ C, are loc: a) (∀) a, b, c ∈ C;

13.

c) Numai dac˘a a = b = c;

d) Numai dac˘a a = b.

Num˘ arul de solut¸ii complexe ale ecuat¸iei (x2 − x + 2)3 = x6 − x3 + 8 este: a) 3;

14.

b) Numai dac˘ a a = 0;

b) 6;

c) 4;

d) 5.

Suma solut¸iilor reale ale ecuat¸iei (2x − 3x + 5x )3 = 8x − 27x + 125x este: 1 a) 1; b) 0; c) −1; d) · 2 Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).

15.

Ecuat¸ia f (x) = 0, x ∈ R, are suma solut¸iilor: a) 10;

16.

b) 0;

d) 4.

Ecuat¸ia f 0 (x) = 0, x ∈ R, are num˘ arul solut¸iilor: a) 0;

17.

c) −10;

b) 2;

c) 1;

d) 3.

Num˘ arul punctelor de extrem local ale funct¸iei f este: a) 1;

b) 4;

c) 3;

d) 2.

Pentru fiecare num˘ ar natural nenul n, not˘ am cu Un = {z ∈ C | z n = 1}. 18.

Num˘ arul i apart¸ine mult¸imii: a) U6 ;

19.

b) U2 ;

b) 6;

b) 1;

Mult¸imea U6 ∩ U4 este: a) U2 ;

23.

d) 4.

c) 4;

d) −1.

Num˘ arul de elemente ale mult¸imii U6 ∪ U15 este: a) 21;

22.

c) 5;

Suma elementelor mult¸imii U4 este: a) 0;

21.

d) U3 .

Num˘ arul de elemente ale mult¸imii U4 este: a) 7;

20.

c) U4 ;

b) 20;

c) 19;

d) 18.

b) U12 ;

c) U24 ;

d) U10 .

Suma elementelor mult¸imii U6 ∪ U10 ∪ U15 este: a) 0;

b) 3;

c) −1;

d) 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = ln x ¸si integralele In (p), unde n, p ∈ N∗ , In (p) = 24.

I1 (p) =

Z

1

0

a) 1 − p; 25.

(1 − xp ) dx, p ∈ N∗ , este: b)

p ; p+1

c)

1 d) 1 − · p

1 ; p

Pentru ce valori n, p ∈ N∗ , n ≥ 2, are loc egalitatea In (p) =

np In−1 (p)? np + 1

(Se poate folosi eventual metoda integr˘arii prin p˘ art¸i) a) (∀) n, p ∈ N∗ , n ≥ 2; c) Numai cˆ and n > p;

b) Numai cˆ and n < p; d) Numai cˆ and n = p. 2

Z

0

1

(1 − xp )n dx.

26.

a) Numai pentru n < 2003; c) (∀) n ∈ N∗ ; 27.

f 0 (x), x > 0, este: a) x(ln x − 1);

28.

2n n2 n · ·...· 2 ? n + 1 2n + 1 n +1 b) Numai pentru n = 2003; d) Numai pentru n > 2003.

Pentru ce valori ale lui n ∈ N∗ are loc egalitatea In =

b)

1 ; x2 − 1

c)

1 ; x

d) x.

1 1 Mult¸imea tuturor valorilor lui x ∈ (0, ∞) pentru care avem simultan inegalit˘a¸tile < ln(x + 1) − ln x < , x+1 x este: (Se poate folosi eventual teorema lui Lagrange)

29.

a) (0, 1); b) (0, ∞); c) (1, ∞); 1 1 1 1+ · . . . · 1 + 2 este: lim 1 + n→∞ n 2n n a) ∞;

30.

d) (0, e).

b) 1;

c) 2;

d) e.

b) 0, 5;

c) 0;

d) 1.

lim In (n) este:

n→∞

a) ∞;

3

˘ SESIUNEA SPECIALA

M1

Filiera teoretic˘a, specializarea S ¸ tiint¸e ale naturii; Filiera tehnologic˘a, profil Tehnic, toate specializ˘ arile - pentru absolvent¸ii claselor a XII-a, promot¸ia 2003

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. Se consider˘ a ¸sirul (In )n∈N , definit prin I0 (x) = 1 ¸si In+1 (x) =

Z

0

1.

x ; 10

d) 2004.

b) 1;

c)

x ; 2

d) 0.

b) 10!x10 ;

c)

x10 ; 10!

d) x10 .

b) 0;

c) ∞;

d) −∞.

c) e;

d) 0.

lim In (x), x ∈ R, este:

n→∞

a) e; 5.

c) 2002;

I10 (x), x ∈ R, este: a)

4.

b) 2003;

I1 (x), x ∈ R, este: a) x;

3.

In (t) dt, (∀) x ∈ R, (∀) n ∈ N.

Suma I0 (1) + I0 (2) + . . . + I0 (2003) este: a) 0;

2.

x

I0 (1) + I1 (1) + . . . + In (1) este: n→∞ n a) ∞; b) 1; lim

În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(3, 4), B(−4, 3), C(0, −5) ¸si O(0, 0). 6.

Suma OA + OB + OC este: a) 15;

7.

8.

Punctele A, B ¸si C se afl˘a pe curba: x2 x2 y2 y2 a) b) − = 1; + = 1; 25 16 9 16

10.

b) 7x = y + 25;

Panta dreptei AC este: 1 1 a) ; b) ; 9 3

d) 11.

c) x + y = 7;

d) x2 + y 2 = 25.

c) 7y = x + 25;

d) (xy)2 = 122 .

c) 9;

d) 3.

c) 60;

d) 25.

Aria triunghiului ABC este: a) 35;

11.

c) 10;

Ecuat¸ia dreptei AB este: a) x2 + y 2 = 25;

9.

b) 12;

b) 30;

Raza cercului circumscris triunghiului ABC este: a) 4;

b) 5;

c) 3;

d) 4, 5.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 − 5X 2 + 1, cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. 4

12.

Câte r˘ad˘acini reale are polinomul f ? a) 2;

13.

b) 0;

b) 0;

c) 3;

d) 2.

c) 1;

d) −5.

Suma x1 + x2 + x3 + x4 este: a) 5;

15.

d) 3.

Câte r˘ad˘acini rat¸ionale are polinomul f ? a) 1;

14.

c) 4;

b) 0;

Suma x2003 + x2003 + x2003 + x2003 apart¸ine mult¸imii: 1 2 3 4 a) R\Q;

b) N;

c) Z\N;

d) Q\Z.

Se consider˘ a funct¸iile f : R → R, f (x) = arctg x − x +

h(x) = arctg x. 16.

f 0 (x), x ∈ R, este: a) −

17.

18.

f (x) este: x5 1 a) ; 5

x2 ; 1 + x2

c)

x4 ; 1 + x2

d) −

1 . 1 + x2

lim

1 b) − ; 5

g 0 (x), x ∈ R, este: x6 ; 1 + x2

b)

x4 ; 1 + x2

d) ∞.

c) 0;

c)

x6 ; 1 + x2

d) −

x4 . 1 + x2

(f (0))2 + (g(0))2 este: a) 1;

20.

b)

x→0

a) − 19.

x4 ; 1 + x2

x5 x3 , g : R → R, g(x) = f (x) − , h : R → R, 3 5

b) 0;

d) 22 .

c) π;

Mult¸imea valorilor reale ale lui x, pentru care avem adev˘arate simultan inegalit˘a¸tile urm˘atoare x− x5 x3 + , este: 3 5 a) (0, ∞);

x3 < arctg x < 3

x− 21.

b) (0, 1);

c) (1, ∞);

d) (−∞, 0).

Aria suprafet¸ei plane m˘arginit˘ a de axa Ox, graficul funct¸iei h, dreptele de ecuat¸ii x = 0 ¸si x = 1 este un num˘ar cuprins ˆın intervalul: a) (0, 46; 0, 48);

b) (0, 45; 0, 46);

c) (0, 48; 0, 5);

d) (0, 41; 0, 45).

Pe R se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = x + y + 1. Se ¸stie c˘ a legea este asociativ˘ a. 22.

Elementul neutru al legii ”◦” este: a) −2;

23.

b) −x − 1;

c) −x;

b) 21;

c) 19;

d) 22.

Num˘ arul de solut¸ii reale ale ecuat¸iei 4x ◦ 2x = 21 este: a) 0;

b) 1;

c) 3;

În mult¸imea M2 (C) se consider˘ a matricele A = 26.

d) −2 − x.

Elementul (−10) ◦ (−9) ◦ . . . ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 10 este: a) 20;

25.

d) −1.

c) 1;

Simetricul elementului x ∈ R, fat¸˘ a de legea ”◦” este: a) −x + 1;

24.

b) 0;

Matricea A2 este: 1 0 a) ; 0 0

b) O2 ;

d) 2.

0 1 0 0 ¸si O2 = 0 0 0 0

c)

0 1 5

0 ; 0

d) A.

27.

Mult¸imea {X ∈ M2 (C) | XA = AX} este: 0 a a a) b) |a ∈ C ; 0 0 c a 0 a | a, b ∈ C ; c) d) b a 0

28.

Determinantul matricei A este: a) 0;

29.

b) 1;

b | a, b, c ∈ C ; a b | a, b ∈ C . a

c) −1;

Ecuat¸ia Z 2 = O2 are ˆın M2 (C): a) Un num˘ar finit de solut¸ii, strict mai mare decât 1; c) O infinitate de solut¸ii;

30.

d) 10.

b) Exact o solut¸ie; d) Nici o solut¸ie.

Ecuat¸ia Y 2 = A are ˆın M2 (C): a) Nici o solut¸ie; c) Un num˘ar finit de solut¸ii, strict mai mare decât 1;

6

b) Exact o solut¸ie; d) O infinitate de solut¸ii.

BACALAUREAT 2003 SESIUNEA IUNIE

M1

Filiera teoretic˘a, specializarea matematic˘a - informatic˘ a. Filiera vocat¸ional˘ a, profil Militar, specializarea matematic˘a - informatic˘ a.

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. 1.

2.

3.

Produsul ˆ1 · ˆ2 · . . . · ˆ 5, calculat ˆın Z6 este: ˆ a) 0; b) ˆ 2;

c) ˆ1;

d) ˆ3.

Suma ˆ1 + ˆ2 + . . . + ˆ 5, calculat˘ a ˆın Z6 este: ˆ 2; a) 0; b) ˆ

c) ˆ1;

d) ˆ3.

Care este ordinul elementului ˆ 2 ˆın grupul (Z6 , +)? a) 4;

4.

b) 6;

Câte solut¸ii are ˆın inelul Z6 ecuat¸ia ˆ 3·x ˆ = ˆ0? a) 3;

b) 4;

c) 2;

d) 3.

c) 1;

d) 2.

Se consider˘ a ¸sirurile (an )n∈N∗ ¸si (bn )n∈N∗ , an = 5.

Mult¸imea {n ∈ N∗ | an < an+1 }, este:

a) Format˘a dintr-un element; c) Finit˘a, având cel put¸in 2 elemente;

6.

Mult¸imea {n ∈ N∗ | bn > bn+1 }, este: a) N∗ ; c) ∅;

7.

b) ∅; d) N∗ .

b) Format˘a dintr-un element; d) Finit˘a, având cel put¸in 2 elemente.

S ¸ tiind c˘ a ¸sirurile (an )n∈N∗ ¸si (bn )n∈N∗ sunt convergente, not˘am a = lim an ¸si b = lim bn . Atunci a − b este: n→∞

a) 1; 8.

1 1 1 1 1 s i b n = an + , (∀) n ∈ N∗ . 2 + 2 + 2 + ... + 2 ¸ 1 2 3 n 2 2 2 2 2n · 2n2

b) 0, 25;

c) 0;

d) 0, 5.

c) R − Q;

d) N.

n→∞

Num˘ arul a = lim an apart¸ine mult¸imii: n→∞

a) Z − N;

b) Q − Z;

Se consider˘ a polinomul f = X 4 − 14X 2 + 9, cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C, elementul a = A = {g(a) | g ∈ Z[X]}, B = {g(a) | g ∈ Z[X], grad(g) ≤ 3}. 9.

10.

Care dintre elementele urm˘atoare nu este r˘ad˘acin˘a a polinomului f ? √ √ √ √ √ √ √ √ a) 2 + 3; b) 2 + 5; c) − 2 + 5; d) 2 − 5. Suma x1 + x2 + x3 + x4 este: a) −14;

11.

b) 0;

Produsul x1 · x2 · x3 · x4 este: a) −9;

b) 0;

c) 14;

d) 4.

c) 9;

d) 14. 7

√

√ 2 + 5 ¸si mult¸imile

12.

√ √ √ Dac˘ a p 2 + q 5 + r 10 + s = 0, cu p, q, r, s ∈ Q, atunci 2p + 5q + 10r + s este: a) 5;

13.

b) 0;

Mult¸imea A − B este:

a) Format˘a dintr-un element; c) Finit˘a, având cel put¸in 2 elemente;

c) 7;

d) 2.

b) Infinit˘a; d) ∅.

În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele An (n, n2 ), n ∈ N. 14.

Panta dreptei A0 A1 este: b) −2;

a) 2; 15.

17.

b) y = x2 ;

Lungimea segmentului A1 A2 este: √ a) 4; b) 10;

b) n;

d) y = x.

c) 10;

d) 3.

c) 1;

d) 2.

Num˘ arul dreptelor care trec prin cˆ ate 2 puncte din mult¸imea {A1 , A2 , . . . , A5 } este: a) 9;

19.

c) x2 + y = 0;

Aria triunghiului An An+1 An+2 este: a) n + 1;

18.

d) −1.

Ecuat¸ia dreptei A0 A1 este: a) x + y = 0;

16.

c) 1;

b) 10;

c) 8;

d) 20.

Câte triunghiuri au vârfurile ˆın mult¸imea {A1 , A2 , . . . , A5 }? a) 5;

b) 20;

c) 15;

d) 10.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = sin x. Not˘ am prin f (n) (x), derivata de ordinul n a funct¸iei f , ˆın punctul x. 20.

21.

Care dintre elementele urm˘atoare este perioad˘a pentru funct¸ia f ? π ; a) 2π; b) 3π; c) 2 Câte puncte de maxim local are funct¸ia f ˆın intervalul [0, 11π]? a) 11;

22.

23.

d) π.

b) 5;

c) 6;

d) 10.

Aria suprafet¸ei plane cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si de dreptele de ecuat¸ii x = 0 ¸si x = 2π, este: a) 2; Z x

lim

0

x→∞

|f (t)| dt x

a) ∞;

b) 3;

c) 0;

d) 4.

b) 1;

c) 0;

d)

este: 2 · π

24.

Lungimea maxim˘ a a unui interval inclus ˆın [0, 2π], pe care funct¸ia f este convex˘ a, este: 3π π ; ; a) π; b) c) d) 2π. 2 2

25.

f (2004) (0) este: a) 0;

b) 0, 5; 

1 Se consider˘ a matricele A ∈ M3,4 (C), A = 0 0 26.

c) −1; 1 1 1 1 0 1

d) 1.   1 1 1 ¸si I3 = 0 1 0

 0 0 1 0. 0 1

Rangul matricei A este: a) 4;

b) 3;

c) 2;

d) 1.

8

27.

  x + y + z + t = 1 Solut¸ia sistemului y + z + t = 0   z+t=0 a) (1, 1, −1, −1);

28.

b) (1, 0, λ, −λ), λ ∈ C;

d) (1, −1, 1 − 1).

b) Are un num˘ar finit de solut¸ii strict mai mare decât 1; d) Are o singur˘a solut¸ie.

Matricea I3 A are suma elementelor: a) 10;

30.

c) (−1, 1, −1, 1);

Ecuat¸ia AX = I3 , cu X ∈ M3,4 (C): a) Nu are solut¸ie; c) Are o infinitate de solut¸ii;

29.

, (x, y, z, t) ∈ C × C × C × C, este:

b) 0;

c) 9;

d) 12.

Mult¸imea {Y ∈ M3,4 (C) | det(Y A) 6= 0} este: a) b) c) d)

Format˘a dintr-un num˘ ar finit de elemente, cel put¸in egal cu 2; Vid˘ a; Infinit˘a; Format˘a dintr-un element.

9

M1

Filiera teoretic˘a, specializarea S ¸ tiint¸e ale naturii Filiera tehnologic˘a, profil Tehnic, toate specializ˘ arile

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. 1.

Suma 1 + 2 + . . . + 2003 este: a) 2003 · 2004;

2.

3.

b) 0;

Produsul 1 · i · i2 · . . . · i2003 este: b) 1;

ˆ ˆın Z13 este: Suma ˆ0 + ˆ1 + ˆ 2 + . . . + 12 ˆ a) 6; b) ˆ 7; Se consider˘ a ¸sirul (In )n∈N∗ , In = n

6.

d) 2002 · 1002. d)

1 · 230

Suma 1 + i + i2 + . . . + i2003 este:

a) −1;

5.

c) 2003 · 1002;

Produsul cos 0◦ · cos 1◦ · . . . · cos 179◦ · cos 180◦ este: 1 1 a) − 30 ; b) 10 10 ; c) 0; 2 2 ·3 a) 1;

4.

b) 2003 · 1001;

I1 =

Z

Z

c) i;

d) 1 + i.

c) i;

d) −i.

c) ˆ1;

d) ˆ0.

1

xn sin x dx.

0

1

x sin x dx este:

0

c) cos 1 − sin 1; d) sin 1 − cos 1. Z 1 Dac˘ a g : [0, 1] → R este o funct¸ie continu˘ a, atunci lim xn g(x) dx este: a) sin 1;

7.

b) sin 1 + cos 1;

n→∞

0

a) g(0, 5);

8.

b) g(1); c) 0; d) g(0). Z 1 Egalitatea In = sin 1 − xn (x cos x + sin x) dx, n ∈ N∗ , este adev˘arat˘a: 0

(Se poate utiliza metoda integr˘ arii prin p˘ art¸i) a) b) c) d) 9.

Pentru exact o valoare a lui n ∈ N∗ ; Pentru orice n ∈ N∗ ; Pentru nici o valoare a lui n ∈ N∗ ; Pentru un num˘ ar finit, strict mai mare decât 1, de valori ale lui n ∈ N∗ .

lim In este:

n→∞

a) sin 1;

b) cos 1;

c) sin 1 + cos 1;

d) sin 1 − cos 1.

Se consider˘ a triunghiul dreptunghic ABC cu catetele AB = 3 ¸si AC = 4. 10.

Lungimea ipotenuzei BC este: √ a) 12; b) 6;

c) 7;

d) 8.

10

11.

Aria triunghiului ABC este: a) 12;

12.

d) 8.

b) 0, 6;

c) 0, 8;

d) 0, 7.

Lungimea ˆın˘alt¸imii care cade pe ipotenuz˘a este: a) 3;

14.

c) 9;

cos B este: a) 0, 75;

13.

b) 6;

b) 2;

c) 2, 4;

Raza cercului circumscris triunghiului ABC este: a) 2, 5;

b) 3;

c) 2;

Se consider˘ a funct¸ia f : R\{−1, −2} → R, f (x) = 15.

17.

b) 3;

f (x) − f (0) este: x a) 0, 75; b) 1;

20.

Expresia f (x) − 2 ; x+1

b) −1;

d) ∞.

d) ∞.

c) 1;

Egalitatea (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 , a, b, c, d ∈ C, este adev˘arat˘a: c) Pentru orice a, b, c, d ∈ C;

b) Numai dac˘ a a = d;

Dac˘ a (a2 + b2 )(c2 + d2 ) − (ac + bd)2 = 0, atunci: b) ad = bc;

c) ac + bd = 0;

d) Numai dac˘a a = c.

d) a + d = b + c.

Num˘ arul de elemente ale mult¸imii {x ∈ R | 5(x4 + x2 ) = (2x2 + x)2 } este: b) 3;

c) 1;

d) 2.

Suma p˘ atratelor solut¸iilor reale ale ecuat¸iei (4x + 25x )(9x + 49x ) = (6x + 35x )2 , este: b) 5;

c) 1;

În mult¸imea M2 (C) se consider˘ a matricele A =

26.

1 1 − ? 2 n+2

b) N∗ ; d) Este finit˘ a, cont¸inând cel put¸in 2 elemente.

a) 0, 5; b) 2; c) 1; 1 lim n · f (1) + f (2) + . . . + f (n) − este: n→∞ 2

a) 0;

25.

d) 2f (x).

lim (f (1) + f (2) + . . . + f (n)) este:

a) 0;

24.

d) −1.

n→∞

a) a+ b + c+ d = 0;

23.

c) −0, 75;

Care este mult¸imea valorilor lui n ∈ N∗ pentru care f (1) + f (2) + . . . + f (n) =

a) Numai dac˘ a a = b;

22.

d) 0.

1 1 + , (∀) x ∈ R\{−1, −2}, este: x+1 x+2 2 b) c) 0; ; x+2

a) −∞; 21.

c) 1;

lim

a) ∅; c) Este format˘a din exact un element; 19.

1 · (x + 1)(x + 2)

x→0

a) − 18.

d) 4.

Câte asimptote verticale are graficul funct¸iei f ? a) 2;

16.

d) 4.

Matricea AB − BA este: −2 4 1 0 ; ; a) b) 2 2 0 1

d) 2.

1 0 1 ,B= 1 −1 0

c)

2 −2

−4 ; −2

2 1 0 ¸si I2 = . −1 0 1

d)

0 0

Determinantul matricei A este: a) −2;

b) −1;

c) 0;

d) 1.

11

0 . 0

27.

Matricea A2 este: a) I2 ;

28.

29.

Inversa matricei A este: −1 −1 ; a) b) A; 0 1

1 c) 0

2 ; 1

−1 c) 1

0 ; 1

1 d) 0

d) I2 .

Rangul matricei X = I2 + A + A2 + A3 + . . . + A2003 este: a) 2;

30.

1 0 ; b) 1 1

b) 0;

c) 2004;

Mult¸imea {n ∈ N∗ | (AB)n = I2 } este: a) b) c) d)

Format˘a din exact un element; Vid˘ a; Infinit˘a; Finit˘a, având ce put¸in 2 elemente.

12

d) 1.

1 . 1

M1

Profil real:matematic˘ a fizic˘a, informatic˘ a, metrologie - pentru absolvent¸ii claselor a XIII-a (zi, seral ¸si frecvent¸˘ a redus˘ a) promot¸ia 2003 ¸si promot¸iile anterioare

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. 1.

Mult¸imea numerelor reale x pentru care are loc egalitatea 1 − x2 + (−x2 )2 + . . . + (−x2 )n =

1 − (−x2 )n+1 , (∀) n ∈ N∗ 1 + x2

este:

2.

3.

a) (−∞, 0]; b) R; Z a 2(n+1) x lim dx, a ∈ [0, 1], este: n→∞ 0 1 + x2 a ; a) a; b) 1 + a2

c) ∅;

c)

d) [0, ∞).

1 ; 1 + a2

d) 0.

Mult¸imea valorilor lui a ∈ R pentru care avem egalitatea Z a 2(n+1) a3 a5 a2n+1 x dx = a − + + . . . + (−1)n , (∀) n ∈ N∗ , arctg a − (−1)n+1 2 3 5 2n + 1 0 1+x este:

4.

5.

a) (−∞, 0]; b) ∅; c) 1 1 1 (−1)n lim 1 − + − + . . . + este: n→∞ 3 5 7 2n + 1 π ln 2 a) −1 + ; b) c) ; 4 2  1 1 Se consider˘ a matricele A ∈ M3,4 (C), A = 0 1 0 0 b) 1;

d)   1 1 1 ¸si I3 = 0 1 0

1 1 1

π · 4  0 0 1 0. 0 1

d) 2.

, (x, y, z, t) ∈ C × C × C × C, este:

b) (−1, 1, −1, 1);

c) (1, 1, −1, −1);

Ecuat¸ia AX = I3 , cu X ∈ M3,4 (C) are mult¸imea solut¸iilor: a) b) c) d)

8.

ln 2;

c) 4;

  x + y + z + t = 1 Solut¸ia sistemului y + z + t = 0   z+t=0 a) (1, 0, λ, −λ), λ ∈ C;

7.

d) [0, ∞).

Rangul matricei A este: a) 3;

6.

R;

Format˘a dintr-un num˘ ar finit de elemente, cel put¸in egal cu 2; Vid˘ a; Infinit˘a; Format˘a dintr-un element.

Matricea I3 A are suma elementelor: a) 9;

b) 12;

c) 10; 13

d) 0.

d) (1, −1, 1, −1).

9.

Mult¸imea {Y ∈ M3,4 (C) | det(Y A) 6= 0} este: a) b) c) d)

Vid˘ a; Infinit˘a; Format˘a dintr-un element; Format˘a dintr-un num˘ ar finit de elemente, cel put¸in egal cu 2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = cos x. 10.

Ce se poate spune despre lim f (x)? x→∞

a) Este egal˘a cu 0; 11.

13.

14.

15.

b) 6;

17.

18.

a) 3; Z x

d) 10.

b) 4;

c) 2;

d) 0.

b) 1;

c) ∞;

d) 0.

c) 0, 5;

d) −1.

c) −1;

d) 0.

Produsul ˆ1 · ˆ2 · . . . · ˆ 5, calculat ˆın Z6 este: ˆ 2; a) 1; b) ˆ

c) ˆ0;

d) ˆ3.

Suma ˆ1 + ˆ2 + . . . + ˆ 5, calculat˘ a ˆın Z6 este: ˆ 0; a) 2; b) ˆ

c) ˆ1;

d) ˆ3.

c) 4;

d) 1.

lim

0

a)

2 ; π

|f (t)| dt x

x→∞

este:

f (x) − f (0) este: x a) 1; b) 0;

lim

x→0

f (2004) (0) este: b) 0, 5;

Câte solut¸ii are ˆın inelul Z6 ecuat¸ia ˆ 3ˆ x=ˆ 0? a) 2;

19.

c) 11;

Aria suprafet¸ei plane cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 0 ¸si x = 2π, este:

a) 1; 16.

b) 3;

Cel mai mic num˘ ar natural nenul n cu proprietatea c˘ a 2ˆ| + ˆ2 +{z. . . + ˆ2} ˆın Z6 este: de n ori ˆ 2

a) 4;

b) 2;

c) 6;

d) 3.

În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele An (n, n2 ), n ∈ N. 20.

Ecuat¸ia dreptei A0 A1 este: a) x2 + y = 0;

21.

b) 10;

Aria triunghiului An An+1 An+2 , n ∈ N este: a) 2;

23.

b) x + y = 0;

c) y = x2 ;

Lungimea segmentului [A1 A2 ] este: a) 3;

22.

d) Nu exist˘a.

Câte puncte de maxim local are funct¸ia f ˆın intervalul [0, 11π]? a) 5;

12.

c) Este egal˘a cu −1;

b) Este egal˘a cu 1;

b) 1;

c)

√

10;

c) n + 1;

d) y = x.

d) 4.

d) n.

Num˘ arul dreptelor care trec prin cˆ ate 2 puncte din mult¸imea {A0 , A1 , A2 , A3 } este: a) 5;

b) 4;

c) 8;

d) 6.

14

24.

Num˘ arul triunghiurilor care au vârfurile ˆın mult¸imea {A0 , A1 , A2 , A3 } este: a) 6;

b) 3;

c) 4;

d) 5.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1, cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. 25.

f (1) este: a) 7;

26.

b) 6;

c) 4;

d) 5.

b) −1; c) 4; X X2 X − +1 − este: Expresia f − X 2 + 2 2 2

d) 5.

Suma x1 + x2 + x3 + x4 este: a) 1;

27.

a) 1; 28.

30.

c) X − 1;

d) 0.

c) 2;

d) 3.

√ √ c) [− 3, − 2];

d) [−2, −1].

c) i;

d) −1 + i.

Câte r˘ad˘acini reale are polinomul f ? a) 0;

29.

b) X + 1;

b) 4;

Mult¸imea {x ∈ R | f (x) ≤ 0} este: √ √ a) ∅; b) [− 5, − 3]; f (i) este: a) 1 + i;

b) 1;

15

M2

pentru absolvent¸ii claselor a XII-a, promot¸ia 2003

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele An (n, n3 ), n ∈ N. 1.

Panta dreptei A0 A1 este: a) −2;

2.

b) y = x;

b) 2;

c) x3 + y = 0;

d) y = x3 .

c) 6;

d) 4.

Num˘ arul de elemente ale mult¸imii {n ∈ N | An ∈ A0 A1 } este: a) Cuprins ˆıntre 3 ¸si 10;

5.

d) 2.

Aria triunghiului A0 A1 A2 este: a) 3;

4.

c) 1;

Ecuat¸ia dreptei A0 A1 este: a) x + y = 0;

3.

b) −1;

b) Infinit;

c) 2;

d) Finit, dar strict mai mare decât 10.

Câte triunghiuri au vârfurile ˆın mult¸imea {A0 , A1 , A2 , A3 }? a) 5;

b) 4;

c) 2;

d) 3.

Se consider˘ a mult¸imea A = {1, 2, . . . , 10}. 6.

Câte submult¸imi cu opt elemente are mult¸imea A? a) 80;

7.

b) 40;

c) 45;

d) 50.

c) 1024;

d) 900.

Câte submult¸imi are mult¸imea A? a) 1000;

b) 512;

ate submult¸imi ale mult¸imii A se afl˘a elementul 1? 8. În cˆ a) 512; 9.

c) 425;

d) 611.

Care este num˘ arul maxim de elemente pe care ˆıl poate avea o submult¸ime a mult¸imii A, cu proprietatea c˘ a suma oric˘aror dou˘a elemente distincte ale sale nu se divide cu 3? a) 5;

10.

b) 362;

b) 7;

c) 6;

d) 4.

c) 66;

d) 45.

Care este suma elementelor mult¸imii A? a) 55;

b) 10!;

Se consider˘ a funct¸iile fn : R → R, f0 (x) = x10 + x9 + . . . + x + 1 ¸si fn+1 (x) = fn0 (x), (∀) x ∈ R ¸si (∀) n ∈ N. 11.

f0 (1) este: a) 10;

12.

c) 11;

d) 9.

b) 0;

c) 45;

d) 1.

c) 2003!;

d) 0.

f1 (0) este: a) 10;

13.

b) 12;

Z

1

f2003 (x) dx este:

0

a) 2002!;

b)

1 ; 2003!

16

14.

lim fn (n) este:

n→∞

a) e; 15.

b) ∞;

f0 (0) + f1 (0) + . . . + fn (0) este: n a) 0; b) e;

c) n;

d) 0.

c) ∞;

d) 0, 5.

lim

n→∞

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex + e−x . 16.

f 0 (x), x ∈ R, este: a) −ex − e−x ;

17.

18.

b) ex − e−x ;

f (x) − f (1) este: x−1 a) e + e−1 ; b) e − e−1 ;

c) −ex + e−x ;

d) ex + e−x .

c) −e − e−1 ;

d) −e + e−1 .

c) e − e−1 ;

d) e + e−1 .

c) ∞;

d) 0.

c) (−1, ∞);

d) (−∞, 0).

lim

x→1

Z

1

f (x) dx este:

0

19.

a) −e − e−1 ; b) −e + e−1 ; Z x f (t) dt lim 0 0 este: x→∞ f (x) a) −∞;

20.

Mult¸imea {x ∈ R | f 0 (x) > 0} este: a) (0, ∞);

21.

b) 1;

b) (−∞, 1);

Mult¸imea {x ∈ R | f (x) + f (21x) > f (2x) + f (1986x)} este: a) ∅;

b) R;

Se consider˘ a matricele A = 22.

b) 1;

c) 3;

d) −1.

b) −2;

c) 0;

d) 2.

b) 6;

c) 5;

d) 3.

c) −I2 ;

d) O2 .

Matricea I2 + A + A2 + . . . + A5 este: a) A;

26.

0 . 0

Cel mai mic num˘ ar natural nenul n, pentru care An = I2 este: a) 4;

25.

0 0 ¸si O2 = 1 0

Suma elementelor matricei A este: a) 1;

24.

2 1 1 , I2 = −3 −1 0

d) (−∞, 0).

Determinantul matricei A este: a) 2;

23.

c) (0, ∞);

b) I2 ;

Determinantul matricei A + A2 + . . . + A2003 este: a) −1;

b) 1;

c) 0;

d) 2003.

Se consider˘ a polinomul f = X 2 − 2X − 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 ∈ C. Not˘ am Sn = xn1 + xn2 , (∀) n ∈ N∗ ¸si S0 = 2. 27.

R˘ ad˘acinile polinomului f sunt: √ √ a) x1 = 1 + √ 2, x2 = 1 − 2;√ c) x1 = −1 + 2, x2 = −1 − 2;

28.

S1 este egal˘a cu: a) −2;

29.

√ √ b) x1 = −1 + √2, x2 = 1 + √2; d) x1 = −1 − 2, x2 = 1 − 2.

b) −1;

c) 2;

d) 1.

b) 2;

c) 4;

d) 5.

S2 este egal˘a cu: a) 6;

17

30.

Egalitatea 2Sn+1 + Sn = Sn+2 , n ∈ N, are loc: a) (∀) n ∈ N; c) Numai pentru n > 2003;

b) Numai pentru n < 2003; d) Numai pentru n = 2003.

18

Pedagogic

pentru absolvent¸ii claselor a XIII-a (zi, seral ¸si frecvent¸˘a redus˘a), promot¸ia 2003 ¸si promot¸iile anterioare

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. Pe R se define¸ste legea ”◦” prin x ◦ y = 2xy + 2x + 2y + 1, (∀) x, y ∈ R. 1.

Elementul x ◦ y mai poate fi scris (∀) x, y ∈ R: a) 2(x − 1)(y − 1) − 1;

2.

Egalitatea x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z are loc: a) Numai dac˘ a x = y; c) Numai dac˘ a x + y + z = 0;

3.

Mult¸imea {x ∈ R | x ◦ (−1) = −1} este: a) ∅; c) R;

4.

c) 2(x + 1)(y + 1) − 1;

b) 2(x + 1)(y + 1) + 1;

d) 2(x − 1)(y − 1) + 1.

b) Pentru x, y, z ∈ R; d) Numai dac˘a x = y = z.

b) {−1}; d) Finit˘a, având cel put¸in 2 elemente.

Expresia (−2003) ◦ (−2002) ◦ . . . ◦ (−1) ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 2002 ◦ 2003 este: a) 0;

b) −1;

c) 1;

d) 2003!.

Se consider˘ a ¸sirul de numere naturale (an )n≥1 , an = n4 + 4. 5.

Termenul a1 este: a) 8;

6.

b) 4;

c) 16;

d) 5.

Num˘ arul termenilor ¸sirului (an )n≥1 care sunt numere prime este: a) Cuprins ˆıntre 2 ¸si 2002; c) Finit, dar strict mai mare decˆ at 2003;

b) Infinit; d) 1.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 + 4, cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. 7.

Polinomul f − (X 2 − 2X + 2)(X 2 + 2X + 2) este: a) 0;

8.

b) 4;

c) 2;

d) 1.

b) 16;

c) −4;

d) 4.

c) 4;

d) 0.

Suma x41 + x42 + x43 + x44 este: a) −16;

b) 16;

În mult¸imea M2 (Z) se consider˘ a matricele A = 11.

d) 4X 2 .

Suma x1 + x2 + x3 + x4 este: a) 0;

10.

c) 4X 3 ;

Num˘ arul de r˘ad˘acini reale ale polinomului f este: a) 0;

9.

b) 4X;

1 0

2 1 0 1 ,B= ¸si I2 = −1 3 −1 0

Matricea A2 este: a) A;

b) I2 ;

c) B;

19

d) I2 + A.

0 . 1

12.

Determinantul matricei B este: a) 1;

13.

15.

c) −3;

d) 3.

c) −A;

d) I2 .

Inversa matricei A este: a) A;

14.

b) −1; b) B;

Matricea AB − BA este: −6 4 ; a) b) I2 ; 6 6

0 c) 0

0 ; 0

Mult¸imea {n ∈ N∗ | (BA)n = I2 } este:

a) Format˘a dintr-un num˘ ar de elemente cuprins ˆıntre 1 ¸si 10; c) Finit˘a, având cel put¸in 11 elemente;

d)

6 −4 . −6 −6

b) Infinit˘a; d) Vid˘ a.

Într-o livad˘a sunt cire¸si. În prima zi a ˆınflorit un cire¸s, apoi ˆın fiecare zi au ˆınflorit de dou˘a ori mai mult¸i cire¸si decât au ˆınflorit ˆın ziua precedent˘ a. 16.

Câ¸ti cire¸si au ˆınflorit ˆın ziua a treia? a) 3;

17.

c) 7;

d) 3.

Câ¸ti cire¸si sunt ˆınflorit¸i la sfâr¸situl zilei a cincea? a) 33;

18.

b) 8;

b) 31;

c) 32;

d) 30.

Cel mai mic num˘ ar natural n, astfel ˆıncˆ at la sfâr¸situl celei de-a n-a zile s˘a fie ˆınflorit¸i cel put¸in 1000 de cire¸si, este: a) 9;

b) 10;

c) 12;

d) 11.

Într-o carte paginile sunt numerotate ˆıncepând cu num˘arul 1, iar orice foaie are dou˘a pagini. 19.

Suma numerelor peginilor din primele trei foi este: a) 21;

20.

c) 6;

d) 10.

Suma tuturor numerelor paginilor din foaia a zecea ¸si din foaia a cincisprezecea este: a) 99;

21.

b) 15;

b) 97;

c) 100;

d) 98.

Care dintre urm˘atoarele elemente poate fi suma tuturor numerelor paginilor din trei foi ale c˘ art¸ii? a) 197;

b) 199;

c) 200;

d) 198.

Se consider˘ a piramida triunghiular˘ a V ABC, având toate muchiile (laterale ¸si ale bazei) egale cu a. 22.

Aria total˘ a a piramidei este: a) a2 ;

√ b) 2a2 3;

alt¸imea piramidei este: 23. În˘ √ a 2 a ; a) b) ; 2 3 24.

Volumul piramidei este: a3 a) ; 6

√ a3 2 b) ; 3

√ c) 4a2 3;

√ d) a2 3.

√ a 6 ; c) 3

√ a 3 · d) 3

√ a3 3 c) ; 12

√ a3 2 d) · 12

25.

Distant¸a cea mai mic˘a dintre vârful V ¸si un punct M situat pe planul bazei (ABC) este: √ √ a 6 a 3 a a ; ; a) b) c) ; d) · 3 3 3 2

26.

Distant¸a cea mai mare dintre vârful V ¸si un punct P situat ˆın interiorul sau pe laturile triunghiului ABC este: √ √ a) 2a; b) a; c) a 2; d) a 3. Se consider˘ a mult¸imea A = {10, 11, . . . , 99}.

20

27.

Câte elemente din mult¸imea A cont¸in cifra 2 ˆın scrierea lor? a) 19;

28.

d) 17.

b) 45 · 109;

c) 45 · 110;

d) 50 · 109.

Câte elemente din mult¸imea A au ˆın scrierea lor cifre egale? a) 10;

30.

c) 20;

Care este suma elementelor mult¸imii A? a) 50 · 210;

29.

b) 18;

b) 11;

c) 8;

d) 9.

c) 90;

d) 91.

Câte elemente are mult¸imea A? a) 88;

b) 89;

21

clase de economic, fizic˘a-chimie, chimie-biologie, militar, industrial, agricol, silvic, sportiv pentru absolvent¸ii claselor a XIII-a (zi, seral ¸si frecvent¸˘a redus˘a), promot¸ia 2003 ¸si promot¸iile anterioare

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. 1.

Egalitatea (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 , a, b, c, d ∈ C, are loc: a) Numai pentru a = b = c = d; c) Pentru orice a, b, c, d ∈ C;

2.

Dac˘ a (a2 + b2 )(c2 + d2 ) − (ac + bd)2 = 0, a, b, c, d ∈ C, atunci: a) ad = bc;

3.

b) a + b + c + d = 0;

c) ac + bd = 0;

d) a + d = b + c.

Num˘ arul de elemente ale mult¸imii {x ∈ (0, ∞) | 25[(log2 x)2 + (log3 x)2 ] = (4 log2 x + 3 log3 x)2 } este: a) 2;

4.

b) Numai pentru a = b; d) Numai pentru a = c.

b) 3;

c) 0;

d) 1.

Suma p˘ atratelor solut¸iilor reale ale ecuat¸iei (4x + 25x )(9x + 49x ) = (6x + 35x )2 este: a) 5;

b) 0;

c) 2;

d) 1.

Se consider˘ a funct¸iile fn : R → R, f0 (x) = cos x ¸si fn+1 (x) = fn0 (x), (∀) n ∈ N ¸si (∀), x ∈ R. 5.

f0 (π) este: a) −1;

6.

c) 1;

d) 0.

b) −1;

c) 0;

d) 1.

b) 4;

c) −2;

d) 2.

b) sin x;

c) − sin x;

d) − cos x.

f1 (π) este: a) 0, 5;

7.

b) π;

Z

2π

f1 (x) dx este:

0

a) 0; 8.

f10 (x), x ∈ R, este: a) cos x;

9.

f0 (x) + f1 (x) + . . . + fn (x) , x ∈ R, este: n→∞ n a) 1; b) cos x; c) sin x; lim

d) 0.

În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(2, 0), B(0, 2), C(−2, 0), D(0, −2), O(0, 0). 10.

11.

Segmentul AB are lungimea: √ √ a) 2 3; b) 2 2;

b) 6;

c) 4;

d) 8.

c) x2 = 1;

d) y = 0.

c) 16;

d) 32.

Ecuat¸ia dreptei AC este: a) xy = 0;

13.

d) 2.

Suma OA + OB + OC + OD este: a) 2;

12.

c) 4;

b) x2 + y 2 = 1;

Produsul AB · BC · CD · DA este: a) 64;

b) 128;

În mult¸imea M2 (C) se consider˘ a matricele A =

1 0 1 ,B= 0 −1 0 22

2 1 0 ¸si I2 = . −1 0 1

14.

15.

Matricea AB − BA este: 0 0 a) b) I2 ; ; 0 0 b) −1;

c) 1;

d) −2.

b) B;

c) I2 + A;

d) A.

c) B;

d) I2 .

b) A; 2

2003

Rangul matricei X = I2 + A + A + . . . + A a) 2004;

19.

b) 2;

este:

c) 0;

d) 1.

Mult¸imea {n ∈ N∗ | (AB)n = I2 } este:

a) Finit˘a, având cel put¸in dou˘a elemente; c) Infinit˘a;

b) Vid˘ a; d) Format˘a din exact un element.

Se consider˘ a funct¸ia f : R\{−1, 0} → R, f (x) = 20.

b) 2;

Expresia f (x) − a) 0;

22.

1 · x(x + 1)

Câte asimptote verticale are graficul funct¸iei f ? a) 1;

21.

−2 4 d) . 2 2

Inversa matricei A este: a) I2 + A;

18.

−4 ; −2

Matricea A2 este: a) I2 ;

17.

2 −2

Determinantul matricei A este: a) 0;

16.

c)

Z

c) 0;

d) 3.

1 1 + , x ∈ R\{−1, 0}, este: x x+1 2 ; b) − c) 2f (x); x+1

d)

2 · x

2

f (x) dx este:

1

3 a) ln ; 4 23.

b) ln 2;

Egalitatea f (1) + f (2) + . . . + f (n) = 1 − a) Numai pentru n > 2003; c) Numai pentru n = 2003;

24.

c) 0, 5;

d) 1.

c) 1;

d) 0.

c) 2003 · 1002;

d) 2003 · 2002.

c) i;

d) −i.

c) 0;

d) 1.

Suma ˆ0 + ˆ1 + ˆ 2 + ... + c 12 ˆın Z13 este: ˆ 1; a) 6; b) ˆ

c) ˆ0;

d) ˆ7.

Produsul ˆ1 · ˆ2 · . . . · c 12 ˆın Z13 este: ˆ 1; a) 3; b) ˆ

c) ˆ2;

12. d) c

1 x→∞ ln x lim

b) 2; Z

x

f (t) dt este:

1

30.

b) −1;

Suma 1 + i + i2 + . . . + i2003 este: a) i;

29.

b) 2003 · 2004;

Produsul 1 · i · i2 · . . . · i2003 este: a) 1;

28.

b) 2;

Suma 1 + 2 + 3 + . . . + 2003 este: a) 2003 · 1001;

27.

1 , n ∈ N∗ , este adev˘arat˘a: n+1 b) Numai pentru n < 2003; d) (∀) n ∈ N∗ .

lim (f (1) + f (2) + . . . + f (n)) este:

a) ∞; 26.

4 d) ln · 3

n→∞

a) ∞; 25.

c) ln 3;

b) 1 + i;

23

M2 pentru absolvent¸ii claselor a XII-a, promot¸ia 2003

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. Se consider˘ a mult¸imea A = {1, 2, . . . , 10}. 1.

Care este num˘ arul maxim de elemente ce pot fi alese din mult¸imea A, cu proprietatea c˘ a oricare dou˘a elemente diferite, dintre cele alese, nu se divid ˆıntre ele? a) 3;

2.

c) 6;

d) 4.

Câte submult¸imi cu dou˘a elemente are mult¸imea A? a) 57;

3.

b) 5;

b) 55;

c) 50;

d) 45.

Câte submult¸imi nevide ale mult¸imii A au proprietatea c˘ a suma elementelor lor este egal˘a cu 5? a) 4;

b) 3;

c) 2;

d) 1.

Pe R se define¸ste legea de compozit¸ie ”◦” prin x ◦ y = 2xy − 4x − 4y + 10. 4.

Elementul x ◦ y mai poate fi scris, (∀) x, y ∈ R: a) 2(x + 2)(y + 2) − 2;

5.

b) 2(x + 2)(y − 2) + 2;

Egalitatea (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) are loc: a) Numai cˆ and y = z; c) Numai cˆ and x = y;

6.

b) 1;

b) 1;

Mult¸imea {x ∈ R | x ◦ 2 = 2} este: a) Format˘a dintr-un element; c) R;

9.

b) Pentru orice numere reale x, y, z; d) Numai cˆ and x = y = z.

c) 2;

c) 1, 5;

b) ∅; d) Finit˘a, având cel put¸in 2 elemente.

b) 2;

Expresia f (x) − a) 0;

1 · (x + 1)(x + 2)

1 1 + , x ∈ R\{−2, −1}, este: x+1 x+2 2 b) 2f (x); c) ; x+2

d) −

2 · x+1

Num˘ arul de asimptote verticale la graficul funct¸iei f este: a) 2;

12.

d) −1.

c) 0;

Se consider˘ a funct¸ia f : R\{−2, −1} → R, f (x) =

11.

d) 2.

Elementul (−2003) ◦ (−2002) ◦ . . . ◦ (−1) ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 2002 ◦ 2003 este: a) 1;

10.

d) 2, 5.

Ecuat¸ia 2x ◦ 4x = 2 are suma solut¸iilor egal˘a cu: a) 3;

8.

d) 2(x − 2)(y − 2) + 2.

Elementul neutru al legii ”◦” este: a) 0;

7.

c) 2(x − 2)(y + 2) − 2;

b) 3;

c) 0;

d) 1.

Aria suprafet¸ei plane cuprinse ˆıntre graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele x = 0 ¸si x = 1, este: 4 3 a) arctg 2; b) ln ; c) ln ; d) 1. 3 4 24

13.

lim x2 f (x) este:

x→∞

a) ∞; 14.

b) 0, 5;

c) 0;

d) 1.

c) 0, 5;

d) e.

lim (f (0) + f (1) + . . . + f (n)) este:

n→∞

a) 1;

b) ∞;

Se consider˘ a polinoamele f = X 2 − 4X + 3, g = X n , n ∈ N∗ , ¸si matricele A = 0 0 O2 = . 0 0 15.

b) x1 = 1, x2 = −3;

16.

Matricea A2 este: 4 1 ; a) 1 4

17.

f (A) = A2 − 4A + 3I2 este: a) O2 ;

19.

1 1 , I2 = 2 0

R˘ ad˘acinile polinomului f sunt: a) x1 = −1, x2 = 3;

18.

2 1

4 2 ; b) 2 4

b) A;

d) x1 = −1, x2 = −3.

c) x1 = 1, x2 = 3;

4 c) 5

5 ; 4

c) I2 ;

5 d) 4

4 . 5

d) A + I2 .

Restul ˆımp˘art¸irii polinomului g la polinomul f este: 3 − 3n 3n − 3 3n + 3 3n + 3 3n − 1 3n + 1 3n + 1 3n − 1 X+ ; b) X+ ; c) X+ ; d) X+ . a) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3n + 1 3n − 1 ∗ n Pentru ce valori n ∈ N este adev˘arat˘a egalitatea A = ? 2 3n − 1 3n + 1 a) b) c) d)

Pentru exact o valoare a lui n ∈ N∗ ; Pentru un num˘ ar finit de valori ale lui n ∈ N∗ , mai mare decât 2; Pentru orice n ∈ N∗ ; Pentru nicio valoare a lui n ∈ N∗ .

20.

Produsul sin(−90◦ ) · sin(−89◦ ) · . . . · sin(−1◦ ) · sin 1◦ · . . . · sin 89◦ · sin 90◦ este: 1 1 1 a) − 45 ; b) 30 ; c) 45 ; d) 0. 2 3 2

21.

Suma cos 0◦ + cos 1◦ + . . . + cos 179◦ + cos 180◦ este: a) 0, 5;

b) 1;

c) −1;

d) 0.

Se consider˘ a funct¸iile fn : R → R, f0 (x) = xex , fn+1 (x) = fn0 (x), (∀) n ∈ N, (∀) x ∈ R. 22.

f1 (x), x ∈ R, este: a) ex (x − 1);

23.

lim

x→∞

b) x = −2;

c) x = 2;

d) x = 1.

b) 2003!;

c) 2003;

d) 2002.

c) 0;

d)

fn+1 (x) , n ∈ N∗ , este: fn (x)

a) ∞; 26.

d) ex (x + 1).

f2003 (0) este: a) −2003;

25.

c) xex ;

Ecuat¸ia f2 (x) = 0 are solut¸ia: a) x = 0;

24.

b) ex + x;

b) 1;

Asimptota orizontal˘ a la graficul funct¸iei f0 c˘ atre −∞ este: a) y = x;

b) y = 1;

c) y = 0;

n+1 · n

d) y = xex .

√ √ În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(−1, 3), B(−1, − 3), C(2, 0).

25

0 ¸si 1

27.

28.

Perimetrul triunghiului ABC este: √ √ a) 2 3; b) 3 3; Aria triunghiului ABC este: a) 3;

29.

30.

b) 9;

√ c) 6 3;

d) 6.

√ c) 3 3;

d) 4.

Raza cercului circumscris triunghiului ABC este: √ √ a) 3; b) 1; c) 2;

d) 2.

M˘ asura unghiului A din triunghiul ABC este: a) 60◦ ;

b) 30◦ ;

c) 90◦ ;

26

d) 45◦ .

profil umanist: pentru absolvent¸ii claselor a XIII-a (zi, seral ¸si frecvent¸˘a redus˘a) promot¸ia 2003 ¸si promot¸iile anterioare

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. Pe mult¸imea numerelor complexe se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦”, definit˘a prin x ◦ y = xy + ix + iy − 1 − i. 1.

Elementul x ◦ y mai poate fi scris (∀) x, y ∈ C: a) (x − i)(y − i) − i;

2.

d) (x + i)(y + i) − i.

Egalitatea (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) este adev˘arat˘a: a) Pentru orice x, y, z ∈ C; c) Numai dac˘ a x = i;

3.

c) (x − i)(y − i) + i;

b) (x + i)(y + i) + i;

b) Numai dac˘a x = y = z; d) Numai dac˘a x = y.

Mult¸imea valorilor lui n ∈ N∗ , pentru care egalitatea x1 ◦ x2 ◦ . . . ◦ xn = (x1 + i)(x2 + i) · . . . · (xn + i) − i este adev˘arat˘a, (∀) x, y, z ∈ C, este: a) N∗ ; c) Format˘a dintr-un element;

4.

Expresia (−100i) ◦ (−99i) ◦ . . . ◦ (−i) ◦ 0 ◦ i ◦ 2i ◦ . . . ◦ 99i ◦ 100i este: a) 1;

5.

b) ∅; d) Finit˘a, având cel put¸in 2 elemente.

b) −i;

c) 0;

Ecuat¸ia x ◦ x ◦ x ◦ x = 1 − i are ˆın C: a) 2 solut¸ii;

b) 3 solut¸ii;

c) o solut¸ie;

1 5 1 Se consider˘ a matricele A = ,B= 0 −1 2 6.

10.

c) −6;

d) 5.

b) I2 ;

c) B;

d) A.

b) A + I2 ;

c) A;

d) I2 .

Matricea AB − BA este: 10 10 10 −10 a) b) ; ; 4 −10 −4 −10

0 c) 0

0 ; 0

d) I2 .

Mult¸imea {n ∈ N∗ | (BA)n = I2 } este: a) b) c) d)

11.

b) −1;

Matricea A2003 este: a) B;

9.

0 1 0 ¸si I2 = . −1 0 1

Matricea A2 este: a) A + I2 ;

8.

d) 4 solut¸ii.

Determinantul matricei A este: a) 1;

7.

d) i.

Finit˘a, cont¸inând ˆıntre 11 ¸si 2003 elemente; Infinit˘a; Vid˘ a; Finit˘a, cont¸inând ˆıntre 1 ¸si 10 elemente.

Produsul ˆ1 · ˆ2 · . . . · ˆ 7 ˆın Z8 este: ˆ ˆ a) 2; b) 6;

c) ˆ0;

d) ˆ4.

27

12.

Suma ˆ1 + ˆ2 + . . . + c 10 ˆın Z11 este: c a) 10; b) ˆ 0;

c) ˆ6;

d) ˆ5.

c) 2 solut¸ii;

d) 4 solut¸ii.

c) 4 solut¸ii;

d) 3 solut¸ii.

3ˆ x=ˆ 0 are: 13. În Z6 ecuat¸ia ˆ a) o solut¸ie;

b) 3 solut¸ii;

ˆ3 = xˆ are: 14. În Z6 ecuat¸ia x a) 2 solut¸ii; 15.

b) 6 solut¸ii;

Cel mai mare num˘ ar natural n pentru care 20 + 21 + 22 + . . . + 2n < 2003 este: a) 9;

b) 10;

c) 11;

Se consider˘ a funct¸ia f : [0, ∞) → R, f (x) = 16.

Expresia f (x) − 2 + a) 4;

17.

19.

c) −2;

d) 2

1 1 . + x+1 x+2

Asimptota orizontal˘ a c˘ atre +∞, la graficul funct¸iei f este: a) y = 0;

18.

x+1 x + · x+1 x+2

1 1 + , x ∈ [0, ∞), este: x+1 x+2

b) 0;

d) 8.

c) y = −2;

b) y = 2;

f 0 (x), x ∈ [0, ∞), este: 1 1 − ; a) − (x + 1)2 (x + 2)2 c) ln(x + 1) + ln(x + 2); Z 1 f (x) dx este:

d) y = 1.

1 1 + ; (x + 1)2 (x + 2)2 d) − ln(x + 1) − ln(x + 2). b)

0

20.

a) −2 + ln 3; Z 1 x f (t) dt este: x 0 a) 1;

b) 2 + ln 3;

c) 2 − ln 3;

d) −2 − ln 3.

b) 0;

c) 2;

d) ∞.

Se consider˘ a polinoamele f = X 2 + X + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 ∈ C ¸si g = X 3 − 1. 21.

Restul ˆımp˘art¸irii polinomului g la polinomul f este: a) 0;

22.

Expresia x31 − x32 este: a) i;

23.

d) X + 1.

b) 0;

c) −1;

d) 1.

c) −1;

d) −2.

c) −1;

d) 0.

c) 0;

d) −1.

b) 0;

Suma x2004 + x2004 este: 1 2 a) 2;

25.

c) 1;

Suma x1 + x2 + x1 x2 este: a) 2;

24.

b) X;

b) −2;

Suma 1 + x1 + x21 + . . . + x21 1 este: a) i;

b) 1;

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (x + 1)3 − x3 . 26.

f 0 (x), x ∈ R, este: a) 6x + 3;

27.

b) 6x;

c) 3x + 1;

Funct¸ia f este strict cresc˘ atoare pe intervalul: 1 a) − , ∞ ; b) [−1, ∞); c) (−∞, 1]; 2 28

d) 2x + 1.

d) (−∞, 0].

28.

29.

Valoarea minim˘ a a funct¸iei f este: 1 a) 1; b) ; 4

1 ; 2

1 d) − · 4

Funct¸ia f este convex˘ a: a) Numai pe intervalul [0, ∞); c) Pe R;

30.

c)

f (0) + f (1) + . . . + f (n) este: n3 1 a) 1; b) ; 3

b) Numai pe intervalul (−∞, 0]; d) Numai pe intervalul [−1, 1].

lim

n→∞

c) ∞;

29

d) 0.

M3 pentru absolvent¸ii claselor a XII-a, promot¸ia 2003

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. Se consider˘ a mult¸imea A = {1, 2, . . . , 7}. 1.

Câte submult¸imi cu num˘ ar impar de elemente are mult¸imea A? a) 36;

2.

d) 128.

b) 4;

c) 5;

d) 4, 5.

Câte submult¸imi cu dou˘a elemente are mult¸imea A? a) 49;

4.

c) 49;

Care este media aritmetic˘a a elementelor mult¸imii A? a) 3;

3.

b) 64;

b) 42;

c) 21;

Care este media geometric˘ a a elementelor pare din mult¸imea A? √ √ a) 24; b) 12; c) 4;

d) 20.

d)

√ 3

48.

Un triunghi dreptunghic ABC are catetele cu lungimile de 6 ¸si respectiv 8. 5.

Cât este lungimea ipotenuzei? a) 11;

6.

c) 4, 8;

d) 2, 4.

b) 15;

c) 10;

d) 14.

b) 5;

c) 12;

d) 6.

b) 4;

c) 5;

d) 6.

b) 12;

c) 11;

d) 10.

Câte numere de 4 cifre se pot forma utilizând cifrele 1, 2, 3? a) 70;

13.

b) 4;

Care este cel mai mare num˘ ar natural nenul n, pentru care 2n < 2003? a) 9;

12.

d) 30.

Care este cel mai mic num˘ ar natural nenul n, pentru care n! > 100? a) 7;

11.

c) 24;

Care este aria triunghiului cu vârfurile ˆın mijloacele laturilor triunghiului ABC? a) 10;

10.

b) 20;

Care este perimetrul triunghiului cu vârfurile ˆın mijloacele laturilor triunghiului ABC? a) 12;

9.

d) 10.

Care este lungimea ˆın˘alt¸imii care cade pe ipotenuz˘a? a) 5;

8.

c) 9;

Care este aria triunghiului? a) 48;

7.

b) 12;

b) 80;

c) 64;

d) 81.

Care este cel mai mare num˘ ar de elemente, ce pot fi alese din mult¸imea {1, 2, . . . , 11}, cu proprietatea c˘ a oricare dou˘a elemente diferite, dintre cele alese, nu se divid unul pe cel˘ alalt? a) 4; Se consider˘ a num˘ arul

b) 6;

c) 7;

d) 5.

1 = 0, a1 a2 a3 . . . an . . .. 13

30

14.

Suma a1 + a2 este: a) 11;

15.

c) 13;

d) 7.

b) 0;

c) 2003!;

d) 132003 .

b) 3;

c) 6;

d) 2.

Produsul a1 · a2 · . . . · a2003 este: a) 72003 ;

16.

b) 9;

Cifra a2003 este: a) 7;

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 − 3x + 2. Not˘ am cu x1 , x2 ∈ R solut¸iile ecuat¸iei f (x) = 0. 17.

f (0) este: a) 0;

18.

Produsul x1 · x2 este: a) −0, 5;

20.

d) 1.

b) 3;

c) −3;

d) 2.

b) −2;

c) 2;

d) 0, 5.

c) (−∞, 0);

d) (1, 2).

c) 2002!;

d) 2004!.

Mult¸imea {x ∈ R | f (x) < 0} este: a) (0, 2);

21.

c) 2;

Suma x1 + x2 este: a) −2;

19.

b) −1;

b) (1, 3);

Produsul f (0) · f (1) · . . . · f (2003) este: a) 2003!;

b) 0;

Se consider˘ a ˆın plan o mult¸ime M format˘a din 10 puncte cu proprietatea c˘ a oricare trei dintre ele sunt necoliniare. 22.

Num˘ arul dreptelor care trec prin cˆ ate 2 puncte din mult¸imea M este: a) 100;

23.

b) Isoscel, dar nu echilateral;

b) 17;

b) 220;

Num˘ arul solut¸iilor ecuat¸iei 2x = −1 este: a) 0;

28.

c) 120;

d) 240.

c) Echilateral;

d) Obtuzunghic.

c) 11;

d) 14.

O marf˘a cost˘a 200 de euro ¸si s-a redus pret¸ul cu 20%. Câ¸ti euro cost˘a acum marfa? a) 160;

27.

b) 720;

Dac˘ a mult¸imea A are 10 elemente, mult¸imea B are 7 elemente iar mult¸imea A ∩ B are 3 elemente, atunci cˆ ate elemente are mult¸imea A ∪ B? a) 12;

26.

d) 45.

Dac˘ a un triunghi are cel put¸in dou˘a axe de simetrie, atunci acesta este: a) Dreptunghic;

25.

c) 50;

Câte triunghiuri pot avea vârfurile ˆın punctele din mult¸imea M ? a) 360;

24.

b) 90;

b) 1;

c) 240;

d) 180.

c) 3;

d) 2.

Suma solut¸iilor ecuat¸iei 4x − 3 · 2x + 2 = 0 este: a) 2;

b) 3;

c) 1;

d) 0.

29.

Suma 1 + 2 + 3 + . . . + 2003 este:

30.

a) 2003 · 1001; b) 2003 · 1002; c) 2002 · 2003; √ Num˘ arul 2 este egal cu 1, a1 a2 a3 . . .. Cˆ at este a1 + a2 + a3 ? a) 10;

b) 8;

c) 6;

d) 2003 · 2004. d) 9.

31

SESIUNEA AUGUST M1 Specializarea matematic˘a-informatic˘ a pentru absolvent¸ii claselor a XII-a, promot¸ia 2003

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. Se consider˘ a triunghiul ABC cu lungimile laturilor 3, 4 ¸si 5. 1.

M˘ asura unghiului care se opune laturii egale cu 5 este: a) 90◦ ;

2.

b) 4;

b) 7;

c) 3;

d) 2.

c) 12;

d) 5.

Suma cosinusurilor unghiurilor triunghiului ABC este: a) 2, 4;

5.

d) 60◦ .

Aria triunghiului ABC este: a) 6;

4.

c) 100◦ ;

Raza cercului circumscris triunghiului ABC este: a) 2, 5;

3.

b) 80◦ ;

b) 2;

c) 1, 4;

d) 1.

c) 9, 6;

d) 9, 4.

Suma ˆın˘alt¸imilor triunghiului ABC este: a) 8;

b) 9;

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex (x2 + x). Not˘ am prin f (n) (x), derivata de ordinul n a funct¸iei f ˆın punctul x. 6.

Cât este lim

x→0

a) 1; 7.

f (x) − f (0) ? x b) 0;

b) Este dreapta y = 1;

b) 0;

c) 2;

f 0 (0) + f 00 (0) + . . . + f (n) (0) este: n→∞ n3 a) 0; b) 1;

b) Vid˘ a; d) Finit˘a, având cel put¸in 2003 elemente.

lim

c) 0, (3);

d) ∞.

Se consider˘ a mult¸imea M = {1, 2, 3, . . . , 8}. 11.

Media aritmetic˘a a elementelor mult¸imii M este: a) 8;

12.

d) Este dreapta y = 0.

d) 1.

Mult¸imea {n ∈ N∗ | f (n) (x) = ex (x2 + (2n + 1)x + n2 ), (∀) x ∈ R} este: a) N∗ ; c) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente;

10.

c) Nu exist˘a;

Câte puncte de inflexiune are graficul funct¸iei f ? a) 3;

9.

d) 2.

Ce se poate spune despre asimptota la graficul funct¸iei f c˘ atre −∞? a) Este dreapta y = x;

8.

c) 5;

b) 4, 5;

c) 5;

d) 6.

Num˘ arul de submult¸imi cu ¸sase elemente ale mult¸imii M este: a) 32;

b) 64;

c) 28; 32

d) 30.

13.

Num˘ arul total de submult¸imi ale mult¸imii M este: b) 38 ;

a) 8!; 14.

b) 13;

b) 11;

b) 8;

c) 10;

b) 15;

c) 3;

c) 32;

d) 8.

b) 4;

c) 3;

d) 2.

Se consider˘ a integralele In , n ∈ N, unde I0 = wn =

2n − 1 √ 1 3 · · ...· · 2n + 1, (∀) n ≥ 1. 2 4 2n

Z

π 2

dx ¸si In =

0

Z

0

b) 1;

c)

π ; 2

(sin x)n dx, (∀) n ≥ 1 ¸si ¸sirul (wn )n∈N∗ ,

π d) − · 2

I1 este: b) 1; c) −2; n−1 In−2 este: Mult¸imea n ∈ N | n ≥ 2, In = n

d) −1.

a) 2;

21.

π 2

I0 este egal cu: a) 2;

20.

d) 6.

Câte solut¸ii are ˆın inelul Z6 ecuat¸ia ˆ 4ˆ x=ˆ 0? a) 1;

19.

d) 13.

Câte polinoame de grad mai mic sau egal cu 4 cont¸ine inelul Z2 [X]? a) 16;

18.

d) 10.

Câte elemente inversabile fat¸˘ a de ˆınmult¸ire are inelul Z12 ? a) 4;

17.

c) 11;

Num˘ arul de progresii aritmetice de trei elemente cu rat¸ia strict pozitiv˘ a care se pot forma cu elementele mult¸imii M este: a) 12;

16.

d) 88 .

Câte elemente are mult¸imea {(a, b) | a, b ∈ M, a < b, a divide pe b}? a) 12;

15.

c) 28 ;

(Se poate folosi eventual metoda integr˘ arii prin p˘ art¸i)

22.

23.

a) N − {0, 1}; c) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente; In n+1 Mult¸imea n ∈ N∗ | 1 ≤ este: ≤ In+1 n

b) Vid˘ a; d) Finit˘a, având cel put¸in 2004 elemente.

a) Vid˘ a; c) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente;

b) N∗ ; d) Finit˘a, având cel put¸in 2004 elemente.

lim

n→∞

In este: In+1

a) ∞; 24.

S ¸ tiind c˘ a a)

r

b) 1;

c) 0, 5;

d) 0.

π I2n = (wn )2 · , (∀) n ∈ N∗ , atunci lim wn este: n→∞ I2n+2 2

2 ; π

b) 1;

c)

r

π ; 2

d) 0.

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − 4X + 1, cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ C. Pentru orice k ∈ N∗ , not˘am cu k Sk = x1 + xk2 + xk3 , iar S0 = 3. 25.

f (−1)f (1) este: a) 4;

26.

b) 6;

c) −2;

d) −8.

Num˘ arul de r˘ad˘acini rat¸ionale ale polinomului f este: a) 1;

b) 0;

c) 2;

d) 3.

33

27.

Num˘ arul de r˘ad˘acini reale ale polinomului f este: a) 1;

28.

b) 0;

d) 0.

c) 3;

d) 2.

Mult¸imea {k ∈ N | Sk+3 − 4Sk+1 + Sk = 0} este: a) ∅; c) N;

30.

c) 2;

Suma x1 + x2 + x3 este: a) 1;

29.

b) 3;

Mult¸imea {n ∈ N | Sn ∈ Z} este:

a) N; c) Finit˘a, având cel put¸in 2004 elemente;

b) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente; d) Finit˘a, având cel put¸in 2004 elemente.

b) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente; d) ∅.

34

M1 Filiera teoretic˘a, specializarea S ¸ tiint¸e ale naturii Filiera tehnologic˘a, profil Tehnic, toate specializ˘ arile

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. x. 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = {x}(1 − {x}), unde prin {x} am notat partea fract¸ionar˘ a a num˘arului real Câte dintre numerele f (0, 25), f (0, 5), f (0, 75) ¸si f (1), sunt egale cu f (0)? a) 1;

2.

b) 3;

b) 0, 5;

c) 1;

d) 0, 75.

b) Nu exist˘a;

c) 1;

d) −1.

Cât este lim f (x)? x→0

a) 0; 4.

Cum este mult¸imea punctelor ˆın care funct¸ia f nu este continu˘ a? a) Vid˘ a; c) Finit˘a, având cel put¸in 2004 elemente;

5.

d) 2.

Care dintre urm˘atoarele numere reprezint˘ a perioad˘a pentru funct¸ia f ? a) 0, 25;

3.

c) 0;

b) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente; d) Infinit˘a.

Care este aria suprafet¸ei plane m˘arginite de graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si de dreptele de ecuat¸ii x = 0 ¸si x = 1? a) 1;

b) 0, 1(6);

c) 0, 2;

d) 0, 5.

Pe R se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = x + y + 1. Se ¸stie c˘ a legea ”◦” este asociativ˘ a. 6.

Elementul neitru al legii ”◦” este: a) −2;

7.

d) 1.

b) −x − 1;

c) −2 − x;

b) 22;

c) 19;

b) 2;

c) 3;

Se consider˘ a funct¸iile In : R → R, I0 (x) = 1 ¸si In+1 (x) =

b) 0;

I1 (x), x ∈ R este: a) 0;

12.

d) 1. Z

x 0

In (t) dt, (∀) x ∈ R, (∀) n ∈ N.

Suma I0 (1) + I0 (2) + . . . + I0 (2003) este: a) 2003;

11.

d) 21.

Num˘ arul de solut¸ii reale ale ecuat¸iei 4x ◦ 2x = 21 este: a) 0;

10.

d) −x.

Elementul (−10) ◦ (−9) ◦ . . . ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 10) este: a) 20;

9.

c) 0;

Simetricul elementului x ∈ R, fat¸˘ a de legea ”◦” este: a) −x + 1;

8.

b) −1;

b)

x ; 2

c) 2004;

d) 2002.

c) x;

d) 1.

I10 (x), x ∈ R este: a) 10x;

b) 10!x10 ;

c)

x10 ; 10! 35

d) x10 .

13.

lim In (x), x ∈ R este:

n→∞

a) ∞; 14.

b) −∞;

I0 (1) + I1 (1) + . . . + In (1) este: n a) ∞; b) 0;

c) e;

d) 0.

c) 1;

d) e.

lim

n→∞

Se consider˘ a polinomul f = X 4 − 4X 2 + 1, cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. 15.

Suma f (−1) + f (1) este: a) 2;

16.

c) 6;

d) −8.

c) 1;

d) 3.

Câte r˘ad˘acini rat¸ionale are polinomul f ? a) 2;

17.

b) −4; b) 0;

Cum sunt solut¸iile ecuat¸iei x2 − 4x + 1 = 0, rezolvat˘a ˆın mult¸imea numerelor complexe? a) Reale, una pozitiv˘ a ¸si una negativ˘ a; c) Reale ¸si pozitive;

18.

Câte r˘ad˘acini reale are polinomul f ? a) 3;

19.

b) 0;

c) 2;

d) 4.

c) 5;

d) 0.

c) 1;

d) 5.

Suma x1 + x2 + x3 + x4 este: a) −5;

20.

b) Reale ¸si negative; d) Complexe nereale.

b) 1;

Produsul x1 · x2 · x3 · x4 este: a) −1;

b) −5;

În mult¸imea M2 (C) se consider˘ a matricele A = 21.

Matricea A2 este: a) A;

22.

1 0

c) O2 ;

d)

c) 0;

d) 1.

0 . 0

b) 10;

Ecuat¸ia Z 2 = O2 are ˆın M2 (C): a) b) c) d)

24.

0 0 ; 1 0

Determinantul matricei A este: a) −1;

23.

b)

0 1 0 0 ¸si O2 = . 0 0 0 0

Un num˘ar finit de solut¸ii, strict mai mari decât 1; Un num˘ar infinit de solut¸ii mai mari decât 1; Nicio solut¸ie; O infinitate de solut¸ii.

Ecuat¸ia Y 2 = A are ˆın M2 (C): a) Un num˘ar finit de solut¸ii, strict mai mari decât 1; c) Nicio solut¸ie;

b) Exact o solut¸ie; d) O infinitate de solut¸ii.

În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(3, 4), B(−4, 3), C(0, −5) ¸si O(0, 0). 25.

Suma OA + OB + OC este: a) 15;

26.

c) 12;

d) 11.

c) x2 + y 2 = 25;

d) x + y = 7.

c) 7x = y + 25;

d) x2 + y 2 = 25.

Punctele A, B ¸si C se afl˘a pe curba: a)

27.

b) 10;

y2 x2 − = 1; 25 16

b)

y2 x2 + = 1; 9 16

Ecuat¸ia dreptei AB este: a) (xy)2 = 122 ;

b) 7y = x + 25;

36

28.

Panta dreptei AC este: a) 3;

29.

c)

1 ; 3

d)

1 · 9

Aria triunghiului ABC este: a) 30;

30.

b) 9;

b) 35;

c) 60;

d) 25.

Raza cercului circumscris triunghiului ABC este: a) 5;

b) 3;

c) 4, 5;

37

d) 4.

Proba d Profil real: matematic˘a-fizic˘a, informatic˘ a, metrologie pentru absolvent¸ii claselor a XIII-a (zi, seral ¸si frecvent¸˘a redus˘a) promot¸ia 2003 ¸si promot¸iile anterioare

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. Se consider˘ a integralele In , n ∈ N, unde I0 = wn = 1.

2.

1 3 2n − 1 √ · ·... · · 2n + 1, (∀) n ≥ 1. 2 4 2n

I0 este egal cu: π a) − ; 2

b) 2;

Z

π 2

dx ¸si In =

0

c)

Z

0

π ; 2

(cos x)n dx, (∀) n ≥ 1 ¸si ¸sirul (wn )n∈N∗ ,

d) 1.

I1 este: b) 2; c) −2; n−1 Mult¸imea n ∈ N | n ≥ 2, In = In−2 este: n a) 1;

3.

π 2

d) −1.

(Se poate folosi eventual metoda integr˘ arii prin p˘ art¸i)

4.

a) Finit˘a, având cel put¸in 2004 elemente; c) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente; In n+1 Mult¸imea n ∈ N∗ | 1 ≤ este: ≤ In+1 n

b) Vid˘ a; d) N − {0, 1}.

b) N∗ ; d) Finit˘a, având cel put¸in 2004 elemente.

a) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente; c) Vid˘ a; 5.

lim

n→∞

In este: In+1

a) 1; 6.

S ¸ tiind c˘ a a) 1;

b) ∞;

c) 0, 5;

I2n π = (wn )2 · , (∀) n ∈ N∗ , atunci lim wn este: n→∞ I2n+2 2 r 2 ; b) c) 0; π

d) 0.

d)

r

π · 2

Se consider˘ a mult¸imea M = {1, 2, 3, . . . , 8}. 7.

Media aritmetic˘a a elementelor mult¸imii M este: a) 4, 5;

8.

d) 5.

b) 32;

c) 28;

d) 30.

Num˘ arul total de submult¸imi ale mult¸imii M este: a) 88 ;

10.

c) 8;

Num˘ arul de submult¸imi cu ¸sase elemente ale mult¸imii M este: a) 64;

9.

b) 6;

b) 28 ;

c) 8!;

Câte elemente are mult¸imea {(a, b) | a, b ∈ M, a < b, a divide pe b}? a) 11;

b) 13;

c) 12;

38

d) 38 .

d) 10.

11.

Num˘ arul de progresii aritmetice de trei elemente cu rat¸ia strict pozitiv˘ a care se pot forma cu elementele mult¸imii M este: a) 11;

b) 12;

c) 13;

d) 10.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex (x2 + x). Not˘ am prin f (n) (x), derivata de ordinul n a funct¸iei f ˆın punctul x. 12.

Cât este lim

x→0

a) 2; 13.

f (x) − f (0) ? x b) 5;

b) Nu exist˘a;

c) Este dreapta y = 1;

b) 0;

c) 3;

d) 2.

Mult¸imea {n ∈ N∗ | f (n) (x) = ex (x2 + (2n + 1)x + n2 ), (∀) x ∈ R} este:

b) N∗ ; d) Finit˘a, având cel put¸in 2004 elemente.

a) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente; c) Vid˘ a;

16.

d) Este dreapta y = 0.

Câte puncte de inflexiune are graficul funct¸iei f ? a) 1;

15.

d) 0.

Ce se poate spune despre asimptota la graficul funct¸iei f c˘ atre −∞? a) Este dreapta y = x;

14.

c) 1;

f 0 (0) + f 00 (0) + . . . + f (n) (0) este: n→∞ n3 a) 1; b) ∞; lim

c) 0;

d) 0, (3).

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − 5X + 1, cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ C. Pentru orice k ∈ N∗ , not˘am cu k Sk = x1 + xk2 + xk3 , iar S0 = 3. Fie a o r˘ad˘acin˘a a polinomului f , B = {h(a) | h ∈ Q[X], grad(h) < 3} ¸si A = {g(a) | g ∈ Q[X]}. 17.

f (−1)f (1) este: a) −15;

18.

b) 0;

b) 0;

Mult¸imea {n ∈ N | Sn ∈ Z} este:

a) N; c) Finit˘a, având cel put¸in 2004 elemente;

23.

Mult¸imea A − B este: a) Infinit˘a; c) Vid˘ a;

24.

d) 0.

c) 1;

d) 2.

c) 1;

d) 2.

Mult¸imea {k ∈ N | Sk+3 − 5Sk+1 + Sk = 0} este: a) ∅; c) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente;

22.

c) 1;

Suma x1 + x2 + x3 este: a) 3;

21.

b) 3;

Num˘ arul de r˘ad˘acini reale ale polinomului f este: a) 3;

20.

d) −3.

c) 15;

Num˘ arul de r˘ad˘acini rat¸ionale ale polinomului f este: a) 2;

19.

b) −5;

b) N; d) Finit˘a, având cel put¸in 2004 elemente.

b) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente; d) ∅. b) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente; d) Finit˘a, având cel put¸in 2004 elemente.

Care dintre elementele urm˘atoare din mult¸imea B este egal cu a) a2 − 5;

b) a2 − 5a;

c) 5 − a2 ;

39

1 ? a d) a.

25.

Mult¸imea (B, +, ·) formeaz˘ a o structur˘ a de:

(Prin ”+” ¸si ”·” ˆınt¸elegem adunarea ¸si ˆınmult¸irea numerelor complexe) a) Nu formeaz˘ a nicio structur˘ a; c) Corp comutativ;

b) Corp necomutativ; d) Inel comutativ care nu este corp.

În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0), D(0, −1) ¸si O(0, 0). 26.

27.

Segmentul AB are lungimea: √ a) 3; b) 1;

d) 2.

b) 4;

c) 2;

d) 0.

b) −1;

c) 1;

d) −2.

c) y = 0;

d) x2 + y 2 = 1.

c) 2;

d) 1.

Ecuat¸ia dreptei AC este: a) xy = 0;

30.

2;

Panta dreptei AB este: a) 0;

29.

√

Suma OA + OB + OC + OD este: a) 1;

28.

c)

b) x2 = 1;

Aria patrulaterului ABCD este: a) 3;

b) 4;

40

M2 pentru absolvent¸ii claselor a XII-a, promot¸ia 2003

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. 1.

Suma sin(−90◦ ) + sin(−89◦ ) + . . . + sin(−1◦ ) + sin 0◦ + sin 1◦ + . . . + sin 89◦ + sin 90◦ este: b) −1;

a) 0; 2.

c) 1;

Produsul cos 0◦ · cos 1◦ · . . . · cos 179◦ · cos 180◦ este: b) −1;

a) 0;

c) 0, 5;

Se consider˘ a funct¸ia f : R\{−1, −2} → R, f (x) = 3.

Expresia f (x) − a) 2f (x);

4.

6.

d)

2 · x+2

Num˘ arul de asimptote verticale la graficul funct¸iei f este: b) 0;

c) 2;

d) 3.

Aria suprafet¸ei plane cuprinse ˆıntre graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele x = 0 ¸si x = 1 este: 3 4 a) 1; b) ln ; c) ln ; d) arctg 2. 4 3 lim x2 f (x) este:

x→∞

a) 0, 5; 7.

d) 1.

1 · (x + 1)(x + 2)

1 1 + , x ∈ R\{−1, −2} este: x+1 x+2 2 b) − c) 0; ; x+1

a) 1; 5.

d) 0, 5.

b) 1;

c) 0;

d) ∞.

c) 1;

d) ∞.

lim (f (0) + f (1) + . . . + f (n)) este:

n→∞

a) 0, 5;

b) 2;

Se consider˘ a mult¸imea A = {1, 2, . . . , 10, 11, 12}. 8.

Câte submult¸imi cu dou˘a elemente are mult¸imea A? a) 54;

9.

c) 50;

d) 55.

Câte submult¸imi nevide ale mult¸imii A au proprietatea c˘ a suma elementelor lor este egal˘a cu 5? a) 1;

10.

b) 57;

b) 3;

c) 4;

d) 2.

Care este probabilitatea ca alegând un element din mult¸imea A, acesta s˘a fie num˘ar par? a) 0, (45);

b) 0, 5;

c) 0, 4;

d) 0, (5).

Se consider˘ a funct¸iile fn : R → R, f0 (x) = xex ¸si fn+1 (x) = fn0 (x), (∀) n ∈ N, (∀) x ∈ R. 11.

f1 (x), x ∈ R este: a) ex (x − 1);

12.

c) xex ;

d) ex + x.

b) x = 2;

c) x = −2;

d) x = 0.

b) 2002;

c) −2003;

d) 2003.

Ecuat¸ia f (n) (x) = 0 are solut¸ia: a) x = 1;

13.

b) ex (x + 1);

f2003 (0) este: a) 2003!;

41

14.

lim

x→∞

fn+1 (x) , n ∈ N∗ , este: fn (x)

a) ∞; 15.

b) 1;

c)

n+1 ; n

d) 0.

Asimptota orizontal˘ a la graficul funct¸iei f0 c˘ atre −∞ este: a) y = 0;

b) y = x + 1;

c) y = 1;

d) y = x.

Pe R se define¸ste legea de compozit¸ie ”◦” prin x ◦ y = xy − 2x − 2y + 6. 16.

Elementul x ◦ y mai poate fi scris (∀) x, y ∈ R: a) (x−2)(y+2)−2;

17.

b) (x−2)(y−2)+2;

c) (x+2)(y−2)+2;

Egalitatea x ◦ (y ◦ z) = x ◦ (y ◦ z) are loc: a) Numai cˆ and y = z; c) Numai cˆ and x = y = z;

18.

b) 2;

c) 3;

b) 3;

c) 1, 5;

Mult¸imea {x ∈ R | x ◦ 2 = 2} este: a) R; c) Format˘a dintr-un element.;

21.

d) 0.

Ecuat¸ia 2x ◦ 4x = 2 are suma solut¸iilor egal˘a cu: a) 1;

20.

b) Oricare ar fi numerele reale x, y, z; d) Numai cˆ and x = y.

Elementul neutru al legii ”◦” este: a) 1;

19.

d) (x+2)(y+2)−2.

d) 2.

b) Finit˘a, având cel put¸in 2 elemente; d) ∅.

Elementul (−2003) ◦ (−2002) ◦ . . . ◦ (−1) ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 2002 ◦ 2003 este: a) −1;

b) 2;

c) 0;

d) 1.

2 Se consider˘ a polinoamele f = X − 3X + 2, g = X , n ∈ N ¸si matricele A = 0 0 0 O2 = . 0 0 2

22.

b) x1 = −1, x2 = 2;

Matricea A2 este: a) 2A;

24.

26.

b)

4 3 ; 0 1

f (A) = A2 − 3A + 2I2 este: a) A;

25.

∗

1 1 , I2 = 1 0

R˘ ad˘acinile polinomului f sunt: a) x1 = 1, x2 = 2;

23.

n

b) A + I2 ;

c) x1 = −1, x2 = −2;

d) x1 = 1, x2 = −2.

c) A + I2 ;

d) A − I2 .

c) O2 ;

d) I2 .

Restul ˆımp˘art¸irii polinomului g la polinomul f este: a) (2n + 1)X + 2 + 2n ; n 2 Egalitatea An = 0 a) b) c) d)

b) (2n + 1)X + 2 − c) (2n − 1)X + 2 + 2n ; 2n ; 2n − 1 , n ∈ N∗ , este adev˘arat˘a: 1

d) (2n − 1)X + 2 − 2n .

(∀) n ∈ N∗ ; Pentru un num˘ ar finit de valori ale lui n ∈ N∗ , mai mare decât 2; Pentru nicio valoare a lui n ∈ N∗ ; Pentru exact o valoare a lui n ∈ N∗ .

√ √ În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(−1, 3), B(−1, − 3), C(2, 0). 27.

Perimetrul triunghiului ABC este: √ a) 6; b) 3 3;

√ c) 6 3;

42

√ d) 2 3.

0 ¸si 1

28.

Aria triunghiului ABC este: a) 4;

29.

30.

b) 3;

√ c) 3 3;

Raza cercului circumscris triunghiului ABC este: √ √ a) 3; b) 2; c) 2;

d) 9.

d) 1.

M˘ asura unghiului A din triunghiul ABC este: a) 45◦ ;

b) 60◦ ;

c) 30◦ ;

43

d) 90◦ .

M3 Profil pedagogic. Pentru absolvent¸ii claselor a XIII-a (zi, seral ¸si frecvent¸˘a redus˘a) promot¸ia 2003 ¸si promot¸iile anterioare

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. xk1

Se consider˘ a polinomul f = X 3 − 5X + 1, cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ C. Pentru orice k ∈ N∗ , not˘am cu Sk = k k + x2 + x3 , iar S0 = 3.

1.

f (−1)f (1) este: a) −5;

2.

c) 3;

b) 3;

c) 2;

d) 1.

b) 2;

c) 0;

d) 1.

Mult¸imea {k ∈ N | Sk+3 − 4Sk+1 + Sk = 0} este: a) ∅; c) Finit˘a, având cel put¸in 2004 elemente;

6.

Mult¸imea {n ∈ N | Sn ∈ Z} este:

a) Finit˘a, având cel put¸in 2004 elemente; c) ∅;

Se consider˘ a matricele A = 7.

0 . 0

b) 3;

c) 1;

d) −1.

b) 0;

c) 2;

d) −2.

b) 6;

c) 5;

d) 3.

c) I2 ;

d) O2 .

Matricea I2 + A + A2 + . . . + A5 este: a) −I2 ;

11.

3 −7 1 0 0 , I2 = ¸si O2 = 1 −2 0 1 0

Cel mai mic num˘ ar natural nenul n, pentru care An = I2 este: a) 4;

10.

b) N; d) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente.

Suma elementelor matricei A3 este: a) 1;

9.

b) N; d) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente.

Determinantul matricei A este: a) 2;

8.

d) 0.

Suma x1 + x2 + x3 este: a) 3;

5.

b) 1;

Num˘ arul de r˘ad˘acini reale ale polinomului f este: a) 0;

4.

d) −3.

c) 15;

Num˘ arul de r˘ad˘acini rat¸ionale ale polinomului f este: a) 2;

3.

b) −15;

b) A;

Determinantul matricei A + A2 + . . . + A2003 este: a) −1;

b) 1;

c) 0;

d) 2003.

Pe R se define¸ste legea de compozit¸ie ”◦” prin x ◦ y = xy + x + y. 12.

Elementul x ◦ y mai poate fi scris (∀) x, y ∈ R: a) (x+1)(y+1)−1;

b) (x−1)(y−1)+1;

c) (x−1)(y−1)−1;

44

d) (x+1)(y+1)+1.

13.

Egalitatea x ◦ (y ◦ z) = x ◦ (y ◦ z) are loc: a) Numai dac˘ a x + y + z = 0; c) Oricare ar fi numerele reale x, y, z;

14.

b) Numai dac˘a x = y = z; d) Numai dac˘a x = y.

Mult¸imea {x ∈ R | x ◦ (−1) = −1} este: a) {−1}; c) R;

15.

b) Finit˘a, având cel put¸in 2 elemente; d) ∅.

Expresia (−2003) ◦ (−2002) ◦ . . . ◦ (−1) ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 2002 ◦ 2003 este: a) 2003!;

b) 1;

c) −1;

d) 0.

Într-o lun˘a, ziua de joi a fost de trei ori ˆın zile cu num˘ar par. 16.

Câte zile de joi a avut luna respectiv˘a? a) 4;

b) 5;

c) 7;

d) 6.

17. În ce dat˘a a fost prima zi de joi a lunii respective? a) 1; 18.

b) 3;

c) 2;

d) 4.

c) Miercuri;

d) Joi.

Ce zi a fost ˆın data de 15 a lunii respective? a) Mart¸i;

b) Vineri;

Într-un plan se consider˘ a pentagonul convex ABCDE. 19.

Câte drepte au dou˘a puncte comune cu mult¸imea {A, B, C, D, E}? a) 25;

20.

c) 10;

d) 25.

b) 15;

c) 20;

d) 5.

Care este suma m˘asurilor unghiurilor pentagonului convex ABCDE? a) 900◦;

23.

b) 15;

d) 10.

Câte diagonale are pentagonul convex ABCDE? a) 10;

22.

c) 20;

Câte triunghiuri au toate vârfurile ˆın mult¸imea {A, B, C, D, E}? a) 20;

21.

b) 15;

b) 540◦;

c) 450◦ ;

d) 720◦ .

Care este num˘ arul maxim de unghiuri ascut¸ite pe care ˆıl poate avea un poligon convex cu 10 laturi? a) 4;

b) 3;

c) 2;

d) 5.

Se consider˘ a mult¸imea A = {1, 2, 3, . . . , 9}. 24.

Media aritmetic˘a a elementelor mult¸imii A este: a) 7;

25.

d) 6.

b) 72;

c) 76;

d) 81.

Num˘ arul total de submult¸imi ale mult¸imii A este: a) 99 ;

27.

c) 9;

Num˘ arul de submult¸imi cu ¸sase elemente ale mult¸imii A este: a) 84;

26.

b) 5;

b) 9!;

c) 39 ;

d) 29 .

Num˘ arul de progresii aritmetice de trei elemente cu rat¸ia strict pozitiv˘ a care se pot forma cu elementele mult¸imii A este: a) 12;

b) 16;

c) 10;

d) 14.

c) 2001;

d) 2002.

Se consider˘ a num˘ arul a = 22003 . 28.

Câte cifre are num˘ arul a scris ˆın baza 2? a) 2004;

b) 2003;

45

29.

Care este num˘ arul de cifre ”0” folosite pentru scrierea ˆın baza 2 a num˘arului a? a) 2000;

30.

b) 1;

c) 2003;

d) 1000.

Care este suma cifrelor num˘ arului a, scris ˆın baza 2? (Suma se calculeaz˘a ˆın baza 10) a) 1000;

b) 2003;

c) 2;

d) 1.

46

Proba d Clase de: economie, fizic˘a-chimie, chimie-biologie, militar (real), industrial, agricol, silvic, sportiv (real) pentru absolvent¸ii claselor a XIII-a (zi, seral ¸si frecvent¸˘a redus˘a), promot¸ia 2003 ¸si promot¸iile anterioare ♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. Pe R se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = x + y + 1. Se ¸stie c˘ a legea ”◦” este asociativ˘ a. 1.

Elementul neutru al legii ”◦” este: a) −1;

2.

d) 1.

b) −x + 1;

c) −x;

d) −x − 1.

Elementul (−10) ◦ (−9) ◦ . . . ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 9 ◦ 10 este: a) 19;

4.

c) 0;

Simetricul elementului x ∈ R, fat¸˘ a de legea ”◦” este: a) −2 − x;

3.

b) −2;

b) 20;

c) 21;

d) 22

Num˘ arul de solut¸ii reale ale ecuat¸iei 4x ◦ 2x = 21 este: a) 2;

b) 0;

c) 1;

d) 3.

În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(3, 4), B(−4, 3), C(0, −5) ¸si O(0, 0). 5.

Suma OA + OB + OC este: a) 12;

6.

9.

b) 8;

b) (xy)2 = 122 ;

Panta dreptei AC este: 1 a) ; b) 9; 3

c) 6;

d) 4.

c) 7x = y + 25;

d) 7y = x + 25.

c)

1 ; 9

b) 4;

c) 6;

Se consider˘ a funct¸iile In : R → R, I0 (x) = 1 ¸si In+1 (x) =

0

In (t) dt, (∀) n ∈ N, (∀) x ∈ R.

c) 0;

d) 2003.

b) 0;

c)

b) 10!x10 ;

c) 10x;

d) x10 .

b) ∞;

c) −∞;

d) e.

x ; 2

d) 1.

I10 (x), x ∈ R este: a)

13.

x

b) 2004;

I1 (x), x ∈ R este: a) x;

12.

Z

d) 3.

Suma I0 (1) + I0 (2) + . . . + I0 (2003) este: a) 2002;

11.

d) 3.

Câte triunghiuri au toate vârfurile ˆın mult¸imea {A, B, C, O}? a) 5;

10.

d) 10.

Ecuat¸ia dreptei AB este: a) x2 + y 2 = 25;

8.

c) 11;

Câte drepte au cˆ ate dou˘a puncte ˆın mult¸imea {A, B, C, D, O}? a) 5;

7.

b) 15;

x10 ; 10!

lim In (x), x ∈ R este:

n→∞

a) 0;

47

14.

I0 (1) + I1 (1) + . . . + In (1) este: n a) 0; b) e;

lim

n→∞

c) ∞;

d) 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4). 15.

Egalitatea f (x) = (x2 − 5x + 5)2 − 1 are loc pentru: a) Numai pentru x = 0; c) (∀) x ∈ R;

16.

Ecuat¸ia f (x) = 0, x ∈ R are suma solut¸iilor: a) −10;

17.

d) 4.

b) 3;

c) 2;

d) 1.

b) 4;

c) 2;

d) 3.

Num˘ arul punctelor de inflexiune ale graficului funct¸iei f este: a) 2;

20.

c) 10;

Num˘ arul punctelor de extrem local ale funct¸iei f este: a) 1;

19.

b) 0;

Ecuat¸ia f 0 (x) = 0, x ∈ R are num˘ arul solut¸iilor: a) 0;

18.

b) Numai pentru x ≤ 0; d) Numai pentru x ≥ 0.

b) 1;

c) 4;

d) 3.

b) ∞;

c) 1;

d) 0.

xf 0 (x) este: x→∞ f (x) lim

a) 4;

Se consider˘ a polinomul f = X 4 − 5X 2 + 1, cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. 21.

Suma f (−1) + f (1) este: a) 6;

22.

24.

b) 0;

c) 2;

d) 3.

b) 4;

c) 2;

d) 0.

c) −5;

d) 1.

c) −5;

d) 5.

Suma x1 + x2 + x3 + x4 este: b) 5;

Produsul x1 · x2 · x3 · x4 este: a) 0;

b) 1;

În mult¸imea M2 (C) se consider˘ a matricele A = 27.

Matricea A2 este: a) O2 ;

28.

b) A;

0 1 0 0 ¸si O2 = . 0 0 0 0

0 c) 1

0 ; 0

1 d) 0

Determinantul matricei A este: a) 1;

29.

b) Reale, una pozitiv˘ a ¸si una negativ˘ a; d) Complexe nereale.

Câte r˘ad˘acini reale are polinomul f ?

a) 0; 26.

d) −6.

Cum sunt r˘ad˘acinile ecuat¸iei x2 − 5x + 1 = 0? a) Reale ¸si pozitive; c) Reale ¸si negative; a) 3;

25.

c) −3;

Câte r˘ad˘acini rat¸ionale are polinomul f ? a) 1;

23.

b) 0;

b) 10;

d) −1.

c) 0;

Ecuat¸ia Z 2 = O2 are ˆın M2 (C): a) b) c) d)

Un num˘ar finit de solut¸ii, strict mai mare decât 1; O infinitate de solut¸ii; Nicio solut¸ie; Exact o solut¸ie. 48

0 . 0

30.

Ecuat¸ia Y 2 = A are ˆın M2 (C): a) b) c) d)

O infinitate de solut¸ii; Exact o solut¸ie; Nicio solut¸ie; Un num˘ar finit de solut¸ii, strict mai mare decât 1.

49

M2 pentru absolvent¸ii claselor a XII-a, promot¸ia 2003

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. 2 −3 1 0 0 Se consider˘ a matricele A = , I2 = ¸si O2 = 1 −1 0 1 0 1.

Determinantul matricei A este: a) 3;

2.

d) 1.

b) −2;

c) 0;

d) 2.

b) 4;

c) 5;

d) 3

c) A;

d) I2 .

Matricea I2 + A + A2 + . . . + A5 este: a) −I2 ;

5.

c) 2;

Cel mai mic num˘ ar natural nenul n, pentru care An = I2 este: a) 6;

4.

b) −1;

Suma elementelor matricei A3 este: a) 1;

3.

0 . 0

b) O2 ;

Determinantul matricei A + A2 + . . . + A2003 este: a) −1;

b) 0;

c) 2003;

d) 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex + e−x . 6.

f 0 (x), x ∈ R, este: a) −ex + e−x ;

7.

8.

b) −ex − e−x ;

f (x) − f (1) este: x−1 a) −e + e−1 ; b) e + e−1 ;

c) ex + e−x ;

d) ex − e−x .

c) e − e−1 ;

d) −e − e−1 .

c) −e + e−1 ;

d) e + e−1 .

c) 1;

d) ∞.

c) (−∞, 0);

d) (−∞, 1).

lim

x→1

Z

1

f (x) dx este:

0

9.

a) −e − e−1 ; b) e − e−1 ; Z x f (t) dt lim 0 0 este: x→∞ f (x) a) 0;

10.

Mult¸imea {x ∈ R | f 0 (x) > 0} este: a) (0, ∞);

11.

b) −∞; b) (−1, ∞);

Mult¸imea {x ∈ R | f (x) + f (27x) > f (5x) + f (1985x)} este: a) (−∞, 0);

b) R;

c) (0, ∞);

d) ∅.

c) 500;

d) 525.

Se consider˘ a mult¸imea A = {1, 2, . . . , 9}. 12.

Câte submult¸imi are mult¸imea A? a) 510;

b) 512;

50

13.

Câte submult¸imi cu dou˘a elemente are mult¸imea A? a) 40;

14.

b) 80;

c) 36;

d) 50.

Care este probabilitatea ca alegând un elemente al mult¸imii A, acesta s˘a fie num˘ar par? a) 0, 4;

b) 0, (5);

c) 0, 5;

d) 0, (4).

ate submult¸imi ale mult¸imii A se afl˘a simultan elementele 1 ¸si 2? 15. În cˆ a) 256; 16.

b) 100;

c) 128;

d) 130.

Care este media aritmetic˘a a elementelor mult¸imii A? a) 6;

b) 10;

c) 4;

d) 5.

Se consider˘ a funct¸iile fn : R → R, f0 (x) = x100 + x99 + . . . + x + 1 ¸si fn+1 (x) = fn0 (x), (∀) x ∈ R ¸si (∀) n ∈ N. 17.

f0 (1) este: a) 100;

18.

f1 (0) este:

19.

Z

a) 100;

b) 101;

c) 99;

d) 102.

b) 1;

c) 0;

d) 99.

b) 0;

c) 2002!;

d) 1.

b) 0;

c) n;

d) e.

c) e;

d) 0, 5.

1

f2003 (x) dx este:

0

a) 2003!; 20.

lim fn (n) este:

n→∞

a) ∞; 21.

f0 (0) + f1 (0) + . . . + fn (0) este: n a) 0; b) ∞;

lim

n→∞

Se consider˘ a funct¸ia f : Z → Z, f (x) = 2x − 1, (∀) x ∈ Z. 22.

Suma f (1) + f (2) + . . . + f (2003) este: a) 20032;

23.

b) 2003 · 1002;

Mult¸imea Z − {f (x) | x ∈ Z} este:

a) Infinit˘a; c) Finit˘a, având cel put¸in 2004 elemente;

24.

d) 2003!.

b) Vid˘ a; d) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente.

Mult¸imea {h : Z → Z | (h ◦ f )(x) = x, (∀) x ∈ Z} este: a) Finit˘a, având cel put¸in 2004 elemente; c) Vid˘ a;

25.

c) 2003 · 2004;

b) Infinit˘a; d) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente.

Mult¸imea {g : Z → Z | (f ◦ g)(x) = x, (∀) x ∈ Z} este: a) Finit˘a, având cel put¸in 2004 elemente; c) Vid˘ a;

b) Finit˘a, având cel mult 2003 elemente; d) Infinit˘a.

În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘ a punctele An (n, n2 ), n ∈ N. 26.

Panta dreptei A0 A1 este: a) −1;

27.

c) 2;

d) −2.

c) x + y = 0;

d) y = x2 .

c) 3;

d) 1.

Ecuat¸ia dreptei A0 A1 este: a) y = x;

28.

b) 1; b) x2 + y = 0;

Aria triunghiului A0 A1 A2 este: a) 4;

b) 2;

51

29.

Num˘ arul de elemente ale mult¸imii {n ∈ N | An ∈ A0 A1 } este: a) Cuprins ˆıntre 3 ¸si 10; c) 2;

30.

b) Finit, dar strict mai mare decât 10; d) Infinit.

Câte triunghiuri au toate vârfurile ˆın mult¸imea {A0 , A1 , A2 , A3 }? a) 2;

b) 4;

c) 5;

52

d) 3.

Proba f Profil umanist. Pentru absolvent¸ii claselor a XIII-a (zi, seral ¸si frecvent¸˘a redus˘a), promot¸ia 2003 ¸si promot¸iile anterioare

♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. Se consider˘ a funct¸iile f : R → R, f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) ¸si g : R → R, g(x) = x2 − 5x + 5. 1.

Egalitatea f (x) = (g(x))2 − 1 este adev˘arat˘a: a) Numai pentru x < 0; c) (∀) x ∈ R;

2.

Num˘ arul de solut¸ii reale ale ecuat¸iei g(x) = 0 este: a) 1;

3.

b) 0;

b) −1;

d) 2.

c) 2;

d) 1

Num˘ arul de puncte de minim ale funct¸iei f este: a) 3;

5.

c) 3;

Valoarea minim˘ a pe R a funct¸iei f este: a) 0;

4.

b) Numai pentru x > 0; d) Numai pentru x = 0.

b) 1;

c) 4;

Num˘ arul de puncte de inflexiune ale graficului funct¸iei f este: a) 1;

b) 3;

c) 0;

1 2 1 Se consider˘ a matricele A = ,B= 0 −1 2 6.

c) −1;

d) 5.

b) B;

c) A;

d) I2 .

b) I2 ;

c) A + I2 ;

d) A.

c) 2004(A + I2 );

d) I2 .

Matricea A + A2 + . . . + A2004 este: a) 1002(A + I2 );

10.

b) −6;

Matricea A2003 este: a) B;

9.

b) A;

Mult¸imea {n ∈ N∗ | (BA)n 6= I2 } este:

b) Infinit˘a, dar diferit˘a de N∗ ; d) N∗ .

a) Finit˘a, având cel put¸in 11 elemente; c) Finit˘a, având ˆıntre 1 ¸si 10 elemente;

Se consider˘ a funct¸ia f : [0, ∞) → R, f (x) = 11.

Expresia f (x) − a)

12.

0 1 0 ¸si I2 = . −1 0 1

Matricea A2 este: a) A + I2 ;

8.

d) 2.

Determinantul matricei B este: a) 1;

7.

d) 2.

2 ; x+2

1 · (x + 1)(x + 2)

1 1 + , x ∈ [0, ∞), este: x+1 x+2 b) 0;

c) −8;

d) 4.

Asimptot˘a c˘ atre +∞, la graficul funct¸iei f este: a) y = 0;

b) y = 1;

c) y = x; 53

d) y = −2.

13.

14.

f (x) − f (1) este: x−1 a) 1; b) −0, 25;

lim

x→1

Z

c) −0, 13(8);

d) 0.

b) −2 + ln 3;

c) 2 + ln 3;

d) ln 4 − ln 3.

b) ∞;

c) 0;

d) 0, 5.

1

f (x) dx este:

0

a) −2 − ln 3; 15.

lim x2 f (x) este:

x→∞

a) 1;

Se consider˘ a polinoamele f = X 2 − X + 1 cu r˘ad˘acinile x1 , x2 ∈ C ¸si g = X 3 + 1. 16.

Restul ˆımp˘art¸irii polinomului g la polinomul f este: a) X;

17.

Expresia x31 − x32 este: a) 0;

18.

d) 1.

b) 1;

c) −1;

d) i.

c) −2;

d) 2.

c) −2;

d) 0.

c) 0;

d) −1.

b) 0;

Suma x2004 + x2004 este: 1 2 a) −1;

20.

c) 0;

Suma x1 + x2 + x1 x2 este: a) −1;

19.

b) X + 1;

Suma 1 + x1 +

b) 2; x21

+

x31

a) i;

+ ...+

x2004 1

este:

b) 1;

Pe mult¸imea numerelor complexe se consider˘ a legea de compozit¸ie ”◦”, definit˘a prin x ◦ y = xy − ix − iy − 1 + i. 21.

Elementul x ◦ y mai poate fi scris (∀) x, y, z ∈ C: a) (x + i)(y + i) + i;

22.

b) (x− i)(y − i)+ i;

b) Numai dac˘a x = y; d) Numai dac˘a x = y = z.

Mult¸imea {x ∈ C | x ◦ i = i} este: a) Format˘a dintr-un element; c) C;

24.

b) 1;

Ecuat¸ia x ◦ x ◦ x ◦ x = 1 + i are ˆın C: a) 4 solut¸ii;

26.

b) Finit˘a, având cel put¸in 2 elemente; d) Infinit˘a, dar diferit˘a de C.

Expresia (−100i) ◦ (−99i) ◦ . . . ◦ (−i) ◦ 0 ◦ i ◦ (2i) ◦ . . . ◦ (99i) ◦ (100i) este: a) 0;

25.

d) (x− i)(y − i)− i.

Egalitatea x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z este adev˘arat˘a: a) Numai dac˘ a x = i; c) Pentru orice x, y, z ∈ C;

23.

c) (x + i)(y + i) − i;

b) 2 solut¸ii;

Produsul ˆ1 · ˆ2 · . . . · ˆ 8 ˆın Z9 este: ˆ ˆ a) 4; b) 6;

c) i;

d) −i.

c) 3 solut¸ii;

d) o solut¸ie.

c) ˆ2;

d) ˆ0.

c) 6 solut¸ii;

d) 2 solut¸ii.

27. În Z6 ecuat¸ia x ˆ3 = xˆ are: a) 3 solut¸ii; 28.

Cel mai mic num˘ ar natural n pentru care 20 + 21 + 22 + . . . + 2n > 2003 este: a) 10;

29.

b) 4 solut¸ii; b) 11;

Suma ˆ1 + ˆ2 + . . . + ˆ 8 ˆın Z9 este: ˆ a) 0; b) ˆ 5;

c) 9;

d) 12.

c) ˆ8;

d) ˆ6.

c) 2 solut¸ii;

d) 4 solut¸ii.

6ˆ x=ˆ 0 are: 30. În Z9 ecuat¸ia ˆ a) 3 solut¸ii;

b) o solut¸ie;

54

M3 Pentru absolvent¸ii claselor a XII-a, promot¸ia 2003 ♦ Tot¸i itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur r˘ aspuns corect. ♦ Se acord˘ a cˆ ate 3 puncte pentru fiecare r˘ aspuns corect. Se acord˘ a 10 puncte din oficiu. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. ♦ Pentru fiecare item, completat¸i pe foaia de examen, r˘ aspunsul pe care-l considerat¸i corect, cu simbolul ◦, iar r˘ aspunsurile considerate gre¸site cu simbolul ×. Se consider˘ a mult¸imea A = {1, 2, . . . , 7, 8}. 1.

Care este media aritmetic˘a a elementelor mult¸imii A? a) 4, 5;

2.

b) 3;

c) 4;

d) 5.

Câte submult¸imi cu dou˘a elemente are mult¸imea A? a) 28;

b) 64;

c) 20;

d) 56.

3.

Care este media geometric˘ a a elementelor divizibile cu 3 din mult¸imea A? √ √ √ a) 18; b) 24; c) 12; d) 3

4.

Câte submult¸imi cu num˘ ar impar de elemente are mult¸imea A? a) 128;

5.

Se consider˘ a num˘ arul

1 = 0, a1 a2 a3 . . . an . . .. 21 b) 9;

c) 3;

d) 4.

b) 132003 ;

c) 2003!;

d) 72003 .

b) 1;

c) 9;

d) 7.

b) 665;

c) 333;

1 ? 21 d) 332.

b) 10;

c) 1;

d) 12.

Care este cel mai mic num˘ ar natural nenul n pentru care n! > 1000? a) 9;

13.

d) 4.

Care este cel mai mic num˘ ar natural n, cu proprietatea c˘ a 2n > 2003? a) 9;

12.

c) 3;

De cˆ ate ori apare cifra 4 ˆın primele 2003 zecimale ale num˘arului a) 334;

11.

d) 6.

Cifra a2003 este: a) 6;

10.

b) 2;

Produsul a1 · a2 · . . . · a2003 este: a) 0;

9.

c) 8;

Suma a1 + a2 este: a) 5;

8.

b) 10;

d) 36.

Câte submult¸imi ale mult¸imii A au suma elementelor egal˘a cu 5? a) 5;

7.

c) 64;

Câte perechi (a, b) ∈ A × A verific˘ a relat¸ia a + b = 9? a) 9;

6.

b) 100;

b) 6;

c) 8;

d) 7.

Câte numere de 5 cifre se pot forma utilizând cifrele 4 ¸si 9? a) 25;

b) 32;

c) 64;

d) 10.

Se consider˘ a ˆın plan o mult¸ime M format˘a din 5 puncte cu proprietatea c˘ a oricare trei dintre ele sunt necoliniare. 14.

Num˘ arul dreptelor care trec prin cˆ ate 2 puncte din mult¸imea M este: a) 10;

b) 25;

c) 20; 55

d) 15.

15.

Câte triunghiuri pot avea toate vârfurile ˆın mult¸imea M ? a) 10;

16.

b) 25;

c) 15;

d) 20.

Num˘ arul maxim de unghiuri ascut¸ite pe care ˆıl poate avea un poligon convex cu 5 laturi este: a) 5;

b) 2;

c) 3;

d) 4.

Un triunghi ABC dreptunghic are catetele cu lungimile de 12 ¸si 16. 17.

Cât este lungimea ipotenuzei? a) 18;

18.

b) 48;

c) 100;

d) 192.

b) 9, 6;

c) 12, 4;

d) 15.

Care este perimetrul triunghiului cu vârfurile ˆın mijloacele laturilor triunghiului ABC? a) 28;

21.

d) 19.

Care este lungimea ipotenuzei care cade pe ipotenuz˘a? a) 10;

20.

c) 20;

Care este aria triunghiului? a) 96;

19.

b) 22;

b) 30;

c) 24;

d) 20.

Care este aria triunghiului cu vârfurile ˆın mijloacele laturilor triunghiului ABC? a) 48;

b) 12;

c) 10;

d) 24.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 − 5x + 6. Not˘ am cu x1 , x2 ∈ R solut¸iile ecuat¸iei f (x) = 0. 22.

Num˘ arul f (0) este: a) 1;

23.

c) −5;

d) 5.

c) (1, 3);

d) (−∞, 0).

c) 2003!;

d) 2004!.

b) (2, 3);

b) 2002!;

b) 0;

c) 3;

d) 4.

b) 160;

c) 240;

d) 220.

Dac˘ a mult¸imea A are 8 elemente, mult¸imea B are 7 elemente iar mult¸imea A ∩ B are 3 elemente, cˆ ate elemente are mult¸imea A ∪ B? a) 12;

30.

b) 6;

O marf˘a cost˘a 200 euro ¸si ¸si-a m˘arit pret¸ul cu 20%. Câ¸ti euro cost˘a acum marfa? a) 180;

29.

d) −6.

Suma solut¸iilor ecuat¸iei 9x − 4 · 3x + 3 = 0 este: a) 1;

28.

c) −5;

Produsul f (0) · f (1) · . . . · f (2003) este: a) 0;

27.

b) 5;

Mult¸imea x ∈ R | f (x) < 0 este: a) (0, 2);

26.

d) 0.

Produsul x1 x2 este: a) −6;

25.

c) 6;

Suma x1 + x2 este: a) 6;

24.

b) −1;

b) 15;

Num˘ arul solut¸iilor ecuat¸iei 2x = −2 este: a) 3;

b) 0;

c) 13;

d) 11.

c) 2;

d) 1.

56

BACALAUREAT 2004 ˘ SESIUNEA SPECIALA

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea matematic˘ a - informatic˘a. Filiera vocat¸ional˘ a, profil Militar, specializarea matematic˘a - informatic˘a.

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-5 scriet¸i litera corespunz˘ atoare r˘ aspunsului corect pe foaia de examen 1.

Câte elemente din mult¸imea {1, 2, 3, . . . , 10} se divid cu 2 sau cu 3? a) 8;

2.

b) 5;

c) 0, 6;

b) 5;

d) 0, 3

c) 6;

d) 7

Câte elemente de ordinul 5 are grupul (Z5 , +)? a) 4;

5.

b) 0, 4;

Câte elemente inversabile fat¸˘ a de ˆınmult¸ire are inelul Z9 ? a) 4;

4.

d) 7

Care este probabilitatea ca un element din mult¸imea {1, 2, 3, . . . , 10} s˘ a fie num˘ ar prim? a) 0, 5;

3.

c) 6;

b) 3;

c) 1;

d) 2

Câte funct¸ii bijective definite pe mult¸imea {1, 2, 3} cu valori ˆın mult¸imea {4, 5, 6} exist˘a? a) 6;

b) 5;

c) 9;

d) 7

Pentru ˆıntreb˘ arile 6-10 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = |x2 − x|. 6.

Câte puncte de discontinuitate are funct¸ia f ?

a funct¸ia f ? 7. În câte puncte nu este derivabil˘ 8.

Care este aria suprafet¸ei plane cont¸inut˘a ˆıntre graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele x = 0 ¸si x = 1?

9.

Cum este funct¸ia f pe intervalul (0, 1): convex˘ a sau concav˘ a?

10.

Cât este lim (f (1) · f (2) · . . . · f (n))? n→∞

Pentru subiectele II-IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL II Într-un plan se consider˘a patrulaterul convex ABCD, avˆ and laturile AB = a, BC = b, CD = c ¸si AD = d. Not˘am 2p = a + b + c + d, cu B m˘asura unghiului ∢ABC, cu D m˘asura unghiului ∢ADC ¸si cu S aria patrulaterului ABCD. a) S˘a se arate c˘a 2S = ab sin B + cd sin D. b) S˘a se deduc˘ a relat¸ia 4S 2 = a2 b2 sin2 B + c2 d2 sin2 D + 2abcd sin B sin D. c) Utilizând teorema cosinusurilor ˆın triunghiurile ABC ¸si ADC, s˘ a se arate c˘a a2 + b2 − 2ab cos B = c2 + d2 − 2cd cos D. d) S˘a se deduc˘ a egalitatea (a2 + b2 − c2 − d2 )2 = 4a2 b2 cos2 B + 4c2 d2 cos2 D − 8abcd cos B cos D. e) Utilizând formula cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y, (∀) x, y ∈ R ¸si relat¸iile de la punctele b) ¸si d) , s˘ a se arate c˘a 16S 2 = 4a2 b2 + 4c2 d2 − (a2 + b2 − c2 − d2 )2 − 8abcd cos(B + D). f ) Utilizând formula cos x = 2 cos2

B+D x − 1, s˘ a se arate c˘a S 2 = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cos2 · 2 2

1

SUBIECTUL III Se consider˘a numerele reale a1 , a2 ,. . ., an distincte ¸si b1 , b2 ,. . ., bn ∈ R arbitrare, unde n ∈ N, n ≥ 3. (X − a1 )(X − a3 ) . . . (X − an ) (X − a2 )(X − a3 ) . . . (X − an ) , w2 = ,. . ., Definim polinoamele w1 = (a1 − a2 )(a1 − a3 ) . . . (a1 − an ) (a2 − a1 )(a2 − a3 ) . . . (a2 − an ) (X − a1 )(X − a2 ) . . . (X − an−1 ) wn = ¸si Ln = b1 w1 + b2 w2 + . . . + bn wn . (an − a1 )(an − a2 ) . . . (an − an−1 ) a) S˘a se verifice c˘a wi (aj ) = 0, (∀) i 6= j, i, j ∈ {1, 2, . . . , n}. b) S˘a se verifice c˘a w1 (a1 ) = w2 (a2 ) = . . . = wn (an ) = 1. c) S˘a se verifice c˘a grad(w1 ) = grad(w2 ) = . . . = grad(wn ) = n − 1. d) S˘a se arate c˘a polinomul Ln are gradul cel mult n − 1 ¸si Ln (ak ) = bk , (∀) k ∈ {1, 2, . . . , n}. e) S˘a se arate c˘a dac˘ a f ∈ R[X], grad(f ) ≤ n − 1 ¸si f (ak ) = bk , (∀) k ∈ {1, 2, . . . , n}, atunci f = Ln . f ) S˘a se arate c˘a (17a1 + 11)w1 + (17a2 + 11)w2 + . . . + (17an + 11)wn = 17X + 11. SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸ia f : [0, ∞) → R, f (x) = xα − αx, unde α ∈ (0, 1). a) S˘a se calculeze f ′ (x), x > 0. b) S˘a se arate c˘a f ′ (x) > 0, (∀) x ∈ (0, 1) ¸si f ′ (x) < 0, (∀) x ∈ (1, ∞). c) S˘a se deduc˘ a inegalitatea xα − αx ≤ 1 − α, (∀) x > 0.

a d) Alegˆ and x = , cu a, b > 0 ¸si notând β = 1 − α, s˘ a se arate c˘a aα bβ ≤ αa + βb, (∀) a, b > 0 ¸si (∀) α, β > 0 cu b α + β = 1. e) S˘a se arate c˘a st ≤

tq 1 1 sp + , (∀) s, t > 0 ¸si (∀) p, q > 1 cu + = 1. p q p q

f ) Utilizând inegalitatea de la punctul e), s˘ a se arate c˘a, dac˘ a a1 , a2 ,. . ., an ¸si b1 , b2 ,. . ., bn sunt numere reale strict 1 1 1 1 pozitive, p, q > 1 cu + = 1, atunci a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn ≤ (ap1 + ap2 + . . . + apn ) p · (bq1 + bq2 + . . . + bqn ) q . p q 1 1 g) S˘a se demonstreze c˘a, dac˘ a h, g : [0, 1] → (0, ∞) sunt dou˘ a funct¸ii continue ¸si p, q > 1 cu + = 1, atunci p q p1 Z 1 Z 1 q1 Z 1 hp (x) dx h(x)g(x) dx ≤ g q (x) dx . · 0

0

0

2

˘ SESIUNEA SPECIALA

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea S¸tiint¸e ale naturii Filiera tehnologic˘a, profil Tehnic, toate specializ˘ arile

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-5 scriet¸i litera corespunz˘ atoare r˘ aspunsului corect pe foaia de examen 1.

2 Câte este C10 ?

a) 45; 2.

b) 50;

b) 4;

b) 4;

d) 2

c) 2;

d) 5

c) 5000;

d) 3000

Cât este suma 1 + 3 + 5 + . . . + 99? a) 10000;

5.

c) 3;

Câte solut¸ii are ecuat¸ia x ˆ2 = x ˆ ˆın inelul Z8 ? a) 6;

4.

d) 90

Câte elemente inversabile fat¸˘ a de ˆınmult¸ire are inelul Z6 ? a) 5;

3.

c) 55;

b) 2500;

Care este probabilitatea ca un element din mult¸imea {1, 2, . . . , 10} s˘ a fie num˘ ar par? a) 0, 6;

b) 0, 5;

c) 0, 4;

d) 0, 55

Pentru ˆıntreb˘ arile 6-10 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen 4

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex . 6.

Cât este f ′ (x), x ∈ R?

7.

Cât este lim

8.

Câte puncte de extrem local are funct¸ia f ?

9.

Câte puncte de inflexiune are graficul funct¸iei f ? Z 1 f ′ (x) dx? Cât este

10.

x→0

f (x) − f (0) ? x

0

Pentru subiectele II-IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL II √ 1 Pentru fiecare n ∈ N∗ , se consider˘a num˘ arul complex zn = n2 + i. Not˘am cu αn = arctg 2 ¸si cu rn = n4 + 1, n (∀) n ∈ N∗ . a) S˘a se arate c˘a |zn | = rn , (∀) n ∈ N∗ . b) S˘a se verifice c˘a zn = rn (cos αn + i sin αn ), (∀) n ∈ N∗ . c) S˘a se determine x ∈ R, astfel ˆıncât s˘ a avem adev˘arat˘a identitatea

z1 · z2 · . . . · zn = x + r1 · r2 · . . . · rn · (cos(α1 + α2 + . . . + αn ) + i sin(α1 + α2 + . . . + αn )), (∀) n ∈ N∗ .

d) S˘a se arate c˘a

1 1 < 2 , (∀) x > 0. (x + 1)2 x +x+1

1 1 1 − arctg = arctg 2 , (∀) x > 0, s˘ a se arate c˘a x x+1 x +x+1 1 1 1 π arctg 2 + arctg 2 + . . . + arctg 2 < , (∀) n ∈ N, n ≥ 2. (Nu se cere demonstrat¸ia identit˘ a¸tii ) 2 3 n 4

e) Utilizând identitatea arctg

3

f ) S˘a se arate c˘a produsul z1 · z2 · . . . · zn este un num˘ ar complex care are partea real˘ a ¸si partea imaginar˘a strict pozitive. SUBIECTUL III Se consider˘a mult¸imile A = {f : R → R | f (x) = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a 6= 0}, B = {g : R → R} | g(x) = a4 x4 + a3 x3 + . . . + a0 , a4 , a3 , . . . , a0 ∈ R, a4 6= 0, C = {u ◦ v | u, v ∈ A}, unde ”◦” reprezint˘ a operat¸ia de compunere a funct¸iilor. a) S˘a se arate c˘a dac˘ a u, v ∈ A, atunci u ◦ v ∈ B. b) S˘a se verifice dac˘ a f ∈ A, f (x) = ax2 + bx + c, atunci f

−

b +x 2a

=f

−

b − x , (∀) x ∈ R. 2a

c) S˘a se g˘ aseasc˘a o funct¸ie g ∈ B cu proprietatea g(1 − x) = g(1 + x), (∀) x ∈ R. d) S˘a se arate c˘a funct¸ia h : R → R, h(x) = x4 + x + 1 are proprietatea c˘a (∀) a ∈ R, exist˘a x ∈ R astfel ˆıncât h(a − x) 6= h(a + x). e) Utilizând relat¸ia de la punctul b), s˘ a se arate c˘a dac˘ a w ∈ C, atunci exist˘a c ∈ R, astfel ˆıncât w(c−x) = w(c+x), (∀) x ∈ R. f ) S˘a se arate c˘a mult¸imea B − C este nevid˘a. SUBIECTUL IV 2

3

Se consider˘a funct¸iile f : R → R, f (x) = 1 + 2x + 3x + 4x ¸si F : R → R, F (x) = 1 + a) S˘a se verifice identitatea F (x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 , (∀) x ∈ R. b) S˘a se verifice c˘a F ′ (x) = f (x), (∀) x ∈ R. c) S˘a se arate c˘a (x − 1)F (x) = x5 − 1, (∀) x ∈ R. d) S˘a se arate c˘a F (x) > 0, (∀) x ∈ R. e) S˘a se arate c˘a funct¸ia F este convex˘ a pe R. f ) S˘a se calculeze lim

n→∞

f (1) + f (2) + . . . + f (n) · F (n)

4

Z

x 0

f (t) dt, (∀) x ∈ R.

SESIUNEA IUNIE-IULIE

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea matematic˘ a - informatic˘a. Filiera vocat¸ional˘ a, profil Militar, specializarea matematic˘a - informatic˘a.

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-5 scriet¸i litera corespunz˘ atoare r˘ aspunsului corect pe foaia de examen 1.

Care este restul ˆımp˘art¸irii polinomului X 5 − 1 la polinomul X 4 + X 3 + X 2 + X + 1? a) 0;

2.

b) 1;

4.

b) 5;

c) 20;

d) 10

Cât este suma ˆ 1+ˆ 2 + ... + ˆ 6 ˆın grupul (Z7 , +)? ˆ 2; a) 3; b) ˆ c) ˆ1;

d) ˆ0

Care este probabilitatea ca un element al inelului Z10 s˘ a fie inversabil fat¸˘a de ˆınmult¸ire? a) 0, 4;

5.

d) X

Câte submult¸imi cu 2 elemente are o mult¸ime cu 5 elemente? a) 15;

3.

c) −1;

b) 0, 3;

c) 0, 5;

d) 0, 6

c) 2;

d) 3

Câte solut¸ii reale are ecuat¸ia 2x = 3x ? a) 0;

b) 1;

Pentru ˆıntreb˘ arile 6-10 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = e2x + e−2x . 6.

Cât este f ′ (x), x ∈ R?

7.

Care este aria suprafet¸ei plane cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele x = 0 ¸si x = 1?

8.

Câte puncte de inflexiune are graficul funct¸iei f ?

9.

Cât este lim

10.

x→0

f (x) − f (0) ? x

Câte puncte de extrem local are funct¸ia f ?

Pentru subiectele II-IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL II Într-un plan se consider˘a triunghiul ABC ¸si punctele D, E ∈ (BC), astfel ˆıncât ∢BAD = ∢CAE = α. Dac˘a XY Z este un triunghi, not˘am cu SXY Z suprafat¸a sa. a) S˘a se determine num˘ arul real x, pentru care avem egalitatea SBAD = x · AB · AD · sin α. b) S˘a se arate c˘a

SBAD · SBAE BD · BE = · SCAD · SCAE CD · CE

c) S˘a se arate c˘a

SBAD · SBAE AB 2 = · SCAD · SCAE AC 2

d) S˘a se calculeze expresia

BD · BE · AC 2 · CD · CE · AB 2

e) S˘a se arate c˘a, dac˘ a ˆın plus, AE este median˘ a, atunci f ) S˘a se arate c˘a dac˘ a punctele M , N ∈ (BC) ¸si

BD AB 2 = · CD AC 2

AB 2 BM · BN , atunci ∢BAM = ∢CAN . = CM · CN AC 2 5

SUBIECTUL III



3 2 Se consider˘a matricele A = 6 4 9 6

  1 1 2, I3 = 0 3 0

 0 0 1 0 ¸si B = I3 + A. 0 1

a) S˘a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A.   1 a se calculeze matricea S = A − X · Y . b) Dac˘a X = 2 ¸si Y = 3 2 1 , s˘ 3 c) S˘a se verifice c˘a A2 = 10A. d) S˘a se arate c˘a matricea B este inversabil˘a ¸si inversa sa este matricea B −1 = I3 −

1 A. 11

e) S˘a se g˘ aseasc˘a trei matrice U , V , W ∈ M3 (C) de rang 1, astfel ˆıncât B = U + V + W . f ) S˘a se arate c˘a oricare ar fi dou˘ a matrice, C, D ∈ M3 (C) de rang 1, avem C + D 6= B. SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸iile fn : R → R, definite prin f0 (x) = 1 − cos x ¸si fn+1 (x) =

Z

x 0

fn (t) dt, (∀) n ∈ N, (∀) x ∈ R.

a) S˘a se verifice c˘a f1 (x) = x − sin x, (∀) x ∈ R. b) S˘a se calculeze f2 (x), x ∈ R. c) Utilizând metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a f2n+1 (x) =

x2n+1 x2n−1 x − + . . . + (−1)n + (−1)n+1 sin x, (∀) n ∈ N, (∀) x ∈ R. (2n + 1)! (2n − 1)! 1!

d) S˘a se arate c˘a graficul funct¸iei f1 nu are asimptot˘a c˘atre +∞. e) S˘a se arate c˘a 0 ≤ fn (x) ≤ 2 ·

xn , (∀) n ∈ N, (∀) x > 0. (Reamintim c˘ a 0! = 1) n!

xn = 0, (∀) x > 0. n→∞ n! x3 x2n+1 x = sin x, (∀) x ∈ R. − + . . . + (−1)n g) S˘a se arate c˘a lim n→∞ 1! 3! (2n + 1)! f ) S˘a se arate c˘a lim

6

SESIUNEA IUNIE-IULIE

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea S¸tiint¸e ale naturii Filiera tehnologic˘a, profil Tehnic, toate specializ˘ arile

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-5 scriet¸i litera corespunz˘ atoare r˘ aspunsului corect pe foaia de examen 1.

Câte submult¸imi cu 2 elemente are o mult¸ime cu 5 elemente? a) 10;

b) 25;

c) 32;

d) 20

a fie mereu al˘ aturate? 2. În câte moduri se pot permuta cele 4 litere a, b, c, d astfel ˆıncât literele a ¸si b s˘ a) 20; 3.

b) 12;

b) 2;

c) 1;

d) 0

Care este suma r˘ ad˘acinilor polinomului X 3 + X 2 + X + 1? a) 1;

5.

d) 6

Câte r˘ ad˘acini rat¸ionale are polinomul X 3 + X 2 + X + 1? a) 3;

4.

c) 24;

b) 0;

d) −1

c) 3;

Care este produsul r˘ ad˘acinilor polinomului X 3 + X 2 + X + 1? b) −1;

a) 1;

d) −3

c) 3;

Pentru ˆıntreb˘ arile 6-10 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = ln(x2 + 1). 6.

Cât este f ′ (x), x ∈ R?

7.

Cât este lim

8.

Câte puncte de extrem local are funct¸ia f ? Z 1 xf (x) dx? Cât este

9.

x→0

f (x) − f (0) ? x

−1

10.

Cât este lim

x→∞

f (x) ? x

Pentru subiectele II-IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL II În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele Ak (1, k), Bk (2, k) ¸si Ck (3, k), (∀) k ∈ {1, 2, 3}. Not˘am mult¸imea {A1 , B1 , C1 , A2 , B2 , C2 , A3 , B3 , C3 } cu M . Spunem c˘a o mult¸ime P cu 2n, n ∈ N∗ , puncte distincte din plan este ”echilibrat˘ a ” dac˘ a poate fi ˆımp˘art¸it˘ a ˆın dou˘ a submult¸imi R ¸si Q, disjuncte, cu câte n elemente ¸si cu proprietatea c˘a suma absciselor punctelor din mult¸imea R este egal˘ a cu suma absciselor punctelor di mult¸imea Q, iar suma ordonatelor punctelor din mult¸imea R este egal˘ a cu suma ordonatelor punctelor din mult¸imea Q. a) S˘a se calculeze suma absciselor punctelor din mult¸imea M . b) S˘a se calculeze suma ordonatelor punctelor din mult¸imea M . c) S˘a se arate c˘a orice mult¸ime format˘ a din dou˘ a puncte distincte din plan nu este ”echilibrat˘ a ”. d) S˘a se g˘ aseasc˘a o mult¸ime ”echilibrat˘ a ”, format˘ a din patru puncte distincte din plan. e) S˘a se arate c˘a mult¸imea M − {B2 } este ”echilibrat˘ a ”. f ) S˘a se arate c˘a pentru orice punct X ∈ M − {B2 }, mult¸imea M − {X} nu este ”echilibrat˘ a ”. 7

SUBIECTUL III a În mult¸imea M2 (C) se consider˘a submult¸imea G = b a) S˘a se verifice c˘a O2 ∈ G ¸si I2 ∈ G.

1 b a, b ∈ Z ¸ s i matricele I = 2 0 a

b) S˘a se arate c˘a dac˘ a A, B ∈ G, atunci A · B ∈ G. c) S˘a se arate c˘a dac˘ a A, B ∈ G, atunci A + B ∈ G. d) S˘a se arate c˘a dac˘ a X ∈ G, atunci det(X) 6= 2. e) S˘a se g˘ aseasc˘a dou˘ a matrice P , Q ∈ G, P , Q 6= O2 astfel ˆıncât P Q = O2 . f ) S˘a se g˘ aseasc˘a o matrice M ∈ G, cu proprietatea c˘a det(M ) = 2004. SUBIECTUL IV √ Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 + 1 − x. a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. b) S˘a se calculeze lim f (x). x→∞

c) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este strict descresc˘atoare pe R. d) S˘a se determine asimptotala graficul funct¸ie f c˘atre −∞. e) S˘a se arate c˘a funct¸ia F este convex˘ a pe R. Z 1 f (x) dx. f ) S˘a se calculeze 0

8

0 0 ¸si O2 = 1 0

0 . 0

SESIUNEA IUNIE-IULIE

M2 Filiera tehnologic˘a, profil Servicii, toate specializ˘ arile; profil Resurse naturale ¸si protect¸ia mediului, toate specializ˘arile

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-5 scriet¸i litera corespunz˘ atoare r˘ aspunsului corect pe foaia de examen 1.

Care este partea real˘ a a num˘ arului complex i100 ? a) 1;

2.

b) 101;

Câte numere impare are mult¸imea {C90 , C91 , . . . , C99 }? a) 6;

3.

4.

5.

c) 100;

b) 7;

c) 5;

Care este partea ˆıntreag˘ a a num˘ arului (1 +

d) 0

d) 4

√ 2 2) ?

a) 3;

b) 4;

c) 5;

d) 6 √ Care este probabilitatea ca un element din mult¸imea { n | n = 0, 1, 2, . . . , 9} s˘ a fie num˘ ar rat¸ional? a) 0, 1;

b) 0, 2;

c) 0, 3;

d) 0, 4

Dac˘a mult¸imea A are 10 elemente, mult¸imea B are 10 elemente ¸si mult¸imea A ∩ B are 2 elemente, câte elemente are mult¸imea (A ∪ B) − (A ∩ B)? a) 16;

b) 18;

c) 14;

d) 20

Pentru ˆıntreb˘ arile 6-10 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex . 6.

Cât este f ′ (x), x ∈ R?

7.

Cât este lim

8. 9. 10.

x→0

Cât este

Z

f (x) − f (0) ? x

1

f (x) dx? 0

Care este ecuat¸ia asimptotei c˘atre −∞ la graficul funct¸iei f ? f (x) ? x→∞ f ′ (x)

Cât este lim

Pentru subiectele II-IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL II În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele An (n, 1) ¸si Bn (n, 2), unde n ∈ {1, 2, 3, 4}. Not˘am cu M mult¸imea {A1 , A2 , A3 , A4 , B1 , B2 , B3 , B4 }. a) S˘a se scrie ecuat¸ia dreptei A1 A2 . b) S˘a se calculeze lungimea segmentului A2 B1 . c) Care este aria triunghiului A1 B2 B3 ? d) Care este num˘ arul dreptelor care trec prin cel put¸in dou˘ a puncte din mult¸imea M ? e) Câte triunghiuri au toate vˆ arfurile ˆın mult¸imea M ? SUBIECTUL III Se consider˘a matricele A =

a c

b 1 0 0 , I2 = ¸si O2 = d 0 1 0 9

0 , unde a, b, c, d ∈ Q. 0

a) S˘a se verifice c˘a A2 − (a + d)A + (ad − bc)I2 = O2 . √ √ b) S˘a se verifice identitatea X 2 − 3I2 = (X − 3I2 )(X + 3I2 ), (∀) X ∈ M2 (Q). c) S˘a se arate c˘a dac˘ a polinomul f ∈ Q[X], f = X 2 − (a + d)X + ad − bc are o r˘ ad˘acin˘a egal˘ a cu ¸si ad − bc = −3.

√

3, atunci a + d = 0

d) S˘a se g˘ aseasc˘a o matrice B ∈ M2 (Q), cu proprietatea B 2 = 3I2 . e) S˘a se arate c˘a det(XY ) = det(X) · det(Y ), (∀) X, Y ∈ M2 (Q). f ) S˘a se arate c˘a dac˘ a det(X 2 − 3I2 ) = 0, unde X ∈ M2 (Q), atunci X 2 = 3I2 . SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) =

n ∈ N∗ .

a) S˘a se verifice c˘a f (x) =

4x + 4 ¸si ¸sirul (an )n∈N∗ , an = f (1) + f (3) + . . . + f (2n − 1), (∀) + 2)2

x2 (x

1 1 − , (∀) x ∈ (0, ∞). 2 x (x + 2)2

b) S˘a se determine ecuat¸ia asimptotei verticale a graficului funct¸iei f . Z 2 f (x) dx. c) S˘a se calculeze 1

d) Utilizând metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a an = 1 − e) S˘a se calculeze lim an . n→∞

f ) S˘a se calculeze lim n2 (an − 1). n→∞

10

1 , (∀) n ∈ N∗ . (2n + 1)2

SESIUNEA IUNIE-IULIE

M2 Proba F Filiera vocat¸ional˘ a, profil Artistic, specializ˘ arile: Arhitectur˘ a, arte ambientale ¸si design; profil Militar, specializarea S¸tiint¸e sociale Filiera teoretic˘ a, specializarea S¸tiint¸e sociale

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-5 scriet¸i litera corespunz˘ atoare r˘ aspunsului corect pe foaia de examen 1.

Câte este C82 ? a) 28;

2.

b) 30;

Câte numere prime are mult¸imea {1, 2, . . . , 20}? a) 10;

3.

b) 9;

b) 6;

d) 7

c) 7;

d) 8

Care este probabilitatea ca un element din mult¸imea {1, 2, . . . , 10} s˘ a se divid˘ a cu 6? a) 0, 16;

5.

c) 8;

d) 64

Dac˘a mult¸imea A − B are 5 elemente ¸si mult¸imea B − A are 3 elemente, câte elemenete are mult¸imea (A ∪ B) − (A ∩ B)? a) 5;

4.

c) 56;

b) 0, 2;

c) 0, 25;

d) 0, 1

c) 180;

d) 160

Cât este suma 1 + 4 + 7 + . . . + 31? a) 170;

b) 176;

Pentru ˆıntreb˘ arile 6-10 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x3 + x. 6.

Cât este f ′ (x), x ∈ R?

7.

Cât este lim

8.

f (x) − f (0) ? x→0 x Z 1 f (x) dx? Cât este −1

9. 10.

Câte puncte de extrem local are funct¸ia f ? Cât este lim Z

xf (x) x

x→∞

?

f (t) dt 0

Pentru subiectele II-IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL II Într-un plan se consider˘a triunghiul dreptunghic ABC, unde Aˆ = 90◦ , AB = 10 ¸si AC = 24. a) S˘a se calculeze lungimea ipotenuzei BC. b) S˘a se calculeze aria triunghiului ABC. c) S˘a se calculeze cos B. d) S˘a se calculeze sin B. e) Utilizând metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a cos nB ∈ Q ¸si sin nB ∈ Q, (∀) n ∈ N∗ . (Se pot utiliza formulele cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y, ¸si sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x, (∀) x, y ∈ R).

11

SUBIECTUL III În mult¸imea Z[X], se consider˘a submult¸imea A = {X 2 + aX + b | a, b ∈ Z}. Mai consider˘am mult¸imea B = {r ∈ R | (∃) f ∈ A astfel ˆıncât f (r) = 0}. a) S˘a se g˘ aseasc˘a un polinom f ∈ A, astfel ˆıncât f (5) = 0. √ b) S˘a se arate c˘a 1 + 2 ∈ B. √ c) S˘a se arate c˘a dac˘ a n ∈ N, atunci n ∈ B. √ √ d) S˘a se arate c˘a 2 + 3 ∈ / B. e) S˘a se arate c˘a dac˘ a a ∈ B ¸si k ∈ Z, atunci a + k ∈ B. 1 6= ∅. f ) S˘a se demonstreze c˘a B ∩ 0, 2 SUBIECTUL IV 1 1 Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = 2 − ¸si ¸sirul (an )n∈N∗ , an = f (1) + f (2) + . . . + f (n). x (x + 1)2 a) S˘a se verifice c˘a x = 0 este asimptot˘a vertical˘a la graficul funct¸iei f . b) S˘a se determine ecuat¸ia asimptotei c˘atre +∞ la graficul funct¸iei f . c) S˘a se arate c˘a an = 1 −

1 , (∀) n ∈ N∗ . (n + 1)2

d) S˘a se calculeze lim an . n→∞

e) S˘a se calculeze

Z

2

f (x) dx. 1 3

f ) S˘a se calculeze lim n n→∞

Z

n 1

1 f (x) dx − an + . 2

12

SESIUNEA IUNIE-IULIE

M3 Proba F Filiera Teoretic˘a,sp.Filologie; Filiera Vocat¸ional˘ a: profil Artistic, sp.:Arte plastice ¸si decorative, Coregrafie, Muzic˘a ¸si Teatru; profil Pedagogic, toate specializ˘ arile;profil Educat¸ie fizic˘ a ¸si sport ; profil Militar, sp. Muzici militare; profil Teologic, toate specializ˘arile

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-5 scriet¸i litera corespunz˘ atoare r˘ aspunsului corect pe foaia de examen 1.

Câte submult¸imi ale mult¸imii {1, 2, 3, 4, 5} cont¸in mult¸imea {1, 2}? a) 8;

2.

d) 25

b) 20;

c) 15;

d) 22

b) 35;

c) 28;

d) 21

Cât este C75 ? a) 42;

4.

c) 9;

Câte elemente din mult¸imea {1, 2, . . . , 30} se divid cu 2 sau cu 3? a) 25;

3.

b) 10;

Câte numere de 4 cifre se pot forma utilizˆ and numai cifre din mult¸imea {2, 3}? a) 16;

b) 8;

c) 12;

5. În câte moduri putem permuta elementele mult¸imii {a, b, c}? a) 3;

b) 4;

c) 9;

d) 14

d) 6

Pentru ˆıntreb˘ arile 6-10 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen Se consider˘a triunghiul dreptunghic ABC care are catetele de 12 ¸si 35. 6.

Care este lungimea ipotenuzei?

7.

Care este lungimea medianei care cade pe ipotenuz˘ a?

8.

Care este lungimea ˆın˘alt¸imii care cade pe ipotenuz˘ a?

9.

Care este aria triunghiului ABC?

10.

Care este perimetrul triunghiului cu vˆ arfurile ˆın mijloacele laturilor triunghiului ABC?

Pentru subiectele II-IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL II Spunem c˘a o mult¸ime nevid˘a ¸si finit˘a de numere naturale distincte ¸si nenule este ”interesant˘ a ” dac˘ a orice submult¸ime nevid˘a a sa are media aritmetic˘a a elementelor num˘ ar natural. a) S˘a se verifice c˘a mult¸imea A = {2, 4, 6} este ”interesant˘ a ”. b) S˘a se g˘ aseasc˘a o mult¸ime ”interesant˘ a ” care are 4 elemente. c) S˘a se g˘ aseasc˘a o mult¸ime de 5 elemente, care nu este ”interesant˘ a ”. d) S˘a se arate c˘a nu exist˘ a o mult¸ime ”interesant˘ a ” cu 4 elemente, care cont¸ine mult¸imea {2, 4, 6}. e) S˘a se g˘ aseasc˘a o mult¸ime ”interesant˘ a ” cu 2004 elemente. SUBIECTUL III Se consider˘a ˆın plan o mult¸ime M format˘ a din 6 puncte. Not˘am cu n(M ) num˘ arul dreptelor ce trec prin cel put¸in câte 2 puncte ale mult¸imii M . 13

a) S˘a se verifice c˘a n(M ) ≥ 1. b) S˘a se arate c˘a n(M ) ≤ 15. c) S˘a se g˘ aseasc˘a o mult¸ime S format˘ a din 6 puncte din plan, pentru care n(S) = 15. d) S˘a se arate c˘a n(M ) 6= 14. e) S˘a se g˘ aseasc˘a o mult¸ime T format˘ a din 6 puncte din plan, pentru care n(T ) = 1. f ) Dac˘a E este o mult¸ime din plan format˘ a din 6 puncte ¸si n(E) 6= 1, s˘ a se arate c˘a n(E) ≥ 6. SUBIECTUL IV Se consider˘a mult¸imea A = {4p + 5q | p, q ∈ N}. a) S˘a se arate c˘a 12 ∈ A ¸si 13 ∈ A. b) S˘a se arate c˘a 14 ∈ A ¸si 15 ∈ A. c) S˘a se arate c˘a 11 ∈ / A. d) S˘a se arate c˘a n ∈ A, (∀) n ∈ N, n ≥ 12. e) S˘a se determine num˘ arul de elemente ale mult¸imii {n ∈ N | n ∈ / A}. f ) S˘a se determine suma elementelor mult¸imii {n ∈ N | n ∈ / A}.

14

SESIUNEA AUGUST-SEPTEMBRIE

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea matematic˘ a - informatic˘a. Filiera vocat¸ional˘ a, profil Militar, specializarea matematic˘a - informatic˘a.

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-5 scriet¸i litera corespunz˘ atoare r˘ aspunsului corect pe foaia de examen 1.

Câte numere de trei cifre se pot forma utilizˆ and numai cifre din mult¸imea {1, 2}? a) 6;

2.

3.

4.

b) 7;

c) 8;

d) 9

Cât este suma ˆ 1+ˆ 2+ˆ 3+ˆ 4+ˆ 5 ˆın grupul (Z6 , +)? ˆ 2; a) 3; b) ˆ c) ˆ1;

d) ˆ0

Cât este produsul ˆ 1·ˆ 2 · ... · ˆ 6 ˆın corpul (Z7 , +)? ˆ ˆ a) 6; b) 2; c) ˆ3;

d) ˆ4

2

Câte solut¸ii are ecuat¸ia 2x = 2x ˆın mult¸imea numerelor reale? a) 1;

5.

b) 2;

c) 3;

d) 4

Care este probabilitatea ca un element din mult¸imea {1, 2, . . . , 10} s˘ a fie num˘ ar par? a) 0, 4;

b) 0, 6;

c) 0, 7;

d) 0, 5

Pentru ˆıntreb˘ arile 6-10 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x3 + 1. 6. 7.

Cât este f ′ (x), x ∈ R? Z 1 f (x) dx? Cât este 0

8.

Câte puncte de inflexiune are graficul funct¸iei f ?

9.

Cât este lim

10.

f (x) − f (1) ? x−1 Z x 1 Cât este lim 4 f (t) dt? x→∞ x 0 x→1

Pentru subiectele II-IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL II În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele M (a, b), N (c, 0), P (d, 0), Q(e, 0), unde c < d < e. Mai consider˘am ˆıntr-un plan triunghiul ABC, punctul G situat la intersect¸ia medianelor (centrul de greutate al triunghiului ABC) ¸si un punct S ˆın acest plan. Not˘am cu D mijlocul segmentului (BC). a) S˘a se verifice c˘a M N 2 = (a − c)2 + b2 ¸si N P = d − c. b) S˘a se arate c˘a M N 2 · P Q − M P 2 · N Q + M Q2 · N P = N P · P Q · N Q. c) Utilizând relat¸ia de la punctul b), s˘ a se arate c˘a 4AD2 = 2(AB 2 + AC 2 ) − BC 2 . d) Care este valoarea raportului

GD ? (Nu se cere justificarea r˘ aspunsului ) AD

e) Utilizând relat¸ia de la punctul b), s˘ a se arate c˘a 9SG2 = 3SA2 + 6SD2 − 2AD2 . f ) S˘a se demonstreze c˘a 9SG2 = 3(SA2 + SB 2 + SC 2 ) − (AB 2 + BC 2 + AC 2 ).

15

SUBIECTUL III În mult¸imea M2 (C) se consider˘a matricele I2 = 1 0 z w z, w ∈ C , unde prin z am notat G= −w z

0 0 0 , O2 = , precum ¸si submult¸imea 1 0 0 conjugatul num˘ arului complex z.

a) S˘a se verifice c˘a I2 ∈ G ¸si O2 ∈ G.

b) S˘a se arate c˘a, dac˘ a z, w ∈ C ¸si |z|2 + |w|2 = 0, atunci z = w = 0. c) S˘a se arate c˘a, dac˘ a P , Q ∈ G, atunci P · Q ∈ G. d) S˘a se arate c˘a, dac˘ a D ∈ G, D 6= O2 , atunci D este matrice inversabil˘a ¸si D−1 ∈ G. −i 0 . e) S˘a se g˘ aseasc˘a o matrice X ∈ G, cu proprietatea c˘a XC 6= CX, unde C = 0 i f ) S˘a se arate c˘a, dac˘ a A, B ∈ G ¸si A · B = O2 , atunci A = O2 sau B = O2 . g) S˘a se arate c˘a mult¸imea H = G − {O2 }, ˆımpreun˘a cu operat¸ia de ˆınmult¸ire a matricelor, determin˘ a o structur˘ a de grup necomutativ. SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸ia f : (−1, ∞) → R, f (x) = ln(1 + x) − x ¸si ¸sirul (In )n≥1 , definit prin In = n

oricare ar fi n ≥ 1.

Z

1 0

xn dx, 2004 + xn

a) S˘a se calculeze f ′ (x), x > −1. b) S˘a se calculeze f (0) ¸si f ′ (0). c) S˘a se determine intervalele de monotonie ale funct¸iei f . d) S˘a se arate c˘a 0 ≤ ln(1 + x) ≤ x, oricare ar fi x ≥ 0. e) Utilizând metoda integr˘ arii prin p˘art¸i, s˘ a se arate c˘a In = ln f ) S˘a se calculeze lim In . n→∞

16

2005 − 2004

Z

1 0

xn ln 1 + dx, oricare ar fi n ∈ N∗ . 2004

SESIUNEA AUGUST-SEPTEMBRIE

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea S¸tiint¸e ale naturii Filiera tehnologic˘a, profil Tehnic, toate specializ˘ arile

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-5 scriet¸i litera corespunz˘ atoare r˘ aspunsului corect pe foaia de examen Polinomul f = X 2 + X + 1 are r˘ ad˘acinile x1 , x2 ∈ C. Not˘am cu Sn = xn1 + xn2 , oricare ar fi n ∈ N∗ . 1.

Care este restul ˆımp˘art¸irii polinomului X 3 − 1 la polinomul f ? a) X;

2.

c) 0, 5;

d)

b) 1;

c) −1;

d) 2

b) 2;

c) 0;

d) −1

√

2

Cât este S3 ? a) 1;

5.

b) 2;

Cât este x31 ? a) 0;

4.

d) −X

Cât este modulul r˘ ad˘acinii x1 ? a) 1;

3.

c) 0;

b) 1;

Care este probabilitatea ca Sn s˘ a fie egal cu 2 când n ∈ {1, 2, 3, 4, 5}? a) 0, 6;

b) 0, 4;

c) 0, 2;

d) 0, 8

Pentru ˆıntreb˘ arile 6-10 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x3 + 3x. 6.

Cât este f ′ (x), x ∈ R?

7.

Cât este lim

8.

Câte puncte de inflexiune are graficul funct¸iei f ?

9.

Câte puncte de extrem local are funct¸ia f ?

10.

x→2

f (x) − f (2) ? x−2

Care este aria suprafet¸ei plane cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 0 ¸si x = 1?

Pentru subiectele II-IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL II În plan se consider˘a un triunghi ABC ¸si L un punct pe segmentul (BC). Se mai consider˘a patrulaterul convex M N P Q, iar R ¸si S sunt mijloacele diagonalelor M P ¸si N Q. a) S˘a se determine x ∈ R, astfel ˆıncât s˘ a avem egalitatea AL2 = x + AB 2 + BL2 − 2 · AB · BL · cos(∢ABC). b) S˘a se determine y ∈ R, astfel ˆıncât s˘ a avem egalitatea AC 2 = y + AB 2 + BC 2 − 2 · AB · BC · cos(∢ABC). c) Utilizând relat¸iile de la punctele a) ¸si b), s˘ a se arate c˘a AL2 · BC = AB 2 · LC + AC 2 · LB − BL · CL · BC. d) S˘a se arate c˘a, dac˘ a D este mijlocul laturii BC, atunci 4AD2 = 2(AB 2 + AC 2 ) − BC 2 . e) S˘a se arate c˘a 4SR2 = 2M S 2 + 2SP 2 − M P 2 . f ) Utilizând relat¸ia de la punctul d) ˆın triunghiurile M N Q ¸si P N Q ¸si relat¸ia de la punctul e), s˘ a se arate c˘a 4SR2 = M N 2 + N P 2 + P Q2 + QM 2 − (M P 2 + QN 2 ). SUBIECTUL III Se consider˘a polinomul f = (X + i)10 + (X − i)10 avˆ and forma algebric˘ a f = a10 X 10 + a9 X 9 + . . . + a1 X + a0 . 17

a) S˘a se calculeze f (0). b) S˘a se determine a10 ¸si a9 . c) S˘a se calculeze suma coeficient¸ilor polinomului f . d) S˘a se arate c˘a polinomul f are tot¸i coeficient¸ii numere reale. e) S˘a se arate c˘a, dac˘ a z ∈ C este o r˘ ad˘acin˘a a lui f , atunci |z + i| = |z − i|. f ) S˘a se arate c˘a polinomul f are numai r˘ ad˘acini reale. SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = (x + 1)2004 − 2004x − 1. a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. b) S˘a se calculeze f (0) ¸si f ′ (0). c) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este convex˘ a pe R. d) S˘a se arate c˘a f (x) ≥ 0, oricare ar fi x ∈ R. Z 1 f (x) dx. e) S˘a se calculeze 0

f ) S˘a se arate c˘a (x + 1)2005 ≥ 2005 · 1002x2 + 2005x + 1, oricare ar fi x ≥ 0.

18

SESIUNEA AUGUST-SEPTEMBRIE

M2 Filiera tehnologic˘a, profil Servicii, toate specializ˘ arile; profil Resurse naturale ¸si protect¸ia mediului, toate specializ˘arile

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-5 scriet¸i litera corespunz˘ atoare r˘ aspunsului corect pe foaia de examen 1.

Câte funct¸ii f : {a, b} → {1, 2, 3} au proprietatea f (a) < f (b)? a) 1;

2.

b) 3;

Câte elemente din mult¸imea {1, 2, . . . , 10} se divid cu 3 sau 5? a) 6;

3.

b) 3;

b) 3;

d) 5

c) 4;

d) 5

Care este valoarea sumei 1 + 5 + 9 + . . . + 49? a) 325;

5.

c) 4;

d) 6

Câte submult¸imi ale mult¸imii {1, 2, 3, 4} sunt formate numai din numere pare? a) 2;

4.

c) 2;

b) 300;

c) 350;

d) 375

Care este probabilitatea ca un element din mult¸imea {11, 12, . . . , 20} s˘ a fie num˘ ar impar? a) 0, 4;

b) 0, 5;

c) 0, 6;

d) 0, 7

Pentru ˆıntreb˘ arile 6-10 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = ln x. 6.

Cât este f ′ (x), x ∈ (0, ∞)?

7.

Cât este lim

8.

Câte asimptote verticale are graficul funct¸iei f ? Z 2 f ′ (x) dx? Cât este

9.

x→1

f (x) − f (1) ? x−1

1

10.

Cât este lim

x→∞

f (x) ? x

Pentru subiectele II-IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL II În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a dreptele d1 : 2x + 3y = 5, d2 : 3x + 2y = 5 ¸si d3 : x − y = 0 ¸si punctele A(4, −1), B(−1, 4) ¸si C(2, 2). Not˘am cu M punctul de intersect¸ie a dreptelor d1 ¸si d3 . a) S˘a se determine coordonatele punctului M . b) S˘a se verifice c˘a punctul M se afl˘a pe dreapta d2 . c) S˘a se calculeze lungimea segmentului AB. d) S˘a se calculeze aria triunghiului ABC. e) S˘a se calculeze cosinusul unghiului ∢ABC. f ) S˘a se calculeze sinusul unghiului ∢ABC. SUBIECTUL III an+1 , oricare ar fi n ∈ N∗ . Se consider˘a numerele rat¸ionale a1 , a2 ,. . ., an ,. . ., definite prin a1 = 4, a2 = 8 ¸si an+2 = an 19

a) S˘a se determine numerele a3 , a4 , a5 ¸si a6 b) S˘a se verifice c˘a a1 = a7 ¸si a2 = a8 . c) S˘a se determine num˘ arul a2004 . d) Câte elemente din ¸sirul de numere a1 , a2 ,. . .,a2004 sunt egale cu 2? e) S˘a se calculeze suma a1 + a2 + . . . + a2004 . f ) S˘a se calculeze produsul a1 · a2 · . . . · a2004 . SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) =

2x . +1

x2

a) S˘a se determine ecuat¸ia asimptotei c˘atre +∞ la graficul funct¸iei f . b) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. c) S˘a se calculeze f (−1), f (1), f ′ (−1) ¸si f ′ (1). d) S˘a se arate c˘a −1 ≤ f (x) ≤ 1, (∀) x ∈ R. e) S˘a se arate c˘a, dac˘ a x, y ∈ R ¸si f (x) + f (y) = 2, atunci x = y = 1. f ) Dac˘a F : R → R este o primitiv˘ a a funct¸iei f , s˘ a se calculeze lim

x→∞

20

F (x) · ln(x2 )

SESIUNEA AUGUST-SEPTEMBRIE

M2 Proba F Filiera vocat¸ional˘ a, profil Artistic, specializ˘ arile: Arhitectur˘ a, arte ambientale ¸si design; profil Militar, specializarea S¸tiint¸e sociale Filiera teoretic˘ a, specializarea S¸tiint¸e sociale

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-5 scriet¸i litera corespunz˘ atoare r˘ aspunsului corect pe foaia de examen 1.

Câte submult¸imi de trei elemente ale mult¸imii {1, 2, . . . , 8} au toate elementele pare? a) 3;

2.

b) 2;

c) 0, 7;

b) 4;

c) 4i;

Care este suma primelor dou˘ a zecimale ale num˘ arului a) 7;

5.

b) 0, 2;

d) 0, 4

Cât este (1 + i)4 ? a) −4;

4.

d) 1

Care este probabilitatea ca un element din mult¸imea {1, 2, . . . , 10} s˘ a nu fie p˘atrat perfect? a) 0, 3;

3.

c) 4;

b) 8;

√

d) −4i 11?

c) 6;

d) 4

c) 275;

d) 250

Cât este suma 1 + 3 + 5 + . . . + 29? a) 225;

b) 200;

Pentru ˆıntreb˘ arile 6-10 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = ln x − x. 6.

Cât este f ′ (x), x ∈ (0, ∞)?

7.

Cât este lim

8. 9. 10.

x→1

Cât este

Z

f (x) − f (1) ? x−1

1

ex dx? 0

Câte puncte de extrem local are funct¸ia f ? Cum este funct¸ia f pe intervalul (1, ∞): strict descresc˘atoare sau strict cresc˘atoare?

Pentru subiectele II-IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL II În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(6, 7), B(7, 6) ¸si C(3, 8). a) S˘a se scrie ecuat¸ia dreptei AB. b) S˘a se calculeze lungimea segmentului AB. c) S˘a se calculeze aria triunghiului ABC. d) S˘a se calculeze cosinusul unghiului ∢ABC. e) S˘a se determine numerele reale a ¸si b, astfel ˆıncât punctul M (a, b) s˘ a verifice relat¸iile M A = M B = M C. SUBIECTUL III Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = 2xy + 2x + 2y + 1, oricare ar fi x, y ∈ R. 21

a) S˘a se verifice c˘a x ◦ y = 2(x + 1)(y + 1) − 1, oricare ar fi x, y ∈ R. b) S˘a se arate c˘a x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z, oricare ar fi x, y, z ∈ R. c) S˘a se determine e ∈ R astfel ˆıncât x ◦ e = x, oricare ar fi x ∈ R. d) S˘a se g˘ aseasc˘a dou˘ a elemente a, b ∈ R − Q, cu proprietatea a ◦ b ∈ N. e) S˘a se arate c˘a, dac˘ a x ◦ y = −1, atunci x = −1 sau y = −1. f ) S˘a se arate c˘a (−2004) ◦ (−2003) ◦ . . . ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 2003 ◦ 2004 < 0. SUBIECTUL IV √ Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 + 1. a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. b) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este strict descresc˘atoare pe intervalul (−∞, 0] ¸si este strict cresc˘atoare pe intervalul [0, ∞. c) S˘a se calculeze lim f (x). x→∞

d) S˘a se arate c˘a dreapta y = x este asimptota oblic˘a c˘atre +∞ la graficul funct¸iei f . Z 1 f ′ (x) dx. e) S˘a se calculeze 0

f ) S˘a se rezolve ecuat¸ia f (11x) + f (1984x) = f (21x) + f (2004x).

22

BACALAUREAT 2005 ˘ SESIUNEA SPECIALA

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea matematic˘ a - informatic˘a. Filiera vocat¸ional˘ a, profil Militar, specializarea matematic˘a - informatic˘a.

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-16 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen 1.

Câte numere de 4 cifre distincte se pot forma utilizˆ and cifre din mult¸imea {1, 2, 3, 4}?

2.

Cât este suma tuturor elementelor grupului (Z12 , +)?

3.

Cât este produsul log2 3 · log3 4?

4.

Care este valoarea sumei C80 + C82 + C84 + C86 + C88 ? 0 1 Dac˘a matricea A = , care este probabilitatea ca un element al matricei A5 s˘ a fie egal cu 0? 1 0

5.

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 + 2x + 1. 6. 7.

Cât este f ′ (x), x ∈ R? Z 1 f (x) dx? Cât este 0

8. 9. 10.

Cum este funct¸ia f , convex˘ a sau concav˘ a? f (x) − f (1) ? x−1 n 1 Cât este lim 1 − ? n→∞ n Cât este lim

x→1

SUBIECTUL II În sistemul cartezian de coordonate Oxyz, se consider˘a punctele A(3, 4, 5), B(4, 5, 3), C(5, 3, 4). 11.

Care este ecuat¸ia planului care trece prin punctele A, B ¸si C?

12.

Care este lungimea segmentului AB?

13.

Care este aria triunghiului ABC?

14.

Care este lungimea medianei din A a triunghiului ABC?

15.

Cât este cos(∢BAC)?

16.

Care sunt coordonatele centrului de greutate ale triunghiului ABC?

Pentru subiectele III ¸si IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL III Se consider˘a polinoamele fn ∈ C[X], definite prin f0 = 1 ¸si f1 = X, f2 = fn =

X(X − 1) . . . (X − n + 1) , . . ., (∀) n ∈ N∗ . n!

X(X − 1) , . . ., 1·2

a) S˘a se arate c˘a fn (k) = Ckn , (∀) n ∈ N∗ , (∀) k ≥ n. b) S˘a se arate c˘a fn (k) ∈ Z, (∀) n ∈ N, (∀) k ∈ Z. c) S˘a se g˘ aseasc˘a un polinom g de gradul trei, cu coeficient¸i rat¸ionali, cel put¸in unul neˆıntreg, astfel ˆıncât g(k) ∈ Z, (∀) k ∈ Z. 1

d) S˘a se arate c˘a grad(fn ) = n, (∀) n ∈ N. e) S˘a se arate c˘a dac˘ a h ∈ C[X] este un polinom de grad 3, atunci exist˘a a0 , a1 , a2 , a3 ∈ C, unice, astfel ˆıncât h = a0 f 0 + a1 f 1 + a2 f 2 + a3 f 3 . f ) S˘a se arate c˘a dac˘ a w ∈ C[X] este un polinom de grad 3, astfel ˆıncât w(k) ∈ Z, (∀) k ∈ {0, 1, 2, 3}, atunci w(k) ∈ Z, (∀) k ∈ Z. g) S˘a se arate c˘a dac˘ a u ∈ C[X] este un polinom de grad 3, astfel ˆıncât u(k) ∈ Z, (∀) k ∈ {0, 1, 2, 3}, atunci exist˘a p ∈ Z, astfel ˆıncât u(k) 6= p, (∀) k ∈ Z. SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸iile fn : R → R, definite prin f0 (x) = 1 − cos x ¸si fn+1 (x) =

Z

x 0

a) S˘a se verifice c˘a f1 (x) = x − sin x, (∀) x ∈ R. b) S˘a se calculeze f2 (x), x ∈ R. c) Utilizând metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a, (∀) n ∈ N∗ , (∀) x ∈ R, f2n (x) =

x2n−2 x2 x2n − + . . . + (−1)n−1 + (−1)n + (−1)n+1 cos x. (2n)! (2n − 2)! 2!

d) S˘a se arate c˘a graficul funct¸iei f1 nu are asimptot˘a c˘atre ∞. e) S˘a se arate c˘a 0 ≤ fn (x) ≤ 2 ·

xn , (∀) n ∈ N∗ , (∀) x > 0. n!

xn = 0, (∀) x > 0. n→∞ n! x2 x4 x2n g) S˘a se arate c˘a lim 1 − = cos x, (∀) x ∈ R. + + ... + n→∞ 2! 4! (2n)! f ) S˘a se arate c˘a lim

2

fn (t) dt, (∀) n ∈ N, (∀) x ∈ R.

˘ SESIUNEA SPECIALA

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea S¸tiint¸e ale naturii Filiera tehnologic˘a, profil Tehnic, toate specializ˘ arile

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-16 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen 1.

Dac˘a funct¸ia f : R → R este f (x) = 5x + 1, cât este suma f (1) + f (2) + . . . + f (20)?

2.

Câte mult¸imi X verific˘a relat¸ia {a, b, c} ⊆ X ⊆ {a, b, c, d, e}?

3.

Dac˘a funct¸ia f : R → R este f (x) = x2 − 2, cât este (f ◦ f )(−1)?

4.

Care este probabilitatea ca un element al inelului (Z10 , +, ·) s˘ a fie solut¸ie a ecuat¸iei ˆ5 · x ˆ = ˆ0?

5.

Care este num˘ arul de solut¸ii reale ale ecuat¸iei x3 − 3x2 + 2x = 0?

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x4 − 4x. 6. 7.

Cât este f ′ (x), x ∈ R? Z 1 f (x) dx? Cât este 0

8.

Cum este funct¸ia f , convex˘ a sau concav˘ a?

9.

Cât este lim

10.

Cât este lim

x→1

f (x) − f (1) ? x−1

n→∞

3n + 5 ? 2n − 1

SUBIECTUL II 11.

Care este distant¸a dintre punctele A(3, 4, 5) ¸si B(4, 3, 5)?

12.

Care este lungimea razei cercului x2 + y 2 = 9?

13.

Care este aria triunghiului determinat de punctele P (0, 1), Q(1, 0) ¸si R(1, 1)?

14.

Care este ecuat¸ia dreptei care trece prin punctele P (0, 1) ¸si Q(1, 0)?

15.

Care este modulul num˘ arului complex sin 1 + i cos 1?

16.

Care este valoarea produsului i · i2 · i3 · . . . · i20 ?

Pentru subiectele III ¸si IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL III a) S˘a se arate c˘a , dac˘ a x, y ∈ (−1, 1), atunci −1 <

x+y < 1. 1 + xy

Pe mult¸imea G = (−1, 1) se consider˘a legea de compozit¸ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = b) S˘a se verifice egalitatea x ◦ y =

(1 + x)(1 + y) − (1 − x)(1 − y) , (∀) x, y ∈ G. (1 + x)(1 + y) + (1 − x)(1 − y)

c) S˘a se arate c˘a (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ G. d) S˘a se determine e ∈ G, astfel ˆıncât x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ G. e) S˘a se arate c˘a (∀) x ∈ G, exist˘ a y ∈ G astfel ˆıncât x ◦ y = y ◦ x = 0. 3

x+y , (∀) x, y ∈ G. 1 + xy

f ) Utilizând metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a, (∀) n ∈ N∗ ¸si (∀) x1 , x2 , . . ., xn ∈ G, x1 ◦ x2 ◦ . . . ◦ xn = g) S˘a se arate c˘a

(1 + x1 )(1 + x2 ) . . . (1 + xn ) − (1 − x1 )(1 − x2 ) . . . (1 − xn ) · (1 + x1 )(1 + x2 ) . . . (1 + xn ) + (1 − x1 )(1 − x2 ) . . . (1 − xn )

1 1 1 n2 + n − 2 ◦ ◦ ... ◦ = 2 , (∀) n ∈ N, n ≥ 2. 2 3 n n +n+2

SUBIECTUL IV √ √ Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 + 2 − x2 + 1. a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. b) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este strict descresc˘atoare pe intervalul [0, ∞). c) S˘a se calculeze lim f (x). x→∞

d) S˘a se determine ecuat¸ia asimptotei la graficul funct¸iei f c˘atre −∞. √ √ √ f ( 1) + f ( 2) + . . . + f ( n) √ · e) S˘a se calculeze lim n→∞ n Z xp p 1 p a2 a2 f ) S˘a se arate c˘a t2 + a2 dt = x x2 + a2 + ln(x + x2 + a2 ) − ln a, (∀) x ∈ R, (∀) a > 0. 2 2 2 0

g) S˘a se calculeze aria suprafet¸ei plane cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 0 ¸si x = 1.

4

SESIUNEA IUNIE-IULIE

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea matematic˘ a - informatic˘a. Filiera vocat¸ional˘ a, profil Militar, specializarea matematic˘a - informatic˘a.

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-16 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen 1.

Dac˘a funct¸ia f : R → R este f (x) = x − 3, cât este produsul f (1) · f (2) · . . . · f (7)?

2.

Câte submult¸imi nevide ale mult¸imii Z3 au suma elementelor egal˘ a cu ˆ0?

3.

Dac˘a funct¸ia f : R → R este f (x) = −x4 + 2x, cât este (f ◦ f )(1)?

4.

Care este probabilitatea ca un element n din mult¸imea {0, 1, 2, 3, 4} s˘ a verifice relat¸ia 2n + 5n = 3n + 4n ?

5.

Câte solut¸ii reale are ecuat¸ia x4 = 16?

1 Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex + x + · 2 6. 7.

Cât este f ′ (x), x ∈ R? Z 1 f (x) dx? Cât este 0

8.

Cum este funct¸ia f pe mult¸imea numerelor reale : convex˘ a sau concav˘ a?

9.

Cât este lim

10.

f (x) − f (1) ? x−1 √ n Cât este lim ? n→∞ n x→1

SUBIECTUL II 11.

Care este distant¸a dintre punctele A(1, 3, 5) ¸si B(3, 5, 7)?

12.

Care este lungimea razei cerculului x2 + y 2 = 4?

13.

Cât este cos2 π + sin2 π?

14.

Care este modulul num˘ arului complex

15.

Cât este aria unui triunghi cu lungimile laturilor de 3, 3 ¸si 4?

16.

Care este ecuat¸ia tangentei la parabola y 2 = 2x dus˘a prin punctul P (2, 2)?

5 + 8i ? 8 − 5i

Pentru subiectele III ¸si IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL III 1 0 1 0 0 1 0 ¸si K = ,J = , O2 = Se consider˘a matricele I2 = 0 0 0 0 0 0 1 este nilpotent˘ a, dac˘ a exist˘ a n ∈ N∗ , astfel ˆıncât M n = O2 .

0 . Spunem c˘a matricea M ∈ M2 (R) 0

a) S˘a se verifice c˘a matricele O2 ¸si J sunt nilpotente. b) S˘a se arate c˘a matricea K nu este nici inversabil˘a nici nilpotent˘ a. p q , atunci avem identitatea X 2 −(p+s)X +(ps−rq)I2 = c) S˘a se arate c˘a, dac˘ a matricea X ∈ M2 (R) este X = r s O2 .

5

d) S˘a se arate c˘a, dac˘ a matricea A =

a c

b d

∈ M2 (R) verific˘a relat¸ia A2 = O2 , atunci a + d = 0 ¸si ad − bc = 0.

e) S˘a se arate c˘a, dac˘ a matricea B ∈ M2 (R) este nilpotent˘ a, atunci B 2 = O2 . f ) S˘a se arate c˘a matricea I2 nu poate fi scris˘ a ca o sum˘a finit˘a de matrice nilpotente. SUBIECTUL IV 1 an+1 = 1 + a + . . . + an + , (∀) n ∈ N ¸si (∀) a ∈ R\{1}. 1−a 1−a √ √ 2 √ n √ 1 ( x)n+1 n n+1 √ = 1 − x + ( x) + . . . + (−1) ( x) + (−1) √ , (∀) x ∈ [0, 1], (∀) n ∈ N. S˘a se deduc˘ a relat¸ia 1+ x 1+ x √ √ ( x)n+1 √ ≤ ( x)n+1 , (∀) x ∈ [0, 1], (∀) n ∈ N∗ . S˘a se arate c˘a 0 ≤ 1+ x Z b √ n+1 ( x) √ dx = 0, (∀) b ∈ [0, 1]. S˘a se arate c˘a lim n→∞ 0 1 + x Z b 1 √ dx, unde b > 0. S˘a se calculeze integrala x 0 1+

a) S˘a se verifice c˘a b) c) d) e)

f ) S˘a se arate c˘a 

1

1 2 +1

 (−1) x x+ lim   n→∞ 1 +1 2

2

+

2 2 +1

(−1) x 2 +1 2

n

+ ... +

n 2 +1

(−1) x n +1 2

6



 = 

Z

x 0

1 √ dt, (∀) x ∈ [0, 1]. 1+ t

SESIUNEA IUNIE-IULIE

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea S¸tiint¸e ale naturii Filiera tehnologic˘a, profil Tehnic, toate specializ˘ arile

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-16 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen 1.

Cât este suma ˆ 1+ˆ 2+ˆ 3+ˆ 4+ˆ 5 ˆın grupul (Z6 , +)?

2.

Câte solut¸ii reale are ecuat¸ia 2x = 4?

3.

Câte funct¸ii f : {a, b, c} → {1, 2} verific˘a relat¸ia f (a) · f (b) = 1?

4.

Care este probabilitatea ca un element x din mult¸imea {1, 2, 3, 4, 5} s˘ a fie solut¸ie a ecuat¸iei x2 − 5x + 6 = 0? √ Care este prima zecimal˘a a num˘ arului 120?

5.

2

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x3 − 3x + 1. 6. 7.

Cât este f ′ (x), x ∈ R? Z 1 f (x) dx? Cât este 0

8.

Câte puncte de extrem local are funct¸ia f ?

9.

Câte puncte de inflexiune are graficul funct¸iei f ?

10.

2n ? n→∞ 3n

Cât este lim

SUBIECTUL II 11.

Cât este lungimea segmentului care une¸ste punctele A(−3, 1, 2) ¸si B(1, −3, 2)?

12.

Cât este modulul num˘ arului complex 1 − i?

13.

Cât este perimetrul unui triunghi dreptunghic cu catetele de lungimi 6 ¸si 8?

14.

Cât este suma celor dou˘ a solut¸ii complexe, nereale, ale ecuat¸iei x4 = 1?

15.

Dac˘a ecuat¸ia planului care trece prin punctele A(−3, 1, 2), B(1, −3, 2) ¸si C(2, 1, −3) este x + az + by + c = 0, cât este a + b + c? π Cât este aria triunghiului P QR ˆın care P Q = 1, QR = 2 ¸si m(∢P QR) = ? 6

16.

Pentru subiectele III ¸si IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL III      −1 −1 0 1 0 0 0 0 0 0, I3 = 0 1 0 ¸si O3 = 0 0 Se consider˘a matricele A =  1 0 1 0 0 0 1 0 0 a) S˘a se calculeze determinantul ¸si rangul matricei A.

 0 0. 0

b) S˘a se calculeze matricele A2 ¸si A3 . c) S˘a se verifice c˘a A3 + A2 + A = O3 . d) S˘a se g˘ aseasc˘a o matrice B ∈ M3 (R), B 6= O3 , cu proprietatea AB = BA = O3 . e) S˘a se arate c˘a A2005 = A. f ) S˘a se arate c˘a I3 6= aA + bA2 + cA3 , (∀) a, b, c ∈ R. 7

SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = ln x2 + 2 − ln x2 + 1. a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. b) S˘a se calculeze lim

x→0

f (x) − f (0) · x

c) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este strict cresc˘atoare pe intervalul (−∞, 0] ¸si strict descresc˘atoare pe intervalul [0, ∞). d) S˘a se arate c˘a 0 < f (x) ≤ ln 2, (∀) x ∈ R.

x e) S˘a se arate c˘a ln(t2 + a2 ) dt = x ln(x2 + a2 ) − 2x + 2a · arctg , (∀) x ∈ R, (∀) a ∈ R∗ . a f ) S˘a se calculeze aria suprafet¸ei plane cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 0 ¸si x = 1.

8

SESIUNEA IUNIE-IULIE

M2 Filiera tehnologic˘a, profil Servicii, toate specializ˘ arile; profil Resurse naturale ¸si protect¸ia mediului, toate specializ˘arile

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-16 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen 1.

Câte funct¸ii f : {a, b} → {1, 2, 3} au proprietatea f (a) < f (b)?

2.

Care este probabilitatea ca un element n din mult¸imea {1, 2, 3, 4, 5} s˘ a verifice relat¸ia n2 < n!?

3.

Câte solut¸ii reale are ecuat¸ia 2x + 2 = 0?

4.

Care este valoarea sumei 1 + 5 + 9 + 13 + . . . + 49?

5.

Dac˘a funct¸iile f : R → R ¸si g : R → R sunt f (x) = 2x + 3 ¸si g(x) = 3x + 2, cât este (g ◦ f )(−1)?

Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = ln x. 6.

Cât este f ′ (x), x ∈ (0, ∞)?

7.

Cât este lim

8.

Câte asimptote verticale are graficul funct¸iei f ? Z 1 ex dx? Cât este

9.

f (x) − f (1) ? x→1 x−1

0

10.

Cât este lim

n→∞

2n + 3 ? 3n + 2

SUBIECTUL II 11.

Cât este distant¸a de la punctul A(1, 1) la punctul B(2, 2)?

12. 13.

Care este ecuat¸ia dreptei care trece prin punctele A(1, 1) ¸si B(2, 2)? √ Cât este aria unui triunghi echilateral cu latura de lungime 3?

14.

Care este conjugatul num˘ arului complex 2 + 3i?

15.

Cât este cos2 1 + sin2 1?

16.

Dac˘a ˆın triunghiul ABC, AB = 2, AC = 3 ¸si m(∢BAC) =

Pentru subiectele III ¸si IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL III 3 2 1 0 0 Se consider˘a matricele A = , I2 = ¸si O3 = 2 3 0 1 0

π , cât este BC? 3

0 ¸si polinomul f = X 2 − 6X + 5. 0

a) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia f (x) = 0. b) S˘a se calculeze determinantul matricei A. c) S˘a se calculeze matricea A2 . d) S˘a se verifice c˘a f (A) = O2 . (Prin f (A) ˆınt¸elegem matricea A2 − 6A + 5I2 ). ( 3x + 2y = 0 e) S˘a se rezolve sistemul , unde x, y ∈ R. 2x + 3y = 0 9

f ) S˘a se arate c˘a An =

1 2

n 5 +1 5n − 1

5n − 1 , (∀) n ∈ N, n ≥ 2. 5n + 1

SUBIECTUL IV x+2 Se consider˘a funct¸ia f : [0, ∞) → [0, ∞), f (x) = · x+1 a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ [0, ∞). b) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este strict descresc˘atoare pe intervalul [0, ∞). √ √ c) S˘a se verifice c˘a f ( 2) = 2. d) S˘a se arate c˘a, dac˘ a x, y ∈ (0, ∞), x 6= y, atunci |f (x) − f (y)| < |x − y|. Z 1 f (x) dx. e) S˘a se calculeze 0

p √ p + 2q √ f ) S˘a se arate c˘a − 2 > − 2 , (∀) p, q ∈ N∗ . q p+q

10

SESIUNEA IUNIE-IULIE

M3 Filiera Vocat¸ional˘ a: profil Pedagogic, specializ˘ arile ˆınv˘ a¸t˘ator-educatoare

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-16 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen 1.

Câte funct¸ii f : {a, b, c} → {1, 2} au proprietatea f (a) = f (b) = 1?

2.

Câte elemente din mult¸imea {7, 8, . . . , 25} se divid cu 3?

3. 4.

Dac˘a mult¸imea A are 4 elemente, mult¸imea B are 5 elemente ¸si mult¸imea A ∩ B are 2 elemente, câte elemente are mult¸imea A ∪ B? √ Cât este produsul primelor 10 zecimale ale num˘ arului 26?

5.

Câte elemente din ¸sirul C50 , C51 , C52 , C53 , C54 , C55 sunt numere impare?

Se consider˘a triunghiul echilateral ABC cu lungimea laturii de 4. 6.

Cât este perimetrul triunghiului ABC?

7.

Cât este lungimea ˆın˘alt¸imii triunghiului ABC?

8.

Cât este aria triunghiului ABC?

9.

Cât este raportul dintre perimetrul triunghiului ABC ¸si perimetrul triunghiului care are vˆ arfurile ˆın mijloacele laturilor triunghiului ABC?

10.

Cât este raportul dintre aria triunghiului ABC ¸si aria triunghiului care are vˆ arfurile ˆın mijloacele laturilor triunghiului ABC? SUBIECTUL II

11.

Câte r˘ ad˘acini reale are ecuat¸ia x2 + 6x − 7 = 0?

12.

Care este mult¸imea valorilor reale ale lui x care verific˘a inecuat¸ia x2 + 6x − 7 < 0?

13.

Câte r˘ ad˘acini reale are ecuat¸ia 9x + 8 · 3x − 9 = 0?

14.

Cât este valoarea maxim˘a a funct¸iei f : R → R, f (x) = −x2 + 2x?

15.

Care sunt valorile parametrului real m, pentru care x2 + 2x + m ≥ 0, (∀) x ∈ R?

16.

Cât este produsul celor 4 r˘ ad˘acini reale ale ecuat¸iilor 9x2 + 1986x + 25 = 0 ¸si 25x2 + 1986x + 9 = 0?

Pentru subiectele III ¸si IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL III Se consider˘a un triunghi echilateral ABC, cu lungimea laturii 2 ¸si un punct M ˆın interiorul s˘ au . Picioarele perpendicularelor duse din M pe segmentele (BC), (CA), (AB) se noteaz˘ a cu D, E, F . Not˘am lungimile segmentelor: BD = 1 + a, CE = 1 + b ¸si AF = 1 + c, unde a, b, c ∈ (−1, 1). a) S˘a se determine m˘asura ˆın grade a unghiului ∢ABC. b) Utilizând teorema lui Pitagora, s˘ a se arate c˘a M B 2 − M C 2 = BD2 − DC 2 . c) S˘a se verifice identitatea (1 + x)(1 + y)(1 + z) = 1 + x + y + z + xy + yz + zx + xyz, (∀) x, y, z ∈ R. d) Utilizând relat¸ia de la punctul b) , s˘ a se arate c˘a BD2 − DC 2 + CE 2 − EA2 + AF 2 − F B 2 = 0. e) Utilizând relat¸ia de la punctul d) , s˘ a se arate c˘a a + b + c = 0 ¸si c˘a BD + CE + F A = 3. f ) S˘a se arate c˘a, dac˘ a BD · CE · AF = CD · EA · BF , atunci a · b · c = 0. 11

SUBIECTUL IV Se consider˘a mult¸imea A format˘ a din toate numerele naturale care se scriu ˆın baza zece cu dou˘ a cifre distincte. a) S˘a se determine num˘ arul elementelor mult¸imii A. b) S˘a se determine num˘ arul elementelor mult¸imii A care se divid cu 5. √ c) S˘a se determine num˘ arul de elemente ale mult¸imii {x ∈ A | x ∈ Q}. d) S˘a se determine num˘ arul de zerouri cu care se termin˘a produsul elementelor mult¸imii A, scris ˆın baza zece. e) S˘a se arate c˘a produsul elementelor mult¸imii A nu este un p˘atrat perfect. f ) S˘a se calculeze suma elementelor mult¸imii A.

12

SESIUNEA IUNIE-IULIE

M2 Proba F Filiera vocat¸ional˘ a, profil Artistic, specializ˘ arile: Arhitectur˘ a, arte ambientale ¸si design; profil Militar, specializarea S¸tiint¸e sociale Filiera teoretic˘ a, specializarea S¸tiint¸e sociale

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-16 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen 1.

Câte funct¸ii f : {a, b, c} → {1, 2} au proprietatea f (a) 6= f (b)?

2.

Câte solut¸ii are ecuat¸ia 3x = 3−x ? 1 1 , cât este matricea A5 ? Dac˘a matricea A = −1 −1

3. 4. 5.

2

Care este valoarea sumei 1 + 11 + 111 + . . . + 1111111? √ Care este produsul primelor 5 zecimale ale num˘ arului 122?

Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = ln x. 6.

Cât este f ′ (x), x ∈ (0, ∞)?

7.

Cât este lim

8.

Câte asimptote verticale are graficul funct¸iei f ? Z 2 1 Cât este dx? 1 x

9. 10.

x→1

Cât este lim

f (x) − f (1) ? x−1

n→∞

5n + 2 ? 2n + 5

SUBIECTUL II 11.

Cât este distant¸a de la punctul A(4, 4) la punctul B(5, 5)?

12.

Cât este cos2 6 + sin2 6?

13.

Dac˘a ˆın triunghiul ABC, AB = 1, AC = 1 ¸si m(∢BAC) =

14.

Care este conjugatul num˘ arului complex −3 − 3i?

15.

Care este ecuat¸ia dreptei care trece prin punctele A(4, 4) ¸si B(5, 5)?

16.

Cât este aria unui triunghi cu lungimile laturilor de 7, 10 ¸si 11?

π , cât este BC? 3

Pentru subiectele III ¸si IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL III n Se consider˘a mult¸imea de funct¸ii G = fn | fn : R → R, fn (x) = (x + 1)3 − 1, (∀) n ∈ Z, (∀) x ∈ R . a) S˘a se verifice c˘a funct¸ia g : R → R, g(x) = x, apart¸ine mult¸imii G.

b) S˘a se arate c˘a fn ◦ fp = fn+p , (∀) n, p ∈ Z. c) S˘a se arate c˘a inversa funct¸iei fn este funct¸ia f−n , (∀) n ∈ Z. d) S˘a se calculeze suma f1 (−1) + f2 (−1) + . . . + f2005 (−1). e) S˘a se arate c˘a funct¸ia f1 este strict cresc˘atoare pe R. 13

f ) S˘a se arate c˘a mult¸imea G ˆımpreun˘ a cu operat¸ia de compunere a funct¸iilor determin˘ a o structur˘ a de grup. SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸iile h : R → R, h(x) = 1 +

(∀) x ∈ R.

x2 x3 x4 x + , g : R → R, g(x) = h(x) + , f : R → R, f (x) = g(x) + , 1! 2! 3! 4!

a) S˘a se verifice c˘a g ′ (x) = h(x) ¸si f ′ (x) = g(x), (∀) x ∈ R. b) S˘a se arate c˘a h(x) > 0, (∀) x ∈ R. c) S˘a se arate c˘a funct¸ia g este strict cresc˘atoare pe R. Z 1 h(x) dx. d) S˘a se calculeze 0

e) S˘a se calculeze lim g(x) ¸si lim g(x). x→∞

x→−∞

f ) S˘a se arate c˘a ecuat¸ia g(x) = 0 are o singur˘ a solut¸ie real˘ a.

14

SESIUNEA IUNIE-IULIE

M3 Proba F Filiera Teoretic˘a,sp.Filologie; Filiera Vocat¸ional˘ a: profil Artistic, sp.:Arte plastice ¸si decorative, Coregrafie, Muzic˘a ¸si Teatru; profil Pedagogic, toate specializ˘ arile cu except¸ia ˆınv˘ a¸t˘ator-educatoare;profil Educat¸ie fizic˘ a ¸si sport ; profil Militar, sp. Muzici militare; profil Teologic, toate specializ˘arile

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-16 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen 1.

Câte funct¸ii f : {a, b, c} → {1, 2} au proprietatea f (a) + f (b) = 3?

2.

Câte elemente din mult¸imea {7, 8, . . . , 25} nu se divid cu 4?

3.

Dac˘a mult¸imea A are 9 elemente, mult¸imea B are 8 elemente ¸si mult¸imea A ∪ B are 12 elemente, câte elemente are mult¸imea A ∩ B? √ Care este produsul primelor 10 zecimale ale num˘ arului 197?

4. 5.

Câte numere de 2 cifre distincte se pot forma utilizˆ and numai cifre din mult¸imea {1, 2, 3, 4}?

Se consider˘a triunghiul dreptunghic ABC cu catetele AB = AC = 6. 6.

Cât este perimetrul triunghiului ABC?

7.

Cât este lungimea ˆın˘alt¸imii din A a triunghiului ABC?

8.

Cât este aria triunghiului ABC?

9.

Cât este lungimea medianei din A a triunghiului ABC?

10.

Cât este m˘asura ˆın grade a unghiului ∢ABC? SUBIECTUL II

11.

Câte r˘ ad˘acini reale are ecuat¸ia 5x2 + 6x − 11 = 0?

12.

Care este mult¸imea valorilor reale ale lui x care verific˘a inecuat¸ia 5x2 + 6x − 11 < 0?

13.

Câte r˘ ad˘acini reale are ecuat¸ia 64x + 7 · 8x − 8 = 0?

14.

Care este valoarea minim˘a a funct¸iei f : R → R, f (x) = x2 − 4x?

15.

Care sunt valorile parametrului real m, pentru care x2 + 1 + m ≥ 0, (∀) x ∈ R?

16.

Cât este produsul celor 4 r˘ ad˘acini reale ale ecuat¸iilor 5x2 + 1986x − 9 = 0 ¸si 9x2 + 1986x − 5 = 0?

Pentru subiectele III ¸si IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL III Se consider˘a o dreapt˘a d, dou˘ a puncte A ¸si B situate de o parte ¸si de alta a dreptei d. Not˘am cu C simetricul punctului A fat¸˘a de dreapta d ¸si cu D intersect¸ia dreptelor BC ¸si d. (Punctul B se consider˘a astfel ˆıncât C 6= B ¸si dreptele BC ¸si d nu sunt paralele). Mai consider˘am un punct X pe dreapta d. a) S˘a se arate c˘a AD = DC. b) S˘a se arate c˘a dreapta d este bisectoarea unghiului ∢ADB. c) S˘a se verifice c˘a |AD − DB| = BC. d) S˘a se arate c˘a XA = XC. e) S˘a se arate c˘a |XB − XA| ≤ |AD − DB|. 15

f ) S˘a se arate c˘a, dac˘ a |XB − XA| = |AD − DB|, atunci X = D. SUBIECTUL IV √ Se consider˘a mult¸imea A = {p + q 3 | p, q ∈ Z}. a) S˘a se arate c˘a, dac˘ a x, y ∈ A, atunci x + y ∈ A. b) S˘a se arate c˘a, dac˘ a x, y ∈ A, atunci x · y ∈ A. √ c) S˘a se verifice c˘a 1 ∈ A ¸si 2 − 3 ∈ A. d) Utilizând metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a, dac˘ a x1 , x2 , . . ., xn ∈ A, atunci x1 · x2 · . . . · xn ∈ A, (∀) n ∈ N∗ . √ e) S˘a se arate c˘a (2 − 3)n ∈ A, (∀) n ∈ N∗ . f ) S˘a se arate c˘a ˆın intervalul (0; 0, 01) exist˘ a un element din mult¸imea A.

16

SESIUNEA AUGUST

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea matematic˘ a - informatic˘a. Filiera vocat¸ional˘ a, profil Militar, specializarea matematic˘a - informatic˘a.

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-16 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen 1. 2.

Câte solut¸ii reale are ecuat¸ia 16x + 3 · 4x − 4 = 0? 2 2 Dac˘a matricea A este A = cât este matricea A2005 ? −2 −2

3.

Dac˘a funct¸ia f : R → R este f (x) = x3 − 9x, cât este (f ◦ f )(3)?

4.

Care este probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} s˘ a verifice relat¸ia 3n > 5n + 2?

5.

Care este suma elementelor ˆın grupul (Z7 , +)?

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = 6. 7.

x · x2 + x + 1

Cât este f ′ (x), x ∈ R? Z 1 f ′ (x) dx? Cât este 0

8.

Care este ecuat¸ia asimptotei c˘atre +∞ la graficul funct¸iei f ?

9.

Cât este lim

10.

x→0

Cât este

Z

f (x) − f (0) ? x

1

ex dx? 0

SUBIECTUL II 11.

Dac˘a ecuat¸ia dreptei care trece prin punctele A(2, 2) ¸si B(3, 3) este x + ay + b = 0, cât este a + b?

12.

Care este distant¸a de la punctul C(0, 1) la dreapta x − y = 0?

13.

Cât este num˘ arul cos2 2 + sin2 2?

14.

Care este modulul num˘ arului complex (1 − i)4 ?

15.

Cât este aria triunghiului cu vˆ arfurile ˆın punctele A(2, 2), B(3, 3) ¸si C(0, 1)?

16.

Care este ecuat¸ia tangentei la hiperbola

x2 y2 − = 1 dus˘a prin punctul P (3, 2)? 3 2

Pentru subiectele III ¸si IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL III Se consider˘a num˘ arul complex z = a + bi, cu a, b ∈ R ¸si not˘am z = a − bi. a) S˘a se calculeze z + z. b) S˘a se calculeze z · z. c) S˘a se verifice c˘a z 2 − 2az + a2 + b2 = 0. d) S˘a se determine c, d ∈ R, ¸stiind c˘a num˘ arul complex x = 3 + 4i verific˘a ecuat¸ia x2 + cx + d = 0. e) Utilizând metoda induct¸iei matematice , s˘ a se arate c˘a (∀) n ∈ N, n ≥ 2, exist˘a an , bn ∈ R, astfel ˆıncât z n = a n · z + bn . 17

f ) S˘a se arate c˘a pentru orice w ∈ C ¸si orice n ∈ N, n ≥ 2, exist˘a polinomul cu coeficient¸i reali f = X n + pX + q, cu proprietatea c˘a f (w) = 0. g) S˘a se arate c˘a num˘ arul complex x = 3 + 4i nu poate fi r˘ ad˘acin˘a pentru niciun polinom g ∈ R[X], de forma g = X 8 + r. SUBIECTUL IV √ 1 1 1 Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = 2 x ¸si ¸sirurile (an )n≥1 , (bn )n≥1 ¸si (cn )n≥1 , an = √ + √ + . . . + √ , n 1 2 bn = an − f (n), cn = an − f (n + 1), (∀) n ∈ N, n ≥ 1. a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ (0, ∞). b) S˘a se arate c˘a funct¸ia f ′ este strict descresc˘atoare pe intervalul (0, ∞). 1 c) Utilizând teorema lui Lagrange, s˘ a se arate c˘a (∀) k > 0, exist˘a c ∈ (k, k + 1), astfel ˆıncât f (k + 1) − f (k) = √ · c d) S˘a se arate c˘a √

√ √ 1 1 < 2 k + 1 − 2 k < √ , (∀) k ∈ (0, ∞). k+1 k

e) S˘a se arate c˘a ¸sirul (bn )n≥1 este strict descresc˘ator iar ¸sirul (cn )n≥1 este strict cresc˘ator. f ) S˘a se arate c˘a ¸sirurile (bn )n≥1 ¸si (cn )n≥1 sunt convergente. g) S˘a se calculeze lim an . n→∞

18

SESIUNEA AUGUST

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea S¸tiint¸e ale naturii Filiera tehnologic˘a, profil Tehnic, toate specializ˘ arile

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-16 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen 1. 2.

Câte funct¸ii f : {a, b} → {1, 2, 3} verific˘a relat¸ia f (a) + f (b) = 4? 0 1 , cât este matricea A2 ? Dac˘a matricea A = 1 0

3.

Care este probabilitatea ca un element n din mult¸imea {1, 2, 3, 4, 5} s˘ a verifice relat¸ia 2n > n!?

4.

Câte solut¸ii are ecuat¸ia x2 + x + 1 = 0 ˆın mult¸imea numerelor reale?

5.

Dac˘a funct¸iile f : R → R ¸si g : R → R sunt f (x) = 2x − 3 ¸si g(x) = 3x − 2, cât este (f ◦ g)(1)?

Se consider˘a funct¸ia f : R∗ → R, f (x) =

x−1 · x

6.

Cât este f ′ (x), x ∈ R∗ ?

7.

Cât este lim

8.

Care este ecuat¸ia asimptotei c˘atre +∞ la graficul funct¸iei f ? Z 2 f (x) dx? Cât este

9.

x→1

f (x) − f (1) ? x−1

1

10.

Cât este lim

n→∞

5n + 3 ? 2n + 7

SUBIECTUL II 11.

Care este distant¸a de la punctul M (−2, 1) la punctul N (2, −1)?

12.

Care este ecuat¸ia dreptei care trece prin punctele M (−2, 1) ¸si N (2, −1)?

13.

Care este aria unui triunghi echilateral cu latura de lungime 4?

14.

Care este conjugatul num˘ arului complex

15.

Care este semnul num˘ arului cos(−1)?

16.

Dac˘a ˆın triunghiul ABC, AB = 2, AC = 3 ¸si m(∢BAC) =

1 i? 3 π , cât este BC? 3

Pentru subiectele III ¸si IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL III Se consider˘a a, b, c ∈ R ¸si polinomul f ∈ R[X], f = X 3 − pX 2 + qX − r, cu r˘ ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ C, unde p, q, r ∈ (0, ∞). a) S˘a se determine s ∈ R cu proprietatea c˘a f = s(X − x1 )(X − x2 )(X − x3 ). b) S˘a se calculeze expresia (1 − x1 )(1 − x2 )(1 − x3 ) ˆın funct¸ie de p, q, r. c) S˘a se arate c˘a x21 + x22 + x23 = p2 − 2q. d) S˘a se arate c˘a polinomul g = X 3 − X 2 + X − 2 nu are toate r˘ ad˘acinile reale. e) S˘a se arate c˘a, dac˘ a x ∈ (−∞, 0], atunci f (x) < 0. 19

f ) S˘a se arate c˘a polinomul f nu are r˘ ad˘acini ˆın intervalul (−∞, 0]. g) S˘a se arate c˘a, dac˘ a a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0 ¸si abc > 0, atunci a > 0, b > 0, c > 0. SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = (x + 2)3 − x3 . a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. b) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este convex˘ a pe R. c) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este strict descresc˘atoare pe intervalul (−∞, −1] ¸si strict cresc˘atoare pe intervalul [−1, ∞). d) S˘a se arate c˘a 2 ≤ f (x), (∀) x ∈ R. e) S˘a se arate c˘a orice primitiv˘ a a funct¸iei f este strict cresc˘atoare pe R. f ) S˘a se calculeze aria suprafet¸ei plane cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 0 ¸si x = 1.

20

SESIUNEA AUGUST

M2 Filiera tehnologic˘a, profil Servicii, toate specializ˘ arile; profil Resurse naturale ¸si protect¸ia mediului, toate specializ˘arile

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-16 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen 1.

Câte funct¸ii f : {a, b} → {a, b} au proprietatea f (a) 6= f (b)?

2.

Câte solut¸ii reale are ecuat¸ia x2 + 10x − 11 = 0?

3.

Care este probabilitatea 0 Dac˘a matricea A = 0

4. 5.

ca o submult¸ime a mult¸imii {1, 2, 4} s˘ a cont¸in˘a numai elemente pare? 1 , cât este matricea A2 ? 0

Dac˘a funct¸ia f : R → R este f (x) = 2x − 3, care sunt coordonatele unui punct de pe graficul funct¸iei f , pentru care abscisa este egal˘ a cu ordonata?

Se consider˘a funct¸ia f : R∗ → R, f (x) = x −

1 · x

6.

Cât este f ′ (x), x ∈ R∗ ?

7.

Cât este lim

8.

Câte asimptote verticale are graficul funct¸iei f ? Z 2 f (x) dx? Cât este

9.

x→1

f (x) − f (1) ? x−1

1

10.

Cât este lim

n→∞

f (n) ? 2n

SUBIECTUL II 11.

Cât este distant¸a de la punctul A(−1, −2) la punctul B(−2, −1)?

12.

Care este ecuat¸ia dreptei care trece prin punctele A(−1, −2) ¸si B(−2, −1)?

13.

Cât este cos2 12 + sin2 12?

14.

Care este conjugatul num˘ arului complex 3 + i?

15.

Cât este aria unui triunghi cu lungimile laturilor de 5, 5 ¸si 6?

16.

Dac˘a ˆın triunghiul ABC, AB = 5, AC = 5 ¸si m(∢BAC) =

π , cât este BC? 3

Pentru subiectele III ¸si IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL III a) S˘a se arate c˘a

x2 y2 (x + y)2 (xb − ya)2 + − = , (∀) x, y ∈ R ¸si (∀) a, b ∈ (0, ∞). a b a+b ab(a + b)

b) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia c) S˘a se arate c˘a

y2 (x + x2 )2 x2 + = · 2 3 5

y2 (x + y)2 x2 + ≥ , (∀) x, y ∈ R ¸si (∀) a, b ∈ (0, ∞). a b a+b

21

d) Utilizând metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a (∀) n ∈ N∗ , (∀) x1 , x2 , . . ., xn ∈ R ¸si (∀) a1 , a2 , . . ., 2 2 x x2 (x1 + x2 + . . . + xn )2 x · an ∈ (0, ∞), avem inegalitatea 1 + 2 + . . . + n ≥ a1 a2 an a1 + a2 + . . . + an e) S˘a se arate c˘a

x2 y2 z2 x+y+z + + ≥ , (∀) x, y, z ∈ (0, ∞). y+z x+z x+y 2

f ) S˘a se arate c˘a

1 1 1 9 + + ≥ , (∀) a, b, c ∈ (0, ∞). a+b b+c a+c 2(a + b + c)

SUBIECTUL IV

1 Se consider˘a funct¸iile f, g : R → R, f (x) = ln e + x e x

¸si g(x) =

e2x − 1 · e2x + 1

a) S˘a se arate c˘a f ′ (x) = g(x), (∀) x ∈ R. b) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este strict descresc˘atoare pe intervalul (−∞, 0] ¸si strict cresc˘atoare pe intervalul [0, ∞). c) S˘a se verifice c˘a f (x) ≥ ln 2, (∀) x ∈ R. d) S˘a se calculeze lim g(x). x→∞

e) S˘a se calculeze

Z

1

g(x) dx. 0

f ) S˘a se determine ecuat¸ia asimptotei la graficul funct¸iei f c˘atre +∞.

22

SESIUNEA AUGUST

M3 Filiera Vocat¸ional˘ a: profil Pedagogic, specializ˘ arile ˆınv˘ a¸t˘ator-educatoare

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-16 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen 1.

Câte funct¸ii f : {1, 2} → {1, 2} au proprietatea f (1) · f (2) = 2?

2.

Câte elemente din mult¸imea {101, 102, . . . , 125} se divid cu 5?

3. 4.

Dac˘a mult¸imea A are 7 elemente, mult¸imea B are 6 elemente ¸si mult¸imea A ∪ B are 9 elemente, câte elemente are mult¸imea A ∩ B? √ Cât este produsul primelor 10 zecimale ale num˘ arului 65?

5.

Câte elemente din ¸sirul C60 , C61 , C62 , C63 , C64 , C65 , C66 se divid cu 3?

Se consider˘a triunghiurile asemenea ABC ¸si DEF astfel ˆıncât

AC BC AB = = = 3. DE DF EF

6.

Cât este raportul dintre perimetrul triunghiului ABC ¸si perimetrul triunghiului DEF ?

7.

Cât este raportul dintre aria triunghiului ABC ¸si aria triunghiului DEF ?

8.

Dac˘a ˆın˘alt¸imea din A a triunghiului ABC are lungimea 6, cât este lungimea ˆın˘alt¸imii din D a triunghiului DEF ?

9.

Dac˘a m˘asura unghiului A al triunghiului ABC este 70◦ , cât este m˘asura unghiului D al triunghiului DEF ?

10.

Dac˘a lungimea laturii AC este 9, cât este lungimea laturii DF ? SUBIECTUL II

11.

Câte r˘ ad˘acini reale are ecuat¸ia x2 + 5x − 6 = 0?

12.

Care este mult¸imea valorilor reale ale lui x care verific˘a inecuat¸ia x2 + 5x − 6 < 0?

13.

Care este solut¸ia real˘ a ¸si strict pozitiv˘a a ecuat¸iei log3 x = 2?

14.

Care este solut¸ia real˘ a a ecuat¸iei 2x = 0, 5?

15.

Câte submult¸imi cu 2 elemente are o mult¸ime cu 5 elemente?

16.

Care este cel mai mic num˘ ar real a, pentru care funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 − 4x + 1, este strict cresc˘atoare pe intervalul [a, ∞)?

Pentru subiectele III ¸si IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL III Se consider˘a un triunghi dreptunghic ABC, ( m(∢A) = 90◦ ) ¸si un punct M pe segmentul (BC). Picioarele perpendicularelor duse din M pe catetele (AB) ¸si (AC) se noteaz˘ a cu N ¸si P . a) S˘a se arate c˘a AM 2 = AP 2 + AN 2 . b) S˘a se arate c˘a M C 2 = CP 2 + AN 2 . c) S˘a se arate c˘a M B 2 = AP 2 + N B 2 . d) S˘a se arate c˘a triunghiul M BN este asemenea cu triunghiul CBA. e) S˘a se deduc˘ a relat¸iile

NB MB AP = = · AC AB CB

f ) S˘a se arate c˘a AM 2 · BC 2 = AB 2 · M C 2 + AC 2 · M B 2 . 23

SUBIECTUL IV Se consider˘a mult¸imea A = {x2 − 3y 2 | x, y ∈ Z}. a) S˘a se verifice c˘a {0, 1, 4, 6} ⊂ A. b) S˘a se verifice identitatea (x2 − 3y 2 )(a2 − 3b2 ) = (xa + 3yb)2 − 3(ay + bx)2 , (∀) a, b, x, y ∈ R. c) S˘a se arate c˘a, dac˘ a z, w ∈ A, atunci z · w ∈ A. d) S˘a se arate c˘a 2 ∈ / A. e) Utilizând metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a 6n ∈ A, (∀) n ∈ N∗ . f ) S˘a se arate c˘a mult¸imea Z − A cont¸ine cel put¸in 2005 elemente.

24

SESIUNEA AUGUST

M2 Proba F Filiera vocat¸ional˘ a, profil Artistic, specializ˘ arile: Arhitectur˘ a, arte ambientale ¸si design; profil Militar, specializarea S¸tiint¸e sociale Filiera teoretic˘ a, specializarea S¸tiint¸e sociale

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-16 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen 1.

Câte funct¸ii f : {a, b, c} → {a, b} au proprietatea f (a) = f (b)?

2.

Câte solut¸ii are ecuat¸ia 5x = 55x ˆın mult¸imea numerelor reale? −1 −1 Dac˘a matricea A = , cât este matricea A5 ? 1 1

3. 4. 5.

2

Care este valoarea sumei 7 + 77 + 777 + . . . + 7777777? √ Care este produsul primelor 5 zecimale ale num˘ arului 145?

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x + ex . 6.

Cât este f ′ (x), x ∈ R?

7.

Cât este lim

8.

Câte puncte de extrem local are funct¸ia f ? Z 2 1 Cât este dx? 2 x 1

9. 10.

x→1

Cât este lim

f (x) − f (1) ? x−1

n→∞

3n + 2 ? 4n + 5

SUBIECTUL II 11.

Cât este distant¸a de la punctul A(−4, −4) la punctul B(−5, −5)?

12.

Cât este cos2 16 + sin2 16?

13.

Dac˘a ˆın triunghiul ABC, AB = 1, AC = 1 ¸si m(∢BAC) =

14.

Care este conjugatul num˘ arului complex −3 + i?

15.

Care este ecuat¸ia dreptei care trece prin punctele A(−4, −4) ¸si B(−5, −5)?

16.

Cât este aria unui triunghi cu lungimile laturilor de 7, 7 ¸si 6?

Pentru subiectele III ¸si IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL III 5 3 1 0 0 Se consider˘a matricele A = , I2 = , O2 = 3 5 0 1 0

π , cât este BC? 2

0 ¸si polinomul f = X 2 − 10X + 16. 0

a) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia f (x) = 0. b) S˘a se calculeze determinantul matricei A. c) S˘a se calculeze matricea A2 . d) S˘a se verifice c˘a f (A) = O2 . (Prin f (A) ˆınt¸elegem matricea A2 − 10A + 16I2 ). 25

(

5x + 3y = 0 , unde x, y ∈ R. 3x + 5y = 0 1 8n + 2n 8n − 2n f ) S˘a se arate c˘a An = , (∀) n ∈ N, n ≥ 2. 2 8n − 2n 8n + 2n

e) S˘a se rezolve sistemul

SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 (∀) x ∈ R. a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. b) S˘a se arate c˘a funct¸ia f ′ este strict cresc˘atoare pe R. c) S˘a se calculeze lim f ′ (x) ¸si lim f ′ (x). x→∞

d) S˘a se calculeze

Z

x→−∞

1

f (x) dx. 0

f (x) − 1 · x→0 x(ex − 1)

e) S˘a se calculeze lim

f ) S˘a se arate c˘a f (x) ≥ 1, (∀) x ∈ R.

26

SESIUNEA AUGUST

M3 Proba F Filiera Teoretic˘a,sp.Filologie; Filiera Vocat¸ional˘ a: profil Artistic, sp.:Arte plastice ¸si decorative, Coregrafie, Muzic˘a ¸si Teatru; profil Pedagogic, toate specializ˘ arile cu except¸ia ˆınv˘ a¸t˘ator-educatoare;profil Educat¸ie fizic˘ a ¸si sport ; profil Militar, sp. Muzici militare; profil Teologic, toate specializ˘arile

SUBIECTUL I Pentru ˆıntreb˘ arile 1-16 scriet¸i doar r˘ aspunsurile pe foaia de examen 1.

Câte funct¸ii f : {1, 2, 3} → {1, 2} au proprietatea f (1) · f (2) = 2?

2.

Câte elemente din mult¸imea {101, 102, . . . , 125} nu se divid cu 4?

3.

Dac˘a mult¸imea A are 9 elemente, mult¸imea B are 8 elemente ¸si mult¸imea A ∩ B are 4 elemente, câte elemente are mult¸imea A ∪ B? √ Care este produsul primelor 10 zecimale ale num˘ arului 257?

4. 5.

Câte numere de 3 cifre distincte se pot forma utilizˆ and numai cifre din mult¸imea {1, 2, 3, 4}?

Se consider˘a triunghiul dreptunghic ABC cu catetele AB = 5, AC = 12. 6.

Cât este perimetrul triunghiului ABC?

7.

Cât este lungimea ˆın˘alt¸imii din A a triunghiului ABC?

8.

Cât este aria triunghiului ABC?

9.

Cât este lungimea medianei din A a triunghiului ABC?

10.

Cât este cosinusul unghiului ∢ABC? SUBIECTUL II

11.

Câte r˘ ad˘acini reale are ecuat¸ia 2x2 + 3x − 5 = 0?

12.

Care este mult¸imea valorilor reale ale lui x care verific˘a inecuat¸ia 2x2 + 3x − 5 < 0?

13.

Câte r˘ ad˘acini reale are ecuat¸ia 64x − 8 = 0?

14.

Care este r˘ ad˘acina real˘ a, strict pozitiv˘a, a ecuat¸iei log6 x = −2?

15.

Cât este suma C40 + C41 + C42 + C43 + C44 ?

16.

Care este cel mai mare num˘ ar dintre 2 ¸si

√ 3 9?

Pentru subiectele III ¸si IV se cer rezolv˘ arile complete SUBIECTUL III Se consider˘a patrulaterul convex ABCD ˆın care AC ∩ BD = {O}. a) S˘a se arate c˘a, dac˘ a AC ⊥ BD, atunci aria patrulaterului ABCD este egal˘ a cu

AC · BD · 2

b) S˘a se arate c˘a, dac˘ a AC ⊥ BD, atunci OA2 + OB 2 + OC 2 + OD2 = AB 2 + CD2 . c) S˘a se arate c˘a, dac˘ a AC ⊥ BD, atunci AB 2 + CD2 = AD2 + BC 2 . d) Perpendiculara din A pe dreapta BD cade pe segmentul [DO] ˆın punctul E. S˘a se arate c˘a AB 2 = OA2 + OB 2 + 2 · OE · OB.

27

e) Perpendiculara din C pe dreapta BD cade pe segmentul [BO] ˆın punctul F . S˘a se arate c˘a CD2 = OC 2 + OD2 + 2 · OF · OD. f ) S˘a se arate c˘a, dac˘ a AB 2 + CD2 = AD2 + BC 2 , atunci AC ⊥ BD. SUBIECTUL IV √ Se consider˘a mult¸imea A = {p + q 5 | p, q ∈ Z}. a) S˘a se arate c˘a, dac˘ a x, y ∈ A, atunci x + y ∈ A. b) S˘a se arate c˘a, dac˘ a x, y ∈ A, atunci x · y ∈ A. √ c) S˘a se verifice c˘a 1 ∈ A ¸si 5 − 2 ∈ A. d) Utilizând metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a, dac˘ a x1 , x2 , . . ., xn ∈ A, atunci x1 · x2 · . . . · xn ∈ A, (∀) n ∈ N∗ . √ e) S˘a se arate c˘a ( 5 − 2)n ∈ A, (∀) n ∈ N∗ . f ) S˘a se arate c˘a ˆın intervalul (0; 0, 01) exist˘ a un element din mult¸imea A.

28

BACALAUREAT 2006 ˘ SESIUNEA SPECIALA

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea matematic˘ a - informatic˘a. Filiera vocat¸ional˘ a, profil Militar, specializarea matematic˘a - informatic˘a.

SUBIECTUL I a) S˘a se determine a, b ∈ R, astfel ˆıncât punctele A(1, 6) ¸si C(6, 1) s˘ a se afle pe dreapta de ecuat¸ie x + ay + b = 0. b) S˘a se calculeze lungimea segmentului cu capetele ˆın punctele P (5, 6, 7) ¸si Q(6, 5, 7). c) S˘a se calculeze suma ctg(−2) + ctg(−1) + ctg(1) + ctg(2). d) S˘a se determine a, b ∈ R, astfel ˆıncât s˘ a avem egalitatea de numere complexe

2 − 3i = a + bi. 3 − 2i

e) S˘a se calculeze distant¸a de la punctul B(3, 3) la dreapta de ecuat¸ie x + y − 7 = 0. f ) S˘a se calculeze aria triunghiului cu vˆ arfurile ˆın punctele A(1, 6) , B(3, 3) ¸si C(6, 1).

SUBIECTUL II 1.

a) S˘a se calculeze suma ˆ 3+ˆ 4+ˆ 5+ˆ 8 + ˆ7 + ˆ9 ˆın grupul (Z12 , +). b) S˘a se determine simetricul fat¸˘ a de ˆınmult¸ire al elementului ˆ7 ∈ Z12 . c) S˘a se determine inversa funct¸iei f : R → R, f (x) = 2x − 3.

d) S˘a se rezolve ˆın R ecuat¸ia 25x = 5.

e) S˘a se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} s˘ a verifice relat¸ia n3 < 2n . 2.

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = e−5x . a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. Z 1 f (x) dx. b) S˘a se calculeze 0

f (x) − f (1) · x−1 d) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este convex˘ a pe R. Z x f (t) dt. e) S˘a se calculeze lim c) S˘a se calculeze lim

x→1

x→∞

0

SUBIECTUL III Se consider˘a mult¸imea M format˘ a din toate matricele cu 3 linii ¸si 3 coloane, fiecare matrice din M avˆ and numai elemente distincte din mult¸imea {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.     1 1 7 1 4 7 / M. a) S˘a se verifice c˘a 2 5 8 ∈ M ¸si c˘a 2 5 8 ∈ 3 6 9 3 6 9   1 4 7 b) S˘a se calculeze determinantul matricei 2 5 8. 3 6 9 c) S˘a se g˘ aseasc˘a o matrice A ∈ M , astfel ˆıncât det(A) 6= 0.

d) S˘a se arate c˘a, dac˘ a B ∈ M este o matrice inversabil˘a, atunci B −1 ∈ / M. e) S˘a se arate c˘a dac˘ a D ∈ M , atunci rang(D) ∈ {2, 3}. 1

f ) S˘a se determine num˘ arul elementelor mult¸imii M . g) S˘a se arate c˘a mult¸imea M cont¸ine cel put¸in 18 matrice cu determinantul egal cu 0. SUBIECTUL IV Se consider˘a ¸sirurile (an )n≥2 ¸si (bn )n≥2 , definite prin r r q q p √ 3 3 n−1 n − 1 + n n, bn = 2 + 3 + . . . + an = 2 + 3 + . . . +

a) S˘a se verifice c˘a an < bn , (∀) n ∈ N, n ≥ 2.

p √ n − 1 + n n + 2, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.

n−1

b) S˘a se calculeze a2 ¸si b2 . c) S˘a se arate c˘a a4 > 1, 9. d) Utilizând metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a 2n+1 > n + 3, (∀) n ∈ N, n ≥ 2. e) S˘a se arate c˘a ¸sirul (an )n≥2 este strict cresc˘ator ¸si ¸sirul (bn )n≥2 este strict descresc˘ator. f ) S˘a se arate c˘a ¸sirurile (an )n≥2 ¸si (bn )n≥2 sunt convergente. g) S˘a se arate c˘a ¸sirurile (an )n≥2 ¸si (bn )n≥2 au aceea¸si limit˘a ¸si limita lor este un num˘ ar din intervalul (1, 9; 2).

2

SESIUNEA IUNIE-IULIE

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea matematic˘ a - informatic˘a. Filiera vocat¸ional˘ a, profil Militar, specializarea matematic˘a - informatic˘a.

SUBIECTUL I a) S˘a se calculeze distant¸a dintre punctele A(2, 1, −2) ¸si B(3, −3, 1). b) S˘a se determine raza cercului (x − 2)2 + (y + 2)2 = 16. c) S˘a se determine ecuat¸ia tangentei la parabola y 2 = 5x ˆın punctul P (5, 5). d) S˘a se calculeze modulul num˘ arului complex

5 − 2i · 2 − 5i

e) S˘a se calculeze aria unui triunghi cu vˆ arfurile ˆın punctele M (2, 3), N (2, −2) ¸si P (3, 2). 10 3π 3π = a + ib. + i sin f ) S˘a se afle a, b ∈ R astfel ˆıncât s˘ a se verifice egalitatea de numere complexe cos 10 10 SUBIECTUL II 1.

a) S˘a se calculeze suma primilor 8 termeni dintr-o progresie aritmetic˘a ˆın care primul termen este 1 ¸si rat¸ia este 3. b) S˘a se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} s˘ a verifice relat¸ia 2n ≤ 3 + log2 n. c) S˘a se calculeze suma elementelor din grupul (Z11 , +).

d) S˘a se calculeze expresia E = C51 − C52 + C53 − C54 .

e) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia x3 − x2 + x − 1 = 0.

2.

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2006 + 1. a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. Z 1 f (x) dx. b) S˘a se calculeze 0

c) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este convex˘ a pe R. f (x) − f (0) d) S˘a se calculeze lim · x→0 x Z n 1 sin x dx. e) S˘a se calculeze lim n→∞ n 0 SUBIECTUL III Se consider˘a matricele I2 =

1 0

0 0 1 0 ,J= ¸si O2 = 1 0 0 0

0 . Convenim c˘a rang(O2 ) = 0. 0

a) S˘a se calculeze determinant¸ii matricelor J ¸si I2 . b) S˘a se calculeze matricea J 2 . c) S˘a se arate c˘a, dac˘ a A ∈ M2 (C), A =

a c

b , atunci A2 − (a + d)A + (ad − bc)I2 = O2 . d

d) S˘a se g˘ aseasc˘a o matrice M ∈ M2 (C) pentru care rang(M ) 6= rang(M 2 ). e) S˘a se arate c˘a, dac˘ a matricea B ∈ M2 (C) este inversabil˘a, atunci matricea B n este inversabil˘a, (∀) n ∈ N∗ . p q ∈ M2 (C) nu este f ) Utilizând eventual metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a, dac˘ a matricea C = r s inversabil˘a, atunci C n = (p + s)n−1 C, (∀) n ∈ N∗ . 3

g) S˘a se arate c˘a, dac˘ a matricea D ∈ M2 (C) verific˘a rang(D) = rang(D2 ), atunci rang(D) = rang(Dn ), (∀) n ∈ N∗ . SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x−ln(ex +1) ¸si ¸sirul (an )n≥1 , definit prin an =

(∀) n ∈ N∗ .

a) S˘a se verifice c˘a f ′ (x) =

1 1 1 + +. . .+ n , e + 1 e2 + 1 e +1

1 , x ∈ R. ex + 1

b) S˘a se arate c˘a funct¸ia f ′ este strict descresc˘atoare pe R. c) Utilizând teorema lui Lagrange, s˘ a se arate c˘a (∀) k ∈ [0, ∞), exist˘a c ∈ (k, k + 1), astfel ˆıncât f (k + 1) − f (k) = 1 · ec + 1 d) S˘a se arate c˘a

1 ek+1

+1

< f (k + 1) − f (k) <

ek

1 , (∀) k ∈ [0, ∞). +1

e) S˘a se arate c˘a ¸sirul (an )n≥1 este strict cresc˘ator. f ) S˘a se arate c˘a f (n + 1) − f (1) < an < f (n) − f (0), (∀) n ∈ N∗ . g) S˘a se arate c˘a ¸sirul (an )n≥1

1 este convergent ¸si are limita un num˘ ar real din intervalul ln 1 + e

4

, ln 2 .

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea S¸tiint¸e ale naturii; Filiera tehnologic˘a, profil Tehnic, toate specializ˘arile

SUBIECTUL I a) S˘a se calculeze modulul num˘ arului complex 2 − i. b) S˘a se calculeze lungimea segmentului cu capetele ˆın punctele A(−1, 4) ¸si C(4, −1). c) S˘a se calculeze suma de numere complexe S = i + i4 + i7 + i10 . d) S˘a se determine a, b ∈ R, astfel ˆıncât punctele A(−1, 4) ¸si C(4, −1) s˘ a fie pe dreapta de ecuat¸ie x + by + a = 0. e) S˘a se calculeze aria triunghiului cu vˆ arfurile ˆın punctele A(−1, 4), B(2, 2) ¸si C(4, −1). f ) S˘a se determine a, b ∈ R, astfel ˆıncât s˘ a avem egalitatea de numere complexe

5 + 6i = a + bi. 6 − 5i

SUBIECTUL II 1.

4 5 . a) S˘a se calculeze determinantul 7 8 2 2 b) S˘a se calculeze rangul matricei . 2 2

c) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale strict pozitive ecuat¸ia log3 x = −1.

d) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 9x − 27 = 0.

e) S˘a se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} s˘ a verifice relat¸ia n3 < 2n .

2.

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = 4x3 + 2x − 2. a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. Z 1 f (x) dx. b) S˘a se calculeze 0

f (x) − f (0) · x→0 x d) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este strict cresc˘atoare pe R. c) S˘a se calculeze lim

7n2 + 3 · n→∞ 3n2 − 2

e) S˘a se calculeze lim

SUBIECTUL III √ √ √ Se consider˘a num˘ arul real ω = 1 + 2 ¸si mult¸imea H = {a + b 2 | a, b ∈ Z}. Not˘am ω = 1 − 2 ¸si cu G = {z ∈ H | (∃)y ∈ H astfel ˆıncât y · z = 1}. a) S˘a se verifice c˘a 0 ∈ H, 1 ∈ H, ω ∈ H ¸si ω ∈ H. b) S˘a se verifice c˘a ω 2 = 2ω + 1. c) S˘a se arate c˘a, dac˘ a z, y ∈ H, atunci z + y ∈ H ¸si z · y ∈ H. d) S˘a se arate c˘a ω · (−ω) = 1. e) S˘a se arate c˘a ω ∈ G. f ) S˘a se arate c˘a mult¸imea G are cel put¸in 2006 elemente. g) S˘a se arate c˘a ω 2006 ∈ / Q. SUBIECTUL IV 1 Se consider˘a funct¸iile f, g : (0, ∞) → R, f (x) = ex ¸si g(x) = · x 5

a) S˘a se calculeze f ′ (x) ¸si g ′ (x), x ∈ (0, ∞). Z 2 f 2 (x) dx. b) S˘a se calculeze 1

c) S˘a se calculeze

Z

2

g 2 (x) dx. 1

d) S˘a se determine ecuat¸ia asimptotei verticale la graficul funct¸iei g. e) S˘a se arate c˘a t2 e2x − 2t

ex 1 + 2 , (∀) t ∈ R, (∀) x > 0. x x

f ) Integrˆ and inegalitatea de la punctul e) , s˘ a se arate c˘a t

g) S˘a se arate c˘a

Z

2 1

ex dx x

2

≤

Z

2 1

e2x dx ·

Z

2 1

1 dx. x2

6

2

Z

2

e 1

2x

dx − 2t

Z

2 1

ex dx + x

Z

2 1

1 dx ≥ 0, (∀) t ∈ R. x2

M2 Filiera tehnologic˘a: profil: Servicii, toate specializ˘arile, profil Resurse naturale ¸si protect¸ia mediului, toate specializ˘arile

SUBIECTUL I a) S˘a se calculeze distant¸a de la punctul A(0, 2) la punctul B(2, 0). b) S˘a se calculeze cos2 101 + sin2 101. c) S˘a se calculeze aria unui triunghi echilateral cu latura de lungime 6. d) S˘a se calculeze conjugatul num˘ arului complex 2 + 5i. e) S˘a se determine a, b ∈ R astfel ˆıncât punctele A(0, 2) ¸si B(2, 0) s˘ a fie pe dreapta de ecuat¸ie x + ay + b = 0. f ) Dac˘a ˆın triunghiul ABC, AB = 8, AC = 8 ¸si m(∢BAC) =

π , s˘ a se calculeze BC. 2

SUBIECTUL II 1.

10 a) S˘a se calculeze determinantul 4

5 . 2

b) S˘a se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} s˘ a verifice relat¸ia 4n < 20. c) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 4x − 4 = 0.

d) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale strict pozitive ecuat¸ia log9 x = 1. e) S˘a se calculeze expresia E = C72 − C72 . 2.

Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) =

1 · x2 + 3

a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ (0, ∞).

f (x) − f (1) · x−1 c) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este strict descresc˘atoare pe intervalul (0, ∞). Z 2 f ′ (x) dx. d) S˘a se calculeze b) S˘a se calculeze lim

x→1

1

e) S˘a se calculeze lim

n→∞

2n + 3 · 3n + 2

SUBIECTUL III Se consider˘a polinoamele f = X 2 + 5X + 7 ¸si g = X 2 + 5X + 6. a) S˘a se determine r˘ ad˘acinile complexe ale polinomului f . b) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale inecuat¸ia x2 + 5x + 6 < 0. c) S˘a se verifice identitatea

1 1 1 = − , (∀) n ∈ N∗ . g(n) n+2 n+3

1 1 1 + + ... + · g(1) g(2) g(2006) √ !2 2 5 3 + . e) S˘a se verifice c˘a f = X + 2 2

d) S˘a se calculeze suma

f ) S˘a se arate c˘a pentru orice dou˘ a polinoame s, t ∈ R[X], avem relat¸ia g 6= s2 + t2 . g) S˘a se g˘ aseasc˘a dou˘ a polinoame u, v ∈ C[X], astfel ˆıncât s˘ a avem g = u2 + v 2 .

7

SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex . a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. b) S˘a se verifice c˘a f (x) > 0, (∀) x ∈ R ¸si f ′ (x) > 0, (∀) x ∈ R. c) S˘a se determine ecuat¸ia asimptotei c˘atre −∞ la graficul funct¸iei f . Z 1 f (x) dx. d) S˘a se calculeze 0

e) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este strict cresc˘atoare pe R. f ) S˘a se rezolve ˆın R ecuat¸ia f (x) + f (x + 1) = 1 + e. g) S˘a se arate c˘a exist˘ a dou˘ a funct¸ii g : R → R ¸si h : R → R, strict cresc˘atoare, astfel ˆıncât f (x) = g(x) − h(x), (∀) x ∈ R.

8

M3 Filiera vocat¸ional˘ a, profilul pedagogic, specializarea ˆınv˘ a¸t˘ator-educatoare.

SUBIECTUL I a) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia x2 + 7x − 8 = 0. b) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale inecuat¸ia x2 + 7x − 8 < 0. c) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ¸si strict pozitive ecuat¸ia log3 x = 3. d) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 5x = 125. e) Dac˘a

1 = 0, a1 a2 . . . an . . ., s˘ a se calculeze a2006 . 11

f ) S˘a se determine cel mai mare num˘ ar real a pentru care funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 − 6x + 1 este strict descresc˘atoare pe intervalul (−∞, a].

SUBIECTUL II 1.

a) S˘a se determine toate numerele n ∈ N∗ , care verific˘a relat¸ia n! ≤ 100.

b) S˘a se scrie toate elementele din mult¸imea {10, 11, 12, . . . , 35} care se divid cu 5.

c) Dac˘a A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {6, 7, 8}, s˘ a se determine mult¸imea A ∪ (B ∩ C). √ d) S˘a se calculeze produsul primelor 10 zecimale ale num˘ arului 170. e) S˘a se scrie toate elementele din ¸sirul C40 , C41 , C42 , C43 , C44 care se divid cu 3. 2.

Se consider˘a triunghiurile asemenea ABC ¸si DEF astfel ˆıncât

√ AC BC AB = = = 3. DE DF EF

a) S˘a se calculeze raportul dintre perimetrul triunghiului ABC ¸si perimetrul triunghiului DEF . b) S˘a se calculeze aria triunghiului DEF , ¸stiind c˘a aria triunghiului ABC este egal˘ a cu 10. c) Dac˘a ˆın˘alt¸imea din A a triunghiului ABC are lungimea 7, s˘ a se calculeze lungimea ˆın˘alt¸imii din D a triunghiului DEF . d) Dac˘a m˘asura unghiului A al triunghiului ABC este 50◦ , s˘ a se calculeze m˘asura unghiului D al triunghiului DEF . e) Dac˘a lungimea laturii AC este 10, s˘ a se calculeze lungimea laturii DF .

SUBIECTUL III Într-un plan se consider˘a un triunghi ABC ¸si L un punct pe segmentul (BC). În˘alt¸imea din vˆ arful A al triunghiului ABC cade ˆın K ∈ (BL). Se mai consider˘a patrulaterul convex M N P Q, iar R ¸si S sunt mijloacele diagonalelor M P ¸si N Q. a) S˘a se arate c˘a AL2 = AK 2 + KL2 . b) S˘a se arate c˘a AL2 = AB 2 + BL2 − 2BK · BL. c) S˘a se arate c˘a AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2BK · BC. d) Utilizând relat¸iile de la punctele b) ¸si c) , s˘ a se arate c˘a AL2 · BC = AB 2 · LC + AC 2 · LB − BL · CL · BC. e) S˘a se arate c˘a, dac˘ a D este mijlocul laturii BC, atunci 4AD2 = 2(AB 2 + AC 2 ) − BC 2 . f ) S˘a se arate c˘a 4SR2 = 2M S 2 + 2SP 2 − M P 2 . g) Utilizând relat¸ia de la punctul e) ˆın triunghiurile M N Q ¸si P N Q ¸si relat¸ia de la punctul f ) , s˘ a se arate c˘a: 4SR2 = M N 2 + N P 2 + P Q2 + QM 2 − (M P 2 + QN 2 ).

9

SUBIECTUL IV Se consider˘a mult¸imea A = {3i , 2 · 3i | i ∈ N}. Pentru fiecare submult¸ime finit˘a ¸si nevid˘a a mult¸imii A, consider˘am suma tuturor elementelor sale, iar rezultatele acestor sume vor forma o mult¸ime pe care o not˘am cu B. (De exemplu 1 ∈ B, deoarece {1} ⊂ A, iar 7 ∈ B, deoarece {1, 6} ⊂ A). a) S˘a se verifice c˘a 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∈ A ¸si 6 ∈ A. b) S˘a se verifice c˘a 4 ∈ / A ¸si 7 ∈ / A. c) S˘a se arate c˘a 4 ∈ B ¸si 5 ∈ B. d) S˘a se arate c˘a, dac˘ a n ∈ B, atunci 3n ∈ B. e) S˘a se calculeze num˘ arul de elemente din mult¸imea A ∩ {1, 2, 3, . . . , 20}. f ) S˘a se arate c˘a, dac˘ a n ∈ N∗ , atunci exist˘ a p ∈ N, astfel ˆıncât 3p ≤ n < 3p+1 . g) S˘a se arate c˘a n ∈ B, (∀) n ∈ N∗ .

10

SESIUNEA AUGUST

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea matematic˘ a - informatic˘a. Filiera vocat¸ional˘ a, profil Militar, specializarea matematic˘a - informatic˘a.

SUBIECTUL I a) S˘a se calculeze modulul num˘ arului complex (2 + 3i)2 . b) S˘a se calculeze distant¸a de la punctul C(−1, −1) la dreapta x + y = 0. c) S˘a se determine ecuat¸ia tangentei la hiperbola

x2 y2 − = 1, dus˘a prin punctul P (−5, 4). 5 4

d) S˘a se determine a > 0, astfel ˆıncât punctul P (−4, −3) s˘ a se afle pe cercul x2 + y 2 = a. e) S˘a se calculeze aria triunghiului cu vˆ arfurile ˆın punctele A(−3, 3), B(−5, 5) ¸si C(−1, −1). f ) S˘a se calculeze produsul (tg 1◦ − tg 7◦ ) · (tg 2◦ − tg 6◦ ) · . . . · (tg 7◦ − tg 1◦ ). SUBIECTUL II 1.

a) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 25x + 4 · 5x − 5 = 0.

b) S˘a se calculeze expresia C61 − C62 + C64 .

c) Dac˘a funct¸ia f : R → R este f (x) = x4 − x, s˘ a se calculeze (f ◦ f )(0).

d) S˘a se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, . . . , 5}, s˘ a se verifice relat¸ia 3n ≥ 8n. e) S˘a se calculeze suma elementelor din grupul (Z18 , +).

2.

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = 1 + ln(x2 + 1). a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. Z 1 f ′ (x) dx. b) S˘a se calculeze 0

c) S˘a se determine intervalele de monotonie ale funct¸iei f . f (x) − f (1) · d) S˘a se calculeze lim x→1 x−1 sin n − cos n e) S˘a se calculeze lim · n→∞ n SUBIECTUL III

  1 1 1 1 0   , F =  12 31  ¸si I2 = Se consider˘a matricele E = 0 0 0 4 5 M = {aA + bB + cC + dD | (∀) a, b, c, d ∈ R; (∀) A, B, C, D ∈ H}.

0 ¸si mult¸imile H = {X ∈ M2 (R) | X 2 = X} ¸si 1

a) S˘a se verifice c˘a E ∈ H ¸si I2 ∈ H. b) S˘a se g˘ aseasc˘a o matrice P ∈ H, astfel ˆıncât rang(P ) = 1 ¸si o matrice Q ∈ H, astfel ˆıncât rang(Q) = 2. 1 a 1 0 c) S˘a se verifice c˘a, (∀) a, b ∈ R matricele ¸si sunt din mult¸imea H. 0 0 b 0 a b ∈ H, atunci a + d ∈ {0, 1, 2}. d) S˘a se arate c˘a, dac˘ aA= c d e) S˘a se arate c˘a, dac˘ a B ∈ H este o matrice inversabil˘a, atunci B = I2 . f ) S˘a se arate c˘a M = M2 (R). 11

g) S˘a se arate c˘a matricea F nu se poate scrie ca o sum˘a finit˘a de matrice din mult¸imea H. SUBIECTUL IV √ Se consider˘a funct¸iile continue f : [a, b] → R ¸si g : [a, b] → R ¸si funct¸ia h : [0, 1] → R, h(x) = 1 − x9 , unde a, b ∈ R, a < b. a) S˘a se arate c˘a h(x) ≥ 1 − x9 , (∀) x ∈ [0, 1]. Z 1 h2 (x) dx. b) S˘a se calculeze 0

c) S˘a se verifice c˘a t2 f 2 (x) − 2tf (x)g(x) + g 2 (x) ≥ 0, (∀) t ∈ R ¸si (∀) x ∈ [a, b]. Z Z b 2 2 f (x) dx − 2t d) Integrˆ and inegalitatea de la punctul c) , s˘ a se arate c˘a t a

(∀) t ∈ R.

e) S˘a se deduc˘ a inegalitatea

Z

b

f (x)g(x) dx a

!2

≤

Z

b 2

f (x) dx a

!

·

Z

b 2

b

f (x)g(x) dx + a

Z

b a

g 2 (x) dx ≥ 0,

!

g (x) dx . a

f ) Utilizând inegalitatea de la punctul e) s˘ a se arate c˘a, dac˘ a u : [0, 1] → R este o funct¸ie continu˘a, atunci Z 1 2 Z 1 u(x) dx ≤ u2 (x) dx. 0

0

g) S˘a se arate c˘a aria suprafet¸ei plane cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei h, axa Ox ¸si dreptele x = 0 ¸si x = 1, este un num˘ ar real din intervalul (0, 90; 0, 95).

12

M1 Filiera teoretic˘ a, specializarea S¸tiint¸e ale naturii; Filiera tehnologic˘a, profil Tehnic, toate specializ˘arile

SUBIECTUL I a) S˘a se calculeze modulul num˘ arului complex −7 + 3i. b) S˘a se calculeze lungimea segmentului cu capetele ˆın punctele A(2, 1) ¸si C(1, 2). c) S˘a se calculeze suma S = 1 + z 3 + z 6 + z 9 , unde z = −i ∈ C. d) S˘a se determine a, b ∈ R, astfel ˆıncât punctele A(2, 1) ¸si C(1, 2) s˘ a fie pe dreapta de ecuat¸ie x + ay + b = 0. e) S˘a se calculeze aria triunghiului cu vˆ arfurile ˆın punctele A(2, 1), B(1, 1) ¸si C(1, 2). f ) S˘a se determine a, b ∈ R, astfel ˆıncât s˘ a avem egalitatea de numere complexe

2 + 5i = a + bi. 5 − 2i

SUBIECTUL II 1.

ˆ2006 ˆın (Z6 , ·). a) S˘a se calculeze elementul 3

b) S˘a se calculeze expresia E = C93 − C96 + C99 .

c) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale strict pozitive ecuat¸ia log4 x = −1.

d) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 8x − 2 = 0.

e) S˘a se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} s˘ a verifice relat¸ia 2n ≤ 22.

2.

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = 4x3 + 2x + 1. a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. Z 1 f (x) dx. b) S˘a se calculeze 0

f (x) − f (0) · x→0 x d) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este strict cresc˘atoare pe R. 3n + 3 e) S˘a se calculeze lim · n→∞ 2n − 3 c) S˘a se calculeze lim

SUBIECTUL III Seconsider˘ a linii ¸si dou˘ a coloane ¸si toate elementele numere naturale ¸si matricele matricelor cu dou˘ a M mult ¸imea 1 0 1 0 . ¸si I2 = E= 0 1 2 1 a) S˘a se verifice c˘a E ∈ M ¸si c˘a I2 ∈ M . b) S˘a se arate c˘a, dac˘ a A, B ∈ M , atunci A + B ∈ M . c) S˘a se arate c˘a, dac˘ a A, B ∈ M , atunci A · B ∈ M . d) S˘a se g˘ aseasc˘a o matrice C ∈ M , astfel ˆıncât rang(C) = 1. e) S˘a se g˘ aseasc˘a o matrice D ∈ M , astfel ˆıncât det(D) = 2006. f ) S˘a se arate c˘a matricea E este inversabil˘a ¸si E −1 ∈ / M. g) S˘a se determine toate matricele X ∈ M , inversabile, cu proprietatea c˘a X −1 ∈ M . SUBIECTUL IV 2 Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex . a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. 13

b) S˘a se arate c˘a, dac˘ a x ∈ [1, e], atunci (x − 1)

1 1 − x e

≥ 0.

c) Utilizând inegalitatea de la punctul b) , s˘ a se arate c˘a, dac˘ a x ∈ [1, e], atunci d) S˘a se verifice c˘a

1 x 1+e + ≤ · x e e

1 f (x) 1+e + ≤ , (∀) x ∈ [0, 1]. f (x) e e

e) S˘a se arate c˘a, dac˘ a u, v ∈ R, atunci (u + v)2 ≥ 4uv. Z 1 1 1+e 1 dx + f (x) dx ≤ · e 0 e 0 f (x) Z 1 Z 1 (e + 1)2 −x2 x2 e dx ≤ e dx · g) Utilizând inegalitatea de la punctul e) , s˘ a se arate c˘a · 4e 0 0 f ) Integrˆ and inegalitatea de la punctul d) , s˘ a se arate c˘a

14

Z

1

M2 Filiera tehnologic˘a: profil: Servicii, toate specializ˘arile, profil Resurse naturale ¸si protect¸ia mediului, toate specializ˘arile

SUBIECTUL I a) S˘a se calculeze distant¸a de la punctul A(5, −2) la punctul B(−2, 5). b) S˘a se calculeze cos2 211 + sin2 211. c) S˘a se calculeze aria unui triunghi echilateral cu latura de lungime

√

6.

d) S˘a se calculeze conjugatul num˘ arului complex −4 + 3i. e) S˘a se determine a, b ∈ R astfel ˆıncât punctele A(5, −2) ¸si B(−2, 5) s˘ a fie pe dreapta de ecuat¸ie x + ay + b = 0. f ) Dac˘a ˆın triunghiul ABC, AB = 4, AC = 6 ¸si m(∢BAC) =

π , s˘ a se calculeze BC. 2

SUBIECTUL II 1.

7 a) S˘a se calculeze determinantul 6

1 . 0

b) S˘a se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} s˘ a verifice relat¸ia 3n < 32. c) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 4x + 1 = 0.

d) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale strict pozitive ecuat¸ia log8 x = −2. e) S˘a se calculeze expresia E = C51 − C54 + C55 .

2.

Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = 4 +

1 · x3

a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ (0, ∞).

f (x) − f (1) · x−1 c) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este strict descresc˘atoare pe intervalul (0, ∞). Z 2 f (x) dx. d) S˘a se calculeze b) S˘a se calculeze lim

x→1

1

e) S˘a se calculeze lim

n→∞

n+3 · 3n + 2

SUBIECTUL III √ √ Se consider˘a num˘ arul real ω = 2 − 5 ¸si mult¸imea M = {a + bω | a, b ∈ Z}. Not˘am ω = 2 + 5 ¸si cu G = {z ∈ M | (∃)y ∈ M astfel ˆıncât y · z = 1}. a) S˘a se verifice c˘a 0 ∈ M ¸si 1 ∈ M . b) S˘a se verifice c˘a ω 2 = 4ω + 1. c) S˘a se arate c˘a, dac˘ a z, y ∈ M , atunci z + y ∈ M ¸si z · y ∈ M . d) S˘a se arate c˘a (a + bω)(a + bω) ∈ Z. e) S˘a se arate c˘a ω ∈ G. f ) S˘a se arate c˘a mult¸imea G are cel put¸in 2006 elemente. g) S˘a se arate c˘a ω 2006 ∈ / Q. SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = 5 + 4x . 15

a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. b) S˘a se verifice c˘a f (x) > 0, (∀) x ∈ R ¸si f ′ (x) > 0, (∀) x ∈ R. c) S˘a se determine ecuat¸ia asimptotei c˘atre −∞ la graficul funct¸iei f . Z 1 f (x) dx. d) S˘a se calculeze 0

e) S˘a se arate c˘a t2 + t + 1 > 0, (∀) t ∈ R ¸si t2 − t + 1 > 0, (∀) t ∈ R. f ) S˘a se verifice identitatea f ′ (x) =

1 1 (f ′ (x))2 + f ′ (x) + 1 − (f ′ (x))2 − f ′ (x) + 1 , (∀) x ∈ R. 2 2

g) S˘a se arate c˘a exist˘ a dou˘ a funct¸ii g : R → R ¸si h : R → R strict cresc˘atoare, astfel ˆıncât f (x) = g(x) − h(x), (∀) x ∈ R.

16

M3 Filiera vocat¸ional˘ a, profilul pedagogic, specializarea ˆınv˘ a¸t˘ator-educatoare.

SUBIECTUL I a) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia x2 + 16x − 17 = 0. b) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale inecuat¸ia x2 + 16x − 17 < 0. c) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ¸si strict pozitive ecuat¸ia log7 x = 2. d) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 32x = 16. e) Dac˘a

1 = 0, a1 a2 . . . an . . ., s˘ a se calculeze a2006 . 37

f ) S˘a se determine cel mai mare num˘ ar real a pentru care funct¸ia f : R → R, f (x) = −x2 − 4x + 1 este strict cresc˘atoare pe intervalul (−∞, a].

SUBIECTUL II a) S˘a se determine toate numerele n ∈ N∗ , care verific˘a relat¸ia n3 ≤ 1000.

1.

b) S˘a se scrie toate elementele din mult¸imea {10, 11, 12, . . . , 95} care se divid cu 13. c) Dac˘a A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f }. S˘a se determine mult¸imea A ∪ B. √ d) S˘a se calculeze produsul primelor 4 zecimale ale num˘ arului 290.

e) S˘a se scrie toate elementele din ¸sirul C40 , C41 , C42 , C43 , C44 care sunt numere impare. √ a) S˘a se calculeze perimetrul unui triunghi echilateral cu aria de 2 3. √ b) S˘a se calculeze aria unui triunghi echilateral cu latura de 10.

2.

c) S˘a se calculeze ˆın˘alt¸imea unui triunghi echilateral cu latura de 7. d) S˘a se calculeze perimetrul unui triunghi dreptunghic isoscel cu aria de 1. e) S˘a se calculeze aria unui p˘atrat cu perimetrul de 16.

SUBIECTUL III Se consider˘a triunghiul ABC ¸si punctele D ∈ (BC), E ∈ (AC) ¸si F ∈ (AB). Not˘am {M } = BE ∩ AD, {N } = BE ∩ CF ¸si {P } = CF ∩ AD. Punctul P este pe segmentul (AM ), iar punctul M este pe segmentul (BN ). Dac˘a XY Z este un triunghi, not˘am cu SXY Z aria sa. S˘a se arate c˘a: a) SABC = SABM + SBCN + SCAP + SM N P . b) dac˘ a SABC = SABD + SBCE + SCAF , atunci SM N P = SF AP + SBDM + SCEN . c) dac˘ a SM N P = SF AP + SBDM + SCEN , atunci SABC = SABD + SBCE + SCAF . d)

SBAD BD = · SABC BC

e) dac˘ a SM N P = SF AP + SBDM + SCEN , atunci f ) dac˘ a

BD CE AF + + = 1. BC AC AB

BD CE AF + + = 1, atunci SM N P = SF AP + SBDM + SCEN . BC AC AB

g) dac˘ a triunghiul ABC este echilateral ¸si SM N P = SF AP + SBDM + SCEN , atunci BD + CE = BF . SUBIECTUL IV √ √ √ √ Se consider˘a mult¸imea A = { 1, 2, 3, . . . , 10}. a) S˘a se calculeze num˘ arul de elemente din mult¸imea A ∩ {1, 2, 3, . . . , 10}. b) S˘a se calculeze num˘ arul de elemente din mult¸imea {(a, b) | a ∈ A, b ∈ A}. 17

c) S˘a se determine cea mai mare valoare a raportului

a , unde a, b ∈ A. b

d) S˘a se determine cea mai mare valoare a produsului a · b, unde a, b ∈ A. e) S˘a se determine câte elemente de forma

a , unde a, b ∈ A sunt numere rat¸ionale. b

f ) S˘a se arate c˘a produsul tuturor elementelor mult¸imii A este un num˘ ar irat¸ional. g) S˘a se determine num˘ arul de submult¸imi ale mult¸imii A care au numai elemente naturale.

18

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE

M1-1 Filiera teoretic˘ a, specializarea matematic˘ a - informatic˘a. Filiera vocat¸ional˘ a, profil Militar, specializarea matematic˘a - informatic˘a.

SUBIECTUL I a) S˘a se calculeze modulul vectorului ~v = 3~i − 4~j. b) S˘a se calculeze distant¸a de la punctul E(−1; 1) la dreapta x − y + 1 = 0. c) S˘a se scrie ecuat¸ia cercului cu centrul ˆın E(−1; 1) care este tangent la dreapta x − y + 1 = 0. d) S˘a se calculeze aria triunghiului cu vˆ arfurile ˆın punctele L(1, 2), M (2, 4) ¸si N (3, 8). e) S˘a se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ABC cu AB = 2, AC = 3 ¸si m(∢BAC) = 60◦ . f ) S˘a se determine a, b, c ∈ R, astfel ˆıncât punctele A(1, 2, 3), B(3, 1, 2) ¸si C(2, 3, 1) s˘ a apart¸in˘a planului x + ay + bz + c = 0.

SUBIECTUL II 1.

1 = 0, a1 a2 . . . an . . .. 7 b) S˘a se calculeze probabilitatea ca un element x ˆ ∈ Z3 s˘ a verifice relat¸ia x ˆ2007 = ˆ1. a) S˘a se calculeze a7 , dac˘ a

c) S˘a se calculeze suma C50 + C51 + · · · + C55 .

d) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 3x + 9x = 12. e) S˘a se calculeze suma termenilor rat¸ionali ai dezvolt˘arii binomului (2 + 2.

√ 3 3) .

Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → (0, ∞), f (x) = ln(x + 1) ln x. a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ (0, ∞).

b) S˘a se calculeze lim (f (1) + f (2) + . . . + f (n)). n→∞

c) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este convex˘ a pe intervalul (0, ∞).

d) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este bijectiv˘a. Z 1 ln(x + 1) dx. e) S˘a se calculeze 0

SUBIECTUL III 3 Se consider˘a polinomul ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ C. Not˘am Sk = xk1 + xk2 + xk3 ,  f = X + aX  + b, unde a, b ∈ R, cu r˘ 1 1 1 (∀) k ∈ N∗ , S0 = 3, A = x1 x2 x3  ¸si ∆ = det(A · AT ), unde prin AT am notat transpusa matricei A. Se ¸stie c˘a x21 x22 x23 det(X · Y ) = det X · det Y , (∀) X, Y ∈ M3 (C). a) S˘a se verifice c˘a S1 = 0 ¸si S2 = −2a. b) S˘a se arate c˘a Sn+3 + aSn+1 + bSn = 0, (∀) n ∈ N. c) S˘a se calculeze S3 ¸si S4 numai ˆın funct¸ie de a ¸si b.   S0 S1 S2 d) S˘a se verifice c˘a A · AT = S1 S2 S3 . S2 S3 S4 e) S˘a se calculeze ∆ ˆın funct¸ie de a ¸si b.

1

f ) S˘a se arate c˘a dac˘ a x1 , x2 , x3 ∈ R, atunci ∆ ≥ 0. g) S˘a se arate c˘a dac˘ a ∆ ≥ 0, atunci x1 , x2 , x3 ∈ R. SUBIECTUL IV Se consider˘a integralele In =

Z

2π 0

cos x cos 2x . . . cos nx dx, (∀) n ∈ N∗ . Se admite cunoscut˘a formula 2 cos a cos b =

cos(a + b) + cos(a − b), (∀) a, b ∈ R. Z 2π cos kx dx, (∀) k ∈ N∗ . a) S˘a se calculeze 0

b) S˘a se calculeze integrala I2 . c) S˘a se arate c˘a dac˘ a n ∈ {5, 6}, atunci ±1 ± 2 ± . . . ± n 6= 0, pentru orice alegere a semnelor. d) S˘a se arate c˘a exist˘ a o alegere a semnelor astfel ˆıncât ±1 ± 2 ± . . . ± n = 0, dac˘ a ¸si numai dac˘ a n ∈ N∗ este un num˘ ar de forma 4k sau 4k + 3. e) S˘a se arate c˘a In 6= 0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a n este un num˘ ar de forma 4k sau 4k + 3. f ) S˘a se calculeze lim

n→∞

In · n

g) Pentru n ∈ N∗ not˘am cu An = {k ∈ {1, 2, . . . , n} | Ik 6= 0} ¸si cu an num˘ arul de elemente ale lui An . S˘a se an calculeze lim · n→∞ n

2

M1-2 Filiera teoretic˘ a, specializarea S¸tiint¸e ale naturii; Filiera tehnologic˘a, profil Tehnic, toate specializ˘arile SUBIECTUL I În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(2, 1), B(6, 4) ¸si C(5, −3). a) S˘a se calculeze lungimile segmentelor [AB] ¸si [AC]. −−→ −→ b) S˘a se calculeze AB · AC. c) S˘a se calculeze m(∢A). d) S˘a se determine coordonatele simetricului punctului C fat¸˘a de punctul B. e) Folosind eventual egalitatea sin(α − β) = sin α · cos β − sin β · cos α, s˘ a se calculeze sin 15◦ . f ) S˘a se calculeze modulul num˘ arului complex z =

3 − 4i · −4 + 3i

SUBIECTUL II 1.

a) S˘a se arate c˘a num˘ arul lg 1000 este natural. b) S¸irul a1 , a2 , 12, 17, a5 , a6 , . . . este o progresie aritmetic˘a. S˘a se determine termenul a1 . c) S˘a se demonstreze c˘a x4 + x2 + 1 = (x2 − x + 1)(x2 + x + 1), pentru orice x ∈ R.

d) S˘a se determine coeficientul lui x3 din dezvoltarea (2 + x)4 .

e) S˘a se determine restul ˆımp˘art¸irii polinomului f = X 4 + X 2 + 1 la polinomul g = X 2 − X + 1. 2.

Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = x +

1 · x

1 , pentru x > 0. x2 f (x) − f (1) b) S˘a se calculeze lim · x→1 x−1 Z 2 f ′′ (x) dx. c) S˘a se calculeze a) S˘a se calculeze f ′ (x) +

1

d) S˘a se determine α ∈ R astfel ˆıncât punctul A(2, α) s˘ a apart¸in˘a graficului funct¸iei f . 1 e) S˘a se arate c˘a f (x) = f , (∀) x > 0. x SUBIECTUL III ˆ ˆ ˆ În mult¸imea M2 (Z3 ) se consider˘a matricele A = 1 1 , B = 1 ˆ1 ˆ0 2ˆ M2 (Z3 ) | X 2 = I2 }.

1ˆ ˆ0 0ˆ ˆ2 , I2 = ˆ0 1ˆ ¸si mult¸imea G = {X ∈

a) S˘a se verifice c˘a I2 ∈ G. b) S˘a se arate c˘a A ∈ G ¸si B ∈ G. c) S˘a se arate c˘a AB 6= BA. d) S˘a se g˘ aseasc˘a o matrice X ∈ M2 (Z3 ) astfel ˆıncât A · X = I2 . e) S˘a se arate c˘a AB ∈ / G. f ) S˘a se determine cel mai mic num˘ ar natural nenul n, cu proprietatea c˘a (AB)n = I2 . g) S˘a se arate c˘a mult¸imea G are cel put¸in 6 elemente. SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸ia f : R\{−1} → R, f (x) =

1 · 1+x 3

a) S˘a se determine asimptota vertical˘a la graficul funct¸iei f . b) S˘a se determine asimptota spre +∞ la graficul funct¸iei f . c) S˘a se arate c˘a f (x) − 1 + x − x2 ≤ 0, (∀) x ≥ 0. d) S˘a se arate c˘a f (x) − 1 + x − x2 + x3 ≥ 0, (∀) x ≥ 0. e) S˘a se deduc˘ a inegalit˘a¸tile 1 − x + x2 − x3 ≤ f ) S˘a se arate c˘a 1 − x9 + x18 − x27 ≤

1 ≤ 1 − x + x2 , (∀) x ≥ 0. 1+x

1 ≤ 1 − x9 + x18 , (∀) x ≥ 0. 1 + x9

g) S˘a se arate c˘a aria suprafet¸ei plane cuprinse ˆıntre graficul funct¸iei g : [0, ∞) → R, g(x) = dreptele x = 0 ¸si x = 1, este un num˘ ar real cuprins ˆın intervalul (0, 91; 0, 96).

4

1 , axa Ox ¸si 1 + x9

M2 Filiera tehnologic˘a: profil: Servicii, toate specializ˘arile, profil Resurse naturale ¸si protect¸ia mediului, toate specializ˘arile Filiera teoretic˘ a: profil Uman, specializarea ¸stiint¸e sociale; Filiera vocat¸ional˘ a: profil Militar, specializarea ¸stiint¸e sociale

SUBIECTUL I a) S˘a se calculeze distant¸a de la punctul A(3, 4) la punctul B(5, 6). b) S˘a se calculeze cos2 a + sin2 a, a ∈ R. c) S˘a se calculeze aria unui triunghi echilateral cu latura de lungime

√

3.

d) S˘a se calculeze conjugatul num˘ arului complex 2 − 5i. e) S˘a se determine a, b ∈ R astfel ˆıncât punctele A(3, 4) ¸si B(5, 6) s˘ a fie pe dreapta de ecuat¸ie x + ay + b = 0. f ) Dac˘a ˆın triunghiul ABC, AB = 1, AC = 2 ¸si m(∢BAC) = 90◦ , s˘ a se calculeze lungimea laturii BC.

SUBIECTUL II 1.

a) S˘a se calculeze câte funct¸ii f : {a, b} → {1, 2, 3} au proprietatea f (a) 6= f (b).

b) S˘a se calculeze probabilitatea ca un element n din mult¸imea {1, 2, 3, 4, 5} s˘ a verifice relat¸ia n2 ≥ n!. c) S˘a se rezolve, ˆın mult¸imea numerelor reale, ecuat¸ia 4x − 32 = 0.

d) S˘a se calculeze 5 + 15 + 25 + 35 + . . . + 95.

e) Dac˘a funct¸iile f : R → R ¸si g : R → R sunt f (x) = x10 − 1 ¸si g(x) = x15 + 1, s˘ a se calculeze (g ◦ f )(0). 2.

Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = ln(x + x2 ). a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ (0, ∞). f (x) − f (1) · b) S˘a se calculeze lim x→1 x−1 c) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este cresc˘atoare pe (0, ∞). Z 2 f ′ (x) dx. d) S˘a se calculeze 1

e) S˘a se calculeze lim 4xf ′ (x). x→∞

SUBIECTUL III

b , not˘am tr(M ) = a + d. d 1 2 . a) S˘a se calculeze tr(A), unde A = 3 4 Pentru matricea M ∈ M2 (R), M =

a c

b) S˘a se arate c˘a, dac˘ a B = C ∈ M2 (R), atunci tr(B) = tr(C). c) S˘a se g˘ aseasc˘a dou˘ a matrice P , Q ∈ M2 (R), diferite, pentru care tr(P ) = tr(Q). d) S˘a se arate c˘a, dac˘ a U , V ∈ M2 (R) ¸si tr(U ) = tr(V ) ¸si tr(U 2 ) = tr(V 2 ), atunci det(U ) = det(V ). e) S˘a se arate c˘a tr(aD + bE) = a · tr(D) + b · tr(E), (∀) a, b ∈ R, (∀) D, E ∈ M2 (R). f ) S˘a se arate c˘a tr(F · G) = tr(G · F ), (∀) F , G ∈ M2 (R). g) S˘a se arate c˘a, dac˘ a L, N ∈ M2 (R) ¸si tr(L · X) = tr(N · X), (∀) X ∈ M2 (R), atunci L = N . SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸ia f : [0, ∞) → R, f (x) =

x+1 x+4 x + + · x+1 x+2 x+5 5

a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ≥ 0. b) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este strict cresc˘atoare pe intervalul [0, ∞). 13 ≤ f (x) < 3, (∀) x ∈ [0, ∞). 10 Z 1 f (x) dx. d) S˘a se calculeze c) S˘a se arate c˘a

0

e) S˘a se determine ecuat¸ia asimptotei c˘atre +∞, la graficul funct¸iei f . Z x f (t) dt. f ) S˘a se calculeze lim x→∞

0

g) S˘a se rezolve, ˆın intervalul [0, ∞), ecuat¸ia f (x) = 2.

6

M3 Filiera vocat¸ional˘ a, profilul pedagogic, specializarea ˆınv˘ a¸t˘ator-educatoare.

SUBIECTUL I a) S˘a se calculeze log2 30 − log2 15. b) S˘a se determine solut¸ia real˘ a a ecuat¸iei 4x+1 = 8. c) S˘a se calculeze C30 + C31 + C32 + C33 . d) S˘a se determine p˘atratele perfecte din mult¸imea {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. e) S˘a se calculeze media aritmetic˘a a numerelor 3, 7, 11. f ) S˘a se determine restul ˆımp˘art¸irii num˘ arului 37 la 7.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘a ecuat¸ia x2 − 5x + 6 = 0. a) S˘a se calculeze discriminantul ecuat¸iei. b) S˘a se rezolve ecuat¸ia. c) S˘a se calculeze suma solut¸iilor ecuat¸iei. d) S˘a se calculeze produsul solut¸iilor ecuat¸iei. e) S˘a se rezolve inecuat¸ia x2 − 5x + 6 ≤ 0.

2.

Se consider˘a triunghiul ABC cu lungimile laturilor AB = 15, BC = 17 iar AC = 8. a) S˘a se arate c˘a AB 2 + AC 2 − BC 2 = 0.

b) S˘a se determine m˘asura unghiului ∢BAC. c) S˘a se determine aria triunghiului ABC. d) S˘a se determine lungimea segmentului M N , unde M este mijlocul segmentului AB, iar N este mijlocul segmentului BC. e) S˘a se determine perimetrul triunghiului cu vˆ arfurile ˆın mijloacele laturilor triunghiului ABC.

SUBIECTUL III Se consider˘a o dreapt˘a d ¸si dou˘ a puncte A ¸si B situate de aceea¸si parte a dreptei d. Not˘am cu C simetricul punctului A fat¸˘a de dreapta d ¸si cu D intersect¸ia dintre segmentul (BC) ¸si dreapta d. a) S˘a se arate c˘a AD = CD. b) S˘a se verifice c˘a AD + DB = BC. c) S˘a se arate c˘a AB < BC. d) S˘a se arate c˘a perpendiculara ˆın D pe dreapta d este bisectoarea unghiului ∢ADB. e) S˘a se arate c˘a, dac˘ a punctul E apart¸ine dreptei d, atunci AE = EC. f ) S˘a se arate c˘a AM + M B ≥ AD + DB, pentru orice punct M de pe dreapta d. g) S˘a se arate c˘a, dac˘ a N ∈ d ¸si AN + N B = AD + DB, atunci N = D. SUBIECTUL IV Se consider˘a mult¸imea A = {x2 + y 2 | x, y ∈ Z}. a) S˘a se verifice c˘a {0, 1, 2, 4} ⊂ A. b) S˘a se verifice identitatea (x2 + y 2 )(a2 + b2 ) = (xa − yb)2 + (ay + bx)2 , (∀) a, b, x, y ∈ R. 7

c) S˘a se arate c˘a, dac˘ a z, w ∈ A, atunci z · w ∈ A. d) S˘a se arate c˘a 3 ∈ / A. e) Utilizând metoda induct¸iei matematice, s˘ a se arate c˘a 13n ∈ A, (∀) n ∈ N∗ . f ) S˘a se demonstreze c˘a mult¸imea A\{13n | n ∈ N∗ } 6= ∅. g) S˘a se calculeze suma elementelor din mult¸imea A ∩ {1, 2, . . . , 10}.

8

SESIUNEA AUGUST

M1-1 Filiera teoretic˘ a, specializarea matematic˘ a - informatic˘a. Filiera vocat¸ional˘ a, profil Militar, specializarea matematic˘a - informatic˘a.

SUBIECTUL I a) S˘a se calculeze modulul num˘ arului complex cos 2 + i sin 2. b) S˘a se calculeze distant¸a de la punctul D(1, 2) la punctul C(0, 1). c) S˘a se calculeze coordonatele punctului de intersect¸ie dintre cercul x2 + y 2 = 25 ¸si dreapta 3x + 4y − 25 = 0. d) S˘a se arate c˘a punctele L(4, 1), M (6, 3) ¸si N (7, 4) sunt coliniare. e) S˘a se calculeze volumul tetraedrului cu vˆ arfurile ˆın punctele A(0, 0, 2), B(0, 2, 4), C(2, 4, 0) ¸si D(1, 2, 3). √ f ) S˘a se determine a, b ∈ R astfel ˆıncât s˘ a avem egalitatea de numere complexe (−1 + i 3)4 = a + bi. SUBIECTUL II 1.

a) S˘a se verifice identitatea (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = 2(x2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx), (∀) x, y, z ∈ R.

b) S˘a se arate c˘a, dac˘ a x2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx, unde x, y, z ∈ R, atunci x = y = z. c) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 4x + 9x + 49x = 6x + 14x + 21x .

d) S˘a se calculeze probabilitatea ca un element x ˆ ∈ Z6 s˘ a verifice relat¸ia x ˆ3 = x ˆ. e) S˘a se calculeze suma r˘ ad˘acinilor polinomului f = X 4 − X 3 − X 2 + 1.

2.

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x · sin x. a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. Z 1 f (x) dx. b) S˘a se calculeze 0

h πi c) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este monoton cresc˘atoare pe intervalul 0, . 2 f (x) − f (0) d) S˘a se calculeze lim · x→0 x f (x) e) S˘a se calculeze lim 2 · x→0 x SUBIECTUL III

a b a T Pentru fiecare matrice A = ∈ M2 (R) not˘am cu S(A) suma elementelor sale, cu A = c d b ei ¸si cu det A determinantul matricei A. S˘a se arate c˘a:

c d

transpusa

a) S(AT ) = S(A) = a + b + c + d. b) S(x · P + y · Q) = x · S(P ) + y · S(Q), (∀) P , Q ∈ M2 (R), (∀) x, y ∈ R. c) S(A · AT ) = (a + c)2 + (b + d)2 . d) dac˘ a S(A · AT ) = 0, atunci det A = 0. e) (∀) x ∈ R, (∀) P , Q ∈ M2 (R), S (P + x · Q) · (P T + x · QT ) = S(P · P T ) + x S(P · QT ) + S(Q · P T ) + x2 · S(Q · QT ).

f ) dac˘ a P , Q ∈ M2 (R) ¸si det Q 6= 0, atunci funct¸ia f : R → R, f (x) = S (P + x · Q)(P T + x · QT ) are gradul egal cu 2.

g) S(P · P T ) · S(Q · QT ) ≥ S(P · QT ) · S(Q · P T ), (∀) P , Q ∈ M2 (R). 9

SUBIECTUL IV Pentru n ∈ N se consider˘a funct¸iile fn : (0, ∞) → R definite prin fn (x) = xn + ln x. a) S˘a se calculeze fn′ (x), x > 0. b) S˘a se arate c˘a funct¸ia fn este monoton cresc˘atoare, (∀) n ∈ N. c) S˘a se calculeze lim fn (x) ¸si lim fn (x). x→0

x→∞

d) S˘a se arate c˘a funct¸ia fn este bijectiv˘a, (∀) n ∈ N. e) S˘a se arate c˘a (∀) n ∈ N, ecuat¸ia fn (x) = 0 are o unic˘ a solut¸ie xn ∈ (0, 1). f ) S˘a se arate c˘a ¸sirul (xn )n≥0 este cresc˘ator. g) S˘a se arate c˘a lim xn = 1. n→∞

10

M1-2 Filiera teoretic˘ a, specializarea S¸tiint¸e ale naturii; Filiera tehnologic˘a, profil Tehnic, toate specializ˘arile

SUBIECTUL I a) S˘a se determine a ∈ R dac˘ a punctul A(1, −2) apart¸ine cercului de ecuat¸ie x2 + y 2 − a = 0. b) S˘a se scrie ecuat¸ia unei drepte perpendiculare pe dreapta de ecuat¸ie x = 4. c) S˘a se calculeze cos

3π π + cos · 4 4

d) S˘a se calculeze modulul num˘ arului complex z =

√

√ 2 − i 2.

e) S˘a se calculeze lungimea laturii [AC] a triunghiului ABC ˆın care BC = 2, AB = 4 ¸si m(∢B) = 30◦ . f ) S˘a se calculeze aria triunghiului ABC ˆın care BC = 2, AB = 4 ¸si m(∢B) = 30◦ .

SUBIECTUL II 1.

a) S˘a se determine simetricul elementului ˆ3 ˆın grupul (Z8 , +). b) S˘a se determine x ∈ (0, ∞) pentru care log3 2 + log3 x = 1. c) S˘a se determine x ∈ R pentru care 9x = 27.

d) S˘a se calculeze câte numere de 4 cifre ˆıncep ¸si se termin˘a cu o cifr˘a num˘ ar par. e) S˘a se calculeze ˆın câte moduri se pot alege dou˘ a persoane dintr-un grup format din 6 persoane. 2.

Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = ln x. a) S˘a se calculeze f ′ (1). b) S˘a se scrie ecuat¸ia tangentei la graficul funct¸iei f ˆın punctul de abscis˘a x0 = 1. c) S˘a se calculeze lim [f (n + 1) − f (n)]. n→∞

f (x) · d) S˘a se calculeze lim x→∞ x Z e f (x) dx. e) S˘a se calculeze x 1 SUBIECTUL III Se consider˘a mult¸imeaT a matricelor cu 3linii ¸si care au toate elementele ˆın mult¸imea U = {0, 1, 2}, ¸si 3 coloane   1 1 1   precum ¸si mult¸imea V = A(x) = 0 x 1  x ∈ U ⊂ T .   0 0 x a) S˘a se calculeze determinantul matricei A(1) ∈ V ¸si s˘ a se determine rangul acesteia.

b) S˘a se studieze dac˘ a exist˘ a x, y ∈ U pentru care A(x) · A(y) ∈ V . c) Dac˘a B = A(1) ∈ V , s˘ a se calculeze B 2 ¸si B 3 . 

1 n  d) S˘a se arate c˘a pentru B = A(1) ∈ V avem B n = 0 1 0 0

 n(n + 1)  2 , (∀) n ∈ N∗ . n 1

e) S˘a se arate c˘a exist˘ a A, B ∈ V astfel ˆıncât det(A · B) = det(B · A) ∈ U . f ) S˘a se arate c˘a dac˘ a C ∈ T ¸si C are 8 elemente egale, atunci det C = 0.

g) S˘a se arate c˘a exist˘ a M ∈ T cu det M 6= 0 ¸si pentru care M are 7 elemente egale.

11

SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸ia f : R∗ → R, f (x) =

x3 − 3x2 + 4 · x2

a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞). b) S˘a se determine punctul de extrem local al funct¸iei f . c) S˘a se determine ecuat¸ia asimptotei verticale la graficul funct¸iei f . d) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este convex˘ a pe fiecare dintre intervalele (−∞, 0) ¸si (0, ∞). e) S˘a se determine num˘ arul solut¸iilor reale ale ecuat¸iei f (x) = 3. f ) S˘a se calculeze lim (f (x) − x). x→∞

g) S˘a se arate c˘a

Z

2

f (x) dx > 0. 1

12

M2 Filiera tehnologic˘a: profil: Servicii, toate specializ˘arile, profil Resurse naturale ¸si protect¸ia mediului, toate specializ˘arile Filiera teoretic˘ a: profil Uman, specializarea ¸stiint¸e sociale; Filiera vocat¸ional˘ a: profil Militar, specializarea ¸stiint¸e sociale

SUBIECTUL I a) S˘a se determine aria unui p˘atrat cu perimetrul egal cu 8. b) S˘a se determine lungimea ˆın˘alt¸imii unui triunghi echilateral avˆ and latura de lungime 4. c) Se consider˘a triunghiul ABC cu m(∢A) = 90◦ , AB = 6 ¸si AC = 10. S˘a se calculeze tg B. d) S˘a se determine num˘ arul real a, astfel ˆıncât punctul A(2, a) s˘ a apart¸in˘a dreptei de ecuat¸ie x + y + 1 = 0. e) S˘a se scrie coordonatele mijlocului segmentului determinat de punctele A(1, 2) ¸si B(3.4). π 3 , s˘ a se calculeze cos x. f ) Dac˘a sin x = , x ∈ 0, 4 2 SUBIECTUL II 1.

a) S˘a se determine x, y ∈ R, astfel ˆıncât

(

x+y =3 2x − 3y = −4

.

√ √ √ b) S˘a se determine cel mai mare element al mult¸imii A = {10 3, 299, 12 2}. c) S˘a se calculeze S = log2 8 + log2 2−1 .

d) S˘a se determine x ∈ R, astfel ˆıncât 2X + 2x+1 = 3. 1 1 1 1 e) S˘a se calculeze num˘ arul complex + 2 + 3 + 4 · i i i i 2.

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) =

x2

1 · +1

a) S˘a se calculeze f (0). b) S˘a se arate c˘a dreapta de ecuat¸ie y = 0 este asimptot˘a orizontal˘a c˘atre −∞ la graficul funct¸iei f . c) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R. Z 1 f (x) dx. d) S˘a se calculeze 0

e) S˘a se calculeze lim x2 f (x). x→∞

SUBIECTUL III Pentru n ∈ N∗ , se consider˘a funct¸iile f : R → R ¸si fn : R → R, f (x) = x − 2007, fn (x) = (f ◦ f ◦ . . . ◦ f )(x). | {z } de n ori f

a) S˘a se calculeze f (2006).

b) S˘a se rezolve ecuat¸ia f (x + 1) − f ((x + 1)2 ) = −2, x ∈ R. c) S˘a se calculeze f (1) · f (2) · . . . · f (3000). d) S˘a se calculeze f2 (x), x ∈ R. e) S˘a se arate c˘a fn (x) = x − n · 2007, pentru n ∈ N∗ ¸si x ∈ R. f ) S˘a se determine funct¸ia g : R → R, astfel ˆıncât f (g(x)) = f3 (x), (∀) x ∈ R. g) S˘a se demonstreze c˘a f (13 ) + f (23 ) + . . . + f (n3 ) =

n2 (n + 1)2 − 2007n, (∀) n ∈ N∗ . 4 13

SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = a) S˘a se demonstreze c˘a f (x) =

3 · (x2 + 4)(x2 + 1)

1 1 − , (∀) x ∈ R. x2 + 1 x2 + 4

b) S˘a se calculeze f ′ (x), pentru x ∈ R. c) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este descresc˘atoare pe [0, ∞). d) S˘a se determine ecuat¸ia asimptotei orizontale la graficul funct¸iei f c˘atre +∞. e) S˘a se arate c˘a f (x) ≤ f ) S˘a se calculeze

Z

3 , (∀) x ∈ R. 4

4

f ′ (x) dx. 3

g) S˘a se calculeze lim

n→∞

√ √ √ √ f ( 5) + f ( 8) + f ( 11) + . . . + f ( 3n + 2) .

14

M3 Filiera vocat¸ional˘ a, profilul pedagogic, specializarea ˆınv˘ a¸t˘ator-educatoare. SUBIECTUL I a) S˘a se determine num˘ arul r˘ ad˘acinilor reale ale ecuat¸iei 3x2 − 12x + 9 = 0.

b) S˘a se determine mult¸imea valorilor lui x care verific˘a x2 + 5x − 6 ≤ 0. c) S˘a se rezolve ecuat¸ia 9x − 4 · 3x + 3 = 0.

d) S˘a se determine valoarea lui x pentru care funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 − 4x + 9 ia valoarea minim˘a. e) S˘a se arate c˘a x2 + 4x + 5 ≥ 0, (∀) x ∈ R. f ) S˘a se calculeze log 13 2 − log 31 18 + log 13 3. SUBIECTUL II 1.

a) b) c) d) e)

S˘a S˘a S˘a S˘a S˘a

se se se se se

determine num˘ arul submult¸imilor de trei elemente impare ale mult¸imii A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. calculeze câte numere de ¸sase cifre distincte se pot forma cu elementele mult¸imii A. calculeze C60 + C61 + . . . + C66 . calculeze câte numere de trei cifre distincte scrise cu elemente din A sunt divizibile cu 5. calculeze A36 .

2.

a) b) c) d) e)

S˘a S˘a S˘a S˘a S˘a

se se se se se

calculeze calculeze calculeze calculeze calculeze

perimetrul p˘atratului de arie 25. √ aria unui romb cu diagonalele de 3 ¸si respectiv de 3 3. √ aria unui triunghi echilateral cu ˆın˘alt¸imea 6 3. lungimea diagonalei unui cub cu volumul de 27. √ aria unui triunghi dreptunghic isoscel cu ipotenuza de 2.

SUBIECTUL III Fie dreptele paralele d1 ¸si d2 . Alte dou˘ a drepte paralele d3 ¸si d4 , care formeaz˘ a cu d1 unghiuri de 30◦ , intersecteaz˘a dreptele d1 ˆın A ¸si B,iar d2 ˆın C ¸si D astfel ˆıncât punctele B ¸si D s˘ a fie ˆın semiplane diferite determinate de dreapta AC. a) S˘a se arate c˘a ABCD este paralelogram. b) Dac˘a not˘am cu O intersect¸ia diagonalelor paralelogramului ABCD, s˘ a se arate c˘a triunghiurile AOB ¸si COD sunt congruente. c) S˘a se arate c˘a triunghiurile AOB ¸si AOD au aceea¸si arie. d) S˘a se calculeze cât la sut˘ a din aria paralelogramului ABCD reprezint˘ a aria triunghiului DOC. e) S˘a se calculeze m˘asurile unghiurilor paralelogramului ABCD. f ) Dac˘a distant¸a dintre dreptele d1 ¸si d2 este 4, s˘ a se calculeze lungimea lui AD g) Dac˘a DC = 8, s˘ a se calculeze aria lui ABCD. SUBIECTUL IV Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = 3x + 2.

a) S˘a se determine coordonatele punctelor de intersect¸ie a graficului funct¸iei cu axele de coordonate. b) S˘a se calculeze aria triunghiului format de graficul funct¸iei cu axele de coordonate. c) S˘a se calculeze

f (3) − f (2) · 3−2

d) S˘a se calculeze f (0) − f (1) + f (2). e) S˘a se rezolve ecuat¸ia |f (x)| = 3. f ) S˘a se determine valorile lui x pentru care f (x) ≥ 0. g) S˘a se determine pentru ce valori ale lui m funct¸ia g : R → R, g(x) = f (x) − mx este cresc˘atoare. 15

BACALAUREAT 2008 SESIUNEA IULIE

MT1 Filiera teoretic˘ a, profilul real, specializarea matematic˘a - informatic˘a. Filiera vocat¸ional˘ a, profilul militar, specializarea matematic˘a - informatic˘a.

SUBIECTUL I 1.

Fie fract¸ia zecimal˘a periodic˘a 0, (769230) = 0, a1 a2 a3 . . .. S˘a se calculeze a1 + a2 + a3 + . . . + a2008 .

2.

S˘a se arate c˘a dreapta de ecuat¸ie y = 2x − 1 nu intersecteaz˘a parabola de ecuat¸ie y = x2 + x + 1.

3.

S˘a se rezolve ˆın R ecuat¸ia log2 x + log4 x2 = 6.

arul de moduri ˆın care se poate alege 4. Într-o clas˘a sunt 25 de elevi dintre care 13 sunt fete. S˘a se determine num˘ un comitet reprezentativ al clasei format din 3 fete ¸si 2 b˘aiet¸i. 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(2, −1) , B(−1, 1) , C(1, 3) ¸si D(a, 4), a ∈ R. S˘a se determine a pentru care dreptele AB ¸si CD sunt perpendiculare. 4 α 3π ¸si c˘a sin α = − , s˘ a se calculeze tg · 6. S¸tiind c˘a α ∈ π, 2 5 2 SUBIECTUL II 1.

Fie matricea A ∈ M2 (R). Se noteaz˘ a cu X t transpusa unei matrice p˘atratice X ¸si cu Tr(X) suma elementelor de pe diagonala principal˘a a matricei X. a) S˘a se demonstreze c˘a Tr(A + At ) = 2Tr(A). b) S˘a se demonstreze c˘a dac˘ a Tr(A · At ) = 0, atunci A = O2 .

2.

c) S˘a se demonstreze c˘a dac˘ a suma elementelor matricei A · At este egal˘ a cu 0, atunci det(A) = 0. 1 0 1 2 Se consider˘a matricele I2 = ,A= ¸si mult¸imea K = {aI2 + bA | a, b ∈ Q}. 0 1 3 −1 a) S˘a se arate c˘a A2 ∈ K.

b) S˘a se arate c˘a mult¸imea K este parte stabil˘a ˆın raport cu ˆınmult¸irea matricelor din M2 (Q). c) S˘a se arate c˘a pentru orice X ∈ K, X 6= O2 exist˘a Y ∈ K astfel ˆıncât X · Y = I2 . SUBIECTUL III 1.

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) =

√ √ x2 + x + 1 − x2 − x + 1.

a) S˘a se arate c˘a graficul funct¸iei f admite asimptot˘a orizontal˘a spre +∞.

2.

b) S˘a se studieze monotonia funct¸iei f . n f (1) + f (2) + . . . + f (n) c) S˘a se calculeze lim . n→∞ n Z 1 p xn 1 − x2 dx. Se consider˘a ¸sirul (In )n≥1 , In = 0

a) S˘a se calculeze I1 .

b) S˘a se arate c˘a (n + 2)In = (n − 1)In−2 pentru orice n ∈ N, n ≥ 3. c) S˘a se calculeze lim In . n→∞

1

MT2 Filiera teoretic˘ a, profilul real, specializarea ¸stiint¸e ale naturii. Filiera tehnologic˘a: profilul servicii, specializarea toate calific˘arile profesionale; profilul resurse, specializarea toate calific˘arile profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calific˘arile profesionale. SUBIECTUL I 1.

−1 r 3 8 · − 3 S˘a se calculeze 2 27

2.

Se consider˘a funct¸iile f : R → R, f (x) = 3x + 1 ¸si g : R → R, f (x) = 5 − x. S˘a se determine coordonatele punctului de intersect¸ie a graficelor funct¸iilor f ¸si g.

3.

S˘a se rezolve ecuat¸ia 31−x = 9.

4.

S˘a se rezolve ecuat¸ia log5 (x + 2) − log5 (2x − 5) = 1.

5.

S˘a se determine ecuat¸ia dreptei care trece prin punctul A(1, −1) ¸si este paralel˘ a cu dreapta y = x. √ S˘a se calculeze perimetrul unui triunghi echilateral care are aria egal˘ a cu 3.

6.

SUBIECTUL II  0 1. În M3 (R) se consider˘a matricele A = 0 0 a) S˘a se calculeze A · B.

  1 1 1 0 0 1 ¸si B = I3 + A, unde I3 = 0 1 0 0 0 0

 0 0. 1

b) S˘a se calculeze A2 + A3 , unde A2 = A · A ¸si A3 = A2 · A.

2.

c) S˘a sedemonstreze a X ∈ M3 (R) ¸si A · X = X · A, atunci exist˘a numerele reale a, b, c astfel ˆıncât  c˘a dac˘ a b c X = 0 a b . 0 0 a

Se consider˘a polinomul f = X 3 + aX 2 + bX + c, cu a, b, c ∈ R avˆ and r˘ ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ R. a) S˘a se determine num˘ arul real c ¸stiind c˘a f (1) + f (−1) = 2a + 1. b) S¸tiind c˘a a = −3, b = 1, c = 1, s˘ a se determine r˘ ad˘acinile reale ale polinomului x 1 x 2 c) S˘a se exprime ˆın funct¸ie de numerele reale a, b, c determinantul D = x2 x3 x 3 x 1

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) =

f. x3 x1 . x2

x+1 · ex

x pentru orice x ∈ R. ex b) S˘a se determine asimptota c˘atre +∞ la graficul funct¸iei f . a) S˘a se verifice c˘a f ′ (x) = −

c) S˘a se arate c˘a f (x) ≤ 1 pentru orice x ∈ R. 2.

Pentru orice n ∈ N∗ se consider˘a funct¸iile fn : [0, 1] → R, fn (x) = a) S˘a se calculeze b) S˘a se calculeze

Z

Z

1 · xn + 4

(x + 4)2 · f1 (x) dx, unde x ∈ [0, 1]. 1

xf2 (x) dx.

0

c) S˘a se arate c˘a aria suprafet¸ei planecuprinse ˆıntre graficul funct¸iei f2008 , axa Ox ¸si dreptele x = 0 ¸si x = 1 1 1 este un num˘ ar din intervalul , . 5 4 2

MT3 Filiera vocat¸ional˘ a, profilul pedagogic, specializarea ˆınv˘ a¸t˘ator-educatoare.

SUBIECTUL I √ √ √ √ 50 − 128 + 200 = n.

1.

S˘a se determine n ∈ N pentru care

2.

S˘a se determine m ∈ R astfel ˆıncât ecuat¸ia x2 + (m − 1)x − m = 0 s˘ a aib˘a r˘ ad˘acini reale egale.

3.

Triunghiul ABC are AB = 10, m(∢B) = 60◦ ¸si m(∢C) = 45◦ . S˘a se calculeze lungimea laturii AC.

4.

S˘a se determine ecuat¸ia dreptei care trece prin punctele A(3, −3) ¸si B(1, 2).

5.

S˘a se determine x ∈ R astfel ˆıncât numerele x + 2, 3x + 2, 6x + 5 s˘ a fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

6.

S˘a se rezolve ˆın R ecuat¸ia lg2 x + 5 lg x + 6 = 0.

SUBIECTUL II Pe mult¸imea numerelor reale se define¸ste legea de compozit¸ie x⊥y = a) S˘a se demonstreze c˘a x⊥y =

1 (xy − x − y + 3), (∀) x, y ∈ R. 2

1 (x − 1)(y − 1) + 1, (∀) x, y ∈ R. 2

b) S˘a se verifice c˘a legea de compozit¸ie ”⊥” este asociativ˘a pe R. c) Se consider˘a mult¸imea M = (1, +∞). S˘a se arate c˘a pentru oricare x, y ∈ M , rezult˘a c˘a x⊥y ∈ M . d) S˘a se rezolve ˆın R ecuat¸ia 5x ⊥3x−3 = 1. e) S˘a se rezolve ˆın R inecuat¸ia (x + 2)⊥(x − 3) < 1. f ) S˘a se determine n ∈ Z, astfel ˆıncât x⊥x⊥x = 2n · (x − 1)3 , (∀) x ∈ R. SUBIECTUL III  0 Se consider˘a matricele A, I3 ∈ M3 (R), A = 1 1

a) S˘a se calculeze A − 2I3 .

  1 0 1 1 0 1 ¸si I3 = 0 1 0 0 1 0

 0 0. 1

b) S˘a se calculeze det(2A). c) S˘a se determine num˘ arul real x pentru care A2 = A + xI3 . d) S˘a se arate c˘a matricea

1 1 A − I3 este inversa matricei A. 2 2

  5 e) S˘a se determine matricea X ∈ M3,1 (R) din ecuat¸ia matriceal˘a A · X = 4. 3 f ) S˘a se determine x ∈ R pentru care det(A + xI3 ) = x3 .

3

SESIUNEA AUGUST

MT1 Filiera teoretic˘ a, profilul real, specializarea matematic˘a - informatic˘a. Filiera vocat¸ional˘ a, profilul militar, specializarea matematic˘a - informatic˘a.

SUBIECTUL I 1.

S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor complexe ecuat¸ia z 2 = −9.

2.

S˘a se determine a ∈ R∗ pentru care ecuat¸ia ax2 + (3a − 1)x + a + 3 = 0 are solut¸ii reale.

3.

S˘a se rezolve ˆın mult¸imea [0, 2π] ecuat¸ia cos 4x = 1.

4.

S˘a se determine num˘ arul funct¸iilor f : {1, 2, 3, 4, 5} → {1, 2, 3, 4, 5} cu proprietatea c˘a f (1) = f (2).

5.

S˘a se calculeze lungimea razei cercului ˆınscris ˆıntr-un triunghi care are lungimile laturilor 13, 14, 15.

6.

Triunghiul ABC are B =

√ π π AB , C = · S˘a se demonstreze c˘a = 2. 6 4 AC

SUBIECTUL II 1.



0 0 Se consider˘a matricea A = 0 1 1 0 a) S˘a se calculeze det(A).

 1 0 ∈ M3 (R). 0

b) S˘a se determine A−1 . c) S˘a se arate c˘a (I3 + A)n = 2n−1 (I3 + A), (∀) n ∈ N∗ . 2.

Pentru fiecare n ∈ N∗ consider˘am polinomul fn = X 3n + 2X 2 − 4X − 1 ∈ C[X]. a) S˘a se arate c˘a f1 nu este divizibil cu polinomul g = X − 2.

b) S˘a se determine suma coeficient¸ilor câtului ˆımp˘art¸irii polinomului f3 la X − 1.

c) S˘a se arate c˘a restul ˆımp˘art¸irii polinomului fn la polinomul h = X 2 + X + 1 nu depinde de n.

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = ax − xa , a > 0. a) S˘a se calculeze f ′ (1). b) S˘a se scrie ecuat¸ia tangentei la graficul funct¸iei f ˆın punctul de abscis˘a x = a.

2.

c) S˘a se arate c˘a, dac˘ a f (x) ≥ 0, (∀) x > 0, atunci a = e. Z e lnn x dx. Se consider˘a ¸sirul (In )n≥1 , In = 1

a) S˘a se calculeze I1 . b) S˘a se arate c˘a In = e − nIn−1 , (∀) n ≥ 2.

c) S˘a se arate c˘a ¸sirul (In )n≥1 este convergent.

4

MT2 Filiera teoretic˘ a, profilul real, specializarea ¸stiint¸e ale naturii. Filiera tehnologic˘a: profilul servicii, specializarea toate calific˘arile profesionale; profilul resurse, specializarea toate calific˘arile profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calific˘arile profesionale.

SUBIECTUL I 1.

S˘a se calculeze suma 1 + 5 + 9 + 13 + . . . + 25.

2.

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = mx2 − mx + 2, m ∈ R∗ . S˘a se determine num˘ arul real nenul m ¸stiind c˘a valoarea minim˘a a funct¸iei este egal˘ a cu 1.

3.

S˘a se calculeze log2 (tg 45◦ ) + log2 (ctg 45◦ ).

4.

√ √ √ √ S˘a se calculeze probabilitatea ca alegˆ and un num˘ ar din mult¸imea A = { 2, 3, 4, . . . , 11}, acesta s˘ a fie irat¸ional.

5.

S˘a se determine ecuat¸ia dreptei care cont¸ine punctul A(2, −3) ¸si este paralel˘ a cu dreapta x + 2y + 5 = 0.

6.

S˘a se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ABC ¸stiind c˘a AB = 6, AC = 10 ¸si m(∢A) = 60◦ .

SUBIECTUL II 1.



1 2 Se consider˘a matricele A = 2 a 0 2

     −1 1 x 1 , B = 1 ¸si X = y . 3 1 z

a) S˘a se scrie sistemul asociat ecuat¸iei matriceale A · X = B.

b) S˘a se determine a ∈ R pentru care det(A) = 0.

  x + 2y − z = 1 c) Dac˘a a ∈ R\{2, 6} ¸si (x0 , y0 , z0 ) este solut¸ia sistemului 2x + ay + z = 1   2y + 3z = 1 depinde de a.

2.

, s˘ a se demonstreze c˘a

x0 nu z0

Se consider˘a polinomul f = (X + 1)2008 + (X − 1)2008 avˆ and forma algebric˘ a f = a2008 X 2008 + . . . + a1 X + a0 , unde a0 , a1 , . . ., a2008 sunt numere reale. a) S˘a se calculeze f (−1) + f (1). b) S˘a se determine suma coeficient¸ilor polinomului f . c) S˘a se determine restul ˆımp˘art¸irii lui f la X 2 − 1. SUBIECTUL III

1.

Se consider˘a funct¸ia f : (0, +∞) → R, f (x) = x ln x − x. a) S˘a se verifice c˘a f ′ (x) = ln x pentru orice x > 0. b) S˘a se scrie ecuat¸ia tangentei la graficul funct¸iei f ˆın punctul de abscis˘a x0 = 1. c) S˘a se demonstreze c˘a funct¸ia f este convex˘ a pe (0, +∞).

2.

Pentru orice n ∈ N∗ se consider˘a funct¸iile fn : [0, 1] → R, fn (x) = xn + 1. Z a) S˘a se determine f1 (x) dx, unde x ∈ [0, 1].

b) S˘a se calculeze aria suprafet¸ei plane cuprinse ˆıntre graficul funct¸iei g : [0, 1] → R, g(x) = ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 0 ¸si x = 1. Z 1p √ c) S˘a se arate c˘a fn (x) dx ≤ 2 pentru orice n ∈ N∗ . 0

5

p

f1 (x), axa Ox

MT3 Filiera vocat¸ional˘ a, profilul pedagogic, specializarea ˆınv˘ a¸t˘ator-educatoare.

SUBIECTUL I (

x+y =1 xy = 0

1.

S˘a se rezolve sistemul

2.

S˘a se calculeze S = log3 27 + log 31 3 − log√3 1 + log3

3.

S˘a se afle suma primilor 10 termeni ai unei progresii aritmetice (an )n≥1 , ¸stiind c˘a a1 = 3 ¸si a5 = 11.

4.

S˘a se determine ecuat¸ia dreptei care trece prin punctul A(1, −1) ¸si este perpendicular˘ a pe dreapta de ecuat¸ie x + y + 1 = 0.

5.

S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia (0, 5)x

6.

S˘a se calculeze perimetrul triunghiului ABC, ¸stiind c˘a BC = 12, m(∢A) = 60◦ , m(∢B) = 75◦ .

, x, y ∈ R. √

3.

2

−4

= (0, 125)2+x .

SUBIECTUL II Pe mult¸imea H = {x ∈ N | x este civizor al lui 12} se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = c.m.m.d.c (x, y), (∀) x, y ∈ H. a) S˘a se precizeze elementele mult¸imii H. b) S˘a se arate c˘a pentru oricare x, y ∈ H, rezult˘a c˘a x ⋆ y ∈ H. c) S˘a se verifice c˘a [(12 ⋆ 6) ⋆ 4] ⋆ 2 = 12 ⋆ [6 ⋆ (4 ⋆ 2)]. d) S˘a se rezolve ecuat¸ia 6 ⋆ x = 2. e) S˘a se demonstreze c˘a legea de compozit¸ie ”⋆” este asociativ˘a pe H. f ) S˘a se demonstreze c˘a legea de compozit¸ie ”⋆” are element neutru pe H. SUBIECTUL III Se consider˘a mult¸imea de matrice M = −3 −1 1 0 , I2 = . 7 1 0 1

2 a −4 A(a) ∈ M2 (R) A(a) = a−2

b) S˘a se calculeze C = 2

−3 7

5 −1 . 1 5 −1 5 −1 + . 1 1 5

a) S˘a se determine a ∈ R pentru care A(a) =

−1 , a ∈ R ¸si matricele B = 2a − 1

c) S˘a se verifice c˘a B 2 = −2B − 4I2 . d) S˘a se calculeze det A(3). e) S˘a se arate c˘a dac˘ a matricea X ∈ M2 (R) ˆındepline¸ste condit¸ia X 2 + 2X + 4I2 = O2 , atunci X 3 = 8I2 . f ) S˘a se determine a ∈ R cu proprietatea c˘a det A(3) = 0.

6

BACALAUREAT 2009 SESIUNEA IULIE MT1 Filiera teoretic˘ a, profilul real, specializarea matematic˘a - informatic˘a. Filiera vocat¸ional˘ a, profilul militar, specializarea matematic˘a - informatic˘a. SUBIECTUL I 1.

√ S˘a se determine partea real˘ a a num˘ arului complex ( 3 + i)6 .

2.

1 Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = √ · S˘a se calculeze (f ◦ f )(512). 3 x

3.

S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia cos 2x + sin x = 0.

4.

Se consider˘a mult¸imea M = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. S˘a se determine num˘ arul tripletelor (a, b, c) cu proprietatea c˘a a, b, c ∈ M ¸si a < b < c.

5.

S˘a se calculeze distant¸a dintre dreptele paralele de ecuat¸ii x + 2y = 6 ¸si 2x + 4y = 11.

6.

−→ −−→ Paralelogramul ABCD are AB = 1, BC = 2 ¸si m(∢BAD) = 60◦ . S˘a se calculeze produsul scalar AC · AD. SUBIECTUL II

1.

  ax + by + cz = b ∗ Pentru a, b, c ∈ R , se consider˘a sistemul cx + ay + bz = a   bx + cy + az = c

, x, y, z ∈ R.

a) S˘a se arate c˘a determinantul sistemului este ∆ = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca).

b) S˘a se rezolve sistemul ˆın cazul ˆın care este compatibil determinat.

2.

c) S¸tiind c˘a a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0, s˘ a se arate c˘a sistemul are o infinitate de solut¸ii (x, y, z), astfel ˆıncât x2 + y 2 = z − 1. a b Se consider˘a mult¸imea G = a, b, c ∈ Z 4 . 0 c a) S˘a se determine num˘ arul elementelor mult¸imii G.

b) S˘a se dea un exemplu de matrice A ∈ G cu proprietatea c˘a det A 6= 0 ¸si det A2 = ˆ0. ˆ1 ˆ0 c) S˘a se determine num˘ arul solut¸iilor ecuat¸iei X 2 = ˆ ˆ , X ∈ G. 0 0

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘a funct¸ia f : R\{−1} → R, f (x) =

x2 + x + 1 · x+1

a) S˘a se determine ecuat¸ia asimptotei spre +∞ la graficul funct¸iei f . b) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R\{−1}.

c) S˘a se demonstreze c˘a funct¸ia f este concav˘ a pe intervalul (−∞, −1).

2.

Pentru orice n ∈ N∗ se consider˘a funct¸ia fn : R → R, fn (x) = | sin nx| ¸si num˘ arul In = a) S˘a se calculeze

Z

π

f2 (x) dx.

0

b) S˘a se arate c˘a In ≤ ln 2, (∀) n ∈ N∗ . 1 2 1 1 , (∀) n ∈ N∗ . c) S˘a se arate c˘a In ≥ + + ... + π n+1 n+2 2n 1

Z

2π

π

fn (x) dx. x

MT2 Filiera teoretic˘ a, profilul real, specializarea ¸stiint¸e ale naturii. Filiera tehnologic˘a: profilul servicii, specializarea toate calific˘arile profesionale; profilul resurse, specializarea toate calific˘arile profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calific˘arile profesionale.

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘a progresia aritmetic˘a (an )n≥1 ˆın care a1 = 3 ¸si a3 = 7. S˘a se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei.

2.

S˘a se determine numerele reale m pentru care punctul A(m, −1) apart¸ine graficului funct¸iei f : R → R, f (x) = x2 − 3x + 1.

3.

S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia log5 (2x + 3) = 2.

4.

S˘a se calculeze num˘ arul submult¸imilor cu 3 elemente ale unei mult¸imi care are 5 elemente.

5. În reperul cartezian xOy se consider˘a punctele A(−1, −2), B(1, 2) ¸si C(2, −1). S˘a se calculeze distant¸a de la punctul C la mijlocul segmentului AB. 6.

Triunghiul ABC are AB = 8, AC = 8 ¸si m(∢BAC) = 30◦ . S˘a se calculeze aria triunghiului ABC.

SUBIECTUL II 1.

 3 Se consider˘a matricele A = 0 0 f (X) = X 2 − 3X + I3 , unde X 2

  0 1 1 3 1, B = 0 0 0 3 = X · X.

  3 4 1 0 0 3, I3 = 0 1 0 0 0 0

 0 0 ¸si funct¸ia f : M3 (R) → M3 (R), 1

a) S˘a se calculeze det(I3 + B). b) S˘a se demonstreze c˘a f (A) = I3 + B. c) S˘a se arate c˘a (f (A))3 = I3 + 3B + 3B 2 , unde (f (A))3 = f (A) · f (A) · f (A). 2.

Pe mult¸imea numerelor ˆıntregi se definesc legile de compozit¸ie x ⋆ y = x + y − 3 ¸si x ◦ y = (x − 3)(y − 3) + 3. a) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor ˆıntregi ecuat¸ia x ◦ x = x ⋆ x.

b) S˘a se determine num˘ arul ˆıntreg a care are proprietatea c˘a x ◦ a = 3, oricare ar fi num˘ arul ˆıntreg x. ( x ⋆ (y + 1) = 4 c) S˘a se rezolve sistemul de ecuat¸ii , unde x, y ∈ Z. (x − y) ◦ 1 = 5 SUBIECTUL III 1.

2.

Se consider˘a funct¸ia f : R∗ → R, f (x) = x3 +

3 · x

a) S˘a se calculeze f ′ (x), x ∈ R∗ . f (x) − f (1) b) S˘a se calculeze lim · x→1 x−1 c) S˘a se determine intervalele de monotonie ale funct¸iei f . √ Se consider˘a funct¸ia f : [0, 1] → R, f (x) = x 2 − x2 . a) S˘a se calculeze volumul corpului obt¸inut prin rotat¸ia ˆın jurul axei Ox, a graficului funct¸iei f . Z 1 f (x) dx. b) S˘a se calculeze 0 Z x f (t) dt 0 c) S˘a se calculeze lim · x→0 x2

2

MT3 Filiera vocat¸ional˘ a, profilul pedagogic, specializarea ˆınv˘ a¸t˘ator-educatoare.

SUBIECTUL I 1.

S˘a se calculeze probabilitatea ca, alegˆ and un element din mult¸imea {0, 1, 2, 3, 4}, acesta s˘ a fie solut¸ie a ecuat¸iei x2 − 4x + 3 = 0.

2.

S˘a se calculeze suma 1 + 2 + 3 + . . . + 40.

3.

S˘a se determine valorile parametrului real m astfel ˆıncât ecuat¸ia x2 − 4mx + 1 = 0 s˘ a aib˘a solut¸ii reale.

4.

S˘a se calculeze distant¸a de la punctul A(1, 2) la dreapta d : x + y + 1 = 0.

5.

S˘a se rezolve ˆın R ecuat¸ia 72x − 8 · 7x + 7 = 0.

6.

S˘a se calculeze

1 cos 135◦ + 3 sin 135◦ . 2

SUBIECTUL II Pe mult¸imea numerelor ˆıntregi se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = xy + 2x + 2y + a, cu a ∈ Z. a) S˘a se determine a ∈ Z ¸stiind c˘a legea ”⋆” admite element neutru. b) Pentru a = 2 s˘ a se demonstreze c˘a legea ”⋆” este asociativ˘a. c) Dac˘a a = 2 s˘ a se arate c˘a (x + y + 2) ⋆ z = (x ⋆ z) + (y ⋆ z) + 2, pentru orice x, y, z ∈ Z. d) Pentru a = 2 s˘ a se determine mult¸imea M = {x ∈ Z | exist˘a x′ ∈ Z, astfel ˆıncât x ⋆ x′ = −1}. e) Pentru a = 2 s˘ a se determine x, y ∈ Z, astfel ˆıncât x ⋆ y = 3. f ) Fie mult¸imea H = {−3, −1}. S˘a se determine a ∈ Z astfel ˆıncât, pentru oricare x, y ∈ H, s˘ a rezulte c˘a x ⋆ y ∈ H. SUBIECTUL III 1 Fie numerele reale a, b, c ¸si determinantul D = 1 1

a) S˘a se calculeze D pentru a = 1, b = 2 ¸si c = 3.

a b c

a2 b2 . c2

b) S˘a se arate c˘a dac˘ a a = b, atunci D = 0. c) Pentru b = 2 ¸si c = 3, s˘ a se determine a ∈ R, astfel ˆıncât D = 2. d) S˘a se demonstreze c˘a D = (b − a)(c − a)(c − b). e) S˘a se arate c˘a dac˘ a D = 0, atunci cel put¸in dou˘ a dintre numerele a, b ¸si c sunt egale. f ) S˘a se arate c˘a dac˘ a a, b, c ∈ Z, atunci D este num˘ ar ˆıntreg par.

3

SESIUNEA AUGUST

MT1 Filiera teoretic˘ a, profilul real, specializarea matematic˘a - informatic˘a. Filiera vocat¸ional˘ a, profilul militar, specializarea matematic˘a - informatic˘a.

SUBIECTUL I 1. 2. 3.

√ S˘a se arate c˘a num˘ arul (1 + i 3)3 este ˆıntreg. S˘a se determine imaginea funct¸iei f : R → R, f (x) = x2 − x + 2. √ S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia −2x + 1 = 5.

4.

S˘a se determine probabilitatea ca, alegˆ and un num˘ ar ab din mult¸imea numerelor naturale de dou˘ a cifre, s˘ a avem a + b = 4.

5.

S˘a se determine ecuat¸ia dreptei care trece prin punctul A(−1, 1) ¸si este perpendicular˘ a pe dreapta d : 5x−4y+1 = 0. π π S˘a se calculeze perimetrul triunghiului ABC ¸stiind c˘a AB = 6, B = ¸si C = · 4 6

6.

SUBIECTUL II 1.



a Se consider˘a matricea A =  b 1

a+1 b+1 1

 a+2 b + 2 , cu a, b ∈ R. a

a) S˘a se arate c˘a det(A) = (a − b)(a − 1).

b) S˘a se calculeze det(A − At ).

c) S˘a se arate c˘a rang(A) ≥ 2, (∀) a, b ∈ R.

2.

Se consider˘a polinomul f ∈ R[X], f = X 3 + pX 2 + qX + r, cu p, q, r ∈ (0, ∞) ¸si cu r˘ ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ C. a) S˘a se demonstreze c˘a f nu are r˘ ad˘acini ˆın intervalul [0, ∞).

b) S˘a se calculeze x31 + x32 + x33 ˆın funct¸ie de p, q ¸si r.

c) S˘a se demonstreze c˘a dac˘ a a, b, c sunt trei numere reale astfel ˆıncât a + b + c < 0, ab + bc + ca > 0 ¸si abc < 0, atunci a, b, c ∈ (−∞, 0). SUBIECTUL III 1.

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = 2x + ln(x2 + x + 1). a) S˘a se demonstreze c˘a funct¸ia f este strict cresc˘atoare. b) S˘a se demonstreze c˘a funct¸ia f este bijectiv˘a. c) S˘a se arate c˘a graficul funct¸iei f nu are asimptot˘a oblic˘a spre +∞.

2.

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = {x}(1 − {x}), unde {x} este partea fract¸ionar˘ a a num˘ arului real x. Z 1 f (x) dx. a) S˘a se calculeze 0

b) S˘a se demonstreze c˘a funct¸ia f admite primitive pe R. Z a+1 f (x) dx nu depinde de num˘ arul real a. c) S˘a se arate c˘a valoarea integralei a

4

MT2 Filiera teoretic˘ a, profilul real, specializarea ¸stiint¸e ale naturii. Filiera tehnologic˘a: profilul servicii, specializarea toate calific˘arile profesionale; profilul resurse, specializarea toate calific˘arile profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calific˘arile profesionale. SUBIECTUL I 1.

S˘a se calculeze 2 log3 4 − 4 log3 2.

2.

S˘a se determine solut¸iile reale ale ecuat¸iei 2x−1 + 2x = 12.

3.

S˘a se determine num˘ arul natural n, n ≥ 1 ¸stiind c˘a A1n + Cn1 = 10.

4. 5.

Fie funct¸ia f : [0, 2] → R, f (x) = −4x + 3. S˘a se determine mult¸imea valorilor funct¸iei f . −→ −−→ −−→ Se consider˘a triunghiul echilateral ABC ˆınscris ˆıntr-un cerc de centru O. S˘a se arate c˘a OA + OB + OC = ~0.

6.

S˘a se calculeze sin 135◦ . SUBIECTUL II 

  1 1 a 0 ¸si A = 0 1 1 0 0   2 3 4 a) S˘a se determine numerele a, b ¸si c astfel ˆıncât A + F = 0 2 5. 0 0 2

1 0 1. În mult¸imea M3 (Z) se consider˘a matricele F = 0 1 0 0

2.

b) S˘a se arate c˘a pentru a = c = 0 ¸si  1 c) S˘a se rezolve ecuat¸ia F · X = 4 7

 b c . 1

b = −1 matricea A este inversa matricei F .  2 3 5 6, unde X ∈ M3 (Z). 8 9

Pe mult¸imea R se consider˘a legea de compozit¸ie x ⋆ y = 2xy − x − y + 1. a) S˘a se arate c˘a x ⋆ y = xy + (1 − x)(1 − y), oricare ar fi x, y ∈ R.

b) S˘a se arate c˘a legea de compozit¸ie ”⋆” este asociativ˘a.

c) S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia x ⋆ (1 − x) = 0. SUBIECTUL III 1.

Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) =

x2 − 1 · x2 + 1

4x , oricare ar fi x ∈ R. (x2 + 1)2 b) S˘a se determine intervalele de monotonie ale funct¸iei f . 1 c) S¸tiind c˘a g : R∗ → R, g(x) = f (x) + f , s˘ a se determine x a) S˘a se arate c˘a f ′ (x) =

g(x) + g(x2 ) + g(x3 ) + . . . + g(x2009 ) + x2010 · x→0 x2009 lim

2.

Se consider˘a In =

Z

e2 e

x lnn x dx, pentru orice n ∈ N.

a) S˘a se calculeze I0 . b) S˘a se arate c˘a In ≤ In+1 , oricare ar fi n ∈ N. c) S˘a se demonstreze c˘a are loc relat¸ia In =

e2 (e2 · 2n − 1) n − In−1 , pentru orice n ∈ N∗ . 2 2

5

MT3 Filiera vocat¸ional˘ a, profilul pedagogic, specializarea ˆınv˘ a¸t˘ator-educatoare.

SUBIECTUL I 1.

S˘a se determine funct¸ia f : R → R, f (x) = ax + b, a 6= 0, ¸stiind c˘a punctele A(−1, 0); B(0, 2) apart¸in graficului funct¸iei.

2.

S˘a se calculeze ~v = 4~a − 2~b + ~c, unde ~a = 5~i − 7~j, ~b = −2~i + 3~j, ~c = 5~i + 5~j.

3.

S˘a se calculeze cos 135◦ + cos 45◦ .

4.

S˘a se calculeze valoarea expresiei E =

5.

S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia lg(2x + 4x + 4) = 1. √ √ S˘a se calculeze |2 − 3 2| + |3 − 2 2|.

6.

x2 x1 + , unde x1 , x2 sunt solut¸iile ecuat¸iei x2 − 6x + 4. x2 x1

SUBIECTUL II Pe mult¸imea numerelor naturale se define¸ste legea de compozit¸ie x ⋆ y = r, unde r este restul ˆımp˘art¸irii produsului x · y la 10. Se admite c˘a legea ”⋆” este asociativ˘a pe N. Se consider˘a mult¸imea I = {1, 3, 5, 7, 9}. a) S˘a se arate c˘a 10 ⋆ x = 0, (∀) x ∈ N. b) S˘a se calculeze 5 ⋆ 5 ⋆ 5 ⋆ 5 ⋆ 5. c) S˘a se arate c˘a x ⋆ y ∈ I, pentru oricare x, y ∈ I. d) S˘a se demonstreze c˘a legea ”⋆” determin˘ a pe mult¸imea I\{5} o structur˘ a de grup comutativ. e) S˘a se calculeze 2 ⋆ 4 ⋆ 6 ⋆ . . . ⋆ 2008 ⋆ 2010. f ) S˘a se demonstreze c˘a legea ”⋆” nu admite element neutru. SUBIECTUL III Fie matricele A =

1 −3 1 0 0 0 , I2 = , O2 = . 1 −2 0 1 0 0

a) S˘a se calculeze A2 . b) S˘a se arate c˘a det(A) = det(A2 ). c) S˘a se determine x, y ∈ R pentru care are loc egalitatea A2 + xA + yI2 = O2 . d) S˘a se verifice egalitatea A + A2 + A3 = O2 . e) S˘a se calculeze A + A2 + . . . + A28 . f ) S˘a se arate c˘a pentru orice a ∈ R matricea aI2 + A este inversabil˘a.

6

BACALAUREAT 2010 ˘ SESIUNEA SPECIALA

Proba E c) Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea matematic˘a - informatic˘ a. Filiera vocat¸ional˘ a, profilul militar, specializarea matematic˘a - informatic˘ a.

SUBIECTUL I 1.

Calculat¸i produsul de numere complexe i · i3 · i5 · i7 · i11 .

2.

Verificat¸i dac˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x3 + x + 1 este injectiv˘ a. √ 3 Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 42x = 8.

3. 4. 5. 6.

Care este probabilitatea ca, alegând un num˘ar din mult¸imea numerelor naturale de trei cifre, produsul cifrelor sale s˘a fie impar? −−→ −−→ Un paralelogram ABCD are AD = 6, AB = 4 ¸si m(ÂDC) = 120◦ . Calculat¸i |AD + AB|. √ ! 3 1 . arcsin Calculat¸i sin 2 3 SUBIECTUL II

1.

−1 2 5 −4 ¸si B = Fie matricele A = . −3 4 3 −2 a) Verificat¸i dac˘ a det(A) = det(B). a b) Demonstrat¸i c˘ a pentru orice matrice X = c

b d

∈ M2 (C), are loc egalitatea X 2 = (a + d)X − (ad − bc)I2 .

c) Demonstrat¸i c˘ a An − B n = (2n − 1)(A − B), pentru orice n ∈ N, n ≥ 2.

2.

Fie polinomul f = nX n + (n − 1)X n−1 + . . . + 2X 2 + X, unde n ∈ N ¸si n ≥ 2. a) Calculat¸i suma coeficient¸ilor polinomului f . b) Pentru n = 4, determinat¸i restul ˆımp˘art¸irii polinomului f la polinomul g = X 2 − 1.

c) Demonstrat¸i c˘ a dac˘ a n este num˘ ar par, atunci restul ˆımp˘art¸irii polinomului f la g = X 2 − 1 este egal cu 2 n(n + 2) n X+ · 4 4

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x + 1 −

√

x2 + 2.

a) Ar˘atat¸i c˘ a funct¸ia f este strict cresc˘ atoare pe R. b) Determinat¸i ecuat¸ia asimptotei la graficul funct¸iei f spre −∞.

2.

c) Ar˘atat¸i c˘ a funct¸ia f este concav˘a pe R. Z e lnn x dx, oricare ar fi n ∈ N∗ . Fie ¸sirul (In )n≥1 definit prin In = 1

a) Calculat¸i I2 . b) Ar˘atat¸i c˘ a ¸sirul (In )n≥1 este m˘arginit. c) Calculat¸i lim In . n→∞

1

SESIUNEA IUNIE M1 Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea matematic˘a - informatic˘ a. Filiera vocat¸ional˘ a, profilul militar, specializarea matematic˘a - informatic˘ a.

SUBIECTUL I 1.

Calculat¸i ((1 − i)(i − 1))4 .

2.

Ar˘atat¸i c˘ a funct¸ia f : (−3, 3) → R, f (x) = ln

3.

Determinat¸i solut¸iile ˆıntregi ale inecuat¸iei x2 + 2x − 8 < 0.

4.

Câte elemente din mult¸imea A = {1, 2, 3, . . . , 100} sunt divizibile cu 4 sau cu 5?

3−x este impar˘a. 3+x

a punctele M (1, −2), N (−3, −1) ¸si P (−1, 2). Determinat¸i coordonatele 5. În sistemul de coordonate xOy se consider˘ punctului Q astfel ˆıncˆ at M N P Q s˘a fie paralelogram. 6.

Triunghiul ABC are AB = 6, AC = 3 ¸si BC = 5. Calculat¸i lungimea ˆın˘alt¸imii [AD].

SUBIECTUL II   x − 2y − 8z = −65 1. Fie sistemul 3x + y − 3z = 22   x + y + z = 28



 1 −2 −8 , unde x, y, z ∈ R ¸si matricea asociat˘a sistemului A = 3 1 −3. 1 1 1

a) Ar˘atat¸i c˘ a rangul matricei A este egal cu 2.

b) Rezolvat¸i sistemul ˆın R × R × R.

2.

c) Determinat¸i num˘ arul solut¸iilor sistemului din mult¸imea N × N × N. a b Fie mult¸imea de matrice A = a, b ∈ Z5 . −b a a) Determinat¸i num˘ arul elementelor mult¸imii A.

b) Ar˘atat¸i c˘ a exist˘a o matrice nenul˘a M ∈ A astfel ˆıncˆ at c) Rezolvat¸i ˆın mult¸imea A ecuat¸ia X 2 = I2 .

ˆ3 −ˆ1

ˆ1 ˆ0 · M = ˆ3 ˆ0

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R\{−1} → R, f (x) = arctg

x · x+1

a) Determinat¸i ecuat¸ia asimptotei spre +∞ la graficul funct¸iei f . b) Studiat¸i monotonia funct¸iei f .

2.

c) Determinat¸i punctele de inflexiune ale funct¸iei f . Z n+1 2x − 1 dx, oricare ar fi n ∈ N∗ . Fie ¸sirul (In )n≥1 definit prin In = x n a) Ar˘atat¸i c˘ a ¸sirul (In )n≥1 este strict cresc˘ ator. b) Ar˘atat¸i c˘ a ¸sirul (In )n≥1 este m˘arginit. c) Calculat¸i lim n(2 − In ). n→∞

2

ˆ0 ˆ0 .

M2 Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea stiint¸e ale naturii. Filiera tehnologic˘a: profilul servicii, toate calific˘arile profesionale; profilul resurse, toate calific˘arile profesionale; profilul tehnic, toate calific˘arile profesionale.

SUBIECTUL I 1 √ + 3 27. 8

1.

Calculat¸i log2

2.

Determinat¸i coordonatele vârfului parabolei asociate funct¸iei f : R → R, f (x) = x2 − 2x + 3.

3.

Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 2 − 3x

4.

Determinat¸i cˆ ate numere de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mult¸imii {1, 2, 3, 4}.

2

−1

= 1.

5.

− − − → → Se consider˘ a vectorii → v 1 = 2~i − ~j ¸si → v 2 = ~i + 3~j. Determinat¸i coordonatele vectorului → w = 2− v1−− v 2.

6.

Un triunghi dreptunghic are AB = 3, AC = 4. Calculat¸i lungimea ˆın˘alt¸imii duse din A.

SUBIECTUL II 1.

1 Se consider˘ a matricea A = 1

1 . 0

a) Calculat¸i A2 − A.

b) Determinat¸i inversa matricei A. 2010 2010 c) Rezolvat¸i ecuat¸ia A · X = , X ∈ M (R). 2009 2010 2.

Se consider˘ a polinoamele f , g ∈ Z3 [X], f = X 2 + X, g = X 2 + ˆ2X + a, cu a ∈ Z3 . a) Calculat¸i f (ˆ 0) + f (ˆ 1). b) Determinat¸i r˘ad˘acinile polinomului f . c) Demonstrat¸i c˘ a f (ˆ 0) + f (ˆ 1) + f (ˆ 2) = g(ˆ0) + g(ˆ1) + g(ˆ2), pentru oricare a ∈ Z3 . SUBIECTUL III

1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = x2 · ex . a) Calculat¸i f 0 (x). b) Demonstrat¸i c˘ a funct¸ia f este descresc˘atoare pe intervalul [−2, 0]. c) Demonstrat¸i c˘ a 0 ≤ f (x) + f (x2 ) ≤

2.

e2 + 1 , oricare ar fi x ∈ [−1, 0]. e

Se consider˘ a funct¸ia f : R∗ → R, f (x) = x + a) Calculat¸i

Z

1

3

1 · x

1 f (x) − dx. x

b) Determinat¸i volumul corpului obt¸inut prin rotat¸ia ˆın jurul axei Ox a graficului funct¸iei g : [1, 2] → R, g(x) = f (x). Z e c) Calculat¸i f (x) · ln x dx. 1

3

M4 Filiera vocat¸ional˘ a, profilul pedagogic, specializarea ˆınv˘a¸t˘ator-educatoare.

SUBIECTUL I √ √ 1. Calculat¸i log2 6 − log2 3. 2.

Fie funct¸ia f : R → R, f (x) = x − 5. Calculat¸i f (1) · f (2) · f (3) · . . . · f (10).

3.

Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 22x+1 − 2x+1 = 24.

4.

Calculat¸i num˘ arul submult¸imilor cu dou˘a elemente ale mult¸imii A = {x ∈ N | x ≤ 8}.

a punctele A(3, 4) ¸si B(2, m). S ¸ tiind c˘ a B apart¸ine dreptei de ecuat¸ie 5. În sistemul de coordonate xOy se consider˘ y = 3x + 20 determinat¸i coordonatele mijlocului segmentului [AB]. 6.

Calculat¸i valoarea expresiei E(x) = cos x + sin 2x pentru x = 30◦ .

SUBIECTUL II 1.

√ √ Pe mult¸imea M = {a + b 2 | a, b ∈ Z} se define¸ste legea de compozit¸ie x ◦ y = x + y + 2. a) Ar˘atat¸i c˘ a x + y ∈ M , oricare ar fi x, y ∈ M .

b) Ar˘atat¸i c˘ a x · y ∈ M , oricare ar fi x, y ∈ M .

√ c) Determinat¸i x ∈ M cu proprietatea c˘ a x(1 + 2)2 = 1. 1 1 √ ◦ √ ∈ M. d) Verificat¸i dac˘ a 1+ 2 3+2 2 e) Ar˘atat¸i c˘ a legea ”◦” este asociativ˘ a pe mult¸imea M . f ) Ar˘atat¸i c˘ a legea ”◦” determin˘a pe mult¸imea M o structur˘ a de grup.

SUBIECTUL III 1.

Fie matricele M =

2 2 1 0 , I2 = ¸si A(a) = M + aI2 , a ∈ R. −1 −1 0 1

a) Ar˘atat¸i c˘ a M2 = M. b) Determinat¸i matricea A(2010). c) Determinat¸i a ∈ R, pentru care det (A(a)) = 2. 1 0 −2 d) Ar˘atat¸i c˘ a A−1 (1) = . 2 1 3

e) Ar˘atat¸i c˘ a pentru oricare a ∈ Z matricea A(a) + (A(a))t este inversabil˘ a, unde (A(a))t este transpusa matricei A(a). 1 2 f ) Rezolvat¸i ˆın mult¸imea M2 (R) ecuat¸ia matriceal˘a X · A(1) = . 2 6

4

Subiect de rezerv˘ a M1 Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea matematic˘a - informatic˘ a. Filiera vocat¸ional˘ a, profilul militar, specializarea matematic˘a - informatic˘ a.

SUBIECTUL I 1. 2. 3. 4.

√ Ar˘atat¸i c˘ a num˘ arul i 2 − 1 este solut¸ie a ecuat¸iei z 2 + 2z + 3 = 0. Fie funct¸iile f : R → R, f (x) = 2x + a ¸si g : R → R, g(x) = x2 − a. Determinat¸i a ∈ R pentru care (f ◦ g)(x) > 0, oricare ar fi x ∈ R. √ Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia x2 − 2x + 1 = x + 1. Determinat¸i num˘ arul elementelor mult¸imii A = {1, 33 , 36 , 39 , . . . , 32010 }.

a punctele A(3, 5), B(−2, 5) ¸si C(6, −3). Scriet¸i ecuat¸ia medianei 5. În sistemul de coordonate xOy se consider˘ corespunz˘ atoare laturii [BC], ˆın triunghiul ABC 6.

Calculat¸i sin

π · 12

SUBIECTUL II   x + y + az = 1 1. Fie sistemul x + 2ay + z = −1   2ax + y + (a + 1)z = 0

, unde x, y, z ∈ R ¸si a este parametru real.

a) Rezolvat¸i sistemul pentru a = 0.

b) Verificat¸i dac˘ a pentru a = −1 sistemul este compatibil.

c) Determinat¸i a ∈ R pentru care sistemul are solut¸ie unic˘ a.

2.

Fie m, n ∈ R ¸si polinomul f = X 3 − 3X 2 + mX − n care are r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 ∈ C. a) Determinat¸i valorile reale m ¸si n pentru care x1 = 2 + i. b) Determinat¸i valorile reale m ¸si n pentru care restul ˆımp˘art¸irii polinomului f la polinomul (X − 1)2 este egal cu 0. c) Ar˘atat¸i c˘ a, dac˘ a toate r˘ad˘acinile polinomului f sunt reale ¸si m > 0, n > 0, atunci x1 , x2 , x3 sunt strict pozitive.

SUBIECTUL III 1.

Fie funct¸ia f : R → R, f (x) =

√ 3 x3 − 3x + 2.

a) Ar˘atat¸i c˘ a dreapta de ecuat¸ie y = x este asimptot˘a oblic˘ a pentru graficul funct¸iei f spre +∞.

2.

b) Studiat¸i derivabilitatea funct¸iei f ˆın punctul x = −2. ln f (x) · c) Calculat¸i lim x→+∞ ln x cos x Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = · 2 − cos2 x Z π2 a) Calculat¸i f (x) dx. 0

h πi b) Ar˘atat¸i c˘ a orice primitiv˘a a funct¸iei f este strict cresc˘ atoare pe intervalul 0; . 2 Z 2π x · f (x) dx. c) Calculat¸i 0

5

M2 Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea stiint¸e ale naturii. Filiera tehnologic˘a: profilul servicii, toate calific˘arile profesionale; profilul resurse, toate calific˘arile profesionale; profilul tehnic, toate calific˘arile profesionale.

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a o progresie aritmetic˘a (an )n≥1 ˆın care a3 = 5 ¸si a5 = 11. Calculat¸i suma primilor ¸sapte termeni ai progresiei.

2.

Se consider˘ a funct¸iile f, g : R → R, f (x) = 2x − 1, g(x) = x + 3. Determinat¸i coordonatele punctului de intersect¸ie a graficelor funct¸iilor f ¸si g. √ Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 3 x2 − 1 = 2.

3. 4.

Calculat¸i a · b ¸stiind c˘ a a + b = 150 ¸si num˘ arul a reprezint˘ a 25% din num˘arul b.

5.

Determinat¸i m ∈ R pentru care punctele A(2, 3), B(4, 5) ¸si C(m + 1, m2 ) sunt coliniare. π 1 Calculat¸i cos x, ¸stiind c˘ a sin x = ¸si x ∈ 0, . 3 2

6.

SUBIECTUL II

1.



m Pentru m ∈ R se consider˘ a matricea A =  1 1

z ∈ R.

   1 0 mx + y = −1 1 1  ¸si sistemul de ecuat¸ii x + y + z = 3   1 m x + y + mz = 0

a) Calculat¸i determinantul matricei A. b) Rezolvat¸i sistemul pentru m = 0. c) Verificat¸i dac˘ a sistemul este incompatibil pentru m = 1. 2.

Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘ a legea de compozit¸ie x ? y = (x − 4)(y − 4) + 4. a) Demonstrat¸i c˘ a legea ”?” este asociativ˘ a. b) Demonstrat¸i c˘ a x ? y ∈ (4, +∞), oricare ar fi x, y ∈ (4, +∞). c) Calculat¸i 1 ? 2 ? 3 ? . . . ? 2010.

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R∗ → R, f (x) = x2 +

2 · x

a) Calculat¸i f 0 (x). b) Scriet¸i ecuat¸ia tangentei la graficul funct¸iei f ˆın punctul A(2, 5). c) Determinat¸i ecuat¸ia asimptotei verticale la graficul funct¸iei f . 2.

√ ln x Se consider˘ a funct¸iile f, g : (0, +∞) → R, f (x) = √ ¸si g(x) = 2 x(ln x − 2). x a) Demonstrat¸i c˘ a funct¸ia g este o primitiv˘a a funct¸iei f . Z 4 b) Calculat¸i f (x) dx. 1

c) Calculat¸i

Z

1

e2

2g(x) · f (x) dx.

6

, unde x, y,

SESIUNEA AUGUST M1 Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea matematic˘a - informatic˘ a. Filiera vocat¸ional˘ a, profilul militar, specializarea matematic˘a - informatic˘ a.

SUBIECTUL I 1.

√ √ Care dintre numerele 2 3 6 ¸si 3 3 3 este mai mare?

2.

Determinat¸i mult¸imea valorilor funct¸iei f : R → R, f (x) = |x|.

3.

Determinat¸i m ∈ R pentru care ecuat¸ia x2 − x + m2 = 0 are dou˘a solut¸ii reale egale. √ Determinat¸i num˘ arul termenilor rat¸ionali din dezvoltarea (1 + 4 2)41 .

4.

a punctele A(2, 1), B(−2, 3), C(1, −3) ¸si D(4, a), unde a ∈ R. 5. În sistemul de coordonate xOy se consider˘ Determinat¸i a ∈ R astfel ˆıncˆ at dreptele AB ¸si CD s˘a fie paralele. 3π π π . Care este probabilitatea ca, alegând un element din mult¸imea A, acesta s˘a 6. Fie mult¸imea A = 0; ; ; π; 6 2 2 fie solut¸ie a ecuat¸iei sin3 x + cos3 x = 1?

SUBIECTUL II 1.



0 Fie matricea A = 0 a

 1 0 0 1 ∈ M3 (R). Pentru n ∈ N∗ , not˘am Bn = An + An+1 + An+2 . 0 0

a) Ar˘atat¸i c˘ a A2010 = a670 · I3 .

b) Determinat¸i a ∈ R pentru care det(B1 ) = 0.

c) Determinat¸i a ∈ R pentru care toate matricele Bn , n ∈ N∗ sunt inversabile.

2.

Pe mult¸imea R se define¸ste legea x ? y = 2xy − 3x − 3y + m, m ∈ R. Fie mult¸imea M = R\

3 . 2

a) Determinat¸i m ∈ R astfel ˆıncˆ at x ? y ∈ M , pentru orice x, y ∈ M .

b) Pentru m = 6, ar˘ atat¸i c˘ a (M, ?) este grup.

c) Pentru m = 6, demonstrat¸i c˘ a funct¸ia f : M → R∗ , f x = 2x − 3 este un izomorfism ˆıntre grupurile (M, ?) ∗ ¸si (R , ·). SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) =

√ √ 3 2x − 1 − 3 2x + 1.

a) Scriet¸i ecuat¸ia tangentei la graficul funct¸iei f ˆın punctul de abscis˘a x = 0, situat pe graficul funct¸iei f .

2.

b) Determinat¸i ecuat¸ia asimptotei orizontale la graficul funct¸iei f spre +∞. 3 √ 2n f (1) + f (2) + . . . + f (n) √ c) Calculat¸i lim . 3 n→∞ − 2n + 1 Z 1 xn Se consider˘ a ¸sirul (In )n≥1 , In = dx. 2 0 x +x+1 a) Calculat¸i I1 + I2 + I3 . b) Ar˘atat¸i c˘ a ¸sirul (In )n≥1 este descresc˘ator. c) Calculat¸i lim In . n→∞

7

M2 Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea stiint¸e ale naturii. Filiera tehnologic˘a: profilul servicii, toate calific˘arile profesionale; profilul resurse, toate calific˘arile profesionale; profilul tehnic, toate calific˘arile profesionale. SUBIECTUL I x+1 ≤ 1. 3

1.

Determinat¸i x ∈ Z pentru care −1 ≤

2.

Determinat¸i funct¸ia de gradul al doilea al c˘ arei grafic cont¸ine punctele A(0, 0), B(2, 2), C(−1, 2).

3.

Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia log2 (x + 3) − log2 x = 2.

4.

Calculat¸i probabilitatea ca alegând la ˆıntˆ amplare un element n din mult¸imea {1, 2, 3, 4} acesta s˘a verifice inegalitatea 2n ≥ n2 .

5. În sistemul de coordonate xOy se consider˘ a punctele A(2, 0), B(1, −1), O(0, 0). Determinat¸i coordonatele punc−−→ −→ −−→ tului C pentru care OC = 2OA + OB. 6.

Calculat¸i lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC ˆın care AB = 6 ¸si m(ÂCB) = 30◦ . SUBIECTUL II

1.

2.



1 0 Se consider˘ a matricea A = 0 1 1 0

 0 0. 1

a) Calculat¸i determinantul matricei A.   1 0 0 b) Verificat¸i dac˘ a A−1 =  0 1 0, unde A−1 este inversa matricei A. −1 0 1   1 1 1 c) Rezolvat¸i ecuat¸ia A · X = 2 2 2, X ∈ M3 (R). 3 3 3

Fie polinomul f ∈ Z3 [X], f = X 3 + ˆ 2X 2 ¸si mult¸imea G = {g = aX 3 + bX 2 + cX + d | a, b, c, d ∈ Z3 }. a) Calculat¸i f (ˆ 1). b) Determinat¸i r˘ad˘acinile polinomului f . c) Determinat¸i num˘ arul elementelor mult¸imii G.

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : [0, 1] → R, f (x) =

ex · 1+x

f 0 (x) x = , oricare ar fi x ∈ [0, 1]. f (x) x+1 b) Demonstrat¸i c˘ a funct¸ia f este cresc˘ atoare pe [0, 1]. 2 1 c) Demonstrat¸i c˘ a ≤ ≤ 1, oricare ar fi x ∈ [0, 1]. e f (x) (√ x2 + 3, pentru x ≥ 1 Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = . 2x, pentru x < 1 a) Demonstrat¸i c˘ a

2.

a) Demonstrat¸i c˘ a funct¸ia f admite primitive pe R. b) Calculat¸i volumul corpului obt¸inut prin rotat¸ia ˆın jurul axei Ox a graficului funct¸iei g : [1, 2] → R, g(x) = f (x). Z √6 c) Calculat¸i x · f (x) dx. 1

8

M4 Filiera vocat¸ional˘ a, profilul pedagogic, specializarea ˆınv˘a¸t˘ator-educatoare.

SUBIECTUL I 1. 2.

Determinat¸i num˘ arul submult¸imilor mult¸imii A = {1, 3, 5, 7, 9}, care au dou˘a elemente. 1 pentru care funct¸ia f : R → R, f (x) = (3m − 1)x + 2 este cresc˘ atoare pe R. Determinat¸i m ∈ R\ 3

3.

Ar˘atat¸i c˘ a x1 x2 − 5(x1 + x2 ) = −10, unde x1 , x2 sunt solut¸iile ecuat¸iei ax2 − (2a + 1)x + 5 = 0, a ∈ R∗ .

4.

Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia log2

5.

Determinat¸i vectorul de pozit¸ie al centrului de greutate al triunghiului ABC ¸stiind c˘ a ~rA = 3~i−2~j, ~rB = −5~i+4~j, ~rC = 8~i + 7~j.

6.

Scriet¸i ecuat¸ia dreptei care trece prin punctul A(4, 3) ¸si are panta m = tan 45◦ .

3x − 2 = 1. x+2

SUBIECTUL II 1.

Pe mult¸imea numerelor reale se definesc legile de compozit¸ie x ? y = x + y + 2 ¸si x ◦ y = xy − 2x − 2y + m, unde m ∈ R. a) Aratat¸i c˘ a legea ”?” este asociativ˘ a pe mult¸imea numerelor reale. b) Determinat¸i m ∈ R pentru care 11 ◦ 1 = 0.

c) Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia (x − 1) ◦ 4 = (3 ? 3) + m.

d) Determinat¸i m ∈ R pentru care legea ”◦” admite elementul neutru e = 3.

e) Pentru m = 6 determinat¸i elementele x ∈ R ale c˘ aror simetrice, ˆın raport cu legea ”◦”, verific˘ a relat¸ia 3 0 x = − x. 2 f ) Ar˘atat¸i c˘ a numerele reale a = x ? x, b = a ? x, c = b ? x sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice pentru oricare x ∈ R.

SUBIECTUL III 1.



0 0 Se consider˘ a matricele: A = 1 0 1 1 a) Calculat¸i det(C) + det(A).

  0 1 0 0, I3 = 0 1 0 0 0

  0 0 0, O3 = 0 1 0

0 0 0

 0 0 ¸si C = I3 + A. 0

b) Calculat¸i C −1 , unde C −1 este inversa matricei C. c) Calculat¸i M = C · (C − 2A + A2 ) − I3 .

d) Ar˘atat¸i c˘ a det(I3 + xA) = 1, pentru orice x ∈ R.

e) Ar˘atat¸i c˘ a matricea C + C t este inversabil˘ a, unde C t este transpusa matricei C. f ) Calculat¸i A2010 .

9

Subiect de rezerv˘ a M2 Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea stiint¸e ale naturii. Filiera tehnologic˘a: profilul servicii, toate calific˘arile profesionale; profilul resurse, toate calific˘arile profesionale; profilul tehnic, toate calific˘arile profesionale.

SUBIECTUL I √ √ 5) + log2 (3 − 5).

1.

Calculat¸i log2 (3 +

2.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) = mx2 + 2x − 5. Determinat¸i m ∈ R pentru care abscisa vârfului parabolei asociate funct¸iei f este egal˘a cu 2.

3.

Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 31−x =

4.

Calculat¸i C62 − A24 .

2

1 · 27

a punctele O(0, 0), A(2, −2) ¸si B(6, 8). Calculat¸i distant¸a de la punctul 5. În sistemul de coordonate xOy se consider˘ O la mijlocul segmentului (AB). 6.

Calculat¸i cos 130◦ + cos 50◦ .

SUBIECTUL II

1.



1 Pentru m ∈ R se consider˘ a matricea A =  1 m

y, z ∈ R.

   −1 −1 x − y − z = −2 3 −1 ¸si sistemul de ecuat¸ii x + 3y − z = −2   0 2 mx + 2z = 4

a) Calculat¸i determinantul matricei A. b) Determinat¸i m ∈ R pentru care matricea A este inversabil˘ a. c) Rezolvat¸i sistemul pentru m = −1.

2.

Pe mult¸imea numerelor reale se define¸ste legea de compozit¸ie x ◦ y = 2xy − 2x − 2y + 3. a) Demonstrat¸i c˘ a x ◦ y = 2(x − 1)(y − 1) + 1, pentru oricare x, y ∈ R.

b) Determinat¸i elementul neutru al legii ”◦”.

c) Dat¸i exemplu de dou˘a numere a, b ∈ Q − Z pentru care a ◦ b ∈ Z. SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct¸ia f : R → R, f (x) =

√ x2 + 3.

a) Calculat¸i f 0 (x). b) Determinat¸i ecuat¸ia tangentei la graficul funct¸iei f ˆın punctul A(1, 2). c) Determinat¸i ecuat¸ia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funct¸iei f . 2.

Pentru n ∈ N∗ se consider˘ a funct¸iile fn : (0, ∞) → R, fn (x) = xn ln x. a) Calculat¸i

Z

e

e2

ln x dx. f1 (x)

1 b) Demonstrat¸i c˘ a primitivele funct¸iei f1 sunt convexe pe intervalul ,∞ . e Z e f2009 (x) dx. c) Calculat¸i x2010 1

10

, unde x,

BACALAUREAT 2011 ˘ SESIUNEA SPECIALA M1

Proba E c) Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea matematic˘a - informatic˘ a. Filiera vocat, ional˘ a, profilul militar, specializarea matematic˘a - informatic˘ a.

SUBIECTUL I 1.

Calculat, i modulul num˘ arului complex z = (3 + 4i)(5 − 12i).

2.

Punctul V (2, 3) este vârful parabolei asociate funct, iei f : R → R, f (x) = x2 + ax + b. Calculat, i f (3). √ Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale ecuat, ia | x − 1| = 2.

3. 4.

Determinat, i numerele naturale n, n ≥ 2, pentru care Cn2 ≤ 4 · A1n .

5.

Fie G(1, 0) centrul de greutate al triunghiului ABC, unde A(2, 5) s, i B(−1, −3). Determinat, i cordonatele punctului C.

6.

Calculat, i raza cercului ˆınscris ˆın triunghiul ABC s, tiind c˘ a AB = AC = 5 s, i BC = 8.

SUBIECTUL II 1.



1 Se consider˘ a matricea A = a 3 a) Calculat, i det A.

 2 −1 1 1, unde a ∈ Z. 0 2

b) Ar˘atat, i c˘ a rang A = 3, oricare ar fi a ∈ Z.

c) Determinat, i valorile ˆıntregi ale lui a s, tiind c˘ a matricea A−1 are toate elementele numere ˆıntregi.

2.

Se consider˘ a numerele reale a, b, c s, i polinomul f = X 4 + aX 3 + bX 2 + cX + 36 ∈ R[X], cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ C. a) Calculat, i a + b + c ˆın cazul ˆın care restul ˆımp˘art, irii lui f la X − 1 este 40. 1 1 1 1 1 + + + = · b) Determinat, i c ∈ R astfel ˆıncˆ at x1 x2 x3 x4 3 c) Ar˘atat, i c˘ a dac˘ a a = 6 s, i b = 18, atunci polinomul f nu are toate r˘ad˘acinile reale.

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct, ia f : (0, ∞) → R, f (x) = x4 − 4 ln x. a) Ar˘atat, i c˘ a funct, ia f este strict descresc˘atoare pe (0, 1]. b) Determinat, i asimptotele verticale ale graficului funct, iei f . c) Demonstrat, i c˘ a, pentru orice n ∈ N∗ , exist˘a un unic num˘ar xn ∈ (0, 1] pentru care f (xn ) = n.

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = cos x.

π a) Calculat, i aria suprafee, i determinate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i de dreptele de ecuat, ii x = 0, x = · 2 Z 1 x b) Calculat, i lim f (t) dt. x→+∞ x 0 Z π2 c) Demonstrat, i c˘ a s, irul (In )n≥1 , In = f n (x) dx este convergent. 0

1

M2 Proba E c) Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea s, tiint, ele naturii. Filiera tehnologic˘a: profilul servicii, toate calific˘arile profesionale; profilul resurse, toate calific˘arile profesionale; profilul tehnic, toate calific˘arile profesionale. SUBIECTUL I √ 3

1.

Comparat, i numerele a = log2 4 s, i b =

27.

2.

Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale inecuat, ia 3x2 − 11x + 6 ≤ 0.

3.

Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale ecuat, ia 3x

4.

Determinat, i n ∈ N, n ≥ 2, pentru care Cn1 + Cn2 = 15.

5.

Determinat, i numerele reale m pentru care punctul A(2m − 1, m2 ) se afl˘a pe dreapta d : x − y + 1 = 0.

6.

Calculat, i cos x, s, tiind c˘ a 0◦ < x < 90◦ s, i sin x =

2

+x+1

= 35x−2 .

12 · 13

SUBIECTUL II 1.

a Se consider˘ a mult, imea G = b

b a, b ∈ N . a

4 m2 a) Determinat, i numerele naturale m s, i n pentru care matricea ∈ G. 9 n2

b) Ar˘atat, i c˘ a dac˘ a U , V ∈ G, atunci U · V ∈ G.

c) Calculat, i suma elementelor matricei U ∈ G, s, tiind c˘ a suma elementelor matricei U 2 este egal˘a cu 8.

2.

Se consider˘ a polinomul f = X 4 − X 3 − 4X 2 + 2X + 4. a) Ar˘atat, i c˘ a restul ˆımp˘art, irii polinomului f prin polinomul g = X −

√ 2 este egal cu 0.

b) Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale ecuat, ia f (x) = 0.

c) Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale ecuat, ia 16x − 8x − 4 · 4x + 2 · 2x + 4 = 0. SUBIECTUL III

1.

Se consider˘ a funct, ia f : (0, ∞) → R, f (x) =

 x+1    x , x ∈ (1, ∞)    x + 1,

.

x ∈ (0, 1]

a) Demonstrat, i c˘ a funct, ia f este continu˘ a ˆın punctul x0 = 1. b) Ar˘atat, i c˘ a funct, ia f este convex˘ a pe intervalul (1, ∞). 1 c) Demonstrat, i c˘ a f (x) + f ≤ 4, pentru orice x ∈ (0, ∞). x 2.

Se consider˘ a funct, iile f : (0, ∞) → R, f (x) = ex · ln x s, i g : (0, ∞) → R, g(x) = a) Calculat, i

Z

1

2

x · g(x) dx. e2

f (x) dx. x · ex e Z e c) Demonstrat, i c˘ a (f (x) + g(x)) dx = ee .

b) Calculat, i

Z

1

2

ex · x

BACALAUREAT 2011 SESIUNEA IUNIE M1

Proba E c) Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea matematic˘a - informatic˘ a. Filiera vocat, ional˘ a, profilul militar, specializarea matematic˘a - informatic˘ a.

SUBIECTUL I √ √ 1. Ar˘atat, i c˘ a ( 2, 5) ∩ Z = {2}. 2. 3. 4.

Determinat, i valorile reale ale lui m pentru care dreapta x = 2 este axa de simetrie a parabolei y = x2 + mx + 4. π 1 = · Rezolvat, i ˆın mult, imea [0, 2π) ecuat, ia sin x − 6 2 Determinat, i n ∈ N, n ≥ 2, pentru care Cn2 + A2n = 18.

5.

Determinat, i a ∈ R pentru care dreptele d1 : ax + y + 2011 = 0 s, i d2 : x − 2y = 0 sunt paralele.

6.

Fie x un num˘ar real care verific˘ a egalitatea tan x + cot x = 2. Ar˘atat, i c˘ a sin 2x = 1.

SUBIECTUL II 1.



1 x Se consider˘ a matricea A(x) = 0 1 0 0

 x2 2x, unde x ∈ R. 1

a) Ar˘atat, i c˘ a A(x) · A(y) = A(x + y), oricare ar fi x, y ∈ R.

b) Ar˘atat, i c˘ a (A(x) − A(y))2011 = O3 , pentru orice x, y ∈ R. c) Determinat, i inversa matricei A(x), unde x ∈ R.

2.

Se consider˘ a α ∈ C s, i polinomul f = X 3 + (1 − α)X 2 + (α − 2)iX + α + (α − 2)i ∈ C[X]. a) Ar˘atat, i c˘ a polinomul f are r˘ad˘acina −1.

b) Ar˘atat, i c˘ a, dac˘ a p, q sunt numere complexe s, i polinomul g = X 2 + pX + q ∈ C[X] are dou˘a r˘ad˘acini distincte, complex conjugate, atunci p s, i q sunt numere reale s, i p2 < 4q. c) Determinat, i α ∈ C pentru care polinomul f are dou˘a r˘ad˘acini distincte, complex conjugate. SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct, ia f : (1, ∞) → R, f (x) = ln(x + 1) − ln(x − 1). a) Ar˘atat, i c˘ a funct, ia f este strict descresc˘atoare pe (1, ∞).

b) Determinat, i asimptotele graficului funct, iei f . c) Calculat, i lim xf (x). x→∞

2.

Se consider˘ a funct, ia f : [1, 2] → R, f (x) = x2 − 3x + 2. Z 4 √ a) Calculat, i f ( x) dx. 1

b) Calculat, i aria suprafet, ei determinate de graficul funct, iei g : [1, 2] → R, g(x) = Z 2 Z 2 c) Ar˘atat, i c˘ a (4n + 2) f n (x) dx + n f n−1 (x) dx = 0. 1

1

3

f (x) s, i de axa Ox. x

M2

Proba E c) Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea s, tiint, ele naturii. Filiera tehnologic˘a: profilul servicii, toate calific˘arile profesionale; profilul resurse, toate calific˘arile profesionale; profilul tehnic, toate calific˘arile profesionale.

SUBIECTUL I 1.

Determinat, i x ∈ R pentru care numerele x−1, x+1 s, i 3x−1 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = 5 − x. Calculat, i f (0) · f (1) · f (2) · . . . · f (10). √ Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale ecuat, ia x − 1 = x − 3.

3. 4.

Determinat, i num˘ arul submult, imilor ordonate cu 2 elemente ale unei mult, imi cu 7 elemente.

5.

Calculat, i distant, a de la punctul A(2, 3) la punctu de intersect, ie a dreptelor d1 : 2x−y−6 = 0 s, i d2 : −x+2y−6 = 0.

6.

Calculat, i cosinusul unghiului M al triunghiului M N P , s, tiind c˘ a M N = 4, M P = 5 s, i N P = 6.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a matricele I2 =

1 0

0 1 −1 ,A= si X(a) = I2 + aA, unde a ∈ Z. 1 −2 2 ,

a) Calculat, i A2 − 3A.

b) Demonstrat, i c˘ a X(a) · X(b) = X(a + b + 3ab), oricare ar fi a, b ∈ Z. c) Ar˘atat, i c˘ a X(a) este matrice inversabil˘ a, oricare ar fi a ∈ Z.

2.

Polinomul f = X 3 + 2X 2 − 5X + m, cu m ∈ R, are r˘ad˘acinile x1 , x2 s, i x3 . a) Calculat, i x21 + x22 + x23 . 1 1 1 b) Determinat, i m ∈ R∗ pentru care x1 + x2 + x3 = + + · x1 x2 x3 x1 x2 x3 c) Ar˘atat, i c˘ a determinantul ∆ = x2 x3 x1 este num˘ar natural, oricare ar fi m ∈ R. x3 x1 x2 SUBIECTUL III

1.

Se consider˘ a funct, ia f : [1, ∞) → R, f (x) = ex −

1 · x

f (x) − f (2) · x→2 x−2 b) Ar˘atat, i c˘ a f (x) > 0, oricare ar fi x ∈ [1, ∞). a) Calculat, i lim

2.

c) Ar˘atat, i c˘ a graficul funct, iei f nu admite asimptot˘a spre +∞. √ Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = x2 + 10. a) Calculat, i volumul corpului obt, inut prin rotat, ia, ˆın jurul axei Ox, a graficului funct, iei g : [0, 3] → R, g(x) = f (x). b) Demonstrat, i c˘ a orice primitiv˘a F a funct, iei f este cresc˘ atoare pe mult, imea R. Z 10 Z 10 c) Demonstrat, i c˘ a f (x) dx = 2 · f (x) dx. −10

0

4

M4

Proba E c) Filiera vocat, ional˘ a, profilul pedagogic, specializarea ˆınv˘at, ˘ator-educatoare

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a o progresie aritmetic˘a (an )n≥1 , ˆın care a2 = 5 s, i a4 = 11. Calculat, i a6 .

2.

Se consider˘ a funct, iile f : R → R, f (x) = ax + b s, i g : R → R, g(x) = cx + d, unde a, b, c, d sunt numere reale. Ar˘atat, i c˘ a, dac˘ a f (1) = g(1) s, i f (3) = g(3), atunci f (5) = g(5).

3.

Se noteaz˘ a cu x1 s, i x2 solut, iile reale ale ecuat, iei x2 − 5x + 3 = 0. Calculat, i

4.

Determinat, i mult, imea solut, iilor reale ale ecuat, iei log2 (x2 + x + 2) = 2.

5.

−−→ −−→ −−→ −−→ Se consider˘ a un triunghi ABC s, i punctele M , N , astfel ˆıncˆ at AM = 3 · M B s, i AN = 3 · N C. Ar˘atat, i c˘ a dreptele M N s, i BC sunt paralele.

6.

1 1 + · x1 x2

Se consider˘ a un triunghi ABC ˆın care unghiurile A s, i C au m˘asurile egale cu 30◦ , respectiv 90◦ . S, tiind c˘ a BC = 6, calculat, i lungimea laturii AC.

SUBIECTUL II Pe mult, imea R se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = xy − 2x − 2y + 6. a) Ar˘atat, i c˘ a legea ”⋆” este comutativ˘a. b) Ar˘atat, i c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. c) Determinat, i num˘ arul real a pentru care are loc egalitatea x ⋆ y = (2 − x)(2 − y) + a, oricare ar fi x, y ∈ R. d) Rezolvat, i ˆın mult, imea R ecuat, ia x ⋆ x = x. e) Determinat, i elementul neutru al legii ”⋆”. 1 + 2 = 3, pentru orice x ∈ R∗ . f ) Ar˘atat, i c˘ a (x + 2) ⋆ x SUBIECTUL III 

1 0 Se consider˘ a matricele I3 = 0 1 0 0

  0 0 a 0 s, i A =  0 0 1 −a 0

 0 −a, unde a ∈ R. 0

a) Determinat, i num˘ arul real a pentru care det(A + I3 ) = 1.

b) Calculat, i det(A + t A), unde t A este transpusa matricei A. c) Pentru a = 1, determinat, i inversa matricei A. d) Ar˘atat, i c˘ a A3 = a3 · I3 . e) Pentru a = 1, verificat, i egalitatea (A + I3 )(A2 − A + I3 ) = 2I3 . f ) Determinat, i valorile num˘ arului real a pentru care det(A + t A + I3 ) = 1.

5

SESIUNEA AUGUST M1

Proba E c) Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea matematic˘a - informatic˘ a. Filiera vocat, ional˘ a, profilul militar, specializarea matematic˘a - informatic˘ a.

SUBIECTUL I 1.

Calculat, i rat, ia progresiei geometrice (bn )n≥1 , cu termeni pozitivi, dac˘a b1 + b2 = 6 s, i b3 + b4 = 24.

2.

4.

Determinat, i a ∈ R pentru care funct, ia f : R → R, f (x) = (1 − a2 )x + 4 este constant˘ a. x x 3 2 Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale inecuat, ia < . 2 3 √ Determinat, i num˘ arul termenilor rat, ionali ai dezvolt˘ arii (1 + 2)10 .

5.

Calculat, i distant, a de la punctul A(2, 2) la dreapta determinat˘ a de punctele B(1, 0) s, i C(0, 1).

6.

−−→ −→ Triunghiul ABC are m˘asura unghiului A de 60◦ , AB = 4 s, i AC = 5. Calculat, i AB · AC.

3.

SUBIECTUL II 1.

Se consider˘ a mult, imea H = A ∈ M2 (R) | A2 = A . 1 2 a) Ar˘atat, i c˘ a ∈ H. 0 0

b) Demonstrat, i c˘ a, dac˘ a A ∈ H, atunci An ∈ H, pentru orice num˘ar natural nenul n. c) Ar˘atat, i c˘ a mult, imea H este infinit˘ a.

2.

Se consider˘ a polinomul f = (X + i)10 + (X − i)10 , având forma algebric˘a f = a10 X 10 + a9 X 9 + · · · + a1 X + a0 , unde a0 , a1 , . . . , a10 ∈ C. a) Determinat, i restul ˆımp˘art, irii polinomului f la X?i. b) Ar˘atat, i c˘ a tot, i coeficient, ii polinomului f sunt numere reale. c) Demonstrat, i c˘ a toate r˘ad˘acinile polinomului f sunt numere reale.

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = x5 − 5x + 4. f (x) − f (2) · x−2 b) Ar˘atat, i c˘ a graficul funct, iei f are un punct de inflexiune. a) Calculat, i lim

x→2

c) Ar˘atat, i c˘ a, pentru orice m ∈ (0, ∞), ecuat, ia f (x) = m are exact trei solut, ii reale distincte. 2.

Se consider˘ a funct, ia g : R → R, g(x) = e−x . Z 1 a) Calculat, i g(x) dx. 0

b) Calculat, i

Z

1

x5 g(x3 ) dx.

0

c) Demonstrat, i c˘ a s, irul (In )n≥1 definit prin In =

Z

1

6

n

g(x3 ) dx este convergent.

M2

Proba E c) Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea s, tiint, ele naturii. Filiera tehnologic˘a: profilul servicii, toate calific˘arile profesionale; profilul resurse, toate calific˘arile profesionale; profilul tehnic, toate calific˘arile profesionale.

SUBIECTUL I 1. Într-o progresie aritmetic˘a (an )n≥1 se cunosc a2 = 6 s, i a3 = 5. Calculat, i a6 . 2.

Determinat, i solut, iile ˆıntregi ale inecuat, iei 2x2 − x − 3 ≤ 0.

3.

Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale ecuat, ia log3 (x + 2) − log3 (x − 4) = 1.

4.

Dup˘a o scumpire cu 5%, pret, ul unui produs cres, te cu 12 lei. Calculat, i pret, ul produsului ˆınainte de scumpire.

a punctele A(1, 4) s, i B(5, 0). Determinat, i ecuat, ia mediatoarei segmentului 5. În reperul cartezian xOy se consider˘ [AB]. 6.

Calculat, i raza cercului circumscris triunghiului ABC, s, tiind c˘ a BC = 9 s, i m(∢BAC) = 120◦.

SUBIECTUL II 1.

1 Se consider˘ a determinantul D(x, y) = 1 1 a) Calculat, i D(−1, 1).

1 1 x y , unde x, y ∈ Z. x + 1 y + 1

b) Determinat, i x ∈ Z pentru care D(x, 2010) = 1.

c) Demonstrat, i c˘ a D(x, y) · D(x, −y) = D(x2 , y 2 ), oricare ar fi x, y ∈ Z.

2.

Pe mult, imea numerelor reale se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = 2xy − 6x − 6y + 21. a) Ar˘atat, i c˘ a x ⋆ y = 2(x − 3)(y − 3) + 3, oricare ar fi x, y ∈ R.

b) Ar˘atat, i c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. c) Calculat, i 1 ⋆ 2 ⋆ . . . ⋆ 2011.

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = x3 + x2 + x + 3x . a) Calculat, i f ′ (0). b) Ar˘atat, i c˘ a funct, ia f este cresc˘ atoare pe R. c) Ar˘atat, i c˘ a a3 + a2 + a − b3 − b2 − b ≤ 3b − 3a , oricare ar fi numerele reale a, b cu a ≤ b.

2.

Pentru fiecare num˘ ar natural nenul n se consider˘ a funct, ia fn : [0, 1] → R, fn (x) = xn ex . Z 1 f1 (x) a) Calculat, i dx. ex 0 Z 1 f1 (x) dx. b) Calculat, i 0

c) Ar˘atat, i c˘ a

Z

0

1

fn (x2 ) dx ≥

1 , pentru orice n ∈ N, n ≥ 1. 2n + 1

7

M4

Proba E c) Filiera vocat, ional˘ a, profilul pedagogic, specializarea ˆınv˘at, ˘ator-educatoare

SUBIECTUL I √ √ 17) + log2 (5 − 17).

1.

Calculat, i log2 (5 +

2.

Calculat, i

3.

Graficul unei funct, ii de gradul al II-lea este o parabol˘a care are abscisa vârfului egal˘a cu 2 s, i intersecteaz˘ a axa Ox ˆın dou˘a puncte distincte. Dac˘ a unul dintre acestea are abscisa egal˘a cu 5, atunci determinat, i abscisa celuilalt punct de intersect, ie.

4.

Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor ˆıntregi ecuat, ia 2x+3 =

5.

Ar˘atat, i c˘ a dreapta determinat˘ a de punctele A(1, ?2) s, i B(?2, 4) este perpendicular˘a pe dreapta d de ecuat, ie x?2y + 3 = 0.

6.

Calculat, i lungimea razei cercului circumscris unui triunghi ABC ˆın care AB = 6 s, i m(∢BCA) = 60◦ .

P4 − C41 · A15

1 · 4

SUBIECTUL II 1 Pe mult, imea R se definesc legile de compozit, ie x ⋆ y = x + y − 1 s, i x ◦ y = (xy − x − y + 3). 2 a) Ar˘atat, i c˘ a legea ”⋆” este asociativ˘ a. b) Determinat, i elementul neutru al mult, imii R ˆın raport cu legea ”⋆”. c) Ar˘atat, i c˘ a x◦y =

1 (x − 1)(y − 1) + 1, pentru orice x, y ∈ R. 2

d) Rezolvat, i ˆın R ecuat, ia 2x ◦ 3 = 1. e) Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale sistemul

(

(x + 1) ⋆ y = 3 (2x) ◦ (y − 1) = xy − 1

.

f ) Demonstrat, i c˘ a (x ⋆ y) ◦ z = (x ◦ z) ⋆ (y ◦ z), pentru orice x, y, z ∈ R. SUBIECTUL III



    1 2 a 0 1 1 1 Se consider˘ a matricele A = 2 a 1, B = 1 0 1, I3 = 0 a 1 2 1 1 0 0   x + 2y + az = 6  (S) 2x + ay + z = 6 , unde a este un parametru real.   ax + y + 2z = 6

 0 0 1 0 s, i sistemul de ecuat, ii liniare 0 1

a) Determinat, i num˘ arul real a pentru care tripletul (1, 1, 1) este solut, ie a sistemului (S).

b) Ar˘atat, i c˘ a A2 − (a2 + 5)I3 = (3a + 2)B. c) Determinat, i num˘ arul real a pentru care suma elementelor matricei A2 este egal˘a cu 0. d) Ar˘atat, i c˘ a, pentru a =?3, sistemul (S) este incompatibil. e) Pentru a = 0, rezolvat, i sistemul (S). f ) Determinat, i inversa matricei B.

8

BACALAUREAT 2012 ˘ SESIUNEA SPECIALA

Proba E c) M1 Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea matematic˘a - informatic˘ a. Filiera vocat, ional˘ a, profilul militar, specializarea matematic˘a - informatic˘ a.

SUBIECTUL I 1.

Determinat, i num˘ arul real m s, tiind c˘ a mult, imile A = {2} s, i B = {x ∈ R | x2 + mx + 4 = 0} sunt egale.

2.

Determinat, i coordonatele vârfului parabolei asociate funct, iei f : R → R, f (x) = x2 − 3x + 2.

3.

Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale inecuat, ia 3log3 x < 1.

4.

Calculat, i probabilitatea ca, alegând la ˆıntˆ amplare unul din numerele naturale de 2 cifre, acesta s˘a fie format doar din cifre impare.

5.

Determinat, i num˘ arul real a pentru care vectorii ~u = 3~i + a~j s, i ~v = a~i + (2a − 3)~j sunt coliniari.

6.

Calculat, i raza cercului circumscris triunghiului ABC, s, tiind c˘ a AB = AC = 5 s, i BC = 6.

SUBIECTUL II  1 1. În M3 (C) se consider˘ a matricele I3 = 0 0

  0 0 cos x 0 1 0 s, i A(x) =  0 1 0 1 i sin x 0

 i sin x 0 , unde x ∈ R. cos x

a) Calculat, i det(A(π)). b) Ar˘atat, i c˘ a A(x) · A(y) = A(x + y) pentru orice x, y ∈ R.

c) Determinat, i numerele reale x pentru care (A(x))2012 = I3 .

2.

Pe mult, imea G = (0, 1) se defines, te legea de compozit, ie asociativ˘ a x◦y =

xy . 2xy − x − y + 1

1 este elementul neutru al legii de compozit, ie ”◦”. 2 b) Ar˘atat, i c˘ a orice element din mult, imea G este simetrizabil ˆın raport cu legea de compozit, ie ”◦”. 1 c) Demonstrat, i c˘ a f : G → R∗+ , f (x) = − 1 este un izomorfism de la grupul (G, ◦) la grupul (R∗+ , ·). x a) Ar˘atat, i c˘ ae=

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) =

ex + e−x . 2

x . f (x) b) Demonstrat, i c˘ a funct, ia f este convex˘ a pe R. a) Calculat, i lim

x→+∞

2.

√ c) Ar˘atat, i c˘ a funct, ia g : (0, +∞) → R, g(x) = f ( x) este strict cresc˘ atoare pe (0, +∞). Z 1 Z p xn · 1 − x2 dx s, i Jn = Pentru fiecare num˘ ar natural nenul n se consider˘ a numerele In = 0

a) Calculat, i J1 . b) Calcuat, i I1 . c) Demonstrat, i c˘ a J2n = J2n+2 = I2n pentru orice num˘ar natural nenul n.

1

0

π 2

sinn x dx.

M2 Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea stiint, e ale naturii. Filiera tehnologic˘ a: profilul servicii, toate calific˘arile profesionale; profilul resurse, toate calific˘arile profesionale; profilul tehnic, toate calific˘arile profesionale.

SUBIECTUL I 1. Într-o progresie aritmetic˘a (an )n≥1 se cunosc a4 = 7 s, i a9 = 22. Calculat, i a14 . 2.

Determinat, i coordonatele punctului de intersect, ie a graficelor funct, iilor f : R → R, f (x) = x − 3 s, i g : R → R, g(x) = 5 − x.

3.

Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale ecuat, ia 23−x =

4.

Determinat, i cˆ ate numere naturale de 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mult, imii M = {0, 1, 2, 3}.

1 . 4

a punctele A(1, 2) s, i B(3, 0). Determinat, i coordonatele simetricului 5. Într-un reper cartezian xOy se consider˘ punctului A fat, ˘ a de punctul B. 6.

Calculat, i lungimea laturii BC a triunghiului ABC, s, tiind c˘ a AB = 6, AC = 5 s, i m(∢BAC) = 60◦ .

SUBIECTUL II

1.

  x + y − 2z = 0 Se consider˘ a sistemul de ecuat, ii x − y + z = 1   x + y + az = 2

, unde a ∈ R.

a) Calculat, i determinantul matricei asociate sistemului.

b) Determinat, i valorile reale ale lui a pentru care matricea asociat˘a sistemului este inversabil˘ a. c) Pentru a = 0, rezolvat, i sistemul de ecuat, ii. 2.

Pe mult, imea numerelor reale se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = x + y − 1. a) Ar˘atat, i c˘ a x ⋆ 1 = x, pentru orice x ∈ R.

b) Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale ecuat, ia x ⋆ x ⋆ x = 4. c) Determinat, i num˘ arul natural n, n ≥ 2, pentru care Cn1 ⋆ Cn2 = 14. SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct, ia f : (0, +∞) → R, f (x) = a) Ar˘atat, i c˘ a

x+1 . ex

f ′ (x) x =− pentru orice x ∈ (0, +∞). f (x) x+1

b) Ar˘atat, i c˘ a funct, ia f este descresc˘atoare pe (0, +∞). c) Determinat, i ecuat, ia asimptotei oblice la graficul funct, iei g : (0, +∞) → R, g(x) = 2.

e2x · f 2 (x) . x

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = x2012 + x2011 + x2 + x. a) Determinat, i primitiva F : R → R a funct, iei f , care verific˘ a relat, ia F (0) = 1. Z 1 f (x) b) Calculat, i dx. 0 x+1 c) Calculat, i volumul corpului obt, inut prin rotat, ia ˆın jurul axei Ox a graficului funct, iei g : [1, 2] → R, g(x) = f (x) − x2012 − x2011 .

2

BACALAUREAT 2012 SESIUNEA IULIE Proba E c) M1 Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea matematic˘a - informatic˘ a. Filiera vocat, ional˘ a, profilul militar, specializarea matematic˘a - informatic˘ a. SUBIECTUL I 1.

Calculat, i modulul num˘ arului complex (1 + i)2 .

2.

Determinat, i coordonatele punctelor de intersect, ie a graficelor funct, iilor f : R → R, f (x) = x2 + 2x s, i g : R → R, g(x) = −x − 2.

3.

Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale inecuat, ia 2x+1 ≤ 4.

4.

Calculat, i probabilitatea ca, alegând la ˆıntˆ amplare una dintre submult, imile cu trei elemente ale mult, imii A = {1, 2, 3, 4, 5}, elementele submult, imii alese s˘a fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

5.

Se consider˘ a vectorii ~u = ~i − 2~j s, i ~v = a~i − ~j. Determinat, i num˘arul real a pentru care ~u · ~v = 3.

6.

Calculat, i cosinusul unghiului A al triunghiului ABC ˆın care AB = 4, AC = 5 s, i BC = 7. SUBIECTUL II

1.

  2x + y + 3z = 0 Se consider˘ a sistemul x + 2y + 3z = 0,   x + y + mz = 0

unde m ∈ R.

a) Calculat, i determinantul matricei sistemului.

2.

b) Determinat, i valorile reale ale lui m pentru care sistemul are solut, ie unic˘ a. ˆ c) In cazul m = 2, determinat, i solut, ia (x0 , y0 , z0 ) a sistemului pentru care x0 > 0 s, i x20 + y02 + z02 = 3. 3 −2 Se consider˘ a matricea A = ∈ M2 (R) s, i mult, imea G = {X(p) = I2 + pA | p ∈ R \ {−1}}. 3 −2 a) Ar˘atat, i c˘ a X(p) · X(q) ∈ G, pentru orice X(p), X(q) ∈ G. b) Admitem c˘ a (G, ·) este grup comutativ având elementul neutru X(0). Determinat, i inversul elementului X(p) ˆın acest grup. 3

c) Rezolvat, i ecuat, ia (X(p)) = I2 + 7A, unde X(p) ∈ G. SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = x3 − 12x. a) Ar˘atat, i c˘ a funct, ia este cresc˘ atoare pe intervalul [2, +∞). ex . b) Calculat, i lim x→∞ f (x) c) Determinat, i mult, imea numerelor reale a pentru care ecuat, ia f (x) = a are trei solut, ii reale distincte.

2.

Se consider˘ a funct, ia f : (−1, ∞) → R, f (x) =

2x + 3 . x+2

a) Ar˘atat, i c˘ a orice primitiv˘a a lui f este strict cresc˘ atoare pe (−1, ∞). Z 1 f (x) dx. b) Calculat, i 0 x+1 Z 2x f (t) dt . c) Calculat, i lim x x→∞ x

3

M2 Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea stiint, e ale naturii. Filiera tehnologic˘ a: profilul servicii, toate calific˘arile profesionale; profilul resurse, toate calific˘arile profesionale; profilul tehnic, toate calific˘arile profesionale.

SUBIECTUL I 1.

Ar˘atat, i c˘ a 2−1 + 2−2 = 0, 75.

2.

Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale inecuat, ia

3.

Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale ecuat, ia

4.

La o banc˘ a a fost depus˘a ˆıntr-un depozit suma de 900 lei cu o dobând˘a de p% pe an. Calculat, i p, s, tiind c˘ a, dup˘a un an, ˆın depozit suma este de 1008 lei.

√

2 < 0. x−3 x + 2 = x + 2.

a punctele O(0, 0) s, i A(2, 3). Determinat, i coordonatele punctului B, 5. În reperul cartezian xOy se consider˘ s, tiind c˘ a A este mijlocul segmentului (OB). 6.

Determinat, i m˘asura x a unui unghi ascut, it, s, tiind c˘ a

sin x + 4 cos x = 5. cos x

SUBIECTUL II 1.



1 0 Se consider˘ a matricele H(x) = 0 1 0 0

 0 ln x, cu x ∈ (0, ∞). 1

a) Ar˘atat, i c˘ a det(H(x)) = 1, pentru orice x ∈ (0, ∞).

b) Determinat, i num˘ arul real a, a > 0, astfel ˆıncˆ at H(x) · H(a) = H(x), pentru orice x > 0. c) Calculat, i determinantul matricei H(1) + H(2) + · · · + H(2012).

a polinomul f = X 3 + 3X 2 − 3X − 1, cu r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 . 2. În R[X] se consider˘ a) Ar˘atat, i c˘ a polinomul f se divide cu X − 1.

b) Calculat, i x21 + x22 + x23 .

c) Verificat, i dac˘ a (2 − x1 )(2 − x2 )(2 − x3 ) = 13. SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct, ia f : (0, ∞) → R, f (x) =

√ x − ln x.

f (x) − f (4) . x→4 x−4 b) Demonstrat, i c˘ a funct, ia f este cresc˘ atoare pe intervalul (4, ∞). a) Ar˘atat, i c˘ a lim

c) Determinat, i ecuat, ia asimptotei verticale la graficul funct, iei f .

2.

Se consider˘ a funct, ia f : R → R, f (x) = xex . a) Ar˘atat, i c˘ a funct, ia F : R → R, F (x) = xex − ex + 2012 este o primitiv˘a a funct, iei f . Z e b) Calculat, i f (ln x) dx. 1

c) Determinat, i volumul corpului obt, inut prin rotat, ia ˆın jurul axei Ox a graficului funct, iei g : [1, 2] → R, f (x) . g(x) = x

4

M4 Filiera vocat, ional˘ a, profilul pedagogic, specializarea ˆınv˘at, ˘ator-educatoare

SUBIECTUL I 1 . 10

1.

Calculat, i lg 100 + lg

2.

Determinat, i mult, imea valorilor funct, iei f : {−1, 0, 1} → R, f (x) = −x + 2.

3.

Determinat, i coordonatele vârfului parabolei asociate funct, iei f : R → R, f (x) = x2 + 2x − 1.

4.

Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale ecuat, ia 32x+1 = 9.

a punctele A(1, 2) s, i B(2, 0). Calculat, i distant, a de la A la B. 5. Într-un reper cartezian xOy se consider˘ 6.

Calculat, i sin2 10◦ + sin2 80◦ .

SUBIECTUL II 1 1 1 4 Pe mult, imea M = , ∞ se defines, te legea de compozit, ie x ◦ y = xy − x − y + . 3 3 3 9 1 1 1 y− + , pentru orice x, y ∈ M . a) Verificat, i dac˘ a x◦y = x− 3 3 3 b) Ar˘atat, i c˘ a x ◦ y = y ◦ x, pentru orice x, y ∈ M . c) Demonstrat, i c˘ a legea de compozit, ie ”◦” este asociativ˘ a. d) Determinat, i e ∈ M astfel ˆıncˆ at x ◦ e = e ◦ x = x, pentru orice x ∈ M . e) Rezolvat, i ˆın mult, imea M ecuat, ia x ◦ x =

4 . 9

1 1 8a2 + 1 f ) Ar˘atat, i c˘ a a+ ◦3◦ a+ = , pentru orice a ∈ M . 3 3 3 SUBIECTUL III 

m 1 Se consider˘ a matricea A(m) =  1 m −1 1

num˘ar real.

 −1 −1 s, i sistemul (S) m

  mx + y − z = 1 x + my − z = 1,   − x + y + mz = 1

a) Calculat, i det(A(2)). b) Ar˘atat, i c˘ a det(A(m)) = m3 − m. c) Determinat, i valorile reale ale lui m pentru care det(A(m)) = 0. 1 1 1 d) Verificat, i dac˘ a, pentru m = 3, tripletul este solut, ie a sistemului (S). , , 3 3 3 e) Pentru m = 2, rezolvat, i sistemul (S). f ) Pentru m = 0, ar˘ atat, i c˘ a sistemul (S) nu are solut, ii.

5

unde m este un

BACALAUREAT 2012 SESIUNEA AUGUST

Proba E c) M1 Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea matematic˘a - informatic˘ a. Filiera vocat, ional˘ a, profilul militar, specializarea matematic˘a - informatic˘ a.

SUBIECTUL I 1.

√ √ √ √ Ar˘atat, i c˘ a log2 ( 7 + 3) + log2 ( 7 − 3) = 2.

2.

Calculat, i distant, a dintre punctele de intersect, ie a graficului funct, iei f : R → R, f (x) = x2 + 5x + 4 cu axa Ox.

3.

Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale ecuat, ia 3x + 3x+1 = 4.

4.

Determinat, i rangul termenului care cont, ine x14 ˆın dezvoltarea binomului

5.

Determinat, i ecuat, ia dreptei care trece prin punctul A(3, 3) s, i este paralel˘ a cu dreapta d de ecuat, ie 3x + 2y − 1 = 0. √ Determinat, i m˘asura unghiului C al triunghiului ABC, s, tiind c˘ a BC = 2, AB = 2 s, i m˘asura unghiului BAC este egal˘a cu 45◦ .

6.

20 1 , x > 0. x+ √ x

SUBIECTUL II 1.

  −x + ay + (2a + 4)z = 1 Se consider˘ a sistemul de ecuat, ii (a + 2)x + ay + (a + 1)z = 1   (a + 1)x + (2a − 1)y + 3z = 2

, unde a ∈ R.

a) Ar˘atat, i c˘ a determinantul matricei sistemului este egal cu 3a3 + 9a2 − 3a − 9.

b) Determinat, i valorile reale ale lui a pentru care sistemul este compatibil determinat. c) Pentru a = −2, rezolvat, i sistemul. 2.

Se consider˘ a polinomul f = X 8 + ˆ 4X 4 + ˆ3, f ∈ Z5 [X]. a) Ar˘atat, i c˘ a a5 = a, pentru orice a ∈ Z5 .

b) Ar˘atat, i c˘ a polinomul f este reductibil peste Z5 . c) Ar˘atat, i c˘ a polinomul f nu are r˘ad˘acini ˆın Z5 . SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R → (0, +∞), f (x) = x +

√ x2 + 1.

f (x) − 1 . x→0 x b) Determinat, i ecuat, ia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funct, iei f . a) Calculat, i lim

2.

c) Demonstrat, i c˘ a, pentru orice num˘ ar real m > 0, ecuat, ia f (x) = m are o solut, ie unic˘ a ˆın R. Z 1 2 Pentru fiecare num˘ ar natural nenul p, se consider˘ a num˘arul Ip = xp ex dx. 0

a) Calculat, i I1 . b) Ar˘atat, i c˘ a 2Ip + (p − 1)Ip−2 = e, pentru orice p ≥ 3. 22 n2 1 122 n n2 + · · · + ne n2 e . + 2e c) Calculat, i lim n→+∞ n2

6

M2 Filiera teoretic˘a, profilul real, specializarea stiint, e ale naturii. Filiera tehnologic˘ a: profilul servicii, toate calific˘arile profesionale; profilul resurse, toate calific˘arile profesionale; profilul tehnic, toate calific˘arile profesionale.

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a num˘ arul a = log3 2. Ar˘ atat, i c˘ a log3 6 = 1 + a.

2.

Determinat, i num˘ arul real m, s, tiind c˘ a punctul A(0, 1) apart, ine graficului funct, iei f : R → R, f (x) = x2 − 2x + m − 3.

3.

Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale ecuat, ia log2 (x + 1) − log2 (x + 3) = −1.

4.

Determinat, i probabilitatea ca, alegând un num˘ar din mult, imea {1, 2, 3, . . . , 30}, acesta s˘a fie divizibil cu 7.

a punctul A(4, −1). Determinat, i coordonatele punctului B, s, tiind c˘ a 5. În reperul cartezian xOy se consider˘ O este mijlocul segmentului (AB). 6.

Calculat, i cosinusul unghiului A al triunghiului ABC, s, tiind c˘ a AB = 5, AC = 6 s, i BC = 7.

SUBIECTUL II

1.

  x + y + z = 1 Se consider˘ a sistemul 2x + ay + 3z = 1   4x + a2 y + 9z = 1

, unde a ∈ R s, i se noteaz˘ a cu A matricea sistemului.

a) Ar˘atat, i c˘ a det A = −a2 + 5a − 6.

b) Determinat, i valorile reale ale num˘ arului a pentru care matricea A este inversabil˘ a. c) Pentru a = 1, rezolvat, i sistemul. a polinomul f = mX 5 + nX, cu m, n ∈ Z5 . 2. În Z5 [X] se consider˘ a) Determinat, i n ∈ Z5 pentru care f (ˆ 1) = m. ˆ ˆ b) Pentru m = 1 s, i n = 4, determinat, i r˘ad˘acinile din Z5 ale polinomului f . c) Ar˘atat, i c˘ a, dac˘ a f (ˆ 1) = f (ˆ 2), atunci f (ˆ3) = f (ˆ4).

SUBIECTUL III 1.

Se consider˘ a funct, ia f : R \ {−1} → R, f (x) =

x2 − x − 1 . x+1

a) Calculat, i f ′ (x), x ∈ R \ {−1}.

f (x) · ln x . x2 − x − 1 c) Determinat, i ecuat, ia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funct, iei f . √ Se consider˘ a funct, ia f : (0, +∞) → R, f (x) = ex · x + 1. b) Calculat, i lim

x→+∞

2.

f (x) . a) Determinat, i primitivele funct, iei g : (0, +∞) → R, g(x) = √ x+1 Z 2 √ b) Calculat, i x + 1 · f (x) dx. 1

c) Calculat, i aria suprafet, ei determinate de graficul funct, iei h : (0, +∞) → R, h(x) = e−x · f (x), axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = 2 s, i x = 3.

7

M4 Filiera vocat, ional˘ a, profilul pedagogic, specializarea ˆınv˘at, ˘ator-educatoare

SUBIECTUL I 1.

Se consider˘ a progresia aritmetic˘a (an )n≥1 cu rat, ia r = −2 s, i a1 = 19. Calculat, i a7 .

2.

4x Determinat, i coordonatele punctelor de intersect, ie a graficului funct, iei f : R → R, f (x) = 4 − cu axa 3 Ox s, i respectiv cu axa Oy.

3.

Ar˘atat, i c˘ a ecuat, ia x2 − (2m + 1)x + m2 + m = 0 admite dou˘a solut, ii reale distincte, pentru orice m ∈ R.

4.

Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale ecuat, ia 3x+1 + 2 · 3x = 45.

5.

Se consider˘ a paralelogramul ABCD s, i M , N , P , Q mijloacele laturilor (AB), (BC), (CD) respectiv (DA). −−→ −→ −−→ −−→ Demonstrat, i c˘ a AM + AQ + CN + CP = ~0.

6.

3 Se consider˘ a triunghiul dreptunghic ABC cu ipotenuza BC = 20 s, i cos B = . Calculat, i perimetrul 5 triunghiului ABC.

SUBIECTUL II Pe mult, imea numerelor reale se defines, te legea de compozit, ie x ⋆ y = x + y + 1. a) Ar˘atat, i c˘ a (−5) ⋆ 5 = (−10) ⋆ 10. b) Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale inecuat, ia x2 ⋆ x ≤ 13. c) Rezolvat, i ˆın mult, imea numerelor reale ecuat, ia 4x ⋆ 2x = 21. d) Demonstrat, i c˘ a (x ⋆ y) ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z), pentru orice numere reale x, y, z. e) Determinat, i simetricul elementului x = 3 ˆın raport cu legea de compozit, ie ,,⋆”, s, tiind c˘ a elementul neutru este e = −1. f ) Determinat, i num˘ arul elementelor mult, imii A = {n ∈ N | n ⋆ (n + 1) ≤ 2012}. SUBIECTUL III 

1 2 Se consider˘ a matricele A = 2 3 3 1

unde a este un num˘ ar real nenul.

  3 0 1, B = a 2 a

a a 0

 a 0 s, i sistemul de ecuat, ii (S) a

  ay + az = 1 ax + ay = 0   ax + az = 2

,

a) Calculat, i determinantul matricei A. b) Ar˘atat, i c˘ a matricea B este inversabil˘ a pentru orice a ∈ R \ {0}. c) Pentru a = 1, ar˘ atat, i c˘ a t (AB) = BA. 1 1 3 d) Pentru a = 1, ar˘ atat, i c˘ a tripletul este solut, ie a sistemului (S). ,− , 2 2 2 e) Rezolvat, i sistemul (S), pentru a ∈ R \ {0}. f ) Determinat, i num˘ arul real nenul a pentru care solut, ia (x0 , y0 , z0 ) a sistemului (S) verific˘ a relat, ia x0 + y0 + 1 z0 = . 4

8

BACALAUREAT 2013 SESIUNEA SPECIALĂ Proba E c) mate-info Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocat, ională, profilul militar, specializarea matematică-informatică SUBIECTUL I 1. Determinat, i numărul real x pentru care numerele 1, 2x + 2 s, i 7 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 2. Calculat, i distant, a dintre punctele de intersect, ie cu axa Ox a graficului funct, iei f : R → R,

f (x) = x2 − 4x + 3. √ 3. Rezolvat, i în mult, imea numerelor reale ecuat, ia x2 + 4 = x + 2.

4. Determinat, i câte numere naturale impare ab se pot forma, s, tiind că a, b ∈ {2, 3, 4, 5} s, i a 6= b. # » # » # » 5. În dreptunghiul ABCD, cu AB = 8 s, i BC = 6, se consideră vectorul #» v = AB + AO + AD, unde {O} = AC ∩ BD. Calculat, i lungimea vectorului #» v. 3 6. Calculat, i sinusul unghiului A al triunghiului ABC în care AB = 6, BC = 10 s, i sin C = . 5 SUBIECTUL II

 a  1. Pentru fiecare număr real a se consideră matricea A(a) = 1

1 a

 1  1 .

1 1 a a) Calculat, i det(A(0)). b) Determinat, i valorile reale ale lui a pentru care 5A(a) − (A(a))2 = 4I3 .

c) Determinat, i inversa matricei A(2). 2. Se consideră polinomul f = X 3 − mX 2 + 3X − 1, unde m este număr real. a) Calculat, i f (2) − f (−2).

b) Determinat, i restul împărt, irii lui f la X + 2, s, tiind că restul împărt, irii polinomului f la X − 2 este egal cu 9. c) Determinat, i numerele reale m pentru care x31 + x32 + x33 = 3, unde x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL III 1. Se consideră funct, ia f : (−1, 1) → R, f (x) = ln

1−x . 1+x

a) Calculat, i f ′ (x), x ∈ (−1, 1). b) Verificat, i dacă funct, ia f este descrescătoare pe intervalul (−1, 1). c) Determinat, i punctele de inflexiune a funct, iei f .

2. Pentru fiecare număr natural n se consideră numărul In =

Z

2

xn ex dx.

1

a) Calculat, i I0 .

b) Arătat, i că I1 = e2 . c) Demonstrat, i că In+1 + (n + 1)In = 2n+1 e2 − e, pentru orice număr natural n.

1

2

s, t-nat Filiera teoretică, profilul real, specializarea s, tiint, e ale naturii SUBIECTUL I

√ √ 1. Arătat, i că numărul 2( 7 + 1) − 28 este natural.

2. Calculat, i f (1) + f (2) + · · · + f (10) pentru funct, ia f : R → R, f (x) = 2x − 1.

3. Rezolvat, i în mult, imea numerelor reale ecuat, ia 4x+1 = 16. 4. Calculat, i probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mult, imea A = {1, 2, 3, . . . , 15},

acesta să fie multiplu de 7. # » #» #» # » #» #» 5. Se consideră punctele A, B s, i C astfel încât AB = 2 i + j s, i BC = i − j . Calculat, i lungimea # » vectorului AC. 3 sin x − 2 cos x π = 1. s, tiind că 6. Determinat, i x ∈ 0, 2 cos x SUBIECTUL II



1

 1. Pentru fiecare număr real x se consideră matricea A(x) = x x

a) Calculat, i det(A(2)).

x x



 1 x. x 1

b) Arătat, i că A(1) · A(2) = 5A(1). c) Determinat, i numerele reale x pentru care det(A(x)) = 0. 2. Se consideră polinomul f = X 3 − 2X 2 − 2X + m, unde m este număr real. a) Pentru m = 3, calculat, i f (1). b) Determinat, i numărul real m s, tiind că restul împărt, irii polinomului f la X − 2 este egal cu 2. 1 1 1 = 1, unde x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile + + c) Pentru m = 4, arătat, i că (x1 +x2 +x3 ) x1 x2 x3 polinomului f . SUBIECTUL III 1. Se consideră funct, ia f : (0, ∞) → R, f (x) = x ln x. a) Calculat, i f ′ (x), x ∈ (0, ∞). f (x) . b) Calculat, i lim x→+∞ x2 c) Demonstrat, i că funct, ia f este convexă pe intervalul (0, ∞). 1 . 2. Se consideră funct, ia f : R → R, f (x) = 2 x +1 Z 1 1 xf (x) dx = ln 2. a) Arătat, i că 2 Z 10 xf ′ (x) dx. b) Calculat, i 0

c) Determinat, i volumul corpului obt, inut prin rotat, ia în jurul axei Ox a graficului funct, iei 1 h : [0, 1] → R, h(x) = . f (x)

3

tehnologic Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale SUBIECTUL I 1. Arătat, i că 3(2 +

√

√ 2 ) − 3 2 = 6.

2. Calculat, i f (−2) · f (0) pentru funct, ia f : R → R, f (x) = x + 1. 3. Rezolvat, i în mult, imea numerelor reale ecuat, ia log3 (x2 + 1) = log3 1. 4. Pret, ul unui obiect este 1000 de lei. Determinat, i pret, ul obiectului după o ieftinire cu 10%. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele P (2, 1) s, i R(2, 3). Determinat, i coordonatele mijlocului segmentului P R. 6. Calculat, i cos B, s, tiind că sin B = SUBIECTUL II 1. Se consideră matricea A = a) Calculat, i det(A).

1 1

5 s, i unghiul B este ascut, it. 13

! 1 . 0 1 0

! 0 . 1

b) Determinat, i numărul real x pentru care A · A − xI2 = A, unde I2 = ! m m c) Determinat, i matricele M = , s, tiind că det(M + A) = 0, unde m este număr real. m 1 2. Pe mult, imea numerelor reale se defines, te legea de compozit, ie asociativă dată de x ⋆ y = x + y − 2. a) Calculat, i 5 ⋆ (−5).

b) Arătat, i că legea de compozit, ie „⋆” este comutativă. c) Calculat, i (−3) ⋆ (−2) ⋆ (−1) ⋆ 0 ⋆ 1 ⋆ 2 ⋆ 3. SUBIECTUL III 1. Se consideră funct, ia f : R → R, f (x) = xex .

a) Arătat, i că f ′ (x) = (x + 1)ex , pentru orice x ∈ R. b) Verificat, i dacă f ′′ (x) + f (x) = 2f ′ (x), pentru orice x ∈ R.

c) Arătat, i că funct, ia f are un punct de extrem. 1 2. Se consideră funct, ia f : (0, ∞) → R, f (x) = . x Z 5

a) Calculat, i

xf (x) dx.

4

b) Arătat, i că funct, ia F : (0, ∞) → R, F (x) = 4 + ln x este o primitivă a funct, iei f .

c) Determinat, i numărul real a, a > 5, pentru care aria suprafet, ei plane delimitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ie x = 5 s, i x = a, este egală cu ln 3.

4

BACALAUREAT 2013 SESIUNEA IULIE Proba E c) mate-info Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocat, ională, profilul militar, specializarea matematică-informatică SUBIECTUL I 1. Arătat, i că numărul a = 3(3 − 2i) + 2(5 + 3i) este real.

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f (x) = 4x − 1. Calculat, i f (1) + f (2) + · · · + f (10). 3. Rezolvat, i în mult, imea numerelor reale ecuat, ia log2 (2x) = log2 (1 + x). 4. După o scumpire cu 10% pret, ul unui produs este 2200 de lei. Calculat, i pret, ul produsului înainte de scumpire. #» #» #» #» 5. Determinat, i numărul real a pentru care vectorii #» u = i + 4 j s, i #» v = 2 i + (a + 1) j sunt coliniari. π 3 sin x + cos x 6. Determinat, i x ∈ 0, , s, tiind că = 4. 2 sin x SUBIECTUL II

1 1. Se consideră determinantul D(a, b) = a b

1 a2 b2

1 1 , unde a s, i b sunt numere reale. 1

a) Arătat, i că D(2, 3) = 2. b) Verificat, i dacă D(a, b) = (a − 1)(b − 1)(b − a), pentru orice numere reale a s, i b.

c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele Pn (n, n2 ), unde n este un număr natural nenul. Determinat, i numărul natural n, n ≥ 3, pentru care aria triunghiului P1 P2 Pn este

egală cu 1. 2. Se consideră x1 , x2 , x3 rădăcinile complexe ale polinomului f = X 3 − 4X 2 + 3X − m, unde m este număr real. a) Pentru m = 4, arătat, i că f (4) = 8.

b) Determinat, i numărul real m pentru care rădăcinile polinomului f verifică relat, ia x1 +x2 = x3 . c) Dacă x31 + x32 + x33 = 7(x1 + x2 + x3 ), arătat, i că f se divide cu X − 3. SUBIECTUL III 1. Se consideră funct, ia f : R → R, f (x) = cos x +

x2 . 2

a) Calculat, i f ′ (x), x ∈ R. b) Determinat, i ecuat, ia tangentei la graficul funct, iei f în punctul de abscisă x0 = 0, situat pe graficul funct, iei f . c) Demonstrat, i că f (x) ≥ 1, pentru orice x ∈ R.

2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul In =

Z

1

xn ex dx. 0

a) Calculat, i I1 . b) Arătat, i că In+1 + (n + 1)In = e, pentru orice număr natural nenul n. c) Arătat, i că 1 ≤ (n + 1)In ≤ e, pentru orice număr natural nenul n.

5

s, t-nat Filiera teoretică, profilul real, specializarea s, tiint, e ale naturii SUBIECTUL I 1. Arătat, i că numărul x = 2(1 + i) − 2i este real.

2. Calculat, i f (1) · f (2) · . . . · f (5) pentru funct, ia f : R → R, f (x) = x − 2. √ 3. Rezolvat, i în mult, imea numerelor reale ecuat, ia x2 + 1 = x + 1. 4. Calculat, i probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mult, imea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu 5. # » #» #» # » #» #» 5. Se consideră punctele A, B s, i C astfel încât AB = 2 i + 2 j s, i BC = 2 i + j . Calculat, i lungimea # » vectorului AC. π x . 6. Se consideră E(x) = sin x + cos , unde x este număr real. Calculat, i E 2 3 SUBIECTUL II 1. Se consideră matricea A =

1 3

a) Calculat, i det(A). b) Arătat, i că A2 − 6A = I2 .

! 2 5

.

c) Determinat, i inversa matricei B = A − 6I2 . p 2. Pe R se defines, te legea de compozit, ie asociativă dată de x ⋆ y = x2 + y 2 + 4. a) Calculat, i 2 ⋆ 2. √ b) Rezolvat, i în mult, imea numerelor reale ecuat, ia x ⋆ x = 12. c) Arătat, i că numărul 1| ⋆ 1 ⋆{z. . . ⋆ 1} este întreg. de 8 ori

SUBIECTUL III

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f (x) = ex (x2 − 6x + 9).

a) Arătat, i că f ′ (x) = ex (x2 − 4x + 3), pentru orice x ∈ R. b) Verificat, i dacă f (x) + f ′′ (x) = 2( f ′ (x) + ex ), pentru orice x ∈ R.

c) Determinat, i punctele de extrem ale funct, iei f . x 2. Se consideră funct, ia f : (−1, +∞) → R, f (x) = . x+1 Z 1 a) Calculat, i (x + 1)f (x) dx. 0 Z 1 Z 1 1 x3 f (x) dx = . x2 f (x) dx + b) Arătat, i că 4 0 0 c) Determinat, i volumul corpului obt, inut prin rotat, ia în jurul axei Ox a graficului funct, iei h : [0; 1] → R, h(x) = f (x).

6

tehnologic Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale SUBIECTUL I 1. Arătat, i că 3( 2 −

√ √ 2 ) + 3 2 = 6.

2. Calculat, i f (0) · f (2) pentru funct, ia f : R → R, f (x) = x − 1. 3. Rezolvat, i în mult, imea numerelor reale ecuat, ia 5x−2 = 25. 4. Pret, ul unui obiect este 100 de lei. Determinat, i pret, ul obiectului după o scumpire cu 10%. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1; 1) s, i B(1; 3). Calculat, i distant, a de la punctul A la punctul B. 6. Calculat, i cos 45◦ + cos 135◦ . SUBIECTUL II 2a

1. Pentru fiecare număr real a se consideră matricea M (a) = 0 1 1 a) Arătat, i că M +M − = M (0). 2 2 b) Determinat, i numărul real a pentru care det(M (a)) = 0.

0

!

2a

.

c) Determinat, i matricea M (−2) + M (−1) + M (0) + M (1) + M (2). 2. Se consideră polinomul f = X 3 − 2X 2 + 1.

a) Arătat, i că f (1) = 0. b) Determinat, i câtul s, i restul împărt, irii polinomului f la polinomul g = X 2 − 2X + 1. c) Calculat, i x21 + x22 + x23 , unde x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile polinomului f .

SUBIECTUL III

√ 1. Se consideră funct, ia f : [0, +∞) → R, f (x) = x − 1. √ a) Arătat, i că 2 xf ′ (x) = 1, pentru orice x ∈ (0, +∞). 1 b) Verificat, i dacă dreapta de ecuat, ie y = x este tangentă la graficul funct, iei f în punctul de 4 abscisă x0 = 4, situat pe graficul funct, iei f . c) Arătat, i că funct, ia f este concavă pe intervalul (0, +∞). 1 2. Se consideră funct, ia f : (0, +∞) → R, f (x) = 2x + 1 + . x Z 2 1 dx. a) Calculat, i f (x) − x 1 b) Arătat, i că funct, ia F : (0, +∞) → R, F (x) = x2 + x + ln x este o primitivă a funct, iei f .

c) Calculat, i aria suprafet, ei delimitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ie x = 1 s, i x = 2.

7

pedagogic Filiera vocat, ională, profilul pedagogic, specializarea învăt, ător-educatoare SUBIECTUL I 1. Arătat, i că 3( 1 +

√ √ 2 ) − 18 = 3.

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f (x) = x − 3. Arătat, i că f (3) + f (−3) = −6.

3. Rezolvat, i în mult, imea numerelor reale ecuat, ia log3 (x2 + 1) = log3 5. 4. După o scumpire cu 10% pret, ul unui produs cres, te cu 70 de lei. Calculat, i pret, ul produsului după scumpire. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele P (2; 7) s, i R(2; 9). Determinat, i coordonatele mijlocului segmentului P R. 6. Determinat, i lungimea laturii BC a triunghiului ABC dreptunghic în A, s, tiind că AC = 40 s, i 2 sin B = . 5 SUBIECTUL II Pe mult, imea numerelor reale se defines, te legea de compozit, ie asociativă dată de x ⋆ y = xy + x + y. 1. Calculat, i (−1) ⋆ 3. 2. Arătat, i că x ⋆ y = (x + 1)(y + 1) − 1, pentru orice numere reale x s, i y. 3. Verificat, i dacă e = 0 este elementul neutru al legii „⋆”. 4. Determinat, i numerele reale x pentru care x ⋆ x = x. 5. Arătat, i că (−1) ⋆ x = −1, pentru orice număr real x. 6. Calculat, i (−1) ⋆ 0 ⋆ 1 ⋆ . . . ⋆ 2012 ⋆ 2013. SUBIECTUL III



m

1

 Pentru fiecare număr real m se consideră matricea A(m) =  1

m 1

1

1. Arătat, i că det(A(1)) = 0.

 1  1. 1

2. Calculat, i A(1) · A(0). 3. Arătat, i că det(A(m)) = m2 − 2m + 1, pentru orice număr real m.   −1 0 1   4. Verificat, i dacă matricea B =  0 −1 1 este inversa matricei A(0).

1 1 −1 5. Determinat, i numărul real m pentru care suma elementelor matricei A(m) este egală cu 2013.  m x + y+z =1    x + m y + z = 1. 6. Pentru m = 0, rezolvat, i sistemul    x+ y+z =3

8

BACALAUREAT 2013 SESIUNEA IULIE Subiecte de rezervă Proba E c) mate-info Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocat, ională, profilul militar, specializarea matematică-informatică SUBIECTUL I

√ √ 1. Arătat, i că numărul ( 3 − 1 )2 + 2 3 este natural. 2. Determinat, i coordonatele punctului de intersect, ie a graficelor funct, iilor f : R → R, f (x) = x + 1 s, i g : R → R, g(x) = 2x − 1. 2 3. Rezolvat, i în mult, imea numerelor reale ecuat, ia 26−x = 2x .

4. Calculat, i probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mult, imea numerelor naturale de trei cifre, suma cifrelor acestuia să fie egală cu 2. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1; 3) s, i B(3; 1). Determinat, i ecuat, ia mediatoarei segmentului AB. 6. Calculat, i raza cercului circumscris triunghiului ABC dreptunghic în A, s, tiind că BC = 8. SUBIECTUL II



1  1. Pentru fiecare număr real x se consideră matricea A(x) =  1

x a) Calculat, i A(0) · A(1). b) Arătat, i că det(A(x)) = x2 − 1, pentru orice număr real x.

 x 1  −1 1. −1 1

c) Determinat, i numerele întregi x pentru care inversa matricei A(x) are elementele numere

întregi. 2. Pe mult, imea numerelor reale se defines, te legea de compozit, ie asociativă dată de p x ◦ y = x2 y 2 + x2 + y 2 . a) Calculat, i 2 ◦ 3. p b) Arătat, i că x ◦ y = (x2 + 1)(y 2 + 1) − 1, pentru orice x s, i y numere reale. c) Rezolvat, i în mult, imea numerelor reale ecuat, ia x ◦ x ◦ x = x. SUBIECTUL III 1. Se consideră funct, iile f : R → R, f (x) = ex s, i g : R → R, g(x) = x2 + 2x + 2. a) Calculat, i g ′ (2).

2f (x) − g(x) 1 = . 3 x→0 2x 6 c) Demonstrat, i că 2f (x) ≥ g(x), pentru orice x ∈ [0, +∞). 1 2. Se consideră funct, iile f : (−2, +∞) → R, f (x) = x + 2 + s, i F : (−2, +∞) → R, x+2 x2 + 2x + ln(x + 2). F (x) = 2 Z b) Arătat, i că lim

1

a) Calculat, i

(x + 2)f (x) dx.

0

b) Verificat, i dacă funct, ia F este o primitivă a funct, iei f . Z 0 c) Calculat, i F (x)f (x) dx. −1

9

s, t-nat Filiera teoretică, profilul real, specializarea s, tiint, e ale naturii SUBIECTUL I 1. Arătat, i că numărul

√ √ 8 − 2( 2 − 3 ) este natural.

2. Calculat, i ( f ◦ f )(0) pentru funct, ia f : R → R, f (x) = 3x + 1.

3. Rezolvat, i în mult, imea numerelor reale ecuat, ia log2 (x2 + 1) = log2 5. 4. După o ieftinire cu 20% pret, ul unui produs scade cu 200 de lei. Calculat, i pret, ul produsului după ieftinire. #» #» #» #» 5. Determinat, i numărul real a pentru care vectorii #» u = (a − 1) i + 4 j s, i #» v = 2 i − 4 j sunt opus, i. 6. Calculat, i lungimea medianei din A în triunghiul dreptunghic ABC cu ipotenuza BC = 10. SUBIECTUL II

 x − y + 2z = a    = 0 , unde a este un număr real. 1. Se consideră sistemul de ecuat, ii liniare 2x − y    y− z=1 a) Determinat, i numărul real a s, tiind că (x, y, z) = (1, 2, 1) este solut, ie a sistemului. b) Calculat, i determinantul matricei sistemului. c) Rezolvat, i sistemul pentru a = −2.

2. Se consideră polinomul f = X 3 − X + a, unde a este număr întreg. a) Pentru a = −2, calculat, i f (2).

b) Arătat, i că x21 + x22 + x23 = 2, unde x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile polinomului f . c) Arătat, i că, dacă polinomul f are o rădăcină întreagă, atunci a este multiplu de 6.

SUBIECTUL III 2 1. Se consideră funct, ia f : (0, +∞) → R, f (x) = + ln x. x x−2 , pentru orice x ∈ (0, +∞). a) Arătat, i că f ′ (x) = x2 b) Determinat, i punctele de extrem ale funct, iei f . c) Arătat, i că funct, ia f este convexă pe intervalul (0; 4). 1 2. Se consideră funct, ia f : (1, +∞) → R, f (x) = 2 . x −1 Z 4 5 a) Arătat, i că (x − 1)f (x) dx = ln . 3 Z 32 b) Calculat, i (x3 − 1)f (x) dx. 2

c) Arătat, i că aria suprafet, ei delimitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ie 1 3 x = 2 s, i x = 3, este egală cu ln . 2 2

10

tehnologic Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale SUBIECTUL I 1. Arătat, i că 2( 5 −

√ √ 2 ) + 2 2 = 10.

2. Calculat, i f (−3) + f (3) pentru funct, ia f : R → R, f (x) = x2 − 9. 3. Rezolvat, i în mult, imea numerelor reale ecuat, ia 52x = 25. 4. Pret, ul unui obiect este 100 de lei. Determinat, i pret, ul obiectului după o scumpire cu 20%. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1; 1) s, i B(3; 1). Calculat, i distant, a de la punctul A la punctul B. 6. Calculat, i cos 30◦ + cos 150◦ . SUBIECTUL II 1. Se consideră matricele A =

! 1 −1 0

1

, I2 =

1

0

0

1

a) Calculat, i det(A). b) Pentru x = 0 arătat, i că A − B = I2 .

!

s, i B =

! x −1 0

x

, unde x este număr real.

c) Determinat, i numărul real x pentru care det(A + B) = 0. 2. Pe mult, imea numerelor reale se defines, te legea de compozit, ie asociativă dată de x ◦ y = x + y + 3. a) Calculat, i 2 ◦ (−2). b) Arătat, i că e = −3 este elementul neutru al legii de compozit, ie „◦”. c) Determinat, i numărul real x pentru care 2013 ◦ (−2013) = x ◦ x.

SUBIECTUL III 1. Se consideră funct, ia f : (0, +∞) → R, f (x) = a) Calculat, i lim f (x).

x+1 . x

x→+∞

b) Arătat, i că funct, ia f este descrescătoare pe intervalul (0, +∞). c) Determinat, i ecuat, ia tangentei la graficul funct, iei f în punctul de abscisă x0 = 1, situat pe graficul funct, iei f . 2. Se consideră funct, ia f : R → R, f (x) = 3x2 + 1. Z 1 f ′ (x) dx. a) Calculat, i 0

b) Arătat, i că funct, ia F : R → R, F (x) = x3 + x + 1 este o primitivă a funct, iei f .

c) Calculat, i aria suprafet, ei delimitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ie x = 0 s, i x = 1.

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinaţi raţia progresiei geometrice ( bn ) cu termeni reali, ştiind că b1 = 1 şi b4 = 27 . n≥1 5p 2. Determinaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 6 x + 8 .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x + 2 = 91− x . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie pătrat perfect. 5p 5. Se consideră punctele A, B şi C astfel încât AB = 4i − 3 j şi BC = 2i − 5 j . Determinaţi lungimea vectorului AC . 4 5p 6. Calculaţi sinusul unghiului A al triunghiului ABC în care AB = 4, BC = 5 şi sin C = . 5 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 1 1 1. Pentru fiecare număr real m se consideră matricea A ( m ) =  m 0 0  . m 0 m   5p a) Calculaţi det ( A (1) ) .

 −1 1 0    5p b) Determinaţi numerele reale m știind că A(m) ⋅ A(−m) =  1 1 1  .  0 1 0   2 3 5p c) Arătaţi că det ( A (1) + A ( 2 ) + ... + A (101) ) = −51 ⋅ 101 .

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă dată de x y = xy − 4 x − 4 y + 20 . 5p a) Calculaţi 3 4 . 5p b) Arătaţi că x y = ( x − 4 )( y − 4 ) + 4 , pentru orice numere reale x şi y . 5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x ... x = 5 . x de 2013 ori

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x) = 5p a) Arătaţi că

x − 1) e x ( f '( x) =

(

x + ex

)

2

e

x

x + ex

.

, pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) .

5p b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei f . 5p c) Demonstrați că f ( x) ≥

e , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . e +1 1

2. Pentru fiecare număr natural n se consideră numărul I n = ∫ xe− nx dx . 2

0

5p a) Calculați I 0 . 5p b) Arătaţi că I n+1 ≤ I n , pentru orice număr natural n . 5p c) Demonstraţi că I n =

1  1 1− n  2n  e

  , pentru orice număr natural nenul n . 

Probă scrisă la matematică M_mate-info Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

Varianta 9

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

5p 1. Arătaţi că numărul a = 3 ( 2 + 5i ) − 5 (1 + 3i ) este real. 5p 2. Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie cu axa Ox a graficului funcţiei f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 10 x + 25 .

(

)

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log5 x 2 + x + 1 = log5 ( x + 2) . 5p 4. După o ieftinire cu 10% preţul unui produs este 90 de lei. Calculaţi preţul produsului înainte de ieftinire. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta h de ecuație y = x − 1 şi punctul A ( 2, 2 ) . Determinaţi ecuaţia dreptei d care trece prin A şi este paralelă cu h . 5p 6. Calculaţi cosinusul unghiului A al triunghiului ABC în care AB = 5 , AC = 6 şi BC = 7 . SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

1 1 0   1. Pentru fiecare număr real x se consideră matricea A ( x ) =  x 1 1  .  1 −1 1    5p a) Arătaţi că A ( 2 ) + A ( 6 ) = 2 A ( 4 ) .

5p b) Determinaţi numărul real x pentru care det ( A ( x ) ) = 0 . 5p c) Determinați inversa matricei A ( 2 ) .

2. Se consideră x1 , x2 și x3 rădăcinile complexe ale polinomului f = X 3 + X 2 + mX + m , unde m este un număr real. 5p a) Arătați că f este divizibil cu X + 1 , pentru orice număr real m . 5p b) Determinați numărul real m pentru care x12 + x22 + x32 = 11 . 5p c) Determinați valorile reale ale lui m știind că x1 = x2 = x3 . SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x) = x − ln x .

5p a) Calculați f ' ( x ) , x ∈ ( 0, +∞ ) . 5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x0 = 1 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstraţi că x ≥ ln x + 1 , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) .

2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x( x + 1)( x − 1) . 3

5p a) Arătaţi că

f ( x)

7

∫ x( x − 1) dx = 2 . 2

5p b) Determinaţi primitiva F : ℝ → ℝ a funcţiei f ştiind că F (1) = −1 . e

5p c) Arătaţi că

∫ 2

f ( x ) ln x x2 − 1

dx =

e2 − 2ln 2 + 1 . 4

Probă scrisă la matematică M_şt-nat Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii

Varianta 9

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 9 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

(

)

5p 1. Arătaţi că 3 4 − 3 + 3 3 = 12 . 5p 2. Calculaţi f (−4) + f (4) pentru funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x) = x 2 − 16 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( x − 2 ) − x 2 + 8 = 0 . 5p 4. Preţul unui obiect este 100 de lei. Determinaţi preţul obiectului după o ieftinire cu 30%. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2, 4 ) şi B ( 2,1) . Calculaţi distanţa de la punctul A la punctul B . 1 5p 6. Calculaţi cos A , ştiind că sin A = şi unghiul A este ascuţit. 2 2

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

 2 −2  1 0 b 1 1. Se consideră matricele A =   , I2 =   şi B =   , unde b este număr real. 0 2  0 1 0 b 5p a) Calculaţi det A . 5p b) Determinaţi numărul real b pentru care A ⋅ B = 2 I 2 . 5p c) Determinaţi numărul real b pentru care det ( A + B ) = 0 .

2. Se consideră polinomul f = X 3 − 3 X 2 + 2 X . 5p a) Calculaţi f (1) . 5p b) Determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f la X − 2 . 5p c) Calculați x12 + x22 + x32 , unde x1 , x2 , x 3 sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x) = ( x + 2)3 . 5p a) Verificaţi dacă f ′ ( x ) = 3x 2 + 12 x + 12 , pentru orice x ∈ ℝ . 5p b) Arătaţi că funcţia f este crescătoare pe ℝ . f '( x) . 5p c) Calculaţi lim x →+∞ x 2 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 1 . x3 + x este o primitivă a funcţiei f . 3 5p b) Calculați aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f , axa O x şi dreptele de ecuaţie x = 0 şi x = 1 .

5p a) Verificaţi dacă funcţia F : ℝ → ℝ , F ( x ) =

2

5p c) Arătaţi că

∫ 1

f ( x) x

dx =

3 + ln 2 . 2

Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_pedagogic Varianta 9 Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

(

)

5p 1. Arătaţi că 3 1 + 3 − 27 = 3 . 5p 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x) = x + 3 . Arătaţi că f (−3) + f (3) = 6 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( x + 3) − x 2 − 15 = 0 2

5p 4. După o scumpire cu 10% preţul unui produs este 220 de lei. Calculaţi preţul produsului înainte de scumpire. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele P ( 2,3) şi R ( 4,3) . Determinaţi coordonatele mijlocului segmentului PR . 5p 6. Determinaţi lungimea laturii AB a triunghiului ABC dreptunghic în A , ştiind că BC = 20 şi 2 cos B = . 5 SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x y = xy + 2 x + 2 y + 2 .

5p 1. Calculaţi 3 ( −2 ) . 5p 2. Verificaţi dacă legea de compoziţie „ ” este comutativă.

5p 3. Arătaţi că x y = ( x + 2 )( y + 2 ) − 2 , pentru orice numere reale x şi y. 5p 4. Determinaţi numerele reale x pentru care x x = x .

( −2 ) = −2 , pentru orice număr real x. 6. Calculaţi ( −2013 ) ( −2012 ) ... ( −2 ) .

5p 5. Verificaţi dacă x 5p

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

 1 2 1   Pentru fiecare număr real m se consideră matricea A ( m ) =  −1 3 1  .  2 1 m   5p 1. Calculaţi det ( A ( 0 ) ) .

5p 2. Arătaţi că det ( A ( m ) ) = 5m − 4 , pentru orice număr real m . 5p 3. Determinaţi numerele reale m pentru care det ( A ( m ) ) = m2 .

5p 4. Arătaţi că A ( m ) + A ( − m ) = 2 A ( 0 ) pentru orice număr real m .

 −1 1 −1  1 0 0     5p 5. Verificaţi dacă A ( 0 ) ⋅  2 −2 −2  = −4 I3 , unde I 3 =  0 1 0  . 0 0 1  −7 3 5      x + 2 y + z = 2  5p 6. Pentru m = 0 , rezolvaţi sistemul − x + 3 y + z = 3 . 2 x + y + mz = 1  Probă scrisă la matematică M_pedagogic Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

Varianta 9

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info Barem de evaluare şi de notare Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.

SUBIECTUL I 1. b = b q3 ⇒ q 3 = 27 4 1 q=3 2. xV = 3 yV = −1 3. 3x + 2 = 32(1− x ) ⇒ x + 2 = 2 − 2 x

(30 de puncte) 3p 2p 2p 3p 3p 2p

x=0 4. Numerele de două cifre, pătrate perfecte, sunt 16, 25, 36, 49, 64 şi 81 ⇒ 6 cazuri favorabile Numărul de numere naturale de două cifre este 90 ⇒ 90 de cazuri posibile nr. cazuri favorabile 1 p= = nr. cazuri posibile 15 5. AC = AB + BC = 6i − 8 j

2p 1p 2p 3p

AC = 62 + ( −8 ) = 10 2

6.

2p

AB BC = sin C sin A sin A = 1

2p 3p (30 de puncte)

SUBIECTUL al II-lea 1.a) 1 1 1 1 1 1    A (1) = 1 0 0  ⇒ det ( A (1) ) = 1 0 0 = 1 0 1  1 0 1   = −1 b)  1 − 2m 1 1 − m    A(m) ⋅ A(−m) =  m m m   2 2 m − m m m − m   1 − 2m 1 1 − m   −1 1 0      m m  =  1 1 1 ⇒ m =1  m  2 2   0 1 0  m − m m m − m   c) 1 1 1   1 1 1   1 1 1   101 101 101          A (1) + A ( 2 ) + ... + A (101) =  1 0 0  +  2 0 0  + ... + 101 0 0  = 101 ⋅ 51 0 0  1 0 1   2 0 2          101 0 101 101 ⋅ 51 0 101 ⋅ 51 101 101 det ( A (1) + A ( 2 ) + ... + A (101) ) = 101 ⋅ 51 0 101 ⋅ 51

0

101 0

= −512 ⋅ 1013

2p 3p 3p

2p

3p

2p

101 ⋅ 51

Probă scrisă la matematică M_mate-info Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

1

Varianta 9

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

2.a) b) c)

3 4 = 3 ⋅ 4 − 4 ⋅ 3 − 4 ⋅ 4 + 20 = =4 x y = x ( y − 4) − 4 ( y − 4) + 4 =

3p 2p 3p

= ( x − 4 )( y − 4 ) + 4 , pentru orice numere reale x şi y

2p

x x = ( x − 4) + 4

1p

2

x x ... x = ( x − 4 )

2013

+4

2p

x de 2013 ori

( x − 4 )2013 + 4 = 5 ⇒ x = 5

2p

SUBIECTUL al III-lea 1.a) ex x + ex − ex 1 + ex f '( x) = = x 2 x+e

(

=

b)

( x − 1) e x

(

x + ex

)

(

)

3p

2p

=1 x + ex Ecuaţia asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei f este y = 1 x →+∞

f '(1) = 0 ; f '( x) ≤ 0 , pentru x ∈ ( 0,1] și f '( x) ≥ 0 , pentru x ∈ [1, +∞ )

1

I 0 = ∫ xdx = 0

=

b)

)

ex

lim f ( x ) = lim

f ( x) ≥ f (1) ⇒ f ( x) ≥

2.a)

(

, pentru orice x ∈ ( 0, +∞ )

2

x →+∞

c)

)

(30 de puncte)

e , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) e +1

3p

3p 2p

1

(

)

I n+1 − I n = ∫ xe − nx e − x − 1 dx 0

2

2

2p

Pentru orice n ∈ ℕ şi x ∈ [ 0 ,1] avem e− nx > 0 şi e− x − 1 ≤ 0 ⇒ I n+1 ≤ I n 2

c)

2p

2p

x2 1 = 2 0

1 2

3p

1

Pentru orice n ∈ ℕ* avem I n = ∫ xe− nx dx = − 0

2

2

3p

1

2 1 (e− nx ) ' dx = ∫ 2n 0

2 1 1 1  1  = − e − nx = 1 − n  0 2n  e  2n

3p 2p

Probă scrisă la matematică M_mate-info Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

2

Varianta 9

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Barem de evaluare şi de notare Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.

SUBIECTUL I 1. 3 ( 2 + 5i ) = 6 + 15i

(30 de puncte) 2p

5 (1 + 3i ) = 5 + 15i a = 1∈ ℝ

2.

2p 1p

f ( x ) = 0 ⇒ ( x + 5) = 0 2

2p 3p

x = −5 şi y = 0

3.

x2 + x + 1 = x + 2 Rezultă x = −1 sau x = 1 , care verifică ecuaţia

4.

Se notează cu x preţul înainte de ieftinire ⇒ x −

5.

x = 100 d h ⇒ md = mh = 1

10 ⋅ x = 90 100

3p 2p

d : y − 2 = 1 ⋅ ( x − 2 ) , deci d : y = x

6.

cos A =

AB 2 + AC 2 − BC 2 25 + 36 − 49 = = 2 ⋅ AB ⋅ AC 2⋅5⋅6

3p

1 5 SUBIECTUL al II-lea 1.a)  1 1 0  1 1 0  2 2 0       A ( 2) + A( 6) =  2 1 1  +  6 1 1  =  8 2 2  =  1 −1 1   1 −1 1   2 −2 2        = 2 A( 4) =

b)

1 det ( A ( x ) ) = x

1 1

0 1 = 3− x

2p (30 de puncte)

3p 2p 3p

1 −1 1 3− x = 0⇒ x = 3

c)

3p 2p 3p 2p

2p

det ( A ( 2 ) ) = 1

2p

 2 −1 1  −1 ( A ( 2) ) =  −1 1 −1  −3 2 −1   2.a) f ( −1) = −1 + 1 − m + m = 0 Rezultă X + 1 divide polinomul f b) x1 + x2 + x3 = −1, x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = m

3p 2p 3p 2p 2p 1p

x12 + x22 + x32 = 1 − 2m 1 − 2m = 11 ⇒ m = −5 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii

Varianta 9

1

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

c)

x1 = −1 ⇒ x2 = x3 = 1 x1 x2 x3 = − m m = 1 ⇒ m = −1 sau m = 1 ; ambele valori verifică cerința

SUBIECTUL al III-lea 1.a) f ′ ( x ) = x '− ( ln x ) ' =

b) c)

(30 de puncte) 2p

1 , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) x y − f (1) = f ′ (1)( x − 1)

=1−

3p

f (1) = 1 , f ′ (1) = 0 ⇒ ecuaţia tangentei este y = 1

2p 3p

f ' (1) = 0 , f ' ( x ) < 0 , pentru x ∈ ( 0,1) şi f ' ( x ) > 0 , pentru x ∈ (1, +∞ )

f ( x) ≥ f (1) ⇒ x ≥ ln x + 1 , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) 2.a)

3

f ( x)

x

∫ x( x − 1) dx = ∫ ( x + 1) dx =  =

2

2

3p

15 7 −4= 2 2

2p

f ( x ) = x3 − x ⇒ primitiva F a funcției f este F ( x) = 3 1 1 3 F (1) = −1 ⇒ c = − ⇒ F ( x) = x 4 − x 2 − 4 4 2 4

c)

e

∫ 2

f ( x ) ln x x2 − 1

3p 2p

3 + x =   2 2

3

2

b)

2p 1p 2p

1 4 1 2 x − x + c , unde c ∈ ℝ 4 2

3p 2p

e

dx = ∫ x ln xdx =

2p

2 e

e  x2  1 e2 =  ln x  − ∫ xdx = − 2ln 2 + 1  2  4  2 22

3p

Probă scrisă la matematică M_şt-nat Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii

Varianta 9

2

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Barem de evaluare şi de notare Varianta 9 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.

SUBIECTUL I 1. 3 4 − 3 = 12 − 3 3

(

(30 de puncte)

)

2p 3p

12 − 3 3 + 3 3 = 12

2.

f ( −4 ) = 0

2p 3p

f ( 4 ) = 0 ⇒ f ( −4 ) + f ( 4 ) = 0

3. 4.

5.

( x − 2 )2 = x 2 − 4 x + 4

2p 3p

x=3 30 ⋅ 100 = 30 100 Preţul după ieftinire este 70 de lei AB =

2p 3p

( 2 − 2 )2 + (1 − 4 )2

3p 2p

AB = 3

6.

sin 2 A + cos 2 A = 1 ⇒ cos 2 A =

3 4

3p

3 2 SUBIECTUL al II-lea 1.a) 2 −2 det A = = 4−0= 0 2 =4 b)  2b 2 − 2b  A⋅ B =   2b  0 cos A =

c)

2.a)

2p (30 de puncte) 3p 2p 3p

A ⋅ B = 2I2 ⇔ b = 1

2p

 2 + b −1  2 A+ B =  ⇒ det( A + B ) = (2 + b) 0 2 + b  

3p

(2 + b)2 = 0 ⇔ b = −2

2p

f (1) = 13 − 3 ⋅ 12 + 2 ⋅ 1 = =1− 3 + 2 = 0

2p 3p

b) Câtul este X 2 − X Restul este 0 c) x1 + x2 + x3 = 3 , x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 2 x12

+

x22

+

x32

2p 3p 2p 3p

= 3 − 2⋅2 = 5 2

Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9 Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

1

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

SUBIECTUL al III-lea 1.a) f ′( x) = ( x3 + 6 x 2 + 12 x + 8) ' = b)

(30 de puncte) 2p

= 3 x 2 + 12 x + 12 , pentru orice x ∈ ℝ

3p

f ′( x) = 3( x + 2) , pentru orice x ∈ ℝ

2p

2

f ′ ( x ) ≥ 0 , pentru orice x ∈ ℝ ⇒ f este crescătoare pe ℝ

c) lim

3x 2 + 12 x + 12

x →+∞

=3

2.a)

b)

c)

x2

 12 12  x2  3 + + 2  x x   = lim = x →+∞ x2

1

1

0

0

(

)

 x3

1 + x =   3 0

A = ∫ f ( x ) dx = ∫ x 2 + 1 dx =  =

4 3

2

f ( x)

1

3p 2p

 x3 ′ F ′ ( x ) =  + x  = x2 + 1  3    F ' ( x ) = f ( x ) , oricare ar fi x ∈ ℝ ⇒ F este o primitivă a funcţiei f

∫

3p

3p 2p 3p 2p

x

2

2

x2 + 1 1  dx = ∫  x +  dx = x x 1 1

dx = ∫

2p

 x2 2 3 = + ln x  = + ln 2  2   1 2

3p

Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9 Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

2

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_pedagogic Barem de evaluare şi de notare Varianta 9 Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.

SUBIECTUL I 27 = 3 3

1. 2.

(30 de puncte) 2p 3p

3+3 3 −3 3 = 3 f ( −3) = 0

2p 3p

f ( 3) = 6 ⇒ f ( −3) + f ( 3) = 6

3.

( x + 3)2 = x 2 + 6 x + 9

x =1 10 x+ x = 220 , unde x reprezintă preţul înainte de scumpire 100 Preţul înainte de scumpire este 200 de lei 5. x + xR y + yR M mijlocul lui ( PR ) ⇒ xM = P şi y M = P 2 2 xM = 3 yM = 3 6. AB cos B = BC AB = 8

2p 3p

4.

SUBIECTUL al II-lea 1. 2. 3.

3

( −2 ) = −6 + 6 + ( −4 ) + 2 =

= −2 x y = xy + 2 x + 2 y + 2 și y x = yx + 2 y + 2 x + 2 , pentru orice numere reale x şi y x y = y x , pentru orice numere reale x şi y x y = xy + 2 x + 2 y + 4 − 2 = x x = ( x + 2) − 2 2

( x + 2 ) − 2 = x ⇔ x = −2 sau x ( −2 ) = ( x + 2 )( −2 + 2 ) − 2 2

5. 6.

1p 2p 2p 2p 3p (30 de puncte)

= ( x + 2 )( y + 2 ) − 2 , pentru orice numere reale x şi y

4.

2p 3p

2p 3p 2p 3p

x = −1

= −2 , pentru orice număr real x ( −2013) ( −2012 ) ... ( −2 ) = ( ( −2013)

3p 2p 3p 2p

3p 2p

( −2012 )

...

( −3) ) ( −2 ) =

= −2

Probă scrisă la matematică M_pedagogic Barem de evaluare şi de notare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

1

3p 2p

Varianta 9

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

SUBIECTUL al III-lea 1.

(30 de puncte)

 1 2 1   A ( 0 ) =  −1 3 1   2 1 0   1 2 1

2p

det ( A ( 0 ) ) = −1 3 1 = −4 2 1 0 2.

1

2

3p

1

det ( A ( m ) ) = −1 3 1 = 3m − 1 + 4 − 6 + 2m − 1 = 2 1 m = 5m − 4 3.

det ( A ( m ) ) = m 2 ⇔ m 2 − 5m + 4 = 0

5.

6.

2p 3p 2p

m = 1 sau m = 4

4.

3p

 1 2 1  1 2 1      A ( m ) + A ( −m ) =  −1 3 1  +  −1 3 1  =  2 1 m   2 1 −m       2 4 2   =  −2 6 2  = 2 A ( 0 )  4 2 0    −1 1 −1   1 2 1   −1 1 −1        A ( 0 ) ⋅  2 −2 −2  =  −1 3 1  ⋅  2 −2 −2  =  −7 3 5   2 1 0   −7 3 5         −4 0 0    =  0 −4 0  = −4 I 3  0 0 −4    x + 2 y + z = 2  − x + 3 y + z = 3 2 x + y = 1  x = 0, y = 1, z = 0

Probă scrisă la matematică M_pedagogic Barem de evaluare şi de notare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

2

2p

3p

2p

3p

2p 3p

Varianta 9

Subiectele de rezerva Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculaţi suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice ( an )n≥1 , dacă a1 = 2 şi a3 = 8 . 5p 5p 5p 5p

5p

2. Determinaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 4 x + 2 . 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log3 x = log3 (4 − x) . 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu 4. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,1) şi B (4,1) . Determinaţi coordonatele 1 punctului M ştiind că AM = AB . 3 6. Arătaţi că 4sin

π

12

cos

π

12

=1.

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

2 m + 1  2 1. Pentru fiecare număr real m se consideră matricea A ( m ) =  2 m +1 2 .  m +1 2 2  

5p a) Calculați det ( A ( −1) ) .

5p b) Verificaţi dacă A ( 0 ) ⋅ A (1) = 5 A (1) .

5p c) Determinaţi numerele reale m pentru care det ( A ( m ) ) = 0 . 2. Pe ℝ se defineşte legea de compoziţie asociativă dată de x y = xy − 2 x − 2 y + 6 . 5p a) Verificaţi dacă x y = ( x − 2)( y − 2) + 2 , pentru orice numere reale x şi y . 5p b) Arătaţi că x 2 = 2 x = 2 , pentru orice număr real x . 5p c) Calculaţi 1 2 3 ... 2012 2013 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x) = 5p a) Arătaţi că f '( x) =

5p b) Calculați lim

x →0

x 4 + 3x 2 + 2 x

(

)

x2 + 1

2

x3 − 1 x2 + 1

.

, pentru orice x ∈ ℝ .

f ( x) − f (0) . x

 x +1 5p c) Calculaţi lim   x →+∞  x − 1 

f ( x)

. 1

2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul I n = ∫ x n e− x dx . 0

e−2 . 5p a) Arătaţi că I1 = e

1 5p b) Verificaţi dacă I n+1 = ( n + 1) I n − , pentru orice număr natural nenul n . e 1 , pentru orice număr natural nenul n . 5p c) Arătaţi că 0 ≤ I n ≤ n +1 Probă scrisă la matematică M_mate-info Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

Varianta 4

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

5p 1. Arătaţi că numărul x = 3 (1 − i ) + 3i este real. 5p 2. Calculaţi distanţa dintre punctele de intersecţie a graficului funcţiei f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 cu axa Ox . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22 x+3 = 8 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mulţimea A = {1,2,3,..., 20} , acesta să fie divizibil cu 4. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−2,3), B(3,0) şi C (2,5) . Calculaţi lungimea medianei din B a triunghiului ABC . 5p 6. Determinaţi lungimea laturii AC a triunghiului ABC , ştiind că BC = 4, B = SUBIECTUL al II-lea

π 6

şi C =

π 3

(30 de puncte)

 x 1− x  1. Pentru fiecare număr real x se consideră matricea M ( x ) =  . x  1 − x 5p a) Calculați det ( M ( 2 ) ) .

5p b) Verificaţi dacă M ( x ) ⋅ M ( y ) = M ( 2 xy − x − y + 1) , pentru orice numere reale x şi y .

5p c) Determinaţi numărul real a astfel încât M ( a ) ⋅ M ( x ) = M ( a ) , pentru orice număr real x . 2. Pe ℝ se defineşte legea de compoziţie asociativă dată de x y = xy + 2 x + 2 y + 2 . 5p a) Calculaţi 0 ( −2 ) . 5p b) Arătaţi că x y = ( x + 2)( y + 2) − 2 , pentru orice numere reale x şi y . 5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x x = 6 . SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

1. Se consideră funcţia f : (1, + ∞ ) → ℝ , f ( x) = 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) =

x ( x − 2)

( x − 1)2

x2 − 2 x + 2 . x −1

, pentru orice x ∈ (1, +∞ ) .

5p b) Determinaţi punctele de extrem ale funcţiei f . 5p c) Determinaţi ecuaţia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcţiei f . 2. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → ℝ , f ( x ) = x x . 2

5p a) Calculaţi

∫ 1

f ( x) x

dx .

2 2 x x este o primitivă a funcţiei f . 5 5p c) Calculaţi aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f , axa O x şi dreptele de ecuaţie x = 1 şi x = 4 .

5p b) Arătaţi că funcţia F : ( 0, + ∞ ) → ℝ , F ( x) =

Probă scrisă la matematică M_şt-nat Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii

Varianta 4

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 4 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

(

)

5p 1. Arătaţi că 2 2 + 3 − 2 3 = 4 . 5p 2. Calculaţi f (4) + f (−4) pentru funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x) = x + 4 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 7 2 x = 49 . 5p 4. Preţul unui obiect este 1000 de lei. Determinaţi preţul obiectului după o scumpire cu 10%. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 4,3) şi B ( 4,1) . Calculaţi distanţa de la punctul A la punctul B . 5p 6. Calculaţi sin 45° − sin135° . SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

m   −1 2  0 0 1 1. Se consideră matricele A =   , O2 =   şi B =   , unde m este număr real.  2 1 0 0  m m + 1 5p a) Calculaţi det A . 5p b) Pentru m = −2 , arătaţi că A + B = O2 . 9 7  5p c) Determinaţi numărul real m pentru care A ⋅ B =  .  7 16 

2. Se consideră polinomul f = X 3 + 2 X 2 + X . 5p a) Arătaţi că f (−1) = 0 . 5p b) Determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f la polinomul g = X 2 + X . 5p c) Calculaţi x12 + x22 + x32 , ştiind că x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x + 10 − 5p a) Verificaţi dacă f ' ( x ) =

11 . x

x 2 + 11

, pentru orice x ∈ (0, +∞) . x2 5p b) Arătaţi că funcţia f este crescătoare pe intervalul (0, +∞) . 5p c) Arătaţi că funcţia f este concavă pe intervalul (0, +∞) .

2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 9 . 2

5p a) Calculaţi

∫ f ' ( x ) dx . 1 2

5p b) Arătaţi că

∫ 1

f ( x) x

dx =

3 + 9ln 2 . 2

5p c) Arătaţi că volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei g : [ 0,1] → ℝ , g ( x ) = f ( x ) − x 2 este egal cu 81π .

Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 4 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info Barem de evaluare şi de notare Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.

SUBIECTUL I 1.

S3 =

(30 de puncte)

( a1 + a3 ) ⋅ 3 ( 2 + 8) ⋅ 3 = = 2

3p

2

= 15 2. xV = 2 yV = −2 3. x = 4 − x Rezultă x = 2 , care verifică ecuaţia 4. Numerele de două cifre care au produsul cifrelor egal cu 4 sunt 14, 22 şi 41 ⇒ 3 cazuri favorabile Numărul de numere naturale de două cifre este 90 ⇒ 90 de cazuri posibile nr. cazuri favorabile 1 p= = nr. cazuri posibile 30 5. AB = 3i şi AM = ( x − 1) i + ( y − 1) j M

M

x = 2 1 AM = AB ⇒  M 3  yM = 1

6.

4sin

π

cos

π

12 12 1 = 2⋅ =1 2

= 2sin

π 6

b)

c)

3p 2p 2p 1p 2p 2p 3p

=

3p 2p

SUBIECTUL al II-lea 1.a)

2p 2p 3p

(30 de puncte)

2 2 0 2 2 0   A ( −1) = 2 0 2 ⇒ det ( A ( −1) ) = 2 0 2 = 0 2 2 0 2 2   = 0 + 0 + 0 − 0 − 8 − 8 = −16  2 2 1  2 2 2 A ( 0 ) ⋅ A (1) =  2 1 2  ⋅  2 2 2  =  1 2 2  2 2 2      10 10 10  =  10 10 10  = 5 A (1)  10 10 10    2 2 m +1 2 det ( A ( m ) ) = 2 m +1 2 = − ( m + 5 )( m − 1) m +1 2 2

det ( A ( m ) ) = 0 ⇔ m = −5 sau m = 1

2p 3p 2p

3p

3p 2p

Probă scrisă la matematică M_mate-info Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

1

Varianta 4

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

xy − 2 x − 2 y + 6 = x ( y − 2 ) − 2 ( y − 2 ) + 2 =

3p

= ( x − 2 )( y − 2 ) + 2 , pentru orice numere reale x şi y

2p

b)

x 2 = ( x − 2)(2 − 2) + 2 = 2 , pentru orice număr real x 2 x = (2 − 2)( x − 2) + 2 = 2 ⇒ x 2 = 2 x = 2 , pentru orice număr real x

2p 3p

c)

1 2 3 ... 2012 2013 = (1 2 ) 3 ... 2012 2013 =

3p

=2

2p

2.a)

(3

... 2012 2013) = 2

SUBIECTUL al III-lea 1.a)

f '( x) = =

b)

( x3 − 1) ' ( x 2 + 1) − ( x3 − 1)( x 2 + 1) '

(

)

(

( x 2 + 1)2

=

2p

) = x4 + 3x2 + 2 x , pentru orice x ∈ ℝ 2 ( x2 + 1)

3x 2 x 2 + 1 − 2 x x3 − 1

(

)

x2 + 1

2

f ( x) − f (0) = f '(0) = x

lim

x →0

=0

c)

(30 de puncte)

3p 2p

x +1 lim =1 x →+∞ x − 1  x +1 lim   x →+∞  x − 1 

1p

f ( x)

2 x3 −1 x −1  x −1⋅ x 2 +1  2 

 2  = lim   1 +  x →+∞   x −1  

  

=

= e2

2.a)

2p

2p 1

−x

I1 = ∫ xe dx = − xe

1

−x 1

0

0

+ ∫ e − x dx =

3p

0

1 1 e−2 = − − e− x = 0 e e

b)

3p

1

I n+1 = ∫ x

n +1 − x

e dx = − x

0

2p n +1 − x 1

e

0

1

+ ( n + 1) ∫ x n e− x dx =

3p

0

1 = − + ( n + 1) I n e

2p

c) Pentru orice n ∈ ℕ* şi pentru orice x ∈ [ 0 ,1] avem 0 < e− x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x n e− x ≤ x n 1

1

0

0

0 ≤ ∫ x n e− x dx ≤ ∫ x n dx ⇒ 0 ≤ I n ≤

1 n +1

2p 3p

Probă scrisă la matematică M_mate-info Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

2

Varianta 4

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Barem de evaluare şi de notare Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 3 (1 − i ) = 3 − 3i 3p 2p x = 3∈ ℝ 2. f ( x ) = 0 ⇒ x = 1 sau x = 2 3p 2p Distanţa este egală cu 1 3. 2 x + 3 = 3 3p x=0 2p 4. Numerele din mulţimea A divizibile cu 4 sunt 4, 8, 12, 16 şi 20 ⇒ 5 cazuri favorabile 2p Numărul de elemente ale mulţimii A este 20 ⇒ 20 de cazuri posibile 1p nr. cazuri favorabile 1 p= = 2p nr. cazuri posibile 4 5. Mijlocul segmentului ( AC ) este M (0, 4)

( −3)

BM =

6.

A=

2

2p 3p

+4 =5 2

π

2p

2

1 3p ⋅ BC = 2 2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1.a) 2 −1 2p det ( M ( 2 ) ) = = −1 2 3p = 4 −1 = 3 b)  xy + (1 − x )(1 − y ) x (1 − y ) + (1 − x ) y  M ( x) ⋅ M ( y) =  = 3p  (1 − x ) y + x (1 − y ) (1 − x )(1 − y ) + xy   2 xy − x − y + 1 1 − ( 2 xy − x − y + 1)  =  = M ( 2 xy − x − y + 1) , pentru orice numere reale 2 xy − x − y + 1  2p 1 − ( 2 xy − x − y + 1) AC =

x şi y

c)

2.a)

M ( a ) ⋅ M ( x ) = M ( a ) ⇔ M ( 2ax − a − x + 1) = M ( a ) , pentru orice număr real x 2ax − a − x + 1 = a , pentru orice număr real x 1 a= 2 0 ( −2 ) = 0 ⋅ ( −2 ) + 2 ⋅ 0 + 2 ⋅ ( −2 ) + 2 =

b)

= −2 x y = xy + 2 x + 2 y + 2 = x ( y + 2 ) + 2 ( y + 2 ) − 2 = = ( x + 2)( y + 2) − 2 , pentru orice numere reale x şi y

c)

x x x = ( x + 2) − 2 3

( x + 2)

3

1p 2p 2p 3p 2p 3p 2p 3p 2p

−2=6⇒ x=0

Probă scrisă la matematică M_şt-nat Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii

Varianta 4

1

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

SUBIECTUL al III-lea 1.a) ( 2 x − 2 )( x − 1) − x 2 − 2 x + 2 f '( x ) = = ( x − 1)2

(

c)

)

3p

x ( x − 2)

, pentru orice x ∈ (1, +∞ ) ( x − 1)2 f '( x) = 0 ⇒ x ( x − 2 ) = 0 ⇒ x = 2 , deoarece x ∈ (1, +∞ ) f '(2) = 0 ; f '( x) < 0 , pentru x ∈ (1,2 ) şi f '( x) > 0 , pentru

=

b)

x2 − 2 x

(30 de puncte)

( x − 1)2

=

2p 2p x ∈ ( 2, +∞ )

Punctul de extrem este x = 2 f ( x) lim =1 x →+∞ x lim ( f ( x ) − x ) = −1

2p 2p

x →+∞

Ecuaţia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcţiei f este y = x − 1

2.a)

2

∫

f ( x) x

1

2p 1p

1p

2

dx = ∫ xdx =

2p

1

2

x 2 3 = = 2 1 2

b)

c)

3p '

3 2 5 2 2 F ′ ( x ) =  ⋅ x  = x = x x , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) 5    F ′ ( x ) = f ( x ) , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) ⇒ F este o primitivă a funcţiei f 4

4

1

1

A = ∫ f ( x ) dx = ∫ x xdx = =

3p 2p 2p 3p

4 62 2 2 ⋅x x = 1 5 5

Probă scrisă la matematică M_şt-nat Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii

Varianta 4

2

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Barem de evaluare şi de notare Varianta 4 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.

SUBIECTUL I 1. 2 2 + 3 = 4 + 2 3

(

(30 de puncte)

)

2p 3p

4+2 3 −2 3 =4

2.

f ( 4) = 8

2p 2p 1p

f ( −4 ) = 0

f ( 4 ) + f ( −4 ) = 8

3.

72 x = 7 2 x =1 4. 10 ⋅ 1000 = 100 100 Preţul după scumpire este 1100 de lei 5. 2 2 AB = ( 4 − 4 ) + (1 − 3)

2p 3p 2p 3p 3p 2p

AB = 2

6.

2 2 2 sin135° = 2 sin 45° − sin135° = 0

2p

sin 45° =

2p 1p

SUBIECTUL al II-lea 1.a) −1 2 det A = = −1 − 4 = 2 1 = −5 b)  −1 2   1 −2  Pentru m = −2 avem A + B =  + =  2 1   −2 −1  0 0 =  = O2 0 0 c)  2m − 1 m + 2  A⋅ B =    m + 2 3m + 1  2m − 1 m + 2   9 7   = ⇔ m=5  m + 2 3m + 1  7 16  2.a) f (−1) = (−1)3 + 2 ⋅ (−1) 2 + (−1) = = −1 + 2 − 1 = 0

(30 de puncte) 3p 2p 3p

2p 3p

2p 2p 3p

Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 4 Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

1

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

b) Câtul este X + 1 Restul este 0 c) x1 + x2 + x3 = −2 , x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 = 1 x12

+

x22

+

2p 3p 2p 3p

= ( −2 ) − 2 ⋅ 1 = 2 2

x32

SUBIECTUL al III-lea ' 1.a)  1   11  f ' ( x ) = x '+ 10'−   = 1 − 11 ⋅  − 2  = x    x  =1+

b)

11 x2

x 2 + 11 x2

3p

, pentru orice x ∈ (0, +∞)

2p

x ∈ (0, +∞ ) ⇒ x 2 + 11 > 0 f '( x) =

c)

=

(30 de puncte)

x 2 + 11

f ''( x) = −

x2 22 3

3p

⇒ f '( x) > 0 , pentru orice x ∈ (0, +∞) ⇒ f este crescătoare pe (0, +∞)

2p

, pentru orice x ∈ (0, +∞)

x f ''( x) < 0 , pentru orice x ∈ (0, +∞ ) ⇒ f este concavă pe intervalul (0, +∞)

2.a)

2

2

3p

= f ( 2 ) − f (1) = 3

2p

2

∫ 1

f ( x)

2

9  dx = ∫  x +  dx = x x 1

2p

 x2 2 3 = + 9ln x  = + 9ln 2  2   1 2

c)

3p

∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) 1 = 1

b)

2p

1

1

(

V = π ∫ g 2 ( x ) dx = π ∫ x 2 + 9 − x 2 0

0

3p

)

2

dx =

2p

1 = π ⋅ 81x = 81π 0

3p

Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 4 Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

2

mate Bac

Short Description

Description

Comments

We need your help!